{"paper":{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba (2√8 -3√2)\n2 jest równa\nA. 2\nB. 1\nC. 26\nD. 14\nLiczba (2√8-3√2)² jest równa A. 2 B. 1 C. 26 D. 14⋅r","answer":"R","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie wyrażenia przed potęgowaniem\n\n**Kluczowy trick:** najpierw upraszczamy każdy składnik, żeby sprowadzić wszystko do wspólnego pierwiastka \\(\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 1.** Upraszczamy \\(2\\sqrt{8}\\):\n\\[2\\sqrt{8} = 2\\sqrt{4 \\cdot 2} = 2 \\cdot \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{2} = 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy do nawiasu:\n\\[2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = 1\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 3.** Podnosimy do kwadratu:\n\\[\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = \\mathbf{2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na kwadrat różnicy (bez upraszczania na początku)\n\nStosujemy wzór \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\) bezpośrednio dla \\(a = 2\\sqrt{8}\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 1.** Liczymy \\(a^2\\):\n\\[(2\\sqrt{8})^2 = 4 \\cdot 8 = 32\\]\n\n**Krok 2.** Liczymy \\(2ab\\):\n\\[2 \\cdot 2\\sqrt{8} \\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{8 \\cdot 2} = 12\\sqrt{16} = 12 \\cdot 4 = 48\\]\n\n**Krok 3.** Liczymy \\(b^2\\):\n\\[(3\\sqrt{2})^2 = 9 \\cdot 2 = 18\\]\n\n**Krok 4.** Składamy wynik:\n\\[32 - 48 + 18 = \\mathbf{2}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy** na egzaminie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozłożenia \\(\\sqrt{8} = \\sqrt{4 \\cdot 2} = 2\\sqrt{2}\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(1\\) | Uczeń oblicza \\((4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2}) = \\sqrt{2}\\), ale potem bierze \\(\\sqrt{2} \\approx 1\\) (zaokrąglenie) i zapomina podnieść do kwadratu - lub w ogóle pomija kwadrat |\n| C: \\(26\\) | Uczeń stosuje wzór \\((a-b)^2 = a^2 - b^2\\) zamiast \\(a^2 - 2ab + b^2\\) - pomija środkowy wyraz \\(2ab = 48\\); wtedy \\(32 - 18 = 14\\) (nie 26), albo liczy \\(a^2 + b^2 = 32 + 18 = 50\\) i dalej błądzi |\n| D: \\(14\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(a^2 = 32\\) i \\(b^2 = 18\\), ale pomija środkowy wyraz \\(-2ab\\), przez co dostaje \\(32 - 18 = 14\\) - klasyczny błąd pominięcia \\(2ab\\) we wzorze skróconego mnożenia |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((a - b)^2 \\neq a^2 - b^2\\)! To najczęstszy błąd na maturze. Kwadrat różnicy zawsze ma trzy składniki: \\(a^2 - 2ab + b^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed potęgowaniem zawsze warto uprościć pierwiastki - \\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\) zmienia obliczenia z żmudnych w trywialne. Szukaj wspólnych pierwiastków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2\\sqrt{8})^2 = 4 \\cdot 8 = 32\\), nie \\(2 \\cdot 8 = 16\\). Pamiętaj, że cały wyraz \\(2\\sqrt{8}\\) jest podnoszony do kwadratu - obie części, i \\(2\\), i \\(\\sqrt{8}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Upraszczamy pierwiastki\n\\(2\\sqrt{8} = 2\\cdot 2\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\), więc \\(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\).\n\\[(\\sqrt{2})^2 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór skróconego mnożenia\n\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\). Dla \\(a = 2\\sqrt{8}\\), \\(b = 3\\sqrt{2}\\):\n\\(a^2 = 4\\cdot 8 = 32\\), \\(b^2 = 9\\cdot 2 = 18\\), \\(2ab = 2\\cdot 2\\sqrt{8}\\cdot 3\\sqrt{2} = 12\\sqrt{16} = 48\\).\nZatem \\(32 - 48 + 18 = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(1\\)** - pomyłka w uproszczeniu pierwiastka.\n- **C. \\(26\\)** - \\(32 + 18 - 2\\cdot 12\\) zle policzone.\n- **D. \\(14\\)** - brak składnika środkowego.\n\n**Trik:** zawsze najpierw uprość \\(\\sqrt{8} = 2\\sqrt{2}\\) - unikniesz błędów.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Upraszczanie wyrażenia\n1. **Rozwinięcie pierwiastków:** Zaczynamy od rozwinięcia wyrażenia:\n\\[2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 2\\sqrt{4 \\cdot 2} - 3\\sqrt{2} = 2 \\cdot 2\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\]\n2. **Uproszczenie:** Zatem wyrażenie jest równe \\[\\sqrt{2}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4 - Potęgi, strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na silnię\n1. **Rozpisanie silni:** Zauważamy, że możemy zapisać wyrażenie jako:\n\\[(2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2}) = \\sqrt{2(8)} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{16} - 3\\sqrt{2} = 4 - 3\\sqrt{2}\\]\n2. **Przekształcenie:** Możemy to zapisać jako:\n\\[4 - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{16} - \\sqrt{18}\\]\n3. **Zauważenie:** Zauważamy, że to wyrażenie jest równe 2.\n\\[ \\sqrt{16} - \\sqrt{18} = 4 - \\sqrt{18} \\approx 4 - 4.24 = -0.24\\]\nTo nie jest 2.\n\n📖 Karta wzorów: s.13 - Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 13. (W tym przypadku nie wykorzystujemy bezpośrednio silni, ale rozumujemy o pierwiastkach).\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. 1:** Wynik wyrażenia nie jest równy 1.\n* **C. 26:** Wynik wyrażenia nie jest równy 26.\n* **D. 14:** Wynik wyrażenia nie jest równy 14.\n\nWyjaśnienie: Kluczem do rozwiązania jest prawidłowe rozwinięcie wyrażenia zawierającego pierwiastki. W pierwszym sposobie, dzięki rozpisaniu pierwiastków, otrzymujemy \\[\\sqrt{2}\\], co jest równe 1.414 Zatem, 2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 3\\sqrt{2} = \\sqrt{2} = 1.414 A zatem, 2\\sqrt{8} - 3\\sqrt{2} jest równe 1. W tym przypadku, odpowiedź A jest poprawna.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDodatnie liczby 𝑥 i 𝑦 spełniają warunek 2𝑥= 3𝑦. Wynika stąd, że wartość wyrażenia\n𝑥2+𝑦2\n𝑥⋅𝑦 jest równa\nA. 2\n3\nB. 13\n6\nC. 6\n13\nD. 3\n2\nDodatnie liczby x i y spełniają warunek 2x=3y. Wynika stąd, że wartość wyrażenia x²+y² / x⋅y jest równa A. 2/3 B. 13/6 C. 6/13 D. 3/2⋅r","answer":"R","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG1.6) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nD\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{13}{6}\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie parametryczne\n\nZ warunku \\(2x = 3y\\) wyznaczamy zależność między \\(x\\) i \\(y\\).\n\n**Zapiszmy \\(x\\) i \\(y\\) jako wielokrotności jednej liczby.**\n\nZ \\(2x = 3y\\) wynika:\n\\[x = \\frac{3}{2}y\\]\n\nWprowadźmy parametr \\(k > 0\\) i połóżmy:\n\\[y = 2k, \\qquad x = 3k\\]\n(wtedy \\(2 \\cdot 3k = 6k = 3 \\cdot 2k\\) ✓)\n\nTeraz obliczamy licznik i mianownik:\n\\[x^2 + y^2 = (3k)^2 + (2k)^2 = 9k^2 + 4k^2 = 13k^2\\]\n\\[x \\cdot y = 3k \\cdot 2k = 6k^2\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{x^2 + y^2}{x \\cdot y} = \\frac{13k^2}{6k^2} = \\boxed{\\frac{13}{6}}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{13}{6}\\), czyli odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - podzielenie przez \\(y^2\\)\n\nZamiast podstawiać parametr, podzielmy licznik i mianownik przez \\(y^2\\):\n\n\\[\\frac{x^2 + y^2}{x \\cdot y} = \\frac{\\dfrac{x^2}{y^2} + 1}{\\dfrac{x}{y}}\\]\n\nZ warunku \\(2x = 3y\\) wyznaczamy stosunek:\n\\[\\frac{x}{y} = \\frac{3}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{\\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 + 1}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{9}{4} + 1}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{9}{4} + \\dfrac{4}{4}}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{\\dfrac{13}{4}}{\\dfrac{3}{2}} = \\frac{13}{4} \\cdot \\frac{2}{3} = \\frac{26}{12} = \\frac{13}{6}\\]\n\n**Wynik potwierdza: \\(\\dfrac{13}{6}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowe przekształcanie wyrażeń algebraicznych oraz umiejętność korzystania z warunku dodatkowego do wyznaczenia stosunku \\(\\dfrac{x}{y}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Obliczono \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{2}{3}\\) (odwrócono stosunek) i na tym skończono - zapomniano obliczyć całe wyrażenie |\n| C | Obliczono wyrażenie odwrotne: \\(\\dfrac{x \\cdot y}{x^2 + y^2} = \\dfrac{6}{13}\\) - pomylono licznik z mianownikiem |\n| D | Wzięto po prostu stosunek \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\) nie obliczając całego wyrażenia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(2x = 3y\\) daje \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\), **nie** \\(\\dfrac{2}{3}\\) - tu łatwo odwrócić ułamek. Sprawdź podstawiając: \\(2 \\cdot 3 = 6 = 3 \\cdot 2\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie dzielenia przez \\(y^2\\) uważaj na dzielenie przez ułamek: \\(\\dfrac{\\tfrac{13}{4}}{\\tfrac{3}{2}} = \\dfrac{13}{4} \\cdot \\dfrac{2}{3}\\), **nie** \\(\\dfrac{13}{4} \\cdot \\dfrac{3}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parametr \\(k\\) w Sposobie 1 można wziąć dowolny dodatni - wynik zawsze będzie taki sam, bo szukane wyrażenie jest jednorodne stopnia 0 (potęgi licznika i mianownika się równoważą).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Liczby konkretne\nZ warunku \\(2x = 3y\\) bierzemy \\(x = 3, y = 2\\). Wtedy:\n\\[\\dfrac{9+4}{3\\cdot 2} = \\dfrac{13}{6}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przekształcenie algebraiczne\nPodzielmy licznik i mianownik przez \\(xy\\):\n\\[\\dfrac{x^2+y^2}{xy} = \\dfrac{x}{y} + \\dfrac{y}{x}.\\]\nZ \\(2x=3y\\) mamy \\(\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{3}{2}\\), więc \\(\\dfrac{y}{x} = \\dfrac{2}{3}\\).\nSuma: \\(\\dfrac{3}{2} + \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{9+4}{6} = \\dfrac{13}{6}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - tylko \\(\\tfrac{y}{x}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{6}{13}\\)** - odwrotność poprawnej.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - tylko \\(\\tfrac{x}{y}\\).\n\n**Trik:** rozkład \\(\\tfrac{x^2+y^2}{xy} = \\tfrac{x}{y} + \\tfrac{y}{x}\\) eliminuje potrzebę znajdowania konkretnych \\(x, y\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda algebraiczna - rozwiązywanie równania\n\n1. **Znamy dane:** \\(2x = 3y\\)\n2. **Wyrażamy jedną zmienną przez drugą:** Z równania \\(2x = 3y\\) wyznaczamy \\(x\\) w zależności od \\(y\\): \\(x = \\frac{3}{2}y\\)\n3. **Podstawiamy do wyrażenia:** Mamy wyrażenie \\(x^2 + y^2\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{3}{2}y\\) do tego wyrażenia:\n\\[\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2 + y^2 = \\frac{9}{4}y^2 + y^2 = \\frac{9}{4}y^2 + \\frac{4}{4}y^2 = \\frac{13}{4}y^2\\]\n4. **Wynik:** Zatem \\(x^2 + y^2 = \\frac{13}{4}y^2\\). W zadaniu podano, że \\(x^2 + y^2 = xy\\). Zatem \\(\\frac{13}{4}y^2 = xy\\).\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 3\n\n### Sposób 2: Metoda wzorów i równań\n\n1. **Znamy dane:** \\(2x = 3y\\)\n2. **Wyznaczamy x w zależności od y:** Z równania \\(2x = 3y\\) wyznaczamy \\(x\\) w zależności od \\(y\\): \\(x = \\frac{3}{2}y\\)\n3. **Wykorzystujemy warunek:** Zgodnie z zadaniem, \\(x^2 + y^2 = xy\\). Podstawiamy \\(x = \\frac{3}{2}y\\) do tego równania:\n\\[\\left(\\frac{3}{2}y\\right)^2 + y^2 = \\left(\\frac{3}{2}y\\right)y\\]\n\\[\\frac{9}{4}y^2 + y^2 = \\frac{3}{2}y^2\\]\n\\[\\frac{9}{4}y^2 + \\frac{4}{4}y^2 = \\frac{6}{4}y^2\\]\n\\[\\frac{13}{4}y^2 = \\frac{6}{4}y^2\\]\n\\[\\frac{13}{4}y^2 - \\frac{6}{4}y^2 = 0\\]\n\\[\\frac{7}{4}y^2 = 0\\]\n\\[y^2 = 0\\]\n\\[y = 0\\]\n4. **Obliczamy x:** Ponieważ \\(2x = 3y\\), to \\(2x = 3(0) = 0\\), więc \\(x = 0\\).\n5. **Sprawdzamy:** \\(x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0\\), a \\(xy = 0 \\cdot 0 = 0\\). Zatem \\(x^2 + y^2 = xy\\) jest spełnione.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia, strona 3\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. [2]:** Ta odpowiedź jest bezsensowna, ponieważ nie ma żadnego związku z treścią zadania.\n* **C. [6]:** Ta odpowiedź jest również bezsensowna i nie ma związku z treścią zadania.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ nie przedstawia prawidłowego rozwiązania. W tym przypadku, \\(x=y=0\\) jest prawidłową odpowiedzią.\n\n**Podsumowanie:**\n\nRozwiązanie polega na wyznaczeniu x w zależności od y, a następnie podstawieniu tego do wyrażenia \\(x^2 + y^2\\) i porównaniu z wyrażeniem \\(xy\\). Ostatecznie, otrzymujemy równanie, którego rozwiązaniem jest \\(y=0\\) i \\(x=0\\). Ważne jest, aby pamiętać o wzorach i umiejętnościach algebraicznych, aby móc rozwiązać takie zadania.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba 4 log4 2 + 2 log4 8 jest równa\nA. 6 log4 10\nB. 16\nC. 5\nD. 6 log4 16\nLiczba 4log_4 2 + 2log_4 8 jest równa A. 6log_4 10 B. 16 C. 5 D. 6log_4 16⋅r","answer":"R","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu […] i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana logarytmów na wspólną podstawę (bezpośrednie obliczenia)\n\nUpraszczamy każdy składnik osobno, korzystając z własności potęg i logarytmów.\n\n**Pierwszy składnik:** \\(4\\log_4 2\\)\n\nZauważamy, że \\(2 = 4^{1/2}\\), więc:\n\\[\\log_4 2 = \\log_4 4^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[4\\log_4 2 = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\n**Drugi składnik:** \\(2\\log_4 8\\)\n\nZauważamy, że \\(8 = 4^{3/2}\\), bo \\(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\\). Zatem:\n\\[\\log_4 8 = \\log_4 4^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[2\\log_4 8 = 2 \\cdot \\frac{3}{2} = 3\\]\n\n**Suma:**\n\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = 2 + 3 = \\mathbf{5}\\]\n\n## Sposób 2 - logarytm z iloczynu i potęgi\n\nŁączymy oba składniki w jeden logarytm, korzystając ze wzorów \\(r\\log_a x = \\log_a x^r\\) oraz \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).\n\n\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = \\log_4 2^4 + \\log_4 8^2\\]\n\\[= \\log_4 16 + \\log_4 64\\]\n\\[= \\log_4 (16 \\cdot 64)\\]\n\\[= \\log_4 1024\\]\n\nTeraz obliczamy \\(\\log_4 1024\\). Sprawdzamy: \\(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} = 1024\\). Zatem:\n\n\\[\\log_4 1024 = 5\\]\n\n**Wynik: \\(5\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nUżyliśmy trzech własności logarytmów:\n\n1. \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\) - przeniesienie współczynnika jako wykładnik (Sposób 2)\n2. \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\) - logarytm iloczynu (Sposób 2)\n3. Definicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\) - bezpośrednie wyznaczanie wartości logarytmu (oba sposoby)\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\nUżyte przy zapisaniu \\(2 = 4^{1/2}\\) i \\(8 = 4^{3/2}\\) w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(6\\log_4 10\\) - uczeń dodał same współczynniki (\\(4+2=6\\)) i podstawy logarytmów (\\(2+8=10\\)), ignorując własności logarytmów |\n| B | \\(16\\) - uczeń obliczył \\(4 \\cdot 2 + 2 \\cdot 8 = 8 + 16 = 24\\) lub potraktował to jak \\(4^2 + \\ldots\\), myląc logarytm z potęgą |\n| D | \\(6\\log_4 16\\) - uczeń dodał współczynniki (\\(4+2=6\\)) i argumenty mnożąc (\\(2 \\cdot 8 = 16\\)), stosując błędny „wzór\" \\(n\\log_a x + m\\log_a y = (n+m)\\log_a(xy)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_4 2 \\neq \\frac{1}{4}\\). Logarytm to wykładnik, nie ułamek \"1 przez podstawę\". Trzeba zapytać: \"do jakiej potęgi podnosimy 4, żeby dostać 2?\" - odpowiedź: \\(\\frac{1}{2}\\), bo \\(4^{1/2} = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik przed logarytmem (\\(4\\log_4 2\\)) NIE oznacza mnożenia podstawy ani dodawania do podstawy. Jedyna dozwolona operacja to przeniesienie go jako wykładnik argumentu: \\(4\\log_4 2 = \\log_4 2^4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zamianie \\(8 = 4^{3/2}\\) warto sprawdzić: \\(4^{3/2} = (\\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8\\) ✓. Taka weryfikacja zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność \\(n\\log_a b = \\log_a b^n\\)\n\\[4\\log_4 2 + 2\\log_4 8 = \\log_4 2^4 + \\log_4 8^2 = \\log_4 16 + \\log_4 64.\\]\n\\(\\log_4 16 = 2\\), \\(\\log_4 64 = 3\\), więc suma \\(= 5\\).\n\n### Sposób 2 - Własności logarytmów\n\\(\\log_4 2 = \\tfrac{1}{2}\\) (bo \\(4^{1/2}=2\\)), \\(\\log_4 8 = \\tfrac{3}{2}\\) (bo \\(4^{3/2}=8\\)).\n\\[4\\cdot \\tfrac{1}{2} + 2\\cdot \\tfrac{3}{2} = 2 + 3 = 5.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\log_4 10\\)** - bez uzasadnienia 10.\n- **B. \\(16\\)** - pomyłka: \\(\\log_4 16 = 2\\), nie 16.\n- **D. \\(6\\log_4 16\\)** - logarytm 16 nie pochodzi z tego wyrażenia.\n\n**Trik:** \\(2 = 4^{1/2}\\) i \\(8 = 4^{3/2}\\) - od razu znamy logarytmy.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie własności logarytmów\nRozwińmy najpierw wyrażenia logarytmiczne:\n\n\\[\n\\begin{aligned}\n4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 8 &= 4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 2^3 \\\\\n&= 4 \\log_4 2 + 2 \\cdot 3 \\log_4 2 \\\\\n&= 4 \\log_4 2 + 6 \\log_4 2 \\\\\n&= 10 \\log_4 2\n\\end{aligned}\n\\]\n\nTeraz użyjemy wzoru: \\( \\log_a b^c = c \\log_a b \\). Zatem:\n\n\\[\n10 \\log_4 2 = 10 \\cdot \\frac{\\log_2 2}{\\log_2 4} = 10 \\cdot \\frac{1}{2} = 5\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 13\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na potęgi z logarytmami\nWykorzystamy wzór: \\( \\log_a (x^r) = r \\log_a x \\). Zastosujemy go do obu składników wyrażenia:\n\n\\[\n4 \\log_4 2 + 2 \\log_4 8 = 4 \\cdot \\log_4 \\sqrt[2]{4} + 2 \\log_4 8\n\\]\n\\[\n= 4 \\cdot \\log_4 2 + 2 \\cdot \\log_4 2^3 = 4 \\cdot \\log_4 2 + 2 \\cdot 3 \\log_4 2 = 4 \\log_4 2 + 6 \\log_4 2 = 10 \\log_4 2\n\\]\n\nJak w sposobie 1, \\(10 \\log_4 2 = 5\\)\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: \\(\\log_a(b)=c \\leftrightarrow a^c=b\\), strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 6 log4 10:** To wyrażenie nie jest równe 5. Nie ma bezpośredniego związku z danym wyrażeniem.\n* **B. 16:** To liczba całkowita, ale nie jest równa wynikowi wyrażenia.\n* **D. 6 log4 16:** \\(6 \\log_4 16 = 6 \\log_4 4^2 = 6 \\cdot 2 = 12\\). To również nie jest poprawne.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny\nobowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł. Cena tej działki przed obiema\nobniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa\nA. 98 732 zł\nB. 97 200 zł\nC. 95 266 zł\nD. 94 478 zł\nCena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78732 zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do 1 zł, równa A. 98 732 zł B. 97 200 zł C. 95 266 zł D. 94 478 zł.","answer":"R","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(97\\,200\\) zł\n\n## Sposób 1 - równanie z nieznaną ceną początkową\n\n**Każda obniżka o \\(10\\%\\)** oznacza, że zostaje \\(90\\%\\) poprzedniej ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}9\\).\n\nPo **dwóch** takich obniżkach cena wynosi:\n\\[C_0 \\cdot 0{,}9 \\cdot 0{,}9 = C_0 \\cdot 0{,}81\\]\n\ngdzie \\(C_0\\) to cena przed obniżkami. Wiemy, że wynik to \\(78\\,732\\) zł:\n\\[C_0 \\cdot 0{,}81 = 78\\,732\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(0{,}81\\):\n\\[C_0 = \\frac{78\\,732}{0{,}81}\\]\n\nLiczymy:\n\\[C_0 = \\frac{78\\,732}{0{,}81} = \\frac{7\\,873\\,200}{81} = 97\\,200\\]\n\n**Cena przed obniżkami wynosiła \\(97\\,200\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy zaczynając od \\(97\\,200\\) zł i dwukrotnie obniżając o \\(10\\%\\), dostaniemy \\(78\\,732\\) zł.\n\n**Pierwsza obniżka:**\n\\[97\\,200 \\cdot 0{,}9 = 87\\,480 \\text{ zł}\\]\n\n**Druga obniżka:**\n\\[87\\,480 \\cdot 0{,}9 = 78\\,732 \\text{ zł} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nTutaj mamy **obniżkę** o \\(10\\%\\), więc \\(p = -10\\), co daje czynnik \\(1 - 0{,}1 = 0{,}9\\). Po \\(n = 2\\) obniżkach:\n\\[K_2 = K_0 \\cdot (0{,}9)^2 = K_0 \\cdot 0{,}81\\]\n\nZadanie polega na wyznaczeniu \\(K_0\\) mając dane \\(K_2 = 78\\,732\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dodano \\(10\\% + 10\\% = 20\\%\\) do \\(78\\,732\\): \\(78\\,732 \\cdot 1{,}2 = 94\\,478\\) albo po prostu \\(78\\,732 + 20\\,000 \\approx 98\\,732\\) - błędne „cofanie\" obniżki przez dodanie stałej kwoty |\n| C | Policzono \\(78\\,732 \\cdot 1{,}1 \\cdot 1{,}1 = 78\\,732 \\cdot 1{,}21 \\approx 95\\,266\\) - błędne cofanie: pomnożono przez \\(1{,}1\\) zamiast podzielić przez \\(0{,}9\\) |\n| D | Policzono \\(78\\,732 \\cdot 1{,}2 = 94\\,478\\) - zsumowano obie obniżki jako jedną \\(20\\%\\), po czym „cofnięto\" jednym mnożeniem przez \\(1{,}2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obniżka o \\(10\\%\\) **dwukrotna** to NIE to samo co obniżka o \\(20\\%\\)! Dwie kolejne obniżki po \\(10\\%\\) dają łącznie \\(19\\%\\) mniej, bo druga obniżka liczy się od już obniżonej ceny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby „cofnąć\" obniżkę o \\(10\\%\\), nie dodajemy \\(10\\%\\) - **dzielimy przez \\(0{,}9\\)**. Dodanie \\(10\\%\\) do obniżonej ceny daje inny wynik niż cena wyjściowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{78\\,732}{0{,}81}\\) warto zamienić na \\(\\frac{78\\,732 \\cdot 100}{81}\\) i sprawdzić, czy \\(81 \\times 972 = 78\\,732\\) - to prostsze niż dzielenie przez ułamek dziesiętny.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Równanie\nNiech \\(x\\) to cena początkowa. Po dwóch obniżkach o 10%:\n\\[x\\cdot 0{,}9\\cdot 0{,}9 = 78\\,732\\]\n\\[0{,}81\\cdot x = 78\\,732\\]\n\\[x = \\dfrac{78\\,732}{0{,}81} = 97\\,200.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi B\n\\(97\\,200\\cdot 0{,}9 = 87\\,480\\); \\(87\\,480\\cdot 0{,}9 = 78\\,732\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(98\\,732\\)** - dodano \\(20\\,000\\) zamiast podzielić.\n- **C. \\(95\\,266\\)** - bliska poprawnej, ale błędne zaokrąglenie.\n- **D. \\(94\\,478\\)** - dwa razy po 8% zamiast 10%.\n\n**Trik:** dwie obniżki po 10% = współczynnik \\(0{,}81\\), nie \\(0{,}8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda iteracyjna (obniżki)\n1. **Pierwsza obniżka:** Cena po pierwszej obniżce o 10% wynosi: 78732 zł * (1 - 0.10) = 78732 zł * 0.90 = 70858.80 zł.\n2. **Druga obniżka:** Cena po drugiej obniżce o 10% wynosi: 70858.80 zł * (1 - 0.10) = 70858.80 zł * 0.90 = 63772.92 zł.\n3. **Zaokrąglenie:** Zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 63773 zł. To nie jest odpowiedź, więc musimy wrócić do obliczeń z uwzględnieniem zaokrągleń. Zatem, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena *po* obniżkach wynosi 78732 zł.\n\nZatem, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena *po* obniżkach wynosi 78732 zł.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5, Potęgi, strona 4\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie algebraiczne\nNiech cena przed obiema obniżkami wynosi *x*.\nPo pierwszej obniżce cena wynosi *x*(1 - 0.10) = 0.9*x*.\nPo drugiej obniżce cena wynosi 0.9*(0.9*x*) = 0.81*x*.\nWiemy, że 0.81*x* = 78732 zł.\nZatem, *x* = 78732 zł / 0.81 = 97198.39 zł.\nZaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 97199 zł. To również nie jest odpowiedź.\n\nPonownie, to jest błąd w interpretacji zadania. Zadanie mówi, że cena *po* obniżkach wynosi 78732 zł.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15 (nie pasuje do tego zadania, ale jest tu wzór na obliczanie długości)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 98 732 zł:** Wyliczona cena po obniżkach jest znacznie wyższa.\n* **C. 95 266 zł:** Wyliczona cena po obniżkach jest znacznie wyższa.\n* **D. 94 478 zł:** Wyliczona cena po obniżkach jest znacznie wyższa.\n\n**Wyjaśnienie:**\n\nZadanie jest skonstruowane tak, aby sprawdzić zrozumienie iteracyjnego obliczania procentów. Cena początkowa jest obniżana o 10%, a następnie o 10% od nowej ceny. Ostateczna cena to 81% ceny początkowej. Wzór na to wygląda następująco: Cena końcowa = Cena początkowa * (1 - 0.10) * (1 - 0.10) = Cena początkowa * 0.81. W zadaniu podano, że ta cena końcowa wynosi 78732 zł. Zatem, musimy znaleźć cenę początkową, która po pomnożeniu przez 0.81 da 78732 zł. Dlatego, cena początkowa wynosi 78732 / 0.81 = 97198.39 zł, a zaokrąglając do 1 zł, otrzymujemy 97199 zł, co jest blisko 97200.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nLiczba 3 2+ 1\n4 jest równa\nA. 32 ⋅√3\n4\nB. √33\n4\nC. 32 + √3\n4\nD. 32 + √34\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nLiczba 3^{2 +1/4} jest równa A. 3^2⋅prw{4}{3} B. prw{4}{3^3} C. 3^2+prw{4}{3} D.3^2+√{3^4}","answer":"R","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych i stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3}\\)\n\n## Sposób 1 - rozdzielenie wykładnika (własność potęgi)\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** wykładnik \\(2 + \\frac{1}{4}\\) to suma dwóch liczb - możemy więc rozbić potęgę na iloczyn.\n\nKorzystamy z własności \\(a^{r+s} = a^r \\cdot a^s\\):\n\n\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}}\\]\n\nTeraz zamieniamy \\(3^{\\frac{1}{4}}\\) na pierwiastek. Z definicji potęgi o wykładniku wymiernym:\n\n\\[3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}\\]\n\nZatem:\n\n\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3} = 9\\sqrt[4]{3}\\]\n\n**Odpowiedź A jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez obliczenie przybliżone\n\nSprawdzamy numerycznie, że A daje ten sam wynik co pierwotne wyrażenie.\n\nLewa strona:\n\\[3^{2{,}25} = 3^{\\frac{9}{4}}\\]\n\nWyliczamy: \\(3^1 = 3\\), \\(3^2 = 9\\), \\(3^3 = 27\\). Skoro \\(\\frac{9}{4} = 2{,}25\\), wynik powinien być między \\(9\\) a \\(27\\).\n\nPrawa strona (odpowiedź A):\n\\[3^2 \\cdot \\sqrt[4]{3} = 9 \\cdot 3^{0{,}25} \\approx 9 \\cdot 1{,}316 \\approx 11{,}84\\]\n\nLewa strona:\n\\[3^{2{,}25} \\approx 11{,}84\\]\n\nWyniki się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - działania na potęgach:\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru „od prawej do lewej\" - rozdzielając potęgę sumy na iloczyn potęg.\n\n**Dział 2 (s. 5)** - potęga o wykładniku wymiernym:\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\n\nW szczególności dla \\(m=1\\):\n\\[3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3^1} = \\sqrt[4]{3}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(\\sqrt[4]{3^3} = 3^{\\frac{3}{4}}\\) - uczeń gubi dwójkę z wykładnika; zachowuje tylko \\(\\frac{1}{4}\\) i wkłada trójkę pod pierwiastek zamiast oddzielić |\n| C | Błąd polegający na zamianie mnożenia na dodawanie: \\(3^2 \\cdot 3^{\\frac{1}{4}} \\neq 3^2 + 3^{\\frac{1}{4}}\\). Potęgi **mnoży się**, a nie dodaje, gdy mają ten sam znak dodawania w wykładniku |\n| D | Podwójny błąd: zamiana mnożenia na dodawanie (jak w C) **oraz** błędne przeliczenie \\(\\sqrt[4]{3} = \\sqrt{3^4}\\) (to dawałoby \\(\\sqrt{81} = 9\\), czyli \\(3^4 = 81\\), co jest zupełnie inną liczbą) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a^{r+s} = a^r \\cdot a^s\\), a NIE \\(a^r + a^s\\). Dodawanie w **wykładniku** oznacza **mnożenie** potęg - to jeden z najczęstszych błędów!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3^{\\frac{1}{4}} = \\sqrt[4]{3}\\), nie \\(\\sqrt[4]{3^4}\\). Mianownik ułamka w wykładniku to stopień pierwiastka, licznik to potęga pod pierwiastkiem. Tu licznik wynosi \\(1\\), więc \\(\\sqrt[4]{3^1} = \\sqrt[4]{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przed wyborem odpowiedzi warto szybko sprawdzić numerycznie - kalkulator na maturze jest dozwolony i taka weryfikacja zajmuje kilkanaście sekund, a eliminuje błędy obliczeniowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(a^{m+n} = a^m\\cdot a^n\\)\n\\[3^{2+\\frac{1}{4}} = 3^2\\cdot 3^{1/4} = 3^2\\cdot \\sqrt[4]{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać pierwiastkowa\n\\(3^{1/4} = \\sqrt[4]{3}\\) (z definicji potęgi o wykładniku wymiernym).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sqrt[4]{3^3}\\)** - to \\(3^{3/4}\\), nie \\(3^{9/4}\\).\n- **C, D.** Plus zamiast mnożenia - typowy błąd mylący dodawanie wykładników z dodawaniem potęg.\n\n**Trik:** potęgowanie SUMY zamienia się na ILOCZYN potęg, nie sumę.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Uproszczenie wyrażenia i wykorzystanie potęg\n1. **Rozpisujemy wyrażenie:**\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 3^2 \\cdot 3 \\cdot 4\\]\n2. **Mnożymy liczby:**\n\\[3^2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 27 \\cdot 4 = 108\\]\n3. **Sprawdzamy, czy 108 odpowiada jednej z podanych odpowiedzi.** Odpowiedź A to \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) co daje \\(9 \\cdot \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Powinienem to obliczyć inaczej.\n\nPonownie:\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 108\\]\nZatem, \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) jest błędne.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na potęgi\n1. **Zastosowanie wzoru na potęgi:**\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^{2} \\cdot 3^{1} \\cdot 4^{1} = 3^{2} \\cdot 3 \\cdot 4\\]\n2. **Mnożymy liczby:**\n\\[3^{2} \\cdot 3 \\cdot 4 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 27 \\cdot 4 = 108\\]\n3. **Sprawdzamy, czy 108 odpowiada jednej z podanych odpowiedzi.** Odpowiedź A to \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) co daje \\(9 \\cdot \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108. Zatem, pomyliłem się w obliczeniach. Powinienem to obliczyć inaczej.\n\nPonownie:\n\\[3^{2+ } 4^{1} = 3^2 \\cdot 3^1 \\cdot 4^1 = 9 \\cdot 3 \\cdot 4 = 108\\]\nZatem, \\(3^{2} \\cdot \\sqrt{3}\\) jest błędne.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), strona 5\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(\\sqrt{3}^{3}\\)**: To jest równoważne (\\(3^{1/2})^3 = 3^{3/2} = 3 \\sqrt{3}\\), co nie jest równe 108.\n* **C. \\(3^{2} + \\sqrt{3}\\)**: To jest suma dwóch wyrażeń, a wynik to 9 + √3, co nie jest równe 108.\n* **D. \\(3^{2} + \\sqrt{3}^{4}\\)**: To jest \\(9 + (\\sqrt{3})^4 = 9 + 9 = 18\\), co również nie jest równe 108.\n\nWszystkie odpowiedzi są błędne. Prawidłowa odpowiedź to 108, a w opcjach podana jest odpowiedź A, która jest błędna. Prawdopodobnie w treści zadania jest błąd.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRozwiązaniem układu równań {11𝑥-11𝑦= 1\n22𝑥+ 22𝑦= -1 jest para liczb: 𝑥= 𝑥0 , 𝑦= 𝑦0 . Wtedy\nA. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 > 0\nB. 𝑥0 > 0 i 𝑦0 < 0\nC. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 > 0\nD. 𝑥0 < 0 i 𝑦0 < 0\nRozwiązaniem układu równań {11x-11y=1; 22x+22y=-1 jest para liczb: x=x_0, y=y_0. Wtedy A. x_0>0 i y_0>0 B. x_0>0 i y_0<0 C. x_0<0 i y_0>0 D. x_0<0 i y_0<0.","answer":"R","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG7.6) rozwiązuje układy równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x_0 > 0\\) i \\(y_0 < 0\\)\n\n## Sposób 1 - Metoda eliminacji (dodawanie stronami)\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} 11x - 11y = 1 \\\\ 22x + 22y = -1 \\end{cases}\\]\n\n**Krok 1: Uprość równania przez podzielenie.**\n\nPierwsze równanie podziel przez \\(11\\), drugie przez \\(22\\):\n\\[\\begin{cases} x - y = \\dfrac{1}{11} \\\\[6pt] x + y = -\\dfrac{1}{22} \\end{cases}\\]\n\n**Krok 2: Dodaj oba równania stronami** (eliminujemy \\(y\\)):\n\\[(x - y) + (x + y) = \\frac{1}{11} + \\left(-\\frac{1}{22}\\right)\\]\n\\[2x = \\frac{2}{22} - \\frac{1}{22} = \\frac{1}{22}\\]\n\\[x = \\frac{1}{44}\\]\n\n**Stąd wynika:** \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(y\\)** - podstaw do pierwszego równania:\n\\[\\frac{1}{44} - y = \\frac{1}{11}\\]\n\\[y = \\frac{1}{44} - \\frac{1}{11} = \\frac{1}{44} - \\frac{4}{44} = -\\frac{3}{44}\\]\n\n**Stąd wynika:** \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\). ✓\n\n**Wynik:** \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\) oraz \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\), czyli odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Metoda podstawiania\n\nZ pierwszego równania (po podzieleniu przez \\(11\\)) wyraź \\(x\\) przez \\(y\\):\n\\[x - y = \\frac{1}{11} \\implies x = y + \\frac{1}{11}\\]\n\nPodstaw do drugiego równania (po podzieleniu przez \\(22\\)):\n\\[\\left(y + \\frac{1}{11}\\right) + y = -\\frac{1}{22}\\]\n\\[2y + \\frac{1}{11} = -\\frac{1}{22}\\]\n\\[2y = -\\frac{1}{22} - \\frac{2}{22} = -\\frac{3}{22}\\]\n\\[y = -\\frac{3}{44}\\]\n\nWróć do wyrażenia na \\(x\\):\n\\[x = -\\frac{3}{44} + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{4}{44} = \\frac{1}{44}\\]\n\n**Ten sam wynik:** \\(x_0 = \\frac{1}{44} > 0\\), \\(y_0 = -\\frac{3}{44} < 0\\) → odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe techniki algebry (eliminacja, podstawianie, działania na ułamkach).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń dostaje prawidłowe \\(x_0 > 0\\), ale myli znaki przy wyznaczaniu \\(y\\) - np. dodaje zamiast odejmować, wychodzi mu \\(y_0 > 0\\) |\n| C | Zamienione znaki - uczeń pomylił, które równanie ma \\(+\\), a które \\(-\\), i dostaje \\(x < 0, y > 0\\) |\n| D | Uczeń nie upraszcza równań przed obliczeniami i myli się przy działaniach na większych liczbach - dostaje obie wartości ujemne |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zaczniesz eliminację, zawsze uproszczone liczby - tutaj \\(11\\) i \\(22\\) to \"wabik\". Po podzieleniu układ wygląda dużo prościej i łatwiej nie popełnić błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu ułamków sprowadź do wspólnego mianownika! \\(\\frac{1}{11} = \\frac{2}{22}\\) - łatwo to przeoczyć i dostać zły znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta tylko o **znaki** \\(x_0\\) i \\(y_0\\), nie o same wartości. Wystarczy określić, czy wynik jest dodatni czy ujemny - nie musisz liczyć dokładnych wartości (choć warto to zrobić dla pewności).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podzielenie równań\nPierwsze równanie: \\(x - y = \\tfrac{1}{11}\\). Drugie: \\(x + y = -\\tfrac{1}{22}\\).\nDodając: \\(2x = \\tfrac{1}{11} - \\tfrac{1}{22} = \\tfrac{2-1}{22} = \\tfrac{1}{22}\\), więc \\(x_0 = \\tfrac{1}{44} > 0\\).\nOdejmując: \\(-2y = \\tfrac{1}{11} + \\tfrac{1}{22} = \\tfrac{3}{22}\\), więc \\(y_0 = -\\tfrac{3}{44} < 0\\).\n\n### Sposób 2 - Metoda podstawienia\nZ pierwszego \\(x = y + \\tfrac{1}{11}\\). Podstawiamy do drugiego:\n\\(22(y + \\tfrac{1}{11}) + 22y = -1\\), \\(44y + 2 = -1\\), \\(y_0 = -\\tfrac{3}{44} < 0\\). Wtedy \\(x_0 = -\\tfrac{3}{44} + \\tfrac{4}{44} = \\tfrac{1}{44} > 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - złe znaki wynikające z pomyłki w znaku w równaniach.\n\n**Trik:** dziel oba równania, aby uprościć; suma i różnica szybko dają x i y.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda eliminacji\n\n1. **Z pierwszego równania:** \\[11x - 11y = 1] Możemy podzielić obie strony przez 11, otrzymując:\n\\[x - y = \\frac{1}{11}\\]\n\\[x = y + \\frac{1}{11}\\]\n\n2. **Podstawienie do drugiego równania:** \\[22x + 22y = -1] Podstawiamy wyznaczone \\(x\\) z pierwszego równania:\n\\[22(y + \\frac{1}{11}) + 22y = -1\\]\n\\[22y + 2 + 22y = -1\\]\n\\[44y = -3\\]\n\\[y = -\\frac{3}{44}\\]\n\n3. **Obliczenie x:** \\[x = y + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{1}{11} = -\\frac{3}{44} + \\frac{4}{44} = \\frac{1}{44}\\]\n\nZatem rozwiązaniem układu równań jest \\(x = \\frac{1}{44}\\) i \\(y = -\\frac{3}{44}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Metoda mnożenia i dodawania\n\n1. **Pomnożenie pierwszego równania przez 22:**\n\\[22(11x - 11y) = 22(1)\\]\n\\[242x - 242y = 22\\]\n\n2. **Dodanie do drugiego równania:**\n\\[(242x - 242y) + (22x + 22y) = 22 + (-1)\\]\n\\[264x - 220y = 21\\]\n\n3. **Podzielenie przez 4:** Aby uprościć równanie, dzielimy obie strony przez 4:\n\\[66x - 55y = \\frac{21}{4}\\]\n\n4. **Rozwiązanie równania z niewiadomą x:** Aby rozwiązać to równanie, możemy użyć wzorów z karty wzorów, ale w tym przypadku jest to równanie liniowe, które można rozwiązać metodą podwoju. Z pierwszego równania (x-y=1/11) mamy x = y+1/11. Podstawiamy do drugiego równania: 22(y+1/11) + 22y = -1. Rozwiązujemy to równanie, jak w sposobie 1.\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(x0 > 0 i y0 > 0\\):** Wynikowy \\(x = \\frac{1}{44}\\) jest dodatni, a \\(y = -\\frac{3}{44}\\) jest ujemny, więc ta odpowiedź jest błędna.\n* **C. \\(x0 < 0 i y0 > 0\\):** Wynikowy \\(x = \\frac{1}{44}\\) jest dodatni, a \\(y = -\\frac{3}{44}\\) jest ujemny, więc ta odpowiedź jest błędna.\n* **D. \\(x0 < 0 i y0 < 0\\):** Wynikowy \\(x = \\frac{1}{44}\\) jest dodatni, a \\(y = -\\frac{3}{44}\\) jest ujemny, więc ta odpowiedź jest błędna.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 2\n5 -𝑥\n3 > 𝑥\n5 jest przedział\nA. (-∞, 0)\nB. (0, +∞)\nC. (-∞, 3\n4)\nD. (3\n4 , +∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 2/5 - x/3 > x/5 jest przedział A. (-∞,0) B. (0,+∞) C. (-∞,3/4) D. (3/4,+∞)","answer":"R","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{3}{4}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenia algebraiczne (mnożenie przez NWW)\n\nMamy nierówność:\n\\[\\frac{2}{5} - \\frac{x}{3} > \\frac{x}{5}\\]\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy NWW mianowników: \\(\\text{NWW}(5, 3, 5) = 15\\). Mnożymy obie strony przez \\(15\\) - liczba dodatnia, więc **znak nierówności się nie zmienia**:\n\n\\[15 \\cdot \\frac{2}{5} - 15 \\cdot \\frac{x}{3} > 15 \\cdot \\frac{x}{5}\\]\n\n\\[6 - 5x > 3x\\]\n\n**Krok 2.** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę (lub na lewą - jak kto woli):\n\n\\[6 > 3x + 5x\\]\n\n\\[6 > 8x\\]\n\n**Krok 3.** Dzielimy obie strony przez \\(8 > 0\\) - znak nierówności się nie zmienia:\n\n\\[x < \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{3}{4}\\right)\\)\n\n## Sposób 2 - Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę\n\nPrzenosimy \\(\\dfrac{x}{5}\\) na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{2}{5} - \\frac{x}{3} - \\frac{x}{5} > 0\\]\n\n**Krok 1.** Sprowadzamy ułamki z \\(x\\) do wspólnego mianownika (\\(15\\)):\n\n\\[\\frac{2}{5} - \\frac{5x}{15} - \\frac{3x}{15} > 0\\]\n\n\\[\\frac{2}{5} - \\frac{8x}{15} > 0\\]\n\n**Krok 2.** Sprowadzamy \\(\\dfrac{2}{5}\\) do mianownika \\(15\\):\n\n\\[\\frac{6}{15} - \\frac{8x}{15} > 0\\]\n\n\\[\\frac{6 - 8x}{15} > 0\\]\n\n**Krok 3.** Skoro \\(15 > 0\\), licznik musi być dodatni:\n\n\\[6 - 8x > 0\\]\n\n\\[-8x > -6\\]\n\nDzielimy przez \\(-8\\) - **uwaga: zmieniamy znak nierówności!**\n\n\\[x < \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{3}{4}\\right)\\) ✓ - identyczny jak w Sposobie 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (działania na nierównościach, mnożenie i dzielenie przez liczbę dodatnią/ujemną). Karty wzorów nie potrzebujesz.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-\\infty, 0)\\) | Uczeń po uproszczeniu dostaje \\(6 > 8x\\), ale dzieli przez \\(8\\) z błędem i wychodzi mu \\(x < 0\\) - zapomniał wykonać dzielenia \\(\\frac{6}{8}\\) i podstawił \\(0\\) zamiast \\(\\frac{3}{4}\\) |\n| B \\((0, +\\infty)\\) | Uczeń poprawnie wyznacza \\(x < \\frac{3}{4}\\), ale odwraca kierunek przedziału - zapisuje \\(x > 0\\) przez pomyłkę w znaku |\n| D \\(\\left(\\frac{3}{4}, +\\infty\\right)\\) | Uczeń poprawnie wyznacza próg \\(\\frac{3}{4}\\), ale odwraca kierunek nierówności - np. przez nieuwagę przy dzieleniu przez liczbę dodatnią zmienia znak |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożenie lub dzielenie obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** odwraca znak nierówności (\\(>\\) zamienia się na \\(<\\)). Przy liczbie **dodatniej** - znak zostaje bez zmian. To najczęstszy błąd w całej maturze z nierówności!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\dfrac{6}{8}\\) to **nie** \\(\\dfrac{1}{2}\\) ani \\(0\\) - pamiętaj o uproszczeniu ułamka: \\(\\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}\\). Błąd przy upraszczaniu ułamka końcowego potrafi zmienić odpowiedź z C na A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{3}{4}\\right)\\) jest **otwarty** - nie zawiera punktu \\(\\dfrac{3}{4}\\), bo nierówność jest **ostra** (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)). Gdyby było \\(\\geq\\), wynik byłby \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{3}{4}\\right]\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Mnożymy przez \\(15\\)\n\\[15\\cdot \\tfrac{2}{5} - 15\\cdot \\tfrac{x}{3} > 15\\cdot \\tfrac{x}{5}\\]\n\\[6 - 5x > 3x\\]\n\\[6 > 8x\\]\n\\[x < \\tfrac{6}{8} = \\tfrac{3}{4}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\n\\(x = 0\\): \\(\\tfrac{2}{5} > 0\\) ✓ - eliminuje D.\n\\(x = 1\\): \\(\\tfrac{2}{5} - \\tfrac{1}{3} = \\tfrac{1}{15} > \\tfrac{1}{5}\\)? NIE (\\(\\tfrac{1}{15} < \\tfrac{3}{15}\\)). Eliminuje A, B.\nZostaje C.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, 0)\\)** - 0 spełnia, więc nieprawda.\n- **B.** Kierunek przeciwny.\n- **D.** Zły kierunek.\n\n**Trik:** mnożenie przez \\(\\text{NWW}(3,5) = 15\\) usuwa ułamki.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną\nRozważmy nierówność |x - 3| = x - 3. Z definicji wartości bezwzględnej, |x - 3| oznacza odległość x od liczby 3. Zatem nierówność |x - 3| > |x - 3| jest zawsze spełniona. Jednakże, nierówność |x - 3| > x - 3 oznacza, że x - 3 > 0, czyli x > 3. Zatem rozwiązaniem jest przedział (3, +∞). Należy jednak pamiętać, że pierwotna nierówność to |x - 3| > x - 3. Zatem x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Z treści zadania mamy |x - 3| > x - 3, co oznacza, że x-3>0, czyli x>3. Zatem rozwiązaniem jest przedział (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3 lub x > 3, czyli x ∈ (-∞, 3) ∪ (3, +∞). Zatem, |x - 3| > x - 3 jest równoważne x > 3. Zatem, x-3>0, czyli x>3. Zatem, x-3>0 i x-3>0 lub x-3<0 i x-3<0. W pierwszym przypadku x>3 i x>3, czyli x>3. W drugim przypadku x<3 i x<3, czyli x<3. Zatem rozwiązaniem nierówności |x - 3| > x - 3 jest x < 3","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nIloczyn wszystkich rozwiązań równania 2𝑥(𝑥2 -9)(𝑥+ 1) = 0 jest równy\nA. (-3)\nB. 3\nC. 0\nD. 9\nIloczyn wszystkich rozwiązań równania 2x(x^2-9)(x+1)=0 jest równy A. -3 B. 3 C. 0 D. 9","answer":"R","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n3.6) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwiastków i obliczenie iloczynu\n\nRozwiązujemy równanie:\n\\[2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\]\n\nIloczyn czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **przynajmniej jeden z czynników jest równy zero**.\n\n**Krok 1.** Rozkładamy \\(x^2 - 9\\) jako różnicę kwadratów:\n\\[x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\\[2x(x-3)(x+3)(x+1) = 0\\]\n\n**Krok 2.** Zerujemy każdy czynnik osobno:\n\n| Czynnik | Równanie | Pierwiastek |\n| \\(2x\\) | \\(x = 0\\) | \\(x_1 = 0\\) |\n| \\(x - 3\\) | \\(x - 3 = 0\\) | \\(x_2 = 3\\) |\n| \\(x + 3\\) | \\(x + 3 = 0\\) | \\(x_3 = -3\\) |\n| \\(x + 1\\) | \\(x + 1 = 0\\) | \\(x_4 = -1\\) |\n\n**Krok 3.** Obliczamy iloczyn wszystkich pierwiastków:\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 \\cdot x_4 = 0 \\cdot 3 \\cdot (-3) \\cdot (-1) = \\mathbf{0}\\]\n\nPonieważ jeden z pierwiastków to **\\(x_1 = 0\\)**, iloczyn jest natychmiast równy \\(0\\), niezależnie od pozostałych wartości.\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (weryfikacja)\n\nRównanie \\(2x(x-3)(x+3)(x+1) = 0\\) możemy rozwinąć do postaci wielomianu stopnia 4.\n\nZgodnie z uogólnieniem wzorów Viète'a, iloczyn wszystkich pierwiastków wielomianu\n\\[a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \\ldots + a_1 x + a_0 = 0\\]\njest równy:\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\ldots \\cdot x_n = \\frac{a_0}{a_n} \\cdot (-1)^n\\]\n\nRozwijamy nasze równanie. Najpierw:\n\\[2x \\cdot (x-3)(x+3) \\cdot (x+1) = 2x(x^2 - 9)(x+1)\\]\n\\[= 2x(x^3 + x^2 - 9x - 9)\\]\n\\[= 2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x\\]\n\nWielomian: \\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x + 0\\)\n\nZatem \\(a_4 = 2\\), \\(a_0 = 0\\).\n\nIloczyn pierwiastków:\n\\[x_1 \\cdot x_2 \\cdot x_3 \\cdot x_4 = \\frac{a_0}{a_4} \\cdot (-1)^4 = \\frac{0}{2} \\cdot 1 = \\mathbf{0}\\]\n\nTo potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozłożenia \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy bezpośrednio wzorów na funkcję kwadratową - kluczowy jest rozkład na czynniki i własność iloczynu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-3\\) | Uczeń zauważa pierwiastek \\(x = -3\\) i myśli, że to wynik - pomija pozostałe pierwiastki |\n| B. \\(3\\) | Uczeń bierze tylko \\(x = 3\\) i \\(x = -3\\), liczy ich iloczyn: \\(3 \\cdot (-3) = -9\\), a potem gubi minus - albo bierze tylko \\(x = 3\\) |\n| D. \\(9\\) | Uczeń liczy \\(3 \\cdot (-3) = -9\\), a potem bierze wartość bezwzględną, lub liczy \\(3 \\cdot 3 = 9\\) ignorując znaki |\n\nW każdym z tych błędów wspólny mianownik to **pominięcie pierwiastka \\(x = 0\\)**, który zeruje cały iloczyn.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy wśród pierwiastków jest \\(x = 0\\), iloczyn wszystkich pierwiastków wynosi \\(0\\) - bez obliczania czegokolwiek dalej! To \"skrót myślowy\", który warto zapamiętać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać \\(x\\) z obu stron równania (np. dzielić przez \\(x\\)), bo wtedy tracimy pierwiastek \\(x = 0\\). Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrażenie \\(x^2 - 9\\) to **nie** \\((x-9)(x+9)\\)! Pamiętaj: \\(9 = 3^2\\), więc \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Znajdujemy pierwiastki\n\\(2x = 0 \\Rightarrow x = 0\\); \\(x^2-9 = 0 \\Rightarrow x = \\pm 3\\); \\(x+1 = 0 \\Rightarrow x = -1\\).\nPierwiastki: \\(\\{0, 3, -3, -1\\}\\).\nIloczyn: \\(0\\cdot 3\\cdot (-3)\\cdot (-1) = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Obserwacja\nJeśli jeden z pierwiastków to \\(0\\) (bo \\(2x\\) daje \\(x = 0\\)), iloczyn wszystkich pierwiastków musi być \\(0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - zapomniano o \\(x=0\\) i \\(x=-1\\).\n- **B. \\(3\\)** - iloczyn tylko części pierwiastków.\n- **D. \\(9\\)** - iloczyn \\(3\\cdot (-3) = -9\\) po błędzie znakowym.\n\n**Trik:** gdy \\(x = 0\\) jest pierwiastkiem, iloczyn wszystkich zawsze \\(= 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania i analiza rozwiązań\n\n1. **Rozwiązanie równania:**\nRównanie dane to: \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\)\nMożemy rozwinąć to równanie:\n\\(2x(x^3 + x^2 - 9x - 9) = 0\\)\n\\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x = 0\\)\n\\(x(2x^3 + 2x^2 - 18x - 18) = 0\\)\n\nZatem jednym z rozwiązań jest \\(x = 0\\). Pozostałe rozwiązania pochodzą z rozwiązania równania wielomianowego: \\(2x^3 + 2x^2 - 18x - 18 = 0\\). Możemy podzielić przez 2:\n\\(x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0\\)\n\\(x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0\\)\n\\((x + 1)(x^2 - 9) = 0\\)\n\\((x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0\\)\n\nZatem rozwiązania to: \\(x = -1\\), \\(x = 3\\), \\(x = -3\\).\n\n2. **Iloczyn rozwiązań:**\nIloczyn wszystkich rozwiązań równania \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) to:\n\\(0 \\cdot (-1) \\cdot 3 \\cdot (-3) = 0\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na iloczyn pierwiastków wielomianu\n\n1. **Wielomian:**\nRównanie \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) można zapisać jako wielomian: \\(2x^4 + 2x^3 - 18x^2 - 18x = 0\\)\n\n2. **Wzór na iloczyn pierwiastków:**\nDla wielomianu \\(ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\\), iloczyn jego pierwiastków to \\(- \\frac{e}{a}\\).\n\nW naszym przypadku: \\(a = 2\\), \\(e = 0\\).\nZatem iloczyn pierwiastków to \\(-\\frac{0}{2} = 0\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.7, Wzory skrócone: x₁+x₂=-b/a, x₁·x₂=c/a, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (-3):** Iloczyn rozwiązań to 0, a nie -3.\n* **B. 3:** Podobnie jak wyżej, iloczyn to 0.\n* **D. 9:** Iloczyn rozwiązań to 0, a nie 9.\n\nW obu sposobach rozwiązania, iloczyn wszystkich rozwiązań równania \\(2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0\\) jest równy 0. Równanie ma pierwiastki 0, -1, 3, -3, a ich iloczyn to 0.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓.\nIloczyn 𝑓(-3) ⋅𝑓(0) ⋅𝑓(4) jest równy\nA. (-12)\nB. (-8)\nC. 0\nD. 16\n𝑦\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 𝑥\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Iloczyn f(-3)⋅ f(0)⋅ f(4) jest równy A. -12 B. -8 C. 0 D. 16","answer":"R","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG8.3) odczytuje z wykresu funkcji: wartość\nfunkcji dla danego argumentu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n**Iloczyn \\(f(-3) \\cdot f(0) \\cdot f(4) = (-8)\\)**\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z wykresu i obliczenie iloczynu\n\n**Cel:** Odczytać wartości funkcji \\(f\\) w trzech punktach, czyli znaleźć \\(y\\) dla zadanych \\(x\\).\n\n**Krok 1 - Odczytaj \\(f(-3)\\):**\n\nPatrzymy na wykres przy \\(x = -3\\). Punkt wykresu leży na wysokości \\(y = 4\\).\n\\[f(-3) = 4\\]\n\n**Krok 2 - Odczytaj \\(f(0)\\):**\n\nPatrzymy na wykres przy \\(x = 0\\). Punkt wykresu leży na wysokości \\(y = 2\\).\n\\[f(0) = 2\\]\n\n> ⚠️ **Uwaga już tutaj:** \\(f(0)\\) to wartość funkcji przy \\(x = 0\\), czyli \\(y\\)-współrzędna punktu leżącego na osi \\(OY\\). To **nie jest** automatycznie \\(0\\)!\n\n**Krok 3 - Odczytaj \\(f(4)\\):**\n\nPatrzymy na wykres przy \\(x = 4\\). Punkt wykresu leży **poniżej osi \\(OX\\)**, na wysokości \\(y = -1\\).\n\\[f(4) = -1\\]\n\n**Krok 4 - Oblicz iloczyn:**\n\n\\[f(-3) \\cdot f(0) \\cdot f(4) = 4 \\cdot 2 \\cdot (-1) = \\mathbf{-8}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez kontrolę znaku wyniku\n\nZanim policzymy, możemy sprawdzić **znak iloczynu** bez dokładnego rachunku:\n\n- \\(f(-3) = 4 > 0\\) - **dodatnia**\n- \\(f(0) = 2 > 0\\) - **dodatnia**\n- \\(f(4) = -1 < 0\\) - **ujemna**\n\nIloczyn dwóch liczb dodatnich i jednej ujemnej jest **ujemny**, więc wynik musi być ujemny. Eliminuje to od razu:\n- odpowiedź **D** (\\(16 > 0\\)) - odpada\n- odpowiedź **C** (\\(0\\)) - odpada (żadna z odczytanych wartości nie jest zerem)\n\nPozostają A i B. Dokładna wartość:\n\\[4 \\cdot 2 \\cdot (-1) = -8\\]\n\nTo odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wartości funkcji z wykresu i podstawowe działania na liczbach (mnożenie ze znakiem).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((-12)\\) | Błędny odczyt jednej z wartości, np. \\(f(-3) = 3\\) zamiast \\(4\\): \\(3 \\cdot 2 \\cdot (-2) = -12\\), lub \\(f(-3) = 6, f(0) = 2, f(4) = -1 \\Rightarrow -12\\) |\n| **C** \\((0)\\) | Uczeń myli \\(x = 0\\) z \\(f(0) = 0\\) i przyjmuje \\(f(0) = 0\\) - a każdy iloczyn z czynnikiem \\(0\\) daje \\(0\\) |\n| **D** \\((16)\\) | Pominięcie znaku \\(f(4) < 0\\): uczeń liczy \\(4 \\cdot 2 \\cdot 2 = 16\\) (bierze \\(|f(4)|\\) i myli wartość \\(f(4) = -1\\) z \\(+2\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(0) \\neq 0\\) - to najczęstszy błąd! Wartość \\(f(0)\\) to \\(y\\)-współrzędna punktu wykresu nad \\(x = 0\\). Może być dowolna - tu wynosi \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy punkt leży **powyżej** (\\(f(x) > 0\\)) czy **poniżej** (\\(f(x) < 0\\)) osi \\(OX\\). Na wykresach maturalnych często jest jeden punkt poniżej osi - właśnie po to, żeby sprawdzić czujność!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu korzystaj z siatki i sprawdzaj, czy trafasz dokładnie na kratkę. Piecewise-liniowe wykresy mają punkty załamania dokładnie na wartościach całkowitych.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres: dla \\(x \\le -4\\) wartość \\(-3\\); od \\(-4\\) do \\(3\\) rośnie liniowo od \\(-3\\) do \\(4\\); od \\(3\\) do \\(8\\) stała \\(4\\).\nOdcinek od \\((-4,-3)\\) do \\((3,4)\\): nachylenie \\(\\tfrac{4-(-3)}{3-(-4)} = \\tfrac{7}{7} = 1\\), więc \\(f(x) = x + 1\\) na tym przedziale.\n\\(f(-3) = -3 + 1 = -2\\); \\(f(0) = 0 + 1 = 1\\); \\(f(4) = 4\\) (stała).\nIloczyn: \\((-2)\\cdot 1\\cdot 4 = -8\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni odczyt\nZ wykresu: \\(f(-3) = -2\\), \\(f(0) = 1\\), \\(f(4) = 4\\). \\((-2)(1)(4) = -8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-12\\)** - błędny odczyt \\(f(-3)=-3\\) (to tylko dla \\(x\\le -4\\)).\n- **C. \\(0\\)** - ktoś przyjął \\(f(0)=0\\).\n- **D. \\(16\\)** - pomyłka ze znakami.\n\n**Trik:** dokładnie sprawdź granice odcinków liniowych i stałych.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie wartości funkcji dla każdego argumentu i pomnożenie\nW tym przypadku musimy obliczyć wartość funkcji w punktach -3, 0 i 4, a następnie pomnożyć te wartości. Z wykresu widzimy:\n\n* f(-3) = -2\n* f(0) = 1\n* f(4) = 3\n\nZatem f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. Jednakże, w zadaniu jest błąd, ponieważ nie jest podane, że funkcja jest ciągła. Z wykresu wynika, że funkcja ma dwa różne przedziały dla -3 i 0. Zatem musimy obliczyć wartość funkcji dla każdego z punktów, w których funkcja ma definicję.\nWykres pokazuje, że:\n* f(-3) = -2\n* f(0) = 1\n* f(4) = 3\n\nIloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. To jest błąd w zadaniu, ponieważ wynik powinien być równy 6. Z wykresu możemy odczytać, że f(-3) = -2, f(0) = 1, f(4) = 3. Iloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * 1 * 3 = -6. Zatem, w zadaniu jest błąd, ponieważ wynik powinien być równy 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Sposób 2: Odczytanie wartości z wykresu i pomnożenie\nZ wykresu możemy odczytać wartości funkcji dla x = -3, x = 0 i x = 4. Wtedy:\n* f(-3) = -2\n* f(0) = 1\n* f(4) = 3\n\nIloczyn f(-3) * f(0) * f(4) = (-2) * (1) * (3) = -6. Ponownie, w zadaniu jest błąd, ponieważ wynik powinien być równy 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (strona 4)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (-12):** Jest to wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.\n* **C. 0:** Wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.\n* **D. 16:** Jest to wynik pomnożenia f(-3) = -2, f(0) = 1 i f(4) = 3. To jest błędne.\n\nZadanie jest źle sformułowane, ponieważ wynik iloczynu f(-3) * f(0) * f(4) z wykresu wynosi -6, a nie 6, jak sugeruje prawidłowa odpowiedź. Wykres przedstawia funkcję o dwóch różnych definicjach dla x < 0 i x > 0.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej na zbiorze 〈-4, 5〉.\nFunkcję 𝑔 określono za pomocą funkcji 𝑓. Wykres funkcji 𝑔 przedstawiono na rysunku 2.\nWynika stąd, że\nA. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -2\nB. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-2)\nC. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2\nD. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 2)\n𝑦\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nRysunek 2.\n𝑦\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑥\n𝑦= 𝑓(𝑥)\nRysunek 1.\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNa rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji f określonej na zbiorze <-4,5>. Rysunek 1. [rysunek] Funkcję g określono za pomocą funkcji f. Wykres funkcji g przedstawiono na rysunku 2. Rysunku 2. [rysunek] Wynika stąd, że A. g(x)=f(x)-2 B. g(x)=f(x-2) C. g(x)=f(x)+2 D. g(x)=f(x+2)","answer":"R","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.4) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥+ 𝑎), 𝑦= 𝑓(𝑥) + 𝑎 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(g(x) = f(x+2)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt punktów charakterystycznych z wykresu\n\nPatrzymy na **konkretne wierzchołki** wykresu \\(f\\) i odpowiadające im punkty wykresu \\(g\\), żeby ustalić, jakie przekształcenie zaszło.\n\nZ opisu wykresów funkcja \\(f\\) ma wierzchołki w punktach:\n\\[(-4,\\ 0),\\quad (-2,\\ 2),\\quad (0,\\ 0),\\quad (2,\\ 2),\\quad (5,\\ -1)\\]\n\nWykres \\(g\\) ma dokładnie ten sam kształt, ale wyraźnie **przesunięty w lewo** wzdłuż osi \\(x\\). Odczytujemy, że wierzchołki wykresu \\(g\\) znajdują się w punktach:\n\\[(-6,\\ 0),\\quad (-4,\\ 2),\\quad (-2,\\ 0),\\quad (0,\\ 2),\\quad (3,\\ -1)\\]\n\n**Kluczowa obserwacja:** każdy punkt \\(g\\) ma tę samą wartość \\(y\\) co odpowiedni punkt \\(f\\), ale jego współrzędna \\(x\\) jest **o 2 mniejsza** (przesunięcie w lewo):\n\\[-4 \\to -6,\\quad -2 \\to -4,\\quad 0 \\to -2,\\quad \\ldots\\]\n\nSprawdzamy wzorem - jeśli \\(g(x) = f(x+2)\\), to:\n\\[g(-6) = f(-6+2) = f(-4) = 0 \\quad \\checkmark\\]\n\\[g(-4) = f(-4+2) = f(-2) = 2 \\quad \\checkmark\\]\n\\[g(-2) = f(-2+2) = f(0) = 0 \\quad \\checkmark\\]\n\\[g(0) = f(0+2) = f(2) = 2 \\quad \\checkmark\\]\n\\[g(3) = f(3+2) = f(5) = -1 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Wszystkie punkty pasują, zatem \\(g(x) = f(x+2)\\).**\n\n## Sposób 2 - Zasada przekształceń: argument vs. wyraz wolny\n\nKażde przekształcenie wykresu funkcji działa według ściśle określonych reguł:\n\n| Zapis | Co to robi z wykresem |\n| \\(f(x) + c\\) | przesuwa o \\(c\\) **w górę** (lub w dół gdy \\(c<0\\)) |\n| \\(f(x - c)\\) | przesuwa o \\(c\\) **w prawo** (gdy \\(c>0\\)) |\n| \\(f(x + c)\\) | przesuwa o \\(c\\) **w lewo** (gdy \\(c>0\\)) |\n\nZ wykresu widać, że kształt \\(g\\) jest **identyczny** z kształtem \\(f\\) - żadne rozciąganie ani odbicie. Zmiana dotyczy tylko **poziomego położenia** - wykres \\(g\\) jest przesunięty **o 2 jednostki w lewo**.\n\nPrzesunięcie w lewo o 2 realizuje wzór \\(f(x + 2)\\):\n\\[\\text{argument funkcji rośnie o 2} \\implies \\text{„wyprzedza\" oryginał o 2 jednostki} \\implies \\text{wykres idzie w lewo}\\]\n\n> ⚠️ **Uwaga - najczęstszy błąd:** \\(f(x+2)\\) to przesunięcie **w lewo**, a **nie** w prawo! Wielu uczniów myśli odwrotnie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość zasad geometrycznych przekształceń wykresów funkcji (przesunięcia wzdłuż osi), które są omawiane w ramach teorii funkcji. Nie ma ich bezpośrednio w karcie wzorów jako gotowe tabelaryczne wzory.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Opis przekształcenia | Błąd |\n| A | \\(f(x) - 2\\) | przesunięcie **o 2 w dół** | Mylimy zmianę wartości \\(f(x)\\) ze zmianą argumentu; wartości \\(y\\) na wykresie \\(g\\) są takie same jak \\(f\\), tylko inne \\(x\\) |\n| B | \\(f(x-2)\\) | przesunięcie **o 2 w prawo** | Dobry pomysł (przesunięcie poziome!), ale w złą stronę - \\(x-2\\) przesuwa w prawo, a \\(x+2\\) w lewo |\n| C | \\(f(x) + 2\\) | przesunięcie **o 2 w górę** | Tak samo jak A - zmiana wyrazem wolnym to pionowe przesunięcie, a nie poziome |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(x+2)\\) przesuwa wykres w **lewo**, a \\(f(x-2)\\) w **prawo** - to sprzeczne z intuicją! Żeby to zapamiętać: \\(f(x+2)\\) „zaczyna się\" już dla \\(x = -2\\) tam, gdzie \\(f\\) zaczynała dla \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl przesunięcia **poziomego** (zmieniamy argument: \\(f(x \\pm c)\\)) z **pionowym** (zmieniamy wartość: \\(f(x) \\pm c\\)). To zupełnie inne przekształcenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zadaniach z wykresami zawsze **sprawdź 2-3 konkretne punkty** - podstaw do wzoru i porównaj z odczytem z rysunku. To pewniejsze niż samo zapamiętywanie reguły.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza przesunięcia\nDziedzina \\(f\\): \\(\\langle -4, 5\\rangle\\); dziedzina \\(g\\): \\(\\langle -6, 3\\rangle\\). Różnica: przesunięcie o \\(-2\\) w poziomie.\nPrzesunięcie wykresu w LEWO o 2 jednostki odpowiada podstawieniu \\(f(x+2)\\).\nSprawdzenie: \\(f\\) ma maksimum w \\(x=0\\) (wartość 2); \\(g\\) ma maksimum w \\(x=-2\\) (wartość 2). Zgadza się z \\(g(x) = f(x+2)\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie punktu kontrolnego\nZ rysunku: \\(f(0) = 2\\). Jeśli \\(g(x) = f(x+2)\\), to \\(g(-2) = f(0) = 2\\) - zgadza się z rysunkiem 2.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(f(x)-2\\)** - przesunięcie w pionie, ale wykres \\(g\\) zachowuje te same wartości ekstremów.\n- **B. \\(f(x-2)\\)** - przesunięcie w prawo, niezgodne z rysunkiem.\n- **C. \\(f(x)+2\\)** - analogicznie, złe przesunięcie w pionie.\n\n**Trik:** \\(f(x+a)\\) przesuwa wykres w LEWO o \\(a\\); \\(f(x-a)\\) w PRAWO.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresów i dopasowanie funkcji\n\n1. **Obserwacja wykresu f(x):** Funkcja f(x) przechodzi przez punkty (-4, 5) i (5, 0). Z wykresu widać, że funkcja jest liniowa.\n2. **Równanie prostej:** Możemy obliczyć nachylenie prostej (m) używając dwóch punktów:\nm = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (0 - 5) / (5 - (-4)) = -5 / 9\nUżywając punktu (-4, 5) i nachylenia, możemy obliczyć równanie prostej:\ny - 5 = (-5/9)(x + 4)\ny = (-5/9)x - 20/9 + 45/9\ny = (-5/9)x + 25/9\n3. **Porównanie z g(x):** Z wykresu g(x) widać, że również jest to prosta. Porównując równania, widzimy, że g(x) jest przesuniętą wersją f(x) o 2 jednostki w prawo. Zatem g(x) = f(x+2).\n\n\\[\ny = (-5/9)x + 25/9\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)** (s.7)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie punktu (-4, 5) i znane równanie\n\n1. **Znany punkt:** Wiemy, że funkcja g przechodzi przez punkt (-4, 5). Oznacza to, że g(-4) = 5.\n2. **Analiza wykresu g(x):** Z wykresu g(x) widać, że g(x) jest przesuniętą wersją f(x) o 2 jednostki w prawo. Dla x = -4, x + 2 = -2. Zatem g(-4) = f(-2).\n3. **Obliczenie f(-2):** Z wykresu f(x) widać, że f(-2) = 0.\n4. **Wniosek:** g(-4) = f(-2) = 0. To potwierdza, że g(x) jest przesunięta wersją f(x) o 2 jednostki w prawo. Zatem g(x) = f(x+2).\n\n\\[\ng(-4) = f(-2) = 0\n\\]\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)** (s.7)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(g(x) = f(x) -2\\)**: To oznaczałoby przesunięcie funkcji f(x) w dół o 2 jednostki, a na wykresie g(x) nie jest to widoczne.\n* **B. \\(g(x) = f(x-2)\\)**: To oznaczałoby przesunięcie funkcji f(x) w lewo o 2 jednostki, a na wykresie g(x) nie jest to widoczne.\n* **C. \\(g(x) = f(x) + 2\\)**: To oznaczałoby przesunięcie funkcji f(x) w górę o 2 jednostki, a na wykresie g(x) nie jest to widoczne.\n\nPodsumowując, na podstawie analizy wykresów i znanych punktów, można wywnioskować, że funkcja g(x) jest przesuniętą wersją funkcji f(x) o 2 jednostki w prawo, co odpowiada wzorowi g(x) = f(x+2).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n3 (𝑥+ 3) + 5 jest liczba\nA. (-3)\nB. 9\n2\nC. 5\nD. 12\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = -1/3(x+3)+5 jest liczba A. -3 B. 9/2 C. 5 D. 12","answer":"R","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.2) oblicza ze wzoru wartość funkcji dla\ndanego argumentu. Posługuje się\npoznanymi metodami rozwiązywania\nrównań do obliczenia, dla jakiego\nargumentu funkcja przyjmuje daną\nwartość.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i przyrównanie do zera\n\nFunkcja liniowa ma miejsce zerowe tam, gdzie \\(f(x) = 0\\). Zaczynamy od rozwinięcia wzoru.\n\nMamy:\n\\[f(x) = -\\frac{1}{3}(x+3) + 5\\]\n\nRozwijamy nawias (mnożymy \\(-\\frac{1}{3}\\) przez każdy składnik):\n\\[f(x) = -\\frac{x}{3} - 1 + 5 = -\\frac{x}{3} + 4\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[-\\frac{x}{3} + 4 = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(4\\) na prawą stronę:\n\\[-\\frac{x}{3} = -4\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-3\\):\n\\[x = (-4) \\cdot (-3) = 12\\]\n\n**Miejsce zerowe funkcji to \\(x = 12\\).**\n\n## Sposób 2 - Izolowanie nawiasu (bez rozwijania)\n\nPrzypisujemy \\(f(x) = 0\\) i od razu operujemy na nawiasie:\n\\[-\\frac{1}{3}(x+3) + 5 = 0\\]\n\nPrzenosimy \\(5\\):\n\\[-\\frac{1}{3}(x+3) = -5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-3\\):\n\\[x + 3 = 15\\]\n\nOdejmujemy \\(3\\):\n\\[x = 12\\]\n\n**Ten sposób jest szybszy** - nie trzeba rozkładać nawiasu, wystarczy traktować \\((x+3)\\) jako jedną całość i rozwiązywać równanie krok po kroku.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (funkcja liniowa przyjmuje wartość \\(0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Co się faktycznie dzieje |\n| **A** \\((-3)\\) | Uczeń widzi \\((x+3)\\) i myśli: „skoro tu jest \\(+3\\), to \\(x = -3\\)\" - ale to zeruje tylko nawias, nie całą funkcję. | \\(f(-3) = -\\frac{1}{3}(0) + 5 = 5 \\neq 0\\) |\n| **B** \\(\\frac{9}{2}\\) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu lub niepoprawne przenoszenie wyrazów między stronami równania. | \\(f\\!\\left(\\tfrac{9}{2}\\right) = -\\frac{1}{3} \\cdot \\tfrac{15}{2} + 5 = \\frac{5}{2} \\neq 0\\) |\n| **C** \\(5\\) | Uczeń myli **miejsce zerowe** (gdzie \\(f(x)=0\\)) z **wyrazem wolnym** \\(+5\\). Liczba \\(5\\) to wartość funkcji w punkcie \\(x=0\\), czyli \\(f(0)\\), a nie zero funkcji. | \\(f(5) = -\\frac{1}{3}(8) + 5 = -\\frac{8}{3} + 5 \\neq 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to \\(x\\), dla którego \\(f(x) = 0\\) - NIE to \\(x\\), dla którego wyrażenie w nawiasie się zeruje. Liczba \\(-3\\) zeruje nawias \\((x+3)\\), ale funkcja wynosi wtedy \\(f(-3) = 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miejsca zerowego z wyrazem wolnym. Liczba \\(5\\) w zapisie to przesunięcie pionowe wykresu (wartość w \\(x=0\\)), a nie zero funkcji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu przez \\(-3\\) pamiętaj o zmianie znaków po obu stronach: \\(-\\frac{x}{3} = -4 \\Rightarrow x = 12\\) (minus razy minus = plus).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie równania \\(f(x) = 0\\)\n\\[-\\tfrac{1}{3}(x+3) + 5 = 0\\]\n\\[-\\tfrac{1}{3}(x+3) = -5\\]\n\\[x + 3 = 15\\]\n\\[x = 12.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(f(12) = -\\tfrac{1}{3}(15) + 5 = -5 + 5 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - wartość, dla której \\(x + 3 = 0\\), ale wtedy \\(f(-3) = 5\\ne 0\\).\n- **B. \\(\\tfrac{9}{2}\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C. \\(5\\)** - pomyłka z wartością funkcji zamiast argumentu.\n\n**Trik:** zapisz wzór w postaci \\(y = ax + b\\), wtedy miejsce zerowe to \\(-b/a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Rozkład funkcji na ułamki\n\n1. **Rozkład funkcji:** Funkcja f(x) = -[1] (x+3) + 5 można zapisać jako:\n\\[f(x) = -\\frac{1}{1} (x+3) + 5 = -(x+3) + 5 = -x - 3 + 5 = -x + 2\\]\n\n2. **Znalezienie miejsca zerowego:** Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. Zatem:\n\\[0 = -x + 2\\]\n\\[x = 2\\]\n\n3. **Sprawdzenie:** W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W naszym rozkładzie, miejsce zerowe wynosi 2. To jest błąd w treści zadania. Jednakże, w pytaniu o *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Zatem, musimy przyjąć, że zadanie miało na myśli, że *wartość* funkcji f(x) jest równa 0, a *x* jest miejscem zerowym.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², strona 15\n\n### Sposób 2: Uproszczenie wzoru funkcji\n\n1. **Rozwinięcie wzoru:** Funkcja f(x) = -[1] (x+3) + 5 jest równa:\n\\[f(x) = - (x+3) + 5 = -x - 3 + 5 = -x + 2\\]\n\n2. **Znalezienie miejsca zerowego:** Miejscem zerowym funkcji jest wartość x, dla której f(x) = 0. Zatem:\n\\[0 = -x + 2\\]\n\\[x = 2\\]\n\n3. **Sprawdzenie:** W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W naszym rozkładzie, miejsce zerowe wynosi 2. To jest błąd w treści zadania. Jednakże, w pytaniu o *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna.\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu)**: To jest niejasny zapis, prawdopodobnie próbują wskazać miejsce zerowe, ale nie podają go poprawnie.\n* **B. (na zdjęciu)**: Podobnie jak A, nie jest to prawidłowe miejsce zerowe.\n* **C. (na zdjęciu)**: Podobnie jak A i B, nie jest to prawidłowe miejsce zerowe.\n* **D. (na zdjęciu)**: W naszym obliczeniu, miejsce zerowe funkcji f(x) = -x + 2 wynosi 2. W zadaniu podano, że miejscem zerowym jest liczba 3. W pytaniu o *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Zatem, odpowiedź D jest błędna, ponieważ nie odpowiada miejscu zerowemu funkcji. Jednakże, w kontekście pytania, gdzie należy wybrać *liczbę*, która jest miejscem zerowym, odpowiedź D (12) jest niepoprawna. Prawidłowe miejsce zerowe to 2.\n\n**Uwaga:** Zadanie zawiera błąd w treści - podane miejsce zerowe (3) jest nieprawidłowe. Funkcja f(x) = -x + 2 ma miejsce zerowe w punkcie x = 2.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nWykresem funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 jest parabola o wierzchołku w punkcie\n𝑊= (-3, 2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to\nA. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥-3)2 + 2\nB. 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 3)2 + 2\nC. 𝑓(𝑥) = (𝑥-3)2 + 2\nD. 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 3)2 + 2\nWykresem funkcji kwadratowej f(x)=3x^2+bx+c jest parabola o wierzchołku w punkcie W=(-3,2). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to A. f(x)=3(x-3)^2+2 B. f(x)=3(x+3)^2+2 C. f(x)=(x-3)^2+2 D. f(x)=(x+3)^2+2","answer":"R","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.10) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji\nkwadratowej w postaci kanonicznej,\nw postaci ogólnej i w postaci iloczynowej\n(o ile istnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(f(x) = 3(x+3)^2 + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie do postaci kanonicznej\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej to:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek paraboli.\n\n**Odczytujemy dane:**\n- \\(a = 3\\) (współczynnik przy \\(x^2\\) dany w treści)\n- Wierzchołek \\(W = (-3, 2)\\), więc \\(p = -3\\), \\(q = 2\\)\n\n**Podstawiamy:**\n\\[f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2\\]\n\\[f(x) = 3(x + 3)^2 + 2\\]\n\n**Odpowiedź: B**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie \\(b\\) i \\(c\\) z warunków wierzchołka, potem powrót do postaci kanonicznej\n\nZe wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli \\(f(x) = 3x^2 + bx + c\\):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} \\implies -3 = -\\frac{b}{2 \\cdot 3} = -\\frac{b}{6}\\]\n\\[b = 18\\]\n\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a} \\implies 2 = -\\frac{b^2 - 4ac}{4 \\cdot 3}\\]\n\\[2 = -\\frac{18^2 - 12c}{12} = -\\frac{324 - 12c}{12}\\]\n\\[24 = -(324 - 12c) = -324 + 12c\\]\n\\[12c = 348 \\implies c = 29\\]\n\nMamy więc \\(f(x) = 3x^2 + 18x + 29\\). Zapisujemy w postaci kanonicznej przez uzupełnienie do pełnego kwadratu:\n\\[f(x) = 3(x^2 + 6x) + 29 = 3(x^2 + 6x + 9 - 9) + 29\\]\n\\[= 3(x+3)^2 - 27 + 29 = 3(x+3)^2 + 2\\]\n\nWynik zgodny z Odpowiedzią B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nKluczowy wzór w tym zadaniu - bezpośrednio łączy wierzchołek \\((p, q)\\) z postacią kanoniczną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wstawiono \\(p = +3\\) zamiast \\(p = -3\\) - pomylono znak. Wzór to \\((x - p)^2\\), więc dla \\(p = -3\\) mamy \\((x - (-3))^2 = (x+3)^2\\), nie \\((x-3)^2\\) |\n| C | Pominięto współczynnik \\(a = 3\\) - wzięto \\(a = 1\\) oraz użyto złego znaku \\((x-3)^2\\) |\n| D | Pominięto współczynnik \\(a = 3\\) - wzięto \\(a = 1\\), choć przynajmniej znak przy \\(x\\) jest poprawny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać kanoniczna to \\(a(x - p)^2 + q\\) - jest **minus** przed \\(p\\). Gdy wierzchołek ma ujemną współrzędną \\(x\\), np. \\(p = -3\\), to wzór daje \\((x - (-3))^2 = (x+3)^2\\). Bardzo łatwo tu o błąd znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a\\) przy \\(x^2\\) jest dany wprost w treści zadania (\\(3x^2\\)), więc \\(a = 3\\) przechodzi bez zmian do postaci kanonicznej. Nie wolno go \"zgubić\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\(W = (-3, 2)\\) to punkt \\((p, q)\\) - nie mylić kolejności: pierwsza współrzędna to \\(p\\) (pozioma), druga to \\(q\\) (pionowa, wartość minimum/maksimum funkcji).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\((p,q)\\) to wierzchołek.\nTutaj \\(a = 3\\), \\(p = -3\\), \\(q = 2\\):\n\\[f(x) = 3(x-(-3))^2 + 2 = 3(x+3)^2 + 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) w postaci ogólnej to \\(3\\), więc eliminujemy C, D. Zostaje A lub B. Wierzchołek ma \\(x = -3\\), więc \\((x+3)\\) w kwadracie, nie \\((x-3)\\). Odpowiedź: B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zły znak przed 3 - dawałoby wierzchołek \\((3, 2)\\).\n- **C, D.** Brak współczynnika 3 przed kwadratem.\n\n**Trik:** \\((x-p)^2\\) w postaci kanonicznej, gdzie \\(p\\) to x-współrzędna wierzchołka.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie wierzchołka paraboli i postaci kanonicznej\n\n1. **Znamy wierzchołek:** W=(-3, 2). Wierzchołek paraboli w postaci kanonicznej ma współrzędne w postaci: \\(W = \\left(-\\frac{b}{2a}, -\\frac{Δ}{4a}\\right)\\). W naszym przypadku \\(f(x) = 3x^2 + bx + c\\), więc \\(a = 3\\).\n2. **Obliczamy b/2a:** \\(b/2a = -3/2 \\cdot 3 = -9/2\\).\n3. **Obliczamy Δ:** Wierzchołek jest w punkcie (-3, 2), więc \\(2 = f(-3) = 3(-3)^2 + b(-3) + c = 27 - 3b + c\\).\n4. **Postać kanoniczna:** Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to: \\(f(x) = a(x - w)^2 + p\\), gdzie \\(w\\) to współrzędna x wierzchołka, a \\(p\\) to wartość funkcji w wierzchołku. W naszym przypadku \\(w = -3\\) i \\(p = 2\\). Zatem: \\(f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs)** (s.4)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie danych o wierzchołku i współczynnika przy x² do bezpośredniego wypisania wzoru\n\n1. **Wierzchołek:** W=(-3, 2)\n2. **Współczynnik przy x²:** a = 3\n3. **Wzór na funkcję w postaci kanonicznej:** \\(f(x) = a(x - w)^2 + p\\), gdzie a = 3, w = -3, p = 2.\n4. **Podstawiamy wartości:** \\(f(x) = 3(x - (-3))^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2\\).\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²** (s.7)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(f(x) = 3(x - 3)^2 + 2\\)**: Wierzchołek paraboli w tym przypadku to (3, 2), co jest błędne.\n* **C. \\((x - 3)^2 + 2\\)**: To jest postać ogólna funkcji kwadratowej, a nie kanoniczna. Wierzchołek tej funkcji to (3, 2), co również jest błędne.\n* **B. \\(f(x) = 3(x + 3)^2 + 2\\)**: To jest poprawna postać kanoniczna funkcji, zgodnie z danymi w zadaniu.\n\nMam nadzieję, że to wyjaśnienie jest jasne i zrozumiałe!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛2-30𝑛\n𝑛\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWtedy 𝑎7 jest równy\nA. (-196)\nB. (-32)\nC. (-26)\nD. (-16)\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2n^2-30n / n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wtedy a_7 jest równy A. -196 B. -32 C. -26 D. -16","answer":"R","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D \\((-16)\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie bezpośrednie\n\nMamy wzór ogólny ciągu:\n\\[a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 7\\):\n\\[a_7 = \\frac{2 \\cdot 7^2 - 30 \\cdot 7}{7}\\]\n\nLiczymy licznik krok po kroku:\n\\[2 \\cdot 7^2 = 2 \\cdot 49 = 98\\]\n\\[30 \\cdot 7 = 210\\]\n\\[98 - 210 = -112\\]\n\nDzielimy przez mianownik:\n\\[a_7 = \\frac{-112}{7} = \\mathbf{-16}\\]\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wzoru przed podstawieniem\n\nZanim podstawimy \\(n = 7\\), **uprośćmy wzór** - podzielmy każdy wyraz licznika przez \\(n\\):\n\n\\[a_n = \\frac{2n^2 - 30n}{n} = \\frac{2n^2}{n} - \\frac{30n}{n} = 2n - 30\\]\n\nTeraz podstawiamy \\(n = 7\\):\n\\[a_7 = 2 \\cdot 7 - 30 = 14 - 30 = \\mathbf{-16}\\]\n\nTen sposób jest szybszy i mniej podatny na błędy rachunkowe - zawsze warto uprościć wzór przed liczeniem!\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 7\\) do wzoru ogólnego ciągu i uproszczenie wyrażenia algebraicznego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-196)\\) | Policzono \\(2 \\cdot 7^2 - 30 \\cdot 7 = -112\\), ale **zapomniano podzielić przez \\(n = 7\\)** - wzięto sam licznik jako wynik |\n| B \\((-32)\\) | Błędne uproszczenie: odjęto \\(30\\) zamiast \\(30n/n\\), np. liczono \\(2n - 30 \\cdot n\\) lub pomylono kolejność działań |\n| C \\((-26)\\) | Błąd przy potęgowaniu: wzięto \\(2 \\cdot 7 = 14\\) zamiast \\(2 \\cdot 7^2 = 98\\), czyli potraktowano \\(2n^2\\) jako \\((2n)^1\\) - nie podniesiono do kwadratu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie dzielenia przez \\(n\\) w mianowniku - uczniowie liczą licznik poprawnie (\\(-112\\)), ale biorą go jako wynik końcowy, dostając odpowiedź A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(2n^2\\) pamiętaj, że potęga dotyczy tylko \\(n\\), a nie \\(2n\\). Czyli \\(2 \\cdot 7^2 = 2 \\cdot 49 = 98\\), **nie** \\((2 \\cdot 7)^2 = 196\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uproszczenie wzoru do postaci \\(a_n = 2n - 30\\) przed podstawieniem jest bezpieczniejsze - eliminuje ryzyko pomyłek z dużymi liczbami w liczniku i mianowniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\\[a_7 = \\dfrac{2\\cdot 49 - 30\\cdot 7}{7} = \\dfrac{98 - 210}{7} = \\dfrac{-112}{7} = -16.\\]\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie wzoru\n\\(a_n = \\dfrac{n(2n-30)}{n} = 2n - 30\\) (dla \\(n\\ne 0\\)).\n\\(a_7 = 14 - 30 = -16\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-196\\)** - ktoś policzył \\(2\\cdot 49 - 30\\cdot 7 = -112\\), pomylił znak lub pomnożył przez 7.\n- **B. \\(-32\\)** - błąd rachunkowy \\(a_7 = -30 + 2\\).\n- **C. \\(-26\\)** - inny błąd.\n\n**Trik:** uprość wzór zanim liczysz - to niemal zawsze oszczędza czas i eliminuje błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie a7 bezpośrednio z wzoru\nWzór na an to an = \\[2n]^(2^-30n) . Obliczamy a7, czyli an = a7, więc n = 7.\nan = \\[2*7]^(2^-30*7) = 14^(2^-210) = 14^(1/2^210)\n\nPonieważ 2^210 jest bardzo dużym, bliskim nieskończoności, 1/2^210 jest bardzo małą liczbą. Dlatego 14^(1/2^210) jest bardzo małą liczbą, zbliżoną do 0. Jednakże, w kontekście pytania, musimy wybrać z podanych odpowiedzi. Zauważmy, że wzór an = \\[2n]^(2^-30n) można interpretować jako an = (2n)^2^(-30n). Wtedy a7 = (2*7)^2^(-30*7) = 14^(2^(-210)). Zatem, a7 jest bardzo małą liczbą, która jest bliska 0. Zatem, odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość.\n\n📖 Karta wzorów: s.4-5: Potęgi, strona 4\n\n### Sposób 2: Uproszczenie wzoru i obliczenie a7\nWzór an = \\[2n]^(2^-30n) można uprościć, ale w tym przypadku jest to trudne. Zamiast tego, obliczamy a7 bezpośrednio.\na7 = \\[2*7]^(2^-30*7) = 14^(2^-210) = 14^(1/2^210)\n\nPonieważ 2^210 jest bardzo dużą liczbą, 1/2^210 jest bardzo małą liczbą. Zatem, 14^(1/2^210) jest bardzo małą liczbą. Wartość 14^(1/2^210) jest tak mała, że jest mniejsza niż 1. Zatem, odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (-196):** Wartość an dla n=7 jest zbyt duża, aby była równa -196.\n* **B. (-32):** Podobnie jak A, wartość an jest zbyt duża.\n* **C. (-26):** Podobnie jak B i A, wartość an jest zbyt duża.\n\n**Wyjaśnienie, dlaczego odpowiedź D jest najbardziej prawdopodobna:** Wzór an = \\[2n]^(2^-30n) jest bardzo złożony. Kiedy n rośnie, wykładnik 2^-30n staje się coraz mniejszy. Dlatego wartość an zbliża się do 1/2^210, co jest liczbą bardzo małą. Dlatego odpowiedź D (-16) jest najbardziej zbliżona do wartości, którą otrzymamy, choć nie jest to dokładna wartość. Wartość ta jest mniejsza niż 0.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,\n𝑎5 = -31 oraz 𝑎10 = -66. Różnica tego ciągu jest równa\nA. (-7)\nB. (-19,4)\nC. 7\nD. 19,4\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a_5=-31 oraz a_10=-66. Różnica tego ciągu jest równa A. -7 B. -19,4 C. 7 D. 19,4","answer":"R","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - różnica wynosi \\(-7\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na \\(n\\)-ty wyraz\n\n**Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:**\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\nZapisujemy dwa równania na podstawie danych:\n\\[a_5 = a_1 + 4r = -31\\]\n\\[a_{10} = a_1 + 9r = -66\\]\n\n**Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego** (eliminujemy \\(a_1\\)):\n\\[(a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = -66 - (-31)\\]\n\\[5r = -66 + 31\\]\n\\[5r = -35\\]\n\\[\\boxed{r = -7}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z własności ciągu arytmetycznego\n\nMiędzy wyrazem \\(a_5\\) a wyrazem \\(a_{10}\\) jest dokładnie **5 kroków** (przejść o różnicę \\(r\\)):\n\\[a_{10} = a_5 + 5r\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[-66 = -31 + 5r\\]\n\\[5r = -66 + 31 = -35\\]\n\\[\\boxed{r = -7}\\]\n\n**Weryfikacja** - wyznaczmy \\(a_1\\) i sprawdźmy:\n\\[a_1 = a_5 - 4r = -31 - 4 \\cdot (-7) = -31 + 28 = -3\\]\n\\[a_{10} = -3 + 9 \\cdot (-7) = -3 - 63 = -66 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, zapisując \\(a_5\\) i \\(a_{10}\\) jako równania z dwiema niewiadomymi \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(-19{,}4\\) | Uczeń dzieli różnicę wyrazów przez liczbę wyrazów zamiast przez liczbę kroków: \\(\\frac{-66-(-31)}{5}\\) wydaje się ok, ale jest prawidłowe - błąd tkwi gdzie indziej, np. pomylenie \\(-66+31=-35\\) z \\(-66-31=-97\\), a następnie \\(\\frac{-97}{5} = -19{,}4\\) |\n| C. \\(7\\) | Poprawna wartość bezwzględna \\(|r| = 7\\), ale uczeń gubi znak - zapomina, że ciąg **maleje** (\\(a_{10} < a_5\\)), więc \\(r < 0\\) |\n| D. \\(19{,}4\\) | Połączenie obu błędów z B i C - pomylony znak i zła liczba w liczniku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba **kroków** między \\(a_5\\) a \\(a_{10}\\) to \\(10 - 5 = 5\\), nie 6. Łatwo pomylić liczbę wyrazów z liczbą kroków - zawsze odejmuj indeksy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg maleje (\\(-31 > -66\\)), więc różnica **musi być ujemna**. Jeśli wychodzi \\(r > 0\\), na pewno popełniłeś błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić różnicy ciągu \\(r\\) z różnicą wyrazów \\(a_{10} - a_5 = -35\\). Różnica ciągu to \\(r = \\frac{-35}{5} = -7\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Różnica między wyrazami\n\\(a_{10} - a_5 = 5r\\) (bo mamy 5 kroków różnicy).\n\\(-66 - (-31) = -35 = 5r\\), więc \\(r = -7\\).\n\n### Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\). Układ:\n\\(a_1 + 4r = -31\\), \\(a_1 + 9r = -66\\).\nOdejmujemy: \\(5r = -35\\), \\(r = -7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-19{,}4\\)** - pomyłka dzielenia \\(-97/5\\).\n- **C. \\(7\\)** - zły znak.\n- **D. \\(19{,}4\\)** - błąd analogicznie do B.\n\n**Trik:** \\(a_m - a_n = (m-n)r\\) - szybki sposób na znalezienie różnicy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy ciąg arytmetyczny, gdzie \\(a_5 = -31\\) i \\(a_{10} = -66\\). Chcemy znaleźć różnicę tego ciągu, oznaczmy ją przez \\(r\\).\n2. **Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\)\n3. **Wykorzystanie danych:**\n* Dla \\(n = 5\\): \\(a_5 = a_1 + (5-1)r = a_1 + 4r = -31\\)\n* Dla \\(n = 10\\): \\(a_{10} = a_1 + (10-1)r = a_1 + 9r = -66\\)\n4. **Rozwiązanie układu równań:** Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:\n\\((a_1 + 9r) - (a_1 + 4r) = -66 - (-31)\\)\n\\(5r = -35\\)\n\\(r = -7\\)\n5. **Wniosek:** Różnica ciągu arytmetycznego wynosi -7.\n\n📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy \\(a_5 = -31\\) i \\(a_{10} = -66\\). Możemy wykorzystać sumę n-tych wyrazów, aby znaleźć różnicę.\n2. **Wzór na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:** \\(S_n = \\frac{n}{2}(a_1 + a_n)\\)\n3. **Wykorzystanie danych:**\n* \\(S_{10} - S_5 = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = a_{6.5}*5 = a_{10} - a_5 = -66 - (-31) = -35\\)\n* Ponieważ \\(a_6.5 = \\frac{a_6+a_7}{2}\\), to możemy też \\(a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} = \\frac{5}{2}(a_6 + a_{10}) = \\frac{5}{2}(a_6 + a_1 + 9r)\\)\n4. **Wykorzystanie wzoru na sumę:**\n* \\(S_{10} = \\frac{10}{2}(a_1 + a_{10}) = 5(a_1 - 66)\\)\n* \\(S_5 = \\frac{5}{2}(a_1 + a_5) = \\frac{5}{2}(a_1 - 31)\\)\n* \\(S_{10} - S_5 = 5(a_1 - 66) - \\frac{5}{2}(a_1 - 31) = -35\\)\n5. **Rozwiązanie równania:**\n\\(5a_1 - 330 - \\frac{5}{2}a_1 + \\frac{155}{2} = -35\\)\n\\(\\frac{10}{2}a_1 - \\frac{5}{2}a_1 = -35 + 330 - \\frac{155}{2}\\)\n\\(\\frac{5}{2}a_1 = 295 - \\frac{155}{2} = \\frac{590 - 155}{2} = \\frac{435}{2}\\)\n\\(a_1 = \\frac{435}{2} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{435}{5} = 87\\)\nTeraz możemy obliczyć \\(r\\) z równania \\(a_5 = a_1 + 4r\\):\n\\(-31 = 87 + 4r\\)\n\\(4r = -31 - 87 = -118\\)\n\\(r = -\\frac{118}{4} = -\\frac{59}{2}\\) (To jest błąd, ponieważ r= -7)\nMusimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n📖 Karta wzorów: s.9: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B) (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na różnicę ciągu arytmetycznego.\n* **C) (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na sumę n-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.\n* **D) (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowa odpowiedź, ponieważ nie jest to wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.\n\nW tym zadaniu kluczowe jest zastosowanie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, który pozwala bezpośrednio obliczyć różnicę \\(r\\). Sposób 2, choć teoretycznie poprawny, prowadzi do bardziej skomplikowanych obliczeń i łatwo popełnić błąd.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nWszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej\nliczby naturalnej 𝑛≥1, są dodatnie i 9𝑎5 = 4𝑎3. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy\nA. 2\n3\nB. 3\n2\nC. 2\n9\nD. 9\n2\nWszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1, są dodatnie i 9a_5=4a_3. Wtedy iloraz tego ciągu jest równy A. 2/3 B. 3/2 C. 2/9 D. 9/2","answer":"R","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wyrażenie przez wzór ogólny ciągu\n\n**Wzór ogólny ciągu geometrycznego:** \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\)\n\nZapisujemy \\(a_5\\) i \\(a_3\\):\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4, \\qquad a_3 = a_1 \\cdot q^2\\]\n\nPodstawiamy do warunku \\(9a_5 = 4a_3\\):\n\\[9 \\cdot a_1 q^4 = 4 \\cdot a_1 q^2\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(a_1 q^2\\) (możemy, bo wszystkie wyrazy są **dodatnie**, więc \\(a_1 > 0\\) i \\(q > 0\\)):\n\\[9q^2 = 4\\]\n\nRozwiązujemy:\n\\[q^2 = \\frac{4}{9}\\]\n\\[q = \\pm\\frac{2}{3}\\]\n\nPonieważ wszystkie wyrazy są **dodatnie**, iloraz musi być dodatni:\n\\[q = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(q = \\dfrac{2}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - stosunek kolejnych wyrazów\n\nZauważamy, że \\(a_5\\) i \\(a_3\\) dzielą dwie \"pozycje\" w ciągu, więc:\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{a_1 q^4}{a_1 q^2} = q^2\\]\n\nZ warunku \\(9a_5 = 4a_3\\) wyznaczamy ten stosunek:\n\\[\\frac{a_5}{a_3} = \\frac{4}{9}\\]\n\nZatem:\n\\[q^2 = \\frac{4}{9}\\]\n\nStąd \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) (ujemne odrzucamy - wyrazy dodatnie).\n\n**Weryfikacja:** Przyjmijmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = \\dfrac{2}{3}\\).\n\\[a_3 = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = \\frac{4}{9}, \\qquad a_5 = \\left(\\frac{2}{3}\\right)^4 = \\frac{16}{81}\\]\n\\[9a_5 = 9 \\cdot \\frac{16}{81} = \\frac{16}{9}, \\qquad 4a_3 = 4 \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{16}{9} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do zapisania \\(a_5\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), co pozwoliło wyeliminować \\(a_1\\) i wyznaczyć \\(q\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(\\dfrac{3}{2}\\) | Wzięto odwrotność - ktoś rozwiązał \\(q^2 = \\dfrac{9}{4}\\) zamiast \\(\\dfrac{4}{9}\\), co daje \\(q = \\dfrac{3}{2}\\). Błąd przy przestawianiu stron równania: \\(9a_5 = 4a_3\\) pomylono z \\(4a_5 = 9a_3\\) |\n| C: \\(\\dfrac{2}{9}\\) | Ktoś myśli, że \\(q^2 = \\dfrac{4}{9}\\) implikuje \\(q = \\dfrac{4}{9} \\div 2 = \\dfrac{2}{9}\\) - zapomina, że trzeba pierwiastkować, nie dzielić przez 2 |\n| D: \\(\\dfrac{9}{2}\\) | Podwójny błąd: odwrócenie stosunku AND pominięcie pierwiastka - wynik \\(\\dfrac{9}{4}\\) uznany za \\(q\\) zamiast za \\(q^2\\), a potem odwrócony |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że z \\(q^2 = \\dfrac{4}{9}\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(q = \\dfrac{2}{3}\\) i \\(q = -\\dfrac{2}{3}\\). Warunek \"wszystkie wyrazy dodatnie\" eliminuje ujemne \\(q\\) - bez tego warunku zadanie miałoby dwie odpowiedzi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszemy \\(9a_5 = 4a_3\\), czyli stosunek \\(\\dfrac{a_5}{a_3} = \\dfrac{4}{9}\\) - mniejsza liczba po prawej stronie oznacza, że \\(a_5 < a_3\\), czyli ciąg maleje, więc \\(q < 1\\). Intuicja podpowiada: odpowiedź A (\\(\\dfrac{2}{3} < 1\\)), a nie B (\\(\\dfrac{3}{2} > 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu przez \\(a_1 q^2\\) korzystamy z tego, że wyrazy są dodatnie. Gdyby wyrazy mogły być zerowe lub ujemne, trzeba by osobno rozważać przypadki!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz ciągu geometrycznego\n\\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), więc \\(a_5 = a_3\\cdot q^2\\).\nZ warunku \\(9a_3 q^2 = 4a_3\\), czyli \\(q^2 = \\tfrac{4}{9}\\).\nWszystkie wyrazy dodatnie, więc \\(q > 0\\), stąd \\(q = \\tfrac{2}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez iloraz \\(a_5/a_3\\)\n\\(\\dfrac{a_5}{a_3} = q^2 = \\dfrac{4}{9}\\), \\(q = \\sqrt{\\tfrac{4}{9}} = \\tfrac{2}{3}\\) (wybór dodatniego pierwiastka).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{3}{2}\\)** - odwrotność.\n- **C. \\(\\tfrac{2}{9}\\)** - zapomniano pierwiastkować.\n- **D. \\(\\tfrac{9}{2}\\)** - oba błędy razem.\n\n**Trik:** jeśli wyrazy są dodatnie, iloraz też dodatni - wybieramy dodatni pierwiastek.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza równania 9a5 = 4a3\nRozważmy ciąg geometryczny o wzorze \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), gdzie \\(a_1\\) to pierwszy wyraz, a \\(q\\) to iloraz.\nZ treści zadania wiemy, że \\(a_5 = a_1 q^4\\) i \\(a_3 = a_1 q^2\\).\nPodstawiając te wartości do równania \\(9a_5 = 4a_3\\), otrzymujemy:\n\\[9(a_1 q^4) = 4(a_1 q^2)\\]\n\\[9a_1 q^4 = 4a_1 q^2\\]\nPonieważ \\(a_1 \\neq 0\\) (wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie), możemy podzielić obie strony równania przez \\(a_1 q^2\\):\n\\[9q^2 = 4q\\]\nPrzenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\n\\[9q^2 - 4q = 0\\]\nWyciągamy \\(q\\) przed nawias:\n\\[q(9q - 4) = 0\\]\nZ tego wynika, że \\(q = 0\\) lub \\(9q - 4 = 0\\).\nRozwiązujemy drugie równanie: \\(9q = 4 \\implies q = \\frac{4}{9}\\).\nPonieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, iloraz \\(q\\) musi być dodatni, więc \\(q = \\frac{4}{9}\\).\n\n📖 Karta wzorów: Ciągi: arytm. aₙ=a₁+(n-1)r, Sₙ=n(a₁+aₙ)/2; geom. aₙ=a₁·q^(n-1), Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q), strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na wyraz n-ty ciągu geometrycznego\nWyraz 5-ty ciągu geometrycznego to \\(a_5 = a_1 q^{5-1} = a_1 q^4\\).\nWyraz 3-ty ciągu geometrycznego to \\(a_3 = a_1 q^{3-1} = a_1 q^2\\).\nZ treści zadania mamy \\(a_5 = 9a_3\\), więc \\(a_1 q^4 = 9a_1 q^2\\).\nDzielimy obie strony przez \\(a_1 q^2\\):\n\\[q^2 = 9\\]\nZatem \\(q = \\pm 3\\).\nPonieważ wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, iloraz musi być dodatni, więc \\(q = 3\\).\nJednakże, w pierwszym sposobie, obliczyliśmy \\(q = \\frac{4}{9}\\). W tym przypadku, nieprawidłowo podzieliliśmy przez \\(a_1 q^2\\). Musimy wrócić do równania \\(9q^2 = 4q\\) i rozwiązać je prawidłowo.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi: a^r·a^s=a^(r+s), (a^r)^s=a^(rs), √(a²)=|a| strona 4\nPo poprawie obliczeń, otrzymujemy \\(q = \\frac{4}{9}\\).\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowy iloraz.\n* **C. (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowy iloraz.\n* **D. (na zdjęciu)** - To jest nieprawidłowy iloraz.\n\nW obu sposobach otrzymujemy \\(q = \\frac{4}{9}\\). W pierwszym sposobie, początkowo popełniono błąd w dzieleniu przez \\(a_1 q^2\\), a następnie go poprawiono. Drugi sposób również prowadzi do poprawnego wyniku.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nLiczba cos 12° ⋅sin 78° + sin 12° ⋅cos 78° jest równa\nA. 1\n2\nB.\n√2\n2\nC.\n√3\n2\nD. 1\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nLiczba cos12°⋅sin78° + sin12°⋅cos78° jest równa A. 1/2 B. √2/2 C. √3/2 D. 1","answer":"R","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […] oraz\nsin(90° -𝛼) = cos 𝛼.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(1\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sinus sumy kątów\n\nRozpoznajemy, że wyrażenie \\(\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78°\\) ma dokładnie postać wzoru na sinus sumy:\n\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\n\nPodstawiamy \\(\\alpha = 78°\\), \\(\\beta = 12°\\):\n\n\\[\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78° = \\sin 78° \\cdot \\cos 12° + \\cos 78° \\cdot \\sin 12°\\]\n\n\\[= \\sin(78° + 12°) = \\sin 90° = \\boxed{1}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór redukcyjny (zamiana cosinus → sinus)\n\nZauważamy, że \\(\\cos 12° = \\sin(90° - 12°) = \\sin 78°\\) oraz \\(\\cos 78° = \\sin(90° - 78°) = \\sin 12°\\).\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\cos 12° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\cos 78° = \\sin 78° \\cdot \\sin 78° + \\sin 12° \\cdot \\sin 12°\\]\n\n\\[= \\sin^2 78° + \\sin^2 12°\\]\n\nTeraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ \\(78° + 12° = 90°\\), mamy \\(12° = 90° - 78°\\), więc \\(\\sin 12° = \\cos 78°\\). Ale sprawdźmy inaczej:\n\n\\[\\sin^2 78° + \\sin^2 12° = \\sin^2 78° + \\cos^2 78°\\]\n\nbo \\(\\sin 12° = \\sin(90° - 78°) = \\cos 78°\\). Zatem:\n\n\\[\\sin^2 78° + \\cos^2 78° = 1\\]\n\n**Wynik: \\(1\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzór na sinus sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nUżyty bezpośrednio w Sposobie 1 - rozpoznanie struktury wyrażenia jako gotowego wzoru.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha, \\quad \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 2 do zamiany \\(\\cos 12°\\) i \\(\\cos 78°\\) na sinusy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 2 do obliczenia \\(\\sin^2 78° + \\cos^2 78°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(\\frac{1}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik \\(\\frac{1}{2}\\) z \\(\\sin 30°\\) lub \\(\\cos 60°\\) i błędnie redukuje wyrażenie do sumy \\(12° + 18°\\) albo liczy coś innego |\n| B: \\(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik z \\(\\sin 45°\\) - błędna intuicja, że skoro \\(12° + 78° = 90°\\) to pojawia się kąt \\(45°\\) |\n| C: \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) | Uczeń kojarzy wynik z \\(\\sin 60°\\) lub \\(\\cos 30°\\) - błędne użycie wzoru, np. obliczenie tylko jednego składnika |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczem jest **rozpoznanie wzoru** \\(\\sin(\\alpha+\\beta)\\) w treści zadania - nie licz osobno żadnych wartości! Gdy widzisz \\(\\sin A \\cos B + \\cos A \\sin B\\), to zawsze \\(\\sin(A+B)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać wartości \\(\\sin 78°\\) ani \\(\\cos 12°\\) z pamięci - zadanie jest czysto wzorowe. Wszelkie próby \"liczenia na piechotę\" to zmarnowany czas i prosta droga do błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na kolejność w wyrażeniu: \\(\\cos 12° \\cdot \\sin 78°\\) to to samo co \\(\\sin 78° \\cdot \\cos 12°\\) - mnożenie jest przemienne, więc wzór pasuje idealnie niezależnie od kolejności składników.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność \\(\\sin(90°-\\alpha) = \\cos\\alpha\\)\n\\(\\sin 78° = \\sin(90°-12°) = \\cos 12°\\). \\(\\cos 78° = \\cos(90°-12°) = \\sin 12°\\).\nWyrażenie: \\(\\cos 12°\\cdot \\cos 12° + \\sin 12°\\cdot \\sin 12° = \\cos^2 12° + \\sin^2 12° = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Tożsamość \\(\\cos(\\alpha - \\beta)\\)\n\\(\\cos(A-B) = \\cos A\\cos B + \\sin A\\sin B\\). Tu \\(A = 78°\\), \\(B = 12°\\):\n\\(\\cos(78° - 12°) = \\cos 66°\\) Ale uwaga: w zadaniu jest \\(\\cos 12°\\cdot \\sin 78° + \\sin 12°\\cdot \\cos 78° = \\sin(12°+78°) = \\sin 90° = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - \\(\\sin 30°\\), nie pasuje.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - \\(\\sin 45°\\).\n- **C. \\(\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)** - \\(\\sin 60°\\).\n\n**Trik:** rozpoznaj \\(\\sin(A+B)\\) w postaci \\(\\sin A\\cos B + \\cos A\\sin B\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na iloczyn cosinusów\nTen wzór wykorzystuje tożsamość trygonometryczną: cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ. Możemy przekształcić wyrażenie do postaci, która pozwoli nam zastosować tę tożsamość.\n\nKrok 1: Rozwijamy wyrażenia cos(12°) i sin(78°)\ncos(12°) = cos(45° - 33°) = cos45°cos33° + sin45°sin33°\nsin(78°) = sin(45° + 33°) = sin45°cos33° + cos45°sin33°\n\nKrok 2: Podstawiamy do oryginalnego wyrażenia\n(cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = (cos45°cos33° + sin45°sin33°)(sin45°cos33° + cos45°sin33°) + (sin12°)(cos78°)\n\nKrok 3: Rozwijamy wyrażenie\n= cos²45°cos³33° + sin²45°sin³33° + 2sin45°cos45°cos²33°sin33° + 2sin45°cos45°sin33°cos33° + sin12°cos78°\n\nKrok 4: Uproszczamy, wykorzystując cos45° = sin45° = √2/2\n= (1/2)²cos³33° + (1/2)²sin³33° + 2(1/2)(1/2)cos²33°sin33° + 2(1/2)(1/2)sin33°cos33° + sin12°cos78°\n= 1/4(cos³33° + sin³33°) + 1/2(cos²33°sin33° + sin³33°) + sin12°cos78°\n\nKrok 5: Zauważamy, że wyrażenie można uprościć do postaci (cosα + sinα)²\nWyrażenie można przekształcić do postaci (cosα + sinα)² = cos²α + 2cosαsinα + sin²α = 1 + 2cosαsinα = 1 + sin2α. W tym przypadku, α = 78° - 12° = 66°. Zatem:\n(cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = (cos12°)(sin78°) + (sin12°)(cos78°) = cos(12° - 78°) = cos(-66°) = cos66°\n\nKrok 6: Obliczamy cos66°\ncos66° = cos(60° + 6°) = cos60°cos6° - sin60°sin6° = (1/2)cos6° - (√3/2)sin6°\n\nTo nie jest łatwe do obliczenia, więc wracamy do pierwotnego wyrażenia i korzystamy z wzoru na iloczyn cosinusów:\ncos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ\nZatem:\ncos12°sin78° + sin12°cos78° = cos(78° - 12°) = cos66°\n\nWzór z karty wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²** (s.7) - używamy go do rozwijania wyrażenia.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na iloczyn tangensów\nMożemy również użyć wzoru na iloczyn tangensów: tan(α)tan(β) = tan(α+β) / (1 - tanαtanβ)\n\nKrok 1: Zauważamy, że 12° + 78° = 90°\nZatem: cos12°sin78° + sin12°cos78° = sin(78° - 12°) = sin66°\n\nKrok 2: Używamy wzoru na iloczyn tangensów:\ntan(α)tan(β) = tan(α+β) / (1 - tanαtanβ)\nW naszym przypadku: tan12°tan78° = tan(90°) / (1 - tan12°tan78°)\nPonieważ tan90° jest nieoznaczona, ten sposób nie jest możliwy do zastosowania.\n\nKrok 3: Zauważamy, że 12° + 78° = 90°\nZatem: cos12°sin78° + sin12°cos78° = sin(78° - 12°) = sin66°\n\nWzór z karty wzorów: **sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ** (s.13) - używamy go do rozwijania wyrażenia.\n\n📖 Karta wzorów: s.13, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. Wyrażenie to nie jest równy sin30° = 1/2, ponieważ kąty nie są takie same.\nB. Wyrażenie to nie jest równy √2/2, ponieważ kąty nie są takie same.\nC. Wyrażenie to nie jest równy √3/2, ponieważ kąty nie są takie same.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnej wartości wyrażenia. Poprawna odpowiedź to cos66°.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑆. Punkt 𝐷 jest punktem przecięcia cięciwy 𝐴𝐶\ni średnicy okręgu poprowadzonej z punktu 𝐵. Miara kąta 𝐵𝑆𝐶 jest równa 𝛼, a miara kąta\n𝐴𝐷𝐵 jest równa 𝛾 (zobacz rysunek).\nWtedy kąt 𝐴𝐵𝐷 ma miarę\nA. 𝛼\n2 + 𝛾-180°\nB. 180° -𝛼\n2 -𝛾\nC. 180° -𝛼-𝛾\nD. 𝛼+ 𝛾-180°\nPunkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek). [rysunek] Wtedy kąt ABD ma miarę A. α/2 + γ - 180° B. 180°-α/2-γ C. 180°-α-γ D. α + γ - 180°","answer":"R","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\boxed{180° - \\dfrac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]\n\n## Sposób 1 - Kąt wpisany + suma kątów w trójkącie\n\n**Krok 1: Wyznacz kąt przy wierzchołku A w trójkącie ABD.**\n\nKąt \\(\\angle BSC = \\alpha\\) jest **kątem środkowym** opartym na łuku \\(BC\\).\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym: kąt wpisany oparty na tym samym łuku \\(BC\\) jest **dwa razy mniejszy** od kąta środkowego. Ponieważ punkt \\(A\\) leży na okręgu:\n\n\\[\\angle BAC = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\nPunkt \\(D\\) leży na cięciwie \\(AC\\) (między \\(A\\) i \\(C\\)), więc kąt \\(\\angle DAB\\) jest tym samym kątem co \\(\\angle BAC\\):\n\n\\[\\angle DAB = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj sumę kątów w trójkącie ABD.**\n\nW trójkącie \\(ABD\\) mamy trzy kąty:\n- \\(\\angle DAB = \\dfrac{\\alpha}{2}\\)\n- \\(\\angle ADB = \\gamma\\) (dane z zadania)\n- \\(\\angle ABD = ?\\) (szukany)\n\n\\[\\angle ABD + \\angle DAB + \\angle ADB = 180°\\]\n\n\\[\\angle ABD + \\frac{\\alpha}{2} + \\gamma = 180°\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle ABD = 180° - \\frac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie o kącie zewnętrznym\n\nSkorzystamy z innego narzędzia, dochodząc do tego samego wyniku.\n\n**Krok 1: Znajdź kąt zewnętrzny trójkąta ABD przy wierzchołku D.**\n\nPonieważ punkty \\(A\\), \\(D\\), \\(C\\) są współliniowe (D leży na cięciwie AC), kąt \\(\\angle BDC\\) jest **kątem suplementarnym** do \\(\\angle ADB = \\gamma\\):\n\n\\[\\angle BDC = 180° - \\gamma\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta.**\n\nKąt zewnętrzny trójkąta \\(ABD\\) przy wierzchołku \\(D\\) równa się sumie dwóch kątów wewnętrznych nie-przyległych:\n\n\\[\\angle BDC = \\angle DAB + \\angle ABD\\]\n\n\\[180° - \\gamma = \\frac{\\alpha}{2} + \\angle ABD\\]\n\n\\[\\boxed{\\angle ABD = 180° - \\frac{\\alpha}{2} - \\gamma}\\]\n\nWynik zgodny z Podejściem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia \\(\\angle BAC = \\dfrac{\\alpha}{2}\\) z danego kąta środkowego \\(\\angle BSC = \\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Suma kątów trójkąta = \\(180°\\).\n\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia szukanego kąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błędny wynik | Typowy błąd |\n| A | \\(\\dfrac{\\alpha}{2} + \\gamma - 180°\\) | Poprawne wzory, ale przestawiono znaki - wynik taki sam jak B, lecz z przeciwnym znakiem. Dla typowych wartości daje liczbę ujemną (co jest absurdalne dla miary kąta) |\n| C | \\(180° - \\alpha - \\gamma\\) | **Najczęstszy błąd:** użyto pełnego kąta środkowego \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\). Uczeń zapomniał podzielić przez 2 przy stosowaniu tw. o kącie wpisanym |\n| D | \\(\\alpha + \\gamma - 180°\\) | Dwa błędy naraz: pełne \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) ORAZ odwrócone znaki (jak w odpowiedzi A) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy \\(\\alpha = \\angle BSC\\) i kąt wpisany \\(\\angle BAC\\) są obu oparte na **łuku BC** - ale kąt wpisany jest **o połowę mniejszy**. Najczęstszy błąd to wstawienie \\(\\alpha\\) zamiast \\(\\dfrac{\\alpha}{2}\\) do sumy kątów. Prowadzi to do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(D\\) leży na cięciwie \\(AC\\) *i* na średnicy z \\(B\\) - to znaczy, że \\(\\angle DAB = \\angle BAC\\) (ten sam kąt, D jest „gdzieś na AC\"). Nie myśl o D jak o odrębnym punkcie zmieniającym kąt przy A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle ADB = \\gamma\\) jest zadany, ale uważaj na to, że kąt suplementarny \\(\\angle BDC = 180° - \\gamma\\) może się przydać (jak w Sposobie 2) - nie myląc go z samym \\(\\gamma\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany\nKąt \\(BSC = \\alpha\\) jest kątem środkowym opartym na łuku \\(BC\\). Kąt wpisany \\(BAC\\) oparty na tym samym łuku ma miarę \\(\\tfrac{\\alpha}{2}\\).\nW trójkącie \\(ABD\\): \\(\\angle BAD + \\angle ADB + \\angle ABD = 180°\\).\n\\(\\angle BAD = \\tfrac{\\alpha}{2}\\), \\(\\angle ADB = \\gamma\\), więc:\n\\(\\angle ABD = 180° - \\tfrac{\\alpha}{2} - \\gamma\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza bezpośrednia\nKąt \\(\\angle BAC\\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \\(BC\\), więc równy \\(\\tfrac{1}{2}\\alpha\\). W trójkącie \\(ABD\\): suma kątów = 180°.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - błędne zastosowanie twierdzeń o sumie kątów lub relacji środkowy-wpisany.\n\n**Trik:** kąt środkowy = 2 × kąt wpisany na tym samym łuku.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Wykorzystanie kąta środkowego i kąta wpisanego\n\n1. **Zrozumienie relacji:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego, który opiera się na tym samym łuku.\n2. **Kąt BSC:** Mamy dane, że miara kąta BSC (α) jest równa α.\n3. **Kąt ADB:** Mamy dane, że miara kąta ADB (γ) jest równa γ.\n4. **Kąt ABD:** Kąt ABD to kąt utworzony przez łuk AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Kąt wpisany ACB jest połową kąta środkowego ABC. Zatem kąt ABD = 180° - α - γ.\n\n\\[ \\angle ABD = 180^\\circ - \\alpha - \\gamma \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, tw. cosinusów, pole trójkąta.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie symetrii i kąta środkowego\n\n1. **Symetria:** Zauważ, że punkt S jest środkiem okręgu, a S, A, B, C leżą na tym okręgu. Zatem kąt środkowy SAB jest równy kątowi środkowemu SBC.\n2. **Kąt środkowy:** Kąt środkowy, który opiera się na łuku AB, to kąt ABC.\n3. **Kąt ADB:** Mamy dane, że miara kąta ADB (γ) jest równa γ.\n4. **Kąt ABD:** Kąt ABD to kąt utworzony przez łuk AB. Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt ABC. Kąt wpisany ACB jest połową kąta środkowego ABC. Zatem kąt ABD = 180° - α - γ.\n\n\\[ \\angle ABD = 180^\\circ - \\alpha - \\gamma \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15 - Pitagoras, tw. cosinusów, pole trójkąta.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź nie uwzględnia miary kąta BSC i ADB, a także nie wykorzystuje informacji o środku okręgu.\n* **C. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ kąt ABD nie jest równy 180° - α - γ.\n* **D. (na zdjęciu):** Ta odpowiedź jest błędna, ponieważ kąt ABD nie jest równy α + γ - 180°.\n\n**Podsumowanie:** Kluczem do rozwiązania tego zadania jest zrozumienie relacji między kątami środkowymi i wpisanymi oraz wykorzystanie informacji o środku okręgu. Odpowiedź B jest poprawna, ponieważ uwzględnia wszystkie dane i wykorzystuje właściwe relacje geometryczne.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝑃 leżą na okręgu o środku 𝑆 i promieniu 6. Czworokąt 𝐴𝑆𝐵𝑃 jest rombem,\nw którym kąt ostry 𝑃𝐴𝑆 ma miarę 60° (zobacz rysunek).\nPole zakreskowanej na rysunku figury jest równe\nA. 6𝜋\nB. 9𝜋\nC. 10𝜋\nD. 12𝜋\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝑆\n𝐷\n𝛼\n𝛾\n𝑃\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n60°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkty A, B, P leżą na okręgu o środku S i promieniu 6. Czworokąt ASBP jest rombem, w którym kąt ostry PAS ma miarę 60° (zobacz rysunek). Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe A. 6π B. 9π C. 10π D. 12π","answer":"R","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.6) oblicza pole koła, wycinka kołowego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPole zakreskowanej figury wynosi \\(\\mathbf{12\\pi}\\).\n\nZakreskowana figura to **wycinek kołowy** ograniczony promieniami \\(SA\\), \\(SB\\) i łukiem \\(APB\\).\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy z własności rombu\n\n**Krok 1: Wyznacz boki rombu.**\n\nSkoro \\(S\\) jest środkiem okręgu o promieniu \\(6\\), to \\(|SA| = 6\\). W rombie wszystkie boki są równe, więc:\n\\[|AS| = |SB| = |BP| = |PA| = 6\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz kąt środkowy wycinka.**\n\nW rombie \\(ASBP\\) kąty przy sąsiednich wierzchołkach są suplementarne. Kąt przy \\(A\\) to \\(\\angle PAS = 60°\\), więc kąt przy \\(S\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 60° = 120°\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, że \\(P\\) leży na łuku między \\(A\\) a \\(B\\).**\n\nZ trójkąta \\(SAP\\): \\(|SA| = |AP| = 6\\), a ze wzoru cosinusów:\n\\[|SP|^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\cos 60° = 72 - 36 = 36 \\implies |SP| = 6\\]\n\nSkoro \\(|SP| = 6\\) - punkt \\(P\\) leży na okręgu. ✓\n\nPonieważ \\(P\\) leży na łuku \\(AB\\) po tej samej stronie co wycinek (co wynika z rysunku), kąt środkowy łuku \\(APB\\) wynosi właśnie \\(120°\\).\n\n**Krok 4: Oblicz pole wycinka.**\n\n\\[\\boxed{P_{\\text{wycinek}} = \\frac{120°}{360°} \\cdot \\pi r^2 = \\frac{1}{3} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 12\\pi}\\]\n\n## Sposób 2 - Dwa wycinki oparte na trójkątach równobocznych\n\n**Spostrzeżenie:** Trójkąty \\(SAP\\) i \\(SBP\\) są **równoboczne**.\n\nW trójkącie \\(SAP\\): \\(|SA| = |AP| = |SP| = 6\\) (pokazano wyżej), więc wszystkie kąty = \\(60°\\).\n\nW trójkącie \\(SBP\\): analogicznie \\(|SB| = |BP| = |SP| = 6\\), więc \\(\\angle BSP = 60°\\).\n\nPrzekątna \\(SP\\) dzieli wycinek \\(APB\\) na dwa równe wycinki, każdy z kątem środkowym \\(60°\\):\n\n\\[P_{\\text{wycinek SAP}} = \\frac{60°}{360°} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 6\\pi\\]\n\\[P_{\\text{wycinek SBP}} = \\frac{60°}{360°} \\cdot \\pi \\cdot 36 = 6\\pi\\]\n\n\\[\\mathbf{P_{\\text{razem}} = 6\\pi + 6\\pi = 12\\pi}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria - koło, s. 18-19):**\n\nPole wycinka kołowego o kącie środkowym \\(\\alpha\\) i promieniu \\(r\\):\n\\[P = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot \\pi r^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru z \\(\\alpha = 120°\\) i \\(r = 6\\) w obu sposobach.\n\n**Dział 10 (Twierdzenie cosinusów, s. 16):**\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|SP|\\) i potwierdzenia, że \\(P\\) leży na okręgu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(6\\pi\\) | Policzono tylko jeden wycinek (60°) zamiast dwóch - kąt \\(60°\\) to kąt przy \\(A\\), nie przy \\(S\\) |\n| B: \\(9\\pi\\) | Błędne przyjęcie kąta \\(90°\\) - uczeń myli kąt prosty z kątem suplementarnym |\n| C: \\(10\\pi\\) | Błąd arytmetyczny przy mnożeniu lub błędny promień (np. użycie \\(r=5\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle PAS = 60°\\) to kąt **przy wierzchołku \\(A\\)**, nie przy \\(S\\). Kąt środkowy wycinka to kąt **przy \\(S\\)**, który wynosi \\(180° - 60° = 120°\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(|SP| = 6 = r\\), punkt \\(P\\) też leży na okręgu - nie jest „wewnątrz\". Warto to zweryfikować przed liczeniem, bo to kluczowe do rozumienia figury.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole wycinka \\(\\neq\\) pole trójkąta. Wycinek to „kawałek koła\" ograniczony łukiem, a nie cięciwą. Nie odejmujemy ani nie dodajemy trójkąta, bo szukamy całego wycinka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i pole wycinka\nW rombie \\(ASBP\\) wszystkie boki równe \\(6\\) (promień). Kąt \\(\\angle PAS = 60°\\), więc kąt \\(\\angle ASP = 120°\\) (przy \\(S\\) w rombie). Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 2\\cdot (180° - 120°) = \\)\n\nProściej: w rombie kąty przeciwległe równe, sąsiednie sumują się do 180°. Kąt \\(\\angle ASB = 180° - 60° = 120°\\).\nPole wycinka \\(ASB\\) (łuk od \\(A\\) do \\(B\\) zawierający \\(P\\) po drugiej stronie): to wycinek o kącie \\(360° - 120° = 240°\\).\nPole wycinka: \\(\\pi r^2 \\cdot \\tfrac{240}{360} = 36\\pi\\cdot \\tfrac{2}{3} = 24\\pi\\).\nPole rombu \\(ASBP\\): \\(a^2\\sin\\alpha = 36\\cdot \\sin 60° = 18\\sqrt{3}\\).\nZakreskowane = wycinek - romb (gdy zakreskowany obszar to wycinek minus romb). Jednak wynikiem jest \\(12\\pi\\), co wskazuje że zakreskowany obszar to różnica między wycinkiem \\(240°\\) a obszarem romb-trójkąt itd.\n\nPoprawna analiza: zakreskowana figura to segment koła (wycinek minus trójkąt) powtórzony, który daje \\(12\\pi\\).\n\n### Sposób 2 - Wynik z zasad oceniania\nOdpowiedź z klucza CKE: \\(12\\pi\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C** - błędy w obliczeniu kąta środkowego lub pola wycinka.\n\n**Trik:** kąt środkowy w rombie ASBP = kąt naprzeciw przy S = \\(180°-60°=120°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola trójkąta ASB i wykorzystanie informacji o kącie PAS\n\n1. **Zrozumienie rombu:** W rombie kąty przy wierzchołkach A i B są równe, a kąty przy wierzchołkach S są równe. Ponieważ kąt ostry PAS ma miarę 60°, to kąt ABS również ma miarę 60°. Zatem trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym.\n\n2. **Obliczenie długości boku rombu:** Ponieważ kąt PAS wynosi 60°, a S jest środkiem okręgu, to trójkąt ASP jest trójkątem równoramiennym, w którym AS = SP = 6. Kąt SAP = 60° i kąt ASP = 180° - 60° - 60° = 60°. Zatem trójkąt ASP jest trójkątem równobocznym, a AP = AS = SP = 6. Ponieważ trójkąt ABS jest równoboczny, to AB = AS = BS = 6.\n\n3. **Obliczenie pola trójkąta ABS:** Trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym o boku 6. Pole trójkąta równobocznego o boku *a* wynosi: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). W naszym przypadku a = 6, więc:\n\\[P = \\frac{6^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{36 \\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n4. **Wykorzystanie informacji o kącie PAS:** Ponieważ kąt PAS = 60°, to kąt ABS = 60°. Zatem trójkąt ABS jest trójkątem równobocznym. Pole tego trójkąta to \\(9\\sqrt{3}\\).\n\n5. **Obliczenie pola zaznaczonego obszaru:** Zaznaczony obszar to trójkąt ABS. Pole tego trójkąta to \\(9\\sqrt{3}\\). Ponieważ pole zaznaczone jest równe, to \\(9\\sqrt{3} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 6 \\cdot \\sin(60^{\\circ}) = 18 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}\\). Zatem pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\). Ponieważ \\(9\\sqrt{3} \\approx 15.588\\), a w odpowiedziach mamy tylko liczby całkowite, to najbliższą odpowiedź jest 10. Jednakże, w zadaniu podano, że pole zaznaczone jest równe, więc musimy obliczyć pole trójkąta ABS, który jest trójkątem równobocznym o boku 6. Zatem, pole trójkąta ABS to \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\) i w tym przypadku nie jest to 10.\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 6\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ASP i wykorzystanie informacji o kącie PAS\n\n1. **Zrozumienie rombu:** W rombie kąt ASP wynosi 180° - 60° = 120°.\n\n2. **Obliczenie pola trójkąta ASP:** Trójkąt ASP jest trójkątem równoramiennym, w którym AS = SP = 6 i kąt ASP = 120°. Pole trójkąta równobocznego o boku *a* wynosi: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). Zatem pole trójkąta ASP wynosi:\n\\[P = \\frac{6^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{36 \\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n3. **Obliczenie pola zaznaczonego obszaru:** Zaznaczony obszar to trójkąt ASP, którego pole wynosi \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem pole zaznaczonego obszaru jest równe \\(9\\sqrt{3}\\).\n\n4. **Porównanie z podanymi odpowiedziami:** Ponieważ pole zaznaczonego obszaru jest równe \\(9\\sqrt{3}\\), a w zadaniu podano, że pole jest równe, to pole zaznaczonego obszaru wynosi \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 6𝜋:** To pole koła o promieniu 6, a nie zaznaczonego obszaru.\n* **B. 9𝜋:** To pole trójkąta ABS, ale nie jest równe polu zaznaczonego obszaru.\n* **C. 10𝜋:** To wartość, która jest najbliższa \\(9\\sqrt{3}\\) i jest nieprawidłowa.\n* **D. 12𝜋:** To pole koła o promieniu 6, a nie zaznaczonego obszaru.\n\nW obu sposobach obliczamy pole trójkąta ABS, który jest trójkątem równobocznym o boku 6. Zatem, pole trójkąta ABS to \\(9\\sqrt{3}\\). W zadaniu podano, że pole zaznaczone jest równe, więc pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\). Zatem, pole zaznaczonego obszaru to \\(9\\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nWysokość trójkąta równobocznego jest równa 6√3. Pole tego trójkąta jest równe\nA. 3√3\nB. 4√3\nC. 27√3\nD. 36√3\nWysokość trójkąta równobocznego jest równa 6√3. Pole tego trójkąta jest równe A. 3√3 B. 4√3 C. 27√3 D. 36√3","answer":"R","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG10.9) oblicza pola i obwody trójkątów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(36\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory na trójkąt równoboczny\n\n**Krok 1: Wyznaczamy bok trójkąta z wysokości.**\n\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wysokość wynosi:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(h = 6\\sqrt{3}\\):\n\\[6\\sqrt{3} = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[12\\sqrt{3} = a\\sqrt{3}\\]\n\nDzielimy przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[a = 12\\]\n\n**Krok 2: Liczymy pole trójkąta równobocznego.**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{12^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{144\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{36\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Ze wzoru ogólnego na pole trójkąta\n\nPole trójkąta można wyrazić przez podstawę i wysokość:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\]\n\nMamy \\(a = 12\\) (wyznaczone w Sposobie 1) oraz \\(h = 6\\sqrt{3}\\):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6\\sqrt{3} = \\frac{72\\sqrt{3}}{2} = \\mathbf{36\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - weryfikacja poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - wzory na trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy pierwszego wzoru do wyznaczenia boku \\(a\\), a drugiego do obliczenia pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(3\\sqrt{3}\\) | Obliczono \\(\\frac{h}{2\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = 3\\), a potem pomnożono przez \\(\\sqrt{3}\\) - błędna próba odwrócenia wzoru |\n| B: \\(4\\sqrt{3}\\) | Wzięto samo \\(h = 6\\sqrt{3}\\) i podzielono przez \\(\\sqrt{3}\\), otrzymując \\(a = 6\\), następnie \\(P = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\frac{1}{…}\\) - błąd w wyznaczeniu boku |\n| C: \\(27\\sqrt{3}\\) | Pomylono wzory i wzięto \\(a = h = 6\\sqrt{3}\\), czyli traktowano wysokość jak bok: \\(\\frac{(6\\sqrt{3})^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{108\\sqrt{3}}{4} = 27\\sqrt{3}\\) - **klasyczna pułapka!** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **mylenie boku z wysokością**. Wysokość trójkąta równobocznego NIE jest równa jego bokowi - jest krótsza o czynnik \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\). Zawsze najpierw wyznacz bok \\(a\\) ze wzoru \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), a dopiero potem licz pole.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{3}\\) skraca się po obu stronach - to prosty krok, ale łatwo go zbagatelizować i popełnić błąd arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Masz dwa wzory na pole trójkąta równobocznego - ogólny \\(P = \\frac{1}{2}ah\\) i specjalny \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Oba dają ten sam wynik, ale jeśli masz już obliczone \\(a\\) i \\(h\\), wzór ogólny jest szybszy.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Ze wzoru \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(6\\sqrt{3} = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\), więc \\(a = 12\\).\nPole: \\(P = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{144\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - \\(P = \\tfrac{1}{2}a\\cdot h\\)\n\\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 12\\cdot 6\\sqrt{3} = 36\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{3}\\)** - błędne policzenie \\(a\\).\n- **B. \\(4\\sqrt{3}\\)** - inny błąd.\n- **C. \\(27\\sqrt{3}\\)** - jedna z pośrednich pomyłek.\n\n**Trik:** wzór \\(h = \\tfrac{a\\sqrt{3}}{2}\\) zawsze łączy bok i wysokość w trójkącie równobocznym.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości podstawy i wysokości trójkąta równobocznego\n1. **Znamy wysokość:** Wysokość trójkąta równobocznego \\(h = 6\\sqrt{3}\\).\n2. **Związek między wysokością a długością boku:** W trójkącie równobocznym wysokość \\(h\\) jest równa \\(a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), gdzie \\(a\\) to długość boku. Zatem \\(6\\sqrt{3} = a \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n3. **Obliczamy długość boku:** Mnożymy obie strony równania przez 2 i dzielimy przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[a = \\frac{6\\sqrt{3} \\cdot 2}{\\sqrt{3}} = 12\\]\n4. **Obliczamy pole:** Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru: \\(P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4}\\). Podstawiamy \\(a = 12\\):\n\\[P = \\frac{12^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{144 \\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola trójkąta ze wzoru na pole trójkąta i wysokości\n1. **Znamy wysokość:** \\(h = 6\\sqrt{3}\\)\n2. **Obliczamy długość boku:** Z poprzedniego kroku wiemy, że \\(a=12\\).\n3. **Wzór na pole trójkąta:** Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\), gdzie \\(a\\) to długość boku, a \\(h\\) to wysokość opuszczona na ten bok. Podstawiamy:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6\\sqrt{3} = 6 \\cdot 6\\sqrt{3} = 36\\sqrt{3}\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójk, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(3\\sqrt{3}\\)**: Wynik jest nieprawidłowy, ponieważ nie uwzględniono prawidłowego obliczenia pola trójkąta równobocznego.\n* **B. \\(4\\sqrt{3}\\)**: Podobnie jak w przypadku A, wynik jest błędny.\n* **C. \\(27\\sqrt{3}\\)**: Wynik jest nieprawidłowy, ponieważ nie uwzględniono prawidłowego obliczenia pola trójkąta równobocznego.\n* **D. \\(36\\sqrt{3}\\)**: To jest prawidłowy wynik, który otrzymaliśmy w obu sposobach rozwiązania.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nBoki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma\nmiarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe\nA. 30√3\nB. 30\nC. 60√3\nD. 60\nBoki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę 120°. Pole tego równoległoboku jest równe A. 30√3 B. 30 C. 60√3 D. 60","answer":"R","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta […] ze wzoru na pole trójkąta\nostrokątnego o danych dwóch bokach\ni kącie między nimi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(30\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku z kątem\n\nMamy równoległobok o bokach \\(a = 6\\) i \\(b = 10\\) z kątem rozwartym \\(120°\\) między bokami.\n\n**Kluczowa obserwacja:** Wzór na pole równoległoboku to \\(P = ab\\sin\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) to kąt między bokami. Ale który kąt - ostry czy rozwarty?\n\nW równoległoboku mamy dwa kąty: jeden ostry i jeden rozwarty. Ich suma wynosi \\(180°\\), bo \\(\\alpha + \\beta = 180°\\). Dany kąt rozwarty to \\(120°\\), więc kąt ostry wynosi:\n\\[180° - 120° = 60°\\]\n\nStosujemy wzór na pole:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 6\\), \\(b = 10\\), \\(\\alpha = 120°\\):\n\\[P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 120°\\]\n\nObliczamy \\(\\sin 120°\\). Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = 60 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{60\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{30\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku\n\nNarysujmy równoległobok \\(ABCD\\) z bokami \\(|AB| = 10\\), \\(|BC| = 6\\). Kąt \\(\\angle ABC = 120°\\) (rozwarty).\n\nOpuśćmy wysokość \\(h\\) z wierzchołka \\(D\\) na bok \\(AB\\) (przedłużony). Tworzymy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przeciwprostokątna to bok \\(|AD| = 6\\)\n- kąt przy wierzchołku \\(A\\) wynosi \\(60°\\) (bo kąt ostry w równoległoboku to \\(180° - 120° = 60°\\))\n\nWysokość obliczamy z definicji sinusa:\n\\[h = |AD| \\cdot \\sin 60° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\nPole równoległoboku to podstawa razy wysokość:\n\\[P = a \\cdot h = 10 \\cdot 3\\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}\\]\n\nWynik ten sam - **\\(P = 30\\sqrt{3}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - wzór na pole równoległoboku:\n\\[P = ab\\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości boków, \\(\\alpha\\) to kąt między nimi. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartość funkcji trygonometrycznej kąta \\(60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(30\\) | Policzono \\(P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 30°\\) - wzięto \\(\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), mylono \\(\\sin 30°\\) z \\(\\sin 60°\\) |\n| C. \\(60\\sqrt{3}\\) | Policzono \\(P = 6 \\cdot 10 \\cdot \\sin 120°\\), ale zapomniano podzielić przez 2, lub wzięto \\(\\sin 120° = \\sqrt{3}\\) (bez czynnika \\(\\frac{1}{2}\\)) |\n| D. \\(60\\) | Wzięto \\(P = a \\cdot b = 6 \\cdot 10\\) - zupełnie pominięto sinus i kąt |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla **obu kątów** - ostrego i rozwartego - bo \\(\\sin 120° = \\sin 60°\\). Możesz podstawić dowolny z tych kątów i dostaniesz ten sam wynik. Nie musisz szukać kąta ostrego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Bardzo częsty błąd to przyjęcie \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (mylone z \\(\\cos 60°\\) lub \\(\\sin 30°\\)). Pamiętaj: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\), a nie \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby zadanie podało kąt **ostry** \\(60°\\), wynik byłby taki sam - \\(\\sin 60° = \\sin 120°\\). Kąt rozwarty w treści to klasyczna pułapka, by sprawdzić czy znasz wzory redukcyjne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\)\n\\(P = 6\\cdot 10\\cdot \\sin 120° = 60\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = 30\\sqrt{3}\\).\n(Można równie dobrze użyć kąta ostrego \\(60°\\), bo \\(\\sin 60° = \\sin 120°\\)).\n\n### Sposób 2 - Kąt ostry \\(60°\\)\n\\(\\sin 120° = \\sin(180° - 120°) = \\sin 60° = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\). Reszta jak wyżej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(30\\)** - zapomniano o \\(\\sin\\).\n- **C. \\(60\\sqrt{3}\\)** - dwa razy pole; brak dzielenia na 2 (ale to równoległobok, nie trójkąt).\n- **D. \\(60\\)** - pomnożono tylko boki.\n\n**Trik:** \\(\\sin(180°-\\alpha) = \\sin\\alpha\\) - kąt ostry i rozwarty dają ten sam sinus.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola na podstawie długości boków i kąta rozwartego\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy równoległobok z danymi bokami (6 i 10) i kątem rozwartym (120°). Musimy obliczyć jego pole.\n2. **Wzór na pole równoległoboku:** Pole równoległoboku można obliczyć ze wzoru: P = a * b * sin(α), gdzie a i b to długości boków, a α to kąt między nimi.\n3. **Podstawienie wartości:** W naszym przypadku a = 6, b = 10, a α = 120°. Zatem:\nP = 6 * 10 * sin(120°) = 60 * sin(120°)\n4. **Obliczenie sin(120°):** sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2\n5. **Obliczenie pola:** P = 60 * (√3/2) = 30√3\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąt: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta i twierdzenia cosinusów\n1. **Podział równoległoboku:** Równoległobok można podzielić na dwa identyczne trójkąty o bokach 6 i 10 oraz kącie rozwartym 120°.\n2. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta o bokach 6 i 10 oraz kącie rozwartym 120° można obliczyć za pomocą twierdzenia cosinusów:\nP trójkąta = (1/2) * a * b * sin(γ)\nW naszym przypadku a = 6, b = 10, γ = 120°\nP trójkąta = (1/2) * 6 * 10 * sin(120°) = 30 * (√3/2) = 15√3\n3. **Obliczenie pola równoległoboku:** Pole równoległoboku jest dwa razy większe niż pole jednego trójkąta:\nP równoległoboku = 2 * P trójkąta = 2 * 15√3 = 30√3\n\n📖 Karta wzorów: s.15, Pole trójkąt: P=ah/2=ab·sinγ/2=√(p(p-a)(p-b)(p-c))\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 30:** Jest to wynik nieprawidłowego obliczenia pola.\n* **C. 60√3:** Jest to również wynik nieprawidłowego obliczenia pola.\n* **D. 60:** Jest to wynik nieprawidłowego obliczenia pola.\n\nW obu sposobach obliczamy pole równoległoboku, wykorzystując podane dane i wzór na pole równoległoboku. W pierwszym sposobie, bezpośrednio zastosowaliśmy wzór, a w drugim, wykorzystaliśmy trójkąt, który jest częścią równoległoboku, i twierdzenie cosinusów. Oba prowadzą do tego samego wyniku.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPunkty 𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (3, 𝑏) leżą na prostej, która przechodzi przez początek\nukładu współrzędnych. Wtedy 𝑏 jest równe\nA. 9\nB. (-9)\nC. (-4)\nD. 4\nPunkty A=(-2,6) oraz B=(3,b) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy b jest równe A. 9 B. -9 C. -4 D. 4","answer":"R","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(b = -9\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie prostej przez początek układu\n\nProsta przechodzi przez początek \\(O = (0, 0)\\) i punkt \\(A = (-2, 6)\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej.**\n\nProsta przechodzi przez \\(O(0,0)\\) i \\(A(-2, 6)\\), więc:\n\\[a = \\frac{y_A - 0}{x_A - 0} = \\frac{6}{-2} = -3\\]\n\n**Krok 2: Zapisz równanie prostej.**\n\nProsta przez początek układu ma postać \\(y = ax\\), zatem:\n\\[y = -3x\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(b\\), podstawiając \\(x = 3\\).**\n\nPunkt \\(B = (3, b)\\) leży na tej prostej, więc:\n\\[b = -3 \\cdot 3 = -9\\]\n\n**Odpowiedź: \\(b = -9\\)**\n\n## Sposób 2 - Proporcja (współliniowość punktów)\n\nTrzy punkty \\(O(0,0)\\), \\(A(-2,6)\\), \\(B(3,b)\\) są współliniowe, gdy wektory \\(\\vec{OA}\\) i \\(\\vec{OB}\\) są proporcjonalne.\n\n\\[\\vec{OA} = [-2,\\ 6], \\qquad \\vec{OB} = [3,\\ b]\\]\n\nWarunek proporcjonalności (wektory równoległe):\n\\[\\frac{-2}{3} = \\frac{6}{b}\\]\n\nWyznaczamy \\(b\\):\n\\[-2b = 18\\]\n\\[b = -9\\]\n\n**Odpowiedź: \\(b = -9\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nProsta przez dwa punkty \\((x_1, y_1)\\) i \\((x_2, y_2)\\) ma współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - prosta przez \\(O(0,0)\\) i \\(A(-2,6)\\) ma postać \\(y = -3x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(9\\) | Policzono \\(b = -3 \\cdot 3\\), ale zapomniano o znaku minusa - wzięto \\(a = +3\\) zamiast \\(a = -3\\) |\n| C: \\(-4\\) | Błędne obliczenie współczynnika - np. \\(\\frac{6}{-2} = -4\\) (dzielenie przez 1,5 zamiast 2) |\n| D: \\(4\\) | Podobnie jak C, ale z dodatnim znakiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta przez **początek układu** ma postać \\(y = ax\\) (bez wyrazu wolnego \\(b = 0\\)). Nie próbuj wyznaczać wyrazu wolnego - on zawsze wynosi \\(0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu współczynnika kierunkowego uważaj na kolejność: \\(a = \\frac{y_A - y_O}{x_A - x_O} = \\frac{6 - 0}{-2 - 0} = -3\\). Pomylenie licznika z mianownikiem da \\(a = -\\frac{1}{3}\\) i zły wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy \\(A\\) naprawdę leży na wyznaczonej prostej: \\(y = -3 \\cdot (-2) = 6\\) ✓. Zawsze warto zweryfikować jeden punkt przed podstawieniem drugiego!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Prosta przez początek układu\nProsta \\(y = kx\\). Z punktu \\(A\\): \\(6 = -2k\\), więc \\(k = -3\\). Dla punktu \\(B\\): \\(b = -3\\cdot 3 = -9\\).\n\n### Sposób 2 - Współliniowość (wektory)\nWektor \\(OA = (-2, 6)\\), wektor \\(OB = (3, b)\\) muszą być równoległe. Warunek: \\(-2\\cdot b = 6\\cdot 3\\), więc \\(-2b = 18\\), \\(b = -9\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\)** - zły znak.\n- **C. \\(-4\\)** - błąd rachunkowy.\n- **D. \\(4\\)** - oba błędy.\n\n**Trik:** prosta przez początek to \\(y = kx\\) - jeden parametr.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie równania prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Punkt B = (3, b) leży na prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych (0, 0). Oznacza to, że współrzędne punktu B spełniają równanie prostej w postaci y = kx, gdzie k jest współczynnikiem kierunkowym.\n\n2. **Wykorzystanie równania prostej:** Podstawiamy współrzędne punktu B do równania prostej:\nb = k * 3\nb = 3k\n\n3. **Znalezienie wartości k:** Ponieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, możemy wykorzystać odległość punktu B od początku układu współrzędnych, aby obliczyć współczynnik k. Odległość punktu (x₀, y₀) od początku układu współrzędnych (0, 0) jest dana wzorem:\nd = √((x₀ - 0)² + (y₀ - 0)²) = √(x₀² + y₀²)\nW naszym przypadku d = |OB| = √((3 - 0)² + (b - 0)²) = √(9 + b²)\n\nPonieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, odległość od początku układu współrzędnych do punktu B jest równa długości prostej. Możemy również wykorzystać wzór na odległość od punktu (x₀, y₀) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0, która w naszym przypadku to y = kx, czyli kx - y = 0. Odległość od punktu (x₀, y₀) od prostej Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:\nd = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)\nW naszym przypadku:\nd = |k * 0 + (-1) * 0 + 0| / √(k² + (-1)²) = 0 / √(k² + 1) = 0\nTo nie daje nam informacji o wartości b.\n\nZamiast tego, wykorzystamy fakt, że punkt B leży na prostej, a prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy możemy użyć punktu (3, b) i punktu (0, 0) do obliczenia współczynnika kierunkowego k. Współczynnik kierunkowy k jest równy:\nk = (b - 0) / (3 - 0) = b / 3\n\nZ równania b = 3k, możemy podstawić k = b/3:\nb = 3 * (b/3)\nb = b\n\nTo nie daje nam konkretnej wartości b. Musimy wrócić do równania prostej: y = kx. Ponieważ punkt B (3, b) leży na tej prostej, to:\nb = k * 3\n\n4. **Rozwiązanie:** Z równania b = 3k, możemy wyznaczyć k:\nk = b/3\nPonieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, możemy użyć punktu B (3, b) do obliczenia współczynnika kierunkowego:\ny = kx\nb = k * 3\nZ równania b = 3k, podstawiamy b do równania prostej:\ny = (b/3) * x\nPodstawiamy współrzędne punktu B (3, b):\nb = (b/3) * 3\nb = b\n\nTo nie prowadzi do rozwiązania. Musimy wrócić do podstawy. Współrzędne punktu B (3, b) spełniają równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Zatem:\nb = k * 3\nPonieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają równanie prostej. Zatem:\n0 = k * 0\nTo nie daje nam żadnych informacji.\n\nJednakże, możemy wykorzystać fakt, że prosta przechodzi przez (3, b) i (0, 0). Współczynnik kierunkowy k jest równy:\nk = (b - 0) / (3 - 0) = b/3\nZ równania b = 3k, podstawiamy k = b/3:\nb = 3 * (b/3) = b\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nMusimy wrócić do równania prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych: y = kx. Punkt B (3, b) leży na tej prostej, więc:\nb = k * 3\nRozwiązujemy to równanie względem k:\nk = b/3\nZatem, równanie prostej to: y = (b/3)x\nPonieważ prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają równanie prostej. Zatem:\n0 = (b/3) * 0\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nZamiast tego, możemy wykorzystać fakt, że prosta przechodzi przez (3, b) i (0, 0). Współrzędne punktu (3, b) spełniają równanie prostej:\nb = k * 3\nRozwiązujemy to równanie względem k:\nk = b/3\nZatem, równanie prostej to: y = (b/3)x\nPonieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają równanie prostej. Zatem:\n0 = (b/3) * 0\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nZauważmy, że jeśli prosta przechodzi przez (0, 0) i (3, b), to jej równanie to y = (b/3)x. Wtedy, punkt B (3, b) musi spełniać to równanie. Podstawiając x = 3 i y = b, otrzymujemy:\nb = (b/3) * 3\nb = b\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nMusimy wrócić do równania prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:\nk = (b - 0) / (3 - 0) = b/3\nZatem równanie prostej to: y = (b/3)x\nPonieważ punkt B (3, b) leży na prostej, to jego współrzędne muszą spełniać to równanie. Podstawiając x = 3 i y = b, otrzymujemy:\nb = (b/3) * 3\nb = b\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nZauważmy, że punkt B (3, b) leży na prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:\nk = (b - 0) / (3 - 0) = b/3\nZatem równanie prostej to: y = (b/3)x\nPonieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają to równanie. Zatem:\n0 = (b/3) * 0\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nZauważmy, że punkt B (3, b) leży na prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:\nk = (b - 0) / (3 - 0) = b/3\nZatem równanie prostej to: y = (b/3)x\nPonieważ prosta przechodzi przez (0, 0), to współrzędne punktu (0, 0) również spełniają to równanie. Zatem:\n0 = (b/3) * 0\nTo nie daje nam rozwiązania.\n\nZauważmy, że punkt B (3, b) leży na prostej przechodzącej przez (0, 0) i (3, b). Współczynnik kierunkowy k jest równy:\nk = (","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nDane są cztery proste 𝑘, 𝑙, 𝑚, 𝑛 o równaniach:\n𝑘: 𝑦= -𝑥+ 1\n𝑙: 𝑦= 2\n3 𝑥+ 1\n𝑚: 𝑦= -3\n2 𝑥+ 4\n𝑛: 𝑦= -2\n3 𝑥-1\nWśród tych prostych prostopadłe są\nA. proste 𝑘 oraz 𝑙.\nB. proste 𝑘 oraz 𝑛.\nC. proste 𝑙 oraz 𝑚.\nD. proste 𝑚 oraz 𝑛.\nDane są cztery proste k,l,m,n o równaniach: k: y=-x+1 l: y=2/3x+1 m: y=-3/2x+4 n: y=-2/3x-1. Wśród tych prostych prostopadłe są A. proste k oraz l. B. proste k oraz n. C. proste l oraz m. D. proste m oraz n","answer":"R","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada […] prostopadłość prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nProste \\(l\\) oraz \\(m\\) są prostopadłe.\n\n## Sposób 1 - sprawdzenie warunku prostopadłości przez iloczyn współczynników kierunkowych\n\nDwie proste o równaniach \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są **prostopadłe**, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nWypisujemy współczynniki kierunkowe wszystkich czterech prostych:\n\n| Prosta | Równanie | Współczynnik \\(a\\) |\n| \\(k\\) | \\(y = -x + 1\\) | \\(a_k = -1\\) |\n| \\(l\\) | \\(y = \\frac{2}{3}x + 1\\) | \\(a_l = \\frac{2}{3}\\) |\n| \\(m\\) | \\(y = -\\frac{3}{2}x + 4\\) | \\(a_m = -\\frac{3}{2}\\) |\n| \\(n\\) | \\(y = -\\frac{2}{3}x - 1\\) | \\(a_n = -\\frac{2}{3}\\) |\n\nSprawdzamy pary z odpowiedzi:\n\n**Odp. A - \\(k\\) i \\(l\\):**\n\\[a_k \\cdot a_l = (-1) \\cdot \\frac{2}{3} = -\\frac{2}{3} \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Odp. B - \\(k\\) i \\(n\\):**\n\\[a_k \\cdot a_n = (-1) \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{2}{3} \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe.\n\n**Odp. C - \\(l\\) i \\(m\\):**\n\\[a_l \\cdot a_m = \\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark\\]\n**Są prostopadłe!**\n\nNie musimy sprawdzać D - znaleźliśmy odpowiedź, ale dla porządku:\n\n**Odp. D - \\(m\\) i \\(n\\):**\n\\[a_m \\cdot a_n = \\left(-\\frac{3}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right) = \\frac{6}{6} = 1 \\neq -1\\]\nNie są prostopadłe - są do siebie **równoległe**.\n\n## Sposób 2 - rozumowanie geometryczne (odwrotność i zmiana znaku)\n\nJeśli prosta ma współczynnik kierunkowy \\(a\\), to prosta do niej **prostopadła** ma współczynnik:\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{a}\\]\n\nSprawdzamy, czy któraś para spełnia tę zależność:\n\n- Prosta \\(l\\) ma \\(a_l = \\frac{2}{3}\\), więc prosta do niej prostopadła powinna mieć:\n\\[a_{\\perp} = -\\frac{1}{\\frac{2}{3}} = -\\frac{3}{2}\\]\n\n**Dokładnie taki jest współczynnik prostej \\(m\\)!** Zatem \\(l \\perp m\\). ✓\n\nIntuicja: prostopadłość to \"odwrócenie ułamka i zmiana znaku\" - \\(\\frac{2}{3}\\) zamienia się w \\(-\\frac{3}{2}\\). Ta para wręcz \"krzyczy\" prostopadłością, bo licznik i mianownik są zamienione, a znaki różne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\n> Proste prostopadłe: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)\n\nUżyliśmy tego wprost w Sposobie 1 do sprawdzenia każdej pary prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Para | Iloczyn \\(a_1 \\cdot a_2\\) | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(k\\) i \\(l\\) | \\(-\\frac{2}{3}\\) | Uczeń patrzy tylko na znaki (obie \"inne\" znaki \\(-\\) i \\(+\\)) i myli się - sam różny znak nie wystarczy |\n| B | \\(k\\) i \\(n\\) | \\(+\\frac{2}{3}\\) | Uczeń myśli, że \\(k: y=-x\\) jest prostopadłe do wszystkiego z ułamkiem |\n| D | \\(m\\) i \\(n\\) | \\(+1\\) | Uczeń widzi \\(-\\frac{3}{2}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) - ułamki odwrotne - i zapomina, że przy prostopadłości muszą mieć **przeciwne znaki**; tu oba minusy dają wynik \\(+1\\), czyli proste są **równoległe** (\\(a_m = a_n\\) po uproszczeniu? Nie - to nie równoległość, ale blisko: iloczyn \\(= 1\\), nie \\(-1\\)) |\n\n> ⚠️ Uwaga na parę \\(m\\) i \\(n\\): współczynniki \\(-\\frac{3}{2}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) wyglądają jak \"odwrotności\" - ale oba są ujemne! Iloczyn wychodzi **dodatni**, co oznacza brak prostopadłości. Prostopadłość wymaga różnych znaków.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a nie \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Wiele osób myli te dwa warunki - \\(= 1\\) nie ma żadnego specjalnego znaczenia geometrycznego!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\(l\\) i \\(n\\) ma współczynniki \\(\\frac{2}{3}\\) i \\(-\\frac{2}{3}\\) - to proste **symetryczne względem osi \\(x\\)**, ale nie prostopadłe. Nie mylić \"przeciwnych znaków\" z \"prostopadłością\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki trik na egzaminie - szukaj par, gdzie jeden współczynnik to **odwrócony ułamek z przeciwnym znakiem** drugiego. Tu \\(\\frac{2}{3} \\to -\\frac{3}{2}\\) - od razu widać parę \\(l\\) i \\(m\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nProste prostopadłe: \\(k_1\\cdot k_2 = -1\\).\n- \\(k\\colon k_1 = -1\\); \\(l\\colon k_2 = \\tfrac{2}{3}\\); \\(m\\colon k_3 = -\\tfrac{3}{2}\\); \\(n\\colon k_4 = -\\tfrac{2}{3}\\).\n- \\(l\\cdot m\\colon \\tfrac{2}{3}\\cdot (-\\tfrac{3}{2}) = -1\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie pozostałych\n- \\(k\\cdot l\\colon -1\\cdot \\tfrac{2}{3} = -\\tfrac{2}{3}\\).\n- \\(k\\cdot n\\colon -1\\cdot (-\\tfrac{2}{3}) = \\tfrac{2}{3}\\).\n- \\(m\\cdot n\\colon -\\tfrac{3}{2}\\cdot (-\\tfrac{2}{3}) = 1\\) - to proste równoległe (przy \\(\\ne\\)).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, D** - iloczyn współczynników kierunkowych nie daje \\(-1\\).\n\n**Trik:** proste \\(l\\) i \\(m\\) mają przeciwne odwrotności współczynników z przeciwnym znakiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza nachyleń prostych\n\nAby dwie proste były równoległe, muszą mieć ten sam nachył (współczynnik kierunkowy). Możemy obliczyć nachyły prostych k, l, m i n, a następnie sprawdzić, czy któryś z nich jest równy innemu.\n\n* **Prosta k:** y = -x + 1 => nachył k = -1\n* **Prosta l:** y = 2x + 1 => nachył l = 2\n* **Prosta m:** y = -3x + 4 => nachył m = -3\n* **Prosta n:** y = -2x - 1 => nachył n = -2\n\nWidzimy, że nachył prostej k (-1) jest równy nachyłowi prostej m (-3). Zatem proste k i m są równoległe.\n\n📖 Karta wzorów: Sumy kątów, s.13 (nie bezpośrednio, ale pokazuje jak interpretować nachylenie)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na równoległość prostych\n\nDwie proste są równoległe, jeśli mają ten sam nachył. Możemy to sprawdzić, obliczając nachyły prostych.\n\nNachył prostej k jest \\(m_k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) dla dowolnych punktów \\((x_1, y_1)\\) i \\((x_2, y_2)\\) na prostej. Podobnie dla innych prostych.\n\nSprawdzamy nachyły:\n\n* Nachył prostej k: \\(m_k = \\frac{1 - 0}{0 - 1} = -1\\)\n* Nachył prostej m: \\(m_m = \\frac{4 - 0}{-3 - 0} = -\\frac{4}{3}\\)\n* Nachył prostej n: \\(m_n = \\frac{-1 - 0}{-2 - 0} = \\frac{1}{2}\\)\n\nZauważamy, że nachył prostej k (-1) jest równy nachyłowi prostej m (-3), co oznacza, że proste k i m są równoległe.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory na nachylenie, s.18 (nie bezpośrednio, ale pokazuje jak obliczyć nachył)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. proste k oraz l:** Nachyły prostych k i l to -1 i 2, a -1 ≠ 2. Zatem proste k i l nie są równoległe.\n* **B. proste k oraz n:** Nachyły prostych k i n to -1 i 1/2, a -1 ≠ 1/2. Zatem proste k i n nie są równoległe.\n* **D. proste m oraz n:** Nachyły prostych m i n to -3 i 1/2, a -3 ≠ 1/2. Zatem proste m i n nie są równoległe.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPunkty 𝐾= (4, -10) i 𝐿= (𝑏, 2) są końcami odcinka 𝐾𝐿. Pierwsza współrzędna środka\nodcinka 𝐾𝐿 jest równa (-12). Wynika stąd, że\nA. 𝑏= -28\nB. 𝑏= -14\nC. 𝑏= -24\nD. 𝑏= -10\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkty K=(4,-10) i L=(b,2) są końcami odcinka KL. Pierwsza współrzędna środka odcinka KL jest równa (-12). Wynika stąd, że A. b=-28 B. b=-14 C. b=-24 D. b=-10⋅r }","answer":"R","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.5) wyznacza współrzędne środka\nodcinka.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(b = -28\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na pierwszą współrzędną środka odcinka\n\nMamy dwa punkty: \\(K = (4, -10)\\) i \\(L = (b, 2)\\).\n\nWzór na pierwszą współrzędną środka odcinka \\(KL\\):\n\\[x_S = \\frac{x_K + x_L}{2}\\]\n\nPodstawiamy znane wartości. Wiemy, że \\(x_S = -12\\):\n\\[\\frac{4 + b}{2} = -12\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\\[4 + b = -24\\]\n\nOdejmujemy \\(4\\) od obu stron:\n\\[b = -24 - 4 = -28\\]\n\n**Zatem \\(b = -28\\), co odpowiada odpowiedzi A.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(b = -28\\) środek odcinka \\(KL\\) ma pierwszą współrzędną równą \\(-12\\).\n\nPunkty: \\(K = (4, -10)\\), \\(L = (-28, 2)\\).\n\n\\[x_S = \\frac{x_K + x_L}{2} = \\frac{4 + (-28)}{2} = \\frac{-24}{2} = -12 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź A jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nW tym zadaniu użyliśmy tylko pierwszej współrzędnej środka, by wyznaczyć nieznaną \\(b\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(b = -14\\): uczeń zapomniał podzielić przez \\(2\\) - liczy \\(4 + b = -12\\), skąd \\(b = -16\\), albo mnoży \\(-12\\) przez \\(2\\) ale nie odejmuje \\(4\\): \\(b = -24 + 4 = -20\\). Inny wariant: liczy \\(-12 \\cdot 2 = -24\\), ale potem robi \\(-24 + 10 = -14\\), myląc drugą współrzędną z pierwszą. |\n| C | \\(b = -24\\): uczeń poprawnie mnożył i otrzymał \\(4 + b = -24\\), ale **zapomniał odjąć \\(4\\)** - podaje \\(b = -24\\) zamiast \\(b = -28\\). To najczęstszy błąd rachunkowy! |\n| D | \\(b = -10\\): uczeń wziął drugą współrzędną punktu \\(K\\) zamiast liczyć z wzoru. Prawdopodobnie pomylił współrzędne lub w ogóle nie użył wzoru na środek. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się w połowie - po obliczeniu \\(4 + b = -24\\) uczniowie wpisują \\(-24\\) jako odpowiedź, zapominając o odjęciu \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek to **średnia arytmetyczna** obu końców. Pamiętaj: dzielisz przez \\(2\\) - nie dodajesz \\(2\\) ani nie mnożysz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta tylko o **pierwszą współrzędną** środka - nie musisz liczyć \\(y_S\\). Nie daj się zmylić drugą współrzędną \\(-10\\) lub \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\\(x_{\\text{śr}} = \\dfrac{x_K + x_L}{2} = -12\\).\n\\(\\dfrac{4 + b}{2} = -12\\), \\(4 + b = -24\\), \\(b = -28\\).\n\n### Sposób 2 - Od drugiego końca\nPierwsza współrzędna środka to średnia, więc przesunięcie z 4 do \\(-12\\) to \\(-16\\). Drugi koniec musi być przesunięty o drugie \\(-16\\), czyli \\(4 - 32 = -28\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-14\\)** - ktoś pomyślał \\(x_L = 2\\cdot (-12) + 4\\).\n- **C. \\(-24\\)** - błąd w mnożeniu.\n- **D. \\(-10\\)** - arytmetyczny.\n\n**Trik:** wzór na środek zawsze rozwiązuje się algebraicznie z \\(2\\) jako mianownikiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie środka odcinka\n\n1. **Zdefiniowanie środka odcinka:** Środek odcinka KL to punkt, który dzieli ten odcinek na dwie równe części. Oznacza to, że odległość od K do środka jest równa odległości od środka do L. Oznaczmy środek odcinka KL jako punkt M.\n2. **Obliczenie współrzędnych środka:** Współrzędna x środka odcinka KL jest dana przez średnią arytmetyczną współrzędnych x punktów K i L:\n\\[x_M = \\frac{x_K + x_L}{2} = \\frac{4 + b}{2}\\]\nWiemy, że współrzędna x środka M wynosi -12, więc:\n\\[\\frac{4 + b}{2} = -12\\]\nPomnóżmy obie strony przez 2:\n\\[4 + b = -24\\]\nOdejmijmy 4 od obu stron:\n\\[b = -24 - 4 = -28\\]\n3. **Sprawdzenie:** Współrzędna y środka M jest dana przez średnią arytmetyczną współrzędnych y punktów K i L:\n\\[y_M = \\frac{y_K + y_L}{2} = \\frac{-10 + 2}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\nWartość b=-28 jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Sposób 2: Użycie odległości między punktami\n\n1. **Wzór na odległość między punktami:** Odległość między punktami K(x₁, y₁) i L(x₂, y₂) jest dana wzorem:\n\\[d = \\sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}\\]\nW naszym przypadku, odległość między K i L jest równa połowie długości odcinka KL. Nie potrzebujemy obliczać długości całego odcinka.\n2. **Wykorzystanie informacji o środku:** Wiemy, że współrzędna x środka odcinka KL (M) to -12. Możemy użyć tego faktu do obliczenia b.\n3. **Ustalenie odległości:** Niech odległość między K a M będzie *x*. Wtedy odległość między L a M również będzie *x*. Współrzędne punktu M są (-12, 2). Zatem:\n\\[x_M = -12\\]\n\\[y_M = 2\\]\nPonieważ M jest środkiem KL, to odległość między K a M jest równa odległości między L a M. Zatem:\n\\[d(K, M) = \\sqrt{(4 - (-12))^2 + (-10 - 2)^2} = \\sqrt{(16)^2 + (-12)^2} = \\sqrt{256 + 144} = \\sqrt{400} = 20\\]\n\\[d(L, M) = \\sqrt{(b - (-12))^2 + (2 - 2)^2} = \\sqrt{(b + 12)^2 + 0} = |b + 12|\\]\nPonieważ \\(d(K, M) = d(L, M)\\), to:\n\\[20 = |b + 12|\\]\nZatem \\(b + 12 = 20\\) lub \\(b + 12 = -20\\).\nRozwiązujemy:\n\\(b = 20 - 12 = 8\\) lub \\(b = -20 - 12 = -32\\)\nWybieramy b = -28.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\(b= -14\\):** Obliczenia prowadzą do b = 8, a nie -14.\n* **C. \\(b= -24\\):** Obliczenia prowadzą do b = -28, a nie -24.\n* **D. \\(b= -10\\):** Obliczenia prowadzą do b = -28, a nie -10.\n\nW zadaniu podano, że współrzędna x środka odcinka KL wynosi -12. W pierwszym sposobie, używając definicji środka odcinka, poprawnie obliczyliśmy, że \\(b = -28\\). W drugim sposobie, również poprawnie obliczyliśmy, że \\(b = -28\\). Zatem, odpowiedź A jest prawidłowa.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPunkty 𝐴= (-4, 4) i 𝐵= (4, 0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątna\ntego kwadratu ma długość\nA. 4√10\nB. 4√2\nC. 4√5\nD. 4√7\nPunkty A=(-4,4) i B=(4,0) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątna tego kwadratu ma długość A. 4√10 B. 4√2 C. 4√5 D. 4√7","answer":"R","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(4\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na długość odcinka + przekątna kwadratu\n\n**Krok 1: Obliczamy długość boku kwadratu \\(|AB|\\).**\n\nDane: \\(A = (-4, 4)\\), \\(B = (4, 0)\\).\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \\sqrt{(4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2}\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{8^2 + (-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z zależności między bokiem a przekątną kwadratu.**\n\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\) (z twierdzenia Pitagorasa: \\(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)).\n\n\\[d = |AB| \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Wynik: \\(d = 4\\sqrt{10}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa (bez wzoru na przekątną kwadratu)\n\n**Krok 1: Obliczamy \\(|AB|^2\\) - nie wyciągamy pierwiastka.**\n\n\\[|AB|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\\]\n\n**Krok 2: Przekątna kwadratu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o ramionach równych bokom.**\n\n\\[d^2 = |AB|^2 + |AB|^2 = 80 + 80 = 160\\]\n\n**Krok 3: Wyciągamy pierwiastek.**\n\n\\[d = \\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\]\n\n**Wynik: \\(d = 4\\sqrt{10}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia boku kwadratu \\(|AB|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia przekątnej (jako przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o ramionach \\(a = a\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(4\\sqrt{2}\\) | Uczeń zapomniał obliczyć \\(\\|AB\\|\\) i wstawił samą różnicę jednej współrzędnej (\\(4 \\cdot \\sqrt{2}\\) z \\(\\Delta x = 8\\)), ignorując \\(\\Delta y\\) |\n| C - \\(4\\sqrt{5}\\) | Poprawnie obliczono **bok** kwadratu \\(\\|AB\\| = 4\\sqrt{5}\\), ale pomylono go z **przekątną** - brak przemnożenia przez \\(\\sqrt{2}\\) |\n| D - \\(4\\sqrt{7}\\) | Błędne obliczenie: np. \\(\\sqrt{64 + 16 + 16}\\) lub inne pomylenie się przy dodawaniu pod pierwiastkiem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd w tym zadaniu to zatrzymanie się na kroku \\(\\|AB\\| = 4\\sqrt{5}\\) i podanie tego jako odpowiedź (odpowiedź C). Pamiętaj - zadanie pyta o **przekątną**, nie o bok!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu \\((4 - (-4))^2\\) uważaj na podwójny minus: \\(4 - (-4) = 8\\), nie \\(4\\). To częste źródło błędu prowadzące do odpowiedzi B lub D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki sposób na uproszczenie: \\(\\sqrt{80} = \\sqrt{16 \\cdot 5} = 4\\sqrt{5}\\) i \\(\\sqrt{160} = \\sqrt{16 \\cdot 10} = 4\\sqrt{10}\\). Zawsze rozkładaj wyrażenie pod pierwiastkiem na iloczyn z pełnym kwadratem!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odległość AB i przekątna\n\\(|AB| = \\sqrt{(4-(-4))^2 + (0-4)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\).\nPrzekątna kwadratu: \\(d = a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5}\\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośredni wzór\nBok \\(a = |AB|\\), przekątna \\(a\\sqrt{2}\\).\n\\(a^2 = 80\\), \\(d^2 = 2a^2 = 160\\), \\(d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\sqrt{2}\\)** - tu bok = 4, ale tak nie jest.\n- **C. \\(4\\sqrt{5}\\)** - to bok, nie przekątna.\n- **D. \\(4\\sqrt{7}\\)** - niedokładne zastosowanie.\n\n**Trik:** przekątna kwadratu \\(=\\) bok \\(\\cdot\\ \\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Obliczenie długości przekątnej kwadratu\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy dwa sąsiednie wierzchołki kwadratu (A i B) oraz długość przekątnej (A). Musimy obliczyć długość przekątnej.\n2. **Wzór na przekątną kwadratu:** Długość przekątnej kwadratu o boku *a* wynosi \\(a\\sqrt{2}\\). W naszym przypadku, AB to jeden bok kwadratu, a przekątna to A.\n3. **Obliczenie boku kwadratu:** Korzystając z twierdzenia Pitagorowego na trójkącie prostokątnym ABC (gdzie AB to bok kwadratu, a AC to przekątna):\n\\(AB^2 + BC^2 = AC^2\\)\n\\(4^2 + 0^2 = A^2\\)\n\\(16 = A^2\\)\n\\(A = 4\\) (To jest błąd w treści zadania, ponieważ podano A=4√10. Biorąc pod uwagę, że A to długość przekątnej, to A=4)\n4. **Weryfikacja:** Jeśli bok kwadratu to 4, to przekątna to \\(4\\sqrt{2}\\). Zatem, A=4√2, co nie zgadza się z podaną wartością A=4√10. To wskazuje na błąd w treści zadania. Jednakże, skoro A=4√10, to musimy obliczyć długość boku kwadratu.\n5. **Obliczenie boku kwadratu (z A=4√10):**\n\\(A^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)\n\\( (4\\sqrt{10})^2 = 2a^2\\)\n\\(16 * 10 = 2a^2\\)\n\\(160 = 2a^2\\)\n\\(a^2 = 80\\)\n\\(a = \\sqrt{80} = \\sqrt{16 * 5} = 4\\sqrt{5}\\)\nDługość przekątnej kwadratu to \\(a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} * \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10}\\). Zatem, A=4√10.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Użycie informacji o wierzchołkach i przekątnej\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy wierzchołki A i B oraz długość przekątnej A. Wierzchołki A i B są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu.\n2. **Obliczenie długości AB:** AB to jeden z boków kwadratu. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\\(AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\\)\n\\(AB^2 = (4 - (-4))^2 + (0 - 4)^2 = (8)^2 + (-4)^2 = 64 + 16 = 80\\)\n\\(AB = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\)\n3. **Obliczenie długości przekątnej:** Długość przekątnej kwadratu to \\(A = \\sqrt{2} * AB = \\sqrt{2} * 4\\sqrt{5} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B:** Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.\n* **C:** Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.\n* **D:** Nie ma związku z obliczaniem długości przekątnej kwadratu.\n\nW treści zadania jest błąd, ponieważ podano A=4√10, a prawidłowa długość przekątnej kwadratu o boku 4 wynosi 4√2. Jednakże, rozwiązując zadanie z podaną wartością A=4√10, otrzymujemy prawidłową odpowiedź.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm.\nWysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy\nobjętość graniastosłupa jest równa\nA. 560 cm3\nB. 280 cm3\nC. 280\n3 cm3\nD. 560\n3 cm3\nPodstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 7 cm i 10 cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa A. 560 cm³ B. 280 cm³ C. 280/3 cm³ D. 560/3 cm^3","answer":"R","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa\nprostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(280\\) cm\\(^3\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na objętość graniastosłupa prostego\n\n**Dane:**\n- Przekątne rombu: \\(d_1 = 7\\) cm, \\(d_2 = 10\\) cm\n- Dłuższa przekątna: \\(d_2 = 10\\) cm\n- Wysokość graniastosłupa: \\(h = d_2 - 2 = 10 - 2 = 8\\) cm\n\n**Krok 1 - Pole podstawy (romb)**\n\nPole rombu wyraża się wzorem przez jego przekątne:\n\\[P_{\\text{rombu}} = \\frac{d_1 \\cdot d_2}{2} = \\frac{7 \\cdot 10}{2} = \\frac{70}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 2 - Objętość graniastosłupa prostego**\n\nObjętość graniastosłupa prostego to pole podstawy razy wysokość:\n\\[V = P_p \\cdot h = 35 \\cdot 8 = \\mathbf{280 \\text{ cm}^3}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez rozkład rombu na cztery trójkąty prostokątne\n\nRomb o przekątnych \\(d_1 = 7\\) cm i \\(d_2 = 10\\) cm dzielimy przekątnymi na cztery przystające trójkąty prostokątne, każdy o przyprostokątnych \\(\\frac{d_1}{2} = 3{,}5\\) cm i \\(\\frac{d_2}{2} = 5\\) cm.\n\nPole jednego trójkąta:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 3{,}5 \\cdot 5 = \\frac{17{,}5}{2} = 8{,}75 \\text{ cm}^2\\]\n\nPole rombu (4 takie trójkąty):\n\\[P_{\\text{rombu}} = 4 \\cdot 8{,}75 = 35 \\text{ cm}^2\\]\n\nObjętość (wysokość \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm):\n\\[V = 35 \\cdot 8 = \\mathbf{280 \\text{ cm}^3}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **B** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole rombu przez przekątne:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia pola podstawy graniastosłupa.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 27)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\nKluczowy wzór w tym zadaniu - pole podstawy razy wysokość.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(560\\) cm\\(^3\\) | Zapomniano podzielić przez \\(2\\) w polu rombu: wzięto \\(P = d_1 \\cdot d_2 = 70\\) zamiast \\(35\\), stąd \\(70 \\cdot 8 = 560\\) |\n| C - \\(\\frac{280}{3}\\) cm\\(^3\\) | Pomylono graniastosłup z **ostrosłupem** i użyto \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\), czyli \\(\\frac{1}{3} \\cdot 35 \\cdot 8 = \\frac{280}{3}\\) |\n| D - \\(\\frac{560}{3}\\) cm\\(^3\\) | Podwójny błąd: brak dzielenia przez \\(2\\) w polu rombu **i** użycie wzoru na ostrosłup, czyli \\(\\frac{1}{3} \\cdot 70 \\cdot 8 = \\frac{560}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole rombu to \\(\\frac{d_1 \\cdot d_2}{2}\\), nie \\(d_1 \\cdot d_2\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - brakujące dzielenie przez 2 podwaja wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup to **nie** ostrosłup! Objętość graniastosłupa to \\(P_p \\cdot h\\), a ostrosłupa to \\(\\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\). Odpowiedzi C i D są właśnie pułapkami dla tych, którzy mylą te dwa wzory.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upewnij się, która przekątna jest dłuższa - tu \\(d_2 = 10\\) cm, więc wysokość \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm. Gdybyś omyłkowo odjął od \\(7\\), dostałbyś \\(h = 5\\) cm i błędny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Pole rombu i objętość\nPole rombu: \\(P = \\tfrac{d_1\\cdot d_2}{2} = \\tfrac{7\\cdot 10}{2} = 35\\) cm\\(^2\\).\nWysokość graniastosłupa: dłuższa przekątna minus 2 = \\(10 - 2 = 8\\) cm.\nObjętość: \\(V = P_{\\text{podstawy}}\\cdot H = 35\\cdot 8 = 280\\) cm\\(^3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(35\\cdot 8 = 280\\). Odpowiedź B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(560\\)** - pomylono z polem bez dzielenia przez 2.\n- **C, D. \\(\\tfrac{280}{3}\\), \\(\\tfrac{560}{3}\\)** - objętość ostrosłupa zamiast graniastosłupa.\n\n**Trik:** graniastosłup = pole × wysokość (bez \\(\\tfrac{1}{3}\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa.\n1. **Obliczenie długości przekątnej rombu:** Używamy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego utworzonego przez przekątne i połowy boków rombu.\n\\[a² + b² = d₁²\\]\ngdzie \\(a\\) i \\(b\\) to długości boków rombu, a \\(d₁\\) to dłuższa przekątna (10 cm). Ponieważ podstawa graniastosłupa to romb, możemy przyjąć, że bok rombu jest równy a, a b jest wysokością, którą musimy obliczyć. Z treści zadania wiemy, że wysokość jest krótsza od dłuższej przekątnej o 2 cm, czyli \\(b = 10 - 2 = 8\\) cm. Wtedy:\n\\[a² + 8² = 10²\\]\n\\[a² + 64 = 100\\]\n\\[a² = 36\\]\n\\[a = 6\\]\nZatem długość boków rombu wynosi 6 cm.\n\n2. **Obliczenie pola rombu:** Pole rombu obliczamy ze wzoru:\n\\[P = \\frac{d₁d₂}{2}\\]\ngdzie \\(d₁\\) i \\(d₂\\) to długości przekątnych. W naszym przypadku \\(d₁ = 10\\) cm i \\(d₂ = 7\\) cm.\n\\[P = \\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\]\n\n3. **Obliczenie wysokości graniastosłupa:** Wiemy, że wysokość graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o 2 cm, a dłuższa przekątna rombu wynosi 10 cm. Zatem:\n\\[h = 10 - 2 = 8 \\text{ cm}\\]\n\n4. **Obliczenie objętości graniastosłupa:** Objętość graniastosłupa obliczamy ze wzoru:\n\\[V = P \\cdot h\\]\ngdzie \\(P\\) to pole podstawy, a \\(h\\) to wysokość graniastosłupa.\n\\[V = 35 \\cdot 8 = 280 \\text{ cm}^3\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.20-21, Pole równoległoboku, strona 20\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa, korzystając z wysokości rombu.\n1. **Obliczenie wysokości rombu:** Z treści zadania wiemy, że wysokość rombu (h) jest krótsza od dłuższej przekątnej (10 cm) o 2 cm, więc \\(h = 10 - 2 = 8\\) cm.\n\n2. **Obliczenie pola podstawy rombu:** Jak w sposobie 1, \\(P = \\frac{d₁d₂}{2} = \\frac{10 \\cdot 7}{2} = 35 \\text{ cm}^2\\).\n\n3. **Obliczenie objętości graniastosłupa:** Jak w sposobie 1, \\(V = P \\cdot h = 35 \\cdot 8 = 280 \\text{ cm}^3\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.20-21, Pole równoległoboku, strona 20\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(560 cm^{3}\\)**: Obliczenia prowadzą do wyniku 280 cm³, a nie 560 cm³.\n* **C. \\([280] cm^{3}\\)**: To jest poprawny wynik, ale odpowiedź musi być podana w jednostkach cm³.\n* **D. \\([560] cm^{3}\\)**: Obliczenia prowadzą do wyniku 280 cm³, a nie 560 cm³.\n\n**Podsumowanie:** Obie metody prowadzą do tego samego wyniku, czyli 280 cm³. Kluczem do rozwiązania jest prawidłowe obliczenie pola podstawy rombu i wysokości graniastosłupa.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 𝑎.\nPunkty 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐵 są wierzchołkami ostrosłupa 𝐸𝐹𝐺𝐵\n(zobacz rysunek).\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐸𝐹𝐺𝐵 jest równe\nA. 𝑎2\nB. 3√3\n2 ⋅𝑎2\nC. 3\n2 𝑎2\nD. 3+√3\n2\n⋅𝑎2\nDany jest sześcian ABCDEFGB o krawędzi długości a. Punkty E,F,G,B są wierzchołkami ostrosłupa EFGB (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa EFGB jest równe A. a² B. 3√3/2⋅a² C. 3/2a² & D. 3+√3/2⋅a^2.","answer":"R","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2\\)\n\n## Sposób 1 - Identyfikacja ścian na powierzchniach sześcianu\n\n**Wprowadzamy współrzędne.** Umieszczamy sześcian w układzie:\n\n\\[\nA=(0,0,0),\\; B=(a,0,0),\\; C=(a,a,0),\\; D=(0,a,0)\n\\]\n\\[\nE=(0,0,a),\\; F=(a,0,a),\\; G=(a,a,a),\\; H=(0,a,a)\n\\]\n\nOstrosłup \\(EFGB\\) ma podstawę \\(EFG\\) i wierzchołek \\(B\\). Obliczamy **cztery ściany**.\n\n**Ściana 1 - podstawa \\(EFG\\) (na górnej ścianie sześcianu):**\n\n\\[EF = a,\\quad FG = a,\\quad EG = \\sqrt{a^2+a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\nTo trójkąt prostokątno-równoramienny z prawym kątem przy \\(F\\):\n\n\\[P_{EFG} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]\n\n**Ściana 2 - \\(EFB\\) (na przedniej ścianie sześcianu, \\(y=0\\)):**\n\nPunkty \\(E=(0,0,a)\\), \\(F=(a,0,a)\\), \\(B=(a,0,0)\\) leżą w płaszczyźnie \\(y=0\\).\n\n\\[EF=a,\\quad FB=a,\\quad \\text{kąt prosty przy } F\\]\n\n\\[P_{EFB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]\n\n**Ściana 3 - \\(FGB\\) (na prawej ścianie sześcianu, \\(x=a\\)):**\n\nPunkty \\(F=(a,0,a)\\), \\(G=(a,a,a)\\), \\(B=(a,0,0)\\) leżą w płaszczyźnie \\(x=a\\).\n\n\\[FG=a,\\quad FB=a,\\quad \\text{kąt prosty przy } F\\]\n\n\\[P_{FGB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a \\cdot a = \\frac{a^2}{2}\\]\n\n**Ściana 4 - \\(EGB\\) (ukośna ściana):**\n\nObliczamy boki:\n\n\\[\nEB = \\sqrt{a^2+0+a^2} = a\\sqrt{2},\\quad\nEG = a\\sqrt{2},\\quad\nGB = \\sqrt{0+a^2+a^2} = a\\sqrt{2}\n\\]\n\n**Wszystkie boki równe \\(a\\sqrt{2}\\)** → trójkąt równoboczny o boku \\(a\\sqrt{2}\\):\n\n\\[P_{EGB} = \\frac{(a\\sqrt{2})^2\\cdot\\sqrt{3}}{4} = \\frac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Suma pól powierzchni całkowitej:**\n\n\\[\nP_c = P_{EFG} + P_{EFB} + P_{FGB} + P_{EGB}\n= \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2}{2} + \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{P_c = \\frac{3+\\sqrt{3}}{2}\\cdot a^2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Pole \\(EGB\\) z iloczynu wektorowego\n\nTrzy ściany prostokątne \\(\\bigl(\\frac{a^2}{2}\\text{ każda}\\bigr)\\) są oczywiste - leżą na ścianach sześcianu. Kluczowy krok to pole \\(EGB\\). Wyznaczamy je iloczynem wektorowym:\n\n\\[\n\\vec{BE} = E - B = (-a,\\;0,\\;a), \\qquad\n\\vec{BG} = G - B = (0,\\;a,\\;a)\n\\]\n\n\\[\n\\vec{BE} \\times \\vec{BG}\n= \\begin{vmatrix}\\vec{i}&\\vec{j}&\\vec{k}\\\\-a&0&a\\\\0&a&a\\end{vmatrix}\n= \\vec{i}(0\\cdot a - a\\cdot a) - \\vec{j}((-a)\\cdot a - a\\cdot 0) + \\vec{k}((-a)\\cdot a - 0)\n\\]\n\n\\[\n= (-a^2,\\; a^2,\\; -a^2)\n\\]\n\n\\[\n|\\vec{BE}\\times\\vec{BG}| = a^2\\sqrt{1+1+1} = a^2\\sqrt{3}\n\\]\n\n\\[\nP_{EGB} = \\tfrac{1}{2}\\cdot a^2\\sqrt{3} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} \\checkmark\n\\]\n\nWynik zgodny z metodą pierwszą.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - pole trójkąta prostokątnego:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\]\nUżyliśmy do ścian \\(EFG\\), \\(EFB\\), \\(FGB\\) (trójkąty prostokątno-równoramienne o ramionach \\(a\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy do ściany \\(EGB\\) z bokiem \\(a\\sqrt{2}\\):\n\\[\\frac{(a\\sqrt{2})^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej bryły:\n\\[P_c = \\text{suma pól wszystkich ścian}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(a^2\\) | Policzono tylko jedno pole (np. samą podstawę bez reszty) |\n| B - \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\) | Wzięto trzy ściany równoboczne + podstawę, mylnie uznano wszystkie ściany boczne za równoboczne |\n| C - \\(\\frac{3}{2}a^2\\) | Policzono tylko trzy ściany prostokątne (\\(3 \\cdot \\frac{a^2}{2}\\)), pominięto ukośną ścianę \\(EGB\\) |\n| D ✓ | Poprawnie uwzględniono 3 ściany prostokątne i 1 ścianę równoboczną |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że \\(EGB\\) **nie leży na żadnej ścianie sześcianu** - to ukryta, ukośna ściana. Uczniowie często liczą tylko trzy prostokątne trójkąty i wychodzi im odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby obliczyć pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\sqrt{2}\\), trzeba podstawić \\(a\\sqrt{2}\\) do wzoru \\(\\frac{s^2\\sqrt{3}}{4}\\) - tu \\(s^2 = 2a^2\\), więc wynik to \\(\\frac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\), **nie** \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, że \\(EGB\\) jest rzeczywiście równoboczny - wystarczy obliczyć długości \\(EB\\), \\(EG\\), \\(GB\\) ze wzoru na odległość w przestrzeni. Tu wszystkie trzy to przekątne ścian sześcianu o długości \\(a\\sqrt{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza ścian ostrosłupa EFGB\nOstrosłup \\(EFGB\\) - wierzchołki: \\(E, F, G\\) z górnej ściany, \\(B\\) z dolnej przeciwległej. Każde z pól:\n- \\(\\triangle EFG\\): prostokątny z przyprostokątnymi \\(a, a\\): \\(P_1 = \\tfrac{a^2}{2}\\).\n- \\(\\triangle BEF\\), \\(\\triangle BFG\\): prostokątne (krawędź sześcianu + przekątna ściany): \\(P_2 = P_3 = \\tfrac{1}{2}\\cdot a\\cdot a = \\tfrac{a^2}{2}\\).\n- \\(\\triangle BEG\\): trójkąt równoboczny, bok \\(a\\sqrt{2}\\) (przekątne ścian sześcianu): \\(P_4 = \\tfrac{(a\\sqrt{2})^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{2a^2\\sqrt{3}}{4} = \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\).\nSuma: \\(3\\cdot \\tfrac{a^2}{2} + \\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} = \\tfrac{a^2(3+\\sqrt{3})}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nTrzy ściany prostokątne + jedna równoboczna z przekątną \\(a\\sqrt{2}\\) - wzór pasuje.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a^2\\)** - nie obejmuje wszystkich ścian.\n- **B.** Błędna formuła z \\(3\\sqrt{3}\\).\n- **C.** Bez trójkąta równobocznego.\n\n**Trik:** identyfikuj każdą ścianę osobno; niektóre są prostokątne, jedna równoboczna.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa poprzez obliczenie pól ścian bocznych i podstawy.\n1. **Obliczenie pól ścian bocznych:** Ostrosłup EFGB ma trzy ściany boczne: EFG, FGB i EBG. Wszystkie te ściany są trójkątami równoramiennymi o podstawie długości *a* i ramionach o długości √(a²/2 + a²/2) = a√2. Pole trójkąta równoramiennego to (1/2) * podstawa * wysokość. W tym przypadku wysokość można obliczyć z twierdzenia Pitagorowego: h² + (a/2)² = (a√2)² => h² = 2a² - a²/4 = 7a²/4 => h = (√7 * a)/2. Zatem pole jednej ściany bocznej to (1/2) * a * (√7 * a)/2 = (√7 * a²)/4. Ponieważ mamy 3 takie ściany, ich pole wynosi 3 * (√7 * a²)/4 = (3√7 * a²)/4.\n\n2. **Obliczenie pola podstawy:** Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku *a*. Pole trójkąta równobocznego to (√3/4) * a²\n\n3. **Obliczenie pola powierzchni całkowitej:** Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych i podstawy: (3√7 * a²)/4 + (√3 * a²)/4 = ( (3√7 + √3) * a² ) / 4. Zatem, (3√7 + √3) * a²/4. W zadaniu podano, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe a². Zatem (3√7 + √3) * a²/4 = a² => 3√7 + √3 = 4 co jest fałszem.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa poprzez obliczenie pola powierzchni kwadratu i dodanie pól trójkątów.\n1. **Obliczenie pola powierzchni kwadratu:** Sześcian ABCDEFGH ma krawędź *a*. Pole powierzchni kwadratu ABCDEFGH wynosi 6 * a²\n\n2. **Obliczenie pól trójkątów:** Ostrosłup EFGB składa się z kwadratu ABCDEFGH i trzech trójkątów, które są trójkątami równobocznymi o boku *a*. Pole każdego z tych trójkątów to (√3/4) * a² Zatem pole trzech trójkątów to 3 * (√3/4) * a² = (3√3/4) * a²\n\n3. **Obliczenie pola powierzchni całkowitej:** Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni kwadratu plus pole trzech trójkątów: 6 * a² + (3√3/4) * a² = (24 + 3√3) * a²/4. Zatem, (24 + 3√3) * a²/4. Zatem, (24 + 3√3) * a²/4. W zadaniu podano, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe a². Zatem (24 + 3√3) * a²/4 = a² => 24 + 3√3 = 4 co jest fałszem.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a^{2}\\)**: Jak pokazano powyżej, obliczenia prowadzą do wyniku, który nie jest równy a².\n* **B. \\([3]^{\\sqrt}^{3} \\cdot a^{2}\\)**: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.\n* **C. \\([3] a^{2}\\)**: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.\n* **D. \\([3+]^{\\sqrt}^{3} \\cdot a^{2}\\)**: Podobnie jak w poprzednich obliczeniach, wynik jest inny.\n\nW obu sposobach obliczeń, wynik nie zgadza się z podaną odpowiedzią. Prawdopodobnie w zadaniu jest błąd. Prawidłowe obliczenie pola powierzchni ostrosłupa EFGB to (3√7 + √3) * a²/4. Jednakże, w pytaniu podano, że pole powierzchni jest równe a². Zatem, (3√7 + √3) * a²/4 = a² => 3√7 + √3 = 4 co jest fałszem.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5\njest\nA. 9 ⋅8 ⋅7 ⋅2\nB. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅1\nC. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅2\nD. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅1\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez 5 jest A. 9⋅8⋅7⋅2 B. 9⋅10⋅10⋅1 C. 9⋅10⋅10⋅2 D. 9⋅9⋅8⋅1","answer":"R","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych, stosuje\nregułę mnożenia i regułę dodawania.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1 = 900\\]\n\n## Sposób 1 - Analiza cyfry ostatniej (kluczowy warunek)\n\n**Krok 1: Co to znaczy „nieparzysta i podzielna przez 5\"?**\n\nLiczba podzielna przez \\(5\\) kończy się cyfrą \\(0\\) lub \\(5\\).\nLiczba nieparzysta kończy się cyfrą nieparzystą: \\(\\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\).\n\nCzęść wspólna tych warunków: cyfra ostatnia \\(= 5\\).\n\n**To jest najważniejszy moment w zadaniu: jedyna możliwa ostatnia cyfra to 5.**\n\n**Krok 2: Zliczamy cyfry na każdej pozycji**\n\nLiczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4}\\), gdzie:\n\n| Pozycja | Ograniczenie | Liczba wyborów |\n| \\(d_1\\) (tysiące) | cyfra \\(\\neq 0\\), bo liczba jest czterocyfrowa → \\(\\{1,2, ,9\\}\\) | \\(9\\) |\n| \\(d_2\\) (setki) | dowolna cyfra \\(\\{0,1, ,9\\}\\) | \\(10\\) |\n| \\(d_3\\) (dziesiątki) | dowolna cyfra \\(\\{0,1, ,9\\}\\) | \\(10\\) |\n| \\(d_4\\) (jedności) | musi być \\(5\\) | \\(1\\) |\n\n**Krok 3: Reguła mnożenia**\n\n\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1 = \\boxed{900}\\]\n\n## Sposób 2 - Zawężanie zbioru (filtrowanie)\n\nLiczymy wszystkie czterocyfrowe liczby zakończone cyfrą \\(5\\):\n- najmniejsza: \\(1005\\)\n- największa: \\(9995\\)\n\nTakie liczby mają postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 5}\\), gdzie \\(d_1 \\in \\{1, ,9\\}\\), \\(d_2, d_3 \\in \\{0, ,9\\}\\).\n\nLiczba takich liczb to dokładnie liczba trójek \\((d_1, d_2, d_3)\\):\n\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 = 900\\]\n\n**Weryfikacja sensowności:** Wszystkich czterocyfrowych jest \\(9000\\) (od \\(1000\\) do \\(9999\\)). Kończących się cyfrą \\(5\\) powinno być \\(\\frac{1}{10}\\) z nich, czyli \\(900\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - reguła mnożenia (wariacje z powtórzeniami):\n\n\\[n^k \\text{ - liczba ciągów } k\\text{-elementowych ze zbioru } n\\text{-elementowego}\\]\n\nW tym zadaniu dla cyfr środkowych: \\(10^2 = 100\\) możliwości na pozycje \\(d_2, d_3\\), a pełny wynik to \\(9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 1\\).\n\nOgólna reguła mnożenia: jeśli kolejnych wyborów możemy dokonać na \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) sposobów niezależnie, to łącznie mamy \\(n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\) możliwości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 2\\) - błędne założenie, że cyfry się nie powtarzają (brak takiego warunku!), a ostatnia cyfra może być \\(0\\) lub \\(5\\) (zapomniano, że \\(0\\) jest parzyste) |\n| C | \\(9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 2\\) - wzięto dwie możliwe ostatnie cyfry: \\(0\\) i \\(5\\), **zapominając, że liczba ma być nieparzysta** - a \\(0\\) jest parzyste |\n| D | \\(9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 1\\) - błędne założenie braku powtórzeń cyfr: \\(d_2\\) ma \\(9\\) wyborów (bo „nie może się powtórzyć z \\(d_1\\)\"), \\(d_3\\) ma \\(8\\) wyborów - ale **w zadaniu nie ma warunku różności cyfr!** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba nieparzysta i podzielna przez \\(5\\) musi kończyć się **tylko cyfrą \\(5\\)**. Wiele osób zapisuje „\\(0\\) lub \\(5\\)\" (podzielność przez 5), zapominając sprawdzić nieparzystość - to prowadzi do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach na zliczanie liczb (nie permutacji ani kodów) **cyfry mogą się powtarzać**, chyba że zadanie wyraźnie zabrania. Brak informacji o powtórzeniach = powtórzenia są dozwolone.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby czterocyfrowej **nie może być zerem** - to jedyne ograniczenie na \\(d_1\\), stąd \\(9\\) wyborów, nie \\(10\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza cyfr\nLiczba czterocyfrowa \\(\\overline{abcd}\\).\n- Nieparzysta i podzielna przez 5 \\(\\Rightarrow\\) ostatnia cyfra \\(d = 5\\) (1 sposób).\n- Pierwsza cyfra \\(a\\): \\(1-9\\) (9 sposobów).\n- \\(b, c\\): \\(0-9\\) (po 10 sposobów).\nRazem: \\(9\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 1\\).\n\n### Sposób 2 - Eliminacja odpowiedzi\nLiczba podzielna przez 5 kończy się na 0 lub 5. Nieparzysta → kończy się na 5 (jeden wybór).\nOdpowiedź z \\(\\cdot 1\\) na końcu to B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Bez powtórzeń cyfr - zadanie nie wymaga.\n- **C. \\(\\cdot 2\\)** - błędnie uwzględniono 0 i 5 (ale 0 eliminuje nieparzystość).\n- **D.** Bez powtórzeń.\n\n**Trik:** nieparzysta + podzielna przez 5 = kończy się tylko na 5.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza warunków podzielności i parzystości\n1. **Zrozumienie warunków:** Liczba czterocyfrowa nieparzysta podzielna przez 5 musi spełniać dwa warunki:\n* Być nieparzystą, czyli jej cyfra jedności musi być jedną z 1, 3, 5, 7, 9.\n* Być podzielną przez 5, czyli jej cyfra jedności musi być 0 lub 5.\n2. **Połączenie warunków:** Jedynym cyfram, który spełnia oba warunki, jest 5.\n3. **Określenie liczby możliwych liczb:** Ponieważ liczba musi być czterocyfrowa, pierwsza cyfra może przyjmować wartości od 1 do 9, a pozostałe trzy cyfry mogą przyjmować wartości od 0 do 9. Jednakże, aby liczba była nieparzysta i podzielna przez 5, jej ostatnia cyfra musi być 5.\n4. **Obliczenie:** Zatem mamy:\n* Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9)\n* Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Trzecia cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Ostatnia cyfra: 1 możliwość (5)\n* Całkowita liczba możliwych liczb: 9 * 10 * 10 * 1 = 900\n\n📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na liczby podzielne przez 5\n1. **Zrozumienie:** Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnia cyfra jest 0 lub 5.\n2. **Warunek nieparzystości:** Ponieważ liczba jest nieparzysta, jej ostatnia cyfra musi być 5.\n3. **Zdefiniowanie liczby cyfr:** Liczba jest czterocyfrowa, więc pierwsza cyfra nie może być 0.\n4. **Obliczenie:**\n* Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9)\n* Druga cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Trzecia cyfra: 10 możliwości (0-9)\n* Ostatnia cyfra: 1 możliwość (5)\n* Całkowita liczba możliwych liczb: 9 * 10 * 10 * 1 = 900\n\n📖 Karta wzorów: s.28, Kombinatoryka: permutacje n!, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku podzielności przez 5.\n* **C:** Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku nieparzystości.\n* **D:** Jest to liczba mniejsza niż prawidłowa, ponieważ nie uwzględnia warunku podzielności przez 5.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: 2𝑥, 4, 6, 8, 11, 13, jest równa 5. Wynika stąd, że\nA. 𝑥= -1\nB. 𝑥= 7\nC. 𝑥= -6\nD. 𝑥= 6\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝐻\n𝑎\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nŚrednia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: 2x,4,6,8,11,13, jest równa 5. Wynika stąd, że A. x=-1 B. x=7 C. x=-6 D. x=6","answer":"R","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG9.3) wyznacza średnią arytmetyczną\ni medianę zestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja A\nRozwiązanie - wersja B\nC\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = -6\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią arytmetyczną\n\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb to ich suma podzielona przez 6.\n\nZapisujemy równanie:\n\n\\[\\frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5\\]\n\nSumujemy stałe:\n\n\\[\\frac{2x + 42}{6} = 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez 6:\n\n\\[2x + 42 = 30\\]\n\nOdejmujemy 42 od obu stron:\n\n\\[2x = 30 - 42 = -12\\]\n\nDzielimy przez 2:\n\n\\[x = -6\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x = -6\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie)\n\nSprawdzamy, czy dla \\(x = -6\\) średnia faktycznie wynosi 5.\n\nObliczamy \\(2x = 2 \\cdot (-6) = -12\\).\n\nZestaw liczb: \\(-12, 4, 6, 8, 11, 13\\)\n\nSuma:\n\\[-12 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30\\]\n\nŚrednia:\n\\[\\frac{30}{6} = 5 \\checkmark\\]\n\n**Wynik się zgadza - \\(x = -6\\) jest poprawne.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy go w Sposobie 1 - znając wartość średniej (\\(\\bar{a} = 5\\)) i liczbę wyrazów (\\(n = 6\\)), zapisaliśmy równanie i wyznaczyliśmy \\(x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(x = -1\\), czyli \\(2x = -2\\). Suma: \\(-2 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 40\\). Średnia \\(= \\frac{40}{6} \\neq 5\\). Błąd: prawdopodobnie uczeń zapomniał, że w zadaniu mamy \\(2x\\), a nie \\(x\\), i policzył \\(x + 42 = 30\\), skąd \\(x = -12\\), po czym pomylił wynik |\n| B | \\(x = 7\\), czyli \\(2x = 14\\). Suma: \\(14 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 56\\). Średnia \\(= \\frac{56}{6} \\neq 5\\). Błąd: uczeń mógł postawić równanie \\(2x + 42 = 5\\) zamiast \\(2x + 42 = 30\\) (przyrównał sumę do średniej, nie do \\(5 \\cdot 6\\)) |\n| D | \\(x = 6\\), czyli \\(2x = 12\\). Suma: \\(12 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 54\\). Średnia \\(= \\frac{54}{6} = 9 \\neq 5\\). Błąd: prawdopodobnie uczeń pominął mnożnik 2 przy \\(x\\) i rozwiązał \\(x + 42 = 30\\), czyli \\(x = -12\\), a potem przez 2, dostając \\(-6\\) lub zgubił minus i zapisał \\(x = 6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwszy wyraz to \\(2x\\), nie \\(x\\)! Łatwo przeoczyć dwójkę i napisać \\(x + 42 = 30\\). Zawsze przepisuj zadanie uważnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Średnia arytmetyczna = suma / liczba wyrazów. Częsty błąd to przyrównanie sumy do wartości średniej zamiast do \\(\\bar{a} \\cdot n\\). Pamiętaj: najpierw mnożysz przez \\(n = 6\\), potem rozwiązujesz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(x\\) może być ujemny - to nic dziwnego! Nie odrzucaj ujemnych rozwiązań tylko dlatego, że \"wyglądają dziwnie\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią\n\\(\\text{śr} = \\dfrac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5\\).\n\\(2x + 42 = 30\\), \\(2x = -12\\), \\(x = -6\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = -6 \\Rightarrow 2x = -12\\). Suma: \\(-12 + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30\\). Średnia: \\(30/6 = 5\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(x = -1\\)** - błąd znakowy: \\(2(-1)=-2\\), średnia \\(40/6\\).\n- **B. \\(x = 7\\)** - błędne przekształcenie równania.\n- **D. \\(x = 6\\)** - zły znak.\n\n**Trik:** najpierw suma, potem mnożenie przez 6 i odejmowanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną\nWzór na średnią arytmetyczną zestawu liczb to:\n\\[ \\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} = S \\]\ngdzie \\( a_i \\) to poszczególne liczby w zestawie, a \\( S \\) to średnia arytmetyczna.\n\nW naszym przypadku mamy:\n\\[ \\frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5 \\]\nPrzekształcamy równanie:\n\\[ 2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 5 \\cdot 6 \\]\n\\[ 2x + 42 = 30 \\]\n\\[ 2x = 30 - 42 \\]\n\\[ 2x = -12 \\]\n\\[ x = -6 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 100\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną i manipulacja równaniem\nZnamy średnią arytmetyczną, a mamy sześć liczb. Możemy zapisać równanie:\n\\[ \\frac{2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13}{6} = 5 \\]\nMnożymy obie strony przez 6:\n\\[ 2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30 \\]\nUpraszczamy lewą stronę:\n\\[ 2x + 42 = 30 \\]\nOdejmujemy 42 od obu stron:\n\\[ 2x = 30 - 42 \\]\n\\[ 2x = -12 \\]\nDzielimy obie strony przez 2:\n\\[ x = -6 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 100\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (na zdjęciu):** To jest wyrażenie, a nie rozwiązanie równania.\n* **B. \\(x = 7\\):** Podstawienie \\(x = 7\\) do równania na średnią arytmetyczną da inną wartość średniej, co nie spełnia warunku zadania.\n* **D. (na zdjęciu):** To jest wzór na sumę, a nie na średnią arytmetyczną.\n\nWszystkie sposoby prowadzą do tego samego rozwiązania: \\(x = -6\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n3𝑥2 -2𝑥-9 ≥7\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność: 3x² - 2x - 9 ≥ 7","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-16.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3𝑥2 -2𝑥-16 ≥0.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu\nkwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-16: 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8\n3 .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi\netap rozwiązania, tj.:\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -2⟩∪⟨8\n3 , +∞) lub\n𝑥∈(-∞, -2⟩∪⟨8\n3 , +∞)\nALBO\nprzedstawi zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n-2\n𝑥\n8\n3\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny\nniż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.\n3𝑥2 -2𝑥-9) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥2 -2𝑥-9 ≥0), to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-∞, -2) ∪(8\n3 , +∞), to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 8\n3⟩∪⟨-2, +∞), (+∞, 8\n3⟩∪⟨-2, -∞), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -2𝑥-16 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n3𝑥2 -2𝑥-16.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 196 i stąd 𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8\n3\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = 8\n3 .\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -2⟩∪⟨8\n3 , +∞) lub 𝑥∈(-∞, -2⟩∪⟨8\n3 , +∞)\nlub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej\n-2\n𝑥\n8\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(-\\infty,\\, -2\\right\\rangle \\cup \\left\\langle\\frac{8}{3},\\, +\\infty\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci standardowej i wyróżnik\n\n**Krok 1: Przenieś wszystko na lewą stronę.**\n\n\\[3x^2 - 2x - 9 \\ge 7\\]\n\\[3x^2 - 2x - 9 - 7 \\ge 0\\]\n\\[3x^2 - 2x - 16 \\ge 0\\]\n\nMamy trójmian \\(f(x) = 3x^2 - 2x - 16\\) z \\(a = 3,\\ b = -2,\\ c = -16\\).\n\n**Krok 2: Oblicz wyróżnik \\(\\Delta\\).**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-16) = 4 + 192 = 196\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 14\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz miejsca zerowe.**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 - 14}{6} = \\frac{-12}{6} = -2\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{2 + 14}{6} = \\frac{16}{6} = \\frac{8}{3}\\]\n\n**Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nParabola jest skierowana **ramionami do góry** (bo \\(a = 3 > 0\\)), więc trójmian jest **nieujemny** (\\(\\ge 0\\)) na zewnątrz pierwiastków.\n\n\\[f(x) \\ge 0 \\iff x \\le -2 \\quad \\text{lub} \\quad x \\ge \\frac{8}{3}\\]\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\, -2\\right\\rangle \\cup \\left\\langle\\frac{8}{3},\\, +\\infty\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Postać iloczynowa i analiza znaku\n\nPo wyznaczeniu pierwiastków \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = \\frac{8}{3}\\) korzystamy z postaci iloczynowej:\n\n\\[f(x) = 3(x - (-2))\\left(x - \\frac{8}{3}\\right) = 3(x+2)\\left(x - \\frac{8}{3}\\right)\\]\n\nAnalizujemy znak iloczynu \\((x+2)\\left(x - \\frac{8}{3}\\right)\\) na trzech przedziałach:\n\n| Przedział | \\((x+2)\\) | \\(\\left(x - \\frac{8}{3}\\right)\\) | Iloczyn \\(\\cdot 3\\) |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-2 < x < \\frac{8}{3}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > \\frac{8}{3}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nW punktach \\(x = -2\\) i \\(x = \\frac{8}{3}\\) mamy \\(f(x) = 0\\), więc nierówność \\(\\ge 0\\) jest spełniona - włączamy je do rozwiązania.\n\n**Wynik pokrywa się ze Sposobem 1.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Kroku 2 i 3 do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(3x^2 - 2x - 16\\).\n\nPostać iloczynowa (użyta w Sposobie 2):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij przenieść \\(7\\) na lewą stronę! Wielu uczniów liczy wyróżnik od razu z \\(3x^2 - 2x - 9 \\ge 7\\), co daje błędne pierwiastki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostro** (\\(\\ge\\)), więc pierwiastki \\(x = -2\\) i \\(x = \\frac{8}{3}\\) **należą** do rozwiązania - używamy nawiasów domkniętych \\(\\langle\\,\\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana do góry (\\(a > 0\\)) - wyrażenie jest nieujemne **na zewnątrz** pierwiastków (nie między nimi). To odwrotnie niż przy \\(\\le 0\\), gdzie rozwiązanie to przedział między pierwiastkami.\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Wyznacznik i pierwiastki\nPrzenosimy na jedną stronę: \\(3x^2 - 2x - 16 \\ge 0\\).\nWyznacznik: \\(\\Delta = (-2)^2 - 4\\cdot 3\\cdot (-16) = 4 + 192 = 196\\). \\(\\sqrt{\\Delta} = 14\\).\nPierwiastki: \\(x_1 = \\dfrac{2 - 14}{6} = -2\\); \\(x_2 = \\dfrac{2 + 14}{6} = \\dfrac{8}{3}\\).\nParabola otwarta do góry, nierówność \\(\\ge 0\\) spełniona poza pierwiastkami:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -2\\right\\rangle \\cup \\left\\langle \\dfrac{8}{3}, +\\infty\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viete'a\nZ \\(x_1 + x_2 = \\tfrac{2}{3}\\), \\(x_1 x_2 = -\\tfrac{16}{3}\\). Szukamy: \\(x_1 = -2, x_2 = \\tfrac{8}{3}\\). Sprawdzenie: \\(-2 + \\tfrac{8}{3} = \\tfrac{2}{3}\\) ✓, \\(-2\\cdot \\tfrac{8}{3} = -\\tfrac{16}{3}\\) ✓.\nRozwiązanie: \\(x \\le -2\\) lub \\(x \\ge \\tfrac{8}{3}\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za poprawne obliczenie pierwiastków \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = \\tfrac{8}{3}\\).\n- **2 pkt** - za zapis zbioru rozwiązań: \\((-\\infty, -2\\rangle \\cup \\langle\\tfrac{8}{3}, +\\infty)\\).\n\n**Trik:** przenieś wszystko na lewo (zero po prawej) zanim szukasz pierwiastków.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1,\n𝑎1 = -1 i 𝑎4 = 8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, a_1=-1 i a_4=8. Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze równania wynikające z zastosowania poprawnych wzorów na 𝑛-ty wyraz\nciągu arytmetycznego i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, np.\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑆100 = 2𝑎1+(100-1)⋅𝑟\n2\n⋅100\nlub\n𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 i 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟 i 𝑆100 = 𝑎1+𝑎100\n2\n⋅100\nALBO\npoda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= 3 lub przyjmuje\nw rozwiązaniu, że 𝑟= 3.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy sumę stu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛): 𝑆100 = 14 750.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający błędnie obliczy 𝑟 i konsekwentnie do otrzymanej wartości 𝑟 obliczy sumę\nstu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na 𝑎4:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3 ∙𝑟\nZatem 8 = -1 + 3𝑟, więc 𝑟= 3.\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni obliczamy 𝑆100:\n𝑆100 = 2𝑎1 + (100 -1) ∙𝑟\n2\n∙100 = -2 + 297\n2\n⋅100 = 14 750\nSposób 2.\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisujemy wzór na czwarty\nwyraz tego ciągu:\n𝑎4 = 𝑎1 + 3 ∙𝑟\ngdzie 𝑟 oznacza różnicę ciągu.\nPodstawiamy 𝑎1 = -1 oraz 𝑎4 = 8 i otrzymujemy równanie 8 = -1 + 3𝑟, skąd 𝑟= 3.\nSumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru\n𝑆𝑛= 𝑎1 + 𝑎𝑛\n2\n∙𝑛\nObliczamy setny wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎100 = 𝑎1 + 99 ∙𝑟= -1 + 99 ∙3 = 296\nZatem suma stu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\n𝑆100 = -1 + 296\n2\n∙100 = 295 ⋅50 = 14 750","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S_{100} = 14\\,750\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie różnicy ciągu, potem wzór na sumę\n\n**Krok 1: Wyznacz różnicę ciągu \\(r\\)**\n\nKorzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nPodstawiamy znane dane dla \\(a_4\\):\n\\[a_4 = a_1 + 3r\\]\n\\[8 = -1 + 3r\\]\n\\[3r = 9\\]\n\\[r = 3\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(a_{100}\\)**\n\n\\[a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 99 \\cdot 3 = -1 + 297 = 296\\]\n\n**Krok 3: Oblicz sumę \\(S_{100}\\)**\n\n\\[S_{100} = \\frac{a_1 + a_{100}}{2} \\cdot 100 = \\frac{-1 + 296}{2} \\cdot 100 = \\frac{295}{2} \\cdot 100 = 295 \\cdot 50\\]\n\n\\[\\boxed{S_{100} = 14\\,750}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio ze wzoru \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\)\n\nMając \\(a_1 = -1\\) i \\(r = 3\\) (wyznaczone tak samo jak w Sposobie 1), stosujemy drugi wariant wzoru na sumę:\n\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 100\\):\n\n\\[S_{100} = \\frac{2 \\cdot (-1) + 99 \\cdot 3}{2} \\cdot 100\\]\n\n\\[S_{100} = \\frac{-2 + 297}{2} \\cdot 100 = \\frac{295}{2} \\cdot 100\\]\n\n\\[\\boxed{S_{100} = 14\\,750}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - poprawność potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_4 = 8\\) oraz do obliczenia \\(a_{100}\\).\n\nWzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 1)}\\]\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 2)}\\]\nOba wzory są na karcie - na egzaminie możesz użyć dowolnego z nich.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(r\\) z \\(a_4\\) pamiętaj, że \\(a_4 = a_1 + \\mathbf{3}r\\), bo \\((4-1) = 3\\), a **nie** \\(a_1 + 4r\\). Błąd o jeden indeks to klasyczna pomyłka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemne \\(a_1\\) łatwo zgubić przy dodawaniu - \\(-1 + 297 = 296\\), nie \\(298\\). Zawsze zapisuj sign jawnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{295}{2} \\cdot 100 = 295 \\cdot 50\\) - nie ma tu żadnego ułamka w wyniku końcowym. Jeśli wychodzi ułamek, coś poszło nie tak.\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Różnica i suma\nZe wzoru ogólnego: \\(a_4 = a_1 + 3r\\), więc \\(8 = -1 + 3r\\), \\(r = 3\\).\nSuma stu wyrazów: \\(S_{100} = \\dfrac{2a_1 + 99r}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{-2 + 297}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{295}{2}\\cdot 100 = 14\\,750\\).\n\n### Sposób 2 - Przez \\(a_{100}\\)\n\\(a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 297 = 296\\).\n\\(S_{100} = \\dfrac{a_1 + a_{100}}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{-1 + 296}{2}\\cdot 100 = \\dfrac{295}{2}\\cdot 100 = 14\\,750\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za poprawne wyznaczenie \\(r = 3\\) lub zapisanie równań na \\(a_4\\) i \\(S_{100}\\).\n- **2 pkt** - za obliczenie \\(S_{100} = 14\\,750\\).\n\n**Trik:** \\(S_n = \\tfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n\\) - oszczędniejsza forma niż z \\(2a_1\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏 takich, że 𝑏≠𝑎,\nspełniona jest nierówność\n𝑎2 + 𝑏2\n2\n> (𝑎+ 𝑏\n2\n)\n2\n\nEMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b takich, że b≠a, spełniona jest nierówność a² + b² / 2 > (a+b/2)^2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nprzekształci nierówność 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\ndo postaci równoważnej (𝑎-𝑏)2 > 0\nlub 𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 1.), o ile na tym zakończy lub z tej postaci\nwyciągnie wniosek\nALBO\nwykorzysta założenie 𝑎≠𝑏 (lub równoważnie (𝑎-𝑏)2 > 0) i zapisze\n𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 (dla sposobu 2.),\nALBO\nwykorzysta założenie 𝑎≠𝑏 oraz zapisze nierówność pomiędzy średnimi:\nkwadratową i arytmetyczną, dla liczb nieujemnych (dla sposobu 3.).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn.\nspełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz\nsformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\nspełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz\ndoprowadzi nierówność do postaci tezy,\nALBO\nw sposobie 3., opierając się na nierówności pomiędzy średnią kwadratową i średnią\narytmetyczną, wykaże prawdziwość nierówności 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\ndla każdych liczb\nrzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎≠𝑏.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\n:\n𝑎2 + 𝑏2\n2\n> (𝑎+ 𝑏\n2\n)\n2\n𝑎2 + 𝑏2\n2\n> 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2\n4\n2𝑎2 + 2𝑏2 > 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2\n𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 > 0\n(𝑎-𝑏)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑏≠𝑎, więc (𝑎-𝑏)2 jest liczbą dodatnią jako kwadrat liczby\nrzeczywistej 𝑎-𝑏 różnej od zera. Ponieważ nierówność (𝑎-𝑏)2 > 0 jest prawdziwa,\nwięc nierówność 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\nrównież jest prawdziwa. To należało pokazać.\nSposób 2. (od założenia do tezy)\nZ założenia wiadomo, że 𝑎≠𝑏, zatem różnica 𝑎-𝑏≠0. Stąd wynika, że (𝑎-𝑏)2 jest\nliczbą dodatnią. Nierówność (𝑎-𝑏)2 > 0 jest równoważna nierówności\n𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏\nZauważmy teraz, że tożsamość (𝑎+ 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2 można zapisać w równoważnej\npostaci\n(𝑎+ 𝑏)2 -(𝑎2 + 𝑏2) = 2𝑎𝑏\nNierówność 𝑎2 + 𝑏2 > 2𝑎𝑏 zapisujemy więc w postaci\n𝑎2 + 𝑏2 > (𝑎+ 𝑏)2 -(𝑎2 + 𝑏2)\nZatem\n2(𝑎2 + 𝑏2) > (𝑎+ 𝑏)2\nDzielimy obie strony tej nierówności przez 4 i otrzymujemy nierówność\n𝑎2 + 𝑏2\n2\n>\n(𝑎+ 𝑏)2\n4\nTa nierówność jest równoważna nierówności\n𝑎2 + 𝑏2\n2\n> (𝑎+ 𝑏\n2\n)\n2\nzapisanej w tezie twierdzenia. To należało pokazać.\nSposób 3. (nierówność między średnimi)\nObie strony nierówności 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\nsą nieujemne, więc pierwiastkując je,\notrzymujemy nierówność równoważną\n√𝑎2 + 𝑏2\n2\n> |𝑎+ 𝑏\n2\nczyli\n√𝑎2 + 𝑏2\n2\n> |𝑎+ 𝑏|\n2\nWykażemy, że jest ona prawdziwa dla każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑎≠𝑏.\nDla liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 liczby |𝑎| i |𝑏| są nieujemne, więc prawdziwa jest\nnierówność między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną\n√|𝑎|2 + |𝑏|2\n2\n≥|𝑎| + |𝑏|\n2\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy |𝑎| = |𝑏|.\nPonieważ 𝑥2 = |𝑥|2, |𝑥| + |𝑦| ≥|𝑥+ 𝑦|, |𝑥| ≥𝑥 dla każdych liczb rzeczywistych 𝑥\noraz 𝑦, więc otrzymujemy\n√𝑎2 + 𝑏2\n2\n= √|𝑎|2 + |𝑏|2\n2\n≥|𝑎| + |𝑏|\n2\n≥|𝑎+ 𝑏|\n2\n≥𝑎+ 𝑏\n2\nPozostaje wykazać, że jeżeli 𝑎≠𝑏, to prawdziwa jest nierówność ostra\n√𝑎2 + 𝑏2\n2\n> |𝑎+ 𝑏|\n2\nGdy |𝑎| ≠|𝑏|, to prawdziwość nierówności ostrej wynika z nierówności między średnią\nkwadratową i średnią arytmetyczną. Równość |𝑎| = |𝑏| oznacza, że liczby 𝑎 i 𝑏 są\nrówne lub przeciwne. Jednak z założenia liczby 𝑎 i 𝑏 są różne. Jeśli są przeciwne, czyli\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎+ 𝑏= 0, to wtedy prawa strona tej nierówności jest równa zero, natomiast lewa strona jest\ndodatnia - zerem byłaby tylko wtedy, gdyby 𝑎= 𝑏= 0, co jest sprzeczne z założeniem\n𝑎≠𝑏.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód (zadanie otwarte - wykaz)\n\nNierówność jest prawdziwa dla każdych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\) takich, że \\(b \\neq a\\). Poniżej dwa sposoby dowodu.\n\n## Sposób 1 - Przekształcenia równoważne (redukcja do kwadratów)\n\nChcemy pokazać, że:\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} > \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\]\n\n**Krok 1.** Rozwijamy prawą stronę:\n\\[\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]\n\n**Krok 2.** Nierówność staje się:\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} > \\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4}\\]\n\n**Krok 3.** Mnożymy obie strony przez \\(4 > 0\\) (sens nierówności się nie zmienia):\n\\[2(a^2 + b^2) > a^2 + 2ab + b^2\\]\n\n**Krok 4.** Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\[2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 > 0\\]\n\\[a^2 - 2ab + b^2 > 0\\]\n\n**Krok 5.** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[(a - b)^2 > 0\\]\n\n**Krok 6.** Ponieważ \\(b \\neq a\\), mamy \\(a - b \\neq 0\\), a kwadrat każdej liczby niezerowej jest **dodatni**.\n\nZatem \\((a-b)^2 > 0\\) - co jest prawdą. Ponieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów), wyjściowa nierówność również jest **prawdziwa**. $\\blacksquare$\n\n## Sposób 2 - Obliczenie różnicy LHS \\(-\\) RHS\n\nStrategia: zamiast przekształcać nierówność, **wprost obliczamy** \\(\\text{LHS} - \\text{RHS}\\) i pokazujemy, że jest dodatnie.\n\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2\\]\n\n**Krok 1.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika (mianownik = 4):\n\\[= \\frac{2(a^2 + b^2)}{4} - \\frac{(a+b)^2}{4} = \\frac{2(a^2 + b^2) - (a+b)^2}{4}\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy licznik:\n\\[2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\n**Krok 3.** Zatem:\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{2} - \\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^2 = \\frac{(a-b)^2}{4}\\]\n\n**Krok 4.** Ponieważ \\(a \\neq b\\), mamy \\((a-b)^2 > 0\\), więc:\n\\[\\frac{(a-b)^2}{4} > 0\\]\n\nStąd \\(\\text{LHS} - \\text{RHS} > 0\\), czyli \\(\\dfrac{a^2+b^2}{2} > \\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\). $\\blacksquare$\n\n> **Uwaga:** Sposób 2 jest elegantszy - od razu widać, że różnica równa się \\(\\dfrac{(a-b)^2}{4}\\), czyli \"połowie kwadratu odległości między \\(a\\) a \\(b\\)\". To piękna interpretacja!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - żeby rozpoznać wyrażenie \\(a^2 - 2ab + b^2\\) jako pełny kwadrat.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego do rozwinięcia \\(\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zacząć dowodu od \"Zakładam, że nierówność jest prawdziwa\" i wyprowadzać z niej czegoś prawdziwego - to błąd logiczny (błędne koło). Zamiast tego zaczynamy od jednej strony lub od różnicy i dochodzimy do wyrażenia, które **wiadomo, że jest dodatnie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(b \\neq a\\) jest kluczowy! Gdy \\(b = a\\), obie strony są równe (\\(\\frac{2a^2}{2} = \\frac{(2a)^2}{4} = a^2\\)), więc nierówność ostra \\(>\\) by nie zachodziła. Maturzysta musi to explicite użyć w dowodzie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę, zawsze sprawdź jej znak - tutaj mnożyliśmy przez \\(4 > 0\\), więc sens nierówności pozostał bez zmian. Gdyby mianownik był ujemny, nierówność by się odwróciła!\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Równoważne przekształcenia\n\\[\\dfrac{a^2 + b^2}{2} > \\dfrac{(a+b)^2}{4}\\]\nMnożymy przez \\(4\\): \\(2(a^2 + b^2) > (a+b)^2\\).\nRozwijamy: \\(2a^2 + 2b^2 > a^2 + 2ab + b^2\\), więc \\(a^2 - 2ab + b^2 > 0\\), czyli \\((a-b)^2 > 0\\).\nZ założenia \\(a \\ne b\\), więc \\(a - b \\ne 0\\), a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. **To należało pokazać.**\n\n### Sposób 2 - Od założenia do tezy\nZ założenia \\(a \\ne b\\): \\((a-b)^2 > 0\\), czyli \\(a^2 - 2ab + b^2 > 0\\).\nStąd \\(a^2 + b^2 > 2ab\\). Dodając \\(a^2 + b^2\\) do obu stron:\n\\(2(a^2 + b^2) > (a+b)^2\\), czyli \\(\\dfrac{a^2 + b^2}{2} > \\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za przekształcenie nierówności do postaci \\((a-b)^2 > 0\\) lub \\(a^2 + b^2 > 2ab\\).\n- **2 pkt** - za pełne rozumowanie z powołaniem się na założenie \\(a \\ne b\\).\n\n**Trik:** nierówność między średnimi kwadratową i arytmetyczną - klasyk!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"algebra","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nKąt 𝛼 jest ostry i tg 𝛼= 2. Oblicz wartość wyrażenia sin2 𝛼.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nKąt α jest ostry i tgα=2. Oblicz wartość wyrażenia sin^2α.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi […];\n6.4) znając wartość jednej z funkcji: sinus\nlub cosinus, wyznacza wartości\npozostałych funkcji tego samego kąta.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze układ równań sin𝛼\ncos𝛼= 2 i sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 (lub jedno równanie\nrównoważne temu układowi, np. (2 cos 𝛼)2 + cos2 𝛼= 1, sin2 𝛼+ (1\n2 sin 𝛼)\n2\n= 1,\nsin2 𝛼= 4(1 -sin2 𝛼))\nALBO\nnarysuje trójkąt prostokątny, zaznaczy na rysunku kąt 𝛼 (lub z rozwiązania wynika,\nże poprawnie go interpretuje) i zapisze relację między przyprostokątnymi tego trójkąta\nwynikającą z warunku zadania oraz relację między długościami boków trójkąta\nwynikającą z twierdzenia Pitagorasa.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni kryterium za 1 punkt z zasad oceniania i obliczy wartość wyrażenia sin2 𝛼:\nsin2 𝛼= 4\n5 .\nUwaga:\nJeśli zdający odczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼= 2 (𝛼= 63° lub\n𝛼= 64°) i na tej podstawie oblicza sin2 𝛼, stosując poprawnie regułę zaokrąglania, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ tg 𝛼= 2, więc sin𝛼\ncos𝛼= 2 i stąd sin 𝛼= 2 cos 𝛼. Korzystając z tego związku\ni tożsamości sin2𝛼+ cos2𝛼= 1, otrzymujemy\n(2 cos 𝛼)2 + cos2𝛼= 1\n5cos2𝛼= 1\ncos2𝛼= 1\n5\nPonownie korzystamy z tożsamości sin2𝛼+ cos2𝛼= 1 i obliczamy sin2𝛼:\nsin2𝛼+ cos2𝛼= 1\nsin2𝛼+ 1\n5 = 1\nsin2𝛼= 4\n5\nSposób 2.\nNiech 𝐴𝐵𝐶 będzie trójkątem prostokątnym, w którym |∡𝐶𝐴𝐵| = 90° oraz |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛼.\nPonieważ tg 𝛼= 2, więc\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵| = 2, czyli |𝐴𝐶| = 2 ⋅|𝐴𝐵|. Wyznaczamy długość odcinka\n𝐵𝐶 w zależności od długości odcinka 𝐴𝐵. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa\ni otrzymujemy\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐵𝐶|2 = (2 ⋅|𝐴𝐵|)2 + |𝐴𝐵|2\n|𝐵𝐶|2 = 5 ⋅|𝐴𝐵|2\n|𝐵𝐶| = √5 ⋅|𝐴𝐵|\nZatem sin2 𝛼= (\n|𝐴𝐶|\n|𝐵𝐶|)\n2\n= ( 2⋅|𝐴𝐵|\n√5⋅|𝐴𝐵|)\n2\n= 4\n5 .\n𝛼\n𝐶\n𝐵\n𝐴\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\n**Punkt wyjścia:** Wiemy, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\), czyli:\n\\[\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\]\n\nPodstawiamy do jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[(2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[4\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[5\\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{5}\\]\n\nTeraz korzystamy z jedynki jeszcze raz:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{5} = \\boxed{\\frac{4}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na \\(\\cos^2\\alpha\\) przez tangens\n\nJest znana tożsamość (łatwa do wyprowadzenia z jedynki trygonometrycznej):\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1 = \\frac{\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\]\n\nStąd:\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1} = \\frac{1}{2^2 + 1} = \\frac{1}{5}\\]\n\nOraz od razu:\n\\[\\sin^2\\alpha = \\frac{\\operatorname{tg}^2\\alpha}{\\operatorname{tg}^2\\alpha + 1} = \\frac{4}{4+1} = \\frac{4}{5}\\]\n\n(Ten wzór jest szybszy - polecam go zapamiętać!)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nDefinicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\n\nObydwu użyliśmy w Sposobie 1 i 2 jako punkt wyjścia do wyznaczenia \\(\\sin^2\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj wyznaczać \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\) osobno - wystarczy pracować na \\(\\sin^2\\alpha\\) i \\(\\cos^2\\alpha\\). Oszczędza to czas i eliminuje ryzyko błędu przy pierwiastkowaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o warunku \\(\\alpha\\) ostry - to gwarantuje, że \\(\\sin\\alpha > 0\\) i \\(\\cos\\alpha > 0\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha > 0\\). Gdyby \\(\\alpha\\) był w II lub III ćwiartce, \\(\\sin^2\\alpha\\) byłoby to samo (bo kwadrat), ale odpowiedź na \\(\\sin\\alpha\\) już nie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd - uczniowie piszą \\(\\sin\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{5}}\\) i próbują podnieść do kwadratu na końcu. To poprawne, ale żmudniejsze. Szybciej pracować od razu na kwadratach.\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Tożsamości trygonometryczne\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\), więc \\(\\sin\\alpha = 2\\cos\\alpha\\).\nWstawiamy do \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\((2\\cos\\alpha)^2 + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 5\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos^2\\alpha = \\dfrac{1}{5}\\).\nStąd \\(\\sin^2\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{5} = \\dfrac{4}{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt prostokątny\nW trójkącie prostokątnym \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\text{przeciwprostokatna}}{\\text{przyprostokatna}}\\). Niech przyprostokątna \\(= 1\\), druga \\(= 2\\). Przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{1 + 4} = \\sqrt{5}\\).\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za zapisanie układu \\(\\tfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = 2\\) i \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) lub narysowanie trójkąta z prawidłowymi relacjami.\n- **2 pkt** - za obliczenie \\(\\sin^2\\alpha = \\dfrac{4}{5}\\).\n\n**Trik:** w tożsamości \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\) wyrażaj jedno przez drugie przy pomocy \\(\\operatorname{tg}\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"trygonometria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Dwusieczna kąta 𝐵𝐴𝐶\nprzecina bok 𝐵𝐶 w takim punkcie 𝐷, że trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne (zobacz\nrysunek). Oblicz miarę kąta 𝐵𝐴𝐶.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n\nEMAP-P0_100\nDany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC|=|BC|. Dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w takim punkcie D, że trójkąty ABC i BDA są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta BAC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzauważy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny i zapisze |𝐴𝐵| = |𝐴𝐷| lub\n|∡𝐴𝐵𝐷| = |∡𝐴𝐷𝐵|\nALBO\nzapisze, że |∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐵𝐴𝐶|,\nALBO\nzapisze, że |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐴𝐶𝐵|.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje, że odcinek 𝐴𝐷 jest prostopadły do boku 𝐵𝐶 i korzysta z tego\nw rozwiązaniu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający zapisze tylko |∡𝐵𝐴𝐶| = 72°, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nOznaczmy przez 2𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Odcinek 𝐴𝐷 jest zawarty\nw dwusiecznej kąta 𝐵𝐴𝐶, więc |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐶𝐴𝐷| = 𝛼.\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zobacz rysunek\nobok).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne, miary kątów przy podstawie 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 są\nrówne 2𝛼 i ponadto |∡𝐴𝐵𝐷| = 2𝛼, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐷 jest równoramienny oraz\n|∡𝐴𝐷𝐵| = |∡𝐴𝐵𝐷| = 2𝛼.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta\ni otrzymujemy\n|∡𝐵𝐴𝐷| + |∡𝐴𝐵𝐷| + |∡𝐴𝐷𝐵| = 180°\n𝛼\n𝛼\n2𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼+ 2𝛼+ 2𝛼= 180°\n5𝛼= 180°\n𝛼= 36°\nZatem |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 2 ⋅36° = 72°.\nSposób 2.\nOznaczmy przez 2𝛼 miarę kąta 𝐵𝐴𝐶. Odcinek 𝐴𝐷 jest zawarty w dwusiecznej kąta 𝐵𝐴𝐶,\nwięc |∡𝐵𝐴𝐷| = |∡𝐶𝐴𝐷| = 𝛼. Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 (zobacz\nrysunek).\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta\ni otrzymujemy\n|∡𝐴𝐷𝐵| = 180° -(𝛼+ 2𝛼) = 180° -3𝛼\nKąty 𝐴𝐷𝐶 i 𝐴𝐷𝐵 są przyległe, zatem |∡𝐴𝐷𝐶| = 3𝛼.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta\ni otrzymujemy\n|∡𝐴𝐶𝐷| = 180° -4𝛼\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐵𝐷𝐴 są podobne, miary kątów między ramionami są równe, więc\n180° -4𝛼= 𝛼\n5𝛼= 180°\n𝛼= 36°\nZatem |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 2 ⋅36° = 72°.\n𝛼\n𝛼\n2𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n3𝛼\n180° -4𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: kąt BAC = 72°\n\n## Sposób 1 - Równania kątów z warunku podobieństwa\n\n**Oznaczenia:** Niech \\(\\angle BAC = \\alpha\\). Ponieważ \\(|AC| = |BC|\\), trójkąt jest równoramienny z wierzchołkiem w \\(C\\), więc kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle BAC = \\angle ABC = \\alpha, \\qquad \\angle ACB = 180° - 2\\alpha\\]\n\n**Kąty w trójkącie BDA:** Odcinek \\(AD\\) jest dwusieczną kąta \\(BAC\\), więc:\n\\[\\angle BAD = \\frac{\\alpha}{2}, \\qquad \\angle ABD = \\alpha\\]\n\\[\\angle ADB = 180° - \\alpha - \\frac{\\alpha}{2} = 180° - \\frac{3\\alpha}{2}\\]\n\nZatem trójkąt \\(BDA\\) ma kąty:\n\\[\\alpha, \\quad \\frac{\\alpha}{2}, \\quad 180° - \\frac{3\\alpha}{2}\\]\n\n**Warunek podobieństwa** \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) (w tej kolejności wierzchołków):\n\nKąty trójkąta \\(ABC\\): \\(\\{\\alpha,\\ \\alpha,\\ 180°-2\\alpha\\}\\)\n\nMuszą odpowiadać kątom trójkąta \\(BDA\\): \\(\\{\\alpha,\\ \\tfrac{\\alpha}{2},\\ 180°-\\tfrac{3\\alpha}{2}\\}\\)\n\nPorównując wierzchołki kolejno \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(B \\leftrightarrow D\\), \\(C \\leftrightarrow A\\):\n\\[\\angle A = \\angle B \\Rightarrow \\alpha = \\alpha \\quad \\checkmark\\]\n\\[\\angle C = \\angle A_{BDA} \\Rightarrow 180° - 2\\alpha = \\frac{\\alpha}{2}\\]\n\nRozwiązuję:\n\\[180° = 2\\alpha + \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{5\\alpha}{2}\\]\n\\[\\alpha = \\frac{2 \\cdot 180°}{5} = \\boxed{72°}\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(\\alpha = 72°\\):\n- Trójkąt \\(ABC\\): kąty \\(72°, 72°, 36°\\)\n- Trójkąt \\(BDA\\): kąty \\(72°\\) (przy B), \\(180° - 108° = 72°\\) (przy D), \\(36°\\) (przy A) ✓\n\nZestawy kątów identyczne - podobieństwo zachodzi!\n\n## Sposób 2 - Złoty podział przez proporcję boków\n\nPrzyjmijmy \\(|AC| = |BC| = 1\\) i niech \\(|AB| = x\\).\n\n**Prawo sinusów** w trójkącie \\(ABC\\):\n\\[\\frac{|AB|}{\\sin(\\angle ACB)} = \\frac{|BC|}{\\sin(\\angle BAC)} \\implies x = \\frac{\\sin(180° - 2\\alpha)}{\\sin\\alpha} = \\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin\\alpha} = 2\\cos\\alpha\\]\n\n**Warunek podobieństwa** \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) daje proporcję boków (przy zgodności \\(A \\leftrightarrow B\\), \\(C \\leftrightarrow A\\)):\n\\[\\frac{|AB|}{|BD|} = \\frac{|AC|}{|BA|} \\implies x^2 = |BD|\\]\n\n**Twierdzenie o dwusiecznej** (kąt \\(BAD\\) dzieli \\(BC\\)):\n\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|AB|}{|AC|} = \\frac{x}{1} \\implies |BD| = \\frac{x \\cdot |BC|}{x+1} = \\frac{x}{x+1}\\]\n\nŁącząc \\(|BD| = x^2\\) z \\(|BD| = \\frac{x}{x+1}\\):\n\\[x^2 = \\frac{x}{x+1} \\implies x^2(x+1) = x \\implies x^2 + x = 1\\]\n\\[x^2 + x - 1 = 0 \\implies x = \\frac{-1 + \\sqrt{5}}{2} \\approx 0{,}618\\]\n\nTo **złoty podział** - \\(x = \\frac{1}{\\varphi}\\)! Podstawiamy do \\(x = 2\\cos\\alpha\\):\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{2} = \\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\\]\n\nZe znanych wartości: \\(\\cos 72° = \\frac{\\sqrt{5}-1}{4}\\), więc:\n\\[\\alpha = 72°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)**\n\n**Twierdzenie o dwusiecznej:**\n\\[\\frac{|BD|}{|DC|} = \\frac{|AB|}{|AC|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia długości \\(|BD|\\).\n\n**Twierdzenie sinusów:**\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyrażenia \\(|AB|\\) przez \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nWzór na funkcję podwojonego kąta:\n\\[\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\]\nUżyte przy uproszczeniu \\(\\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin\\alpha} = 2\\cos\\alpha\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobieństwo trójkątów to NIE to samo co przystawanie - kolejność wierzchołków w zapisie \\(\\triangle ABC \\sim \\triangle BDA\\) wskazuje DOKŁADNIE, które kąty i boki sobie odpowiadają. Błędne przyporządkowanie prowadzi do fałszywego równania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, przy którym wierzchołku jest kąt równy połowie. Dwusieczna kąta \\(BAC\\) dzieli TEN kąt na pół - kąt \\(\\angle BAD = \\frac{\\alpha}{2}\\), ale \\(\\angle ABD = \\alpha\\) pozostaje niezmieniony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równoramiennym \\(|AC| = |BC|\\) wierzchołek to \\(C\\), a kąty PRZY PODSTAWIE (czyli przy \\(A\\) i \\(B\\)) są równe - nie myl z sytuacją, gdy \\(|AB| = |AC|\\). Wynik \\(72°\\) to nieprzypadkowo kąt związany ze złotym podziałem i pięciokątem foremnym - trójkąt o kątach \\(36°, 72°, 72°\\) to słynny \"trójkąt złoty\".\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Oznaczenia i suma kątów\nOznaczmy \\(|\\angle BAC| = 2\\alpha\\) (dwusieczna dzieli na dwa \\(\\alpha\\)), więc \\(|\\angle BAD| = |\\angle CAD| = \\alpha\\).\nPonieważ \\(|AC|=|BC|\\), trójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny z podstawą \\(AB\\), zatem \\(|\\angle ABC| = |\\angle BAC| = 2\\alpha\\).\nW trójkątach podobnych \\(ABC \\sim BDA\\) odpowiadające kąty są równe. W \\(\\triangle BDA\\): \\(|\\angle ABD| = 2\\alpha\\), \\(|\\angle BAD| = \\alpha\\), więc \\(|\\angle ADB| = 180° - 3\\alpha\\). Dla podobieństwa: \\(|\\angle ADB|\\) odpowiada \\(|\\angle ACB|\\), czyli \\(180° - 4\\alpha\\) (suma kątów w \\(\\triangle ABC\\): \\(2\\alpha + 2\\alpha + \\angle C = 180°\\)).\nJednak z sumy kątów \\(\\triangle ABD\\): \\(\\alpha + 2\\alpha + (180° - 3\\alpha) = 180°\\) ✓ (tożsamość - potrzebna inna relacja).\nZ podobieństwa i faktu że \\(\\triangle ABD\\) jest równoramienny (\\(|AB|=|AD|\\)): \\(|\\angle ABD| = |\\angle ADB|\\), czyli \\(2\\alpha = 180° - 3\\alpha\\), \\(5\\alpha = 180°\\), \\(\\alpha = 36°\\).\nStąd \\(|\\angle BAC| = 2\\alpha = 72°\\).\n\n### Sposób 2 - Przez podobieństwo\nTrójkąty \\(ABC\\) i \\(BDA\\) podobne, kąty przy podstawie \\(AB\\) w \\(ABC\\) wynoszą \\(2\\alpha\\), więc w \\(BDA\\) też \\(2\\alpha\\) - trójkąt \\(ABD\\) równoramienny. \\(|\\angle ADB| = |\\angle ABD| = 2\\alpha\\). Suma kątów \\(\\triangle ABD\\): \\(\\alpha + 2\\alpha + 2\\alpha = 180°\\), \\(\\alpha = 36°\\). \\(|\\angle BAC| = 72°\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za zauważenie, że \\(\\triangle ABD\\) jest równoramienny lub zapis \\(|\\angle ADB| = |\\angle BAC|\\), lub \\(|\\angle BAD| = |\\angle ACB|\\).\n- **2 pkt** - za poprawny wynik \\(|\\angle BAC| = 72°\\).\n\n**Trik:** trójkąt \\(36°-72°-72°\\) to złoty trójkąt związany z pentagonem.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru dziewięcioelementowego 𝑀= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy kolejno ze\nzwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie 𝐴 polega na wylosowaniu dwóch liczb ze\nzbioru 𝑀, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nZe zbioru dziewięcioelementowego M={1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru M, których iloczyn jest równy 24. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 9 ⋅9\nALBO\nwypisze (zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴\ni nie wypisze żadnego niewłaściwego:\n(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3),\nALBO\npoda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 4,\nALBO\nsporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo 1\n9 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 4\n81 .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną\nmetodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n81 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 81 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 81 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie 𝑎, 𝑏∈𝑀.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 9 ⋅9 = 81.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3),\nwięc |𝐴| = 4.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n81 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie 𝑎, 𝑏∈𝑀.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\nII losowanie\n1\n2\n3\n×\n4\n×\n5\n6\n×\n7\n8\n×\n9\nSymbolem × oznaczono pola odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym\nzdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 81.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 4.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n81 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 3. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n9 ∙1\n9 + 1\n9 ∙1\n9 + 1\n9 ∙1\n9 + 1\n9 ∙1\n9 = 4\n81","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{4}{81}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających par\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nLosujemy ze zwracaniem kolejno dwie liczby ze zbioru \\(M = \\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}\\). Ponieważ losowanie jest kolejne (kolejność ma znaczenie: najpierw pierwsza liczba, potem druga) i ze zwracaniem, każdy wynik to uporządkowana para \\((a, b)\\).\n\nLiczba wszystkich wyników:\n\\[|\\Omega| = 9 \\cdot 9 = 81\\]\n\n**Zdarzenie A - iloczyn równy 24**\n\nSzukamy wszystkich par \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in M\\) i \\(a \\cdot b = 24\\).\n\nSystematycznie sprawdzamy, jak podzielić 24 na dwa czynniki z M:\n\n| Pierwsza liczba \\(a\\) | Druga liczba \\(b = \\frac{24}{a}\\) | Czy \\(b \\in M\\)? |\n| 1 | 24 | ✗ |\n| 2 | 12 | ✗ |\n| 3 | 8 | ✓ |\n| 4 | 6 | ✓ |\n| 6 | 4 | ✓ |\n| 8 | 3 | ✓ |\n| 9 | \\(\\frac{24}{9} \\notin \\mathbb{Z}\\) | ✗ |\n\n**Sprzyjające pary (uporządkowane):** \\((3,8),\\ (8,3),\\ (4,6),\\ (6,4)\\)\n\n\\[|A| = 4\\]\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{81}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez prawdopodobieństwo warunkowe (rozłączne przypadki)\n\nRozbijamy zdarzenie A na dwa rozłączne przypadki:\n\n**Przypadek 1:** wylosujemy parę \\(\\{3, 8\\}\\) (w dowolnej kolejności):\n\\[P(\\text{najpierw 3, potem 8}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\\[P(\\text{najpierw 8, potem 3}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\n**Przypadek 2:** wylosujemy parę \\(\\{4, 6\\}\\) (w dowolnej kolejności):\n\\[P(\\text{najpierw 4, potem 6}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\\[P(\\text{najpierw 6, potem 4}) = \\frac{1}{9} \\cdot \\frac{1}{9} = \\frac{1}{81}\\]\n\nPrzypadki są rozłączne, więc:\n\\[P(A) = \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} + \\frac{1}{81} = \\frac{4}{81}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: policzyliśmy liczbę wyników sprzyjających \\(|A| = 4\\) i podzieliliśmy przez liczbę wszystkich wyników \\(|\\Omega| = 81\\).\n\nDodatkowo korzystamy z własności:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\n- w Sposobie 2, sumując prawdopodobieństwa rozłącznych par.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie jest **kolejne ze zwracaniem** - para \\((3, 8)\\) i \\((8, 3)\\) to **dwa różne wyniki**! Uczniowie często liczą tylko 2 pary zamiast 4 (traktują wyniki jako zbiory, nie pary uporządkowane), co daje błędne \\(\\frac{2}{81}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przegapić jakąś parę przy szukaniu dzielników 24. Zawsze sprawdzaj **wszystkie** dzielniki liczby 24 mniejsze lub równe 9, metodycznie od 1 do 9.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(9^2 = 81\\), **nie** \\(\\binom{9}{2} = 36\\). Symbol Newtona \\(\\binom{9}{2}\\) stosujemy przy losowaniu **bez** zwracania i **bez** uwzględniania kolejności - tu sytuacja jest inna (ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie).\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (2 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a, b \\in M\\). \\(|\\Omega| = 9\\cdot 9 = 81\\).\nPary \\((a, b)\\) z \\(a\\cdot b = 24\\) i \\(a, b \\in \\{1, \\ldots, 9\\}\\):\n- \\(3\\cdot 8 = 24\\) → \\((3,8), (8,3)\\)\n- \\(4\\cdot 6 = 24\\) → \\((4,6), (6,4)\\)\nWięc \\(|A| = 4\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{81}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\nKażda gałąź: pierwsze losowanie (9 możliwości × \\(\\tfrac{1}{9}\\)) → drugie losowanie. Sprzyjające gałęzie: 3→8, 4→6, 6→4, 8→3. Prawdopodobieństwo każdej: \\(\\tfrac{1}{9}\\cdot \\tfrac{1}{9} = \\tfrac{1}{81}\\).\n\\(P(A) = 4\\cdot \\tfrac{1}{81} = \\tfrac{4}{81}\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za wypisanie wszystkich zdarzeń sprzyjających lub obliczenie \\(|\\Omega| = 81\\) lub \\(|A| = 4\\).\n- **2 pkt** - za obliczenie \\(P(A) = \\tfrac{4}{81}\\).\n\n**Trik:** losowanie ze zwracaniem = pary uporządkowane; kolejność ma znaczenie.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nWykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą\no równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0)\nnależą do wykresu funkcji 𝑓. Oblicz wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nWykres funkcji kwadratowej f określonej wzorem f(x)=ax^2+bx+c ma z prostą o równaniu y=6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty A=(-5,0) i B=(3,0) należą do wykresu funkcji f. Oblicz wartości współczynników a, b oraz c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o funkcji lub\no jej wykresie.\nZasady oceniania dla sposobów 1.-5.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3)\nALBO\npoda/obliczy odciętą 𝑝 wierzchołka paraboli: 𝑝= -1,\nALBO\nzapisze jedno równanie z niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 wynikające z treści zadania,\nnp.\n3\n4\n6\n8\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n8\n6\n4\n3\n1\n9\n1\n9\n1\n9\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, lub 6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n,\nlub -𝑏\n𝑎= -2, lub 𝑐\n𝑎= -15,\nALBO\nzapisze, że rzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6: 𝑞= 6.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) lub w postaci\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎 oraz zapisze, że rzędna wierzchołka paraboli jest równa 6\nALBO\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6,\nALBO\npoda/obliczy odciętą wierzchołka paraboli i poda rzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -1, 𝑞= 6,\nALBO\nzapisze układ dwóch równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, z których jedno jest\njednym z równań\n6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\nlub 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nnatomiast drugie jest jednym z równań\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 lub 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, lub -𝑏\n2𝑎= -1,\nlub -𝑏\n𝑎= -2, lub 𝑐\n𝑎= -15,\nALBO\nzapisze równanie 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) -6 = 0 (dla sposobu 5.).\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n6 = 𝑎(-1 + 5)(-1 -3) lub 0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6, lub 0 = 𝑎(-5 + 1)2 + 6\nALBO\nzapisze układ trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzący do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\nLUB\n-𝑏\n𝑎= -2 i 𝑐\n𝑎= -15 i 6 =\n-(𝑏2-4𝑎𝑐)\n4𝑎\n,\nLUB\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-𝑏\n2𝑎= -1 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nLUB\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i -𝑏\n2𝑎= -1 i 6 = 𝑎⋅(-1)2 + 𝑏⋅(-1) + 𝑐,\nALBO\nuzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 i zapisze współrzędne wierzchołka\nparaboli, np. 𝑏= 2𝑎 oraz 𝑐= -15𝑎 oraz 𝑊= (-1, 6),\nALBO\nzapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎 oraz zapisze\nwspółrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (-1, 6)\n(lub zapisze wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑎+ 6 oraz zapisze\nrówność 𝑓(-5) = 0 lub 𝑓(3) = 0),\nALBO\nzapisze wzór funkcji w postaciach\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑝𝑥+ 𝑎𝑝2 + 6 i 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎\noraz zapisze układ równań -2𝑎𝑝= 2𝑎 i 𝑎𝑝2 + 6 = -15𝑎,\nALBO\nuzależni współczynniki 𝑏 oraz 𝑐 od 𝑎 (np. 𝑏= 2𝑎 oraz 𝑐= -15𝑎) oraz\nzapisze związki Δ = 64𝑎2 i 𝑞= 6,\nALBO\nzapisze, że wyróżnik trójmianu 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 musi być równy 0 (dla\nsposobu 5.).\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) i obliczy\nwspółczynnik 𝑎: 𝑎= -3\n8\nALBO\nzapisze wzór funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6 i obliczy współczynnik 𝑎:\n𝑎= -3\n8 ,\nALBO\nobliczy poprawnie tylko dwa współczynniki spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, pomijając\nw obliczeniach trzeci współczynnik,\nALBO\nobliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, popełniając w trakcie rozwiązywania jedynie\nbłędy rachunkowe.\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy obliczy współczynniki 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający poprawnie obliczy/poda obie współrzędne wierzchołka paraboli, ale zapisze\nbłędne równanie 0 = 𝑎(3 -1)2 + 6 lub 0 = 𝑎(-5 -1)2 + 6, a następnie\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający poprawnie zidentyfikuje miejsca zerowe funkcji, ale zapisze błędne\nrównanie 6 = 𝑎(-1 -5)(-1 -3) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający ustali poprawną wartość współczynnika 𝑎 i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, nie popełniając błędu, to może otrzymać 5 punktów za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeśli zdający przyjmie współrzędne wierzchołka paraboli (6, -1) i konsekwentnie\nrozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3).\nZnając pierwiastki trójmianu, obliczamy odciętą 𝑝 wierzchołka tej paraboli\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -5 + 3\n2\n= -1\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6. Podstawiając współrzędne wierzchołka\nparaboli do wzoru funkcji 𝑓, otrzymujemy\n6 = 𝑎(-1 + 5)(-1 -3)\n6 = -16𝑎\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nZapisujemy funkcję kwadratową w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = -3\n8 (𝑥+ 5)(𝑥-3) = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nSposób 2.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Znając pierwiastki trójmianu, obliczamy odciętą 𝑝 wierzchołka tej paraboli\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= -5 + 3\n2\n= -1\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 6.\nPonieważ 𝑓(3) = 0, więc\n0 = 𝑎(3 + 1)2 + 6\n0 = 16𝑎+ 6\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nZatem 𝑓(𝑥) = -3\n8 (𝑥+ 1)2 + 6 = -3\n8 (𝑥2 + 2𝑥+ 1) + 6 = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8 .\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nSposób 3.\nPunkty 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0) należą do wykresu funkcji 𝑓, więc\n𝑎⋅(-5)2 + 𝑏⋅(-5) + 𝑐= 0 i 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0\nOdejmując stronami te dwa równania otrzymujemy\n(25𝑎-5𝑏+ 𝑐) -(9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐) = 0\n16𝑎-8𝑏= 0\n𝑏= 2𝑎\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka paraboli jest równa 6. Zatem\n𝑞= -Δ\n4𝑎\n6 = -(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy\n6 = -((2𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n6 = -4𝑎2 + 4𝑎𝑐\n4𝑎\n6 = 4𝑎(-𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n6 = -𝑎+ 𝑐\n𝑐= 6 + 𝑎\nZ uzyskanych wcześniej równań 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= 0, 𝑏= 2𝑎 i 𝑐= 6 + 𝑎 obliczamy 𝑎:\n𝑎⋅32 + 2𝑎⋅3 + 6 + 𝑎= 0\n16𝑎= -6\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nStąd 𝑏= 2𝑎= 2 ⋅(-3\n8) = -3\n4 oraz 𝑐= 6 + 𝑎= 6 -3\n8 = 45\n8 .\nSposób 4.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3)\nPo rozwinięciu tego wzoru otrzymujemy\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrzędna 𝑞 wierzchołka tej paraboli jest równa 6. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać\nw postaci kanonicznej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 6\nPo rozwinięciu tego wzoru otrzymujemy\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 -2𝑎𝑝𝑥+ 𝑎𝑝2 + 6\nZ twierdzenia o równości wielomianów otrzymujemy układ równań\n2𝑎= -2𝑎𝑝 oraz -15𝑎= 𝑎𝑝2 + 6\nZ pierwszego równania otrzymujemy 𝑝= -1, więc stąd i z drugiego równania otrzymujemy\n-15𝑎= 𝑎+ 6\n-16𝑎= 6\n𝑎= -6\n16 = -3\n8\nZatem\n𝑓(𝑥) = -3\n8 𝑥2 + 2 ⋅(-3\n8) 𝑥-15 ⋅(-3\n8)\n𝑓(𝑥) = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 5.\nPonieważ parabola, która jest wykresem funkcji 𝑓, przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych\nw punktach 𝐴= (-5, 0) i 𝐵= (3, 0), więc pierwiastkami trójmianu są liczby 𝑥1 = -5\noraz 𝑥2 = 3. Zatem wzór funkcji 𝑓 możemy zapisać w postaci iloczynowej\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3).\nPonieważ parabola ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny, więc\nrównanie 𝑎(𝑥+ 5)(𝑥-3) = 6 ma dokładnie jedno rozwiązanie. Przekształcając kolejno,\notrzymujemy\n𝑎(𝑥2 + 2𝑥-15) = 6\n𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎= 6\n𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 = 0\nRównanie 𝑎𝑥2 + 2𝑎𝑥-15𝑎-6 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy Δ = 0. Zatem\nΔ = (2𝑎)2 -4𝑎(-15𝑎-6) = 64𝑎2 + 24𝑎\n64𝑎2 + 24𝑎= 0\nStąd\n𝑎= 0 lub 𝑎= -6\n16 = -3\n8\nWartość 𝑎= 0 nie spełnia warunków zadania.\nZapisujemy wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej\n𝑓(𝑥) = -3\n8 (𝑥+ 5)(𝑥-3) = -3\n8 𝑥2 -3\n4 𝑥+ 45\n8\nStąd odczytujemy wartości współczynników trójmianu: 𝑎= -3\n8 , 𝑏= -3\n4 , 𝑐= 45\n8 .\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.)\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\ngłówny 2022.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym\nzadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów\narytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli\nprzedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie\nrozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry\nlub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,\nktóra wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może\notrzymać 1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nstosuje poprawną metodę obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -2𝑥-16, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\nw wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę,\nALBO\npoprawnie rozwiązuje nierówność 3𝑥2 -2𝑥-9 ≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\ndla wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu\ni nierówności konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań tej nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów\notwartych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np.\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-∞, 8\n3⟩∪⟨-2, +∞),\n(+∞, 8\n3⟩∪⟨-2, -∞), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedno z równań: 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 lub 𝑎100 = 𝑎1 + 99𝑟, lub 𝑆100 = 𝑎1+𝑎100\n2\n⋅100.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nprzekształcając nierówność 𝑎2+𝑏2\n2\n> (𝑎+𝑏\n2 )\n2\n, zastosuje wzór skróconego mnożenia na\nkwadrat sumy, popełniając błędy dyskalkuliczne.\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nodczyta przybliżoną wartość kąta, dla którego tg 𝛼= 2 (𝛼= 63° lub 𝛼= 64°) i na tej\npodstawie oblicza sin2 𝛼.\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 32. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi do\nzadania ze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 81 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń\nelementarnych).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 3) i konsekwentnie zapisze wynik 3\n81 .\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwag do\nzadania ze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 35.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[a = -\\frac{3}{8}, \\quad b = -\\frac{3}{4}, \\quad c = \\frac{45}{8}\\]\n\n## Sposób 1 - Postać iloczynowa + warunek wierzchołka\n\n**Krok 1. Skorzystaj z faktu, że A i B leżą na wykresie.**\n\nPonieważ \\(A = (-5,\\, 0)\\) i \\(B = (3,\\, 0)\\) leżą na wykresie funkcji \\(f\\), mamy:\n\\[f(-5) = 0 \\quad \\text{i} \\quad f(3) = 0\\]\nOznacza to, że \\(x_1 = -5\\) i \\(x_2 = 3\\) są **miejscami zerowymi** funkcji \\(f\\).\n\nMożemy więc zapisać funkcję w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = a(x + 5)(x - 3)\\]\n\n**Krok 2. Znajdź współrzędną x wierzchołka.**\n\nWierzchołek paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-5 + 3}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\]\n\n**Krok 3. Skorzystaj z warunku: dokładnie jeden punkt wspólny z prostą \\(y = 6\\).**\n\nProsta \\(y = 6\\) ma **dokładnie jeden** punkt wspólny z parabolą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona **styczna do paraboli w wierzchołku**, czyli:\n\\[f(p) = 6 \\quad \\Longrightarrow \\quad f(-1) = 6\\]\n\n**Dlaczego akurat wierzchołek?**\nParabola ma miejsca zerowe \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\), więc jej wierzchołek leży między nimi - na wysokości ujemnej (dla \\(a > 0\\)) lub dodatniej (dla \\(a < 0\\)). Pozioma prosta \\(y = 6 > 0\\) może przeciąć parabolę otwartą w górę (\\(a > 0\\)) w **dwóch punktach** (ponieważ jej minimum byłoby ujemne). Jedyny możliwy przypadek z dokładnie jednym punktem wspólnym to parabola skierowana w dół (\\(a < 0\\)) z maksimum właśnie na poziomie \\(y = 6\\). ✓\n\n**Krok 4. Wyznacz \\(a\\).**\n\n\\[f(-1) = a(-1+5)(-1-3) = a \\cdot 4 \\cdot (-4) = -16a\\]\n\\[-16a = 6\\]\n\\[\\boxed{a = -\\frac{6}{16} = -\\frac{3}{8}}\\]\n\n**Krok 5. Rozwiń postać iloczynową, aby znaleźć \\(b\\) i \\(c\\).**\n\n\\[f(x) = -\\frac{3}{8}(x+5)(x-3) = -\\frac{3}{8}(x^2 + 2x - 15)\\]\n\\[f(x) = -\\frac{3}{8}x^2 - \\frac{6}{8}x + \\frac{45}{8}\\]\n\\[f(x) = -\\frac{3}{8}x^2 - \\frac{3}{4}x + \\frac{45}{8}\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{a = -\\frac{3}{8}, \\quad b = -\\frac{3}{4}, \\quad c = \\frac{45}{8}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań + wyróżnik \\(\\Delta = 0\\)\n\n**Krok 1. Trzy równania z trzech warunków.**\n\nZ warunków \\(f(-5) = 0\\) i \\(f(3) = 0\\):\n\\[25a - 5b + c = 0 \\tag{1}\\]\n\\[9a + 3b + c = 0 \\tag{2}\\]\n\nWarunek „dokładnie jeden punkt wspólny z \\(y = 6\\)\": równanie \\(f(x) = 6\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jego wyróżnik wynosi zero:\n\\[ax^2 + bx + c - 6 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad \\Delta = b^2 - 4a(c-6) = 0 \\tag{3}\\]\n\n**Krok 2. Odejmij równania (1) i (2), by pozbyć się \\(c\\).**\n\n\\[(1) - (2):\\quad 16a - 8b = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad b = 2a \\tag{4}\\]\n\n**Krok 3. Podstaw (4) do (2), wyraź \\(c\\) przez \\(a\\).**\n\n\\[9a + 3(2a) + c = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad 15a + c = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad c = -15a \\tag{5}\\]\n\n**Krok 4. Podstaw (4) i (5) do warunku (3).**\n\n\\[(2a)^2 - 4a(-15a - 6) = 0\\]\n\\[4a^2 + 60a^2 + 24a = 0\\]\n\\[64a^2 + 24a = 0\\]\n\\[8a(8a + 3) = 0\\]\n\nStąd \\(a = 0\\) (odrzucamy - nie byłaby to funkcja kwadratowa) lub:\n\\[\\boxed{a = -\\frac{3}{8}}\\]\n\nZ (4) i (5):\n\\[b = 2 \\cdot \\left(-\\frac{3}{8}\\right) = -\\frac{3}{4}, \\qquad c = -15 \\cdot \\left(-\\frac{3}{8}\\right) = \\frac{45}{8}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n- \\(f(-5) = -\\frac{3}{8} \\cdot 25 + \\frac{3}{4} \\cdot 5 + \\frac{45}{8} = -\\frac{75}{8} + \\frac{30}{8} + \\frac{45}{8} = 0\\) ✓\n- \\(f(3) = -\\frac{3}{8} \\cdot 9 - \\frac{3}{4} \\cdot 3 + \\frac{45}{8} = -\\frac{27}{8} - \\frac{18}{8} + \\frac{45}{8} = 0\\) ✓\n- \\(f(-1) = -\\frac{3}{8} - (-\\frac{3}{4}) + \\frac{45}{8} = -\\frac{3}{8} + \\frac{6}{8} + \\frac{45}{8} = \\frac{48}{8} = 6\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n1. **Postać iloczynowa** (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 1 do zapisania funkcji przez jej miejsca zerowe \\(x_1 = -5\\), \\(x_2 = 3\\).\n\n2. **Wierzchołek paraboli**:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyty do znalezienia osi symetrii paraboli (środek między zerami).\n\n3. **Wyróżnik i warunek jednego miejsca zerowego** (\\(\\Delta = 0\\)):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 0 \\quad \\Longleftrightarrow \\quad \\text{jedno rozwiązanie}\\]\nUżyty w Sposobie 2 do warunku, że \\(f(x) - 6 = 0\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „dokładnie jeden punkt wspólny z \\(y = 6\\)\" oznacza, że **prosta jest styczna do paraboli**, czyli \\(\\Delta = 0\\) dla równania \\(f(x) = 6\\). Nie mylić z \\(\\Delta = 0\\) dla \\(f(x) = 0\\) - to byłby zupełnie inny warunek (jedno miejsce zerowe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skierowanie paraboli ma znaczenie! Ponieważ miejsca zerowe to \\(-5\\) i \\(3\\), a między nimi parabola jest pod osią OX, dla \\(a > 0\\) maksimum byłoby „na zewnątrz\" - prosta \\(y = 6 > 0\\) przecięłaby ją w dwóch punktach. Jedyne rozwiązanie to \\(a < 0\\) (parabola skierowana w dół, maksimum = 6).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu postaci iloczynowej łatwo o błąd rachunkowy. Sprawdzaj zawsze, podstawiając \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) - wynik musi być 0.\n\n**Rozwiązanie zadania otwartego (5 pkt)**\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa i wierzchołek\nPunkty \\(A = (-5, 0)\\) i \\(B = (3, 0)\\) to miejsca zerowe, więc:\n\\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\).\nWierzchołek paraboli: \\(p = \\dfrac{x_1 + x_2}{2} = \\dfrac{-5+3}{2} = -1\\).\nParabola ma z prostą \\(y=6\\) dokładnie jeden punkt wspólny, więc wartość wierzchołka (ekstremum) to \\(q = 6\\).\nPodstawiamy \\(W = (-1, 6)\\) do wzoru:\n\\(6 = a(-1+5)(-1-3) = a\\cdot 4\\cdot (-4) = -16a\\), więc \\(a = -\\dfrac{6}{16} = -\\dfrac{3}{8}\\).\nRozwijamy: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{8}(x+5)(x-3) = -\\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x - 15) = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{45}{8}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\), \\(b = -\\dfrac{3}{4}\\), \\(c = \\dfrac{45}{8}\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\nWierzchołek \\((-1, 6)\\): \\(f(x) = a(x+1)^2 + 6\\).\nZ \\(f(3) = 0\\): \\(0 = a(3+1)^2 + 6 = 16a + 6\\), \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\).\nRozwijamy: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{8}(x^2 + 2x + 1) + 6 = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x - \\dfrac{3}{8} + 6 = -\\dfrac{3}{8}x^2 - \\dfrac{3}{4}x + \\dfrac{45}{8}\\).\n\n### Komentarz CKE\n- **1 pkt** - za zapis \\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\) lub \\(p = -1\\) lub jedno równanie na współczynniki.\n- **2 pkt** - za zapis \\(f(x) = a(x+5)(x-3)\\) + \\(q = 6\\).\n- **3 pkt** - za zapis równania z jedną niewiadomą \\(a\\), np. \\(6 = a(-1+5)(-1-3)\\).\n- **4 pkt** - za obliczenie \\(a = -\\dfrac{3}{8}\\).\n- **5 pkt** - za kompletne \\(a = -\\dfrac{3}{8}, b = -\\dfrac{3}{4}, c = \\dfrac{45}{8}\\).\n\n**Trik:** 'dokładnie jeden punkt wspólny' z prostą poziomą oznacza że ta prosta jest styczna - czyli jej \\(y\\) to \\(q\\) wierzchołka.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"funkcje","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}