{"paper":{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":11,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (5 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem\n( )\n2\n3\n1\n2\nx\nf\nx\nx\nx\nx\n, dla każdej liczby rzeczywistej\n2\nx ≠-. Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"\nx\n-<\n1\n0\n\nx\n-<\n1\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (3 pkt)\nUdowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y, takich że x\ny\n<\n, i dowolnej\ndodatniej liczby rzeczywistej a prawdziwa jest nierówność\n2\nx\na\ny\ny\na\nx\n>\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"+\n\nx\n2\n>\n0\n+\n\nx\n2\n<\n0","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (3 pkt)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym\n. Na ramieniu AC tego trójkąta\nwybrano punkt M ( M\nA\n≠\ni M\nC\n≠\n), a na ramieniu BC wybrano punkt N, w taki sposób, że\n. Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego\ntrójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T. Udowodnij, że\n1\n2\nST\nAB\nAC\nBC\nAM\nCN\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"3\n2\n)\n⋅\n2\n2\n11 2\n⋅-\n2 2\n(\nm\n1\n)\n0\ni\n2\n⋅-\n(\n1\n)\n3\n(\nm\n3\n2\n) (\n⋅-\n1\n)\n2\n11\n⋅-\n(\n1\n)\n2 2\n(\nm\n1\n)\n6","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (5 pkt)\nCiąg (\n)\n, ,\na b c jest geometryczny, ciąg (\n)\n1,\n5,\na\nb\nc\njest malejącym ciągiem arytmetycznym\noraz\n39\na\nb\nc\n. Oblicz a, b, c.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"c\n29\na\n25\n. Wówczas ciąg (\na\n1,\nb\n5,\nc\n)\nma postać (\n5,15,25 . Nie jest to\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (6 pkt)\nDane są okręgi o równaniach\n2\n2\n12\n8\n43\n0\nx\ny\nx\ny\ni\n2\n2\n2\n2\n4\n77\n0\nx\ny\nax\ny\na\nWyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt\nwspólny. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (5 pkt)\nWielomian określony wzorem\n( )\n(\n)\n(\n)\n3\n3\n2\n2\n2\n11\n2 2\n1\nW x\nx\nm\nx\nx\nm\njest podzielny przez\ndwumian (\n)\n2\nx -\noraz przy dzieleniu przez dwumian (\n)\n1\nx +\ndaje resztę 6. Oblicz m oraz\npierwiastki wielomianu W dla wyznaczonej wartości m.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"a =\n6\n6 3\nlub\na =\n6\n6 3","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (4 pkt)\nRozwiąż równanie cos2\nsin\n1\nx\nx\n+ w przedziale 0,2π .\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"49","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (4 pkt)\nPunkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz\n16\nAC =\n,\n6\nAD =\n,\n14\nCD =\ni BC\nBD\nOblicz obwód trójkąta ABC.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"CF =\n8 3","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (6 pkt)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa f określona\nwzorem\n( )\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n3\nf\nx\nm\nx\nm\nx\nm\nma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\n1x ,\n2x spełniające warunek (\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n5\n1\nx\nx\nx x\n≥.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"16","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (3 pkt)\nZe zbioru {\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno ze zwracaniem trzy liczby. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie spośród trzech\nwylosowanych liczb będą równe. Wynik zapisz w postaci ułamka nieskracalnego.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (6 pkt)\nPodstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD, którego boki mają długości\n32\nAB =\ni\n18\nBC =\n. Ściany boczne ABS i CDS są trójkątami przystającymi i każda z nich jest nachylona\ndo płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem α . Ściany boczne BCS i ADS są trójkątami\nprzystającymi i każda z nich jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem β . Miary\nkątów α i β spełniają warunek: α\nβ\n= 90°. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego\nostrosłupa.\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom rozszerzony\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"a\n11 16\n)(\na\n11\na\n6\n)(\na\n11\na\n)\n(\na\n11\n)(\na\n5 5 11\n)\n⋅⋅","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}