{"paper":{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":34,"source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba ൫√5 + 2√3൯\nଶ jest równa\nA.\n11\nB.\n17\nC. 17 + 4√15\nD. 17 + 2√15","answer":"C","answer_text":"1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu\n1\n1\n2\nx \n,\n2\n3\nx \ni zapisze, np.\n\n1\n,\n3,\n2\nx\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n1\n, 3\n,\n2\nx\n\n,\npopełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie\nrozwiązanie otrzymuje 2 punkty.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczbę ඥ9 ∙√3\nర\nmożna zapisać w postaci\nA.\n3\nఱ\nఴ\nB.\n3\nభభ\nర\nC.\n3\nభ\nర\nD.\n3\nవ\nఴ","answer":"A","answer_text":"2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci\n\n\n1\n3,\n,\n2\nx\n\n, to przyznajemy 2 punkty.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu i zapisze np.\n\n1\n,\n3,\n2\nx\n\n\n\n\n\npopełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje\n2 punkty.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji pierwszego etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 2log5 + 3log2 jest równa\nA.\nlog(2 ∙5) + log(3 ∙2)\nC.\n2∙3log(5 ∙2)\nB. log 2ହ + log 3ଶ\nD. log(5ଶ ∙2ଷ)","answer":"D","answer_text":"3. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 27. (0-2)\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy równanie\n\n\n\n\n\n2\n4\n2\n2\n11\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\n16\n16\n4\n13\n22\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\n2\n15\n3\n18\n0\nx\nx\n\n\n\n,\n2\n5\n6\n0\nx\nx\n\n\n\n,\n\n\n\n1 5\n6\n0\nx\nx\n\n\n\n,\n1\n\nx\nlub\n6\n5\nx \nDla\n1\n\nx\notrzymujemy ciąg geometryczny \n\n3,6,12 o ilorazie 2.\nDla\n6\n5\nx \notrzymujemy ciąg geometryczny \n\n49\n4\n14\n,\n,\n5\n5\n5\n\no ilorazie\n7\n2\n\nII sposób\nNiech q oznacza iloraz ciągu geometrycznego. Wtedy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego otrzymujemy układ równań:\n\n\n4\n2\n2\nx\nx\nq\n\n\n\ni\n\n\n2\n11\n2\nx\nx\nq\n\n\n\nZauważmy, że dla\n2\nx  otrzymujemy ciąg \n\n0, 6,9\n\n, który nie jest geometryczny. Zatem\n2\nx .\nWtedy mamy\n4\n2\n2\nx\nq\nx\n\n\n\ni\n\n\n\n2\n4\n2\n2\n11\n2\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n\nStąd\n2\n(4\n2)\n2\n11\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n\n2\n2\n11\n4\n2\nx\nx\nx\n\n\n\n\n,\n2\n2\n16\n16\n4\n13\n22\nx\nx\nx\nx\n\n\n\n\n\n,\n2\n15\n3\n18\n0\nx\nx\n\n\n\n,\n2\n5\n6\n0\nx\nx\n\n\n\n,\n\n\n\n1 5\n6\n0\nx\nx\n\n\n\n,\n1\n\nx\nlub\n6\n5\nx \nDla\n1\n\nx\notrzymujemy ciąg \n\n3,6,12 geometryczny o ilorazie 2, zaś dla\n6\n5\nx \notrzymujemy\nciąg \n\n49\n4\n14\n,\n,\n5\n5\n5\n\ngeometryczny o ilorazie\n7\n2\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze\n\nrównanie z niewiadomą x wynikające z własności ciągu geometrycznego, np.:\n\n\n\n\n\n2\n4\n2\n2\n11\nx\nx\nx\n\n\n\n\nalbo\n\nukład dwóch równań z dwiema niewiadomymi, z których jedną z niewiadomych jest x,\nnp.:\n\n\n4\n2\n2\nx\nx\nq\n\n\n\ni\n\n\n2\n11\n2\nx\nx\nq\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy wszystkie wartości x :\n1\n\nx\n,\n6\n5\nx \nUwaga\nJeżeli zdający poda\n1\n\nx\ni zapisze, że ciąg (3,6,12) jest geometryczny, to otrzymuje 1 punkt.\nZadanie 28. (0-2)\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nPrzekształcamy tezę równoważnie\n\n\n2\n3\n\n\n\na a\nb\nb\nab\n2\n2\n3\n\n\n\na\nab\nb\nab\n2\n2\n2\n0\n\n\n\na\nab\nb\n\n\n2\n0\n\n\na\nb\nKwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny. Wyrażenie \n\n2\n\na\nb\njest dodatnie,\nponieważ z założenia\n\na\nb i kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej różnej od zera jest\ndodatni.\nTo kończy dowód.\nII sposób\nPrzekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy:\n2\n2\n3\na\nab\nb\nab\n\n\n\n2\n2\n2\n0\na\nab\nb\n\n\n\nWyrażenie\n2\n2\n2\na\nab\nb\n\n\ntraktujemy jako trójmian kwadratowy jednej zmiennej np. a.\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\na\nab\nb\n\n\n:\n2\n2\n4\n4\n0\nb\nb\n\n\n\nZatem, dla każdej liczby rzeczywistej b, parabola, będąca wykresem trójmianu\nkwadratowego\n2\n2\n2\na\nab\nb\n\n\nma dokładnie jeden punkt wspólny z osią Ox. Jest nim\npunkt\no współrzędnych \n\n,0\nb\nOznacza to, że gdy a\nb\n\ntrójmian kwadratowy\n2\n2\n2\na\nab\nb\n\n\nprzyjmuje wartość równą\nzeru. Jeśli natomiast a\nb\n\n, to, biorąc pod uwagę fakt, że ramiona paraboli będącej\nwykresem tego trójmianu są skierowane „do góry”, oznacza to, że ten trójmian przyjmuje\nwartości dodatnie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTo kończy dowód.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nprzekształci podaną nierówność do postaci \n\n2\n0\n\n\na\nb\nalbo\n\nwyznaczy wyróżnik trójmianu kwadratowego\n2\n2\n2\n0\n\n\n\na\nab\nb\n, np.:\n0\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze pełne uzasadnienie.\nUwaga\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości\na i b, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZadanie 29. (0-2)\nPrzykładowe rozwiązanie\nI sposób\nWprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.\nTrójkąt ASO jest podobny do trójkąta BPO na podstawie cechy podobieństwa (kąt, kąt, kąt).\nOznaczamy\n\nSO\nx . Ponieważ okręgi o środkach S i P są styczne zewnętrznie, więc\n6\n2\n8\n\n\n\n\n\nSP\nR\nr\nZapisujemy proporcję wynikająca z podobieństwa trójkątów BP\nAS\nPO\nSO\n\nk\n𝑆\n𝑃\n𝑅= 6\n𝑟= 2\nl\nα\n𝑂\n𝐴\n𝐵\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n6\n2\nsin\n8\nx\nx\n\n\n\n, stąd\n4\nx \nOtrzymujemy\n6\n2\n1\nsin\n12\n4\n2\n\n\n\n. Kąt jest kątem ostrym, stąd\n30\n\n.\nZasady oceniania I sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zauważy, że trójkąt ASO jest podobny do trójkąta BPO i zapisze proporcję wynikającą\nz podobieństwa tych trójkątów, np.\n\nBP\nAS\nPO\nSO\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi poprawnie dalsze rozumowanie.\nII sposób\nWprowadźmy oznaczenia jak na rysunku.\nProwadzimy odcinek SC równoległy do prostej k, stąd\n2\n\n\n\nAS\nBC\nr\n, zaś\n6\n2\n4\n\n\n\n\n\nCP\nR\nr\nTrójkąt ASO jest podobny do trójkąta CPS na podstawie cechy podobieństwa (kąt, kąt, kąt),\n\n\nCSP\nAOS\n.\nPonieważ okręgi są styczne zewnętrznie, więc\n6\n2\n8\n\n\n\n\n\nSP\nR\nr\nW trójkącie CPS mamy\n4\n1\nsin\n8\n2\n\n\n\nCP\nSP\n\n, a stąd mamy\n30\n\n.\nk\n𝑆\n𝑃\n𝑅= 6\n𝑟= 2\nl\nα\n𝑂\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania II sposobu rozwiązania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zauważy, że trójkąt ASO jest podobny do trójkąta CPS i zapisze równość:sin\nCP\nSP\n\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi poprawnie dalsze rozumowanie.\nZadanie 30. (0-2)\nPrzykładowe rozwiązanie\nIloczyn jest równy zero, jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.\nZatem\n3\n8\n0\n\n\nx\nlub\n2\n9\n0\n\n\nx\nRównanie\n3\n8\n0\n\n\nx\nma jedno rozwiązanie:\n2\n\nx\nRównanie\n2\n9\n0\n\n\nx\nma dwa rozwiązania:\n3\n\nx\nlub\n3\n\nx\nZatem rozwiązaniami równania \n\n\n3\n2\n8\n9\n0\n\n\n\nx\nx\nsą liczby:\n3\n\nx\n,\n2\n\nx\n,\n3\n\nx\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n\nzapisze dwa równania\n3\n8\n0\n\n\nx\ni\n2\n9\n0\n\n\nx\nlub z zapisu wynika, że rozwiązuje te\nrównania\nalbo\n\nobliczy lub poda rozwiązania jednego z równań:\n3\n8\n0\n\n\nx\n(\n2\n\nx\n) lub\n2\n9\n0\n\n\nx\n(\n3\n\nx\n,\n3\n\nx\n)\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n3\n\nx\n,\n2\n\nx\n,\n3\n\nx\n, ale nie uzyska ich\nw wyniku błędnej metody.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający poda wszystkie rozwiązania równania, bez zapisanych obliczeń\nlub uzasadnienia, to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zapisze lewą stronę równania w postaci sumy jednomianów\ni doprowadzając ją do postaci iloczynu popełni błędy, ale skorzysta z własności iloczynu\nrównego zero, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 31. (0-2)\nRozwiązanie\nI sposób\nDoświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z pudełka.\nLiczba wszystkich kul w pudełko po dołożeniu n kul białych jest równa 8n , stąd\n8\nn\n\n\nLiczba wszystkich kul białych w pudełku po dołożeniu n kul białych jest równa 5n , stąd\n5\n\n\nA\nn .\nA - oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu jednej kuli białej z pudełka.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia A:\n( ) \nA\nP A\n, czyli 5\n11\n8\n12\n\n\n\nn\nn\nStąd 88 11","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nNajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność\n5(4 -𝑥)\n2\n< 𝑥 jest liczba\nA.\n1\nB.\n2\nC.\n3\nD.\n4","answer":"C","answer_text":"4. Jeżeli zdający niepoprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający zapisze błędną relację między polem powierzchni bocznej i polem\npodstawy stożka, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nZadanie 34. (0-5)\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodzącej przez punkt P :\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\nPunkt P należy do prostej\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\n, więc\n1\n2\n5\n4\nb\n\n\n. Stąd\n3\nb \nObliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej\n2\n7\ny\nx\n\n\ni prostej PQ:\n1\n2\n2\n7\n3\ny\nx\ny\nx\n\n\n\n\n\n\n\nStąd\n1\n2\n2\n7\n3\nx\nx\n\n\n\n\n, więc\n8\n5\nx \ni\n19\n5\ny \n,\nZatem\n8 19\n,\n5 5\nS\n\n\n\n\n\n\nPonieważ punkt S jest środkiem odcinka PQ , więc\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4\n8\n2\n5\nQ\nx\n\n\ni 5\n13\n2\n5\nQ\ny\n\n\nStąd\n4\n5\nQ\nx \ni\n13\n5\nQ\ny \n, czyli\n4 13\n,\n5\n5\nQ\n\n\n\n\n\n\n\nII sposób („odległość punktu od prostej”)\nRównanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt P ma postać:\n1\n2\ny\nx\nb\n\n\nPonieważ\n\n\n4,5\nP \n, więc\n1\n2\n5\n4\nb\n\n\n, stąd\n3\nb \n. Zatem równanie prostej PQ ma postać:\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nPunkt Q leży na tej prostej, więc\n\n\n1\n2,\n3\nQ\nx\nx\n\n\nObliczamy odległość punktu P od prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\njest równa\n2 4 1 5\n7\n6 5\n5\n5\n\n\nPonieważ prosta o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\njest symetralną odcinka PQ, więc odległość punktu\n\n\n1\n2,\n3\nQ\nx\nx\n\n\nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\njest także równa 6 5\n5\nOtrzymujemy zatem równanie:\n2\n2\n3\n7\n6 5\n5\n5\nx\nx\n\n\n\n, stąd\n5\n2\n4\n6\nx\n\n\n\nRównanie to jest równoważne alternatywie równań\n5\n2\n4\n6\nx\n\n\n\nlub\n5\n2\n4\n6\nx\n\n\n.\nStąd\n4\n5\nx \nlub\n4\nx \nObliczamy współrzędne punktu\n4 13\n,\n5 5\nQ\n\n\n\n\n\n\n\nJeśli\n4\n5\nx \n, to\n\n\n13\n1\n4\n2\n2\n5\n5\n5\n3\n3\ny \n\n\n\n. Zatem\n4 13\n,\n5 5\nQ\n\n\n\n\n\n\n\nJeśli\n4\nx \n, to\n1\n2 4\n3\n2\n3\n5\ny \n\n\n\n\n. Zatem otrzymujemy współrzędne danego punktu P.\nUwaga\nZdający może bez wyznaczenia równania prostej\n1\n2\n3\ny\nx\n\n\n, tj. prostej prostopadłej do\nprostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\n, na której leży punkt\n\n\n4,5\nP \n, obliczyć odległość\n6 5\n5\nd \npunktu\n\n\n4,5\nP \nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni zapisać równanie z jedną niewiadomą\n\n\n\n\n2\n2\n6 5\n4\n2\n7\n5\n5\nx\nx\n\n\n\n\n\n, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka\nPQ.\nIII sposób\nNiech\n\n\n,\nQ\nx y\n\nbędzie końcem odcinka PQ. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są\nrówne\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n\n\n5\n4\n2\n2\n,\ny\nx\nS\n\n\n\nPunkt S leży na symetralnej odcinka PQ, a więc na prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\n, więc\n5\n4\n2\n2\n2\n7\ny\nx\n\n\n\n\n,\n5\n8\n2\n14\ny\nx\n\n\n\n,\n2\n1\ny\nx\n\n.\nProsta prostopadła do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodząca przez punkt P ma\nrównanie postaci\n\n\n1\n2\n4\n5\ny\nx\n\n\n\nPunkt P leży na tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań\n2\n1\ny\nx\n\n\ni\n\n\n1\n2\n4\n5\ny\nx\n\n\n\n. Stąd otrzymujemy\n\n\n1\n2\n2\n1\n4\n5\nx\nx\n\n\n\n\n,\n1\n2\n2\n1\n3\nx\nx\n\n\n\n,\n5\n2\n2\nx ,\n4\n5\nx\n\n\nDruga współrzędna punktu Q jest równa\n\n\n8\n4\n5\n5\n13\n2\n1\n1\n5\ny \n\n\n\n,\nczyli\n\n\n13\n4\n5\n5\n,\nQ \nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\n wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodzącej przez punkt\n\n\n4,5\nP \n1\n2\n3\ny\nx\n\n\nalbo\n obliczy odległość d punktu\n\n\n4,5\nP \nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nW zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy,\na liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych\nwszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy\nA.\n0,024\nB.\n0,24\nC.\n0,0024\nD.\n0,00024","answer":"A","answer_text":"5 97\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 33. (0-4)\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia jak na rysunku:\nr - promień podstawy,\nl - tworząca,\nh - wysokość stożka.\nZapisujemy równanie:\n2\n3\nrl\nr\n\n\n\n, z którego otrzymujemy zależność\n3\nl\nr\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BCD zapisujemy równanie\n\n\n2\n2\n2\n12\n3\nr\nr\n\n\n;\n2\n144\n8r\n\nstąd\n2\n18\nr \nObliczamy objętość stożka:\n2\n1\n1\n18 12\n72\n3\n3\nV\nr\nh\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny\nna drodze do pełnego rozwiązania 1 p.\nZdający z równości\n2\n3\nrl\nr\n\n\n\nwyznaczy zależność pomiędzy r i l, np.\n3\nl\nr\n\nalbo 3\nl\nr\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający zapisze równanie z jedną niewiadomą:\n\n\n2\n2\n2\n12\n3\nr\nr\n\n\nalbo\n2\n2\n2\n12\n3\nl\nl\n\n\n\n\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy\n\nkwadrat promienia (lub promień)podstawy stożka:\n2\n18\nr \n(\n3 2\nr \n)\nalbo\n\ndługość tworzącej stożka:","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nNa początku miesiąca komputer kosztował 3 500 zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę\nkomputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz\nobniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było.\nCena komputera na koniec miesiąca była równa\nA.\n3 272,50 zł\nB.\n2 625 zł\nC.\n2 677,50 zł\nD. 2 800 zł\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"6 5\n5\nd \nalbo\n wyznaczy odległość punktu P od punktu należącego do symetralnej odcinka PQ\nw zależności od jednej zmiennej, np.: \n\n\n\n2\n2\n4\n2\n7\n5\nx\nx\n\n\n\n\nalbo\n wyznaczy współrzędne środka S odcinka PQ w zależności od współrzędnych końca\nQ odcinka PQ:\n\n\n5\n4\n2\n2\n,\ny\nx\nS\n\n\n\nalbo\n wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt Q i równoległej do\nsymetralnej odcinka P:\n2\n1\ny\nx\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ni przechodzącej przez punkt\n\n\n4,5\nP \n1\n2\n3\ny\nx\n\n\noraz obliczy odległość d punktu\n\n\n4,5\nP \nod prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\n6 5\n5\nd \nalbo\n obliczy współrzędne środka odcinka PQ:\n8\n5\nx \ni\n19\n5\ny \n,\nalbo\n wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n2\n7\ny\nx\n\n\ni przechodzącej przez punkt\n\n\n4,5\nP \n1\n2\n3\ny\nx\n\n\noraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt Q i równoległej do\nsymetralnej odcinka PQ:\n2\n1\ny\nx\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\n zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu Q , np.\n4\n8\n2\n5\nQ\nx\n\n\ni 5\n19\n2\n5\nQ\ny\n\n\nalbo\n zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną\nszukanego punktu Q , np.\n2\n2\n3\n7\n6 5\n5\n5\nx\nx\n\n\n\nlub\n\n\n2 2\n6\n7\n6 5\n5\n5\ny\ny\n\n\n\n\n\nlub\n\n\n1\n2\n2\n1\n4\n5\nx\nx\n\n\n\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają\npoprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe, błędy w przepisaniu, itp.) 4p.\nZdający popełni błędy rachunkowe, błędy w przepisywaniu w którejkolwiek fazie rozwiązania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\nRozwiązanie pełne 5 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu Q :\n\n\n13\n4\n5\n5\n,\nQ \nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej PQ, to zdający może\notrzymać\nco najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu\nP,\nto zdający może otrzymać co najwyżej3 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie;\nd) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie;\ne) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n\n\n\n”, to\nzdający może otrzymać co najwyżej 3punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI.\nogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\npoprawkowy 2020.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\n\nbłędnego przepisania,\n\nprzestawienia cyfr,\n\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\n\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym\nzadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nFunkcje liniowe 𝑓 i 𝑔 określone wzorami 𝑓(𝑥) = -4𝑥+ 12 i 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 𝑘+ 3 mają\nwspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że\nA. 𝑘= -6\nB. 𝑘= -3\nC. 𝑘= 3\nD. 𝑘= 6","answer":"C","answer_text":"7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 9)ଶ+ 𝑚 jest\nprzedział (-∞, -5⟩. Wtedy\nA. 𝑚= 5\nB. 𝑚= -5\nC. 𝑚= -9\nD. 𝑚= 9","answer":"B","answer_text":"8. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nzastosowania\nwłasności\nciągów\narytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli\nprzedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie\nrozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nOsią symetrii wykresu funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) =\nଵ\nଷ𝑥ଶ+ 4𝑥+ 7 jest\nprosta o równaniu\nA. 𝑥= -6\nB. 𝑦= -6\nC. 𝑥= -2\nD. 𝑦= -2","answer":"A","answer_text":"9 2\nl \n3\nl\nr\n\nr\n12\nh \nB\nD\nC\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy objętość\n72\nV\n\n\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co\nnajwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest pominięcie współczynnika 1\n3\nwe wzorze\nna objętość stożka, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty.\n3. Jeżeli zdający pominie współczynnik 1\n3\nwe wzorze na objętość stożka, a ponadto\npopełnia błędy rachunkowe, ale poprawnie realizuje strategię rozwiązania, to otrzymuje co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓 określonej\nwzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐.\nStąd wynika, że\nA. ቄ𝑎< 0\n𝑐< 0\nB. ቄ𝑎< 0\n𝑐> 0\nC. ቄ𝑎> 0\n𝑐< 0\nD. ቄ𝑎> 0\n𝑐> 0","answer":"D","answer_text":"10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nRozwiązaniem równania 𝑥ଶ-3𝑥\n𝑥ଶ+ 𝑥= 0 jest liczba\nA. -3\nB. 0\nC. 3\nD. 9\nx\ny\n0\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":"11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry\nlub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,\nktóra wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może\notrzymać 1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nstosuje\npoprawną\nmetodę\nobliczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n-2𝑥2 + 5𝑥+ 3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nalbo\n\nw wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę lub\nzapisze, że 𝑥∈ℝ.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nw zapisie odpowiedzi pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci:\n𝑥∈(-∞, 3⟩ ∪ ⟨-1\n2 , ∞)\nalbo\n\nstosuje poprawną metodę wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego,\npoprawnie podstawia do wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego, stosuje\npoprawny algorytm rozwiązania nierówności kwadratowej z prawidłowym określeniem\nkrańców przedziałów, a jedynymi błędami, jakie popełnia, są błędy rachunkowe\no typowym charakterze dyskalkulicznym.\nUwaga!\nW ocenie rozwiązania zadania 26. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 3\nzasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 27. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego zapisując: 𝑎2 = 𝑎1𝑞, 𝑎3 = 𝑎1𝑞2\nlub 𝑎2 = 𝑎1𝑞, 𝑎3 = 𝑎2𝑞 lub zastosuje definicję:\n𝑎3\n𝑎2 =\n𝑎2\n𝑎1 , bądź własność 𝑎2\n2 = 𝑎1𝑎3\nciągu geometrycznego.\nalbo\n\nzapisze ciąg (3, 6, 12).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 28. (0-2)\nStosują się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 29. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze, że trójkąty 𝐴𝑆𝑂 i 𝐵𝑃𝑂 są podobne\nalbo\n\nnarysuje trójkąt 𝑆𝐶𝑃 i oblicza długość jednego z boków lub oznaczy / zapisze kąt\n∡𝐶𝑆𝑃= 𝛼 lub zapisze, że trójkąt 𝑆𝐶𝑃 jest podobny do jednego z trójkątów 𝑂𝐴𝑆, bądź\n𝑂𝐵𝑃.\nZadanie 30. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nobliczy lub poda jedno z rozwiązań równania 𝑥2 -9 = 0\nalbo\n\nrozwiązując równanie 𝑥3 + 8 = 0 popełni błąd dyskalkuliczny, pisząc 𝑥3 = 8,\na następnie zapisze 𝑥= 2.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie rozwiąże równanie 𝑥2 -9 = 0 (poda oba rozwiązania 𝑥= 3 oraz 𝑥= -3)\noraz rozwiązując równanie 𝑥3 + 8 = 0 popełni błąd dyskalkuliczny, pisząc 𝑥3 = 8,\na następnie zapisze 𝑥= 2.\nZadanie 31. (0-2)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze liczbę kul białych jako 𝑛+ 5 oraz liczbę wszystkich kul jako 𝑛+ 8\nalbo\n\nzapisze, że wszystkich kul łącznie jest 36\nalbo\n\nzapisze kilka ułamków postaci\n𝑛+5\n𝑛+8 np.:\n6\n9 ,\n8\n11 ,\n10\n13 itd.\nZadanie 32. (0-4)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶 używając wzoru z sinusem: 𝑃𝐴𝐷𝐶=\n1\n2 |𝐴𝐷||𝐴𝐶| ⋅sin 𝛼\nalbo\n\nzaznaczy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶, zapisze, że\n|𝐴𝐸| = 6 oraz zapisze równość wynikającą z tw. Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐸𝐶 (lub\nwszystkie te czynności wykona analogicznie dla trójkąta 𝐸𝐵𝐶)\nalbo\n\nzapisze, że pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶 (lub 𝐴𝐵𝐷) jest równe połowie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶\nalbo\n\nzastosuje tw. Pitagorasa dla trójkąta 𝐹𝐵𝐷 oraz zapisze |𝐵𝐷| = 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 33. (0-4)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze równanie 𝜋𝑟𝑙= 3𝜋𝑟2 lub z innych jego zapisów wynika, że poprawnie stosuje\nwzory na pole powierzchni bocznej i pole podstawy stożka oraz poprawnie ustala relację\npomiędzy tymi polami\nalbo\n\nzapisze równość wynikającą z tw. Pitagorasa dla trójkąta 𝐷𝐵𝐶.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nzapisze równanie 𝜋𝑟𝑙= 3𝜋𝑟2 (lub z innych jego zapisów wynika, że poprawnie stosuje\nwzory na pole powierzchni bocznej i pole podstawy stożka oraz poprawnie ustala relację\npomiędzy tymi polami) oraz zapisze równość wynikającą z tw. Pitagorasa dla trójkąta\n𝐷𝐵𝐶.\nUwagi!\n1. W ocenie rozwiązania zadania 33. (dla zdających z dyskalkulią) zamiast uwagi nr 4\nzasad oceniania arkusza standardowego stosuje się następującą uwagę:\nJeżeli zdający niepoprawnie stosuje tw. Pitagorasa, to może otrzymać za całe\nrozwiązanie co najwyżej 2 pkt.\n2. W ocenie rozwiązania zadania 33. (dla zdających z dyskalkulią) zamiast uwagi nr 5\nz zasad oceniania arkusza standardowego stosuje się następującą uwagę\nJeżeli zdający zapisze błędną relację pomiędzy polem powierzchni bocznej i polem\npodstawy stożka, to za całe rozwiązanie otrzymuje co najwyżej 1 pkt (za zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa).\nZadanie 34. (0-5)\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie ustali współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do symetralnej odcinka\n𝑃𝑄.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nzapisze równanie pozwalające obliczyć współrzędną środka odcinka 𝑃𝑄:\n-2𝑥+ 7 =\n1\n2 𝑥+ 3.\nUwaga!\nW ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) zamiast uwag 1.b), c), d)\nzasad oceniania arkusza standardowego stosuje się następującą:\nJeżeli w rozwiązaniu zdający popełni błąd o charakterze dyskalkulicznym, polegający\nna zamianie miejscami współrzędnych podczas podstawienia do wzoru / równania, to\nmoże otrzymać co najwyżej 4 pkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDo okręgu o środku w punkcie 𝑆= (2, 4) należy punkt 𝑃= (1, 3). Długość tego okręgu jest\nrówna\nA. 4𝜋√2\nB. 3𝜋√2\nC. 2𝜋√2\nD. 𝜋√2","answer":"C","answer_text":"12 10 10\n16\np \n\n\n\n\n,\n16 12\n4\np\na\n\n\n\n\n,\n16 10\n6\np\nb\np\nc\n\n\n\n\n\n\n,\n\n\n\n\n16 4 6 6\n48\nABC\nP\np p\na\np\nb\np\nc\n\n\n\n\n\n\n\n\nDługość środkowej trójkąta możemy obliczyć korzystając ze wzoru\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\n1\n1\n2\n2\n2\n2\n2\n2 12\n2 10\n10\n2 12\n2 10\n10\n97\nb\nd\na\nc\nb\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\nZasady oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego\nrozwiązania 1 p.\nZdający obliczy\n\nwysokość trójkąta ABC opuszczoną na podstawę:\n8\nh \nZasady oceniania rozwiązań zadań\nalbo\n\ndługość odcinka FB:\n3\nFB \nalbo\n\ncosinus kąta ABC:\n3\n5\ncos\nABC \ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający\n\nobliczy wysokość trójkąta ABC opuszczoną na podstawę oraz długość jednego z\nodcinków FB, AF:\n3\nFB \n,\n9\nAF \nalbo\n\npole trójkąta ADC:\n24\nADC\nP\n\nalbo\n\ndługość środkowej AD trójkąta (lub kwadrat tej długości):\n97\nAD \ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający obliczy długość środkowej AD trójkąta (lub kwadrat tej długości) oraz pole trójkąta\nADC:\n97\nAD \n,\n24\nADC\nP\n\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy sinus kąta DAC:\n24\nsin","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nProsta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑦= -\nଵ\nଶ𝑥+ 2. Na prostej 𝑙 leży punkt 𝑃= (0, 7). Zatem\nrównanie prostej 𝑙 ma postać\nA. 𝑦= 2𝑥\nB. 𝑦= 2𝑥+ 7\nC. 𝑦= -\nଵ\nଶ𝑥\nD. 𝑦= -\nଵ\nଶ𝑥+ 7","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nPunkt 𝑆= (4, 8) jest środkiem odcinka 𝑃𝑄, którego koniec 𝑃 leży na osi 𝑂𝑦, a koniec 𝑄 -\nna osi 𝑂𝑥. Wynika stąd, że\nA. 𝑃= (0, 16) i 𝑄= (8, 0)\nB. 𝑃= (0, 8) i 𝑄= (16, 0)\nC. 𝑃= (0, 4) i 𝑄= (4, 0)\nD. 𝑃= (0, 8) i 𝑄= (8, 0)","answer":"A","answer_text":"\ngeometryczny o ilorazie\n\n7","solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nPrzyprostokątna 𝐴𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 6, a wysokość 𝐶𝐷 dzieli go na\ndwa takie trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐶𝐷𝐵, że pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶 jest 4 razy większe od pola trójkąta 𝐶𝐷𝐵\n(zobacz rysunek).\nPrzyprostokątna 𝐵𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 1,5\nB. 2\nC. 2,5\nD. 3\nC\nA\nB\nD\n6\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":6,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPunkty 𝑃= (-3, 4) i 𝑂= (0, 0) leżą na jednej prostej. Kąt 𝛼 jest kątem nachylenia tej prostej\ndo osi Ox (zobacz rysunek).\nWtedy tangens kąta 𝛼 jest równy\nA. -\nଷ\nସ\nB. -\nସ\nଷ\nC.\nସ\nଷ\nD.\nଷ\nସ","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz sin𝛼=\nଶ√ହ\nହ. Wtedy\nA.\ncos𝛼=\nହ\nଶ√ହ\nB. cos𝛼= √ହ\nହ\nC. cos𝛼=\nଵ\nହ\nD. cos𝛼=\nସ\nହ","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎௡), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, są dane dwa\nwyrazy: 𝑎ଵ= 2 i 𝑎ଶ= 5. Stąd wynika, że n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem\nA.\n𝑎௡= 3𝑛-1\nB.\n𝑎௡= 3𝑛+ 2\nC. 𝑎௡= 2𝑛+ 3\nD.\n𝑎௡= 2𝑛-1","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = ቀ\nଵ\nଶቁ\n௫\ndla wszystkich liczb rzeczywistych 𝑥.\nFunkcja 𝑓 dla argumentu 𝑥= -3 przyjmuje wartość\nA.\nଵ\n଺\nB.\nଵ଼\nC. 6\nD. 8\n𝑥\n𝑦\n1\n2\n3\n4\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\nO\n-1\n-2\n1\n2\n3\n4\n-3\n-4\n𝛼\n𝑃\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nWielkości 𝑥 i 𝑦 są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej).\nStąd wynika, że\nA.\n𝑎= 6, 𝑏= 22,5\nB. 𝑎=\nସ\nଷ, 𝑏= 6\nC.\n𝑎= 3, 𝑏= 96\nD. 𝑎= 2, 𝑏= 9","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują\nrównania\nA.\n𝑦= 2𝑥 i 𝑦= -\nଵ\nଶ\nB.\n𝑦= -2𝑥 i 𝑦=\nଵ\nଶ𝑥\nC.\n𝑦= 2𝑥 i 𝑦=\nଵ\nଶ𝑥\nD. 𝑦= 2 i 𝑦= -2𝑥","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nDane są punkty 𝐴= (4, 1), 𝐵= (1, 3), 𝐶= (4, -1). Pole trójkąta ABC jest równe\nA.\n3\nB.\n6\nC.\n8\nD.\n16","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nIle jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2020 i podzielnych przez 4?\nA.\n506\nB. 505\nC. 256\nD.\n255","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nDane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich\nwierzchołków tego graniastosłupa jest o 9 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego\nostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest\nA.\ndziewięciokąt.\nB.\nośmiokąt.\nC.\nosiemnastokąt.\nD. dziesięciokąt.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego\nsześcianu jest równa\nA.\n6√2\nB.\n3√2\nC.\n12√2\nD.\n8√2\n𝑥\n𝑎\n3\n8\n𝑦\n36\n24\n𝑏\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n-2𝑥ଶ+ 5𝑥+ 3 ≤0.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nDany jest trzywyrazowy ciąg (𝑥+ 2, 4𝑥+ 2, 𝑥+ 11). Oblicz wszystkie wartości 𝑥, dla\nktórych ten ciąg jest geometryczny.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x=1$ lub $x=-\\dfrac{6}{5}$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":13,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nWykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 prawdziwa jest nierówność\n𝑎(𝑎+ 𝑏) + 𝑏ଶ> 3𝑎𝑏.\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":14,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDwa okręgi o promieniach 𝑟= 2 i 𝑅= 6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej 𝑘.\nWykaż, że prosta 𝑙 przechodząca przez środki 𝑆 i 𝑃 tych okręgów przecina prostą 𝑘 pod kątem\n𝛼= 30° (zobacz rysunek).\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\n29.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\nk\n𝑆\n𝑃\n𝑅= 6\n𝑟= 2\nl\nα\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\alpha=30^{\\circ}$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":15,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż równanie (𝑥ଷ+ 8)(𝑥ଶ-9) = 0.\nOdpowiedź:\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$x=-3$, $x=-2$, $x=3$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nW pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono n kul białych.\nDoświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że\nbędzie to kula biała, jest równe\nଵଵ\nଵଶ. Oblicz n.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$28$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":17,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nDany jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym podstawa 𝐴𝐵 ma długość 12, a każde\nz ramion 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 ma długość równą 10. Punkt 𝐷 jest środkiem ramienia 𝐵𝐶 (zobacz rysunek).\nOblicz sinus kąta 𝛼, jaki środkowa 𝐴𝐷 tworzy z ramieniem 𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nA\nB\nC\nD\n12\n10\n10\n𝛼\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$\\sin \\alpha = \\dfrac{24}{5\\sqrt{97}}$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":18,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nPole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego\nstożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$V = 72\\pi$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":20,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2020,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nProsta o równaniu 𝑦= -2𝑥+ 7 jest symetralną odcinka 𝑃𝑄, gdzie 𝑃= (4, 5). Oblicz\nwspółrzędne punktu Q.\n\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"$Q = \\left(-\\dfrac{4}{5}, \\dfrac{13}{5}\\right)$","image":"img/matematyka-2020-wrzesien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":22,"source":"zadaniazmatur","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · wrzesień 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}