{"paper":{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":33,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"1","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba przeciwna do liczby 1\n3\n2\nh jest równa\nA. 4\n2 3\nB. 4\n2 3\nC. 4\n2 3\nD. 4\n2 3","answer":"D","answer_text":"1 =\ni x\n8\n12\n8\n2\n5\n2 =\nSzkicujemy wykres trójmianu kwadratowego, uwzględniając obliczone pierwiastki i odpowiedni\nzwrot ramion paraboli:\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności na jeden z podanych sposobów:\n,\n,\nx\n2\n1\n2\n5\n,\n3\n3\n! -\nj\n• x\n2\n1\nG\nlub x\n2\n5\nH\n• graficznie z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów:\nII sposób\nPrzekształcamy nierówność kwadratową do postaci równoważnej\nx\n2\n3\n4\n2 H\nh\ni dalej\ndo\npostaci\nalternatywy\ndwóch\nnierówności\nliniowych:\nx\n2\n3\n2\nH\nlub\nx\n2\n3\n2\nG\n(lub nierówności |2x -3| H 2). Rozwiązujemy każdą z nierówności i otrzymujemy rozwiązanie, np.\nw postaci: x\n2\n5\nH\nlub x\n2\n1\nG\nIII sposób\nKorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:\nx\nx\nx\nx\nx\n2\n3\n4\n2\n3\n2\n2\n3\n2\n4\n2\n5\n2\n1\n2\nh\nh\nh\nj\nj. Zatem nierówność\nx\n2\n3\n4\n0\n2\nH\nh\nzachodzi dla x\n2\n5\nH\noraz dla x\n2\n1\nG\n1\n2\n5\n2\n0\n1\nx\n1\n2\n5\n2\n7 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\nobliczy pierwiastki trójmianu y\nx\nx\n4\n12\n5\n2\n+ : x\n2\n1\n1 =\ni x\n2\n5\n2 =\ni na tym poprzestanie lub\nbłędnie zapisze rozwiązanie nierówności\nalbo\nobliczy dwa różne pierwiastki trójmianu z błędami i konsekwentnie rozwiąże nierówność\nkwadratową\nalbo\nprzekształci nierówność do postaci alternatywy: x\n2\n3\n2\nH\nlub x\n2\n3\n2\nG\n- , a następnie rozwiąże\npoprawnie jedną z nich x\n2\n5\nH\nlub x\n2\n1\nG\nalbo\nprzekształci nierówność do postaci |2x -3| H 2\nalbo\nskorzysta ze wzoru na różnicę kwadratów\nx\n2\n3\n2\n2\n2\nh\ni przekształci nierówność do postaci:\nx\nx\n4\n2\n5\n2\n1\n0\nH\n`j\nj\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy wyznaczy bezbłędnie zbiór rozwiązań nierówności.\nZadanie 26. (0-2)\nDla kąta ostrego a dany jest cos\n3\n2\na =\n. Oblicz wartość wyrażenia\n1\ntg2a + .\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"2","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba odwrotna do liczby \n5\n5\n5\n,\n,\n3\n1 2 3\n0 8\n$\nh\njest równa\nA. -5.\nB. 5.\nC. 5\n1 .\nD.\n5\n1","answer":"C","answer_text":"2 9\n6\n3\n1\n0\n$\n. Najmniejsza wartość tej funkcji jest równa 0, a zatem nierówność jest prawdziwa\ndla dowolnej liczby rzeczywistej. A zatem teza twierdzenia jest prawdziwa dla dowolnej liczby\nrzeczywistej ujemnej.\nIV sposób\nPrzekształcamy lewą stronę danej nierówności:\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n9\n1\n9\n1\n9\n1\n6\n6\n3\n1\n6\n0\n6\n6\nL\nP\n2\n2\n2\nG\na\nk\nh\nPo przekształceniu otrzymujemy prawą stronę danej nierówności; znak nierówności możemy wstawić,\ngdyż  x\n3\n1\n0\n2 H\nh\ni x\nx\nx\n0\n3\n1\n0\n2\n&\n1\nG\nh\n12 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\nzapisze nierówność w postaci równoważnej\nx\nx\n3\n1\n0\n2\nG\nh\nalbo\nx\n3\n1\n0\n2 H\nh\nalbo\nzapisze nierówność w postaci równoważnej x\nx\n9\n6\n1\n0\n2\nH\ni obliczy wyróżnik\n0\nT = lub poda\nwspółrzędne wierzchołka paraboli.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy przeprowadzi pełny dowód, uwzględniając informację o równoważnym przekształceniu tezy oraz\nwniosek wynikający z równoważności otrzymanego wyrażenia oraz tezy.\nZadanie 30. (0-3)\nW kwadracie ABCD, w którym punkt E jest środkiem boku CD, poprowadzono przekątną BD\ni odcinek AE, które przecięły się w punkcie P. Uzasadnij, że suma pól trójkątów ABP i DEP stanowi\n12","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"3","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWartość bezwzględna liczby 3 2\n5\n- jest równa\nA. 3 2\n5\nB. 5\n3 2\nC. 3 2\n5\nD. 3 2\n5","answer":"B","answer_text":"3 .\n2\n3\na","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"4","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nKwotę 3000 zł ulokowano w banku na lokacie oprocentowanej 2% w stosunku rocznym, przy czym\nodsetki są kapitalizowane co pół roku (nie uwzględniamy podatku od odsetek kapitałowych). Po\ntrzech latach stan tej lokaty wyniesie\nA. 3000\n1\n100\n2\n3\n$\nj zł.\nB. 3000\n1\n100\n1\n3\n$\nj zł.\nC. 3000\n1\n100\n2\n6\n$\nj zł.\nD. 3000\n1\n100\n1\n6\n$\nj zł.","answer":"D","answer_text":"4 2\nObliczamy objętość ostrosłupa: V\na\nH\n3\n1\n3\n1 16 4 2\n3\n64\n2\n2 $\n$\n$\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania\n1 pkt\nZdający zapisze zależność pomiędzy długościami dwóch odcinków, wynikającą z podanej wartości\ncosinusa.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający obliczy długość krawędzi podstawy a\n4\n= lub wysokość ściany bocznej h\n6\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta ABS: H\na\nh\n2\n1\n2\n2\n2\nj\ni obliczy wysokość\nostrosłupa H\n4 2\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający obliczy objętość ostrosłupa V\n3\n64\n2\n18 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"5","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem  rozwiązań  nierówności   x\n3\n0\n2 G\nh\n  jest\nA. R.\nB. {-3}.\nC. zbiór pusty.\nD. ( 3\n,\n3","answer":"B","answer_text":"5 pola kwadratu ABCD.\nV. Rozumowanie i argumentacja. 7.3. Planimetria.\nZdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także\nw kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów.\nGIMNAZJUM\n10.9. Figury płaskie.\nZdający oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzyjmujemy oznaczenia a - długość boku kwadratu, h1 - odległość punktu P od boku AB,\nh2 - odległość punktu P od boku CD.\nMożemy zapisać pola trójkątów ABP i DEP w postaci, P\na h\n2\n1\nABP\n1\n$\n, P\na h\n2\n1\n2\n1\nDEP\n2\n$\n$\noraz pole kwadratu P\na\nABCD\n2\nA\nB\nD\nC\nE\nP\nA\nB\nD\nC\nE\nP\nh1\nh2\n13 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nTrójkąty ABP i DEP są podobne (na podstawie cechy kkk) w skali k\n2\n= (lub w skali k\n2\n1\n), czyli\nh\nh\n2\n2\n1 = , a stąd mamy h\na\n3\n2\n1 =\ni h\na\n3\n1\n2 =\nSuma pól trójkątów ABP i DEP jest więc równa\nP\nP\na\na\na\na\na\na\na\na\na\nP\n2\n1\n3\n2\n2\n1\n2\n1\n3\n1\n3\n1\n12\n1\n12\n4\n12\n1\n12\n5\n12\n5\nABP\nDEP\nABCD\n2\n2\n2\n2\n2\n$\n$\n$\n$\nA zatem suma pól trójkątów ABP i DEP stanowi 12\n5 pola kwadratu.\nII sposób\nTrójkąty ABP i EDP są podobne, bo mają takie same kąty. Skala podobieństwa to ED\nAB\n2\n= , więc\nBP\nDP\n2\n, AP\nPE\n2\n. Niech S będzie polem ∆EDP. Wtedy:\nP\nP\nS\n2\n2\nAPD\nEDP\n- ta sama wysokość z wierzchołka D, podstawa 2 razy dłuższa,\nP\nS\n4\nABP =\n- skala podobieństwa,\nP\nP\nP\nS\n2\n12\nABCD\nAPD\nABP\nh\ni P\nP\nS\n5\nEDP\nABP\nStąd teza.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zauważy podobieństwo trójkątów ABP i DEP i obliczy skalę podobieństwa.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy:\nzapisze pola trójkątów ABP i DEP w zależności od długości boku kwadratu a: P\na\na\n2\n1\n3\n2\nABP\n$\ni P\na\na\n2\n1\n2\n1\n3\n1\nDEP\n$\n$\nalbo\nzapisze pola trójkąta ABP oraz kwadratu ABCD jako wielokrotności pola trójkąta DEP.\nZdający otrzymuje\n3 pkt\ngdy uzasadni tezę.\nZadania 31. (0-4)\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeżeli wierzchołek paraboli, która jest\njej wykresem, znajduje się w punkcie\n,\nW\n5\n1\nh oraz funkcja ta w przedziale\n,2 2\nosiąga\nnajmniejszą wartość równą 4\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający:\n9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych\ninformacji o tej funkcji lub o jej wykresie;\n10) interpretuje współczynniki występujące we wzorze\nfunkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej\ni w postaci iloczynowej (o ile istnieje);\n11) wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji\nkwadratowej w przedziale domkniętym.\n14 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ wierzchołek paraboli znajduje\nsię w punkcie\n,\nW\n5\n1\nh, to wzór funkcji\nkwadratowej możemy zapisać w postaci\nkanonicznej y\na\nx\n1\n5\n2\n$\nh\nZ informacji o wartości najmniejszej tej funkcji w przedziale\n,2 2\nwynika (np. na podstawie\nwykresu i analizy własności funkcji kwadratowej), że do wykresu funkcji należy punkt\n,\nP\n2\n4\nh.\nJego współrzędne spełniają więc powyższe równanie, a zatem otrzymujemy\na\n4\n2\n1\n5\n2\n$\nh\n,\nktóre doprowadzamy do postaci\na\n9\n9\nJego rozwiązaniem jest\n1\na = - . Szukany wzór funkcji kwadratowej to\n5\ny\nx\n1 2\nh\nPo przekształceniu go do postaci ogólnej otrzymujemy\nx\nx\n2\n4\ny\n2\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania\n1 pkt\nZdający zapisze wzór funkcji kwadratowej w postaci y\na\nx\n1\n5\n2\n$\nh\nalbo\nzauważy, że do wykresu funkcji należy punkt\n,\nP\n2\n4\nh.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający zapisze wzór funkcji kwadratowej w postaci y\na\nx\n1\n5\n2\n$\nh\ni zauważy, że do wykresu\nfunkcji należy punkt\n,\nP\n2\n4\nh.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wykorzysta punkt\n,\nP\n2\n4\nh i zapisze równanie\na\n2\n1\n4\n5\n2\n$\nh\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający wyznaczy z równania\n1\na = - i przekształci wzór funkcji do postaci ogólnej\nx\nx\n2\n4\ny\n2\nZadanie 32. (0-5)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są wierzchołki podstawy A = (2, 1) i B = (6, 5) oraz wysokość\nCD\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"6","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nWyrażenie\nx\ny\nx\ny\n3\n3\n2\n2\nh\nh jest równe wyrażeniu\nA. x\ny\n8\n8\n2\n2\nB.\nxy\nx\ny\n12\n8\n8\n2\n2\nC. y\nx\n8\n8\n2\n2\nD.\nxy\nx\ny\n12\n8\n10\n2\n2\n\n3 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n4 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"A","answer_text":"= i wyznaczy równanie prostej CD:\n1\ny = -\nx\n7","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"7","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nUkład równań liniowych\nx\ny\nx\ny\n2\n4\n3\n3\n6\n4\n(\nA. nie ma rozwiązania.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"A","answer_text":"7 2\n. Oblicz współrzędne wierzchołka C, jeżeli wiadomo, że obie te współrzędne są dodatnie.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane\npunkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa\nlub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej\ni przechodzi przez dany punkt;\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n6) oblicza odległość dwóch punktów.\ny\nx\n1\n0\n1\nP = (\n)\n2, -4\nW = (\n)\n-1, 5\n15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązanie\nSpodek wysokości D jest środkiem boku AB, a zatem jego współrzędne to:\n,\n,\nD\n2\n2\n6\n2\n1\n5\n4 3\nj\nh.\nWspółczynnik kierunkowy prostej AB jest równy a\n6\n2\n5\n1\n1\n1 =\n= . Prosta CD jest do niej prostopadła,\na więc jej współczynnik kierunkowy jest równy a\n1\n2 =- i przechodzi przez punkt\n,\nD\n4 3\nh.\nRównanie tej prostej możemy zapisać w postaci kierunkowej y\nx\nb\n=- + i dalej\nb\n3\n4\n=- + , b\n7\n= ,\na stąd otrzymujemy y\nx\n7\nDo obliczenia współrzędnych wierzchołka C wykorzystujemy fakt, że leży on na prostej CD i jego\nodległość od punktu D jest dana.\nMożemy oznaczyć współrzędne wierzchołka\n,\nC\nx\nx\n7\nh i wyznaczyć wysokość\nCD\nx\nx\n4\n7\n3\n2\n2\nh\nh .\nRozwiązujemy równanie\nx\nx\n2\n7\n4\n7\n3\n2\n2\nh\nh :\nx\n49\n2\n4\n2\n2\n$\nh\nx\n4\n49\n4 2\nh\nx\n4\n2\n7\nlub x\n4\n2\n7\nx\n7 2\n1\nlub x\n2\n1\nWierzchołek C ma zatem współrzędne:\n,\nC\n7 2\n1\n2\n1\nj lub\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj.\nWarunek zadania spełnia tylko punkt\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj, a zatem jest on jedynym rozwiązaniem zadania.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania\n1 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n,\nD\n4 3\nh\nalbo\nobliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a\n6\n2\n5\n1\n1\n1 =\n= i wyznaczy równanie prostej CD:\nx\n7\ny = -\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n,\nD\n4 3\nh oraz obliczy współczynnik kierunkowy prostej\nA: a\n6\n2\n5\n1\n1\n1 =\n= i wyznaczy równanie prostej CD:\nx\n7\ny = -\nA = (\n)\n2, 1\nD\nB = (\n)\n6, 5\nC\n16 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze współrzędne wierzchołka\n,\nC\nx\nx\n7\nh i zapisze równanie z jedną niewiadomą,\nnp.\nx\nx\n2\n7\n4\n7\n3\n2\n2\nh\nh .\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania\n4 pkt\nZdający rozwiąże równanie\nx\n2\n49\n2\n4 2\n$\nh i otrzyma dwa rozwiązania\nx\n7 2\n7\n1 =\nlub x\n2\n1\n2 =\nalbo\nrozwiąże zadanie do końca z usterkami rachunkowymi (także na wcześniejszych etapach).\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne wierzchołka\n,\nC\n7 2\n1\n2\n1\nj lub\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj oraz uwzględni, że\nwarunki zadania spełnia tylko wierzchołek\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj.\nZadanie 33. (0-4)\nW ostrosłupie czworokątnym prawidłowym pole jednej ściany bocznej jest równe 12, a cosinus kąta\nnachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 3\n1 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający:\n4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nścianami;\n6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar\nkątów, pól powierzchni i objętości.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia: a - długość krawędzi podstawy ostrosłupa, H - wysokość ostrosłupa,\nh - wysokość ściany bocznej i α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.\nRysunek:\nW ABS\n3\nwyznaczamy cos\nh\na\n2\n1\na =\n, a następnie zapisujemy równanie h\na\n2\n1\n3\n1\n, skąd\notrzymujemy h\na\n2\n3\nWykorzystujemy wzór na pole ściany bocznej:\na h\n2\n1\n12\n$\n, z którego po podstawieniu h\na\n2\n3\n,\notrzymujemy\na\na\n2\n1\n2\n3\n12\n$\ni dalej\na\n4\n12\n3\n2 =\n, a stąd a\n16\n2 =\n, czyli a\n4\n= . Ponieważ h\na\n2\n3\n, więc\nh\n6\nB\nS\nA\nH\nh\na\n17 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nAby obliczyć wysokość H ostrosłupa, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego\nABS. Otrzymujemy: H\na\nh\n2\n1\n2\n2\n2\nj\nI dalej: H\n2\n6\n2\n2\n2\nH\n32\n2 =\nH","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"8","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nIloczyn wszystkich pierwiastków równania\nx\nx\nx\n2\n3\n2\n0\n2\n^h\nh\njest równy\nA.\n3\n4\nB. 0.\nC. 3.\nD. 3","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"9","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nW trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 5, a przeciwprostokątna ma\ndługość 13. Sinus większego kąta ostrego tego trójkąta jest równy\nA. 13\n12 .\nB. 13\n5 .\nC. 13\n5 .\nD. 12\n5 .","answer":"A","answer_text":"9 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nZadanie 27. (0-2)\nZe zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od 30 losujemy dwa razy po jednej liczbie bez\nzwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby\nsą podzielne przez 3.\nIII. Modelowanie matematyczne. 10.3. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający oblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach,\nstosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa.\nPrzykładowe rozwiązanie\nW zbiorze liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od 30 znajduje się 29\n9\n20\nliczb. Wśród\nnich liczby podzielne przez 3 to: 12, 15, 18, 21, 24, 27. Jest ich 6.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na dwukrotnym losowaniu\nliczb bez zwracania ze zbioru 20-elementowego jest równa\n20 19\n380\n$\nX =\n. Liczba wszystkich\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A to A\n6 5\n30\n$\nW doświadczeniu mamy do czynienia z modelem klasycznym (zdarzenia elementarne są jednakowo\nprawdopodobne), a więc obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A, korzystając z definicji\nklasycznej: P A\nA\n380\n30\n38\n3\nX\n^ h\nUwaga\nObliczanie iloczynów 20 19\n$\noraz 6 5\n$ jest zbędne - ułamki można skracać:\nP A\n20 19\n6 5\n2 19\n3\n38\n3\n$\n$\n$\n^ h\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy wyznaczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia\n20 19\n380\n$\nX =\nalbo liczbę\nwszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: A\n6 5\n30\n$\n(przy czym może je\nzostawić w postaci iloczynów).\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P A\n38\n3\n^ h\nZadanie 28. (0-2)\nW ciągu arytmetycznym an\nh, określonym dla n\n1\nH , dane są wyrazy\n2\na2 = - i a\n7\n5 = . Oblicz sumę\nwyrazów tego ciągu od piątego do dwudziestego.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n5.3. Ciągi.\nZdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nDane wyrazy ciągu arytmetycznego i zastosowanie wzoru na n-ty wyraz tego ciągu daje układ równań\na\nr\n2\n1 + =-\na\nr\n4\n7\n1 +\n(\n, z którego, po odjęciu równań stronami, otrzymujemy 3r = 9. Rozwiązanie tego układu\nto r = 3 i a\n5\n1 =- .\n10 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nSumę wyrazów tego ciągu od piątego do dwudziestego obliczamy, korzystając ze wzoru na sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.\nSuma ta jest równa:\nS\nS\n2\n2\n5\n19 3 20\n2\n2\n5\n3 3 4\n47 10\n1\n2\n470\n2\n472\n20\n4\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\nh\nh\nh\nII sposób\nDla ciągu arytmetycznego możemy zapisać równanie a\nr\na\n3\n2\n5\n, czyli\nr\n2\n3\n7\n= i dalej r\n3\nWyrazy od piątego do dwudziestego ciągu an\nh, których sumę należy obliczyć, można potraktować\njako kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego bn\nh, w którym b\na\n7\n1\n5\n= i b\na\na\nr\n15\n16\n20\n5\n7","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"10","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nPrzyjmijmy, że log\np\n5 = . Wtedy\nA.\nlog\np\n1\n2\n1\nB.\nlog\np\n2\n2\n4\n1\nC.\nlog\np\n1\n20\n1\nD.\nlog\np\n2\n4\n1\n2 -","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykres funkcji liniowej f x\nx\n2\n1\n^ h\nprzesunięto o trzy jednostki w prawo wzdłuż osi OX.\nOtrzymano wykres funkcji\nA.\nx\n2\n7\ny = -\nB.\nx\n2\n4\ny = -\nC.\nx\n2\n5\ny = -\nD.\nx\n2\n2\ny = -","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja liniowa f x\nx\nb\n3\n2\n^ h\ni funkcja liniowa g x\nx\n2\n1\n2\n^ h\nmają to samo miejsce zerowe.\nWynika stąd, że\nA. b\n12\nB.\n12\nb = -\nC. b\n6\nD.\n6\nb = - .\n\n5 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n6 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nOsią symetrii wykresu pewnej funkcji kwadratowej jest prosta o równaniu\n3\nx = - , a wartość\nnajwiększa tej funkcji jest równa 4. Który ze wzorów może opisywać tę funkcję kwadratową?\nA. y\nx\n2\n3\n4\n2\n$\nh\nB.\n2\n4\n$\ny\nx\n3 2\nh\nC.\n2\n4\n$\ny\nx\n3 2\nh\nD.\n2\n4\n$\ny\nx\n3 2\nh","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDo wykresu funkcji wykładniczej y\nax\nnależy punkt\n,\nA\n3\n1 2\nj. Wynika stąd, że a jest równe\nA.\n2\n3\n1\nB. 8\n1 .\nC. 8.\nD. 2 3\n1","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest wykres funkcji y\nf x\n= ^ h.\nZbiorem wartości funkcji f(x) jest przedział\nA.\n,2 2\nB.\n,2 2\nh .\nC.\n,2 2\nD.\n,2 2\nh .","answer":"A","answer_text":"15 3\n52\n$\nDla ciągu bn\nh obliczamy sumę S\n2\n7\n52 16\n59 8\n472\n16\n$\n$\nIII sposób\nMożemy zapisać równanie a\nr\na\n3\n2\n5\n, czyli\nr\n2\n3\n7\n= i dalej r\n3\nMamy obliczyć sumę:\na\na\na\na\na\nr\na\nr\n15\n5\n6\n20\n5\n5\n5\nh\nh\na\nr\n16\n1\n2\n15\n16 7\n2\n15 16 3\n112\n45 8\n472\n5\n$\n$\n$\n$\nh\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\nobliczy r\n3\n= i a\n5\n1 = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu a1 i r i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca.\nalbo\nobliczy r\n3\n= i poda b\na\n7\n1\n5\nalbo\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy:\nobliczy sumę wyrazów tego ciągu (an) od piątego do dwudziestego (472)\nalbo\nobliczy sumę wyrazów ciągu (bn) od pierwszego do szesnastego (472).\nZadania 29. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej x prawdziwa jest nierówność\nx\nx\n9\n1\n6\nG\nV. Rozumowanie i argumentacja. 2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb 2\n!\nh\noraz a\nb\n2\n2\n11 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x\nx\n9\n1\n6\nG\n- . Przekształcamy\ntezę do postaci równoważnej.\nx\nx\n9\n1\n6\n0\nG\nx\nx\nx\n9\n1\n6\n0\n2\nG\nx\nx\n3\n1\n0\n2\nG\nh\nOtrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej, bo kwadrat każdej\nliczby rzeczywistej jest nieujemny, a iloraz liczby nieujemnej i liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą\nniedodatnią. A zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód.\nII sposób\nNiech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x\nx\n9\n1\n6\nG\n- . Przekształcamy\ntezę do postaci równoważnej.\nx\nx\n9\n1\n6\n0\nG\nx\nx\nx\n9\n1\n6\n0\n2\nG\n,\nx\nx\nx x\n3\n1\n0\n0\n2\n$\n1\nG\n;\nh\n(z założenia)\nx\n3\n1\n0\n2 H\nh\nOtrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej, bo kwadrat każdej liczby\nrzeczywistej jest nieujemny. A zatem teza twierdzenia jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej\nujemnej.\nIII sposób\nNiech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x\nx\n9\n1\n6\nG\n- . Przekształcamy\ntezę do postaci równoważnej.\nx\nx\n9\n1\n6\n0\nG\n,\nx\nx\nx\nx x\n9\n1\n6\n0\n0\n2\n$\n1\nG\n;\n(z założenia)\nx\nx\n9\n6\n1\n0\n2\nH\nRozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.\nObliczamy wyróżnik\n6\n4 9 1\n36\n36\n0\n2\n$\n$\nT =\n= trójmianu x\nx\n9\n6\n1\n2 +\n+ i pierwiastek podwójny:\nx","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"16","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nW niemonotonicznym ciągu geometrycznym dane są wyrazy a\n16\n4 =\ni a\n1\n6 = . Piąty wyraz tego\nciągu jest równy\nA. 8\nB. 4\nC. 4.\nD. 8.","answer":"B","answer_text":"1\n2\n15\nh\nr\n16 7\n$\n15 16 3\n2\n$\n$\n112\n45 8\n$\n472","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"17","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nRóżnica r ciągu arytmetycznego o wzorze ogólnym a\nn\n5\n3\nn =\n(n\n1\nH ) wynosi\nA. 5.\nB. 3.\nC. 2.\nD. 3","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"18","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest okrąg o środku\n,\nS\n4\n3\nh i promieniu r\n5\n= . Liczba wszystkich punktów wspólnych tego\nokręgu z osiami układu współrzędnych jest równa\nA. 1.\nB. 2.\nC. 3.\nD. 4.\n\n7 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n8 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"19","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDana jest prosta o równaniu\nx\ny\n2\n4\n3\n0\n= . Wskaż równanie prostej, która jest do niej\nrównoległa i przechodzi przez punkt P = (0, 2\n- ).\nA. y\nx\n2\n1\n2\nB.\nx\n2\ny\n2\n1\nC. y\nx\n2\n2\nD.\nx\n2\ny\n2\n1","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"20","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest romb, w którym kąt ostry ma miarę 45°, a wysokość wynosi 6 cm. Ile wynosi pole tego\nrombu?\nA. 36 2 cm2\nB. 36 cm2\nC. 24 2 cm2\nD. 18 2 cm2","answer":"A","answer_text":"S\n4\n2\n$\n2\n$\n47 10\n$\n1\nh\n$\n2\n470\n2\n472","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"21","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nMiara kąta środkowego w okręgu jest o 40° większa od miary kąta wpisanego opartego na tym\nsamym łuku. Ile wynosi miara kąta wpisanego?\nA. 80°\nB. 40°\nC. 20°\nD. 10°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"22","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nZ połowy koła o promieniu 10 zbudowano powierzchnię boczną stożka. Ile wynosi promień\npodstawy tego stożka?\nA. 10\nB. 5\nC. 10\nD. 5","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"23","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nJeśli graniastosłup ma 12 ścian, to liczba jego krawędzi jest równa\nA. 20.\nB. 27.\nC. 30.\nD. 36.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"24","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek\nrównej 8 wynosi\nA. 18\n1 .\nB. 12\n1 .\nC. 9\n1 .\nD. 36\n5 .\n\n9 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n10 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"25","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-2)\nRozwiąż nierówność\nx\n2\n3\n4\n0\n2\nH\nh\nOdpowiedź:\n\n11 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\left\\langle \\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right)$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"26","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nDla kąta ostrego a dany jest cos\n3\n2\na =\n. Oblicz wartość wyrażenia\n1\ntg2a + .\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n25\n26\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\dfrac{3}{2}$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":11,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"27","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nZe zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych mniejszych od 30 losujemy dwa razy po jednej liczbie\nbez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, w którym obie wylosowane liczby będą\npodzielne przez 3.\nOdpowiedź:\n\n13 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n27\n28\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\dfrac{3}{38}$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"28","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nW ciągu arytmetycznym an\nh określonym dla n\n1\nH , dane są wyrazy\n2\na2 = - i a\n7\n5 = . Oblicz sumę\nwyrazów tego ciągu, od wyrazu piątego do wyrazu dwudziestego.\nOdpowiedź:\n\n14 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$472$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej prawdziwa jest nierówność\nx\nx\n9\n1\n6\nG\n\n15 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n29\n30\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"30","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nW kwadracie ABCD, w którym punkt E jest środkiem boku CD, poprowadzono przekątną BD\ni odcinek AE, które przecięły się w punkcie P. Uzasadnij, że suma pól trójkątów ABP i DEP stanowi\n12\n5 pola kwadratu ABCD.\nA\nB\nD\nC\nE\nP\n\n16 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"31","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeżeli wierzchołek paraboli, która jest jej\nwykresem, znajduje się w punkcie\n,\nW\n5\n1\nh, a ta funkcja w przedziale\n,2 2\nosiąga najmniejszą\nwartość równą 4\n\n17 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n31\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\nOdpowiedź:\n\n18 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$y = -x^{2} - 2x + 4$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"32","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-5)\nW trójkącie równoramiennym ABC dane są wierzchołki podstawy A = (2, 1)  i  B = (6, 5) oraz\nwysokość  CD\n2\n7 2\n. Oblicz współrzędne wierzchołka C, jeżeli wiadomo, że obie te współrzędne\nsą dodatnie.\n\n19 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n32\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\nOdpowiedź:\n\n20 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$C = \\left(\\dfrac{1}{2}, 6\\dfrac{1}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"33","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nW ostrosłupie czworokątnym prawidłowym pole jednej ściany bocznej wynosi 12, a cosinus kąta\nnachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 3\n1 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\n\n21 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n33\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\nOdpowiedź:\n\n22 z 22\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nCopyright by Nowa Era Sp. z o.o.\nWYPEŁNIA SPRAWDZAJĄCY\nNr\nzad.\nPunkty\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n25\n26\n27\n28\n29\n30\n31\n32\n33\nKARTA ODPOWIEDZI\nWYPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY\nUprawnienia ucznia do:\ndostosowania kryteriów oceniania.\nnieprzenoszenia zaznaczeń na kartę.\nNr\nzad.\nOdpowiedzi\n1\nA\nB\nC\nD\n2\nA\nB\nC\nD\n3\nA\nB\nC\nD\n4\nA\nB\nC\nD\n5\nA\nB\nC\nD\n6\nA\nB\nC\nD\n7\nA\nB\nC\nC\n8\nA\nB\nC\nD\n9\nA\nB\nC\nD\n10\nA\nB\nC\nD\n11\nA\nB\nC\nD\n12\nA\nB\nC\nD\n13\nA\nB\nC\nD\n14\nA\nB\nC\nD\n15\nA\nB\nC\nD\n16\nA\nB\nC\nD\n17\nA\nB\nC\nD\n18\nA\nB\nC\nD\n19\nA\nB\nC\nD\n20\nA\nB\nC\nD\n21\nA\nB\nC\nD\n22\nA\nB\nC\nD\n23\nA\nB\nC\nD\n24\nA\nB\nC\nD\nWPISUJE ZDAJĄCY\nsymbol zdającego\nKOD ZDAJĄCEGO\nsymbol klasy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = \\dfrac{64}{3}\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}