{"paper":{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nNiech\n4\nlog\n3\nlog\n2\nlog\n3\n2\n2\n\n\n\nL\n. Wtedy\nA.\n1\n\nL\nB.\n2\nL \nC.\n3\nL \nD.\n4\nL ","answer":"D","answer_text":"4\n. Stąd\nq\n1 =\n2\n, zatem\nq\n3\nlub\nq\n1\n. Ostatnie wynik nie spełnia warunków","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nOkrąg o równaniu \n\n\n\n2\n2\n3\n7\n625\nx\ny\n\n\n\n\njest styczny do okręgu o środku\n\n\n12,5\nS \ni promieniu r. Wynika stąd, że\nA.\n5\nr \nB.\n15\nr \nC.\n10\nr \nD.\n20\nr ","answer":"C","answer_text":"możemy zapisać w postaci","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba \n\n\n\n2\n2\n1\n2\n2\n2\n\n\n\njest równa\nA. 1\nB.\nC. 3 2 2\n\nD. 2 2\n1\n","answer":"A","answer_text":"9\n)\n23\n,","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nSpośród poniższych nierówności wskaż tę, którą spełniają dokładnie trzy liczby całkowite.\nA.\n3\n4\n5\n2\nx \n\nB.\n4\n3\n5\n2\nx \n\nC.\n3\n5\n4\n2\nx \n\nD.\n4\n5\n3\n2\nx \n\n1\n\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":"B","answer_text":"y\n3\nx","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji\n\n2\n1\nx\nf x\nx\n\n, określonej dla\nkażdej liczby rzeczywistej\n1\nx , poprowadzonej w punkcie\n\n\n36\n5\n6,\nA \ntego wykresu.\nW poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności, pierwszą i drugą cyfrę po przecinku\nskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":"0 9 6","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nW trójkącie ABC kąt BAC jest dwa razy większy od kąta ABC. Wykaż, że prawdziwa jest\nrówność\n2\n2\nBC\nAC\nAB\nAC\n\n\n","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":5,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nUdowodnij, że dla dowolnego kąta\n\n\nπ\n2\n0,\n\nprawdziwa jest nierówność\n\n\n\n\nπ\nπ\n1\n12\n12\n4\nsin\ncos\n\n\n\n\n\n\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\n7.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że równanie\nma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste\n\n\n8\n2\n4\n2\n1\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n1\nx ","answer":null,"answer_text":"2","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry ze zbioru \n\n0,1, 3, 5, 7, 9 , losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo\nzdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa 3.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"3","solution":"$P(A) = \\dfrac{22}{5 \\cdot 6^7} \\approx 0,00001571$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDany jest rosnący ciąg geometryczny \n\n2\n,\n,\na aq aq\n, którego wszystkie wyrazy i iloraz są\nliczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to\notrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ciągu.\nOdpowiedź:","answer":"D","answer_text":"2\nx\n≥\n2\nx\n. Stąd otrzymujemy\n0\n<\nx\n≤\n5\n2\n, czyli\nD =\nV\n(\n0,\n5","solution":"$3$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nDany jest nieskończony ciąg okręgów \n\nno\no równaniach\n2\n2\n11\n2\n\n\n\nn\nx\ny\n,\n1\nn . Niech Pk\nbędzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem\n2\n1\nk\no\n i wewnętrznym okręgiem\n2 .\nk\no\nOblicz sumę pól wszystkich pierścieni Pk, gdzie\n1\nk .\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$S = \\dfrac{2^{11}\\pi}{3}$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":10,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nTrapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu. Ramię BC ma długość\n10, a ramię AD jest wysokością trapezu. Podstawa AB jest 2 razy dłuższa od podstawy CD.\nOblicz pole tego trapezu.\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"12\n12\n12\n12\n12\n4","solution":"$P_{ABCD} = 72$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWierzchołki A i B trójkąta prostokątnego ABC leżą na osi Oy układu współrzędnych. Okrąg\nwpisany w ten trójkąt jest styczny do boków AB, BC i CA w punktach - odpowiednio -\n\n\n0,10 ,\nP \n\n\n8, 6\nQ \ni\n\n\n9,13\nR \n. Oblicz współrzędne wierzchołków A, B i C tego trójkąta.\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$A = (0,0)$, $B = (0, 25)$, $C = (12,9)$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie\n\n\n\n2\n3\n1 2\n1\n0\nx\nmx\nm\nm\n\n\n\n\n\nma dwa różne rozwiązania\n1x ,\n2x spełniające warunki:\n1\n2\n0\nx x\n\n\noraz\n1\n2\n1\n1\n2\n0\n3\nx\nx\n\n\n\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$m \\in \\left\\langle -\\dfrac{1}{4}, 0 \\right) \\cup (2, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2020,"month":"kwiecien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku,\nwykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie\nkwadratu o boku długości x. Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.\na) Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x.\nb) Wyznacz dziedzinę funkcji V.\nc) Oblicz tę wartość x, dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy\nfunkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.\nx\nx\n\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"a) $V(x) = 8(11x^2 - 3x^3)$, b) $D_V = \\left(0, \\dfrac{5}{2}\\right\\rangle$, c) $x = \\dfrac{22}{9}$, $V = 175\\dfrac{67}{243}$","image":"img/matematyka-2020-kwiecien-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":17,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · kwiecień 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}