{"paper":{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nRóżnica cosଶ165° -sinଶ165° jest równa\nA. -1\nB. -\nඥ3\n2\nC. -1\n2\nD.\nඥ3\n2\nRozwiązanie zadania. Różnica cos²165° - sin²165° jest równa A. -1 B. -√3/2 C. -1/2 D. √3/2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20211\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nR6.2) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus i tangens\ndowolnego kąta o mierze wyrażonej\nw stopniach lub radianach (przez\nsprowadzenie do przypadku kąta ostrego).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRóżnica \\(\\cos^2 165° - \\sin^2 165°\\) jest równa \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na cosinus podwojonego kąta\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\) to dokładnie jeden ze wzorów na \\(\\cos 2\\alpha\\)!\n\n**Krok 1:** Rozpoznajemy wzór:\n\\[\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos 2\\alpha\\]\n\n**Krok 2:** Podstawiamy \\(\\alpha = 165°\\):\n\\[\\cos^2 165° - \\sin^2 165° = \\cos(2 \\cdot 165°) = \\cos 330°\\]\n\n**Krok 3:** Upraszczamy \\(\\cos 330°\\):\n\\[\\cos 330° = \\cos(360° - 30°) = \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - wzory redukcyjne bezpośrednio\n\nObliczamy wartości \\(\\cos 165°\\) i \\(\\sin 165°\\) osobno, korzystając z kąta \\(165° = 180° - 15°\\).\n\n**Krok 1:** Wzory redukcyjne dla kąta \\(180° - \\alpha\\):\n\\[\\cos(180° - \\alpha) = -\\cos\\alpha \\implies \\cos 165° = -\\cos 15°\\]\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha \\implies \\sin 165° = \\sin 15°\\]\n\n**Krok 2:** Podnosimy do kwadratu - znak minus znika!\n\\[\\cos^2 165° = (-\\cos 15°)^2 = \\cos^2 15°\\]\n\\[\\sin^2 165° = \\sin^2 15°\\]\n\n**Krok 3:** Wyrażenie staje się:\n\\[\\cos^2 15° - \\sin^2 15° = \\cos(2 \\cdot 15°) = \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Wynik taki sam: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13-14)** - funkcje podwojonego kąta:\n\\[\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\]\nTo jest kluczowy wzór w obu sposobach - pozwala natychmiast przekształcić różnicę kwadratów w cosinus.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\cos(180° - \\alpha) = -\\cos\\alpha, \\quad \\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyte w Sposobie 2 do rozbicia kąta \\(165°\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości dla wybranych kątów:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\cos(165°) - \\sin(165°)\\) zamiast różnicy **kwadratów** |\n| B | Użyto \\(\\cos 330° = -\\cos 30°\\) - błędny znak (330° jest w IV ćwiartce, gdzie cosinus jest **dodatni**) |\n| C | Pomylono wynik z \\(\\cos 60°\\) lub \\(\\sin 30°\\), czyli \\(\\frac{1}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos(360° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) - kąt w IV ćwiartce ma **dodatni** cosinus. Nie daj się zwieść, że \\(330°\\) jest \"dużym\" kątem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-\\cos 15°)^2 = \\cos^2 15°\\) - minus znika przy podnoszeniu do kwadratu. To dlatego wartości \\(\\cos 165°\\) i \\(\\sin 165°\\) możemy zamienić na \\(\\cos 15°\\) i \\(\\sin 15°\\) bez zmiany wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos 2\\alpha\\) warto mieć w pamięci na maturze - pojawia się bardzo często i skraca rachunki o połowę.\n\n### Sposob 1 (wzor na roznice kwadratow cos i sin)\nZe wzoru na cosinus podwojonego argumentu (karta wzorow, dzial Funkcje trygonometryczne): \\(\\cos 2\\alpha = \\cos^{2}\\alpha - \\sin^{2}\\alpha\\).\n\nZatem \\(\\cos^{2} 165^{\\circ} - \\sin^{2} 165^{\\circ} = \\cos(2 \\cdot 165^{\\circ}) = \\cos 330^{\\circ}\\).\n\nPoniewaz \\(330^{\\circ} = 360^{\\circ} - 30^{\\circ}\\), wiec \\(\\cos 330^{\\circ} = \\cos(-30^{\\circ}) = \\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Sposob 2 (redukcja kata)\n\\(165^{\\circ} = 180^{\\circ} - 15^{\\circ}\\), wiec \\(\\cos 165^{\\circ} = -\\cos 15^{\\circ}\\) i \\(\\sin 165^{\\circ} = \\sin 15^{\\circ}\\).\n\nStad \\(\\cos^{2} 165^{\\circ} - \\sin^{2} 165^{\\circ} = \\cos^{2} 15^{\\circ} - \\sin^{2} 15^{\\circ} = \\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\nZadanie zamkniete: 1 pkt za D, 0 pkt w pozostalych przypadkach.\n\n**Trik:** Rozpoznaj natychmiast wzor \\(\\cos^{2}x - \\sin^{2}x = \\cos 2x\\) bez rachunkow na potegach. Odpowiedz: **D**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznych i wartości bezwzględnych\nRozwińmy wyrażenie \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ}\\) korzystając z tożsamości:\n\\[cos(α - \\frac{\\pi}{2}) = cosα \\cdot cos(\\frac{\\pi}{2}) + sinα \\cdot sin(\\frac{\\pi}{2}) = cosα\\]\n\\[sin(α - \\frac{\\pi}{2}) = sinα \\cdot cos(\\frac{\\pi}{2}) - cosα \\cdot sin(\\frac{\\pi}{2}) = -cosα\\]\n\nZatem \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ} = cos(165^{\\circ} - \\frac{\\pi}{2}) - sin(165^{\\circ} - \\frac{\\pi}{2}) = cos(165^{\\circ}) + sin(165^{\\circ})\\)\n\nWiemy, że \\(165^{\\circ} = 180^{\\circ} - 15^{\\circ}\\). Zatem:\n\\[cos(165^{\\circ}) = cos(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = -cos(15^{\\circ})\\]\n\\[sin(165^{\\circ}) = sin(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = sin(15^{\\circ})\\]\n\nWartość \\(cos(15^{\\circ}) = cos(45^{\\circ} - 30^{\\circ}) = cos45^{\\circ}cos30^{\\circ} + sin45^{\\circ}sin30^{\\circ} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}\\)\nWartość \\(sin(15^{\\circ}) = sin(45^{\\circ} - 30^{\\circ}) = sin45^{\\circ}cos30^{\\circ} - cos45^{\\circ}sin30^{\\circ} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}\\)\n\nZatem \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ} = - \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4} - \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} = \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)\n\nTeraz obliczamy wartość bezwzględną:\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx \\frac{2.449}{2} \\approx 1.2245\\]\nTo nie jest równy 1, 2 lub 3. Należy sprawdzić obliczenia.\n\nZamiast tożsamości, możemy użyć wzoru na \\(cos(α-β)\\) i \\(sin(α-β)\\)\n\\[cos(165^{\\circ} - 165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ} - 165^{\\circ}) = cos(0) - sin(0) = 1 - 0 = 1\\]\nTo jest błędne.\n\nZamiast tożsamości, możemy skorzystać z tożsamości:\n\\(cos(α) - sin(α) = \\sqrt{2} \\cos(α + \\frac{\\pi}{4})\\)\n\\(cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + \\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + 45^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(210^{\\circ}) = \\sqrt{2} (-\\frac{\\sqrt{3}}{2}) = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]\n\nMusimy wrócić do pierwotnego wyrażenia i użyć tożsamości:\n\\[cos(165^{\\circ}) = cos(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = -cos(15^{\\circ}) = -\\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}\\]\n\\[sin(165^{\\circ}) = sin(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = sin(15^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}\\]\n\\[cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = -\\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4} - \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} = \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\]\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na różnicę cosinusów i sinusów\nUżyjemy wzoru: \\(cos(α) - cos(β) = -2sin(\\frac{α+β}{2})sin(\\frac{α-β}{2})\\) oraz \\(sin(α) - sin(β) = 2cos(\\frac{α+β}{2})sin(\\frac{α-β}{2})\\)\n\nW naszym przypadku: \\(α = 165^{\\circ}\\) i \\(β = 165^{\\circ}\\).\n\\(cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = -2sin(\\frac{165^{\\circ}+165^{\\circ}}{2})sin(\\frac{165^{\\circ}-165^{\\circ}}{2}) = -2sin(165^{\\circ})sin(0) = 0\\)\nTo jest błędne.\n\nZamiast tego, możemy użyć wzoru:\n\\[cos(α) - sin(α) = \\sqrt{2} \\cos(α + \\frac{\\pi}{4})\\]\n\\[cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + \\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + 45^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(210^{\\circ}) = \\sqrt{2} (-\\frac{\\sqrt{3}}{2}) = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\]\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. |-1| - Wynik jest inny niż |-1|.\nB. |-|�3 2| - Wynik jest inny niż |√6/2|.\nC. |-1 2| - Wynik jest inny niż |√6/2|.\nD. |�3 2| - Wynik jest równy |√6/2|.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓 określonej dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥.\nJeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji 𝑓.\nA. 𝑓(𝑥) = cos𝑥+1\n|cos𝑥|+1\nB. 𝑓(𝑥) = sin𝑥+1\n|sin𝑥|+1\nC. 𝑓(𝑥) = |cos𝑥|ି2\ncos𝑥ି2\nD. 𝑓(𝑥) = |sin𝑥|ି2\nsin𝑥ି2\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f określonej dla każdej liczby rzeczywistej x. Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f. A. f(x) = cos x + 1 / |cos x| + 1 B. f(x) = sin x + 1 / |sin x| + 1 C. f(x) = |cos x| - 2 / cos x - 2 D. f(x) = |sin x| - 2 / sin x - 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR6.4) posługuje się wykresami funkcji\ntrygonometrycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nFunkcja \\(f\\) to \\(f(x) = \\dfrac{\\sin x}{|\\sin x|}\\) (czyli symbol znaku funkcji sinus: \\(\\operatorname{sgn}(\\sin x)\\)).\n\n## Sposób 1 - Analiza właściwości wykresu\n\n**Krok 1: Co widzimy na wykresie?**\n\nWykres pokazuje funkcję, która:\n- przyjmuje **wyłącznie dwie wartości**: \\(1\\) lub \\(-1\\),\n- jest **nieokreślona** w punktach \\(x = k\\pi\\) dla \\(k \\in \\mathbb{Z}\\) (puste kółka),\n- ma **okres** \\(T = 2\\pi\\),\n- na przedziale \\((0, \\pi)\\) przyjmuje wartość \\(1\\),\n- na przedziale \\((\\pi, 2\\pi)\\) przyjmuje wartość \\(-1\\).\n\n**Krok 2: Skojarzenie z funkcją sinus**\n\nFunkcja \\(\\sin x\\):\n- jest **dodatnia** dla \\(x \\in (0, \\pi)\\) - tam \\(f(x) = 1\\), ✓\n- jest **ujemna** dla \\(x \\in (\\pi, 2\\pi)\\) - tam \\(f(x) = -1\\), ✓\n- **zeruje się** w punktach \\(x = k\\pi\\) - tam wykres ma puste kółka (brak wartości), ✓\n\n**Krok 3: Wzór funkcji**\n\nFunkcja, która dla \\(\\sin x \\neq 0\\) daje znak wartości sinusa, to:\n\\[\nf(x) = \\frac{\\sin x}{|\\sin x|}\n\\]\n\nSprawdzamy:\n- gdy \\(\\sin x > 0\\): \\(\\dfrac{\\sin x}{|\\sin x|} = \\dfrac{\\sin x}{\\sin x} = 1\\) ✓\n- gdy \\(\\sin x < 0\\): \\(\\dfrac{\\sin x}{|\\sin x|} = \\dfrac{\\sin x}{-\\sin x} = -1\\) ✓\n- gdy \\(\\sin x = 0\\): wyrażenie **nieokreślone** (dzielenie przez 0) ✓\n\n## Sposób 2 - Eliminacja przez kluczowe własności\n\nZamiast od razu identyfikować wzór, sprawdzamy kolejno cechy wykresu i eliminujemy kandydatów.\n\n**Cecha 1: Funkcja przyjmuje tylko wartości \\(\\pm 1\\)**\n- Każdy wzór zawierający sam \\(\\sin x\\) lub \\(\\cos x\\) przyjmuje wartości w \\([-1, 1]\\) w sposób ciągły - **odpada**.\n- Wzór zawierający \\(|\\sin x|\\) daje tylko wartości nieujemne - **odpada** (bo wykres przyjmuje \\(-1\\)).\n\n**Cecha 2: Nieokreśloność w punktach \\(k\\pi\\)**\n- Dzielenie przez \\(|\\sin x|\\) powoduje lukę właśnie tam, gdzie \\(\\sin x = 0\\), czyli w \\(x = k\\pi\\) - **pasuje do wykresu**.\n\n**Cecha 3: Weryfikacja okresu i fazy**\n- Na \\((0, \\pi)\\) sinus jest dodatni → \\(f(x) = 1\\) ✓\n- Na \\((-\\pi, 0)\\) sinus jest ujemny → \\(f(x) = -1\\) ✓\n- Wzór \\(\\dfrac{\\cos x}{|\\cos x|}\\) dałby nieokreśloność w \\(x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi\\), a nie w \\(k\\pi\\) - **nie pasuje**.\n\n**Wniosek:** Jedynym wzorem zgodnym ze wszystkimi własnościami wykresu jest:\n\\[\n\\boxed{f(x) = \\frac{\\sin x}{|\\sin x|}}\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\nUżyliśmy tego do rozumienia, co daje \\(\\dfrac{\\sin x}{|\\sin x|}\\) - mianownik to \\(|\\sin x|\\).\n\nWłasność kluczowa:\n\\[\\frac{x}{|x|} = \\begin{cases} 1 & \\text{gdy } x > 0 \\\\ -1 & \\text{gdy } x < 0 \\end{cases}\\]\nTo jest dosłownie wzór wykresu z zadania, z \\(x = \\sin t\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - znaki funkcji sinus w zależności od przedziału:\n\\[\\sin x > 0 \\iff x \\in (2k\\pi,\\, (2k+1)\\pi), \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]\n\\[\\sin x < 0 \\iff x \\in ((2k-1)\\pi,\\, 2k\\pi), \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]\nUżyliśmy tego do weryfikacji, kiedy \\(f(x) = 1\\), a kiedy \\(f(x) = -1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTypowe wzory w opcjach tego zadania i typowe błędy:\n\n| Odp. | Wzór | Błąd w rozumowaniu |\n| A | \\(f(x) = \\sin x\\) | Sinus przyjmuje wartości z \\([-1,1]\\) w sposób ciągły - wykres nie jest „schodkowy\", nie ma skoku między \\(-1\\) a \\(1\\) |\n| B | \\(f(x) = \\dfrac{\\cos x}{\\lvert \\cos x \\rvert}\\) | Nieokreśloność byłaby w \\(x = \\frac{\\pi}{2} + k\\pi\\), a nie w \\(x = k\\pi\\); na \\((0, \\pi)\\) cosinus zmienia znak (w \\(\\frac{\\pi}{2}\\)), więc funkcja nie byłaby stała |\n| D | \\(f(x) = \\lvert \\sin x \\rvert\\) | Ta funkcja przyjmuje tylko wartości z \\([0, 1]\\), nigdy \\(-1\\) - nie odpowiada wykresowi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\dfrac{\\sin x}{|\\sin x|}\\) z \\(\\dfrac{\\cos x}{|\\cos x|}\\) - różnią się **fazą** (przesunięciem punktów nieciągłości o \\(\\frac{\\pi}{2}\\)). Sprawdzaj, gdzie funkcja ma **puste kółka** (nieokreśloność)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykres funkcji \\(|\\sin x|\\) jest zawsze nieujemny i wygląda jak „odbite\" łuki - nie myl go z funkcją skokową \\(\\pm 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(\\dfrac{\\sin x}{|\\sin x|}\\) nie jest ciągła - ma nieusuwalne nieciągłości w każdym \\(x = k\\pi\\). To jest **cecha**, nie błąd - potwierdza ją brak wypełnionych punktów na wykresie.\n\n### Sposob 1 (test wartosci charakterystycznych)\nZ wykresu: funkcja ma minima w \\(x = 0, \\pm \\pi, \\pm 2\\pi, \\pm 3\\pi\\), z wartoscia minimum okolo \\(\\dfrac{1}{3}\\) dla kolejnych wartosci i wartosc 1 poza nimi.\n\nSprawdzmy \\(f(0)\\) dla C: \\(f(0) = \\dfrac{|\\cos 0| - 2}{\\cos 0 - 2} = \\dfrac{1-2}{1-2} = \\dfrac{-1}{-1} = 1\\). Nie pasuje do minimum \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\nSprawdzmy \\(f(\\pi)\\) dla C: \\(f(\\pi) = \\dfrac{|\\cos \\pi| - 2}{\\cos \\pi - 2} = \\dfrac{1-2}{-1-2} = \\dfrac{-1}{-3} = \\dfrac{1}{3}\\). Pasuje do minimum.\n\nNa wykresie minimum ok. 1/3 wystepuje w \\(\\pm\\pi, \\pm 3\\pi\\) (gdzie \\(\\cos x = -1\\)) a wartosc 1 gdy \\(\\cos x \\geq 0\\).\n\n### Sposob 2 (analiza znaku)\nDla C licznik \\(|\\cos x| - 2 < 0\\) i mianownik \\(\\cos x - 2 < 0\\) zawsze. Gdy \\(\\cos x \\geq 0\\): \\(f(x) = \\dfrac{\\cos x - 2}{\\cos x - 2} = 1\\). Gdy \\(\\cos x < 0\\): \\(f(x) = \\dfrac{-\\cos x - 2}{\\cos x - 2}\\), ktore w \\(\\cos x = -1\\) daje \\(\\dfrac{-1}{-3} = \\tfrac{1}{3}\\). Zgadza sie z wykresem.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za C.\n\n**Trik:** Podstaw \\(x = 0\\) i \\(x = \\pi\\) - najszybszy sposob. Odpowiedz: **C**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i definicji funkcji\n1. **Obserwacja wykresu:** Wykres jest okresowy z okresem równym \\(2\\pi\\). Wartość funkcji zmienia się w zależności od kąta w radianach. Wartość funkcji jest dodatnia, gdy argument (x) jest w przedziale \\([-3\\pi, 3\\pi]\\).\n2. **Definicja funkcji:** Z wykresu wynika, że funkcja jest zdefiniowana jako wartość bezwzględna wyrażenia \\(|cosx|\\). To oznacza, że f(x) = |cos(x)|.\n3. **Wzór:** Zatem wzór funkcji to \\(f(x) = |cos(x)|\\).\n\n📖 Karta wzorów: |x|, nierówności |x-a|≤r (s.4)\n\n### Sposób 2: Związek z okresowością i wartościami w punktach charakterystycznych\n1. **Okresowość:** Wartość funkcji jest okresowa z okresem \\(2\\pi\\). To oznacza, że \\(f(x+2\\pi) = f(x)\\).\n2. **Wartości w punktach charakterystycznych:**\n* W punkcie \\(x=0\\) (0 w radianach) cos(0) = 1, więc f(0) = |1| = 1.\n* W punkcie \\(x=\\pi\\) (π w radianach) cos(π) = -1, więc f(π) = |-1| = 1.\n* W punkcie \\(x=2\\pi\\) (2π w radianach) cos(2π) = 1, więc f(2π) = |1| = 1.\n3. **Wniosek:** Ponieważ funkcja jest okresowa i przyjmuje wartości 1 w tych punktach, musi to być funkcja wartości bezwzględnej cos(x).\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(f(x) =[cosx+1] |cosx|+1\\)**: Ta odpowiedź zawiera dodatkowy cos(x) i 1, co nie odpowiada obserwacji wykresu. Dodatkowy cos(x) wprowadza dodatkowe skomplikowanie i nie jest wymagany.\n* **B. \\(f(x) =[sinx+1] |sinx|+1\\)**: Podobnie jak w odpowiedzi A, ta odpowiedź zawiera dodatkowy sin(x) i 1, co nie odpowiada obserwacji wykresu.\n* **D. \\(f(x) =[|] sinx^{sinx}^{|} �[�] 2^{2}\\)**: Ta odpowiedź jest nieczytelna i nie reprezentuje żadnej poprawnej funkcji. Zapis jest niepoprawny i nie odpowiada wzorowi funkcji.\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe!","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWielomian 𝑊(𝑥) = 𝑥ସ+ 81 jest podzielny przez\nA. 𝑥-3\nB. 𝑥ଶ+ 9\nC. 𝑥ଶ-3√2𝑥+ 9\nD. 𝑥ଶ+ 3√2𝑥-9\nRozwiązanie zadania. Wielomian W(x) = x^4 + 81 jest podzielny przez A. x-3 B. x^2+9 C. x^2 - 3√2 x + 9 D. x^2 + 3√2 x - 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR2.6) dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nWielomian \\(W(x) = x^4 + 81\\) jest podzielny przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\).\n\n## Sposób 1 - Uzupełnienie do różnicy kwadratów\n\nWiemy, że \\(x^4 + 81\\) nie ma rzeczywistych pierwiastków (bo \\(x^4 \\geq 0\\), więc \\(x^4 + 81 \\geq 81 > 0\\)), więc **nie rozkłada się na liniowe czynniki rzeczywiste**. Szukamy rozkładu na czynniki kwadratowe.\n\n**Krok 1 - Dodaj i odejmij ten sam wyraz, żeby \"wymusić\" różnicę kwadratów:**\n\n\\[x^4 + 81 = x^4 + 18x^2 + 81 - 18x^2\\]\n\n**Krok 2 - Zauważ pełny kwadrat w pierwszej części:**\n\n\\[= (x^2 + 9)^2 - 18x^2\\]\n\n**Krok 3 - Zapisz \\(18x^2\\) jako kwadrat:**\n\n\\[18x^2 = \\left(3\\sqrt{2}\\,x\\right)^2\\]\n\nwięc:\n\n\\[x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2 - \\left(3\\sqrt{2}\\,x\\right)^2\\]\n\n**Krok 4 - Zastosuj wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):**\n\n\\[= \\left(x^2 + 9 - 3\\sqrt{2}\\,x\\right)\\left(x^2 + 9 + 3\\sqrt{2}\\,x\\right)\\]\n\n**Wynik rozkładu:**\n\n\\[\\boxed{x^4 + 81 = \\left(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\right)\\left(x^2 + 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\right)}\\]\n\nZatem \\(W(x)\\) jest **podzielny przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\)**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez dzielenie wielomianów\n\nSprawdźmy bezpośrednio, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\) dzieli \\(x^4 + 81\\).\n\nWykonujemy dzielenie \\(x^4 + 81\\) przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\):\n\n\\[x^4 + 0 \\cdot x^3 + 0 \\cdot x^2 + 0 \\cdot x + 81 \\div (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9)\\]\n\n**Krok 1:** \\(x^4 \\div x^2 = x^2\\). Mnożymy: \\(x^2 \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = x^4 - 3\\sqrt{2}\\,x^3 + 9x^2\\). Odejmujemy:\n\n\\[(x^4) - (x^4 - 3\\sqrt{2}\\,x^3 + 9x^2) = 3\\sqrt{2}\\,x^3 - 9x^2\\]\n\n**Krok 2:** \\(3\\sqrt{2}\\,x^3 \\div x^2 = 3\\sqrt{2}\\,x\\). Mnożymy: \\(3\\sqrt{2}\\,x \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = 3\\sqrt{2}\\,x^3 - 18x^2 + 27\\sqrt{2}\\,x\\). Odejmujemy:\n\n\\[(3\\sqrt{2}\\,x^3 - 9x^2) - (3\\sqrt{2}\\,x^3 - 18x^2 + 27\\sqrt{2}\\,x) = 9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x\\]\n\n**Krok 3:** \\(9x^2 \\div x^2 = 9\\). Mnożymy: \\(9 \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = 9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81\\). Odejmujemy:\n\n\\[(9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81) - (9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81) = 0\\]\n\nReszta wynosi \\(0\\) - **potwierdzamy**, że:\n\n\\[x^4 + 81 = (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) \\cdot (x^2 + 3\\sqrt{2}\\,x + 9)\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na różnicę kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, gdzie \\(a = x^2 + 9\\) i \\(b = 3\\sqrt{2}\\,x\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - \\(\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2\\), co pozwoliło zapisać \\(18x^2 = (3\\sqrt{2}\\,x)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń próbuje rozkładu \\(x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2\\) i \"faktoryzuje sumę kwadratów\" - ale **suma kwadratów nie rozkłada się** nad \\(\\mathbb{R}\\) na liniowe czynniki, a kandydat A to np. \\(x^2 + 9\\) - sprawdzamy: \\((x^2+9)^2 = x^4 + 18x^2 + 81 \\neq x^4 + 81\\). |\n| B | Pomyłka z podobnym wzorem - np. kandydat \\(x^2 + 3x + 9\\) pochodzi ze wzoru \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\\), ale tu mamy \\(x^4\\), nie \\(x^3\\). Ten wzór tu nie pasuje. |\n| D | Kandydat np. \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) - sprawdzamy: \\(W(3) = 81 + 81 = 162 \\neq 0\\), więc \\(x=3\\) nie jest pierwiastkiem \\(W\\), więc \\((x-3)\\) nie dzieli \\(W(x)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sumy kwadratów \\(a^2 + b^2\\) **nie rozkładają się** nad liczbami rzeczywistymi. Wielu uczniów błędnie próbuje napisać \\(x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2\\) - to nieprawda, bo \\((x^2+9)^2 = x^4 + 18x^2 + 81\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy trick to \"dodaj zero\" w postaci \\(+18x^2 - 18x^2\\). To klasyczna technika - szukamy liczby, której kwadrat pozwoli nam zamknąć pełny kwadrat. Tu \\(18x^2 = (3\\sqrt{2}\\,x)^2\\) - i właśnie dlatego w odpowiedzi pojawia się \\(\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić z \\(a^3 + b^3\\) - wzór \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2-3x+9)\\) wygląda podobnie, ale dotyczy sześcianów, nie czwartych potęg.\n\n### Sposob 1 (uzupelnienie do pelnego kwadratu)\n\\(x^{4} + 81 = (x^{2})^{2} + 2 \\cdot x^{2} \\cdot 9 + 81 - 18x^{2} = (x^{2} + 9)^{2} - (3\\sqrt{2}\\,x)^{2}\\).\n\nStosujemy wzor \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\) (karta wzorow, wzory skroconego mnozenia):\n\\(x^{4} + 81 = (x^{2} + 9 - 3\\sqrt{2}x)(x^{2} + 9 + 3\\sqrt{2}x) = (x^{2} - 3\\sqrt{2}x + 9)(x^{2} + 3\\sqrt{2}x + 9)\\).\n\nPodzielnikiem jest wiec \\(x^{2} - 3\\sqrt{2}x + 9\\), co odpowiada C.\n\n### Sposob 2 (analiza odpowiedzi)\nA: \\(W(3) = 81 + 81 = 162 \\neq 0\\) - nie.\nB: gdyby \\(x^{2} + 9\\) dzielilo, to dla \\(x^{2} = -9\\) byloby \\(81 + 81 = 162 \\neq 0\\) - nie.\nD: wyroznik \\(= 18 + 36 > 0\\) ma pierwiastki rzeczywiste, a \\(W(x) > 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - nie.\nC pasuje jak wyzej.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za C.\n\n**Trik:** Zauwaz \\(x^{4} + 81 = (x^{2} + 9)^{2} - (3\\sqrt{2}x)^{2}\\). Odpowiedz: **C**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\nRozważmy wielomian W(x) = \\(x^{}\\) + 81. Chcemy znaleźć, który z podanych wielomianów jest jego dzielnikiem. Zauważmy, że \\(x^{}\\) + 81 to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować rozłożyć go na czynniki. Szukamy dwóch wyrażeń, których iloczyn daje \\(x^{}\\) + 81. W tym przypadku, \\(x^{}\\) + 81 można zapisać jako \\((x+9)(x-9) + 81 + 9(x-9) = (x+9)(x-9) + 81 + 9x - 81 = (x+9)(x-9) + 9x\\). To nie prowadzi do prostego rozwiązania.\n\nJednakże, jeśli przyjmiemy, że \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to mamy:\nW(x) = \\(x^2\\) + 81. Wtedy szukamy wielomianu postaci \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie jest możliwe, ponieważ nie można rozłożyć \\(x^2 + 81\\) na czynniki w ten sposób. Zatem, musimy przyjąć, że \\(x^{}\\) oznacza coś innego.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Spróbujmy zidentyfikować, czy \\(x^2 + 81\\) jest dzielnikiem \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie wydaje się dobrym podejściem.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować rozłożyć go na czynniki, ale nie jest to łatwe.\n\nJednakże, jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to możemy spróbować rozłożyć \\(x^2 + 81\\) na czynniki. W tym przypadku, \\(x^2 + 81\\) nie jest rozkładalne na czynniki rzeczywiste, ponieważ nie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować znaleźć jego pierwiastki. Jeśli \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), to musi istnieć taka stała liczba, że \\(x^2 + 81 = k(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9)\\) dla pewnego k. To nie prowadzi do żadnych wniosków.\n\nW tym przypadku, jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), jeśli \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) jest dzielnikiem \\(x^2 + 81\\). To nie jest prawdą.\n\nZauważmy, że \\(x^2 + 81 = (x+9)(x-9) + 81 + 9(x-9)\\). To nie prowadzi do żadnych wniosków.\n\n**Sposób 2: Analiza wzorów i znanych wzorów**\n\nWielomian W(x) = \\(x^{}\\) + 81. Z karty wzorów (s.7) wiemy, że wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b². Możemy spróbować znaleźć wielomian, który pasuje do tego wzoru. Jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to W(x) = \\(x^2\\) + 81. Wtedy szukamy wielomianu \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie jest poprawny wzór.\n\nJeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), jeśli \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) jest dzielnikiem \\(x^2 + 81\\). To nie jest prawdą.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować znaleźć jego pierwiastki. Jeśli \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), to musi istnieć taka stała liczba, że \\(x^2 + 81 = k(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9)\\) dla pewnego k. To nie prowadzi do żadnych wniosków.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 3, a W(x) jest stopnia 2.\n* **B:** (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 3, a W(x) jest stopnia 2.\n* **D:** (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 2, ale nie jest dzielnikiem W(x).\n\nW tym przypadku, ponieważ \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest wielomianem stopnia 2. Wielomian \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) również jest wielomianem stopnia 2. Jednakże, nie jest to dzielnik \\(x^2 + 81\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba różnych pierwiastków równania 3𝑥+ |𝑥-4| = 0 jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n-3𝜋\n-2𝜋\n-𝜋\n0\n𝜋\n2𝜋\n3𝜋\n𝑥\n𝑦\n3\n2\n1\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Liczba różnych pierwiastków równania 3x + |x-4| = 0 jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.8) rozwiązuje równania […] z wartością\nbezwzględną, o poziomie trudności nie\nwyższym niż\n||𝑥+ 1| -2| = 3, |𝑥+ 3| + |𝑥-5| > 12.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (jedna różna liczba)\n\nRównanie \\(3x + |x - 4| = 0\\) ma dokładnie **jeden pierwiastek**: \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Rozważenie przypadków (definicja wartości bezwzględnej)\n\nWartość bezwzględna \\(|x - 4|\\) zmienia definicję zależnie od znaku wyrażenia \\(x - 4\\). Dzielimy na dwa przypadki.\n\n**Przypadek 1: \\(x \\geq 4\\)**\n\nWtedy \\(|x - 4| = x - 4\\), więc równanie przyjmuje postać:\n\\[3x + (x - 4) = 0\\]\n\\[4x - 4 = 0\\]\n\\[4x = 4\\]\n\\[x = 1\\]\n\nSprawdzamy założenie: czy \\(x = 1 \\geq 4\\)? **Nie!**\n\nWynik \\(x = 1\\) nie spełnia założenia przypadku 1, więc **odrzucamy** go.\n\n**Przypadek 2: \\(x < 4\\)**\n\nWtedy \\(|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4\\), więc równanie przyjmuje postać:\n\\[3x + (-x + 4) = 0\\]\n\\[2x + 4 = 0\\]\n\\[2x = -4\\]\n\\[x = -2\\]\n\nSprawdzamy założenie: czy \\(x = -2 < 4\\)? **Tak!**\n\nWynik \\(x = -2\\) spełnia założenie, więc **przyjmujemy** to rozwiązanie.\n\n**Wniosek:** Jedynym pierwiastkiem jest \\(x = -2\\). Liczba różnych pierwiastków = **1**.\n\n## Sposób 2 - Analiza graficzna (weryfikacja)\n\nRównanie \\(3x + |x - 4| = 0\\) możemy zapisać jako:\n\\[|x - 4| = -3x\\]\n\nTo pytanie o to, ile punktów wspólnych mają wykresy:\n- \\(y = |x - 4|\\) - funkcja wartości bezwzględnej z wierzchołkiem w \\((4, 0)\\), rosnąca dla \\(x > 4\\), malejąca dla \\(x < 4\\)\n- \\(y = -3x\\) - prosta malejąca przechodząca przez \\((0, 0)\\)\n\nProsta \\(y = -3x\\) jest ujemna dla \\(x > 0\\) i dodatnia dla \\(x < 0\\). Funkcja \\(|x-4|\\) jest zawsze nieujemna. Zatem szukamy przecięcia jedynie dla \\(x \\leq 0\\) (gdzie \\(-3x \\geq 0\\)).\n\nDla \\(x < 4\\): \\(|x - 4| = -x + 4\\), więc szukamy:\n\\[-x + 4 = -3x \\implies 2x = -4 \\implies x = -2\\]\n\nSprawdzamy: \\(|-2 - 4| = |-6| = 6\\) oraz \\(-3 \\cdot (-2) = 6\\). ✓\n\nJeden punkt przecięcia → **jeden pierwiastek**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nZastosowanie: rozbicie na przypadki \\(x \\geq 4\\) i \\(x < 4\\) wynika bezpośrednio z tej definicji zastosowanej do wyrażenia \\(x - 4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (0) | Uczeń odrzuca oba wyniki bez sprawdzenia założeń, lub twierdzi, że równanie nie ma rozwiązań bo \"suma nie może być zerem\" |\n| C (2) | Uczeń przyjmuje **oba** wyniki: \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\), zapominając sprawdzić, czy \\(x = 1\\) spełnia założenie \\(x \\geq 4\\) |\n| D (3) | Błędne rozbicie na więcej przypadków lub rachunkowy błąd arytmetyczny |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu każdego przypadku **zawsze sprawdzaj założenie**! Wynik \\(x = 1\\) z Przypadku 1 wygląda poprawnie algebraicznie, ale nie spełnia warunku \\(x \\geq 4\\) - to klasyczna pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wpisuj rozwiązania z powrotem do oryginału tylko \"wzrokowo\" - zawsze podstaw: \\(3(-2) + |-2 - 4| = -6 + 6 = 0\\). ✓ Nawyk weryfikacji ratuje od głupich błędów na egzaminie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt podziału to **\\(x = 4\\)** (gdzie \\(x - 4 = 0\\)), nie \\(x = 0\\). Mylenie punktu podziału to częsty błąd przy wartości bezwzględnej wyrażenia liniowego.\n\n### Sposob 1 (definicja wartosci bezwzglednej)\n**Przypadek 1**: \\(x \\geq 4\\). Wtedy \\(|x-4| = x-4\\). Rownanie: \\(3x + x - 4 = 0 \\Rightarrow 4x = 4 \\Rightarrow x = 1\\). Ale \\(1 < 4\\), wiec nie nalezy do przypadku.\n\n**Przypadek 2**: \\(x < 4\\). Wtedy \\(|x-4| = -(x-4) = 4-x\\). Rownanie: \\(3x + 4 - x = 0 \\Rightarrow 2x = -4 \\Rightarrow x = -2\\). Sprawdzamy: \\(-2 < 4\\). OK.\n\nJest jeden pierwiastek: \\(x = -2\\).\n\n### Sposob 2 (graficznie)\n\\(|x-4| = -3x\\) oznacza przeciecie wykresu \\(y = |x-4|\\) z prosta \\(y = -3x\\). Prawa strona musi byc \\(\\geq 0\\), wiec \\(x \\leq 0\\). Dla \\(x \\leq 0\\): \\(|x-4| = 4-x\\), wiec \\(4 - x = -3x \\Rightarrow 2x = -4 \\Rightarrow x = -2\\).\n\nJeden pierwiastek.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za B.\n\n**Trik:** Sprawdz zgodnosc rozwiazania z zalozeniem kazdego przypadku. Odpowiedz: **B**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego\nRozważmy równanie postaci \\(3x + a = 0\\). To jest równanie kwadratowe, które można zapisać w postaci \\(3x = -a\\), a następnie \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, to znaczy, że równanie ma rozwiązanie. Równanie \\(3x + a = 0\\) ma dokładnie jeden pierwiastek, który jest równy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Zatem liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.\n\n\\[x = -\\frac{a}{3}\\]\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego\nRównanie \\(3x + a = 0\\) można zapisać jako \\(3x = -a\\). Dzieląc obie strony przez 3, otrzymujemy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ mamy jedno równanie z jedną niewiadomą, to mamy jeden pierwiastek. Zatem liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.\n\n\\[x = -\\frac{a}{3}\\]\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Równanie \\(3x + a = 0\\) ma jeden pierwiastek, a nie wiele.\n* **C:** Równanie \\(a2 z 27\\) to po prostu liczba 27, a nie liczba pierwiastków równania.\n* **D:** Równanie \\(3x + a = 0\\) nie ma związku z logarytmami.\n\n**Wyjaśnienie:**\nRównanie \\(3x + a = 0\\) jest równaniem kwadratowym, gdzie \\(x\\) jest niewiadomą, a \\(a\\) jest stałą. Równanie kwadratowe ma zawsze dwa pierwiastki (lub jeden, jeśli pierwiastki są takie same). W tym przypadku, rozwiązując równanie, otrzymujemy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ mamy jedno rozwiązanie, liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz granicę lim\n௡→ஶ\n൫3𝑛+2൯2-൫1-2𝑛൯2\n൫2𝑛-1൯2\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po\nprzecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Oblicz granicę lim_n→∞ (3n+2)^2 - (1-2n)^2 / (2n-1)^2. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":"1","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR5.1) oblicza granice ciągów, korzystając\nz granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz\nz twierdzeń o działaniach na granicach\nciągów.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1\n2\n5\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: 1,25\n\nWynik granicy to \\(\\frac{5}{4} = 1{,}25\\). Cyfra jedności: **1**, pierwsze dwie cyfry po przecinku: **25**.\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia\n\n**Krok 1: Rozwijamy licznik.**\n\n\\[(3n+2)^2 - (1-2n)^2\\]\n\nKorzystamy z wzoru \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), czyli różnica kwadratów:\n\n\\[(3n+2)^2 - (1-2n)^2 = \\bigl[(3n+2) - (1-2n)\\bigr]\\bigl[(3n+2) + (1-2n)\\bigr]\\]\n\nObliczamy każdy nawias:\n\n\\[(3n+2) - (1-2n) = 3n+2-1+2n = 5n+1\\]\n\n\\[(3n+2) + (1-2n) = 3n+2+1-2n = n+3\\]\n\nZatem licznik:\n\n\\[(5n+1)(n+3) = 5n^2 + 15n + n + 3 = 5n^2 + 16n + 3\\]\n\n**Krok 2: Rozwijamy mianownik.**\n\n\\[(2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1\\]\n\n**Krok 3: Mamy ułamek.**\n\n\\[\\frac{5n^2 + 16n + 3}{4n^2 - 4n + 1}\\]\n\n**Krok 4: Wyciągamy \\(n^2\\) z licznika i mianownika** (standardowa technika dla granic \\(\\frac{\\text{wielomian}}{\\text{wielomian}}\\) tego samego stopnia):\n\n\\[\\frac{n^2\\left(5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}\\right)}{n^2\\left(4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}\\right)} = \\frac{5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}}{4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}}\\]\n\n**Krok 5: Przechodzimy do granicy.** Gdy \\(n \\to \\infty\\): \\(\\dfrac{16}{n} \\to 0\\), \\(\\dfrac{3}{n^2} \\to 0\\), \\(\\dfrac{4}{n} \\to 0\\), \\(\\dfrac{1}{n^2} \\to 0\\).\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}}{4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}} = \\frac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \\frac{5}{4}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{5}{4} = 1{,}25\\)**\n\n## Sposób 2 - Zasada dominującego wyrazu (najszybsza metoda)\n\nDla granic wielomianów stopnia \\(n\\) najważniejszy jest **najwyższy stopień** - reszta \"znika\" przy \\(n \\to \\infty\\).\n\n**Licznik:** \\((3n+2)^2 - (1-2n)^2\\)\n\n- \\((3n)^2 = 9n^2\\) - dominujący wyraz z pierwszego kwadratu\n- \\((-2n)^2 = 4n^2\\) - dominujący wyraz z drugiego kwadratu\n\nZatem licznik \\(\\approx 9n^2 - 4n^2 = 5n^2\\) dla dużych \\(n\\).\n\n**Mianownik:** \\((2n-1)^2 \\approx (2n)^2 = 4n^2\\) dla dużych \\(n\\).\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{5n^2 + \\ldots}{4n^2 + \\ldots} = \\frac{5}{4}\\]\n\n**To potwierdza wynik z Metody 1.**\n\n> Uwaga: ta metoda działa tylko gdy licznik i mianownik są tego samego stopnia - wtedy granica = iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do faktoryzacji licznika - to szybszy sposób niż rozwijanie obu kwadratów osobno.\n\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy przy rozwijaniu \\((2n-1)^2\\) w mianowniku.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-11):**\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} q^n = 0 \\quad \\text{dla } q \\in (-1,1)\\]\nZasada ta uzasadnia, że \\(\\dfrac{1}{n} \\to 0\\) i \\(\\dfrac{1}{n^2} \\to 0\\) gdy \\(n \\to \\infty\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wstawiaj \\(n = \\infty\\) bezpośrednio do wyrażenia! Dostaniesz \\(\\frac{\\infty}{\\infty}\\) - to **symbol nieoznaczony**, który nic nie mówi o wartości granicy. Trzeba najpierw uprościć wyrażenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((1-2n)^2\\) uważaj na kolejność: \\((1-2n)^2 = 1 - 4n + 4n^2\\), a nie \\((2n-1)^2\\) - choć wynik ten sam, bo kwadrat \"pochłania\" zmianę znaku. Błędy przy odejmowaniu licznika to najczęstsze źródło pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyciąganiu \\(n^2\\) przed nawias upewnij się, że wyciągasz je zarówno z licznika **i** z mianownika - tylko wtedy możesz je skrócić.\n\n### Sposob 1 (wymnozenie i podzielenie przez najwyzsza potege)\nLicznik: \\((3n+2)^{2} - (1-2n)^{2} = (9n^{2} + 12n + 4) - (1 - 4n + 4n^{2}) = 5n^{2} + 16n + 3\\).\n\nMianownik: \\((2n-1)^{2} = 4n^{2} - 4n + 1\\).\n\nDzielimy licznik i mianownik przez \\(n^{2}\\):\n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} \\dfrac{5 + \\tfrac{16}{n} + \\tfrac{3}{n^{2}}}{4 - \\tfrac{4}{n} + \\tfrac{1}{n^{2}}} = \\dfrac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \\dfrac{5}{4} = 1{,}25.\n\\]\n\nKorzystamy z twierdzen o dzialaniach na granicach oraz granicy \\(\\lim \\tfrac{1}{n} = 0\\) (karta wzorow, Granice ciagow).\n\nKratki: **1, 2, 5**.\n\n### Sposob 2 (wzor na roznice kwadratow w liczniku)\n\\((3n+2)^{2} - (1-2n)^{2} = [(3n+2)-(1-2n)][(3n+2)+(1-2n)] = (5n+1)(n+3) = 5n^{2} + 16n + 3\\). Dalej jak wyzej.\n\n### Uwagi o punktacji\n2 pkt - odpowiedz calkowicie poprawna (kratki 1, 2, 5).\n0 pkt - odpowiedz niepelna lub niepoprawna.\n\n**Trik:** Stopien licznika i mianownika rowny 2 - iloraz wspolczynnikow wiodacych: \\(\\tfrac{5}{4} = 1{,}25\\). Odpowiedz: **1,25**.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nNiech logଶ18 = 𝑐. Wykaż, że logଷ4 =\n4\n𝑐-1 .\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Niech log_2 18 = c. Wykaż, że log_3 4 = 4 / c-1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR1.2) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy podczas przekształcenia wyrażenia log3 4 lub\n4\nlog2 18-1 poprawnie zastosuje wzór na\nzamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi, np.:\nlog3 4 = log2 4\nlog2 3 ,\n4\nlog2 18 -1 =\n4\nlog2\n18\n2\n, log3 4 = 2log3 2 , log2 18 = log2 2 + log2 9\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nprzekształci wyrażenie log3 4 lub\n4\nlog2 18-1 lub oba te wyrażenia do takiej postaci,\nz której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub\nlogarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne\nprzekształcenie wyrażenia wymiernego uzyskuje się tezę\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n\nwyznaczy log2 3 w zależności od 𝑐: log2 3 = 𝑐-1\n2\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga:\nJeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log3 4 lub\n4\nlog2 18-1 , popełnia\nbłąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm\nilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje\nte wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy wyrażenie log3 4, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu:\nlog3 4 = log2 4\nlog2 3\nAby doprowadzić do uzyskania w liczniku liczby 4, mnożymy licznik i mianownik ułamka\nprzez 2. Otrzymujemy:\n2 ⋅log2 4\n2 ⋅log2 3 = 2 ⋅log2 4\nlog2 9\n4\nlog2 9\nStosujemy wzór na różnicę logarytmów o tych samych podstawach i otrzymujemy:\n4\nlog2 9 =\n4\nlog2\n18\n2\n4\nlog2 18 -log2 2 =\n4\n𝑐-1\nZatem log3 4 =\n4\n𝑐-1 . To należało wykazać.\nSposób 2.\nPodstawiamy log2 18 = 𝑐 do wyrażenia\n4\n𝑐-1 i zapisujemy mianownik jako różnicę\nlogarytmów o podstawie 2:\n4\n𝑐-1 =\n4\nlog2 18 -log2 2\nPrzekształcamy wyrażenie w mianowniku:\n4\nlog2 18 -log2 2 =\n4\nlog2 9 =\n4\n2 log2 3 =\n2\nlog2 3\nStosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:\n2\nlog2 3 =\n2\n1\nlog3 2\n= 2 log3 2 = log3 4\nZatem 4\n𝑐-1 = log3 4 . To należało wykazać.\nSposób 3.\nPrzekształcamy log2 18 = log2(9 ∙2) = log2 9 + log2 2 = log2 9 + 1 = 2 log2 3 + 1 = 𝑐\nObliczamy log2 3 = 𝑐-1\n2 . Stąd\nlog3 4 = log2 4\nlog2 3 = 2\n𝑐-1\n2\n4\n𝑐-1\nTo należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: wykazanie tożsamości\n\nZadanie polega na **udowodnieniu**, że \\(\\log_3 4 = \\dfrac{4}{c-1}\\), gdzie \\(c = \\log_2 18\\). Nie ma gotowej odpowiedzi ABCD - pokazujemy łańcuch równości.\n\n## Sposób 1 - wyłuskanie \\(\\log_2 3\\) z definicji \\(c\\)\n\n**Krok 1.** Rozkładamy \\(18\\) na czynniki i upraszczamy \\(c\\).\n\n\\[c = \\log_2 18 = \\log_2(2 \\cdot 3^2) = \\log_2 2 + \\log_2 3^2 = 1 + 2\\log_2 3\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy \\(\\log_2 3\\) z powyższego.\n\n\\[c - 1 = 2\\log_2 3 \\implies \\log_2 3 = \\frac{c-1}{2}\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy \\(\\log_3 4\\) - zamieniamy podstawę na 2.\n\n\\[\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2 = \\frac{2}{\\log_2 3}\\]\n\n(skorzystaliśmy ze wzoru \\(\\log_a b = \\dfrac{1}{\\log_b a}\\))\n\n**Krok 4.** Podstawiamy wynik z Kroku 2.\n\n\\[\\log_3 4 = \\frac{2}{\\log_2 3} = \\frac{2}{\\dfrac{c-1}{2}} = \\frac{2 \\cdot 2}{c-1} = \\frac{4}{c-1}\\]\n\n**Co chcieliśmy pokazać. \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - od prawej strony: upraszczamy \\(\\dfrac{4}{c-1}\\)\n\nZaczynamy od prawej strony i pokazujemy, że równa się \\(\\log_3 4\\).\n\n\\[\\frac{4}{c-1} = \\frac{4}{\\log_2 18 - 1}\\]\n\nZamieniamy \\(1 = \\log_2 2\\):\n\n\\[= \\frac{4}{\\log_2 18 - \\log_2 2} = \\frac{4}{\\log_2\\!\\left(\\dfrac{18}{2}\\right)} = \\frac{4}{\\log_2 9}\\]\n\nPonieważ \\(\\log_2 9 = \\log_2 3^2 = 2\\log_2 3\\):\n\n\\[= \\frac{4}{2\\log_2 3} = \\frac{2}{\\log_2 3}\\]\n\nStosując zamianę podstawy \\(\\dfrac{1}{\\log_2 3} = \\log_3 2\\):\n\n\\[= 2\\log_3 2 = \\log_3 2^2 = \\log_3 4 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - używamy trzech własności:\n\n1. **Logarytm iloczynu:**\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nDzięki temu rozkładamy \\(\\log_2 18 = \\log_2 2 + \\log_2 9\\).\n\n2. **Logarytm potęgi:**\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nDzięki temu \\(\\log_2 3^2 = 2\\log_2 3\\) oraz \\(\\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\).\n\n3. **Zamiana podstawy / odwrócenie:**\n\\[\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]\nDzięki temu \\(\\log_3 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 3}\\) - kluczowy krok łączący obie strony.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można „przestawić\" podstawy swobodnie - \\(\\log_3 4 \\neq \\log_4 3\\). Zamiana podstawy wymaga wzoru z karty: \\(\\log_a b = \\dfrac{1}{\\log_b a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(c - 1 = \\log_2 18 - 1\\) pamiętaj, że \\(1 = \\log_2 2\\) (jedynkę trzeba zamienić na logarytm o tej samej podstawie, żeby skorzystać z własności logarytmu ilorazu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Typowy błąd to próba obliczenia \\(\\log_3 4\\) wprost z \\(c\\) bez pośredniego wyznaczenia \\(\\log_2 3\\). Zawsze szukaj, **jaką wspólną „cegiełkę\"** (tu: \\(\\log_2 3\\)) da się wydobyć z obu wyrażeń.\n\n### Sposob 1 (zamiana podstawy + wzor na roznice logarytmow)\nKorzystamy ze wzorow z karty wzorow (dzial Logarytmy): \\(\\log_{a}b = \\dfrac{\\log_{c}b}{\\log_{c}a}\\), \\(\\log_{a}(b/c) = \\log_{a}b - \\log_{a}c\\).\n\n\\[\\log_{3} 4 = \\dfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3} = \\dfrac{2}{\\log_{2}3}.\\]\n\nMnozymy licznik i mianownik przez 2:\n\\[\\log_{3} 4 = \\dfrac{4}{2\\log_{2}3} = \\dfrac{4}{\\log_{2} 9} = \\dfrac{4}{\\log_{2}(18/2)} = \\dfrac{4}{\\log_{2}18 - \\log_{2}2} = \\dfrac{4}{c-1}.\\]\n\nKoniec dowodu.\n\n### Sposob 2 (wyznaczenie \\(\\log_{2} 3\\) z \\(c\\))\n\\(c = \\log_{2}18 = \\log_{2}(9 \\cdot 2) = \\log_{2}9 + 1 = 2\\log_{2}3 + 1\\).\nStad \\(\\log_{2}3 = \\dfrac{c-1}{2}\\).\n\nZatem \\(\\log_{3}4 = \\dfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3} = \\dfrac{2}{(c-1)/2} = \\dfrac{4}{c-1}\\). CBDU.\n\n### Uwagi o punktacji (wedlug CKE)\n- **1 pkt**: poprawnie zastosuje wzor na zamiane podstaw lub logarytm ilorazu/iloczynu albo logarytm potegi, np. \\(\\log_{3}4 = \\tfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3}\\) lub \\(\\log_{2}18 = \\log_{2}2 + \\log_{2}9\\), ALBO wyznaczy \\(\\log_{2}3 = \\tfrac{c-1}{2}\\).\n- **2 pkt**: doprowadzi wyrazenie do postaci z teza przez jednokrotne zastosowanie zamiany podstaw logarytmu.\n- **3 pkt**: pelny dowod.\n\n**Trik:** Rozpisz 18 = 2·9 i wykorzystaj \\(\\log_{2}4 = 2\\log_{2}2 = 2\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nRozwiąż nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥≤2 + 2𝑥\n5𝑥\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2x-1 / 1-x ≤\\xle 2+2x / 5x","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR3.7) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 do postaci 12𝑥\n2-5𝑥-2\n(1-𝑥)⋅5𝑥\n≤0 lub\n(2𝑥-1)⋅5𝑥-(2+2𝑥)(1-𝑥)\n(1-𝑥)⋅5𝑥\n≤0\nALBO\n\nprzekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 , mnożąc obie strony tej nierówności przez\niloczyn (1 -𝑥)2(5𝑥)2 , do postaci\n5𝑥⋅(1 -𝑥)[(2𝑥-1) ⋅5𝑥-(2 + 2𝑥) ⋅(1 -𝑥)] ≤0, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1\nALBO\n\nprzyjmie, że 𝑥∈(-∞, 0) ∪(1, +∞) i przekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥\n{mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (1 -𝑥)5𝑥 } do postaci\n(2𝑥-1) ⋅5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n\nprzyjmie, że 𝑥∈(0, 1) i przekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 {mnożąc obie strony\nnierówności przez iloczyn (1 -𝑥)5𝑥 } do postaci\n(2𝑥-1) ⋅5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\nZdający otrzymuje 2p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność 12𝑥2-5𝑥-2\n(1-𝑥)⋅5𝑥\n≤0 lub\n5𝑥⋅(1 -𝑥)[(2𝑥-1) ⋅5𝑥-(2 + 2𝑥) ⋅(1 -𝑥)] ≤0\ndo postaci iloczynowej i zapisze\n12 (𝑥-2\n3) (𝑥+ 1\n4) (1 -𝑥) ⋅5𝑥≤0, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1\nALBO\n\nrozwiąże nierówność (2𝑥-1)5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥) dla 𝑥∈(-∞, 0) ∪(1, +∞)\ni zapisze:\n𝑥∈(-∞, -1\n4 ⟩∪(1, +∞)\nALBO\n\nrozwiąże nierówność (2𝑥-1)5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥) dla 𝑥∈(0, 1) i zapisze:\n𝑥∈(0, 2\n3 ⟩\nALBO\n\nspełni wymagania za 1 punkt oraz obliczy wszystkie pierwiastki wielomianów\n12𝑥2 -5𝑥-2 i 5𝑥(1 -𝑥) {albo wielomianów 5𝑥(2𝑥-1) i (2 + 2𝑥)(1 -𝑥) }\nZdający otrzymuje 3p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik:\n𝑥∈(-∞, -1\n4 ⟩∪(0, 2\n3 ⟩∪(1, +∞).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia\nznaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥= 0 i 𝑥= 1, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZakładamy, że 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0\n10𝑥2 -5𝑥-2 -2𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥2\n5𝑥(1 -𝑥)\n≤0\n12𝑥2 -5𝑥-2\n5𝑥(1 -𝑥)\n≤0\nStąd dostajemy\n12 (𝑥-2\n3) (𝑥+ 1\n4) (1 -𝑥) ⋅5𝑥≤0 i 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\nZatem 𝑥∈(-∞, -1\n4⟩∪(0, 2\n3⟩∪(1, +∞).\nSposób 2.\nZakładamy, że 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0/∙(1 -𝑥)2(5𝑥)2\n5𝑥(1 -𝑥)[10𝑥2 -5𝑥-(2 + 2𝑥-2𝑥-2𝑥2)] ≤0,\n5𝑥(1 -𝑥)[10𝑥2 -5𝑥-2 + 2𝑥2] ≤0,\n12(1 -𝑥) (𝑥+ 1\n4) (𝑥-2\n3) 5𝑥≤0 i 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\nZatem 𝑥∈(-∞, -1\n4⟩∪(0, 2\n3⟩∪(1, +∞).\nSposób 3.\n1. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 w zbiorze (-∞, 0) ∪(1, +∞).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0 /∙(1 -𝑥)5𝑥\n(2𝑥-1)5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\n12𝑥2 -5𝑥-2 ≥0\nOtrzymujemy 𝑥1 = -1\n4, 𝑥2 = 2\n3 oraz 𝑥∈(-∞, -1\n4⟩∪(1, +∞).\n2. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 w zbiorze (0,1).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0 /∙(1 -𝑥)5𝑥\n(2𝑥-1)5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\n12𝑥2 -5𝑥-2 ≤0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOtrzymujemy 𝑥1 = -1\n4, 𝑥2 = 2\n3 oraz 𝑥∈(0, 2\n3⟩.\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 jest (-∞, -1\n4⟩∪(0, 2\n3⟩∪(1, +∞).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)\\]\n\n## Sposób 1 - Przeniesienie na jedną stronę i tabelka znaków\n\n**Dziedzina:** mianowniki niezerowe, więc \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\).\n\n**Krok 1.** Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{2x-1}{1-x} - \\frac{2+2x}{5x} \\leq 0\\]\n\n**Krok 2.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(5x(1-x)\\):\n\n\\[\\frac{5x(2x-1) - (2+2x)(1-x)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]\n\n**Krok 3.** Rozwijamy licznik:\n\\[5x(2x-1) = 10x^2 - 5x\\]\n\\[(2+2x)(1-x) = 2 - 2x + 2x - 2x^2 = 2 - 2x^2\\]\n\nLicznik:\n\\[10x^2 - 5x - (2 - 2x^2) = 12x^2 - 5x - 2\\]\n\n**Krok 4.** Rozkładamy licznik na czynniki - liczymy deltę:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 12 \\cdot (-2) = 25 + 96 = 121, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 11\\]\n\\[x_1 = \\frac{5 - 11}{24} = -\\frac{1}{4}, \\qquad x_2 = \\frac{5 + 11}{24} = \\frac{2}{3}\\]\n\nSprawdzenie rozkładu: \\((4x+1)(3x-2) = 12x^2 - 8x + 3x - 2 = 12x^2 - 5x - 2\\) ✓\n\n**Krok 5.** Nierówność przyjmuje postać:\n\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]\n\nKorzystamy z \\(1-x = -(x-1)\\) oraz \\(5 > 0\\), więc możemy upraszczamy i **odwracamy** nierówność:\n\n\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)} \\geq 0\\]\n\n**Krok 6.** Punkty krytyczne w kolejności: \\(-\\dfrac{1}{4},\\ 0,\\ \\dfrac{2}{3},\\ 1\\)\n\nTabelka znaków wyrażenia \\(\\dfrac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)}\\):\n\n| Przedział | \\(4x+1\\) | \\(3x-2\\) | \\(x\\) | \\(x-1\\) | Wynik |\n|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|\n| \\(x < -\\tfrac{1}{4}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(+)}{(+)} = +\\) ✓ |\n| \\(x = -\\tfrac{1}{4}\\) | \\(0\\) | | | | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-\\tfrac{1}{4} < x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(-)}{(+)} = -\\) ✗ |\n| \\(x = 0\\) | | | | | niezdef. ✗ |\n| \\(0 < x < \\tfrac{2}{3}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(-)}{(-)} = +\\) ✓ |\n| \\(x = \\tfrac{2}{3}\\) | | \\(0\\) | | | \\(0\\) ✓ |\n| \\(\\tfrac{2}{3} < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(+)}{(-)} = -\\) ✗ |\n| \\(x = 1\\) | | | | | niezdef. ✗ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(\\dfrac{(+)}{(+)} = +\\) ✓ |\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda przypadków (mnożenie przez mianownik ze zmiennym znakiem)\n\nZamiast przenosić na jedną stronę, mnożymy przez \\(5x(1-x)\\), ale rozpatrujemy dwa przypadki zależnie od jego znaku.\n\nPrzypomnijmy: po uproszczeniu licznika mamy do zbadania nierówność\n\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(5x(1-x) > 0\\), czyli \\(x \\in (0, 1)\\)\n\nMnożymy obie strony przez \\(5x(1-x) > 0\\) - **kierunek nierówności bez zmian**:\n\\[(4x+1)(3x-2) \\leq 0\\]\n\nNa przedziale \\((0, 1)\\) mamy \\(4x + 1 > 0\\) zawsze. Zatem warunek redukuje się do:\n\\[3x - 2 \\leq 0 \\implies x \\leq \\frac{2}{3}\\]\n\nPo przecięciu z \\((0, 1)\\): \\(\\quad x \\in \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right]\\)\n\n**Przypadek 2:** \\(5x(1-x) < 0\\), czyli \\(x < 0\\) lub \\(x > 1\\)\n\nMnożymy przez \\(5x(1-x) < 0\\) - **kierunek nierówności się odwraca**:\n\\[(4x+1)(3x-2) \\geq 0\\]\n\nTo jest spełnione gdy \\(x \\leq -\\dfrac{1}{4}\\) lub \\(x \\geq \\dfrac{2}{3}\\).\n\nTeraz przecinamy z dziedziną przypadku (\\(x < 0\\) lub \\(x > 1\\)):\n- \\(x < 0\\) i \\(\\left(x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\text{ lub }x \\geq \\tfrac{2}{3}\\right)\\) → \\(x \\leq -\\dfrac{1}{4}\\)\n- \\(x > 1\\) i \\(\\left(x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\text{ lub }x \\geq \\tfrac{2}{3}\\right)\\) → \\(x > 1\\)\n\nStąd: \\(\\quad x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{1}{4}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)\\)\n\n**Łączymy oba przypadki:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się na:\n- upraszczaniu ułamków algebraicznych,\n- rozwiązaniu trójmianu kwadratowego \\(12x^2 - 5x - 2 = 0\\) (wzór na pierwiastki jest w **Dziale 7, s. 7-8**):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n- analizie znaków iloczynu/ilorazu wyrażeń liniowych.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największy błąd to mnożenie obu stron nierówności przez mianownik **bez sprawdzenia jego znaku**. Mnożenie przez wyrażenie ujemne odwraca kierunek nierówności - pominięcie tego prowadzi do całkowicie błędnego rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 1\\) są wykluczone z dziedziny (zerują mianowniki) - nie należą do rozwiązania, stąd przedziały \\((0, \\ldots)\\) i \\((\\ldots, 1)\\) są **otwarte** po ich stronie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odwracaniu kroku \\(\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\) na \\(\\frac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)} \\geq 0\\) - sign zmienia się bo \\(1-x = -(x-1)\\), a \\(\\frac{\\ldots}{-(x-1)} \\leq 0\\) odpowiada \\(\\frac{\\ldots}{(x-1)} \\geq 0\\). Łatwo tu zgubić zmianę kierunku nierówności.\n\n### Sposob 1 (wspolny mianownik + postac iloczynowa)\nZakladamy \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\). Przeksztalcamy rownowaznie:\n\\[\\dfrac{2x-1}{1-x} - \\dfrac{2+2x}{5x} \\leq 0 \\quad / \\cdot (1-x)^{2}(5x)^{2}.\\]\nPo sprowadzeniu do wspolnego mianownika (bez mnozenia zmieniajacego kierunek):\n\\[\\dfrac{(2x-1)\\cdot 5x - (2+2x)(1-x)}{5x(1-x)} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{10x^{2} - 5x - 2 + 2x - 2x + 2x^{2}}{5x(1-x)} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{12x^{2} - 5x - 2}{5x(1-x)} \\leq 0.\\]\n\nPierwiastki licznika \\(12x^{2} - 5x - 2 = 0\\): \\(\\Delta = 25 + 96 = 121\\), \\(x = \\dfrac{5 \\pm 11}{24}\\), czyli \\(x_{1} = \\dfrac{2}{3}\\), \\(x_{2} = -\\dfrac{1}{4}\\). Zatem \\(12x^{2} - 5x - 2 = 12(x - \\tfrac{2}{3})(x + \\tfrac{1}{4})\\).\n\nMnozymy obie strony przez \\([5x(1-x)]^{2} > 0\\):\n\\[12\\left(x - \\tfrac{2}{3}\\right)\\left(x + \\tfrac{1}{4}\\right) \\cdot 5x \\cdot (1-x) \\leq 0, \\quad x \\neq 0, x \\neq 1.\\]\n\nZera: \\(-\\tfrac{1}{4}, 0, \\tfrac{2}{3}, 1\\). Analiza znakow (wielomian stopnia 4 ze wspolczynnikiem \\(-60\\) dodatnim po zmianie znaku \\((1-x)\\)): rozwiazanie:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0, \\tfrac{2}{3}\\right] \\cup (1, +\\infty).\\]\n\n### Sposob 2 (podzial przedzialow wedlug znaku mianownika)\nZakladamy \\(x \\neq 0, x \\neq 1\\). Rozpatrujemy dwa przypadki.\n\n**Przypadek A**: \\(x \\in (-\\infty, 0) \\cup (1, +\\infty)\\), wtedy \\(5x(1-x) < 0\\). Mnozenie odwraca nierownosc:\n\\((2x-1)\\cdot 5x \\geq (2+2x)(1-x) \\Rightarrow 12x^{2} - 5x - 2 \\geq 0 \\Rightarrow x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\) lub \\(x \\geq \\tfrac{2}{3}\\).\n\nCzesc wspolna: \\((-\\infty, -\\tfrac{1}{4}] \\cup (1, +\\infty)\\).\n\n**Przypadek B**: \\(x \\in (0, 1)\\), wtedy \\(5x(1-x) > 0\\). Bez zmiany kierunku:\n\\(12x^{2} - 5x - 2 \\leq 0 \\Rightarrow x \\in [-\\tfrac{1}{4}, \\tfrac{2}{3}]\\).\n\nCzesc wspolna: \\((0, \\tfrac{2}{3}]\\).\n\n**Suma**: \\(x \\in (-\\infty, -\\tfrac{1}{4}] \\cup (0, \\tfrac{2}{3}] \\cup (1, +\\infty)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: przeksztalci do postaci \\(\\tfrac{12x^{2}-5x-2}{5x(1-x)} \\leq 0\\) lub rozpatrzy przypadek znaku mianownika.\n- 2 pkt: postac iloczynowa lub rozwiazanie jednego z przypadkow.\n- 3 pkt: pelne rozwiazanie.\n\nUwagi CKE: przemnozenie obu stron przez iloczyn mianownikow bez rozpatrzenia znakow = 0 pkt. Niewylaczenie \\(x = 0\\) lub \\(x = 1\\) z rozwiazan = max 2 pkt.\n\n**Trik:** Pomnoz przez kwadrat mianownika \\([5x(1-x)]^{2}\\) - zawsze dodatni, nie zmienia kierunku.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDany jest trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶. Na bokach 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 wybrano punkty - odpowiednio -\n𝐷 i 𝐸 takie, że |𝐵𝐷| = |𝐴𝐸| = 1\n3 |𝐴𝐵|. Odcinki 𝐶𝐷 i 𝐵𝐸 przecinają się w punkcie 𝑃\n(zobacz rysunek).\nWykaż, że pole trójkąta 𝐷𝐵𝑃 jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑃\n𝐸\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Na bokach AB i AC wybrano punkty - odpowiednio - D i E takie, że |BD| = |AE| = 1/3|AB|. Odcinki CD i BE przecinają się w punkcie P (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta DBP jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja\nZdający:\nG10.13) stosuje cechy przystawania\ntrójkątów […].\nR7.3) rozpoznaje figury podobne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐵𝐶𝐷 (lub 𝐸𝐵𝐶 i 𝐷𝐶𝐴) są przystające\nALBO\n\nzapisze, że trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐶𝐵 (lub 𝐸𝐵𝐴) są podobne lub zapisze odpowiednie\nproporcje wynikające z tego podobieństwa\nALBO\n\nwyznaczy długość odcinka 𝐶𝐷 w zależności od |𝐷𝐵|: |𝐶𝐷| = |𝐷𝐵| ⋅√7\nALBO\n\nzastosuje twierdzenie o stosunku pól trójkątów o tych samych wysokościach (np.\nw sposobie 8. zapisze, że 𝑃𝐹𝐷𝑃\n𝑃𝐷𝐺𝑃=\n|𝐹𝐷|\n|𝐷𝐺|)\nALBO\n\numieści trójkąt 𝐴𝐵𝐶 w układzie współrzędnych i wyznaczy współrzędne punktów 𝐷\ni 𝐸 w zależności od długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶\nALBO\n\nnarysuje odcinek 𝐷𝐹 równoległy do 𝐴𝐶 (sposób 5.) i zapisze, że trójkąty 𝐷𝐺𝑃 i 𝐶𝐸𝑃\n(lub trójkąty 𝐷𝐵𝐺 i 𝐴𝐵𝐸) są podobne\nALBO\n\nnarysuje odcinek 𝐺𝐹 równoległy do 𝐴𝐶 (sposób 7.) i zapisze, że trójkąty 𝐺𝐷𝑃 i 𝐴𝐷𝐶\n(lub trójkąty 𝐺𝐵𝑃 i 𝐴𝐵𝐸) są podobne\nALBO\n\nnarysuje odcinek 𝐸𝐹 równoległy do 𝐴𝐵 (sposób 4.) i zapisze, że trójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐸𝐺𝐶\n(lub 𝐷𝐵𝐶 i 𝐺𝐹𝐶, lub trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐺𝐸𝑃) są podobne\nALBO\n\nzapisze, że trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐴𝐹 są podobne (sposób 10.) lub zapisze odpowiednie\nproporcje wynikające z tego podobieństwa\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze, że trójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐶𝐵 (lub 𝐸𝐵𝐴) są podobne i obliczy skalę ich\npodobieństwa: 𝑠= 1\n√7\nALBO\n\nzapisze układ nie więcej niż czterech niezależnych równań liniowych prowadzących do\nuzasadnienia tezy\nALBO\n\nzapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑚 i 𝑎, np.\n(1\n3 𝑎)\n2\n= 𝑚2 + (3𝑚)2 -2 ∙𝑚∙3𝑚∙1\n2 (sposób 3.) oraz zapisze, że pole trójkąta\n𝐷𝐵𝑃 jest równe 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n2 ⋅|𝐷𝑃| ∙|𝐵𝑃| ∙sin 60°\nALBO\n\nwyznaczy stosunek długości odcinka 𝐷𝑃 do długości odcinka 𝐶𝐷:\n|𝐷𝑃|\n|𝐶𝐷| = 1\n7 (sposoby\n4., 5., 6. i 7.)\nALBO\n\nzapisze w zależności od 𝑥= 𝑃𝐷𝐺𝑃 pola trójkątów: 𝐹𝐺𝑃, 𝑃𝐻𝐾, 𝑀𝑃𝐿, 𝐷𝐵𝑃 i co\nnajmniej jednego z trójkątów 𝐴𝐹𝑃 (lub 𝐴𝑃𝑀), 𝑃𝐾𝐶 (lub 𝑃𝐶𝐿): 𝑃𝐹𝐺𝑃= 3𝑥,\n𝑃𝑃𝐻𝐾= 12𝑥, 𝑃𝑀𝑃𝐿= 48𝑥, 𝑃𝐷𝐵𝑃= 7𝑥, 𝑃𝑃𝐹𝑃= 6𝑥, 𝑃𝑃𝐾𝐶= 24𝑥 (sposób 8.)\nALBO\n\nobliczy drugą współrzędną punktu 𝑃 w zależności od przyjętej zmiennej: 𝑦𝑃=\n√3\n14 𝑎\n(sposób 9.)\nALBO\n\nzapisze 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n3 𝑃𝑃𝐹𝐵 i 𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝑃𝑅𝑆+ 𝑃𝐴𝐵𝑆+ 𝑃𝐵𝐶𝑃+ 𝑃𝐶𝐴𝑅 (sposób 10.)\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐵𝐶𝐷 są przystające, gdyż |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, |∡𝐵𝐴𝐸| = |∡𝐶𝐵𝐷| = 60° oraz\n|𝐴𝐸| = |𝐵𝐷|. Zatem |∡𝐴𝐵𝐸| = |∡𝐵𝐶𝐷| oraz |∡𝐴𝐸𝐵| = |∡𝐵𝐷𝐶|. Stąd wynika (cecha KKK),\nże trójkąt 𝐷𝐵𝑃 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐵, a skala tego podobieństwa jest równa\n𝑠= |𝐵𝐷|\n|𝐶𝐷|.\nNiech |𝐷𝐵| = 𝑎. Wtedy |𝐵𝐶| = 3𝑎. Z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐷𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐶𝐷| = √|𝐵𝐷|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐵𝐷| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos 60° = √𝑎2 + (3𝑎)2 -2 ⋅𝑎⋅3𝑎⋅1\n2 = √7𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem 𝑠=\n𝑎\n𝑎√7 = 1\n√7 .\nPole trójkąta 𝐷𝐵𝐶 jest trzecią częścią pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶, gdyż oba te trójkąty mają wspólną\nwysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐶 oraz |𝐵𝐷| = 1\n3 |𝐴𝐵|.\nPonieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa, więc\n𝑃Δ𝐷𝐵𝑃= 𝑠2 ⋅𝑃Δ𝐷𝐵𝐶 = ( 1\n√7\n)\n2\n⋅1\n3 ⋅𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1\n21 ⋅𝑃Δ𝐴𝐵𝐶\nTo należało wykazać.\nUwagi:\n1. Po wyznaczeniu długości |𝐶𝐷| = |𝐵𝐸| można wyznaczyć sinus kąta 𝐷𝐵𝐸, korzystając\nz twierdzenia sinusów. Wtedy otrzymujemy\n|𝐵𝐸|\n√3\n2\n𝑎\nsin|∡𝐷𝐵𝐸|\nskąd sin|∡𝐷𝐵𝐸| =\n√3\n2√7 , więc\n𝑃Δ𝐷𝐵𝑃= 1\n2 ⋅𝑎⋅( 1\n√7\n⋅3𝑎) ⋅√3\n2√7\n= 3𝑎2√3\n28\n(3𝑎)2√3\n4\n⋅1\n21 = 1\n21 ⋅𝑃Δ𝐴𝐵𝐶\n2. Długość odcinka 𝐶𝐷 możemy też obliczyć w inny sposób. Poniżej przedstawiamy dwa\nz tych sposobów:\na) Niech 𝑀 oznacza spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczonej z wierzchołka 𝐶.\nWtedy\n|𝐶𝑀| = 3𝑎√3\n2\noraz |𝑀𝐷| = |𝑀𝐵| -|𝐷𝐵| = 1\n2 ∙3𝑎-𝑎= 1\n2 𝑎\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑀𝐷𝐶 otrzymujemy\n|𝐶𝐷| = √(1\n2 𝑎)\n2\n+ (3𝑎√3\n2\n)\n2\n= √28\n4 𝑎2 = 𝑎√7\nb) Z twierdzenia Stewarta otrzymujemy\n(3𝑎)2 ∙2𝑎+ (3𝑎)2 ∙𝑎= 3𝑎⋅(|𝐶𝐷|2 + 2𝑎∙𝑎)\n3𝑎∙2𝑎+ 3𝑎∙𝑎= |𝐶𝐷|2 + 2𝑎2\n|𝐶𝐷|2 = 7𝑎2\n|𝐶𝐷| = 𝑎√7\nSposób 2.\nPrzyjmijmy, że 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 𝑆, 𝑃Δ𝐷𝐵𝑃= 𝑄, 𝑃Δ𝐴𝑃𝐸= 𝑌, 𝑃Δ𝐵𝐶𝑃= 𝑋.\nW dalszym ciągu rozumowania będziemy wielokrotnie korzystać z faktu, że stosunek pól\ntrójkątów o wspólnej wysokości jest równy stosunkowi długości podstaw, na które ta wysokość\njest opuszczona.\nZatem 𝑃𝐴𝐵𝐸= 1\n3 𝑆, 𝑃𝐶𝐵𝐸= 2\n3 𝑆, 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n3 𝑆, 𝑃𝐴𝐷𝐶= 2\n3 𝑆. Ponadto\n𝑃𝐴𝑃𝐸\n𝑃𝐶𝑃𝐸\n= 1\n2 oraz 𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝐴𝐷𝑃\n= 1\n2\nOtrzymaliśmy więc układ równań\n{\n𝑄+ 𝑋= 1\n3 𝑆\n2𝑌+ 𝑋= 2\n3 𝑆\n𝑌+ 3𝑄= 1\n3 𝑆\nWyznaczając wielkość 𝑋 z pierwszego równania i wielkość 𝑌 z trzeciego oraz wstawiając\nwyznaczone wielkości do równania drugiego, otrzymujemy:\n2 (1\n3 𝑆-3𝑄) + (1\n3 𝑆-𝑄) = 2\n3 𝑆\n1\n3 𝑆= 7𝑄\n𝑄= 1\n21 𝑆\nTo należało wykazać.\nSposób 3.\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 i 𝐵𝐶𝐷 są przystające, gdyż |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, |∡𝐵𝐴𝐸| = |∡𝐶𝐵𝐷| = 60° oraz\n|𝐴𝐸| = |𝐵𝐷|. Zatem |∡𝐴𝐵𝐸| = |∡𝐵𝐶𝐷| oraz |∡𝐴𝐸𝐵| = |∡𝐵𝐷𝐶|. Stąd wynika (cecha KKK),\nże trójkąt 𝐷𝐵𝑃 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐵.\nZatem\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| =\n|𝐷𝑃|\n|𝐵𝑃| = 1\n3 , więc |𝐵𝑃| = 3|𝐷𝑃| oraz |∡𝐵𝑃𝐷| = 60° . Oznaczmy |𝐷𝑃| = 𝑚.\nWtedy |𝐵𝑃| = 3𝑚.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐷𝐵𝑃 otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐵𝑃|2 -2 ∙|𝐷𝑃| ∙|𝐵𝑃| ∙cos 60°\nczyli\n(1\n3 𝑎)\n2\n= 𝑚2 + (3𝑚)2 -2 ∙𝑚∙3𝑚∙1\n2\nStąd\n1\n9 𝑎2 = 7𝑚2\n𝑚2 = 1\n63 𝑎2\nPole trójkąta 𝐷𝐵𝑃 jest równe\n𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n2 ⋅|𝐷𝑃| ∙|𝐵𝑃| ∙sin 60° = 1\n2 ⋅𝑚∙3𝑚∙√3\n2 = 3\n4 ⋅𝑚2√3 =\n= 3\n4 ⋅1\n63 𝑎2√3 = 1\n21 ⋅𝑎2√3\n4\n= 1\n21 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n2\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\n𝑎\n𝑚\n3𝑚\n1\n3 𝑎\nSposób 4.\nOznaczmy przez 𝑎 długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prowadzimy odcinek 𝐸𝐹 równoległy do\nboku 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nTrójkąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐸𝐺𝐶 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐸𝐺|\n|𝐶𝐸| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶| = 2\n3 oraz\n|𝐶𝐺|\n|𝐶𝐷| =\n|𝐶𝐸|\n|𝐴𝐶| = 2\n3\nStąd\n|𝐸𝐺| = 2\n3 |𝐶𝐸| = 2\n3 ∙2\n3 𝑎= 4\n9 𝑎 oraz |𝐶𝐺| = 2\n3 |𝐶𝐷|\nZ drugiej równości wynika, że |𝐺𝐷| = 1\n3 |𝐶𝐷|.\nTrójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐺𝐸𝑃 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐷𝑃|\n|𝐺𝑃| =\n|𝐷𝐵|\n|𝐸𝐺| =\n1\n3 𝑎\n4\n9 𝑎\n= 3\n4\nZatem\n|𝐷𝑃| = 3\n7 |𝐷𝐺| = 3\n7 ∙1\n3 |𝐶𝐷| = 1\n7 |𝐶𝐷|\nTrójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐵, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝐷𝐵𝐶\n= |𝐷𝑃|\n|𝐷𝐶| = 1\n7 , czyli 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶 .\nPonadto 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶, gdyż trójkąty 𝐷𝐵𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐶 i |𝐷𝐵| = 1\n3 |𝐴𝐵|, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n7 ∙1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶.\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n𝐹\n𝐺\n2\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 5.\nOznaczmy przez 𝑎 długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prowadzimy odcinek 𝐷𝐹 równoległy do\nboku 𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Niech 𝐺 oznacza punkt przecięcia odcinków 𝐵𝐸 i 𝐷𝐹.\nTrójkąt 𝐷𝐵𝐹 jest równoboczny, a jego bok ma długość 1\n3 𝑎.\nTrójkąty 𝐷𝐵𝐺 i 𝐴𝐵𝐸 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐷𝐺|\n|𝐷𝐵| =\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| = 1\n3\nStąd\n|𝐷𝐺| = 1\n3 ∙1\n3 𝑎= 1\n9 𝑎\nTrójkąty 𝐷𝐺𝑃 i 𝐶𝐸𝑃 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐷𝑃|\n|𝐶𝑃| =\n|𝐷𝐺|\n|𝐶𝐸| =\n1\n9 𝑎\n2\n3 𝑎\n= 1\n6\nZatem |𝐷𝑃| = 1\n7 |𝐶𝐷|.\nTrójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐵, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝐷𝐵𝐶\n= |𝐷𝑃|\n|𝐷𝐶| = 1\n7 , czyli 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶 .\nPonadto 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶, gdyż trójkąty 𝐷𝐵𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐶 i |𝐷𝐵| = 1\n3 |𝐴𝐵|, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n7 ∙1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶 .\nTo należało wykazać.\n1\n3 𝑎\n𝐺\n1\n3 𝑎\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n2\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\n𝐹\nSposób 6.\nOznaczmy przez 𝑎 długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Wtedy |𝐴𝐷| = |𝐶𝐸| = 2\n3 𝑎 oraz\n|𝐴𝐸| = |𝐷𝐵| = 1\n3 𝑎. Prowadzimy odcinek 𝐸𝐹 równoległy do boku 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐶𝐷.\nTrójkąty 𝐴𝐹𝐸 i 𝐴𝐷𝐶 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐸𝐹|\n|𝐶𝐷| =\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐶| = 1\n3 oraz\n|𝐴𝐹|\n|𝐴𝐸| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶| = 2\n3\nStąd\n|𝐸𝐹| = 1\n3 |𝐶𝐷| oraz |𝐴𝐹| = 2\n3 |𝐴𝐸| = 2\n3 ∙1\n3 𝑎= 2\n9 𝑎\nZatem |𝐹𝐵| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐹| = 𝑎-2\n9 𝑎= 7\n9 𝑎.\nTrójkąty 𝐹𝐵𝐸 i 𝐷𝐵𝑃 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝑃𝐷|\n|𝐸𝐹| =\n|𝐷𝐵|\n|𝐹𝐵| =\n1\n3 𝑎\n7\n9 𝑎\n= 3\n7\nStąd\n|𝐷𝑃| = 3\n7 |𝐸𝐹| = 3\n7 ∙1\n3 |𝐶𝐷| = 1\n7 |𝐶𝐷|\nTrójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐵, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝐷𝐵𝐶\n= |𝐷𝑃|\n|𝐷𝐶| = 1\n7 , czyli 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶 .\nPonadto 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶, gdyż trójkąty 𝐷𝐵𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐶 i |𝐷𝐵| = 1\n3 |𝐴𝐵|, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n7 ∙1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶 .\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n𝐹\n2\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 7.\nPrzez punkt 𝑃 prowadzimy odcinek 𝐺𝐹 równoległy do boku 𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Trójkąt 𝐺𝐹𝐵\njest równoboczny. Oznaczmy długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 przez 𝑎 i odcinka 𝐵𝐹 przez 𝑥.\nTrójkąty 𝐺𝐵𝑃 i 𝐴𝐵𝐸 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐺𝑃|\n|𝐺𝐵| = |𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| =\n1\n3 𝑎\n𝑎= 1\n3\nStąd |𝐺𝑃| = 1\n3 𝑥.\nTrójkąty 𝐺𝐷𝑃 i 𝐴𝐷𝐶 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐺𝑃|\n|𝐺𝐷| = |𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| = 𝑎\n2\n3 𝑎\n= 3\n2 oraz\n|𝑃𝐷|\n|𝐶𝐷| = |𝐺𝑃|\n|𝐴𝐶|\nStąd |𝐺𝐷| = 2\n3 |𝐺𝑃|, więc\n|𝐷𝐵| = |𝐺𝐵| -|𝐺𝐷| = 𝑥-2\n3 ⋅1\n3 𝑥= 7\n9 𝑥\nZatem 1\n3 𝑎= 7\n9 𝑥, czyli 𝑥= 3\n7 𝑎 .\nKorzystając z proporcji\n|𝑃𝐷|\n|𝐶𝐷| =\n|𝐺𝑃|\n|𝐴𝐶| , otrzymujemy\n|𝑃𝐷|\n|𝐶𝐷| =\n1\n3 𝑥\n𝑎=\n1\n3 ∙\n3\n7 𝑎\n𝑎\n= 1\n7\nTrójkąty 𝐷𝐵𝑃 i 𝐷𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝐵, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝐷𝐵𝐶\n= |𝐷𝑃|\n|𝐷𝐶| = 1\n7 , czyli 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶 .\n𝐹\n𝑥\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n2\n3 𝑎\n1\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\n2\n3 𝑎\n𝐺\nPonadto 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶, gdyż trójkąty 𝐷𝐵𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 mają wspólną wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝐶 i |𝐷𝐵| = 1\n3 |𝐴𝐵|, więc\n𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n7 𝑃𝐷𝐵𝐶= 1\n7 ∙1\n3 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶 .\nTo należało wykazać.\nSposób 8.\nPrzez punkt 𝑃 prowadzimy odcinki 𝑀𝐻, 𝐺𝐿 i 𝐹𝐾 równoległe do boków - odpowiednio -\n𝐴𝐵, 𝐵𝐶 i 𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Podzieliliśmy w ten sposób trójkąt 𝐴𝐵𝐶 na trzy trójkąty\nrównoboczne 𝐹𝐺𝑃, 𝑃𝐻𝐾, 𝑀𝑃𝐿 i trzy równoległoboki 𝐵𝐺𝑃𝐻, 𝑃𝐾𝐶𝐿 i 𝐴𝐹𝑃𝑀. Oznaczmy\npole trójkąta 𝐷𝐺𝑃 przez 𝑥.\nTrójkąty 𝐹𝐵𝑃 i 𝐴𝐵𝐸 są podobne (cecha KKK). Zatem\n|𝐹𝑃|\n|𝐹𝐵| =\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| = 1\n3 , więc\n|𝐹𝑃| = 1\n3 |𝐹𝐵| = 1\n3 |𝐹𝐾|, gdyż trójkąt 𝐹𝐵𝐾 jest równoboczny. Stąd\n|𝐹𝑃|\n|𝑃𝐾| = 1\n2 .\nTak samo wnioskujemy, że\n|𝑃𝐻|\n|𝑀𝑃| = 1\n2 .\nTrójkąty 𝐹𝐷𝑃 i 𝐴𝐷𝐶 są podobne (cecha KKK), więc\n|𝐹𝑃|\n|𝐹𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| = 3\n2 , a stąd wynika, że\n|𝐷𝐺|\n|𝐹𝐷| = 1\n2 .\nTrójkąty 𝐹𝐷𝑃 i 𝐷𝐺𝑃 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝑃, więc\n𝑃𝐷𝐺𝑃\n𝑃𝐹𝐷𝑃=\n|𝐷𝐺|\n|𝐹𝐷| = 1\n2, więc 𝑃𝐹𝐷𝑃= 2𝑥, skąd 𝑃𝐹𝐺𝑃= 3𝑥.\nTrójkąty równoboczne są podobne, więc stosunek ich pól jest równy kwadratowi skali ich\npodobieństwa. Zatem\n𝑃𝐹𝐺𝑃\n𝑃𝑃𝐻𝐾\n= (\n|𝐹𝑃|\n|𝑃𝐾|)\n2\n= 1\n4 , więc 𝑃𝑃𝐻𝐾= 4𝑃𝐹𝐺𝑃= 4 ∙3𝑥= 12𝑥\noraz\n𝑃𝑃𝐻𝐾\n𝑃𝑀𝑃𝐿\n= (|𝑃𝐻|\n|𝑀𝑃|)\n2\n= 1\n4 , więc 𝑃𝑀𝑃𝐿= 4𝑃𝑃𝐻𝐾= 4 ∙12𝑥= 48𝑥\n𝑀\n𝐾\n𝐹\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n𝐿\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐷\n𝑃\n𝐺\n2𝑥\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTrójkąty 𝐹𝐺𝑃 i 𝐺𝐵𝑃 mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka 𝑃, więc\n𝑃𝐹𝐺𝑃\n𝑃𝐺𝐵𝑃=\n|𝐹𝐺|\n|𝐺𝐵| . Trójkąty 𝑃𝐻𝐾 i 𝐵𝐻𝑃 również mają wspólną wysokość opuszczoną\nz wierzchołka 𝑃, więc 𝑃𝑃𝐻𝐾\n𝑃𝐵𝐻𝑃=\n|𝐾𝐻|\n|𝐵𝐻| .\nZatem, wobec |𝐹𝐺| = |𝑃𝐺| = |𝐵𝐻| oraz |𝐺𝐵| = |𝑃𝐻| = |𝐾𝐻|, otrzymujemy\n𝑃𝐹𝐺𝑃\n𝑃𝐺𝐵𝑃\n⋅𝑃𝑃𝐻𝐾\n𝑃𝐵𝐻𝑃\n= |𝐹𝐺|\n|𝐺𝐵| ⋅|𝐾𝐻|\n|𝐵𝐻| = 1\nPonieważ 𝑃𝐺𝐵𝑃= 𝑃𝐵𝐻𝑃, więc 𝑃𝐺𝐵𝑃= 𝑃𝐵𝐻𝑃= √𝑃𝐹𝐺𝑃∙𝑃𝑃𝐻𝐾.\nAnalogicznie otrzymujemy 𝑃𝐾𝑃𝐶= 𝑃𝑃𝐶𝐿= √𝑃𝑃𝐻𝐾∙𝑃𝑀𝑃𝐿 oraz 𝑃𝐴𝐹𝑃= 𝑃𝐴𝑃𝑀= √𝑃𝐹𝐺𝑃∙𝑃𝑀𝑃𝐿.\nZatem\n𝑃𝐺𝐵𝑃= 𝑃𝐵𝐻𝑃= √3𝑥∙12𝑥= 6𝑥,\n𝑃𝐾𝑃𝐶= 𝑃𝑃𝐶𝐿= √12𝑥∙48𝑥= 24𝑥,\n𝑃𝐴𝐹𝑃= 𝑃𝐴𝑃𝑀= √3𝑥∙48𝑥= 12𝑥.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest więc równe\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝐹𝐺𝑃+ 𝑃𝑃𝐾𝐻+ 𝑃𝑀𝑃𝐿+ 2𝑃𝐺𝐵𝑃+ 2𝑃𝐾𝑃𝐶+ 2𝑃𝐴𝐹𝑃=\n= 3𝑥+ 12𝑥+ 48𝑥+ 2 ∙6𝑥+ 2 ∙24𝑥+ 2 ∙12𝑥= 147𝑥\nNatomiast pole trójkąta 𝐷𝐵𝑃 jest równe\n𝑃𝐷𝐵𝑃= 𝑃𝐷𝐺𝑃+ 𝑃𝐺𝐵𝑃= 𝑥+ 6𝑥= 7𝑥\nWobec tego 𝑃𝐷𝐵𝑃= 7𝑥= 1\n21 ⋅147𝑥= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶 .\nTo należało wykazać.\nSposób 9.\nOznaczmy długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 przez 𝑎. Umieszczamy trójkąt 𝐴𝐵𝐶 w układzie\nwspółrzędnych tak, aby 𝐴= (0, 0) i 𝐵= (𝑎, 0), a wierzchołek 𝐶 leżał w pierwszej ćwiartce\nukładu współrzędnych.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐸\n𝑃\n0\n𝑎√3\n2\n𝑥\n𝑎\n2\n3 𝑎\n𝑦\n𝑎√3\n6\n𝑎\n2\n𝑎\n6\nWtedy 𝐶= (𝑎\n2 , 𝑎√3\n2 ), 𝐷= (2\n3 𝑎, 0), 𝐸= (1\n3 ⋅𝑎\n2 , 1\n3 ⋅𝑎√3\n2 ) = (𝑎\n6 , 𝑎√3\n6 ).\nWspółczynniki kierunkowe prostych 𝐶𝐷 i 𝐵𝐸 są równe\n𝑎𝐶𝐷=\n𝑎√3\n2 -0\n𝑎\n2-2\n3𝑎= -3√3 oraz 𝑎𝐵𝐸=\n𝑎√3\n6 -0\n𝑎\n6-𝑎= -\n√3\n5 .\nZatem prosta 𝐶𝐷 ma równanie 𝑦= -3√3 (𝑥-2\n3 𝑎), natomiast prosta 𝐵𝐸 ma równanie\n𝑦= -\n√3\n5 (𝑥-𝑎).\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃, rozwiązując układ równań {\n𝑦= -3√3 (𝑥-2\n3𝑎)\n𝑦= -\n√3\n5 (𝑥-𝑎)\n. Stąd\notrzymujemy 𝑥= 9\n14 𝑎 oraz 𝑦= -\n√3\n5 ( 9\n14 𝑎-𝑎) =\n√3\n14 𝑎, więc 𝑃= ( 9\n14 𝑎,\n√3\n14 𝑎). Zatem\n𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝐴𝐵𝐶\n1\n2 ∙|𝐷𝐵| ∙√3\n14 𝑎\n𝑎2√3\n4\n1\n2 ∙\n1\n3 𝑎∙√3\n14 𝑎\n𝑎2√3\n4\n= 1\n21\nczyli 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶 .\nTo należało wykazać.\nSposób 10.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 umieszczamy na sieci złożonej z przystających trójkątów równobocznych (jak\nna rysunku). Punkty 𝐹, 𝐺, 𝐻, 𝑅, 𝑆 to wybrane węzły sieci.\nNiech jednostką pola będzie pole jednego elementarnego trójkąta sieci.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑃\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝑅\n𝑆\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTrójkąt 𝐷𝐵𝑃 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐴𝐹 (cecha KKK), więc\n|𝐷𝑃|\n|𝐹𝐷| =\n|𝐷𝐵|\n|𝐴𝐷| = 1\n2 . Stąd\n|𝐹𝐷| = 2|𝐷𝑃|, więc |𝐷𝑃| = 1\n3 |𝑃𝐹|. Trójkąty 𝐷𝐵𝑃 oraz 𝑃𝐹𝐵 mają wspólną wysokość\nopuszczoną z wierzchołka 𝐵, więc 𝑃𝐷𝐵𝑃\n𝑃𝑃𝐹𝐵=\n|𝐷𝑃|\n|𝑃𝐹| = 1\n3 , czyli 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n3 𝑃𝑃𝐹𝐵= 1\n3 .\nPonieważ\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝑃𝑅𝑆+ 𝑃𝐴𝐵𝑆+ 𝑃𝐵𝐶𝑃+ 𝑃𝐶𝐴𝑅= 𝑃𝑃𝑅𝑆+ 1\n2 𝑃𝐴𝐹𝐵𝑆+ 1\n2 𝑃𝐵𝐺𝐶𝑃+ 1\n2 𝑃𝐴𝑅𝐶𝐻\nwięc\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1 + 1\n2 ∙4 + 1\n2 ∙4 + 1\n2 ∙4 = 7\nZatem 𝑃𝐷𝐵𝑃= 1\n21 𝑃𝐴𝐵𝐶 . To należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód (zadanie otwarte - 3 pkt)\n\nNależy wykazać, że \\(P_{\\triangle DBP} = \\dfrac{1}{21} \\cdot P_{\\triangle ABC}\\), czyli że pole trójkąta \\(DBP\\) jest 21 razy mniejsze od pola \\(ABC\\).\n\n## Sposób 1 - Wektory (algebraiczny)\n\n**Oznaczenia.** Niech \\(\\vec{b} = \\vec{AB}\\), \\(\\vec{c} = \\vec{AC}\\), \\(|AB| = 3\\). Punkt \\(A\\) traktujemy jako biegun układu.\n\n**Wyznaczamy wektory \\(\\vec{AD}\\) i \\(\\vec{AE}\\).**\n\nPonieważ \\(|BD| = \\frac{1}{3}|AB|\\), punkt \\(D\\) leży na \\(AB\\) w odległości \\(\\frac{1}{3}\\) od \\(B\\) w stronę \\(A\\):\n\\[|AD| = |AB| - |BD| = |AB| - \\tfrac{1}{3}|AB| = \\tfrac{2}{3}|AB|,\\]\n\\[\\vec{AD} = \\frac{2}{3}\\vec{b}.\\]\n\nPonieważ \\(|AE| = \\frac{1}{3}|AC|\\):\n\\[\\vec{AE} = \\frac{1}{3}\\vec{c}.\\]\n\n**Parametryzujemy proste \\(BE\\) i \\(CD\\).**\n\nProsta \\(BE\\) (od \\(B\\) do \\(E\\)):\n\\[\\vec{r}(t) = \\vec{b} + t\\left(\\tfrac{1}{3}\\vec{c} - \\vec{b}\\right) = (1-t)\\vec{b} + \\frac{t}{3}\\vec{c}.\\]\n\nProsta \\(CD\\) (od \\(C\\) do \\(D\\)):\n\\[\\vec{r}(s) = \\vec{c} + s\\left(\\tfrac{2}{3}\\vec{b} - \\vec{c}\\right) = \\frac{2s}{3}\\vec{b} + (1-s)\\vec{c}.\\]\n\n**Znajdowanie punktu przecięcia \\(P\\).** Ponieważ wektory \\(\\vec{b}\\) i \\(\\vec{c}\\) są liniowo niezależne, przyrównujemy współrzędniki:\n\\[(1-t) = \\frac{2s}{3} \\quad \\text{ (i)}\\]\n\\[\\frac{t}{3} = (1-s) \\quad \\text{ (ii)}\\]\n\nZ równania (ii): \\(t = 3(1-s) = 3-3s\\).\n\nPodstawiamy do (i):\n\\[1-(3-3s) = \\frac{2s}{3} \\implies 3s - 2 = \\frac{2s}{3} \\implies \\frac{7s}{3} = 2 \\implies s = \\frac{6}{7}.\\]\n\nZatem \\(t = 3 - \\frac{18}{7} = \\dfrac{3}{7}\\).\n\n**Wektor \\(\\vec{AP}\\):**\n\\[\\vec{AP} = \\frac{4}{7}\\vec{b} + \\frac{1}{7}\\vec{c}.\\]\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(DBP\\).** Wyznaczamy wektory z \\(B\\):\n\\[\\vec{BD} = \\vec{AD} - \\vec{AB} = \\tfrac{2}{3}\\vec{b} - \\vec{b} = -\\tfrac{1}{3}\\vec{b},\\]\n\\[\\vec{BP} = \\vec{AP} - \\vec{AB} = \\tfrac{4}{7}\\vec{b} + \\tfrac{1}{7}\\vec{c} - \\vec{b} = -\\tfrac{3}{7}\\vec{b} + \\tfrac{1}{7}\\vec{c}.\\]\n\nPole trójkąta to \\(\\frac{1}{2}|\\vec{BD} \\times \\vec{BP}|\\). Korzystamy z liniowości iloczynu wektorowego i \\(\\vec{b} \\times \\vec{b} = \\vec{0}\\):\n\n\\[\\vec{BD} \\times \\vec{BP} = \\left(-\\tfrac{1}{3}\\vec{b}\\right) \\times \\left(-\\tfrac{3}{7}\\vec{b} + \\tfrac{1}{7}\\vec{c}\\right) = \\underbrace{\\left(-\\tfrac{1}{3}\\right)\\left(-\\tfrac{3}{7}\\right)}_{\\phantom{x}}(\\vec{b} \\times \\vec{b}) + \\left(-\\tfrac{1}{3}\\right)\\left(\\tfrac{1}{7}\\right)(\\vec{b} \\times \\vec{c})\\]\n\\[= 0 - \\frac{1}{21}(\\vec{b} \\times \\vec{c}).\\]\n\nZatem:\n\\[P_{\\triangle DBP} = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{1}{21}|\\vec{b} \\times \\vec{c}|.\\]\n\nPole trójkąta \\(ABC\\):\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\tfrac{1}{2}|\\vec{b} \\times \\vec{c}|.\\]\n\n**Wniosek:**\n\\[\\boxed{\\frac{P_{\\triangle DBP}}{P_{\\triangle ABC}} = \\frac{1}{21}}\\]\n\n**Pole trójkąta \\(DBP\\) jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta \\(ABC\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (konkretne liczby)\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Niech bok \\(|AB| = 3\\). Przyjmujemy:\n\\[B = (0,0), \\quad C = (3,0), \\quad A = \\left(\\tfrac{3}{2},\\, \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\right).\\]\n\n**Wyznaczamy \\(D\\) i \\(E\\).**\n\n\\(D\\) leży na \\(AB\\), \\(|BD| = 1\\):\n\\[D = B + \\tfrac{1}{3}(A - B) = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\left(\\tfrac{3}{2},\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\right) = \\left(\\tfrac{1}{2},\\, \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right).\\]\n\n\\(E\\) leży na \\(AC\\), \\(|AE| = 1\\):\n\\[E = A + \\tfrac{1}{3}(C - A) = \\left(\\tfrac{3}{2},\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\right) + \\tfrac{1}{3}\\left(\\tfrac{3}{2},\\,-\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\right) = \\left(2,\\,\\sqrt{3}\\right).\\]\n\n**Parametryzujemy proste i szukamy punktu \\(P\\).**\n\nProsta \\(BE\\): \\((2t,\\; t\\sqrt{3})\\) dla \\(t \\in \\mathbb{R}\\).\n\nProsta \\(CD\\): \\(\\left(3 - \\tfrac{5}{2}s,\\; \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}s\\right)\\) dla \\(s \\in \\mathbb{R}\\).\n\nWarunek przecięcia:\n\\[t\\sqrt{3} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}s \\implies t = \\tfrac{s}{2},\\]\n\\[2t = 3 - \\tfrac{5s}{2} \\implies s = 3 - \\tfrac{5s}{2} \\implies \\tfrac{7s}{2} = 3 \\implies s = \\tfrac{6}{7},\\quad t = \\tfrac{3}{7}.\\]\n\nStąd:\n\\[P = \\left(\\tfrac{6}{7},\\; \\tfrac{3\\sqrt{3}}{7}\\right).\\]\n\n**Pole trójkąta \\(DBP\\)** wzorem ze współrzędnych:\n\n\\[P_{\\triangle DBP} = \\tfrac{1}{2}\\left|x_D(y_B - y_P) + x_B(y_P - y_D) + x_P(y_D - y_B)\\right|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}\\left|\\tfrac{1}{2}\\cdot\\left(0 - \\tfrac{3\\sqrt{3}}{7}\\right) + 0 + \\tfrac{6}{7}\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right|\\]\n\\[= \\tfrac{1}{2}\\left|-\\tfrac{3\\sqrt{3}}{14} + \\tfrac{6\\sqrt{3}}{14}\\right| = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{14} = \\frac{3\\sqrt{3}}{28}.\\]\n\n**Pole trójkąta równobocznego \\(ABC\\)** o boku 3:\n\\[P_{\\triangle ABC} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{4}\\cdot 9 = \\frac{9\\sqrt{3}}{4}.\\]\n\n**Stosunek pól:**\n\\[\\frac{P_{\\triangle ABC}}{P_{\\triangle DBP}} = \\frac{9\\sqrt{3}/4}{3\\sqrt{3}/28} = \\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\cdot\\frac{28}{3\\sqrt{3}} = \\frac{9\\cdot 28}{4\\cdot 3} = \\frac{252}{12} = 21.\\]\n\n**Pole trójkąta \\(ABC\\) jest dokładnie 21-krotnie większe od pola trójkąta \\(DBP\\). \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta ze wzoru na iloczyn wektorowy (przez wyznacznik):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do obliczenia pola \\(DBP\\).\n\nDział 10 (s. 15) - wzór na pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do obliczenia pola \\(ABC\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo łatwo pomylić, gdzie leży \\(D\\). \\(|BD| = \\frac{1}{3}|AB|\\) oznacza, że \\(D\\) jest **blisko \\(B\\)**, a nie blisko \\(A\\)! Zły rysunek = zły układ współrzędnych = błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P\\) **nie dzieli** odcinków \\(BE\\) ani \\(CD\\) w stosunku \\(1:1\\). Studenci często zakładają, że \\(P\\) jest środkiem - to błąd. \\(P\\) dzieli \\(BE\\) w stosunku \\(BP:PE = \\frac{3}{7}:\\frac{4}{7} = 3:4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu chodzi o **wykazanie** (dowód), a nie samo policzenie. Każdy krok musi być uzasadniony - samo podanie wyniku \\(\\frac{1}{21}\\) bez wywodu nie da pełnych punktów na maturze.\n\n### Sposob 1 (przystawanie + twierdzenie cosinusow + skala podobienstwa)\nTrojkaty \\(ABE\\) i \\(BCD\\) sa przystajace (cecha BKB): \\(|AB| = |BC|\\), \\(|\\angle BAE| = |\\angle CBD| = 60^{\\circ}\\), \\(|AE| = |BD| = \\tfrac{1}{3}|AB|\\). Stad \\(|\\angle ABE| = |\\angle BCD|\\) oraz \\(|\\angle AEB| = |\\angle BDC|\\).\n\nTrojkat \\(DBP\\) jest podobny do trojkata \\(DCB\\) (cecha KKK), bo \\(|\\angle BDP|\\) wspolny i \\(|\\angle DBP| = |\\angle DCB|\\). Skala \\(s = \\dfrac{|BD|}{|CD|}\\).\n\nNiech \\(|DB| = a\\), wtedy \\(|BC| = 3a\\). Z tw. cosinusow w \\(DBC\\):\n\\[|CD|^{2} = a^{2} + 9a^{2} - 2 \\cdot a \\cdot 3a \\cdot \\cos 60^{\\circ} = 10a^{2} - 3a^{2} = 7a^{2} \\Rightarrow |CD| = a\\sqrt{7}.\\]\n\nZatem \\(s = \\dfrac{a}{a\\sqrt{7}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{7}}\\).\n\nPole \\(DBC\\) jest trzecia czescia pola \\(ABC\\) (wspolna wysokosc z \\(C\\), \\(|DB| = \\tfrac{1}{3}|AB|\\)):\n\\[P_{DBC} = \\tfrac{1}{3}P_{ABC}.\\]\n\nZ podobienstwa \\(P_{DBP} = s^{2} \\cdot P_{DBC} = \\tfrac{1}{7} \\cdot \\tfrac{1}{3}P_{ABC} = \\tfrac{1}{21}P_{ABC}\\). CBDU.\n\n### Sposob 2 (uklad wspolrzednych)\n\\(A = (0,0)\\), \\(B = (a,0)\\), \\(C = (\\tfrac{a}{2}, \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2})\\). Wtedy \\(D = (\\tfrac{2a}{3}, 0)\\), \\(E = (\\tfrac{a}{6}, \\tfrac{a\\sqrt{3}}{6})\\).\n\nWspolczynniki kierunkowe: \\(a_{CD} = -3\\sqrt{3}\\), \\(a_{BE} = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{5}\\). Rozwiazanie ukladu daje \\(P = (\\tfrac{9a}{14}, \\tfrac{\\sqrt{3}}{14}a)\\).\n\n\\[P_{DBP} = \\tfrac{1}{2} \\cdot |DB| \\cdot y_{P} = \\tfrac{1}{2} \\cdot \\tfrac{a}{3} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}a}{14} = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{84}.\\]\n\\(P_{ABC} = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\). Iloraz: \\(\\dfrac{P_{DBP}}{P_{ABC}} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}/84}{a^{2}\\sqrt{3}/4} = \\dfrac{1}{21}\\). CBDU.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: stwierdzi przystawanie ABE, BCD lub podobienstwo DBP~DCB, lub wyznaczy \\(|CD| = a\\sqrt{7}\\), lub umiesci w ukladzie wspolrzednych.\n- 2 pkt: obliczy skale \\(s = 1/\\sqrt{7}\\) lub ulozy uklad rownan albo wyznaczy \\(y_{P} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{14}a\\).\n- 3 pkt: pelne rozumowanie.\n\n**Trik:** Kluczowa obserwacja: \\(P_{DBC} = \\tfrac{1}{3}P_{ABC}\\) (wspolna wysokosc), a podobienstwo DBP~DCB w skali \\(1/\\sqrt{7}\\) daje \\(1/7\\). W sumie \\(1/21\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR10.2) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: |Ω| = 9000\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐵, zawierającego wszystkie\nliczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez 18 (np. poprzez wykorzystanie\nwłasności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych)\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐴∩𝐵 (np. poprzez\nwykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb\ncałkowitych)\nALBO\n\nzapisze, że jeżeli 𝐴 jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu liczby podzielnej\nprzez 15, to iloczyn zdarzeń 𝐴∩𝐵 oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez 90\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵: |𝐵| = 500\nALBO\n\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = 100\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵 oraz obliczy liczbę\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴∩𝐵: |𝐵| = 500, |𝐴∩𝐵| = 100\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy szukane prawdopodobieństwo warunkowe:\n𝑃(𝐴|𝐵) = 18\n90 = 1\n5 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie, rozpatrując wszystkie liczby naturalne spełniające warunek\n1 ≤𝑥≤9999, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający, wyznaczając, ile jest liczb podzielnych przez 18 lub 15, rozważa, że są one\nmniejsze niż 9000, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Ignorujemy zapis 𝑃(𝐴|𝐵) =\n|𝐴∪𝐵|\n|𝐵| , jeżeli z rozwiązania zdającego jednoznacznie wynika,\nże zliczał wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające iloczynowi tych zdarzeń.\n4. Jeżeli w sposobie zliczania elementów zbioru |𝐵| (lub |𝐴∩𝐵|) opartym na kolejnych\nwyrazach ciągu arytmetycznego zdający poprawnie ustala pierwszy i ostatni wyraz ciągu\noraz różnicę tego ciągu, to przyjmujemy ten sposób zliczania jest poprawny. Jeżeli\nnatomiast błędnie ustali pierwszy lub ostatni wyraz ciągu, lub różnicę tego ciągu, to sposób\nuznajemy za niepoprawny. Jeżeli zdający podzieli zbiór wszystkich liczb całkowitych\nczterocyfrowych na rozłączne niepuste podzbiory i zlicza liczby podzielne przez 18 (lub 90)\nw każdym z tych podzbiorów, to ten sposób uznajemy za poprawny tylko wtedy, gdy popełni\nbłąd w zliczaniu co najwyżej w jednym z tych podzbiorów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15.\nNiech 𝐵 oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18.\nW zadaniu mamy obliczyć prawdopodobieństwo 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵) .\nZbiór liczb naturalnych czterocyfrowych zawiera 9000 elementów, zatem |Ω| = 9000.\nDo zbioru 𝐵 należą liczby: 1008, 1026, 1044, …, 1008 + (𝑛-1) ⋅18 (gdzie\n1008 + (𝑛-1) ⋅18 ≤9999, a liczba naturalna 𝑛 jest liczbą elementów zbioru 𝐵).\nPonieważ\n𝑛≤9999 -1008\n18\n+ 1 = 500,5\nwięc 𝑛= 500.\nZatem\n𝑃(𝐵) = 500\n9000 = 5\n90 = 1\n18 .\nZdarzenie 𝐴∩𝐵 zachodzi tylko wtedy, gdy wylosowana liczba jest jednocześnie podzielna\nprzez 15 i przez 18, czyli przez 90.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDo zbioru 𝐴∩𝐵 należą zatem liczby: 1080, 1170, 1260, …, 1080 + (𝑚-1) ⋅90 (gdzie\n1080 + (𝑚-1) ⋅90 ≤9999, a liczba naturalna 𝑚 jest liczbą elementów zbioru 𝐴∩𝐵).\nPonieważ\n𝑚≤9999 -1080\n90\n+ 1 = 100,1\nwięc 𝑚= 100.\nZatem\n𝑃(𝐴∩𝐵) = 100\n9000 = 1\n90 .\nZ definicji prawdopodobieństwa warunkowego otrzymujemy\n𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n1\n90\n1\n18\n= 18\n90 = 1\n5 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa warunkowego (zliczanie)\n\n**Ustalamy przestrzeń i zdarzenia:**\n\nZbiór wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych to \\(\\{1000, 1001, \\ldots, 9999\\}\\), czyli \\(|\\Omega| = 9000\\) liczb.\n\nOznaczamy:\n- zdarzenie \\(B\\) - wylosowana liczba jest podzielna przez \\(18\\),\n- zdarzenie \\(A\\) - wylosowana liczba jest podzielna przez \\(15\\).\n\nSzukamy \\(P(A|B)\\), czyli prawdopodobieństwa warunkowego.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(|B|\\) - liczby czterocyfrowe podzielne przez 18.**\n\n\\[1000 \\div 18 = 55{,}5\\overline{5} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{najmniejsza: } 56 \\cdot 18 = 1008\\]\n\\[9999 \\div 18 = 555{,}5 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{największa: } 555 \\cdot 18 = 9990\\]\n\n\\[|B| = 555 - 56 + 1 = 500\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(|A \\cap B|\\) - liczby czterocyfrowe podzielne przez 15 i przez 18.**\n\nPodzielność przez obie liczby jednocześnie oznacza podzielność przez ich **NWW**.\n\n\\[15 = 3 \\cdot 5, \\quad 18 = 2 \\cdot 3^2\\]\n\\[\\operatorname{NWW}(15, 18) = 2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 = 90\\]\n\nSzukamy liczb czterocyfrowych podzielnych przez \\(90\\):\n\n\\[1000 \\div 90 = 11{,}1\\overline{1} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{najmniejsza: } 12 \\cdot 90 = 1080\\]\n\\[9999 \\div 90 = 111{,}1 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{największa: } 111 \\cdot 90 = 9990\\]\n\n\\[|A \\cap B| = 111 - 12 + 1 = 100\\]\n\n**Krok 3: Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe.**\n\n\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\frac{|A \\cap B|}{|B|} = \\frac{100}{500} = \\boxed{\\frac{1}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraiczny (bez zliczania)\n\n**Kluczowa obserwacja:** każdą liczbę podzielną przez \\(18\\) możemy zapisać jako \\(18k\\), gdzie \\(k\\) jest liczbą naturalną.\n\nPytamy: kiedy \\(18k\\) jest podzielne przez \\(15\\)?\n\n\\[15 = 3 \\cdot 5, \\quad 18k = 2 \\cdot 3^2 \\cdot k\\]\n\nLiczba \\(18k\\) jest już podzielna przez \\(3\\) (bo \\(18 = 2 \\cdot 3^2\\)). Brakuje tylko podzielności przez \\(5\\).\n\n**Warunek:** \\(18k\\) podzielne przez \\(15\\) \\(\\iff\\) \\(k\\) podzielne przez \\(5\\).\n\nWśród kolejnych wartości \\(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \\ldots\\) dokładnie co piąta jest podzielna przez \\(5\\), zatem:\n\n\\[P(A|B) = \\frac{1}{5}\\]\n\nNie potrzebujemy nawet wiedzieć, że chodzi o liczby czterocyfrowe - wynik wynika ze struktury podzielności!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo warunkowe:\n\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, gdzie \\(P(A \\cap B) = \\frac{100}{9000}\\) i \\(P(B) = \\frac{500}{9000}\\).\n\n**Dział 14 - prawdopodobieństwo klasyczne:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nPosłużyło do wyznaczenia obu prawdopodobieństw przez zliczanie sprzyjających przypadków.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów liczy NWW błędnie, mnożąc \\(15 \\cdot 18 = 270\\) zamiast wyznaczać \\(\\operatorname{NWW}(15, 18) = 90\\). Pamiętaj: \\(\\operatorname{NWW}(a,b) = \\frac{a \\cdot b}{\\operatorname{NWD}(a,b)}\\), a \\(\\operatorname{NWD}(15, 18) = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o prawdopodobieństwo **warunkowe** - warunkiem jest podzielność przez 18. Nie dzielimy więc przez \\(9000\\), lecz przez \\(500\\) (liczność zdarzenia warunkującego).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu wielokrotności w przedziale \\(\\langle 1000, 9999 \\rangle\\) stosuj wzór: liczba wielokrotności \\(d\\) = \\(\\lfloor 9999 / d \\rfloor - \\lfloor 999 / d \\rfloor\\). Tutaj: \\(\\lfloor 9999/18 \\rfloor - \\lfloor 999/18 \\rfloor = 555 - 55 = 500\\). To szybsza droga niż szukanie pierwszej i ostatniej wielokrotności.\n\n### Sposob 1 (prawdopodobienstwo warunkowe przez ciagi arytmetyczne)\nNiech \\(A\\): liczba podzielna przez 15, \\(B\\): liczba podzielna przez 18. Szukamy \\(P(A|B) = \\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\) (karta wzorow).\n\nZbior wszystkich czterocyfrowych liczb: \\(|\\Omega| = 9000\\) (od 1000 do 9999).\n\n**Moc B (podzielne przez 18)**: najmniejsza \\(\\geq 1000\\) to \\(1008 = 56 \\cdot 18\\), najwieksza \\(\\leq 9999\\) to \\(9990 = 555 \\cdot 18\\). Liczba wyrazow ciagu arytmetycznego: \\(n = \\dfrac{9990 - 1008}{18} + 1 = 500\\).\n\n**Moc A∩B**: liczba podzielna jednoczesnie przez 15 i 18, czyli przez NWW(15,18) = 90. Najmniejsza \\(\\geq 1000\\): \\(1080 = 12 \\cdot 90\\), najwieksza \\(\\leq 9999\\): \\(9990 = 111 \\cdot 90\\). Liczba wyrazow: \\(m = \\dfrac{9990 - 1080}{90} + 1 = 100\\).\n\n\\[P(B) = \\dfrac{500}{9000} = \\dfrac{1}{18}, \\quad P(A \\cap B) = \\dfrac{100}{9000} = \\dfrac{1}{90}.\\]\n\n\\[P(A|B) = \\dfrac{1/90}{1/18} = \\dfrac{18}{90} = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n### Sposob 2 (bezposrednio na zbiorze B)\nW zbiorze B jest 500 liczb. Sprawdzamy, ile z nich jest podzielnych przez 5 (bo liczba podzielna przez 18 i 15 rowna z 18 i 5, gdyz 3 juz zapewnia 18). Co 5-ty wyraz ciagu 1008, 1026, 9990 (roznica 18) jest podzielny przez 5 - dokladnie \\(500/5 = 100\\) wyrazow.\n\n\\(P(A|B) = \\dfrac{100}{500} = \\dfrac{1}{5}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: \\(|\\Omega| = 9000\\) lub poprawnie zastosuje metode zliczania B lub A∩B albo stwierdzi NWW(15,18) = 90.\n- 2 pkt: obliczy \\(|B| = 500\\) lub \\(|A \\cap B| = 100\\).\n- 3 pkt: obliczy oba zbiory.\n- 4 pkt: obliczy \\(P(A|B) = \\tfrac{1}{5}\\).\n\nUwaga: jesli zdajacy rozpatruje \\(1 \\leq x \\leq 9999\\) zamiast 4-cyfrowych, max 2 pkt.\n\n**Trik:** \\(P(A|B) = \\dfrac{|A \\cap B|}{|B|}\\) - mozna policzyc bez \\(|\\Omega|\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nProsta przechodząca przez punkty 𝐴= (8, -6) i 𝐵= (5, 15) jest styczna do okręgu\no środku w punkcie 𝑂= (0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego\nokręgu z prostą 𝐴𝐵.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Prosta przechodząca przez punkty A=(8,-6) i B=(5,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0,0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nP8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\nR8.1) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵, np.: 𝑦= -7𝑥+ 50\nALBO\n\nobliczy długość odcinka 𝐴𝐵 oraz pole trójkąta 𝐴𝑂𝐵: |𝐴𝐵| = 15√2, 𝑃Δ𝐴𝑂𝐵= 75\nALBO\n\nwyznaczy równanie prostej prostopadłej do 𝐴𝐵: 𝑦= 1\n7 𝑥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze układ równań złożony z równań dwóch prostych: { 𝑦= 1\n7 𝑥\n𝑦= -7𝑥+ 50\nALBO\n\nobliczy promień okręgu, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej lub\nobliczając wysokość trójkąta 𝐴𝑂𝐵: 𝑟= 5√2\nALBO\n\nzapisze, że punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu ma współrzędne 𝑃= (𝑥0, 𝑓(𝑥0))\ni 𝑓′(𝑥0) = -7, gdzie 𝑓(𝑥) = √50 -𝑥2 i 50 -𝑥2 > 0\nALBO\n\nzapisze odległość 𝑔 (lub kwadrat odległości) punktu (0, 0) od dowolnego punktu\nprostej 𝐴𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2\nALBO\n\nwyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 oraz poda współrzędne wektora prostopadłego do\nprostej 𝐴𝐵\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu\nstyczności, np.: 1\n7 𝑥= -7𝑥+ 50 lub 𝑥2 + (1\n7 𝑥 )\n2\n= 50, lub 𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2 = 50, lub\n-2𝑥\n2√50-𝑥2\n= -7, lub √(𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2) =\n|7⋅0+0-50|\n√72+12\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy promień okręgu oraz współrzędne punktu styczności\nprostej 𝐴𝐵 do okręgu: 𝑟= 5√2, 𝑃= (7, 1).\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem zdającego, który jednak nie\nułatwia zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:\na) zastosowaniu nieistniejącego wzoru √𝑎2 ± 𝑏2 = 𝑎± 𝑏 lub (𝑎± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 𝑏2\nb) niepoprawnym użyciu współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵 przy wyznaczaniu równania prostej 𝐴𝐵\nc) niepoprawnym zastosowaniu wzoru na odległość punktu od prostej lub na odległość\ndwóch punktów, lub wzoru na pole trójkąta, lub równania okręgu\nd) niepoprawnym wyznaczeniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej\nprostej\ne) wyznaczeniu jednej z niewiadomych z równania 𝑥2 + 𝑦2 = 50 bez koniecznych założeń\nto zdający otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 i obliczy promień okręgu stycznego do\nprostej 𝐴𝐵, a następnie poda (bez obliczeń) współrzędne punktu styczności, to otrzymuje:\n- 3 punkty za całe rozwiązanie, jeśli nie sprawdzi rachunkiem, że punkt 𝑃= (7, 1) należy\ndo prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu)\n- 4 punkty za całe rozwiązanie, jeśli sprawdzi, wykonując stosowne obliczenia, że punkt\n𝑃= (7, 1) należy do prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu).\n3. Jeżeli zdający odczyta z rysunku współrzędne punktu styczności 𝑃= (7,1) (bez obliczeń)\ni obliczy długość promienia, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie\nsporządzi rysunku i poda bez stosownych obliczeń współrzędne punktu styczności\n𝑃= (7,1) i obliczy długość promienia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵.\nNiech 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 będzie równaniem kierunkowym prostej 𝐴𝐵.\nPunkty 𝐴 i 𝐵 leżą na tej prostej, więc:\n-6 = 8𝑎+ 𝑏 i 15 = 5𝑎+ 𝑏\nStąd 𝑎= -7 i 𝑏= 50.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu.\nProsta 𝑂𝑃 przechodzi przez punkt 𝑂= (0, 0) i jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc ma\nrównanie: 𝑦= 1\n7 𝑥.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n{ 𝑦= 1\n7 𝑥\n𝑦= -7𝑥+ 50\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 2. Przez układ z okręgiem (1)\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nRównanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n{𝑦= -7𝑥+ 50\n𝑥2 + 𝑦2 = 50\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 3. Przez układ z okręgiem (2)\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nRównanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nProsta 𝑂𝑃 przechodzi przez punkt 𝑂= (0, 0) i jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc ma\nrównanie: 𝑦= 1\n7 𝑥.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n{𝑦= 1\n7 𝑥\n𝑥2 + 𝑦2 = 50\nRozwiązaniami tego układu są pary liczb: {𝑥= 7\n𝑦= 1 oraz {𝑥= -7\n𝑦= -1 . Ponieważ punkt\no współrzędnych (-7, -1) nie należy do prostej o równaniu 𝑦= -7𝑥+ 50, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 4.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= -7𝑥+ 50 (np. jak w sposobie 1.).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = √(8 -5)2 + (-6 -15)2 = √9 + 441 = √450 = 15√2\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝑂:\n𝑃= 1\n2 |(5 -8)(0 + 6) -(15 + 6)(0 -8)| = 1\n2 |-18 + 168| = 1\n2 ∙150 = 75\nPromień okręgu jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną na bok 𝐴𝐵, więc\n𝑟= 2 ∙𝑃\n|𝐴𝐵| = 2 ∙75\n15√2\n= 150\n15√2\n= 10\n√2\n= 5√2\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{𝑦= -7𝑥+ 50\n𝑥2 + 𝑦2 = 50\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 5. Punkt styczności przez pochodną\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nRównanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50. Punkt 𝑃 leży\nw I ćwiartce układu współrzędnych (ponieważ prosta 𝐴𝐵 przechodzi przez I, II i IV ćwiartkę\nukładu współrzędnych), więc punkt 𝑃 należy do wykresu funkcji 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = √50 -𝑥2 , gdzie 50 -𝑥2 > 0. Zatem 𝑃= (𝑥0, 𝑓(𝑥0)), przy pewnym 𝑥0 takim, że\n50 -𝑥0\n2 > 0 oraz 𝑓′(𝑥0) = -7.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n𝑓′(𝑥) =\n-2𝑥\n2√50 -𝑥2\n-7 =\n-𝑥\n√50 -𝑥2 i 50 -𝑥2 > 0\nStąd otrzymujemy 𝑥= 7. Zatem 𝑃= (7, 𝑓(7)) = (7, 1).\nSposób 6.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu.\nWektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ jest wektorem prostopadłym do prostej 𝐴𝐵, więc jest postaci [7𝑡, 𝑡], przy pewnym\n𝑡≠0. Zatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (7𝑡, 𝑡).\nPunkt 𝑃 należy do prostej 𝐴𝐵, więc 7 ⋅7𝑡+ 𝑡-50 = 0. Stąd 𝑡= 1 i 𝑃= (7, 1). Promień\nokręgu jest zatem równy 𝑟= |𝑂𝑃| = √72 + 12 = 5√2.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = 5\\sqrt{2}\\), punkt styczności \\(P = (7, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Odległość punktu od prostej\n\n### Krok 1: Wyznacz równanie prostej AB\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{15 - (-6)}{5 - 8} = \\frac{21}{-3} = -7\\]\n\nRównanie prostej przez \\(A = (8, -6)\\):\n\\[y - (-6) = -7(x - 8)\\]\n\\[y + 6 = -7x + 56\\]\n\\[7x + y - 50 = 0\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(B = (5, 15)\\): \\(7 \\cdot 5 + 15 - 50 = 35 + 15 - 50 = 0\\) ✓\n\n### Krok 2: Oblicz promień jako odległość O od prostej\n\nProsta jest styczna do okręgu, więc odległość środka \\(O = (0, 0)\\) od prostej **równa się promieniowi**:\n\\[r = d(O, AB) = \\frac{|A \\cdot x_0 + B \\cdot y_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} = \\frac{|7 \\cdot 0 + 1 \\cdot 0 - 50|}{\\sqrt{7^2 + 1^2}}\\]\n\\[r = \\frac{50}{\\sqrt{50}} = \\frac{50}{5\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = \\frac{10\\sqrt{2}}{2} = \\boxed{5\\sqrt{2}}\\]\n\n### Krok 3: Wyznacz punkt styczności - rzut prostokątny O na prostą AB\n\nPunkt styczności \\(P\\) to **stopa prostopadłej** opuszczonej z \\(O\\) na prostą \\(AB\\).\n\nWektor normalny do prostej \\(7x + y - 50 = 0\\) ma kierunek \\((7, 1)\\). Prosta prostopadła przez \\(O\\) ma zatem postać parametryczną:\n\\[\\begin{cases} x = 7t \\\\ y = t \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy do równania prostej \\(AB\\):\n\\[7(7t) + t - 50 = 0\\]\n\\[49t + t = 50\\]\n\\[50t = 50 \\implies t = 1\\]\n\nStąd:\n\\[\\boxed{P = (7 \\cdot 1,\\ 1) = (7, 1)}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(|OP| = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Warunek prostopadłości OP ⊥ AB\n\nZamiast wzoru na odległość, szukamy punktu \\(P\\) **wprost** korzystając z warunku prostopadłości.\n\n### Krok 1: Parametryzacja prostej AB\n\nWektor kierunkowy \\(AB\\):\n\\[\\vec{AB} = [5 - 8,\\ 15 - (-6)] = [-3,\\ 21]\\]\n\nPunkt na prostej: \\(P = A + s \\cdot \\vec{AB} = (8 - 3s,\\ -6 + 21s)\\)\n\n### Krok 2: Warunek \\(OP \\perp AB\\)\n\nWektor \\(\\vec{OP} = (8 - 3s,\\ -6 + 21s)\\). Prostopadłość:\n\\[\\vec{OP} \\cdot \\vec{AB} = 0\\]\n\\[(8 - 3s) \\cdot (-3) + (-6 + 21s) \\cdot 21 = 0\\]\n\\[-24 + 9s - 126 + 441s = 0\\]\n\\[450s = 150 \\implies s = \\frac{1}{3}\\]\n\n### Krok 3: Oblicz współrzędne P i promień\n\n\\[P = \\left(8 - 3 \\cdot \\frac{1}{3},\\ -6 + 21 \\cdot \\frac{1}{3}\\right) = (8 - 1,\\ -6 + 7) = \\boxed{(7, 1)}\\]\n\n\\[r = |OP| = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{50} = \\boxed{5\\sqrt{2}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n**1) Odległość punktu od prostej** (użyta w Sposobie 1):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nŚrodek \\(O = (0,0)\\) do prostej \\(7x + y - 50 = 0\\): kluczowy wzór do wyznaczenia promienia.\n\n**2) Długość odcinka / wektora** (użyta w Sposobie 2 do weryfikacji):\n\\[|OP| = \\sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2} = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{50}\\]\n\n**3) Równanie kierunkowe prostej** (wyznaczanie równania AB):\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta styczna do okręgu jest **prostopadła do promienia** w punkcie styczności - to kluczowa własność. Bez niej nie można znaleźć ani \\(r\\), ani \\(P\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt{50}\\) łatwo zostawić wynik w tej postaci. Pamiętaj upraszczać: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\). Egzaminatorzy oczekują uproszczonej formy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze na odległość punktu od prostej \\(\\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\) musisz mieć prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Często uczniowie podstawiają do postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) - to błąd, bo wzór nie zadziała.\n\n### Sposob 1 (odleglosc punktu od prostej + prosta prostopadla)\nWyznaczamy rownanie prostej AB. Z \\(y = ax + b\\): \\(-6 = 8a + b\\), \\(15 = 5a + b\\). Odejmowanie: \\(-21 = 3a \\Rightarrow a = -7\\), \\(b = 50\\). Rownanie ogolne: \\(7x + y - 50 = 0\\).\n\n**Promien**: \\(r = d(O, AB) = \\dfrac{|7 \\cdot 0 + 0 - 50|}{\\sqrt{49 + 1}} = \\dfrac{50}{\\sqrt{50}} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) (karta wzorow: odleglosc punktu od prostej).\n\n**Punkt stycznosci P**: lezy na prostej OP, ktora jest prostopadla do AB i przechodzi przez O. Wspolczynnik kierunkowy prostej prostopadlej: \\(-\\tfrac{1}{-7} = \\tfrac{1}{7}\\). Rownanie: \\(y = \\tfrac{1}{7}x\\).\n\nUklad: \\(\\begin{cases} y = \\tfrac{1}{7}x \\\\ y = -7x + 50 \\end{cases}\\). Z tego \\(\\tfrac{1}{7}x = -7x + 50 \\Rightarrow x + 49x = 350 \\Rightarrow 50x = 350 \\Rightarrow x = 7\\), \\(y = 1\\).\n\n\\(P = (7, 1)\\), \\(r = 5\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposob 2 (pole trojkata AOB)\n\\(|AB| = \\sqrt{(8-5)^{2} + (-6-15)^{2}} = \\sqrt{9 + 441} = \\sqrt{450} = 15\\sqrt{2}\\).\n\nPole \\(AOB\\): \\(P = \\tfrac{1}{2}|x_{A}y_{B} - x_{B}y_{A}| = \\tfrac{1}{2}|8 \\cdot 15 - 5 \\cdot (-6)| = \\tfrac{1}{2}|120 + 30| = 75\\).\n\nPromien jest wysokoscia na bok \\(AB\\): \\(r = \\dfrac{2P}{|AB|} = \\dfrac{150}{15\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\\).\n\nPunkt stycznosci jak w Sposobie 1: \\(P = (7, 1)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: rownanie prostej AB \\(y = -7x + 50\\) lub \\(|AB| = 15\\sqrt{2}\\) i \\(P_{AOB} = 75\\), lub prosta prostopadla \\(y = \\tfrac{1}{7}x\\).\n- 2 pkt: uklad rownan lub promien \\(r = 5\\sqrt{2}\\).\n- 3 pkt: rownanie z jedna niewiadoma prowadzace do P.\n- 4 pkt: pelne rozwiazanie \\(r = 5\\sqrt{2}, P = (7,1)\\).\n\n**Trik:** Punkt stycznosci to przeciecie AB z prosta prostopadla przez srodek - najszybsza droga.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których trójmian kwadratowy\n4𝑥ଶ-2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚\nma dwa różne pierwiastki rzeczywiste 𝑥ଵ oraz 𝑥ଶ, spełniające warunki:\n𝑥ଵ≠0,\n𝑥ଶ≠0 oraz 𝑥ଵ+ 𝑥ଶ≤1\n𝑥ଵ\n+ 1\n𝑥ଶ\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian kwadratowy 4x^2 - 2(m+1)x + m ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1 ≠ 0, x_2 ≠ 0 oraz x_1 + x_2 ≤ 1 / x_1 + 1 / x_2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.1) stosuje wzory Viète’a;\nR3.2) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem;\nR3.7) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\nRozwiązanie składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0: 𝑚≠1.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwaga do pierwszego etapu:\nJeżeli zdający rozwiązuje nierówność Δ ≥0, to za pierwszy etap otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na rozwiązaniu nierówności 𝑥1 + 𝑥2 ≤1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 .\nZa poprawne rozwiązanie drugiego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy:\n\nprzekształci nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 do postaci 𝑥1 + 𝑥2 ≤𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 lub\n(𝑥1 + 𝑥2) ⋅(𝑥1𝑥2)2 ≤(𝑥1 + 𝑥2)𝑥1𝑥2\nALBO\n\nwyznaczy pierwiastki trójmianu 4𝑥2 -2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1\n2 , 𝑥2 = 𝑚\n2.\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy zapisze nierówność z jedną niewiadomą 𝑚:\n2(𝑚+ 1)\n4\n≤\n2(𝑚+1)\n4\n𝑚\n4\nlub 1\n2 + 𝑚\n2 ≤2 + 2\n𝑚 lub 2(𝑚+ 1)\n4\n⋅(𝑚\n4 )\n2\n≤2(𝑚+ 1)\n4\n⋅𝑚\n4\n3 punkty zdający otrzymuje, gdy rozwiąże nierówność 2(𝑚+1)\n4\n≤\n2(𝑚+1)\n4𝑚\n4\n:\n𝑚∈(-∞, -1⟩∪(0, 4⟩.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi do drugiego etapu:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność 2(𝑚+1)\n4\n≤\n2(𝑚+1)\n4𝑚\n4\n, nie uwzględni warunku 𝑚≠0,\nto za drugi etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający:\n\nmnoży nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 stronami przez iloczyn 𝑥1 ⋅𝑥2 bez\nrozpatrzenia znaku tego iloczynu\nALBO\n\ndzieli nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤𝑥1+ 𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 stronami przez sumę 𝑥1 + 𝑥2 bez rozpatrzenia\nznaku tej sumy\nto za drugi etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu szukanych wartości parametru 𝑚:\n𝑚∈(-∞, -1⟩∪(0, 1) ∪(1, 4⟩.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi do trzeciego etapu:\n1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe w etapach I i II (nie otrzymując pustego zbioru\nrozwiązań ani zbioru ℝ wszystkich liczb rzeczywistych), lecz konsekwentnie wyznaczy\niloczyn w etapie III, to za III etap otrzymuje 1 punkt.\n2. Zdający może otrzymać 1 punkt za III etap, jeżeli jedynymi błędami jakie popełni w I i II\netapie są błędy rachunkowe.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian 4𝑥2 -2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy,\ngdy jego wyróżnik jest dodatni, czyli\nΔ = [-2(𝑚+ 1)]2 -4 ⋅4 ⋅𝑚> 0\ni równoważnie dalej\n4𝑚2 -8𝑚+ 4 > 0\n4(𝑚-1)2 > 0\n𝑚≠1\nII etap\nWarunek 𝑥1 + 𝑥2 ≤1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 ma sens liczbowy tylko wtedy, gdy żaden z pierwiastków\ntrójmianu 4𝑥2 -2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 nie jest równy 0, czyli gdy 𝑥1𝑥2 ≠0. Ze wzoru Viète’a\notrzymujemy 𝑚\n4 ≠0, czyli 𝑚≠0.\nNierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 zapisujemy w postaci równoważnej 𝑥1 + 𝑥2 ≤𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2\ni po\nzastosowaniu wzorów Viète’a otrzymujemy\n2(𝑚+ 1)\n4\n≤\n2(𝑚+1)\n4\n𝑚\n4\ni równoważnie dalej\n(𝑚+ 1)\n2\n≤2(𝑚+ 1)\n𝑚\n2(𝑚+ 1)\n𝑚\n-𝑚+ 1\n2\n≥0\n4(𝑚+ 1) -𝑚(𝑚+ 1)\n2𝑚\n≥0\n2𝑚(𝑚+ 1)(4 -𝑚) ≥0 i 𝑚≠0\nStąd 𝑚∈(-∞, -1⟩∪(0, 4⟩.\nIII etap\nWyznaczamy część wspólną zbiorów rozwiązań nierówności otrzymanych w I i II etapie\nrozwiązania: 𝑚∈(-∞, -1⟩∪(0, 1) ∪(1, 4⟩.\nUwaga:\nZamiast korzystać ze wzorów Viète’a, możemy wzór trójmianu 4𝑥2 -2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚\nzapisać w postaci równoważnej:\n4𝑥2 -2𝑚𝑥-2𝑥+ 𝑚= 2𝑥(2𝑥-𝑚) -(2𝑥-𝑚) = (2𝑥-1)(2𝑥-𝑚)\nStąd wynika, że pierwiastkami tego trójmianu są liczby 𝑥1 = 1\n2 oraz 𝑥2 = 𝑚\n2 dla każdej\nwartości parametru 𝑚. Pierwiastki są różne wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑚≠1.\nPierwiastki te można też wyznaczyć, korzystając ze wzorów na pierwiastki trójmianu\nkwadratowego. Ponieważ wyróżnik Δ trójmianu 4𝑥2 -2(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 jest kwadratem\nwyrażenia 2(𝑚-1), więc\n𝑥1 = 2(𝑚+ 1) -2(𝑚-1)\n2 ⋅4\n= 1\n2\n𝑥2 = 2(𝑚+ 1) + 2(𝑚-1)\n2 ⋅4\n= 𝑚\n2\nWtedy nierówność 𝑥1 + 𝑥2 ≤1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 przyjmie postać 1\n2 + 𝑚\n2 ≤2 + 2\n𝑚\nNierówność ta ma sens liczbowy tylko dla 𝑚≠0.\nPrzekształcając nierówność 1\n2 + 𝑚\n2 ≤2 + 2\n𝑚 , otrzymujemy kolejno\n𝑚\n2 -2\n𝑚-3\n2 ≤0\n𝑚2 -3𝑚-4\n2𝑚\n≤0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑚+ 1)(𝑚-4)\n2𝑚\n≤0\n2𝑚(𝑚+ 1)(𝑚-4) ≤0 i 𝑚≠0\nStąd 𝑚∈(-∞, -1⟩∪(0, 4⟩.\nUwzględniając\nuzyskany\nwcześniej\nwarunek\n𝑚≠1,\notrzymujemy\nostatecznie\n𝑚∈(-∞, -1⟩∪(0, 1) ∪(1, 4⟩.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup (0, 1) \\cup (1, 4\\rangle\\)\n\n*(Uwaga: dane rozwiązanie podaje \\((-\\infty,-1)\\), ale \\(m = -1\\) spełnia wszystkie warunki - patrz koniec rozwiązania.)*\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + analiza znaku ułamka\n\n### Krok 1: Kiedy trójmian ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?\n\nWarunek: \\(\\Delta > 0\\).\n\n\\[\\Delta = [2(m+1)]^2 - 4 \\cdot 4 \\cdot m = 4(m+1)^2 - 16m\\]\n\\[= 4(m^2 + 2m + 1) - 16m = 4m^2 - 8m + 4 = 4(m-1)^2\\]\n\nPonieważ \\(4(m-1)^2 \\geq 0\\) zawsze, a równa zero tylko gdy \\(m = 1\\):\n\n\\[\\Delta > 0 \\iff m \\neq 1\\]\n\n### Krok 2: Warunek \\(x_1 \\neq 0\\) i \\(x_2 \\neq 0\\)\n\nJeśli \\(x = 0\\) byłby pierwiastkiem, to \\(f(0) = 0\\), czyli \\(m = 0\\). Zatem:\n\n\\[x_1 \\neq 0 \\text{ i } x_2 \\neq 0 \\iff m \\neq 0\\]\n\n*(Można też użyć Viète'a: \\(x_1 x_2 = \\frac{m}{4} \\neq 0 \\iff m \\neq 0\\).)*\n\n### Krok 3: Wzory Viète'a dla \\(4x^2 - 2(m+1)x + m\\)\n\n\\[x_1 + x_2 = \\frac{2(m+1)}{4} = \\frac{m+1}{2}, \\qquad x_1 x_2 = \\frac{m}{4}\\]\n\n### Krok 4: Przekształcenie nierówności\n\n\\[x_1 + x_2 \\leq \\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2}\\]\n\nPrawa strona to:\n\\[\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{m+1}{2} \\leq \\frac{\\dfrac{m+1}{2}}{\\dfrac{m}{4}}\\]\n\n\\[\\frac{m+1}{2} \\leq \\frac{m+1}{2} \\cdot \\frac{4}{m} = \\frac{2(m+1)}{m}\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewo:\n\\[\\frac{m+1}{2} - \\frac{2(m+1)}{m} \\leq 0\\]\n\nWyłączamy \\((m+1)\\) przed nawias:\n\\[(m+1)\\left(\\frac{1}{2} - \\frac{2}{m}\\right) \\leq 0\\]\n\n\\[(m+1) \\cdot \\frac{m - 4}{2m} \\leq 0\\]\n\nMnożymy przez \\(2 > 0\\) (bez zmiany znaku):\n\\[\\frac{(m+1)(m-4)}{m} \\leq 0\\]\n\n### Krok 5: Analiza znaku \\(\\frac{(m+1)(m-4)}{m}\\)\n\nMiejsca zerowe/nieciągłości: \\(m = -1,\\ m = 0,\\ m = 4\\).\n\n| Przedział | \\((m+1)\\) | \\((m-4)\\) | \\(m\\) | Wyrażenie |\n| \\(m < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(\\frac{(+)}{(-)} = -\\) ✓ |\n| \\(m = -1\\) | \\(0\\) | - | - | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-1 < m < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(\\frac{(-)}{(-)} = +\\) ✗ |\n| \\(m = 0\\) | - | - | - | nieokreślone |\n| \\(0 < m < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(\\frac{(-)}{(+)} = -\\) ✓ |\n| \\(m = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(m > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(\\frac{(+)}{(+)} = +\\) ✗ |\n\nNierówność spełniona dla:\n\\[m \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup (0, 4\\rangle\\]\n\n### Krok 6: Łączymy wszystkie warunki\n\n| Warunek | Zbiór |\n| \\(\\Delta > 0\\) | \\(m \\neq 1\\) |\n| \\(x_1 \\neq 0,\\, x_2 \\neq 0\\) | \\(m \\neq 0\\) |\n| nierówność | \\(m \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup (0, 4\\rangle\\) |\n\nCzęść wspólna:\n\\[\\boxed{m \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup (0, 1) \\cup (1, 4\\rangle}\\]\n\n*(Punkt \\(m = 0\\) jest już poza \\((-\\infty,-1\\rangle \\cup (0,4\\rangle\\). Usuwamy \\(m=1\\) z \\((0,4\\rangle\\).)*\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez nierówność \\(S \\leq \\frac{S}{P}\\)\n\nOznaczamy \\(S = x_1 + x_2\\), \\(P = x_1 x_2\\). Nierówność:\n\\[S \\leq \\frac{S}{P} \\iff S\\left(1 - \\frac{1}{P}\\right) \\leq 0 \\iff \\frac{S(P-1)}{P} \\leq 0\\]\n\nPodstawiamy \\(S = \\frac{m+1}{2}\\), \\(P = \\frac{m}{4}\\):\n\n\\[\\frac{\\frac{m+1}{2} \\cdot \\left(\\frac{m}{4} - 1\\right)}{\\frac{m}{4}} \\leq 0 \\implies \\frac{(m+1)(m-4)}{2m} \\leq 0\\]\n\nTa postać jasno pokazuje **trzy kluczowe punkty**: \\(m = -1\\), \\(m = 0\\) (biegun) i \\(m = 4\\). Iloczyn \\((m+1)(m-4)\\) jest ujemny dla \\(m \\in (-1, 4)\\), a mianownik \\(m\\) zmienia znak w \\(m = 0\\) - stąd analiza jak wyżej.\n\n**Weryfikacja granicy \\(m = 4\\):**\n\n\\[f(x) = 4x^2 - 10x + 4 = 2(2x^2 - 5x + 2) = 2(2x-1)(x-2)\\]\n\nPierwiastki: \\(x_1 = \\frac{1}{2}\\), \\(x_2 = 2\\).\n\\[x_1 + x_2 = \\frac{5}{2}, \\qquad \\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = 2 + \\frac{1}{2} = \\frac{5}{2}\\]\n\nSpełnione z równością - **\\(m = 4\\) należy do zbioru** ✓\n\n**Weryfikacja \\(m = -1\\):**\n\n\\[f(x) = 4x^2 - 1, \\quad x_1 = \\frac{1}{2},\\ x_2 = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[x_1 + x_2 = 0, \\qquad \\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = 2 - 2 = 0\\]\n\nSpełnione z równością - **\\(m = -1\\) należy do zbioru** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzory Viète'a:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\Delta\\) i do wyrażenia sumy/iloczynu pierwiastków bez potrzeby ich wyznaczania.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - wzory skróconego mnożenia pomocne przy rozwinięciu \\((m+1)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób zapomina warunku \\(x_1 \\neq 0,\\, x_2 \\neq 0\\) i nie sprawdza \\(m \\neq 0\\). W tym zadaniu \\(m = 0\\) jest automatycznie wykluczone przez przedział otwarty \\((0, 4\\rangle\\), ale w ogólności zawsze sprawdzaj \\(f(0) \\neq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przekształceniu \\(x_1 + x_2 \\leq \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}\\) NIGDY nie dziel obu stron przez \\((x_1 + x_2)\\), bo ta suma może być ujemna lub zerowa - odwracałoby to znak nierówności! Zamiast tego przenieś na lewą stronę i rozkładaj na czynniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyróżnik wyszedł \\(\\Delta = 4(m-1)^2\\) - pełny kwadrat! Wielu uczniów spodziewa się tu wielomianu stopnia 2 i szuka \\(\\Delta\\) z tego, zamiast uznać, że \\(\\Delta \\geq 0\\) zawsze, a \\(\\Delta = 0\\) tylko dla \\(m = 1\\). Nie umykaj przez to warunkowi \\(m \\neq 1\\).\n\n### Sposob 1 (wzory Viete'a + trzy etapy)\n**I etap** (dwa rozne pierwiastki rzeczywiste): \\(\\Delta > 0\\).\n\\(\\Delta = [-2(m+1)]^{2} - 4 \\cdot 4 \\cdot m = 4(m+1)^{2} - 16m = 4m^{2} + 8m + 4 - 16m = 4m^{2} - 8m + 4 = 4(m-1)^{2}\\).\n\\(4(m-1)^{2} > 0 \\Leftrightarrow m \\neq 1\\).\n\n**II etap**. Z wzorow Viete'a (karta wzorow): \\(x_{1} + x_{2} = \\dfrac{2(m+1)}{4} = \\dfrac{m+1}{2}\\), \\(x_{1} \\cdot x_{2} = \\dfrac{m}{4}\\).\n\nWarunek \\(x_{1}, x_{2} \\neq 0\\) wymaga \\(x_{1}x_{2} \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq 0\\).\n\n\\(\\dfrac{1}{x_{1}} + \\dfrac{1}{x_{2}} = \\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \\dfrac{(m+1)/2}{m/4} = \\dfrac{2(m+1)}{m}\\).\n\nNierownosc: \\(\\dfrac{m+1}{2} \\leq \\dfrac{2(m+1)}{m}\\), czyli \\(\\dfrac{m+1}{2} - \\dfrac{2(m+1)}{m} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{m(m+1) - 4(m+1)}{2m} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{(m+1)(m-4)}{2m} \\leq 0\\).\n\nRozwiazujemy \\(2m(m+1)(m-4) \\leq 0, m \\neq 0\\). Zera: \\(-1, 0, 4\\). Analiza znakow (wspolczynnik wiodacy dodatni):\n\\(m \\in (-\\infty, -1] \\cup (0, 4]\\).\n\n**III etap**: czesc wspolna z \\(m \\neq 1\\): \\(m \\in (-\\infty, -1] \\cup (0, 1) \\cup (1, 4]\\).\n\nUwaga CKE: nierownosc wyjsciowa \\(x_{1} + x_{2} \\leq \\tfrac{1}{x_{1}} + \\tfrac{1}{x_{2}}\\) wymaga znaku \\(x_{1}x_{2}\\). Wzor Viete'a daje sens tylko dla \\(x_{1}x_{2} \\neq 0\\).\n\nKoncowy wynik: \\(m \\in (-\\infty, -1) \\cup (0, 1) \\cup (1, 4]\\).\n\n### Sposob 2 (jawne pierwiastki)\n\\(4x^{2} - 2(m+1)x + m = (2x-1)(2x-m)\\). Stad \\(x_{1} = \\tfrac{1}{2}, x_{2} = \\tfrac{m}{2}\\).\n\n\\(x_{1} \\neq x_{2}\\) wymaga \\(m \\neq 1\\). \\(x_{2} \\neq 0\\) wymaga \\(m \\neq 0\\).\n\nNierownosc: \\(\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{m}{2} \\leq 2 + \\tfrac{2}{m}\\), czyli \\(\\tfrac{m}{2} - \\tfrac{2}{m} - \\tfrac{3}{2} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{m^{2} - 4 - 3m}{2m} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{(m-4)(m+1)}{2m} \\leq 0\\).\n\nAnaliza znakow: \\(m \\in (-\\infty, -1] \\cup (0, 4]\\). Z \\(m \\neq 1\\): \\(m \\in (-\\infty, -1) \\cup (0, 1) \\cup (1, 4]\\).\n\nUwaga: koniec przedzialu \\(-1\\) jest domkniety w CKE wyniku? CKE: \\(m \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 0, 1) \\cup (1, 4\\rangle\\) - konce zamkniete tam gdzie nierownosc \\(\\leq\\) spelniona z rownoscia. Sprawdzamy \\(m = -1\\): \\(x_{1} = 1/2, x_{2} = -1/2\\). \\(x_{1}+x_{2} = 0\\). \\(1/x_{1} + 1/x_{2} = 2 - 2 = 0\\). \\(0 \\leq 0\\) OK. Wiec \\(-1\\) wchodzi. Poprawny wynik: \\(m \\in (-\\infty, -1] \\cup (0, 1) \\cup (1, 4]\\).\n\n### Uwagi o punktacji\nRozwiazanie w 3 etapach (wg CKE):\n- Etap I (\\(\\Delta > 0: m \\neq 1\\)): 1 pkt\n- Etap II (rozwiazanie nierownosci z parametrem): 3 pkt (po 1 pkt za kazdy krok)\n- Etap III (czesc wspolna): 1 pkt\n\n**Trik:** Zauwaz, ze trojmian rozklada sie na \\((2x-1)(2x-m)\\) - \\(x_{1} = 1/2\\) od razu. Oszczedza wzory Viete'a.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"parametr","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nRozwiąż równanie cos 2𝑥=\nඥ2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie cos 2x = √2/2(cos x - sin x) w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR6.6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2\nALBO\n\nzastosuje\nwzór\nna\ncosinus\npodwojonego\nargumentu\ni\nzapisze\nrównanie\ncos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w postaci\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\nALBO\n\nzapisze równanie cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w postaci\ncos 2𝑥= cos 𝑥⋅cos 𝜋\n4 -sin 𝑥⋅sin 𝜋\n4 lub cos 2𝑥= cos 𝑥⋅sin 𝜋\n4 -sin 𝑥⋅cos 𝜋\n4\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 i spełni jeden\nz poniższych warunków:\n1) rozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0: 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą,\nlub 𝑥= 𝜋\n4,\n2) przekształci równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 do postaci cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2 ,\n3) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2\nsin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1\ni przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna\nzmiennej 𝑥:\n(\n√2\n2 -cos 𝑥)\n2\n+ cos2 𝑥= 1 lub sin2 𝑥+ (\n√2\n2 -sin𝑥)\n2\n= 1\nlub 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1\n2 = 0 lub 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0\nALBO\n\nprzekształci równanie cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) do postaci cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4)\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nrozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0: 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, lub\n𝑥= 𝜋\n4 oraz spełni jeden z poniższych warunków:\n1) przekształci równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 do postaci cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2\n2) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2\nsin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1\ni przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna\nzmiennej 𝑥:\n(\n√2\n2 -cos 𝑥)\n2\n+ cos2 𝑥= 1 lub sin2 𝑥+ (\n√2\n2 -sin𝑥)\n2\n= 1\nlub 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1\n2 = 0 lub 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0\nALBO\n\nzapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 oraz zapisze\npoprawnie\njedną\nserię\nrozwiązań\nrównania\ncos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 :\n𝜋\n4 -𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝜋\n4 -𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą\nALBO\n\nzapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4):\n2𝑥= 𝑥+ 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋\n4) + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez\nwyznaczenia rozwiązań z danego przedziału), albo zapisze poprawnie jedno\nrozwiązanie w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4 lub 7𝜋\n12 .\nALBO\n\nzastosuje wzór na różnicę cosinusów i przekształci równanie cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4)\ndo postaci:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-2 sin (\n2𝑥+ 𝑥+ 𝜋\n4\n2\n) ⋅sin (\n2𝑥-𝑥-𝜋\n4\n2\n) = 0\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\n\nrozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4 i spełni jeden\nz poniższych warunków:\n1) rozwiąże równanie cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2 i poda dwie serie rozwiązań:\n𝜋\n4 -𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 oraz 𝜋\n4 -𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez\nwyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)\n2) przekształci równanie 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0 do alternatywy:\nsin 𝑥=\n√2+√6\n4\nlub sin 𝑥=\n√2-√6\n4\nALBO\nprzekształci równanie 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1\n2 = 0 do alternatywy:\ncos 𝑥=\n√2+√6\n4\nlub cos 𝑥=\n√2-√6\n4\nALBO\n\nzapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4):\n2𝑥= 𝑥+ 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 oraz 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋\n4) + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez\nwyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)\nALBO\n\nrozwiąże równanie sin (3\n2 𝑥+ 𝜋\n8) = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 7𝜋\n12\nALBO\n\nrozwiąże równanie sin (1\n2 𝑥-𝜋\n8) = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4\nALBO\n\nzapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równań sin (3\n2 𝑥+ 𝜋\n8) = 0 i sin (1\n2 𝑥-𝜋\n8) = 0:\n𝑥= -𝜋\n12 + 2\n3 𝑘𝜋 oraz 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) i poda\nprawidłowe rozwiązania w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4 , 7𝜋\n12 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający zapisze równanie\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\ni podzieli obie strony równania przez cos 𝑥-sin 𝑥 (bez rozstrzygania sytuacji, gdy\ncos 𝑥= sin 𝑥), otrzyma równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 i doprowadzi rozwiązanie do końca,\nto traktujemy to jako błąd merytoryczny, nie przekreślający całości rozwiązania i zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego,\nnp. zapisuje sinus sumy argumentów zamiast sinusa ich różnicy, i konsekwentnie\ndoprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy\nstarożytnych, np. podnosi obie strony równania cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 do kwadratu i nie\nodrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) = cos 𝑥⋅√2\n2 -sin 𝑥⋅√2\n2 = cos 𝑥⋅cos 𝜋\n4 -sin 𝑥⋅sin 𝜋\n4 = cos (𝑥+ 𝜋\n4),\nwięc równanie cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) można zapisać w postaci równoważnej\ncos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4)\nJego rozwiązaniami są liczby 𝑥 spełniające warunek\n2𝑥= 𝑥+ 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋\n4) + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nStąd 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 3𝑥= -𝜋\n4 + 2𝑘𝜋, czyli 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -𝜋\n12 + 2\n3 𝑘𝜋.\nZatem rozwiązaniami równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są liczby:\n𝜋\n4 oraz 7𝜋\n12 .\nSposób 2.\nPo skorzystaniu ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu otrzymujemy równanie\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\nJest ono równoważne alternatywie dwóch równań:\ncos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥= √2\n2\nRównanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 można rozwiązać graficznie albo algebraicznie, zapisując je\nz wykorzystaniem wzoru redukcyjnego np. w postaci cos 𝑥= cos (𝜋\n2 -𝑥) . Rozwiązaniami\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nostatniego równania są liczby spełniające warunek 𝑥= 𝜋\n2 -𝑥+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -(𝜋\n2 -𝑥) + 2𝑘𝜋,\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą\ncałkowitą, więc rozwiązaniem równania cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 𝜋\n4.\nRównanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 rozwiązujemy, stosując wzory redukcyjne oraz wzór na sumę\nsinusów. Otrzymujemy kolejno:\nsin (𝜋\n2 -𝑥) + sin 𝑥= √2\n2\n2 sin (\n𝜋\n2 -𝑥+ 𝑥\n2\n) ⋅cos (\n𝜋\n2 -𝑥-𝑥\n2\n) = √2\n2\n2 sin (𝜋\n4) ⋅cos (𝜋\n4 -𝑥) = √2\n2\ncos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2\nRozwiązaniami otrzymanego równania są liczby spełniające warunek\n𝜋\n4 -𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝜋\n4 -𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.\nStąd 𝑥= -𝜋\n12 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 7𝜋\n12 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.\nZatem rozwiązaniem równania cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 7𝜋\n12.\nOstatecznie, rozwiązaniami równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są\nliczby 𝜋\n4 oraz 7𝜋\n12.\nSposób 3. Po skorzystaniu ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu otrzymujemy\nrównanie\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\nJest ono równoważne alternatywie dwóch równań:\ncos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥= √2\n2\nRównanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 można rozwiązać graficznie albo algebraicznie, zapisując je\nz wykorzystaniem wzoru redukcyjnego np. w postaci cos 𝑥= cos (𝜋\n2 -𝑥) . Rozwiązaniami\nostatniego równania są liczby spełniające warunek 𝑥= 𝜋\n2 -𝑥+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -(𝜋\n2 -𝑥) + 2𝑘𝜋,\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą\ncałkowitą, więc rozwiązaniem równania cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 𝜋\n4.\nRównanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 rozwiązujemy, stosując wzór cos2 𝑥+ sin2𝑥= 1.\nZapisujemy układ równań\n{cos 𝑥+ sin 𝑥= √2\n2\ncos2 𝑥+ sin2𝑥= 1\nStąd otrzymujemy kolejno\n(√2\n2 -sin 𝑥)\n2\n+ sin2𝑥-1 = 0\n2sin2𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0\nPodstawiamy sin 𝑥= 𝑡 i wtedy 2𝑡2 -√2𝑡-1\n2 = 0.\nRozwiązaniami tego równania są 𝑡=\n√2+√6\n4\nlub 𝑡=\n√2-√6\n4\nPonieważ\n√2 + √6\n4\n= √2\n2 ⋅1\n2 + √2\n2 ⋅√3\n2 = sin 45° ⋅cos 60° + cos 45° ⋅sin 60° = sin 105°\ni sin 105° + cos 105° =\n√2\n2 , więc 𝑥= 105° = 7𝜋\n12 jest rozwiązaniem równania\ncos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.\nPonieważ\n√2-√6\n4\n< 0, więc równanie sin 𝑥=\n√2-√6\n4\nnie ma rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.\nOstatecznie, rozwiązaniami równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są\nliczby 𝜋\n4 oraz 7𝜋\n12.\nSposób 4.\nPrzekształcamy równanie jak w sposobie 1. do postaci cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4), skąd\ncos 2𝑥-cos (𝑥+ 𝜋\n4) = 0\nStosujemy wzór na różnicę cosinusów i otrzymujemy:\n-2 sin (\n2𝑥+ 𝑥+ 𝜋\n4\n2\n) ⋅sin (\n2𝑥-𝑥-𝜋\n4\n2\n) = 0\nStąd\nsin (3\n2 𝑥+ 𝜋\n8) = 0 lub sin (1\n2 𝑥-𝜋\n8) = 0\nwięc 3\n2 𝑥+ 𝜋\n8 = 𝑘𝜋 lub 1\n2 𝑥-𝜋\n8 = 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, czyli 𝑥= -𝜋\n12 + 2\n3 𝑘𝜋\nlub 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nRozwiązaniami równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są liczby 7𝜋\n12 oraz 𝜋\n4 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Faktoryzacja przez różnicę kwadratów\n\n**Kluczowa obserwacja:** lewa strona to różnica kwadratów.\n\n\\[\\cos 2x = \\cos^2 x - \\sin^2 x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\]\n\nPodstawiamy do równania:\n\n\\[(\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x)\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[(\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) - \\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = 0\\]\n\n**Wyłączamy $(\\cos x - \\sin x)$ przed nawias:**\n\n\\[(\\cos x - \\sin x)\\left(\\cos x + \\sin x - \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = 0\\]\n\nIloczyn równy zero, więc rozpatrujemy dwa przypadki.\n\n**Przypadek 1:** \\(\\cos x - \\sin x = 0\\)\n\n\\[\\cos x = \\sin x \\implies \\operatorname{tg} x = 1 \\implies x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]\n\nW przedziale \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(\\boxed{x = \\frac{\\pi}{4}}\\) ✓ (kolejne: \\(\\frac{5\\pi}{4} > \\pi\\) - odpada)\n\n**Przypadek 2:** \\(\\cos x + \\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)\n\nKorzystamy ze wzoru pomocniczego: \\(\\cos x + \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right)\\)\n\n\\[\\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[x - \\frac{\\pi}{4} = \\pm\\frac{\\pi}{3} + 2k\\pi\\]\n\n- Plus: \\(x = \\frac{\\pi}{4} + \\frac{\\pi}{3} = \\frac{3\\pi + 4\\pi}{12} = \\boxed{\\frac{7\\pi}{12}}\\) ✓\n- Minus: \\(x = \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\pi}{3} = \\frac{3\\pi - 4\\pi}{12} = -\\frac{\\pi}{12}\\) - poza przedziałem, odpada\n\n**Odpowiedź:** \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do równania \\(\\cos A = \\cos B\\)\n\nUżywamy wzoru pomocniczego na $\\cos x - \\sin x$:\n\n\\[\\cos x - \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\nPodstawiamy do prawej strony:\n\n\\[\\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\nRównanie przyjmuje elegancką postać:\n\n\\[\\cos 2x = \\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\nZ zasady \\(\\cos A = \\cos B \\iff A = \\pm B + 2k\\pi\\):\n\n**Przypadek 1:** \\(2x = x + \\dfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\)\n\n\\[x = \\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\]\n\nW \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(\\boxed{x = \\frac{\\pi}{4}}\\) ✓\n\n**Przypadek 2:** \\(2x = -\\!\\left(x + \\dfrac{\\pi}{4}\\right) + 2k\\pi\\)\n\n\\[2x = -x - \\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\implies 3x = -\\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\implies x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2k\\pi}{3}\\]\n\n- \\(k = 0\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12}\\) - poza przedziałem\n- \\(k = 1\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2\\pi}{3} = \\frac{-\\pi + 8\\pi}{12} = \\boxed{\\frac{7\\pi}{12}}\\) ✓\n- \\(k = 2\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{4\\pi}{3} = \\frac{15\\pi}{12} > \\pi\\) - odpada\n\n**Odpowiedź:** \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)\n\n**Weryfikacja \\(x = \\frac{7\\pi}{12}\\):**\n\n\\(\\cos\\!\\frac{7\\pi}{6} = \\cos 210° = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(\\cos\\!\\frac{7\\pi}{12} = \\cos 105° = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\), \\quad \\(\\sin\\!\\frac{7\\pi}{12} = \\sin 105° = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\)\n\n\\[\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\!\\left(\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4} - \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = \\frac{-\\sqrt{12}}{4} = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nWzór na cosinus podwojonego kąta (różnica kwadratów):\n\\[\\cos 2x = \\cos^2 x - \\sin^2 x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\]\nUżyty w Sposobie 1 do faktoryzacji lewej strony.\n\nWzór pomocniczy (wynika z funkcji sumy kątów):\n\\[\\cos x - \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\\[\\cos x + \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\nOba użyte - w Sposobie 1 (przypadek 2) i w Sposobie 2.\n\nWartości: \\(\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}\\) (tablica, s. 12) - do rozwiązania \\(\\cos\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie dziel obu stron przez \\((\\cos x - \\sin x)\\)! Jeśli to zrobisz, gubisz rozwiązanie \\(x = \\frac{\\pi}{4}\\) (bo wtedy \\(\\cos x - \\sin x = 0\\)). Zawsze przenoś na jedną stronę i **wyłączaj przed nawias**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W przypadku \\(\\cos A = \\cos B\\) pamiętaj o **obu** przypadkach: \\(A = B + 2k\\pi\\) oraz \\(A = -B + 2k\\pi\\). Pominięcie drugiego przypadku oznacza utratę rozwiązania \\(x = \\frac{7\\pi}{12}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj przynależność do przedziału! Podstawienie do oryginalnego równania na koniec jest zawsze dobrą praktyką - szczególnie gdy pojawia się podejrzanie \"brzydka\" wartość jak \\(-\\frac{\\pi}{12}\\).\n\n### Sposob 1 (wzor na cosinus roznicy + redukcja)\nZauwazamy (karta wzorow, trygonometria): \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\cos x \\cos\\tfrac{\\pi}{4} - \\sin x \\sin\\tfrac{\\pi}{4} = \\cos\\left(x + \\tfrac{\\pi}{4}\\right)\\).\n\nRownanie: \\(\\cos 2x = \\cos\\left(x + \\tfrac{\\pi}{4}\\right)\\).\n\nRozwiazania: \\(2x = x + \\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\) lub \\(2x = -(x + \\tfrac{\\pi}{4}) + 2k\\pi\\).\n\nPierwsze: \\(x = \\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\). W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}\\).\n\nDrugie: \\(3x = -\\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\Rightarrow x = -\\tfrac{\\pi}{12} + \\tfrac{2k\\pi}{3}\\). Dla \\(k=1\\): \\(x = -\\tfrac{\\pi}{12} + \\tfrac{2\\pi}{3} = \\tfrac{-\\pi + 8\\pi}{12} = \\tfrac{7\\pi}{12}\\). W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) - OK.\n\nRozwiazania: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) oraz \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\).\n\n### Sposob 2 (wzor na cosinus podwojonego argumentu + rozklad)\n\\(\\cos 2x = \\cos^{2}x - \\sin^{2}x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\).\n\nRownanie: \\((\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x)\\).\n\n\\((\\cos x - \\sin x)\\left[(\\cos x + \\sin x) - \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right] = 0\\).\n\n**Alternatywa 1**: \\(\\cos x = \\sin x \\Rightarrow \\tan x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{\\pi}{4} + k\\pi\\). W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}\\).\n\n**Alternatywa 2**: \\(\\cos x + \\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Sprowadzamy do postaci \\(\\sqrt{2}\\sin(x + \\tfrac{\\pi}{4}) = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), czyli \\(\\sin(x + \\tfrac{\\pi}{4}) = \\tfrac{1}{2}\\).\n\n\\(x + \\tfrac{\\pi}{4} = \\tfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi\\) (daje x ujemne poza \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\)) lub \\(x + \\tfrac{\\pi}{4} = \\tfrac{5\\pi}{6} + 2k\\pi \\Rightarrow x = \\tfrac{7\\pi}{12}\\). W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\) OK.\n\nSprawdzenie: \\(\\cos\\tfrac{7\\pi}{6} = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos\\tfrac{7\\pi}{12} - \\sin\\tfrac{7\\pi}{12})\\) pasuje.\n\nRozwiazania: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}, x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: rozklad lewej strony \\(\\cos 2x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\) lub zapisanie rownania w postaci \\(\\cos 2x = \\cos(x + \\tfrac{\\pi}{4})\\).\n- 2 pkt: alternatywa \\(\\cos x - \\sin x = 0\\) lub \\(\\cos x + \\sin x = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) + spelnienie jednego z warunkow dalszych.\n- 3 pkt: rozwiaze rownanie \\(\\cos x - \\sin x = 0\\) w przedziale.\n- 4 pkt: dwie serie rozwiazan z cos(x+π/4) = 1/2.\n- 5 pkt: \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}, \\tfrac{7\\pi}{12}\\).\n\nUwaga CKE: dzielenie obu stron przez \\((\\cos x - \\sin x)\\) bez rozstrzygania = max 3 pkt.\n\n**Trik:** Rozpoznaj \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\cos(x + \\tfrac{\\pi}{4})\\) - dyskretny wzor na cosinus sumy.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy\nkrótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶,\nktóry ma większą miarę.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta ABC, który ma większą miarę.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR7.4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze zależność między długościami boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, wykorzystując warunek\ndotyczący promienia, np.: 𝑎+𝑏-𝑐\n2\n= 1\n5 𝑐\nALBO\n\nzapisze zależności między długościami boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, długościami dwóch\nodcinków stycznych i promieniem okręgu wpisanego w trójkąt , np. 𝑎= 𝑥+ 𝑟, 𝑏= 𝑦+ 𝑟,\n5𝑟= 𝑥+ 𝑦\nALBO\n\nzapisze tangensy kątów 𝛼\n2 i 𝛽\n2 w zależności od 𝑟, 𝑥 i 𝑦, np.: tg 𝛼\n2 = 𝑟\n𝑦 , tg 𝛽\n2 = 𝑟\n𝑥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze równanie kwadratowe z dwiema niewiadomymi wynikające z zastosowania\ntwierdzenia Pitagorasa, np.:\n𝑎2 + (7\n5 𝑐-𝑎)\n2\n= 𝑐2 lub 𝑎2 + (7𝑟-𝑎)2 = (5𝑟)2\nALBO\n\nzapisze równanie trygonometryczne prowadzące do wyznaczenia kąta ostrego trójkąta,\nnp.:\nsin 𝛼+ cos 𝛼= 7\n5\nALBO\n\nzapisze równanie trygonometryczne prowadzące do wyznaczenia kąta ostrego trójkąta,\nnp.:\n1\ntg\n𝛼\n2\n1 + tg\n𝛼\n2\n1 -tg\n𝛼\n2\n= 5\nALBO\n\nzapisze równanie trygonometryczne prowadzące do wyznaczenia kąta ostrego trójkąta,\nnp.:\n25 ∙sin2𝛼= 24\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe (np.: 𝑎= 3\n5 𝑐 lub 𝑎= 4\n5 𝑐) lub obliczy stosunek\ndwóch różnych boków trójkąta, np.: 𝑎\n𝑐= 3\n5 lub 𝑎\n𝑐= 4\n5\nALBO\n\nrozwiąże otrzymane równanie kwadratowe i obliczy zależność między długością\nprzyprostokątnej trójkąta i promieniem okręgu wpisanego, np.: 𝑎= 4𝑟 lub 𝑎= 3𝑟\nALBO\n\nzapisze równanie, w którym występuje tylko sinus/cosinus kąta ostrego trójkąta, np.\nsin2 𝛼+ (7\n5 -sinα)\n2\n= 1\nALBO\n\nrozwiąże równanie 1\ntg(𝛼\n2) +\n1+tg(𝛼\n2)\n1-tg(𝛼\n2) = 5 z niewiadomą tg 𝛼\n2: tg 𝛼\n2 = 1\n3 lub tg 𝛼\n2 = 1\n2\nALBO\n\nzapisze dwa równania z tą samą niewiadomą\n1 -2sin2𝛼= 7\n25 lub 1 -2sin2𝛼= -7\n25.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy wartość sinusa większego z kątów ostrych trójkąta: 4\n5 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując strategię rozwiązania zadania, popełnia błędy rachunkowe, które\nnie przekreślają poprawności rozumowania i doprowadza rozwiązanie do końca to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca i w odpowiedzi zapisuje: sin 𝛼= 4\n5 oraz\nsin 𝛽= 3\n5, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, realizując strategię rozwiązania zadania, popełni błąd merytoryczny\ni doprowadza rozwiązanie do końca, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty za całe\nrozwiązanie, o ile wcześniej zdający nie nabył praw do otrzymania 3 punktów.\n4. Jeżeli zdający zapisze bez uzasadnienia, że boki trójkąta mają długości 3𝑟, 4𝑟, 5𝑟\ni w odpowiedzi poda sinus większego z kątów ostrych, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie założy, że 𝑟> 𝑐, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏, 𝑐 - długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\n𝛼, 𝛽 - miary kątów ostrych trójkąta\n𝑟 - promień okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. (Zobacz rysunek).\nWtedy 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 oraz 𝑟= 𝑎+𝑏-𝑐\n2\nZ warunków zadania wynika, że 𝑟= 1\n5 𝑐.\nZatem\n𝑐\n5 = 𝑎+ 𝑏-𝑐\n2\n2𝑐= 5𝑎+ 5𝑏-5𝑐\n𝑏= 7\n5 𝑐-𝑎\nPodstawiając otrzymaną zależność do równości wynikającej z twierdzenia Pitagorasa,\notrzymujemy:\n𝑎2 + (7\n5 𝑐-𝑎)\n2\n= 𝑐2\n2𝑎2 -14\n5 𝑎𝑐+ 24\n25 𝑐2 = 0\n25𝑎2 -35𝑎𝑐+ 12𝑐2 = 0\nPotraktujmy otrzymane równanie jak równanie kwadratowe z niewiadomą 𝑎 i parametrem 𝑐.\nOtrzymujemy zatem\nΔ = (-35𝑐)2 -4 ⋅25 ⋅12𝑐2 = 25𝑐2\n𝑎= 35𝑐-5𝑐\n50\n= 3\n5 𝑐 lub 𝑎= 35𝑐+ 5𝑐\n50\n= 4\n5 𝑐\nGdy 𝑎= 3\n5 𝑐, to wtedy 𝑏= 7\n5 𝑐-3\n5 𝑐= 4\n5 𝑐, a gdy 𝑎= 4\n5 𝑐, to 𝑏= 7\n5 𝑐-4\n5 𝑐= 3\n5 𝑐. W każdym\nz tych przypadków otrzymujemy więc taki sam trójkąt (z dokładnością do oznaczeń). Bez straty\n𝛼\n𝛽\n𝑟\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nogólności można przyjąć, że 𝑎= 3\n5 𝑐 i 𝑏= 4\n5 𝑐. Przy oznaczeniach z rysunku mamy\nsin 𝛼= 𝑎\n𝑐=\n3\n5 𝑐\n𝑐= 3\n5 oraz sin 𝛽= 𝑏\n𝑐=\n4\n5 𝑐\n𝑐= 4\n5 . Kąty 𝛼 i 𝛽 są ostre, więc ten z nich ma\nwiększą miarę, dla którego sinus przyjmuje większą wartość.\nZatem sinus większego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 4\n5 .\nUwaga:\nRównanie 25𝑎2 -35𝑎𝑐+ 12𝑐2 = 0 możemy też podzielić stronami przez 𝑐2. Otrzymujemy\nwtedy równanie kwadratowe 25 (𝑎\n𝑐)\n2\n-35 ⋅(𝑎\n𝑐) + 12 = 0 z niewiadomą 𝑎\n𝑐. Rozwiązując to\nrównanie, otrzymujemy 𝑎\n𝑐= 3\n5 lub 𝑎\n𝑐= 4\n5. Są to wartości sinusa kąta 𝛼.\nSposób 2. (równość odcinków stycznych oraz twierdzenie Pitagorasa).\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏, 𝑐 - długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\n𝛼, 𝛽 - miary kątów ostrych trójkąta\n𝑟 - promień okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. (Zobacz rysunek).\nZakładamy, że bok 𝐵𝐶 jest sumą odcinków o długościach 𝑎-𝑟 oraz 𝑟.\nPonieważ z treści zadania wynika, że 𝑐= 5𝑟, więc na mocy równości odcinków stycznych,\nprzeciwprostokątna jest sumą odcinków o długościach 𝑎-𝑟 oraz 5𝑟-(𝑎-𝑟) = 6𝑟-𝑎.\nOtrzymujemy zatem trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, którego boki mają długości: 𝑎, 7𝑟-𝑎 oraz 5𝑟.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa i zapisujemy równanie z dwiema niewiadomymi:\n𝑎2 + (7𝑟-𝑎)2 = (5𝑟)2\nTo równanie jest równoważne równaniu 𝑎2 -7𝑎𝑟+ 12𝑟2 = 0.\nPowyższe równanie traktujemy jako równanie kwadratowe z niewiadomą 𝑎 i z parametrem 𝑟.\nObliczamy wyróżnik:\nΔ = (-7𝑟)2 -4 ⋅1 ⋅12𝑟2 = 𝑟2\ni otrzymujemy dwa rozwiązania:\n𝑎= 7𝑟+ 𝑟\n2\n= 4𝑟 oraz 𝑎= 7𝑟-𝑟\n2\n= 3𝑟\nJeśli 𝑎= 4𝑟, to wtedy 𝑏= 7𝑟-4𝑟= 3𝑟. Jeśli 𝑎= 3𝑟, to 𝑏= 7𝑟-3𝑟= 4𝑟.\n𝛼\n𝛽\n𝑟\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nW każdym z tych przypadków otrzymujemy więc taki sam trójkąt (z dokładnością do\noznaczeń). Bez straty ogólności można przyjąć, że 𝑎= 4𝑟 i 𝑏= 3𝑟.\nPrzy oznaczeniach z rysunku mamy sin 𝛼= 𝑎\n𝑐= 4𝑟\n5𝑟= 4\n5 oraz sin 𝛽= 𝑏\n𝑐= 3𝑟\n5𝑟= 3\n5 . Ponieważ\nkąty 𝛼 i 𝛽 są ostre, więc ten z nich ma większą miarę, którego sinus przyjmuje większą\nwartość.\nZatem sinus większego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 4\n5 .\nSposób 3.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏, 𝑐 - długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\n𝛼, 𝛽 - miary kątów ostrych trójkąta\n𝑟 - promień okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. (Zobacz rysunek).\nWtedy 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 oraz 𝑟= 𝑎+𝑏-𝑐\n2\n. Z warunków zadania wynika, że 𝑟= 1\n5 𝑐. Zatem\n𝑐\n5 = 𝑎+ 𝑏-𝑐\n2\n2𝑐= 5𝑎+ 5𝑏-5𝑐\n5𝑎+ 5𝑏= 7𝑐\n𝑎\n𝑐+ 𝑏\n𝑐= 7\n5\nPonieważ 𝑎\n𝑐= sin 𝛼 i 𝑏\n𝑐= cos 𝛼, więc możemy zapisać równanie trygonometryczne\nsin 𝛼+ cos 𝛼= 7\n5\nZ układu równań\n{ sin 𝛼+ cos 𝛼= 7\n5\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1\nobliczamy sin 𝛼= 3\n5 lub sin 𝛼= 4\n5. Wówczas - odpowiednio do otrzymanych wartości sin 𝛼\n- mamy: cos 𝛼= 4\n5 = sin 𝛽 lub cos 𝛼= 3\n5 = sin 𝛽.\n𝛼\n𝛽\n𝑟\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nKąty 𝛼 i 𝛽 są ostre, więc ten z nich ma większą miarę, dla którego sinus przyjmuje większą\nwartość. Zatem sinus większego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 4\n5 .\nSposób 4. (pole i obwód trójkąta).\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏, 𝑐 - długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\n𝛼, 𝛽 - miary kątów ostrych trójkąta\n𝑟 - promień okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. (Zobacz rysunek).\nPonieważ z treści zadania wynika, że 𝑐= 5𝑟, więc ze wzoru na promień okręgu wpisanego\nw ten trójkąt otrzymujemy zależność\n𝑟= 𝑎+ 𝑏-5𝑟\n2\nZatem\n𝑎+ 𝑏= 7𝑟\nPonadto wiemy, że pole trójkąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego i połowy\nobwodu trójkąta, więc\n𝑃∆= 𝑟∙𝑝= 𝑟∙1\n2 (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) = 𝑟∙1\n2 (7𝑟+ 5𝑟) = 6𝑟2\nZapisujemy zatem układ równań\n{\n1\n2 ∙𝑎∙𝑏= 6𝑟2\n𝑎+ 𝑏= 7𝑟\nPonieważ 𝑏= 7𝑟-𝑎, więc pierwsze równanie przyjmuje postać 𝑎∙(7𝑟-𝑎) = 12𝑟2. Po\nprzekształceniach otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe, w którym możemy\nprzyjąć, że niewiadomą jest 𝑎, natomiast parametrem 𝑟:\n-𝑎2 + 7𝑎𝑟-12𝑟2 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie równania:\nΔ = (7𝑟)2 -4 ⋅(-1) ⋅(-12𝑟2) = 𝑟2\ni otrzymujemy dwa rozwiązania:\n𝑎= -7𝑟+ 𝑟\n-2\n= 3𝑟 oraz 𝑎= -7𝑟-𝑟\n-2\n= 4𝑟\n𝛼\n𝛽\n𝑟\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeśli 𝑎= 3𝑟, to wtedy 𝑏= 7𝑟-3𝑟= 4𝑟. Jeśli 𝑎= 4𝑟, to 𝑏= 7𝑟-4𝑟= 3𝑟.\nW każdym z tych przypadków otrzymujemy więc taki sam trójkąt (z dokładnością do\noznaczeń). Bez straty ogólności można przyjąć, że 𝑎= 3𝑟 i 𝑏= 4𝑟.\nPrzy oznaczeniach z rysunku mamy sin 𝛼= 𝑎\n𝑐= 3𝑟\n5𝑟= 3\n5 oraz sin 𝛽= 𝑏\n𝑐= 4𝑟\n5𝑟= 4\n5 . Ponieważ\nkąty 𝛼 i 𝛽 są ostre, więc ten z nich ma większą miarę, którego sinus przyjmuje większą\nwartość.\nZatem sinus większego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 4\n5 .\nSposób 5.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑆 - środek okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶\n𝐷 - punkt styczności okręgu wpisanego z prostą zawierającą przeciwprostokątną trójkąta\n𝑎, 𝑏, 𝑐 - długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\n𝛼, 𝛽 - miary kątów ostrych trójkąta\n𝑟 - promień okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. (Zobacz rysunek).\nŚrodek 𝑆 okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów\nwewnętrznych trójkąta. Zatem |∡𝐷𝐴𝑆| = 1\n2 𝛼 i |𝐷𝐵𝑆| = 1\n2 𝛽. Z definicji tangensa kąta ostrego\notrzymujemy tg 𝛼\n2 = 𝑟\n𝑦 oraz tg 𝛽\n2 = 𝑟\n𝑥 . Stąd\n𝑥= 𝑟\ntg\n𝛽\n2\noraz 𝑦= 𝑟\ntg\n𝛼\n2\nZ założenia wiemy, że 𝑥+ 𝑦= 𝑐= 5𝑟. Zatem\n𝑟\ntg\n𝛽\n2\n+ 𝑟\ntg\n𝛼\n2\n= 5𝑟\n1\ntg\n𝛼\n2\n+ 1\ntg\n𝛽\n2\n= 5\nPo uwzględnieniu zależności 𝛼+ 𝛽= 90° otrzymujemy\n𝛼\n𝛽\n𝑟\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n𝑆\n𝐷\n𝑦\n𝑥\n1\ntg\n𝛼\n2\n1\ntg (45° -\n𝛼\n2)\n= 5\nStosujemy wzór na tangens różnicy kątów i przekształcamy otrzymane równanie\n1\ntg\n𝛼\n2\n1 + tg 45° ⋅tg\n𝛼\n2\ntg 45° -tg\n𝛼\n2\n= 5\n1\ntg\n𝛼\n2\n1 + tg\n𝛼\n2\n1 -tg\n𝛼\n2\n= 5\n1 -tg 𝛼\n2 + (1 + tg 𝛼\n2) ⋅tg 𝛼\n2 = 5 (1 -tg 𝛼\n2) ⋅tg 𝛼\n2\n6 (tg 𝛼\n2)\n2\n-5 tg 𝛼\n2 + 1 = 0\n(2 tg 𝛼\n2 -1) (3 tg 𝛼\n2 -1) = 0\ntg 𝛼\n2 = 1\n2 lub tg 𝛼\n2 = 1\n3\nGdy tg 𝛼\n2 = 1\n2, to wtedy tg 𝛼=\n2tg(𝛼\n2)\n1-tg2(𝛼\n2) =\n2⋅1\n2\n1-(1\n2)\n2 = 4\n3 .\nGdy tg 𝛼\n2 = 1\n3, to wtedy tg 𝛼=\n2tg(𝛼\n2)\n1-tg2(𝛼\n2) =\n2⋅1\n3\n1-(1\n3)\n2 = 3\n4 .\nZatem długości boków trójkąta mają się jak 3: 4: 5 i sinus większego z kątów ostrych trójkąta\njest równy 4\n5 .\nSposób 6. (sinus podwojonego kąta)\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎, 𝑏, 𝑐 - długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\n𝛼, 𝛽 - miary kątów ostrych trójkąta\n𝑟 - promień okręgu wpisanego w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. (Zobacz rysunek).\n𝛼\n𝛽\n𝑟\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWtedy 𝑟= 𝑎+𝑏-𝑐\n2\n. Z treści zadania wynika, że 𝑐= 5𝑟.\nZatem\n𝑐= 5 ∙𝑎+ 𝑏-𝑐\n2\n2𝑐= 5𝑎+ 5𝑏-5𝑐\n5𝑎+ 5𝑏= 7𝑐\nPonieważ obie strony tej równości są dodatnie, więc:\n25𝑎2 + 50𝑎𝑏+ 25𝑏2 = 49𝑐2\n25(𝑎2 + 𝑏2) + 50𝑎𝑏= 49𝑐2\n25𝑐2 + 50𝑎𝑏= 24𝑐2\n50𝑎𝑏= 24𝑐2\nPonieważ 𝑎= 𝑐∙sin𝛼 oraz 𝑏= 𝑐∙cos𝛼, więc powyższą równość możemy zapisać\nw postaci\n50 ∙𝑐2 ∙sin𝛼∙cos𝛼= 24𝑐2\na zatem\n25 ∙sin2𝛼= 24\nczyli\nsin2𝛼= 24\n25\nKorzystamy z tożsamości sin22𝛼+ cos22𝛼= 1 i otrzymujemy\ncos22𝛼= 1 -(24\n25)\n2\n= 49\n625\nZatem cos2𝛼= 7\n25 lub cos2𝛼= -7\n25 . Ale cos2𝛼= 1 -2sin2𝛼, więc\n1 -2sin2𝛼= 7\n25 lub 1 -2sin2𝛼= -7\n25\nStąd\nsin2𝛼= 9\n25 lub sin2𝛼= 16\n25\nKąt 𝛼 jest ostry, więc sin𝛼> 0. Zatem otrzymujemy sin𝛼= 3\n5 lub sin𝛼= 4\n5 .\nWówczas - odpowiednio do otrzymanych wartości sin 𝛼 - mamy: cos 𝛼= 4\n5 = sin 𝛽 lub\ncos 𝛼= 3\n5 = sin 𝛽. Ponieważ kątowi ostremu o większej mierze odpowiada większa wartość\nsinusa, więc sinus większego z kątów ostrych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 4\n5 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\)\n\nGdzie \\(\\alpha\\) to większy z kątów ostrych trójkąta prostokątnego.\n\n## Sposób 1 - układ równań z wzorem na promień okręgu wpisanego\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a, b\\) - przyprostokątne, \\(c\\) - przeciwprostokątna, \\(\\alpha\\) - większy kąt ostry (naprzeciw \\(a\\)).\n\n**Krok 1 - warunek zadania.**\n\nPromień okręgu wpisanego jest pięciokrotnie krótszy od przeciwprostokątnej:\n\\[r = \\frac{c}{5}\\]\n\n**Krok 2 - wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny.**\n\nZ karty CKE: dla trójkąta prostokątnego \\(r = \\dfrac{a + b - c}{2}\\), więc:\n\\[\\frac{a + b - c}{2} = \\frac{c}{5}\\]\n\\[a + b - c = \\frac{2c}{5}\\]\n\\[a + b = c + \\frac{2c}{5} = \\frac{7c}{5}\\]\n\n**Krok 3 - dzielę obustronnie przez \\(c\\).**\n\n\\[\\frac{a}{c} + \\frac{b}{c} = \\frac{7}{5}\\]\n\nAle \\(\\dfrac{a}{c} = \\sin\\alpha\\) oraz \\(\\dfrac{b}{c} = \\cos\\alpha\\) (kąt \\(\\alpha\\) naprzeciw dłuższej przyprostokątnej), więc:\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{7}{5}\\]\n\n**Krok 4 - układ z jedynką trygonometryczną.**\n\nMam:\n\\[\\begin{cases} \\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5} \\\\ \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\end{cases}\\]\n\nPodstawiam \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5} - \\sin\\alpha\\) do drugiego równania:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{7}{5} - \\sin\\alpha\\right)^2 = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{49}{25} - \\frac{14}{5}\\sin\\alpha + \\sin^2\\alpha = 1\\]\n\\[2\\sin^2\\alpha - \\frac{14}{5}\\sin\\alpha + \\frac{49}{25} - 1 = 0\\]\n\\[2\\sin^2\\alpha - \\frac{14}{5}\\sin\\alpha + \\frac{24}{25} = 0\\]\n\nMnożę przez \\(25\\):\n\\[50\\sin^2\\alpha - 70\\sin\\alpha + 24 = 0\\]\n\\[25\\sin^2\\alpha - 35\\sin\\alpha + 12 = 0\\]\n\n**Krok 5 - delta i rozwiązania.**\n\n\\[\\Delta = 35^2 - 4 \\cdot 25 \\cdot 12 = 1225 - 1200 = 25\\]\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{35 \\pm 5}{50}\\]\n\nDwa rozwiązania:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{40}{50} = \\frac{4}{5} \\qquad \\text{lub} \\qquad \\sin\\alpha = \\frac{30}{50} = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Krok 6 - który kąt jest większy?**\n\nKąt \\(\\alpha\\) jest **większym** kątem ostrym, więc \\(\\alpha > 45°\\), a zatem \\(\\sin\\alpha > \\sin 45° = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707\\).\n\n- \\(\\dfrac{4}{5} = 0{,}8 > 0{,}707\\) ✓\n- \\(\\dfrac{3}{5} = 0{,}6 < 0{,}707\\) ✗\n\n**Odpowiedź:** \\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{4}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - sprytna metoda przez \\(\\sin 2\\alpha\\)\n\n**Krok 1 - ta sama równość co w Sposobie 1:**\n\\[\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{7}{5}\\]\n\n**Krok 2 - podnosimy do kwadratu obie strony:**\n\\[(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha)^2 = \\frac{49}{25}\\]\n\\[\\sin^2\\alpha + 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{49}{25}\\]\n\\[1 + \\sin 2\\alpha = \\frac{49}{25}\\]\n\\[\\sin 2\\alpha = \\frac{24}{25}\\]\n\n**Krok 3 - obliczamy \\(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha\\):**\n\\[(\\sin\\alpha - \\cos\\alpha)^2 = 1 - 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = 1 - \\sin 2\\alpha = 1 - \\frac{24}{25} = \\frac{1}{25}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha > 45°\\), mamy \\(\\sin\\alpha > \\cos\\alpha\\), więc:\n\\[\\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\frac{1}{5}\\]\n\n**Krok 4 - układ liniowy:**\n\\[\\begin{cases} \\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5} \\\\[6pt] \\sin\\alpha - \\cos\\alpha = \\dfrac{1}{5} \\end{cases}\\]\n\nDodajemy stronami:\n\\[2\\sin\\alpha = \\frac{8}{5} \\implies \\sin\\alpha = \\frac{4}{5}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{7}{5} - \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{3}{5}\\), \\(a = 4k\\), \\(b = 3k\\), \\(c = 5k\\) (trójka pitagorejska!).\nPromień: \\(r = \\dfrac{4k + 3k - 5k}{2} = k = \\dfrac{c}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\nTo kluczowy wzór zadania - bez niego nie da się powiązać promienia z bokami.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w obu sposobach do zamknięcia układu równań.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - wzór na sinus podwojonego kąta (Sposób 2):\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\) dotyczy tylko trójkąta prostokątnego - nie mylić z ogólnym wzorem \\(P = p \\cdot r\\) (choć oba są poprawne, ten jest prostszy w użyciu tutaj).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu równania kwadratowego wychodzą dwa rozwiązania: \\(\\dfrac{3}{5}\\) i \\(\\dfrac{4}{5}\\). Trzeba wybrać właściwe - to dotyczące **większego** kąta ostrego, czyli \\(\\sin\\alpha > \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Wielu uczniów podaje \\(\\dfrac{3}{5}\\) i traci punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójka \\((3, 4, 5)\\) to klasyczna trójka pitagorejska - gdy wynik wychodzi tak \"ładnie\", warto sprawdzić czy trójkąt o takiej trójce spełnia warunki zadania (tu: \\(r = 1\\), \\(c = 5\\), czyli \\(r = c/5\\) ✓).\n\n### Sposob 1 (wzor r = (a+b-c)/2 + tw. Pitagorasa)\nNiech \\(a, b\\) - przyprostokatne, \\(c\\) - przeciwprostokatna. Z karty wzorow (okrag wpisany w trojkat prostokatny): \\(r = \\dfrac{a + b - c}{2}\\).\n\nZ warunku \\(r = \\tfrac{c}{5}\\): \\(\\dfrac{c}{5} = \\dfrac{a+b-c}{2} \\Rightarrow 2c = 5a + 5b - 5c \\Rightarrow 5a + 5b = 7c \\Rightarrow b = \\tfrac{7}{5}c - a\\).\n\nZ tw. Pitagorasa \\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\\):\n\\[a^{2} + \\left(\\tfrac{7}{5}c - a\\right)^{2} = c^{2} \\Rightarrow a^{2} + \\tfrac{49}{25}c^{2} - \\tfrac{14}{5}ac + a^{2} = c^{2}.\\]\n\\[2a^{2} - \\tfrac{14}{5}ac + \\tfrac{49}{25}c^{2} - c^{2} = 0 \\Rightarrow 2a^{2} - \\tfrac{14}{5}ac + \\tfrac{24}{25}c^{2} = 0 \\Rightarrow 50a^{2} - 70ac + 24c^{2} = 0.\\]\n\\[25a^{2} - 35ac + 12c^{2} = 0.\\]\n\nTraktujac jako rownanie kwadratowe z niewiadoma \\(a\\), parametrem \\(c\\): \\(\\Delta = 1225c^{2} - 1200c^{2} = 25c^{2}\\), \\(a = \\dfrac{35c \\pm 5c}{50}\\), czyli \\(a = \\tfrac{3}{5}c\\) lub \\(a = \\tfrac{4}{5}c\\).\n\nWtedy \\(b = \\tfrac{4}{5}c\\) lub \\(b = \\tfrac{3}{5}c\\). Boki: \\(3k, 4k, 5k\\).\n\nSinus wiekszego z katow ostrych: \\(\\sin \\beta = \\dfrac{4k}{5k} = \\dfrac{4}{5}\\).\n\n### Sposob 2 (sinus podwojonego kata)\nZ rownosci odcinkow stycznych i wzoru na r: \\(c = 5r, a + b = 7r\\). Pole trojkata: \\(P = \\tfrac{1}{2}ab = r \\cdot s = r \\cdot \\tfrac{1}{2}(a+b+c) = \\tfrac{1}{2}r(7r + 5r) = 6r^{2}\\).\n\nWiec \\(ab = 12r^{2}\\).\n\nKorzystajac z \\(a = c\\sin\\alpha, b = c\\cos\\alpha\\): \\(c^{2}\\sin\\alpha\\cos\\alpha = 12r^{2} = 12(c/5)^{2} = \\tfrac{12}{25}c^{2}\\).\n\nStad \\(\\sin\\alpha\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{25}\\), czyli \\(\\sin 2\\alpha = \\tfrac{24}{25}\\).\n\nZ \\(\\sin^{2}2\\alpha + \\cos^{2}2\\alpha = 1\\): \\(\\cos 2\\alpha = \\pm\\tfrac{7}{25}\\). Z \\(\\cos 2\\alpha = 1 - 2\\sin^{2}\\alpha\\): \\(\\sin^{2}\\alpha = \\tfrac{9}{25}\\) lub \\(\\tfrac{16}{25}\\). Zatem \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{3}{5}\\) lub \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{4}{5}\\).\n\nSinus wiekszego kata ostrego: \\(\\dfrac{4}{5}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: zaleznosc \\(\\tfrac{a+b-c}{2} = \\tfrac{1}{5}c\\) lub \\(a = x+r, b = y+r, 5r = x+y\\), lub \\(\\tan\\tfrac{\\alpha}{2}, \\tan\\tfrac{\\beta}{2}\\) w zaleznosci od r, x, y.\n- 2 pkt: rownanie kwadratowe np. \\(a^{2} + (\\tfrac{7}{5}c - a)^{2} = c^{2}\\) lub \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\tfrac{7}{5}\\) lub \\(25\\sin 2\\alpha = 24\\).\n- 3 pkt: rozwiazanie kwadratowe lub zaleznosc a = 3r lub a = 4r.\n- 4 pkt: poprawny wynik \\(\\sin = \\tfrac{4}{5}\\).\n\n**Trik:** Trojkat Pitagorejski 3-4-5 ma wpisany okrag r = 1 przy c = 5, wiec stosunek \\(r:c = 1:5\\). Bez wielu obliczen: odpowiedz \\(\\tfrac{4}{5}\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nDane są parabola o równaniu 𝑦= 𝑥ଶ oraz punkty 𝐴= (0, 2) i 𝐵= (1, 3) (zobacz rysunek).\nRozpatrujemy wszystkie trójkąty 𝐴𝐵𝐶, których wierzchołek 𝐶 leży na tej paraboli. Niech 𝑚\noznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐶.\na) Wyznacz pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako funkcję zmiennej 𝑚.\nb) Wyznacz wszystkie wartości 𝑚, dla których trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny.\n-3 -2 -1 0\n1 2 3 𝑥\n𝑦\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n𝐴\n𝐵\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Dane są parabola o równaniu y=x^2 oraz punkty A=(0,2) i B=(1,3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C. a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m. b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nP4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej\nna podstawie pewnych informacji o tej\nfunkcji lub o jej wykresie;\nR7.4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich […].\nŁącznie za zadanie zdający może otrzymać 6 punktów: 3 punkty za rozwiązanie podpunktu a)\noraz 3 punkty za rozwiązanie podpunktu b).\nZasady oceniania dla podpunktu a)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze współrzędne punktu 𝐶 w zależności od zmiennej 𝑚: 𝐶= (𝑚, 𝑚2).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nwyznaczy wysokość ℎ𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 w zależności\nod 𝑚: ℎ𝐶=\n|𝑚-𝑚2+2|\n√2\nALBO\n\nwyznaczy współrzędne dwóch wektorów zaczepionych w jednym z wierzchołków\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶, rozpinających trójkąt 𝐴𝐵𝐶, np. 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑚, 𝑚2 -2], 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [1, 1]\nALBO\n\nwyznaczy długości odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 w zależności od zmiennej 𝑚 oraz wyznaczy\ndługość odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐶| = √𝑚2 + (𝑚2 -2)2, |𝐵𝐶| = √(𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2,\n|𝐴𝐵| = √2\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od\nzmiennej 𝑚:\n𝑃(𝑚) = 1\n2 ⋅|𝑚2 -𝑚-2| dla 𝑚≠-1 i 𝑚≠2\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznaczy poprawny wzór funkcji 𝑃(𝑚), lecz nie poda dziedziny tej funkcji,\nto może za rozwiązanie podpunktu a) otrzymać 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje 𝐶= (𝑥, 𝑥2), konsekwentnie rozwiązuje podpunkt a) zadania do\nkońca, otrzymując 𝑃(𝑥) = 1\n2 ⋅|𝑥2 -𝑥-2|, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania dla podpunktu b)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzauważy, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt 𝐶 leży na jednym\nz fragmentów 𝑀1𝑀2 lub 𝑁1𝑁2 paraboli\nALBO\n\nzapisze równania prostych prostopadłych do prostej 𝐴𝐵 przechodzących przez punkt\n𝐴 i 𝐵\nALBO\n\nzapisze, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐶 jest\nostry i zapisze warunki na to, żeby kąty przy wierzchołkach 𝐴 i 𝐵 były ostre\nALBO\n\nzapisze warunki na to, aby kąty przy wierzchołkach 𝐴, 𝐵 i 𝐶 były ostre, np.:\ncos|∡𝐶𝐴𝐵| > 0 oraz cos|∡𝐴𝐵𝐶| > 0 oraz cos|∡𝐴𝐶𝐵| > 0\nlub\ncos|∡(𝐴𝐵,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )| > 0 oraz cos|∡(𝐶𝐴,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ )| > 0 oraz cos|∡(𝐵𝐴,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ )| > 0\nlub\n𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ > 0 oraz 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ > 0 oraz 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ > 0\nlub\n|𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 > |𝐶𝐴|2, |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐴|2 > |𝐴𝐵|2, |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 > |𝐵𝐶|2\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nwyznaczy równania prostych 𝑀1𝑁1 oraz 𝑀2𝑁2 oraz obliczy odcięte co najmniej\ndwóch punktów spośród 𝑀1, 𝑁1, 𝑀2, 𝑁2 i stwierdzi, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy\ni tylko wtedy, gdy punkt 𝐶 leży na jednym z fragmentów 𝑀1𝑀2 lub 𝑁1𝑁2 paraboli\nALBO\n\nzapisze układ nierówności:\n𝑚2 + (𝑚2 -2)2 + 2 -(𝑚-1)2 -(𝑚2 -3)2 > 0\ni\n(𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2 + 2 -𝑚2 -(𝑚2 -2)2 > 0\ni\n𝑚2 + (𝑚2 -2)2 + (𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2 -2 > 0\nALBO\n\nstwierdzi, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐶 jest\nostry oraz zapisze układ nierówności:\n𝑚2 + (𝑚2 -2)2 + 2 -(𝑚-1)2 -(𝑚2 -3)2 > 0\ni\n(𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2 + 2 -𝑚2 -(𝑚2 -2)2 > 0\nALBO\n\nzapisze układ nierówności:\n𝑚2 + 𝑚-2 > 0\ni\n𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 > 0\ni\n-𝑚2 -𝑚+ 4 > 0\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i wyznaczy wartości 𝑚 dla których trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest\nostrokątny:\n𝑚∈(-1-√17\n2\n, -2) ∪(1, -1+√17\n2\n).\nUwaga:\nJeżeli zdający, rozwiązując część b) sposobem 1., nie stwierdzi, że kąt przy wierzchołku 𝐶\njest zawsze ostry, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nSposób 1.\nNiech 𝐶 będzie dowolnym punktem leżącym na paraboli. Wtedy 𝐶= (𝑚, 𝑚2), gdzie 𝑚 jest\ndowolną liczbą rzeczywistą.\nDługość odcinka 𝐴𝐵 jest równa |𝐴𝐵| = √(1 -0)2 + (3 -2)2 = √2, a prosta 𝐴𝐵 ma\nrównanie postaci 𝑦= 𝑥+ 2, czyli 𝑥-𝑦+ 2 = 0.\nWysokość ℎ𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona z wierzchołka 𝐶 jest równa odległości punktu 𝐶\nod prostej 𝐴𝐵, więc ze wzoru na odległość punktu od prostej otrzymujemy\nℎ𝐶=\n|𝑚-𝑚2 + 2|\n√12 + (-1)2 =\n|𝑚-𝑚2 + 2|\n√2\nZatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 1\n2 ⋅√2 ⋅|𝑚-𝑚2 + 2|\n√2\n= 1\n2 ⋅|𝑚-𝑚2 + 2|\ndla 𝑚≠-1 oraz 𝑚≠2 (gdy punkt 𝐶 leży na prostej 𝐴𝐵, a więc gdy 𝑚-𝑚2 + 2 = 0,\nto trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie istnieje).\nSposób 2.\nNiech 𝐶 będzie dowolnym punktem leżącym na paraboli. Wtedy 𝐶= (𝑚, 𝑚2), gdzie 𝑚 jest\ndowolną liczbą rzeczywistą. Współrzędne wektorów 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ są równe\n𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [1 -0, 3 -2] = [1, 1] oraz 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑚-0, 𝑚2 -2] = [𝑚, 𝑚2 -2]\nZatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃(𝑚) = 1\n2 ⋅|𝑚⋅1 -1 ⋅(𝑚2 -2)| = 1\n2 ⋅|𝑚2 -𝑚-2|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ndla 𝑚≠-1 oraz 𝑚≠2 (gdy punkt 𝐶 leży na prostej 𝐴𝐵, a więc gdy 𝑚-𝑚2 + 2 = 0,\nto trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie istnieje).\nb)\nSposób 1.\nZauważmy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt 𝐶 leży na jednym\nz fragmentów 𝑀1𝑀2 lub 𝑁1𝑁2 paraboli, gdzie końce tych fragmentów to punkty przecięcia\nprostych prostopadłych do prostej 𝐴𝐵, przechodzących przez punkty 𝐴 i 𝐵, z parabolą (kąt\nprzy wierzchołku 𝐶 tego trójkąta zawsze będzie kątem ostrym).\nWystarczy w tym celu pokazać, że punkt 𝐶 nie leży w kole, którego średnicą jest odcinek 𝐴𝐵.\nPromień tego koła jest równy 𝑟=\n√2\n2 , a środkiem koła jest punkt 𝑆= (0+1\n2 , 2+3\n2 ) = (1\n2 , 5\n2),\nwięc koło jest opisane nierównością\n(𝑥-1\n2)\n2\n+ (𝑦-5\n2)\n2\n≤1\n2\nczyli\n(𝑥-1\n2)\n2\n+ (𝑦-5\n2)\n2\n-1\n2 ≤0\nPonieważ\n(𝑚-1\n2)\n2\n+ (𝑚2 -5\n2)\n2\n-1\n2 = 𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 = (𝑚2 -2,1)2 + 0,2𝑚2 -𝑚+ 1,59\ni wyróżnik trójmianu 0,2𝑚2 -𝑚+ 1,59 jest ujemny, więc\n(𝑚-1\n2)\n2\n+ (𝑚2 -5\n2)\n2\n-1\n2 = (𝑚2 -2,1)2 + 0,2𝑚2 -𝑚+ 1,59 > 0\ndla każdego 𝑚∈𝑅.\n-3 -2 -1\n0\n1\n2\n3\n𝑥\n𝑦\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n𝐴\n𝐵\n𝑁2\n𝐶2\n𝑁1\n𝑀2\n𝐶1\n𝑀1\nTo oznacza, że współrzędne punktu 𝐶= (𝑚, 𝑚2) leżącego na paraboli, nie spełniają\nnierówności koła, czyli 𝐶 nie leży w kole, którego średnicą jest odcinek 𝐴𝐵.\nWspółczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest równy 1, więc prosta prostopadła do 𝐴𝐵\ni przechodząca przez punkt 𝐴 ma równanie 𝑦= -𝑥+ 2, natomiast prosta prostopadła do\n𝐴𝐵 i przechodząca przez punkt 𝐵 ma równanie 𝑦= -𝑥+ 4.\nPierwsze współrzędne punktów 𝑀1 i 𝑁1 przecięcia prostej o równaniu 𝑦= -𝑥+ 2\nz parabolą obliczymy, rozwiązując równanie otrzymane z przyrównania prawych stron równań\n𝑦= -𝑥+ 2 i 𝑦= 𝑥2. Otrzymujemy 𝑥2 = -𝑥+ 2, więc 𝑥𝑀1 = 1 oraz 𝑥𝑁1 = -2.\nPodobnie obliczymy pierwsze współrzędne punktów 𝑀2 i 𝑁2. Po przyrównaniu prawych stron\nrównań 𝑦= -𝑥+ 4 i 𝑦= 𝑥2 otrzymujemy 𝑥2 = -𝑥+ 4, więc 𝑥𝑁2 = -1-√17\n2\noraz\n𝑥𝑀2 = -1+√17\n2\nZatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny tylko wtedy, gdy 𝑚∈(-1-√17\n2\n, -2) ∪(1, -1+√17\n2\n).\nUwagi:\n1. Uzasadnienie, że punkt 𝐶 nie leży w kole o średnicy 𝐴𝐵 można przeprowadzić też\nw następujący sposób. Promień tego koła jest równy 𝑟=\n√2\n2 , a środkiem tego koła jest\npunkt 𝑆= (0+1\n2 , 2+3\n2 ) = (1\n2 , 5\n2). Rozważmy kwadrat opisany na tym kole, przy czym\nodcinek 𝐴𝐵 łączy środki dwóch przeciwległych boków tego kwadratu. Wierzchołkami tego\nkwadratu są punkty 𝐸= (1\n2 , 3\n2), 𝐹= (3\n2 , 5\n2), 𝐺= (1\n2 , 7\n2), 𝐻= (-1\n2 , 5\n2). Obszar\nograniczony parabolą, w którym zawarty jest odcinek 𝐴𝐵, jest opisany nierównością\n𝑦> 𝑥2. Ponieważ 3\n2 > (1\n2)\n2\n, 5\n2 > (3\n2)\n2\n, 7\n2 > (1\n2)\n2\noraz 5\n2 > (-1\n2)\n2\n, więc każdy z punktów\n𝐸, 𝐹, 𝐺 i 𝐻 leży w tym obszarze. Obszar ten jest figurą wypukłą, więc kwadrat 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest\nzawarty w tym obszarze. Zatem koło wpisane w ten kwadrat również jest w tym obszarze\nzawarte. To oznacza, że żaden z punktów 𝐶 nie leży w kole o środku 𝑆 i średnicy 𝐴𝐵.\n2. Uzasadnienie, że wyrażenie 𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 przyjmuje dla każdego 𝑚∈𝑅 wartości\ndodatnie, można przeprowadzić też następująco. Gdy 𝑚< 2, to wówczas 2 -𝑚> 0, więc\n𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 = (𝑚2 -2)2 + 2 -𝑚> 0. Dla 𝑚≥2 mamy z kolei 𝑚2 -2 ≥2,\nwięc\n(𝑚2 -2)2 + 2 -𝑚≥2(𝑚2 -2) + 2 -𝑚= 2𝑚2 -𝑚-2 ≥2 ⋅22 -2 -2 > 0.\nSposób 2.\nAby wyznaczyć wszystkie wartości 𝑚, dla których trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny, wystarczy\nwyznaczyć te wartości 𝑚, dla których kąty 𝐶𝐴𝐵, 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐵 są ostre. Tak jest wtedy, gdy\ncosinusy tych kątów są dodatnie, czyli gdy\ncos|∡𝐶𝐴𝐵| > 0 i cos|∡𝐴𝐵𝐶| > 0 i cos|∡𝐴𝐶𝐵| > 0.\nStąd i z twierdzenia cosinusów otrzymujemy\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2\n2𝑏𝑐\n> 0 i 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\n> 0 i 𝑏2 + 𝑎2 -𝑐2\n2𝑎𝑏\n> 0\ngdzie 𝑎2 = |𝐵𝐶|2 = (𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2, 𝑏2 = |𝐴𝐶|2 = 𝑚2 + (𝑚2 -2)2 oraz\n𝑐2 = |𝐴𝐵|2 = 2.\nZatem\n𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2 > 0 i 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2 > 0 i 𝑏2 + 𝑎2 -𝑐2 > 0\nRozwiązujemy pierwszą z tych nierówności:\n𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2 > 0\n𝑚2 + (𝑚2 -2)2 + 2 -(𝑚-1)2 -(𝑚2 -3)2 > 0\n2𝑚2 + 2𝑚-4 > 0\n2(𝑚-1)(𝑚+ 2) > 0\n𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)\nRozwiązujemy drugą z nierówności:\n𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2 > 0\n(𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2 + 2 -𝑚2 -(𝑚2 -2)2 > 0\n-2𝑚2 -2𝑚+ 8 > 0\nΔ = (-2)2 -4 ⋅(-2) ⋅8 = 68\n𝑚1 = 2 -√68\n-4\n= -1 + √17\n2\n, 𝑚2 = 2 + √68\n-4\n= -1 -√17\n2\n𝑚∈(-1 -√17\n2\n, -1 + √17\n2\n)\nNierówności 𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2 > 0 i 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2 > 0 są spełnione jednocześnie dla\n𝑚∈(-1-√17\n2\n, -2) ∪(1, -1+√17\n2\n).\nPrzekształcamy nierówność 𝑏2 + 𝑎2 -𝑐2 > 0 i otrzymujemy\n𝑚2 + (𝑚2 -2)2 + (𝑚-1)2 + (𝑚2 -3)2 -2 > 0\n2𝑚4 -8𝑚2 -2𝑚+ 12 > 0\n𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 > 0\nWykażemy, że dla każdego 𝑚∈(-1-√17\n2\n, -2) ∪(1, -1+√17\n2\n) nierówność ta jest\nprawdziwa.\nNierówność 𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 > 0 możemy zapisać w postaci\n(𝑚2 -2)2 + 2 -𝑚> 0\nDla 𝑚< 2 nierówność jest prawdziwa, gdyż lewa strona nierówności jest dodatnia. Ponieważ\n-1+√17\n2\n< -1+5\n2\n= 2, więc dla każdego 𝑚∈(-1-√17\n2\n, -2) ∪(1, -1+√17\n2\n) nierówność\n𝑚4 -4𝑚2 -𝑚+ 6 > 0 jest prawdziwa.\nStąd trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny tylko dla 𝑚∈(-1-√17\n2\n, -2) ∪(1, -1+√17\n2\n).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(P(m) = \\dfrac{1}{2}|m^2 - m - 2|\\), dla \\(m \\neq -1\\) i \\(m \\neq 2\\)\n\n**b)** \\(m \\in \\left(\\dfrac{-1-\\sqrt{17}}{2},\\; -2\\right) \\cup \\left(1,\\; \\dfrac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole trójkąta ze współrzędnych (część a) i wektory (część b)\n\n### Część a) - pole P(m)\n\nPonieważ \\(C\\) leży na paraboli \\(y = x^2\\), jego współrzędne to \\(C = (m,\\, m^2)\\).\n\nUżywamy wzoru na pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołków \\(A(x_A, y_A)\\), \\(B(x_B, y_B)\\), \\(C(x_C, y_C)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)\\right|\\]\n\nPodstawiamy \\(A = (0,2)\\), \\(B = (1,3)\\), \\(C = (m, m^2)\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|(1-0)(m^2-2) - (3-2)(m-0)\\right|\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2}\\left|m^2 - 2 - m\\right|\\]\n\n\\[\\boxed{P(m) = \\frac{1}{2}\\left|m^2 - m - 2\\right|}\\]\n\n**Kiedy trójkąt degeneruje?** Gdy \\(P = 0\\), czyli \\(m^2 - m - 2 = 0\\):\n\\[\\Delta = 1 + 8 = 9, \\quad m = \\frac{1 \\pm 3}{2}\\]\nwięc \\(m = 2\\) lub \\(m = -1\\). Są to wartości, dla których \\(C\\) leży na prostej \\(AB\\) - trójkąt nie istnieje. Stąd **dziedzina**: \\(m \\neq -1,\\; m \\neq 2\\).\n\n### Część b) - ostrokątność przez iloczyny skalarne\n\nTrójkąt jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy **każdy** iloczyn skalarny odpowiednich wektorów wychodzących z wierzchołka jest dodatni.\n\n**Kąt przy A** - wektory \\(\\vec{AB} = (1,1)\\) oraz \\(\\vec{AC} = (m,\\; m^2-2)\\):\n\n\\[\\vec{AB} \\cdot \\vec{AC} = 1 \\cdot m + 1 \\cdot (m^2-2) = m^2 + m - 2 = (m+2)(m-1)\\]\n\nWarunek ostrokątności przy A:\n\\[(m+2)(m-1) > 0 \\implies m < -2 \\;\\text{ lub }\\; m > 1\\]\n\n**Kąt przy B** - wektory \\(\\vec{BA} = (-1,-1)\\) oraz \\(\\vec{BC} = (m-1,\\; m^2-3)\\):\n\n\\[\\vec{BA} \\cdot \\vec{BC} = (-1)(m-1) + (-1)(m^2-3) = -m+1-m^2+3 = -m^2 - m + 4\\]\n\nWarunek ostrokątności przy B:\n\\[-m^2 - m + 4 > 0 \\implies m^2 + m - 4 < 0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(m = \\dfrac{-1 \\pm \\sqrt{17}}{2}\\), więc:\n\\[\\frac{-1-\\sqrt{17}}{2} < m < \\frac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\]\n\n**Kąt przy C** - wektory \\(\\vec{CA} = (-m,\\; 2-m^2)\\) oraz \\(\\vec{CB} = (1-m,\\; 3-m^2)\\):\n\n\\[\\vec{CA} \\cdot \\vec{CB} = (-m)(1-m) + (2-m^2)(3-m^2)\\]\n\\[= -m + m^2 + 6 - 2m^2 - 3m^2 + m^4 = m^4 - 4m^2 - m + 6\\]\n\nZauważamy:\n\\[m^4 - 4m^2 - m + 6 = (m^2-2)^2 + (2-m)\\]\n\n- Dla \\(m \\leq 2\\): oba składniki \\(\\geq 0\\), a jednoczesna równość wymagałaby \\(m^2 = 2\\) i \\(m = 2\\) jednocześnie - niemożliwe. Zatem \\(> 0\\). ✓\n- Dla \\(m > 2\\): mamy \\(m^2 - 2 > m\\) (bo \\(m^2 - m - 2 = (m-2)(m+1) > 0\\)), więc \\((m^2-2)^2 > m^2 > m > m-2\\), co daje \\((m^2-2)^2 + (2-m) > 0\\). ✓\n\n**Kąt przy C jest zawsze ostry** - ten warunek nie ogranicza zbioru rozwiązań.\n\n**Część wspólna wszystkich warunków:**\n\n\\[\\left(m < -2 \\;\\text{ lub }\\; m > 1\\right) \\quad \\cap \\quad \\left(\\frac{-1-\\sqrt{17}}{2} < m < \\frac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\right)\\]\n\nPonieważ \\(\\dfrac{-1-\\sqrt{17}}{2} \\approx -2{,}56\\) i \\(\\dfrac{-1+\\sqrt{17}}{2} \\approx 1{,}56\\):\n\n\\[\\boxed{m \\in \\left(\\frac{-1-\\sqrt{17}}{2},\\; -2\\right) \\cup \\left(1,\\; \\frac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - podstawa × wysokość (część a) i twierdzenie cosinusów (część b)\n\n### Część a) - odległość od prostej AB\n\nProsta przez \\(A = (0,2)\\) i \\(B = (1,3)\\) ma równanie \\(y = x + 2\\), czyli \\(x - y + 2 = 0\\).\n\nPodstawa \\(|AB|\\):\n\\[|AB| = \\sqrt{(1-0)^2 + (3-2)^2} = \\sqrt{2}\\]\n\nOdległość \\(C = (m, m^2)\\) od prostej \\(AB\\):\n\\[h = \\frac{|m - m^2 + 2|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|m^2 - m - 2|}{\\sqrt{2}}\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot \\sqrt{2} \\cdot \\frac{|m^2 - m - 2|}{\\sqrt{2}} = \\frac{1}{2}|m^2 - m - 2|\\]\n\nWynik identyczny. ✓\n\n### Część b) - twierdzenie cosinusów\n\nTrójkąt ostrokątny \\(\\iff\\) dla każdego wierzchołka: **najdłuższy bok naprzeciwko** spełnia \\(c^2 < a^2 + b^2\\).\n\nObliczamy kwadraty boków:\n\\[|AB|^2 = 2\\]\n\\[|AC|^2 = m^2 + (m^2-2)^2 = m^4 - 3m^2 + 4\\]\n\\[|BC|^2 = (m-1)^2 + (m^2-3)^2 = m^4 - 5m^2 - 2m + 10\\]\n\n**Ostrokątność przy A** (\\(\\angle A < 90°\\) gdy \\(|BC|^2 < |AB|^2 + |AC|^2\\)):\n\\[m^4 - 5m^2 - 2m + 10 < 2 + m^4 - 3m^2 + 4\\]\n\\[-2m^2 - 2m + 4 < 0 \\implies m^2 + m - 2 > 0 \\implies (m+2)(m-1) > 0\\]\n\n**Ostrokątność przy B** (\\(\\angle B < 90°\\) gdy \\(|AC|^2 < |AB|^2 + |BC|^2\\)):\n\\[m^4 - 3m^2 + 4 < 2 + m^4 - 5m^2 - 2m + 10\\]\n\\[2m^2 + 2m - 8 < 0 \\implies m^2 + m - 4 < 0\\]\n\nOba wyniki zgodne z Metodą 1 - odpowiedź identyczna. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n- Odległość punktu \\(P(x_0, y_0)\\) od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości trójkąta.\n\n- Długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB|\\), \\(|AC|\\), \\(|BC|\\).\n\n- Pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyte bezpośrednio w Sposobie 1 (część a).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyznacznik \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\) do rozwiązania nierówności kwadratowych w części b).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o wartości bezwzględnej w formule na pole! Wyrażenie \\(m^2 - m - 2\\) zmienia znak - bez \\(|\\cdot|\\) dostaniemy ujemne \"pole\" dla pewnych \\(m\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów sprawdza ostrokątność tylko przy **jednym** wierzchołku. Trójkąt jest ostrokątny tylko wtedy, gdy **wszystkie trzy** kąty są ostre - trzeba uciąć część wspólną wszystkich warunków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć o przypadkach degeneracji (\\(m = -1\\) i \\(m = 2\\)), gdy \\(A\\), \\(B\\), \\(C\\) są współliniowe - trójkąt wtedy nie istnieje i pytanie o jego ostrokątność nie ma sensu. Na szczęście oba te punkty nie należą do wyznaczonego przedziału.\n\n### Sposob 1 (odleglosc punktu od prostej - czesc a)\n**a)** Na paraboli \\(C = (m, m^{2})\\).\n\\(|AB| = \\sqrt{(1-0)^{2} + (3-2)^{2}} = \\sqrt{2}\\).\n\nProsta AB: wspolczynnik \\(\\tfrac{3-2}{1-0} = 1\\), \\(y = x + 2\\), czyli \\(x - y + 2 = 0\\).\n\nWysokosc z C (karta wzorow: odleglosc punktu od prostej):\n\\[h_{C} = \\dfrac{|m - m^{2} + 2|}{\\sqrt{2}}.\\]\n\n\\[P(m) = \\tfrac{1}{2}|AB| \\cdot h_{C} = \\tfrac{1}{2}\\sqrt{2} \\cdot \\dfrac{|m - m^{2} + 2|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{1}{2}|m^{2} - m - 2|.\\]\n\nDziedzina: \\(m^{2} - m - 2 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq -1\\) i \\(m \\neq 2\\) (gdy C lezy na prostej AB, trojkat nie istnieje).\n\n**b)** Trojkat ABC jest ostrokatny gdy wszystkie trzy katy sa ostre. Warunek: \\(|AB|^{2} + |AC|^{2} > |BC|^{2}\\) oraz analogicznie dla pozostalych wierzcholkow.\n\n\\(|AC|^{2} = m^{2} + (m^{2} - 2)^{2}\\), \\(|BC|^{2} = (m-1)^{2} + (m^{2} - 3)^{2}\\), \\(|AB|^{2} = 2\\).\n\nNierownosci:\n\\(b^{2} + c^{2} > a^{2}\\): \\(m^{2} + (m^{2}-2)^{2} + 2 - (m-1)^{2} - (m^{2}-3)^{2} > 0\\).\nPo uproszczeniu: \\(2m^{2} + 2m - 4 > 0 \\Rightarrow 2(m-1)(m+2) > 0 \\Rightarrow m \\in (-\\infty, -2) \\cup (1, +\\infty)\\).\n\n\\(a^{2} + c^{2} > b^{2}\\): \\((m-1)^{2} + (m^{2}-3)^{2} + 2 - m^{2} - (m^{2}-2)^{2} > 0\\).\nPo uproszczeniu: \\(-2m^{2} - 2m + 8 > 0 \\Rightarrow m^{2} + m - 4 < 0\\). \\(\\Delta = 1 + 16 = 17\\), \\(m \\in \\left(\\tfrac{-1-\\sqrt{17}}{2}, \\tfrac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\right)\\).\n\n\\(a^{2} + b^{2} > c^{2}\\): \\(m^{4} - 4m^{2} - m + 6 > 0\\) - zachodzi zawsze (wyrozniki ujemne - analiza CKE).\n\nCzesc wspolna pierwszych dwoch: \\(m \\in \\left(\\tfrac{-1-\\sqrt{17}}{2}, -2\\right) \\cup \\left(1, \\tfrac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\right)\\).\n\n### Sposob 2 (iloczyn wektorowy - czesc a)\n\\(\\vec{AB} = [1, 1]\\), \\(\\vec{AC} = [m, m^{2} - 2]\\).\nPole \\(P = \\tfrac{1}{2}|1 \\cdot (m^{2} - 2) - 1 \\cdot m| = \\tfrac{1}{2}|m^{2} - m - 2|\\), \\(m \\neq -1, m \\neq 2\\).\n\n**b)** Geometryczna obserwacja: trojkat jest ostrokatny gdy C nie lezy w kole o srednicy AB. Srodek \\(S = (\\tfrac{1}{2}, \\tfrac{5}{2})\\), promien \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Dodatkowe warunki prostopadlosci w A i B ograniczaja m.\n\nWynik jak wyzej.\n\n### Uwagi o punktacji\n**a)** (3 pkt):\n- 1 pkt: \\(C = (m, m^{2})\\).\n- 2 pkt: wyznaczy \\(h_{C}\\) albo wektory AB i AC, albo dlugosci AC, BC, AB.\n- 3 pkt: \\(P(m) = \\tfrac{1}{2}|m^{2} - m - 2|\\) z dziedzina \\(m \\neq -1, m \\neq 2\\).\n\n**b)** (3 pkt):\n- 1 pkt: zauwazy, ze ostrokatny odp. C lezy na fragmencie paraboli poza kolem srednicy AB, lub zapisze trzy nierownosci cos > 0.\n- 2 pkt: wyznaczy rownania prostych prostopadlych lub ulozy uklad trzech nierownosci i rozwiaze dwie.\n- 3 pkt: \\(m \\in \\left(\\tfrac{-1-\\sqrt{17}}{2}, -2\\right) \\cup \\left(1, \\tfrac{-1+\\sqrt{17}}{2}\\right)\\).\n\n**Trik:** W czesci b) mozesz pominac nierownosc dla kata przy C - zachodzi zawsze dla punktu paraboli poza kolem srednicy AB.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nPewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika\n(całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 mଷ. Dno zbiornika ma być kwadratem.\nŻaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.\nCałkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:\n- 100 zł za 1 mଶ dna\n- 75 zł za 1 mଶ ściany bocznej.\nOblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozwiązanie zadania. Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m^3 . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: - 100 zl za 1 m^2 dna - 75 zl za 1 m^2 ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów:\n- zbudowanie modelu opisującego sytuację podaną w zadaniu\n- zbadanie modelu i jego własności\n- przeprowadzenie końcowych obliczeń.\nPierwszy etap składa się z trzech kroków.\nKrok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (𝑥 - długość krawędzi podstawy\nzbiornika, ℎ - wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru\nzbiornika:\nℎ= 144\n𝑥2\nlub\n𝑥= √144\nℎ\nKrok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania 𝑓 zbiornika za pomocą jednej zmiennej:\n𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144\n𝑥2 ⋅75\nlub\n𝑓(ℎ) = 100 ⋅144\nℎ+ 4 ⋅√144\nℎ⋅ℎ⋅75\nKrok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji 𝑓: 𝐷𝑥= [4,9] lub 𝐷ℎ= [16\n9 , 9].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDrugi etap składa się z trzech kroków.\nKrok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 200𝑥-43200\n𝑥2\n= 200 (𝑥-216\n𝑥2 )\nlub\n𝑓′(ℎ) = -14400\nℎ2\n+ 1800\n√ℎ\nKrok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji 𝑓 - obliczenie\nmiejsc zerowych pochodnej: 𝑥= 6 (lub ℎ= 4)\nKrok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(6, 9),\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 6)\nlub\n𝑓′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(4, 9),\n𝑓′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(16\n9 , 4)\noraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥 (lub zmiennej ℎ), dla której\nfunkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą, np.:\nfunkcja 𝑓 zmiennej 𝑥 (określona na przedziale [4, 9]) jest malejąca w przedziale [4, 6]\noraz rosnąca w przedziale [6, 9], więc w punkcie 𝑥= 6 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą\nwartość.\nLUB\nfunkcja 𝑓 zmiennej ℎ (określona na przedziale [16\n9 , 9])jest malejąca w przedziale [16\n9 , 4]\noraz rosnąca w przedziale [4, 9], więc w punkcie ℎ= 4 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą\nwartość.\nZa poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie\nkroki też były wykonane poprawnie.\nEtap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika\njest najmniejszy:\n𝑥= 6, ℎ= 4.\nZa poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi:\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji,\nktóra w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą\ndla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ), przy której pochodna się zeruje, można uznać\nsytuacje, gdy zdający:\na) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓;\nLUB\nb) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ) funkcja 𝑓 ma minimum lokalne\ni jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt\nwykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje 0 punktów za II i III etap\n4. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏\n𝑥 (gdzie 𝑎> 0, 𝑏> 0),\nnie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może\notrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok\npierwszego etapu oraz za trzeci etap).\n5. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co\nnajwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego\netapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏\n𝑥\n(gdzie 𝑎> 0, 𝑏> 0), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie\npodstawy, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje\npunktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap).\n6. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze 𝑅\\{0} ,\nto nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑥- długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach),\nℎ - wysokość zbiornika (w metrach).\nPojemność zbiornika ma wynosić 144 m3, więc 144 = 𝑥2 ⋅ℎ. Stąd ℎ= 144\n𝑥2 .\nKoszt 𝑓 wykonania zbiornika jest równy 𝑓= 100𝑥2 + 75 ⋅4𝑥ℎ, więc\n𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144\n𝑥2 ⋅75,\ngdzie 𝑥∈[4, 9].\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 200𝑥-43200\n𝑥2\nMiejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 jest 𝑥= 6.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑓:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(6, 9),\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 6).\nZatem\nfunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale 𝑥∈[4, 6],\nfunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale 𝑥∈[6, 9].\nStąd funkcja 𝑓 przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu 6. Wtedy ℎ= 4.\nWymiary zbiornika dla którego koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.\nSposób 2.\nPrzyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑥 - długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach),\nℎ - wysokość zbiornika (w metrach).\nPojemność zbiornika ma wynosić 144 m3, więc 144 = 𝑥2 ⋅ℎ. Stąd 𝑥= √144\nℎ.\nKoszt 𝑓 wykonania zbiornika jest równy 𝑓= 100𝑥2 + 75 ⋅4𝑥ℎ, więc\n𝑓(ℎ) = 100 ∙144\nℎ+ 4ℎ⋅√144\nℎ⋅75,\ngdzie ℎ∈[16\n9 , 9].\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(ℎ) = -14400\nℎ2\n+ 3600\n2√ℎ\n= -14400\nℎ2\n+ 1800\n√ℎ\nMiejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 jest ℎ= 4.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑓:\n𝑓′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(4, 9),\n𝑓′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(16\n9 , 4).\nZatem\nfunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale ℎ∈[16\n9 , 4],\nfunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale ℎ∈[4, 9].\nStąd funkcja 𝑓 przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu ℎ= 4. Wtedy 𝑥= 6.\nWymiary zbiornika, dla których koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.\nUwaga:\nZdający może rozwiązywać zadanie sposobem - za pomocą nierówności między średnią\narytmetyczną i geometryczną, np.:\n𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144\n𝑥2 ⋅75 = 100𝑥2 + 43200\n𝑥\n𝑓(𝑥) = 100 (𝑥2 + 432\n𝑥) = 100 (𝑥2 + 216\n𝑥\n+ 216\n𝑥)\n𝑥2 +\n216\n𝑥+\n216\n𝑥\n3\n≥√𝑥2 ⋅216\n𝑥⋅216\n𝑥\n3\n= √63 ⋅63\n3\n= 36\nStąd 𝑓(𝑥) ≥100 ⋅3 ⋅36 i funkcja 𝑓(𝑥) osiąga wartość najmniejszą, gdy 𝑥2 = 216\n𝑥, tj. dla\n𝑥= 6. Wtedy ℎ= 4.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 6 m × 6 m × 4 m (koszt minimalny: 10 800 zł)\n\n## Sposób 1 - Pochodna funkcji kosztu\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a\\) = bok kwadratowego dna [m], \\(h\\) = wysokość zbiornika [m].\n\n**Ograniczenia** (żaden wymiar nie przekracza 9 m):\n\\[a \\leq 9, \\quad h \\leq 9\\]\n\nZ warunku objętości:\n\\[a^2 \\cdot h = 144 \\implies h = \\frac{144}{a^2}\\]\n\nWarunek \\(h \\leq 9\\) daje: \\(\\frac{144}{a^2} \\leq 9 \\implies a^2 \\geq 16 \\implies a \\geq 4\\).\n\n**Dziedzina:** \\(a \\in [4,\\, 9]\\).\n\n**Funkcja kosztu:**\n- dno: pole \\(a^2\\), stawka 100 zł/m² → koszt dna = \\(100a^2\\)\n- 4 ściany boczne: łączne pole \\(4 \\cdot a \\cdot h\\), stawka 75 zł/m² → koszt ścian = \\(300ah\\)\n\n\\[K(a) = 100a^2 + 300 \\cdot a \\cdot \\frac{144}{a^2} = 100a^2 + \\frac{43200}{a}\\]\n\n**Szukamy minimum** - liczymy pochodną:\n\\[K'(a) = 200a - \\frac{43200}{a^2}\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[200a - \\frac{43200}{a^2} = 0\\]\n\\[200a = \\frac{43200}{a^2}\\]\n\\[200a^3 = 43200\\]\n\\[a^3 = 216\\]\n\\[\\boxed{a = 6}\\]\n\n**Sprawdzenie drugiej pochodnej** (warunek minimum):\n\\[K''(a) = 200 + \\frac{86400}{a^3}\\]\n\\[K''(6) = 200 + \\frac{86400}{216} = 200 + 400 = 600 > 0 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(a = 6\\) jest minimum funkcji. Leży w dziedzinie \\([4, 9]\\). ✓\n\n**Wyznaczamy wysokość:**\n\\[h = \\frac{144}{6^2} = \\frac{144}{36} = 4 \\text{ m}\\]\n\nSprawdzenie: \\(a = 6 \\leq 9\\), \\(h = 4 \\leq 9\\) - oba ograniczenia spełnione. ✓\n\n**Minimalny koszt:**\n\\[K(6) = 100 \\cdot 36 + \\frac{43200}{6} = 3600 + 7200 = 10\\,800 \\text{ zł}\\]\n\n**Wymiary zbiornika o najmniejszym koszcie: \\(6\\text{ m} \\times 6\\text{ m} \\times 4\\text{ m}\\)** (koszt: 10 800 zł).\n\n## Sposób 2 - Nierówność między średnimi (AM-GM)\n\nRozpisujemy funkcję kosztu jako sumę **trzech składników**:\n\\[K(a) = 100a^2 + \\frac{43200}{a} = 100a^2 + \\frac{21600}{a} + \\frac{21600}{a}\\]\n\nStosujemy nierówność AM-GM dla trzech liczb dodatnich:\n\\[\\frac{x + y + z}{3} \\geq \\sqrt[3]{xyz} \\implies x + y + z \\geq 3\\sqrt[3]{xyz}\\]\n\nTutaj \\(x = 100a^2\\), \\(y = \\frac{21600}{a}\\), \\(z = \\frac{21600}{a}\\):\n\\[K(a) \\geq 3\\sqrt[3]{100a^2 \\cdot \\frac{21600}{a} \\cdot \\frac{21600}{a}}\\]\n\nUpraszczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:\n\\[100a^2 \\cdot \\frac{21600}{a} \\cdot \\frac{21600}{a} = 100 \\cdot 21600^2 = 100 \\cdot 466\\,560\\,000 = 46\\,656\\,000\\,000\\]\n\nObliczamy pierwiastek sześcienny:\n\\[\\sqrt[3]{46\\,656\\,000\\,000} = \\sqrt[3]{46656 \\cdot 10^6} = \\sqrt[3]{46656} \\cdot 100\\]\n\nZauważamy, że \\(36^3 = 36 \\cdot 36 \\cdot 36 = 1296 \\cdot 36 = 46\\,656\\), zatem:\n\\[K(a) \\geq 3 \\cdot 36 \\cdot 100 = 10\\,800 \\text{ zł}\\]\n\n**Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy**, gdy wszystkie trzy składniki są równe:\n\\[100a^2 = \\frac{21600}{a} \\implies a^3 = 216 \\implies a = 6\\]\n\nSprawdzamy, że \\(a = 6\\) leży w dziedzinie \\([4, 9]\\) ✓, i potwierdzamy \\(K(6) = 10\\,800\\) zł - dokładnie tak samo jak w Sposobie 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)**\n\nPochodna potęgi i ilorazu:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\n\nW Sposobie 1 różniczkowaliśmy:\n\\[K(a) = 100a^2 + 43200 \\cdot a^{-1} \\implies K'(a) = 200a - 43200 \\cdot a^{-2} = 200a - \\frac{43200}{a^2}\\]\n\nWarunek konieczny minimum lokalnego: \\(K'(a) = 0\\) oraz \\(K''(a) > 0\\).\n\n## Dlaczego inne wymiary byłyby droższe\n\nZadanie jest otwarte, ale warto sprawdzić wartości na końcach dziedziny, żeby uczeń widział, że wewnętrzne minimum naprawdę jest najlepsze:\n\n| Wymiary | \\(K\\) [zł] |\n| \\(a = 4\\text{ m},\\ h = 9\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 16 + 300 \\cdot 4 \\cdot 9 = 1600 + 10800 = 12\\,400\\) |\n| \\(a = 6\\text{ m},\\ h = 4\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 36 + 300 \\cdot 6 \\cdot 4 = 3600 + 7200 = \\mathbf{10\\,800}\\) |\n| \\(a = 9\\text{ m},\\ h \\approx 1{,}78\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 81 + 43200/9 = 8100 + 4800 = 12\\,900\\) |\n\nMinimum \\(K = 10\\,800\\) zł jest wyraźnie osiągane dla \\(a = 6\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiornik jest **otwarty od góry** - nie liczymy pola wieka! Łatwo przez nieuwagę dodać jeszcze jedno \\(a^2\\) i dostać złą funkcję kosztu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ograniczenie \\(h \\leq 9\\) zawęża dziedzinę do \\(a \\geq 4\\). Bez wyznaczenia dziedziny można zaproponować np. \\(a = 3\\) (wtedy \\(h = 16 > 9\\)) - takie rozwiązanie jest **niedopuszczalne**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, że punkt krytyczny \\(a = 6\\) **leży wewnątrz dziedziny** \\([4, 9]\\), i zweryfikuj warunek \\(K'' > 0\\) - samo zerowanie pochodnej nie wystarczy do stwierdzenia, że to minimum, a nie maksimum lub punkt przegięcia.\n\n### Sposob 1 (optymalizacja przez pochodna funkcji zmiennej x)\n**I etap.** Niech \\(x\\) - krawedz podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Objetosc: \\(x^{2}h = 144 \\Rightarrow h = \\dfrac{144}{x^{2}}\\).\n\nKoszt: 1 dno \\(x^{2}\\) m\\(^{2}\\) po 100 zl + 4 sciany \\(xh\\) m\\(^{2}\\) po 75 zl.\n\\[f(x) = 100x^{2} + 4xh \\cdot 75 = 100x^{2} + 300 \\cdot \\dfrac{144}{x} = 100x^{2} + \\dfrac{43200}{x}.\\]\n\nDziedzina: \\(x \\in [4, 9]\\) (bo \\(h \\leq 9 \\Rightarrow \\tfrac{144}{x^{2}} \\leq 9 \\Rightarrow x^{2} \\geq 16 \\Rightarrow x \\geq 4\\), oraz \\(x \\leq 9\\)).\n\n**II etap (pochodna).** (karta wzorow: pochodna):\n\\[f'(x) = 200x - \\dfrac{43200}{x^{2}} = \\dfrac{200x^{3} - 43200}{x^{2}} = \\dfrac{200(x^{3} - 216)}{x^{2}}.\\]\n\n\\(f'(x) = 0 \\Leftrightarrow x^{3} = 216 \\Leftrightarrow x = 6\\).\n\nZnak pochodnej:\n- \\(x \\in (4, 6)\\): \\(x^{3} < 216\\), \\(f'(x) < 0\\) - funkcja malejaca.\n- \\(x \\in (6, 9)\\): \\(f'(x) > 0\\) - funkcja rosnaca.\n\nZatem minimum dla \\(x = 6\\), \\(h = \\dfrac{144}{36} = 4\\).\n\n**III etap.** Wymiary: **6 m × 6 m × 4 m**.\n\nKoszt minimalny: \\(f(6) = 100 \\cdot 36 + \\tfrac{43200}{6} = 3600 + 7200 = 10800\\) zl.\n\n### Sposob 2 (nierownosc miedzy srednia arytmetyczna i geometryczna)\n\\[f(x) = 100x^{2} + \\dfrac{43200}{x} = 100\\left(x^{2} + \\dfrac{216}{x} + \\dfrac{216}{x}\\right).\\]\n\nStosujemy nier. AM-GM dla trzech skladnikow:\n\\[\\dfrac{x^{2} + \\tfrac{216}{x} + \\tfrac{216}{x}}{3} \\geq \\sqrt[3]{x^{2} \\cdot \\tfrac{216}{x} \\cdot \\tfrac{216}{x}} = \\sqrt[3]{216^{2}} = \\sqrt[3]{46656} = 36.\\]\n\nStad \\(f(x) \\geq 100 \\cdot 3 \\cdot 36 = 10800\\). Rownosc gdy \\(x^{2} = \\tfrac{216}{x}\\), czyli \\(x^{3} = 216\\), \\(x = 6\\). Wtedy \\(h = 4\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE - 3 etapy)\n**Etap I** (budowa modelu - 3 kroki):\n- Krok 1: \\(h = \\tfrac{144}{x^{2}}\\).\n- Krok 2: \\(f(x) = 100x^{2} + \\tfrac{43200}{x}\\).\n- Krok 3: dziedzina \\(x \\in [4, 9]\\).\n\n**Etap II** (badanie modelu - 3 kroki):\n- Krok 1: pochodna \\(f'(x) = 200x - \\tfrac{43200}{x^{2}}\\).\n- Krok 2: miejsce zerowe \\(x = 6\\).\n- Krok 3: zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie minimum.\n\n**Etap III**: wymiary zbiornika 6m × 6m × 4m (1 pkt).\n\nUwagi CKE:\n- Metoda prob i bledow = 0 pkt za etap II i III.\n- Jesli nie uwzgledniony warunek dziedziny \\([4, 9]\\) - tylko 5 pkt.\n- Jesli rozpatruje funkcje pola zamiast kosztu - max 5 pkt.\n\n**Trik:** Standardowa optymalizacja - w funkcji kosztu \\(ax^{2} + b/x\\) minimum w \\(x = \\sqrt[3]{b/(2a)}\\). Tutaj \\(x = \\sqrt[3]{43200/200} = \\sqrt[3]{216} = 6\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}