{"paper":{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDla dowolnych liczb\n0\nx >\n,\n1\nx ≠,\n0\ny > ,\n1\ny ≠ wartość wyrażenia (\n) (\n)\n1\n1\nlog\nlog y\nx y\nx\n⋅\njest\nrówna\nA.\nx y\n⋅\nB.\ny\nx ⋅\n1\nC.\n1\nD.\n1\nDla dowolnych liczb x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1 wartość wyrażenia (log_{1/x} y)⋅(log_{1/y} x) jest równa A. x⋅y; B. 1/ x⋅y; C. -1; D. 1.","answer":"D","answer_text":"p\n2\nq\n)\n1\n⋅\nAB","solution":"Poprawnie, wartość wyrażenia $\\left(\\log_\\frac{1}{x} y\\right) \\cdot \\left(\\log_\\frac{1}{y} x\\right)$ jest równa $1$, ponieważ można zastosować własność logarytmów: $\\left(\\log_\\frac{1}{x} y\\right) = \\frac{\\log y}{\\log x^{-1}}$ oraz $\\left(\\log_\\frac{1}{y} x\\right) = \\frac{\\log x}{\\log y^{-1}}$, więc ich iloczyn jest równy $1$.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n2\n2\ncos 105\nsin 105\n°-\n° jest równa\nA.\n3\n2\nB.\n1\n2\nC. 1\n2\nD.\n3\n2\nLiczba cos^2 105° - sin^2 105° jest równa A.-√3/2}; B. -1/2; C. 1/2; D. √3/2.","answer":"A","answer_text":"x\n2219\n. Zatem układ równań\n\n2\nma dokładnie jedno","solution":"Poprawnie, liczba $\\cos^2 105^\\circ - \\sin^2 105^\\circ$ jest równa $\\cos(2\\cdot105^\\circ)$ czyli $\\cos210^\\circ$. Ze wzorów redukcyjnych mamy, że $\\cos210^\\circ =\\cos(180^\\circ+30^\\circ)= -\\cos30^\\circ=-\\frac{\\sqrt3}{2}$.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji\n)\n(x\nf\ny =\n, który jest złożony z dwóch\npółprostych AD i CE oraz dwóch odcinków AB i BC, gdzie\n(\n)\n1, 0\nA = -\n,\n(\n)\n1, 2\nB =\n,\n(\n)\n3, 0 ,\nC =\n(\n)\n4, 3\nD\n,\n(\n)\n6, 3\nE\n-5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nE\nC\nB\nA\nD\n0\nWzór funkcji f to\nA.\n( )\n1\n1\nf\nx\nx\nx\nB.\n( )\n1\n2\nf x\nx\nC.\n( )\n1\n2\nf x\nx\nD.\n( )\n1\n2\nf\nx\nx\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji y=f(x), który jest złożony z dwóch półprostych AD i CE oraz dwóch odcinków AB i BC, gdzie A=(-1,0), B=(1,2), C=(3,0) , D=(-4,3), E=(6,3). Wzór funkcji f to A. f(x) = |x+1|+|x-1|; B. f(x) = ||x-1|-2|; C. f(x) = ||x-1|+2|; D. f(x) = |x-1|+2.","answer":"B","answer_text":"n\n2\n3\nn\n1\nlim\nn\n→∞\n5\n3\n1\nn\n→∞\n3\nn\n2\n1\nn\n→∞\n1","solution":"Poprawnie, wystarczy wykonać odpowiednie przekształcenia wykresu funkcji $y=x-1$ aby otrzymać podany wzór. Wzór funkcji f opisuje przedstawiony wykres funkcji.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nZdarzenia losowe A i B zawarte w Ω są takie, że prawdopodobieństwo\n(\n)\nP B′\nzdarzenia\n,\nB′ przeciwnego do zdarzenia B, jest równe 1\n4 . Ponadto prawdopodobieństwo\nwarunkowe (\n)\n1\n5\nP A B =\n. Wynika stąd, że\nA. (\n)\n1\n20\nP A\nB\n∩\nB.\n(\n)\n4\n15\nP A\nB\n∩\nC. (\n)\n3\n20\nP A\nB\n∩\nD. (\n)\n4\n5\nP A\nB\n∩\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS\n\nMMA_1R\nZdarzenia losowe A i B zawarte w Ω są takie, że prawdopodobieństwo P(B') zdarzenia B', przeciwnego do zdarzenia B, jest równe 1/4. Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe P(A|B) = 1/5. Wynika stąd, że A. P(A∩B) = 1/20; B. P(A∩B) = 4/15; C. P(A∩B) = 3/20; D. P(A∩B) = 4/5.","answer":"C","answer_text":"3\n6\na\n2\n72\na\n864\n)\n4 4\n⋅\n(\na\n2\n12\na\n72\n) (\n⋅\na\n4\n144\na\n2\n9072\n)\n0.","solution":"Poprawnie, obliczamy $P(A \\cap B)$ jako $P(A | B) \\cdot P(B)$, co daje $P(A \\cap B) ={\\small \\displaystyle} \\small\\displaystyle\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{3}{20}$, więc odpowiedź jest poprawna.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz granicę\n3\n2\n2\n3\n2\n2\n9\n11\nlim 7\n5\n3\n1\n3\n1\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n→∞\n\n\n\n\n\n\nWpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia\ndziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\nMMA_1R\nOblicz granicę lim_{n→∞} (9n^3 + 11n^2 / 7n^3 + 5n^2 + 3n + 1 - n^2 / 3n^2+1 } Wpisz w poniższe kratki - od lewej do prawej - trzy kolejne cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":null,"answer_text":"9\n)\n24 25\n⋅\n600","solution":"952, 523, 238, 380, 809, 095","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7 , 9,\nbez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.","answer":null,"answer_text":"256\na\n(\na\n6\n)(\n6\na\n196\n)\n,","solution":"6666600","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nPunkt\n(10, 2429)\nP =\nleży na paraboli o równaniu\n2\n2\n2219\ny\nx\nx\n. Prosta o równaniu\nkierunkowym\njest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b.\nOdpowiedź:\ny\nax\nb\n\nMMA_1R\nPunkt P=(10,2429) leży na paraboli o równaniu y = 2x^2+x+2019. Prosta o równaniu kierunkowym y=ax+b jest styczna do tej paraboli w punkcie P. Oblicz współczynnik b.","answer":null,"answer_text":"5\nn\n2\n3\nn\n1\nn\n→∞\n7\n5\n3\n1\nn\n→∞\n3\nn\n2\n1\nn\n→∞\n3\n1","solution":"$b = 2019$","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że\n,\nx\ny\n<\ni dowolnej\ndodatniej liczby rzeczywistej a, prawdziwa jest nierówność\n2\nx\na\ny\ny\na\nx\n>\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\n8.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nUdowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x<y, i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a, prawdziwa jest nierówność {x+a\\o y+a} + {y\\o x} > 2.","answer":null,"answer_text":"CF =\n8 3","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |\nAC\nBC\n. Na ramieniu AC tego trójkąta\nwybrano punkt M ( M\nA\n≠\ni M\nC\n≠\n), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że\nAM\nCN\n. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego\ntrójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że\n1\n2\nST\nAB\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M≠A i M≠C), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że |AM| = |CN|. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że |ST| = 1/2|AB|.","answer":null,"answer_text":"11\nn\n2\nn\nlim\nn\nlim\n1","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nPunkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz\n16\nAC =\n,\n6\nAD =\n,\n14\nCD =\ni BC\nBD\nOblicz obwód trójkąta ABC.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nPunkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz |AC|=16, |AD|=6, |CD|=14 i |BC|=|BD|. Oblicz obwód trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$L_{ABC} = 120$","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nDane są okręgi o równaniach\n2\n2\n12\n8\n43\n0\nx\ny\nx\ny\ni\n2\n2\n2\n2\n4\n77\n0\nx\ny\nax\ny\na\nWyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt\nwspólny. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nDane są okręgi o równaniach x^2 + y^2 - 12x - 8y + 43 = 0 i x^2 + y^2 - 2ax + 4y + a^2 - 77 = 0. Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.","answer":null,"answer_text":"5\n3\n1","solution":"$a = 6 + 6\\sqrt{3}$ lub $a = 6 - 6\\sqrt{3}$ lub $a = 6$","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nTrzywyrazowy ciąg (\n)\n,\n,\na b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg\n1\n2\n1\n,\n,\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\nc\n\n\n\n\n\n\njest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nTrzywyrazowy ciąg (a,b,c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1/a, 2/3b, 1/2a+2b+c jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.","answer":"I","answer_text":"72\n(\na\n6\n)\n2\n36\n>\n0\ndla każdego a, więc równanie jest kwadratowe.","solution":"$q = \\dfrac{1}{3}$","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nWielomian określony wzorem\n( )\n(\n)\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n2\n11\n2 2\n1\nW x\nx\nm\nx\nx\nm\njest podzielny\nprzez dwumian (\n)\n2\nx -\noraz przy dzieleniu przez dwumian (\n)\n1\nx +\ndaje resztę 6. Oblicz m\ni dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność\n( )\n0.\nW x ≤\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nWielomian określony wzorem W(x) = 2x^3 + (m^3+2)x^2 - 11x - 2(2m+1) jest podzielny przez dwumian (x-2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x+1) daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x) ≤ 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in (-\\infty, -3\\rangle \\cup \\langle -\\dfrac{1}{2}, 2\\rangle$","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"wielomiany","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-4)\nRozwiąż równanie (\n)\nπ\nπ\n1\ncos\nsin\nsin\nsin\n3\n3\n2\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie (cos x)[sin(x-π/3) + sin(x+π/3)] = 1/2sin x.","answer":null,"answer_text":"a\n2\na\n2\n-⋅⋅⋅\n2\na a\ncos\nβ","solution":"$x = k\\pi$ lub $x = \\dfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$ lub $x = -\\dfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości\n2.\nV =\nWyznacz\ndługości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej\njest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V = 2. Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.","answer":"N","answer_text":null,"solution":"Najmniejsze pole powierzchni całkowitej równe $6\\sqrt{3}$ ma graniastosłup prawidłowy trójkątny o wymiarach: krawędź podstawy $a = 2$ i wysokość $h = \\dfrac{2\\sqrt{3}}{3}$.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}