{"paper":{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 4log2 jest równa\nA. 2\n1\nB. 2\n2 2\nC. 3\n2 2\nD. 3\n2 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający:\nP6) wykorzystuje definicję logarytmu i stosuje\nw obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm\nilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym;\nR2) stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz\nwzór na zamianę podstawy logarytmu.\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\nx\nx\nx\njest dla każdego x\n0\n!\nA. dodatnia.\nB. nieujemna.\nC. ujemna.\nD. niedodatnia.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie\ninformacji.\nR1.1. Liczby rzeczywiste.\nZdający wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej\ninterpretację geometryczną […].\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nCiąg liczb rzeczywistych\n,\n,\na a\n1\n2\n jest zdefiniowany warunkami a\n1\n1 = oraz a\na\n99\nn\nn\n3\n3\n1\nh\nh\ndla n\n1\nH . Wówczas wyraz a100 jest równy\nA. 3333.\nB. 3399.\nC. 9933.\nD. 9999.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n5. Ciągi. Zdający:\nP4) stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę wyrazów ciągu\ngeometrycznego;\nR1) wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem\nrekurencyjnym.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nWskaż zbiór wszystkich rozwiązań równania cos\ncos\ncos\n3\n5\n3\na\na\na\nh\nh\nh\nA. {\nn 60\n$\nc\na a =\n, n jest dowolną liczbą całkowitą}\nB. {\nn 90\n$\nc\na a =\n, n jest dowolną liczbą całkowitą}\nC. {\nn 180\n$\nc\na a =\n, n jest dowolną liczbą całkowitą}\nD. {\nn 360\n$\nc\na a =\n, n jest dowolną liczbą całkowitą}","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR6. Trygonometria. Zdający:\n2) wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus,\nkosinus i tangens dowolnego kąta o mierze wyrażonej\nw stopniach lub radianach […];\n3) wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych.\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz granicę ciągu o wyrazie a\nn\nn\nn\nn\n2\n1\n5\n20\n00\n0\nn =\ni.\nW poniższe kratki wpisz kolejno cyfry wyniku.\n2\n1\n1\nc\nm\n\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\n3 z 20\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n1\n2\n3\n4\n5\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n1\n1\n2\nUzyskana liczba pkt\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\n4 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji\nR5.2. Ciągi.\nZdający oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów\ntypu n\n1 , n\n1\n2 oraz z twierdzeń o działaniach na granicach\nciągów.\n101\nUwaga. Zdający otrzymuje 2 punkty wyłącznie po udzieleniu poprawnej odpowiedzi. Nie przyznaje się\npunktów za cząstkowe elementy rozwiązania.\n2 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki zadania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nWyznacz parę liczb ,p q\nR\n!\ntak, by wielomian x\npx\nq\n4\n2\n+ był podzielny przez trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\nOdpowiedź:\n\n5 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n3) rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia\nlub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;\n4) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany.\nR3.4. Równania i nierówności.\nZdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez\ndwumian.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nJeśli\nx\npx\nq\nx\nx\nx\nbx\nc\nx\nb x\nb\nc x\nb\nc x\nc\n6\n5\n6\n5\n6\n5\n6\n5\n4\n2\n2\n2\n4\n3\n2\nh\nh\nh\nh\nh\ndla każdego x\nR\n!\n, to współczynniki po obu stronach równości przy tych samych potęgach x są równe,\nczyli\nb\n6\n0\n= ,\nb\nc\np\n5\n6\n+ = , b\nc\n5\n6\n0\n= i c\nq\n5 = . Wobec tego b\n6\n=- , c\n5\n= , p\n26\ni q\n25\nSposób II\nZachodzi równość x\nx\nx\nx\n6\n5\n1\n5\n2 +\n^h\nh. Ponieważ wielomian x\npx\nq\n4\n2\n+ ma być\npodzielny przez x\nx\nx\nx\n6\n5\n1\n5\n2 +\n^h\nh, więc liczby -1 i -5 muszą być jego pierwiastkami,\nczyli\np\nq\np\nq\n0\n1\n1\n1\n4\n2\nh\nh\noraz\np\nq\np\nq\n0\n5\n5\n25\n625\n4\n2\nh\nh\n. Mnożąc\npierwsze równanie przez 25 i odejmując wynik od drugiego, otrzymujemy\nq\n0\n24\n600\n, więc\nq\n0\n25\n, czyli q\n25\n, zatem\np\n0\n25\n1\n+ , czyli p\n26\nSposób III\nDzielimy wielomian x\npx\nq\n4\n2\n+ przez trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\n+ a następnie resztę przyrównujemy do\nwielomianu zerowego. Otrzymujemy układ równań:\np\n30\n6\n31\n0\nh\ni q\np\n5\n31\n0\nh\n, z którego\notrzymujemy p\n26\ni  q\n25\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zapisze warunek wynikający z podzielności wielomianów,\nnp. x\npx\nq\nx\nx\nx\nbx\nc\n6\n5\n4\n2\n2\n2\n^h\nh\nalbo\nrozłoży trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\n+ do postaci iloczynowej x\nx\n1\n5\n^h\nh i stwierdzi, że liczby -5 oraz\n-1 są pierwiastkami wielomianu x\npx\nq\n4\n2\nalbo\nwykona dzielenie wielomianu x\npx\nq\n4\n2\n+ przez trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\n+ , a następnie przyrówna\nresztę do wielomianu zerowego.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy obliczy p i q (-26 i 25).\n3 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nWyznacz liczbę takich permutacji zbioru {1, 2, 3,…, 31} kolejnych liczb całkowitych z przedziału\n,1 31 , w których iloczyn każdych dwóch sąsiednich liczb jest liczbą parzystą. Wynik przedstaw\nw postaci iloczynu !\n!\nm\nn\n$\n, gdzie m, n są pewnymi liczbami całkowitymi.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n6\n7\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji\ni wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych\nsytuacjach kombinatorycznych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nW żadnej z poszukiwanych permutacji na sąsiednich miejscach nie mogą występować liczby\nnieparzyste, ponieważ ich iloczyn jest liczbą nieparzystą. A zatem wśród dwóch sąsiednich elementów\ntakiej permutacji zawsze występuje liczba parzysta. Wśród liczb {1, , 31} znajduje się 16 liczb\nnieparzystych i 15 liczb parzystych. Między każdymi dwoma liczbami nieparzystymi musi znaleźć się\nliczba parzysta, więc liczby muszą wystąpić w kolejności: nieparzysta, parzysta, nieparzysta, parzysta\nitd.\nWyznaczamy liczbę poszukiwanych permutacji. Na miejscach nieparzystych tej permutacji liczby\nmożna ustawić na 16! sposobów (liczba permutacji 16 elementowego zbioru liczb nieparzystych\n{1, 3, , 31}). Dla każdego układu liczb nieparzystych dobrać można niezależnie ustawienie liczb\nna parzystych miejscach. Możliwości takiego ustawienia jest 15!. A zatem liczba poszukiwanych\npermutacji wynosi 16! · 15!.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zauważy, że w każdej z szukanych permutacji liczby parzyste i nieparzyste występują\nnaprzemiennie, począwszy od nieparzystych.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zauważy, że liczby nieparzyste można dowolnie przestawiać, więc można je ustawić na 16!\nsposobów, a liczby parzyste na 15! sposobów, a następnie zapisze wynik w postaci 16! · 15! lub 15! · 16!.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"8","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDługości boków czworokąta wypukłego ABCD wynoszą: AB\na\n= , BC\na\n2\n, CD\nb\n= , AD\nb\n2\nWykaż, że jeśli pole czworokąta ABCD jest równe a\nb\n2\n2\n, to jest on prostokątem.\n\n7 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający:\nP4) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta\nostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi;\nR5) znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia kosinusów.\n4 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nNiech\nABC\nB\nb =\n, zaś\nCDA\nB\nd =\n. Wówczas pole czworokąta\nABCD wyraża się, jako suma pól trójkątów ABC oraz CDA,\nwzorem\nsin\nsin\nsin\nsin\na\na\nb\nb\na\nb\n2\n1\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n$\n$\n$\n$\n$\n$\nb\nd\nb\nd\nh\nh\nh\nh.\nA zatem z założenia występującego w treści zadania mamy równość\nsin\nsin\na\nb\na\nb\n2\n2\n2\n2\nb\nd\nh\nh\n. Skoro jednak dla każdego x\nR\n!\nzachodzi nierówność sin x\n1\nG\n^ h\n, to musimy mieć sin\nsin\n1\nb\nd\nh\nh\nArgumentami są tu miary kątów wewnętrznych czworokąta,\na zatem\n90c\nb\nd\n. Trójkąty ABC oraz CDA są więc prostokątne.\nZ twierdzenia Pitagorasa dostajemy zatem równości postaci\na\na\nAB\nBC\nAC\nCD\nDA\nb\nb\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nh , co\npo uproszczeniu daje a = b. Ponieważ pary przeciwległych boków\nczworokąta mają równe długości, więc jest on równoległobokiem,\nw którym jest kąt prosty. Wobec tego wszystkie jego kąty są proste,\nwięc jest to prostokąt.\nSposób II\nNiech\nDAB\nB\na =\noraz\nBCD\nB\nc =\n. Wówczas pole czworokąta ABCD\nwyraża się, jako suma pól trójkątów ABD i BCD, wzorem\nsin\nsin\nsin\nsin\na\nb\na b\nab\n2\n1\n2\n2\n1 2\n$\n$\n$\n$\n$\n$\na\nc\na\nc\nh\nh\nh\nhh. Skoro dla\nkażdego x\nR\n!\nzachodzi nierówność sin x\n1\nG\n^ h\n, to w szczególności\nsin\n1\nG\na\n^ h\noraz sin\n1\nG\nc\n^ h\n. Dostajemy zatem nierówność postaci\nsin\nsin\nab\nab\n2\nH\na\nc\nh\nhh.\nKorzystając\ndalej\nz\nnierówności\nx\ny\nxy\n2\n2\n2 H\n, prawdziwej dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y, która\nwynika z nierówności x\ny\nxy\nx\ny\n2\n0\n2\n2\n2 H\nh\n, dostajemy\na\nb\nab\n2\n2\n2 H\n. Z założenia pole czworokąta ABCD równe jest jednak\na\nb\n2\n2\n. Ostatecznie więc dostajemy\nsin\nsin\na\nb\nab\nab\na\nb\n2\n2\n2\n2\n2\nH\nH\na\nc\nh\nhh\n. Skrajne wyrazy\npowyższego ciągu nierówności są równe, zatem wszystkie te nierówności są równościami.\nW szczególności a\nb\nab\n2\n2\n2\noraz\nsin\nsin\nab\nab\n2\na\nc\nh\nhh. Pierwszą równość zapisać można\nrównoważnie w postaci a\nb\n0\n2\nh\n, co implikuje, że a\nb\n= . A zatem czworokąt ABCD jest\nrównoległobokiem. Skoro zaś ab\n0\n2 , to druga równość implikuje\nsin\nsin\n2\na\nc\nh\nh. Korzystamy\nraz jeszcze z nierówności sin\n1\nG\na\n^ h\noraz sin\n1\nG\nc\n^ h\n, co daje nam sin\nsin\n1\na\nc\nh\nh\nArgumentami są tu miary kątów wewnętrznych czworokąta, zatem\n90c\na\nc\n. Równoległobok\nABCD ma więc kąt prosty. Wobec tego wszystkie jego kąty są proste, więc jest to prostokąt.\nAlternatywne zakończenie dowodu\nZdający dostrzega, że\nsin\nsin\nab\nab\n2\na\nc\nh i wnioskuje stąd, że\n90c\na\nc\n. Następnie postępuje\nanalogicznie jak w pierwszym rozwiązaniu: na mocy twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla\ntrójkątów DAB i BCD stwierdza, że a = b i stąd wyprowadza wniosek, że rozważany czworokąt jest\nprostokątem.\n2b\n2a\na\nb\nC\nD\nA\nB\n2b\n2a\na\nb\nC\nD\nA\nB\n5 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n1 pkt\nZdający zapisze pole czworokąta ABCD jako sumę pól trójkątów ABC oraz CDA i ułożył równanie\nsin\nsin\na\nb\na\nb\n2\n2\n2\n2\nb\nd\nh\nh\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający stwierdzi, że kąty β oraz δ są równe 90° na podstawie własności funkcji trygonometrycznych\nalbo\nstwierdzi, że\nsin\nsin\nab\nab\n2\na\nc\nh i wywnioskuje, że\n90c\na\nc\nalbo\nstwierdzi, że a\nb\nab\n2\n2\n2\ni wywnioskuje stąd, że a\nb\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający wywnioskuje, że rozważany czworokąt jest prostokątem.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDany jest trapez ABCD, w którym kąty ABC i BCD są proste,\nDAB\n60c\nB\n, AB\n2\n= oraz BD\n3\nWyznacz długość odcinka AC.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n8\n9\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR7.5. Planimetria.\nZdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia kosinusów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nNiech\nADB\nB\na\nZ\ntwierdzenia\nsinusów\nwynika,\nże\nsin\nsin\nsin\nsin\nBD\nBA\n60\n3\n60\n2\nc\nc\na\na\nh\nh\nh\nh. Wnioskujemy stąd, że\nsin\nsin\n3\n2\n60\n1\nc\na =\nh\nh\n, więc\n90c\na =\n. Skoro kąt ADB jest prosty,\nto kąt ABD ma miarę 30c, więc\nCBD\n60c\nB\noraz\nBDC\n30c\nB\nNa mocy twierdzenia Pitagorasa AD\nAB\nBD\n1\n2\n2\nMamy też\nsin\nsin\nBC\nBD\nBDC\n3\n30\n2\n3\n$\n$\nc\nB\nh\nh\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równość:\nAC\nAB\nBC\n4\n4\n3\n4\n19\n2\n2\n2\n. Wobec tego AC\n2\n19\nSposób II\nZ twierdzenia kosinusów wynika, że\ncos\nBD\nAD\nAB\nAD AB\nAD\nAD\nAD\n3\n2\n60\n4\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nc\nh\nh\n,\nwięc AD\n1\n0\n2\nh\n, czyli AD\n1\nStąd wynika, że\nsin\nsin\nBC\nAD\nBAD\n1\n60\n2\n3\n$\nc\nB\nh\nh\n. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że\nAC\nBC\nAB\n4\n3\n4\n4\n19\n2\n2\n2\n, zatem AC\n2\n19\n3\n30°\n60°\n2\n1\nA\nB\nD\nC\n6 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSposób III\nZ twierdzenia kosinusów wynika, że\ncos\nBD\nAD\nAB\nAD AB\nAD\nAD\nAD\n3\n2\n60\n4\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nc\nh\nh\n,\nwięc AD\n1\n0\n2\nh\n, czyli AD\n1\n= . Stąd wynika, że\ncos\nCD\nAB\nAD\nBAD\n2\n2\n1\n2\n3\nB\nh\n. Kąt ADC ma miarę 120c, bo suma\nmiar kątów BAD\n60c\ni ADC jest równa 180c. Z twierdzenia kosinusów wynika, że\ncos\ncos\nAC\nAD\nCD\nAD\nCD\nADC\n2\n1\n4\n9\n2 1 2\n3\n120\n4\n19\n2\n2\n2\n$\n$\n$\n$\nc\nB\nh\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n1 pkt\nZdający zastosuje twierdzenie sinusów dla trójkąta ADB: sin\nsin\n60\n3\n2\nc\na\nh\nh\nalbo\nwyznaczy z twierdzenia kosinusów długość AD\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający wyznaczy miary kątów ADB, ABD oraz BDC\nalbo\nznajdzie długość odcinka BC, korzystając z definicji sinusa\nalbo\nznajdzie długość odcinka CD, odejmując od AB liczbę\ncos\nAD\n60c\nh.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający wyznaczył długość przekątnej AC: AC\n2\n19","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nW pudełku znajduje się sto kul ponumerowanych liczbami od 1 do 100. Wylosowanie każdej z kul jest tak\nsamo prawdopodobne. Wylosowano jednocześnie pięć kul. Wyznacz prawdopodobieństwo, że numery\nwylosowanych kul ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ściśle rosnący ciąg geometryczny\no całkowitym ilorazie.\nOdpowiedź:\n\n9 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji\ni wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych\nsytuacjach kombinatorycznych.\nPrzykładowe rozwiązania\nNiech\n,\n,\n,\n,\na\na\na\na\na\n1\n2\n3\n4\n5 będzie piątką liczb wylosowanych bez zwracania ze zbioru {1, , 100}, przy\nczym zakładamy, że a\na\na\na\na\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n1\n1\n1\n. Jeśli liczby te są kolejnymi wyrazami ściśle rosnącego\nciągu geometrycznego o ilorazie q, to jest jasne, że\na\na\na q\na\na q\na\na q\na\na q\n1\n100\n1\n2\n1\n3\n1\n2\n4\n1\n3\n5\n1\n4\n1\n1\n1\n1\nG\nG\nInteresuje nas tylko przypadek, gdy q jest liczbą całkowitą większą od 1, a więc skoro 4\n100\n4 2\n, to musi\nzachodzić nierówność\nq\n2\n3\nG\nG . Wykazaliśmy, że ilorazem ciągu geometrycznego\n,\n,\n,\n,\na\na\na\na\na\n1\n2\n3\n4\n5\nmoże być liczba 2 lub liczba 3, a zatem kolejne jego wyrazy to a1, 2a1, 4a1, 8a1, 16a1 lub a1, 3a1,\n9a1, 27a1, 81a1. W pierwszym przypadku z nierówności\na\n16\n100\n1 G\nwynika, że a\n6\n1 G , więc istnieje\n6 możliwych do wylosowania piątek liczb, które ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ciąg\ngeometryczny o ilorazie q = 2. W drugim przypadku a\n1\n1 = , ponieważ\na\n81\n100\n1 G\n, a zatem jest\njedna możliwa do wylosowania piątka liczb, które ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ciąg\ngeometryczny o ilorazie q = 3.\n7 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSposobów wylosowania (bez zwracania) pięciu liczb spośród stu jest\n5\n100\nj. W siedmiu przypadkach,\njak wykazaliśmy, można wylosowane liczby ustawić w taki sposób, by utworzyły ściśle rosnący\nciąg geometryczny o całkowitym ilorazie. Szukane prawdopodobieństwo jest równe zatem\n5\n100\n7\n100 99 98 97 96\n7 2 3 4 5\n5 33 7 97 96\n1\n10755360\n1\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n1 pkt\nZdający zauważy i uzasadni to, że ilorazem wylosowanego ciągu geometrycznego może być jedynie 2\nlub 3.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zauważy, że pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego o ilorazie 3 może być wyłącznie\nliczba 1, a jeśli ilorazem ciągu geometrycznego jest liczba 2, to pierwszym wyrazem ciągu może być\njedna z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający stwierdzi, że jest siedem ciągów geometrycznych spełniających warunki zadania, zaś wszystkich\nmożliwych do wylosowania ciągów jest\n5\n100\nj. Na tej podstawie wyznaczy prawdopodobieństwo\nw postaci ilorazu\n5\n100\n7\nj\nlub równoważnego.\nUwagi:\n1) W zadaniu można rozpatrywać piątki uporządkowane lub zbiory pięcioelementowe; nie wpływa to\nna wynik, a na opis rozwiązania - nieznacznie.\n2) Można to zadanie rozwiązać wypisując ciągi spełniające warunki zadania, bez przeprowadzonego\nrozumowania.\n3) Wynik w postaci\n!\n100 99 98 97 96\n7 5\n$\n$\n$\n$\n$\nlub\n5\n100\n7\nj\njest akceptowalny - zdający nie musi wykonać\nmnożenia liczb w liczniku, tym bardziej w mianowniku.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nWykaż, że jeśli a, b, c są kątami trójkąta i zachodzi równość sin\nsin\ntg\ntg\n2\n2\nb\na\nb\na\n, to a\nb\nlub c = 90°.\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n10\n11\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n6. Trygonometria. Zdający:\nP4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:\n[…]\ncos\nsin\ntga\na\na\noraz sin\ncos\n90c\na\na\nh\n;\nR5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę\nsinusów i cosinusów kątów;\nR6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu\nsin x\n2\n2\n1\n, sin\ncos\nx\nx\n2\n1\n= , sin\ncos\nx\nx\n1\n= , cos x\n2\n2\n1\n1\n8 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązania\nZapisujemy założenia dotyczące miar kątów a, b, c.\nPonieważ są to kąty w trójkącie, więc miara każdego z nich należy do przedziału (0°, 180°) oraz\n180c\na\nb\nc\n. Ponadto, aby istniały tangensy a i b, muszą być spełnione warunki\n90c\n!\na\n,\n90c\n!\nb\nSposób I\nMnożymy obie strony równości przez sin\n0\ntg\n2\n$\n!\nb\nb\ni otrzymujemy równość\nsin\nsin\ntg\ntg\n2\n2\nb\na\na\nb\nNastępnie przedstawiamy tga i tgb odpowiednio w postaci cos\nsin\na\na i cos\nsin\nb\nb . Otrzymujemy:\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\n2\n2\n$\n$\nb\nb\na\na\na\nb\n, czyli równoważnie cos\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\n0\n2\n2\n$\n$\nb\nb\na\na\na\nb\nWyłączamy przed nawias wspólny czynnik:\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\n0\n$\na\nb\nb\nb\na\na\nc\nm\nPonieważ sin\nsin\n0\n$\n!\na\nb\n, więc cos\nsin\ncos\nsin\n0\nb\na\na\na\nStąd, po pomnożeniu obu stron równości przez cos\ncos\n0\n$\n!\na\nb\n, otrzymujemy\nsin\ncos\nsin cos\n0\na\na\nb\nb\nsin\ncos\nsin cos\n2\n2\n0\na\na\nb\nb\nsin\nsin\n2\n2\na\nb\nPowyższa równość zachodzi albo dla równych kątów (2\n2\na\nb\n), albo dla kątów, których suma jest\nrówna 180 2\n180\n2\nc\nc\na\nb\nh, stąd a\nb\nlub 2\n2\n180c\na\nb\n, czyli\n90c\na\nb\n, a to z kolei oznacza,\nże\n90\n180\nc\nc\nc\na\nb\nc\nh.\nCo należało udowodnić.\nSposób II\nPo zapisaniu założeń dotyczących miar kątów a, b, c zapisujemy daną równość w postaci:\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\n2\n2\nb\na\na\na\nb\nb\n, skąd sin\nsin\ncos\nsin\nsin\ncos\n2\n2\nb\na\na\nb\na\nb\nNastępnie dzielimy obie strony otrzymanej równości przez sin\nsin\n0\n!\nb\na\ni otrzymujemy sin\nsin\nsin\ncos\nb\na\na\nb\n,\nco jest równoważne równości  sin\ncos\nsin cos\na\na\nb\nb\n. Dalej jak w sposobie I.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający zapisze równość sin\nsin\ntg\ntg\n2\n2\nb\na\nb\na\nw postaci cos\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\n2\n2\n$\n$\nb\nb\na\na\na\nb\nlub\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\ncos\n2\n2\nb\na\na\nb\na\nb\n, wraz z założeniami , ,\n,\n0 180\nc\nc\n!\na b c\nh i\n90c\n!\na\n,\n90c\n!\nb\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający przekształci wyjściową równość do postaci sin\nsin\n2\n2\na\nb\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze przynajmniej jedną zależność między kątami: a\nb\nlub\n90c\na\nb\n2\n180\n2\nc\na\nb\nh.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający zapisze pełny wniosek: a\nb\nlub\n90c\nc =\nUwaga\nJeżeli zdający nie zapisze założeń\n, ,\n,\n0 180\nc\nc\n!\na b c\nh i\n90c\n!\na\n,\n90c\n!\nb\nna żadnym z etapów\nrozwiązywania zadania, ale poprawnie wykona wszystkie przekształcenia, to za rozwiązanie\notrzymuje 2 pkt.\n9 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nJednokładność f o środku w punkcie X przekształca punkt\n,\nA\n3 2\nh na punkt\n,\nA\n4 6\nl\nh oraz\nprzeprowadza punkt\n,\nB\n3 3\nh na punkt\n,\nB\n8 8\nl\nh. Znajdź równanie okręgu, którego obrazem\nprzy jednokładności f  jest okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\n\n11 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n12\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR7. Planimetria. Zdający:\n3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności\n[…];\n4) rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także\nw kontekstach praktycznych) ich własności.\nR8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu […].\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nZauważmy, że środek X jednokładności f  leży na przecięciu prostych AAl oraz BBl.\nWyznaczamy równania tych prostych. Pierwsze z nich to y\nx\n4\n10\n, a drugie: y\nx\n=- . Proste te\nprzecinają się w punkcie X = (2, -2). Obliczamy skalę jednokładności.\nMamy\n,\n,\nXA\nXA\n2 8\n2 1 4\n2\nl\n6\n6\n@\n@\n. Z definicji jednokładności wynika, że skalą f  jest 2. Szukany\nśrodek okręgu, którego obrazem przy f  jest okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\n, oznaczamy\nprzez\n,\nO\nx y\n0\n0\nh. Środkiem okręgu o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\njest\n,\nO\n8 2\nl\nh. Skalą\njednokładności jest 2, więc mamy\nO\n,\nXO\nX\n2\n6 4\nl\n6\n@, czyli\n,\nXO\n3 2\n= 6\n@.\nZatem O = (2, -2) + [3, 2] = (5, 0).\nOkrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\nma promień równy 2, zatem szukany okrąg ma promień\nrówny 1 (figury te są podobne, a skala podobieństwa to 2). Ma on zatem równanie x\ny\n5\n1\n2\n2\nh\nSposób II\nWyznaczamy wektory\n,\nAB\n6 1\n6\n@ oraz\n,\nA B\n12 2\nl l\n6\n@. W rozwiązaniu tym korzystamy z faktu,\nże jeśli k jest skalą jednokładności f, to dla każdych punktów P, Q oraz ich obrazów Pl = f(P),\nQl = f(Q) w jednokładności f, zachodzi równość wektorów k PQ\nP Q\n$\nl l. Skoro A B\nAB\n2\nl l\n, to k = 2.\n(Skalę można wyznaczyć także bezpośrednio z definicji jednokładności o środku X: XA\nAB\nXB\noraz XA\nA B\nXB\nl\nl l\nl. Ale z definicji jednokładności\nk\nXA\nXA\n$\nl\noraz\nk\nXB\nXB\n$\nl\n. Co więcej,\nrachunki wyżej dają A B\nAB\n2\nl l\n. A zatem\nk\nXA\nAB\nXB\n2\n$\n. Napisane na początku równanie\npomnożone przez k daje nam k\nk\nk\nXA\nAB\nXB\n$\n$\n$\n, zatem k = 2).\nSzukany środek okręgu, którego obrazem przy f jest okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\noznaczamy przez\n,\nO\nx y\n0\n0\nh. Środek okręgu o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\noznaczamy jako Ol.\nJest to punkt (8, 2). Zgodnie z wyznaczoną skalą jednokładności mamy\n,\nAO\nA O\n2\n4\n4\nl l\n6\n@\n(ponownie korzystamy tu z zapisanej wyżej własności skali jednokładności). Zatem\n,\nAO\n2 2\n= 6\n@\ni O = (5, 0). Okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\nma promień równy 2, a zatem szukany okrąg\nma promień równy 1 (figury te są podobne, a skala podobieństwa to 2). Szukany okrąg ma równanie\nx\ny\n5\n1\n2\n2\nh\nA\nA'\nB\nB'\nX\nO\nO'\n10 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSposób III\nKorzystamy ze wzorów na jednokładność w układzie współrzędnych: jednokładność o środku\nw punkcie\n,\nO x y\n0\n0\nh i skali s\n0\n! przekształca punkt A = (x, y) na punkt Al = (sx + (1 - s)x0, sy + (1 - s)y0).\nPodstawiamy współrzędne punktów i ich obrazów i otrzymujemy układ równań. Rozwiązujemy ten\nukład i wyznaczamy środek i skalę jednokładności. Kolejne użycie wzorów do obliczonej jednokładności\npozwala na wyznaczenie środka okręgu, gdyż obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający stwierdzi, że środek jednokładności znajduje się na przecięciu prostych przechodzących\nodpowiednio przez pary punktów A, Al oraz B, Bl, a następnie wyznaczy równania tych prostych\nalbo\nwyznaczy wektory AB , A B\nl l oraz skalę jednokładności\nalbo\n• podstawi współrzędne punktów do równań analitycznych na jednokładność, otrzymując układ\nrównań.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n2 pkt\nZdający wyznaczy punkt przecięcia prostych przechodzących odpowiednio przez pary punktów\nA, Al oraz B, Bl, czyli X = (2, 2) oraz, z definicji, skalę jednokładności\nalbo\nwyznaczy środek Ol = (8, 2) i promień r = 2 okręgu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\n, a następnie, znając skalę\njednokładności f  i warunki łączące wektory\nO\nA\nAO =\nl\n, wyznaczy środek O = (5, 0) szukanego\nokręgu\nalbo\nrozwiąże układ równań, wyznaczając przekształcenie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający obliczy jeden z parametrów szukanego okręgu: środek lub promień.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający wyznaczy równanie szukanego okręgu x\ny\n5\n1\n2\n2\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m\nR\n!\n, dla których równanie\nm\nm\n1\n9\n4 3\n2\nx\nx\n$\nh\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.\n\n13 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n13\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n14 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR1.4. Liczby rzeczywiste.\nZdający oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych i stosuje prawa\ndziałań na potęgach o wykładnikach wymiernych.\nR3.2. Równania i nierówności.\nZdający rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z parametrem.\nP4.14. Funkcje.\nZdający szkicuje wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw.\n11 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązanie\nDziedziną równania\nm\nm\n1\n9\n4 3\n2\nx\nx\n$\nh\njest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.\nPodstawiamy\ny\n3x\nWtedy\nwyjściowe\nrównanie\nmożna\nzapisać\nw\npostaci\nm\ny\ny\nm\n1\n4\n2\n0\n2\nh\n. Funkcja wykładnicza f x\n3x\n^ h\njest różnowartościowa, zatem dla\nkażdego m nowe równanie ma tyle samo dodatnich rozwiązań, co wyjściowe rzeczywistych.\nDla m = 1 równanie przybiera postać 4y = 3, więc ma dokładnie jedno rozwiązanie równe y\n4\n3\nJedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest więc w tym przypadku\nlog\nx\n4\n3\n3\nj.\nNiech m\n1\n! . Wówczas m\ny\ny\nm\n1\n4\n2\n0\n2\nh\njest równaniem kwadratowym zmiennej y i ma\nono dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy\n4\nm\nm\nm\nm\n0\n16\n4\n1\n2\n6\n2\n1 T =\nh\nh\nh\nm\nm\n4\n2\n3\n^h\nh, więc gdy\nm\n3\n2\n1\n1\n. Ponieważ jednak y\n0\n2 , więc obydwa rozwiązania\nmuszą być dodatnie. Z wzorów Viète’a wynika, że iloczynem tych pierwiastków jest liczba m\nm\n1\n2\n,\na ich sumą - liczba m\n1\n4\n. Obie te liczby muszą być dodatnie. Mamy więc m\n1\n0\n2\nUwzględniając warunek\nm\n3\n2\n1\n1\n, uzyskany przy rozpatrywaniu wyróżnika, widzimy, że równanie\nm\nm\n1\n9\n4 3\n2\nx\nx\n$\nh\ndwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy\nm\n1\n2\n1\n1 .\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający rozpatrzy przypadek m = 1 lub zaproponuje podstawienie y\n3x\n, sprowadzające wyjściowe\nrównanie do równania postaci m\ny\ny\nm\n1\n4\n2\n0\n2\nh\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n2 pkt\nZdający stwierdzi, że równanie m\ny\ny\nm\n1\n4\n2\n0\n2\nh\nma dwa różne pierwiastki tylko\nw przypadku, gdy m\n1\n! i wyróżnik jest dodatni. Wyznaczy ograniczenia związane z liczbą m,\nwynikające z tego warunku:\nm\n3\n2\n1\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający stwierdzi, że obydwa pierwiastki muszą być dodatnie i wypisze, na podstawie wzorów Viète’a,\nwarunki:\nm\nm\n1\n2\n0\n2\noraz m\n1\n4\n0\n2\n, które dodatkowo musi spełniać parametr m.\nRozwiązanie prawie pełne\n4 pkt\nZdający rozwiąże nierówności przedstawione w powyższym punkcie, uzyskując warunek m\n1\n2 .\nNie uwzględni jednak warunku\nm\n3\n2\n1\n1\n. W przypadku, gdy zdający doprowadzi poprawnie\nrozumowanie dotyczące przypadku m\n1\n! do końca, ale nie uwzględni warunku m = 1, również\ndostaje 4 punkty.\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający rozwiąże nierówności wynikające z wypisanych warunków i uwzględniając wcześniejsze\nograniczenia wynikające ze znaku wyróżnika uzyskuje odpowiedź:\n,\nm\n1 2\n! ^\nh. Uwzględni przy tym\nw dyskusji przypadek m = 1. Jeśli w rozwiązaniu nie powołuje się wprost na różnowartościowość\nfunkcji wykładniczej, nie traci za to punktów.\n12 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nDany jest trójkąt ABC o polu równym 5, gdzie\n,\nA\n5 3\nh oraz\n,\nB\n1 0\nh. Prosta zawierająca wysokość\ntrójkąta ABC ma równanie y\nx\n2\n7\n- . Wyznacz współrzędne punktu C.\n\n15 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\nP3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do\nprostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\nR4) oblicza odległość punktu od prostej.\nPrzykładowe rozwiązanie\nNa początku sprawdzamy, przez który wierzchołek trójkąta ABC\nprzechodzi wysokość trójkąta, czyli prosta y\nx\n2\n7\n- . Prosta ta nie\njest prostopadła do prostej AB, której współczynnikiem kierunkowym\njest liczba 5\n1\n3\n0\n5\n3\n2\n1\n!\n, wobec tego nie zawiera ona wysokości\npoprowadzonej z punktu C. 0\n2 1\n7\n$\n!\n- , więc punkt B nie leży na prostej\ny\nx\n2\n7\n- , a 3\n2 5\n7\n$\n- , więc punkt A leży na prostej y\nx\n2\n7\n- , więc\nzawiera ona wysokość poprowadzoną z punktu A.\nProsta zawierająca punkty B, C, opisana równaniem y\nax\nb\n+ , jest\nzatem prostopadła do prostej y\nx\n2\n7\n- . W szczególności a\n2\n1\nPo wstawieniu współrzędnych punktu B do równania\nx\nb\ny\n2\n1\notrzymujemy b\n2\n1\n. Wysokość h poprowadzona z punktu A do prostej\nBC to odległość punktu A od prostej\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\nRównanie ogólne tej prostej to\nx\ny\n2\n1\n2\n1\n0\n= . Zatem wysokość h\n2\n1\n1\n2\n1 5\n3\n2\n1\n2 5\n2\n$\nSkoro pole trójkąta ABC równe jest\nBC\nh\n2\n1\n5\n$\n$\n= , to BC\n5\n. Szukamy zatem punktów\no współrzędnych (x, y) leżących na prostej BC odległych od punktu B o 5. Współrzędne (x, y) punktu\nC spełniają zatem warunki\nx\ny\n1\n0\n5\n2\n2\nh\nh\noraz\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\n. Z nich wynika równanie\nkwadratowe\nx\nx\nx\nx\nx\n5\n1\n2\n1\n2\n1\n1\n4\n1\n1\n4\n5\n1\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nj\nh\nh\nh , czyli\nx\n4\n1 2\nh .\nJego rozwiązaniami są liczby\n1\nx = - oraz x\n3\nZ równania\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\nwynika, że\n,\nC\n3\n1\nh lub\n,\nC\n1 1\nh.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający sprawdzi, że punkt A leży na prostej y\nx\n2\n7\n- oraz że prosta ta jest prostopadła do prostej\nprzechodzącej przez punkty B, C.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n2 pkt\nZdający wyznaczy równanie prostej zawierającej bok BC:\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy odległość punktu A od prostej 2 5\nh oraz, korzystając ze wzoru na pole trójkąta,\nwyznaczy BC\n5\nC\nC\nB\nA\n13 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie prawie pełne\n4 pkt\nW oparciu o warunki dotyczące punktu\n,\nC\nx y\nh zdający wypisze warunki\nx\ny\n1\n0\n5\n2\n2\nh\nh\noraz y\nx\n2\n1\n2\n1\ni uzyska odpowiednie równanie kwadratowe zmiennej x lub y.\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający rozwiąże uzyskane równanie i uzyska możliwe współrzędne punktu C: (3, -1) oraz (-1, 1).","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nPara liczb\n,\nm n\n0\n0\nh jest rozwiązaniem układu równań\nm\nn\nm\nn\np\n2\n1\n2\n, gdzie p\n1\n!- .\na) Wyznacz wzór funkcji f p\nn\nm\n0\n0\n^ h\n, podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.\nb) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie\n,\nP\nf\n3\n3\nhh.\n\n17 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n15\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nP4. Funkcje. Zdający:\n3) odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości […]);\n13) szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru\ni wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami\nodwrotnie proporcjonalnymi.\nR11. Rachunek różniczkowy. Zdający:\n2) oblicza pochodne funkcji wymiernych;\n3) korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.\nPrzykładowe rozwiązanie\na)\nRozwiązujemy układ równań, np. metodą przeciwnych współczynników. Otrzymujemy:\nm\np\np\n1\ni n\np\np\n1\n2\n, gdzie p\n1\n!- . Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb\n,\n,\nm n\np\np\np\np\n1\n1\n2\n0\n0 =\nc\nh\nm, p\n1\n!- .\nWyznaczamy wzór funkcji f: f p\np\np\np\np\np\np\n1\n1\n2\n2\n^ h\ni podajemy jej dziedzinę: D = R \\ {-2, -1}.\nAby wyznaczyć zbiór wartości funkcji f, przekształcamy jej wzór:\nf p\np\np\np\np\np\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\nh\nh\n, p\nD\n!\nProsta y\n1\n= jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f, zatem liczba 1 nie należy do zbioru wartości\nfunkcji f. Ponieważ\nD\n1 b\n, więc rozpatrując funkcję g x\nx\nx\n2\n^ h\n, której dziedziną jest zbiór R \\ {-2},\nstwierdzamy, że do zbioru wartości funkcji f nie należy liczba g\n1\n1\nh\nMożna też wykorzystać wykres funkcji f i zauważyć, że do wykresu nie należy punkt (-1, -1).\nZatem f(D) = R \\ {-1, 1}.\np\n1\n0\n1\n(\n)\n-1, -1\nf p\n( )\n14 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nb)\nSposób I\nWyznaczamy funkcję pochodną funkcji f:\nf p\np\np\np\np\np\np\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n$\nl\nl\nc\nh\nm\nh\nh\nh p ! R \\ {-2, -1}.\nObliczamy wartość pochodnej dla p = -3:\n2\nf\n3\n3\n2\n2\n2\nl^\nh\nh\nObliczamy rzędną punktu P: f\n3\n3\n2\n3\n3\nh\nZatem P = (-3, 3).\nWyznaczamy równanie stycznej do wykresu f w punkcie P:\n3\ny\nf\np\n3\n3\nl^\n^h\nh\ny\np\n2\n3\n3\nh\ny\np\n2\n9\nSposób II\nWyznaczamy rzędną punktu P: f\n3\n3\nh\n, czyli P = (-3, 3).\nZapisujemy równanie stycznej s do wykresu f w postaci: y\nap\nb\n+ . Ponieważ P\ns\n! , więc\na\nb\n3\n3\n+ , skąd b\na\n3\n3\nZatem równanie stycznej można zapisać: y\nap\na\n3\n3\nh.\nProsta styczna do wykresu funkcji f w punkcie P ma z wykresem dokładnie jeden punkt wspólny (jako\nstyczna do jednej z gałęzi hiperboli).\nStąd układ równań:\ny\np\np\ny\nap\na\n2\n3\n3\nh\n, gdzie p ! R \\ {-2, -1}, ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nRozwiązujemy układ równań i w wyniku otrzymujemy równanie\nap\na\np\na\n5\n2\n6\n6\n0\n2 +\nh\nh\nPonieważ a\n0\n! (prosta o równaniu y\nb\n= nie może być styczną do hiperboli), więc otrzymujemy\nrównanie kwadratowe, które musi mieć jedno rozwiązanie, a zatem\n0\nT = .\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\n5\n2\n4\n6\n6\n25\n20\n4\n24\n24\n4\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nT =\nh\nh\nh\na\n2\n0\n2\nh\n, skąd a\n2\nZatem równanie stycznej ma postać: y\np\n2\n3 2\n3\n$\n+ , czyli y\np\n2\n9\nOdpowiedź:\na) f p\np\np\n2\n^ h\n, D = R \\ {-2, -1}, f(D) = R \\ {-1, 1}.\nb) y\np\n2\n9\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:\na) Pierwszy etap składa się z czterech części:\n- rozwiązanie układu równań: m\np\np\n1\n0 =\ni  n\np\np\n1\n2\n0 =\n- zapisanie wzoru funkcji f p\np\np\n2\n^ h\ni podanie jej dziedziny D = R \\ {-2, -1}\n- przekształcenie wzoru funkcji f do postaci f p\np\n2\n2\n1\n^ h\nLUB sporządzenie wykresu funkcji\n- uzasadnienie, że\nD\n1 b\ni podanie zbioru wartości funkcji f(D) = R \\ {-1, 1}.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.\n15 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nb) Drugi etap składa się z dwóch części:\nSposób I\n- wyznaczenie wzoru funkcji pochodnej f\np\np\n2\n2\n2\nl^\nh\nh , p ! R \\ {-2, -1}, i obliczenie\nwspółczynnika kierunkowego stycznej f\n3\n3\nl^\nh\n- obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności f\n3\n3\nh\ni wyznaczenie równania stycznej\ndo wykresu funkcji f: y\np\n2\n9\nSposób II\n- zapisanie równania stycznej w postaci y\nap\na\n3\n3\nh oraz zauważenie, że układ równań\ny\np\np\ny\nap\na\n2\n3\n3\nh\n, gdzie p ! R \\ {-2, -1}, musi mieć jedno rozwiązanie\n- rozwiązanie układu i obliczenie a\n2\n= oraz wyznaczenie równania stycznej f: y\np\n2\n9\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1) Jeżeli zdający nie uwzględni we wzorze funkcji f założenia p\n1\n!- , a tym samym błędnie wyznaczy\nf(D), to w części a) otrzymuje 2 punkty.\n2) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w części a), np. podczas wyznaczania pary liczb\n,\nm n\n0\n0\nh,\nalbo błędnie zapisze wzór funkcji f, ale konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to\notrzymuje za całość 5 punktów.\n3) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w części b), ale konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca, to otrzymuje za tę część 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nNiech x będzie liczbą dodatnią. Rozpatrujemy wszystkie\nprostopadłościany spełniające następujące warunki:\n(1) podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości x,\n(2) pole (prostokątnego) przekroju prostopadłościanu płaszczyzną\nzawierającą krawędź podstawy i przekątne dwu ścian bocznych\njest równe 3 (patrz rysunek).\nZapisz kwadrat objętości tego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej x.\nWyznacz wszystkie wartości x\n0\n2 , dla których istnieje prostopadłościan spełniający drugi warunek.\nZnajdź długości krawędzi tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest\nnajwiększa.\nx\nx\nx\nx\nh\ny\n\n19 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n16\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR11. Rachunek różniczkowy. Zdający:\n4) korzysta z własności pochodnej do wyznaczania przedziałów\nmonotoniczności funkcji;\n5) znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;\n6) stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech h będzie długością krawędzi prostopadłościanu łączącej podstawy prostopadłościanu. Niech y\nbędzie długością boku przekroju rozważanego prostopadłościanu, nie będącego krawędzią podstawy.\nWiadomo, że\nxy\n3 =\n. Co więcej, na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy y\nh\nx\n2\n2\n2\n. A zatem\nx\nh\nx\n3\n2\n2\n. Objętość V prostopadłościanu równa jest iloczynowi pola podstawy i wysokości,\na więc V\nx h\n2\n, zaś V\nx h\n2\n4\n2\n. Liczbę h2 wyznaczamy ze wzoru na pole przekroju: h\nx\nx\n3\n2\n2\n4\nW szczególności kwadrat objętości prostopadłościanu wyrazić można za pomocą następującej funkcji\nzmiennej x:\nx\nx\nx\n3\nV x\nx\n3\n2\n2\n4\n2\n6\nh\nh\n. Wyrażenie to rozpatrujemy dla tych x, dla których opisuje\nono kwadrat objętości, więc gdy\nx\n3\n0\n4 2\noraz x\n0\n2 , czyli gdy\n,\nx\n0\n3\n4\n! ^\nh. Pochodna funkcji V x\n2^ h\nrówna jest V\nx\nx\nx\n6\n6\n2\n5\nl\nh\nh\n. Rozwiązujemy następnie równanie, V\nx\n0\n2\nl\nh\nh\n, a więc równanie\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n6\n6\n6\n1\n1\n1\n0\n5\n2\nh\nh\nh\n. Jedyne rozwiązanie mieszczące się w wyznaczonym\nwcześniej zakresie wartości to x\n1\n= . Dla\n,\nx\n0 1\n! ^\nh funkcja V\nx\n2 l\nh\nh jest dodatnia (iloczyn czterech\ndodatnich czynników), a więc V\nx\n2^ h jest rosnąca na przedziale otwarto-domkniętym\n,0 1\n, zaś dla\nx\n1\n2 - funkcja V\nx\n2 l\nh\nh jest ujemna (trzy czynniki dodatnie, jeden ujemny), a więc V x\n2^ h jest malejąca\n16 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nw przedziale domknięto-otwartym\n,1\n3\n4\nh. Wynika stąd, że największą wartością funkcji V\nx\n2^ h\nw przedziale\n,0\n3\n4\nh jest jej wartość w punkcie 1, czyli liczba\n2\nV 1\n2^ h\n. Skoro kwadrat objętości jest\nnajwiększy dla x\n1\n= , to największa objętość samego prostopadłościanu przy zadanych warunkach\nrówna jest 2. Długości krawędzi prostopadłościanu, którego objętość jest największa, to liczby 1, 1, 2.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów:\na) Pierwszy etap składa się z trzech części:\n- wprowadzenie oznaczeń i wyznaczenie wzoru na wysokość prostopadłościanu: h\nx\nx\n3\n2\n2\n4\n,\n- wyznaczenie kwadratu objętości prostopadłościanu jako funkcji jednej zmiennej x:\nx\nV x\nx\n3\n2\n2\n4\nh\nh, na podstawie wzoru V x\nx h\n2\n^ h\n,\n- wyznaczenie tych x, dla których wyrażenie V\nx\n2^ h jest kwadratem objętości prostopadłościanu: są\nto\n,\nx\n0\n3\n4\n! ^\nh,\nZa poprawne rozumowanie w każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.\nb) Drugi etap składa się z trzech części:\n- wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\nx\nV x\nx\n3\n2\n2\n4\nh\nh, czyli V\nx\nx\nx\n6\n6\n2\n5\nl\nh\nh\n- obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji V\nx\n2^ h mieszczących się w zakresie rozważanych x,\njest jedno: x\n1\n= ,\n- zbadanie znaku pochodnej funkcji V\nx\n2^ h i uzasadnienie, że dla x\n1\n= funkcja V\nx\n2^ h osiąga\nnajwiększą wartość.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nc) Trzeci etap. Obliczenie największej objętości prostopadłościanu V 1\n2\n^ h\n. Znalezienie długości\nkrawędzi prostopadłościanu o największej możliwej objętości: 1, 1, 2. Za poprawne rozwiązanie\ntej części zdający otrzymuje 1 punkt.\n17 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}