{"paper":{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWielomian W określony wzorem\n( )\n2019\n2000\n3\n2\n6\nW x\nx\nx\nx\nA. jest podzielny przez (\n)1\nx -\ni z dzielenia przez (\n)1\nx +\ndaje resztę równą 6 .\nB. jest podzielny przez (\n)1\nx +\ni z dzielenia przez (\n)1\nx -\ndaje resztę równą 6 .\nC. jest podzielny przez (\n)1\nx -\ni jest podzielny przez (\n)1\nx +\nD. nie jest podzielny ani przez (\n)1\nx -\n, ani przez (\n)1\nx +\nWielomian W(x)=x^3-x^2-x-2 jest podzielny bez reszty przez wielomian A. x+2 B. x+1 C. x-1 D. x-2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nstosuje twierdzenie o reszcie\nz dzielenia wielomianu przez dwumian\nx - a (R3.4).\nB","solution":"Poprawnie, $W(-1) = (-1)^{2019} - 3\\cdot(-1)^{2000} + 2\\cdot(-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = 0$, co oznacza, że $W$ jest podzielny przez $(x+1)$. Z kolei $W(1) = 1^{2019} - 3 \\cdot 1^{2000} + 2 \\cdot 1 + 6 = 1 - 3 + 2 + 6 = 6$, co potwierdza, że reszta z dzielenia przez $(x-1)$ wynosi $6$.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\n3\n7\n5\n11 5\n5\nn\nn\nn\na\nn\nn\ndla każdej liczby naturalnej\n1\nn ≥.\nGranica tego ciągu jest równa\nA. 3\nB.\n1\n5\nC. 3\n5\nD.\n5\n11\nGranica lim_{x→+∞}(x^3+8/x^2-4 -x) jest równa A. -∞ B. +∞ C. 0 D. -2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n5. Ciągi. Zdający oblicza granice\nciągów, korzystając z granic ciągów\ntypu 1\nn\n,\n2\n1\nn\noraz z twierdzeń\no działaniach na granicach ciągów\n(R5.2).\nC","solution":"1. Zacznijmy od zapisu wzoru ciągu: $$ a_n = \\frac{3n^2 + 7n - 5}{11 - 5n + 5n^2}. $$\n\n2. Aby znaleźć granicę tego ciągu, obliczamy granicę przy $n$ dążącym do nieskończoności: $$ \\lim_{n \\to \\infty} a_n. $$\n\n3. Rozważmy oba stopnie wielomianu w liczniku i mianowniku. W liczniku mamy $3n^2 + 7n - 5$, a w mianowniku $11 - 5n + 5n^2$.\n\n4. Dla dużych wartości $n$, wyrazy o najwyższych stopniach dominują, więc uprościmy granicę do: $$ \\lim_{n \\to \\infty} \\frac{3n^2}{5n^2}. $$\n\n5. Upraszczamy wyrażenie: $$ \\frac{3n^2}{5n^2} = \\frac{3}{5}. $$\n\n6. Zatem: $$ \\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{3}{5}. $$\n\n7. Na podstawie obliczeń, wybieramy odpowiednią odpowiedź.\n\n**Odpowiedź:** $\\frac{3}{5}$.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nMamy dwie urny. W pierwszej są 3 kule białe i 7 kul czarnych, w drugiej jest jedna kula biała\ni 9 kul czarnych. Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma\ninną liczbę oczek, od jednego oczka do sześciu oczek. Jeśli w wyniku rzutu otrzymamy ściankę\nz jednym oczkiem, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku -\nlosujemy jedną kulę z drugiej urny. Wtedy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest\nrówne\nA.\n2\n15\nB.\n1\n5\nC. 4\n5\nD. 13\n15","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne\n10. Elementy statystyki opisowej.\nTeoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji\ni wariacji z powtórzenia mi do\nzliczania obiektów w bardziej\nzłożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1).\nA","solution":"Poprawnie, aby obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, rozważamy dwa przypadki: rzut z jedynką (prawdopodobieństwo $\\small\\displaystyle\\frac{1}{6}$) i losowanie z pierwszej urny, gdzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to $\\small\\displaystyle\\frac{3}{10}$ oraz rzut bez jedynki (prawdopodobieństwo $\\small\\displaystyle\\frac{5}{6}$) i losowanie z drugiej urny, gdzie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej to $\\small\\displaystyle\\frac{1}{10}$. Zatem $P(B)=\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{3}{10} + \\frac{5}{6} \\cdot \\frac{1}{10} = \\frac{2}{15}$.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nPo\nprzekształceniu\nwyrażenia\nalgebraicznego\n(\n)\n4\n2\n3\nx\ny\ndo\npostaci\n4\n3\n2\n2\n3\n4\nax\nbx y\ncx y\ndxy\ney\nwspółczynnik c jest równy\nA. 6\nB. 36\nC. 8 6\nD. 12 6\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS\n\nMMA_1R\nWyrażenie 1/√3+√2+1 jest równe A. √3+√2-1 & B. 2+√2-√6/4 C. 1/4 D. √3+√2-1/6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający\nużywa wzorów skróconego mnożenia\n(\n)\n±\n2\na\nb\noraz\n2\n2\na\nb (2.1). Zdający\nużywa wzorów skróconego mnożenia\n(\n)\n±\n3\na\nb\noraz\n±\n3\n3\na\nb (R2.1).\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, współczynnik $c$ wynosi $36$, ponieważ $\\binom{4}{2}\\cdot(x\\sqrt2)^2\\cdot(y\\sqrt3)^2 = 6\\cdot2x^2\\cdot3y^2=36x^2y^2$.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nW trójkącie ABC bok AB jest 3 razy dłuższy od boku AC, a długość boku BC stanowi 4\n5\ndługości boku AB. Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta ABC.\nW kratki poniżej wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę\npo przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\nMMA_1R\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla n≥1, jest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz ciągu (a_n). W kratki poniżej wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności, części dziesiętnych i setnych otrzymanego wyniku. [rysunek]","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje\nzwiązki miarowe w figurach płaskich\nz zastosowaniem twierdzenia sinusów\ni twierdzenia cosinusów (R7.5).\nUwaga: Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"955","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"planimetria","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których równanie\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nma dwa\nróżne rozwiązania dodatnie.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nA\nB\nC\nM\nD\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których nierówność (m^2+4m-5)⋅ x² + 2x > 2mx - 2 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający wykorzystuje pojęcie\nwartości bez względnej i jej interpretację\ngeometryczną (R1.1).\n4. Funkcje. Zdający szkicuje wykres funkcji\nokreślonej w różnych przedziałach różnymi wzorami;\nodczytuje własności takiej funkcji z wykresu (R4.4).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający naszkicuje wykres funkcji f określonej wzorem:\n( )\n5\nf x\nx\nalbo\n( )\n5\n4\nf x\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze układ nierówności\n(\n)\n2\n0\n1\n4\n5\na\n<\n-<\noraz rozwiąże poprawnie jedną z nierówności tego układu\nalbo\n(\n)\n2\n4\n1\n9\na\n<\n<\noraz rozwiąże poprawnie jedną z nierówności tego układu\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający rozwiąże układ nierówności i zapisze, że\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\n9\n5\n5\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zapisze, że podane równanie ma dwa rozwiązania dodatnie, gdy spełniona jest\nnierówność\n0\n5\n5\nx\n<\n<\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze układ nierówności\n(\n)\n2\n0\n1\n4\n5\na\n<\n-<\noraz rozwiąże poprawnie jedną\nz dwóch nierówności tego układu i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający rozwiąże układ nierówności i zapisze, że\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający:\nzapisze, że podane równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie wtedy, gdy spełniona\njest nierówność\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n>\n,\nalbo\nzapisze podane równanie w postaci alternatywy równań\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nlub\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający:\nzapisze, że podane równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie wtedy, gdy spełniona\njest nierówność\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n>\ni\nzapisze podane równanie w postaci alternatywy równań\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nlub\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\ni\nrozwiąże poprawnie przynajmniej jedną z trzech nierówności:\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n>\n, (\n)\n2\n1\n1\n0\na -\n+ >\n,\n(\n)\n2\n9\n1\n0\na\n>\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze, że\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający\nzapisze warunek istnienia rozwiązań rzeczywistych równania\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\n:\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n≥\nalbo\nzdający zapisze układ nierówności:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n4 25\n1\n4\n0\na\n\n\n>\n\n\n\n\ni (\n)\n10\n1\n0\n>\ni\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n25\n1\n4\n0\na\n>\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze układ nierówności\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n≥\ni (\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n4 25\n1\n4\n0\na\n\n\n>\n\n\n\n\ni (\n)\n10\n1\n0\n>\ni\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n25\n1\n4\n0\na\n>\ni poprawnie rozwiąże drugą lub czwartą z nich i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający rozwiąże układ nierówności i zapisze, że\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nZasady oceniania V sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zastosuje definicję wartości bezwzględnej i zapisze równanie w każdym z dwóch\nprzypadków:\ngdy\n5\n0\nx-≥\n, to\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\n,\ngdy\n5\n0\nx-<\n, to\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze warunki na to, żeby rozwiązaniem równania była liczba dodatnia w każdym\nz dwóch rozpatrywanych przypadków i wyznaczy wszystkie wartości parametru a, dla których\nrozwiązaniem równania jest liczba dodatnia w jednym z tych przypadków:\ngdy\n5\n0\nx-≥\n, to (\n)\n2\n1\n1\n0\na -\n+ >\ni (\n)\n2\n1\n1 5\na-\n+ ≥\n, skąd\n(\n)\n, 1\n3,\na∈-∞-\n∪\n+∞\nalbo\ngdy\n5\n0\nx-<\n, to\n(\n)\n2\n9\n1\n0\na\n>\ni\n(\n)\n2\n9\n1\n5\na\n<\n, skąd\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający wyznaczy wszystkie wartości parametru a, dla których równanie\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nma dwa rozwiązania dodatnie:\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nUwaga\nJeżeli zdający rozpatrzy oba przypadki, ale w pierwszym przypadku nie skomentuje,\nże nierówność (\n)\n2\n1\n1\n0\na -\n+ >\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej a, to może\notrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\nUwagi\n1. Jeśli zdający rozwiązuje zadanie sposobem II lub III zapisze nierówność\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n≥\ni konsekwentnie do tego błędu rozwiąże zadanie do końca, otrzymując\nw odpowiedzi zbiór (\n)\n2, 1\n3,4\n∪\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający rozwiązuje zadanie I sposobem i naszkicowany wykres zawiera usterki,\nale dalsze rozumowanie jest prawidłowe, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty.\n3. Jeżeli zdający, sporządzając wykres funkcji\n( )\n5\n4\nf\nx\nx\n, błędnie przesunie\nwykres funkcji\n5\ny\nx\no 4 jednostki w dół i konsekwentnie przeprowadzi\nrozumowanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający, sporządzając wykres funkcji\n( )\n5\n4\nf\nx\nx\n, zamieni miejscami\nwspółrzędne wektora przesunięcia, otrzyma wykres funkcji, dla której istnieją dwa\nrozwiązania dodatnie równania\n( )\n(\n)\n2\n1\nf x\na\ni konsekwentnie przeprowadzi\nrozumowanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający, sporządzając wykres funkcji\n( )\n5\nf\nx\nx\n, błędnie przesunie wykres\nfunkcji y\nx\n, i otrzyma wykres funkcji g takiej, że nie istnieją dwa dodatnie\nrozwiązania równania\n( )\n(\n)\n2\n1\n4\ng x\na\n, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRozważmy funkcję f określoną wzorem\n( )\n5\nf x\nx\ni naszkicujmy jej wykres.\nWnioskujemy stąd, że podane równanie ma dwa pierwiastki dodatnie, jeśli spełniona jest\nnierówność\n(\n)\n2\n0\n1\n4\n5\na\n<\n-<\n, czyli nierówność\n(\n)\n2\n4\n1\n9\na\n<\n<\nStąd otrzymujemy, że 2\n1\n3\na\n<\n<\n, zatem\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n1\n3, 2\n2,3\na -\n∈--\n∪\nOstatecznie\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nII sposób („podstawianie”)\nRównanie\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste, gdy prawdziwa jest\nnierówność\n0\n5\n5\nx\n<\n<\nPonieważ\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\n, więc prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n0\n1\n4\n5\na\n<\n-<\nNierówność ta jest równoważna koniunkcji nierówności\n(\n)(\n)\n3\n1\n0\na\na\n>\ni (\n)(\n)\n2\n4\n0\na\na\n<\n,\nskąd otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n, 1\n3,\na∈-∞-\n∪\n+∞ i\n(\n)\n2,4\na∈-\nZatem dla\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nrównanie\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nma dwa rozwiązania dodatnie.\nIII sposób\nRównanie\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nma dwa rozwiązania, gdy spełniona jest nierówność\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n>\nNierówność ta jest równoważna nierówności (\n)(\n)\n3\n1\n0\na\na\n>\n, skąd otrzymujemy\n1 lub\n3\na\na\n< -\n>\n(1)\nRównanie\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\njest równoważne alternatywie równań:\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nlub\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\n(\n)\n2\n1\n1\nx\na\n+ lub\n(\n)\n2\n1\n9\nx\na\nRozwiązanie pierwszego z równań jest liczbą dodatnią, dla każdej liczby rzeczywistej a.\nZatem, aby równanie miało dwa dodatnie rozwiązania musi być spełniony warunek:\n(\n)\n2\n1\n9\n0\na\n>\nStąd otrzymujemy (\n)(\n)\n3\n1 3\n1\n0\na\na\n>\n, czyli (\n)(\n)\n2\n4\n0\na\na\n>\n, a zatem\n2\n4\na\n-<\n<\n(2)\nUwzględniając (1) i (2) otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nIV sposób\nPonieważ lewa strona równania\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\njest nieujemna, więc równanie ma co\nnajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n≥\n,\n(\n)(\n)\n1 2\n1 2\n0\na\na\n≥\n,\n(\n)(\n)\n3\n1\n0\na\na\n≥\n,\n1\na ≤-\nlub\n3\na ≥\nPodnosząc obie strony równania\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\ndo kwadratu, otrzymujemy równanie\nrównoważne\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n1\n4\nx\na\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n1\n4\nx\na\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n25\n1\n4\n0\nx\nx\na\nRównanie to ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste 1x ,\n2x , gdy spełnione są jednocześnie\ntrzy warunki\nΔ > 0 i\n1\n2\nx\nx\n> 0\ni\n1 2\nx x > 0 .\nZe wzorów Viète’a otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n10\n4 25\n1\n4\n0\na\n\n\n>\n\n\n\n\ni\n(\n)\n10\n1\n0\n>\ni\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n25\n1\n4\n0\na\n>\n,\nDruga z tych nierówności jest prawdziwa dla każdej wartości rzeczywistej a.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązujemy pierwszą z tych nierówności\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n100\n4 25\n1\n4\n0\na\n\n\n>\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n25\n25\n1\n4\n0\na\n\n\n>\n\n\n\n\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n1\n4\n0\na -\n>\n,\n(\n)\n2\n1\n4\n0\na -\n≠\n,\n(\n)(\n)\n1 2\n1 2\n0\na\na\n≠\n,\n(\n)(\n)\n3\n1\n0\na\na\n≠\n,\n3\na ≠\ni\n1\na ≠-.\nRozwiązujemy trzecią z nierówności\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n25\n1\n4\n0\na\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n1\n4\n5\n1\n4\n0\na\na\n>\n,\n(\n)\n(\n) (\n)\n(\n)\n2\n2\n9\n1\n1\n1\n0\na\na\n>\n,\nPonieważ (\n)\n2\n1\n1\n0\na -\n+ >\ndla każdej wartości a, więc\n(\n)\n2\n9\n1\n0\na\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n3\n1\n3\n1\n0\na\na\n>\n,\n(\n)(\n)\n4\n2\n0\na\na\n>\n,\n2\n4\na\n-<\n<\nW rezultacie otrzymujemy\n(\n1\na ≤- lub\n3\na ≥\n) i\n3\na ≠\ni\n1\na ≠- i 2\n4\na\n-<\n<\nStąd\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nV sposób\nRozważmy dwa przypadki.\n1. Gdy\n5\n0\nx-≥\n, czyli\n5\nx ≥\n, to wtedy\n5\n5\nx\nx\n, a równanie ma postać\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\n. Stąd\n(\n)\n2\n1\n1\nx\na\n+ . Rozwiązanie to jest dodatnie dla każdej wartości\nrzeczywistej a. Ponieważ\n5\nx ≥\n, więc (\n)\n2\n1\n1 5\na-\n+ ≥\n, czyli (\n)\n2\n1\n4\na -\n≥\n, skąd\n1\n2\na -\n≥\n,\na więc\n1\na ≤- lub\n3\na ≥\n. W tym przypadku otrzymujemy\n(\n)\n, 1\n3,\na∈-∞-\n∪\n+∞.\n2. Gdy\n5\n0\nx-<\n, czyli\n5\nx <\n, to wtedy\n5\n5\nx\nx\n, a równanie ma postać\n(\n)\n2\n5\n1\n4\nx\na\nStąd\n(\n)\n2\n9\n1\nx\na\nRozwiązanie\nto\njest\ndodatnie,\ngdy\n(\n)\n2\n9\n1\n0\na\n>\n, czyli (\n)\n2\n1\n9\na -\n<\n, skąd\n1\n3\na -\n<\n, a więc 2\n4\na\n-<\n<\n. Rozwiązanie to jest\nmniejsze od 5, gdy\n(\n)\n2\n9\n1\n5\na\n<\n, czyli (\n)\n2\n1\n4\na -\n>\n, skąd\n1\n2\na -\n>\n, a więc\n1\na < - lub\n3\na >\n. Zatem w tym przypadku otrzymujemy\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\nW rezultacie rozpatrzonych przypadków otrzymujemy\n(\n)\n, 1\n3,\na∈-∞-\n∪\n+∞ i\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪\n,\na więc\n(\n)\n(\n)\n2, 1\n3,4\na∈-\n∪","solution":"$a \\\\in (-2, -1) \\\\cup (3, 4)$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"parametr","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym\n6\nAC\nBC\n, a punkt D jest środkiem\npodstawy AB. Okrąg o środku D jest styczny do prostej AC w punkcie M. Punkt K leży na boku\nAC, punkt L leży na boku BC, odcinek KL jest styczny do rozważanego okręgu oraz\n2\nKC\nLC\n(zobacz rysunek).\nWykaż, że\n4\n5\nAM\nMC =\nK\nL\n\nMMA_1R\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)\ncechy podobieństwa trójkątów (7.3).\nZasady oceniania I i II sposobu\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający:\nskorzysta z podobieństwa trójkątów i zapisze, np.:\n3\nAD\nKP\nlub\nCP\nx\ni\n2\nDP\nx\nalbo\nskorzysta z twierdzenia o odcinkach stycznych i zapisze, np.: KM\nKP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający:\nskorzysta z podobieństwa trójkątów CPK i CMD i zapisze poprawne równanie\npozwalające obliczyć długość odcinka PK:\n2\n2\n3\nPK\nx\nx\nalbo\nskorzysta z podobieństwa trójkątów ADM i ACD i zapisze poprawne równanie z jedną\nniewiadomą, np. 4\n3\n3\n6\nt\nt\nt\n, gdzie t\nKM\nKP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający rozwiąże powyższe równanie i uzasadni, że\n:\n4 : 5\nAM\nMC =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nA\nB\nC\nM\nD\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nNajpierw uzupełnimy rysunek.\nZ twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy\ndo odcinka AB.\nOznaczmy środek odcinka KL przez P i niech CP\nx\nTrójkąty CKP i CAD są podobne (cecha KKK) w skali 1:3. Wtedy\n2\nPD\nx\ni\n2\nMD\nx\nTrójkąty CPK i CMD są podobne (cecha KKK). Stąd PK\nMD\nCK\nCD\n, czyli\n2\n2\n3\nPK\nx\nx\nStąd\n4\n3\nPK =\n, więc\n8\n3\nAM =\noraz\n8\n10\n3\n3\n6\nMC =\nZatem\n8\n3\n10\n3\n4\n5\nAM\nMC =\nTo kończy dowód.\nII sposób\nNajpierw uzupełnimy rysunek.\nZ twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wnosimy, że odcinek KL jest równoległy\ndo odcinka AB .\nNiech punkt P będzie środkiem odcinka KL.\nZauważamy, że KM\nKP\n, z twierdzenia o równości odcinków stycznych, łączących punkt\nleżący poza okręgiem z punktami styczności.\nA\nB\nC\nM\nD\nK\nL\nP\nK\nL\nP\nx\nNiech KM\nKP\nt\n= . Wtedy\n3\nAD\nt\ni\n4\nAM\nt\n-. Trójkąt ADM jest podobny do trójkąta\nACD , na mocy cechy (kąt, kąt, kąt); są to trójkąty prostokątne, a kąt MAD jest wspólny dla\nobu trójkątów.\nMożemy zatem zapisać równość: AM\nAD\nAD\nAC\n, czyli 4\n3\n3\n6\nt\nt\nt\n, skąd otrzymujemy równanie\n2\n9\n6\n24\n0\nt\nt\nRównanie to ma dwa rozwiązania:\n2\nt = -,\n4\n3\nt =\n. Odrzucamy ujemne rozwiązanie tego\nrównania.\nZatem\n4\n3\nt =\n. Ostatecznie\n4\n8\n4\n4\n3\n3\n4\n10\n5\n2\n3\n3\nAM\nMC\nTo kończy dowód.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nLiczby dodatnie a i b spełniają równość\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\n. Wykaż, że\n2\na\nb\n\nMMA_1R\nWykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie n^5-3n^4-n+3 jest podzielne przez 16.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający używa wzorów\nskróconego mnożenia (\n)\n±\n2\na\nb\noraz\n2\n2\na\nb (2.1).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zapisze równanie\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze wniosek\n(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze pełne uzasadnienie.\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający zapisze równanie\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n2\n2\n)1\n2\n(\n)1\n(\nb\na\nb\na\n2\n)\n2\n(\n2\n)\n2\n)(\n2\n(\nb\na\nb\na\nb\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający zapisze wniosek\n(bez uzasadnienia lub z niepełnym uzasadnieniem)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze pełne uzasadnienie.\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\nnp. zmiennej a,\n(\n)\n2\n4\n2\nb\nΔ =\ni zapisze, że jest on nieujemny dla każdej wartości b albo, że jest on dodatni\ndla każdej wartości\n0\nb >\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2p.\nZdający obliczy pierwiastki trójmianu\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\n:\n2\n2\na\nb\nlub\n2\na\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 3p.\nZdający zapisze pełne uzasadnienie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość równania jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy równanie równoważne równaniu z założenia:\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i zapisujemy to równanie w postaci\n. Oba wyrażenia w nawiasach są dodatnie, zatem równość kwadratów jest\nrównoważna równości tych wyrażeń, stąd\ni dalej,\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzekształcamy założenie równoważnie:\nLiczby a i b są dodatnie, zatem\n. Stąd\n, czyli\nTo kończy dowód.\nb\na\n2\n1\n4\n4\n1\n2\n2\n2\nb\nb\na\na\n2\n2\n)1\n2\n(\n)1\n(\nb\na\n1\n2\n1\nb\na\nb\na\n2\na\nb\nb\na\n2\n4\n4\n2\n2\n)\n2\n(\n2\n)\n2\n)(\n2\n(\nb\na\nb\na\nb\na\n0\n)\n2\n2\n)(\n2\n(\nb\na\nb\na\n0\n2\n2\n≠\n+ b\na\n0\n2 =\n-b\na\nb\na\n2\nIII sposób\nWyrażenie\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\ntraktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.\nWyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n4\n4\na\na\nb\nb\njest równy:\n(\n)\n2\n4\n2\nb\nΔ =\nTen wyróżnik jest nieujemny dla każdej rzeczywistej wartości b.\nObliczamy pierwiastki tego trójmianu\n2\n2\na\nb\nlub\n2\na\nb\nPonieważ\n0\nb >\n, więc liczba 2\n2\n0\nb\n<\n, co jest sprzeczne z założeniem, że\n0\na >\nZatem\n2\na\nb\nTo kończy dowód.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n2\n3cos 2\n10cos\n24sin\n3\nx\nx\nx\n- dla\n0, 2π\nx∈\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nRozwiąż równanie 4sin³x + sin2x = 2sin²x⋅(2cosx + 1).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności trygonometryczne (R6.6).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nZdający doprowadzi równanie do postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna tego samego kąta, np.:\n2\n2\n3\n6sin\n10 10sin\n24sin\n3\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający rozwiąże równanie kwadratowe\n2\n2\n3\n2\n0\nt\nt\n:\n2\nt\noraz\n1\n2\nt\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\nzapisze, że równanie sin\n2\nx = - nie ma rozwiązań i poda co najmniej jedną serię\nrozwiązań równania\n1\nsin\n2\nx =\nw zbiorze liczb rzeczywistych:\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k jest liczbą całkowitą\nalbo\nzapisze, że równanie sin\n2\nx = - nie ma rozwiązań i poda jedno rozwiązanie równania\n1\nsin\n2\nx =\nw przedziale 0, 2π\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający wyznaczy oba rozwiązania równania:\n1\nπ\n6\nx\noraz\n2\n5π\n6\nx\nUwagi\n1.\nAkceptujemy przybliżone rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych.\n2.\nJeżeli zdający wyznaczy poprawnie obydwa rozwiązania równania\n1\nsin\n2\nx =\nnależące\ndo przedziału (\n)\n0, 2π i nie zapisze komentarza dotyczącego równania sin\n2\nx = -,\nto otrzymuje 4 punkty.\n3.\nJeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni\nbłędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma\ndwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie.\n4.\nJeżeli zdający przed uzyskaniem elementarnych równań trygonometrycznych popełni\nbłąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu wzoru na cosinus kąta podwojonego\nlub błąd polegający na podstawieniu w miejsce sin x wyrażenia\n2\n1 cos x\n, ale\notrzyma co najmniej jedno równanie typu sin x\na\n, gdzie\n(\n)\n(\n)\n1,0\n0,1\na∈-\n∪\n,\ni konsekwentnie to równanie rozwiąże, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty. Jeżeli jednak zdający otrzyma co najmniej jedno równanie typu\nsin x\na\n, gdzie\n{\n}\n1, 0, 1\na∈-\n, i to równanie konsekwentnie rozwiąże, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n5.\nJeżeli\nzdający\nzapisze\nrównanie\n2\n2\nsin\ncos\n3\nx\nx\n,\nrównoważne\nrównaniu\n2\n3cos2\n10cos\n24sin\n3\nx\nx\nx\n, a następnie rozwiąże równanie\n4\n2\n4 cos\ncos\n1\n0\n9\nx\nx\n,\notrzymując 4 rozwiązania tego równania należące do przedziału 0,2π :\n6\nx\nπ\n,\n5\n6\nx\nπ\n,\n7\n6\nx\nπ\n,\n11\n6\nx\nπ\ni nie odrzuci „obcych” rozwiązań:\n7\n6\nx\nπ\n,\n11\n6\nx\nπ\n, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPrzekształcamy dane równanie w sposób równoważny:\n2\n3cos2\n10cos\n24sin\n3\nx\nx\nx\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n3 1 2sin\n10 1 sin\n24sin\n3\nx\nx\nx\n,\n2\n2\n3 6sin\n10 10sin\n24sin\n3\nx\nx\nx\n,\n2\n16 16sin\n24sin\nx\nx ,\n2\n16sin\n24sin\n16\n0\nx\nx\n2\n2sin\n3sin\n2\n0\nx\nx\nNiech\nsin\nt\nx\n. Rozwiązujemy równanie kwadratowe:\n2\n2\n3\n2\n0\nt\nt\n,\n23\n4 2 2\n9 16\n25\nΔ =\n+ ⋅⋅\n,\n5\nΔ =\n,\n1\n3 5\n8\n2\n4\n4\nt\n= -,\n2\n3 5\n2\n1\n4\n4\n2\nt\nRównaniesin\n2\nx = - jest sprzeczne, a równanie\n1\nsin\n2\nx =\nma w przedziale 0, 2π dwa\nrozwiązania:\n1\nπ\n6\nx\noraz\n2\n5π\n6\nx","solution":"$x = \\\\dfrac{\\\\pi}{6}$ oraz $x = \\\\dfrac{5\\\\pi}{6}$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nW trzywyrazowym ciągu geometrycznym (\n)\n1\n2\n3\n,\n,\na a\na\nspełniona jest równość\n1\n2\n3\n21\n4\na\na\na\nWyrazy\n1\n2\n3\n,\n,\na\na\na są - odpowiednio - czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego\nciągu arytmetycznego. Oblicz\n1a .\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nPierwszy wyraz ciągu (a_n), określonego dla n≥1, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_n=3⋅ a_{n+1}+n². Oblicz sumę a_1+a_2+a_3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty wyraz i na\nsumę n-początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego (5.3). Zdający stosuje wzór na n-ty\nwyraz i na sumę n-początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego (5.4).\nZasady oceniania I, II i III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający\nwykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego lub własność ciągu\ngeometrycznego i zapisze np.:\n2\n1\na\na q\ni\n2\n3\n1\na\na q\nlub\n2\n1\n1\n1\n21\n4\na\na q\na q\nlub\n2\n2\n1\n3\na\na a\n⋅\nalbo\nwykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego lub własność ciągu\narytmetycznego i zapisze np.:\no\n(\n2\n3\na\na\nr\ni\n1\n3\n3\na\na\nr\n) lub (\n2\n3\nb\na\nr\ni\n4\n3\n3\nb\na\nr\n) lub (\n2\n1\nb\nb\nr\ni\n4\n1\n3\nb\nb\nr\n)\nlub\no\n(\n)\n1\n2\n2\n3\n2\na\na\na\na\nlub\n(\n)\n4\n2\n2\n1\n2\nb\nb\nb\nb\nlub\no\n4\n2\n3\n2\nb\nb\nb\ni\n1\n3\n2\n2\nb\nb\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający\nzapisze układ równań, z którego można otrzymać równanie z jedną niewiadomą, np.:\no\n2\n1\n1\n1\n21\n4\na\na q\na q\ni\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n1\n1\n3\na\na q\na q\na q\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlub\no\n2\n1\n1\n1\n21\n4\na\na q\na q\ni\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n2\na\na q\na q\na q\nalbo\nzapisze równanie pozwalające wyznaczyć związek między\n3\na i r , np.:\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n3\n3\na\nr\na\nr\na\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3p.\nZdający\nzapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n3\n1 0\nq\nq\nalbo\nzapisze\n3\nr\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4p.\nZdający\nrozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np.\n2\n2\n3\n1 0\nq\nq\n:\n1\nq = lub\n1\n2\nq =\nalbo\nobliczy trzeci wyraz ciągu geometrycznego (\n)\nna\n:\n3\n3\n4\na =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego\n1\n3\na =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający rozwiąże równanie z jedną niewiadomą, np.\n2\n2\n3\n1\n0\nq\nq\n:\n1\nq = lub\n1\n2\nq =\noraz obliczy dwie wartości\n1a :\n1\n3\na =\n,\n1\n7\n4\na =\ni nie odrzuci\n1\n7\n4\na =\n, to otrzymuje\n4 punkty.\n2. Jeśli zdający stosuje poprawną strategię rozwiązania zadania, a jedynymi błędami\nw rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to otrzymuje maksymalnie 4 punkty.\n3. Jeśli zdający błędnie stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego (np. zapisuje\n3\n3\n1\na\na q\n) lub ciągu arytmetycznego i korzysta z tego w rozwiązaniu, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeśli zdający odgadnie iloraz ciągu geometrycznego, a następnie obliczy na tej\npodstawie pierwszy wyraz tego ciągu, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5. Jeśli zdający zamienia (myli) własności ciągu geometrycznego z własnościami ciągu\narytmetycznego, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n6. Jeśli zdający zapisuje tylko odpowiedź\n1\n3\na =\n, to otrzymuje 0 punktów.\n7. Akceptujemy sytuacje, w których zdający dzieli obie strony zbudowanych przez siebie\nrównań przez\n1a albo przez r , albo też przez\n1\nq - bez zapisania jakiegokolwiek\nkomentarza.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nSumując wyrazy ciągu geometrycznego otrzymujemy równość\n2\n1\n1\n1\n21\n4\na\na q\na q\n(1)\nNiech (\n)\nnb\nbędzie rosnącym ciągiem arytmetycznym.\nZatem\n2\n1\n1\nb\na q\n,\n2\n1\nb\na q\n,\n4\n1\nb\na\n, więc różnica tego ciągu\n2\n1\n1\nr\na q\na q\noraz\n4\n1\n3\nb\nb\nr\n,\nczyli\n(\n)\n2\n2\n1\n1\n1\n1\n3\na\na q\na q\na q\nStąd wynika, że\n2\n1\n1\n1\n3\n2\na\na q\na q\ni\n(\n)\n2\n1 2\n3\n1\n0\na\nq\nq\nPonieważ z równości (1) wynika, że\n1\n0\na ≠\n, więc\n2\n2\n3\n1 0\nq\nq\n. Zatem\n1\nq = lub\n1\n2\nq =\nDla\n1\nq = ciąg (\n)\nn\na\njest stały. Stąd ciąg(\n)\nnb\nteż jest stały. Zatem tylko dla\n1\n2\nq =\nciąg (\n)\nnb\nmoże być ciągiem rosnącym. Otrzymujemy wtedy\n1\n1\n4\nr\na\n. Z równości (1) otrzymujemy\n1\n1\n1\n1\n1\n21\n2\n4\n4\na\na\na\n, a stąd wynika, że\n1\n3\na =\nII sposób\nW ciągu arytmetycznym 1\n3\nb\na\n, 2\n3\nb\na\nr\n,\n4\n3\n3\nb\na\nr\n, gdzie\n0\nr >\nPonieważ ciąg(\n)\n3\n3\n3\n3 ,\n,\na\nr a\nr a\njest ciągiem geometrycznym, więc zachodzi równość\n(\n)\n(\n)\n2\n3\n3\n3\n3\na\nr\na\nr\na\n⋅\n,\nskąd wynika, że\n2\n2\n2\n3\n3\n3\n3\n2\n3\na\na r\nr\na\na r\n,\na zatem\n2\n3\nr\na r\nPonieważ z założenia\n0\nr >\n, więc\n3\nr\na\n. Podana suma trzech wyrazów jest zatem równa\n3\n3\n3\n21\n4\n2\n4\na\na\na\nOtrzymujemy zatem\n3\n3\n4\na =\n. Wtedy\n1\n4\n3\n4\n3\na\nb\na\nIII sposób\nZ danych w treści zadania wynikają równości:\n2\n1\n1\nb\na q\n,\n2\n1\nb\na q\n,\n4\n1\nb\na\nPonieważ (\n)\nnb\njest ciągiem arytmetycznym, więc możemy zapisać równości\n4\n2\n1\n1\n3\n2\n2\nb\nb\na\na q\nb\noraz\n2\n1\n1\n1\n3\n1\n2\n1\n2\n2\n2\na\na q\na q\nb\nb\nb\na q\nRozwiążemy równanie\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2\n1\n1\n1\n1\n2\n2\na\na q\na q\na q\nPonieważ\n2\n1\n1\n1\n21\n4\na\na q\na q\n, więc możemy założyć, że\n1\n0\na ≠\n. Powyższe równanie jest\nzatem równoważne równaniu\n2\n1\n2\n2\nq\nq\nq\n, czyli równaniu\n2\n1\n2\n4\nq\nq\nq\nRównanie kwadratowe\n2\n2\n3\n1 0\nq\nq\nma dwa rozwiązania:\n1\nq = oraz\n1\n2\nq =\nJeśli\n1\nq = , to obydwa ciągi są ciągami stałymi. Zatem tylko dla\n1\n2\nq =\nciąg (\n)\nnb\nmoże być\nciągiem rosnącym.\nZ równości\n2\n1\n1\n1\n21\n4\na\na q\na q\notrzymujemy równanie\n1\n7\n21\n4\n4\na =\n, czyli\n1\n3\na =","solution":"$a_1 = 3$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nDane jest równanie kwadratowe\n(\n)\n2\n2\n3\n2\n2\n7\n15\n0\nx\nm\nx\nm\nm\nz niewiadomą x . Wyznacz\nwszystkie wartości parametru m, dla których różne rozwiązania\n1x i\n2x tego równania istnieją\ni spełniają warunek\n2\n2\n1\n1\n2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)=3x+1/x^2+1 dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Pochodna f' tej funkcji jest określona wzorem A. f'(x) = 3/2x B. f'(x) = -3x^2-2x+3/2x C. f'(x) = -3x^2-2x+3/(x^2+1)^2 D. f'(x) = 9x^2+2x+3/(x^2+1)^2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n3. Równania i nierówności. Zdający stosuje wzory\nViète’a (R3.1).\nZasady oceniania I i II sposobu\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch części.\nPierwsza z nich polega na:\nrozwiązaniu nierówności\n:\n{ }\n\\ 8\nm\nR\n∈\nalbo\nsprawdzeniu,\nże\ndla\nkażdej\nobliczonej\nwartości\nparametru\nm\nrównanie\n(\n)\n2\n2\n3\n2\n2\n7\n15\n0\nx\nm\nx\nm\nm\nma dwa rozwiązania rzeczywiste.\nZa poprawne rozwiązanie tej części zdający otrzymuje 1 punkt.\nDruga część polega na wyznaczeniu tych wartości parametru m, dla których jest spełniony\nwarunek\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\n. Za tę część rozwiązania zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugą część rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje za:\nobliczenie dwóch pierwiastków trójmianu\n(\n)\n2\n2\n3\n2\n2\n7\n15\nx\nm\nx\nm\nm\n:\n1\n5\nx\nm\noraz\n2\n2\n3.\nx\nm\nalbo\nprzekształcenie wyrażenia\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\nx\nx x\nx\ndo postaci: (\n)\n2\n1\n2\n1 2\n2 x\nx\nx x\nlub równoważnej, ale zawierającej jedynie zmienne\n1\n2\nx\nx\noraz\n1\n2\nx x\n⋅\n0\n>\nΔ\n2 punkty zdający otrzymuje za:\nzapisanie równania\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\nw postaci równania z jedną niewiadomą m, np.:\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n5\n5\n2\n3\n2 2\n3\n2\nm\nm\nm\nm\nalbo\n• zapisanie równania (\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\nx\nx\nx x\nw postaci równania z jedną niewiadomą m,\nnp.: (\n)\n2\n2\n2 3\n2\n2\n7\n15\n2\nm\nm\nm\n3 punkty zdający otrzymuje za rozwiązanie równania\n2\n20\n31\n9\n0\nm\nm\n:\n1\n9\n5\nm = -\noraz\n2\n1\n4\nm =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zamienia wzory Viète'a przy przekształcaniu lewej strony równania\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\n, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n2. Jeżeli\nzdający\nrozpatruje\nwarunek\n0\nΔ ≥\ni\nnie\nsprawdzi,\nże\ndla\nkażdej\nz otrzymanych wartości parametru m równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przekształci warunek\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\n, otrzyma (\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n3\n2\nx\nx\nx x\ni rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to za drugą część rozwiązania może\notrzymać co najwyżej 2 punkty.\n4. Jeżeli zdający wykorzystuje niepoprawny wzór „kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy\nsumie kwadratów tych wyrażeń”, przekształci warunek\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\ndo postaci\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n5\n2\nx\nx\nx x\n, i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to za drugą część\nrozwiązania może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający rozpatrując równość\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\nzmieni liczbę po prawej stronie\ni zapisze równanie, wynikające ze wzorów Viete’a, w postaci (\n)\n2\n2 3\n2\n2\n7\n15\n0\nm\nm\nm\n,\npomijając wykładnik 2 potęgi o podstawie (\n)\n3\n2\nm+\n, to za drugą część rozwiązania\nzadania może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\n1. Równanie ma dwa różne rozwiązania, gdy wyróżnik trójmianu jest dodatni:\n0\nΔ >\nObliczamy wyróżnik trójmianu:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n3\n2\n4 2\n7\n15\n16\n64\n8\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nΔ = -\n(\n)\n2\n8\n0\nm -\n>\n, gdy\n8\nm ≠\nStąd wynika, że trójmian ma następujące pierwiastki:\n1\n5\nx\nm\noraz\n2\n2\n3\nx\nm\nMamy zatem rozwiązać równanie\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n5\n5\n5\n2\n3\n2 2\n3\n2\nm\nm\nm\nm\nTo równanie doprowadzamy do postaci równoważnej:\n2\n20\n31\n9\n0\nm\nm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nMa ono dwa rozwiązania:\n1\n9\n5\nm = -\noraz\n2\n1\n4\nm =\nKażde z otrzymanych rozwiązań jest różne od 8.\nWarunki zadania spełniają dwie wartości parametru m:\n1\n9\n5\nm = -\noraz\n2\n1\n4\nm =\nII sposób\nPrzekształcamy równość\n2\n2\n1\n1 2\n2\n2\n5\n2\n2\nx\nx x\nx\nw sposób równoważny:\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n5\n2\nx\nx\nx x\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n5\n2\nx\nx\nx x\nx x\n,\n(\n)\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\nx\nx\nx x\nZe wzorów Viète'a wynika, że\n1\n2\n3\n2\nx\nx\nm\noraz\n2\n1 2\n2\n7\n15\nx x\nm\nm\n,\no ile pierwiastki\n1x i\n2x trójmianu istnieją.\nMamy zatem rozwiązać równanie\n(\n)\n2\n2\n2 3\n2\n2\n7\n15\n2\nm\nm\nm\nTo równanie doprowadzamy do postaci równoważnej\n2\n20\n31\n9\n0\nm\nm\nMa ono dwa rozwiązania:\n1\n9\n5\nm = -\noraz\n2\n1\n4\nm =\nPozostaje sprawdzić, czy dla tych wartości m dany trójmian kwadratowy ma dwa różne\npierwiastki. Możemy, tak jak w sposobie pierwszym, obliczyć wyróżnik i przekonać się, że jest\non nieujemny. Możemy także podstawić znalezione wartości parametru m do danego\ntrójmianu i przekonać się, że otrzymane trójmiany mają dwa różne pierwiastki.\nPo podstawieniu\n9\n5\nm = -\notrzymamy trójmian:\n2\n17\n528\n5\n25\nx\nx\nPo podstawieniu\n1\n4\nm =\notrzymamy trójmian:\n2\n11\n105\n4\n8\nx\nx\nOba trójmiany mają dwa różne pierwiastki. Można się o tym przekonać, obliczając wyróżniki\nlub zauważając, że oba trójmiany mają dodatni współczynnik przy\n2x i ujemny wyraz wolny.\nWarunki zadania spełniają dwie wartości parametru m:\n1\n9\n5\nm = -\noraz\n2\n1\n4\nm =","solution":"$m = -\\\\dfrac{9}{5}$ oraz $m = \\\\dfrac{1}{4}$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nProsta o równaniu\n10\n0\nx\ny\nprzecina okrąg o równaniu\n2\n2\n8\n6\n8\n0\nx\ny\nx\ny\nw punktach K i L . Punkt S jest środkiem cięciwy KL . Wyznacz równanie obrazu tego okręgu\nw jednokładności o środku S i skali\n3\nk = -.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nPunkt A=(-2,6) jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 82,5. Przekątna BD tego rombu zawiera się w prostej l o równaniu 2x-y-5=0. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje obrazy niektórych\nfigur geometrycznych w jednokładności (odcinka,\ntrójkąta, czworokąta itp.) (R7.3).\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nx\na\ny\nb\nr oraz opisuje koła za pomocą\nnierówności (R8.5).\nZasady oceniania I, II, III, IV i V sposobu rozwiązania\nRozwiązanie składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap polega na wyznaczeniu współrzędnych środka danego okręgu. Za poprawne\nrozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu równania/układu równań prowadzących do wyznaczenia\nwspółrzędnych środka jednokładności oraz współrzędnych środka obrazu danego okręgu\nw tej jednokładności.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 punkt, gdy\nzapisze współrzędne środka:\n(\n)\n4,3\nP =\nlub\nzapisze równanie okręgu\n2\n2\n8\n6\n8\n0\nx\ny\nx\ny\nw postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n17\nx\ny\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania\nZdający otrzymuje\n1 punkt, gdy\nobliczy i zapisze współrzędne punktów K i L :\n(\n)\n3,7\nK =\ni\n(\n)\n8,2\nL =\nalbo\nobliczy odległość punktu P od prostej o równaniu\n10\n0\nx\ny\n:\n3 2\n2\nd\nSP\nalbo\nzapisze równanie prostej przechodzącej przez punkt\n(\n)\n4,3\nP =\nprostopadłej\ndo prostej\n10\n0\nx\ny\n:\n1\n0\nx\ny\nalbo\npoda tylko promień obrazu okręgu:\n3 17\nR =\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje\n2 punkty, gdy\nzapisze współrzędne środka jednokładności:\n11 9\n,\n2 2\nS\n\n\n= \n\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nalbo\nzapisze\n(\n)\n,\n1\nP\nx x\n′ =\ni zapisze\n9 2\n3\n2\nSP\nSP\n′ = ⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje\n3 punkty, gdy\nzapisze równanie, wynikające z równości\n3\nSP\nSP\n→\n→\n′ = -⋅\n, prowadzące do wyznaczenia\nwspółrzędnych środka\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\nokręgu, będącego obrazem punktu\n(\n)\n4,3\nP =\nw jednokładności:\n11\n9\n11\n9\n,\n3\n4\n,3\n2\n2\n2\n2\na\nb\n\n\n\n\n= -⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\nwykona poprawne podstawienie do odpowiedniego wzoru w zestawie Wybranych\nwzorów matematycznych i zapisze:\n(\n)\n(\n) 11\n3 4\n1\n3\n2\na = -⋅+\n⋅\noraz\n(\n)\n(\n) 9\n3 3\n1\n3\n2\nb = -⋅+\n⋅\nalbo\nzapisze równanie, wynikające z równości\n4\nPP\nSP\n→\n→\n′ = -⋅\n, prowadzące do wyznaczenia\nwspółrzędnych środka\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\nokręgu, będącego obrazem punktu\n(\n)\n4,3\nP =\nw tej\njednokładności:\n[\n]\n11\n9\n4,\n3\n4\n4\n,3\n2\n2\na\nb\n\n\n= -⋅\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n1 3\n6 2\na\na\nalbo\nzapisze równanie\n1 10\n9 2\n2\n2\na\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje\n4 punkty, gdy zapisze równanie szukanego okręgu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n9\n153\nx\ny\nUwagi:\n1. Jeśli zdający realizuje poprawną strategię rozwiązania zadania, a jedynymi błędami\nw rozwiązaniu są błędy rachunkowe, to za takie rozwiązanie otrzymuje co najwyżej\n4 punkty.\n2. Jeśli zdający zakłada błędnie, że środkiem jednokładności jest środek danego okręgu,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt za drugą część rozwiązania.\n3. Jeśli zdający podczas obliczania współrzędnych punktów K, L lub S popełnia błąd\npolegający na zamianie współrzędnych i konsekwentnie do tego błędu rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.\n4. Jeśli zdający stosuje błędne równanie\n3\nSP\nSP\n→\n→\n′\n= -⋅\ni konsekwentnie do tego błędu\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty za drugą część\nrozwiązania.\n5. Jeśli zdający zakłada błędnie, że trójkąt KLP jest trójkątem prostokątnym\ni w rozwiązaniu stosuje tę własność, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za drugą\nczęść rozwiązania.\n6. Jeżeli zdający narysuje w układzie współrzędnych dany okrąg i daną prostą,\na następnie wyznaczy graficznie obraz środka P′danego okręgu w jednokładności\no środku S i skali\n3\nk = - oraz zapisze równanie tego otrzymanego okręgu, to może\notrzymać 4 punkty za drugą część rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nWyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,\ndoprowadzając równanie okręgu do postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n17\nx\ny\nStąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt\n(\n)\n4,3\nP =\n, a promień okręgu jest równy\n17\nr =\nObliczamy współrzędne punktów K i L rozwiązując układ równań:\n2\n2\n8\n6\n8\n0\n10\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n8\n6 10\n8\n0\n10\nx\nx\nx\nx\ny\nx\n\n\n\n2\n11\n24\n0\n10\nx\nx\ny\nx\n\n\n\n3\n7\nx\ny\n\n=\n\nlub\n8\n2\nx\ny\n\n=\n\nZatem\n(\n)\n3,7\nK =\ni\n(\n)\n8,2\nL =\n. Środek cięciwy KL , który jest środkiem jednokładności to punkt\n11 9\n,\n2 2\nS\n\n\n= \n\n\n\nObrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali\n3\nk = - jest okrąg o promieniu\n3 17\nR =\noraz środku\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\ntakim, że\n3\nSP\nSP\n→\n→\n′ = -⋅\n. Otrzymujemy równość:\n11\n9\n11\n9\n,\n3\n4\n,3\n2\n2\n2\n2\na\nb\n\n\n\n\n= -⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n11\n9\n9 9\n,\n,\n2\n2\n2 2\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\na stąd\n10\na =\ni\n9\nb =\nSzukany okrąg ma równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n9\n153\nx\ny\nUwaga.\nZdający może z równania prostej wyznaczyć\n10\nx\ny\ni wtedy otrzyma\n2\n2\n18\n28\n0\n10\ny\ny\nx\ny\n\n=\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nWyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,\ndoprowadzając równanie okręgu do postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n17\nx\ny\nStąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt\n(\n)\n4,3\nP =\n, a promień okręgu jest równy\n17\nr =\nObliczamy współrzędne punktów K i L rozwiązując układ równań:\n2\n2\n8\n6\n8\n0\n10\nx\ny\nx\ny\ny\nx\n\n\n\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n8\n6 10\n8\n0\n10\nx\nx\nx\nx\ny\nx\n\n\n\n2\n11\n24\n0\n10\nx\nx\ny\nx\n\n\n\n3\n7\nx\ny\n\n=\n\nlub\n8\n2\nx\ny\n\n=\n\nZatem\n(\n)\n3,7\nK =\ni\n(\n)\n8,2\nL =\n. Środek cięciwy KL , który jest środkiem jednokładności to punkt\n11 9\n,\n2 2\nS\n\n\n= \n\n\n\nObrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali\n3\nk = - jest okrąg o promieniu\n3 17\nR =\noraz środku\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\ntakim, że\n4\nPP\nSP\n→\n→\n′ = -⋅\n. Otrzymujemy zatem równość:\n[\n]\n11\n9\n4,\n3\n4\n4\n,3\n2\n2\na\nb\n\n\n= -⋅\n\n\n\n\nZatem\n[\n] [\n]\n4,\n3\n6,6\na\nb\n,\na stąd\n10\na =\ni\n9\nb =\nSzukany okrąg ma równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n9\n153\nx\ny\nIII sposób\nWyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,\ndoprowadzając równanie okręgu do postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n17\nx\ny\nStąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt\n(\n)\n4,3\nP =\n, a promień okręgu jest równy\n17\nr =\nWyznaczamy równanie prostej l przechodzącej przez punkt\n(\n)\n4,3\nP =\ni prostopadłej do danej\nprostej\n10\n0\nx\ny\n. Prosta l ma zatem równanie\n1\n0\nx\ny\n. Środek jednokładności S jest\npunktem wspólnym obu tych prostych, więc jego współrzędne obliczamy rozwiązując układ\nrównań.\n10\n0\n1\n0\nx\ny\nx\ny\n\n-\n\nStąd\n11 9\n,\n2 2\nS\n\n\n= \n\n\n\nObrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali\n3\nk = - jest okrąg o promieniu\n3 17\nR =\noraz środku\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\ntakim, że\n3\nSP\nSP\n→\n→\n′ = -⋅\n. Otrzymujemy zatem równość:\n11\n9\n11\n9\n,\n3\n4\n,3\n2\n2\n2\n2\na\nb\n\n\n\n\n= -⋅\n\n\n\n\n\n\n\n\nZatem\n11\n9\n9 9\n,\n,\n2\n2\n2 2\na\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n,\na stąd\n10\na =\ni\n9\nb =\nSzukany okrąg ma równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n9\n153\nx\ny\nIV sposób\nWyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,\ndoprowadzając równanie okręgu do postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n17\nx\ny\nStąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt\n(\n)\n4,3\nP =\n, a promień okręgu jest równy\n17\nr =\nObliczamy odległość d punktu P od danej prostej o równaniu\n10\n0\nx\ny\n2\n2\n14 13 10\n3 2\n2\n1\n1\nd\n⋅+ ⋅-\nObrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali\n3\nk = - jest okrąg o promieniu\n3 17\nR =\noraz środku\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\nZauważamy, że\n4\nPP\nd\n′ =\n⋅\n, zatem\n6 2\nPP′ =\n. Wyznaczamy równanie prostej l\nprzechodzącej przez punkt\n(\n)\n4,3\nP =\ni prostopadłej do danej prostej\n10\n0\nx\ny\n. Prosta l\nma zatem równanie 𝑥-𝑦-1 = 0. Ponieważ punkt\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\nleży na tej prostej prostopadłej,\nwięc\n(\n)\n,\n1\nP\na a\n′ =\n. Stąd otrzymujemy kolejno\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n1 3\n6 2\na\na\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n4\n36 2\na\na\n⋅\n(\n)(\n)\n10\n2\n0\na\na\n,\nskąd\n10\na =\nlub\n2\na = -.\nPonieważ skala jednokładności\n3\nk = -, więc jednokładność jest odwrotna. Zatem\n2\na = - nie\nspełnia warunków zadania. Stąd\n(\n)\n10,9\nP′ =\nSzukany okrąg ma równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n9\n153\nx\ny\nV sposób\nWyznaczamy współrzędne środka okręgu oraz obliczamy promień tego okręgu,\ndoprowadzając równanie okręgu do postaci (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n3\n17\nx\ny\nStąd odczytujemy, że środkiem okręgu jest punkt\n(\n)\n4,3\nP =\n, a promień okręgu jest równy\n17\nr =\nObliczamy odległość d punktu P od danej prostej o równaniu\n10\n0\nx\ny\n:\n2\n2\n14 13 10\n3 2\n2\n1\n1\nd\n⋅+ ⋅-\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObrazem danego okręgu w jednokładności o środku S i skali\n3\nk = -jest okrąg o promieniu\n3 17\nR =\noraz środku\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\nWyznaczamy równanie prostej l przechodzącej przez punkt\n(\n)\n4,3\nP =\ni prostopadłej do danej\nprostej\n10\n0\nx\ny\n. Prosta l ma zatem równanie\n1\n0\nx\ny\n. Ponieważ punkt\n(\n)\n,\nP\na b\n′ =\nleży na tej prostej prostopadłej, więc\n(\n)\n,\n1\nP\na a\n′ =\nSkala jednokładności\n3\nk = -, więc\n3\n3\nSP\nd\nd\n′ = -⋅\n= ⋅\n, zatem\n9 2\n2\nSP′ =\nObliczamy odległość punktu\n(\n)\n,\n1\nP\na a\n′ =\nod danej prostej o równaniu\n10\n0\nx\ny\n2\n2\n1 10\n2\n11\n2\n11\n2\n2\n2\n1\n1\na\na\na\na\nSP\n′ =\nOtrzymujemy równanie\n2\n11\n2\n9 2\n2\n2\na -\n2\n11\n9\na -\nJednokładność jest odwrotna, zatem\n10\na =\n. Stąd\n(\n)\n10,9\nP′ =\nSzukany okrąg ma równanie: (\n)\n(\n)\n2\n2\n10\n9\n153\nx\ny","solution":"$(x - 10)^2 + (y - 9)^2 = 153$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nOblicz, ile jest wszystkich siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują dokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nOblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn wszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji,\nwariacji i wariacji z powtórzeniami do zliczania\nobiektów w bardziej złożonych sytuacjach\nkombinatorycznych (R10.1).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie składa się z następujących części.\nPierwsza polega na wyróżnieniu trzech przypadków i dodaniu - w końcowej fazie rozwiązania\n- otrzymanych trzech wyników.\nDruga część polega na zapisaniu liczby rozważanych w każdym przypadku liczb i obliczeniu\nliczby tych liczb.\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\npoprawnie wskaże trzy przypadki\nalbo\npominie jeden z przypadków, ale zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym\nprzypadku, np.:\n2\n6\n4\n8\n2\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\nlub\n2\n6\n3\n8\n3\n1\n\n⋅\n⋅\n\n\nlub\n6\n3\n7\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający poprawnie wskaże trzy przypadki oraz zapisze liczbę liczb rozważanych w jednym\nprzypadku lub pominie jeden przypadek, zapisze liczbę liczb w dwóch wskazanych przez\nsiebie przypadkach.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający poprawnie wskaże trzy przypadki i zapisze liczbę liczb rozważanych w dwóch\nprzypadkach.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający poprawnie wskaże trzy przypadki i poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb:\n12960.\nUwagi\n1.\nRozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb\nsiedmiocyfrowych bez użycia symbolu Newtona oraz symbolu silni.\n2.\nJeśli zdający w każdym z trzech rozpatrywanych przypadków poprawnie zapisze jedynie\nliczbę sposobów rozmieszczenia:\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry 2\nlub\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2\nlub\ncyfry 2 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2,\nto za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie składa się z dwóch części.\nPierwsza polega na obliczeniu liczby wszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie\ndziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze\nzbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} oraz liczby tych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0.\nDruga część polega na obliczeniu liczby szukanych liczb.\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nZdający zapisze, że\nliczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich\n„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę\ntych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający\nw ten sposób ustala liczbę szukanych liczb\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nalbo\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru\n{0,3,4,5,6,7,8,9} jest\n2\n7\n4\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\nalbo\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których\nzapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie jedna cyfra\nze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6\n3\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze, że\nliczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich\n„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę\ntych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający\nw ten sposób ustala liczbę szukanych liczb\noraz\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru\n{0,3,4,5,6,7,8,9} jest\n2\n7\n4\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\nalbo\nliczbę wszystkich szukanych liczb można obliczyć, odejmując od liczby wszystkich\n„liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} liczbę\ntych spośród nich, których pierwszą cyfrą jest 0 lub z rozwiązania wynika, że zdający\nw ten sposób ustala liczbę szukanych liczb\noraz\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których\nzapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra\nze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6\n3\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze, że\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie: trzy cyfry 1,\ndokładnie dwie cyfry 2, dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9} jest\n2\n7\n4\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\noraz\nwszystkich „liczb” siedmiocyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz w których zapisie\nwystępują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra ze zbioru\n{0,3,4,5,6,7,8,9} jest 6\n3\n8\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający poprawnie obliczy liczbę rozważanych liczb: 12960.\nUwagi\n1. Rozwiązanie uznajemy za pełne, jeżeli zdający zapisze liczbę rozpatrywanych liczb\nsiedmiocyfrowych bez użycia symbolu Newtona oraz symbolu silni.\n2. Jeśli zdający, obliczając liczbę wszystkich szukanych liczb metodą opisaną w II\nsposobie rozwiązania, poprawnie zapisze jedynie liczbę sposobów rozmieszczenia w\ncałej I części rozwiązania:\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry 2\nlub\ncyfry 1 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2\nlub\ncyfry 2 oraz liczbę sposobów rozmieszczenia cyfry innej niż 1 i 2,\nto za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRozważamy trzy przypadki.\nI. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej liczby jest 1. Wtedy na następnych sześciu miejscach\nznajdują się dokładnie dwie cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie dwie cyfry\nze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje\n2\n6\n4\n8\n15 6 64\n5760\n2\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n\n\nII. Pierwszą cyfrą rozpatrywanej jest 2. Wtedy na następnych sześciu miejscach\nznajdują się dokładnie trzy cyfry 1, dokładnie jedna cyfra 2 i dokładnie dwie cyfry ze\nzbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich liczb istnieje\n2\n6\n3\n8\n20 3 64\n3840\n3\n1\n\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n\n\nIII. Pierwsza cyfra rozpatrywanej liczby jest różna od 1 i od 2. Pierwsza cyfra jest też\nróżna od 0. Zatem na pierwszym miejscu stoi jedna z siedmiu cyfr ze zbioru\n{3,4,5,6,7,8,9}. Wtedy na następnych sześciu miejscach znajdują się dokładnie trzy\ncyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna cyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}. Takich\nliczb istnieje\n6\n3\n7\n8\n7 20 3 8\n3360\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅=\n⋅\n⋅⋅=\n\n\nŁącznie istnieje zatem 5760+3840+3360=12960 rozważanych liczb.\nIstnieje 12960 siedmiocyfrowych liczb naturalnych, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie trzy cyfry 1 i dokładnie dwie cyfry 2.\nII sposób\nZliczamy wszystkie „liczby” siedmiocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym występują\ndokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.\nWtedy na siedmiu miejscach znajdują się dokładnie trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i\ndokładnie dwie cyfry ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.\nTakich „liczb” jest\n2\n7\n4\n8\n35 6 64\n13440\n3\n2\n\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nNastępnie zliczamy wszystkie „liczby” siedmiocyfrowe, których pierwszą cyfrą jest 0 oraz\nw których zapisie występują dokładnie: trzy cyfry 1, dokładnie dwie cyfry 2 i dokładnie jedna\ncyfra ze zbioru {0,3,4,5,6,7,8,9}.\nTakich „liczb” jest\n6\n3\n8\n20 3 8\n480\n3\n2\n\n⋅\n⋅=\n⋅⋅=\n\n\nJest zatem 13440\n480\n12960\nrozważanych liczb.","solution":"$12960$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nPodstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest trapez ABCD (\n)\nAB\nCD\n\n. Ramiona tego\ntrapezu mają długości\n10\nAD =\ni\n16\nBC =\n, a miara kąta ABC jest równa 30°. Każda ściana\nboczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α , taki, że\n9\ntg\n2\nα =\n. Oblicz objętość\ntego ostrosłupa.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający stosuje trygonometrię do\nobliczeń długości odcinków, miar kątów, pól po\nwierzchni i objętości (9.6).\n7. Planimetria. Zdający stosuje twierdzenia\ncharakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg\ni czworokąty opisane na okręgu (R9.1).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania 1p.\nZdający:\nzapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez\nABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze\n10 16\nAB\nCD\nalbo\nobliczy wysokość trapezu ABCD :\n8\nh\nCE\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2p.\nZdający:\nzapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez\nABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze\n10 16\nAB\nCD\ni obliczy wysokość trapezu ABCD :\n8\nh\nCE\nalbo\nobliczy wysokość trapezu ABCD :\n8\nh\nCE\ni wysokość tego ostrosłupa\n18\nH =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym dokonano istotnego postępu, ale nie zostały pokonane\nzasadnicze trudności zadania 3p.\nZdający:\nzapisze, że spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego w trapez\nABCD lub z rozwiązania wynika, że zdający tę własność stosuje, np.: zapisze\n10 16\nAB\nCD\noraz obliczy wysokość tego ostrosłupa\n18\nH =\nalbo\nobliczy pole podstawy tego ostrosłupa:\n104\nABCD\nP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4p.\nZdający obliczy wysokość ostrosłupa\n18\nH =\ni pole jego podstawy:\n104\nABCD\nP\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie zadania do końca z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozumowania (np. błędy rachunkowe, błędy w przepisaniu, itp.) 5p.\nRozwiązanie pełne 6p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n624\nV =\nUwagi\n1. Jeżeli zdający we wzorze na objętość ostrosłupa pominie czynnik 1\n3\n, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji\ntangens, np.: przyjmie, że jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie\ndo przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta, to za całe rozwiązanie może\notrzymać co najwyżej 4 punkty.\n3. Jeżeli zdający popełni błąd polegający na tym, że niepoprawnie ustali związki między\ndługościami boków trójkąta prostokątnego o kątach ostrych 30° i 60° , np. przyjmie,\nże wysokość trapezu to 8 3 , to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n4 punkty.\n4. Jeżeli zdający błędnie przyjmuje, że trapez ABCD jest równoramienny lub przyjmie, że\npodstawy tego trapezu mają długości 16 i 10, to za całe rozwiązanie może trzymać co\nnajwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nA\nB\nO\nH\nr\nr\nC\nD\nS\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ w tym ostrosłupie wszystkie ściany boczne nachylone są do podstawy pod tym\nsamym kątem, więc spodek O wysokości H ostrosłupa jest środkiem okręgu wpisanego\nw wielokąt będący podstawą ostrosłupa. Niech r oznacza promień okręgu wpisanego\nw podstawę, h - wysokość trapezu ABCD , H natomiast niech oznacza wysokość\nostrosłupa.\nPonieważ w trapez można wpisać okrąg, więc spełniony jest warunek:\n26\nAB\nCD\nKorzystając z własności trójkąta prostokątnego EBC o kątach30° , 60° , 90° , otrzymujemy:\n8\nh\nCE\n, a stąd wynika, że\n4\nr =\nPonieważ\n9\ntg\n2\nα =\n, więc 9\n2\nH\nr\ni stąd obliczamy\n18\nH =\nObjętość tego ostrosłupa jest zatem równa\n1\n1\n1 26 8 18\n624\n3\n3\n2\n3\n2\nABCD\nAB\nCD\nV\nP\nH\nh H\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅⋅\n⋅\n⋅⋅","solution":"$V = 624$","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nNależy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego\nekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu\nod dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek - ekran zaznaczono\nkolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60\n. Wyznacz takie wymiary ekranu\nsmartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.\n2\ncm\n0,5 cm\n0,3 cm\n0,5 cm\n0,3 cm\nbrzeg\nobramowanie\nekran\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\n11. Rachunek różniczkowy. Zdający stosuje\npochodne do rozwiązywania zagadnień\noptymalizacyjnych (R11.6).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\nprzyjęcia jednego z wymiarów ekranu (długość, szerokość) za zmienną x i obliczenie\ndrugiego wymiaru y:\n6000\ny\nx\nwyrażenia pola powierzchni całego ekranu z obramowaniem jako funkcji jednej\nzmiennej x:\n( )\n60000\n6\n6060\nP x\nx\nx\nwyznaczenia dziedziny funkcji P: (\n)\n2 1501\n2,\n+∞.\nZa poprawne wykonanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie\nkroki też były wykonane poprawnie.\nA\nB\nE\nC\nD\nh\nDrugi etap składa się z trzech części:\nwyznaczenie pochodnej funkcji P lub funkcji\n( )\n60000\n6\nf x\nx\nx\nokreślonej np. dla\n0\nx >\n:\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n6\n10000\n60000\n6\n60000\n6\nx\nx\nf\nx\nx\nx\nx\n′\nobliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji f :\n100\nx =\nzbadanie znaku pochodnej funkcji f : jeśli0\n100\nx\n<\n<\n, to\n( )\n0\nf\nx\n′\n<\noraz jeśli\n100\nx >\n,\nto\n( )\n0\nf\nx\n′\n>\ni uzasadnienie, że dla\n100\nx =\nfunkcja P przyjmuje wartość najmniejszą,\nna przykład: w przedziale (2 1501\n2,100\nfunkcja P jest malejąca, w przedziale\n)\n100,+∞ funkcja P jest rosnąca, więc najmniejszą wartość funkcja P przyjmuje\ndla\n100\nx =\nZa poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie\nkroki też były wykonane poprawnie.\nTrzeci etap polega na obliczeniu obu wymiarów ekranu:\n100\nx =\noraz\n60\ny =\nZa poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nTen sposób rozwiązania składa się z następujących czterech kroków:\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1p.\nJeżeli zdający przyjmie oznaczenia (na przykład x i y) na długość i szerokość ekranu, zapisze\npole powierzchni całego ekranu z obramowaniem\n(\n)(\n)\n10\n6\nP\nx\ny\nUwaga\nZdający, gdy przyjmie oznaczenia (na przykład x i y) na długość i szerokość ekranu, zapisze\nrówność\n6060\n6\n10\nP\nx\ny\nto otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 3 p.\nZdający zapisze nierówność między średnimi:\n6\n10\n6\n10\n2\nx\ny\nx\ny\n≥\n⋅\nUwaga\nJeżeli zdający zapisze, że x i y są liczbami dodatnimi, a więc wolno skorzystać z nierówności\nmiędzy średnimi i zapisze nierówność między średnimi:\n6\n10\n6\n10\n2\nx\ny\nx\ny\n≥\n⋅\n, to otrzymuje 4 punkty.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 5 p.\nZdający wykaże nierówność\n7260\nP ≥\nRozwiązanie prawie pełne 6 p.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający znajdzie wartości\n100\nx =\nmm,\n60\ny =\nmm.\nRozwiązanie pełne 7 p.\nZdający wyciągnie wniosek, że dla x= 100 i y=60 smartfon ma najmniejszą powierzchnię.\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\nprzyjęcia jednego z wymiarów całego smartfona (długość, szerokość) za zmienną x\ni obliczenie drugiego wymiaru całego smarfona y:\n6000\n6\n10\ny\nx\nwyrażenia pola powierzchni całego ekranu z obramowaniem jako funkcji jednej\nzmiennej x:\n( )\n6000\n6000\n6\n6\n10\n10\nx\nP x\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nwyznaczenia dziedziny funkcji P: (\n)\n2 1501\n8,\n+∞.\nZa poprawne wykonanie każdego z tych etapów zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie\nkroki też były wykonane poprawnie.\nDrugi etap składa się z trzech części:\nwyznaczenie pochodnej funkcji P lub funkcji\n( )\n6000\n6\n10\nx\nf x\nx\nx\nokreślonej np. dla\n0\nx >\n:\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n10\n10000\n6000\n10\n6000\n6\n110\n90\n6\n10\n10\n10\nx\nx\nx\nx\nx\nf\nx\nx\nx\nx\n′\nobliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji f :\n110\nx =\nzbadanie znaku pochodnej funkcji f : jeśli0\n110\nx\n<\n<\n, to\n( )\n0\nf\nx\n′\n<\noraz jeśli\n110\nx >\n,\nto\n( )\n0\nf\nx\n′\n>\ni uzasadnienie, że dla\n110\nx =\nfunkcja P przyjmuje wartość najmniejszą,\nna przykład: w przedziale (2 1501\n8, 110\nfunkcja P jest malejąca, w przedziale\n)\n110,+∞ funkcja P jest rosnąca, więc najmniejszą wartość funkcja P przyjmuje\ndla\n110\nx =\nZa poprawne wykonanie każdego z tych etapów zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie\nkroki też były wykonane poprawnie.\nTrzeci etap polega na obliczeniu obu wymiarów ekranu:\n100\nx =\noraz\n60\ny =\nZa poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający rozpatruje funkcję P przy założeniu, że\n10\n6\n0\nx\ny\n>\n>\n, obliczy wymiary\nekranu 100 mm i 60 mm oraz obliczy wymiary smartfona 110 mm i 66 mm, i sprawdzi,\nże wymiary ekranu spełniają założenie\n10\n6\nx\ny\n>\n, to może otrzymać 7 punktów za\ncałe rozwiązanie.\n2.\nJeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji P, ale z rozwiązania wynika, że rozważa\nfunkcję P na zbiorze, w którym co najmniej jeden z wymiarów ekranu przyjmuje wartości\nujemne, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów.\n3.\nJeżeli zdający przyjmuje błędnie, że powierzchnia smartfona jest równa\n2\n60 cm\ni bada powierzchnię ekranu smartfona jako funkcję jednej zmiennej, to nie otrzymuje\n1 punktu za 1. część I etapu rozwiązania, a w konsekwencji może otrzymać co najwyżej\n6 punktów za całe rozwiązanie.\n4.\nJeżeli zdający nie ujednolici jednostek, ale przeprowadzi pełne rozumowanie, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (3 punkty wyłącznie za II etap\nrozwiązania).\n5.\nJeżeli zdający popełni błąd w zamianie 60 cmଶ zapisując 600 mmଶ i rozwiąże zadanie\ndo końca, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.\n6.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.\n7.\nZa poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą\ndla wyznaczonej wartości x, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy\nzdający:\na) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek), monotoniczność funkcji P;\nlub\nb) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości x funkcja P ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n8. Jeżeli zdający przyjmie, że dziedziną funkcji P jest przedział (\n)\n0,+∞, to może otrzymać\n1 punkt za 3. część II etapu, o ile otrzymane miejsce zerowe pochodnej należy\ndo właściwej dziedziny funkcji P.\n9. Jeżeli zdający rozpatruje inną wielkość niż pole, np. bada obwód, to za całe rozwiązanie\nzadania może otrzymać co najwyżej 1 punkt za 1. część I etapu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczmy długości boków ekranu smartfona literami x i y (x>y) tak jak na rysunku:\nWtedy powierzchnia ekranu jest równa (w\n2\nmm ):\n6000,\nxy =\nskąd wynika, że\n6000.\ny\nx\nPowierzchnia całego smartfona (tj. ekranu z obramowaniem) jest równa\n(\n)(\n)\n60000\n10\n6\n6\n10\n60\n6000\n6\n10\n60\n6\n6060.\nP\nx\ny\nxy\nx\ny\nx\ny\nx\nx\nPonieważ\n10\n6\n0\nx\ny\n>\n>\n, to\n6000\n4\nx\nx\n>\n. Stąd otrzymujemy kolejno:\n2\n4\n6000\nx\nx\n>\n,\n2\n4\n4\n6004\nx\nx\n>\n,\n(\n)\n2\n2\n6004\nx +\n>\n,\n2\n2 1501\nx +\n>\n,\n2 1501\n2\nx >\nOtrzymaliśmy funkcję P zmiennej x określoną wzorem\n( )\n60000\n6\n6060\nP x\nx\nx\ndla\n(\n)\n2 1501\n2,\nx∈\n+∞.\nObliczamy pochodną funkcji P:\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n6\n10000\n60000\n6\nx\nP x\nx\nx\n′\ndla\n(\n)\n2 1501\n2,\nx∈\n+∞.\n5 mm\n5 mm\n3 mm\n3 mm\nx\nx\ny\ny\nMiejscem zerowym pochodnej funkcji P jest\n100\nx =\n, gdyż\n2 1501\n2\n2 1521\n2\n2 39\n2\n76\n100\n<\n⋅\n<\nPonadto\n( )\n0\nP x\n′\n<\ndla\n(\n)\n2 1501\n2,100\nx∈\noraz\n( )\n0\nP x\n′\n>\ndla\n(\n)\n100,\nx∈\n+ ∞.\nZatem w przedziale (2 1501\n2,100\nfunkcja P jest malejąca, a w przedziale\n)\n100,+∞\nfunkcja P jest rosnąca.\nStąd wynika, że funkcja P dla\n100\nx =\nprzyjmuje najmniejszą wartość. Wtedy\n60\ny =\nPoszukiwanymi wymiarami ekranu smartfona są:\n100\nx =\nmm,\n60\ny =\nmm.\nII sposób\nTak jak w sposobie pierwszym obliczamy w milimetrach kwadratowych powierzchnię ekranu:\n6060\n6\n10 .\nP\nx\ny\nKorzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną:\n2\n6\n10\n6\n10\n60\n60 6000\n6 10000\n6 100\n600.\n2\nx\ny\nx\ny\nxy\n≥\n⋅\n⋅\n⋅\n= ⋅\nStąd wynika, że\n6060\n6\n10\n6060 1200\n7260.\nP\nx\ny\n≥\nW nierówności między średnimi równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby\nwystępujące w tych średnich są równe.\nNiech 6\n10 ,\nx\ny\nczyli\n6000\n6\n10\nx\nx\n⋅\nStąd otrzymujemy równanie:\n2\n10000\nx =\nJedynym dodatnim rozwiązaniem tego równania jest\n100\nx =\nWtedy\n60\ny =\n. Ponieważ\n7260\nP ≥\noraz dla\n100\nx =\ni\n60\ny =\nmamy\n110 66\n7260,\nP =\n⋅\nwięc ekran z obramowaniem ma najmniejszą powierzchnię dla\n100\nx =\ni\n60\ny =\nPoszukiwanymi wymiarami ekranu są:\n100\nx =\nmm,\n60\ny =\nmm.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIII sposób\nOznaczmy długości boków całego smartfona przez x i y (x>y) tak jak na rysunku:\nWtedy powierzchnia ekranu jest równa (w\n2\nmm ):\n(\n)(\n)\n10\n6\n6000\nx\ny\nskąd wynika, że\n6000\n6\n10\ny\nx\nPowierzchnia całego smartfona (tj. ekranu z obramowaniem) jest równa\n6000\n6000\n6\n6\n10\n10\nx\nP\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nPonieważ\n6\nx\ny\n>\n>\ni\n10\nx >\n, to\n6000\n6\n10\nx\nx\n>\n. Stąd otrzymujemy kolejno:\n2\n10\n6000\n6\n60\nx\nx\nx\n>\n,\n2\n16\n64\n6004\nx\nx\n>\n,\n(\n)\n2\n8\n6004\nx -\n>\n,\n8\n2 1501\nx -\n>\n,\n2 1501\n8\nx >\nOtrzymaliśmy funkcję P zmiennej x określoną wzorem\n( )\n6000\n6\n10\nx\nP x\nx\nx\ndla\n(\n)\n2 1501\n8,\nx∈\n+∞.\nObliczamy pochodną funkcji P:\n( )\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n6\n10\n10000\n6000\n10\n6000\n6\n110\n90\n6\n10\n10\n10\nx\nx\nx\nx\nx\nP\nx\nx\nx\nx\n′\ndla\n(\n)\n2 1501\n8,\nx∈\n+∞.\nMiejscem zerowym pochodnej funkcji P jest\n110\nx =\n, bo\n2 1501\n8\n2 1521\n8\n2 39\n8\n86\n110\n<\n⋅\n<\nPonadto\n( )\n0\nP x\n′\n<\ndla\n(\n)\n2 1501\n8,110\nx∈\noraz\n( )\n0\nP x\n′\n>\ndla\n(\n)\n110,\nx∈\n+∞.\nZatem w przedziale (2 1501\n8,110\nfunkcja P jest malejąca, a w przedziale\n)\n110,+∞\nfunkcja P jest rosnąca.\nStąd wynika, że funkcja P dla\n110\nx =\nprzyjmuje najmniejszą wartość.\nWtedy\n6000\n110 10\n6\n66\ny\nPoszukiwanymi wymiarami ekranu smartfona są:\n100\nx =\nmm,\n60\ny =\nmm.","solution":"$x = 100$ mm, $y = 60$ mm","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}