{"paper":{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy-odpowiedzi/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy-odpowiedzi.pdf","question_count":19,"source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nWśród pewnej grupy osób przeprowadzono ankietę. Jedno z pytań brzmiało: Jaka jest twoja\nulubiona pora roku?. Każdy ankietowany wskazał tylko jedną porę roku. Rozkład udzielonych\nodpowiedzi na to pytanie przedstawiono na diagramie.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nZima jest ulubioną porą roku dla mniej niż 24% liczby osób ankietowanych.\nP\nF\nLato jest ulubioną porą roku dla 3\n7 liczby osób ankietowanych.\nP\nF","answer":"F, P","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Z diagramu odczytujemy liczbę osób:\n\n4+7+5+12=28\n\nDla zimy:\n\n(7)/(28)=25%\n\n25% nie jest mniejsze niż 24%, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.\n\nDla lata:\n\n(12)/(28)=(3)/(7)\n\nDrugie zdanie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"Diagramy, Procenty","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nCórka obecnie jest 4 razy młodsza od swojej mamy. Razem mają 60 lat.\nUzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B\noraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nMama obecnie ma lat.\nA. 48\nB. 45\nCórka za 8 lat będzie miała .\nC. 23 lata\nD. 20 lat\n0\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\njesień\nzima\nwiosna\nlato\nliczba osób\npora roku\nA\nB\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nC\nD\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2206","answer":"AD","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAD\n1 Załącznik nr 1 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie\nszczegółowych rozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty\nw związku z zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n1) opisuje część danej całości za pomocą\nułamka;\n12) porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne).\nVI. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n1) interpretuje 100% danej wielkości jako\ncałość, […], 25% - jako jedną czwartą […].\nXXI. Odczytywanie danych i elementy\nstatystyki opisowej. Uczeń:\n1) odczytuje i interpretuje dane\nprzedstawione w tekstach, za pomocą\n[…], diagramów słupkowych […].\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Wskazanie obu poprawnych odpowiedzi.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczby: 𝑥, (-5\n6 ) , 𝑦, są uporządkowane rosnąco.\nLiczba 𝑦 jest o 0,5 większa od (-5\n6 ), a liczba (-5\n6 ) jest o 0,5 większa od liczby 𝑥.\nJakie wartości mają liczby 𝒙 i 𝒚? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝑥= -4\n3 i 𝑦= -1\n3\nB. 𝑥= -7\n6 i 𝑦= -1\n6\nC. 𝑥= -4\n3 i 𝑦= -1\n2\nD. 𝑥 = -7\n6 i 𝑦 = -1\n3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, liczba $y$ jest równa $\\displaystyle\\small -\\frac{5}{6}+\\frac{3}{6}=-\\frac{2}{6}=\\frac{1}{3}$.\nLiczba $x$ jest równa $\\small \\displaystyle -\\frac{5}{6}-\\frac{3}{6}=-\\frac{8}{6}=-\\frac{4}{3}$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Działania na liczbach","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRozwiązaniem równania -2(𝑥-1) -3(2 -𝑥) = 0 jest liczba\nA. -4\nB. -1,6\nC. 0,8\nD. 4\nE. 8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, możemy rozwiązać to równanie:\n$-2x+2-6+3x=0$\n$x-4=0$\n$x=4$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"5","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 5. (0-1)\nO godzinie 14: 50 Maciek wyruszył w podróż pociągiem z Gdańska do Grudziądza.\nNajpierw dojechał do Iławy, gdzie po 50-minutowym oczekiwaniu wsiadł do pociągu, którym\ndojechał do Grudziądza.\nNa rysunku pokazano, jak w czasie przebiegała podróż Maćka.\nNa osi czas przejazdu z Gdańska do Grudziądza podzielono na 20 jednakowych odstępów.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nPrzejazd z Iławy do Grudziądza trwał jedną godzinę.\nP\nF\nMaciek przyjechał do Grudziądza o godzinie 18: 10.\nP\nF\nczas\nPrzyjazd do Grudziądza\nWyjazd z Gdańska\n14: 50\nCzas przejazdu\nz Gdańska do\nIławy\nCzas\noczekiwania\nw Iławie\nCzas przejazdu\nz Iławy do\nGrudziądza\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2206","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub w działaniach\ntrudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie\ntych umiejętności w sytuacjach\npraktycznych.\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n3) wykonuje nieskomplikowane rachunki,\nw których występują jednocześnie ułamki\nzwykłe i dziesiętne.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n1) sprawdza, czy dana liczba jest\nrozwiązaniem równania stopnia pierwszego\nz jedną niewiadomą.\n3) rozwiązuje równania, które po prostych\nprzekształceniach wyrażeń algebraicznych\nsprowadzają się do równań pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nVI. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n3) wykonuje proste obliczenia zegarowe\nna godzinach, minutach i sekundach.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"Czas oczekiwania 50 minut obejmuje 5 równych odcinków, więc jeden odcinek oznacza:\n\n50:5=10 min\n\nPrzejazd z Iławy do Grudziądza obejmuje 6 odcinków:\n\n6·10=60 min\n\nPierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nCała podróż:\n\n20·10=200 min=3 h 20 min\n\n14 : 50+3 : 20=18 : 10\n\nDrugie zdanie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Droga, prędkość, czas","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nDane są trzy liczby:\n𝑔= √120 ℎ= 8 + √17 𝑘= 9 + √3\nKtóre spośród tych liczb są mniejsze od liczby 𝟏𝟏? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA. Tylko 𝑔.\nB. Tylko ℎ i 𝑘.\nC. Tylko 𝑔 i 𝑘.\nD. Tylko 𝑔 i ℎ.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Poprawnie, zauważ że $11=\\sqrt{121}>\\sqrt{120}$, czyli liczba $g$ jest mniejsza niż $11$.\nZauważ również, że $\\sqrt{3}<\\sqrt{4}=2$ - a więc liczba $k=9+\\sqrt{3}$ jest mniejsza niż $9+2=11$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"Pierwiastki","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"7","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 7. (0-1)\nLiczbę 404 można zapisać w postaci (21 ∙19 + 5).\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nResztą z dzielenia liczby 404 przez 19 jest 5.\nP\nF\nJeśli liczbę 404 zmniejszymy o 5, to otrzymamy liczbę podzielną przez 21.\nP\nF","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n2. Weryfikowanie i interpretowanie\notrzymanych wyników oraz ocena\nsensowności rozwiązania.\nVIII. Pierwiastki. Uczeń:\n2) szacuje wielkość danego pierwiastka\nkwadratowego lub sześciennego oraz\nprostego wyrażenia arytmetycznego\nzawierającego pierwiastki np. 1 + √2 ,\n2 -√2.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n3. Używanie języka matematycznego do\nopisu rozumowania i uzyskanych wyników.\nII. Działania na liczbach naturalnych.\nUczeń:\n4) wykonuje dzielenie z resztą liczb\nnaturalnych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"404=21·19+5\n\nPrzy dzieleniu 404 przez 19 reszta wynosi 5.\n\n404-5=399=21·19\n\nPo zmniejszeniu o 5 otrzymujemy liczbę podzielną przez 21.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"Działania na liczbach","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa tablicy zapisano wszystkie różne liczby dwucyfrowe, które jednocześnie spełniają trzy\nwarunki: są mniejsze od 40, są podzielne przez 3, suma cyfr każdej z nich jest większa od 7.\nIle liczb zapisano na tablicy? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 3\nB. 4\nC. 5\nD. 6","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Poprawnie, liczby spełniające te warunki to $18, 27, 36, 39$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"Cechy podzielności","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nBiuro podróży w ramach oferty promocyjnej obniżyło cenę wycieczki o 20%. Pani Anna\nskorzystała z promocji i za wycieczkę zapłaciła 1500 zł.\nJaka była cena wycieczki przed obniżką? Wybierz właściwą odpowiedź spośród\npodanych.\nA. 1800 zł\nB. 1875 zł\nC. 2000 zł\nD. 2175 zł\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2206","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Poprawnie, stara cena to $x$, nowa cena to $0{,}8x$, dostajemy równanie: $0{,}8x=1500$, którego rozwiązaniem jest $x=1875$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"Procenty","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 35 ∙96 jest równa\nA. 2730\nB. 2711\nC. 317\nD. 313","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Interpretowanie i tworzenie tekstów\no charakterze matematycznym oraz\ngraficzne przedstawianie danych.\nII. Działania na liczbach naturalnych.\nUczeń:\n7) rozpoznaje liczby podzielne przez 2, 3,\n4, 5, 9, 10, 100.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub w działaniach\ntrudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie\ntych umiejętności w sytuacjach praktycznych.\nXI. Obliczenia procentowe. Uczeń:\n4) oblicza liczbę b, której p procent jest\nrówne a.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nVII. Potęgi o podstawach wymiernych.\nUczeń:\n2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach\ncałkowitych dodatnich;\n4) podnosi potęgę do potęgi.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Poprawnie, ponieważ $3^5\\cdot9^6=3^5\\cdot(3^2)^6=3^5\\cdot3^{2\\cdot6}=3^5\\cdot3^{12}=3^{5+12}=3^{17}$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nDany jest wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:\n𝑃𝑐= 2𝑃𝑝+ 𝑃𝑏\ngdzie: 𝑃𝑐 - pole powierzchni całkowitej, 𝑃𝑝 - pole podstawy, 𝑃𝑏 - pole powierzchni bocznej.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole podstawy 𝑃𝑝 wyznaczone poprawnie z powyższego wzoru opisano równaniem\nA. 𝑃𝑝= 𝑃c - 𝑃𝑏\n2\nB. 𝑃𝑝= 𝑃𝑐\n2 -𝑃𝑏\nC. 𝑃𝑝= 𝑃𝑐-𝑃𝑏\n2\nD. 𝑃𝑝= 𝑃𝑐-𝑃𝑏","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, równanie możemy przekształcić $\\small \\displaystyle P_c = 2P_p + P_b \\Rightarrow P_c - P_b = 2P_p \\Rightarrow \\frac{P_c-P_b}{2}=P_P$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"Przekształcenia wzorów","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono prostokąt i dwa trójkąty równoramienne 𝑇1 i 𝑇2 oraz podano\ndługości ich boków.\nCzy te trzy wielokąty mogą być ścianami jednego ostrosłupa? Wybierz odpowiedź\nA albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.\nA.\nTak,\nponieważ\n1.\ndługości boków prostokąta są równe długościom\npodstaw trójkątów 𝑇1 i 𝑇2.\n2.\ntrójkąty 𝑇1 i 𝑇2 mają podstawy różnej długości.\nB.\nNie,\n3.\nramiona trójkąta 𝑇1 mają inną długość niż ramiona\ntrójkąta 𝑇2.\n3 cm\n8 cm\n5 cm\n5 cm\n3 cm\n6 cm\n6 cm\n8 cm\n𝑇1\n𝑇2\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2206","answer":"B, 3","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB3\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n5) przekształca proste wzory, aby wyznaczyć\nzadaną wielkość we wzorach\ngeometrycznych (np. pól figur) […].\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego rozumowania,\npodawanie argumentów uzasadniających\npoprawność rozumowania, rozróżnianie\ndowodu od przykładu.\nXIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n3) rozpoznaje siatki graniastosłupów\nprostych i ostrosłupów.\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) dostrzega zależności między podanymi\ninformacjami.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"W ostrosłupie sąsiednie ściany boczne mają wspólne krawędzie boczne.\n\nW trójkącie T_1 ramiona mają 5 cm, a w T_2 6 cm, więc nie mogą być odpowiednimi wspólnymi krawędziami jednego ostrosłupa.\n\nOdpowiedź: B, 3","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 13. (0-1)\nW pewnym rombie jeden z kątów wewnętrznych ma miarę 120°. Obwód tego rombu jest\nrówny 24 cm.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDłuższa przekątna tego rombu ma długość\nA. 3√3 cm\nB. 6 cm\nC. 6√3 cm\nD. 12 cm","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Poprawnie, kąt ostry w rombie ma miarę $180^{\\circ}-120^\\circ=60^\\circ$ - oznacza to, że krótsza przekątna dzieli go na dwa trójkąty równoboczne. Dłuższa przekątna ma wysokość równą dwóm wysokościom trójkąta równobocznego, czyli $2h=2\\cdot \\frac{6\\sqrt3}{2}=6\\sqrt3[\\text{cm}]$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 14. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono prostokąt. Długość dłuższego boku oznaczono symbolem 𝑥 oraz\nopisano za pomocą wyrażenia algebraicznego 27 -2𝑥. Długość krótszego boku oznaczono\nsymbolem 𝑦 oraz opisano za pomocą wyrażenia algebraicznego 2𝑦-3.\nKtóre równanie nie opisuje poprawnej zależności między wartościami 𝒙 i 𝒚?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝑥-𝑦= 6\nB. 𝑥+ 𝑦= 12\nC. 𝑥∙𝑦= 27\nD. 𝑦∶𝑥= 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n2) zna najważniejsze własności […] rombu\n[…];\n6) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego rozumowania,\npodawanie argumentów uzasadniających\npoprawność rozumowania, rozróżnianie\ndowodu od przykładu.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n2) zna najważniejsze własności […]\nprostokąta […].\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n2) rozwiązuje równania pierwszego stopnia\nz jedną niewiadomą metodą równań\nrównoważnych.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.","solution":"Poprawnie, zauważ, że $2y-3=y$, czyli $y=3$. Możemy również zauważyć, że: $x=27-2x$, czyli $x=9$. A zatem $y:x=3:6\\neq 3$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 15. (0-1)\nUzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B\noraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nWartość wyrażenia 2 -2𝑎2 dla 𝑎= -3 jest równa .\nA. -16\nB. 20\nWyrażenie 1\n2 (2 -2𝑎2) można przekształcić do postaci .\nC. 1 -2𝑎2\nD. 1 -𝑎2\n27 -2𝑥\n2𝑦-3\n𝑥\n𝑦\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2206","answer":"AD","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAD\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nIX. Tworzenie wyrażeń algebraicznych\nz jedną i z wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nX. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych.\nSumy algebraiczne i działania na nich.\nUczeń:\n3) mnoży sumy algebraiczne przez\njednomian i dodaje wyrażenia powstałe\nz mnożenia sum algebraicznych przez\njednomiany.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne\nAkceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne, spełniające warunki\nzadania.\nZa rozwiązanie zadania na danym etapie uczeń może otrzymać punkty tylko wtedy, gdy\nprzedstawia poprawne sposoby rozwiązania na wszystkich wcześniejszych etapach.\nJeżeli na dowolnym etapie rozwiązania zadania uczeń popełnia jeden lub więcej błędów\nrachunkowych (albo błąd przepisania wartości poprawnie zidentyfikowanej danej albo\nwartości z wcześniejszych etapów rozwiązania), ale stosuje poprawne sposoby\nrozwiązania i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to ocenę\nrozwiązania obniża się o 1 punkt.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych ze sobą\nrozwiązań i nie wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to może uzyskać\npunkty tylko za wcześniejsze poprawne etapy rozwiązania.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych ze sobą\nrozwiązań i wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to zapisów w innych\nrozwiązaniach nie bierze się pod uwagę w ocenianiu.\nJeżeli w zadaniach 16., 17., 18. i 19. uczeń podaje tylko poprawny końcowy wynik, to\notrzymuje 0 punktów.\nW pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych kryteriów oceniania dopuszcza się:\n1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6-9)\n2. gubienie liter, cyfr, nawiasów\n3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych\n4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe)\n5. luki w zapisie obliczeń - obliczenia pamięciowe\n6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu\nniewiadomych\n7. niekończenie wyrazów\n8. problemy z zapisywaniem jednostek (np.°C - OC)\n9. błędy w przepisywaniu\n10. chaotyczny zapis operacji matematycznych\n11. mylenie indeksów górnych i dolnych (np. 𝑥2 - 𝑥2, 𝑚2- 𝑚2).\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.","solution":"Dokonajmy podstawienia i wykonajmy obliczenia:\n$2-2a^2=2-2\\cdot(-3)^2=2-2\\cdot9=2-18=-16$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 16. (0-2)\nW kasie są banknoty 20-złotowe i 50-złotowe. Liczba banknotów 20-złotowych jest taka\nsama jak liczba banknotów 50-złotowych. Łączna wartość wszystkich banknotów\n50-złotowych jest o 6 tysięcy złotych większa od łącznej wartości wszystkich banknotów\n20-złotowych.\nOblicz, ile banknotów 𝟐𝟎-złotowych jest w kasie. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2206","answer":"200 banknotów","answer_text":"Zadanie 16. (0-2)\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nbanknotów 20-złotowych, np. 20𝑥+ 6000 = 50𝑥, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowa liczba banknotów 20-złotowych (𝑥= 200),\nLUB\n• zauważenie, że kwota 6000 zł odpowiada całkowitej wielokrotności różnicy wartości\nbanknotów 50 zł i 20 zł, np. zapisanie 30𝑥= 6000 albo 𝑥(50 -20) = 6000,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowa liczba banknotów 20-złotowych (𝑥= 200),\nLUB\n• sprawdzenie, że dla 200 banknotów różnica łącznej wartości banknotów 50-złotowych\ni 20-złotowych jest równa 6000 zł, prawidłowe obliczenia oraz podanie liczby banknotów\n20-złotowych. (metoda prób i błędów).\n1 punkt\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia liczby\nbanknotów 20-złotowych, np. 20𝑥+ 6000 = 50𝑥,\nLUB\n• zapisanie wyrażeń algebraicznych z jedną zmienną opisujących łączną wartość banknotów\n20 zł oraz łączną wartość banknotów 50 zł, np. (20𝑥, 50𝑥) lub (20𝑥, 50𝑦, gdzie 𝑥= 𝑦),\nLUB\n• zapisanie wyrażenia algebraicznego opisującego różnicę między wartością banknotów\n20 zł a wartością banknotów 50 zł, np. zapisanie 50𝑥-20𝑥 albo 30𝑥,\nLUB\n• zauważenie, że kwota 6000 zł odpowiada całkowitej wielokrotności różnicy wartości\nbanknotów 50 zł i 20 zł, np. zapisanie 30𝑥= 6000 albo 𝑥(50 -20) = 6000 albo\nzastosowanie proporcji, np.\n1 para banknotów to 30 zł\n𝑥 par banknotów to 6000 zł\n(lub zapisy równoważne),\nLUB\n• sprawdzenie warunków zadania dla co najmniej dwóch różnych liczb banknotów\n20- i 50-złotowych bez uwzględnienia liczby 200 banknotów (metoda prób i błędów).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go w różnych\nkontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą, w tym także z obliczeniami\nprocentowymi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nOznaczymy liczbę banknotów 20- i 50-złotowych przez 𝑥.\nWartość banknotów 50-złotowych jest o 6000 zł większa od wartości banknotów\n20-złotowych, zatem możemy ułożyć równanie:\n20𝑥+ 6000 = 50𝑥\n30𝑥= 6000\n𝑥= 200\nOdpowiedź: W kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.\nII sposób\n𝑥-liczba banknotów 20- i 50-złotowych\nObliczymy różnicę wartości między banknotem 50 zł i banknotem 20 zł:\n50 zł -20 zł = 30 zł\nRozwiążemy równanie:\n30 zł ∙𝑥= 6000 zł\n𝑥= 200\nOdpowiedź: W kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.\nIII sposób (metoda prób i błędów)\nLiczba\nbanknotów\nWartość w banknotach\n50-złotowych\nWartość w banknotach\n20-złotowych\nRóżnica\n10\n10 ∙50 = 500 (zł)\n10 ∙20 = 200 (zł)\n300 zł\n50\n50 ∙50 = 2500 (zł)\n50 ∙20 = 1000 (zł)\n1500 zł\n100\n100 ∙50 = 5000 (zł)\n100 ∙20 = 2000 (zł)\n3000 zł\n200\n200 ∙50 = 10000 (zł)\n200 ∙20 = 4000 (zł)\n6000 zł\nOdpowiedź: W kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.\nIV sposób\n1 para banknotów 50 zł i 20 zł to różnica 30 zł\n10 par tych banknotów to różnica 300 zł\n100 par tych banknotów to różnica 3000 zł\n200 par tych banknotów to różnica 6000 zł\nOdpowiedź: W kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.","solution":"Oznaczmy liczbę banknotów każdego rodzaju przez x .\n\n50x-20x=6000\n\n30x=6000\n\nx=200\n\nOdpowiedź: 200 banknotów 20-złotowych.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 17. (0-2)\nJanek miał łącznie 84 piłeczki, z których każda była w jednym z trzech kolorów:\nczerwonym, zielonym lub niebieskim. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są\n- odpowiednio - kolejnymi liczbami podzielnymi przez 7. Janek rozdzielił wszystkie piłeczki\nna siedem identycznych zestawów, przy czym w każdym z nich znalazły się piłeczki w trzech\nkolorach.\nOblicz, ile piłeczek czerwonych, ile - zielonych, a ile - niebieskich było w jednym\nzestawie. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2206","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich\nw każdym zestawie, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik (3 czerwone, 4 zielone,\n5 niebieskich),\nLUB\n• sprawdzenie warunków zadania dla liczb piłeczek każdego koloru spośród 84 piłeczek, które\nna początku miał Janek (21 czerwonych, 28 zielonych, 35 niebieskich), prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik (3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia liczby piłeczek każdego koloru spośród 84 piłeczek, które\nna początku miał Janek (21 czerwonych, 28 zielonych, 35 niebieskich), np. wypisanie\nkolejnych liczb podzielnych przez 7 i sprawdzenie, czy ich suma jest równa 84,\nLUB\n• ułożenie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia wszystkich piłeczek\nczerwonych, np. zapisanie\n𝑐+ (𝑐+ 7) + (𝑐+ 14) = 84\nalbo zielonych, np. zapisanie\n(𝑧-7) + 𝑧+ (𝑧+ 7) = 84\nalbo niebieskich, np. zapisanie\n(𝑛-14) + (𝑛-7) + 𝑛= 84\n(lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie równości 21 + 28 + 35 = 84,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia wszystkich piłeczek w jednym z siedmiu zestawów\n(84 ∶7 = 12).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne, albo brak rozwiązania.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego rozumowania,\npodawanie argumentów uzasadniających\npoprawność rozumowania, rozróżnianie\ndowodu od przykładu.\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii\noraz nabyte umiejętności rachunkowe,\na także własne poprawne metody.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWypiszemy kolejne liczby podzielne przez 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 …\nSzukamy trzech liczb, których suma jest równa 84:\n14 + 21 + 28 = 63\n63 < 84\n21 + 28 + 35 = 84\n84 = 84\nSzukane liczby to: 21, 28, 35.\nZauważamy, że szukane liczby, które są podzielne przez 7 odpowiadają kolejno piłeczkom\nw kolorach: czerwonym, zielonym, niebieskim, a więc Janek ma:\n21 piłeczek czerwonych\n28 piłeczek zielonych\n35 piłeczek niebieskich\nJanek rozdzielił wszystkie piłeczki na 7 identycznych zestawów, w każdym zestawie były\npiłeczki w trzech kolorach, zatem możemy obliczyć, że jeden zestaw zawiera:\n21: 7 = 3 czerwone piłeczki\n28: 7 = 4 zielone piłeczki\n35: 7 = 5 niebieskich piłeczek\nOdpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.\nII sposób\n𝑥- liczba piłeczek czerwonych\n𝑥+ 7 - liczba piłeczek zielonych\n𝑥+ 14 - liczba piłeczek niebieskich\nSuma wszystkich piłeczek jest równa 84, zatem możemy rozwiązać równanie:\n𝑥+ 𝑥+ 7 + 𝑥+ 14 = 84\n𝑥= 21\nObliczymy liczbę piłeczek w każdym z trzech kolorów:\n21 - liczba piłeczek czerwonych\n21 + 7 = 28 - liczba piłeczek zielonych\n21 + 14 = 35 - liczba piłeczek niebieskich\nObliczymy liczbę piłeczek w każdym zestawie:\n21 ∶7 = 3 - czerwone\n28 ∶7 = 4 - zielone\n35 ∶7 = 5 - niebieskie\nOdpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.\nIII sposób\nObliczymy liczbę piłeczek w każdym z 7 jednakowych zestawów:\n84 ∶7 = 12\nJeśli liczby wszystkich piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są odpowiednio kolejnymi\nliczbami podzielnymi 7, to w każdym z zestawów liczby piłeczek różnych kolorów są kolejnymi\nliczbami naturalnymi, których suma jest równa 12.\nLiczby, które spełniają ten warunek to: 3, 4, 5.\nOdpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.","solution":"Liczby piłeczek to trzy kolejne wielokrotności 7:\n\n7x, 7(x+1), 7(x+2)\n\n7x+7(x+1)+7(x+2)=84\n\n21x+21=84⇒ x=3\n\nŁącznie było 21,28,35 piłeczek. Po podziale na 7 zestawów:\n\n21:7=3, 28:7=4, 35:7=5\n\nOdpowiedź: 3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)\nProstokątna łąka jest podzielona na dwie części 𝐴 i 𝐵, tak jak pokazano na rysunku. Każda\nz tych części ma kształt trapezu.\nKosiarka w ciągu każdej godziny swojej pracy kosi trawę z powierzchni o takim samym polu.\nTrawę z części 𝐴 kosiarka skosiła w ciągu trzech godzin.\nOblicz, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝑩. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n40 m\n60 m\n80 m\n10 m\n90 m\nOMAP-100-2206","answer":"9 godzin","answer_text":"Zadanie 18. (0-3)\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia, ile godzin kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik (9 godzin).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia, ile razy pole części 𝐵 jest większe od pola części 𝐴, np.\nzapisanie\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2)\n𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)\n6000 ∶2000\n(lub zapisy równoważne),\nLUB\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go w różnych\nkontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nXIII. Proporcjonalność prosta. Uczeń:\n2) wyznacza wartość przyjmowaną przez\nwielkość wprost proporcjonalną\nw przypadku konkretnej zależności\nproporcjonalnej, na przykład wartość\nzakupionego towaru w zależności od liczby\nsztuk towaru, ilość zużytego paliwa\nw zależności od liczby przejechanych\nkilometrów, liczby przeczytanych stron\nksiążki w zależności od czasu jej czytania.\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n5) stosuje wzory na pole […] trapezu\nprzedstawionych na rysunku […].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n• poprawny sposób obliczenia stosunku pól powierzchni łąki, np. zapisanie\n𝑃𝐵\n𝑃𝐴\n1\n2 (90 + 60) ∙80\n1\n2 (10 + 40) ∙80\n= 150\n50 (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia czasu potrzebnego na skoszenie trawy w części 𝐵,\nnp. zapisanie lub zastosowanie metody proporcji\n3 h -2000 m2\n𝑥-6000 m2\n𝑥= 3 h ∙6000 m2\n2000 m2\n,\nLUB\n• ustalenie na rysunku za pomocą podziału łąki na 4 równe części oraz zapisanie\nzależności pomiędzy polem figury 𝐴 i 𝐵 (PB = 3 𝑃𝐴), np.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia pola powierzchni części łąki 𝐴 lub części łąki 𝐵,\nnp. zapisanie\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2) LUB 𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2),\nLUB\n• poprawny sposób podziału łąki na cztery równe części na rysunku, np.\nLUB\n0 punktów\nrozwiązanie błędne, albo brak rozwiązania.\n𝐴\n𝐵\n40 m\n60 m\n80 m\n10 m\n90 m\n𝐴\n𝐵\n40 m\n80 m\n10 m\n10\n10\n40\n90 m\n60 m\n40\n40\n10\n𝐴\n𝐵\n40 m\n80 m\n10 m\noraz\n𝑃𝐵= 3 𝑃𝐴 .\n90 m\n60 m\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.\nUwaga\nNie ocenia się stosowania jednostek.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nCzęści 𝐴 i 𝐵, na które podzielona jest łąka mają kształt trapezu.\nObliczymy pola obu części łąki:\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2)\n𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)\nPowierzchnia części 𝐵 jest 3 razy większa:\n6000 ∶2000 = 3\nKosiarka skosiła trawę z powierzchni części 𝐴 w ciągu 3 godzin, a zatem:\n3 ∙3 = 9\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.\nII sposób\nObliczymy stosunek pól części 𝐵 i części 𝐴:\n𝑃𝐵\n𝑃𝐴\n1\n2 (90 + 60) ∙80\n1\n2 (10 + 40) ∙80\n= 150\n50 = 3\nPonieważ pole części 𝐵 jest 3 razy większe, więc - korzystając z założenia, że czas (𝑡𝐴)\nna skoszenie trawy z powierzchni części 𝐴 jest równy 3 godziny - czas (𝑡𝐵) koszenia\ntrawy z części 𝐵 będzie 3 razy dłuższy:\n𝑡𝐵= 3 ∙𝑡𝐴= 9 godzin\n3 godziny ∙3 = 9 godzin\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.\nIII sposób\nObliczymy pole całej łąki, która ma kształt prostokąta:\n𝑃Ł = 100 ∙80 = 8000 (m2)\nObliczymy pole łąki w części 𝐴:\n𝑃𝐴=\n(10 + 40)\n2\n∙80 = 2000 (m2)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy jaką część łąki stanowią powierzchnie 𝐴 oraz 𝐵.\nCzęść 𝐴 stanowi 1\n4 całej łąki:\n𝑃𝐴\n𝑃𝐵\n= 2000 (m2)\n8000 (m2) = 1\n4 ,\nzatem część 𝐵 stanowi 3\n4 całej łąki, czyli część 𝐵 stanowi 3 części 𝐴:\n3 𝑃𝐴= 𝑃𝐵\nObliczymy czas potrzebny na skoszenie trawy z części 𝐵:\n3 ∙3 godziny = 9 godzin\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 godzin.\nIV sposób\nCzęści 𝐴 i 𝐵, na które podzielona jest łąka mają kształt trapezu.\nObliczymy pola obu części łąki:\n𝑃𝐴= 1\n2 (10 + 40) ∙80 = 2000 (m2) 𝑃𝐵= 1\n2 (90 + 60) ∙80 = 6000 (m2)\nObliczymy w jakim czasie kosiarka kosiła trawę w części 𝐵 łąki korzystając z proporcji:\n3 h -2000 m2\n𝑥-6000 m2\n𝑥= 3 h ∙6000 m2\n2000 m2\n= 9 h\nOdpowiedź: Kosiarka będzie kosiła trawę w części 𝐵 9 h.\nV sposób\nŁąkę można podzielić na 4 części o równych polach, jedną z tych części stanowi trapez 𝐴:\nJeśli kosiarka kosi trawę z części 𝐴 w czasie 3 godzin, a część 𝐵 złożona jest z trzech\nczęści 𝐴, to skoszenie trawy z części 𝐵 będzie trwało 9 godzin.\n𝐴\n𝐵\n40 m\n40 m\n80 m\n10 m\n10 m\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.","solution":"Pole części A :\n\nP_A=(10+40)/(2)·80=2000 m^2\n\nPole części B :\n\nP_B=(90+60)/(2)·80=6000 m^2\n\nCzęść B ma trzy razy większe pole, więc:\n\n3·3=9 godzin\n\nOdpowiedź: 9 godzin.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)\nNa rysunku przedstawiono graniastosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt prostokątny.\nDługość jednej z przyprostokątnych jest równa 8 cm, a długość przeciwprostokątnej jest\nrówna 10 cm. Najmniejsza ściana boczna tego graniastosłupa ma pole równe 54 cm2.\nOblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2206\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"75 cm","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi graniastosłupa, prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (75 cm).\n2 punkty\n• poprawny sposób obliczenia długości drugiej przyprostokątnej (zastosowanie twierdzenia\nPitagorasa, np. zapisanie 𝑎2 + 82 = 102 oraz poprawny sposób obliczenia wysokości\ngraniastosłupa, (np. oznaczonej jako 𝐻), tzn. zastosowanie (zgodnie z oznaczeniami\nkrawędzi przyjętymi na rysunku) wzoru na pole prostokąta uwzględniającego, że jest ono\nrówne 54 (lub zapisy równoważne na symbolach albo liczbach jednoznacznie\nidentyfikujące krawędzie graniastosłupa oraz poprawny sposób obliczenia sumy długości\nwszystkich krawędzi graniastosłupa, np. zapisanie 𝑆𝑘= 2 ∙(𝑎+ 8 + 10) + 3 ∙𝐻 (lub\nzapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie 𝑎= 6 (𝑐𝑚) oraz 𝐻= 9 (𝑐𝑚) lub oznaczenie na odpowiednich odcinkach na\nrysunku 6 i 9 oraz poprawny sposób obliczenia sumy długości wszystkich krawędzi\ngraniastosłupa, np. zapisanie 𝑆𝑘= 2 ∙(6 + 8 + 10) + 3 ∙9 (lub zapisy równoważne).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia długości drugiej przyprostokątnej (np. oznaczonej jako 𝑎),\nktóra jest jedną z krawędzi podstawy graniastosłupa, zastosowanie twierdzenia\nPitagorasa, np. zapisanie\n𝑎2 + 82 = 102 (lub zapisy równoważne),\nLUB\n• ustalenie (np. zapisanie na rysunku) bez obliczeń długości tego odcinka (6 cm),\nLUB\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej z treści\nzadania, tworzenie strategii rozwiązania\nproblemu, również w rozwiązaniach\nwieloetapowych oraz w takich, które\nwymagają umiejętności łączenia wiedzy\nz różnych działów matematyki.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii oraz\nnabyte umiejętności rachunkowe, a także\nwłasne poprawne metody.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoprawny sposób obliczenia wysokości graniastosłupa, zastosowanie wzoru na pole\nprostokąta, np. zapisanie 54 = 𝑎∙𝐻, gdzie 𝐻 jest zidentyfikowane jako wysokość\ngraniastosłupa (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nBłędne stosowanie jednostek traktuje się jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nOznaczymy jedną z krawędzi podstawy jako 𝑎\nObliczymy długość krawędzi 𝑎, korzystając z twierdzenia\nPitagorasa:\n𝑎2 + 82 = 102\n𝑎2 = 100 -64\n𝑎= 6 (cm)\nPole najmniejszej ściany bocznej graniastosłupa jest\nrówne 54 cm2, zatem możemy obliczyć wysokość graniastosłupa, korzystając ze wzoru na\npole prostokąta:\n𝑃= 𝑎∙𝐻\n54 = 6 ∙𝐻\n𝐻= 9 (cm)\nObliczymy sumę długości krawędzi graniastosłupa:\n𝑆𝑘= 2 ∙(6 + 8 + 10) + 3 ∙9 = 75 (cm)\nOdpowiedź: Suma długości krawędzi tego graniastosłupa jest równa 75 (cm).\n10 cm\n𝑎\n𝐻","solution":"Z twierdzenia Pitagorasa:\n\na^2+8^2=10^2\n\na^2=36, a=6 cm\n\nNajmniejsza ściana boczna ma pole 54 cm²:\n\n6h=54⇒ h=9 cm\n\nSuma krawędzi:\n\n2(6+8+10)+3·9=48+27=75 cm\n\nOdpowiedź: 75 cm.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"}]}