{"paper":{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":14,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nOblicz\n𝐥𝐨𝐠𝟑𝟓⋅𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟐𝟕\n𝐥𝐨𝐠𝟕√𝟒𝟗\n𝟔\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nI.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne zastosowanie wzorów na logarytm potęgi oraz na zamianę podstawy\nlogarytmu i poprawny wynik: 9\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu i zapisanie wyrażenia\nlog3 5 ⋅ log25 27\nlog7 √49\n6\nw postaci np.:\nlog3 5 ⋅ log327\nlog325\nlog7 √49\n6\n,\nlog10 5\nlog10 3 ⋅ log10 27\nlog10 25\nlog10 √49\n6\nlog10 7\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nStosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy\nlog3 5 ∙log25 27\nlog7 √49\n6\nlog3 5 ∙log3 27\nlog3 25\nlog7 √49\n6\nlog3 5 ∙log3 27\nlog3 52\nlog7(72)\n1\n6\nStosujemy wzór na logarytm potęgi i korzystamy z definicji logarytmu, otrzymując\nlog3 5 ∙log3 27\nlog3 52\nlog7(72)\n1\n6\nlog3 5 ∙\n3\n2 log3 5\n1\n3 log7 7\n3\n2\n1\n3\n= 9\n2\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$\\dfrac{9}{2}$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"2","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = |-1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5| dla każdego 𝑥∈ℝ.\nFragment wykresu funkcji 𝑔 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono\nna rysunku (jednostki pominięto).","answer":null,"answer_text":"100 𝑎2.","solution":null,"image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/2.1","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"2.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nWyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja 𝒈 przyjmuje w przedziale [𝟗, 𝟏𝟏].\nZapisz obliczenia.\n2.1.\n0-1-2\n𝑦\n0 𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.R1) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) rysuje wykres funkcji\n𝑦= |𝑓(𝑥)|.\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie wartości funkcji 𝑔(11) oraz zapisanie zbioru wszystkich wartości, jakie\nfunkcja 𝑔 przyjmuje w przedziale [9, 11]: 𝑔(11) = 9\n4 oraz [0, 9\n4].\n1 pkt - obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑔 i obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 punktu,\nw którym funkcja ma maksimum lokalne (lub zapisanie, że 𝑝∉[9, 11]): 2 i 10 oraz\n𝑝= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑔:\n|-1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5| = 0\n-1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= 10\nNiech 𝑓 będzie funkcją kwadratową określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5.\nW przedziale [2, 10] funkcja 𝑓 przyjmuje wartości nieujemne, więc w tym przedziale\nwykres funkcji 𝑔 pokrywa się z wykresem funkcji 𝑓. W przedziałach (-∞, 2) oraz\n(10, +∞) funkcja 𝑓 przyjmuje wartości ujemne, więc w tych przedziałach wykres funkcji 𝑔\njest obrazem wykresu funkcji 𝑓 w symetrii względem osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nObliczamy pierwszą współrzędną 𝑝 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑝= -\n3\n2⋅(- 1\n4) = 6.\nPonieważ 𝑝< 9, więc funkcja 𝑔 w przedziale [9, 10] jest malejąca, a w przedziale\n[10, 11] jest rosnąca. Obliczamy 𝑔(9) i 𝑔(11):\n𝑔(9) = |-1\n4 ∙92 + 3 ∙9 -5| = |-1\n4 ∙81 + 27 -5| = |-20 1\n4 + 22| = 7\n4\n𝑔(11) = |-1\n4 ∙112 + 3 ∙11 -5| = |-1\n4 ∙121 + 33 -5| = |-30 1\n4 + 28| = 9\n4\nZbiorem wszystkich wartości, jakie funkcja 𝑔 przyjmuje w zbiorze [9, 11], jest [0, 9\n4].","solution":"$g(11) = \\dfrac{9}{4}$ oraz $\\left[0, \\dfrac{9}{4}\\right]$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-2.1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"2.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-2)\nWyznacz zbiór wszystkich wartości parametru 𝒎, dla których równanie 𝒈(𝒙) = |𝒎|\nma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.\n2.2.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną […];\nIII.R5) analizuje […] równania i nierówności\nkwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n2 pkt - obliczenie wartości 𝑚 dla których równanie 𝑔(𝑥) = |𝑚| posiada dwa rozwiązania\ntego samego znaku: 𝑚∈(-5, -4) ∪{0} ∪(4, 5).\n1 pkt - obliczenie/zapisanie drugiej współrzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji 𝑔 z osią\n𝑂𝑦 oraz obliczenie wartości 𝑞 lokalnego maksimum funkcji 𝑔: 5 oraz 𝑞= 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy drugą współrzędną punktu przecięcia wykresu funkcji 𝑔 z osią 𝑂𝑦:\n𝑔(0) = |-5| = 5\nNiech 𝑓 będzie funkcją kwadratową określoną wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n4 𝑥2 + 3𝑥-5.\nObliczamy drugą współrzędną 𝑞 wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓:\n𝑞= -\n32 -4 ⋅(-1\n4) ⋅(-5)\n4 ⋅(-1\n4)\n= 4\nWykres funkcji 𝑔 jest wykresem funkcji 𝑦= |𝑓(𝑥)|, więc funkcja 𝑔 ma lokalne maksimum\nrówne 4.\nPrzyjmijmy 𝑘= |𝑚|. Na podstawie analizy własności funkcji 𝑔 wyznaczamy wartości 𝑘\ndla których równanie 𝑔(𝑥) = 𝑘 posiada dwa rozwiązania dodatnie: 𝑘∈(4, 5) ∪{0}.\nObliczamy wartości parametru 𝑚:\n|𝑚| = 0 lub 4 < |𝑚| < 5\nStąd 𝑚= 0 lub 𝑚∈(-5, -4) ∪(4, 5).\nZatem 𝑚∈(-5, -4) ∪{0} ∪(4, 5).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m \\in (-5, -4) \\cup \\{0\\} \\cup (4, 5)$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝒙 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝒚,\nspełniających warunek 𝒙+ 𝒚≥𝟏, prawdziwa jest nierówność\n𝒙𝟑+ 𝟐𝒙𝒚+ 𝒚𝟑≥𝒙𝟐+ 𝒙𝒚(𝒙+ 𝒚) + 𝒚𝟐\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R3) korzysta ze wzorów na: (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 + 𝑏3 i 𝑎3 -𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu, tj. przekształcenie nierówności do postaci\n(𝑥+ 𝑦-1)(𝑥-𝑦)2 ≥0 oraz uzasadnienie jej prawdziwości dla wszystkich liczb\nrzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.\n2 pkt - przekształcenie nierówności do postaci (𝑥+ 𝑦-1)(𝑥-𝑦)2 ≥0.\n1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (𝑥+ 𝑦) występuje jako\nwspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np.\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0\nALBO\nprzekształcenie nierówności do postaci, w której wyrażenie (𝑥-𝑦) występuje jako\nwspólny czynnik w co najmniej dwóch iloczynach, np.\n𝑥2(𝑥-𝑦) -𝑦2(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 w sposób równoważny\n𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0\n(𝑥+ 𝑦)[(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2) -𝑥𝑦] -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) ≥0\nPonieważ:\nz założenia 𝑥+ 𝑦≥1 wynika, że 𝑥+ 𝑦-1 ≥0\nkwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną,\nwięc iloczyn (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) jest liczbą nieujemną jako iloczyn liczb nieujemnych\n𝑥+ 𝑦-1 oraz (𝑥-𝑦)2.\nTo oznacza, że nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 jest prawdziwa dla\nwszystkich liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 w sposób równoważny\n𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) -𝑥2 + 2𝑥𝑦-𝑦2 ≥0\n𝑥3 -𝑥2𝑦+ 𝑦3 -𝑥𝑦2 -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0\n𝑥2(𝑥-𝑦) -𝑦2(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 -(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) ≥0\nPonieważ:\nz założenia 𝑥+ 𝑦≥1 wynika, że 𝑥+ 𝑦-1 ≥0\nkwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną,\nwięc iloczyn (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦-1) jest liczbą nieujemną jako iloczyn liczb nieujemnych\n𝑥+ 𝑦-1 oraz (𝑥-𝑦)2.\nTo oznacza, że nierówność 𝑥3 + 2𝑥𝑦+ 𝑦3 ≥𝑥2 + 𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) + 𝑦2 jest prawdziwa dla\nwszystkich liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 spełniających warunek 𝑥+ 𝑦≥1.\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nMaszyna napełnia torebki herbatą. Każda torebka ma zostać napełniona 200 g herbaty.\nTorebkę, która zawiera mniej niż 200 g herbaty, nazywamy torebką z niedowagą.\nPrawdopodobieństwo tego, że pojedyncza torebka napełniona przez tę maszynę jest\nz niedowagą, jest równe 0,1. Kontroli poddano masę herbaty w torebkach napełnianych\nprzez tę maszynę danego dnia. Do kontroli wybrano losowo 20 torebek.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród tych\n𝟐𝟎 losowo wybranych torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą.\nZapisz obliczenia. Wynik zapisz w zaokrągleniu do drugiego miejsca po przecinku.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R2) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa i poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) ≈0,68.\n2 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów\nw 𝑛 próbach Bernoullego i zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 w postaci\n𝑃(𝐴) = (20\n0 ) ∙(0,1)0 ∙(0,9)20 + (20\n1 ) ∙(0,1)1 ∙(0,9)19 + (20\n2 ) ∙(0,1)2 ∙(0,9)18.\n1 pkt - określenie sukcesu i porażki w pojedynczej próbie Bernoullego oraz podanie ich\nprawdopodobieństw: 𝑝= 0,1 oraz 𝑞= 0,9.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest kontrola masy herbaty nasypanej przez maszynę do torebki.\nSukcesem w tej próbie jest uzyskanie torebki herbaty z niedowagą. Prawdopodobieństwo 𝑝\nsukcesu jest równe 0,1, natomiast prawdopodobieństwo 𝑞 porażki jest równe 0,9.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród wylosowanych do kontroli\n20 torebek znajdą się co najwyżej dwie torebki z niedowagą. Przez 𝑃20(𝑘) oznaczmy\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród skontrolowanych\n20 torebek znajdzie się dokładnie 𝑘 torebek z niedowagą.\nWtedy 𝑃(𝐴) = 𝑃20(0) + 𝑃20(1) + 𝑃20(2). Zatem\n𝑃(𝐴) = (20\n0 ) ∙(0,1)0 ∙(0,9)20 + (20\n1 ) ∙(0,1)1 ∙(0,9)19 + (20\n2 ) ∙(0,1)2 ∙(0,9)18\n𝑃(𝐴) = (0,9)18 ∙4,51 ≈0,68","solution":"$P(A) \\approx 0{,}68$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝟔𝐬𝐢𝐧𝒙+ 𝟐√𝟑𝐜𝐨𝐬𝒙+ 𝟑𝐭𝐠𝒙+ √𝟑= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n5.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4cos 2𝑥cos 5𝑥= 2cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: 𝑥= -𝜋\n6 + 𝑘𝜋 lub\n𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania elementarnego tg 𝑥= -\n√3\n3 (lub cos 𝑥= -1\n2):\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝑘𝜋, 𝑘∈𝑍 (lub: 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 oraz 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ).\n2 pkt - przekształcenie równania 6 sin 𝑥+ 2√3 cos 𝑥+ 3 tg 𝑥+ √3 = 0 do postaci\nalternatywy równań trygonometrycznych, np. 3 tg 𝑥+ √3 = 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0,\ndla 𝑥≠𝜋\n2 + 𝑘𝜋.\n1 pkt - zapisanie, że lewa strona równania ma sens liczbowy dla 𝑥≠𝜋\n2 + 𝑘𝜋 oraz\nprzekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu, np.\n(3tg 𝑥+ √3)(2 cos 𝑥+ 1) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozwiązań równania szukamy wśród liczb 𝑥≠𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ, gdyż tangens nie jest\nokreślony dla liczb postaci 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 (gdzie 𝑘∈ℤ).\nPrzekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:\n6 ⋅sin 𝑥\ncos 𝑥∙cos 𝑥+ 2√3 cos 𝑥+ 3 tg 𝑥+ √3 = 0\n6 tg 𝑥⋅cos 𝑥+ 2√3 cos 𝑥+ 3 tg 𝑥+ √3 = 0\n2 cos 𝑥(3 tg 𝑥+ √3) + (3 tg 𝑥+ √3) = 0\n(3 tg 𝑥+ √3)(2 cos 𝑥+ 1) = 0\nOtrzymane równanie jest równoważne alternatywie równań:\n3 tg 𝑥+ √3 = 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0\nStąd\ntg 𝑥= -√3\n3 lub cos 𝑥= -1\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= -𝜋\n6 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ. Żadna z otrzymanych liczb nie jest postaci 𝜋\n2 + 𝑘𝜋.\nRozwiązaniami równania są liczby postaci: -𝜋\n6 + 𝑘𝜋 oraz 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, oraz -2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋,\ngdzie 𝑘∈ℤ.","solution":"$x = -\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi$ lub $x = \\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi$ lub $x = -\\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 poprowadzono dwusieczne kątów przecinające boki 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 i 𝐴𝐵 tego\ntrójkąta w punktach - odpowiednio - 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀. Punkt 𝑃 jest punktem przecięcia tych\ndwusiecznych. Na czworokątach 𝐶𝐿𝑃𝐾 oraz 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg.\nUdowodnij, że trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest równoboczny.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - wyznaczenie miar pozostałych kątów trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n3 pkt - obliczenie miary kąta 𝛾: 𝛾= 60°.\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia o kątach wierzchołkowych i zapisanie zależności\n𝛾= 𝛼+ 𝛽.\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie i zapisanie zależności\n|∡𝐿𝑃𝐾| = 180° -𝛾\nALBO\nzastosowanie twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i zapisanie\nzależności |∡𝐴𝑃𝐵| = 180° -𝛼-𝛽.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ na czworokącie 𝐶𝐿𝑃𝐾 można opisać okrąg, więc |∡𝐿𝑃𝐾| = 180° -𝛾.\nZ własności kątów wierzchołkowych\n|∡𝐿𝑃𝐾| = |∡𝐴𝑃𝐵| = 180° -𝛼-𝛽\nZatem\n180° -𝛾= 180° -𝛼-𝛽\nStąd\n𝛾= 𝛼+ 𝛽\nKorzystamy z twierdzenia o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta i otrzymujemy:\n𝛾+ 2𝛼+ 2𝛽= 180°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐿\n𝐾\n𝑃\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝛾\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝛾+ 2(𝛼+ 𝛽) = 180°\n3𝛾= 180°\n𝛾= 60°\nAnalogicznie, ponieważ na czworokącie 𝐵𝐾𝑃𝑀 można opisać okrąg, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 60°.\nStąd\n|∡𝐶𝐴𝐵| = 180° -|∡𝐴𝐵𝐶| -|∡𝐵𝐶𝐴| = 60°\nZatem trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoboczny.\nTo należało wykazać.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nOlejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość\nprodukcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów\n(ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480 + 𝑥) litrów\ndziennie przeciętny koszt 𝐾 (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy\n𝐾(𝑥) = 22𝑥2 - 621,5𝑥 + 23 430\n480 + 𝑥\n, gdzie 𝑥∈[0, 50].\nOblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt\nprodukcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji).\nOblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.\nZapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - wyznaczenie poziomu produkcji, przy którym przeciętny koszt produkcji jednego litra\noleju jest najmniejszy oraz obliczenie najmniejszego przeciętnego kosztu produkcji:\n𝑥= 15 oraz 𝐾(15) = 38,50 zł.\n3 pkt - zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝐾: 𝐾′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈[0, 15) oraz 𝐾′(𝑥) > 0\ndla 𝑥∈(15, 50], oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥, dla\nktórej funkcja 𝐾 osiąga wartość najmniejszą, np.: funkcja 𝐾 (określona na\nprzedziale [0, 50]) jest malejąca w przedziale [0,15] oraz rosnąca w przedziale\n[15, 50], więc w punkcie 𝑥= 15 osiąga najmniejszą wartość.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝐾: 𝑥= 15.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝐾:\n𝐾′(𝑥) = (44𝑥-621,5)(480 + 𝑥) -1 ∙(22𝑥2 -621,5𝑥+ 23 430)\n(480 + 𝑥)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,\nnp. znakami „+” i „-”, znak pochodnej.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja 𝐾 posiada wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający:\n- opisuje (słownie lub graficznie, np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝐾\nlub\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝐾 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość w przyjętej dziedzinie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeśli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji 𝐾 w zbiorze ℝ, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝐾(𝑥) = 22𝑥2- 621,5𝑥 + 23 430\n480 + 𝑥\n:\n𝐾′(𝑥) = (44𝑥-621,5)(480 + 𝑥) -1 ∙(22𝑥2 -621,5𝑥+ 23 430)\n(480 + 𝑥)2\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n𝐾′(𝑥) = 0\n22𝑥2 + 44 ⋅480𝑥-321 750\n(480 + 𝑥)2\n= 0\n22𝑥2 + 44 ⋅480𝑥-321 750 = 0\n𝑥2 + 960𝑥-14 625 = 0\n𝑥= -975 ∉[0, 50] lub 𝑥= 15 ∈[0, 50]\nPonieważ 𝐾′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈[0, 15) oraz 𝐾′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(15, 50], więc funkcja 𝐾\n(określona na przedziale [0, 50]) jest malejąca w przedziale [0, 15] oraz rosnąca\nw przedziale [15, 50]. Stąd funkcja 𝐾 osiąga wartość najmniejszą dla argumentu 𝑥= 15.\nPrzeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju jest najmniejszy przy poziomie produkcji\n495 litrów dziennie.\nObliczamy najmniejszy przeciętny koszt wytworzenia jednego litra oleju:\n𝐾(15) = 22 ∙152 -621,5 ∙15 + 23 430\n480 + 15\n= 38,50 zł","solution":"$x = 15$, $K(15) = 38{,}50$ zł","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"8","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-5)\nRozwiąż nierówność\n𝒙-𝟏\n𝒙𝟐-𝟒-\n𝟏\n𝟐-𝒙≥\n𝟑\n𝟐+ 𝒙+ 𝟐\nZapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R2) rozwiązuje równania i nierówności\nwymierne nie trudniejsze niż\n(𝑥+1)\n𝑥(𝑥-1) +\n1\n𝑥+1 ≥\n2𝑥\n(𝑥-1)(𝑥+1) .\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania nierówności wymiernej oraz poprawny\nwynik: [-3, -2) ∪(2, 5\n2].\n4 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności\nw postaci\n-2(𝑥- 5\n2)(𝑥+3)\n(𝑥-2)(𝑥+2)\n≥0\nALBO\nrozwiązanie nierówności wielomianowej -2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0:\n[-3, -2] ∪[2, 5\n2].\n3 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności\nw postaci -2𝑥2-𝑥+15\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥0\nALBO\nzapisanie nierówności w postaci\n-2(𝑥- 5\n2)(𝑥+3)\n(𝑥-2)(𝑥+2)\n≥0.\n2 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2} oraz zapisanie nierówności\nw postaci 𝑥-1+𝑥+2\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥2𝑥+7\n2+𝑥\nALBO\nzapisanie nierówności w postaci -2𝑥2-𝑥+15\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥0.\n1 pkt - wyznaczenie dziedziny nierówności: 𝑅\\{-2, 2}\nALBO\nzapisanie nierówności w postaci 𝑥-1+𝑥+2\n(𝑥-2)(𝑥+2) ≥2𝑥+7\n2+𝑥 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy dziedzinę nierówności 𝑥-1\n𝑥2-4 -\n1\n2-𝑥≥\n3\n2+𝑥+ 2:\n𝑥2 -4 ≠0 i 2 -𝑥≠0 i 2 + 𝑥≠0\nZatem nierówność ma sens liczbowy dla 𝑥∈𝑅\\{-2, 2}.\nPrzekształcamy kolejno nierówność, otrzymując:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥-1 + 𝑥+ 2\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥2𝑥+ 7\n2 + 𝑥\n2𝑥+ 1\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥(2𝑥+ 7)(𝑥-2)\n(𝑥-2)(𝑥+ 2)\n2𝑥+ 1\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) -(2𝑥+ 7)(𝑥-2)\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\n2𝑥+ 1\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) -2𝑥2 + 3𝑥-14\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\n-2𝑥2 -𝑥+ 15\n(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\n-2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)\n(𝑥-2)(𝑥+ 2)\n≥0\nPonieważ znak wyrażenia wymiernego\n-2(𝑥- 5\n2)(𝑥+3)\n(𝑥-2)(𝑥+2) jest taki sam, jak wyrażenia\nbędącego iloczynem licznika i mianownika tego ułamka algebraicznego, więc\n-2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności wielomianowej\n-2 (𝑥-5\n2) (𝑥+ 3)(𝑥-2)(𝑥+ 2) ≥0 jest zbiór [-3, -2] ∪[2, 5\n2].\nUwzględniamy dziedzinę nierówności wymiernej i otrzymujemy zbiór wszystkich rozwiązań\nnierówności wymiernej: [-3, -2) ∪(2, 5\n2].","solution":"$\\left[-3, -2\\right) \\cup \\left(2, \\dfrac{5}{2}\\right]$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐-(𝒎-𝟒)𝒙+ 𝒎𝟐-𝟕𝒎+ 𝟏𝟐= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐\n, spełniające warunek\n𝒙𝟏\n𝟑+ 𝒙𝟐\n𝟑< 𝟓𝒙𝟏\n𝟐⋅𝒙𝟐+ 𝟓𝒙𝟏⋅𝒙𝟐\n𝟐\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności […]\nkwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody oraz poprawny wynik: 𝑚∈(20\n7 , 4).\n4 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4) oraz zapisanie nierówności\nz jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2)\nw postaci -7𝑚3 + 76𝑚2 -272𝑚+ 320 < 0 lub\n(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0, lub -7(𝑚-4)2(𝑚-20\n7 ) < 0\nALBO\npoprawne rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2): 𝑚∈(20\n7 , 4) ∪(4, +∞).\n3 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4) oraz zapisanie nierówności\nz jedną niewiadomą 𝑚, która wynika z warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 , np.\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4)\nALBO\nzapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 (wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2) w postaci -7𝑚3 + 76𝑚2 -272𝑚+ 320 < 0 lub\n(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0, lub -7(𝑚-4)2(𝑚-20\n7 ) < 0.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4) oraz przekształcenie\nwarunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)\nALBO\nzastosowanie wzorów Viète’a i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która\nwynika z warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 , np.\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4).\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆ > 0: 𝑚∈(8\n3 , 4)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\nprzekształcenie warunku 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nTrójmian 𝑥2 -(𝑚-4)𝑥+ 𝑚2 -7𝑚+ 12 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste tylko\nwtedy, gdy jego wyróżnik Δ jest dodatni, tj.\n(𝑚-4)2 -4(𝑚2 -7𝑚+ 12) > 0\n-3𝑚2 + 20𝑚-32 > 0\n-3(𝑚-4) (𝑚-8\n3) > 0\nZatem 𝑚∈(8\n3 , 4).\nNierówność 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2 przekształcamy równoważnie do postaci, która\npozwoli na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a:\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 < 5𝑥1\n2𝑥2 + 5𝑥1𝑥2\n2\n(𝑥1 + 𝑥2)[𝑥1\n2 -𝑥1𝑥2 + 𝑥2\n2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)\n(𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -3𝑥1𝑥2] < 5𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2)\nStosujemy wzory Viète’a i otrzymujemy:\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -3(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 5(𝑚2 -7𝑚+ 12)(𝑚-4)\n(𝑚-4)[(𝑚-4)2 -8(𝑚2 -7𝑚+ 12)] < 0\n(𝑚-4)(-7𝑚2 + 48𝑚-80) < 0\n-7(𝑚-4)2(𝑚-20\n7 ) < 0\n𝑚∈(20\n7 , 4) ∪(4, +∞)\nCzęścią wspólną zbiorów (8\n3 , 4) i (20\n7 , 4) ∪(4, +∞) jest (20\n7 , 4).\nRównanie 𝑥2 -(𝑚-4)𝑥+ 𝑚2 -7𝑚+ 12 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste,\nspełniające warunki zadania, dla 𝑚∈(20\n7 , 4).","solution":"$m \\in \\left(\\dfrac{20}{7}, 4\\right)$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Krawędź\npodstawy tego ostrosłupa ma długość 𝑎. Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny\npodstawy pod kątem o mierze 𝛼 takim, że cos 𝛼=\n√10\n10 . Przez krawędź 𝐵𝐶 podstawy\nostrosłupa poprowadzono płaszczyznę 𝜋 prostopadłą do ściany bocznej 𝑆𝐴𝐷.\nSporządź rysunek tego ostrosłupa, zaznacz na rysunku przekrój wyznaczony przez\npłaszczyznę 𝝅 i nazwij figurę, która jest tym przekrojem. Oblicz pole otrzymanego\nprzekroju.\nZapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.R5) wyznacza przekroje sześcianu\ni ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich\npola, także z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃przekroju = 27√10\n100 𝑎2.\n4 pkt - obliczenie wysokości ℎ oraz długości podstawy 𝐸𝐹 trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸: ℎ= 3√10\n10 𝑎\noraz |𝐸𝐹| = 0,8𝑎.\n3 pkt - obliczenie długości podstawy 𝐸𝐹 trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸: |𝐸𝐹| = 0,8𝑎\nALBO\nobliczenie wysokości ℎ trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸: ℎ= 3√10\n10 𝑎.\n2 pkt - zapisanie zależności prowadzącej do obliczenia długości podstawy 𝐸𝐹 trapezu, np.\n|𝐸𝐹|\n|𝐴𝐷| =\n|𝑅𝑆|\n|𝑆𝐺|\nALBO\nobliczenie |𝑆𝐺| =\n√10\n2 𝑎 oraz |𝑅𝑆| = 2√10\n5\n𝑎,\nALBO\nzapisanie zależności prowadzącej do obliczenia wysokości ℎ trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸, np.\n3√10\n10\n= ℎ\n𝑎 .\n1 pkt - zapisanie, że przekrój jest trapezem (równoramiennym).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeśli zdający nie zapisze, że przekrój jest trapezem, lecz realizuje strategię rozwiązania\nzadania, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOdpowiedni przekrój przedstawiono na rysunku\nobok.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝑃\n𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃 i 𝐺 - środki krawędzi, odpowiednio, 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷.\n𝐸∈𝐴𝑆 i 𝐹∈𝐷𝑆, i 𝐸𝐹∥𝐴𝐷. Podstawa 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest kwadratem o boku 𝑎. Krawędzie\nboczne są równej długości.\nOtrzymany przekrój 𝐵𝐶𝐹𝐸 jest trapezem równoramiennym.\nWprowadzamy oznaczenia:\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑅 - środek odcinka 𝐸𝐹,\n𝐻 - rzut prostokątny punktu 𝑅 na płaszczyznę podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nℎ - wysokość trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸.\nTrójkąt 𝑆𝑂𝐺 jest prostokątny, więc z definicji funkcji cosinus otrzymujemy\ncos 𝛼=\n|𝑂𝐺|\n|𝑆𝐺|\n√10\n10 =\n1\n2 𝑎\n|𝑆𝐺|\nStąd wysokość ściany bocznej ostrosłupa jest równa |𝑆𝐺| =\n√10\n2 𝑎.\nTrójkąt 𝐺𝑃𝑅 jest prostokątny, więc z definicji funkcji cosinus otrzymujemy\ncos 𝛼= |𝑅𝐺|\n|𝐺𝑃|\n√10\n10 =\n|𝑅𝐺|\n𝑎\n|𝑅𝐺| = √10\n10 𝑎\nObliczamy długość odcinka 𝑅𝑆:\n|𝑅𝑆| = |𝑆𝐺| -|𝑅𝐺|\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\n𝐸\n𝐹\n𝑅\n𝐺\n𝑃\n𝑎\nℎ\n𝛼\n𝐻\n|𝑅𝑆| = √10\n2 𝑎-√10\n10 𝑎\n|𝑅𝑆| = 2√10\n5\n𝑎\nTrójkąty 𝐴𝐷𝑆 i 𝐸𝐹𝑆 na mocy cechy kkk są podobne, więc\n|𝐸𝐹|\n|𝐴𝐷| = |𝑅𝑆|\n|𝑆𝐺|\nStąd wyznaczamy długość podstawy 𝐸𝐹 trapezu 𝐵𝐶𝐹𝐸:\n|𝐸𝐹|\n𝑎\n2√10\n5\n𝑎\n√10\n2 𝑎\n|𝐸𝐹| = 0,8𝑎\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej i obliczamy sin 𝛼:\nsin2𝛼+ (√10\n10 )\n2\n= 1\nsin 𝛼= 3√10\n10\nTrójkąt 𝐺𝑅𝑃 jest prostokątny. Korzystamy z definicji funkcji sinus i obliczamy wysokość ℎ\nprzekroju:\nsin 𝛼=\n|𝑅𝑃|\n|𝐺𝑃|\nsin 𝛼= ℎ\n𝑎\n3√10\n10\n= ℎ\n𝑎\nℎ= 3√10\n10 𝑎\nObliczamy pole przekroju: 𝑃przekroju = 𝑎+0,8𝑎\n2\n∙3√10\n10 𝑎= 0,9𝑎∙3√10\n10 𝑎= 27√10\n100 𝑎2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$P_{\\text{przekroju}} = \\dfrac{27\\sqrt{10}}{100} a^{2}$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nDany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷| oraz ramię 𝐵𝐶\nma długość 6. Na tym trapezie opisano okrąg o promieniu 𝑅= 5. Miary kątów 𝐵𝐴𝐶 i 𝐴𝐵𝐶\ntego trapezu spełniają warunek\nsin|∡𝐵𝐴𝐶|\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = 5\n8\nOblicz pole i obwód trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑫.\nZapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R7) stosuje twierdzenie sinusów;\nVII.R5) korzysta ze wzorów na sinus,\ncosinus i tangens sumy i różnicy kątów,\na także na funkcje trygonometryczne kątów\npodwojonych.\nZasady oceniania\n5 pkt - obliczenie pola 𝑃 i obwodu 𝐿 trapezu i poprawne wyniki: 𝑃= 27648\n625 , 𝐿= 27,36.\n4 pkt - obliczenie długości dłuższej podstawy oraz obliczenie wysokości trapezu: 𝑎= 234\n25 ,\nℎ= 144\n25\nALBO\nobliczenie długości dłuższej i krótszej podstawy: 𝑎= 234\n25 oraz 𝑏= 6,\nALBO\nobliczenie pola 𝑃 trapezu: 𝑃= 27648\n625 ,\nALBO\nobliczenie obwodu 𝐿 trapezu: 𝐿= 27,36.\n3 pkt - obliczenie długości dłuższej podstawy: 𝑎= 234\n25\nALBO\nobliczenie wysokości trapezu oraz obliczenie długości odcinka 𝐸𝐵: ℎ= 144\n25 oraz\n|𝐸𝐵| = 42\n25 ,\nALBO\nobliczenie długości odcinka 𝐴𝐸: |𝐴𝐸| = 192\n25 .\n2 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐶𝐵: sin(𝛼+ 𝛽) = 117\n125\nALBO\nobliczenie wysokości trapezu: ℎ= 144\n25 ,\nALBO\nobliczenie długości odcinka 𝐸𝐵: |𝐸𝐵| = 42\n25 ,\nALBO\nobliczenie długości odcinka 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 48\n5 .\n1 pkt - obliczenie sinusa kąta 𝐵𝐴𝐶: sin 𝛼= 3\n5 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia:\n𝑎 - długość dłuższej podstawy trapezu,\n𝑏 - długość krótszej podstawy trapezu,\n|∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛼, |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛽,\n𝐶𝐸 - wysokość poprowadzona z wierzchołka 𝐶 trapezu na podstawę 𝐴𝐵.\nPonieważ na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 opisano okrąg, więc trapez jest równoramienny. Promień\nokręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 jest równy promieniowi okręgu opisanego na trapezie\n𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|, więc 𝛼< 90° i 𝛽< 90°.\nStosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i obliczamy sinus kąta 𝛼:\n|𝐵𝐶|\nsin 𝛼 = 2𝑅\n6\nsin 𝛼= 10\nsin 𝛼= 3\n5\nKorzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy cos 𝛼= 4\n5 .\nObliczamy sinus kąta 𝛽.\nPonieważ sin|∡𝐵𝐴𝐶|\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = 5\n8 , więc\nsin 𝛽= 8\n5 ⋅sin 𝛼\nsin 𝛽= 8\n5 ∙3\n5 = 24\n25\nKorzystając z jedynki trygonometrycznej, otrzymujemy cos 𝛽= 7\n25 .\nObliczamy sinus kąta (𝛼+ 𝛽), korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów:\nsin(𝛼+ 𝛽) = 3\n5 ∙7\n25 + 4\n5 ∙24\n25 = 117\n125\nStosujemy twierdzenie sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i obliczamy długość dłuższej podstawy\ntrapezu:\n𝑎\nsin [180° -(𝛼+ 𝛽)] = 2R\n6\n𝐵\nℎ\n𝑎\n𝐶\n𝐴\n𝐷\n𝑏\n𝐸\n𝛼\n𝛽\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎\nsin(𝛼+ 𝛽) = 10\n𝑎\n117\n125\n= 10\n𝑎= 234\n25\nTrójkąt 𝐵𝐸𝐶 jest prostokątny. Obliczamy wysokość ℎ trapezu, długość odcinka 𝐸𝐵 oraz\ndługość krótszej podstawy trapezu:\nℎ\n|𝐵𝐶| = sin 𝛽 oraz |𝐸𝐵|\n|𝐵𝐶| = cos 𝛽\nℎ\n6 = 24\n25 oraz |𝐸𝐵|\n6\n= 7\n25\nℎ= 144\n25 oraz |𝐸𝐵| = 42\n25\n𝑏= 𝑎-2 ⋅|𝐸𝐵|\n𝑏= 234\n25 -2 ∙42\n25 = 6\nObliczamy pole 𝑃 i obwód 𝐿 trapezu:\n𝑃=\n234\n25 + 6\n2\n∙144\n25 = 27648\n625\n𝐿= 3 ∙6 + 234\n25 = 27,36","solution":"$P = \\dfrac{27648}{625}$, $L = 27{,}36$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nProsta 𝑘 o równaniu 𝑥+ 𝑦-9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\nw punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest liczbą dodatnią; pierwsza\nwspółrzędna punktu 𝐵 jest liczbą ujemną. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i styczna\ndo danej paraboli w punkcie 𝐶.\nOblicz odległość punktu 𝑪 od prostej 𝒌 oraz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.\nZapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.R1) posługuje się równaniem prostej\nw postaci ogólnej na płaszczyźnie […];\nIX.R3) znajduje punkty wspólne prostej\ni okręgu oraz prostej i paraboli będącej\nwykresem funkcji kwadratowej.\nZasady oceniania\n6 pkt - obliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘 oraz pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\nℎ𝐶= 9\n√2 i 𝑃= 54.\n5 pkt - obliczenie pola 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑃= 54\nALBO\nobliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘 oraz obliczenie współrzędnych\npunktów 𝐴 i 𝐵: ℎ𝐶= 9\n√2 oraz 𝐴= (7, 2) i 𝐵= (-5, 14).\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶: 𝐴= (7, 2), 𝐵= (-5, 14)\ni 𝐶= (1, -1)\nALBO\nobliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘 oraz zapisanie układu równań\nprowadzącego do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵:\nℎ𝐶= 9\n√2 oraz {\n𝑥+ 𝑦-9 = 0\n𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵 oraz wyznaczenie pochodnej funkcji\n𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4 : 𝐴= (7, 2) i 𝐵= (-5, 14) oraz 𝑦′ = 1\n2 𝑥-3\n2\nALBO\nobliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz zapisanie układu równań prowadzącego do\nobliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵: 𝐶= (1, -1) oraz {\n𝑥+ 𝑦-9 = 0\n𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\nALBO\nobliczenie odległości ℎ𝐶 punktu 𝐶 od prostej 𝑘: ℎ𝐶= 9\n√2 .\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵: 𝐴= (7, 2) i 𝐵= (-5, 14)\nALBO\nobliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (1, -1),\nALBO\nzapisanie układu równań prowadzącego do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵\noraz wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4 :\n{\n𝑥+ 𝑦-9 = 0\n𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\noraz 𝑦′ = 1\n2 𝑥-3\n2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - zapisanie układu równań prowadzącego do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵:\n{\n𝑥+ 𝑦-9 = 0\n𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\nALBO\nwyznaczenie pochodnej funkcji 𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4 : 𝑦′ = 1\n2 𝑥-3\n2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy układ równań prowadzący do obliczenia współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵.\n{\n𝑥+ 𝑦-9 = 0\n𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\nZ pierwszego równania wyznaczamy 𝑦= -𝑥+ 9 i podstawiamy wyrażenie -𝑥+ 9\nw miejsce 𝑦 do drugiego równania, otrzymując:\n-𝑥+ 9 = 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4\n𝑥2 -2𝑥-35 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= 7\nDla 𝑥= -5 otrzymujemy 𝑦= 14, więc 𝐵= (-5, 14).\nDla 𝑥= 7 otrzymujemy 𝑦= 2, więc 𝐴= (7, 2).\nOznaczmy pierwszą współrzędną punktu 𝐶 przez 𝑥𝐶. Prosta 𝑙 jest równoległa do\nprostej 𝑘, więc współczynnik kierunkowy obu prostych jest równy (-1). Prosta 𝑙 jest\nstyczna do paraboli w punkcie 𝐶, więc współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy\npochodnej funkcji 𝑦= 1\n4 𝑥2 -3\n2 𝑥+ 1\n4 w punkcie 𝑥= 𝑥𝐶. Zatem\n𝑦′ = 1\n2 𝑥-3\n2 i 𝑦′(𝑥𝐶) = -1\n1\n2 𝑥𝐶-3\n2 = -1\n𝑥𝐶= 1\nczyli 𝐶= (1, -1).\nObliczamy wysokość ℎ𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵\n(wysokość ta jest równa odległości punktu 𝐶 od prostej 𝑘):\nℎ𝐶=\n|1 + (-1) -9|\n√12 + 12\n= 9\n√2\nObliczamy długość boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = √(-5 -7)2 + (14 -2)2 = 12√2.\nObliczamy pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ𝐶= 1\n2 ⋅12√2 ⋅9\n√2 = 54.\nUwaga.\nPole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można również obliczyć ze wzoru\n𝑃= 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|\nWówczas otrzymujemy\n𝑃= 1\n2 ⋅|(-5 -7)(-1 -2) -(14 -2)(1 -7)| = 1\n2 ⋅|36 -(-72)| = 54","solution":"$P = 54$","image":"img/matematyka-2022-grudzien-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}