{"paper":{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWartość wyrażenia ቀ൫√3 -1൯\nଶ-൫√3 + 1൯\nଶቁ\nଷ\njest równa\nA. 512\nB. 0\nC. -24√3\nD. -192√3\nRozwiązanie zadania. Wartość wyrażenia ((√3-1)² - (√3+1)²)³ jest równa A. 512 B. 0 C. -24√3 D. -192√3","answer":"D","answer_text":"3","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nGranice lim\n௡→ஶ\n𝑎𝑛2+𝑏𝑛+4\n𝑛+1\ni lim\n௡→ஶ\n𝑛+1\n𝑎𝑛2+𝑏𝑛+4 są równe. Stąd wynika, że\nA. 𝑎= 0 i 𝑏= 0\nB. |𝑎| = 1 i 𝑏= 0\nC. |𝑎| = 1 i |𝑏| = 1\nD. 𝑎= 0 i |𝑏| = 1","answer":"D","answer_text":"2","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWektory 𝑎⃗= ሾ𝑚-2, 𝑚+ 2ሿ oraz 𝑏ሬ⃗= ሾ𝑚ଵ,ହ, 2ଵ,ହሿ mają równe długości wtedy i tylko wtedy,\ngdy\nA. 𝑚= 0 lub 𝑚= 4\nB. 𝑚= 0 lub 𝑚= 2\nC. 𝑚= 2\nD. 𝑚= 2 lub 𝑚= 4\nRozwiązanie zadania. Wektory a=[m-2,m+2] oraz b=[m^1,5,2^1,5] mają równe długości wtedy i tylko wtedy, gdy A. m=0 lub m=4 B. m=0 lub m=2 C. m=2 D. m=2 lub m=4","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji 𝑓 określonej dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór\nfunkcji 𝑓.\nA. 𝑓ሺ𝑥ሻ= 2 sinሺ2𝑥ሻ\nB. 𝑓ሺ𝑥ሻ= 2𝜋⋅sinሺ2𝑥ሻ\nC. 𝑓ሺ𝑥ሻ= 2 sin ቀ𝑥\n2ቁ\nD. 𝑓ሺ𝑥ሻ= 2𝜋⋅sin ቀ𝑥\n2ቁ\n-2𝜋 -𝜋 0 𝜋 2𝜋 3𝜋 4𝜋 5𝜋 6𝜋 7𝜋 𝑥\n𝑦\n2𝜋\n𝜋\n-𝜋\n-2𝜋\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu pewnej funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x. Jeden z podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f. A. f(x)=2sin(2x) B. f(x)=2π⋅sin(2x) C. f(x)=2sin(x/2) D. f(x)=2π⋅sin(x/2)","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWynikiem dzielenia wielomianu 5𝑥ଷ-7𝑥ଶ-4𝑥-4 przez dwumian 𝑥-2 jest trójmian\nkwadratowy postaci 𝑎𝑥ଶ+ 𝑏𝑥+ 𝑐.\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Wynikiem dzielenia wielomianu 5x^3-7x^2-4x-4 przez dwumian x-2 jest trójmian kwadratowy postaci ax^2+bx+c. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników a, b oraz c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna, niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n5\n3\n2\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"532","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nNiech logଶ9 = 𝑐. Wykaż, że logଷ54 = 3𝑐+2\n𝑐\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Niech log_2 9 = c. Wykaż, że log_3 54 = 3c+2/c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy podczas przekształcenia wyrażenia log3 54 lub 3log2 9+2\nlog29\npoprawnie zastosuje wzór\nna zamianę podstaw logarytmu lub logarytm iloczynu/ilorazu, lub logarytm potęgi, np.:\nlog3 54 = log2 54\nlog2 3 , log2 9 = 2log2 3 , log3 54 = log3 27 + log3 2\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przekształci wyrażenie log3 54 lub 3log2 9+2\nlog2 9\nlub oba te wyrażenia do takiej postaci,\nz której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\niloczynu/ilorazu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia\nwymiernego uzyskuje się tezę.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga:\nJeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log3 54 lub 3log2 9+2\nlog29\n, popełnia\nbłąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm\nilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje\nte wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie log3 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu:\nlog3 54 = log2 54\nlog2 3\nStosujemy wzór na logarytm iloczynu i otrzymujemy:\nlog2 54\nlog2 3 = log2(27 ⋅2)\nlog2 3\n= log2 27 + log2 2\nlog2 3\nAby doprowadzić do uzyskania w mianowniku wyrażenia log2 9, mnożymy licznik i mianownik\nprzez 2, a następnie korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:\n2 ⋅log2 27 + 2 ⋅log2 2\n2 ⋅log2 3\n= log2 36 + 2\nlog2 9\n= 3 log2 9 + 2\nlog2 9\n= 3𝑐+ 2\n𝑐\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta obrano punkty 𝐷, 𝐸 i 𝐹 tak, że\n|𝐴𝐷| = |𝐷𝐸| = |𝐸𝐹| = 2|𝐹𝐵|. Na bokach 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 obrano - odpowiednio - punkty 𝐺 i 𝐻\ntak, że 𝐷𝐺∥𝐸𝐶 oraz 𝐹𝐻∥𝐸𝐶 (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta 𝐹𝐵𝐻 jest\nrówne 𝑆, to pole trójkąta 𝐴𝐷𝐺 jest równe 3𝑆.\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐵\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt ABC. Na boku AB tego trójkąta obrano punkty D, E i F tak, że |AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|. Na bokach AC i BC obrano - odpowiednio - punkty G i H tak, że DG || EC oraz FH || EC (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta FBH jest równe S, to pole trójkąta ADG jest równe 3S.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze, że trójkąt 𝐵𝐸𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐵𝐹𝐻 oraz zapisze związek między\nwysokościami tych trójkątów opuszczonymi na prostą 𝐴𝐵 (lub zapisze związek między\npolami tych trójkątów), np. : ℎ𝐵𝐸𝐶= 3ℎ𝐵𝐹𝐻 (lub 𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆)\nALBO\n\nzapisze, że trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 oraz zapisze związek między\nwysokościami tych trójkątów opuszczonymi na prostą 𝐴𝐵 (lub zapisze związek między\npolami tych trójkątów), np. : ℎ𝐴𝐸𝐶= 2ℎ𝐴𝐷𝐺 (lub 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺)\nALBO\n\nzapisze związek między polami trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.: 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4\n3 𝑃𝐸𝐵𝐶\nALBO\n\nzapisze, że 𝑃𝐴𝐵𝐶= 21𝑆 i 𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze związki między polami trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐴𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.:\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 4\n3 i 𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺\nALBO\n\nzapisze związki między polami trójkątów 𝐵𝐸𝐶 i 𝐵𝐹𝐻 oraz 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶, np.:\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 4\n3 i 𝑃𝐵𝐸𝐶= 9𝑃𝐵𝐹𝐻\nALBO\n\nzapisze związki między polami trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐴𝐸𝐶 oraz 𝐵𝐸𝐶 i 𝐵𝐹𝐻, np.:\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 4𝑃𝐴𝐷𝐺 i 𝑃𝐵𝐸𝐶= 9𝑃𝐵𝐹𝐻\nALBO\n\nzapisze układ równań z polem 𝑝 trapezu 𝐷𝐸𝐶𝐺 oraz polem 𝑞 trójkąta 𝐴𝐷𝐺 jako\nniewiadomymi, np.:\n{\n𝑝+ 𝑞= 12𝑆\n𝑝+ 𝑞\n𝑞\n= 4\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne, poprawne rozumowanie.\nUwaga:\nJeśli zdający wprowadza do rozwiązania dodatkowe założenia, nie wynikające z treści\nzadania, to otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył praw do innej punktacji.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nOznaczmy pole trójkąta 𝐹𝐵𝐻 przez 𝑆, a długość odcinka 𝐹𝐵 przez 𝑥. Zgodnie z treścią\nzadania |𝐴𝐷| = |𝐷𝐸| = |𝐸𝐹| = 2|𝐹𝐵| = 2𝑥.\nOdcinki 𝐸𝐶 i 𝐹𝐻 są równoległe, więc trójkąt 𝐸𝐵𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐹𝐵𝐻 na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych\ni warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝐸𝐵𝐶\n𝑃𝐹𝐵𝐻\n= (|𝐸𝐵|\n|𝐹𝐵|)\n2\n= (3𝑥\n𝑥)\n2\n= 9\nwięc\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 9𝑆\nTrójkąty 𝐸𝐵𝐶 i 𝐴𝐸𝐶 mają wspólną wysokość ℎ, poprowadzoną z wierzchołka 𝐶. Zatem\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n𝑃𝐸𝐵𝐶\n1\n2 ⋅|𝐴𝐸| ⋅ℎ\n1\n2 ⋅|𝐸𝐵| ⋅ℎ\n= 4𝑥\n3𝑥= 4\n3\nwięc\n𝑃𝐴𝐸𝐶= 4\n3 ⋅𝑃𝐸𝐵𝐶= 12𝑆\nOdcinki 𝐷𝐺 i 𝐸𝐶 są równoległe, więc trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów. Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych\ni warunków zadania otrzymujemy\n𝑃𝐴𝐷𝐺\n𝑃𝐴𝐸𝐶\n= (\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐸|)\n2\n= (2𝑥\n4𝑥)\n2\n= 1\n4\nwięc\n𝑃𝐴𝐷𝐺= 1\n4 ⋅𝑃𝐴𝐸𝐶= 3𝑆\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐵\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n2𝑥\n2𝑥\n2𝑥\n𝑥\nSposób 2.\nOznaczmy przez ℎ wysokość trójkąta 𝐵𝐹𝐻, natomiast przez 𝑎 długość odcinka |𝐹𝐵|.\nWtedy\npole\ntrójkąta\n𝐴𝐵𝐶\njest\nrówne\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅7𝑎⋅3ℎ= 21𝑆\noraz\n𝑃𝐸𝐵𝐶= 1\n2 ⋅3𝑎⋅3ℎ= 9𝑆.\nOdcinki 𝐷𝐺 i 𝐸𝐶 są równoległe, więc trójkąt 𝐴𝐷𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów w skali 𝑘= 0,5. Niech pole trapezu 𝐷𝐸𝐶𝐺\nbędzie równe 𝑝, natomiast pole trójkąta 𝐴𝐷𝐺 będzie równe 𝑞.\nWtedy\n{\n𝑝+ 𝑞= 12𝑆\n𝑝+ 𝑞\n𝑞\n= 4\nStąd otrzymujemy 𝑝= 9𝑆 oraz 𝑞= 3𝑆, co jest tezą twierdzenia.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nRozwiąż równanie 2 cosଶ𝑥-cos 𝑥= sinሺ2𝑥ሻ-sin 𝑥 w przedziale 〈0, 2𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie 2cos²x - cos x = sin(2x) - sin x w przedziale <0,2π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie w postaci, w której występują funkcje trygonometryczne tego samego\nkąta, np.: 2 cos2 𝑥-cos 𝑥= 2 sin 𝑥cos 𝑥-sin 𝑥.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥-1 = 0.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wyznaczy rozwiązania jednego z równań cos 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= sin 𝑥 w przedziale\n〈0, 2𝜋〉 lub w 𝑅.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy wyznaczy rozwiązania obu równań cos 𝑥= 1\n2 oraz cos 𝑥= sin 𝑥 w przedziale 〈0, 2𝜋〉:\n𝑥= 1\n3 𝜋 lub 𝑥= 5\n3 𝜋 lub 𝑥= 1\n4 𝜋 lub 𝑥= 5\n4 𝜋.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający podzieli równanie przez (cos 𝑥-sin 𝑥) albo przez (2 cos 𝑥-1) bez\nstosownych założeń i nie rozważy przypadków, gdy to wyrażenie jest równe zero, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni błędy\nrachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno ma dwie serie\nrozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie równoważnie i otrzymujemy kolejno:\n2 cos2 𝑥-cos 𝑥= 2 sin 𝑥cos 𝑥-sin 𝑥\n2 cos2 𝑥-cos 𝑥-2 sin 𝑥cos 𝑥+ sin 𝑥= 0\ncos 𝑥⋅(2 cos 𝑥-1) -sin 𝑥⋅(2 cos 𝑥-1) = 0\n(2 cos 𝑥-1)(cos 𝑥-sin 𝑥) = 0\nStąd otrzymujemy:\ncos 𝑥= 1\n2 lub cos 𝑥= sin 𝑥\nRozwiązaniami pierwszego z tych równań w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 są: 𝑥= 1\n3 𝜋 lub 𝑥= 5\n3 𝜋.\nRozwiązaniami równania cos 𝑥= sin 𝑥 w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 są: 𝑥= 1\n4 𝜋 lub 𝑥= 5\n4 𝜋.\nZatem równanie 2 cos2 𝑥-cos 𝑥= sin(2𝑥) -sin 𝑥 ma w zbiorze 〈0, 2𝜋〉 cztery\nrozwiązania: 𝑥= 1\n3 𝜋 lub 𝑥= 5\n3 𝜋 lub 𝑥= 1\n4 𝜋 lub 𝑥= 5\n4 𝜋.","solution":"$x = \\dfrac{1}{3}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{3}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{1}{4}\\pi \\text{ lub } x = \\dfrac{5}{4}\\pi$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nDane są prosta 𝑘 o równaniu 𝑥-2𝑦= 0 i prosta 𝑙 o równaniu 2𝑥+ 𝑦-1 = 0. Punkt 𝑃\nleży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 4. Odległość punktu 𝑃 od prostej 𝑘 jest dwa razy\nwiększa niż odległość punktu 𝑃 od prostej 𝑙. Oblicz współrzędne punktu 𝑃.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dane są prosta k o równaniu x-2y=0 i prosta l o równaniu 2x+y-1=0. Punkt P leży na prostej o równaniu y=x+4. Odległość punktu P od prostej k jest dwa razy większa niż odległość punktu P od prostej l. Oblicz współrzędne punktu P.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze odległość punktu 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od jednej z prostych, np.:\n|𝑥𝑃-2𝑦𝑃|\n√12 + (-2)2 lub\n|2𝑥𝑃+ 𝑦𝑃-1|\n√22 + 12\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy odległość punktu 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od jednej z prostych w zależności od jednej\nzmiennej, np.\n|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|\n√12 + (-2)2\nlub |2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|\n√22 + 12\nlub\n|(𝑦𝑃-4) -2𝑦𝑃|\n√12 + (-2)2\nlub\n|2(𝑦𝑃-4) + 𝑦𝑃-1|\n√22 + 12\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, opisujące zależność między odległościami punktu\n𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) od obu prostych, np.:\n|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|\n√12 + (-2)2\n= 2 ⋅|2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|\n√22 + 12\nlub\n|(𝑦𝑃-4) -2𝑦𝑃|\n√12 + (-2)2\n= 2 ⋅|2(𝑦𝑃-4) + 𝑦𝑃-1|\n√22 + 12\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy obliczy i zapisze współrzędne punktu 𝑃: 𝑃= (-2, 2) oraz 𝑃= (2\n5 , 22\n5 ).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający zapisuje równanie „odległości” i w tym równaniu pomija zupełnie symbol\nwartości bezwzględnej, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeśli zdający sporządzi rysunek, zapisze współrzędne jednego z szukanych punktów\n(-2, 2), obliczy odległości punktu (-2, 2) od prostych 𝑘 i 𝑙 oraz zapisze, że odległość\ntego punktu od prostej 𝑘 jest dwa razy większa niż odległość tego punktu od prostej 𝑙, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑃= (𝑥𝑃, 𝑦𝑃) będzie punktem leżącym na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 4. Wtedy\n𝑦𝑃= 𝑥𝑃+ 4.\nOdległość 𝑑(𝑃, 𝑘) punktu 𝑃 od prostej 𝑘 o równaniu 𝑥-2𝑦= 0 jest równa\n𝑑(𝑃, 𝑘) =\n|𝑥𝑃-2(𝑥𝑃+ 4)|\n√12 + (-2)2\n|-𝑥𝑃-8|\n√5\nOdległość 𝑑(𝑃, 𝑙) punktu 𝑃 od prostej 𝑙 o równaniu 2𝑥+ 𝑦-1 = 0 jest równa\n𝑑(𝑃, 𝑘) = |2𝑥𝑃+ (𝑥𝑃+ 4) -1|\n√22 + 12\n= |3𝑥𝑃+ 3|\n√5\nZ treści zadania 𝑑(𝑃, 𝑘) = 2 ⋅𝑑(𝑃, 𝑙), więc\n|-𝑥𝑃-8|\n√5\n= 2 ⋅|3𝑥𝑃+ 3|\n√5\nStąd otrzymujemy kolejno\n|-𝑥𝑃-8| = 2 ⋅|3𝑥𝑃+ 3|\n|-𝑥𝑃-8| = |6𝑥𝑃+ 6|\n-𝑥𝑃-8 = 6𝑥𝑃+ 6 lub -(-𝑥𝑃-8) = 6𝑥𝑃+ 6\n𝑥𝑃= -2 lub 𝑥𝑃= 2\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDla 𝑥𝑃= -2 otrzymujemy 𝑃= (-2, 2). Dla 𝑥𝑃= 2\n5 otrzymujemy 𝑃= (2\n5 , 22\n5 ).\nIstnieją zatem dwa punkty spełniające warunki zadania: (-2, 2) oraz (2\n5 , 22\n5 ).","solution":"$P = (-2, 2)$ oraz $P = \\left(\\dfrac{2}{5}, \\dfrac{22}{5}\\right)$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 2. Punkt 𝑆 jest środkiem krawędzi 𝐷𝐻\n(zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta 𝐶𝐹𝑆.\n𝐴\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n2\n2\n2\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 2. Punkt S jest środkiem krawędzi DH (zobacz rysunek). Oblicz miarę najmniejszego kąta wewnętrznego trójkąta CFS.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy długości boków 𝐶𝐹 i 𝐶𝑆: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5\nALBO\n\nobliczy tylko długość boku |𝐹𝑆|: |𝐹𝑆| = 3.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długości trzech boków trójkąta 𝐶𝐹𝑆: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5 oraz |𝐹𝑆| = 3.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze zależność, wynikającą z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝐹𝑆,\nnp. (√5)\n2 = (2√2)\n2 + 32 -2 ⋅2√2 ⋅3 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆).\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy wyznaczy miarę kąta 𝐶𝐹𝑆: |∡𝐶𝐹𝑆| = 45°.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązanie rozpoczniemy od obliczenia długości boków trójkąta 𝐶𝐹𝑆. Mamy oczywiście\n|𝐶𝐹| = 2√2 oraz |𝐶𝑆| = √22 + 12 = √5.\nDorysujmy teraz odcinek 𝐹𝐻.\nOczywiście |∡𝐹𝐻𝑆| = 90°, więc\n𝐴\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝑆\n𝐵\n𝐷\n2\n2\n2\n|𝐹𝑆| = √|𝐹𝐻|2 + |𝐻𝑆|2 = √(2√2)\n2 + 12 = 3\nTrójkąt 𝐶𝐹𝑆 ma zatem boki o następujących długościach: |𝐶𝐹| = 2√2, |𝐶𝑆| = √5 oraz\n|𝐹𝑆| = 3.\nNajmniejszy kąt wewnętrzny trójkąta znajduje się naprzeciw najkrótszego boku, zatem jest nim\nkąt 𝐶𝐹𝑆.\nZ twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐶𝐹𝑆 wynika, że\n|𝐶𝑆|2 = |𝐶𝐹|2 + |𝐹𝑆|2 -2 ⋅|𝐶𝐹| ⋅|𝐹𝑆| ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)\nStąd otrzymujemy\n(√5)\n2 = (2√2)\n2 + 32 -2 ⋅2√2 ⋅3 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)\n5 = 8 + 9 -12√2 ⋅cos(∡𝐶𝐹𝑆)\ncos(∡𝐶𝐹𝑆) = √2\n2\nwięc najmniejszy kąt w trójkącie 𝐶𝐹𝑆 ma miarę 45°.","solution":"$|\\sphericalangle CFS| = 45^{\\circ}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów.\nW trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego\n(liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na\ntym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest\nrówne 1\n15 . Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. W pewnym telewizyjnym programie bierze udział trzech sportowców i pewna liczba aktorów.W trakcie tego programu uczestnicy siadają na fotelach w rzędzie, naprzeciw prowadzącego (liczba foteli jest równa liczbie uczestników). Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że cała trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym wyborze miejsc jest równe 1/15. Oblicz, ilu aktorów bierze udział w tym programie.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\npoprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń wszystkich uczestników programu, np.\n(𝑛+ 3)!\nALBO\n\npoprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok\nsiebie np. (𝑛+ 1) ⋅3! ⋅𝑛!.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy poprawnie poda liczbę możliwych rozmieszczeń, w których sportowcy siedzą obok siebie,\nnp. (𝑛+ 1) ⋅3! ⋅𝑛! lub innym rozumowaniem 3! ⋅(𝑛+ 1)! oraz liczbę wszystkich\nrozmieszczeń (𝑛+ 3)!.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie\n6\n(𝑛+2)(𝑛+3) = 1\n15 .\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy poprawnie obliczy liczbę aktorów: 7.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑛 oznacza liczbę aktorów uczestniczących w programie (𝑛∈ℕ), natomiast 𝐴 -\nzdarzenie polegające na tym, że trójka sportowców będzie siedziała obok siebie przy losowym\nwyborze miejsc. Wtedy\n𝑃(𝐴) = 3! ⋅(𝑛+ 1)!\n(𝑛+ 3)!\nStąd po uproszczeniu otrzymujemy\n𝑃(𝐴) =\n6\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3)\nZ treści zadania otrzymujemy równanie\n6\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 1\n15\nco prowadzi do\n(𝑛+ 2)(𝑛+ 3) = 90\n𝑛2 + 5𝑛-84 = 0\n(𝑛-7)(𝑛+ 12) = 0\nZatem 𝑛= 7, gdyż 𝑛= -12 przeczy założeniom. W tym programie bierze zatem udział\n7 aktorów.","solution":"$7$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\nሺ𝑥-3ሻሺ𝑥ଶ+ ሺ𝑚-1ሻ𝑥-6𝑚ଶ+ 2𝑚ሻ= 0\nma dokładnie dwa rozwiązania.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x-3)(x²+(m-1)x-6m²+2m) = 0 ma dokładnie dwa rozwiązania.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania i liczba 3 musi być\njednokrotnym pierwiastkiem trójmianu kwadratowego 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚\nALBO\n\nzapisze, że Δ = 0 i 𝑥0 ≠3 (tj. dwukrotny pierwiastek trójmianu jest różny od 3)\nALBO\n\nrozwiąże równanie Δ = 0, otrzymując 𝑚= 1\n5.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nrozwiąże równanie Δ = 0, otrzymując 𝑚= 1\n5 i sprawdzi, że dla 𝑚= 1\n5 trójmian\n𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 ma jeden pierwiastek podwójny różny od liczby 3\nALBO\n\nzapisze, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania i wyznaczy pierwiastki\ntrójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:\n𝑥1 = -𝑚+ 1 -|5𝑚-1|\n2\ni 𝑥2 = -𝑚+ 1 + |5𝑚-1|\n2\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nzapisze, że liczba 3 jest jednym z rozwiązań równania, wyznaczy pierwiastki 𝑥1 oraz\n𝑥2 trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 i zapisze je bez użycia wartości\nbezwzględnej: 𝑥1 = 2𝑚 oraz 𝑥2 = -3𝑚+ 1\nALBO\n\nzapisze równanie 32 + (𝑚-1) ⋅3 -6𝑚2 + 2𝑚= 0.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę (𝑚= 1\n5 i 𝑚≠3\n2) lub (𝑚≠1\n5 i 𝑚= 3\n2) lub\n(𝑚≠1\n5 i 𝑚= -2\n3)\nALBO\n\nrozwiąże równanie 32 + (𝑚-1) ⋅3 -6𝑚2 + 2𝑚= 0.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: 𝑚= -2\n3 lub 𝑚= 1\n5 lub 𝑚= 3\n2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nJeśli zdający popełnia błąd, zapisując √𝛥= √(5𝑚-1)2 = 5𝑚-1 i konsekwentnie do tego\nbłędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nJednym z rozwiązań równania jest liczba 𝑥3 = 3. Jeśli podane równanie ma mieć dokładnie\ndwa rozwiązania, to trójmian kwadratowy 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 powinien mieć\npierwiastek podwójny inny niż 3 albo dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy 3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:\nΔ = (𝑚-1)2 -4 ⋅1 ⋅(-6𝑚2 + 2𝑚) = 25𝑚2 -10𝑚+ 1 = (5𝑚-1)2\nZatem dla każdej liczby rzeczywistej 𝑚 ten wyróżnik przyjmuje wartość nieujemną.\nPierwiastkami tego trójmianu są więc liczby\n𝑥1 = -𝑚+ 1 -|5𝑚-1|\n2\ni 𝑥2 = -𝑚+ 1 + |5𝑚-1|\n2\nDla 𝑚∈(-∞, 1\n5) otrzymujemy\n𝑥1 = -𝑚+ 1 + 5𝑚-1\n2\n= 2𝑚 i 𝑥2 = -𝑚+ 1 -5𝑚+ 1\n2\n= -3𝑚+ 1\nDla 𝑚∈[1\n5 , +∞) otrzymujemy\n𝑥1 = -𝑚+ 1 -5𝑚+ 1\n2\n= -3𝑚+ 1 i 𝑥2 = -𝑚+ 1 + 5𝑚-1\n2\n= 2𝑚\nZatem, z dokładnością do oznaczeń, dla każdego 𝑚∈𝑅 zachodzi 𝑥1 = 2𝑚 oraz\n𝑥2 = -3𝑚+ 1.\nNależy zatem rozpatrzeć trzy sytuacje:\n(Δ = 0 i 𝑥1 ≠3) lub (Δ > 0 i 𝑥1 = 3) lub (Δ > 0 i 𝑥2 = 3).\nRozpatrując każdą z nich, otrzymujemy odpowiednio:\n(𝑚= 1\n5 i 𝑚≠3\n2) lub (𝑚≠1\n5 i 𝑚= 3\n2) lub (𝑚≠1\n5 i 𝑚= -2\n3)\n𝑚= 1\n5 lub 𝑚= 3\n2 lub 𝑚= -2\n3\nZatem podane w treści zadania równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dla 𝑚∈{-2\n3 , 1\n5 , 3\n2}.\nSposób 2.\nJednym z rozwiązań równania jest liczba 𝑥3 = 3. Jeśli podane równanie ma mieć dokładnie\ndwa rozwiązania, to trójmian kwadratowy 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 powinien mieć\npierwiastek podwójny inny niż 3 albo dwa różne pierwiastki, z których jeden jest równy 3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:\nΔ = (𝑚-1)2 -4 ⋅1 ⋅(-6𝑚2 + 2𝑚) = 25𝑚2 -10𝑚+ 1 = (5𝑚-1)2\nDla 𝑚= 1\n5 trójmian ma dwukrotny pierwiastek 𝑥0 = -𝑚+1\n2\n= 2\n5 różny od 3.\nSprawdzamy, dla jakich wartości 𝑚 liczba 3 jest pierwiastkiem trójmianu\n𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚:\n32 + (𝑚-1) ⋅3 -6𝑚2 + 2𝑚= 0\n-6𝑚2 + 5𝑚+ 6 = 0\n𝑚= 3\n2 lub 𝑚= -2\n3\nPonieważ dla każdej z tych otrzymanych wartości 𝑚= 3\n2 oraz 𝑚= -2\n3 wyróżnik Δ jest\nwiększy od zera, więc w obu przypadkach trójmian 𝑥2 + (𝑚-1)𝑥-6𝑚2 + 2𝑚 ma dwa\nróżne pierwiastki, z których jeden jest równy 3.\nZatem podane w treści zadania równanie ma dokładnie dwa rozwiązania dla 𝑚∈{-2\n3 , 1\n5 , 3\n2}.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m \\in \\left\\{-\\dfrac{2}{3}, \\dfrac{1}{5}, \\dfrac{3}{2}\\right\\}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nDana jest funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓ሺ𝑥ሻ= 𝑥3+𝑘\n𝑥\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nOblicz wartość 𝑘, dla której prosta o równaniu 𝑦= -𝑥 jest styczna do wykresu funkcji 𝑓.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dana jest funkcja f określona wzorem f(x) = x³+k / x dla każdej liczby rzeczywistej x ≠ 0. Oblicz wartość k, dla której prosta o równaniu y = -x jest styczna do wykresu funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥3-𝑘\n𝑥2\n= dla 𝑥≠0\nALBO\n\nzapisze równanie wynikające z faktu, że punkt styczności należy do wykresu funkcji 𝑓:\n-𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\nALBO\n\nskorzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie i zapisze\nrównanie: 𝑓′(𝑥0) = -1\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy skorzysta z geometrycznej interpretacji pochodnej funkcji w punkcie i zapisze równanie:\n2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥02\n= -1.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥0 oraz 𝑘 prowadzący do\nwyznaczenia parametru 𝑘, np.: -𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\ni 2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥02\n= -1.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy obliczy z układu równań -𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\ni 2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥02\n= -1 niewiadomą 𝑥0: 𝑥0 = -2\n3.\nUwaga:\nWystarczy, że zdający rozwiąże równanie 3𝑥0\n3 = -2𝑥0\n2 w zbiorze ℝ: 𝑥0 = -2\n3 , 𝑥0 = 0.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i uzyska poprawny wynik: 𝑘= -4\n27 .\nUwagi:\n1 Jeśli zdający przy wyznaczaniu pochodnej popełnia błąd w potędze zmiennej lub traktuje\nparametr 𝑘 jako zmienną, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za zapisanie warunku\n-𝑥0 = 𝑥0\n3+𝑘\n𝑥0\nlub za zapisanie, że 𝑓′(𝑥0) = -1.\n2. Jeśli zdający, obliczając pochodną funkcji 𝑓, zapisze 𝑓′(𝑥) = 2𝑥3+𝑘\n𝑥2\n(tj. błędnie ustali\nznak przed współczynnikiem 𝑘), to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech punkt 𝑃= (𝑥0, 𝑦0), gdzie 𝑥0 ≠0, będzie punktem styczności prostej 𝑦= -𝑥 do\nwykresu funkcji 𝑓. Wtedy 𝑦0 = -𝑥0 , więc\n- 𝑥0 = 𝑥0\n3 + 𝑘\n𝑥0\nPochodna funkcji 𝑓 jest równa\n𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 ⋅𝑥-(𝑥3 + 𝑘) ⋅1\n𝑥2\n= 2𝑥3 -𝑘\n𝑥2\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nZ warunków zadania wynika, że współczynnik kierunkowy stycznej jest równy (-1); jest on\nwartością pochodnej dla 𝑥0. Zatem 2𝑥0\n3-𝑘\n𝑥0\n2\n= -1. Otrzymujemy układ równań\n- 𝑥0 = 𝑥0\n3 + 𝑘\n𝑥0\ni 2𝑥0\n3 -𝑘\n𝑥0\n2\n= -1\nDla 𝑥0 ≠0 jest on równoważny układowi\n𝑥0\n3 + 𝑘= -𝑥0\n2 i 2𝑥0\n3 -𝑘= -𝑥0\n2\nStąd otrzymujemy równanie 3𝑥0\n3 = -2𝑥0\n2.\nPonieważ 𝑥0 ≠0, więc dzieląc obie strony tego równania przez 3𝑥0\n2, otrzymujemy 𝑥0 = -2\n3.\nZatem 𝑘= -𝑥0\n3 -𝑥0\n2 = 8\n27 -4\n9 = -4\n27 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$k = -\\dfrac{4}{27}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"funkcje","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nNa okręgu jest opisany czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. Bok 𝐴𝐷 tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od\nboku 𝐴𝐵, a przekątna 𝐵𝐷 ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki:\ncosሺ∡𝐴𝐷𝐵ሻ= 7\n8 , |∡𝐵𝐶𝐷| = 90° oraz |𝐴𝐵| > √15.\nOblicz długość boku 𝐵𝐶 tego czworokąta.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Na okręgu jest opisany czworokąt ABCD. Bok AD tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku AB, a przekątna BD ma długość równą 6. Ponadto spełnione są następujące warunki: cos(∠ ADB) = 7/8, |∠ BCD| = 90° oraz |AB| > √15. Oblicz długość boku BC tego czworokąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐵 albo 𝐴𝐷), wynikające\nz twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐵𝐷, np.\n|𝐴𝐵|2 = (2|𝐴𝐵|)2 + 62 -2 ⋅2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅6 ⋅cos(∡𝐴𝐷𝐵)\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość boku 𝐴𝐵 lub 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 4, |𝐴𝐷| = 8.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu oraz twierdzenie Pitagorasa\ni zapisze układ równań z niewiadomymi |𝐵𝐶| i |𝐶𝐷|: {|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 4\n|𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 = 36\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy nie odrzuci rozwiązania |𝐴𝐵| = 3, rozwiąże dwa równania:\n|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = 36 oraz |𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 3)2 = 36\ni zapisze dwa dodatnie rozwiązania tych równań: |𝐵𝐶| = -2 + √14 oraz |𝐵𝐶| = -3+3√7\n2\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |𝐵𝐶| = -2 + √14.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający zakłada błędnie, że cos(∡𝐵𝐴𝐷) = 7\n8 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n2. Jeśli zdający zakłada błędnie, że |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐴𝐷| i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty.\n3. Jeśli zdający zapisze równanie z dwiema niewiadomymi, wynikające z twierdzenia\no czworokącie opisanym na okręgu oraz z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do\ntrójkąta 𝐵𝐶𝐷, np.: |𝐴𝐵| + √36 -|𝐵𝐶|2 = |𝐵𝐶| + 2 ⋅|𝐴𝐵| i na tym zakończy, to\notrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy 𝑎= |𝐴𝐵|.\nDo trójkąta 𝐴𝐵𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n𝑎2 = (2𝑎)2 + 62 -2 ⋅2𝑎⋅6 ⋅cos(∡𝐴𝐷𝐵)\nPonieważ cos(∡𝐴𝐷𝐵) = 7\n8, więc\n𝑎2 = (2𝑎)2 + 62 -2 ⋅2𝑎⋅6 ⋅7\n8\n𝑎2 -7𝑎+ 12 = 0\n𝑎= 3 lub 𝑎= 4\ni po uwzględnieniu warunku |𝐴𝐵| > √15 otrzymujemy |𝐴𝐵| = 4 oraz |𝐴𝐷| = 8.\nKorzystamy z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i otrzymujemy\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\n4 + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 8\n|𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 4\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy kolejno:\n|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = |𝐵𝐷|2\n|𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 4)2 = 36\n|𝐵𝐶|2 + 4|𝐵𝐶| -10 = 0\n|𝐵𝐶| = -2 -√14 lub |𝐵𝐶| = -2 + √14\nPonieważ -2 -√14 < 0, więc |𝐵𝐶| = -2 + √14.\n𝑎\n2𝑎\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$|BC| = -2 + \\sqrt{14}$","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 i obwodzie\nrównym 4. Niech 𝑥= |𝐴𝐶|.\na) Wykaż, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcja zmiennej 𝑥 jest określone wzorem\n𝑃ሺ𝑥ሻ= 𝑥ሺ4 -2𝑥ሻ\n4 -𝑥\nb) Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑃.\nc) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz\nto największe pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozwiązanie zadania. Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne ABC o przeciwprostokątnej AB i obwodzie równym 4. Niech x=|AC|. a) Wykaż, że pole P trójkąta ABC jako funkcja zmiennej x jest określone wzorem P(x) = x(4-2x) / 4-x} b) Wyznacz dziedzinę funkcji P. c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nŁącznie za zadanie zdający może otrzymać 7 punktów: 2 punkty za rozwiązanie podpunktu a),\n1 punkt za rozwiązanie podpunktu b) oraz 4 punkty za rozwiązanie podpunktu c).\nZasady oceniania dla podpunktu a)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze równość wynikającą z twierdzenia Pitagorasa oraz podanego obwodu tego\ntrójkąta, np. (4 -(𝑥+ 𝑏))\n2 = 𝑥2 + 𝑏2\nALBO\n\nzapisze układ równań 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑐2 i 𝑦= 4 -𝑥-𝑐.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wykaże, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcja zmiennej 𝑥 wyraża się wzorem\n𝑃(𝑥) = 𝑥(4-2𝑥)\n4-𝑥\nZasady oceniania dla podpunktu b)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że dziedziną funkcji 𝑃 jest przedział liczbowy (0, 2).\nUwagi:\n1. Punkt za wyznaczenie dziedziny funkcji zdający otrzymuje niezależnie od realizacji\npodpunktu a) zadania, pod warunkiem, że rozważa wyznaczoną przez siebie funkcję jednej\nzmiennej.\nZasady oceniania dla podpunktu c)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy wyznaczy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑥) = 2𝑥2-16𝑥+16\n(4-𝑥)2\n, gdzie 𝑥∈(0, 2).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji 𝑃 i obliczy miejsca zerowe\npochodnej 𝑃′: 𝑥= 4 -2√2.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zbada znak pochodnej funkcji 𝑃 oraz wyznaczy (z uzasadnieniem) wartość zmiennej 𝑥,\ndla której funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą, np.:\n𝑃′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 4 -2√2)\n𝑃′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4 -2√2, 2)\nFunkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4 -2√2] oraz malejąca w przedziale [4 -2√2, 2),\nwięc w punkcie 𝑥= 4 -2√2 funkcja 𝑃 osiąga największą wartość.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze, że przy podanym obwodzie równym 4, największe pole równe 4(3 -2√2) ma\ntrójkąt o bokach 4 -2√2, 4 -2√2 i 4√2 -4.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna jest\nfunkcją wymierną postaci 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐\n(4-𝑥)2\n, gdzie 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest trójmianem kwadratowym,\nmającym wyróżnik dodatni, to zdający może otrzymać punkty za obliczenie miejsc zerowych\npochodnej i wyznaczenie argumentu, dla którego pole osiąga największą wartość, o ile\nkonsekwentnie do popełnionego błędu obliczy miejsca zerowe pochodnej lub uzasadni\nistnienie największej wartości rozważanej funkcji.\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji,\nktóra w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.\n3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy\nzdający:\na) opisuje, słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek), monotoniczność funkcji 𝑃;\nb) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty (otrzymuje punkty za wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃 oraz wyznaczenie miejsc\nzerowych pochodnej funkcji 𝑃).\n4. Punkt za wyznaczenie największej wartości funkcji 𝑃 i długości boków trójkąta\no największym polu zdający otrzymuje wtedy, gdy otrzymał punkt za poprawne\nuzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość największą w punkcie 𝑥= 4 -2√2.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\na) i b)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑏= |𝐵𝐶|, 𝑐= |𝐴𝐵|.\nZ warunków zadania 𝑥+ 𝑏+ 𝑐= 4, więc 𝑐= 4 -(𝑥+ 𝑏).\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i otrzymujemy\n𝑐2 = 𝑥2 + 𝑏2\n[4 -(𝑥+ 𝑏)]2 = 𝑥2 + 𝑏2\n𝑏(4 -𝑥) = 8 -4𝑥\n𝑏= 8 -4𝑥\n4 -𝑥 , gdzie 8 -4𝑥\n4 -𝑥> 0 i 0 < 𝑥< 4\nWyznaczamy pole tego trójkąta, jako funkcję długości 𝑥 jego przyprostokątnej 𝐴𝐶:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃= 1\n2 ⋅𝑥⋅𝑏= 1\n2 ⋅𝑥⋅8 -4𝑥\n4 -𝑥= 𝑥(4 -2𝑥)\n4 -𝑥\ngdzie 8-4𝑥\n4-𝑥> 0 i 0 < 𝑥< 4.\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃:\n8 -4𝑥\n4 -𝑥> 0 i 0 < 𝑥< 4\n0 < 𝑥< 2\nObliczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = (4𝑥-2𝑥2)′ ⋅(4 -𝑥) -(4𝑥-2𝑥2) ⋅(4 -𝑥)′\n(4 -𝑥)2\n= 2𝑥2 -16𝑥+ 16\n(4 -𝑥)2\ndla 𝑥∈(0, 2).\nObliczamy miejsce zerowe funkcji 𝑃′:\n2𝑥2 -16𝑥+ 16\n(4 -𝑥)2\n= 0\n2𝑥2 -16𝑥+ 16 = 0\nΔ = (-16)2 -4 ⋅2 ⋅16 = 8 ⋅16\n𝑥= 16 + 8√2\n4\n= 4 + 2√2 ∉(0, 2) lub 𝑥= 16 -8√2\n4\n= 4 -2√2 ∈(0, 2)\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 4 -2√2)\n𝑃′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4 -2√2, 2)\nZatem\nfunkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4 -2√2],\nfunkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale [4 -2√2, 2).\nStąd w punkcie 𝑥= 4 -2√2 funkcja 𝑃 osiąga największą wartość.\nc)\nGdy 𝑥= 4 -2√2, to wtedy 𝑏= 8-4𝑥\n4-𝑥= 4(2√2-2)\n2√2\n= 4 -2√2.\nZatem 𝑐= 𝑥√2 = 4√2 -4 i 𝑃(4 -2√2) = 1\n2 ⋅𝑥⋅𝑏= 1\n2 ⋅(4 -2√2)\n2 = 4(3 -2√2).\nSpośród rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt o bokach 4 -2√2, 4 -2√2 oraz\n4√2 -4. Pole tego trójkąta jest równe 4(3 -2√2).","solution":"Największe pole równe $4(3 - 2\\sqrt{2})$ ma trójkąt o bokach $4 - 2\\sqrt{2}$, $4 - 2\\sqrt{2}$ i $4\\sqrt{2} - 4$.","image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}