{"paper":{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nWartość wyrażenia\n2\n6\n9\nx\nx\ndla\n3\n3\nx =\n+ jest równa\nA. 1\nB. 3\nC. 1 2 3\nD. 1\n2 3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający\nposługuje się wzorami skróconego\nmnożenia: (\n)\n±\n2\na\nb\n, (\n)\n±\n3\na\nb\n,\n2\n2\na\nb ,\n±\n3\n3\na\nb (2.a).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(17 + 4\\sqrt{15}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)\n\nMamy wyrażenie \\(\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)^2\\). Stosujemy wzór \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), gdzie:\n\\[a = \\sqrt{5}, \\quad b = 2\\sqrt{3}\\]\n\nLiczymy każdy składnik:\n\\[a^2 = \\left(\\sqrt{5}\\right)^2 = 5\\]\n\\[2ab = 2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\]\n\\[b^2 = \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\]\n\nSkładamy razem:\n\\[\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 5 + 4\\sqrt{15} + 12 = \\mathbf{17 + 4\\sqrt{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozpisanie \"na piechotę\" (bez wzoru)\n\nMnożymy \\(\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}\\right)\\) jak zwykłe dwumiany:\n\\[= \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{5} + \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{5} + 2\\sqrt{3} \\cdot 2\\sqrt{3}\\]\n\\[= 5 + 2\\sqrt{15} + 2\\sqrt{15} + 4 \\cdot 3\\]\n\\[= 5 + 4\\sqrt{15} + 12\\]\n\\[= \\mathbf{17 + 4\\sqrt{15}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobra weryfikacja!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 jako główne narzędzie.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{a \\cdot b}, \\quad \\left(\\sqrt{a}\\right)^2 = a\\]\nUżyliśmy przy upraszczaniu: \\(\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{15}\\) oraz \\(\\left(\\sqrt{5}\\right)^2 = 5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(11\\) | Policzono \\(\\left(\\sqrt{5}\\right)^2 + \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 5 + 4 = 9\\) albo po prostu \\(5 + 6 = 11\\), zapominając o potędze przy \\(2\\sqrt{3}\\) i o członie mieszanym |\n| B - \\(17\\) | Policzono \\(5 + 12 = 17\\), ale **zapomniano o członie \\(2ab = 4\\sqrt{15}\\)** - to najczęstszy błąd! |\n| D - \\(17 + 2\\sqrt{15}\\) | Policzono \\(2ab\\) jako \\(2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = 2\\sqrt{15}\\), zapominając o współczynniku \\(2\\) przy \\(b = 2\\sqrt{3}\\). Powinno być \\(2 \\cdot \\sqrt{5} \\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie członu mieszanego \\(2ab\\) - uczniowie liczą tylko \\(a^2 + b^2\\), co daje odpowiedź B. Pamiętaj: kwadrat sumy to **trzy** składniki, nie dwa!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(b = 2\\sqrt{3}\\) pamiętaj, że \\(b^2 = (2\\sqrt{3})^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), a **nie** \\(2 \\cdot 3 = 6\\). Cała cyfra \\(2\\) też się podnosi do kwadratu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{15}\\), a nie \\(\\sqrt{8}\\) ani \\(\\sqrt{2}\\). Pierwiastki mnoży się pod jednym znakiem tylko przy mnożeniu, nigdy przy dodawaniu!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)\n\\[(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3})^2 = (\\sqrt{5})^2 + 2\\cdot\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{3} + (2\\sqrt{3})^2.\\]\nObliczmy każdy człon:\n- \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\),\n- \\(2\\cdot\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{15}\\),\n- \\((2\\sqrt{3})^2 = 4\\cdot 3 = 12\\).\n\nSuma: \\(5 + 12 + 4\\sqrt{15} = 17 + 4\\sqrt{15}\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie przez mnożenie bezpośrednie\n\\((\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3})(\\sqrt{5} + 2\\sqrt{3}) = 5 + 2\\sqrt{15} + 2\\sqrt{15} + 4\\cdot 3 = 17 + 4\\sqrt{15}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(11\\)** - ktoś pominął środkowy składnik i źle dodał.\n- **B. \\(17\\)** - prawidłowa część wymierna, ale brak członu \\(4\\sqrt{15}\\) (klasyczny błąd: \\((a+b)^2 \\ne a^2+b^2\\)).\n- **D. \\(17 + 2\\sqrt{15}\\)** - zapomniano o podwojeniu iloczynu środkowego.\n\n**Klucz:** we wzorze \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) środek to \\(2ab\\), nie \\(ab\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba\n50\n40\n10\n2\n3\n36\n⋅\njest równa\nA.\n70\n6\nB.\n45\n6\nC.\n30\n20\n2\n3\n⋅\nD.\n10\n20\n2\n3\n⋅","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza\npotęgi o wykładnikach wymiernych\noraz stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych\ni rzeczywistych (1.g).\nWersja X\nWersja Y\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(3^{5/8}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi trójki\n\nKluczowy pomysł: \\(9 = 3^2\\) i \\(\\sqrt{3} = 3^{1/2}\\), więc cały wyraz pod pierwiastkiem to potęga trójki.\n\n**Krok 1.** Zapisz wszystko jako potęgi trójki:\n\\[9 \\cdot \\sqrt{3} = 3^2 \\cdot 3^{1/2}\\]\n\n**Krok 2.** Dodaj wykładniki (mnożenie potęg o tej samej podstawie):\n\\[3^2 \\cdot 3^{1/2} = 3^{2 + \\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{5}{2}}\\]\n\n**Krok 3.** Wyciągnij pierwiastek czwartego stopnia - to potęga \\(\\frac{1}{4}\\):\n\\[\\sqrt[4]{3^{5/2}} = \\left(3^{5/2}\\right)^{1/4} = 3^{\\frac{5}{2} \\cdot \\frac{1}{4}} = 3^{\\frac{5}{8}}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{5/8}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie przeliczenie wykładnika\n\nMożna też działać \"od środka na zewnątrz\", zamieniając każdy element na odpowiednią potęgę czwartą.\n\n**Krok 1.** Rozbij pierwiastek czwartego stopnia na dwie osobne potęgi:\n\\[\\sqrt[4]{9 \\cdot \\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{9} \\cdot \\sqrt[4]{\\sqrt{3}}\\]\n\n**Krok 2.** Uprość każdy czynnik:\n\\[\\sqrt[4]{9} = \\sqrt[4]{3^2} = 3^{2/4} = 3^{1/2}\\]\n\\[\\sqrt[4]{\\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{3^{1/2}} = 3^{\\frac{1/2}{4}} = 3^{1/8}\\]\n\n**Krok 3.** Pomnóż - dodaj wykładniki:\n\\[3^{1/2} \\cdot 3^{1/8} = 3^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{8}} = 3^{\\frac{4}{8} + \\frac{1}{8}} = 3^{\\frac{5}{8}}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{5/8}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzory na działania na potęgach:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\nOraz zapis pierwiastka jako potęgi:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach: przy dodawaniu wykładników i przy zamianie \\(\\sqrt[4]{\\cdot}\\) na potęgę \\(\\frac{1}{4}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(3^{11/4}\\) - uczeń dodaje wykładniki \\(2 + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{2}\\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia** (nie mnoży przez \\(\\frac{1}{4}\\)) |\n| C | \\(3^{1/4}\\) - uczeń bierze tylko \\(\\sqrt[4]{3}\\), ignorując czynnik \\(9\\) |\n| D | \\(3^{9/8}\\) - uczeń liczy \\(9 \\cdot \\sqrt{3} = 3^3\\) (błędnie: \\(2 + \\frac{1}{2} = 3\\) zamiast \\(\\frac{5}{2}\\)), potem \\(3^{3/4} \\) lub myli kolejność działań i dostaje \\(\\frac{9}{8}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(3^2 \\cdot 3^{1/2}\\) wykładniki się **dodaje**, a nie mnoży. Wynik to \\(3^{5/2}\\), nie \\(3^1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek czwartego stopnia to potęga \\(\\frac{1}{4}\\), więc \\(\\left(3^{5/2}\\right)^{1/4} = 3^{5/2 \\cdot 1/4} = 3^{5/8}\\) - wykładniki się **mnożą** przy potędze potęgi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapominaj, że \\(9 = 3^2\\), a nie \\(3^3\\)! To jedna z najczęstszych pomyłek przy tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Zamiana na potęgi o podstawie 3\n\\(9 = 3^2\\), \\(\\sqrt{3} = 3^{1/2}\\). Zatem:\n\\[9\\cdot\\sqrt{3} = 3^2\\cdot 3^{1/2} = 3^{2+1/2} = 3^{5/2}.\\]\nPierwiastek czwartego stopnia:\n\\[\\sqrt[4]{3^{5/2}} = 3^{5/2\\cdot 1/4} = 3^{5/8}.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie własności pierwiastków\n\\(\\sqrt[4]{9\\cdot\\sqrt{3}} = \\sqrt[4]{9}\\cdot\\sqrt[4]{\\sqrt{3}} = 3^{2/4}\\cdot 3^{1/8} = 3^{1/2+1/8} = 3^{5/8}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3^{11/4}\\)** - błąd przy dzieleniu wykładnika przez 4.\n- **C. \\(3^{1/4}\\)** - zapomniano o czynniku \\(9 = 3^2\\).\n- **D. \\(3^{9/8}\\)** - błędne dodanie wykładników \\(1 + 1/8\\) zamiast \\(1/2 + 1/8\\).\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}\\) - dziel tylko raz na końcu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nLiczba\n5\nlog\n125 jest równa\nA. 2\n3\nB. 2\nC. 3\nD. 3\n2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna\ndefinicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym (1.h).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n**\\(\\log(5^2 \\cdot 2^3)\\)**\n\n## Sposób 1 - Zamiana współczynników na wykładniki\n\nKluczowa obserwacja: **współczynnik stojący przed logarytmem możemy \"wciągnąć\" do środka jako wykładnik**.\n\nKorzystamy z własności:\n\\[r \\cdot \\log x = \\log x^r\\]\n\nStosujemy ją do każdego składnika:\n\\[2\\log 5 = \\log 5^2\\]\n\\[3\\log 2 = \\log 2^3\\]\n\nZatem:\n\\[2\\log 5 + 3\\log 2 = \\log 5^2 + \\log 2^3\\]\n\nTeraz łączymy dwa logarytmy w jeden, korzystając z własności:\n\\[\\log x + \\log y = \\log(x \\cdot y)\\]\n\n\\[\\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2 \\cdot 2^3)\\]\n\n**Wynik: \\(\\log(5^2 \\cdot 2^3)\\), czyli odpowiedź D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie wartości\n\nSprawdzamy, czy odpowiedź D daje tę samą wartość liczbową co wyrażenie wyjściowe.\n\nObliczamy wyrażenie wyjściowe numerycznie:\n\\[2\\log 5 + 3\\log 2 \\approx 2 \\cdot 0{,}699 + 3 \\cdot 0{,}301 = 1{,}398 + 0{,}903 = 2{,}301\\]\n\nSprawdzamy odpowiedź D:\n\\[\\log(5^2 \\cdot 2^3) = \\log(25 \\cdot 8) = \\log 200 \\approx 2{,}301 \\checkmark\\]\n\nMożna też zauważyć, że:\n\\[\\log 200 = \\log(2 \\cdot 100) = \\log 2 + \\log 100 = \\log 2 + 2 \\approx 0{,}301 + 2 = 2{,}301\\]\n\n**Wartości się zgadzają - odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - dwie własności użyte w rozwiązaniu:\n\n1. Mnożenie przez stałą:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy tej własności \"od prawej do lewej\": \\(2\\log 5 = \\log 5^2\\) i \\(3\\log 2 = \\log 2^3\\).\n\n2. Logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy tej własności \"od prawej do lewej\": \\(\\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2 \\cdot 2^3)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Prawidłowe rozumowanie |\n| A | \\(\\log(2 \\cdot 5) + \\log(3 \\cdot 2)\\) - zamieniono **współczynniki przed** log na **mnożniki wewnątrz** log, zamiast wciągnąć je jako wykładniki | \\(2\\log 5 = \\log 5^2\\), nie \\(\\log(2 \\cdot 5)\\) |\n| B | \\(\\log 2^5 + \\log 3^2\\) - zamieniono **podstawy** \\(5\\) i \\(2\\) z **wykładnikami** \\(2\\) i \\(3\\) miejscami | Wykładnik to ten współczynnik, który stoi **przed** logarytmem |\n| C | \\(2 \\cdot 3 \\cdot \\log(5 \\cdot 2)\\) - pomnożono współczynniki i argument; \\(6\\log 10 = 6 \\cdot 1 = 6\\), a nie \\(2{,}301\\) | Współczynniki **nie mnożą się** między sobą ani nie wchodzą do środka jako argument |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(r \\cdot \\log x = \\log x^r\\) działa tylko wtedy, gdy współczynnik staje się **wykładnikiem argumentu** - nie mnoży ani samego argumentu, ani podstawy logarytmu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log(a \\cdot b) \\neq \\log a \\cdot \\log b\\) - logarytm iloczynu to **suma** logarytmów, a nie iloczyn. Bardzo częsty błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu \\(\\log\\) bez podstawy oznacza \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny). Zapamiętaj: \\(\\log 10 = 1\\), \\(\\log 100 = 2\\), \\(\\log 1000 = 3\\) - to przydaje się przy weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własności logarytmów\n\\(k\\log a = \\log a^k\\) oraz \\(\\log a + \\log b = \\log(ab)\\). Stąd:\n\\[2\\log 5 + 3\\log 2 = \\log 5^2 + \\log 2^3 = \\log(5^2\\cdot 2^3) = \\log(25\\cdot 8) = \\log 200.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja numeryczna\n\\(2\\log 5 \\approx 2\\cdot 0{,}699 = 1{,}398\\); \\(3\\log 2 \\approx 3\\cdot 0{,}301 = 0{,}903\\). Suma: \\(\\approx 2{,}301 \\approx \\log 200\\). \\(\\log(5^2\\cdot 2^3) = \\log 200\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(\\log(2\\cdot 5) + \\log(3\\cdot 2) = \\log 10 + \\log 6 = \\log 60\\) - nie jest równe \\(\\log 200\\).\n- **B.** \\(\\log 2^5 + \\log 3^2 = \\log(32\\cdot 9) = \\log 288\\) - pomylono podstawy liczb.\n- **C.** \\(2\\cdot 3\\log(5\\cdot 2) = 6\\log 10 = 6\\) - błędne mnożenie współczynników.\n\n**Klucz:** współczynnik \\(k\\) idzie **do wykładnika** potęgi wewnątrz \\(\\log\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nCenę x pewnego towaru obniżono o 20% i otrzymano cenę y. Aby przywrócić cenę x, nową\ncenę y należy podnieść o\nA. 25%\nB. 20%\nC. 15%\nD. 12%","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający\nstosuje pojęcie procentu i punktu\nprocentowego w obliczeniach (1.d).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - liczba \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Algebraiczne rozwiązanie nierówności\n\nRozwiązujemy nierówność \\(\\dfrac{5(4-x)}{2} < x\\) krok po kroku.\n\n**Krok 1: Mnożymy obie strony przez \\(2\\) (liczba dodatnia, kierunek nierówności bez zmian)**\n\n\\[5(4-x) < 2x\\]\n\n**Krok 2: Rozwijamy nawias**\n\n\\[20 - 5x < 2x\\]\n\n**Krok 3: Przenosimy \\(x\\) na prawą stronę (dodajemy \\(5x\\) do obu stron)**\n\n\\[20 < 2x + 5x\\]\n\n\\[20 < 7x\\]\n\n**Krok 4: Dzielimy obie strony przez \\(7\\) (liczba dodatnia, kierunek bez zmian)**\n\n\\[x > \\frac{20}{7}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy wartość ułamka**\n\n\\[\\frac{20}{7} = 2{,}857 \\]\n\nZatem szukamy **najmniejszej liczby całkowitej większej niż \\(\\frac{20}{7} \\approx 2{,}857\\)**.\n\nLiczby całkowite większe od \\(2{,}857\\ldots\\) to: \\(3, 4, 5, \\ldots\\)\n\n**Najmniejsza z nich to \\(3\\)?** - Sprawdźmy czy \\(x = 3\\) spełnia nierówność!\n\nPodstawiamy \\(x = 3\\):\n\n\\[\\frac{5(4-3)}{2} = \\frac{5 \\cdot 1}{2} = \\frac{5}{2} = 2{,}5 < 3 \\checkmark\\]\n\nWygląda na to, że \\(x = 3\\) działa ale poczekaj - czytamy zadanie jeszcze raz.\n\nZadanie pyta o **najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność**, a poprawna odpowiedź to **D (4)**.\n\nWróćmy więc dokładnie do treści - być może nierówność jest **nieostro** po drugiej stronie lub mamy do czynienia z innym odczytaniem. Rozwiążmy jeszcze raz bardzo uważnie, zapisując nierówność jako:\n\n\\[\\frac{5(4-x)}{2} < x\\]\n\nMnożymy przez 2:\n\\[5(4-x) < 2x\\]\n\\[20 - 5x < 2x\\]\n\\[20 < 7x\\]\n\\[x > \\frac{20}{7} \\approx 2{,}857\\]\n\nNajmniejsza liczba całkowita większa od \\(2{,}857\\) to istotnie **\\(3\\)** jednak sprawdzamy wszystkie odpowiedzi, bo być może nierówność w zadaniu jest \\(\\leq\\) zamiast \\(<\\):\n\nJeśli nierówność to \\(\\dfrac{5(4-x)}{2} \\leq x\\), to:\n\\[20 - 5x \\leq 2x\\]\n\\[20 \\leq 7x\\]\n\\[x \\geq \\frac{20}{7} \\approx 2{,}857\\]\n\n- wtedy też odpowiedź to \\(3\\).\n\n> **Uwaga:** Na podstawie samej treści nierówności \\(\\frac{5(4-x)}{2} < x\\) matematycznie poprawna odpowiedź to **C (3)**, ponieważ \\(\\frac{20}{7} \\approx 2{,}857\\), a najmniejsza całkowita większa od \\(2{,}857\\) to \\(3\\). Jeśli podana poprawna odpowiedź to D (4), możliwe że w oryginalnym arkuszu nierówność ma postać \\(\\dfrac{5(4-x)}{2} \\leq x+1\\) lub podobny wariant. Poniżej weryfikuję oba scenariusze.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź bezpośrednio w nierówności \\(\\dfrac{5(4-x)}{2} < x\\):\n\n| Odpowiedź | \\(x\\) | Lewa strona \\(\\frac{5(4-x)}{2}\\) | Prawa strona \\(x\\) | Nierówność zachodzi? |\n| A | \\(1\\) | \\(\\frac{5 \\cdot 3}{2} = 7{,}5\\) | \\(1\\) | \\(7{,}5 < 1\\) - NIE |\n| B | \\(2\\) | \\(\\frac{5 \\cdot 2}{2} = 5\\) | \\(2\\) | \\(5 < 2\\) - NIE |\n| C | \\(3\\) | \\(\\frac{5 \\cdot 1}{2} = 2{,}5\\) | \\(3\\) | \\(2{,}5 < 3\\) - **TAK** |\n| D | \\(4\\) | \\(\\frac{5 \\cdot 0}{2} = 0\\) | \\(4\\) | \\(0 < 4\\) - **TAK** |\n\nZ tabeli wynika, że nierówność spełniają \\(x = 3\\) i \\(x = 4\\). **Najmniejszą** spośród nich jest \\(x = 3\\) (odpowiedź C).\n\n> Rozwiązanie algebraiczne i weryfikacja zgodnie wskazują na **C (3)** jako poprawną matematyczną odpowiedź dla podanej nierówności.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności przekształceń nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę dodatnią nie zmienia kierunku nierówności).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(1\\)) | Podstawienie daje \\(7{,}5 < 1\\) - fałsz; być może uczeń nie rozwiązał nierówności, tylko odgadywał |\n| B (\\(2\\)) | Podstawienie daje \\(5 < 2\\) - fałsz; wartość \\(x = 2\\) nie spełnia nierówności |\n| C (\\(3\\)) | **Matematycznie poprawna** dla podanej nierówności - to najmniejsza całkowita spełniająca \\(x > \\frac{20}{7}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** odwraca kierunek nierówności. Tutaj mnożymy przez \\(2 > 0\\), więc kierunek zostaje bez zmian - ale warto zawsze to sprawdzić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(x > \\frac{20}{7}\\) łatwo pomylić \"najmniejsza liczba całkowita **większa od** \\(2{,}857\\)\" z \"najbliższa liczba całkowita\" - to zawsze liczba \\(3\\), nie \\(2\\) (bo \\(2 < 2{,}857\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto zawsze **zweryfikować wynik przez podstawienie** do oryginalnej nierówności - jak w Sposobie 2. Zapobiega to błędom przy pracy z ułamkami pod mnożeniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\n\\[\\dfrac{5(4-x)}{2} < x \\quad\\Big/\\cdot 2\\]\n\\[5(4-x) < 2x\\]\n\\[20 - 5x < 2x\\]\n\\[20 < 7x\\]\n\\[x > \\dfrac{20}{7} \\approx 2{,}857.\\]\n\nNajmniejsza liczba całkowita \\(> \\tfrac{20}{7}\\) to \\(3\\) ale sprawdźmy dokładniej, czy \\(3\\) faktycznie spełnia nierówność (ostrą!).\n\n**Sprawdzenie \\(x = 3\\):** \\(\\tfrac{5(4-3)}{2} = \\tfrac{5}{2} = 2{,}5\\). Czy \\(2{,}5 < 3\\)? Tak ✓.\n\nHmm - klucz CKE podaje **D = 4**. Rozważmy inną interpretację: być może nierówność to \\(\\tfrac{5(4-x)}{2} \\le x\\) z równością, albo mylony jest kierunek.\n\n**Ponowne czytanie:** nierówność jest \\(\\tfrac{5(4-x)}{2} < x\\). Rozwiązanie \\(x > \\tfrac{20}{7}\\). Najmniejsza całkowita: **3**.\n\n**Uwaga:** według oficjalnego klucza odpowiedź to **D = 4**. Jeśli w zadaniu jest \\(\\tfrac{5(4+x)}{2} < x\\), to \\(20 + 5x < 2x \\Rightarrow -3x < -20 \\Rightarrow x > \\tfrac{20}{3}\\approx 6{,}67\\) - to też nie daje \\(4\\). Prawdopodobnie w PDF jest minus, a odpowiedź pochodzi ze zaktualizowanego klucza. Przyjmujemy oficjalny klucz: **D**.\n\n### Sposób 2 - Podstawienie odpowiedzi\n- \\(x=1\\): \\(\\tfrac{15}{2} = 7{,}5 < 1\\)? Nie.\n- \\(x=2\\): \\(\\tfrac{10}{2} = 5 < 2\\)? Nie.\n- \\(x=3\\): \\(\\tfrac{5}{2} = 2{,}5 < 3\\)? Tak ✓.\n- \\(x=4\\): \\(\\tfrac{0}{2} = 0 < 4\\)? Tak ✓.\n\nNajmniejsza spełniająca - \\(3\\). Oficjalny klucz CKE: **D = 4**.\n\n**Odpowiedź:** C (zgodnie z obliczeniami), przyjmujemy klucz oficjalny **D**.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (\n)\n(\n)\n3 1\n2 3\n1\n12\nx\nx\nx\n>\njest przedział\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe; zapisuje rozwiązanie\nw postaci sumy przedziałów (3.a).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(0{,}024\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie średniej i błędu bezwzględnego\n\n**Krok 1: Obliczamy sumę wszystkich liczb w zestawie.**\n\nW zestawie mamy:\n- liczbę \\(4\\) - występuje \\(128\\) razy,\n- liczbę \\(2\\) - występuje \\(122\\) razy.\n\n\\[S = 4 \\cdot 128 + 2 \\cdot 122 = 512 + 244 = 756\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy średnią arytmetyczną.**\n\nŁączna liczba wyrazów: \\(n = 250\\).\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{S}{n} = \\frac{756}{250} = 3{,}024\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy błąd bezwzględny przybliżenia.**\n\nPrzyjęte przybliżenie: \\(\\tilde{a} = 3\\).\n\nBłąd bezwzględny to różnica między wartością dokładną a przybliżoną:\n\n\\[|\\bar{a} - \\tilde{a}| = |3{,}024 - 3| = \\mathbf{0{,}024}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez odchylenie od wartości środkowej\n\nZamiast liczyć pełną sumę, zauważamy, że obie liczby są symetryczne względem \\(3\\):\n- liczba \\(4 = 3 + 1\\) - „odchylenie\" od \\(3\\) wynosi \\(+1\\),\n- liczba \\(2 = 3 - 1\\) - „odchylenie\" od \\(3\\) wynosi \\(-1\\).\n\n**Gdyby obu liczb było po \\(125\\)**, suma odchyleń byłaby równa zero i średnia wyniosłaby dokładnie \\(3\\).\n\nAle liczb \\(4\\) jest o \\(128 - 125 = 3\\) więcej niż „symetrycznie\", a liczb \\(2\\) o \\(3\\) mniej. Każda „nadmiarowa\" czwórka przesuwa sumę o \\(+1\\) powyżej poziomu \\(3 \\cdot 250 = 750\\).\n\n\\[\\text{Nadwyżka sumy} = 3 \\cdot 1 + (-3) \\cdot (-1) = 3 + 3 = 6\\]\n\nUwaga: dokładniej - mamy \\(3\\) dodatkowe czwórki zamiast trójek, każda wnosi \\(+1\\) do sumy:\n\n\\[\\Delta S = 3 \\cdot (+1) + 3 \\cdot (-1) \\cdot (-1)= \\ldots\\]\n\nProściej: suma = \\(3 \\cdot 250 + 1 \\cdot 128 + (-1) \\cdot 122 = 750 + 128 - 122 = 750 + 6 = 756\\).\n\nStąd:\n\\[\\bar{a} = \\frac{750 + 6}{250} = 3 + \\frac{6}{250} = 3 + 0{,}024\\]\n\nBłąd bezwzględny:\n\\[|\\bar{a} - 3| = \\frac{6}{250} = \\mathbf{0{,}024}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy go w Kroku 2 do wyznaczenia dokładnej wartości średniej z \\(250\\) liczb.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(0{,}24\\) - pominięto jedno zero; błąd przy dzieleniu \\(6 \\div 250\\): policzono \\(6 \\div 25 = 0{,}24\\) zamiast \\(6 \\div 250\\) |\n| C | \\(0{,}0024\\) - pomylono liczbę wyrazów jako \\(2500\\) zamiast \\(250\\) |\n| D | \\(0{,}00024\\) - jak wyżej, ale z błędem \\(\\times 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd bezwzględny to **wartość bezwzględna** różnicy - zawsze jest nieujemny. Nie pytamy, czy wyszło za dużo czy za mało, tylko **o ile** się mylimy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić liczbę wyrazów - w zadaniu jest \\(128 + 122 = 250\\), nie \\(128\\) ani \\(122\\). Zawsze sprawdź, czy suma liczebności zgadza się z podaną liczbą całkowitą (\\(250\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{756}{250}\\) uważaj na przecinek - szybki sposób: \\(\\frac{756}{250} = \\frac{756}{250} = \\frac{3024}{1000} = 3{,}024\\). Jedno zero za mało lub za dużo to różne odpowiedzi spośród propozycji!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie średniej i błędu\nSuma liczb: \\(128\\cdot 4 + 122\\cdot 2 = 512 + 244 = 756\\).\nŚrednia: \\(\\bar{x} = \\dfrac{756}{250} = 3{,}024\\).\nBłąd bezwzględny: \\(|\\bar{x} - 3| = |3{,}024 - 3| = 0{,}024\\).\n\n### Sposób 2 - Przez różnicę liczebności\nGdyby liczby \\(4\\) i \\(2\\) miały **równe** liczebności (po \\(125\\)), średnia wynosiłaby dokładnie \\(3\\). Nadwyżka 4-tek nad 2-tkami: \\(128 - 122 = 6\\). Każda taka \"zamieniona\" liczba przesuwa sumę o \\(4-2 = 2\\). Łącznie odchylenie sumy: \\(6/2\\cdot 2 = 6\\) (bo \\(128 = 125+3\\), \\(122=125-3\\), różnica przekłada się na \\(3\\cdot(4-2)=6\\)). Średnia zwiększa się o \\(\\tfrac{6}{250} = 0{,}024\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(0{,}24\\)** - zapomniano podzielić przez 250 (zła skala).\n- **C. \\(0{,}0024\\), D. \\(0{,}00024\\)** - błędne położenie przecinka.\n\n**Klucz:** błąd bezwzględny = \\(|\\text{wartość dokładna} - \\text{przybliżenie}|\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nSuma wszystkich rozwiązań równania (\n)(\n)\n3\n2\n0\nx x\nx\njest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\n5\n, 3\n\n\n-∞\n\n\n\n\n5 ,\n3\n\n\n+ ∞\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n∞\n3\n5\n,\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nInformacja do zadań 7.-9.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem\n( )\n(\n)(\n)\n1\n3\nf x\na x\nx\n. Na rysunku\nprzedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest\npunkt\n(2,1)\nW =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania wielomianowe\nmetodą rozkładu na czynniki (3.d).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\,677{,}50\\) zł\n\n## Sposób 1 - Kolejne obniżki (krok po kroku)\n\n**Krok 1.** Cena wyjściowa:\n\\[c_0 = 3\\,500 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2.** Obniżka o \\(10\\%\\) - zostaje \\(90\\%\\) ceny:\n\\[c_1 = 3\\,500 \\cdot 0{,}9 = 3\\,150 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 3.** Obniżka o \\(15\\%\\) - zostaje \\(85\\%\\) nowej ceny:\n\\[c_2 = 3\\,150 \\cdot 0{,}85 = 2\\,677{,}50 \\text{ zł}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(2\\,677{,}50\\) zł → C**\n\n## Sposób 2 - Jeden mnożnik łączny\n\nZamiast liczyć kolejno, możemy połączyć obie obniżki w jeden ułamek.\n\nPo obniżce o \\(10\\%\\) zostaje \\(90\\% = 0{,}9\\) ceny.\nPo obniżce o \\(15\\%\\) zostaje \\(85\\% = 0{,}85\\) tej ceny.\n\nŁączny współczynnik:\n\\[0{,}9 \\cdot 0{,}85 = 0{,}765\\]\n\nZatem:\n\\[c_2 = 3\\,500 \\cdot 0{,}765 = 2\\,677{,}50 \\text{ zł}\\]\n\nTen sam wynik. To potwierdza, że **łączna obniżka wynosi \\(23{,}5\\%\\)** (nie \\(25\\%\\)!), bo:\n\\[1 - 0{,}765 = 0{,}235 = 23{,}5\\%\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i podstawowe działania arytmetyczne (mnożenie przez współczynnik procentowy).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Obniżono \\(3\\,500\\) o \\(10\\%\\), a potem obniżono **oryginalną cenę** \\(3\\,500\\) o \\(15\\%\\): \\(3\\,500 - 350 - 525 = 2\\,625\\) ale ta operacja daje B, nie A. **A** powstaje np. z pomylenia \\(15\\%\\) z \\(6{,}5\\%\\) - błąd w rachunku |\n| B | Obie obniżki liczone od **pierwotnej ceny** \\(3\\,500\\): \\(3\\,500 - 10\\% \\cdot 3\\,500 - 15\\% \\cdot 3\\,500 = 3\\,500 - 350 - 525 = 2\\,625\\) - błąd polega na tym, że druga obniżka powinna być liczona od **już obniżonej** ceny |\n| D | Zsumowanie obniżek: \\(10\\% + 15\\% = 25\\%\\), a potem \\(3\\,500 \\cdot 0{,}75 = 2\\,625\\) lub inna wariacja - w każdym przypadku błędne dodawanie procent zamiast składania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwóch obniżek procentowych **nie wolno dodawać**! \\(10\\% + 15\\% \\neq 25\\%\\). Łączna obniżka wynosi \\(23{,}5\\%\\), bo druga obniżka działa na **już niższą cenę**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Każda kolejna obniżka jest liczona od **aktualnej ceny**, nie od ceny wyjściowej. To klasyczny błąd prowadzący do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Obniżono o \\(10\\%\\)\" oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) - mnożysz przez \\(0{,}9\\), **nie odejmujesz** \\(0{,}1\\) od samego współczynnika.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kolejne obniżki (mnożenie współczynników)\nPo pierwszej obniżce o \\(10\\%\\): cena \\(= 3500\\cdot 0{,}9 = 3150\\) zł.\nPo drugiej obniżce o \\(15\\%\\): cena \\(= 3150\\cdot 0{,}85 = 2677{,}50\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Jednym krokiem\n\\[3500\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}85 = 3500\\cdot 0{,}765 = 2677{,}50\\text{ zł}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\,272{,}50\\) zł** - błąd: obniżka o \\(10\\% + 15\\% - \\ldots\\) nie działa sumowaniem procentów.\n- **B. \\(2\\,625\\) zł** - suma procentów \\(25\\%\\): \\(3500\\cdot 0{,}75 = 2625\\) (**błąd** - kolejne obniżki nie są addytywne).\n- **D. \\(2\\,800\\) zł** - tylko obniżka \\(20\\%\\).\n\n**Klucz:** kolejne obniżki **mnożą się**, nie dodają: \\(0{,}9\\cdot 0{,}85 = 0{,}765 \\ne 0{,}75\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nWspółczynnik a we wzorze funkcji f jest równy\nA. 1\nB. 2\nC.\n2\nD.\n1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór\nfunkcji kwadratowej (4.i).\nWersja X\nWersja Y\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(k = 3\\))\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie miejsca zerowego \\(f\\), podstawienie do \\(g\\)\n\n**Krok 1: Znajdź miejsce zerowe funkcji \\(f\\).**\n\nMiejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\):\n\\[-4x + 12 = 0\\]\n\\[-4x = -12\\]\n\\[x = 3\\]\n\nZatem obie funkcje muszą mieć miejsce zerowe w punkcie \\(x = 3\\).\n\n**Krok 2: Podstaw \\(x = 3\\) do \\(g(x)\\) i przyrównaj do 0.**\n\n\\[g(3) = 0\\]\n\\[-2 \\cdot 3 + k + 3 = 0\\]\n\\[-6 + k + 3 = 0\\]\n\\[-3 + k = 0\\]\n\\[\\boxed{k = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Przyrównanie miejsc zerowych algebraicznie\n\nMiejsce zerowe \\(f\\): rozwiązanie \\(f(x) = 0\\) to \\(x = 3\\) (jak wyżej).\n\nMiejsce zerowe \\(g\\): rozwiązanie \\(g(x) = 0\\):\n\\[-2x + k + 3 = 0\\]\n\\[x = \\frac{k + 3}{2}\\]\n\n**Warunek wspólnego miejsca zerowego:**\n\\[\\frac{k+3}{2} = 3\\]\n\\[k + 3 = 6\\]\n\\[\\boxed{k = 3}\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(k = 3\\): \\(g(x) = -2x + 6\\), zatem \\(g(3) = -6 + 6 = 0\\). Zgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego funkcji (f(x) = 0) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(k = -6\\) | Uczeń podstawia \\(x = 3\\) do \\(-2x + k + 3 = 0\\), ale myli znaki: \\(-6 + k + 3 = 0 \\Rightarrow k = 3\\), a potem błędnie przenosi: \\(k = -3\\) lub \\(k = -6\\); albo liczy miejsce zerowe \\(f\\) błędnie jako \\(x = -3\\) i dostaje \\(k = 6 - 3 - 3 = \\) |\n| B. \\(k = -3\\) | Najczęstszy błąd: uczeń poprawnie dochodzi do \\(-3 + k = 0\\), ale zmienia znak i pisze \\(k = -3\\) zamiast \\(k = 3\\) |\n| D. \\(k = 6\\) | Uczeń pominął wyraz \\(+3\\) we wzorze \\(g\\) i rozwiązuje \\(-2 \\cdot 3 + k = 0\\), stąd \\(k = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że miejsce zerowe to \\(f(x) = 0\\), **nie** \\(x = 0\\). Błąd \\(x = 0\\) podstawiony do \\(g\\) daje \\(k + 3 = 0\\), czyli \\(k = -3\\) - odpowiedź B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wyrażeniu \\(g(x) = -2x + k + 3\\) stała to \\(k + 3\\), nie samo \\(k\\). Pominięcie \\(+3\\) to klasyczna pułapka prowadząca prosto do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu miejsca zerowego \\(f(x) = 3\\) koniecznie podstaw do \\(g\\) i **przyrównaj do zera** - nie szukasz wartości \\(g(3)\\), tylko warunku, by ta wartość była zerem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Znalezienie miejsca zerowego \\(f\\)\n\\(f(x) = -4x + 12 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).\nFunkcja \\(g\\) musi mieć miejsce zerowe także w \\(x = 3\\):\n\\[g(3) = -2\\cdot 3 + k + 3 = 0\\]\n\\[-6 + k + 3 = 0 \\Rightarrow k = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Z układu równań\nMiejsca zerowe równe: \\(-4x + 12 = 0\\) i \\(-2x + k + 3 = 0\\). Z pierwszego \\(x = 3\\), podstawiamy do drugiego: \\(-6 + k + 3 = 0\\), \\(k = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(k = -6\\)** - pomylono znak przy podstawianiu.\n- **B. \\(k = -3\\)** - zapomniano o wyrazie \\(+3\\) w \\(g(x)\\).\n- **D. \\(k = 6\\)** - błąd rachunkowy przy dodawaniu.\n\n**Klucz:** wspólne miejsce zerowe = ten sam \\(x\\) jako pierwiastek obu funkcji.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB. 0\nC. 1\nD. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza\nwartość najmniejszą i wartość\nnajwiększą funkcji kwadratowej\nw przedziale domkniętym (4.k).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -5\\)\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna i odczyt wierzchołka\n\nWzór funkcji jest już w **postaci kanonicznej**:\n\\[f(x) = -(x+9)^2 + m = -(x - (-9))^2 + m\\]\n\nOdczytujemy:\n- współczynnik \\(a = -1 < 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami w dół**\n- wierzchołek: \\(W = (-9,\\ m)\\)\n\nDla paraboli skierowanej ramionami w dół **zbiór wartości** to:\n\\[ZW = (-\\infty,\\ m\\rangle\\]\n(funkcja osiąga maksimum równe \\(m\\) w wierzchołku, a potem maleje do \\(-\\infty\\))\n\nZ treści zadania wiemy, że zbiór wartości to \\((-\\infty, -5\\rangle\\), więc porównujemy:\n\\[(-\\infty,\\ m\\rangle = (-\\infty,\\ -5\\rangle\\]\n\nStąd wprost:\n\\[\\boxed{m = -5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(m = -5\\) do wzoru:\n\\[f(x) = -(x+9)^2 + (-5) = -(x+9)^2 - 5\\]\n\nSprawdzamy:\n- \\((x+9)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(-(x+9)^2 \\leq 0\\)\n- zatem \\(f(x) = -(x+9)^2 - 5 \\leq -5\\)\n\nMaksimum \\(f(x) = -5\\) jest osiągane, gdy \\((x+9)^2 = 0\\), czyli dla \\(x = -9\\):\n\\[f(-9) = -(-9+9)^2 - 5 = 0 - 5 = -5\\]\n\nZbiór wartości to rzeczywiście \\((-\\infty, -5\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p,\\ q)\\]\nUżyliśmy tego faktu, że \\(q\\) (wartość \\(y\\) w wierzchołku) jest jednocześnie **maksimum funkcji** (gdy \\(a < 0\\)), a więc prawym końcem przedziału \\((-\\infty, q\\rangle\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd, który do niej prowadzi |\n| A \\((m=5)\\) | Uczeń czyta \\(-5\\) z przedziału i „odwraca znak\" bez powodu - błąd intuicji |\n| C \\((m=-9)\\) | Uczeń myli \\(m\\) ze współrzędną \\(x\\) wierzchołka (\\(-9\\)); bierze nie tę liczbę |\n| D \\((m=9)\\) | Uczeń czyta \\(x\\)-ową współrzędną wierzchołka i zmienia jej znak: \\(-(-9)=9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(f(x) = -(x+9)^2 + m\\) wierzchołek to \\((-9, m)\\), **nie** \\((9, m)\\)! Znak w nawiasie jest „odwrócony\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości zależy od znaku \\(a\\). Gdy \\(a < 0\\) - parabola „do góry nogami\" - maksimum to \\(q\\) i \\(ZW = (-\\infty, q\\rangle\\). Gdy \\(a > 0\\) - minimum to \\(q\\) i \\(ZW = \\langle q, +\\infty)\\). Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-\\infty, -5\\rangle\\) jest **domknięty** od prawej (nawias \\(\\rangle\\)), co znaczy, że wartość \\(-5\\) jest osiągana. Odpowiada to temu, że wierzchołek leży na wykresie - funkcja kwadratowa zawsze osiąga swoje ekstremum.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\nFunkcja \\(f(x) = -(x+9)^2 + m\\) - parabola skierowana **ramionami w dół** (współczynnik przy \\(x^2\\) ujemny). Ma więc **maksimum**, które jest równe wartości wierzchołka: \\(y_w = m\\).\nZbiór wartości: \\((-\\infty, m\\rangle\\).\nPorównanie: \\(m = -5\\).\n\n### Sposób 2 - Wartość maksymalna\nNajwiększa wartość \\(-(x+9)^2\\) to \\(0\\) (dla \\(x = -9\\)). Wtedy \\(f(-9) = 0 + m = m\\). To ma być \\(-5\\), więc \\(m = -5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m = 5\\)** - pomylono znaki.\n- **C. \\(m = -9\\)** - pomylono współrzędne wierzchołka (\\(x_w = -9\\) zamiast \\(y_w = m\\)).\n- **D. \\(m = 9\\)** - kombinacja obu błędów.\n\n**Klucz:** dla \\(f(x) = -(x-p)^2 + q\\) zbiór wartości = \\((-\\infty, q\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nOsią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n1\nx =\nB.\n2\nx =\nC.\n1\ny =\nD.\n2\ny =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\nW\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający rozwiązuje\nzadania (również umieszczone w\nkontekście praktycznym), prowadzące\ndo badania funkcji kwadratowej (4.l).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -6\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na oś symetrii\n\nFunkcja kwadratowa \\(f(x) = \\frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\\) ma postać ogólną \\(ax^2 + bx + c\\), więc odczytujemy współczynniki:\n\\[a = \\frac{1}{3}, \\quad b = 4, \\quad c = 7\\]\n\nOś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = p\\), gdzie:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{4}{2 \\cdot \\frac{1}{3}} = -\\frac{4}{\\frac{2}{3}} = -4 \\cdot \\frac{3}{2} = -6\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = -6\\).**\n\n## Sposób 2 - Uzupełnienie do kwadratu (postać kanoniczna)\n\nSprowadzamy \\(f(x)\\) do postaci kanonicznej \\(a(x - p)^2 + q\\):\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}x^2 + 4x + 7\\]\n\nWyciągamy \\(\\frac{1}{3}\\) przed nawias z pierwszych dwóch wyrazów:\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}\\left(x^2 + 12x\\right) + 7\\]\n\nUzupełniamy do kwadratu - potrzebujemy \\(\\left(\\frac{12}{2}\\right)^2 = 36\\):\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}\\left(x^2 + 12x + 36 - 36\\right) + 7\\]\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - \\frac{36}{3} + 7\\]\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - 12 + 7\\]\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{3}(x + 6)^2 - 5\\]\n\nWierzchołek to \\(W = (-6, -5)\\), a **oś symetrii to \\(x = -6\\)**. Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii (współrzędna wierzchołka):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia osi symetrii.\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - z postaci kanonicznej oś symetrii odczytujemy natychmiast jako \\(x = p\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(y = -6\\) to równanie prostej **poziomej**, nie pionowej - oś symetrii paraboli zawsze jest pionowa, czyli \\(x = \\ldots\\) |\n| C | Policzono \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) jako \\(-\\frac{4}{2} = -2\\), zapominając podzielić przez \\(a = \\frac{1}{3}\\) (czyli pomnożyć przez 3) |\n| D | Połączenie obu błędów: zły typ prostej (\\(y\\) zamiast \\(x\\)) i błędna wartość \\(-2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** \\(x = p\\), nigdy pozioma \\(y = p\\). Odpowiedzi z \\(y =\\ldots\\) można od razu wykluczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a \\neq 1\\), dzielenie przez \\(2a\\) łatwo pomylić. Przy \\(a = \\frac{1}{3}\\) mamy \\(2a = \\frac{2}{3}\\), więc \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{\\frac{2}{3}} = -4 \\cdot \\frac{3}{2} = -6\\). Nie skracaj pochopnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to \\(x = p\\), a nie wartość \\(q\\) (rzędna wierzchołka). Nawet jeśli policzysz wierzchołek poprawnie, upewnij się, że bierzesz **pierwszą współrzędną** \\(p\\), nie drugą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na oś symetrii\n\\(x_w = -\\dfrac{b}{2a}\\). Dla \\(a = \\tfrac{1}{3}\\), \\(b = 4\\):\n\\[x_w = -\\dfrac{4}{2\\cdot\\tfrac{1}{3}} = -\\dfrac{4}{\\tfrac{2}{3}} = -4\\cdot\\dfrac{3}{2} = -6.\\]\nOś symetrii: \\(x = -6\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = \\tfrac{1}{3}(x^2 + 12x) + 7 = \\tfrac{1}{3}((x+6)^2 - 36) + 7 = \\tfrac{1}{3}(x+6)^2 - 5\\).\nOś symetrii: \\(x = -6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D** - oś symetrii paraboli (o ramionach pionowych) jest **pionowa**: \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\).\n- **C. \\(x = -2\\)** - błąd rachunkowy: ktoś zapomniał o \\(\\tfrac{1}{3}\\) i wziął \\(-\\tfrac{4}{2} = -2\\).\n\n**Klucz:** oś symetrii paraboli jest zawsze **pionowa** (równoległa do osi \\(y\\)).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nRównanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nx x\nx\nw zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n2\nx\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n0\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1\nx\ni\n2\nx","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe; zapisuje rozwiązanie\nw postaci sumy przedziałów (3.a).\nWersja X\nWersja Y\nB\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\begin{cases} a > 0 \\\\ c > 0 \\end{cases}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu (ramiona + punkt przecięcia z osią OY)\n\nZ wykresu odczytujemy **dwie niezależne informacje**:\n\n**Krok 1: Wyznaczamy znak \\(a\\) - kierunek ramion paraboli.**\n\nRamiona paraboli są skierowane **ku górze** (parabola ma minimum).\n\n\\[a > 0 \\iff \\text{ramiona skierowane ku górze}\\]\n\nEliminujemy odpowiedzi A i B (oba mają \\(a < 0\\)).\n\n**Krok 2: Wyznaczamy znak \\(c\\) - punkt przecięcia wykresu z osią OY.**\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\) do wzoru funkcji:\n\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + c = c\\]\n\nZatem \\(c\\) to po prostu **wartość funkcji w punkcie \\(x = 0\\)**, czyli współrzędna y przecięcia paraboli z osią OY.\n\nZ wykresu widać, że wykres przecina oś OY **powyżej początku układu współrzędnych**:\n\\[f(0) > 0 \\implies c > 0\\]\n\n**Wniosek:** \\(a > 0\\) i \\(c > 0\\), czyli odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez postać kanoniczną\n\nSkoro \\(a > 0\\), parabola ma minimum w wierzchołku \\(W = (p, q)\\).\n\nZ wykresu wierzchołek leży **poniżej osi OX** (najniższy punkt paraboli jest pod osią), a przecięcie z osią OY leży **powyżej** osi OX.\n\nZapis przez postać kanoniczną:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\ngdzie \\(q < 0\\) (wierzchołek poniżej OX) i \\(a > 0\\).\n\nSprawdzamy \\(f(0)\\):\n\\[f(0) = a(0 - p)^2 + q = ap^2 + q\\]\n\nPonieważ \\(a > 0\\), \\(p^2 > 0\\), więc człon \\(ap^2\\) jest odpowiednio duży, żeby \\(ap^2 + q > 0\\) - co zgadza się z odczytem \\(c > 0\\) z wykresu.\n\nTo potwierdza odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać ogólna i wartość w punkcie \\(x = 0\\):\n\\[f(x) = ax^2 + bx + c, \\quad f(0) = c\\]\n\nUżyliśmy faktu, że wyraz wolny \\(c\\) to wartość funkcji dla \\(x = 0\\), czyli przecięcie z osią OY.\n\nPoza tym kluczowa jest interpretacja geometryczna znaku \\(a\\):\n- \\(a > 0\\) → parabola otwarta ku górze (ramiona w górę)\n- \\(a < 0\\) → parabola otwarta ku dołowi (ramiona w dół)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(a < 0\\) - zakłada ramiona skierowane **w dół**, ale wykres pokazuje parabolę otwartą **ku górze** |\n| B | \\(a < 0\\) - ten sam błąd co w A; prawidłowo odczytano \\(c > 0\\), ale zły znak \\(a\\) |\n| C | \\(c < 0\\) - zakłada, że przecięcie z osią OY jest **poniżej** osi OX, ale z wykresu widać je **powyżej** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak \\(a\\) to **kierunek ramion**, nie to, gdzie leży wierzchołek. Nawet jeśli minimum paraboli jest poniżej osi OX, ramiona mogą być skierowane ku górze (i wtedy \\(a > 0\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(c\\) to **wartość funkcji dla \\(x = 0\\)**, czyli punkt na osi OY - nie ma nic wspólnego z osią OX ani wierzchołkiem. Uczniowie mylą \\(c\\) ze współrzędną \\(q\\) wierzchołka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić znaku \\(c\\) ze znakiem \\(\\Delta\\) (wyróżnika). To dwie różne rzeczy - \\(\\Delta < 0\\) oznacza brak miejsc zerowych, ale \\(c\\) może mieć dowolny znak.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza wykresu\nNa rysunku parabola ma **ramiona skierowane w górę** → współczynnik \\(a > 0\\).\nWykres przecina oś \\(y\\) (punkt \\(x = 0\\)) **powyżej** osi \\(x\\) - wartość \\(f(0) = c > 0\\).\n\n### Sposób 2 - Własność \\(c\\) jako wyrazu wolnego\n\\(c\\) = punkt przecięcia z osią \\(y\\). Na rysunku ten punkt jest **dodatni**. Dodatkowo wierzchołek paraboli leży nad osią \\(x\\), a parabola skierowana jest w górę, więc cała parabola ma znak dodatni - stąd \\(c > 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(a<0\\) oznaczałoby ramiona w dół, czego na wykresie nie ma.\n- **B.** Podobnie jak A, z ramionami w dół.\n- **C.** \\(c<0\\) oznaczałoby, że wykres przecina oś \\(y\\) poniżej \\(x\\), ale na rysunku jest powyżej.\n\n**Klucz:** \\(a\\) = kierunek ramion (dodatnie → w górę); \\(c = f(0)\\) = punkt przecięcia z osią \\(y\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\nf x\nax\nb\nWspółczynniki a oraz b we wzorze funkcji f spełniają zależność\nA.\n0\na\nb\n>\nB.\n0\na\nb\nC.\n0\na b\n⋅\n>\nD.\n0\na b\n⋅<","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we\nwzorze funkcji liniowej (4.g).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRozwiązaniem jest \\(x = 3\\).\n\n## Sposób 1 - Analiza ułamka: licznik = 0, mianownik ≠ 0\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = 0\\]\n\n**Krok 1: Kiedy ułamek równa się zero?**\n\nUłamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik \\(L = 0\\)** i jednocześnie **mianownik \\(M \\neq 0\\)**.\n\n**Krok 2: Wyłuczamy wspólny czynnik - licznik**\n\n\\[x^2 - 3x = x(x - 3) = 0\\]\n\nStąd: \\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\).\n\n**Krok 3: Sprawdzamy mianownik - dziedzina równania**\n\n\\[x^2 + x = x(x + 1) = 0\\]\n\nMianownik zeruje się dla \\(x = 0\\) lub \\(x = -1\\). Obie te wartości **wypadają z dziedziny** (dzielenie przez zero jest niedozwolone).\n\n**Krok 4: Wybieramy rozwiązanie należące do dziedziny**\n\nZ kandydatów \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\):\n- \\(x = 0\\) - **wykluczone** (zeruje mianownik)\n- \\(x = 3\\) - **poprawne** (\\(x^2 + x = 9 + 3 = 12 \\neq 0\\))\n\n**Odpowiedź: \\(x = 3\\)**\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia i weryfikacja\n\n**Krok 1: Wyłuczamy \\(x\\) w liczniku i mianowniku**\n\n\\[\\frac{x^2 - 3x}{x^2 + x} = \\frac{x(x-3)}{x(x+1)}\\]\n\nDla \\(x \\neq 0\\) możemy skrócić przez \\(x\\):\n\n\\[\\frac{x-3}{x+1} = 0\\]\n\n**Krok 2: Rozwiązujemy uproszczone równanie**\n\n\\[x - 3 = 0 \\implies x = 3\\]\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 3\\) należy do dziedziny: \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq -1\\) - tak, \\(3\\) jest poprawne.\n\n**Weryfikacja - podstawiamy \\(x = 3\\) do oryginalnego wyrażenia:**\n\n\\[\\frac{3^2 - 3 \\cdot 3}{3^2 + 3} = \\frac{9 - 9}{9 + 3} = \\frac{0}{12} = 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy algebraiczne wyłączanie wspólnego czynnika i definicja dziedziny ułamka. Umiejętność rozkładu na czynniki (\\(x^2 - 3x = x(x-3)\\)) to podstawa szkolna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-3\\) | Mylenie zera mianownika z zerem licznika - \\(x = -1\\) zeruje mianownik, a uczeń \"wstecznie\" liczy \\(-1 - 2 = -3\\)? Brak logicznego uzasadnienia, po prostu zła liczba. |\n| B. \\(0\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń rozwiązuje \\(x(x-3) = 0\\) i wybiera \\(x = 0\\), nie zauważając, że \\(x = 0\\) zeruje też mianownik \\(x(x+1)\\) - czyli jest poza dziedziną. |\n| D. \\(9\\) | Możliwy błąd: uczeń podstawia \\(x = 3\\) i liczy \\(9 - 3 = 6\\)? Lub pomyla \\(x = 3\\) z \\(x^2 = 9\\) i podaje \\(9\\) jako odpowiedź. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B (\\(x = 0\\)) to klasyczna pułapka - \\(x = 0\\) zeruje licznik, ale **też mianownik**. Takie \\(x\\) jest poza dziedziną i NIE jest rozwiązaniem równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed rozwiązaniem zawsze wyznaczaj dziedzinę! Przy ułamkach algebraicznych wyklucz wszystkie \\(x\\), które zerują mianownik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skracanie ułamka przez \\(x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(x \\neq 0\\) - dlatego po skróceniu nadal musisz pamiętać o tym warunku i sprawdzić, czy \\(x = 0\\) nie było rozwiązaniem (tutaj nie było, bo zeruje mianownik).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Ułamek = 0 ⇔ licznik = 0 i mianownik ≠ 0\n**Licznik:** \\(x^2 - 3x = x(x-3) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 3\\).\n**Dziedzina (mianownik ≠ 0):** \\(x^2 + x = x(x+1) \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne 0\\) i \\(x \\ne -1\\).\n\nZ warunków: \\(x = 0\\) odpada (wpadło do dziedziny), pozostaje \\(x = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie ułamka\n\\[\\dfrac{x^2-3x}{x^2+x} = \\dfrac{x(x-3)}{x(x+1)} = \\dfrac{x-3}{x+1} \\quad (x\\ne 0, x\\ne -1).\\]\nRówna się zero, gdy \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - podstawiając: licznik \\(9+9 = 18 \\ne 0\\).\n- **B. \\(0\\)** - dzielenie przez zero! Mianownik = \\(0\\), wartość nieokreślona.\n- **D. \\(9\\)** - licznik: \\(81 - 27 = 54 \\ne 0\\).\n\n**Klucz:** pamiętaj o dziedzinie! \\(x = 0\\) zeruje także mianownik.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nFunkcja f jest określona wzorem ( )\n4\n1\nx\nf x\n+ dla każdej liczby rzeczywistej x. Liczba\n1\n2\nf \n\n\n\n\n\njest równa\nA. 1\n2\nB. 3\n2\nC. 3\nD. 17","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający sporządza\nwykresy funkcji wykładniczych dla\nróżnych podstaw i rozwiązuje zadania\numieszczone w kontekście\npraktycznym (4.n).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(2\\pi\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - obliczenie promienia ze wzoru na odległość punktów\n\nPunkt \\(P = (1, 3)\\) leży na okręgu o środku \\(S = (2, 4)\\), więc odległość \\(|SP|\\) jest **promieniem** tego okręgu.\n\nKrok 1: Oblicz promień \\(r = |SP|\\):\n\\[r = \\sqrt{(x_P - x_S)^2 + (y_P - y_S)^2}\\]\n\\[r = \\sqrt{(1 - 2)^2 + (3 - 4)^2}\\]\n\\[r = \\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}\\]\n\\[r = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}\\]\n\nKrok 2: Oblicz długość (obwód) okręgu:\n\\[L = 2\\pi r = 2\\pi\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(2\\pi\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez równanie okręgu\n\nKrok 1: Zapisz równanie okręgu o środku \\(S = (2, 4)\\) i promieniu \\(r = \\sqrt{2}\\):\n\\[(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2\\]\n\nKrok 2: Sprawdź, czy punkt \\(P = (1, 3)\\) leży na tym okręgu - podstaw \\(x = 1\\), \\(y = 3\\):\n\\[(1 - 2)^2 + (3 - 4)^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(P\\) rzeczywiście należy do okręgu, więc \\(r = \\sqrt{2}\\) jest poprawne, a długość okręgu to \\(2\\pi\\sqrt{2}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia promienia \\(r = |SP|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - obwód koła:\n\\[L = 2\\pi r\\]\nUżyliśmy go do obliczenia długości okręgu z wyznaczonego promienia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Przyjęto \\(r = 2\\sqrt{2}\\) - np. policzono \\(2 \\cdot |SP|\\) zamiast \\(|SP|\\), czyli podwojono promień |\n| B | Przyjęto \\(r = \\frac{3\\sqrt{2}}{2}\\) - błędne obliczenie odległości, np. sumowano współrzędne zamiast ich kwadratów |\n| D | Przyjęto \\(r = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - np. wzięto \\(\\sqrt{\\frac{1+1}{4}}\\), błąd przy wyciąganiu pierwiastka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt należący do okręgu to punkt leżący **na** okręgu, więc odległość od środka = promień. Nie mylić z punktem wewnątrz koła!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na odległość zawiera **różnice współrzędnych pod kwadratem** - uważaj na znaki: \\((-1)^2 = 1\\), nie \\(-1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **długość okręgu** (obwód), czyli \\(L = 2\\pi r\\), a nie o pole koła (\\(P = \\pi r^2\\)). To częsty błąd - przy \\(r = \\sqrt{2}\\) pole wynosiłoby \\(2\\pi\\), czyli wynik bez pierwiastka.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Promień = odległość \\(SP\\)\n\\[r = |SP| = \\sqrt{(2-1)^2 + (4-3)^2} = \\sqrt{1+1} = \\sqrt{2}.\\]\nDługość okręgu: \\(L = 2\\pi r = 2\\pi\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja wzorem na kwadrat promienia\n\\((2-1)^2 + (4-3)^2 = 1 + 1 = 2\\). Więc \\(r^2 = 2\\), stąd \\(r = \\sqrt{2}\\). \\(L = 2\\pi\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\pi\\sqrt{2}\\)** - podwojono promień (wzięto średnicę zamiast promienia).\n- **B. \\(3\\pi\\sqrt{2}\\)** - ktoś pomylił wzór na długość okręgu.\n- **D. \\(\\pi\\sqrt{2}\\)** - zapomniano o czynniku \\(2\\) we wzorze \\(L = 2\\pi r\\).\n\n**Klucz:** \\(L = 2\\pi r\\), \\(r\\) = odległość środka od dowolnego punktu na okręgu.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nProste o równaniach\n(\n)\n2\ny\nm\nx\noraz\n3\n7\n4\ny\nx\nsą równoległe. Wtedy\nA.\n5\n4\nm = -\nB.\n2\n3\nm =\nC.\n11\n4\nm =\nD.\n10\n3\nm =\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający bada\nrównoległość i prostopadłość prostych\nna podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja X\nWersja Y\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\)\n\n## Sposób 1 - warunek równoległości i podstawienie punktu\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy danej prostej.**\n\nProsta \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 2\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Krok 2: Zastosuj warunek równoległości.**\n\nDwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają **ten sam współczynnik kierunkowy**.\n\nZatem prosta \\(l\\) ma postać:\n\\[y = -\\frac{1}{2}x + b\\]\ngdzie \\(b\\) jest nieznanym wyrazem wolnym.\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(b\\) z warunku, że punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na prostej \\(l\\).**\n\nPodstawiamy \\(x = 0\\), \\(y = 7\\):\n\\[7 = -\\frac{1}{2} \\cdot 0 + b\\]\n\\[7 = b\\]\n\n**Wynik: \\(l\\colon \\quad y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\)**\n\n## Sposób 2 - obserwacja: punkt leży na osi OY\n\nPunkt \\(P = (0, 7)\\) ma \\(x = 0\\), czyli leży **na osi OY**. Oznacza to, że jest to wprost punkt przecięcia prostej \\(l\\) z osią OY - czyli wyraz wolny to **od razu** \\(b = 7\\).\n\nNie trzeba nawet liczyć - wystarczy zauważyć, że dla prostej \\(y = ax + b\\):\n\\[b = f(0)\\]\nSkoro \\(f(0) = 7\\), to \\(b = 7\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy, jak w Sposobie 1, musi być \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\) (warunek równoległości).\n\nStąd natychmiast: \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 7\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\noraz warunek równoległości prostych:\n\\[a_1 = a_2\\]\nUżyliśmy tego, żeby ustalić, że prosta równoległa do \\(y = -\\dfrac{1}{2}x + 2\\) musi mieć ten sam współczynnik \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto współczynnik \\(a = 2\\) - czyli **odwrotność** współczynnika danej prostej zamiast tę samą wartość. Dodatkowo \\(b = 0\\), co nie pasuje do punktu \\((0,7)\\). |\n| B | Poprawnie podstawiono punkt \\(P = (0,7)\\) i odczytano \\(b = 7\\), ale błędnie przyjęto \\(a = 2\\) (odwrotność ze zmienionym znakiem). |\n| C | Poprawnie wzięto \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\), ale zapomniano wyznaczyć \\(b\\) z warunku punktu - przyjęto \\(b = 0\\) zamiast \\(b = 7\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste prostopadłe mają współczynniki \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a równoległe - **te same** współczynniki. Łatwo pomylić te dwa warunki i wziąć \\(a = 2\\) (odwrotność z przeciwnym znakiem) zamiast \\(a = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P = (0, 7)\\) leży na osi OY - wartość \\(y = 7\\) to od razu wyraz wolny. Nie trzeba rozwiązywać równania, ale warto to świadomie zauważyć, żeby nie zrobić błędu rachunkowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = -\\dfrac{1}{2}x\\) (odp. C) też ma dobry współczynnik kierunkowy, ale przechodzi przez początek układu \\((0,0)\\), a nie przez \\((0,7)\\) - nigdy nie wolno zakładać \\(b = 0\\) bez sprawdzenia!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własności prostych równoległych\nProste równoległe mają **ten sam** współczynnik kierunkowy. Dla prostej \\(y = -\\tfrac{1}{2}x + 2\\) jest to \\(-\\tfrac{1}{2}\\). Więc \\(l: y = -\\tfrac{1}{2}x + b\\).\nPunkt \\(P = (0, 7)\\) leży na \\(l\\): \\(7 = -\\tfrac{1}{2}\\cdot 0 + b \\Rightarrow b = 7\\).\nZatem \\(l: y = -\\tfrac{1}{2}x + 7\\).\n\n### Sposób 2 - Punkt \\(P\\) na osi \\(y\\)\n\\(P = (0,7)\\) to punkt przecięcia prostej z osią \\(y\\) - czyli wyraz wolny \\(b = 7\\). Współczynnik kierunkowy zachowany: \\(-\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - współczynnik \\(2\\) odpowiada prostej **prostopadłej** (bo \\(-\\tfrac{1}{2}\\cdot 2 = -1\\)), a nie równoległej.\n- **C.** Poprawny współczynnik, ale \\(b = 0\\), a punkt \\((0, 7)\\) nie leży na \\(y = -\\tfrac{1}{2}x\\).\n\n**Klucz:** proste równoległe - ten sam \\(a\\); prostopadłe - \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nCiąg (\n)\nna\njest określony wzorem\n2\n2\nna\nn\ndla\n1\nn ≥. Różnica\n5\n4\na\na\njest równa\nA. 4\nB. 20\nC. 36\nD. 18","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający wyznacza wyrazy\nciągu określonego wzorem ogólnym\n(5.a).\nWersja X\nWersja Y\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\n**Co wiemy:**\n- \\(S = (4, 8)\\) - środek odcinka \\(PQ\\)\n- \\(P\\) leży na osi \\(Oy\\), więc \\(P = (0, y_P)\\) (współrzędna \\(x\\) wynosi 0)\n- \\(Q\\) leży na osi \\(Ox\\), więc \\(Q = (x_Q, 0)\\) (współrzędna \\(y\\) wynosi 0)\n\n**Stosujemy wzór na środek odcinka:**\n\n\\[x_S = \\frac{x_P + x_Q}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_P + y_Q}{2}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(x_Q\\) z pierwszego równania:**\n\n\\[4 = \\frac{0 + x_Q}{2} \\implies x_Q = 8\\]\n\n**Wyznaczamy \\(y_P\\) z drugiego równania:**\n\n\\[8 = \\frac{y_P + 0}{2} \\implies y_P = 16\\]\n\n**Zatem \\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\).**\n\n## Sposób 2 - Symetria środka (geometryczny)\n\nŚrodek \\(S\\) dzieli odcinek \\(PQ\\) na dwie **równe połówki**. Oznacza to, że \\(S\\) jest w połowie drogi między \\(P\\) a \\(Q\\).\n\nJeśli \\(P = (0, y_P)\\), to żeby dostać się z \\(P\\) do \\(S = (4, 8)\\), przesuwamy się o wektor \\([4, 8 - y_P]\\).\n\nTaki sam wektor prowadzi z \\(S\\) do \\(Q\\):\n\n\\[Q = S + [4,\\; 8 - y_P] = (4 + 4,\\; 8 + 8 - y_P) = (8,\\; 16 - y_P)\\]\n\nAle \\(Q\\) leży na osi \\(Ox\\), więc jego współrzędna \\(y\\) wynosi 0:\n\n\\[16 - y_P = 0 \\implies y_P = 16\\]\n\nStąd \\(P = (0, 16)\\), \\(Q = (8, 0)\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - wzór na współrzędne środka odcinka:\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia obu brakujących współrzędnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Podane punkty | Środek tych punktów | Błąd |\n| B | \\(P=(0,8)\\), \\(Q=(16,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+16}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (8, 4)\\) | Zamieniono współrzędne środka miejscami - wzięto \\(x=8, y=4\\) zamiast \\(x=4, y=8\\) |\n| C | \\(P=(0,4)\\), \\(Q=(4,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+4}{2}, \\frac{4+0}{2}\\right) = (2, 2)\\) | Wzięto połowę współrzędnych środka jako współrzędne punktów, zamiast je podwoić |\n| D | \\(P=(0,8)\\), \\(Q=(8,0)\\) | \\(\\left(\\frac{0+8}{2}, \\frac{8+0}{2}\\right) = (4, 4)\\) | Przepisano współrzędne środka bezpośrednio na punkty \\(P\\) i \\(Q\\) - bez podwajania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(P\\) leży na osi \\(Oy\\), to \\(x_P = 0\\), a nie \\(y_P = 0\\). Łatwo pomylić, która współrzędna jest zerem na której osi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek to **średnia** współrzędnych, więc żeby z \\(x_S = 4\\) wyznaczyć brakującą współrzędną, trzeba **pomnożyć przez 2** (odwrócić dzielenie przez 2), a nie brać 4 jako gotową odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D kusi - bo zawiera dokładnie liczby ze środka \\(S = (4,8)\\) w pewnym sensie, ale to pułapka: środek \\((0,8)\\) i \\((8,0)\\) daje \\((4,4)\\), a nie \\((4,8)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzory na środek odcinka\nJeśli \\(P = (0, y_P)\\) (na osi \\(Oy\\)) i \\(Q = (x_Q, 0)\\) (na osi \\(Ox\\)), to środek:\n\\[S = \\left(\\dfrac{0 + x_Q}{2}, \\dfrac{y_P + 0}{2}\\right) = (4, 8).\\]\nStąd:\n\\[\\dfrac{x_Q}{2} = 4 \\Rightarrow x_Q = 8, \\quad \\dfrac{y_P}{2} = 8 \\Rightarrow y_P = 16.\\]\nZatem \\(P = (0, 16)\\) i \\(Q = (8, 0)\\).\n\n### Sposób 2 - Podwojenie współrzędnych\nZ \\(S\\) na osi: każda współrzędna \\(S\\) to połowa odpowiedniej, niezerowej współrzędnej końców. Więc współrzędne punktów: \\(P_y = 2\\cdot 8 = 16\\), \\(Q_x = 2\\cdot 4 = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(P=(0,8), Q=(16,0)\\)** - zamieniono miejscami: \\(P\\) i \\(Q\\) poszły na złe osie (\\(y_P\\) i \\(x_Q\\) zostały podmienione).\n- **C. \\(P=(0,4), Q=(4,0)\\)** - wzięto współrzędne \\(S\\) zamiast ich podwojenia.\n- **D. \\(P=(0,8), Q=(8,0)\\)** - nie podwojono.\n\n**Klucz:** środek odcinka ma współrzędne **średnie** końców - aby je odzyskać, pomnóż przez \\(2\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym (\n)\nna\n, określonym dla\n, czwarty wyraz jest równy 3, a różnica\ntego ciągu jest równa 5. Suma\n1\n2\n3\n4\na\na\na\na\njest równa\nA.\n42\nB.\n36\nC.\n18\nD. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzór na n-ty\nwyraz i na sumę n-początkowych\nwyrazów ciągu arytmetycznego\ni ciągu geometrycznego, również\numieszczone w kontekście\npraktycznym (5.c).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n**Przyprostokątna \\(BC = 3\\)**\n\n## Sposób 1 - przez podział podstawy i wzory na środkową proporcjonalną\n\n**Kąt prosty trójkąta ABC jest przy wierzchołku C**, a wysokość \\(CD\\) opada na przeciwprostokątną \\(AB\\), dzieląc ją na odcinki \\(AD\\) i \\(DB\\).\n\n**Krok 1: Związek pól z podstawami.**\n\nTrójkąty \\(ADC\\) i \\(CDB\\) mają wspólną **wysokość** \\(CD\\) (opuszczoną do \\(AB\\)). Zatem stosunek ich pól równa się stosunkowi podstaw:\n\n\\[\\frac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \\frac{\\frac{1}{2} \\cdot AD \\cdot CD}{\\frac{1}{2} \\cdot DB \\cdot CD} = \\frac{AD}{DB} = 4\\]\n\nStąd \\(AD = 4 \\cdot DB\\). Oznaczmy \\(DB = t\\), więc \\(AD = 4t\\) i \\(AB = 5t\\).\n\n**Krok 2: Wzór na środkową proporcjonalną (właściwość wysokości w trójkącie prostokątnym).**\n\nW trójkącie prostokątnym z wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną zachodzi:\n\\[AC^2 = AD \\cdot AB\\]\n\nPodstawiamy \\(AC = 6\\), \\(AD = 4t\\), \\(AB = 5t\\):\n\\[36 = 4t \\cdot 5t = 20t^2\\]\n\\[t^2 = \\frac{36}{20} = \\frac{9}{5}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy \\(BC\\).**\n\nAnalogicznie:\n\\[BC^2 = DB \\cdot AB = t \\cdot 5t = 5t^2 = 5 \\cdot \\frac{9}{5} = 9\\]\n\\[\\boxed{BC = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wzory na rzuty w trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1:** Oznaczmy \\(BC = x\\). W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku C:\n\\[AB = \\sqrt{AC^2 + BC^2} = \\sqrt{36 + x^2}\\]\n\n**Krok 2:** Rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną wynoszą:\n\\[AD = \\frac{AC^2}{AB} = \\frac{36}{\\sqrt{36 + x^2}}, \\qquad DB = \\frac{BC^2}{AB} = \\frac{x^2}{\\sqrt{36 + x^2}}\\]\n\n**Krok 3:** Warunek z treści zadania:\n\\[\\frac{AD}{DB} = 4 \\implies \\frac{36}{x^2} = 4\\]\n\\[x^2 = \\frac{36}{4} = 9\\]\n\\[\\boxed{BC = x = 3}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(AB = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\), a stosunek pól:\n\\[\\frac{AD}{DB} = \\frac{36/3\\sqrt{5}}{9/3\\sqrt{5}} = \\frac{36}{9} = 4 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 17 - trójkąt prostokątny)**\n\nWzory na rzuty przyprostokątnych na przeciwprostokątną (wynikają z podobieństwa trójkątów):\n\\[AC^2 = AD \\cdot AB, \\qquad BC^2 = DB \\cdot AB, \\qquad CD^2 = AD \\cdot DB\\]\n\nUżyliśmy ich w obu sposobach do wyznaczenia \\(BC\\). Są bezpośrednią konsekwencją podobieństwa trójkątów \\(ACD \\sim ACB \\sim CDB\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(1{,}5\\)) | Pomylenie stosunku pól: przyjęcie \\(AD/DB = \\frac{1}{4}\\) zamiast \\(4\\), czyli odwrócenie warunków zadania |\n| **B** (\\(2\\)) | Błędna interpretacja: przyjęcie \\(P_{ADC}/P_{CDB} = 4\\) jako \\(AC/BC = 4\\), czyli \\(BC = 6/4 = 1{,}5\\) - pomieszanie z proporcją boków trójkąta |\n| **C** (\\(2{,}5\\)) | Pomylenie równości \\(AC^2 = AD \\cdot AB\\) z \\(AC = AD \\cdot AB\\) (brak kwadratu) lub błąd arytmetyczny przy wyciąganiu pierwiastka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek **pól** trójkątów o wspólnej wysokości równa się stosunkowi ich **podstaw** - nie trzeba liczyć pola przez \\(\\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\). To skrót, który warto zapamiętać!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzory \\(AC^2 = AD \\cdot AB\\) oraz \\(BC^2 = DB \\cdot AB\\) działają **tylko** gdy kąt przy C jest prosty. Nie stosuj ich do dowolnego trójkąta!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu łatwo odwrócić, który trójkąt jest większy - pilnuj, że \\(AD > DB\\), bo \\(AC = 6\\) jest dłuższą przyprostokątną niż \\(BC = 3\\). Pole \\(ADC\\) jest cztery razy **większe**, nie mniejsze.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo i stosunek pól\nTrójkąty \\(ADC\\) i \\(CDB\\) są **podobne** (oba prostokątne, wspólny kąt ostry z pierwotnym trójkątem). Stosunek pól podobnych figur = kwadrat skali podobieństwa:\n\\[\\dfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = k^2 = 4 \\Rightarrow k = 2.\\]\nOdpowiadające boki: \\(AC\\) w \\(ADC\\) odpowiada \\(CB\\) w \\(CDB\\) (przeciwprostokątne). Skala: \\(\\dfrac{AC}{CB} = 2\\).\n\\[\\dfrac{6}{CB} = 2 \\Rightarrow CB = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Zależność z wysokością\nW trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną: \\(|AD|\\cdot|DB| = |CD|^2\\), \\(|AC|^2 = |AD|\\cdot|AB|\\), \\(|BC|^2 = |DB|\\cdot|AB|\\). Stąd \\(\\tfrac{AC^2}{BC^2} = \\tfrac{AD}{DB}\\). Pola: \\(\\tfrac{P_{ADC}}{P_{CDB}} = \\tfrac{AD}{DB} = 4\\). Więc \\(\\tfrac{AC^2}{BC^2} = 4\\), \\(\\tfrac{6^2}{BC^2} = 4\\), \\(BC^2 = 9\\), \\(BC = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1{,}5\\)** - ktoś wziął \\(k = 4\\) zamiast \\(k = 2\\).\n- **B. \\(2\\)** - błędny stosunek.\n- **C. \\(2{,}5\\)** - nieprawidłowe obliczenie.\n\n**Klucz:** stosunek pól = \\(k^2\\), skala liniowa \\(k = \\sqrt{\\text{stosunek pól}}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nPunkt\n(\n)\n,\n1\n1\n3\nA =\nnależy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n3\nf x\nx\nb\nWynika stąd, że\nA.\n2\nb =\nB.\n1\nb =\nC.\n1\nb = -\nD.\n2\nb = -","answer":"D","answer_text":"Zadanie 16. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór\nfunkcji liniowej (4.f).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(-\\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Nachylenie prostej jako iloraz różnicowy\n\nProsta przechodzi przez punkty \\(O = (0, 0)\\) i \\(P = (-3, 4)\\).\n\n**Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\)** (oznaczamy \\(\\alpha\\)) spełnia:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = a\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy prostej.\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_P - y_O}{x_P - x_O} = \\frac{4 - 0}{-3 - 0} = \\frac{4}{-3} = -\\frac{4}{3}\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{\\operatorname{tg}\\alpha = -\\frac{4}{3}}\\]\n\n**Dlaczego wynik jest ujemny?** Punkt \\(P = (-3, 4)\\) leży w drugiej ćwiartce układu współrzędnych. Prosta idzie „w górę na lewo\" - kąt \\(\\alpha\\) jest rozwarty (między \\(90°\\) a \\(180°\\)), więc tangens jest ujemny.\n\n## Sposób 2 - Definicja trygonometryczna dla dowolnego kąta\n\nKąt \\(\\alpha\\) jest kątem przy wierzchołku \\(O = (0,0)\\), a punkt \\(P = (-3, 4)\\) leży na ramieniu tego kąta.\n\nObliczamy odległość \\(|OP|\\):\n\\[r = |OP| = \\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nZe wzoru na funkcje trygonometryczne dowolnego kąta (punkt \\((x, y)\\), odległość \\(r\\)):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} = \\frac{4}{5}, \\qquad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r} = \\frac{-3}{5}\\]\n\nZatem:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{4}{5}}{\\dfrac{-3}{5}} = \\frac{4}{-3} = -\\frac{4}{3}\\]\n\n**Ten sam wynik** - odpowiedź B potwierdzona dwiema metodami.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - definicja funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}, \\quad \\text{gdzie punkt } M(x, y) \\text{ leży na ramieniu kąta}\\]\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - nachylenie prostej \\(a\\) jest równe tangensowi kąta nachylenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | \\(-\\dfrac{3}{4}\\) - zamieniono licznik z mianownikiem: \\(\\frac{x}{y} = \\frac{-3}{4}\\) zamiast \\(\\frac{y}{x}\\) |\n| **C** | \\(\\dfrac{4}{3}\\) - pominięto znak minusa; uczeń obliczył \\(\\frac{|y|}{|x|} = \\frac{4}{3}\\), zapominając że \\(x = -3 < 0\\) |\n| **D** | \\(\\dfrac{3}{4}\\) - zamieniono \\(x\\) z \\(y\\) ORAZ pominięto znak: podwójny błąd |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) jest ZAWSZE w przedziale \\(\\langle 0°, 180°)\\). Nie mylić z kątem między prostą a osią mierzonym jako kąt ostry - to dwie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tangens kąta nachylenia = współczynnik kierunkowy prostej. W Sposobie 1 wystarczy policzyć \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - ale koniecznie z właściwymi znakami: \\(\\frac{4}{-3}\\), nie \\(\\frac{4}{3}\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych \\(O(0,0)\\) i punkt \\(P(x_0, y_0)\\), współczynnik kierunkowy to po prostu \\(a = \\dfrac{y_0}{x_0}\\). Nie komplikuj - to tylko jeden ułamek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Tangens ze współczynnika kierunkowego\nTangens kąta nachylenia prostej = współczynnik kierunkowy \\(a\\). Prosta przechodzi przez \\(O=(0,0)\\) i \\(P=(-3, 4)\\):\n\\[a = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\dfrac{4-0}{-3-0} = -\\dfrac{4}{3}.\\]\nZatem \\(\\tan\\alpha = -\\tfrac{4}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza rysunku (kąt rozwarty)\nProsta opada od \\(P = (-3,4)\\) przez \\(O\\) i idzie dalej w IV ćwiartkę. Kąt \\(\\alpha\\) mierzony od osi \\(Ox\\) (dodatnie ramię) do prostej jest rozwarty, więc tangens ujemny. Stosunek |współrzędnych|: \\(\\tfrac{4}{3}\\). Z minusem: \\(-\\tfrac{4}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{3}{4}\\)** - odwrócono licznik i mianownik.\n- **C. \\(\\tfrac{4}{3}\\)** - zapomniano o znaku.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)** - oba błędy: odwrócenie i znak.\n\n**Klucz:** \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\); znak zależy od ćwiartki.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nPunkty A, B, C, D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt środkowy DOC ma miarę 118°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta ABC jest równa\nA. 59°\nB. 48°\nC. 62°\nD. 31°","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze\nzwiązków między kątem środkowym,\nkątem wpisanym i kątem między\nstyczną a cięciwą okręgu (7.a).\nWersja X\nWersja Y\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(31°\\)\n\n## Sposób 1 - kąt środkowy i twierdzenie o kącie wpisanym\n\n**Kluczowe spostrzeżenie z rysunku:** Punkty \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) leżą w jednej linii - \\(DA\\) jest **średnicą** okręgu (środek \\(O\\) leży na odcinku \\(DA\\)).\n\n**Krok 1 - łuk \\(DC\\):**\n\nKąt środkowy \\(DOC = 118°\\), a kąt środkowy jest równy mierze łuku, który wyznacza:\n\\[\\overset{\\frown}{DC} = 118°\\]\n\n**Krok 2 - łuk \\(DA\\):**\n\nPonieważ \\(DA\\) jest średnicą:\n\\[\\overset{\\frown}{DA} = 180°\\]\n\n**Krok 3 - łuk \\(CA\\):**\n\nPunkt \\(C\\) leży na łuku \\(DA\\) (między \\(D\\) a \\(A\\)), więc:\n\\[\\overset{\\frown}{CA} = \\overset{\\frown}{DA} - \\overset{\\frown}{DC} = 180° - 118° = 62°\\]\n\n**Krok 4 - kąt wpisany \\(ABC\\):**\n\nKąt wpisany \\(ABC\\) opiera się na łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\) (nie zawierającym \\(B\\)) o mierze \\(62°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{AC} = \\frac{1}{2} \\cdot 62° = \\boxed{31°}\\]\n\n## Sposób 2 - przez kąt środkowy \\(AOC\\)\n\nSkoro \\(\\overset{\\frown}{AC} = 62°\\), to kąt środkowy oparty na tym samym łuku wynosi:\n\\[\\angle AOC = 62°\\]\n\nKąt wpisany \\(ABC\\) i kąt środkowy \\(AOC\\) opierają się na tym samym łuku \\(\\overset{\\frown}{AC}\\), więc:\n\\[\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle AOC = \\frac{1}{2} \\cdot 62° = 31°\\]\n\n**Weryfikacja zgodności:** \\(31° \\cdot 2 = 62°\\), a \\(62° + 118° = 180°\\) ✓ (łuki \\(CA\\) i \\(CD\\) dopełniają się do półokręgu \\(DA\\)).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19):**\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: łuk \\(\\overset{\\frown}{AC} = 62°\\) → kąt wpisany \\(ABC = 31°\\).\n\n> Kąt środkowy jest równy mierze łuku, który wyznacza (w stopniach).\n\nUżyliśmy przy odczycie: \\(\\angle DOC = 118°\\) → \\(\\overset{\\frown}{DC} = 118°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\(59°\\) | Wzięto połowę kąta \\(DOC\\): \\(\\frac{118°}{2} = 59°\\). To byłby kąt wpisany \\(DBC\\) oparty na łuku \\(DC = 118°\\), **nie** kąt \\(ABC\\). |\n| **B** \\(48°\\) | Wynik spoza logiki zadania - brak prostego błędu rachunkowego prowadzącego do tej wartości; wynik losowego zgadywania. |\n| **C** \\(62°\\) | Obliczono łuk \\(\\overset{\\frown}{CA} = 62°\\), ale zapomniano podzielić przez 2. To **łuk**, nie kąt wpisany. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Koniecznie sprawdź na rysunku, czy \\(D\\), \\(O\\), \\(A\\) są współliniowe (czy \\(DA\\) jest średnicą). Bez tego spostrzeżenia zadanie jest nierozwiązywalne - to kluczowa informacja ukryta w rysunku, nie w treści tekstowej!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany = **połowa** kąta środkowego. Najczęstszy błąd: wzięcie kąta środkowego \\(DOC = 118°\\) lub jego połowy \\(59°\\) bez uwzględnienia, że kąt \\(ABC\\) opiera się na **innym łuku** niż \\(\\overset{\\frown}{DC}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić łuku (wielkość w stopniach) z kątem wpisanym - łuk \\(62°\\) to jeszcze nie odpowiedź! Trzeba podzielić przez 2.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - kąt wpisany i środkowy\nKarta X: kąt wpisany ma miarę połowy kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\nNa rysunku: BD jest średnicą (przechodzi przez O), więc kąt \\(DBC\\) = \\(ABC\\). Kąt środkowy \\(DOC = 118^{\\circ}\\) to suma kątów \\(DOA\\) i \\(AOC\\)? Nie - kąt \\(ABC\\) jest wpisany oparty na łuku \\(AC\\). Obliczamy łuk \\(AC\\): kąt \\(DOC=118^{\\circ}\\), kąt \\(DOA=180^{\\circ}\\) (bo BD - średnica, a AD to cięciwa). Odczytujemy: kąt \\(ABC\\) oparty na łuku \\(AC\\) nie zawierającym B, a łuk ten (idąc od \\(A\\) przez \\(D\\) do \\(C\\)) ma miarę Z rysunku: kąty wpisany \\(ABC\\) jest połową kąta środkowego \\(AOC\\) po tej samej stronie.\nPrawidłowy rachunek: cięciwy \\(BD\\) i \\(AC\\) przecinają się w O, więc BD jest średnicą, wtedy kąt \\(BAD=90^\\circ\\). Kąt \\(DOC=118^\\circ\\) ⇒ kąt wpisany \\(DBC = \\tfrac{118^\\circ}{2}=59^\\circ\\). Z trójkąta \\(OBC\\) równoramiennego (\\(OB=OC=r\\)): kąt \\(OBC=\\tfrac{180^\\circ-62^\\circ}{2}=59^\\circ\\)… analiza zależna od konfiguracji. Sumarycznie: kąt \\(ABC = 31^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - szybki\nKąt środkowy \\(AOC\\), oparty na tym samym łuku AC co kąt wpisany \\(ABC\\), ma miarę \\(180^{\\circ}-118^{\\circ}=62^{\\circ}\\) (bo BD jest średnicą przechodzącą przez O, dopełnienie do 180°).\nZatem \\(\\angle ABC = \\tfrac{62^{\\circ}}{2} = 31^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- **A.** \\(59^{\\circ}=\\tfrac{118^\\circ}{2}\\) ale dla złego łuku.\n- **B.** \\(48^{\\circ}\\) bez związku.\n- **C.** \\(62^{\\circ}\\) to kąt środkowy, nie wpisany.\n\n**Trik:** wpisany = ½ środkowego opartego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nProsta przechodząca przez punkty\n(\n)\n3,\n2\nA =\ni\n(\n)\n1,6\nB = -\njest określona równaniem\nA.\n2\n4\ny\nx\nB.\n2\n8\ny\nx\nC.\n2\n8\ny\nx\nD.\n2\n4\ny\nx\n1\nn ≥\nC\nB\nD\nO\nA\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci\n= 0\nAx\nBy\nC\nlub\ny\nax\nb\nmając dane dwa jej punkty lub jeden\npunkt i współczynnik a w równaniu\nkierunkowym (8.b).\nWersja X\nWersja Y\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a_n = 3n - 1\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\)**\n\nMamy dwa kolejne wyrazy: \\(a_1 = 2\\) i \\(a_2 = 5\\).\n\nRóżnica ciągu arytmetycznego to:\n\\[r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\\]\n\n**Krok 2: Stosujemy wzór ogólny**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 2\\) i \\(r = 3\\):\n\\[a_n = 2 + (n-1) \\cdot 3\\]\n\n**Krok 3: Upraszczamy**\n\n\\[a_n = 2 + 3n - 3 = 3n - 1\\]\n\n**Wynik: \\(a_n = 3n - 1\\) - odpowiedź A.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy wzór \\(a_n = 3n - 1\\) daje poprawne wartości:\n\n- \\(n = 1\\): \\(a_1 = 3 \\cdot 1 - 1 = 2\\) ✓\n- \\(n = 2\\): \\(a_2 = 3 \\cdot 2 - 1 = 5\\) ✓\n- \\(n = 3\\): \\(a_3 = 3 \\cdot 3 - 1 = 8\\)\n\nRóżnica między kolejnymi wyrazami: \\(5 - 2 = 3\\), \\(8 - 5 = 3\\) - stała różnica \\(r = 3\\) potwierdza, że to ciąg arytmetyczny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 1 do wyprowadzenia wzoru ogólnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| B | \\(a_n = 3n + 2\\) | Poprawna różnica \\(r = 3\\), ale błędnie obliczony wyraz wolny: zamiast \\(2 + (n-1)\\cdot 3\\) uczeń wpisuje \\(a_1 = 2\\) jako drugi składnik bez odejmowania, otrzymując \\(3n + 2\\) (jakby \\(a_0 = 2\\)) |\n| C | \\(a_n = 2n + 3\\) | Zamieniono różnicę z pierwszym wyrazem: \\(r = 2\\) (błędnie) zamiast \\(r = 3\\), a wyraz wolny jako \\(3\\) |\n| D | \\(a_n = 2n - 1\\) | Wzięto \\(r = 2\\) zamiast \\(r = 3\\); być może uczeń użył wartości \\(a_1 = 2\\) jako różnicy |\n\nSzybka kontrola: dla każdej odpowiedzi można podstawić \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) - tylko odpowiedź A daje \\(2\\) i \\(5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zaczyna się od \\(n = 1\\), nie od \\(n = 0\\). Błąd \"o jeden\" to najczęstsza pomyłka - uważaj na \\((n-1)\\), a nie \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica ciągu to zawsze \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (następny minus poprzedni), nie odwrotnie. Tutaj \\(r = 5 - 2 = 3\\), a nie \\(2 - 5 = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyprowadzeniu wzoru zawsze warto sprawdzić dwa dane wyrazy - podstawiasz \\(n = 1\\) i \\(n = 2\\) i porównujesz z zadaniem. Zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\\(r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3\\). Wzór: \\(a_n = a_1 + (n-1)r = 2 + 3(n-1) = 3n - 1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez podstawienie\nDla \\(a_n = 3n-1\\): \\(a_1 = 3-1 = 2\\) ✓, \\(a_2 = 6-1 = 5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3n+2\\)**: \\(a_1 = 5\\) (powinno być \\(2\\)) ✗.\n- **C. \\(2n+3\\)**: \\(a_1 = 5\\) (błąd) ✗.\n- **D. \\(2n-1\\)**: \\(a_1 = 1\\) (błąd) ✗.\n\n**Klucz:** najpierw policz różnicę \\(r\\), potem zbuduj wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych\ni\n(zobacz rysunek).\nWyrażenie 2 cos\nsin\nα\nβ\njest równe\nA.\nB.\nC. 0\nD.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający\nwykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji trygonometrycznych\ndla kątów ostrych (6.a).\nWersja X\nWersja Y\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\nChcemy obliczyć \\(f(-3)\\), czyli podstawiamy \\(x = -3\\) do wzoru funkcji:\n\n\\[f(-3) = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-3}\\]\n\nKorzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: \\(a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}\\):\n\n\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{-3} = \\frac{1}{\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3}\\]\n\nObliczamy mianownik:\n\n\\[\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1^3}{2^3} = \\frac{1}{8}\\]\n\nZatem:\n\n\\[f(-3) = \\frac{1}{\\dfrac{1}{8}} = 8\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(-3) = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie wzoru do postaci z \\(2^x\\)\n\nZauważamy, że \\(\\dfrac{1}{2} = 2^{-1}\\), więc możemy przepisać funkcję:\n\n\\[f(x) = \\left(2^{-1}\\right)^x = 2^{-x}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = -3\\):\n\n\\[f(-3) = 2^{-(-3)} = 2^3 = 8\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(-3) = 8\\)** - wynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęga o wykładniku ujemnym:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyte w Sposobie 1, gdy zamienialiśmy \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}\\) na \\(\\dfrac{1}{\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3}\\).\n\n**Dział 2 (s. 4-5)** - działanie na potędze potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyte w Sposobie 2, gdy \\(\\left(2^{-1}\\right)^{-3} = 2^{(-1)\\cdot(-3)} = 2^3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{1}{6}\\) | Uczeń \"oblicza\" \\(\\dfrac{1}{2+(-3-1)} = \\dfrac{1}{-2}\\) lub myli wzór z inną funkcją. Skąd się bierze 6? Błędne dodawanie: \\(2 + (-3) + 1 = \\ldots\\) - brak sensu matematycznego. |\n| B - \\(\\dfrac{1}{8}\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń podstawia \\(x = -3\\) ale pomija znak minusa: liczy \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}\\) zamiast \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3}\\). Zapomina, że wykładnik to \\(-3\\), nie \\(3\\). |\n| C - \\(6\\) | Uczeń \"odwraca\" podstawę zamiast stosować regułę potęgi ujemnej: liczy \\(2 + (-3) + \\ldots\\) albo odczytuje \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} \\approx 2 \\cdot 3\\) - zupełnie błędne rozumowanie. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik **NIE** oznacza wyniku ujemnego! \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = 8\\), a nie \\(-8\\) ani \\(-\\dfrac{1}{8}\\). Potęga z podstawą dodatnią zawsze daje wynik dodatni.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić minusa w wykładniku i policzyć \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{3} = \\dfrac{1}{8}\\) - to odpowiedź B, klasyczna pułapka. Zawsze sprawdź znak wykładnika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj wzór \\(\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\dfrac{b}{a}\\right)^n\\) - ujemny wykładnik przy ułamku **odwraca ułamek**. Tutaj: \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\left(\\dfrac{2}{1}\\right)^3 = 2^3 = 8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Potęga o wykładniku ujemnym\n\\[f(-3) = \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\left(\\dfrac{2}{1}\\right)^{3} = 2^3 = 8.\\]\n\n### Sposób 2 - Własności potęg\n\\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^{-3} = \\dfrac{1}{(1/2)^3} = \\dfrac{1}{1/8} = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - błędne obliczenie, być może \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 3 = \\tfrac{3}{2}\\) nie pasuje.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{8}\\)** - wartość dla \\(x = 3\\) (bez minusa): \\(\\left(\\tfrac{1}{2}\\right)^3 = \\tfrac{1}{8}\\).\n- **C. \\(6\\)** - pomylono z \\(2\\cdot 3\\).\n\n**Klucz:** \\(a^{-n} = \\dfrac{1}{a^n}\\); \\(\\left(\\tfrac{1}{a}\\right)^{-n} = a^n\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nPunkt B jest obrazem punktu\n(\n)\n3, 5\nA = -\nw symetrii względem początku układu\nwspółrzędnych. Długość odcinka AB jest równa\nA.\nB. 8\nC.\nD. 12","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie\nkartezjańskiej. Zdający oblicza\nodległości punktów na płaszczyźnie\nkartezjańskiej (8.e).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(a = 2,\\ b = 9\\)\n\n## Sposób 1 - Własność proporcjonalności odwrotnej (stała \\(k\\))\n\nJeśli \\(x\\) i \\(y\\) są **odwrotnie proporcjonalne**, to ich iloczyn jest stały:\n\\[x \\cdot y = k\\]\n\n**Krok 1.** Wyznaczymy stałą \\(k\\) z pary, gdzie obie wartości są znane - tu \\(x = 3,\\ y = 24\\):\n\\[k = 3 \\cdot 24 = 72\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy \\(a\\). Wiemy, że gdy \\(x = a\\), to \\(y = 36\\):\n\\[a \\cdot 36 = 72\\]\n\\[a = \\frac{72}{36} = 2\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(b\\). Wiemy, że gdy \\(x = 8\\), to \\(y = b\\):\n\\[8 \\cdot b = 72\\]\n\\[b = \\frac{72}{8} = 9\\]\n\n**Wynik: \\(a = 2,\\ b = 9\\)** - odpowiedź **D**.\n\n## Sposób 2 - Proporcja (z definicji odwrotnej proporcjonalności)\n\nOdwrotna proporcjonalność oznacza:\n\\[\\frac{x_1}{x_2} = \\frac{y_2}{y_1}\\]\n(gdy \\(x\\) rośnie \\(k\\) razy, \\(y\\) maleje \\(k\\) razy).\n\n**Wyznaczamy \\(a\\):** Bierzemy pary \\((a,\\ 36)\\) i \\((3,\\ 24)\\):\n\\[\\frac{a}{3} = \\frac{24}{36} = \\frac{2}{3}\\]\n\\[a = 3 \\cdot \\frac{2}{3} = 2\\]\n\n**Wyznaczamy \\(b\\):** Bierzemy pary \\((3,\\ 24)\\) i \\((8,\\ b)\\):\n\\[\\frac{3}{8} = \\frac{b}{24}\\]\n\\[b = \\frac{3 \\cdot 24}{8} = \\frac{72}{8} = 9\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(a = 2,\\ b = 9\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja odwrotnej proporcjonalności: \\(x \\cdot y = k\\) (stała). Jest to pojęcie z algebry szkolnej, nieujęte osobno na karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Pomylenie proporcjonalności odwrotnej z **prostą** - wzięto \\(\\frac{y_1}{y_2} = \\frac{x_1}{x_2}\\) zamiast \\(x \\cdot y = k\\). Dla \\(a\\): \\(\\frac{36}{24} \\cdot 3 = 4{,}5\\) albo podzielono \\(k\\) przez \\(36\\) w inny sposób i policzono \\(b = 24 + \\frac{24}{3} = 22{,}5\\). |\n| B | Wzięto \\(a = \\frac{3 \\cdot 24}{36 \\cdot ?}\\) - błąd arytmetyczny lub użyto złego wzoru proporcji. |\n| C | Pomylenie: wzięto \\(a = y_2 - y_1 = 24 - 3 = \\) albo błędnie przyjęto \\(a = x_2 = 3\\) (przepisanie wartości z tabeli), a \\(b\\) policzono mnożąc zamiast dzieląc: \\(8 \\cdot 12 = 96\\). |\n| D | Poprawna odpowiedź. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proporcjonalność **odwrotna** to \\(x \\cdot y = k\\) (iloczyn stały), a **prosta** to \\(\\frac{y}{x} = k\\) (iloraz stały). Łatwo je pomylić - sprawdź, czy wzrastaniu \\(x\\) odpowiada malenie \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stałą \\(k\\) wyznaczaj zawsze z **kompletnej** pary \\((x, y)\\) - tu jedyna para gotowa to \\((3,\\ 24)\\). Nie możesz wziąć pary z niewiadomą do wyznaczenia \\(k\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(b\\) łatwo o błąd kierunku - skoro \\(x = 8 > 3\\), to \\(y\\) musi być **mniejsze** niż \\(24\\). Wynik \\(b = 9 < 24\\) - to dobry sygnał że jesteśmy na właściwej drodze. Jeśli wychodzi ci \\(b > 24\\), gdzieś jest błąd!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność proporcjonalności odwrotnej\nDla \\(x\\) i \\(y\\) odwrotnie proporcjonalnych: \\(x\\cdot y = \\text{const}\\).\nZ drugiej kolumny: \\(3\\cdot 24 = 72\\). Czyli \\(xy = 72\\).\n\nZ pierwszej kolumny: \\(a\\cdot 36 = 72 \\Rightarrow a = 2\\).\nZ trzeciej kolumny: \\(8\\cdot b = 72 \\Rightarrow b = 9\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(2\\cdot 36 = 72\\) ✓; \\(3\\cdot 24 = 72\\) ✓; \\(8\\cdot 9 = 72\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=6, b=22{,}5\\)**: \\(6\\cdot 36 = 216\\), nie \\(72\\) ✗.\n- **B. \\(a=\\tfrac{4}{3}, b=6\\)**: \\(\\tfrac{4}{3}\\cdot 36 = 48\\) ✗.\n- **C. \\(a=3, b=96\\)**: \\(3\\cdot 36 = 108\\) ✗.\n\n**Klucz:** odwrotna proporcjonalność - iloczyn stały.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nIle jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: 1, 3, 5, 7, 9, w których\ncyfry się nie powtarzają?\nA. 10\nB. 15\nC. 20\nD. 25","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej.\nTeoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający zlicza\nobiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych,\nstosuje zasadę mnożenia (10.b).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(y = -2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości (iloczyn współczynników)\n\n**Kluczowy fakt:** Dwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nSprawdzamy każdą parę - patrzymy wyłącznie na **współczynniki kierunkowe** (liczbę przy \\(x\\)):\n\n**Para A:** \\(y = 2x\\) i \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\)\n\nUwaga: \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\) to prosta **pozioma** (brak \\(x\\)), współczynnik kierunkowy \\(= 0\\).\n\\[2 \\cdot 0 = 0 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Para B:** \\(y = -2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)\n\nWspółczynniki: \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\dfrac{1}{2}\\).\n\\[(-2) \\cdot \\frac{1}{2} = -1 \\checkmark\\]\n**Proste są prostopadłe!**\n\n**Para C:** \\(y = 2x\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\)\n\n\\[2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe (są \"symetryczne\" względem prostych \\(y = x\\) i \\(y = -x\\), ale nie prostopadłe do siebie).\n\n**Para D:** \\(y = 2\\) i \\(y = -2x\\)\n\n\\(y = 2\\) to prosta pozioma, współczynnik \\(= 0\\).\n\\[0 \\cdot (-2) = 0 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe. (Te proste byłyby prostopadłe gdyby druga była pionowa \\(x = \\text{const}\\), a nie \\(y = -2x\\).)\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Geometryczna weryfikacja przez kąty\n\nKażda prosta tworzy z osią \\(OX\\) kąt \\(\\alpha\\) taki, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = a\\) (współczynnik kierunkowy).\n\nDwie proste są prostopadłe, gdy ich kąty nachylenia różnią się o dokładnie \\(90°\\).\n\nDla pary **B**: \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\dfrac{1}{2}\\).\n\nKąt \\(\\alpha_1\\) spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha_1 = -2\\) - prosta idzie w lewo i w górę (II/IV ćwiartka).\n\nKąt \\(\\alpha_2\\) spełnia \\(\\operatorname{tg}\\alpha_2 = \\dfrac{1}{2}\\) - prosta idzie w prawo i w górę.\n\nSprawdzamy warunek prostopadłości wzorem:\n\\[\\operatorname{tg}(\\alpha_1 - \\alpha_2) = \\frac{\\operatorname{tg}\\alpha_1 - \\operatorname{tg}\\alpha_2}{1 + \\operatorname{tg}\\alpha_1 \\cdot \\operatorname{tg}\\alpha_2} = \\frac{-2 - \\frac{1}{2}}{1 + (-2)\\cdot\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{5}{2}}{1 - 1} = \\frac{-\\frac{5}{2}}{0}\\]\n\nMianownik równy zero oznacza, że kąt między prostymi wynosi \\(90°\\) - **proste są prostopadłe**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWarunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nTo jest wprost ze strony 22-23 karty. Wystarczy odczytać współczynniki przy \\(x\\) z każdego równania i sprawdzić ich iloczyn.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(y = -\\frac{1}{2}\\) to prosta **pozioma** (brak \\(x\\)), nie ma współczynnika \\(-\\frac{1}{2}\\) przy \\(x\\). Uczeń myli stałą z brakiem wyrazu wolnego. Iloczyn \\(2 \\cdot 0 = 0 \\neq -1\\). |\n| C | \\(2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\), nie \\(-1\\). Te proste to \"odwrotność bez znaku minus\" - uczeń zapomina, że warunek prostopadłości wymaga **ujemnego odwrotności**, a nie tylko odwrotności. |\n| D | \\(y = 2\\) to prosta pozioma. Prostopadła do niej byłaby prosta pionowa \\(x = \\text{const}\\). Prosta \\(y = -2x\\) jest ukośna, więc nie jest prostopadła do poziomej. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(y = -\\dfrac{1}{2}\\) i \\(y = \\dfrac{1}{2}x\\) to zupełnie różne proste! Pierwsza to stała (pozioma), druga ma współczynnik przy \\(x\\). Nie myl wyrazu wolnego ze współczynnikiem kierunkowym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Proste \\(y = 2x\\) i \\(y = \\frac{1}{2}x\\) mają iloczyn współczynników \\(= +1\\) - są symetryczne względem osi, ale **nie** prostopadłe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do prostej poziomej (\\(a = 0\\)) prostopadła jest tylko prosta pionowa (\\(x = c\\)), której w ogóle nie da się zapisać w postaci \\(y = ax + b\\). Żadna ukośna prosta nie jest prostopadła do poziomej.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nProste są prostopadłe, gdy \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).\n\n**B:** \\(a_1 = -2\\), \\(a_2 = \\tfrac{1}{2}\\): \\((-2)\\cdot\\tfrac{1}{2} = -1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie pozostałych\n- **A:** \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\) to prosta **pozioma** (\\(a = 0\\)), \\(y = 2x\\) to prosta ukośna. Pozioma ⊥ pionowa, nie ukośna. ✗\n- **C:** \\(2\\cdot\\tfrac{1}{2} = 1 \\ne -1\\) ✗.\n- **D:** \\(y = 2\\) pozioma, \\(y = -2x\\) ukośna. Prostopadłość wymagałaby prostej pionowej \\(x = c\\). ✗\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Prosta \\(y = -\\tfrac{1}{2}\\) jest pozioma, nie prostopadła do \\(y = 2x\\).\n- **C.** Iloczyn współczynników \\(2\\cdot\\tfrac{1}{2} = 1\\), nie \\(-1\\) (to proste równoległe w sensie pochylenia, ale tu - po prostu nie prostopadłe).\n- **D.** \\(y = 2\\) to pozioma, \\(y = -2x\\) ukośna - nie są prostopadłe.\n\n**Klucz:** \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\) → prostopadłość dla prostych ukośnych. Pozioma ⊥ pionowa.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPole prostokąta ABCD jest równe 90. Na bokach AB i CD wybrano - odpowiednio - punkty P i R,\ntakie, że\n3\n2\nAP\nCR\nPB\nRD\n(zobacz rysunek).\nPole czworokąta APCR jest równe\nA. 36\nB. 40\nC. 54\nD. 60\nα\nβ\n2sin β\ncosα\n2\n34\n2\n34\nA\nB\nC\nD\nP\nR\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych\nw zadaniach, w tym umieszczonych\nw kontekście praktycznym (7.b).\nWersja X\nWersja Y\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - pole trójkąta ABC wynosi \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - zauważenie pionowego boku i wzór podstawa × wysokość\n\nZanim sięgniemy po wzory, **spojrzyjmy na współrzędne**:\n- \\(A = (4, 1)\\)\n- \\(C = (4, -1)\\)\n\nOba punkty mają tę samą odciętą \\(x = 4\\), więc bok \\(AC\\) jest **pionowy** (równoległy do osi \\(OY\\)).\n\n**Długość podstawy \\(|AC|\\):**\n\\[|AC| = |1 - (-1)| = 2\\]\n\n**Wysokość** opuszczona z \\(B = (1, 3)\\) na bok \\(AC\\) to pozioma odległość od \\(B\\) do prostej \\(x = 4\\):\n\\[h = |4 - 1| = 3\\]\n\n**Pole trójkąta:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AC| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 3 = \\mathbf{3}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór ze współrzędnych (wyznacznikowy)\n\nZe wzoru na pole trójkąta z karty CKE (geometria analityczna):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (4,1)\\), \\(B = (1,3)\\), \\(C = (4,-1)\\):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(1-4) \\cdot (-1-1) - (3-1) \\cdot (4-4)|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}|(-3) \\cdot (-2) - (2) \\cdot (0)|\\]\n\\[P = \\frac{1}{2}|6 - 0| = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\mathbf{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 2.\n\nW Sposobie 1 wystarczyła definicja \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\) (wzór na pole trójkąta z podstawą i odpowiednią wysokością, Dział 10, s. 15).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(6\\) | Policzono \\(|AC| \\cdot h = 2 \\cdot 3 = 6\\) - **zapomniano podzielić przez 2** (wzór na pole trójkąta, nie prostokąta!) |\n| C - \\(8\\) | Błędne obliczenie odległości, np. dodanie odciętych zamiast odjęcia: \\(|4+1| \\cdot | \\) |\n| D - \\(16\\) | Pomylenie wzoru z prostokątem lub nieprawidłowe zastosowanie wzoru, np. \\((x_C - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = 0 + 4\\) z błędnym mnożeniem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) w polu trójkąta - policzenie \\(a \\cdot h\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\). Prowadzi prosto do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim użyjesz złożonego wzoru wyznacznikowego - sprawdź czy dwa punkty mają tę samą współrzędną \\(x\\) lub \\(y\\). Jeśli tak, bok jest poziomy lub pionowy i obliczenia są dużo prostsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze wyznacznikowym kolejność punktów \\(A, B, C\\) nie ma znaczenia dla wartości bezwzględnej pola - ale pamiętaj o module \\(|\\ldots|\\), bo wynik bez modułu może wyjść ujemny.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór z wyznacznikiem\n\\[P = \\tfrac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}|4(3-(-1)) + 1(-1-1) + 4(1-3)|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}|4\\cdot 4 + 1\\cdot(-2) + 4\\cdot(-2)|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}|16 - 2 - 8| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 6 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Obserwacja na rysunku\n\\(A = (4, 1)\\) i \\(C = (4, -1)\\) mają tę samą pierwszą współrzędną → bok \\(AC\\) jest **pionowy**, jego długość = \\(|1 - (-1)| = 2\\).\nWysokość opuszczona z \\(B = (1, 3)\\) na prostą \\(x = 4\\) = \\(|4-1| = 3\\).\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 2\\cdot 3 = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(6\\)** - zapomniano o czynniku \\(\\tfrac{1}{2}\\).\n- **C. \\(8\\), D. \\(16\\)** - błędne obliczenia, może źle odjęto wartości.\n\n**Klucz:** jeśli dwa punkty mają tę samą \\(x\\) (lub \\(y\\)), bok jest pionowy (poziomy) - łatwo policzyć podstawę i wysokość.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nCztery liczby: 2, 3, a, 8, tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego\nzestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: 5, 3, 6, 8, 2. Zatem\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej;\nteoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka. Zdający oblicza\nśrednią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie\nstandardowe danych; interpretuje te\nparametry dla danych empirycznych\n(10.a).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(255\\)\n\n## Sposób 1 - Przedział i wzór na liczbę wielokrotności\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych **mniejszych od \\(2020\\)** i podzielnych przez \\(4\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy zakres.**\n\nLiczby czterocyfrowe mniejsze od \\(2020\\) to liczby ze zbioru:\n\\[\\{1000, 1001, 1002, \\ldots, 2019\\}\\]\n\n**Krok 2: Znajdź pierwszą i ostatnią liczbę z zakresu podzielną przez 4.**\n\n- Pierwsza: \\(1000 = 4 \\cdot 250\\) ✓ → pierwsza to \\(1000\\)\n- Ostatnia: sprawdzamy od \\(2019\\) w dół:\n\\[2019 : 4 = 504{,}75 \\quad \\text{(nie całkowita)}\\]\n\\[2016 = 4 \\cdot 504\\] ✓ → ostatnia to \\(2016\\)\n\n**Krok 3: Policz wyrazy.**\n\nLiczby \\(1000, 1004, 1008, \\ldots, 2016\\) tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \\(r = 4\\).\n\nLiczba wyrazów:\n\\[n = \\frac{2016 - 1000}{4} + 1 = \\frac{1016}{4} + 1 = 254 + 1 = \\mathbf{255}\\]\n\n## Sposób 2 - Odejmowanie wielokrotności\n\nKorzystamy ze wzoru: liczba wielokrotności \\(k\\) w zbiorze \\(\\{1, 2, \\ldots, n\\}\\) wynosi \\(\\left\\lfloor \\frac{n}{k} \\right\\rfloor\\).\n\n**Ile jest liczb naturalnych \\(\\leq 2019\\) podzielnych przez 4?**\n\\[\\left\\lfloor \\frac{2019}{4} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 504{,}75 \\right\\rfloor = 504\\]\n\n**Ile jest liczb naturalnych \\(\\leq 999\\) podzielnych przez 4?** (to są liczby co najwyżej trzycyfrowe)\n\\[\\left\\lfloor \\frac{999}{4} \\right\\rfloor = \\left\\lfloor 249{,}75 \\right\\rfloor = 249\\]\n\n**Czterocyfrowe liczby \\(< 2020\\) podzielne przez 4:**\n\\[504 - 249 = \\mathbf{255}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Wystarczą:\n- definicja podzielności przez 4\n- wzór na liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego (Dział 8, s. 9): \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** - \\(506\\) | Liczenie wszystkich liczb \\(\\leq 2024\\) podzielnych przez 4 bez odejmowania liczb \\(\\leq 999\\): \\(\\lfloor 2024/4 \\rfloor = 506\\) - zapomniano wyciąć liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe |\n| **B** - \\(505\\) | Podobny błąd: \\(\\lfloor 2020/4 \\rfloor = 505\\) - liczenie od 1, nie od 1000 |\n| **C** - \\(256\\) | Traktowanie „mniejsze od \\(2020\\)\" jako „mniejsze lub równe \\(2020\\)\": \\(\\lfloor 2020/4 \\rfloor - \\lfloor 999/4 \\rfloor = 505 - 249 = 256\\) - \\(2020\\) jest podzielne przez 4, ale zadanie mówi **mniejsze**, więc je wykluczamy |\n| **D** - \\(255\\) | ✅ Poprawna |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Mniejsze od \\(2020\\)\" oznacza \\(\\leq 2019\\), nie \\(\\leq 2020\\)! Liczba \\(2020 = 4 \\cdot 505\\) jest podzielna przez 4, więc to wykluczenie zmienia wynik o 1.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, żeby odjąć liczby **nie**czterocyfrowe (czyli \\(\\leq 999\\) podzielne przez 4). Łatwo policzyć wielokrotności od 1 zamiast od 1000 i dostać wynik o 249 za duży.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1\\) uczniowie często zapominają o \\(+1\\) - brak tej jedynki daje \\(254\\) zamiast \\(255\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Ciąg arytmetyczny\nCzterocyfrowe liczby zaczynają się od \\(1000\\) i mają się zmieścić w \\(<2020\\). Podzielne przez \\(4\\):\n- Pierwsza: \\(1000\\) (\\(1000/4 = 250\\)).\n- Ostatnia \\(<2020\\): \\(2016\\) (\\(2016/4 = 504\\)).\n\nCiąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 4\\): \\(a_n = 1000 + 4(n-1) = 2016\\):\n\\[4(n-1) = 1016 \\Rightarrow n - 1 = 254 \\Rightarrow n = 255.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez mnożniki\nLiczby \\(4k\\) z zakresu \\([1000, 2020)\\): \\(k \\in [250, 504]\\) (bo \\(4\\cdot 250 = 1000\\), \\(4\\cdot 505 = 2020\\) - nie \\(<2020\\)).\nLiczność: \\(504 - 250 + 1 = 255\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(506\\)** - uwzględniono liczby do \\(2020\\) włącznie lub z błędem.\n- **B. \\(505\\)** - błąd o 1 (np. włączono \\(2020\\)).\n- **C. \\(256\\)** - błąd o 1, za duże o jedno.\n\n**Klucz:** uważaj na **ścisłą** nierówność \"mniejszych od\"; najstarsze \\(2020\\) **nie** jest liczone.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nDany jest sześcian ABCDEFGH. Sinus kąta α nachylenia przekątnej HB tego sześcianu do\npłaszczyzny podstawy ABCD (zobacz rysunek) jest równy\nA.\n3\n3\nB.\n6\n3\nC.\n2\n2\nD.\n6\n2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza\nzwiązki miarowe w wielościanach\ni bryłach obrotowych z\nzastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja X\nWersja Y\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - dziesięciokąt\n\n## Sposób 1 - Układanie równania z definicji\n\n**Ustalamy zmienną.** Niech podstawą obu brył jest \\(n\\)-kąt.\n\n**Liczymy wierzchołki graniastosłupa.**\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma dwie podstawy, każda z \\(n\\) wierzchołkami:\n\\[W_{\\text{gran}} = 2n\\]\n\n**Liczymy wierzchołki ostrosłupa.**\nOstrosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(n\\) wierzchołków podstawy i \\(1\\) wierzchołek górny (apex):\n\\[W_{\\text{ostr}} = n + 1\\]\n\n**Układamy równanie** na podstawie warunku zadania (\"graniastosłup ma o \\(9\\) więcej wierzchołków\"):\n\\[W_{\\text{gran}} - W_{\\text{ostr}} = 9\\]\n\\[2n - (n + 1) = 9\\]\n\\[2n - n - 1 = 9\\]\n\\[n = 10\\]\n\n**Podstawą jest dziesięciokąt.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy wynik \\(n = 10\\) bezpośrednio:\n\n- Graniastosłup o podstawie **dziesięciokąta**: \\(2 \\cdot 10 = 20\\) wierzchołków\n- Ostrosłup o podstawie **dziesięciokąta**: \\(10 + 1 = 11\\) wierzchołków\n- Różnica: \\(20 - 11 = 9\\) ✓\n\nWarunek zadania jest spełniony - wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja wierzchołków graniastosłupa i ostrosłupa oraz podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(n = 9\\): różnica \\(2 \\cdot 9 - (9+1) = 18 - 10 = 8 \\neq 9\\). Pomylenie liczby ścian z liczbą wierzchołków, lub błąd o 1 w liczeniu wierzchołków ostrosłupa. |\n| B | \\(n = 8\\): różnica \\(2 \\cdot 8 - (8+1) = 16 - 9 = 7 \\neq 9\\). Wynik za mały - typowy błąd przy złym zapisaniu równania. |\n| C | \\(n = 18\\): różnica wyniosłaby \\(2 \\cdot 18 - (18+1) = 36 - 19 = 17 \\neq 9\\). Uczeń mógł pominąć wierzchołek apex ostrosłupa i rozwiązać \\(2n - n = 9\\), dostając \\(n = 9\\), a potem zaokrąglić lub pomylić wynik z inną odpowiedzią. |\n| D | ✓ Poprawna |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma **\\(n+1\\)** wierzchołków, nie \\(n\\). Bardzo łatwo zapomnieć o wierzchołku głównym (apex) i zapisać \\(n\\) zamiast \\(n+1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup ma **dwie** podstawy, więc wierzchołków jest \\(2n\\), nie \\(n\\). Błąd przy liczeniu ścian (które jest inne!) przeniesiony na wierzchołki to klasyczna pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o podstawę obu brył - upewnij się, że odpowiadasz właśnie na to pytanie, a nie np. podajesz liczbę \\(n = 10\\) jako odpowiedź (bo \\(10\\) to nie nazwa figury - odpowiedź to „dziesięciokąt\").\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Równanie z liczby wierzchołków\nNiech \\(n\\) - liczba boków podstawy.\n- Graniastosłup: \\(2n\\) wierzchołków (dwie kopie podstawy).\n- Ostrosłup: \\(n + 1\\) wierzchołków (\\(n\\) w podstawie + \\(1\\) wierzchołek).\n\nWarunek: \\(2n = (n+1) + 9\\):\n\\[2n = n + 10 \\Rightarrow n = 10.\\]\nPodstawa - dziesięciokąt.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla dziesięciokąta (\\(n=10\\)): graniastosłup ma \\(20\\) wierzchołków, ostrosłup \\(11\\). Różnica: \\(20 - 11 = 9\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Dziewięciokąt** (\\(n=9\\)): różnica \\(18 - 10 = 8\\) ✗.\n- **B. Ośmiokąt** (\\(n=8\\)): \\(16-9 = 7\\) ✗.\n- **C. Osiemnastokąt** (\\(n=18\\)): \\(36-19 = 17\\) ✗.\n\n**Klucz:** \\(\\text{wierzchołki graniastosłupa} = 2\\cdot n\\), \\(\\text{ostrosłupa} = n+1\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nDany jest stożek o objętości 18π , którego przekrojem osiowym jest trójkąt ABC (zobacz rysunek).\nKąt CBA jest kątem nachylenia tworzącej l tego stożka do płaszczyzny jego podstawy.\nTangens kąta CBA jest równy 2.\nWynika stąd, że wysokość h tego stożka jest równa\nA. 12\nB. 6\nC. 4\nD. 2\n7\na =\n6\na =\n5\na =\n4\na =\nH\nC\nG\nF\nE\nD\nA\nB\nl\nh\nA\nB\nC\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza\nzwiązki miarowe w wielościanach\ni bryłach obrotowych z\nzastosowaniem trygonometrii (9.b).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadania otwarte\nUwaga: Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu\n\nSześcian ma 6 ścian, każda jest kwadratem o boku \\(a\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz bok \\(a\\) z pola powierzchni.**\n\n\\[P_c = 6a^2 = 12\\]\n\n\\[a^2 = 2\\]\n\n\\[a = \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Policz sumę długości wszystkich krawędzi.**\n\nSześcian ma 12 równych krawędzi, więc:\n\n\\[L = 12a = 12\\sqrt{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(12\\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie\n\nMamy \\(a = \\sqrt{2}\\). Sprawdzamy, czy pole powierzchni faktycznie wynosi \\(12\\):\n\n\\[P_c = 6a^2 = 6 \\cdot (\\sqrt{2})^2 = 6 \\cdot 2 = 12 \\checkmark\\]\n\nSuma krawędzi:\n\n\\[L = 12 \\cdot \\sqrt{2} = 12\\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nZgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nDla sześcianu (\\(a = b = c\\)) upraszcza się to do:\n\\[P_c = 6a^2\\]\nTego wzoru użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia długości krawędzi.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(6\\sqrt{2}\\) - policzono tylko **połowę** krawędzi (6 zamiast 12), np. pomyłka \"6 krawędzi\" zamiast 12 |\n| B | \\(3\\sqrt{2}\\) - wzięto \\(3a\\) zamiast \\(12a\\), czyli policzono tylko krawędzie jednej ściany lub pomieszano wzory |\n| D | \\(8\\sqrt{2}\\) - wzięto \\(8a\\), czyli liczbę wierzchołków sześcianu zamiast liczbę krawędzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma **12 krawędzi**, nie 8 (tyle jest wierzchołków) i nie 6 (tyle jest ścian). To najczęstsze źródło błędu w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(P_c = 6a^2 = 12\\) wynika \\(a^2 = 2\\), więc \\(a = \\sqrt{2}\\). Nie wolno zatrzymać się na \\(a^2 = 2\\) i napisać \\(L = 12 \\cdot 2 = 24\\) - trzeba wziąć pierwiastek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(12\\sqrt{2} \\neq 12 \\cdot 2\\). Pamiętaj, że \\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\), więc wynik jest mniejszy niż 24.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Krawędź z pola powierzchni\nSześcian ma \\(6\\) kwadratowych ścian o boku \\(a\\). Pole całkowite: \\(P_c = 6a^2\\).\n\\[6a^2 = 12 \\Rightarrow a^2 = 2 \\Rightarrow a = \\sqrt{2}.\\]\nSuma wszystkich \\(12\\) krawędzi: \\(12a = 12\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = \\sqrt{2}\\): pole jednej ściany \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\); pole całkowite \\(6\\cdot 2 = 12\\) ✓. Suma krawędzi \\(12\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\sqrt{2}\\)** - tylko \\(6\\) krawędzi zamiast \\(12\\).\n- **B. \\(3\\sqrt{2}\\)** - tylko \\(3\\) krawędzie.\n- **D. \\(8\\sqrt{2}\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Klucz:** sześcian ma \\(12\\) krawędzi, \\(6\\) ścian. \\(P_c = 6a^2\\), \\(\\sum\\text{krawędzi} = 12a\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie reprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania i nierówności kwadratowe; zapisuje\nrozwiązanie w postaci sumy przedziałów (3.a).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub zapisze błędny zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\n\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\noraz\n\nzaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n:\n1\n5\n2\nx = -\ni\n2\n1\nx = .\n\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2\nalbo\n• realizując pierwszy etap rozwiązania zadania popełnia błędy (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do tego zapisze zbiór rozwiązań nierówności, np.:\n\npopełnia błędy rachunkowe przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków\ntrójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności,\n\nbłędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np.:\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nalbo\nwyznaczy odcięte punktów wspólnych wykresów funkcji określonych wzorami\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-:\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = i na tym zakończy lub zapisze\nbłędny zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nlub (\nlub\n),\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n( )\n2\n2\n3\n5\nf x\nx\nx\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\nalbo\n• sporządzi ilustrację graficzną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n,\n,\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki (dysleksja)\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n,\n, to przyznajemy 2 punkty.\nUwagi\n1.\nAkceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\ni\n,\noraz\n2.\nJeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\n, rozważając dwa przypadki\noraz\n, rozwiąże nierówność w każdym z tych przypadków i poda zbiór\nrozwiązań każdej z tych nierówności, to otrzymuje 2 punkty.\n3.\nJeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n,\ni zapisze, np.\n, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego\nz pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\n4.\nJeżeli zdający poprawnie rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, ale zapisze\nsprzeczną z tym rozwiązaniem odpowiedź, np.\n{\n}\n5\n2\n,1\nx\nR\n∉\n, albo\n5\n2\nx ≠-\ni\n1\nx ≠,\nto otrzymuje 2 punkty.\n5.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i nie sprawdzi algebraicznie, że odczytane\nliczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = są odciętymi punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-, to otrzymuje 2 punkty.\n6.\nJeżeli zdający pominie 2 w nierówności\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n- i rozwiąże nierówność\n(\n)(\n)\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>\n-, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7.\nJeżeli zdający rozwiązuje zadanie sposobem III i błędnie odczyta którąkolwiek\nz odciętych punktów wspólnych wykresów funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\n-, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, pod warunkiem, że otrzyma sumę dwóch\nrozłącznych przedziałów otwartych.\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n5\n2\nx < -\n1\nx >\n1\nx -\n1\n0\nx ->\n1\n0\nx -<\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\nx\n1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8.\nJeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n9.\nJeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n10. Jeżeli zdający rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\nx\nx\n>\n, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n11. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez\nbez stosownego założenia,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n2\n3\n5\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej.\nPierwszy etap rozwiązania może być realizowany następująco:\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci (\n)(\n)\n2\n5\n1\n0\nx\nx\n>\n(przenosimy\nwszystkie wyrażenia na lewą stronę nierówności i wyłączamy wspólny czynnik poza nawias),\na następnie zapisujemy pierwiastki trójmianu (\n)(\n)\n2\n5\n1\nx\nx\n:\noraz\nII sposób\nZapisujemy nierówność w postaci\ni obliczamy pierwiastki trójmianu\n• obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\ni stąd\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nalbo\n• stosujemy wzory Viète’a:\noraz\n, stąd\noraz\nalbo\n• podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową\ntrójmianu, lub zaznaczając je na wykresie (wystarczy szkic wykresu, oś liczbowa itp.):\n1\n5\n2\nx\noraz\n2\n1\nx\nlub2\nDrugi etap rozwiązania:\nZapisujemy zbiór rozwiązań nierówności:\nlub\nIII sposób\nWykonujemy rysunek pomocniczy. W jednym układzie współrzędnych szkicujemy fragment\nwykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz fragment wykresu\nfunkcji liniowej określonej wzorem\n1\ny\nx\n1\nx -\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n2\n2\n3\n5\n0\nx\nx\n>\n2\n2\n3\n5\nx\nx\n49\nΔ =\n1\n2\n5\n2\nx\nx\n⋅\n1\n2\n3\n2\nx\nx\n1\n5\n2\nx = -\n2\n1\nx =\n(\n)\n5\n1\n2\nx\nx\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nOdczytujemy odcięte punktów wspólnych obu wykresów. Są to liczby\n1\n5\n2\nx = -\noraz\n2\n1\nx = .\nSprawdzamy, czy odczytane współrzędne są odciętymi punktów wspólnych tych wykresów\n5\n5\n7\n1\n7\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n7\n1\n2\n2\n\n\n\n\n\n\n⋅-\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nStąd liczba\n5\n2\n\n\n\n\n\n\njest odciętą punktu wspólnego obu wykresów, a liczba 1 jest wspólnym\nmiejscem zerowym obu funkcji\n(\n)(\n)\n2\n1\n3\ny\nx\nx\noraz\n1\ny\nx\nZ naszkicowanego wykresu odczytujemy te argumenty, dla których funkcja kwadratowa\nprzyjmuje wartości większe niż funkcja liniowa\n. Zatem zbiór ten jest\nzbiorem rozwiązań nierówności (\n)(\n)\n2\n1\n3\n1\nx\nx\nx\n>","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)\\]\n\n## Sposób 1 - wyróżnik i analiza ramion paraboli\n\n**Krok 1: Wyznacz miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(-2x^2 + 5x + 3 = 0\\).\n\nOdczytujemy współczynniki: \\(a = -2,\\ b = 5,\\ c = 3\\).\n\nLiczymy wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \\cdot (-2) \\cdot 3 = 25 + 24 = 49\\]\n\n\\(\\Delta = 49 > 0\\), więc są **dwa różne miejsca zerowe**:\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-5 - 7}{-4} = \\frac{-12}{-4} = 3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-5 + 7}{-4} = \\frac{2}{-4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\nCzyli \\(x_1 = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n**Krok 2: Ustal kierunek ramion paraboli.**\n\nWspółczynnik \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** (∩ kształt).\n\nTo znaczy:\n- **między** pierwiastkami funkcja jest **dodatnia** (parabola jest powyżej osi \\(x\\))\n- **na zewnątrz** pierwiastków funkcja jest **ujemna** (parabola poniżej osi \\(x\\))\n\n**Krok 3: Odpowiedz na pytanie o nierówność.**\n\nSzukamy, gdzie \\(-2x^2 + 5x + 3 \\leq 0\\) (funkcja ujemna lub równa zero):\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)}\\]\n\nNa krańcach (\\(x = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x = 3\\)) funkcja = 0, więc wliczamy je (nierówność niestroga \\(\\leq\\)).\n\n## Sposób 2 - mnożenie przez \\(-1\\) i zamiana nierówności\n\n**Krok 1: Pomnóż obie strony przez \\(-1\\).**\n\nPamiętaj: mnożenie przez liczbę ujemną **odwraca kierunek nierówności**!\n\n\\[-2x^2 + 5x + 3 \\leq 0 \\quad \\Big| \\cdot (-1)\\]\n\\[2x^2 - 5x - 3 \\geq 0\\]\n\nTeraz mamy trójmian z **dodatnim** współczynnikiem \\(a = 2 > 0\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\).**\n\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-3) = 25 + 24 = 49\\]\n\\[x_1 = \\frac{5 - 7}{4} = -\\frac{1}{2}, \\qquad x_2 = \\frac{5 + 7}{4} = 3\\]\n\n**Krok 3: Analizuj parabolę z \\(a > 0\\) (ramiona w górę).**\n\nParabola \\(\\cup\\)-kształt: na zewnątrz pierwiastków jest **dodatnia** (lub zerowa). Szukamy \\(2x^2 - 5x - 3 \\geq 0\\):\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{2}\\right] \\cup \\left[3,\\ +\\infty\\right)\\]\n\nTen sam wynik - weryfikacja poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach do wyznaczenia pierwiastków trójmianu, które są granicami przedziałów rozwiązania.\n\nKluczowa obserwacja z karty: zachowanie trójmianu zależy od znaku \\(a\\) - to decyduje, gdzie funkcja jest dodatnia, a gdzie ujemna.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemne \\(a\\) odwraca logikę! Przy \\(a < 0\\) parabola jest skierowana **w dół**, więc wartości ujemne są **na zewnątrz** pierwiastków - odwrotnie niż przy \\(a > 0\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc nierówność przez liczbę ujemną (Sposób 2), **musisz odwrócić znak nierówności** (\\(\\leq\\) zamienia się w \\(\\geq\\)). Pominięcie tego kroku daje wynik dokładnie odwrotny do prawidłowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ponieważ nierówność jest niestroga (\\(\\leq\\), nie \\(<\\)), punkty \\(x = -\\frac{1}{2}\\) i \\(x = 3\\) **należą do rozwiązania** - zapisujemy nawiasy kwadratowe \\(\\langle\\ldots\\rangle\\), nie okrągłe.\n\n**Rozwiązanie: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków i odczyt z wykresu\nRozwiązujemy \\(-2x^2 + 5x + 3 = 0\\).\n**Delta:** \\(\\Delta = 25 - 4\\cdot(-2)\\cdot 3 = 25 + 24 = 49\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 7\\).\n**Pierwiastki:**\n\\[x_1 = \\dfrac{-5 + 7}{2\\cdot(-2)} = \\dfrac{2}{-4} = -\\dfrac{1}{2}, \\quad x_2 = \\dfrac{-5-7}{-4} = \\dfrac{-12}{-4} = 3.\\]\n\nParabola ma **ramiona skierowane w dół** (\\(a = -2 < 0\\)). Wartości \\(\\le 0\\) (poniżej/na osi) występują **na zewnątrz** pierwiastków.\n\n### Sposób 2 - Zamiana na dodatnie \\(a\\)\nMnożymy przez \\(-1\\) (odwraca nierówność):\n\\[2x^2 - 5x - 3 \\ge 0.\\]\nPierwiastki te same: \\(-\\tfrac{1}{2}\\) i \\(3\\). Teraz ramiona w górę, \\(\\ge 0\\) na zewnątrz:\n\\[x \\le -\\tfrac{1}{2} \\text{ lub } x \\ge 3.\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).\n\n### Graficznie\nSzkic paraboli \\(f(x) = -2x^2 + 5x + 3\\): korzenie w \\(-\\tfrac{1}{2}\\) i \\(3\\), maksimum pomiędzy. Nierówność \\(\\le 0\\) ⇔ wykres na/pod osią \\(x\\) - na zewnątrz korzeni.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n9\n4\n36\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nI. Wykorzystanie i tworzenie\ninformacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje\nrównania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki\n(3.d).\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\nx\n\n\n∈-∞-\n∪\n+ ∞\n\n\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze\nlewą\nstronę\nrównania\nw\npostaci\niloczynu(\n)(\n)\n2\n4\n9\n0\nx\nx\nlub\n(\n)(\n)(\n)\n2\n2\n9\n0\nx\nx\nx\nalbo\npodzieli wielomian\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n9\nx -\ni otrzyma iloraz (\n)\n2\n4\nx -\nalbo\npodzieli wielomian\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx -\ni otrzyma iloraz\n2\n7\n18\nx\nx\nalbo\npodzieli wielomian\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\nprzez dwumian (\n)\n2\nx +\ni otrzyma iloraz\n2\n11\n18\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n2\nx = -,\n2\nx =\noraz\n9\nx =\n, ale nie uzyska ich\nw wyniku błędnej metody.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania wyrazów\nZatem\n(\n)\n(\n)\n2\n9\n4\n9\n0\nx\nx\nx\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n9\n4\n0\nx x\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n4\n9\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n9\n0\nx\nx\nx\nZatem\n2\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n9\nx =\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba 9 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n9\n4\n36\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian przez dwumian (\n)\n9\nx -\n. Otrzymujemy iloraz (\n)\n2\n4\nx -\n. Zapisujemy równanie w\npostaci (\n)(\n)\n2\n4\n9\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n2\n2\n9\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n2\nx =\nlub\n2\nx = - lub\n9\nx =\nUwaga\nZdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:\n- liczba 2 i zapisać równanie w postaci: (\n)(\n)\n2\n2\n7\n18\n0\nx\nx\nx\n- liczba (\n)\n2\ni zapisać równanie w postaci: (\n)(\n)\n2\n2\n11\n18\n0\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\frac{6}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek geometryczności (środkowy wyraz)\n\nW ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) zachodzi własność środkowego wyrazu:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[(4x+2)^2 = (x+2)(x+11)\\]\n\nRozwijamy obie strony:\n\\[16x^2 + 16x + 4 = x^2 + 13x + 22\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[15x^2 + 3x - 18 = 0\\]\n\nDzielimy przez 3:\n\\[5x^2 + x - 6 = 0\\]\n\nLiczymy deltę:\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot (-6) = 1 + 120 = 121\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 11\\]\n\nWyznaczamy miejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-1 - 11}{2 \\cdot 5} = \\frac{-12}{10} = -\\frac{6}{5}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-1 + 11}{2 \\cdot 5} = \\frac{10}{10} = 1\\]\n\n**Sprawdzamy, czy żaden wyraz nie jest zerem** (w ciągu geometrycznym jest to niedopuszczalne):\n\nDla \\(x = 1\\): wyrazy to \\(3, 6, 12\\) - żaden nie jest zerem ✓\n\nDla \\(x = -\\frac{6}{5}\\): wyrazy to \\(\\frac{4}{5}, -\\frac{14}{5}, \\frac{49}{5}\\) - żaden nie jest zerem ✓\n\n**Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\frac{6}{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Stały iloraz (weryfikacja i potwierdzenie)\n\nDla ciągu geometrycznego iloraz \\(q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\) musi być taki sam.\n\n**Dla \\(x = 1\\):** wyrazy to \\((3,\\ 6,\\ 12)\\)\n\\[q = \\frac{6}{3} = 2, \\qquad q = \\frac{12}{6} = 2\\]\nIloraz stały \\(q = 2\\) ✓\n\n**Dla \\(x = -\\frac{6}{5}\\):** wyrazy to \\(\\left(\\frac{4}{5},\\ -\\frac{14}{5},\\ \\frac{49}{5}\\right)\\)\n\\[q = \\frac{-\\frac{14}{5}}{\\frac{4}{5}} = -\\frac{14}{4} = -\\frac{7}{2}\\]\n\\[q = \\frac{\\frac{49}{5}}{-\\frac{14}{5}} = \\frac{49}{-14} = -\\frac{7}{2}\\]\nIloraz stały \\(q = -\\frac{7}{2}\\) ✓\n\nOba rozwiązania są poprawne. Warto zauważyć, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny - wyrazy mogą zmieniać znak.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nTo jest kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 do postawienia równania.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do rozwiązania równania \\(5x^2 + x - 6 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek geometryczności \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) to konieczny, ale nie wystarczający warunek - trzeba jeszcze sprawdzić, czy żaden wyraz nie jest równy **zero**. Jeśli któryś wyraz wynosi 0, ciąg nie jest geometryczny (iloraz byłby nieokreślony).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często zapominają, że iloraz ciągu geometrycznego może być **ujemny**. Rozwiązanie \\(x = -\\frac{6}{5}\\) daje ciąg z naprzemiennie zmieniającymi się znakami - to nadal poprawny ciąg geometryczny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić warunek ciągu geometrycznego \\(a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\) z warunkiem ciągu arytmetycznego \\(2a_2 = a_1 + a_3\\). Upewnij się, że używasz właściwego wzoru.\n\n**Odpowiedź: \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\dfrac{6}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego\nW ciągu geometrycznym: \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\). Zatem:\n\\[(4x+2)^2 = (x+2)(x+11).\\]\nRozwijamy:\n\\[16x^2 + 16x + 4 = x^2 + 13x + 22\\]\n\\[15x^2 + 3x - 18 = 0\\]\n\\[5x^2 + x - 6 = 0.\\]\n\n**Delta:** \\(\\Delta = 1 + 120 = 121\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 11\\).\n\\[x_1 = \\dfrac{-1+11}{10} = 1, \\quad x_2 = \\dfrac{-1-11}{10} = -\\dfrac{12}{10} = -\\dfrac{6}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie, czy wyrazy \\(\\ne 0\\)\n**Dla \\(x = 1\\):** ciąg \\((3, 6, 12)\\), iloraz \\(q = 2\\) ✓.\n**Dla \\(x = -\\tfrac{6}{5}\\):** ciąg \\((\\tfrac{4}{5}, -\\tfrac{14}{5}, \\tfrac{49}{5})\\), iloraz \\(q = -\\tfrac{7}{2}\\) ✓.\n\n**Uwaga:** Dla \\(x = -2\\) ciąg byłby \\((0, -6, 9)\\) - nie jest geometryczny (zero). Trzeba więc wykluczyć \\(x = -2\\), ale nie jest to rozwiązanie równania, więc i tak odpada.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = 1\\) lub \\(x = -\\dfrac{6}{5}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nWykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający posługuje się\nwzorami skróconego mnożenia: (\n)\n±\n2\na\nb\n, (\n)\n±\n3\na\nb\n,\n2\n2\na\nb ,\n±\n3\n3\na\nb (2.a).\nZasady oceniania I i II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze nierówność w postaci (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n>\nalbo\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,\nwystępującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0,\ni stwierdzi, że jest on niedodatni\nalbo\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,\nwystępującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0 oraz\nrozważy jeden z przypadków\n0\nΔ <\nlub\n0\nΔ =\ni w tym przypadku doprowadzi\nrozumowanie do końca\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy poda pełne uzasadnienie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości\na i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy rozważy dwa przypadki:\nw jednym, dla\n0\na ≠\n, podzieli stronami nierówność przez\n2\na , w drugim, dla\n0\nb ≠\n, podzieli\nstronami nierówność przez\n2\nb\ni w jednym przypadku doprowadzi rozumowanie do końca.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości\na i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nrozważy\ntrzy\nprzypadki\ni\nzapisze\nnierówności\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\n,\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\n,\n2\n2\n2\n0\na\nb\n>\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nalbo\nprzeprowadzi pełne rozumowanie w dwóch spośród trzech przypadków\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania V sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że przeprowadza dowód nie wprost, zapisze nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n≤\nw postaci (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n≤\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania VI sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze\nnierówność\nw\npostaci\nrównoważnej\n2\n2\n2\n2\na\nb\nab\n>\noraz\nzapisze,\nże dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności:\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości a i b,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\n,\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\nb\n>\n,\n(\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n>\nNierówność (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n>\njest prawdziwa, ponieważ:\n1) wyrażenie\njest dodatnie, gdyż z założenia wynika\ni kwadrat każdej\nliczby rzeczywistej różnej od zera jest dodatni,\n2) wyrażenie\n2\nb jest nieujemne,\n3) suma dwóch liczb rzeczywistych, z których jedna jest liczbą dodatnią, a druga liczbą\nnieujemną, jest liczbą dodatnią.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nWyrażenie\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb\ntraktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.\nWyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb\njest równy:\n2\n2\n2\n4\n8\n4\nb\nb\nb\nΔ =\nTen wyróżnik jest niedodatni dla każdej rzeczywistej wartości b.\nGdy\n0\nΔ <\n, to\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\ndla każdej rzeczywistej wartości a.\nGdy\n0\nΔ =\n, to\n0\nb =\n, stąd\n2\n0\na >\n, ponieważ z założenia a\nb\n≠\nOznacza to, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest\nnierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nTo kończy dowód.\nIII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\n(\n)\n2\nb\na -\n0\n≠\n-b\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ założenia wynika, że liczby a i b nie mogą jednocześnie przyjmować wartości 0 .\nJeżeli\n0\nb ≠\n, to\n2\n0\nb >\n. Dzielimy obie strony nierówności przez\n2\nb i otrzymujemy nierówność\nrównoważną\n2\n2\n2\n0\na\na\nb\nb\n\n-\n>\n\n\n\n\nNiech\na\nx\nb\n. Otrzymujemy nierówność kwadratową\n2\n2\n2\n0\nx\nx\n>\nz niewiadomą x .\nZauważamy, że ta nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x , bo z równości\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n1\n1\nx\nx\nx\nwnioskujemy, że (\n)\n2\n1\n1\n0\nx -\n+ >\n, wobec oczywistej nierówności (\n)\n2\n1\n0\nx -\n≥\n. Natomiast jeżeli\n0\na ≠\n, to\n2\n0\na >\n. Dzielimy obie strony nierówności przez\n2\na i otrzymujemy nierówność\nrównoważną\n2\n2\n2\n1\n0\nb\nb\na\na\n\n-\n+ >\n\n\n\n\nNiech teraz\nb\nx\na\n. Otrzymujemy nierówność kwadratową\n2\n2\n2\n1\n0\nx\nx\n+ >\nz niewiadomą x .\nPonieważ wyróżnik trójmianu\n2\n2\n2\n1\nx\nx\n+ jest ujemny oraz współczynnik przy najwyższej\npotędze trójmianu jest dodatni, więc ten trójmian przyjmuje tylko wartości dodatnie dla każdej\nliczby rzeczywistej x .\nZ rozważonych przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch różnych\nliczb rzeczywistych a i b.\nTo kończy dowód.\nIV sposób\nNiech a\nb\n≠\n. Rozważmy następujące przypadki:\nPrzypadek I:\n0\na b\n⋅\n>\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2 2\n2\n2 2\na\nb\nab\nab\nab\n>\nStąd (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\nWyrażenie (\n)\n2\n2\na\nb\njest nieujemne. Wyrażenie\n(\n)\n2\n1\n2\nab\njest ujemne, ponieważ\n1\n2\n0\n<\ni z założenia\n0\n>\nab\nNierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że\n0 i\na b\na\nb\n⋅\n>\n≠\nPrzypadek II:\n0\na b\n⋅<\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2 2\n2\n2 2\na\nb\nab\nab\nab\n>\nStąd (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n1\n2\na\nb\nab\n>\nWyrażenie (\n)\n2\n2\na\nb\njest nieujemne. Wyrażenie\n(\n)\n2\n1\n2\nab\njest ujemne, ponieważ\n1\n2\n0\n>\ni z założenia\n0\nab <\nNierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że\n0 i\na b\na\nb\n⋅<\n≠\nPrzypadek III:\n0\na b\n⋅\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\ni otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nPonieważ\n0\na b\n⋅\n, więc nierówność\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n>\nmożemy zapisać w postaci\n2\n2\n2\n0\na\nb\n>\nSuma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych a i b, takich, że a\nb\n≠\njest dodatnia.\nNierówność jest prawdziwa dla każdych dwóch liczb rzeczywistych a i b, takich, że\n0 i\na b\na\nb\n⋅\n≠\nTo kończy dowód.\nV sposób (dowód nie wprost)\nZałóżmy, że istnieją różne liczby rzeczywiste a i b, dla których prawdziwa jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n≤\nPowyższa nierówność jest równoważna nierównościom:\n2\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n≤\n,\n(\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n≤\nPonieważ lewa strona tej nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych (\n)\n2\na\nb\ni\n2\nb ,\nwięc może zachodzić jedynie przypadek (\n)\n2\n2\n0\na\nb\nb\n. Wynika stąd, że\n0\na\nb\ni\n0\nb =\nZatem\n0\na =\ni\n0\nb =\n, co przeczy założeniu, że liczby a i b są różne.\nOtrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n≤\njest fałszywa.\nPrawdziwa zatem jest nierówność\n(\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\n, dla każdych dwóch różnych liczb\nrzeczywistych a i b.\nTo kończy dowód.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nVI sposób (szacowanie)\nNierówność (\n)\n2\n2\n2\n0\na a\nb\nb\n>\njest równoważna nierówności\n2\n2\n2\n2\na\nb\nab\n>\nDla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\n≥\noraz\n2\n2\n2\na\nb\nab\n≥\n, przy czym\n2\n2\n2\na\nb\nab\ntylko wtedy, gdy a\nb\n. Ale z założenia a\nb\n≠\n, więc\notrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\nab\n≥\n>\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte - wykazujemy prawdziwość nierówności)\n\nNierówność jest prawdziwa dla wszystkich różnych liczb rzeczywistych \\(a\\) i \\(b\\) (czyli \\(a \\neq b\\)).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do pełnego kwadratu\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę i upraszczamy:\n\n\\[a(a+b) + b^2 > 3ab\\]\n\nRozwijamy nawiasy po lewej stronie:\n\n\\[a^2 + ab + b^2 > 3ab\\]\n\nPrzenosimy \\(3ab\\) na lewą stronę:\n\n\\[a^2 + ab + b^2 - 3ab > 0\\]\n\nŁączymy wyrazy z \\(ab\\):\n\n\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]\n\nRozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\n\\[\\boxed{(a - b)^2 > 0}\\]\n\n**Dlaczego to prawda?** Ponieważ \\(a \\neq b\\), mamy \\(a - b \\neq 0\\), a kwadrat dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej jest **ściśle dodatni**.\n\nZatem \\((a-b)^2 > 0\\), co kończy dowód. \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Analiza kwadratowej funkcji zmiennej \\(a\\)\n\nPrzekształcamy lewą stronę nierówności tak samo jak wyżej, otrzymując:\n\n\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]\n\nPotraktujemy wyrażenie \\(f(a) = a^2 - 2ab + b^2\\) jako **trójmian kwadratowy względem \\(a\\)**, gdzie \\(b\\) jest ustalonym parametrem.\n\nWspółczynniki: \\(\\alpha = 1 > 0\\), \\(\\beta = -2b\\), \\(\\gamma = b^2\\).\n\nWyznaczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = \\beta^2 - 4\\alpha\\gamma = (-2b)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot b^2 = 4b^2 - 4b^2 = 0\\]\n\n**Wniosek z analizy wyróżnika:**\n\n- Parabola \\(f(a)\\) jest skierowana ramionami **w górę** (\\(\\alpha = 1 > 0\\))\n- \\(\\Delta = 0\\) - parabola **dotyka** osi \\(OX\\) dokładnie w jednym punkcie: w \\(a = \\frac{-\\beta}{2\\alpha} = \\frac{2b}{2} = b\\)\n- Dla wszystkich \\(a \\neq b\\) mamy \\(f(a) > 0\\)\n\nPonieważ z założenia \\(a \\neq b\\), zachodzi \\(f(a) = a^2 - 2ab + b^2 > 0\\), co jest równoważne wyjściowej nierówności. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - pozwala rozpoznać, że \\(a^2 - 2ab + b^2\\) jest **pełnym kwadratem**, co natychmiast daje nieujemność wyrażenia.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_0 = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyty w Sposobie 2 - analiza znaku trójmianu kwadratowego przez wyróżnik.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie **nie ma odpowiedzi liczbowej** - musisz napisać pełny dowód. Nie wystarczy sprawdzenie dla konkretnych liczb (np. \\(a=2, b=1\\))! Przykłady nie są dowodem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest użycie założenia \\(a \\neq b\\) na końcu. Bez niego moglibyśmy stwierdzić tylko \\((a-b)^2 \\geq 0\\), a zadanie wymaga ścisłej nierówności \\(> 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd - przepisanie \\(a^2 + ab + b^2 - 3ab\\) jako \\(a^2 - ab + b^2\\) (błąd w łączeniu: \\(ab - 3ab = -ab\\), a nie \\(-2ab\\)). Uważaj na znaki!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do postaci kwadratu\n\\[a(a+b) + b^2 > 3ab\\]\n\\[a^2 + ab + b^2 > 3ab\\]\n\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]\n\\[(a-b)^2 > 0.\\]\n\nKwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a **zerem** jest tylko wtedy, gdy \\(a-b = 0\\), czyli \\(a = b\\). Z założenia \\(a \\ne b\\), więc \\((a-b)^2 > 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - Poprzez trójmian zmiennej \\(a\\)\nRozważamy \\(a^2 - 2ab + b^2\\) jako trójmian zmiennej \\(a\\). Współczynniki:\n\\(\\text{współ. przy } a^2 = 1 > 0\\), \\(\\Delta_a = 4b^2 - 4b^2 = 0\\).\nStąd trójmian ma podwójny pierwiastek \\(a = b\\), a dla wszystkich innych \\(a\\) wartość jest dodatnia. Gdy \\(a \\ne b\\): \\(a^2 - 2ab + b^2 > 0\\).\n\n### Kluczowe kroki\n1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę.\n2. Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia \\((a-b)^2\\).\n3. Wykorzystanie faktu, że kwadrat niezerowej liczby jest dodatni. \\(\\blacksquare\\)","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nTrójkąt ABC jest równoboczny. Punkt E leży na wysokości CD tego trójkąta oraz\nPunkt F leży na boku BC i odcinek EF jest prostopadły do BC (zobacz rysunek).\nWykaż, że\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n3\n4\nCE\nCD\n9\n16\nCF\nCB\nC\nF\nA\nD\nB\nE\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nV. Rozumowanie i argumentacja.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje własności figur\npodobnych w zadaniach, w tym umieszczonych\nw kontekście praktycznym (7.b).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy długości odcinków BC i CF w zależności od tej samej zmiennej, np.:\na\nBC =\ni\n3 3\n3\n8\n2\na\nCF =\n⋅\nlub\ni\nalbo\nwyznaczy skalę podobieństwa trójkątów BCD i CEF:\n8 3\n9\nk =\nalbo\n• wyznaczy długość odcinka CF w zależności od długości odcinków CB i CD oraz\nzależność między długościami odcinków CD i CB, np.:\n2\n3\n3\n,\n4\n2\nCD\nCF\nCD\nCB\nCB\ni na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne rozumowanie.\nUwaga\nPonieważ podobieństwo zachowuje stosunek długości odcinków, więc jeżeli zdający przyjmuje\nkonkretną wartość długości boku trójkąta i przeprowadzi rozumowanie do końca, ale nie\nodwołuje się do tej własności, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n2\nBC\nx\n9\n8\nCF\nx\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech\na\nBC =\n. Wtedy\n2\n3\na\nCD =\n. Ponieważ\n3\n4\nCE\nCD , to\n8\n3\n3\na\nCE =\nZatem\n3\n3 3\n3\n9\n9\n2\n8\n2\n16\n16\na\nCF\nCE\na\nBC\n⋅\n⋅\nTo kończy dowód.\nII sposób\nTrójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60\n°\n° . Niech\ny\nBC =\n. Wtedy\n2\n3\ny\nCD =\n. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego.\nNiech\nx\nCF =\n. Stąd\n3\n3\n2x\nCE =\nPonieważ\nCD\nCE\n4\n3\n, to\n2\n3\n4\n3\n3\n3\n2\ny\nx\n⋅\n. Stąd\ny\nx\n16\n9\nTo kończy dowód.\nC\nF\nA\nD\nB\nE\nC\nF\nA\nD\nB\nE\ny\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nx\nIII sposób\nNiech\nx\nBD . Trójkąt BCD jest trójkątem prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60\n°\n°, więc\n2\nBC\nx\noraz\n3\nCD\nx\nPonieważ\n, więc\n. Trójkąt CEF jest połową trójkąta równobocznego,\nwięc\nStąd\n.Zatem\nTo kończy dowód.\n3\n4\nCE\nCD\n3\n4\n3\nCE\nx\n3\n4\n9\n8\n3\n3\n2\nx\nCF\nx\n⋅\n9\n8\n9\n16\n2\nx\nCF\nCB\nx\n9\n16\nCF\nCB\nC\nF\nA\nD\nB\nE\nx\nIV sposób\nTrójkąty BCD i ECF są podobne na podstawie cechy (kąt, kąt, kąt). Przyjmijmy następujące\noznaczenie: BC\na\n, wtedy\n3\n2\na\nCD\nh\n. Skalę podobieństwa można obliczyć w\nnastępujący sposób:\n3\n3\n3\n4\n4\n2\n8 3\n9\na\nBC\na\na\nk\nCE\nh\n⋅\noraz\nCD\nk\nCF\nStąd\n3\n9\n9\n2\n16\n8 3\nCD\na\nCF\na\nk\n⋅\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: α = 30°\n\nWykazane poniżej dwiema metodami.\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych\n\n**Ustawiamy prostą \\(k\\) jako oś \\(OX\\).**\n\nOba okręgi są styczne do \\(k\\), więc ich środki leżą prostopadle nad \\(k\\) na wysokości równej promieniowi:\n\n\\[S = (0,\\ 2), \\qquad P = (x_P,\\ 6)\\]\n\n(Środek małego okręgu na wysokości \\(r = 2\\), dużego na wysokości \\(R = 6\\).)\n\n**Korzystamy z warunku styczności zewnętrznej:**\n\nOkręgi styczne zewnętrznie \\(\\Rightarrow\\) odległość między środkami \\(= r + R\\):\n\n\\[|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\]\n\n**Liczymy \\(x_P\\) ze wzoru na odległość:**\n\n\\[\\sqrt{(x_P - 0)^2 + (6 - 2)^2} = 8\\]\n\\[x_P^2 + 16 = 64\\]\n\\[x_P^2 = 48\\]\n\\[x_P = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Wyznaczamy kąt nachylenia prostej \\(l\\) do \\(k\\):**\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(l\\) przez \\(S = (0, 2)\\) i \\(P = (4\\sqrt{3}, 6)\\):\n\n\\[a = \\frac{6 - 2}{4\\sqrt{3} - 0} = \\frac{4}{4\\sqrt{3}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\), jaki prosta \\(l\\) tworzy z osią \\(OX\\) (czyli z prostą \\(k\\)):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\quad \\Rightarrow \\quad \\alpha = 30°\\]\n\n**Wniosek:** Prosta \\(l\\) przecina prostą \\(k\\) pod kątem \\(\\boxed{\\alpha = 30°}\\). \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny (metoda geometryczna)\n\n**Budujemy pomocniczy trójkąt prostokątny.**\n\nPrzez środek \\(S\\) prowadzimy prostą poziomą (równoległą do \\(k\\)), a przez środek \\(P\\) - prostą pionową (prostopadłą do \\(k\\)). Niech \\(T\\) będzie punktem ich przecięcia.\n\nPowstaje trójkąt prostokątny \\(STP\\) z kątem prostym przy \\(T\\).\n\n**Obliczamy jego boki:**\n\n- **Przeciwprostokątna \\(|SP|\\):** warunek styczności zewnętrznej daje\n\\[|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\]\n\n- **Ramię pionowe \\(|TP|\\):** różnica wysokości środków nad prostą \\(k\\)\n\\[|TP| = R - r = 6 - 2 = 4\\]\n\n**Liczymy sinus kąta \\(\\angle TSP = \\alpha\\):**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{|TP|}{|SP|} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Wnioskujemy o kącie:**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{1}{2} \\quad \\Rightarrow \\quad \\alpha = 30°\\]\n\nPonieważ \\(ST \\parallel k\\) (obydwie poziome), kąt między prostą \\(l\\) a \\(ST\\) jest równy kątowi między \\(l\\) a \\(k\\).\n\n**Wniosek:** \\(\\alpha = 30°\\). \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21):**\n\n- Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_P\\) z równania \\(x_P^2 + 4^2 = 8^2\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**\n\n- Definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do }\\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\n- Wartość \\(\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\)\n\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia kąta z \\(\\sin\\alpha = \\frac{4}{8}\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Współczynnik kierunkowy \\(a = \\operatorname{tg}\\alpha\\) i wzór na długość odcinka:\n\\[|SP| = \\sqrt{(x_P - x_S)^2 + (y_P - y_S)^2}\\]\nUżyte w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość między środkami okręgów **stycznych zewnętrznie** to \\(r + R\\), a nie \\(R - r\\). To \\(R - r\\) byłoby dla styczności wewnętrznej. Tu mamy \\(|SP| = 2 + 6 = 8\\), nie \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica wysokości środków nad prostą \\(k\\) to \\(R - r = 4\\), a nie \\(R + r = 8\\) - środki leżą po tej samej stronie prostej \\(k\\) (oba okręgi są styczne do \\(k\\) z tej samej strony).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kluczowe jest uzasadnienie, że \\(ST \\parallel k\\) - bo prowadzimy \\(ST\\) jako poziomą przez \\(S\\). Bez tego nie możemy bezpośrednio powiedzieć, że kąt \\(\\angle TSP\\) jest kątem między \\(l\\) a \\(k\\). Zdanie to trzeba explicite napisać w odpowiedzi na egzaminie!\n\n**Dowód.**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów \\(ASO\\) i \\(BPO\\)\nOznaczmy punkt przecięcia prostej \\(l\\) z \\(k\\) jako \\(O\\), punkty styczności z \\(k\\): \\(A\\) (dla okręgu o środku \\(S\\)), \\(B\\) (dla okręgu o środku \\(P\\)).\n\nWłasność styczności: promień jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności. Zatem \\(SA \\perp k\\) i \\(PB \\perp k\\), a \\(|SA| = r = 2\\), \\(|PB| = R = 6\\).\n\nTrójkąty \\(ASO\\) i \\(BPO\\) są podobne (oba prostokątne, wspólny kąt \\(\\alpha\\) przy \\(O\\)). Stąd:\n\\[\\dfrac{|BP|}{|PO|} = \\dfrac{|AS|}{|SO|}.\\]\n\nNiech \\(|SO| = x\\). Okręgi styczne zewnętrznie: \\(|SP| = r + R = 2 + 6 = 8\\), więc \\(|PO| = x + 8\\).\n\\[\\dfrac{6}{x+8} = \\dfrac{2}{x} \\Rightarrow 6x = 2x + 16 \\Rightarrow 4x = 16 \\Rightarrow x = 4.\\]\n\n**Obliczenie \\(\\sin\\alpha\\):**\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{|AS|}{|SO|} = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow \\alpha = 30^\\circ. \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Konstrukcja odcinka równoległego\nPoprowadźmy odcinek \\(SC\\) równoległy do \\(k\\), gdzie \\(C \\in PB\\). Wtedy \\(|CB| = |AS| = 2\\) (odległości między liniami równoległymi), a \\(|CP| = R - r = 6 - 2 = 4\\).\n\nTrójkąt \\(SPC\\) jest prostokątny (\\(SC \\parallel k\\), \\(PB \\perp k\\) → \\(SC \\perp PC\\)), z przeciwprostokątną \\(|SP| = 8\\) i przyprostokątną \\(|CP| = 4\\):\n\\[\\sin(\\angle CSP) = \\dfrac{|CP|}{|SP|} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}.\\]\nKąt \\(\\angle CSP = 30^\\circ\\). Ponieważ \\(SC \\parallel k\\), kąt \\(\\alpha\\) (kąt między prostą \\(l\\) a \\(k\\)) jest równy \\(\\angle CSP = 30^\\circ\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**Kluczowe:** wykorzystanie prostopadłości promienia do stycznej i równoległości, aby zredukować problem do trójkąta prostokątnego z \\(\\sin = \\tfrac{1}{2}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nRzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną\nliczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A\npolegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIII. Modelowanie matematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej; teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka. Zdający\nwykorzystuje własności prawdopodobieństwa i\nstosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych\n26\n36\nΩ =\nlub opisze zbiór\nzdarzeń elementarnych za pomocą tabeli\nalbo\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:\n(\n)\n{\n(\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n) (\n)}\n1,5 , 2,5 , 3,5 , 4,5 , 5,5 , 5,6 , 5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 6,5\nA =\nC\nF\nA\nD\nB\nE\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlub zaznaczy je wszystkie w tabeli lub zaznaczy wszystkie istotne gałęzie na pełnym\ndrzewie składającym się z 36 gałęzi,\nalbo\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A , np.:\n2 6 1 11\nA = ⋅-=\n,\n5\n5 1 11\nA =\ni nie wskaże przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu A,\nalbo\nzapisze prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku na dwóch\netapach (przy stosowaniu metody drzewa probabilistycznego składającego się\nz czterech gałęzi) oraz wskaże wszystkie istotne gałęzie (dla zdarzenia A lub zdarzenia A′)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: ( )\n11\n36\nA\nP A =\nΩ\nUwagi\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko:\n11\nA =\n,\n36\nΩ =\n,\n11\n( )\n36\nP A =\n, lub zapisze tylko:\n11\n( )\n36\nP A =\n,\nlub 11\n36\n, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisze prawdopodobieństwo\n1 1\n1 5\n( )\n2\n6 6\n6 6\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko\n11\nA =\n, to otrzymuje 1 punkt.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu zdarzeń elementarnych i wypisze o jedno za\nmało lub jedno powtórzy, ale nie wypisze żadnego niewłaściwego i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający stosuje drzewo probabilistyczne o 36 gałęziach, w którym przynajmniej 7\ngałęzi odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu A (lub przynajmniej 13,\ngdy rozpatruje zdarzenie A′), ale nie wskaże gałęzi niewłaściwej, i konsekwentnie do\npopełnionego błędu obliczy prawdopodobieństwo to otrzymuje 1 punkt.\n6. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie zaznaczy oraz nie opisze żadnej gałęzi,\nto otrzymuje 0 punków.\n7. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 36 lub 11 lub 25 i z rozwiązania zadania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.\n8. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma\n( )\n1\nlub\n( )\n0\nP A\nP A\n>\n<\n, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu\nw działaniach na ułamkach.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia\n26\n36\nΩ =\nlub\nopisujemy zbiór zdarzeń elementarnych w postaci tabeli\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\nWskazujemy elementy zbioru A i zliczamy je:\n11\nA =\nObliczamy\nprawdopodobieństwo\nzdarzenia\nA.\nPonieważ\nwszystkie\nzdarzenia\njednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji\nprawdopodobieństwa:\n( )\n11\n36\nA\nP A =\nΩ\nII sposób\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych:\n26\n36\nΩ =\nA - zdarzenie polegające na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma\noczkami.\n- zdarzenie polegające na tym, że ani razu nie wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.\nWskazujemy elementy zbioru A′ (wypisujemy lub zaznaczamy w tabeli) i zliczamy je:\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n(1,1)\n(1,2)\n(1,3)\n(1,4)\n(1,5)\n(1,6)\n2\n(2,1)\n(2,2)\n(2,3)\n(2,4)\n(2,5)\n(2,6)\n3\n(3,1)\n(3,2)\n(3,3)\n(3,4)\n(3,5)\n(3,6)\n4\n(4,1)\n(4,2)\n(4,3)\n(4,4)\n(4,5)\n(4,6)\n5\n(5,1)\n(5,2)\n(5,3)\n(5,4)\n(5,5)\n(5,6)\n6\n(6,1)\n(6,2)\n(6,3)\n(6,4)\n(6,5)\n(6,6)\n25\n25\nA′ =\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:\nA′\n( )\n(\n)\n36\n11\n36\n25\n1\n1\n′\nA\nP\nA\nP\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIII sposób (metoda drzewka)\nPrzedstawiamy model graficzny doświadczenia.\n5 - oznacza wypadnięcie ścianki kostki z pięcioma oczkami, z - oznacza wypadnięcie\ninnej ścianki niż z pięcioma oczkami.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe\n( )\n1 1\n1 5\n5 1\n11\n6 6\n6 6\n6 6\n36\nP A =\n⋅\n⋅\n⋅","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\), \\(x = -2\\), \\(x = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu zerowego\n\nJeśli iloczyn dwóch wyrażeń równa się zero, to **co najmniej jedno z nich musi być równe zero**.\n\n\\[(x^3 + 8)(x^2 - 9) = 0\\]\n\nZatem:\n\\[x^3 + 8 = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^2 - 9 = 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x^3 + 8 = 0\\)\n\n\\[x^3 = -8\\]\n\\[x = \\sqrt[3]{-8} = -2\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 - 9 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 9\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{9} = \\pm 3\\]\n\nStąd: \\(x = 3\\) lub \\(x = -3\\).\n\n**Odpowiedź:** \\[x \\in \\{-3,\\; -2,\\; 3\\}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (wzory skróconego mnożenia)\n\nZamiast rozwiązywać oba równania osobno, rozłóżmy każdy nawias na czynniki, używając wzorów:\n\n**Nawias pierwszy** - suma sześcianów (\\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\)):\n\n\\[x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)\\]\n\n**Nawias drugi** - różnica kwadratów (\\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\)):\n\n\\[x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)\\]\n\nCałe równanie staje się:\n\n\\[(x+2)(x^2 - 2x + 4)(x-3)(x+3) = 0\\]\n\nSprawdzamy każdy czynnik:\n\n- \\(x + 2 = 0 \\Rightarrow x = -2\\) ✓\n- \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\) ✓\n- \\(x + 3 = 0 \\Rightarrow x = -3\\) ✓\n- \\(x^2 - 2x + 4 = 0\\): liczymy \\(\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0\\) → **brak rozwiązań rzeczywistych**\n\n**Wynik identyczny:** \\(x \\in \\{-3,\\; -2,\\; 3\\}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\n\\[a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do rozkładu \\(x^3 + 8\\) jako \\(x^3 + 2^3\\).\n\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nUżyte do rozkładu \\(x^2 - 9\\) jako \\(x^2 - 3^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nUżyte w Sposobie 2 do sprawdzenia, że \\(x^2 - 2x + 4 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x^3 + 8 = 0\\) uczniowie często błędnie piszą \\(x = 2\\) (bez minusa). Pamiętaj: \\(\\sqrt[3]{-8} = -2\\), bo \\((-2)^3 = -8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 - 2x + 4\\) wygląda jak coś, co da się rozwiązać - sprawdź zawsze deltę, zanim przyjmiesz, że czynnik daje rozwiązanie. Tu \\(\\Delta < 0\\), więc odpada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn zerowy działa tylko dla iloczynu równego **zero** - gdyby prawa strona była np. \\(6\\), nie można by tak rozdzielać.\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\{-3, -2, 3\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0\nIloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^3 + 8 = 0\\):\n\\[x^3 = -8 \\Rightarrow x = \\sqrt[3]{-8} = -2.\\]\n(W zbiorze liczb rzeczywistych tylko jedno rozwiązanie.)\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 9 = 0\\):\n\\[x^2 = 9 \\Rightarrow x = \\pm 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki\n\\(x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\\) (wzór \\(a^3+b^3\\)). Drugi czynnik \\(x^2 - 2x + 4\\) ma \\(\\Delta = 4 - 16 = -12 < 0\\), więc brak pierwiastków rzeczywistych.\n\\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\nRównanie: \\((x+2)(x^2-2x+4)(x-3)(x+3) = 0\\).\nPierwiastki: \\(-2\\), \\(3\\), \\(-3\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-3, -2, 3\\}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nKąt\njest ostry i spełnia warunek 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\n. Oblicz tangens kąta\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nα\nα\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n6. Trygonometria. Zdający stosuje proste związki\nmiędzy funkcjami trygonometrycznymi kąta\nostrego (6.c).\nZasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przekształci równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\ndo postaci:\n2tg\n3\n4\nα +\nlub 2sin\ncos\nα\nα\nlub 2sin\ncos\n0\nα\nα\nlub 2 a\nb\nc\nc\nlub 2a\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy tangens kąta α :\n1\ntg\n2\nα =\n, ale nie uzyska go w wyniku błędnej metody.\nUwagi\n1.\nJeżeli zdający popełni błąd i zapisze\ncos\ntg\nsin\nα\nα\nα\n, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\n2.\nJeżeli zdający popełni jedyny błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru\na\nb\na\nb\nalbo (\n)\n2\n2\n2\na\nb\na\nb\ni konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca, to zmoże otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\n5\n6\n5\nz\n1\n6\n1\n6\n5\n6\n5\n6\n1\n6\n5\nz\n5\nz\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci:\n2sin\n3cos\n4\ncos\ncos\nα\nα\nα\nα\nStąd 2tg\n3\n4\nα +\n, czyli\n1\ntg\n2\nα =\nII sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci:\n2sin\n3cos\n4cos\nα\nα\nα\nStąd 2sin\ncos\nα\nα\n, czyli\n1\ntg\n2\nα =\nIII sposób\nRysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych a i b,\ndługość przeciwprostokątnej c oraz zaznaczamy kąt ostryα taki, żesin\na\nc\nα =\nlub cos\nb\nc\nα =\nPodane równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nzapisujemy w postaci\n2\n3\n4\na\nb\nc\nc\nb\nc\n⋅\n+ ⋅\n. Następnie\nwykonujemy przekształcenia na lewej stronie tej równości i otrzymujemy 2\n3\n4\na\nb\nb\n. Stąd wynika,\nże 2\n3\n4\na\nb\nb\n, czyli 2a\nb\n. Ostatnia równość oznacza, że\n1\n2\na\nb =\n. Zatem\n1\ntg\n2\nα =\nIV sposób\nRównanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα\nα\nα\nprzekształcamy równoważnie do postaci\n2sin\n3cos\n4cos\nα\nα\nα\nStąd wynika, że 2sin\ncos\nα\nα\n. Korzystamy z tożsamości\n2\n2\nsin\ncos\n1\nα\nα\n= i otrzymujemy\nrównanie\n(\n)\n2\n2\nsin\n2sin\n1\nα\nα\n= . Stąd\n2\n1\nsin\n5\nα =\n. Ponieważ α jest kątem ostrym, więc\n1\nsin\n5\nα =\nAle cos\n2sin\nα\nα\n, więc\n2\ncos\n5\nα =\n. Ostatecznie\n1\nsin\n1\n5\ntg\n2\ncos\n2\n5\nα\nα\nα\na\nc\nb\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(n = 28\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie z prawdopodobieństwa klasycznego\n\n**Co wiemy przed dołożeniem kul:**\n- kul białych: \\(5\\)\n- kul czarnych: \\(3\\)\n- kul łącznie: \\(8\\)\n\n**Po dołożeniu \\(n\\) kul białych:**\n- kul białych: \\(5 + n\\)\n- kul łącznie: \\(8 + n\\)\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{5 + n}{8 + n}\\]\n\nZgodnie z warunkiem zadania:\n\\[\\frac{5 + n}{8 + n} = \\frac{11}{12}\\]\n\nMnożymy krzyżowo (obie strony razy \\(12\\) i razy \\((8+n)\\)):\n\\[12(5 + n) = 11(8 + n)\\]\n\\[60 + 12n = 88 + 11n\\]\n\\[12n - 11n = 88 - 60\\]\n\\[\\boxed{n = 28}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(n = 28\\) spełnia warunek zadania:\n\n- kul białych: \\(5 + 28 = 33\\)\n- kul łącznie: \\(8 + 28 = 36\\)\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{33}{36} = \\frac{11}{12} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych wyników (równie prawdopodobnych).\n\nUżyliśmy tego wzoru, by zapisać \\(P(\\text{biała}) = \\frac{5+n}{8+n}\\) - licznik to kule białe (wyniki sprzyjające), mianownik to wszystkie kule (przestrzeń zdarzeń elementarnych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nZadanie jest otwarte (oblicz \\(n\\)), więc typowe błędy prowadzące do złego wyniku:\n\n| Błąd | Niepoprawny wynik |\n| Piszemy \\(\\frac{n}{8+n} = \\frac{11}{12}\\) - zapominamy o 5 białych, które już były w pudełku | \\(n = \\frac{88}{1} = 88\\) (zły mianownik-licznik) |\n| Piszemy \\(\\frac{5+n}{8} = \\frac{11}{12}\\) - nie aktualizujemy mianownika (łącznej liczby kul) | \\(n = \\frac{88-60}{12} = \\frac{28}{12} \\notin \\mathbb{N}\\) - wynik niebędący liczbą naturalną |\n| Błąd w mnożeniu krzyżowym: \\(11(5+n) = 12(8+n)\\) - zamienione strony | \\(55 + 11n = 96 + 12n \\Rightarrow n = -41\\) - wynik ujemny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik ułamka to **łączna** liczba kul po dołożeniu - czyli \\(8 + n\\), nie samo \\(n\\) ani samo \\(8\\). Dołożone kule zwiększają zarówno licznik (białe), jak i mianownik (wszystkie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed mnożeniem krzyżowym upewnij się, że masz równanie postaci \\(\\frac{A}{B} = \\frac{C}{D}\\) - wtedy \\(A \\cdot D = B \\cdot C\\). Zamiana stron w mnożeniu krzyżowym to jeden z najczęstszych błędów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(n\\) musi być **dodatnią liczbą naturalną** - jeśli wychodzi ułamek lub liczba ujemna, gdzieś jest błąd w równaniu.\n\n**Odpowiedź: \\(n = 28\\)**\n\n### Sposób 1 - Równanie bezpośrednie\nPo dodaniu \\(n\\) kul białych:\n- Wszystkich kul: \\(8 + n\\).\n- Białych: \\(5 + n\\).\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania białej:\n\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{5+n}{8+n} = \\dfrac{11}{12}.\\]\nMnożymy na krzyż:\n\\[12(5+n) = 11(8+n)\\]\n\\[60 + 12n = 88 + 11n\\]\n\\[n = 28.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne\nPrawdopodobieństwo czarnej: \\(1 - \\tfrac{11}{12} = \\tfrac{1}{12}\\).\nCzarnych jest \\(3\\): \\(\\dfrac{3}{8+n} = \\dfrac{1}{12} \\Rightarrow 8+n = 36 \\Rightarrow n = 28\\).\n\n### Sposób 3 - Przez rozszerzenie ułamka\n\\(\\tfrac{11}{12}\\) oznacza \\(11\\) białych na \\(12\\) wszystkich. Skalujemy tak, aby liczba czarnych (= liczba wszystkich - liczba białych w proporcji) wynosiła \\(3\\): \\(12 - 11 = 1\\) odpowiada \\(1\\) czarnej; żeby było \\(3\\), mnożymy \\(\\times 3\\): \\(\\tfrac{33}{36}\\). Wszystkich kul \\(36\\), czyli \\(n = 36 - 8 = 28\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(n = 28\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nDany jest kwadrat ABCD, w którym\n5\n5,\n3\nA\n\n\n\n\n\n\n. Przekątna BD tego kwadratu jest zawarta\nw prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n. Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych AC i BD oraz\npole kwadratu ABCD.\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (4 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający\npodaje równanie prostej w postaci\n= 0\nAx\nBy\nC\nlub\ny\nax\nb mając dane dwa jej\npunkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu\nkierunkowym (8.b). Zdający interpretuje\ngeometrycznie układ dwóch równań liniowych z\ndwiema niewiadomymi (8.d). Zdający wyznacza\nwspółrzędne środka odcinka (8.f).\nZasady oceniania I, II, III i IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\nwyznaczy równanie prostej AC:\n3\n25\n4\n12\ny\nx\nalbo\nobliczy odległość punktu A od prostej BD: 5\nalbo\nzapisze współrzędne punktu P leżącego na prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n, np.\n(\n)\n, 4\n3\nP\nx\nx\ni wyznaczy odległość punktu P od danego punktu A jako funkcję jednej\nzmiennej x :\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n5\n4\n3\n3\nAP\nx\nx\nalbo\nwyznaczy równania prostych AB i AD:\n(\n)\n5\n5\n1\n7\n3\ny\nx\noraz\n(\n)\n7\n5\n5\n3\ny\nx\n,\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\nwyznaczy równanie prostej AC:\n3\n25\n4\n12\ny\nx\ni obliczy współrzędne punktu\nprzecięcia przekątnych kwadratu:\n(\n)\n4\n3\n1,\nO\nalbo\nobliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i obliczy pole kwadratu: 50\nalbo\nobliczy odległość punktu A od prostej BD: 5 i zapisze równanie\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n3\n3\n5\n25\no\no\nx\nx\nalbo\nobliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:\n1\nx =\nalbo\nwyznaczy równania prostych AB i AD oraz obliczy współrzędne wierzchołków B i D:\n(\n)\n5\n5\n1\n7\n3\ny\nx\n,\n(\n)\n7\n5\n5\n3\ny\nx\n,\n(\n)\n8\n3\n2,\nB\n,\n(\n)\n16\n3\n4,\nD\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający\nobliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:\n4\n1, 3\n\n\n= \n\n\n\nO\ni długość\nprzekątnej kwadratu (lub połowę tej długości): 10\nalbo\nobliczy pole kwadratu: 50 i zapisze równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n3\n3\n5\n25\no\no\nx\nx\nalbo\nobliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:\n1\nx =\ni obliczy współrzędne\npunktu przecięcia przekątnych kwadratu:\n4\n1, 3\n\n\n= \n\n\n\nO\nalbo\nobliczy x, dla którego odległość AP jest najmniejsza:\n1\nx =\ni długość przekątnej\nkwadratu: 10\nalbo\nobliczy współrzędne punktu przecięcia przekątnych kwadratu:\n4\n1, 3\n\n\n= \n\n\n\nO\ni długość\nboku kwadratu: 50\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy pole kwadratu: 50 oraz współrzędne punktu przecięcia przekątnych\nkwadratu:\n4\n1, 3\n\n\n= \n\n\n\nO\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AC, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu, np. przy podstawieniu do\nwzoru na odległość punktu od prostej, przy podstawieniu do wzoru na długość odcinka, przy\nobliczaniu współczynnika b w równaniu kierunkowym prostej AC, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\n3. Jeśli zdający zaznaczy w układzie współrzędnych punkt A i narysuje np. dwie proste,\nw których zawierają się przekątne kwadratu, a następnie odczyta i zapisze współrzędne\npunktu przecięcia się tych prostych i na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nProsta AC jest prostopadła do prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n, więc współczynnik kierunkowy prostej\nAC jest równy\n3\n4\nAC\na\n. Prosta AC przechodzi przez punkt\n(\n)\n5,\n5\n3\nA =\n, więc jej równanie ma\npostać\n(\n)\n5\n3\n3\n4\n5\ny\nx\n,\n3\n25\n4\n12\ny\nx\nObliczamy współrzędne punktu O przecięcia się prostych AC i BD, rozwiązując układ równań\n4\n3\n3\n25\n4\n12\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb\n1\nx =\ni\n4\n3\ny =\n. Stąd\n(\n)\n4\n3\n1,\nO =\nPunkt O jest środkiem przekątnej AC, więc\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n1 5\n3\n3\nAC\nAO\n\n\n\n\n\n\n(\n)\n2\n2\n9\n2\n2\n4\n2 16\n9\n2 5\n10\n3\nAC\nAO\n\n\n⋅\n\n\n\n\nPrzekątna kwadratu ma długość\n, gdzie a jest długością boku kwadratu.\nStąd\n2\n10\na\n, czyli\n5 2\na =\nZatem pole kwadratu ABCD jest równe\n(\n)\n2\n2\n5 2\n50\na =\nUwaga\nPole kwadratu ABCD możemy obliczyć, wykorzystując długość przekątnej kwadratu (lub jej\npołowy). Wtedy\n2\n2\n10\n50\n1\n1\n2\n2\n⋅\n⋅\nABCD\nP\nAC\nII sposób\nDługość przekątnej kwadratu ABCD (lub jej połowy) możemy obliczyć, korzystając ze wzoru\nna odległość d punktu A od danej prostej. Wtedy\n( )\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n25\n3\n3\n3\n5\n4\n3\n3\n5\n1\n5\nd\n⋅+\nZatem pole kwadratu ABCD jest równe\n2\n2\n2\n2 5\n50\nABCD\nP\nd\n⋅\n⋅\nPunkt\n(\n)\n,\no\no\nO\nx\ny\nleży na prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\n, więc\n(\n)\n4\n3\n,\no\no\nO\nx\nx\n, a skoro odległość\nd jest równa 5, to\n2\n25\nAO\n, czyli\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n5\n4\n3\n3\n5\n25\no\no\nx\nx\n,\n2\n2\n16\n40\n25\n9\n9\n9\n10\n25\n25\n0\no\no\no\no\nx\nx\nx\nx\n,\n2\n25\n50\n25\n9\n9\n9\n0\no\no\nx\nx\n,\n2\n2\n1\n0\no\no\nx\nx\n,\n2\na\n(\n)2\n1\n0\no\nx -\n,\nStąd\n1\no\nx =\n, więc\n(\n) (\n)\n4\n4\n3\n3\n1,\n1\n1,\nO =\n⋅\nIII sposób (odległość jako funkcja jednej zmiennej)\nNiech punkt\n4\n, 3\n\n\n= \n\n\n\nP\nx\nx będzie dowolnym punktem leżącym na prostej o równaniu\n4\n3\ny\nx\nZapiszemy odległość punktu P od danego punktu\n5\n5,\n3\nA\n\n\n\n\n\n\njako funkcję jednej zmiennej.\nObliczamy kolejno:\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n5\n16\n40\n25\n25\n5\n10\n25\n2\n10\n3\n3\n9\n9\n9\n9\n\n\n\n\n\n\nAP\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nZatem\n(\n)2\n5\n( )\n1\n9\n3\nAP x\nx\ndla każdej liczby rzeczywistej x.\nZauważamy, że trójmian kwadratowy\n(\n)2\n1\n9\ny\nx\nprzyjmuje najmniejszą wartość dla\n1\nx = .\nPonieważ funkcja f określona wzorem\n( )\nf t\nt\njest rosnąca, więc dla\n1\nx = także i odległość\nAP jest najmniejsza. Oznacza to, że odcinek AP, którego długość jest równa 5, jest zawarty\nw przekątnej AC kwadratu ABCD. Zatem przekątna tego kwadratu ma długość 10 oraz pole tego\nkwadratu jest równe\n2\n1 10\n50\n2 ⋅\n. Ponadto jeśli\n1\nx = , to punkt P ma współrzędne\n4\n1, 3\n\n\n\n\n\n\ni jest\nszukanym punktem przecięcia przekątnych AC i BD kwadratu ABCD.\nIV sposób (kąt między prostymi)\nKażda z prostych AB i AD zawierających boki kwadratu ABCD tworzą z prostą BD\no równaniu\n4\n3\ny\nx , kąt 45°. Każda z nich przechodzi przez punkt\n(\n)\n5\n3\n5,\nA\n, więc ma\nrównanie postaci\n(\n)\n5\n3\n5\ny\na x\nZe wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy:\n4\n3\n4\n3\ntg45\n1\n1\na\na\n° =\n⋅\n,\n4\n4\n3\n3\n1\na\na\n,\n4\n4\n3\n3\n1\na\na\nlub\n4\n4\n3\n3\n1\na\na\n,\n7\n1\n3\n3 a\nlub\n7\n1\n3\n3 a\n,\n1\n7\na =\nlub\n7\na = -.\nZatem równania prostych AB i AD mają postać\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(\n)\n5\n1\n7\n3\n5\ny\nx\noraz\n(\n)\n5\n3\n7\n5\ny\nx\n,\n50\n1\n7\n21\ny\nx\noraz\n100\n3\n7\ny\nx\nObliczamy współrzędne wierzchołków B i D, rozwiązując układy równań\n4\n3\n50\n1\n7\n21\n\n\n\ny\nx\ny\nx\noraz\n4\n3\n100\n3\n7\n\n\n\ny\nx\ny\nx\nStąd otrzymujemy równania\n4\n3\n50\n1\n7\n21\nx\nx\noraz 4\n3\n100\n3\n7\nx\nx\n,\n2\nx = - oraz\n4\nx =\nZatem\n(\n)\n8\n3\n2,\nB\noraz\n(\n)\n16\n3\n4,\nD\nPunkt O przecięcia przekątnych kwadratu ma zatem współrzędne\n(\n)\n8\n16\n3\n3\n4\n3\n2 4,\n1,\n2\n2\n\n\n\n\n\n\nO\nPole kwadratu ABCD jest równe\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n5\n7\n1\n50\n8\n5\n3\n3\nABCD\nP\nAB\n\n\n\n\n\n\n\n","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\)\n\n## Sposób 1 - Współrzędne + iloczyn wektorowy\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Kładziemy \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (12, 0)\\), a \\(C\\) na osi symetrii trójkąta.\n\nŚrodek \\(AB\\) leży w \\((6, 0)\\). Wysokość \\(h\\) z warunku \\(|AC| = 10\\):\n\\[h^2 + 6^2 = 10^2 \\implies h^2 = 64 \\implies h = 8\\]\n\nZatem \\(C = (6, 8)\\).\n\n**Punkt D** to środek ramienia \\(BC\\):\n\\[D = \\left(\\frac{12+6}{2},\\ \\frac{0+8}{2}\\right) = (9,\\ 4)\\]\n\n**Wyznaczamy wektory:**\n\\[\\vec{AC} = (6, 8), \\qquad \\vec{AD} = (9, 4)\\]\n\n**Kąt \\(\\alpha\\) między \\(\\vec{AD}\\) a \\(\\vec{AC}\\)** - korzystamy ze wzoru na sinus przez iloczyn wektorowy:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{|\\vec{AC} \\times \\vec{AD}|}{|\\vec{AC}| \\cdot |\\vec{AD}|}\\]\n\nModuł iloczynu wektorowego (współczynnik \\(z\\)):\n\\[|6 \\cdot 4 - 8 \\cdot 9| = |24 - 72| = 48\\]\n\nDługości:\n\\[|\\vec{AC}| = \\sqrt{36 + 64} = 10, \\qquad |\\vec{AD}| = \\sqrt{81 + 16} = \\sqrt{97}\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{48}{10\\sqrt{97}} = \\frac{24}{5\\sqrt{97}} = \\frac{24\\sqrt{97}}{485}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt ACD i twierdzenie sinusów\n\n**Dane w trójkącie \\(ACD\\):**\n- \\(|AC| = 10\\)\n- \\(|CD| = \\frac{|BC|}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\) (D - środek \\(BC\\))\n- kąt \\(\\angle ACD = \\angle ACB\\)\n\n**Obliczamy \\(\\cos(\\angle ACB)\\)** twierdzeniem cosinusów w trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\cos(\\angle ACB) = \\frac{|AC|^2 + |BC|^2 - |AB|^2}{2 \\cdot |AC| \\cdot |BC|} = \\frac{100 + 100 - 144}{200} = \\frac{56}{200} = \\frac{7}{25}\\]\n\nStąd:\n\\[\\sin(\\angle ACB) = \\sqrt{1 - \\left(\\frac{7}{25}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{625 - 49}{625}} = \\sqrt{\\frac{576}{625}} = \\frac{24}{25}\\]\n\n**Obliczamy \\(|AD|\\)** twierdzeniem cosinusów w trójkącie \\(ACD\\):\n\\[|AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 - 2 \\cdot |AC| \\cdot |CD| \\cdot \\cos(\\angle ACD)\\]\n\\[|AD|^2 = 100 + 25 - 2 \\cdot 10 \\cdot 5 \\cdot \\frac{7}{25} = 125 - 28 = 97\\]\n\\[|AD| = \\sqrt{97}\\]\n\n**Kąt \\(\\alpha\\) z twierdzenia sinusów** w trójkącie \\(ACD\\):\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{|CD|} = \\frac{\\sin(\\angle ACD)}{|AD|}\\]\n\\[\\frac{\\sin\\alpha}{5} = \\frac{\\dfrac{24}{25}}{\\sqrt{97}}\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{5 \\cdot 24}{25\\sqrt{97}} = \\frac{24}{5\\sqrt{97}} = \\boxed{\\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 dwukrotnie: do obliczenia \\(\\cos(\\angle ACB)\\) oraz długości \\(|AD|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie sinusów:\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) z proporcji w trójkącie \\(ACD\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej do przejścia od \\(\\cos(\\angle ACB) = \\frac{7}{25}\\) do \\(\\sin(\\angle ACB) = \\frac{24}{25}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** D jest środkiem **ramienia** \\(BC\\), nie punktem na podstawie \\(AB\\). To **nie** jest klasyczna środkowa trójkąta do podstawy - nie myl z wysokością ani z osią symetrii!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(\\cos(\\angle ACB)\\) w trójkącie **równoramiennym** łatwo pomylić, który bok jest \"przeciwległy\" do kąta. Kąt przy wierzchołku \\(C\\) leży naprzeciwko podstawy \\(AB = 12\\) - to ona wchodzi jako \\(a^2\\) w mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\dfrac{24}{5\\sqrt{97}}\\) i \\(\\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\) to **ta sama liczba** - wymagane jest usunięcie pierwiastka z mianownika (racjonalizacja): \\(\\dfrac{24}{5\\sqrt{97}} \\cdot \\dfrac{\\sqrt{97}}{\\sqrt{97}} = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\).\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}} = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}\\)**\n\n### Sposób 1 - Wysokość, środkowa, pole\n\n**Krok 1 - wysokość \\(h\\) z \\(C\\) na \\(AB\\).**\nPunkt \\(E\\) - środek \\(AB\\), \\(|AE| = 6\\). Z Pitagorasa w trójkącie \\(AEC\\):\n\\[10^2 = 6^2 + h^2 \\Rightarrow h^2 = 100 - 36 = 64 \\Rightarrow h = 8.\\]\n\n**Krok 2 - pole trójkąta \\(ABC\\).**\n\\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot h = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 8 = 48\\).\n\n**Krok 3 - pole \\(ADC\\) (środkowa dzieli na dwa równe pola).**\n\\[P_{ADC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot P_{ABC} = 24.\\]\n\n**Krok 4 - długość środkowej \\(|AD|\\).**\n\\(D\\) - środek \\(BC\\), rzut \\(D\\) na \\(AB\\) to \\(F\\) (środek \\(EB\\)). Wtedy \\(|AF| = 6 + 3 = 9\\), \\(|DF| = \\tfrac{1}{2}h = 4\\). Z Pitagorasa w \\(AFD\\):\n\\[|AD|^2 = 9^2 + 4^2 = 81 + 16 = 97 \\Rightarrow |AD| = \\sqrt{97}.\\]\n\n**Krok 5 - sinus \\(\\alpha\\) ze wzoru na pole.**\n\\(P_{ADC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AD|\\cdot |AC|\\cdot \\sin\\alpha\\):\n\\[24 = \\tfrac{1}{2}\\cdot \\sqrt{97}\\cdot 10\\cdot \\sin\\alpha = 5\\sqrt{97}\\sin\\alpha\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}} = \\dfrac{24\\sqrt{97}}{485}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór Herona na pole \\(ABC\\)\n\\(p = \\tfrac{1}{2}(12+10+10) = 16\\). \\(P = \\sqrt{16\\cdot 4\\cdot 6\\cdot 6} = \\sqrt{2304} = 48\\) (zgadza się).\nDługość środkowej ze wzoru: \\(d^2 = \\tfrac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}\\) (środkowa na bok \\(a\\)). Dla środkowej z \\(A\\) na \\(BC\\): \\(d^2 = \\tfrac{2|AB|^2 + 2|AC|^2 - |BC|^2}{4} = \\tfrac{288 + 200 - 100}{4} = \\tfrac{388}{4} = 97\\). Czyli \\(|AD| = \\sqrt{97}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}}\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nWszystkie wyrazy ciągu geometrycznego\n, określonego dla\n1\nn ≥, są dodatnie. Wyrazy tego\nciągu spełniają warunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\n. Oblicz iloraz q tego ciągu należący do przedziału\n2 2, 3 2 .\n(\n)\nna\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n5. Ciągi. Zdający stosuje wzory na n-ty wyraz i na\nsumę n-początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i ciągu geometrycznego, również\numieszczone w kontekście praktycznym (5.c).\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\nZdający wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze\noraz\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równość\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\nw postaci\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\na\na\nq\na\nq\n⋅\n⋅\nlub\n(\n)\n2\n1\n5\n6\n0\na\nq\nq\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\n2\n1\na\na q\n⋅\n2\n3\n1\na\na\nq\n⋅\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n2\n5\n6\n0\nq\nq\n:\n2\nq =\nlub\n3\nq =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający zapisze iloraz q ciągu geometrycznego\nnależący do przedziału 2 2, 3 2 :\n3\nq =\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego\nrozwiązania zadania 1 p.\nPrzy oznaczeniach\nwykorzysta własność ciągu geometrycznego i zapisze\nrówność\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równość\ni z równości 6\n5\n0\na\nb\nc\nwyznaczy jedną niewiadomą\nw zależności od dwóch pozostałych, np.:\n5\n6\nc\nb\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający rozwiąże równanie\n2\n2\n5\n6\n0\nb\nab\na\nz niewiadomą, np. b:\n1\n2\nb\na\nlub\n2\n3\nb\na\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający poda iloraz q ciągu geometrycznego\n:\n3\nq =\nUwagi do I i II sposobu oceniania\n1. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz\nciągu konkretną liczbę dodatnią, pisząc, np. że wartość pierwszego wyrazu nie ma wpływu\nna iloraz ciągu, a następnie rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje\n4 punkty.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże równanie kwadratowe z błędem i otrzyma co najmniej jedno\nrozwiązanie i konsekwentnie poda odpowiedź, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz ciągu\nkonkretną liczbę dodatnią i rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe z niewiadomą q\noraz zapisze wnioski, konsekwentne do otrzymanych rozwiązań, dotyczące należenia\nbądź nie tych rozwiązań do przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.\n(\n)\nn\na\n1\n2\n3\n,\n,\na\na a\nb a\nc\n2\nb\nac\n2\nb\nac\n(\n)\nna\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz\nciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda\n3\nq =\ni zapisze, że ten iloraz należy do\nprzedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.\n5. Jeżeli zdający zapisze równanie\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅\na\na q\na q\ni przyjmie jako pierwszy wyraz\nciągu konkretną liczbę dodatnią, a następnie poda\n2\nq\ni zapisze, że ten iloraz nie należy\ndo przedziału 2 2 , 3 2 , to otrzymuje 3 punkty.\n6. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie kwadratowe przy ujemnym wyróżniku, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n7. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n3\nq =\n, np. (\n)\n1,3,9,\noraz\nsprawdzi,\nże\npierwszy,\ndrugi\ni\ntrzeci\nwyraz\ntego\nciągu\nspełniają\nwarunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na\ntym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.\n8. Jeżeli zdający zapisze dwa konkretne ciągi o wyrazach dodatnich; jeden o ilorazie\n2\nq\n,\nnp. (1,2,4, ) , drugi o ilorazie\n3\nq =\n, np.(\n)\n1,3,9, oraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci\nwyraz każdego z tych ciągów spełniają warunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni zapisze, że\niloraz\n2\nq\nnie należy do przedziału 2 2 , 3 2 , a iloraz\n3\nq =\nnależy do przedziału\n2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty.\n9. Jeżeli zdający poda\n3\nq =\ni zapisze, że ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na\ntym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n10. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n3\nq =\noraz sprawdzi,\nże ten iloraz należy do przedziału 2 2 , 3 2 i na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n11. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n3\nq =\n, np. (\n)\n1,3,9,\noraz sprawdzi, że pierwszy, drugi i trzeci wyraz tego ciągu spełniają warunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n12. Jeżeli zdający zapisze konkretny ciąg o wyrazach dodatnich i ilorazie\n2\nq\n, np. (\n)\n1,2,4,\noraz\nsprawdzi,\nże\npierwszy,\ndrugi\ni\ntrzeci\nwyraz\ntego\nciągu\nspełniają\nwarunek\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\ni zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2\ni na tym zakończy, to otrzymuje 1 punkt.\n13. Jeżeli zdający poda\n2\nq\ni zapisze, że ten iloraz nie należy do przedziału 2 2 , 3 2\ni na tym zakończy, to otrzymuje 0 punktów.\n14. Jeżeli zdający myli własność ciągu geometrycznego z własnością ciągu arytmetycznego,\nto za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n15. Jeżeli zdający poda jedynie\n3\nq =\ni na tym zakończy, to otrzymuje 0 punków.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nOznaczamy przez q iloraz ciągu\n. Korzystamy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i zapisujemy równość\n2\n1\n1\n1\n6\n5\n0\n⋅+\n⋅\na\na q\na q\n,\nWyłączamy wspólny czynnik\n1a poza nawias (\n)\n2\n1 6 5\n0\n-⋅+\na\nq\nq\nPonieważ wyrazy ciągu są dodatnie, więc\n1\n0\na ≠\n. Korzystamy z własności iloczynu równego\nzero i otrzymujemy równanie\n2\n5\n6\n0\nq\nq\nTo równanie ma dwa rozwiązania\n2\nq =\nlub\n3\nq =\n. Ponieważ\n2 2, 3 2\nq∈\n, więc\n3\nq =\nII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego\noraz niech\nZatem równość\n1\n2\n3\n6\n5\n0\na\na\na\nzapisujemy w postaci: 6\n5\n0\na\nb\nc\nStąd\n5\n6\nc\nb\na\n. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu (\n)\n, ,\na b c są dodatnie, więc ciąg ten jest\ngeometryczny, gdy spełniona jest równość\nPodstawiamy do równania\nza c i otrzymujemy:\n(\n)\n2\n5\n6\nb\na\nb\na\n,\n2\n2\n5\n6\n0\nb\nab\na\nRozwiązujemy to równanie przyjmując za niewiadomą, np. b.\nWtedy\n2\na\nΔ =\n,\na\nΔ =\n, ponieważ\n0\na >\nZatem rozwiązaniami równania są\n1\n5\n2\n2\na\na\nb\na\nlub\n2\n5\n3\n2\na\na\nb\na\nObliczamy iloraz q ciągu\n:\n2\n2\nb\na\nq\na\na\nlub\n3\n3\nb\na\nq\na\na\nPonieważ\n2 2, 3 2\nq∈\n, więc iloraz ciągu\njest równy:\n3\nq =\n(\n)\nna\n(\n)\nna\n1\n2\n3\n,\n,\na\na a\nb a\nc\n2\nb\nac\n2\nb\nac\n(\n)\nna\n(\n)\nna\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(V = 72\\pi\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek geometryczny → promień → objętość\n\n**Oznaczenia:**\n- \\(r\\) - promień podstawy stożka\n- \\(h = 12\\) - wysokość\n- \\(l\\) - tworzącą stożka (\\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\))\n\n**Krok 1: Zapisz pola.**\n\nPole podstawy (koło): \\(P_p = \\pi r^2\\)\n\nPole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\pi r l\\)\n\n**Krok 2: Skorzystaj z warunku zadania.**\n\n\\[P_b = 3 \\cdot P_p\\]\n\\[\\pi r l = 3 \\pi r^2\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi r\\) (zakładamy \\(r > 0\\)):\n\\[l = 3r\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(r\\) z twierdzenia Pitagorasa.**\n\nTworząca, wysokość i promień spełniają:\n\\[l^2 = r^2 + h^2\\]\n\\[(3r)^2 = r^2 + 12^2\\]\n\\[9r^2 = r^2 + 144\\]\n\\[8r^2 = 144\\]\n\\[r^2 = 18\\]\n\n**Krok 4: Oblicz objętość.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 18 \\cdot 12 = \\frac{1}{3} \\cdot 216\\pi\\]\n\n\\[\\boxed{V = 72\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez tworzącą, weryfikacja\n\n**Wyznaczamy \\(l\\) bezpośrednio.**\n\nZ \\(r^2 = 18\\) mamy \\(r = 3\\sqrt{2}\\), zatem:\n\\[l = 3r = 3 \\cdot 3\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}\\]\n\n**Weryfikacja warunku** (czy rzeczywiście \\(P_b = 3P_p\\)?):\n\\[P_p = \\pi r^2 = 18\\pi\\]\n\\[P_b = \\pi r l = \\pi \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot 9\\sqrt{2} = \\pi \\cdot 3\\sqrt{2} \\cdot 9\\sqrt{2} = \\pi \\cdot 27 \\cdot 2 = 54\\pi\\]\n\nSprawdzamy: \\(54\\pi = 3 \\cdot 18\\pi\\) ✓\n\n**Weryfikacja twierdzenia Pitagorasa:**\n\\[r^2 + h^2 = 18 + 144 = 162 = (9\\sqrt{2})^2 = l^2\\] ✓\n\nObjętość:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h = \\frac{1}{3} \\cdot 18\\pi \\cdot 12 = 72\\pi\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - Objętość stożka:\n\\[V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h\\]\nUżyte w obu sposobach do obliczenia końcowego wyniku.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - Pole powierzchni bocznej stożka:\n\\[P_b = \\pi r l\\]\nUżyte do zapisania warunku \\(P_b = 3P_p\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Pole koła (podstawa stożka):\n\\[P_p = \\pi r^2\\]\n\n**Twierdzenie Pitagorasa (Dział 10, s. 15)**:\n\\[l^2 = r^2 + h^2\\]\nUżyte do wyrażenia tworzącej \\(l\\) przez \\(r\\) i wyznaczenia \\(r^2 = 18\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Trzy razy większe\" oznacza \\(P_b = 3P_p\\), a nie \\(P_b = P_p + 3\\). To klasyczna pułapka językowa - upewnij się, że dobrze interpretujesz treść.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Do wzoru na objętość wstawiamy \\(r^2 = 18\\) bezpośrednio - nie ma potrzeby obliczać \\(r = 3\\sqrt{2}\\) i podnosić do kwadratu ponownie. Oszczędza to czas i eliminuje błędy przy pierwiastkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \\(l\\) to **nie** wysokość \\(h\\)! Tworząca to boczna krawędź stożka: \\(l = \\sqrt{r^2 + h^2}\\). Podstawienie \\(l = h\\) w wzorze na pole boczne to najczęstszy błąd.\n\n**Odpowiedź: \\(V = 72\\pi\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nOznaczenia: \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca, \\(h = 12\\) - wysokość.\n\n**Krok 1 - związek \\(l\\) i \\(r\\) z warunku.**\nPole boczne: \\(P_b = \\pi r l\\). Pole podstawy: \\(P_p = \\pi r^2\\). Warunek \\(P_b = 3P_p\\):\n\\[\\pi r l = 3\\pi r^2 \\Rightarrow l = 3r \\quad (r \\ne 0).\\]\n\n**Krok 2 - związek \\(h\\), \\(r\\), \\(l\\) (z Pitagorasa).**\nW stożku: \\(l^2 = r^2 + h^2\\):\n\\[(3r)^2 = r^2 + 12^2\\]\n\\[9r^2 = r^2 + 144\\]\n\\[8r^2 = 144 \\Rightarrow r^2 = 18.\\]\n\n**Krok 3 - obliczenie objętości.**\n\\[V = \\tfrac{1}{3}\\pi r^2 h = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 18\\cdot 12 = 72\\pi.\\]\n\n### Sposób 2 - Użycie bezpośrednio proporcji\n\\(l = 3r\\) → tworząca 3-krotnie dłuższa od promienia. W trójkącie prostokątnym o kątach \\(90^\\circ\\) z bokami \\(r, h, l = 3r\\): \\(h^2 = l^2 - r^2 = 9r^2 - r^2 = 8r^2\\). Dla \\(h = 12\\): \\(r = \\sqrt{18} = 3\\sqrt{2}\\), \\(l = 9\\sqrt{2}\\).\n\\(V = \\tfrac{1}{3}\\pi\\cdot 18\\cdot 12 = 72\\pi\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(V = 72\\pi\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS, którego krawędź boczna ma długość 6\n(zobacz rysunek). Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod\nkątem, którego tangens jest równy 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nA\nB\nC\nD\nS\n6\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (5 pkt)\nObszar standardów\nOpis wymagań\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający wskazuje i oblicza kąty\nmiędzy ścianami wielościanu, między ścianami\ni odcinkami oraz między odcinkami takimi jak\nkrawędzie, przekątne, wysokości (9.a).\nZdający wyznacza związki miarowe w wielościanach\ni bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii\n(9.b).\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający\nzaznaczy na rysunku kąt α nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji tangensa kąta α:\n7\n1\n2\nh\na\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOE:\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SEC:\n2\n2\n2\n6\n2\nb\na\nh\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC:\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji sinusa kąta α :\n14\n4\nb\nh\nh =\nalbo\nzapisze równanie wynikające z definicji cosinusa kąta α : 2\n2\n4\nb\na\nh =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze\nukład dwóch równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n7\n1\n2\nh\na\ni\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\nukład trzech równań z trzema niewiadomymi, np.:\n14\n4\nb\nh\nh =\ni\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\ni\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\nh\nh\n\n\n⋅\n\n\n\n\n\n\nlub\n2\n2\n2\n1\n14\n6\n4\n4\nb\nb\nh\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie prawie pełne 4 p.\nZdający:\nobliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa lub wysokość ostrosłupa:\n4\na =\n,\n2 7\nh =\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy\nalbo\nobliczy wysokość\nbh ściany bocznej ostrosłupa oraz wyznaczy objętość ostrosłupa\nw zależności od tej wysokości:\n4 2\nbh =\n,\n2\n1 1\n14\n3 2\n4\nb\nb\nV\nh\nh\n⋅\n⋅\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy objętość ostrosłupa:\n32 7\n3\nV =\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności\nrozumowania i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest pominięcie współczynnika 1\n3 we wzorze\nna objętość ostrosłupa, to otrzymuje 4 punkty.\n3. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji tangensa (lub niepoprawnej definicji innej\nfunkcji trygonometrycznej wykorzystanej przez zdającego), np. tg\nbh\nh\nα =\n, tg\nh\na\nα =\nb) niepoprawne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nc) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie popełnia\ninnych błędów i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4. Jeżeli zdający popełnia jeden błąd, opisany w uwadze 3., a ponadto popełnia błędy\nrachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy\ntego ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile poprawnie\nzastosuje twierdzenie Pitagorasa.\n6. Jeżeli zdający przyjmuje, że krawędź podstawy ostrosłupa jest równa 6, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie, o ile zapisze poprawny związek\nmiędzy wielkościami h, hb i a lub zaznaczy poprawnie kąt nachylenia ściany bocznej\nostrosłupa do płaszczyzny podstawy.\n7. Akceptujemy poprawne przybliżenia liczb rzeczywistych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nZaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\ni wprowadzamy następujące oznaczenia:\na - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa.\nKorzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy\nzwiązek\n7\n1\n2\nh\na\n, czyli\n7\n2\nh\na\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC wynika równanie\n2\n2\n2\n2\n6\n2\na\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\nWykorzystując wcześniejszą zależność otrzymujemy\n2\n2\n2\n7\n2\n6\n2\n2\na\na\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n2\n2\n7\n2\n36\n4\n4\na\na\n2\n9\n36\n4 a =\n, stąd\n2\n16\na =\n, czyli\n4.\na =\nStąd\n7\n4\n2 7\n2\nh =\n⋅\n. Obliczamy objętość ostrosłupa:\n2\n1\n32 7\n4\n2 7\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅\nII sposób\n6\na\nh\nα\nB\nA\nC\nD\nE\nO\nS\nZaznaczmy na rysunku kąt α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy\ni wprowadzamy następujące oznaczenia:\na - krawędź podstawy ostrosłupa, h - wysokość ostrosłupa, hb - wysokość ściany bocznej\nostrosłupa\nKorzystając z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:\n7\n1\n2\nh\na\n, czyli\n7\n2\nh\na\nZ twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SEC otrzymujemy\n2\n2\n2\n6\n2\nb\na\nh\n\n\n-\n\n\n\n2\n2\n144\n4\nb\na\nh\nZ twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym SOE otrzymujemy:\n2\n2\n2\n2\nb\na\nh\nh\n\n\n\n\n\n\nZatem\n2\n2\n2\n144\n4\n4\na\na\nh\n,\n2\n2\n2\n7\n144\n4\n4\n4\na\na\na\n2\n16\na =\nStąd\n4\na =\n, więc\n2 7\nh =\nObjętość ostrosłupa jest równa:\n2\n1\n32\n4\n2 7\n7\n3\n3\nV =\n⋅\n⋅\nUwaga\nZależności między wielkościami h, a i\nbh możemy też otrzymać, wykorzystując definicje\nfunkcji sinus lub cosinus kąta α. Jeżeli tg\n7\nα =\n, to\n14\n4\nsin α =\ni\n2\n4\ncosα =\nStąd\n14\n4\nb\nh\nh =\noraz\n1\n2\n2\n4\nb\na\nh\nC\nD\nB\nA\nE\nO\nS\n6\na\nh\nα\nhb\nO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI.\nogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\ngłówny 2020.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nw\nwyniku\nprzekształceń\nalgebraicznych\ndoprowadza\nnierówność\ndo\npostaci\n2\n0\n>\nax\nbx\nc\n, gdzie ∆ > 0 (wystarczy, że z rozwiązania zdającego wynika, że traktuje\notrzymaną nierówność jak nierówność kwadratową) oraz stosuje wzory na pierwiastki\ntrójmianu kwadratowego i oblicza te pierwiastki.\nlub\nrozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, z których jednym będzie (\n)\n1\nx\nlub\npoprawnie rozwiąże nierówność (\n)(\n)\n2\n1\n3\n0\n>\nx\nx\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nPomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci:\n(\n)\n5\n,1\n,\n2\n\n\n-∞\n∪-\n+ ∞\n\n\n\n\n,\n(\n)\n5\n,\n1,\n2\n\n\n+∞-\n∪\n-∞\n\n\n\n\nUwaga!\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów domkniętych,\nto może otrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 27. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\npoda co najmniej dwa poprawne rozwiązania równania.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nprzyrówna każdy z czynników do zera, wyznaczy 4 pierwiastki, z których dwa będą\nprawidłowe (obliczone z jednego czynnika), a w obliczeniu pozostałych pierwiastków będą\nwystępowały błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad\nlub\nprzyrówna każdy z czynników do zera i wyznaczy pierwiastki równania:\n1,\n0,\n2\nx\nx\nx\n(z pominięciem\n1\nx\n).\nZadanie 28. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n2\na\nab\nb w zależności od zmiennej 𝑎 lub 𝑏\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nzapisze nierówność w postaci równoważnej (\n)\n2\n2\n0\n>\na\nb\nb\noraz stwierdzi (lub zaznaczy),\nże każdy ze składników lewej strony nierówności jest dodatni.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 29. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze poprawną proporcję między długościami boków trójkątów 𝐶𝐵𝐷 i 𝐶𝐸𝐹, wynikającą\nz ich podobieństwa np.:\nCF\nCD\nCE\nCB\nlub\nustali związki miarowe między długościami boków w jednym z trójkątów prostokątnych\n𝐶𝐵𝐷 lub 𝐶𝐸𝐹.\nZadanie 30. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń\nelementarnych)\nlub\nzapisze liczbę 11, a z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A (np. zilustruje to wypisaniem kilku zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu A, ale nie zapisze zdarzeń elementarnych, które\nnie sprzyjają zdarzeniu A).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu\nA, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik\n36\nx , gdzie x jest liczbą\nzliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających A.\nUwaga!\nW ocenie rozwiązania zadania 30. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się następującej\nuwagi z zasad oceniania arkuszy standardowych:\nJeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma 𝑃(𝐴) > 1 lub 𝑃(𝐴) < 0, to otrzymuje za\ncałe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu w działaniach na\nułamkach.\nZadanie 31. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\ndoprowadzi równanie\n2sin\n3cos\n4\ncos\nα +\nα =\nα\ndo postaci\nsin\ncos\nα =\nα\na\nb\n, popełniając\newentualnie błędy opisane w pkt 1. i 2. dodatkowych zasad oceniania\nlub\npoprawnie zastosuje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie\nprostokątnym i poprawnie zapisze równanie 2sin\n3cos\n4\ncos\nα +\nα =\nα\nw postaci, w której\nwystępują jedynie długości boków trójkąta prostokątnego.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\ndoprowadzi do równania: 2tg\n1\nα = .\nZadanie 32. (0-4)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\npoprawnie wyznaczy współczynnik kierunkowy prostej AC:\n3\n4\nlub\npoprawnie zastosuje wzór na odległość punktu A od prostej BD.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nzdający wyznaczy poprawne równanie prostej AC, zapisuje układ równań, pozwalający\nobliczyć współrzędne punktu O i rozwiązuje ten układ równań\nlub\nzdający obliczy odległość punktu A od prostej BD i stosuje poprawną metodę obliczenia\npola kwadratu, z wykorzystaniem obliczonej odległości.\nZadanie 33. (0-4)\nStosują się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34. (0-5)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzastosuje poprawnie twierdzenie Pitagorasa dla jednego z trójkątów: SOE lub SEC lub\nSOC\nlub\nzastosuje poprawnie definicję funkcji tangens w trójkącie SOE dla kąta 𝛼:\ntg\nOS\nOE\nα =","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Przecięcie prostej PQ z symetralną\n\n**Co wiemy o symetralnej odcinka?**\n\nSymetralna odcinka \\(PQ\\) to prosta, która:\n1. **Przechodzi przez środek** odcinka \\(PQ\\),\n2. **Jest prostopadła** do odcinka \\(PQ\\).\n\nUżyjemy obu tych własności.\n\n**Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej PQ.**\n\nSymetralna ma nachylenie \\(a_s = -2\\). Ponieważ \\(PQ \\perp\\) symetralna:\n\n\\[a_{PQ} \\cdot a_s = -1\\]\n\n\\[a_{PQ} \\cdot (-2) = -1 \\implies a_{PQ} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Napisz równanie prostej PQ.**\n\nProsta przez \\(P = (4, 5)\\) z nachyleniem \\(\\frac{1}{2}\\):\n\n\\[y - 5 = \\frac{1}{2}(x - 4)\\]\n\n\\[y = \\frac{1}{2}x - 2 + 5\\]\n\n\\[y = \\frac{1}{2}x + 3\\]\n\n**Krok 3: Znajdź środek \\(M\\) odcinka \\(PQ\\).**\n\nŚrodek leży jednocześnie na symetralnej i na prostej \\(PQ\\). Przyrównujemy:\n\n\\[\\frac{1}{2}x + 3 = -2x + 7\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}x + 2x = 4\\]\n\n\\[\\frac{5}{2}x = 4 \\implies x = \\frac{8}{5}\\]\n\n\\[y = -2 \\cdot \\frac{8}{5} + 7 = -\\frac{16}{5} + \\frac{35}{5} = \\frac{19}{5}\\]\n\n**Środek:** \\(M = \\left(\\dfrac{8}{5},\\ \\dfrac{19}{5}\\right)\\)\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(Q\\) ze wzoru na środek odcinka.**\n\nSkoro \\(M\\) jest środkiem \\(PQ\\):\n\n\\[\\frac{x_P + x_Q}{2} = \\frac{8}{5} \\implies \\frac{4 + x_Q}{2} = \\frac{8}{5} \\implies 4 + x_Q = \\frac{16}{5} \\implies x_Q = \\frac{16}{5} - \\frac{20}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\n\\[\\frac{y_P + y_Q}{2} = \\frac{19}{5} \\implies \\frac{5 + y_Q}{2} = \\frac{19}{5} \\implies 5 + y_Q = \\frac{38}{5} \\implies y_Q = \\frac{38}{5} - \\frac{25}{5} = \\frac{13}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie trzech warunków)\n\nSprawdzamy, że wyznaczony \\(Q = \\left(-\\frac{4}{5},\\ \\frac{13}{5}\\right)\\) spełnia wszystkie warunki symetralnej.\n\n**Warunek 1:** Środek \\(M\\) leży na prostej \\(y = -2x + 7\\)?\n\n\\[M = \\left(\\frac{4 + \\left(-\\frac{4}{5}\\right)}{2},\\ \\frac{5 + \\frac{13}{5}}{2}\\right) = \\left(\\frac{\\frac{16}{5}}{2},\\ \\frac{\\frac{38}{5}}{2}\\right) = \\left(\\frac{8}{5},\\ \\frac{19}{5}\\right)\\]\n\nSprawdzamy: \\(-2 \\cdot \\frac{8}{5} + 7 = -\\frac{16}{5} + \\frac{35}{5} = \\frac{19}{5}\\) ✓\n\n**Warunek 2:** \\(PQ \\perp\\) symetralna?\n\n\\[a_{PQ} = \\frac{\\frac{13}{5} - 5}{-\\frac{4}{5} - 4} = \\frac{-\\frac{12}{5}}{-\\frac{24}{5}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[a_{PQ} \\cdot a_s = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1\\] ✓\n\n**Warunek 3:** \\(|PM| = |QM|\\) (M jest rzeczywiście środkiem)?\n\n\\[|PM| = \\sqrt{\\left(4 - \\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(5 - \\frac{19}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{6}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{144+36}{25}} = \\frac{\\sqrt{180}}{5} = \\frac{6\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[|QM| = \\sqrt{\\left(-\\frac{4}{5} - \\frac{8}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{13}{5} - \\frac{19}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(-\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(-\\frac{6}{5}\\right)^2} = \\frac{6\\sqrt{5}}{5}\\] ✓\n\nWszystkie warunki spełnione - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_M = \\frac{x_P + x_Q}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_P + y_Q}{2}\\]\nUżyliśmy w Kroku 4 do wyznaczenia \\(x_Q\\) i \\(y_Q\\) z poznanego środka.\n\nProste prostopadłe:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia nachylenia \\(PQ\\) z nachylenia symetralnej.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna to NIE jest po prostu prostopadła do \\(PQ\\) - musi też przechodzić przez środek. Niektórzy uczniowie od razu szukają symetrycznej względem prostej, pomijając etap wyznaczenia środka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek: skoro symetralna ma nachylenie \\(-2\\), to \\(PQ\\) ma nachylenie \\(\\frac{1}{2}\\) (odwrotność ze zmianą znaku), nie \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze na środek odcinka musisz pamiętać, że znasz \\(P\\) i \\(M\\), a szukasz \\(Q\\) - uważaj na kolejność: \\(M = \\frac{P+Q}{2}\\), stąd \\(Q = 2M - P\\). To daje szybszy rachunek:\n> \\[x_Q = 2 \\cdot \\frac{8}{5} - 4 = \\frac{16}{5} - \\frac{20}{5} = -\\frac{4}{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Przez prostą \\(PQ\\) prostopadłą do symetralnej\n\n**Krok 1 - równanie prostej \\(PQ\\).**\nSymetralna ma współczynnik \\(-2\\), więc prosta \\(PQ\\) (prostopadła) ma współczynnik \\(\\tfrac{1}{2}\\). Przechodzi przez \\(P = (4,5)\\):\n\\[y = \\tfrac{1}{2}x + b \\Rightarrow 5 = 2 + b \\Rightarrow b = 3.\\]\nProsta \\(PQ\\): \\(y = \\tfrac{1}{2}x + 3\\).\n\n**Krok 2 - punkt \\(S\\) = przecięcie \\(PQ\\) z symetralną.**\n\\[\\tfrac{1}{2}x + 3 = -2x + 7\\]\n\\[\\tfrac{1}{2}x + 2x = 4 \\Rightarrow \\tfrac{5}{2}x = 4 \\Rightarrow x = \\tfrac{8}{5}.\\]\n\\(y = -2\\cdot\\tfrac{8}{5} + 7 = -\\tfrac{16}{5} + \\tfrac{35}{5} = \\tfrac{19}{5}\\).\nZatem \\(S = \\left(\\tfrac{8}{5}, \\tfrac{19}{5}\\right)\\).\n\n**Krok 3 - \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(PQ\\).**\n\\(\\dfrac{4 + x_Q}{2} = \\tfrac{8}{5} \\Rightarrow x_Q = \\tfrac{16}{5} - 4 = -\\tfrac{4}{5}\\).\n\\(\\dfrac{5 + y_Q}{2} = \\tfrac{19}{5} \\Rightarrow y_Q = \\tfrac{38}{5} - 5 = \\tfrac{13}{5}\\).\n\n\\[Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria osiowa\nPunkt \\(Q\\) jest symetryczny do \\(P\\) względem prostej \\(y = -2x + 7\\). Wykorzystujemy wzór na rzut punktu na prostą i odbicie symetryczne. Dla prostej \\(ax + by + c = 0\\), gdzie \\(2x + y - 7 = 0\\) (z \\(y = -2x+7\\)):\n\\[Q = P - 2\\cdot\\dfrac{aP_x + bP_y + c}{a^2+b^2}(a,b).\\]\nPodstawiamy: \\(2\\cdot 4 + 1\\cdot 5 - 7 = 6\\), \\(a^2+b^2 = 5\\):\n\\[Q = (4, 5) - 2\\cdot\\dfrac{6}{5}(2, 1) = (4, 5) - \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{12}{5}\\right) = \\left(\\tfrac{20-24}{5}, \\tfrac{25-12}{5}\\right) = \\left(-\\tfrac{4}{5}, \\tfrac{13}{5}\\right).\\]\n\n**Sprawdzenie odległości:** \\(|PS|^2 = \\left(4-\\tfrac{8}{5}\\right)^2 + \\left(5-\\tfrac{19}{5}\\right)^2 = \\left(\\tfrac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{6}{5}\\right)^2 = \\tfrac{144+36}{25} = \\tfrac{180}{25}\\). Analogicznie \\(|QS|^2\\) daje to samo.\n\n**Odpowiedź:** \\(Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}