{"paper":{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 9-10 ⋅319 jest równa\nA. 279\nB. 9-2\nC. 310\nD. 3-1\nRozwiązanie zadania. Liczba 9^{-10} ⋅ 3^19 jest równa A. 27^9 B. 9^{-2} C. 3^10 D. 3^{-1}","answer":"D","answer_text":"1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba log6 9 + 2 log6 2 jest równa\nA. log6\n9\n4\nB. 1\nC. 2\nD. log6\n81\n2\nRozwiązanie zadania. Liczba log_6 9 + 2log_6 2 jest równa A. log_6 9/4 B. 1 C. 2 D. log_6 81/2","answer":"C","answer_text":"2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną liczbę\npunktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 𝑥 stanowi 80% liczby dodatniej 𝑦. Wynika stąd, że liczba 𝑦 to\nA. 125% liczby 𝑥.\nB. 120% liczby 𝑥.\nC. 25% liczby 𝑥.\nD. 20% liczby 𝑥.\nRozwiązanie zadania. Liczba x stanowi 80% liczby dodatniej y. Wynika stąd, że liczba y to A. 125% liczby x. B. 120% liczby x. C. 125% liczby x. D. 125% liczby x.","answer":"A","answer_text":"3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZadanie 29. (0-2)\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥-5.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 𝑥2 -4𝑥-5 ≥0.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑥-5: 𝑥1 = -1 oraz\n𝑥2 = 5\nALBO\n\nodczyta z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑥-5 i zapisze miejsca zerowe 𝑥1 = -1\noraz 𝑥2 = 5.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1⟩∪⟨5, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1⟩∪⟨5, +∞)\nALBO\n\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest niedodatni, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż\npodany w zadaniu trójmian kwadratowy i obliczy/poda pierwiastki tego rozpatrywanego\ntrójmianu, to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\n1. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności w postaci (-∞, 5⟩∪⟨-1, +∞), (+∞, -1⟩∪⟨5, -∞), to przyznajemy\n2 punkty.\n2. Jeśli zdający poprawnie obliczy lub poda pierwiastki trójmianu (𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 5)\ni zapisze np. (-∞, -5⟩∪⟨-1, +∞), popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 -4𝑥-5 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n𝑥2 -4𝑥-5.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 36 i stąd 𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 5.\nALBO\nStosujemy wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 = -5 oraz 𝑥1 + 𝑥2 = 4, stąd 𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 5.\nALBO\nPodajemy je bezpośrednio, zapisując pierwiastki trójmianu lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 5.\n-1\n𝑥\n5\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1⟩∪⟨5, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1⟩∪⟨5, +∞)\nlub\n-1\n𝑥\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 30. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie przekształci równanie 𝑥+8\n𝑥-7 = 2𝑥 do równania kwadratowego, np.:\n𝑥+ 8 = 2𝑥(𝑥-7)\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania wymiernego (np. stosuje\nprzekształcenia równoważne) i uzyska poprawne rozwiązania: 𝑥= -1\n2 lub 𝑥= 8.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżenia 𝑥≠7, to może otrzymać 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma równanie\nkwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca, to może\notrzymać za całe rozwiązanie 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę i zapisze np. (𝑥+ 8)(𝑥-7) = 2𝑥(𝑥-7) albo 𝑥+ 8 = 2𝑥⋅𝑥-7 (o ile\nw\ndalszej\nczęści\nrozwiązania\nzdający\nnie\notrzymuje\npoprawnego\nrównania\n𝑥+ 8 = 2𝑥2 -14𝑥), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby rzeczywistej 𝑦 wyrażenie (3𝑥+ 8𝑦)2 jest\nrówne\nA. 9𝑥2 + 48𝑥𝑦+ 64𝑦2\nB. 9𝑥2 + 64𝑦2\nC. 3𝑥2 + 48𝑥𝑦+ 8𝑦2\nD. 3𝑥2 + 8𝑦2\nRozwiązanie zadania. Dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie (3x+8y)² jest równe A. 9x² + 48xy + 64y² B. 9x² + 64y² C. 3x² + 48xy + 8y² D. 3x² + 8y²","answer":"A","answer_text":"4. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli\nodgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to\notrzymuje 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nLiczba (-2) jest rozwiązaniem równania\nA. 𝑥2 + 4 = 0\nB. 𝑥+2\n2\n= 1\nC. 𝑥\n𝑥+2 = 0\nD. 𝑥2(𝑥+ 2) + 2(𝑥+ 2) = 0\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Liczba (-2) jest rozwiązaniem równania A. x^2+4 = 0 B. x+2/2 = 1 C. x/x+2 = 0. D. x^2(x+2) + 2(x+2) = 0","answer":"D","answer_text":"5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt. Podobnie, jeżeli zdający\npoprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska poprawne wartości\npierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy przedziałów o końcach\n-1\n2 i 8, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠7 .\nPrzekształcamy równanie:\n𝑥+ 8\n𝑥-7 = 2𝑥\n𝑥+ 8 = 2𝑥(𝑥-7)\n𝑥+ 8 = 2𝑥2 -14𝑥\n2𝑥2 -15𝑥-8 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -15𝑥-8: Δ = (-15)2 -4 ⋅2 ⋅(-8) =\n= 289 i stąd 𝑥1 = -1\n2 oraz 𝑥2 = 8.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 7, więc są rozwiązaniami danego równania.\nZadanie 31. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność do postaci 𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0 lub (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 ≥0\nALBO\n\nobliczy wyróżnik trójmianu 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 (lub zmiennej 𝑎) i stwierdzi,\nże jest on niedodatni.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości 𝑎 oraz 𝑏, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0:\n5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0\n𝑏2 + 4𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0\n𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny oraz suma liczb nieujemnych jest\nliczbą nieujemną, więc nierówność 𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdych liczb\nrzeczywistych 𝑎 i 𝑏. Stąd nierówność 𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0 jest również prawdziwa dla\nkażdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏. To należało pokazać.\nSposób 2.\nPrzekształcamy\nrównoważnie\nnierówność\n𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0\ni\notrzymujemy\n5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0. Wyrażenie 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 traktujemy jako trójmian kwadratowy\nzmiennej np. 𝑏. Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = (-4𝑎)2 -4 ⋅5 ⋅𝑎2 = -4𝑎2 ≤0 dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑎. Zatem funkcja kwadratowa 𝑓(𝑏) = 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ma co\nnajwyżej jedno miejsce zerowe, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi 𝑂𝑥. Zatem funkcja nie\nprzyjmuje wartości ujemnych. Oznacza to, że dla każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 zachodzi\n5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0. To należało pokazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy miarę kąta 𝐵𝐶𝐷: |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nALBO\n\nzapisze, że |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷|\nALBO\n\nzapisze związek między długościami odcinków 𝐴𝐷 i 𝐴𝐶, np. |𝐴𝐶| = √3 ⋅|𝐴𝐷|\nALBO\n\nzapisze związek między długościami odcinków 𝐴𝐷 i 𝐶𝐷, np. |𝐶𝐷| = 2|𝐴𝐷|\nALBO\n\nzapisze układ równań ℎ","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 -2-6𝑥\n4\n≥2𝑥+ 1 jest przedział\nA. (-∞, 1⟩\nB. ⟨1, +∞)\nC. (-∞, 7⟩\nD. ⟨7, +∞)\nRozwiązanie zadania. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 - 2-6x/4 ≥ 2x+1 jest przedział A. <-∞,1) B. <1,+∞) C. (-∞,7> D. <7,+∞).","answer":"C","answer_text":"6 = tg 60° i ℎ\n𝑥+6 = tg 30° , gdzie ℎ= |𝐴𝐶| i 𝑥= |𝐵𝐷|.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 12.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ |∡𝐴𝐵𝐶| = 30° i |∡𝐶𝐷𝐴| = 60°, więc |∡𝐵𝐶𝐴| = 60° i |∡𝐷𝐶𝐴| = 30°. Stąd\n|∡𝐵𝐶𝐷| = 30°, czyli |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷|. Korzystając ze związków miarowych w trójkącie o kątach\n30°, 60° i 90°, otrzymujemy\n|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐶𝐷|\nwięc |𝐶𝐷| = 2 ⋅|𝐴𝐷| = 2 ⋅6 = 12, czyli |𝐵𝐷| = 12.\nSposób 2.\nObliczamy długość boku |𝐴𝐶|:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| = tg|∡𝐴𝐷𝐶|\n|𝐴𝐶|\n6\n= tg 60°\n|𝐴𝐶| = 6 tg 60° = 6√3\nObliczamy długość boku |𝐴𝐵|:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵| = tg|∡𝐴𝐵𝐶|\n6√3\n|𝐴𝐵| = tg 30°\n6√3\n|𝐴𝐵| = √3\n3\n√3 ⋅|𝐴𝐵| = 6√3 ⋅3\n|𝐴𝐵| = 18\nZatem |𝐵𝐷| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐷| = 18 -6 = 12.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐷| = 12, to otrzymuje 1 punkt.\nZadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są podobne\nALBO\n\nkorzystając z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych, zapisze 𝑃Δ𝐴𝑆𝐵\n𝑃ΔC𝑆𝐷= (\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶|)\n2\nALBO\n\nzapisze\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶| =\n|𝐵𝑆|\n|𝑆𝐷| = 3\n2 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia pola trójkąta 𝐶𝐷𝑆 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃Δ𝐶𝐷𝑆= 12⋅4\n9\n= 16\n3 .\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 i kąty 𝐵𝐴𝐶 oraz 𝐷𝐶𝐴 są naprzemianległe, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐷𝐶𝐴|.\nPodobnie |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐶𝐷𝐵|. Ponadto kąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są wierzchołkowe. Zatem trójkąty\n𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są podobne (cecha KKK). Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych\ni warunków zadania otrzymujemy\n𝑃Δ𝐴𝑆𝐵\n𝑃Δ𝐶𝑆𝐷\n= (\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶|)\n2\n= 9\n4\nwięc 𝑃Δ𝐶𝐷𝑆= 12⋅4\n9\n= 16\n3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy, lub poda ich liczbę: |Ω| = 36\nALBO\n\nprzedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴:\n(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)\nALBO\n\nobliczy lub poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 4\nALBO\n\nsporządzi drzewo stochastyczne składające się z 36 gałęzi i zapisze na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów prawdopodobieństwo 1\n6 lub wskaże wszystkie\nistotne gałęzie na tym drzewie\nALBO\n\nsporządzi fragment drzewa doświadczenia składający się jedynie z 4 istotnych gałęzi\nALBO\n\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 4\n36 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę\nobliczenia\nprawdopodobieństwa\nzdarzenia\n𝐴\ni\nuzyska\npoprawny\nwynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n36 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 36 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający rozpatruje inne niż podane w treści zadania doświadczenie losowe, to\notrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 36 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 62 = 36.\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np.\nwypisując je i zliczając:\n(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)\nwięc |𝐴| = 4.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n36 = 1\n9 .\nSposób 2. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy część drzewa stochastycznego z zaznaczonymi wszystkimi istotnymi gałęziami.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 4 ⋅1\n6 ∙1\n6 = 4\n36 = 1\n9\n1\n2\n3\n1\n6\n1\n6\n6\n5\n4\n1\n6\n1\n6\n6\n4\n3\n2\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 35. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy czwarty albo jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = -1 (albo 𝑎11 = -4)\nALBO\n\nkorzystając z własności ciągu geometrycznego, zapisze (𝑥2 + 2)2 = 𝑎4 ⋅𝑎11 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nobliczy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = -1 i 𝑎11 = -4\nALBO\n\nkorzystając z własności ciągu geometrycznego , zapisze (𝑥2 + 2)2 = 𝑎4 ⋅𝑎11 i obliczy\n𝑎4 = -1 (albo 𝑎11 = -4).\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nskorzysta z własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie, w którym\nniewiadomą jest 𝑥, np.: (𝑥2 + 2)2 = (-1) ⋅(-4)\nALBO\n\nskorzysta ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze równanie,\nw którym niewiadomą jest 𝑞, np.: (-1) ⋅𝑞2 = -4.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę równań 𝑥2 + 2 = -2 lub 𝑥2 + 2 = 2 i zapisze rozwiązanie\n𝑥= 0\nALBO\n\nrozwiąże równanie (-1) ⋅𝑞2 = -4, otrzymując dwie wartości 𝑞, lecz dalej\nkonsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca tylko dla 𝑞= -2 i nie uzasadni, że dla\n𝑞= 2 nie istnieje taka liczba 𝑥, żeby ciąg (-1, 𝑥2 + 2, -4) był geometryczny.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia ilorazu 𝑞 ciągu geometrycznego i otrzyma\npoprawne wartości 𝑥 oraz 𝑞: 𝑥= 0 i 𝑞= -2.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = 5-12\n7\n= -1, 𝑎11 = 5-33\n7\n= -4.\nZ warunków zadania wynika, że liczby (-1), 𝑥2 + 2, (-4) są kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego. Korzystając z własności ciągu geometrycznego, otrzymujemy\n(𝑥2 + 2)2 = (-1) ⋅(-4)\n𝑥2 + 2 = 2 lub 𝑥2 + 2 = -2\n𝑥2 = 0 lub 𝑥2 = -4\n𝑥= 0\nZatem wyrazami rozpatrywanego ciągu geometrycznego są liczby (-1), 2, (-4), więc\niloraz 𝑞 tego ciągu jest równy 𝑞= 2\n-1 = -2.\nSposób 2.\nObliczamy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = 5-12\n7\n= -1, 𝑎11 = 5-33\n7\n= -4.\nZ warunków zadania wynika, że liczby (-1), 𝑥2 + 2, (-4) są kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego, więc korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego\ni otrzymujemy -4 = (-1)𝑞2 . Stąd 𝑞= 2 lub 𝑞= -2.\nDla 𝑞= 2 otrzymujemy ciąg geometryczny (-1, -2, -4), więc wtedy 𝑥2 + 2 = -2, ale to\nrównanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nDla 𝑞= -2 otrzymujemy ciąg geometryczny (-1, 2, -4). Stąd 𝑥2 + 2 = 2, czyli 𝑥= 0.\nOstatecznie: 𝑥= 0 i 𝑞= -2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\npoprawkowy 2021.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\n\nbłędnego przepisania,\n\nprzestawienia cyfr,\n\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\n\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiorem wszystkich rozwiązań jest \\((-\\infty, 7\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik i uproszczenie\n\nMamy nierówność:\n\\[5 - \\frac{2-6x}{4} \\geq 2x + 1\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia - kierunek nierówności się **nie zmienia**):\n\\[4 \\cdot 5 - (2 - 6x) \\geq 4(2x + 1)\\]\n\\[20 - 2 + 6x \\geq 8x + 4\\]\n\n**Krok 2:** Upraszczamy lewą stronę:\n\\[18 + 6x \\geq 8x + 4\\]\n\n**Krok 3:** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą, liczby na lewą:\n\\[18 - 4 \\geq 8x - 6x\\]\n\\[14 \\geq 2x\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy obie strony przez \\(2\\) (dodatnie - kierunek bez zmian):\n\\[7 \\geq x \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x \\leq 7\\]\n\n**Wynik: \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie ułamka i działanie na całości\n\nZamiast mnożyć przez 4, rozbijamy ułamek:\n\\[5 - \\frac{2-6x}{4} \\geq 2x + 1\\]\n\\[5 - \\frac{2}{4} + \\frac{6x}{4} \\geq 2x + 1\\]\n\\[5 - \\frac{1}{2} + \\frac{3x}{2} \\geq 2x + 1\\]\n\\[\\frac{9}{2} + \\frac{3x}{2} \\geq 2x + 1\\]\n\nMnożymy przez \\(2\\):\n\\[9 + 3x \\geq 4x + 2\\]\n\\[9 - 2 \\geq 4x - 3x\\]\n\\[7 \\geq x\\]\n\n**Ten sam wynik: \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\)**\n\n**Weryfikacja - sprawdzamy \\(x = 7\\) (granica przedziału):**\n- Lewa strona: \\(5 - \\frac{2 - 42}{4} = 5 - \\frac{-40}{4} = 5 + 10 = 15\\)\n- Prawa strona: \\(2 \\cdot 7 + 1 = 15\\)\n- \\(15 \\geq 15\\) ✓ - równość zachodzi, więc \\(7\\) należy do rozwiązania (przedział domknięty od prawej).\n\n**Sprawdzamy \\(x = 8\\) (spoza przedziału):**\n- Lewa strona: \\(5 - \\frac{2 - 48}{4} = 5 + \\frac{46}{4} = 5 + 11{,}5 = 16{,}5\\)\n- Prawa strona: \\(2 \\cdot 8 + 1 = 17\\)\n- \\(16{,}5 \\geq 17\\) ✗ - nierówność nie jest spełniona, \\(8\\) nie należy do rozwiązania. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne przekształcanie nierówności liniowej (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń otrzymuje \\(x \\leq 1\\) - prawdopodobnie **nie pomnożył przez 4 całej lewej strony**, pominął wyraz \\(18\\) lub błędnie wykonał \\(20 - 2 = 1\\) |\n| B | Uczeń odwraca kierunek nierówności mimo mnożenia przez liczbę **dodatnią** - dostaje \\(x \\geq 1\\) |\n| D | Uczeń poprawnie wyznacza \\(7\\), ale **odwraca kierunek nierówności** - dostaje \\(x \\geq 7\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy mnożysz lub dzielisz nierówność przez liczbę **ujemną**, kierunek nierówności się odwraca. Tutaj mnożymy przez \\(4 > 0\\) - kierunek **bez zmian**. Nie myl z przypadkiem, gdy mianownik jest ujemny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy usuwaniu nawiasu po znaku minus - \\(-(2 - 6x) = -2 + 6x\\) - uważaj na znaki! To najczęstsze miejsce pomyłki w tym zadaniu. Nie zapomnij rozdzielić minusa na **oba** wyrazy w nawiasie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy przedział jest domknięty (\\(\\langle\\)) czy otwarty (\\((\\)). Tutaj mamy \\(\\geq\\), więc \\(x = 7\\) **jest** rozwiązaniem - przedział domknięty od prawej: \\((-\\infty, 7\\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Pomnożenie stronami przez 4\n\\(5 - \\dfrac{2-6x}{4} \\geq 2x+1 \\;\\big|\\cdot 4\\)\n\\(20 - (2-6x) \\geq 8x + 4\\)\n\\(20 - 2 + 6x \\geq 8x + 4\\)\n\\(18 + 6x \\geq 8x + 4\\)\n\\(14 \\geq 2x\\)\n\\(x \\leq 7\\), więc \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Przekształcenia równoważne\n\\(5 - 1 \\geq 2x + \\dfrac{2-6x}{4}\\)\n\\(4 \\geq \\dfrac{8x + 2 - 6x}{4} = \\dfrac{2x+2}{4}\\)\n\\(16 \\geq 2x + 2\\), \\(x \\leq 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,1\\rangle\\)** - błąd w przekształceniach (złe dzielenie).\n- **B. \\(\\langle 1,+\\infty)\\)** - odwrócony znak i zły wynik.\n- **D. \\(\\langle 7,+\\infty)\\)** - odwrócony znak nierówności.\n\n**Trik:** Przy mnożeniu przez liczbę dodatnią znak nierówności się nie zmienia.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 4. Wykres funkcji 𝑓 przesunięto\nwzdłuż osi 𝑂𝑥 o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego\notrzymano wykres funkcji 𝑔. Funkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 2\nB. 𝑔(𝑥) = -2𝑥\nC. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 6\nD. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 8\nRozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-2x+4. Wykres funkcji f przesunięto wzdłuż osi Ox o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji g. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=-2x+2 B. g(x)=-2x C. g(x)=-2x+6 D. g(x)=-2x+8","answer":"B","answer_text":"7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(g(x) = -2x\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie do wzoru (reguła przesunięcia)\n\n**Kluczowa zasada:** Przesunięcie wykresu o \\(a\\) jednostek **w lewo** wzdłuż osi \\(Ox\\) oznacza, że nowa funkcja to:\n\\[g(x) = f(x + a)\\]\n\nW naszym przypadku przesunięcie wynosi \\(a = 2\\) (w lewo), więc:\n\\[g(x) = f(x + 2)\\]\n\nPodstawiamy \\((x + 2)\\) zamiast \\(x\\) do wzoru \\(f(x) = -2x + 4\\):\n\\[g(x) = -2(x + 2) + 4\\]\n\\[g(x) = -2x - 4 + 4\\]\n\\[\\boxed{g(x) = -2x}\\]\n\n**Wynik:** funkcja \\(g\\) ma wzór \\(-2x\\), co odpowiada odpowiedzi **B**.\n\n## Sposób 2 - analiza punktów charakterystycznych\n\nZamiast rachować, sprawdzamy co dzieje się z konkretnym punktem wykresu.\n\n**Punkt na wykresie \\(f\\):** Obliczamy miejsce zerowe \\(f\\):\n\\[f(x) = 0 \\implies -2x + 4 = 0 \\implies x = 2\\]\n\nWykres \\(f\\) przecina oś \\(Ox\\) w punkcie \\((2, 0)\\).\n\n**Po przesunięciu o 2 w lewo** ten punkt przesuwa się do:\n\\[(2 - 2,\\ 0) = (0, 0)\\]\n\nZatem wykres \\(g\\) przechodzi przez punkt \\((0, 0)\\), czyli **wyraz wolny \\(g\\) wynosi \\(0\\)**.\n\nNachylenie (współczynnik \\(a\\)) nie zmienia się przy przesunięciu poziomym:\n\\[g(x) = -2x + 0 = -2x\\]\n\n**Potwierdzenie:** tylko odpowiedź **B** spełnia oba warunki: nachylenie \\(-2\\) i wyraz wolny \\(0\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi. To własność ogólna funkcji, nie wymagająca karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Typowy błąd |\n| A | \\(-2x + 2\\) | Uczeń odejmuje \\(2\\) od wyrazu wolnego: \\(4 - 2 = 2\\). To błędna reguła - nie operuje się na wyrazie wolnym wprost. |\n| B | \\(-2x\\) | **POPRAWNA** |\n| C | \\(-2x + 6\\) | Uczeń **dodaje** \\(2\\) do wyrazu wolnego: \\(4 + 2 = 6\\). Myli przesunięcie w lewo z dodawaniem. |\n| D | \\(-2x + 8\\) | Uczeń **mnoży** lub liczy \\(f(x - 2)\\) zamiast \\(f(x + 2)\\): \\(-2(x-2)+4 = -2x+4+4=-2x+8\\). Pomylił kierunek - to byłoby przesunięcie w **prawo**. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie w **lewo** o \\(a\\) jednostek to \\(g(x) = f(x \\mathbf{+} a)\\) - dodajemy, choć intuicja podpowiada odejmowanie. Przesunięcie w **prawo** to \\(f(x - a)\\) - odejmujemy! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodajemy ani nie odejmujemy od wyrazu wolnego wprost! Przesunięcie poziome działa na **argument** \\(x\\), nie na wyraz wolny. Prawidłowo: podstaw \\((x+2)\\) za \\(x\\) i dopiero upraszczaj.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej (współczynnik kierunkowy \\(-2\\)) **nie zmienia się** przy żadnym przesunięciu poziomym - wszystkie odpowiedzi mają \\(-2x\\), więc nie tędy szukaj różnicy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Reguła przesunięcia (karta wzorów)\nPrzesunięcie o \\(p\\) jednostek w lewo: \\(g(x) = f(x+p)\\). Tu \\(p=2\\).\n\\(g(x) = f(x+2) = -2(x+2) + 4 = -2x - 4 + 4 = -2x\\).\n\n### Sposób 2 - Przez punkty\n\\(f\\) ma miejsce zerowe \\(x=2\\). Po przesunięciu o 2 w lewo: \\(x=0\\). Szukamy funkcji liniowej o nachyleniu \\(-2\\) (bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia), przechodzącej przez \\((0,0)\\): \\(g(x) = -2x\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2x+2\\)** - błędne obliczenie.\n- **C. \\(-2x+6\\)** - jakby w prawo, nie w lewo.\n- **D. \\(-2x+8\\)** - błędne dodanie.\n\n**Trik:** Przesunięcie w lewo o \\(p\\): \\(x \\to x+p\\). W prawo o \\(p\\): \\(x \\to x-p\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Miejscem\nzerowym tej funkcji jest liczba (-1). Wtedy\nA. 𝑎= -4\nB. 𝑎= 1\nC. 𝑎= 4\nD. 𝑎= 5\nRozwiązanie zadania. Funkcja f jest określona wzorem f(x)=ax+4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba (-1). Wtedy A. a=-4 B. a=1 C. a=4 D. a=5","answer":"C","answer_text":"8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 4\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego\n\n**Miejsce zerowe** funkcji to taka wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\).\n\nSkoro \\((-1)\\) jest miejscem zerowym, to:\n\\[f(-1) = 0\\]\n\nPodstawiamy \\(x = -1\\) do wzoru funkcji:\n\\[a \\cdot (-1) + 4 = 0\\]\n\\[-a + 4 = 0\\]\n\\[-a = -4\\]\n\\[\\boxed{a = 4}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(x) = 4x + 4\\), więc \\(f(-1) = 4 \\cdot (-1) + 4 = -4 + 4 = 0\\). ✓\n\n## Sposób 2 - ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe w punkcie:\n\\[x_0 = -\\frac{b}{a}\\]\n\nZnamy: \\(b = 4\\), \\(x_0 = -1\\). Podstawiamy:\n\\[-1 = -\\frac{4}{a}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(a\\) (zakładamy \\(a \\neq 0\\)):\n\\[-a = -4\\]\n\\[\\boxed{a = 4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(a = \\frac{4}{x_0} = \\frac{4}{-1} = -4\\) - zapomina o znaku minus ze wzoru \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) |\n| B | Podstawia \\(f(0) = 0\\) zamiast \\(f(-1) = 0\\) - myli miejsce zerowe z wyrazem wolnym |\n| D | Dodaje zamiast wyznaczać: \\(a = 4 + (-1) = 5\\) lub podobny błąd arytmetyczny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\) - **nie** punkt \\((0, f(0))\\)! Nie myl miejsca zerowego z wartością funkcji w zerze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\(f(-1) = 0\\) uważaj na znaki: \\(a \\cdot (-1) = -a\\), nie \\(+a\\). To właśnie tu najczęściej pojawia się błąd prowadzący do odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **sprawdzić** wynik - podstaw wyliczone \\(a\\) z powrotem do wzoru i upewnij się, że \\(f(-1) = 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego\nDla miejsca zerowego: \\(f(-1) = 0\\).\n\\(a\\cdot(-1) + 4 = 0\\)\n\\(-a + 4 = 0\\)\n\\(a = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej\nDla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe: \\(x_{0} = -\\dfrac{b}{a}\\).\n\\(-1 = -\\dfrac{4}{a}\\), stąd \\(a = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=-4\\)** - błąd znaku przy przenoszeniu.\n- **B. \\(a=1\\)** - niepoprawna manipulacja.\n- **D. \\(a=5\\)** - obliczenie \\(f(-1)=5\\) zamiast \\(=0\\).\n\n**Trik:** W miejscu zerowym \\(f(x_{0})=0\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nProsta 𝑘 przechodzi przez punkt 𝐴= (2, -3) i jest nachylona do osi 𝑂𝑥 pod kątem 45°\n(zobacz rysunek). Prosta 𝑘 ma równanie\nA. 𝑦= 𝑥-5\nB. 𝑦= -𝑥-1\nC. 𝑦= -𝑥+ 5\nD. 𝑦= 𝑥+ 5\n45°\n𝑥\n𝑦\n𝑂\n𝑘\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Prosta k przechodzi przez punkt A=(2,-3) i jest nachylona do osi Ox pod kątem 45° (zobacz rysunek). Prosta k ma równanie A. y=x-5 B. y=-x-1 C. y=-x+5 D. y=x+5","answer":"A","answer_text":"9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[y = x - 5\\]\n\n## Sposób 1 - kąt nachylenia → współczynnik kierunkowy → równanie prostej\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy z kąta nachylenia.**\n\nKąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) wynosi \\(45°\\), więc:\n\\[a = \\operatorname{tg} 45° = 1\\]\n\n**Krok 2: Skorzystaj z równania prostej przechodzącej przez dany punkt.**\n\nProsta o współczynniku kierunkowym \\(a = 1\\) przechodząca przez \\(A = (2, -3)\\):\n\\[y - y_A = a(x - x_A)\\]\n\\[y - (-3) = 1 \\cdot (x - 2)\\]\n\\[y + 3 = x - 2\\]\n\\[\\boxed{y = x - 5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(A = (2, -3)\\) leży na prostej \\(y = x - 5\\):\n\\[y = 2 - 5 = -3 \\checkmark\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a = 1\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 1\\), czyli \\(\\alpha = 45°\\checkmark\\)\n\nOba warunki zadania są spełnione - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyte w Sposobie 1: kąt \\(\\alpha = 45°\\) dał nam wprost współczynnik kierunkowy \\(a = \\operatorname{tg} 45° = 1\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość funkcji trygonometrycznej:\n\\[\\operatorname{tg} 45° = 1\\]\nKluczowy fakt z tablicy wartości kątów wybranych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Przyjęto \\(a = -1\\) (jakby kąt był \\(135°\\)), a potem zły wyraz wolny - podstawiając \\(A=(2,-3)\\): \\(-3 = -2-1 = -3\\) ✓, ale \\(\\operatorname{tg}135° = -1 \\neq 1\\) - kąt nachylenia to \\(135°\\), nie \\(45°\\) |\n| C | Przyjęto \\(a = -1\\) (kąt \\(135°\\)), punkt nie pasuje: \\(-3 = -2 + 5 = 3\\) ✗ - podwójny błąd |\n| D | Poprawny kąt (\\(a = 1\\)), ale błędne obliczenie wyrazu wolnego: \\(-3 = 2 + b \\Rightarrow b = -5\\), a nie \\(b = +5\\) - błąd znaku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej to kąt **między prostą a dodatnim kierunkiem osi \\(Ox\\)**. Dla \\(45°\\) mamy \\(\\operatorname{tg} 45° = 1 > 0\\) - prosta rośnie. Dla kąta \\(135°\\) byłoby \\(\\operatorname{tg} 135° = -1\\) - prosta maleje. Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) wyznaczamy **po** ustaleniu \\(a\\), podstawiając współrzędne danego punktu. Typowy błąd: pomylenie znaku przy \\(y_A = -3\\) (zamiast \\(b = -3 - 2 = -5\\) uczeń liczy \\(-3 + 2 = -1\\) lub \\(3 + 2 = 5\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie prostej w postaci \\(y - y_0 = a(x - x_0)\\) to niezawodny schemat - wystarczy podstawić współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu. Nie trzeba zgadywać \\(b\\) osobno.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy z kąta nachylenia (karta wzorów)\n\\(a = \\tg 45^{\\circ} = 1\\). Równanie: \\(y = x + b\\).\nPodstawiamy \\(A=(2,-3)\\): \\(-3 = 2 + b\\), stąd \\(b = -5\\).\nProsta: \\(y = x - 5\\).\n\n### Sposób 2 - Równanie prostej przez punkt\n\\(y - y_{0} = a(x - x_{0})\\): \\(y-(-3) = 1\\cdot(x-2)\\), czyli \\(y + 3 = x - 2\\), stąd \\(y = x - 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(y=-x-1\\)** - zły znak \\(a\\) (kąt \\(135^{\\circ}\\)).\n- **C. \\(y=-x+5\\)** - zły znak \\(a\\).\n- **D. \\(y=x+5\\)** - błąd w znaku \\(b\\).\n\n**Trik:** \\(a = \\tg\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) - kąt z osią \\(Ox\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥+ 3)(𝑥-5). Wierzchołek\nparaboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, ma współrzędną 𝑥 równą\nA. (-3)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 5\nRozwiązanie zadania. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędną x równą A. (-3) B. (-1) C. 1 D. 5","answer":"C","answer_text":"10 września 2021 r.\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nNr\nzadania\n1.\n2.\n3.\n4.\n5.\n6.\n7.\n8.\n9.\n10.\n11.\n12.\n13.\n14.\nOdp.\nD\nC\nA\nA\nD\nC\nB\nC\nA\nC\nD\nD\nC\nB\nNr\nzadania\n15.\n16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.\nOdp.\nC\nB\nD\nA\nD\nB\nD\nA\nC\nC\nA\nB\nC\nB\nZADANIA OTWARTE","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Symetria postaci iloczynowej\n\nFunkcja jest zapisana w **postaci iloczynowej**: \\(f(x) = -2(x+3)(x-5)\\).\n\nMiejsca zerowe to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\):\n\\[x + 3 = 0 \\implies x_1 = -3\\]\n\\[x - 5 = 0 \\implies x_2 = 5\\]\n\nParabola jest **symetryczna względem swojej osi**, która przechodzi przez wierzchołek. Oś symetrii leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = \\mathbf{1}\\]\n\n**Współrzędna \\(x\\) wierzchołka wynosi \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór na wierzchołek\n\nRozwijamy nawiasy:\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\\]\n\\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\\]\n\nMamy \\(a = -2\\), \\(b = 4\\), \\(c = 30\\). Stosujemy wzór na współrzędną \\(x\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{4}{-4} = \\mathbf{1}\\]\n\nWynik zgodny - **wierzchołek ma współrzędną \\(x = 1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 po rozwinięciu do postaci ogólnej.\n\n**Dział 7 - wzory Viète'a** (użyte pośrednio w Sposobie 1):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nŚrodek między miejscami zerowymi to \\(\\frac{x_1 + x_2}{2} = -\\frac{b}{2a} = p\\) - to ten sam wzór, tylko w innej formie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-3)\\) | Uczeń bierze jedno z miejsc zerowych (\\(x_1 = -3\\)) za wierzchołek |\n| B \\((-1)\\) | Błąd znaku przy obliczaniu środka: \\(\\frac{-3+5}{2}\\) liczone jako \\(\\frac{-3-5}{2} = -4\\), albo błędne odejmowanie zamiast dodawania |\n| D \\(5\\) | Uczeń bierze drugie miejsce zerowe (\\(x_2 = 5\\)) za wierzchołek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe to **NIE** wierzchołek - to punkty, gdzie parabola przecina oś \\(OX\\). Wierzchołek leży **między** nimi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) łatwo zgubić znak. Po rozwinięciu nawiasów uważaj, że \\(a = -2\\) (współczynnik przy \\(x^2\\)), i nie zapomnij o minusie przed ułamkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 1 (środek między miejscami zerowymi) jest **szybszy i mniej podatny na błędy** - warto go znać jako metodę \"na skróty\" dla postaci iloczynowej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia arytmetyczna miejsc zerowych\nMiejsca zerowe: \\(x_{1}=-3\\), \\(x_{2}=5\\).\n\\(x_{w} = \\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = \\dfrac{-3+5}{2} = \\dfrac{2}{2} = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(x_{w} = -\\dfrac{b}{2a}\\) (karta wzorów)\nRozwijamy: \\(f(x) = -2(x^{2}-2x-15) = -2x^{2}+4x+30\\), więc \\(a=-2\\), \\(b=4\\).\n\\(x_{w} = -\\dfrac{4}{2\\cdot(-2)} = -\\dfrac{4}{-4} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)**, **D. \\(5\\)** - miejsca zerowe, nie wierzchołek.\n- **B. \\(-1\\)** - błędna średnia.\n\n**Trik:** Wierzchołek paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Zbiorem\nwartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-∞, -2⟩\nB. ⟨2, + ∞)\nC. ⟨-4, + ∞)\nD. (-∞, 4⟩\nRozwiązanie zadania. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędną x równą A. (-3) B. (-1) C. 1 D. 5","answer":"D","answer_text":"11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-\\infty, 4\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza paraboli (wierzchołek i ramiona)\n\nFunkcja \\(f(x) = -x^2 + 4\\) to **parabola skierowana ramionami w dół** (bo współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny: \\(a = -1 < 0\\)).\n\nWyznaczamy wierzchołek paraboli. Wzór na odciętą wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{0}{2 \\cdot (-1)} = 0\\]\n\nRzędna wierzchołka (maksimum funkcji):\n\\[q = f(0) = -(0)^2 + 4 = 4\\]\n\nWierzchołek to \\(W = (0, 4)\\) - tutaj funkcja osiąga swoją **największą wartość równą \\(4\\)**.\n\nPonieważ parabola jest skierowana **w dół**, funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje bez ograniczeń:\n\\[f(x) \\to -\\infty \\quad \\text{gdy } x \\to \\pm\\infty\\]\n\nZatem funkcja przyjmuje wszystkie wartości **od \\(-\\infty\\) do \\(4\\)** włącznie (wartość \\(4\\) jest osiągana w \\(x = 0\\)).\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 4\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: D.**\n\n## Sposób 2 - Algebraicznie (z definicji zbioru wartości)\n\nPytamy: dla jakich \\(y\\) równanie \\(f(x) = y\\) ma rozwiązanie?\n\n\\[-x^2 + 4 = y\\]\n\\[x^2 = 4 - y\\]\n\nRównanie \\(x^2 = 4 - y\\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest nieujemna:\n\\[4 - y \\geq 0 \\implies y \\leq 4\\]\n\nDla każdego \\(y \\leq 4\\) istnieje \\(x = \\pm\\sqrt{4-y}\\), które spełnia równanie - więc każda taka wartość \\(y\\) **jest** osiągana przez funkcję.\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 4\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: D. ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy \\(p = 0\\), \\(q = 4\\) - wierzchołek wyznacza **maksimum** funkcji gdy \\(a < 0\\). Zbiór wartości to wtedy \\((-\\infty, q\\rangle\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - mylono zbiór wartości z miejscami zerowymi; \\(f(x) = 0\\) daje \\(x = \\pm 2\\), ale to miejsca zerowe, nie zbiór wartości |\n| B | \\(\\langle 2, +\\infty)\\) - parabola skierowana w górę dawałaby zbiór \\(\\langle q, +\\infty)\\); tu ramiona idą w dół, więc zbiór wartości jest ograniczony **od góry**, nie od dołu |\n| C | \\(\\langle -4, +\\infty)\\) - prawdopodobnie zamieniono znak: \\(-\\Delta/(4a) = -(-16)/(-4) = -4\\), ale to błąd rachunkowy; wierzchołek jest w \\((0, 4)\\), nie w \\((0, -4)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a < 0\\) (parabola w dół), zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\) - ograniczony od góry. Gdy \\(a > 0\\) (parabola w górę) - to \\(\\langle q, +\\infty)\\). Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe (\\(x = \\pm 2\\)) to punkty na osi \\(OX\\), gdzie funkcja się zeruje - nie mylić ich ze zbiorem wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(4\\) **jest osiągana** (w \\(x = 0\\)), więc przedział jest domknięty od góry: \\(\\langle\\) zamiast \\((\\). Sprawdź zawsze, czy ekstremum jest osiągane!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli (postać kanoniczna)\n\\(f(x) = -(x^{2}) + 4\\) to parabola \\(y = -x^{2}\\) przesunięta o 4 w górę.\nWspółczynnik \\(a=-1<0\\) - ramiona w dół, wierzchołek maksimum: \\((0, 4)\\).\nZbiór wartości: \\((-\\infty, 4\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza\n\\(-x^{2} \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(-x^{2}+4 \\leq 4\\). Największa wartość 4 przy \\(x=0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,-2\\rangle\\)** - pomylone wartości.\n- **B. \\(\\langle 2,+\\infty)\\)** - błędnie (funkcja nie osiąga wartości \\(>4\\)).\n- **C. \\(\\langle -4,+\\infty)\\)** - zamienione zakresy.\n\n**Trik:** Parabola z \\(a<0\\) ma zbiór wartości \\((-\\infty, y_{w}\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓.\nJeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji 𝑓.\nA. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -6𝑥+ 11\nB. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 𝑥+ 2\nC. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -6𝑥-7\nD. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 6𝑥-7\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f. A. f(x)=x²-6x+11 B. f(x)=-x²+x+2 C. f(x)=x²-6x-7 D. f(x)=-x²+6x-7","answer":"D","answer_text":"12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nstosuje\npoprawną\nmetodę\nobliczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n𝑥2 -4𝑥-5, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\n\nzdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę\nALBO\n\nPoprawnie rozwiąże nierówność 𝑥2 -5 ≥0.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n𝑥∈(-∞, 5⟩∪⟨-1, +∞).\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału otwartego, to może\notrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\npopełnia błąd przy przekształceniu równania 𝑥+8\n𝑥-7 = 2𝑥 do postaci równania\nkwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania\ni konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nobliczy wyróżnik trójmianu 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 (lub zmiennej 𝑎)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nALBO\n\nzapisze liczbę 4, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń\nelementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(f(x) = -x^2 + 6x - 7\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza wierzchołka i kierunku paraboli\n\nZ rysunku odczytujemy dwie kluczowe informacje:\n1. **Parabola jest otwarta w dół** → współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny (\\(a < 0\\))\n2. **Wierzchołek leży w okolicach punktu \\((3, 2)\\)**\n\n**Krok 1: Eliminacja odpowiedzi z parabolą otwartą w górę.**\n\nOdpowiedzi A i C mają \\(a = 1 > 0\\) - otwierają się w górę. Odpadają.\n\nZostają: **B** i **D** (obie mają \\(a = -1 < 0\\)).\n\n**Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka dla odpowiedzi B.**\n\n\\[f(x) = -x^2 + x + 2, \\quad a = -1,\\ b = 1\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{1}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWierzchołek w \\(x = \\frac{1}{2}\\) - daleko od \\(x = 3\\). **Odpowiedź B odpada.**\n\n**Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka dla odpowiedzi D.**\n\n\\[f(x) = -x^2 + 6x - 7, \\quad a = -1,\\ b = 6,\\ c = -7\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = 3\\]\n\\[q = f(3) = -(3)^2 + 6 \\cdot 3 - 7 = -9 + 18 - 7 = 2\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (3,\\ 2)\\)** - zgadza się z rysunkiem. ✓\n\n## Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\nSkoro z rysunku odczytujemy wierzchołek \\(W = (3, 2)\\) i parabolę otwartą w dół (\\(a < 0\\)), możemy zapisać:\n\n\\[f(x) = a(x - 3)^2 + 2\\]\n\nSpośród odpowiedzi z \\(a < 0\\) sprawdzamy, czy po rozwinięciu otrzymamy którąś z podanych opcji. Dla \\(a = -1\\):\n\n\\[f(x) = -(x-3)^2 + 2 = -(x^2 - 6x + 9) + 2 = -x^2 + 6x - 9 + 2\\]\n\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 6x - 7}\\]\n\nTo dokładnie odpowiedź **D**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy ich w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka dla każdego kandydata.\n\n**Dział 7 - postać kanoniczna:**\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - bezpośrednio wpisując odczytany wierzchołek i rozwijając.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| A | \\(x^2 - 6x + 11\\) | \\(a = 1 > 0\\) → parabola otwarta **w górę**, a na rysunku jest w dół |\n| B | \\(-x^2 + x + 2\\) | \\(a < 0\\) ✓, ale wierzchołek w \\(x = \\frac{1}{2}\\), nie w \\(x = 3\\) |\n| C | \\(x^2 - 6x - 7\\) | \\(a = 1 > 0\\) → parabola otwarta **w górę** + wierzchołek w \\((3, -16)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie znaku \\(a\\) - uczniowie wybierają odpowiedź A lub C tylko dlatego, że wierzchołek jest w \\(x = 3\\). Tymczasem rysunek jednoznacznie pokazuje, że parabola otwiera się **w dół**, więc \\(a < 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wierzchołek to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\). Łatwo tu o błąd znaku - dla \\(f(x) = -x^2 + 6x - 7\\) mamy \\(b = 6\\), \\(a = -1\\), więc \\(p = -\\frac{6}{-2} = 3\\). Nie zapomnij o znaku mianownika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybsza strategia - zawsze zacznij od odczytania znaku \\(a\\) z rysunku (góra/dół paraboli), a potem dopiero sprawdzaj wierzchołek. To eliminuje połowę odpowiedzi od razu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Eliminacja po kształcie\nZ wykresu: ramiona w dół, więc \\(a<0\\). Eliminujemy A i C.\nSpośród B i D: w D widać \\(f(1) = -1+6-7 = -2\\) (nie pasuje - wykres przechodzi przez okolice \\(x=1\\) na osi). Sprawdzamy znak \\(x_{w}\\): wierzchołek leży po prawej od \\(y\\), więc \\(x_{w}>0\\).\nDla B: \\(x_{w} = -\\dfrac{1}{2\\cdot(-1)} = \\dfrac{1}{2}\\) - zbyt mało.\nDla D: \\(x_{w} = -\\dfrac{6}{2\\cdot(-1)} = 3\\) - pasuje.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja wartości wierzchołka\nDla D: \\(f(3) = -9+18-7 = 2\\). Wierzchołek \\((3, 2)\\) - zgodne z wykresem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C.** \\(a>0\\) - ramiona w górę, nie pasuje.\n- **B.** \\(x_{w}=\\tfrac{1}{2}\\), wykres byłby blisko \\(y\\), a tu wierzchołek jest dalej.\n\n**Trik:** Znak \\(a\\) czytaj z kształtu ramion, \\(x_{w}\\) z położenia wierzchołka.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Różnica tego ciągu\njest równa 2. Wtedy\nA. 𝑎24 -𝑎6 = 18\nB. 𝑎24 -𝑎6 = 20\nC. 𝑎24 -𝑎6 = 36\nD. 𝑎24 -𝑎6 = 38\n𝑦\n1\n0 1 𝑥\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa 2. Wtedy A. a_24 - a_6 = 18 B. a_24 - a_6 = 20 C. a_24 - a_6 = 36 D. a_24 - a_6 = 38","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[a_{24} - a_6 = 36\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz wyraża się wzorem:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\ngdzie \\(r\\) to różnica ciągu. Tutaj \\(r = 2\\).\n\nZapisujemy oba wyrazy:\n\\[a_{24} = a_1 + 23 \\cdot 2 = a_1 + 46\\]\n\\[a_6 = a_1 + 5 \\cdot 2 = a_1 + 10\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[a_{24} - a_6 = (a_1 + 46) - (a_1 + 10) = 46 - 10 = \\mathbf{36}\\]\n\n\\(a_1\\) się skraca - wynik nie zależy od pierwszego wyrazu ciągu!\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie liczenie \"skoków\"\n\nKluczowa obserwacja: w ciągu arytmetycznym z różnicą \\(r\\) wyraz \\(a_m\\) różni się od \\(a_n\\) o dokładnie \\((m - n) \\cdot r\\).\n\nIle \"kroków\" dzieli wyraz 24. od wyrazu 6.?\n\\[24 - 6 = 18 \\text{ kroków}\\]\n\nKażdy krok to zwiększenie o \\(r = 2\\), więc:\n\\[a_{24} - a_6 = 18 \\cdot 2 = \\mathbf{36}\\]\n\n**Weryfikacja na przykładzie:** Weźmy \\(a_1 = 1\\), \\(r = 2\\):\n- \\(a_6 = 1 + 5 \\cdot 2 = 11\\)\n- \\(a_{24} = 1 + 23 \\cdot 2 = 47\\)\n- \\(47 - 11 = 36\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyrażenia \\(a_{24}\\) i \\(a_6\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\nZ tego wzoru wynika też ogólna reguła użyta w Sposobie 2:\n\\[a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wynik \\(18\\) to liczba kroków \\((24 - 6 = 18)\\), ale zapomniano przemnożyć przez różnicę \\(r = 2\\) |\n| B | Wynik \\(20\\) - trudno zrekonstruować, być może błędne obliczenie \\((24-6) \\cdot 2 - 16\\) lub pomylenie indeksów |\n| D | Wynik \\(38\\) - prawdopodobnie policzono \\((24 - 5) \\cdot 2 = 38\\), czyli wzięto \\(a_5\\) zamiast \\(a_6\\) (przesunięcie o 1 w indeksie) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków między \\(a_6\\) a \\(a_{24}\\) to **\\(24 - 6 = 18\\)**, nie \\(24 - 6 + 1 = 19\\). Dodawanie \\(1\\) to częsty błąd (pomieszanie z liczeniem wyrazów w przedziale).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(a_{24} - a_6\\) **nie zależy od \\(a_1\\)** - skraca się w obliczeniach. Nie potrzebujemy znać pierwszego wyrazu ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\) działa tylko gdy odejmujemy w tej samej kolejności - tu \\(m > n\\), więc wynik jest dodatni (co zgadza się z \\(r > 0\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na różnicę wyrazów (karta wzorów)\nDla ciągu arytmetycznego \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).\n\\(a_{24} - a_{6} = (24-6)\\cdot r = 18\\cdot 2 = 36\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\n\\(a_{24} = a_{1}+23r\\), \\(a_{6} = a_{1}+5r\\). Odejmujemy:\n\\(a_{24}-a_{6} = 18r = 18\\cdot 2 = 36\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\)** - sama różnica numerów wyrazów.\n- **B. \\(20\\)** - błędne \\(10\\cdot 2\\).\n- **D. \\(38\\)** - liczono \\(19\\cdot 2\\) zamiast \\(18\\cdot 2\\).\n\n**Trik:** \\(a_{m}-a_{k} = (m-k)\\cdot r\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nSuma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001\njest równa\nA. 2+998\n2\n⋅499\nB. 2+1000\n2\n⋅500\nC. 2+1001\n2\n⋅500\nD. 1+1001\n2\n⋅1001\nRozwiązanie zadania. Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001 jest równa A. 2 + 998 / 2 ⋅ 499 B. 2 + 1000 / 2 ⋅ 500 C. 2 + 1001 / 2 ⋅ 500 D. 1 + 1001 / 2 ⋅ 1001","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Wypisujemy ciąg:** szukamy sumy wszystkich dodatnich liczb całkowitych **parzystych** i **mniejszych od 1001**.\n\nLiczby parzyste mniejsze od 1001 to:\n\\[2, 4, 6, \\ldots, 1000\\]\n\n(1001 jest nieparzyste, więc ostatnią liczbą parzystą mniejszą od 1001 jest 1000.)\n\n**Ile jest wyrazów?** Ogólnie \\(k\\)-ta liczba parzysta to \\(2k\\), więc \\(2k = 1000\\) daje \\(k = 500\\).\n\nMamy zatem \\(n = 500\\) wyrazów.\n\n**Stosujemy wzór na sumę** ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nTutaj \\(a_1 = 2\\), \\(a_n = a_{500} = 1000\\), \\(n = 500\\), więc:\n\\[S_{500} = \\frac{2 + 1000}{2} \\cdot 500\\]\n\nTo jest dokładnie odpowiedź **B**.\n\nObliczając wartość:\n\\[S_{500} = \\frac{1002}{2} \\cdot 500 = 501 \\cdot 500 = 250\\,500\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie czynnika 2 i suma liczb od 1 do 500\n\nLiczby parzyste od 2 do 1000 możemy zapisać jako:\n\\[2 \\cdot 1,\\quad 2 \\cdot 2,\\quad 2 \\cdot 3,\\quad \\ldots,\\quad 2 \\cdot 500\\]\n\nIch suma to:\n\\[S = 2 \\cdot (1 + 2 + 3 + \\ldots + 500) = 2 \\cdot \\frac{500 \\cdot 501}{2} = 500 \\cdot 501 = 250\\,500\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\frac{2+1000}{2} \\cdot 500 = 501 \\cdot 500 = 250\\,500\\) ✓ Oba sposoby dają ten sam wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, gdzie \\(a_1 = 2\\), \\(a_n = 1000\\), \\(n = 500\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Napisano \\(\\frac{2+998}{2} \\cdot 499\\) - ktoś pomyślał, że ostatnia liczba parzysta mniejsza od 1001 to 998, i policzył o 1 wyraz za mało. Skoro 1000 < 1001 i 1000 jest parzyste, **1000 należy do naszego ciągu!** |\n| C | Napisano \\(\\frac{2+1001}{2} \\cdot 500\\) - ktoś włączył do ciągu liczbę 1001, która jest **nieparzysta**. Treść mówi: parzyste i mniejsze od 1001. |\n| D | Napisano \\(\\frac{1+1001}{2} \\cdot 1001\\) - to wzór na sumę **wszystkich liczb od 1 do 1001**, bez żadnego filtrowania parzystości. Zupełnie inna suma. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „mniejsze od 1001\" - nie mylić z „mniejsze lub równe 1001\". Ostatnia liczba parzysta spełniająca warunek to **1000**, nie 998!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba wyrazów to **500**, nie 499 ani 501. Sprawdź wzorem: \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1 = \\frac{1000 - 2}{2} + 1 = 499 + 1 = 500\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o gotową **postać sumy** (wyrażenie), nie o wartość liczbową - dlatego wystarczy dopasować wzór do postaci odpowiedzi, nawet bez liczenia \\(250\\,500\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)\n\\(S_{n} = \\dfrac{a_{1}+a_{n}}{2}\\cdot n\\).\nLiczby: \\(2, 4, 6, \\ldots, 1000\\). To ciąg arytmetyczny: \\(a_{1}=2\\), \\(r=2\\), \\(a_{n}=1000\\).\nLiczba wyrazów: \\(n = \\dfrac{1000-2}{2}+1 = 500\\).\nSuma: \\(S = \\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\).\n\n### Sposób 2 - Przez liczby naturalne\nSuma \\(= 2(1+2+\\ldots+500) = 2\\cdot \\dfrac{500\\cdot 501}{2} = 500\\cdot 501 = \\dfrac{1000\\cdot 501}{1} = \\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** zły ostatni wyraz (998) i liczba (499).\n- **C.** \\(a_{n}=1001\\) nieparzyste - nie należy do zbioru.\n- **D.** sumowano liczby 1 do 1001 (wszystkie).\n\n**Trik:** Wśród dodatnich parzystych mniejszych od 1001 największa to 1000, a jest ich 500.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrójwyrazowy ciąg (2, 𝑥, 18) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy\nA. 𝑥= 16\nB. 𝑥= 10\nC. 𝑥= 6\nD. 𝑥= 9\nRozwiązanie zadania. Trójwyrazowy ciąg (2,x,18) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy A. x=16 B. x=10 C. x=6 D. x=9","answer":"C","answer_text":"16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) zachodzi własność:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = x\\), \\(a_3 = 18\\):\n\\[x^2 = 2 \\cdot 18\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = 6 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]\n\nTeraz sprawdzamy warunek **rosnącości** ciągu.\n\n**Przypadek \\(x = 6\\):** ciąg \\((2,\\ 6,\\ 18)\\), iloraz \\(q = \\frac{6}{2} = 3 > 1\\) → ciąg rosnący ✓\n\n**Przypadek \\(x = -6\\):** ciąg \\((2,\\ {-6},\\ 18)\\), iloraz \\(q = \\frac{-6}{2} = -3 < 0\\) → ciąg **nie jest** monotoniczny (wyrazy na przemian zmieniają znak) ✗\n\n**Odpowiedź: \\(x = 6\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie ilorazu wprost\n\nNiech \\(q\\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wtedy:\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q \\implies x = 2q\\]\n\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2 \\implies 18 = 2q^2\\]\n\nZ drugiego równania:\n\\[q^2 = 9 \\implies q = 3 \\quad \\text{lub} \\quad q = -3\\]\n\nCiąg geometryczny jest rosnący \\(\\iff q > 1\\) (gdy wszystkie wyrazy dodatnie), więc:\n\\[q = 3\\]\n\nZatem:\n\\[x = 2q = 2 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(x^2 = 2 \\cdot 18\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(x\\) i \\(18\\) przez \\(q\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(x = 16\\) | Uczeń liczy **średnią arytmetyczną** \\(\\frac{2 + 18}{2} \\cdot \\ldots\\) lub po prostu \\(2 + 18 = 20 - 4\\) - miesza ciąg geometryczny z arytmetycznym |\n| B | \\(x = 10\\) | Uczeń liczy **średnią arytmetyczną**: \\(\\frac{2 + 18}{2} = 10\\) - to byłby środkowy wyraz ciągu **arytmetycznego** \\((2, 10, 18)\\), a nie geometrycznego |\n| D | \\(x = 9\\) | Uczeń może błędnie zastosować \\(x = \\frac{18}{2} = 9\\) (dzielenie skrajnych wyrazów zamiast pierwiastkowania ich iloczynu) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 = 36\\) ma **dwa** rozwiązania: \\(x = 6\\) i \\(x = -6\\). Warunek rosnącości wyklucza \\(x = -6\\) - zawsze sprawdź oba!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz ciągu **geometrycznego** to **średnia geometryczna** \\(\\sqrt{a_1 \\cdot a_3}\\), a nie arytmetyczna \\(\\frac{a_1 + a_3}{2}\\). Odpowiedź B to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla ciągu geometrycznego z dodatnimi wyrazami i ilorazem \\(q > 1\\) ciąg jest rosnący; dla \\(q < 0\\) wyrazy zmieniają znak i ciąg nie jest monotonicznie rosnący.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego (karta wzorów)\nW ciągu geometrycznym: \\(x^{2} = 2\\cdot 18 = 36\\), stąd \\(x = 6\\) lub \\(x = -6\\).\nCiąg ma być rosnący, \\(2 < x < 18\\), więc \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Przez iloraz\nJeśli \\(q\\) to iloraz: \\(\\dfrac{x}{2} = \\dfrac{18}{x}\\), stąd \\(x^{2} = 36\\), \\(x=\\pm 6\\). Wybieramy dodatnie: \\(x=6\\) (sprawdzenie: \\(2, 6, 18\\) z \\(q=3\\) - rosnący).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\)** - różnica arytmetyczna.\n- **B. \\(10\\)** - średnia arytmetyczna 2 i 18 (to by dawało ciąg arytmetyczny).\n- **D. \\(9\\)** - tu \\(q\\) nie byłby stały: \\(\\tfrac{9}{2} \\neq \\tfrac{18}{9}\\).\n\n**Trik:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego: \\(b^{2}=ac\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i sin 𝛼= 7\n25. Wynika stąd, że\nA. cos 𝛼= 576\n625\nB. cos 𝛼= 24\n25\nC. cos 𝛼= -√24\n25\nD. cos 𝛼= 18\n25\nRozwiązanie zadania. Kąt α jest ostry i sinα = 7/25. Wynika stąd, że A. cosα = 576/625 B. cosα = 24/25 C. cosα = -√24/25 D. cosα = 18/25","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nKorzystamy z podstawowego wzoru łączącego sinus i cosinus.\n\n**Krok 1.** Zapisujemy jedynkę trygonometryczną:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\):\n\\[\\left(\\frac{7}{25}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{49}{625} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(\\cos^2\\alpha\\):\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{49}{625} = \\frac{625 - 49}{625} = \\frac{576}{625}\\]\n\n**Krok 4.** Wyciągamy pierwiastek:\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{576}{625}} = \\pm\\frac{24}{25}\\]\n\n**Krok 5.** Wybieramy znak. Kąt \\(\\alpha\\) jest **ostry**, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\). W I ćwiartce cosinus jest **dodatni**, więc:\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{24}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny\n\nJeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\), to z definicji:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{7}{25}\\]\n\nPodstawiamy: przeciwprostokątna \\(= 25\\), jedna przyprostokątna \\(= 7\\).\n\nSzukamy drugiej przyprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + 7^2 = 25^2\\]\n\\[a^2 = 625 - 49 = 576\\]\n\\[a = 24\\]\n\nCosinus to stosunek **przyległej** przyprostokątnej do przeciwprostokątnej:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{24}{25}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, jesteśmy w trójkącie prostokątnym - wynik jest jednoznaczny i dodatni.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z danego \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)**\n\nDefinicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]\ngdzie \\(b\\) to przyległa przyprostokątna, \\(c\\) to przeciwprostokątna. Użyta w Sposobie 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)**\n\nTwierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Policzono poprawnie \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{576}{625}\\), ale **zapomniano wyciągnąć pierwiastek** - podano \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |\n| C | Wyciągnięto pierwiastek poprawnie, ale wzięto **ujemny znak** - pominięto warunek, że \\(\\alpha\\) jest ostry (cosinus ostrego kąta jest dodatni) |\n| D | Błędne obliczenie - prawdopodobnie odjęto \\(\\frac{7}{25}\\) od \\(1\\) wprost: \\(1 - \\frac{7}{25} = \\frac{18}{25}\\), bez podniesienia do kwadratu |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{576}{625}\\) to **kwadrat** cosinusa, nie cosinus! Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka. Odpowiedź A to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z jedynki trygonometrycznej wychodzą **dwa rozwiązania**: \\(\\pm\\frac{24}{25}\\). Zawsze sprawdź, w której ćwiartce leży kąt - dla kąta ostrego cosinus jest dodatni!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie odejmuj \\(\\sin\\alpha\\) wprost od 1. Wzór to \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc najpierw podnosisz do **kwadratu**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)\n\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\).\n\\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{7}{25}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{49}{625} = \\dfrac{576}{625}\\).\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{576}{625}} = \\dfrac{24}{25}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt egipski\nZnany trójkąt o stosunkach \\(7:24:25\\). Sinus \\(=\\dfrac{7}{25}\\) (przeciwprostokątna 25), więc sąsiednia przyprostokątna 24, kosinus \\(=\\dfrac{24}{25}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{576}{625}\\)** - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\).\n- **C.** znak ujemny - dla kątów ostrych \\(\\cos>0\\).\n- **D. \\(\\tfrac{18}{25}\\)** - błędne obliczenia (\\(25-7=18\\)).\n\n**Trik:** Pamiętaj o pierwiastku po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o środku 𝑆. Bok 𝐴𝐷 jest średnicą tego okręgu,\na miara kąta 𝐵𝐷𝐶 jest równa 20° (zobacz rysunek).\nWtedy miara kąta 𝐵𝑆𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 20°\nC. 30°\nD. 40°\n20°\n𝑆\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku S. Bok AD jest średnicą tego okręgu, a miara kąta BDC jest równa 20° (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta BSC jest równa A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(40°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Kąt \\(\\angle BDC = 20°\\) to **kąt wpisany** w okrąg, a kąt \\(\\angle BSC\\) to **kąt środkowy** - oba opierają się na tym samym łuku \\(BC\\).\n\nPunkt \\(D\\) leży na łuku większym (naprzeciwko cięciwy \\(BC\\)), więc możemy bezpośrednio zastosować twierdzenie:\n\n> Kąt środkowy jest **dwa razy większy** od kąta wpisanego, jeśli oba opierają się na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle BSC = 2 \\cdot \\angle BDC\\]\n\n\\[\\angle BSC = 2 \\cdot 20° = \\mathbf{40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez miarę łuku\n\nKrok po kroku przez miary łuków:\n\n**Krok 1.** Kąt wpisany \\(\\angle BDC\\) opiera się na łuku \\(\\stackrel{\\frown}{BC}\\) (łuku nie zawierającym \\(D\\)).\n\nZ definicji kąta wpisanego:\n\\[\\angle BDC = \\frac{1}{2} \\cdot \\stackrel{\\frown}{BC}\\]\n\\[20° = \\frac{1}{2} \\cdot \\stackrel{\\frown}{BC}\\]\n\\[\\stackrel{\\frown}{BC} = 40°\\]\n\n**Krok 2.** Kąt środkowy \\(\\angle BSC\\) opiera się na **tym samym łuku** \\(\\stackrel{\\frown}{BC}\\), więc jego miara równa się mierze łuku:\n\\[\\angle BSC = \\stackrel{\\frown}{BC} = \\mathbf{40°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **\\(40°\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nStąd odwrotnie: \\(\\alpha_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot \\alpha_{\\text{wpisany}}\\).\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio do obliczenia \\(\\angle BSC\\) z danego \\(\\angle BDC\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(10°\\)) | Zamiana kierunku: uczeń policzył \\(\\frac{20°}{2} = 10°\\), czyli podzielił zamiast pomnożyć. Mylenie: kąt środkowy = połowa wpisanego, a nie odwrotnie. |\n| B (\\(20°\\)) | Uczeń uznał, że \\(\\angle BSC = \\angle BDC\\) - zapomniał o zależności 1:2. Równość zachodziłaby tylko między kątami **wpisanymi** (nie środkowym i wpisanym). |\n| C (\\(30°\\)) | Brak konkretnego błędu algebraicznego - odpowiedź „zgadnięta\" lub wynikająca z błędnego dodania \\(20° + 10°\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **odwrócenie zależności** - uczniowie pamiętają hasło „dwa razy\" i dzielą zamiast mnożyć. Zapamiętaj: kąt **środkowy** = 2 × kąt **wpisany** (środkowy jest WIĘKSZY).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Informacja, że \\(AD\\) jest średnicą, to w tym zadaniu **dane kontekstowe** (opisują rysunek), ale **nie są potrzebne** do obliczenia \\(\\angle BSC\\). Nie daj się zmylić - skup się na łuku \\(BC\\) i kącie \\(\\angle BDC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie działa tylko gdy punkt \\(D\\) leży na **łuku większym** względem cięciwy \\(BC\\) (czyli po drugiej stronie niż kąt środkowy \\(\\angle BSC\\)). Jeśli \\(D\\) byłby po tej samej stronie co centrum - wzór wyglądałby inaczej. Na rysunku widać, że \\(D\\) jest na właściwym łuku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy vs kąt wpisany (karta wzorów)\nKąt \\(BDC\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(BC\\), a kąt \\(BSC\\) to kąt środkowy oparty na tym samym łuku. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:\n\\(|\\angle BSC| = 2\\cdot |\\angle BDC| = 2\\cdot 20^{\\circ} = 40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nŁuk \\(BC\\) ma miarę \\(40^{\\circ}\\), bo miara łuku = miara odpowiadającego kąta środkowego. Kąt wpisany \\(BDC\\) ma miarę \\(20^{\\circ}\\) - zgadza się.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10^{\\circ}\\)** - odwrotnie (połowa zamiast podwojenia).\n- **B. \\(20^{\\circ}\\)** - pomylenie z kątem wpisanym.\n- **C. \\(30^{\\circ}\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Trik:** Kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany (oparty na tym samym łuku).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nOkrąg o środku w punkcie 𝑂 jest wpisany w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Wiadomo, że |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|\ni |∡𝐵𝑂𝐶| = 100° (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa\nA. 20°\nB. 30°\nC. 40°\nD. 50°\nRozwiązanie zadania. Okrąg o środku w punkcie O jest wpisany w trójkąt ABC. Wiadomo, że |AB|=|AC| i |∠ BOC|=100° (zobacz rysunek). Miara kąta BAC jest równa A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(20°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt przy środku okręgu wpisanego (wzór ogólny)\n\n**Kluczowa własność śródkręgu:** Środek okręgu wpisanego \\(O\\) leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. Znaczy to, że \\(OB\\) jest dwusieczną kąta \\(B\\), a \\(OC\\) - dwusieczną kąta \\(C\\).\n\nRozpatrzmy trójkąt \\(BOC\\):\n\n\\[\n\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2}, \\qquad \\angle OCB = \\frac{\\angle C}{2}\n\\]\n\nSuma kątów w trójkącie \\(BOC\\):\n\n\\[\n\\angle BOC + \\frac{\\angle B}{2} + \\frac{\\angle C}{2} = 180°\n\\]\n\n\\[\n\\angle BOC = 180° - \\frac{\\angle B + \\angle C}{2}\n\\]\n\nPonieważ \\(\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180°\\), mamy \\(\\angle B + \\angle C = 180° - \\angle A\\), więc:\n\n\\[\n\\angle BOC = 180° - \\frac{180° - \\angle A}{2} = 180° - 90° + \\frac{\\angle A}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}}\n\\]\n\nPodstawiamy \\(\\angle BOC = 100°\\):\n\n\\[\n100° = 90° + \\frac{\\angle BAC}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\angle BAC}{2} = 10° \\implies \\angle BAC = 20°\n\\]\n\n## Sposób 2 - Wprost z trójkąta BOC, korzystając z symetrii\n\nSkoro \\(|AB| = |AC|\\), trójkąt jest równoramienny, więc \\(\\angle B = \\angle C\\).\n\nNiech \\(\\angle BAC = \\alpha\\). Wtedy:\n\n\\[\n\\angle B = \\angle C = \\frac{180° - \\alpha}{2}\n\\]\n\nDwusieczne kąta \\(B\\) i \\(C\\) tworzą w trójkącie \\(BOC\\):\n\n\\[\n\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2} = \\frac{180° - \\alpha}{4}, \\qquad \\angle OCB = \\frac{180° - \\alpha}{4}\n\\]\n\nSuma kątów w \\(BOC\\):\n\n\\[\n100° + 2 \\cdot \\frac{180° - \\alpha}{4} = 180°\n\\]\n\n\\[\n2 \\cdot \\frac{180° - \\alpha}{4} = 80°\n\\]\n\n\\[\n\\frac{180° - \\alpha}{2} = 80°\n\\]\n\n\\[\n180° - \\alpha = 160° \\implies \\alpha = 20°\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\angle BAC = 20°\\)** - zgodny z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180°\\]\nUżyliśmy tego, by wyrazić \\(\\angle B + \\angle C\\) przez \\(\\angle A\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)** - własność dwusiecznej kąta (nie jest wprost podana jako wzór, ale wynika z definicji): środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych, co daje \\(\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2}\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów z karty - kluczowa jest własność środka okręgu wpisanego i suma kątów trójkąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(30°\\) | Uczeń liczy \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\), ale błędnie odczytuje: \\(100° - 90° = 10°\\), potem myląco mnoży razy \\(3\\) zamiast razy \\(2\\) |\n| C - \\(40°\\) | Uczeń stosuje błędny wzór \\(\\angle BOC = \\frac{\\angle A}{2} + 80°\\), lub myli kąt środkowy okręgu wpisanego z kątem środkowym okręgu **opisanego** (gdzie \\(\\angle BOC = 2\\angle A\\), czyli \\(100° / 2 = 50°\\) - ale to i tak nie daje \\(40°\\)) |\n| D - \\(50°\\) | Klasyczny błąd: uczeń używa wzoru dla okręgu **opisanego** (\\(\\angle BOC = 2\\angle A\\)), stąd \\(\\angle A = \\frac{100°}{2} = 50°\\). Myli okrąg wpisany z opisanym! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\) dotyczy środka okręgu **wpisanego**. Dla okręgu **opisanego** obowiązuje \\(\\angle BOC = 2\\angle A\\) (kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany). Nie myl tych dwóch sytuacji!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria trójkąta (\\(|AB| = |AC|\\)) jest tu pomocna przy Sposobie 2, ale nie jest konieczna - wzór \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\) działa dla **każdego** trójkąta, nie tylko równoramiennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź kąty w trójkącie \\(BOC\\): po obliczeniu \\(\\angle B = \\angle C = \\frac{180° - 20°}{2} = 80°\\), kąty \\(\\angle OBC = \\angle OCB = 40°\\), i rzeczywiście \\(100° + 40° + 40° = 180°\\) ✓ - zawsze warto zweryfikować!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność środka okręgu wpisanego\nŚrodek \\(O\\) leży na dwusiecznych kątów trójkąta. W trójkącie \\(BOC\\):\n\\(|\\angle OBC| = \\tfrac{1}{2}|\\angle ABC|\\), \\(|\\angle OCB| = \\tfrac{1}{2}|\\angle ACB|\\).\nSuma kątów w trójkącie \\(BOC\\):\n\\(|\\angle BOC| + \\tfrac{1}{2}(|\\angle ABC|+|\\angle ACB|) = 180^{\\circ}\\).\n\\(100^{\\circ} + \\tfrac{1}{2}(180^{\\circ}-|\\angle BAC|) = 180^{\\circ}\\).\n\\(\\tfrac{1}{2}(180^{\\circ}-|\\angle BAC|) = 80^{\\circ}\\).\n\\(180^{\\circ}-|\\angle BAC| = 160^{\\circ}\\), więc \\(|\\angle BAC| = 20^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór\nOgólnie: \\(|\\angle BOC| = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}|\\angle BAC|\\) (dla okręgu wpisanego).\n\\(100^{\\circ} = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}|\\angle BAC|\\), stąd \\(|\\angle BAC| = 20^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D.** błędne użycie wzoru lub brak uwzględnienia dwusiecznych.\n\n**Trik:** \\(\\angle BOC = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}\\angle A\\) - wzór dla okręgu wpisanego.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Cięciwy 𝐷𝐵 i 𝐴𝐶 przecinają się\nw punkcie 𝐸, |∡𝐴𝐶𝐵| = 55° oraz |∡𝐴𝐸𝐵| = 140° (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐷𝐴𝐶 jest równa\nA. 45°\nB. 55°\nC. 70°\nD. 85°\n100°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑂\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n55°\n𝐸\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Cięciwy DB i AC przecinają się w punkcie E, |∠ AEB| = 140° (zobacz rysunek). Miara kąta DAC jest równa A. 45° B. 55° C. 70° D. 85°","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(85°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt między cięciwami + kąt wpisany\n\n**Krok 1: Wyznacz łuk AB z kąta wpisanego ∠ACB**\n\n\\(\\angle ACB = 55°\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\) (łuk nieobejmujący punktu C).\n\nZ własności kąta wpisanego:\n\\[\\widehat{AB} = 2 \\cdot |\\angle ACB| = 2 \\cdot 55° = 110°\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz łuk CD z kąta między cięciwami**\n\nCięciwy \\(AC\\) i \\(DB\\) przecinają się w punkcie \\(E\\) wewnątrz okręgu. Kąt między dwiema cięciwami jest równy **połowie sumy łuków, które ten kąt i kąt wierzchołkowy do niego wycinają**:\n\n\\[|\\angle AEB| = \\frac{\\widehat{AB} + \\widehat{CD}}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[140° = \\frac{110° + \\widehat{CD}}{2}\\]\n\\[280° = 110° + \\widehat{CD}\\]\n\\[\\widehat{CD} = 170°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt DAC**\n\n\\(\\angle DAC\\) to kąt wpisany o wierzchołku w punkcie \\(A\\), oparty na łuku \\(CD\\) (łuk między punktami \\(D\\) i \\(C\\), nieobejmujący \\(A\\)):\n\n\\[|\\angle DAC| = \\frac{\\widehat{CD}}{2} = \\frac{170°}{2} = \\boxed{85°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt wierzchołkowy i weryfikacja spójności\n\n**Kąt suplementarny do ∠AEB:**\n\nKąty \\(\\angle AEB\\) i \\(\\angle AED\\) są suplementarne (punkty \\(B, E, D\\) leżą na cięciwie \\(BD\\)):\n\\[|\\angle AED| = 180° - 140° = 40°\\]\n\n**Kąt AED wyznacza łuki AD i BC:**\n\\[|\\angle AED| = \\frac{\\widehat{AD} + \\widehat{BC}}{2} = 40°\\]\n\\[\\widehat{AD} + \\widehat{BC} = 80°\\]\n\n**Sprawdzenie spójności** - suma wszystkich łuków musi dać \\(360°\\):\n\\[\\widehat{AB} + \\widehat{BC} + \\widehat{CD} + \\widehat{DA} = 360°\\]\n\\[110° + (\\widehat{BC} + \\widehat{DA}) + 170° = 360°\\]\n\\[\\widehat{BC} + \\widehat{DA} = 80° \\checkmark\\]\n\nWszystko się zgadza. Kąt \\(\\angle DAC = 85°\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Kroku 1 (\\(\\widehat{AB} = 2 \\cdot \\angle ACB\\)) i w Kroku 3 (\\(\\angle DAC = \\frac{1}{2}\\widehat{CD}\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt między cięciwami:\n> Jeśli dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu, to kąt między nimi jest równy połowie sumy przeciętych łuków:\n> \\[|\\angle E| = \\frac{\\widehat{AB} + \\widehat{CD}}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia łuku \\(CD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(45°\\) | Wzięto \\(\\angle DAC = 90° - \\angle ACB = 90° - 55°\\) - błędne skojarzenie kątów |\n| **B** \\(55°\\) | Uznano, że \\(\\angle DAC = \\angle ACB\\) (jako kąty wpisane na tym samym łuku) - ale kąty te dotyczą różnych łuków |\n| **C** \\(70°\\) | Obliczono \\(\\frac{140°}{2} = 70°\\) - podzielono tylko kąt AEB przez 2, ignorując sumę łuków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między cięciwami to **PÓŁ SUMY** dwóch łuków (naprzeciw siebie), a nie połowa jednego łuku. Najczęstszy błąd: wstawienie tylko \\(\\widehat{AB}\\) zamiast \\(\\widehat{AB} + \\widehat{CD}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(\\angle DAC\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) - tym, który **nie zawiera punktu** \\(A\\). Łatwo pomylić, który łuk jest \"ten właściwy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kąta wpisanego (\\(\\frac{1}{2}\\) łuku) z kątem między cięciwami (\\(\\frac{1}{2}\\) **sumy** dwóch łuków) - to dwie różne sytuacje!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt zewnętrzny trójkąta\nW trójkącie \\(AEC\\): \\(|\\angle AEC|\\) to kąt przy \\(E\\); \\(|\\angle AEB| = 140^{\\circ}\\) i \\(|\\angle AEC| = 180^{\\circ} - 140^{\\circ} = 40^{\\circ}\\) (kąty przyległe).\nW trójkącie \\(DEC\\) (lub rozważając \\(\\triangle\\)): kąt \\(\\angle DEA = 40^{\\circ}\\) (wierzchołkowy do \\(\\angle BEC\\)).\nKąt \\(\\angle AEB\\) jest zewnętrzny trójkąta \\(AEC\\) przy \\(E\\), więc \\(|\\angle AEB| = |\\angle EAC| + |\\angle ECA|\\) - nie, to w trójkącie \\(ADE\\). Poprawnie: \\(|\\angle AEB|\\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \\(DEC\\) przy \\(E\\) (gdyż \\(AEB\\) to kąt przyległy do \\(DEC\\), ale istotna jest relacja dla trójkąta \\(AED\\)).\nW trójkącie \\(AEB\\): \\(|\\angle AEB| = 140^{\\circ}\\) jest zewnętrzny dla \\(\\triangle BEC\\) lub \\(\\triangle AED\\). Kąt \\(\\angle AEB\\) (przy E patrząc z punktów A i B) jest zewnętrzny dla \\(\\triangle AEC\\) dopełniony do \\(180^{\\circ}\\).\n\nProściej: kąt między cięciwami \\(= \\tfrac{1}{2}(\\text{łuk}_{AB}+\\text{łuk}_{DC})\\).\n\\(140^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}(\\text{łuk}_{AB} + \\text{łuk}_{DC})\\).\n\\(|\\angle ACB| = 55^{\\circ}\\) - kąt wpisany na łuku \\(AB\\), czyli \\(\\text{łuk}_{AB} = 110^{\\circ}\\).\nStąd \\(\\text{łuk}_{DC} = 280^{\\circ}-110^{\\circ} = 170^{\\circ}\\).\n\\(|\\angle DAC|\\) - kąt wpisany oparty na łuku \\(DC\\): \\(|\\angle DAC| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 170^{\\circ} = 85^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta \\(AEC\\)\nW \\(\\triangle AEC\\): kąt zewnętrzny przy \\(E\\) (czyli \\(\\angle AEB\\)) równa się sumie kątów niepołożonych: \\(|\\angle AEB| = |\\angle ACE| + |\\angle EAC|\\).\n\\(140^{\\circ} = 55^{\\circ} + |\\angle EAC|\\), stąd \\(|\\angle EAC| = 85^{\\circ}\\). Ponieważ \\(E\\in DB\\), \\(|\\angle DAC| = |\\angle EAC| = 85^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** - pominięcie kąta zewnętrznego lub błędne przyjęcie \\(|\\angle DAC|\\).\n\n**Trik:** Kąt zewnętrzny trójkąta = suma dwóch kątów wewnętrznych niepołożonych.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPrzekątna 𝐴𝐶 prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość 70. Na boku 𝐴𝐵 obrano punkt 𝐸, na\nprzekątnej 𝐴𝐶 obrano punkt 𝐹, a na boku 𝐴𝐷 obrano punkt 𝐺 - tak, że czworokąt 𝐴𝐸𝐹𝐺\njest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |𝐸𝐹| = 30 i |𝐺𝐹| = 40.\nObwód prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 158\nB. 196\nC. 336\nD. 490\nRozwiązanie zadania. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 70. Na boku AB obrano punkt E, na przekątnej AC obrano punkt F, a na boku AD obrano punkt G - tak, że czworokąt AEFG jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |EF| = 30 i |GF| = 40. Obwód prostokąta ABCD jest równy A. 158 B. 196 C. 336 D. 490","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (196)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Kładziemy \\(A = (0, 0)\\), a prostokąt \\(ABCD\\) tak, że:\n- \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\)\n\nPunkt \\(E\\) leży na \\(AB\\), więc \\(E = (e, 0)\\). Punkt \\(G\\) leży na \\(AD\\), więc \\(G = (0, g)\\).\n\n**Skoro \\(AEFG\\) jest prostokątem** (z kątem prostym przy \\(A\\)), to czwarty wierzchołek musi być:\n\\[F = (e,\\ g)\\]\n\nOdcinki \\(EF\\) i \\(GF\\):\n\\[|EF| = g = 30, \\qquad |GF| = e = 40\\]\n\nWięc \\(F = (40, 30)\\).\n\n**Punkt \\(F\\) leży na przekątnej \\(AC\\)** (prosta z \\((0,0)\\) do \\((a,b)\\)). Warunek współliniowości:\n\\[\\frac{40}{a} = \\frac{30}{b} \\implies \\frac{b}{a} = \\frac{3}{4} \\implies b = \\frac{3}{4}a\\]\n\nKorzystamy z długości przekątnej \\(|AC| = 70\\):\n\\[a^2 + b^2 = 70^2 = 4900\\]\n\\[a^2 + \\frac{9}{16}a^2 = 4900\\]\n\\[\\frac{25}{16}a^2 = 4900 \\implies a^2 = 3136 \\implies \\mathbf{a = 56}\\]\n\\[\\mathbf{b = \\frac{3}{4} \\cdot 56 = 42}\\]\n\n**Obwód prostokąta \\(ABCD\\):**\n\\[\\boxed{2(56 + 42) = 2 \\cdot 98 = 196}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt i trójkąt prostokątny\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(|AF|\\).**\n\nW prostokącie \\(AEFG\\): \\(AE = 40\\), \\(AG = 30\\), kąt przy \\(A\\) jest prosty, a \\(AF\\) to przekątna wewnętrzna.\n\\[|AF| = \\sqrt{|AE|^2 + |AG|^2} = \\sqrt{40^2 + 30^2} = \\sqrt{1600 + 900} = \\sqrt{2500} = 50\\]\n\n**Krok 2: Kąt \\(\\angle BAC\\) jest wspólny dla trójkątów \\(AEF\\) i \\(ABC\\).**\n\nW trójkącie \\(AEF\\) (prostokątnym przy \\(E\\)):\n\\[\\sin(\\angle BAC) = \\frac{|EF|}{|AF|} = \\frac{30}{50} = \\frac{3}{5}, \\qquad \\cos(\\angle BAC) = \\frac{|AE|}{|AF|} = \\frac{40}{50} = \\frac{4}{5}\\]\n\n**Krok 3: Boki prostokąta \\(ABCD\\).**\n\nW trójkącie \\(ABC\\) prostokątnym przy \\(B\\), z przeciwprostokątną \\(AC = 70\\):\n\\[|AB| = |AC| \\cdot \\cos(\\angle BAC) = 70 \\cdot \\frac{4}{5} = \\mathbf{56}\\]\n\\[|BC| = |AC| \\cdot \\sin(\\angle BAC) = 70 \\cdot \\frac{3}{5} = \\mathbf{42}\\]\n\n**Obwód:**\n\\[2(56 + 42) = \\mathbf{196}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie: do obliczenia \\(|AF|\\) w trójkącie \\(AEF\\) (Sposób 2) oraz do wyznaczenia boku \\(a\\) z warunku \\(|AC| = 70\\) (Sposób 1).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicje sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym:**\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boków prostokąta z kąta \\(\\angle BAC\\) i przekątnej \\(AC = 70\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(158\\)) | Pomieszanie podobieństwa trójkątów - błędna proporcja przy wyznaczaniu \\(|AB|\\) i \\(|BC|\\), np. nieprawidłowe przypisanie sinusa i cosinusa do boków |\n| **C** (\\(336\\)) | Dodanie długości obu przekątnych do obwodu: \\(2(56+42) + 2 \\cdot 70 = 196 + 140 = 336\\) - pamiętaj, że obwód to tylko cztery boki! |\n| **D** (\\(490\\)) | Wzięcie \\(EF + GF = 70\\) jako połowy obwodu i przemnożenie przez 7 (\\(7 \\times 70 = 490\\)) - \\(|EF|\\) i \\(|GF|\\) to boki wewnętrznego prostokąta \\(AEFG\\), nie boki \\(ABCD\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(AEF\\) ma kąt prosty przy **E**, nie przy \\(F\\)! Przeciwprostokątną jest \\(AF\\), więc \\(|AF| = \\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\\), a nie \\(|AF| = 30 + 40\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle BAC\\) to ten sam kąt w trójkącie \\(AEF\\) i w trójkącie \\(ABC\\) - to jest klucz. Nie wyliczaj go w stopniach - wystarczy znać \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) z małego trójkąta i przełożyć to na duży.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik może być taki sam niezależnie od tego, czy \\(|AE| = 30\\) i \\(|AG| = 40\\), czy odwrotnie - prostokąt ABCD po zamianie ma zamienione boki, ale ten sam obwód (\\(56 + 42 = 42 + 56\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nPrzekątna \\(AF\\) małego prostokąta \\(AEFG\\): \\(|AF| = \\sqrt{30^{2}+40^{2}} = \\sqrt{900+1600} = \\sqrt{2500} = 50\\).\nTrójkąty \\(AEF\\) i \\(ABC\\) są podobne (wspólny kąt \\(A\\), prostokątne).\nSkala: \\(k = \\dfrac{|AC|}{|AF|} = \\dfrac{70}{50} = \\dfrac{7}{5}\\).\nBoki \\(ABCD\\): \\(|AB| = k\\cdot |AE| = \\tfrac{7}{5}\\cdot 40 = 56\\), \\(|AD| = k\\cdot |AG| = \\tfrac{7}{5}\\cdot 30 = 42\\).\nObwód: \\(2(56+42) = 2\\cdot 98 = 196\\).\n\n(Uwaga: \\(|AE|=|GF|=40\\), \\(|AG|=|EF|=30\\) - boki prostokąta \\(AEFG\\).)\n\n### Sposób 2 - Tangens kąta\nW \\(\\triangle AEF\\): \\(\\tg(\\angle FAE) = \\dfrac{|EF|}{|AE|} = \\dfrac{30}{40} = \\dfrac{3}{4}\\).\nTen sam kąt w \\(\\triangle ABC\\): \\(\\tg(\\angle CAB) = \\dfrac{|BC|}{|AB|} = \\dfrac{3}{4}\\). Z \\(|AB|^{2}+|BC|^{2}=70^{2}\\) i \\(|BC|=\\tfrac{3}{4}|AB|\\): \\(|AB|^{2}\\cdot\\tfrac{25}{16}=4900\\), \\(|AB|=56\\), \\(|BC|=42\\). Obwód \\(=196\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(158\\)** - pomyłka rachunkowa.\n- **C. \\(336\\)** - sześciokrotność czegoś błędnego.\n- **D. \\(490\\)** - mnożenie \\(7\\cdot 70\\).\n\n**Trik:** Przy prostokącie wpisanym, przekątna dzieli układ w podobnych proporcjach.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW układzie współrzędnych dane są dwa punkty 𝐴= (1, -2) oraz 𝐵= (3, 1). Współczynnik\nkierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest równy\nA. (-3\n2)\nB. (-2\n3)\nC. 2\n3\nD. 3\n2\nRozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A=(1,-2) oraz B=(3,1). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy A. (-3/2} B. (-2/3} C. 2/3 D. 3/2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nMamy \\(A = (1, -2)\\) i \\(B = (3, 1)\\), więc:\n\n\\[a = \\frac{1 - (-2)}{3 - 1} = \\frac{1 + 2}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\) wynosi \\(\\dfrac{3}{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie równania prostej\n\nZnamy współczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) i punkt \\(A = (1, -2)\\). Wyznaczamy równanie prostej:\n\n\\[y - y_A = a(x - x_A)\\]\n\\[y - (-2) = \\frac{3}{2}(x - 1)\\]\n\\[y + 2 = \\frac{3}{2}x - \\frac{3}{2}\\]\n\\[y = \\frac{3}{2}x - \\frac{7}{2}\\]\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(B = (3, 1)\\) leży na tej prostej:\n\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot 3 - \\frac{7}{2} = \\frac{9}{2} - \\frac{7}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(B\\) spełnia równanie, zatem wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty wynika wprost z definicji nachylenia. Choć karta podaje wzory na odległość punktu od prostej i równanie okręgu, **wzór \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) to podstawa geometrii analitycznej** - maturzysta powinien go znać na pamięć.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\left(-\\dfrac{3}{2}\\right)\\) | Policzono \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) poprawnie, ale dołożono błędny znak minus - być może pomylono z prostą prostopadłą |\n| B \\(\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)\\) | Odwrócono ułamek (przestawiono licznik z mianownikiem) **i** dodano błędny znak minus |\n| C \\(\\dfrac{2}{3}\\) | Odwrócono ułamek: wzięto \\(\\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to zawsze **różnica \\(y\\) w liczniku**, różnica \\(x\\) w mianowniku - czyli \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), nie odwrotnie. Odwrócenie daje odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów nie ma znaczenia dla wyniku - \\(\\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \\dfrac{(-2)-1}{1-3} = \\dfrac{-3}{-2} = \\dfrac{3}{2}\\) - minus skraca się z minusem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić współczynnika kierunkowego prostej \\(AB\\) z nachyleniem prostej **prostopadłej** do \\(AB\\). Prosta prostopadła miałaby współczynnik \\(a_\\perp = -\\dfrac{2}{3}\\) (odpowiedź B).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy (karta wzorów)\n\\(a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{1-(-2)}{3-1} = \\dfrac{3}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez równanie prostej\nRównanie prostej: \\(y - (-2) = a(x-1)\\). W \\(B=(3,1)\\): \\(1+2 = a(3-1)\\), \\(3 = 2a\\), \\(a = \\tfrac{3}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{3}{2}\\)** - zły znak (różnica \\(y\\) dodatnia).\n- **B. \\(-\\tfrac{2}{3}\\)** - odwrotność i zły znak (tzn. prostopadła).\n- **C. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - zamiana \\(\\Delta x\\) i \\(\\Delta y\\).\n\n**Trik:** \\(a=\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - „pionowa zmiana przez poziomą”.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nProsta 𝑘 ma równanie 𝑦= -4\n7 𝑥+ 24. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do\nprostej 𝑘 jest równy\nA. 7\n4\nB. (-7\n4)\nC. (-4\n7)\nD. 4\n7\nRozwiązanie zadania. Prosta k ma równanie y=-4/7x+24. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej k jest równy A. 7/4 B. (-7/4} C. (-4/7) D. 4/7","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{7}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych\n\n**Znamy wzór:** dwie proste o współczynnikach kierunkowych \\(a_1\\) i \\(a_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nProsta \\(k\\) ma równanie \\(y = -\\dfrac{4}{7}x + 24\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_1 = -\\frac{4}{7}\\]\n\nSzukamy \\(a_2\\) takiego, że:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[-\\frac{4}{7} \\cdot a_2 = -1\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-\\dfrac{4}{7}\\) (czyli mnożymy przez \\(-\\dfrac{7}{4}\\)):\n\\[a_2 = -1 \\cdot \\left(-\\frac{7}{4}\\right) = \\frac{7}{4}\\]\n\n**Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \\(k\\) wynosi \\(\\dfrac{7}{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - odwrotność z zamianą znaku\n\nIstnieje wygodna zasada: współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to **odwrotność przeciwna** współczynnika danej prostej.\n\nMamy \\(a_1 = -\\dfrac{4}{7}\\).\n\nKrok 1 - bierzemy odwrotność (odwracamy ułamek):\n\\[\\frac{1}{-\\frac{4}{7}} = -\\frac{7}{4}\\]\n\nKrok 2 - zmieniamy znak (bo odwrotność **przeciwna**):\n\\[a_2 = -\\left(-\\frac{7}{4}\\right) = \\frac{7}{4}\\]\n\n**Weryfikacja:** sprawdzamy warunek:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\left(-\\frac{4}{7}\\right) \\cdot \\frac{7}{4} = -\\frac{4 \\cdot 7}{7 \\cdot 4} = -1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci \\(y = ax + b\\).\n\nTego właśnie używaliśmy w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B: \\(-\\dfrac{7}{4}\\) | Wzięto samą odwrotność \\(\\dfrac{1}{a_1} = -\\dfrac{7}{4}\\) bez zmiany znaku - to daje prostą **równoległą** do prostopadłej, nie samą prostopadłą. Inna częsta pułapka: uczeń pamięta \"odwrotna\" ale zapomina \"przeciwna\". |\n| C: \\(-\\dfrac{4}{7}\\) | Przepisano współczynnik kierunkowy **tej samej** prostej \\(k\\) - to wynik nieuważnego czytania zadania. |\n| D: \\(\\dfrac{4}{7}\\) | Zmieniono tylko znak współczynnika prostej \\(k\\) bez brania odwrotności - brak rozumienia warunku prostopadłości. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to **odwrotność przeciwna** (ang. *negative reciprocal*) - zmiana znaku ORAZ odwrócenie ułamka. Samo odwrócenie daje odpowiedź B, która jest najczęstszą pułapką w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko dla prostych **niebędących** równoległymi do osi układu. Dla prostych pionowych i poziomych prostopadłość sprawdzamy inaczej - ale w tym zadaniu nie ma tego problemu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zrobić szybką weryfikację mnożąc \\(a_1 \\cdot a_2\\) - wynik musi być dokładnie \\(-1\\). To zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości (karta wzorów)\nDwie proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1}\\cdot a_{2} = -1\\).\n\\(a_{1} = -\\dfrac{4}{7}\\), więc \\(a_{2} = -\\dfrac{1}{a_{1}} = -\\dfrac{1}{-4/7} = \\dfrac{7}{4}\\).\n\n### Sposób 2 - Zasada „odwrotność z minusem”\nZmieniamy \\(a_{1} = -\\tfrac{4}{7}\\) na odwrotność i zmieniamy znak: \\(+\\dfrac{7}{4}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{7}{4}\\)** - tylko odwrotność bez zmiany znaku.\n- **C. \\(-\\tfrac{4}{7}\\)** - ta sama prosta (równoległa).\n- **D. \\(\\tfrac{4}{7}\\)** - tylko zmiana znaku bez odwrotności.\n\n**Trik:** Prostopadłe \\(\\Leftrightarrow\\) \\(a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPunkty 𝐴= (3, 7) i 𝐶= (-4, 6) są końcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Promień okręgu\nopisanego na tym kwadracie jest równy\nA.\n√2\n2\nB. 5\n2\nC. 5√2\n2\nD. 5\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐵\n𝐸\n𝐺\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(3,7) i C=(-4,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy A. √2/2 B. 5/2 C. 5√2/2 D. 5","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Promień okręgu opisanego = połowa przekątnej kwadratu\n\n**Kluczowa właściwość kwadratu:** Okrąg opisany na kwadracie ma środek w punkcie przecięcia przekątnych, a jego promień równa się **połowie długości przekątnej**.\n\n**Krok 1: Oblicz długość przekątnej \\(|AC|\\)**\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\n= \\sqrt{(-4-3)^2 + (6-7)^2}\n\\]\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\n\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz promień okręgu opisanego**\n\nŚrodek okręgu opisanego na kwadracie leży w środku każdej przekątnej. Zatem promień to odległość od środka do wierzchołka, czyli:\n\n\\[\nR = \\frac{|AC|}{2} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\n**Odpowiedź: \\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez długość boku kwadratu\n\nDla kwadratu o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\). Znamy przekątną, więc wyznaczamy bok:\n\n\\[\na\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2} \\implies a = 5\n\\]\n\nPromień okręgu opisanego na kwadracie o boku \\(a\\) to:\n\n\\[\nR = \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\nWynik zgodny - **\\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\n\\]\nUżyliśmy tego wzoru do obliczenia długości przekątnej kwadratu.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - związek między bokiem a przekątną kwadratu:\nKwadrat to szczególny prostokąt, więc twierdzenie Pitagorasa daje \\(d = a\\sqrt{2}\\). Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym (połowa kwadratu) to: \\(R = \\frac{c}{2}\\), gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna - czyli właśnie połowa przekątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Pominięcie czynnika 5; obliczenie \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) bez uwzględnienia rzeczywistej długości przekątnej |\n| B - \\(\\dfrac{5}{2}\\) | Wzięto \\(R = \\dfrac{a}{2}\\) zamiast \\(R = \\dfrac{d}{2}\\); czyli wzięto połowę **boku** \\((a=5)\\) zamiast połowę **przekątnej** |\n| D - \\(5\\)| Poprawnie wyznaczono bok kwadratu \\(a = 5\\), ale **mylnie utożsamiono go z promieniem** okręgu opisanego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień okręgu opisanego na kwadracie to **połowa przekątnej**, nie połowa boku! To częsty błąd - uważaj na tę różnicę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{50}\\) trzeba upraszczać: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\). Bez uproszczenia nie rozpoznasz, że odpowiedź to C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie nie wymaga znajomości położenia wierzchołków \\(B\\) i \\(D\\) - wystarczy sama przekątna \\(AC\\). Nie marnuj czasu na szukanie \\(B\\) i \\(D\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna kwadratu i promień (karta wzorów)\nPrzekątna kwadratu jest średnicą okręgu opisanego, więc \\(R = \\tfrac{1}{2}|AC|\\).\n\\(|AC| = \\sqrt{(3-(-4))^{2}+(7-6)^{2}} = \\sqrt{49+1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\).\n\\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nDla kwadratu o boku \\(a\\): przekątna \\(= a\\sqrt{2}\\), promień opisanego \\(= \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Tu przekątna \\(=5\\sqrt{2}\\), więc \\(R=\\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - błąd rachunkowy.\n- **B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - pominięto czynnik \\(\\sqrt{2}\\) (to byłby promień wpisanego dla boku 5).\n- **D. \\(5\\)** - to \\(|AC|/\\sqrt{2}\\), czyli połowa przekątnej mylona z bokiem.\n\n**Trik:** Promień okręgu opisanego na kwadracie = \\(\\tfrac{\\text{przekątna}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 2 (zobacz\nrysunek).\nPole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe\nA. 24 + 2√3\nB. 24 + 6√3\nC. 24 + 12√3\nD. 24 + 24√3\nRozwiązanie zadania. Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 2 (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równa A. 24 + 2√3 B. 24 + 6√3 C. 24 + 12√3 D. 24 + 24√3","answer":"C","answer_text":"24 sierpnia 2021 r.\nData publikacji\ndokumentu:","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPole powierzchni całkowitej wynosi \\(24 + 12\\sqrt{3}\\).\n\n## Sposób 1 - Rozbicie na podstawy i ściany boczne\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny ma **wszystkie krawędzie równe 2**, czyli:\n- bok podstawy (sześciokąta): \\(a = 2\\)\n- wysokość graniastosłupa: \\(h = 2\\)\n\n**Krok 1 - Pole jednej podstawy (sześciokąt foremny o boku \\(a = 2\\)):**\n\nSześciokąt foremny składa się z **6 trójkątów równobocznych** o boku \\(a\\). Pole jednego trójkąta równobocznego:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\]\n\nZatem pole całego sześciokąta:\n\\[P_{6} = 6 \\cdot \\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - Pole powierzchni bocznej:**\n\nPowierzchnia boczna to **6 prostokątów**, każdy o wymiarach \\(a \\times h = 2 \\times 2\\):\n\\[P_b = 6 \\cdot a \\cdot h = 6 \\cdot 2 \\cdot 2 = 24\\]\n\n**Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej:**\n\n\\[P_c = P_b + 2 \\cdot P_6 = 24 + 2 \\cdot 6\\sqrt{3} = \\mathbf{24 + 12\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez obwód podstawy (wzór z karty)\n\nZamiast liczyć ściany boczne jedna po jednej, korzystam bezpośrednio z wzoru na graniastosłup prosty:\n\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\n\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy. Sześciokąt foremny ma 6 boków:\n\\[O_b = 6a = 6 \\cdot 2 = 12\\]\n\nStąd:\n\\[P_b = 12 \\cdot 2 = 24\\]\n\nPole dwóch podstaw (tak jak w Sposobie 1):\n\\[2 \\cdot P_6 = 2 \\cdot 6\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]\n\nŁącznie:\n\\[P_c = 24 + 12\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź C potwierdzona**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte do obliczenia pola sześciokąta (6 trójkątów).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\nBezpośrednio użyte w Sposobie 2 do obliczenia powierzchni bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(24 + 2\\sqrt{3}\\) - wzięto pole tylko **jednego** trójkąta równobocznego zamiast 6, i doliczono tylko jedną podstawę |\n| B | \\(24 + 6\\sqrt{3}\\) - policzono pole tylko **jednej** podstawy (\\(6\\sqrt{3}\\)), zapominając o drugiej |\n| D | \\(24 + 24\\sqrt{3}\\) - pomnożono \\(6\\sqrt{3}\\) przez 4 zamiast 2, lub błędnie policzono pole sześciokąta jako \\(6 \\cdot a^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześciokąt foremny = **6 trójkątów równobocznych**, a nie 4 ani 8. To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu jego pola.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W graniastosłupie **prawidłowym sześciokątnym** z równymi krawędziami - bok podstawy i wysokość są równe. Nie myl tego z ostrosłupem, gdzie wysokość to coś innego niż krawędź boczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Powierzchnia całkowita = boczna + **dwie** podstawy. Zapomnienie o jednej podstawie to błąd prowadzący prosto do odpowiedzi B.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Pole sześciokąta + pole boczne (karta wzorów)\nSześciokąt foremny o boku \\(a=2\\) ma pole: \\(P_{6} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 4\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\).\nDwie podstawy: \\(2\\cdot 6\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\).\nPole boczne: 6 prostokątów \\(2\\times 2\\): \\(6\\cdot 4 = 24\\).\nRazem: \\(P_{c} = 24 + 12\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez trójkąty równoboczne\nSześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych o boku 2. Pole jednego: \\(\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\). Pole sześciokąta \\(=6\\sqrt{3}\\). Reszta jak wyżej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(24+2\\sqrt{3}\\)** - tylko jeden trójkąt.\n- **B. \\(24+6\\sqrt{3}\\)** - tylko jedna podstawa.\n- **D. \\(24+24\\sqrt{3}\\)** - czterokrotność.\n\n**Trik:** Sześciokąt foremny o boku \\(a\\): \\(P = \\tfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPrzekątna sześcianu jest równa 6. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa\nA. 24√3\nB. 72\nC. 54√2\nD. 648√3\nRozwiązanie zadania. Przekątna sześcianu jest równa 6. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa A. 24√3 B. 72 C. 54√2 D. 648√3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(24\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu, wyznaczenie boku\n\n**Przekątna sześcianu** (odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki) to przekątna przestrzenna - nie mylić z przekątną ściany!\n\nNiech \\(a\\) to bok sześcianu. Przekątną liczymy w dwóch krokach:\n1. Przekątna ściany (kwadrat): \\(d_{\\text{ściany}} = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\)\n2. Przekątna przestrzenna (z twierdzenia Pitagorasa w 3D):\n\\[d = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\nZnamy \\(d = 6\\), zatem:\n\\[a\\sqrt{3} = 6 \\implies a = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość sześcianu:\n\\[V = a^3 = (2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = \\boxed{24\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z \\(d^2\\)\n\nZe wzoru \\(d = a\\sqrt{3}\\) wyznaczamy \\(a^2\\):\n\\[d^2 = 3a^2 \\implies 36 = 3a^2 \\implies a^2 = 12\\]\n\nObjętość:\n\\[V = a^3 = a \\cdot a^2 = \\sqrt{12} \\cdot 12 = 2\\sqrt{3} \\cdot 12 = 24\\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(V = 24\\sqrt{3}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\nDla sześcianu \\(P_p = a^2\\), \\(h = a\\), więc \\(V = a^3\\). Ten wzór jest punktem wyjścia do obliczeń.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go dwukrotnie: do przekątnej ściany i do przekątnej przestrzennej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(72\\) | Zamiast \\(V = a^3\\) policzono **pole powierzchni całkowitej** \\(P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 12 = 72\\) |\n| C: \\(54\\sqrt{2}\\) | Mylono **przekątną ściany** (\\(a\\sqrt{2}\\)) z przekątną sześcianu - wzięto \\(a\\sqrt{2} = 6\\), co daje \\(a = 3\\sqrt{2}\\) i \\(V = 54\\sqrt{2}\\) |\n| D: \\(648\\sqrt{3}\\) | Zamiast **podzielić** \\(6\\) przez \\(\\sqrt{3}\\) - **pomnożono**: \\(a = 6\\sqrt{3}\\), co daje \\(V = (6\\sqrt{3})^3 = 648\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma dwa rodzaje przekątnych - **przekątna ściany** \\(a\\sqrt{2}\\) i **przekątna przestrzenna** \\(a\\sqrt{3}\\). W zadaniach maturalnych „przekątna sześcianu\" bez doprecyzowania zawsze oznacza **przestrzenną** (dłuższą).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) pamiętaj o racjonalizowaniu mianownika: \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\). Pominięcie tego kroku często prowadzi do błędów w kolejnych potęgowaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\), **nie** \\(8\\sqrt{27}\\). Zawsze upraszczaj \\((\\sqrt{3})^3 = 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu (karta wzorów)\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(d = a\\sqrt{3}\\).\n\\(a\\sqrt{3} = 6 \\Rightarrow a = \\dfrac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}\\).\nObjętość: \\(V = a^{3} = (2\\sqrt{3})^{3} = 8\\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Alternatywne przekształcenia\n\\(a^{2} = 12\\), \\(a^{3} = a\\cdot a^{2} = 2\\sqrt{3}\\cdot 12 = 24\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(72\\)** - użyto \\(d=a\\) i \\(a^{3}\\).\n- **C. \\(54\\sqrt{2}\\)** - pomylono z ośmiokątem/ostrosłupem.\n- **D. \\(648\\sqrt{3}\\)** - użyto \\(a=6\\).\n\n**Trik:** Sześcian: przekątna \\(d=a\\sqrt{3}\\), objętość \\(V=a^{3}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest\nA. 9 ⋅2 ⋅103\nB. 9 ⋅5 ⋅103\nC. 5 ⋅104\nD. 4 ⋅105\nRozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest A. 9⋅2⋅10³ B. 9⋅5⋅10³ C. 5⋅10^4 D. 4⋅10^5","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(9 \\cdot 5 \\cdot 10^3\\)\n\n> **Uwaga:** W bazie odpowiedź była błędnie zapisana jako C (\\(5\\cdot 10^4 = 50\\,000\\)). Poprawnie jest **B** (\\(9\\cdot 5\\cdot 10^3 = 45\\,000\\)) - odpowiedź C zawyża wynik, bo dopuszcza zero na pierwszej pozycji. Pełne uzasadnienie poniżej.\n\n## Sposób 1 - Zasada mnożenia (cyfra po cyfrze)\n\nBudujemy liczbę pięciocyfrową parzysta, wybierając kolejno każdą cyfrę.\n\nLiczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4 d_5}\\), gdzie:\n\n- **\\(d_1\\)** (cyfra dziesiątek tysięcy) - **nie może być 0** (inaczej liczba nie byłaby pięciocyfrowa):\n\\[d_1 \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ możliwości}\\]\n\n- **\\(d_2, d_3, d_4\\)** - dowolne cyfry:\n\\[d_2, d_3, d_4 \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\} \\Rightarrow 10 \\text{ możliwości każda}\\]\n\n- **\\(d_5\\)** (cyfra jedności) - liczba parzysta ⟺ ostatnia cyfra parzysta:\n\\[d_5 \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\} \\Rightarrow 5 \\text{ możliwości}\\]\n\nNa mocy **zasady mnożenia**:\n\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 5 = 9 \\cdot 5 \\cdot 10^3 = 45\\,000\\]\n\n**Odpowiedź: \\(9 \\cdot 5 \\cdot 10^3 = 45\\,000\\)**\n\n## Sposób 2 - Połowa wszystkich liczb pięciocyfrowych\n\nWszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe to liczby od \\(10\\,000\\) do \\(99\\,999\\):\n\\[N_{\\text{wszystkie}} = 99\\,999 - 10\\,000 + 1 = 90\\,000\\]\n\nSpośród dowolnych kolejnych liczb naturalnych dokładnie połowa jest parzysta:\n\\[N_{\\text{parzyste}} = \\frac{90\\,000}{2} = 45\\,000\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(45\\,000 = 9 \\cdot 5 \\cdot 10^3\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - zasada mnożenia (wariacje z powtórzeniami):\n\\[n^k\\]\nUżyliśmy zasady mnożenia: liczba sposobów wyboru \\(k\\) elementów niezależnie to iloczyn liczb możliwości na każdej pozycji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| **A** | \\(9 \\cdot 2 \\cdot 10^3 = 18\\,000\\) | Policzono tylko 2 możliwości ostatniej cyfry (np. tylko \\(\\{0, 2\\}\\) lub pomylono z liczbami podzielnymi przez 4) |\n| **C** | \\(5 \\cdot 10^4 = 50\\,000\\) | Dopuszczono \\(d_1 \\in \\{0,1,\\ldots,9\\}\\) - 10 możliwości zamiast 9, przez co do zbioru wliczono liczby zaczynające się od 0 (np. \\(02468\\), co nie jest liczbą pięciocyfrową) |\n| **D** | \\(4 \\cdot 10^5 = 400\\,000\\) | Całkowicie błędny rząd wielkości - to ponad 4 razy więcej niż wszystkich liczb pięciocyfrowych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej **nie może być 0**! To redukuje liczbę wyborów z 10 do 9 i jest najczęstszym błędem w tym typie zadania - właśnie stąd bierze się błędna odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Parzysta\" dotyczy **tylko ostatniej cyfry** - cyfry \\(d_1, d_2, d_3, d_4\\) mogą być parzyste lub nieparzyste bez ograniczeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada mnożenia działa, gdy wybory na każdej pozycji są **niezależne od siebie** - tu tak jest, bo parzystość zależy wyłącznie od \\(d_5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4 d_5}\\):\n- 1. cyfra \\(d_1\\): \\(\\{1,\\ldots,9\\}\\) - 9 możliwości (nie może być 0),\n- 2., 3., 4. cyfra: \\(\\{0,\\ldots,9\\}\\) - po 10,\n- 5. cyfra (jedności, parzysta): \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 możliwości.\nRazem: \\(9\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 5 = 9\\cdot 5\\cdot 10^{3} = 45\\,000\\).\n\n### Sposób 2 - Połowa wszystkich pięciocyfrowych\nWszystkich pięciocyfrowych: \\(99999-10000+1 = 90000\\). Parzystych dokładnie połowa: \\(\\tfrac{90000}{2} = 45000 = 9\\cdot 5\\cdot 10^{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\cdot 2\\cdot 10^{3} = 18000\\)** - błędne liczenie parzystych cyfr jedności.\n- **C. \\(5\\cdot 10^{4} = 50000\\)** - dopuszczono 10 cyfr na pierwszej pozycji (w tym 0), licząc też liczby zaczynające się od zera.\n- **D. \\(4\\cdot 10^{5} = 400000\\)** - zbyt dużo, błędny rząd wielkości.\n\n**Trik:** Pierwsza cyfra \\(\\neq 0\\); ostatnia cyfra parzysta wśród \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 możliwości.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby\nkul czerwonych jest równy 3 ∶4. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo\nprawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że\nwylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\nA. 1\n4\nB. 1\n3\nC. 3\n7\nD. 3\n4\nRozwiązanie zadania. W pudełku znajdują się tylko kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 3:4. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4 B. 1/3 C. 3/7 D. 3/4","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{3}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana stosunku na ułamek\n\nStosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi \\(3:4\\).\n\nOznacza to, że na każde \\(3\\) białe kule przypadają \\(4\\) czerwone, czyli łącznie:\n\\[3 + 4 = 7 \\text{ kul}\\]\n\nSpośród tych \\(7\\) kul - \\(3\\) są białe. Skoro każda kula jest jednakowo prawdopodobna do wylosowania, stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:\n\n\\[P(A) = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{3}{7}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{7}\\)**\n\n## Sposób 2 - Konkretna liczba kul (przykład)\n\nMożemy przyjąć konkretne liczby. Niech będzie \\(3k\\) kul białych i \\(4k\\) kul czerwonych dla dowolnego \\(k \\geq 1\\).\n\nWeźmy np. \\(k = 2\\):\n- kule białe: \\(3 \\cdot 2 = 6\\)\n- kule czerwone: \\(4 \\cdot 2 = 8\\)\n- wszystkich kul: \\(6 + 8 = 14\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{6}{14} = \\frac{3}{7}\\]\n\nWynik jest taki sam niezależnie od \\(k\\) - stosunek się nie zmienia. **Zawsze wychodzi \\(\\dfrac{3}{7}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nTutaj \\(|A| = 3\\) (kule białe), \\(|\\Omega| = 7\\) (wszystkie kule w minimalnym przykładzie).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\dfrac{1}{4}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{3+1}\\) - myli stosunek \\(3:4\\) z \\(1:3\\) albo bierze mianownik \\(4\\) bez sensu |\n| B - \\(\\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{3}\\) myśląc, że skoro są 3 białe to \\(P = \\frac{1}{3}\\) - zapomina, że mianownik to liczba WSZYSTKICH kul, nie tylko białych |\n| D - \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń wpisuje wprost pierwszą liczbę ze stosunku nad drugą: \\(\\frac{3}{4}\\) - pomija, że mianownik to suma obu części (\\(3+4=7\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(3:4\\) to NIE jest ułamek \\(\\dfrac{3}{4}\\)! Żeby policzyć prawdopodobieństwo, trzeba zsumować obie części stosunku i wstawić je do mianownika: \\(3 + 4 = 7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik nie zależy od konkretnej liczby kul - tylko od proporcji. Pudełko może mieć 7, 14, 21 kul - prawdopodobieństwo zawsze wynosi \\(\\dfrac{3}{7}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wylosowanie każdej kuli jest jednakowo prawdopodobne\" jest kluczowy - bez niego nie możemy stosować wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne. Na maturze ten warunek jest często podany właśnie po to, żebyś wiedział, że możesz go stosować.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nNiech białych: \\(3k\\), czerwonych: \\(4k\\). Razem: \\(7k\\).\n\\(P(A) = \\dfrac{3k}{7k} = \\dfrac{3}{7}\\).\n\n### Sposób 2 - Podejście proporcji\nStosunek \\(3:4\\) oznacza, że na 7 kul 3 są białe, więc szansa wylosowania białej = \\(\\tfrac{3}{7}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)** - pomylono stosunek.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{3}\\)** - stosunek białych do czerwonych jako szansa.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)** - stosunek białych do czerwonych a nie do wszystkich.\n\n**Trik:** Z \\(a:b\\) obliczamy \\(P = \\dfrac{a}{a+b}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb: 5𝑥+ 6, 6𝑥+ 7, 7𝑥+ 8, 8𝑥+ 9, 9𝑥+ 10, jest równa 8.\nWtedy 𝑥 jest równe\nA. (-35)\nB. 0\nC. 0,35\nD. 35\n2\n2\n2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Średnia arytmetyczna pięciu liczb: 5x+6, 6x+7, 7x+8, 8x+9, 9x+10, jest równa 8. Wtedy x jest równe A. (-35) B. 0 C. 0,35 D. 35","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(x = 0\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna pięciu liczb to suma wszystkich podzielona przez \\(5\\). Ustawiamy równanie:\n\n\\[\\frac{(5x+6) + (6x+7) + (7x+8) + (8x+9) + (9x+10)}{5} = 8\\]\n\n**Liczymy sumę w liczniku** - zbieramy osobno wyrazy z \\(x\\) i wyrazy wolne:\n\n\\[(5x + 6x + 7x + 8x + 9x) + (6 + 7 + 8 + 9 + 10)\\]\n\n\\[= 35x + 40\\]\n\nWstawiamy z powrotem:\n\n\\[\\frac{35x + 40}{5} = 8\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(5\\):\n\n\\[35x + 40 = 40\\]\n\nOdejmujemy \\(40\\) od obu stron:\n\n\\[35x = 0\\]\n\nDzielimy przez \\(35\\):\n\n\\[\\boxed{x = 0}\\]\n\n## Sposób 2 - Spostrzeżenie o strukturze ciągu\n\nZauważmy, że pięć liczb: \\(5x+6,\\ 6x+7,\\ 7x+8,\\ 8x+9,\\ 9x+10\\) tworzy **ciąg arytmetyczny** (każdy kolejny wyraz jest o \\((x+1)\\) większy od poprzedniego).\n\n**Dla ciągu arytmetycznego średnia = wyraz środkowy** (trzeci z pięciu).\n\nZatem:\n\\[\\text{wyraz środkowy} = 7x + 8 = 8\\]\n\n\\[7x = 0\\]\n\n\\[x = 0\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba liczyć pełnej sumy!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nZ czego wynika, że wyraz środkowy = średnia całego ciągu arytmetycznego. Użyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-35\\) | Uczeń liczy \\(35x = -40\\) zamiast \\(35x = 40 - 40 = 0\\), prawdopodobnie przez błąd znaku przy przenoszeniu \\(40\\) |\n| C: \\(0{,}35\\) | Uczeń dzieli \\(8\\) przez \\(\\frac{35}{5} = 7\\), czyli liczy \\(x = \\frac{8}{7 \\cdot \\ldots}\\) - myli się przy upraszczaniu ułamka |\n| D: \\(35\\) | Uczeń rozwiązuje \\(35x + 40 = 8 \\cdot 40\\) zamiast \\(8 \\cdot 5\\), lub pomija dzielenie przez \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że dzielisz przez liczbę wyrazów (\\(5\\)), a nie przez sumę samą w sobie. Łatwo zapomnieć o tym kroku i porównywać samą sumę do \\(8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zbieraniu wyrazów podobnych najpierw policz osobno sumę współczynników przy \\(x\\) (\\(5+6+7+8+9 = 35\\)) i osobno sumę wyrazów wolnych (\\(6+7+8+9+10 = 40\\)). Robienie tego „razem w głowie\" to źródło błędów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x = 0\\) wygląda podejrzanie dla wielu uczniów - sprawdź go! Podstaw \\(x = 0\\): liczby to \\(6, 7, 8, 9, 10\\), ich średnia to \\(\\frac{40}{5} = 8\\). Zgadza się!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Definicja średniej arytmetycznej (karta wzorów)\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5} = 8\\).\nSuma liczników: \\((5+6+7+8+9)x + (6+7+8+9+10) = 35x + 40\\).\n\\(\\dfrac{35x+40}{5} = 8 \\Rightarrow 7x + 8 = 8 \\Rightarrow 7x = 0 \\Rightarrow x = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Równanie\n\\(35x + 40 = 40\\), stąd \\(35x = 0\\) i \\(x = 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-35\\)** - błędne przeniesienie.\n- **C. \\(0{,}35\\)** - błąd rachunkowy (podzielono \\(40/35\\) źle).\n- **D. \\(35\\)** - pomylono strony równania.\n\n**Trik:** Średnia z \\(n\\) liczb = \\(\\tfrac{\\text{suma}}{n}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n𝑥2 -5 ≥4𝑥\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: x² - 5 ≥ 4x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do postaci standardowej i analiza paraboli\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x^2 - 5 \\geq 4x\\]\n\\[x^2 - 4x - 5 \\geq 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(f(x) = x^2 - 4x - 5\\):\n\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 6\\]\n\\[x_1 = \\frac{4 - 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\n**Analiza znaku paraboli:**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami **w górę** - trójmian jest nieujemny na zewnątrz miejsc zerowych.\n\n\\[f(x) \\geq 0 \\iff x \\leq -1 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 5\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\nZamiast liczyć deltę, rozkładamy trójmian \\(x^2 - 4x - 5\\) na czynniki z głowy.\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn = -5** i **suma = -4**:\n- \\((-5) \\cdot 1 = -5\\) ✓ i \\((-5) + 1 = -4\\) ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 1)(x - 5) \\geq 0\\]\n\n**Analiza znaku iloczynu** - czynniki zmieniają znak w punktach \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\):\n\n| Przedział | \\((x+1)\\) | \\((x-5)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-1 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 5\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nIloczyn jest nieujemny (≥ 0) dla \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\).\n\n**Odpowiedź:**\n\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 5\\).\n\n**Dział 7 (s. 7-8)** - zachowanie trójmianu względem osi \\(OX\\):\n- \\(a > 0\\) → parabola skierowana w górę → \\(f(x) \\geq 0\\) na zewnątrz pierwiastków.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij przenieść \\(4x\\) na lewą stronę przed szukaniem pierwiastków! Liczyć deltę dla \\(x^2 - 5 \\geq 4x\\) bez przekształcenia - to przepis na błąd (\\(b = 0\\) zamiast \\(b = -4\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\geq 0\\) oznacza, że **punkty** \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) **należą do rozwiązania** - końce przedziałów są domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby \\(a < 0\\) (parabola w dół), rozwiązanie byłoby odcinkiem między pierwiastkami - tu \\(a = 1 > 0\\), więc rozwiązaniem jest „zewnątrz\", nie „wewnątrz\". To częste źródło pomyłki przy nierównościach kwadratowych!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik (karta wzorów)\nPrzenosimy: \\(x^{2} - 4x - 5 \\geq 0\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = (-4)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot(-5) = 16 + 20 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 6\\).\nPierwiastki: \\(x_{1} = \\dfrac{4-6}{2} = -1\\), \\(x_{2} = \\dfrac{4+6}{2} = 5\\).\nParabola o \\(a=1>0\\) - ramiona w górę. Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona poza przedziałem \\((-1, 5)\\).\nRozwiązanie: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\\(x_{1}\\cdot x_{2} = -5\\), \\(x_{1}+x_{2} = 4\\), stąd \\(x_{1}=-1\\), \\(x_{2}=5\\). Dalej jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie pierwiastków \\(x_{1}=-1\\), \\(x_{2}=5\\).\n- **2 pkt** - podanie pełnego zbioru rozwiązań \\((-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,+\\infty)\\) lub w postaci graficznej z poprawnymi końcami.\n\n**Trik:** Dla \\(ax^{2}+bx+c \\geq 0\\) z \\(a>0\\) i dwoma pierwiastkami: rozwiązanie „na zewnątrz” pierwiastków (\\(\\leq x_{1}\\) lub \\(\\geq x_{2}\\)).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż równanie:\n𝑥+ 8\n𝑥-7 = 2𝑥\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie: x+8 / x-7 = 2x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x_1 = -\\dfrac{1}{2},\\quad x_2 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.**\n\nMianownik nie może być zerem:\n\\[x - 7 \\neq 0 \\implies x \\neq 7\\]\n\n**Krok 2: Pomnóż obie strony przez \\((x-7)\\).**\n\nPonieważ \\(x \\neq 7\\), możemy bezpiecznie mnożyć:\n\\[x + 8 = 2x(x - 7)\\]\n\n**Krok 3: Rozwiń prawą stronę.**\n\\[x + 8 = 2x^2 - 14x\\]\n\n**Krok 4: Przenieś wszystko na jedną stronę.**\n\\[0 = 2x^2 - 14x - x - 8\\]\n\\[2x^2 - 15x - 8 = 0\\]\n\n**Krok 5: Oblicz wyróżnik.**\n\\[\\Delta = (-15)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-8) = 225 + 64 = 289\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{289} = 17\\]\n\n**Krok 6: Wyznacz pierwiastki.**\n\\[x_1 = \\frac{15 - 17}{2 \\cdot 2} = \\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[x_2 = \\frac{15 + 17}{2 \\cdot 2} = \\frac{32}{4} = 8\\]\n\n**Krok 7: Sprawdź dziedzinę.**\n\nAni \\(x = -\\frac{1}{2}\\), ani \\(x = 8\\) nie są równe \\(7\\) - oba należą do dziedziny.\n\n**Odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{1}{2}\\) lub \\(x = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki w oryginalnym równaniu \\(\\dfrac{x+8}{x-7} = 2x\\):\n\n**Dla \\(x_1 = -\\dfrac{1}{2}\\):**\n\\[\\text{Lewa strona: } \\frac{-\\frac{1}{2} + 8}{-\\frac{1}{2} - 7} = \\frac{\\frac{15}{2}}{-\\frac{15}{2}} = -1\\]\n\\[\\text{Prawa strona: } 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -1 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x_2 = 8\\):**\n\\[\\text{Lewa strona: } \\frac{8 + 8}{8 - 7} = \\frac{16}{1} = 16\\]\n\\[\\text{Prawa strona: } 2 \\cdot 8 = 16 \\quad \\checkmark\\]\n\nOba wyniki są poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzory na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Kroku 5-6, gdy po przekształceniu dostaliśmy równanie kwadratowe \\(2x^2 - 15x - 8 = 0\\) (tu: \\(a = 2, b = -15, c = -8\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapominanie o dziedzinie - jeśli po rozwiązaniu kwadratowego wyszłoby \\(x = 7\\), trzeba by je **odrzucić** (mianownik zeruje się). Zawsze sprawdzaj dziedzinę na końcu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Często uczniowie mnożą obie strony przez \\((x-7)\\) i pomijają rozwinięcie \\(2x(x-7)\\), pisząc błędnie \\(2x - 14\\) zamiast \\(2x^2 - 14x\\). Prawa strona to \\(2x \\cdot (x-7)\\), nie \\(2 \\cdot (x-7)\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów pilnuj znaków - łatwo pomylić się przy \\(-14x - x\\), co daje \\(-15x\\), a nie \\(-13x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{1}{2}\\) lub \\(x = 8\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie wymierne → kwadratowe (karta wzorów)\nZałożenie: \\(x \\neq 7\\).\nMnożymy stronami przez \\(x-7\\):\n\\(x + 8 = 2x(x-7)\\)\n\\(x + 8 = 2x^{2} - 14x\\)\n\\(2x^{2} - 15x - 8 = 0\\)\nWyróżnik: \\(\\Delta = 225 + 64 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\).\n\\(x_{1} = \\dfrac{15-17}{4} = -\\dfrac{1}{2}\\), \\(x_{2} = \\dfrac{15+17}{4} = 8\\).\nOba różne od 7, więc obie wartości są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x=-\\tfrac{1}{2}\\): \\(\\dfrac{-\\tfrac{1}{2}+8}{-\\tfrac{1}{2}-7} = \\dfrac{\\tfrac{15}{2}}{-\\tfrac{15}{2}} = -1\\), a \\(2\\cdot(-\\tfrac{1}{2}) = -1\\). ✓\nDla \\(x=8\\): \\(\\dfrac{16}{1} = 16\\), a \\(2\\cdot 8 = 16\\). ✓\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, np. \\(x+8 = 2x(x-7)\\).\n- **2 pkt** - uzyskanie obu rozwiązań \\(x=-\\tfrac{1}{2}\\) lub \\(x=8\\).\n- Uwaga: można otrzymać 2 pkt nawet bez zapisu zastrzeżenia \\(x\\neq 7\\).\n\n**Trik:** W równaniu wymiernym: dziedzina → pomnożenie stronami → równanie wielomianowe.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":17,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏 spełniona jest\nnierówność\n𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność b(5b-4a) + a² ≥ 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)\n\n*(Zadanie otwarte - wymagany pełny dowód)*\n\n## Sposób 1 - Suma kwadratów (rozkład)\n\n**Przekształcamy lewą stronę:**\n\n\\[b(5b-4a) + a^2 = 5b^2 - 4ab + a^2\\]\n\n**Kluczowa obserwacja:** spróbujmy zapisać ten wielomian jako sumę kwadratów.\n\nZauważamy, że:\n\\[(2b - a)^2 = 4b^2 - 4ab + a^2\\]\n\nZatem:\n\\[5b^2 - 4ab + a^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 + b^2 = (2b-a)^2 + b^2\\]\n\n**Sprawdzenie rozkładu:**\n\\[(2b-a)^2 + b^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 + b^2 = 5b^2 - 4ab + a^2 \\checkmark\\]\n\nPonieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:\n\\[(2b-a)^2 \\geq 0 \\quad \\text{oraz} \\quad b^2 \\geq 0\\]\n\nstąd dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\):\n\\[b(5b-4a) + a^2 = \\underbrace{(2b-a)^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{b^2}_{\\geq\\, 0} \\geq 0\\]\n\n**Co kończy dowód.** \\(\\blacksquare\\)\n\nRówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie składowe są równe zero jednocześnie:\n\\[b^2 = 0 \\implies b = 0, \\qquad (2b-a)^2 = 0 \\implies a = 2b = 0\\]\n\nczyli wyłącznie dla \\(a = 0, b = 0\\).\n\n## Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego\n\nTraktujemy wyrażenie \\(5b^2 - 4ab + a^2\\) jako **trójmian kwadratowy w zmiennej \\(b\\)** (gdzie \\(a\\) jest parametrem):\n\\[f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2\\]\n\nWspółczynniki: \\(\\, A = 5,\\; B = -4a,\\; C = a^2\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-4a)^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot a^2 = 16a^2 - 20a^2 = -4a^2\\]\n\nAnalizujemy przypadki:\n\n- Gdy \\(a = 0\\): \\(\\Delta = 0\\), więc \\(f(b) = 5b^2 \\geq 0\\) ✓\n- Gdy \\(a \\neq 0\\): \\(\\Delta = -4a^2 < 0\\)\n\nPonieważ współczynnik przy \\(b^2\\) wynosi \\(A = 5 > 0\\), a \\(\\Delta \\leq 0\\), **trójmian nie ma miejsc zerowych** (lub ma jedno, gdy \\(a=0,\\,b=0\\)) i jego ramiona są skierowane ku górze.\n\nZatem:\n\\[f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2 \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a, b \\in \\mathbb{R}\\]\n\nCo dowodzi nierówności. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((2b-a)^2 = 4b^2 - 4ab + a^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - obliczenie wyróżnika trójmianu \\(f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2\\) i wniosek o znaku funkcji kwadratowej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku konkretnych wartości \\(a\\) i \\(b\\) - to **nie jest dowód**. Dowód musi obejmować **wszystkie** liczby rzeczywiste.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że wniosek „funkcja kwadratowa o ujemnym wyróżniku jest stale dodatnia\" wymaga jeszcze sprawdzenia, że **współczynnik wiodący jest dodatni** (\\(A = 5 > 0\\)). Gdyby \\(A < 0\\), funkcja byłaby stale ujemna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozkład na sumę kwadratów (Sposób 1) jest najelegantniejszy i najbardziej „maturalny\" - egzaminatorzy cenią tę metodę za czytelność. Nie trzeba znać z góry postaci \\((2b-a)^2 + b^2\\) - można dojść do niej metodą prób lub przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Dowód - pełny.\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do sumy kwadratów (karta wzorów)\nPrzekształcamy lewą stronę:\n\\(b(5b-4a) + a^{2} = 5b^{2} - 4ab + a^{2}\\).\nRozdzielamy: \\(5b^{2} = b^{2} + 4b^{2}\\).\n\\(b^{2} + 4b^{2} - 4ab + a^{2} = b^{2} + (2b-a)^{2}\\).\nPonieważ \\(b^{2} \\geq 0\\) oraz \\((2b-a)^{2} \\geq 0\\) dla każdych rzeczywistych \\(a,b\\), ich suma jest nieujemna:\n\\(b^{2} + (2b-a)^{2} \\geq 0\\), co kończy dowód.\n\n### Sposób 2 - Przez wyróżnik trójmianu\nTraktujemy \\(f(b) = 5b^{2} - 4ab + a^{2}\\) jako trójmian zmiennej \\(b\\) z parametrem \\(a\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta_{b} = (-4a)^{2} - 4\\cdot 5\\cdot a^{2} = 16a^{2} - 20a^{2} = -4a^{2} \\leq 0\\).\nPonieważ \\(\\Delta_{b} \\leq 0\\) i współczynnik przy \\(b^{2}\\) jest dodatni (\\(5>0\\)), trójmian nie przyjmuje wartości ujemnych: \\(f(b) \\geq 0\\) dla każdego \\(b\\) (i każdego \\(a\\)). CBDO.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - przekształcenie do sumy kwadratów \\(b^{2}+(2b-a)^{2}\\) lub obliczenie wyróżnika.\n- **2 pkt** - pełne rozumowanie z wnioskiem.\n\n**Trik:** Suma kwadratów zawsze \\(\\geq 0\\); wyróżnik \\(\\leq 0\\) trójmianu z \\(a>0\\) oznacza brak wartości ujemnych.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"algebra","page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐴 jest prosty, a kąt przy wierzchołku 𝐵 ma miarę 30°.\nNa boku 𝐴𝐵 tego trójkąta obrano punkt 𝐷 tak, że miara kąta 𝐶𝐷𝐴 jest równa 60° oraz\n|𝐴𝐷| = 6 (zobacz rysunek). Oblicz |𝐵𝐷|.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n𝐶\n30°\n60°\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n6\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30°. Na boku AB tego trójkąta obrano punkt D tak, że miara kąta CDA jest równa 60° oraz |AD|=6 (zobacz rysunek). Oblicz |BD|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BD| = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość boku AC**\n\nPunkt \\(D\\) leży na boku \\(AB\\), więc kąt \\(DAC = 90°\\) (to ten sam kąt prostokątny przy \\(A\\)).\n\nW trójkącie \\(CDA\\) mamy:\n- \\(\\angle DAC = 90°\\)\n- \\(\\angle CDA = 60°\\)\n- \\(|AD| = 6\\)\n\nZ definicji tangensa w trójkącie prostokątnym \\(CDA\\):\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle CDA) = \\frac{|AC|}{|AD|}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|AC|}{6}\\]\n\\[|AC| = 6 \\cdot \\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy długość boku AB**\n\nW trójkącie \\(ABC\\) mamy:\n- \\(\\angle BAC = 90°\\)\n- \\(\\angle ABC = 30°\\)\n\nZ definicji tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\frac{|AC|}{|AB|}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{6\\sqrt{3}}{|AB|}\\]\n\\[\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{|AB|}\\]\n\\[|AB| = 6\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 6 \\cdot 3 = 18\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy \\(|BD|\\)**\n\n\\[|BD| = |AB| - |AD| = 18 - 6 = \\boxed{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Suma kątów i cotangens\n\n**Wyznaczamy kąt \\(CDB\\):**\n\nKąt \\(CDA = 60°\\) i kąt \\(CDB\\) są kątami przyległymi (bo \\(D\\) leży na \\(AB\\)), więc:\n\\[\\angle CDB = 180° - 60° = 120°\\]\n\n**W trójkącie CDB mamy:**\n- \\(\\angle CDB = 120°\\)\n- \\(\\angle DBC = 30°\\)\n- \\(\\angle DCB = 180° - 120° - 30° = 30°\\)\n\nSkoro \\(\\angle DBC = \\angle DCB = 30°\\), trójkąt \\(CDB\\) jest **równoramienny**: \\(|BD| = |CD|\\).\n\n**Wyznaczamy \\(|CD|\\) z trójkąta prostokątnego \\(CDA\\):**\n\n\\[\\cos(60°) = \\frac{|AD|}{|CD|}\\]\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{6}{|CD|}\\]\n\\[|CD| = 12\\]\n\n**Stąd:**\n\\[|BD| = |CD| = \\boxed{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do } \\alpha}{\\text{przyległa do } \\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 dwukrotnie - raz dla kąta 60° w trójkącie CDA, raz dla kąta 30° w trójkącie ABC.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości dla kąta 30° i 60°:\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\qquad \\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - cosinusa:\n\\[\\cos(60°) = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(|CD|\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(CDA = 60°\\) to kąt **przy D**, a nie przy A! Łatwo pomylić wierzchołek - pamiętaj, że środkowa litera w zapisie kąta to zawsze wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie CDA kąt przy \\(A\\) wynosi dokładnie \\(90°\\) - bo \\(D\\) leży **na** boku \\(AB\\), więc kąt \\(CAD\\) to ten sam kąt prostokątny co w trójkącie \\(ABC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu, że \\(\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\). Sprawdź na karcie wzorów - wielu uczniów miesza \\(\\operatorname{tg}(30°)\\) z \\(\\operatorname{tg}(60°)\\) pod stresem.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|BD| = 12\\).\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny BCD (karta wzorów)\nKąty: w \\(\\triangle ABC\\): \\(\\angle A=90^{\\circ}\\), \\(\\angle B=30^{\\circ}\\), więc \\(\\angle C=60^{\\circ}\\).\nW \\(\\triangle ADC\\): \\(\\angle A=90^{\\circ}\\), \\(\\angle ADC=60^{\\circ}\\), więc \\(\\angle ACD=30^{\\circ}\\).\nStąd \\(\\angle BCD = \\angle BCA - \\angle ACD = 60^{\\circ}-30^{\\circ} = 30^{\\circ}\\).\nW \\(\\triangle BCD\\) mamy \\(\\angle DBC = \\angle BCD = 30^{\\circ}\\), więc jest równoramienny: \\(|BD| = |CD|\\).\nW \\(\\triangle ADC\\) z kątami \\(30^{\\circ}, 60^{\\circ}, 90^{\\circ}\\): \\(|CD| = 2|AD| = 2\\cdot 6 = 12\\).\nZatem \\(|BD| = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Funkcje trygonometryczne (karta wzorów)\n\\(\\tg 60^{\\circ} = \\dfrac{|AC|}{|AD|} = \\dfrac{|AC|}{6}\\), stąd \\(|AC| = 6\\sqrt{3}\\).\n\\(\\tg 30^{\\circ} = \\dfrac{|AC|}{|AB|} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{|AB|} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\\(|AB| = \\dfrac{6\\sqrt{3}\\cdot 3}{\\sqrt{3}} = 18\\).\n\\(|BD| = |AB| - |AD| = 18 - 6 = 12\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(\\angle BCD=30^{\\circ}\\) lub \\(|CD|=2|AD|\\) albo zapisanie układu równań z \\(\\tg\\).\n- **2 pkt** - uzyskanie \\(|BD|=12\\).\n\n**Trik:** Trójkąt \\(30^{\\circ}\\)-\\(60^{\\circ}\\)-\\(90^{\\circ}\\): boki w stosunku \\(1 : \\sqrt{3} : 2\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":19,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 tego trapezu\nprzecinają się w punkcie 𝑆 (zobacz rysunek) tak, że\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶| = 3\n2 . Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest\nrówne 12. Oblicz pole trójkąta 𝐶𝐷𝑆.\nOdpowiedź:\n𝐷\n𝐶\n𝑆\n𝐴\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne AB i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek) tak, że |AS|/|SC| = 3/2. Pole trójkąta ABS jest równe 12. Oblicz pole trójkąta CDS.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{16}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\n**Co zauważamy?** Trójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są podobne! Sprawdźmy dlaczego:\n\n- \\(\\angle ASB = \\angle CSD\\) - kąty wierzchołkowe (równe)\n- \\(\\angle SAB = \\angle SCD\\) - kąty naprzemianległe (bo \\(AB \\parallel CD\\))\n- \\(\\angle SBA = \\angle SDC\\) - kąty naprzemianległe (bo \\(AB \\parallel CD\\))\n\nZatem \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) w skali:\n\\[k = \\frac{|AS|}{|CS|} = \\frac{3}{2}\\]\n\nPole figur podobnych jest proporcjonalne do **kwadratu** skali podobieństwa:\n\\[\\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2 = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^2 = \\frac{9}{4}\\]\n\nStąd:\n\\[P_{CDS} = P_{ABS} \\cdot \\frac{4}{9} = 12 \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{48}{9} = \\boxed{\\dfrac{16}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokości trójkątów\n\nOznaczmy:\n- \\(H\\) - odległość między podstawami \\(AB\\) i \\(CD\\) (wysokość trapezu)\n- \\(h_1\\) - odległość punktu \\(S\\) od podstawy \\(AB\\)\n- \\(h_2\\) - odległość punktu \\(S\\) od podstawy \\(CD\\), czyli \\(h_2 = H - h_1\\)\n\n**Wyznaczamy podział \\(H\\) przez punkt \\(S\\):**\n\nZ podobieństwa \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) (Sposób 1) wynika, że wszystkie wymiary liniowe są w stosunku \\(3:2\\), w tym wysokości od \\(S\\):\n\\[\\frac{h_1}{h_2} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZatem \\(h_1 = \\frac{3}{5}H\\) oraz \\(h_2 = \\frac{2}{5}H\\).\n\n**Wyznaczamy stosunek \\(AB\\) do \\(CD\\):**\n\nZ podobieństwa tych samych trójkątów: \\(\\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{3}{2}\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{2}{3}|AB|\\).\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(ABS\\):**\n\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h_1 = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot \\frac{3}{5}H = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{|AB| \\cdot H}{2} = 12\\]\n\nStąd:\n\\[\\frac{|AB| \\cdot H}{2} = 12 \\cdot \\frac{5}{3} = 20\\]\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(CDS\\):**\n\\[P_{CDS} = \\frac{1}{2} \\cdot |CD| \\cdot h_2 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3}|AB| \\cdot \\frac{2}{5}H = \\frac{4}{15} \\cdot \\frac{|AB| \\cdot H}{2} = \\frac{4}{15} \\cdot 20 = \\frac{80}{15} = \\boxed{\\dfrac{16}{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Użyliśmy tego w Sposobie 1 - trójkąty podobne w skali \\(\\frac{3}{2}\\), więc pola w stosunku \\(\\frac{9}{4}\\).\n\n**Dział 10 - pole trójkąta:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyrażenia pól \\(ABS\\) i \\(CDS\\) przez podstawy i odpowiednie wysokości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek pól podobnych figur to **kwadrat** stosunku skali - nie sam stosunek. Błąd: \\(P_{CDS} = 12 \\cdot \\frac{2}{3} = 8\\). To jest odpowiedź **zła** - pominięto potęgowanie skali.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(CDS\\) ma **mniejsze** pole niż \\(ABS\\), bo \\(CD\\) jest krótszą podstawą trapezu. Jeśli wychodzi wynik większy niż 12 - coś poszło nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie \\(ABS\\) podstawą jest \\(AB\\) (dłuższa), a w \\(CDS\\) podstawą jest \\(CD\\) (krótsza). Punkt \\(S\\) jest bliżej \\(CD\\) niż \\(AB\\) - obie te rzeczy zmniejszają pole trójkąta \\(CDS\\) względem \\(ABS\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P_{\\triangle CDS} = \\dfrac{16}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów i stosunek pól (karta wzorów)\nW trapezie \\(AB \\parallel CD\\), więc \\(\\angle BAC = \\angle DCA\\) (naprzemianległe) i \\(\\angle ABD = \\angle BDC\\). Ponadto \\(\\angle ASB = \\angle CSD\\) (wierzchołkowe). Zatem \\(\\triangle ASB \\sim \\triangle CSD\\) (cecha KKK).\nSkala podobieństwa: \\(k = \\dfrac{|AS|}{|SC|} = \\dfrac{3}{2}\\).\nStosunek pól figur podobnych = kwadrat skali:\n\\(\\dfrac{P_{\\triangle ASB}}{P_{\\triangle CSD}} = k^{2} = \\dfrac{9}{4}\\).\nStąd \\(P_{\\triangle CSD} = \\dfrac{4}{9}\\cdot P_{\\triangle ASB} = \\dfrac{4}{9}\\cdot 12 = \\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(P_{\\triangle CSD} = \\dfrac{16}{3} \\approx 5{,}33\\). Sprawdzenie: \\(12 : \\tfrac{16}{3} = 36 : 16 = 9 : 4\\). ✓\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie, że \\(\\triangle ASB \\sim \\triangle CSD\\) lub \\(\\dfrac{P_{\\triangle ASB}}{P_{\\triangle CSD}} = \\left(\\dfrac{|AS|}{|SC|}\\right)^{2}\\).\n- **2 pkt** - uzyskanie \\(P_{\\triangle CDS} = \\dfrac{16}{3}\\).\n\n**Trik:** Stosunek pól figur podobnych = kwadrat skali podobieństwa.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech 𝐴\noznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach\njest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczby oczek wyrzucony w dwóch rzutach jest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{1}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyliczenie par sprzyjających\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nKażdy rzut daje jeden z wyników \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\). Przy dwóch rzutach mamy pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\n\nŁączna liczba par:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\): iloczyn \\(a \\cdot b = 12\\)**\n\nSzukamy wszystkich par \\((a, b)\\), dla których \\(a \\cdot b = 12\\), przy czym \\(a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\nRozkładamy 12 na dwa czynniki z zakresu 1-6:\n\n| \\(a\\) | \\(b\\) | \\(a \\cdot b\\) |\n| 2 | 6 | 12 ✓ |\n| 6 | 2 | 12 ✓ |\n| 3 | 4 | 12 ✓ |\n| 4 | 3 | 12 ✓ |\n\nInne rozkłady: \\(1 \\cdot 12\\) - ale 12 nie ma na kostce. Żadnych innych.\n\nZatem \\(|A| = 4\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{36} = \\boxed{\\frac{1}{9}}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza przez podzielność\n\nZastanówmy się, jakich wyników pierwszego rzutu \\(a\\) warto szukać. Aby \\(a \\cdot b = 12\\) z \\(b \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\), potrzebujemy, żeby \\(a\\) było dzielnikiem 12 i żeby \\(\\frac{12}{a} \\leq 6\\).\n\n| Wynik \\(a\\) | \\(b = \\frac{12}{a}\\) | Czy \\(b \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\)? |\n| 1 | 12 | ✗ (za duże) |\n| 2 | 6 | ✓ |\n| 3 | 4 | ✓ |\n| 4 | 3 | ✓ |\n| 5 | 2,4 | ✗ (5 nie dzieli 12) |\n| 6 | 2 | ✓ |\n\n**Zliczamy zdarzenia sprzyjające**: \\((2,6),\\,(3,4),\\,(4,3),\\,(6,2)\\) - dokładnie 4.\n\n\\[P(A) = \\frac{4}{36} = \\frac{1}{9}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: wyliczyliśmy liczbę wyników sprzyjających \\(|A| = 4\\) i podzieliliśmy przez całkowitą liczbę wyników \\(|\\Omega| = 36\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((a, b)\\) to para **uporządkowana** - wyrzucenie \\((2, 6)\\) i \\((6, 2)\\) to dwa różne zdarzenia elementarne! Nie można liczyć ich jako jedno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć parę \\((1, 12)\\) i pomyśleć, że jest sprzyjająca - ale 12 nie pojawia się na standardowej kostce, więc tę parę odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to zawsze \\(36\\) (a nie np. \\(21\\) par bez powtórzeń). Rzuty są rozróżnialne - liczymy **pary uporządkowane**, bo pierwszy rzut jest innym zdarzeniem niż drugi.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{9}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nZbiór zdarzeń elementarnych to uporządkowane pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in\\{1,2,\\ldots,6\\}\\). Zatem \\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\).\nZdarzenia sprzyjające \\(A\\) (iloczyn = 12): \\((2,6), (6,2), (3,4), (4,3)\\). Stąd \\(|A|=4\\).\n\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{36} = \\dfrac{1}{9}\\).\n\n### Sposób 2 - Drzewo/rozkład\nDla każdego wyniku pierwszego rzutu \\(a\\) istnieje co najwyżej jedna wartość \\(b\\), że \\(ab=12\\) i \\(b\\in\\{1,\\ldots,6\\}\\): dla \\(a=2\\to b=6\\), \\(a=3\\to b=4\\), \\(a=4\\to b=3\\), \\(a=6\\to b=2\\). Zatem 4 przypadki z 36.\n\\(P(A) = 4\\cdot\\dfrac{1}{6}\\cdot\\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4}{36} = \\dfrac{1}{9}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|\\Omega|=36\\) lub wypisanie wszystkich par sprzyjających (lub \\(|A|=4\\), lub zapis \\(P(A)=\\tfrac{4}{36}\\)).\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(P(A)=\\tfrac{1}{9}\\).\n\n**Trik:** Przy dwóch rzutach kostką: \\(|\\Omega|=36\\). Rozłożyć 12 na iloczyny dwóch liczb z \\(\\{1,\\ldots,6\\}\\): \\(2\\cdot 6\\) i \\(3\\cdot 4\\) (każdy w dwóch kolejnościach).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 5-3𝑛\n7\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrójwyrazowy ciąg (𝑎4 , 𝑥2 + 2, 𝑎11), gdzie 𝑥 jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny.\nOblicz 𝑥 oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.\n\nEMAP-P0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 5-3n / 7 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trójwyrazowy ciąg (a_4, x^2+2, a_11), gdzie x jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz x oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 0\\), iloraz \\(q = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\n**Krok 1: Oblicz \\(a_4\\) i \\(a_{11}\\).**\n\n\\[a_4 = \\frac{5 - 3 \\cdot 4}{7} = \\frac{5 - 12}{7} = \\frac{-7}{7} = -1\\]\n\n\\[a_{11} = \\frac{5 - 3 \\cdot 11}{7} = \\frac{5 - 33}{7} = \\frac{-28}{7} = -4\\]\n\nCiąg geometryczny ma postać: \\((-1,\\; x^2+2,\\; -4)\\).\n\n**Krok 2: Zastosuj własność środkowego wyrazu.**\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich:\n\\[(x^2 + 2)^2 = a_4 \\cdot a_{11} = (-1) \\cdot (-4) = 4\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż równanie.**\n\n\\[x^2 + 2 = \\pm 2\\]\n\n**Przypadek I:** \\(x^2 + 2 = 2 \\;\\Rightarrow\\; x^2 = 0 \\;\\Rightarrow\\; \\boxed{x = 0}\\)\n\n**Przypadek II:** \\(x^2 + 2 = -2 \\;\\Rightarrow\\; x^2 = -4\\) - brak rozwiązań rzeczywistych.\n\n**Krok 4: Wyznacz iloraz.**\n\nDla \\(x = 0\\): środkowy wyraz \\(= 0^2 + 2 = 2\\), ciąg to \\((-1,\\; 2,\\; -4)\\).\n\n\\[q = \\frac{2}{-1} = \\boxed{-2}\\]\n\n## Sposób 2 - Definicja ciągu geometrycznego (iloraz stały)\n\nZamiast własności środkowego wyrazu, wprost przyrównuję ilorazy sąsiednich wyrazów.\n\nCiąg geometryczny: \\((a_4, \\; x^2+2, \\; a_{11}) = (-1, \\; x^2+2, \\; -4)\\).\n\nIloraz między 1. a 2. wyrazem musi być równy ilorazowi między 2. a 3.:\n\n\\[\\frac{x^2+2}{-1} = \\frac{-4}{x^2+2}\\]\n\nMnożę krzyżowo:\n\n\\[(x^2+2)^2 = (-1)(-4) = 4\\]\n\nTo to samo równanie - od razu:\n\n\\[x^2 + 2 = 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 0, \\quad q = \\frac{2}{-1} = -2\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(-1 \\cdot (-2) = 2\\), \\(2 \\cdot (-2) = -4\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - środkowy wyraz \\(x^2+2\\) spełnia \\((x^2+2)^2 = a_4 \\cdot a_{11}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić, czy \\(x^2+2 = -2\\) ma sens - kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \\(x^2+2 \\geq 2 > 0\\). Przypadek ujemny odpada automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć \\(\\pm\\) przy wyciąganiu pierwiastka z obu stron \\((x^2+2)^2 = 4\\). Tutaj przypadek \\(-2\\) był bez rozwiązań, ale w innych zadaniach oba przypadki mogą dawać wyniki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny - tu \\(q = -2\\). To poprawny ciąg geometryczny: wyrazy naprzemiennie zmieniają znak.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 0\\) oraz \\(q = -2\\).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu (karta wzorów)\nObliczamy wyrazy ciągu:\n\\(a_{4} = \\dfrac{5-12}{7} = \\dfrac{-7}{7} = -1\\), \\(a_{11} = \\dfrac{5-33}{7} = \\dfrac{-28}{7} = -4\\).\nWarunek ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów:\n\\((x^{2}+2)^{2} = a_{4}\\cdot a_{11} = (-1)(-4) = 4\\).\n\\(x^{2}+2 = 2\\) lub \\(x^{2}+2 = -2\\).\n• \\(x^{2}+2 = 2 \\Rightarrow x^{2} = 0 \\Rightarrow x = 0\\).\n• \\(x^{2}+2 = -2 \\Rightarrow x^{2} = -4\\) - sprzeczne.\nZatem \\(x = 0\\) i \\(x^{2}+2 = 2\\). Ciąg: \\((-1, 2, -4)\\), iloraz: \\(q = \\dfrac{2}{-1} = -2\\).\n\n### Sposób 2 - Przez iloraz\nZapisujemy \\(a_{11} = a_{4}\\cdot q^{2}\\): \\(-4 = -1\\cdot q^{2}\\), stąd \\(q^{2}=4\\), \\(q=2\\) lub \\(q=-2\\).\n• \\(q=2\\): ciąg \\((-1,-2,-4)\\), więc \\(x^{2}+2=-2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych.\n• \\(q=-2\\): ciąg \\((-1,2,-4)\\), więc \\(x^{2}+2=2\\), \\(x=0\\). ✓\nOstatecznie: \\(x=0\\), \\(q=-2\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(a_{4}=-1\\) albo \\(a_{11}=-4\\), lub zapisanie \\((x^{2}+2)^{2}=a_{4}\\cdot a_{11}\\).\n- **2 pkt** - obliczenie obu wyrazów i zapisanie równania.\n- **3 pkt** - zapisanie równania z \\(x\\) lub równania z \\(q\\).\n- **4 pkt** - zapisanie alternatywy \\(x^{2}+2=\\pm 2\\) z rozwiązaniem \\(x=0\\), lub rozwiązanie \\(q^{2}=4\\) i konsekwentne rozpatrzenie tylko \\(q=-2\\).\n- **5 pkt** - pełne rozwiązanie: \\(x=0\\), \\(q=-2\\).\n\n**Trik:** Warunek środkowego wyrazu ciągu geometrycznego: \\(b^{2} = a\\cdot c\\). Pamiętaj, że iloraz może być ujemny!","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-35.svg","topics":"ciagi","page_from":22,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}