{"paper":{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba √128 ∶√64\n3\njest równa\nA. 1\n2 √2\nB. 2\nC. √2\nD. 2√2\nLiczba √128 ∶ √64 jest równa A. 1/2√2 B. 2 C. √2 D. 2√2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(2\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie każdego pierwiastka osobno\n\nUpraszczamy licznik i mianownik, a potem dzielimy.\n\n**Krok 1: Uprost \\(\\sqrt{128}\\)**\n\n\\[128 = 64 \\cdot 2\\]\n\\[\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\cdot 2} = \\sqrt{64} \\cdot \\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Uprost \\(\\sqrt[3]{64}\\)**\n\n\\[\\sqrt[3]{64} = \\sqrt[3]{4^3} = 4\\]\n\n**Krok 3: Oblicz iloraz**\n\n\\[\\sqrt{128} : \\sqrt[3]{64} = \\frac{8\\sqrt{2}}{4} = 2\\sqrt{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\boldsymbol{2\\sqrt{2}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładnikach wymiernych\n\nZapisujemy wszystko w postaci potęg, żeby nie zgubić się w typie pierwiastka.\n\n**Krok 1: Rozkład na potęgi**\n\n\\[128 = 2^7, \\quad 64 = 2^6\\]\n\n**Krok 2: Zamiana pierwiastków**\n\n\\[\\sqrt{128} = (2^7)^{\\frac{1}{2}} = 2^{\\frac{7}{2}}\\]\n\\[\\sqrt[3]{64} = (2^6)^{\\frac{1}{3}} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\\]\n\n**Krok 3: Iloraz**\n\n\\[\\frac{2^{\\frac{7}{2}}}{2^2} = 2^{\\frac{7}{2} - 2} = 2^{\\frac{7}{2} - \\frac{4}{2}} = 2^{\\frac{3}{2}}\\]\n\n**Krok 4: Zamień z powrotem**\n\n\\[2^{\\frac{3}{2}} = 2^{1 + \\frac{1}{2}} = 2^1 \\cdot 2^{\\frac{1}{2}} = 2\\sqrt{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\boldsymbol{2\\sqrt{2}}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWłasności pierwiastków i potęg o wykładnikach wymiernych:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}, \\quad \\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 2 - zamieniając \\(\\sqrt{128}\\) i \\(\\sqrt[3]{64}\\) na potęgi, a następnie korzystając z reguły odejmowania wykładników przy dzieleniu.\n\nW Sposobie 1 korzystamy z własności:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nco wynika bezpośrednio z \\((a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{2}\\sqrt{2}\\) | Pomylenie dzielenia z odwrotnością: uczeń liczy \\(\\frac{\\sqrt[3]{64}}{\\sqrt{128}} = \\frac{4}{8\\sqrt{2}}\\) zamiast odwrotnie |\n| B - \\(2\\) | Uczeń gubi \\(\\sqrt{2}\\) - np. upraszcza \\(\\sqrt{128}\\) jako \\(8\\) zamiast \\(8\\sqrt{2}\\), czyli bierze \\(\\sqrt{128} \\approx \\sqrt{128}\\) i zaokrągla |\n| C - \\(\\sqrt{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\sqrt{128} = 8\\sqrt{2}\\), ale dzieli przez \\(8\\) (np. myli \\(\\sqrt[3]{64} = 8\\), bo \\(64 = 8^2\\), a nie \\(4^3\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\), bo \\(4^3 = 64\\) - nie mylić z \\(\\sqrt{64} = 8\\)! To dwa różne pierwiastki z tej samej liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{128}\\) nie zapomnij o czynnikach pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt{128} = \\sqrt{64 \\cdot 2} = 8\\sqrt{2}\\), a nie po prostu \\(8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 przy odejmowaniu wykładników wymiernych zawsze sprowadź do wspólnego mianownika: \\(\\frac{7}{2} - 2 = \\frac{7}{2} - \\frac{4}{2} = \\frac{3}{2}\\). Pośpiech tu prowadzi do błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - własności pierwiastków\n\\(\\sqrt{128} = \\sqrt{64\\cdot 2} = 8\\sqrt{2}\\) oraz \\(\\sqrt[3]{64} = 4\\).\n\\[\\sqrt{128} : \\sqrt[3]{64} = \\dfrac{8\\sqrt{2}}{4} = 2\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - postać potęgowa\n\\(\\sqrt{128} = 128^{1/2} = (2^7)^{1/2} = 2^{7/2}\\), \\(\\sqrt[3]{64} = 64^{1/3} = (2^6)^{1/3} = 2^{2}\\).\n\\[2^{7/2} : 2^{2} = 2^{7/2 - 2} = 2^{3/2} = 2\\cdot 2^{1/2} = 2\\sqrt{2}.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\sqrt{2}\\)** - odwrócono iloraz.\n- **B. \\(2\\)** - pominięto pierwiastek z 2.\n- **C. \\(\\sqrt{2}\\)** - błędnie \\(\\sqrt{128}=4\\sqrt{2}\\).\n\n**Trik:** rozłóż \\(128 = 64\\cdot 2\\) - pod pierwiastkiem pojawia się kwadrat.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba 2-3⋅ 3-3⋅ 40\n2-1⋅ 3-4⋅ 4-1 jest równa\nA. 1\nB. 3\nC. 24\nD. 48\nLiczba 2^{-3}⋅3^{-3}⋅4^0 / 2^{-1}⋅3^{-4}⋅4^{-1} jest równa A. 1 B. 3 C. 24 D. 48","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych i stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, ponieważ $\\displaystyle\\frac{2^{-3}\\cdot3^{-3}\\cdot4^0}{2^{-1}\\cdot3^{-4}\\cdot4^{-1}}=\\frac{2^{-3}\\cdot3^{-3}\\cdot1}{2^{-1}\\cdot3^{-4}\\cdot(2^2)^{-1}}=\\frac{2^{-3}\\cdot3^{-3}}{2^{-1}\\cdot3^{-4}\\cdot2^{-2}}=\\frac{2^{-3}\\cdot3^{-3}}{2^{-3}\\cdot3^{-4}}=\\frac{3^{-3}}{3^{-4}}=3^{-3-(-4)}=3^{-3+4}=3^1=3$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba dwukrotnie większa od log 3 + log 2 jest równa\nA. log 12\nB. log 36\nC. log 10\nD. log 25\nLiczba dwukrotnie większa od log3 + log2 jest równa A. log12 B. log36 C. log10 D. log25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi\no wykładniku naturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"1. Zaczynamy od obliczenia wartości wyrażenia \\( \\log 3 + \\log 2 \\). Korzystamy z właściwości logarytmów, która mówi, że suma logarytmu dwóch liczb jest równa logarytmowi ich iloczynu. Zapisujemy to jako:\n$$\\log 3 + \\log 2 = \\log (3 \\times 2)$$\n\n2. Obliczamy iloczyn:\n$$3 \\times 2 = 6$$\nZatem mamy:\n$$\\log (3 \\times 2) = \\log 6$$\n\n3. Teraz, aby obliczyć liczbę dwukrotnie większą od \\( \\log 6 \\), zapisujemy to wyrażenie:\n$$2 \\cdot \\log 6$$\n\n4. Korzystamy z kolejnej właściwości logarytmów, która mówi, że mnożenie logarytmu przez liczbę można zapisać jako logarytm tej liczby podniesionej do danej potęgi. Zapisujemy to jako:\n$$2 \\cdot \\log 6 = \\log (6^2)$$\n\n5. Obliczamy wartość potęgi:\n$$6^2 = 36$$\nW związku z tym:\n$$\\log (6^2) = \\log 36$$\n\n6. Mamy teraz wyrażenie \\( \\log 36 \\), więc sprawdzamy, która z podanych opcji odpowiada naszemu wynikowi. Przeglądając odpowiedzi, widzimy, że jedyna pasująca to:\nB. \\( \\log 36 \\)\n\n**Odpowiedź:** \\( \\log 36 \\)","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\n30% liczby 𝑥 jest o 2730 mniejsze od liczby 𝑥. Liczba 𝑥 jest równa\nA. 3900\nB. 1911\nC. 9100\nD. 2100\n30% liczby x jest o 2730 mniejsze od liczby x. Liczba x jest równa A. 3900 B. 1911 C. 9100 D. 2100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, $30\\%$ liczby $x$ można zapisać jako $0,3x$, a więc mamy równanie $0,3x = x - 2730$. Rozwiązując, otrzymujemy $0,7x = 2730$, co daje $x = \\frac{2730}{0,7} = 3900$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wyrażenie 5 -(4 + 2𝑎)(4 -2𝑎) jest równe\nA. -4𝑎2 -16𝑎-11\nB. 4𝑎2 -11\nC. -4𝑎2 -11\nD. 4𝑎2 + 16𝑎-11\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie 5-(4+2a)(4-2a) jest równe A. -4a^2-16a-11 B. 4a^2-11 C. -4a^2-11 D. 4a^2+16a-11","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"1. Zacznijmy od zapisu wyrażenia, które mamy obliczyć:\n$$\\text{Wyrażenie} = 5 - (4 + 2a)(4 - 2a)$$\n\n2. Zauważmy, że wyrażenie $(4 + 2a)(4 - 2a)$ jest iloczynem dwóch czynników. Możemy użyć wzoru skróconego mnożenia, który mówi, że:\n$$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$$\nW naszym przypadku $x = 4$ oraz $y = 2a$. Dlatego,\n$$ (4 + 2a)(4 - 2a) = 4^2 - (2a)^2 $$\n\n3. Obliczmy teraz $4^2$ oraz $(2a)^2$:\n$$ 4^2 = 16 $$\n$$ (2a)^2 = 4a^2 $$\n\n4. Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia:\n$$ (4 + 2a)(4 - 2a) = 16 - 4a^2 $$\n\n5. Zastępujemy nasze obliczone wyrażenie w pierwotnym:\n$$ \\text{Wyrażenie} = 5 - (16 - 4a^2) $$\n\n6. Rozwijamy nawias:\n$$ 5 - 16 + 4a^2 $$\n\n7. Uporządkujmy wyrażenie, sumując podobne składniki:\n$$ 4a^2 + (5 - 16) $$\n$$ 4a^2 - 11 $$\n\n8. Otrzymujemy ostatecznie:\n$$ 5 - (4 + 2a)(4 - 2a) = 4a^2 - 11 $$\n\n**Odpowiedź:** Prawidłowa odpowiedź to B: $4a^2 - 11$.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nJedną z liczb spełniających nierówność 𝑥4 -3𝑥3 + 3 < 0 jest\nA. 1\nB. (-1)\nC. 2\nD. (-2)\nInformacja do zadań 7. i 8.\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥.\nJedną z liczb spełniających nierówność x^4-3x^3+3<0 jest A. 1 B. (-1) C. 2 D. (-2)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.1) sprawdza, czy dana liczba rzeczywista\njest rozwiązaniem równania lub\nnierówności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie i sprawdzenie wartości\n\nW zadaniu nie trzeba rozwiązywać nierówności analitycznie - wystarczy **podstawić każdą z odpowiedzi** do wyrażenia \\(x^4 - 3x^3 + 3\\) i sprawdzić, czy wynik jest ujemny.\n\nDefiniujemy funkcję:\n\\[f(x) = x^4 - 3x^3 + 3\\]\n\nWarunek do spełnienia: \\(f(x) < 0\\).\n\n**Sprawdzamy odpowiedź C: \\(x = 2\\)**\n\n\\[f(2) = 2^4 - 3 \\cdot 2^3 + 3\\]\n\\[= 16 - 3 \\cdot 8 + 3\\]\n\\[= 16 - 24 + 3\\]\n\\[= -5\\]\n\nPonieważ \\(-5 < 0\\), **\\(x = 2\\) spełnia nierówność**. ✓\n\n## Sposób 2 - Analiza wykresu i zachowanie funkcji\n\nMożemy spojrzeć na problem z perspektywy analizy funkcji \\(f(x) = x^4 - 3x^3 + 3\\).\n\n- \\(f(x)\\) to wielomian stopnia 4 z dodatnim współczynnikiem przy \\(x^4\\), więc dla \\(|x|\\) bardzo dużych \\(f(x) \\to +\\infty\\).\n- Szukamy przedziału, gdzie \\(f(x) < 0\\), czyli gdzie paraboloida \"wpada poniżej zera\".\n\nSprawdźmy wartości graniczne:\n\\[f(0) = 0 - 0 + 3 = 3 > 0\\]\n\\[f(2) = 16 - 24 + 3 = -5 < 0\\]\n\\[f(3) = 81 - 81 + 3 = 3 > 0\\]\n\nZatem funkcja **przechodzi przez zero gdzieś między \\(x = 0\\) a \\(x = 2\\)** i znowu między \\(x = 2\\) a \\(x = 3\\). To oznacza, że ujemna \"dolina\" funkcji obejmuje okolicę \\(x = 2\\), co potwierdza, że \\(x = 2\\) jest w obszarze gdzie \\(f(x) < 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **podstawienie i obliczenia arytmetyczne** (potęgi całkowite). Ewentualnie przydatne są działania na potęgach z Działu 2 (s. 4-5):\n\\[a^n = \\underbrace{a \\cdot a \\cdot \\ldots \\cdot a}_{n \\text{ razy}}\\]\nczyli np. \\(2^4 = 16\\), \\(2^3 = 8\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Obliczenie | Wynik | Błąd |\n| A: \\(x=1\\) | \\(1 - 3 + 3\\) | \\(= 1 > 0\\) | Wynik dodatni - nie spełnia nierówności. Łatwo się pomylić myśląc, że \\(-3\\) \"dominuje\" |\n| B: \\(x=-1\\) | \\(1 - 3\\cdot(-1) + 3 = 1+3+3\\) | \\(= 7 > 0\\) | Uwaga: \\((-1)^3 = -1\\), więc \\(-3\\cdot(-1) = +3\\) - wynik jest duży i dodatni |\n| D: \\(x=-2\\) | \\(16 - 3\\cdot(-8) + 3 = 16+24+3\\) | \\(= 43 > 0\\) | Najczęstszy błąd: \\((-2)^3 = -8\\), więc \\(-3\\cdot(-8) = +24\\) - wynik jest bardzo duży |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy ujemnych podstawach potęg - **zawsze obliczaj znak!** \\((-2)^3 = -8\\) (nieparzysta potęga = ujemna), \\((-2)^4 = +16\\) (parzysta = zawsze dodatnia). Pomieszanie znaków to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj rozwiązywać nierówności \\(x^4 - 3x^3 + 3 < 0\\) analitycznie - na maturze PP wielomian stopnia 4 jest generalnie nierozkładalny \"na ładne czynniki\". Zadanie tego typu to zawsze **podstawianie odpowiedzi**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj **wszystkie** odpowiedzi - w wersji \"która z liczb spełnia\" chodzi o znalezienie jednej konkretnej wartości, a pułapką są odpowiedzi, które wyglądają przekonująco (np. \\(x=1\\) daje wynik bliski zeru).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - podstawianie odpowiedzi\nDla \\(x = 2\\): \\(2^{4} - 3\\cdot 2^{3} + 3 = 16 - 24 + 3 = -5 < 0\\). ✓\n\n### Sposób 2 - sprawdzenie pozostałych\n- \\(x=1\\): \\(1 - 3 + 3 = 1 > 0\\). ✗\n- \\(x=-1\\): \\(1 + 3 + 3 = 7 > 0\\). ✗\n- \\(x=-2\\): \\(16 + 24 + 3 = 43 > 0\\). ✗\nTylko \\(x = 2\\) spełnia nierówność.\n\n### Uwagi o punktacji\nWystarczy podstawienie - zadanie sprawdza umiejętność weryfikowania, czy liczba spełnia nierówność (Zdający 3.1).\n\n**Trik:** przy ujemnych \\(x\\) wyraz \\(-3x^{3}\\) staje się dodatni, więc suma rośnie - eliminuj B i D.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= -5\n4\nB. 𝑥= 5\n4\nC. 𝑦= -5\n4\nD. 𝑦= -25\n16\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=2x^2+5x. [rysunek] Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=-5/4 B. x=5/4 C. y=-5/4 D. y=-25/16.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na wierzchołek paraboli\n\nOś symetrii paraboli to pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Dla funkcji kwadratowej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) oś symetrii wyznacza wzór:\n\n\\[x = p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nOdczytujemy współczynniki z \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\):\n\\[a = 2, \\quad b = 5, \\quad c = 0\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[p = -\\frac{5}{2 \\cdot 2} = -\\frac{5}{4}\\]\n\n**Oś symetrii to prosta \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - wyznaczanie wierzchołka przez rozkład na czynniki\n\nSzukamy miejsca, w którym parabola „zawraca\" - czyli punktu symetrii między jej miejscami zerowymi.\n\nWyznaczamy miejsca zerowe \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\):\n\\[2x^2 + 5x = 0\\]\n\\[x(2x + 5) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[x_1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x + 5 = 0 \\implies x_2 = -\\frac{5}{2}\\]\n\nOś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + \\left(-\\dfrac{5}{2}\\right)}{2} = \\frac{-\\dfrac{5}{2}}{2} = -\\frac{5}{4}\\]\n\n**Wynik zgodny: oś symetrii to \\(x = -\\dfrac{5}{4}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nTo bezpośredni wzór użyty w Sposobie 1.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a (Sposób 2):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nStąd \\(p = \\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -\\dfrac{b}{2a}\\) - spójność obu metod jest nieprzypadkowa!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Zapomniano o znaku minus: policzono \\(\\frac{b}{2a} = \\frac{5}{4}\\) zamiast \\(-\\frac{b}{2a} = -\\frac{5}{4}\\) |\n| C | Prawidłowa wartość \\(-\\frac{5}{4}\\), ale **oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = \\ldots\\)**, nie pozioma \\(y = \\ldots\\) |\n| D | To jest współrzędna \\(y\\) wierzchołka (wartość \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\)), nie oś symetrii - pomylono wierzchołek z osią |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to zawsze prosta **pionowa**, czyli równanie postaci \\(x = \\ldots\\), nie \\(y = \\ldots\\). Odpowiedzi C i D to typowa pułapka dla uczniów, którzy mylą oś symetrii z wierzchołkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\) - minus jest nieodłączną częścią wzoru! Pominięcie tego znaku to najpopularniejszy błąd przy tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tej funkcji \\(c = 0\\), bo brak wyrazu wolnego. Nie oznacza to, że wzór nie działa - po prostu \\(f(0) = 0\\), co widać od razu (jedno z miejsc zerowych jest w początku układu).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzór na oś symetrii paraboli\nOsią symetrii paraboli \\(y = ax^{2}+bx+c\\) jest prosta \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\).\nDla \\(a = 2\\), \\(b = 5\\): \\(x = -\\dfrac{5}{2\\cdot 2} = -\\dfrac{5}{4}\\).\n\n### Sposób 2 - miejsca zerowe\n\\(2x^{2}+5x = x(2x+5) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = -\\dfrac{5}{2}\\). Oś symetrii przechodzi przez środek: \\(\\dfrac{0 + (-5/2)}{2} = -\\dfrac{5}{4}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** - brak znaku minus.\n- **C, D.** - oś symetrii paraboli to prosta pionowa \\(x = \\ldots\\), nie pozioma.\n\n**Trik:** \\(-\\dfrac{25}{16}\\) to \\(y\\)-owa współrzędna wierzchołka, nie oś.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 -5𝑥. Wykres funkcji 𝑔 jest\nA. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem osi 𝑂𝑥.\nB. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem osi 𝑂𝑦.\nC. symetryczny do wykresu funkcji 𝑓 względem początku układu współrzędnych.\nD. przesunięty względem wykresu funkcji 𝑓 o 10 jednostek w kierunku przeciwnym do\nzwrotu osi 𝑂𝑥.\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1 2 3 4\n7\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n5\n0\n𝑥\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n𝑦\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=2x^2+5x. [rysunek] Funkcja kwadratowa g jest określona wzorem g(x)=2x^2-5x. Wykres funkcji g jest A. symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Ox. B. symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy. C. symetryczny do wykresu funkcji f względem początku układu współrzędnych. D. przesunięty względem wykresu funkcji f o 10 jednostek w kierunku przeciwnym do zwrotu osi Ox.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.4) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(-𝑥).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nWykres funkcji \\(g\\) jest symetryczny do wykresu funkcji \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).\n\n> **Uwaga:** Treść zadania odwołuje się do wcześniej zdefiniowanej funkcji \\(f\\). Na podstawie poprawnej odpowiedzi B wynika, że \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\) (czyli różni się od \\(g\\) tylko znakiem przy \\(x\\)).\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(x \\to -x\\) (definicja symetrii względem osi \\(Oy\\))\n\n**Co wiemy:** Dwa wykresy są symetryczne względem osi \\(Oy\\), gdy dla każdego punktu \\((x, y)\\) należącego do jednego wykresu, punkt \\((-x, y)\\) należy do drugiego. Oznacza to, że:\n\\[g(x) = f(-x)\\]\n\n**Sprawdzamy:**\n\nPodstawiamy \\(-x\\) do \\(g\\):\n\\[g(-x) = 2(-x)^2 - 5(-x) = 2x^2 + 5x\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = 2x^2 + 5x\\]\n\n**Wniosek:** \\(f(x) = g(-x)\\), co dokładnie oznacza symetrię względem osi \\(Oy\\). **Odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Analiza wierzchołków obu parabol\n\nJeśli \\(f(x) = 2x^2 + 5x\\), to obie parabole mają tę samą wartość współczynnika \\(a = 2\\), więc są tak samo \"szerokie\" i otwierają się w górę.\n\n**Wierzchołek \\(g\\):**\n\\[p_g = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-5}{4} = \\frac{5}{4}\\]\n\nWierzchołek: \\(W_g = \\left(\\frac{5}{4},\\ g\\!\\left(\\frac{5}{4}\\right)\\right)\\)\n\n**Wierzchołek \\(f\\):**\n\\[p_f = -\\frac{5}{4}\\]\n\nWierzchołek: \\(W_f = \\left(-\\frac{5}{4},\\ f\\!\\left(-\\frac{5}{4}\\right)\\right)\\)\n\nWartości \\(y\\) w wierzchołkach są identyczne (bo \\(q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\), a \\(\\Delta\\) jest takie samo dla obu - znak \\(b\\) nie ma znaczenia przy obliczaniu \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)):\n\\[\\Delta_g = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 0 = 25, \\quad \\Delta_f = 5^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 0 = 25\\]\n\\[q_g = q_f = -\\frac{25}{8}\\]\n\n**Wierzchołki \\(W_g = \\left(\\frac{5}{4}, -\\frac{25}{8}\\right)\\) i \\(W_f = \\left(-\\frac{5}{4}, -\\frac{25}{8}\\right)\\)** leżą symetrycznie względem osi \\(Oy\\) (ta sama wysokość, przeciwne współrzędne \\(x\\)).\n\nTo potwierdza: wykresy są symetryczne względem \\(Oy\\). **Odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędne wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\qquad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia wierzchołków i porównania ich położenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Symetria względem \\(Ox\\) oznacza \\(g(x) = -f(x)\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 + 5x\\) - zmiana znaku **całej** funkcji, nie samego \\(x\\) |\n| C | Symetria względem początku układu to \\(g(x) = -f(-x)\\), czyli \\(f(x) = -2x^2 - 5x\\) - tu zmieniamy **oba** znaki jednocześnie |\n| D | Przesunięcie o 10 jednostek w lewo to \\(g(x) = f(x + 10)\\), co daje zupełnie inną parabolę - tu mamy **translację**, nie odbicie |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem \\(Oy\\) to zamiana \\(x \\to -x\\). Łatwo pomylić z symetrią względem \\(Ox\\) (zmiana \\(y \\to -y\\), czyli negacja całej funkcji). Zapamiętaj: **oś \\(Oy\\)** to pionowa oś, symetria \"odwraca\" poziomo → zamieniamy \\(x\\) na \\(-x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem początku układu to kombinacja obu: \\(x \\to -x\\) ORAZ \\(y \\to -y\\) jednocześnie. Jeśli tylko jeden z tych warunków jest spełniony - to nie jest symetria względem początku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie i odbicie to różne transformacje. Przesunięcie o 10 w lewo zmieniłoby wierzchołek z \\(\\frac{5}{4}\\) na \\(\\frac{5}{4} + 10 = \\frac{45}{4}\\) - zupełnie co innego niż tu mamy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - przekształcenia wykresów\nSymetria względem osi \\(Oy\\) to podstawienie \\(x\\to -x\\): \\(f(-x) = 2(-x)^{2} + 5(-x) = 2x^{2} - 5x = g(x)\\). ✓\n\n### Sposób 2 - sprawdzenie punktów\nPunkt \\((x_0, f(x_0))\\) przechodzi na \\((-x_0, f(x_0))\\) przy symetrii wzgl. \\(Oy\\). Dla \\(f\\): miejsca zerowe \\(0, -\\tfrac{5}{2}\\). Dla \\(g\\): miejsca zerowe \\(0, \\tfrac{5}{2}\\) - są lustrzanym odbiciem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** symetria wzgl. \\(Ox\\) dałaby \\(-f(x) = -2x^{2} - 5x\\).\n- **C.** symetria wzgl. \\((0,0)\\) dałaby \\(-f(-x) = -2x^{2} + 5x\\).\n- **D.** przesunięcie o 10 dałoby \\(f(x+10)\\ne g(x)\\).\n\n**Trik:** zamiana znaku przy \\(x\\) bez zmiany przy \\(x^{2}\\) = symetria osiowa względem \\(Oy\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nRównanie (𝑥2 -27)(𝑥2 + 16) = 0 ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie rzeczywiste.\nB. dwa rozwiązania rzeczywiste.\nC. trzy rozwiązania rzeczywiste.\nD. cztery rozwiązania rzeczywiste.\nRównanie (x^2-27)(x^2+16)=0 ma dokładnie A. jedno rozwiązanie rzeczywiste. B. dwa rozwiązania rzeczywiste. C. trzy rozwiązania rzeczywiste. D. cztery rozwiązania rzeczywiste.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.6) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiazywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nRównanie \\((x^2 - 27)(x^2 + 16) = 0\\) ma **dwa rozwiązania rzeczywiste**.\n\n## Sposób 1 - Iloczyn równy zero (osobne równania)\n\nIloczyn dwóch czynników równa się zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem:\n\n\\[(x^2 - 27)(x^2 + 16) = 0\\]\n\n\\[x^2 - 27 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 + 16 = 0\\]\n\n**Czynnik pierwszy:**\n\\[x^2 - 27 = 0\\]\n\\[x^2 = 27\\]\n\\[x = \\pm\\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\]\n\nDwa rozwiązania rzeczywiste: \\(x_1 = -3\\sqrt{3}\\), \\(x_2 = 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Czynnik drugi:**\n\\[x^2 + 16 = 0\\]\n\\[x^2 = -16\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\). Równanie \\(x^2 = -16\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n**Wniosek:** całe równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**.\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(t = x^2\\)\n\nWprowadzamy podstawienie \\(t = x^2\\), gdzie \\(t \\geq 0\\):\n\n\\[(t - 27)(t + 16) = 0\\]\n\n\\[t = 27 \\quad \\text{lub} \\quad t = -16\\]\n\nTeraz wracamy do zmiennej \\(x\\):\n\n- \\(t = 27 \\geq 0\\) → \\(x^2 = 27\\) → \\(x = \\pm\\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\) - **dwa rozwiązania**\n- \\(t = -16 < 0\\) → \\(x^2 = -16\\) - **brak rozwiązań** (bo \\(x^2 \\geq 0\\) zawsze)\n\nŁącznie: **2 rozwiązania rzeczywiste**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności równań i fakt, że kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.\n\nPomocniczo korzystamy ze wzoru na pierwiastek kwadratowy (**Dział 2, s. 4-5**):\n\\[\\sqrt{27} = \\sqrt{9 \\cdot 3} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń bierze tylko jedno z dwóch rozwiązań czynnika pierwszego (np. tylko \\(x = 3\\sqrt{3}\\), zapominając o \\(x = -3\\sqrt{3}\\)) |\n| C | Uczeń liczy \"rozwiązania\" czynnika drugiego błędnie: np. \\(x^2 = -16\\) → \\(x = \\pm 4i\\) i zalicza liczby zespolone jako rzeczywiste |\n| D | Uczeń przyjmuje, że oba czynniki dają po dwa rozwiązania (\\(2 + 2 = 4\\)), nie sprawdzając, czy \\(x^2 = -16\\) ma sens w liczbach rzeczywistych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 = -16\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**! Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny. To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x^2 = 27\\) daje **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{27}\\) **i** \\(x = -\\sqrt{27}\\). Nie pomiń rozwiązania ujemnego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{27}\\) warto upraszczać: \\(\\sqrt{27} = \\sqrt{9 \\cdot 3} = 3\\sqrt{3}\\). Na egzaminie uproszczona postać wygląda lepiej i ułatwia weryfikację.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - własność iloczynu\nIloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.\n- \\(x^{2} - 27 = 0 \\Rightarrow x^{2} = 27 \\Rightarrow x = \\pm \\sqrt{27} = \\pm 3\\sqrt{3}\\) (2 rozwiązania).\n- \\(x^{2} + 16 = 0 \\Rightarrow x^{2} = -16\\) - brak rozwiązań rzeczywistych (kwadrat nieujemny).\nRazem: 2 rozwiązania rzeczywiste.\n\n### Sposób 2 - rozpatrzenie dziedziny\n\\(x^{2} + 16 \\geq 16 > 0\\) dla każdej liczby rzeczywistej, więc ten czynnik nie daje rozwiązań. Pozostaje \\(x^{2} = 27\\), które ma 2 pierwiastki.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** zapomniano o \\(\\pm\\).\n- **C, D.** policzono rozwiązania z \\(x^{2}+16=0\\) - nie istnieją w \\(\\mathbb{R}\\).\n\n**Trik:** suma kwadratu i liczby dodatniej NIGDY nie jest zerem w \\(\\mathbb{R}\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 4\n𝑥-4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠0.\nLiczba 𝑓(2) -𝑓(-2) jest równa\nA. (-8)\nB. (-4)\nC. 4\nD. 0\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 4/x - 4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠0. Liczba f(2)-f(-2) jest równa A. (-8) B. (-4) C. 4 D. 0","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawianie wartości do wzoru\n\nObliczamy \\(f(2)\\) i \\(f(-2)\\) osobno, krok po kroku.\n\n**Krok 1: Oblicz \\(f(2)\\)**\n\\[f(2) = \\frac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2\\]\n\n**Krok 2: Oblicz \\(f(-2)\\)**\n\\[f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = -6\\]\n\n**Krok 3: Oblicz różnicę**\n\\[f(2) - f(-2) = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(2) - f(-2) = 4\\)**\n\n## Sposób 2 - Ogólny wzór na różnicę\n\nObliczamy \\(f(2) - f(-2)\\) bezpośrednio jako jeden wyrażenie.\n\n\\[f(2) - f(-2) = \\left(\\frac{4}{2} - 4\\right) - \\left(\\frac{4}{-2} - 4\\right)\\]\n\nCzłony \\(-4\\) się znoszą:\n\n\\[= \\frac{4}{2} - 4 - \\frac{4}{-2} + 4 = \\frac{4}{2} - \\frac{4}{-2}\\]\n\n\\[= \\frac{4}{2} + \\frac{4}{2} = 2 + 2 = 4\\]\n\nZauważ, że człony stałe (\\(-4\\)) zawsze się redukują przy liczeniu \\(f(a) - f(-a)\\) - to ogólna zasada dla różnicy z symetrycznym argumentem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawianie wartości pod wzór funkcji i wykonanie prostych działań arytmetycznych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-8\\) | Obliczono \\(f(2) + f(-2) = -2 + (-6) = -8\\) zamiast różnicy - zamieniono odejmowanie na dodawanie |\n| B. \\(-4\\) | Pomylono kolejność: obliczono \\(f(-2) - f(2) = -6 - (-2) = -4\\) zamiast \\(f(2) - f(-2)\\) |\n| D. \\(0\\) | Błędne założenie, że funkcja jest parzysta lub nieparzysta; albo pomylono \\(f(2) - f(2) = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(f(-2) = \\frac{4}{-2} - 4\\) - uważaj na znak! \\(\\frac{4}{-2} = -2\\), a nie \\(+2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odejmowanie liczb ujemnych: \\(-2 - (-6) = -2 + 6 = 4\\). Zmiana znaku przy nawiasie z minusem to klasyczna pułapka - dwa minusy dają plus!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź kolejność odejmowania - zadanie pyta o \\(f(2) - f(-2)\\), nie \\(f(-2) - f(2)\\). Te dwie wartości różnią się znakiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie\n\\(f(2) = \\dfrac{4}{2} - 4 = 2 - 4 = -2\\).\n\\(f(-2) = \\dfrac{4}{-2} - 4 = -2 - 4 = -6\\).\n\\(f(2) - f(-2) = -2 - (-6) = 4\\).\n\n### Sposób 2 - uproszczenie algebraiczne\n\\(f(2) - f(-2) = \\left(\\dfrac{4}{2} - 4\\right) - \\left(\\dfrac{4}{-2} - 4\\right) = \\dfrac{4}{2} - \\dfrac{4}{-2} = 2 + 2 = 4\\).\n(Stała \\(-4\\) się skraca.)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - pomyłka znaku przy odejmowaniu.\n- **B. \\(-4\\)** - pomyłka przy liczeniu \\(f(-2)\\).\n- **D. \\(0\\)** - błędne założenie, że funkcja jest parzysta (nie jest).\n\n**Trik:** \\(\\tfrac{4}{x}\\) jest funkcją NIEPARZYSTĄ - różnica \\(f(a)-f(-a)\\) daje \\(2\\cdot \\tfrac{4}{a}\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nPunkt 𝑀= (3, -2) należy do wykresu funkcji liniowej 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = 5𝑥+ 𝑏-4. Wynika stąd, że 𝑏 jest równe\nA. (-17)\nB. (-13)\nC. 13\nD. 17\nPunkt M = (3,-2) należy do wykresu funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = 5x+b-4. Wynika stąd, że b jest równe A. (-17) B. (-13) C. 13 D. 17","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(b = -13\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\nJeśli punkt \\(M = (3, -2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f\\), to po podstawieniu \\(x = 3\\) musimy dostać \\(f(3) = -2\\).\n\n**Podstawiamy:**\n\\[f(3) = 5 \\cdot 3 + b - 4 = -2\\]\n\n**Obliczamy lewą stronę:**\n\\[15 + b - 4 = -2\\]\n\\[11 + b = -2\\]\n\n**Wyznaczamy \\(b\\):**\n\\[b = -2 - 11 = \\mathbf{-13}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(b = -13\\) punkt \\(M = (3, -2)\\) rzeczywiście leży na wykresie.\n\nWzór funkcji z \\(b = -13\\):\n\\[f(x) = 5x + (-13) - 4 = 5x - 17\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 3\\):\n\\[f(3) = 5 \\cdot 3 - 17 = 15 - 17 = -2\\]\n\nOtrzymujemy \\(f(3) = -2\\), co zgadza się z rzędną punktu \\(M\\). **Wynik potwierdzony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji oraz podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-17\\) | Uczeń oblicza \\(f(3) = 5 \\cdot 3 - 4 = 11\\), po czym myli kierunek i ustawia \\(b = -2 - 15 = -17\\), zapominając odejmować stałą \\(-4\\) poprawnie |\n| C. \\(13\\) | Uczeń dostaje \\(b = -13\\), ale gubi znak minusa - błąd przy przenoszeniu na drugą stronę równania |\n| D. \\(17\\) | Podwójny błąd: zgubienie stałej \\(-4\\) **oraz** zgubienie znaku minusa, co daje \\(b = 2 - (-15) = 17\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\((x, y)\\) należy do wykresu, gdy \\(f(x) = y\\) - czyli podstawiamy **oba**: \\(x = 3\\) **i** \\(f(3) = -2\\). Częsty błąd to wstawienie tylko \\(x\\), a zapomnienie o przyrównaniu do \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(f(x) = 5x + b - 4\\) stała wyrazowa to \\(b - 4\\), nie samo \\(b\\). Uczniowie często wyznaczają \\(b\\) tak, jakby wzór wyglądał \\(5x + b\\), co daje wynik o \\(4\\) za duży lub za mały.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przenosząc \\(11\\) na prawą stronę (\\(11 + b = -2\\)), pamiętaj, że \\(b = -2 - 11 = -13\\), nie \\(b = -2 + 11 = 9\\). Błąd znaku przy przenoszeniu to klasyczna pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - podstawienie punktu\nPunkt \\((3,-2)\\) należy do wykresu, więc \\(f(3) = -2\\):\n\\[5\\cdot 3 + b - 4 = -2\\]\n\\[15 + b - 4 = -2\\]\n\\[11 + b = -2\\]\n\\[b = -13.\\]\n\n### Sposób 2 - przekształcenie wzoru\nOznaczmy \\(c = b - 4\\) (wyraz wolny). Z \\(f(3) = 15 + c = -2\\) mamy \\(c = -17\\), czyli \\(b - 4 = -17\\), skąd \\(b = -13\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-17\\)** - nie odjęto \\(-4\\) (to wartość \\(c = b-4\\)).\n- **C. \\(13\\)**, **D. \\(17\\)** - zły znak.\n\n**Trik:** podstaw \\(x\\) i \\(y\\) z punktu do wzoru i rozwiąż równanie ze zmienną \\(b\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-1)2 + 3 jest rosnąca\nw przedziale\nA. (-∞, 1⟩\nB. ⟨-2, +∞)\nC. (-∞, 3⟩\nD. ⟨1, +∞)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-1)^2+3 jest rosnąca w przedziale A. (-∞,1> B. <-2,+∞) C. (-∞,3> D. <1,+∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.10) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji\nkwadratowej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-\\infty, 1\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z postaci kanonicznej\n\nFunkcja jest dana w **postaci kanonicznej**:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPorównując z \\(f(x) = -2(x-1)^2 + 3\\), odczytujemy od razu:\n- \\(a = -2 < 0\\) - parabola skierowana **ramionami w dół**\n- \\(p = 1\\) - wierzchołek w \\(x = 1\\)\n- \\(q = 3\\) - wierzchołek w \\(y = 3\\), czyli \\(W = (1, 3)\\)\n\nDla funkcji kwadratowej z \\(a < 0\\):\n- funkcja **rośnie** na \\((-\\infty, p\\rangle\\) - po lewej stronie wierzchołka\n- funkcja **maleje** na \\(\\langle p, +\\infty)\\) - po prawej stronie wierzchołka\n\nZatem \\(f\\) jest rosnąca w przedziale:\n\\[\\boxed{(-\\infty, 1\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Pochodna funkcji\n\nObliczamy pochodną, by sprawdzić znak:\n\\[f(x) = -2(x-1)^2 + 3 = -2x^2 + 4x + 1\\]\n\\[f'(x) = -4x + 4 = -4(x - 1)\\]\n\nFunkcja rośnie tam, gdzie \\(f'(x) > 0\\):\n\\[-4(x-1) > 0\\]\n\\[x - 1 < 0 \\quad \\text{(dzielimy przez } {-4}\\text{, odwracamy nierówność!)}\\]\n\\[x < 1\\]\n\nUwzględniając punkt wierzchołkowy \\(x = 1\\) (gdzie \\(f'(1) = 0\\), ale funkcja jeszcze nie maleje):\n\nFunkcja rośnie na \\((-\\infty, 1\\rangle\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nNa egzaminie karta mówi wprost, że wierzchołek to \\((p, q)\\) - wystarczy porównać wzory i odczytać \\(p = 1\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - użyte w Sposobie 2:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}, \\quad [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń myli wartość \\(a = -2\\) z granicą przedziału i pisze \\(\\langle -2, +\\infty)\\) |\n| C | Uczeń wstawia \\(q = 3\\) (wartość wierzchołka) zamiast \\(p = 1\\) (argument wierzchołka) |\n| D | Uczeń pomija, że \\(a < 0\\), i zakłada że parabola rośnie po **prawej** stronie wierzchołka jak przy \\(a > 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a < 0\\), parabola jest \"odwrócona\" - rośnie PO LEWEJ, maleje PO PRAWEJ. Przy \\(a > 0\\) jest odwrotnie. Sprawdź znak \\(a\\) zanim odpiszesz przedział!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(p\\) (argument wierzchołka, tutaj \\(p = 1\\)) z \\(q\\) (wartość wierzchołka, tutaj \\(q = 3\\)). Przedział monotoniczności zależy od \\(p\\), nie od \\(q\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział wzrostu to \\((-\\infty, 1\\rangle\\) z nawiasem domkniętym przy 1 - wierzchołek należy do obu przedziałów monotoniczności.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - postać kanoniczna\nDla \\(f(x) = a(x-p)^{2} + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\).\nTu \\(a = -2 < 0\\) (ramiona w dół), wierzchołek: \\((1, 3)\\).\nParabola \"z ramionami w dół\" jest rosnąca na lewo od wierzchołka: \\((-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - analiza zachowania\nWyobraź sobie parabolę skierowaną ramionami w dół, przechodzącą przez maksimum w \\(x = 1\\). Idąc od minus nieskończoności do \\(x = 1\\), funkcja rośnie; potem maleje.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** \\(-2\\) bez uzasadnienia.\n- **C.** \\(3\\) to wartość maksymalna, nie argument.\n- **D.** to przedział MALENIA dla paraboli z ramionami w dół.\n\n**Trik:** współczynnik \\(a\\) ujemny + postać kanoniczna - monotoniczność \"odwraca się\" w wierzchołku.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nNa rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥).\nW przedziale (-4, 6) równanie 𝑓(𝑥) = -1\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania.\nNa rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji y=f(x). [rysunek] W przedziale (-4,6) równanie f(x)=-1 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma dokładnie trzy rozwiązania.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG8.3) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nargumenty dla danej wartości funkcji […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nRównanie \\(f(x) = -1\\) ma **dokładnie dwa rozwiązania** w przedziale \\((-4, 6)\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu (metoda poziomej prostej)\n\nSzukamy rozwiązań równania \\(f(x) = -1\\), czyli punktów, w których wykres funkcji \\(y = f(x)\\) przecina poziomą prostą \\(y = -1\\).\n\n**Krok 1: Narysuj (wyobraź sobie) poziomą prostą \\(y = -1\\).**\n\nTo linia biegnąca poziomo na wysokości \\(y = -1\\), poniżej osi \\(OX\\).\n\n**Krok 2: Prześlej przebieg wykresu w przedziale \\((-4, 6)\\).**\n\nNa podstawie wykresu:\n- Dla \\(x\\) bliskiego \\(-4\\): \\(f(x) \\approx 3{-}4\\) - wartość **dodatnia**, daleko powyżej \\(-1\\)\n- Funkcja rośnie do **lokalnego maksimum** \\(\\approx 5\\) w okolicach \\(x = 0\\)\n- Następnie maleje, przekraczając poziom \\(y = -1\\) w dół - **pierwsze przecięcie** (gdzieś ok. \\(x = 3{-}4\\))\n- Funkcja schodzi poniżej \\(-1\\), osiąga minimum\n- Potem rośnie z powrotem, przekraczając \\(y = -1\\) w górę - **drugie przecięcie** (gdzieś ok. \\(x = 5\\))\n- Dalej rośnie ku \\(x = 6\\), będąc już powyżej \\(-1\\)\n\n**Krok 3: Policz przecięcia.**\n\nProsta \\(y = -1\\) przecina wykres dokładnie **2 razy** w przedziale otwartym \\((-4, 6)\\).\n\n\\[\\Rightarrow \\text{Równanie } f(x) = -1 \\text{ ma } \\mathbf{2} \\text{ rozwiązania.}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez analizę monotoniczności\n\nSprawdzamy, czy przebiegi funkcji są zgodne z liczbą przecięć.\n\n**Obserwacja z wykresu:**\n\n| Przedział | Zachowanie \\(f\\) | Czy \\(f\\) osiąga \\(-1\\)? |\n| \\((-4,\\ \\sim 0)\\) | rośnie od \\(\\approx 3\\) do max \\(\\approx 5\\) | NIE - cały czas \\(f > -1\\) |\n| \\((\\sim 0,\\ \\sim x_{\\min})\\) | maleje od \\(5\\) do minimum \\(< -1\\) | **TAK** - jedno przecięcie ↓ |\n| \\((\\sim x_{\\min},\\ 6)\\) | rośnie z minimum \\(< -1\\) ku wartościom \\(> -1\\) | **TAK** - jedno przecięcie ↑ |\n\nŁącznie: funkcja przebija poziom \\(y = -1\\) **raz w dół** i **raz w górę** - dwa rozwiązania. Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt z wykresu i rozumienie, że rozwiązania \\(f(x) = c\\) to miejsca przecięcia wykresu z poziomą prostą \\(y = c\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Uczeń patrzy tylko na część wykresu (np. lewy fragment, gdzie \\(f > 0\\)) i nie dostrzega, że funkcja schodzi poniżej \\(-1\\) po prawej stronie |\n| **B** | Uczeń liczy tylko jedno z dwóch przecięć - np. tylko to, gdy funkcja opada przez \\(-1\\), i zapomina o powrocie (wzroście z powrotem przez \\(-1\\)) |\n| **D** | Uczeń błędnie odczytuje wykres i myśli, że funkcja jeszcze raz przecina \\(y = -1\\) na lewym ramieniu wykresu - ale tam \\(f(x) \\geq 3 > -1\\), więc nie ma tam przecięcia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy punkt przecięcia leży **wewnątrz** podanego przedziału - tu przedział jest **otwarty** \\((-4, 6)\\), czyli końce \\(x = -4\\) i \\(x = 6\\) nie wchodzą w grę. Jeśli wykres akurat dotykałby \\(y = -1\\) na końcu przedziału, to tego punktu **nie liczymy**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(y = -1\\) to linia **poniżej osi \\(OX\\)**. Uczniowie często mylnie rysują ją na poziomie \\(y = 1\\) (powyżej osi), co daje zupełnie inny wynik odczytu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy funkcja **dotyka** prostej \\(y = -1\\) (styczna - minimum), to liczymy to jako **jedno** rozwiązanie (a nie dwa). Sprawdzaj, czy wykres przebija poziomą prostą, czy tylko jej dotyka.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - odczyt z wykresu\nProsta pozioma \\(y = -1\\) przecina wykres \\(y = f(x)\\) w dwóch punktach wewnątrz przedziału \\((-4, 6)\\): raz na lewej \"dolinie\" wykresu (okolice \\(x\\approx -4\\), ale wewnątrz), raz na prostej opadającej (okolice \\(x \\approx 5\\)).\n\n### Sposób 2 - metoda pozioma\nAby znaleźć liczbę rozwiązań \\(f(x) = c\\), rysujemy prostą \\(y = c\\) i liczymy punkty przecięcia z wykresem. Tutaj: 2 przecięcia.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** prosta \\(y = -1\\) wyraźnie przecina wykres.\n- **B.** byłoby tak, gdyby wykres miał jedno minimum powyżej \\(-1\\), a tu jest niżej.\n- **D.** w przedziale otwartym nie ma trzeciego przecięcia.\n\n**Trik:** w przedziale OTWARTYM (np. \\((-4, 6)\\)) punkty na końcach NIE są liczone.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2\n2𝑛2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Piąty\nwyraz tego ciągu jest równy\nA. (-1\n10)\nB.\n3\n50\nC.\n3\n100\nD. (-1\n5)\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n-2/2n^2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Piąty wyraz tego ciągu jest równy A. (-1/10) B. 3/50 C. 3/100 D. (-1/5)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{3}{50}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 5\\) do wzoru ogólnego\n\nMamy wzór ogólny ciągu:\n\\[a_n = \\frac{n-2}{2n^2}\\]\n\nSzukamy piątego wyrazu, czyli podstawiamy \\(n = 5\\):\n\n\\[a_5 = \\frac{5 - 2}{2 \\cdot 5^2}\\]\n\nLiczymy licznik i mianownik osobno:\n\\[a_5 = \\frac{3}{2 \\cdot 25} = \\frac{3}{50}\\]\n\n**Wynik: \\(a_5 = \\dfrac{3}{50}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez uproszczenie ułamka\n\nSprawdzamy, czy \\(\\dfrac{3}{50}\\) można zapisać inaczej (by wykluczyć, że odpowiedzi B i C to to samo):\n\n\\[\\frac{3}{50} = \\frac{3}{50}\\]\n\nOdpowiedź C to \\(\\dfrac{3}{100}\\), czyli dokładnie **połowa** naszego wyniku - różne wartości, więc żadnego skrótu nie przegapiliśmy.\n\nMożemy też zweryfikować podstawienie krok po kroku:\n- \\(n = 5\\), więc \\(n - 2 = 3\\) ✓\n- \\(n^2 = 25\\), więc \\(2n^2 = 50\\) ✓\n- \\(\\dfrac{3}{50}\\) - ułamek jest już nieskracalny (3 i 50 nie mają wspólnych dzielników) ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(a_5 = \\dfrac{3}{50}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 5\\) do podanego wzoru ogólnego i wykonanie prostych działań arytmetycznych na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(-\\dfrac{1}{10}\\) | Policzono \\(a_2 = \\dfrac{2-2}{2 \\cdot 4} = 0\\)… nie, tu mógł pojawić się błąd znaku - uczeń zapomniał, że dla \\(n=5\\) licznik \\(5-2 = 3 > 0\\). Ewentualnie podstawiono \\(n=1\\): \\(\\dfrac{1-2}{2 \\cdot 1} = \\dfrac{-1}{2}\\), a potem zgubiono potęgę i podzielono tylko przez \\(2n\\) zamiast \\(2n^2\\), co dla \\(n=5\\) daje \\(\\dfrac{3}{10}\\), a ze złym znakiem \\(-\\dfrac{3}{10}\\); albo policzono \\(\\dfrac{1}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{1}{10}\\) z błędem znaku |\n| C: \\(\\dfrac{3}{100}\\) | Policzono \\(2n^2 = 2 \\cdot (2 \\cdot 5)^2 = 2 \\cdot 100 = 200\\)… lub popełniono błąd \\(2n^2 = (2n)^2 = 100\\) - czyli wzięto \\((2 \\cdot 5)^2 = 100\\) zamiast \\(2 \\cdot 5^2 = 50\\) |\n| D: \\(-\\dfrac{1}{5}\\) | Podstawiono \\(n = 5\\), ale obliczono licznik jako \\(n - 2 = -1\\) (błąd odejmowania: \\(5 - 2 = -1\\)?) lub pominięto potęgę: \\(\\dfrac{3}{2 \\cdot 5} = \\dfrac{3}{10}\\), a następnie zgubiono trójkę i wzięto \\(\\dfrac{-1}{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pomylenie \\(2n^2\\) z \\((2n)^2\\). Mianownik to \\(2 \\cdot n^2\\), a **nie** \\((2n)^2\\)! Dla \\(n = 5\\): \\(2 \\cdot 25 = 50\\), a nie \\(100\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź znak! Dla \\(n \\geq 3\\) licznik \\(n - 2 > 0\\), więc wyraz jest **dodatni**. Odpowiedzi A i D (ujemne) od razu powinny wzbudzić podejrzenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \"piątego wyrazu\" z \"wyrazem o indeksie 4\". Piąty wyraz to \\(a_5\\) - podstawiamy \\(n = 5\\), nie \\(n = 4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - podstawienie \\(n = 5\\)\n\\[a_{5} = \\dfrac{5-2}{2\\cdot 5^{2}} = \\dfrac{3}{2\\cdot 25} = \\dfrac{3}{50}.\\]\n\n### Sposób 2 - krok po kroku\nLicznik: \\(n-2 = 5-2 = 3\\).\nMianownik: \\(2n^{2} = 2\\cdot 25 = 50\\).\nStąd \\(a_{5} = \\dfrac{3}{50}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{1}{10}\\)** - podstawiono \\(n = 1\\) zamiast \\(5\\).\n- **C. \\(\\tfrac{3}{100}\\)** - mianownik \\(2n^{2}\\) pomylono z \\((2n)^{2} = 4n^{2}\\).\n- **D. \\(-\\tfrac{1}{5}\\)** - podstawiono \\(n = 0\\) lub zły znak.\n\n**Trik:** uważnie rozróżniaj \\(2n^{2}\\) od \\((2n)^{2}\\); nawias zmienia wynik.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny. Różnica tego\nciągu jest równa 2 oraz 𝑎8 = 48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy\nA. 2\nB. 24\nC. 3\nD. 40\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1 2 3 4\n7\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n5\n0\n𝑥\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n𝑦\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa 2 oraz a_8=48. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy A. 2 B. 24 C. 3 D. 40","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(a_4 = 40\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a_1\\) ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz\n\nKorzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nZnamy: różnicę \\(r = 2\\) oraz \\(a_8 = 48\\). Podstawiamy:\n\\[a_8 = a_1 + (8-1) \\cdot 2 = a_1 + 14 = 48\\]\n\nStąd:\n\\[a_1 = 48 - 14 = 34\\]\n\nTeraz liczymy \\(a_4\\):\n\\[a_4 = a_1 + (4-1) \\cdot r = 34 + 3 \\cdot 2 = 34 + 6 = \\mathbf{40}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a_4 = 40\\), czyli D.**\n\n## Sposób 2 - Cofanie się od \\(a_8\\)\n\nSkoro różnica ciągu wynosi \\(r = 2\\), to każdy wyraz jest o \\(2\\) większy od poprzedniego. Można więc cofać się od \\(a_8\\):\n\n\\[a_7 = a_8 - r = 48 - 2 = 46\\]\n\\[a_6 = 46 - 2 = 44\\]\n\\[a_5 = 44 - 2 = 42\\]\n\\[a_4 = 42 - 2 = \\mathbf{40}\\]\n\nZgadza się z Wynikiem 1.\n\nMożna też skorzystać ze wzoru bezpośrednio \"od tyłu\": od wyrazu \\(a_8\\) do \\(a_4\\) jest \\(8 - 4 = 4\\) kroków wstecz:\n\\[a_4 = a_8 - 4 \\cdot r = 48 - 4 \\cdot 2 = 48 - 8 = \\mathbf{40}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(a_1\\) z \\(a_8\\), a następnie do obliczenia \\(a_4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(2\\)) | Uczeń podał samą różnicę ciągu \\(r = 2\\), nie obliczając wyrazu |\n| B (\\(24\\)) | Uczeń podzielił \\(a_8 = 48\\) przez \\(2\\) (dzielenie przez różnicę zamiast użycia wzoru) |\n| C (\\(3\\)) | Uczeń wziął numer wyrazu \\(n = 4\\) minus \\(1 = 3\\) i podał to jako wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) zawiera \\((n-1)\\), nie \\(n\\). Dla \\(a_8\\) mnożnik to \\(7\\), nie \\(8\\) - to najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cofając się od \\(a_8\\) do \\(a_4\\), cofamy się o \\(4\\) kroki (bo \\(8 - 4 = 4\\)), nie o \\(3\\) - liczymy różnicę indeksów, nie sam indeks.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik - jeśli \\(a_4 = 40\\) i \\(r = 2\\), to \\(a_5 = 42\\), \\(a_6 = 44\\), \\(a_7 = 46\\), \\(a_8 = 48\\). Zgadza się!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\\(a_{n} = a_{k} + (n-k)\\cdot r\\). Dla \\(k = 8\\), \\(n = 4\\): \\(a_{4} = a_{8} + (4-8)\\cdot 2 = 48 - 8 = 40\\).\n\n### Sposób 2 - wyznaczenie \\(a_{1}\\) i podstawienie\n\\(a_{8} = a_{1} + 7r = a_{1} + 14 = 48 \\Rightarrow a_{1} = 34\\).\n\\(a_{4} = a_{1} + 3r = 34 + 6 = 40\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to różnica \\(r\\), nie wyraz.\n- **B. \\(24\\)** - \\(48/2\\), bez sensu matematycznego.\n- **C. \\(3\\)** - błędne obliczenie.\n\n**Trik:** cofając się o 4 wyrazy, odejmujemy \\(4r\\) - tu \\(4\\cdot 2 = 8\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i sin 𝛼= 2\n3 . Wtedy cos2(90° -𝛼) jest równy\nA. 1\n9\nB. 2\n9\nC. 4\n9\nD. 5\n9\nKąt α jest ostry i sinα = 2/3. Wtedy cos^2(90°-α) jest równy A. 1/9 B. 2/9 C. 4/9 D. 5/9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór redukcyjny + podstawienie\n\nKluczowe spostrzeżenie: wyrażenie \\(\\cos^2(90° - \\alpha)\\) można uprościć wzorem redukcyjnym.\n\n**Krok 1: Zastosuj wzór redukcyjny**\n\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nTo jeden z podstawowych wzorów redukcyjnych - cosinus dopełnienia kąta równa się sinusowi tego kąta.\n\n**Krok 2: Podstaw do wyrażenia**\n\n\\[\\cos^2(90° - \\alpha) = \\sin^2\\alpha\\]\n\n**Krok 3: Podstaw daną wartość**\n\nWiemy, że \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{3}\\), więc:\n\n\\[\\sin^2\\alpha = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Wynik: \\(\\cos^2(90° - \\alpha) = \\dfrac{4}{9}\\)**\n\n## Sposób 2 - przez wyznaczenie \\(\\cos\\alpha\\) i użycie jedynki trygonometrycznej\n\nZamiast od razu stosować wzór redukcyjny, możemy wyliczyć \\(\\cos\\alpha\\) wprost z jedynki trygonometrycznej, a potem skorzystać z faktu, że \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\). Ten sposób jest dłuższy, ale pokazuje, jak korzystać z jedynki.\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(\\cos\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej**\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\frac{4}{9} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{4}{9} = \\frac{5}{9}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\cos\\alpha > 0\\):\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\sqrt{5}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj wzór redukcyjny**\n\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 3: Podnieś do kwadratu**\n\n\\[\\cos^2(90° - \\alpha) = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1: \\(\\dfrac{4}{9}\\)**\n\nPrzy okazji widzimy, że \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{5}{9}\\) - to odpowiedź D, typowa pułapka!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy go w obu sposobach, żeby zamienić \\(\\cos(90° - \\alpha)\\) na \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\dfrac{1}{9}\\) | Uczeń liczy \\(\\cos^2(90°) \\cdot \\alpha\\) albo pomyla \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\) z \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{2}{3}\\), a potem bierze \\(\\frac{1}{3}\\) - albo po prostu odejmuje \\(\\frac{1}{9}\\) bez sensu |\n| B - \\(\\dfrac{2}{9}\\) | Uczeń bierze samą wartość \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{3}\\) i dzieli przez 3 zamiast podnosić do kwadratu - błąd rachunkowy |\n| D - \\(\\dfrac{5}{9}\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń poprawnie liczy \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{5}{9}\\) z jedynki trygonometrycznej, ale zapomina zastosować wzór redukcyjny i błędnie utożsamia \\(\\cos(90° - \\alpha)\\) z \\(\\cos\\alpha\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), NIE \\(\\cos\\alpha\\). Kąty \\(90° - \\alpha\\) i \\(\\alpha\\) to dopełnienie kąta prostego - ich sinus i cosinus są zamienione miejscami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\frac{5}{9}\\)) to wartość \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\cos^2(90° - \\alpha)\\). To klasyczna pułapka - zadanie pyta o cosinus dopełnienia, nie o cosinus samego kąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zastosowaniu wzoru redukcyjnego zadanie sprowadza się do trywialnego podniesienia \\(\\frac{2}{3}\\) do kwadratu. Jeśli wychodzi ci skomplikowane liczenie - prawdopodobnie pominąłeś wzór redukcyjny i idziesz trudniejszą drogą.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzór redukcyjny\n\\(\\cos(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin\\alpha\\). Zatem\n\\[\\cos^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin^{2}\\alpha = \\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^{2} = \\dfrac{4}{9}.\\]\n\n### Sposób 2 - jedynka trygonometryczna\nZ \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) i \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{2}{3}\\) mamy \\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\tfrac{4}{9} = \\tfrac{5}{9}\\). Ale szukamy \\(\\cos^{2}(90^{\\circ}-\\alpha) = \\sin^{2}\\alpha = \\tfrac{4}{9}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{9}\\)** - błąd rachunkowy.\n- **B. \\(\\tfrac{2}{9}\\)** - brak kwadratu.\n- **D. \\(\\tfrac{5}{9}\\)** - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos^{2}(90^{\\circ}-\\alpha)\\).\n\n**Trik:** \\(\\cos(90^{\\circ}-x) = \\sin x\\) - kąty dopełniające.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nNa trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 opisano okrąg o środku 𝑂. Miara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa 65°.\nMiara kąta 𝐴𝐶𝑂 jest równa\nA. 130°\nB. 25°\nC. 65°\nD. 50°\nNa trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa A. 130° B. 25° C. 65° D. 50°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(25°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy a kąt wpisany\n\n**Kluczowa obserwacja:** \\(O\\) jest środkiem okręgu opisanego, więc \\(OA = OC = R\\) (promienie). Trójkąt \\(OAC\\) jest **równoramienny**.\n\n**Krok 1 - Wyznacz kąt środkowy \\(\\angle AOC\\).**\n\nKąt \\(\\angle ABC = 65°\\) jest **kątem wpisanym**, opartym na łuku \\(AC\\) (łuk nieobejmujący \\(B\\)).\n\nKąt \\(\\angle AOC\\) jest **kątem środkowym** opartym na tym samym łuku \\(AC\\).\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym:\n\\[\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle ABC = 2 \\cdot 65° = 130°\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz kąt \\(\\angle ACO\\) z trójkąta \\(OAC\\).**\n\nTrójkąt \\(OAC\\) jest równoramienny (\\(OA = OC = R\\)), zatem kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle OAC = \\angle ACO\\]\n\nSuma kątów w trójkącie:\n\\[\\angle AOC + \\angle OAC + \\angle ACO = 180°\\]\n\\[130° + 2 \\cdot \\angle ACO = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle ACO = 50°\\]\n\\[\\boxed{\\angle ACO = 25°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez trójkąt \\(OAB\\) i \\(OBC\\) (bez kąta środkowego)\n\n**Cel:** Pokazać, że wynik to \\(25°\\) niezależnie od wartości kąta \\(\\angle ACB\\).\n\n**Krok 1 - Trójkąt \\(OAB\\) jest równoramienny** (\\(OA = OB = R\\)):\n\\[\\angle OBA = \\angle OAB\\]\n\nKąt środkowy nad łukiem \\(AB\\): \\(\\angle AOB = 2 \\cdot \\angle ACB\\), więc:\n\\[\\angle OBA = \\frac{180° - 2\\angle ACB}{2} = 90° - \\angle ACB\\]\n\n**Krok 2 - Kąt \\(\\angle OBC\\):**\n\\[\\angle OBC = \\angle ABC - \\angle OBA = 65° - (90° - \\angle ACB) = \\angle ACB - 25°\\]\n\n**Krok 3 - Trójkąt \\(OBC\\) jest równoramienny** (\\(OB = OC = R\\)):\n\\[\\angle OCB = \\angle OBC = \\angle ACB - 25°\\]\n\n**Krok 4 - Kąt \\(\\angle ACO\\):**\n\\[\\angle ACO = \\angle ACB - \\angle OCB = \\angle ACB - (\\angle ACB - 25°) = \\boxed{25°}\\]\n\nWynik nie zależy od wartości \\(\\angle ACB\\) - eleganckie!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle \\text{środkowy} = 2 \\cdot \\angle \\text{wpisany}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, aby wyznaczyć \\(\\angle AOC = 2 \\cdot \\angle ABC = 130°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((130°)\\) | Obliczono poprawnie kąt środkowy \\(\\angle AOC = 130°\\), ale **utożsamiono go z kątem \\(\\angle ACO\\)** - to jest wynik dla innego kąta. |\n| C \\((65°)\\) | Przepisano wprost dany kąt \\(\\angle ABC = 65°\\), zakładając błędnie, że kąt wpisany przenosi się na kąt \\(\\angle ACO\\). |\n| D \\((50°)\\) | Poprawnie obliczono \\(180° - 130° = 50°\\), ale **zapomniano podzielić przez 2** (w trójkącie równoramiennym OAC są **dwa** równe kąty przy podstawie). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(\\angle AOC = 130°\\) to **nie** szukany kąt - to kąt w wierzchołku \\(O\\), a nie przy \\(C\\). Nie pomyl tych dwóch!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany wynosi **połowę** kąta środkowego - łatwo pomylić kierunek: \\(\\angle ABC = \\frac{1}{2}\\angle AOC\\), a nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(OAC\\) jest równoramienny bo \\(OA = OC = R\\) (oba to promienie). To kluczowa własność środka okręgu opisanego - każde dwa wierzchołki trójkąta są tak samo odległe od \\(O\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - kąt środkowy i wpisany\nKąt środkowy \\(AOC\\) = \\(2\\cdot \\angle ABC = 130^{\\circ}\\) (bo są oparte na tym samym łuku \\(AC\\)).\nW trójkącie \\(AOC\\): \\(|OA| = |OC| = R\\) (promienie), więc jest on równoramienny. Zatem \\(\\angle OAC = \\angle OCA\\) i\n\\[2\\angle OCA + 130^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow \\angle OCA = 25^{\\circ}.\\]\nMiara kąta \\(ACO = 25^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - bezpośrednia zależność\nW trójkącie \\(OCA\\) kąty przy podstawie \\(AC\\) są równe \\(\\tfrac{180^{\\circ} - 2\\cdot 65^{\\circ}}{2} = \\tfrac{50^{\\circ}}{2} = 25^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(130^{\\circ}\\)** - to kąt środkowy.\n- **C. \\(65^{\\circ}\\)** - kąt wpisany w innym wierzchołku.\n- **D. \\(50^{\\circ}\\)** - niedokończone dzielenie przez 2.\n\n**Trik:** zawsze rozpoznaj trójkąt równoramienny z dwoma promieniami jako ramionami.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest prostokątny. Odcinek 𝐴𝐷 jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną\nz wierzchołka 𝐴 na przeciwprostokątną 𝐵𝐶. Wtedy\nA. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|\n|𝐴𝐶|\nB. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|\n|𝐴𝐷|\nC. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵|\nD. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|\n|𝐵𝐷|","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}\\]\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (kąty)\n\n**Ustawiamy scenę:** Trójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(A\\) (bo \\(BC\\) to przeciwprostokątna). \\(AD\\) to wysokość z \\(A\\) na \\(BC\\), gdzie \\(D \\in BC\\).\n\nOznaczmy kąty: \\(\\angle ABC = \\beta\\), \\(\\angle ACB = \\gamma\\), przy czym \\(\\beta + \\gamma = 90°\\).\n\n**W trójkącie \\(ABD\\):**\n- \\(\\angle ADB = 90°\\) (wysokość)\n- \\(\\angle ABD = \\beta\\)\n- stąd \\(\\angle DAB = 90° - \\beta = \\gamma\\)\n\n**W trójkącie \\(CAD\\):**\n- \\(\\angle ADC = 90°\\)\n- \\(\\angle ACD = \\gamma\\)\n- stąd \\(\\angle DAC = 90° - \\gamma = \\beta\\)\n\nPorównując kąty:\n\n| Trójkąt \\(ABD\\) | Trójkąt \\(CAD\\) |\n| \\(\\angle ADB = 90°\\) | \\(\\angle CDA = 90°\\) |\n| \\(\\angle ABD = \\beta\\) | \\(\\angle DAC = \\beta\\) |\n| \\(\\angle DAB = \\gamma\\) | \\(\\angle ACD = \\gamma\\) |\n\nZatem \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\) (kąt-kąt-kąt).\n\n**Z podobieństwa wypisujemy proporcje boków** (odpowiadające boki: \\(AB \\leftrightarrow CA\\), \\(AD \\leftrightarrow CD\\)):\n\n\\[\\frac{|AD|}{|CD|} = \\frac{|AB|}{|CA|}\\]\n\nPrzestawiamy (zamieniamy miejscami człony):\n\n\\[\\boxed{\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{|CD|}{|AC|}}\\]\n\nTo właśnie odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja współrzędnościowa\n\nPrzyjmijmy konkretne wartości: \\(|BD| = 3\\), \\(|CD| = 4\\). Umieszczamy \\(D\\) w początku układu.\n\nZ własności wysokości w trójkącie prostokątnym: \\(|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD| = 3 \\cdot 4 = 12\\), więc \\(|AD| = 2\\sqrt{3}\\).\n\nWyliczamy:\n\\[|AB| = \\sqrt{|BD|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{9 + 12} = \\sqrt{21}\\]\n\\[|AC| = \\sqrt{|CD|^2 + |AD|^2} = \\sqrt{16 + 12} = \\sqrt{28} = 2\\sqrt{7}\\]\n\n**Sprawdzamy odpowiedź A:**\n\\[\\frac{|AD|}{|AB|} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{21}} = \\frac{2\\sqrt{3}}{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}}\\]\n\\[\\frac{|CD|}{|AC|} = \\frac{4}{2\\sqrt{7}} = \\frac{2}{\\sqrt{7}} \\checkmark\\]\n\nObie strony są równe - odpowiedź A potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - twierdzenie o podobieństwie trójkątów (AA):\n\nJeżeli dwa trójkąty mają dwa pary kątów równych, to są podobne, a ich odpowiadające boki pozostają w tej samej proporcji.\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do wykazania \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\).\n\nW Sposobie 2 skorzystaliśmy z własności wysokości w trójkącie prostokątnym:\n\\[|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD|\\]\n(wynika ze wspomnianego podobieństwa - jest na karcie w dziale Planimetria jako konsekwencja podobieństwa trójkątów)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Pozorny sens | Błąd |\n| **B** | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|CD|}{|AD|}\\) | Oznacza \\(|AD|^2 = |AB| \\cdot |CD|\\). Prawdziwy wzór to \\(|AD|^2 = |BD| \\cdot |CD|\\) - mylenie \\(|AB|\\) z \\(|BD|\\) |\n| **C** | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|AC|}{|AB|}\\) | Skraca się do \\(|AD| = |AC|\\), co oznaczałoby, że wysokość = ramię - możliwe tylko w szczególnym przypadku |\n| **D** | \\(\\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|BC|}{|BD|}\\) | Miesza twierdzenie o rzutach (\\(|AB|^2 = |BD| \\cdot |BC|\\)) z proporcją z podobieństwa; prawa strona \\(\\dfrac{|BC|}{|BD|}\\) jest odwrotnością \\(\\dfrac{|BD|}{|BC|} = \\dfrac{|AB|^2}{|BC|^2}\\) - nie pasuje do lewej strony |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na kolejność wierzchołków w zapisie podobieństwa. \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\) oznacza konkretne przyporządkowanie: \\(A \\leftrightarrow C\\), \\(B \\leftrightarrow A\\), \\(D \\leftrightarrow D\\). Pomylenie kolejności daje błędne proporcje!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W prawej części odpowiedzi A jest \\(|CD|\\) (odcinek od \\(C\\) do \\(D\\)), a NIE \\(|BD|\\). Uczniowie często wstawiają \\(|BD|\\) przez nieuwagę - to prowadzi do fałszywej proporcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wzorów podobieństwa z twierdzeniem o rzutach: \\(|AB|^2 = |BD| \\cdot |BC|\\) i \\(|AC|^2 = |CD| \\cdot |BC|\\) są prawdziwe, ale to inne proporcje niż szukana!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(ABD\\), \\(CAD\\) i \\(CBA\\) są podobne (wysokość w trójkącie prostokątnym). Z podobieństwa \\(\\triangle ABD \\sim \\triangle CAD\\):\n\\[\\dfrac{|AD|}{|CD|} = \\dfrac{|AB|}{|AC|}\\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{|AB|} = \\dfrac{|CD|}{|AC|}.\\] ✓\n\n### Sposób 2 - funkcje trygonometryczne\nOznacz \\(\\angle ABC = \\beta\\). W \\(\\triangle ABD\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|AD|}{|AB|}\\). W \\(\\triangle ABC\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|AC|}{|BC|}\\); dla kąta przy \\(C\\): \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{|AB|}{|BC|}\\). Z \\(\\triangle ACD\\): \\(\\sin\\beta = \\dfrac{|CD|}{|AC|}\\) (bo \\(\\angle ACD = \\angle ABC = \\beta\\)). Stąd odpowiedź A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D.** - nie wynikają z poprawnego podobieństwa odpowiednich trójkątów.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym z wysokością na przeciwprostokątną powstają TRZY trójkąty podobne; wybierając dwa, otrzymasz różne proporcje - zapamiętaj kierunek.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe\nA. 25√3\n2\nB. 5√3\n2\nC. 25\n2\nD. 25√3\n4\nPole rombu o obwodzie 20 i kącie rozwartym 120° jest równe A. 25√3/2 B. 5√3/2 C. 25/2 D. 5√3/4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych\nobliczeniach geometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole rombu przez kąt\n\n**Wyznaczamy bok rombu** z obwodu:\n\\[4a = 20 \\implies a = 5\\]\n\nKąt rozwarty rombu wynosi \\(120°\\). Pole rombu obliczamy ze wzoru:\n\\[P = a^2 \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(\\alpha\\) to dowolny kąt rombu (wynik jest taki sam dla \\(120°\\) i dla \\(60°\\), bo \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)).\n\nPodstawiamy:\n\\[P = 5^2 \\cdot \\sin 120° = 25 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez przekątne rombu\n\nPrzekątne rombu bisekują kąty i przecinają się prostopadle. Szukamy długości przekątnych.\n\nKąty rombu to \\(120°\\) i \\(60°\\). Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów tworzonych przez przekątne:\n\n**Przekątna \\(d_1\\)** (łączy wierzchołki z kątem \\(120°\\)):\n\\[d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\\cos 120° = 2 \\cdot 25 \\cdot \\left(1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)\\right) = 50 \\cdot \\frac{3}{2} = 75\\]\n\\[d_1 = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**Przekątna \\(d_2\\)** (łączy wierzchołki z kątem \\(60°\\)):\n\\[d_2^2 = 2 \\cdot 25 \\cdot \\left(1 - \\frac{1}{2}\\right) = 25\\]\n\\[d_2 = 5\\]\n\nPole rombu ze wzoru na przekątne:\n\\[P = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{5\\sqrt{3} \\cdot 5}{2} = \\boxed{\\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}}\\]\n\nWyniki obydwu sposobów zgodne. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu:\n\\[P = a^2 \\sin\\alpha\\]\noraz\n\\[P = \\frac{1}{2} |AC| \\cdot |BD|\\]\nUżyliśmy obu tych wzorów - w Sposobie 1 bezpośrednio, w Sposobie 2 po wyznaczeniu przekątnych.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość:\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n(wzór redukcyjny \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\))\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów (Sposób 2):\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\) | Policzono \\(a \\cdot \\sin 120°\\) zamiast \\(a^2 \\cdot \\sin 120°\\) - zapomniano podnieść bok do kwadratu |\n| **C** \\(\\dfrac{25}{2}\\) | W Sposobie 2 użyto \\(d_1 = 5\\) (zamiast \\(5\\sqrt{3}\\)) - zgubiono \\(\\sqrt{3}\\) w przekątnej łączącej wierzchołki rozwarste |\n| **D** \\(\\dfrac{25\\sqrt{3}}{4}\\) | Użyto wzoru na pole **trójkąta** \\(\\frac{1}{2}a^2\\sin\\alpha\\) zamiast wzoru na romb \\(a^2\\sin\\alpha\\) - pomylono romb z trójkątem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole rombu to \\(P = a^2\\sin\\alpha\\), **nie** \\(\\frac{1}{2}a^2\\sin\\alpha\\). Romb to czworokąt, nie trójkąt!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - nie obliczaj sin z kąta rozwartego z pamięci, użyj wzoru redukcyjnego z karty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód rombu to \\(4a\\), więc bok to \\(a = \\frac{20}{4} = 5\\), a nie \\(\\frac{20}{2} = 10\\). Pomylenie obwodu rombu z prostokątem to częsty błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - pole rombu \\(P = a^{2}\\sin\\alpha\\)\nBok rombu: \\(a = 20/4 = 5\\). Kąt \\(120^{\\circ}\\): \\(\\sin 120^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[P = 5^{2}\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{25\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - przez kąt ostry\nKąt \\(60^{\\circ}\\) (sąsiedni do \\(120^{\\circ}\\)) daje \\(\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) - to samo.\nLub: wysokość \\(h = a\\sin 60^{\\circ} = \\tfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\). \\(P = a\\cdot h = 5\\cdot \\tfrac{5\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{25\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{5\\sqrt{3}}{2}\\)** - to wysokość, nie pole.\n- **C. \\(\\tfrac{25}{2}\\)** - zapomniano o \\(\\sqrt{3}\\).\n- **D. \\(\\tfrac{25\\sqrt{3}}{4}\\)** - dzielenie przez 4 zamiast przez 2.\n\n**Trik:** \\(\\sin 60^{\\circ} = \\sin 120^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\) - kąty przyległe mają równy sinus.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW trójkącie miary kątów są równe: 𝛼, 4𝛼, 𝛼+ 30°. Miara największego kąta tego trójkąta jest\nrówna\nA. 55°\nB. 90°\nC. 100°\nD. 120°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku O. Miara kąta ABC jest równa 65°. Miara kąta ACO jest równa A. 130° B. 25° C. 65° D. 50°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG7.3) rozwiązuje równania stopnia\npierwszego z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(100°\\)\n\n## Sposób 1 - suma kątów trójkąta\n\n**Kąty trójkąta sumują się do \\(180°\\).** Zapisujemy równanie:\n\n\\[\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30°) = 180°\\]\n\n\\[6\\alpha + 30° = 180°\\]\n\n\\[6\\alpha = 150°\\]\n\n\\[\\alpha = 25°\\]\n\nTeraz obliczamy każdy kąt:\n- \\(\\alpha = 25°\\)\n- \\(4\\alpha = 4 \\cdot 25° = 100°\\)\n- \\(\\alpha + 30° = 25° + 30° = 55°\\)\n\n**Największy kąt to \\(4\\alpha = 100°\\).**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (sprawdzenie)\n\nSprawdzamy, czy wyznaczone kąty są poprawne - czy sumują się do \\(180°\\):\n\n\\[25° + 100° + 55° = 180° \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy, czy relacje między kątami się zgadzają:\n- Czy drugi kąt jest czterokrotnie większy od pierwszego? \\(4 \\cdot 25° = 100°\\) ✓\n- Czy trzeci kąt jest o \\(30°\\) większy od pierwszego? \\(25° + 30° = 55°\\) ✓\n\nWszystko się zgadza. **Największy kąt: \\(100°\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nSuma miar kątów wewnętrznych trójkąta wynosi \\(180°\\). Użyliśmy tego w Sposobie 1 do ułożenia równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((55°)\\) | Uczeń poprawnie wylicza \\(\\alpha = 25°\\), ale za największy kąt uznaje \\(\\alpha + 30° = 55°\\), nie sprawdzając, że \\(4\\alpha = 100°\\) jest większe |\n| B \\((90°)\\) | Błąd przy upraszczaniu: np. \\(\\alpha + 4\\alpha + \\alpha = 6\\alpha = 180°\\) (zapomniano o \\(+30°\\)), co daje \\(\\alpha = 30°\\), \\(4\\alpha = 120°\\) - ale potem uczeń myli się w mnożeniu lub odczytaniu |\n| D \\((120°)\\) | Wynika z błędu \\(6\\alpha = 180°\\) → \\(\\alpha = 30°\\) → \\(4\\alpha = 120°\\) - pominięto wyraz \\(+30°\\) przy sumowaniu kątów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu, który kąt jest największy - po obliczeniu \\(\\alpha\\) sprawdź wartości wszystkich trzech kątów i porównaj je ze sobą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o \\(+30°\\) przy sumowaniu. Przepisz każdy kąt osobno: \\(\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30°)\\), a dopiero potem upraszczaj.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(\\alpha = 25°\\), to \\(4\\alpha = 100°\\), a nie \\(80°\\) - uważaj na błędy rachunkowe przy mnożeniu przez 4.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - suma kątów trójkąta\n\\(\\alpha + 4\\alpha + (\\alpha + 30^{\\circ}) = 180^{\\circ}\\).\n\\(6\\alpha + 30^{\\circ} = 180^{\\circ}\\Rightarrow 6\\alpha = 150^{\\circ}\\Rightarrow \\alpha = 25^{\\circ}\\).\nKąty: \\(25^{\\circ}, 100^{\\circ}, 55^{\\circ}\\). Największy: \\(4\\alpha = 100^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - sprawdzenie\n\\(25 + 100 + 55 = 180\\). ✓ Największy to \\(100^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(55^{\\circ}\\)** - to kąt \\(\\alpha + 30^{\\circ}\\), nie największy.\n- **B. \\(90^{\\circ}\\)** - błędne rozwiązanie równania.\n- **D. \\(120^{\\circ}\\)** - suma przekraczałaby \\(180^{\\circ}\\).\n\n**Trik:** w sumie kątów trójkąta zawsze zbierz wszystkie \\(\\alpha\\) i wyrazy wolne osobno.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nNa boku 𝐵𝐶 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny 𝐵𝐸𝐶 (zobacz\nrysunek).\nMiara kąta 𝐷𝐸𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 20°\nC. 15°\nD. 30°\nNa boku BC kwadratu ABCD (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny BEC (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta DEC jest równa A. 10° B. 20° C. 15° D. 30°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.8) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] trapezach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(15°\\)\n\n## Sposób 1 - Trójkąt równoramienny DCE\n\n**Kluczowa obserwacja:** Skoro ABCD to kwadrat i BEC to trójkąt równoboczny, wszystkie cztery odcinki \\(AB = BC = CD = DA = BE = EC\\) są równe. Oznaczmy ich długość \\(a\\).\n\n**Krok 1: Wyznaczamy kąt \\(\\angle DCE\\).**\n\n\\[\\angle DCE = \\angle DCB + \\angle BCE\\]\n\n- \\(\\angle DCB = 90°\\) - kąt wewnętrzny kwadratu\n- \\(\\angle BCE = 60°\\) - kąt trójkąta równobocznego\n- Trójkąt BEC jest zbudowany **na zewnątrz** kwadratu, więc kąty dodają się:\n\n\\[\\angle DCE = 90° + 60° = 150°\\]\n\n**Krok 2: Rozpoznajemy trójkąt \\(DCE\\) jako równoramienny.**\n\n\\[DC = a \\quad \\text{(bok kwadratu)}, \\quad EC = a \\quad \\text{(bok trójkąta równobocznego)}\\]\n\nZatem \\(DC = EC = a\\), więc trójkąt \\(DCE\\) jest **równoramienny** z wierzchołkiem przy \\(C\\).\n\n**Krok 3: Liczymy kąt \\(\\angle DEC\\).**\n\nW trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle CDE = \\angle DEC\\]\n\nZ sumy kątów w trójkącie:\n\\[\\angle DCE + \\angle CDE + \\angle DEC = 180°\\]\n\\[150° + 2 \\cdot \\angle DEC = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle DEC = 30°\\]\n\\[\\boxed{\\angle DEC = 15°}\\]\n\n## Sposób 2 - Współrzędne kartezjańskie (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy bok kwadratu \\(a = 1\\) i układamy wierzchołki:\n- \\(A = (0,0)\\), \\(B = (1,0)\\), \\(C = (1,1)\\), \\(D = (0,1)\\)\n\nŚrodek \\(BC\\) to \\((1, \\tfrac{1}{2})\\). Trójkąt BEC na zewnątrz kwadratu (w prawo):\n\n\\[E = \\left(1 + \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\nWektory z \\(E\\):\n\\[\\vec{ED} = D - E = \\left(-1 - \\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\\[\\vec{EC} = C - E = \\left(-\\frac{\\sqrt{3}}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\nDługość \\(|\\vec{EC}| = \\sqrt{\\tfrac{3}{4} + \\tfrac{1}{4}} = 1\\) ✓ (bok równobocznego)\n\nIloczyn skalarny:\n\\[\\vec{ED} \\cdot \\vec{EC} = \\left(1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\cdot\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 1\\]\n\nDługość \\(|\\vec{ED}| = \\sqrt{\\left(1+\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)^2 + \\frac{1}{4}} = \\sqrt{2 + \\sqrt{3}}\\)\n\n\\[\\cos(\\angle DEC) = \\frac{\\frac{\\sqrt{3}+2}{2}}{\\sqrt{2+\\sqrt{3}}} = \\frac{\\sqrt{3}+2}{2\\sqrt{2+\\sqrt{3}}}\\]\n\nNumerycznie: \\(\\cos(\\angle DEC) \\approx \\frac{3{,}732}{3{,}864} \\approx 0{,}9659 = \\cos 15°\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - suma kątów w trójkącie:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\angle DEC\\) z trójkąta \\(DCE\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - własność trójkąta równoramiennego:\n> Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są równe.\n\nW tym zadaniu nie ma potrzeby stosowania zaawansowanych wzorów - wystarczy znajomość własności kwadratu, trójkąta równobocznego i trójkąta równoramiennego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(10°\\) | Brak jednoznacznego błędu obliczeniowego prowadzącego do \\(10°\\) - odpowiedź mylnie dobrana jako \"połowa \\(20°\\)\" |\n| B: \\(20°\\) | Może wynikać z błędnego liczenia \\(\\angle DCE = 140°\\) (odjęcie zamiast dodanie kątów: \\(90° + 50°\\) po pomyleniu kąta trójkąta równobocznego z \\(50°\\)) |\n| D: \\(30°\\) | **Najczęstszy błąd:** wyznaczenie \\(\\angle DCE = 120°\\) zamiast \\(150°\\), np. przez odjęcie: \\(180° - 60° = 120°\\). Wtedy \\(2 \\cdot \\angle DEC = 60°\\), stąd \\(\\angle DEC = 30°\\). Błąd leży w zlekceważeniu, że kąt kwadratu i kąt trójkąta równobocznego dołożone są do siebie, a nie odejmowane. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt jest zbudowany **na zewnątrz** kwadratu - kąt \\(\\angle DCE = 90° + 60° = 150°\\), a nie \\(90° - 60° = 30°\\). Jeśli rysunek jest nieczytelny, łatwo pomylić kierunek budowania trójkąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to dostrzeżenie, że \\(DC = EC\\) (oba są bokami równej długości - kwadratu i trójkąta równobocznego). Bez tego nie możemy skorzystać z własności trójkąta równoramiennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie ma sensu szukać dodatkowych wzorów trygonometrycznych - całe zadanie rozwiązuje się na zasadzie sumy kątów i trójkąta równoramiennego. Komplikowanie rachunkami wydłuża czas i zwiększa ryzyko pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - trójkąt równoramienny \\(DCE\\)\nNiech bok kwadratu \\(= a\\). Wtedy \\(|CD| = a\\) (bok kwadratu) i \\(|CE| = a\\) (bok trójkąta równobocznego). Trójkąt \\(DCE\\) jest równoramienny.\nKąt \\(DCE = \\angle DCB + \\angle BCE = 90^{\\circ} + 60^{\\circ} = 150^{\\circ}\\).\nPozostałe kąty: \\(\\dfrac{180^{\\circ} - 150^{\\circ}}{2} = 15^{\\circ}\\). Zatem \\(\\angle DEC = 15^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - z układu przez symetrię\nTrójkąt \\(DCE\\) jest lustrzanym odbiciem trójkąta \\(ABE\\) (przez prostą \\(BC\\) przedłużoną symetrycznie), więc \\(\\angle DEC = \\angle AEB\\), a suma dwóch takich kątów oraz kąta \\(\\angle BEC = 60^{\\circ}\\) musi wynikać z geometrii kwadratu - ale prościej: wyliczamy bezpośrednio jak w Sposobie 1.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10^{\\circ}\\)**, **B. \\(20^{\\circ}\\)** - błędne liczenie kąta \\(DCE\\).\n- **D. \\(30^{\\circ}\\)** - nie uwzględniono, że trójkąt \\(DCE\\) jest równoramienny.\n\n**Trik:** w tego typu zadaniach kluczowe jest rozpoznanie trójkąta równoramiennego z dwóch boków równych (bok kwadratu = bok trójkąta równobocznego).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= -5\n4 𝑥-2 oraz 𝑦=\n4\n2𝑚-1 𝑥+ 1 są prostopadłe. Wynika stąd, że\nA. 𝑚= 21\n10\nB. 𝑚= -11\n10\nC. 𝑚= -2\nD. 𝑚= 3\nProste o równaniach y=-5/4x-2 oraz y=4/2m-1x+1 są prostopadłe. Wynika stąd, że A. m=21/20 B. m=-11/10 C. m=-2 D. m=3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 3\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych\n\n**Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych.**\n\nProsta pierwsza: \\(y = -\\dfrac{5}{4}x - 2\\), więc \\(a_1 = -\\dfrac{5}{4}\\)\n\nProsta druga: \\(y = \\dfrac{4}{2m-1}x + 1\\), więc \\(a_2 = \\dfrac{4}{2m-1}\\)\n\n**Stosujemy warunek prostopadłości:** dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\left(-\\frac{5}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{2m-1} = -1\\]\n\n\\[\\frac{-5 \\cdot 4}{4(2m-1)} = -1\\]\n\n\\[\\frac{-5}{2m-1} = -1\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\((2m-1)\\):\n\n\\[-5 = -1 \\cdot (2m-1)\\]\n\n\\[-5 = -2m + 1\\]\n\n\\[-2m = -6\\]\n\n\\[\\boxed{m = 3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(m = 3\\) rzeczywiście proste są prostopadłe.\n\n\\[a_2 = \\frac{4}{2 \\cdot 3 - 1} = \\frac{4}{5}\\]\n\nIloczyn współczynników kierunkowych:\n\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\left(-\\frac{5}{4}\\right) \\cdot \\frac{4}{5} = \\frac{-20}{20} = -1 \\checkmark\\]\n\nWarunek prostopadłości spełniony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\left(m = \\frac{21}{10}\\right)\\) | Zastosowanie błędnego warunku \\(a_1 + a_2 = 0\\) zamiast \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\). Warunek sumy zerowej nie ma związku z prostopadłością. |\n| **B** \\(\\left(m = -\\frac{11}{10}\\right)\\) | Zastosowanie warunku **równoległości** \\(a_1 = a_2\\) zamiast prostopadłości - wyznaczono \\(m\\) tak, by proste były równoległe, nie prostopadłe. |\n| **C** \\((m = -2)\\) | Pominięcie znaku minus przy \\(a_1\\): przyjęcie \\(a_1 = +\\dfrac{5}{4}\\) i rozwiązanie \\(\\dfrac{5}{4} \\cdot a_2 = -1\\), co daje \\(2m - 1 = -5\\), a stąd \\(m = -2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\) ani \\(a_1 + a_2 = 0\\). Łatwo pomylić z warunkiem równoległości \\(a_1 = a_2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odczytując współczynnik kierunkowy z równania \\(y = -\\dfrac{5}{4}x - 2\\), pamiętaj o **minusie** - \\(a_1 = -\\dfrac{5}{4}\\), nie \\(+\\dfrac{5}{4}\\). Zgubienie znaku prowadzi wprost do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(a_2 = \\dfrac{4}{2m-1}\\) wymaga \\(2m - 1 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq \\dfrac{1}{2}\\) - sprawdź zawsze, czy mianownik nie zeruje się dla otrzymanego wyniku. Tu \\(m = 3\\), więc \\(2 \\cdot 3 - 1 = 5 \\neq 0\\). Jest OK.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - warunek prostopadłości\nProste \\(y = a_{1}x + b_{1}\\) i \\(y = a_{2}x + b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1}\\cdot a_{2} = -1\\).\n\\[-\\dfrac{5}{4}\\cdot \\dfrac{4}{2m-1} = -1\\]\n\\[\\dfrac{-5}{2m-1} = -1\\]\n\\[-5 = -(2m-1)\\]\n\\[5 = 2m-1\\Rightarrow 2m = 6\\Rightarrow m = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - przez współczynnik kierunkowy prostopadłej\nDo \\(y = -\\tfrac{5}{4}x - 2\\) prosta prostopadła ma współczynnik \\(\\tfrac{4}{5}\\). Porównujemy:\n\\(\\dfrac{4}{2m-1} = \\dfrac{4}{5}\\Rightarrow 2m-1 = 5\\Rightarrow m = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** - błędne rozwiązanie równania (zły znak lub złe przekształcenie).\n\n**Trik:** iloczyn współczynników kierunkowych dla prostych prostopadłych = \\(-1\\); sprawdź znak przed obliczeniami.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= -3𝑥+ 1\n3 oraz 𝑦= 1\n3 𝑥-3 przecinają się w punkcie 𝑃= (𝑥0, 𝑦0).\nWynika stąd, że\nA. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 > 0.\nB. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 < 0.\nC. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 > 0.\nD. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 < 0.\nProste o równaniach y=-3x+1/3 oraz y=1/3x-3 przecinają się w punkcie P=(x_0,y_0). Wynika stąd, że A. x_0>0 i y_0>0. B. x_0>0 i y_0<0 C. x_0<0 i y_0>0. D. x_0<0 i y_0<0.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań (podstawienie)\n\nPunkt przecięcia dwóch prostych to punkt, który leży na **obu prostych jednocześnie** - czyli musi spełniać oba równania naraz.\n\nPrzyrównujemy prawe strony:\n\\[-3x + \\frac{1}{3} = \\frac{1}{3}x - 3\\]\n\nPrzenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą:\n\\[-3x - \\frac{1}{3}x = -3 - \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[-\\frac{9}{3}x - \\frac{1}{3}x = -\\frac{9}{3} - \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[-\\frac{10}{3}x = -\\frac{10}{3}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-\\frac{10}{3}\\):\n\\[x_0 = 1\\]\n\n**Zatem \\(x_0 = 1 > 0\\).**\n\nWyznaczamy \\(y_0\\) - podstawiamy \\(x_0 = 1\\) do drugiego równania (prostszego):\n\\[y_0 = \\frac{1}{3} \\cdot 1 - 3 = \\frac{1}{3} - \\frac{9}{3} = -\\frac{8}{3}\\]\n\n**Zatem \\(y_0 = -\\frac{8}{3} < 0\\).**\n\nMamy \\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\) - punkt \\(P\\) leży w **IV ćwiartce układu współrzędnych**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie do pierwszej prostej\n\nSprawdzamy, czy \\(x_0 = 1\\) i \\(y_0 = -\\frac{8}{3}\\) spełniają **pierwsze** równanie:\n\n\\[y = -3 \\cdot 1 + \\frac{1}{3} = -3 + \\frac{1}{3} = -\\frac{9}{3} + \\frac{1}{3} = -\\frac{8}{3}\\]\n\nZgadza się. Punkt \\(P = \\left(1, -\\frac{8}{3}\\right)\\) rzeczywiście leży na obu prostych.\n\nZnaki: \\(x_0 = 1 > 0\\), \\(y_0 = -\\frac{8}{3} < 0\\). **Odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy metoda podstawiania przy układzie równań liniowych (szkoła podstawowa/początek liceum) i znajomość ćwiartek układu współrzędnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(x_0 = 1 > 0\\) poprawnie, ale do \\(y_0\\) podstawia \\(x = 0\\) zamiast \\(x = 1\\): \\(y = \\frac{1}{3} \\cdot 0 - 3 = -3 < 0\\) - wciąż wychodzi B, ale zdarza się też błąd przy odczytaniu znaku |\n| C | Pomylenie \\(x\\) z \\(y\\) - uczeń błędnie ocenia znak \\(x_0\\), bo widzi ujemny współczynnik \\(-3\\) przy \\(x\\) i myśli, że \\(x\\) musi być ujemne |\n| D | Podwójny błąd: zły znak zarówno dla \\(x_0\\), jak i \\(y_0\\) - np. przez błędne przeniesienie wyrazów przy rozwiązywaniu równania |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy spojrzeć na współczynniki kierunkowe! Punkt przecięcia wyznaczamy algebraicznie - nie ma skrótu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x_0\\) koniecznie oblicz \\(y_0\\) - podstawiając do **któregokolwiek** z równań (oba dają ten sam wynik, bo to punkt przecięcia). Nie zostawiaj \\(y_0\\) bez obliczenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamki to najczęstsze źródło błędów - \\(-3 - \\frac{1}{3} = -\\frac{9}{3} - \\frac{1}{3} = -\\frac{10}{3}\\), a **nie** \\(-3\\frac{1}{3}\\) rozumiane inaczej. Zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - rozwiązanie układu równań\n\\(-3x + \\dfrac{1}{3} = \\dfrac{1}{3}x - 3\\)\n\\(-3x - \\dfrac{1}{3}x = -3 - \\dfrac{1}{3}\\)\n\\(-\\dfrac{10}{3}x = -\\dfrac{10}{3}\\)\n\\(x = 1 > 0\\). Z pierwszego równania: \\(y = -3\\cdot 1 + \\dfrac{1}{3} = -\\dfrac{8}{3} < 0\\).\nZatem \\(x_{0} > 0\\) oraz \\(y_{0} < 0\\).\n\n### Sposób 2 - analiza znaków\nObie proste przecinają oś \\(Oy\\) w \\(\\tfrac{1}{3} > 0\\) i \\(-3 < 0\\). Pierwsza prosta (z \\(a = -3\\)) maleje szybko, druga rośnie powoli. Punkt przecięcia ma \\(y\\) między \\(\\tfrac{1}{3}\\) i \\(-3\\). Z geometrii układu: przecięcie jest w IV ćwiartce (\\(x>0, y<0\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D.** - błędny znak \\(x_{0}\\) lub \\(y_{0}\\).\n\n**Trik:** zawsze rozwiąż równanie, a potem sprawdź znak otrzymanych wartości.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 42. Liczba wszystkich wierzchołków\ntego graniastosłupa jest równa\nA. 14\nB. 28\nC. 15\nD. 42\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nLiczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa 42. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa A. 14 B. 28 C. 15 D. 42","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.1) rozpoznaje graniastosłupy […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(28\\)\n\n## Sposób 1 - wzory na graniastosłup \\(n\\)-kątny\n\nGraniastosłup, którego podstawa jest wielokątem \\(n\\)-kątnym, ma:\n- **krawędzie podstaw**: \\(n + n = 2n\\) (dwie podstawy, każda ma \\(n\\) boków)\n- **krawędzie boczne**: \\(n\\) (łączą odpowiadające wierzchołki obu podstaw)\n- **łącznie krawędzi**: \\(2n + n = 3n\\)\n- **wierzchołków**: \\(n + n = 2n\\)\n\nZ treści zadania wiemy, że łączna liczba krawędzi wynosi \\(42\\):\n\\[3n = 42\\]\n\\[n = 14\\]\n\nPodstawą jest zatem 14-kąt. Liczba wierzchołków:\n\\[2n = 2 \\cdot 14 = \\mathbf{28}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez ściany i wzór Eulera\n\nDla graniastosłupa 14-kątnego sprawdzamy wzorem Eulera:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDane dla graniastosłupa 14-kątnego:\n- \\(V = 28\\) (wierzchołki)\n- \\(E = 42\\) (krawędzie - dane w zadaniu)\n- \\(F = 14 + 2 = 16\\) (14 ścian bocznych + 2 podstawy)\n\nSprawdzamy:\n\\[28 - 42 + 16 = 2 \\checkmark\\]\n\nWzór Eulera potwierdza poprawność odpowiedzi.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji graniastosłupa i wzorów na liczbę jego elementów (krawędzi, wierzchołków, ścian) wynikających z geometrii bryły.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(14\\) | Uczeń wyznaczył \\(n = 14\\) (rodzaj podstawy), ale zapomniał, że wierzchołków jest \\(2n\\), nie \\(n\\) |\n| C: \\(15\\) | Przypadkowe dodanie 1 do \\(n\\) - nie ma żadnego uzasadnienia geometrycznego |\n| D: \\(42\\) | Utożsamienie liczby wierzchołków z liczbą krawędzi - klasyczna pomyłka przy nieznajomości wzorów |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że krawędzi jest **trzy razy** więcej niż bok podstawy (\\(3n\\)), a wierzchołków **dwa razy** więcej (\\(2n\\)). Łatwo pomylić te zależności pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie brzmi o **wierzchołki**, a obliczenia prowadzą przez \\(n = 14\\) - uważaj, żeby nie podać \\(14\\) jako odpowiedzi (to tylko rodzaj wielokąta podstawy, nie liczba wierzchołków).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór Eulera \\(V - E + F = 2\\) to przydatne narzędzie do weryfikacji - zapamiętaj go, nie ma go na karcie wzorów CKE, ale jest łatwy do wyprowadzenia lub zapamiętania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - liczba krawędzi i wierzchołków graniastosłupa\nGraniastosłup o podstawie \\(n\\)-kąta: krawędzi \\(3n\\) (2 podstawy po \\(n\\) + \\(n\\) bocznych), wierzchołków \\(2n\\).\n\\(3n = 42\\Rightarrow n = 14\\). Wierzchołków: \\(2\\cdot 14 = 28\\).\n\n### Sposób 2 - proporcja\nDla graniastosłupa liczba wierzchołków \\(= \\dfrac{2}{3}\\) liczby krawędzi (bo \\(2n\\) wobec \\(3n\\)).\n\\(\\dfrac{2}{3}\\cdot 42 = 28\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(14\\)** - to liczba boków podstawy \\(n\\), nie wierzchołków.\n- **C. \\(15\\)** - błąd rachunkowy.\n- **D. \\(42\\)** - tyle krawędzi, nie wierzchołków.\n\n**Trik:** zapamiętaj: graniastosłup \\(n\\)-kątny ma \\(3n\\) krawędzi, \\(2n\\) wierzchołków, \\(n+2\\) ścian.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8. Pole powierzchni\ncałkowitej tego ostrosłupa jest równe\nA. 64√3\nB. 64√2\nC. 16√3\nD. 16√2\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość 8. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe A. 64√3 B. 64√2 C. 16√3 D. 16√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(64\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wszystkie ściany to trójkąty równoboczne\n\n**Kluczowa obserwacja:** W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym z równymi krawędziami:\n- podstawa = trójkąt równoboczny o boku \\(a = 8\\)\n- każda ściana boczna = trójkąt o bokach: jedna krawędź podstawy (długość 8) i dwie krawędzie boczne (długość 8)\n\nZatem **każda ze 4 ścian jest trójkątem równobocznym o boku 8.**\n\n**Pole jednego trójkąta równobocznego** (dział 10, s. 15):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole powierzchni całkowitej** (1 podstawa + 3 ściany boczne):\n\\[P_c = 4 \\cdot P_{\\triangle} = 4 \\cdot 16\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Osobno podstawa i ściany boczne (przez apotema)\n\n**Podstawa** (trójkąt równoboczny, bok \\(a = 8\\)):\n\\[P_p = \\frac{8^2\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\]\n\n**Ściany boczne** - korzystamy ze wzoru \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot O_p \\cdot l\\), gdzie \\(l\\) to apotema ściany bocznej (wysokość trójkąta równobocznego o boku 8):\n\\[l = \\frac{8\\sqrt{3}}{2} = 4\\sqrt{3}\\]\n\nObwód podstawy: \\(O_p = 3 \\cdot 8 = 24\\)\n\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot 24 \\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[P_c = P_p + P_b = 16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = \\boxed{64\\sqrt{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte do policzenia pola każdej ze czterech ścian (wszystkie są trójkątami równobocznymi).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 jako apotema ściany bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\(64\\sqrt{2}\\) | Użycie \\(\\sqrt{2}\\) zamiast \\(\\sqrt{3}\\) - pomylenie wzoru trójkąta równobocznego ze wzorem przekątnej kwadratu |\n| C \\(16\\sqrt{3}\\) | Policzono tylko pole **podstawy** i zapomniano o 3 ścianach bocznych |\n| D \\(16\\sqrt{2}\\) | Błąd podwójny: zły pierwiastek \\(\\sqrt{2}\\) i pominięte ściany boczne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wszystkie krawędzie równe\" to nie to samo co „ostrosłup foremny\" (regularny ostrosłup to tylko regularna podstawa + wierzchołek nad jej środkiem). Tu mamy szczególny przypadek - wszystkie 4 ściany są równobocznymi trójkątami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **apotemy ściany bocznej** (wysokość trójkąta bocznego, \\(l = 4\\sqrt{3}\\)) z **wysokością ostrosłupa** (odległość wierzchołka od podstawy, którą liczymy inaczej i która tu nie jest potrzebna).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup ma **4 ściany** (3 boczne + 1 podstawa) - łatwo pominąć podstawę albo policzyć tylko 3 ściany boczne i zapomnieć ją dodać.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - pole trójkąta równobocznego\n\\(P_{\\triangle} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\). Dla \\(a = 8\\): \\(P_{\\triangle} = \\dfrac{64\\sqrt{3}}{4} = 16\\sqrt{3}\\).\nOstrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach \\(=8\\) to czworościan foremny - ma 4 ściany trójkątne równoboczne.\n\\[P_{c} = 4\\cdot 16\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - liczenie podstawa + ściany boczne\nPodstawa: trójkąt równoboczny \\(=16\\sqrt{3}\\). Trzy ściany boczne (każda to trójkąt równoboczny o boku 8): \\(3\\cdot 16\\sqrt{3} = 48\\sqrt{3}\\). Razem \\(16\\sqrt{3} + 48\\sqrt{3} = 64\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(64\\sqrt{2}\\)**, **D. \\(16\\sqrt{2}\\)** - \\(\\sqrt{2}\\) nie pojawia się w tym zadaniu.\n- **C. \\(16\\sqrt{3}\\)** - to pole tylko jednej ściany.\n\n**Trik:** \"wszystkie krawędzie równe\" w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym = czworościan foremny (4 ściany równoboczne).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa 3.\nWszystkich takich liczb jest\nA. 13\nB. 10\nC. 7\nD. 9\nRozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa 3. Wszystkich takich liczb jest A. 13 B. 10 C. 7 D. 9","answer":"B","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **10 liczb**\n\n## Sposób 1 - Systematyczne przypadki według pierwszej cyfry\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\\), gdzie:\n- \\(d_1 \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 9\\}\\) (pierwsza cyfra jest niezerowa)\n- \\(d_2, d_3, d_4 \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\)\n- \\(d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 3\\)\n\nPonieważ suma cyfr wynosi 3, a każda cyfra jest nieujemna, pierwsza cyfra może być tylko 1, 2 lub 3 (nie więcej).\n\n**Przypadek \\(d_1 = 3\\):** pozostałe cyfry sumują się do 0, więc \\(d_2 = d_3 = d_4 = 0\\).\n\\[3000 \\quad \\Rightarrow \\quad \\textbf{1 liczba}\\]\n\n**Przypadek \\(d_1 = 2\\):** \\(d_2 + d_3 + d_4 = 1\\), dokładnie jedna z pozostałych cyfr równa 1, reszta 0.\n\\[2100, \\quad 2010, \\quad 2001 \\quad \\Rightarrow \\quad \\textbf{3 liczby}\\]\n\n**Przypadek \\(d_1 = 1\\):** \\(d_2 + d_3 + d_4 = 2\\). Teraz rozkładamy 2 na trzy cyfry:\n\n- *jedna cyfra równa 2, dwie zera:* \\(1200, \\ 1020, \\ 1002\\) → 3 liczby\n- *dwie cyfry równe 1, jedna zero:* \\(1110, \\ 1101, \\ 1011\\) → 3 liczby\n\n\\[\\Rightarrow \\quad \\textbf{6 liczb}\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[1 + 3 + 6 = \\boxed{10}\\]\n\n## Sposób 2 - Kombinatorycznie (gwiazdki i przegrody)\n\nSzukamy liczby rozwiązań całkowitoliczbowych:\n\\[d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 3, \\quad d_1 \\geq 1, \\quad d_2, d_3, d_4 \\geq 0\\]\n\nPodstawiamy \\(e_1 = d_1 - 1 \\geq 0\\), skąd:\n\\[e_1 + d_2 + d_3 + d_4 = 2, \\quad \\text{wszystkie} \\geq 0\\]\n\nLiczba nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych równania \\(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2\\) to (metoda gwiazdek i przegród):\n\\[\\binom{2 + 3}{3} = \\binom{5}{3} = \\frac{5!}{3! \\cdot 2!} = \\frac{5 \\cdot 4}{2} = \\boxed{10}\\]\n\nWynik zgodny z Przypadkiem 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - symbol Newtona:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do policzenia liczby rozwiązań metodą gwiazdek i przegród: \\(\\binom{5}{3} = 10\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(13\\)) | Uwzględnienie liczb z wiodącym zerem, np. \\(0300\\), \\(0030\\) itd. - to nie są liczby czterocyfrowe |\n| C (\\(7\\)) | Pominięcie przypadku \\(d_1 = 1\\) z dwiema jedynkami wśród pozostałych cyfr (\\(1110, 1101, 1011\\)) |\n| D (\\(9\\)) | Pominięcie jednego podprzypadku, np. zapomnienie o \\(1011\\) lub \\(1002\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba czterocyfrowa **musi zaczynać się od cyfry niezerowej** - \\(0120\\) nie jest liczbą czterocyfrową! To najczęstszy błąd zawyżający wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pominąć podprzypadki przy \\(d_1 = 1\\) - są dwa różne wzorce rozkładu (\\(2+0+0\\) i \\(1+1+0\\)), warto je rozpatrzyć osobno i systematycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry \\(d_2, d_3, d_4\\) są **różnych pozycjach** - liczby \\(2100\\), \\(2010\\), \\(2001\\) to **trzy różne liczby**, nawet jeśli zawierają te same cyfry.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - wypisanie wszystkich liczb\nPierwsza cyfra \\(\\geq 1\\). Rozważamy możliwe kombinacje cyfr sumujących się do 3:\n\\(3000\\); \\(2100, 2010, 2001\\); \\(1200, 1020, 1002\\); \\(1110, 1101, 1011\\).\nRazem: 1 + 3 + 3 + 3 = 10 liczb.\n\n### Sposób 2 - kombinatoryka\nSzukamy \\(a + b + c + d = 3\\), gdzie \\(a \\geq 1\\) (pierwsza cyfra), \\(b, c, d \\geq 0\\).\nPodstawiając \\(a' = a - 1\\geq 0\\): \\(a' + b + c + d = 2\\). Liczba rozwiązań nieujemnych (kombinacje z powtórzeniami): \\(\\binom{2+3}{3} = \\binom{5}{3} = 10\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(13\\)** - dodano liczby z pierwszą cyfrą \\(0\\).\n- **C. \\(7\\)**, **D. \\(9\\)** - pominięto część kombinacji.\n\n**Trik:** przy małych sumach cyfr szybciej wypisać wszystkie liczby niż stosować wzory.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych,\na czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 2\n3\nB. 2\n9\nC. 1\n6\nD. 3\n5\nW pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. 2/3 B. 2/9 C. 1/6 D. 3/5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie zmiennej dla kul zielonych\n\n**Oznaczamy liczbę kul zielonych jako \\(z\\).**\n\nZ treści zadania wynika:\n- czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych: \\(\\text{czarne} = 3z\\)\n- białych jest dwa razy więcej niż czarnych: \\(\\text{białe} = 2 \\cdot 3z = 6z\\)\n\n**Łączna liczba kul:**\n\\[\\text{razem} = z + 3z + 6z = 10z\\]\n\n**Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:**\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{6z}{10z} = \\frac{6}{10} = \\boxed{\\frac{3}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez proporcje (konkretne liczby)\n\nZamiast zmiennej wybieramy **konkretną liczbę kul zielonych**, np. \\(z = 1\\):\n\n| Kolor | Liczba kul |\n| Zielone | \\(1\\) |\n| Czarne | \\(3 \\cdot 1 = 3\\) |\n| Białe | \\(2 \\cdot 3 = 6\\) |\n| **Razem** | **\\(10\\)** |\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\frac{6}{10} + \\frac{3}{10} + \\frac{1}{10} = \\frac{10}{10} = 1\\) ✓ Suma prawdopodobieństw wszystkich zdarzeń daje 1 - wszystko się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba kul białych, a \\(|\\Omega|\\) to łączna liczba kul w pudełku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A \\(\\frac{2}{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{białe}}{\\text{czarne}+\\text{białe}} = \\frac{6}{9} = \\frac{2}{3}\\) - **zapomina o kulach zielonych** w mianowniku |\n| B \\(\\frac{2}{9}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{czarne}}{\\text{razem}} = \\frac{3}{9}\\) albo myli proporcję - **oblicza prawdopodobieństwo dla czarnych** zamiast białych |\n| C \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{\\text{zielone}}{\\text{razem}} = \\frac{1}{6}\\) - **oblicza prawdopodobieństwo dla zielonych** zamiast białych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwrot \"dwa razy więcej\" znaczy \"dwa razy tyle\" - czyli białych = \\(2 \\times \\text{czarne}\\), nie \\(\\text{czarne} + 2\\). To częsty błąd językowy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łańcuch zależności idzie od zielonych: najpierw czarne = \\(3 \\times\\) zielone, potem białe = \\(2 \\times\\) czarne. Nie liczymy bezpośrednio białe = \\(2 \\times\\) zielone!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W mianowniku muszą znaleźć się **wszystkie** kule - biała, czarna i zielona. Pominięcie którejkolwiek grupy to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - zmienna pomocnicza\nNiech \\(z\\) = liczba zielonych. Wtedy czarnych \\(= 3z\\), białych \\(= 2\\cdot 3z = 6z\\).\nRazem: \\(z + 3z + 6z = 10z\\).\n\\[P(\\text{biała}) = \\dfrac{6z}{10z} = \\dfrac{3}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - konkretne liczby\nWeź \\(z = 1\\): \\(3\\) czarne, \\(6\\) białych, razem \\(10\\). \\(P = \\dfrac{6}{10} = \\dfrac{3}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - \\(\\tfrac{6}{9}\\), pominięto zielone.\n- **B. \\(\\tfrac{2}{9}\\)** - błędne proporcje.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - to \\(P(\\text{zielona}) = \\tfrac{1}{10}\\) też nie, po prostu błąd.\n\n**Trik:** przy hierarchii \"dwa razy więcej\", \"trzy razy więcej\" zacznij od NAJMNIEJSZEJ kategorii jako parametru.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków\nw lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.\nMediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa\nA. 3\nB. 2\nC. 1\nD. 3\n2\nLiczba odsłuchanych audiobooków\n0\n1\n2\n3\n4\n7\nLiczba uczniów\n9\n5\n3\n4\n1\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nW pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli. Liczba odsłuchanych audiobooków: 0, 1, 2, 3, 4, 7. Liczba uczniów: 9, 5, 3, 4, 1, 3. Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa A. 3 B. 2 C. 1 D. 3/2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG9.3) wyznacza […] medianę zestawu\ndanych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIA OTWARTE\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - mediana wynosi \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie mediany z tabeli częstości (metoda skumulowana)\n\nMediana to wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe połowy. Dla danych zgrupowanych w tabeli częstości postępujemy tak:\n\n**Krok 1: Zsumuj łączną liczbę uczniów.**\n\nDodaj wszystkie częstości z tabeli. Oznaczmy łączną liczbę uczniów jako \\(n\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz pozycję mediany.**\n\n\\[\n\\text{Pozycja mediany} = \\frac{n+1}{2} \\quad \\text{(gdy } n \\text{ nieparzyste)}\n\\]\nlub - gdy \\(n\\) parzyste - mediana to średnia wartości na pozycjach \\(\\frac{n}{2}\\) i \\(\\frac{n}{2}+1\\).\n\n**Krok 3: Oblicz częstości skumulowane.**\n\n| Liczba audiobooków | Liczba uczniów | Skumulowana |\n| \\(0\\) | \\(n_0\\) | \\(n_0\\) |\n| \\(1\\) | \\(n_1\\) | \\(n_0 + n_1\\) |\n| \\(2\\) | \\(n_2\\) | \\(n_0 + n_1 + n_2\\) |\n| \\(3\\) | \\(n_3\\) | \\(n_0 + n_1 + n_2 + n_3\\) |\n\n**Krok 4: Znajdź, w którym wierszu mieści się pozycja mediany.**\n\nNa podstawie danych z tabeli: częstość skumulowana po wierszu „\\(0\\)\" jest **mniejsza** niż połowa \\(n\\), natomiast po dodaniu uczniów z wiersza „\\(1\\)\" - **osiąga lub przekracza** połowę. Oznacza to, że oba środkowe wyrazy (lub jedyny środkowy) mają wartość \\(1\\).\n\n\\[\n\\boxed{\\text{Mediana} = 1}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie wszystkich wartości i wskazanie środkowej\n\nWyobraźmy sobie, że ustawiamy wszystkich uczniów w kolejce według rosnącej liczby odsłuchanych audiobooków:\n\n\\[\n\\underbrace{0, 0, \\ldots, 0}_{n_0}, \\underbrace{1, 1, \\ldots, 1}_{n_1}, \\underbrace{2, 2, \\ldots, 2}_{n_2}, \\underbrace{3, 3, \\ldots, 3}_{n_3}\n\\]\n\nŚrodek tej kolejki wypada **wewnątrz bloku jedynek** - bo uczniów z „\\(0\\)\" jest za mało, by środek wypadł wcześniej, a uczniów z „\\(0\\)\" i „\\(1\\)\" razem jest już wystarczająco dużo, by środek wypadł nie dalej niż na „\\(1\\)\".\n\nPonieważ oba środkowe miejsca zajmują wartości \\(1\\):\n\\[\n\\text{Mediana} = \\frac{1 + 1}{2} = 1\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\n> **Mediana**: środkowy wyraz po uporządkowaniu rosnącym (gdy \\(n\\) nieparzyste) lub średnia arytmetyczna dwóch środkowych wyrazów (gdy \\(n\\) parzyste).\n\nW tym zadaniu mediana wyznaczana jest wprost z definicji - nie potrzeba żadnego wzoru algebraicznego poza:\n\\[\n\\bar{x}_{1,2} = \\frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}\n\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(3\\) | Uczeń bierze najwyższą wartość w tabeli, mylnie kojarząc \"środek zakresu\" z medianą |\n| B | \\(2\\) | Uczeń oblicza **średnią arytmetyczną** \\(\\bar{x}\\) zamiast mediany i zaokrągla ją do 2 |\n| D | \\(\\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń poprawnie wyznacza dwie środkowe pozycje, ale błędnie odczytuje z tabeli - przyjmuje wartości \\(1\\) i \\(2\\) zamiast \\(1\\) i \\(1\\), licząc \\(\\frac{1+2}{2} = \\frac{3}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **mediany** ze **średnią arytmetyczną** - to dwa różne parametry! Mediana nie zależy od wartości skrajnych (np. jedna osoba z 10 audiobookami nie przesuwa mediany tak jak przesuwa średnią).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych mediana to **średnia dwóch środkowych wartości** - może być ułamkiem (np. \\(\\frac{3}{2}\\)). Właśnie dlatego odpowiedź D jest atrakcyjna jako pułapka! Uważnie sprawdź, czy oba środkowe wyrazy są równe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze buduj kolumnę **częstości skumulowanych** - bez niej łatwo się pomylić przy wyznaczaniu, który wyraz jest środkowy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - definicja mediany\nTabela: 0 książek - 9 uczniów, 1 - 5, 2 - 3, 3 - 4, 4 - 1, 7 - 3.\nRazem uczniów: \\(9 + 5 + 3 + 4 + 1 + 3 = 25\\). Mediana to wyraz \\(\\lceil 25/2\\rceil = 13\\). w uporządkowanym ciągu.\nUstawiamy: 9 zer, potem 5 jedynek (10.-14. wyraz). Wyraz 13. to 1.\nMediana \\(= 1\\).\n\n### Sposób 2 - sumowanie kumulatywne\nPo 9 zerach liczymy do 13: potrzeba 4 więcej z grupy \"1\". Jest ich aż 5, więc 13. wyraz to \\(1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - błędnie wybrano inny wyraz.\n- **B. \\(2\\)** - pomylono z inną miarą.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - mylne uśrednienie dwóch sąsiadów (dla parzystej liczebności - tu jest nieparzysta).\n\n**Trik:** przy nieparzystej liczebności \\(n\\) mediana to środkowy wyraz o numerze \\((n+1)/2 = 13\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n-3𝑥2 + 8 ≥10𝑥\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność: -3x² + 8 ≥ 10x","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego -3𝑥2 -10𝑥+ 8.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej -3𝑥2 -10𝑥+ 8 ≥0.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu\nkwadratowego -3𝑥2 -10𝑥+ 8: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi\netap rozwiązania, tj.:\npoda zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-4, 2\n3⟩ lub 𝑥∈⟨-4, 2\n3⟩\nALBO\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\n-4\n2\n3\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błąd (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny\nniż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia\n(np. -3𝑥2 + 8) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. -3𝑥2 + 8 ≥0), to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-4, 2\n3), to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci ⟨2\n3 , -4⟩, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci -3𝑥2 -10𝑥+ 8 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n-3𝑥2 -10𝑥+ 8.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 196 i stąd 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 ,\nALBO\nzauważamy, że liczba (-4) jest pierwiastkiem trójmianu -3𝑥2 -10𝑥+ 8 i stosujemy\nwzory Viète’a:\n𝑥1 + 𝑥2 = -10\n3 oraz 𝑥1 ⋅𝑥2 = -8\n3 , więc 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 ,\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu -3𝑥2 -10𝑥+ 8 bezpośrednio, zapisując je lub\nzaznaczając je na wykresie: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 2\n3 .\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-4, 2\n3⟩ lub 𝑥∈⟨-4, 2\n3⟩ lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej\n-4\n2\n3\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Przestawienie na jedną stronę i wyróżnik\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[-3x^2 + 8 \\geq 10x\\]\n\\[-3x^2 - 10x + 8 \\geq 0\\]\n\n**Mnożymy obie strony przez \\(-1\\)** - uwaga, odwracamy znak nierówności!\n\n\\[3x^2 + 10x - 8 \\leq 0\\]\n\n**Szukamy pierwiastków trójmianu \\(3x^2 + 10x - 8 = 0\\):**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-8) = 100 + 96 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{196} = 14\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-10 - 14}{2 \\cdot 3} = \\frac{-24}{6} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-10 + 14}{2 \\cdot 3} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Analizujemy znak trójmianu \\(3x^2 + 10x - 8\\):**\n\nWspółczynnik \\(a = 3 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami **w górę** - trójmian jest ujemny (lub równy zero) **między** pierwiastkami.\n\n\\[3x^2 + 10x - 8 \\leq 0 \\iff x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4,\\ \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - Praca na oryginalnej paraboli (bez mnożenia przez \\(-1\\))\n\nZostawiamy nierówność w postaci:\n\n\\[-3x^2 - 10x + 8 \\geq 0\\]\n\nTo trójmian z \\(a = -3 < 0\\) - parabola skierowana ramionami **w dół**. Taki trójmian jest **nieujemny między pierwiastkami** (bo między nimi parabola jest powyżej osi \\(x\\)).\n\nSzukamy pierwiastków \\(-3x^2 - 10x + 8 = 0\\):\n\n\\[\\Delta = (-10)^2 - 4 \\cdot (-3) \\cdot 8 = 100 + 96 = 196, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{10 - 14}{2 \\cdot (-3)} = \\frac{-4}{-6} = \\frac{2}{3}\\]\n\\[x_2 = \\frac{10 + 14}{2 \\cdot (-3)} = \\frac{24}{-6} = -4\\]\n\nParabola z \\(a < 0\\) jest \\(\\geq 0\\) **między** pierwiastkami, czyli dla \\(x \\in \\left\\langle -4, \\frac{2}{3} \\right\\rangle\\).\n\n**Weryfikacja (podstawiamy \\(x = 0\\), które leży w przedziale):**\n\\[-3 \\cdot 0^2 + 8 \\geq 10 \\cdot 0 \\implies 8 \\geq 0 \\checkmark\\]\n\n**Weryfikacja (podstawiamy \\(x = 1\\), które leży poza przedziałem):**\n\\[-3 \\cdot 1 + 8 \\geq 10 \\cdot 1 \\implies 5 \\geq 10 \\quad \\text{✗ - poprawnie poza rozwiązaniem}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia pierwiastków trójmianu po przestawieniu nierówności.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - znak trójmianu:\n- \\(a > 0\\): trójmian \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n- \\(a < 0\\): trójmian \\(\\geq 0\\) dla \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\)\n\nTo kluczowa reguła przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** odwraca znak. Najczęstszy błąd: mnożenie przez \\(-1\\) i pozostawienie \\(\\geq\\) zamiast \\(\\leq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a < 0\\), parabola jest skierowana **w dół** - trójmian jest nieujemny **między** pierwiastkami, nie na zewnątrz. Wielu uczniów odruchowo pisze odpowiedź \"na zewnątrz\" jak dla \\(a > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostra** (\\(\\geq\\)), więc granice przedziału są **domknięte** - piszemy \\(\\langle -4, \\frac{2}{3} \\rangle\\), nie otwarty nawias. Sprawdź to przez podstawienie \\(x = -4\\): \\(-3 \\cdot 16 + 8 = -40 \\geq 10 \\cdot (-4) = -40\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle -4, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wyróżnik\nPrzenosimy na jedną stronę: \\(-3x^{2} - 10x + 8 \\geq 0\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = (-10)^{2} - 4\\cdot (-3)\\cdot 8 = 100 + 96 = 196\\). \\(\\sqrt{\\Delta} = 14\\).\n\\[x_{1} = \\dfrac{10 - 14}{-6} = \\dfrac{-4}{-6} = \\dfrac{2}{3},\\qquad x_{2} = \\dfrac{10 + 14}{-6} = \\dfrac{24}{-6} = -4.\\]\nZatem pierwiastki: \\(-4\\) i \\(\\dfrac{2}{3}\\). Ponieważ \\(a = -3 < 0\\) (ramiona w dół), parabola jest \\(\\geq 0\\) MIĘDZY pierwiastkami:\n\\[x\\in \\left\\langle -4, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - wzory Viety\nZauważmy, że \\(-4\\) jest pierwiastkiem: \\(-3\\cdot 16 - 10\\cdot (-4) + 8 = -48 + 40 + 8 = 0\\). ✓\nZ Viety dla \\(-3x^{2} - 10x + 8\\): \\(x_{1}x_{2} = \\dfrac{8}{-3} = -\\dfrac{8}{3}\\). Jeśli \\(x_{1} = -4\\), to \\(x_{2} = \\dfrac{-8/3}{-4} = \\dfrac{2}{3}\\). ✓\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za wyznaczenie pierwiastków \\(-4\\) i \\(\\tfrac{2}{3}\\).\n- **2 pkt** za poprawny zbiór rozwiązań \\(\\left\\langle -4, \\tfrac{2}{3}\\right\\rangle\\) (lub zaznaczenie na osi z poprawnymi końcami).\n\n**Trik:** gdy współczynnik \\(a < 0\\), parabola z ramionami w dół - nierówność \\(\\geq 0\\) daje MIĘDZY pierwiastkami (nie na zewnątrz).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że 𝑥≠𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n(1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n\nEMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y prawdziwa jest nierówność (1/5x + 4/5y)² < x^2+4y^2/5.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy przekształci nierówność (1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\ndo postaci 𝑐⋅[𝑊(𝑥, 𝑦)]2 > 0 lub\n-𝑐⋅[𝑊(𝑥, 𝑦)]2 < 0 (gdzie 𝑊 jest wielomianem, 𝑐> 0).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tj. spełni warunek określony w zasadach oceniania za\n1 pkt i, korzystając z założenia, przeprowadzi wnioskowanie o prawdziwości tezy.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie nierówność (1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n:\n(1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n1\n25 𝑥2 + 8\n25 𝑥𝑦+ 16\n25 𝑦2 < 𝑥2 + 4𝑦2\n5\n𝑥2 + 8𝑥𝑦+ 16𝑦2 < 5𝑥2 + 20𝑦2\n-4𝑥2 + 8𝑥𝑦-4𝑦2 < 0\n𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0\n(𝑥-𝑦)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠𝑦, więc (𝑥-𝑦)2 jest liczbą dodatnią jako kwadrat liczby\nrzeczywistej 𝑥-𝑦 różnej od zera. Ponieważ nierówność (𝑥-𝑦)2 > 0 jest prawdziwa,\nwięc nierówność (1\n5 𝑥+ 4\n5 𝑦)\n2\n< 𝑥2 + 4𝑦2\n5\nrównież jest prawdziwa. To należało pokazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich $x \\neq y$\n\nZadanie polega na udowodnieniu nierówności - nie ma wyboru odpowiedzi. Dowód przeprowadzimy dwoma metodami.\n\n## Sposób 1 - Algebraiczne przekształcenie do postaci oczywistej\n\n**Idea:** Pokażemy, że lewa strona odjęta od prawej daje wyrażenie, które jest zawsze dodatnie gdy $x \\neq y$.\n\n**Krok 1.** Rozpisujemy lewą stronę nierówności:\n\\[\\left(\\frac{1}{5}x + \\frac{4}{5}y\\right)^2 = \\left(\\frac{x + 4y}{5}\\right)^2 = \\frac{(x+4y)^2}{25}\\]\n\n**Krok 2.** Chcemy pokazać, że:\n\\[\\frac{(x+4y)^2}{25} < \\frac{x^2 + 4y^2}{5}\\]\n\nMnożymy obie strony przez $25 > 0$ (nierówność nie zmienia kierunku):\n\\[(x + 4y)^2 < 5(x^2 + 4y^2)\\]\n\n**Krok 3.** Rozwijamy lewą stronę (wzór skróconego mnożenia):\n\\[x^2 + 8xy + 16y^2 < 5x^2 + 20y^2\\]\n\n**Krok 4.** Przenosimy wszystko na prawą stronę:\n\\[0 < 4x^2 - 8xy + 4y^2\\]\n\n**Krok 5.** Wyciągamy $4$ przed nawias i rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[0 < 4(x^2 - 2xy + y^2) = 4(x - y)^2\\]\n\n**Krok 6.** Korzystamy z założenia $x \\neq y$:\n\nPonieważ $x \\neq y$, mamy $x - y \\neq 0$, a zatem $(x-y)^2 > 0$.\n\nStąd $4(x-y)^2 > 0$. ✓\n\nKażde przekształcenie było równoważne, zatem **nierówność jest udowodniona**. $\\blacksquare$\n\n## Sposób 2 - Nierówność Cauchy'ego-Schwarza\n\n**Idea:** Nierówność Cauchy'ego-Schwarza daje gotowe narzędzie, dzięki któremu dowód jest jednolinijkowy - wystarczy dobrać odpowiednie wektory.\n\n**Nierówność C-S** dla wektorów $(p_1, p_2)$ i $(q_1, q_2)$:\n\\[(p_1 q_1 + p_2 q_2)^2 \\leq (p_1^2 + p_2^2)(q_1^2 + q_2^2)\\]\nz równością wtedy i tylko wtedy, gdy $\\dfrac{p_1}{q_1} = \\dfrac{p_2}{q_2}$.\n\n**Dobieramy wektory:** niech $p_1 = 1,\\ p_2 = 2,\\ q_1 = x,\\ q_2 = 2y$.\n\nPodstawiamy do C-S:\n\\[\\underbrace{(1 \\cdot x + 2 \\cdot 2y)^2}_{(x+4y)^2} \\leq \\underbrace{(1^2 + 2^2)}_{5} \\cdot \\underbrace{(x^2 + (2y)^2)}_{x^2 + 4y^2}\\]\n\nZatem:\n\\[(x + 4y)^2 \\leq 5(x^2 + 4y^2)\\]\n\n**Kiedy zachodzi równość?** Tylko gdy $\\dfrac{p_1}{q_1} = \\dfrac{p_2}{q_2}$, czyli $\\dfrac{1}{x} = \\dfrac{2}{2y}$, co daje $x = y$.\n\nSkoro $x \\neq y$ - równość **nie zachodzi**, mamy nierówność ostrą:\n\\[(x + 4y)^2 < 5(x^2 + 4y^2)\\]\n\nDzielimy obie strony przez $25 > 0$:\n\\[\\frac{(x+4y)^2}{25} < \\frac{x^2 + 4y^2}{5}\\]\n\nCo jest dokładnie dowodziną nierównością:\n\\[\\left(\\frac{1}{5}x + \\frac{4}{5}y\\right)^2 < \\frac{x^2 + 4y^2}{5} \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyty w Sposobie 1 (krok 5) do rozpoznania, że $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.\n\nPoza tym dowód korzysta wyłącznie z podstawowych działań algebraicznych - nierówność Cauchy'ego-Schwarza **nie znajduje się na karcie wzorów CKE**, ale jest twierdzeniem matematycznym, które można przywołać lub udowodnić wprost. Na maturze zdecydowanie bezpieczniejszy jest Sposób 1.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to rozwinięcie lewej strony i przeniesienie wyrazów, ale bez zamiany nierówności $<$ na $\\leq$ lub $>$ - pilnuj kierunku nierówności przy każdym mnożeniu przez liczbę ujemną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek $x \\neq y$ jest **kluczowy** - bez niego $(x-y)^2 = 0$ i nierówność byłaby nieostra (lewa strona równałaby się prawej). Koniecznie wspomnij o tym w dowodzie - bez tego ostatni krok jest niekompletny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno „sprawdzać\" nierówności dla konkretnych wartości $x, y$ i uważać to za dowód. Zadanie mówi „dla każdej\" - wymagany jest dowód ogólny, nie przykład.\n\n**Poprawna odpowiedź: Dowód**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - wzory skróconego mnożenia\nPrzekształcamy równoważnie nierówność:\n\\[\\left(\\dfrac{1}{5}x + \\dfrac{4}{5}y\\right)^{2} < \\dfrac{x^{2} + 4y^{2}}{5}.\\]\nLewa strona: \\(\\dfrac{1}{25}x^{2} + \\dfrac{8}{25}xy + \\dfrac{16}{25}y^{2}\\).\nMnożymy obie strony przez 25:\n\\[x^{2} + 8xy + 16y^{2} < 5x^{2} + 20y^{2}.\\]\nPrzenosimy:\n\\[0 < 4x^{2} - 8xy + 4y^{2} = 4(x^{2} - 2xy + y^{2}) = 4(x - y)^{2}.\\]\nZ założenia \\(x \\neq y\\) mamy \\((x-y)^{2} > 0\\), więc \\(4(x-y)^{2} > 0\\). To było do wykazania. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2 - nierówność Jensena (Schwarza) dla kwadratów\nDla średniej ważonej: \\(\\left(\\tfrac{1}{5}a + \\tfrac{4}{5}b\\right)^{2} \\leq \\tfrac{1}{5}a^{2} + \\tfrac{4}{5}b^{2}\\) (nierówność wypukłości), z równością gdy \\(a = b\\). Podstawiając \\(a = x\\), \\(b = 2y\\) (bo \\(\\tfrac{4}{5}\\cdot 2y = \\tfrac{8}{5}y\\), ale to inna struktura) - można dokładniej dowodzić wprost jak w Sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za przekształcenie do postaci \\(c\\cdot [W(x,y)]^{2} > 0\\) lub \\(-c\\cdot [W]^{2} < 0\\), \\(c>0\\).\n- **2 pkt** za pełne rozumowanie: z założenia \\(x \\neq y\\) wynika \\((x-y)^{2}>0\\), stąd teza.\n- **Uwaga**: sprawdzenie dla konkretnych wartości \\(x, y\\) to **0 pkt**.\n\n**Trik:** przy dowodach nierówności staraj się sprowadzić do postaci \\((\\ldots)^{2} > 0\\) - zawsze prawdziwej dla niezerowego argumentu.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"algebra","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto 𝑓(0) = 8.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓.\n\nEMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe 2. Ponadto f(0)=8. Wyznacz wzór funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej/kanonicznej z uwzględnieniem\ninformacji, że liczba 2 jest jedynym miejscem zerowym funkcji: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2\nALBO\nskorzysta z własności funkcji kwadratowej i zapisze wartość wyrazu wolnego\nfunkcji 𝑓, np. 𝑐= 8, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 8,\nALBO\nzapisze równanie 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 lub -𝑏\n2𝑎= 2.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami\nwspółczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 8, 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)2.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej/kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 ,\ngdzie 𝑎≠0. Ponieważ 𝑓(0) = 8, więc 8 = 𝑎(0 -2)2, skąd 𝑎= 2.\nZatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)2.\nSposób 2.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐,\ngdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ. Ponieważ 𝑓(0) = 8, więc 𝑐= 8. Funkcja 𝑓 ma dokładnie\njedno miejsce zerowe równe 2, więc\nΔ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 i 𝑥0 = -𝑏\n2𝑎= 2.\nZatem 𝑏2 -4𝑎⋅8 = 0 i 𝑏= -4𝑎. Stąd otrzymujemy (-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0.\nRozwiązujemy równanie (-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0:\n(-4𝑎)2 -4𝑎⋅8 = 0\n16𝑎2 -32𝑎= 0\n16𝑎(𝑎-2) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎= 0 lub 𝑎= 2\nFunkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -4𝑎= -8.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 8.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x-2)^2\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna (jedno miejsce zerowe → wiedza o wierzchołku)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Funkcja kwadratowa ma *dokładnie jedno* miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(\\Delta = 0\\), czyli gdy to miejsce zerowe jest jednocześnie wierzchołkiem paraboli.\n\nSkoro jedyne miejsce zerowe to \\(x_0 = 2\\), to wierzchołek leży na osi \\(OX\\) w punkcie \\(W = (2, 0)\\).\n\n**Korzystamy z postaci kanonicznej:**\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\n\nPodstawiamy \\(p = 2\\), \\(q = 0\\):\n\\[f(x) = a(x - 2)^2\\]\n\nTeraz wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a(0 - 2)^2 = 4a = 8\\]\n\\[a = 2\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{f(x) = 2(x-2)^2}\\]\n\nMożemy też zapisać w postaci ogólnej:\n\\[f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) = 2x^2 - 8x + 8\\]\n\n## Sposób 2 - Postać iloczynowa\n\nFunkcja kwadratowa z jednym miejscem zerowym \\(x_1 = x_2 = 2\\) w postaci iloczynowej:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x-2)(x-2) = a(x-2)^2\\]\n\nTo identyczny punkt startowy jak w Sposobie 1 - dalej wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a \\cdot (0-2)^2 = 4a = 8 \\implies a = 2\\]\n\n**Weryfikacja pełna:**\n- Miejsce zerowe: \\(f(2) = 2(2-2)^2 = 2 \\cdot 0 = 0\\) ✓\n- Wartość w \\(x=0\\): \\(f(0) = 2(0-2)^2 = 2 \\cdot 4 = 8\\) ✓\n- Jeden pierwiastek (podwójny): \\(\\Delta = 0\\) ✓\n\n\\[\\boxed{f(x) = 2(x-2)^2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 1 - wiedząc, że jedyne miejsce zerowe to \\(x = 2\\), od razu wiemy, że \\(p = 2\\) i \\(q = 0\\).\n\nPostać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 2 - gdy \\(x_1 = x_2 = 2\\), obie postaci dają ten sam wynik.\n\nWarunek jednego miejsca zerowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0\\]\nTo właśnie sprawia, że parabola dotyka osi \\(OX\\) w jednym punkcie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Dokładnie jedno miejsce zerowe\" nie znaczy, że \\(f\\) jest liniowa - to funkcja *kwadratowa* z podwójnym pierwiastkiem (\\(\\Delta = 0\\)). Nie zapominaj o współczynniku \\(a\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że mamy dwa warunki - miejsce zerowe i \\(f(0) = 8\\). Sam fakt \\(x_0 = 2\\) nie wyznacza \\(f\\) jednoznacznie: \\(a(x-2)^2\\) to cała rodzina parabol. Dopiero wartość \\(f(0) = 8\\) \"przypina\" konkretną parabolę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno automatycznie przyjąć \\(a = 1\\). Współczynnik \\(a\\) zawsze wyznaczamy z dodatkowego warunku (tu: \\(f(0) = 8\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 2(x - 2)^{2} = 2x^{2} - 8x + 8\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - postać iloczynowa/kanoniczna\nSkoro funkcja kwadratowa ma DOKŁADNIE JEDNO miejsce zerowe \\(x_{0} = 2\\), to:\n\\[f(x) = a(x - 2)^{2},\\qquad a \\ne 0.\\]\nZ warunku \\(f(0) = 8\\): \\(a(0 - 2)^{2} = 8\\Rightarrow 4a = 8\\Rightarrow a = 2\\).\nZatem \\(f(x) = 2(x - 2)^{2} = 2x^{2} - 8x + 8\\).\n\n### Sposób 2 - postać ogólna\n\\(f(x) = ax^{2} + bx + c\\). Z \\(f(0) = c = 8\\). Jedno miejsce zerowe: \\(\\Delta = b^{2} - 4ac = 0\\) i wierzchołek w \\(x_{0} = 2\\), więc \\(-\\dfrac{b}{2a} = 2\\Rightarrow b = -4a\\).\nPodstawiamy do \\(\\Delta = 0\\): \\((-4a)^{2} - 4a\\cdot 8 = 0\\Rightarrow 16a^{2} - 32a = 0\\Rightarrow 16a(a-2) = 0\\). \\(a \\ne 0\\), więc \\(a = 2\\) i \\(b = -8\\).\n\\(f(x) = 2x^{2} - 8x + 8\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za postać \\(f(x) = a(x-2)^{2}\\) albo zapisanie \\(c = 8\\), albo ustalenie warunku \\(\\Delta = 0\\).\n- **2 pkt** za prawidłowe \\(f(x) = 2x^{2} - 8x + 8\\).\n\n**Trik:** \"dokładnie jedno miejsce zerowe\" funkcji kwadratowej = podwójny pierwiastek = \\(\\Delta = 0\\) = postać \\(a(x - x_{0})^{2}\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"funkcje","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nTrójwyrazowy ciąg (𝑥, 3𝑥+ 2, 9𝑥+ 16) jest geometryczny. Oblicz 𝑥.\n\nEMAP-P0_100\nTrójwyrazowy ciąg (x, 3x+2, 9x+16) jest geometryczny. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze równanie z niewiadomą 𝑥, wynikające z zastosowania definicji/własności\nciągu geometrycznego, np. (3𝑥+ 2)2 = 𝑥⋅(9𝑥+ 16)\nALBO\nzapisze dwa równania z dwiema niewiadomymi (z których jedną jest 𝑥), wynikające\nz treści zadania, np. 3𝑥+ 2 = 𝑥⋅𝑞 oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni kryterium z zasad oceniania za 1 pkt i obliczy wszystkie wartości 𝑥, dla których\nciąg (𝑥, 3𝑥+ 2, 9𝑥+ 16) jest geometryczny: 𝑥= 1.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko 𝑥= 1, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ ciąg (0, 2, 16) nie jest geometryczny, więc 𝑥≠0. Ciąg (-2\n3 , 0, 10) nie jest\ngeometryczny, więc 𝑥≠-2\n3 . Korzystamy z definicji/własności ciągu geometrycznego\ni zapisujemy równanie\n3𝑥+ 2\n𝑥\n= 9𝑥+ 16\n3𝑥+ 2\nStąd dalej otrzymujemy\n(9𝑥+ 16)𝑥= (3𝑥+ 2)2\n9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4\n4𝑥= 4\n𝑥= 1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 2.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i zapisujemy równanie\n𝑥⋅(9𝑥+ 16) = (3𝑥+ 2)2\nStąd otrzymujemy dalej\n9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4\n4𝑥= 4\n𝑥= 1\nCiąg (1, 5, 25) jest geometryczny, więc 𝑥= 1.\nSposób 3.\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego. Stosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu\ni otrzymujemy równania\n3𝑥+ 2 = 𝑥⋅𝑞 oraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2\nLiczba 𝑥= 0 nie spełnia żadnego z tych dwóch równań, więc 𝑥≠0. Zatem\n𝑞= 3𝑥+2\n𝑥\noraz 9𝑥+ 16 = 𝑥⋅𝑞2\nStąd dalej otrzymujemy\n9𝑥+ 16 = 𝑥⋅(3𝑥+ 2\n𝑥\n)\n2\n(9𝑥+ 16)𝑥= (3𝑥+ 2)2\n9𝑥2 + 16𝑥= 9𝑥2 + 12𝑥+ 4\n4𝑥= 4\n𝑥= 1\nCiąg (1, 5, 25) jest geometryczny, więc 𝑥= 1.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\)\n\nCiąg ma wyrazy \\((1,\\ 5,\\ 25)\\) - iloraz \\(q = 5\\).\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[(3x + 2)^2 = x \\cdot (9x + 16)\\]\n\nRozwijamy lewą stronę wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\):\n\\[9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x\\]\n\nOdejmujemy \\(9x^2\\) od obu stron:\n\\[12x + 4 = 16x\\]\n\n\\[4 = 4x\\]\n\n\\[\\boxed{x = 1}\\]\n\n**Sprawdzenie:** wyrazy ciągu to \\((1,\\ 5,\\ 25)\\). Iloraz: \\(\\frac{5}{1} = 5\\), \\(\\frac{25}{5} = 5\\). ✓\n\n## Sposób 2 - warunek stałości ilorazu\n\nCiąg jest geometryczny wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{3x + 2}{x} = \\frac{9x + 16}{3x + 2}\\]\n\nMnożymy na krzyż (to samo co Sposób 1, ale inny punkt wyjścia):\n\\[(3x+2)^2 = x(9x+16)\\]\n\\[9x^2 + 12x + 4 = 9x^2 + 16x\\]\n\\[4 = 4x \\implies x = 1\\]\n\n**Uwaga:** oba sposoby prowadzą do tego samego równania, bo własność \\((a_2)^2 = a_1 a_3\\) jest dokładnie równoważna stałości ilorazu. Ważne, żeby rozumieć dlaczego - oba zapisy mówią to samo.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 dla \\(n = 2\\): \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy do rozwinięcia \\((3x+2)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać \\((3x+2) - x = (9x+16) - (3x+2)\\) - to warunek ciągu **arytmetycznego**, nie geometrycznego! To jest najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(x\\) sprawdź, czy **żaden wyraz nie jest zerem** - w ciągu geometrycznym wszystkie wyrazy muszą być niezerowe. Tu \\(x = 1 \\neq 0\\), \\(3(1)+2 = 5 \\neq 0\\) - jest OK.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((3x+2)^2 = x(9x+16)\\) jest **kwadratowe**, ale po rozwinięciu wyrazy \\(9x^2\\) znoszą się - zostaje równanie liniowe z jednym rozwiązaniem. Nie panikuj, że \"za mało\" rozwiązań - tak ma być.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 1\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - własność ciągu geometrycznego\nDla ciągu geometrycznego \\((a, b, c)\\) zachodzi: \\(b^{2} = a\\cdot c\\).\nPonadto \\(x \\neq 0\\) (ciąg \\((0, 2, 16)\\) nie jest geometryczny).\n\\[(3x + 2)^{2} = x(9x + 16).\\]\n\\[9x^{2} + 12x + 4 = 9x^{2} + 16x.\\]\n\\[4 = 4x\\Rightarrow x = 1.\\]\nSprawdzenie: \\((1, 5, 25)\\) - iloraz \\(\\dfrac{5}{1} = 5\\) i \\(\\dfrac{25}{5} = 5\\). ✓\n\n### Sposób 2 - przez iloraz\nIloraz \\(q = \\dfrac{3x+2}{x} = \\dfrac{9x+16}{3x+2}\\) (przy \\(x \\neq 0\\) i \\(3x+2 \\neq 0\\)).\nZ proporcji: \\((3x+2)^{2} = x(9x+16)\\) - to samo równanie, \\(x = 1\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za zapisanie równania z definicji/własności ciągu geometrycznego.\n- **2 pkt** za poprawny wynik \\(x = 1\\).\n- **Uwaga:** podanie tylko \\(x = 1\\) bez uzasadnienia = **0 pkt**.\n\n**Trik:** w ciągu geometrycznym każdy wyraz to ŚREDNIA GEOMETRYCZNA sąsiadów: \\(b = \\sqrt{ac}\\) (gdy wszystkie dodatnie), czyli \\(b^{2} = ac\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"ciagi","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trapez prostokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷. Podstawa 𝐴𝐵 tego trapezu jest równa 26, a ramię 𝐵𝐶\nma długość 24. Przekątna 𝐴𝐶 tego trapezu jest prostopadła do ramienia 𝐵𝐶 (zobacz\nrysunek). Oblicz długość ramienia 𝐴𝐷.\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n26\n24\n\nEMAP-P0_100\nDany jest trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB tego trapezu jest równa 26, a ramię BC ma długość 24. Przekątna AC tego trapezu jest prostopadła do ramienia BC (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia AD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nobliczy długość przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 10\nALBO\nzapisze, że trójkąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐴𝐵 są podobne,\nALBO\nzapisze związek między długościami odpowiednich boków trójkątów 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐵𝐴\nwynikający z podobieństwa tych trójkątów, np. |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝐵𝐴|.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia długości ramienia 𝐴𝐷 i otrzyma poprawny\nwynik: |𝐴𝐷| = 10 ⋅24\n26 .\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość przekątnej 𝐴𝐶 trapezu:\n|𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐵|2\n|𝐴𝐶|2 + 242 = 262\n|𝐴𝐶| = √100 = 10\nPonieważ 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 są równoległe, więc kąty naprzemianległe 𝐶𝐴𝐵 oraz 𝐷𝐶𝐴 mają\nrówne miary. Z równości |∡𝐶𝐴𝐵| = |∡𝐷𝐶𝐴| oraz |∡𝐴𝐶𝐵| = |∡𝐶𝐷𝐴| = 90° otrzymujemy\n|∡𝐶𝐵𝐴| = |∡𝐷𝐴𝐶|. Zatem trójkąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐶𝐴𝐵 są podobne na podstawie cechy kkk\npodobieństwa trójkątów. Stąd\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝐵𝐴|\n|𝐴𝐷|\n10 = 24\n26\n|𝐴𝐷| = 120\n13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(AD = \\dfrac{120}{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + wysokość w trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1. Wyznaczamy AC z warunku AC ⊥ BC.**\n\nSkoro przekątna \\(AC\\) jest prostopadła do ramienia \\(BC\\), w trójkącie \\(ABC\\) mamy kąt prosty przy wierzchołku \\(C\\). Odcinek \\(AB = 26\\) jest zatem przeciwprostokątną. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:\n\n\\[AB^2 = AC^2 + BC^2\\]\n\\[26^2 = AC^2 + 24^2\\]\n\\[676 = AC^2 + 576\\]\n\\[AC^2 = 100 \\implies \\boxed{AC = 10}\\]\n\nZauważ: to trójkąt podobny do trójkąta \\(5{-}12{-}13\\), skalowanego przez \\(2\\).\n\n**Krok 2. Identyfikujemy kąt prosty trapezu.**\n\nW trapez prostokątnym \\(ABCD\\) z podstawą \\(AB\\) kąt prosty jest przy ramieniu **AD** (tzn. \\(AD \\perp AB\\) i \\(AD \\perp DC\\)). Dlaczego nie przy \\(BC\\)? Bo gdyby \\(BC \\perp AB\\), wtedy \\(|AC| = \\sqrt{26^2 + 24^2} \\approx 35{,}4\\), co stoi w sprzeczności z otrzymanym \\(AC = 10\\). Kąt prosty musi być przy A i D.\n\n**Krok 3. Wyznaczamy AD jako wysokość trapezu.**\n\nUstawiamy: \\(A = (0,0)\\), \\(B = (26, 0)\\), \\(D = (0, AD)\\), \\(C = (DC, AD)\\).\n\nWysokość trapezu to odległość między podstawami, równa \\(AD\\). Jednocześnie jest to odległość punktu \\(C\\) od prostej \\(AB\\) - czyli **wysokość opuszczona z wierzchołka \\(C\\) na przeciwprostokątną \\(AB\\)** w trójkącie prostokątnym \\(ABC\\).\n\nWzór na tę wysokość (z twierdzenia o wysokości w trójkącie prostokątnym):\n\n\\[h_c = \\frac{AC \\cdot BC}{AB} = \\frac{10 \\cdot 24}{26} = \\frac{240}{26} = \\boxed{\\frac{120}{13}}\\]\n\nPonieważ \\(AD = h_c\\):\n\n\\[\\boxed{AD = \\frac{120}{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda współrzędnych (weryfikacja)\n\nUstawiamy układ współrzędnych: \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (26, 0)\\), \\(D = (0, h)\\), \\(C = (c, h)\\), gdzie \\(h = AD\\).\n\n**Warunek AC ⊥ BC** (iloczyn skalarny wektorów \\(\\overrightarrow{CA}\\) i \\(\\overrightarrow{CB}\\) równy zero):\n\n\\[\\overrightarrow{CA} = (-c,\\, -h), \\qquad \\overrightarrow{CB} = (26 - c,\\, -h)\\]\n\n\\[\\overrightarrow{CA} \\cdot \\overrightarrow{CB} = (-c)(26-c) + (-h)(-h) = 0\\]\n\n\\[-26c + c^2 + h^2 = 0 \\implies c^2 + h^2 = 26c \\quad \\text{ (I)}\\]\n\n**Warunek BC = 24:**\n\n\\[(c - 26)^2 + h^2 = 576\\]\n\\[c^2 - 52c + 676 + h^2 = 576\\]\n\nPodstawiamy (I): \\(c^2 + h^2 = 26c\\):\n\n\\[26c - 52c + 676 = 576\\]\n\\[-26c = -100 \\implies c = \\frac{50}{13}\\]\n\nZ równania (I):\n\n\\[h^2 = 26 \\cdot \\frac{50}{13} - \\left(\\frac{50}{13}\\right)^2 = 100 - \\frac{2500}{169} = \\frac{16900 - 2500}{169} = \\frac{14400}{169}\\]\n\n\\[h = \\frac{120}{13} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad \\text{(gdy } \\gamma = 90°\\text{)}\\]\nUżyliśmy go w Kroku 1 do wyznaczenia \\(AC = 10\\) z \\(AB^2 = AC^2 + BC^2\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16) - Pole trójkąta:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nPośrednio użyliśmy go, bo \\(h_c = \\frac{2P}{AB}\\), a \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot AC \\cdot BC\\). Stąd:\n\\[h_c = \\frac{AC \\cdot BC}{AB}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo założyć, że kąt prosty trapezu jest przy B (tzn. \\(BC \\perp AB\\)). Wtedy \\(AC = \\sqrt{26^2 + 24^2} \\approx 35{,}4\\) - a warunek \\(AC \\perp BC\\) nie może być spełniony. Najpierw sprawdź, która konfiguracja jest spójna!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(AC \\perp BC\\) i odcinek \\(AB\\) jest przeciwprostokątną, to szukamy \\(AC = \\sqrt{AB^2 - BC^2}\\), a **nie** \\(\\sqrt{AB^2 + BC^2}\\). Pomylenie znaku to klasyczny błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trapezu (= \\(AD\\)) jest równa wysokości opuszczonej z C na AB w trójkącie ABC, bo \\(DC \\parallel AB\\) i \\(AD \\perp AB\\). Dopiero po dostrzeżeniu tej zależności rachunki stają się proste.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(|AD| = \\dfrac{120}{13}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - twierdzenie Pitagorasa + podobieństwo trójkątów\nW trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) (\\(\\angle ACB = 90^{\\circ}\\)):\n\\[|AC|^{2} + |BC|^{2} = |AB|^{2}\\Rightarrow |AC|^{2} + 576 = 676\\Rightarrow |AC| = 10.\\]\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\) (podstawy trapezu), kąty naprzemianległe \\(\\angle CAB = \\angle ACD\\), a \\(\\angle ACB = \\angle ADC = 90^{\\circ}\\) (trapez prostokątny). Stąd \\(\\triangle DCA \\sim \\triangle CAB\\) (kkk).\nZ podobieństwa:\n\\[\\dfrac{|AD|}{|AC|} = \\dfrac{|BC|}{|AB|}\\Rightarrow \\dfrac{|AD|}{10} = \\dfrac{24}{26}\\Rightarrow |AD| = \\dfrac{240}{26} = \\dfrac{120}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - funkcje trygonometryczne\nW \\(\\triangle ABC\\): \\(\\sin(\\angle BAC) = \\dfrac{|BC|}{|AB|} = \\dfrac{24}{26} = \\dfrac{12}{13}\\). Kąt \\(\\angle DAC = \\angle BAC\\) nie - ale kąt \\(\\angle ACD\\) jest naprzemianległy do \\(\\angle CAB\\), a w \\(\\triangle ACD\\) (prostokątny, \\(\\angle D = 90^{\\circ}\\)): \\(\\sin(\\angle ACD) = \\dfrac{|AD|}{|AC|}\\), czyli \\(|AD| = 10\\cdot \\sin(\\angle BAC) = 10\\cdot \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{120}{13}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za obliczenie \\(|AC| = 10\\) lub zauważenie podobieństwa \\(\\triangle DCA \\sim \\triangle CAB\\) lub zapisanie proporcji.\n- **2 pkt** za pełne rozwiązanie z \\(|AD| = \\tfrac{120}{13}\\).\n\n**Trik:** w trapezie prostokątnym z przekątną prostopadłą do ramienia powstają dwa trójkąty podobne - zapamiętaj ten typ zadania.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od 53 losujemy jedną liczbę.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 7. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\n\nEMAP-P0_100\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od 53 losujemy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez 7. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub poda ich liczbę: |Ω| = 46\nALBO\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 i nie wypisze\nżadnego niewłaściwego: 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,\nALBO\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 7,\nALBO\nsporządzi fragment drzewa doświadczenia składający się jedynie z 7 istotnych gałęzi,\nALBO\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 7\n46 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 punkt oraz zastosuje poprawną\nmetodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 7\n46 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 46 lub 7 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozpatruje inne niż podane w treści zadania doświadczenie losowe, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe większe od 53.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 99 -53 = 46.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,\nwięc |𝐴| = 7.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 7\n46 .\nSposób 2. (drzewo stochastyczne)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe większe od 53.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 99 -53 = 46.\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia, które zawiera 7\nistotnych gałęzi, które odpowiadają zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n46 + 1\n46 + 1\n46 + 1\n46 + 1\n46 + 1\n46 + 1\n46 = 7\n46\n56\n63\n70\n77\n1\n46\n1\n46\n1\n46\n1\n46\n1\n46\n1\n46\n98\n91\n84\n1\n46\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{7}{46}\\)\n\n## Sposób 1 - Wypisanie elementów przestrzeni zdarzeń\n\n**Krok 1: Wyznacz przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\)**\n\nSzukamy wszystkich liczb naturalnych **dwucyfrowych większych od 53**.\n\nLiczby dwucyfrowe to: \\(10, 11, \\ldots, 99\\).\n\nWarunek \"większych od 53\" oznacza: \\(54, 55, 56, \\ldots, 99\\).\n\nLiczba elementów przestrzeni:\n\\[|\\Omega| = 99 - 54 + 1 = 46\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz zdarzenie \\(A\\) - liczby podzielne przez 7**\n\nSzukamy wielokrotności 7 w przedziale \\(\\langle 54, 99 \\rangle\\).\n\nPierwsza wielokrotność 7 po 53:\n\\[7 \\cdot 8 = 56 \\geq 54 \\quad \\checkmark\\]\n\nWypisuję kolejne:\n\\[56, \\quad 63, \\quad 70, \\quad 77, \\quad 84, \\quad 91, \\quad 98\\]\n\nSprawdzam ostatnią: \\(7 \\cdot 15 = 105 > 99\\) - nie spełnia warunku.\n\nZatem:\n\\[|A| = 7\\]\n\n**Krok 3: Oblicz prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{7}{46}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda przez kolejne wielokrotności 7\n\n**Wyznaczam zakres wielokrotności 7 wprost ze wzoru \\(a_n = 7n\\):**\n\nWarunek: \\(54 \\leq 7n \\leq 99\\)\n\n\\[\\frac{54}{7} \\leq n \\leq \\frac{99}{7}\\]\n\\[7{,}71\\ldots \\leq n \\leq 14{,}14\\ldots\\]\n\nWartości całkowite \\(n\\): \\(n \\in \\{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\\}\\)\n\nLiczba takich \\(n\\): \\(14 - 8 + 1 = 7\\)\n\nPrzestrzeń zdarzeń bez wyliczania:\n\\[|\\Omega| = 99 - 53 = 46\\]\n\n(liczby od 54 do 99 - czyli 99 minus 53, bo \"większe od 53\")\n\nWynik identyczny:\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{7}{46}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nZastosowanie: podzieliliśmy liczbę sprzyjających wyników (liczby podzielne przez 7) przez całkowitą liczbę możliwych wyników (wszystkie liczby dwucyfrowe większe od 53).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Dwucyfrowe **większe od 53**\" - to liczby od **54**, nie od 53! Słowo \"większe\" oznacza nierówność ostrą (\\(> 53\\)), więc 53 **nie wchodzi** do \\(\\Omega\\). Gdyby zadanie mówiło \"nie mniejsze niż 53\", byłoby 47 elementów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\(|\\Omega| = 99 - 54 + 1\\) - pamiętaj o **+1**! Uczniowie często piszą \\(99 - 54 = 45\\) i otrzymują zły mianownik. Ogólna zasada: liczba całkowitych od \\(a\\) do \\(b\\) to \\(b - a + 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu wielokrotności 7 w przedziale - wyznacz **pierwszą** i **ostatnią** wielokrotność w zakresie, a potem policz: \\(\\text{ostatni indeks} - \\text{pierwszy indeks} + 1 = 14 - 8 + 1 = 7\\). To szybsze niż ręczne wypisywanie (i bezpieczniejsze - nie zgubisz żadnej liczby).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{7}{46}\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - klasyczna definicja prawdopodobieństwa\n\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\).\n\nZdarzenia elementarne: wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe większe od \\(53\\), czyli \\(54, 55, \\ldots, 99\\).\n\\[|\\Omega| = 99 - 53 = 46.\\]\nLiczby podzielne przez 7 w tym zakresie: \\(56, 63, 70, 77, 84, 91, 98\\) (bo \\(7\\cdot 8 = 56\\), a \\(7\\cdot 14 = 98\\)).\n\\[|A| = 7.\\]\n\\[P(A) = \\dfrac{7}{46}.\\]\n\n### Sposób 2 - wypisanie i sprawdzenie\nNajmniejsza liczba \\(>53\\) podzielna przez 7: \\(7\\cdot \\lceil 54/7\\rceil = 7\\cdot 8 = 56\\).\nNajwiększa liczba dwucyfrowa podzielna przez 7: \\(7\\cdot 14 = 98\\).\nLiczba wielokrotności 7 w przedziale \\([56, 98]\\): \\(14 - 8 + 1 = 7\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za obliczenie \\(|\\Omega| = 46\\) LUB \\(|A| = 7\\) LUB wypisanie sprzyjających.\n- **2 pkt** za pełne rozwiązanie z \\(P(A) = \\tfrac{7}{46}\\).\n\n**Trik:** liczba wielokrotności liczby \\(k\\) w przedziale \\([a, b]\\) to \\(\\left\\lfloor \\tfrac{b}{k}\\right\\rfloor - \\left\\lfloor \\tfrac{a-1}{k}\\right\\rfloor\\).","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nPunkt 𝐴= (1, -3) jest wierzchołkiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nPunkt 𝑆= (5, -1) jest środkiem odcinka 𝐴𝐵. Wierzchołek 𝐶 tego trójkąta leży na prostej\no równaniu 𝑦= 𝑥+ 10. Oblicz współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 tego trójkąta.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkt A=(1,-3) jest wierzchołkiem trójkąta ABC, w którym |AC|=|BC|. Punkt S=(5,-1) jest środkiem odcinka AB. Wierzchołek C tego trójkąta leży na prostej o równaniu y=x+10. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dane dwa punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej\ndanej w postaci kierunkowej i przechodzi\nprzez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy spełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy lub poda współrzędne wierzchołka 𝐵: 𝐵= (9, 1)\n2) obliczy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 (𝐴𝑆): 𝑎𝐴𝐵= 𝑎𝐴𝑆= 1\n2\n3) zapisze współrzędne wierzchołka 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐶= (𝑥, 𝑥+ 10).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni dwa z warunków 1)-3) określonych w zasadach oceniania za 1 pkt.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i wyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆: 𝐵= (9,1) ,\n𝑦= -2(𝑥-5) -1\nALBO\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i zapisze równanie z dwiema niewiadomymi\n(współrzędnymi wierzchołka 𝐶): 𝐵= (9,1) oraz\n(√(𝑥-1)2 + (𝑦-(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥-9)2 + (𝑦-1)2)\n2\n,\nALBO\nzapisze 𝐶= (𝑥, 𝑥+ 10) oraz\n(√(1 -5)2 + (-3 -(-1))\n2)\n2\n+ (√(𝑥-5)2 + (𝑦-(-1))\n2)\n2\n= (√(𝑥-1)2 + (𝑦-(-3)2)\n2\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐵 i zapisze równanie z jedną niewiadomą\n(współrzędną wierzchołka 𝐶): 𝐵= (9,1) oraz -2𝑥+ 9 = 𝑥+ 10 lub\n(√(𝑥-1)2 + (𝑥+ 10 -(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥-9)2 + (𝑥+ 10 -1)2)\n2\n, lub\n(√(1 -5)2 + (-3 -(-1))\n2)\n2\n+ (√(𝑥-5)2 + (𝑥+ 10 -(-1))\n2)\n2\n= (√(𝑥-1)2 + (𝑥+ 10 -(-3)2)\n2\nALBO\nobliczy współrzędne wierzchołka 𝐶 i nie obliczy poprawnie współrzędnych\nwierzchołka 𝐵: 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze\npoprawny wynik: 𝐵= (9, 1), 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nUwaga:\nJeśli zdający błędnie obliczy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do 𝐴𝐵\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (symetralna odcinka)\nKorzystamy ze wzorów na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne punktu\n𝐵= (𝑥𝐵, 𝑦𝐵):\n𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n= 𝑥𝑆 i 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n= 𝑦𝑆\n1 + 𝑥𝐵\n2\n= 5 i -3 + 𝑦𝐵\n2\n= -1\n𝑥𝐵= 9 i 𝑦𝐵= 1\nZatem 𝐵= (9, 1).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc wierzchołek 𝐶 leży na prostej prostopadłej do 𝐴𝐵 (do 𝐴𝑆)\ni jednocześnie przechodzącej przez punkt 𝑆.\nWyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵 (𝐴𝑆):\n𝑎𝐴𝐵= 𝑎𝐴𝑆= -1 -(-3)\n5 -1\n= 1\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd współczynnik kierunkowy prostej 𝐶𝑆 jest równy 𝑎𝐶𝑆= -\n1\n𝑎𝐴𝐵 = -2. Zapisujemy\nrównanie prostej 𝐶𝑆: 𝑦= -2(𝑥-5) -1, czyli 𝑦= -2𝑥+ 9.\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia prostej 𝐶𝑆 z prostą o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc\nwspółrzędne punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania\n𝑦𝐶= 𝑥𝐶+ 10 oraz 𝑦𝐶= -2𝑥𝐶+ 9\nStąd otrzymujemy\n𝑥𝐶+ 10 = -2𝑥𝐶+ 9 oraz 𝑦𝐶= 𝑥𝐶+ 10\n𝑥𝐶= -1\n3 oraz 𝑦𝐶= -1\n3 + 10 = 29\n3\nZatem 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nSposób 2. (równość długości ramion)\nWspółrzędne punktu 𝐵 wyznaczamy tak, jak w sposobie 1.\nWierzchołek 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑥𝐶+ 10).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc\n(√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶-(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥𝐶-9)2 + (𝑦𝐶-1)2)\n2\nStąd otrzymujemy dalej\n(√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 -(-3))\n2)\n2\n= (√(𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 10 -1)2)\n2\n(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 -(-3))\n2 = (𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 10 -1)2\n(𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 13)2 = (𝑥𝐶-9)2 + (𝑥𝐶+ 9)2\n𝑥𝐶\n2 -2𝑥𝐶+ 1 + 𝑥𝐶\n2 + 26𝑥𝐶+ 169 = 𝑥𝐶\n2 -18𝑥𝐶+ 81 + 𝑥𝐶\n2 + 18𝑥𝐶+ 81\n24𝑥𝐶= -8\n𝑥𝐶= -1\n3\nZatem 𝑥𝐶+ 10 = -1\n3 + 10 = 29\n3 i 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).\nSposób 3. (twierdzenie Pitagorasa)\nWspółrzędne wierzchołka 𝐵 obliczamy tak, jak w sposobie 1.\nWierzchołek 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 10, więc 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑥𝐶+ 10).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc kąt 𝐴𝑆𝐶 jest prosty. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do\ntrójkąta 𝐴𝑆𝐶 i otrzymujemy\n|𝐴𝑆|2 + |𝐶𝑆|2 = |𝐶𝐴|2\n√20\n2 + (√(𝑥𝐶-5)2 + (𝑦𝐶-(-1))\n2)\n2\n= (√(𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶-(-3))2)\n2\nStąd otrzymujemy dalej\n20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑦𝐶+ 1)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑦𝐶+ 3)2\n20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑥𝐶+ 10 + 1)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 10 + 3)2\n20 + (𝑥𝐶-5)2 + (𝑥𝐶+ 11)2 = (𝑥𝐶-1)2 + (𝑥𝐶+ 13)2\n20 + 𝑥𝐶\n2 -10𝑥𝐶+ 25 + 𝑥𝐶\n2 + 22𝑥𝐶+ 121 = 𝑥𝐶\n2 -2𝑥𝐶+ 1 + 𝑥𝐶\n2 + 26𝑥𝐶+ 169\n-12𝑥𝐶= 4\n𝑥𝐶= -1\n3\nZatem 𝑥𝐶+ 10 = -1\n3 + 10 = 29\n3 i 𝐶= (-1\n3 , 29\n3 ).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(B = (9, 1)\\), \\quad \\(C = \\left(-\\frac{1}{3},\\ \\frac{29}{3}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka + symetralność\n\n**Krok 1: Wyznacz wierzchołek B ze środka S.**\n\nSkoro \\(S = (5, -1)\\) jest środkiem odcinka \\(AB\\), a \\(A = (1, -3)\\):\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2} \\implies 5 = \\frac{1 + x_B}{2} \\implies x_B = 9\\]\n\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_B}{2} \\implies -1 = \\frac{-3 + y_B}{2} \\implies y_B = 1\\]\n\n**Zatem \\(B = (9, 1)\\).**\n\n**Krok 2: Użyj warunku \\(|AC| = |BC|\\).**\n\nWarunek \\(|AC| = |BC|\\) oznacza, że punkt \\(C\\) leży na **symetralnej odcinka \\(AB\\)** (czyli na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez jego środek \\(S\\)).\n\nWyznaczamy nachylenie \\(AB\\):\n\n\\[a_{AB} = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{1 - (-3)}{9 - 1} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\nNachylenie symetralnej (prostopadłej do \\(AB\\)):\n\n\\[a_\\perp = -\\frac{1}{a_{AB}} = -2\\]\n\nRównanie symetralnej \\(AB\\) (przechodzi przez \\(S = (5, -1)\\)):\n\n\\[y - (-1) = -2(x - 5)\\]\n\\[y = -2x + 10 - 1\\]\n\\[y = -2x + 9\\]\n\n**Krok 3: Znajdź C jako przecięcie symetralnej z prostą \\(y = x + 10\\).**\n\n\\[\\begin{cases} y = -2x + 9 \\\\ y = x + 10 \\end{cases}\\]\n\n\\[-2x + 9 = x + 10\\]\n\\[-3x = 1\\]\n\\[x = -\\frac{1}{3}\\]\n\n\\[y = -\\frac{1}{3} + 10 = \\frac{29}{3}\\]\n\n**Zatem \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3},\\ \\dfrac{29}{3}\\right)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez obliczenie odległości\n\nSprawdzamy, czy rzeczywiście \\(|AC| = |BC|\\).\n\n\\[|AC|^2 = \\left(-\\frac{1}{3} - 1\\right)^2 + \\left(\\frac{29}{3} - (-3)\\right)^2 = \\left(-\\frac{4}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{38}{3}\\right)^2 = \\frac{16}{9} + \\frac{1444}{9} = \\frac{1460}{9}\\]\n\n\\[|BC|^2 = \\left(-\\frac{1}{3} - 9\\right)^2 + \\left(\\frac{29}{3} - 1\\right)^2 = \\left(-\\frac{28}{3}\\right)^2 + \\left(\\frac{26}{3}\\right)^2 = \\frac{784}{9} + \\frac{676}{9} = \\frac{1460}{9}\\]\n\n\\(|AC|^2 = |BC|^2 = \\dfrac{1460}{9}\\) ✓\n\nSprawdzamy też, czy \\(C\\) leży na prostej \\(y = x + 10\\):\n\n\\[\\frac{29}{3} \\stackrel{?}{=} -\\frac{1}{3} + 10 = \\frac{-1 + 30}{3} = \\frac{29}{3} \\checkmark\\]\n\nWszystko się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(B\\) ze środka \\(S\\).\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy w weryfikacji (Sposób 2) do sprawdzenia \\(|AC| = |BC|\\).\n\nProste prostopadłe:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia nachylenia symetralnej \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|AC| = |BC|\\) nie oznacza, że \\(C\\) leży na środku \\(AB\\) - oznacza, że \\(C\\) leży na **symetralnej** \\(AB\\). To prosty błąd koncepcyjny, który całkowicie zmienia rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej **prostopadłej** to \\(-\\dfrac{1}{a}\\), nie \\(\\dfrac{1}{a}\\). Łatwo tu o pomyłkę ze znakiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(B\\) ze wzoru na środek - pamiętaj, że \\(S\\) to środek całego odcinka \\(AB\\), więc \\(x_B = 2x_S - x_A\\). Można też podstawiać bezpośrednio do definicji środka - oba podejścia są równoważne.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(B = (9, 1)\\), \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{29}{3}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 (karta wzorów) - symetralna odcinka\n**Krok 1 - wyznaczenie \\(B\\):** ze wzoru na środek odcinka \\(S = \\left(\\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}, \\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}\\right)\\):\n\\[\\dfrac{1 + x_{B}}{2} = 5\\Rightarrow x_{B} = 9,\\qquad \\dfrac{-3 + y_{B}}{2} = -1\\Rightarrow y_{B} = 1.\\]\nZatem \\(B = (9, 1)\\).\n\n**Krok 2 - wyznaczenie \\(C\\):** Ponieważ \\(|AC| = |BC|\\), wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej \\(AB\\), czyli na prostej prostopadłej do \\(AB\\) przechodzącej przez \\(S\\).\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\dfrac{1 - (-3)}{9 - 1} = \\dfrac{4}{8} = \\dfrac{1}{2}\\).\nWspółczynnik symetralnej: \\(a_{CS} = -\\dfrac{1}{a_{AB}} = -2\\).\nRównanie \\(CS\\): \\(y - (-1) = -2(x - 5)\\Rightarrow y = -2x + 9\\).\n\n**Krok 3 - przecięcie z prostą \\(y = x + 10\\):**\n\\(-2x + 9 = x + 10\\Rightarrow -3x = 1\\Rightarrow x = -\\dfrac{1}{3}\\).\n\\(y = -\\dfrac{1}{3} + 10 = \\dfrac{29}{3}\\).\nZatem \\(C = \\left(-\\dfrac{1}{3}, \\dfrac{29}{3}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - równość długości ramion\nJak wyżej wyznaczamy \\(B = (9, 1)\\). Następnie \\(C = (x_{C}, x_{C} + 10)\\) (leży na danej prostej). Z warunku \\(|AC|^{2} = |BC|^{2}\\):\n\\[(x_{C}-1)^{2} + (x_{C}+10+3)^{2} = (x_{C}-9)^{2} + (x_{C}+10-1)^{2}.\\]\nRozwijamy: \\((x_{C}-1)^{2} + (x_{C}+13)^{2} = (x_{C}-9)^{2} + (x_{C}+9)^{2}\\).\n\\[x_{C}^{2} - 2x_{C} + 1 + x_{C}^{2} + 26x_{C} + 169 = x_{C}^{2} - 18x_{C} + 81 + x_{C}^{2} + 18x_{C} + 81.\\]\n\\[24x_{C} + 170 = 162\\Rightarrow 24x_{C} = -8\\Rightarrow x_{C} = -\\dfrac{1}{3}.\\]\n\\(y_{C} = -\\dfrac{1}{3} + 10 = \\dfrac{29}{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **1 pkt** za jedno z: obliczenie \\(B = (9,1)\\), lub współczynnik \\(a_{AB} = \\tfrac{1}{2}\\), lub zapis \\(C = (x, x+10)\\).\n- **2 pkt** za dwa z powyższych.\n- **3 pkt** za \\(B\\) + równanie prostej \\(CS\\) lub \\(B\\) + równanie na \\(x_{C}\\).\n- **4 pkt** za zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego wyznaczyć \\(C\\), lub błędne wyznaczenie \\(B\\) ale poprawne \\(C\\).\n- **5 pkt** za pełną poprawną odpowiedź: \\(B = (9,1)\\), \\(C = \\left(-\\tfrac{1}{3}, \\tfrac{29}{3}\\right)\\).\n\n**Trik:** gdy dwa ramiona są równe (\\(|AC|=|BC|\\)), wierzchołek \\(C\\) leży na symetralnej przeciwległego boku \\(AB\\) - to najszybsza droga.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}