{"paper":{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba\n7\nlog\n7 jest równa\nA. 2\nB. 7\nC.\n7\nD.\nRozwiązanie zadania. Liczba log_√7 7 jest równa A. 2 B. 7 C. √7 D. 1/2","answer":"A","answer_text":"1. Jeżeli zdający jedynie poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków\nlub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nKwadrat liczby\njest równy\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Kwadrat liczby 8-3√7 jest równy A. 127+48√7 B. 127-48√7 C. 1-48√7 D. 1+48√7","answer":"B","answer_text":"2. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów,\nznajdzie trzy rozwiązania:\n4,1, 4\n, ale nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania,\nto otrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nJeżeli 75% liczby a jest równe 177 i 59% liczby b jest równe 177, to\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Jeżeli 75% liczby a jest równe 177 i 59% liczby b jest równe 177, to A. b-a=26 B. b-a=64 C. a-b=26 D. a-b=64","answer":"B","answer_text":"3. Jeżeli na etapie przyrównywania czynników do zera jedynym błędem zdającego jest błąd\nprzy rozkładzie wielomianu\n3\n1\nx\n, to zdający może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n5\n3\n0\n≤\nx\nx\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n3\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n2\n5\n3\nx\nx\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n(\n)\n2\n5\n5\n4 2 3\n25\n24\n1\nΔ = -⋅-\n-⋅⋅=\ni stąd\n1\n5 1\n4\n4\n4\n1\nx\noraz\n2\n5 1\n6\n3\n4\n4\n2\nx\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n3\n2\n⋅\nx\nx\noraz\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n, stąd\n1\n1\nx\noraz\n2\n3\n2\nx\nDrugi etap rozwiązania.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności:\n3\n2\n1,\nlub\n3\n2\n1,\n∈\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n1\nx\noraz\n2\n3\n2\nx\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;\nzaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji\n( )\n2\n2\n5\n3\nf x\nx\nx\ni na tym\nzakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nalbo\n• realizując pierwszy etap błędnie wyznaczy pierwiastki (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np. popełni błąd\nrachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\n3\n2\n1,\nlub\n3\n2\n1,\n∈\nx\n, lub\n3\n2\n1\nx\nx\n≤\n∧\n≥\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nx\n1\n3\n2\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nRównanie\nma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie:\nB. dwa rozwiązania:\ni\nC. dwa rozwiązania:\ni\nD. dwa rozwiązania:\ni\nRozwiązanie zadania. Równanie x(5x+1)=5x+1 ma dokładnie A. jedno rozwiązanie: x=1. B. dwa rozwiązania: x=1 i x=-1. C. dwa rozwiązania: x=-1/5 i x=1. D. dwa rozwiązania: x=1/5 i x=-1.","answer":"C","answer_text":"4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n1\nx\noraz\n2\n3\n2\nx\ni błędnie\nzapisze odpowiedź, np.\n3\n2\n1,\n∈-\nx\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci\n3\n2 ,1\n∈\nx\n, to przyznajemy 2 punkty.\nZadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n≥\nx\nx\nx\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie nierówność\n1\n1\n≥\nx\nx\nx\nZ założenia wiemy, że\n0\nx >\n, zatem możemy pomnożyć nierówność obustronnie przez x\ni kolejno otrzymujemy:\\\n2\n1\n≥\nx\nx\nx ,\n2\n2\n1\n0\n+ ≥\nx\nx\n,\n(\n)\n2\n1\n0.\n≥\nx\nZ lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, bo jest ono\nkwadratem liczby rzeczywistej. Zatem nierówność\n1\n1\n≥\nx\nx\nx\njest prawdziwa.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność równoważną w postaci\n• zawierającej po jednej stronie 0, a po drugiej sumę jednomianów lub iloraz\nwielomianów, np.:\n2\n2\n1\n0\n+ ≥\nx\nx\nlub\n2\n2\n1\n0\nx\nx\nx\n+ ≥\nalbo\n1\n1 1\nx\nx\n-≥.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości x, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n2. Jeżeli zdający zapisze nierówność (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\ni stwierdzi zakończenie dowodu, to\notrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze (\n)\n2\n1\n0\nx\nx\n≥\ni nie zapisze uzasadnienia jej prawdziwości, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZadanie 29. (0-2)\nWierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na\nboku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C,\na ponadto\n3\nAC\nr\n. Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120°.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZauważmy, że prosta BC, jako styczna do okręgu, jest prostopadła do odcinka SC, tj. do\npromienia okręgu. W trójkącie równoramiennym ACS prowadzimy wysokość SD.\nObliczamy cosinus kąta ostrego ACS:\n3\n2\n3\ncos\n2\nr\nr\nα =\nStąd wynika, że\n30\nACS\nα\n°\n\nKąt ACB jest sumą kątów ACS i BCS, zatem ma miarę 30\n90\n°+\n°, czyli 120°.\nTo kończy dowód.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nII sposób\nPoprowadźmy promień SC i odcinek CE, gdzie E jest punktem przecięcia okręgu z odcinkiem AB.\nProsta BC, jako styczna do okręgu, jest prostopadła do odcinka SC.\nKąt ACE jest prosty, gdyż jest kątem wpisanym w okrąg opartym na półokręgu. Zatem trójkąt\nACE jest prostokątny, w którym\n3\nAC\nr\noraz\n2\nAE\nr\n. Z twierdzenia Pitagorasa dla\ntrójkąta ACE otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n3\nCE\nAE\nAC\nr\nr\nr\n,\nstąd\nCE\nr\nTo oznacza, że trójkąt SCE jest równoboczny, więc kąt CSE jest równy 60°. Zatem kąt\nwpisany CAE, oparty na tym samym łuku co kąt środkowy CSE jest równy α = 30°.\nTrójkąt ACS jest równoramienny, więc\n30\nACS\nCAS\n°\n\n\nKąt ACB jest sumą kątów ACS i BCS, zatem ma miarę 30\n90\n°+\n°, czyli 120°.\nTo kończy dowód.\nUwaga\nMiarę kąta ACS (lub kąta ASC) możemy też obliczyć, wykorzystując twierdzenie cosinusów\nw trójkącie ACS. Wtedy otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos\nAS\nAC\nCS\nAC\nCS\nα\n⋅\n⋅\n,\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n3\ncos\nr\nr\nr\nr\nr\nα\n-⋅\n⋅⋅\nStąd\n2\n2\n3\n3\n2\n2\n3\ncos\nr\nr\nα =\nZatem\n30\nα =\n°.\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy miarę jednego z kątów ACS, CAS, ASC, SCE, wykorzystując związki\nmiarowe w trójkącie prostokątnym CDS lub ADS lub ACE lub twierdzenie Pitagorasa\nalbo\n• obliczy cosinus jednego z kątów ACS, CAS, ASC\nna tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze lub zaznaczy na rysunku, że kąt BCS jest prosty oraz zapisze bez\nuzasadnienia, że kąt ACS jest równy 30°, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZadanie 30. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowana liczba w zapisie\ndziesiętnym ma cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru {\n}\n1, 3, 5, 7, 9 i jednocześnie cyfrę\njedności, która należy do zbioru {\n}\n0, 2, 4, 6, 8 .\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb (\n)\n,a b , gdzie\n{\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\n∈\na\ni\n{\n}\n1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0\n∈\nb\n. Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń\nelementarnych jest równa\n9 10\n90\nΩ =\n⋅\nLiczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającemu na otrzymaniu\nw wyniku\nlosowania\npar\nliczb\n(\n)\n,a b ,\nspełniających\nwarunki:\n{\n}\n1, 3, 5, 7, 9\n∈\na\ni\n{\n}\n0, 2, 4, 6, 8\n∈\nb\nLiczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa\n5 5\n25\n= ⋅=\nA\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:\n( )\n25\n5\n90\n18\nP A =\nII sposób (metoda tabeli)\nWszystkie zdarzenia elementarne możemy przedstawić w prostokątnej tablicy. Zdarzenia\nelementarne sprzyjające zdarzeniu zaznaczamy symbolem x\na\nb\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n0 x\nx\nx\nx\nx\n1\n2 x\nx\nx\nx\nx\n3\n4 x\nx\nx\nx\nx\n5\n6 x\nx\nx\nx\nx\n7\n8 x\nx\nx\nx\nx\n9\nStąd","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nPara liczb\n3\nx =\ni\n1\ny = jest rozwiązaniem układu równań\n2\n12\n2\n9\n-+\n\n\nx\ny\na\nx\nay\ndla\nA.\n7\n3\na =\nB.\n3\na = -\nC.\n3\na =\nD.\n7\n3\na = -\nRozwiązanie zadania. Para liczb x=3 i y=1 jest rozwiązaniem układu równań {-x+12y=a² 2x+ay=9 dla A. a=7/3 B. a=-3 C. a=3 D. a=-7/3.","answer":"C","answer_text":"5. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n25\nA\n,\n90\nΩ =\n,\n25\n90\n( )\nP A =\n, to otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRównanie (\n)(\n)\n(\n)2\n2\n4\n0\n4\nx\nx\nx\nma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie:\n2.\nx =\nB. jedno rozwiązanie:\n2.\nx = -\nC. dwa rozwiązania:\n2,\n4.\nx\nx\nD. dwa rozwiązania:\n2,\n4.\nx\nx\n1\n2\n8\n3 7\n127\n48 7\n127\n48 7\n1\n48 7\n1\n48 7\n26\nb\na\n64\nb\na\n26\na\nb\n64\na\nb\n(\n)\n5\n1\n5\n1\nx\nx\nx\n1\nx =\n1\nx =\n1\nx = -\n1\n5\nx = -\n1\nx =\n1\n5\nx =\n1\nx = -\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nW\nRozwiązanie zadania. Równanie (x-2)(x+4) / (x-4)^2 = 0 ma dokładnie A. jedno rozwiązanie: x=2. B. jedno rozwiązanie: x=-2. C. dwa rozwiązania: x=2, x=-4. D. dwa rozwiązania: x=-2, x=4.","answer":"C","answer_text":"6. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo\n5 1\n( )\n9 2\n⋅\nP A\n, to otrzymuje 2 punkty.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZadanie 31. (0-2)\nPrzekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie\n21,\n1\n2\n\n\n\n\n\n\nS\n. Punkty A i C leżą na\nprostej o równaniu\n1\n5\n3\n2\ny\nx\n. Wyznacz równanie prostej BD.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ przekątne rombu są prostopadłe, więc prosta BD jest prostopadła do prostej AC\ni przechodzi przez punkt S. Zatem prosta BD ma równanie postaci:\n3\ny\nx\nb .\nWspółrzędne punktu S spełniają to równanie, zatem\n(\n)\n21\n2\n1\n3\nb\n-= -⋅-\nPo przekształceniach otrzymujemy:\n63\n65\n2\n2\n1\nb = --\nRównanie prostej BD to:\n65\n2\n3\ny\nx\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie zapisze współczynnik kierunkowy prostej BD, prostopadłej do prostej AC:\n3\na = - i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej BD:\n65\n2\n3\ny\nx\nZadanie 32. (0-4)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\n1\n2\n39\n40\n,\n,\n,\n,\na a\na\na\nsuma wyrazów tego ciągu o numerach\nparzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest\nrówna 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech r oznacza różnicą rozważanego ciągu arytmetycznego.\nSuma wyrazów o numerach parzystych tego ciągu to suma dwudziestu początkowych\nwyrazów innego ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie\n1 +\na\nr i różnicy 2r.\nStąd możemy zapisać równanie:\n1\n1","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nMiejscami zerowymi funkcji kwadratowej f określonej wzorem\n( )\n(\n)\n2\n9\n3\nf x\nx\nsą liczby\nA. 0 oraz 3\nB. 6 oraz 6\nC. 0 oraz\n6\nD. 0 oraz 6\nRozwiązanie zadania. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f określonej wzorami f(x)=9-(3-x)² są liczby A. 0 oraz 3 B. -6 oraz 6 C. 0 oraz -6 D. 0 oraz 6","answer":"D","answer_text":"7. Jeśli zdający obliczy x = 4 i zapisze objętość ostrosłupa w zależności od x, ale nie poda\nwyniku liczbowego, to otrzymuje 4 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej\ng\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(1,1)\nW =\nZbiorem wartości funkcji g jest przedział\nA. (\n, 0\n-∞\nB.\n0, 2\nC.\n1,\n)\n+ ∞\nD. (\n,1\n-∞\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej g. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(1,1). Zbiorem wartości funkcji g jest przedział A. (-∞,0> B. <0,2> C. <1,+∞) D. (-∞,1>","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nLiczbą większą od 5 jest\nA.\n1\n2\n1\n25\n\n\n\n\n\n\nB.\n1\n5\n1\n25\n\n\n\n\n\n\nC.\n2\n3\n125\nD.\n1\n3\n125\nRozwiązanie zadania. Liczbą większą od 5 jest A. (1/25}^{-1/2} B. (1/25}^{-1/5} C. 125^{2/3} D. 125^{1/3}","answer":"C","answer_text":"9 10\n90\nΩ =\n⋅\n,\n5 5\n25\n= ⋅=\nA\nZatem\n( )\n25\n5\n90\n18\nP A =\nIII sposób (metoda drzewka)\nPrzedstawiamy model graficzny doświadczenia.\nP - oznacza liczbę parzystą, N - nieparzystą.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nPogrubiona gałąź drzewa odpowiada zdarzeniu A. Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia\njest równe\n( )\n5\n5\n1\n9 2\n18\nP A =\n⋅\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:\n90\nΩ =\nalbo\n• wyznaczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A :\n25\nA\ni nie\nwskaże przy tym zdarzeń elementarnych niesprzyjających zdarzeniu A,\nalbo\n• zapisze\nprzy\nstosowaniu\ndrzewa\nprobabilistycznego\nna\ndwóch\netapach\nprawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku oraz wskaże\nwszystkie sytuacje sprzyjające rozważanemu zdarzeniu,\nalbo\n• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub wypisze\nwszystkie zdarzenia elementarne\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n5\n18\n( )\nP A =\n,\n25\n90\n( )\nP A =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu wszystkich zdarzeń elementarnych\ni wypisze o jedno za mało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego\ni konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\n3. Jeżeli zdający stosuje rozbudowane drzewo probabilistyczne, w którym przynajmniej pięć\ngałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu, i zdający pominie\njedną z takich gałęzi, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do\nkońca.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko sam wynik końcowy:\n25\n90\n( )\nP A =\nlub\n5\n18\n( )\nP A =\n, to otrzymuje\n1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nPunkt\n(\n)\n, 3\nA\na\nleży na prostej określonej równaniem\n3\n6\n4\ny\nx\n. Stąd wynika, że\nA.\n4\na = -\nB.\n4\na =\nC.\n33\n4\na =\nD.\n39\n4\na =\nx\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n1\n2\n3\n4\ny\n-2\n-3\n-4\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Punkt A=(a,3) leży na prostej określonej równaniem y=3/4x+6. Stąd wynika, że A. a=-4 B. a=4 C. a=33/4 D. a=39/4","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym\n)\n(\nna\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są dwa wyrazy:\n1\n11\na = -\ni\n9\n5\na =\nSuma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA.\n24\nB.\n27\nC.\n16\nD.\n18\nRozwiązanie zadania. W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla n≥1, dane są dwa wyrazy: a_1=-11 i a_9=5. Suma dziewięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa A. -24 B. -27 C. -16 D. -18","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego\n)\n(\nna\n, określonego dla\n1\nn ≥, są liczbami dodatnimi.\nDrugi wyraz tego ciągu jest równy 162, a piąty wyraz jest równy 48 . Oznacza to, że iloraz\ntego ciągu jest równy\nA. 2\n3\nB.\n3\n4\nC. 1\n3\nD. 1\n2\nRozwiązanie zadania. Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n≥1, są liczbami dodatnimi. Drugi wyraz tego ciągu jest równy 162, a piąty wyraz jest równy 48. Oznacza to, że iloraz tego ciągu jest równy A. 2/3 B. 3/4 C. 1/3 D. 1/2","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCosinus kąta ostrego α jest równy 12\n13 . Wtedy\nA.\n13\nsin\n12\nα =\nB.\n1\nsin\n13\nα =\nC.\n5\nsin\n13\nα =\nD.\n25\nsin\n169\nα =\nRozwiązanie zadania. Cosinus kąta ostrego α jest równy 12/13. Wtedy A. sinα = 13/12 B. sinα = 1/13 C. sinα = 5/13 D. sinα = 25/169.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym\nAC\nBC . Na podstawie AB tego trójkąta\nleży punkt D, taki że\nAD\nCD ,\nBC\nBD oraz\n(zobacz rysunek). Wynika\nstąd, że kąt ACD ma miarę\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Na podstawie AB tego trójkąta leży punkt D, taki że |AD|=|CD|, |BC|=|BD| oraz ∠ BCD = 72° (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt ACD ma miarę A. 38° B. 36° C. 42° D. 40°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nOkrąg, którego środkiem jest punkt\n(\n)\n,5\nS\na\n, jest styczny do osi Oy i do prostej o równaniu\n2\ny =\n. Promień tego okręgu jest równy\nA. 3\nB. 5\nC. 2\nD. 4\n72\nBCD =\n°\n\n38°\n36°\n42°\n40°\nB\nA\nC\nD\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Okrąg, którego środkiem jest punkt S=(a,5), jest styczny do osi Oy i do prostej o równaniu y=2. Promień tego okrągu jest równy A. 3 B. 5 C. 2 D. 4","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego\njest kwadrat\n(zobacz\nrysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta\njest równa\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD (zobacz rysunek). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta SAC jest równa A. 60° B. 45° C. 90° D. 75°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"stereometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nProste o równaniach\n(4\n1)\n19\ny\nm\nx\noraz\n(5\n4)\n20\ny\nm\nx\nsą równoległe, gdy\nA.\n5\nm =\nB.\n1\n4\nm = -\nC.\n5\n4\nm =\nD.\n5\nm = -\nRozwiązanie zadania. Proste o równaniach y=(4m+1)x-19 oraz y=(5m-4)x+20 są równoległe, gdy A. m=5 B. m=-1/4 C. m=5/4 D. m=-5","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nW układzie współrzędnych punkt\n(\n)\n40, 40\nS =\njest środkiem odcinka KL, którego jednym\nz końców jest punkt\n(\n)\n0, 8\nK =\n. Zatem\nA.\n(\n)\n20, 24\nL =\nB.\n(\n)\n80,\n72\nL = -\nC.\n(\n)\n40,\n24\nL = -\nD.\n(\n)\n80, 72\nL =\nRozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych punkt S=(40,40) jest środkiem odcinka KL, którego jednym z końców jest punkt K=(0,8). Zatem A. L=(20,24) B. L=(-80,-72) C. L=(-40,-24) D. L=(80,72)","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkt\n(\n)\n6,\n8\nP\n, przekształcono najpierw w symetrii względem osi Ox, a potem\nw symetrii względem osi Oy. W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt Q . Zatem\nA.\n(\n)\n6,8\nQ\nB.\n(\n)\n6, 8\nQ\nC.\n(\n)\n8,6\nQ\nD.\n(\n)\n8,\n6\nQ\nRozwiązanie zadania. Punkt P=(-6,-8), przekształcono najpierw w symetrii względem osi Ox, a potem w symetrii względem osi Oy. W wyniku tych przekształceń otrzymano punkt Q. Zatem A. Q=(6,8) B. Q=(-6,-8) C. Q=(8,6) D. Q=(-8,-6)","answer":"A","answer_text":"19 2\n20\n1340\n2\n⋅\n⋅\na\nr\na\nr\nr\nZ kolei suma wyrazów o numerach nieparzystych rozważanego w treści zadania ciągu to\nsuma dwudziestu początkowych wyrazów innego ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie\n1a i różnicy 2r.\nStąd możemy zapisać równanie:\n1\n1\n19 2\n20\n1400\n2\n⋅\n⋅\na\na\nr\nRozwiążemy układ równań:\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n1\n1\n1\n1\n19 2\n20\n1340\n2\n19 2\n20\n1400.\n2\n⋅\n\n⋅\n\n⋅\n\n⋅\n\na\nr\na\nr\nr\na\na\nr\nPo przekształceniach otrzymujemy:\n(\n)\n(\n)\n1\n1\n20\n20\n1340\n19\n20\n1400,\n⋅\n\n⋅\n\na\nr\na\nr\n1\n1\n20\n67\n19\n70.\n\n\n\na\nr\na\nr\nPo odjęciu stronami drugiego równania od pierwszego otrzymujemy:\n3,\nr\na następnie:\n1\n127\na\nObliczamy ostatni wyraz rozważanego ciągu:\n(\n)\n40\n127\n39\n3\n10\n⋅-\na\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający zapisze jedno równanie z dwiema niewiadomymi, wynikające z treści zadania, np.:\n1\n1\n19 2\n20\n1340\n2\n⋅\n⋅\na\nr\na\nr\nr\nlub\n1\n1\n19 2\n20\n1400\n2\n⋅\n⋅\na\na\nr\n, lub\n1\n2\n39\n40\n2740\n2\na\nr\n⋅\n,\nlub\n2\n40 20\n1340\n2\na\na\n⋅\n, lub\n1\n39 20\n1400\n2\na\na\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze dwa nierównoważne równania z tymi samymi dwiema niewiadomymi,\nwynikające z treści zadania, np.:\n1\n1\n19 2\n20\n1340\n2\n⋅\n⋅\na\nr\na\nr\nr\noraz\n1\n1\n19 2\n20\n1400\n2\n⋅\n⋅\na\na\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy wyraz\n1a i różnicę r rozważanego w zadaniu ciągu arytmetycznego:\n1\n127\na\n,\n3,\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy czterdziesty wyraz rozważanego ciągu:\n40\n10\na\nUwagi\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe,\nto może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego\nzagadnienia na żadnym etapie rozwiązania.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n2. Jeżeli zdający stosuje metodę prób i błędów, sprawdzi, np. obliczając sumy\nodpowiednich składników, że wybrany ciąg spełnia warunki zadania, i wyznaczy\n40\n10\na\n, to otrzymuje 4 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze jedynie\n1\n127\na\n,\n3\nr\ni\n40\n10\na\n, to otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający pomyli sumy i przyjmie, że suma wyrazów o numerach parzystych jest\nrówna 1400, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 1340\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n5. Jeżeli zdający, zapisując równania z sumą dwudziestu wyrazów ciągu, próbuje wypisać\nwszystkie 20 wyrazów i pominie w równaniu jeden lub dwa wyrazy ciągu, ale\nkonsekwentnie rozwiąże zadanie do końca to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\nZadanie 33. (0-4)\nŚrodek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest\no 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech A i B oznaczają końce rozpatrywanej cięciwy, niech S i r będą odpowiednio środkiem\ni promieniem okręgu, oraz niech x oznacza długość cięciwy AB.\nOdległość środka S okręgu od cięciwy AB jest długością odcinka łączącego punkt S\nz środkiem M tej cięciwy. Zatem\n2\nx\nAM =\nOdcinek MS jest prostopadły do cięciwy AB. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\nprostokątnego AMS otrzymujemy\n2\n2\n2\nAS\nAM\nMS\n,\n( )\n2\n2\n2\n2\n10\nx\nr =\nZ treści zadania wynika, że\n22\nx\nr\n. Otrzymujemy więc równanie z jedną niewiadomą r\n(\n)\n2\n2\n2\n22\n2\n10\nr\nr\n,\n2\n2\n1\n4\n11\n121 100\nr\nr\nr\n,\n2\n3\n4\n11\n221\n0\nr\nr\nRozwiązujemy\nrównanie\nkwadratowe.\nMożemy\nwyznaczyć\nwyróżnik\ntrójmianu\nkwadratowego, a następnie obliczyć rozwiązania.\nObliczamy wyróżnik Δ:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3\n4\n11\n4\n221\n121\n663\n784\n28\nΔ = -\n-⋅\n⋅-\nObliczamy dwie wartości r:\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\n1\n3\n3\n4\n4\n11 28\n17\n0\n2\n2\nr\n<\n⋅\n⋅\n, ta wartość jest ujemna i nie może być długością odcinka,\noraz 2\n3\n3\n4\n4\n11\n28\n39\n39 2\n26\n3\n2\nr\n⋅\n⋅\nZatem promień okręgu jest równy 26.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający\n• rozważa trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest promień r okręgu,\na przyprostokątnymi są: odcinek o długości 10 i odcinek o długości połowy\nrozważanej cięciwy (zdający może przedstawić sytuację na rysunku pomocniczym)\nalbo\n• zapisze zależność między promieniem i długością rozważanej cięciwy, np.:\n22\nx\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze zależność, wynikającą z twierdzenia Pitagorasa, np.:\n2\n2\n2\n10\n2\nx\nr\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np. r (r oznacza promień okręgu):\n2\n2\n2\n10\n11\n2\n\n\n\n\n\n\nr\nr\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający stwierdzi, że zadanie ma jedno rozwiązanie i poprawnie obliczy promień\nokręgu:\n26\nr\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności\nrozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nnp. pomylenie przyprostokątnej z przeciwprostokątną, to zdający może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nZadanie 34. (0-5)\nDługość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12.\n(zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że\n2\ntg\n5\nα =\n. Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWprowadzamy oznaczenia: AB\nBC\nCD\nDA\na\n, SO\nH\nTrójkąt AOS jest prostokątny, zatem\n1\n2\n2\n2\n2\ntg\na\na\nH\nH\nα =\n, czyli\n2\n2\n2\n5\na\nH =\nStąd\n4\n10\nH\na =\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AOS dostajemy\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n12\nH\na\n,\n2\n2\n1\n2\n144\nH\na\nOtrzymujemy więc równanie z jedną niewiadomą H\n(\n)\n2\n2\n1 4\n2\n10\n144\nH\nH +\n,\n2\n2\n4\n5\n144\nH\nH\n,\n2\n9\n5\n144\nH =\n2\n5\n9 144\n16 5\nH =\n⋅\n⋅.\nStąd\n4 5\nH =\noraz\n16 5\n4\n10\n10\n8 2\nH\na =\nObjętość ostrosłupa jest równa\n(\n)\n2\n2\n512 5\n1\n1\n3\n3\n3\n8 2\n4 5\nV\na H\n⋅\nII sposób\nWprowadzamy oznaczenia AB\nBC\nCD\nDA\na\n, SO\nH\nZ treści zadania wiemy że,\n2\n5\ntgα =\n, zatem sin\n2\ncos\n5\nαα =\n. Stąd\n2\n5\nsin\ncos\nα\nα\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= otrzymujemy\n(\n)\n2\n2\n2\n5 cos\ncos\n1\nα\nα\n2\n2\n4\n5 cos\ncos\n1\nα\nα\n= ,\n2\n9\n5 cos\n1\nα = ,\n2\n5\n9\ncos α =\nStąd\n5\n3\ncosα =\n, gdyż α jest kątem ostrym. Zatem\n5\n2\n2\n2\n3\n3\n5\n5\nsin\ncos\nα\nα\n⋅\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nZ trójkąta prostokątnego AOS otrzymujemy\n1\n2\n2\n2\n12\n12\n24\nsin\na\nAO\na\nα =\noraz\n12\n12\ncos\nAO\nH\nα =\nZatem\n2\n2\n24\n3\na\noraz\n5\n12\n3\nH =\n8 2\na =\noraz\n4 5\nH =\nObjętość ostrosłupa jest równa\n(\n)\n2\n2\n512 5\n1\n1\n3\n3\n3\n8 2\n4 5\nV\na H\n⋅\nIII sposób\nZ treści zadania wiemy że,\n2\ntg\n5\nα =\nWprowadzamy oznaczenia w trójkącie AOS:\n2\nAO\nx ,\n5\nSO\nx\ni zapisujemy równanie\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n5\n12\nx\nx\n. Rozwiązaniem tego równania jest\n4\nx =\nStąd otrzymujemy\n5\n4 5\nSO\nx\nH (wysokość ostrosłupa) i\n4\n16\nAC\nx\nObjętość ostrosłupa jest równa\n2\n2\n512 5\n1 1\n1\n3 2\n6\n3\n16\n4 5\nV\nAC\nH\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający:\n• zapisze zależność pomiędzy długością krawędzi a podstawy oraz wysokością H\nostrosłupa:\n2\n2\n2\n5\na\nH =\nalbo\n• zapisze zależność pomiędzy długością krawędzi a podstawy oraz wysokością H\nostrosłupa:\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n12\nH\na\n,\nalbo\n• zapisze zależność sin\n2\ncos\n5\nαα =\n,\nalbo\n• zapisze zależność |\n2\n5\nAO\nSO =\n,\nalbo\n• zapisze zależność\n2\n2\n2\n12\nAO\nSO\n,\nalbo\n• wprowadzi oznaczenia:\n2\nAO\nx ,\n5\nSO\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• zapisze dwa równania z niewiadomymi a oraz H, np.:\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\n2\n12\nH\na\noraz\n2\n2\n2\n5\na\nH =\nSchemat oceniania\nPoziom podstawowy\nalbo\n• zapisze równanie trygonometryczne, w którym wystąpi jedna funkcja\ntrygonometryczna, np.: (\n)\n2\n2\n2\n5 cos\ncos\n1\nα\nα\n= ,\nalbo\n• zapisze równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n5\n12\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy\n• wysokość ostrosłupa:\n4 5\nH =\nalbo\n• długość krawędzi podstawy ostrosłupa:\n8 2\na =\n,\nalbo\n• długość przekątnej podstawy ostrosłupa:\n16\nAC =\n,\nalbo\n• współczynnik proporcjonalności:\n4\nx =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa:\n4 5\nH =\noraz długość\n• krawędzi podstawy ostrosłupa:\n8 2\na =\nlub\n• przekątnej podstawy ostrosłupa:\n16\nAC =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n512 5\n3\nV =\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe lub przy przepisywaniu, które nie przekreślają\npoprawności rozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędzią boczną i wysokością tego\nostrosłupa, to otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje, że krawędź podstawy ostrosłupa jest równa 12, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt.\n4. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\n5. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) niepoprawne\nwyznaczenie\ndługości\nprzekątnej\nkwadratu,\nale\nniebędące\nskutkiem ujawnionego błędu rachunkowego,\nb) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia\ninnych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\n6. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 5. a ponadto popełnia błędy\nrachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej\n2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów:\n,\n(\n)\n5,\n1\nB = -\n,\n(\n)\n5, 3\nC = -\n,\n(\n)\n6,\n4\nD =\n,\n(\n)\n30,\n76\nP = -\nPunkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt\nA. A\nB. B\nC. C\nD. D\nABCDS\nABCD\nSAC\n60°\n45°\n90°\n75°\n(\n)\n1,4\nA =\nB\nA\nC\nS\nD\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie danych jest 5 punktów: A=(1,4), B=(-5,- 1), C=(-5,3), D=(6,-4), P=(-30,-76). Punkt P należy do tej samej ćwiartki układu współrzędnych co punkt A. A B. B C. C D. D","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest prostopadłościan o wymiarach 30 cm × 40 cm × 120 cm (zobacz rysunek),\na ponadto dane są cztery odcinki a, b, c, d, o długościach - odpowiednio - 119 cm, 121 cm,\n129 cm i 131 cm.\nPrzekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa\nA. tylko od odcinka a.\nB. tylko od odcinków a i b.\nC. tylko od odcinków a, b i c.\nD. od wszystkich czterech danych odcinków.\nRozwiązanie zadania. Dany jest prostopadłościan o wymiarach 30 cm × 40 cm × 120 cm (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki a,b,c,d, o długościach - odpowiednio - 119cm, 121cm, 129cm i 131cm. Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa A. tylko od odcinka a. B. tylko od odcinków a i b. C. tylko od odcinków a, b i c. D. od wszystkich czterech danych odcinków.","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej\nkuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka.\nTworząca tego stożka ma długość równą\nA. 12\nB. 11\nC. 24\nD. 22\nRozwiązanie zadania. Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest 3 razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy 2 i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą A. 12 B. 11 C. 24 D. 22","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych 3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7 jest równa 12.\nMediana tych liczb jest równa\nA. 14\nB. 12\nC. 16\nD. x\nRozwiązanie zadania. Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb naturalnych 3,10,5,x,x,x,x,12,19,7 jest równa 12. Mediana tych liczb jest równa A. 14 B. 12 C. 16 D. x","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie\ncyfry 1, 2, 3, jest\nA. 54\nB. 81\nC. 8\nD. 27\nRozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których występują wyłącznie cyfry 1,2,3, jest A. 54 B. 81 C. 8 D. 27","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę.\nPrawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe\nA.\n1\n60\nB.\n1\n25\nC.\n7\n12\nD.\n5\n12\n40 cm\n30 cm\n120 cm\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. W grupie 60 osób (kobiet i mężczyzn) jest 35 kobiet. Z tej grupy losujemy jedną osobę. Prawdopodobieństwo wylosowania każdej osoby jest takie samo. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy mężczyznę, jest równe A. 1/60 B. 1/25 C. 7/12 D. 5/12","answer":"D","answer_text":"5","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n2\n3\n16\n1\n0\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie (x^2-16)(x^3-1) = 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n2\n2\n5\n3\n0\n≤\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2x² - 5x + 3 ≤ 0","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":13,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność\n1\n1\n≥\nx\nx\nx\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność x + 1+x / x ≥ 1.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nWierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na\nboku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C,\na ponadto\n3\nAC\nr\n. Wykaż, że kąt ACB ma miarę120° .\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nA\nB\nC\nS\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Wierzchołki A i C trójkąta ABC leżą na okręgu o promieniu r, a środek S tego okręgu leży na boku AB trójkąta (zobacz rysunek). Prosta BC jest styczna do tego okręgu w punkcie C, a ponadto |AC|=r√3. Wykaż, że kąt ACB ma miarę 120°.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie\ndziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru {\n}\n1, 3, 5, 7, 9 , i jednocześnie cyfrę\njedności, która należy do zbioru {\n}\n0, 2, 4, 6, 8 .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru {1, 3, 5, 7, 9}, i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru {0, 2, 4, 6, 8}.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nPrzekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie\n21, 1\n2\n\n\n\n\n\n\nS\n. Punkty A i C leżą na\nprostej o równaniu\n1\n5\n3\n2\ny\nx\n. Wyznacz równanie prostej BD.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Przekątne rombu ABCD przecinają się w punkcie S=(-21/2,-1). Punkty A i C leżą na prostej o równaniu y=1/3x+5/2. Wyznacz równanie prostej BD.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"analityczna","page_from":17,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\n1\n2\n39\n40\n,\n,\n,\n,\na a\na\na\nsuma wyrazów tego ciągu o numerach\nparzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest\nrówna 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. W ciągu arytmetycznym (a_1,a_2,…,a_39,a_40) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa 1340, a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa 1400. Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nŚrodek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest\no 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Środek okręgu leży w odległości 10 cm od cięciwy tego okręgu. Długość tej cięciwy jest o 22 cm większa od promienia tego okręgu. Oblicz promień tego okręgu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2019,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nDługość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12.\n(zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kątα taki, że\n2\ntg\n5\nα =\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nS\n12\nO\nα\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozwiązanie zadania. Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest równa 12 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że tgα = 2/√5. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":22,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}