{"paper":{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWartość wyrażenia\n2\n6\n9\nx\nx\ndla\n3\n3\nx =\n+ jest równa\nA. 1\nB. 3\nC. 1\n2 3\nD. 1 2 3\nRozwiązanie zadania. Równość 2+a = 9a / 2a+1 jest prawdziwa, gdy A. a=-2 B. a=-1 C. a=1 D. a=2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający\nużywa wzorów skróconego mnożenia\n(\n)\n±\n2\na\nb\noraz\n2\n2\na\nb (2.1).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(x^2 - 6x + 9\\) jest **kwadratem różnicy**:\n\\[x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\\]\n\nTeraz podstawiamy \\(x = \\sqrt{3} + 3\\):\n\\[(x - 3)^2 = (\\sqrt{3} + 3 - 3)^2 = (\\sqrt{3})^2 = 3\\]\n\n**Wynik: \\(3\\)**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie bezpośrednie\n\nPodstawiamy \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) wprost do wyrażenia i liczymy każdy składnik osobno.\n\n**Składnik \\(x^2\\):**\n\\[x^2 = (\\sqrt{3} + 3)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 3 + 3^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Składnik \\(-6x\\):**\n\\[-6x = -6(\\sqrt{3} + 3) = -6\\sqrt{3} - 18\\]\n\n**Składnik \\(+9\\):**\n\\[+9\\]\n\n**Sumujemy wszystko:**\n\\[x^2 - 6x + 9 = (12 + 6\\sqrt{3}) + (-6\\sqrt{3} - 18) + 9\\]\n\\[= 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9\\]\n\\[= (12 - 18 + 9) + (6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3})\\]\n\\[= 3 + 0 = 3\\]\n\n**Wynik: \\(3\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat różnicy:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 (rozpoznanie \\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\)) oraz w Sposobie 2 (rozwinięcie \\((\\sqrt{3}+3)^2\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(1\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{3})^2 = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(3\\), czyli zapomina, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\) |\n| C - \\(1 + 2\\sqrt{3}\\) | Uczeń podstawia \\(x = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) i dostaje \\(3 - 6\\sqrt{3} + 9 = \\), albo błędnie upraszcza \\((x-3)^2 = x^2 - 9\\) |\n| D - \\(1 - 2\\sqrt{3}\\) | Podobny błąd: pominięcie członu \\(-3\\) przy odejmowaniu lub pomylenie znaków przy rozwijaniu \\((\\sqrt{3}+3)^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to nierozpoznanie wzoru \\((x-3)^2\\) i ręczne podstawianie - to działa, ale trwa znacznie dłużej i daje więcej szans na pomyłkę rachunkową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\), **nie** \\(\\sqrt{3}\\). Potęgowanie i pierwiastkowanie się znoszą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawieniu \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) obliczając \\((x-3)\\) dostajemy \\(\\sqrt{3}+3-3 = \\sqrt{3}\\) - cała \"trudna\" część \\(+3\\) znika. To sygnał, że wybór wartości \\(x\\) nie był przypadkowy!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nZauważamy, że \\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\). Dla \\(x = \\sqrt{3}+3\\):\n\\[(\\sqrt{3}+3-3)^2 = (\\sqrt{3})^2 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie\n\\(x = \\sqrt{3}+3\\), \\(x^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\\sqrt{3}\\).\n\\(x^2 - 6x + 9 = 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9 = 3.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - ktoś policzył \\((\\sqrt{3}-1)^2\\).\n- **C, D** - błędy w obliczeniach, pozostawienie niewymierności niepotrzebnie.\n\n**Trik:** rozpoznanie wzoru \\((x-3)^2\\) natychmiast upraszcza problem.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Podstawienie i obliczenie\n1. Podstawiamy \\(x = 3 + 3 = 6\\) do wyrażenia \\(x^2 - 6x + 9\\).\n\\[\n(6)^2 - 6(6) + 9 = 36 - 36 + 9 = 9\n\\]\nZatem wartość wyrażenia dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9. To jest błąd w treści zadania, ponieważ podano, że wartość wyrażenia ma być równa 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi)\n\n### Sposób 2: Rozłożenie na czynniki\nWyrażenie \\(x^2 - 6x + 9\\) można rozłożyć na czynniki:\n\\[\nx^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2\n\\]\nTeraz podstawiamy \\(x = 3 + 3 = 6\\):\n\\[\n(6 - 3)^2 = (3)^2 = 9\n\\]\nZatem wartość wyrażenia dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 1:** Podstawienie \\(x = 3 + 3 = 6\\) do wyrażenia daje 9, a nie 1.\n* **C. (na zdjęciu):** Nie ma tutaj żadnej wartości wyrażonej w nawiasie.\n* **D. (na zdjęciu):** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, podstawa jest nieprawidłowa.\n\nWartość wyrażenia \\(x^2 - 6x + 9\\) dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9. Prawdopodobnie w treści zadania doszło do błędu, ponieważ podano, że odpowiedź ma być równa 3.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba\n50\n40\n10\n2\n3\n36\n⋅\njest równa\nA.\n70\n6\nB.\n45\n6\nC.\n30\n20\n2\n3\n⋅\nD.\n10\n20\n2\n3\n⋅\nRozwiązanie zadania. Pole trójkąta równoramiennego jest równe 25√2. Miara kąta między ramionami tego trójkąta jest równa 45°. Każde z ramion tego trójkąta ma długość A. 10√2 B. 5√2 C. 5 D. 10","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza\npotęgi o wykładnikach wymiernych\ni stosuje prawa działań na potęgach\no wykładnikach wymiernych (1.4).\nWersja X\nWersja Y\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2^{30}\\cdot 3^{20}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład \\(36^{10}\\) na czynniki pierwsze\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(36 = 4 \\cdot 9 = 2^2 \\cdot 3^2\\), więc \\(36^{10} = (2^2 \\cdot 3^2)^{10}\\).\n\nObliczamy mianownik:\n\\[36^{10} = (2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\]\n\nTeraz podstawiamy do ułamka:\n\\[\\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{36^{10}} = \\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{2^{20} \\cdot 3^{20}}\\]\n\nDzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):\n\\[= 2^{50-20} \\cdot 3^{40-20} = \\mathbf{2^{30} \\cdot 3^{20}}\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - Przez rozkład \\(36 = 6^2\\)\n\nAlternatywne podejście: spróbujmy wyrazić wszystko przez \\(6\\).\n\nZauważamy, że \\(36 = 6^2\\), więc:\n\\[36^{10} = (6^2)^{10} = 6^{20}\\]\n\nLicznik rozpisujemy jako:\n\\[2^{50} \\cdot 3^{40} = 2^{50} \\cdot 3^{40}\\]\n\nWyrażamy przez \\(6 = 2 \\cdot 3\\):\n\\[2^{50} \\cdot 3^{40} = 2^{30} \\cdot (2^{20} \\cdot 3^{20}) \\cdot 3^{20} = 2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot (2 \\cdot 3)^{20} = 2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot 6^{20}\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{2^{50} \\cdot 3^{40}}{36^{10}} = \\frac{2^{30} \\cdot 3^{20} \\cdot 6^{20}}{6^{20}} = \\mathbf{2^{30} \\cdot 3^{20}}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź: C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nDziałania na potęgach:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy tego przy rozpisaniu \\((2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\).\n\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyliśmy tego przy dzieleniu: \\(\\frac{2^{50}}{2^{20}} = 2^{30}\\) i \\(\\frac{3^{40}}{3^{20}} = 3^{20}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(6^{70}\\) | Uczeń próbuje łączyć wykładniki, ale dodaje je zamiast odejmować. Lub myli \\(2^{30} \\cdot 3^{20}\\) z \\(6^{50}\\) - zapominając, że \\(2^{30} \\cdot 3^{20} \\neq 6^{30}\\) (bo potęgi są różne!) |\n| **B** \\(6^{45}\\) | Wynik „na czuja\" - np. \\(\\frac{50+40}{2} - 10 = 45\\), czyli losowe działania na liczbach bez rozumienia |\n| **D** \\(2^{10} \\cdot 3^{20}\\) | Uczeń poprawnie radzi sobie z \\(3^{40}/3^{20} = 3^{20}\\), ale przy \\(2^{50}/2^{20}\\) popełnia błąd - zapisuje \\(2^{50-40} = 2^{10}\\) zamiast \\(2^{50-20} = 2^{30}\\) (myli \\(36^{10} = 2^{20}\\cdot 3^{20}\\) z \\(2^{40}\\cdot 3^{20}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{30} \\cdot 3^{20} \\neq 6^{30}\\) ani \\(6^{50}\\)! Żeby połączyć potęgi dwójki i trójki w potęgę szóstki, wykładniki muszą być **równe**: \\(2^n \\cdot 3^n = 6^n\\). Tu wykładniki są różne (\\(30 \\neq 20\\)), więc nie możemy zapisać wyniku jako \\(6^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu \\(36^{10}\\) pamiętaj, że \\(36 = 2^2 \\cdot 3^2\\), a NIE \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Działamy: \\((2^2 \\cdot 3^2)^{10} = 2^{2 \\cdot 10} \\cdot 3^{2 \\cdot 10} = 2^{20} \\cdot 3^{20}\\). Łatwo zapomnieć o mnożeniu wykładników przez \\(10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu potęg tej samej podstawy **odejmujemy** wykładniki: \\(\\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\). Częsty błąd to dzielenie wykładników zamiast odejmowania.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze\n\\(36 = 2^2\\cdot 3^2\\), więc \\(36^{10} = 2^{20}\\cdot 3^{20}\\).\n\\[\\dfrac{2^{50}\\cdot 3^{40}}{2^{20}\\cdot 3^{20}} = 2^{50-20}\\cdot 3^{40-20} = 2^{30}\\cdot 3^{20}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez zamianę\n\\(2^{30}\\cdot 3^{20} = 2^{10}\\cdot (2^2\\cdot 3^2)^{10} = 2^{10}\\cdot 36^{10}\\). Pomnożyć przez \\(36^{10}\\) i podzielić - daje \\(2^{50}\\cdot 3^{40}\\) (po uzupełnieniu \\(3^{20}\\) w liczniku).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** (\\(6^k\\)) - liczba wykładnikowa z rozbieżnymi wykładnikami \\(30\\) i \\(20\\) nie jest potęgą 6.\n- **D.** Błędne wykładniki.\n\n**Klucz:** \\(36 = 6^2 = 2^2\\cdot 3^2\\) - rozkład pozwala skracać oddzielnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie iloczynu\n1. **Zgodnie z treścią zadania:** 250 * 340 = 36100\n2. **Wzór:** Iloczyn dwóch liczb.\n\\[250 \\cdot 340 = 36100\\]\n📖 Karta wzorów: s.3, strona 3\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie iloczynu\n1. **Rozwinięcie:** 250 * 340 = 250 * (300 + 40) = 250 * 300 + 250 * 40\n2. **Obliczenie:**\n* 250 * 300 = 75000\n* 250 * 40 = 10000\n3. **Sumowanie:** 75000 + 10000 = 85000\n4. **Błąd w treści zadania:** W treści zadania podano błędny wynik. Prawidłowy iloczyn to 85000, a nie 3610. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie, musimy obliczyć iloczyn zgodnie z podanymi liczbami.\n\\[250 \\cdot 340 = 250 \\cdot (300 + 40) = 75000 + 10000 = 85000\\]\n📖 Karta wzorów: s.3, strona 3 (wzór na mnożenie)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (250 + 340) = 590 - Zastosowanie dodawania, a nie mnożenia.\n* **B:** (250 - 340) = -90 - Zastosowanie odejmowania, a nie mnożenia.\n* **D:** (250 * 300) * 340 / 300 - Zastosowanie skomplikowanej operacji, która nie jest potrzebna do rozwiązania zadania.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba\n5\nlog\n125 jest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC. 3\nD. 3\n2\nRozwiązanie zadania. Liczba log_√2 4^8 jest równa A. 2 B. 4 C. 32 D. 16","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający\nwykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym (1.6).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - uproszczenie pierwiastka i własności logarytmu\n\n**Cel:** Sprowadzić \\(\\log_5\\sqrt{125}\\) do postaci, którą łatwo obliczyć.\n\nKrok 1: Zapisz \\(\\sqrt{125}\\) jako potęgę piątki.\n\n\\[125 = 5^3\\]\n\n\\[\\sqrt{125} = \\sqrt{5^3} = 5^{\\frac{3}{2}}\\]\n\nKrok 2: Podstaw do logarytmu.\n\n\\[\\log_5\\sqrt{125} = \\log_5 5^{\\frac{3}{2}}\\]\n\nKrok 3: Skorzystaj z definicji logarytmu - \\(\\log_a a^r = r\\).\n\n\\[\\log_5 5^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{3}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - własność logarytmu potęgi\n\nZamiast upraszczać pierwiastek od razu, użyj wzoru \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\).\n\nKrok 1: Zamień pierwiastek na potęgę.\n\n\\[\\log_5\\sqrt{125} = \\log_5 125^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nKrok 2: Wyciągnij wykładnik przed logarytm.\n\n\\[\\log_5 125^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_5 125\\]\n\nKrok 3: Oblicz \\(\\log_5 125\\). Skoro \\(125 = 5^3\\):\n\n\\[\\log_5 125 = \\log_5 5^3 = 3\\]\n\nKrok 4: Podstaw z powrotem.\n\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{3}{2}\\)** - zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu i własność potęgi:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy obu: w Sposobie 1 - definicji (skoro \\(\\log_5 5^{3/2} = \\frac{3}{2}\\)), w Sposobie 2 - wzoru na logarytm potęgi.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - zamiana pierwiastka na potęgę:\n\\[\\sqrt[n]{a^m} = a^{\\frac{m}{n}}\\]\nUżyliśmy do zapisu \\(\\sqrt{125} = 5^{\\frac{3}{2}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\(\\frac{2}{3}\\) | Odwrócono wykładnik: wzięto \\(5^{\\frac{2}{3}}\\) zamiast \\(5^{\\frac{3}{2}}\\), czyli pomylono licznik z mianownikiem |\n| B \\(2\\) | Policzono \\(\\log_5 25 = 2\\) - mylnie uproszczono \\(\\sqrt{125} \\approx 25\\) lub pominięto pierwiastek i wzięto \\(\\frac{125}{5^2} = 5\\) |\n| C \\(3\\) | Zignorowano pierwiastek - policzono \\(\\log_5 125 = 3\\), zapominając o \\(\\sqrt{\\phantom{x}}\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zignorowanie pierwiastka - uczniowie liczą \\(\\log_5 125 = 3\\) i wybierają C. Pierwiastek to też potęga!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(\\sqrt{a^m} = a^{m/n}\\) łatwo odwrócić ułamek. Pamiętaj: \\(\\sqrt{a^3} = a^{3/2}\\), NIE \\(a^{2/3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy podstawa logarytmu i argument są potęgami tej samej liczby - to klucz do szybkiego rachunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zamiana \\(\\sqrt{125}\\) na potęgę\n\\(\\sqrt{125} = 125^{1/2} = (5^3)^{1/2} = 5^{3/2}\\).\n\\[\\log_5 5^{3/2} = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność \\(\\log_a \\sqrt{b} = \\tfrac{1}{2}\\log_a b\\)\n\\(\\log_5\\sqrt{125} = \\tfrac{1}{2}\\log_5 125 = \\tfrac{1}{2}\\cdot 3 = \\tfrac{3}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - odwrotność poprawnej odpowiedzi.\n- **B. \\(2\\)** - \\(\\log_5 25\\).\n- **C. \\(3\\)** - \\(\\log_5 125\\), bez pierwiastka.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt{a^n} = a^{n/2}\\) zawsze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie definicji logarytmu\nRozwiążmy to zadanie, korzystając z definicji logarytmu. Logarytm z liczby 125 do potęgi 5 jest równy 125. Innymi słowy:\n\n\\[ \\log_5 125 = x \\]\n\nOznacza to, że \\(5^x = 125\\). Wiemy, że \\(125 = 5^3\\), więc:\n\n\\[ 5^x = 5^3 \\]\n\nZatem, \\(x = 3\\).\n\n📖 Karta wzorów: logarytmy, strona 13\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na logarytm z potęgi\nMożemy również wykorzystać wzór na logarytm z potęgi: \\[ \\log_a (b^r) = r \\log_a b \\]\n\nW naszym przypadku:\n\n\\[ \\log_5 125 = \\log_5 (5^3) = 3 \\log_5 5 \\]\n\nPonieważ \\( \\log_a a = 1 \\), to \\( \\log_5 5 = 1 \\). Zatem:\n\n\\[ 3 \\log_5 5 = 3 \\cdot 1 = 3 \\]\n\n📖 Karta wzorów: log(xy)=logx+logy, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowe, ponieważ nie daje nam rozwiązania.\n* **B. 2** - To jest nieprawidłowe, ponieważ \\(5^2 = 25 \\neq 125\\).\n* **C. 3** - To jest prawidłowe, jak pokazano powyżej.\n* **D. (na zdjęciu)** - To jest prawidłowe, ponieważ \\(5^3 = 125\\). Zatem, \\( \\log_5 125 = 3 \\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową\ncenę y należy podnieść o\nA. 25%\nB. 20%\nC. 15%\nD. 12%","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający\nwykonuje obliczenia procentowe,\noblicza podatki, zysk z lokat (1.9).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(25\\%\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie konkretnej liczby\n\nWybieramy wygodną cenę startową, np. \\(x = 100\\) zł.\n\n**Krok 1: Oblicz cenę \\(y\\) po obniżce o \\(20\\%\\)**\n\n\\[y = x \\cdot (1 - 0{,}20) = 100 \\cdot 0{,}80 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Ile procent \\(p\\) musimy podnieść \\(y\\), żeby wrócić do \\(x = 100\\)?**\n\nSzukamy \\(p\\) takiego, że:\n\\[y \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right) = x\\]\n\\[80 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right) = 100\\]\n\\[1 + \\frac{p}{100} = \\frac{100}{80} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\]\n\\[\\frac{p}{100} = 0{,}25\\]\n\\[\\mathbf{p = 25\\%}\\]\n\n**Odpowiedź: A - nową cenę \\(y\\) należy podnieść o \\(25\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - wzór ogólny (algebra)\n\n**Krok 1: Wyraź \\(y\\) przez \\(x\\)**\n\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza:\n\\[y = x \\cdot 0{,}8\\]\n\n**Krok 2: Wyraź \\(x\\) przez \\(y\\)**\n\n\\[x = \\frac{y}{0{,}8} = y \\cdot \\frac{1}{0{,}8} = y \\cdot \\frac{5}{4}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz o ile procent \\(y\\) wzrosło do \\(x\\)**\n\n\\[x = y \\cdot \\frac{5}{4} = y \\cdot 1{,}25\\]\n\nMnożnik \\(1{,}25\\) odpowiada wzrostowi o \\(0{,}25 = \\mathbf{25\\%}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania na ułamkach. Schemat procentowy to:\n\n\\[\\text{nowa wartość} = \\text{stara wartość} \\cdot \\left(1 \\pm \\frac{p}{100}\\right)\\]\n\nJest to elementarna własność obliczania procentów, niepotrzebująca odwołania do żadnego działu karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(20\\%\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń myśli: „obniżono o \\(20\\%\\), to i podwyżka to \\(20\\%\\)\". To nieprawda - procent liczymy od **innej** podstawy: obniżkę od \\(x\\), a podwyżkę od \\(y < x\\). |\n| C - \\(15\\%\\) | Brak związku z zadaniem - typowy wynik błędnego „uśredniania\" lub zgadywania. |\n| D - \\(12\\%\\) | Podobnie - błędna intuicja, czasem wynik błędnego działania \\(20\\% - 20\\% \\cdot 20\\% = 16\\%\\) albo innego przekształcenia. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obniżka o \\(20\\%\\) i podwyżka o \\(20\\%\\) to **NIE są działania odwrotne**! Obniżamy od ceny \\(x\\), a podwyższamy od niższej ceny \\(y\\) - inne podstawy, inny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzrost o \\(25\\%\\) to mnożenie przez \\(\\frac{5}{4}\\), bo \\(\\frac{1}{0{,}8} = \\frac{10}{8} = \\frac{5}{4} = 1{,}25\\). Warto zapamiętać: **obniżka o \\(20\\%\\) ↔ podwyżka o \\(25\\%\\)** to klasyczna para maturalna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy zadanie jest ogólne (nie podaje konkretnych liczb), zawsze możesz **podstawić wygodną liczbę** (np. \\(100\\)) - to nie błąd, to sprytna strategia!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Ułamki\n\\(y = 0{,}8x\\). Aby z \\(y\\) wrócić do \\(x\\), mnożymy przez współczynnik \\(k\\):\n\\[y\\cdot k = x \\Rightarrow 0{,}8x\\cdot k = x \\Rightarrow k = \\dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25.\\]\nZwiększenie o \\(25\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Liczba konkretna\nNiech \\(x = 100\\). Po obniżce: \\(y = 80\\). Podwyżka o \\(25\\%\\) z \\(80\\): \\(80 + 20 = 100 = x\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(20\\%\\)** - klasyczna pułapka: podwyżka \\(20\\%\\) z \\(80\\) daje \\(96 \\ne 100\\).\n- **C, D** - wartości mniejsze, jeszcze bardziej niewystarczające.\n\n**Zasada:** obniżka i podwyżka o ten sam procent **nie są** symetryczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie procentów i równania\nTen sposób polega na zrozumieniu, że obniżka ceny o 20% oznacza, że cena y stanowi 80% ceny początkowej x. Aby wrócić do ceny x, musimy podnieść cenę y o procent, który przywróci oryginalną wartość.\n\nKroki:\n\n1. **Zrozumienie relacji:** Obniżka o 20% daje cenę y, co oznacza, że y = x - 0.20x = 0.80x.\n2. **Przekształcenie równania:** Chcemy znaleźć procent, który należy dodać do y, aby otrzymać x. Oznaczmy ten procent jako p. Wtedy: y + p*y = x\n3. **Rozwiązanie równania:** y(1 + p) = x => 1 + p = x/y => p = x/y - 1\n4. **Podstawienie wartości:** x/y - 1 = x/y - 1 = 1 - 1/y = 1 - 0.8 = 0.2 = 20%\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 (nie użyty bezpośrednio, ale koncepcja proporcjonalności jest kluczowa)\n\n### Sposób 2: Użycie proporcji\nTen sposób opiera się na bezpośrednim zastosowaniu proporcji.\n\nKroki:\n\n1. **Zrozumienie proporcji:** Obniżka o 20% daje cenę y. Oznacza to, że 100% (cena x) odpowiada 100%. Cena y odpowiada 80% ceny x. Aby wrócić do ceny x, musimy znaleźć procent, który, dodany do ceny y, da cenę x.\n2. **Ustawienie proporcji:** \\[\\frac{y}{x} = \\frac{80}{100}\\]\n3. **Rozwiązanie proporcji:** y * 100 = 80 * x => y = (80/100) * x = 0.8x\n4. **Obliczenie procentu do podniesienia:** Aby podnieść y do x, musimy znaleźć p taki, że y * (1 + p) = x. Zatem (0.8x) * (1 + p) = x. Dzielimy obie strony przez x: 0.8 * (1 + p) = 1 => 1 + p = 1 / 0.8 = 1.25 => p = 1.25 - 1 = 0.25 = 25%\n\n📖 Karta wzorów: s.10: Ciągi, Procent składany, strona 10 (użyto koncepcji procentu składanego)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 20%:** Jeśli podnieść y o 20%, to otrzymamy 1.2y, co nie jest równe x.\n* **C. 15%:** Podniesienie y o 15% da 1.15y, co również nie jest równe x.\n* **D. 12%:** Podniesienie y o 12% da 1.12y, co nie jest równe x.\n\nPodsumowując, obniżka o 20% to zmniejszenie ceny o 20%, a podniesienie o 25% to przywrócenie ceny do pierwotnego poziomu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (\n)\n(\n)\n3 1\n2 3\n1\n12\nx\nx\nx\n>\njest przedział\nA.\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nB.\n5\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\nC.\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\nD.\n\n\n\n\n\n\n∞\n3\n5\n,\nRozwiązanie zadania. W trapezie prostokątnym ABCD są dane długości boków: |AB|=8, |BC|=5, |DC|=5, |AD|=4 (zobacz rysunek). Tangens kąta ostrego ABC w tym trapezie jest równy A. 4/3 B. 4/5 C. 3/4 D. 3/5.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje nierówności pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą (3.3).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nZbiorem rozwiązań jest przedział \\(\\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne krok po kroku\n\n**Zaczynamy od rozwinięcia nawiasów** po obu stronach nierówności:\n\n\\[3(1-x) > 2(3x-1) - 12x\\]\n\n\\[3 - 3x > 6x - 2 - 12x\\]\n\n**Upraszczamy prawą stronę** (łączymy wyrazy z \\(x\\)):\n\n\\[3 - 3x > -6x - 2\\]\n\n**Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę**, wyrazy wolne na prawą:\n\n\\[3 - 3x + 6x > -2\\]\n\n\\[3 + 3x > -2\\]\n\n\\[3x > -2 - 3\\]\n\n\\[3x > -5\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez \\(3 > 0\\)** - znak nierówności **nie zmienia się**:\n\n\\[x > -\\frac{5}{3}\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych\n\nZnaleźliśmy, że granicą jest \\(x_0 = -\\dfrac{5}{3}\\). Sprawdzamy:\n\n**Punkt graniczny** \\(x = -\\dfrac{5}{3}\\) - powinien **nie** spełniać nierówności (ostrą):\n\n\\[\\text{Lewa:} \\quad 3\\!\\left(1 - \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right)\\right) = 3 \\cdot \\tfrac{8}{3} = 8\\]\n\n\\[\\text{Prawa:} \\quad 2\\!\\left(3 \\cdot \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right) - 1\\right) - 12 \\cdot \\left(-\\tfrac{5}{3}\\right) = 2(-5-1) + 20 = -12 + 20 = 8\\]\n\n\\(8 > 8\\) - **fałsz**, słusznie punkt graniczny nie należy do rozwiązania.\n\n**Sprawdzamy punkt z przedziału**, np. \\(x = 0\\):\n\n\\[\\text{Lewa:} \\quad 3(1-0) = 3\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad 2(0-1) - 0 = -2\\]\n\n\\(3 > -2\\) - **prawda** ✓ Punkt \\(x=0\\) należy do \\(\\left(-\\dfrac{5}{3}, +\\infty\\right)\\).\n\n**Sprawdzamy punkt spoza przedziału**, np. \\(x = -2\\):\n\n\\[\\text{Lewa:} \\quad 3(1-(-2)) = 9\\]\n\\[\\text{Prawa:} \\quad 2(3\\cdot(-2)-1) - 12\\cdot(-2) = 2(-7) + 24 = 10\\]\n\n\\(9 > 10\\) - **fałsz** ✓ Punkt \\(x = -2\\) słusznie nie należy do rozwiązania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne przekształcanie nierówności liniowej (rozwijanie nawiasów, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń dostaje \\(3x > -5\\), ale potem błędnie odwraca znak: zapisuje \\(x < \\dfrac{5}{3}\\) zamiast \\(x > -\\dfrac{5}{3}\\) |\n| **C** | Uczeń gubi minus przy obliczaniu granicy: zamiast \\(-\\dfrac{5}{3}\\) wpisuje \\(+\\dfrac{5}{3}\\) |\n| **D** | Połączenie obu błędów: odwrócony znak nierówności **i** zgubiony minus - wynik \\(x < -\\dfrac{5}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu prawej strony \\(6x - 2 - 12x\\) łatwo się pomylić w znakach. Zawsze zbieraj wyrazy z \\(x\\) osobno: \\(6x - 12x = -6x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie obu stron przez liczbę **dodatnią** (tu: przez \\(3\\)) **nie zmienia kierunku** nierówności. Znak odwracamy **tylko** przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę **ujemną**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x > -\\dfrac{5}{3}\\) to przedział **otwarty** - \\(-\\dfrac{5}{3}\\) nie należy do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie krok po kroku\n\\[3(1-x) > 2(3x-1) - 12x\\]\n\\[3 - 3x > 6x - 2 - 12x\\]\n\\[3 - 3x > -6x - 2\\]\n\\[3x > -5\\]\n\\[x > -\\dfrac{5}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\n\\(x=0\\): \\(3(1) > 2(-1) - 0 \\iff 3 > -2\\) ✓ → 0 należy. Eliminuje D.\n\\(x=-2\\): \\(3(3) > 2(-7)+24 = 10 \\iff 9 > 10\\)? NIE. Eliminuje B.\nZostaje A lub C. \\(x=-1\\): \\(-1 > -\\tfrac{5}{3}\\), więc powinno spełniać: \\(3(2) > 2(-4)+12 = 4 \\iff 6 > 4\\) ✓. Pasuje A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Przeciwny znak nierówności.\n- **C.** Dobry punkt graniczny, ale przeciwny kierunek.\n- **D.** Zły kierunek i zły znak.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności krok po kroku\n1. **Rozwiń lewą stronę nierówności:**\n3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x\n3 - 3x > 6x - 2 - 12x\n3 - 3x > -6x - 2\n\n2. **Przenieś wszystkie wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą:**\n3 + 6x > -2 + 3x\n3 + 6x - 3x > -2\n3 + 3x > -2\n\n3. **Przenieś liczby na prawą stronę:**\n3x > -2 - 3\n3x > -5\n\n4. **Podziel obie strony przez 3:**\nx > -5/3\n\n5. **Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału:**\nx ∈ (-5/3, +∞)\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności |x|, strona 15\n\n### Sposób 2: Uproszczenie nierówności i rozwiązanie\n1. **Rozwijamy i upraszczamy lewą stronę:**\n3 - 3x > 6x - 2 - 12x\n3 - 3x > -6x - 2\n\n2. **Przenosimy termy z x na jedną stronę, a bez x na drugą:**\n3 + 6x > -6x - 2 + 3x\n3 + 6x > -3x - 2\n\n3. **Przenosimy termy z x na jedną stronę, a bez x na drugą:**\n3 + 6x + 3x > -2\n3 + 9x > -2\n\n4. **Przenosimy termy bez x na jedną stronę, a termy z x na drugą:**\n9x > -2 - 3\n9x > -5\n\n5. **Dzielimy obie strony przez 9:**\nx > -5/9\n\nTo jest błąd! W kroku 3 i 4 popełniono błąd. Poprawione rozwiązanie powinno wyglądać tak:\n3. **Przenieś wszystkie wyrazy z x na jedną stronę, a liczby na drugą:**\n3 + 6x > -2 + 3x\n6x - 3x > -2 - 3\n3x > -5\n\n4. **Podziel obie strony przez 3:**\nx > -5/3\n\n5. **Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału:**\nx ∈ (-5/3, +∞)\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, nierówności |x|, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B:** (-∞, -5/3) - Jest to przedział, w którym x jest mniejsze niż -5/3, co nie jest prawidłowe, ponieważ 3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x dla x > -5/3.\n* **C:** (-5/3, +∞) - To jest prawidłowe rozwiązanie, które otrzymaliśmy.\n* **D:** (-∞, -5/3) - Jest to przedział, w którym x jest mniejsze niż -5/3, co nie jest prawidłowe, ponieważ 3(1 - x) > 2(3x - 1) - 12x dla x > -5/3.\n\n**Podsumowanie:** Prawidłowe rozwiązanie nierówności to przedział (-5/3, +∞), ponieważ x musi być większe niż -5/3, aby lewa strona nierówności była większa od prawej.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nSuma wszystkich rozwiązań równania (\n)(\n)\n3\n2\n0\nx x\nx\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nInformacja do zadań 7.-9.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem\n( )\n(\n)(\n)\n1\n3\nf\nx\na x\nx\n. Na rysunku\nprzedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest\npunkt\n(2,1)\nW =\nRozwiązanie zadania. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=-x^2+6x+4 jest parabola o wierzchołku w punkcie (3,q). Liczba q jest równa A. 4 B. 7 C. 9 D. 13","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nkorzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n(\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n(3.7).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn zerowy (bezpośrednio z równania)\n\nMamy równanie:\n\\[x(x-3)(x+2) = 0\\]\n\n**Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.**\n\nZatem rozwiązujemy trzy równania:\n\n\\[x = 0\\]\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\\[x + 2 = 0 \\implies x = -2\\]\n\nMamy trzy rozwiązania: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 3\\), \\(x_3 = -2\\).\n\n**Suma rozwiązań:**\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = 0 + 3 + (-2) = 1\\]\n\n**Odpowiedź: B - suma wynosi \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzory Viète'a\n\nRozwijamy iloczyn:\n\\[x(x-3)(x+2) = x \\cdot \\bigl[(x-3)(x+2)\\bigr]\\]\n\nNajpierw:\n\\[(x-3)(x+2) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6\\]\n\nNastępnie:\n\\[x(x^2 - x - 6) = x^3 - x^2 - 6x\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[x^3 - x^2 - 6x = 0\\]\n\nDla wielomianu stopnia 3: \\(x^3 + px^2 + qx + r = 0\\) suma wszystkich pierwiastków równa się \\(-p\\) (uogólnione wzory Viète'a).\n\nTutaj współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(-1\\), więc:\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -(-1) = 1\\]\n\n**Wynik zgodny z metodą 1: suma = \\(1\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy własność iloczynu zerowego i podstawowe działania algebraiczne.\n\nPomocniczo możemy wskazać:\n- **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a dla trójmianu kwadratowego:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nSposób 2 używa analogicznego uogólnienia tych wzorów na wielomian stopnia 3 (poza podstawą programową, ale warto znać jako ciekawostkę).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń widzi czynnik \\(x\\) i myśli, że suma musi wynosić \\(0\\), bo \"jedno z rozwiązań to zero\". Zapomina dodać pozostałe pierwiastki. |\n| C (\\(2\\)) | Uczeń liczy \\(3 + (-2) = 1\\), ale następnie dodaje jeszcze raz \\(x=0\\) jako \"jedynkę\" (błąd: \\(0 \\equiv 1\\) w myśleniu) - lub po prostu myli znaki: \\(3 - 2 = 1\\), ale gdzie zaginął czynnik \\(x\\)? Albo liczy \\(-2 + (-3) = -5\\) i się myli w znaku: \\(3 + (-2) + ? = 2\\). |\n| D (\\(3\\)) | Uczeń sumuje tylko pierwiastki \\(x=3\\) i \\(x=-2\\), ale zapomina o \\(x=0\\) jako trzecim rozwiązaniu - \\(3 + (-2) + \\mathbf{0}\\). Lub bierze samo \\(x=3\\) za \"jedyną odpowiedź\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x = 0\\) jest pełnoprawnym rozwiązaniem! Wielu uczniów \"zapomina\" o zerze, bo wydaje im się trywialne - a to trzeba wliczyć do sumy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak! Czynnik \\((x+2) = 0\\) daje \\(x = -2\\), nie \\(x = +2\\). To najczęstsza pomyłka w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma dotyczy **wszystkich** rozwiązań - nie wystarczy podać jednego lub dwóch, musisz znaleźć je wszystkie i zsumować.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Pierwiastki z postaci iloczynowej\nIloczyn = 0 ⟺ co najmniej jeden czynnik = 0:\n\\(x = 0\\), \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\), \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\).\nSuma: \\(0 + 3 + (-2) = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - ktoś wziął \\(x = 0\\) jako jedyne.\n- **C, D** - błędne sumy.\n\n**Pamiętaj:** w \\((x-a)\\) pierwiastek to \\(a\\); w \\((x+a)\\) to \\(-a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania\nRozwiązujemy równanie \\(x(x-3)(x+2) = 0\\). Zgodnie z własnością iloczynu, równanie jest spełnione, gdy któryś z czynników równa się zero. Oznacza to:\n* \\(x = 0\\)\n* \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)\n* \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\)\n\nZatem, rozwiązania to \\(x = 0, x = 3, x = -2\\). Suma tych rozwiązań to \\(0 + 3 + (-2) = 1\\).\n\n\\[x(x-3)(x+2) = 0\\]\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie i grupowanie\nRozwińmy wyrażenie \\(x(x-3)(x+2)\\):\n\\[x(x^2 - x - 6) = x^3 - x^2 - 6x\\]\nRównanie staje się:\n\\[x^3 - x^2 - 6x = 0\\]\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(x^2 - x - 6) = 0\\]\nTeraz, aby równanie było równe zero, jeden z czynników musi być równy zero:\n* \\(x = 0\\)\n* \\(x^2 - x - 6 = 0\\)\nRozwiązujemy równanie kwadratowe \\(x^2 - x - 6 = 0\\). Możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:\n\\[x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \\frac{1 \\pm \\sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \\frac{1 \\pm \\sqrt{1 + 24}}{2} = \\frac{1 \\pm \\sqrt{25}}{2} = \\frac{1 \\pm 5}{2}\\]\nZatem, \\(x_1 = \\frac{1 + 5}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\) oraz \\(x_2 = \\frac{1 - 5}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\)\n\nWszystkie rozwiązania to \\(x = 0, x = 3, x = -2\\). Suma tych rozwiązań to \\(0 + 3 + (-2) = 1\\).\n\n\\[x^2 - x - 6 = 0\\]\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: a²-b²=(a-b)(a+b))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 0:** Suma rozwiązań nie jest równa 0.\n* **C. 2:** Suma rozwiązań nie jest równa 2.\n* **D. 3:** Suma rozwiązań nie jest równa 3.\n\nRównanie \\(x(x-3)(x+2) = 0\\) to równanie trzeciego stopnia, więc ma trzy pierwiastki. W tym przypadku pierwiastki to -2, 0 i 3. Suma pierwiastków to -2 + 0 + 3 = 1.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nWspółczynnik a we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC.\n2\nD.\n1\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(1,-2) i C=(0,5) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Obwód tego kwadratu jest równy A. 12 B. 20 C. 28 D. 48","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące we\nwzorze funkcji kwadratowej w postaci\nkanonicznej, w postaci ogólnej\ni w postaci iloczynowej (o ile istnieją)\n(4.10).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wierzchołka do wzoru\n\nWiemy, że wierzchołek paraboli \\(W = (2, 1)\\) leży **na wykresie** funkcji, czyli \\(f(2) = 1\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru:\n\\[f(2) = a(2-1)(2-3)\\]\n\\[f(2) = a \\cdot 1 \\cdot (-1)\\]\n\\[f(2) = -a\\]\n\nSkoro \\(f(2) = 1\\):\n\\[-a = 1\\]\n\\[\\boxed{a = -1}\\]\n\n## Sposób 2 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nPostać iloczynowa \\(f(x) = a(x-1)(x-3)\\) mówi nam, że miejsca zerowe to \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** oś symetrii paraboli przechodzi przez środek między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1+3}{2} = 2\\]\n\nTo zgadza się z wierzchołkiem \\(W = (2, 1)\\) - jesteśmy na dobrej drodze.\n\nTeraz korzystamy ze wzoru na rzędną wierzchołka \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), ale prościej: w postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = a(x-2)^2 + q\\]\n\nRozwijamy postać iloczynową, żeby porównać:\n\\[a(x-1)(x-3) = a(x^2 - 4x + 3) = a\\left[(x-2)^2 - 1\\right]\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = a(x-2)^2 - a\\]\n\nWierzchołek to \\(W = (2,\\, -a)\\). Skoro \\(W = (2, 1)\\):\n\\[-a = 1 \\implies a = -1\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p,\\, q)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - rozwinęliśmy postać iloczynową do kanonicznej, żeby odczytać rzędną wierzchołka \\(q = -a\\).\n\n**Dział 7 (s. 8)** - wzór na odciętą wierzchołka:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]\n(wniosek z wzorów Viète'a: gdy znamy miejsca zerowe, oś symetrii jest w ich środku)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(a = 1\\) | Uczeń liczy \\(f(2) = 1 \\cdot 1 \\cdot (-1) = -1\\), ale zamiast przyrównać do \\(1\\), uznaje \\(a=1\\) „bo w wyniku wyszło \\(-1\\)\" - gubi minus. |\n| B. \\(a = 2\\) | Uczeń podstawia \\(x = 1\\) (miejsce zerowe!) zamiast \\(x = 2\\) (wierzchołek) i próbuje wymusić wartość \\(1\\), co daje błędne równanie. |\n| C. \\(a = -2\\) | Uczeń myli rzędną wierzchołka - liczy np. \\(f(1) = 1\\) (zamiast \\(f(2) = 1\\)) i dostaje \\(a(-1)(1-3) = 1 \\Rightarrow 2a = 1\\), a potem błędnie \\(a = -2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\(W = (2,1)\\) to **punkt na wykresie**, więc \\(f(2) = 1\\) - nie mylić \\(x\\)-owej i \\(y\\)-owej współrzędnej wierzchołka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wyrażeniu \\((2-1)(2-3) = 1 \\cdot (-1) = -1\\) bardzo łatwo zgubić ten minus i napisać \\(-a = 1 \\Rightarrow a = 1\\). Zawsze sprawdzaj znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe \\(x=1\\) i \\(x=3\\) to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\) - **nie** ma tam wartości \\(1\\). Nigdy nie podstawiaj miejsca zerowego, gdy szukasz wartości wierzchołka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie wierzchołka\n\\(f(2) = 1\\):\n\\[a(2-1)(2-3) = a\\cdot 1\\cdot(-1) = -a = 1 \\Rightarrow a = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Analiza wykresu\nZ rysunku widać, że parabola ma ramiona **w dół** (\\(a < 0\\)). Ponadto \\(f(2) = 1\\) (wartość w wierzchołku dodatnia). To eliminuje A, B i sugeruje \\(a \\in \\{-1, -2\\}\\).\n\\(f(2) = -a = 1 \\Rightarrow a = -1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** (dodatnie) - parabola miałaby ramiona w górę, co nie pasuje do wierzchołka jako maksimum.\n- **C. \\(-2\\)** - dałoby \\(f(2) = 2 \\ne 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na wyróżnik delty równania kwadratowego\n\nWzór na pierwiastki równania kwadratowego to:\n\\[x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\nW tym przypadku mamy funkcję f, której współczynnik a jest szukany. Równanie kwadratowe, którego współczynniki są zdefiniowane w zadaniu, to:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]\nWzór na wyróżnik delty (Δ) to:\n\\[Δ = b^2 - 4ac\\]\nPierwiastki równania kwadratowego to:\n\\[x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\]\nZatem współczynnik 'a' występuje w mianowniku, a więc odpowiedź D jest prawidłowa.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 17\n\n### Sposób 2: Interpretacja wzoru funkcji kwadratowej\n\nFunkcja kwadratowa ma ogólny wzór:\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c\\]\ngdzie 'a' jest współczynnikiem kierunkowym paraboli. Wzór ten definiuje, jak funkcja zmienia się w zależności od wartości 'x'. Ponieważ 'a' jest współczynnikiem *w* wzorze funkcji, to musi być on współczynnikiem w funkcji kwadratowej.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 17\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** To prawdopodobnie wartość konkretnej liczby, która nie jest współczynnikiem funkcji kwadratowej.\n* **B. (na zdjęciu):** Podobnie jak A, to prawdopodobnie wartość konkretnej liczby, która nie jest współczynnikiem funkcji kwadratowej.\n* **C. (na zdjęciu):** To również prawdopodobnie wartość konkretnej liczby, która nie jest współczynnikiem funkcji kwadratowej.\n\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ współczynnik 'a' w funkcji kwadratowej musi być liczbą, a nie jakąś inną strukturą matematyczną.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB. 0\nC. 1\nD. 2\nRozwiązanie zadania. Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 1/6 - x ≥ 2/3x + 4 jest A. -3 B. -2 C. 2 D. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza\nwartość najmniejszą i wartość\nnajwiększą funkcji kwadratowej\nw przedziale domkniętym (4.11).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - wartość maksymalna wynosi \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli w przedziale\n\nFunkcja \\(f(x) = a(x-1)(x-3)\\) przy \\(a = -1\\) to:\n\n\\[f(x) = -(x-1)(x-3)\\]\n\nSkoro \\(a = -1 < 0\\), parabola jest **skierowana ramionami w dół** - czyli funkcja osiąga **maksimum** w wierzchołku.\n\nDany wierzchołek: \\(W = (2, 1)\\), więc:\n\\[f(2) = 1 \\quad \\text{- to maksimum całej paraboli}\\]\n\nTeraz pytanie: czy \\(x = 2\\) leży w przedziale \\(\\langle 1, 4 \\rangle\\)?\n\n\\[1 \\leq 2 \\leq 4 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Tak! Wierzchołek należy do przedziału**, więc maksimum funkcji na \\(\\langle 1, 4 \\rangle\\) to dokładnie wartość w wierzchołku:\n\n\\[\\boxed{f(2) = 1}\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczenie wartości w punktach charakterystycznych\n\nRozwijamy funkcję:\n\\[f(x) = -(x-1)(x-3) = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3\\]\n\nNa przedziale \\(\\langle 1, 4 \\rangle\\) sprawdzamy wartości w krańcach i w wierzchołku:\n\n| \\(x\\) | \\(f(x) = -(x-1)(x-3)\\) | Obliczenie |\n| \\(1\\) | \\(-(0)(-2) = 0\\) | lewy kraniec |\n| \\(2\\) | \\(-(1)(-1) = 1\\) | **wierzchołek (max)** |\n| \\(3\\) | \\(-(2)(0) = 0\\) | miejsce zerowe |\n| \\(4\\) | \\(-(3)(1) = -3\\) | prawy kraniec |\n\nNajwiększa z wartości: \\(\\mathbf{1}\\) - osiągana dla \\(x = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = f(p) = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nW zadaniu wierzchołek podany wprost jako \\(W = (2, 1)\\), ale to właśnie wzory z tego działu pozwalają go wyznaczyć lub zweryfikować. Skoro \\(a < 0\\), wartość \\(q = 1\\) to **maksimum globalne** funkcji - a ponieważ \\(x = 2\\) należy do \\(\\langle 1, 4 \\rangle\\), jest też maksimum lokalnym na tym przedziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(-3\\) | Uczeń liczy \\(f(4) = -(4-1)(4-3) = -3\\) - to wartość w prawym końcu przedziału, ale jest to **minimum**, nie maksimum |\n| **B** \\(0\\) | Uczeń liczy \\(f(1) = 0\\) lub \\(f(3) = 0\\) (miejsca zerowe) - to wartości w krańcach/zerach, nie maksimum |\n| **D** \\(2\\) | Uczeń myli \\(x\\)-ową współrzędną wierzchołka \\((p = 2)\\) z wartością funkcji w wierzchołku \\((q = 1)\\) - klasyczna pomyłka \"odcięta zamiast rzędnej\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(x\\)-owej współrzędnej wierzchołka (\\(p = 2\\)) z wartością funkcji w wierzchołku (\\(q = 1\\)). Pytanie dotyczy **wartości** \\(f(x)\\), nie **argumentu** \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy parabola jest skierowana **w dół** (\\(a < 0\\)), wierzchołek to **maksimum** - ale tylko jeśli leży w rozpatrywanym przedziale. Gdyby wierzchołek leżał poza przedziałem, trzeba by sprawdzić krańce.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na przedziale zamkniętym zawsze sprawdzaj wartości w **wierzchołku** (jeśli należy do przedziału) **i** w **obu krańcach** - dopiero porównanie wszystkich daje pewność co do maksimum i minimum.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek w przedziale\nWierzchołek \\(W = (2, 1)\\) leży w przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) i jest maksimum paraboli z ramionami w dół. Więc max \\(= 1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości na końcach i w wierzchołku\n\\(f(x) = -(x-1)(x-3) = -(x^2-4x+3) = -x^2+4x-3\\).\n\\(f(1) = 0\\), \\(f(2) = 1\\), \\(f(3) = 0\\), \\(f(4) = -3\\).\nMax na \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) = \\(1\\) (w \\(x=2\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - to \\(f(4)\\), minimum.\n- **B. \\(0\\)** - wartości na brzegu \\(1\\) i \\(3\\).\n- **D. \\(2\\)** - nie występuje w tym przedziale.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie punktów krytycznych i obliczanie wartości funkcji w punktach końcowych przedziału.\n[kroki z MathJax]\nZdefiniujmy funkcję:\n\\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \\]\nAby znaleźć punkty krytyczne, obliczamy pochodną funkcji:\n\\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \\]\nUstawiamy pochodną równą zero:\n\\[ 3x^2 - 6x = 0 \\]\n\\[ 3x(x - 2) = 0 \\]\n\\[ x_1 = 0, \\quad x_2 = 2 \\]\nPunkty krytyczne to x = 0 i x = 2.\nTeraz obliczamy wartość funkcji w punktach końcowych przedziału [1, 4] oraz w punktach krytycznych:\n\\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \\]\n\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]\n\\[ f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18 \\]\nPorównujemy wartości funkcji: f(1) = 0, f(2) = -2, f(4) = 18.\nNajwiększa wartość funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18. Zatem, poprawna odpowiedź to 18, co nie pasuje do podanych odpowiedzi. Należy jednak sprawdzić, czy w zadaniu nie ma błędu. Prawdopodobnie zadaniem było znalezienie *maksimum* funkcji, a nie *największej wartości*. W tym przypadku, maksimum funkcji na przedziale [1, 4] znajduje się w punkcie x=4. Jednakże, w podanych odpowiedziach nie ma 18. Zatem, musimy ponownie przeanalizować obliczenia.\n\nPrzepraszam za błąd w poprzednim obliczeniu. Poprawnie obliczamy:\nf(1) = 0\nf(2) = -2\nf(4) = 18\n\nNajwiększa wartość to 18, co nie pasuje do podanych odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować zadanie. Zadanie jest poprawne, a odpowiedź C jest błędna. Prawdopodobnie chodziło o znalezienie *minimum* funkcji, a nie maksimum. W tym przypadku, minimum funkcji na przedziale [1, 4] znajduje się w punkcie x=2. Jednakże, w podanych odpowiedziach nie ma -2.\n\nZatem, musimy ponownie przeanalizować zadanie i obliczenia. Zauważmy, że f(x) = x³ - 3x² + 2. W przedziale [1, 4] funkcja ma maksimum w x=4 i minimum w x=2. Wartości funkcji w tych punktach to:\nf(1) = 0\nf(2) = -2\nf(4) = 18\n\nNajwiększa wartość funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18. Zatem, poprawna odpowiedź to 18, co nie pasuje do podanych odpowiedzi. Zatem, musimy ponownie przeanalizować zadanie.\n\nZauważmy, że zadanie mogło zawierać błąd. Jeśli zadanie miało poprawnie określić największą wartość, to odpowiedź powinna być 18.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)\n\n### Sposób 2: Analiza zachowania funkcji na przedziale [1, 4]\n[kroki z MathJax]\nFunkcja f(x) = x³ - 3x² + 2 jest funkcją trzeciego stopnia. Wartość funkcji w przedziałach zależy od znaku pochodnej f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2).\n- Dla x < 0, f'(x) > 0, więc funkcja rośnie.\n- Dla 0 < x < 2, f'(x) < 0, więc funkcja maleje.\n- Dla x > 2, f'(x) > 0, więc funkcja rośnie.\nFunkcja f(x) ma minimum w punkcie x = 2, gdzie f(2) = -2.\nFunkcja f(x) rośnie na przedziale [2, 4].\nW punkcie x = 1, f(1) = 0.\nW punkcie x = 4, f(4) = 18.\nZatem, największa wartość funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. -3: Funkcja przyjmuje wartości mniejsze niż -3, np. f(2) = -2.\nB. 0: Funkcja przyjmuje wartość 0 w punkcie x = 1.\nD. 2: Funkcja nie przyjmuje wartości 2.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n1\ny =\nD.\n2\ny =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\nW\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\nwłasności funkcji liniowej\ni kwadratowej do interpretacji\nzagadnień geometrycznych,\nfizycznych itp. (także osadzonych\nw kontekście praktycznym) (4.12).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii paraboli\n\nFunkcja jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = a(x-1)(x-3)\\]\n\nMiejsca zerowe to \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = 3\\) - to punkty, w których parabola przecina oś \\(OX\\).\n\nOś symetrii paraboli **zawsze leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi** (jest to też współrzędna \\(x\\) wierzchołka). Wyznaczamy ją jako średnią arytmetyczną:\n\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1 + 3}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie do postaci kanonicznej\n\nRozwijamy iloczyn:\n\\[f(x) = a(x-1)(x-3) = a(x^2 - 4x + 3) = ax^2 - 4ax + 3a\\]\n\nMamy więc trójmian kwadratowy z:\n\\[b = -4a, \\quad \\text{współczynnik przy } x\\]\n\nWzór na oś symetrii (współrzędna \\(x\\) wierzchołka):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-4a}{2a} = \\frac{4a}{2a} = 2\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = 2\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa i wierzchołek paraboli:\n\n- Postać iloczynowa: \\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\)\n- Wzór na oś symetrii (współrzędna \\(x\\) wierzchołka): \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\)\n\nUżyliśmy obu tych faktów - w Sposobie 1 korzystaliśmy z symetrii miejsc zerowych, w Sposobie 2 ze wzoru \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(x = 1\\) | Uczeń bierze pierwsze miejsce zerowe jako oś symetrii - to tylko jeden z punktów, przez które parabola przechodzi, nie środek |\n| C: \\(y = 1\\) | Pomylono oś symetrii z prostą poziomą - oś symetrii paraboli z pionową osią jest **pionowa**, czyli postaci \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\) |\n| D: \\(y = 2\\) | Ten sam błąd co w C (prosta pozioma), dodatkowo podana właściwa liczba 2, ale zły typ osi |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** postaci \\(x = p\\), **nigdy** pozioma \\(y = \\ldots\\). Odpowiedzi C i D to pułapka dla tych, którzy mylą osie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\(a(x - x_1)(x - x_2)\\) liczby \\(x_1\\) i \\(x_2\\) to miejsca zerowe - oś symetrii to ich **średnia**, nie żadna z nich osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(a\\) nie wpływa na położenie osi symetrii - wpływa tylko na \"szerokość\" i kierunek ramion paraboli. Oś symetrii zależy wyłącznie od \\(x_1\\) i \\(x_2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Przez środek miejsc zerowych\nMiejsca zerowe to \\(1\\) i \\(3\\), ich środek: \\(\\tfrac{1+3}{2} = 2\\). Oś symetrii: \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Wierzchołek\n\\(W = (2, 1)\\) leży na osi symetrii, która jest pionowa: \\(x = x_W = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = 1\\)** - to miejsce zerowe, nie oś.\n- **C, D** (\\(y = \\ldots\\)) - oś symetrii paraboli jest **zawsze pionowa**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykres funkcji paraboli i oś symetrii\nOś symetrii paraboli, której wykresem jest funkcja f(x), jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez wierzchołek paraboli. Wierzchołek paraboli jest punktem, w którym funkcja przyjmuje minimalną lub maksymalną wartość. Zatem, oś symetrii jest prosta postaci x = k, gdzie k to współrzędna x wierzchołka. W zadaniu podano, że x=2, więc to jest oś symetrii.\n\n\\[x = k\\] (s.4)\n\n### Sposób 2: Analiza równania paraboli\nRównanie paraboli w postaci kanonicznej to \\(f(x) = a(x-h)^2 + k\\), gdzie (h, k) to współrzędne wierzchołka. Oś symetrii paraboli jest prosta równoległa do osi y i przechodząca przez wierzchołek. Zatem, równanie osi symetrii to x = h. W zadaniu mamy f(x) = x² + 2x + 1, co można zapisać jako f(x) = (x+1)² + 0. Wierzchołek to (-1, 0), więc oś symetrii to x = -1. Jednakże, w zadaniu podano x=2, co jest błędem w zapisie równania. Prawidłowe równanie to f(x) = (x-2)² + k. W tym przypadku, oś symetrii to x=2.\n\n\\[x = k\\] (s.4)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Oś symetrii nie jest równa x=0, ponieważ wierzchołek nie znajduje się na osi x.\n* **C:** Oś symetrii nie jest równa y=1, ponieważ parabola nie jest zdefiniowana dla wszystkich wartości x.\n* **D:** Oś symetrii nie jest równa x=1, ponieważ wierzchołek nie znajduje się na osi x. W zadaniu podano, że oś symetrii to prosta x=2, a nie x=1.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nRównanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nx x\nx\nw zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n2\nx\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n0\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1\nx\ni\n2\nx\nRozwiązanie zadania. Równanie 1-x / x = 2x w zbiorze liczb całkowitych A. nie ma żadnego rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma więcej niż dwa rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nsprawdza, czy dana liczba\nrzeczywista jest rozwiązaniem\nrównania lub nierówności (3.1).\nWersja X\nWersja Y\nB\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i faktoryzacja\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x(x-2) - (x-2)^2 = 0\\]\n\n**Zauważamy wspólny czynnik** \\((x-2)\\) w obu wyrazach - wyłączamy go przed nawias:\n\n\\[(x-2)\\bigl[x - (x-2)\\bigr] = 0\\]\n\nUpraszczamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym:\n\n\\[x - (x-2) = x - x + 2 = 2\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\[(x-2) \\cdot 2 = 0\\]\n\nCzyli:\n\n\\[2(x-2) = 0\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[x - 2 = 0 \\implies \\boxed{x = 2}\\]\n\n**Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \\(x = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie i upraszczanie\n\nRozwijamy obie strony równania:\n\n- Lewa strona: \\(x(x-2) = x^2 - 2x\\)\n- Prawa strona: \\((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\\)\n\nRównanie po rozwinięciu:\n\n\\[x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4\\]\n\nOdejmujemy \\(x^2\\) od obu stron (likwidujemy wyrazy kwadratowe):\n\n\\[-2x = -4x + 4\\]\n\nPrzenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę:\n\n\\[-2x + 4x = 4\\]\n\n\\[2x = 4\\]\n\n\\[x = 2\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(x = 2\\) to jedyne rozwiązanie.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz rozwijania nawiasów (wzory skróconego mnożenia z Działu 6, s. 7, są tu pomocne, ale nie kluczowe).\n\nDla przypomnienia wzór, który się pojawia przy rozwijaniu prawej strony:\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((x-2)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń \"dzieli obie strony przez \\((x-2)\\)\" zakładając, że \\(x-2 \\neq 0\\), i nie dostrzega, że \\(x=2\\) jest rozwiązaniem - gubi jedyne rozwiązanie |\n| C | Uczeń przekształca równanie błędnie i otrzymuje \\(x = 0\\) - np. myli znaki przy przenoszeniu wyrazów |\n| D | Uczeń wykonuje dzielenie obu stron przez \\((x-2)\\), otrzymuje \\(x = x - 2\\), co jest sprzecznością - i błędnie dopisuje \\(x=2\\) i \\(x=0\\) jako dwa rozwiązania; albo po prostu nie upraszcza wyrażenia \\(x - (x-2)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie wolno dzielić obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tutaj przez \\((x-2)\\)), bo możemy pominąć przypadek, gdy to wyrażenie równa się zero. To jeden z najczęstszych błędów w zadaniach tego typu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu \\((x-2)\\) przed nawias pamiętaj, że \\((x-2)^2 = (x-2) \\cdot (x-2)\\) - drugi czynnik to po prostu \\((x-2)\\), więc wyrażenie w nawiasie kwadratowym to \\(x - (x-2)\\), a nie \\(x - x - 2\\). Ostrożnie ze znakiem przy otwieraniu nawiasu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po faktoryzacji mamy \\(2(x-2) = 0\\) - czynnik \\(2\\) jest stały i nigdy nie daje dodatkowego rozwiązania. Równanie ma więc tylko **jedno** rozwiązanie, nie dwa.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\(x(x-2) - (x-2)^2 = 0\\)\n\\((x-2)[x - (x-2)] = 0\\)\n\\((x-2)\\cdot 2 = 0\\)\n\\(x-2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\).\nJedno rozwiązanie.\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\(x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4\\)\n\\(-2x = -4x + 4\\)\n\\(2x = 4 \\Rightarrow x = 2.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Jest jedno rozwiązanie.\n- **C. \\(x=0\\)** - \\(0\\cdot(-2) = 0\\), \\((-2)^2 = 4\\). \\(0 \\ne 4\\) ✗.\n- **D.** Dzielenie obustronnie przez \\((x-2)\\) traci tę równość; nie dzieli się przez niewiadomą.\n\n**Pułapka:** przy dzieleniu przez \\(x-2\\) musielibyśmy rozważyć osobno \\(x=2\\) - lepiej rozkładać na iloczyn.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie przez przeniesienie i ufacie\nRozważ równanie:\nx(x - 2) = (x - 2)\nRozwijamy lewą stronę:\nx² - 2x = x - 2\nPrzenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:\nx² - 2x - x + 2 = 0\nx² - 3x + 2 = 0\nTeraz możemy rozwiązać to równanie kwadratowe. Możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:\nx = \\(\\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\)\nW naszym przypadku: a = 1, b = -3, c = 2. Zatem:\nx = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{(-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2}}{2 \\cdot 1}\\)\nx = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{9 - 8}}{2}\\)\nx = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{1}}{2}\\)\nx = \\(\\frac{3 \\pm 1}{2}\\)\nDaje nam to dwa rozwiązania:\nx₁ = \\(\\frac{3 + 1}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\)\nx₂ = \\(\\frac{3 - 1}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\)\nZatem, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, a mianowicie x = 2.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5\n\n### Sposób 2: Ustawienie równania równości zerowej\nMożemy również rozwiązać równanie, ustawiając lewą stronę równą 0:\nx(x - 2) = (x - 2)\nx² - 2x = x - 2\nx² - 3x + 2 = 0\nTeraz możemy rozwinąć równanie i rozwiązać je. Możemy również zauważyć, że lewa strona jest iloczynem (x-2) i x. Zatem, albo x - 2 = 0, albo x = 0.\nJeśli x - 2 = 0, to x = 2.\nJeśli x = 0, to 0(0 - 2) = (0 - 2), czyli -2 = -2, co jest prawdą.\nZatem, równanie ma dwa rozwiązania, x=0 i x=2. Jednakże, w oryginalnym równaniu x(x-2) = (x-2), x=2 jest rozwiązaniem. Sprawdzamy: 2(2-2) = (2-2) czyli 0 = 0. Zatem x=2 jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. nie ma rozwiązań.** - Jak pokazaliśmy, równanie ma dwa rozwiązania (0 i 2).\n* **C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0.** - Równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie.\n* **D. ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = 2.** - Równanie ma tylko jedno rozwiązanie, a mianowicie x = 2. Rozwiązanie x=1 nie spełnia równania.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\nf x\nax\nb\nWspółczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność\nA.\n0\na b\n+ >\nB.\n0\na\nb\nC.\n0\na b\n⋅>\nD.\n0\na b\n⋅<\nRozwiązanie zadania. Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c. Stąd wynika, że A. {a<0 b<0 B. {a<0 b>0 C. {a>0 b<0 D. {a>0 b>0","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający interpretuje\nwspółczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej (4.7).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu + analiza znaków\n\n**Krok 1: Odczytaj wartości \\(a\\) i \\(b\\) z wykresu.**\n\nZ treści zadania i rysunku wiemy:\n- Prosta **przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 1)\\)**, co oznacza, że \\(f(0) = b = 1\\)\n- Prosta **maleje**, co oznacza, że współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\)\n\n**Podsumowanie odczytu:**\n\\[b = 1 > 0, \\qquad a < 0\\]\n\n**Krok 2: Sprawdź każdą odpowiedź.**\n\nPoliczmy iloczyn \\(a \\cdot b\\):\n\\[a \\cdot b = a \\cdot 1 = a\\]\n\nPonieważ \\(a < 0\\), to:\n\\[\\boxed{a \\cdot b < 0}\\]\n\nTo odpowiada odpowiedzi **D** - i jest to zawsze prawda, niezależnie od konkretnej wartości \\(a\\).\n\n## Sposób 2 - Konkretna wartość ze wykresu (weryfikacja)\n\nZ wykresu można odczytać, że prosta przechodzi przez punkt \\((2, -1)\\) (linia opada, np. przy \\(x=2\\) wartość wynosi \\(-1\\)).\n\nWyznaczamy \\(a\\) z dwóch punktów: \\((0, 1)\\) i \\((2, -1)\\):\n\\[a = \\frac{-1 - 1}{2 - 0} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nZatem \\(a = -1\\), \\(b = 1\\). Sprawdzamy odpowiedzi:\n- **A:** \\(a + b = -1 + 1 = 0\\) - nie jest \\(> 0\\) ✗\n- **B:** \\(a + b = 0\\) - to by była B, ale (patrz niżej)\n- **C:** \\(a \\cdot b = (-1)(1) = -1 < 0\\) - nie jest \\(> 0\\) ✗\n- **D:** \\(a \\cdot b = (-1)(1) = -1 < 0\\) ✓\n\n**D jest prawdziwe.**\n\n> Uwaga: gdyby prosta przechodziła akurat przez \\((1, 0)\\), to \\(a = -1\\) i \\(a + b = 0\\) (odpowiedź B). Ale to szczególny przypadek - zadanie pyta o zależność wynikającą **ogólnie** z kształtu wykresu. Jedyna relacja gwarantowana zawsze (bo \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\)) to \\(a \\cdot b < 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i interpretacja geometryczna współczynników:\n- \\(b\\) = wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\) (punkt przecięcia z osią \\(Oy\\))\n- \\(a\\) = współczynnik kierunkowy: \\(a > 0\\) → prosta rośnie, \\(a < 0\\) → prosta maleje\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Uczeń sprawdza \\(a + b\\), ale nie uwzględnia, że \\(a\\) może być dowolną liczbą ujemną - np. \\(a = -5\\) daje \\(a + b = -4 < 0\\). Relacja \\(a + b > 0\\) **nie wynika** z wykresu. |\n| **B** | Uczeń odczytuje, że prosta przechodzi przez \\((1, 0)\\) i wyznacza \\(a = -1\\), skąd \\(a + b = 0\\). To zależy od konkretnego wykresu - gdyby nachylenie było inne, B byłoby fałszywe. |\n| **C** | Uczeń myli znak: skoro prosta maleje, to \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\), więc \\(a \\cdot b < 0\\). Odpowiedź C mówi \\(a \\cdot b > 0\\), co wymagałoby, żeby \\(a\\) i \\(b\\) miały **ten sam znak** - a tu mają przeciwne. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(b\\) to **wyraz wolny**, czyli punkt przecięcia z osią \\(Oy\\), nie z osią \\(Ox\\). Wielu uczniów myli te dwie rzeczy i zapisuje \\(b = 0\\) zamiast \\(b = 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta maleje \\(\\Rightarrow a < 0\\). Nie ma znaczenia, jak bardzo stromo - zawsze \\(a < 0\\). Dlatego \\(a \\cdot b\\) ma zawsze znak ujemny, gdy \\(b > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odpowiedzi A (\\(a + b > 0\\)) uczeń może pomyśleć \"prosta leży powyżej osi \\(x\\)\" - ale to nieprawda w ogólności, prosta zawsze gdzieś tnie oś \\(Ox\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaków\nZ wykresu: prosta maleje → \\(a < 0\\). Przecina \\(Oy\\) w \\(y = 1 > 0\\) → \\(b > 0\\).\nIloczyn: \\(a\\cdot b = (-)\\cdot(+) = \\) liczba ujemna → \\(a\\cdot b < 0\\).\n\n### Sposób 2 - Konkretny przykład\nZ wykresu np. \\(a = -2, b = 1\\): \\(ab = -2 < 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a + b > 0\\)** - zależy od wartości; niekoniecznie prawda.\n- **B. \\(a + b = 0\\)** - szczególny przypadek, nie uniwersalna zasada.\n- **C. \\(a\\cdot b > 0\\)** - wymagałoby tych samych znaków, a tu są przeciwne.\n\n**Kluczowe:** \\(a\\) - nachylenie (znak mówi o monotoniczności); \\(b\\) - punkt przecięcia z \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i współrzędnych punktów\n1. **Obserwacja wykresu:** Wykres jest linią, która przecina oś y w punkcie (0, 2). To oznacza, że b = 2.\n2. **Znajdowanie punktu przecięcia z osią x:** Z wykresu widzimy, że linia przecina oś x w punkcie (-1, 0). Zatem, gdy x = -1, f(x) = 0.\n3. **Wykorzystanie wzoru f(x) = ax + b:** Podstawiamy znane wartości: f(-1) = a(-1) + b = 0. Wiemy, że b = 2, więc -a + 2 = 0, co daje a = 2.\n4. **Sprawdzenie:** Wzór funkcji to f(x) = 2x + 2.\n\n📖 Karta wzorów: **s.4** (Współczynniki)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie punktów na wykresie i wzoru funkcji\n1. **Zdefiniowanie punktów:** Z wykresu możemy odczytać dwa punkty przechodzące przez linię: (-1, 0) i (0, 2).\n2. **Wykorzystanie wzoru funkcji liniowej:** Wzór funkcji liniowej to f(x) = ax + b.\n3. **Podstawienie punktów do wzoru:**\n* Dla punktu (-1, 0): 0 = a(-1) + b => -a + b = 0\n* Dla punktu (0, 2): 2 = a(0) + b => b = 2\n4. **Rozwiązanie układu równań:** Z równania b = 2 podstawiamy do -a + b = 0, otrzymując -a + 2 = 0, więc a = 2.\n5. **Wzór funkcji:** f(x) = 2x + 2.\n\n📖 Karta wzorów: **s.4** (Fragmenty)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a + b > 0\\):** Obliczamy a + b = 2 + 2 = 4, co jest większe od 0. Jednakże, z wykresu wynika, że funkcja jest liniowa, a nie, np. kwadratowa, więc nie można stosować takich porównań.\n* **B. \\(a + b = 0\\):** Obliczamy a + b = 2 + 2 = 4, co nie jest równe 0.\n* **C. \\(a \\cdot > b 0\\):** Obliczamy a * b = 2 * 2 = 4, co nie jest równe 0. Ponadto, w kontekście funkcji liniowej, mówimy o współczynniku kierunkowym, a nie o iloczynie.\n* **D. \\(a \\cdot < b 0\\):** Obliczamy a * b = 2 * 2 = 4, co jest większe od 0. Ponadto, w kontekście funkcji liniowej, mówimy o współczynniku kierunkowym, a nie o iloczynie. Współczynnik kierunkowy (a) określa nachylenie prostej.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja f jest określona wzorem ( )\n4\n1\nx\nf x\n+ dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba\n1\n2\nf \n\n\n\n\n\njest równa\nA. 1\n2\nB.\n3\n2\nC. 3\nD. 17\nRozwiązanie zadania. Funkcja f każdej liczbie naturalnej n≥1 przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez 4. Zbiorem wartości funkcji f jest A. {0,1,2,3} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4} D. {0,2}","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający oblicza ze wzoru\nwartość funkcji dla danego\nargumentu. Posługuje się poznanymi\nmetodami rozwiązywania równań\ndo obliczenia, dla jakiego argumentu\nfunkcja przyjmuje daną wartość (4.2).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wartości do wzoru\n\nObliczamy \\(f\\!\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)\\) - podstawiamy \\(x = \\dfrac{1}{2}\\) do wzoru \\(f(x) = 4^{-x} + 1\\).\n\n**Krok 1.** Podstaw \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):\n\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 4^{-\\frac{1}{2}} + 1\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz \\(4^{-\\frac{1}{2}}\\).\n\nWykładnik ujemny odwraca podstawę, ułamkowy daje pierwiastek:\n\\[4^{-\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{4^{\\frac{1}{2}}} = \\frac{1}{\\sqrt{4}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3.** Dodaj \\(1\\):\n\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{3}{2}\\)**, czyli B.\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie bazy przed podstawieniem\n\nZamiast od razu podstawiać, najpierw upraszczamy wyrażenie \\(4^{-x}\\).\n\n**Krok 1.** Zapisz \\(4 = 2^2\\):\n\\[4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x}\\]\n\nWzór funkcji przyjmuje postać:\n\\[f(x) = 2^{-2x} + 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstaw \\(x = \\dfrac{1}{2}\\):\n\\[f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 2^{-2 \\cdot \\frac{1}{2}} + 1 = 2^{-1} + 1 = \\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na potęgę o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy go, by zamienić \\(4^{-\\frac{1}{2}}\\) na \\(\\dfrac{1}{4^{\\frac{1}{2}}}\\).\n\nWzór na potęgę o wykładniku wymiernym:\n\\[a^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{a}\\]\nUżyliśmy go, by obliczyć \\(4^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{4} = 2\\).\n\nWzór na potęgę potęgi (w Sposobie 2):\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy go, by rozpisać \\((2^2)^{-x} = 2^{-2x}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń obliczył \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{2}\\), ale **zapomniał dodać \\(+1\\)** ze wzoru |\n| C - \\(3\\) | Uczeń policzył \\(4^{\\frac{1}{2}} = 2\\) (bez minusa!), a potem \\(2 + 1 = 3\\) - **zignorował minus w wykładniku** |\n| D - \\(17\\) | Uczeń podstawił błędnie: \\(4^{-\\frac{1}{2}} \\approx 16\\) lub potraktował \\(4^{-x}\\) jako \\(4 \\cdot (-x)\\) i wyliczył \\(4 \\cdot (-\\tfrac{1}{2}) = -2\\), potem dodał coś niepoprawnie - **mylenie potęgi z mnożeniem** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus w wykładniku (\\(4^{-x}\\)) to **odwrotność**, a nie zmiana znaku! \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{2}\\), a NIE \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o \\(+1\\) na końcu wzoru - to drugi składnik funkcji, nie dekoracja!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(4^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{4} = 2\\), ale \\(4^{-\\frac{1}{2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{4}} = \\dfrac{1}{2}\\). Wykładnik ułamkowy to pierwiastek, wykładnik ujemny to odwrotność - oba naraz stosuj kolejno!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie\n\\[f\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = 4^{-1/2} + 1 = \\dfrac{1}{4^{1/2}} + 1 = \\dfrac{1}{2} + 1 = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie \\(4^{-1/2}\\)\n\\(4^{-1/2} = \\tfrac{1}{\\sqrt{4}} = \\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - zapomniano dodać 1.\n- **C. \\(3\\)** - \\(4^{1/2} + 1 = 3\\) (bez znaku minusa).\n- **D. \\(17\\)** - \\(4^2 + 1\\); pomylenie znaku i operacji.\n\n**Pamiętaj:** \\(a^{-n} = \\tfrac{1}{a^n}\\) i \\(a^{1/2} = \\sqrt{a}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji w punkcie x=2\nFunkcja f jest dana wzorem \\(f(x) = 4 + 1\\) dla każdej liczby rzeczywistej x. Chcemy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = 2. Podstawiamy x = 2 do wzoru:\n\n\\[f(2) = 4 + 1 = 5\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Suma kątów], strona 13\n\n### Sposób 2: Zastosowanie definicji funkcji\nDefinicja funkcji f(x) mówi, że dla każdego x, f(x) jest równa 4 + 1. Zatem, f(2) jest po prostu 4 + 1.\n\n\\[f(2) = 4 + 1 = 5\\]\n\n📖 Karta wzorów: [Funkcja], strona 1\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ obliczenie f(2) nie daje wyniku (na zdjęciu) 1, 2, 3, ani żadnego innego.\n* **C:** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie ma tu żadnych pierwiastków ani wyrażeń z pierwiastkami.\n* **D:** Ta odpowiedź jest nieprawidłowa, ponieważ nie ma tu żadnych potęg ani wyrażeń z potęgami. Wszystkie obliczenia są proste i nie wymagają skomplikowanych wzorów.\n\n**Dodatkowe wyjaśnienie:**\n\nZadanie polega na prostym obliczeniu wartości funkcji, która jest zdefiniowana jako stała plus 1. Nie ma tu potrzeby używać żadnych bardziej zaawansowanych wzorów z karty wzorów. Kluczem jest zrozumienie, że f(x) = 4 + 1 oznacza, że dla każdego x, funkcja przyjmuje wartość 5.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"wykladnicza","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\ny\nm\nx\noraz\n3\n7\n4\ny\nx\nsą równoległe. Wtedy\nA.\n5\n4\nm = -\nB.\n2\n3\nm =\nC.\n11\n4\nm =\nD.\n10\n3\nm =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Proste o równaniach y=(m-2)x oraz y=3/4x+7 są prostopadłe. Wtedy A. m=-5/4 B. m=2/3 C. m=11/4 D. m=10/3.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający bada\nrównoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.2).\nWersja X\nWersja Y\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(m = \\dfrac{11}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\n\nDwie proste są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** (i nie są tą samą prostą).\n\nObie proste są już w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\), więc współczynniki kierunkowe odczytujemy wprost:\n\n\\[y = (m-2)x \\quad \\Rightarrow \\quad a_1 = m - 2\\]\n\n\\[y = \\frac{3}{4}x + 7 \\quad \\Rightarrow \\quad a_2 = \\frac{3}{4}\\]\n\nWarunek równoległości: \\(a_1 = a_2\\):\n\n\\[m - 2 = \\frac{3}{4}\\]\n\n\\[m = 2 + \\frac{3}{4} = \\frac{8}{4} + \\frac{3}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{m = \\frac{11}{4}}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy to nie jest ta sama prosta:** Pierwsza prosta przechodzi przez \\((0, 0)\\) (wyraz wolny = 0), druga przez \\((0, 7)\\) - **różne wyrazy wolne**, więc proste są równoległe, a nie pokrywające się. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nWiemy, że dla \\(m = \\frac{11}{4}\\) pierwsza prosta to:\n\n\\[y = \\left(\\frac{11}{4} - 2\\right)x = \\frac{3}{4}x\\]\n\nMamy więc:\n- Prosta 1: \\(y = \\frac{3}{4}x\\) - przechodzi przez początek układu\n- Prosta 2: \\(y = \\frac{3}{4}x + 7\\) - równoległa, przesunięta o 7 w górę\n\nObie mają współczynnik kierunkowy \\(\\frac{3}{4}\\), nie mają punktów wspólnych (różne wyrazy wolne: 0 i 7). **Są równoległe** - wynik poprawny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) oraz \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe** wtedy i tylko wtedy, gdy:\n> \\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównując współczynniki kierunkowe obu prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(m = -\\frac{5}{4}\\) | Uczeń odejmuje \\(\\frac{3}{4}\\) zamiast dodawać: \\(m = 2 - \\frac{3}{4} = \\frac{5}{4}\\), a potem myli znak |\n| B | \\(m = \\frac{2}{3}\\) | Uczeń stosuje warunek **prostopadłości** \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), zamiast równoległości: \\((m-2) \\cdot \\frac{3}{4} = -1 \\Rightarrow m - 2 = -\\frac{4}{3} \\Rightarrow m = \\frac{2}{3}\\) |\n| D | \\(m = \\frac{10}{3}\\) | Uczeń błędnie przyrównuje \\(m = \\frac{3}{4}\\) i dodaje 2 bez zamiany na czwarty mianownik, czyli liczy \\(m = 2 + \\frac{3}{4+1}\\) lub inne błędne uproszczenie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to **równe** współczynniki kierunkowe **i różne** wyrazy wolne. Gdyby wyrazy wolne były równe, proste byłyby tą samą prostą (nie równoległymi)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). To dwa różne zadania - przy pośpiechu łatwo użyć złego wzoru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(2 = \\frac{8}{4}\\) - przelicz na wspólny mianownik przed dodawaniem ułamków, żeby nie zgubić się w arytmetyce.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\n\\(m - 2 = \\dfrac{3}{4} \\Rightarrow m = \\dfrac{3}{4} + 2 = \\dfrac{11}{4}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(m = \\tfrac{11}{4}\\): prosta \\(y = \\tfrac{3}{4}x\\) (przez początek układu) i \\(y = \\tfrac{3}{4}x + 7\\) - ten sam współczynnik kierunkowy, różne wyrazy wolne → równoległe ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażde inne \\(m\\) daje inny współczynnik kierunkowy niż \\(\\tfrac{3}{4}\\), więc proste nie są równoległe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Metoda podstawiania i sprawdzania\n\n1. **Podstawienie x z drugiego równania do pierwszego:** Z równania \\(y = x + 7\\) podstawiamy \\(x\\) z równania \\(y = (m - 2)x\\). Otrzymujemy:\n\\[y = (m - 2)x + 7\\]\n\n2. **Sprawdzenie równoległości:** Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki przy \\(x\\) w obu równaniach:\n\\(y = (m - 2)x\\) i \\(y = (m - 2)x + 7\\)\nWspółczynnik przy \\(x\\) jest taki sam, czyli \\(m - 2\\).\n\n3. **Znalezienie wartości m:** Z treści zadania wiemy, że \\(x = 7\\) jest rozwiązaniem obu równań. Podstawiamy \\(x = 7\\) do równania \\(y = (m - 2)x + 7\\):\n\\[y = (m - 2) * 7 + 7\\]\n\\[y = 7m - 14 + 7\\]\n\\[y = 7m - 7\\]\n\n4. **Znalezienie y:** Ponieważ \\(x = 7\\) i \\(y = x + 7\\), to \\(y = 7 + 7 = 14\\).\n\n5. **Podstawienie y i x do jednego z równań:** Podstawiamy \\(x = 7\\) i \\(y = 14\\) do równania \\(y = (m - 2)x\\):\n\\[14 = (m - 2) * 7\\]\n\\[14 = 7m - 14\\]\n\\[30 = 7m\\]\n\\[m = \\frac{30}{7}\\]\nBłąd! Powinniśmy podstawić do równania y = x+7, aby znaleźć m.\n\n6. **Poprawne rozwiązanie:** Z równania y = x+7, podstawiamy x=7, wtedy y = 7+7 = 14.\nPodstawiamy y=14 do równania y = (m-2)x.\n14 = (m-2) * 7\n14 = 7m - 14\n7m = 28\nm = 4\n\n📖 Karta wzorów: [Pole trójk] (s.15), strona 15\n\n### Sposób 2: Metoda porównywania współczynników\n\n1. **Przekształcenie równań:** Zapisujemy równania w postaci ogólnej:\n* \\(y = (m - 2)x + 0\\)\n* \\(y = x + 7\\)\n\n2. **Porównanie współczynników:** Równoległe proste mają ten sam współczynnik kierunkowy. Porównujemy współczynniki przy \\(x\\) w obu równaniach:\n* Współczynnik przy \\(x\\) w równaniu \\(y = (m - 2)x + 0\\) to \\(m - 2\\).\n* Współczynnik przy \\(x\\) w równaniu \\(y = x + 7\\) to 1.\n\n3. **Ustalenie równania:** Ponieważ współczynniki przy \\(x\\) są równe, to:\n\\(m - 2 = 1\\)\n\\(m = 3\\)\n\n📖 Karta wzorów: [Sumy kątów] (s.13), strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Błąd w obliczeniach. Podstawienie m=2 do równania y = (m-2)x + 7 daje y = 0x + 7 = 7, co nie jest równoważne z y = x+7.\n* **B. (na zdjęciu):** Błąd w obliczeniach. Użycie wzoru na współczynnik kierunkowy z karty wzorów nie prowadzi do poprawnego wyniku.\n* **D. (na zdjęciu):** Błąd w interpretacji zadania. Równoległość prostych definiuje się przez współczynnik kierunkowy, a nie przez konkretną wartość x.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\nna\nn\ndla\n1\nn ≥. Różnica\n5\n4\na\na\njest równa\nA. 4\nB. 20\nC. 36\nD. 18\nRozwiązanie zadania. Ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 oraz a_2=6 i a_5=-48. Wynika stąd, że A. a_7>0 B. a_7<0 C. a_7>a_6 D. a_7>a_8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy\nciągu określonego wzorem ogólnym\n(5.1).\nWersja X\nWersja Y\nD\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(18\\))\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\nWzór ogólny ciągu: \\(a_n = 2n^2\\)\n\nObliczamy \\(a_5\\) i \\(a_4\\) osobno:\n\n\\[a_5 = 2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\]\n\n\\[a_4 = 2 \\cdot 4^2 = 2 \\cdot 16 = 32\\]\n\nRóżnica:\n\n\\[a_5 - a_4 = 50 - 32 = \\mathbf{18}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór algebraiczny na różnicę kolejnych wyrazów\n\nZamiast liczyć osobno, możemy obliczyć \\(a_n - a_{n-1}\\) ogólnie:\n\n\\[a_n - a_{n-1} = 2n^2 - 2(n-1)^2\\]\n\nRozwijamy \\((n-1)^2\\):\n\n\\[(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1\\]\n\nZatem:\n\n\\[a_n - a_{n-1} = 2n^2 - 2(n^2 - 2n + 1) = 2n^2 - 2n^2 + 4n - 2 = 4n - 2\\]\n\nDla \\(n = 5\\):\n\n\\[a_5 - a_4 = 4 \\cdot 5 - 2 = 20 - 2 = \\mathbf{18}\\]\n\n**Bonus:** Ten ogólny wzór \\(4n - 2\\) mówi nam, że różnice kolejnych wyrazów tworzą ciąg arytmetyczny (co jest własnością każdego ciągu kwadratowego).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie do danego wzoru ogólnego i proste mnożenie. Sposób 2 korzysta ze wzoru skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) z **Działu 6 (s. 7)**, ale jest to na tyle elementarne, że nie wymaga karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(4\\)) | Policzono \\(a_5 - a_4 = 5 - 4 = 1\\), potem pomnożono przez 2 - pominięto potęgowanie, jakby wzór był \\(a_n = 2n\\) |\n| B (\\(20\\)) | Policzono \\(a_5 = 50\\), ale \\(a_4\\) obliczono ze wzoru \\(2 \\cdot 4 = 8\\) albo wzięto samą wartość \\(4n-2\\) dla \\(n=4\\) zamiast \\(n=5\\) |\n| C (\\(36\\)) | Policzono \\(a_5 - a_4 = 2(5^2 - 4^2)\\), ale błędnie uproszczono \\(5^2 - 4^2 = (5-4)(5+4) = 18\\), a potem \\(2 \\cdot 18 = 36\\) - czyli wzięto \\(2(a_5 - a_4)\\) zamiast \\(a_5 - a_4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność ma znaczenie! Zadanie pyta o \\(a_5 - a_4\\), nie \\(a_4 - a_5\\). Gdyby było odwrotnie, wynik byłby \\(-18\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzoru ciągu \\(a_n = 2n^2\\) z ciągiem arytmetycznym. Ten ciąg **NIE jest arytmetyczny** - różnice między wyrazami nie są stałe (\\(a_2 - a_1 = 8-2=6\\), \\(a_3-a_2=18-8=10\\), \\(a_4-a_3=32-18=14\\), \\(a_5-a_4=18\\) ).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kolejności działań - najpierw potęgowanie, potem mnożenie. \\(2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\), a **nie** \\((2 \\cdot 5)^2 = 100\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenia\n\\(a_5 = 2\\cdot 25 = 50\\), \\(a_4 = 2\\cdot 16 = 32\\). \\(a_5 - a_4 = 18\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwijanie różnicy\n\\(a_{n+1} - a_n = 2(n+1)^2 - 2n^2 = 2(2n+1) = 4n+2\\). Dla \\(n=4\\): \\(4\\cdot 4 + 2 = 18\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\), B. \\(20\\), C. \\(36\\)** - błędne obliczenia.\n\n**Uwaga:** ten ciąg **nie jest** arytmetyczny (różnica nie jest stała).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie a5 i a4\n1. **Znamy wzór:** \\(a_n = 2n^2\\) dla \\(n \\geq 1\\)\n2. **Obliczamy a5:** \\(a_5 = 2 \\cdot 5^2 = 2 \\cdot 25 = 50\\)\n3. **Obliczamy a4:** \\(a_4 = 2 \\cdot 4^2 = 2 \\cdot 16 = 32\\)\n4. **Obliczamy różnicę:** \\(a_5 - a_4 = 50 - 32 = 18\\)\n5. **Błąd w pytaniu:** W treści zadania podano, że różnica to 4, a my obliczyliśmy 18. To sugeruje, że w treści zadania jest błąd.\n\n📖 Karta wzorów: s.9 Ciągi, strona 9\n\n### Sposób 2: Zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu\n1. **Znamy wzór:** \\(a_n = 2n^2\\)\n2. **Różnica między wyrazami:** \\(a_5 - a_4 = (2 \\cdot 5^2) - (2 \\cdot 4^2) = 50 - 32 = 18\\)\n3. **Zatem, różnica a5 - a4 wynosi 18.**\n\n📖 Karta wzorów: s.9 Ciągi, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** Jak pokazaliśmy, różnica między a5 i a4 to 18, a nie 4.\n* **B. 6:** Podobnie jak w przypadku A, różnica to 18.\n* **C. 8:** Różnica to 18.\n* **D. 18:** To jest prawidłowa odpowiedź, którą otrzymaliśmy obliczając różnicę między a5 i a4. W treści zadania jest błąd, a prawidłowa różnica to 18.\n\n**Podsumowanie:** Zadanie zawiera błąd w treści. Prawidłowa różnica między a5 i a4 wynosi 18, a nie 4, jak sugeruje odpowiedź A. Wszystkie inne odpowiedzi są nieprawidłowe.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica\ntego ciągu jest równa 5. Suma\n1\n2\n3\n4\na\na\na\na\njest równa\nA.\n42\nB.\n36\nC.\n18\nD. 6\nRozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy a_4=2020. Suma a_2+a_6 jest równa A. 505 B. 1010 C. 2020 D. 4040","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty\nwyraz i na sumę n-początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego (5.3).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(-18\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie \\(a_1\\) ze wzoru na wyraz ogólny\n\nZnamy \\(a_4 = 3\\) oraz różnicę \\(r = 5\\).\n\nZe wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 4\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r\\]\n\\[3 = a_1 + 3 \\cdot 5\\]\n\\[3 = a_1 + 15\\]\n\\[a_1 = 3 - 15 = -12\\]\n\nMamy więc:\n\\[a_1 = -12, \\quad a_2 = -7, \\quad a_3 = -2, \\quad a_4 = 3\\]\n\nSuma:\n\\[a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 + (-7) + (-2) + 3 = \\mathbf{-18}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na sumę \\(S_n\\)\n\nSkoro znamy \\(a_1 = -12\\) i \\(a_4 = 3\\), możemy skorzystać bezpośrednio ze wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nDla \\(n = 4\\):\n\\[S_4 = \\frac{a_1 + a_4}{2} \\cdot 4 = \\frac{-12 + 3}{2} \\cdot 4 = \\frac{-9}{2} \\cdot 4 = \\mathbf{-18}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\) z warunku \\(a_4 = 3\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do szybkiego obliczenia sumy czterech wyrazów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-42)\\) | Wzięcie \\(r = -5\\) (zły znak różnicy) → \\(a_1 = 18\\) nie, albo błędne cofanie: liczenie \\(a_1 = a_4 + 3r = 3 + 15 = 18\\), a potem suma \\(-42\\) po kolejnych błędach |\n| B \\((-36)\\) | Pomylenie wzoru: wyliczenie \\(a_1 = -12\\), ale zsumowanie pięciu wyrazów \\(a_0 + a_1 + \\ldots + a_4\\) lub błąd arytmetyczny w dodawaniu |\n| D \\((6)\\) | Zignorowanie \\(a_1, a_2, a_3\\) i policzenie tylko \\(a_4 + a_5 = 3 + 8 = 11\\), albo wzięcie \\(a_4 = 3\\) jako \\(a_1\\) i suma \\(3 + 8 + 13 + 18 = 42\\) → błędny kierunek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(r = 5\\) oznacza, że ciąg **rośnie** - czyli wyrazy **przed** \\(a_4\\) są **mniejsze**. Często uczniowie cofają się dodając \\(r\\) zamiast odejmując, i wychodzi im \\(a_1 = 18\\) (błąd znaku).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) działa tylko gdy znamy **pierwszy i ostatni wyraz** sumy - tutaj \\(a_1\\) i \\(a_4\\). Jeśli sumujesz od \\(a_2\\) do \\(a_5\\), musisz podstawić odpowiednie wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić indeksy - \\(a_4 = a_1 + 3r\\), bo różnica pojawia się \\((n-1) = 3\\) razy, nie \\(4\\) razy!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\), suma\n\\(a_4 = a_1 + 3r = 3 \\Rightarrow a_1 = 3 - 15 = -12\\).\n\\(a_2 = -7, a_3 = -2, a_4 = 3\\).\nSuma: \\(-12 - 7 - 2 + 3 = -18\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę\n\\(S_4 = \\tfrac{a_1+a_4}{2}\\cdot 4 = \\tfrac{-12+3}{2}\\cdot 4 = -18\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nBłędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego\nW tym przypadku chcemy obliczyć sumę pierwszych 4 wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_4 = 1 + a_2 + a_3 + a_4\\). Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego to: \\(S_n = \\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)r)\\). W naszym przypadku \\(n = 4\\), \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(r\\) to różnica. Wiemy, że czwarty wyraz to \\(a_4 = a_1 + 3r = 3\\). Różnica to \\(r = 5\\). Podstawiamy do wzoru na \\(S_4\\):\n\n\\[S_4 = \\frac{4}{2}(2a_1 + (4-1)5) = 2(2a_1 + 15) = 4a_1 + 30\\]\n\nTeraz musimy obliczyć \\(a_1\\). Wiemy, że \\(a_4 = a_1 + 3r = a_1 + 3(5) = a_1 + 15 = 3\\). Zatem \\(a_1 = 3 - 15 = -12\\).\n\nPodstawiamy \\(a_1 = -12\\) do wzoru na \\(S_4\\):\n\n\\[S_4 = 4(-12) + 30 = -48 + 30 = -18\\]\n\n📖 Karta wzorów: Sₙ=n(a₁+aₙ)/2, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\nWzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego to: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Znamy \\(a_4 = 3\\) i \\(r = 5\\). Zatem:\n\n\\[a_4 = a_1 + (4-1)5 = a_1 + 3(5) = a_1 + 15 = 3\\]\n\nStąd \\(a_1 = 3 - 15 = -12\\). Teraz możemy obliczyć sumę:\n\n\\[S_4 = 1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 1 + (-12 + 5) + (-12 + 10) + 3 = 1 - 7 - 2 + 3 = -5\\]\nTo jest błąd w obliczeniach. Poprawnie:\n\n\\[S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 4a_1 + 6r = 4(-12) + 6(5) = -48 + 30 = -18\\]\n\n📖 Karta wzorów: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. -42:** Obliczenia są błędne, a metoda nie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.\n* **B. -36:** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, obliczenia są błędne.\n* **D. 6:** Wzory są poprawne, ale obliczenia prowadzą do błędnego wyniku.\n\nW obu sposobach rozwiązania otrzymujemy wynik -18. Zatem poprawna odpowiedź to C.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkt\n(\n)\n,\n1\n1\n3\nA =\nnależy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n3\nf\nx\nx\nb\nWynika stąd, że\nA.\n2\nb =\nB.\n1\nb =\nC.\n1\nb = -\nD.\n2\nb = -\nRozwiązanie zadania. Punkt P=(-3,7) leży na wykresie funkcji liniowej f określonej wzorem f(x)=(2m-1)x+5 A. m=1/6 B. m=-1/6 C. m=5/6 D. m=-5/6.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór\nfunkcji liniowej na podstawie\ninformacji o funkcji lub o jej wykresie\n(4.6).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(b = -2\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nSkoro punkt \\(A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) należy do wykresu funkcji \\(f(x) = 3x + b\\), to para \\(\\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) spełnia równanie funkcji.\n\nPodstawiamy \\(x = \\frac{1}{3}\\) i \\(f(x) = -1\\):\n\n\\[-1 = 3 \\cdot \\frac{1}{3} + b\\]\n\n\\[-1 = 1 + b\\]\n\n\\[b = -1 - 1\\]\n\n\\[\\boxed{b = -2}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy dla \\(b = -2\\) punkt \\(A = \\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) rzeczywiście leży na wykresie \\(f(x) = 3x - 2\\):\n\n\\[f\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) = 3 \\cdot \\frac{1}{3} - 2 = 1 - 2 = -1 \\checkmark\\]\n\nWartość funkcji w \\(x = \\frac{1}{3}\\) wynosi \\(-1\\), co zgadza się z drugą współrzędną punktu \\(A\\). Wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i podstawienie współrzędnych punktu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(b = 2\\) | Uczeń liczy \\(b = -1 + 3 = 2\\) - dodaje zamiast odejmować, lub myli kierunek przenoszenia |\n| B: \\(b = 1\\) | Uczeń pomija wartość \\(f(x) = -1\\) i podstawia tylko \\(x = \\frac{1}{3}\\): \\(b = 1 - \\frac{1}{3} \\cdot 3 = 0\\), albo traktuje \\(-1\\) tylko jako znak |\n| C: \\(b = -1\\) | Uczeń upraszcza \\(3 \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}\\) zamiast \\(1\\), lub pomija wynik mnożenia i bierze \\(b = f(x) = -1\\) wprost |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(\\left(\\frac{1}{3}, -1\\right)\\) to \\((x, y)\\) - pierwsza współrzędna to \\(x\\), druga to \\(f(x)\\). Wielu uczniów odwraca kolejność i podstawia \\(x = -1\\), \\(f(x) = \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3 \\cdot \\frac{1}{3} = 1\\), nie \\(\\frac{1}{3}\\). Szybkie mnożenie ułamka przez liczbę to częste źródło błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po obliczeniu \\(-1 = 1 + b\\) przenosimy \\(1\\) na lewą stronę ze **zmienionym znakiem**: \\(b = -1 - 1 = -2\\). Błąd znaku przy przenoszeniu to klasyczna pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie punktu\n\\(f\\left(\\tfrac{1}{3}\\right) = -1\\):\n\\[3\\cdot\\tfrac{1}{3} + b = -1 \\Rightarrow 1 + b = -1 \\Rightarrow b = -2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - zły znak.\n- **B. \\(1\\)** - błąd w dodawaniu.\n- **C. \\(-1\\)** - \\(3\\cdot\\tfrac{1}{3} = 1\\), a to już jest po lewej stronie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na współrzędną punktu na prostej\n\nKluczowym elementem jest zrozumienie, że punkt A = (13, -1) leży na prostej o równaniu f(x) = 3x + b. Oznacza to, że współrzędne x i y punktu A spełniają równanie tej prostej. Zatem możemy wstawić współrzędne punktu A do wzoru funkcji i rozwiązać równanie, aby znaleźć wartość b.\n\nKrok 1: Wstawiamy współrzędne punktu A do wzoru funkcji:\nf(13) = 3 * 13 + b\n\nKrok 2: Znamy wartość f(13) z definicji punktu A, czyli f(13) = -1. Podstawiamy to do równania:\n-1 = 3 * 13 + b\n-1 = 39 + b\n\nKrok 3: Rozwiązujemy równanie względem b:\nb = -1 - 39\nb = -40\n\nOczywiście, b = -40 nie jest jedną z podanych odpowiedzi. Sprawdźmy, czy w treści zadania nie ma błędu. Z treści zadania wynika, że A=(13, -1) należy do wykresu funkcji f(x) = 3x + b. Zatem:\n\nf(13) = 3 * 13 + b = -1\n39 + b = -1\nb = -1 - 39\nb = -40\n\nWygląda na to, że w treści zadania jest błąd. Jednakże, jeśli założymy, że podane odpowiedzi są poprawne, to musimy sprawdzić, która z nich daje najmniejszy błąd.\n\nJeśli b = -40, to f(x) = 3x - 40. Sprawdźmy, czy A=(13, -1) spełnia to równanie:\nf(13) = 3 * 13 - 40 = 39 - 40 = -1. Zatem A=(13, -1) należy do wykresu funkcji f(x) = 3x - 40.\n\nW treści zadania jest błąd. Prawidłowa odpowiedź to b = -40, która nie znajduje się w podanych odpowiedziach. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie, musimy wybrać odpowiedź, która jest najbliżej -40.\n\nZatem, z podanych odpowiedzi, najbliżej -40 jest b = -2.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej przechodzącej przez punkt i o podanym nachyleniu.\n\nWzór na równanie prostej przechodzącej przez punkt (x₀, y₀) o nachyleniu k to:\ny - y₀ = k(x - x₀)\n\nW naszym przypadku:\n* (x₀, y₀) = (13, -1)\n* k = 3 (z wzoru f(x) = 3x + b)\n\nPodstawiamy te wartości do wzoru:\ny - (-1) = 3(x - 13)\ny + 1 = 3x - 39\ny = 3x - 40\n\nPorównując to równanie z f(x) = 3x + b, widzimy, że b = -40. Ponownie, to nie jest żadna z podanych odpowiedzi.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, Geom.anal: |AB|=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²), strona 22\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(b = 2\\)**: Jeśli b = 2, to f(x) = 3x + 2. Wtedy f(13) = 3 * 13 + 2 = 39 + 2 = 41, co nie jest równe -1.\n* **B. \\(b = 1\\)**: Jeśli b = 1, to f(x) = 3x + 1. Wtedy f(13) = 3 * 13 + 1 = 39 + 1 = 40, co nie jest równe -1.\n* **C. \\(b = -1\\)**: Jeśli b = -1, to f(x) = 3x - 1. Wtedy f(13) = 3 * 13 - 1 = 39 - 1 = 38, co nie jest równe -1.\n* **D. \\(b = -2\\)**: Jeśli b = -2, to f(x) = 3x - 2. Wtedy f(13) = 3 * 13 - 2 = 39 - 2 = 37, co nie jest równe -1.\n\nPodsumowując, w treści zadania jest błąd, ponieważ punkt A = (13, -1) nie spełnia równania f(x) = 3x + b dla żadnej z podanych wartości b. Jednakże, wybierając najbliższą wartość, otrzymujemy b = -40, co jest bliskie odpowiedzi D.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nPunkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta ABC jest równa\nA. 59°\nB. 48°\nC. 62°\nD. 31°\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(80,-1) i B=(- 6,-19) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC. W tym trójkącie kąt przy wierzchołku C jest prosty. Środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie jest punkt o współrzędnych A. (43,-10) B. (37,10) C. (43,10) D. (37,-10)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający stosuje\nzależności między kątem środkowym\ni kątem wpisanym (7.1).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(31^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany oparty na łuku CA\n\n**Kluczowe spostrzeżenie z rysunku:** Punkty \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) leżą na jednej prostej (widać to na rysunku - \\(O\\) leży między \\(D\\) a \\(A\\)). Oznacza to, że \\(DA\\) jest **średnicą** okręgu, a zatem:\n\\[\\text{arc } DA = 180^\\circ\\]\n\n**Krok 1.** Kąt środkowy \\(\\angle DOC = 118^\\circ\\) wyznacza łuk \\(DC\\):\n\\[\\text{arc } DC = 118^\\circ\\]\n\n**Krok 2.** Punkt \\(C\\) leży na półokręgu \\(DA\\) (między \\(D\\) a \\(A\\)), więc łuki \\(DC\\) i \\(CA\\) sumują się do półokręgu:\n\\[\\text{arc } DC + \\text{arc } CA = 180^\\circ\\]\n\\[\\text{arc } CA = 180^\\circ - 118^\\circ = 62^\\circ\\]\n\n**Krok 3.** Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) jest oparty na łuku \\(CA\\) (łuk po stronie nie zawierającej punktu \\(B\\)). Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{arc } CA}{2} = \\frac{62^\\circ}{2} = \\boxed{31^\\circ}\\]\n\n## Sposób 2 - Odjęcie kątów wpisanych\n\n**Krok 1.** Skoro \\(DA\\) jest średnicą, każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty:\n\\[\\angle DBA = 90^\\circ\\]\n(Punkt \\(B\\) leży na okręgu po stronie nie zawierającej \\(C\\), więc kąt \\(\\angle DBA\\) jest oparty na pełnym półłuku \\(DA\\).)\n\n**Krok 2.** Kąt wpisany \\(\\angle DBC\\) oparty na łuku \\(DC = 118^\\circ\\):\n\\[\\angle DBC = \\frac{118^\\circ}{2} = 59^\\circ\\]\n\n**Krok 3.** Kąt \\(\\angle ABC\\) to różnica:\n\\[\\angle ABC = \\angle DBA - \\angle DBC = 90^\\circ - 59^\\circ = \\boxed{31^\\circ}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach - w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\angle ABC\\) z łuku \\(CA\\), w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\angle DBC\\) z łuku \\(DC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany oparty na średnicy:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90^\\circ\\).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 (\\(\\angle DBA = 90^\\circ\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(59^\\circ\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{118^\\circ}{2}\\) - stosuje twierdzenie o kącie wpisanym, ale do łuku \\(DC\\) zamiast łuku \\(CA\\). Myli, który łuk „widzi\" kąt \\(\\angle ABC\\). |\n| B | \\(48^\\circ\\) | Błędne odczytanie z rysunku lub pominięcie faktu, że \\(DA\\) jest średnicą - błędnie wyznaczony łuk \\(CA\\). |\n| C | \\(62^\\circ\\) | Poprawnie wyznaczony łuk \\(CA = 62^\\circ\\), ale zapomnienie o podzieleniu przez 2 - uczeń podaje miarę łuku zamiast miary kąta wpisanego. |\n| D | \\(31^\\circ\\) | ✓ Poprawna odpowiedź |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to zauważenie, że \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) są współliniowe na rysunku - to oznacza, że \\(DA\\) jest średnicą. Bez tego spostrzeżenia zadanie wydaje się nierozwiązywalne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(\\angle ABC\\) nie jest oparty na łuku \\(DC\\), lecz na łuku \\(CA\\) - łuku po drugiej stronie okręgu, „naprzeciw\" kąta. Uważaj, który łuk jest właściwy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miary łuku (\\(62^\\circ\\)) z miarą kąta wpisanego (\\(31^\\circ\\)) - kąt wpisany to zawsze **połowa** łuku, nie cały łuk.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany na tym samym łuku\nKąt środkowy \\(\\angle DOC = 118^\\circ\\) opiera się na łuku \\(DC\\) (małym). Kąt wpisany na tym samym łuku (z drugiej strony) = \\(\\tfrac{118^\\circ}{2} = 59^\\circ\\).\n\nJednak kąt \\(ABC\\) opiera się na łuku \\(AC\\), a nie \\(DC\\). Z konfiguracji rysunku:\n- cięciwy \\(AC\\) i \\(BD\\) przecinają się.\n- Można zauważyć, że \\(\\angle ABC = \\angle ABD - \\angle DBC\\) lub podobną zależność.\n\nZ klucza CKE: \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\). Wyznaczenie kąta \\(AOC\\) z konfiguracji rysunku i dedukcja: łuk \\(AC\\) (bez \\(B\\)) = \\(62^\\circ\\), więc kąt wpisany \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Przez sumę kątów\nNa rysunku można zauważyć, że \\(AC \\perp BO\\) (widoczny kąt prosty przy rysunku). Wówczas z prostopadłości i kąta środkowego \\(DOC = 118^\\circ\\) można wyliczyć łuk \\(AC\\) = 62°, stąd \\(\\angle ABC = 31^\\circ\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(59^\\circ\\)** - kąt wpisany na łuku \\(DC\\), nie \\(AC\\).\n- **B, C** - inne błędne interpretacje konfiguracji.\n\n**Klucz:** kąt \\(\\angle ABC\\) jest oparty na innym łuku niż kąt środkowy \\(DOC\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie kąta wpisanego i kąta środkowego\n\n1. **Zrozumienie relacji:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.\n2. **Obliczenie kąta środkowego DOC:** Kąt środkowy DOC ma miarę 118°.\n3. **Obliczenie kąta ABC:** Kąt ABC jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku CD. Zatem, miare kąta ABC wynosi połowę kąta DOC:\n\\[\n\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle DOC = \\frac{1}{2} \\cdot 118^\\circ = 59^\\circ\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.19, \"Wycinek: kąt wpisany=½ środkowego\"\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie kąta środkowego i kąta międzystanowego\n\n1. **Zrozumienie:** Kąt środkowy DOC to 118 stopni. Kąt międzystanowy AOC to kąt, który powstaje między łukami AC i OC.\n2. **Obliczenie kąta AOC:** Kąt AOC jest kątem międzystanowym. Znamy kąt DOC (118 stopni). Kąt AOC jest równy 180 - kąt DOC - kąt BOC. Kąt BOC to 180 - kąt DOC = 180 - 118 = 62. Zatem:\n\\[\n\\angle AOC = 180^\\circ - 118^\\circ - (180^\\circ - 118^\\circ) = 180 - 118 - 62 = 0\n\\]\nTo nie jest dobry sposób.\n3. **Obliczenie kąta ABC:** Kąt ABC to kąt wpisany, który opiera się na łuku AC. Kąt środkowy AC to 180 - 118 = 62. Zatem:\n\\[\n\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle AOC = \\frac{1}{2} \\cdot (180 - 118) = \\frac{1}{2} \\cdot 62 = 31^\\circ\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.18, \"Tales, koło P=πr², L=2πr\" - (nie bezpośrednio, ale ilustruje relacje kątów w okręgu)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(59^{\\circ}\\):** To jest miara kąta wpisanego, który jest połową kąta środkowego, ale zadanie pyta o miarę kąta ABC, a nie kąta wpisanego.\n* **B. \\(48^{\\circ}\\):** To wartość z karty wzorów, która nie ma związku z danymi w zadaniu.\n* **C. \\(62^{\\circ}\\):** To miara kąta środkowego AC, a nie kąta ABC.\n* **D. \\(31^{\\circ}\\):** To jest poprawna miara kąta ABC, obliczona jako połowa kąta środkowego DOC.\n\n**Podsumowanie:** Kluczem do rozwiązania jest zrozumienie relacji między kątami środkowymi i wpisanymi opartymi na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nProsta przechodząca przez punkty\n(\n)\n3,\n2\nA =\ni\n(\n)\n1,6\nB = -\njest określona równaniem\nA.\n2\n4\ny\nx\nB.\n2\n8\ny\nx\nC.\n2\n8\ny\nx\nD.\n2\n4\ny\nx\n1\nn ≥\nC\nB\nD\nO\nA\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku 2. Przekątna graniastosłupa tworzy z jego podstawą kąt o mierze 60° (zobacz rysunek). Wysokość tego graniastosłupa jest równa A. √2/2 B. 4√2 C. √6/4 D. 2√6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający wyznacza\nrównanie prostej przechodzącej przez\ndwa dane punkty (w postaci\nkierunkowej lub ogólnej) (8.1).\nWersja X\nWersja Y\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(y = -2x + 4\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na równanie prostej przez dwa punkty\n\n**Krok 1: Oblicz współczynnik kierunkowy \\(a\\)**\n\nMamy punkty \\(A = (3, -2)\\) i \\(B = (-1, 6)\\). Współczynnik kierunkowy to:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \\frac{8}{-4} = -2\\]\n\nProsta ma zatem postać \\(y = -2x + b\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz wyraz wolny \\(b\\)**\n\nPodstawiamy współrzędne punktu \\(A = (3, -2)\\) (można też wziąć punkt \\(B\\)):\n\n\\[-2 = -2 \\cdot 3 + b\\]\n\\[-2 = -6 + b\\]\n\\[b = 4\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{y = -2x + 4}\\)\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie obu punktów\n\nMamy kandydatkę \\(y = -2x + 4\\). Sprawdzamy, czy oba punkty leżą na tej prostej.\n\n**Punkt \\(A = (3, -2)\\):**\n\\[y = -2 \\cdot 3 + 4 = -6 + 4 = -2 \\checkmark\\]\n\n**Punkt \\(B = (-1, 6)\\):**\n\\[y = -2 \\cdot (-1) + 4 = 2 + 4 = 6 \\checkmark\\]\n\nOba punkty spełniają równanie - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia współczynnika kierunkowego prostej przez dwa punkty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Poprawny współczynnik \\(a = -2\\), ale błędne \\(b\\): prawdopodobnie obliczono \\(b = y_A - a \\cdot y_A\\) zamiast \\(b = y_A - a \\cdot x_A\\), lub podstawiono \\(x\\) zamiast \\(y\\) |\n| C | Pomylono znak współczynnika kierunkowego: wzięto \\(\\frac{y_B - y_A}{x_A - x_B}\\) zamiast \\(\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\), co daje \\(a = +2\\) |\n| D | Poprawny błąd znaku \\(a = +2\\) i błędne \\(b\\): kombinacja obu błędów z C i B |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów w liczniku i mianowniku MUSI być taka sama! Zawsze \\(\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) - jeśli w liczniku dajesz \\(y_B - y_A\\), to w mianowniku koniecznie \\(x_B - x_A\\), nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu punktu do wzoru \\(y = ax + b\\) uważaj na minus: dla punktu \\(A = (3, \\mathbf{-2})\\) piszemy \\(\\mathbf{-2} = -2 \\cdot 3 + b\\), nie \\(+2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Możesz użyć dowolnego z dwóch punktów do wyznaczenia \\(b\\) - wynik powinien wyjść identyczny. Jeśli nie wychodzi - popełniłeś błąd rachunkowy!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i punkt\n\\(a = \\dfrac{6-(-2)}{-1-3} = \\dfrac{8}{-4} = -2\\).\nRównanie przez \\(A\\): \\(y - (-2) = -2(x - 3) \\Rightarrow y = -2x + 6 - 2 = -2x + 4\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie\nOpcja A: \\(y = -2x + 4\\).\n- \\(A = (3, -2)\\): \\(-2\\cdot 3 + 4 = -2\\) ✓\n- \\(B = (-1, 6)\\): \\(-2\\cdot(-1) + 4 = 6\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażda inna opcja zawiera co najmniej jeden z punktów, który nie spełnia równania.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty.\n\n1. **Znajdź współrzędne wyznaczone:** Współrzędne wyznaczone (x₁, y₁) i (x₂, y₂) to punkty, przez które przechodzi prosta. W naszym przypadku:\n* (x₁, y₁) = (3, -2)\n* (x₂, y₂) = (-1, 6)\n\n2. **Oblicz współczynnik kierunkowy (m):** Wzór na współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty to:\n\\[m = \\frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}\\]\nPodstawiając wartości:\n\\[m = \\frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \\frac{8}{-4} = -2\\]\n\n3. **Oblicz wyraz wolny (b):** Używając współczynnika kierunkowego i jednego z punktów (np. (3, -2)) oraz wzoru na równanie prostej:\n\\[y - y₁ = m(x - x₁)\\]\n\\[y - (-2) = -2(x - 3)\\]\n\\[y + 2 = -2x + 6\\]\n\\[y = -2x + 4\\]\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na równanie prostej w postaci ogólnej (Ax + By + C = 0) i porównanie z danymi.\n\n1. **Oblicz wyznacznik:** Znajdź wyznacznik (determinant) dla punktów A i B. Wyznacznik to:\n\\[D = (x₂ - x₁)(y₁ - y₂) - (x₁ - x₂)(y₂ - y₁)\\]\n\\[D = (-1 - 3)(6 - (-2)) - (3 - (-1))(6 - (-2)) = (-4)(8) - (4)(8) = -32 - 32 = -64\\]\n\n2. **Oblicz współczynniki A, B i C:** Wzór na równanie prostej w postaci ogólnej to:\n\\[Ax + By + C = 0\\]\nZnamy D = -64. Możemy to wykorzystać do znalezienia A i B:\n\\[A = \\frac{y₂ - y₁}{D} = \\frac{6 - (-2)}{-64} = \\frac{8}{-64} = -\\frac{1}{8}\\]\n\\[B = \\frac{x₁ - x₂}{D} = \\frac{3 - (-1)}{-64} = \\frac{4}{-64} = -\\frac{1}{16}\\]\n\\[C = y₁ - m x₁ = -2 - (-\\frac{1}{8})(3) = -2 + \\frac{3}{8} = -\\frac{16}{8} + \\frac{3}{8} = -\\frac{13}{8}\\]\nZatem równanie prostej to:\n\\[-\\frac{1}{8}x - \\frac{1}{16}y - \\frac{13}{8} = 0\\]\nMnożąc przez 16:\n\\[-2x - y - 26 = 0\\]\n\\[y = -2x - 26\\]\nTo jest błąd! Powinniśmy otrzymać y = -2x + 4. Wygląda na to, że pierwszy sposób jest prawidłowy.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(y = -2 x - 8\\):** Współczynnik kierunkowy jest -2, ale obliczenia wyrazu wolnego prowadzą do błędnego wyniku.\n* **C. \\(y = 2 x + 8\\):** Współczynnik kierunkowy jest 2, a nie -2, co jest sprzeczne z danymi punktów.\n* **D. \\(y = 2 x - 4\\):** Współczynnik kierunkowy jest 2, a nie -2, co jest sprzeczne z danymi punktów.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"analityczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych\ni\n(zobacz rysunek).\nWyrażenie 2cos\nsin\nα\nβ\njest równe\nA.\nB.\nC. 0\nD.\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna BC ma długość 250 cm, a przyprostokątna AC ma długość 91 cm. Miara β kąta ABC spełnia warunek A. 19° < β < 21° B. 21° < β < 23° C. 67° < β < 69° D. 69° < β < 71°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający\nwykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus\ni tangens kątów o miarach\nod 0° do 180° (6.1).\nWersja X\nWersja Y\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\cos\\alpha\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór redukcyjny (kąty dopełniające)\n\nW trójkącie prostokątnym **suma kątów ostrych wynosi \\(90°\\)**:\n\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]\n\nZ tego wynika, że \\(\\beta = 90° - \\alpha\\).\n\nStosujemy wzór redukcyjny:\n\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\]\n\n**Wynik: \\(\\cos\\alpha\\)**\n\n## Sposób 2 - Definicja funkcji trygonometrycznych (podstawienie liczbowe)\n\nWybierzmy konkretny trójkąt prostokątny, np. o kątach \\(\\alpha = 60°\\) i \\(\\beta = 30°\\).\n\nOdczytujemy wartości z tabeli:\n\\[\\cos 60° = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\nLiczymy wyrażenie:\n\\[2\\cos 60° - \\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} = 1 - \\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nSprawdzamy odpowiedzi dla \\(\\alpha = 60°\\):\n- A: \\(2\\sin 30° = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) ✗\n- **B: \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\)** ✓\n- C: \\(0\\) ✗\n- D: \\(2\\) ✗\n\nWeryfikacja potwierdza odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\qquad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, zamieniając \\(\\sin\\beta\\) na \\(\\cos\\alpha\\) - kluczowy krok całego rozwiązania.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - tabela wartości dla kątów 30°, 45°, 60° - użyta w Sposobie 2 do weryfikacji liczbowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(2\\sin\\beta - \\sin\\beta = \\sin\\beta\\) lub myli zamiany - dostaje \\(2\\sin\\beta\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |\n| C | Uczeń błędnie zakłada, że \\(\\cos\\alpha = \\sin\\beta = 1\\), więc \\(2 \\cdot 1 - 1 = 1\\), albo myli \\(2\\cos\\alpha - 2\\cos\\alpha = 0\\) (zamienił oba na \\(\\cos\\alpha\\) ale pomnożył jeden przez 2 i drugiego nie) |\n| D | Uczeń podstawia \\(\\cos\\alpha = 1\\) i \\(\\sin\\beta = 0\\) - wartości z granicznych (nie ostrych!) kątów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) w trójkącie prostokątnym są **dopełniające** (\\(\\alpha + \\beta = 90°\\)), NIE suplementarne (\\(180°\\)). To fundamentalny fakt - zawsze go sprawdź!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory redukcyjne dla \\(90°\\): sinus zamieniamy na cosinus i odwrotnie. Dla \\(180°\\) sinus zostaje, cosinus zmienia znak - nie mylić tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy widzisz w zadaniu wyrażenie z \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) z jednego trójkąta - zawsze sprawdź, czy możesz skorzystać z zależności \\(\\alpha + \\beta = 90°\\). To często klucz do uproszczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność kątów ostrych w trójkącie prostokątnym\nW trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\), więc \\(\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\).\n\nZatem:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha.\\]\n\n### Sposób 2 - Konkretny trójkąt\nJeśli \\(\\alpha = 30^\\circ\\), \\(\\beta = 60^\\circ\\): \\(\\cos 30^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\cos\\alpha\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\sin\\beta\\)** - to \\(2\\cos\\alpha\\), za duże.\n- **C. \\(0\\)** - tylko gdyby wyrażenie miało się zerować; nie zeruje się generalnie.\n- **D. \\(2\\)** - wartość stała, nie zależna od kąta.\n\n**Wzór:** \\(\\sin(90^\\circ-\\alpha) = \\cos\\alpha\\) - kluczowe dla kątów dopełniających.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie trójkąta prostokątnego i tożsamości trygonometrycznych\n\n1. **Zrozumienie trójkąta:** Mamy trójkąt prostokątny, gdzie \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) to kąty ostre. Zatem \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\).\n2. **Wykorzystanie tożsamości:** Chcemy obliczyć \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta\\). Ponieważ \\(\\alpha + \\beta = 90^\\circ\\), to \\(\\beta = 90^\\circ - \\alpha\\). Zatem \\(\\sin\\beta = \\sin(90^\\circ - \\alpha) = \\cos\\alpha\\).\n3. **Podstawienie:** Wstawiamy \\(\\sin\\beta = \\cos\\alpha\\) do wyrażenia:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\]\n\n📖 Karta wzorów: **Potęgi** strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym\n\n1. **Zrozumienie trójkąta:** Ponownie, mamy trójkąt prostokątny z kątami ostrymi \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\).\n2. **Wzory trygonometryczne:**\n* \\(\\sin\\alpha = \\frac{przeciwprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\))\n* \\(\\cos\\alpha = \\frac{przyprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\))\n* \\(\\sin\\beta = \\frac{przyprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\sin\\beta = \\frac{a}{c}\\))\n* \\(\\cos\\beta = \\frac{przeciwprostokątna}{hipotenuzę}\\) (w naszym przypadku, \\(\\cos\\beta = \\frac{b}{c}\\))\n3. **Obliczenie:** Chcemy obliczyć \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta\\). Zatem:\n\\[2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2 \\cdot \\frac{b}{c} - \\frac{a}{c} = \\frac{2b - a}{c}\\]\n4. **Związek między a, b, c:** Z twierdzenia Pitagorowego wiemy, że \\(a^2 + b^2 = c^2\\). Możemy wyrazić \\(c\\) jako \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\).\n5. **Podstawienie:** Podstawiamy \\(c = \\sqrt{a^2 + b^2}\\) do wyrażenia:\n\\[\\frac{2b - a}{\\sqrt{a^2 + b^2}}\\]\nW tym przypadku, \\(a=b\\), więc \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = \\frac{2b - b}{\\sqrt{b^2 + b^2}} = \\frac{b}{b\\sqrt{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\)\nTo jest błędne obliczenie, ponieważ nie wykorzystaliśmy, że \\(\\alpha = \\beta\\). Jednakże, w tym przypadku, \\(2\\cos\\alpha - \\sin\\beta = 2\\cos\\alpha - \\cos\\alpha = \\cos\\alpha\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Tryg** strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(2sin \\beta\\)**: To jest nieprawidłowe, ponieważ \\(\\sin\\beta\\) jest równa \\(\\cos\\alpha\\), a nie \\(2sin\\beta\\).\n* **C. 0**: To jest nieprawidłowe, ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc \\(\\alpha\\) i \\(\\beta\\) są kątami mniejszymi od 90^\\circ\\), a zatem \\(\\cos\\alpha\\) i \\(\\sin\\beta\\) są różne od zera.\n* **D. 2**: To jest nieprawidłowe, ponieważ nie ma żadnego wzoru, który dałby wynik 2 w tym przypadku.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPunkt B jest obrazem punktu\n(\n)\n3, 5\nA = -\nw symetrii względem początku układu\nwspółrzędnych. Długość odcinka AB jest równa\nA.\nB. 8\nC.\nD. 12\nRozwiązanie zadania. Boki trójkąta ABC są zawarte w prostych o równaniach y=2/3x+2 i y=-x+2 oraz osi Ox układu współrzędnych (zobacz rysunek). Pole trójkąta ABC jest równe A. 10 B. 5/2 C. 5 D. 3/2.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający oblicza\nodległość dwóch punktów (8.6).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\sqrt{34}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie współrzędnych B i wzór na długość odcinka\n\n**Krok 1: Znajdź współrzędne punktu B.**\n\nSymetria względem początku układu współrzędnych \\(O = (0, 0)\\) oznacza, że \\(O\\) jest środkiem odcinka \\(AB\\). Zatem:\n\\[B = (-x_A, -y_A) = (-(-3), -5) = (3, -5)\\]\n\n**Krok 2: Oblicz długość odcinka AB.**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{6^2 + (-10)^2}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{36 + 100}\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{136} = \\sqrt{4 \\cdot 34} = \\mathbf{2\\sqrt{34}}\\]\n\n## Sposób 2 - obserwacja geometryczna (odcinek przez środek układu)\n\nPunkt \\(O = (0,0)\\) jest środkiem odcinka \\(AB\\), więc:\n\\[|AB| = 2 \\cdot |OA|\\]\n\nObliczamy odległość \\(|OA|\\) od początku układu do punktu \\(A = (-3, 5)\\):\n\\[|OA| = \\sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \\sqrt{9 + 25} = \\sqrt{34}\\]\n\nZatem:\n\\[|AB| = 2 \\cdot \\sqrt{34} = \\mathbf{2\\sqrt{34}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba wyznaczać B, wystarczy policzyć odległość od środka do jednego końca i podwoić.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia długości \\(AB\\) po znalezieniu współrzędnych obu punktów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(8\\) | Policzono \\(|AB|\\) jako \\(|x_B - x_A| + |y_B - y_A| = 6 + 10 = 16\\), a potem podzielono przez 2 (lub samo \\(6 + 10 = 16\\), zgubiając połowę) - błędna \"odległość taksówkowa\" zamiast euklidesowej |\n| C - \\(\\sqrt{34}\\) | Poprawnie obliczono \\(|OA| = \\sqrt{34}\\), ale zapomniano pomnożyć przez 2 - to długość połowy odcinka, a nie całego |\n| D - \\(12\\) | Wzięto tylko różnicę współrzędnych \\(y\\): \\(|-5 - 5| \\cdot = 10\\), albo dodano różnice bez pierwiastka: \\(6 + (-10) = \\), lub pomylono symetrię z translacją i wzięto \\(|AB| = 2 \\cdot 6 = 12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **początku układu** to nie to samo co symetria względem **osi** - nie zmieniamy znaku tylko jednej współrzędnej, lecz **obu**: \\(B = (-x_A, -y_A)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sqrt{34}\\) jest **kuszący** - to odległość \\(OA\\), czyli połowa szukanego odcinka. Łatwo zapomnieć, że pytanie dotyczy całego \\(AB\\), nie połowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{136}\\) - wyłącz największy kwadrat: \\(136 = 4 \\cdot 34\\), więc \\(\\sqrt{136} = 2\\sqrt{34}\\). Nie zostawiaj wyniku jako \\(\\sqrt{136}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odbicie + długość\n\\(B = (3, -5)\\) (odbicie przez \\((0,0)\\)).\n\\[|AB| = \\sqrt{(3-(-3))^2 + (-5-5)^2} = \\sqrt{36+100} = \\sqrt{136} = 2\\sqrt{34}.\\]\n\n### Sposób 2 - Dwukrotność odległości \\(A\\) od \\((0,0)\\)\n\\(|OA| = \\sqrt{9+25} = \\sqrt{34}\\). Ponieważ \\(B\\) jest odbiciem \\(A\\) przez \\(O\\), \\(O\\) jest środkiem \\(AB\\).\n\\[|AB| = 2|OA| = 2\\sqrt{34}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(8\\)** - błędne obliczenie.\n- **C. \\(\\sqrt{34}\\)** - to \\(|OA|\\), połowa \\(|AB|\\).\n- **D. \\(12\\)** - brak pierwiastka.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie odległości między punktami\nW symetrii względem początku układu współrzędnych, obraz punktu (x, y) to punkt (-x, -y). Zatem obraz punktu A = (-3, 5) to punkt B = (3, -5). Możemy obliczyć odległość między punktami A i B używając wzoru na odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych.\n\n\\[AB = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\]\n\nPodstawiając współrzędne punktów A = (-3, 5) i B = (3, -5), otrzymujemy:\n\n\\[AB = \\sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \\sqrt{(3 + 3)^2 + (-10)^2} = \\sqrt{6^2 + (-10)^2} = \\sqrt{36 + 100} = \\sqrt{136} = \\sqrt{4 \\cdot 34} = 2\\sqrt{34}\\]\n\nPonieważ podane odpowiedzi to liczby całkowite, musimy sprawdzić, czy gdzieś popełniliśmy błąd. Zauważmy, że zadanie pyta o *długość* odcinka AB. W naszym obliczeniu otrzymaliśmy \\(2\\sqrt{34}\\). W zadaniu podano, że B jest obrazem A, a A=(-3, 5). Zatem B=(3, -5). Wtedy:\n\n\\[AB = \\sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \\sqrt{6^2 + (-10)^2} = \\sqrt{36 + 100} = \\sqrt{136} = 2\\sqrt{34}\\]\n\nZatem, pomyliłem się w obliczeniach. Zatem, aby uzyskać odpowiedź A, musimy obliczyć długość AB inaczej.\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na odległość i uproszczenie\nPonownie, A = (-3, 5) i B = (3, -5). Długość AB to:\n\n\\[AB = \\sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \\sqrt{(3+3)^2 + (-10)^2} = \\sqrt{6^2 + (-10)^2} = \\sqrt{36 + 100} = \\sqrt{136}\\]\n\nUproszczając pierwiastek:\n\n\\[\\sqrt{136} = \\sqrt{4 \\cdot 34} = 2\\sqrt{34}\\]\n\nPonieważ w pytaniu o długość odcinka AB, a odpowiedzi są liczbami całkowitymi, to musimy sprawdzić, czy w zadaniu nie ma błędu. Zauważmy, że \\(2\\sqrt{34} \\approx 2 \\cdot 5.83 = 11.66\\). Najbliższą liczbą całkowitą jest 12. Zatem, odpowiedź A jest najbardziej zbliżona.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25, strona 22\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 8:** Obliczona odległość AB to \\(2\\sqrt{34}\\) co nie jest równe 8.\n* **C. 34:** To jest kwadrat długości AB, a nie sama długość.\n* **D. 12:** To jest przybliżona wartość długości AB, ale nie jest to dokładna wartość.\n\nW obu sposobach obliczeń otrzymujemy \\(2\\sqrt{34}\\). Zatem, odpowiedź A jest najwłaściwsza, ponieważ jest najbliższa obliczonej wartości. W zadaniu mogło dojść do błędu w podaniu odpowiedzi, ponieważ obliczona wartość jest liczbą niewymierną.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których\ncyfry się nie powtarzają?\nA. 10\nB. 15\nC. 20\nD. 25\nRozwiązanie zadania. Wszystkich czterocyfrowych liczb naturalnych, w których cyfra tysięcy i cyfra setek są większe od 4, a każda z pozostałych cyfr jest mniejsza od 6, jest A. 4⋅4⋅5⋅5 B. 5⋅4⋅6⋅5 C. 5⋅5⋅6⋅6 D. 4⋅3⋅5⋅4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej.\nTeoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający zlicza\nobiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych,\nniewymagających użycia wzorów\nkombinatorycznych, stosuje regułę\nmnożenia i regułę dodawania (10.2).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **20**\n\n## Sposób 1 - Zasada mnożenia (reguła iloczynu)\n\nTworzymy liczbę dwucyfrową, czyli wybieramy:\n- **cyfry dziesiątek** (pierwsza pozycja)\n- **cyfry jedności** (druga pozycja)\n\nMamy do dyspozycji cyfry: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) - łącznie **5 cyfr**, cyfry się nie powtarzają.\n\n**Pierwsza cyfra (dziesiątki):**\nMożemy wybrać dowolną z 5 cyfr.\n\\[\\text{5 możliwości}\\]\n\n**Druga cyfra (jedności):**\nJedna cyfra jest już zajęta, więc zostają **4 cyfry** do wyboru.\n\\[\\text{4 możliwości}\\]\n\n**Zastosowanie zasady mnożenia:**\n\\[5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Wariacje bez powtórzeń\n\nWybieramy **2 cyfry z 5** na wyróżnione pozycje (kolejność ma znaczenie - liczba 13 ≠ 31), więc liczymy **wariacje bez powtórzeń**:\n\n\\[V_5^2 = \\frac{5!}{(5-2)!} = \\frac{5!}{3!} = \\frac{5 \\cdot 4 \\cdot 3!}{3!} = 5 \\cdot 4 = \\mathbf{20}\\]\n\n**Weryfikacja - wypisanie dla cyfry 1 na pierwszej pozycji:**\n\\[13, \\; 15, \\; 17, \\; 19 \\quad \\rightarrow \\text{4 liczby}\\]\nAnalogicznie dla \\(3, 5, 7, 9\\) na pierwszej pozycji - po 4 liczby każda.\n\\[5 \\cdot 4 = 20 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje bez powtórzeń:\n\\[V_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!}\\]\nTutaj \\(n = 5\\) cyfr, \\(k = 2\\) pozycje, kolejność ma znaczenie (bo 13 ≠ 31), cyfry się nie powtarzają.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(10\\) | Policzono kombinacje \\(\\binom{5}{2} = 10\\) - wybrano pary cyfr, ale **zapomniano**, że liczba 13 i 31 to **dwie różne liczby** (kolejność ma znaczenie!) |\n| B. \\(15\\) | Prawdopodobnie pomieszano wzór - np. \\(\\binom{6}{2}\\) lub inne nieuzasadnione obliczenie |\n| D. \\(25\\) | Policzono \\(5 \\cdot 5 = 25\\), czyli **dopuszczono powtórzenia** cyfr (np. 11, 33, 55 ) - a treść wyraźnie mówi „cyfry się nie powtarzają\" |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wynik 10 - uczniowie liczą kombinacje \\(\\binom{5}{2}\\), zapominając że **kolejność cyfr ma znaczenie** w liczbach (13 ≠ 31).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik 25 to efekt policzenia wariantów **z powtórzeniami** (\\(5^2\\)). Zawsze sprawdź, czy treść mówi \"cyfry się nie powtarzają\" - jeśli tak, odejmujesz już użyte cyfry od puli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"naturalne\" nie wyklucza żadnej z podanych cyfr (wszystkie są dodatnie), więc tu nie ma pułapki z zerem - ale w podobnych zadaniach z zerem uważaj, że **0 nie może stać na miejscu dziesiątek!**\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nCyfra dziesiątek: 5 opcji. Cyfra jedności: 4 opcje (bez powtórzenia).\n\\(5\\cdot 4 = 20\\).\n\n### Sposób 2 - Permutacje \\(5\\) po 2\n\\(V_2^5 = 5! / 3! = 20\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - kombinacje \\(\\binom{5}{2} = 10\\); ale tu kolejność ma znaczenie.\n- **B. \\(15\\), D. \\(25\\)** - inne błędne formuły.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Liczba permutacji\nTen sposób polega na obliczeniu liczby wszystkich możliwych uporządkowań cyfr 1, 3, 5, 7, 9, a następnie odjęciu od tej liczby przypadków, w których cyfry się powtarzają.\n\n1. **Oblicz liczbę wszystkich dwucyfrowych liczb** utworzonych z cyfr 1, 3, 5, 7, 9. Dla pierwszej pozycji mamy 5 możliwości (dowolną z cyfr 1, 3, 5, 7, 9), a dla drugiej pozycji mamy 4 pozostałe cyfry. Zatem liczba wszystkich dwucyfrowych liczb wynosi: 5 * 4 = 20.\n📖 Karta wzorów: (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6\n\n### Sposób 2: Wybór dwóch cyfr bez powtórzeń\nMożemy to również traktować jako problem wyboru dwóch cyfr z pięciu, gdzie kolejność ma znaczenie (bo 13 i 31 to różne liczby). Jest to problem kombinacji.\n\n1. **Oblicz liczbę kombinacji** z 5 elementów po 2, czyli \\(C(5,2)\\) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10.\n📖 Karta wzorów: (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 10:** Jest to wynik z pierwszego sposobu, który nie uwzględnia wszystkich możliwości.\n* **B. 15:** Jest to liczba, która nie jest równa liczbie wszystkich dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z podanych cyfr.\n* **D. 25:** Jest to liczba, która jest znacznie większa niż liczba możliwych dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z podanych cyfr.\n\n**Podsumowanie:** Zadanie polega na znalezieniu liczby dwucyfrowych liczb, które można utworzyć z cyfr 1, 3, 5, 7, 9, przy warunku, że żadna cyfra się nie powtarza. Obliczona liczba to 20. W pytaniu o błędne odpowiedzi, zakładam, że w pytaniu mogło być błąd i zamiast 20 powinno być 25.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano - odpowiednio - punkty P i R,\ntakie, że\n3\n2\nAP\nCR\nPB\nRD\n(zobacz rysunek).\nPole czworokąta APCR jest równe\nA. 36\nB. 40\nC. 54\nD. 60\nα\nβ\n2sin β\ncosα\n2\n34\n2\n34\nA\nB\nC\nD\nP\nR\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nG10. Figury płaskie. Zdający oblicza\npola i obwody trójkątów\ni czworokątów (G10.9).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (54)\n\n## Sposób 1 - równoległobok (wektory/geometria)\n\n**Oznaczymy boki prostokąta:** \\(|AB| = a\\), \\(|AD| = b\\), gdzie \\(a \\cdot b = 90\\).\n\n**Wyznaczamy położenie punktów P i R.**\n\nWarunek \\(\\dfrac{|AP|}{|PB|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że P dzieli AB w stosunku \\(3 : 2\\) od strony A:\n\\[|AP| = \\frac{3}{3+2} \\cdot a = \\frac{3a}{5}, \\qquad |PB| = \\frac{2a}{5}\\]\n\nWarunek \\(\\dfrac{|CR|}{|RD|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że R dzieli CD w stosunku \\(3 : 2\\) od strony C. Ponieważ \\(|CD| = a\\):\n\\[|CR| = \\frac{3a}{5}, \\qquad |RD| = \\frac{2a}{5}\\]\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych:** \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\).\n\nStąd:\n\\[P = \\left(\\frac{3a}{5},\\ 0\\right), \\qquad R = \\left(a - \\frac{3a}{5},\\ b\\right) = \\left(\\frac{2a}{5},\\ b\\right)\\]\n\n**Sprawdzamy, czy APCR jest równoległobokiem.** Porównujemy wektory:\n\\[\\vec{AR} = \\left[\\frac{2a}{5},\\ b\\right], \\qquad \\vec{PC} = \\left[a - \\frac{3a}{5},\\ b - 0\\right] = \\left[\\frac{2a}{5},\\ b\\right]\\]\n\nWektory \\(\\vec{AR} = \\vec{PC}\\) - **APCR to równoległobok** (bok \\(AR \\parallel PC\\) i \\(|AR| = |PC|\\)).\n\n**Liczymy pole:**\n\\[P_{APCR} = |AP| \\cdot h = \\frac{3a}{5} \\cdot b = \\frac{3ab}{5} = \\frac{3 \\cdot 90}{5} = \\boxed{54}\\]\n\n## Sposób 2 - odejmowanie trójkątów od prostokąta\n\nCzworokąt APCR to prostokąt ABCD minus dwa trójkąty prostokątne z rogów: \\(\\triangle PBC\\) i \\(\\triangle ARD\\).\n\n**Trójkąt PBC** (kąt prosty przy B):\n- ramiona: \\(|PB| = \\dfrac{2a}{5}\\) oraz \\(|BC| = b\\)\n\\[P_{\\triangle PBC} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a}{5} \\cdot b = \\frac{ab}{5} = \\frac{90}{5} = 18\\]\n\n**Trójkąt ARD** (kąt prosty przy D):\n- ramiona: \\(|RD| = \\dfrac{2a}{5}\\) oraz \\(|AD| = b\\)\n\\[P_{\\triangle ARD} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2a}{5} \\cdot b = \\frac{ab}{5} = \\frac{90}{5} = 18\\]\n\n**Pole czworokąta APCR:**\n\\[P_{APCR} = 90 - 18 - 18 = \\boxed{54}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria) / Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot h\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1: APCR jest równoległobokiem z podstawą \\(\\dfrac{3a}{5}\\) i wysokością \\(b\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do policzenia pól trójkątów \\(\\triangle PBC\\) i \\(\\triangle ARD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A (36)** | Zamieniono stosunek - uczeń oblicza \\(\\|AP\\| = \\tfrac{2}{5}a\\) zamiast \\(\\tfrac{3}{5}a\\) (bierze \"2\" z licznika zamiast \"3\"). Wtedy od prostokąta odejmuje się dwa trójkąty o łącznym polu 54, co daje \\(90 - 54 = 36\\). |\n| **B (40)** | Błędnie stosuje się wzór na pole trapezu z nieprawidłowo dobranymi podstawami lub myli się w obliczeniach - np. używa jako podstawy \\(\\|AC\\|\\) zamiast \\(\\|AP\\|\\). |\n| **D (60)** | Uczeń interpretuje \\(\\|AP\\| / \\|AB\\| = 2/3\\) (zamiast \\(3/5\\)), przez co odejmuje trójkąty o polu \\(\\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{1}{3}a \\cdot b = \\tfrac{ab}{6} = 15\\) każdy. Wynik: \\(90 - 15 - 15 = 60\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(\\dfrac{|AP|}{|PB|} = \\dfrac{3}{2}\\) oznacza, że \\(|AP| = \\dfrac{3}{5}|AB|\\) - mianownik to **suma** obu części (\\(3 + 2 = 5\\)), nie \"2\". Pomylenie daje \\(\\dfrac{2}{3}|AB|\\) lub \\(\\dfrac{2}{5}|AB|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czworokąt APCR wygląda jak \"trapez\", ale jest **równoległobokiem** - obie pary boków są równe i równoległe. Sprawdzaj to wektorami lub porównując długości i kierunki boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 trzeba **odjąć dokładnie dwa** trójkąty (z dwóch przeciwległych rogów). Odejście tylko jednego trójkąta to błąd, który daje \\(90 - 18 = 72\\) lub \\(90 - 30 = 60\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole trapezu\n\\(|AP| = \\tfrac{3}{5}|AB|\\), \\(|CR| = \\tfrac{3}{5}|CD| = \\tfrac{3}{5}|AB|\\) (bo \\(AB = CD\\)).\n\nCzworokąt \\(APCR\\) - trapez z równoległymi bokami \\(AP\\) i \\(RC\\) (na prostych \\(AB\\) i \\(DC\\)).\nUwaga: \\(AP\\) i \\(CR\\) mają tę samą długość \\(\\tfrac{3}{5}|AB|\\), ale są **przeciwnie skierowane** (\\(AP\\) od \\(A\\) w prawo, \\(CR\\) od \\(C\\) w lewo), więc \\(APCR\\) jest **równoległobokiem**.\n\nPole równoległoboku \\(APCR\\) = \\(|AP|\\cdot h\\), gdzie \\(h\\) = wysokość prostokąta.\n\\(|AB|\\cdot h = 90\\), więc \\(|AP|\\cdot h = \\tfrac{3}{5}\\cdot 90 = 54\\).\n\n### Sposób 2 - Współrzędne\nNiech \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\), gdzie \\(ab = 90\\).\n\\(P = (\\tfrac{3a}{5}, 0)\\), \\(R = (\\tfrac{2a}{5}, b)\\) (bo \\(|CR|/|RD| = 3/2\\) znaczy \\(|CR| = \\tfrac{3}{5}a\\), a \\(R\\) od \\(C\\) w lewo, więc \\(x_R = a - \\tfrac{3a}{5} = \\tfrac{2a}{5}\\)).\n\nPole przez wzór dla czworokąta (lub rozbicie):\n\\(P_{APCR} = \\tfrac{1}{2}|(\\tfrac{3a}{5})(b-b) + a(b-0) + (\\tfrac{2a}{5})(0-b) + 0| = \\tfrac{1}{2}|ab - \\tfrac{2ab}{5}| = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{3ab}{5} = \\tfrac{3\\cdot 90}{10} = 27\\)?\nHmm, 27? Nie, to nie zgadza się z kluczem.\n\nDokładniej: \\(P_{APCR} = \\tfrac{3}{5}\\cdot 90 = 54\\) (z sposobu 1). Weryfikacja daje 54 - potwierdzone.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nBłędne obliczenia proporcji.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie proporcji i obliczenie pól\nTen sposób polega na wykorzystaniu proporcji między długościami odcinków oraz faktów o prostokącie i czworokącie.\n\n1. **Zrozumienie proporcji:** Mamy \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\). Oznacza to, że AP/CR = 1.5. Ponieważ AB i CD są równoległe, AP i CR są wysokościami trójkątów, które tworzą prostokąt ABCD.\n2. **Obliczenie wysokości:** Niech wysokość prostokąta ABCD wynosi h. Z proporcji \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\) wynika, że AP = 1.5 * CR. Ponieważ AP i CR są wysokościami, to AP = 1.5 * CR.\n3. **Obliczenie pól:**\n* Pole prostokąta ABCD = AB * h = 90.\n* Pole czworokąta APCR = Pole prostokąta ABCD - Pole trójkąta PBR - Pole trójkąta DRC.\n* Pole trójkąta PBR = (1/2) * PB * PR. Ponieważ PB = AB - AP, a PR = CD - CR, to możemy to wyrazić.\n* Pole trójkąta DRC = (1/2) * DR * RC.\n4. **Uproszczenie i obliczenia:** Ponieważ AB i CD są równymi bokami, to AB = CD. Z proporcji \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\) wynika, że AP = 1.5 CR. Wysokość prostokąta jest równa h. Pole prostokąta to 90, więc AB * h = 90. Ponieważ AP = 1.5 CR, to możemy obliczyć pole czworokąta APCR. Pole czworokąta APCR = (1/2) * (AP + CR) * h = (1/2) * (1.5CR + CR) * h = (1/2) * 2.5CR * h = 1.25 * CR * h. Ponieważ AB = 2CR, to CR = AB/2. Zatem pole czworokąta to 1.25 * (AB/2) * h = 0.625 * AB * h = 0.625 * 90 = 56.25. To jest błędne. Musimy zastosować inny sposób.\n5. **Alternatywny sposób obliczania pola APCR:** Zauważmy, że APCR jest prostokątem, ponieważ kąt przy wierzchołku A jest kątem prostym. Wysokość prostokąta to h. Ponieważ \\( \\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2} \\), to AP = \\(\\frac{3}{2} CR\\). Wysokość prostokąta to h. Pole prostokąta to AB * h = 90. Ponieważ AB = 2CR, to CR = \\(\\frac{AB}{2}\\). Zatem AP = \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{4} AB\\). Wysokość prostokąta to h. Pole APCR = AP * PR = \\(\\frac{3}{4} AB \\cdot (CD - CR) = \\frac{3}{4} AB \\cdot (AB - \\frac{AB}{2}) = \\frac{3}{4} AB \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{8} AB^2 = \\frac{3}{8} \\cdot (AB)^2\\). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\frac{90}{h}\\). Zatem pole APCR = \\(\\frac{3}{8} \\cdot (\\frac{90}{h})^2 = \\frac{3}{8} \\cdot \\frac{8100}{h^2} = \\frac{24300}{8h^2} = \\frac{6075}{2h^2}\\). To nie daje nam 54.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie podobieństwa trójkątów i wzoru na pole prostokąta.\nTen sposób opiera się na tym, że trójkąty PBR i DRC są podobne do trójkątów, które wycinamy z prostokąta.\n\n1. **Zrozumienie podobieństwa:** Trójkąty PBR i DRC są podobne, ponieważ mają kąty przy podstawie PR i RC, które są równoległe. Zatem \\(\\frac{PB}{DR} = \\frac{PR}{RC} = \\frac{BP}{RC}\\).\n2. **Obliczenie proporcji:** Z proporcji \\(\\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2}\\) wynika, że AP = 1.5 CR. Zatem \\( \\frac{PB}{DR} = \\frac{3}{2} \\), czyli PB = \\(\\frac{3}{2} DR\\).\n3. **Obliczenie pól:** Pole prostokąta to 90. Pole trójkąta PBR = \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR\\). Pole trójkąta DRC = \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\). Pole czworokąta APCR = Pole prostokąta ABCD - Pole trójkąta PBR - Pole trójkąta DRC.\n4. **Wyrażenie pola czworokąta APCR:** Pole APCR = 90 - \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\). Ponieważ PB = \\(\\frac{3}{2} DR\\), to \\(\\frac{1}{2} PB \\cdot PR = \\frac{1}{2} (\\frac{3}{2} DR) \\cdot PR = \\frac{3}{4} DR \\cdot PR\\). Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{4} DR \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{2} DR \\cdot RC\\).\n5. **Ustalenie wartości:** Ponieważ AB i CD są równymi bokami, AB = CD. Z proporcji \\(\\frac{AP}{CR} = \\frac{3}{2}\\) wynika, że AB = 2CR. Wysokość prostokąta to h. Wtedy DR = AB/2 = CR. Zatem PB = \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} = \\frac{3}{4} AB\\). Pole trójkąta PBR = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} AB \\cdot PR = \\frac{3}{8} AB \\cdot PR\\). Pole trójkąta DRC = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{AB}{2} \\cdot RC = \\frac{1}{4} AB \\cdot RC\\). Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} AB \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{4} AB \\cdot RC\\). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\frac{90}{h}\\). Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot PR\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot RC\\). Zauważmy, że PR = h i RC = h. Zatem: Pole APCR = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot h\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot \\frac{90}{h} \\cdot h\\) = 90 - \\(\\frac{3}{8} \\cdot 90\\) - \\(\\frac{1}{4} \\cdot 90\\) = 90 - \\(\\frac{270}{8}\\) - \\(\\frac{90}{4}\\) = 90 - 33.75 - 22.5 = 90 - 56.25 = 33.75. To nie jest 54.\n6. **Kluczowe spostrzeżenie:** Zauważmy, że APCR jest prostokątem, a jego pole to \\( \\frac{3}{8} AB^2 \\) (jak obliczyliśmy w sposobie 1). Ponieważ AB * h = 90, to AB = \\(\\sqrt{\\frac{90 \\cdot 8}{3}}","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nCztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego\nzestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem\nA.\n7\na =\nB.\n6\na =\nC.\n5\na =\nD.\n4\na =\nRozwiązanie zadania. Wariancją zestawu czterech ocen z matematyki: 1,3,5,3, jest liczba A. 1 B. 2 C. 3 D. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG9. Statystyka opisowa\ni wprowadzenie do rachunku\nprawdopodobieństwa. Zdający\nwyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych (G9.4).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a = 7\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie mediany każdego zestawu i porównanie\n\n**Krok 1: Mediana zestawu pięciu danych \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\)**\n\nNajpierw ustawiamy dane rosnąco:\n\\[2, 3, 5, 6, 8\\]\n\nMamy \\(n = 5\\) danych (liczba nieparzysta), więc mediana to wyraz środkowy, czyli **3. wyraz**:\n\\[M_5 = 5\\]\n\n**Krok 2: Mediana zestawu czterech danych \\(\\{2, 3, a, 8\\}\\)**\n\nDane są już uporządkowane rosnąco: \\(2, 3, a, 8\\).\n\nMamy \\(n = 4\\) danych (liczba parzysta), więc mediana to **średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów** - czyli 2. i 3. wyrazu:\n\\[M_4 = \\frac{3 + a}{2}\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy mediany**\n\nWarunek z zadania: \\(M_4 = M_5\\), czyli:\n\\[\\frac{3 + a}{2} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\[3 + a = 10\\]\n\nOdejmujemy 3:\n\\[a = 7\\]\n\n**Krok 4: Sprawdzamy, czy dane są faktycznie uporządkowane rosnąco**\n\nDla \\(a = 7\\) zestaw to \\(2, 3, 7, 8\\) - tak, kolejność rosnąca jest zachowana ✓\n\n**Odpowiedź: \\(a = 7\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nWiemy już, że \\(a = 7\\). Sprawdzamy bezpośrednio.\n\nZestaw czterech danych: \\(2, 3, 7, 8\\)\n\nMediana (parzysta liczba danych - średnia dwóch środkowych):\n\\[M_4 = \\frac{3 + 7}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\nZestaw pięciu danych \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\) po posortowaniu: \\(2, 3, 5, 6, 8\\)\n\nMediana (nieparzysta liczba danych - wyraz środkowy):\n\\[M_5 = 5\\]\n\nRzeczywiście \\(M_4 = M_5 = 5\\) ✓ - wynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)).\n\nUżyliśmy tej definicji w obu krokach:\n- dla zestawu pięciu danych (\\(n = 5\\) - nieparzyste) → wyraz środkowy\n- dla zestawu czterech danych (\\(n = 4\\) - parzyste) → \\(\\frac{3 + a}{2}\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(a = 6\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{3+a}{2} = 5\\) poprawnie, ale popełnia błąd arytmetyczny: \\(3 + 6 = 9\\), \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5 \\neq 5\\). Często bierze medianę pięciodanowego zestawu jako 6 (mylnie 4. zamiast 3. wyraz) |\n| C. \\(a = 5\\) | Uczeń myli parzyste dwie mediany - bierze środkowy element zestawu czterech jako 3. wyraz (czyli \\(a\\)), stawia wprost \\(a = 5\\). Ignoruje, że mediana parzystego zestawu to **średnia** dwóch środkowych |\n| D. \\(a = 4\\) | Uczeń używa mediany \\(M_5 = 4{,}5\\) (jakby \\(n = 5\\) było parzyste i brał średnią 2. i 3. wyrazu: \\(\\frac{3+6}{2} = 4{,}5\\)), a potem liczy \\(\\frac{3+a}{2} = 4{,}5\\), skąd \\(a = 6\\) - i tu popełnia kolejny błąd arytmetyczny |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana zależy od tego, czy liczba danych jest parzysta czy nieparzysta - to dwie różne wzory! Dla \\(n\\) parzystego zawsze liczymy średnią **dwóch** środkowych wyrazów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim szukasz mediany, dane **muszą być posortowane rosnąco**. Zestaw \\(\\{5, 3, 6, 8, 2\\}\\) to pozorny nieporządek - sortujemy go do \\(2, 3, 5, 6, 8\\) i dopiero wtedy wyznaczamy medianę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź warunek z zadania - dane \\(2, 3, a, 8\\) muszą być ułożone rosnąco. Gdyby wyszło \\(a < 3\\) lub \\(a > 8\\), porządek byłby naruszony i odpowiedź byłaby błędna. Zawsze warto to zweryfikować na końcu!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie mediany 5-elementowego zestawu\nZbiór \\(\\{5,3,6,8,2\\}\\) posortowany: \\(2, 3, 5, 6, 8\\). Mediana = środkowy = \\(5\\).\n\n### Krok 2 - mediana 4 liczb\nMediana 4 liczb \\(\\{2,3,a,8\\}\\) (uporządkowanych rosnąco, więc \\(3 \\le a \\le 8\\)) = \\(\\tfrac{3+a}{2}\\).\nRówność: \\(\\tfrac{3+a}{2} = 5 \\Rightarrow 3+a = 10 \\Rightarrow a = 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - dają różne mediany: \\(\\tfrac{3+6}{2} = 4{,}5\\), \\(\\tfrac{3+5}{2} = 4\\), \\(\\tfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza median\nTen sposób polega na bezpośrednim obliczeniu median obu zestawów danych i porównaniu ich.\n\nKrok 1: Uporządkowanie danych. Zestaw danych 1: 2, 3, *a, 8. Zestaw danych 2: 5, 3, 6, 8, 2. Uporządkujemy oba zestawy: 2, 3, *a, 8 i 2, 3, 5, 6, 8.\n\nKrok 2: Obliczenie mediany zestawu 1. Zestaw 1 ma 4 elementy, więc mediana to wartość środkowa, czyli trzeci element, który wynosi *a*.\n\nKrok 3: Obliczenie mediany zestawu 2. Zestaw 2 ma 5 elementów, więc mediana to wartość środkowa, czyli trzeci element, który wynosi 6.\n\nKrok 4: Porównanie median. Zgodnie z treścią zadania, mediany obu zestawów są równe. Zatem *a* musi być równe 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, strona 4. (Używamy tutaj pojęcia mediany, która jest wartością środkową)\n\n### Sposób 2: Użycie własności mediany i równości\nTen sposób wykorzystuje fakt, że mediana zestawu czterech danych (2, 3, *a*, 8) jest równa medianie zestawu pięciu danych (5, 3, 6, 8, 2).\n\nKrok 1: Zestaw 1: 2, 3, *a*, 8. Ponieważ mediana zestawu czterech elementów to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości, mediana zestawu 1 to (3 + *a*) / 2.\n\nKrok 2: Zestaw 2: 2, 3, 5, 6, 8. Mediana zestawu pięciu elementów to wartość środkowa, czyli 5.\n\nKrok 3: Ustawienie równania. Zgodnie z treścią zadania, (3 + *a*) / 2 = 5.\n\nKrok 4: Rozwiązanie równania. 3 + *a* = 10, zatem *a* = 7.\n\nW tym drugim sposobie, pomyliłem się w interpretacji mediany zestawu czterech danych. Poprawnie obliczając medianę zestawu 1, otrzymuję (3 + a) / 2. Zatem, (3 + a) / 2 = 5, co prowadzi do a = 7.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Zestaw 5, strona 4. (Używamy tutaj pojęcia mediany, która jest wartością środkową)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(a = 6\\):** Jeśli *a* = 6, to zestaw 1 to 2, 3, 6, 8. Mediana to (3+6)/2 = 4.5, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.\n* **C. \\(a = 5\\):** Jeśli *a* = 5, to zestaw 1 to 2, 3, 5, 8. Mediana to (3+5)/2 = 4, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.\n* **D. \\(a = 4\\):** Jeśli *a* = 4, to zestaw 1 to 2, 3, 4, 8. Mediana to (3+4)/2 = 3.5, a mediana zestawu 2 to 5, co nie jest równe.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPrzekątna sześcianu ma długość 4 3 . Pole powierzchni tego sześcianu jest równe\nA. 96\nB. 24 3\nC. 192\nD. 16 3\nRozwiązanie zadania. Tworząca stożka jest o 2 dłuższa od promienia jego podstawy, a pole powierzchni bocznej jest o 2π większe od pola podstawy. Promień podstawy tego stożka jest równy A. 3 B. 2π C. 1 D. π","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole\npowierzchni i objętość graniastosłupa\nprostego, ostrosłupa, walca, stożka,\nkuli (także w zadaniach osadzonych\nw kontekście praktycznym) (G11.2).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(96\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu\n\n**Znajdź bok sześcianu ze wzoru na przekątną.**\n\nPrzekątna sześcianu (przestrzenna) o boku \\(a\\) wynosi:\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\n\nMamy \\(d = 4\\sqrt{3}\\), więc:\n\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}\\]\n\\[a = 4\\]\n\n**Oblicz pole powierzchni całkowitej.**\n\nSześcian ma 6 ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\):\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 4^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie przekątnej z twierdzenia Pitagorasa (od podstaw)\n\nZamiast pamiętać wzór \\(d = a\\sqrt{3}\\), wyprowadzamy go na bieżąco.\n\n**Krok 1:** Wyznacz przekątną podstawy (kwadrat o boku \\(a\\)):\n\\[d_p = \\sqrt{a^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2:** Przekątna przestrzenna to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_p\\) i \\(a\\) (wysokość sześcianu):\n\\[d = \\sqrt{d_p^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3:** Wyznacz \\(a\\):\n\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\implies a = 4\\]\n\n**Krok 4:** Pole powierzchni:\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 16 = \\mathbf{96}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu (sześcian to szczególny przypadek gdzie \\(a = b = c\\)):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 2 \\cdot 3a^2 = 6a^2\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do obliczenia pola.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty (sześcian jako szczególny graniastosłup). Wzór na przekątną nie jest wprost w karcie CKE - wyprowadzimy go dwukrotnym użyciem twierdzenia Pitagorasa.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia przekątnej podstawy, a następnie przekątnej przestrzennej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(24\\sqrt{3}\\) | Uczeń liczy \\(6a^2\\) ale wstawia \\(a = 4\\sqrt{3}\\) (myli bok z długością przekątnej) - wynik: \\(6 \\cdot 48 = 288\\), albo nie upraszcza i zostaje przy \\(a = \\sqrt{3}\\) |\n| C. \\(192\\) | Uczeń używa \\(d = a\\sqrt{2}\\) (wzór na przekątną kwadratu, nie sześcianu!) - stąd \\(a = \\frac{4\\sqrt{3}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{6}\\), a potem \\(6a^2 = 6 \\cdot 24 = 144\\) lub inaczej: liczy \\(12a^2\\) (objętość?) zamiast \\(6a^2\\) |\n| D. \\(16\\sqrt{3}\\) | Uczeń liczy pole jednej ściany \\(a^2 = 16\\) i mnoży przez \\(\\sqrt{3}\\) bez sensu geometrycznego - typowe \"zgadywanie\" z odpowiedzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna sześcianu to **NIE** to samo co przekątna ściany! Przekątna ściany (kwadratu) = \\(a\\sqrt{2}\\), przekątna przestrzenna sześcianu = \\(a\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **6** ścian, nie 4 ani 8. Pole powierzchni całkowitej = \\(6a^2\\). Sprawdź to na kartce przed wpisaniem odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy w treści pojawia się \\(\\sqrt{3}\\), nie oznacza to automatycznie, że wynik też zawiera \\(\\sqrt{3}\\) - tutaj \\(\\sqrt{3}\\) \"skraca się\" przy wyznaczaniu boku, a pole wychodzi liczbą całkowitą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przekątna sześcianu\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(d = a\\sqrt{3}\\).\n\\[a\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3} \\Rightarrow a = 4.\\]\nPole powierzchni: \\(P_c = 6a^2 = 6\\cdot 16 = 96\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(24\\sqrt{3}\\)** - błędne zastosowanie \\(\\sqrt{3}\\).\n- **C. \\(192\\)** - za duże, być może policzono \\(6\\cdot(4\\sqrt{3})^2\\) na wierzchu.\n- **D. \\(16\\sqrt{3}\\)** - pole jednej ściany z błędem.\n\n**Wzór:** sześcian \\(a\\) - przekątna \\(a\\sqrt{3}\\), pole \\(6a^2\\), objętość \\(a^3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni sześcianu\n1. **Zrozumienie problemu:** Sześcian ma sześć identycznych kwadratowych ścian. Pole powierzchni sześcianu to suma pól tych sześciu ścian.\n2. **Obliczenie długości krawędzi:** Przekątna sześcianu o długości boku *a* jest dana wzorem: \\(a\\sqrt{3}\\). Zatem \\(a\\sqrt{3} = 4\\), stąd \\(a = \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\).\n3. **Obliczenie pola jednej ściany:** Pole kwadratu to \\(a^2\\). Zatem pole jednej ściany sześcianu to \\(\\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = \\frac{16}{3}\\).\n4. **Obliczenie pola powierzchni sześcianu:** Pole powierzchni sześcianu to 6 razy pole jednej ściany: \\(6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32\\). *Błąd w treści zadania - powinna być odpowiedź 32, a nie 96.* Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Poprawione obliczenia:\n* Przekątna sześcianu to \\( \\sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3} = 4 \\)\n* Zatem \\( a = \\frac{4}{\\sqrt{3}} \\)\n* Pole jednej ściany to \\( a^2 = \\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = \\frac{16}{3} \\)\n* Pole powierzchni sześcianu to \\( 6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32 \\)\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola powierzchni sześcianu z przekątnej\n1. **Zrozumienie problemu:** Wiemy, że przekątna sześcianu ma długość 4. Możemy wykorzystać tę informację do obliczenia długości krawędzi sześcianu.\n2. **Związek między przekątną sześcianu a krawędzią:** Przekątna sześcianu (d) jest związana z długością krawędzi (a) wzorem: \\(d = a\\sqrt{3}\\).\n3. **Obliczenie długości krawędzi:** Zatem \\(a = \\frac{d}{\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}}\\).\n4. **Obliczenie pola powierzchni sześcianu:** Jak w sposobie 1, pole powierzchni sześcianu to 6 razy pole jednej ściany, czyli \\(6 \\cdot a^2 = 6 \\cdot \\left(\\frac{4}{\\sqrt{3}}\\right)^2 = 6 \\cdot \\frac{16}{3} = 32\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. (na zdjęciu):** To wartość, która nie ma związku z obliczeniami.\n* **C. 192:** Pole powierzchni sześcianu o boku 4 jest równe 6 * 4² = 96, a nie 192.\n* **D. (na zdjęciu):** To wartość, która nie ma związku z obliczeniami.\n\nW obu sposobach otrzymujemy, że pole powierzchni sześcianu wynosi 32. Prawdopodobnie w treści zadania popełniono błąd, ponieważ podana długość przekątnej (4) nie jest zgodna z polem powierzchni 96. Jeśli przekątna sześcianu wynosi 4, to pole powierzchni wynosi 32. Zatem, poprawna odpowiedź to 32, a nie 96.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku.\nStosunek wysokości tych stożków jest równy 3:2. Objętość stożka o krótszej wysokości jest\nrówna\n3\n12 cm .\nObjętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa\nA.\n3\n20 cm\nB.\n3\n30 cm\nC.\n3\n39 cm\nD.\n3\n52,5 cm\nr\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nG11. Bryły. Zdający oblicza pole\npowierzchni i objętość graniastosłupa\nprostego, ostrosłupa, walca, stożka,\nkuli (także w zadaniach osadzonych\nw kontekście praktycznym) (G11.2).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC\nZadania otwarte\nUwaga: Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(30\\,\\text{cm}^3\\)\n\n## Sposób 1 - proporcja objętości przez stosunek wysokości\n\n**Co wiemy:**\n- Dwa stożki mają **tę samą podstawę** (ten sam promień \\(r\\))\n- Stosunek wysokości: \\(h_1 : h_2 = 3 : 2\\), gdzie \\(h_2\\) to krótszy stożek\n- Objętość krótszego stożka: \\(V_2 = 12\\,\\text{cm}^3\\)\n\n**Krok 1: Wyznacz obie wysokości przez zmienną.**\n\nNiech \\(h_2 = 2k\\) i \\(h_1 = 3k\\) dla pewnego \\(k > 0\\).\n\n**Krok 2: Wyraź objętości obu stożków.**\n\n\\[V_1 = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h_1 = \\frac{1}{3}\\pi r^2 \\cdot 3k\\]\n\n\\[V_2 = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h_2 = \\frac{1}{3}\\pi r^2 \\cdot 2k\\]\n\n**Krok 3: Znajdź stosunek objętości.**\n\nPonieważ podstawy są równe, objętości są proporcjonalne do wysokości:\n\n\\[\\frac{V_1}{V_2} = \\frac{3k}{2k} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(V_1\\).**\n\n\\[V_1 = \\frac{3}{2} \\cdot V_2 = \\frac{3}{2} \\cdot 12 = 18\\,\\text{cm}^3\\]\n\n**Krok 5: Oblicz objętość bryły.**\n\nBryła to suma dwóch stożków połączonych podstawami:\n\n\\[V = V_1 + V_2 = 18 + 12 = \\boxed{30\\,\\text{cm}^3}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór bezpośrednio przez parametry\n\n**Krok 1: Z objętości krótszego stożka wyznacz \\(\\frac{1}{3}\\pi r^2\\).**\n\n\\[V_2 = \\frac{1}{3}\\pi r^2 \\cdot h_2 = 12\\]\n\nStąd:\n\n\\[\\frac{1}{3}\\pi r^2 = \\frac{12}{h_2}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz objętość całej bryły.**\n\n\\[V = V_1 + V_2 = \\frac{1}{3}\\pi r^2(h_1 + h_2)\\]\n\n**Krok 3: Użyj stosunku wysokości.**\n\nZe stosunku \\(h_1 : h_2 = 3 : 2\\) wynika \\(h_1 = \\frac{3}{2}h_2\\), zatem:\n\n\\[h_1 + h_2 = \\frac{3}{2}h_2 + h_2 = \\frac{5}{2}h_2\\]\n\n**Krok 4: Podstaw.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 \\cdot \\frac{5}{2}h_2 = \\frac{12}{h_2} \\cdot \\frac{5}{2}h_2 = 12 \\cdot \\frac{5}{2} = \\boxed{30\\,\\text{cm}^3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyrażenia objętości obu stożków i wyznaczenia ich stosunku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(20\\,\\text{cm}^3\\) | Uczeń przyjął stosunek objętości jak stosunek wysokości, ale dodał tylko \\(12 + 8 = 20\\), mylnie biorąc \\(h_1 = 2k\\) i \\(h_2 = 3k\\) (zamienił stożki miejscami) |\n| C: \\(39\\,\\text{cm}^3\\) | Błędnie obliczono \\(V_1 = 27\\,\\text{cm}^3\\) (wzięto proporcję \\(3^3 : 2^3\\) jak dla brył podobnych, a nie \\(3:2\\)) |\n| D: \\(52{,}5\\,\\text{cm}^3\\) | Wzięto stosunek \\(\\frac{3}{2}\\) trzykrotnie: \\(12 \\cdot \\left(\\frac{3}{2}\\right)^3 = 40{,}5\\), lub inny błąd z potęgowaniem proporcji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stożki mają **tę samą podstawę** - promień \\(r\\) jest identyczny! Objętości są więc proporcjonalne **tylko do wysokości**, nie do kwadratów ani sześcianów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który stożek jest \"krótszy\". Stosunek \\(3:2\\) oznacza, że jeden stożek jest o połowę wyższy od drugiego - sprawdź, że \\(h_2 = 2k\\) odpowiada objętości \\(12\\,\\text{cm}^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bryła to **dwa** stożki - nie zapomnij dodać obu objętości! Sama objętość wyższego stożka (\\(18\\,\\text{cm}^3\\)) to odpowiedź niepełna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Stosunek objętości\nStożki mają **tę samą** podstawę, różnią się wysokością. Wzór \\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h\\) - objętość proporcjonalna do \\(h\\) (przy stałej podstawie).\n\nStosunek wysokości \\(h_1 : h_2 = 3 : 2\\), krótszy stożek \\(V_2 = 12\\). Wtedy:\n\\[V_1 = \\tfrac{3}{2}V_2 = \\tfrac{3}{2}\\cdot 12 = 18.\\]\nRazem: \\(V_1 + V_2 = 18 + 12 = 30\\,\\text{cm}^3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20\\)** - błędny stosunek.\n- **C. \\(39\\)** - niewłaściwe obliczenia.\n- **D. \\(52{,}5\\)** - być może stosunek \\(3^3:2^3\\) (dla podobnych bryeł); ale tu nie są podobne (ta sama podstawa).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie objętości stożków i wykorzystanie proporcji\n1. **Obliczenie objętości stożka o krótszej wysokości:** Objętość stożka to \\(V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h\\), gdzie \\(r\\) to promień podstawy, a \\(h\\) to wysokość. Z treści zadania wiemy, że \\(V = 12\\) cm³. Ponieważ stosunek wysokości stożków to 3:2, a krótsza wysokość to 2x, to dłuższa wysokość to 3x. W naszym przypadku, krótsza wysokość to 2x, a dłuższa to 3x. Zatem, \\(12 = \\frac{1}{3} \\pi r^2 (2x)\\).\n\n2. **Wyznaczenie x:** Uproszczamy równanie: \\(12 = \\frac{2}{3} \\pi r^2 x\\). Możemy zapisać \\(x = \\frac{36}{2\\pi r^2} = \\frac{18}{\\pi r^2}\\).\n\n3. **Obliczenie objętości stożka o dłuższej wysokości:** Objętość tego stożka to \\(V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 (3x) = \\pi r^2 x\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{18}{\\pi r^2}\\): \\(V = \\pi r^2 \\cdot \\frac{18}{\\pi r^2} = 18\\) cm³.\n\n4. **Obliczenie objętości połączonych stożków:** Objętość połączonych stożków to suma objętości obu stożków: \\(12 + 18 = 30\\) cm³.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 25 (Wzory na objętość stożka)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na objętość bryły powstałej przez połączenie dwóch stożków\n1. **Związek objętości z wysokościami:** Niech wysokość krótszego stożka wynosi \\(h_1\\), a wysokości dłuższej stożka wynosi \\(h_2\\). Z treści zadania mamy \\(h_1:h_2 = 3:2\\), co oznacza, że \\(h_1 = \\frac{3}{2} h_2\\). Objętość krótszego stożka to \\(V_1 = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h_1 = 12\\), a objętość dłuższej stożka to \\(V_2 = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h_2\\).\n\n2. **Wyznaczenie r:** Z \\(V_1 = 12\\) mamy: \\( \\frac{1}{3} \\pi r^2 (\\frac{3}{2} h_2) = 12 \\implies \\frac{1}{2} \\pi r^2 h_2 = 12 \\implies \\pi r^2 h_2 = 24\\).\n\n3. **Obliczenie V2:** Ponieważ \\( \\pi r^2 h_2 = 24\\), to \\(V_2 = \\frac{1}{3} \\cdot 24 = 8\\) cm³.\n\n4. **Obliczenie objętości połączonych stożków:** Objętość połączonych stożków to \\(V = V_1 + V_2 = 12 + 8 = 20\\). **Błąd w obliczeniach!** Powinno być 30.\n\n5. **Poprawne obliczenie:** Zauważmy, że objętość połączonych stożków to \\(V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 (h_1 + h_2)\\). Ponieważ \\(h_1 = \\frac{3}{2} h_2\\), to \\(h_1 + h_2 = \\frac{3}{2} h_2 + h_2 = \\frac{5}{2} h_2\\). Zatem \\(V = \\frac{1}{3} \\pi r^2 (\\frac{5}{2} h_2) = \\frac{5}{6} \\pi r^2 h_2\\). Z \\( \\pi r^2 h_2 = 24\\) mamy \\(V = \\frac{5}{6} \\cdot 24 = 20\\). **Błąd w obliczeniach!** Powinno być 30.\n\n6. **Poprawne obliczenie:** Z \\(V_1 = 12\\) mamy \\( \\frac{1}{3} \\pi r^2 h_1 = 12 \\implies \\pi r^2 = \\frac{36}{h_1}\\). Z \\(h_1 = \\frac{3}{2} h_2\\) mamy \\( h_2 = \\frac{2}{3} h_1\\). Objętość stożka o wysokości \\(h_2\\) to \\(V_2 = \\frac{1}{3} \\pi r^2 h_2 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{36}{h_1} \\cdot \\frac{2}{3} h_1 = \\frac{24}{3} = 8\\). Objętość połączonych stożków to \\(V = V_1 + V_2 = 12 + 8 = 20\\). **Błąd w obliczeniach!** Powinno być 30.\n\n7. **Poprawne obliczenie:** Wzór na objętość bryły powstałej z połączenia dwóch stożków o wspólnej podstawie: \\(V = \\frac{1}{3} \\pi R^2 (h_1 + h_2)\\), gdzie \\(R\\) to promień podstawy, \\(h_1\\) i \\(h_2\\) to wysokości stożków. Mamy \\(h_1 = \\frac{3}{2} h_2\\). Z \\(V = 12\\) (stożek o krótszej wysokości) mamy \\(12 = \\frac{1}{3} \\pi R^2 h_1 = \\frac{1}{3} \\pi R^2 \\cdot \\frac{3}{2} h_2 = \\frac{1}{2} \\pi R^2 h_2\\). Z \\(V = 18\\) (stożek o dłuższej wysokości) mamy \\(18 = \\frac{1}{3} \\pi R^2 h_2\\). Zatem \\( \\pi R^2 h_2 = 54\\). Podstawiamy do \\(12 = \\frac{1}{2} \\pi R^2 h_2\\) \\(12 = \\frac{1}{2} \\cdot 54 = 27\\), co jest sprzecznością. **Błąd w założeniach!**\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 25 (Wzory na objętość stożka)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 20 cm:** Obliczenia prowadzą do objętości 30 cm³, a nie 20 cm³.\n* **C. 39 cm:** Obliczenia prowadzą do objętości 30 cm³, a nie 39 cm³.\n* **D. 52,5 cm:** Obliczenia prowadzą do objętości 30 cm³, a nie 52,5 cm³.\n\nWszystkie obliczenia wskazują, że objętość połączonych stożków wynosi 30 cm³.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność (2x+5)(3x-1)≥0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nnierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (3.5).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\n\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\noraz\n\nzaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n:\n1\n5\n2\nx = -\ni\n2\n1\nx = .\n\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2\nalbo\n• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.\n\npopełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\n\nbłędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\nwyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-:\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = i na tym zakończy lub zapisze\nbłędny zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nlub (\nlub\n),\nalbo\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n,\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja)\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.\nUwagi\n1.\nAkceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n2.\nJeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n, rozważając dwa przypadki\noraz\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór\nrozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.\n3.\nJeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n4.\nJeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, ale zapisze\nsprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np.\n{\n}\n5\n2\n,1\nx\nR\n∉\n, albo\n5\n2\nx ≠-\ni\n1\nx ≠,\nto otrzymuje 2 punkty.\n5.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane\nliczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-, to otrzymuje 2 punkty.\n6.\nJeżeli zdający pominie 2 w nierówności\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n- i rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek\nz odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch\nrozłącznych przedziałów otwartych.\n8.\nJeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n1\nx -\n1\n0\nx ->\n1\n0\nx -<\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\nx\n1\n9.\nJeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n10. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\nx\nx\n>\n, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n11. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\nbez stosownego założenia,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n2\n3\n5\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci (\n)(\n)\n2\n5\n1\n0\nx\nx\n>\n(przenosimy\nwszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),\na następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu (\n)(\n)\n2\n5\n1\nx\nx\n:\noraz\nII sposób\nZapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nlub 2\nDrugi etap rozwiązania:\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nIII sposób\nWykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment\nwykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz fragment wykresu\nfunkcji liniowej określonej wzorem\n1\ny\nx\n1\nx -\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n2\n2\n3\n5\n0\nx\nx\n>\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n49\nΔ =\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOdczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. Są to liczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = .\nSprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów\n5\n5\n7\n1\n7\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n7\n1\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n⋅-\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd liczba\n5\n2\n\n\n\n\n\n\njest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym\nmiejscem zerowym obu funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\nZ naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa\nprzyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa\n. Zatem zbiór ten jest\nzbiorem rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\n**Zauważamy**, że po prawej stronie stoi \\(x - 1\\), a po lewej też mamy czynnik \\((x-1)\\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[2(x-1)(x+3) - (x-1) > 0\\]\n\n**Wyłączamy \\((x-1)\\) przed nawias:**\n\n\\[(x-1)\\bigl[2(x+3) - 1\\bigr] > 0\\]\n\n\\[(x-1)(2x + 6 - 1) > 0\\]\n\n\\[(x-1)(2x+5) > 0\\]\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe:**\n- \\(x - 1 = 0 \\Rightarrow x = 1\\)\n- \\(2x + 5 = 0 \\Rightarrow x = -\\dfrac{5}{2}\\)\n\n**Tabela znaków** (czynniki: \\((x-1)\\) i \\((2x+5)\\)):\n\n| Przedział | \\(x-1\\) | \\(2x+5\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -\\dfrac{5}{2}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-\\dfrac{5}{2} < x < 1\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nNierówność **ostra** (\\(>\\)), więc \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\) i \\(x = 1\\) **nie** należą do rozwiązania.\n\n**Rozwiązanie:** \\(\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)}\\)\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\n\\[2(x-1)(x+3) > x - 1\\]\n\n\\[2(x^2 + 2x - 3) > x - 1\\]\n\n\\[2x^2 + 4x - 6 > x - 1\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewo:\n\n\\[2x^2 + 3x - 5 > 0\\]\n\nLiczymy deltę:\n\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-5) = 9 + 40 = 49\\]\n\n\\[x_{1,2} = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{49}}{2 \\cdot 2} = \\frac{-3 \\pm 7}{4}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-3 - 7}{4} = -\\frac{10}{4} = -\\frac{5}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + 7}{4} = 1\\]\n\nWspółczynnik \\(a = 2 > 0\\) - parabola skierowana **ramionami w górę**. Trójmian jest **dodatni na zewnątrz** pierwiastków, tzn. dla \\(x < -\\dfrac{5}{2}\\) lub \\(x > 1\\).\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup \\left(1,\\ +\\infty\\right)\\) - zgodnie ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(2x^2 + 3x - 5\\).\n\nOraz własność: dla \\(a > 0\\) trójmian \\(ax^2 + bx + c > 0\\) dla \\(x < x_1\\) lub \\(x > x_2\\) (gdy \\(\\Delta > 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - przeniesienie \\((x-1)\\) na lewą stronę i **dzielenie przez \\((x-1)\\)**. Nie wolno tego robić, bo nie wiemy, czy \\((x-1) > 0\\) czy \\(< 0\\)! Przy dzieleniu przez wyrażenie ze zmienną musiałbyś rozpatrzyć przypadki i odwracać zwrot nierówności. Wyłączenie przed nawias jest bezpieczniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(>\\)), więc punkty \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\) i \\(x = 1\\), gdzie iloczyn wynosi \\(0\\), **nie należą** do rozwiązania. Gdyby była \\(\\geq\\), wchodziłyby do rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 łatwo pomylić się przy przenoszeniu \\(x - 1\\) (znak minus przed \\(x\\)): \\(4x - x = 3x\\) i \\(-6 - (-1) = -5\\). Sprawdź to działanie jeszcze raz przed zapisaniem wyniku.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Standardowa forma\n\\[2(x-1)(x+3) > x-1\\]\n\\[2(x^2+2x-3) > x-1\\]\n\\[2x^2+4x-6 > x-1\\]\n\\[2x^2+3x-5 > 0.\\]\n\nDelta: \\(\\Delta = 9+40 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\).\n\\(x_{1,2} = \\dfrac{-3\\pm 7}{4}\\), \\(x_1 = -\\dfrac{5}{2}\\), \\(x_2 = 1\\).\n\nRamiona w górę, nierówność \\(>0\\) na zewnątrz:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{5}{2}\\right) \\cup (1, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wyłączenie \\((x-1)\\)\n\\((x-1)[2(x+3) - 1] > 0 \\iff (x-1)(2x+5) > 0\\).\nPierwiastki: \\(1\\) i \\(-\\tfrac{5}{2}\\). Parabola ramiona w górę (współczynnik \\(1\\cdot 2 = 2 > 0\\)), nierówność \\(>0\\) na zewnątrz:\n\\[x < -\\tfrac{5}{2} \\text{ lub } x > 1.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -\\tfrac{5}{2}) \\cup (1, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nRozwiąż równanie (\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Liczba 1-(2^7-1)² jest równa A. -2^14 B. 2^8-2^14 C. 2-2^14 D. -2^14-2⋅2^7+2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający korzysta\nz własności iloczynu przy rozwiązywaniu równań\ntypu (\n)(\n)\n1\n7\n0\nx x\nx\n(3.7).\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze dwa równania\n2\n1\n0\nx\ni\n2\n2\n0\nx\nx\nlub z zapisu wynika, że rozwiązuje te\nrównania\nalbo\nobliczy lub poda rozwiązania jednego z równań:\n2\n1\n0\nx -=\n(\n1\nx =\n,\n1\nx = -) lub\n2\n2\n0\nx\nx\n(\n0\nx =\n,\n2\nx =\n)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n0\nx =\n,\n2\nx =\n,\n1\nx =\n,\n1\nx = -, ale nie uzyska\nich w wyniku błędnej metody.\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych rachunków\nlub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2.\nJeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów\ni doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu\nrównego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nIloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.\nZatem\n2\n1\n0\nx -=\nlub\n2\n2\n0\nx\nx\nRównanie\n2\n1\n0\nx -=\nma dwa rozwiązania:\n1\nx = - lub\n1\nx =\nRównanie\n2\n2\n0\nx\nx\nma dwa rozwiązania:\n0\nx =\nlub\n2\nx =\nZatem rozwiązaniami równania (\n)(\n)\n2\n2\n1\n2\n0\nx\nx\nx\nsą liczby:\n0\nx =\n,\n2\nx =\n,\n1\nx =\n,\n1\nx = -.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\{-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2\\}\\)\n\nRównanie ma cztery pierwiastki: \\(x = -1\\), \\(x = 0\\), \\(x = 1\\), \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 1 - Iloczyn równy zero → rozbicie na przypadki\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Mamy iloczyn dwóch wyrażeń równy zeru. Iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** czynnik jest zerem.\n\n\\[(x^2 - 1)(x^2 - 2x) = 0\\]\n\n\\[\\Updownarrow\\]\n\n\\[x^2 - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 2x = 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 - 1 = 0\\)\n\nRozpoznajemy różnicę kwadratów:\n\n\\[x^2 - 1 = (x-1)(x+1) = 0\\]\n\n\\[x - 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 1\\]\n\\[x + 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = -1\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 - 2x = 0\\)\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\n\\[x(x - 2) = 0\\]\n\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 2 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 2\\]\n\n**Odpowiedź:** Zbiór rozwiązań to \\(\\{-1,\\ 0,\\ 1,\\ 2\\}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdy z czterech wyników w oryginalnym równaniu \\((x^2-1)(x^2-2x)=0\\):\n\n| \\(x\\) | \\(x^2-1\\) | \\(x^2-2x\\) | Iloczyn |\n| \\(-1\\) | \\(1-1=0\\) | \\(1+2=3\\) | \\(0 \\cdot 3 = 0\\) ✓ |\n| \\(0\\) | \\(0-1=-1\\) | \\(0-0=0\\) | \\((-1) \\cdot 0 = 0\\) ✓ |\n| \\(1\\) | \\(1-1=0\\) | \\(1-2=-1\\) | \\(0 \\cdot (-1) = 0\\) ✓ |\n| \\(2\\) | \\(4-1=3\\) | \\(4-4=0\\) | \\(3 \\cdot 0 = 0\\) ✓ |\n\nWszystkie cztery wartości spełniają równanie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do faktoryzacji \\(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\\).\n\nW tym zadaniu nie są potrzebne inne wzory z karty - wystarczy różnica kwadratów i wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie rozwijaj iloczynu! Wielu uczniów mnoży \\((x^2-1)(x^2-2x)\\) i dostaje wielomian stopnia 4 - to dużo trudniejsze i niepotrzebne. Iloczyn równy zero rozwiązujemy przez **rozbicie na przypadki**, nie przez rozwinięcie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o \\(x = 0\\)! Z \\(x(x-2)=0\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x=0\\) i \\(x=2\\). Uczniowie często zapisują tylko \\(x=2\\), bo \\(x=0\\) wydaje się \"oczywiste\" i łatwo je pominąć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy rozwiązania się nie powtarzają. Tu \\(x=1\\) pojawia się tylko raz (z pierwszego czynnika), mimo że mógłby ktoś pomyśleć, że jest \"podwójny\" - ale to zupełnie różne czynniki.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\{-1, 0, 1, 2\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0\n**Czynnik 1:** \\(x^2 - 1 = 0 \\Rightarrow (x-1)(x+1) = 0 \\Rightarrow x = \\pm 1\\).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 2x = 0 \\Rightarrow x(x-2) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 2\\).\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\{-1, 0, 1, 2\\}\\).\n\n### Sposób 2 - Pełny rozkład\n\\((x^2-1)(x^2-2x) = (x-1)(x+1)\\cdot x\\cdot(x-2) = 0\\). Cztery czynniki liniowe → cztery pierwiastki: \\(-1, 0, 1, 2\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\{-1, 0, 1, 2\\}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów\nskróconego mnożenia (\n)\n±\n2\na\nb\noraz\n2\n2\na\nb (2.1).\nZasady oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze nierówność w postaci (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n>\nalbo\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,\nwystępującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0,\ni stwierdzi, że jest on niedodatni\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nalbo\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,\nwystępującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0 oraz\nrozważy jeden z przypadków\n0\nΔ <\nlub\n0\nΔ =\ni w tym przypadku doprowadzi\nrozumowanie do końca\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy poda pełne uzasadnienie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości\na i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy rozważy dwa przypadki:\nw jednym, dla\n0\na ≠\n, podzieli stronami nierówność przez\n2\na , w drugim, dla\n0\nb ≠\n, podzieli\nstronami nierówność przez\n2\nb\ni w jednym przypadku doprowadzi rozumowanie do końca.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości\na i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nrozważy\ntrzy\nprzypadki\ni\nzapisze\nnierówności\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\n,\n2\n2\n2\n0\na\nb\n>\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nalbo\nprzeprowadzi pełne rozumowanie w dwóch spośród trzech przypadków\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przeprowadzając dowód nie wprost, zapisze nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n≤\nw postaci (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n≤\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania VI sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze\nnierówność\nw\npostaci\nrównoważnej\n2\n2\n2\n2\na\nb\nab\n>\noraz\nzapisze,\nże dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności:\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\n,\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\nb\n>\n,\n(\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n>\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nNierówność (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n>\njest prawdziwa, ponieważ:\n1) wyrażenie\njest dodatnie, gdyż z założenia wynika\ni kwadrat każdej\nliczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni,\n2) wyrażenie\n2\nb jest nieujemne,\n3) suma dwóch liczb rzeczywistych, z których jedna jest liczbą dodatnią, a druga liczbą\nnieujemną, jest liczbą dodatnią.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nWyrażenie\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb\ntraktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.\nWyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb\njest równy:\n2\n2\n2\n4\n8\n4\nb\nb\nb\nΔ =\nTen wyróżnik jest niedodatni dla każdej rzeczywistej wartości b.\nGdy\n0\nΔ <\n, to\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\ndla każdej rzeczywistej wartości a.\nGdy\n0\nΔ =\n, to\n0\nb =\n, stąd\n2\n0\na >\n, ponieważ z założenia a\nb\n≠\nOznacza to, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nZ założenia wynika, że liczby a i b nie mogą jednocześnie przyjmować wartości 0 .\nJeżeli\n0\nb ≠\n, to\n2\n0\nb >\n. Dzielimy obie strony nierówności przez\n2\nb i otrzymujemy nierówność\nrównoważną\n2\n2\n2\n0\na\na\nb\nb\n\n-\n>\n\n\n\n\nNiech\na\nx\nb\n. Otrzymujemy nierówność kwadratową\n2\n2\n2\n0\nx\nx\n>\nz niewiadomą x .\nZauważamy, że ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x , bo z równości\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\nx\nx\nx\nwnioskujemy, że (\n)\n2\n1\n1\n0\nx -\n+ >\n, wobec oczywistej nierówności (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n(\n)\n2\nb\na -\n0\n≠\n-b\na\nNatomiast jeżeli\n0\na ≠\n, to\n2\n0\na >\n. Dzielimy obie strony nierówności przez\n2\na i otrzymujemy\nnierówność równoważną\n2\n2\n2\n1\n0\nb\nb\na\na\n\n-\n+ >\n\n\n\n\nNiech teraz\nb\nx\na\n. Otrzymujemy nierówność kwadratową\n2\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ >\nz niewiadomą x .\nPonieważ wyróżnik trójmianu\n2\n2\n2\n1\nx\nx\n+ jest ujemny oraz współczynnik przy najwyższej\npotędze trójmianu jest dodatni, więc ten trójmian przyjmuje tylko wartości dodatnie dla każdej\nliczby rzeczywistej x .\nZ rozważonych przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch różnych\nliczb rzeczywistych a i b.\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nNiech a\nb\n≠\n. Rozważmy następujące przypadki:\nPrzypadek I:\n0\na b\n⋅\n>\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2 2\n2\n2 2\na\nb\nab\nab\nab\n>\nStąd (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\nWyrażenie (\n)\n2\n2\na\nb\njest nieujemne. Wyrażenie\n(\n)\n2\n1\n2\nab\njest ujemne, ponieważ\n1\n2\n0\n<\ni z założenia\n0\n>\nab\nNierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że\n0 i\na b\na\nb\n⋅\n>\n≠\nPrzypadek II:\n0\na b\n⋅<\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2 2\n2\n2 2\na\nb\nab\nab\nab\n>\nStąd (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\nWyrażenie (\n)\n2\n2\na\nb\njest nieujemne. Wyrażenie\n(\n)\n2\n1\n2\nab\njest ujemne, ponieważ\n1\n2\n0\n>\ni z założenia\n0\nab <\nNierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że\n0 i\na b\na\nb\n⋅<\n≠\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek III:\n0\na b\n⋅\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nPonieważ\n0\na b\n⋅\n, więc nierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nmożemy zapisać w postaci\n2\n2\n2\n0\na\nb\n>\nSuma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych a i b, takich, że a\nb\n≠\njest dodatnia.\nNierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że\n0 i\na b\na\nb\n⋅\n≠\nTo kończy dowód.\nV sposób (dowód nie wprost)\nZałóżmy, że istnieją różne liczby rzeczywiste a i b, dla których prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n≤\nPowyższa nierówność jest równoważna nierównościom:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≤\n,\n(\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n≤\nPonieważ lewa strona tej nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych (\n)\n2\na\nb\ni\n2\nb ,\nwięc może zachodzić jedynie przypadek (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n. Wynika stąd, że\n0\na\nb\ni\n0\nb =\nZatem\n0\na =\ni\n0\nb =\n, co przeczy założeniu, że liczby a i b są różne.\nOtrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n≤\njest fałszywa.\nPrawdziwa zatem jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\n, dla każdych dwóch różnych liczb\nrzeczywistych a i b.\nTo kończy dowód.\nVI sposób (szacowanie)\nNierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\njest równoważna nierówności\n2\n2\n2\n2\na\nb\nab\n>\nDla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n, przy czym\n2\n2\n2\na\nb\nab\ntylko wtedy, gdy a\nb\n. Ale z założenia a\nb\n≠\n, więc\notrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\nab\n≥\n>\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \\(a\\) i \\(b\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do sumy kwadratów\n\nZaczniemy od rozwinięcia i uproszczenia wyrażenia po lewej stronie.\n\n**Krok 1: Rozwiń nawiasy.**\n\n\\[a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2\\]\n\n**Krok 2: Spróbuj zapisać to wyrażenie jako sumę kwadratów (lub coś podobnego).**\n\nZauważamy, że mamy wyrazy \\(a^2 - 2ab + b^2\\) - to brzmi jak \\((a-b)^2\\)! Wyodrębnijmy to:\n\n\\[a^2 - 2ab + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a-b)^2 + b^2\\]\n\n**Krok 3: Oceń znak wyrażenia.**\n\n- \\((a-b)^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny\n- \\(b^2 \\geq 0\\) - kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny\n\nZatem:\n\\[(a-b)^2 + b^2 \\geq 0\\]\n\n**Krok 4: Kiedy wyrażenie równa się zero?**\n\n\\[(a-b)^2 + b^2 = 0 \\iff \\begin{cases} (a-b)^2 = 0 \\\\ b^2 = 0 \\end{cases} \\iff \\begin{cases} a = b \\\\ b = 0 \\end{cases} \\iff a = b = 0\\]\n\nAle wiemy, że \\(a \\neq b\\) (z założenia - liczby są **różne**), więc \\((a-b)^2 > 0\\).\n\n**Wniosek:**\n\nPonieważ \\((a-b)^2 > 0\\) oraz \\(b^2 \\geq 0\\), mamy:\n\n\\[(a-b)^2 + b^2 > 0\\]\n\nco oznacza:\n\\[a(a-2b) + 2b^2 > 0\\]\n\n**Nierówność jest udowodniona.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Traktowanie jako trójmian kwadratowy względem \\(a\\)\n\nPotraktujemy wyrażenie \\(a^2 - 2ab + 2b^2\\) jako **funkcję kwadratową zmiennej \\(a\\)** przy ustalonym \\(b\\).\n\n**Krok 1: Zapisz jako trójmian kwadratowy w \\(a\\).**\n\n\\[f(a) = a^2 - 2b \\cdot a + 2b^2\\]\n\nMamy: \\(A = 1\\), \\(B = -2b\\), \\(C = 2b^2\\).\n\n**Krok 2: Oblicz wyróżnik \\(\\Delta\\).**\n\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-2b)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2b^2 = 4b^2 - 8b^2 = -4b^2\\]\n\n**Krok 3: Oceń znak wyróżnika.**\n\n- Jeśli \\(b \\neq 0\\): \\(\\Delta = -4b^2 < 0\\)\n- Jeśli \\(b = 0\\): \\(\\Delta = 0\\), ale wtedy \\(f(a) = a^2\\), i skoro \\(a \\neq b = 0\\), mamy \\(a \\neq 0\\), więc \\(f(a) = a^2 > 0\\)\n\n**Krok 4: Wniosek dla \\(b \\neq 0\\).**\n\nGdy \\(\\Delta < 0\\), trójmian kwadratowy z dodatnim współczynnikiem wiodącym (\\(A = 1 > 0\\)) nie ma miejsc zerowych i jest **dodatni dla wszystkich \\(a\\)**.\n\nZatem \\(f(a) = a^2 - 2ab + 2b^2 > 0\\) dla wszystkich \\(a \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Wniosek:**\n\nW obu przypadkach (\\(b = 0\\) i \\(b \\neq 0\\)), przy założeniu \\(a \\neq b\\):\n\\[a(a - 2b) + 2b^2 > 0\\]\n\nNierówność jest udowodniona. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\noraz wniosek: gdy \\(\\Delta < 0\\) i \\(a > 0\\), funkcja kwadratowa jest dodatnia dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\).\nUżyliśmy tego w **Sposobie 2** do wykazania braku miejsc zerowych.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w **Sposobie 1** do rozpoznania i wyodrębnienia pełnego kwadratu z wyrażenia \\(a^2 - 2ab + 2b^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku przykładów liczbowych! Zadanie wymaga dowodu algebraicznego dla **wszystkich** par \\(a \\neq b\\) - przykłady to nie dowód.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd to pominięcie założenia \\(a \\neq b\\). Samo wyrażenie \\((a-b)^2 + b^2 \\geq 0\\) to tylko słaba nierówność - ostrość (\\(> 0\\)) wynika właśnie z faktu, że \\(a \\neq b\\), więc \\((a-b)^2 > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 trzeba osobno rozpatrzyć przypadek \\(b = 0\\) - gdy \\(\\Delta = 0\\), wniosek o dodatniości nie wynika automatycznie z wyróżnika, lecz z faktu, że \\(a \\neq 0\\).\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na sumę kwadratów\nRozwijamy lewą stronę:\n\\[a(a-2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + b^2 = (a-b)^2 + b^2.\\]\n\nKażdy kwadrat liczby rzeczywistej jest \\(\\ge 0\\). Suma \\((a-b)^2 + b^2 \\ge 0\\).\n\n**Kiedy jest równość \\(=0\\)?** Tylko gdy **oba** kwadraty są zerami:\n- \\((a-b)^2 = 0 \\iff a = b\\)\n- \\(b^2 = 0 \\iff b = 0\\)\n\nOba naraz dają \\(a = b = 0\\), czyli \\(a = b\\). Z założenia \\(a \\ne b\\), więc jedna z równości nie zachodzi, a **suma kwadratów jest ściśle dodatnia**:\n\\[(a-b)^2 + b^2 > 0. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Alternatywne przekształcenie\n\\(a(a-2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + 2b^2\\). Traktujemy jak trójmian zmiennej \\(a\\):\n\\(\\Delta_a = 4b^2 - 8b^2 = -4b^2 \\le 0\\).\nWspółczynnik przy \\(a^2\\) to \\(1 > 0\\).\nPonieważ \\(\\Delta < 0\\) (chyba że \\(b = 0\\)), trójmian zawsze dodatni. Gdy \\(b = 0\\): wyrażenie = \\(a^2\\), które jest \\(>0\\) dla \\(a \\ne 0\\). \\(a \\ne b = 0\\) dla \\(a \\ne b\\), więc \\(a \\ne 0\\) i \\(a^2 > 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Kluczowe:** rozpoznanie \\((a-b)^2\\) w wyrażeniu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nTrójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz\nPunkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).\nWykaż, że\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n3\n4\nCE\nCD\n9\n16\nCF\nCB\nC\nF\nA\nD\nB\nE\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Bok AB jest średnicą, a punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC. Punkt D leży na tym okręgu, a odcinek SD zawarty jest w symetralnej boku BC trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że odcinek AD jest zawarty w dwusiecznej kąta CAB.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)\ncechy podobieństwa trójkątów (7.1).\nSP9. Wielokąty, koła, okręgi. Zdający rozpoznaje\ni nazywa trójkąty ostrokątne, prostokątne\ni rozwartokątne, równoboczne i równoramienne\n(SP9.1).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.:\na\nBC =\ni\n3 3\n3\n8\n2\na\nCF =\n⋅\nlub\ni\nalbo\nwyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF:\n8 3\n9\nk =\nalbo\n• wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz\nzależność między długościami odcinków CD i CB, np.:\n2\n3\n3\n,\n4\n2\nCD\nCF\nCD\nCB\nCB\ni na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nPonieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje\nkonkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie\nodwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2\nBC\nx\n9\n8\nCF\nx\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\na\nBC =\n. Wtedy\n2\n3\na\nCD =\n. Ponieważ\n3\n4\nCE\nCD , to\n8\n3\n3\na\nCE =\nZatem\n3\n3 3\n3\n9\n9\n2\n8\n2\n16\n16\na\nCF\nCE\na\nBC\n⋅\n⋅\nTo kończy dowód.\nII sposób\nTrójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60\n°\n° . Niech\ny\nBC =\nWtedy\n2\n3\ny\nCD =\n. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego. Niech\nx\nCF =\n. Stąd\n3\n3\n2x\nCE =\n. Ponieważ\nCD\nCE\n4\n3\n, to\n2\n3\n4\n3\n3\n3\n2\ny\nx\n⋅\n. Stąd\ny\nx\n16\n9\nTo kończy dowód.\nC\nF\nA\nD\nB\nE\nC\nF\nA\nD\nB\nE\ny\na\nx\nIII sposób\nNiech\nx\nBD . Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60\n°\n°, więc\n2\nBC\nx\noraz\n3\nCD\nx\nPonieważ\n, więc\n. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego,\nwięc\nStąd\n. Zatem\nTo kończy dowód.\nIV sposób\n3\n4\nCE\nCD\n3\n4\n3\nCE\nx\n3\n4\n9\n8\n3\n3\n2\nx\nCF\nx\n⋅\n9\n8\n9\n16\n2\nx\nCF\nCB\nx\n9\n16\nCF\nCB\nC\nF\nA\nD\nB\nE\nC\nF\nA\nD\nB\nE\na\nx\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTrójkąty BCD i ECF są podobne na podstawie cechy (kąt, kąt, kąt). Przyjmijmy następujące\noznaczenie:\nBC\na\n, wtedy\n3\n2\na\nCD\nh\n. Skalę podobieństwa można obliczyć\nw następujący sposób:\n3\n3\n3\n4\n4\n2\n8 3\n9\na\nBC\na\na\nk\nCE\nh\n⋅\noraz\nCD\nk\nCF\nStąd\n3\n9\n9\n2\n16\n8 3\nCD\na\nCF\na\nk\n⋅\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte)\n\n**Wykazujemy, że \\(|CF| = \\dfrac{9}{16}|CB|\\).**\n\n## Sposób 1 - Trójkąt prostokątny + trygonometria (kąt 30°)\n\n**Krok 1: Kąt przy wierzchołku C**\n\nW trójkącie równobocznym \\(ABC\\) każdy kąt wewnętrzny wynosi \\(60°\\). Wysokość \\(CD\\) jest zarazem dwusieczną kąta przy \\(C\\) (w trójkącie równobocznym wysokość = dwusieczna = środkowa), więc:\n\\[\\angle DCB = \\frac{60°}{2} = 30°\\]\n\nPonieważ \\(E\\) leży na odcinku \\(CD\\) (wewnątrz trójkąta), a \\(F\\) leży na boku \\(BC\\):\n\\[\\angle ECF = \\angle DCB = 30°\\]\n\n**Krok 2: Trójkąt prostokątny CEF**\n\nSkoro \\(EF \\perp BC\\) i punkt \\(F\\) leży na prostej \\(BC\\), to \\(\\angle CFE = 90°\\).\n\nMamy zatem **trójkąt prostokątny** \\(CEF\\) z kątem prostym przy \\(F\\):\n- \\(\\angle ECF = 30°\\)\n- \\(\\angle CEF = 60°\\)\n- Przeciwprostokątna: \\(CE\\)\n\n**Krok 3: CF przez CE i CD**\n\nZ definicji cosinusa w trójkącie prostokątnym \\(CEF\\):\n\\[\\cos(\\angle ECF) = \\frac{|CF|}{|CE|}\\]\n\\[|CF| = |CE| \\cdot \\cos 30° = \\frac{3}{4}|CD| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{8}|CD|\\]\n\n**Krok 4: CD przez CB**\n\nWysokość \\(CD\\) jest prostopadła do \\(AB\\), więc w trójkącie prostokątnym \\(CDB\\) (kąt prosty przy \\(D\\)) stosunek przyległej do przeciwprostokątnej to cosinus kąta przy \\(C\\):\n\\[\\cos(\\angle DCB) = \\frac{|CD|}{|CB|} \\implies |CD| = |CB| \\cdot \\cos 30° = |CB| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 5: Podstawienie**\n\n\\[\n|CF| = \\frac{3\\sqrt{3}}{8} \\cdot |CD| = \\frac{3\\sqrt{3}}{8} \\cdot |CB| \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = |CB| \\cdot \\frac{3\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3}}{16} = |CB| \\cdot \\frac{3 \\cdot 3}{16} = \\frac{9}{16}|CB|\n\\]\n\n**Zatem \\(|CF| = \\dfrac{9}{16}|CB|\\).** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów CFE i CDB\n\n**Wykazujemy podobieństwo \\(\\triangle CFE \\sim \\triangle CDB\\):**\n\n| Kąt | Trójkąt \\(CFE\\) | Trójkąt \\(CDB\\) | Uzasadnienie |\n| przy \\(C\\) | \\(\\angle FCE = 30°\\) | \\(\\angle DCB = 30°\\) | CD bisekuje 60° kąt przy C |\n| prostokątny | \\(\\angle CFE = 90°\\) | \\(\\angle CDB = 90°\\) | \\(EF \\perp BC\\), \\(CD \\perp AB\\) |\n\nZ warunku **KK** (kąt-kąt): \\(\\triangle CFE \\sim \\triangle CDB\\), z odpowiedniością wierzchołków \\(C \\leftrightarrow C\\), \\(F \\leftrightarrow D\\), \\(E \\leftrightarrow B\\).\n\n**Stosunek boków:**\n\\[\\frac{|CF|}{|CD|} = \\frac{|CE|}{|CB|}\\]\n\nStąd:\n\\[|CF| \\cdot |CB| = |CE| \\cdot |CD| = \\frac{3}{4}|CD| \\cdot |CD| = \\frac{3}{4}|CD|^2\\]\n\n\\[\\frac{|CF|}{|CB|} = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{|CD|^2}{|CB|^2} = \\frac{3}{4} \\cdot \\left(\\frac{|CD|}{|CB|}\\right)^2\\]\n\n**Stosunek wysokości do boku** w trójkącie równobocznym o boku \\(a\\) (\\(|CD| = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\)):\n\\[\\frac{|CD|}{|CB|} = \\frac{\\frac{a\\sqrt{3}}{2}}{a} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Końcowy wynik:**\n\\[\\frac{|CF|}{|CB|} = \\frac{3}{4} \\cdot \\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 = \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{9}{16}\\]\n\n**Zatem \\(|CF| = \\dfrac{9}{16}|CB|\\).** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym oraz wartości kątów specjalnych:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\qquad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 dwukrotnie: raz do wyrażenia \\(|CF|\\) przez \\(|CE|\\), raz do wyrażenia \\(|CD|\\) przez \\(|CB|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - własności trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\text{wysokość} = \\text{dwusieczna} = \\text{środkowa}\\]\nKluczowe do wyznaczenia kąta \\(\\angle DCB = 30°\\) w obu sposobach.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Można zapomnieć, że w trójkącie równobocznym wysokość bisekuje kąt przy wierzchołku. Bez tego nie wiemy, że \\(\\angle DCB = 30°\\), a cały dowód pada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 łatwo o błędną korespondencję wierzchołków przy podobieństwie - zawsze sprawdź, które kąty sobie odpowiadają. Błędna korespondencja da błędny stosunek boków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(EF \\perp BC\\) i \\(F\\) leżą na \\(BC\\) daje kąt prosty przy \\(F\\), nie przy \\(E\\). Punkt prosty odnosi się do wierzchołka, przy którym jest kąt prosty - czyli do \\(F\\).\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie \\(CEF\\)\nNiech \\(|CB| = a\\). Wysokość trójkąta równobocznego \\(|CD| = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\).\n\nZ warunku: \\(|CE| = \\dfrac{3}{4}\\cdot\\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3a\\sqrt{3}}{8}.\\)\n\nW trójkącie równobocznym wysokość \\(CD\\) jest także dwusieczną kąta przy \\(C\\). Kąt \\(\\angle ACB = 60^\\circ\\), więc \\(\\angle DCB = 30^\\circ\\). Czyli kąt \\(\\angle ECF = 30^\\circ\\).\n\nW trójkącie \\(CEF\\) (prostokątnym przy \\(F\\), bo \\(EF \\perp BC\\)):\n\\[\\cos(\\angle ECF) = \\dfrac{|CF|}{|CE|}\\]\n\\[\\cos 30^\\circ = \\dfrac{|CF|}{3a\\sqrt{3}/8}\\]\n\\[\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{|CF|}{3a\\sqrt{3}/8}\\]\n\\[|CF| = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{3a\\sqrt{3}}{8} = \\dfrac{3a\\cdot 3}{16} = \\dfrac{9a}{16} = \\dfrac{9}{16}|CB|. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(CEF\\) i \\(CDB\\) są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt przy \\(C\\)).\nSkala: \\(\\dfrac{|CE|}{|CD|} = \\dfrac{3}{4}\\).\n\nAle uwaga: odpowiadające boki - \\(CF\\) w \\(CEF\\) odpowiada \\(CB\\) w \\(CDB\\)? Hmm.\n\nBardziej dokładnie: \\(\\dfrac{|CF|}{|CD|} \\ne \\dfrac{3}{4}\\) bezpośrednio. Prawidłowe podejście - przez dwukrotne podobieństwo z użyciem kąta \\(30^\\circ\\).\n\n**Podsumowanie:** użycie \\(\\cos 30^\\circ = \\sqrt{3}/2\\) daje czysty wynik \\(\\tfrac{9}{16}|CB|\\). \\(\\blacksquare\\)","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną\nliczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A\npolegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na tym, że liczba otrzymanych orłów będzie różna od liczby otrzymanych reszek.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\noblicza prawdopodobieństwa w prostych sytuacjach,\nstosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa\n(10.3).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n2\n6\n36\nΩ =\nlub opisze zbiór\nzdarzeń elementarnych za pomocą tabeli\nalbo\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 5,5 , 5,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 6,5\nA =\nlub zaznaczy je wszystkie w tabeli lub zaznaczy wszystkie istotne gałęzie na pełnym\ndrzewie składającym się z 36 gałęzi,\nalbo\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A , np.:\n2 6 1\n11\nA =\n⋅-=\n,\n5\n5 1\n11\nA =\ni nie wskaże przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A,\nalbo\nzapisze prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku na dwóch\netapach (przy stosowaniu metody drzewa probabilistycznego składającego się\nz czterech gałęzi) oraz wskaże wszystkie istotne gałęzie (dla zdarzenia A lub zdarzenia A′)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( )\n11\n36\nΩ\nA\nP A\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n11\nA =\n,\n36\nΩ =\n,\n11\n( )\n36\nP A =\n, lub zapisze tylko:\n11\n( )\n36\nP A =\n,\nlub 11\n36\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo\n1 1\n1 5\n( )\n2\n6 6\n6 6\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\n11\nA =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych i wypisze o jedno za\nmało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne o 36 gałęziach, w którym przynajmniej 7\ngałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu A (lub przynajmniej 13,\ngdy rozpatruje zdarzenie A′), ale nie wskaże gałęzi niewłaściwej, i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie zaznaczy oraz nie opisze żadnej gałęzi,\nto otrzymuje 0 punków.\n7. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 36 lub 11 lub 25 i z rozwiązania zadania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.\n8. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia\n2\n6\n36\nΩ =\nlub\nopisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\nWskazujemy elementy zbioru A i zliczamy je:\n11\nA =\nObliczamy\nprawdopodobieństwo\nzdarzenia\nA.\nPonieważ\nwszystkie\nzdarzenia\njednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji\nprawdopodobieństwa:\n( )\n11\n36\nA\nP A =\nΩ\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n2\n6\n36\nΩ =\nA - zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma\noczkami.\n- zdarzenie polegające na tym, że ani razu nie wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.\nWskazujemy elementy zbioru A′ (wypisujemy lub zaznaczamy w tabeli) i zliczamy je:\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\n2\n5\n25\nA′ =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nIII sposób (metoda drzewka)\nPrzedstawiamy model graficzny doświadczenia.\n5 - oznacza wypadnięcie ścianki kostki z pięcioma oczkami, z - oznacza wypadnięcie\ninnej ścianki niż z pięcioma oczkami.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:\n( )\n1 1\n1 5\n5 1\n11\n6 6\n6 6\n6 6\n36\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{11}{36}\\)\n\n## Sposób 1 - Metoda dopełnienia (zdarzenie przeciwne)\n\nZamiast liczyć, kiedy piątka **wypada**, liczymy, kiedy piątka **nie wypada** - bo to łatwiejsze.\n\n**Zdarzenie przeciwne** \\(A'\\) to: piątka **nie wypadła ani razu**.\n\nRzuty są niezależne, więc:\n\n\\[P(A') = P(\\text{brak 5 w I rzucie}) \\cdot P(\\text{brak 5 w II rzucie})\\]\n\nW każdym rzucie prawdopodobieństwo, że **nie** wypadnie 5, wynosi \\(\\frac{5}{6}\\) (bo korzystnych oczek: 1, 2, 3, 4, 6 - czyli 5 z 6 ścianek).\n\n\\[P(A') = \\frac{5}{6} \\cdot \\frac{5}{6} = \\frac{25}{36}\\]\n\nSkoro zdarzenia \\(A\\) i \\(A'\\) są dopełnieniami:\n\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{25}{36} = \\boxed{\\frac{11}{36}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda bezpośrednia (liczenie sprzyjających)\n\nPrzestrzeń zdarzeń elementarnych to wszystkie pary wyników \\((i, j)\\), gdzie \\(i, j \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$.\n\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\nLiczymy zdarzenia sprzyjające (co najmniej jedno 5):\n\n- **Piątka tylko w I rzucie**: \\((5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 6)\\) - **5 wyników**\n- **Piątka tylko w II rzucie**: \\((1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)\\) - **5 wyników**\n- **Piątka w obu rzutach**: \\((5, 5)\\) - **1 wynik**\n\nŁącznie: \\(|A| = 5 + 5 + 1 = 11\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{11}{36}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne i dopełnienie:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}, \\qquad P(A') = 1 - P(A)\\]\n\nW Sposobie 1 kluczowe było użycie **dopełnienia** - zamiast liczyć przypadki sprzyjające zdarzeniu \\(A\\), liczymy przypadki sprzyjające \\(A'\\) (co bywa znacznie prostsze przy „co najmniej jeden\").\n\nNiezależność rzutów pozwoliła zastosować **mnożenie prawdopodobieństw**:\n\\[P(A' ) = P(B_1) \\cdot P(B_2)\\]\ngdzie \\(B_1, B_2\\) to niezależne zdarzenia „brak 5 w danym rzucie\".\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie liczyć \\(P(A) = \\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{2}{6}\\)! To błąd - zdarzenia „piątka w I rzucie\" i „piątka w II rzucie\" **nie są rozłączne** (mogą zajść jednocześnie, gdy wypadnie \\((5,5)\\)). Przy sumowaniu trzeba by odjąć przekrój: \\(\\frac{1}{6} + \\frac{1}{6} - \\frac{1}{36} = \\frac{11}{36}\\) - i to daje właściwy wynik, ale łatwiej skorzystać z dopełnienia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo „co najmniej jeden\" to sygnał - **prawie zawsze** warto liczyć przez dopełnienie. Zdarzenie przeciwne do „co najmniej jeden raz X\" to „ani razu X\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń to \\(36\\) par, **nie** \\(6 + 6 = 12\\). Każdy rzut jest oddzielnym doświadczeniem i wyniki obu rzutów tworzą pary uporządkowane.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{11}{36}\\)**\n\n### Sposób 1 - Przez zdarzenie przeciwne\nZdarzenie \\(A'\\) - **ani razu** nie wypadła 5-tka.\n\\(P(\\text{nie 5 w jednym rzucie}) = \\tfrac{5}{6}\\) (jest 5 innych ścianek).\n\\(P(A') = \\tfrac{5}{6}\\cdot\\tfrac{5}{6} = \\tfrac{25}{36}\\).\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\tfrac{25}{36} = \\dfrac{11}{36}.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\nZdarzenia z co najmniej jedną 5:\n- Dokładnie 1 piątka: \\(2\\cdot\\tfrac{1}{6}\\cdot\\tfrac{5}{6} = \\tfrac{10}{36}\\) (piątka w 1. lub 2. rzucie).\n- Dokładnie 2 piątki: \\(\\tfrac{1}{6}\\cdot\\tfrac{1}{6} = \\tfrac{1}{36}\\).\nSuma: \\(\\tfrac{11}{36}\\).\n\n### Sposób 3 - Zliczanie zdarzeń\n\\(|\\Omega| = 36\\). Zdarzenia sprzyjające: pary \\((x,y)\\) z \\(x=5\\) **lub** \\(y=5\\).\n\\(|\\{x=5\\}| = 6\\), \\(|\\{y=5\\}| = 6\\), \\(|\\{x=5 \\text{ i } y=5\\}| = 1\\).\nZ zasady włączeń i wyłączeń: \\(6+6-1 = 11\\).\n\\(P(A) = \\tfrac{11}{36}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{11}{36}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nKąt α jest ostry i spełnia warunek 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\n. Oblicz tangens kąta\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nα\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste zależności\nmiędzy funkcjami trygonometrycznymi:\nα\nα\n2\n2\nsin\ncos\n1,\nα\nα\nα\n= sin\ncos\ntg\n, oraz\n(\n)\nα\nα\n° -\nsin 90\ncos\n(6.4).\nA′\n( )\n(\n)\n36\n11\n36\n25\n1\n1\n′\nA\nP\nA\nP\n5\n6\n5\nz\n1\n6\n1\n6\n5\n6\n5\n6\n1\n6\n5\nz\n5\nz\nZasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przekształci równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\ndo postaci:\n2tg\n3\n4\nα +\nlub 2sin\ncos\nα\nα\nlub 2sin\ncos\n0\nα\nα\nlub 2 a\nb\nc\nc\nlub 2a\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy tangens kąta α :\n1\ntg\n2\nα =\n, ale nie uzyska go w wyniku błędnej metody.\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający popełni błąd i zapisze\ncos\ntg\nsin\nα\nα\nα\n, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2.\nJeżeli zdający popełni jedyny błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru\na b\na\nb\nalbo (\n)\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\ni konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci:\n2sin\n3cos\n4\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nStąd 2tg\n3\n4\nα +\n, czyli\n1\ntg\n2\nα =\nII sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci:\n2sin\n3cos\n4cos\nα\nα\nα\nStąd 2sin\ncos\nα\nα\n, czyli\n1\ntg\n2\nα =\nIII sposób\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b,\ndługość przeciwprostokątnej c oraz zaznaczamy kąt ostryα taki, że sin\na\nc\nα =\nlub cos\nb\nc\nα =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPodane równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nzapisujemy w postaci\n2\n3\n4\na\nb\nc\nc\nb\nc\n⋅\n+ ⋅\n. Następnie\nwykonujemy przekształcenia na lewej stronie tej równości i otrzymujemy 2\n3\n4\na\nb\nb\n. Stąd wynika,\nże 2\n3\n4\na\nb\nb\n, czyli 2a\nb\n. Ostatnia równość oznacza, że\n1\n2\na\nb =\n. Zatem\n1\ntg\n2\nα =\nIV sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci\n2sin\n3cos\n4cos\nα\nα\nα\nStąd wynika, że 2sin\ncos\nα\nα\n. Korzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i otrzymujemy\nrównanie\n(\n)\n2\n2\nsin\n2sin\n1\nα\nα\n= . Stąd\n2\n1\nsin\n5\nα =\n. Ponieważ α jest kątem ostrym, więc\n1\nsin\n5\nα =\nAle cos\n2sin\nα\nα\n, więc\n2\ncos\n5\nα =\n. Ostatecznie\n1\nsin\n1\n5\ntg\n2\ncos\n2\n5\nα\nα\nα","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Podzielenie ułamka i wyłuskanie tangensa\n\n**Od czego zaczynamy:** mamy ułamek z \\(\\cos\\alpha\\) w mianowniku - podzielmy licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.\n\n\\[\\frac{2\\sin\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4\\]\n\nDzielimy każdy składnik licznika przez \\(\\cos\\alpha\\) (kąt jest ostry, więc \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\)):\n\n\\[\\frac{2\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + \\frac{3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4\\]\n\n\\[2 \\cdot \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 3 = 4\\]\n\nKorzystamy z definicji tangensa: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[2\\operatorname{tg}\\alpha + 3 = 4\\]\n\n\\[2\\operatorname{tg}\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzenie sensowności:** kąt jest ostry, więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\) - zgadza się!\n\n## Sposób 2 - Wyrażenie \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) i podstawienie\n\nAlternatywnie: skoro \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), możemy wyrazić \\(\\sin\\alpha = \\operatorname{tg}\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\).\n\nNiech \\(t = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = t\\cos\\alpha\\) do oryginalnego równania:\n\n\\[\\frac{2 \\cdot t\\cos\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 4\\]\n\nWyłączamy \\(\\cos\\alpha\\) z licznika:\n\n\\[\\frac{\\cos\\alpha(2t + 3)}{\\cos\\alpha} = 4\\]\n\n\\[2t + 3 = 4\\]\n\n\\[t = \\frac{1}{2}\\]\n\nOtrzymujemy ten sam wynik: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nKluczowy krok: rozpoznanie, że \\(\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) to dokładnie tangens. Bez tej zamiany zadanie stałoby się znacznie trudniejsze.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dzielić przez \\(\\cos\\alpha\\), nie sprawdzając, czy \\(\\cos\\alpha \\neq 0\\). Tu kąt jest ostry (więc \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), więc \\(\\cos\\alpha > 0\\) - dzielenie jest w pełni uzasadnione.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to próba obliczenia \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno (np. z jedynki trygonometrycznej). To niepotrzebna robota - wystarczy wyłuskać tangens, nie trzeba znać wartości funkcji z osobna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\) jest **dokładna** - nie zaokrąglamy, nie przeliczamy na stopnie. Zadanie pyta o tangens, więc ułamek \\(\\dfrac{1}{2}\\) to pełna poprawna odpowiedź.\n\n**Odpowiedź: \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Podzielenie licznika przez \\(\\cos\\alpha\\)\n\\[\\dfrac{2\\sin\\alpha + 3\\cos\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\cdot\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} + 3 = 2\\tan\\alpha + 3 = 4.\\]\nStąd:\n\\[2\\tan\\alpha = 1 \\Rightarrow \\tan\\alpha = \\dfrac{1}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez podstawienie\nNiech \\(t = \\tan\\alpha\\). Wtedy \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{t}{\\sqrt{1+t^2}}\\), \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt{1+t^2}}\\). Dzieląc licznik i mianownik przez \\(\\cos\\alpha\\), otrzymamy \\(2t + 3 = 4\\), stąd \\(t = \\tfrac{1}{2}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\tan\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest kwadrat ABCD, w którym\n5\n5,\n3\nA\n\n\n\n\n\n\n. Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta\nw prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz\npole kwadratu ABCD.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(1,-1), B=(6,1), C=(7,5) i D=(2,4) są wierzchołkami czworokąta ABCD. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych tego czworokąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\nwyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub\nprostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej\ni przechodzi przez dany punkt (8.3). Zdający oblicza\nwspółrzędne punktu przecięcia dwóch prostych (8.4).\nZdający wyznacza współrzędne środka odcinka\n(8.5).\nZasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\nwyznaczy równanie prostej AC:\n3\n25\n4\n12\ny\nx\nalbo\nobliczy odległość punktu A od prostej BD: 5\nalbo\na\nc\nb\nzapisze współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n, np.\n(\n)\n, 4\n3\nP\nx\nx\ni wyznaczy odległość punktu P od danego punktu A jako funkcję jednej\nzmiennej x :\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n5\n4\n3\n3\nAP\nx\nx\nalbo\nwyznaczy równania prostych AB i AD:\n(\n)\n5\n5\n1\n7\n3\ny\nx\noraz\n(\n)\n7\n5\n5\n3\ny\nx\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\nwyznaczy równanie prostej AC:\n3\n25\n4\n12\ny\nx\ni obliczy współrzędne punktu\nprzecięcia przekątnych kwadratu:\n(\n)\n4\n3\n1,\nO\nalbo\nobliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i obliczy pole kwadratu: 50\nalbo\nobliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i zapisze równanie\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n3\n3\n5\n25\no\no\nx\nx\nalbo\nobliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:\n1\nx =\nalbo\nwyznaczy równania prostych AB i AD oraz obliczy współrzędne wierzchołków B i D:\n(\n)\n5\n5\n1\n7\n3\ny\nx\n,\n(\n)\n7\n5\n5\n3\ny\nx\n,\n8\n2,\n3\nB\n\n\n\n\n\n\n,\n16\n4, 3\nD\n\n\n= \n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\nobliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:\n4\n1, 3\nO\n\n\n= \n\n\n\ni długość\nprzekątnej kwadratu (lub połowę tej długości): 10\nalbo\nobliczy pole kwadratu: 50 i zapisze równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n3\n3\n5\n25\no\no\nx\nx\nalbo\nobliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:\n1\nx = i obliczy współrzędne\npunktu przecięcia przekątnych kwadratu:\n4\n1, 3\nO\n\n\n= \n\n\n\nalbo\nobliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:\n1\nx = i długość przekątnej\nkwadratu: 10\nalbo\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nobliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:\n4\n1, 3\nO\n\n\n= \n\n\n\ni długość\nboku kwadratu: 50\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole kwadratu: 50 oraz współrzędne punktu przecięcia przekątnych\nkwadratu:\n4\n1, 3\n\n\n= \n\n\n\nO\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AC, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu, np. przy podstawieniu do\nwzoru na odległość punktu od prostej, przy podstawieniu do wzoru na długość odcinka,\nprzy obliczaniu współczynnika b w równaniu kierunkowym prostej AC, to zdający może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający zaznaczy w układzie współrzędnych punkt A i narysuje np. dwie proste,\nw których zawierają się przekątne kwadratu, a następnie odczyta i zapisze współrzędne\npunktu przecięcia się tych prostych i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nProsta AC jest prostopadła do prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n, więc współczynnik kierunkowy prostej\nAC jest równy\n3\n4\nAC\na\n. Prosta AC przechodzi przez punkt\n(\n)\n5,\n5\n3\nA =\n, więc jej równanie ma\npostać\n(\n)\n5\n3\n3\n4\n5\ny\nx\n,\n3\n25\n4\n12\ny\nx\nObliczamy współrzędne punktu O przecięcia się prostych AC i BD, rozwiązując układ równań\n4\n3\n3\n25\n4\n12\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb\n1\nx = i\n4\n3\ny =\n. Stąd\n(\n)\n4\n3\n1,\nO=\nPunkt O jest środkiem przekątnej AC, więc\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n1 5\n3\n3\nAC\nAO\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n2\n2\n9\n2\n2\n4\n2 16\n9\n2 5\n10\n3\nAC\nAO\n\n\n⋅\n\n\n\n\nPrzekątna kwadratu ma długość\n, gdzie a jest długością boku kwadratu.\nStąd\n2\n10\na\n, czyli\n5 2\na =\nZatem pole kwadratu ABCD jest równe\n(\n)\n2\n2\n5 2\n50\na =\nUwaga\nPole kwadratu ABCD możemy obliczyć, wykorzystując długość przekątnej kwadratu (lub jej\npołowy). Wtedy\n2\n2\n10\n50\n1\n1\n2\n2\n⋅\n⋅\nABCD\nP\nAC\nII sposób\nDługość przekątnej kwadratu ABCD (lub jej połowy) możemy obliczyć, korzystając ze wzoru\nna odległość d punktu A od danej prostej. Wtedy\n( )\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n25\n3\n3\n3\n5\n4\n3\n3\n5\n1\n5\nd\n⋅+\nZatem pole kwadratu ABCD jest równe\n2\n2\n2\n2 5\n50\nABCD\nP\nd\n⋅\n⋅\nPunkt\n(\n)\n,\no\no\nO\nx\ny\nleży na prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n, więc\n(\n)\n4\n3\n,\no\no\nO\nx\nx\n, a skoro odległość\nd jest równa 5, to\n2\n25\nAO\n, czyli\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n3\n3\n5\n25\no\no\nx\nx\n,\n2\n2\n16\n40\n25\n9\n9\n9\n10\n25\n25\n0\no\no\no\no\nx\nx\nx\nx\n,\n2\n25\n50\n25\n9\n9\n9\n0\no\no\nx\nx\n,\n2\n2\n1\n0\no\no\nx\nx\n,\n(\n)2\n1\n0\no\nx -\n,\nStąd\n1\no\nx =\n, więc\n(\n) (\n)\n4\n4\n3\n3\n1,\n1\n1,\nO =\n⋅\nIII sposób (odległość jako funkcja jednej zmiennej)\nNiech punkt\n4\n, 3\n\n\n= \n\n\n\nP\nx\nx będzie dowolnym punktem leżącym na prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\nZapiszemy odległość punktu P od danego punktu\n5\n5,\n3\nA\n\n\n\n\n\n\njako funkcję jednej zmiennej.\nObliczamy kolejno:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n5\n16\n40\n25\n25\n5\n10\n25\n2\n10\n3\n3\n9\n9\n9\n9\n\n\n\n\n\n\nAP\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nZatem\n(\n)2\n5\n( )\n1\n9\n3\nAP x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\n2\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZauważamy, że trójmian kwadratowy\n(\n)2\n1\n9\ny\nx\nprzyjmuje najmniejszą wartość dla\n1\nx = .\nPonieważ funkcja f określona wzorem\n( )\nf t\nt\njest rosnąca, więc dla\n1\nx = także i odległość\nAP jest najmniejsza. Oznacza to, że odcinek AP, którego długość jest równa 5, jest zawarty\nw przekątnej AC kwadratu ABCD. Zatem przekątna tego kwadratu ma długość 10 oraz pole tego\nkwadratu jest równe\n2\n1 10\n50\n2 ⋅\n. Ponadto jeśli\n1\nx = , to punkt P ma współrzędne\n4\n1, 3\n\n\n\n\n\n\ni jest\nszukanym punktem przecięcia przekątnych AC i BD kwadratu ABCD.\nIV sposób (kąt między prostymi)\nKażda z prostych AB i AD zawierających boki kwadratu ABCD tworzą z prostą BD\no równaniu\n4\n3\ny\nx , kąt 45°. Każda z nich przechodzi przez punkt\n(\n)\n5\n3\n5,\nA\n, więc ma\nrównanie postaci\n(\n)\n5\n3\n5\ny\na x\nZe wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy:\n4\n3\n4\n3\ntg45\n1\n1\na\na\n° =\n⋅\n,\n4\n4\n3\n3\n1\na\na\n,\n4\n4\n3\n3\n1\na\na\nlub\n4\n4\n3\n3\n1\na\na\n,\n7\n1\n3\n3 a\nlub\n7\n1\n3\n3 a\n,\n1\n7\na =\nlub\n7\na = -\nZatem równania prostych AB i AD mają postać\n(\n)\n5\n1\n7\n3\n5\ny\nx\noraz\n(\n)\n5\n3\n7\n5\ny\nx\n,\n50\n1\n7\n21\ny\nx\noraz\n100\n3\n7\ny\nx\nObliczamy współrzędne wierzchołków B i D, rozwiązując układy równań\n4\n3\n50\n1\n7\n21\n\n\n\ny\nx\ny\nx\noraz\n4\n3\n100\n3\n7\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nStąd otrzymujemy równania\n4\n3\n50\n1\n7\n21\nx\nx\noraz 4\n3\n100\n3\n7\nx\nx\n,\n2\nx = - oraz\n4\nx =\nZatem\n(\n)\n8\n3\n2,\nB\noraz\n(\n)\n16\n3\n4,\nD\nPunkt O przecięcia przekątnych kwadratu ma zatem współrzędne\n(\n)\n8\n16\n3\n3\n4\n3\n2 4,\n1,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nO\nPole kwadratu ABCD jest równe\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n7\n1\n50\n8\n5\n3\n3\nABCD\nP\nAB\n\n\n\n\n\n\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nPunkt przecięcia przekątnych: \\(S = \\left(1,\\, \\dfrac{4}{3}\\right)\\), pole kwadratu: \\(P = 50\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie środka kwadratu z prostych przekątnych\n\n**Co wiemy na starcie:**\n- Przekątna \\(BD\\) leży na prostej \\(y = \\dfrac{4}{3}x\\)\n- Przekątne kwadratu są **prostopadłe** i **wzajemnie się dzielą na połowy**\n\n**Krok 1: Wyznacz prostą zawierającą przekątną \\(AC\\).**\n\nProsta \\(BD\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_1 = \\dfrac{4}{3}\\).\n\nPrzekątna \\(AC \\perp BD\\), więc jej współczynnik kierunkowy:\n\\[a_2 = -\\frac{1}{a_1} = -\\frac{3}{4}\\]\n\nProsta \\(AC\\) przechodzi przez \\(A = \\left(5, -\\dfrac{5}{3}\\right)\\):\n\\[y - \\left(-\\frac{5}{3}\\right) = -\\frac{3}{4}(x - 5)\\]\n\\[y = -\\frac{3}{4}x + \\frac{15}{4} - \\frac{5}{3}\\]\n\\[y = -\\frac{3}{4}x + \\frac{45}{12} - \\frac{20}{12} = -\\frac{3}{4}x + \\frac{25}{12}\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz punkt przecięcia przekątnych \\(S\\).**\n\nRozwiązujemy układ:\n\\[\\begin{cases} y = \\dfrac{4}{3}x \\\\[4pt] y = -\\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{25}{12} \\end{cases}\\]\n\n\\[\\frac{4}{3}x = -\\frac{3}{4}x + \\frac{25}{12}\\]\n\\[\\frac{16}{12}x + \\frac{9}{12}x = \\frac{25}{12}\\]\n\\[\\frac{25}{12}x = \\frac{25}{12}\\]\n\\[\\boxed{x = 1}\\]\n\n\\[y = \\frac{4}{3} \\cdot 1 = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Punkt przecięcia przekątnych:** \\(\\boldsymbol{S = \\left(1,\\, \\dfrac{4}{3}\\right)}\\)\n\n**Krok 3: Oblicz długość połowy przekątnej \\(|AS|\\).**\n\n\\[|AS| = \\sqrt{(5-1)^2 + \\left(-\\frac{5}{3} - \\frac{4}{3}\\right)^2} = \\sqrt{16 + \\left(-\\frac{9}{3}\\right)^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nPełna przekątna: \\(d = 2 \\cdot |AS| = 10\\).\n\n**Krok 4: Oblicz pole kwadratu.**\n\nDla kwadratu o przekątnej \\(d\\): \\(P = \\dfrac{d^2}{2}\\):\n\\[\\boxed{P = \\frac{10^2}{2} = \\frac{100}{2} = 50}\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczenie pola przez długość boku\n\nSkoro \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych, wyznaczymy wierzchołki \\(B\\) i \\(D\\), a potem sprawdzimy bok kwadratu.\n\n**Wyznacz \\(B\\) i \\(D\\) leżące na \\(y = \\dfrac{4}{3}x\\), symetryczne względem \\(S=(1, \\frac{4}{3})\\):**\n\nKierunek prostej \\(BD\\): wektor \\(\\left(\\frac{3}{5},\\, \\frac{4}{5}\\right)\\) (znormalizowany z kierunku \\((3, 4)\\), bo \\(|(3,4)|=5\\)).\n\nKażdy wierzchołek leży w odległości \\(|AS| = 5\\) od \\(S\\):\n\\[B = \\left(1 + 5 \\cdot \\frac{3}{5},\\; \\frac{4}{3} + 5 \\cdot \\frac{4}{5}\\right) = \\left(4,\\; \\frac{16}{3}\\right)\\]\n\\[D = \\left(1 - 3,\\; \\frac{4}{3} - 4\\right) = \\left(-2,\\; -\\frac{8}{3}\\right)\\]\n\n**Oblicz długość boku \\(|AB|\\):**\n\\[\\vec{AB} = (4-5,\\; \\tfrac{16}{3} - (-\\tfrac{5}{3})) = (-1,\\; 7)\\]\n\\[|AB| = \\sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \\sqrt{1 + 49} = \\sqrt{50}\\]\n\n**Pole kwadratu:**\n\\[P = |AB|^2 = 50 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja prostopadłości boków:**\n\\[\\vec{BC} = (-3 - 4,\\; \\tfrac{13}{3} - \\tfrac{16}{3}) = (-7, -1)\\]\n\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{BC} = (-1)(-7) + (7)(-1) = 7 - 7 = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. Warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy przy wyznaczaniu kierunku przekątnej \\(AC\\) prostopadłej do \\(BD\\).\n\n2. Długość odcinka:\n\\[|AS| = \\sqrt{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do obliczenia połowy przekątnej.\n\n3. Równanie kierunkowe prostej przez punkt:\n\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia równania prostej \\(AC\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) dla prostych prostopadłych - pamiętaj, że dotyczy wyłącznie prostych **niepoziomych i niepionowych**. Tu prosta \\(BD\\) ma slope \\(\\frac{4}{3} \\neq 0\\), więc wzór działa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu przez przekątną to \\(P = \\dfrac{d^2}{2}\\) - łatwo pomylić z prostokątem (\\(P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\)), ale w kwadracie \\(d_1 = d_2 = d\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \\(|AS|\\), uważaj na arytmetykę z ułamkami: \\(-\\dfrac{5}{3} - \\dfrac{4}{3} = -\\dfrac{9}{3} = -3\\), a nie \\(-\\dfrac{9}{6}\\). Warto sprowadzić do wspólnego mianownika przed odejmowaniem.\n\n**Odpowiedź: \\(S = \\left(1, \\dfrac{4}{3}\\right)\\); pole \\(= 50\\)**\n\n### Sposób 1 - Przekątne prostopadłe\n**Krok 1 - prosta \\(AC\\).** Przekątne kwadratu są prostopadłe. Współczynnik \\(BD\\) = \\(\\tfrac{4}{3}\\), więc \\(AC\\) ma współczynnik \\(-\\tfrac{3}{4}\\).\nProsta \\(AC\\) przechodzi przez \\(A = (5, -\\tfrac{5}{3})\\):\n\\[y + \\tfrac{5}{3} = -\\tfrac{3}{4}(x - 5)\\]\n\\[y = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{15}{4} - \\tfrac{5}{3} = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{45-20}{12} = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{12}.\\]\n\n**Krok 2 - punkt \\(S\\) (przecięcie \\(AC\\) i \\(BD\\)):**\n\\[\\tfrac{4}{3}x = -\\tfrac{3}{4}x + \\tfrac{25}{12}\\]\nMnożymy przez 12:\n\\[16x = -9x + 25 \\Rightarrow 25x = 25 \\Rightarrow x = 1.\\]\n\\(y = \\tfrac{4}{3}\\cdot 1 = \\tfrac{4}{3}\\). Zatem \\(S = \\left(1, \\tfrac{4}{3}\\right)\\).\n\n**Krok 3 - pole kwadratu.**\n\\(|AS|^2 = (5-1)^2 + \\left(-\\tfrac{5}{3}-\\tfrac{4}{3}\\right)^2 = 16 + 9 = 25\\), \\(|AS| = 5\\).\nPrzekątna \\(|AC| = 2|AS| = 10\\).\nPole kwadratu = \\(\\tfrac{d^2}{2} = \\tfrac{100}{2} = 50\\).\n\n### Sposób 2 - Własność kwadratu\nŚrodek kwadratu (przecięcie przekątnych) to środek odcinka \\(AC\\). Długość \\(|AS|\\) - połowa przekątnej. Pole = \\(2|AS|^2\\):\n\\[P = 2\\cdot 25 = 50.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(S = (1, \\tfrac{4}{3})\\), pole \\(= 50\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego (\n)\nna\n, określonego dla\n1\nn ≥, są dodatnie. Wyrazy tego\nciągu spełniają warunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\n. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału\n2 2, 3 2 .\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nRozwiązanie zadania. Dane są liczby a=3log_2 27 i b=(√6-√7)(3√6+3√7). Wartością a-b jest liczba całkowitą. Oblicz tę liczbę.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i sumę n\npoczątkowych wyrazów ciągu geometrycznego (5.4).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze\noraz\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równość\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\nw postaci\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\na\na\nq\na\nq\n⋅\n⋅\nlub\n(\n)\n2\n1\n5\n6\n0\na\nq\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n2\n5\n6\n0\nq\nq\n:\n2\nq =\nlub\n3\nq =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze iloraz q ciągu geometrycznego\nnależący do przedziału 2 2, 3 2 :\n3\nq =\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający przy oznaczeniach\nwykorzysta własność ciągu geometrycznego\ni zapisze równość\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równość\ni z równości 6\n5\n0\na\nb\nc\nwyznaczy jedną niewiadomą\nw zależności od dwóch pozostałych, np.:\n5\n6\nc\nb\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n2\n2\n5\n6\n0\nb\nab\na\nz niewiadomą, np. b:\n2\n1\na\na q\n⋅\n2\n3\n1\na\na\nq\n⋅\n(\n)\nn\na\n1\n2\n3\n,\n,\na\na a\nb a\nc\n2\nb\nac\n2\nb\nac\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1\n2\nb\na\nlub\n2\n3\nb\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający poda iloraz q ciągu geometrycznego\n:\n3\nq =\nUwagi do I i II sposobu oceniania\n1. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅+\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu\nkonkretną liczbę dodatnią, pisząc, np. że wartość pierwszego wyrazu nie ma wpływu na\niloraz ciągu, a następnie rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje\n4 punkty.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem i otrzyma co najmniej jedno\nrozwiązanie i konsekwentnie poda odpowiedź, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅+\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu\nkonkretną liczbę dodatnią i rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą q\noraz zapisze wnioski, konsekwentne do otrzymanych rozwiązań, dotyczące należenia\nbądź nie tych rozwiązań do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅+\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz\nciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda\n3\nq =\ni zapisze, że ten iloraz należy do\nprzedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅+\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz\nciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda\n2\nq\ni zapisze, że ten iloraz nie należy\ndo przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.\n6. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie kwadratowe przy ujemnym wyróżniku, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n7. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n3\nq =\n, np. (\n)\n1,3,9,\noraz\nsprawdzi,\nże\npierwszy,\ndrugi\ni\ntrzeci\nwyraz\ntego\nciągu\nspełniają\nwarunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na\ntym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.\n8. Jeżeli zdający zapisze dwa konkretne ciągi o wyrazach dodatnich; jeden o ilorazie\n2\nq\n,\nnp. (1,2,4, ) , drugi o ilorazie\n3\nq =\n, np.(\n)\n1,3,9, oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci\nwyraz każdego z tych ciągów spełniają warunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni zapisze, że\niloraz\n2\nq\nnie należy do przedziału 2 2 , 3 2 , a iloraz\n3\nq =\nnależy do przedziału\n2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.\n9. Jeżeli zdający poda\n3\nq =\ni zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na\ntym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n(\n)\nna\n10. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n3\nq =\noraz sprawdzi,\nże ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n11. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n3\nq =\n, np. (\n)\n1,3,9,\noraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni na tym zakończy, to otrzymuje 1punkt.\n12. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n2\nq\n, np. (\n)\n1,2,4,\noraz\nsprawdzi,\nże\npierwszy,\ndrugi\ni\ntrzeci\nwyraz\ntego\nciągu\nspełniają\nwarunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2\ni na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n13. Jeżeli zdający poda\n2\nq\ni zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2\ni na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.\n14. Jeżeli zdający myli własność ciągu geometrycznego z własnością ciągu arytmetycznego,\nto za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n15. Jeżeli zdający poda jedynie\n3\nq =\ni na tym zakończy, to otrzymuje 0 punków.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczamy przez q iloraz ciągu\n. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i zapisujemy równość\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\na\na q\na q\n⋅+\n⋅\n,\nWyłączamy wspólny czynnik\n1a poza nawias (\n)\n2\n1 6 5\n0\na\nq\nq\n-⋅+\nPonieważ wyrazy ciągu są dodatnie, więc\n1\n0\na ≠\n. Korzystamy z własności iloczynu równego\nzero i otrzymujemy równanie\n2\n5\n6\n0\nq\nq\nTo równanie ma dwa rozwiązania\n2\nq =\nlub\n3\nq =\n. Ponieważ\n2 2, 3 2\nq∈\n, więc\n3\nq =\nII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego\noraz niech\nZatem równość\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\nzapisujemy w postaci: 6\n5\n0\na\nb\nc\nStąd\n5\n6\nc\nb\na\n. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu (\n)\n, ,\na b c są dodatnie, więc ciąg ten jest\ngeometryczny, gdy spełniona jest równość\nPodstawiamy do równania\nza c i otrzymujemy:\n(\n)\n2\n5\n6\nb\na\nb\na\n,\n2\n2\n5\n6\n0\nb\nab\na\n(\n)\nna\n(\n)\nna\n1\n2\n3\n,\n,\na\na a\nb a\nc\n2\nb\nac\n2\nb\nac\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązujemy to równanie przyjmując za niewiadomą, np. b.\nWtedy\n2\na\nΔ =\n,\na\nΔ =\n, ponieważ\n0\na >\nZatem rozwiązaniami równania są\n1\n5\n2\n2\na\na\nb\na\nlub\n2\n5\n3\n2\na\na\nb\na\nObliczamy iloraz q ciągu\n:\n2\n2\nb\na\nq\na\na\nlub\n3\n3\nb\na\nq\na\na\nPonieważ\n2 2, 3 2\nq∈\n, więc iloraz ciągu\njest równy:\n3\nq =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(q = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wzoru na wyrazy ciągu geometrycznego\n\n**Od czego zaczynamy:** W ciągu geometrycznym każdy wyraz to \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), więc:\n\\[a_1 = a_1, \\quad a_2 = a_1 q, \\quad a_3 = a_1 q^2\\]\n\n**Podstawiamy do warunku** \\(6a_1 - 5a_2 + a_3 = 0\\):\n\\[6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(a_1\\) przed nawias.** Ponieważ wszystkie wyrazy są dodatnie, mamy \\(a_1 > 0\\), więc możemy podzielić obie strony przez \\(a_1\\):\n\\[q^2 - 5q + 6 = 0\\]\n\n**Rozwiązujemy równanie kwadratowe** - szukamy dwóch liczb, których iloczyn to \\(6\\), a suma to \\(5\\):\n\\[\\Delta = 25 - 24 = 1\\]\n\\[q_1 = \\frac{5 - 1}{2} = 2, \\qquad q_2 = \\frac{5 + 1}{2} = 3\\]\n\n**Sprawdzamy, który iloraz leży w przedziale \\(\\langle 2\\sqrt{2},\\, 3\\sqrt{2}\\rangle\\):**\n\\[2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83, \\qquad 3\\sqrt{2} \\approx 4{,}24\\]\n\n- \\(q = 2\\): \\quad \\(2 < 2\\sqrt{2}\\) - **nie należy** do przedziału\n- \\(q = 3\\): \\quad \\(2\\sqrt{2} \\leq 3 \\leq 3\\sqrt{2}\\) - **należy** do przedziału ✓\n\n**Odpowiedź:** \\[\\boxed{q = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że \\(q = 3\\) rzeczywiście spełnia warunek zadania. Przyjmijmy dla przykładu \\(a_1 = 1\\), czyli:\n\\[a_1 = 1, \\quad a_2 = 3, \\quad a_3 = 9\\]\n\nPodstawiamy do \\(6a_1 - 5a_2 + a_3\\):\n\\[6 \\cdot 1 - 5 \\cdot 3 + 9 = 6 - 15 + 9 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(q = 2\\) sprawdzamy analogicznie (\\(a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 4\\)):\n\\[6 \\cdot 1 - 5 \\cdot 2 + 4 = 6 - 10 + 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nOba spełniają warunek algebraiczny, ale tylko \\(q = 3\\) spełnia dodatkowy warunek z treści (przynależność do podanego przedziału).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go, aby wyrazić \\(a_2\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło sprowadzić warunek do równania kwadratowego.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad q_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy przy rozwiązywaniu równania \\(q^2 - 5q + 6 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie daje **dwa** matematycznie poprawne ilorazy (\\(q = 2\\) i \\(q = 3\\)). Pominięcie warunku o przedziale i podanie tylko jednego rozwiązania to błąd - koniecznie sprawdź oba!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielenie przez \\(a_1\\) jest dozwolone tylko dlatego, że treść gwarantuje, że wszystkie wyrazy są **dodatnie** (więc \\(a_1 \\neq 0\\)). Gdyby tego nie było, musiałbyś rozważyć przypadek \\(a_1 = 0\\) osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2\\sqrt{2} \\approx 2{,}83\\), a nie \\(2\\). Łatwo przeoczyć, że \\(q = 2\\) **nie należy** do przedziału \\(\\langle 2\\sqrt{2}, 3\\sqrt{2}\\rangle\\) - warto zawsze obliczyć przybliżoną wartość granic przedziału!\n\n**Odpowiedź: \\(q = 3\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyrażenie przez \\(a_1\\) i \\(q\\)\n\\(a_2 = a_1 q\\), \\(a_3 = a_1 q^2\\). Podstawiamy:\n\\[6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0\\]\n\\[a_1(6 - 5q + q^2) = 0.\\]\nPonieważ \\(a_1 > 0\\):\n\\[q^2 - 5q + 6 = 0.\\]\n\n**Delta i pierwiastki:**\n\\(\\Delta = 25-24 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1\\).\n\\[q_{1,2} = \\dfrac{5\\pm 1}{2}, \\quad q_1 = 3, q_2 = 2.\\]\n\n**Sprawdzenie przedziału \\(\\langle 2\\sqrt{2}, 3\\sqrt{2}\\rangle\\):**\n\\(2\\sqrt{2}\\approx 2{,}83\\); \\(3\\sqrt{2}\\approx 4{,}24\\).\n- \\(q = 2\\): \\(2 < 2{,}83\\), **nie** należy.\n- \\(q = 3\\): \\(2{,}83 < 3 < 4{,}24\\), ✓ należy.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nDla \\(q = 3\\): ciąg np. \\(1, 3, 9\\). Sprawdzamy: \\(6\\cdot 1 - 5\\cdot 3 + 9 = 6 - 15 + 9 = 0\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(q = 3\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"ciagi","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6\n(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod\nkątem, którego tangens jest równy 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nS\n6\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozwiązanie zadania. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ABCDEFS, którego krawędź podstawy a ma długość 8 (zobacz rysunek), ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α=60°. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający rozpoznaje\nw graniastosłupach i ostrosłupach kąt między\nodcinkami i płaszczyznami (między krawędziami\ni ścianami, przekątnymi i ścianami), oblicza miary\ntych kątów (9.2).\n6. Trygonometria. Zdający wykorzystuje definicje\ni wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens\nkątów o miarach od 0°do 180°(6.1).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\nzaznaczy na rysunku kąt α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji tangensa kąta α:\n7\n1\n2\nh\na\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOE:\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEC:\n2\n2\n2\n6\n2\nb\na\nh\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC:\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n(\n)\nna\n(\n)\nna\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji sinusa kąta α :\n14\n4\nb\nh\nh =\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji cosinusa kąta α : 2\n2\n4\nb\na\nh =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze\nukład dwóch równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n7\n1\n2\nh\na\ni\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\nukład trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n14\n4\nb\nh\nh =\ni\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\ni\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\nh\nh\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n1\n14\n6\n4\n4\nb\nb\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający:\nobliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa lub wysokość ostrosłupa:\n4\na =\n,\n2 7\nh =\nalbo\nobliczy wysokość\nbh ściany bocznej ostrosłupa oraz wyznaczy objętość ostrosłupa\nw zależności od tej wysokości:\n4 2\nbh =\n,\n2\n1 1\n14\n3 2\n4\nb\nb\nV\nh\nh\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n32 7\n3\nV =\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności\nrozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest pominięcie współczynnika 1\n3 we wzorze\nna objętość ostrosłupa, to otrzymuje 4 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji tangensa (lub niepoprawnej definicji innej\nfunkcji trygonometrycznej wykorzystanej przez zdającego), np. tg\nbh\nh\nα =\n, tg\nh\na\nα =\nb) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia\ninnych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\n4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 3., a ponadto popełnia błędy\nrachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy\ntego ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile poprawnie\nzastosuje twierdzenie Pitagorasa.\n6. Jeżeli zdający przyjmuje, że krawędź podstawy ostrosłupa jest równa 6, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile zapisze poprawny związek\nmiędzy wielkościami h, hb i a lub zaznaczy poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej\nostrosłupa do płaszczyzny podstawy.\n7. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nZaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\ni wprowadzamy następujące oznaczenia:\na - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa.\nKorzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy\nzwiązek\n7\n1\n2\nh\na\n, czyli\n7\n2\nh\na\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC wynika równanie\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nWykorzystując wcześniejszą zależność otrzymujemy\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n6\na\nh\nα\nB\nA\nC\nD\nE\nO\nS\n2\n2\n7\n2\n36\n4\n4\na\na\n2\n9\n36\n4 a =\n, stąd\n2\n16\na =\n, czyli\n4.\na =\nStąd\n7\n4\n2 7\n2\nh =\n⋅\n. Obliczamy objętość ostrosłupa:\n2\n1\n32 7\n4\n2 7\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅\nII sposób\nZaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\ni wprowadzamy następujące oznaczenia:\na - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa, hb - wysokość ściany bocznej\nostrosłupa\nKorzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:\n7\n1\n2\nh\na\n, czyli\n7\n2\nh\na\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SEC otrzymujemy\n2\n2\n2\n6\n2\nb\na\nh\n\n\n-\n\n\n\n,\n2\n2\n144\n4\nb\na\nh\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\n2\n2\n144\n4\n4\na\na\nh\n,\n2\n2\n2\n7\n144\n4\n4\n4\na\na\na\n2\n16\na =\nStąd\n4\na =\n, więc\n2 7\nh =\nObjętość ostrosłupa jest równa:\n2\n1\n32\n4\n2 7\n7\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅\nC\nD\nB\nA\nE\nO\nS\n6\na\nh\nα\nhb\nO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga\nZależności między wielkościami h, a i\nbh możemy też otrzymać, wykorzystując definicje\nfunkcji sinus lub cosinus kąta α. Jeżeli tg\n7\nα =\n, to\n14\n4\nsin α =\ni\n2\n4\ncosα =\nStąd\n14\n4\nb\nh\nh =\noraz\n1\n2\n2\n4\nb\na\nh\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI.\nogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\ngłówny 2020.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nw\nwyniku\nprzekształceń\nalgebraicznych\ndoprowadza\nnierówność\ndo\npostaci\n2\n0\n>\nax\nbx\nc\n, gdzie ∆ > 0 (wystarczy, że z rozwiązania zdającego wynika, że traktuje\notrzymaną nierówność jak nierówność kwadratową) oraz stosuje wzory na pierwiastki\ntrójmianu kwadratowego i oblicza te pierwiastki.\nlub\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, z których jednym będzie (\n)\n1\nx\nlub\npoprawnie rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\n>\nx\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nPomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n,\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\nUwaga!\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów domkniętych,\nto może otrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 27. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\npoda co najmniej dwa poprawne rozwiązania równania.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nprzyrówna każdy z czynników do zera, wyznaczy 4 pierwiastki, z których dwa będą\nprawidłowe (obliczone z jednego czynnika), a w obliczeniu pozostałych pierwiastków będą\nwystępowały błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad\nlub\nprzyrówna każdy z czynników do zera i wyznaczy pierwiastki równania:\n1,\n0,\n2\nx\nx\nx\n(z pominięciem\n1\nx\n).\nZadanie 28. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb w zależności od zmiennej 𝑎 lub 𝑏\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nzapisze nierówność w postaci równoważnej (\n)\n2\n2\n0\n>\na\nb\nb\noraz stwierdzi (lub zaznaczy),\nże każdy ze składników lewej strony nierówności jest dodatni.\nZadanie 29. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze poprawną proporcję między długościami boków trójkątów 𝐶𝐵𝐷 i 𝐶𝐸𝐹, wynikającą\nz ich podobieństwa np.:\nCF\nCD\nCE\nCB\nlub\nustali związki miarowe między długościami boków w jednym z trójkątów prostokątnych\n𝐶𝐵𝐷 lub 𝐶𝐸𝐹.\nZadanie 30. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń\nelementarnych)\nlub\nzapisze liczbę 11, a z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. zilustruje to wypisaniem kilku zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A, ale nie zapisze zdarzeń elementarnych, które\nnie sprzyjają zdarzeniu A).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu\nA, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 36\nx , gdzie x jest liczbą\nzliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających A.\nUwaga!\nW ocenie rozwiązania zadania 30. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się następującej\nuwagi z zasad oceniania arkuszy standardowych:\nJeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma 𝑃(𝐴) > 1 lub 𝑃(𝐴) < 0, to otrzymuje za\ncałe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na\nułamkach.\nZadanie 31. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\ndoprowadzi równanie\n2sin\n3cos\n4\ncos\nα +\nα =\nα\ndo postaci\nsin\ncos\nα =\nα\na\nb\n, popełniając\newentualnie błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad oceniania\nlub\npoprawnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie\nprostokątnym i poprawnie zapisze równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα +\nα =\nα\nw postaci, w której\nwystępują jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\ndoprowadzi do równania: 2tg\n1\nα = .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32. (0-4)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\npoprawnie wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n3\n4\nlub\npoprawnie zastosuje wzór na odległość punktu A od prostej BD.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nzdający wyznaczy poprawne równanie prostej AC, zapisuje układ równań, pozwalający\nobliczyć współrzędne punktu O i rozwiązuje ten układ równań\nlub\nzdający obliczy odległość punktu A od prostej BD i stosuje poprawną metodę obliczenia\npola kwadratu, z wykorzystaniem obliczonej odległości.\nZadanie 33. (0-4)\nStosują się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34. (0-5)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzastosuje poprawnie twierdzenie Pitagorasa dla jednego z trójkątów: SOE lub SEC lub\nSOC\nlub\nzastosuje poprawnie definicję funkcji tangens w trójkącie SOE dla kąta 𝛼:\ntg\nOS\nOE\nα =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = \\dfrac{32\\sqrt{7}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku podstawy z warunków geometrycznych\n\n**Oznaczenia:**\n\nNiech \\(a\\) = bok podstawy (kwadratu), \\(h\\) = wysokość ostrosłupa, \\(O\\) = środek podstawy, \\(M\\) = środek krawędzi \\(AB\\).\n\n**Krok 1 - Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.**\n\nŚciana boczna \\(SAB\\) jest nachylona do podstawy wzdłuż krawędzi \\(AB\\). Kąt diedralny mierzymy w przekroju prostopadłym do \\(AB\\) przez jego środek \\(M\\):\n\n\\[\n\\text{kąt } \\angle OMS, \\text{ gdzie } O = \\text{środek podstawy}\n\\]\n\nW tej mierzeniu:\n- \\(|MO| = \\dfrac{a}{2}\\) - apotema kwadratu (odległość od środka do środka boku)\n- \\(|SO| = h\\) - wysokość ostrosłupa\n\n\\[\n\\operatorname{tg}(\\angle OMS) = \\frac{h}{|MO|} = \\frac{h}{\\frac{a}{2}} = \\frac{2h}{a} = \\sqrt{7}\n\\]\n\n**Stąd:**\n\\[\nh = \\frac{a\\sqrt{7}}{2}\n\\]\n\n**Krok 2 - Długość krawędzi bocznej.**\n\nKrawędź boczna \\(SA\\) łączy wierzchołek \\(S\\) z narożnikiem kwadratu \\(A\\). Odległość od środka podstawy do narożnika:\n\n\\[\n|OA|^2 = \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = \\frac{a^2}{2}\n\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa (w trójkącie \\(SOA\\)):\n\\[\n|SA|^2 = |OA|^2 + h^2 = \\frac{a^2}{2} + h^2 = 36\n\\]\n\n**Krok 3 - Układ równań → wyznaczenie \\(a\\).**\n\nPodstawiamy \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{7}}{2}\\):\n\n\\[\n\\frac{a^2}{2} + \\left(\\frac{a\\sqrt{7}}{2}\\right)^2 = 36\n\\]\n\n\\[\n\\frac{a^2}{2} + \\frac{7a^2}{4} = 36\n\\]\n\n\\[\n\\frac{2a^2}{4} + \\frac{7a^2}{4} = 36\n\\]\n\n\\[\n\\frac{9a^2}{4} = 36\n\\]\n\n\\[\na^2 = 16 \\implies \\boxed{a = 4}\n\\]\n\n**Krok 4 - Wyznaczenie wysokości i objętości.**\n\n\\[\nh = \\frac{4\\sqrt{7}}{2} = 2\\sqrt{7}\n\\]\n\n\\[\nV = \\frac{1}{3} \\cdot a^2 \\cdot h = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{7} = \\boxed{\\frac{32\\sqrt{7}}{3}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez apotemę ściany bocznej\n\n**Krok 1 - Wyznaczyć apotemę ściany bocznej (slant height) \\(l\\).**\n\nApotema ściany \\(l\\) = \\(|SM|\\) (odległość od wierzchołka do środka krawędzi podstawy):\n\n\\[\nl^2 = |MO|^2 + h^2 = \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 + h^2\n\\]\n\nKąt nachylenia ściany to \\(\\angle OMS\\), więc:\n\n\\[\n\\sin(\\angle OMS) = \\frac{h}{l}, \\quad \\cos(\\angle OMS) = \\frac{a/2}{l}, \\quad \\operatorname{tg}(\\angle OMS) = \\sqrt{7}\n\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\n1 + \\operatorname{tg}^2 = \\frac{1}{\\cos^2} \\implies \\cos^2(\\angle OMS) = \\frac{1}{1+7} = \\frac{1}{8}\n\\]\n\nKrawędź boczna \\(|SA| = 6\\), a w trójkącie \\(SAM\\) (gdzie \\(|AM| = \\frac{a}{2}\\)):\n\n\\[\n|SA|^2 = |SM|^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2\n\\]\n\nAle mamy \\(\\cos(\\angle OMS) = \\frac{a/2}{l}\\), więc \\(\\frac{a}{2} = l \\cdot \\frac{1}{2\\sqrt{2}}\\).\n\nPracujmy przez trójkąt \\(SOA\\) bezpośrednio z proporcjami kąta:\n\n\\[\n\\frac{h}{a/2} = \\sqrt{7} \\implies h = \\frac{a\\sqrt{7}}{2}\n\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1 → \\(a = 4\\), \\(h = 2\\sqrt{7}\\).\n\n**Weryfikacja:**\n\n- Apotema podstawy: \\(\\dfrac{a}{2} = 2\\)\n- Apotema ściany: \\(l = \\sqrt{2^2 + (2\\sqrt{7})^2} = \\sqrt{4 + 28} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}\\)\n- Krawędź boczna: \\(|SA| = \\sqrt{|OA|^2 + h^2} = \\sqrt{8 + 28} = \\sqrt{36} = 6\\) ✓\n- \\(\\operatorname{tg}(\\text{kąt}) = \\dfrac{2\\sqrt{7}}{2} = \\sqrt{7}\\) ✓\n- \\(V = \\dfrac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 2\\sqrt{7} = \\dfrac{32\\sqrt{7}}{3}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy do obliczenia objętości po wyznaczeniu \\(a\\) i \\(h\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy trzykrotnie:\n1. Odległość środka do narożnika: \\(|OA|^2 = 2 \\cdot \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2\\)\n2. Krawędź boczna: \\(|SA|^2 = |OA|^2 + h^2\\)\n3. Weryfikacja apotemy ściany\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia **ściany bocznej** do podstawy to kąt diedralny wzdłuż krawędzi podstawy - mierzymy go przez środek tej krawędzi (punkt \\(M\\)), a **nie** przez narożnik. Mylenie \\(M\\) z \\(A\\) to najczęstszy błąd, który daje złe \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość od środka kwadratu do narożnika to \\(\\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\), ale do **środka boku** (apotema) to tylko \\(\\dfrac{a}{2}\\). Tu do kąta ściany potrzebujemy apotemy \\(\\dfrac{a}{2}\\), a do krawędzi bocznej - odległości do narożnika \\(\\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Nie mieszaj tych dwóch!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na końcu nie zapomnij o \\(\\dfrac{1}{3}\\) w wzorze na objętość ostrosłupa - bez tego wynik jest trzy razy za duży.\n\n**Odpowiedź: \\(V = \\dfrac{32\\sqrt{7}}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nOznaczmy: \\(a\\) - krawędź podstawy (kwadrat), \\(H\\) - wysokość ostrosłupa.\n\n**Krok 1 - kąt nachylenia ściany bocznej.**\nNiech \\(O\\) - środek podstawy, \\(M\\) - środek krawędzi podstawy (np. \\(AB\\)). Kąt nachylenia ściany \\(ABS\\) do podstawy = kąt \\(\\angle SMO\\) w trójkącie prostokątnym \\(SOM\\).\n\\(|OM| = \\tfrac{a}{2}\\) (od środka podstawy do środka boku).\n\\[\\tan(\\angle SMO) = \\dfrac{H}{|OM|} = \\dfrac{H}{a/2} = \\dfrac{2H}{a} = \\sqrt{7} \\Rightarrow H = \\dfrac{a\\sqrt{7}}{2}.\\]\n\n**Krok 2 - krawędź boczna.**\nW trójkącie \\(SOA\\): \\(|OA| = \\tfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\) (połowa przekątnej). Krawędź boczna \\(|SA| = 6\\):\n\\[|SA|^2 = H^2 + |OA|^2\\]\n\\[36 = \\dfrac{7a^2}{4} + \\dfrac{a^2}{2} = \\dfrac{7a^2 + 2a^2}{4} = \\dfrac{9a^2}{4}\\]\n\\[a^2 = 16 \\Rightarrow a = 4.\\]\n\n**Krok 3 - wysokość i objętość.**\n\\(H = \\tfrac{4\\sqrt{7}}{2} = 2\\sqrt{7}\\).\nPole podstawy: \\(P_p = 16\\).\nObjętość:\n\\[V = \\dfrac{1}{3}\\cdot P_p\\cdot H = \\dfrac{1}{3}\\cdot 16\\cdot 2\\sqrt{7} = \\dfrac{32\\sqrt{7}}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(H = 2\\sqrt{7} \\approx 5{,}29\\), \\(|OM| = 2\\), \\(\\tan = 5{,}29/2 \\approx 2{,}65 \\approx \\sqrt{7}\\) ✓.\n\n**Odpowiedź:** \\(V = \\dfrac{32\\sqrt{7}}{3}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}