{"paper":{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWiadomo, że log5 2 = 𝑎 i log5 3 = 𝑏. Wtedy liczba log18 40 jest równa\nA. 3𝑎+1\n𝑎+𝑏\nB. 2𝑎+1\n𝑎+𝑏\nC. 2𝑎+1\n𝑎+2𝑏\nD. 3𝑎+1\n2𝑏+𝑎\nWiadomo, że log_5 2 = a i log_5 3 = b. Wtedy liczba log_18 40 jest równa A. 3a+1/a+b B. 2a+1/a+b C. 2a+1/a+2b D. 3a+1/2b+a","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR1.2) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nGranica lim\n𝑥→-3 0,5𝑥2+3,5𝑥+6\n-𝑥2+2𝑥+15 jest równa\nA. (-1\n8)\nB. 1\n16\nC. (-1\n16)\nD. 7\n4\nGranica lim_{x→-3} 0,5x² + 3,5x + 6 / -x^2+2x+15 jest równa A. (-1/8) B. 1/16 C. (-1/16) D. 7/4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR11.1) oblicza granice funkcji (i granice\njednostronne), korzystając z twierdzeń\no działaniach na granicach i z własności\nfunkcji ciągłych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nSumą wektorów 𝑎⃗= [2 + 2𝑚, 2\n3 𝑛+ 1] oraz 𝑏⃗⃗= [𝑛+ 1, 𝑚+ 2] jest wektor 𝑐⃗=[0, 0].\nWynika stąd, że\nA. 𝑚= 1 i 𝑛= 3.\nB. 𝑚= -9 i 𝑛= -21.\nC. 𝑚= 3 i 𝑛= -9.\nD. 𝑚= -1 i 𝑛= 0.\nSumą wektorów a = [2+2m,2/3n+1] oraz b = [n+1, m+2] jest wektor c=[0,0]. Wynika stąd, że A. m=1 i n=3. B. m=-9 i n=-21 C. m=3 i n=-9. D. m=-1 i n=0.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR8.4) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora; dodaje i odejmuje wektory oraz\nmnoży je przez liczbę. Interpretuje\ngeometryczne działania na wektorach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"analityczna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nPole trójkąta ostrokątnego o bokach 5 i 8 jest równe 12. Długość trzeciego boku tego\ntrójkąta jest równa\nA. 5\nB. 8\nC. √41\nD. √143\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nPole trójkąta ostrokątnego o bokach 5 i 8 jest równe 12. Długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa A. 5 B. 8 C. √41 D. √143","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR7.4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"planimetria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWśród 390 pracowników pewnej firmy jest 150 kobiet i 240 mężczyzn. Wśród nich w wieku\nprzedemerytalnym jest 21 kobiet i 43 mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia\npolegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym - pod\nwarunkiem że jest mężczyzną.\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po\nprzecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nWśród 390 pracowników pewnej firmy jest 150 kobiet i 240 mężczyzn. Wśród nich w wieku przedemerytalnym jest 21 kobiet i 43 mężczyzn. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że losowo wybrany pracownik tej firmy jest w wieku przedemerytalnym - pod warunkiem że jest mężczyzną. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":"1","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR10.2) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1\n7\n9\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":"179","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że\n𝑥≠𝑦, spełniona jest nierówność\n𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)\n\nEMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że x≠y, spełniona jest nierówność x^4 + y^4 > xy(x^2+y^2)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3;\nR2.3) rozkłada wielomian na czynniki,\nstosując wzory skróconego mnożenia lub\nwyłączając wspólny czynnik przed nawias.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p\ngdy przekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 2 p\ngdy:\nprzekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0\nALBO\nprzekształci nierówność do postaci (𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0 oraz rozpatrzy i uzasadni\nprawdziwość tej nierówności dla jednego z przypadków: 𝑥< 𝑦 albo 𝑥> 𝑦.\nZdający otrzymuje 3 p\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy nierówność równoważnie w następujący sposób:\n𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥𝑦(𝑥2 + 𝑦2)\n𝑥4 + 𝑦4 > 𝑥3𝑦+ 𝑥𝑦3\n𝑥4 -𝑥3𝑦+ 𝑦4 -𝑥𝑦3 > 0\n𝑥3(𝑥-𝑦) + 𝑦3(𝑦-𝑥) > 0\n𝑥3(𝑥-𝑦) -𝑦3(𝑥-𝑦) > 0\n(𝑥-𝑦)(𝑥3 -𝑦3) > 0\n(𝑥-𝑦)(𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0\n(𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0\nZ założenia 𝑥≠𝑦, więc wyrażenie (𝑥-𝑦)2 jest dodatnie jako kwadrat liczby różnej od\nzera. Wyrażenie 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i każdej liczby\nrzeczywistej 𝑦 takiej, że 𝑥≠𝑦. Zatem lewa strona nierówności\n(𝑥-𝑦)2(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) > 0 jest iloczynem czynników dodatnich, więc iloczyn ten jest\ndodatni. To kończy dowód.\nUwaga:\nPrawdziwość nierówności 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦\ntakich, że 𝑥≠𝑦 możemy wykazać następująco.\nGdy 𝑥 i 𝑦 są jednocześnie liczbami różnymi od zera, to wobec tożsamości\n𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 = (𝑥-𝑦)2 + 3𝑥𝑦= (𝑥+ 𝑦)2 + (-𝑥𝑦) liczbę 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 można\nprzedstawić jako sumę liczby nieujemnej i liczby dodatniej. Zatem 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0.\nGdy dokładnie jedna z liczb 𝑥, 𝑦 jest zerem (przyjmijmy, że 𝑥), to wtedy\n𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 = 𝑦2 więc liczba 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 jest dodatnia jako kwadrat liczby różnej od\nzera.\nPrawdziwość nierówności 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 > 0 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦\ntakich, że 𝑥≠𝑦 możemy również wykazać poprzez badanie funkcji kwadratowej\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2 zmiennej rzeczywistej 𝑥 z parametrem 𝑦.","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują\ndokładnie dwie cyfry nieparzyste.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nOblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR10.1) wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji\nz powtórzeniami do zliczania obiektów\nw sytuacjach kombinatorycznych.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy spełni jeden z poniższych czterech warunków:\n1) zapisze liczbę wszystkich rozpatrywanych liczb pięciocyfrowych, w których pierwsza\ncyfra jest nieparzysta: 5 ∙4 ∙5 ∙53,\n2) zapisze liczbę wszystkich rozpatrywanych liczb pięciocyfrowych, w których pierwsza\ncyfra jest parzysta: 4 ∙(4\n2) ∙52 ∙52,\n3) zapisze liczbę wszystkich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy\nzbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz dokładnie dwa wyrazy są cyframi nieparzystymi:\n(5\n2) ∙52 ∙53,\n4) zapisze liczbę wszystkich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy\nzbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i pierwszym wyrazem jest cyfra 0: (4\n2) ∙52 ∙52.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nspełni warunki 1) oraz 2) określone w zasadach oceniania za 1 pkt\nALBO\nspełni warunki 3) oraz 4) określone w zasadach oceniania za 1 pkt.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: 27500.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRozpatrujemy dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (pierwsza cyfra jest nieparzysta).\nJeśli pierwszą cyfrą jest cyfra nieparzysta, którą możemy wybrać na 5 sposobów, to\nz czterech pozostałych miejsc wybieramy jedno, na które wstawiamy cyfrę nieparzystą.\nMożemy to zrobić na 4 ⋅5 sposobów. Na pozostałych trzech miejscach umieszczamy cyfry\nparzyste na 53 sposobów. Liczba wszystkich utworzonych w ten sposób liczb\npięciocyfrowych jest równa 5 ∙4 ∙5 ∙53 = 4 ∙55 = 12500.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 2. (pierwsza cyfra jest parzysta).\nJeśli pierwszą cyfrą jest cyfra parzysta, którą możemy wybrać na 4 sposoby, to z czterech\npozostałych miejsc wybieramy dwa, na które wstawiamy cyfry nieparzyste. Możemy to zrobić\nna (4\n2) ⋅52 sposobów. Na pozostałych dwóch miejscach umieszczamy cyfry parzyste na\n52 sposobów. Liczba wszystkich utworzonych w ten sposób liczb pięciocyfrowych jest równa\n4 ∙(4\n2) ∙52 ∙52 = 24 ∙54 = 15000.\nZatem wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych spełniających podane w zadaniu\nwarunki jest 12500 + 15000 = 27500.\nSposób 2.\nObliczamy liczbę wszystkich takich ciągów pięciowyrazowych, których wyrazami są elementy\nzbioru {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oraz dokładnie dwa wyrazy to cyfry nieparzyste, a trzy\npozostałe to cyfry parzyste. Wszystkich takich ciągów jest (5\n2) ∙52 ∙53 = (5\n2) ∙55 = 31250.\nWśród nich są ciągi, w których pierwszym wyrazem jest 0 - takich ciągów jest (4\n2) ∙52 ∙\n52 = (4\n2) ∙54 = 3750. Pozostałe ciągi reprezentują rozpatrywane liczby pięciocyfrowe,\nw których zapisie występują dokładnie dwie cyfry nieparzyste\nZatem wszystkich naturalnych liczb pięciocyfrowych spełniających podane w zadaniu\nwarunki jest 31250 -3750 = 27500.","solution":"$27500$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozwiąż nierówność\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 ≤3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność 3x+1/2x+1 ≤ 3x+4/2x+3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR3.7) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nprzekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 do postaci\n(3𝑥+1)⋅(2𝑥+3)-(3𝑥+4)(2𝑥+1)\n(2𝑥+1)⋅(2𝑥+3)\n≤0\nALBO\nprzekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 , mnożąc obie strony tej nierówności przez\niloczyn (2𝑥+ 1)2(2𝑥+ 3)2 , do postaci\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)2 -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 3)(2𝑥+ 1)2 ≤0\ngdzie 𝑥≠-3\n2 i 𝑥≠-1\n2 ,\nALBO\nprzyjmie, że 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞) i przekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3\n{mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) } do postaci\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)\nALBO\nprzyjmie, że 𝑥∈(-3\n2 , -1\n2) i przekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 {mnożąc obie\nstrony nierówności przez iloczyn (2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) } do postaci\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≥(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nprzekształci nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 do postaci iloczynowej, np.\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≥0, gdzie 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2\nALBO\nrozwiąże nierówność (3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) w zbiorze\n(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞) i zapisze, że każda liczba z tego zbioru spełnia nierówność\n(lub zapisze 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞)),\nALBO\nrozwiąże nierówność (3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) w przedziale\n(-3\n2 , -1\n2) i zapisze, że w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik:\n𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia\nznaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥= -3\n2 i 𝑥= -1\n2 , to\notrzymuje za całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZakładamy, że 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2 . Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)\n≤0\n-1\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤0\nStąd dostajemy\n4 (𝑥+ 1\n2) (𝑥+ 3\n2) ≥0 i 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2\nZatem 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nSposób 2.\nZakładamy, że 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2 . Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)2(2𝑥+ 3)2\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)2 -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 3)(2𝑥+ 1)2 ≤0\n(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)[(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1)] ≤0\n-(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) ≤0 i 𝑥≠-1\n2 i 𝑥≠-3\n2\nZatem 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nSposób 3.\n1. Rozwiązujemy nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 w zbiorze (-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) ≤0\n-1 ≤0\nZatem dla każdego 𝑥∈(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞) nierówność 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 jest\nprawdziwa.\n2. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 w zbiorze (-3\n2 , -1\n2).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n3𝑥+ 1\n2𝑥+ 1 -3𝑥+ 4\n2𝑥+ 3 ≤0 /∙(2𝑥+ 1)(2𝑥+ 3)\n(3𝑥+ 1)(2𝑥+ 3) -(3𝑥+ 4)(2𝑥+ 1) ≥0\n-1 ≥0\nNierówność -1 ≥0 jest sprzeczna, więc w przedziale (-3\n2 , -1\n2) nierówność\n3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 nie ma żadnych rozwiązań.\nOstatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3𝑥+1\n2𝑥+1 ≤3𝑥+4\n2𝑥+3 jest\n(-∞, -3\n2) ∪(-1\n2 , +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{2}\\right) \\cup \\left(-\\dfrac{1}{2}, +\\infty\\right)$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nW trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przez punkt 𝑂 przecięcia się przekątnych\npoprowadzono dwie proste równoległe do boków 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷. Prosta równoległa do boku 𝐵𝐶\nprzecina bok 𝐴𝐵 w punkcie 𝐵′, a prosta równoległa do boku 𝐴𝐷 przecina bok 𝐴𝐵\nw punkcie 𝐴′. Wykaż, że |𝐴𝐴′| = |𝐵𝐵′|.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD przez punkt O przecięcia się przekątnych poprowadzono dwie proste równoległe do boków BC i AD. Prosta równoległa do boku BC przecina bok AB w punkcie B', a prosta równoległa do boku AD przecina bok AB w punkcie A'. Wykaż, że |AA'| = |BB'|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR7.3) rozpoznaje figury podobne;\nwykorzystuje (także w kontekstach\npraktycznych) ich własności.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzauważy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴′𝐵𝑂 są podobne i zapisze\n|𝐴𝐵|\n|𝐴′𝐵| = 𝐻\nℎ\nALBO\nzauważy, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵′𝑂 są podobne i zapisze\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐵′| = 𝐻\nℎ ,\nALBO\nzapisze, że 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶 ,\nALBO\nzapisze pole równoległoboku 𝐴𝐴′𝐹𝐷 w zależności od 𝑎, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷:\n𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 1\n2 𝑎∙ℎ1 + 1\n2 𝑎∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷\nALBO\nzapisze pole równoległoboku 𝐵𝐵′𝐸𝐶 w zależności od 𝑏, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶:\n𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 1\n2 𝑏∙ℎ1 + 1\n2 𝑏∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nzapisze proporcje wynikające z podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐴′𝐵𝑂 oraz\nz podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵′𝑂:\n|𝐴𝐵|\n|𝐴′𝐵| = 𝐻\nℎ i\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐵′| = 𝐻\nℎ\nALBO\nzapisze pole równoległoboku 𝐴𝐴′𝐹𝐷 w zależności od 𝑎, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷:\n𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 1\n2 𝑎∙ℎ1 + 1\n2 𝑎∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷\noraz zapisze, że 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶,\nALBO\nzapisze pole równoległoboku 𝐵𝐵′𝐸𝐶 w zależności od 𝑏, ℎ1, ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶:\n𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 1\n2 𝑏∙ℎ1 + 1\n2 𝑏∙ℎ2 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶\noraz zapisze, że 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶 .\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (trójkąty podobne)\nOznaczmy przez 𝐻 wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷, a przez ℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝑂\nopuszczoną z punktu 𝑂 na bok 𝐴𝐵.\nPonieważ 𝐴𝐷∥𝐴′𝑂, więc |∡𝐷𝐴𝐵| = |∡𝑂𝐴′𝐵| oraz |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐴′𝑂𝐵|. Zatem trójkąty\n𝐴𝐵𝐷 i 𝐴′𝐵𝑂 są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów). Stąd\n|𝐴𝐵|\n|𝐴′𝐵| = 𝐻\nℎ\nPodobnie, ponieważ 𝐵𝐶∥𝐵′𝑂, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐴𝐵′𝑂| oraz |∡𝐵𝐶𝐴| = |∡𝐵′𝑂𝐴|. Zatem\ntrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐵′𝑂 są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów). Stąd\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐵′| = 𝐻\nℎ\nZ powyższego otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\n|𝐴′𝐵| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐵′| , czyli |𝐴′𝐵| = |𝐴𝐵′|.\nPonieważ |𝐴′𝐵| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐴′| oraz |𝐴𝐵′| = |𝐴𝐵| -|𝐵𝐵′|, więc\n|𝐴𝐵| -|𝐴𝐴′| = |𝐴𝐵| -|𝐵𝐵′|\nczyli |𝐴𝐴′| = |𝐵𝐵′|. To należało pokazać.\nSposób 2. (porównanie pól)\nWprowadzamy następujące oznaczenia:\n𝐻 - wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nℎ1 - wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝑂 opuszczona z punktu 𝑂 na bok 𝐴𝐵,\nℎ2 - wysokość trójkąta 𝐶𝐷𝑂 opuszczona z punktu 𝑂 na bok 𝐶𝐷.\n𝑎 - długość odcinka 𝐴𝐴′,\n𝑏 - długość odcinka 𝐵𝐵′,\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑂\n𝐻\nℎ\n𝐴′\n𝐵′\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥 - długość odcinka 𝐴′𝐵′.\n𝐸 - punkt przecięcia prostej 𝐵′𝑂 z odcinkiem 𝐶𝐷,\n𝐹 - punkt przecięcia prostej 𝐴′𝑂 z odcinkiem 𝐶𝐷.\nZ własności trapezu 𝐻= ℎ1 + ℎ2 oraz 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷= 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶= 𝑃.\nPonieważ 𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 𝑃Δ𝐴𝐴′𝑂+ 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷+ 𝑃Δ𝐷𝑂𝐹 , więc\n𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 1\n2 𝑎⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷+ 1\n2 𝑎⋅ℎ2\na uwzględniając, że 𝑃𝐴𝐴′𝐹𝐷= 𝑎⋅𝐻= 𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2), otrzymujemy\n𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1\n2 𝑎⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐴𝑂𝐷+ 1\n2 𝑎⋅ℎ2\n𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1\n2 𝑎⋅ℎ1 + 𝑃+ 1\n2 𝑎⋅ℎ2\n1\n2 𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃\nPodobnie, ponieważ 𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 𝑃Δ𝐵𝐵′𝑂+ 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶+ 𝑃Δ𝐶𝑂𝐸 , więc\n𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 1\n2 𝑏⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶+ 1\n2 𝑏⋅ℎ2\na uwzględniając, że 𝑃𝐵𝐵′𝐸𝐶= 𝑏⋅𝐻= 𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2), otrzymujemy\n𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1\n2 𝑏⋅ℎ1 + 𝑃Δ𝐵𝑂𝐶+ 1\n2 𝑏⋅ℎ2\n𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 1\n2 𝑏⋅ℎ1 + 𝑃+ 1\n2 𝑏⋅ℎ2\n1\n2 𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃\nZ równań 1\n2 𝑎⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃 oraz 1\n2 𝑏⋅(ℎ1 + ℎ2) = 𝑃 otrzymujemy 𝑎= 𝑏.\nTo należało pokazać.\n𝐴\n𝐵′\n𝐶\n𝐴′\n𝐷\n𝐵\n𝑎\n𝑂\n𝐸\n𝐹\nℎ1\nℎ2\n𝑥\n𝑏","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,\nktórego iloraz 𝑞 jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |𝑞| < 1.\nStosunek sumy 𝑆𝑁 wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy 𝑆𝑃\nwszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum,\ntj. 𝑆𝑁\n𝑆𝑃= 𝑆𝑁-𝑆𝑃 . Oblicz 𝑞.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek |q|<1. Stosunek sumy S_N wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy S_P wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. {S_N/ S_P} = S_N - S_P. Oblicz q.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR5.2) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zastosuje wzór na sumę szeregu geometrycznego i zapisze sumy 𝑆𝑁 i 𝑆𝑃\nw zależności od 𝑞 i - odpowiednio - 𝑎1 oraz 𝑎2 (lub tylko w zależności od 𝑞):\n𝑆𝑁=\n𝑎1\n1-𝑞2 , 𝑆𝑃=\n𝑎2\n1-𝑞2 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑞, np.\n𝑞\n1-𝑞2\n𝑞2\n1-𝑞2\n𝑞\n1-𝑞2 -\n𝑞2\n1-𝑞2 .\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie wielomianowe z jedną niewiadomą 𝑞, np. 𝑞2 -𝑞-1 = 0.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy rozwiąże równanie z niewiadomą 𝑞: 𝑞= 1-√5\n2\nlub 𝑞= 1+√5\n2\noraz odrzuci wartość\nilorazu, która nie spełnia warunków zadania, podając poprawny wynik: 𝑞= 1-√5\n2\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że każdy z ciągów (𝑎1, 𝑎3, 𝑎5, … ), (𝑎2, 𝑎4, 𝑎6, … ) jest geometryczny, a iloraz\nkażdego z nich jest równy 𝑞2. Ponieważ |𝑞| < 1, więc |𝑞2| < 1. Korzystamy ze wzoru na\nsumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego zbieżnego i otrzymujemy\n𝑆𝑁= 𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + ⋯=\n𝑎1\n1 -𝑞2 =\n𝑞\n1 -𝑞2\noraz\n𝑆𝑃= 𝑎2 + 𝑎4 + 𝑎6 + ⋯=\n𝑎2\n1 -𝑞2 =\n𝑎1𝑞\n1 -𝑞2 =\n𝑞2\n1 -𝑞2\nZatem 𝑆𝑃 jest różna od zera, gdy 0 < |𝑞| < 1.\nZ warunku\n𝑆𝑁\n𝑆𝑃= 𝑆𝑁-𝑆𝑃 otrzymujemy kolejno\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑞\n1-𝑞2\n𝑞2\n1-𝑞2\n𝑞\n1 -𝑞2 -\n𝑞2\n1 -𝑞2\n𝑞\n1 -𝑞2 ∙1 -𝑞2\n𝑞2\n𝑞\n1 -𝑞2 -\n𝑞2\n1 -𝑞2\n1\n𝑞 = 𝑞-𝑞2\n1 -𝑞2\n1\n𝑞 =\n𝑞(1 -𝑞)\n(1 -𝑞)(1 + 𝑞)\n1\n𝑞 =\n𝑞\n1 + 𝑞\n1 + 𝑞= 𝑞2\n𝑞2 -𝑞-1 = 0\n𝑞= 1 -√5\n2\nlub 𝑞= 1 + √5\n2\nSpośród otrzymanych wartości 𝑞 tylko pierwsza spełnia warunki zadania, więc ostatecznie\n𝑞= 1-√5\n2","solution":"$q = \\dfrac{1-\\sqrt{5}}{2}$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż równanie cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż równanie cos(3x) + √3sin(3x)+1=0 w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR6.6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nzapisze równanie w postaci 1\n2 cos(3𝑥) +\n√3\n2 sin(3𝑥) + 1\n2 = 0\nALBO\nzapisze alternatywę równań sin(3𝑥) = 0 lub sin(3𝑥) + √3cos(3𝑥) = 0.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nzapisze równanie sin (𝜋\n6 + 3𝑥) = -1\n2 (lub cos (3𝑥-𝜋\n3) = -1\n2)\nALBO\nrozwiąże równanie sin(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych, lecz nie odrzuci\nrozwiązań obcych równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0: 𝑥= 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘\njest liczbą całkowitą,\nALBO\nrozwiąże równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych, lecz\nnie odrzuci rozwiązań obcych równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0:\n𝑥= -𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\nzapisze poprawnie obie serie rozwiązań równania sin (𝜋\n6 + 3𝑥) = -1\n2 (lub\ncos (3𝑥-𝜋\n3) = -1\n2) w ℝ, np.: 𝑥= 𝜋\n3 + 2\n3 𝜋𝑘 lub 𝑥= -𝜋\n9 + 2\n3 𝜋𝑘 gdzie 𝑘 jest\nliczbą całkowitą (bez wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)\nALBO\nzapisze poprawnie jedno z rozwiązań równania sin (𝜋\n6 + 3𝑥) = -1\n2 (lub\ncos (3𝑥-𝜋\n3) = -1\n2) w przedziale 〈0, 𝜋〉, np.: 𝑥= 𝜋\n3 (lub 𝑥= 𝜋, lub 𝑥= 5\n9 𝜋),\nALBO\nrozwiąże równanie sin(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych i odrzuci rozwiązania\nobce: 𝑥= 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieparzystą,\nALBO\nrozwiąże równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych i\nodrzuci rozwiązania obce: 𝑥= -𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą parzystą.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania\ncos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0\ni poda prawidłowe rozwiązania w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝑥= 𝜋\n3 lub 𝑥= 𝜋 lub 𝑥= 5\n9 𝜋 .\nUwagi:\n1. Jeśli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego,\nnp. zapisuje cosinus sumy argumentów zamiast cosinusa ich różnicy i konsekwentnie\ndoprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy\nstarożytnych, np. podnosi obie strony równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) = -1 do\nkwadratu i nie odrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nDzielimy obie strony równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 przez 2 i otrzymujemy\nkolejno\ncos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0\n1\n2 cos(3𝑥) + √3\n2 sin(3𝑥) = -1\n2\nsin 𝜋\n6 cos(3𝑥) + cos 𝜋\n6 sin(3𝑥) = -1\n2\nStąd, po zastosowaniu wzoru na sinus sumy argumentów, otrzymujemy równanie\nelementarne\nsin (𝜋\n6 + 3𝑥) = -1\n2\nZatem\n𝜋\n6 + 3𝑥= 7\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub 𝜋\n6 + 3𝑥= -𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą, więc\n𝑥= 𝜋\n3 + 2\n3 𝜋𝑘 lub 𝑥= -𝜋\n9 + 2\n3 𝜋𝑘\nOgraniczamy się do przedziału 〈0, 𝜋〉 i otrzymujemy rozwiązania: 𝑥= 𝜋\n3 lub 𝑥= 𝜋 lub\n𝑥= 5\n9 𝜋 .\nSposób 2.\nDzielimy obie strony równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 przez 2 i otrzymujemy\nkolejno\ncos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0\n1\n2 cos(3𝑥) + √3\n2 sin(3𝑥) = -1\n2\ncos 𝜋\n3 cos(3𝑥) + sin 𝜋\n3 sin(3𝑥) = -1\n2\nStąd, po zastosowaniu wzoru na cosinus różnicy argumentów, otrzymujemy równanie\nelementarne\ncos (3𝑥-𝜋\n3) = -1\n2\nZatem\n3𝑥-𝜋\n3 = 2\n3 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub 3𝑥-𝜋\n3 = 4\n3 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą, więc\n𝑥= 𝜋\n3 + 2\n3 𝜋𝑘 lub 𝑥= 5\n9 𝜋+ 2\n3 𝜋𝑘\nOgraniczamy się do przedziału 〈0, 𝜋〉 i otrzymujemy rozwiązania: 𝑥= 𝜋\n3 lub 𝑥= 𝜋 lub\n𝑥= 5\n9 𝜋 .\nSposób 3. (metoda analizy starożytnych)\nRównanie zapisujemy w postaci cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) = -1 i podnosimy obie strony tego\nrównania do kwadratu, otrzymując kolejno\ncos2(3𝑥) + 2√3 sin(3𝑥) cos(3𝑥) + 3 sin2(3𝑥) = 1\n1 + 2 sin2(3𝑥) + 2√3 sin(3𝑥) cos(3𝑥) = 1\n2 sin 3𝑥(sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥)) = 0\nsin(3𝑥) = 0 lub sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0\nRozwiązujemy równanie sin(3𝑥) = 0:\n3𝑥= 𝑘⋅𝜋\n𝑥= 1\n3 𝜋⋅𝑘\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.\nSprawdzamy, czy wśród liczb postaci 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, nie ma\nrozwiązań obcych.\nGdy 𝑘 jest liczbą parzystą, to wtedy\ncos (3 ⋅1\n3 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (3 ⋅1\n3 𝜋⋅𝑘) + 1 = cos(𝜋⋅𝑘) + √3 sin(𝜋⋅𝑘) + 1 =\n= cos 0 + √3 sin 0 + 1 = 1 + 0 + 1 ≠0\nGdy 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to wtedy\ncos (3 ⋅1\n3 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (3 ⋅1\n3 𝜋⋅𝑘) + 1 =\n= cos(𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + √3 sin(𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + 1 =\n= cos 𝜋+ √3 sin 𝜋+ 1 = -1 + √3 ⋅0 + 1 = 0\nZatem liczby postaci 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieparzystą, są rozwiązaniami\nrównania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0.\nRozwiązujemy równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLiczby postaci 𝜋\n6 + 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, nie spełniają równania\nsin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0, ponieważ sin (3 ⋅(𝜋\n6 + 1\n3 𝜋⋅𝑘)) = sin (𝜋\n2 + 𝜋⋅𝑘) ≠0\ni cos (3 ⋅(𝜋\n6 + 1\n3 𝜋⋅𝑘)) = cos (𝜋\n2 + 𝜋⋅𝑘) = 0.\nNatomiast gdy 𝑥≠𝜋\n6 + 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, to wtedy cos(3𝑥) ≠0, więc\ndzieląc równanie sin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0 otrzymujemy kolejno\nsin(3𝑥) + √3 cos(3𝑥) = 0\ntg(3𝑥) + √3 = 0\ntg(3𝑥) = -√3\n3𝑥= -𝜋\n3 + 𝜋⋅𝑘\n𝑥= -𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.\nSprawdzamy, czy wśród liczb postaci -𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, nie ma\nrozwiązań obcych.\nGdy 𝑘 jest liczbą parzystą, to wtedy\ncos (3 ⋅(-𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘)) + √3 sin (3 ⋅(-𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘)) + 1 =\n= cos (-𝜋\n3 + 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (-𝜋\n3 + 𝜋⋅𝑘) + 1 = cos (-𝜋\n3) + √3 sin (-𝜋\n3) + 1 =\n= 1\n2 + √3 ⋅(-√3\n2 ) + 1 = 0\nGdy 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to wtedy\ncos (3 ⋅(-𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘)) + √3 sin (3 ⋅(-𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘)) + 1 =\n= cos (-𝜋\n3 + 𝜋⋅𝑘) + √3 sin (-𝜋\n3 + 𝜋⋅𝑘) + 1 =\n= cos (-𝜋\n3 + 𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + √3 sin (-𝜋\n3 + 𝜋⋅(𝑘-1) + 𝜋) + 1 =\n= cos (2𝜋\n3 ) + √3 sin (2𝜋\n3 ) + 1 = -1\n2 + √3 ⋅√3\n2 + 1 ≠0\nZatem liczby postaci -𝜋\n9 + 1\n3 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą parzystą, są rozwiązaniami\nrównania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0.\nZapisujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) + √3 sin(3𝑥) + 1 = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉:\n𝑥= 𝜋\n3 lub 𝑥= 𝜋 lub 𝑥= 5\n9 𝜋 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x = \\dfrac{\\pi}{3}$ lub $x = \\pi$ lub $x = \\dfrac{5}{9}\\pi$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nPodstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1 jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷\nwpisany w okrąg o środku 𝑂 i promieniu 𝑅. Dłuższa podstawa 𝐴𝐵 trapezu jest średnicą\ntego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2𝛼 (zobacz\nrysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do\npłaszczyzny podstawy pod kątem o mierze 𝛼. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako\nfunkcję promienia 𝑅 i miary kąta 𝛼.\n𝐴\n𝐷\n𝐷1\n𝐶1\n𝐵1\n𝑂\n𝐵\n𝐴1\n𝐶\n𝑅\n𝑅\n2𝛼\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nPodstawą graniastosłupa prostego ABCDA_1B_1C_1D_1 jest trapez równoramienny ABCD wpisany w okrąg o środku O i promieniu R. Dłuższa podstawa AB trapezu jest średnicą tego okręgu, a krótsza - cięciwą odpowiadającą kątowi środkowemu o mierze 2α (zobacz rysunek). Przekątna ściany bocznej zawierającej ramię trapezu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze α. Wyznacz objętość tego graniastosłupa jako funkcję promienia R i miary kąta α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.1) rozpoznaje w graniastosłupach kąty\nmiędzy odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza\nmiary tych kątów;\n9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości graniastosłupów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nobliczy miarę kąta 𝐷𝐵𝐶: |∡𝐷𝐵𝐶| = 𝛼\nALBO\nobliczy miarę kąta 𝑂𝐶𝐸: |∡𝑂𝐶𝐸| = 𝛼\nALBO\nobliczy miarę kąta 𝐵𝑂𝐶 (lub 𝐴𝑂𝐷): |∡𝐵𝑂𝐶| = 90° -𝛼\nALBO\nzapisze związek między |𝐶𝐷|, 𝑅 oraz 𝛼 otrzymany z zastosowania twierdzenia\ncosinusów do trójkąta 𝐶𝑂𝐷, np. |𝐶𝐷|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos(2𝛼)\nALBO\nzapisze\n1\n2⋅|𝐶𝐷|\n𝑅\n= sin 𝛼.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nobliczy długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼\nALBO\nobliczy wysokość ℎ trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): ℎ= 𝑅cos𝛼\nALBO\nzapisze związek między |𝐵𝐶|, 𝑅 oraz 𝛼 (otrzymany np. z zastosowania\ntwierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝑂𝐶 albo twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶),\nnp. |𝐵𝐶|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos(90° -𝛼),\n|𝐵𝐶|\n𝑠𝑖𝑛(45°-𝛼\n2) = 2𝑅.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\nobliczy długość ramienia 𝐵𝐶 (lub 𝐴𝐷) trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz\ndługość podstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼\n(lub |𝐴𝐷| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼) oraz |𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼\nALBO\nobliczy długość ramienia 𝐵𝐶 (lub 𝐴𝐷) trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz\nwysokość ℎ trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): |𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼 (lub\n|𝐴𝐷| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼) oraz ℎ= 𝑅cos𝛼.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\nobliczy wysokość 𝐻 graniastosłupa (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz długość\npodstawy 𝐶𝐷 trapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): 𝐻= 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼 oraz\n|𝐶𝐷| = 2𝑅sin 𝛼\nALBO\nobliczy wysokość 𝐻 graniastosłupa (w zależności od 𝑅 i 𝛼) oraz wysokość ℎ\ntrapezu (w zależności od 𝑅 i 𝛼): 𝐻= 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼 oraz ℎ= 𝑅cos𝛼.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy obliczy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 𝑅3 ⋅sin 𝛼∙(1 -sin 𝛼) ⋅√2 -2 sin 𝛼.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ |∡𝐶𝑂𝐷| = 2𝛼, więc |∡𝐷𝐵𝐶| = 𝛼 jako miara kąta wpisanego opartego na tym\nsamym łuku, co kąt środkowy 𝐶𝑂𝐷.\nObliczamy długość krótszej podstawy 𝐶𝐷 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOkrąg o środku 𝑂 i promieniu 𝑅 jest okręgiem opisanym na trójkącie 𝐵𝐶𝐷. Do trójkąta\n𝐵𝐶𝐷 stosujemy twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|\nsin|∡𝐷𝐵𝐶| = 2𝑅\n𝐴\n𝐷\n𝐷1\n𝐶1\n𝐵1\n𝑂\n𝐵\n𝐴1\n𝐶\n𝑅\n𝑅\n2𝛼\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼= 2𝑅\nStąd |𝐶𝐷| = 2𝑅⋅sin 𝛼.\nPonieważ trójkąty 𝐴𝑂𝐷 i 𝐵𝑂𝐶 są przystające oraz |∡𝐶𝑂𝐷| = 2𝛼, więc\n| ∡𝐴𝑂𝐷| = | ∡𝐵𝑂𝐶| = 180° -2𝛼\n2\n= 90° -𝛼\nObliczamy wysokość ℎ trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nNiech 𝐶𝐸 będzie wysokością trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 na podstawę\n𝐴𝐵 trapezu (zobacz rysunek powyżej). Z trójkąta 𝑂𝐸𝐶 otrzymujemy\nℎ\n𝑅= sin(90° -𝛼) = cos 𝛼\nStąd ℎ= 𝑅cos 𝛼.\nObliczamy wysokość 𝐻 graniastosłupa.\nMiara kąta nachylenia przekątnej 𝐵1𝐶 ściany bocznej 𝐵𝐶𝐶1𝐵1 do płaszczyzny podstawy\n𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa 𝛼, więc\n𝐻\n|𝐵𝐶| = tg 𝛼\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝑂𝐶 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy\n|𝐵𝐶|2 = 𝑅2 + 𝑅2 -2𝑅⋅𝑅⋅cos|∡𝐵𝑂𝐶|\n|𝐵𝐶|2 = 2𝑅2 -2𝑅2 ⋅cos(90° -𝛼)\n|𝐵𝐶|2 = 2𝑅2 -2𝑅2 ⋅sin 𝛼\n|𝐵𝐶| = 𝑅⋅√2 -2 sin 𝛼\nZatem\n𝐻= |𝐵𝐶| ⋅tg 𝛼= 𝑅√2 -2 sin 𝛼⋅tg 𝛼\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa\n𝑉= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅ℎ⋅𝐻\n𝑉= 2𝑅+ 2𝑅⋅sin 𝛼\n2\n∙𝑅cos 𝛼∙𝑅√2 -2 sin 𝛼∙tg 𝛼\nZatem objętość graniastosłupa jest równa 𝑉= 𝑅3 sin 𝛼⋅(1 + sin 𝛼)√2 -2 sin 𝛼.","solution":"$V = R^3 \\sin \\alpha \\cdot (1 + \\sin \\alpha)\\sqrt{2 - 2 \\sin \\alpha}$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"stereometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0\nma trzy różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1, 𝑥2 oraz 𝑥3, spełniające warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (x-4)[x² + (m-3)x + m² - m - 6] = 0 ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 oraz x_3, spełniające warunek x_1⋅ x_2⋅ x_3 > x_1² + x_2² + x_3² - 5m - 51","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.1) stosuje wzory Viète’a;\nR3.2) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap\npolega na rozwiązaniu nierówności Δ > 0 i warunku 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nrozwiąże nierówność Δ > 0: 𝑚∈(-11\n3 , 3)\nALBO\nrozwiąże warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0: 𝑚≠-3-√17\n2\ni\n𝑚≠-3+√17\n2\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy rozwiąże nierówność Δ > 0 i warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0:\n𝑚∈(-11\n3 , 3) i 𝑚≠-3-√17\n2\ni 𝑚≠-3+√17\n2\nUwaga do pierwszego etapu:\nJeżeli zdający rozważa warunek Δ ≥0, to za ten etap otrzymuje co najwyżej 1 punkt.\nDrugi etap\npolega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51. Za poprawne rozwiązanie tego warunku zdający\notrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze nierówność 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51 w postaci\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51 (lub równoważnej).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy doprowadzi nierówność 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51 do postaci nierówności\nz jedną niewiadomą 𝑚, np. -[-(𝑚-3)]2 + 6 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) + 5𝑚+ 35 > 0.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy wyznaczy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51: 𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞).\nTrzeci etap\npolega na wyznaczeniu tych wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione są\njednocześnie wszystkie trzy warunki: Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0 i\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51. Za poprawne rozwiązanie tego etapu zdający\notrzymuje 1 punkt.\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie wyznaczy te wszystkie wartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie\nwarunki Δ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, i\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51: 𝑚∈(-11\n3 , -3-√17\n2\n) ∪(-3-√17\n2\n, -2) ∪(1, 3).\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, popełnia\ntylko błędy rachunkowe i rozwiązuje zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać\nco najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie rozważa warunku 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0, to może\notrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nW pierwszym etapie wyznaczamy wartości parametru 𝑚, dla których trójmian kwadratowy\n𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, z których każdy jest\nróżny od 4.\nW drugim etapie wyznaczamy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51.\nW trzecim etapie wyznaczamy (na podstawie wyników uzyskanych w etapach I i II) te\nwszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0\nma trzy różne rozwiązania spełniające warunek 𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51.\nI etap\nZauważmy, że liczba 4 jest rozwiązaniem równania\n(𝑥-4)[𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6] = 0\n(1)\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania\nrzeczywiste tylko wtedy, gdy równanie\n𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6 = 0\n(2)\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚 ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste, z których\nkażde jest różne od 4, tj. tylko wtedy, gdy\nΔ > 0 i 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0\ngdzie Δ jest wyróżnikiem trójmianu kwadratowego 𝑥2 + (𝑚-3)𝑥+ 𝑚2 -𝑚-6.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(𝑚-3)2 -4 ⋅1 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) > 0\n-3𝑚2 -2𝑚+ 33 > 0\n(𝑚-3)(-3𝑚-11) > 0\n𝑚∈(-11\n3 , 3)\nRozwiązujemy warunek 42 + (𝑚-3) ⋅4 + 𝑚2 -𝑚-6 ≠0:\n𝑚2 + 3𝑚-2 ≠0\n𝑚≠-3 -√17\n2\ni 𝑚≠-3 + √17\n2\nII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅𝑥3 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 𝑥3\n2 -5𝑚-51\ngdzie 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 są rozwiązaniami równania (1).\nPonieważ liczba 4 jest rozwiązaniem równania (1), więc przyjmujemy 𝑥3 = 4\ni rozwiązujemy warunek\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51\ngdzie 𝑥1, 𝑥2 są pierwiastkami równania (2), korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅4 > 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 + 42 -5𝑚-51\n4𝑥1 ⋅𝑥2 > (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2 -5𝑚-35\n-(𝑥1 + 𝑥2)2 + 6𝑥1 ⋅𝑥2 + 5𝑚+ 35 > 0\n-[-(𝑚-3)]2 + 6 ⋅(𝑚2 -𝑚-6) + 5𝑚+ 35 > 0\n5𝑚2 + 5𝑚-10 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n5(𝑚-1)(𝑚+ 2) > 0\n𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)\nIII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które spełniają jednocześnie następujące trzy\nwarunki:\n• 𝑚∈(-11\n3 , 3)\n𝑚≠-3-√17\n2\ni 𝑚≠-3+√17\n2\n𝑚∈(-∞, -2) ∪(1, +∞)\nOdpowiedź: 𝑚∈(-11\n3 , -3-√17\n2\n) ∪(-3-√17\n2\n, -2) ∪(1, 3).","solution":"$m \\in \\left(-\\dfrac{11}{3}, \\dfrac{-3-\\sqrt{17}}{2}\\right) \\cup \\left(\\dfrac{-3-\\sqrt{17}}{2}, -2\\right) \\cup (1, 3)$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nDane są okrąg 𝑜1 o równaniu (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98 oraz okrąg 𝑜2 o promieniu 2√5.\nŚrodki okręgów 𝑜1 i 𝑜2 leżą po różnych stronach prostej 𝑘 o równaniu 𝑦= -3𝑥-6, a punkty\nwspólne obu okręgów leżą na prostej 𝑘. Wyznacz równanie okręgu 𝑜2.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nDane są okrąg o_1 o równaniu (x-6)² + (y-4)² = 98 oraz okrąg o_2 o promieniu 2√5. Środki okręgów o_1 i o_2 leżą po różnych stronach prostej k o równaniu y=-3x-6, a punkty wspólne obu okręgów leżą na prostej k. Wyznacz równanie okręgu o_2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR8.1) oblicza odległość punktu od prostej;\nR8.2) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2 oraz opisuje\nkoła za pomocą nierówności;\nR8.3) wyznacza punkty wspólne prostej\ni okręgu.\nZasady oceniania dla sposobu 1.\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap\npolega na obliczeniu współrzędnych jednego z punktów wspólnych okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘\noraz wyznaczeniu równania prostej przechodzącej przez środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy współrzędne jednego z punktów wspólnych okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘:\n𝐴= (-19\n5 , 27\n5 ) albo 𝐵= (-1, -3).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2: 𝑦= 1\n3 𝑥+ 2.\nDrugi etap\npolega na wyznaczeniu równania okręgu 𝑜2 . Za tę część rozwiązania zdający może\notrzymać 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy uzależni współrzędne środka 𝑆2 okręgu 𝑜2 od jednej niewiadomej, np.\n𝑆2 = (𝑎, 1\n3 𝑎+ 2).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą prowadzące do obliczenia współrzędnych środka\nokręgu 𝑜2 , np.\n√(𝑎-(-1))\n2 + (1\n3 𝑎+ 2 -(-3))\n2\n= 2√5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu 𝑜2: 𝑆2 = (-3, 1).\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze równanie okręgu 𝑜2, np. (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.\nUwaga:\nJeżeli zdający nie odrzuci współrzędnych środka okręgu 𝑜2, które nie spełniają warunków\nzadania i poda dwa równania okręgów, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n5 punktów.\nZasady oceniania dla sposobu 2.\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap\npolega na obliczeniu współrzędnych punktów wspólnych 𝐴 i 𝐵 okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘 oraz\nzapisaniu układu równań, w którym niewiadomymi są współrzędne środka okręgu 𝑜2.\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy obliczy współrzędne punktu jednego z punktów: 𝐴= (-19\n5 , 27\n5 ) lub 𝐵= (-1, -3).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze układ równań, w których niewiadomymi są współrzędne 𝑎 i 𝑏 środka\nokręgu 𝑜2, np.\n{\n(𝑎-(-1))2 + (𝑏-(-3))2 = (2√5)\n2\n(𝑎-(-19\n5 ))\n2\n+ (𝑏-27\n5 )\n2\n= (2√5)\n2\nDrugi etap\npolega na wyznaczeniu równania okręgu 𝑜2 . Za tę część rozwiązania zdający może\notrzymać 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze zależność liniową między współrzędnymi 𝑎 i 𝑏 środka okręgu 𝑜2, np.\n𝑎= 3𝑏-6.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą (𝑎 lub 𝑏) prowadzące do obliczenia\nwspółrzędnych środka okręgu 𝑜2 , np.\n(3𝑏-6)2 + 𝑏2 = -2(3𝑏-6) -6𝑏+ 10.\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu 𝑜2: 𝑆2 = (-3, 1).\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zapisze równanie okręgu 𝑜2, np. (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.\nUwaga:\nJeżeli zdający nie odrzuci współrzędnych środka okręgu 𝑜2, które nie spełniają warunków\nzadania i poda dwa równania okręgów, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n5 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nI etap\nObliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘, rozwiązując\nukład równań { (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98\n𝑦= -3𝑥-6\nPo podstawieniu do równania (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98 w miejsce 𝑦 wyrażenia -3𝑥-6\notrzymujemy\n(𝑥-6)2 + (-3𝑥-6 -4)2 = 98\n(𝑥-6)2 + (-3𝑥-10)2 = 98\n𝑥2 -12𝑥+ 36 + 9𝑥2 + 60𝑥+ 100 = 98\n10𝑥2 + 48𝑥+ 38 = 0\n5𝑥2 + 24𝑥+ 19 = 0\nΔ = 242 -4 ⋅5 ⋅19 = 196\n𝑥= -19\n5 lub 𝑥= -1\nGdy 𝑥= -19\n5 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-19\n5 ) -6 = 27\n5 .\nGdy 𝑥= -1 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-1) -6 = -3.\nZatem punkty przecięcia okręgów mają współrzędne: 𝐴= (-19\n5 , 27\n5 ), 𝐵= (-1, -3).\nOznaczmy przez 𝑙 prostą, która przechodzi przez środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2. Niech\n𝑦= 𝑐𝑥+ 𝑑 będzie równaniem kierunkowym tej prostej. Wyznaczamy równanie prostej 𝑙.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nProsta 𝑙 jest prostopadła do 𝑘, więc 𝑐= 1\n3 . Ponieważ środek okręgu 𝑜1 leży na\nprostej 𝑙, więc 4 = 1\n3 ⋅6 + 𝑑. Stąd 𝑑= 2 i prosta 𝑙 ma równanie 𝑦= 1\n3 𝑥+ 2.\nII etap\nNiech 𝑆2 = (𝑎, 𝑏) będzie środkiem okręgu 𝑜2. Punkt 𝑆2 leży na prostej 𝑙, więc\n𝑆2 = (𝑎, 1\n3 𝑎+ 2). Ponieważ |𝐵𝑆2| = 2√5, więc\n√(𝑎-(-1))\n2 + (1\n3 𝑎+ 2 -(-3))\n2\n= 2√5\nStąd dalej otrzymujemy\n(𝑎+ 1)2 + (1\n3 𝑎+ 5)\n2\n= (2√5)\n2\n𝑎2 + 2𝑎+ 1 + 1\n9 𝑎2 + 10\n3 𝑎+ 25 = 20\n10\n9 𝑎2 + 16\n3 𝑎+ 6 = 0\n5𝑎2 + 24𝑎+ 27 = 0\n𝑎= -3 lub 𝑎= -9\n5\nGdy 𝑎= -3, to 𝑏= 1\n3 𝑎+ 2 = 1.\nGdy 𝑎= -9\n5 , to 𝑏= 1\n3 𝑎+ 2 = 7\n5 . Punkt (-9\n5 , 7\n5) nie spełnia warunków zadania.\nZatem 𝑆2 = (-3, 1).\nOkrąg 𝑜2 ma równanie (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.\nSposób 2.\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nI etap\nObliczamy współrzędne punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑘, rozwiązując\nukład równań { (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98\n𝑦= -3𝑥-6\nPo podstawieniu do równania (𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = 98 w miejsce 𝑦 wyrażenia -3𝑥-6\notrzymujemy\n(𝑥-6)2 + (-3𝑥-6 -4)2 = 98\n(𝑥-6)2 + (-3𝑥-10)2 = 98\n𝑥2 -12𝑥+ 36 + 9𝑥2 + 60𝑥+ 100 = 98\n10𝑥2 + 48𝑥+ 38 = 0\n5𝑥2 + 24𝑥+ 19 = 0\nΔ = 242 -4 ⋅5 ⋅19 = 196\n𝑥= -19\n5 lub 𝑥= -1\nGdy 𝑥= -19\n5 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-19\n5 ) -6 = 27\n5 .\nGdy 𝑥= -1 , to 𝑦= -3𝑥-6 = -3 ⋅(-1) -6 = -3.\nZatem punkty przecięcia okręgów mają współrzędne: 𝐴= (-19\n5 , 27\n5 ), 𝐵= (-1, -3).\nNiech 𝑆2 = (𝑎, 𝑏) będzie środkiem okręgu 𝑜2. Ponieważ punkty 𝐴= (-19\n5 , 27\n5 ) oraz\n𝐵= (-1, -3) należą do okręgu 𝑜2 o promieniu 2√5, więc\n{\n(𝑎-(-1))2 + (𝑏-(-3))2 = (2√5)\n2\n(𝑎-(-19\n5 ))\n2\n+ (𝑏-27\n5 )\n2\n= (2√5)\n2\nII etap\nObliczamy współrzędne środka okręgu 𝑜2, rozwiązując układ równań\n{\n(𝑎+ 1)2 + (𝑏+ 3)2 = (2√5)\n2\n(𝑎+ 19\n5 )\n2\n+ (𝑏-27\n5 )\n2\n= (2√5)\n2\n{\n𝑎2 + 2𝑎+ 1 + 𝑏2 + 6𝑏+ 9 = 20\n𝑎2 + 38\n5 𝑎+ 361\n25 + 𝑏2 -54\n5 𝑏+ 729\n25 = 20\n{\n𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10\n𝑎2 + 𝑏2 + 38\n5 𝑎-54\n5 𝑏= -590\n25\nPo zastąpieniu w równaniu 𝑎2 + 38\n5 𝑎+ 361\n25 + 𝑏2 -34\n5 𝑏+ 729\n25 = 20 wyrażenia 𝑎2 + 𝑏2\nprzez wyrażenie -2𝑎-6𝑏+ 10 otrzymujemy dalej\n{\n𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10\n-2𝑎-6𝑏+ 10 + 38\n5 𝑎-54\n5 𝑏= -590\n25\n{\n𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10\n28\n5 𝑎-84\n5 𝑏= -840\n25\n{ 𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10\n𝑎= 3𝑏-6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPo podstawieniu do równania 𝑎2 + 𝑏2 = -2𝑎-6𝑏+ 10 w miejsce 𝑎 wyrażenia 3𝑏-6\notrzymujemy\n(3𝑏-6)2 + 𝑏2 = -2(3𝑏-6) -6𝑏+ 10\n9𝑏2 -36𝑏+ 36 + 𝑏2 = -6𝑏+ 12 -6𝑏+ 10\n10𝑏2 -24𝑏+ 14 = 0\nΔ = (-24)2 -4 ⋅10 ⋅14 = 16\n𝑏= 1 lub 𝑏= 7\n5\nGdy 𝑏= 1, to 𝑎= -3.\nGdy 𝑏= 7\n5 , to 𝑎= -9\n5 . Punkt (-9\n5 , 7\n5) nie spełnia warunków zadania.\nZatem 𝑆2 = (-3, 1).\nOkrąg 𝑜2 ma równanie (𝑥+ 3)2 + (𝑦-1)2 = 20.","solution":"$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne 𝐴𝐵𝐶 (|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|), na których\nopisano okrąg o promieniu 𝑅= 1. Niech 𝑥 oznacza odległość środka okręgu od podstawy\n𝐴𝐵 trójkąta.\na) Wykaż, że pole 𝑃 każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości 𝑥, wyraża się wzorem\n𝑃(𝑥) = (𝑥+ 1) ⋅√1 -𝑥2.\nb) Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑃.\nc) Oblicz długość odcinka 𝑥 tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.\nOblicz to największe pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nRozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne ostrokątne ABC (|AC| = |BC|), na których opisano okrąg o promieniu R=1. Niech x oznacza odległość środka okręgu od podstawy AB trójkąta. a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości x, wyraża się wzorem P(x) = (x+1)⋅√1-x^2. b) Wyznacz dziedzinę funkcji P. c) Oblicz długość odcinka x tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nŁącznie za zadanie zdający może otrzymać 7 punktów: 2 punkty za rozwiązanie\npodpunktu a), 1 punkt za rozwiązanie podpunktu b) oraz 4 punkty za rozwiązanie\npodpunktu c).\nZasady oceniania dla podpunktu a)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze długość 𝑎 podstawy 𝐴𝐵 trójkąta oraz wysokość ℎ trójkąta opuszczoną na\npodstawę 𝐴𝐵 w zależności od odległości 𝑥 środka okręgu opisanego na trójkącie od\npodstawy 𝐴𝐵 trójkąta: 𝑎= 2√1 -𝑥2 i ℎ= 𝑥+ 1.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wykaże, że pole 𝑃 trójkąta jako funkcja zmiennej 𝑥 wyraża się wzorem\n𝑃(𝑥) = (𝑥+ 1) ⋅√1 -𝑥2 .\nZasady oceniania dla podpunktu b)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze, że dziedziną funkcji 𝑃 jest przedział (0, 1).\nZasady oceniania dla podpunktu c)\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\nwyznaczy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = -4𝑥3 -6𝑥2 + 2 dla 𝑥∈(0, 1) (dla\nsposobu 1.)\nALBO\npokaże, że dla każdego trójkąta 𝐸𝐹𝐺 wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 można\nwskazać trójkąt 𝒯 wpisany w ten okrąg taki, że 𝑃Δ𝐸𝐹𝐺≤𝑃Δ𝒯 i jeden z boków\ntrójkąta 𝒯 jest oparty na łuku długości 2\n3 𝜋𝑅 (dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\nobliczy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥= 1\n2 (dla sposobu 1.)\nALBO\npokaże, że spośród wszystkich rozpatrywanych trójkątów największe pole ma trójkąt\nrównoboczny (dla sposobu 2.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\nzbada znak pochodnej funkcji 𝑓 oraz wyznaczy (z uzasadnieniem) wartość\nzmiennej 𝑥, dla której funkcja 𝑓 przyjmuje wartość największą, np.:\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 1\n2) oraz 𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(1\n2 , 1).\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale (0, 1\n2] i malejąca w przedziale [1\n2 , 1), więc\nosiąga wartość największą dla argumentu 𝑥= 1\n2 . (dla sposobu 1.)\nALBO\npokaże, że spośród wszystkich rozpatrywanych trójkątów największe pole ma trójkąt\nrównoboczny i obliczy pole tego trójkąta równobocznego lub 𝑥: 𝑃Δ = 3√3\n4 lub 𝑥= 1\n2\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\nwyznaczy wśród rozważanych trójkątów taki trójkąt, którego pole jest największe\ni obliczy to największe pole: 3√3\n4 (dla sposobu 1.)\nALBO\npokaże, że spośród wszystkich rozpatrywanych trójkątów największe pole ma trójkąt\nrównoboczny oraz obliczy pole tego trójkąta równobocznego oraz 𝑥: 𝑃Δ = 3√3\n4 oraz\n𝑥= 1\n2 (dla sposobu 2.).\nUwagi do podpunktu c):\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-”, znak pochodnej.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuacje, gdy\nzdający:\nopisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓\nlub\nzapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość.\nJeśli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\n(za wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓 oraz obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑓).\n3. Jeżeli zdający błędnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃, ale ta dziedzina jest podzbiorem\nprzedziału (0, 1), to może otrzymać punkt za zbadanie znaku pochodnej i wyznaczenie\nargumentu, dla którego funkcja 𝑓 przyjmuje wartość największą, o ile miejsce zerowe\npochodnej należy do wyznaczonej dziedziny.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\na)\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku: 𝑎 - długość podstawy trójkąta, 𝑏 - długość ramienia\ntrójkąta, ℎ - wysokość trójkąta, 𝑥 - odległość środka okręgu opisanego na trójkącie od\npodstawy 𝐴𝐵 trójkąta, 𝑆 - środek okręgu opisanego na trójkącie, 𝐷 - spodek wysokości\n𝐶𝐷 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵 trójkąta.\nPromień okręgu jest równy 1, więc ℎ= 𝑥+ 1.\nZ geometrycznych warunków zadania wynika, że 𝑎∈(0, 2) oraz 𝑥∈(0, 1).\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝑆𝐷𝐵 i wyznaczamy 𝑎 w zależności od 𝑥:\n|𝑆𝐷|2 + |𝐷𝐵|2 = |𝐵𝑆|2\n𝑥2 + (1\n2 𝑎)\n2\n= 1\n𝑎= 2√1 -𝑥2\ngdzie 𝑥> 0 i 1 -𝑥2 > 0, tj. dla 𝑥∈(0, 1).\nZatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃= 1\n2 ⋅𝑎⋅ℎ\n𝑃(𝑥) = 1\n2 ⋅2√1 -𝑥2 ⋅(𝑥+ 1)\n𝑃(𝑥) = (𝑥+ 1) ⋅√1 -𝑥2\ndla 𝑥∈(0, 1).\n𝐴\n𝐶\n𝑏\n𝑏\n𝑅\nℎ\n𝐵\n1\n2 𝑎\n𝑥\n1\n2 𝑎\n𝑆\n𝐷\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nPole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć, korzystając ze wzoru Herona. Trójkąt jest\nrównoramienny, więc połowa 𝑝 obwodu jest równa 𝑎+2𝑏\n2\n. Zatem\n𝑃= √𝑝(𝑝-𝑎)(𝑝-𝑏)(𝑝-𝑏) = √𝑎+ 2𝑏\n2\n⋅2𝑏-𝑎\n2\n⋅𝑎\n2 ⋅𝑎\n2 = √4𝑏2 -𝑎2\n4\n⋅𝑎2\n4\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkątów 𝐵𝐶𝐷 oraz 𝑆𝐷𝐵 i otrzymujemy kolejno:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐶𝐷|2 + |𝐷𝐵|2 i |𝑆𝐷|2 + |𝐷𝐵|2 = |𝐵𝑆|2\n𝑏2 = (𝑥+ 1)2 + 1\n4 𝑎2 i 𝑥2 + 1\n4 𝑎2 = 12\n4𝑏2 -𝑎2 = 4(𝑥+ 1)2 i 1\n4 𝑎2 = 1 -𝑥2\nZatem\n𝑃= √4𝑏2 -𝑎2\n4\n⋅𝑎2\n4 = √4(𝑥+ 1)2\n4\n⋅(1 -𝑥2) = (𝑥+ 1) ⋅√1 -𝑥2\ndla 𝑥> 0 i 1 -𝑥2 > 0, tj. dla 𝑥∈(0, 1).\nb)\nDziedziną funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 jest przedział (0, 1).\nc)\nSposób 1.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑃:\n𝑃(𝑥) = (𝑥+ 1) ⋅√1 -𝑥2 = √(𝑥+ 1)2 ⋅(1 -𝑥2) = √(𝑥2 + 2𝑥+ 1)(1 -𝑥2)\n𝑃(𝑥) = √-𝑥4 -2𝑥3 + 2𝑥+ 1\nWyznaczamy wartość największą funkcji 𝑃 w przedziale (0, 1).\nTworzymy funkcję pomocniczą 𝑓 określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥4 -2𝑥3 + 2𝑥+ 1 dla\nkażdego 𝑥∈(0, 1) i szukamy argumentu, dla którego funkcja ta osiąga wartość\nnajwiększą.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = -4𝑥3 -6𝑥2 + 2 dla 𝑥∈(0, 1).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓.\nZauważmy, że liczba (-1) jest pierwiastkiem wielomianu -4𝑥3 -6𝑥2 + 2. Dzielimy\nwielomian -4𝑥3 -6𝑥2 + 2 przez dwumian 𝑥+ 1 i otrzymujemy trójmian -4𝑥2 -2𝑥+ 2.\nObliczamy pierwiastki tego trójmianu: 𝑥= -1 i 𝑥= 1\n2 . Ponieważ (-1) ∉(0, 1), więc\n𝑓′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 1\n2 .\nPonieważ 𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 1\n2) oraz 𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(1\n2 , 1), więc funkcja 𝑓 jest\nrosnąca w przedziale (0, 1\n2] i malejąca w przedziale [1\n2 , 1). Zatem funkcja 𝑓 osiąga\nwartość największą dla argumentu 𝑥= 1\n2 .\nPonieważ funkcja 𝑦(𝑡) = √𝑡, określona dla 𝑡≥0, jest funkcją rosnącą, więc funkcja 𝑃\nosiąga wartość największą dla tego samego argumentu, dla którego funkcja 𝑓 osiąga\nwartość największą.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑥= 1\n2 .\nSpośród rozważanych trójkątów największe pole ma ten, dla którego odległość 𝑥 środka\nokręgu opisanego na tym trójkącie od podstawy 𝐴𝐵 tego trójkąta jest równa 1\n2 . Pole tego\ntrójkąta jest równe 𝑃(1\n2) = (1\n2 + 1) ⋅√1 -(1\n2)\n2\n= 3\n2 ⋅√3\n4 = 3√3\n4 .\nSposób 2.\nPokażemy, że spośród wszystkich rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt\nrównoboczny.\nRozważmy dowolny trójkąt wpisany w dany okrąg o obwodzie 𝐿= 2𝜋𝑅. Jego wierzchołki\ndzielą okrąg na trzy łuki. Jeśli dany trójkąt nie jest równoboczny, to nazwijmy jego wierzchołki\ntak, by łuk 𝐸𝐹 miał długość mniejszą, a łuk 𝐸𝐺 - większą od 𝐿/3. Niech 𝐸′ będzie\npunktem symetrycznym do punktu 𝐸 względem symetralnej boku 𝐹𝐺. Wówczas każdy\npunkt 𝑃 łuku 𝐸𝐸′ jest bardziej oddalony od boku 𝐹𝐺 niż punkt 𝐸, zatem pole trójkąta\n𝐸𝐹𝐺 jest mniejsze niż pole trójkąta 𝑃𝐹𝐺: 𝑃Δ𝐸𝐹𝐺< 𝑃Δ𝑃𝐹𝐺 . Ponieważ łuk 𝐸′𝐺 ma długość\nmniejszą od 𝐿/3, punkt 𝑃 możemy wybrać tak, by łuk 𝑃𝐺 miał długość dokładnie\nrówną 𝐿/3.\nJeśli punkt 𝐹 dzieli łuk 𝐺𝑃 na połowy, to trójkąt 𝑃𝐹𝐺 jest równoboczny i dowód jest\nzakończony. W przeciwnym przypadku jeden z łuków 𝑃𝐹, 𝐹𝐺 ma długość większą, a drugi\nmniejszą od 𝐿/3. Postępując dokładnie tak samo jak w pierwszym kroku dowodu,\n𝐺\n𝐸′\n𝐹\n𝐸\n𝑃\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nznajdziemy punkt 𝑄 taki, że łuki 𝑃𝑄 oraz 𝑄𝐺 mają długość 𝐿/3 oraz pole\n𝑃Δ𝑃𝐹𝐺< 𝑃Δ𝑃𝑄𝐺 , co kończy dowód, bo trójkąt 𝑃𝑄𝐺 jest równoboczny.\nTrójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 𝑅= 1 ma bok długości 𝑎= √3𝑅= √3\ni wysokość równą ℎ= 𝑎√3\n2\n= 3\n2 . Pole tego trójkąta jest równe 𝑎2⋅√3\n4\n= 3√3\n4 natomiast\n𝑥= ℎ-𝑅= 3\n2 -1 = 1\n2 .\nUwaga:\nZdający może rozwiązywać zadanie, wykorzystując nierówność między średnimi\narytmetyczną i geometryczną.\nZ zależności między średnimi arytmetyczną i geometryczną zastosowanej dla liczb dodatnich\n𝑥+1\n3 , 𝑥+1\n3 , 𝑥+1\n3 , 1 -𝑥 otrzymujemy\n𝑥+1\n3 +\n𝑥+1\n3 +\n𝑥+1\n3 + 1 -𝑥\n4\n≥√𝑥+ 1\n3\n∙𝑥+ 1\n3\n∙𝑥+ 1\n3\n∙(1 -𝑥)\n4\n1\n2 ≥√√𝑥+ 1\n3\n∙𝑥+ 1\n3\n∙𝑥+ 1\n3\n∙(1 -𝑥)\n1\n4 ≥√𝑥+ 1\n3\n∙𝑥+ 1\n3\n∙𝑥+ 1\n3\n∙(1 -𝑥)\n1\n4 ≥\n1\n3√3\n⋅(𝑥+ 1) ⋅√1 -𝑥2\n1\n4 ≥\n1\n3√3\n⋅𝑃(𝑥)\n𝑃(𝑥) ≤3√3\n4\nprzy czym równość zachodzi jedynie wtedy, gdy 𝑥+1\n3\n= 1 -𝑥, czyli gdy 𝑥= 1\n2 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}