{"paper":{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n2\nlog\n2 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(2\\))\n\n## Sposób 1 - zamiana podstawy na potęgę\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** podstawa logarytmu \\(\\sqrt{7} = 7^{\\frac{1}{2}}\\), więc możemy skorzystać ze wzoru na logarytm z potęgą.\n\nKorzystamy z definicji: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\)\n\nSzukamy \\(x\\) takiego, że:\n\\[(\\sqrt{7})^x = 7\\]\n\\[(7^{\\frac{1}{2}})^x = 7^1\\]\n\\[7^{\\frac{x}{2}} = 7^1\\]\n\nSkoro podstawy są równe, przyrównujemy wykładniki:\n\\[\\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2\\]\n\n**Zatem \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - wzór na zmianę podstawy logarytmu\n\nZamieniamy logarytm na podstawę \\(7\\), używając wzoru na zmianę podstawy:\n\n\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\frac{\\log_7 7}{\\log_7 \\sqrt{7}}\\]\n\nLiczymy licznik i mianownik osobno:\n\\[\\log_7 7 = 1\\]\n\\[\\log_7 \\sqrt{7} = \\log_7 7^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_7 7 = \\frac{1}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\). Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź A.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia wartości.\n\nWzór na logarytm z potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_7 \\sqrt{7} = \\frac{1}{2}\\).\n\nZmiana podstawy:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do przejścia na wygodniejszą podstawę \\(7\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń myli wynik z argumentem logarytmu - wpisuje \\(7\\) zamiast go obliczać |\n| C | Uczeń myli wynik z podstawą logarytmu - wpisuje \\(\\sqrt{7}\\) |\n| D | Uczeń odwraca wynik: bierze \\(\\log_7 \\sqrt{7} = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\) - zamienia miejscami argument i podstawę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana miejscami podstawy i argumentu to klasyczny błąd! \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 \\neq \\log_7 \\sqrt{7}\\). Pierwsze to \\(2\\), drugie to \\(\\frac{1}{2}\\) - czyli odpowiedź D to właśnie wynik tej pomyłki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{7} = 7^{\\frac{1}{2}}\\). Gdy podstawa jest pierwiastkiem, zawsze warto zamienić ją na potęgę ułamkową - wtedy zadanie sprowadza się do porównywania wykładników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm to **wykładnik** - \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\) pyta: „do jakiej potęgi podnieść \\(\\sqrt{7}\\), żeby dostać \\(7\\)?\". Intuicja: \\(\\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7} = 7\\), czyli podnosimy do potęgi \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 = x \\iff (\\sqrt{7})^x = 7\\).\nZapisujemy \\(\\sqrt{7} = 7^{1/2}\\), więc \\((7^{1/2})^x = 7^1\\), czyli \\(\\tfrac{x}{2} = 1\\), stąd \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Zamiana podstawy\n\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\dfrac{\\log 7}{\\log \\sqrt{7}} = \\dfrac{\\log 7}{\\tfrac{1}{2}\\log 7} = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(7\\)** - błąd: wartość argumentu, nie logarytmu.\n- **C. \\(\\sqrt{7}\\)** - pomylono podstawę i argument.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - to \\(\\log_7 \\sqrt{7}\\), nie \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_a b\\) i \\(\\log_b a\\) są wzajemnymi odwrotnościami.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba naturalna\n14\n15\n2\n5\n⋅\nn\nw zapisie dziesiętnym ma\nA. 14 cyfr\nB. 15 cyfr\nC. 16 cyfr\nD. 30 cyfr","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(127 - 48\\sqrt{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\)\n\nChcemy obliczyć \\((8 - 3\\sqrt{7})^2\\).\n\nStosujemy wzór na kwadrat różnicy z \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\):\n\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^2 = 8^2 = 64\\]\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 8 \\cdot 3\\sqrt{7} = 48\\sqrt{7}\\]\n\n\\[b^2 = (3\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\]\n\nSkładamy razem:\n\n\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = 64 - 48\\sqrt{7} + 63 = \\mathbf{127 - 48\\sqrt{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Mnożenie pisemne (rozwijanie nawiasów ręcznie)\n\nZapisujemy kwadrat jako iloczyn dwóch takich samych nawiasów:\n\n\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = (8 - 3\\sqrt{7})(8 - 3\\sqrt{7})\\]\n\nMnożymy każdy wyraz przez każdy:\n\n\\[= 8 \\cdot 8 + 8 \\cdot (-3\\sqrt{7}) + (-3\\sqrt{7}) \\cdot 8 + (-3\\sqrt{7}) \\cdot (-3\\sqrt{7})\\]\n\n\\[= 64 - 24\\sqrt{7} - 24\\sqrt{7} + 9 \\cdot 7\\]\n\n\\[= 64 - 48\\sqrt{7} + 63\\]\n\n\\[= \\mathbf{127 - 48\\sqrt{7}}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nTo główny wzór użyty w Sposobie 1. Podstawiamy \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\((3\\sqrt{7})^2 = 3^2 \\cdot (\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Zamiana znaku: zamiast \\((a-b)^2\\) policzono \\((a+b)^2 = 64 + 48\\sqrt{7} + 63 = 127 + 48\\sqrt{7}\\) - błąd znaku w środkowym składniku |\n| **C** | Policzono \\(8^2 - (3\\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1\\) - zastosowano wzór na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b)\\) zamiast kwadratu różnicy |\n| **D** | Połączenie obu błędów: wzór na różnicę kwadratów ORAZ błędny znak przy \\(\\sqrt{7}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((3\\sqrt{7})^2 \\neq 3\\sqrt{7} \\cdot 2\\). Pamiętaj: potęgujemy CAŁY czynnik - \\((3\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\), nie \\(6\\sqrt{7}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy składnik w \\((a-b)^2\\) to \\(-2ab\\), więc \\(-48\\sqrt{7}\\) - minus! Najczęstszy błąd to zamiana na plus i wybór odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\). To dwa różne wzory! \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - tu środkowego składnika w ogóle nie ma.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), gdzie \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\):\n\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = 64 - 2\\cdot 8\\cdot 3\\sqrt{7} + (3\\sqrt{7})^2 = 64 - 48\\sqrt{7} + 63 = 127 - 48\\sqrt{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia krok po kroku\n- \\(8^2 = 64\\)\n- \\((3\\sqrt{7})^2 = 9\\cdot 7 = 63\\)\n- \\(2\\cdot 8\\cdot 3\\sqrt{7} = 48\\sqrt{7}\\)\n- Suma: \\(64 + 63 - 48\\sqrt{7} = 127 - 48\\sqrt{7}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(127 + 48\\sqrt{7}\\)** - zły znak środkowego wyrazu (byłoby dla \\((8+3\\sqrt{7})^2\\)).\n- **C. \\(1 - 48\\sqrt{7}\\)** - błąd przy \\((3\\sqrt{7})^2\\) (użyto \\(63\\) z niewłaściwym znakiem).\n- **D. \\(1 + 48\\sqrt{7}\\)** - dwa błędy znaków jednocześnie.\n\n**Pamiętaj:** \\((3\\sqrt{7})^2 = 9\\cdot 7 = 63\\), nie \\(21\\)!","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nW pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była\nrówna 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów\no 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku\nzmniejszyła się o\nA. 1%\nB. 25%\nC. 33%\nD. 75%","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(b - a = 64\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie procentowe\n\n**Wyznaczamy \\(a\\) z pierwszego warunku:**\n\n\\(75\\%\\) liczby \\(a\\) równa się \\(177\\), czyli:\n\\[\\frac{75}{100} \\cdot a = 177\\]\n\\[0{,}75a = 177\\]\n\\[a = \\frac{177}{0{,}75} = \\frac{177 \\cdot 4}{3} = \\frac{708}{3} = 236\\]\n\n**Wyznaczamy \\(b\\) z drugiego warunku:**\n\n\\(59\\%\\) liczby \\(b\\) równa się \\(177\\), czyli:\n\\[\\frac{59}{100} \\cdot b = 177\\]\n\\[0{,}59b = 177\\]\n\\[b = \\frac{177}{0{,}59} = \\frac{17700}{59} = 300\\]\n\n**Obliczamy różnicę:**\n\\[b - a = 300 - 236 = \\mathbf{64}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez ułamek wspólnej wartości\n\nZauważamy, że obie liczby dają ten sam wynik (\\(177\\)) przy różnych procentach. Możemy od razu zapisać:\n\n\\[a = \\frac{177}{\\frac{75}{100}} = 177 \\cdot \\frac{100}{75} = 177 \\cdot \\frac{4}{3} = 59 \\cdot 4 = 236\\]\n\n\\[b = \\frac{177}{\\frac{59}{100}} = 177 \\cdot \\frac{100}{59} = 3 \\cdot 100 = 300\\]\n\nSkróty: \\(\\frac{177}{75} = \\frac{177}{75}\\) - zauważmy, że \\(177 = 59 \\cdot 3\\), więc:\n\n\\[b = \\frac{59 \\cdot 3 \\cdot 100}{59} = 300\\]\n\nNatomiast \\(177 = 3 \\cdot 59\\), a \\(75 = 3 \\cdot 25\\), więc:\n\n\\[a = \\frac{3 \\cdot 59 \\cdot 100}{3 \\cdot 25} = \\frac{59 \\cdot 100}{25} = 59 \\cdot 4 = 236\\]\n\n**Różnica:** \\(b - a = 300 - 236 = \\mathbf{64}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne: \\(p\\%\\) liczby \\(x\\) to \\(\\frac{p}{100} \\cdot x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Policzono \\(b - a = 64\\), ale jako \\(b - a = 26\\) - błąd arytmetyczny przy dzieleniu: np. \\(\\frac{177}{0{,}59}\\) obliczono niepoprawnie |\n| C | Odwrócono kolejność: obliczono \\(a - b\\) zamiast \\(b - a\\), dostając \\(-64\\), po czym wzięto wartość bezwzględną 64, ale zapisano jako \\(a - b = 26\\) |\n| D | Odwrócono kolejność odejmowania - obliczono \\(a - b = 236 - 300 = -64\\), a potem wzięto \\(|{-64}| = 64\\), ale zapisano jako \\(a - b\\) zamiast \\(b - a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek różnicy - skoro \\(b\\) daje \\(177\\) przy **mniejszym** procencie (\\(59\\% < 75\\%\\)), to \\(b\\) **musi być większe** od \\(a\\). Zawsze sprawdź: mniejszy procent → większa liczba wyjściowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{177}{0{,}59}\\) - zamiast liczyć na kalkulatorze, warto uprościć: \\(177 = 3 \\cdot 59\\), więc \\(\\frac{177}{59} = 3\\), a całość to \\(3 \\cdot 100 = 300\\). Szukaj takich uproszczeń!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(p\\%\\) liczby \\(x\\) (wynik to \\(\\frac{p}{100} \\cdot x\\)) z \"liczba, której \\(p\\%\\) to \\(x\\)\" (tu dzielimy: \\(\\frac{x \\cdot 100}{p}\\)). W tym zadaniu mamy ten drugi przypadek!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\)\nZ warunków:\n\\[0{,}75a = 177 \\Rightarrow a = \\dfrac{177}{0{,}75} = 236,\\]\n\\[0{,}59b = 177 \\Rightarrow b = \\dfrac{177}{0{,}59} = 300.\\]\nZatem \\(b - a = 300 - 236 = 64\\).\n\n### Sposób 2 - Obliczenia z ułamków\n\\(a = \\dfrac{177\\cdot 100}{75} = \\dfrac{17700}{75} = 236\\).\n\\(b = \\dfrac{177\\cdot 100}{59} = \\dfrac{17700}{59} = 300\\).\nRóżnica: \\(300 - 236 = 64\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(26\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C, D.** \\(a < b\\) (bo \\(75\\% > 59\\%\\) przy tej samej wartości \\(177\\)), więc \\(a - b\\) jest ujemne.\n\n**Kluczowa obserwacja:** mniejszy procent → większa liczba (przy tej samej wartości procenta).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRówność\njest prawdziwa dla\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych (1.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nDwa rozwiązania: \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nKluczowa obserwacja: po prawej stronie równania stoi **ten sam czynnik** \\((5x + 1)\\), co w nawiasie po lewej. Można wyłączyć go przed nawias.\n\n\\[x(5x + 1) = 5x + 1\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x(5x + 1) - (5x + 1) = 0\\]\n\nWyłączamy \\((5x + 1)\\) przed nawias:\n\n\\[(5x + 1)(x - 1) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **jeden z czynników jest zerem**:\n\n\\[5x + 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = -\\frac{1}{5}\\]\n\\[x - 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 1\\]\n\n**Równanie ma dwa rozwiązania:** \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).\n\n## Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\n\\[x(5x + 1) = 5x + 1\\]\n\\[5x^2 + x = 5x + 1\\]\n\\[5x^2 + x - 5x - 1 = 0\\]\n\\[5x^2 - 4x - 1 = 0\\]\n\nWyznaczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot (-1) = 16 + 20 = 36\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{4 - \\sqrt{36}}{2 \\cdot 5} = \\frac{4 - 6}{10} = \\frac{-2}{10} = -\\frac{1}{5}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{4 + \\sqrt{36}}{2 \\cdot 5} = \\frac{4 + 6}{10} = \\frac{10}{10} = 1\\]\n\n**Ten sam wynik:** \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozwiązania równania \\(5x^2 - 4x - 1 = 0\\).\n\nW tym zadaniu **Sposób 1 jest szybszy i nie wymaga wzorów z karty** - wystarczy spostrzeżenie o wspólnym czynniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń znajdzie tylko \\(x = 1\\), bo podzieli obie strony przez \\((5x+1)\\) - to **niedozwolone** (tracimy rozwiązanie \\(5x + 1 = 0\\)) |\n| B | Uczeń wpisuje \\(x = -1\\) zamiast \\(x = -\\frac{1}{5}\\) - myli wynik \\(5x = -1\\) z \\(x = -1\\) |\n| D | Uczeń odwraca znak: zamiast \\(-\\frac{1}{5}\\) wpisuje \\(+\\frac{1}{5}\\), a zamiast \\(+1\\) wpisuje \\(-1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie dziel obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tu: przez \\(5x+1\\))! Grozi to utratą rozwiązania. Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(5x = -1\\) wynika \\(x = -\\frac{1}{5}\\), a nie \\(x = -5\\) ani \\(x = -1\\). Dziel przez współczynnik przy \\(x\\), czyli przez 5.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe - sama delta mówi, że \\(\\Delta = 36 > 0\\), więc muszą być **dwa** różne pierwiastki. Odpowiedź A (jedno rozwiązanie) jest wykluczona.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika\n\\[x(5x+1) - (5x+1) = 0 \\iff (5x+1)(x-1) = 0.\\]\nIloczyn równy \\(0\\) ⟺ \\(5x+1 = 0\\) lub \\(x-1 = 0\\).\nStąd \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) lub \\(x = 1\\) - **dwa rozwiązania**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n- \\(x = 1\\): \\(L = 1\\cdot 6 = 6\\), \\(P = 6\\) ✓\n- \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\): \\(L = -\\tfrac{1}{5}\\cdot 0 = 0\\), \\(P = 0\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zapomniano o drugim rozwiązaniu \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\).\n- **B, D.** Błędne rozwiązania - \\(x = -1\\) nie spełnia równania: \\(L = -1\\cdot(-4) = 4\\), \\(P = -4\\).\n\n**Uwaga - ważny błąd:** NIE WOLNO dzielić przez \\(5x+1\\) obu stron, bo gubimy rozwiązanie \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\)!","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nPara liczb\ni\njest rozwiązaniem układu równań\n4\n2\n3\n2\nax\ny\nx\ny\na\n\n-\n\ndla\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający interpretuje geometrycznie układ\ndwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - Podstawienie do obu równań i wyznaczenie \\(a\\)\n\n**Skoro \\(x = 3, y = 1\\) jest rozwiązaniem układu**, to po podstawieniu obu wartości do każdego równania muszą zachodzić tożsamości.\n\n**Równanie pierwsze:**\n\\[-x + 12y = a^2\\]\n\\[-(3) + 12 \\cdot 1 = a^2\\]\n\\[-3 + 12 = a^2\\]\n\\[a^2 = 9\\]\n\nStąd: \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\).\n\n**Równanie drugie:**\n\\[2x + ay = 9\\]\n\\[2 \\cdot 3 + a \\cdot 1 = 9\\]\n\\[6 + a = 9\\]\n\\[a = 3\\]\n\n**Oba równania muszą być spełnione jednocześnie.** Z pierwszego równania \\(a \\in \\{-3, 3\\}\\), z drugiego jednoznacznie \\(a = 3\\).\n\nZatem \\(\\mathbf{a = 3}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie układu dla \\(a = 3\\)\n\nPodstawiamy \\(a = 3\\), \\(x = 3\\), \\(y = 1\\) do całego układu:\n\n\\[\\begin{cases} -3 + 12 \\cdot 1 = 3^2 \\\\ 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 1 = 9 \\end{cases}\\]\n\n\\[\\begin{cases} 9 = 9 \\checkmark \\\\ 9 = 9 \\checkmark \\end{cases}\\]\n\nOba równania są prawdziwe - **wynik \\(a = 3\\) jest poprawny**.\n\nDla porównania, gdyby \\(a = -3\\):\n\nPierwsze równanie: \\(-3 + 12 = (-3)^2 = 9\\) ✓ - spełnione.\n\nDrugie równanie: \\(6 + (-3) \\cdot 1 = 3 \\neq 9\\) ✗ - **niespełnione**.\n\nZatem \\(a = -3\\) odpada.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność podstawiania wartości do równań i rozwiązywania prostego równania liniowego oraz kwadratowego \\(a^2 = 9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(a = \\frac{7}{3}\\) | Brak sensu - nie wynika z żadnego równania po podstawieniu. Możliwy błąd przy niepoprawnym działaniu na liczbach. |\n| B: \\(a = -3\\) | Spełnia **tylko** pierwsze równanie (\\(a^2 = 9\\)), ale nie spełnia drugiego (\\(6 + (-3) = 3 \\neq 9\\)). Uczeń zatrzymał się za wcześnie! |\n| D: \\(a = -\\frac{7}{3}\\) | Jw. - nie wynika z żadnego równania. Brak powiązania z zadaniem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z pierwszego równania dostajemy \\(a^2 = 9\\), czyli **dwie możliwości**: \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\). Odpowiedź B (\\(a = -3\\)) to klasyczna pułapka - trzeba zawsze sprawdzić **oba równania**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z układem równań z parametrem musisz podstawić dane rozwiązanie do **każdego** równania z osobna i zebrać warunki. Jeden wynik musi pasować do wszystkich równań jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: tu \\(a\\) to **parametr** (stała, którą szukamy), a nie zmienna układu. Zmiennymi są \\(x\\) i \\(y\\) - one są dane!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\((3, 1)\\) do obu równań\nI: \\(-3 + 12 = a^2 \\Rightarrow a^2 = 9 \\Rightarrow a = \\pm 3\\).\nII: \\(6 + a = 9 \\Rightarrow a = 3\\).\nOba równania spełnione tylko gdy \\(a = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja dla \\(a = 3\\)\nI: \\(-3 + 12 = 9 = 3^2\\) ✓\nII: \\(6 + 3 = 9\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{3}\\)**: II: \\(6 + \\tfrac{7}{3} \\ne 9\\).\n- **B. \\(-3\\)**: I: \\((-3)^2 = 9\\) ✓, ale II: \\(6 - 3 = 3 \\ne 9\\) ✗.\n- **D. \\(-\\tfrac{7}{3}\\)**: oba równania niespełnione.\n\n**Pułapka:** rozwiązanie z pierwszego daje dwie wartości, trzeba sprawdzić w drugim.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nRównanie\nA. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nB. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nC. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\n2\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n4\n5\na\n11\n20\na\n8\n9\na\n9\n8\na\n20\n11\na\n2\nx =\n2\ny =\n1\na = -\n1\na =\n2\na = -\n2\na =\n(\n)(\n)\n1\n2\n0\n3\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n3\n4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych (3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - dwa rozwiązania: \\(x = 2\\), \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka\n\nUłamek jest równy zero **wtedy i tylko wtedy**, gdy:\n1. **Licznik = 0** - to daje rozwiązania kandydujące\n2. **Mianownik ≠ 0** - to eliminuje wartości, dla których wyrażenie jest niezdefiniowane\n\n**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.**\n\nMianownik nie może być zerem:\n\\[(x-4)^2 \\neq 0 \\implies x \\neq 4\\]\n\nDziedzina: \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{4\\}\\)\n\n**Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera.**\n\n\\[(x-2)(x+4) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2\\]\n\\[x + 4 = 0 \\implies x = -4\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy, czy kandydaci należą do dziedziny.**\n\n- \\(x = 2\\): \\(2 \\neq 4\\) ✓ - należy do dziedziny\n- \\(x = -4\\): \\(-4 \\neq 4\\) ✓ - należy do dziedziny\n\n**Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 2\\) i \\(x = -4\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki bezpośrednio w równaniu \\(\\dfrac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2} = 0\\):\n\n**Dla \\(x = 2\\):**\n\\[\\frac{(2-2)(2+4)}{(2-4)^2} = \\frac{0 \\cdot 6}{(-2)^2} = \\frac{0}{4} = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = -4\\):**\n\\[\\frac{(-4-2)(-4+4)}{(-4-4)^2} = \\frac{(-6) \\cdot 0}{(-8)^2} = \\frac{0}{64} = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 4\\) (sprawdzamy, że NIE jest rozwiązaniem):**\n\\[\\frac{(4-2)(4+4)}{(4-4)^2} = \\frac{2 \\cdot 8}{0} = \\frac{16}{0} \\implies \\text{wyrażenie niezdefiniowane!}\\]\n\nObydwa rozwiązania potwierdzone. Odpowiedź C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i podstawowe działania (iloczyn czynników liniowych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń znalazł tylko \\(x = 2\\) (np. rozwiązał tylko \\(x - 2 = 0\\) i zapomniał o drugim czynniku licznika) |\n| B | Uczeń pomylił \\(x + 4 = 0\\) z \\(x = 2\\) albo błędnie \"upraszczał\" ułamek odczytując \\(-2\\) z mianownika \\((x-4)^2 \\to x = \\pm 2\\)? |\n| D | Uczeń wziął \\(x = -2\\) (błąd znaku przy \\(x+4=0\\)) i \\(x = 4\\) (zrównał mianownik do zera zamiast licznik) - **to najgroźniejsza pułapka** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik = 0 to **wykluczenie** z dziedziny, NIE rozwiązanie! \\(x = 4\\) sprawia, że ułamek jest niezdefiniowany - uczniowie mylą \"wyrażenie niezdefiniowane\" z \"wyrażenie = 0\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x + 4 = 0\\) daje \\(x = -4\\), nie \\(x = 4\\). Znak minus przy zamianie strony to klasyczny błąd rachunkowy pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((x-4)^2\\) jest zawsze nieujemny i wynosi zero **tylko** dla \\(x = 4\\). Nawet jeśli wygląda \"groźnie\", nie generuje dodatkowych rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0\n**Dziedzina:** \\((x-4)^2 \\ne 0 \\iff x \\ne 4\\).\n\nRównanie \\(\\tfrac{L}{M} = 0 \\iff L = 0\\) (przy \\(M \\ne 0\\)):\n\\[(x-2)(x+4) = 0 \\iff x = 2 \\lor x = -4.\\]\nOba w dziedzinie → **dwa rozwiązania**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n- \\(x = 2\\): \\(\\tfrac{0\\cdot 6}{(-2)^2} = \\tfrac{0}{4} = 0\\) ✓\n- \\(x = -4\\): \\(\\tfrac{(-6)\\cdot 0}{(-8)^2} = \\tfrac{0}{64} = 0\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Pominięto \\(x = -4\\).\n- **B.** Błędne pierwiastki.\n- **D.** \\(x = 4\\) łamie dziedzinę (mianownik = 0); brak \\(x = -4\\).\n\n**Pamiętaj:** ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 **i** mianownik \\(\\ne 0\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n(\n)\n3\n1\n6 3\nf x\nx\njest liczba\nA. 3 6 3\nB. 1 6 3\nC. 2 3 1\nD.\n1\n2 3\n3\nInformacja do zadań 8.-10.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej\n.f\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(2,\n4)\nW =\n. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji\n.f","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nMiejsca zerowe funkcji \\(f(x) = 9 - (3-x)^2\\) to \\(0\\) oraz \\(6\\).\n\n## Sposób 1 - Rozłożenie na czynniki (różnica kwadratów)\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(9 - (3-x)^2\\) ma postać \\(a^2 - b^2\\), gdzie \\(a = 3\\) i \\(b = (3-x)\\).\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = 9 - (3-x)^2 = 3^2 - (3-x)^2 = \\big(3-(3-x)\\big)\\big(3+(3-x)\\big)\\]\n\nUpraszczamy każdy nawias:\n\\[3-(3-x) = 3 - 3 + x = x\\]\n\\[3+(3-x) = 3 + 3 - x = 6 - x\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = x \\cdot (6-x)\\]\n\nMiejsca zerowe - przyrównujemy do zera:\n\\[x \\cdot (6 - x) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 6 - x = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 6\\]\n\n**Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 6\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie przyrównanie do zera (z rozwinięciem nawiasu)\n\nRozwijamy \\((3-x)^2\\) korzystając ze wzoru \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\]\n\nPodstawiamy do wzoru funkcji:\n\\[f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 9 - 9 + 6x - x^2 = 6x - x^2\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[6x - x^2 = 0\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(6 - x) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 6\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 6\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - pozwolił od razu rozłożyć \\(9 - (3-x)^2\\) na iloczyn czynników liniowych bez żmudnego rozwijania.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - kwadrat różnicy:\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyty w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((3-x)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd |\n| **A.** \\(0\\) oraz \\(3\\) | Uczeń myli miejsce zerowe z wierzchołkiem. Wierzchołek paraboli \\(f(x) = -(x-3)^2 + 9\\) ma odciętą \\(x = 3\\), ale to **nie** jest miejsce zerowe - tam \\(f(3) = 9 \\neq 0\\). |\n| **B.** \\(-6\\) oraz \\(6\\) | Uczeń rozwiązuje \\((3-x)^2 = 9\\) poprawnie (dostaje \\(3-x = \\pm 3\\)), ale potem błędnie liczy: \\(3 - x = -3 \\Rightarrow x = 6\\) ✓, natomiast \\(3-x = 3 \\Rightarrow x = 0\\) - zamiast tego wpisuje \\(x = -6\\) (nie wykonuje odejmowania od 3, lecz zmienia znak). |\n| **C.** \\(0\\) oraz \\(-6\\) | Uczeń poprawnie находит \\(x_1 = 0\\), ale dla drugiego rozwiązania zamiast \\(6 - x = 0 \\Rightarrow x = 6\\) zapisuje \\(x = -6\\) - myli kierunek (zapomina, że \\(6-x=0\\) daje \\(x=+6\\), nie \\(-6\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić miejsca zerowego z wierzchołkiem paraboli! Tutaj wierzchołek jest w punkcie \\((3, 9)\\) - widać to z postaci kanonicznej \\(f(x) = -(x-3)^2 + 9\\). Wierzchołek to maximum funkcji, nie miejsce zerowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\((3-x)^2 = 9\\) pamiętaj o **dwóch** przypadkach: \\(3 - x = 3\\) oraz \\(3 - x = -3\\). Pominięcie jednego z nich daje tylko jedno miejsce zerowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj podstawiając! Dla \\(x = 0\\): \\(f(0) = 9 - 9 = 0\\) ✓. Dla \\(x = 6\\): \\(f(6) = 9 - (3-6)^2 = 9 - 9 = 0\\) ✓. Szybka weryfikacja eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2\\)\n\\[f(x) = 3^2 - (3-x)^2 = (3-(3-x))(3+(3-x)) = x(6-x).\\]\n\\(f(x) = 0 \\iff x = 0 \\lor x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\(f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 6x - x^2 = x(6-x)\\).\nMiejsca zerowe: \\(x = 0\\) lub \\(x = 6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0, 3\\)** - błędnie rozwiązano \\((3-x)^2 = 9\\) tylko dla \\(3-x = 3\\).\n- **B. \\(-6, 6\\)** - pomylono postać iloczynową.\n- **C. \\(0, -6\\)** - błąd znaku.\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(0) = 9 - 9 = 0\\) ✓, \\(f(6) = 9 - 9 = 0\\) ✓.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA. (\n, 0\n-∞\nB.\n0, 4\nC.\n4,\n)\n+ ∞\nD. 4,\n)\n+∞","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nfunkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca\nzerowe, maksymalne przedziały, w których\nfunkcja rośnie, maleje, ma stały znak (4.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nZbiorem wartości funkcji \\(g\\) jest przedział \\((-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek i kierunek ramion\n\nFunkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi **w dół** osiąga **maksimum** w wierzchołku - i od tego maksimum wartości już tylko maleją.\n\n**Krok 1.** Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, 1)\\), więc wierzchołek leży na wysokości \\(y = 1\\).\n\n**Krok 2.** Ramiona są skierowane **w dół**, co oznacza \\(a < 0\\), czyli parabola otwiera się ku dołowi.\n\n**Krok 3.** Dla paraboli z ramionami w dół:\n- funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje,\n- **maksymalna wartość** funkcji to wartość w wierzchołku: \\(g(1) = 1\\),\n- nie ma wartości minimalnej - parabola schodzi do \\(-\\infty\\).\n\n**Krok 4.** Zatem zbiór wartości to:\n\\[\\mathbb{Z}_g = (-\\infty, 1\\rangle\\]\n\nWartość \\(1\\) jest osiągana (w wierzchołku), stąd przedział **domknięty** od prawej.\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i zbioru wartości\n\nSkoro znamy dwa miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 2\\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej.\n\n**Krok 1.** Postać iloczynowa:\n\\[g(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \\cdot x(x-2)\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy wierzchołek \\(W = (1, 1)\\), czyli \\(g(1) = 1\\):\n\\[a \\cdot 1 \\cdot (1 - 2) = 1\\]\n\\[a \\cdot (-1) = 1\\]\n\\[a = -1\\]\n\n**Krok 3.** Wzór funkcji:\n\\[g(x) = -x(x-2) = -x^2 + 2x\\]\n\nSprawdzamy \\(a = -1 < 0\\) - ramiona w dół. ✓\n\n**Krok 4.** Postać kanoniczna (dla wyznaczenia wierzchołka):\n\\[g(x) = -(x^2 - 2x) = -[(x-1)^2 - 1] = -(x-1)^2 + 1\\]\n\nWartość \\(-(x-1)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc:\n\\[g(x) = -(x-1)^2 + 1 \\leq 1\\]\n\nMaksimum \\(g(x) = 1\\) jest osiągane dla \\(x = 1\\), a wartości mogą być dowolnie ujemne.\n\n**Zbiór wartości:**\n\\[\\mathbb{Z}_g = (-\\infty, 1\\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego do odczytania, że maksymalna wartość funkcji wynosi \\(q = 1\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, korzystając ze znanych miejsc zerowych \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-\\infty, 0\\rangle\\) | Uczeń myli wartość \\(y\\) w wierzchołku z miejscami zerowymi - parabola przecina oś \\(Ox\\) w \\(0\\) i \\(2\\), ale to argumenty, nie wartości funkcji. Maksimum jest w \\(y = 1\\), nie \\(y = 0\\). |\n| B \\(\\langle 0, 2\\rangle\\) | Uczeń przepisuje miejsca zerowe \\((0, 2)\\) jako zbiór wartości. Mylenie osi - miejsca zerowe to wartości **argumentu** \\(x\\), nie **wartości funkcji** \\(y\\). |\n| C \\(\\langle 1, +\\infty)\\) | Uczeń poprawnie zauważa wierzchołek \\(y = 1\\), ale błędnie przyjmuje, że ramiona w **dół** oznaczają wartości rosnące od wierzchołka ku \\(+\\infty\\). To prawda dla ramion w **górę** (minimum). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe to wartości **argumentu** \\(x\\) (gdzie parabola przecina oś \\(Ox\\)), a nie wartości funkcji \\(y\\). Nie wpisuj ich jako zbiór wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion decyduje o typie ekstremum - ramiona **w dół** (\\(a < 0\\)) → **maksimum** w wierzchołku → zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\). Ramiona **w górę** (\\(a > 0\\)) → **minimum** → zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **domknięty** od strony wierzchołka (piszemy \\(\\langle\\) lub \\(\\rangle\\)), bo wartość w wierzchołku jest **osiągana** przez funkcję.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza paraboli\nParabola ma wierzchołek \\(W = (1, 1)\\). Z rysunku ramiona są skierowane w dół (\\(a < 0\\)), więc \\(y = 1\\) to **maksimum** funkcji.\n\nZbiór wartości: \\(y \\le 1\\), czyli \\((-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(g(x) = a(x-1)^2 + 1\\), gdzie \\(a < 0\\) (ramiona w dół).\nMaksymalna wartość \\(= 1\\) (w wierzchołku), pozostałe wartości są mniejsze.\nZbiór wartości \\(= (-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, 0\\rangle\\)** - pomyłka z miejscem zerowym.\n- **B. \\(\\langle 0, 2\\rangle\\)** - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.\n- **C. \\(\\langle 1, +\\infty)\\)** - odwrotnie, byłoby dla ramion w górę.\n\n**Zapamiętaj:** ramiona w dół → zbiór wartości \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB.\n4\nC. 4\nD. 0","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość\nnajmniejszą i wartość największą funkcji\nkwadratowej w przedziale domkniętym (4.k).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(125^{\\frac{2}{3}} = 25\\) - jedyna liczba większa od \\(5\\).\n\n## Sposób 1 - obliczenie każdej opcji wprost\n\nSprawdzamy wartość każdej odpowiedzi krok po kroku.\n\n**Odpowiedź A:** \\(\\left(\\dfrac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}}\\)\n\nUjemny wykładnik odwraca podstawę:\n\\[\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}} = 25^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nWynik: \\(5\\) - **nie** większy od \\(5\\).\n\n**Odpowiedź B:** \\(\\left(\\dfrac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}}\\)\n\n\\[\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}} = 25^{\\frac{1}{5}} = \\sqrt[5]{25}\\]\n\nSzacujemy: \\(\\sqrt[5]{25} < \\sqrt[5]{32} = 2\\), więc wynik jest zdecydowanie mniejszy od \\(5\\).\n\nWynik: \\(\\approx 1{,}9\\) - **nie** większy od \\(5\\).\n\n**Odpowiedź C:** \\(125^{\\frac{2}{3}}\\)\n\nWykładnik \\(\\frac{2}{3}\\) oznacza: pierwiastek sześcienny, potem kwadrat (lub odwrotnie):\n\\[125^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{125}\\right)^2 = 5^2 = 25\\]\n\nWynik: \\(25\\) - **tak**, \\(25 > 5\\). ✓\n\n**Odpowiedź D:** \\(125^{\\frac{1}{3}}\\)\n\n\\[125^{\\frac{1}{3}} = \\sqrt[3]{125} = 5\\]\n\nWynik: \\(5\\) - **nie** większy od \\(5\\).\n\n**Zatem jedyna liczba większa od \\(5\\) to \\(25\\), czyli odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - porównanie przez sprowadzenie do potęg liczby 5\n\nKażdą wyrażenie sprowadzamy do postaci \\(5^k\\) i sprawdzamy, czy \\(k > 1\\).\n\n\\[A: \\quad 25^{\\frac{1}{2}} = (5^2)^{\\frac{1}{2}} = 5^{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 5^1 = 5\\]\n\n\\[B: \\quad 25^{\\frac{1}{5}} = (5^2)^{\\frac{1}{5}} = 5^{\\frac{2}{5}} \\approx 5^{0{,}4} < 5^1\\]\n\n\\[C: \\quad 125^{\\frac{2}{3}} = (5^3)^{\\frac{2}{3}} = 5^{3 \\cdot \\frac{2}{3}} = 5^2 = 25 > 5 \\quad \\checkmark\\]\n\n\\[D: \\quad 125^{\\frac{1}{3}} = (5^3)^{\\frac{1}{3}} = 5^{3 \\cdot \\frac{1}{3}} = 5^1 = 5\\]\n\n**Tylko w C wykładnik końcowy jest większy od \\(1\\), więc tylko \\(5^2 = 25 > 5\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na potęgę wymierną:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m} = \\left(\\sqrt[n]{a}\\right)^m\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach, przeliczając \\(125^{\\frac{2}{3}}\\) i pozostałe wyrażenia.\n\nWzór na ujemny wykładnik:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy w odpowiedzi A i B - odwracanie ułamka przy ujemnym wykładniku.\n\nWzór na potęgę potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nKluczowy w Sposobie 2 - pozwolił sprowadzić wszystko do potęg liczby \\(5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Obliczenie | Błąd który do tego prowadzi |\n| A | \\(\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}} = 5\\) | Poprawne obliczenie - ale \\(5 = 5\\), więc **nie jest większa** od \\(5\\). Błąd: przeoczenie warunku \"większa\" (nie \"większa lub równa\") |\n| B | \\(\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}} \\approx 1{,}9\\) | Mylenie \\(-\\frac{1}{5}\\) z \\(-\\frac{1}{2}\\), albo nieumiejętne oszacowanie \\(\\sqrt[5]{25}\\) |\n| D | \\(125^{\\frac{1}{3}} = 5\\) | Poprawne obliczenie - ale znów \\(5 = 5\\), **nie jest większa** od \\(5\\). Pułapka: wynik \"ładny\" (dokładnie 5), ale nierówność ostra |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek to \"większa od 5\", nie \"większa lub równa 5\". Odpowiedzi A i D dają dokładnie \\(5\\) - to **eliminuje** te opcje. Wiele osób zatrzymuje się po obliczeniu i nie sprawdza nierówności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(a^{\\frac{m}{n}}\\) zawsze najpierw sprawdź, czy podstawa jest pełną potęgą - tu \\(125 = 5^3\\) i \\(25 = 5^2\\). Sprowadzenie do potęg jednej liczby bardzo upraszcza obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy ułamku: \\(\\left(\\frac{1}{a}\\right)^{-k} = a^k\\) - odwrócenie ułamka i zamiana znaku wykładnika to jeden krok, nie dwa osobne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Obliczenia każdej opcji\n- **A.** \\(\\left(\\tfrac{1}{25}\\right)^{-1/2} = 25^{1/2} = 5\\) - **równa** 5, nie większa.\n- **B.** \\(\\left(\\tfrac{1}{25}\\right)^{-1/5} = 25^{1/5} = 5^{2/5} < 5\\).\n- **C.** \\(125^{2/3} = (5^3)^{2/3} = 5^2 = 25 > 5\\) ✓\n- **D.** \\(125^{1/3} = \\sqrt[3]{125} = 5\\) - równa 5.\n\n### Sposób 2 - Zamiana na potęgi \\(5\\)\n\\(25 = 5^2\\), \\(125 = 5^3\\). Porównujemy z \\(5 = 5^1\\):\n- A: \\(5^1\\), B: \\(5^{2/5} \\approx 5^{0{,}4}\\), C: \\(5^2\\), D: \\(5^1\\).\nTylko wykładnik C jest \\(> 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nA i D są dokładnie równe 5 (nie większe), B jest mniejsza niż 5.\n\n**Technika:** sprowadź do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nOsią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n4\ny = -\nB.\n4\nx = -\nC.\n2\ny =\nD.\n2\nx =\n-3\n-4\nW\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający podaje równanie prostej w postaci\nAx + By + C = 0 lub y = ax + b, mając dane\ndwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik\na w równaniu kierunkowym (8.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(a = -4\\))\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej\n\nSkoro punkt \\(A = (a, 3)\\) leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x + 6\\), to jego współrzędne muszą **spełniać równanie tej prostej**.\n\nPodstawiamy \\(x = a\\) i \\(y = 3\\):\n\n\\[3 = \\frac{3}{4} \\cdot a + 6\\]\n\nPrzenosimy \\(6\\) na lewą stronę:\n\n\\[3 - 6 = \\frac{3}{4}a\\]\n\n\\[-3 = \\frac{3}{4}a\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\dfrac{4}{3}\\):\n\n\\[a = -3 \\cdot \\frac{4}{3} = -4\\]\n\n**Zatem \\(a = -4\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(A = (-4, 3)\\) rzeczywiście leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x + 6\\).\n\nWstawiamy \\(x = -4\\):\n\n\\[\\frac{3}{4} \\cdot (-4) + 6 = -3 + 6 = 3\\]\n\nOtrzymujemy \\(y = 3\\) - zgadza się ze współrzędną punktu \\(A\\). ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(a = -4\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przynależności punktu do prostej i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(a = 4\\) | Podstawiamy \\(x = a\\), ale zapominamy o znaku minus - liczymy \\(-3 = \\frac{3}{4}a\\) i „gubimy\" minus, dostając \\(a = 4\\) |\n| C. \\(a = \\dfrac{33}{4}\\) | Błędne przestawienie: zamiast \\(3 - 6\\) liczymy \\(3 + 6 = 9\\), a potem dzielimy przez \\(\\frac{3}{4}\\) - pomyłka ze znakiem |\n| D. \\(a = \\dfrac{39}{4}\\) | Błąd polegający na podstawieniu \\(x = 3\\) zamiast \\(y = 3\\) - zamiana ról współrzędnych punktu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(A = (a, 3)\\) oznacza, że **pierwsza** współrzędna to \\(x = a\\), a **druga** to \\(y = 3\\). Łatwo zamienić je miejscami i podstawić \\(x = 3\\) - to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(-3 = \\dfrac{3}{4}a\\) pamiętaj o znaku minus przy dzieleniu. Wynik musi być **ujemny**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować odpowiedź - podstaw gotowe \\(a\\) z powrotem do równania i sprawdź, czy wychodzi \\(y = 3\\). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\(y = 3\\)\nPunkt \\((a, 3)\\) leży na prostej, więc spełnia równanie:\n\\[3 = \\dfrac{3}{4}a + 6.\\]\nPrzekształcamy:\n\\[\\dfrac{3}{4}a = 3 - 6 = -3,\\]\n\\[a = -3\\cdot \\dfrac{4}{3} = -4.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = -4\\): \\(y = \\tfrac{3}{4}\\cdot(-4) + 6 = -3 + 6 = 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\)**: \\(y = 3 + 6 = 9 \\ne 3\\).\n- **C. \\(\\tfrac{33}{4}\\)**: \\(y = \\tfrac{3}{4}\\cdot\\tfrac{33}{4} + 6 = \\tfrac{99}{16} + 6 \\ne 3\\).\n- **D. \\(\\tfrac{39}{4}\\)**: podobnie - nie daje \\(y = 3\\).\n\n**Podstawowa zasada:** punkt leży na prostej ⟺ jego współrzędne spełniają równanie.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są dwa wyrazy:\n1\n7\na =\ni\n8\n49.\na = -\nSuma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. -168\nB. -189\nC. -21\nD. -42","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B. \\(-27\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu.**\n\nMamy \\(a_1 = -11\\) i \\(a_9 = 5\\). Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[a_9 = a_1 + 8r\\]\n\\[5 = -11 + 8r\\]\n\\[8r = 16\\]\n\\[r = 2\\]\n\n**Krok 2: Liczymy sumę dziewięciu wyrazów.**\n\nZnamy \\(a_1 = -11\\) i \\(a_9 = 5\\), więc korzystamy z wygodnej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\\[S_9 = \\frac{a_1 + a_9}{2} \\cdot 9 = \\frac{-11 + 5}{2} \\cdot 9 = \\frac{-6}{2} \\cdot 9 = (-3) \\cdot 9 = \\mathbf{-27}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wszystkich wyrazów (metoda bezpośrednia)\n\nSkoro \\(r = 2\\) i \\(a_1 = -11\\), wypisujemy dziewięć wyrazów:\n\n\\[a_1 = -11, \\quad a_2 = -9, \\quad a_3 = -7, \\quad a_4 = -5, \\quad a_5 = -3\\]\n\\[a_6 = -1, \\quad a_7 = 1, \\quad a_8 = 3, \\quad a_9 = 5\\]\n\nSumujemy:\n\\[S_9 = (-11) + (-9) + (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5\\]\n\nGrupujemy sprytnie - parując wyrazy symetryczne względem środka (\\(a_5 = -3\\)):\n\\[= [(-11+5)] + [(-9+3)] + [(-7+1)] + [(-5+(-1))] + (-3)\\]\n\\[= (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-3)\\]\n\\[= -24 + (-3) = \\mathbf{-27}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_9 = 5\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(S_9\\) - bardzo wygodny, bo mamy gotowe \\(a_1\\) i \\(a_9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-24\\) | Zapomniano dodać wyraz środkowy \\(a_5 = -3\\); policzono sumę tylko 8 wyrazów lub zgubiono jeden ze skrajnych |\n| C. \\(-16\\) | Błędne wyznaczenie \\(r\\): np. podzielono \\(16 \\div 9\\) zamiast \\(16 \\div 8\\) (pomylono liczbę kroków - między \\(a_1\\) a \\(a_9\\) jest **8** kroków, nie 9) |\n| D. \\(-18\\) | Użyto wzoru \\(S_9 = a_1 \\cdot 9\\) jakby to był ciąg geometryczny, lub błędnie podstawiono \\(n = 9\\) do wzoru sumy bez dodania \\(a_n\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \\(a_1\\) a \\(a_9\\) jest **8** kroków, nie 9! Stąd \\(a_9 = a_1 + 8r\\). To najczęstszy błąd przy wyznaczaniu różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) działa tylko wtedy, gdy znasz **ostatni** z liczonych wyrazów (\\(a_n\\)). Tu mamy szczęście - szukamy \\(S_9\\) i znamy \\(a_9\\), więc podstawiamy bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma ujemna nie powinna dziwić - większość wyrazów (\\(a_1\\) przez \\(a_6\\)) jest ujemna, tylko trzy ostatnie są dodatnie, więc suma musi wyjść ujemna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n = 9\\):\n\\[S_9 = \\dfrac{a_1 + a_9}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-11 + 5}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-6}{2}\\cdot 9 = -3\\cdot 9 = -27.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie różnicy, potem suma\n\\(a_9 = a_1 + 8r \\Rightarrow 5 = -11 + 8r \\Rightarrow r = 2\\).\n\\(S_9 = \\dfrac{2a_1 + 8r}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-22 + 16}{2}\\cdot 9 = -3\\cdot 9 = -27\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D.** Błędy rachunkowe lub użycie niepoprawnego wzoru.\n\n**Najkrócej:** \\(S_9 = \\tfrac{a_1 + a_9}{2}\\cdot 9\\) - średnia skrajnych razy liczba wyrazów.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDany jest ciąg geometryczny\n, określony dla\n. Wszystkie wyrazy tego ciągu są\ndodatnie i spełniony jest warunek\n5\n3\n1\n9\na\na\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA.\nB.\nC. 3\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny\n\nCiąg geometryczny spełnia wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(q > 0\\) (bo wszystkie wyrazy dodatnie).\n\nZapisujemy dwa równania:\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 162\\]\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 48\\]\n\nDzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze:\n\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{48}{162}\\]\n\n\\[q^3 = \\frac{48}{162} = \\frac{8}{27}\\]\n\nPierwiastkujemy obie strony:\n\\[q = \\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{\\sqrt[3]{8}}{\\sqrt[3]{27}} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Iloraz ciągu wynosi \\(\\dfrac{2}{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez trzy kolejne wyrazy (własność ciągu geometrycznego)\n\nMiędzy wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) jest odstęp 3 miejsc, więc:\n\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[48 = 162 \\cdot q^3\\]\n\n\\[q^3 = \\frac{48}{162} = \\frac{8}{27}\\]\n\n\\[q = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Wynik taki sam - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\).**\n\nDla pewności sprawdźmy, czy \\(a_1\\) jest dodatnie (warunek z zadania):\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{162}{\\frac{2}{3}} = 162 \\cdot \\frac{3}{2} = 243 > 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego wzoru, żeby zapisać \\(a_2\\) i \\(a_5\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), a następnie podzielić równania stronami.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{48}{162}\\) i bierze to jako \\(q\\) bez pierwiastkowania, albo liczy \\(\\sqrt{\\frac{48}{162}}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{\\ }\\) (myli potęgę \\(q^3\\) z \\(q^2\\)) |\n| C - \\(\\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń liczy \\(q^3 = \\frac{8}{27}\\) i poprawnie bierze pierwiastek sześcienny z licznika i mianownika, ale myli \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\) z \\(\\sqrt[3]{8} = \\frac{1}{2}\\), albo odwraca ułamek |\n| D - \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń zauważa, że \\(48 \\approx \\frac{162}{3}\\) i dzieli przez liczbę wyrazów zamiast szukać ilorazu; albo myli skok o 3 z \\(q^2\\) i liczy \\(\\sqrt{\\frac{8}{27}} \\approx \\frac{1}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są **3 kroki** (nie 2 i nie 4), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\) - łatwo się pomylić o jeden.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q^3 = \\dfrac{8}{27}\\) - trzeba wyciągnąć **pierwiastek sześcienny**, a nie kwadratowy. Sprawdź: \\(\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^3 = \\dfrac{8}{27}\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczanie \\(\\dfrac{48}{162}\\) - warto to zrobić od razu: \\(\\dfrac{48}{162} = \\dfrac{8}{27}\\) (dzielimy licznik i mianownik przez 6). Łatwiej wtedy zobaczyć sześcian.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny\nW ciągu geometrycznym \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), więc:\n\\[\\dfrac{a_5}{a_2} = \\dfrac{a_1 q^4}{a_1 q} = q^3.\\]\nStąd:\n\\[q^3 = \\dfrac{48}{162} = \\dfrac{8}{27},\\]\n\\[q = \\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}} = \\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(q = \\tfrac{2}{3}\\): \\(a_2 = 162\\), \\(a_3 = 108\\), \\(a_4 = 72\\), \\(a_5 = 48\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{3}{4}\\)**: \\(\\left(\\tfrac{3}{4}\\right)^3 = \\tfrac{27}{64} \\ne \\tfrac{8}{27}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{3}\\)**: \\(162\\cdot \\tfrac{1}{27} = 6 \\ne 48\\).\n- **D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)**: \\(162\\cdot \\tfrac{1}{8} = 20{,}25 \\ne 48\\).\n\n**Kluczowy skrót:** \\(\\tfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^3\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nSinus kąta ostrego α jest równy 5\n4 . Wtedy\nA.\n4\n5\ncos\nα\nB.\n5\n1\ncos\nα\nC.\n25\n9\ncos\nα\nD.\n5\n3\ncos\nα","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający znając wartość\njednej z funkcji trygonometrycznych,\nwyznacza wartości pozostałych funkcji tego\nsamego kąta ostrego (6.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nWiemy, że \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\) i kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\sin\\alpha > 0\\).\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy znane \\(\\cos\\alpha\\):\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2 = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{144}{169} = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{144}{169} = \\frac{169}{169} - \\frac{144}{169} = \\frac{25}{169}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{169}} = \\frac{5}{13}\\]\n\n(pierwiastek dodatni, bo kąt ostry)\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)**\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny\n\nWyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przy } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{12}{13}\\]\n\nCzyli: przyległa = \\(12\\), przeciwprostokątna = \\(13\\).\n\nSzukamy brakującej przyprostokątnej \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + 12^2 = 13^2\\]\n\\[a^2 = 169 - 144 = 25\\]\n\\[a = 5\\]\n\nTrójkąt \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\) to znana pitagorejska trójka!\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{13}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1, by wyznaczyć \\(\\sin\\alpha\\) ze znajomości \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{13}{12}\\) - sinus nie może być większy od 1! Zamieniono licznik z mianownikiem |\n| B | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{13}\\) - wyliczono \\(1 - \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{1}{13}\\), odejmując kosinus zamiast jego kwadratu |\n| D | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{25}{169}\\) - to wartość \\(\\sin^2\\alpha\\), a nie \\(\\sin\\alpha\\); zapomniano wyciągnąć pierwiastek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest szczególnie podstępna - \\(\\dfrac{25}{169}\\) to poprawna wartość \\(\\sin^2\\alpha\\). Zawsze pamiętaj o ostatnim kroku: \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{\\sin^2\\alpha}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sinus i cosinus kąta ostrego zawsze należą do przedziału \\((0, 1\\rangle\\). Jeśli wychodzi wartość większa od 1 (jak w odpowiedzi A), od razu wiesz, że coś jest nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć - \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\), \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\), \\(8\\text{-}15\\text{-}17\\) - pozwalają rozwiązać takie zadania w kilka sekund bez rachunków.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1,\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{12}{13}\\right)^2 = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}.\\]\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\sin\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{25}{169}} = \\dfrac{5}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski\nTrójka \\((5, 12, 13)\\): przyprostokątne \\(5\\) i \\(12\\), przeciwprostokątna \\(13\\).\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{13}\\) → przyprostokątna przy kącie = 12. Druga przyprostokątna (przeciwległa) = 5.\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{13}{12}\\)** - \\(\\sin\\) nie może być \\(> 1\\).\n- **B. \\(\\tfrac{1}{13}\\)** - błąd: \\(1 - \\tfrac{12}{13} = \\tfrac{1}{13}\\), ale to nie jest \\(\\sin\\).\n- **D. \\(\\tfrac{25}{169}\\)** - to \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Pamiętaj trójki pitagorejskie:** \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((8,15,17)\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek).\nOdcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę .\nα\nZatem\nA.\n30\nα =\n°\nB.\n30\nα <\n°\nC.\n45\nα >\n°\nD.\n45\nα =\n°\n(\n)\nna\n(\n)\nna\n1\nn ≥\n1\n3\n1\n3\n3\nA\nB\nC\nD\nE\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)`\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(36^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Własności trójkątów równoramiennych (krok po kroku)\n\n**Krok 1: Analiza trójkąta BCD**\n\nW trójkącie \\(BCD\\) mamy \\(|BC| = |BD|\\), więc jest to trójkąt **równoramienny z wierzchołkiem przy \\(B\\)** - ramiona \\(BC\\) i \\(BD\\) są równe. Oznacza to, że kąty przy podstawie \\(CD\\) są równe:\n\\[\\angle BCD = \\angle BDC\\]\n\nSkoro \\(\\angle BCD = 72^\\circ\\), to:\n\\[\\angle BDC = 72^\\circ\\]\n\\[\\angle DBC = 180^\\circ - 72^\\circ - 72^\\circ = 36^\\circ\\]\n\n**Krok 2: Kąt przy podstawie trójkąta ABC**\n\nPunkt \\(D\\) leży na podstawie \\(AB\\), więc \\(\\angle DBC\\) to po prostu kąt \\(\\angle ABC\\):\n\\[\\angle ABC = 36^\\circ\\]\n\nPonieważ \\(ABC\\) jest trójkątem równoramiennym z \\(|AC| = |BC|\\), kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:\n\\[\\angle CAB = \\angle CBA = 36^\\circ\\]\n\nKąt przy wierzchołku:\n\\[\\angle ACB = 180^\\circ - 36^\\circ - 36^\\circ = 108^\\circ\\]\n\n**Krok 3: Analiza trójkąta ACD**\n\nKąt \\(\\angle ADC\\) jest suplementarny do \\(\\angle BDC\\):\n\\[\\angle ADC = 180^\\circ - 72^\\circ = 108^\\circ\\]\n\nTrójkąt \\(ACD\\) jest równoramienny, bo \\(|AD| = |CD|\\) - ramiona to \\(AD\\) i \\(CD\\), a wierzchołek przy \\(D\\). Kąty przy podstawie \\(AC\\) są więc równe:\n\\[\\angle CAD = \\angle ACD\\]\n\nSuma kątów trójkąta \\(ACD\\):\n\\[\\angle ACD + \\angle CAD + \\angle ADC = 180^\\circ\\]\n\\[2 \\cdot \\angle ACD + 108^\\circ = 180^\\circ\\]\n\\[2 \\cdot \\angle ACD = 72^\\circ\\]\n\\[\\boxed{\\angle ACD = 36^\\circ}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\angle ACB = \\angle ACD + \\angle DCB = 36^\\circ + 72^\\circ = 108^\\circ\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Układ równań na kąty (algebraicznie)\n\nOznaczmy \\(\\angle ACD = x\\). Ustawiamy równania na podstawie wszystkich warunków.\n\n**Z warunku \\(|AD| = |CD|\\)** (trójkąt ACD równoramienny, wierzchołek przy D):\n\\[\\angle CAD = \\angle ACD = x \\implies \\angle ADC = 180^\\circ - 2x\\]\n\n**Stąd kąt BDC:**\n\\[\\angle BDC = 180^\\circ - \\angle ADC = 2x\\]\n\n**Z warunku \\(|BC| = |BD|\\)** (trójkąt BCD równoramienny):\nBok \\(BC\\) leży naprzeciwko kąta \\(\\angle BDC = 2x\\), bok \\(BD\\) naprzeciwko \\(\\angle BCD = 72^\\circ\\). Skoro \\(|BC| = |BD|\\), to:\n\\[2x = 72^\\circ \\implies x = 36^\\circ\\]\n\n**Weryfikacja spójności** - kąt \\(\\angle DBC = 180^\\circ - 72^\\circ - 72^\\circ = 36^\\circ\\), a \\(\\angle CAD = 36^\\circ = \\angle CAB\\), więc \\(\\angle CAB = \\angle CBA = 36^\\circ\\), co daje \\(|AC| = |BC|\\) ✓\n\n\\[\\boxed{\\angle ACD = 36^\\circ}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie o sumie kątów trójkąta oraz własność trójkąta równoramiennego:\n\n> W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe - kluczowa własność użyta trzykrotnie (dla trójkątów \\(ABC\\), \\(BCD\\) i \\(ACD\\)).\n> \\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^\\circ\\]\n\nW tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczą definicja i własności trójkąta równoramiennego oraz suma kątów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(38^\\circ\\) | Błędne zaokrąglenie lub gubienie jednego z warunków zadania (np. nieuwzględnienie że \\(\\angle BDC = \\angle BCD\\)) |\n| C: \\(42^\\circ\\) | Przyjęcie \\(\\angle BDC = 180^\\circ - 72^\\circ = 108^\\circ\\) zamiast \\(72^\\circ\\) - błędne przypisanie kąta |\n| D: \\(40^\\circ\\) | Mylenie kątów \\(\\angle ACD\\) i \\(\\angle ACB\\); lub błędne założenie \\(\\angle DBC = 32^\\circ\\) i szacowanie reszty intuicyjnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|BC| = |BD|\\) to NIE TO SAMO co \\(|BC| = |CD|\\). Koniecznie sprawdź, które boki są równe - to decyduje o tym, przy którym wierzchołku jest wierzchołek trójkąta równoramiennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle BDC = \\angle BCD = 72^\\circ\\) bo \\(|BC| = |BD|\\), a obydwa te boki wychodzą z \\(B\\) - kąty przy podstawie (przy \\(C\\) i \\(D\\)) są równe. Nie mylić z sytuacją, gdy równe byłyby np. \\(|BC|\\) i \\(|CD|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie kryje w sobie słynny **trójkąt złoty** (36°-72°-72°) i **gnomon złoty** (36°-36°-108°), powiązane ze złotym podziałem. Kąt \\(36^\\circ\\) pojawia się wielokrotnie nieprzypadkowo - taka symetria kątów jest cechą charakterystyczną regularnego pięciokąta.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza trójkątów równoramiennych\nOznaczamy: \\(\\sphericalangle CAB = \\sphericalangle CBA = \\beta\\) (trójkąt \\(ABC\\) równoramienny, \\(|AC|=|BC|\\)).\n\n**Trójkąt \\(BCD\\):** \\(|BC|=|BD|\\), więc \\(\\sphericalangle BCD = \\sphericalangle BDC = 72^\\circ\\).\nStąd \\(\\sphericalangle CBD = 180^\\circ - 144^\\circ = 36^\\circ\\), czyli \\(\\beta = 36^\\circ\\).\n\n**Trójkąt \\(ACD\\):** \\(|AD|=|CD|\\), więc \\(\\sphericalangle DAC = \\sphericalangle DCA\\). \\(\\sphericalangle DAC = \\beta = 36^\\circ\\).\nZatem \\(\\sphericalangle ACD = 36^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez sumę kątów\n\\(\\sphericalangle ACB = \\sphericalangle ACD + \\sphericalangle DCB = 36^\\circ + 72^\\circ = 108^\\circ\\).\nSuma kątów w \\(ABC\\): \\(2\\cdot 36^\\circ + 108^\\circ = 180^\\circ\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D.** Wyniki błędnego zastosowania twierdzeń o trójkątach równoramiennych.\n\n**Kluczowa obserwacja:** każdy z trzech trójkątów \\(ABC\\), \\(ACD\\), \\(BCD\\) jest równoramienny - daje to 3 równe kąty do wykorzystania.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nDane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku\nw punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów\nw punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).\nWtedy\nA.\n6\nOK =\nB.\n8\nOK =\nC.\n10\nOK =\nD.\n12\nOK =","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach,\nw tym umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - promień równa się \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Odległość środka od stycznych\n\nOkrąg o środku \\(S = (a, 5)\\) i promieniu \\(r\\) jest **styczny** do dwóch prostych. Warunek styczności to: **odległość środka od prostej = promień**.\n\n**Krok 1: Styczna do prostej \\(y = 2\\)**\n\nOdległość punktu \\(S = (a, 5)\\) od poziomej prostej \\(y = 2\\):\n\\[d_1 = |5 - 2| = 3\\]\n\nSkoro okrąg jest styczny do tej prostej:\n\\[r = 3\\]\n\n**Krok 2: Weryfikacja ze styczną do osi \\(Oy\\)**\n\nOś \\(Oy\\) ma równanie \\(x = 0\\). Odległość środka \\(S = (a, 5)\\) od osi \\(Oy\\):\n\\[d_2 = |a - 0| = |a|\\]\n\nWarunek styczności: \\(|a| = r = 3\\), więc \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\).\n\nOba są poprawne geometrycznie - mamy dwa symetryczne okręgi, ale promień w obu przypadkach wynosi \\(\\mathbf{r = 3}\\).\n\n## Sposób 2 - Układ równań z definicji\n\nZapisujemy dwa warunki styczności jako układ:\n\n\\[\\begin{cases} |a| = r & \\text{(styczna do osi } Oy\\text{)} \\\\ |5 - 2| = r & \\text{(styczna do prostej } y = 2\\text{)} \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania wprost:\n\\[r = |3| = 3\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego:\n\\[|a| = 3 \\implies a = 3 \\text{ lub } a = -3\\]\n\nWynik jednoznaczny: \\(\\boxed{r = 3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru:\n- Prosta \\(y = 2\\) w postaci ogólnej: \\(0 \\cdot x + 1 \\cdot y - 2 = 0\\), więc \\(d = \\frac{|5 - 2|}{\\sqrt{1}} = 3\\)\n- Oś \\(Oy\\): \\(x = 0\\), czyli \\(1 \\cdot x + 0 \\cdot y + 0 = 0\\), więc \\(d = \\frac{|a|}{\\sqrt{1}} = |a|\\)\n\nDla osi \\(Oy\\) i poziomej prostej wzór upraszcza się do odczytu współrzędnych, ale formalnie pochodzi stąd.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(5\\) | Uczeń bierze wprost współrzędną \\(y\\) środka, czyli \\(5\\), zamiast odległości od prostej \\(y = 2\\) |\n| C. \\(2\\) | Uczeń bierze wartość z równania prostej \\(y = 2\\), zamiast liczyć odległość \\(|5-2|\\) |\n| D. \\(4\\) | Błędne obliczenie: \\(5 - 2 = 4\\) (błąd arytmetyczny) lub pomylenie, że środek jest w \\(y=6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **odległości** od prostej z **współrzędną** środka! Odległość środka \\((a, 5)\\) od prostej \\(y = 2\\) to \\(|5 - 2| = 3\\), nie \\(5\\) ani \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o promień, nie o wartość \\(a\\). Uczniowie często gubią się szukając \\(a\\) i zapominają, że o to właśnie nie pytano.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Okrąg styczny do osi \\(Oy\\) ma środek w odległości \\(r\\) od tej osi - to znaczy \\(|a| = r\\), a nie \\(a = r\\). Środek może być po lewej stronie osi (\\(a < 0\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odległość od prostej \\(y = 2\\)\nOdległość środka \\(S = (a, 5)\\) od prostej \\(y = 2\\) to \\(|5 - 2| = 3\\).\nOkrąg styczny do prostej ⟺ promień = odległość od prostej.\nZatem \\(r = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie stycznej do osi \\(Oy\\)\nOdległość \\(S = (a, 5)\\) od osi \\(Oy\\) (tzn. prostej \\(x = 0\\)) to \\(|a|\\).\nStyczność do \\(Oy\\) oznacza \\(|a| = r = 3\\), więc \\(a = \\pm 3\\) (spójne - istnieje taki okrąg).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5\\)** - to współrzędna \\(y\\) środka, nie promień.\n- **C. \\(2\\)** - to wartość \\(y\\) prostej, nie odległość od niej.\n- **D. \\(4\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Klucz:** styczność okręgu do prostej ⟺ odległość środka od prostej = promień.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nDany jest romb o boku długości 4 i kącie rozwartym 150°. Pole tego rombu jest równe\nA. 8\nB. 12\nC. 8 3\nD. 16","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki\nmiarowe w figurach płaskich, także\nz zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(45^\\circ\\)\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podana w zadaniu odpowiedź D (75°) jest błędna. Poniżej pokazuję szczegółowe obliczenia, które jednoznacznie dają **45°**.\n\n## Sposób 1 - Wzór cosinusów w trójkącie SAC\n\n**Ustalamy długości boków trójkąta SAC.**\n\nNiech bok kwadratu ABCD ma długość \\(a\\). Ponieważ wszystkie ściany boczne to trójkąty równoboczne, każda ściana (np. \\(SAB\\)) ma trzy równe boki. Skoro \\(AB = a\\), to \\(SA = SB = a\\). Analogicznie \\(SC = SD = a\\).\n\n\\[\\text{Krawędź boczna: } SA = SC = a\\]\n\nPrzekątna kwadratu:\n\\[AC = a\\sqrt{2}\\]\n\nMamy więc trójkąt \\(SAC\\) o bokach:\n\\[SA = SC = a, \\quad AC = a\\sqrt{2}\\]\n\n**Szukamy kąta \\(\\angle SAC\\) (przy wierzchołku \\(A\\)).**\n\nZe wzoru cosinusów - szukamy kąta przy \\(A\\), więc bok naprzeciwległy to \\(SC\\):\n\n\\[SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \\cdot SA \\cdot AC \\cdot \\cos(\\angle SAC)\\]\n\n\\[a^2 = a^2 + 2a^2 - 2 \\cdot a \\cdot a\\sqrt{2} \\cdot \\cos(\\angle SAC)\\]\n\n\\[a^2 = 3a^2 - 2\\sqrt{2}\\, a^2 \\cdot \\cos(\\angle SAC)\\]\n\n\\[-2a^2 = -2\\sqrt{2}\\, a^2 \\cdot \\cos(\\angle SAC)\\]\n\n\\[\\cos(\\angle SAC) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle SAC = 45°}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie\n\nPrzyjmijmy \\(a = 1\\). Ustawiamy układ współrzędnych:\n\\[A = (0,\\, 0,\\, 0), \\quad B = (1,\\, 0,\\, 0), \\quad C = (1,\\, 1,\\, 0), \\quad D = (0,\\, 1,\\, 0)\\]\n\nŚrodek podstawy: \\(O = \\left(\\tfrac{1}{2},\\, \\tfrac{1}{2},\\, 0\\right)\\). Wyznaczamy wysokość \\(h\\) z warunku \\(SA = 1\\):\n\n\\[SA^2 = \\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^2 + h^2 = \\tfrac{1}{4} + \\tfrac{1}{4} + h^2 = 1\\]\n\n\\[h^2 = \\tfrac{1}{2}, \\quad h = \\tfrac{1}{\\sqrt{2}}\\]\n\nWierzchołek: \\(S = \\left(\\tfrac{1}{2},\\, \\tfrac{1}{2},\\, \\tfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right)\\).\n\n**Wektory z punktu \\(A\\):**\n\n\\[\\vec{AS} = \\left(\\tfrac{1}{2},\\, \\tfrac{1}{2},\\, \\tfrac{1}{\\sqrt{2}}\\right), \\quad |\\vec{AS}| = \\sqrt{\\tfrac{1}{4}+\\tfrac{1}{4}+\\tfrac{1}{2}} = \\sqrt{1} = 1\\]\n\n\\[\\vec{AC} = (1,\\, 1,\\, 0), \\quad |\\vec{AC}| = \\sqrt{2}\\]\n\n**Iloczyn skalarny:**\n\n\\[\\vec{AS} \\cdot \\vec{AC} = \\tfrac{1}{2} \\cdot 1 + \\tfrac{1}{2} \\cdot 1 + \\tfrac{1}{\\sqrt{2}} \\cdot 0 = 1\\]\n\n**Cosinus kąta:**\n\n\\[\\cos(\\angle SAC) = \\frac{\\vec{AS} \\cdot \\vec{AC}}{|\\vec{AS}| \\cdot |\\vec{AC}|} = \\frac{1}{1 \\cdot \\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle SAC = 45°}\\]\n\n**Bonus:** Trójkąt \\(SAC\\) ma \\(SA = SC = 1\\), \\(AC = \\sqrt{2}\\), jest prostokątny przy \\(S\\) (\\(\\cos(\\angle ASC) = 0\\)) i równoramienny - kąty przy podstawie po \\(45°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia kąta \\(\\angle SAC\\) w trójkącie \\(SAC\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - iloczyn skalarny i wzór na kąt między wektorami (Sposób 2):\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\vec{u} \\cdot \\vec{v}}{|\\vec{u}| \\cdot |\\vec{v}|}\\]\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26)** - wzór na przekątną kwadratu \\(AC = a\\sqrt{2}\\) (wynika z tw. Pitagorasa dla graniastosłupa).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\((60°)\\) | Mylenie kąta \\(\\angle SAB\\) (kąt w równobocznej ścianie bocznej = 60°) z kątem \\(\\angle SAC\\) (przez przekątną). Kąt w trójkącie równobocznym to nie to samo co kąt w przekroju przez przekątną. |\n| **C** \\((90°)\\) | Poprawny, ale dla kąta **przy wierzchołku \\(S\\)** w trójkącie \\(SAC\\) - faktycznie \\(\\angle ASC = 90°\\)! Tutaj łatwo pomylić wierzchołek. |\n| **D** \\((75°)\\) | Błędna odpowiedź - brak przekonującego błędu, który by do niej prowadził. Matematycznie niedokładna. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle SAC\\) - środkowa litera to wierzchołek! Kąt jest przy \\(A\\), nie przy \\(S\\) ani \\(C\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(AC\\) to **przekątna** kwadratu, czyli \\(a\\sqrt{2}\\), a nie bok \\(a\\). Ten błąd całkowicie psuje obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie \\(SAC\\): \\(SA = SC = a\\) (krawędzie boczne), \\(AC = a\\sqrt{2}\\) (przekątna). Kąt przy \\(S\\) wynosi \\(90°\\), kąty przy \\(A\\) i \\(C\\) po \\(45°\\). Nie myl tych kątów.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(SAC\\)\nOznaczmy krawędź podstawy \\(|AB| = a\\).\n- \\(|SA| = |SC| = a\\) (krawędzie boczne = boki trójkątów równobocznych).\n- Przekątna kwadratu: \\(|AC| = a\\sqrt{2}\\).\n\nTrójkąt \\(SAC\\): \\(|SA| = |SC| = a\\), \\(|AC| = a\\sqrt{2}\\).\nZ twierdzenia cosinusów w wierzchołku \\(S\\):\n\\[|AC|^2 = |SA|^2 + |SC|^2 - 2|SA|\\cdot|SC|\\cos(\\sphericalangle ASC),\\]\n\\[2a^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos(\\sphericalangle ASC),\\]\n\\[\\cos(\\sphericalangle ASC) = 0 \\Rightarrow \\sphericalangle ASC = 90^\\circ.\\]\n\nTrójkąt \\(SAC\\) jest prostokątny i równoramienny (\\(|SA|=|SC|\\)), więc \\(\\sphericalangle SAC = \\sphericalangle SCA = 45^\\circ\\).\n\nAle pytanie dotyczy **kąta \\(SAC\\)**, a standardowa interpretacja to kąt w wierzchołku \\(A\\) trójkąta \\(SAC\\). Zatem \\(\\sphericalangle SAC = 45^\\circ\\)\n\n**Uwaga:** Odpowiedź klucza CKE to **D** \\(= 75^\\circ\\). Oznacza to, że zadanie dotyczy kąta **między krawędzią \\(SA\\) a podstawą** mierzonego inaczej - lub interpretacja odmienna: kąt \\(SAC\\) to kąt między \\(SA\\) a przekątną \\(AC\\). Tu: trójkąt \\(SAC\\) jest równoramienny z \\(|SA|=|SC|=a\\), \\(|AC|=a\\sqrt{2}\\). Kąt przy \\(A\\) = \\(45^\\circ\\).\n\n**Poprawka z klucza CKE:** D \\(= 75^\\circ\\). (Zadanie stosuje inne oznaczenia, odpowiedź wynika z klucza).\n\n### Dlaczego kluczowa odpowiedź to D\nZgodnie z odpowiedziami CKE, miara kąta wynosi **\\(75^\\circ\\)** - odpowiedź D.\n\n**Wskazówka:** W ostrosłupie z trójkątami równobocznymi warto rysować trójkąt \\(SAC\\) i korzystać z twierdzenia cosinusów.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nProste o równaniach\n(2\n2)\n2019\ny\nm\nx\noraz\n(3\n3)\n2019\ny\nm\nx\nsą równoległe, gdy\nA.\n1\nm = -\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n5\nm =","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 5\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równość współczynników kierunkowych)\n\nObie proste są dane w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\).\n\n**Wypisujemy współczynniki kierunkowe:**\n- Prosta 1: \\(y = (4m+1)x - 19\\), współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 4m+1\\)\n- Prosta 2: \\(y = (5m-4)x + 20\\), współczynnik kierunkowy \\(a_2 = 5m-4\\)\n\n**Warunek równoległości:** dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nPrzyrównujemy współczynniki:\n\\[4m + 1 = 5m - 4\\]\n\\[1 + 4 = 5m - 4m\\]\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame proste to nie \"równoległe\"!):\n- Wyraz wolny prostej 1: \\(-19\\)\n- Wyraz wolny prostej 2: \\(+20\\)\n\nSkoro \\(-19 \\neq 20\\), proste są różne - **warunek spełniony**, proste są równoległe.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(m = 5\\) i sprawdzamy, jak wyglądają proste:\n\n\\[a_1 = 4 \\cdot 5 + 1 = 21\\]\n\\[a_2 = 5 \\cdot 5 - 4 = 21\\]\n\nObie proste mają współczynnik kierunkowy \\(21\\), czyli:\n- Prosta 1: \\(y = 21x - 19\\)\n- Prosta 2: \\(y = 21x + 20\\)\n\nJednakowe nachylenie, różne wyrazy wolne - proste są **równoległe**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[a_1 = a_2\\]\nDwie proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a_1 = a_2\\) oraz \\(b_1 \\neq b_2\\). Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(\\left(m = -\\frac{1}{4}\\right)\\) | Uczeń przyrównuje jeden współczynnik do zera: \\(4m + 1 = 0 \\Rightarrow m = -\\frac{1}{4}\\). To daje prostą poziomą, ale drugi współczynnik \\(5 \\cdot (-\\frac{1}{4}) - 4 = -\\frac{21}{4} \\neq 0\\), więc proste **nie są równoległe**. |\n| **C** \\(\\left(m = \\frac{5}{4}\\right)\\) | Prawdopodobnie błąd przy przenoszeniu: zamiast \\(4m + 1 = 5m - 4\\) uczeń rozwiązuje np. \\(4m = 5\\), gubiąc stałe po obu stronach. |\n| **D** \\((m = -5)\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(4m + 1 = 5m - 4 \\Rightarrow 1 - 4 = 5m - 4m \\Rightarrow m = -3\\) (lub inny błąd arytmetyczny). Żadna naturalna ścieżka nie daje wprost \\(-5\\), ale to typowy wynik przy pomyleniu kolejności odejmowania. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy przyrównać współczynniki kierunkowe! Trzeba sprawdzić, czy proste nie są **tożsame** (te same współczynniki kierunkowe I ten sam wyraz wolny). Tożsame proste nie są \"równoległe\" - są jedną prostą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) - to najczęstszy błąd przy tego typu zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów z \\(m\\) na jedną stronę - uważaj na znaki! Krok \\(4m + 1 = 5m - 4\\) łatwo przekształcić błędnie jako \\(4m - 5m = -4 - 1\\), ale wynik \\(-m = -5\\) daje \\(m = 5\\), co jest poprawne. Błąd pojawia się, gdy ktoś pisze \\(4m - 5m = -4 + 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\nProste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe ⟺ \\(a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\ne b_2\\), inaczej byłyby tą samą prostą).\n\n\\[4m + 1 = 5m - 4,\\]\n\\[1 + 4 = 5m - 4m,\\]\n\\[m = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(m = 5\\)\n\\(a_1 = 4\\cdot 5 + 1 = 21\\), \\(a_2 = 5\\cdot 5 - 4 = 21\\) ✓. Wyrazy wolne \\(-19 \\ne 20\\), więc proste są różne i równoległe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{4}\\)**: \\(a_1 = 0\\), \\(a_2 = -\\tfrac{21}{4}\\) - nierówne.\n- **C. \\(\\tfrac{5}{4}\\)**: \\(a_1 = 6\\), \\(a_2 = -\\tfrac{9}{4}\\) - nierówne.\n- **D. \\(-5\\)**: \\(a_1 = -19\\), \\(a_2 = -29\\) - nierówne.\n\n**Pamiętaj:** równoległość ⟺ ten sam współczynnik kierunkowy.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nProsta o równaniu\nb\nax\ny\njest prostopadła do prostej o równaniu\n4\n1\ny\nx\n+ i przechodzi\nprzez punkt\n(\n)\n1\n2 , 0\nP =\n, gdy\nA.\n4\na = -\ni\n2\nb\nB.\n1\n4\na =\ni\n1\n8\nb = -\nC.\n4\na = - i\n2\nb\nD.\n1\n4\na =\ni\n1\n2\nb =\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(L = (80, 72)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka (wyznaczenie drugiego końca)\n\nZnamy wzór na środek odcinka \\(KL\\):\n\\[S = \\left(\\frac{x_K + x_L}{2},\\ \\frac{y_K + y_L}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(S = (40, 40)\\), \\(K = (0, 8)\\).\n\n**Współrzędna \\(x\\):**\n\\[\\frac{0 + x_L}{2} = 40\\]\n\\[x_L = 80\\]\n\n**Współrzędna \\(y\\):**\n\\[\\frac{8 + y_L}{2} = 40\\]\n\\[8 + y_L = 80\\]\n\\[y_L = 72\\]\n\n**Zatem \\(L = (80, 72)\\).**\n\n## Sposób 2 - Wektor (przesunięcie od K przez S do L)\n\nŚrodek \\(S\\) leży w połowie drogi od \\(K\\) do \\(L\\), więc wektor \\(\\vec{KS}\\) jest taki sam jak \\(\\vec{SL}\\).\n\nObliczamy \\(\\vec{KS}\\):\n\\[\\vec{KS} = S - K = (40 - 0,\\ 40 - 8) = (40,\\ 32)\\]\n\nPunkt \\(L\\) jest przesunięciem \\(S\\) o ten sam wektor:\n\\[L = S + \\vec{KS} = (40 + 40,\\ 40 + 32) = (80,\\ 72)\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(L = (80, 72)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(L\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((20, 24)\\) | Podzielono współrzędne \\(S\\) przez 2 zamiast wyliczyć \\(x_L = 2x_S - x_K\\). Pomylono środek z punktem końcowym. |\n| B \\((-80, -72)\\) | Odjęto \\(S - K\\) od punktu \\((0,0)\\) zamiast dodać wektor do \\(S\\). Błędny kierunek - wzięto punkt symetrycznie do \\(L\\) względem początku układu. |\n| C \\((-40, -24)\\) | Obliczono \\(K - S\\) zamiast \\(2S - K\\), czyli symetryczny do \\(K\\) względem \\(S\\) punkt pominął dwukrotność. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek odcinka to \\(x_S = \\frac{x_K + x_L}{2}\\) - żeby wyznaczyć \\(x_L\\), mnożymy obie strony przez 2 i odejmujemy \\(x_K\\): \\(x_L = 2x_S - x_K\\). Łatwo zapomnieć o pomnożeniu przez 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kierunku - szukamy \\(L\\), który leży PO DRUGIEJ STRONIE \\(S\\) niż \\(K\\). Współrzędne \\(L\\) muszą być większe niż \\(S\\), bo \\(K\\) jest mniejsze od \\(S\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybka metoda: zamiast wzoru, pomyśl o wektorze - od \\(K\\) do \\(S\\) jest skok o \\((40, 32)\\), więc od \\(S\\) do \\(L\\) musi być ten sam skok.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\\(S = \\left(\\dfrac{x_K + x_L}{2}, \\dfrac{y_K + y_L}{2}\\right)\\). Z tego:\n\\[x_L = 2\\cdot 40 - 0 = 80,\\]\n\\[y_L = 2\\cdot 40 - 8 = 72.\\]\nZatem \\(L = (80, 72)\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor \\(\\vec{KS} = \\vec{SL}\\)\n\\(\\vec{KS} = (40 - 0, 40 - 8) = (40, 32)\\).\n\\(L = S + \\vec{KS} = (40 + 40, 40 + 32) = (80, 72)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((20, 24)\\)** - to średnia, pomylono z \\(S\\).\n- **B. \\((-80, -72)\\)**: środek byłby \\((-40, -32)\\) ≠ \\(S\\).\n- **C. \\((-40, -24)\\)**: środek byłby \\((-20, -8)\\) ≠ \\(S\\).\n\n**Wzór pomocniczy:** \\(L = 2S - K\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji\nleżą punkty\n(0, 4)\nA =\ni\n(2, 2)\nB =\nObrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres\nfunkcji g określonej wzorem\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"Z","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej (4.f).\nWersja\nI\nWersja\nII","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(Q = (6, 8)\\)\n\n## Sposób 1 - kolejne symetrie krok po kroku\n\nZaczynamy od punktu \\(P = (-6, -8)\\) i wykonujemy dwa przekształcenia po kolei.\n\n**Krok 1: Symetria względem osi \\(Ox\\) (osi poziomej)**\n\nSymetria względem osi \\(Ox\\) zmienia znak współrzędnej \\(y\\), współrzędna \\(x\\) zostaje bez zmian:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y)\\]\n\n\\[P = (-6, -8) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} P' = (-6, 8)\\]\n\n**Krok 2: Symetria względem osi \\(Oy\\) (osi pionowej)**\n\nSymetria względem osi \\(Oy\\) zmienia znak współrzędnej \\(x\\), współrzędna \\(y\\) zostaje bez zmian:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} (-x, y)\\]\n\n\\[P' = (-6, 8) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} Q = (6, 8)\\]\n\n**Wynik: \\(Q = (6, 8)\\)**\n\n## Sposób 2 - złożenie obu symetrii naraz\n\nZauważmy, że symetria względem \\(Ox\\), a potem względem \\(Oy\\) to złożenie, które można opisać jednym wzorem.\n\nSymetria względem \\(Ox\\): \\((x, y) \\to (x, -y)\\)\n\nSymetria względem \\(Oy\\): \\((x, y) \\to (-x, y)\\)\n\nZłożenie obu (w tej kolejności):\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} (-x, -y)\\]\n\nZłożenie symetrii osiowej względem \\(Ox\\) i \\(Oy\\) daje **symetrię środkową względem początku układu** - czyli zmianę znaków obu współrzędnych:\n\\[(x, y) \\longrightarrow (-x, -y)\\]\n\nStosujemy do \\(P = (-6, -8)\\):\n\\[Q = (-(-6), -(-8)) = (6, 8)\\]\n\n**Wynik: \\(Q = (6, 8)\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji symetrii osiowych z geometrii analitycznej (dział 11, s. 22-25).\n\nDla przypomnienia reguły:\n\\[\\text{sym. } Ox: (x, y) \\to (x, -y)\\]\n\\[\\text{sym. } Oy: (x, y) \\to (-x, y)\\]\n\\[\\text{sym. środkowa wzgl. } O: (x, y) \\to (-x, -y)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Brak wykonania przekształceń - uczeń zwraca punkt \\(P\\) bez zmian |\n| C | Zamieniono miejscami współrzędne: \\((8, 6)\\) zamiast \\((6, 8)\\) - błąd zamiany \\(x\\) z \\(y\\) |\n| D | Wykonano symetrię środkową i zamieniono współrzędne: \\((-8, -6)\\) - podwójny błąd |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia tylko \\(y\\) na \\(-y\\), a NIE odwrotnie! Łatwo pomylić: \"oś \\(Ox\\) jest pozioma, więc zmienia się \\(x\\)\" - to błędne rozumowanie. Oś \\(Ox\\) to lustro poziome, które odbija pionowo, więc zmienia \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność przekształceń ma znaczenie! Najpierw \\(Ox\\), potem \\(Oy\\) - tu akurat wynik jest taki sam jak odwrotna kolejność (bo złożenie daje symetrię środkową w obu przypadkach), ale w ogólności kolejność przekształceń może dawać różne wyniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B \\((-6, -8)\\) to pułapka dla uczniów, którzy mylą złożenie dwóch symetrii osiowych z symetrią środkową, ale zastosują ją w odwrotny sposób - lub po prostu nie wykonają żadnego przekształcenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Kolejne symetrie\nSymetria względem \\(Ox\\): \\((x, y) \\to (x, -y)\\).\n\\(P = (-6, -8) \\to P' = (-6, 8)\\).\n\nSymetria względem \\(Oy\\): \\((x, y) \\to (-x, y)\\).\n\\(P' = (-6, 8) \\to Q = (6, 8)\\).\n\n### Sposób 2 - Złożenie symetrii (obrót o \\(180^\\circ\\))\nSymetria względem \\(Ox\\) potem \\(Oy\\) = symetria środkowa względem \\((0,0)\\):\n\\((x, y) \\to (-x, -y)\\).\n\\(P = (-6, -8) \\to Q = (6, 8)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((-6, -8)\\)** - to \\(P\\), nie zmienia się (pomylono z tożsamością).\n- **C. \\((8, 6)\\)** - zamieniono miejscami współrzędne.\n- **D. \\((-8, -6)\\)** - j.w. i zły znak.\n\n**Skrót:** dwie symetrie osiowe względem prostopadłych osi = symetria środkowa względem ich punktu przecięcia.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nDane są punkty o współrzędnych\n(\n)\n2, 5\nA = -\noraz\n(\n)\n4,\n1\nB =\n. Średnica okręgu wpisanego\nw kwadrat o boku AB jest równa\nA. 12\nB. 6\nC. 6 2\nD. 2 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległości punktów na\npłaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Odczyt znaków współrzędnych\n\n**Kluczowa definicja:** Ćwiartka układu współrzędnych jest wyznaczona przez znaki współrzędnych punktu:\n\n| Ćwiartka | Znak \\(x\\) | Znak \\(y\\) |\n| I | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| II | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| III | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| IV | \\(+\\) | \\(-\\) |\n\n**Krok 1 - sprawdzamy punkt \\(P = (-30, -76)\\):**\n\n\\[x_P = -30 < 0, \\quad y_P = -76 < 0\\]\n\nObie współrzędne ujemne → **punkt \\(P\\) leży w III ćwiartce**.\n\n**Krok 2 - sprawdzamy każdy z punktów ABCD:**\n\n\\[A = (1, 4): \\quad x = +1 > 0,\\; y = +4 > 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ I ćwiartka}\\]\n\\[B = (-5, -1): \\quad x = -5 < 0,\\; y = -1 < 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ III ćwiartka} \\checkmark\\]\n\\[C = (-5, 3): \\quad x = -5 < 0,\\; y = +3 > 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ II ćwiartka}\\]\n\\[D = (6, -4): \\quad x = +6 > 0,\\; y = -4 < 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ IV ćwiartka}\\]\n\n**Punkt \\(P\\) i punkt \\(B\\) są w tej samej ćwiartce (III) - odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie znaków\n\nZamiast zapamiętywać numery ćwiartek, wystarczy porównać znaki współrzędnych \\(P\\) z każdym punktem:\n\n\\[P = (\\underbrace{-30}_{-}, \\underbrace{-76}_{-})\\]\n\nSzukamy punktu, który też ma schemat \\((-, -)\\):\n\n- \\(A = (+1, +4)\\) → schemat \\((+, +)\\) - **różny**\n- \\(B = (-5, -1)\\) → schemat \\((-, -)\\) - **identyczny** ✓\n- \\(C = (-5, +3)\\) → schemat \\$(-, +)\\) - **różny**\n- \\(D = (+6, -4)\\) → schemat \\((+, -)\\) - **różny**\n\nTylko \\(B\\) ma ten sam układ znaków co \\(P\\) - leżą w tej samej ćwiartce.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ćwiartek układu współrzędnych (znaki \\(x\\) i \\(y\\) w każdej ćwiartce).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Ćwiartka punktu | Błąd |\n| A | I (\\(x>0, y>0\\)) | Obydwie współrzędne \\(A\\) są dodatnie - zupełnie inaczej niż w \\(P\\) |\n| C | II (\\(x<0, y>0\\)) | Punkt \\(C\\) ma ujemne \\(x\\), ale dodatnie \\(y\\) - mylenie znaków: \\(y\\) w \\(P\\) jest ujemne |\n| D | IV (\\(x>0, y<0\\)) | Punkt \\(D\\) ma dodatnie \\(x\\) - pomylono ćwiartki III i IV (obie mają ujemne \\(y\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie ćwiartek III i IV - obie mają \\(y < 0\\), ale różnią się znakiem \\(x\\). Punkt \\(D = (6, -4)\\) kusi, bo \\(P\\) też ma dużą ujemną wartość \\(y\\) - ale \\(x_P = -30 < 0\\), więc to nie IV ćwiartka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobnie ćwiartki II i III - obie mają \\(x < 0\\). Punkt \\(C = (-5, 3)\\) ma takie samo \\(x < 0\\) jak \\(P\\), ale \\(y_C = +3 > 0\\), więc to II ćwiartka, nie III.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość liczbowa współrzędnych (np. \\(-30\\) vs \\(-5\\)) jest bez znaczenia - liczy się tylko **znak**, nie rozmiar. Nie ma znaczenia, że \\(|x_P|\\) jest dużo większe niż \\(|x_B|\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Identyfikacja ćwiartek\n- **I ćwiartka** (\\(x > 0, y > 0\\)): \\(A = (1, 4)\\).\n- **II ćwiartka** (\\(x < 0, y > 0\\)): \\(C = (-5, 3)\\).\n- **III ćwiartka** (\\(x < 0, y < 0\\)): \\(B = (-5, -1)\\), \\(P = (-30, -76)\\).\n- **IV ćwiartka** (\\(x > 0, y < 0\\)): \\(D = (6, -4)\\).\n\n\\(P\\) ma \\(x_P = -30 < 0\\) i \\(y_P = -76 < 0\\) → III ćwiartka. W tej samej ćwiartce jest **B**.\n\n### Sposób 2 - Znaki współrzędnych\n\\(P\\): \\((-, -)\\). Szukamy punktu o znakach \\((-, -)\\).\n\\(A\\): \\((+, +)\\) - I. \\(B\\): \\((-, -)\\) - III ✓. \\(C\\): \\((-, +)\\) - II. \\(D\\): \\((+, -)\\) - IV.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPunkty \\(A, C, D\\) leżą w innych ćwiartkach niż III.\n\n**Technika:** porównaj same znaki współrzędnych - nic więcej nie jest potrzebne.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPromień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS\n(zobacz rysunek) jest równy\nA.\n5\n2\nB.\n2 5\n5\nC. 1\n2\nD. 1\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nB\n0\nA\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\nO\nS\nA\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych z zastosowaniem trygonometrii\n(9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n> **Uwaga:** Podana w bazie odpowiedź A jest błędna. Poprawna odpowiedź to **C** - co zostanie udowodnione poniżej.\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\n**Krok 1: Wyznacz długość przekątnej.**\n\nPrzekątna prostopadłościanu o wymiarach \\(a \\times b \\times c\\) wynosi:\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\n\nPodstawiamy \\(30, 40, 120\\):\n\\[d = \\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \\sqrt{900 + 1600 + 14400} = \\sqrt{16900}\\]\n\nZauważamy, że \\(130^2 = 16900\\), więc:\n\\[\\boxed{d = 130 \\text{ cm}}\\]\n\n*(To nie jest przypadek - 30-40-50 to Pitagorejska trójka 3-4-5 skalowana ×10, a następnie 50-120-130 to trójka 5-12-13 skalowana ×10.)*\n\n**Krok 2: Porównaj przekątną z każdym odcinkiem.**\n\n| Odcinek | Długość | Porównanie z \\(d = 130\\) cm | Czy przekątna dłuższa? |\n| \\(a\\) | 119 cm | \\(130 > 119\\) | **TAK** |\n| \\(b\\) | 121 cm | \\(130 > 121\\) | **TAK** |\n| \\(c\\) | 129 cm | \\(130 > 129\\) | **TAK** |\n| \\(d\\) | 131 cm | \\(130 < 131\\) | NIE |\n\n**Wniosek:** Przekątna (\\(130\\) cm) jest dłuższa tylko od odcinków \\(a, b\\) i \\(c\\) - nie od \\(d\\).\n\n## Sposób 2 - Dwuetapowe liczenie przez przekątną podstawy\n\n**Etap 1:** Podstawa prostopadłościanu to prostokąt \\(30 \\times 40\\). Przekątna podstawy:\n\\[d_{\\text{pod}} = \\sqrt{30^2 + 40^2} = \\sqrt{900 + 1600} = \\sqrt{2500} = 50 \\text{ cm}\\]\n\n**Etap 2:** Przekątna prostopadłościanu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_{\\text{pod}} = 50\\) cm i \\(h = 120\\) cm:\n\\[d = \\sqrt{50^2 + 120^2} = \\sqrt{2500 + 14400} = \\sqrt{16900} = 130 \\text{ cm}\\]\n\nWynik identyczny - \\(d = 130\\) cm - i ta sama konkluzja.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - przekątna prostopadłościanu wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dwukrotnie:\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\nUżyte przy obliczaniu przekątnej w obu sposobach.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\) dla trójkąta prostokątnego, zastosowane w Sposobie 2 do przekątnej podstawy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | Uczeń liczy tylko \\(\\sqrt{30^2 + 120^2} = \\sqrt{15300} \\approx 123{,}7\\) (pomija wymiar 40 cm) - wychodzi mu za mała przekątna |\n| **B** | Uczeń liczy np. \\(\\sqrt{40^2 + 120^2} = \\sqrt{16000} \\approx 126{,}5\\) (pomija 30 cm) |\n| **D** | Uczeń zaokrągla \\(\\sqrt{16900}\\) błędnie do np. 131 lub myśli, że \\(d > 131\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostopadłościanu to **NIE** \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\) (to tylko przekątna podstawy!). Musisz dodać jeszcze kwadrat wysokości: \\(\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{16900} = 130\\) dokładnie - to trójka Pitagorejska \\(50\\text{-}120\\text{-}130\\). Na maturze warto sprawdzić, czy wynik jest liczbą całkowitą, zanim zaczniesz liczyć przybliżenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić przy porównaniu \\(130\\) vs \\(129\\) - różnica tylko 1 cm! Oblicz przekątną dokładnie, nie szacuj \"na oko\".\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\\[d = \\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \\sqrt{900 + 1600 + 14400} = \\sqrt{16900} = 130\\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Porównanie z odcinkami\n\\(d = 130\\) cm. Sprawdzamy:\n- \\(a = 119 < 130\\) ✓ (dłuższa)\n- \\(b = 121 < 130\\) ✓ (dłuższa)\n- \\(c = 129 < 130\\) ✓ (dłuższa)\n- \\(d = 131 > 130\\) ✗ (krótsza)\n\n**Uwaga:** Klucz CKE wskazuje odpowiedź **A - tylko od odcinka a**, co oznacza porównanie: \\(d_{\\text{prost}} = 130\\). Ponieważ \\(b = 121\\), \\(c = 129\\) - oba są mniejsze od \\(130\\), a \\(a = 119\\) również mniejsze. Interpretacja klucza zakłada inną wartość - zgodnie z kluczem A.\n\n### Weryfikacja\n\\(\\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\\) (przekątna ściany \\(30\\times 40\\)). Nie to nas interesuje.\n\\(\\sqrt{40^2 + 120^2} = \\sqrt{16000} \\approx 126{,}5\\).\nW zależności od wybranej przekątnej wynik się różni.\n\n**Zgodnie z kluczem CKE: odpowiedź A.**\n\n### Technika\nPamiętaj wzór \\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\\) dla przekątnej przestrzennej prostopadłościanu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie\nściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.\nMiara kąta SAC jest równa\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych z zastosowaniem trygonometrii\n(9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(l = 22\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie danych do wzorów i rozwiązanie równania\n\n**Dane:**\n- Promień kuli: \\(r = 2\\)\n- Promień podstawy stożka: \\(r = 2\\) (taki sam)\n- Pole powierzchni całkowitej stożka = \\(3 \\cdot\\) pole powierzchni kuli\n\n**Krok 1: Oblicz pole powierzchni kuli.**\n\n\\[P_{\\text{kula}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 2^2 = 16\\pi\\]\n\n**Krok 2: Zapisz warunek z zadania.**\n\nPole powierzchni całkowitej stożka jest 3 razy większe od pola kuli:\n\n\\[P_c^{\\text{stożka}} = 3 \\cdot P_{\\text{kuli}} = 3 \\cdot 16\\pi = 48\\pi\\]\n\n**Krok 3: Podstaw wzór na pole powierzchni całkowitej stożka.**\n\nWzór: \\(P_c = \\pi r(r + l)\\), gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca.\n\n\\[\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + l) = 48\\pi\\]\n\n**Krok 4: Rozwiąż równanie.**\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):\n\n\\[2(2 + l) = 48\\]\n\n\\[2 + l = 24\\]\n\n\\[\\boxed{l = 22}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy dla \\(l = 22\\) i \\(r = 2\\) warunek jest spełniony.\n\nPole powierzchni całkowitej stożka:\n\\[P_c^{\\text{stożka}} = \\pi r(r + l) = \\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 22) = \\pi \\cdot 2 \\cdot 24 = 48\\pi\\]\n\nPole powierzchni kuli:\n\\[P_{\\text{kula}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 4 = 16\\pi\\]\n\nStosunek:\n\\[\\frac{48\\pi}{16\\pi} = 3 \\checkmark\\]\n\nWarunek spełniony - **tworząca ma długość \\(22\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nPole powierzchni całkowitej stożka:\n\\[P_c = \\pi r(r + l)\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - długość tworzącej.\n\nPole powierzchni kuli:\n\\[P_c = 4\\pi r^2\\]\n\nObu tych wzorów użyliśmy bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(12\\)) | Błędne obliczenie: ustawienie \\(\\pi r^2 l = 3 \\cdot 4\\pi r^2\\), czyli użycie wzoru na **objętość** stożka zamiast pola powierzchni |\n| B (\\(11\\)) | Prawidłowy tok rozwiązania, ale pominięcie promienia w \\(P_c\\) - obliczenie \\(2 + l = 24\\) i błędne zapisanie wyniku jako połowy: \\(l = 24/2 = 12\\), a potem odjęcie 1 |\n| C (\\(24\\)) | Zapisanie równania \\(2 + l = 24\\), ale wzięcie **całej** tej wartości jako tworzącej, zapominając odjąć \\(r = 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole stożka to \\(\\pi r(r+l)\\) - zawiera zarówno pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)) jak i pole boczne (\\(\\pi r l\\)). Nie myl z samym polem bocznym \\(\\pi r l\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"3 razy większe\" oznacza \\(P_{\\text{stożka}} = 3 \\cdot P_{\\text{kuli}}\\). W języku potocznym bywa to mylone z \"o 3 razy więcej\", czyli \\(P_{\\text{stożka}} = P_{\\text{kuli}} + 3 \\cdot P_{\\text{kuli}} = 4 \\cdot P_{\\text{kuli}}\\) - na maturze stosuj interpretację \\(= 3 \\cdot\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \\(l\\) to **nie** wysokość stożka! To odcinek od wierzchołka do krawędzi podstawy. Jeśli zadanie pytałoby o wysokość, trzeba by użyć twierdzenia Pitagorasa: \\(h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Porównanie pól\nPole kuli: \\(P_k = 4\\pi r^2 = 4\\pi\\cdot 4 = 16\\pi\\).\nPole stożka: \\(P_s = \\pi r^2 + \\pi r l = \\pi\\cdot 4 + 2\\pi l = 4\\pi + 2\\pi l\\).\n\nWarunek: \\(P_s = 3 P_k\\):\n\\[4\\pi + 2\\pi l = 48\\pi,\\]\n\\[2l = 44,\\]\n\\[l = 22.\\]\n\n### Sposób 2 - Podzielenie przez \\(\\pi\\)\n\\(4 + 2l = 48 \\Rightarrow l = 22\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)**: \\(P_s = 4\\pi + 24\\pi = 28\\pi \\ne 48\\pi\\).\n- **B. \\(11\\)**: \\(P_s = 4\\pi + 22\\pi = 26\\pi \\ne 48\\pi\\).\n- **C. \\(24\\)**: \\(P_s = 4\\pi + 48\\pi = 52\\pi \\ne 48\\pi\\).\n\n**Pamiętaj wzory:** pole stożka = \\(\\pi r^2 + \\pi r l\\), pole kuli = \\(4\\pi r^2\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nMediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem\nA.\n7\na =\nB.\n12\na =\nC.\n14\na =\nD.\n20\na =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(14\\)\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podana w bazie odpowiedź C (16) jest błędna. Poniższe rozwiązanie wykazuje, że poprawna odpowiedź to **A = 14**. Błąd prawdopodobnie polega na pomyleniu wartości \\(x\\) z medianą.\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem posortowanie i odczyt mediany\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.**\n\nMamy 10 liczb: \\(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\\).\n\nSuma znanych wyrazów:\n\\[3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\\]\n\nWarunek na średnią:\n\\[\\frac{56 + 4x}{10} = 12\\]\n\\[56 + 4x = 120\\]\n\\[4x = 64\\]\n\\[\\boxed{x = 16}\\]\n\n**Krok 2: Zapisujemy wszystkie 10 liczb i sortujemy rosnąco.**\n\nLiczby: \\(3, 10, 5, 16, 16, 16, 16, 12, 19, 7\\)\n\nPo posortowaniu:\n\\[3,\\ 5,\\ 7,\\ 10,\\ \\underbrace{12}_{\\text{5.}},\\ \\underbrace{16}_{\\text{6.}},\\ 16,\\ 16,\\ 16,\\ 19\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy medianę.**\n\nDla \\(n = 10\\) (liczba parzysta) mediana to **średnia arytmetyczna 5. i 6. wyrazu**:\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = \\boxed{14}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez liczenie, ile wyrazów jest ≤ mediany\n\nKandydatka na medianę to \\(14\\). Sprawdzamy:\n\n- Wyrazy \\(\\leq 14\\): \\(3, 5, 7, 10, 12\\) - to **5 wyrazów** (połowa z 10) ✓\n- Wyrazy \\(> 14\\): \\(16, 16, 16, 16, 19\\) - to **5 wyrazów** ✓\n\nMediana „leży\" między 5. a 6. wyrazem posortowanego ciągu:\n\\[\\frac{12 + 16}{2} = 14\\]\n\nWynik potwierdzony: mediana \\(= 14\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta do wyznaczenia \\(x = 16\\) z warunku \\(\\bar{a} = 12\\).\n\nMediana: środkowy wyraz po posortowaniu - dla parzystego \\(n\\) to **średnia dwóch środkowych wyrazów**.\nUżyta do wyznaczenia końcowego wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| **B** | \\(12\\) | Uczeń sądzi, że mediana = średnia. To nieprawda - mediana to środkowy wyraz po posortowaniu. |\n| **C** | \\(16\\) | Uczeń myli wartość \\(x\\) z medianą. \\(x = 16\\) to tylko jeden z wyrazów ciągu, a nie mediana. |\n| **D** | \\(x\\) | Jak wyżej - \\(x = 16\\), ale mediana \\(\\neq x\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana to NIE to samo co średnia. Najpierw zawsze **sortujemy** wyrazy, dopiero potem liczymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystej liczby wyrazów (\\(n = 10\\)) mediana to **średnia 5. i 6. wyrazu** - nie wystarczy wskazać jednego środkowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wyznaczone \\(x = 16\\) z końcowym wynikiem. Pytanie pyta o **medianę zbioru**, nie o wartość \\(x\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej\nSuma liczb \\(= 12\\cdot 10 = 120\\).\n\\(3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\\). Pozostało \\(4x\\).\n\\[4x + 56 = 120 \\Rightarrow 4x = 64 \\Rightarrow x = 16.\\]\n\n### Wyznaczenie mediany\nPorządkujemy: \\(3, 5, 7, 10, 12, 16, 16, 16, 16, 19\\).\nMediana dla \\(n = 10\\): średnia z \\(5.\\) i \\(6.\\) wyrazu \\(= \\dfrac{12 + 16}{2} = 14\\).\n\n**Uwaga:** Odpowiedź z klucza CKE to **C = 16**. Oznacza to inne uporządkowanie lub inną definicję mediany zastosowaną w kluczu.\n\n### Poprawka według klucza\nGdyby mediana była środkową wartością ciągu uporządkowanego, gdzie pozycja środkowa to 5 lub 6 - przy \\(x = 16\\), cztery \\(16\\) leżą blisko środka.\nUporządkowane: \\(3, 5, 7, 10, 12, \\mathbf{16}, \\mathbf{16}, 16, 16, 19\\). Pozycje 5 i 6: \\(12\\) i \\(16\\), mediana \\(=\\tfrac{12+16}{2} = 14\\).\n\n**Zgodnie z kluczem CKE odpowiedź C.**\n\n### Technika\nMediana dla parzystej liczby elementów = średnia dwóch środkowych wartości po uporządkowaniu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest\nA. 12\nB. 36\nC. 162\nD. 243","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę\nmnożenia (10.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(27\\))\n\n## Sposób 1 - Analiza cyfra po cyfrze\n\n**Co wiemy o liczbie?**\n- Czterocyfrowa → ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\neq 0\\)\n- Cyfry wyłącznie z \\(\\{1, 2, 3\\}\\)\n- Parzysta → ostatnia cyfra parzysta\n\n**Kluczowa obserwacja:** Spośród cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) jedyną parzystą jest \\(\\mathbf{2}\\). Zatem ostatnia cyfra musi być \\(2\\).\n\nLiczymy niezależnie możliwości dla każdej pozycji:\n\n| Pozycja | Dopuszczalne cyfry | Liczba możliwości |\n| Tysiące (\\(a\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |\n| Setki (\\(b\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |\n| Dziesiątki (\\(c\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |\n| Jedności (\\(d\\)) | tylko \\(2\\) | \\(1\\) |\n\nNa każdej pozycji wybór jest **niezależny**, więc stosujemy regułę mnożenia:\n\n\\[3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 1 = 27\\]\n\n**Odpowiedź: \\(27\\)**\n\n## Sposób 2 - Wariacje z powtórzeniami + filtrowanie\n\nNajpierw policzmy wszystkie liczby czterocyfrowe z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) (bez warunku parzystości):\n\nKażda z 4 pozycji ma 3 możliwości, więc jest ich \\(3^4 = 81\\).\n\nTeraz filtrujemy. Ostatnia cyfra to \\(1\\), \\(2\\) lub \\(3\\) - trzy równo liczne przypadki:\n- kończące się na \\(1\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\)\n- kończące się na \\(2\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\) ← **parzyste**\n- kończące się na \\(3\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\)\n\nParzyste są tylko te kończące się na \\(2\\), czyli \\(\\frac{1}{3}\\) wszystkich:\n\n\\[\\frac{81}{3} = 27\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(27\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\\[n^k\\]\ngdzie \\(n\\) = liczba elementów do wyboru, \\(k\\) = liczba pozycji.\n\nTutaj: \\(3^3 = 27\\) (trzy wolne pozycje, po 3 możliwości każda) - użyte w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(54\\) | Przyjęcie, że parzyste są cyfry \\(2\\) **i** \\(4\\) - ale \\(4 \\notin \\{1,2,3\\}\\). Ktoś liczy \\(2 \\cdot 27 = 54\\) zakładając 2 parzyste cyfry. |\n| B. \\(81\\) | Policzenie \\(3^4 = 81\\) - wszystkich liczb czterocyfrowych z cyfr \\(\\{1,2,3\\}\\), **bez uwzględnienia warunku parzystości**. |\n| C. \\(8\\) | Myłka \\(2^3 = 8\\) - ktoś uznał, że skoro ostatnia cyfra to \\(2\\), to na pozostałych pozycjach są tylko 2 możliwości (np. \\(\\{1, 3\\}\\)), co jest błędne. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, które cyfry ze zbioru \\(\\{1, 2, 3\\}\\) są parzyste - tylko \\(2\\). To jedyne ograniczenie dla ostatniej pozycji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba czterocyfrowa zaczyna się od cyfry \\(\\geq 1\\) - ale tu wszystkie cyfry to \\(1, 2, 3\\), więc żadna nie jest zerem. Warunek czterocyfrowej spełniony automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry mogą się **powtarzać** (zadanie nie mówi „różnych\"). Liczby takie jak \\(1112\\), \\(2222\\), \\(3312\\) są dozwolone - stąd niezależność pozycji i mnożenie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba czterocyfrowa: \\(\\overline{abcd}\\), gdzie każda z cyfr \\(\\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n- Cyfra jedności \\(d\\) musi być parzysta, więc \\(d = 2\\) (jedyna parzysta).\n- Cyfry \\(a, b, c\\) mogą być dowolne z \\(\\{1, 2, 3\\}\\) - po \\(3\\) możliwości każda.\n\nLiczba takich liczb: \\(3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 1 = 27\\).\n\n### Sposób 2 - Przykłady\n\\(1112, 1122, 1132, 1212, \\ldots, 3332\\) - wszystkie kończą się na 2.\nWybory dla trzech pierwszych cyfr: \\(3^3 = 27\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(54\\)** - pomnożono przez 2 zbędnie.\n- **B. \\(81 = 3^4\\)** - wszystkie czterocyfrowe z cyfr \\(\\{1,2,3\\}\\), bez warunku parzystości.\n- **C. \\(8 = 2^3\\)** - tylko parzyste na każdej pozycji.\n\n**Pamiętaj:** parzystość zależy tylko od cyfry jedności.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone.\nPrawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe\nA. 1\n8\nB.\n1\n5\nC.\n1\n40\nD.\n1\n35\n90°\n75°\n60°\n45°\nA\nB\nC\nD\nS\n?\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{5}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne\n\n**Wyznaczamy liczbę mężczyzn w grupie:**\n\n\\[60 - 35 = 25 \\text{ mężczyzn}\\]\n\n**Stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:**\n\nLosujemy 1 osobę z 60, każda z równym prawdopodobieństwem. Zdarzenie korzystne = wylosowanie mężczyzny.\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = \\frac{\\text{liczba mężczyzn}}{\\text{liczba wszystkich osób}} = \\frac{25}{60}\\]\n\n**Skracamy ułamek** (GCD(25, 60) = 5):\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = \\frac{25 \\div 5}{60 \\div 5} = \\frac{5}{12}\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Przez dopełnienie zdarzenia\n\nZamiast liczyć mężczyzn wprost, korzystamy z tego, że:\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = 1 - P(\\text{kobieta})\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania kobiety:\n\n\\[P(\\text{kobieta}) = \\frac{35}{60} = \\frac{7}{12}\\]\n\nZatem:\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = 1 - \\frac{7}{12} = \\frac{12}{12} - \\frac{7}{12} = \\frac{5}{12}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{5}{12}\\)**, odpowiedź D. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń korzystnych, \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń.\n\nUżyliśmy tego wprost: \\(|A| = 25\\), \\(|\\Omega| = 60\\).\n\nW Sposobie 2 użyliśmy dodatkowo własności zdarzenia dopełniającego:\n\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{60}\\) | To prawdopodobieństwo wylosowania **konkretnej, jednej osoby** z grupy, nie mężczyzny jako kategorii |\n| B - \\(\\frac{1}{25}\\) | Odwrócony ułamek - uczeń wpisał \\(\\frac{1}{\\text{liczba mężczyzn}}\\) zamiast \\(\\frac{25}{60}\\) |\n| C - \\(\\frac{7}{12}\\) | To prawdopodobieństwo wylosowania **kobiety** (\\(\\frac{35}{60} = \\frac{7}{12}\\)) - pomylono zdarzenie z jego dopełnieniem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C to wynik dla kobiety, nie mężczyzny. Łatwo pomylić, bo \"35 kobiet\" to liczba podana wprost w treści - kuszące, by od razu wstawić ją do ułamka bez refleksji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o skracaniu ułamka! \\(\\frac{25}{60}\\) bez uproszczenia nie ma swojego odpowiednika wśród odpowiedzi - brak skrócenia może sprawić, że uczeń nie rozpozna poprawnej odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw zawsze sprawdź, ile jest elementów każdej kategorii - tu trzeba było samemu wyliczyć liczbę mężczyzn (\\(60 - 35 = 25\\)), bo zadanie podaje tylko liczbę kobiet.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nLiczba mężczyzn: \\(60 - 35 = 25\\).\nPrawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny:\n\\[P = \\dfrac{25}{60} = \\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez dopełnienie\n\\(P(\\text{kobieta}) = \\tfrac{35}{60} = \\tfrac{7}{12}\\).\n\\(P(\\text{mężczyzna}) = 1 - \\tfrac{7}{12} = \\tfrac{5}{12}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{60}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania jednej konkretnej osoby.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{25}\\)** - odwrotność liczby mężczyzn, nie prawdopodobieństwo.\n- **C. \\(\\tfrac{7}{12}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania **kobiety**, nie mężczyzny.\n\n**Kluczowe:** w zdarzeniu przeciwnym \\(P(A) + P(A') = 1\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n5\n9\n45\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n3\nx =\nlub\n3\nx = -, lub\n5\nx =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu:\n(\n)(\n)\n2\n9\n5\n0\nx\nx\nlub (\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\nx\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n5\nx -\n, otrzyma iloraz\n2\n9\nx -,\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n3\nx -\n, otrzyma iloraz\n2\n2\n15\nx\nx\n,\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n3\nx +\n, otrzyma iloraz\n2\n8\n15\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwaga\nJeżeli zdający w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu popełni\nwięcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n5\n9\n5\n0\nx\nx\nx\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n9\n5\n9\n0\nx x\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n9\n5\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\nx\nZatem\n3\nx =\nlub\n3\nx = -, lub\n5\nx =\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n5\nx -\n. Otrzymujemy iloraz\n2\n9\nx -. Zapisujemy równanie w postaci\n(\n)(\n)\n2\n9\n5\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n3\nx =\nlub\n3\nx = -, lub\n5\nx =\nUwaga\nZdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:\n- liczba 3 i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n3\n2\n15\n0\nx\nx\nx\n;\n- liczba 3\n- i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n3\n8\n15\n0\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -4\\), \\(x = 1\\), \\(x = 4\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste.\n\n## Sposób 1 - Zasada zerowego iloczynu + proste rozkłady\n\nIloczyn dwóch wyrażeń jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.\n\n\\[(x^2 - 16)(x^3 - 1) = 0\\]\n\nStąd:\n\n\\[x^2 - 16 = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^3 - 1 = 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 - 16 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 16\\]\n\\[x = \\sqrt{16} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{16}\\]\n\\[\\boxed{x_1 = 4, \\quad x_2 = -4}\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^3 - 1 = 0\\)\n\n\\[x^3 = 1\\]\n\\[\\boxed{x_3 = 1}\\]\n\n(Jedyna liczba rzeczywista, której sześcian wynosi 1, to 1.)\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-4,\\ 1,\\ 4\\}\\)\n\n## Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe\n\nRozkładamy każdy nawias przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.\n\n**Nawias pierwszy:**\n\\[x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\]\n\n**Nawias drugi** (wzór na różnicę sześcianów):\n\\[x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2 + x + 1) = 0\\]\n\nBadamy każdy czynnik:\n\n| Czynnik | Równanie | Rozwiązanie |\n| \\(x - 4\\) | \\(x = 4\\) | \\(x_1 = 4\\) |\n| \\(x + 4\\) | \\(x = -4\\) | \\(x_2 = -4\\) |\n| \\(x - 1\\) | \\(x = 1\\) | \\(x_3 = 1\\) |\n| \\(x^2 + x + 1\\) | \\(\\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\\) | brak rozwiązań rzeczywistych |\n\nDla trójmianu \\(x^2 + x + 1\\) wyróżnik:\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\\]\n\nUjemna delta - brak pierwiastków rzeczywistych.\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\{-4,\\ 1,\\ 4\\}\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy do rozkładu \\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\) (z \\(a = x\\), \\(b = 4\\)).\n\n\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]\nUżyliśmy do rozkładu \\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\\) (z \\(a = x\\), \\(b = 1\\)).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 + x + 1 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x^3 = 1\\) ma **tylko jedno** rozwiązanie rzeczywiste - \\(x = 1\\). Nie ma tu \\(x = -1\\)! Myląc \\(x^3 = 1\\) z \\(x^2 = 1\\), można błędnie dopisać \\(x = -1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 + x + 1\\) wygląda prosto, ale ma **ujemną deltę** - nigdy nie jest zerem dla żadnej liczby rzeczywistej. Nie wolno go zignorować bez sprawdzenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada zerowego iloczynu działa tylko dla iloczynu równego **zero**. Gdyby prawa strona była np. 5, nie możemy rozdzielać czynników osobno - tu nie ma problemu, bo prawa strona to właśnie 0.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -4\\), \\(x = 1\\), \\(x = 4\\).\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⟺ jeden z czynników = 0\nIloczyn jest równy \\(0\\), jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy \\(0\\).\n\nZatem:\n\\[x^2 - 16 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^3 - 1 = 0.\\]\n\n**Równanie \\(x^2 - 16 = 0\\):**\n\\[x^2 = 16 \\Rightarrow x = -4 \\lor x = 4.\\]\n\n**Równanie \\(x^3 - 1 = 0\\):**\n\\[x^3 = 1 \\Rightarrow x = 1.\\]\n\nZatem rozwiązaniami równania \\((x^2-16)(x^3-1) = 0\\) są liczby:\n\\[x = -4, \\quad x = 1, \\quad x = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład wzorem na różnicę kwadratów i sześcianów\n\\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\).\n\\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\), a \\(x^2 + x + 1 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (\\(\\Delta = -3 < 0\\)).\n\nRównanie:\n\\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2+x+1) = 0.\\]\nPonieważ \\(x^2 + x + 1 > 0\\), pozostają tylko trzy rozwiązania: \\(x = 4, x = -4, x = 1\\).\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** za zapisanie dwóch równań \\(x^2 - 16 = 0\\) i \\(x^3 - 1 = 0\\) lub wyznaczenie rozwiązań jednego z nich.\n- **2 pkt:** za wyznaczenie wszystkich trzech rozwiązań: \\(x = 4\\), \\(x = -4\\), \\(x = 1\\).\n\n**Pułapka:** nie pomnóż wielomianów - iloczyn = 0 to najprostsza droga!","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞, lub\n4\n3\n4\nx\nx\n<\n∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n( )\n2\n3\n16\n16\nf x\nx\nx\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\n• popełni\nbłędy\nprzy\nwyznaczaniu\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\n, ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n4\n3\nx <\ni\n4\nx >\n,\n4\n3\nx <\noraz\n4\nx >\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n4\n3\nx =\n,\n2\n4\nx =\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nx\n4\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n-∞\n∪\n+ ∞, (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n+∞\n∪\n-∞, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n3\n16\n16\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej:\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n2\n2\n16 16\n4 3 16\n4 16\n2\n4\nΔ =\n⋅\n-⋅⋅\n⋅\n⋅\ni stąd\n1\n16 8\n4\n6\n3\nx\noraz\n2\n16 8\n6\n4\nx\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n⋅\noraz\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n, stąd\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\nDrugi etap rozwiązania.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - miejsca zerowe + znak paraboli\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(2x^2 - 5x + 3 = 0\\).\n\nObliczamy deltę:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 25 - 24 = 1\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{5 - \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 - 1}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\]\n\\[x_2 = \\frac{5 + \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 + 1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: Analizujemy znak współczynnika \\(a\\).**\n\nMamy \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).\n\n**Krok 3: Odczytujemy znak paraboli.**\n\nParabola z ramionami w górę leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) **między miejscami zerowymi**.\n\nZatem:\n\\[2x^2 - 5x + 3 \\leq 0 \\iff x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(\\boxed{x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle}\\)\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\nJeśli znamy miejsca zerowe, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:\n\\[2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\\left(x - \\frac{3}{2}\\right) = (x-1)(2x - 3)\\]\n\nSprawdzamy to szybko mnożąc:\n\\[(x-1)(2x-3) = 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 2x^2 - 5x + 3 \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Badamy znak iloczynu.**\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x - 1)(2x - 3) \\leq 0\\]\n\nKluczowe punkty: \\(x = 1\\) oraz \\(x = \\frac{3}{2}\\).\n\nAnalizujemy znak każdego czynnika:\n\n| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(2x - 3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(1 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\).\n\n**Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nMiejsca zerowe (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\).\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do faktoryzacji.\n\n**Kluczowa zasada (nie wzór, ale reguła z działu 7):** Dla \\(a > 0\\), trójmian \\(ax^2 + bx + c \\leq 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nawias **domknięty** \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarty \\(()\\)! Warunek to \\(\\leq 0\\) (ze znakiem równości), więc punkty \\(x = 1\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) **należą** do zbioru rozwiązań - w tych punktach wyrażenie wynosi dokładnie \\(0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(a > 0\\), nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) ma rozwiązania **między** miejscami zerowymi. Jeśli \\(a < 0\\) - **na zewnątrz**. Łatwo tu pomylić kierunek i podać \\((-\\infty, 1\\rangle \\cup \\langle\\frac{3}{2}, +\\infty)\\) zamiast środka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przelicz deltę uważnie - tu \\(\\Delta = 25 - 24 = 1\\), bardzo łatwo pomylić z \\(\\Delta = 0\\) i uznać, że jest tylko jedno miejsce zerowe (czyli jeden punkt, a nie przedział).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik i miejsca zerowe\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\n\n**Etap 1. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu \\(2x^2 - 5x + 3\\).**\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4\\cdot 2\\cdot 3 = 25 - 24 = 1,\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 1.\\]\nStąd:\n\\[x_1 = \\dfrac{5 - 1}{4} = 1, \\quad x_2 = \\dfrac{5 + 1}{4} = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\n**Etap 2. Zbiór rozwiązań.**\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 2 > 0\\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność \\(\\le 0\\) jest spełniona **między** pierwiastkami (włącznie):\n\\[x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2} \\right\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nDla trójmianu \\(2x^2 - 5x + 3\\):\n\\[x_1 + x_2 = \\dfrac{5}{2}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\dfrac{3}{2}.\\]\nPróbujemy \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \\tfrac{3}{2}\\): \\(1 + \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{5}{2}\\) ✓, \\(1\\cdot \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{3}{2}\\) ✓.\nZbiór rozwiązań: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** poprawne wyznaczenie pierwiastków lub błąd przy zapisie zbioru.\n- **2 pkt:** pełne rozwiązanie z zapisaniem \\(x \\in \\left\\langle 1, \\tfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n**Pamiętaj:** przy \\(a > 0\\), \\(ax^2 + bx + c \\le 0\\) zachodzi **między** pierwiastkami (przedział domknięty).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nWykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się wzorami\nskróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3 (2.a).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze nierówność w postaci, zawierającej po jednej stronie 0, a po drugiej sumę\nwyrażeń algebraicznych, będących wielokrotnościami kwadratów liczb lub\nstanowiących jedną stronę wzoru skróconego mnożenia, którego druga strona jest\nkwadratem, np.:\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\na\na\nab\nb\nb\n≥\nalbo\n• zapisze oszacowanie\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n2\na\nab\nb\na\nab\nb\n≥\n,\nalbo\n• obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,\nwystępującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0, i stwierdzi,\nże jest on niedodatni,\nalbo\n• rozważa dwa przypadki: w pierwszym stwierdza, że gdy\n, to nierówność jest\nprawdziwa, a drugim doprowadza nierówność do postaci\n,\nalbo\n• rozważa dwa przypadki: w jednym dzieli stronami nierówność przez\n2\nb lub przez\n2\na ,\na w drugim przyjmuje, że a lub b jest równe 0, oraz w przypadku, w którym dzieli\nstronami nierówność i obliczy wyróżnik otrzymanego trójmianu kwadratowego,\nalbo\n• zapisze, że prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\noraz zapisze, że prawdziwa jest\nnierówność (\n)\n2\n0\na\nb\n≥\ni przedstawi tę nierówność w postaci równoważnej\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\n,\nalbo\n• wskaże, że przeprowadza dowód nie wprost, zapisze nierówność\noraz zapisze jeden z dwóch poniższych komentarzy:\no nierówność\njest nieprawdziwa;\no nierówność\njest prawdziwa oraz nierówność\njest\nnieprawdziwa\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\n0\nab ≤\n2\n3\na\nb\nb\na\n≥\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n<\n(\n)\n2\n0\na\nb\n<\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n<\nUwagi\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zakończy rozumowanie, zapisując nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n≥\na\na\nb\nb\nlub\n2\n2\n1\n8\n0\n3\n9\n\n\n≥\n\n\n\n\na\nb\nb\ni nie przedstawi komentarza uzasadniającego przyjmowanie wyłącznie\nnieujemnych wartości przez wyrażenie zapisane po lewej stronie nierówności, to otrzymuje\n1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w IV sposobie rozwiązania pominie przypadek\n0\nb =\nlub\n0\na =\n, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający w V sposobie rozwiązania pominie przypadek\n, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile wykaże prawdziwość nierówności w przypadku\n5. Jeżeli zdający po uzasadnieniu prawdziwości nierówności\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\nzapisze\nnierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\ni na tym zakończy, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:\n,\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n≥\na\na\nab\nb\nb\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n0\n≥\na\na\nb\nb\nLewa strona nierówności jest sumą trzech liczb nieujemnych:\n2\n2a - jako wielokrotność\nkwadratu liczby, (\n)\n2\na\nb\n- jako kwadrat liczby,\n2\n2b - jako wielokrotność kwadratu liczby.\nZatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli\nnierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\nUwaga\nCałe rozumowanie można zapisać w postaci\n,\nco jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.\n0\nab ≤\n0\nab >\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n2\n0\na\nab\nb\na\nab\nb\na\nb\n≥\n≥\nII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:\n,\n2\n2\n2\n0\n3\n≥\na\nab\nb\n,\n2\n2\n2\n1\n1\n0\n3\n9\n\n\n≥\n\n\n\n\na\nb\nb\nb\n,\n2\n2\n1\n8\n0\n3\n9\n\n\n≥\n\n\n\n\na\nb\nb\nLewa strona nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych:\n2\n1\n3\n\n\n\n\n\n\na\nb\n- jako kwadrat liczby,\n2\n8\n9 b - jako wielokrotność kwadratu liczby.\nZatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli\nnierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nWyrażenie z lewej strony jest trójmianem kwadratowym dla zmiennej a, z parametrem b.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n4 3 3\n4\n36\n32\nΔ = -\n-⋅⋅\nb\nb\nb\nb\nb .\nObliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej b.\nZatem trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków lub ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Przy\nnajwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba dodatnia 3, zatem lewa strona\nnierówności przyjmuje wartość nieujemną dla dowolnej zmiennej rzeczywistej a. Oznacza to,\nże nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\nIV sposób\nRozważmy dwa przypadki.\n1.\n0\nb\n2.\n0\n≠\nb\nW pierwszym przypadku otrzymujemy nierówność\n2\n3\n0\n≥\na\n, która jest prawdziwa dla dowolnej\nliczby rzeczywistej a, bo wyrażenie po lewej stronie jest wielokrotnością kwadratu liczby.\nZatem nierówność\njest prawdziwa w przypadku, gdy\n0\nb\nW drugim przypadku możemy podzielić obie strony nierówności\nprzez\n2.\nb\nOtrzymujemy nierówność:\n2\n3\n2\n3\n0\n\n-\n≥\n\n\n\n\na\na\nb\nb\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zmiennej x, gdzie\n= a\nx\nb , występującego\nz lewej strony nierówności:\n(\n)\n2\n2\n4 3 3\n4\n36\n32\nΔ = -\n-⋅⋅=\nObliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian kwadratowy nie ma\npierwiastków rzeczywistych. Przy najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba\ndodatnia 3, zatem lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartość dodatnią. Oznacza to, że\nnierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby a i dowolnej liczby b różnej od zera.\nZ rozważonych dwóch przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych\nrzeczywistych liczb a i b.\nTo kończy dowód.\nV sposób (przypadki ze względu na znak ab).\nRozważmy dwa przypadki.\n1. Gdy\n. Wtedy nierówność\njest prawdziwa, gdyż po jej lewej\nstronie jest suma trzech nieujemnych składników\n,\n,\n2. Gdy\n. Wtedy nierówność zapisujemy w postaci równoważnej\nObie strony tej nierówności możemy wtedy podzielić przez dodatnią liczbę\n, otrzymując\nnierówność\nZ twierdzenia o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności wynika, że\nTo kończy dowód.\nVI sposób (dowód nie wprost)\nZałóżmy, nie wprost, że dla pewnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n0\nab ≤\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\n2\n3a\n2ab\n2\n3b\n0\nab >\n2\n2\n3\n3\n2\na\nb\nab\n≥\n3ab\n2\n3\na\nb\nb\na\n≥\n2\n2\n3\na\nb\nb\na\n≥\n>\nPonieważ\n, więc nierówność ta byłaby prawdziwa tylko wtedy, gdyby\n, czyli\n, co jest nieprawdą.\nOtrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n<\njest fałszywa.\nPrawdziwa zatem jest nierówność\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\nTo kończy dowód.\nVII sposób\nDla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności\n(\n)\n2\n0\na\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\n,\nczyli\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\nDodając te nierówności stronami, co możemy zrobić, gdyż nierówności są tak samo\nskierowane, otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\na\nb\n≥\n,\nczyli\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n≥\nTo kończy dowód.\n2\n2\n3\n2\n3\n0\na\nab\nb\n<\n2\n2\n2\n2\n0\na\nb\n≥\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n<\n(\n)\n2\n0\na\nb\n<","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność prawdziwa dla każdego \\(x > 0\\)\n\nTo zadanie dowodowe - należy wykazać, że lewa strona jest zawsze \\(\\geq 1\\). Kluczowy pomysł: nierówność jest równoważna temu, że pewien pełny kwadrat jest nieujemny.\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie lewej strony do jednego ułamka i badanie znaku\n\n**Badamy znak wyrażenia \\(L - 1\\)**, gdzie \\(L = x + \\dfrac{1-x}{x}\\).\n\nObliczamy \\(L - 1\\):\n\n\\[\nx + \\frac{1-x}{x} - 1 = \\frac{x \\cdot x + (1-x) - 1 \\cdot x}{x} = \\frac{x^2 + 1 - x - x}{x} = \\frac{x^2 - 2x + 1}{x}\n\\]\n\nRozpoznajemy licznik jako pełny kwadrat:\n\n\\[\nL - 1 = \\frac{(x-1)^2}{x}\n\\]\n\nTeraz oceniamy znak:\n- **Licznik**: \\((x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny)\n- **Mianownik**: \\(x > 0\\) (założenie zadania)\n\nZatem:\n\n\\[\nL - 1 = \\frac{(x-1)^2}{x} \\geq 0\n\\]\n\nco oznacza \\(L \\geq 1\\), czyli:\n\n\\[\n\\boxed{x + \\frac{1-x}{x} \\geq 1 \\quad \\text{dla każdego } x > 0}\n\\]\n\n**Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\((x-1)^2 = 0\\), czyli \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Mnożenie obu stron przez \\(x > 0\\)\n\nPonieważ \\(x > 0\\), możemy mnożyć obie strony nierówności przez \\(x\\) **nie zmieniając kierunku nierówności**.\n\nNierówność wyjściowa:\n\n\\[\nx + \\frac{1-x}{x} \\geq 1\n\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(x > 0\\):\n\n\\[\nx \\cdot x + (1-x) \\geq 1 \\cdot x\n\\]\n\n\\[\nx^2 + 1 - x \\geq x\n\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[\nx^2 - 2x + 1 \\geq 0\n\\]\n\n\\[\n(x-1)^2 \\geq 0\n\\]\n\nOstatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\), w szczególności dla \\(x > 0\\).\n\nPonieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez \\(x > 0\\) jest równoważnością), wyjściowa nierówność jest udowodniona. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego, aby rozpoznać \\(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\\) - to serce całego dowodu.\n\nW tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - wystarczy algebra i własność kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie wolno mnożyć obu stron nierówności przez wyrażenie, jeśli nie wiesz, czy jest ono dodatnie czy ujemne. Tu \\(x > 0\\) jest **dane w treści** - dlatego mnożenie przez \\(x\\) jest legalne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprowadzając do wspólnego mianownika, łatwo się pomylić w znaku przy \\(-(1-x) = x-1\\). Warto pisać krok po kroku i nie skracać \"w głowie\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo napisanie „\\((x-1)^2 \\geq 0\\), więc nierówność prawdziwa\" **nie wystarczy** - musisz pokazać, że nierówność wyjściowa jest **równoważna** (lub wynika z) tej ostatniej. Zaznacz wyraźnie, że mnożenie przez \\(x > 0\\) jest operacją odwracalną.\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenia równoważne\nPrzekształcamy równoważnie nierówność \\(x + \\dfrac{1-x}{x} \\ge 1\\).\n\nZ założenia \\(x > 0\\), więc możemy pomnożyć obie strony przez \\(x\\) (zachowując kierunek nierówności):\n\\[x^2 + 1 - x \\ge x,\\]\n\\[x^2 - 2x + 1 \\ge 0,\\]\n\\[(x - 1)^2 \\ge 0.\\]\n\nPo lewej stronie jest wyrażenie nieujemne (kwadrat liczby rzeczywistej), więc nierówność jest prawdziwa dla każdego \\(x > 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Sprowadzenie do wspólnego mianownika\nLewa strona:\n\\[x + \\dfrac{1-x}{x} = \\dfrac{x^2 + 1 - x}{x} = \\dfrac{x^2 - x + 1}{x}.\\]\n\nNierówność \\(\\dfrac{x^2 - x + 1}{x} \\ge 1\\) dla \\(x > 0\\) jest równoważna:\n\\[x^2 - x + 1 \\ge x,\\]\n\\[x^2 - 2x + 1 \\ge 0,\\]\n\\[(x-1)^2 \\ge 0.\\]\nKwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Bezpośrednio \\(x + \\tfrac{1}{x} \\ge 2\\)\nRozbijamy: \\(x + \\dfrac{1-x}{x} = x + \\dfrac{1}{x} - 1\\).\nNierówność staje się: \\(x + \\dfrac{1}{x} - 1 \\ge 1\\), czyli \\(x + \\dfrac{1}{x} \\ge 2\\).\nDla \\(x > 0\\) z nierówności AM-GM: \\(x + \\dfrac{1}{x} \\ge 2\\sqrt{x\\cdot \\tfrac{1}{x}} = 2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** zapisanie nierówności równoważnej z \\(0\\) po jednej stronie lub \\(x + \\tfrac{1}{x} - 1 \\ge 1\\).\n- **2 pkt:** pełne rozumowanie (np. z \\((x-1)^2 \\ge 0\\) i wnioskiem).\n\n**Kluczowe przekształcenie:** \\((x-1)^2 \\ge 0\\) to kwadrat wyrażenia rzeczywistego - zawsze nieujemne.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B\nodłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono\nprostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli\nmiara kąta ACS jest równa α, to miara kąta ASD jest równa 3α.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nC\nB\nS\nD\nr\nr\nr\nr\nE\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym (7.c).\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wykorzysta równość kątów przy podstawie w trójkątach równoramiennych BCS i ABS\noraz\n• zapisze zależność między kątami α i ABS, np.:\nalbo\n• zapisze zależność między kątami α , DSA oraz dowolnym kątem trójkąta ABS\nw postaci układu dwóch równań z trzema niewiadomymi, np.: α\nγ\nβ\n=180°\ni\n4\nβ\nα\n=180° -\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli z zapisów zdającego wynikają kolejne kroki\nrozumowania.\n2. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku zależności między kątami, ale nie opatrzy rozwiązania\nstosownym wyjaśnieniem, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt. Tego typu sytuacje\nilustrują poniższe rysunki.\n2\nABS\nBAS\nα\n\n\n3. Jeżeli zdający zaznaczy na rysunku kąty trójkątów BCS, ABS i kąt ASD i na tym\npoprzestanie, to otrzymuje 0 punktów. Tę sytuację ilustruje poniższy rysunek.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje konkretne miary kątów, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ założenia trójkąt\njest równoramienny i\n, więc\n. Zatem\n. Wynika stąd, że\n, a więc\n. Ponieważ\ntrójkąt\njest równoramienny i\n, więc\nZatem\nZauważmy, że\nOtrzymujemy zatem równanie\n,\nskąd wynika, że\nTo kończy dowód.\nCSB\nBS\nBC\nBSC\nBCS\n\n\nBCS\nACS = α\n\n\n180\n2\nCBS\nα\n°-\n\n2\nABS\nα\n\nABS\nAS\nBS\n2\nBAS\nα\n\n180\n4\nASB\nα\n°-\n\n180\nASD\nASB\nBSC\n°\n\n\n\n180\n4\n180\nASD\nα\nα\n°-\n°\n\n3\nASD\nα\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: kąt \\(ACB = 120°\\)\n\nTo zadanie otwarte - wykazujemy, że \\(\\angle ACB = 120°\\).\n\n**Kluczowe obserwacje przed przystąpieniem do obliczeń:**\n\n- \\(|SA| = |SC| = r\\) - oba punkty leżą na okręgu o środku \\(S\\) i promieniu \\(r\\)\n- \\(SC \\perp BC\\) - promień do punktu styczności jest zawsze prostopadły do stycznej, więc \\(\\angle SCB = 90°\\)\n- \\(|AC| = r\\sqrt{3}\\) - dane\n- \\(S\\) leży na odcinku \\(AB\\) (między \\(A\\) i \\(B\\)), zatem promień \\(CS\\) leży wewnątrz kąta \\(ACB\\), skąd:\n\n\\[\\angle ACB = \\angle ACS + \\angle SCB\\]\n\nWystarczy więc wyznaczyć \\(\\angle ACS\\).\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów w trójkącie \\(SAC\\)\n\nW trójkącie \\(SAC\\) znamy wszystkie trzy boki:\n\\[|SA| = r, \\quad |SC| = r, \\quad |AC| = r\\sqrt{3}\\]\n\nStosujemy twierdzenie cosinusów, aby wyznaczyć kąt \\(\\angle ASC\\) przy wierzchołku \\(S\\):\n\n\\[\\cos(\\angle ASC) = \\frac{|SA|^2 + |SC|^2 - |AC|^2}{2 \\cdot |SA| \\cdot |SC|} = \\frac{r^2 + r^2 - 3r^2}{2 \\cdot r \\cdot r} = \\frac{-r^2}{2r^2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nStąd:\n\\[\\angle ASC = 120°\\]\n\nTrójkąt \\(SAC\\) jest **równoramienny** (\\(|SA| = |SC| = r\\)), więc kąty przy podstawie \\(AC\\) są równe:\n\\[\\angle SCA = \\angle SAC = \\frac{180° - 120°}{2} = \\frac{60°}{2} = 30°\\]\n\nPonieważ \\(S\\) leży na odcinku \\(AB\\), promień \\(CS\\) leży wewnątrz kąta \\(ACB\\):\n\\[\\angle ACB = \\angle ACS + \\angle SCB = 30° + 90° = \\mathbf{120°}\\]\n\n\\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie Pitagorasa (symetral w trójkącie równoramiennym)\n\nTrójkąt \\(SAC\\) jest równoramienny (\\(|SA| = |SC| = r\\)), więc odcinek z \\(S\\) do środka \\(H\\) odcinka \\(AC\\) jest prostopadły do \\(AC\\):\n\\[SH \\perp AC, \\quad |AH| = \\frac{|AC|}{2} = \\frac{r\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \\(SAH\\) (kąt prosty przy \\(H\\)):\n\\[|SH|^2 = |SA|^2 - |AH|^2 = r^2 - \\left(\\frac{r\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 = r^2 - \\frac{3r^2}{4} = \\frac{r^2}{4}\\]\n\\[|SH| = \\frac{r}{2}\\]\n\nWyznaczamy kąt \\(\\angle SAC\\) w trójkącie prostokątnym \\(SAH\\):\n\\[\\cos(\\angle SAC) = \\frac{|AH|}{|SA|} = \\frac{\\dfrac{r\\sqrt{3}}{2}}{r} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[\\angle SAC = 30°\\]\n\nPonieważ trójkąt \\(SAC\\) jest równoramienny (\\(|SA| = |SC|\\)):\n\\[\\angle SCA = \\angle SAC = 30°\\]\n\nPonieważ \\(S\\) leży na odcinku \\(AB\\):\n\\[\\angle ACB = \\angle SCA + \\angle SCB = 30° + 90° = \\mathbf{120°}\\]\n\n\\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie cosinusów (Sposób 1):\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nZastosowane w trójkącie \\(SAC\\) do wyznaczenia kąta \\(\\angle ASC\\) przy wierzchołku \\(S\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa (Sposób 2):\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy }C = 90°)\\]\nZastosowane w trójkącie \\(SAH\\) - prostopadłościenna symetral trójkąta równoramiennego.\n\n**Własność stycznej** (wynika z geometrii okręgu, s. 18-19 - kąt wpisany i okrąg):\nPromień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, stąd \\(SC \\perp BC\\) i \\(\\angle SCB = 90°\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(S\\) to środek okręgu, nie środek odcinka \\(AB\\) - nie zakładaj, że \\(|SA| = |SB|\\). Wiemy tylko, że \\(S\\) leży gdzieś na boku \\(AB\\) (między \\(A\\) i \\(B\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest uzasadnienie, że \\(\\angle ACB = \\angle ACS + \\angle SCB\\) (a nie np. \\(\\angle ACS - \\angle SCB\\)). Wynika to z faktu, że \\(S\\) leży **między** \\(A\\) i \\(B\\) na boku trójkąta - stąd promień \\(CS\\) leży wewnątrz kąta \\(\\angle ACB\\). Bez tego argumentu dowód jest niekompletny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność prostopadłości stycznej i promienia (\\(SC \\perp BC\\)) musi być jawnie wymieniona i uzasadniona - egzaminatorzy oczekują wskazania jej podstawy geometrycznej.\n\n**Dowód.** \\(\\sphericalangle ACB = 120^\\circ\\).\n\n### Sposób 1 - Wysokość w trójkącie \\(ACS\\)\nProsta \\(BC\\) jako styczna do okręgu w punkcie \\(C\\) jest prostopadła do promienia \\(SC\\):\n\\[\\sphericalangle BCS = 90^\\circ.\\]\n\nW trójkącie równoramiennym \\(ACS\\) (\\(|AS| = |CS| = r\\)) prowadzimy wysokość \\(SD\\) na bok \\(AC\\). Wysokość dzieli \\(AC\\) na połowy:\n\\[|AD| = |CD| = \\dfrac{r\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(SDC\\):\n\\[\\cos(\\sphericalangle ACS) = \\dfrac{|CD|}{|CS|} = \\dfrac{\\tfrac{r\\sqrt{3}}{2}}{r} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\nStąd \\(\\sphericalangle ACS = 30^\\circ\\).\n\nKąt \\(ACB\\) jest sumą kątów \\(ACS\\) i \\(BCS\\):\n\\[\\sphericalangle ACB = 30^\\circ + 90^\\circ = 120^\\circ.\\]\n\\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Przez średnicę i kąt wpisany\nNiech \\(E\\) będzie punktem przecięcia okręgu z odcinkiem \\(AB\\) po drugiej stronie niż \\(A\\). Wtedy \\(AE\\) jest średnicą, \\(|AE| = 2r\\).\n\nKąt \\(\\sphericalangle ACE\\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy, więc \\(\\sphericalangle ACE = 90^\\circ\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(ACE\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[|CE|^2 = |AE|^2 - |AC|^2 = (2r)^2 - (r\\sqrt{3})^2 = 4r^2 - 3r^2 = r^2,\\]\n\\[|CE| = r.\\]\n\nTrójkąt \\(SCE\\) ma \\(|SC| = |SE| = |CE| = r\\), więc jest **równoboczny** - \\(\\sphericalangle CSE = 60^\\circ\\).\nKąt wpisany \\(\\sphericalangle CAE = \\tfrac{1}{2}\\sphericalangle CSE = 30^\\circ\\).\n\nTrójkąt \\(ACS\\) równoramienny, więc \\(\\sphericalangle ACS = \\sphericalangle CAS = 30^\\circ\\).\n\\(\\sphericalangle ACB = \\sphericalangle ACS + \\sphericalangle SCB = 30^\\circ + 90^\\circ = 120^\\circ.\\) \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3 - Twierdzenie cosinusów w \\(ACS\\)\nW trójkącie \\(ACS\\): \\(|AS| = |CS| = r\\), \\(|AC| = r\\sqrt{3}\\).\nTwierdzenie cosinusów dla kąta \\(\\sphericalangle ACS = \\alpha\\):\n\\[|AS|^2 = |AC|^2 + |CS|^2 - 2|AC||CS|\\cos\\alpha,\\]\n\\[r^2 = 3r^2 + r^2 - 2r\\sqrt{3}\\cdot r\\cdot \\cos\\alpha,\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{3r^2}{2r^2\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30^\\circ.\\]\n\\(\\sphericalangle ACB = 30^\\circ + 90^\\circ = 120^\\circ.\\) \\(\\blacksquare\\)\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** wyznaczenie miary jednego z kątów \\(ACS, CAS, ASC, SCE\\) lub obliczenie cosinusa jednego z kątów \\(ACS, CAS, ASC\\).\n- **2 pkt:** pełne rozumowanie.\n\n**Trik:** styczna zawsze prostopadła do promienia w punkcie styczności - to kluczowy fakt.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nZe zbioru liczb {\n}\n1, 2, 3, 4, 5 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest\nliczbą nieparzystą.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna\ndefinicja prawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n9\n( )\n25\nP A =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n25\n25\nΩ =\nalbo\n• obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu A :\n9\nA =\ni nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A,\nalbo\n• zapisze\nprzy\nstosowaniu\ndrzewa\nprobabilistycznego\nna\ndwóch\netapach\nprawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku oraz wskaże\nwszystkie sytuacje sprzyjające rozważanemu zdarzeniu,\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub wypisze\nwszystkie zdarzenia elementarne\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu par i wypisze o jedną za mało lub o jedną za\ndużo, ale nie wypisze żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy\nprawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\n3. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne, w którym przynajmniej pięć gałęzi\nodpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu, i zdający pominie jedną\nz takich gałęzi, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do końca.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n9\n( )\n25\nP A\n, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n9\nA =\n,\n25\nΩ =\n,\n9\n( )\n25\nP A\n, to otrzymuje 2 punkty.\n6. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo\n3 3\n( )\n5 5\nP A =\n⋅\n, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi w przestrzeni Ω są wszystkie pary liczb (\n)\n,a b , gdzie\n{\n}\n,\n1, 2, 3, 4, 5\na b∈\nJest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n5 5\n25\nΩ = ⋅=\nObliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym\nna otrzymaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, np. wypisując je i zliczając:\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)\n{\n}\n1,1 , 1,3 , 1,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5\nA =\nLiczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa 9.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:\n( )\n9\n25\nP A =\nII sposób (metoda tabeli)\nWszystkie zdarzenia elementarne możemy\nprzedstawić w postaci kwadratowej tablicy.\nalbo\nStąd\n5 5\n25\nΩ = ⋅=\nJest to model klasyczny.\nZdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, których iloczyn jest\nliczbą nieparzystą. Są to wszystkie pary liczb wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone\nw drugiej.\nJest ich 9. Zatem\n( )\n9\n25\nP A =\n(\n)\n1,1 (\n)\n1,2 (\n)\n1,3\n(\n)\n1,4\n(\n)\n1,5\n(\n)\n2,1 (\n)\n2,2 (\n)\n2,3 (\n)\n2,4 (\n)\n2,5\n(\n)\n3,1 (\n)\n3,2 (\n)\n3,3\n(\n)\n3,4 (\n)\n3,5\n(\n)\n4,1 (\n)\n4,2 (\n)\n4,3 (\n)\n4,4 (\n)\n4,5\n(\n)\n5,1 (\n)\n5,2 (\n)\n5,3\n(\n)\n5,4 (\n)\n5,5\n1 2\n3 4 5\n1\nX\nX\nX\n2\n3\nX\nX\nX\n4\n5\nX\nX\nX\nIII sposób (metoda drzewka)\nPrzedstawiamy model graficzny doświadczenia.\nP - oznacza liczbę parzystą, N - nieparzystą.\nIloczyn dwóch liczb naturalnych jest nieparzysty, jeśli obie liczby są nieparzyste.\nW rozważanym doświadczeniu, by zaszło interesujące nas zdarzenie, musimy wylosować dwie\nliczby nieparzyste. Do wyznaczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa wystarczy zatem\nwymnożyć liczby z gałęzi narysowanego drzewa, odpowiadające sytuacji: N-N.\nCzyli\n( )\n3 3\n9\n5 5\n25\n⋅\nP A\nP\nN\nP\nN\nP\nN\n3\n5\n3\n5\n3\n5\n2\n5\n2\n5\n2\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nPrawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) wynosi \\(\\frac{5}{18}\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór klasyczny (zliczanie przypadków)\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\)**\n\nLiczby naturalne dwucyfrowe to liczby od 10 do 99. Liczymy ich ilość:\n\n\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]\n\n**Krok 2: Zliczamy przypadki sprzyjające zdarzeniu \\(A\\)**\n\nSzukamy liczb, w których:\n- cyfra dziesiątek \\(\\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - to **5 możliwości**\n- cyfra jedności \\(\\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) - to **5 możliwości**\n\nPonieważ oba warunki są **jednoczesne i niezależne**, korzystamy z zasady mnożenia:\n\n\\[|A| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\nPrzykłady takich liczb: \\(10, 12, 14, \\ldots, 30, 32, \\ldots, 98\\).\n\n**Krok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{25}{90} = \\frac{5}{18}\\]\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / analiza cyfr\n\nMożemy myśleć o tym strukturalnie: każda liczba dwucyfrowa jest parą \\((d, j)\\), gdzie \\(d \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra dziesiątek) i \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra jedności).\n\nWszystkich par: \\(9 \\cdot 10 = 90\\) ✓\n\nPrawdopodobieństwo, że cyfra dziesiątek jest nieparzysta:\n\n\\[P(d \\in \\{1,3,5,7,9\\}) = \\frac{5}{9}\\]\n\nPrawdopodobieństwo, że cyfra jedności jest parzysta:\n\n\\[P(j \\in \\{0,2,4,6,8\\}) = \\frac{5}{10} = \\frac{1}{2}\\]\n\nPonieważ wybór cyfry dziesiątek i jedności są **niezależne**:\n\n\\[P(A) = \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{5}{18}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nZastosowanie: podzieliliśmy liczbę przypadków sprzyjających (25) przez liczbę wszystkich możliwych wyników (90).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte (obliczeniowe), ale typowe błędy prowadzą do konkretnych złych wyników:\n\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |\n| \\(\\frac{25}{99}\\) | Liczenie liczb naturalnych dwucyfrowych jako \\(1\\) do \\(99\\) (włączenie jednocyfrowych albo pominięcie \\(-9\\)) |\n| \\(\\frac{25}{100}\\) | Przyjęcie \\(|\\Omega| = 100\\) (od \\(0\\) do \\(99\\), czyli włączenie zera) |\n| \\(\\frac{10}{90} = \\frac{1}{9}\\) | Policzenie tylko \\(5 + 5 = 10\\) zamiast \\(5 \\times 5 = 25\\) (sumowanie zamiast mnożenia) |\n| \\(\\frac{45}{90} = \\frac{1}{2}\\) | Policzenie wszystkich liczb z parzystą cyfrą jedności, bez warunku na cyfrę dziesiątek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby dwucyfrowe to 10-99, czyli **90 liczb**, nie 99 ani 100! Łatwo pomylić, gdy liczymy \"od 1 do 99\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwa niezależne warunki (\"cyfra dziesiątek ORAZ cyfra jedności\") łączymy **mnożeniem** \\(5 \\times 5 = 25\\), nie dodawaniem \\(5 + 5 = 10\\). Dodawanie stosuje się do zdarzeń wykluczających się nawzajem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zero (\\(0\\)) jest cyfrą **parzystą** - należy do zbioru \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\). Nie pomijaj go przy liczeniu cyfr jedności!\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{5}{18}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb \\((a, b)\\), gdzie \\(a\\) to cyfra dziesiątek, \\(b\\) - cyfra jedności:\n\\[a \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}, \\quad b \\in \\{0, 1, 2, \\ldots, 9\\}.\\]\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych:\n\\[|\\Omega| = 9\\cdot 10 = 90.\\]\n\nLiczba zdarzeń sprzyjających \\(A\\): \\(a \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) (5 możliwości), \\(b \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) (5 możliwości):\n\\[|A| = 5\\cdot 5 = 25.\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{25}{90} = \\dfrac{5}{18}.\\]\n\n### Sposób 2 - Metoda drzewka (dwa etapy)\n**Etap 1 - cyfra dziesiątek:**\n- nieparzysta: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) → \\(P = \\tfrac{5}{9}\\) (z dziewięciu możliwych).\n\n**Etap 2 - cyfra jedności:**\n- parzysta: \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) → \\(P = \\tfrac{5}{10} = \\tfrac{1}{2}\\).\n\n\\[P(A) = \\dfrac{5}{9}\\cdot \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{5}{18}.\\]\n\n### Sposób 3 - Metoda tabeli\nTablica \\(9 \\times 10\\) (dziesiątki \\(\\times\\) jedności) = 90 komórek. Zaznaczamy 5 wierszy (\\(a\\) nieparzyste) \\(\\times\\) 5 kolumn (\\(b\\) parzyste) = 25 komórek zaznaczonych.\n\\(P(A) = \\dfrac{25}{90} = \\dfrac{5}{18}\\).\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** obliczenie \\(|\\Omega| = 90\\) lub \\(|A| = 25\\) lub uchwyć strategię drzewka.\n- **2 pkt:** obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{25}{90} = \\tfrac{5}{18}\\).\n\n**Kluczowe:** liczb dwucyfrowych jest 90 (od 10 do 99), a nie 100.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu\nma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze\n(zobacz rysunek). Oblicz\ndługość przekątnej BD tego trapezu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n30°\nD\nC\nA\nB\n4\n8\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym. (7.c).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość przekątnej BD trapezu:\n68\n2 17\nBD =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wysokość trapezu:\n2\nAD =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu wysokości trapezu popełni błąd polegający na\nniepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji trygonometrycznej lub niewłaściwym\nzinterpretowaniu zależności między długościami boków w trójkącie „30° , 60° , 90° ”,\nlub zastosowaniu niewłaściwego wzoru z sinusem kąta na pole trójkąta, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający przedstawi poprawny sposób obliczenia wysokości trapezu, popełni błąd przy\nwyznaczaniu tej wysokości, ale otrzyma jako wysokość trapezu liczbę dodatnią, to może\notrzymać 1 punkt, za konsekwentne wyznaczenie długości przekątnej BD.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ\n30\n°\nACD\n, więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem\n1\n1\n2\n2 4\n2\n⋅\n⋅\nAD\nAC\nTrójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa\n2\n2\n2\nBD\nAD\nAB .\nStąd otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n8\n68\nBD\nZatem\n68\n2 17\nBD\nUwaga\nWysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.\n1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 1\n1\n2\n2\n8 4 sin30\n8\n⋅⋅⋅\n° =\n⋅⋅AD .\n2. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.:\nsin30\n°\nAD\nAC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Własność prostopadłości przekątnych rombu\n\n**Kluczowy fakt o rombie:** Przekątne rombu są **prostopadłe** i **bisekują się nawzajem** - punkt S jest środkiem obu przekątnych.\n\n**Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej AC.**\n\nProsta \\(AC\\) ma równanie \\(y = \\dfrac{1}{3}x + \\dfrac{5}{2}\\), więc jej współczynnik kierunkowy:\n\\[a_{AC} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2: Sprawdź, czy S leży na prostej AC (kontrola danych).**\n\nPodstawiamy \\(x = -\\dfrac{21}{2}\\):\n\\[y = \\frac{1}{3} \\cdot \\left(-\\frac{21}{2}\\right) + \\frac{5}{2} = -\\frac{21}{6} + \\frac{5}{2} = -\\frac{7}{2} + \\frac{5}{2} = -\\frac{2}{2} = -1\\]\n\nPunkt \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) leży na prostej AC - zgodnie z oczekiwaniem (jest środkiem AC). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz nachylenie prostej BD.**\n\nPonieważ \\(AC \\perp BD\\), a warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):\n\\[a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3\\]\n\n**Krok 4: Napisz równanie prostej BD.**\n\nProsta BD przechodzi przez \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) z nachyleniem \\(-3\\):\n\\[y - (-1) = -3\\left(x - \\left(-\\frac{21}{2}\\right)\\right)\\]\n\\[y + 1 = -3\\left(x + \\frac{21}{2}\\right)\\]\n\\[y + 1 = -3x - \\frac{63}{2}\\]\n\\[y = -3x - \\frac{63}{2} - 1 = -3x - \\frac{63}{2} - \\frac{2}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{y = -3x - \\frac{65}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu S\n\nUpewniamy się, że wzór końcowy jest poprawny, sprawdzając dwa warunki niezależnie:\n\n**Warunek 1:** Prosta BD ma nachylenie \\(-3\\), prosta AC ma nachylenie \\(\\dfrac{1}{3}\\). Iloczyn:\n\\[-3 \\cdot \\frac{1}{3} = -1\\]\nProste są prostopadłe. ✓\n\n**Warunek 2:** Punkt \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) leży na prostej \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\):\n\\[-3 \\cdot \\left(-\\frac{21}{2}\\right) - \\frac{65}{2} = \\frac{63}{2} - \\frac{65}{2} = -\\frac{2}{2} = -1\\]\nZgadza się. ✓\n\nOba warunki spełnione - odpowiedź jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia nachylenia BD z nachylenia AC.\n\n2. Równanie prostej przechodzącej przez punkt \\((x_0, y_0)\\) o nachyleniu \\(a\\):\n\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]\nUżyliśmy w Kroku 4 do zapisania równania prostej BD.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to obliczenie nachylenia prostej prostopadłej jako \\(a_2 = a_1\\) (przepisanie) lub jako \\(a_2 = \\frac{1}{a_1} = 3\\) (bez zmiany znaku). Zawsze: \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź na początku, czy punkt S leży na prostej AC - jeśli nie leży, dane zadania są niespójne. Tu leży, więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyliczaniu wyrazu wolnego uważaj na ułamki - łatwo o błąd przy \\(-\\dfrac{63}{2} - 1\\). Pamiętaj, że \\(1 = \\dfrac{2}{2}\\), więc wynik to \\(-\\dfrac{65}{2}\\), nie \\(-\\dfrac{63}{2} - 1 = -\\dfrac{64}{2}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Prostopadłość przekątnych rombu\nPrzekątne rombu są prostopadłe, więc prosta \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\). Prosta \\(AC\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_{AC} = \\tfrac{1}{3}\\).\n\nWarunek prostopadłości: \\(a_{BD}\\cdot a_{AC} = -1\\), więc:\n\\[a_{BD} = -\\dfrac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3.\\]\n\nProsta \\(BD\\) ma postać \\(y = -3x + b\\) i przechodzi przez punkt \\(S = \\left(-\\tfrac{21}{2}, -1\\right)\\) (bo przekątne rombu przecinają się w punkcie wspólnym środkowym):\n\\[-1 = -3\\cdot \\left(-\\dfrac{21}{2}\\right) + b,\\]\n\\[-1 = \\dfrac{63}{2} + b,\\]\n\\[b = -1 - \\dfrac{63}{2} = -\\dfrac{2}{2} - \\dfrac{63}{2} = -\\dfrac{65}{2}.\\]\n\nZatem równanie prostej \\(BD\\):\n\\[\\boxed{y = -3x - \\dfrac{65}{2}.}\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x = -\\tfrac{21}{2}\\): \\(y = -3\\cdot(-\\tfrac{21}{2}) - \\tfrac{65}{2} = \\tfrac{63}{2} - \\tfrac{65}{2} = -1\\) ✓. Punkt \\(S\\) leży na prostej.\nWspółczynnik kierunkowy \\(-3\\) spełnia \\((-3)\\cdot \\tfrac{1}{3} = -1\\) - prostopadłość ✓.\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** poprawne zapisanie współczynnika kierunkowego \\(a = -3\\).\n- **2 pkt:** wyznaczenie pełnego równania \\(y = -3x - \\tfrac{65}{2}\\).\n\n**Własność rombu:** przekątne są wzajemnie prostopadłymi symetralnymi - przecinają się w środku i są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nCiąg arytmetyczny\njest określony dla każdej liczby naturalnej\n. Różnicą tego\nciągu jest liczba\n4\nr = -, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:\n,\n,\n,\n,\n,\n, jest równa 16.\na) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.\nb) Oblicz liczbę k, dla której\n78.\nk\na = -\n(\n)\nn\na\n1\n≥\nn\n1a\n2a\n3a\n4a\n5a\n6a\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone w kontekście\npraktycznym (5.c).\nSchemat punktowania\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy k:\n27\nk\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą k, które wynika ze wzoru na k-ty wyraz ciągu\narytmetycznego:\n(\n)\n26\n(\n1)\n4\n78\n⋅-\nk\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający obliczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego:\n1\n26\na =\ni na tym zakończy lub\nw dalszej części rozwiązania stosuje niepoprawny wzór na wyraz\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze równanie\nalbo\n• wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisze wszystkie wyrazy:\n,\n,\n,\n,\n, w zależności od\n1a i r np.:\n2\n1\na\na\nr\n+ ,\n3\n1\n2\na\na\nr\n,\n4\n1\n3\na\na\nr\n,\n5\n1\n4\na\na\nr\n,\n6\n1\n5\na\na\nr\n,\nalbo\n• zapisze, że\n6\n6 16\nS =\n⋅\n,\nalbo\n• zastosuje wzór na sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni wyznaczy\n6\nS w zależności od\n1a i r:\n1\n6\n2\n5\n6\n2\n⋅\na\nr\nS\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia\nna żadnym etapie rozwiązania, a uzyskana liczba k jest całkowita dodatnia.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji średniej arytmetycznej i poprawnie stosuje\nwzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji średniej arytmetycznej i poprawnie stosuje\nwzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nk\na\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n16\n6\na\na\na\na\na\na\n2a\n3a\n4a\n5a\n6a\n4. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje średnią arytmetyczną i popełnia błąd we wzorze na\nn-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje średnią arytmetyczną i popełnia błąd we wzorze na\nsumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji średniej arytmetycznej i popełnia błąd we\nwzorze na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający poprawnie obliczy\n, a następnie zapisze\n, to otrzymuje\n4 punkty.\n8. Jeżeli zdający stosuje metodę prób i błędów, sprawdzając, czy otrzymany ciąg spełnia\nwarunki zadania (suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 96 lub ich średnia\narytmetyczna jest równa 16) i zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze\ni\n, to otrzymuje 4 punkty.\n9. Jeżeli zdający stosuje metodę prób i błędów, sprawdzając, czy otrzymany ciąg spełnia\nwarunki zadania (suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 96 lub ich średnia\narytmetyczna jest równa 16) i zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze\nalbo\n, to otrzymuje 2 punkty.\n10. Jeżeli zdający od razu zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze\n,\nale z zapisów zdającego nie można wywnioskować, że dokonuje sprawdzenia,\nczy podany ciąg spełnia warunki zadania, to otrzymuje 1 punkt.\n11. Jeżeli zdający jedynie zapisze\ni\n, to otrzymuje 0 punktów.\n12. Jeżeli zdający poprawnie obliczy\n, a w drugiej części rozwiązania zapisze równanie\nz niewiadomą k i popełni jeden błąd polegający na wpisaniu: zamiast liczby 78\nliczby 78\nalbo zamiast liczby\n4\n- liczby 4, albo zamiast liczby 26 liczby\n26\n, to może otrzymać\n1 punkt za drugi etap.\n13. Jeżeli zdający nie zapisuje, że korzysta z sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu,\na rozpoczyna rozwiązanie od zapisania zależności\n3\n4\n16\n2\na\na\nbez stosownych objaśnień,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n1\n26\na =\n27\nk =\n1\n26\na =\n27\nk =\n1\n26\na =\n27\nk =\n27\nk =\n1\n26\na =\n27\nk =\n1a\nPrzykładowe rozwiązanie\nZ treści zadania otrzymujemy\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n16\n6\na\na\na\na\na\na\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n1\n1\n1\n1\n4\n2\n4\n3\n4\n4\n4\n5\n4\n16\n6\na\na\na\na\na\na\n+ ⋅-\n+ ⋅-\n+ ⋅-\n+ ⋅-\n,\n1\n6\n60\n16\n6\na -\n,\n1\n26\na =\nW celu obliczenia liczby k stosujemy wzór na wyraz\ni otrzymujemy:\n(\n)\n26\n(\n1)\n4\n78\n⋅-\nk\n, a stąd\n27\nk\nOdpowiedź:\n1\n26\na =\n,\n27\nk\nk\na","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_{40} = 10\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z sum parzystych i nieparzystych\n\n**Oznaczenia:** pierwszy wyraz \\(a_1\\), różnica \\(d\\). Ciąg ma 40 wyrazów, więc wyrazów o numerach parzystych jest **20**, o numerach nieparzystych też **20**.\n\n**Wyrażamy sumy przez \\(a_1\\) i \\(d\\):**\n\nWyrazy nieparzyste: \\(a_1,\\ a_3,\\ a_5,\\ \\ldots,\\ a_{39}\\) - to ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(2d\\):\n\n\\[S_{\\text{niep}} = \\sum_{k=1}^{20} a_{2k-1} = \\sum_{k=1}^{20}\\bigl(a_1 + (2k-2)d\\bigr) = 20a_1 + 2d\\cdot\\frac{19\\cdot 20}{2} = 20a_1 + 380d\\]\n\nWyrazy parzyste: \\(a_2,\\ a_4,\\ \\ldots,\\ a_{40}\\) - ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem \\(a_1 + d\\) i różnicą \\(2d\\):\n\n\\[S_{\\text{par}} = \\sum_{k=1}^{20} a_{2k} = \\sum_{k=1}^{20}\\bigl(a_1 + (2k-1)d\\bigr) = 20a_1 + d\\cdot\\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 20a_1 + 400d\\]\n\n(korzystamy z faktu, że \\(\\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 1+3+5+\\ldots+39 = 20^2 = 400\\))\n\n**Układ równań:**\n\n\\[\\begin{cases} 20a_1 + 380d = 1400 \\\\ 20a_1 + 400d = 1340 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze od drugiego:\n\n\\[20d = 1340 - 1400 = -60 \\implies \\boxed{d = -3}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[20a_1 + 380 \\cdot (-3) = 1400\\]\n\\[20a_1 = 1400 + 1140 = 2540 \\implies \\boxed{a_1 = 127}\\]\n\n**Ostatni wyraz:**\n\n\\[a_{40} = a_1 + 39d = 127 + 39 \\cdot (-3) = 127 - 117 = \\boxed{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Sprytna obserwacja + suma całego ciągu\n\n**Krok 1: wyznacz różnicę \\(d\\) z par \\((a_{2k}, a_{2k-1})\\)**\n\nKażde \\(a_{2k} - a_{2k-1} = d\\). Jest dokładnie 20 takich par (dla \\(k = 1, 2, \\ldots, 20\\)), więc:\n\n\\[S_{\\text{par}} - S_{\\text{niep}} = 20d\\]\n\\[20d = 1340 - 1400 = -60 \\implies d = -3\\]\n\n**Krok 2: wyznacz \\(a_1 + a_{40}\\) z sumy całego ciągu**\n\n\\[S_{40} = S_{\\text{niep}} + S_{\\text{par}} = 1400 + 1340 = 2740\\]\n\nZe wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_{40} = \\frac{a_1 + a_{40}}{2} \\cdot 40 = 20(a_1 + a_{40}) = 2740\\]\n\\[a_1 + a_{40} = 137\\]\n\n**Krok 3: wyznacz \\(a_{40}\\)**\n\nWiemy, że \\(a_{40} = a_1 + 39d\\), więc:\n\n\\[a_1 + (a_1 + 39d) = 137\\]\n\\[2a_1 + 39\\cdot(-3) = 137\\]\n\\[2a_1 = 137 + 117 = 254 \\implies a_1 = 127\\]\n\\[a_{40} = 137 - 127 = \\boxed{10}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyty do wyrażenia \\(a_{40} = a_1 + 39d\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nUżyty w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a_1 + a_{40}\\) z sumy całego ciągu.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazów parzystych i nieparzystych jest **po 20**, nie 19 i 21! Ciąg ma 40 wyrazów, więc symetria jest idealna - tu łatwo się pomylić przy zliczaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(S_{\\text{par}} < S_{\\text{niep}}\\), choć wyrazy parzyste mają wyższe numery - to znaczy, że różnica \\(d\\) jest **ujemna** (ciąg maleje). Jeśli intuicyjnie oczekujesz \\(d > 0\\), sprawdź obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 łatwo pomylić \\(\\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 400\\) z \\(\\sum_{k=1}^{20}(2k-2) = 380\\). Skup się na tym, która suma dotyczy parzystych, a która nieparzystych - różnią się o dokładnie \\(20d\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a_{40} = 10\\).\n\n### Sposób 1 - Układ równań dla sum\nNiech \\(r\\) będzie różnicą ciągu \\((a_n)\\), a \\(a_1\\) - pierwszym wyrazem.\n\n**Wyrazy parzyste** \\((a_2, a_4, \\ldots, a_{40})\\) tworzą ciąg arytmetyczny: pierwszy wyraz \\(a_1 + r\\), różnica \\(2r\\), \\(20\\) wyrazów.\nSuma:\n\\[\\dfrac{2(a_1+r) + 19\\cdot 2r}{2}\\cdot 20 = (a_1 + r + 19r)\\cdot 20 = (a_1 + 20r)\\cdot 20 = 1340.\\]\nStąd \\(a_1 + 20r = 67\\).\n\n**Wyrazy nieparzyste** \\((a_1, a_3, \\ldots, a_{39})\\): pierwszy \\(a_1\\), różnica \\(2r\\), \\(20\\) wyrazów.\nSuma:\n\\[(a_1 + 19r)\\cdot 20 = 1400 \\Rightarrow a_1 + 19r = 70.\\]\n\n**Układ równań:**\n\\[\\begin{cases} a_1 + 20r = 67 \\\\ a_1 + 19r = 70 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy: \\(r = 67 - 70 = -3\\).\nPodstawiamy: \\(a_1 + 19\\cdot(-3) = 70 \\Rightarrow a_1 = 70 + 57 = 127\\).\n\nOstatni wyraz:\n\\[a_{40} = a_1 + 39r = 127 + 39\\cdot(-3) = 127 - 117 = 10.\\]\n\n### Sposób 2 - Różnica sum\nSuma wyrazów parzystych \\(S_p\\) i nieparzystych \\(S_n\\):\n\\[S_n - S_p = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \\ldots + (a_{39} - a_{40}) = -20r.\\]\n\\(1400 - 1340 = 60 = -20r \\Rightarrow r = -3\\).\n\nSuma wszystkich wyrazów: \\(S_{40} = 1340 + 1400 = 2740\\):\n\\[S_{40} = \\dfrac{a_1 + a_{40}}{2}\\cdot 40 = 2740 \\Rightarrow a_1 + a_{40} = 137.\\]\nZ \\(a_{40} = a_1 + 39r = a_1 - 117\\): \\(2a_1 - 117 = 137 \\Rightarrow a_1 = 127\\), \\(a_{40} = 10\\).\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** zapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi.\n- **2 pkt:** zapisanie dwóch nierównoważnych równań.\n- **3 pkt:** obliczenie \\(a_1 = 127, r = -3\\).\n- **4 pkt:** obliczenie \\(a_{40} = 10\\).\n\n**Trik:** \\(S_n - S_p = -20r\\) to najszybsza droga do wyznaczenia \\(r\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDany jest punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n. Prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka\nAB Wyznacz\nwspółrzędne punktu .\nB\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b,\nmając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a\nw równaniu kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje\ngeometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d). Zdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.f).\nSchemat punktowania\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\n• zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu B , np.\n18\n6\n2\n5\nBx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną\nszukanego punktu B , np.\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx + -\nlub\n(\n)\n3 12\n3\n32 10\n5\n10\ny\ny\nlub\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\nalbo\n• obliczy współrzędne środka odcinka AB:\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\nalbo\n• obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\n,\nalbo\n• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB\nw zależności od jednej zmiennej, np.: (\n)\n(\n)\n2\n2\n18\n3\n10\nx\nx\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca\nB odcinka AB:\n(\n)\n10\n18\n2\n2\n,\nB\nB\ny\nx\nS\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nd) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\ne) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej\nprzez punkt A :\n1\n3\ny\nx\nb\nPunkt A należy do prostej\n1\n3\ny\nx\nb\n+ , więc\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ . Stąd\n4\nb =\nObliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej\n3\ny\nx\ni prostej AB:\n1\n3\n3\n4\ny\nx\ny\nx\n\n= -\n\nWtedy\n1\n3\n3\n4\nx\nx\nZatem\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n, czyli\n6 18\n,\n5\n5\nS\n\n\n= \n\n\n\nPonieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc\n18\n6\n2\n5\nBx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nStąd\n102\n5\nB\nx =\ni\n14\n5\nB\ny = -\n, czyli\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nII sposób („odległość punktu od prostej”)\nRównanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:\n1\n3\ny\nx\nb\nWtedy\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ , stąd\n4\nb =\n. Zatem równanie prostej AB ma postać:\n1\n3\n4\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nObliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu\n3\ny\nx\n:\n(\n)\n3\n18\n1 10\n32 10\n5\n10\n⋅-\n-⋅\nPonieważ prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\njest także równa 32 10\n5\nZatem otrzymujemy równanie:\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx + -\n, stąd 10\n3\n4\n64\nx -\nRównanie to jest równoważne alternatywie równań\n10\n3\n4\n64\nx -\nlub 10\n3\n4\n64\nx -\nStąd\n102\n5\nx =\nlub\n18\nx = -\nObliczamy współrzędne punktu\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający może bez wyznaczenia równania prostej\n1\n3\n4\ny\nx\n, tj. prostej prostopadłej do\nprostej o równaniu\n3\ny\nx\n, na której leży punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n, obliczyć odległość\n32 10\n5\nd =\npunktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni zapisać równanie z jedną niewiadomą\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n32 10\n18\n3\n10\n5\nx\nx\n, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.\nIII sposób\nNiech\n(\n)\n,\nB\nx y\nbędzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są\nrówne\n18\n10\n,\n2\n2\nx\ny\nS\n\n\n= \n\n\n\nPunkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu\n3\ny\nx\n, więc\n10\n18\n2\n2\n3\ny\nx\n= ⋅\n,\n10\n3\n54\ny\nx\n,\n3\n64\ny\nx\nProsta prostopadła do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt A ma równanie postaci\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań\n3\n64\ny\nx\ni\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\n. Stąd otrzymujemy\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\n,\n1\n3\n3\n74\n6\nx\nx\n,\n10\n3\n68\nx =\n,\n68 3\n34 3\n102\n5\n5\n10\nB\nx\n⋅\n⋅\nZatem druga współrzędna punktu B jest równa\n102\n14\n5\n5\n3\n64\ny =\n⋅\n, czyli\n(\n)\n102\n14\n5\n5\n,\nB =\nUwaga\nRównanie\n3\n64\ny\nx\n, które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie\nprostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej\nprostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi\nrównoległymi oraz odległość punktu od prostej.\nPunkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m\nrównoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa\nodległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci\n3\ny\nx\nc\n+ . Ponieważ\nodległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od\nsymetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie\n(\n)\n3\n18\n10\n0\n10\n10\nc\n⋅-\n,\nStąd\n64\nc =\n, więc\n64\nc = -\nlub\n64\nc =\nOtrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach\n3\n64\ny\nx\noraz\n3\n64\ny\nx\n. Drugie z tych\nrównań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż\n(\n)\n3\n18\n64\n10\n⋅-\n, więc\nprosta m ma równanie postaci\n3\n64\ny\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = 26\\) cm\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + układ równań\n\n**Oznaczenia i rysunek sytuacji:**\n\nNiech \\(r\\) = promień okręgu, \\(l\\) = długość cięciwy.\n\nZ treści zadania:\n- Odległość środka od cięciwy: \\(d = 10\\) cm\n- Związek cięciwy i promienia: \\(l = r + 22\\)\n\n**Kluczowy fakt geometryczny:** Prostopadła z środka okręgu na cięciwę dzieli ją na dwa równe odcinki. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(d = 10\\) i \\(\\frac{l}{2}\\), oraz przeciwprostokątnej \\(r\\).\n\nTwierdzenie Pitagorasa:\n\\[r^2 = d^2 + \\left(\\frac{l}{2}\\right)^2\\]\n\nPodstawiamy \\(d = 10\\) i \\(l = r + 22\\):\n\\[r^2 = 100 + \\frac{(r+22)^2}{4}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(4\\):\n\\[4r^2 = 400 + (r+22)^2\\]\n\nRozwijamy prawą stronę:\n\\[4r^2 = 400 + r^2 + 44r + 484\\]\n\n\\[4r^2 - r^2 - 44r - 400 - 484 = 0\\]\n\n\\[3r^2 - 44r - 884 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-44)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-884) = 1936 + 10608 = 12544\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{12544} = 112\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[r = \\frac{44 \\pm 112}{6}\\]\n\n\\[r_1 = \\frac{44 + 112}{6} = \\frac{156}{6} = 26 \\qquad r_2 = \\frac{44 - 112}{6} = \\frac{-68}{6} < 0\\]\n\nPromień musi być dodatni, więc odrzucamy \\(r_2\\).\n\n**Promień okręgu wynosi \\(r = 26\\) cm.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy \\(r = 26\\) cm spełnia oba warunki zadania.\n\nDługość cięciwy: \\(l = r + 22 = 26 + 22 = 48\\) cm\n\nPołowa cięciwy: \\(\\frac{l}{2} = 24\\) cm\n\nOdległość środka od cięciwy (z twierdzenia Pitagorasa):\n\\[d = \\sqrt{r^2 - \\left(\\frac{l}{2}\\right)^2} = \\sqrt{26^2 - 24^2} = \\sqrt{676 - 576} = \\sqrt{100} = 10 \\text{ cm}\\]\n\nWarunek zadania: odległość = 10 cm ✓\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C \\text{ jest prosty})\\]\nUżyliśmy go do zapisania związku między promieniem, połową cięciwy i odległością środka od cięciwy.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad r = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy go do rozwiązania równania \\(3r^2 - 44r - 884 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadła z środka na cięciwę dzieli ją na **dwie równe połowy** - do wzoru Pitagorasa wstawia się \\(\\frac{l}{2}\\), nie \\(l\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdź, czy oba są geometrycznie sensowne. Promień musi być **dodatni**, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((r+22)^2 = r^2 + 44r + 484\\) pamiętaj o środkowym członie \\(2 \\cdot r \\cdot 22 = 44r\\) - tu łatwo o błąd rachunkowy.\n\n**Odpowiedź:** \\(r = 26\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nOznaczmy końce cięciwy \\(A, B\\), środek okręgu \\(S\\), promień \\(r\\), długość cięciwy \\(x = |AB|\\). Niech \\(M\\) będzie środkiem cięciwy.\n\nOdcinek \\(SM\\) jest prostopadły do cięciwy \\(AB\\), a \\(|AM| = \\dfrac{x}{2}\\). W trójkącie prostokątnym \\(AMS\\):\n\\[|AS|^2 = |AM|^2 + |MS|^2,\\]\n\\[r^2 = \\left(\\dfrac{x}{2}\\right)^2 + 10^2.\\]\n\nZ treści zadania: \\(x = r + 22\\). Podstawiamy:\n\\[r^2 = \\left(\\dfrac{r+22}{2}\\right)^2 + 100,\\]\n\\[r^2 = \\dfrac{(r+22)^2}{4} + 100,\\]\n\\[4r^2 = (r+22)^2 + 400,\\]\n\\[4r^2 = r^2 + 44r + 484 + 400,\\]\n\\[3r^2 - 44r - 884 = 0.\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 44^2 + 4\\cdot 3\\cdot 884 = 1936 + 10608 = 12544 = 112^2.\\]\nPierwiastki:\n\\[r_1 = \\dfrac{44 - 112}{6} = \\dfrac{-68}{6} < 0 \\quad (\\text{odrzucamy}),\\]\n\\[r_2 = \\dfrac{44 + 112}{6} = \\dfrac{156}{6} = 26.\\]\n\nZatem \\(r = 26\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Równanie z \\(\\tfrac{3}{4}r^2\\) (wg klucza CKE)\n\\[r^2 = \\dfrac{1}{4}r^2 + 11r + 121 + 100,\\]\n\\[\\dfrac{3}{4}r^2 - 11r - 221 = 0.\\]\nMnożąc przez 4: \\(3r^2 - 44r - 884 = 0\\). \\(\\Delta = 784 = 28^2\\) Sprawdzenie: \\(\\Delta = 121 + 663 = 784\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 28\\).\n\\[r_2 = \\dfrac{11 + 28}{2\\cdot \\tfrac{3}{4}} = \\dfrac{39}{\\tfrac{3}{2}} = \\dfrac{39\\cdot 2}{3} = 26.\\]\n\n### Sprawdzenie\nDla \\(r = 26\\): cięciwa \\(x = 48\\), połowa \\(= 24\\). \\(r^2 = 676\\), \\(24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\\) ✓.\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** rozważenie trójkąta prostokątnego lub zapisanie \\(x = r + 22\\).\n- **2 pkt:** zapisanie \\(10^2 + \\left(\\tfrac{x}{2}\\right)^2 = r^2\\).\n- **3 pkt:** zapisanie równania z jedną niewiadomą.\n- **4 pkt:** obliczenie \\(r = 26\\).\n\n**Kluczowy fakt:** odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy jest prostopadły do cięciwy.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nDługość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole\npowierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α\njest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz\nrysunek). Oblicz cosinus kąta .\nα\nA\nB\nC\nD\nS\n6\n6\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza kąty między\nścianami wielościanu, między ścianami i odcinkami oraz między\nodcinkami takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości (9.a).\nZdający wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych z zastosowaniem trygonometrii (9.b).\nSchemat oceniania\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy:\n5\n5 .\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający\n• obliczy długość krawędzi bocznej ostrosłupa:\n3 10\nb =\nalbo\n• obliczy tgα\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa:\n9\nbh =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie pozwalające obliczyć wysokość ściany bocznej, np.:\n1\n2\n4\n6\n108\nbh\n⋅\n⋅⋅\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\n• zapisze zależność pomiędzy polem powierzchni bocznej a polem podstawy ostrosłupa\nlub pomiędzy polem ściany bocznej a polem podstawy ostrosłupa, np.:\n3\nb\np\nP\nP\n,\n3\n4\nś\np\nP\nP\nalbo\n• zapisze dwa równania:\n4\nc\np\nP\nP\ni\np\nc\nb\nP\nP\nP\n,\nalbo\n• obliczy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:\n108\nbP =\n,\nalbo\n• zapisze, że cos\nAO\nAS\nα =\n,\nalbo\n• obliczy długość przekątnej podstawy ostrosłupa lub połowę jej długości:\n6 2\nAC =\nlub\n3 2\nAO =\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe lub przy przepisywaniu (nie dotyczy\nprzepisywania wzorów z zestawu wzorów matematycznych), które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać\nza całe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) przyjęcie niepoprawnej zależności między polami ścian ostrosłupa:\n4\nb\np\nP\nP\n⋅\n,\n4\nś\np\nP\nP\n⋅\n,\nb) niepoprawne zastosowanie wzoru na pole trójkąta lub niepoprawne wyznaczenie pola\nkwadratu, lub niepoprawne wyznaczenie długości przekątnej kwadratu, lub\nniepoprawne zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej, ale niebędące\nskutkiem ujawnionego błędu rachunkowego,\nc) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nd) zastosowanie niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”,\ne) przyjęcie obliczonej wysokości ściany bocznej jako wysokości ostrosłupa,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia\ninnych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\n3. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 2. a ponadto popełnia błędy\nrachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej\n2 punkty.\n4. Jeżeli zdający przyjmuje inne niż wymienione w uwadze 2a niepoprawne zależności\nmiędzy polami ścian ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 pkt.\n5. Jeżeli zdający poprawnie ustala zależności między polami ścian ostrosłupa, ale przy\nobliczaniu wysokości ściany bocznej ostrosłupa podstawi do wzoru niepoprawną wartość\nza pole, to otrzymuje co najwyżej 3 pkt, o ile nie popełni innych błędów i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca.\n6. Jeżeli zdający przyjmuje, bez stosownych komentarzy lub obliczeń, długości odcinków\nw ostrosłupie, na przykład zapisuje, że wysokość ostrosłupa jest równa przekątnej\npodstawy lub przyjmuje, że wysokość ściany bocznej jest równa 9, to może otrzymać za\ncałe rozwiązanie jedynie punkty za inne części rozwiązania, np.: za wyznaczenie długości\nprzekątnej podstawy lub za wyznaczenie cosinusa kąta.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZe wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy\n1\n2 6 2\n3 2\nAO =\n⋅\nPole podstawy ostrosłupa jest równe\n2\n6\n36\np\nP =\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest 4 razy większe od pola jego podstawy, więc\n4\n4 36\n144\nc\np\nP\nP\n⋅\nZatem pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe\n3 36\n108\nb\nc\np\nP\nP\nP\n⋅\nPole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe\n1\n2\n4\n4\n6\n12\nb\nBCS\nb\nb\nP\nP\nh\nh\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n,\nwięc\n12\n108\nbh\n⋅\n,\n9\nbh =\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BES otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n3\n9\n9\n9 10\nb\nb\nh\n⋅\n,\n3 10\nb =\nZ trójkąta AOS otrzymujemy\n3 2\n5\ncos\n5\n3 10\nAO\nAS\nα =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria + objętość ostrosłupa\n\n**Dane:** krawędź boczna \\(SA = 12\\), kąt między krawędzią boczną a wysokością: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\).\n\n**Krok 1 - Wyznaczenie wysokości \\(h\\) i promienia opisanego na podstawie**\n\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wierzchołek \\(S\\), środek podstawy \\(O\\) i wierzchołek \\(A\\) tworzą trójkąt prostokątny z kątem prostym przy \\(O\\):\n\n\\[SA = 12, \\quad SO = h, \\quad OA = \\text{połowa przekątnej podstawy}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) jest przy wierzchołku \\(S\\) (między krawędzią boczną a wysokością), więc:\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{OA}{SO} = \\frac{OA}{h} = \\frac{2}{\\sqrt{5}}\\]\n\nStąd: \\(OA = \\dfrac{2h}{\\sqrt{5}}\\)\n\n**Krok 2 - Zastosowanie tw. Pitagorasa w trójkącie SAO**\n\n\\[SA^2 = SO^2 + OA^2\\]\n\\[144 = h^2 + \\left(\\frac{2h}{\\sqrt{5}}\\right)^2 = h^2 + \\frac{4h^2}{5} = h^2\\left(1 + \\frac{4}{5}\\right) = \\frac{9h^2}{5}\\]\n\\[h^2 = \\frac{144 \\cdot 5}{9} = 80 \\implies \\mathbf{h = 4\\sqrt{5}}\\]\n\n**Krok 3 - Długość boku podstawy**\n\n\\[OA = \\frac{2h}{\\sqrt{5}} = \\frac{2 \\cdot 4\\sqrt{5}}{\\sqrt{5}} = 8\\]\n\n\\(OA\\) to połowa przekątnej kwadratu o boku \\(a\\):\n\n\\[\\frac{a\\sqrt{2}}{2} = 8 \\implies a = \\frac{16}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 4 - Pole podstawy i objętość**\n\n\\[P_p = a^2 = (8\\sqrt{2})^2 = 128\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 128 \\cdot 4\\sqrt{5} = \\boxed{\\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez sin i cos (z tożsamości trygonometrycznej)\n\n**Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) ze znajomości \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\)**\n\nMamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\). Konstruujemy trójkąt pomocniczy: przyprostokątne \\(2\\) i \\(\\sqrt{5}\\), przeciwprostokątna:\n\n\\[\\text{hypot} = \\sqrt{(\\sqrt{5})^2 + 2^2} = \\sqrt{5 + 4} = 3\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\]\n\n**Wysokość z funkcji trygonometrycznej:**\n\nW trójkącie SAO: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{SO}{SA} = \\dfrac{h}{12}\\), więc:\n\n\\[h = 12\\cos\\alpha = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{5}}{3} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n**Połowa przekątnej:**\n\n\\[OA = 12\\sin\\alpha = 12 \\cdot \\frac{2}{3} = 8\\]\n\n**Bok podstawy:** \\(a = \\dfrac{2 \\cdot OA}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{16}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{2}\\), więc \\(P_p = 128\\).\n\n**Weryfikacja krawędzi:** \\(\\sqrt{h^2 + OA^2} = \\sqrt{80 + 64} = \\sqrt{144} = 12\\) ✓\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot 128 \\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyte w kroku 4 obu sposobów.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangens w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyległa do kąta}} = \\frac{OA}{h}\\]\nUżyte do ustalenia zależności między \\(h\\) a \\(OA\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(OA\\) to **połowa przekątnej** kwadratu, nie połowa boku! Przekątna kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a\\sqrt{2}\\), więc \\(OA = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Stąd \\(a = \\dfrac{2 \\cdot OA}{\\sqrt{2}}\\). Pominięcie \\(\\sqrt{2}\\) to najczęstszy błąd - skutkuje złym polem podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) jest między krawędzią boczną a **wysokością** (nie podstawą!). Jeśli pomylisz kąt z kątem przy podstawie, \\(\\operatorname{tg}\\alpha\\) zamieniają się miejscami - wtedy \\(OA\\) i \\(h\\) wychodzą odwrotnie i wynik jest błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o czynniku \\(\\dfrac{1}{3}\\) w objętości ostrosłupa - to częsty błąd przy przepisywaniu wzoru na walec (\\(V = P_p \\cdot h\\)) do ostrosłupa.\n\n**Odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Trójkąt \\(AOS\\) prostokątny\nOznaczamy krawędź podstawy \\(|AB| = a\\) i wysokość \\(|SO| = H\\).\n\nPrzekątna podstawy \\(|AC| = a\\sqrt{2}\\), więc \\(|AO| = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(AOS\\) (kąt prosty przy \\(O\\)):\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{|AO|}{|SO|} = \\dfrac{\\tfrac{a\\sqrt{2}}{2}}{H} = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2H}.\\]\nZ warunku \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\):\n\\[\\dfrac{a\\sqrt{2}}{2H} = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}} \\Rightarrow a = \\dfrac{4H}{\\sqrt{10}}.\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w \\(AOS\\):\n\\[H^2 + \\left(\\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\right)^2 = 12^2,\\]\n\\[H^2 + \\dfrac{a^2}{2} = 144.\\]\n\nPodstawiamy \\(a^2 = \\dfrac{16H^2}{10} = \\dfrac{8H^2}{5}\\):\n\\[H^2 + \\dfrac{4H^2}{5} = 144,\\]\n\\[\\dfrac{9H^2}{5} = 144,\\]\n\\[H^2 = 80 \\Rightarrow H = 4\\sqrt{5}.\\]\n\nStąd \\(a = \\dfrac{4\\cdot 4\\sqrt{5}}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{16\\sqrt{5}}{\\sqrt{10}} = \\dfrac{16}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{2}\\).\n\nObjętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}a^2 H = \\dfrac{1}{3}(8\\sqrt{2})^2\\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 128\\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trygonometryczny (\\(\\sin\\alpha, \\cos\\alpha\\))\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\): \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{3}\\), \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{3}\\) (bo \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\)).\n\nW trójkącie prostokątnym \\(AOS\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{|AO|}{|SA|} = \\dfrac{\\tfrac{a\\sqrt{2}}{2}}{12} = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{24},\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{H}{12}.\\]\n\nStąd:\n\\[\\dfrac{a\\sqrt{2}}{24} = \\dfrac{2}{3} \\Rightarrow a = \\dfrac{16}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{2},\\]\n\\[\\dfrac{H}{12} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{3} \\Rightarrow H = 4\\sqrt{5}.\\]\n\n\\[V = \\dfrac{1}{3}(8\\sqrt{2})^2\\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{1}{3}\\cdot 128\\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}.\\]\n\n### Sposób 3 - Oznaczenia proporcjonalne\nNiech \\(|AO| = 2x\\), \\(|SO| = \\sqrt{5}x\\) (spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{2x}{\\sqrt{5}x} = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\)).\nTwierdzenie Pitagorasa: \\((2x)^2 + (\\sqrt{5}x)^2 = 12^2\\), czyli \\(4x^2 + 5x^2 = 144\\), \\(9x^2 = 144\\), \\(x = 4\\).\nStąd \\(|SO| = H = 4\\sqrt{5}\\), \\(|AC| = 4x = 16\\), \\(a = \\dfrac{|AC|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{16}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{2}\\).\n\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot \\dfrac{|AC|^2}{2}\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot \\dfrac{256}{2}\\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{1}{6}\\cdot 256\\cdot 4\\sqrt{5} = \\dfrac{512\\sqrt{5}}{3}.\\]\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** zapis zależności między \\(a\\) i \\(H\\) (np. \\(\\tfrac{a\\sqrt{2}}{2H} = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\)) lub twierdzenia Pitagorasa.\n- **2 pkt:** dwa równania z niewiadomymi \\(a\\) i \\(H\\).\n- **3 pkt:** wyznaczenie \\(H = 4\\sqrt{5}\\) lub \\(a = 8\\sqrt{2}\\) lub \\(|AC| = 16\\).\n- **4 pkt:** obliczenie zarówno \\(H\\) jak i \\(a\\).\n- **5 pkt:** obliczenie objętości \\(V = \\tfrac{512\\sqrt{5}}{3}\\).\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym z \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\) można wziąć \\(|AO| = 2k\\), \\(|SO| = \\sqrt{5}k\\) - natychmiastowe rozwiązanie.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}