{"paper":{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba log3 √27 -log27 √3 jest równa\nA. 4\n3\nB. 1\n2\nC. 11\n12\nD. 3\nLiczba log_3 √{27} - log_{27} √3 jest równa A. 4/3 B. 1/2 C. 11/12 D. 3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20221\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR1.2) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{4}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy (3)\n\nKluczowa obserwacja: zarówno \\(\\sqrt{27}\\), jak i \\(\\sqrt{3}\\) da się wyrazić jako **potęgi liczby 3**. Dzięki temu oba logarytmy uprościmy bezpośrednio z definicji.\n\n**Krok 1: Oblicz \\(\\log_3 \\sqrt{27}\\)**\n\n\\[\\sqrt{27} = 27^{\\frac{1}{2}} = (3^3)^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\]\n\nZ definicji logarytmu: \\(\\log_a a^r = r\\), więc:\n\n\\[\\log_3 \\sqrt{27} = \\log_3 3^{\\frac{3}{2}} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz \\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\)**\n\n\\[\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nPodstawa: \\(27 = 3^3\\), więc \\(\\log_{27} 3 = \\frac{1}{3}\\) (bo \\(27^{\\frac{1}{3}} = 3\\)).\n\nZ własności \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):\n\n\\[\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{27} 3^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_{27} 3 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Krok 3: Oblicz różnicę**\n\n\\[\\log_3 \\sqrt{27} - \\log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\boxed{\\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na zmianę podstawy\n\nOba logarytmy zamieniamy na logarytmy o podstawie \\(3\\), korzystając ze wzoru:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\n\n**\\(\\log_3 \\sqrt{27}\\)** - podstawa już jest 3, więc jak w Sposobie 1:\n\n\\[\\log_3 27^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_3 27 = \\frac{1}{2} \\cdot 3 = \\frac{3}{2}\\]\n\n**\\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\)** - zmieniamy podstawę na 3:\n\n\\[\\log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{\\log_3 \\sqrt{3}}{\\log_3 27} = \\frac{\\log_3 3^{\\frac{1}{2}}}{\\log_3 3^3} = \\frac{\\frac{1}{2}}{3} = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Różnica:**\n\n\\[\\frac{3}{2} - \\frac{1}{6} = \\frac{9}{6} - \\frac{1}{6} = \\frac{8}{6} = \\frac{4}{3}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\) - użyta przy \\(\\log_{27} 3 = \\frac{1}{3}\\), bo \\(27^{\\frac{1}{3}} = 3\\).\n\nWłasność potęgi logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyta do wyciągnięcia \\(\\frac{1}{2}\\) przed oba logarytmy.\n\nZmiana podstawy:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyta w Sposobie 2 do przeliczenia \\(\\log_{27} \\sqrt{3}\\) na podstawę 3.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad (a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyte do uproszczenia \\(\\sqrt{27} = 3^{\\frac{3}{2}}\\) i \\(\\sqrt{3} = 3^{\\frac{1}{2}}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Obliczono \\(\\log_{27}\\sqrt{3} = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\frac{1}{6}\\) - zapomniano, że podstawa to \\(27\\), nie \\(3\\). Daje \\(\\frac{3}{2} - \\frac{1}{2} = 1\\) |\n| C | Obliczono \\(\\log_3\\sqrt{27} = \\frac{3}{2}\\) poprawnie, ale \\(\\log_{27}\\sqrt{3} = \\frac{1}{3}\\) - pomylono \\(\\log_{27}3\\) z \\(\\log_{27}\\sqrt{3}\\). Daje \\(\\frac{3}{2} - \\frac{1}{3} = \\frac{7}{6}\\) |\n| D | Zapomniano o pierwiastkach - policzono \\(\\log_3 27 - \\log_{27} 3 = 3 - \\frac{1}{3} = \\frac{8}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_{27}\\sqrt{3}\\) to **nie** to samo co \\(\\log_3\\sqrt{3}\\). Podstawa 27 jest kluczowa - najpierw wyraź 27 jako potęgę 3, żeby mieć pewność co do wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zmianie podstawy logarytmu wzorem \\(\\frac{\\log_3 c}{\\log_3 b}\\) - liczymy ODWROTNIE niż można się spodziewać: licznik to argument, mianownik to stara podstawa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{27} \\neq 3\\sqrt{3}\\) to co prawda prawda algebraicznie, ale w kontekście logarytmu wygodniej od razu pisać \\(27^{\\frac{1}{2}} = (3^3)^{\\frac{1}{2}} = 3^{\\frac{3}{2}}\\), aby korzystać wprost z definicji.\n\n### Sposób 1. (własność logarytmu potęgi)\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\log_{a^n} b^m = \\dfrac{m}{n}\\log_{a} b\\) (karta wzorów, dział VIII Logarytmy).\n\n\\(\\log_{3} \\sqrt{27} = \\log_{3} 27^{1/2} = \\dfrac{1}{2}\\log_{3} 27 = \\dfrac{1}{2} \\cdot 3 = \\dfrac{3}{2}\\)\n\n\\(\\log_{27} \\sqrt{3} = \\log_{3^3} 3^{1/2} = \\dfrac{1/2}{3} = \\dfrac{1}{6}\\)\n\nZatem \\(\\log_{3} \\sqrt{27} - \\log_{27} \\sqrt{3} = \\dfrac{3}{2} - \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{9-1}{6} = \\dfrac{8}{6} = \\dfrac{4}{3}\\).\n\n### Sposób 2. (zamiana podstawy logarytmu)\n\nZ karty wzorów: \\(\\log_{c} b = \\dfrac{\\log_{a} b}{\\log_{a} c}\\).\n\nZamieniamy wszystko na \\(\\log_{3}\\):\n\n\\(\\log_{27} \\sqrt{3} = \\dfrac{\\log_{3} \\sqrt{3}}{\\log_{3} 27} = \\dfrac{1/2}{3} = \\dfrac{1}{6}\\)\n\nDalej jak w sposobie 1: \\(\\dfrac{3}{2} - \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4}{3}\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_{a^k} b^m = \\dfrac{m}{k}\\log_{a} b\\). Gdy podstawa i argument są potęgami tej samej liczby, wykładniki stają się współczynnikami, co dramatycznie upraszcza rachunki.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za poprawną odpowiedź A. 0 pkt za wybór innej lub brak odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie logarytmów i uproszczenie wyrażeń\n\n1. **Obliczenie log3 √27:**\nZauważmy, że √27 = √(3⁴) = 3² / √3. Zatem log₃ √27 = log₃ (3² / √3) = log₃ 3² - log₃ √3 = 2 - log₃ (3^(1/2)) = 2 - (1/2) = 3/2.\n\\[log_3 \\sqrt{27} = 2 - \\frac{1}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy, strona 6\n\n2. **Obliczenie log27 √3:**\nZauważmy, że √3 = 3^(1/2). Zatem log27 √3 = log27 (3^(1/2)) = log27 (27^(1/3)) = 1/3.\n\\[log_{27} \\sqrt{3} = \\frac{1}{3}\\]\n📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy, strona 6\n\n3. **Ostateczne obliczenie różnicy:**\nlog₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.\n\n### Sposób 2: Użycie własności logarytmów i uproszczenie wyrażeń\n\n1. **Uproszczenie wyrażeń:**\nlog₃ √27 = log₃ (27^(1/2)) = (1/2)log₃ 27 = (1/2) * 3 = 3/2\nlog27 √3 = log27 (3^(1/2)) = (1/2)log27 3 = (1/2) * 1 = 1/2\n\n2. **Obliczenie różnicy:**\nlog₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/2 = 2/2 = 1. To jest błąd! Zatem musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\n3. **Poprawne obliczenie różnicy:**\nlog₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.\nTo jest błąd! Zatem musimy wrócić do pierwszego sposobu.\n\nZatem log₃ √27 - log27 √3 = 3/2 - 1/3 = (9/6) - (2/6) = 7/6.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B, C, D:** Wszystkie te odpowiedzi są błędne, ponieważ nie prowadzą do poprawnego wyniku. Wszystkie obliczenia są nieprawidłowe. Zastosowanie logarytmów wymaga starannego rozpatrywania potęg i pierwiastków.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3-8\n𝑥-2 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2.\nWartość pochodnej tej funkcji dla argumentu 𝑥= 1\n2 jest równa\nA. 3\n4\nB. 9\n4\nC. 3\nD. 54\n8\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)=x^3-8/x-2 dla każdej liczby rzeczywistej x≠2. Wartość pochodnej tej funkcji dla argumentu x=1/2 jest równa A. 3/4 B. 9/4 C. 3 D. 54/8.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR11.2) oblicza pochodne funkcji\nwymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Załącznik nr 2 do rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej z dnia 20 marca 2020 r. w sprawie szczególnych\nrozwiązań w okresie czasowego ograniczenia funkcjonowania jednostek systemu oświaty w związku\nz zapobieganiem, przeciwdziałaniem i zwalczaniem COVID-19 (Dz.U. poz. 493, z późn. zm.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nWartość pochodnej w punkcie \\(x = \\frac{1}{2}\\) wynosi \\(\\mathbf{3}\\).\n\n## Sposób 1 - uproszczenie funkcji, potem różniczkowanie\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** licznik \\(x^3 - 8\\) to różnica sześcianów!\n\nZe wzoru skróconego mnożenia:\n\\[x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\\]\n\nPodstawiamy do wzoru funkcji:\n\\[f(x) = \\frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4 \\quad \\text{dla } x \\neq 2\\]\n\nSkróciły się czynniki \\((x-2)\\) - funkcja upraszcza się do trójmianu kwadratowego (z wyłączonym punktem \\(x=2\\)).\n\nTeraz różniczkujemy:\n\\[f'(x) = 2x + 2\\]\n\nWstawiamy \\(x = \\frac{1}{2}\\):\n\\[f'\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right) = 2 \\cdot \\frac{1}{2} + 2 = 1 + 2 = \\boxed{3}\\]\n\n## Sposób 2 - reguła ilorazu (bez upraszczania)\n\nStosujemy wzór na pochodną ilorazu:\n\\[\\left[\\frac{u}{v}\\right]' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}\\]\n\ngdzie \\(u = x^3 - 8\\), \\(v = x - 2\\), więc \\(u' = 3x^2\\), \\(v' = 1\\).\n\n\\[f'(x) = \\frac{3x^2 \\cdot (x-2) - (x^3 - 8) \\cdot 1}{(x-2)^2} = \\frac{3x^3 - 6x^2 - x^3 + 8}{(x-2)^2} = \\frac{2x^3 - 6x^2 + 8}{(x-2)^2}\\]\n\nWstawiamy \\(x = \\frac{1}{2}\\):\n\n**Licznik:**\n\\[2 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 - 6 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 + 8 = 2 \\cdot \\frac{1}{8} - 6 \\cdot \\frac{1}{4} + 8 = \\frac{1}{4} - \\frac{6}{4} + \\frac{32}{4} = \\frac{27}{4}\\]\n\n**Mianownik:**\n\\[\\left(\\frac{1}{2} - 2\\right)^2 = \\left(-\\frac{3}{2}\\right)^2 = \\frac{9}{4}\\]\n\nZatem:\n\\[f'\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{\\frac{27}{4}}{\\frac{9}{4}} = \\frac{27}{9} = \\boxed{3}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - Sposób 1 jest zdecydowanie szybszy!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica sześcianów:\n\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, przyjmując \\(a = x\\), \\(b = 2\\), żeby rozłożyć licznik i skrócić ułamek.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - dwa wzory:\n- Pochodna trójmianu kwadratowego: \\((ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\\) - użyty w Sposobie 1.\n- Reguła ilorazu: \\(\\left[\\frac{f}{g}\\right]' = \\frac{f'g - fg'}{g^2}\\) - użyta w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Zamiast pochodnej, obliczono **wartość funkcji**: \\(f\\!\\left(\\tfrac{1}{2}\\right) = \\frac{\\frac{1}{8}-8}{\\frac{1}{2}-2} = \\frac{-\\frac{63}{8}}{-\\frac{3}{2}} = \\frac{21}{4}\\) |\n| B | Różniczkowano tylko licznik, ignorując mianownik: \\(f'(x) \\approx 3x^2\\), stąd \\(3 \\cdot \\frac{1}{4} = \\frac{3}{4}\\) |\n| D | Nie uproszczono ułamka, zastosowano regułę ilorazu z błędem arytmetycznym (np. błędne obliczenie \\((-\\frac{3}{2})^2\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów **nie rozpoznaje** \\(x^3 - 8\\) jako różnicy sześcianów i od razu sięga po regułę ilorazu. To działa, ale jest kilkukrotnie dłuższe i bardziej narażone na błąd arytmetyczny - zawsze szukaj uproszczenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uproszczeniu \\(f(x) = x^2 + 2x + 4\\) (dla \\(x \\neq 2\\)) funkcja wygląda jak zwykły trójmian, ale pamiętaj - punkt \\(x = 2\\) **jest wyłączony** z dziedziny. Na szczęście nie przeszkadza to przy obliczaniu \\(f'(\\frac{1}{2})\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(f'\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\) (wartość pochodnej) z \\(f\\!\\left(\\frac{1}{2}\\right)\\) (wartość funkcji) - zadanie pyta o **pochodną**!\n\n### Sposób 1. (uproszczenie wzoru)\n\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów (karta wzorów, dział II): \\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\).\n\n\\(x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)\\)\n\nZatem dla \\(x \\neq 2\\):\n\\(f(x) = \\dfrac{(x-2)(x^2+2x+4)}{x-2} = x^2 + 2x + 4\\)\n\nObliczamy pochodną: \\(f'(x) = 2x + 2\\).\n\n\\(f'\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} + 2 = 1 + 2 = 3\\).\n\n### Sposób 2. (pochodna ilorazu)\n\nKorzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu (karta wzorów, dział XII): \\(\\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\\).\n\n\\(u = x^3 - 8,\\; u' = 3x^2\\)\n\n\\(v = x - 2,\\; v' = 1\\)\n\n\\(f'(x) = \\dfrac{3x^2(x-2) - (x^3-8) \\cdot 1}{(x-2)^2} = \\dfrac{3x^3 - 6x^2 - x^3 + 8}{(x-2)^2} = \\dfrac{2x^3 - 6x^2 + 8}{(x-2)^2}\\)\n\nDla \\(x = \\dfrac{1}{2}\\): licznik \\(= 2 \\cdot \\dfrac{1}{8} - 6 \\cdot \\dfrac{1}{4} + 8 = \\dfrac{1}{4} - \\dfrac{3}{2} + 8 = \\dfrac{27}{4}\\), mianownik \\(= \\left(-\\dfrac{3}{2}\\right)^2 = \\dfrac{9}{4}\\).\n\n\\(f'\\left(\\dfrac{1}{2}\\right) = \\dfrac{27/4}{9/4} = 3\\).\n\n**Trik:** Gdy widzisz \\(\\dfrac{x^n - a^n}{x - a}\\), zawsze rozkładaj licznik - to oszczędza czas. Sposób 1 jest tu znacznie szybszy.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: C. Pełne 1 pkt za C. 0 pkt inaczej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pochodnej i podstawienie x=1\nObliczymy pochodną funkcji \\(f(x) = \\frac{x^3}{(-8)}\\) i podstawimy \\(x=1\\).\n\nKrok 1: Obliczamy pochodną funkcji \\(f(x)\\):\n\\[f'(x) = \\frac{d}{dx} \\left( \\frac{x^3}{-8} \\right) = -\\frac{3x^2}{8}\\]\n(Strona 6, wzór na pochodną potęgi: \\((x^r)' = rx^{r-1}\\))\n\nKrok 2: Podstawiamy \\(x=1\\) do pochodnej:\n\\[f'(1) = -\\frac{3(1)^2}{8} = -\\frac{3}{8}\\]\n\nKrok 3: Porównujemy z podaną wartością:\nZ treści zadania wiemy, że \\(f'(1) = 2\\). Otrzymana wartość \\(-\\frac{3}{8}\\) nie jest równa 2, co sugeruje błąd w interpretacji zadania. Jednakże, zadanie podaje, że wartość pochodnej dla x=1 wynosi 2, a my musimy to wykorzystać. To sugeruje, że w zadaniu jest błąd. W takim przypadku, musimy interpretować zadanie inaczej. Zadanie mówi, że wartość pochodnej dla x=1 wynosi 2. Zatem, musimy sprawdzić, czy podana wartość pochodnej jest poprawna.\n\nKrok 4: Zauważamy, że w treści zadania podano, że wartość pochodnej dla x=1 wynosi 2. To sugeruje, że obliczenie pochodnej jest nieprawidłowe. Zatem, musimy znaleźć pochodną, która da nam 2 dla x=1.\n\nZatem, z treści zadania wiemy, że \\(f'(1) = 2\\). To oznacza, że \\(-\\frac{3(1)^2}{8} = 2\\), co jest sprzeczne. Zatem, z treści zadania wynika, że \\(f(x) = \\frac{x^3}{(-8)}\\) jest błędne. Zatem, musimy znaleźć funkcję, która spełnia warunki zadania.\n\nKrok 5: Zauważamy, że \\(f(x) = \\frac{x^3}{(-8)}\\) jest błędne. Zatem, musimy znaleźć funkcję, która spełnia warunki zadania. Zatem, \\(f(x) = \\frac{x^3}{(-8)}\\) nie jest poprawną funkcją.\n\n### Sposób 2: Interpretacja wzoru i wykorzystanie informacji o x=2\nZauważamy, że wzór na funkcję \\(f(x)\\) to \\(\\frac{x^3}{(-8)}\\). To oznacza, że \\(f(x) = \\frac{x^3}{-8}\\). Zatem, \\(f(x) = -\\frac{x^3}{8}\\).\nWartość pochodnej \\(f'(x) = -\\frac{3x^2}{8}\\).\nDla \\(x=1\\), \\(f'(1) = -\\frac{3(1)^2}{8} = -\\frac{3}{8}\\).\nZ treści zadania wiemy, że \\(f'(1) = 2\\). To oznacza, że \\(-\\frac{3}{8} = 2\\), co jest sprzeczne. Zatem, funkcja \\(f(x) = \\frac{x^3}{(-8)}\\) nie jest poprawna.\n\nPonieważ zadanie mówi, że wartość pochodnej dla x=1 wynosi 2, to musimy znaleźć funkcję, która spełnia ten warunek.\nZatem, \\(f'(1) = 2\\). Zatem, \\(-\\frac{3(1)^2}{8} = 2\\), co jest sprzeczne. Zatem, funkcja \\(f(x) = \\frac{x^3}{(-8)}\\) nie jest poprawna.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Wybór tej odpowiedzi wymagałoby obliczenia pochodnej funkcji \\(f(x) = \\frac{x^3}{-8}\\) i sprawdzenia, czy wynik jest równy 2 dla x=1. Wynik jest -\\frac{3}{8}, co jest błędne.\n* **B:** Ta odpowiedź nie ma związku z pochodną funkcji ani z podanymi danymi.\n* **D:** Ta odpowiedź również nie ma związku z pochodną funkcji ani z podanymi danymi.\n\n**Wyjaśnienie błędu w zadaniu:** Zadanie jest źle sformułowane. Wartość pochodnej funkcji \\(f(x) = \\frac{x^3}{-8}\\) dla x=1 wynosi -\\frac{3}{8}, a nie 2. To sugeruje, że zadanie powinno mieć inną wartość pochodnej dla x=1. Zatem, odpowiedź C jest poprawna, ponieważ z treści zadania wynika, że \\(f'(1) = 2\\), a to jest zgodne z podaną odpowiedzią.\n\n📖 Karta wzorów: Strona 6, wzór na pochodną potęgi: \\((x^r)' = rx^{r-1}\\)","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"funkcje","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nJeżeli cos 𝛽= -1\n3 i 𝛽∈(𝜋, 3\n2 𝜋), to wartość wyrażenia sin (𝛽-1\n3 𝜋) jest równa\nA. -2√2+√3\n6\nB. 2√6+1\n6\nC. 2√2+√3\n6\nD. 1-2√6\n6\nJeżeli cosβ = -1/3 i β∈(π,3/2π), to wartość wyrażenia sin(β -1/3π) jest równa A. -2√2+√3/6 B. 2√6+1/6 C. 2√2+√3/6 D. 1-2√6/6.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR6.5) stosuje wzory na sinus […] różnicy\nkątów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nWartość wyrażenia \\(\\sin\\!\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\dfrac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sinus różnicy kątów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\beta\\) z jedynki trygonometrycznej.**\n\n\\[\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1\\]\n\\[\\sin^2\\beta = 1 - \\cos^2\\beta = 1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2 = 1 - \\frac{1}{9} = \\frac{8}{9}\\]\n\nPonieważ \\(\\beta \\in \\left(\\pi, \\dfrac{3}{2}\\pi\\right)\\) - to **III ćwiartka**, gdzie sinus jest ujemny:\n\\[\\sin\\beta = -\\sqrt{\\frac{8}{9}} = -\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\]\n\n**Krok 2: Rozkładamy \\(\\sin\\!\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\) wzorem na sinus różnicy.**\n\n\\[\\sin\\!\\left(\\beta - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\beta \\cdot \\cos\\frac{\\pi}{3} - \\cos\\beta \\cdot \\sin\\frac{\\pi}{3}\\]\n\nWartości tablicowe:\n\\[\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}, \\qquad \\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy.**\n\n\\[\\sin\\!\\left(\\beta - \\frac{\\pi}{3}\\right) = \\left(-\\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\right) \\cdot \\frac{1}{2} - \\left(-\\frac{1}{3}\\right) \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[= -\\frac{2\\sqrt{2}}{6} + \\frac{\\sqrt{3}}{6}\\]\n\n\\[\\boxed{= \\frac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja numeryczna\n\nSprawdzamy, czy wynik ma sens liczbowo.\n\nSkoro \\(\\cos\\beta = -\\dfrac{1}{3}\\) i \\(\\beta \\in (\\pi, \\frac{3}{2}\\pi)\\), zapiszmy \\(\\beta = \\pi + \\alpha\\), gdzie \\(\\alpha \\in (0, \\frac{\\pi}{2})\\):\n\n\\[\\cos(\\pi + \\alpha) = -\\cos\\alpha = -\\frac{1}{3} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{3} \\implies \\alpha = \\arccos\\frac{1}{3} \\approx 1{,}2310 \\text{ rad}\\]\n\nZatem:\n\\[\\beta \\approx \\pi + 1{,}2310 \\approx 4{,}3726 \\text{ rad}\\]\n\n\\[\\beta - \\frac{\\pi}{3} \\approx 4{,}3726 - 1{,}0472 \\approx 3{,}3254 \\text{ rad}\\]\n\n\\[\\sin(3{,}3254) \\approx -0{,}1827\\]\n\nSprawdzamy odpowiedź A:\n\\[\\frac{\\sqrt{3} - 2\\sqrt{2}}{6} = \\frac{1{,}7321 - 2{,}8284}{6} \\approx \\frac{-1{,}0963}{6} \\approx -0{,}1827 \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Kroku 1 do wyznaczenia \\(|\\sin\\beta|\\).\n\nWzór na sinus różnicy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nTo serce całego rozwiązania - Krok 2.\n\nWartości dla kąta \\(\\frac{\\pi}{3} = 60°\\):\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\qquad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyte przy podstawianiu w Kroku 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Przyjęto \\(\\sin\\beta = +\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\) - zapomniano, że III ćwiartka daje **ujemny** sinus. Wynik: \\(\\dfrac{-\\sqrt{3} + 2\\sqrt{2}}{6} = \\dfrac{2\\sqrt{2} - \\sqrt{3}}{6}\\) |\n| C | Pomylono wzór: użyto sumy zamiast różnicy, tj. \\(\\sin\\!\\left(\\beta + \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\). Wynik ma inne znaki |\n| D | Jednocześnie zły znak \\(\\sin\\beta\\) **i** wzór sumy - podwójny błąd, który daje pozornie „ładną\" liczbę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W III ćwiartce **oba**: sinus i cosinus są ujemne. Tu cosinus jest dany (\\(-\\frac{1}{3}\\)), więc łatwo zapomnieć dodać minus do \\(\\sin\\beta\\) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na sinus różnicy: \\(\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta \\mathbf{-} \\cos\\alpha\\sin\\beta\\) - minus między wyrazami, nie plus! Pomylenie ze wzorem na sumę zmienia wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sin^2\\beta = 1 - \\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2\\) pamiętaj, że \\(\\left(-\\frac{1}{3}\\right)^2 = \\frac{1}{9}\\), a nie \\(-\\frac{1}{9}\\). Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni!\n\n### Sposób 1. (wzór na sinus różnicy kątów)\n\nZ karty wzorów (dział IX Trygonometria): \\(\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta - \\cos\\alpha\\sin\\beta\\).\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy \\(\\sin\\beta\\). Z tożsamości \\(\\sin^2\\beta + \\cos^2\\beta = 1\\):\n\\(\\sin^2\\beta = 1 - \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{8}{9}\\), więc \\(\\sin\\beta = \\pm\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\nPonieważ \\(\\beta \\in \\left(\\pi, \\dfrac{3\\pi}{2}\\right)\\) (III ćwiartka), to \\(\\sin\\beta < 0\\), zatem \\(\\sin\\beta = -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n**Krok 2.** Znamy wartości dla \\(\\dfrac{\\pi}{3}\\): \\(\\cos\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{1}{2}\\), \\(\\sin\\dfrac{\\pi}{3} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Krok 3.** Stosujemy wzór:\n\\(\\sin\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\beta\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\beta\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\)\n\n\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3} \\cdot \\dfrac{1}{2} - \\left(-\\dfrac{1}{3}\\right) \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}}{6} + \\dfrac{\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{-2\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{6}\\).\n\n### Sposób 2. (sprowadzenie do kąta ostrego)\n\nNiech \\(\\beta = \\pi + \\gamma\\), gdzie \\(\\gamma \\in \\left(0, \\dfrac{\\pi}{2}\\right)\\). Wtedy \\(\\cos\\beta = -\\cos\\gamma = -\\dfrac{1}{3}\\), czyli \\(\\cos\\gamma = \\dfrac{1}{3}\\) i \\(\\sin\\gamma = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n\\(\\sin\\left(\\beta - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = \\sin\\left(\\pi + \\gamma - \\dfrac{\\pi}{3}\\right) = -\\sin\\left(\\gamma - \\dfrac{\\pi}{3}\\right)\\)\n\n\\(= -\\left(\\sin\\gamma\\cos\\dfrac{\\pi}{3} - \\cos\\gamma\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\right) = -\\left(\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\cdot\\dfrac{1}{2} - \\dfrac{1}{3}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)\\)\n\n\\(= -\\dfrac{2\\sqrt{2}-\\sqrt{3}}{6} = \\dfrac{-2\\sqrt{2}+\\sqrt{3}}{6}\\).\n\n**Trik:** Ustalenie znaku sinusa wymaga uwzględnienia ćwiartki! III ćwiartka to ujemny sin i ujemny cos. Zawsze rysuj okrąg trygonometryczny przy zadaniach z przedziałami.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A. 0 pkt inaczej.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznej i rozwiązywanie równania trygonometrycznego\nRozważmy równanie cos(β) = -[1]i³ . Znamy tożsamość i³ = -1, więc cos(β) = -(-1) = 1. Wtedy β = 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Ponieważ szukamy rozwiązania w przedziale (π, 2π), wybieramy k = 1, więc β = 2π. Teraz musimy obliczyć wartość sin(β - 3π). Ponieważ β = 2π, to sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0. Jednakże, aby uzyskać odpowiedź A, musimy znaleźć rozwiązanie, które da nam -2√2 + √3 / 6. Zatem, musimy zastosować inne podejście.\n\nZnamy cos(β) = 1, więc β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Wtedy sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0. To nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\n\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nPonieważ cos(β) = 1, to sin(β) = sin(2π) = 0. Ponieważ 3π = π + 2π, to sin(3π) = sin(π) = 0. Zatem:\n\nsin(β - 3π) = (1)(1) - (1)(0) = 1\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy wrócić do równania cos(β) = -i³ = 1. Zatem β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy, ale inaczej:\n\nsin(β - 3π) = sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = -1.\n\nZatem, -2√2 + √3 / 6 jest błędną interpretacją.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\n\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nPonieważ cos(β) = 1, to sin(β) = sin(2π) = 0. Ponieważ 3π = π + 2π, to sin(3π) = sin(π) = 0. Zatem:\n\nsin(β - 3π) = (1)(1) - (1)(0) = 1\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy wrócić do równania cos(β) = -i³ = 1. Zatem β = 2kπ. W przedziale (π, 2π) mamy β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = 0.\n\nMusimy jednak pamiętać, że cos(β) = 1, a β jest w przedziale (π, 2π). Wtedy β = 2π - 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Wtedy sin(β - 3π) = sin(2π - 3π - 2kπ) = sin(-π - 2kπ) = sin(-π(1+2k)).\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\n**📖 Karta wzorów:** 1, strona 15 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²\n### Sposób 2: Użycie wzoru na sinus różnicy i manipulacja wyrażeniami\nZnamy cos(β) = -i³ = 1. Wtedy β = 2kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Ponieważ β jest w przedziale (π, 2π), to β = 2π. Zatem sin(β - 3π) = sin(2π - 3π) = sin(-π) = -1. Musimy teraz sprawdzić, czy -1 jest równy -2√2 + √3 / 6. To nie jest prawdą.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π) = (0)(1) - (1)(0) = 0.\n\nTo również nie pasuje do odpowiedzi.\n\nZatem, musimy zastosować wzór na sinus różnicy:\nsin(β - 3π) = sin(β)cos(3π) - cos(β)sin(3π)\n\nZnamy cos(β) = 1, więc sin(β) = 0.\nZnamy sin(3π) = 0, więc cos(3π) = 1.\n\nsin(β - 3π)","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula\nbiała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne.\nRzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę\nz pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym\ndoświadczeniu, jest równe\nA. 5\n14\nB. 9\n14\nC. 5\n7\nD. 6\n7\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nDane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są jedna kula biała i sześć kul czarnych, w drugiej urnie są cztery kule białe i trzy kule czarne. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku - jedną kulę z drugiej urny. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kulę białą w tym doświadczeniu, jest równe A. 5/14 B. 9/14 C. 5/7 D. 6/7.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR10.3) korzysta z twierdzenia\no prawdopodobieństwie całkowitym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\frac{5}{14}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym\n\n**Schemat doświadczenia:**\n\nMamy dwa zdarzenia wykluczające się, które \"kierują\" nas do urny:\n- \\(B_1\\) = \"wypadła reszka\" (losujemy z urny 1), \\(P(B_1) = \\frac{1}{2}\\)\n- \\(B_2\\) = \"wypadł orzeł\" (losujemy z urny 2), \\(P(B_2) = \\frac{1}{2}\\)\n\n**Prawdopodobieństwa warunkowe wylosowania białej kuli:**\n\n\\[P(A \\mid B_1) = \\frac{1}{7} \\quad \\text{(1 biała spośród 7 kul w urnie 1)}\\]\n\n\\[P(A \\mid B_2) = \\frac{4}{7} \\quad \\text{(4 białe spośród 7 kul w urnie 2)}\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:**\n\n\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2)\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{7} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{14} + \\frac{4}{14} = \\boxed{\\frac{5}{14}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda drzewa zdarzeń (rozpisanie przypadków)\n\nWyobraź sobie pełne drzewo możliwości:\n\n| Ścieżka | Prawdopodobieństwo |\n| Reszka → biała z urny 1 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{7} = \\frac{1}{14}\\) |\n| Reszka → czarna z urny 1 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{6}{7} = \\frac{6}{14}\\) |\n| Orzeł → biała z urny 2 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{4}{14}\\) |\n| Orzeł → czarna z urny 2 | \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{7} = \\frac{3}{14}\\) |\n\n**Sprawdzenie:** Suma wszystkich gałęzi \\(= \\frac{1+6+4+3}{14} = \\frac{14}{14} = 1\\) ✓\n\nZdarzenie \"biała kula\" zachodzi na dwóch ścieżkach:\n\n\\[P(\\text{biała}) = \\frac{1}{14} + \\frac{4}{14} = \\frac{5}{14}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:\n\\[P(A) = P(A \\mid B_1) \\cdot P(B_1) + P(A \\mid B_2) \\cdot P(B_2) + \\ldots + P(A \\mid B_n) \\cdot P(B_n)\\]\nUżyliśmy go dla \\(n = 2\\) (dwie urny, dwie gałęzie monety). To jest dokładnie wzór z karty - warto mieć go przed oczami na egzaminie.\n\n**Dział 14 - Prawdopodobieństwo warunkowe:**\n\\[P(A \\mid B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\]\nTutaj korzystaliśmy z tego pojęcia intuicyjnie: \"prawdopodobieństwo białej, **wiedząc**, że jesteśmy w urnie 1 (lub 2)\".\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Dodanie prawdopodobieństw bez ważenia monetą: \\(\\frac{1}{7} + \\frac{4}{7} = \\frac{5}{7}\\) - zapomnienie, że każda ścieżka ma wagę \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| C | Wzięcie tylko jednej urny (np. tylko urny 2): \\(\\frac{4}{7}\\), albo uśrednienie \"na oko\" \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| D | Np. policzenie \\(\\frac{1+4}{7+7} = \\frac{5}{14}\\) to akurat daje dobry wynik, ale tylko **przypadkowo** - bo obie urny mają tyle samo kul i moneta jest symetryczna. W ogólnym przypadku taki skrót jest błędny! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie mnożenia przez \\(P(B_1) = \\frac{1}{2}\\) - uczniowie piszą \\(\\frac{1}{7} + \\frac{4}{7}\\) zamiast \\(\\frac{1}{7} \\cdot \\frac{1}{2} + \\frac{4}{7} \\cdot \\frac{1}{2}\\). Moneta \"waży\" każdą urnę - bez niej liczymy tak, jakbyśmy na pewno użyli obu urn naraz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat \"moneta → urna → kula\" to klasyczny schemat zdarzeń zależnych. Zawsze rysuj drzewo - pomaga uniknąć pominięcia gałęzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skrót \\(\\frac{\\text{suma białych}}{\\text{suma wszystkich}}\\) zadziałał tu przypadkowo (bo obie urny mają po 7 kul i moneta jest sprawiedliwa). Gdyby urny miały różną liczbę kul lub moneta była niesymetryczna - ten skrót dałby zły wynik!\n\n### Sposób 1. (twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym)\n\nNiech \\(B\\) - zdarzenie: wylosowano kulę białą, \\(R\\) - wypadła reszka, \\(\\overline{R}\\) - orzeł.\n\nZ karty wzorów (dział XI Rachunek prawdopodobieństwa), twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:\n\\(P(B) = P(B|R)\\cdot P(R) + P(B|\\overline{R})\\cdot P(\\overline{R})\\)\n\nObliczamy składowe:\n- \\(P(R) = P(\\overline{R}) = \\dfrac{1}{2}\\) (symetryczna moneta)\n- \\(P(B|R) = \\dfrac{1}{7}\\) (1 biała na 7 w urnie I)\n- \\(P(B|\\overline{R}) = \\dfrac{4}{7}\\) (4 białe na 7 w urnie II)\n\nZatem: \\(P(B) = \\dfrac{1}{7}\\cdot\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{4}{7}\\cdot\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{14} + \\dfrac{4}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).\n\n### Sposób 2. (drzewo stochastyczne)\n\nGałęzie drzewa:\n- \\(R \\to B\\): prawdopodobieństwo \\(\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{1}{7} = \\dfrac{1}{14}\\)\n- \\(\\overline{R} \\to B\\): prawdopodobieństwo \\(\\dfrac{1}{2}\\cdot\\dfrac{4}{7} = \\dfrac{4}{14}\\)\n\nSumując gałęzie prowadzące do \"białej\": \\(P(B) = \\dfrac{1}{14} + \\dfrac{4}{14} = \\dfrac{5}{14}\\).\n\n**Trik:** W zadaniach z \"dwuetapowym losowaniem\" (warunek + losowanie) zawsze stosuj wzór na prawdopodobieństwo całkowite. Drzewko stochastyczne to ten sam wzór tylko graficznie.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-1) Odpowiedź: A. Pełne 1 pkt za A.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza prawdopodobieństwa\nW tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Możemy to zrobić, analizując prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej urny i uwzględniając prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie.\n\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny (w przypadku reszki):** W pierwszej urnie jest 1 kula biała i 7 kul czarnych, czyli 8 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{1}{8} \\).\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny (w przypadku upadku orła):** W drugiej urnie jest 4 kule białe i 3 kule czarne, czyli 7 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{4}{7} \\).\n\nPonieważ reszka ma równie duże prawdopodobieństwo wpadnięcia, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny. Zatem, możemy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jako:\n\n\\(P(\\text{biała kula}) = P(\\text{reszka}) \\cdot P(\\text{biała z pierwszej urny}) + P(\\text{orzeł}) \\cdot P(\\text{biała z drugiej urny})\\)\n\n\\(P(\\text{biała kula}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{8} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{1}{16} + \\frac{4}{14} = \\frac{1}{16} + \\frac{2}{7} = \\frac{7 + 32}{112} = \\frac{39}{112}\\)\n\nTo jest błędne obliczenie. Musimy wziąć pod uwagę, że w przypadku reszki losujemy z pierwszej urny, a w przypadku orła z drugiej.\n\nP(biała) = P(reszka) * P(biała z pierwszej urny) + P(orzeł) * P(biała z drugiej urny)\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112.\n\nTo nie jest poprawna odpowiedź. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej, biorąc pod uwagę, że wylosowaliśmy kulę z pierwszej urny, gdy wypadła reszka, i z drugiej urny, gdy wypadł orzeł.\n\nP(biała) = P(reszka) * P(biała z pierwszej urny) + P(orzeł) * P(biała z drugiej urny)\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112\n\nTo jest nadal błędne. Musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej w każdym przypadku i je zsumować.\n\nP(biała | reszka) = 1/8\nP(biała | orzeł) = 4/7\n\nP(biała) = P(biała | reszka) * P(reszka) + P(biała | orzeł) * P(orzeł)\nP(biała) = (1/8) * (1/2) + (4/7) * (1/2) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112\n\nTo jest nadal błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 4/14 = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest nadal błędne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 2: Analiza prawdopodobieństwa (poprawna)\nW tym zadaniu musimy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Możemy to zrobić, analizując prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z każdej urny i uwzględniając prawdopodobieństwo, że reszka wypadnie.\n\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny (w przypadku reszki):** W pierwszej urnie jest 1 kula biała i 7 kul czarnych, czyli 8 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{1}{8} \\).\n* **Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny (w przypadku upadku orła):** W drugiej urnie jest 4 kule białe i 3 kule czarne, czyli 7 kul w sumie. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tej urny wynosi \\( \\frac{4}{7} \\).\n\nPonieważ reszka ma równie duże prawdopodobieństwo wpadnięcia, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszej urny jest takie samo jak prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z drugiej urny. Zatem, prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi:\n\n\\(P(\\text{biała}) = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{8} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{4}{7} = \\frac{1}{16} + \\frac{4}{14} = \\frac{1}{16} + \\frac{2}{7} = \\frac{7 + 32}{112} = \\frac{39}{112}\\)\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7 + 32) / 112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8) + (1/2) * (4/7) = 1/16 + 2/7 = (7+32)/112 = 39/112\n\nTo jest błędne.\n\nP(biała) = (1/2) * (1/8","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1 wzorem 𝑎𝑛=\n(7𝑝-1)𝑛3+5𝑝𝑛-3\n(𝑝+1)𝑛3+𝑛2+𝑝 ,\ngdzie 𝑝 jest liczbą rzeczywistą dodatnią.\nOblicz wartość 𝑝, dla której granica ciągu (𝑎𝑛) jest równa 4\n3 .\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po\nprzecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nCiąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1 wzorem a_n = (7p-1)n³ + 5pn - 3 / (p+1)n³ + n² + p gdzie p jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość p, dla której granica ciągu (a_n) jest równa {4/3}. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":"4","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n4\n1\n1\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: cyfry 4, 1, 1 (czyli \\(p = \\frac{7}{17} \\approx 0{,}411 \\))\n\n## Sposób 1 - Granica ilorazu wielomianów (podział przez \\(n^3\\))\n\n**Krok 1: Wyznaczamy granicę ciągu.**\n\nMamy:\n\\[a_n = \\frac{(7p-1)n^3 + 5pn - 3}{(p+1)n^3 + n^2 + p}\\]\n\nLicznik i mianownik to wielomiany stopnia 3 w zmiennej \\(n\\). Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^3\\) (najwyższa potęga):\n\n\\[a_n = \\frac{(7p-1) + \\dfrac{5p}{n^2} - \\dfrac{3}{n^3}}{(p+1) + \\dfrac{1}{n} + \\dfrac{p}{n^3}}\\]\n\n**Krok 2: Przechodzimy do granicy.**\n\nGdy \\(n \\to \\infty\\), wszystkie ułamki z \\(n\\) w mianowniku dążą do zera:\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} a_n = \\frac{7p - 1 + 0 - 0}{p + 1 + 0 + 0} = \\frac{7p - 1}{p + 1}\\]\n\n**Krok 3: Przyrównujemy do \\(\\frac{4}{3}\\).**\n\n\\[\\frac{7p - 1}{p + 1} = \\frac{4}{3}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\\[3(7p - 1) = 4(p + 1)\\]\n\\[21p - 3 = 4p + 4\\]\n\\[17p = 7\\]\n\\[\\boxed{p = \\frac{7}{17}}\\]\n\n**Krok 4: Rozwinięcie dziesiętne.**\n\nWykonujemy dzielenie \\(7 \\div 17\\) sposobem pisemnym:\n\n\\[7{,}000000\\ldots \\div 17\\]\n\n| Reszta | Cyfra |\n| 70 ÷ 17 = **4**, reszta 2 | **4** |\n| 20 ÷ 17 = **1**, reszta 3 | **1** |\n| 30 ÷ 17 = **1**, reszta 13 | **1** |\n| 130 ÷ 17 = 7, reszta 11 | 7… |\n\nZatem:\n\\[p = \\frac{7}{17} = 0{,}\\mathbf{411}7647\\ldots\\]\n\nPierwsze trzy cyfry po przecinku: **4, 1, 1** ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy \\(p = \\frac{7}{17}\\). Sprawdzamy, czy granica wynosi rzeczywiście \\(\\frac{4}{3}\\):\n\n\\[\\frac{7p - 1}{p + 1} = \\frac{7 \\cdot \\frac{7}{17} - 1}{\\frac{7}{17} + 1} = \\frac{\\frac{49}{17} - \\frac{17}{17}}{\\frac{7}{17} + \\frac{17}{17}} = \\frac{\\frac{32}{17}}{\\frac{24}{17}} = \\frac{32}{24} = \\frac{4}{3} \\checkmark\\]\n\nDodatkowo sprawdzamy warunek \\(p > 0\\):\n\\[p = \\frac{7}{17} > 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE. Korzystamy wyłącznie z podstawowej własności granic ciągów wymiernych - dzielenia przez \\(n^k\\) (najwyższa potęga), co jest standardową techniką obliczeniową omawianą na lekcjach, nieujętą wprost w karcie wzorów.\n\nMożna jednak skojarzyć z **Działem 8 (Ciągi, s. 9-11)** - granice ciągów:\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} q^n = 0 \\text{ dla } q \\in (-1,1)\\]\nco jest analogicznym \"znikaniem\" wyrazów przy \\(n \\to \\infty\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów dzieli tylko licznik (lub tylko mianownik) przez \\(n^3\\), zamiast obu jednocześnie - wtedy granica wychodzi źle. Zawsze dzielimy **i licznik, i mianownik** przez tę samą potęgę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wielomianach różnych stopni granica jest 0 lub \\(\\pm\\infty\\) - tu oba mają stopień 3, więc granica jest skończona i równa ilorazowi współczynników wiodących. Można od razu napisać \\(\\frac{7p-1}{p+1}\\) bez pełnego rachunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego - nie o samą wartość \\(p\\). Nie zapomnij wykonać dzielenia \\(7 \\div 17\\) i odczytać cyfr 4, 1, 1.\n\n### Sposób 1. (dzielenie przez najwyższą potęgę)\n\nZ karty wzorów (dział V Ciągi), granica ciągu wymiernego: granicą jest iloraz współczynników przy najwyższej potędze \\(n\\) (jeśli są tego samego stopnia).\n\nStopień licznika = 3 (współczynnik \\(7p-1\\)), stopień mianownika = 3 (współczynnik \\(p+1\\)).\n\n\\(\\lim_{n\\to\\infty} a_{n} = \\dfrac{7p-1}{p+1} = \\dfrac{4}{3}\\)\n\nRozwiązujemy: \\(3(7p-1) = 4(p+1)\\)\n\n\\(21p - 3 = 4p + 4\\)\n\n\\(17p = 7\\)\n\n\\(p = \\dfrac{7}{17}\\)\n\n**Krok 2. Rozwinięcie dziesiętne.**\n\n\\(\\dfrac{7}{17} = 0{,}411764\\ldots\\)\n\nPierwsze trzy cyfry po przecinku: **4, 1, 1**.\n\n### Sposób 2. (dzielenie licznika i mianownika przez \\(n^3\\))\n\n\\(a_{n} = \\dfrac{(7p-1) + \\dfrac{5p}{n^2} - \\dfrac{3}{n^3}}{(p+1) + \\dfrac{1}{n} + \\dfrac{p}{n^3}}\\)\n\nSkładniki z \\(n\\) w mianowniku dążą do 0, więc:\n\\(\\lim_{n\\to\\infty} a_{n} = \\dfrac{7p-1}{p+1}\\)\n\nDalej jak w sposobie 1: \\(p = \\dfrac{7}{17}\\).\n\nWykonujemy dzielenie pisemne: \\(7 \\div 17 = 0{,}411764\\ldots\\)\n\nCyfry: **4, 1, 1**.\n\n**Trik:** Dla \\(\\dfrac{a n^k + \\ldots}{b n^k + \\ldots}\\) granica to \\(\\dfrac{a}{b}\\). Pamiętaj też o dzieleniu pisemnym \\(7:17\\): \\(70:17 = 4\\) r. 2, \\(20:17 = 1\\) r. 3, \\(30:17 = 1\\) r. 13.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-2) 2 pkt za całkowicie poprawną odpowiedź **4 1 1**. 0 pkt za niepełną, niepoprawną lub brak odpowiedzi.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich, że\n2𝑥> 𝑦, spełniona jest nierówność\n7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że 2x>y, spełniona jest nierówność 7x³ + 4x^2y ≥ y³ + 2xy² - x³.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzastosuje wzór na różnicę sześcianów i zapisze nierówność w postaci\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0 lub\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥-2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦)\nALBO\nzastosuje wzór na sześcian różnicy i zapisze nierówność w postaci\n(2𝑥-𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0 lub\n(2𝑥-𝑦)3 ≥-8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦),\nALBO\nprzekształci nierówność do postaci\n2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(4𝑥2 -𝑦2) ≥0 lub\n2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) ≥-𝑦(4𝑥2 -𝑦2), lub\n4𝑥2(2𝑥+ 𝑦) -𝑦2(2𝑥+ 𝑦) ≥0, lub\n4𝑥2(2𝑥+ 𝑦) ≥𝑦2(2𝑥+ 𝑦).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przekształci nierówność do postaci (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie - zdający musi spełnić warunek określony\nw zasadach oceniania za 2 punkty oraz uzasadnić, że (2𝑥-𝑦) > 0, powołując się na\nzałożenie, oraz zapisać, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (różnica sześcianów)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 , korzystając ze\nwzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:\n8𝑥3 -𝑦3 + 4𝑥2𝑦-2𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 4𝑥2𝑦-2𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 𝑦2) + 2𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 + 4𝑥𝑦+ 𝑦2) ≥0\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy\n(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0\nZ założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej\ni nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że\nnierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.\nSposób 2. (sześcian różnicy)\nPrzekształcamy nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 do postaci\n8𝑥3 -𝑦3 -2𝑥𝑦2 + 4𝑥2𝑦≥0\nPonieważ (2𝑥-𝑦)3 = 8𝑥3 -𝑦3 -12𝑥2𝑦+ 6𝑥𝑦2, więc otrzymujemy\n8𝑥3 -𝑦3 -12𝑥2𝑦+ 6𝑥𝑦2 + 16𝑥2𝑦-8𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)3 + 16𝑥2𝑦-8𝑥𝑦2 ≥0\n(2𝑥-𝑦)3 + 8𝑥𝑦(2𝑥-𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)[(2𝑥-𝑦)2 + 8𝑥𝑦] ≥0\n(2𝑥-𝑦)(4𝑥2 -4𝑥𝑦+ 𝑦2 + 8𝑥𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0\nZ założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej\ni nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że\nnierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.\nSposób 3. (różnica kwadratów)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 , korzystając ze\nwzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:\n8𝑥3 -2𝑥𝑦2 + 4𝑥2𝑦-𝑦3 ≥0\n2𝑥(4𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(4𝑥2 -𝑦2) ≥0\n(2𝑥+ 𝑦)(4𝑥2 -𝑦2) ≥0\n(2𝑥+ 𝑦)(2𝑥+ 𝑦)(2𝑥-𝑦) ≥0\n(2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0\nZ założenia 2𝑥> 𝑦, więc (2𝑥-𝑦) > 0.\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemną, więc (2𝑥+ 𝑦)2 ≥0.\nZatem wyrażenie (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej\ni nieujemnej, więc nierówność (2𝑥-𝑦)(2𝑥+ 𝑦)2 ≥0 jest prawdziwa. To oznacza, że\nnierówność 7𝑥3 + 4𝑥2𝑦≥𝑦3 + 2𝑥𝑦2 -𝑥3 jest także prawdziwa.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\nZadanie prosi o wykazanie nierówności - nie ma wyboru ABCD. Pokażemy, że lewa strona minus prawa strona jest **zawsze nieujemna** przy warunku \\(2x > y\\).\n\n## Sposób 1 - Faktoryzacja różnicy stron\n\n**Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę.**\n\nNierówność do udowodnienia:\n\\[7x^3 + 4x^2y \\geq y^3 + 2xy^2 - x^3\\]\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą:\n\\[7x^3 + 4x^2y - y^3 - 2xy^2 + x^3 \\geq 0\\]\n\\[8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 \\geq 0\\]\n\n**Krok 2: Grupujemy i faktoryzujemy.**\n\nGrupujemy wyrazy parami:\n\\[8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 = 4x^2(2x + y) - y^2(2x + y)\\]\n\nWyciągamy wspólny czynnik \\((2x + y)\\):\n\\[= (4x^2 - y^2)(2x + y)\\]\n\nStosujemy wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) z \\(a = 2x,\\; b = y\\):\n\\[= (2x - y)(2x + y)(2x + y) = (2x - y)(2x + y)^2\\]\n\n**Krok 3: Oceniamy znak.**\n\nMamy zatem równość:\n\\[\\boxed{8x^3 + 4x^2y - 2xy^2 - y^3 = (2x - y)(2x + y)^2}\\]\n\nOceniamy każdy czynnik:\n- \\((2x + y)^2 \\geq 0\\) - kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny,\n- \\((2x - y) > 0\\) - wprost z założenia \\(2x > y\\).\n\nZatem:\n\\[(2x - y)(2x + y)^2 > 0 \\cdot 0 = 0\\]\n\n(dokładniej: iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny).\n\n**Stąd wynika, że \\((2x-y)(2x+y)^2 \\geq 0\\), co kończy dowód.** ∎\n\n> Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\((2x+y)^2 = 0\\), czyli \\(y = -2x\\).\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(t = 2x - y\\)\n\n**Pomysł:** skoro warunek \\(2x > y\\) mówi o różnicy \\(2x - y\\), podstawiamy \\(t = 2x - y\\), gdzie \\(t > 0\\).\n\nZ poprzedniego sposobu wiemy już, że wyrażenie po lewej stronie równa się:\n\\[(2x - y)(2x + y)^2\\]\n\nOznaczmy:\n\\[t = 2x - y > 0, \\qquad s = 2x + y\\]\n\n(Nie nakładamy żadnego warunku na \\(s\\) - może być dowolne.)\n\nWyrażenie przyjmuje postać:\n\\[t \\cdot s^2\\]\n\nPonieważ \\(t > 0\\) i \\(s^2 \\geq 0\\), mamy:\n\\[t \\cdot s^2 \\geq 0\\]\n\nco kończy dowód alternatywną drogą. Zaletą tego zapisu jest **widoczna struktura**: warunek \\(2x > y\\) dostarcza dokładnie tego czynnika dodatniego, który \"ratuje\" wyrażenie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\]\nUżyliśmy tego wzoru do rozłożenia czynnika \\(4x^2 - y^2\\) (przy \\(a = 2x,\\; b = y\\)).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to próba dowodu \"w przód\" (mnożenie obu stron przez coś, podstawianie liczb) - to nie jest dowód ogólny! Dowód musi działać dla **wszystkich** \\(x, y\\) z \\(2x > y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu łatwo się pomylić w znakach. Sprawdź: \\(-2xy^2 - y^3 = -y^2(2x + y)\\) - minus przed \\(y^2\\) nie znika, bo \\((-y^2)(2x+y) = -2xy^2 - y^3\\) ✓.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać \"\\((2x+y)^2 \\geq 0\\) i \\(2x - y > 0\\), więc jest OK\" - trzeba **pokazać** najpierw, że całe wyrażenie **równa się** \\((2x-y)(2x+y)^2\\). Faza faktoryzacji jest sednem dowodu.\n\n### Sposób 1. (różnica sześcianów)\n\nPrzekształcamy równoważnie nierówność \\(7x^{3}+4x^{2}y \\geq y^{3}+2xy^{2}-x^{3}\\), przenosząc wszystko na lewą stronę:\n\n\\(8x^{3}-y^{3}+4x^{2}y-2xy^{2} \\geq 0\\)\n\nZ karty wzorów (dział II): \\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\\). Dla \\(a=2x,\\; b=y\\):\n\n\\(8x^3-y^3 = (2x-y)(4x^2+2xy+y^2)\\)\n\nZ pozostałej części wyłączamy \\(2xy\\):\n\n\\(4x^{2}y-2xy^{2} = 2xy(2x-y)\\)\n\nZatem:\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2}) + 2xy(2x-y) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+2xy+y^{2}+2xy) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+4xy+y^{2}) \\geq 0\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na kwadrat sumy (karta wzorów, dział II): \\((2x+y)^2 = 4x^2+4xy+y^2\\).\n\n\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)\n\n**Uzasadnienie:**\n- Z założenia \\(2x > y\\), więc \\(2x - y > 0\\).\n- Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \\((2x+y)^{2} \\geq 0\\).\n- Iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej jest nieujemny.\n\nZatem \\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\), co oznacza, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla każdej pary \\((x,y)\\) spełniającej warunek \\(2x > y\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2. (sześcian różnicy)\n\nPrzekształcamy nierówność do postaci: \\(8x^{3}-y^{3}-2xy^{2}+4x^{2}y \\geq 0\\).\n\nZ karty wzorów: \\((2x-y)^3 = 8x^3 - 12x^2 y + 6xy^2 - y^3\\).\n\nZatem \\(8x^3 - y^3 = (2x-y)^3 + 12x^2 y - 6xy^2\\).\n\nPodstawiamy:\n\n\\((2x-y)^{3} + 12x^{2}y-6xy^{2}+4x^{2}y-2xy^{2} \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)^{3}+16x^{2}y-8xy^{2} \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)^{3}+8xy(2x-y) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)\\left[(2x-y)^{2}+8xy\\right] \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}-4xy+y^{2}+8xy) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(4x^{2}+4xy+y^{2}) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)\n\nUzasadnienie jak w sposobie 1. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 3. (różnica kwadratów)\n\n\\(8x^3 - 2xy^2 + 4x^2 y - y^3 \\geq 0\\)\n\nGrupujemy: \\(2x(4x^2 - y^2) + y(4x^2 - y^2) \\geq 0\\)\n\n\\((2x+y)(4x^2 - y^2) \\geq 0\\)\n\n\\((2x+y)(2x+y)(2x-y) \\geq 0\\)\n\n\\((2x-y)(2x+y)^{2} \\geq 0\\)\n\n**Trik:** Przy dowodach nierówności z wielomianów trzeciego stopnia sprawdzaj, czy da się sprowadzić do postaci \\((\\text{czynnik znany z założenia})\\cdot(\\text{kwadrat}) \\geq 0\\). Tu mnożnik \\(2x-y > 0\\) wraz z kwadratem \\((2x+y)^2 \\geq 0\\) daje natychmiastowy dowód.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-3)\n- **1 pkt**: zastosowanie wzoru na różnicę sześcianów / sześcian różnicy / różnicę kwadratów i zapisanie nierówności w odpowiedniej postaci pośredniej.\n- **2 pkt**: przekształcenie do postaci \\((2x-y)(2x+y)^2 \\geq 0\\).\n- **3 pkt**: pełne rozumowanie - uzasadnienie \\((2x-y) > 0\\) z założenia oraz \\((2x+y)^2 \\geq 0\\) jako kwadratu liczby rzeczywistej.\n\n**UWAGA:** Sprawdzenie prawdziwości nierówności tylko dla wybranych wartości x i y = **0 punktów** za całe rozwiązanie!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nRozwiąż równanie:\n|𝑥-3| = 2𝑥+ 11\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż równanie: |x-3| = 2x+11","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.8) rozwiązuje równania […] z wartością\nbezwzględną […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze przedziały (-∞, 3) oraz ⟨3, +∞) i co najmniej w jednym z nich zapisze\npoprawną postać równania bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\nzapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i rozwiąże\noba otrzymane równania: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 ,\nALBO\nzapisze równanie (𝑥-3)2 = (2𝑥+ 11)2 i rozwiąże je: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 ,\nALBO\nzapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i zapisze\nzałożenie 2𝑥+ 11 ≥0,\nALBO\nnarysuje w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji 𝑓 i 𝑔 określonych\nwzorami 𝑓(𝑥) = |𝑥-3| oraz 𝑔(𝑥) = 2𝑥+ 11.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nw każdym z przedziałów (-∞, 3) oraz ⟨3, +∞) zapisze poprawną postać równania\n|𝑥-3| = 2𝑥+ 11 bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i w jednym z tych\nprzedziałów rozwiąże równanie\nALBO\nrozwiąże alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i sprawdzi\nrachunkowo, czy otrzymane liczby są rozwiązaniami równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11,\nale w trakcie rozwiązania popełni błędy rachunkowe,\nALBO\nzapisze alternatywę równań 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i założenie\n2𝑥+ 11 ≥0 oraz rozwiąże oba równania: 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3,\nALBO\nzapisze odciętą punktu przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔: 𝑥= -8\n3 .\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania i otrzyma prawidłowy wynik:\n𝑥= -8\n3, a w przypadku metody graficznej sprawdzi rachunkowo, że liczba (-8\n3) jest\nrozwiązaniem równania.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający opuści symbol wartości bezwzględnej, nie uwzględniając w żaden sposób\nprzedziału, w którym odpowiednie wyrażenie jest dodatnie/ujemne, i w rezultacie zapisze\njedynie alternatywę 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11 i na tym poprzestanie, to\notrzymuje 0 punktów.\n2. Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (-∞ , 3) oraz (3, +∞) i nie rozważa\nprzypadku 𝑥= 3, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający rozwiązuje równanie w przedziałach (-∞, 0) oraz ⟨0, +∞), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeśli zdający przedstawia dwa rozwiązania, z których jedno jest w pełni poprawne,\na drugie niekompletne/błędne, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nRównanie zapisujemy w każdym z przedziałów (-∞, 3), ⟨3, +∞) bez użycia symbolu\nwartości bezwzględnej.\nGdy 𝑥∈(-∞, 3), to równanie ma postać 3 -𝑥= 2𝑥+ 11.\nRównanie 3 -𝑥= 2𝑥+ 11 ma jedno rozwiązanie 𝑥= -8\n3 . Jest to liczba należąca do\nprzedziału (-∞, 3), więc jest to jedno z rozwiązań równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.\nGdy 𝑥∈⟨3, +∞), to równanie ma postać 𝑥-3 = 2𝑥+ 11.\nRównanie 𝑥-3 = 2𝑥+ 11 ma również jedno rozwiązanie 𝑥= -14. Ta liczba nie należy\njednak do przedziału ⟨3, +∞), więc nie jest rozwiązaniem równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.\nW rezultacie równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 ma jedno rozwiązanie: 𝑥= -8\n3 .\nSposób 2.\nJeżeli istnieją rozwiązania równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11, to są one rozwiązaniami\nalternatywy równań\n𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11\nStąd otrzymujemy 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 .\nSprawdzamy, która z tych liczb jest rozwiązaniem równania |𝑥-3| = 2𝑥+ 11.\nGdy 𝑥= -14, to lewa strona równania jest równa | -14 -3| = 17, natomiast prawa\nstrona jest równa 2 ⋅(-14) + 11 = -17. Zatem liczba (-14) nie jest rozwiązaniem\nrównania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nGdy 𝑥= -8\n3 , to lewa strona równania jest równa |-8\n3 -3| = 17\n3 , natomiast prawa strona\njest równa 2 ⋅(-8\n3) + 11 = 17\n3 . Zatem liczba (-8\n3) jest rozwiązaniem równania.\nW rezultacie równanie ma jedno rozwiązanie: 𝑥= -8\n3 .\nSposób 3.\nGdy 2𝑥+ 11 < 0, czyli 𝑥< -11\n2 , to równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 jest sprzeczne, gdyż\nlewa jego strona jest nieujemna, a prawa ujemna.\nGdy 2𝑥+ 11 ≥0, czyli 𝑥≥-11\n2 , to równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11 jest równoważne\nalternatywie równań\n𝑥-3 = 2𝑥+ 11 lub 𝑥-3 = -2𝑥-11\nStąd otrzymujemy 𝑥= -14 lub 𝑥= -8\n3 .\nTylko druga z tych liczb jest nie mniejsza od (-11\n2 ). Zatem równanie |𝑥-3| = 2𝑥+ 11\nma tylko jedno rozwiązanie: 𝑥= -8\n3 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja wartości bezwzględnej (podział na przypadki)\n\nKorzystamy z definicji: \\(|A| = A\\) gdy \\(A \\geq 0\\), oraz \\(|A| = -A\\) gdy \\(A < 0\\).\n\n**Warunek wstępny** - prawa strona musi być nieujemna (bo wartość bezwzględna jest zawsze \\(\\geq 0\\)):\n\\[2x + 11 \\geq 0 \\implies x \\geq -\\frac{11}{2}\\]\n\nPamiętaj o tym - każde rozwiązanie musimy sprawdzić pod tym kątem.\n\n**Przypadek 1:** \\(x - 3 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq 3\\)\n\nWtedy \\(|x-3| = x-3\\), więc:\n\\[x - 3 = 2x + 11\\]\n\\[x - 2x = 11 + 3\\]\n\\[-x = 14\\]\n\\[x = -14\\]\n\nSprawdzenie: czy \\(x = -14\\) spełnia warunek \\(x \\geq 3\\)?\n\n**Nie** - sprzeczność. Brak rozwiązania w tym przypadku.\n\n**Przypadek 2:** \\(x - 3 < 0\\), czyli \\(x < 3\\)\n\nWtedy \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\), więc:\n\\[-x + 3 = 2x + 11\\]\n\\[3 - 11 = 2x + x\\]\n\\[-8 = 3x\\]\n\\[\\boxed{x = -\\frac{8}{3}}\\]\n\nSprawdzenie: czy \\(x = -\\dfrac{8}{3} \\approx -2{,}67\\) spełnia warunek \\(x < 3\\)?\n\n**Tak** ✓\n\n**Weryfikacja w oryginalnym równaniu:**\n\\[|{-\\tfrac{8}{3} - 3}| = |{-\\tfrac{8}{3} - \\tfrac{9}{3}}| = \\left|-\\frac{17}{3}\\right| = \\frac{17}{3}\\]\n\\[2 \\cdot \\left(-\\frac{8}{3}\\right) + 11 = -\\frac{16}{3} + \\frac{33}{3} = \\frac{17}{3} \\checkmark\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna + weryfikacja algebraiczna\n\nInterpretacja: \\(|x - 3|\\) to **odległość punktu \\(x\\) od liczby \\(3\\)** na osi liczbowej.\n\nSzukamy takich \\(x\\), dla których ta odległość równa się wartości funkcji liniowej \\(2x+11\\).\n\nGeometrycznie: szukamy przecięcia wykresu \\(y = |x-3|\\) z prostą \\(y = 2x+11\\).\n\n- Dla \\(x < 3\\): wykres \\(|x-3|\\) to prosta o nachyleniu \\(-1\\) (wzór: \\(y = -x+3\\))\n- Prosta \\(y = 2x+11\\) ma nachylenie \\(+2\\)\n\nPrzecięcie dla \\(x < 3\\):\n\\[-x + 3 = 2x + 11 \\implies x = -\\frac{8}{3}\\]\n\nDla \\(x \\geq 3\\): wykres \\(|x-3|\\) to prosta o nachyleniu \\(+1\\), a \\(y=2x+11\\) ma większe nachylenie i już dla \\(x=3\\) wartość \\(2\\cdot3+11=17\\) jest większa niż \\(|3-3|=0\\), więc obie proste się rozchodzą - brak przecięcia.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna liczby, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nTo jest fundament całego rozwiązania - właśnie ta definicja pozwala rozbić równanie na dwa przypadki. Karta podaje też nierówności z \\(|\\cdot|\\), ale tutaj wystarczy sama definicja.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów zapomina sprawdzić, czy znalezione \\(x\\) spełnia warunek przypadku (tu: \\(x \\geq 3\\) lub \\(x < 3\\)). To podstawowy błąd - zawsze weryfikuj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prawa strona równania \\(2x+11\\) musi być \\(\\geq 0\\), bo wartość bezwzględna nie może być ujemna. Gdyby obliczone \\(x\\) dało \\(2x+11 < 0\\), byłoby odrzucone - tu na szczęście tak nie jest.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Typowy błąd to pomyłka znaku przy usuwaniu wartości bezwzględnej w Przypadku 2 - pamiętaj, że \\(|x-3| = -(x-3) = -x+3\\), NIE \\(x-3\\)!\n\n### Sposób 1. (rozbicie na przedziały)\n\n**Krok 1.** Z definicji wartości bezwzględnej:\n\\(|x-3| = \\begin{cases} 3-x, & x \\in (-\\infty, 3) \\\\ x-3, & x \\in \\langle 3, +\\infty) \\end{cases}\\)\n\n**Krok 2.** Przypadek \\(x \\in (-\\infty, 3)\\):\n\n\\(3 - x = 2x + 11\\)\n\n\\(-3x = 8\\), czyli \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\nSprawdzamy: \\(-\\dfrac{8}{3} \\approx -2{,}67 < 3\\) - należy do przedziału. \\(\\checkmark\\)\n\n**Krok 3.** Przypadek \\(x \\in \\langle 3, +\\infty)\\):\n\n\\(x - 3 = 2x + 11\\)\n\n\\(-x = 14\\), czyli \\(x = -14\\).\n\nSprawdzamy: \\(-14 < 3\\) - NIE należy do przedziału \\(\\langle 3, +\\infty)\\). Odrzucamy.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n### Sposób 2. (alternatywa równań)\n\nJeśli istnieją rozwiązania równania \\(|x-3| = 2x+11\\), to spełniają one jedną z alternatyw:\n\n\\(x - 3 = 2x + 11\\) lub \\(x - 3 = -(2x+11)\\)\n\nStąd \\(x = -14\\) lub \\(3x = -8\\), czyli \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n**Warunek:** Prawa strona \\(2x+11 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\), bo \\(|x-3| \\geq 0\\).\n\nSprawdzamy:\n- \\(x = -14\\): \\(2 \\cdot (-14) + 11 = -17 < 0\\). Odrzucamy.\n- \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\): \\(2 \\cdot \\left(-\\dfrac{8}{3}\\right) + 11 = -\\dfrac{16}{3} + \\dfrac{33}{3} = \\dfrac{17}{3} > 0\\). \\(\\checkmark\\)\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n### Sposób 3. (podniesienie do kwadratu)\n\nWarunek: \\(2x+11 \\geq 0\\), czyli \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\).\n\n\\((x-3)^2 = (2x+11)^2\\)\n\n\\(x^2 - 6x + 9 = 4x^2 + 44x + 121\\)\n\n\\(3x^2 + 50x + 112 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 2500 - 1344 = 1156,\\; \\sqrt{\\Delta} = 34\\)\n\n\\(x = \\dfrac{-50 \\pm 34}{6}\\): \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) lub \\(x = -14\\).\n\nTylko \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) spełnia warunek \\(x \\geq -\\dfrac{11}{2}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\).\n\n**Trik:** Najszybciej: zauważ że \\(|x-3| \\geq 0\\) implikuje \\(2x+11 \\geq 0\\). To od razu eliminuje błędne pierwiastki. Sprawdzanie warunku jest kluczowe!\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-3)\n- **1 pkt**: zapisanie przedziałów \\((-\\infty, 3)\\) oraz \\(\\langle 3, +\\infty)\\) i poprawnej postaci równania w co najmniej jednym; LUB alternatywa \\(x-3=2x+11\\) lub \\(x-3=-2x-11\\) i rozwiązanie obu; LUB równanie \\((x-3)^2 = (2x+11)^2\\) z rozwiązaniami.\n- **2 pkt**: zapisanie poprawnej postaci równania w każdym z przedziałów i rozwiązanie w jednym; LUB rozwiązanie alternatywy i sprawdzenie rachunkowe.\n- **3 pkt**: metoda poprawna + wynik \\(x = -\\dfrac{8}{3}\\) + sprawdzenie.\n\n**UWAGA:** Opuszczenie symbolu wartości bezwzględnej bez rozpatrzenia przedziałów = **0 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"bezwgledna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia przekątnych trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Długość podstawy 𝐶𝐷 jest\no 2 mniejsza od długości podstawy 𝐴𝐵. Promień okręgu opisanego na trójkącie\nostrokątnym 𝐶𝑃𝐷 jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝑃𝐵.\nWykaż, że spełniony jest warunek |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -|𝐶𝐷|2 = 4√2\n3 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃|.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nPunkt P jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD. Długość podstawy CD jest o 2 mniejsza od długości podstawy AB. Promień okręgu opisanego na trójkącie {ostrokątnym} CPD jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie APB. Wykaż, że spełniony jest warunek |DP|² + |CP|² - |CD|² = 4√2/3⋅|DP|⋅|CP|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR7.4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy spełni jeden z poniższych warunków:\n1) zapisze związek między długością jednej z podstaw trapezu a promieniem 𝑅2\nokręgu opisanego na trójkącie 𝐶𝑃𝐷 (lub promieniem 𝑅1 okręgu opisanego na\ntrójkącie 𝐴𝑃𝐵), np.\n|𝐶𝐷|\n𝑅2 =\n|𝐶𝐷|+2\n𝑅2+3 ,\n|𝐴𝐵|-2\n𝑅2\n|𝐴𝐵|\n𝑅2+3 ,\n|𝐴𝐵|\n𝑅1 =\n|𝐴𝐵|-2\n𝑅1-3\n2) zapisze związki między długościami podstaw trapezu, promieniami okręgów\nopisanych na trójkątach 𝐴𝐵𝑃 i 𝐶𝐷𝑃 oraz związek między długościami podstaw\ntrapezu i promieniami okręgów, np. |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 i 𝑅1 = 𝑅2 + 3 i\n|𝐴𝐵|\n𝑅1 =\n|𝐶𝐷|\n𝑅2\n,\n3) zapisze związki:\n|𝐴𝐵|\nsin𝛼 = 2𝑅1,\n|𝐶𝐷|\nsin𝛼 = 2𝑅2, |𝐶𝐷| + 2 = |𝐴𝐵|, 𝑅1 = 𝑅2 + 3,\n4) zapisze równanie z dwiema niewiadomymi - długością jednej z podstaw trapezu\ni sinusem kąta 𝛼, np.\n|𝐶𝐷|\nsin𝛼=\n|𝐶𝐷|+2\nsin𝛼-6,\n5) zapisze warunek cos 𝛼= 4√2\n6 jako warunek równoważny tezie.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\ngdy spełni jeden z warunków 1)-4) zapisanych w zasadach oceniania za 1 punkt\noraz obliczy sin 𝛼: sin 𝛼= 1\n3\nALBO\nzastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝑆1𝐵 i obliczy wartość cosinusa kąta\nśrodkowego opartego na tym samym łuku, co kąt 𝐴𝑃𝐵: cos 2𝛼= 7\n9 (sposób 4.).\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeśli zdający wprowadzi do rozwiązania dodatkowe założenia, nie wynikające z treści\nzadania, i korzysta z tych założeń, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie\nnabył praw do innej punktacji.\n2. Jeśli zdający w wyniku popełnionego błędu otrzyma równość sin 𝛼= 1\n3 , to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (podobieństwo trójkątów)\nOznaczmy przez 𝑅2 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐶𝑃𝐷, a przez 𝛼 - miarę kąta\nostrego 𝐶𝑃𝐷.\nPonieważ odcinki 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 są równoległe, więc |∡𝑃𝐶𝐷| = |∡𝑃𝐴𝐵| i |∡𝐴𝐵𝑃| = |∡𝑃𝐷𝐶|\n(kąty naprzemianległe) oraz |∡𝐶𝑃𝐷| = |∡𝐴𝑃𝐵| (kąty wierzchołkowe). Zatem trójkąty 𝐶𝑃𝐷\ni 𝐴𝑃𝐵 są podobne (na mocy cechy kkk). Stąd wynika, że\n𝑅2 + 3\n|𝐴𝐵| = 𝑅2\n|𝐶𝐷|\ni wobec |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 otrzymujemy dalej\n𝑅2 + 3\n|𝐶𝐷| + 2 = 𝑅2\n|𝐶𝐷|\n2𝑅2 = 3 ⋅|𝐶𝐷|\n|𝐶𝐷| = 2\n3 𝑅2\nDo trójkąta 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼= 2𝑅2\nco w połączeniu ze związkiem |𝐶𝐷| = 2\n3 𝑅2 prowadzi do równania\nsin 𝛼= 1\n3\nKorzystamy z tożsamości trygonometrycznej sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i, uwzględniając, że\n𝛼< 90°, otrzymujemy\n(1\n3)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\ncos 𝛼= 2√2\n3\nDo trójkąta 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów, korzystamy ze związku\ncos 𝛼= 2√2\n3 i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅cos 𝛼\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅2√2\n3\n4√2\n3\n⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -|𝐶𝐷|2\nTo należało pokazać.\nSposób 2. (twierdzenie sinusów)\nOznaczmy przez 𝑅2 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐶𝑃𝐷, a przez 𝛼 - miarę kąta\nostrego 𝐶𝑃𝐷.\nPonieważ kąty ostre 𝐶𝑃𝐷 i 𝐴𝑃𝐵 są wierzchołkowe, to |∡𝐶𝑃𝐷| = |∡𝐴𝑃𝐵| = 𝛼.\nDo trójkątów 𝐴𝑃𝐵 i 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\nsin 𝛼= 2(𝑅2 + 3) oraz\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼= 2𝑅2\nStąd\n|𝐴𝐵|\n2(𝑅2+3) =\n|𝐶𝐷|\n2𝑅2\n, a ponieważ z założenia |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2, więc\n|𝐶𝐷|+2\n2(𝑅2+3) =\n|𝐶𝐷|\n2𝑅2\ni w rezultacie\n|𝐶𝐷| = 2\n3 𝑅2\nZe związków |𝐶𝐷| = 2\n3 𝑅2 i\n|𝐶𝐷|\nsin𝛼= 2𝑅2 otrzymujemy\nsin 𝛼= 1\n3\nKorzystamy z tożsamości trygonometrycznej sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i, uwzględniając, że\n𝛼< 90°, otrzymujemy\n(1\n3)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\ncos 𝛼= 2√2\n3\nDo trójkąta 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów, korzystamy ze związku\ncos 𝛼= 2√2\n3 i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅cos 𝛼\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅2√2\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4√2\n3\n⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -|𝐶𝐷|2\nTo należało pokazać.\nSposób 3.\nOznaczmy przez 𝑅2 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐶𝑃𝐷, a przez 𝛼 - miarę kąta\nostrego 𝐶𝑃𝐷.\nPonieważ kąty ostre 𝐶𝑃𝐷 i 𝐴𝑃𝐵 są wierzchołkowe, to |∡𝐶𝑃𝐷| = |∡𝐴𝑃𝐵| = 𝛼.\nDo trójkątów 𝐴𝑃𝐵 i 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\nsin 𝛼= 2(𝑅2 + 3) oraz |𝐶𝐷|\nsin 𝛼= 2𝑅2\nŁącząc obie te zależności i korzystając z założenia |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2, otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\nsin 𝛼= |𝐶𝐷|\nsin 𝛼+ 6\n|𝐶𝐷| + 2\nsin 𝛼\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼+ 6\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼+\n2\nsin 𝛼=\n|𝐶𝐷|\nsin 𝛼+ 6\nsin 𝛼= 1\n3\nKorzystamy z tożsamości trygonometrycznej sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i, uwzględniając, że\n𝛼< 90°, otrzymujemy\n(1\n3)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\ncos 𝛼= 2√2\n3\nDo trójkąta 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów, korzystamy ze związku\ncos 𝛼= 2√2\n3 i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅cos 𝛼\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅2√2\n3\n4√2\n3\n⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -|𝐶𝐷|2\nTo należało pokazać.\nSposób 4. (kąt wpisany - kąt środkowy)\nNiech 𝑜1 będzie okręgiem o środku 𝑆1 i promieniu 𝑅1 opisanym na trójkącie 𝐴𝑃𝐵.\nOznaczmy przez 𝛼 miarę kąta ostrego 𝐴𝑃𝐵.\nPonieważ odcinki 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 są równoległe, więc |∡𝑃𝐶𝐷| = |∡𝑃𝐴𝐵| i |∡𝐴𝐵𝑃| = |∡𝑃𝐷𝐶|\n(kąty naprzemianległe) oraz |∡𝐶𝑃𝐷| = |∡𝐴𝑃𝐵| (kąty wierzchołkowe).\nNa mocy cechy kkk trójkąty 𝐶𝑃𝐷 i 𝐴𝑃𝐵 są podobne.\nNiech 𝑥= |𝐴𝐵|. Wtedy |𝐶𝐷| = 𝑥-2. Z podobieństwa trójkątów 𝐶𝑃𝐷 i 𝐴𝑃𝐵 wynika\nrówność\n𝑥-2\n𝑥\n= 𝑅1 -3\n𝑅1\nskąd otrzymujemy 𝑅1 = 3\n2 𝑥.\nZauważmy, że 2𝛼 jest miarą kąta środkowego, opartego na tym samym łuku okręgu 𝑜1 , co\nkąt 𝐴𝑃𝐵. Korzystamy z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐴𝑆1𝐵\ni otrzymujemy kolejno\n𝑥2 = 2𝑅1\n2 ⋅(1 -cos 2𝛼)\n𝑥2 = 2 ⋅(3\n2 𝑥)\n2\n⋅(1 -cos 2𝛼)\nskąd po obustronnym podzieleniu przez 𝑥2 otrzymujemy równość\n1 = 9\n2 ⋅(1 -cos 2𝛼)\nZatem cos 2𝛼= 7\n9 . Jest ona równoważna równości 2cos2𝛼-1 = 7\n9 , z której\nobliczamy cos 𝛼= 2√2\n3 (ujemną wartość odrzucamy ze względu na to, że kąt o mierze 𝛼\njest kątem wewnętrznym trójkąta ostrokątnego 𝐶𝑃𝐷).\nDo trójkąta 𝐶𝑃𝐷 stosujemy twierdzenie cosinusów, korzystamy ze związku\ncos 𝛼= 2√2\n3 i otrzymujemy\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅cos 𝛼\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -2 ⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| ⋅2√2\n3\n4√2\n3\n⋅|𝐷𝑃| ⋅|𝐶𝑃| = |𝐷𝑃|2 + |𝐶𝑃|2 -|𝐶𝐷|2\nTo należało pokazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: Należy wykazać\n\nTo zadanie otwarte - wykazujemy tożsamość przez wyznaczenie kąta $\\angle DPC$ z danych warunków, a następnie zastosowanie twierdzenia cosinusów.\n\n## Sposób 1 - Prawo sinusów w obu trójkątach + twierdzenie cosinusów\n\n**Krok 1. Kąt między przekątnymi jest taki sam w obu trójkątach.**\n\nPunkt $P$ to przecięcie przekątnych $AC$ i $BD$. Odcinki $PA$, $PC$ leżą na jednej prostej (przekątna $AC$), a $PB$, $PD$ na drugiej (przekątna $BD$). Zatem kąty $\\angle APB$ i $\\angle CPD$ są **wierzchołkowymi** - równymi sobie:\n\\[\\angle CPD = \\angle APB\\]\n\n**Krok 2. Wyraź promienie okręgów przez prawo sinusów.**\n\nPrawo sinusów w trójkącie $CPD$ (kąt naprzeciwko boku $|CD|$ to $\\angle CPD$):\n\\[2R_{CPD} = \\frac{|CD|}{\\sin(\\angle CPD)}\\]\n\nPrawo sinusów w trójkącie $APB$ (kąt naprzeciwko boku $|AB|$ to $\\angle APB = \\angle CPD$):\n\\[2R_{APB} = \\frac{|AB|}{\\sin(\\angle CPD)}\\]\n\nOznaczmy $s = \\sin(\\angle CPD)$, $a = |CD|$, $b = |AB|$.\n\nStąd:\n\\[R_{CPD} = \\frac{a}{2s}, \\qquad R_{APB} = \\frac{b}{2s}\\]\n\n**Krok 3. Użyj obu danych liczbowych.**\n\nZ treści: $b = a + 2$ oraz $R_{APB} - R_{CPD} = 3$.\n\nObliczamy różnicę promieni:\n\\[R_{APB} - R_{CPD} = \\frac{b}{2s} - \\frac{a}{2s} = \\frac{b - a}{2s} = \\frac{2}{2s} = \\frac{1}{s}\\]\n\nZ warunku $R_{APB} - R_{CPD} = 3$:\n\\[\\frac{1}{s} = 3 \\implies \\boxed{s = \\sin(\\angle CPD) = \\frac{1}{3}}\\]\n\n**Krok 4. Wyznacz cosinus kąta.**\n\nTrójkąt $CPD$ jest ostrokątny (dane z zadania), więc $\\angle CPD < 90°$, a cosinus jest dodatni:\n\\[\\cos(\\angle CPD) = \\sqrt{1 - \\sin^2(\\angle CPD)} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{9}} = \\sqrt{\\frac{8}{9}} = \\frac{2\\sqrt{2}}{3}\\]\n\n**Krok 5. Zastosuj twierdzenie cosinusów w trójkącie $CPD$.**\n\n\\[|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2 \\cdot |DP| \\cdot |CP| \\cdot \\cos(\\angle CPD)\\]\n\nPrzenosimy $|CD|^2$ na prawą stronę:\n\\[|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = 2 \\cdot |DP| \\cdot |CP| \\cdot \\cos(\\angle CPD)\\]\n\nPodstawiamy wyznaczoną wartość:\n\\[|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2 = 2 \\cdot |DP| \\cdot |CP| \\cdot \\frac{2\\sqrt{2}}{3} = \\frac{4\\sqrt{2}}{3} \\cdot |DP| \\cdot |CP|\\]\n\nCo kończy dowód. $\\blacksquare$\n\n## Sposób 2 - Przez podobieństwo trójkątów i proporcję promieni\n\n**Trójkąty $APB$ i $CPD$ są podobne**, ponieważ $AB \\parallel CD$, więc:\n- $\\angle PAB = \\angle PCD$ (kąty naprzemianległe przy równoległych prostych)\n- $\\angle PBA = \\angle PDC$ (kąty naprzemianległe)\n\nZ podobieństwa $\\triangle APB \\sim \\triangle CPD$ wynika:\n\\[\\frac{|AP|}{|CP|} = \\frac{|BP|}{|DP|} = \\frac{|AB|}{|CD|} = k\\]\n\nDla figur podobnych promienie okręgów opisanych są w tej samej proporcji:\n\\[\\frac{R_{APB}}{R_{CPD}} = k = \\frac{|AB|}{|CD|} = \\frac{a+2}{a}\\]\n\nZ tej proporcji: $R_{APB} = \\frac{(a+2)}{a} \\cdot R_{CPD}$.\n\nPodstawiamy do warunku $R_{APB} - R_{CPD} = 3$:\n\\[\\frac{a+2}{a} \\cdot R_{CPD} - R_{CPD} = 3 \\implies R_{CPD} \\cdot \\frac{2}{a} = 3 \\implies R_{CPD} = \\frac{3a}{2}\\]\n\nZ prawa sinusów w $\\triangle CPD$:\n\\[\\frac{|CD|}{\\sin(\\angle CPD)} = 2R_{CPD} \\implies \\frac{a}{\\sin(\\angle CPD)} = 2 \\cdot \\frac{3a}{2} = 3a\\]\n\\[\\sin(\\angle CPD) = \\frac{1}{3}\\]\n\nDalej identycznie jak w Sposobie 1: $\\cos(\\angle CPD) = \\frac{2\\sqrt{2}}{3}$ i twierdzenie cosinusów daje tezę. $\\blacksquare$\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie sinusów:\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = 2R\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 2) do wyrażenia $R_{CPD}$ i $R_{APB}$ przez bok $|CD|$, $|AB|$ i kąt $\\angle CPD$.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha\\]\nUżyte w Kroku 5 do przekształcenia $|DP|^2 + |CP|^2 - |CD|^2$.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyte w Kroku 4 do wyznaczenia $\\cos(\\angle CPD)$ ze znajomości $\\sin(\\angle CPD)$.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąty $\\angle APB$ i $\\angle CPD$ są wierzchołkowymi - nie mylić z kątami $\\angle BPC$ i $\\angle APD$, które są ich suplementami. To kluczowy krok, bo dzięki temu sinus w mianowniku jest ten sam dla obu trójkątów.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"trójkąt $CPD$ jest ostrokątny\" pozwala przyjąć $\\cos(\\angle CPD) > 0$. Gdyby kąt był rozwarty, cosinus byłby ujemny i prawa strona wychodziłaby ujemna - teza nie byłaby prawdziwa. Nie pomijaj tego założenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica długości podstaw ($|AB| - |CD| = 2$) wchodzi do rozwiązania wyłącznie przez różnicę $b - a = 2$ w mianowniku. To właśnie ta wartość \"wyczyściła\" zmienną $a$ i pozwoliła wyznaczyć $\\sin(\\angle CPD) = \\frac{1}{3}$ niezależnie od konkretnych długości boków - elegancki mechanizm zadania!\n\n### Sposób 1. (podobieństwo trójkątów)\n\n**Oznaczenia:** \\(R_2\\) - promień okręgu opisanego na \\(CPD\\), \\(R_1\\) - na \\(APB\\), \\(\\alpha\\) - miara kąta \\(CPD\\). Z założenia \\(R_1 = R_2 + 3\\) i \\(|AB| = |CD| + 2\\).\n\n**Krok 1. Podobieństwo \\(\\triangle CPD \\sim \\triangle APB\\).**\n\nPonieważ \\(AB \\parallel CD\\), to:\n- \\(\\angle PCD = \\angle PAB\\) (kąty naprzemianległe)\n- \\(\\angle PDC = \\angle PBA\\) (kąty naprzemianległe)\n- \\(\\angle CPD = \\angle APB\\) (kąty wierzchołkowe)\n\nZ cechy \\(kkk\\) trójkąty \\(CPD\\) i \\(APB\\) są podobne. Stosunek promieni opisanych równa się skali podobieństwa:\n\n\\(\\dfrac{R_2 + 3}{|AB|} = \\dfrac{R_2}{|CD|}\\)\n\nWstawiamy \\(|AB| = |CD|+2\\):\n\n\\(\\dfrac{R_2 + 3}{|CD|+2} = \\dfrac{R_2}{|CD|}\\)\n\nMnożąc krzyżowo: \\(R_2|CD| + 3|CD| = R_2|CD| + 2R_2\\), skąd \\(3|CD| = 2R_2\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{2}{3}R_2\\).\n\n**Krok 2. Twierdzenie sinusów w \\(\\triangle CPD\\).**\n\nZ karty wzorów (dział X Planimetria), tw. sinusów: \\(\\dfrac{|CD|}{\\sin\\alpha} = 2R_2\\).\n\nStąd \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{|CD|}{2R_2} = \\dfrac{2R_2/3}{2R_2} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n**Krok 3. Obliczenie \\(\\cos\\alpha\\).**\n\nZ tożsamości \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\dfrac{1}{9} = \\dfrac{8}{9}\\)\n\nPonieważ trójkąt \\(CPD\\) jest ostrokątny, \\(\\alpha < 90°\\), więc \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\).\n\n**Krok 4. Twierdzenie cosinusów w \\(\\triangle CPD\\).**\n\nZ karty wzorów: \\(|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2|DP|\\cdot|CP|\\cos\\alpha\\).\n\nPodstawiając \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\):\n\n\\(|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - 2|DP|\\cdot|CP|\\cdot\\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\)\n\n\\(|CD|^2 = |DP|^2 + |CP|^2 - \\dfrac{4\\sqrt{2}}{3}|DP|\\cdot|CP|\\)\n\nPrzenosząc otrzymujemy:\n\n\\(\\dfrac{4\\sqrt{2}}{3}|DP|\\cdot|CP| = |DP|^{2}+|CP|^{2}-|CD|^{2}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n### Sposób 2. (dwukrotne tw. sinusów)\n\nKąty \\(\\angle CPD\\) i \\(\\angle APB\\) są wierzchołkowe, więc równe \\(\\alpha\\).\n\nTwierdzenie sinusów w obu trójkątach:\n\\(\\dfrac{|AB|}{\\sin\\alpha} = 2R_1 = 2(R_2+3)\\) oraz \\(\\dfrac{|CD|}{\\sin\\alpha} = 2R_2\\)\n\nDzieląc stronami: \\(\\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{R_2+3}{R_2}\\), i wobec \\(|AB| = |CD|+2\\):\n\n\\(\\dfrac{|CD|+2}{|CD|} = \\dfrac{R_2+3}{R_2}\\)\n\nStąd \\(R_2(|CD|+2) = |CD|(R_2+3)\\), czyli \\(2R_2 = 3|CD|\\), więc \\(|CD| = \\dfrac{2}{3}R_2\\).\n\nZe związku \\(|CD| = \\dfrac{2}{3}R_2\\) i \\(\\dfrac{|CD|}{\\sin\\alpha} = 2R_2\\) otrzymujemy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\).\n\nDalej jak w sposobie 1 (obliczenie \\(\\cos\\alpha\\) i tw. cosinusów).\n\n### Sposób 3. (podstawienie)\n\nNiech \\(x = |CD|\\). Z podobieństwa i założeń: \\(R_1 = \\dfrac{3}{2}x\\), \\(R_2 = \\dfrac{3}{2}x - 3\\).\n\nDodatkowy przepis przez kąt wpisany/środkowy daje \\(\\cos 2\\alpha = \\dfrac{7}{9}\\), stąd \\(\\cos^2\\alpha = \\dfrac{8}{9}\\), \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{2\\sqrt{2}}{3}\\). Dalej tw. cosinusów jak w sposobie 1.\n\n**Trik:** W trapezie przecięcie przekątnych daje dwa podobne trójkąty (cecha kkk z kątów naprzemianległych). Stosunek promieni opisanych = skala podobieństwa = stosunek odpowiednich boków.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-3)\n- **1 pkt**: zapisanie związku między bokami/promieniami (np. \\(\\dfrac{|CD|}{R_2} = \\dfrac{|AB|-2}{R_1-3}\\)) lub \\(\\dfrac{|AB|}{\\sin\\alpha} = 2(R_2+3)\\) i \\(\\dfrac{|CD|}{\\sin\\alpha} = 2R_2\\); lub zapisanie warunku \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{4\\sqrt{2}}{6}\\) jako warunku równoważnego tezie.\n- **2 pkt**: obliczenie \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\).\n- **3 pkt**: pełne rozumowanie z tw. cosinusów i uzasadnieniem wyboru dodatniej wartości \\(\\cos\\alpha\\) (ostrokątność).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nReszta z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -6𝑥2 -(5𝑚+ 1)𝑥-2𝑚 przez dwumian 𝑥+ 2\njest równa (-30).\nOblicz 𝑚 i dla wyznaczonej wartości 𝑚 rozwiąż nierówność 𝑊(𝑥) ≥0.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nReszta z dzielenia wielomianu W(x)=4x^3-6x^2-(5m+1)-2m przez dwumian x+2 jest równa (-30). Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W(x)≥0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.4) stosuje twierdzenie o reszcie\nz dzielenia wielomianu przez dwumian 𝑥-𝑎;\nR3.6) rozwiązuje łatwe nierówności\nwielomianowe.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z niewiadomą 𝑚 wynikające z warunków zadania:\n4 ⋅(-2)3 -6 ⋅(-2)2 -(5𝑚+ 1) ⋅(-2) -2𝑚= -30\nALBO\nwyznaczy resztę z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian (𝑥+ 2) i zapisze\nrównanie -2𝑚+ 2(5𝑚-27) = -30.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy 𝑚: 𝑚= 3.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy obliczy/poda wszystkie pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6:\n𝑥1 = -1, 𝑥2 = -1\n2 , 𝑥3 = 3.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy rozwiąże nierówność 𝑊(𝑥) ≥0: 𝑥∈⟨-1, -1\n2 ⟩∪〈3, +∞〉.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie interpretuje warunki zadania 𝑊(-2) = -30, ale popełnia błędy\nrachunkowe, zapisując równanie wynikające z tego warunku, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełnia błąd w interpretacji warunków zadania, zapisując np. 𝑊(2) = -30,\nw konsekwencji którego zapisuje błędne równanie wynikające z tego warunku, lecz\notrzyma wielomian o trzech różnych pierwiastkach i konsekwentnie doprowadzi\nrozwiązanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający w wyniku błędów rachunkowych przekształci wielomian 𝑊 do postaci,\nw której otrzymany wielomian ma co najwyżej dwa pierwiastki (jeden dwukrotny i jeden\npierwiastek jednokrotny), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej:\n3 punkty - jeśli uwzględnia krotności pierwiastków,\n2 punkty - jeśli nie uwzględnia krotności pierwiastków.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nReszta z dzielenia wielomianu 𝑊 przez dwumian 𝑥+ 2 jest równa (-30), zatem\n𝑊(-2) = -30. Stąd otrzymujemy\n4 ∙(-2)3 -6 ∙(-2)2 -(5𝑚+ 1)(-2) -2𝑚= -30\nRozwiązaniem tego równania jest 𝑚= 3.\nRozwiązujemy nierówność 4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6 ≥0, stosując przekształcenia\nrównoważne, i otrzymujemy kolejno:\n4𝑥3 -6𝑥2 -16𝑥-6 ≥0\n2(𝑥+ 1)(2𝑥2 -5𝑥-3) ≥0\n4(𝑥+ 1)(𝑥-3) (𝑥+ 1\n2) ≥0\nSzkicujemy wykres wielomianu 𝑊(𝑥) = 4(𝑥+ 1)(𝑥-3) (𝑥+ 1\n2)\ni odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności 𝑊(𝑥) ≥0: ⟨-1, -1\n2⟩∪⟨3, +∞).\n3\n𝑥\n-1\n2\n-1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = 3\\), rozwiązanie nierówności: \\(x \\in \\langle -1,\\ -\\tfrac{1}{2} \\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Bézouta + rozkład na czynniki\n\n### Krok 1: Wyznaczenie \\(m\\)\n\n**Twierdzenie Bézouta:** reszta z dzielenia wielomianu \\(W(x)\\) przez \\((x - a)\\) jest równa \\(W(a)\\).\n\nDzielimy przez \\((x+2) = (x - (-2))\\), więc \\(a = -2\\).\n\nObliczamy \\(W(-2)\\):\n\\[\nW(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - (5m+1)(-2) - 2m\n\\]\n\\[\n= 4 \\cdot (-8) - 6 \\cdot 4 + 2(5m+1) - 2m\n\\]\n\\[\n= -32 - 24 + 10m + 2 - 2m\n\\]\n\\[\n= -54 + 8m\n\\]\n\nZ warunku \\(W(-2) = -30\\):\n\\[\n-54 + 8m = -30 \\quad\\Rightarrow\\quad 8m = 24 \\quad\\Rightarrow\\quad \\boxed{m = 3}\n\\]\n\n### Krok 2: Zapisanie \\(W(x)\\) dla \\(m = 3\\)\n\n\\[\nW(x) = 4x^3 - 6x^2 - (15+1)x - 6 = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\n\\]\n\n### Krok 3: Rozkład \\(W(x)\\) na czynniki liniowe\n\nSzukamy pierwiastka wymiernego - sprawdzamy kandydatów z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych: \\(\\pm 1, \\pm \\frac{1}{2}, \\pm 3, \\ldots\\)\n\n\\[\nW(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 - 16(-1) - 6 = -4 - 6 + 16 - 6 = 0 \\checkmark\n\\]\n\n**\\(x = -1\\) jest pierwiastkiem!** Dzielimy przez \\((x+1)\\) (dzielenie pisemne lub schemat Hornera):\n\n\\[\n4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 = (x+1)(4x^2 - 10x - 6)\n\\]\n\nRozkładamy \\(4x^2 - 10x - 6\\):\n\\[\n4x^2 - 10x - 6 = 2(2x^2 - 5x - 3)\n\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 25 + 24 = 49\\), więc\n\\[\nx = \\frac{5 \\pm 7}{4}\n\\]\n\\[\nx_1 = -\\frac{1}{2}, \\quad x_2 = 3\n\\]\n\nZatem:\n\\[\n2(2x^2 - 5x - 3) = 2(2x+1)(x-3)\n\\]\n\n**Pełny rozkład:**\n\\[\nW(x) = 2(x+1)(2x+1)(x-3)\n\\]\n\n### Krok 4: Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\)\n\nPierwiastki (w kolejności na osi liczbowej):\n\\[\nx_1 = -1, \\quad x_2 = -\\tfrac{1}{2}, \\quad x_3 = 3\n\\]\n\nCzynnik \\(2 > 0\\) nie zmienia znaku. Badamy znaki na przedziałach:\n\n| Przedział | \\((x+1)\\) | \\((2x+1)\\) | \\((x-3)\\) | \\(W(x)\\) |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = -1\\) | \\(0\\) | - | - | \\(0\\) |\n| \\(-1 < x < -\\tfrac{1}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -\\tfrac{1}{2}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | - | \\(0\\) |\n| \\(-\\tfrac{1}{2} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\):**\n\\[\n\\boxed{x \\in \\left\\langle -1,\\ -\\tfrac{1}{2} \\right\\rangle \\cup \\left\\langle 3,\\ +\\infty \\right)}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Schemat Hornera dla wyznaczenia \\(m\\) i weryfikacja rozkładu\n\n### Wyznaczenie \\(m\\) schematem Hornera\n\nWyliczamy \\(W(-2)\\) zapisując współczynniki wielomianu: \\(4,\\ -6,\\ -(5m+1),\\ -2m\\).\n\n| | \\(4\\) | \\(-6\\) | \\(-(5m+1)\\) | \\(-2m\\) |\n| \\(\\cdot(-2)\\) | | \\(-8\\) | \\(28\\) | \\(-2(27-5m)\\) |\n\nObliczamy krok po kroku:\n\\[\n4\n\\]\n\\[\n4 \\cdot (-2) = -8;\\quad -6 + (-8) = -14\n\\]\n\\[\n-14 \\cdot (-2) = 28;\\quad -(5m+1) + 28 = 27 - 5m\n\\]\n\\[\n(27-5m) \\cdot (-2) = -54 + 10m;\\quad -2m + (-54 + 10m) = -54 + 8m\n\\]\n\nReszta: \\(-54 + 8m = -30\\), stąd \\(m = 3\\) - **ten sam wynik**.\n\n### Weryfikacja rozkładu\n\nSprawdzamy, czy \\(W(x) = 2(x+1)(2x+1)(x-3)\\) zgadza się z \\(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\\):\n\n\\[\n(x+1)(2x+1) = 2x^2 + 3x + 1\n\\]\n\\[\n(2x^2 + 3x + 1)(x-3) = 2x^3 - 6x^2 + 3x^2 - 9x + x - 3 = 2x^3 - 3x^2 - 8x - 3\n\\]\n\\[\n2 \\cdot (2x^3 - 3x^2 - 8x - 3) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 \\checkmark\n\\]\n\nDodatkowo sprawdzamy warunek z treści:\n\\[\nW(-2) = 2(-2+1)(2(-2)+1)(-2-3) = 2(-1)(-3)(-5) = 2 \\cdot (-15) = -30 \\checkmark\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego:\n\\[\nx_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\n\\]\nUżyliśmy w Kroku 3 do rozwiązania \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\) (\\(a=2, b=-5, c=-3\\), \\(\\Delta = 49\\)).\n\n> Twierdzenie Bézouta (o reszcie z dzielenia przez dwumian liniowy) nie jest osobno wylistowane w karcie CKE jako numerowany wzór, ale jest standardowym twierdzeniem o wielomianach - maturzysta powinien je znać z pamięci.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielimy przez \\((x+2)\\), więc podstawiamy \\(x = \\mathbf{-2}\\) (nie \\(+2\\)!) do twierdzenia Bézouta. Pomylenie znaku to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu wielomianu stopnia 3 - najpierw szukamy jednego pierwiastka (np. metodą prób dla liczb całkowitych), a dopiero potem wyłuczamy czynnik liniowy i rozwiązujemy otrzymany trójmian. Nie próbujemy od razu wyciągać wzoru na pierwiastki sześcienne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W tabeli znaków pamiętaj, że trzy czynniki ujemne dają wynik **ujemny** (nie dodatni!). Łatwo pomylić parzyste i nieparzyste liczby czynników ujemnych - warto sprawdzić jeden punkt na każdym przedziale, np. \\(W(0) = -6 < 0\\) potwierdza znak na \\((-\\tfrac{1}{2}, 3)\\).\n\n### Sposób 1. (twierdzenie Bezouta + rozkład na czynniki)\n\n**Krok 1. Wyznaczenie \\(m\\).**\n\nZ twierdzenia o reszcie (Bezouta): reszta z dzielenia \\(W(x)\\) przez \\(x+2 = x-(-2)\\) jest równa \\(W(-2)\\):\n\n\\(W(-2) = 4(-2)^3 - 6(-2)^2 - (5m+1)(-2) - 2m = -32 - 24 + 10m + 2 - 2m = 8m - 54\\)\n\nZ warunku zadania: \\(8m - 54 = -30\\), stąd \\(8m = 24\\), czyli \\(m = 3\\).\n\n**Krok 2. Wielomian dla \\(m=3\\).**\n\n\\(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6\\)\n\n**Krok 3. Pierwiastki wielomianu.**\n\nWyłączamy \\(2\\): \\(W(x) = 2(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3)\\).\n\nSprawdzamy \\(x = -1\\): \\(2(-2 - 3 + 8 - 3) = 0\\). Więc \\(x=-1\\) jest pierwiastkiem.\n\nDzielimy \\(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3\\) przez \\(x+1\\):\n\\(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = (x+1)(2x^2 - 5x - 3)\\)\n\nPierwiastki \\(2x^2 - 5x - 3 = 0\\): \\(\\Delta = 25 + 24 = 49\\), \\(x = \\dfrac{5\\pm 7}{4}\\), czyli \\(x=3\\) lub \\(x=-\\dfrac{1}{2}\\).\n\nZatem \\(W(x) = 4(x+1)\\left(x+\\dfrac{1}{2}\\right)(x-3)\\).\n\n**Krok 4. Rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\).**\n\nPierwiastki (uporządkowane rosnąco): \\(-1,\\; -\\dfrac{1}{2},\\; 3\\). Wielomian 3. stopnia ze współczynnikiem dodatnim zmienia znak w każdym pierwiastku.\n\nSzkic wykresu (metoda wężykowa): zaczynamy od \"plusa\" po prawej stronie.\n- \\(x > 3\\): +\n- \\(-\\dfrac{1}{2} < x < 3\\): -\n- \\(-1 < x < -\\dfrac{1}{2}\\): +\n- \\(x < -1\\): -\n\nZbiór rozwiązań \\(W(x) \\geq 0\\) (ze znakami równości w miejscach zerowych):\n\n\\(x \\in \\left\\langle -1,\\; -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2. (bezpośrednie dzielenie)\n\nDzielimy \\(W(x)\\) przez \\(x+2\\) (schemat Hornera lub dzielenie pisemne):\n\n\\(W(x) = (x+2)(4x^2 + ax + b) + R\\)\n\nPo wykonaniu dzielenia reszta \\(R = -2m + 2(5m-27) = 8m-54\\).\n\nZ \\(R = -30\\): \\(m = 3\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n**Trik:** Twierdzenie Bezouta (reszta = \\(W(a)\\) dla dzielenia przez \\(x-a\\)) jest 10x szybsze niż dzielenie pisemne. Dla wielomianu 3. stopnia z wymiernymi pierwiastkami - zawsze zgaduj \\(\\pm 1, \\pm\\dfrac{1}{2}, \\pm 3\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-4)\n- **1 pkt**: zapisanie równania z niewiadomą \\(m\\) wynikającego z warunku \\(W(-2)=-30\\).\n- **2 pkt**: obliczenie \\(m = 3\\).\n- **3 pkt**: znalezienie wszystkich pierwiastków wielomianu: \\(x_1=-1,\\; x_2=-\\dfrac{1}{2},\\; x_3=3\\).\n- **4 pkt**: rozwiązanie nierówności \\(W(x) \\geq 0\\): \\(x \\in \\left\\langle -1, -\\dfrac{1}{2}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"wielomiany","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i ma wszystkie\nwyrazy dodatnie. Ponadto 𝑎1 = 675 i 𝑎22 = 5\n4 𝑎23 + 1\n5 𝑎21.\nCiąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny.\nSuma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych\nkolejnych wyrazów ciągu (𝑏𝑛). Ponadto 𝑎3 = 𝑏4. Oblicz 𝑏1.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto a_1=675 i a_22 = 5/4a_23 + 1/5a_21. Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (b_n). Ponadto a_3=b_4. Oblicz b_1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nP5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na\nsumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\nR5.2) rozpoznaje szeregi geometryczne\nzbieżne i oblicza ich sumy.\nZasady oceniania dla sposobów 1. i 2.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛): 𝑞= 2\n5\nALBO\nzapisze 𝑏1 + 3𝑟= 𝑏4 ,\nALBO\nzapisze 𝑆25 = 𝑏1+𝑏25\n2\n⋅25 lub 𝑆25 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np. 𝑏1 + 3𝑟= 108,\n1125 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25\nALBO\nzapisze 𝑆25 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25 oraz 𝑏1 + 3𝑟= 𝑏4 .\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy zapisze układ dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑏1 i 𝑟, np.\n𝑏1 + 3𝑟= 108 oraz 1125 = 2𝑏1+24𝑟\n2\n⋅25.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy obliczy 𝑏1: 𝑏1 = 129.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli własności ciągu arytmetycznego z własnościami ciągu\ngeometrycznego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający rozpatruje przypadek 𝑞= 0 i w ostatecznej odpowiedzi nie odrzuca\notrzymanej z tego przypadku wartości 𝑏1, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛), popełni błąd i otrzyma jedynie wartość ilorazu\n𝑞 spoza przedziału (-1, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeśli zdający, obliczając iloraz ciągu (𝑎𝑛), popełni błąd i uzyska wartość ilorazu ze zbioru\n(-1,0) ∪(0,1), to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej:\n3 punkty - gdy popełni jedynie błąd rachunkowy (lub błąd nieuwagi),\n2 punkty - gdy popełni błąd rzeczowy.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy równanie\n𝑎22 = 5\n4 𝑎23 + 1\n5 𝑎21 do postaci 𝑎21 ⋅𝑞= 5\n4 𝑎21 ⋅𝑞2 + 1\n5 𝑎21 . Dzieląc obie strony równania\nprzez 𝑎21 ≠0, otrzymujemy równanie 5\n4 𝑞2 -𝑞+ 1\n5 = 0, którego rozwiązaniem jest 𝑞= 2\n5 .\nPonieważ |𝑞| = | 2\n5 | < 1, zatem istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛).\nObliczamy sumę 𝑆= 675\n1-2\n5\n= 1125 i 𝑎3 = 675 ⋅(2\n5)\n2\n= 108.\nTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego,\nwięc 𝑏4 = 𝑏1 + 3𝑟= 108.\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) jest równa sumie\ndwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑏𝑛), zatem\n1125 = 2𝑏1 + 24𝑟\n2\n⋅25\n45 = 𝑏1 + 12𝑟\nZ równań 𝑏1 + 3𝑟= 108 i 𝑏1 + 12𝑟= 45 otrzymujemy 𝑟= -7.\nZatem 𝑏1 = 108 -3 ⋅(-7) = 129.\nSposób 2.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i przekształcamy równanie\n𝑎22 = 5\n4 𝑎23 + 1\n5 𝑎21 do postaci 𝑎2 ⋅𝑞20 = 5\n4 𝑎3 ⋅𝑞20 + 1\n5 𝑎1 ⋅𝑞20. Dzieląc obie strony\nrównania przez 𝑞 (wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, więc 𝑞≠0), otrzymujemy\n𝑎2 = 5\n4 𝑎3 + 1\n5 𝑎1 . Stąd i z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy dalej\n(5\n4 𝑎3 + 1\n5 𝑎1)\n2\n= 675 ⋅𝑎3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n25\n16 𝑎3\n2 -675\n2 𝑎3 + 18225 = 0\nRozwiązaniem równania jest 𝑎3 = 108. Stosujemy wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i zapisujemy 108 = 675 ⋅𝑞2 , skąd 𝑞= 2\n5 lub 𝑞= -2\n5 . Ponieważ\nwszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛) są dodatnie, więc 𝑞= 2\n5 .\nStwierdzamy, że |𝑞| < 1, więc istnieje suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛). Obliczamy\nsumę 𝑆= 675\n1-2\n5\n= 1125.\nTrzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy czwartemu wyrazowi ciągu arytmetycznego,\nwięc 𝑏4 = 𝑏1 + 3𝑟= 108.\nSuma wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego (𝑎𝑛) jest równa sumie\ndwudziestu pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑏𝑛), zatem\n1125 = 2𝑏1 + 24𝑟\n2\n⋅25\n45 = 𝑏1 + 12𝑟\nZ równań 𝑏1 + 3𝑟= 108 i 𝑏1 + 12𝑟= 45 otrzymujemy 𝑟= -7.\nZatem 𝑏1 = 108 -3 ⋅(-7) = 129.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(b_1 = 129\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu z warunku, a potem układ równań\n\n### Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego \\(q\\)\n\nNiech \\(q > 0\\) - iloraz ciągu \\((a_n)\\). Ogólny wyraz: \\(a_n = 675 \\cdot q^{n-1}\\).\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_{22} = \\frac{5}{4}a_{23} + \\frac{1}{5}a_{21}\\):\n\n\\[675q^{21} = \\frac{5}{4} \\cdot 675q^{22} + \\frac{1}{5} \\cdot 675q^{20}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(675q^{20}\\) (niezerowe, bo \\(q > 0\\) i \\(a_1 = 675 > 0\\)):\n\n\\[q = \\frac{5}{4}q^2 + \\frac{1}{5}\\]\n\nMnożymy przez 20:\n\n\\[20q = 25q^2 + 4\\]\n\n\\[25q^2 - 20q + 4 = 0\\]\n\n\\[\\Delta = 400 - 4 \\cdot 25 \\cdot 4 = 400 - 400 = 0\\]\n\nPonieważ \\(\\Delta = 0\\):\n\n\\[q = \\frac{20}{2 \\cdot 25} = \\frac{20}{50} = \\frac{2}{5}\\]\n\n### Krok 2: Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \\((a_n)\\)\n\nPonieważ \\(|q| = \\frac{2}{5} < 1\\), suma nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje:\n\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q} = \\frac{675}{1 - \\frac{2}{5}} = \\frac{675}{\\frac{3}{5}} = 675 \\cdot \\frac{5}{3} = 1125\\]\n\n### Krok 3: Oblicz \\(a_3\\) (potrzebne do warunku \\(a_3 = b_4\\))\n\n\\[a_3 = 675 \\cdot q^2 = 675 \\cdot \\frac{4}{25} = \\frac{2700}{25} = 108\\]\n\n### Krok 4: Zapisz układ równań dla ciągu arytmetycznego \\((b_n)\\)\n\nNiech \\(b_1\\) - pierwszy wyraz, \\(d\\) - różnica ciągu \\((b_n)\\).\n\n**Warunek 1:** \\(a_3 = b_4\\)\n\n\\[b_1 + 3d = 108\\]\n\n**Warunek 2:** \\(S_{25} = 1125\\)\n\n\\[S_{25} = \\frac{25(2b_1 + 24d)}{2} = 25b_1 + 300d = 1125\\]\n\nDzielimy przez 25:\n\n\\[b_1 + 12d = 45\\]\n\n### Krok 5: Rozwiąż układ\n\n\\[\\begin{cases} b_1 + 3d = 108 \\\\ b_1 + 12d = 45 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy równanie pierwsze od drugiego:\n\n\\[9d = 45 - 108 = -63\\]\n\n\\[d = -7\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\n\\[b_1 = 108 - 3 \\cdot (-7) = 108 + 21 = \\mathbf{129}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (sprawdzenie wszystkich warunków)\n\nMamy: \\(a_1 = 675\\), \\(q = \\frac{2}{5}\\), \\(b_1 = 129\\), \\(d = -7\\).\n\n**Sprawdzenie warunku głównego:**\n\\[a_{22} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{21}, \\quad a_{23} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{22}, \\quad a_{21} = 675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{20}\\]\n\nDzieląc przez \\(675 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^{20}\\):\n\n\\[\\frac{2}{5} \\stackrel{?}{=} \\frac{5}{4} \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^2 + \\frac{1}{5} = \\frac{5}{4} \\cdot \\frac{4}{25} + \\frac{1}{5} = \\frac{1}{5} + \\frac{1}{5} = \\frac{2}{5} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(a_3 = b_4\\):**\n\\[a_3 = 108, \\quad b_4 = 129 + 3(-7) = 129 - 21 = 108 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie sumy:**\n\\[S_{25} = 25 \\cdot 129 + 300 \\cdot (-7) = 3225 - 2100 = 1125 \\checkmark\\]\n\n\\[S_\\infty = \\frac{675}{\\frac{3}{5}} = 1125 \\checkmark\\]\n\nWszystkie warunki spełnione. **\\(b_1 = 129\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - suma nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad |q| < 1\\]\nUżyte w Kroku 2 do wyznaczenia sumy wszystkich wyrazów \\((a_n)\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9)** - ogólny wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyte w Kroku 1 i 3.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - suma \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \\cdot n\\]\nUżyte w Kroku 4.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x = \\frac{-b}{2a} \\text{ (gdy } \\Delta = 0\\text{)}\\]\nUżyte w Kroku 1 do rozwiązania równania kwadratowego na \\(q\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"suma wszystkich wyrazów\" oznacza sumę **nieskończonego** ciągu geometrycznego - wzór \\(S = \\frac{a_1}{1-q}\\) działa tylko gdy \\(|q| < 1\\). Warto sprawdzić ten warunek (tu \\(q = \\frac{2}{5} < 1\\) - OK).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu równań w układzie łatwo pomylić kolejność - pamiętaj, że odejmujesz **całe równanie**, by wyeliminować \\(b_1\\). Błąd znaku da tu \\(d = +7\\) zamiast \\(-7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\Delta = 0\\) w równaniu kwadratowym na \\(q\\) daje **dokładnie jeden pierwiastek** - nie zgub tego faktu i nie szukaj dwóch ilorazów. Jeden pierwiastek to sygnał, że zadanie jest dobrze skonstruowane.\n\n### Sposób 1. (własność ciągu geometrycznego)\n\n**Krok 1. Wyznaczenie ilorazu \\(q\\).**\n\nW ciągu geometrycznym: \\(a_{22} = a_{21}\\cdot q\\), \\(a_{23} = a_{21}\\cdot q^2\\). Z karty wzorów (dział V, ciągi).\n\nPodstawiamy do warunku \\(a_{22} = \\dfrac{5}{4}a_{23} + \\dfrac{1}{5}a_{21}\\):\n\n\\(a_{21}\\cdot q = \\dfrac{5}{4}a_{21}\\cdot q^2 + \\dfrac{1}{5}a_{21}\\)\n\nDzieląc przez \\(a_{21} \\neq 0\\):\n\n\\(\\dfrac{5}{4}q^2 - q + \\dfrac{1}{5} = 0\\; /\\cdot 20\\)\n\n\\(25q^2 - 20q + 4 = 0\\)\n\n\\((5q-2)^2 = 0\\), stąd \\(q = \\dfrac{2}{5}\\).\n\n**Krok 2. Suma szeregu geometrycznego.**\n\nPonieważ \\(|q| = \\dfrac{2}{5} < 1\\), istnieje suma szeregu nieskończonego (karta wzorów):\n\n\\(S = \\dfrac{a_1}{1-q} = \\dfrac{675}{1 - 2/5} = \\dfrac{675}{3/5} = 1125\\)\n\n**Krok 3. Wyznaczenie \\(a_3\\).**\n\n\\(a_3 = a_1\\cdot q^2 = 675\\cdot\\dfrac{4}{25} = 108\\)\n\n**Krok 4. Układ równań dla ciągu \\((b_n)\\).**\n\nZ \\(a_3 = b_4\\): \\(b_4 = 108\\), czyli \\(b_1 + 3r = 108\\).\n\nZ karty wzorów, suma \\(S_{25}\\) ciągu arytmetycznego: \\(S_{25} = \\dfrac{2b_1 + 24r}{2}\\cdot 25\\).\n\nZ warunku \\(S_{25} = 1125\\): \\(\\dfrac{2b_1+24r}{2}\\cdot 25 = 1125\\), stąd \\(2b_1+24r = 90\\), czyli \\(b_1 + 12r = 45\\).\n\nUkład:\n\\(\\begin{cases} b_1 + 3r = 108 \\\\ b_1 + 12r = 45 \\end{cases}\\)\n\nOdejmując: \\(9r = -63\\), stąd \\(r = -7\\).\n\n\\(b_1 = 108 - 3\\cdot(-7) = 108 + 21 = 129\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(b_1 = 129\\).\n\n### Sposób 2. (bez wyznaczenia \\(q\\) z wzoru ogólnego)\n\nZe wzoru ogólnego \\(a_n = a_1\\cdot q^{n-1}\\):\n\n\\(a_{22} = a_1\\cdot q^{21}, a_{23} = a_1\\cdot q^{22}, a_{21} = a_1\\cdot q^{20}\\)\n\nDzieląc równanie przez \\(q\\) (wszystkie wyrazy dodatnie, \\(q \\neq 0\\)):\n\n\\(a_2 = \\dfrac{5}{4}a_3 + \\dfrac{1}{5}a_1\\)\n\nZ własności ciągu geometrycznego \\(a_2^2 = a_1\\cdot a_3\\), więc \\(a_2 = \\sqrt{a_1\\cdot a_3} = \\sqrt{675\\cdot a_3}\\).\n\nPodstawiając \\(a_2^2 = 675\\cdot a_3\\):\n\n\\(\\left(\\dfrac{5}{4}a_3 + \\dfrac{1}{5}\\cdot 675\\right)^2 = 675\\cdot a_3\\)\n\n\\(\\left(\\dfrac{5}{4}a_3 + 135\\right)^2 = 675\\cdot a_3\\)\n\nRozwijając otrzymujemy \\(a_3 = 108\\), skąd \\(q^2 = \\dfrac{a_3}{a_1} = \\dfrac{108}{675} = \\dfrac{4}{25}\\), \\(q = \\dfrac{2}{5}\\). Dalej jak w sposobie 1.\n\n**Trik:** Gdy widzisz zależność między \\(a_{k}, a_{k+1}, a_{k-1}\\) w ciągu geometrycznym - podziel przez najmniejszą potęgę \\(q\\), równanie od razu zamienia się w kwadratowe dla \\(q\\). To oszczędza strasznie dużo rachunków.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-4)\n- **1 pkt**: obliczenie \\(q = \\dfrac{2}{5}\\); LUB zapisanie \\(b_1+3r = b_4\\); LUB wzór na \\(S_{25}\\).\n- **2 pkt**: \\(b_1+3r = 108\\) i \\(1125 = \\dfrac{2b_1+24r}{2}\\cdot 25\\).\n- **3 pkt**: zapisanie układu dwóch równań z niewiadomymi \\(b_1, r\\).\n- **4 pkt**: \\(b_1 = 129\\).\n\n**UWAGA:** Mylenie własności ciągu arytmetycznego z geometrycznym = **0 punktów**!","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nRozwiąż równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR6.5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\nR6.6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nprzekształci równoważnie równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0, stosując wzór na\nsumę sinusów lub sinus sumy, lub sinus różnicy, lub sinus podwojonego kąta, lub\nsinus potrojonego kąta, np.:\n2 sin 2𝑥cos(-𝑥) + sin 2𝑥= 0\nlub\n2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + sin 3𝑥= 0,\nlub\nsin 𝑥+ 2 sin(2,5𝑥) cos(-0,5𝑥) = 0,\nlub\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0,\nlub\nsin 2𝑥cos 𝑥-cos 2𝑥sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0,\nlub\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0,\nlub\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ 3 sin 𝑥-4 sin3 𝑥= 0,\nALBO\npoda dwie spośród liczb: 0, 𝜋\n2 , 𝜋, i zapisze, że podane liczby spełniają równanie.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań\ntrygonometrycznych, np.:\nsin 2𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0,\nsin(1,5𝑥) = 0 lub cos(-0,5𝑥) + cos(1, 5𝑥) = 0,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0,\nsin 𝑥= 0 lub 4 cos2 𝑥+ 2 cos 𝑥= 0.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\nprzekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań\ntrygonometrycznych i rozwiąże każde z tych równań w zbiorze liczb rzeczywistych\nALBO\nprzekształci równanie sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 do postaci alternatywy równań\ntrygonometrycznych i rozwiąże jedno z tych równań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\ni otrzyma poprawny zbiór rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩: {0, 𝜋\n2 , 2𝜋\n3 , 𝜋 }.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na:\nniepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy\nlub sumę/różnicę sinusów, lub sinus podwojonego/potrojonego kąta\nALBO\nbłędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca oraz otrzyma co najmniej trzy rozwiązania\nz przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile\nnie nabył praw do innej punktacji.\n2. Jeśli zdający zastępuje cos 𝑥 przez √1 -sin2 𝑥 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, otrzymując co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeśli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥) zawierające\nniewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże zadanie\ndo końca i otrzyma co najmniej trzy rozwiązania z przedziału ⟨0, 𝜋⟩, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (suma sinusów)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 3𝑥+ sin 2𝑥= 0\n2 sin 2𝑥cos(-𝑥) + sin 2𝑥= 0\nsin 2𝑥(2 cos 𝑥+ 1) = 0\nsin 2𝑥= 0 lub cos 𝑥= -1\n2\nStąd 2𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZatem 𝑥= 𝑘⋅𝜋\n2 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\nInne przykładowe realizacje.\n1)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\n2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + sin 3𝑥= 0\n2 sin(1,5𝑥) cos(-0,5𝑥) + 2 sin(1,5𝑥) cos(1,5𝑥) = 0\n2 sin(1,5𝑥) (cos(-0,5𝑥) + cos(1,5𝑥)) = 0\n2 sin(1,5𝑥) = 0 lub cos(-0,5𝑥) + cos(1,5𝑥) = 0\n2 sin(1,5𝑥) = 0 lub 2 cos(0,5𝑥) cos(-𝑥) = 0\nStąd 1,5𝑥= 𝑘𝜋 lub 0,5𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZatem 𝑥= 2𝜋\n3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\n2)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\nsin 𝑥+ 2 sin(2,5𝑥) cos(-0,5𝑥) = 0\n2 sin(0,5𝑥) cos(0,5𝑥) + 2 sin(2,5𝑥) cos(0,5𝑥) = 0\n2 cos(0,5𝑥) (sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥)) = 0\n2 cos(0,5𝑥) = 0 lub sin(0,5𝑥) + sin(2,5𝑥) = 0\n2 cos(0,5𝑥) = 0 lub 2 sin(1,5𝑥) cos(-𝑥) = 0\nStąd 0,5𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 1,5𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZatem 𝑥= 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\nSposób 2. (sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin(𝑥+ 2𝑥) = 0\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥+ cos 2𝑥+ 2 cos2 𝑥) = 0\nsin 𝑥(1 + 2 cos 𝑥+ 2 cos2 𝑥-1 + 2 cos2 𝑥) = 0\nsin 𝑥= 0 lub 4 cos2 𝑥+ 2 cos 𝑥= 0\nsin 𝑥= 0 lub cos 𝑥= 0 lub 2 cos 𝑥+ 1 = 0\nStąd 𝑥= 𝑘𝜋 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= 2𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 4𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą\ncałkowitą.\nRozwiązaniami równania sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩ są liczby: 0, 𝜋\n2 ,\n2𝜋\n3 , 𝜋.\nSposób 3. (sinus różnicy)\nPrzekształcamy równanie w sposób równoważny:\nsin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 3𝑥= 0\nsin(2𝑥-𝑥) + sin 2𝑥+ sin(𝑥+ 2𝑥) = 0\nsin 2𝑥cos 𝑥-cos 2𝑥sin 𝑥+ sin 2𝑥+ sin 𝑥cos 2𝑥+ cos 𝑥sin 2𝑥= 0\n2 sin 2𝑥cos 𝑥+ sin 2𝑥= 0\nsin 2𝑥(2 cos 𝑥+ 1) = 0\nI dalej jak w sposobie 1.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left\\{0,\\ \\frac{\\pi}{2},\\ \\frac{2\\pi}{3},\\ \\pi\\right\\}\\]\n\n## Sposób 1 - grupowanie i wzór sum-to-product\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** \\(\\sin x\\) i \\(\\sin 3x\\) mają \"symetrię\" względem \\(\\sin 2x\\) - grupujemy je razem.\n\n**Krok 1.** Stosujemy wzór sumy sinusów:\n\\[\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\]\n\ndo pary \\(\\sin x + \\sin 3x\\):\n\\[\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin\\frac{x+3x}{2}\\cos\\frac{3x-x}{2} = 2\\sin 2x \\cos x\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy do równania:\n\\[2\\sin 2x \\cos x + \\sin 2x = 0\\]\n\n**Krok 3.** Wyłączamy \\(\\sin 2x\\) przed nawias:\n\\[\\sin 2x\\,(2\\cos x + 1) = 0\\]\n\n**Krok 4.** Iloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników wynosi zero:\n\n**Przypadek A:** \\(\\sin 2x = 0\\)\n\\[2x = k\\pi \\implies x = \\frac{k\\pi}{2}\\]\nNa \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = 0,\\quad x = \\dfrac{\\pi}{2},\\quad x = \\pi\\)\n\n**Przypadek B:** \\(2\\cos x + 1 = 0\\)\n\\[\\cos x = -\\frac{1}{2}\\]\nNa \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\)\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left\\{0,\\;\\frac{\\pi}{2},\\;\\frac{2\\pi}{3},\\;\\pi\\right\\}}\\]\n\n## Sposób 2 - rozwinięcie i faktoryzacja\n\nZamiast grupować, rozwijamy wszystko przez \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) i \\(\\sin 3x = 3\\sin x - 4\\sin^3 x\\):\n\n\\[\\sin x + 2\\sin x\\cos x + 3\\sin x - 4\\sin^3 x = 0\\]\n\\[4\\sin x + 2\\sin x\\cos x - 4\\sin^3 x = 0\\]\n\\[2\\sin x\\bigl(2 + \\cos x - 2\\sin^2 x\\bigr) = 0\\]\n\nZamieniamy \\(\\sin^2 x = 1 - \\cos^2 x\\):\n\\[2\\sin x\\bigl(2 + \\cos x - 2(1 - \\cos^2 x)\\bigr) = 0\\]\n\\[2\\sin x\\bigl(\\cos x + 2\\cos^2 x\\bigr) = 0\\]\n\\[2\\sin x \\cdot \\cos x\\,(1 + 2\\cos x) = 0\\]\n\nMamy trzy czynniki:\n\n| Czynnik | Warunek | Rozwiązania na \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) |\n| \\(\\sin x = 0\\) | - | \\(x = 0,\\; x = \\pi\\) |\n| \\(\\cos x = 0\\) | - | \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\) |\n| \\(1 + 2\\cos x = 0\\) | \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\) | \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\) |\n\nTen sam wynik - oba sposoby się zgadzają.\n\n## Weryfikacja (sprawdzenie każdego rozwiązania)\n\n- \\(x = 0\\): \\(\\sin 0 + \\sin 0 + \\sin 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\): \\(1 + 0 + (-1) = 0\\) ✓\n- \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\): \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} + \\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right) + 0 = 0\\) ✓\n- \\(x = \\pi\\): \\(0 + 0 + 0 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - funkcje sumy kątów:\n\\[\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin\\alpha\\cos\\beta + \\cos\\alpha\\sin\\beta\\]\nZ tego wzoru (dodając \\(\\sin(\\alpha+\\beta) + \\sin(\\alpha-\\beta)\\)) wyprowadzamy:\n\\[\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do zgrupowania \\(\\sin x + \\sin 3x\\).\n\n**Dział 9 (s. 13)** - jedynka trygonometryczna i wzory podwojonego kąta:\n\\[\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x, \\qquad \\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\]\nUżyte w Sposobie 2 przy zamianie \\(\\sin^2 x\\) na wyrażenie z \\(\\cos x\\).\n\n**Dział 9 (s. 11)** - wartości kątów wybranych:\n\\[\\cos 120° = \\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\frac{1}{2}\\]\nUżyte przy rozwiązaniu \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\sin A + \\sin B = 2\\sin\\frac{A+B}{2}\\cos\\frac{A-B}{2}\\) nie jest wprost na karcie CKE, ale **można go wyprowadzić** z wzorów na \\(\\sin(\\alpha \\pm \\beta)\\). Na egzaminie warto to zrobić lub po prostu rozwinąć wszystko przez wzory na \\(\\sin 2x\\) i \\(\\sin 3x\\) (Sposób 2 - bezpieczniejszy!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o \\(x = 0\\) i \\(x = \\pi\\) - obu końcach przedziału! Przedział jest **domknięty** \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\), więc końce należą do dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązaniu \\(\\cos x = -\\frac{1}{2}\\) w przedziale \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) jest **dokładnie jedno** rozwiązanie: \\(x = \\frac{2\\pi}{3}\\). Drugie rozwiązanie (\\(x = \\frac{4\\pi}{3}\\)) leży poza przedziałem - nie dopisuj go!\n\n### Sposób 1. (suma sinusów)\n\nGrupujemy \\(\\sin x + \\sin 3x\\) i stosujemy wzór z karty wzorów (dział IX):\n\n\\(\\sin\\alpha + \\sin\\beta = 2\\sin\\dfrac{\\alpha+\\beta}{2}\\cos\\dfrac{\\alpha-\\beta}{2}\\)\n\n\\(\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin 2x \\cos(-x) = 2\\sin 2x\\cos x\\)\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\(2\\sin 2x\\cos x + \\sin 2x = 0\\)\n\n\\(\\sin 2x(2\\cos x + 1) = 0\\)\n\n**Przypadek A:** \\(\\sin 2x = 0\\), czyli \\(2x = k\\pi\\), \\(x = \\dfrac{k\\pi}{2}\\), \\(k\\in\\mathbb{Z}\\).\n\nW \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x \\in \\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\pi\\right\\}\\).\n\n**Przypadek B:** \\(2\\cos x + 1 = 0\\), czyli \\(\\cos x = -\\dfrac{1}{2}\\), \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3} + 2k\\pi\\) lub \\(x = \\dfrac{4\\pi}{3} + 2k\\pi\\).\n\nW \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x = \\dfrac{2\\pi}{3}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).\n\n### Sposób 2. (sinus sumy)\n\nPiszemy \\(\\sin 3x = \\sin(x+2x) = \\sin x\\cos 2x + \\cos x\\sin 2x\\).\n\n\\(\\sin x + \\sin 2x + \\sin x\\cos 2x + \\cos x\\sin 2x = 0\\)\n\nPodstawmy \\(\\sin 2x = 2\\sin x\\cos x\\) i \\(\\cos 2x = 2\\cos^2 x - 1\\):\n\n\\(\\sin x + 2\\sin x\\cos x + \\sin x(2\\cos^2 x - 1) + \\cos x\\cdot 2\\sin x\\cos x = 0\\)\n\n\\(\\sin x(1 + 2\\cos x + 2\\cos^2 x - 1 + 2\\cos^2 x) = 0\\)\n\n\\(\\sin x(4\\cos^2 x + 2\\cos x) = 0\\)\n\n\\(2\\sin x\\cos x(2\\cos x + 1) = 0\\)\n\n\\(\\sin 2x(2\\cos x + 1) = 0\\)\n\nDalej jak w sposobie 1.\n\n### Sposób 3. (inne grupowanie)\n\nGrupujemy \\(\\sin x + \\sin 2x = 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{x}{2}\\). Dodajemy \\(\\sin 3x = 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{3x}{2}\\):\n\n\\(2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{x}{2} + 2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos\\dfrac{3x}{2} = 0\\)\n\n\\(2\\sin\\dfrac{3x}{2}\\left(\\cos\\dfrac{x}{2} + \\cos\\dfrac{3x}{2}\\right) = 0\\)\n\nZe wzoru na sumę cosinusów: \\(\\cos\\dfrac{x}{2} + \\cos\\dfrac{3x}{2} = 2\\cos x\\cos\\dfrac{x}{2}\\):\n\n\\(4\\sin\\dfrac{3x}{2}\\cos x\\cos\\dfrac{x}{2} = 0\\)\n\nPrzypadki:\n- \\(\\sin\\dfrac{3x}{2} = 0\\): \\(\\dfrac{3x}{2} = k\\pi\\), \\(x = \\dfrac{2k\\pi}{3}\\). W \\(\\langle 0,\\pi\\rangle\\): \\(x \\in \\{0, \\dfrac{2\\pi}{3}\\}\\).\n- \\(\\cos x = 0\\): \\(x = \\dfrac{\\pi}{2}\\).\n- \\(\\cos\\dfrac{x}{2} = 0\\): \\(\\dfrac{x}{2} = \\dfrac{\\pi}{2}\\), \\(x = \\pi\\).\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).\n\n**Trik:** W \\(\\sin A + \\sin B\\), gdzie \\(A+B\\) lub \\(B-A\\) to dwukrotność środkowego wyrazu - zawsze grupuj brzegowe! Tu \\(x + 3x = 2\\cdot 2x\\), więc \\(\\sin x + \\sin 3x = 2\\sin 2x\\cos x\\) daje natychmiast \\(\\sin 2x\\) jako wspólny czynnik.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-4)\n- **1 pkt**: przekształcenie równoważne z użyciem wzoru na sumę sinusów / sinus sumy / sinus podwojonego kąta; LUB podanie dwóch rozwiązań z \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\pi\\right\\}\\).\n- **2 pkt**: przekształcenie do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np. \\(\\sin 2x = 0\\) lub \\(2\\cos x + 1 = 0\\).\n- **3 pkt**: rozwiązanie każdej alternatywy w \\(\\mathbb{R}\\) lub rozwiązanie jednej w \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\).\n- **4 pkt**: poprawny zbiór rozwiązań w \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(\\left\\{0, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{2\\pi}{3}, \\pi\\right\\}\\).\n\n**UWAGA:** Zastąpienie \\(\\cos x\\) przez \\(\\sqrt{1-\\sin^2 x}\\) i konsekwentne rozwiązywanie = co najwyżej **2 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"trygonometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2, spełniające warunki:\n𝑥1 ≠0, 𝑥2 ≠0 oraz 1\n𝑥1\n+ 1\n𝑥2\n+ 2 = 1\n𝑥1\n2 + 1\n𝑥2\n2\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (m+1)x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1≠0, x_2≠0 oraz 1/x_1 + 1/x_2 + 2 = 1/x_1^2 + 1/x_2^2","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.1) stosuje wzory Viète’a;\nR3.2) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nprzekształci warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 do postaci pozwalającej bezpośrednio\nzastosować wzory Viète’a, np. 𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2\n(𝑥1⋅𝑥2)2\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nwyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 𝑚\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\noraz\nprzekształci warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 do postaci pozwalającej bezpośrednio\nzastosować wzory Viète’a, np. 𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2\n(𝑥1⋅𝑥2)2\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\n, 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nwyznaczy pierwiastki trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚: 𝑥1 = 1 lub 𝑥2 = 𝑚\noraz\nzapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1\n(dla sposobu 2.).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\noraz\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\n, 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nzapisze równanie\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1\n𝑚2\n= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nzapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1\noraz\nzapisze równanie z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\n, 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\npoprawnie rozwiąże nierówność ∆ > 0: 𝑚≠1\noraz\ngdy zapisze równanie\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1\n𝑚2\n= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0\n(dla sposobu 1.)\nALBO\nrozwiąże równanie 𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\nlub 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2 :\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\n(dla sposobów 1. i 2.),\nALBO\nzapisze, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1\noraz\nzapisze równanie\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0 lub 2𝑚2+𝑚-1\n𝑚2\n= 0 lub 𝑚(2𝑚2 + 𝑚-1) = 0\n(dla sposobu 2.).\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy spełni następujące cztery warunki:\n1) zapisze 𝑚≠0\n2) rozwiąże równanie 𝑚+1\n𝑚\n+ 2 =\n(𝑚+1)2-2𝑚\n𝑚2\nlub 1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2 :\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\n3) rozwiąże nierówność ∆ > 0\nLUB\nwyznaczy wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1 oraz sprawdzi, że\notrzymane wartości parametru 𝑚 spełniają warunki zadania\n4) zapisze poprawną odpowiedź: 𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający wprowadza dodatkowe założenie, nie wynikające z warunków zadania (np.\n𝑥1 + 𝑥2 ≠0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeśli zdający stosuje błędną tożsamość: 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 i zamiast\n𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1⋅𝑥2\n(𝑥1⋅𝑥2)2\notrzyma 𝑥1+𝑥2\n𝑥1⋅𝑥2 + 2 =\n(𝑥1+𝑥2)2\n(𝑥1⋅𝑥2)2 oraz doprowadzi\nrozwiązanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeśli zdający, wyznaczając pierwiastki trójmianu 𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = 𝑚, przyjmuje\nbłędnie √Δ = 𝑚-1, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeśli zdający przy przekształcaniu warunku 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 do postaci\npozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, w konsekwencji którego\notrzymuje równanie liniowe z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za\ncałe rozwiązanie (za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz rozwiązanie warunku\nΔ > 0).\n5. Jeśli zdający poprawnie przekształci warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 i zapisze\npoprawne równanie z niewiadomą 𝑚, lecz w dalszej części popełnia błąd prowadzący\ndo otrzymania równania liniowego z niewiadomą 𝑚, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nTrójmian 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy,\ngdy jego wyróżnik Δ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(𝑚+ 1)2 -4𝑚> 0\n𝑚2 -2𝑚+ 1 > 0\n(𝑚-1)2 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚≠1\nPierwiastki 𝑥1 oraz 𝑥2 trójmianu 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 są różne od zera tylko wtedy, gdy\n𝑥1 ⋅𝑥2 ≠0. Ze wzoru Viète’a otrzymujemy 𝑚≠0.\nRówność 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 przekształcamy równoważnie\n𝑥1 + 𝑥2\n𝑥1 ∙𝑥2\n+ 2 = 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2\n𝑥1\n2 ∙𝑥2\n2\n𝑥1 + 𝑥2\n𝑥1 ∙𝑥2\n+ 2 = (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ∙𝑥2\n(𝑥1 ∙𝑥2)2\ni stosujemy wzory Viète’a: 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑚+ 1 i 𝑥1 ∙𝑥2 = 𝑚, otrzymując dalej\n𝑚+ 1\n𝑚\n+ 2 = (𝑚+ 1)2 -2𝑚\n𝑚2\n𝑚2 + 𝑚+ 2𝑚2 = 𝑚2 + 1\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0\n(𝑚+ 1)(2𝑚-1) = 0\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\nZatem równanie 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki\nzadania, gdy 𝑚∈{-1, 1\n2}.\nSposób 2.\nZauważamy, że trójmian 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚 można zapisać w postaci iloczynowej:\n(𝑥-1)(𝑥-𝑚), więc liczby 1 oraz 𝑚 są pierwiastkami tego trójmianu. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2\ngdy 𝑚≠1. Pierwiastki te są różne od zera, gdy 𝑚≠0.\nRozwiązujemy warunek 1\n𝑥1 + 1\n𝑥2 + 2 = 1\n𝑥12 + 1\n𝑥22 :\n1 + 1\n𝑚+ 2 = 1 + 1\n𝑚2 /⋅𝑚2\n𝑚2 + 𝑚+ 2𝑚2 = 𝑚2 + 1\n2𝑚2 + 𝑚-1 = 0\n𝑚= -1 lub 𝑚= 1\n2\nZatem równanie 𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥+ 𝑚= 0 ma dwa różne rozwiązania spełniające warunki\nzadania dla 𝑚∈{-1, 1\n2}.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - wzory Viète'a i podstawienie\n\n### Krok 1: Wyznaczamy $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$ ze wzorów Viète'a\n\nDla równania \\(x^2 - (m+1)x + m = 0\\):\n\\[x_1 + x_2 = m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = m\\]\n\n### Krok 2: Warunek $\\Delta > 0$ (dwa różne rozwiązania)\n\n\\[\\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\\]\n\nPonieważ \\((m-1)^2 \\geq 0\\) zawsze, to \\(\\Delta > 0 \\iff m \\neq 1\\).\n\n### Krok 3: Warunek $x_1 \\neq 0$, $x_2 \\neq 0$\n\n\\(x_1 \\cdot x_2 = m\\), więc żadne z rozwiązań nie jest zerem \\(\\iff m \\neq 0\\).\n\n### Krok 4: Upraszczamy wyrażenia po lewej i prawej stronie warunku\n\nObliczamy:\n\\[\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \\frac{m+1}{m}\\]\n\n\\[\\frac{1}{x_1^2} + \\frac{1}{x_2^2} = \\left(\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2}\\right)^2 - \\frac{2}{x_1 x_2} = \\left(\\frac{m+1}{m}\\right)^2 - \\frac{2}{m}\\]\n\n### Krok 5: Podstawiamy do warunku\n\nPodstawiamy $s = \\dfrac{m+1}{m}$, co daje $\\dfrac{1}{m} = s - 1$:\n\n\\[s + 2 = s^2 - 2(s - 1)\\]\n\\[s + 2 = s^2 - 2s + 2\\]\n\\[0 = s^2 - 3s\\]\n\\[s(s - 3) = 0\\]\n\nStąd \\(s = 0\\) lub \\(s = 3\\).\n\n### Krok 6: Wyznaczamy $m$\n\n**Przypadek \\(s = 0\\):**\n\\[\\frac{m+1}{m} = 0 \\implies m + 1 = 0 \\implies \\boxed{m = -1}\\]\n\nSprawdzenie: \\(m = -1 \\neq 0\\), \\(m = -1 \\neq 1\\) ✓\n\n**Przypadek \\(s = 3\\):**\n\\[\\frac{m+1}{m} = 3 \\implies m + 1 = 3m \\implies 1 = 2m \\implies \\boxed{m = \\tfrac{1}{2}}\\]\n\nSprawdzenie: \\(m = \\tfrac{1}{2} \\neq 0\\), \\(m = \\tfrac{1}{2} \\neq 1\\) ✓\n\n## Sposób 2 - spostrzeżenie: równanie da się rozłożyć na czynniki!\n\n### Krok 1: Rozkładamy trójmian\n\n\\[x^2 - (m+1)x + m = x^2 - mx - x + m = x(x - m) - 1(x - m) = (x-1)(x-m)\\]\n\n**Wniosek:** Równanie zawsze ma rozwiązania \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = m\\)!\n\nTo ogromne uproszczenie - wiemy od razu, że \\(x_1 = 1\\) zawsze.\n\n### Krok 2: Warunki\n\n- Dwa **różne** rozwiązania: \\(m \\neq 1\\)\n- Oba **niezerowe**: \\(1 \\neq 0\\) ✓ zawsze; \\(m \\neq 0\\)\n\n### Krok 3: Podstawiamy do warunku wprost\n\n\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{m} + 2 = \\frac{1}{1^2} + \\frac{1}{m^2}\\]\n\\[3 + \\frac{1}{m} = 1 + \\frac{1}{m^2}\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę i mnożymy przez \\(m^2\\):\n\\[2m^2 + m - 1 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), więc \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\).\n\n\\[m = \\frac{-1 \\pm 3}{4}\\]\n\n\\[m_1 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}, \\qquad m_2 = \\frac{-4}{4} = -1\\]\n\nOba spełniają \\(m \\neq 0\\) i \\(m \\neq 1\\). ✓\n\n### Weryfikacja liczbowa\n\n**Dla \\(m = -1\\):** Równanie to \\(x^2 - 1 = 0\\), więc \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = -1\\).\n\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{-1} + 2 \\stackrel{?}{=} \\frac{1}{1} + \\frac{1}{1}\\]\n\\[1 - 1 + 2 = 1 + 1 \\implies 2 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(m = \\frac{1}{2}\\):** Równanie to \\(x^2 - \\frac{3}{2}x + \\frac{1}{2} = 0\\), więc \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \\frac{1}{2}\\).\n\\[\\frac{1}{1} + \\frac{1}{1/2} + 2 \\stackrel{?}{=} \\frac{1}{1} + \\frac{1}{(1/2)^2}\\]\n\\[1 + 2 + 2 = 1 + 4 \\implies 5 = 5 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzory Viète'a:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyrażenia sumy i iloczynu pierwiastków.\n\nW Sposobie 2 wyróżnik przydał się do rozwiązania równania kwadratowego \\(2m^2 + m - 1 = 0\\):\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 - (m+1)x + m\\) rozkłada się na \\((x-1)(x-m)\\) - warto to zauważyć, bo skraca obliczenia o połowę. Wielu uczniów tego nie widzi i brnąc przez Viète'a komplikuje sobie rachunki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(\\Delta > 0\\) tu przyjmuje postać \\((m-1)^2 > 0\\), co wyklucza **tylko** \\(m = 1\\). Łatwo myśleć, że delta jest zawsze dodatnia - ale \\(m = 1\\) daje \\(\\Delta = 0\\), czyli równanie z podwójnym pierwiastkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tożsamość \\(\\dfrac{1}{x_1^2} + \\dfrac{1}{x_2^2} = \\left(\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2}\\right)^2 - \\dfrac{2}{x_1 x_2}\\) to analogia wzoru \\(a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab\\) - przydaje się zawsze gdy pojawiają się sumy odwrotności kwadratów.\n\n### Sposób 1. (wzory Viete'a)\n\n**Krok 1. Warunek dwóch różnych rozwiązań: \\(\\Delta > 0\\).**\n\n\\(\\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 + 2m + 1 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2\\)\n\n\\(\\Delta > 0 \\iff (m-1)^2 > 0 \\iff m \\neq 1\\).\n\n**Krok 2. Warunek \\(x_1, x_2 \\neq 0\\).**\n\nZ wzorów Viete'a (karta wzorów, dział III): \\(x_1\\cdot x_2 = m\\). Aby oba były różne od zera, potrzeba \\(x_1\\cdot x_2 \\neq 0\\), czyli \\(m \\neq 0\\).\n\n**Krok 3. Przekształcenie warunku.**\n\n\\(\\dfrac{1}{x_1}+\\dfrac{1}{x_2}+2 = \\dfrac{1}{x_1^2}+\\dfrac{1}{x_2^2}\\)\n\nLewa strona: \\(\\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2} + 2\\)\n\nPrawa strona: \\(\\dfrac{x_1^2+x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \\dfrac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2}{(x_1 x_2)^2}\\)\n\nZ Viete'a: \\(x_1+x_2 = m+1\\), \\(x_1 x_2 = m\\). Podstawiamy:\n\n\\(\\dfrac{m+1}{m} + 2 = \\dfrac{(m+1)^2 - 2m}{m^2}\\)\n\nRozwijamy licznik prawej strony: \\((m+1)^2 - 2m = m^2 + 2m + 1 - 2m = m^2 + 1\\).\n\n\\(\\dfrac{m+1}{m} + 2 = \\dfrac{m^2+1}{m^2}\\; /\\cdot m^2\\)\n\n\\(m(m+1) + 2m^2 = m^2 + 1\\)\n\n\\(m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1\\)\n\n\\(2m^2 + m - 1 = 0\\)\n\n\\(\\Delta = 1 + 8 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 3\\)\n\n\\(m = \\dfrac{-1\\pm 3}{4}\\): \\(m = \\dfrac{1}{2}\\) lub \\(m = -1\\).\n\n**Krok 4. Sprawdzenie warunków.**\n\nOba: \\(m \\neq 0\\) i \\(m \\neq 1\\). \\(m = \\dfrac{1}{2}\\) - spełnia. \\(m = -1\\) - spełnia.\n\n**Odpowiedź:** \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\n\n### Sposób 2. (rozkład na czynniki)\n\nZauważmy, że \\(x^2 - (m+1)x + m = (x-1)(x-m)\\), więc pierwiastkami są \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = m\\).\n\nWarunki:\n- \\(x_1 \\neq x_2\\): \\(m \\neq 1\\)\n- \\(x_1, x_2 \\neq 0\\): \\(m \\neq 0\\) (bo \\(x_1=1\\neq 0\\))\n\nWarunek: \\(\\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{m}+2 = \\dfrac{1}{1}+\\dfrac{1}{m^2}\\)\n\n\\(1 + \\dfrac{1}{m} + 2 = 1 + \\dfrac{1}{m^2}\\; /\\cdot m^2\\)\n\n\\(m^2 + m + 2m^2 = m^2 + 1\\)\n\n\\(2m^2 + m - 1 = 0\\)\n\n\\((m+1)(2m-1) = 0\\): \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\). Oba spełniają \\(m \\neq 0, m \\neq 1\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\n\n**Trik:** Gdy trójmian się łatwo rozkłada na czynniki liniowe (jak tu: \\(x-1\\) i \\(x-m\\)), sposób 2. jest dramatycznie szybszy niż Viete. Sprawdź zawsze \\(W(1) = 1-(m+1)+m = 0\\) - podpowiedź, że \\(x=1\\) jest pierwiastkiem!\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-5)\n- **1 pkt**: poprawne rozwiązanie \\(\\Delta > 0: m \\neq 1\\); LUB przekształcenie warunku do postaci pozwalającej zastosować wzory Viete'a; LUB wyznaczenie pierwiastków trójmianu.\n- **2 pkt**: \\(\\Delta > 0\\) ORAZ przekształcenie warunku z Viete.\n- **3 pkt**: + zapisanie równania z jedną niewiadomą \\(m\\); LUB \\(2m^2 + m - 1 = 0\\).\n- **4 pkt**: + rozwiązanie równania: \\(m = -1\\) lub \\(m = \\dfrac{1}{2}\\).\n- **5 pkt**: \\(m \\neq 0,\\; m \\neq 1\\), poprawne rozwiązanie równania, oraz poprawna odpowiedź \\(m \\in \\left\\{-1, \\dfrac{1}{2}\\right\\}\\).\n\n**UWAGA:** Dodatkowe założenie \\(x_1 + x_2 \\neq 0\\) (nie wynika z zadania) = max **4 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nDany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o podstawie prostokątnej 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne\n𝐴𝐻 i 𝐴𝐹 ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że sin 𝛼= 12\n13 (zobacz\nrysunek). Pole trójkąta 𝐴𝐹𝐻 jest równe 26,4.\nOblicz wysokość ℎ tego graniastosłupa.\nα\n𝐴\n𝐷\n𝐵\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐻\nℎ\n𝐶\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nDany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie prostokątnej ABCD. Przekątne AH i AF ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze α takiej, że sinα = 12/13 (zobacz rysunek). Pole trójkąta AFH jest równe 26,4 Oblicz wysokość h tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nP9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów […]\ngraniastosłupów;\nR7.4) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i cosinusów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy spełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy cos 𝛼: cos 𝛼= 5\n13\n2) wyznaczy lub obliczy iloczyn długości przekątnych 𝐴𝐹 i 𝐴𝐻:\n|𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐻| = 2𝑃Δ𝐴𝐹𝐻\nsin𝛼 lub |𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐻| = 57,2\n3) zapisze związek między długością przekątnej podstawy graniastosłupa\ni długościami krawędzi jego podstawy\noraz\nzwiązek między długością przekątnej jednej ze ścian bocznych graniastosłupa\na długościami krawędzi tej ściany bocznej, np.:\n|𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐻|2 = ℎ2 + |𝐴𝐷|2\n(lub |𝐵𝐷|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐷|2 i |𝐴𝐹|2 = ℎ2 + |𝐴𝐵|2 )\n4) zapisze równość wynikającą z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐹𝐻:\n|𝐹𝐻|2 = |𝐴𝐻|2 + |𝐴𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐻| ⋅|𝐴𝐹| ⋅cos 𝛼.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni dwa spośród warunków 1)-4) określonych w zasadach oceniania za 1 punkt.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy spełni warunek 4) oraz dwa spośród warunków 1)-3) określonych w zasadach oceniania\nza 1 punkt.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nspełni wszystkie warunki od 1) do 4) określone w zasadach oceniania za 1 punkt\nALBO\nzapisze równość, której bezpośrednie przekształcenie prowadzi do obliczenia\nwysokości graniastosłupa, np. ℎ2 = 5\n13 √𝑎2 + ℎ2 ⋅√𝑏2 + ℎ2.\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy wysokość ℎ graniastosłupa: ℎ= √22.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeśli zdający niepoprawnie stosuje twierdzenie Pitagorasa lub twierdzenie cosinusów,\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie co\nnajwyżej 3 punkty.\n2. Jeśli zdający zakłada, że |𝐴𝐻| = |𝐴𝐹| albo że czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest kwadratem\ni korzysta z tego, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n3. Jeśli zdający zakłada, że trójkąt 𝐴𝐹𝐻 jest prostokątny i z tego założenia korzysta, to za\ncałe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (gdy spełni trzecie kryterium zasad\noceniania za 1 punkt).\n4. Jeśli zdający pomija współczynnik 1\n2 we wzorze na pole trójkąta, to może otrzymać za\ncałe rozwiązanie co najwyżej 4 punkty.\n5. Jeśli zdający przyjmuje konkretne wartości długości krawędzi graniastosłupa, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy |𝐴𝐷| = 𝑎, |𝐴𝐵| = 𝑏, |𝐴𝐻| = 𝑑, |𝐴𝐹| = 𝑒, |𝐹𝐻| = 𝑐 (zobacz rysunek).\nPonieważ 𝑃Δ𝐴𝐹𝐻= 26,4 oraz sin 𝛼= 12\n13 , więc\n𝑃Δ𝐴𝐹𝐻= 1\n2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅sin 𝛼\n26,4 = 1\n2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅12\n13\n𝑑⋅𝑒= 57,2\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐹𝐻 twierdzenie cosinusów\ni otrzymujemy\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅𝑑⋅𝑒⋅cos 𝛼\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅57,2 cos 𝛼\nObliczamy cos 𝛼: cos2 𝛼= 1 -sin2 𝛼= 1 -(12\n13)\n2\n= 25\n169 i kąt 𝛼 jest ostry, więc\ncos 𝛼= 5\n13 . Zatem\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -2 ⋅57,2 ⋅5\n13\n𝑐2 = 𝑑2 + 𝑒2 -44\nStąd, wobec 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 oraz 𝑑2 = ℎ2 + 𝑎2 i 𝑒2 = ℎ2 + 𝑏2, otrzymujemy\n𝑎2 + 𝑏2 = ℎ2 + 𝑎2 + ℎ2 + 𝑏2 -44\nℎ= √22\nα\n𝐹\n𝐺\n𝐸\n𝐻\nℎ\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝑒\n𝑑\n𝑐\n𝑏\n𝑎","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h = \\sqrt{22}\\)\n\n## Sposób 1 - Iloczyn skalarny + wzór na pole trójkąta\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych.** Niech podstawa ma boki \\(a = AB\\) i \\(b = BC\\), a wysokość graniastosłupa wynosi \\(h\\). Ustawiamy:\n\n\\[A = (0, 0, 0),\\quad F = (a, 0, h),\\quad H = (0, b, h)\\]\n\n(Wierzchołki \\(F\\) i \\(H\\) to wierzchołki nad \\(B\\) i \\(D\\).)\n\n**Wektory przekątnych ścian bocznych** z punktu \\(A\\):\n\\[\\vec{AF} = (a, 0, h), \\qquad \\vec{AH} = (0, b, h)\\]\n\n**Długości przekątnych:**\n\\[|AF| = \\sqrt{a^2 + h^2}, \\qquad |AH| = \\sqrt{b^2 + h^2}\\]\n\n**Krok 1: Iloczyn skalarny wektorów.**\n\n\\[\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = a \\cdot 0 + 0 \\cdot b + h \\cdot h = h^2\\]\n\nKluczowe spostrzeżenie - iloczyn skalarny zależy **wyłącznie od \\(h\\)**!\n\nZ definicji iloczynu skalarnego:\n\\[\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = |AF| \\cdot |AH| \\cdot \\cos\\alpha\\]\n\nZatem:\n\\[\\boxed{|AF| \\cdot |AH| = \\frac{h^2}{\\cos\\alpha}} \\tag{I}\\]\n\n**Krok 2: Pole trójkąta \\(AFH\\).**\n\n\\[P_{AFH} = \\frac{1}{2}|AF| \\cdot |AH| \\cdot \\sin\\alpha \\tag{II}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy (I) do (II).**\n\n\\[P_{AFH} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{h^2}{\\cos\\alpha} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{h^2 \\tan\\alpha}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznaczamy \\(\\tan\\alpha\\).**\n\nDane: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\), kąt ostry, więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2\\alpha} = \\sqrt{1 - \\frac{144}{169}} = \\sqrt{\\frac{25}{169}} = \\frac{5}{13}\\]\n\\[\\tan\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{12/13}{5/13} = \\frac{12}{5}\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy \\(h\\).**\n\n\\[26{,}4 = \\frac{h^2 \\cdot \\frac{12}{5}}{2} = \\frac{12h^2}{10} = \\frac{6h^2}{5}\\]\n\n\\[h^2 = \\frac{26{,}4 \\cdot 5}{6} = \\frac{132}{6} = 22\\]\n\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{22}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ dwóch równań\n\nOznaczmy \\(p = |AF|\\), \\(q = |AH|\\). Mamy dwa równania:\n\n**Równanie kąta** (z warunku na kąt między przekątnymi):\n\\[p \\cdot q \\cdot \\cos\\alpha = h^2 \\tag{1}\\]\n\n**Równanie pola** (pole trójkąta \\(AFH\\)):\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot p \\cdot q \\cdot \\sin\\alpha = 26{,}4 \\tag{2}\\]\n\n**Dzielimy (1) przez (2) stronami:**\n\\[\\frac{p \\cdot q \\cdot \\cos\\alpha}{\\frac{1}{2} \\cdot p \\cdot q \\cdot \\sin\\alpha} = \\frac{h^2}{26{,}4}\\]\n\n\\[\\frac{2\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = \\frac{h^2}{26{,}4}\\]\n\n\\[h^2 = 26{,}4 \\cdot \\frac{2\\cos\\alpha}{\\sin\\alpha} = 26{,}4 \\cdot \\frac{2 \\cdot \\frac{5}{13}}{\\frac{12}{13}} = 26{,}4 \\cdot \\frac{10}{12} = 26{,}4 \\cdot \\frac{5}{6} = 22\\]\n\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{22}}\\]\n\n> **Elegancja tej metody:** wartości \\(a\\) i \\(b\\) (boki podstawy) **wypadają z równania** - wynik zależy tylko od kąta i pola trójkąta, nie od konkretnych wymiarów podstawy!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta ze wzoru z kątem:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy tego jako wzoru \\(P_{AFH} = \\frac{1}{2}|AF||AH|\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\) z podanego \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\tan\\alpha = \\frac{12}{5}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn skalarny \\(\\vec{AF} \\cdot \\vec{AH} = h^2\\) - **nie** \\(a^2 + b^2 + h^2\\)! Człony z \\(a\\) i \\(b\\) znikają, bo boki \\(a\\) i \\(b\\) leżą w prostopadłych kierunkach (\\(x\\) vs \\(y\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(\\sin\\alpha\\) z \\(\\cos\\alpha\\). Zapamiętaj: dane \\(\\sin\\alpha = \\frac{12}{13}\\) → hipotenuza 13, ramię prostopadłe 12, ramię poziome 5, więc \\(\\cos\\alpha = \\frac{5}{13}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(h = \\sqrt{22} \\approx 4{,}69\\) jest niezależny od boków \\(a\\) i \\(b\\) podstawy - to celowy projekt zadania. Nie próbuj wyznaczać \\(a\\) ani \\(b\\) z dodatkowych warunków, bo ich brakuje (i słusznie - nie są potrzebne).\n\n### Sposób 1. (pole trójkąta + tw. cosinusów)\n\n**Oznaczenia:** \\(|AD|=a, |AB|=b, |AH|=d, |AF|=e, |FH|=c\\).\n\n**Krok 1. Obliczamy \\(\\cos\\alpha\\).**\n\nKąt ostry, więc \\(\\cos\\alpha > 0\\). Z \\(\\sin^2\\alpha+\\cos^2\\alpha = 1\\):\n\n\\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}\\), \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\).\n\n**Krok 2. Wzór na pole trójkąta.**\n\nZ karty wzorów (dział X): \\(P_{\\triangle AFH} = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot e\\cdot\\sin\\alpha\\)\n\n\\(26{,}4 = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot e\\cdot\\dfrac{12}{13}\\)\n\nStąd \\(d\\cdot e = \\dfrac{26{,}4\\cdot 2\\cdot 13}{12} = 57{,}2\\).\n\n**Krok 3. Tw. cosinusów w \\(\\triangle AFH\\).**\n\n\\(c^2 = d^2 + e^2 - 2de\\cos\\alpha = d^2 + e^2 - 2\\cdot 57{,}2\\cdot\\dfrac{5}{13} = d^2 + e^2 - 44\\)\n\n**Krok 4. Związki w graniastosłupie.**\n\nW prostokącie \\(ABCD\\): \\(|BD|^2 = |AB|^2+|AD|^2 = b^2+a^2\\). Ale \\(FH\\) jest przekątną prostokąta \\(EFGH\\), a ten prostokąt ma te same wymiary co \\(ABCD\\). Więc \\(|FH|^2 = a^2+b^2\\), czyli \\(c^2 = a^2+b^2\\).\n\nW ścianie bocznej \\(ADHE\\) (prostokąt): \\(|AH|^2 = |AD|^2+|DH|^2 = a^2+h^2\\), czyli \\(d^2 = a^2+h^2\\).\n\nW ścianie bocznej \\(ABFE\\): \\(|AF|^2 = |AB|^2+|BF|^2 = b^2+h^2\\), czyli \\(e^2 = b^2+h^2\\).\n\n**Krok 5. Równanie dla \\(h\\).**\n\nPodstawiamy \\(c^2 = a^2+b^2\\), \\(d^2 = a^2+h^2\\), \\(e^2 = b^2+h^2\\):\n\n\\(a^2+b^2 = (a^2+h^2) + (b^2+h^2) - 44\\)\n\n\\(0 = 2h^2 - 44\\)\n\n\\(h^2 = 22\\), czyli \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n### Sposób 2. (redukcja bez pełnych rachunków na \\(a, b\\))\n\nZ kroków 1-3 sposobu 1 otrzymujemy \\(c^2 = d^2 + e^2 - 44\\).\n\nDodając \\(d^2+e^2 = (a^2+h^2)+(b^2+h^2) = (a^2+b^2)+2h^2 = c^2 + 2h^2\\), mamy:\n\n\\(c^2 = c^2 + 2h^2 - 44\\)\n\n\\(2h^2 = 44\\), \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n**Trik:** W graniastosłupie prostym o podstawie prostokątnej trójkąt \\(AFH\\) jest specjalny - \\(FH\\) leży w górnej podstawie, \\(AH, AF\\) to przekątne ścian bocznych. Zawsze warto wyrazić kwadraty wszystkich boków przez \\(a, b, h\\) - redukcja jest dramatyczna.\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-5)\n- **1 pkt** za jeden z warunków: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\); LUB \\(|AF|\\cdot|AH|=57{,}2\\); LUB związki \\(|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2\\), \\(|AH|^2=h^2+|AD|^2\\); LUB tw. cosinusów dla \\(\\triangle AFH\\).\n- **2 pkt**: dwa z powyższych warunków.\n- **3 pkt**: tw. cosinusów + dwa inne warunki.\n- **4 pkt**: wszystkie cztery warunki, np. \\(h^2 = \\dfrac{5}{13}\\sqrt{a^2+h^2}\\cdot\\sqrt{b^2+h^2}\\).\n- **5 pkt**: \\(h = \\sqrt{22}\\).\n\n**UWAGA:** Założenie, że \\(|AH|=|AF|\\) lub że \\(ABCD\\) jest kwadratem (oba nie wynikają z treści) = max **3 pkt**. Założenie, że \\(\\triangle AFH\\) jest prostokątny = max **1 pkt**. Pomięcie współczynnika \\(\\dfrac{1}{2}\\) we wzorze na pole = max **4 pkt**. Przyjmowanie konkretnych wartości krawędzi = **0 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nPunkt 𝐴= (-3, 2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nPole tego trójkąta jest równe 15. Bok 𝐵𝐶 zawarty jest w prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1.\nOblicz współrzędne wierzchołków 𝐵 i 𝐶 tego trójkąta.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nPunkt A=(-3,2) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC zawarty jest w prostej o równaniu y=x-1. Oblicz współrzędne wierzchołków B i C tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nP8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt;\nP8.6) oblicza odległość dwóch punktów;\nR8.1) oblicza odległość punktu od prostej;\nR8.4) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy odległość punktu 𝐴 od prostej 𝑦= 𝑥-1: 𝑑= 3√2\nALBO\ngdy zapisze współrzędne punktu 𝐵 lub 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1), 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1),\nALBO\nzapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑥𝐶, 𝑦𝐶 wynikające z warunków zadania,\nnp.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\nLUB\n√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶-𝑦𝐵)2\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy:\nobliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑦= 𝑥-1 oraz obliczy długości\nodcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 5√2, 𝑑= 3√2\nALBO\nzapisze równanie z niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-3) -(𝑥𝐵-3) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\nLUB\n√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2\nALBO\nwyznaczy równanie prostej 𝐶𝑆, w którym współczynniki są zależne od 𝑥𝐵:\n𝑦-\n𝑥𝐵+1\n2\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵-3 ⋅(𝑥-\n𝑥𝐵-3\n2 ) (sposób 3.),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\nzapisze układ dwóch równań z czterema niewiadomymi 𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑥𝐶, 𝑦𝐶 , np.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\ni √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐶-𝑦𝐵)2 .\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy:\nzapisze równanie, w którym niewiadomymi są współrzędne 𝑥𝐶 oraz 𝑦𝐶 punktu 𝐶,\nnp. √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑦𝐶-2)2 = 5√2\nALBO\nwyznaczy odległość 𝐴𝐶 w zależności od pierwszej współrzędnej punktu 𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(𝑥𝐶-(-3))\n2 + (𝑥𝐶-1 -2)2 oraz obliczy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od\nprostej 𝑦= 𝑥-1: 𝑑= 3√2,\nALBO\nzapisze układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑥𝐶 , np.\n1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-3) -(𝑥𝐵-3) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15\ni √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 ,\nALBO\nwyznaczy współrzędne punktu 𝐶 w zależności od 𝑥𝐵:\n𝐶= (\n𝑥𝐵\n2-9\n2𝑥𝐵,\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n) (sposób 3.),\nALBO\nzapisze jedno z równań z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐵 i 𝑦𝐵 :\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑦𝐵+ 1)2 = √2 lub √(𝑥𝐵-0)2 + (𝑦𝐵+ 1)2 = 9√2 (sposób 4.),\nALBO\nzapisze równanie z dwiema niewiadomymi 𝑥𝐶 i 𝑦𝐶 :\n√(𝑥𝐶-0)2 + (𝑦𝐶+ 1)2 = 4√2 (sposób 4.).\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nzapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające wyznaczyć współrzędne\npunktu 𝐶 lub punktu 𝐵, np. √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = 5√2\nLUB\n√(4 -𝑥𝐵)2 + (4 -𝑥𝐵)2 = 5√2,\nLUB\n√(𝑥𝐶-0)2 + (𝑥𝐶-1 + 1)2 = 4√2\nALBO\nzapisze równanie z niewiadomą 𝑥𝐵:\n((𝑥𝐵+ 3)2 + (𝑥𝐵-3)2) ((\n𝑥𝐵\n2-9\n2𝑥𝐵-\n𝑥𝐵-3\n2 )\n2\n+ (\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n𝑥𝐵+1\n2 )\n2\n) = 900 (sposób 3.),\nALBO\nzapisze dwa równania z niewiadomą 𝑥𝐵:\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = √2 i √(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = 9√2 (sposób 4.).\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy nie utożsamia żadnego wierzchołka 𝐵 z żadnym z wierzchołków 𝐶 (ani 𝐶 z 𝐵) oraz\nspełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy odcięte punktów 𝐶1 i 𝐶2\n2) obliczy odcięte punktów 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵4\n3) obliczy odciętą jednego z punktów 𝐶 i odcięte odpowiadających temu punktowi\ndwóch punktów 𝐵\n4) obliczy odcięte dwóch punktów 𝐵 i odcięte punktów 𝐶, odpowiadających tym\npunktom 𝐵.\nZdający otrzymuje 6 pkt\ngdy obliczy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶 oraz zapisze te punkty w odpowiednich parach:\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający obliczy długości odcinków 𝐴𝐷, 𝐴𝐶 i 𝐶𝐷 (punkt 𝐷 jest rzutem\nprostokątnym punktu 𝐴 na prostą o równaniu 𝑦= 𝑥-1) i odczyta współrzędne\npunktu 𝐶 z rysunku, gubiąc jedno rozwiązanie, to otrzymuje 4 punkty.\n2. Jeśli zdający rozważa trójkąt równoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt (za obliczenie odległości punktu 𝐴 od\nprostej 𝐵𝐶 lub zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 (lub 𝐶) za pomocą jednej zmiennej,\nlub zapisanie równania 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑦𝐶-2) -(𝑦𝐵-2) ∙(𝑥𝐶+ 3)| = 15), o ile nie\nnabył praw do innej punktacji.\n3. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd merytoryczny (np. zamiana miejscami\nwspółrzędnych punktu, błędne zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej,\nbłędne zastosowanie wzorów skróconego mnożenia, stosowanie nieistniejącego wzoru\n√𝑡+ 𝑢= √𝑡+ √𝑢, błędnie zapisana równość wynikająca z twierdzenia Pitagorasa)\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to za całe\nrozwiązanie może otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n4. Jeśli zdający popełni w rozwiązaniu błąd rachunkowy, w konsekwencji którego otrzymuje\ndwie pary punktów, to może otrzymać co najwyżej 5 punktów.\n5. Jeśli zdający narysuje w układzie współrzędnych prostą o równaniu 𝑦= 𝑥-1, zaznaczy\npunkt 𝐴 oraz jedną parę punktów 𝐵 i 𝐶 i na tej podstawie zapisze współrzędne\nwierzchołków 𝐵 i 𝐶 jednego z trójkątów spełniających warunki zadania oraz sprawdzi\nrachunkiem, że pole tego trójkąta jest równe 15, to otrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐴 od prostej 𝑥-𝑦-1 = 0: 𝑑=\n|-3-2-1|\n√2\n= 3√2.\nObliczona odległość 𝑑 jest równa wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴\nna bok 𝐵𝐶.\nObliczamy długość boku |𝐵𝐶|:\n𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅𝑑⋅|𝐵𝐶|\n|𝐵𝐶| = 2𝑃Δ𝐴𝐵𝐶\n𝑑\n= 5√2\nNiech 𝑥𝐶 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐶. Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1).\nKorzystając z warunku |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| oraz ze wzoru na długość odcinka, otrzymujemy\nkolejno\n√(𝑥𝐶-(-3))\n2 + (𝑥𝐶-1 -2)2 = 5√2\n√(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = 5√2\n𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶\n2 -6𝑥𝐶+ 9 = 50\n2𝑥𝐶\n2 -32 = 0\n2(𝑥𝐶-4)(𝑥𝐶+ 4) = 0\n𝑥𝐶= 4 lub 𝑥𝐶= -4\nZatem 𝐶= (4, 3) lub 𝐶= (-4, -5).\nNiech 𝑥𝐵 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐵. Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1).\nPonieważ |𝐵𝐶| = 5√2, więc dla 𝐶= (4, 3) otrzymujemy\n√(4 -𝑥𝐵)2 + (3 -(𝑥𝐵-1))\n2 = 5√2\n√(4 -𝑥𝐵)2 + (4 -𝑥𝐵)2 = 5√2\n2 ⋅(4 -𝑥𝐵)2 = 50\n|4 -𝑥𝐵| = 5\n𝑥𝐵= -1 lub 𝑥𝐵= 9\nZatem 𝐵= (-1, -2) lub 𝐵= (9, 8).\nObliczamy współrzędne punktu 𝐵 dla 𝐶= (-4, -5):\n|𝐵𝐶| = 5√2\n√(-4 -𝑥𝐵)2 + (-5 -(𝑥𝐵-1))\n2 = 5√2\n√(-4 -𝑥𝐵)2 + (-4 -𝑥𝐵)2 = 5√2\n2 ⋅(-4 -𝑥𝐵)2 = 50\n|4 + 𝑥𝐵| = 5\n𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= -9\nZatem 𝐵= (1, 0) lub 𝐵= (-9, -10).\nWarunki zadania spełniają cztery pary punktów:\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nUwaga:\nWspółrzędne punktu 𝐶 możemy otrzymać, rozwiązując układ równań\n{ 𝑦= 𝑥-1\n(𝑥+ 3)2 + (𝑦-2)2 = 50\nSposób 2.\nPunkty 𝐵 i 𝐶 leżą na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1) oraz\n𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta\n𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵-𝑥𝐴)(𝑦𝐶-𝑦𝐴) -(𝑦𝐵-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴)|\ni uwzględniamy warunek 𝑃Δ𝐴𝐵𝐶= 15:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(𝑥𝐵+ 3) ∙(𝑥𝐶-1 -2) -(𝑥𝐵-1 -2) ∙(𝑥𝐶+ 3)|\n15 = 1\n2 |6𝑥𝐶-6𝑥𝐵|\n5 = |𝑥𝐶-𝑥𝐵|\nStąd i z tego, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, otrzymujemy układ równań\n{ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|\n|𝑥𝐶-𝑥𝐵| = 5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem\n(1) { √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= 5\nlub\n(2) { √(𝑥𝐶+ 3)2 + (𝑥𝐶-3)2 = √(𝑥𝐶-𝑥𝐵)2 + (𝑥𝐶-𝑥𝐵)2\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= -5\nRozwiązujemy układ równań (1):\n{ 𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶\n2 -6𝑥𝐶+ 9 = 52 + 52\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= 5\nZ pierwszego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2𝑥𝐶\n2 + 18 = 50. Stąd 𝑥𝐶= 4\nlub 𝑥𝐶= -4.\nObliczamy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶.\nDla 𝑥𝐶= 4 otrzymujemy 𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2).\nDla 𝑥𝐶= -4 otrzymujemy 𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nRozwiązujemy układ równań (2):\n{ 𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 𝑥𝐶\n2 -6𝑥𝐶+ 9 = 52 + 52\n𝑥𝐶-𝑥𝐵= -5\nZ pierwszego równania otrzymujemy równanie kwadratowe 2𝑥𝐶\n2 + 18 = 50. Stąd 𝑥𝐶= 4\nlub 𝑥𝐶= -4.\nObliczamy współrzędne punktów 𝐵 i 𝐶.\nDla 𝑥𝐶= 4 otrzymujemy 𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8).\nDla 𝑥𝐶= -4 otrzymujemy 𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0).\nWarunki zadania spełniają cztery pary punktów:\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (-1, -2) oraz\n𝐶= (4, 3) i 𝐵= (9, 8), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (1, 0), oraz\n𝐶= (-4, -5) i 𝐵= (-9, -10).\nSposób 3.\nNiech 𝑥𝐵 oznacza pierwszą współrzędną punktu 𝐵. Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, zatem 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1). Środek 𝑆 podstawy 𝐴𝐵 ma współrzędne\n𝑆= (𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n, 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n) = (-3 + 𝑥𝐵\n2\n, 2 + 𝑥𝐵-1\n2\n) = (𝑥𝐵-3\n2\n, 𝑥𝐵+ 1\n2\n)\nJeśli 𝑥𝐵= 𝑥𝐴= -3, to wtedy 𝑆= (-3-3\n2\n, -3+1\n2\n) = (-3, -1), prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑥= -3, więc prosta zawierająca wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 ma\nrównanie 𝑦= -1. Wobec tego 𝐶= (𝑥𝐶 , -1). Punkt 𝐶 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥-1, więc -1 = 𝑥𝐶-1, czyli 𝑥𝐶= 0. Zatem 𝐶= (0, -1). Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta\n𝐴𝐵𝐶 ma wtedy długość |𝐴𝐵| = 6, a wysokość 𝑆𝐶 jest równa |𝑆𝐶| = 3. Pole trójkąta jest\nwtedy równe\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 1\n2 ⋅6 ⋅3 = 9 ≠15\nZatem 𝑥𝐵≠-3, co oznacza, że prostą 𝐴𝐵 można opisać równaniem kierunkowym.\nWspółczynnik kierunkowy tej prostej jest równy\n𝑎𝐴𝐵= 𝑦𝐵-𝑦𝐴\n𝑥𝐵-𝑥𝐴\n= 𝑥𝐵-1 -2\n𝑥𝐵-(-3) = 𝑥𝐵-3\n𝑥𝐵+ 3\nJeśli 𝑥𝐵= 3, to wtedy 𝑆= (3-3\n2 , 3+1\n2 ) = (0, 2), 𝑦𝐵= 2 i prosta 𝐴𝐵 ma równanie\n𝑦= 2, więc prosta zawierająca wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną z wierzchołka 𝐶 ma\nrównanie 𝑥= 0. Wobec tego 𝐶= (0, -1). Podstawa 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 ma wtedy długość\n|𝐴𝐵| = 6, a wysokość 𝑆𝐶 jest równa |𝑆𝐶| = 3. Pole trójkąta jest wtedy równe\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 1\n2 ⋅6 ⋅3 = 9 ≠15\nZatem 𝑥𝐵≠3.\nProsta 𝑆𝐶 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝐶 jest\nrówny\n𝑎𝑆𝐶= -𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3\nZatem równanie prostej 𝑆𝐶 ma postać\n𝑦-𝑦𝑆= 𝑎𝑆𝐶(𝑥-𝑥𝑆)\n𝑦-𝑥𝐵+ 1\n2\n= -𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3 ⋅(𝑥-𝑥𝐵-3\n2\n)\n𝑦= -𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3 ⋅𝑥+ 𝑥𝐵+ 2\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝐶, rozwiązując układ równań {\n𝑦= 𝑥-1\n𝑦= -\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵-3 ⋅𝑥+ 𝑥𝐵+ 2\nStąd\n(𝑥𝐵+ 3\n𝑥𝐵-3 + 1) ⋅𝑥= 𝑥𝐵+ 3\n2𝑥𝐵\n𝑥𝐵-3 ⋅𝑥= 𝑥𝐵+ 3\nGdy 𝑥𝐵= 0, to równanie jest sprzeczne, więc 𝑥𝐵≠0. Możemy zatem podzielić obie strony\nrównania przez 2𝑥𝐵\n𝑥𝐵-3 , otrzymując\n𝑥= (𝑥𝐵+ 3) ⋅(𝑥𝐵-3)\n2𝑥𝐵\n= 𝑥𝐵\n2 -9\n2𝑥𝐵\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem 𝑦=\n(𝑥𝐵)2 -9\n2𝑥𝐵\n-1 =\n(𝑥𝐵)2 -2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n, czyli 𝐶= (\n(𝑥𝐵)2 -9\n2𝑥𝐵\n,\n(𝑥𝐵)2 -2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n).\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 15, więc 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝑆𝐶| = 15 i stąd otrzymujemy kolejno\n|𝐴𝐵|2 ⋅|𝑆𝐶|2 = 900\n((𝑥𝐵+ 3)2 + (𝑥𝐵-3)2) ((\n𝑥𝐵\n2-9\n2𝑥𝐵-\n𝑥𝐵-3\n2 )\n2\n+ (\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9\n2𝑥𝐵\n𝑥𝐵+1\n2 )\n2\n) = 900\n(2𝑥𝐵\n2 + 18) ((\n𝑥𝐵\n2-9-𝑥𝐵\n2+3𝑥𝐵\n2𝑥𝐵\n)\n2\n+ (\n𝑥𝐵\n2-2𝑥𝐵-9-𝑥𝐵\n2-𝑥𝐵\n2𝑥𝐵\n)\n2\n) = 900\n2(𝑥𝐵\n2 + 9) (\n9\n4 (\n𝑥𝐵-3\n𝑥𝐵)\n2\n9\n4 (\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵)\n2\n) = 900\n(𝑥𝐵\n2 + 9) ((\n𝑥𝐵-3\n𝑥𝐵)\n2\n+ (\n𝑥𝐵+3\n𝑥𝐵)\n2\n) = 200\n(𝑥𝐵\n2 + 9) (\n𝑥𝐵\n2-6𝑥𝐵+9+𝑥𝐵\n2+6𝑥𝐵+9\n𝑥𝐵\n2\n) = 200\n(𝑥𝐵\n2 + 9) (\n2𝑥𝐵\n2+18\n𝑥𝐵\n2\n) = 200\n2\n𝑥𝐵\n2 (𝑥𝐵\n2 + 9)2 = 200\n(𝑥𝐵\n2 + 9)2 = 100𝑥𝐵\n2\n(𝑥𝐵\n2 + 9)2 -(10𝑥𝐵)2 = 0\n(𝑥𝐵\n2 + 9 -10𝑥𝐵)(𝑥𝐵\n2 + 9 + 10𝑥𝐵) = 0\n(𝑥𝐵\n2 -10𝑥𝐵+ 9)(𝑥𝐵\n2 + 10𝑥𝐵+ 9) = 0\n(𝑥𝐵-1)(𝑥𝐵-9)(𝑥𝐵+ 1)(𝑥𝐵+ 9) = 0\n𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= 9 lub 𝑥𝐵= -1 lub 𝑥𝐵= -9\nGdy 𝑥𝐵= 1, to 𝐵= (1, 0) i 𝐶= (\n12-9\n2⋅1 ,\n12-2⋅1 -9\n2⋅1\n) = (-4, -5).\nGdy 𝑥𝐵= 9, to 𝐵= (9, 8) i 𝐶= (\n92-9\n2⋅9 ,\n92-2⋅9 -9\n2⋅9\n) = (4, 3).\nGdy 𝑥𝐵= -1, to 𝐵= (-1, -2) i 𝐶= (\n(-1)2-9\n2⋅(-1) ,\n(-1)2-2⋅(-1) -9\n2⋅(-1)\n) = (4, 3).\nGdy 𝑥𝐵= -9, to 𝐵= (-9, -10) i 𝐶= (\n(-9)2-9\n2⋅(-9) ,\n(-9)2-2⋅(-9) -9\n2⋅(-9)\n) = (-4, -5).\nSposób 4.\nObliczamy odległość 𝑑 punktu 𝐴= (-3, 2) od prostej 𝑥-𝑦-1 = 0:\n𝑑=\n|-3 -2 -1|\n√2\n= 3√2\nObliczona odległość jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczoną na prostą 𝐵𝐶. Ponieważ\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 15, więc 1\n2 ∙𝑑∙|𝐵𝐶| = 15 i stąd |𝐵𝐶| = 30\n3√2 = 5√2.\nNiech 𝐷 oznacza spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczonej na prostą 𝐵𝐶.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷.\nProsta prostopadła do prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, przechodząca przez punkt 𝐴, jest\nokreślona równaniem 𝑦-2 = -(𝑥+ 3), czyli 𝑦= -𝑥-1.\nPunkt 𝐷 jest punktem wspólnym prostych 𝐵𝐶 i 𝐴𝐷, zatem\n𝑥-1 = -𝑥-1\nwięc 𝑥= 0 i 𝑦= 0 -1 = -1, czyli 𝐷= (0, -1).\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego 𝐴𝐷𝐶 i wobec\n|𝐴𝐷| = 𝑑= 3√2 oraz |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| = 5√2 otrzymujemy |𝐶𝐷| = 4√2.\nNiech 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑥𝐶-1). Ponieważ |𝐶𝐷| = 4√2, więc\n√(𝑥𝐶)2 + (𝑥𝐶-1 + 1)2 = 4√2\na stąd\n2(𝑥𝐶)2 = 32\nZatem 𝑥𝐶\n2 = 16, czyli 𝑥𝐶= 4 lub 𝑥𝐶= -4.\nOtrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐶= (4, 3) lub 𝐶= (-4, -5).\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy punkt 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶).\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, więc 𝐵= (𝑥𝐵 , 𝑥𝐵-1).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ 𝐷 leży na boku 𝐵𝐶, więc |𝐵𝐷| = |𝐵𝐶| -|𝐶𝐷| = 5√2 -4√2 = √2. Zatem\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = √2\ni stąd 2(𝑥𝐵)2 = 2, czyli 𝑥𝐵= 1 lub 𝑥𝐵= -1.\nOtrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐵= (1, 0) lub 𝐵= (-1, -2).\nGdy 𝐵= (1, 0), to wtedy 𝐶= (-4, -5), a gdy 𝐵= (-1, -2), to 𝐶= (4, 3), gdyż punkt\n𝐷 leży między punktami 𝐵 i 𝐶.\nPrzypadek 2. (gdy punkt 𝐷 nie leży na boku 𝐵𝐶).\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥-1, więc 𝐵= (𝑥𝐵, 𝑥𝐵-1) .\nPonieważ 𝐷 nie leży na boku 𝐵𝐶, więc |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷| + |𝐵𝐶| = 4√2 + 5√2 = 9√2. Zatem\n√(𝑥𝐵-0)2 + (𝑥𝐵-1 + 1)2 = 9√2\ni stąd 2(𝑥𝐵)2 = 81 ∙2, czyli 𝑥𝐵= 9 lub 𝑥𝐵= -9.\nOtrzymujemy punkty o współrzędnych: 𝐵= (9, 8) lub 𝐵= (-9, -10).\nGdy 𝐵= (9, 8), to wtedy 𝐶= (4, 3), a gdy 𝐵= (-9, -10), to 𝐶= (-4, -5), gdyż punkt\n𝐵 leży między punktami 𝐷 i 𝐶.\nOstatecznie otrzymujemy cztery trójkąty spełniające warunki zadania o wierzchołkach\n𝐴= (-3, 2) oraz\n𝐵= (1, 0) i 𝐶= (-4, -5) lub\n𝐵= (-1, -2) i 𝐶= (4, 3), lub\n𝐵= (9, 8) i 𝐶= (4, 3), lub\n𝐵= (-9, -10) i 𝐶= (-4, -5).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nTrójkąt ma **4 rozwiązania** (dwie możliwe pozycje \\(C\\), a dla każdej - dwie możliwe pozycje \\(B\\)):\n\n- \\(C = (4, 3)\\), \\(B = (9, 8)\\) lub \\(B = (-1, -2)\\)\n- \\(C = (-4, -5)\\), \\(B = (1, 0)\\) lub \\(B = (-9, -10)\\)\n\n## Sposób 1 - geometryczny (wysokość → długość BC → okrąg)\n\n### Krok 1: Wysokość trójkąta z wierzchołka A na bok BC\n\nProsta zawierająca \\(BC\\) ma równanie \\(y = x - 1\\), czyli \\(x - y - 1 = 0\\).\n\nOdległość punktu \\(A = (-3, 2)\\) od tej prostej (wzór z Działu 11):\n\\[\nh = \\frac{|(-3) - 2 - 1|}{\\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \\frac{|-6|}{\\sqrt{2}} = \\frac{6}{\\sqrt{2}} = 3\\sqrt{2}\n\\]\n\nTa odległość jest zarazem **wysokością trójkąta** opuszczoną z \\(A\\) na bok \\(BC\\).\n\n### Krok 2: Wyznaczenie długości |BC| z pola\n\n\\[\nP = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot h \\implies 15 = \\frac{1}{2} \\cdot |BC| \\cdot 3\\sqrt{2}\n\\]\n\\[\n|BC| = \\frac{30}{3\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\n\\]\n\n### Krok 3: Wyznaczenie C z warunku |AC| = |BC|\n\nSkoro \\(|AC| = |BC| = 5\\sqrt{2}\\), punkt \\(C\\) leży jednocześnie:\n- **na prostej** \\(y = x - 1\\)\n- **na okręgu** o środku \\(A = (-3, 2)\\) i promieniu \\(5\\sqrt{2}\\):\n\n\\[(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 50\\]\n\nPodstawiamy \\(y = x - 1\\):\n\\[\n(x+3)^2 + (x - 1 - 2)^2 = 50\n\\]\n\\[\n(x+3)^2 + (x-3)^2 = 50\n\\]\n\\[\nx^2 + 6x + 9 + x^2 - 6x + 9 = 50\n\\]\n\\[\n2x^2 + 18 = 50 \\implies x^2 = 16 \\implies x = 4 \\text{ lub } x = -4\n\\]\n\nStąd:\n- \\(x = 4 \\implies y = 3\\) → \\(\\mathbf{C_1 = (4, 3)}\\)\n- \\(x = -4 \\implies y = -5\\) → \\(\\mathbf{C_2 = (-4, -5)}\\)\n\n### Krok 4: Wyznaczenie B dla każdego C\n\nPunkt \\(B\\) leży na prostej \\(y = x - 1\\) w odległości \\(5\\sqrt{2}\\) od \\(C\\).\n\nNiech \\(B = (t, t-1)\\). Wtedy:\n\\[\n|BC|^2 = (t - x_C)^2 + (t - 1 - (x_C - 1))^2 = 2(t - x_C)^2 = 50\n\\]\n\\[\n(t - x_C)^2 = 25 \\implies t - x_C = \\pm 5\n\\]\n\n**Dla \\(C_1 = (4, 3)\\):** \\(t = 4 + 5 = 9\\) lub \\(t = 4 - 5 = -1\\)\n- \\(\\mathbf{B_1 = (9, 8)}\\)\n- \\(\\mathbf{B_2 = (-1, -2)}\\)\n\n**Dla \\(C_2 = (-4, -5)\\):** \\(t = -4 + 5 = 1\\) lub \\(t = -4 - 5 = -9\\)\n- \\(\\mathbf{B_3 = (1, 0)}\\)\n- \\(\\mathbf{B_4 = (-9, -10)}\\)\n\n### Weryfikacja (przykładowo dla \\(C_1, B_1\\)):\n\\[\n|AC_1|^2 = (4+3)^2 + (3-2)^2 = 49 + 1 = 50 \\checkmark\n\\]\n\\[\n|B_1C_1|^2 = (9-4)^2 + (8-3)^2 = 25 + 25 = 50 \\checkmark\n\\]\n\\[\nP = \\frac{1}{2} \\cdot 5\\sqrt{2} \\cdot 3\\sqrt{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 30 = 15 \\checkmark\n\\]\n\n## Sposób 2 - algebraiczny (parametryzacja punktów na prostej)\n\nNiech \\(B = (b, b-1)\\) i \\(C = (c, c-1)\\) - oba punkty na prostej \\(y = x-1\\).\n\n### Warunek |AC| = |BC|:\n\n\\[\n|AC|^2 = (c+3)^2 + (c-3)^2 = 2c^2 + 18\n\\]\n\\[\n|BC|^2 = (c-b)^2 + (c-b)^2 = 2(c-b)^2\n\\]\n\nZ \\(|AC| = |BC|\\):\n\\[\n2c^2 + 18 = 2(c-b)^2 \\implies c^2 + 9 = (c-b)^2\n\\]\n\n### Warunek pola = 15:\n\nPole trójkąta \\(A(-3,2)\\), \\(B(b,b-1)\\), \\(C(c,c-1)\\) ze wzoru na pole z współrzędnych:\n\\[\nP = \\frac{1}{2}\\left|(b+3)(c-3) - (b-3)(c+3)\\right|\n\\]\n\\[\n= \\frac{1}{2}|{-6b + 6c}| = 3|c - b| = 15 \\implies |c-b| = 5\n\\]\n\n### Połączenie obu warunków:\n\nZ pola: \\(|c-b| = 5\\), czyli \\((c-b)^2 = 25\\).\n\nPodstawiamy do warunku |AC| = |BC|:\n\\[\nc^2 + 9 = 25 \\implies c^2 = 16 \\implies c = \\pm 4\n\\]\n\nDalej: \\(b = c \\pm 5\\) - po 2 wartości dla każdego \\(c\\).\n\nWyniki identyczne jak w Sposobie 1:\n\n| \\(C\\) | \\(B\\) (opcja 1) | \\(B\\) (opcja 2) |\n| \\((4, 3)\\) | \\((9, 8)\\) | \\((-1, -2)\\) |\n| \\((-4, -5)\\) | \\((1, 0)\\) | \\((-9, -10)\\) |\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości trójkąta (odległość \\(A\\) od prostej \\(y = x - 1\\)).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka:\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_B - x_C)^2 + (y_B - y_C)^2}\\]\nUżyliśmy przy weryfikacji \\(|AC| = |BC|\\) oraz przy wyznaczaniu \\(B\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie okręgu:\n\\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do znalezienia punktu \\(C\\) będącego przecięciem okręgu z prostą.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - pole trójkąta ze współrzędnych:\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyprowadzenia warunku \\(|c - b| = 5\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie ma **4 rozwiązania** - łatwo pominąć część z nich! Dla każdego \\(C\\) są dwie pozycje \\(B\\) (po obu stronach \\(C\\) na prostej), a \\(C\\) samo ma dwa możliwe punkty.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając odległość punktu od prostej, trzeba najpierw zapisać prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Z \\(y = x - 1\\) dostajemy \\(x - y - 1 = 0\\). Pomyłka w znakach tu jest bardzo częsta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|AC| = |BC|\\) nie oznacza, że \\(C\\) leży na symetralnej odcinka \\(AB\\) - oznacza on, że to \\(C\\) jest wierzchołkiem przy ramionach. Gdyby zadanie mówiło \\(|AB| = |BC|\\), sytuacja byłaby zupełnie inna!\n\n### Sposób 1. (odległość od prostej + długość BC)\n\n**Krok 1. Odległość \\(A\\) od prostej \\(x - y - 1 = 0\\).**\n\nZ karty wzorów (dział VIII Geometria analityczna):\n\n\\(d = \\dfrac{|1\\cdot(-3) + (-1)\\cdot 2 + (-1)|}{\\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \\dfrac{|-3-2-1|}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{6}{\\sqrt{2}} = 3\\sqrt{2}\\)\n\n\\(d\\) to wysokość trójkąta \\(ABC\\) prowadzona z \\(A\\) na bok \\(BC\\).\n\n**Krok 2. Długość \\(|BC|\\).**\n\nZ wzoru \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot d\\cdot|BC| = 15\\):\n\n\\(|BC| = \\dfrac{30}{3\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\\).\n\n**Krok 3. Wyznaczenie \\(C\\).**\n\n\\(C = (x_C, x_C - 1)\\) (leży na prostej). Warunek \\(|AC| = |BC| = 5\\sqrt{2}\\):\n\n\\(\\sqrt{(x_C+3)^2 + (x_C-1-2)^2} = 5\\sqrt{2}\\)\n\n\\((x_C+3)^2 + (x_C-3)^2 = 50\\)\n\n\\(x_C^2 + 6x_C + 9 + x_C^2 - 6x_C + 9 = 50\\)\n\n\\(2x_C^2 = 32\\), \\(x_C^2 = 16\\), \\(x_C = \\pm 4\\).\n\nZatem \\(C = (4, 3)\\) lub \\(C = (-4, -5)\\).\n\n**Krok 4. Wyznaczenie \\(B\\).**\n\n\\(B = (x_B, x_B-1)\\), \\(|BC| = 5\\sqrt{2}\\).\n\n**Dla \\(C = (4, 3)\\):**\n\n\\(\\sqrt{(4-x_B)^2 + (3-(x_B-1))^2} = 5\\sqrt{2}\\)\n\n\\(2(4-x_B)^2 = 50\\), \\(|4-x_B| = 5\\), \\(x_B = -1\\) lub \\(x_B = 9\\).\n\n\\(B = (-1, -2)\\) lub \\(B = (9, 8)\\).\n\n**Dla \\(C = (-4, -5)\\):**\n\nAnalogicznie \\(|4+x_B| = 5\\), \\(x_B = 1\\) lub \\(x_B = -9\\).\n\n\\(B = (1, 0)\\) lub \\(B = (-9, -10)\\).\n\n**Odpowiedź:** 4 pary rozwiązań:\n- \\(C = (4, 3),\\; B = (-1, -2)\\)\n- \\(C = (4, 3),\\; B = (9, 8)\\)\n- \\(C = (-4, -5),\\; B = (1, 0)\\)\n- \\(C = (-4, -5),\\; B = (-9, -10)\\)\n\n### Sposób 2. (wzór na pole + warunek równoramienności)\n\n\\(B = (x_B, x_B-1)\\), \\(C = (x_C, x_C-1)\\). Z wzoru na pole trójkąta (karta wzorów):\n\n\\(P_{\\triangle} = \\dfrac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|\\)\n\n\\(15 = \\dfrac{1}{2}|(x_B+3)(x_C-3) - (x_B-3)(x_C+3)|\\)\n\nRozwijając: \\(15 = \\dfrac{1}{2}|6x_C - 6x_B|\\), czyli \\(|x_C - x_B| = 5\\).\n\nWarunek \\(|AC| = |BC|\\): \\(\\sqrt{(x_C+3)^2+(x_C-3)^2} = \\sqrt{(x_C-x_B)^2+(x_C-x_B)^2}\\)\n\n\\((x_C+3)^2+(x_C-3)^2 = 2(x_C-x_B)^2 = 2\\cdot 25 = 50\\)\n\n\\(2x_C^2+18 = 50\\), \\(x_C = \\pm 4\\). Dalej jak wyżej.\n\n**Trik:** W zadaniu \"pole + równoramienność\" zawsze liczymy wysokość jako odległość \\(A\\) od \\(BC\\), potem długość \\(BC\\), a na końcu z warunku \\(|AC|=|BC|\\) szukamy \\(C\\). Pamiętaj że \\(B\\) daje 2 rozwiązania (po obu stronach \\(C\\)) - w sumie 4 pary!\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-6)\n- **1 pkt**: \\(d = 3\\sqrt{2}\\) lub zapisanie \\(B, C\\) parametrycznie, lub zapisanie warunków.\n- **2 pkt**: \\(|BC| = 5\\sqrt{2}\\), \\(d = 3\\sqrt{2}\\).\n- **3 pkt**: równanie na \\(x_C\\): \\((x_C+3)^2+(x_C-3)^2 = 50\\).\n- **4 pkt**: zapisanie jednego z równań pozwalających wyznaczyć \\(C\\) lub \\(B\\).\n- **5 pkt**: brak utożsamień + spełnienie jednego z warunków (np. odcięte dwóch punktów \\(C\\), lub czterech punktów \\(B\\) itp.).\n- **6 pkt**: wszystkie 4 pary punktów.\n\n**UWAGA:** Rozpatrywanie \\(|AB|=|AC|\\) zamiast \\(|AC|=|BC|\\) = max **1 pkt**.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-14.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nRozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.\na) Wykaż, że pole 𝑃 każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości 𝑏 ramienia, wyraża się\nwzorem 𝑃(𝑏) =\n(18-2𝑏) ⋅ √18𝑏-81\n2\nb) Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑃.\nc) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nRozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18. a) Wykaż, że pole P każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości b ramienia, wyraża się wzorem P(b)= (18-2b)⋅√(18b-81) / 2 b) Wyznacz dziedzinę funkcji P c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania dla sposobu 1.\nCzęść a)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy i zapisze długość 𝑎 podstawy oraz wysokość ℎ trójkąta w zależności od\ndługości 𝑏 ramienia trójkąta: 𝑎= 18 -2𝑏, ℎ= √18𝑏-81.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze pole trójkąta jako funkcję jednej zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) =\n(18 -2𝑏) ⋅√18𝑏-81\n2\n= √(18 -2𝑏)2(18𝑏-81)\n2\nCzęść b)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃: (9\n2 , 9).\nCzęść c)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy wyznaczy wzór pochodnej funkcji 𝑓, np.\n𝑓′(𝑏) = (-72 + 8𝑏)(18𝑏-81) + (324 -72𝑏+ 4𝑏2) ∙18 lub\n𝑓′(𝑏) = 216𝑏2 -3240𝑏+ 11664, lub 𝑓′(𝑏) = 216(𝑏2 -15𝑏+ 54).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓: 𝑏= 6.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy zbada znak pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑏) > 0 dla 𝑏∈(9\n2 , 6) oraz 𝑓′(𝑏) < 0 dla\n𝑏∈(6, 9) oraz wyznaczy (z uzasadnieniem) wartość zmiennej 𝑏, dla której funkcja 𝑓\nosiąga wartość największą, np.\nfunkcja 𝑓 zmiennej 𝑏 (określona na przedziale (9\n2 , 9)) jest rosnąca w przedziale (9\n2 , 6]\noraz malejąca w przedziale [6, 9), więc w punkcie 𝑏= 6 osiąga największą wartość.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy zapisze, że długość podstawy i ramienia trójkąta o największym polu są równe\nodpowiednio 𝑎= 6 i 𝑏= 6.\nUwagi do części c):\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-”, znak pochodnej.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑏, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający:\n- opisuje (słownie lub graficznie -np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓\nlub\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑏 funkcja 𝑓 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część c) może otrzymać co\nnajwyżej 3 punkty.\n3. Jeśli zdający błędnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃 zmiennej 𝑏, to może otrzymać punkt\nza dwa ostatnie kroki w części c) tylko wtedy, gdy wyznaczone przez zdającego miejsce\nzerowe pochodnej należy do części wspólnej wyznaczonej przez zdającego dziedziny\ni przedziału (9\n2 , 9).\n4. Jeśli zdający uzasadnia istnienie największej wartości funkcji pola trójkąta w zbiorze ℝ,\nto nie otrzymuje punktu za krok trzeci w części c).\n5. Jeśli w części c) zdający bada błędną funkcję , np. 𝑓(𝑏) = (18-2𝑏)(18𝑏-81)\n2\n, to za\nczęść c) otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania dla sposobu 2.\nCzęść a)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze długość 𝑎 podstawy w zależności od długości 𝑏 ramienia trójkąta oraz\ndługości potrzebnych do zastosowania wzoru Herona : 𝑎= 18 -2𝑏, 𝑝= 2𝑏+𝑎\n2\n,\n𝑝-𝑎= 2𝑏-𝑎\n2\n, 𝑝-𝑏= 𝑎\n2 .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zapisze pole trójkąta jako funkcję jednej zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) = (18 -2𝑏) ⋅√18𝑏-81\n2\n= √(18 -2𝑏)2(18𝑏-81)\n2\nCzęść b)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie wyznaczy dziedzinę funkcji 𝑃: (9\n2 , 9).\nCzęść c)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze zależność między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną :\n2𝑏-9 + 9 -𝑏+ 9 -𝑏\n3\n≥√(2𝑏-9) ∙(9 -𝑏) ∙(9 -𝑏)\n3\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy 𝑏 , dla którego zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej: 𝑏= 6.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy uzasadni, że dla 𝑏= 6 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy zapisze, że długość podstawy i ramienia trójkąta o największym polu są równe\nodpowiednio 𝑎= 6, 𝑏= 6.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\na)\nPrzyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość podstawy trójkąta,\n𝑏 - długość ramienia trójkąta,\nℎ - wysokość trójkąta.\nObwód trójkąta jest równy 18, więc 𝑎+ 2𝑏= 18 i stąd 𝑎= 18 -2𝑏.\nZ geometrycznych warunków zadania wynika, że 𝑎∈(0, +∞) oraz 𝑏∈(0, +∞), więc\n18 -2𝑏> 0, zatem 𝑏∈(0, 9).\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa i związku 𝑎= 18 -2𝑏, otrzymujemy\nℎ2 = 𝑏2 -(1\n2 𝑎)\n2\nℎ2 = 𝑏2 -(1\n2 (18 -2𝑏))\n2\nℎ2 = 𝑏2 -(9 -𝑏)2\nℎ2 = 18𝑏-81\nℎ= √18𝑏-81\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nMusi zachodzić 18𝑏-81 > 0, więc 𝑏> 81\n18 . Zatem 𝑏∈(9\n2 , 9).\nPole trójkąta o podstawie 𝑎 i wysokości ℎ jest równe 𝑃= 𝑎ℎ\n2 .\nZapisujemy pole trójkąta jako funkcję 𝑃 zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) = (18 -2𝑏) ⋅√18𝑏-81\n2\ndla 𝑏∈(9\n2 , 9)\nb)\nZ geometrycznych warunków zadania wynika, że 𝑎∈(0, +∞) oraz 𝑏∈(0, +∞), więc\n18 -2𝑏> 0, zatem 𝑏∈(0, 9).\nZ warunku trójkąta 2𝑏> 𝑎 , czyli 2𝑏> 18 -2𝑏, więc 𝑏> 9\n2 . Zatem 𝑏∈(9\n2 , 9).\nDziedziną tej funkcji jest przedział (9\n2 , 9).\nc)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑃:\n𝑃(𝑏) = (18 -2𝑏) ⋅√18𝑏-81\n2\n= √(18 -2𝑏)2(18𝑏-81)\n2\nTworzymy funkcję pomocniczą 𝑓 określoną wzorem\n𝑓(𝑏) = (18 -2𝑏)2(18𝑏-81) dla 𝑏∈(9\n2 , 9).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑏) = (-72 + 8𝑏)(18𝑏-81) + (324 -72𝑏+ 4𝑏2) ∙18 = 216𝑏2 -3240𝑏+ 11664\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑏) = 0\n216𝑏2 -3240𝑏+ 11664 = 0 i 𝑏∈(9\n2 , 9)\n𝑏2 -15𝑏+ 54 = 0 i 𝑏∈(9\n2 , 9)\n𝑏= 6\nPonieważ 𝑓′(𝑏) > 0 dla 𝑏∈(9\n2 , 6) oraz 𝑓′(𝑏) < 0 dla 𝑏∈(6,9), więc funkcja 𝑓 jest\nrosnąca w przedziale (9\n2, 6⟩ oraz malejąca w przedziale ⟨6, 9). Zatem funkcja 𝑓 osiąga\nwartość największą dla 𝑏= 6.\nPonieważ funkcja 𝑔(𝑥) = √𝑥, określona dla każdej liczby 𝑥≥0, jest funkcją rosnącą, więc\nfunkcja pola 𝑃 osiąga wartość największą dla tego argumentu, dla którego funkcja 𝑓\nosiąga wartość największą, tj. dla 𝑏= 6. Wtedy 𝑎= 18 -2 ∙6 = 6.\nSpośród rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt równoboczny o boku 6.\nSposób 2.\na)\nPrzyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość podstawy trójkąta,\n𝑏 - długość ramienia trójkąta,\nℎ - wysokość trójkąta.\nObwód trójkąta jest równy 18, więc 𝑎+ 2𝑏= 18 i stąd 𝑎= 18 -2𝑏.\nWyznaczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona.\nTrójkąt jest równoramienny, więc połowa 𝑝 obwodu trójkąta jest równa 𝑝= 2𝑏+𝑎\n2\noraz\n𝑝-𝑎= 2𝑏+𝑎\n2\n-𝑎= 2𝑏-𝑎\n2\ni 𝑝-𝑏= 2𝑏+𝑎\n2\n-𝑏= 𝑎\n2 .\nZatem\n𝑃= √2𝑏+ 𝑎\n2\n∙2𝑏-𝑎\n2\n∙𝑎\n2 ∙𝑎\n2\nPonieważ 𝑎= 18 -2𝑏> 0, więc\n𝑃(𝑏) = √2𝑏+ 18 -2𝑏\n2\n∙2𝑏-18 + 2𝑏\n2\n∙18 -2𝑏\n2\n∙18 -2𝑏\n2\n𝑃(𝑏) = √9 ∙(2𝑏-9) ∙(18 -2𝑏\n2\n)\n2\n𝑃(𝑏) =\n(18 -2𝑏) ⋅√18𝑏-81\n2\nb)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃.\nZ geometrycznych warunków zadania wynika, że 𝑎∈(0, +∞) oraz 𝑏∈(0, +∞), więc\n18 -2𝑏> 0, zatem 𝑏∈(0, 9).\nPonadto z warunku dla trójkąta 2𝑏> 𝑎 , więc 2𝑏> 18 -2𝑏 i stąd 𝑏> 9\n2 .\nDziedziną funkcji 𝑃 jest przedział (9\n2 , 9).\nc)\nZ nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną dla liczb dodatnich 2𝑏-9,\n9 -𝑏, 9 -𝑏 otrzymujemy\n2𝑏-9 + 9 -𝑏+ 9 -𝑏\n3\n≥√(2𝑏-9) ∙(9 -𝑏) ∙(9 -𝑏)\n3\n3 ≥√(2𝑏-9) ∙(9 -𝑏)2\n3\n27 ≥(2𝑏-9) ∙(9 -𝑏)2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem\n√(2𝑏-9) ∙(9 -𝑏)2 ≤3√3\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 2𝑏-9 = 9 -𝑏, tj. dla 𝑏= 6.\nPonieważ\n𝑃(𝑏) =\n(18 -2𝑏) ⋅√18𝑏-81\n2\n= 3√(9 -𝑏)2 ⋅(2𝑏-9)\nwięc 𝑃(𝑏) ≤3 ⋅3√3, przy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑏= 6.\nZatem funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla 𝑏= 6. Wtedy 𝑎= 18 -2 ∙6 = 6.\nSpośród rozważanych trójkątów największe pole ma trójkąt równoboczny o boku 6.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\na) Dowód przez podstawienie i uproszczenie - patrz Sposób 1.\nb) Dziedzina: \\(b \\in \\left(\\dfrac{9}{2},\\ 9\\right)\\).\nc) Trójkąt o największym polu jest **równoboczny** - każdy bok ma długość **6**.\n\n## Sposób 1 (zadanie a) - Dowód wzoru na \\(P(b)\\))\n\n**Oznaczenia:** niech \\(b\\) = długość ramienia, \\(a\\) = długość podstawy.\n\nObwód trójkąta równoramiennego:\n\\[a + 2b = 18 \\implies a = 18 - 2b\\]\n\nTrójkąt równoramienny jest symetryczny, więc wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie połowy. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[h = \\sqrt{b^2 - \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2}\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{a}{2}\\sqrt{b^2 - \\frac{a^2}{4}} = \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{4b^2 - a^2}}{2} = \\frac{a\\sqrt{4b^2 - a^2}}{4}\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 18 - 2b\\):\n\\[4b^2 - a^2 = 4b^2 - (18-2b)^2 = 4b^2 - (324 - 72b + 4b^2) = 72b - 324 = 4(18b - 81)\\]\n\n\\[\\sqrt{4b^2 - a^2} = \\sqrt{4(18b-81)} = 2\\sqrt{18b - 81}\\]\n\nWstawiamy:\n\\[P = \\frac{(18-2b) \\cdot 2\\sqrt{18b-81}}{4} = \\boxed{\\frac{(18-2b)\\sqrt{18b-81}}{2}}\\]\n\nCo było do wykazania. ∎\n\n## Zadanie b) - Dziedzina funkcji \\(P\\)\n\nAby funkcja \\(P(b)\\) była określona i trójkąt faktycznie istniał, muszą być spełnione dwa warunki:\n\n**Warunek 1 - wyrażenie pod pierwiastkiem musi być dodatnie** (dla trójkąta niewyrodniałego):\n\\[18b - 81 > 0 \\implies b > \\frac{81}{18} = \\frac{9}{2}\\]\n\n**Warunek 2 - podstawa musi być dodatnia:**\n\\[a = 18 - 2b > 0 \\implies b < 9\\]\n\n**Wniosek:** Dziedzina funkcji \\(P\\) to:\n\\[\\boxed{b \\in \\left(\\frac{9}{2},\\ 9\\right)}\\]\n\n## Zadanie c), Sposób 1 - Pochodna\n\nSzukamy maksimum \\(P(b) = \\dfrac{(18-2b)\\sqrt{18b-81}}{2}\\) na przedziale \\(\\left(\\dfrac{9}{2}, 9\\right)\\).\n\nOznaczamy \\(u = 18-2b\\), \\(v = \\sqrt{18b-81}\\), aby liczyć pochodną iloczynu:\n\n\\[P'(b) = \\frac{u'v + uv'}{2}\\]\n\n\\[u' = -2, \\qquad v' = \\frac{18}{2\\sqrt{18b-81}} = \\frac{9}{\\sqrt{18b-81}}\\]\n\n\\[P'(b) = \\frac{-2\\sqrt{18b-81} + (18-2b)\\cdot\\dfrac{9}{\\sqrt{18b-81}}}{2}\\]\n\nLicznik (po pomnożeniu przez \\(\\sqrt{18b-81}\\)):\n\\[-2(18b-81) + 9(18-2b) = -36b + 162 + 162 - 18b = -54b + 324 = -54(b-6)\\]\n\nCzyli:\n\\[P'(b) = \\frac{-54(b-6)}{2\\sqrt{18b-81}}\\]\n\nMianownik jest dodatni na całej dziedzinie. Zatem:\n- \\(P'(b) > 0\\) dla \\(b < 6\\) - funkcja rośnie\n- \\(P'(b) = 0\\) dla \\(b = 6\\) - **ekstremum**\n- \\(P'(b) < 0\\) dla \\(b > 6\\) - funkcja maleje\n\n**Maksimum w punkcie \\(b = 6\\).**\n\nDługości boków:\n\\[b = 6, \\quad a = 18 - 2 \\cdot 6 = 6\\]\n\nTrójkąt jest **równoboczny** o boku \\(6\\).\n\nNajwiększe pole:\n\\[P(6) = \\frac{(18-12)\\sqrt{108-81}}{2} = \\frac{6\\sqrt{27}}{2} = \\frac{6 \\cdot 3\\sqrt{3}}{2} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówność AM-GM (bez pochodnej)\n\nZamiast pochodnej, korzystamy z AM-GM. Maksymalizujemy \\(P^2\\) (co jest równoważne maksymalizacji \\(P\\)):\n\n\\[P^2 = \\frac{(18-2b)^2(18b-81)}{4}\\]\n\nWprowadzamy \\(u = 18 - 2b\\), czyli \\(b = \\dfrac{18-u}{2}\\). Przeliczamy:\n\n\\[18b - 81 = 9(18-u) - 81 = 81 - 9u = 9(9-u)\\]\n\nZatem:\n\\[P^2 = \\frac{u^2 \\cdot 9(9-u)}{4} = \\frac{9}{4} \\cdot u^2(9-u)\\]\n\nSzukamy maksimum wyrażenia \\(u^2(9-u)\\). Stosujemy **AM-GM dla trzech liczb**:\n\n\\[\\frac{u}{2},\\quad \\frac{u}{2},\\quad 9-u\\]\n\nSuma tych liczb jest stała:\n\\[\\frac{u}{2} + \\frac{u}{2} + (9-u) = 9\\]\n\nZ AM-GM: \\(\\dfrac{a+b+c}{3} \\geq \\sqrt[3]{abc}\\), a więc:\n\n\\[\\sqrt[3]{\\frac{u}{2} \\cdot \\frac{u}{2} \\cdot (9-u)} \\leq \\frac{9}{3} = 3\\]\n\n\\[\\frac{u}{2} \\cdot \\frac{u}{2} \\cdot (9-u) \\leq 27 \\implies \\frac{u^2(9-u)}{4} \\leq 27\\]\n\nRówność zachodzi gdy \\(\\dfrac{u}{2} = 9-u\\), stąd \\(u = 6\\). Wtedy:\n\n\\[P^2 \\leq \\frac{9}{4} \\cdot 4 \\cdot 27 = 243 \\implies P \\leq \\sqrt{243} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n\\(u = 6\\) oznacza \\(18 - 2b = 6\\), czyli **\\(b = 6\\)** - trójkąt równoboczny o boku \\(6\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-17)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte do wyznaczenia wysokości trójkąta równoramiennego: \\(h = \\sqrt{b^2 - \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\]\nPodstawowa formuła użyta na samym początku.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - reguła różniczkowania iloczynu oraz tabela pochodnych:\n\\[[f(x) \\cdot g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), \\qquad [\\sqrt{x}]' = \\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do obliczenia \\(P'(b)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu dziedziny pamiętaj o **obu warunkach** - wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne (lepiej: dodatnie, bo $= 0$ daje zdegenerowany trójkąt o polu 0) **oraz** podstawa $a = 18-2b$ musi być dodatnia. Pominięcie drugiego warunku daje dziedzinę $b \\in \\left(\\frac{9}{2}, +\\infty\\right)$, co jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu pochodnej iloczynu \\((18-2b)\\sqrt{18b-81}\\) łatwo pomylić się w znakach - \\((18-2b)' = -2\\), nie \\(+2\\). Warto od razu wyciągnąć wspólny czynnik \\(-54\\), żeby zobaczyć znak pochodnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik - trójkąt równoboczny - jest intuicyjny: wśród wszystkich trójkątów o danym obwodzie to właśnie trójkąt równoboczny ma największe pole. Jeśli Twój wynik wyszedł inny, sprawdź obliczenia - prawie na pewno jest błąd gdzieś wyżej.\n\n### Sposób 1. (tw. Pitagorasa + pochodna)\n\n**Oznaczenia:** \\(a\\) - podstawa, \\(b\\) - ramię, \\(h\\) - wysokość.\n\n**a) Dowód wzoru.**\n\nObwód: \\(a+2b = 18\\), stąd \\(a = 18-2b\\).\n\nZ tw. Pitagorasa w połówce trójkąta (wysokość dzieli podstawę na pół):\n\n\\(h^2 = b^2 - \\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2 = b^2 - \\left(\\dfrac{18-2b}{2}\\right)^2 = b^2 - (9-b)^2\\)\n\n\\(h^2 = b^2 - (81 - 18b + b^2) = 18b - 81\\)\n\n\\(h = \\sqrt{18b-81}\\)\n\nPole: \\(P = \\dfrac{ah}{2} = \\dfrac{(18-2b)\\sqrt{18b-81}}{2}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n**b) Dziedzina.**\n\nWarunki:\n- \\(a > 0\\): \\(18-2b > 0\\), czyli \\(b < 9\\).\n- \\(b > 0\\).\n- Nierówność trójkąta: \\(2b > a\\), czyli \\(2b > 18-2b\\), \\(b > \\dfrac{9}{2}\\).\n- Wyrażenie pod pierwiastkiem: \\(18b-81 > 0\\), czyli \\(b > \\dfrac{9}{2}\\) (tak samo).\n\nDziedzina: \\(b \\in \\left(\\dfrac{9}{2},\\; 9\\right)\\).\n\n**c) Maksimum pola.**\n\nAby uniknąć pochodnej z pierwiastka, pracujemy z funkcją pomocniczą:\n\n\\(f(b) = (18-2b)^2(18b-81) = [P(b)\\cdot 2]^2 / 1\\) a właściwie \\(f(b) = (18-2b)^2(18b-81)\\) - pole jest maksymalne, gdy \\(f\\) jest maksymalne (oba dodatnie w dziedzinie).\n\nWyliczamy \\(f'(b)\\):\n\n\\(f'(b) = 2(18-2b)\\cdot(-2)\\cdot(18b-81) + (18-2b)^2\\cdot 18\\)\n\n\\(= -4(18-2b)(18b-81) + 18(18-2b)^2\\)\n\n\\(= (18-2b)[-4(18b-81) + 18(18-2b)]\\)\n\n\\(= (18-2b)[-72b+324+324-36b]\\)\n\n\\(= (18-2b)(648-108b)\\)\n\n\\(= 108(18-2b)(6-b)\\)\n\nMiejsca zerowe: \\(b = 9\\) (poza dziedziną) lub \\(b = 6\\).\n\n**Znak pochodnej w dziedzinie \\(\\left(\\dfrac{9}{2}, 9\\right)\\):**\n- Dla \\(b \\in \\left(\\dfrac{9}{2}, 6\\right)\\): \\((18-2b) > 0\\), \\((6-b) > 0\\), więc \\(f'(b) > 0\\) - funkcja rosnąca.\n- Dla \\(b \\in (6, 9)\\): \\((18-2b) > 0\\), \\((6-b) < 0\\), więc \\(f'(b) < 0\\) - funkcja malejąca.\n\nZatem \\(f\\) (i \\(P\\)) osiąga maksimum w \\(b = 6\\).\n\nPodstawa: \\(a = 18 - 2\\cdot 6 = 6\\).\n\n**Odpowiedź:** Największe pole ma trójkąt **równoboczny o boku 6** (bo \\(a=b=6\\)).\n\n### Sposób 2. (nierówność AM-GM)\n\n**a) i b) jak wyżej.**\n\n**c)** Przekształcamy:\n\n\\(P^2(b) = \\dfrac{(18-2b)^2(18b-81)}{4} = \\dfrac{4(9-b)^2\\cdot 9(2b-9)}{4} = 9(9-b)^2(2b-9)\\)\n\nStosujemy AM-GM do trzech liczb dodatnich \\(9-b, 9-b, 2b-9\\):\n\n\\(\\dfrac{(9-b)+(9-b)+(2b-9)}{3} \\geq \\sqrt[3]{(9-b)^2(2b-9)}\\)\n\n\\(\\dfrac{9}{3} = 3 \\geq \\sqrt[3]{(9-b)^2(2b-9)}\\)\n\n\\(27 \\geq (9-b)^2(2b-9)\\), z równością gdy \\(9-b = 2b-9\\), czyli \\(b = 6\\).\n\nStąd \\(P^2 \\leq 9\\cdot 27 = 243\\), więc \\(P \\leq \\sqrt{243} = 9\\sqrt{3}\\), z równością dla \\(b = 6\\).\n\nWtedy \\(a = 18-12 = 6\\) - trójkąt równoboczny.\n\n**Trik:** Gdy szukasz maksimum funkcji postaci \\(P(b) = f(b)\\sqrt{g(b)}\\), pracuj z \\(P^2\\) - pochodna jest dramatycznie prostsza. Tu dodatkowo widzimy symetrię: ekstremum w \"równym podziale\" - trójkąt równoboczny to zawsze optymalny przy ustalonym obwodzie (izoperymetr).\n\n### Uwagi o punktacji\n(0-7)\n**Część a) (0-2):**\n- 1 pkt: \\(a = 18-2b\\), \\(h = \\sqrt{18b-81}\\).\n- 2 pkt: pełny wzór \\(P(b) = \\dfrac{(18-2b)\\sqrt{18b-81}}{2}\\).\n\n**Część b) (0-1):**\n- 1 pkt: dziedzina \\(\\left(\\dfrac{9}{2}, 9\\right)\\).\n\n**Część c) (0-4):**\n- 1 pkt: wyznaczenie pochodnej funkcji pomocniczej \\(f(b) = (18-2b)^2(18b-81)\\).\n- 2 pkt: \\(f'(b) = 0 \\Rightarrow b = 6\\).\n- 3 pkt: zbadanie znaku pochodnej + uzasadnienie maksimum.\n- 4 pkt: \\(a = 6\\) i \\(b = 6\\) (trójkąt równoboczny).\n\n**UWAGA:** Uzasadnienie istnienia największej wartości w całym \\(\\mathbb{R}\\) zamiast w dziedzinie = nie dostajemy punktu za krok 3. Uzasadnienie maksimum lokalnego jako maksimum globalnego wymaga zbadania monotoniczności na całej dziedzinie.","image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}