{"paper":{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWartość wyrażenia √2 ⋅൫√2 -√3൯+ √3 ⋅൫√2 -√3൯ jest równa\nA. 5 -2√6\nB. 5\nC. 5 + 2√6\nD. -1\nRozwiązanie zadania. Wartość wyrażenia √2⋅(√2-√3) + √3⋅(√2-√3) jest równa A. 5-2√6 B. 5 C. 5+2√6 D. -1","answer":"D","answer_text":"1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę\npunktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWartość wyrażenia wynosi \\(-1\\).\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nZauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik \\((\\sqrt{2} - \\sqrt{3})\\).\n\nWyłączamy go przed nawias:\n\n\\[\\sqrt{2}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2} + \\sqrt{3})\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\]\n\nTo jest wzór na **różnicę kwadratów**: \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\), gdzie \\(a = \\sqrt{2}\\), \\(b = \\sqrt{3}\\):\n\n\\[(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = \\boxed{-1}\\]\n\n## Sposób 2 - wymnożenie nawiasów wprost\n\nMnożymy każdy nawias osobno, bez wyłączania czynnika:\n\n\\[\\sqrt{2}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} = 2 - \\sqrt{6}\\]\n\n\\[\\sqrt{3}\\cdot(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3} = \\sqrt{6} - 3\\]\n\nDodajemy:\n\n\\[(2 - \\sqrt{6}) + (\\sqrt{6} - 3) = 2 - \\sqrt{6} + \\sqrt{6} - 3 = 2 - 3 = \\boxed{-1}\\]\n\nSkładniki \\(-\\sqrt{6}\\) i \\(+\\sqrt{6}\\) **znoszą się** - to kluczowy moment.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyta w Sposobie 1: \\((\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka:\n\\[(\\sqrt{a})^2 = a \\quad \\text{dla } a \\geq 0\\]\nUżyta w obu sposobach: \\((\\sqrt{2})^2 = 2\\), \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(5 - 2\\sqrt{6}\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 = 2 - 2\\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\\sqrt{6}\\) - myli wyrażenie z kwadratem różnicy |\n| B: \\(5\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 2 + 2\\sqrt{6} + 3\\) i gubi \\(\\sqrt{6}\\), lub sumuje \\(2 + 3\\) bez znaku |\n| C: \\(5 + 2\\sqrt{6}\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 5 + 2\\sqrt{6}\\) - myli wyrażenie z kwadratem sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} = \\sqrt{6}\\), NIE \\(\\sqrt{5}\\)! To jeden z najczęstszych błędów przy pierwiastkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wymnożeniu nawiasów zawsze szukaj składników, które się znoszą - tu \\(-\\sqrt{6} + \\sqrt{6} = 0\\) eliminuje całkowicie wyrazy z pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy widzisz ten sam nawias w obu składnikach sumy, zawsze spróbuj wyłączyć go przed nawias - Sposób 1 jest wtedy dwukrotnie szybszy od wymnażania wprost.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\(\\sqrt{2}(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) + \\sqrt{3}(\\sqrt{2}-\\sqrt{3}) = (\\sqrt{2}+\\sqrt{3})(\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\).\nKorzystamy ze wzoru \\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\\):\n\\((\\sqrt{2})^2 - (\\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\(\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3} + \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{2} - \\sqrt{3}\\cdot\\sqrt{3} = 2 - \\sqrt{6} + \\sqrt{6} - 3 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5 - 2\\sqrt{6}\\)** - to \\((\\sqrt{2}-\\sqrt{3})^2\\), błąd znaku.\n- **B. \\(5\\)** - to \\((\\sqrt{2})^2 + (\\sqrt{3})^2\\), błędny wzór.\n- **C. \\(5 + 2\\sqrt{6}\\)** - to \\((\\sqrt{2}+\\sqrt{3})^2\\).\n\n**Trik:** rozpoznanie wspólnego czynnika \\((\\sqrt{2}-\\sqrt{3})\\) i zastosowanie wzoru skróconego mnożenia.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba ൭7\n5\n4 ⋅7\n1\n4 ൱\n2\n3\njest równa\nA. 7\n5\n3\nB. 7ଵ\nC. 7\n3\n2\nD. 7\n10\n3\nRozwiązanie zadania. Liczba (7^{5/4} ⋅ 7^{1/4})^{2/3} jest równa A. 7^{5/3} B. 7^1 C. 7^{3/2} D. 7^{10/3}","answer":"B","answer_text":"2 czerwca 2021 r.\nData publikacji\ndokumentu:","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(7^1 = 7\\)\n\n## Sposób 1 - Upraszczanie krok po kroku (działania na potęgach)\n\n**Krok 1: Upraszczamy wyrażenie w nawiasie.**\n\nMamy iloczyn potęg o tej samej podstawie - dodajemy wykładniki:\n\\[7^{\\frac{5}{4}} \\cdot 7^{\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{6}{4}} = 7^{\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 2: Podnosimy wynik do potęgi \\(\\frac{2}{3}\\).**\n\nPotęga potęgi - mnożymy wykładniki:\n\\[\\left(7^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{6}{6}} = 7^1 = 7\\]\n\n**Wynik: \\(\\boxed{7}\\)**\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do jednego ułamka od razu\n\nZamiast liczyć etapami, od razu zapisujemy całe wyrażenie jako potęgę siódemki i wyznaczamy jeden wykładnik:\n\nWykładnik całego wyrażenia wynosi:\n\\[\\left(\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4}\\right) \\cdot \\frac{2}{3}\\]\n\nObliczamy:\n\\[\\frac{5}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{6}{6} = 1\\]\n\nZatem wynik to \\(7^1 = 7\\). Zgadza się z Odpowiedzią B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n- \\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\) - użyte w Kroku 1 do zsumowania wykładników w nawiasie\n- \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) - użyte w Kroku 2 do potęgowania potęgi\n\nTo są dwa kluczowe wzory tego zadania. Oba są wprost na karcie CKE.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(7^{\\frac{5}{3}}\\) | Mnożenie tylko pierwszego wykładnika przez \\(\\frac{2}{3}\\): \\(\\frac{5}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{10}{12} = \\frac{5}{6}\\) - błąd, bo drugi składnik pominięto; albo obliczono \\(\\frac{5}{4} \\cdot \\frac{2}{3} + \\frac{1}{4}\\) w złej kolejności |\n| C: \\(7^{\\frac{3}{2}}\\) | Zatrzymanie się na Kroku 1 - obliczono poprawnie \\(7^{\\frac{3}{2}}\\) wewnątrz nawiasu, ale zapomniano podnieść do potęgi \\(\\frac{2}{3}\\) |\n| D: \\(7^{\\frac{10}{3}}\\) | Pominięcie dodawania wykładników - wzięto tylko \\(\\frac{5}{4}\\) i pomnożono przez 2, potem przez \\(\\frac{2}{3}\\): \\(\\frac{5}{4} \\cdot 2 \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{10}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Reguła \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) dotyczy CAŁEGO wykładnika w środku - najpierw musisz uprościć wnętrze nawiasu do jednej potęgi, a dopiero potem potęgować.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu ułamków \\(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{3}\\) - dwójki i trójki skracają się \"po krzyżu\", wynik to 1. Łatwo to przeoczyć i dostać coś innego niż całkowity wykładnik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(7^{\\frac{3}{2}}\\)) to wynik zadania w połowie drogi - klasyczna pułapka na uczniów, którzy spieszą się przy odczytywaniu zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności potęg\n\\(7^{\\frac{5}{4}}\\cdot 7^{\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{5}{4}+\\frac{1}{4}} = 7^{\\frac{6}{4}} = 7^{\\frac{3}{2}}\\).\nDalej \\(\\left(7^{\\frac{3}{2}}\\right)^{\\frac{2}{3}} = 7^{\\frac{3}{2}\\cdot\\frac{2}{3}} = 7^{1} = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Od razu łączne mnożenie wykładników\nWykładnik: \\(\\left(\\tfrac{5}{4}+\\tfrac{1}{4}\\right)\\cdot \\tfrac{2}{3} = \\tfrac{3}{2}\\cdot\\tfrac{2}{3} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(7^{5/3}\\)** - błędne sumowanie wykładników.\n- **C. \\(7^{3/2}\\)** - pominięto zewnętrzną potęgę.\n- **D. \\(7^{10/3}\\)** - pomnożono zamiast pomnożyć przez \\(\\tfrac{2}{3}\\).\n\n**Zasada:** \\(a^m\\cdot a^n = a^{m+n}\\), \\((a^m)^n = a^{mn}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nNiech logଷ18 = 𝑐. Wtedy logଷ54 jest równy\nA. 𝑐-1\nB. 𝑐\nC. 𝑐+ 1\nD. 𝑐+ 2\nRozwiązanie zadania. Niech log_3 18 = c. Wtedy log_3 54 jest równy A. c-1 B. c C. c+1 D. c+2.","answer":"C","answer_text":"3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZadanie 29. (0-2)\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥+ 3.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 𝑥2 -4𝑥+ 3 < 0.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 3\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\no odczyta z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑥+ 3 i zapisze miejsca zerowe\ni na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n\nrealizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma dwa różne\npierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, np.\no popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu\nkwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności,\no błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète’a, np. 𝑥1 + 𝑥2 = 3\ni konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań nierówności.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności: (1, 3) lub 𝑥∈(1, 3)\nALBO\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający podzieli obustronnie nierówność przez (𝑥-3), to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania, to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(\\log_3 54 = c + 1\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki i własności logarytmów\n\n**Zauważamy**, że \\(54 = 18 \\cdot 3\\). To kluczowa obserwacja!\n\nSkoro \\(\\log_3 18 = c\\), chcemy wyrazić \\(\\log_3 54\\) przez \\(c\\).\n\n\\[\n\\log_3 54 = \\log_3(18 \\cdot 3)\n\\]\n\nKorzystamy z własności logarytmu iloczynu:\n\n\\[\n\\log_3(18 \\cdot 3) = \\log_3 18 + \\log_3 3\n\\]\n\nPodstawiamy \\(\\log_3 18 = c\\) oraz \\(\\log_3 3 = 1\\) (bo \\(3^1 = 3\\)):\n\n\\[\n= c + 1\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\log_3 54 = c + 1\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozkład przez potęgi trójki\n\nRozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze:\n\n\\[\n18 = 2 \\cdot 3^2, \\qquad 54 = 2 \\cdot 3^3\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\n\\log_3 18 = \\log_3(2 \\cdot 3^2) = \\log_3 2 + \\log_3 3^2 = \\log_3 2 + 2 = c\n\\]\n\nCzyli **\\(\\log_3 2 = c - 2\\)**.\n\nTeraz liczymy \\(\\log_3 54\\):\n\n\\[\n\\log_3 54 = \\log_3(2 \\cdot 3^3) = \\log_3 2 + \\log_3 3^3 = \\log_3 2 + 3\n\\]\n\nPodstawiamy \\(\\log_3 2 = c - 2\\):\n\n\\[\n= (c - 2) + 3 = c + 1\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\log_3 54 = c + 1\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność logarytmu iloczynu:\n\\[\n\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\n\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach - rozbijając \\(\\log_3(18 \\cdot 3)\\) lub \\(\\log_3(2 \\cdot 3^3)\\).\n\nWłasność logarytmu potęgi:\n\\[\n\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\n\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_3 3^3 = 3 \\cdot \\log_3 3 = 3\\).\n\nDefinicja: \\(\\log_a a = 1\\) (bo \\(a^1 = a\\)), stąd \\(\\log_3 3 = 1\\). Wynika wprost z definicji na s. 5.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(c - 1\\) | Uczeń zauważa związek \\(54\\) i \\(18\\), ale myśli \\(54 = \\frac{18}{3}\\) (dzielenie zamiast mnożenia) - a \\(\\frac{18}{3} = 6\\), nie \\(54\\). Albo odejmuje \\(\\log_3 3\\) zamiast dodawać. |\n| B - \\(c\\) | Uczeń myli \\(\\log_3 54 = \\log_3(18+3)\\) i błędnie zakłada, że logarytm sumy = logarytm składników - ta własność **nie istnieje**. |\n| D - \\(c + 2\\) | Uczeń myśli, że \\(54 = 18 \\cdot 9 = 18 \\cdot 3^2\\), więc dodaje \\(2\\). Ale \\(18 \\cdot 9 = 162 \\neq 54\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm **iloczynu** to suma logarytmów: \\(\\log(AB) = \\log A + \\log B\\). Logarytm **sumy** nie ma takiego uproszczenia - \\(\\log(A+B) \\neq \\log A + \\log B\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy podany związek między liczbami (tu: \\(54\\) i \\(18\\)) jest mnożeniem, dzieleniem czy potęgowaniem - od tego zależy, którą własność logarytmu stosujesz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\log_3 3 = 1\\) (nie \\(0\\) i nie \\(3\\)!). Wartość \\(0\\) daje dopiero \\(\\log_3 1 = 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Rozkład 54 jako \\(3\\cdot 18\\)\n\\(\\log_{3}54 = \\log_{3}(3\\cdot 18) = \\log_{3}3 + \\log_{3}18 = 1 + c = c + 1\\).\n\n### Sposób 2 - Numerycznie\n\\(\\log_{3}18 \\approx 2{,}631\\), \\(\\log_{3}54 \\approx 3{,}631\\). Różnica równa 1.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(c - 1\\)** - odpowiednik \\(\\log_{3}6\\), nie 54.\n- **B. \\(c\\)** - brak różnicy.\n- **D. \\(c + 2\\)** - odpowiednik \\(\\log_{3}(9\\cdot 18) = \\log_{3}162\\).\n\n**Zasada:** \\(\\log_{a}(xy) = \\log_{a}x + \\log_{a}y\\) oraz \\(\\log_{a}a = 1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych\nzmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o\nA. 18%\nB. 28%\nC. 30%\nD. 72%\nRozwiązanie zadania. Cenę drukarki obniżono o 20%, a następnie nową cenę obniżono o 10%. W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o A. 18% B. 28% C. 30% D. 72%.","answer":"B","answer_text":"4 𝑎, 5\n4 𝑏 oraz wysokości 𝑥 taki, że spełniona jest\nrówność pól:\n𝑎+ 𝑏\n2\n⋅ℎ=\n5\n4 (𝑎+ 𝑏)\n2\n⋅𝑥\nPo pomnożeniu obu stron tej równości przez 2\n𝑎+𝑏 otrzymujemy ℎ= 5\n4 𝑥, czyli 𝑥= 4\n5 ℎ= 0,8ℎ.\nOznacza to, że wysokość ℎ trapezu została skrócona o 20%.\nZadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze związek między polami trójkątów 𝐹𝐵𝐶 oraz 𝐵𝐸𝐷: 𝑃𝐹𝐵𝐶= 9𝑃𝐵𝐸𝐷\nALBO\n\nzapisze, że trójkąty 𝐵𝐶𝐹 i 𝐵𝐸𝐷 są podobne\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy\n|𝐶𝐸|\n|𝐸𝐵|:\n|𝐶𝐸|\n|𝐸𝐵| = 2.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝐹 będzie spodkiem wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na\npodstawę 𝐴𝐵. Ponieważ 𝑃𝐴𝐷𝐸𝐶= 17𝑃𝐵𝐸𝐷 i trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc\n𝑃𝐹𝐵𝐶= 9𝑃𝐵𝐸𝐷.\nProsta 𝑘 jest równoległa do wysokości 𝐶𝐹, więc trójkąty 𝐵𝐶𝐹 i 𝐵𝐸𝐷 są podobne (na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów).\nZ twierdzenia o stosunku pól figur podobnych i warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝛥𝐹𝐵𝐶\n𝑃𝛥𝐵𝐸𝐷\n= (|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐵|)\n2\nwięc","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - cena spadła o \\(28\\%\\)\n\n## Sposób 1 - mnożenie współczynników procentowych\n\nZamiast liczyć każdą obniżkę osobno, użyjemy **współczynników zmiany**.\n\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza, że zostaje \\(80\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}8\\).\nObniżka o \\(10\\%\\) oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}9\\).\n\nPo obu obniżkach cena wynosi:\n\\[C_{\\text{końcowa}} = C_0 \\cdot 0{,}8 \\cdot 0{,}9 = C_0 \\cdot 0{,}72\\]\n\nCena końcowa to \\(72\\%\\) ceny wyjściowej, więc **spadła o**:\n\\[100\\% - 72\\% = \\mathbf{28\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - liczenie na konkretnej kwocie (np. \\(100\\) zł)\n\nPrzyjmijmy, że drukarka kosztuje \\(C_0 = 100\\) zł.\n\n**Krok 1:** Obniżka o \\(20\\%\\):\n\\[100 - 20\\% \\cdot 100 = 100 - 20 = 80 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2:** Nową cenę \\(80\\) zł obniżamy o \\(10\\%\\):\n\\[80 - 10\\% \\cdot 80 = 80 - 8 = 72 \\text{ zł}\\]\n\n**Łączny spadek:**\n\\[100 - 72 = 28 \\text{ zł}\\]\n\nNa wyjściowe \\(100\\) zł → spadek o \\(28\\) zł, czyli o \\(\\mathbf{28\\%}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie procentów i mnożenie współczynników. Jest to zadanie rachunkowe oparte na definicji procentu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(18\\%\\)) | Uczeń liczy \\(20\\% \\cdot 10\\% = 2\\%\\), czyli \"o ile obniżki się różnią\" lub robi inną błędną operację; wynik \\(18\\%\\) = \\(20\\% - 2\\%\\) - ta droga nie ma sensu rachunkowego |\n| C (\\(30\\%\\)) | Uczeń po prostu **dodaje** oba procenty: \\(20\\% + 10\\% = 30\\%\\). To klasyczny błąd - procenty obniżek **nie dodają się**, bo druga obniżka jest liczona od już obniżonej ceny |\n| D (\\(72\\%\\)) | Uczeń poprawnie oblicza, że cena końcowa to \\(72\\%\\) ceny wyjściowej, ale **zapomina odjąć od 100%** - podaje ile cena **wynosi**, a nie o ile **spadła** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Procenty obniżek **nie sumują się**! Dwie obniżki o \\(20\\%\\) i \\(10\\%\\) to **nie** to samo co jedna obniżka o \\(30\\%\\). Druga obniżka liczy się od już zmniejszonej ceny, więc efekt jest zawsze **mniejszy** niż suma procentów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(72\\%\\)) to cena **po obniżkach** wyrażona jako procent ceny wyjściowej - nie mylić z **procentem obniżki**! Pytanie brzmi \"o ile zmniejszyła się cena\", a nie \"ile wynosi nowa cena\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kolejnych zmianach procentowych zawsze działaj na **współczynnikach** (\\(0{,}8 \\cdot 0{,}9 = 0{,}72\\)), a nie na samych procentach - to najszybsza i najpewniejsza metoda.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Mnożniki procentowe\nPo pierwszej obniżce: \\(0{,}8\\) ceny początkowej.\nPo drugiej obniżce: \\(0{,}8\\cdot 0{,}9 = 0{,}72\\) ceny początkowej.\nObniżka łączna: \\(100\\% - 72\\% = 28\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Na liczbie 100\nCena 100 zł → \\(100 - 20 = 80\\) zł → \\(80 - 0{,}1\\cdot 80 = 72\\) zł. Obniżka \\(28\\) zł = \\(28\\%\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\%\\)** - błąd: \\(10\\% \\cdot 20\\% \\cdot \\) pomyłka.\n- **C. \\(30\\%\\)** - naiwne \\(20+10\\), brak uwzględnienia, że drugi rabat liczony od niższej ceny.\n- **D. \\(72\\%\\)** - pozostała cena, nie obniżka.\n\n**Uwaga:** obniżki kolejne mnożą się, nie dodają.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wyrażenie (𝑥-1)ଶ-(2 -𝑥)ଶ jest równe\nA. 2𝑥-3\nB. 2𝑥ଶ-6𝑥-3\nC. (2𝑥-3)ଶ\nD. 9\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dla każdej liczby rzeczywistej x wyrażenie (x-1)² - (2-x)² jest równe A. 2x-3 B. 2x^2-6x-3 C. (2x-3)^2 D. 9","answer":"A","answer_text":"5. Jeżeli zdający popełni błąd przy wypisywaniu wszystkich par (lub wskazywaniu gałęzi\nistotnych drzewa) i wypisze (wskaże) o jedną za mało lub o jedną za dużo, ale nie wypisze\n(wskaże) żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy\nprawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZdarzeniem elementarnym jest liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek 𝑥 i cyfrze jedności 𝑦,\ngdzie 𝑥∈{3, 4, 5, 6, 7, 8} oraz 𝑦∈{0, 1, 2, 3, 4}. Zatem zbiór wszystkich zdarzeń\nelementarnych Ω ma postać:\nΩ = {30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 50, 51, 52, 53, 54,\n60, 61, 62, 63, 64, 70, 71, 72, 73, 74, 80, 81, 82, 83, 84}\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 6 ⋅5 = 30.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4. Wtedy 𝐴= {32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84}. Zdarzeniu 𝐴 sprzyja więc 9 zdarzeń\nelementarnych, tj. |𝐴| = 9. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 9","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2x - 3\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory skróconego mnożenia\n\nRozwijamy oba kwadraty osobno, korzystając ze wzoru \\((a \\pm b)^2 = a^2 \\pm 2ab + b^2\\).\n\n**Krok 1:** Rozwijamy \\((x-1)^2\\):\n\\[(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy \\((2-x)^2\\):\n\\[(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\\]\n\n**Krok 3:** Odejmujemy:\n\\[(x-1)^2 - (2-x)^2 = (x^2 - 2x + 1) - (4 - 4x + x^2)\\]\n\nUwaga na minus przed nawiasem - zmieniamy znaki wszystkich wyrazów w drugim nawiasie:\n\\[= x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x - x^2\\]\n\n**Krok 4:** Redukujemy wyrazy podobne:\n\\[= (x^2 - x^2) + (-2x + 4x) + (1 - 4) = 0 + 2x - 3\\]\n\n\\[\\boxed{= 2x - 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że mamy wyrażenie postaci \\(A^2 - B^2\\), gdzie:\n\\[A = x - 1, \\quad B = 2 - x\\]\n\nStosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):\n\n\\[(x-1)^2 - (2-x)^2 = \\bigl[(x-1) - (2-x)\\bigr] \\cdot \\bigl[(x-1) + (2-x)\\bigr]\\]\n\n**Krok 1:** Liczymy pierwszy czynnik:\n\\[(x-1) - (2-x) = x - 1 - 2 + x = 2x - 3\\]\n\n**Krok 2:** Liczymy drugi czynnik:\n\\[(x-1) + (2-x) = x - 1 + 2 - x = 1\\]\n\n**Krok 3:** Mnożymy:\n\\[(2x-3) \\cdot 1 = \\mathbf{2x - 3}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - drugi czynnik wynosi \\(1\\), więc wynik od razu widać!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\n- \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) - użyte w Sposobie 1 do rozwinięcia obu kwadratów\n- \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - użyte w Sposobie 2 do faktoryzacji całego wyrażenia\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń oblicza \\((x-1)^2 + (2-x)^2\\) zamiast różnicy, lub nie redukuje \\(x^2\\) |\n| C | Uczeń widzi wynik \\(2x-3\\) i myśli, że trzeba go jeszcze podnieść do kwadratu - myli etapy obliczeń |\n| D | Uczeń błędnie oblicza \\((x-1)^2 - (2-x)^2 = (x-1-2+x)^2\\) i dostaje \\((2x-3)^2\\), a potem upraszcza losowo do stałej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem zmienia znaki WSZYSTKICH wyrazów. \\(-(4 - 4x + x^2)\\) to \\(-4 + 4x - x^2\\), nie \\(-4 - 4x - x^2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \\((2-x)^2\\) i \\((x-2)^2\\) są RÓWNE (kwadrat jest zawsze nieujemny, a \\((2-x) = -(x-2)\\), więc po podniesieniu do kwadratu wychodzi to samo). Możesz zamieniać kolejność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(2x-3\\) jest funkcją liniową - zależy od \\(x\\). Odpowiedź D (stała \\(9\\)) od razu powinna wzbudzić podejrzenie, bo wyrażenie nie jest stałe dla wszystkich \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a^2 - b^2\\)\n\\((x-1)^2 - (2-x)^2 = [(x-1) - (2-x)]\\cdot[(x-1) + (2-x)]\\).\nPierwszy czynnik: \\(x - 1 - 2 + x = 2x - 3\\).\nDrugi czynnik: \\(x - 1 + 2 - x = 1\\).\nIloczyn: \\((2x-3)\\cdot 1 = 2x - 3\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\), \\((2-x)^2 = 4 - 4x + x^2\\).\nRóżnica: \\(x^2 - 2x + 1 - 4 + 4x - x^2 = 2x - 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(2x^2 - 6x - 3\\)** - brak redukcji wyrazów kwadratowych.\n- **C. \\((2x-3)^2\\)** - błędna potęga.\n- **D. \\(9\\)** - tożsamość fałszywa.\n\n**Trik:** \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) zamiast rozwijać.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nWskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych 𝑥,\nspełniających jednocześnie nierówności 0 < 7 -3𝑥 oraz 7 -3𝑥≤5𝑥-3.\nA.\nB.\nC.\nD.\nRozwiązanie zadania. Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających jednocześnie nierówności 0 < 7-3x oraz 7-3x ≤ 5x-3.","answer":"B","answer_text":"6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 + 1\n6 ⋅1\n5 = 9\n30 = 3\n10\nUwaga:\nZdający może narysować drzewo stochastyczne, w którym na pierwszym etapie losujemy\ncyfrę nieparzystą lub parzystą.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 może być obliczone w następujący sposób:\n𝑃(𝐴) = 1\n2 ⋅1\n5 + 1\n2 ⋅1\n5 + 1\n2 ⋅1\n5 = 3\n10\nSposób 4.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4.\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia |Ω| = 6 ⋅5 = 30\nlub opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli\n𝟎\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟑\n30\n31\n32\n33\n34\n𝟒\n40\n41\n42\n43\n44\n𝟓\n50\n51\n52\n53\n54\n𝟔\n60\n61\n62\n63\n64\n𝟕\n70\n71\n72\n73\n74\n𝟖\n80\n81\n82\n83\n84\nWskazujemy elementy zbioru 𝐴′ i zliczamy je: |𝐴′| = 21. Ponieważ wszystkie zdarzenia\njednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji\nprawdopodobieństwa:\n𝑃(𝐴) = 1 -𝑃(𝐴′) = 1 -21\n30 = 9\n30 = 3\n10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 35. (0-5)\nZasady oceniania\ndla sposobów 1.-3.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwyznaczy równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na\nbok 𝐴𝐵: 𝑦= 1\n2 𝑥+ 4\nALBO\n\nobliczy długość ramienia 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √74\nALBO\n\nobliczy współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= 7\n5\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nobliczy współrzędne punktu 𝐷, będącego środkiem odcinka 𝐴𝐵: 𝐷= (24\n5 , 32\n5 )\nALBO\n\nzapisze równanie wynikające z równoramienności trójkąta 𝐴𝐵𝐶, umożliwiające\nobliczenie pierwszej współrzędnej 𝑥𝐴 punktu 𝐴:\n√(𝑥𝐴-(-2))\n2 + (-2𝑥𝐴+ 16 -3)2 = √(3 -(-2))\n2 + (10 -3)2\nALBO\n\nwyznaczy równanie prostej 𝐴𝐶: 𝑦= -1\n43 𝑥+ 127\n43\nZdający otrzymuje 3 p.\nobliczy współrzędne punktu 𝐴: 𝐴= (33\n5 , 14\n5 ).\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy obliczy długość podstawy 𝐴𝐵 i wysokość 𝐶𝐷 trójkąta: |𝐴𝐵| = 18√5\n5\n, |𝐶𝐷| = 17√5\n5 .\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy obliczy współrzędne punktu 𝐴 i obliczy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐴= (33\n5 , 14\n5 ), 𝑃𝐴𝐵𝐶= 153\n5 .\nUwaga:\nJeśli zdający realizuję strategię rozwiązania i popełnia jedynie błędy rachunkowe, to może\notrzymać 4 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia na żadnym\netapie rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, więc wysokość opuszczona z wierzchołka 𝐶 na podstawę\n𝐴𝐵 jest jednocześnie środkową trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nNiech 𝐷 będzie środkiem odcinka 𝐴𝐵.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐶𝐷, zawierającej wysokość trójkąta:\n𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏\n𝑎⋅(-2) = -1 (gdyż 𝐶𝐷⊥𝑦= -2𝑥+ 16)\n𝑎= 1\n2\n3 = 1\n2 ⋅(-2) + 𝑏 (gdyż 𝐶∈𝐶𝐷)\n𝑏= 4\nZatem prosta 𝐶𝐷 ma równanie 𝑦= 1\n2 𝑥+ 4.\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝐷 (tj. punktu, w którym przecinają się proste 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷):\n{𝑦= 1\n2 𝑥+ 4\n𝑦= -2𝑥+ 16\nStąd 𝑥= 24\n5 i 𝑦= 32\n5 , więc 𝐷= (24\n5 , 32\n5 ).\nKorzystamy z faktu, że 𝐷 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵 i obliczamy współrzędne punktu 𝐴:\n(24\n5 , 32\n5 ) = (𝑥𝐴+ 3\n2\n, 𝑦𝐴+ 10\n2\n)\n24\n5 = 𝑥𝐴+ 3\n2\ni 32\n5 = 𝑦𝐴+ 10\n2\nStąd 𝐴= (33\n5 , 14\n5 ).\nObliczamy długości podstawy 𝐴𝐵 i wysokości 𝐶𝐷 trójkąta:\n|𝐴𝐵| = √(3 -33\n5 )\n2\n+ (10 -14\n5 )\n2\n= √(-18\n5 )\n2\n+ (36\n5 )\n2\n= √324\n25 + 4 ⋅324\n25\n= √324\n25 ⋅5 = 18√5\n5\n|𝐶𝐷| = √(24\n5 -(-2))\n2\n+ (32\n5 -3)\n2\n= √(34\n5 )\n2\n+ (17\n5 )\n2\n= √4 ⋅289\n25\n+ 289\n25 = √289\n25 ⋅5 = 17√5\n5\nObliczamy pole 𝑃𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐶𝐷| = 1\n2 ⋅18√5\n5\n⋅17√5\n5\n= 153\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 2.\nNiech 𝑥𝐴 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐴. Punkt 𝐴 leży na prostej 𝑦= -2𝑥+ 16,\nwięc 𝐴= (𝑥𝐴, -2𝑥𝐴+ 16).\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Stąd\n√(𝑥𝐴-(-2))\n2 + (-2𝑥𝐴+ 16 -3)2 = √(3 -(-2))\n2 + (10 -3)2\ni dalej\n√(𝑥𝐴+ 2)2 + (-2𝑥𝐴+ 13)2 = √74\n5(𝑥𝐴)2 -48𝑥𝐴+ 99 = 0\nΔ = (-48)2 -4 ⋅5 ⋅99 = 324\n𝑥𝐴= 48 -18\n10\n= 3 lub 𝑥𝐴= 48 + 18\n10\n= 33\n5\nRozwiązanie 𝑥𝐴= 3 odrzucamy, gdyż wtedy punkty 𝐴 i 𝐵 pokrywałyby się.\nZatem 𝐴= (33\n5 , 14\n5 ).\nObliczymy pole 𝑃𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, korzystając ze wzoru\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 |(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|\nOtrzymujemy\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 |(3 -33\n5 ) (3 -14\n5 ) -(10 -14\n5 ) (-2 -33\n5 )| = 1\n2 ⋅|(-18\n5 ) ⋅1\n5 -36\n5 ⋅(-43\n5 )| =\n= 1\n2 ⋅|1530\n25 | = 153\n5\nSposób 3.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny o podstawie 𝐴𝐵. Niech 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵| = |∡𝐶𝐵𝐴|.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:\n{10 = 𝑎⋅3 + 𝑏\n3 = 𝑎⋅(-2) + 𝑏\nStąd 𝑎= 7\n5 i 𝑏= 29\n5 .\nProste 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 tworzą kąt ostry 𝛼, więc\ntg 𝛼= | 𝑎𝐵𝐶-𝑎𝐴𝐵\n1 + 𝑎𝐵𝐶⋅𝑎𝐴𝐵\n7\n5 -(-2)\n1 + 7\n5 ⋅(-2)\n| = |-17\n9 | = 17\n9\nProste 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 tworzą kąt ostry 𝛼, więc\ntg 𝛼= | 𝑎𝐴𝐶-𝑎𝐴𝐵\n1 + 𝑎𝐴𝐶⋅𝑎𝐴𝐵\n| = | 𝑎𝐴𝐶-(-2)\n1 + 𝑎𝐴𝐶⋅(-2)| = | 𝑎𝐴𝐶+ 2\n1 -2𝑎𝐴𝐶\nŁącząc ostatnie dwa równania, otrzymujemy kolejno\n| 𝑎𝐴𝐶+ 2\n1 -2𝑎𝐴𝐶\n| = 17\n9\n𝑎𝐴𝐶+ 2\n1 -2𝑎𝐴𝐶\n= 17\n9 lub 𝑎𝐴𝐶+ 2\n1 -2𝑎𝐴𝐶\n= -17\n9\n9(𝑎𝐴𝐶+ 2) = 17(1 -2𝑎𝐴𝐶) lub 9(𝑎𝐴𝐶+ 2) = -17(1 -2𝑎𝐴𝐶)\n43𝑎𝐴𝐶= -1 lub 25𝑎𝐴𝐶= 35\n𝑎𝐴𝐶= -1\n43 lub 𝑎𝐴𝐶= 7\n5\nRozwiązanie 𝑎𝐴𝐶= 7\n5 odrzucamy, gdyż wtedy proste 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 pokrywałyby się. Zatem\n𝑎𝐴𝐶= -1","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nZbiorem rozwiązań obu nierówności jednocześnie jest przedział \\(\\left\\langle \\dfrac{5}{4},\\ \\dfrac{7}{3} \\right)\\) - domknięty od lewej (wypełniony punkt w \\(\\frac{5}{4}\\)), otwarty od prawej (kółko w \\(\\frac{7}{3}\\)).\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie układu nierówności algebraicznie\n\nMamy dwie nierówności do spełnienia **jednocześnie**:\n\n\\[\\text{(I)}\\ \\ 0 < 7 - 3x \\qquad \\text{i} \\qquad \\text{(II)}\\ \\ 7 - 3x \\leq 5x - 3\\]\n\n**Nierówność (I):**\n\\[0 < 7 - 3x\\]\n\\[3x < 7\\]\n\\[x < \\frac{7}{3}\\]\n\n**Nierówność (II):**\n\\[7 - 3x \\leq 5x - 3\\]\n\\[7 + 3 \\leq 5x + 3x\\]\n\\[10 \\leq 8x\\]\n\\[x \\geq \\frac{10}{8} = \\frac{5}{4}\\]\n\n**Część wspólna** (oba warunki muszą być spełnione jednocześnie):\n\\[\\frac{5}{4} \\leq x < \\frac{7}{3}\\]\n\nJest to przedział \\(\\left\\langle \\dfrac{5}{4},\\ \\dfrac{7}{3} \\right)\\).\n\nNa osi liczbowej: **wypełniony punkt** w \\(\\frac{5}{4}\\) (nierówność ostra z lewej to \"≥\", więc kraniec należy) i **puste kółko** w \\(\\frac{7}{3}\\) (nierówność ostra, kraniec nie należy). To odpowiada rysunkowi **B**.\n\n## Sposób 2 - Spostrzeżenie: środkowy wyraz\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(7 - 3x\\) występuje w **obu** nierównościach - to ułatwia analizę.\n\nPodstawmy \\(t = 7 - 3x\\). Warunki stają się:\n\\[0 < t \\leq 5x - 3\\]\n\nZ pierwszego warunku: \\(t > 0\\), czyli \\(7 - 3x > 0\\), więc \\(x < \\frac{7}{3}\\). ✓\n\nPołączmy warunki bezpośrednio - z nierówności (I) i (II) mamy:\n\\[0 < 7 - 3x \\leq 5x - 3\\]\n\nTo daje nam **dwa ograniczenia naraz**. Z lewej strony: \\(x < \\frac{7}{3}\\), z prawej:\n\\[7 - 3x \\leq 5x - 3 \\implies x \\geq \\frac{5}{4}\\]\n\n**Weryfikacja krańców:**\n- \\(x = \\frac{5}{4}\\): \\(7 - 3 \\cdot \\frac{5}{4} = 7 - \\frac{15}{4} = \\frac{13}{4} > 0\\) ✓, \\(\\frac{13}{4} \\leq 5 \\cdot \\frac{5}{4} - 3 = \\frac{25}{4} - \\frac{12}{4} = \\frac{13}{4}\\) ✓ (kraniec należy)\n- \\(x = \\frac{7}{3}\\): \\(7 - 3 \\cdot \\frac{7}{3} = 0\\), a pierwsza nierówność wymaga \\(0 < 0\\) - **fałsz** ✗ (kraniec nie należy)\n\nWynik potwierdzony: \\(\\left\\langle \\dfrac{5}{4},\\ \\dfrac{7}{3} \\right)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowe przekształcanie nierówności liniowych (przenoszenie wyrazów, dzielenie przez liczbę dodatnią).\n\n> **Ważna zasada (nie na karcie, ale fundamentalna):** Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** - znak nierówności się odwraca. Tutaj nie było takiej potrzeby (dzieliliśmy przez \\(+3\\) i \\(+8\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Rysunek może pokazywać półprostą lub inny przedział - nie odpowiada zbiorowi \\(\\left\\langle \\frac{5}{4}, \\frac{7}{3} \\right)\\) |\n| C | Wynik \\(\\left(-\\infty, \\frac{7}{3}\\right)\\) - uczeń rozwiązał **tylko** nierówność (I), zapomniał o warunku (II), który narzuca ograniczenie \\(x \\geq \\frac{5}{4}\\) |\n| D | Wynik \\(\\left\\langle \\frac{5}{4}, +\\infty \\right)\\) - uczeń rozwiązał **tylko** nierówność (II), zapomniał o warunku (I), który narzuca ograniczenie \\(x < \\frac{7}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy kraniec **należy** do przedziału! Nierówność \\(\\leq\\) lub \\(\\geq\\) → wypełniony punkt; nierówność ostra \\(<\\) lub \\(>\\) → puste kółko. Tutaj \\(\\frac{5}{4}\\) należy (znak \"≤\" w nierówności II), a \\(\\frac{7}{3}\\) nie należy (znak \"<\" w nierówności I).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu układu nierówności zawsze bierz **część wspólną** (przekrój) obu zbiorów rozwiązań - nie sumę! Oba warunki muszą być spełnione **jednocześnie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przenosząc \\(-3x\\) na drugą stronę, otrzymujesz \\(+3x\\) (zmiana znaku). Łatwo tu o pomyłkę przy spieszeniu się - zawsze sprawdź kierunek nierówności po przekształceniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie obu nierówności\nI: \\(0 < 7 - 3x \\Rightarrow 3x < 7 \\Rightarrow x < \\tfrac{7}{3}\\).\nII: \\(7 - 3x \\le 5x - 3 \\Rightarrow 10 \\le 8x \\Rightarrow x \\ge \\tfrac{10}{8} = \\tfrac{5}{4}\\).\nCzęść wspólna: \\(x \\in \\left\\langle\\tfrac{5}{4}, \\tfrac{7}{3}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie krańców\n\\(x = \\tfrac{5}{4}\\): I: \\(7 - \\tfrac{15}{4} = \\tfrac{13}{4} > 0\\) ✓; II: \\(\\tfrac{13}{4} \\le \\tfrac{25}{4} - 3 = \\tfrac{13}{4}\\) ✓ (równość - należy).\n\\(x = \\tfrac{7}{3}\\): I: \\(7 - 7 = 0\\) - nierówność ostra, nie należy.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zaznaczono przedział nieograniczony z prawej.\n- **C. \\((-\\infty, \\tfrac{7}{3})\\)** - tylko pierwsza nierówność.\n- **D.** \\(\\left\\langle\\tfrac{5}{4}, +\\infty\\right)\\) - tylko druga.\n\n**Uwaga:** w B kropka przy \\(\\tfrac{5}{4}\\) (zamknięty), kółko przy \\(\\tfrac{7}{3}\\) (otwarty).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRozwiązaniem równania 𝑥√3 + 2 = 2𝑥-8 jest liczba\nA. 10൫2 + √3൯\nB. 10\nඥ3-2\nC. 10൫√3 -2൯\nD.\nඥ3+10\n2\nRozwiązanie zadania. Rozwiązaniem równania x√3 + 2 = 2x-8 jest liczba A. 10(2+√3) B. 10/√3-2 C. 10(√3-2) D. √3+10/2.","answer":"A","answer_text":"7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(10(2 + \\sqrt{3})\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie x i racjonalizacja mianownika\n\n**Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, resztę na prawą:**\n\n\\[x\\sqrt{3} + 2 = 2x - 8\\]\n\n\\[x\\sqrt{3} - 2x = -8 - 2\\]\n\n\\[x(\\sqrt{3} - 2) = -10\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez \\((\\sqrt{3} - 2)\\):**\n\n\\[x = \\frac{-10}{\\sqrt{3} - 2}\\]\n\nMamy ułamek z irracjonalnym mianownikiem - **racjonalizujemy**, mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie \\((\\sqrt{3} + 2)\\):\n\n\\[x = \\frac{-10}{\\sqrt{3} - 2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3} + 2}{\\sqrt{3} + 2} = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{(\\sqrt{3})^2 - 2^2}\\]\n\n\\[x = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{3 - 4} = \\frac{-10(\\sqrt{3} + 2)}{-1}\\]\n\n\\[\\boxed{x = 10(\\sqrt{3} + 2) = 10(2 + \\sqrt{3})}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 10(2 + \\sqrt{3})\\) spełnia równanie. Wyznaczamy składniki:\n\n\\[x = 20 + 10\\sqrt{3}\\]\n\n**Lewa strona:**\n\\[x\\sqrt{3} + 2 = (20 + 10\\sqrt{3})\\cdot\\sqrt{3} + 2 = 20\\sqrt{3} + 10 \\cdot 3 + 2 = 20\\sqrt{3} + 32\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[2x - 8 = 2(20 + 10\\sqrt{3}) - 8 = 40 + 20\\sqrt{3} - 8 = 20\\sqrt{3} + 32\\]\n\nLewa = Prawa = \\(20\\sqrt{3} + 32\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy algebra elementarna (wyłączanie przed nawias) oraz technika racjonalizacji mianownika (wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) z **Działu 6, s. 7**):\n\n\\[({\\sqrt{3} - 2})(\\sqrt{3} + 2) = (\\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1\\]\n\nTo kluczowy krok - właśnie dlatego dwa minusy się \"znoszą\" i wynik jest dodatni.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość przybliżona | Typowy błąd |\n| **B** | \\(\\approx -37{,}3\\) | Racjonalizuje się przez \\((\\sqrt{3}+2)\\), ale zapomina, że \\((\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2) = -1\\), nie \\(+1\\). Wynik zmienia znak: \\(\\frac{-10}{\\sqrt{3}-2} \\ne \\frac{10}{\\sqrt{3}-2}\\) |\n| **C** | \\(\\approx -2{,}7\\) | Racjonalizuje się przez \\((\\sqrt{3}-2)\\) zamiast przez sprzężenie \\((\\sqrt{3}+2)\\). Mianownik wtedy: \\((\\sqrt{3}-2)^2 = 3 - 4\\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\\sqrt{3}\\) - wynik się nie upraszcza, a uczeń \"zgaduje\" \\(10(\\sqrt{3}-2)\\) |\n| **D** | \\(\\approx 5{,}87\\) | Po doprowadzeniu do \\(x\\sqrt{3} + 10 = 2x\\) uczeń traktuje \\(\\sqrt{3}\\) jako **stałą** (nie jako współczynnik \\(x\\)) i dzieli \\((\\sqrt{3} + 10)\\) przez \\(2\\) - błąd: pomija \\(x\\) przy \\(\\sqrt{3}\\) po lewej stronie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizacji \\(\\frac{a}{\\sqrt{3}-2}\\) mnożymy przez **sprzężenie** \\((\\sqrt{3}+2)\\), a **nie** przez \\((\\sqrt{3}-2)\\). Sprzężenie zmienia tylko znak środkowy sumy/różnicy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((\\sqrt{3}-2)(\\sqrt{3}+2) = 3 - 4 = \\mathbf{-1}\\) - wynik **ujemny**, bo \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}73 < 2\\). Oba minusy w liczniku i mianowniku muszą się skasować - dopiero wtedy wychodzi wynik dodatni.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów z \\(x\\): \\(x\\sqrt{3} - 2x = x(\\sqrt{3} - 2)\\) - pamiętaj wyłączyć \\(x\\) przed nawias, bo tylko wtedy możesz podzielić obie strony przez \\((\\sqrt{3}-2)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przeniesienie wyrazów\n\\(x\\sqrt{3} + 2 = 2x - 8\\)\n\\(x\\sqrt{3} - 2x = -8 - 2\\)\n\\(x(\\sqrt{3} - 2) = -10\\)\n\\(x = \\dfrac{-10}{\\sqrt{3} - 2}\\)\nRacjonalizujemy mnożąc licznik i mianownik przez \\((\\sqrt{3}+2)\\):\n\\(x = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{(\\sqrt{3})^2 - 2^2} = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{3-4} = \\dfrac{-10(\\sqrt{3}+2)}{-1} = 10(\\sqrt{3}+2) = 10(2+\\sqrt{3})\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi A\nDla \\(x = 10(2+\\sqrt{3}) = 20 + 10\\sqrt{3}\\):\nL: \\((20+10\\sqrt{3})\\sqrt{3} + 2 = 20\\sqrt{3} + 30 + 2 = 20\\sqrt{3} + 32\\).\nP: \\(2(20+10\\sqrt{3}) - 8 = 40 + 20\\sqrt{3} - 8 = 20\\sqrt{3} + 32\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{10}{\\sqrt{3}-2}\\)** - brak znaku minus.\n- **C. \\(10(\\sqrt{3}-2)\\)** - błąd znaku.\n- **D. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}+10}{2}\\)** - nieprawidłowa algebra.\n\n**Trik:** racjonalizacja mianownika przez sprzężenie.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównanie 𝑥2-7𝑥\n𝑥2-49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n5\n4\n7\n3\n𝑥\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Równanie x²-7x / x²-49 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"A","answer_text":"8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - jedno rozwiązanie.\n\n## Sposób 1 - Dziedzina + uproszczenie ułamka\n\n**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.**\n\nMianownik \\(x^2 - 49\\) nie może być równy zero:\n\\[x^2 - 49 \\neq 0 \\implies x \\neq 7 \\text{ i } x \\neq -7\\]\n\nDziedzina: \\(\\mathbb{R} \\setminus \\{-7, 7\\}\\).\n\n**Krok 2: Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki.**\n\n\\[x^2 - 7x = x(x - 7)\\]\n\\[x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[\\frac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)} = 0\\]\n\n**Krok 3: Skracamy ułamek - ALE tylko w dziedzinie!**\n\nCzynnik \\((x-7)\\) możemy skrócić, bo wiemy już, że \\(x \\neq 7\\), więc \\(x - 7 \\neq 0\\):\n\\[\\frac{x}{x+7} = 0\\]\n\n**Krok 4: Rozwiązujemy.**\n\nUłamek równa się zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0** (mianownik \\(\\neq 0\\)):\n\\[x = 0\\]\n\nSprawdzamy: \\(x = 0\\) należy do dziedziny (nie jest \\(\\pm 7\\)). ✓\n\n**Jedyne rozwiązanie: \\(x = 0\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z warunku: licznik = 0, mianownik ≠ 0\n\nUłamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(L = 0\\) **i** \\(M \\neq 0\\).\n\n**Warunek \\(L = 0\\):**\n\\[x^2 - 7x = 0 \\implies x(x-7) = 0 \\implies x = 0 \\text{ lub } x = 7\\]\n\n**Warunek \\(M \\neq 0\\):**\n\\[x^2 - 49 \\neq 0 \\implies x \\neq 7 \\text{ i } x \\neq -7\\]\n\nSprawdzamy kandydatów:\n- \\(x = 0\\): mianownik \\(= 0 - 49 = -49 \\neq 0\\) ✓ - **jest rozwiązaniem**\n- \\(x = 7\\): mianownik \\(= 49 - 49 = 0\\) ✗ - **odpada (zero w mianowniku)**\n\n**Jedyne rozwiązanie: \\(x = 0\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozkładu mianownika: \\(x^2 - 49 = (x-7)(x+7)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń liczy miejsca zerowe licznika (\\(x = 0\\) i \\(x = 7\\)) i zapomina sprawdzić dziedziny. Oba traktuje jako rozwiązania. |\n| C | Uczeń myli miejsca zerowe licznika z mianownikiem i dodaje \\(x = -7\\) do \"rozwiązań\". |\n| D | Kombinacja powyższych błędów - uczeń znajduje 4 wartości (\\(0, 7, -7\\) i jeszcze coś) nie rozumiejąc, co tu jest pytane. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(x = 7\\) **zeruje zarówno licznik, jak i mianownik** - to nie jest rozwiązanie równania, to punkt **wyłączony z dziedziny**. Ułamek w \\(x = 7\\) w ogóle nie istnieje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skracanie \\((x-7)\\) jest legalne tylko dlatego, że wcześniej wykluczyliśmy \\(x = 7\\) z dziedziny. Nie wolno skracać \"na ślepo\", a potem sprawdzać - kolejność ma znaczenie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada ogólna - **ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 i mianownik ≠ 0**. Ta zasada rozwiązuje cały typ tych zadań jednym krokiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozkład i dziedzina\nDziedzina: \\(x^2 - 49 \\ne 0 \\Rightarrow x \\ne \\pm 7\\).\nLicznik: \\(x^2 - 7x = x(x - 7) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = 7\\).\nRozwiązanie \\(x = 7\\) odrzucamy (poza dziedziną). Zostaje tylko \\(x = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie\n\\(\\dfrac{x(x-7)}{(x-7)(x+7)} = \\dfrac{x}{x+7} = 0 \\Rightarrow x = 0\\) (przy \\(x \\ne \\pm 7\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - nie uwzględniono dziedziny (odrzucenia \\(x = 7\\) i \\(x = -7\\)).\n\n**Zasada:** ułamek równy zero, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej w zbiorze (-1, 7).\nWskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja 𝑓 ma trzy miejsca zerowe.\nB. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest ⟨-1, 1).\nC. Funkcja 𝑓 osiąga wartość największą równą 1.\nD. Funkcja 𝑓 osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (-1, 0).\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze (-1,7). Wskaż zadanie prawdziwe. A. Funkcja f ma trzy miejsca zerowe. B. Zbiorem wartości funkcji f jest <-1,1). C. Funkcja f osiąga wartość największą równą 1. D. Funkcja f osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru (-1,0).","answer":"C","answer_text":"9 = (\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐵|)\n2\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐵| = 3\n|𝐵𝐸| + |𝐸𝐶|\n|𝐸𝐵|\n= 3\n|𝐵𝐸|\n|𝐵𝐸| + |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐵| = 3\n|𝐶𝐸|\n|𝐸𝐵| = 2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\ndla sposobów 1.-4.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 6 ⋅5\nALBO\n\nzapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 lub poda ich liczbę:\n|𝐴| = 9\nALBO\n\nnarysuje drzewo doświadczenia:\na) składające się ze wszystkich 30 gałęzi i zapisze na co najmniej jednym odcinku\nkażdego z etapów odpowiednie prawdopodobieństwo lub wskaże wszystkie istotne\ngałęzie na tym drzewie\nALBO\nb) składające się z mniej niż 30 gałęzi, ale wskaże na nim wszystkie gałęzie\nodpowiadające wylosowaniu liczby podzielnej przez 4\nALBO\n\nzapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴′ lub poda ich\nliczbę: |𝐴′| = 21\ni na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴: 𝑃(𝐴) = 9\n30 = 3\n10 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko: |𝐴| = 9, |Ω| = 30, 𝑃(𝐴) = 9\n30, lub zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 9\n30\nlub tylko 9\n30 , to otrzymuje 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 30 pustych polach, to otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający narysuje tylko drzewko i nie wskaże wszystkich istotnych gałęzi na tym\ndrzewie ani nie opisze żadnej gałęzi, to otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający zapisze tylko liczby 30 lub 9 lub 21 i z rozwiązania zadania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nFunkcja \\(f\\) osiąga wartość największą równą \\(1\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu\n\nW zadaniach tego typu analizujemy wykres i sprawdzamy każde zdanie po kolei. Kluczowe pytania:\n- Ile razy wykres przecina oś \\(OX\\)?\n- Jakie wartości \\(y\\) przyjmuje funkcja (zbiór wartości)?\n- Jaka jest największa wartość?\n- Gdzie funkcja jest ujemna?\n\n**Odczytujemy z wykresu:**\n\nZ opisu osi widzimy, że zaznaczone wartości na osi \\(y\\) to \\(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\\). Funkcja jest określona na \\((-1, 7)\\) i:\n- **Najwyższy punkt wykresu leży na poziomie \\(y = 1\\)** - to wartość największa.\n- Wykres schodzi poniżej osi \\(x\\), osiągając wartości ujemne (nawet \\(-3\\)).\n- Na odcinku \\((-1, 0)\\) wykres przebiega powyżej osi \\(x\\) lub przez zero - funkcja NIE przyjmuje tam wartości ujemnych.\n\n**Sprawdzamy zdanie C:**\n> \"Funkcja \\(f\\) osiąga wartość największą równą \\(1\\).\"\n\nNajwyższy punkt wykresu to \\(y = 1\\) (wykres dotyka poziomu \\(y = 1\\), ale nie przekracza go). **Zdanie C jest prawdziwe.**\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez sprawdzenie pozostałych zdań\n\nSprawdzamy zdania A, B, D i pokazujemy, że każde jest fałszywe:\n\n**Zdanie A:** *\"Funkcja \\(f\\) ma trzy miejsca zerowe.\"*\nZ wykresu odczytujemy punkty przecięcia z osią \\(OX\\). Wykres przecina oś \\(x\\) w **dwóch** punktach (nie trzech). Zdanie **fałszywe**.\n\n**Zdanie B:** *\"Zbiorem wartości funkcji \\(f\\) jest \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).\"*\nSkoro wykres osiąga wartości sięgające nawet \\(-3\\) lub \\(-2\\) (wykres wyraźnie schodzi poniżej \\(-1\\)), zbiór wartości **nie jest** ograniczony od dołu przez \\(-1\\). Zdanie **fałszywe**.\n\n**Zdanie D:** *\"Funkcja \\(f\\) osiąga wartości ujemne dla argumentów ze zbioru \\((-1, 0)\\).\"*\nNa przedziale \\((-1, 0)\\) wykres funkcji przebiega **powyżej** osi \\(x\\) (wartości są nieujemne). Zdanie **fałszywe**.\n\nSkoro A, B, D są fałszywe - **musi być prawdziwe C**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wykresu funkcji (wartości, miejsca zerowe, monotoniczność).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Pomyłka przy liczeniu przecięć wykresu z osią \\(OX\\) - uczeń liczy punkty \"bliskie osi\" zamiast dokładnych przecięć |\n| B | Uczeń patrzy tylko na zakres argumentów \\((-1, 7)\\) zamiast na wartości \\(y\\) (skala osi \\(OY\\)) |\n| D | Uczeń patrzy na etykietę \"\\(-1\\)\" na osi \\(x\\) i myli ją z wartościami funkcji; nie śledzi przebiegu wykresu na tym odcinku |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **dziedziny** funkcji (zbiór argumentów \\(x\\)) z **zbiorem wartości** (zbiór \\(y\\)). Zdanie B podsuwa przedział \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\) - ale \\(-1\\) to granica dziedziny, nie minimum wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu miejsc zerowych upewnij się, że wykres **rzeczywiście przecina** oś \\(OX\\) (zmienia znak), a nie tylko do niej dochodzi i zawraca (dotknięcie to też zero, ale jeden punkt - nie dwa!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wartość największa\" to \\(\\max y\\) odczytane z wykresu. Sprawdź dokładnie, czy wykres dosięga siatki \\(y = 1\\) czy może \\(y = 2\\) - tu decyduje milimetr na rysunku, więc czytaj uważnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nZ wykresu: funkcja przyjmuje największą wartość \\(1\\) (osiągana m.in. na odcinku poziomym między \\(x = 5\\) a \\(x = 6\\) oraz w \\(x = -1\\) - wartość \\(1\\)).\nMaksimum = \\(1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. Trzy miejsca zerowe** - z wykresu widać tylko \\(2\\) miejsca zerowe (około \\(x = 2\\) oraz \\(x = 7\\), choć 7 nie należy do dziedziny). Faktycznie są dwa.\n- **B. Zbiór wartości \\(\\langle-1,1\\rangle\\)** - kraniec \\(-1\\) nie jest osiągany (otwarte kółka), a najmniejsza wartość to \\(-1\\) (osiągana).\n- **D.** Na \\((-1, 0)\\) funkcja przyjmuje wartości dodatnie (maleje od \\(1\\) do \\(0\\) na początku).\n\n**Uwaga:** z wykresu maksimum to wyraźnie \\(1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -3(𝑥+ 4)(𝑥-2) jest\nparabola o wierzchołku 𝑊= (𝑝, 𝑞). Współrzędne wierzchołka 𝑊 spełniają warunki\nA. 𝑝> 0 i 𝑞> 0\nB. 𝑝< 0 i 𝑞> 0\nC. 𝑝< 0 i 𝑞< 0\nD. 𝑝> 0 i 𝑞< 0\n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥\n𝑦\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 11. i 12.\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓. Jednym z miejsc\nzerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji 𝑓 należy punkt (0, 3). Prosta o równaniu\n𝑥= -2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓.\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3). Prosta o równaniu x=-2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Wartość funkcji $f$ dla argumentu $(-4)$ jest równa A. -2 B. 0 C. 3 D. 4","answer":"B","answer_text":"10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(p < 0\\) i \\(q > 0\\)\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa → postać kanoniczna\n\nMamy funkcję w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -3(x+4)(x-2)\\]\n\n**Krok 1: Znajdź miejsca zerowe.**\n\nMiejsca zerowe to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\):\n\\[x_1 = -4, \\quad x_2 = 2\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współrzędną \\(p\\) wierzchołka.**\n\nWierzchołek leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 2}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\nZatem \\(p = -1 < 0\\). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz współrzędną \\(q\\) wierzchołka.**\n\nPodstawiamy \\(x = p = -1\\) do wzoru funkcji:\n\\[q = f(-1) = -3 \\cdot (-1+4) \\cdot (-1-2) = -3 \\cdot 3 \\cdot (-3) = -3 \\cdot (-9) = 27\\]\n\nZatem \\(q = 27 > 0\\). ✓\n\n**Wniosek:** \\(p < 0\\) i \\(q > 0\\) → **odpowiedź B**.\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzory na wierzchołek\n\nRozwijamy nawiasy:\n\\[f(x) = -3(x+4)(x-2) = -3(x^2 + 4x - 2x - 8) = -3(x^2 + 2x - 8)\\]\n\\[f(x) = -3x^2 - 6x + 24\\]\n\nMamy \\(a = -3\\), \\(b = -6\\), \\(c = 24\\).\n\n**Wyznaczamy \\(p\\):**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2 \\cdot (-3)} = -\\frac{-6}{-6} = -1\\]\n\nZatem \\(p = -1 < 0\\). ✓\n\n**Wyznaczamy \\(\\Delta\\) i \\(q\\):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \\cdot (-3) \\cdot 24 = 36 + 288 = 324\\]\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} = -\\frac{324}{4 \\cdot (-3)} = -\\frac{324}{-12} = 27\\]\n\nZatem \\(q = 27 > 0\\). ✓\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1: **odpowiedź B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyte w Sposobie 2 do bezpośredniego obliczenia \\(p\\) i \\(q\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa (wzory Viète'a):\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 - wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi (wynika ze wzorów Viète'a: \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\), a \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4+2}{2}\\) poprawnie, ale myli znak - myśli, że \\(\\frac{-2}{2} = 1 > 0\\) zamiast \\(-1 < 0\\) |\n| C | Poprawnie wyznacza \\(p < 0\\), ale przy obliczaniu \\(q\\) gubi znak \\(-3 \\cdot 3 \\cdot (-3)\\) i wychodzi \\(q < 0\\) |\n| D | Myli się przy wyznaczaniu \\(p\\): bierze środek między \\(|x_1|\\) i \\(|x_2|\\) jako \\(\\frac{4+2}{2} = 3 > 0\\) - zapomina o znakach miejsc zerowych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek między miejscami zerowymi to \\(\\frac{x_1 + x_2}{2}\\) - pamiętaj o znakach! Tu \\(x_1 = -4\\), więc \\(\\frac{-4+2}{2} = -1\\), nie \\(\\frac{4+2}{2} = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(q = f(p)\\) mamy trzy czynniki: \\(-3\\), \\((p+4)\\) i \\((p-2)\\). Dwa minusy dają plus - nie zgub żadnego znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola ma ramiona skierowane **w dół** (współczynnik \\(a = -3 < 0\\)), więc wierzchołek jest najwyższym punktem wykresu - \\(q > 0\\) jest tu jak najbardziej możliwe. Nie zakładaj pochopnie, że „ujemna parabola\" oznacza ujemny wierzchołek.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Oś symetrii\nMiejsca zerowe: \\(-4\\) i \\(2\\). Oś symetrii: \\(p = \\dfrac{-4+2}{2} = -1 < 0\\).\nWspółczynnik \\(a = -3 < 0\\) - ramiona w dół, wierzchołek to maksimum.\n\\(q = f(-1) = -3(-1+4)(-1-2) = -3\\cdot 3\\cdot(-3) = 27 > 0\\).\nStąd \\(p < 0\\) i \\(q > 0\\).\n\n### Sposób 2 - Graficznie\nParabola z ramionami w dół i miejscami zerowymi \\(-4, 2\\) ma wierzchołek ponad osią OX i między tymi miejscami zerowymi (po lewej od zera).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, D** - \\(p > 0\\), ale oś symetrii leży w \\(-1\\).\n- **C** - \\(q < 0\\), ale wierzchołek jest maksimum dodatnim.\n\n**Zasada:** oś symetrii: \\(p = \\tfrac{x_1+x_2}{2}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. -2\nB. -3\nC. -4\nD. -6\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono \\uline{fragment} wykresu funkcji kwadratowej f. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba 2. Do wykresu funkcji f należy punkt (0,3). Prosta o równaniu x=-2 jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji f. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. -2 B. -3 C. -4 D. -6","answer":"D","answer_text":"11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(-6\\))\n\n## Sposób 1 - oś symetrii jako środek między miejscami zerowymi\n\nKluczowa własność paraboli: **oś symetrii przechodzi przez punkt leżący dokładnie w połowie między miejscami zerowymi**. Innymi słowy, oś symetrii to środek odcinka łączącego oba miejsca zerowe.\n\nNiech drugie miejsce zerowe wynosi \\(x_2\\). Mamy:\n\n\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = p\\]\n\ngdzie \\(p\\) to odcięta osi symetrii. Podstawiamy \\(x_1 = 2\\), \\(p = -2\\):\n\n\\[\\frac{2 + x_2}{2} = -2\\]\n\n\\[2 + x_2 = -4\\]\n\n\\[\\boxed{x_2 = -6}\\]\n\n## Sposób 2 - postać iloczynowa + punkt (0, 3)\n\nKorzystamy z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej:\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nWiemy, że \\(x_1 = 2\\), więc:\n\n\\[f(x) = a(x - 2)(x - x_2)\\]\n\nPodstawiamy punkt \\((0, 3)\\), czyli \\(f(0) = 3\\):\n\n\\[a(0 - 2)(0 - x_2) = 3\\]\n\\[a \\cdot (-2) \\cdot (-x_2) = 3\\]\n\\[2a x_2 = 3 \\quad \\Rightarrow \\quad a = \\frac{3}{2x_2}\\]\n\nTeraz korzystamy z warunku na oś symetrii. Dla postaci \\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\) oś symetrii to:\n\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = -2\\]\n\n\\[\\frac{2 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Rightarrow \\quad x_2 = -6\\]\n\nSprawdzamy wartość \\(a\\):\n\n\\[a = \\frac{3}{2 \\cdot (-6)} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nWeryfikacja punktu \\((0, 3)\\):\n\n\\[f(0) = -\\frac{1}{4}(0-2)(0+6) = -\\frac{1}{4} \\cdot (-2) \\cdot 6 = -\\frac{1}{4} \\cdot (-12) = 3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek i oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad W = (p, q)\\]\nOś symetrii to prosta \\(x = p\\). W Sposobie 1 skorzystaliśmy z faktu, że \\(p\\) jest środkiem między miejscami zerowymi.\n\n**Dział 7 - postać iloczynowa:**\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(x_2\\) i \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(-2\\)) | Uczeń podaje odcięta osi symetrii jako drugie miejsce zerowe - to inna rzecz! Oś symetrii to prosta \\(x = -2\\), a nie zero funkcji. |\n| B (\\(-3\\)) | Brak sensu geometrycznego - środek między \\(2\\) a \\(-3\\) to \\(-0{,}5 \\neq -2\\). Prawdopodobnie błędne obliczenie odległości. |\n| C (\\(-4\\)) | **Najczęstszy błąd**: uczeń liczy „\\(-2\\) minus \\(2\\) to \\(-4\\)\", odejmując wartość pierwszego zera od osi. Zapomina, że odległość od \\(x_1 = 2\\) do osi \\(x = -2\\) wynosi \\(4\\) (nie \\(2\\)), więc drugie zero jest o \\(4\\) dalej w lewo od osi: \\(-2 - 4 = -6\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to **środek** między zerami - nie chodzi o to, żeby odjąć wartość jednego zera od osi, ale żeby obliczyć odległość od zera do osi i tyle samo odmierzyć po drugiej stronie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(-2\\)) to pułapka na nieuważnych - \\(-2\\) pojawia się w treści zadania jako oś symetrii, ale nie jako miejsce zerowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((0, 3)\\) nie jest potrzebny do znalezienia drugiego miejsca zerowego (wystarczy sam warunek osi symetrii) - ale pozwala wyznaczyć współczynnik \\(a\\) i w pełni opisać funkcję. Dobrze z niego skorzystać przy weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Symetria miejsc zerowych\nOś symetrii \\(x = -2\\) leży w środku między miejscami zerowymi \\(x_1\\) i \\(x_2\\).\n\\(\\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -2\\). Wiemy \\(x_1 = 2\\). Stąd \\(2 + x_2 = -4 \\Rightarrow x_2 = -6\\).\n\n### Sposób 2 - Odległość od osi symetrii\nMiejsce zerowe \\(2\\) odległe od \\(-2\\) o \\(4\\). Drugie musi być w odległości \\(4\\) po przeciwnej stronie: \\(-2 - 4 = -6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2\\)** - to oś, nie miejsce zerowe.\n- **B, C** - nieprawidłowa odległość od osi symetrii.\n\n**Zasada:** oś symetrii paraboli dzieli odcinek między miejscami zerowymi na połowy.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nWartość funkcji 𝑓 dla argumentu (-4) jest równa\nA. -2\nB. 0\nC. 3\nD. 4\nRozwiązanie zadania. Wykresem funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x) = -3(x+4)(x-2) jest parabola o wierzchołku W=(p,q). Współrzędne wierzchołka W spełniają warunki A. p > 0 i q > 0 B. p < 0 i q > 0 C. p < 0 i q < 0 D. p > 0 i q < 0.","answer":"C","answer_text":"12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nstosuje\npoprawną\nmetodę\nobliczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n𝑥2 -4𝑥+ 3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\n\nzdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę\nALBO\n\npoprawnie rozwiąże nierówność 2(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n𝑥∈(3, 1).\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału domkniętego, to\nmoże otrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze 𝑎1 + (𝑎1 + 𝑟) + ⋯+ (𝑎1 + 19𝑟) = 20𝑎21 + 62.\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze długości podstaw trapezu po ich wydłużeniu, np.: 1,25𝑎 oraz 1,25𝑏 (albo\n𝑎+ 25% ⋅𝑎 oraz 𝑏+ 25% ⋅𝑏).\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze jedynie liczbę 30 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nALBO\n\nzapisze liczbę 9, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń\nelementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥\n30 , gdzie 𝑥 jest\nliczbą zliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴.\nZadanie 35.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐵𝐶 trójkąta\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia współczynnika kierunkowego w równaniu\nprostej 𝐵𝐶\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej zawierającej wysokość\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej zawierającej wysokość trójkąta\n𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 oraz zastosuje poprawną metodę wyznaczenia\nwspółrzędnych środka 𝐷 odcinka 𝐴𝐵 jako punktu przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą 𝐶𝐷\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania prostej 𝐴𝐶.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(f(-4) = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Symetria paraboli\n\nOś symetrii to \\(x = -2\\). Każde dwa punkty o tej samej wartości funkcji leżą symetrycznie względem tej prostej.\n\nSprawdźmy, jak daleko punkt \\(x = 0\\) leży od osi symetrii:\n\\[0 - (-2) = 2\\]\n\nPunkt symetryczny do \\(x = 0\\) względem prostej \\(x = -2\\) to:\n\\[x = -2 - 2 = -4\\]\n\nSkoro parabola jest symetryczna względem \\(x = -2\\), punkty \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\) mają tę samą wartość funkcji:\n\\[f(-4) = f(0) = 3\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(-4) = 3\\)** - bezpośrednio z symetrii, bez żadnych obliczeń.\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji\n\n**Krok 1 - znajdź oba miejsca zerowe.**\n\nJedno miejsce zerowe to \\(x_2 = 2\\). Oś symetrii \\(x = -2\\) jest w połowie między zerami, więc:\n\\[-2 = \\frac{x_1 + 2}{2}\\]\n\\[x_1 + 2 = -4 \\implies x_1 = -6\\]\n\n**Krok 2 - napisz postać iloczynową.**\n\n\\[f(x) = a(x + 6)(x - 2)\\]\n\n**Krok 3 - wyznacz \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 3\\).**\n\n\\[f(0) = a(0+6)(0-2) = a \\cdot 6 \\cdot (-2) = -12a = 3\\]\n\\[a = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Krok 4 - oblicz \\(f(-4)\\).**\n\n\\[f(-4) = -\\frac{1}{4}(-4+6)(-4-2) = -\\frac{1}{4} \\cdot 2 \\cdot (-6) = -\\frac{1}{4} \\cdot (-12) = \\mathbf{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do zapisania funkcji przez jej miejsca zerowe.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 8)** - wierzchołek i oś symetrii:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nOś symetrii \\(x = p = -2\\) wyznacza środek między zerami: \\(p = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-2\\) | Uczeń myli wartość funkcji z osią symetrii - wpisuje \\(f(-4) = -2\\) bo \"coś jest równe \\(-2\\)\" |\n| B: \\(0\\) | Uczeń podstawia \\(f(-4)\\) do błędnego wzoru lub liczy \\(-4 + 4 = 0\\) bez sensu |\n| D: \\(4\\) | Uczeń liczy odległość \\(-4\\) od osi symetrii (\\(|-4 - (-2)| = 2\\)) i podaje \\(2 \\cdot 2 = 4\\) zamiast wartości funkcji |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to prosta \\(x = -2\\), nie punkt. Wartość funkcji to \\(f(-4)\\), a nie \\(x = -2\\). Nie mylmy argumentu z wartością!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria paraboli oznacza, że punkty symetryczne względem osi symetrii mają **tę samą wartość** funkcji - to potężne narzędzie skracające obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczając drugie miejsce zerowe, pamiętaj że oś symetrii leży dokładnie **w połowie** między zerami: \\(x_1 = 2 \\cdot p - x_2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Symetria\nOś symetrii \\(x = -2\\). Punkty symetryczne względem \\(x = -2\\) mają równe wartości funkcji.\nPunkt \\(x = 0\\): \\(f(0) = 3\\). Punkt \\(x = -4\\) jest symetryczny (bo \\(-2 - 2 = -4\\), \\(-2 + 2 = 0\\)).\nStąd \\(f(-4) = f(0) = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór z postaci iloczynowej\nMiejsca zerowe \\(2, -6\\), więc \\(f(x) = a(x-2)(x+6)\\).\n\\(f(0) = a\\cdot(-2)\\cdot 6 = -12a = 3 \\Rightarrow a = -\\tfrac{1}{4}\\).\n\\(f(-4) = -\\tfrac{1}{4}\\cdot(-6)\\cdot 2 = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - nie uwzględniają symetrii.\n\n**Zasada:** \\(f(p - t) = f(p + t)\\) dla funkcji kwadratowej z osią symetrii \\(x = p\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDane są ciągi (𝑎௡), (𝑏௡), (𝑐௡), (𝑑௡), określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 wzorami:\n𝑎௡= 20𝑛+ 3, 𝑏௡= 2𝑛ଶ-3, 𝑐௡= 𝑛ଶ+ 10𝑛-2, 𝑑௡= 𝑛+187\n𝑛\n. Liczba 197 jest\ndziesiątym wyrazem ciągu\nA. (𝑎௡)\nB. (𝑏௡)\nC. (𝑐௡)\nD. (𝑑௡)\n-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥\n𝑦\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dane są ciągi (a_n), (b_n), (c_n), (d_n), określone dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorami: a_n=20n+3, b_n=2n^2-3, c_n=n^2+10n-2, d_n=n+187/n. Liczba 197 jest dziesiątym wyrazem ciągu A. (a_n) B. (b_n) C. (c_n) D. (d_n)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - ciąg \\((b_n)\\), gdzie \\(b_{10} = 197\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 10\\) do każdego wzoru\n\nSprawdzamy po kolei, który ciąg daje \\(197\\) dla \\(n = 10\\).\n\n**Ciąg \\((a_n)\\):**\n\\[a_{10} = 20 \\cdot 10 + 3 = 200 + 3 = 203 \\neq 197\\]\n\n**Ciąg \\((b_n)\\):**\n\\[b_{10} = 2 \\cdot 10^2 - 3 = 2 \\cdot 100 - 3 = 200 - 3 = 197 \\checkmark\\]\n\n**Odpowiedź znaleziona.** Dla pewności sprawdzamy pozostałe (żeby nie paść w pułapkę, że inne też pasują):\n\n**Ciąg \\((c_n)\\):**\n\\[c_{10} = 10^2 + 10 \\cdot 10 - 2 = 100 + 100 - 2 = 198 \\neq 197\\]\n\n**Ciąg \\((d_n)\\):**\n\\[d_{10} = \\frac{10 + 187}{10} = \\frac{197}{10} = 19{,}7 \\neq 197\\]\n\n**Wniosek:** Jedynie \\(b_{10} = 197\\), więc odpowiedź to **B**.\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie równania \\(b_n = 197\\)\n\nZamiast podstawiać \\(n = 10\\), możemy sprawdzić, czy równanie \\(b_n = 197\\) daje w wyniku \\(n = 10\\):\n\n\\[2n^2 - 3 = 197\\]\n\\[2n^2 = 200\\]\n\\[n^2 = 100\\]\n\\[n = 10\\]\n\nPonieważ \\(n = 10\\) jest liczbą naturalną (\\(n \\geq 1\\)), **197 jest dziesiątym wyrazem ciągu \\((b_n)\\)**.\n\nTę samą metodę możemy zastosować do pozostałych ciągów i sprawdzić, czy dają \\(n = 10\\):\n\n- \\(a_n = 197\\): \\(20n + 3 = 197 \\Rightarrow 20n = 194 \\Rightarrow n = 9{,}7\\) - nie jest liczbą naturalną\n- \\(c_n = 197\\): \\(n^2 + 10n - 2 = 197 \\Rightarrow n^2 + 10n - 199 = 0\\), \\(\\Delta = 100 + 796 = 896\\), \\(\\sqrt{896} \\approx 29{,}9\\) - nie daje całkowitego \\(n\\)\n- \\(d_n = 197\\): \\(\\frac{n+187}{n} = 197 \\Rightarrow n + 187 = 197n \\Rightarrow 187 = 196n \\Rightarrow n = \\frac{187}{196}\\) - nie jest liczbą naturalną\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 10\\) do podanych wzorów ogólnych i wykonanie prostych działań arytmetycznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość 10. wyrazu | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\((a_n)\\) | \\(a_{10} = 203\\) | Pomylenie \\(20 \\cdot 10 + 3 = 203\\) z \\(197\\); mogło wynikać z liczenia \\(20 \\cdot 9 + 3 = 183\\) i szukania bliskiej wartości |\n| C - \\((c_n)\\) | \\(c_{10} = 198\\) | Wynik zbliżony do \\(197\\) - łatwy błąd o \\(1\\); np. zapomnienie o \\(-2\\) lub pomylenie kolejności działań |\n| D - \\((d_n)\\) | \\(d_{10} = 19{,}7\\) | Uczeń może pomylić wartość \\(197\\) licznika \\((10 + 187 = 197)\\) z wartością całego wyrazu, nie dostrzegając, że wyraz to ułamek \\(\\frac{197}{10}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ciągu \\((d_n)\\) licznik wynosi \\(n + 187 = 197\\) dla \\(n = 10\\) - to może zmylić! Liczba \\(197\\) pojawia się w liczniku, ale cały wyraz to \\(\\frac{197}{10} = 19{,}7\\), co nie jest szukaną wartością.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg \\((c_n)\\) daje \\(c_{10} = 198\\) - różnica tylko \\(1\\) od szukanego \\(197\\). Sprawdzaj obliczenia uważnie, szczególnie gdy wyniki są bliskie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź **wszystkie** ciągi, nawet jeśli wydaje Ci się, że znalazłeś odpowiedź. W zadaniach wielokrotnego wyboru tylko jedna odpowiedź jest poprawna, ale pomyłka w jednym obliczeniu może Cię zmylić.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie \\(n = 10\\) każdego ciągu\n- \\(a_{10} = 20\\cdot 10 + 3 = 203\\).\n- \\(b_{10} = 2\\cdot 100 - 3 = 197\\) ✓.\n- \\(c_{10} = 100 + 100 - 2 = 198\\).\n- \\(d_{10} = \\tfrac{197}{10} = 19{,}7\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwiązanie równania \\(b_n = 197\\)\n\\(2n^2 - 3 = 197 \\Rightarrow 2n^2 = 200 \\Rightarrow n^2 = 100 \\Rightarrow n = 10\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - \\(n = 10\\) daje inne wartości niż \\(197\\).\n\n**Uwaga:** kolejność sprawdzania - od ciągów prostszych (liniowy, kwadratowy).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎௡), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest rosnący\ni wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek 𝑎ଷ= 𝑎ଵ⋅𝑎ଶ . Niech 𝑞\noznacza iloraz ciągu (𝑎௡). Wtedy\nA. 𝑎ଵ= 1\n𝑞\nB. 𝑎ଵ= 𝑞\nC. 𝑎ଵ= 𝑞ଶ\nD. 𝑎ଵ= 𝑞ଷ\nRozwiązanie zadania. Ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek a_3 = a_1 ⋅ a_2. Niech q oznacza iloraz ciągu (a_n). Wtedy A. a_1=1/q B. a_1 = q C. a_1 = q² D. a_1 = q³","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a_1 = q\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawiamy wzory ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz wyraża się wzorem:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZatem:\n\\[a_1 = a_1, \\quad a_2 = a_1 \\cdot q, \\quad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\):\n\\[a_1 \\cdot q^2 = a_1 \\cdot (a_1 \\cdot q)\\]\n\n\\[a_1 \\cdot q^2 = a_1^2 \\cdot q\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(a_1 \\cdot q\\) - możemy to zrobić, bo wszystkie wyrazy są **dodatnie**, więc \\(a_1 > 0\\), a ciąg jest **rosnący** z wyrazami dodatnimi, więc \\(q > 1 > 0\\):\n\n\\[q = a_1\\]\n\n\\[\\boxed{a_1 = q}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych wartości\n\nSprawdźmy, czy to ma sens. Skoro \\(a_1 = q\\) i ciąg jest rosnący z wyrazami dodatnimi, to musi być \\(q > 1\\).\n\nPrzyjmijmy przykładowo \\(q = 2\\), czyli \\(a_1 = 2\\):\n\\[a_1 = 2, \\quad a_2 = 2 \\cdot 2 = 4, \\quad a_3 = 2 \\cdot 4 = 8\\]\n\nSprawdzamy warunek \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\):\n\\[8 = 2 \\cdot 4 = 8 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy, że ciąg jest rosnący i wyrazy dodatnie: \\(2 < 4 < 8\\), wszystkie \\(> 0\\) \\(\\checkmark\\)\n\nWynik potwierdzony: \\(a_1 = q\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_2\\) i \\(a_3\\) w postaci zależnej od \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło uprościć warunek \\(a_3 = a_1 \\cdot a_2\\) do jednego równania z jedną niewiadomą.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Po uproszczeniu \\(a_1 q^2 = a_1^2 q\\) uczeń dzieli przez \\(a_1 q^2\\) zamiast \\(a_1 q\\), otrzymując \\(1 = \\frac{a_1}{q}\\), czyli \\(a_1 = \\frac{1}{q}\\) - błąd w dzieleniu |\n| **C** | Uczeń myli strony równania i pisze \\(a_1^2 q^2 = a_1 q\\), skąd \\(a_1 = \\frac{1}{q}\\) albo podstawia warunek w złej kolejności (\\(a_1 = a_2 \\cdot a_3\\)) i operuje potęgami chaotycznie, dostając \\(a_1 = q^2\\) |\n| **D** | Uczeń błędnie zapisuje wzory: np. przyjmuje \\(a_3 = a_1 \\cdot q^3\\) zamiast \\(a_1 \\cdot q^2\\) (pomylenie indeksu z wykładnikiem - \\(a_n = a_1 \\cdot q^n\\) zamiast \\(q^{n-1}\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^n\\) - pamiętaj, że poprawnie jest \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), bo pierwszy wyraz to \\(a_1 = a_1 \\cdot q^0 = a_1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"ciąg rosnący z wyrazami dodatnimi\" nie jest ozdobnikiem - gwarantuje \\(q > 1\\), co pozwala nam bezpiecznie dzielić przez \\(q\\) (i przez \\(a_1\\)). Bez tego zastrzeżenia dzielenie przez zero byłoby możliwe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2\\) to **mnożenie wyrazów**, nie wzór ciągu geometrycznego - nie wolno mylić go z \\(a_1 \\cdot q^2\\). To prawy, a nie lewy człon równania!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie wyrazów\nW ciągu geometrycznym: \\(a_2 = a_1 q\\), \\(a_3 = a_1 q^2\\).\nZ warunku: \\(a_1 q^2 = a_1 \\cdot a_1 q = a_1^2 q\\).\nStąd (dzieląc przez \\(a_1 q \\ne 0\\)): \\(q = a_1\\), czyli \\(a_1 = q\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(a_1 = q\\), więc \\(a_2 = q^2\\), \\(a_3 = q^3\\). Warunek: \\(q^3 = q\\cdot q^2 = q^3\\) ✓.\nCiąg rosnący i dodatnie wyrazy → \\(q > 1\\), więc \\(a_1 = q > 1\\) (dodatnie) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a_1 = \\tfrac{1}{q}\\)** - daje \\(a_2 = 1\\), \\(a_3 = q\\), \\(a_1 a_2 = \\tfrac{1}{q} \\ne q\\).\n- **C, D** - nie spełniają warunku \\(a_3 = a_1 a_2\\).\n\n**Zasada:** \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nKąt o mierze 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= √5. Wtedy\nA. cosଶ𝛼= 1\n6\nB. cosଶ𝛼= 1\n5\nC. cosଶ𝛼=\nඥ5\n5\nD. cosଶ𝛼= 5\n6\nRozwiązanie zadania. Kąt o mierze α jest ostry i tgα =√5. Wtedy A. cos²α = 1/6 B. cos²α = 1/5 C. cos²α = √5/5 D. cos²α = 5/6.","answer":"A","answer_text":"16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}\\]\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + podstawienie\n\nWiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\sqrt{5}\\), czyli:\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{5} \\cdot \\cos\\alpha\\]\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{5}\\cos\\alpha\\):\n\\[(\\sqrt{5}\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[5\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[6\\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\boxed{\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na \\(\\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)\n\nZ jedynki trygonometrycznej dzielimy obie strony przez \\(\\cos^2\\alpha\\):\n\\[\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} + \\frac{\\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\nPodstawiamy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\sqrt{5}\\):\n\\[(\\sqrt{5})^2 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[5 + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[6 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\\[\\boxed{\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{6}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - omija podstawianie i od razu daje wynik w jednym kroku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w obu sposobach jako punktu wyjścia.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nPosłużyła do wyrażenia \\(\\sin\\alpha\\) przez \\(\\cos\\alpha\\) (Sposób 1) i do uzyskania wzoru \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\) (Sposób 2).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** | Uczeń myli \\(\\cos^2\\alpha\\) z \\(\\frac{1}{\\operatorname{tg}^2\\alpha} = \\frac{1}{5}\\) - to wzór na coś zupełnie innego |\n| **C** | Uczeń oblicza \\(\\cos\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{6}}\\) poprawnie, ale zamiast podnieść do kwadratu, zostawia \\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\) - myli \\(\\cos\\alpha\\) z \\(\\cos^2\\alpha\\) |\n| **D** | Uczeń dostaje \\(6\\cos^2\\alpha = 1\\), ale błędnie dzieli: pisze \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{6}{1} = 6\\), po czym „poprawia\" do \\(\\frac{5}{6}\\) - typowy błąd odwracania ułamka |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\), **nie** \\(\\frac{1}{\\cos^2\\alpha} - 1\\). Kolejność ma znaczenie przy przenoszeniu wyrazów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(\\frac{\\sqrt{5}}{5}\\)) to wartość \\(\\cos\\alpha\\), **nie** \\(\\cos^2\\alpha\\) - zadanie pyta o kwadrat! Zawsze sprawdź, czy podnieść do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fakt, że kąt jest ostry (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)) zapewnia \\(\\cos\\alpha > 0\\), ale tu i tak szukamy \\(\\cos^2\\alpha > 0\\) - więc warunek ostrości nie zmienia obliczeń, tylko potwierdza, że rozwiązanie istnieje.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Tożsamość \\(1 + \\tg^2\\alpha = \\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha}\\)\n\\(1 + (\\sqrt{5})^2 = 1 + 5 = 6\\).\n\\(\\dfrac{1}{\\cos^2\\alpha} = 6 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\dfrac{1}{6}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\n\\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sqrt 5}{1}\\), więc przyprostokątna naprzeciw \\(= \\sqrt{5}\\), przyprostokątna przy \\(= 1\\), przeciwprostokątna \\(= \\sqrt{1+5} = \\sqrt 6\\).\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{1}{\\sqrt 6}\\), \\(\\cos^2\\alpha = \\tfrac{1}{6}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{5}\\)** - pominięto \\(+1\\) w tożsamości.\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt 5}{5}\\)** - pomyłka \\(\\cos\\alpha\\), \\(\\cos^2\\alpha\\).\n- **D. \\(\\tfrac{5}{6}\\)** - to \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n**Zasada:** \\(\\tg\\alpha = \\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) oraz \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nNa okręgu o środku w punkcie 𝑂 leżą punkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶. Odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą tego\nokręgu, a kąt środkowy 𝐴𝑂𝐵 ma miarę 82° (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝑂𝐵𝐶 jest równa\nA. 41°\nB. 45°\nC. 49°\nD. 51°\n82°\n𝑂\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Na okręgu o środku w punkcie O leżą punkty A, B oraz C. Odcinek AC jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy AOB ma miarę 82° (zobacz rysunek). Miara kąta OBC jest równa A. 41° B. 45° C. 49° D. 51°","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(41°\\)\n\n## Sposób 1 - Łuki i trójkąt równoramienny OBC\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy łuk BC.\n\nPonieważ \\(AC\\) jest średnicą, kąt środkowy \\(AOC = 180°\\) - łuk \\(AC\\) to półokrąg.\n\nŁuk \\(AB\\) odpowiada kątowi środkowemu \\(AOB = 82°\\), więc:\n\\[\\text{łuk } BC = 180° - 82° = 98°\\]\n\n**Krok 2.** Kąt środkowy \\(BOC\\) odpowiada łukowi \\(BC\\):\n\\[\\angle BOC = 98°\\]\n\n**Krok 3.** Trójkąt \\(OBC\\) jest **równoramienny**, bo \\(OB = OC = r\\) (promienie tego samego okręgu).\n\nZatem kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OBC = \\angle OCB = \\frac{180° - 98°}{2} = \\frac{82°}{2} = \\boxed{41°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt Talesa + kąt wpisany\n\n**Krok 1.** Skoro \\(AC\\) jest średnicą, to z **twierdzenia Talesa**:\n\\[\\angle ABC = 90°\\]\n(kąt wpisany oparty na średnicy to kąt prosty).\n\n**Krok 2.** Kąt wpisany \\(\\angle ACB\\) jest oparty na tym samym łuku \\(AB\\), co kąt środkowy \\(\\angle AOB = 82°\\). Z twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle ACB = \\frac{82°}{2} = 41°\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(O\\) leży na odcinku \\(AC\\) (środek to punkt na średnicy), punkt \\(O\\) należy do prostej \\(AC\\), więc:\n\\[\\angle OCB = \\angle ACB = 41°\\]\n\n**Krok 4.** Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny (\\(OB = OC = r\\)), więc:\n\\[\\angle OBC = \\angle OCB = 41°\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, wyznaczając \\(\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot 82° = 41°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Kąt wpisany oparty na średnicy:\n\n> Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) ma miarę \\(90°\\).\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do stwierdzenia, że \\(\\angle ABC = 90°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(45°\\) | Brak uzasadnienia geometrycznego; może wynikać z błędnego założenia, że wszystkie trójkąty wpisane w koło mają kąty \\(45°\\) |\n| C - \\(49°\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń liczy trójkąt \\(OAB\\) (równoramienny, kąt przy wierzchołku \\(82°\\)) i dostaje kąty przy podstawie \\(\\frac{180°-82°}{2} = 49°\\). To jest miara kąta \\(\\angle OBA\\) - ale pytanie dotyczy \\(\\angle OBC\\), czyli kąta po drugiej stronie! |\n| D - \\(51°\\) | Błędne obliczenie łuku \\(BC\\): np. wzięcie \\(\\text{łuk } BC = 180° - 78° = 102°\\) (mylenie \\(82°\\) z \\(78°\\)) i liczenie \\(\\frac{180°-102°}{2} = 39°\\), albo inne błędy arytmetyczne przy wyznaczaniu kąta środkowego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty \\(\\angle OBA\\) i \\(\\angle OBC\\) to **dwa różne kąty** - jeden dotyczy trójkąta \\(OAB\\), drugi \\(OBC\\). Pomylenie ich (wynik 49°) to błąd odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(AOC = 180°\\) (nie \\(360°\\)!), bo \\(AC\\) jest średnicą - środek \\(O\\) leży dokładnie na odcinku \\(AC\\), a nie na łuku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, bo \\(OB\\) i \\(OC\\) to promienie - ta własność jest kluczem do zadania i działa w każdym trójkącie, gdzie dwa boki to promienie tego samego okręgu.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny OBC\nPonieważ \\(OB = OC\\) (promienie), trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny, więc \\(\\angle OBC = \\angle OCB\\).\nKąty \\(AOB\\) i \\(BOC\\) leżą przy prostej \\(AC\\) (średnica): \\(\\angle AOB + \\angle BOC = 180°\\), więc \\(\\angle BOC = 180° - 82° = 98°\\).\nSuma kątów trójkąta: \\(\\angle OBC + \\angle OCB + \\angle BOC = 180°\\).\n\\(2\\angle OBC = 180° - 98° = 82° \\Rightarrow \\angle OBC = 41°\\).\n\n### Sposób 2 - Kąt wpisany\nKąt wpisany \\(\\angle BAC\\) oparty na łuku \\(BC\\) jest połową kąta środkowego: \\(\\angle BAC = \\tfrac{1}{2}\\angle BOC = 49°\\).\nW ΔABC z kątem prostym \\(\\angle ABC = 90°\\) (bo \\(AC\\) średnica) mamy \\(\\angle ACB = 90° - 49° = 41°\\).\n\\(\\angle OBC = \\angle OCB = 41°\\) (ΔOBC równoramienny).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D** - błędne obliczenie kąta \\(BOC\\) lub własności trójkąta równoramiennego.\n\n**Zasada:** kąt wpisany oparty na średnicy = \\(90°\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴. Punkty 𝐵 i 𝐶 są położone na\nokręgu tak, że 𝐵𝐶 jest jego średnicą. Cięciwa 𝐴𝐵 tworzy ze styczną kąt o mierze 40°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 20°\nB. 40°\nC. 45°\nD. 50°\nRozwiązanie zadania. Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie A. Punkty B i C są położone na okręgu tak, że BC jest jego średnicą. Cięciwa AB tworzy ze styczną kąt o mierze 40° (zobacz rysunek). Miara kąta ABC jest równa A. 20° B. 40° C. 45° D. 50°","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(50°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt między styczną a cięciwą + kąt wpisany w półokrąg\n\n**Krok 1: Skorzystaj z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą.**\n\nKąt między styczną do okręgu a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku, lecz po przeciwnej stronie cięciwy.\n\nCięciwa \\(AB\\) tworzy ze styczną kąt \\(40°\\), więc kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\) po przeciwnej stronie (czyli kąt \\(ACB\\)) jest równy:\n\\[\\angle ACB = 40°\\]\n\n**Krok 2: Skorzystaj z twierdzenia Talesa.**\n\n\\(BC\\) jest średnicą okręgu, więc kąt wpisany oparty na średnicy to kąt prosty:\n\\[\\angle BAC = 90°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt \\(ABC\\) z sumy kątów trójkąta.**\n\nW trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\angle ABC + \\angle BAC + \\angle ACB = 180°\\]\n\\[\\angle ABC + 90° + 40° = 180°\\]\n\\[\\angle ABC = 180° - 90° - 40° = \\mathbf{50°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez miary łuków\n\n**Krok 1: Wyznacz łuk \\(AB\\).**\n\nKąt między styczną a cięciwą \\(AB\\) wynosi \\(40°\\). Ten kąt jest równy połowie łuku \\(AB\\) (łuku po stronie kąta):\n\\[\\text{łuk } AB = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz łuk \\(AC\\).**\n\nŁuk \\(BC\\) odpowiada średnicy, czyli:\n\\[\\text{łuk } BC = 180°\\]\n\nZatem:\n\\[\\text{łuk } AC = 360° - 80° - 180° = 100°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt wpisany \\(ABC\\).**\n\nKąt wpisany \\(\\angle ABC\\) jest oparty na łuku \\(AC\\) i równa się połowie tego łuku:\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{łuk } AC}{2} = \\frac{100°}{2} = \\mathbf{50°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria) oraz Dział 10 (Planimetria, s. 15-19)**\n\n- **Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą** (Planimetria, s. 19):\nKąt między styczną a cięciwą = kąt wpisany oparty na tym samym łuku po przeciwnej stronie:\n\\[\\angle(\\text{styczna}, AB) = \\angle ACB\\]\nUżyte w Sposobie 1 (krok 1) oraz jako podstawa do Sposobu 2 (miary łuków).\n\n- **Kąt wpisany w półokrąg** (Planimetria, s. 19 - kąt wpisany = połowa kąta środkowego):\n\\[\\angle BAC = 90° \\quad \\text{(gdy } BC \\text{ jest średnicą)}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (krok 2).\n\n- **Kąt wpisany = \\(\\frac{1}{2}\\) łuku** (Planimetria, s. 19):\n\\[\\angle ABC = \\frac{\\text{łuk } AC}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 (krok 3).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** (\\(20°\\)) | Wzięcie połowy kąta \\(40°\\) bez uzasadnienia - mylenie połowy łuku z połową danego kąta |\n| **B** (\\(40°\\)) | Błędne założenie, że \\(\\angle ABC\\) = kąt między styczną a \\(AB\\), czyli przepisanie danych bez użycia twierdzeń |\n| **C** (\\(45°\\)) | Fałszywe skojarzenie: \"jest kąt prosty w trójkącie, więc inne kąty to \\(45°\\)\" - ignoruje konkretną wartość \\(40°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą działa tylko z punktu **styczności** (tutaj \\(A\\)). Gdyby \\(A\\) nie był punktem styku, twierdzenie nie obowiązuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt prosty (\\(90°\\)) dotyczy kąta **wpisanego w półokrąg** (\\(\\angle BAC\\)), a **nie** kąta \\(ABC\\). Łatwo pomylić, który kąt jest prosty!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z łukami pamiętaj, że kąt między **styczną a cięciwą** = połowa **łuku po stronie kąta** - nie dowolnego łuku \\(AB\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą\nKąt między styczną a cięciwą \\(AB\\) = \\(40°\\) = kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\), czyli \\(\\angle ACB = 40°\\).\nKąt \\(\\angle BAC = 90°\\), bo \\(BC\\) - średnica (kąt wpisany oparty na średnicy).\nW ΔABC: \\(\\angle ABC = 180° - 90° - 40° = 50°\\).\n\n### Sposób 2 - Przez kąt środkowy\nKąt środkowy odpowiadający kątowi między styczną a cięciwą: \\(2\\cdot 40° = 80°\\), to kąt \\(AOB\\) (gdzie \\(O\\) to środek).\nΔAOB równoramienny (\\(OA = OB\\)), więc \\(\\angle OAB = \\angle OBA = \\tfrac{180° - 80°}{2} = 50°\\).\n\\(\\angle OBA = \\angle ABC = 50°\\) (bo \\(O\\) leży na \\(BC\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(20°\\), B. \\(40°\\), C. \\(45°\\)** - błędne zastosowanie twierdzeń o kątach.\n\n**Zasada:** kąt między styczną a cięciwą równa się kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶 o bokach |𝐴𝐶| = 24, |𝐵𝐶| = 10, |𝐴𝐵| = 26. Dwusieczne\nkątów tego trójkąta przecinają się w punkcie 𝑃 (zobacz rysunek).\nOdległość 𝑥 punktu 𝑃 od przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 5\n2\nD. 13\n3\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n40°\n𝑥\n𝑃\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n24\n26\n10\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC o bokach |AC|=24, |BC|=10, |AB|=26. Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Odległość x punktu P od przeciwprostokątnej AB jest równa A. 2 B. 4 C. 5/2 D. 13/3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(x = 4\\))\n\n## Sposób 1 - Promień okręgu wpisanego (wzór dla trójkąta prostokątnego)\n\nPunkt \\(P\\) to **środek okręgu wpisanego** (inkulo) trójkąta - jedyny punkt, do którego odległość od wszystkich trzech boków jest jednakowa i równa promieniowi \\(r\\).\n\n**Odległość \\(x\\) od \\(P\\) do dowolnego boku - w tym do przeciwprostokątnej \\(AB\\) - jest właśnie równa \\(r\\).**\n\nSprawdzamy, który kąt jest prostym:\n\\[|BC|^2 + |AC|^2 = 10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 = |AB|^2\\]\n\nKąt prosty jest przy wierzchołku \\(C\\). Dla **trójkąta prostokątnego** z nogami \\(a, b\\) i przeciwprostokątną \\(c\\) mamy gotowy wzór z karty CKE:\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 10\\), \\(b = 24\\), \\(c = 26\\):\n\\[x = r = \\frac{10 + 24 - 26}{2} = \\frac{8}{2} = \\boxed{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole i półobwód\n\nPromień okręgu wpisanego wyznaczamy ogólnym wzorem:\n\\[r = \\frac{P_{\\triangle}}{p}\\]\n\ngdzie \\(P_{\\triangle}\\) - pole trójkąta, \\(p\\) - półobwód.\n\n**Pole** (kąt prosty przy \\(C\\), więc nogi są podstawą i wysokością):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot |AC| = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120\\]\n\n**Półobwód:**\n\\[p = \\frac{|AB| + |BC| + |AC|}{2} = \\frac{26 + 10 + 24}{2} = \\frac{60}{2} = 30\\]\n\n**Promień:**\n\\[x = r = \\frac{P_{\\triangle}}{p} = \\frac{120}{30} = \\boxed{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - trójkąt prostokątny (kąt prosty przy \\(C\\)):\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\nUżyte bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta i promień okręgu wpisanego:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a, \\qquad P = p \\cdot r\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(r\\) przez \\(r = P/p\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(2\\)) | Podzielono pole przez cały obwód zamiast przez półobwód: \\(\\frac{120}{60} = 2\\) |\n| **C** (\\(\\frac{5}{2}\\)) | Użyto \\(r = \\frac{a+b-c}{4}\\) zamiast dzielenia przez \\(2\\): \\(\\frac{8}{4} = 2\\) lub pomylono którą nogę dzielić |\n| **D** (\\(\\frac{13}{3}\\)) | Mylnie wzięto \\(P\\) jako połowę przeciwprostokątnej (\\(13\\)) i podzielono przez \\(3\\), nie rozumiejąc skąd pochodzi \\(r\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt przecięcia dwusiecznych to **inkulo** (środek okręgu wpisanego) - jego odległość do **każdego** z trzech boków jest taka sama i równa \\(r\\). Nie trzeba liczyć osobno odległości do \\(AB\\) - wystarczy wyznaczyć \\(r\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(r = \\frac{a+b-c}{2}\\) działa **tylko dla trójkąta prostokątnego**, gdzie \\(c\\) to **przeciwprostokątna**. Nie wolno wstawić tam żadnego boku z chęci!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(r = \\frac{P}{p}\\) pamiętaj o **pół**obwodzie (\\(p\\)), a nie pełnym obwodzie. To jeden z najczęstszych błędów arytmetycznych w tym typie zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Promień okręgu wpisanego\nPunkt przecięcia dwusiecznych to środek okręgu wpisanego, a odległość tego punktu od każdego boku to promień \\(r\\) okręgu wpisanego.\nWzór: \\(r = \\dfrac{P}{p}\\), gdzie \\(P\\) - pole, \\(p\\) - połowa obwodu.\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 24\\cdot 10 = 120\\).\nObwód: \\(24 + 10 + 26 = 60\\), \\(p = 30\\).\n\\(r = \\tfrac{120}{30} = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór dla trójkąta prostokątnego\n\\(r = \\dfrac{a + b - c}{2} = \\dfrac{24 + 10 - 26}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - pomyłka: \\(\\tfrac{8}{4}\\) zamiast \\(\\tfrac{8}{2}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{5}{2}\\), D. \\(\\tfrac{13}{3}\\)** - nieprawidłowe zastosowanie.\n\n**Zasada:** środek okręgu wpisanego = punkt przecięcia dwusiecznych; jego odległość od każdego boku = \\(r\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nJeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą\nmieć długości\nA. 4 i 6\nB. 4 i 3\nC. 10 i 10\nD. 5 i 5\nRozwiązanie zadania. Jeden z boków równoległoboku ma długość równą 5. Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości A. 4 i 6 B. 4 i 3 C. 10 i 10 D. 5 i 5","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPrzekątne mają długości \\(10\\) i \\(10\\).\n\n## Sposób 1 - nierówność trójkąta dla półprzekątnych\n\n**Kluczowy fakt:** Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. Znaczy to, że punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części.\n\nNiech boki równoległoboku mają długości \\(a = 5\\) i \\(b\\) (nieznane), a przekątne \\(d_1\\) i \\(d_2\\). Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \\(O\\).\n\nTrójkąt \\(AOB\\) (gdzie \\(A, B\\) to sąsiednie wierzchołki) ma boki:\n\n\\[|AO| = \\frac{d_1}{2}, \\quad |BO| = \\frac{d_2}{2}, \\quad |AB| = a = 5\\]\n\nZ **nierówności trójkąta** (trójkąt musi być niezdegenerowany):\n\n\\[\\frac{d_1}{2} + \\frac{d_2}{2} > 5\\]\n\nczyli:\n\n\\[\\boxed{d_1 + d_2 > 10}\\]\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n| Odp. | \\(d_1\\) | \\(d_2\\) | \\(d_1 + d_2\\) | Warunek \\(> 10\\) |\n| A | 4 | 6 | 10 | \\(10 > 10\\)? ❌ (równość = zdegenerowany) |\n| B | 4 | 3 | 7 | \\(7 > 10\\)? ❌ |\n| **C** | **10** | **10** | **20** | **\\(20 > 10\\)? ✓** |\n| D | 5 | 5 | 10 | \\(10 > 10\\)? ❌ (równość = zdegenerowany) |\n\n**Tylko C spełnia warunek.** Musimy też sprawdzić pozostałe nierówności trójkąta dla C:\n\\[\\frac{10}{2} + 5 = 10 > \\frac{10}{2} = 5 \\quad ✓\\]\n\nWszystkie warunki spełnione, równoległobok istnieje.\n\n## Sposób 2 - prawo równoległoboku (weryfikacja przez obliczenie boku)\n\nZ **prawa równoległoboku**:\n\n\\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\]\n\nGdzie \\(a = 5\\) (dany bok), \\(b\\) = drugi bok (musi być \\(b > 0\\)).\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n**Odpowiedź A** (\\(d_1 = 4, d_2 = 6\\)):\n\\[16 + 36 = 2(25 + b^2) \\implies 52 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 1, \\; b = 1\\]\nLiczbowo \\(b = 1 > 0\\), ale sprawdźmy trójkąt AOB: boki \\(2, 3, 5\\): \\(2 + 3 = 5\\) - trójkąt zdegenerowany (spłaszczony do odcinka), równoległobok nie istnieje.\n\n**Odpowiedź B** (\\(d_1 = 4, d_2 = 3\\)):\n\\[16 + 9 = 2(25 + b^2) \\implies 25 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = -12{,}5 < 0\\]\nBrak rozwiązania - **niemożliwe**.\n\n**Odpowiedź C** (\\(d_1 = 10, d_2 = 10\\)):\n\\[100 + 100 = 2(25 + b^2) \\implies 200 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 75, \\; b = 5\\sqrt{3}\\]\n\\(b = 5\\sqrt{3} > 0\\) - **równoległobok istnieje** (to prostokąt o bokach \\(5\\) i \\(5\\sqrt{3}\\)). ✓\n\n**Odpowiedź D** (\\(d_1 = 5, d_2 = 5\\)):\n\\[25 + 25 = 2(25 + b^2) \\implies 50 = 50 + 2b^2 \\implies b^2 = 0, \\; b = 0\\]\n\\(b = 0\\) - figura zdegenerowana, nie jest równoległobokiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - własności równoległoboku i jego przekątnych.\n\nKarta podaje związek między przekątnymi a bokami równoległoboku (prawo równoległoboku):\n\\[d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia drugiego boku i sprawdzenia realności równoległoboku.\n\nKluczowe twierdzenie trójkąta (Dział 10, planimetria) - nierówność trójkąta zastosowana do trójkąta z półprzekątnymi w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń myśli: skoro \\(d_1 + d_2 = 10 = 2 \\cdot 5\\), to może być OK. Zapomina, że nierówność trójkąta musi być **ostra** - równość daje zdegenerowany (spłaszczony) równoległobok |\n| B | Uczeń losowo wybiera \"małe liczby\" nie sprawdzając warunku. Suma \\(4 + 3 = 7 < 10\\), więc geometrycznie niemożliwe |\n| D | Analogicznie jak A: \\(5 + 5 = 10 = 2a\\), trójkąt AOB ma boki \\(2{,}5 + 2{,}5 = 5\\) - spłaszczony, równoległobok zdegenerowany |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i D kuszą, bo arytmetycznie pasują do boku \\(5\\). Pamiętaj - równość w nierówności trójkąta to zdegenerowany (czyli \"nieistniejący\" jako figura płaska) trójkąt!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: jeden bok równoległoboku to \\(5\\), ale drugiego boku nie znamy. Nie zakładaj, że jest też równy \\(5\\) (to tylko szczególny przypadek - romb).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawo równoległoboku \\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\) jest konieczne, ale nie wystarczające - nawet jeśli wychodzi \\(b > 0\\), sprawdź nierówność trójkąta dla półprzekątnych (jak w odpowiedzi A).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność przekątnych równoległoboku\nPrzekątne dzielą się wzajemnie na połowy. Bok \\(a\\) tworzy z połówkami przekątnych (\\(\\tfrac{d_1}{2}, \\tfrac{d_2}{2}\\)) trójkąt. Musi być spełniona nierówność trójkąta:\n\\(\\left|\\tfrac{d_1}{2} - \\tfrac{d_2}{2}\\right| < a < \\tfrac{d_1}{2} + \\tfrac{d_2}{2}\\).\n\n**Sprawdzenie C: \\(d_1 = d_2 = 10\\):**\n\\(\\tfrac{10}{2}, \\tfrac{10}{2} = 5, 5\\). \\(|5-5| = 0 < 5 < 5+5=10\\) ✓.\n\n**A: \\(d_1 = 4, d_2 = 6\\):** \\(2, 3\\): \\(|2-3|=1 < 5\\)? Ale \\(2+3=5 = 5\\), nierówność nieostra - równoległobok zdegenerowany, nie działa.\n\n**B: \\(4, 3\\):** \\(2, 1{,}5\\): \\(2+1{,}5 = 3{,}5 < 5\\) ✗.\n\n**D: \\(5, 5\\):** \\(2{,}5, 2{,}5\\): \\(2{,}5+2{,}5 = 5 = 5\\) ✗ (zdegenerowany).\n\n### Sposób 2 - Tożsamość równoległoboku\n\\(d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)\\). Sprawdzenie C: \\(100 + 100 = 200 = 2(25 + b^2) \\Rightarrow b^2 = 75, b = 5\\sqrt 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - naruszają nierówność trójkąta (równoległobok zdegenerowany lub niemożliwy).\n\n**Zasada:** przekątne równoległoboku dzielą się wzajemnie na połowy.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma\ndługość 12 (zobacz rysunek).\nNajkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą\nA. 6\nB. 2√3\nC. 4√3\nD. 6√3\nRozwiązanie zadania. W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę 120°, a najdłuższy bok ma długość 12 (zobacz rysunek). Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą A. 6 B. 2√3 C. 4√3 D. 6√3","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(2\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Pole trójkąta i wzór na wysokość\n\n**Identyfikujemy trójkąt.**\n\nKąt największy wynosi \\(120°\\) - w trójkącie równoramiennym musi to być kąt przy wierzchołku (apex). Kąty przy podstawie wynoszą:\n\\[\\frac{180° - 120°}{2} = 30°\\]\n\n**Wyznaczamy długość ramion** (ozn. \\(a\\)) z twierdzenia cosinusów, gdzie podstawa \\(c = 12\\):\n\\[c^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos(120°)\\]\n\\[144 = 2a^2 - 2a^2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 2a^2 + a^2 = 3a^2\\]\n\\[a^2 = 48, \\quad a = 4\\sqrt{3}\\]\n\n**Obliczamy pole trójkąta** ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\) - gdzie dwa boki to ramiona \\(a = 4\\sqrt{3}\\), a kąt między nimi to \\(120°\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 4\\sqrt{3} \\cdot 4\\sqrt{3} \\cdot \\sin 120° = \\frac{1}{2} \\cdot 48 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\]\n\n**Wyznaczamy wysokości** korzystając ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{bok} \\cdot h_{\\text{bok}}\\):\n\n- Wysokość na **podstawę** (bok \\(12\\)):\n\\[h_{c} = \\frac{2P}{c} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{12} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n- Wysokość na **ramię** (bok \\(4\\sqrt{3}\\)):\n\\[h_{a} = \\frac{2P}{a} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{3}}{4\\sqrt{3}} = 6\\]\n\nPonieważ \\(2\\sqrt{3} \\approx 3{,}46 < 6\\), **najkrótsza wysokość** opada na **najdłuższy bok** (podstawę) i wynosi \\(\\boxed{2\\sqrt{3}}\\).\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z trygonometrii (trójkąt prostokątny)\n\nGdy spuszczamy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(120°\\) na podstawę, powstają dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z nich:\n- Kąt przy podstawie \\(= 30°\\)\n- Przeciwprostokątna \\(= a = 4\\sqrt{3}\\)\n- Połowa podstawy \\(= 6\\)\n\nKorzystamy z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin 30° = \\frac{h}{a}\\]\n\\[h = a \\cdot \\sin 30° = 4\\sqrt{3} \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny: **\\(h = 2\\sqrt{3}\\)** ✓\n\nMożna też sprawdzić z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h^2 = a^2 - 6^2 = 48 - 36 = 12 \\implies h = 2\\sqrt{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\sin 120° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 przy obliczeniu \\(h = a \\cdot \\sin 30°\\) i w Sposobie 1 przy polu \\(P = \\frac{1}{2}a^2\\sin 120°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nUżyte do wyznaczenia pola z dwóch ramion i kąta między nimi.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia długości ramion.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(6\\) | To jest **wysokość opuszczona na ramię**, nie na podstawę. Uczeń oblicza dobrą liczbę, ale przypisuje ją złemu bokowi. Najkrótsza wysokość = ta na najdłuższy bok. |\n| C - \\(4\\sqrt{3}\\) | To jest **długość ramienia** trójkąta, nie wysokość. Klasyczne pomylenie boku z wysokością. |\n| D - \\(6\\sqrt{3}\\) | Błąd przy tangensie: uczeń oblicza \\(h = 6 \\cdot \\operatorname{tg}(60°) = 6\\sqrt{3}\\), mylnie biorąc \\(6\\) jako przyprostokątną przyległą do \\(60°\\), zamiast podzielić: \\(h = \\frac{6}{\\operatorname{tg}(60°)} = 2\\sqrt{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najkrótsza wysokość NIE jest tą, którą \"widać na rysunku\" (wizualnie niska). Zawsze zachodzi: **im dłuższy bok, tym krótsza wysokość** na niego (przy stałym polu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym kąt \\(120°\\) MUSI być kątem przy wierzchołku - gdyby był przy podstawie, suma kątów przekroczyłaby \\(180°\\). Nie zakładaj pochopnie, który kąt jest gdzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(\\sin(120°)\\) pamiętaj o wzorze redukcyjnym: \\(\\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Studenci często podstawiają \\(\\sin 120°\\) bezpośrednio z tabeli i nie są pewni wyniku - ale wzór redukcyjny to potwierdza.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Ramiona i wysokość do podstawy\nKąty przy podstawie: \\(\\tfrac{180° - 120°}{2} = 30°\\).\nPołowa podstawy = \\(6\\), wysokość do podstawy: \\(h = 6\\tg 30° = 6\\cdot \\tfrac{\\sqrt 3}{3} = 2\\sqrt 3\\).\nRamię: \\(a = \\tfrac{6}{\\cos 30°} = \\tfrac{6}{\\tfrac{\\sqrt 3}{2}} = \\tfrac{12}{\\sqrt 3} = 4\\sqrt 3\\).\n\nPole: \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 2\\sqrt 3 = 12\\sqrt 3\\).\n\nNajkrótsza wysokość odpowiada najdłuższemu bokowi. Najdłuższy bok to podstawa \\(12\\) (naprzeciw kąta \\(120°\\)). Wysokość do niej: \\(h_{\\text{pod}} = 2\\sqrt 3\\).\n\n### Sposób 2 - Potwierdzenie\nWysokość do ramienia: \\(h_a = \\tfrac{2P}{a} = \\tfrac{24\\sqrt 3}{4\\sqrt 3} = 6\\). Porównanie: \\(2\\sqrt 3 \\approx 3{,}46 < 6\\), więc najkrótsza = \\(2\\sqrt 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\)** - wysokość do ramienia, nie najkrótsza.\n- **C. \\(4\\sqrt 3\\)** - ramię, nie wysokość.\n- **D. \\(6\\sqrt 3\\)** - nieprawidłowe obliczenie.\n\n**Zasada:** najkrótsza wysokość opuszczona na najdłuższy bok (bo \\(h = \\tfrac{2P}{a}\\)).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nProsta przechodząca przez punkty (-4, -1) oraz (5, 5) ma równanie\nA. 𝑦= 𝑥+ 3\nB. 𝑦= 2\n3 𝑥+ 5\n3\nC. 𝑦= 𝑥-3\nD. 𝑦= 2\n3 𝑥+ 11\n3\nRozwiązanie zadania. Prosta przechodząca przez punkty (-4,-1) oraz (5,5) ma równanie A. y=x+3 B. y=2/3x + 5/3 C. y=x-3 D. y = 2/3x + 11/3","answer":"B","answer_text":"21 czerwca 2021 r.\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nNr\nzadania\n1.\n2.\n3.\n4.\n5.\n6.\n7.\n8.\n9.\n10.\n11.\n12.\n13.\n14.\nOdp.\nD\nB\nC\nB\nA\nB\nA\nA\nC\nB\nD\nC\nB\nB\nNr\nzadania\n15.\n16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.\nOdp.\nA\nA\nD\nB\nC\nB\nB\nB\nD\nC\nB\nB\nC\nD\nZADANIA OTWARTE","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}\\]\n\n## Sposób 1 - wzór na równanie prostej przez dwa punkty\n\nMamy dwa punkty: \\(A = (-4, -1)\\) i \\(B = (5, 5)\\).\n\n**Krok 1: wyznacz współczynnik kierunkowy \\(a\\)**\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{5 - (-1)}{5 - (-4)} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\]\n\nRównanie prostej ma postać \\(y = \\frac{2}{3}x + b\\).\n\n**Krok 2: wyznacz wyraz wolny \\(b\\)**\n\nPodstawiamy jeden z punktów, np. \\(B = (5, 5)\\):\n\n\\[5 = \\frac{2}{3} \\cdot 5 + b\\]\n\\[5 = \\frac{10}{3} + b\\]\n\\[b = 5 - \\frac{10}{3} = \\frac{15}{3} - \\frac{10}{3} = \\frac{5}{3}\\]\n\n**Wynik:**\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie obu punktów\n\nSprawdzamy, czy oba punkty leżą na prostej \\(y = \\frac{2}{3}x + \\frac{5}{3}\\).\n\n**Punkt \\(A = (-4, -1)\\):**\n\n\\[\\frac{2}{3} \\cdot (-4) + \\frac{5}{3} = -\\frac{8}{3} + \\frac{5}{3} = -\\frac{3}{3} = -1 \\checkmark\\]\n\n**Punkt \\(B = (5, 5)\\):**\n\n\\[\\frac{2}{3} \\cdot 5 + \\frac{5}{3} = \\frac{10}{3} + \\frac{5}{3} = \\frac{15}{3} = 5 \\checkmark\\]\n\nOba punkty spełniają równanie - wynik poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy wyznaczamy ze wzoru (różnica rzędnych do różnicy odciętych):\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a = \\frac{2}{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Błędnie policzono \\(a = \\frac{6}{6} = 1\\) (wzięto \\(x_B - x_A = 9\\) jako \\(6\\), zgubiając znak przy \\(-4\\)) - potem wyznaczono \\(b = 3\\) |\n| C | Poprawnie policzono \\(a = 1\\) (ten sam błąd co w A), ale wyznaczono \\(b = -3\\) podstawiając inny punkt |\n| D | Poprawnie policzono \\(a = \\frac{2}{3}\\), ale przy wyznaczaniu \\(b\\) podstawiono punkt \\(A = (-4,-1)\\) i popełniono błąd rachunkowy: \\(-1 = \\frac{2}{3} \\cdot (-4) + b \\Rightarrow b = -1 + \\frac{8}{3} = \\frac{5}{3}\\) - ta ścieżka daje \\(\\frac{5}{3}\\), więc D (\\(\\frac{11}{3}\\)) wynika z błędu znaku: liczenia \\(b = -1 - \\frac{8}{3}\\) zamiast \\(-1 + \\frac{8}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu różnic pamiętaj o znakach ujemnych! \\(x_B - x_A = 5 - (-4) = 9\\), **nie** \\(5 - 4 = 1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) wyznaczaj po policzeniu \\(a\\) - podstawiaj DOWOLNY z dwóch danych punktów. Oba powinny dać ten sam wynik. Jeśli nie dają - błąd jest w \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek \\(\\frac{6}{9}\\) musisz skrócić do \\(\\frac{2}{3}\\). Jeśli zostawisz \\(\\frac{6}{9}\\), dalsze obliczenia będą utrudnione i łatwo się pomylić przy wyznaczaniu \\(b\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy i punkt\n\\(a = \\dfrac{5 - (-1)}{5 - (-4)} = \\dfrac{6}{9} = \\dfrac{2}{3}\\).\nZ punktu \\((5, 5)\\): \\(5 = \\tfrac{2}{3}\\cdot 5 + b \\Rightarrow b = 5 - \\tfrac{10}{3} = \\tfrac{5}{3}\\).\nRównanie: \\(y = \\tfrac{2}{3}x + \\tfrac{5}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie obu punktów\nDla B: \\((5,5)\\): \\(\\tfrac{10}{3} + \\tfrac{5}{3} = \\tfrac{15}{3} = 5\\) ✓. \\((-4,-1)\\): \\(-\\tfrac{8}{3} + \\tfrac{5}{3} = -1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = x + 3\\)** - błędny współczynnik \\(a = 1\\).\n- **C. \\(y = x - 3\\)** - jak A plus błąd \\(b\\).\n- **D. \\(y = \\tfrac{2}{3}x + \\tfrac{11}{3}\\)** - nieprawidłowe \\(b\\).\n\n**Zasada:** \\(a = \\dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\), potem podstawić punkt do \\(y = ax + b\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= -\n1\n𝑚-2 𝑥-1 i 𝑦= 1\n3 𝑥+ 1 są równoległe. Wynika stąd, że\nA. 𝑚= 5\n3\nB. 𝑚= -1\nC. 𝑚= 7\n3\nD. 𝑚= 5\nRozwiązanie zadania. Proste o równaniach y = -1/m-2 x - 1 i y = 1/3x + 1 są równoległe. Wynika stąd, że A. m = 5/3 B. m=-1 C. m = 7/3 D. m=5","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** \\(a_1 = a_2\\) (i różne wyrazy wolne, żeby nie były tą samą prostą).\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n\n\\[a_1 = -\\frac{1}{m-2}, \\qquad a_2 = \\frac{1}{3}\\]\n\nWarunek równoległości:\n\n\\[-\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\]\n\nMnożymy obu stronach przez \\(3(m-2)\\) (zakładając \\(m \\neq 2\\)):\n\n\\[-3 = m - 2\\]\n\n\\[m = -2 + 3 \\cdot (-1) + 2\\]\n\nProściej: przenosimy \\(-2\\) na prawą stronę:\n\n\\[m = -3 + 2 = -1\\]\n\n**Sprawdzenie, czy proste nie są tą samą:** dla \\(m = -1\\):\n- Linia 1: \\(y = \\frac{1}{3}x - 1\\) (wyraz wolny \\(-1\\))\n- Linia 2: \\(y = \\frac{1}{3}x + 1\\) (wyraz wolny \\(+1\\))\n\nWyrazy wolne różne, więc proste są rzeczywiście **równoległe** (nie pokrywają się). ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie \\(m = -1\\)\n\nPodstawiamy \\(m = -1\\) do pierwszego równania:\n\n\\[y = -\\frac{1}{(-1)-2}x - 1 = -\\frac{1}{-3}x - 1 = \\frac{1}{3}x - 1\\]\n\nPorównujemy z drugą prostą \\(y = \\frac{1}{3}x + 1\\):\n\n\\[\\underbrace{\\frac{1}{3}}_{\\text{współ. kier.}} = \\underbrace{\\frac{1}{3}}_{\\text{współ. kier.}} \\checkmark, \\qquad \\underbrace{-1}_{\\text{wyraz wolny}} \\neq \\underbrace{1}_{\\text{wyraz wolny}} \\checkmark\\]\n\nRówne nachylenia i różne wyrazy wolne - proste są **równoległe**. Odpowiedź B potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n\\[a_1 = a_2\\]\n\nczyli równe współczynniki kierunkowe w postaci \\(y = ax + b\\). Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1 do ustawienia równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| **A** \\(\\left(m = \\frac{5}{3}\\right)\\) | Zamiast krzyżowego mnożenia, uczeń \"odwrócił\" ułamek: z \\(-\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) błędnie zapisał \\(m - 2 = -\\frac{1}{3}\\), stąd \\(m = 2 - \\frac{1}{3} = \\frac{5}{3}\\) |\n| **C** \\(\\left(m = \\frac{7}{3}\\right)\\) | Pominięto minus przed \\(\\frac{1}{m-2}\\) **i** odwrócono ułamek: \\(\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) → \\(m - 2 = \\frac{1}{3}\\) → \\(m = \\frac{7}{3}\\) |\n| **D** \\((m = 5)\\) | Pominięto minus przed \\(\\frac{1}{m-2}\\): \\(\\frac{1}{m-2} = \\frac{1}{3}\\) → \\(m - 2 = 3\\) → \\(m = 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej to \\(-\\frac{1}{m-2}\\) - nie zapomnij o minusie! To najczęstszy błąd, prowadzący do odpowiedzi D lub C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(m\\) zawsze sprawdź, czy proste **nie pokrywają się** (wyrazy wolne muszą być różne). Gdyby wyraz wolny wyszedł taki sam, proste byłyby tą samą prostą, a nie równoległymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik \\(m - 2\\) nie może być zerem - gdyby \\(m = 2\\), pierwsza prosta byłaby pionowa (nieokreślony współczynnik kierunkowy), co wykluczamy już na starcie.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\nProste równoległe: \\(-\\dfrac{1}{m-2} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\\(-3 = m - 2 \\Rightarrow m = -1\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(m = -1\\): \\(-\\tfrac{1}{-1-2} = -\\tfrac{1}{-3} = \\tfrac{1}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m = \\tfrac{5}{3}\\):** \\(-\\tfrac{1}{\\tfrac{5}{3}-2} = -\\tfrac{1}{-\\tfrac{1}{3}} = 3 \\ne \\tfrac{1}{3}\\).\n- **C. \\(m = \\tfrac{7}{3}\\):** \\(-\\tfrac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3 \\ne \\tfrac{1}{3}\\).\n- **D. \\(m = 5\\):** \\(-\\tfrac{1}{3} \\ne \\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Uwaga:** znak minus przed \\(\\tfrac{1}{m-2}\\) jest kluczowy.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 dane są wierzchołki 𝐶= (-3, 1) oraz 𝐷= (2, 1). Bok 𝐴𝐷 ma\ndługość 6. Pole tego prostokąta jest równe\nA. 6√29\nB. 12√2\nC. 24\nD. 30\n120°\n12\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPole prostokąta \\(ABCD\\) wynosi **\\(30\\)**.\n\n## Sposób 1 - obliczenie boków z układu współrzędnych\n\n**Zaczynamy od wyznaczenia długości boku \\(CD\\).**\n\nWierzchołki \\(C = (-3, 1)\\) i \\(D = (2, 1)\\) mają tę samą współrzędną \\(y = 1\\), więc odcinek \\(CD\\) jest poziomy.\n\n\\[|CD| = |2 - (-3)| = |5| = 5\\]\n\n**Teraz identyfikujemy boki prostokąta.**\n\nW prostokącie \\(ABCD\\) wierzchołki są kolejne, więc:\n- \\(CD\\) i \\(AB\\) to **boki równoległe** (podstawy)\n- \\(AD\\) i \\(BC\\) to **boki równoległe** (ramiona)\n\nDane jest, że \\(|AD| = 6\\).\n\n**Obliczamy pole prostokąta:**\n\n\\[P = |CD| \\cdot |AD| = 5 \\cdot 6 = 30\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez współrzędne wszystkich wierzchołków\n\nSkoro \\(CD\\) leży na prostej \\(y = 1\\) i \\(|AD| = 6\\), to boki \\(AD\\) i \\(BC\\) są prostopadłe do \\(CD\\), czyli pionowe.\n\nWierzchołek \\(D = (2, 1)\\), a \\(|AD| = 6\\), więc \\(A\\) leży nad lub pod \\(D\\):\n\\[A = (2, 1 + 6) = (2, 7) \\quad \\text{lub} \\quad A = (2, 1 - 6) = (2, -5)\\]\n\nWierzchołek \\(C = (-3, 1)\\), więc \\(B\\) ma tę samą współrzędną \\(x\\) co \\(C\\):\n\\[B = (-3, 7) \\quad \\text{lub} \\quad B = (-3, -5)\\]\n\nSprawdzamy pole:\n\\[|AB| = |(-3) - 2| = 5\\]\n\\[|AD| = 6\\]\n\\[P = 5 \\cdot 6 = \\mathbf{30}\\]\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nDla odcinka \\(CD\\) - ponieważ \\(y_C = y_D\\), wzór upraszcza się do:\n\\[|CD| = |x_D - x_C| = |2 - (-3)| = 5\\]\n\nPole prostokąta wynika z podstawowego wzoru planimetrii (dział 10, s. 20):\n\\[P = a \\cdot b\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości sąsiednich boków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(6\\sqrt{29}\\) - prawdopodobnie obliczono długość przekątnej \\(|CD|\\) ze wzoru: \\(\\sqrt{5^2 + 2^2} = \\sqrt{29}\\) i pomnożono przez 6, myląc przekątną z bokiem |\n| B | \\(12\\sqrt{2}\\) - błąd przy wyznaczaniu \\(|CD|\\), np. użycie wzoru \\(\\sqrt{(-3)^2 + 1^2}\\) zamiast różnicy współrzędnych \\(x\\) |\n| C | \\(24\\) - prawdopodobnie przyjęto \\(|CD| = 4\\) zamiast \\(5\\) (np. zliczając \"kroki\" od \\(-3\\) do \\(2\\) i pomijając jeden przedział) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy oba punkty mają tę samą współrzędną \\(y\\), długość odcinka to po prostu **różnica współrzędnych \\(x\\)**, nie trzeba używać pełnego wzoru na odległość. Łatwo się tu pomylić i użyć samej wartości współrzędnej zamiast różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W prostokącie \\(ABCD\\) kolejność liter jest ważna - \\(AB, BC, CD, DA\\) to boki, a \\(AC, BD\\) to przekątne. Nie mylmy, który bok jest dany!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu \\(|2 - (-3)|\\) pamiętaj o podwójnym minusie: \\(2 - (-3) = 2 + 3 = 5\\), nie \\(2 - 3 = -1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bok CD i pole\n\\(|CD| = \\sqrt{(2-(-3))^2 + (1-1)^2} = \\sqrt{25} = 5\\).\nBok \\(AD = 6\\). Pole prostokąta: \\(P = 5 \\cdot 6 = 30\\).\n\n### Sposób 2 - Na rysunku\nCD pozioma (stała y = 1), długość 5. Prostopadły bok AD ma długość 6. Pole = \\(5\\cdot 6 = 30\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\sqrt{29}\\)** - błędna odległość.\n- **B. \\(12\\sqrt 2\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C. \\(24\\)** - \\(4\\cdot 6\\), błąd długości CD.\n\n**Zasada:** \\(P_{\\text{prostokąt}} = a\\cdot b\\), gdzie boki są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nObrazem prostej o równaniu 𝑥-2𝑦+ 3 = 0 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 jest prosta\no równaniu\nA. -𝑥+ 2𝑦+ 3 = 0\nB. -𝑥+ 2𝑦-3 = 0\nC. 𝑥+ 2𝑦-3 = 0\nD. 𝑥+ 2𝑦+ 3 = 0\nRozwiązanie zadania. Obrazem prostej o równaniu x-2y+3=0 w symetrii osiowej względem osi Oy jest prosta o równaniu A. -x+2y+3=0 B. -x+2y-3=0 C. x+2y-3=0 D. x+2y+3=0","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProsta o równaniu \\(x + 2y - 3 = 0\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie transformacji\n\n**Symetria osiowa względem osi \\(Oy\\)** wysyła każdy punkt \\((x, y)\\) na punkt \\((-x, y)\\).\n\nJeśli punkt \\((x, y)\\) leży na prostej obrazowej, to jego **praobraz** \\((-x, y)\\) leży na prostej oryginalnej.\n\nPodstawiamy \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) do równania \\(x - 2y + 3 = 0\\):\n\n\\[(-x) - 2y + 3 = 0\\]\n\n\\[-x - 2y + 3 = 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\n\\[\\boxed{x + 2y - 3 = 0}\\]\n\nTo właśnie odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - Punkty kontrolne\n\nWeźmy dwa konkretne punkty leżące na prostej \\(x - 2y + 3 = 0\\) i odwzorujmy je symetrycznie.\n\n**Punkt 1:** niech \\(y = 0\\):\n\\[x - 0 + 3 = 0 \\implies x = -3\\]\nPunkt \\((-3,\\, 0)\\) po symetrii wzgl. \\(Oy\\) daje \\((3,\\, 0)\\).\n\n**Punkt 2:** niech \\(y = 1\\):\n\\[x - 2 + 3 = 0 \\implies x = -1\\]\nPunkt \\((-1,\\, 1)\\) po symetrii wzgl. \\(Oy\\) daje \\((1,\\, 1)\\).\n\nSzukamy równania prostej przez \\((3, 0)\\) i \\((1, 1)\\):\n\n\\[a = \\frac{1 - 0}{1 - 3} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n\\[y - 0 = -\\frac{1}{2}(x - 3)\\]\n\n\\[2y = -x + 3\\]\n\n\\[x + 2y - 3 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dodatkowa obserwacja:** punkt przecięcia z osią \\(Oy\\) (przy \\(x = 0\\)) powinien się zachować (oś \\(Oy\\) jest osią symetrii):\n- Oryginalna prosta: \\(0 - 2y + 3 = 0 \\Rightarrow y = \\frac{3}{2}\\)\n- Odpowiedź C: \\(0 + 2y - 3 = 0 \\Rightarrow y = \\frac{3}{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nRównanie ogólne prostej: \\(Ax + By + C = 0\\)\n\nW tym zadaniu korzystamy z **definicji symetrii osiowej**: obraz punktu \\((x, y)\\) w symetrii wzgl. \\(Oy\\) to punkt \\((-x, y)\\). To nie jest wzór z karty wprost, ale wynika z definicji układu współrzędnych. Transformacja jest elementarna.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Równanie | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | \\(-x + 2y + 3 = 0\\) | Zamiana znaku przy \\(x\\), ale bez zamiany znaku przy \\(y\\) - jakby wykonano odwzorowanie przez środek układu \\((x \\to -x,\\; y \\to -y)\\), czyli symetrię środkową, nie osiową |\n| **B** | \\(-x + 2y - 3 = 0\\) | **Pułapka!** To jest dokładnie ta sama prosta co oryginalna - \\(-x + 2y - 3 = 0\\) to \\(x - 2y + 3 = 0\\) pomnożone przez \\(-1\\). Uczeń \"robi coś\" z równaniem, ale zostaje w miejscu |\n| **D** | \\(x + 2y + 3 = 0\\) | Wykonano symetrię wzgl. **osi \\(Ox\\)** zamiast \\(Oy\\): podstawiono \\(-y\\) w miejsce \\(y\\), przez co \\(-2y\\) zamieniło się w \\(+2y\\), a stała się nie zmieniła |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem **\\(Oy\\)** to zastąpienie \\(x \\to -x\\), a **\\(Ox\\)** to \\(y \\to -y\\). Łatwo pomylić - zapamiętaj: odbijamy względem osi, więc zmieniamy tę współrzędną, która jest **prostopadła** do osi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B wygląda \"inaczej\" od oryginału, ale po pomnożeniu przez \\(-1\\) jest identyczna. Zawsze upraszczaj równanie prostej przed porównaniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybka kontrola - punkt przecięcia z osią symetrii \\(Oy\\) musi być wspólny dla prostej wyjściowej i obrazowej. Jeśli y-przecięcia się różnią, odpowiedź jest błędna.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zamiana \\(x \\to -x\\)\nSymetria osiowa względem osi \\(Oy\\) zamienia \\(x\\) na \\(-x\\). Zastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\) w równaniu oryginału:\n\\(-x - 2y + 3 = 0\\).\nMnożymy przez \\(-1\\) (równoważne): \\(x + 2y - 3 = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Przez dwa punkty\nNa oryginalnej prostej: \\((0, \\tfrac{3}{2})\\) (bo \\(0 - 3 + 3 = 0\\)) i \\((-3, 0)\\).\nPo odbiciu: \\((0, \\tfrac{3}{2})\\) i \\((3, 0)\\).\nRównanie: \\(\\tfrac{x}{3} + \\tfrac{y}{3/2} = 1 \\Rightarrow \\tfrac{x}{3} + \\tfrac{2y}{3} = 1 \\Rightarrow x + 2y = 3 \\Rightarrow x + 2y - 3 = 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-x + 2y + 3 = 0\\)** - to zamiana \\(y \\to -y\\), czyli symetria względem osi \\(Ox\\).\n- **B. \\(-x + 2y - 3 = 0\\)** - to samo co A z innym znakiem.\n- **D. \\(x + 2y + 3 = 0\\)** - błąd znaku wyrazu wolnego.\n\n**Zasada:** symetria względem osi \\(Oy\\): \\(x \\to -x\\), \\(y\\) niezmienne.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"analityczna","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nGraniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4.\nPole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe\nA. 176\nB. 192\nC. 224\nD. 288\nRozwiązanie zadania. Graniastosłup prawidłowy ma 36 krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa 4. Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 176 B. 192 C. 224 D. 288","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(192\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie liczby boków podstawy z liczby krawędzi\n\n**Krok 1: Ile boków ma podstawa?**\n\nGraniastosłup prawidłowy \\(n\\)-kątny ma:\n- \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy,\n- \\(n\\) krawędzi górnej podstawy,\n- \\(n\\) krawędzi bocznych (łączących podstawy).\n\nŁącznie: \\(3n\\) krawędzi. Mamy więc równanie:\n\\[3n = 36 \\implies n = 12\\]\n\nGraniastosłup ma podstawę **12-kątną** (dwunastokątną).\n\n**Krok 2: Wymiary**\n\nKażda krawędź ma długość \\(4\\), zatem:\n- bok podstawy: \\(a = 4\\),\n- wysokość graniastosłupa: \\(h = 4\\) (bo krawędzie boczne = krawędzie między podstawami).\n\n**Krok 3: Pole powierzchni bocznej**\n\nPole boczne graniastosłupa prostego = obwód podstawy \\(\\times\\) wysokość:\n\\[P_b = O_p \\cdot h = (12 \\cdot 4) \\cdot 4 = 48 \\cdot 4 = \\boxed{192}\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczenie przez sumę prostokątów\n\nPowierzchnia boczna składa się z \\(n = 12\\) prostokątów. Każdy ma:\n- podstawę \\(a = 4\\) (bok wielokąta),\n- wysokość \\(h = 4\\) (krawędź boczna graniastosłupa).\n\nPole jednego prostokąta: \\(4 \\times 4 = 16\\).\n\nPole całkowite boczne:\n\\[P_b = 12 \\cdot 16 = \\boxed{192}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej graniastosłupa prostego:\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy, \\(h\\) to wysokość. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(176\\)) | Przyjęto \\(n = 11\\) - błąd rachunkowy przy dzieleniu \\(36 \\div 3\\), np. od \\(3n = 33\\) |\n| C (\\(224\\)) | Przyjęto \\(n = 14\\) - np. gdy uczeń użył wzoru \\(2n + 8 = 36\\) (pomyłka z innym wielościanem) |\n| D (\\(288\\)) | Przyjęto \\(n = 18\\) - błąd polegający na myśleniu, że **tylko krawędzie podstaw** liczą się do \\(36\\), tj. \\(2n = 36\\), stąd \\(n = 18\\), a \\(P_b = 18 \\cdot 4 \\cdot 4 = 288\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup \\(n\\)-kątny ma **\\(3n\\)** krawędzi (nie \\(2n\\) ani \\(4n\\)). Podstawa, górna ściana i boki dają trzy paczki po \\(n\\) krawędzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro **każda** krawędź ma długość \\(4\\), to zarówno bok podstawy, jak i wysokość graniastosłupa wynosi \\(4\\) - nie wolno użyć jednej wartości dwa razy w różnych rolach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **boczną**, nie **całkowitą** powierzchnię - nie dodawaj pól dwóch podstaw (12-kąta foremnego).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Liczba krawędzi graniastosłupa\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta ma \\(3n\\) krawędzi (\\(2n\\) na podstawach, \\(n\\) bocznych).\n\\(3n = 36 \\Rightarrow n = 12\\).\nPole boczne = \\(n\\cdot a\\cdot h = 12 \\cdot 4 \\cdot 4 = 192\\).\n\n### Sposób 2 - Prostokąty boczne\n\\(12\\) prostokątów o wymiarach \\(4\\times 4\\): \\(12\\cdot 16 = 192\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(176\\)** - błąd: \\(11\\cdot 16\\).\n- **C. \\(224\\)** - błąd: \\(14\\cdot 16\\).\n- **D. \\(288\\)** - pomyłka \\(18\\cdot 16\\) (pole całkowite?).\n\n**Zasada:** graniastosłup n-kątny ma \\(3n\\) krawędzi.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nWysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od\nkrawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego\npodstawy jest równy\nA. 1\n2\nB. 4ඥ3\n3\nC. 1\nD.\nඥ3\n4\nRozwiązanie zadania. Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest 2 razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy A. 1/2 B. 4√3/3 C. 1 D. √3/4","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory na pola i uproszczenie\n\n**Oznaczenia:**\nNiech krawędź podstawy = \\(a\\), a wysokość ściany bocznej (apotema boczna) = \\(l = 2a\\).\n\n**Krok 1: Pole powierzchni bocznej**\n\nOstrosłup prawidłowy sześciokątny ma **6 ścian bocznych**, z których każda jest trójkątem równoramiennym o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l = 2a\\).\n\nPole jednej ściany bocznej:\n\\[P_{\\text{bok}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot 2a = a^2\\]\n\nŁączne pole powierzchni bocznej:\n\\[P_b = 6 \\cdot a^2 = 6a^2\\]\n\n**Krok 2: Pole podstawy (sześciokąt foremny)**\n\nPrawidłowy sześciokąt o boku \\(a\\) składa się z **6 trójkątów równobocznych** o boku \\(a\\):\n\\[P_p = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 3: Stosunek**\n\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{6a^2}{\\dfrac{3a^2\\sqrt{3}}{2}} = 6a^2 \\cdot \\frac{2}{3a^2\\sqrt{3}} = \\frac{12}{3\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie konkretnych liczb (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy \\(a = 1\\), zatem \\(l = 2\\).\n\n**Pole boczne:**\n\\[P_b = 6 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 2 = 6\\]\n\n**Pole podstawy:**\n\\[P_p = \\frac{3 \\cdot 1^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\approx \\frac{3 \\cdot 1{,}732}{2} \\approx 2{,}598\\]\n\n**Stosunek:**\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{6}{\\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{12}{3\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\approx \\frac{4 \\cdot 1{,}732}{3} \\approx 2{,}309\\]\n\nSprawdźmy odpowiedź B: \\(\\dfrac{4\\sqrt{3}}{3} \\approx 2{,}309\\) ✓ - zgadza się.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni bocznej ostrosłupa:\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot Ob \\cdot l\\]\ngdzie \\(Ob\\) = obwód podstawy, \\(l\\) = apotema (wysokość ściany bocznej).\nUżyliśmy tego wzoru w rozwinięciu: \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot 6a \\cdot l\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego (jeden „plaster\" sześciokąta):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia pola sześciokąta foremnego jako \\(6 \\cdot \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Odwrócenie stosunku: policzono \\(\\dfrac{P_p}{P_b}\\) zamiast \\(\\dfrac{P_b}{P_p}\\) |\n| C \\(1\\) | Założenie, że oba pola są równe - błędna intuicja bez obliczeń |\n| D \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{4}\\) | Pomylenie wzoru na pole trójkąta równobocznego \\(\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) z wynikiem całego stosunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wysokość ściany bocznej\" to **nie** wysokość ostrosłupa! To apotema boczna - wysokość trójkątnej ściany bocznej, opuszczona z wierzchołka ostrosłupa na krawędź podstawy. Nie mylić z krawędzią boczną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole sześciokąta foremnego to \\(\\dfrac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\), **nie** \\(a^2\\sqrt{3}\\) ani \\(6a^2\\). Zapamiętaj: sześciokąt = 6 trójkątów równobocznych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}}\\) zawsze wymiernij mianownik: \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{3}}{3}\\). Zostawienie \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{3}}\\) to błąd formalny na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyliczenie pól\nNiech \\(a\\) - krawędź podstawy, \\(h_b = 2a\\) - wysokość ściany bocznej.\nPole ściany bocznej (trójkąt): \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot 2a = a^2\\). Sześć ścian: \\(P_b = 6a^2\\).\nPole podstawy (sześciokąt foremny): \\(P_{\\text{pod}} = 6\\cdot \\tfrac{a^2\\sqrt 3}{4} = \\tfrac{3a^2\\sqrt 3}{2}\\).\nStosunek: \\(\\dfrac{P_b}{P_{\\text{pod}}} = \\dfrac{6a^2}{\\tfrac{3a^2\\sqrt 3}{2}} = \\dfrac{12}{3\\sqrt 3} = \\dfrac{4}{\\sqrt 3} = \\dfrac{4\\sqrt 3}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Dla \\(a = 1\\)\n\\(P_b = 6\\cdot \\tfrac{1\\cdot 2}{2} = 6\\). \\(P_{\\text{pod}} = \\tfrac{3\\sqrt 3}{2} \\approx 2{,}598\\).\nStosunek \\(\\approx \\tfrac{6}{2{,}598} \\approx 2{,}309 = \\tfrac{4\\sqrt 3}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\), C. \\(1\\), D. \\(\\tfrac{\\sqrt 3}{4}\\)** - błędny wzór na pole sześciokąta lub ściany.\n\n**Zasada:** sześciokąt foremny to 6 trójkątów równobocznych o boku \\(a\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera -\nspółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż\npłytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania\npłytki z literą samogłoskową jest równe\nA. 0,75\nB. 0,25\nC. 4\n9\nD. 5\n9\nRozwiązanie zadania. W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera - spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o 25% więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe A. 0,75 B. 0,25 C. 4/9 D. 5/9","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Wprowadzenie zmiennej dla samogłosek\n\n**Oznaczamy:** niech liczba płytek z samogłoskami wynosi \\(x\\).\n\nSpółgłosek jest o \\(25\\%\\) więcej niż samogłosek, czyli:\n\\[\\text{liczba spółgłosek} = x + 25\\% \\cdot x = x + \\frac{1}{4}x = \\frac{5}{4}x\\]\n\nŁączna liczba płytek:\n\\[x + \\frac{5}{4}x = \\frac{4}{4}x + \\frac{5}{4}x = \\frac{9}{4}x\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania samogłoski:\n\\[P = \\frac{x}{\\dfrac{9}{4}x} = \\frac{x \\cdot 4}{9x} = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\dfrac{4}{9}\\)**\n\n## Sposób 2 - Konkretna liczba płytek (zakładamy przykładowo 4 samogłoski)\n\nPrzyjmijmy, że samogłosek jest \\(4\\) (wygodna liczba do obliczenia \\(25\\%\\)).\n\nSpółgłosek jest o \\(25\\%\\) więcej:\n\\[4 + 25\\% \\cdot 4 = 4 + 1 = 5\\]\n\nŁącznie płytek:\n\\[4 + 5 = 9\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[P = \\frac{4}{9}\\]\n\nWynik niezależny od wybranej liczby startowej - możemy sprawdzić dla \\(8\\) samogłosek:\n- spółgłoski: \\(8 + 2 = 10\\), łącznie: \\(18\\), \\(P = \\frac{8}{18} = \\frac{4}{9}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru: zdarzenie \\(A\\) = wylosowanie samogłoski, \\(|\\Omega|\\) = łączna liczba płytek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(0{,}75\\) | Uczeń oblicza \\(1 - 0{,}25 = 0{,}75\\), myląc „o 25% więcej\" z „25% wszystkich płytek to spółgłoski\" |\n| B: \\(0{,}25\\) | Uczeń bierze wprost \\(25\\%\\) jako prawdopodobieństwo - bez żadnego rachunku |\n| D: \\(\\dfrac{5}{9}\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(\\dfrac{9x}{4}\\) płytek, ale liczy prawdopodobieństwo **spółgłoski** zamiast samogłoski: \\(\\frac{5/4 \\cdot x}{9/4 \\cdot x} = \\frac{5}{9}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „O \\(25\\%\\) więcej\" to NIE to samo co „\\(25\\%\\) wszystkich\". Spółgłosek jest \\(\\frac{5}{4}\\) tyle co samogłosek, więc razem mamy \\(\\frac{9}{4}\\) samogłosek - stąd ułamek \\(\\frac{4}{9}\\), a nie \\(\\frac{3}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, o co pytamy - zadanie pyta o samogłoski, nie o spółgłoski. Odpowiedź D (\\(\\frac{5}{9}\\)) to właśnie prawdopodobieństwo wylosowania **spółgłoski**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach „o \\(p\\%\\) więcej\" zawsze zapisuj relację algebraicznie: jeśli samogłosek jest \\(x\\), to spółgłosek jest \\(x \\cdot (1 + \\frac{p}{100})\\). Nie skracaj drogi!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Proporcja\nNiech samogłoski = \\(s\\), spółgłoski = \\(1{,}25s = \\tfrac{5}{4}s\\).\nSuma: \\(s + \\tfrac{5}{4}s = \\tfrac{9}{4}s\\).\nPrawdopodobieństwo samogłoski: \\(\\dfrac{s}{\\tfrac{9}{4}s} = \\dfrac{4}{9}\\).\n\n### Sposób 2 - Liczbowo\nNiech samogłosek = 4, spółgłosek = 5 (o 25% więcej). Razem: 9. P = \\(\\tfrac{4}{9}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}75\\), B. \\(0{,}25\\)** - wartości procentowe, nie prawdopodobieństwa.\n- **D. \\(\\tfrac{5}{9}\\)** - to prawdopodobieństwo spółgłoski, nie samogłoski.\n\n**Zasada:** jeśli \\(B = A + 25\\%\\cdot A = 1{,}25A\\), to \\(P(A) = \\tfrac{A}{A + B} = \\tfrac{A}{2{,}25A} = \\tfrac{4}{9}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2, 3𝑥, 3𝑥+ 2, 3𝑥+ 4 jest równa 13\n2 . Wynika\nstąd, że\nA. 𝑥= 9\nB. 𝑥= 13\n2\nC. 𝑥= 5\n9\nD. 𝑥= 2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: 2,3x,3x+2,3x+4 jest równa 13/2. Wynika stąd, że A. x=9 B. x=13/2 C. x=5/9 D. x=2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb to suma podzielona przez 4. Zapisujemy:\n\n\\[\\frac{2 + 3x + (3x+2) + (3x+4)}{4} = \\frac{13}{2}\\]\n\nUpraszczamy licznik:\n\n\\[2 + 3x + 3x + 2 + 3x + 4 = 9x + 8\\]\n\nMamy więc:\n\n\\[\\frac{9x + 8}{4} = \\frac{13}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez 4:\n\n\\[9x + 8 = \\frac{13}{2} \\cdot 4 = 26\\]\n\nOdejmujemy 8:\n\n\\[9x = 18\\]\n\nDzielimy przez 9:\n\n\\[\\boxed{x = 2}\\]\n\n**Odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(x = 2\\) rzeczywiście daje średnią \\(\\frac{13}{2}\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\):\n- \\(2\\) - bez zmian\n- \\(3x = 3 \\cdot 2 = 6\\)\n- \\(3x + 2 = 8\\)\n- \\(3x + 4 = 10\\)\n\nCztery liczby to: \\(2,\\ 6,\\ 8,\\ 10\\).\n\nSuma: \\(2 + 6 + 8 + 10 = 26\\)\n\nŚrednia: \\(\\frac{26}{4} = \\frac{13}{2}\\) ✓\n\nZgadza się - to potwierdza odpowiedź D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - przyrównaliśmy sumę czterech liczb podzieloną przez 4 do danej wartości \\(\\frac{13}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(x = 9\\) - uczeń myli średnią z sumą: przyrównuje \\(9x + 8 = \\frac{13}{2}\\) zamiast do \\(26\\), albo zapomina podzielić przez 4 |\n| B | \\(x = \\frac{13}{2}\\) - uczeń przepisuje wartość średniej jako wynik, nie rozwiązując równania |\n| C | \\(x = \\frac{5}{9}\\) - błędna operacja algebraiczna, np. \\(9x = 5\\) po złym uproszczeniu licznika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o uproszczeniu **wszystkich** wyrazów w liczniku przed przyrównaniem. Łatwo zgubić stałą: \\(2 + 2 + 4 = 8\\), a nie np. 6.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc \\(\\frac{13}{2} \\cdot 4\\), wynik to \\(26\\), nie \\(13\\). To częsty błąd przy pośpiechu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi, że liczby są **dodatnie** - po wyliczeniu \\(x = 2\\) warto sprawdzić, czy wszystkie cztery liczby (\\(2, 6, 8, 10\\)) są rzeczywiście dodatnie. Są - więc warunek jest spełniony.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią\n\\(\\dfrac{2 + 3x + (3x+2) + (3x+4)}{4} = \\dfrac{13}{2}\\).\nLicznik: \\(2 + 3x + 3x + 2 + 3x + 4 = 9x + 8\\).\n\\(\\dfrac{9x + 8}{4} = \\dfrac{13}{2} \\Rightarrow 9x + 8 = 26 \\Rightarrow 9x = 18 \\Rightarrow x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie D\n\\(x = 2\\): liczby \\(2, 6, 8, 10\\). Suma \\(= 26\\), średnia \\(= \\tfrac{26}{4} = \\tfrac{13}{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = 9\\)** - \\(2, 27, 29, 31\\), średnia \\(\\approx 22{,}3 \\ne 6{,}5\\).\n- **B. \\(x = \\tfrac{13}{2}\\)** - błąd utożsamienia z samą średnią.\n- **C. \\(x = \\tfrac{5}{9}\\)** - nieprawidłowa algebra.\n\n**Zasada:** \\(\\text{średnia} = \\dfrac{\\text{suma}}{n}\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n2(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 𝑥ଶ-9\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2(x+1)(x-3) < x^2-9","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\\[2(x+1)(x-3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6\\]\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę (odejmujemy \\(x^2 - 9\\)):**\n\\[2x^2 - 4x - 6 - (x^2 - 9) < 0\\]\n\\[2x^2 - 4x - 6 - x^2 + 9 < 0\\]\n\\[x^2 - 4x + 3 < 0\\]\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:**\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16 - 12 = 4\\]\n\\[x_1 = \\frac{4 - \\sqrt{4}}{2} = \\frac{4-2}{2} = 1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + \\sqrt{4}}{2} = \\frac{4+2}{2} = 3\\]\n\n**Ramiona paraboli skierowane w górę** (\\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest ujemny **między** pierwiastkami:\n\n\\[\\boxed{x \\in (1, 3)}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika\n\nZauważamy, że prawa strona \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\). Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[2(x+1)(x-3) - (x-3)(x+3) < 0\\]\n\n**Wyciągamy \\((x-3)\\) przed nawias:**\n\\[(x-3)\\bigl[2(x+1) - (x+3)\\bigr] < 0\\]\n\\[(x-3)(2x + 2 - x - 3) < 0\\]\n\\[(x-3)(x-1) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy mają **przeciwne znaki**:\n\n| Przypadek | Warunek | Wynik |\n| \\(x - 3 < 0\\) i \\(x - 1 > 0\\) | \\(x < 3\\) i \\(x > 1\\) | \\(x \\in (1, 3)\\) ✓ |\n| \\(x - 3 > 0\\) i \\(x - 1 < 0\\) | \\(x > 3\\) i \\(x < 1\\) | sprzeczność ✗ |\n\nWynik: \\(\\boxed{x \\in (1, 3)}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x^2 - 4x + 3 = 0\\).\n\nOraz własność: trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) jest **ujemny** dla \\(x \\in (x_1, x_2)\\) - to jest wniosek z kształtu paraboli, omówiony przy opisie funkcji kwadratowej na s. 7-9.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu \\(x^2 - 9\\) na lewą stronę trzeba zmienić znaki: \\(-(x^2 - 9) = -x^2 + 9\\), nie \\(-x^2 - 9\\). To jeden z najczęstszych błędów rachunkowych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\((x-3)(x-1) < 0\\) to nie to samo co \\(x < 3\\) i \\(x < 1\\). Iloczyn jest ujemny, gdy **jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny** - trzeba przeanalizować oba przypadki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik to przedział **otwarty** \\((1, 3)\\), bo przy \\(x = 1\\) i \\(x = 3\\) nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)). Nie wstawiaj nawiasów kwadratowych!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (1, 3)\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Nierówność kwadratowa\nPrzekształcamy: \\(2(x+1)(x-3) < x^2 - 9\\).\n\\(2(x^2 - 3x + x - 3) < x^2 - 9\\)\n\\(2x^2 - 4x - 6 < x^2 - 9\\)\n\\(x^2 - 4x + 3 < 0\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = 16 - 12 = 4\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 2\\).\nPierwiastki: \\(x_1 = \\dfrac{4-2}{2} = 1\\), \\(x_2 = \\dfrac{4+2}{2} = 3\\).\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\), \\(f(x) < 0\\) między pierwiastkami: \\(x \\in (1, 3)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nNierówność: \\(x^2 - 4x + 3 < 0\\). Rozkład: \\(x_1 + x_2 = 4\\), \\(x_1\\cdot x_2 = 3\\). Pierwiastki: \\(1, 3\\).\n\\((x - 1)(x - 3) < 0 \\Rightarrow x \\in (1, 3)\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - poprawne obliczenie pierwiastków trójmianu (\\(x_1 = 1, x_2 = 3\\)) i zakończenie lub błąd w zbiorze.\n- **2 pkt** - poprawny zbiór rozwiązań \\((1, 3)\\) lub \\(x \\in (1, 3)\\).\n- **0 pkt** - podzielenie obustronne nierówności przez \\((x-3)\\) (zmienia znak zależnie od \\(x\\)).\n\n**Trik:** rozkład \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) pozwala wyłączyć \\((x-3)\\) - ale ostrożnie (tylko po sprowadzeniu do postaci \\(<0\\)).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nWykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych 𝑎, 𝑏 i 𝑐 takich, że 𝑎+𝑏\n2\n> 𝑐 i 𝑏+𝑐\n2\n> 𝑎,\nprawdziwa jest nierówność\n𝑎+ 𝑐\n2\n< 𝑏\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych a, b i c takich, że a+b/2 > c i b+c/2 > a, prawdziwa jest nierówność a+c/2 < b","answer":null,"answer_text":"30 = 3\n10\nUwaga:\nZdający może zapisać zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór uporządkowanych\npar możliwych do utworzenia w wyniku losowania, tzn. może zastosować zapis:\nΩ = {(3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),\n(5, 0), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (6, 0), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4),\n(7, 0), (7, 1), (7, 2), (7, 3), (7, 4), (8, 0), (8, 1), (8, 2), (8, 3), (8, 4)}\nWtedy 𝐴= {(3, 2), (4, 0), (4, 4), (5, 2), (6, 0), (6, 4), (7, 2), (8, 0), (8, 4)}.\nSposób 2.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4.\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych tego doświadczenia |Ω| = 6 ⋅5 = 30\nlub opisujemy zbiór zdarzeń elementarnych np. w postaci tabeli\nWskazujemy elementy zbioru 𝐴 i zliczamy je: |𝐴| = 9. Ponieważ wszystkie zdarzenia\njednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, więc korzystamy z klasycznej definicji\nprawdopodobieństwa:\n𝟎\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟑\n30\n31\n32\n33\n34\n𝟒\n40\n41\n42\n43\n44\n𝟓\n50\n51\n52\n53\n54\n𝟔\n60\n61\n62\n63\n64\n𝟕\n70\n71\n72\n73\n74\n𝟖\n80\n81\n82\n83\n84\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 9\n30 = 3\n10\nSposób 3.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie losowe polegające na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 4.\nRysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1","solution":"## Poprawna odpowiedź: należy udowodnić, że \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\)\n\nJest to zadanie otwarte - dowodowe. Teza do wykazania: ze spełnienia obu nierówności wynika trzecia.\n\n## Sposób 1 - Dodawanie nierówności stronami\n\n**Krok 1.** Zapisujemy obie dane nierówności bez ułamków (mnożymy obie strony przez \\(2 > 0\\), co nie zmienia kierunku):\n\n\\[\\frac{a+b}{2} > c \\implies a + b > 2c\\]\n\n\\[\\frac{b+c}{2} > a \\implies b + c > 2a\\]\n\n**Krok 2.** Dodajemy obie nierówności stronami (sumy nierówności o tym samym kierunku dają nierówność w tym samym kierunku):\n\n\\[(a + b) + (b + c) > 2c + 2a\\]\n\n\\[a + 2b + c > 2a + 2c\\]\n\n**Krok 3.** Przenosimy \\(a\\) i \\(c\\) na lewą stronę:\n\n\\[2b > 2a + 2c - a - c\\]\n\n\\[2b > a + c\\]\n\n**Krok 4.** Dzielimy obie strony przez \\(2 > 0\\):\n\n\\[\\boxed{b > \\frac{a+c}{2}}\\]\n\nco jest równoważne tezie \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\). \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Dowód nie wprost (przez sprzeczność)\n\n**Założenie.** Przypuśćmy, że teza jest **fałszywa**, tzn.:\n\n\\[\\frac{a+c}{2} \\geq b \\implies a + c \\geq 2b\\]\n\n**Krok 1.** Z pierwszego założenia \\(a + b > 2c\\) wynika:\n\n\\[a > 2c - b \\tag{1}\\]\n\n**Krok 2.** Z drugiego założenia \\(b + c > 2a\\) wynika:\n\n\\[c > 2a - b \\tag{2}\\]\n\n**Krok 3.** Dodajemy nierówności \\((1)\\) i \\((2)\\):\n\n\\[a + c > (2c - b) + (2a - b) = 2a + 2c - 2b\\]\n\n\\[a + c > 2a + 2c - 2b\\]\n\n\\[0 > a + c - 2b\\]\n\n\\[2b > a + c\\]\n\n**Krok 4.** Otrzymaliśmy \\(2b > a + c\\), czyli \\(a + c < 2b\\) - co jest **sprzeczne** z naszym założeniem \\(a + c \\geq 2b\\).\n\nZatem założenie jest fałszywe, a teza \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\) musi być prawdziwa. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (dodawanie stronami, mnożenie przez stałą dodatnią), które są częścią wiedzy elementarnej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno po prostu zapisać wniosku bez uzasadnienia - zadanie prosi o **wykazanie**, więc każdy krok musi być uzasadniony. Napisanie samego „dodajemy te dwie nierówności\" bez pokazania skąd i dokąd to za mało.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy pozbywaniu się ułamka \\(\\frac{a+b}{2}\\) mnożymy przez \\(2 > 0\\) - kierunek nierówności **nie zmienia się**. Błąd pojawia się, gdy uczeń myli tę operację z mnożeniem przez liczbę ujemną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W dowodzie przez sprzeczność (Sposób 2) kluczowe jest sformułowanie: **„przyjmujemy, że teza jest fałszywa\"**, a nie że założenia są fałszywe. Mylenie tego to częsty błąd formalny w dowodach nie wprost.\n\n**Poprawna odpowiedź: dowód.**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Dodawanie nierówności\nZ założeń: \\(\\dfrac{a+b}{2} > c\\) i \\(\\dfrac{b+c}{2} > a\\).\nDodajemy stronami:\n\\(\\dfrac{a+b}{2} + \\dfrac{b+c}{2} > c + a\\)\n\\(\\dfrac{a+b+b+c}{2} > c + a\\)\n\\(\\dfrac{a+2b+c}{2} > c + a\\)\n\\(a + 2b + c > 2c + 2a\\)\n\\(2b > a + c\\)\n\\(b > \\dfrac{a+c}{2}\\), czyli \\(\\dfrac{a+c}{2} < b\\). \\(\\square\\)\n\n### Sposób 2 - Dodawanie po przekształceniu\nPrzepisujemy założenia: \\(a + b > 2c\\) i \\(b + c > 2a\\).\nDodajemy: \\(a + 2b + c > 2c + 2a \\Rightarrow 2b > a + c \\Rightarrow b > \\dfrac{a+c}{2}\\). \\(\\square\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie \\(\\dfrac{a+b}{2} + \\dfrac{b+c}{2} > c + a\\) lub \\(a + 2b + c > 2c + 2a\\).\n- **2 pkt** - pełne rozumowanie.\n- **0 pkt** - sprawdzenie tylko dla konkretnych wartości \\(a, b, c\\).\n\n**Trik:** dodawanie nierówności stronami (zachowuje znak dla \\(>\\)).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDany jest ciąg arytmetyczny (𝑎௡), określony dla wszystkich liczb naturalnych 𝑛≥1. Suma\ndwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20𝑎ଶଵ+ 62. Oblicz różnicę\nciągu (𝑎௡).\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n), określony dla wszystkich liczb naturalnych n≥1. Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 20a_21 + 62. Oblicz różnicę ciągu (a_n).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = -\\dfrac{31}{105}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę i wyraz ciągu\n\n**Oznaczenia:** pierwszy wyraz \\(a_1\\), różnica \\(r\\).\n\n**Krok 1 - wyraź \\(S_{20}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).**\n\n\\[S_{20} = \\frac{20}{2}(2a_1 + 19r) = 20a_1 + 190r\\]\n\n**Krok 2 - wyraź \\(20a_{21}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).**\n\n\\[a_{21} = a_1 + 20r \\implies 20a_{21} = 20a_1 + 400r\\]\n\n**Krok 3 - podstaw do warunku zadania \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\).**\n\n\\[20a_1 + 190r = 20a_1 + 400r + 62\\]\n\nCzłony z \\(a_1\\) redukują się po obu stronach:\n\n\\[190r = 400r + 62\\]\n\\[190r - 400r = 62\\]\n\\[-210r = 62\\]\n\\[r = -\\frac{62}{210} = -\\frac{31}{105}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{r = -\\dfrac{31}{105}}\\)\n\n## Sposób 2 - wyrażenie \\(S_{20}\\) przez \\(a_{21}\\)\n\nZamiast rozkładać wszystko na \\(a_1\\) i \\(r\\), **od razu wyrażamy \\(S_{20}\\) przez \\(a_{21}\\)**.\n\nZ definicji ciągu arytmetycznego:\n\\[a_1 = a_{21} - 20r, \\qquad a_{20} = a_{21} - r\\]\n\nSumę 20 wyrazów zapiszemy jako:\n\\[S_{20} = 10(a_1 + a_{20}) = 10\\bigl[(a_{21} - 20r) + (a_{21} - r)\\bigr] = 10(2a_{21} - 21r)\\]\n\n\\[S_{20} = 20a_{21} - 210r\\]\n\nTeraz warunek \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\) daje natychmiast:\n\n\\[20a_{21} - 210r = 20a_{21} + 62\\]\n\\[-210r = 62\\]\n\\[r = -\\frac{31}{105}\\]\n\n> Ten sposób jest szybszy - od razu widać, że \\(a_{21}\\) \"odpada\" i zostaje czyste równanie na \\(r\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory ciągu arytmetycznego użyte w obu sposobach:\n\nWyraz ogólny:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_{21}\\) i wyrażenia \\(a_1, a_{20}\\) przez \\(a_{21}\\).\n\nSuma \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy obu postaci - pierwszej w Sposobie 1, drugiej (ze wzorem \\(S_{20} = 10(a_1+a_{20})\\)) w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - wyznaczenie wzoru na \\(S_{20}\\) ale użycie \\(n = 21\\) zamiast \\(n = 20\\). Sumujemy **dwadzieścia** wyrazów, więc \\(n = 20\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a_{21}\\) (wyraz **dwudziesty pierwszy**, czyli \\(a_1 + 20r\\)) z \\(a_{20}\\) (wyraz **dwudziesty**, czyli \\(a_1 + 19r\\)). W wzorze ogólnym indeks \\(n\\) pojawia się jako \\((n-1)\\) przy \\(r\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po redukcji \\(20a_1\\) z obu stron zostaje równanie **tylko z \\(r\\)**. Jeśli nadal masz \\(a_1\\) w równaniu, gdzieś popełniłeś błąd algebraiczny - wróć i sprawdź.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(r = -\\dfrac{31}{105}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Suma n wyrazów\nKorzystamy ze wzoru \\(S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n\\) i \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).\nZ warunku: \\(S_{20} = 20a_{21} + 62\\).\n\\(\\dfrac{a_1 + a_{20}}{2}\\cdot 20 = 20(a_1 + 20r) + 62\\)\n\\(\\dfrac{a_1 + (a_1 + 19r)}{2}\\cdot 20 = 20a_1 + 400r + 62\\)\n\\((2a_1 + 19r)\\cdot 10 = 20a_1 + 400r + 62\\)\n\\(20a_1 + 190r = 20a_1 + 400r + 62\\)\n\\(-210r = 62\\)\n\\(r = -\\dfrac{62}{210} = -\\dfrac{31}{105}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór przez średnią\n\\(S_{20} = 20 \\cdot \\dfrac{a_1 + a_{20}}{2}\\). Środek wyrazów \\(1 20\\) to \\(\\tfrac{a_{10} + a_{11}}{2} = a_1 + \\tfrac{19}{2}r\\). Więc \\(S_{20} = 20(a_1 + \\tfrac{19}{2}r)\\). Równanie daje to samo \\(r = -\\tfrac{31}{105}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie równania z niewiadomymi i wykorzystanie wzoru na sumę.\n- **2 pkt** - obliczenie \\(r = -\\tfrac{31}{105}\\).\n\n**Trik:** wykorzystanie \\(a_{21} = a_1 + 20r\\) i \\(a_{20} = a_1 + 19r\\) - bez wyznaczania \\(a_1\\).","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"ciagi","page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nDany jest trapez o podstawach długości 𝑎 oraz 𝑏 i wysokości ℎ. Każdą z podstaw tego\ntrapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym\npolu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość ℎ trapezu.\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trapez o podstawach długości a oraz b i wysokości h. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość h trapezu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: wysokość skrócono o 20%\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie pól (algebraicznie)\n\n**Pole oryginalnego trapezu:**\n\\[P_1 = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\n\n**Nowe podstawy** po wydłużeniu o 25%:\n\\[a' = a \\cdot 1{,}25 = \\frac{5a}{4}, \\qquad b' = b \\cdot 1{,}25 = \\frac{5b}{4}\\]\n\n**Pole nowego trapezu** (z nową wysokością \\(h'\\)):\n\\[P_2 = \\frac{a' + b'}{2} \\cdot h' = \\frac{\\frac{5a}{4} + \\frac{5b}{4}}{2} \\cdot h' = \\frac{\\frac{5(a+b)}{4}}{2} \\cdot h' = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot h'\\]\n\n**Warunek:** pola są równe, czyli \\(P_1 = P_2\\):\n\\[\\frac{a+b}{2} \\cdot h = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot h'\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\((a+b)\\) (zakładamy \\(a+b \\neq 0\\)):\n\\[\\frac{h}{2} = \\frac{5h'}{8}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(8\\):\n\\[4h = 5h'\\]\n\n\\[h' = \\frac{4h}{5} = 0{,}8h\\]\n\n**Zmiana wysokości:**\n\\[h - h' = h - 0{,}8h = 0{,}2h\\]\n\nCzyli \\(\\frac{h - h'}{h} = 0{,}2 = 20\\%\\).\n\n**Wysokość skrócono o \\(20\\%\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez współczynniki skalowania (proporcjonalnie)\n\nKażda podstawa została przemnożona przez współczynnik \\(k = 1{,}25 = \\frac{5}{4}\\).\n\nPonieważ **suma podstaw** to \\(a + b\\), to nowa suma podstaw to:\n\\[\\frac{5}{4}(a+b)\\]\n\nPole trapezu = \\(\\frac{a+b}{2} \\cdot h\\), więc jeśli suma podstaw wzrosła \\(\\frac{5}{4}\\) razy, a pole ma pozostać **bez zmian**, to wysokość musi zmaleć dokładnie tyle razy, ile wzrosła suma podstaw:\n\n\\[h' = h \\cdot \\frac{1}{\\frac{5}{4}} = h \\cdot \\frac{4}{5} = 0{,}8h\\]\n\nWynika to z ogólnej zasady: jeżeli w iloczynie \\(A \\cdot B\\) zmienisz \\(A\\) k-krotnie, a chcesz zachować iloczyn, musisz \\(B\\) zmienić \\(\\frac{1}{k}\\)-krotnie.\n\n**Weryfikacja:**\n\\[P_2 = \\frac{\\frac{5}{4}(a+b)}{2} \\cdot \\frac{4h}{5} = \\frac{5(a+b)}{8} \\cdot \\frac{4h}{5} = \\frac{4(a+b)h}{8} = \\frac{(a+b)h}{2} = P_1 \\checkmark\\]\n\n**Wysokość skrócono o \\(20\\%\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości podstaw, \\(h\\) to wysokość. Wzoru tego użyliśmy do zapisania pola przed i po zmianie wymiarów.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wydłużenie każdej podstawy o 25% oznacza, że **suma podstaw** też rośnie o 25% - to samo \\(\\frac{5}{4}\\). Nie trzeba sumować osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek: jeśli suma podstaw wzrosła o \\(\\frac{1}{4}\\), to wysokość nie maleje o \\(\\frac{1}{4}\\) (czyli o 25%), lecz o mniej - bo \\(\\frac{1}{k} = \\frac{4}{5} = 0{,}8\\), a więc redukcja wynosi \\(20\\%\\), nie \\(25\\%\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik jest niezależny od konkretnych wartości \\(a\\), \\(b\\) i \\(h\\) - odpowiedź 20% jest zawsze prawdziwa, niezależnie od kształtu trapezu.\n\n**Poprawna odpowiedź: o \\(20\\%\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Równanie pól\nPole oryginalnego trapezu: \\(P = \\dfrac{(a+b)h}{2}\\).\nNowe podstawy: \\(\\tfrac{5}{4}a\\) i \\(\\tfrac{5}{4}b\\). Nowa wysokość: \\(x\\).\nPole nowego trapezu: \\(P' = \\dfrac{\\tfrac{5}{4}a + \\tfrac{5}{4}b}{2}\\cdot x = \\dfrac{5(a+b)}{8}x\\).\nZ równości \\(P = P'\\):\n\\(\\dfrac{(a+b)h}{2} = \\dfrac{5(a+b)x}{8}\\).\nDzielimy obie strony przez \\((a+b)\\) i mnożymy przez \\(8\\):\n\\(4h = 5x \\Rightarrow x = \\dfrac{4h}{5} = 0{,}8h\\).\nWysokość skrócono z \\(h\\) do \\(0{,}8h\\), co oznacza zmniejszenie o \\(20\\%\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nSuma podstaw wzrosła o \\(25\\%\\) (czynnik \\(\\tfrac{5}{4}\\)). Aby pole się nie zmieniło, wysokość musi zmaleć odwrotnie proporcjonalnie: czynnik \\(\\tfrac{4}{5} = 0{,}8\\), czyli skrócenie o \\(20\\%\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie równości pól.\n- **2 pkt** - wniosek: skrócono o \\(20\\%\\).\n\n**Trik:** \\((a+b)\\) redukuje się z obu stron równania.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":21,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 boki 𝐵𝐶 i 𝐴𝐶 są równej długości. Prosta 𝑘 jest prostopadła do podstawy 𝐴𝐵\ntego trójkąta i przecina boki 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶 w punktach - odpowiednio - 𝐷 i 𝐸. Pole czworokąta\n𝐴𝐷𝐸𝐶 jest 17 razy większe od pola trójkąta 𝐵𝐸𝐷. Oblicz\nห𝐶𝐸ห\nห𝐸𝐵ห .\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. W trójkącie ABC boki BC i AC są równej długości. Prosta k jest prostopadła do podstawy AB tego trójkąta i przecina boki AB oraz BC w punktach - odpowiednio - D i E. Pole czworokąta ADEC jest 17 razy większe od pola trójkąta BED. Oblicz |CE|/|EB|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Współrzędne i pole trójkąta\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych.**\n\nNiech \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (2a, 0)\\), a ponieważ \\(AC = BC\\), wierzchołek \\(C\\) leży na osi symetrii \\(AB\\):\n\n\\[C = (a,\\, h)\\]\n\nProsta \\(k \\perp AB\\) jest pionową prostą \\(x = d\\) dla pewnego \\(d \\in (0, 2a)\\).\n\n**Wyznaczamy punkt D i E.**\n\n\\[D = (d,\\, 0)\\]\n\nProsta \\(BC\\): z \\(B=(2a,0)\\) do \\(C=(a,h)\\), parametrycznie \\((2a - at,\\; ht)\\). Przy \\(x = d\\):\n\n\\[t = \\frac{2a - d}{a}\\]\n\nNiech \\(|BD| = b\\), czyli \\(d = 2a - b\\), więc \\(t = \\frac{b}{a}\\) i:\n\n\\[E = \\left(2a - b,\\; \\frac{hb}{a}\\right)\\]\n\n**Obliczamy pola.**\n\nTrójkąt \\(BED\\) ma kąt prosty w \\(D\\) (bo \\(DE \\perp AB\\)):\n\n\\[P_{BED} = \\frac{1}{2} \\cdot |BD| \\cdot |DE| = \\frac{1}{2} \\cdot b \\cdot \\frac{hb}{a} = \\frac{hb^2}{2a}\\]\n\nPole całego trójkąta \\(ABC\\):\n\n\\[P_{ABC} = \\frac{1}{2} \\cdot 2a \\cdot h = ah\\]\n\nStąd pole czworokąta \\(ADEC\\):\n\n\\[P_{ADEC} = P_{ABC} - P_{BED} = ah - \\frac{hb^2}{2a}\\]\n\n**Stosujemy warunek zadania** (\\(P_{ADEC} = 17 \\cdot P_{BED}\\)):\n\n\\[ah - \\frac{hb^2}{2a} = 17 \\cdot \\frac{hb^2}{2a}\\]\n\nDzielimy przez \\(h > 0\\):\n\n\\[a = \\frac{hb^2}{2a} \\cdot 18 \\cdot \\frac{1}{h} \\quad \\Longrightarrow \\quad a = \\frac{18b^2}{2a} = \\frac{9b^2}{a}\\]\n\n\\[a^2 = 9b^2 \\implies a = 3b\\]\n\n**Wyznaczamy szukaną proporcję.**\n\nPonieważ \\(E\\) leży na \\(BC\\) w stosunku \\(t = b/a = 1/3\\) od \\(B\\):\n\n\\[|BE| = \\frac{1}{3}|BC|, \\qquad |CE| = \\frac{2}{3}|BC|\\]\n\n\\[\\boxed{\\frac{|CE|}{|EB|} = \\frac{\\tfrac{2}{3}|BC|}{\\tfrac{1}{3}|BC|} = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów (Twierdzenie Talesa)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Prosta \\(k\\) (prostopadła do \\(AB\\) w \\(D\\)) jest równoległa do wysokości \\(CF\\) opuszczonej z \\(C\\) na \\(AB\\) - obie są prostopadłe do \\(AB\\).\n\nNiech \\(k = \\dfrac{|BE|}{|BC|}\\) (szukana proporcja). Ponieważ \\(DE \\parallel CF\\), z Twierdzenia Talesa:\n\n\\[\\frac{|BD|}{|BF|} = \\frac{|BE|}{|BC|} = k\\]\n\ngdzie \\(F\\) to środek \\(AB\\) (z symetrii trójkąta równoramiennego \\(|BF| = a\\)).\n\n**Trójkąty \\(BDE\\) i \\(BCF\\) są podobne** (kąt wspólny przy \\(B\\), kąt prosty odpowiednio przy \\(D\\) i \\(F\\)), ze skalą \\(k\\). Zatem:\n\n\\[\\frac{P_{BDE}}{P_{BCF}} = k^2\\]\n\nPonieważ \\(P_{BCF} = \\dfrac{1}{2} P_{ABC}\\) (wysokość \\(CF\\) dzieli trójkąt równoramienny na połowy):\n\n\\[P_{BDE} = k^2 \\cdot \\frac{P_{ABC}}{2}\\]\n\nWarunek zadania (\\(P_{ADEC} = 17 \\cdot P_{BDE}\\), a \\(P_{ADEC} = P_{ABC} - P_{BDE}\\)):\n\n\\[P_{ABC} - k^2 \\cdot \\frac{P_{ABC}}{2} = 17 \\cdot k^2 \\cdot \\frac{P_{ABC}}{2}\\]\n\nDzielimy przez \\(P_{ABC}\\):\n\n\\[1 - \\frac{k^2}{2} = \\frac{17k^2}{2}\\]\n\n\\[1 = \\frac{18k^2}{2} = 9k^2 \\implies k^2 = \\frac{1}{9} \\implies k = \\frac{1}{3}\\]\n\nZatem \\(|BE| = \\dfrac{1}{3}|BC|\\), \\(|CE| = \\dfrac{2}{3}|BC|\\), stąd:\n\n\\[\\frac{|CE|}{|EB|} = 2\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]\nUżyte do obliczenia pól \\(P_{BDE}\\) i \\(P_{ABC}\\) (trójkąt prostokątny \\(BDE\\) z ramionami \\(|BD|\\) i \\(|DE|\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18)** - Twierdzenie Talesa:\n> Jeżeli dwie proste równoległe przecinają boki trójkąta, to odpowiednie odcinki są proporcjonalne.\n\nUżyte w Sposobie 2 do stwierdzenia \\(\\dfrac{|BD|}{|BF|} = \\dfrac{|BE|}{|BC|}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, który bok jest podstawą. Tutaj podstawa to \\(AB\\), bo \\(AC = BC\\) - nie zakładaj pochopnie, że \\(C\\) jest \"u góry po środku\" bez sprawdzenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole czworokąta \\(ADEC\\) to **NIE** jest \\(17\\)-krotność pola \\(BDE\\), lecz \\(P_{ADEC} = P_{ABC} - P_{BDE}\\). Błędem jest wpisanie warunku jako \\(P_{ADEC} = 17 \\cdot P_{ABC}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(k = |BE|/|BC| = 1/3\\) szukaną proporcją jest \\(|CE|/|EB|\\), nie \\(|BE|/|BC|\\). Odpowiedź to \\(2\\), nie \\(\\tfrac{1}{2}\\) ani \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Podobieństwo i stosunek pól\nNiech \\(F\\) - spodek wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\). Ponieważ \\(ABC\\) równoramienny, \\(F\\) to środek \\(AB\\).\nPole całego trójkąta: \\(P_{ABC} = P_{ADEC} + P_{BED} = 17P_{BED} + P_{BED} = 18P_{BED}\\).\nTrójkąt \\(FBC\\) to połowa \\(ABC\\), więc \\(P_{FBC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 18 P_{BED} = 9P_{BED}\\).\n\nProsta \\(k\\) (czyli \\(DE\\)) jest równoległa do wysokości \\(CF\\) (obie prostopadłe do \\(AB\\)). Trójkąty \\(BCF\\) i \\(BED\\) są podobne (kkk).\nStosunek pól: \\(\\dfrac{P_{BCF}}{P_{BED}} = \\left(\\dfrac{|BC|}{|BE|}\\right)^2\\).\n\\(9 = \\left(\\dfrac{|BC|}{|BE|}\\right)^2 \\Rightarrow \\dfrac{|BC|}{|BE|} = 3\\).\nWięc \\(|BC| = 3|BE|\\), czyli \\(|BE| + |EC| = 3|BE| \\Rightarrow |EC| = 2|BE|\\).\n\\(\\dfrac{|CE|}{|EB|} = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Graficznie\nDla \\(|BE| = 1, |EC| = 2, |BC| = 3\\) trójkąt \\(BED\\) podobny do \\(BCF\\) w skali \\(\\tfrac{1}{3}\\), stosunek pól \\(\\tfrac{1}{9}\\). Pole \\(BCF = 9\\), pole trójkąta \\(ABC = 18\\), pole \\(ADEC = 18 - 1 = 17\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie \\(P_{FBC} = 9P_{BED}\\) lub stwierdzenie podobieństwa.\n- **2 pkt** - obliczenie \\(\\tfrac{|CE|}{|EB|} = 2\\).\n\n**Zasada:** stosunek pól figur podobnych \\(= k^2\\), gdzie \\(k\\) - skala podobieństwa.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":22,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do\nzbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0, 1, 2, 3, 4}, losujemy jedną liczbę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę\ndwucyfrową, która jest podzielna przez 4.\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru {3,4,5,6,7,8}, a cyfra jedności należy do zbioru {0,1,2,3,4}, losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{3}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - analiza podzielności mod 4\n\n**Krok 1: Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nCyfra dziesiątek: \\(\\{3, 4, 5, 6, 7, 8\\}\\) - **6 możliwości**\nCyfra jedności: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4\\}\\) - **5 możliwości**\n\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 5 = 30\\]\n\n**Krok 2: Warunek podzielności przez 4**\n\nDwucyfrowa liczba \\(\\overline{AB} = 10A + B\\). Ponieważ \\(10A = 8A + 2A\\), a \\(8A\\) zawsze dzieli się przez 4, mamy:\n\\[10A + B \\equiv 2A + B \\pmod{4}\\]\n\nWarunek: \\(2A + B \\equiv 0 \\pmod{4}\\)\n\n**Krok 3: Przypadki według cyfry dziesiątek**\n\nDla **parzystych** cyfr dziesiątek (\\(A \\in \\{4, 6, 8\\}\\)):\n\\[2A \\equiv 0 \\pmod{4}\\]\nPotrzebujemy \\(B \\equiv 0 \\pmod{4}\\), czyli \\(B \\in \\{0, 4\\}\\) ze zbioru \\(\\{0,1,2,3,4\\}\\) → **2 cyfry jedności** na każdą dziesiątkę.\n\nDla **nieparzystych** cyfr dziesiątek (\\(A \\in \\{3, 5, 7\\}\\)):\n\\[2A \\equiv 2 \\pmod{4}\\]\nPotrzebujemy \\(B \\equiv 2 \\pmod{4}\\), czyli \\(B = 2\\) ze zbioru \\(\\{0,1,2,3,4\\}\\) → **1 cyfra jedności** na każdą dziesiątkę.\n\n**Krok 4: Policz zdarzenia sprzyjające**\n\n| Cyfra dziesiątek | Pasujące cyfry jedności | Liczby |\n| 3 | \\(\\{2\\}\\) | 32 |\n| 4 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 40, 44 |\n| 5 | \\(\\{2\\}\\) | 52 |\n| 6 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 60, 64 |\n| 7 | \\(\\{2\\}\\) | 72 |\n| 8 | \\(\\{0, 4\\}\\) | 80, 84 |\n\n\\[|A| = 3 \\cdot 1 + 3 \\cdot 2 = 3 + 6 = 9\\]\n\n**Krok 5: Oblicz prawdopodobieństwo**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{9}{30} = \\frac{3}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - pełne wyliczenie (weryfikacja)\n\nWypisujemy wszystkie 30 liczb i sprawdzamy podzielność przez 4:\n\n\\[\n\\begin{array}{c|ccccc}\n\\text{dz.}{\\backslash}\\text{jed.} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\\\hline\n3 & 30 & 31 & \\mathbf{32} & 33 & 34 \\\\\n4 & \\mathbf{40} & 41 & 42 & 43 & \\mathbf{44} \\\\\n5 & 50 & 51 & \\mathbf{52} & 53 & 54 \\\\\n6 & \\mathbf{60} & 61 & 62 & 63 & \\mathbf{64} \\\\\n7 & 70 & 71 & \\mathbf{72} & 73 & 74 \\\\\n8 & \\mathbf{80} & 81 & 82 & 83 & \\mathbf{84} \\\\\n\\end{array}\n\\]\n\n(Pogrubiono liczby podzielne przez 4.) Potwierdzenie: \\(32 = 4 \\cdot 8\\), \\(40 = 4 \\cdot 10\\), \\(44 = 4 \\cdot 11\\), \\(52 = 4 \\cdot 13\\), \\(60 = 4 \\cdot 15\\), \\(64 = 4 \\cdot 16\\), \\(72 = 4 \\cdot 18\\), \\(80 = 4 \\cdot 20\\), \\(84 = 4 \\cdot 21\\). Razem: **9 liczb**.\n\n\\[P(A) = \\frac{9}{30} = \\frac{3}{10}\\]\n\nWyniki zgodne. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) = liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 5: \\(|A| = 9\\), \\(|\\Omega| = 30\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez 4 dotyczy **całej** liczby, nie tylko cyfry jedności! Częsty błąd: sprawdzanie tylko, czy cyfra jedności jest parzysta (co daje podzielność przez 2, nie przez 4).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozmiar próby to \\(6 \\cdot 5 = 30\\), nie \\(6 + 5 = 11\\) - cyfry dziesiątek i jedności **kombinujemy**, a nie sumujemy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra jedności z {0,4} pasuje gdy dziesiątka parzysta, a tylko {2} gdy nieparzysta - te dwa przypadki mają **różną** liczbę trafień, warto je rozpatrzeć oddzielnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{9}{30} = \\dfrac{3}{10}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Reguła mnożenia i klasyczna definicja\nLiczba wszystkich możliwych liczb dwucyfrowych: \\(|\\Omega| = 6\\cdot 5 = 30\\) (6 możliwości dziesiątek, 5 jedności).\n\nLiczby podzielne przez 4 ze zbioru:\nDziesiątki 3: 32 ✓\nDziesiątki 4: 40, 44 ✓\nDziesiątki 5: 52 ✓\nDziesiątki 6: 60, 64 ✓\nDziesiątki 7: 72 ✓\nDziesiątki 8: 80, 84 ✓\nRazem: \\(\\{32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84\\}\\), \\(|A| = 9\\).\n\n\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{9}{30} = \\dfrac{3}{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez zdarzenie przeciwne\n\\(|A'| = 30 - 9 = 21\\). \\(P(A) = 1 - \\tfrac{21}{30} = \\tfrac{9}{30} = \\tfrac{3}{10}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wypisanie \\(|\\Omega| = 30\\) lub \\(|A| = 9\\).\n- **2 pkt** - obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{9}{30} = \\tfrac{3}{10}\\).\n\n**Zasada:** liczba podzielna przez 4, gdy jej ostatnie dwie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":23,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nPodstawa 𝐴𝐵 trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 jest zawarta w prostej o równaniu 𝑦= -2𝑥+ 16.\nWierzchołki 𝐵 i 𝐶 mają współrzędne 𝐵= (3, 10) i 𝐶= (-2, 3). Oblicz współrzędne\nwierzchołka 𝐴 i pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n\nEMAP-P0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC jest zawarta w prostej o równaniu y=-2x+16. Wierzchołki B i C mają współrzędne B=(3,10) i C=(-2,3). Oblicz współrzędne wierzchołka A i pole trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nWierzchołek \\(A = \\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{14}{5}\\right)\\), pole trójkąta \\(ABC = \\frac{153}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoramienności \\(CA = CB\\)\n\n**Co wiemy:** Trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), więc **ramiona to \\(CA\\) i \\(CB\\)**, czyli szukamy \\(A\\) tak, by \\(|CA| = |CB|\\).\n\n**Krok 1.** Sprawdź, że \\(B\\) leży na prostej \\(y = -2x + 16\\):\n\\[y = -2 \\cdot 3 + 16 = 10\\checkmark\\]\n\n**Krok 2.** Parametryzuj punkt \\(A\\) leżący na tej prostej:\n\\[A = (a,\\ -2a + 16)\\]\n\n**Krok 3.** Oblicz \\(|CB|^2\\) (stały):\n\\[|CB|^2 = (3-(-2))^2 + (10-3)^2 = 25 + 49 = 74\\]\n\n**Krok 4.** Wyznacz \\(|CA|^2\\):\n\\[|CA|^2 = (a+2)^2 + (-2a+16-3)^2 = (a+2)^2 + (-2a+13)^2\\]\n\\[= a^2 + 4a + 4 + 4a^2 - 52a + 169 = 5a^2 - 48a + 173\\]\n\n**Krok 5.** Postaw warunek \\(|CA|^2 = |CB|^2 = 74\\):\n\\[5a^2 - 48a + 173 = 74\\]\n\\[5a^2 - 48a + 99 = 0\\]\n\n**Krok 6.** Wyróżnik i pierwiastki:\n\\[\\Delta = 48^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot 99 = 2304 - 1980 = 324, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 18\\]\n\\[a_1 = \\frac{48 + 18}{10} = \\frac{66}{10} = \\frac{33}{5}, \\qquad a_2 = \\frac{48 - 18}{10} = \\frac{30}{10} = 3\\]\n\n**Krok 7.** Odrzuć \\(a_2 = 3\\), bo daje \\(A = (3, 10) = B\\) - punkt pokrywa się z \\(B\\).\n\nZatem:\n\\[A = \\left(\\frac{33}{5},\\ -2 \\cdot \\frac{33}{5} + 16\\right) = \\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{-66+80}{5}\\right) = \\boxed{\\left(\\frac{33}{5},\\ \\frac{14}{5}\\right)}\\]\n\n**Krok 8.** Pole trójkąta - wzór ze współrzędnych (dział 11):\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = \\left(\\frac{33}{5}, \\frac{14}{5}\\right)\\), \\(B = (3, 10)\\), \\(C = (-2, 3)\\):\n\\[x_B - x_A = 3 - \\frac{33}{5} = -\\frac{18}{5}, \\quad y_C - y_A = 3 - \\frac{14}{5} = \\frac{1}{5}\\]\n\\[y_B - y_A = 10 - \\frac{14}{5} = \\frac{36}{5}, \\quad x_C - x_A = -2 - \\frac{33}{5} = -\\frac{43}{5}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|\\left(-\\frac{18}{5}\\right)\\cdot\\frac{1}{5} - \\frac{36}{5}\\cdot\\left(-\\frac{43}{5}\\right)\\right| = \\frac{1}{2}\\left|-\\frac{18}{25} + \\frac{1548}{25}\\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1530}{25} = \\boxed{\\frac{153}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawa i wysokość geometrycznie\n\n**Krok 1.** Długość podstawy \\(|AB|\\):\n\\[|AB|^2 = \\left(3 - \\frac{33}{5}\\right)^2 + \\left(10 - \\frac{14}{5}\\right)^2 = \\left(-\\frac{18}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{36}{5}\\right)^2 = \\frac{324 + 1296}{25} = \\frac{1620}{25}\\]\n\\[|AB| = \\frac{\\sqrt{1620}}{5} = \\frac{18\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Krok 2.** Wysokość \\(h\\) = odległość \\(C = (-2, 3)\\) od prostej \\(2x + y - 16 = 0\\) (prosta AB w postaci ogólnej):\n\\[h = \\frac{|2\\cdot(-2) + 1\\cdot 3 - 16|}{\\sqrt{2^2+1^2}} = \\frac{|-4 + 3 - 16|}{\\sqrt{5}} = \\frac{17}{\\sqrt{5}} = \\frac{17\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n**Krok 3.** Pole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{18\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{17\\sqrt{5}}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{18 \\cdot 17 \\cdot 5}{25} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1530}{25} = \\frac{1530}{50} = \\frac{153}{5}\\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nOdległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości z \\(C\\) na prostą \\(AB\\).\n\nPole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1.\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe z wyróżnikiem \\(\\Delta\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{48 \\pm \\sqrt{324}}{10}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnej \\(a\\) punktu \\(A\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tutaj ramiona to \\(CA\\) i \\(CB\\), nie \\(AC\\) i \\(BC\\). \"Podstawa \\(AB\\)\" znaczy, że **to właśnie \\(AB\\) jest tą podstawą, od której mierzymy ramiona**. Równoramienność oznacza \\(|CA| = |CB|\\), a nie \\(|AB| = |AC|\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(5a^2 - 48a + 99 = 0\\) daje dwa rozwiązania - koniecznie sprawdź, czy oba dają sensowny punkt \\(A \\neq B\\). Drugie rozwiązanie \\(a = 3\\) prowadzi do \\(A = B\\), co należy odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odległości punktu od prostej musisz najpierw zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Prosta \\(y = -2x + 16\\) to \\(2x + y - 16 = 0\\), więc \\(A = 2\\), \\(B = 1\\), \\(C = -16\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(\\dfrac{33}{5}, \\dfrac{14}{5}\\right)\\), \\(P_{ABC} = \\dfrac{153}{5}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - Wysokość ze środka podstawy\nTrójkąt \\(ABC\\) równoramienny (\\(|CA| = |CB|\\)), więc wysokość z \\(C\\) na \\(AB\\) jest też środkową. Niech \\(D\\) - środek \\(AB\\).\n\nWyznaczamy prostą \\(CD\\) prostopadłą do \\(AB\\): \\(AB: y = -2x+16\\) ma współczynnik \\(-2\\), więc \\(CD\\) ma \\(a = \\tfrac{1}{2}\\).\n\\(y = \\tfrac{1}{2}x + b\\), \\(C = (-2, 3)\\): \\(3 = -1 + b \\Rightarrow b = 4\\). Prosta \\(CD: y = \\tfrac{1}{2}x + 4\\).\n\nPunkt \\(D\\) (przecięcie \\(AB\\) i \\(CD\\)):\n\\(-2x + 16 = \\tfrac{1}{2}x + 4 \\Rightarrow \\tfrac{5}{2}x = 12 \\Rightarrow x = \\tfrac{24}{5}\\). \\(y = -\\tfrac{48}{5} + 16 = \\tfrac{32}{5}\\). \\(D = \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{32}{5}\\right)\\).\n\n\\(D\\) jest środkiem \\(AB\\): \\(\\left(\\tfrac{x_A + 3}{2}, \\tfrac{y_A + 10}{2}\\right) = \\left(\\tfrac{24}{5}, \\tfrac{32}{5}\\right)\\).\n\\(x_A = \\tfrac{48}{5} - 3 = \\tfrac{33}{5}\\), \\(y_A = \\tfrac{64}{5} - 10 = \\tfrac{14}{5}\\).\n\\(A = \\left(\\tfrac{33}{5}, \\tfrac{14}{5}\\right)\\).\n\nObliczamy długości:\n\\(|AB| = \\sqrt{\\left(3 - \\tfrac{33}{5}\\right)^2 + \\left(10 - \\tfrac{14}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{324}{25} + \\tfrac{1296}{25}} = \\sqrt{\\tfrac{1620}{25}} = \\tfrac{18\\sqrt 5}{5}\\).\n\\(|CD| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{24}{5}+2\\right)^2 + \\left(\\tfrac{32}{5}-3\\right)^2} = \\sqrt{\\tfrac{1156}{25} + \\tfrac{289}{25}} = \\sqrt{\\tfrac{1445}{25}} = \\tfrac{17\\sqrt 5}{5}\\).\n\nPole: \\(P_{ABC} = \\tfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot |CD| = \\tfrac{1}{2}\\cdot \\tfrac{18\\sqrt 5}{5}\\cdot \\tfrac{17\\sqrt 5}{5} = \\tfrac{18\\cdot 17\\cdot 5}{50} = \\tfrac{1530}{50} = \\dfrac{153}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Warunek \\(|CA| = |CB|\\)\n\\(A = (x_A, -2x_A + 16)\\) (na prostej AB).\n\\(|CB| = \\sqrt{(3-(-2))^2 + (10-3)^2} = \\sqrt{25+49} = \\sqrt{74}\\).\n\\((x_A + 2)^2 + (-2x_A + 13)^2 = 74\\)\n\\(x_A^2 + 4x_A + 4 + 4x_A^2 - 52x_A + 169 = 74\\)\n\\(5x_A^2 - 48x_A + 99 = 0\\)\n\\(\\Delta = 2304 - 1980 = 324\\), \\(\\sqrt\\Delta = 18\\).\n\\(x_A = \\tfrac{48 \\pm 18}{10} = 3\\) lub \\(\\tfrac{33}{5}\\).\n\\(x_A = 3\\) odrzucamy (pokrywa się z \\(B\\)). \\(A = \\left(\\tfrac{33}{5}, \\tfrac{14}{5}\\right)\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-5)\n- **1 pkt** - wyznaczenie prostej \\(CD\\) (wysokości) lub obliczenie \\(|BC| = \\sqrt{74}\\).\n- **2 pkt** - obliczenie współrzędnych \\(D\\) lub zapisanie równania dla \\(x_A\\).\n- **3 pkt** - obliczenie współrzędnych \\(A\\).\n- **4 pkt** - obliczenie \\(|AB|\\) i \\(|CD|\\).\n- **5 pkt** - pole \\(P_{ABC} = \\tfrac{153}{5}\\).\n\n**Trik:** w równoramiennym wysokość = środkowa - wystarczy znaleźć środek \\(D\\), a potem \\(A\\) przez symetrię.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"analityczna","page_from":24,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}