{"paper":{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWielomian\n( )\n3\n2\n2\nW x\nx\nx\nx\njest podzielny bez reszty przez wielomian\nA.\n2\nx +\nB.\n1\nx +\nC.\n1\nx -\nD.\n2\nx -","answer":"D","answer_text":"a\n1\n= ⋅\n3\na\n2\n1\n, czyli\na\n2\n,","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nGranica\n3\n2\n8\nlim\n4\n→+∞\n\n\n\n\n\n\nx\nx\nx\nx\njest równa\nA. -∞\nB. +∞\nC. 0\nD.\n2","answer":"C","answer_text":"a\n2\n= ⋅\n3\na\n3\n4\n, czyli\na\n3","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nFunkcja f jest określona wzorem\n2\n3\n1\n( )\n1\nx\nf x\nx\n+ dla wszystkich liczb rzeczywistych x.\nPochodna f ′ tej funkcji jest określona wzorem\nA.\n( )\n3\n2\nf\nx\nx\n′\nB.\n( )\n2\n3\n2\n3\n2\nx\nx\nf\nx\nx\n′\nC.\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n3\n2\n3\n1\nx\nx\nf\nx\nx\n′\nD.\n( )\n(\n)\n2\n2\n2\n9\n2\n3\n1\nx\nx\nf\nx\nx\n′","answer":"C","answer_text":"log\na b =","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nWyrażenie\n1\n3\n2\n1\njest równe\nA. 3\n2 1\nB. 2\n2\n6\n4\nC. 1\n4\nD.\n3\n2\n1\n6\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1R","answer":"B","answer_text":"3\n) (\nn\n3\n)","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (\n)\nna\n, określonego dla\n1\n≥\nn\n,\njest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz\nciągu (\n)\nna\nW kratki poniżej wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności, części dziesiętnych\ni setnych otrzymanego wyniku.\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (\n)\nna\n, określonego dla\n1\n≥\nn\n,\njest równa 2, a suma kwadratów wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 3. Oblicz iloraz\nciągu (\n)\nna\nW kratki poniżej wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności, części dziesiętnych\ni setnych otrzymanego wyniku.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSuma wszystkich wyrazów ciągu (\n)\nna\njest równa 2, zatem\n1\n2\n1\na\nq\nSuma kwadratów wszystkich wyrazów ciągu (\n)\nna\njest równa 3, a zatem\n2\n1\n2\n3\n1\na\nq\nStąd wynika, że\n2\n7\n8\n1\n0\nq\nq\nRozwiązaniami równania są\n1\n7\nq\nlub\n1\nq\nRozwiązanie\n1\nq\njest sprzeczne, ponieważ nie spełnia warunku zbieżności nieskończonego\nciągu geometrycznego\n1\n<\nq\n. Zatem\n(\n)\n1\n0, 142857\n7\nq","solution":"014","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nPierwszy wyraz ciągu (\n)\nna\n, określonego dla\n1\n≥\nn\n, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu\nspełniają warunek\n2\n1\n3\n= ⋅\nn\nn\na\na\nn . Oblicz sumę\n1\n2\n3\na\na\na .\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nPierwszy wyraz ciągu (\n)\nna\n, określonego dla\n1\n≥\nn\n, jest równy 2. Wszystkie wyrazy tego ciągu\nspełniają warunek\n2\n1\n3\n= ⋅\nn\nn\na\na\nn . Oblicz sumę\n1\n2\n3\na\na\na .\nRozwiązanie\nWyznaczamy kolejno wyrazy;\ndla\n1\nn\notrzymujemy:\n1\n2\n3\n1\n= ⋅\na\na\n, czyli\n2\n1\n3\na\n,\ndla\n2\nn\notrzymujemy:\n2\n3\n3\n4\n= ⋅\na\na\n, czyli\n3\n11\n9\na\nStąd\n1\n2\n3\n1\n11\n10\n2\n3\n9\n9\na\na\na\nNumer zadania\n1\n2\n3\n4\nOdpowiedź\nD\nC\nC\nB\nZad 5.\n0 1 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy drugi wyraz ciągu (\n)\nna\n:\n2\n1\n3\na\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy trzeci wyraz ciągu (\n)\nna\n:\n3\n11\n9\na\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy obliczy sumę\n1\n2\n3\n10\n9\na\na\na","solution":"$\\dfrac{10}{9}$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D.\nWykaż, że jeżeli\nADB\nACB\n\n\n, to\nBAC\nBDC\n\n\n\nMMA_1R\n\nMMA_1R","answer":"A, B, C","answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest czworokąt wypukły, którego kolejnymi wierzchołkami są punkty A, B, C i D.\nWykaż, że jeżeli\nADB\nACB\n\n\n, to\nBAC\nBDC\n\n\nPrzykładowe sposoby rozwiązania zadania\nI sposób\nNiech a\nAB\n,\nACB\nADB\nα =\n\n\n, 1r - promień okręgu opisanego na trójkącie ACB ,\n2r - promień okręgu opisanego na trójkącie ADB.\nZ twierdzenia sinusów dla trójkąta ACB i dla trójkąta ADC wynika, że\n1\n2\nsin\nAB\nr\nACB\n\noraz\n2\n2\nsin\nAB\nr\nADB\n\n,\nczyli\n1\n2\nsin\na\nr\nα =\noraz\n2\n2\nsin\na\nr\nα =\nStąd wynika, że 1\n2\nr\nr\nPonieważ odcinek AB jest wspólnym bokiem trójkątów ACB i ADB, więc środki okręgów\nopisanych na tych trójkątach leżą na symetralnej tego boku. Z faktu, że czworokąt ABCD jest\nwypukły, wynika natomiast, że punkty C i D leżą po tej samej stronie prostej AB.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nStąd i z równości 1\n2\nr\nr\nwynika, że środki obu tych okręgów pokrywają się, co oznacza, że\nokrąg opisany na trójkącie ACB jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie ADB.\nJest to więc okrąg opisany na czworokącie ABCD. Kąty BAC i BDC są równe, gdyż są to kąty\nwpisane w ten okrąg, oparte na tym samym łuku BC. To kończy dowód.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 1 pkt\nZdający wykaże, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZdający uzasadni, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.\nUwaga\nJeżeli zdający z faktu, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe\noraz z faktu, że środki tych okręgów leżą na tej samej prostej, wywnioskuje, że okręgi opisane\nna trójkątach ACB i ADB pokrywają się, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nZdający uzasadni, że kąty BAC i BDC są równe.\nII sposób\nMiejscem geometrycznym punktów, z których odcinek AB widać pod tym samym kątem\nACB\nADB\nα =\n\n\n, jest suma łuków (bez końców) \nAB okręgów, których ten odcinek jest\nwspólną cięciwą, przy czym łuk leżący po jednej stronie prostej AB jest symetryczny do łuku\nleżącego po drugiej stronie tej prostej.\nA\nB\nC\nD\nS\nr\nr\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nWierzchołki C i D czworokąta ABCD leżą na jednym z tych łuków, gdyż czworokąt ten jest\nwypukły.\nOznacza to, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg.\nKąty BAC i BDC są równe, gdyż są to kąty wpisane w ten okrąg, oparte na tym samym łuku\nBC. To kończy dowód.\nA\nB\nS\nr\nr\na\nA\nB\nC\nD\nS\nr\nr\na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 2 pkt\nZdający uzasadni, że na czworokącie ABCD można opisać okrąg, odwołując się do miejsca\ngeometrycznego punktów, z których odcinek AB widać pod tym samym kątem\nACB\nADB\nα =\n\n\nUwaga\nJeżeli zdający z faktu, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ACB i ADB są równe\noraz z faktu, że środki tych okręgów leżą na tej samej prostej, wywnioskuje, że okręgi opisane\nna trójkątach ACB i ADB pokrywają się, to otrzymuje 2 punkty.\nRozwiązanie pełne 3 pkt\nZdający uzasadni, że kąty BAC i BDC są równe .","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\njest podzielne przez 16.\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby nieparzystej n wyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\njest podzielne przez 16.\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy wyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\nrównoważnie w następujący sposób\n(\n) (\n)\n(\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n)\n(\n) (\n) (\n) (\n)\n4\n4\n2\n2\n2\n3\n3\n1\n3\n1\n1\n3\n1\n1\n1\n3\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\nn\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\n⋅\nLiczba n jest nieparzysta więc liczby (\n) (\n) (\n) (\n)3\n,\n1\n,\n1\n,\n1\n2\nn\nn\nn\nn\nsą parzyste zatem ich\niloczyn jest podzielny przez 24.Wyrażenie jest sumą dwóch składników podzielnych przez 16\nwięc jest podzielne przez 16.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wyrażenie w postaci:(\n) (\n) 16\n3\n1\n4\n⋅\nn\nn\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze nierówność w postaci: (\n) (\n) (\n) (\n) 16\n3\n1\n1\n1\n2\n⋅\n⋅\n⋅\nn\nn\nn\nn\ni nie uzasadni\npodzielności przez 16.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nRozwiązanie (II sposób)\nPonieważ liczba n jest nieparzysta możemy zapisać ją w postaci 2k+1, gdzie k jest liczbą\ncałkowitą.\nWyrażenie\n5\n4\n3\n3\nn\nn\nn\nprzyjmuje postać:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n5\n4\n2\n1\n3 2\n1\n2\n1\n3\nk\nk\nk\nPo przekształceniu wyrażenia równoważnie otrzymujemy\n16\n16\n32\n16\n32\n32\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\n,\nstąd wyrażenie możemy zapisać w postaci iloczynu (\n)1\n2\n2\n2\n16\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\n, który jako\niloczyn liczby 16 oraz całkowitej liczby(\n)1\n2\n2\n2\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\njest podzielny przez 16.\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wraz z odpowiednimi założeniami wyrażenie (\n)\n(\n)\n(\n) 19\n1\n2\n1\n2\n3\n1\n2\n4\n5\nk\nk\nk\ni\nprzekształci poprawnie przynajmniej jedno z wyrażeń.\n(\n)\n1\n10\n40\n80\n80\n32\n1\n2\n2\n3\n4\n5\n5\nn\nn\nn\nn\nn\nk\nlub\n(\n)\n1\n8\n24\n32\n16\n1\n2\n2\n3\n4\n4\nn\nn\nn\nn\nk\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy doprowadzi wyrażenie do postaci\n16\n16\n32\n16\n32\n32\n2\n3\n4\n5\nn\nn\nn\nn\nn\ni nie uzasadni,\nże to wyrażenie jest podzielne przez 16.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n3\n2\n4sin\nsin 2\n2sin\n2cos\n1\nx\nx\nx\nx\n⋅\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n(\n)\n3\n2\n4sin\nsin 2\n2sin\n2cos\n1\nx\nx\nx\nx\n⋅\nRozwiązanie (I sposób)\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n3\n2\n2\n4sin\n2sin\ncos\n4sin\ncos\n2sin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n2\n4sin\n2sin cos\n4sin\ncos\n2sin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nStąd otrzymujemy alternatywę\nsin\n0\nx =\nlub\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nsin\n0\nx =\nlub\n(\n)\n2sin\nsin\ncos\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nsin\n0\nx =\nlub (\n)(\n)\nsin\ncos\n2sin\n1\n0\nx\nx\nx\nZatem\nsin\n0\nx =\nlub sin\ncos\nx\nx\nlub\n1\nsin\n2\nx =\nZauważmy, że drugie równanie tej alternatywy jest równoważne równaniu tg\n1\nx = .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nGdyby zachodziło cos\n0\nx =\n, to otrzymalibyśmy równość sin\n0\nx =\n, a to byłoby sprzeczne\nz tożsamością\n2\n2\nsin\ncos\n1\nx\nx\n= . Ostatecznie zapisujemy cztery serie rozwiązań podanego\nrównania:\nx\nkπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę całkowitą.\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu, np.\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny\npostęp 2p.\nZdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu\n(\n)(\n)\n2\nsin\nsin\ncos\n2sin\n1\n0\nx\nx\nx\nx\n⋅\nlub (\n)(\n)\n2\n2sin\nsin 2\n2sin\n1\n0\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności\nzadania 3p.\nZdający poprawnie rozwiąże dwa spośród trzech równań:\nsin\n0\nx =\n, 2sin\n1\n0\nx -=\n, sin\ncos\n0\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy .\nRozwiązanie\npełne 4p.\nZdający zapisze cztery serie rozwiązań danego równania:\nx\nkπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę\ncałkowitą.\nRozwiązanie (II sposób)\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n3\n2\n2\n4sin\n2sin\ncos\n4sin\ncos\n2sin\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n3\n2\n2\n4sin\n2sin cos\n4sin\ncos\n2sin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\nStąd otrzymujemy alternatywę\nsin\n0\nx =\nlub\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nRównanie\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nzapisujemy w postaci\n(\n)\n2\n2sin\n2cos\n1 sin\ncos\n0\nx\nx\nx\nx\ni rozwiązujemy je tak samo jak równanie kwadratowe z niewiadomą sin x i parametrem\ncos x .\nOtrzymujemy wtedy wyróżnik\n(\n)\n2\n2cos\n1\nx\n∆=\noraz dwa rozwiązania:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\nlub\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\nJeśli\n1\n2\ncos x ≥\n, to otrzymujemy rozwiązania\n1\n2\nsin x =\nlub sin\ncos\nx\nx\n. Zatem w tym\nprzypadku\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nJeśli zaś\n1\n2\ncos x <\n, to otrzymujemy rozwiązania sin\ncos\nx\nx\nlub\n1\n2\nsin x =\n. W tym przypadku\n5\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nOstatecznie możemy zapisać cztery serie rozwiązań podanego równania:\nx\nkπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę\ncałkowitą.\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający zapisze dane równanie w postaci iloczynu, np.\n(\n)\n2\n2sin\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny\npostęp 2p.\nZdający zapisze równanie\n2\n2sin\ncos\n2sin\ncos\nsin\n0\nx\nx\nx\nx\nx\nw postaci\n(\n)\n2\n2sin\n2cos\n1 sin\ncos\n0\nx\nx\nx\nx\n,\nobliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego z lewej strony równania\n(\n)\n2\n2cos\n1\nx\n∆=\ni zapisze\ndwa rozwiązania tego równania\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\nlub\n2cos\n1\n2cos\n1\nsin\n4\nx\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nPokonanie zasadniczych trudności\nzadania 3p.\nZdający rozpatrzy poprawnie jeden z przypadków:\n• jeśli\n1\n2\ncos x ≥\n, to\n1\n2\nsin x =\nlub sin\ncos\nx\nx\nZatem w tym przypadku\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nalbo\n• jeśli zaś\n1\n2\ncos x <\n, to sin\ncos\nx\nx\nlub\n1\n2\nsin x =\nZatem w tym przypadku\n5\n2\n4\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy .\nRozwiązanie\npełne 4p.\nZdający zapisze cztery serie rozwiązań danego równania:\nx\nkπ\nlub\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n5\n2\n6\nx\nk\nπ\nπ\nlub\n4\nx\nk\nπ\nπ\n, gdzie k oznacza liczbę\ncałkowitą.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez sin x lub przez (\n)\n2sin\n1\nx -\n, bez\nzapisania odpowiedniego komentarza opisującego przypadki sin\n0\nx =\noraz 2sin\n1\n0\nx -=\n, to za całe rozwiązanie może otrzymać najwyżej 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez sin x i przez (\n)\n2sin\n1\nx -\n, bez zapisania\nodpowiedniego komentarza opisującego przypadki sin\n0\nx =\noraz 2sin\n1\n0\nx -=\n, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w rozwiązaniach nie uwzględni okresowości funkcji trygonometrycznych\ni zapisuje przykładowe rozwiązania z każdej serii, np.\n0\nx =\n,\n6\nx\nπ\n,\n5\n6\nx\nπ\n,\n4\nx\nπ\n, to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający stosuje w rozwiązaniu fałszywe równości, np.\n2\ncos\n1 sin\nx\nx\n, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać najwyżej 2 punkty, o ile wcześniej nie nabył praw do 3\npunktów.\n5. Jeżeli zdający stosuje w rozwiązaniu równość\n2\nsin\ncos\ntg\ncos\nx\nx\nx\nx\n⋅\n⋅\n, bez\nodpowiedniego komentarza, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3\npunkty.\n6. Jeżeli zdający podczas doprowadzania równania do postaci iloczynu stosuje nieistniejące\n„wzory” skróconego mnożenia, np.\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\na\nb\nc\nd\na\nb\nc\nd\nlub\n(\n)(\n)\n3\n3\n2\n2\na\nb\na\nb\na\nb\n,\nto za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile wcześniej nie nabył praw do 1\npunktu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$x=k\\pi$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{4}+k\\pi$ lub $x=\\dfrac{\\pi}{6}+2k\\pi$ lub $x=\\dfrac{5\\pi}{6}+2k\\pi$, gdzie $k$ oznacza liczbę całkowitą.","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDla pewnych liczb rzeczywistych\n1\na >\n,\n1\nb> i\n1\n>\nN\njest spełniona równość\n(\n)\n2\n3\nlog\nlog\nlog\n20\n⋅\na\nb\na b N\nN\nN .\nWyznacz wszystkie wartości wyrażenia log a b .\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nDla pewnych liczb rzeczywistych\n1\na > ,\n1\nb > i\n1\n>\nN\njest spełniona równość\n(\n)\n2\n3\nlog\nlog\nlog\n20\n⋅\na\nb\na b N\nN\nN .\nWyznacz wszystkie wartości wyrażenia loga b .\nRozwiązanie\nWprowadzamy jednakową podstawę a dla logarytmów i otrzymujemy:\n(\n)\n2\n20log\nlog\n3 log\nlog\nlog\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na\nN\nN\nN\nb\na b\nPonieważ log\n0\n≠\na N\n, więc powyższa równość jest równoważna równości\n20\n3\n3\n2\nlog\nlog\na\na\nb\nb\nZapisujemy zatem kolejno:\n(\n)\n(\n)\n20log\n3log\n2\nlog\n3 2\nlog\na\na\na\na\nb\nb\nb\nb\n(\n)\n2\n3 log\n11log\n6\n0\na\na\nb\nb\nTo równanie ma dwa rozwiązania log\n3\na b\nlub\n2\nlog\n3\na b =\n, będące poszukiwanymi\nwartościami wyrażenia loga b.\nSchemat punktowania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo pełnego rozwiązania zadania\n1p.\nZdający zapisze podaną równość w postaci\n(\n)\n2\n20log\nlog\n3 log\nlog\nlog\n\n\n\n\n\n\na\na\na\na\na\nN\nN\nN\nb\na b\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2p.\nZdający zapisze równanie wymierne z niewiadomą loga b.\n20\n3\n3\n2\nlog\nlog\na\na\nb\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności\nzadania 3p.\nZdający przekształci powyższe równanie do postaci równania kwadratowego, np.\n(\n)\n(\n)\n20log\n3log\n2\nlog\n3 2\nlog\na\na\na\na\nb\nb\nb\nb\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie\npełne 4p.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nZdający rozwiąże powyższe równanie i zapisze, że szukane wyrażenie przyjmuje dwie\nwartości:\nlog\n3\na b\nlub\n2\nlog\n3\na b =\nUwagi:\n1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n3\n2\nlogb a =\nlub\n1\n3\nlogb a =\n2. Jeśli zdający pominie kwadrat w wyrażeniu\n2\nloga b N i rozwiąże zadanie\nkonsekwentnie do końca, otrzymując odpowiedź:\n19\n3\nloga b =\n, to otrzymuje 2 punkty.\n3. Jeśli zdający korzysta w rozwiązaniu z fałszywych równości, np.\n2\n1\n2\nlog\nlog\nab\na b N\nN ,\nto otrzymuje 0 punktów, chyba że wcześniej nabył praw do 1 punktu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$\\log_a b=3$ lub $\\log_a b=\\dfrac{2}{3}$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których nierówność\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\nm\nm\nx\nx\nmx\n⋅\n>\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x .\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których nierówność\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n2\n2\nm\nm\nx\nx\nmx\n⋅\n>\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.\nRozwiązanie\nZapiszemy nierówność w następującej postaci\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n1\n2\n0\nm\nm\nx\nx\nm\n⋅\n>\nZauważamy, że\n(\n)(\n)\n2\n4\n5\n1\n5\nm\nm\nm\nm\n. Wynika stąd, że należy rozważyć dwie\nsytuacje:\nnierówność liniowa\n1) Jeśli\n1\nm = , to otrzymujemy nierówność 2\n0\n>\n, która jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej x.\n2) Jeśli\n5\nm = -, to otrzymujemy nierówność 12\n2\n0\nx +\n>\n, która jest prawdziwa dla\nkażdej liczby rzeczywistej\n1\n6\nx > -\nnierówność kwadratowa\n3)\nJeśli\n1\nm ≠ i\n5\nm ≠-, to należy sprawdzić, kiedy zachodzą jednocześnie dwie\nnierówności:\n0\na >\ni\n0\n∆<\n,\ngdzie\n(\n)(\n)\n1\n5\na\nm\nm\njest współczynnikiem trójmianu\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n4\n5\n2\n1\n2\nm\nm\nx\nx\nm\n⋅\nprzy najwyższej potędze zmiennej x, zaś\n2\n4\nb\nac\n∆=\njest wyróżnikiem tego trójmianu. Zapisujemy kolejno:\n(\n)(\n)\n1\n5\n0\n5 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n>\n⇔\n< -\n> .\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)(\n)\n(\n)(\n)\n2\n2\n4 1\n4\n1\n5\n2\n4\n1\n8\n1\n5\n4\n1\n11\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\nm\n∆=\n⋅\n(\n)(\n)\n4\n1\n11\n0\n11 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n<\n⇔\n< -\n> .\nZatem nierówności\n0\na >\ni\n0\n∆<\nzachodzą jednocześnie dla\n11 lub\n1\nm\nm\n< -\n> .\nŁącząc wyniki z punktów 1) i 3), otrzymujemy odpowiedź ostateczną:\n11 lub\n1\nm\nm\n< -\n≥.\nSchemat punktowania\nSkłada się on z dwóch części.\nPierwsza, to rozpatrzenie przypadku nierówności liniowej. Zdający może za tę część\notrzymać maksymalnie 2 punkty.\nDruga, to rozpatrzenie przypadku nierówności kwadratowej. Zdający może za tę część\notrzymać maksymalnie 3 punkty.\nSchemat punktowania części pierwszej\n1 punkt przyznajemy zdającemu, który zauważy i zapisze, że dla\n1\nm = albo dla\n5\nm = -\npodana nierówność jest liniowa i poprawnie zbada jeden z tych przypadków.\n2 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie określi, że dla\n1\nm = nierówność jest\nprawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x, zaś dla\n5\nm = - tak nie jest.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat punktowania części drugiej\n1 punkt przyznajemy zdającemu, który zapisze, że nierówność kwadratowa jest prawdziwa\ndla każdej liczby rzeczywistej x wtedy, gdy parametr m spełnia układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\n∆<\nalbo\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\nW\ny\n>\n, gdzie\n4\nW\ny\na\n∆\n2 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie rozwiąże jedną z dwóch nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\n, czyli (\n)(\n)\n1\n5\n0\n5 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n>\n⇔\n< -\n>\nlub\n(\n)(\n)\n4\n1\n11\n0\nm\nm\n∆= -\n<\n(\n)(\n)\n4\n1\n11\n0\n11 lub\n1\nm\nm\nm\nm\n<\n⇔\n< -\n>\n3 punkty przyznajemy zdającemu, który poprawnie rozwiąże obie nierówności\n0\na >\ni\n0\n∆<\noraz\nzapisze końcową odpowiedź do zadania: Dla\n11 lub\n1\nm\nm\n< -\n≥ podana\nnierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej x.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający w części drugiej rozwiązania zapisze jedynie nierówność\n0\n∆<\ni nawet\nbezbłędnie tę nierówność rozwiąże, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeśli zdający zapisze w drugiej części rozwiązania układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n≠\ni\n0\n∆<\n,\na następnie konsekwentnie rozwiąże ten układ do końca, to za drugą część rozwiązania\nmoże otrzymać maksymalnie 1 punkt.\n3. Jeśli zdający w części drugiej rozwiązania zapisze układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\n∆>\n,\na następnie nawet bezbłędnie ten układ rozwiąże, to za tę część otrzymuje 0 punktów.\nJeśli zdający zapisze w części drugiej rozwiązania układ nierówności\n2\n4\n5\n0\nm\nm\n>\ni\n0\n∆≤\n,\ni konsekwentnie rozwiąże tę część do końca, to za tę część może otrzymać\nmaksymalnie\n2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$m \\in (-\\infty, -11) \\cup [1, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nPunkt\n(\n)\n2,6\nA = -\njest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 82,5. Przekątna BD tego\nrombu zawiera się w prostej l o równaniu 2\n5\n0\nx\ny\n. Wyznacz współrzędne pozostałych\nwierzchołków tego rombu.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nPunkt\n(\n)\n2,6\nA = -\njest wierzchołkiem rombu ABCD o polu 82,5. Przekątna BD zawiera się\nw prostej l o równaniu 2\n5\n0\nx\ny\n. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego\nrombu.\nRozwiązanie (I sposób)\nWyznaczamy równanie prostej k zawierającej przekątną AC rombu (prosta k jest prostopadła\ndo prostej l, punkt A leży na prostej k.\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\nZ układu równań\n2\n5\n1\n5\n2\ny\nx\ny\nx\n\n\nwyznaczamy współrzędne punktu\n(\n)\n4,3\nS =\n(środek\nsymetrii rombu). Punkt S jest jednocześnie środkiem przekątnej AC, co pozwala obliczyć\nwspółrzędne wierzchołka\n(\n)\n10,0\nC =\nObliczamy długość przekątnej\n6 5\nAC =\n, a następnie, wykorzystując informację o polu\nrombu, obliczamy długość drugiej przekątnej.\n1\n82,5\n2\n1 6 5\n82,5\n2\n11 5\n2\nAC\nBD\nBD\nBD\n⋅\n⋅\n⋅\nPunkty B oraz D leżą na okręgu o środku\n(\n)\n4,3\nS =\ni promieniu 1\n11 5\n2\n4\nBD =\noraz na\nprostej l. Wyznaczamy ich współrzędne rozwiązując układ równań\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n121\n4\n3\n5\n16\n2\n5\nx\ny\ny\nx\n\n⋅\n\n\n\nOtrzymujemy punkty\n5\n5\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\nB\noraz\n27 17\n,\n4\n2\n\n\n= \n\n\n\nD\nUwaga\nDługość odcinka AS można obliczyć również jako odległość punktu A od prostej l.\nSchemat oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\nalbo\n• wyznaczy\n3 5\nAS =\n, jako odległość punktu A od prostej l .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy\n• wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczy współrzędne punktów\n(\n)\n4,3\nS =\noraz\n(\n)\n10,0\nC =\nalbo\n• wyznaczy\n3 5\nAS =\n, jako odległość punktu A od prostej l oraz obliczy długości\nprzekątnych\n6 5\nAC =\noraz\n11\n5\n2\nBD =\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczy współrzędne punktów\n(\n)\n4,3\nS =\noraz\n(\n)\n10,0\nC =\ni długość przekątnej\n11\n5\n2\nBD =\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze układ równań wystarczający do obliczenia współrzędnych punktów 𝐵𝐵 oraz 𝐷𝐷,\nnp. (\n)\n(\n)\n2\n2\n121\n4\n3\n5\n16\n2\n5\nx\ny\ny\nx\n\n⋅\n\n\n\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błąd rachunkowy.\nZdający otrzymuje 6 p.\ngdy poprawnie rozwiąże układ równań i poda bezbłędnie odpowiedź\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n5\n5\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\nB\n,\n(\n)\n10,0\nC =\n,\n27 17\n,\n4\n2\n\n\n= \n\n\n\nD\nRozwiązanie (II sposób)\nWyznaczamy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczamy współrzędne punktu\n(\n)\n10,0\nC =\n(jak w sposobie I). Zauważamy, że pole trójkąta ABC jest połową pola rombu\nABCD i wynosi\n1\n414 . Wyznaczamy pole trójkąta ABC w zależności od współrzędnych punktu\n(\n)\n,\nB\nB\nB\nx\ny\n6\n3\n30\nABC\nB\nB\nP\ny\nx\n∆\nPunkt B leży na prostej l, więc jego współrzędne spełniają równanie tej prostej.\nRozwiązujemy układ równań\n1\n6\n3\n30\n414\n2\n5\nB\nB\nB\nB\ny\nx\ny\nx\n-\n\n\n\nRozwiązaniami układu są dwie pary liczb 5\n5\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\noraz 27 17\n,\n4\n2\n\n\n\n\n\n\n. Zauważamy, że takie\nsame warunki spełnia punkt D (pole trójkąta ABD jest połową pola rombu oraz punkt D leży\nna prostej l. Wyciągamy wniosek, że otrzymane pary liczb to współrzędne wierzchołków B\noraz D.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk\ny\nx\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy\nwyznaczy równanie prostej\n1\n:\n5\n2\nk y\nx\noraz obliczy współrzędne punktów\n(\n)\n4,3\nS =\ni\n(\n)\n10,0\nC =\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zauważy, że pole trójkąta ABC jest połową pola rombu ABCD i wynosi\n1\n414 i zapisze\nrównanie\n1\n6\n3\n30\n414\nB\nB\ny\nx\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze układ równań wystarczający do obliczenia współrzędnych punktów B oraz D\n1\n6\n3\n30\n414\n2\n5\nB\nB\nB\nB\ny\nx\ny\nx\n-\n\n\n\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błąd rachunkowy.\nZdający otrzymuje 6 p.\ngdy poprawnie rozwiąże układ równań i poda bezbłędnie odpowiedź\n1\n1\n1 , 2\n4\n2\nB\n\n\n\n\n\n\n,\n(\n)\n10,0\nC =\n,\n3\n1\n6\n,8\n4\n2\nD\n\n\n= \n\n\n\nRozwiązanie (III sposób)\nPrzyjmijmy oznaczenie współrzędnych punktu\n(\n)\n,\nC\nC\nC\nx\ny\n. Wyznaczamy współrzędne\nwektora\n[\n]\n2,\n6\nC\nc\nAC\nx\ny\n\nWektor AC\n jest prostopadły do prostej 2\n5\n0\nx\ny\nIstnieje zatem p∈, dla którego\n[\n]\n2 ,\nAC\np\np\n\nObliczamy długość wektora AC\njako podwojoną odległość punktu A od prostej l.\n6 5\nAC =\n\nWtedy (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n6 5\np\np\nstąd\n6\np =\nlub\n6\np = -.\nZatem\n[\n] [\n]\n2,\n6\n12, 6\nC\nC\nx\ny\nlub [\n] [\n]\n2,\n6\n12,6\nC\nC\nx\ny\n(\n)\n(\n)\n1\n2\n10,0 ,\n14,12\nC\nC\nOdrzucamy drugie rozwiązanie (np. na podstawie obserwacji, że środek odcinka\n2\nAC nie leży\nna prostej l. Dalej postępujemy, jak w I lub II sposobie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat oceniania III sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n[\n]\n2 ,\nAC\np\np\n\n,\n[\n]\n2,\n6\nC\nc\nAC\nx\ny\n\noraz obliczy\n6 5\nAC =\n\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy rozwiąże równanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n6 5\np\np\n, wyznaczy współrzędne punktu\n(\n)\n1\n10,0\nC =\ni uzasadni odrzucenie drugiego rozwiązania.\nDalszą część rozwiązania oceniamy jak w sposobie I lub II.","solution":"$B=\\left(\\dfrac{5}{4}, -\\dfrac{5}{2}\\right)$, $C=(10, 0)$, $D=\\left(\\dfrac{27}{4}, \\dfrac{17}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-3)\nOblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn\nwszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-3)\nOblicz, ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że w zapisie dziesiętnym iloczyn\nwszystkich cyfr każdej z tych liczb jest równy 28.\nRozwiązanie\nZauważamy, że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy\n28 może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna siódemka\nlub cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka.\nObliczamy ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych zbudowanych z cyfr: pięć jedynek,\njedna czwórka i jedna siódemka.\nCyfrę 7 możemy zapisać na jednym z siedmiu miejsc, cyfrę 4 na jednym z sześciu miejsc,\na pozostałe pięć miejsc wypełnią jedynki.\nStosujemy regułę mnożenia: 7 6 1\n42\n⋅⋅=\nObliczamy ile jest siedmiocyfrowych liczb naturalnych zbudowanych z cyfr: cztery jedynki\ndwie dwójki i jedna siódemka. Wybieramy najpierw miejsce dla cyfry 7, następnie dwa miejsca\ndla dwóch cyfr 2, a pozostałe miejsca wypełnią jedynki.\nStosujemy kolejny raz regułę mnożenia:\n6\n7\n1\n7 15 1\n105\n2\n\n⋅\n⋅=\n⋅\n⋅=\n\n\nTeraz stosujemy regułę dodawania: 42 105\n147\nJest 147 siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie\ndziesiętnym jest równy 28.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze że naturalna liczba siedmiocyfrowa, w której iloczyn wszystkich cyfr jest równy\n28 może być zbudowana z dwóch zestawów cyfr: pięć jedynek, jedna czwórka i jedna\nsiódemka lub cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy ile jest liczb siedmiocyfrowych zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki\ni jedna siódemka lub zbudowanych z cyfr: cztery jedynki dwie dwójki i jedna siódemka:\nodpowiednio 42 i 105.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy obliczy, że jest 147 siedmiocyfrowych liczb naturalnych takich, że iloczyn wszystkich ich\ncyfr w zapisie dziesiętnym jest równy 28.","solution":"147","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nDany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe\nprzecinające boki CD i AB - odpowiednio - w punktach M i N, tak, że podzieliły one ten romb\nna trzy figury AND, NBMD, BCM o równych polach. Ponadto wiadomo, że MB\nND\nBD\n(zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.\nA\nB\nC\nD\nM\nN\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nDany jest romb ABCD. Przez wierzchołki B i D poprowadzono dwie proste równoległe\nprzecinające boki CD i AB - odpowiednio - w punktach M i N, tak, że podzieliły one ten romb\nna trzy figury AND, NBMD, BCM o równych polach oraz MB\nND\nBD\n(zobacz rysunek).\nOblicz cosinus kąta ostrego tego rombu.\nPrzykładowe sposoby rozwiązania zadania\nI sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.\nPrzekątna BD dzieli romb ABCD na dwa trójkąty o równych polach, a jednocześnie dzieli\nrównoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole tego\nrównoległoboku jest równe polu trójkąta AND, więc pole trójkąta AND jest dwa razy większe\nod pola trójkąta BDN. Trójkąty AND i BDN mają tę samą wysokość opuszczoną\nz wierzchołka D, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw, czyli\nA\nB\nC\nD\nM\nN\nA\nB\nC\nD\nM\nN\na\nm\nm\nF\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n2\nAN\nNB\nZatem\n3\na\nNB =\nTrójkąt NBD jest równoramienny, więc spodek F jego wysokości DF jest środkiem podstawy\nNB . Stąd wynika, że\n6\na\nFB =\n, więc\n5\n6\n6\na\nAF\na\na\nZ trójkąta prostokątnego AFD otrzymujemy\n5\n6\n5\ncos\n6\nAF\na\nAD\na\nα =\nSchemat punktowania I sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający\n• zapisze, że stosunek pól trójkątów AND i BDN jest równy stosunkowi długości ich\npodstaw zawartych w prostej AB\nalbo\n• zaznaczy wysokość DF trójkąta NBD i zapisze, że odcinki NF i FB są równe\nalbo\n• zapisze układ równań pozwalający wyznaczyć długość odcinka AN (lub NB)\nw zależności od długości boku rombu:\n2 sin\nABCD\nP\na\nα\ni\n1\nsin\n2\nAND\nP\nax\nα\ni\n1\n3\nAND\nABCD\nP\nP\n, gdzie x\nAN\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający wyznaczy długość odcinka AN (lub NB) w zależności od długości boku rombu:\n2\n3\nAN\na\n(\n1\n3\nNB\na\n).\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający wyznaczy długość odcinka FB w zależności od długości boku rombu lub wykorzysta\ndefinicję cosinusa w trójkącie prostokątnym AFD:\n1\n6\nFB\na\nlub cos\nAF\nAD\nα =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZdający wyznaczy długość odcinka FB w zależności od długości boku rombu i wykorzysta\ndefinicję cosinusa w trójkącie prostokątnym AFD:\n1\n6\nFB\na\ni cos\nAF\nAD\nα =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nZdający obliczy cosα :\n5\ncos\n6\nα =\nII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.\nPrzekątna BD dzieli romb ABCD na dwa trójkąty o równych polach, a jednocześnie dzieli\nrównoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole tego\nrównoległoboku jest równe polu trójkąta AND, więc pole trójkąta AND jest dwa razy większe\nod pola trójkąta BDN. Trójkąty AND i BDN mają tę samą wysokość opuszczoną\nz wierzchołka D, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw, czyli\n2\nAN\nNB\nZatem\n2\n3\nAN\na\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABD i AND otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos\nBD\nAB\nAD\nAB\nAD\nα\n⋅\noraz\n2\n2\n2\n2\ncos\nND\nAN\nAD\nAN\nAD\nα\n⋅\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\ncos\nm\na\na\na a\nα\n⋅\noraz\n2\n2\n2\n2\n2\n2\ncos\n3\n3\nm\na\na\na a\nα\n\n\n-⋅\n⋅\n\n\n\n\n,\n(\n)\n2\n2 2\n2cos\nm\na\nα\noraz\n2\n2 13\n4 cos\n9\n3\nm\na\nα\n\n\n\n\n\n\nStąd\n(\n)\n2\n2 13\n4\n2\n2cos\ncos\n9\n3\na\na\nα\nα\n\n\n\n\n\n\n,\n13\n4\n2\n2cos\ncos\n9\n3\nα\nα\n,\n2\n5\ncos\n3\n9\nα =\n,\n5\ncos\n6\nα =\nA\nB\nC\nD\nM\nN\na\nm\nm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nUwaga\nObliczenie, jaką częścią boku rombu jest odcinek AN, możemy też wykonać, korzystając ze\nwzoru na pole trójkąta\n1\nsin\n2\nP\nab\nγ\n. Niech AN\nx\n. Wtedy pole rombu ABCD jest równe\n2 sin\nABCD\nP\na\nα\n,\na pole trójkąta AND jest równe\n1\nsin\n2\nAND\nP\nax\nα\nPole trójkąta AND to jedna trzecia pola rombu, więc\n2\n1\n1\nsin\nsin\n2\n3\nax\na\nα\nα\nStąd\n2\n3\nx\na\nSchemat punktowania II sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający\n• zapisze, że stosunek pól trójkątów AND i BDN jest równy stosunkowi długości ich\npodstaw zawartych w prostej AB\nalbo\n• zapisze dwa równania wynikające z twierdzenia cosinusów dla trójkątów ABD\ni AND:\n2\n2\n2\n2\ncos\nm\na\na\na a\nα\n⋅\n,\n2\n2\n2\n2\ncos\nm\nx\na\nx a\nα\n⋅⋅\n, gdzie x\nAN\nalbo\n• zapisze układ równań pozwalający wyznaczyć długość odcinka AN w zależności od\ndługości boku rombu:\n2 sin\nABCD\nP\na\nα\ni\n1\nsin\n2\nAND\nP\nax\nα\ni\n1\n3\nAND\nABCD\nP\nP\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający wyznaczy długość odcinka AN (lub NB) w zależności od długości boku rombu:\n2\n3\nAN\na\n(\n1\n3\nNB\na\n).\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający zapisze jedno z równań, które pozwala obliczyć cosinus kąta ostrego rombu:\n(\n)\n2\n2 2\n2cos\nm\na\nα\nlub\n2\n2 13\n4 cos\n9\n3\nm\na\nα\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZdający zapisze układ równań, pozwalający obliczyć cosinus kąta ostrego rombu:\n(\n)\n2\n2 2\n2cos\nm\na\nα\noraz\n2\n2 13\n4 cos\n9\n3\nm\na\nα\n\n\n\n\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nZdający obliczy cosα :\n5\ncos\n6\nα =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nIII sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.\nPrzekątna BD dzieli równoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole\ntego równoległoboku to jedna trzecia pola rombu, więc pole trójkąta NBD jest szóstą częścią\npola rombu. Trójkąt NBD jest równoramienny, więc jego wysokość DF dzieli go na dwa\ntrójkąty przystające. Zatem pole trójkąta FBD jest dwunastą częścią pola rombu.\nPrzekątne rombu dzielą go na cztery trójkąty przystające, więc pole trójkąta SBA jest czwartą\nczęścią pola rombu.\nZauważmy teraz, że trójkąty FBD i SBA są podobne, gdyż oba są prostokątne i mają wspólny\nkąt ostry przy wierzchołku B. Skala s tego podobieństwa jest równa\nDB\nm\ns\nAB\na\nKwadrat skali tego podobieństwa jest równy stosunkowi pól tych trójkątów, czyli\n1\n2\n12\n1\n4\n1\n3\nABCD\nFBD\nSBA\nABCD\nP\nP\ns\nP\nP\nZatem\n2\n1\n3\nm\na\n\n=\n\n\n\n\n,\n2\n2\n1\n3\nm\na\nStąd\n3\na\nm =\nZ trójkąta SBA otrzymujemy\n1\n1\n2\n3\n2\n1\nsin 2\n2 3\na\nm\na\na\nα\n⋅\nZe wzoru na cosinus podwojonego kąta mamy więc\n2\n2\n2\n2\n1\n2\n5\ncos\ncos\nsin\n1\n2sin\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n12\n6\n2 3\nα\nα\nα\nα\n\n\n⋅\n\n\n\n\nA\nB\nC\nD\nM\nN\na\nm\nm\nF\nS\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nIV sposób\nPrzyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku.\nPrzekątna BD dzieli równoległobok BMDN na dwa trójkąty o równych polach oraz romb\nABCD na dwa trójkąty o równych polach. Ponieważ pole tego równoległoboku to jedna\ntrzecia pola rombu, więc pole trójkąta NBD jest trzecią częścią pola trójkąta BDA. Trójkąty\nNBD i BDA są równoramienne i mają ten sam kąt przy wierzchołku B , a jest to kąt przy\npodstawie każdego z tych trójkątów, więc trójkąty te są podobne. Skala s tego podobieństwa\njest równa\nDB\nm\ns\nAB\na\nKwadrat skali tego podobieństwa jest równy stosunkowi pól tych trójkątów, czyli\n1\n2\n3\n1\n3\nBDA\nNBD\nBDA\nBDA\nP\nP\ns\nP\nP\nZatem\n2\n1\n3\nm\na\n\n=\n\n\n\n\n,\n2\n2\n1\n3\nm\na\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta BDA otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\ncos\nBD\nAB\nAD\nAB\nAD\nα\n⋅\n,\nczyli\n2\n2\n2\n2\ncos\nm\na\na\na a\nα\n⋅\n,\n(\n)\n2\n2\n1\n2\n2cos\n3 a\na\nα\n,\n1\n2\n2cos\n3\nα\n,\n5\n2cos\n3\nα =\n,\n5\ncos\n6\nα =\nA\nB\nC\nD\nM\nN\na\nm\nm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nSchemat punktowania III i IV sposobu rozwiązania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania zadania 1 pkt\nZdający\n• zapisze, że pole trójkąta FBD jest dwunastą częścią pola rombu ABCD\nalbo\n• zapisze, że pole trójkąta SBA jest czwartą częścią pola rombu ABCD\nalbo\n• zapisze, że pole trójkąta NBD jest trzecią częścią pola trójkąta BDA.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 pkt\nZdający\n• zapisze, że trójkąty FBD i SBA są podobne i\n1\n12\nFBD\nABCD\nP\nP\n, i\n1\n4\nSBA\nABCD\nP\nP\nalbo\n• zapisze, że trójkąty NBD i BDA są podobne i\n1\n3\nNBD\nBDA\nP\nP\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt\nZdający\n• zapisze układ równań z niewiadomymi m, a, cosα , np.:\n2\n2\n1\n3\nm\na\ni\n2\n2\n2\n2\ncos\nm\na\na\na a\nα\n⋅\nlub\n• obliczy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta\n2\nα , np.:\n1\nsin\n2\n2 3\nα =\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 4 pkt\nZdający\n• zapisze układ równań z niewiadomymi m, a, cosα , np.:\n2\n2\n1\n3\nm\na\ni\n2\n2\n2\n2\ncos\nm\na\na\na a\nα\n⋅\noraz\n• obliczy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta\n2\nα , np.:\n1\nsin\n2\n2 3\nα =\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) 5 pkt\nRozwiązanie pełne 6 pkt\nZdający obliczy cosα :\n5\ncos\n6\nα =\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony","solution":"$\\cos \\alpha = \\dfrac{5}{6}$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"lipiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia\nokręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość\nkrawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz\ntę największą objętość.\n\nMMA_1R\nOdpowiedź:\n\nMMA_1R\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia\nokręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej jest równa d. Wyznacz długość\nkrawędzi podstawy tego z rozpatrywanych ostrosłupów, który ma największą objętość. Oblicz\ntę objętość.\nRozwiązanie (I sposób)\nWprowadzamy oznaczenia: r - promień okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa,\nb - krawędź boczna, a - krawędź podstawy, H - wysokość ostrosłupa.\nZ zależności r\nb\nd\nwyznaczamy b\nd\nr\n-. W trójkącie SCW stosujemy tw. Pitagorasa:\n(\n)(\n)\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\nH\nb\nr\nb\nr\nb\nr\nd b\nr\nd d\nr\nr\nd d\nr\nskąd wyznaczamy\n(\n)\n2\nH\nd d\nr\nZauważamy, że\n0\nr >\noraz\n2\n0\nd\nr\n>\n, czyli\n0,\n2\nd\nr\n\n\n∈\n\n\n\nWyznaczamy a w zależności od r:\n2\na\nr\ni zapisujemy objętość ostrosłupa w zależności od\nzmiennej r.\n( )\n2\n2\n4\n2\n5\n1\n2\n2\n2\n2\n3\n3\nV r\nr\nd\ndr\nr d\nr d\n⋅\ndla\n0,\n2\nd\nr\n\n\n∈\n\n\n\nRozważamy funkcję pomocniczą ( )\n4\n2\n5\n2\nf r\nr d\nr d\n, której dziedziną jest przedział 0, 2\nd\n\n\n\n\n\n\nAby znaleźć maksimum lokalne tej funkcji, wyznaczamy jej pochodną\n( )\n(\n)\n3\n2\n4\n3\n4\n10\n2\n2\n5\n′\nf\nr\nr d\nr d\nr d\nd\nr\nJedynym miejscem zerowym z przedziału 0, 2\nd\n\n\n\n\n\n\njest\n2\n5\nr\nd\n(\n0\nr =\nnie należy do dziedziny funkcji f ).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nAnalizujemy monotoniczność funkcji f (np. na podstawie wykresu znaku pochodnej):\n( )\n0\nf\nr\n′\n>\ndla\n2\n0,\n5\nr\nd\n\n\n∈\n\n\n\n(funkcja w tym przedziale rośnie),\n( )\n0\nf\nr\n′\n<\ndla\n2\n1\n,\n5\n2\nr\nd\nd\n\n\n∈\n\n\n\n(funkcja w tym przedziale maleje).\nWnioskujemy, że funkcja osiąga maksimum lokalne dla\n2\n5\nr\nd\n. Z analizy monotoniczności\nfunkcji w dziedzinie wynika, że jest to jednocześnie największa wartość funkcji w dziedzinie.\nPonieważ funkcja ( )\ng x\nx\njest funkcją rosnącą, funkcja V oraz funkcja f są rosnące\ni malejące w tych samych przedziałach i przyjmują maksimum lokalne dla tego samego\nargumentu.\nWobec tego, ostrosłup ma największą objętość dla\n2\n5\nr\nd\n, czyli dla\n2 2\n5\na\nd\n. Wysokość\ntego ostrosłupa jest równa\n4\n5\n5\n5\nH\nd d\nd\nd\n\n\n\n\n\n\n.Szukana objętość jest równa\n3\n8 5\n375\nV\nd\nOdp. Największą objętość ma ostrosłup o krawędzi podstawy\n2 2\n5\na\nd\n, objętość ta jest\nrówna\n3\n8 5\n375\nV\nd\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz wysokości w zależności\nod długości promienia okręgu opisanego na podstawie\nb) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej r:\n( )\n4\n2\n5\n2\n2\n3\nV r\nr d\nr d\n,\nc) określenie dziedziny funkcji V:\n0,\n2\nd\nr\n\n\n∈\n\n\n\nZa każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie.\nDrugi etap składa się z trzech części:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\na) wprowadzenie funkcji pomocniczej ( )\n4\n2\n5\n2\nf r\nr d\nr d\ni wyznaczenie pochodnej\n( )\n(\n)\n3\n2\n4\n3\n4\n10\n24\n2\n5\nf\nr\nr d\nr d\nr d\nd\nr\n′\nb) obliczenie miejsca zerowego pochodnej\n2\n5\nr\nd\n,\nc) uzasadnienie, że dla\n2\n5\nr\nd\nfunkcja f osiąga największą wartość oraz że dla takiej\nwartości promienia objętość ostrosłupa jest największa.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nUwaga\nJeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V, to nie może otrzymać punktu za ostatnią część\netapu drugiego (uzasadnienie).\n• Trzeci etap.\nObliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości:\n2 2\n5\na\nd\n. Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa:\n3\n8 5\n375\nV\nd\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nRozwiązanie (II sposób)\nWprowadzamy oznaczenia, jak w I sposobie.\nZ zależności r\nb\nd\nwyznaczamy b\nd\nr\n-. W trójkącie SCW stosujemy tw. Pitagorasa:\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n/ :\n0\n2\n1\n1\n2\n2\nH\nd d\nr\nd\nd\nH\nd\nr\nd\nH\nr\nd\nd\nH\nd\nd\n≠\n\n\n\n\n\n\nObliczamy pole podstawy ostrosłupa\n2\n1 2\n2\n2\n2\nP\nP\nr\nr\nr\n⋅\n⋅\noraz objętość\n(\n)\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n2\n2\n2\n4\n2\n3\n5\n2\n1\n2\n1\n2\n3\n3 4\n1\n2\n6\nV\nr H\nd\nH\nH\nd\nV H\nd H\nd H\nH\nd\n⋅\n⋅\n⋅\nZ warunków geometrycznych\n0\nH > i H\nr\nb\n<\n(nierówność trójkąta w trójkącie SWC)\nwyznaczamy dziedzinę funkcji V:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\n(\n)\n0,\nH\nd\n∈\nAby znaleźć maksimum lokalne tej funkcji, wyznaczamy jej pochodną\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n2\n4\n2\n1\n5\n6\n6\nV\nH\nH\nd H\nd\nd\n′\nObliczamy miejsca zerowe i analizujemy znak pochodnej\n(\n)\n4\n2\n2\n4\n2\n2\n2\n4\n2\n2\n0\n5\n6\n0\n5\n6\n0\n1\n5\n5\n5\n,\n,\n,\n5\n5\nV\nH\nH\nd H\nd\nH\nt\nt\nd t\nd\nt\nd\nt\nd\nH\nd\nH\nd\nH\nd\nH\nd\n′\n⇔\nJedynym miejscem zerowym pochodnej w przedziale (\n)\n0,d jest\n5\n5\nH\nd\n(\n)\n0\nV\nH\n′\n>\ndla\n5\n0,\n5\nH\nd\n\n\n∈\n\n\n\n\n\n(funkcja V w tym przedziale rośnie),\n(\n)\n0\nV\nH\n′\n< dla\n5\n,\n5\nH\nd d\n\n\n∈\n\n\n\n\n\n(funkcja V w tym przedziale maleje).\nWnioskujemy, że funkcja V osiąga maksimum lokalne dla\n5\n5\nH\nd\n. Z analizy\nmonotoniczności funkcji V w dziedzinie wynika, że jest to jednocześnie największa wartość\nfunkcji w przedziale (\n)\n0,d .\nOstrosłup ma największą objętość dla\n5\n5\nH\nd\n, czyli dla\n2 2\n5\na\nd\n. Największa objętość\njest równa\n3\n8 5\n375\nV\nd\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz\npola podstawy w zależności od długości wysokości ostrosłupa\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoziom rozszerzony\nb) zapisanie objętości ostrosłupa jako funkcji zmiennej H:\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n3\n5\n2\n1\n2\n6\nV H\nd H\nd H\nH\nd\nc) określenie dziedziny funkcji V:\n(\n)\n0,\nH\nd\n∈\nZa każdą z części tego etapu zdający otrzymuje po 1 punkcie.\nDrugi etap składa się z trzech części:\na) wyznaczenie pochodnej\n(\n)\n(\n)\n4\n2\n2\n4\n2\n1\n5\n6\n6\nV\nH\nH\nd H\nd\nd\n′\n,\nb) obliczenie miejsca zerowego pochodnej\n5\n5\nH\nd\n,\nc) uzasadnienie, że dla\n5\n5\nH\nd\nobjętość ostrosłupa jest największa.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt, o ile\npoprzednia część etapu została zrealizowana bezbłędnie.\nUwaga\nJeżeli zdający nie wyznaczy dziedziny funkcji V, to nie może otrzymać punktu za ostatnią część\netapu drugiego (uzasadnienie).\n• Trzeci etap.\nObliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa o największej objętości:\n2 2\n5\na\nd\n. Wyznaczenie największej objętości ostrosłupa:\n3\n8 5\n375\nV\nd\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.","solution":"$a=\\dfrac{2\\sqrt{2}}{5}d$, $V=\\dfrac{8\\sqrt{5}}{375}d^3$","image":"img/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · lipiec 2020 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}