{"paper":{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":39,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (5 ⋅5\n1\n2)\n1\n3\njest równa\nA. √5\n6\nB. √25\n3\nC. √5\nD. √5\n3\nLiczba (5⋅5^{1/2})^{1/3} jest równa A. 6^√5 B. ∛25 & C. √5 D. ∛5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…] mnożenie, […]\npotęgowanie, […]) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Korzystamy z własności potęg:\n\n(5· 5^(1)/(2) )^(1)/(3)\n= (5^(3)/(2) )^(1)/(3)\n=5^(1)/(2)=√(5).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nPan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł oprocentowane 7% w skali roku.\nOdsetki są naliczane i kapitalizowane co rok.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa\nA. 40 000 ⋅(1,07)2 zł\nB. 40 000 ⋅(1,7)2 zł\nC. 40 000 ⋅1,14 zł\nD. 40 000 ⋅1,49 zł\n\nMMAP-P0_100\nPan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40000 zł oprocentowane 7% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa A. 40000⋅(1,07)^2 zł B. 40000⋅(1,7)^2 zł C. 40000⋅1,14 zł D. 40000⋅1,49 zł","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\n[…] w sytuacjach praktycznych, w tym do\nobliczania procentów składanych\nz kapitalizacją roczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Po każdym roku wartość obligacji jest mnożona przez 1 , 07 . Po dwóch latach:\n\n40 000·1 , 07·1 , 07=40 000·(1 , 07)^2.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Procenty, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWłaściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po 𝑥 zł za parę\ni 40 identycznych marynarek po 𝑦 zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł.\nPo doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny\ndetaliczne spodni i marynarki były jednakowe.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nCenę pary spodni 𝑥 oraz cenę marynarki 𝑦, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można\nobliczyć z układu równań\nA. {𝑥+ 𝑦= 8000\n0,5𝑥= 0,2𝑦\nB. {50𝑥+ 40𝑦= 8000\n0,5𝑥= 0,2𝑦\nC. {50𝑥+ 40𝑦= 8000\n1,5𝑥= 1,2𝑦\nD. {𝑥+ 𝑦= 8000\n1,5𝑥= 1,2𝑦\n\nMMAP-P0_100\nWłaściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po x zł za parę i 40 identycznych marynarek po y zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe. Cenę pary spodni x oraz cenę marynarki y, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań A. {x+y=8000; 0,5x=0,2y B. {50x+40y=8000; 0,5x=0,2y C. {50x+40y=8000; 1,5x=1,2y D. {x+y=8000; 1,5x=1,2y.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań liniowych do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Łączny koszt zakupu daje równanie\n\n50x+40y=8000.\n\nCena detaliczna spodni wynosi 1 , 5x , a marynarki 1 , 2y . Ceny są równe, więc\n\n1 , 5x=1 , 2y.\n\nOtrzymujemy układ z odpowiedzi C.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczby rzeczywiste 𝑥 i 𝑦 są dodatnie oraz 𝑥≠𝑦.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyrażenie 1\n𝑥-𝑦+\n1\n𝑥+𝑦 można przekształcić do postaci\nA. 2\n𝑥-𝑦\nB.\n2\n𝑥2-𝑦2\nC.\n2𝑥\n𝑥2-𝑦2\nD. -2𝑥𝑦\n𝑥+𝑦\nLiczby rzeczywiste x i y są dodatnie oraz x≠y. Wyrażenie 1/x-y + 1/x+y można przekształcić do postaci A. 2/x-y B. 2/x^2-y^2 C. 2x/x^2-y^2 D. -2xy/x+y.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: […] 𝑎2 -𝑏2;\nII.6) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne,\nw przypadkach nie trudniejszych niż:\n1\n𝑥+1 -1\n𝑥 , 1\n𝑥 + 1\n𝑥2 + 1\n𝑥3 , 𝑥+1\n𝑥+2 + 𝑥-1\n𝑥+1 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:\n\n(1)/(x-y)+(1)/(x+y)\n=(x+y+x-y)/((x-y)(x+y))\n=(2x)/(x^2-y^2).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym\nwszystkie cyfry są różne, jest\nA. 9 ⋅8 ⋅7 ⋅6\nB. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nC. 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nD. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest A. 9⋅8⋅7⋅2 B. 9⋅10⋅10⋅1 C. 9⋅10⋅10⋅2 D. 9⋅9⋅8⋅1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Pierwszą cyfrę wybieramy na 9 sposobów (od 1 do 9). Drugą cyfrę wybieramy na 9 sposobów, ponieważ może nią być również zero, ale nie może powtórzyć się pierwsza cyfra. Kolejne cyfry wybieramy odpowiednio na 8 i 7 sposobów. Zatem\n\n9·9·8·7.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -log 𝑥 dla wszystkich liczb rzeczywistych\ndodatnich 𝑥.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość funkcji 𝑓 dla argumentu 𝑥= √10 jest równa\nA. 2\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. (-2)\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)=-log x dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich x. Wartość funkcji f dla argumentu x=√10 jest równa A. 2 B. (-1/2) C. 1/2 D. (-2).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach;\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\n[…] logarytm potęgi;\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Ponieważ √(10)=10^(1)/(2) , mamy\n\nf(√(10))=-log√(10)=-log 10^(1)/(2)=-(1)/(2).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Logarytmy","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment wykresu funkcji\nkwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓,\nma współrzędne (5, -3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu\nwspółrzędnych ma współrzędne (4, 0).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędne (5,-3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0). [rysunek] Zapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji f.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-7.svg","topics":null,"page_from":8,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/7.1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"7.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nZapisz poniżej zbiór wszystkich wartości funkcji 𝒇.\n7.1.\n0-1\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n𝑦\n𝑥\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100","answer":"[-3,∞)","answer_text":"Zadanie 7.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji:[…] zbiór\nwartości […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\n[-3, ∞)","solution":"Wierzchołek paraboli ma współrzędne (5,-3) , a ramiona paraboli są skierowane do góry. Najmniejszą wartością funkcji jest więc -3 . Zbiór wartości to\n\n[-3,∞).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/7.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"7.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7.2. (0-2)\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇 w postaci kanonicznej.\nZapisz obliczenia.\n7.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f(x)=ax^2+bx+c. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędne (5,-3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych ma współrzędne (4,0). [rysunek] Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej.","answer":"f(x)=3(x-5)^2-3","answer_text":"Zadanie 7.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej […];\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia postaci kanonicznej funkcji 𝑓 oraz zapisanie jej wzoru:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3 lub\nw postaci iloczynowej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-4)(𝑥-6), lub w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0\nObliczamy 𝑎. Wykres funkcji przechodzi przez punkt o współrzędnych (4, 0), zatem\n0 = 𝑎⋅(4 -5)2 -3, czyli 0 = 𝑎-3\nStąd 𝑎= 3.\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\nSposób II\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu\n𝑥= 5, więc miejscami zerowymi funkcji 𝑓 są liczby 4 oraz 6.\nPrzyrównujemy postać iloczynową funkcji 𝑓 do jej postaci kanonicznej:\n𝑎(𝑥-4)(𝑥-6) = 𝑎(𝑥-5)2 -3\n𝑎𝑥2 -10𝑎𝑥+ 24𝑎= 𝑎𝑥2 -10𝑎𝑥+ 25𝑎-3\n𝑎= 3\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\nSposób III\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-5)2 -3, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu\n𝑥= 5, więc miejscami zerowymi funkcji 𝑓 są liczby 4 oraz 6.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-4)(𝑥-6)\nPodstawiając do tego wzoru współrzędne wierzchołka (5, -3), otrzymujemy równanie\n𝑓(5) = 𝑎(5 -4)(5 -6) = -3\nStąd 𝑎= 3.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.\nSposób IV\nWzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej to\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ wykres funkcji kwadratowej 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu\n𝑥= 5, więc jej miejscami zerowymi są liczby 4 oraz 6.\nDo wykresu funkcji 𝑓 należą punkty (4, 0), (5, -3) oraz (6, 0).\nWstawiając ich współrzędne do wzoru funkcji 𝑓, otrzymujemy\n{\n0 = 𝑎⋅42 + 𝑏⋅4 + 𝑐\n-3 = 𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐\n0 = 𝑎⋅62 + 𝑏⋅6 + 𝑐\n{\n0 = 16𝑎+ 4𝑏+ 𝑐\n-3 = 25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐\n0 = 36𝑎+ 6𝑏+ 𝑐\nStąd 𝑎= 3, 𝑏= -30, 𝑐= 72.\nZatem\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72\nWzór ten można przekształcić do postaci\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -30𝑥+ 72 = 3(𝑥2 -10𝑥+ 25) -3 = 3(𝑥-5)2 -3\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej to 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-5)2 -3.","solution":"Postać kanoniczna ma postać\n\nf(x)=a(x-5)^2-3.\n\nPunkt (4,0) należy do wykresu, więc\n\n0=a(4-5)^2-3,\n\na=3.\n\nZatem\n\nf(x)=3(x-5)^2-3.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-7.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDana jest nierówność kwadratowa\n(3𝑥-9)(𝑥+ 𝑘) < 0\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑘∈ℝ. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (-2, 3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑘 jest równa\nA. (-2)\nB. 2\nC. (-3)\nD. 3\nDana jest nierówność kwadratowa (3x-9)(x+k) < 0 z niewiadomą x i parametrem k∈\\R. Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział (-2,3). Liczba k jest równa A. (-2) B. 2 C. (-3) D. 3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji kwadratowej\nw postaci […] iloczynowej (jeśli istnieje).\nIII.4) rozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Miejsca zerowe iloczynu to x=3 oraz x=-k . Rozwiązaniem nierówności jest przedział między miejscami zerowymi:\n\n(-2,3).\n\nStąd -k=-2 , więc\n\nk=2.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nDana jest funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏 i 𝑐 są liczbami\nrzeczywistymi takimi, że 𝑎≠0 oraz 𝑐< 0. Funkcja 𝑓 nie ma miejsc zerowych.\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nWykres funkcji 𝑓 leży w całości\nnad osią 𝑂𝑥,\nponieważ\n1.\n𝑎< 0 i 𝑏2 -4𝑎𝑐< 0.\nA.\n2.\n𝑎> 0 i 𝑏2 -4𝑎𝑐< 0.\npod osią 𝑂𝑥,\nB.\n3.\n𝑎< 0 i 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0.\n\nMMAP-P0_100\nDana jest funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi takimi, że a≠0 oraz c<0. Funkcja f nie ma miejsc zerowych. Wykres funkcji f leży w całości A. nad osią Ox, B. pod osią Ox, ponieważ 1. a<0 i b^2-4ac<0. 2. a>0 i b^2-4ac<0. 3. a<0 i b^2-4ac=0.","answer":"B1","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji kwadratowej\nw postaci ogólnej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB1","solution":"Ponieważ c=f(0)<0 , wykres przechodzi poniżej osi Ox . Funkcja nie ma miejsc zerowych, więc cały wykres musi leżeć pod osią Ox . Ramiona paraboli są zatem skierowane w dół, czyli a<0 , a brak miejsc zerowych oznacza\n\nΔ=b^2-4ac<0.\n\nPoprawna odpowiedź: B oraz 1.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDany jest układ równań\n{𝑦= 𝑥-1\n𝑦= -𝑥+ 1\nNa którym z rysunków A-D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego\nukładu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\n𝑦\n𝑥\n1\n0\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n0\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n0\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n0\n1\n\nMMAP-P0_100\nDany jest układ równań {y = x-1; y = -x+1 Na którym z rysunków A - D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) […] podaje interpretację geometryczną\nukładów oznaczonych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Prosta y=x-1 jest rosnąca i przecina oś Oy w punkcie (0,-1) . Prosta y=-x+1 jest malejąca i przecina oś Oy w punkcie (0,1) . Punkt przecięcia wyznaczamy z równania\n\nx-1=-x+1,\n\nwięc x=1 i y=0 . Taki układ prostych przedstawiono na rysunku A.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDany jest wielomian 𝑊 określony wzorem 𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWielomian 𝑊 przy rozkładzie na czynniki ma postać\nA. 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 -3)\nB. 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥2 -3)\nC. 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 3)\nD. 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥2 + 3)\nDany jest wielomian W określony wzorem W(x)=x^3-2x^2-3x+6 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wielomian W przy rozkładzie na czynniki ma postać A. W(x)=(x+2)(x^2-3) B. W(x)=(x-2)(x^2-3) C. W(x)=(x+2)(x^2+3) D. W(x)=(x-2)(x^2+3).","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.4) rozkłada wielomiany na czynniki\nmetodą wyłączania wspólnego czynnika\nprzed nawias oraz metodą grupowania\nwyrazów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie\nB","solution":"Grupujemy wyrazy:\n\nW(x)=x^3-2x^2-3x+6\n=x^2(x-2)-3(x-2).\n\nWyłączamy wspólny czynnik:\n\nW(x)=(x-2)(x^2-3).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Wielomiany","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie\n(4-𝑥)(2𝑥-3)\n(3𝑥-5)(3-2𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie {(4-x)(2x-3)/(3x-5)(3-2x)} = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne\nw postaci 𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany\n𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥) są zapisane w postaci\niloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Najpierw wyznaczamy dziedzinę. Mianownik nie może być równy zero:\n\n(3x-5)(3-2x)≠ 0.\n\nStąd\n\nx≠(5)/(3) oraz x≠(3)/(2).\n\nZatem\n\nD=mathbb R setminus \\ (5)/(3),(3)/(2) \\ .\n\nUłamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero:\n\n(4-x)(2x-3)=0.\n\nOtrzymujemy\n\nx=4 lub x=(3)/(2).\n\nLiczba x=(3)/(2) nie należy do dziedziny, więc jedynym rozwiązaniem jest\n\nx=4.\n\nRównanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDana jest nierówność\n2 -𝑥\n2 ≥ 𝑥\n3 -3\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest\nA. 6\nB. 5\nC. 7\nD. (-6)\nDana jest nierówność 2 - x/2 ≥ x/3 - 3. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest A. 6 B. 5 C. 7 D. (-6).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Rozwiązujemy nierówność:\n\n2-(x)/(2)≥ (x)/(3)-3.\n\nMnożymy obustronnie przez 6 :\n\n12-3x≥ 2x-18.\n\nPorządkujemy nierówność:\n\n30≥5x,\n\nx≤6.\n\nNajwiększą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 6 .","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"14","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟓𝒏𝟐+ 𝟏𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟎.\n14.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 5n^2+15n jest podzielna przez 10.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu, tj. rozpatrzenie dwóch przypadków: gdy 𝑛= 2𝑘\noraz 𝑛= 2𝑘+ 1\nALBO\nprzekształcenie wyrażenia 5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛+ 3) oraz uzasadnienie, że\nliczba 5𝑛(𝑛+ 3) dzieli się przez 2 i przez 5, czyli jest podzielna przez 10.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛+ 3)\nALBO\nrozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘 (gdzie 𝑘∈ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia\n5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 10 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) i zapisanie, że liczba 2𝑘2 + 3𝑘 jest\nnaturalna,\nALBO\nrozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘+ 1 (gdzie 𝑘∈ℕ), tj. przekształcenie\nwyrażenia 5𝑛2 + 15𝑛 do postaci 10 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) i zapisanie, że liczba\n2𝑘2 + 5𝑘+ 2 jest naturalna.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzedstawiamy liczbę 5𝑛2 + 15𝑛 w postaci iloczynu\n5𝑛2 + 15𝑛= 5𝑛(𝑛+ 3)\nLiczby 𝑛 oraz 𝑛+ 3 różnią się o liczbę nieparzystą. Zatem, jeśli 𝑛 jest parzysta, wtedy\n𝑛+ 3 jest nieparzysta. Jeśli 𝑛 jest nieparzysta, wtedy 𝑛+ 3 jest parzysta. Wynika stąd,\nże liczba 5𝑛(𝑛+ 3) dzieli się przez 2 i przez 5, czyli jest podzielna przez 10. To należało\nwykazać.\nSposób II\nRozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.\nParzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℕ.\nWtedy\n5𝑛2 + 15𝑛= 5(2𝑘)2 + 15 ⋅2𝑘= 20𝑘2 + 30𝑘= 10 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczba 2𝑘2 + 3𝑘 również jest naturalna, a iloczyn\n10 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) jest podzielny przez 10.\nW przypadku, gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1,\ngdzie 𝑘∈ℕ.\nWtedy\n5𝑛2 + 15𝑛= 5(2𝑘+ 1)2 + 15 ⋅(2𝑘+ 1) = 5(4𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 30𝑘+ 15 =\n= 20𝑘2 + 20𝑘+ 5 + 30𝑘+ 15 = 20𝑘2 + 50𝑘+ 20 = 10 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczba 2𝑘2 + 5𝑘+ 2 również jest naturalna, a iloczyn\n10 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) jest podzielny przez 10. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzedstawiamy liczbę 5𝑛2 + 15𝑛 w postaci iloczynu\n5𝑛2 + 15𝑛= 5𝑛(𝑛+ 3)\nRozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.\nParzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℕ.\nWtedy\n5𝑛2 + 15𝑛= 5 ⋅2𝑘(2𝑘+ 3) = 10𝑘(2𝑘+ 3)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczba 2𝑘+ 3 również jest naturalna, a iloczyn\n10 ⋅𝑘(2𝑘+ 3) jest podzielny przez 10.\nW przypadku, gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1,\ngdzie 𝑘∈ℕ.\nWtedy\n5𝑛2 + 15𝑛= 5(2𝑘+ 1)(2𝑘+ 1 + 3) = 10(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą naturalną, to liczby 2𝑘+ 1 oraz 𝑘+ 2 również są naturalne,\na iloczyn 10 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2) jest podzielny przez 10. To należało wykazać.","solution":"Wyłączamy wspólny czynnik:\n\n5n^2+15n=5n(n+3).\n\nLiczby n i n+3 mają różną parzystość, ponieważ różnią się o liczbę nieparzystą. Jedna z nich jest więc parzysta, a iloczyn n(n+3) jest podzielny przez 2 . Zatem\n\n5n(n+3)\n\njest podzielne przez 5·2=10 .","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛2 + 𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest malejący.\nP\nF\nÓsmy wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy 136.\nP\nF\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 2n^2+n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest malejący. P F Ósmy wyraz ciągu (a_n) jest równy 136. P F.","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.2) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący;\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Dla kolejnych wyrazów mamy\n\na_n+1-a_n=2(n+1)^2+(n+1)-(2n^2+n)=4n+3>0,\n\nwięc ciąg jest rosnący, a nie malejący. Pierwsze zdanie jest fałszywe.\n\nPonadto\n\na_8=2·8^2+8=128+8=136,\n\nwięc drugie zdanie jest prawdziwe.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPięciowyrazowy ciąg (-3, 1\n2 , 𝑥, 𝑦, 11) jest arytmetyczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 są równe\nA. 𝑥= 4 oraz 𝑦= 15\n2 .\nB. 𝑥= 15\n2 oraz 𝑦= 4.\nC. 𝑥= -4 oraz 𝑦= 15\n2 .\nD. 𝑥= -15\n2 oraz 𝑦= 4.\n\nMMAP-P0_100\nPięciowyrazowy ciąg (-3,1/2,x,y,11) jest arytmetyczny. Liczby x oraz y są równe A. x=4 oraz y=15/2. B. x=15/2 oraz y=4. C. x=-4 oraz y=15/2. B. x=-15/2 oraz y=4.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Różnica ciągu wynosi\n\nr=(1)/(2)-(-3)=(7)/(2).\n\nZatem\n\nx=(1)/(2)+(7)/(2)=4,\n\ny=4+(7)/(2)=(15)/(2).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-2)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nW tym ciągu 𝑎1 = -5, 𝑎2 = 15, 𝑎3 = -45.\nDokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie\nponiższego zdania było prawdziwe.\nWzór ogólny ciągu (𝑎𝑛) ma postać\nA. 𝑎𝑛= -5 ∙(-3)𝑛-1\nB. 𝑎𝑛= -5 ∙(-3)𝑛\nC. 𝑎𝑛= -5 ∙3𝑛-1\nD. 𝑎𝑛= -5 ∙\n(-3)𝑛\n3\nE. 𝑎𝑛= 5 ∙\n(-3)𝑛\n3\nF. 𝑎𝑛= 5 ∙(-3)𝑛∙3\n17.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a_1=-5, a_2=15, a_3=-45. Dokończ zdanie. Zaznacz {dwie} odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe. Wzór ogólny ciągu (a_n) ma postać A. a_n=-5⋅(-3)^{n-1} B. a_n=-5⋅(-3)^n C. a_n=-5⋅3^{n-1} D. a_n=-5⋅(-3)^n/3 E. a_n = 5⋅(-3)^n/3 F. a_n=5⋅(-3)^n⋅3.","answer":"AE","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: A i E.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: A albo E.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\nAE","solution":"Iloraz ciągu wynosi\n\nq=(15)/(-5)=-3.\n\nWzór ogólny ma więc postać\n\na_n=-5·(-3)^n-1,\n\nczyli odpowiedź A. Ponadto\n\n5·((-3)^n)/(3)\n=-5·(-3)^n-1,\n\nwięc równoważna jest również odpowiedź E.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz\n1\n|sin2𝛼|\n1\n|cos2 𝛼|\n= 64\n9 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia sin 𝛼∙cos 𝛼 jest równa\nA. 8\n3\nB. 3\n8\nC. 64\n9\nD. 9\n64\nKąt α jest ostry oraz 1/sin^2α + 1/cos^2α = 16/9. Wartość wyrażenia sinα⋅cosα jest równa A. 4/3 B. 3/4 C. 16/9 D. 9/16.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2α + cos2α = 1 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Ponieważ kąt jest ostry, sinα>0 i cosα>0 . Mamy\n\n(1)/(sin^2α)+(1)/(cos^2α)\n=(sin^2α+cos^2α)/(sin^2αcos^2α)\n=(1)/((sinαcosα)^2).\n\nZatem\n\n(1)/((sinαcosα)^2)=(16)/(9),\n\nwięc\n\n(sinαcosα)^2=(9)/(16).\n\nDla kąta ostrego otrzymujemy\n\nsinαcosα=(3)/(4).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑂 (zobacz rysunek).\nPonadto |∡𝐴𝑂𝐶| = 130° oraz |∡𝐵𝑂𝐴| = 110°.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród\npodanych.\nMiara kąta wewnętrznego 𝐵𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 60°\nB. 55°\nC. 50°\nD. 65°\n110°\n130°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑂\n\nMMAP-P0_100\nKolejne zadania egzaminacyjne są wydrukowane\nna następnych stronach.\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C leżą na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Ponadto |∠AOC|=130° oraz |∠BOA|=110°. [rysunek] Miara kąta wewnętrznego BAC trójkąta ABC jest równa A. 60° B. 55° C. 50° D. 65°.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Suma kątów środkowych wokół punktu O wynosi 360^° . Kąt środkowy oparty na łuku BC , który nie zawiera punktu A , ma miarę\n\n360^°-130^°-110^°=120^°.\n\nKąt wpisany BAC oparty na tym samym łuku ma miarę równą połowie kąta środkowego:\n\n(120^°)/(2)=60^°.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"20","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-4)\nDo wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny\no długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który\nw tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).\nOblicz wymiary 𝒂 i 𝒃 kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.\nZapisz obliczenia.\n20.\n0-1-\n2-3-4\n𝑏\nlina\n𝑎\nwoda\nplaża\nkąpielisko\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDo wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wymiary a i b kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.","answer":"a=50 m, b=100 m","answer_text":"Zadanie 20. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nXIII. Zdający rozwiązuje zadania\noptymalizacyjne w sytuacjach dających się\nopisać funkcją kwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów kąpieliska oraz podanie poprawnych\nwyników: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od zmiennej\n𝑎 oraz podanie dziedziny funkcji 𝑎∈(0, 100) i prawidłowe obliczenie pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑎= 50 m\nALBO\npoprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od zmiennej\n𝑏 oraz podanie dziedziny funkcji 𝑏∈(0, 200) i prawidłowe obliczenie pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑏= 100 m.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole powierzchni kąpieliska w zależności od jednej\nzmiennej: 𝑃(𝑎) = 𝑎(200 -2𝑎) lub 𝑃(𝑏) = 𝑏(100 -1\n2 𝑏).\n1 pkt - zapisanie związku między wymiarami kąpieliska: 2𝑎+ 𝑏= 200.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość liny użytej do wytyczenia\nkąpieliska - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n2𝑎+ 𝑏= 200\nStąd wyznaczamy 𝑏: 𝑏= 200 -2𝑎.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑎> 0 i 𝑏> 0\nPowierzchnia 𝑃 kąpieliska jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑎 oraz 𝑏. Zatem\n𝑃= 𝑎⋅𝑏\nPowierzchnię kąpieliska wyrażamy jako funkcję jednej zmiennej 𝑎. W tym celu podstawiamy\n𝑏= 200 -2𝑎 i otrzymujemy\n𝑃(𝑎) = 𝑎(200 -2𝑎) = -2𝑎2 + 200𝑎\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑎 i 𝑏 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑏= 200 -2𝑎> 0 oraz 𝑎> 0\nZatem\n𝑎< 100 oraz 𝑎> 0\nZmienna 𝑎 może przyjmować wartości z przedziału (0, 100).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -\n200\n2 ⋅(-2) = 50 ∈(0, 100)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 50.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego kąpielisko ma największą powierzchnię:\n𝑏= 200 m -2 ⋅50 m = 100 m\nNajwiększą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.\nSposób II\nPrzyjmiemy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość liny użytej do wytyczenia\nkąpieliska - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n2𝑎+ 𝑏= 200\nStąd wyznaczamy 𝑎: 𝑎= 100 -1\n2 𝑏.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑎> 0 i 𝑏> 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPowierzchnia 𝑃 kąpieliska jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑎 oraz 𝑏. Zatem\n𝑃= 𝑎⋅𝑏\nPowierzchnię kąpieliska wyrażamy jako funkcję jednej zmiennej 𝑏. W tym celu podstawiamy\n𝑎= 100 -1\n2 𝑏 i otrzymujemy\n𝑃(𝑏) = 𝑏(100 -1\n2 𝑏)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑎 i 𝑏 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑎= 100 -1\n2 𝑏> 0 oraz 𝑏> 0\nZatem\n𝑏< 200 oraz 𝑏> 0\nZmienna 𝑏 może przyjmować wartości z przedziału (0, 200).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli jako średnią arytmetyczną pierwiastków\nrównania:\n𝑏(100 -1\n2 𝑏) = 0\nPierwiastkami tego równania są liczby\n𝑏1 = 0 oraz 𝑏2 = 200\nZatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑝= 𝑏1 + 𝑏2\n2\n= 100 ∈(0, 200)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 100.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego kąpielisko ma największą powierzchnię:\n𝑎= 100 m -1\n2 ⋅100 m = 50 m\nNajwiększą powierzchnię ma kąpielisko o wymiarach: 𝑎= 50 m oraz 𝑏= 100 m.","solution":"Długość liny daje zależność\n\n2a+b=200,\n\nczyli\n\nb=200-2a.\n\nPole kąpieliska jest równe\n\nP(a)=ab=a(200-2a)=-2a^2+200a.\n\nJest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi\n\na=(-200)/(2·(-2))=50.\n\nWtedy\n\nb=200-2·50=100.\n\nNajwiększe pole ma prostokąt o wymiarach 50 m×100 m .","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 8.\nZ wierzchołka 𝐴 zakreślono koło o promieniu równym\ndługości boku kwadratu (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe\nA. 16𝜋\nB. 8𝜋\nC. 4√2𝜋\nD. 16√2𝜋\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n8\n8\n\nMMAP-P0_100\nDany jest kwadrat ABCD o boku długości 8. Z wierzchołka A zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek). [rysunek] Pole powierzchni {części wspólnej} koła i kwadratu jest równe A. 16π B. 8π C. 4√2π D. 16√2π","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.6) stosuje wzory na pole wycinka koła\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Część wspólna koła i kwadratu jest ćwiartką koła o promieniu 8 . Jej pole wynosi\n\n(1)/(4)π·8^2=16π.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nOdcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂. Ponadto |𝐴𝐷| = 4 i |𝑂𝐷| = |𝐵𝐶| = 6.\nKąty 𝑂𝐷𝐴 i 𝐵𝐶𝑂 są proste (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość odcinka 𝑂𝐶 jest równa\nA. 9\nB. 8\nC. 2√13\nD. 3√13\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n4\n6\n6\n\nMMAP-P0_100\nOdcinki AC i BD przecinają się w punkcie O. Ponadto |AD|=4 i |OD|=|BC|=6. Kąty ODA i BCO są proste (zobacz rysunek). [rysunek] Długość odcinka OC jest równa A. 9 B. 8 C. 2√{13} D. 3√{13}","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Trójkąty ADO i BCO są podobne: oba są prostokątne i mają równe kąty wierzchołkowe przy punkcie O . Z podobieństwa:\n\n(AD)/(BC)=(OD)/(OC).\n\nPodstawiamy dane:\n\n(4)/(6)=(6)/(OC).\n\nStąd\n\n4· OC=36,\n\nwięc\n\nOC=9.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"23","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-2)\nPrzekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają\ndługości: |𝐴𝐶| = 16 oraz |𝐵𝐷| = 12.\nWierzchołki 𝐸, 𝐹, 𝐺 oraz 𝐻 rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻\nleżą na bokach równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷\n(zobacz rysunek).\nBoki tego rombu są równoległe do\nprzekątnych równoległoboku.\nOblicz długość boku rombu 𝑬𝑭𝑮𝑯.\nZapisz obliczenia.\n𝑂\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n23.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nPrzekątne równoległoboku ABCD mają długości: |AC|=16 oraz |BD|=12. Wierzchołki E,F,G oraz H rombu EFGH leżą na bokach równoległoboku ABCD (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku. [rysunek]} Oblicz długość boku rombu EFGH.","answer":"(48)/(7)","answer_text":"Zadanie 23. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\n3.Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] równoległobokach,\nrombach […];\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia długości boku rombu oraz poprawny wynik: 𝑎= 48\n7 .\n1 pkt - zapisanie związku między długościami odcinków wynikającego z podobieństwa\nodpowiednich trójkątów, np.\n|𝐴𝐹|\n|𝐸𝐹| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷|,\n|𝐵𝐹|\n|𝐹𝐺| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶|,\n|𝐾𝐻|\n|𝑂𝐷| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶|,\n|𝐾𝐺|\n|𝑂𝐵| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑎 oznacza długość boku rombu.\nTrójkąty 𝐴𝐸𝐹 i 𝐴𝐷𝐵 są podobne oraz\ntrójkąty 𝐹𝐵𝐺 i 𝐴𝐵𝐶 są podobne (na\nmocy cechy kkk podobieństwa trójkątów).\nZatem mamy zależności:\n|𝐴𝐹|\n|𝐸𝐹| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐵𝐷| oraz\n|𝐵𝐹|\n|𝐹𝐺| =\n|𝐴𝐵|\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐹|\n𝑎\n|𝐴𝐵|\n12 oraz\n|𝐵𝐹|\n𝑎\n|𝐴𝐵|\n16\nZatem\n|𝐴𝐹| =\n|𝐴𝐵|⋅𝑎\n12 oraz |𝐵𝐹| =\n|𝐴𝐵|⋅𝑎\n16\nWobec tego\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝐹| + |𝐵𝐹| =\n|𝐴𝐵| ⋅𝑎\n12\n|𝐴𝐵| ⋅𝑎\n16\nZatem\n1 = 𝑎\n12 + 𝑎\n16\nWynika stąd, że 𝑎= 48\n7 .\nDługość boku rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa 48\n7 .\nSposób II\nNiech 𝑎 oznacza długość boku rombu.\nZ warunków zadania mamy |𝑂𝐷| = 6,\n|𝑂𝐶| = 8.\nPunkt 𝐾 jest punktem przecięcia\nprzekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku z bokiem\n𝐺𝐻 rombu. Punkt 𝐿 jest punktem\nprzecięcia przekątnej 𝐵𝐷\nrównoległoboku z bokiem 𝐸𝐻 rombu.\n𝐻\n𝑂\n𝐷\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐹\n𝐵\n𝐴\n𝐾\n𝐿\n𝐻\n𝑂\n𝐷\n𝐶\n𝐸\n𝐺\n𝐹\n𝐵\n𝐴\nTrójkąty 𝐻𝐾𝐶 i 𝐷𝑂𝐶 są podobne oraz trójkąty 𝐺𝐾𝐶 i 𝐵𝑂𝐶 są podobne (na mocy cechy\nkkk podobieństwa trójkątów), zatem\n|𝐾𝐻|\n|𝑂𝐷| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶| oraz\n|𝐾𝐺|\n|𝑂𝐵| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶|\nStąd\n|𝐾𝐻|\n6\n|𝐾𝐺|\n6\nZatem |𝐾𝐻| = |𝐾𝐺| = 𝑎\n2 .\nAnalogicznie |𝐿𝐻| = |𝐿𝐸| = 𝑎\n2 .\nPonieważ boki czworokąta 𝐿𝑂𝐾𝐻 są równoległe do boków rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻, więc 𝐿𝑂𝐾𝐻\nrównież jest rombem i każdy z jego boków ma długość 𝑎\n2 .\nMożemy zatem obliczyć długość odcinka |𝐾𝐶| = |𝑂𝐶| -|𝑂𝐾| = 8 -𝑎\n2 .\nKorzystając ponownie z podobieństwa trójkątów 𝐻𝐾𝐶 i 𝐷𝑂𝐶, mamy\n|𝐾𝐻|\n|𝑂𝐷| =\n|𝐾𝐶|\n|𝑂𝐶|\n𝑎\n2\n6 =\n8 -𝑎\n2\n8\nStąd\n𝑎= 48\n7\nDługość boku rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa 48\n7 .","solution":"Niech x oznacza, jaką część przekątnej długości 12 stanowi bok rombu równoległy do tej przekątnej. Wtedy długość boku rombu wynosi 12x . Z podobieństwa odpowiednich trójkątów drugi bok rombu, równoległy do przekątnej długości 16 , ma długość 16(1-x) . Ponieważ wszystkie boki rombu są równe:\n\n12x=16(1-x).\n\nZatem\n\n12x=16-16x,\n\n28x=16,\n\nx=(4)/(7).\n\nDługość boku rombu jest równa\n\n12·(4)/(7)=(48)/(7).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶= 4\n5 .\nOblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nZapisz obliczenia.\n24.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AC|=4, |AB|=3, cos|∠BAC|=4/5. Oblicz pole trójkąta ABC.","answer":"P=(18)/(5)","answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 ;\nVII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta\n𝑃= 1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków […].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie poprawnego wyniku: 𝑃= 18\n5 .\n1 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝛼: sin 𝛼= 3\n5\nALBO\nobliczenie długości wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶: ℎ= 12\n5 ,\nALBO\nobliczenie kwadratu długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶|2 = 29\n5 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nOznaczmy przez 𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Wtedy cos 𝛼= 4\n5 .\nAby obliczyć pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, zastosujemy wzór\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐴𝐶| ∙sin 𝛼\nKorzystając z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, obliczamy sinus kąta 𝛼:\nsin 𝛼= √1 -cos2 𝛼= √1 -(4\n5)\n2\n= √9\n25 = 3\n5\nZatem\n𝑃= 1\n2 ∙3 ∙4 ∙3\n5 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .\nSposób II\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nNiech ℎ oznacza wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną\nz wierzchołka 𝐶, natomiast 𝛼 - miarę kąta 𝐵𝐴𝐶.\nWtedy cos 𝛼= 4\n5 .\nAby obliczyć pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, zastosujemy wzór\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷|\nW tym celu najpierw obliczamy długość odcinka 𝐴𝐷:\ncos 𝛼= |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐶|\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n4\n𝛼\n3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n4\n𝛼\n3\n𝐷\nℎ\n4\n5 =\n|𝐴𝐷|\n4\n|𝐴𝐷| = 16\n5\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐷𝐶, obliczamy wysokość ℎ= |𝐶𝐷|:\n|𝐴𝐷|2 + |𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐶|2\n(16\n5 )\n2\n+ ℎ2 = 42\nℎ2 = 16 -256\n25\nℎ2 = 144\n25\nℎ= 12\n5\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ∙3 ⋅12\n5 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .\nSposób III\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nZ twierdzenia cosinusów mamy:\n|𝐵𝐶|2 = 32 + 42 -2 ⋅3 ⋅4 ⋅4\n5 = 29\n5\n|𝐵𝐶| = √29\n5 = √145\n5\nObwód 𝑂𝐴𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy\n𝑂𝐴𝐵𝐶= 4 + 3 + √145\n5\n= 35 + √145\n5\nStosując wzór Herona, obliczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= √35 + √145\n10\n⋅35 -√145\n10\n⋅√145 -5\n10\n⋅√145 + 5\n10\n= √1225 -145\n100\n⋅145 -25\n100\n= √1080\n100 ⋅120\n100 = 360\n100 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób IV\nZ warunków zadania mamy: |𝐴𝐶| = 4, |𝐴𝐵| = 3.\nNiech 𝐷 będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵\nz prostą prostopadłą do prostej 𝐴𝐶 przechodzącą\nprzez punkt 𝐶.\nWtedy trójkąt 𝐴𝐷𝐶 jest prostokątny, a ponieważ\ncos 𝛼= 4\n5 oraz |𝐴𝐶| = 4, więc jest to trójkąt egipski.\nZatem |𝐴𝐷| = 5 oraz |𝐶𝐷| = 3.\nPole trójkąta 𝐴𝐷𝐶 jest równe\n𝑃𝐴𝐷𝐶= 1\n2 ⋅3 ⋅4 = 6\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐷𝐶 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝐶. Możemy\nją wyznaczyć ze wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐷𝐶:\n𝑃𝐴𝐷𝐶= 1\n2 ⋅5 ⋅ℎ= 6\nStąd ℎ= 12\n5 .\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃= 1\n2 ∙3 ⋅12\n5 = 18\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 18\n5 .","solution":"Mamy\n\ncos∠ BAC=(4)/(5).\n\nKąt jest ostry, więc z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin∠ BAC=(3)/(5).\n\nPole trójkąta wynosi\n\nP=(1)/(2)· AB· AC·sin∠ BAC\n=(1)/(2)·3·4·(3)/(5)\n=(18)/(5).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Planimetria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"25","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.\nDany jest sześciokąt foremny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 o polu\nrównym 6√3 (zobacz rysunek).\nDany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym 6√3 (zobacz rysunek).} [rysunek]} Pole trójkąta ABE jest równe A. 6 B. 4√3 C. 2√3 D. 4","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-25.svg","topics":null,"page_from":24,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/25.1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"25.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐸 jest równe\nA. 6\nB. 4√3\nC. 2√3\nD. 4\nDany jest sześciokąt foremny ABCDEF o polu równym 6√3 (zobacz rysunek).} [rysunek]} Pole trójkąta ABE jest równe A. 6 B. 4√3 C. 2√3 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n4\n𝛼\n3\n𝐷\n3\n5","solution":"Pole sześciokąta foremnego o boku a jest równe\n\nP=(3√(3))/(2)a^2.\n\nZ warunku\n\n(3√(3))/(2)a^2=6√(3)\n\notrzymujemy a^2=4 , więc a=2 . Odcinek AB ma długość 2 , a wysokość trójkąta ABE jest równa 2√(3) . Zatem\n\nP_ABE=(1)/(2)·2·2√(3)=2√(3).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-25.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-25.1.svg","topics":"Planimetria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/25.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"25.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość odcinka 𝐴𝐸 jest równa\nA. 2\nB. 2√3\nC. 4√3\nD. 4\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.3) rozpoznaje wielokąty foremne\ni korzysta z ich podstawowych własności.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Z poprzedniego podpunktu bok sześciokąta ma długość a=2 . Punkty A i E leżą jeden nad drugim, a odcinek AE składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego o boku 2 :\n\nAE=2·(2√(3))/(2)=2√(3).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-25.2.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴𝐵||𝐶𝐷 oraz\nprzekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂\n(zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest\nrówna 12. Obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑂 jest równy 39,\na obwód trójkąta 𝐶𝐷𝑂 jest równy 13.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość trójkąta 𝐴𝐵𝑂 poprowadzona z punktu 𝑂 jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 9\nD. 6\nDany jest trapez ABCD, w którym AB\\parallel CD oraz przekątne AC i BD przecinają się w punkcie O (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa 12. Obwód trójkąta ABO jest równy 39, a obwód trójkąta CDO jest równy 13.}} [rysunek] Wysokość trójkąta ABO poprowadzona z punktu O jest równa A. 3 B. 4 C. 9 D. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] trapezach;\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów;\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami […] figur podobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Trójkąty ABO i CDO są podobne. Stosunek ich obwodów jest równy stosunkowi odpowiadających wysokości:\n\n39:13=3:1.\n\nNiech wysokość trójkąta CDO będzie równa x . Wysokość trójkąta ABO wynosi wtedy 3x . Suma tych wysokości jest wysokością trapezu:\n\nx+3x=12.\n\nStąd x=3 , więc szukana wysokość wynosi\n\n3x=9.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dany jest okrąg 𝒪\no równaniu\n(𝑥-3)2 + (𝑦-3)2 = 13\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 przecina oś 𝑂𝑦 w punktach o współrzędnych\nA. (0, 1) i (0, 5).\nB. (0, 1) i (0, -5).\nC. (1, 0) i (5, 0).\nD. (0, -1) i (0, 5).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑂\n12\n\nMMAP-P0_100\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dany jest okrąg O o równaniu (x-3)² + (y-3)² = 13. Okrąg O przecina oś Oy w punktach o współrzędnych A. (0,1) i (0,5). B. (0,1) i (0,-5). C. (1,0) i (5,0). D. (0,-1) i (0,5).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie\nA","solution":"Na osi Oy mamy x=0 . Podstawiamy do równania okręgu:\n\n(0-3)^2+(y-3)^2=13,\n\n9+(y-3)^2=13,\n\n(y-3)^2=4.\n\nZatem\n\ny-3=±2,\n\nczyli y=1 lub y=5 .","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dane są proste 𝑘 oraz 𝑙\no równaniach\n𝑘: 𝑦= 1\n3 𝑥-1\n𝑙: 𝑦= -3𝑥+ 6\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙\nA. nie mają punktów wspólnych.\nB. są prostopadłe.\nC. przecinają się w punkcie 𝑃= (0, -1).\nD. się pokrywają.\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są proste k oraz l o równaniach k:y=1/3x-1 l:y=-3x+6. Proste k oraz l A. nie mają punktów wspólnych. B. są prostopadłe. C. przecinają się w punkcie P=(0,-1). D. się pokrywają.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych na płaszczyźnie na podstawie ich\nrównań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą\n\na_k=(1)/(3), a_l=-3.\n\nIch iloczyn jest równy\n\n(1)/(3)·(-3)=-1.\n\nZatem proste są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dane są punkty\n𝐴= (1, 2) i 𝐵= (2𝑚, 𝑚), gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= -𝑥-1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta przechodząca przez punkty 𝐴 i 𝐵 jest równoległa do prostej 𝑘, gdy\nA. 𝑚= -1\nB. 𝑚= 1\nC. 𝑚= 1\n2\nD. 𝑚= 2\n\nMMAP-P0_100\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są punkty A=(1,2) i B=(2m,m), gdzie m jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta k o równaniu y=-x-1. Prosta przechodząca przez punkty A i B jest równoległa do prostej k, gdy A. m=-1 B. m=1 C. m=1/2 D. m=2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład\nprzechodzenie przez dwa dane punkty,\nznany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Prosta k ma współczynnik kierunkowy -1 . Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A=(1,2) i B=(2m,m) wynosi\n\n(m-2)/(2m-1).\n\nWarunek równoległości:\n\n(m-2)/(2m-1)=-1.\n\nStąd\n\nm-2=-2m+1,\n\n3m=3,\n\nm=1.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"30","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷\nsześcianu połączono odcinkami z punktem 𝑊, który jest punktem przecięcia przekątnych\npodstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊\n(zobacz rysunek).\nDany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek). [rysunek] Objętość V ostrosłupa ABCDW jest równa A. 243 B. 364,5 C. 489 D. 729","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg","topics":null,"page_from":27,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/30.1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"30.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObjętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊 jest równa\nA. 243\nB. 364,5\nC. 489\nD. 729\n𝑊\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n9\n\nMMAP-P0_100\nDany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy ABCD sześcianu połączono odcinkami z punktem W, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy EFGH. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDW (zobacz rysunek). [rysunek] Objętość V ostrosłupa ABCDW jest równa A. 243 B. 364,5 C. 489 D. 729","answer":"A","answer_text":"Zadanie 30.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych w przestrzeni […];\nX.4) oblicza objętości […] ostrosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Pole podstawy ostrosłupa wynosi\n\nP_p=9^2=81,\n\na jego wysokość jest równa krawędzi sześcianu, czyli 9 . Zatem\n\nV=(1)/(3)P_pH=(1)/(3)·81·9=243.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.1.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/30.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"30.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.2. (0-2)\nOblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy.\nZapisz obliczenia.\n30.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":"cosα=(√(3))/(3)","answer_text":"Zadanie 30.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną.\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji sinus,\ncosinus i tangens dla kątów od 0° do\n180° […].\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie wartości cosinusa kąta 𝛼: cos 𝛼=\n√3\n3 .\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝑂: |𝐴𝑂| = 9√2\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczamy przez 𝑂 spodek wysokości\nostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊. Wtedy wysokość\nostrosłupa jest równa |𝑂𝑊| = 9.\nOdcinek 𝐴𝐶 jest przekątną kwadratu\no boku 9, zatem jego długość jest równa\n9√2. Odcinek 𝐴𝑂 stanowi jego połowę,\nwięc |𝐴𝑂| = 9√2\n2 .\n𝑊\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n9\n𝑂\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑂𝑊 mamy:\n|𝐴𝑂|2 + |𝑂𝑊|2 = |𝐴𝑊|2\nPodstawiamy długości odcinków:\n(9√2\n2 )\n2\n+ 92 = |𝐴𝑊|2\n|𝐴𝑊|2 = 92 (2\n4 + 1)\n|𝐴𝑊| = 9√6\n2\nOznaczamy kąt 𝑊𝐴𝑂 przez 𝛼. Obliczamy cosinus kąta 𝛼:\ncos 𝛼= |𝐴𝑂|\n|𝐴𝑊| =\n9√2\n2\n9√6\n2\n= √2\n√6\n= √3\n3\nSposób II\nOznaczamy przez 𝑂 spodek wysokości\nostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊. Wtedy wysokość\nostrosłupa jest równa |𝑂𝑊| = 9.\nOdcinek 𝐴𝐶 jest przekątną kwadratu\no boku 9, zatem jego długość jest równa\n9√2. Odcinek 𝐴𝑂 stanowi jego połowę,\nwięc |𝐴𝑂| = 9√2\n2 .\nOznaczamy kąt 𝑊𝐴𝑂 przez 𝛼.\ntg 𝛼=\n|𝑂𝑊|\n|𝐴𝑂| =\n9\n9√2\n2\n= √2\nKorzystając z tożsamości trygonometrycznej tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 , mamy\nsin 𝛼\ncos 𝛼= √2\nsin 𝛼= √2 cos 𝛼\nStąd z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 mamy\n2 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1\n3 cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 1\n3\n𝑊\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n9\n𝑂\nPonieważ kąt 𝛼 jest ostry, więc\ncos 𝛼= √3\n3","solution":"Niech O będzie środkiem podstawy ABCD . Rzutem krawędzi AW na płaszczyznę podstawy jest odcinek AO . Mamy\n\nAO=(9√(2))/(2), OW=9.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\nAW=√(AO^2+OW^2)\n=√((81)/(2)+81)\n=(9√(6))/(2).\n\nDla kąta α nachylenia krawędzi AW do podstawy:\n\ncosα=(AO)/(AW)\n=frac (9√(2))/(2) (9√(6))/(2)\n=(1)/(√(3))=(√(3))/(3).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.2.webp","solution_image":null,"topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nDany jest sześcian ℱ o krawędzi długości 𝑎 i objętości 𝑉 oraz sześcian 𝒢 o krawędzi\ndługości 3𝑎.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObjętość sześcianu 𝒢 jest równa\nA. 3𝑉\nB. 9𝑉\nC. 18𝑉\nD. 27𝑉\nDany jest sześcian F o krawędzi długości a i objętości V oraz sześcian G o krawędzi długości 3a. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość sześcianu G jest równa A. 3V B. 9V C. 18V D. 27V","answer":"D","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.5) wykorzystuje zależność między\nobjętościami graniastosłupów […]\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Objętość sześcianu o krawędzi a wynosi V=a^3 . Dla krawędzi 3a :\n\nV_G=(3a)^3=27a^3=27V.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"32","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-1)\nNa loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest\nrówny 2 ∶7. Zakupiono jeden los z tej loterii.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający,\njest równe\nA. 1\n9\nB. 1\n2\nC. 2\n9\nD. 2\n7\n\nMMAP-P0_100\nNa loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy 2:7. Zakupiono jeden los z tej loterii. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe A. 1/9 B. 1/2 C. 2/9 D. 2/7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 32. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Na każde 2 losy wygrywające przypada 7 przegrywających, czyli łącznie jest 9 części. Prawdopodobieństwo wygranej wynosi\n\nP=(2)/(2+7)=(2)/(9).","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nW eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu\npoliczono wykiełkowane nasiona w każdej z donic:\nw I donicy - 133 nasiona\nw II donicy - 140 nasion\nw III donicy - 119 nasion\nw IV donicy - 147 nasion\nw V donicy - 161 nasion.\nOdchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe 𝜎= 14.\nPodaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale\nokreślonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.\nZapisz obliczenia.\n33.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nW eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic: I donicy - 133 nasiona, II donicy - 140 nasion, III donicy - 119 nasion, IV donicy - 147 nasion, V donicy - 161 nasion. Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe σ=14. Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […];\nXII.3) oblicza odchylenie standardowe\nzestawu danych (także w przypadku danych\nodpowiednio pogrupowanych), interpretuje\nten parametr dla danych empirycznych.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n2 pkt - wyznaczenie końców przedziału wyznaczonego przez jedno odchylenie standardowe\nod średniej oraz zapisanie numerów donic, w których liczby wykiełkowanych nasion\nmieszczą się w tym przedziale: 126, 154, I, II, IV.\n1 pkt - poprawna metoda obliczenia średniej liczby wykiełkowanych nasion i obliczenie tej\nśredniej: 𝑥̅ = 140.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNa podstawie wyników eksperymentu obliczamy średnią liczbę wykiełkowanych nasion:\n𝑥̅ = 133 + 140 + 119 + 147 + 161\n5\n= 700\n5\n= 140\nPonieważ odchylenie standardowe w tym doświadczeniu jest równe 𝜎= 14, więc przedział\nokreślony przez to odchylenie standardowe od średniej będzie równy\n(𝑥̅ -𝜎, 𝑥̅ + 𝜎) = (126, 154)\nNumery donic, w których liczby wykiełkowanych nasion mieszczą się w tym przedziale, to:\nI, II oraz IV.","solution":"Średnia liczba wykiełkowanych nasion wynosi\n\nx=(133+140+119+147+161)/(5)=(700)/(5)=140.\n\nPrzedział wyznaczony przez jedno odchylenie standardowe od średniej to\n\n[140-14, 140+14]=[126,154].\n\nW tym przedziale mieszczą się wyniki:\n\n133, 140, 147.\n\nSą to donice I, II i IV.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-podstawowa/sol-33.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}