{"paper":{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 8-40\n210 jest równa\nA. 4-4\nB. 4-50\nC. 2-47\nD. 2-130\nLiczba 8^{-40} / 2^{10} jest równa A. 4^{-4} B. 4^{-50} C. 2^{-47} D. 2^{-130}","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nLiczba \\(\\dfrac{8^{-40}}{2^{10}}\\) jest równa \\(\\mathbf{2^{-130}}\\).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do wspólnej podstawy 2\n\nKluczowa obserwacja: \\(8 = 2^3\\). Zamieniamy wszystko na potęgi liczby 2.\n\n**Krok 1.** Przelicz \\(8^{-40}\\) na podstawę 2:\n\\[8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{3 \\cdot (-40)} = 2^{-120}\\]\n\n**Krok 2.** Podstaw do ułamka:\n\\[\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = \\frac{2^{-120}}{2^{10}}\\]\n\n**Krok 3.** Podziel potęgi o tej samej podstawie (odejmij wykładniki):\n\\[\\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120 - 10} = \\mathbf{2^{-130}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez rozbicie ułamka na iloczyn\n\nZapisujemy dzielenie jako mnożenie przez odwrotność:\n\\[\\frac{8^{-40}}{2^{10}} = 8^{-40} \\cdot 2^{-10}\\]\n\nTeraz zamieniamy \\(8^{-40}\\):\n\\[8^{-40} = \\frac{1}{8^{40}} = \\frac{1}{(2^3)^{40}} = \\frac{1}{2^{120}}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[8^{-40} \\cdot 2^{-10} = 2^{-120} \\cdot 2^{-10} = 2^{-120 + (-10)} = \\mathbf{2^{-130}}\\]\n\nTen sam wynik - odpowiedź D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - wzory na działania na potęgach:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy pierwszego wzoru do przeliczenia \\((2^3)^{-40} = 2^{-120}\\), a drugiego - do podzielenia \\(\\frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-130}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(4^{-4}\\) - \"dzielenie\" wykładników zamiast przeliczenia: \\(-40 \\div 10 = -4\\). To nie ma sensu matematycznego - działania na potęgach wymagają tej **samej podstawy**. |\n| B | \\(4^{-50}\\) - błąd przy zamianie na podstawę 4: założono \\(8 = 4^1\\) (zamiast \\(8 = 4^{3/2}\\)), a \\(2^{10} = 4^{10}\\) (zamiast \\(4^5\\)), co daje \\(4^{-40-10} = 4^{-50}\\). Dwie pomyłki naraz. |\n| C | \\(2^{-47}\\) - klasyczny błąd przy wzorze \\((a^r)^s = a^{r+s}\\) **zamiast** \\(a^{r \\cdot s}\\): ktoś liczy \\((2^3)^{-40} = 2^{3+(-40)} = 2^{-37}\\), po czym \\(2^{-37} / 2^{10} = 2^{-47}\\). Wykładniki mnoży się, a nie dodaje! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) wykładniki **MNOŻYMY**. Najczęstszy błąd to dodawanie: \\((2^3)^{-40} \\neq 2^{3+(-40)}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\) pamiętaj o **odejmowaniu** wykładnika z mianownika: \\(2^{-120} / 2^{10} = 2^{-120-10} = 2^{-130}\\). Łatwo zgubić się ze znakiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadania z mieszanymi podstawami (tu 8 i 2) zawsze sprowadzaj do **jednej podstawy** zanim wykonasz jakiekolwiek działania. Nigdy nie próbuj operować na potęgach różnych podstaw bezpośrednio.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do podstawy 2 (karta wzorów: działania na potęgach)\n\\(8 = 2^3\\), więc \\(8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{-120}\\).\nZatem \\(\\dfrac{8^{-40}}{2^{10}} = \\dfrac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120-10} = 2^{-130}\\).\n\n### Sposób 2 - Własność \\(\\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\\)\nZapisujemy \\(8^{-40} = 2^{-120}\\) i dzielimy potęgi o tej samej podstawie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4^{-4}\\)** - zupełnie inna wartość, błąd w wykładnikach.\n- **B. \\(4^{-50}\\)** - \\(4^{-50} = 2^{-100}\\), nie \\(2^{-130}\\).\n- **C. \\(2^{-47}\\)** - wynik błędnego liczenia wykładników.\n\n**Trik:** \\(8 = 2^3\\), więc \\(8^n\\) zamień na \\(2^{3n}\\) i dopiero potem dziel potęgi.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba log2 32 -log2 8 jest równa\nA. 2\nB. 14\nC. 16\nD. 24\nLiczba log_2 32 - log_2 8 jest równa A. 2 B. 14 C. 16 D. 24","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na logarytm ilorazu\n\nKorzystamy z własności logarytmu: różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu.\n\n\\[\\log_2 32 - \\log_2 8 = \\log_2 \\frac{32}{8} = \\log_2 4\\]\n\nTeraz pytamy: **do jakiej potęgi należy podnieść 2, żeby dostać 4?**\n\n\\[\\log_2 4 = \\log_2 2^2 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)**\n\n## Sposób 2 - Obliczanie każdego logarytmu osobno\n\nObliczamy każdy logarytm z definicji:\n\n\\[\\log_2 32 = \\log_2 2^5 = 5\\]\nbo \\(2^5 = 32\\).\n\n\\[\\log_2 8 = \\log_2 2^3 = 3\\]\nbo \\(2^3 = 8\\).\n\nStąd:\n\\[\\log_2 32 - \\log_2 8 = 5 - 3 = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\)** - zgodnie z Odpowiedzią A.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność różnicy logarytmów:\n\\[\\log_a\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do zamiany różnicy na logarytm ilorazu.\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy w obu sposobach do wyznaczenia wartości \\(\\log_2 32\\), \\(\\log_2 8\\), \\(\\log_2 4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | \\(14\\) - uczeń liczy \\(\\log_2(32 - 8) = \\log_2 24 \\approx 4{,}58\\) albo myli działania; brak sensu dla wyniku całkowitego |\n| C | \\(16\\) - uczeń **mnoży** zamiast odejmować: \\(\\frac{32}{8} = 4\\), ale potem myśli, że \\(\\log_2 32 - \\log_2 8 = 32 - 8 \\cdot 2 = 16\\) lub podobna pomyłka arytmetyczna |\n| D | \\(24\\) - uczeń odejmuje same liczby pod logarytmem: \\(32 - 8 = 24\\), ignorując całkowicie działanie logarytmu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno odejmować liczb pod logarytmem! \\(\\log_2 32 - \\log_2 8 \\neq \\log_2(32 - 8)\\). Różnica logarytmów to logarytm **ilorazu**, nie różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\log_2 2^n = n\\) - to bezpośredni wniosek z definicji. Zawsze najpierw sprawdź, czy liczba jest potęgą podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik logarytmu może być zwykłą małą liczbą całkowitą - tu \\(2\\). Jeśli wychodzi ci coś dużego (np. 16, 24), to sygnał, że gdzieś pomieszałeś operację na logarytmach z operacją na ich argumentach.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\dfrac{x}{y}\\) (karta wzorów)\n\\[\\log_{2} 32 - \\log_{2} 8 = \\log_{2} \\dfrac{32}{8} = \\log_{2} 4 = 2.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie każdego logarytmu\n\\(\\log_{2} 32 = 5\\) (bo \\(2^5 = 32\\)), \\(\\log_{2} 8 = 3\\) (bo \\(2^3 = 8\\)).\nRóżnica: \\(5 - 3 = 2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(14\\)** - mylenie \\(\\log_2 32\\) z liczbą \\(32/2\\).\n- **C. \\(16\\)** - \\(\\log_2(32 \\cdot 8)\\)? Nadal nie daje 16, pomyłka w arytmetyce.\n- **D. \\(24\\)** - różnica argumentów \\(32-8\\), a nie logarytmów.\n\n**Trik:** znając potęgi dwójki \\(2, 4, 8, 16, 32\\) od razu odczytasz logarytmy.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba (5 -2√3)\n2 jest równa\nA. 25 + 4√3\nB. 25 -4√3\nC. 37 + 20√3\nD. 37 -20√3\nLiczba (5-2√3)² jest równa A. 25+4√3 B. 25-4√3 C. 37+20√3 D. 37-20√3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 37 - 20\\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 1 - wzór skróconego mnożenia \\((a-b)^2\\)\n\nRozpoznajemy wzór \\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), gdzie \\(a = 5\\) i \\(b = 2\\sqrt{3}\\).\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^2 = 5^2 = 25\\]\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 5 \\cdot 2\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\]\n\n\\[b^2 = \\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\]\n\nSkładamy razem:\n\n\\[\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2 = 25 - 20\\sqrt{3} + 12 = \\mathbf{37 - 20\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - mnożenie pisemne (bez wzoru)\n\nRozwijamy nawiasy ręcznie, traktując \\(\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2\\) jako iloczyn dwóch jednakowych nawiasów:\n\n\\[\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)\\]\n\nMnożymy każdy wyraz przez każdy (schemat FOIL):\n\n\\[= 5 \\cdot 5 + 5 \\cdot \\left(-2\\sqrt{3}\\right) + \\left(-2\\sqrt{3}\\right) \\cdot 5 + \\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\cdot\\left(-2\\sqrt{3}\\right)\\]\n\n\\[= 25 - 10\\sqrt{3} - 10\\sqrt{3} + 4 \\cdot 3\\]\n\n\\[= 25 - 20\\sqrt{3} + 12\\]\n\n\\[= \\mathbf{37 - 20\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1, podstawiając \\(a = 5\\), \\(b = 2\\sqrt{3}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\(\\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 = 2^2 \\cdot \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięto \\((a+b)^2\\) zamiast \\((a-b)^2\\): \\(25 + 20\\sqrt{3} + 12\\) - pomylono znak środkowego składnika, a do tego pominięto \\(b^2 = 12\\), zostaje \\(25 + 4\\sqrt{3}\\) (podwójny błąd) |\n| B | Poprawny znak \\(-20\\sqrt{3}\\), ale pominięto \\(b^2 = 12\\) - zatrzymano się na \\(25 - 20\\sqrt{3}\\) zamiast dodać \\(12\\) |\n| C | Zastosowano wzór \\((a+b)^2\\) zamiast \\((a-b)^2\\): \\(25 + 20\\sqrt{3} + 12 = 37 + 20\\sqrt{3}\\) - błędny znak przed składnikiem z pierwiastkiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\left(2\\sqrt{3}\\right)^2 \\neq 2 \\cdot 3\\). Pamiętaj, że potęgujemy **cały** składnik: \\(2^2 \\cdot \\left(\\sqrt{3}\\right)^2 = 4 \\cdot 3 = 12\\), nie \\(2 \\cdot 3 = 6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\left(5 - 2\\sqrt{3}\\right)^2 \\neq 25 - 4 \\cdot 3\\). Nie możesz po prostu podnosić do kwadratu każdego składnika z osobna i odejmować - środkowy wyraz \\(-2ab\\) jest niezbędny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj znak. Wzór \\((a-b)^2\\) daje **minus** przed \\(2ab\\). Tutaj to \\(-20\\sqrt{3}\\), nie \\(+20\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia (karta wzorów)\n\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\). Dla \\(a=5\\), \\(b=2\\sqrt{3}\\):\n\\(a^2 = 25\\), \\(b^2 = (2\\sqrt{3})^2 = 4\\cdot 3 = 12\\), \\(2ab = 2\\cdot 5\\cdot 2\\sqrt{3} = 20\\sqrt{3}\\).\n\\[(5-2\\sqrt{3})^2 = 25 - 20\\sqrt{3} + 12 = 37 - 20\\sqrt{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Mnożenie jak czynnik przez czynnik\n\\((5-2\\sqrt{3})(5-2\\sqrt{3}) = 25 - 10\\sqrt{3} - 10\\sqrt{3} + 4\\cdot 3 = 37 - 20\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(25+4\\sqrt{3}\\)** - pominięto składnik z \\(-2ab\\) i błędnie \\(b^2\\).\n- **B. \\(25-4\\sqrt{3}\\)** - ten sam błąd pominięcia \\(b^2=12\\).\n- **C. \\(37+20\\sqrt{3}\\)** - błędny znak, jak dla \\((a+b)^2\\).\n\n**Trik:** w \\((\\ldots - \\sqrt{\\,})^2\\) składnik z pierwiastkiem ma minus.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nCenę 𝑥 (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono\no 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach\ncena towaru jest równa\nA. 0,36 ⋅𝑥 złotych.\nB. 0,44 ⋅𝑥 złotych.\nC. 0,50 ⋅𝑥 złotych.\nD. 0,56 ⋅𝑥 złotych.\nCenę x (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o 30%, a następnie obniżono o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa A. 0,36⋅x złotych. B. 0,44⋅x złotych. C. 0,50⋅x złotych. D. 0,56⋅x złotych.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(0{,}56 \\cdot x\\) złotych\n\n## Sposób 1 - mnożenie przez współczynniki obniżki\n\n**Obniżka o 30%** oznacza, że zostaje \\(100\\% - 30\\% = 70\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}7\\).\n\nPo pierwszej obniżce cena wynosi:\n\\[x \\cdot 0{,}7 = 0{,}7x\\]\n\n**Obniżka o 20%** (od aktualnej ceny \\(0{,}7x\\)) oznacza, że zostaje \\(100\\% - 20\\% = 80\\%\\), czyli mnożymy przez \\(0{,}8\\):\n\\[0{,}7x \\cdot 0{,}8 = 0{,}56x\\]\n\n**Po obu obniżkach cena wynosi \\(0{,}56 \\cdot x\\) złotych.**\n\n## Sposób 2 - liczbowy przykład dla weryfikacji\n\nWeźmy konkretną cenę, np. \\(x = 100\\) zł.\n\n1. Obniżka o \\(30\\%\\): \\[100 - 30 = 70 \\text{ zł}\\]\n\n2. Obniżka o \\(20\\%\\) od \\(70\\) zł: \\[70 - 0{,}2 \\cdot 70 = 70 - 14 = 56 \\text{ zł}\\]\n\nSprawdzamy: \\(0{,}56 \\cdot 100 = 56\\) zł. ✓\n\n**Wynik zgadza się - odpowiedź D jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania na ułamkach dziesiętnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(0{,}36 \\cdot x\\) | Dodano obie obniżki: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), a potem jeszcze coś pomieszano; lub policzono \\(0{,}6 \\cdot 0{,}6 = 0{,}36\\) (jakby obu obniżek było po 40%) |\n| B - \\(0{,}44 \\cdot x\\) | Odjęto \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\) od \\(0{,}7x\\) zamiast pomnożyć - błąd w interpretacji drugiej obniżki |\n| C - \\(0{,}50 \\cdot x\\) | Zsumowano obie obniżki: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), więc \\(100\\% - 50\\% = 50\\%\\); czyli przyjęto, że łączna obniżka to \\(50\\%\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to dodawanie procentów: \\(30\\% + 20\\% = 50\\%\\), co daje \\(0{,}5x\\). Ale druga obniżka dotyczy już **obniżonej** ceny, nie pierwotnej - więc nie można tak po prostu dodać!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie kolejne obniżki procentowe zawsze dają **mniej** niż ich suma. Tu łączna obniżka to \\(44\\%\\) (zostaje \\(56\\%\\)), a nie \\(50\\%\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Schemat: \"obniżka o \\(p\\%\\)\" = mnożenie przez \\(\\left(1 - \\frac{p}{100}\\right)\\). Zapamiętaj ten mechanizm - działa zawsze, niezależnie od liczby kolejnych obniżek lub podwyżek.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Współczynniki procentowe\nObniżka o \\(30\\%\\) to mnożenie przez \\(0{,}7\\), obniżka o \\(20\\%\\) to mnożenie przez \\(0{,}8\\).\n\\[x\\cdot 0{,}7\\cdot 0{,}8 = x\\cdot 0{,}56 = 0{,}56\\cdot x.\\]\n\n### Sposób 2 - Liczba konkretna\nNiech \\(x = 100\\) zł. Po pierwszej obniżce: \\(70\\) zł. Po drugiej: \\(70\\cdot 0{,}8 = 56\\) zł. To \\(56\\%\\) wartości początkowej, czyli \\(0{,}56\\cdot x\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}36\\cdot x\\)** - pomyłka: \\(0{,}6\\cdot 0{,}6\\), błędne współczynniki.\n- **B. \\(0{,}44\\cdot x\\)** - to wartość dwóch obniżek (\\(1-0{,}56\\)), nie cena końcowa.\n- **C. \\(0{,}50\\cdot x\\)** - suma procentów \\(30+20=50\\%\\) (błędne rozumowanie).\n\n**Trik:** obniżek procentowych NIE wolno dodawać - mnoży się współczynniki \\((1-p_1)(1-p_2)\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nJednym z rozwiązań równania 5(𝑥+ 1) -𝑥2(𝑥+ 1) = 0 jest liczba\nA. 1\nB. (-1)\nC. 5\nD. (-5)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nJednym z rozwiązań równania 5(x+1)-x^2(x+1)=0 jest liczba A. 1 B. (-1) C. 5 D. (-5)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\nZauważamy, że w obu wyrazach lewej strony występuje czynnik \\((x+1)\\). Wyłączamy go przed nawias:\n\n\\[5(x+1) - x^2(x+1) = 0\\]\n\n\\[(x+1)\\bigl(5 - x^2\\bigr) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **co najmniej jeden z czynników jest zerem**:\n\n\\[x + 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 5 - x^2 = 0\\]\n\n**Z pierwszego:**\n\\[x + 1 = 0 \\implies x = -1\\]\n\n**Z drugiego:**\n\\[5 - x^2 = 0 \\implies x^2 = 5 \\implies x = \\sqrt{5} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{5}\\]\n\nWszystkie rozwiązania: \\(x = -1\\), \\(x = \\sqrt{5}\\), \\(x = -\\sqrt{5}\\).\n\nSpośród odpowiedzi A-D jedyną, która należy do tego zbioru, jest **\\(x = -1\\)**, czyli odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą z odpowiedzi, podstawiając do oryginalnego równania \\(5(x+1) - x^2(x+1) = 0\\):\n\n**A. \\(x = 1\\):**\n\\[5(1+1) - 1^2(1+1) = 5 \\cdot 2 - 1 \\cdot 2 = 10 - 2 = 8 \\neq 0\\] ✗\n\n**B. \\(x = -1\\):**\n\\[5(-1+1) - (-1)^2(-1+1) = 5 \\cdot 0 - 1 \\cdot 0 = 0\\] ✓\n\n**C. \\(x = 5\\):**\n\\[5(5+1) - 5^2(5+1) = 5 \\cdot 6 - 25 \\cdot 6 = 30 - 150 = -120 \\neq 0\\] ✗\n\n**D. \\(x = -5\\):**\n\\[5(-5+1) - (-5)^2(-5+1) = 5 \\cdot (-4) - 25 \\cdot (-4) = -20 + 100 = 80 \\neq 0\\] ✗\n\nTylko \\(x = -1\\) spełnia równanie - odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa technika algebraiczna: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias oraz własność, że jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(x = 1\\) | Uczeń \"widzi\" \\(5\\) i \\(1\\) w równaniu i zgaduje, albo myli rozwiązanie z podstawionym czynnikiem |\n| C - \\(x = 5\\) | Uczeń wyciąga \\(5 - x^2 = 0\\) i zamiast \\(x = \\sqrt{5}\\) zapisuje \\(x = 5\\) (zgubienie pierwiastka) |\n| D - \\(x = -5\\) | Analogicznie jak C, ale bierze ujemną wartość - dalej pomyłka \\(\\sqrt{5} \\neq 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dziel obu stron przez \\((x+1)\\)! Dzielenie przez wyrażenie zawierające \\(x\\) grozi utratą rozwiązania \\(x = -1\\) - właśnie tego, który jest odpowiedzią.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(5 - x^2 = 0\\) daje \\(x = \\pm\\sqrt{5}\\), a **nie** \\(x = \\pm 5\\). To częsty błąd - pomylenie \\(x^2 = 5\\) z \\(x = 5\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie trzeciego stopnia ma **trzy** rozwiązania (tu: \\(-1, \\sqrt{5}, -\\sqrt{5}\\)). Nie kończ na pierwszym znalezionym - ale w zadaniu zamkniętym wystarczy sprawdzić, które z podanych odpowiedzi pasuje.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\[5(x+1) - x^2(x+1) = (x+1)(5 - x^2) = 0.\\]\nZ \\(x+1 = 0\\) mamy \\(x = -1\\). Z \\(5-x^2=0\\): \\(x = \\pm\\sqrt{5}\\).\nRozwiązania: \\(\\{-1, -\\sqrt{5}, \\sqrt{5}\\}\\). Na liście: \\(-1\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawienie każdej z odpowiedzi\nDla \\(x=-1\\): \\(5\\cdot 0 - 1\\cdot 0 = 0\\) ✓.\nDla \\(x=1\\): \\(5\\cdot 2 - 1\\cdot 2 = 8 \\neq 0\\).\nDla \\(x=5\\): \\(5\\cdot 6 - 25\\cdot 6 = -120 \\neq 0\\).\nDla \\(x=-5\\): \\(5\\cdot(-4) - 25\\cdot(-4) = 80 \\neq 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - nie są zerami równania (sprawdzone podstawieniem).\n\n**Trik:** gdy widzisz powtarzający się czynnik \\((x+1)\\), od razu wyłącz go przed rozkładem.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8𝑥-3\n4\n> 6𝑥 jest przedział\nA. (-∞, -3\n4)\nB. (-3\n4 , +∞)\nC. (-∞, -3\n16)\nD. (-3\n16 , +∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 8x-3/4 > 6x jest przedział A. (-∞,-3/4) B. (-3/4,+∞) C. (-∞,-3/16) D. (-3/16,+∞)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiorem rozwiązań nierówności jest \\(\\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\nMamy nierówność:\n\\[\\frac{8x - 3}{4} > 6x\\]\n\n**Krok 1.** Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia, więc znak nierówności się **nie zmienia**):\n\\[8x - 3 > 24x\\]\n\n**Krok 2.** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na jedną stronę:\n\\[-3 > 24x - 8x\\]\n\\[-3 > 16x\\]\n\n**Krok 3.** Dzielimy obie strony przez \\(16\\) (liczba dodatnia, znak nierówności bez zmian):\n\\[\\frac{-3}{16} > x\\]\n\nczyli:\n\\[x < -\\frac{3}{16}\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\)\n\n## Sposób 2 - Przeniesienie wszystkiego na lewą stronę\n\nZapisujemy równoważną nierówność:\n\\[\\frac{8x - 3}{4} - 6x > 0\\]\n\n**Krok 1.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(4\\):\n\\[\\frac{8x - 3}{4} - \\frac{24x}{4} > 0\\]\n\\[\\frac{8x - 3 - 24x}{4} > 0\\]\n\\[\\frac{-16x - 3}{4} > 0\\]\n\n**Krok 2.** Mnożymy obie strony przez \\(4 > 0\\) (znak bez zmian):\n\\[-16x - 3 > 0\\]\n\n**Krok 3.** Przenosimy \\(3\\) na prawą stronę:\n\\[-16x > 3\\]\n\n**Krok 4.** Dzielimy przez \\(-16\\) - uwaga, **dzielimy przez liczbę ujemną**, więc **znak nierówności się odwraca**:\n\\[x < \\frac{3}{-16} = -\\frac{3}{16}\\]\n\nWynik ten sam: \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe własności nierówności (mnożenie/dzielenie przez liczbę dodatnią lub ujemną).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń obliczył dobrze \\(-\\frac{3}{4}\\), co mogło powstać przez pominięcie mianownika 4 pod \\(8x\\) i uproszczenie \\(8x - 3 > 24x\\) do \\(-3 > 16x\\), ale potem podzielił przez 4 zamiast 16, otrzymując \\(-\\frac{3}{4}\\). Dodatkowo kierunek przedziału poprawny. |\n| B | Ta sama wartość \\(-\\frac{3}{4}\\) co w A, ale z odwróconym kierunkiem - podwójny błąd: zła wartość i odwrócony znak nierówności. |\n| D | Prawidłowo obliczona wartość \\(-\\frac{3}{16}\\), ale **znak nierówności odwrócony** - zapominamy, że po przeniesieniu \\(x\\) na prawą stronę mamy \\(x < -\\frac{3}{16}\\), nie \\(x > -\\frac{3}{16}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy **dzielisz lub mnożysz nierówność przez liczbę ujemną**, znak nierówności **zawsze się odwraca** (\\(>\\) staje się \\(<\\)). To najczęstszy błąd w tym typie zadania - odpowiedź D jest właśnie wynikiem tego błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez mianownik \\(4\\), pamiętaj że mnożysz **całą prawą stronę** - tu \\(6x \\cdot 4 = 24x\\), nie \\(6x + 4\\) ani \\(6x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(-\\frac{3}{16}\\) z \\(-\\frac{3}{4}\\). Sprawdź obliczenia: \\(\\frac{-3}{16}\\), bo dzielisz \\(-3\\) przez \\(16\\) (wynik z \\(8x - 24x = -16x\\)), a nie przez \\(4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Pomnożenie obu stron przez 4\n\\[\\dfrac{8x-3}{4} > 6x \\;\\Longleftrightarrow\\; 8x - 3 > 24x \\;\\Longleftrightarrow\\; -16x > 3 \\;\\Longleftrightarrow\\; x < -\\dfrac{3}{16}.\\]\nZbiór rozwiązań: \\(\\left(-\\infty, -\\dfrac{3}{16}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Przeniesienie na jedną stronę\n\\(\\dfrac{8x-3}{4} - 6x > 0 \\Rightarrow \\dfrac{8x-3-24x}{4} > 0 \\Rightarrow -16x - 3 > 0 \\Rightarrow x < -\\dfrac{3}{16}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, -\\tfrac{3}{4})\\)** - błąd: nie podzielono \\(3\\) przez \\(16\\), tylko \\(4\\).\n- **B. \\((-\\tfrac{3}{4}, +\\infty)\\)** - dodatkowo błędny kierunek.\n- **D. \\((-\\tfrac{3}{16}, +\\infty)\\)** - nie odwrócono znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.\n\n**Trik:** mnożąc/dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, ZAWSZE odwróć znak.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nSuma wszystkich rozwiązań równania (2𝑥-1)(2𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0 jest równa\nA. (-7\n2)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD. 1\nSuma wszystkich rozwiązań równania (2x-1)(2x-2)(x+2)=0 jest równa A. (-7/2) B. (-1/2) C. 1/2 D. 1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczanie pierwiastków wprost z postaci iloczynowej\n\nRównanie \\((2x-1)(2x-2)(x+2) = 0\\) jest już w postaci iloczynowej - iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.\n\nRozwiązujemy każdy czynnik osobno:\n\n**Czynnik 1:**\n\\[2x - 1 = 0 \\implies x_1 = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Czynnik 2:**\n\\[2x - 2 = 0 \\implies 2x = 2 \\implies x_2 = 1\\]\n\n**Czynnik 3:**\n\\[x + 2 = 0 \\implies x_3 = -2\\]\n\n**Suma wszystkich rozwiązań:**\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = \\frac{1}{2} + 1 + (-2) = \\frac{1}{2} + 1 - 2 = \\frac{3}{2} - 2 = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{1}{2}}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a po rozwinięciu do postaci ogólnej\n\nRozwińmy iloczyn, żeby wyznaczyć sumę pierwiastków bez ich znajomości.\n\nNajpierw rozwijamy dwa pierwsze czynniki:\n\\[(2x-1)(2x-2) = 4x^2 - 4x - 2x + 2 = 4x^2 - 6x + 2\\]\n\nTeraz mnożymy przez \\((x+2)\\):\n\\[(4x^2 - 6x + 2)(x+2)\\]\n\\[= 4x^3 + 8x^2 - 6x^2 - 12x + 2x + 4\\]\n\\[= 4x^3 + 2x^2 - 10x + 4\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(4\\):\n\\[x^3 + \\frac{1}{2}x^2 - \\frac{5}{2}x + 1 = 0\\]\n\nZe wzorów Viète'a dla wielomianu \\(x^3 + px^2 + qx + r = 0\\) suma pierwiastków wynosi:\n\\[x_1 + x_2 + x_3 = -p = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Potwierdza wynik: \\(\\boldsymbol{-\\dfrac{1}{2}}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość własności iloczynu (iloczyn = 0 wtedy gdy jeden czynnik = 0) oraz ewentualnie wzorów Viète'a, które nie są wyszczególnione jako osobny wzór na karcie, ale wynikają z działu 7.\n\nPomocniczo można odwołać się do:\n\n> **Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - analogia do wzorów Viète'a dla trójmianu:\n> \\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n> W Sposobie 2 rozszerzamy tę logikę na wielomian stopnia 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\left(-\\frac{7}{2}\\right)\\) | Pomylenie wyznaczania pierwiastków: np. wzięcie \\(x = -\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(x = \\frac{1}{2}\\) z czynnika \\((2x-1)\\), i dodanie \\(-\\frac{1}{2} + (-2) + (-1) = -\\frac{7}{2}\\) - błąd znaku i wartości |\n| **C** \\(\\frac{1}{2}\\) | Zgubienie \\(x_3 = -2\\), zsumowanie tylko \\(\\frac{1}{2} + 1 = \\frac{3}{2}\\) lub pominięcie czynnika \\((x+2)\\) całkowicie |\n| **D** \\(1\\) | Podanie tylko jednego pierwiastka \\(x_2 = 1\\) zamiast ich sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z czynnika \\((2x - 1) = 0\\) wynika \\(x = \\frac{1}{2}\\), **nie** \\(x = -\\frac{1}{2}\\). Łatwo tu pomylić znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie ma **trzy** rozwiązania (wielomian 3. stopnia) - nie zatrzymuj się po znalezieniu dwóch pierwiastków. Każdy czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz rozwijać iloczynu - postać iloczynowa to prezent od zadania. Wprost odczytaj pierwiastki z każdego nawiasu i zsumuj.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Znajdź każdy pierwiastek\n\\((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\\) daje:\n\\(2x-1=0 \\Rightarrow x=\\tfrac{1}{2}\\), \\(2x-2=0 \\Rightarrow x=1\\), \\(x+2=0 \\Rightarrow x=-2\\).\nSuma: \\(\\tfrac{1}{2} + 1 + (-2) = \\tfrac{1}{2} - 1 = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Dokładne sumowanie\n\\(\\tfrac{1}{2} + \\tfrac{2}{2} - \\tfrac{4}{2} = \\tfrac{1+2-4}{2} = -\\tfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{7}{2}\\)** - dodano wszystkie wyrazy z ujemnym znakiem.\n- **C. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - zapomniano o \\(-2\\).\n- **D. \\(1\\)** - pominięto \\(-2\\) i dodano tylko dodatnie pierwiastki.\n\n**Trik:** iloczyn równy 0 ⇔ choć jeden czynnik = 0. Rozwiązania czynników SUMUJ.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nPunkt 𝐴= (1, 2) należy do wykresu funkcji 𝑓, określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = (𝑚2 -3)𝑥3 -𝑚2 + 𝑚+ 1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Wtedy\nA. 𝑚= -4\nB. 𝑚= -2\nC. 𝑚= 0\nD. 𝑚= 4\nPunkt A=(1,2) należy do wykresu funkcji f, określonej wzorem f(x)=(m^2-3)x^3-m^2+m+1 dla każdej liczby rzeczywistej x. Wtedy A. m=-4 B. m=-2 C. m=0 & D. m=4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 4\\))\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do wzoru funkcji\n\n**Kluczowa obserwacja:** Jeśli punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu funkcji \\(f\\), to \\(f(1) = 2\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 1\\) do wzoru:\n\n\\[f(1) = (m^2 - 3) \\cdot 1^3 - m^2 + m + 1\\]\n\n\\[f(1) = m^2 - 3 - m^2 + m + 1\\]\n\nWyrazy \\(m^2\\) i \\(-m^2\\) znoszą się:\n\n\\[f(1) = m - 2\\]\n\nTeraz używamy warunku \\(f(1) = 2\\):\n\n\\[m - 2 = 2\\]\n\n\\[\\boxed{m = 4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie odpowiedzi\n\nPodstawiamy \\(x = 1\\) do wzoru i sprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n\\[f(1) = (m^2 - 3) - m^2 + m + 1 = m - 2\\]\n\nDla \\(m = 4\\): \\(f(1) = 4 - 2 = 2\\) ✓ - zgadza się z \\(y = 2\\).\n\nPozostałe:\n- \\(m = -4\\): \\(f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2\\)\n- \\(m = -2\\): \\(f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2\\)\n- \\(m = 0\\): \\(f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2\\)\n\nTylko \\(m = 4\\) spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przynależności punktu do wykresu funkcji (\\(f(x_0) = y_0\\)) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(m = -4\\)) | Uczeń może mylnie liczyć \\(m^2 - 3\\) przy \\(m=-4\\): dostaje \\(13\\), ale zapomina uprościć całe wyrażenie i gubi człon \\(-m^2\\) |\n| B (\\(m = -2\\)) | Podobny błąd - nie upraszcza \\(m^2 - m^2 = 0\\), próbuje rozwiązać pełne równanie kwadratowe zamiast liniowego |\n| C (\\(m = 0\\)) | Uczeń może myśleć, że \"najprostsze\" \\(m = 0\\) jest odpowiedzią, bez faktycznego podstawienia |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(x = 1\\) wyrazy \\(+m^2\\) i \\(-m^2\\) **znoszą się** - to kluczowe uproszczenie. Kto go przeoczy i próbuje rozwiązać równanie kwadratowe, dostanie fałszywe wyniki lub dwa błędne rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \"punkt \\(A = (1, 2)\\) należy do wykresu\" to dokładnie \\(f(1) = 2\\). To standardowe sformułowanie w zadaniach maturalnych - zapamiętaj je jako odruch.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz nic wiedzieć o funkcji sześciennej (\\(x^3\\)) - zadanie jest czysto algebraiczne po podstawieniu \\(x = 1\\), bo \\(1^3 = 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstaw punkt \\(A=(1,2)\\)\nJeśli \\(f(1) = 2\\), to:\n\\[(m^2-3)\\cdot 1 - m^2 + m + 1 = 2 \\Rightarrow m^2 - 3 - m^2 + m + 1 = 2 \\Rightarrow m - 2 = 2 \\Rightarrow m = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Uprość wzór na \\(f(1)\\)\n\\(f(1) = (m^2-3) - m^2 + m + 1 = m - 2\\). Warunek \\(m-2=2\\) daje \\(m=4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=-4\\)**: \\(f(1) = -4 - 2 = -6 \\neq 2\\).\n- **B. \\(m=-2\\)**: \\(f(1) = -2 - 2 = -4 \\neq 2\\).\n- **C. \\(m=0\\)**: \\(f(1) = 0 - 2 = -2 \\neq 2\\).\n\n**Trik:** gdy podstawisz \\(x=1\\), składniki \\(m^2\\) się kasują - zostaje proste równanie liniowe z \\(m\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = (2𝑚-5)𝑥+ 22 jest rosnąca dla\nA. 𝑚> 2\n5\nB. 𝑚> 2,5\nC. 𝑚> 0\nD. 𝑚> 2\nFunkcja liniowa f określona wzorem f(x)=(2m-5)x+22 jest rosnąca dla A. m>2/5 B. m>2,5 C. m>0 D. m>2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(m > 2{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - warunek dodatniego współczynnika kierunkowego\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) jest **rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a > 0\\)**.\n\nW naszym zadaniu współczynnik kierunkowy to \\(a = 2m - 5\\).\n\nStawiamy warunek:\n\\[2m - 5 > 0\\]\n\\[2m > 5\\]\n\\[m > \\frac{5}{2}\\]\n\\[m > 2{,}5\\]\n\n**Odpowiedź: \\(m > 2{,}5\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez sprawdzenie wartości\n\nSprawdźmy kilka konkretnych wartości \\(m\\), żeby potwierdzić wynik.\n\n**Dla \\(m = 3\\)** (powinno być rosnąca, bo \\(3 > 2{,}5\\)):\n\\[f(x) = (2 \\cdot 3 - 5)x + 22 = 1 \\cdot x + 22 = x + 22\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(= 1 > 0\\) - funkcja **rosnąca**. ✓\n\n**Dla \\(m = 2\\)** (powinno być malejąca, bo \\(2 < 2{,}5\\)):\n\\[f(x) = (2 \\cdot 2 - 5)x + 22 = -1 \\cdot x + 22 = -x + 22\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(= -1 < 0\\) - funkcja **malejąca**. ✓\n\n**Dla \\(m = 2{,}5\\)** (granica):\n\\[f(x) = (2 \\cdot 2{,}5 - 5)x + 22 = 0 \\cdot x + 22 = 22\\]\nWspółczynnik kierunkowy \\(= 0\\) - funkcja **stała** (ani rosnąca, ani malejąca). ✓\n\nPotwierdzamy: rosnąca dokładnie gdy \\(m > 2{,}5\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i warunek monotoniczności (podstawa z lekcji).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Napisano \\(m > \\frac{2}{5}\\) - pomylono kolejność działań: zamiast \\(2m > 5 \\Rightarrow m > \\frac{5}{2}\\), odwrócono ułamek i wychodzi \\(\\frac{2}{5}\\) |\n| C | \\(m > 0\\) - uczeń sprawdził tylko, czy \\(m\\) jest dodatnie, zamiast sprawdzić, czy cały współczynnik \\(2m-5\\) jest dodatni |\n| D | \\(m > 2\\) - uczeń rozwiązał \\(2m > 4\\) (błędnie przyjął \\(2m - 4 > 0\\) zamiast \\(2m - 5 > 0\\)), czyli pomylił wyraz wolny z \\(-4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek rosnącości dotyczy **współczynnika kierunkowego** \\(a\\), a nie samego parametru \\(m\\). Nie wystarczy \\(m > 0\\) - trzeba rozwiązać nierówność \\(2m - 5 > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu liczby przez nierówność pamiętaj o kolejności: \\(2m > 5 \\Rightarrow m > \\frac{5}{2} = 2{,}5\\). Łatwo tu pomylić \\(\\frac{5}{2}\\) z \\(\\frac{2}{5}\\) - to dwa razy mniejsza liczba!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy współczynnik kierunkowy \\(= 0\\) (tutaj dla \\(m = 2{,}5\\)), funkcja jest **stała** - nie rosnąca ani malejąca. Dlatego mamy nierówność **ostrą**: \\(m > 2{,}5\\), a nie \\(\\geq\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek monotoniczności (karta wzorów)\nFunkcja liniowa \\(y=ax+b\\) jest rosnąca \\(\\Leftrightarrow a>0\\).\nTu \\(a = 2m-5\\), więc \\(2m-5 > 0 \\Rightarrow m > \\dfrac{5}{2} = 2{,}5\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie wartości granicznej\nDla \\(m = 2{,}5\\) mamy \\(a=0\\) (funkcja stała, nierosnąca). Musi być ściśle większe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m > \\tfrac{2}{5}\\)** - odwrócono licznik i mianownik.\n- **C. \\(m > 0\\)** - pomyłka: warunek \\(2m>0\\), zignorowano \\(-5\\).\n- **D. \\(m > 2\\)** - błędne dzielenie przed przeniesieniem.\n\n**Trik:** znak współczynnika przy \\(x\\) decyduje o monotoniczności - \\(a>0\\) rosnąca, \\(a<0\\) malejąca.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 osiąga dla 𝑥= 2 wartość\nnajmniejszą równą 4. Wtedy\nA. 𝑏= -4, 𝑐= 8\nB. 𝑏= 4, 𝑐= -8\nC. 𝑏= -4, 𝑐= -8\nD. 𝑏= 4, 𝑐= 8\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=x^2+bx+c osiąga dla x=2 wartość najmniejszą równą 4. Wtedy A. b=-4, c=8 B. b=4, c=-8 C. b=-4, c=-8 D. b=4, c=8.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(b = -4, \\ c = 8\\)\n\n## Sposób 1 - wierzchołek paraboli\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 + bx + c\\) ma najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli (bo \\(a = 1 > 0\\), ramiona skierowane w górę).\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z warunku na odciętą wierzchołka.**\n\nOdcięta wierzchołka wynosi:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{b}{2}\\]\n\nSkoro wartość najmniejsza jest osiągana dla \\(x = 2\\):\n\\[-\\frac{b}{2} = 2\\]\n\\[b = -4\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z warunku na wartość najmniejszą.**\n\nWartość najmniejsza to rzędna wierzchołka \\(q\\). Skoro \\(f(2) = 4\\):\n\\[f(2) = 2^2 + (-4) \\cdot 2 + c = 4\\]\n\\[4 - 8 + c = 4\\]\n\\[-4 + c = 4\\]\n\\[c = 8\\]\n\n**Zatem \\(b = -4\\), \\(c = 8\\) - odpowiedź A.**\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna\n\nSkoro wierzchołek paraboli to \\(W = (2, 4)\\), możemy od razu zapisać funkcję w postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q = 1 \\cdot (x - 2)^2 + 4\\]\n\nRozwijamy:\n\\[f(x) = (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 4 + 4 = x^2 - 4x + 8\\]\n\nPorównując z \\(f(x) = x^2 + bx + c\\):\n\\[b = -4, \\quad c = 8\\]\n\n**Wynik zgodny z odpowiedzią A.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(b\\) z odciętej wierzchołka.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 2 - od razu zapisujemy wzór ze znanych danych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Obliczono \\(p = -\\frac{b}{2}\\) z odwróconym znakiem: wzięto \\(b = 4\\) (bez minusa). Błąd w znaku przy wyznaczaniu \\(b\\). |\n| C | Poprawnie policzono \\(b = -4\\), ale przy obliczaniu \\(c\\) odjęto zamiast dodać: \\(-4 + c = 4\\) rozwiązano jako \\(c = -8\\). |\n| D | Oba znaki błędne jednocześnie: błąd w \\(b\\) jak w odp. B oraz błąd w \\(c\\) jak w odp. C (ale \\(c\\) wychodzi poprawnie jako 8 przy złym \\(b\\), więc to specyficzna kombinacja pomyłek). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na odciętą wierzchołka to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) - jest **minus**! Bardzo łatwo zapomnieć o tym minusie i wziąć \\(b = 4\\) zamiast \\(b = -4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Wartość najmniejsza równa 4 dla \\(x = 2\\)\" oznacza, że \\(f(2) = 4\\) ORAZ wierzchołek jest w \\(x = 2\\). To dwa warunki naraz - nie wystarczy podstawić samo \\(f(2) = 4\\) bez sprawdzenia warunku na wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość najmniejsza istnieje tylko wtedy, gdy parabola jest skierowana ramionami **w górę** (czyli \\(a > 0\\)). Tu \\(a = 1 > 0\\) - wszystko gra. Gdyby \\(a < 0\\), funkcja miałaby wartość największą, nie najmniejszą.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna (karta wzorów)\nWierzchołek: \\(W=(p,q)=(2,4)\\). \\(f(x) = (x-2)^2 + 4 = x^2 - 4x + 4 + 4 = x^2 - 4x + 8\\).\nStąd \\(b=-4\\), \\(c=8\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na współrzędne wierzchołka\n\\(p = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{b}{2} = 2 \\Rightarrow b=-4\\).\n\\(f(2) = 4 + 2b + c = 4 \\Rightarrow 4 - 8 + c = 4 \\Rightarrow c = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(b=4,\\, c=-8\\)** - znak \\(b\\) odwrotny (\\(p = -b/2 = -2\\)).\n- **C. \\(b=-4,\\, c=-8\\)** - błędny wyraz wolny: \\(f(2)=4-8-8=-12\\).\n- **D. \\(b=4,\\, c=8\\)** - \\(p=-2\\), nie \\(2\\).\n\n**Trik:** dla \\(x^2+bx+c\\) wierzchołek jest w \\(x = -b/2\\); najmniejsza wartość w wierzchołku.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDana jest funkcja kwadratowa 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-2)(𝑥+ 1). Funkcja 𝑓\njest rosnąca w zbiorze\nA. (-∞, 1\n2 ⟩\nB. (-1, 2)\nC. (0, 5\n2)\nD. ⟨5\n2 , +∞)\nDana jest funkcja kwadratowa f określona wzorem f(x)=-2(x-2)(x+1). Funkcja f jest rosnąca w zbiorze A. (-∞,1/2> B. (-1,2) C. (0,5/2) D. <5/2,+∞)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli i monotoniczność\n\nFunkcja kwadratowa jest dana w **postaci iloczynowej**:\n\\[f(x) = -2(x-2)(x+1)\\]\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik wiodący.**\n\nWspółczynnik \\(a = -2 < 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** (jak ∩). Oznacza to, że funkcja najpierw rośnie, osiąga maksimum w wierzchołku, potem maleje.\n\n**Krok 2: Wyznacz wierzchołek - oś symetrii.**\n\nMiejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 2\\). Oś symetrii paraboli leży dokładnie w połowie między nimi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-1 + 2}{2} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWierzchołek ma pierwszą współrzędną \\(p = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Krok 3: Określ monotoniczność.**\n\nParabola skierowana w dół (∩):\n- **rośnie** na \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n- **maleje** na \\(\\left\\langle\\dfrac{1}{2}, +\\infty\\right)\\)\n\n**Odpowiedź: A** \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna i wzór na wierzchołek\n\n**Krok 1: Rozwiń postać iloczynową do ogólnej.**\n\\[f(x) = -2(x-2)(x+1) = -2(x^2 + x - 2x - 2) = -2(x^2 - x - 2)\\]\n\\[f(x) = -2x^2 + 2x + 4\\]\n\nZatem \\(a = -2\\), \\(b = 2\\), \\(c = 4\\).\n\n**Krok 2: Wzór na oś symetrii.**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{2}{-4} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3: Wnioski o monotoniczności.**\n\nPonieważ \\(a = -2 < 0\\), parabola jest skierowana w dół:\n- rośnie dla \\(x \\leq \\dfrac{1}{2}\\), czyli na \\(\\left(-\\infty, \\dfrac{1}{2}\\right\\rangle\\)\n\nWynik ten zgadza się z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nOś symetrii i wierzchołek:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 2 do wyznaczenia współrzędnej \\(x\\) wierzchołka, który oddziela przedział wzrostu od przedziału spadku.\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - bezpośrednio odczytaliśmy miejsca zerowe, by obliczyć oś symetrii jako ich średnią arytmetyczną.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) to przedział **między miejscami zerowymi** - uczeń myli „przedział, gdzie funkcja jest dodatnia\" z „przedziałem wzrostu\". To dwa różne pojęcia! |\n| C | \\(\\left\\langle 0, \\dfrac{5}{2}\\right\\rangle\\) nie ma związku z zadaniem - prawdopodobnie błędne obliczenie osi symetrii (np. wzięcie \\(\\frac{2+3}{2}\\) zamiast \\(\\frac{-1+2}{2}\\)) |\n| D | \\(\\left\\langle\\dfrac{5}{2}, +\\infty\\right)\\) to przedział **malejący**, ale przesunięty. Uczeń mógł dobrze znaleźć wierzchołek \\(x = \\frac{1}{2}\\), ale pomylić kierunek i wybrać przedział malejący zamiast rosnącego, albo pomylić ramiona paraboli (jakby \\(a > 0\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola z \\(a < 0\\) (ramiona w dół) **rośnie po lewej stronie wierzchołka**, nie po prawej - odwrotnie niż parabola z \\(a > 0\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl przedziału wzrostu z przedziałem, gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Funkcja może rosnąć, mając wartości ujemne, i odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii wyznaczasz jako **średnią miejsc zerowych** - sprawdź znak: \\(\\frac{(-1) + 2}{2} = \\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{1+2}{2}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współrzędna wierzchołka z miejsc zerowych\nMiejsca zerowe: \\(x=2, x=-1\\). Oś symetrii: \\(x_w = \\dfrac{2+(-1)}{2} = \\dfrac{1}{2}\\).\nWspółczynnik przy \\(x^2\\): \\(-2 < 0\\) - parabola w dół.\nFunkcja rośnie na \\((-\\infty, \\tfrac{1}{2}\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = -2(x^2 - x - 2) = -2\\left[(x-\\tfrac{1}{2})^2 - \\tfrac{9}{4}\\right] = -2(x-\\tfrac{1}{2})^2 + \\tfrac{9}{2}\\).\nWierzchołek \\((\\tfrac{1}{2}, \\tfrac{9}{2})\\); rośnie w \\((-\\infty, \\tfrac{1}{2}\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle-1,2\\rangle\\)** - to zbiór, na którym \\(f\\geq 0\\), nie zbiór monotoniczności.\n- **C. \\(\\langle 0, \\tfrac{5}{2}\\rangle\\)** - przesunięty błędnie przedział.\n- **D. \\(\\langle \\tfrac{5}{2}, +\\infty)\\)** - tam funkcja maleje.\n\n**Trik:** dla paraboli o \\(a<0\\) funkcja ROŚNIE do wierzchołka i MALEJE po nim.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej na zbiorze ⟨-2, 5).\nFunkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-1). Wykres\nfunkcji 𝑔 można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji 𝑓. Dziedziną\nfunkcji 𝑔 jest zbiór\nA. ⟨0, 2)\nB. ⟨-1, 6)\nC. ⟨-3, 4)\nD. ⟨1, 3)\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej na zbiorze <-2,5). [rysunek] Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x-1). Wykres funkcji g można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji f. Dziedziną funkcji g jest zbiór A. <0,2) B. <-1,6) C. <-3,4) D. <1,3)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\langle -1, 6)\\)\n\n## Sposób 1 - przesunięcie dziedziny o 1 w prawo\n\nMamy \\(g(x) = f(x - 1)\\). Żeby \\(g(x)\\) było określone, argument funkcji \\(f\\) musi należeć do dziedziny \\(f\\).\n\n**Dziedzina \\(f\\):** \\(\\langle -2, 5)\\), czyli warunek na argument to:\n\\[-2 \\leq \\text{argument} < 5\\]\n\nW \\(g(x) = f(x-1)\\) argumentem funkcji \\(f\\) jest \\((x - 1)\\). Wstawiamy:\n\\[-2 \\leq x - 1 < 5\\]\n\nDodajemy \\(1\\) do każdej części nierówności:\n\\[-2 + 1 \\leq x < 5 + 1\\]\n\\[\\boxed{-1 \\leq x < 6}\\]\n\n**Dziedzina funkcji \\(g\\) to \\(\\langle -1, 6)\\).**\n\nUwaga na nawiasy: lewy koniec \\(-2\\) był domknięty (nawiasem kwadratowym) → \\(-1\\) też jest domknięty. Prawy koniec \\(5\\) był otwarty (nawiasem okrągłym) → \\(6\\) też jest otwarty.\n\n## Sposób 2 - interpretacja geometryczna (przesunięcie wykresu)\n\nWzór \\(g(x) = f(x - 1)\\) oznacza **przesunięcie wykresu funkcji \\(f\\) o \\(1\\) jednostkę w prawo**.\n\nDziedzina to zbiór argumentów, dla których wykres istnieje. Po przesunięciu w prawo o \\(1\\) każdy punkt wykresu \\(f\\) przesuwa się o \\(1\\) w prawo, więc cała dziedzina też przesuwa się o \\(1\\) w prawo:\n\n\\[\\langle -2, 5) \\xrightarrow{+1} \\langle -2+1,\\; 5+1) = \\langle -1, 6)\\]\n\nWynik ten samo co w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji złożonej i rozwiązanie prostej nierówności liniowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\langle 0, 2)\\) - zupełnie inny zbiór, brak związku z przesunięciem; być może uczeń odczytał coś z wykresu bez żadnego obliczenia |\n| C | \\(\\langle -3, 4)\\) - odjęto \\(1\\) zamiast dodać (przesunięcie w **lewo** zamiast w prawo); błąd znaku: \\(g(x) = f(x+1)\\) dawałoby właśnie taki wynik |\n| D | \\(\\langle 1, 3)\\) - niezrozumienie wzoru; prawdopodobnie uczeń „przesunął\" tylko koniec przedziału lub pomylił którą wartość zmieniać |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x - 1)\\) to przesunięcie w **prawo** o \\(1\\), nie w lewo! Znak minus przy \\(x\\) w środku jest mylący - pamiętaj, że jeśli „odejmujesz od \\(x\\)\", wykres idzie w prawo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przesuwaniu dziedziny trzeba zachować typ nawiasów! Jeśli koniec przedziału był otwarty (np. \\(5\\)), to po przesunięciu też musi być otwarty (np. \\(6\\)). Nie zmieniaj nawiasów kwadratowych na okrągłe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl \\(g(x) = f(x-1)\\) z \\(g(x) = f(x) - 1\\). Pierwsze to przesunięcie poziome (dziedzina się zmienia!), drugie to przesunięcie pionowe (dziedzina zostaje ta sama, zmienia się tylko zbiór wartości).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie wzdłuż osi \\(Ox\\)\n\\(g(x) = f(x-1)\\) oznacza przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(1\\) jednostkę W PRAWO.\nDziedzina \\(f\\): \\(\\langle -2, 5)\\). Po przesunięciu: \\(\\langle -2+1, 5+1) = \\langle -1, 6)\\).\n\n### Sposób 2 - Warunek na dziedzinę\n\\(g(x) = f(x-1)\\) jest określona, gdy \\(x-1 \\in \\langle -2, 5)\\), czyli \\(-2 \\leq x-1 < 5\\), stąd \\(-1 \\leq x < 6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\langle 0,2)\\)** - bez związku z przesunięciem.\n- **C. \\(\\langle-3,4)\\)** - przesunięcie W LEWO (byłoby dla \\(f(x+1)\\)).\n- **D. \\(\\langle 1,3)\\)** - liczby nieodpowiadające dziedzinie.\n\n**Trik:** \\(f(x-c)\\) przesuwa wykres w PRAWO o \\(c\\); \\(f(x+c)\\) - w LEWO o \\(c\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nDane są ciągi 𝑎𝑛= 3𝑛 oraz 𝑏𝑛= 4𝑛-2, określone dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nLiczba 10\nA. jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\nB. jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i nie jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\nC. nie jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\nD. nie jest wyrazem ciągu (𝑎𝑛) i nie jest wyrazem ciągu (𝑏𝑛).\n𝑦\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 𝑥\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDane są ciągi a_n=3n oraz b_n=4n-2, określone dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba 10 A. jest wyrazem ciągu (a_n) i jest wyrazem ciągu (b_n). B. jest wyrazem ciągu (a_n) i nie jest wyrazem ciągu (b_n). C. nie jest wyrazem ciągu (a_n) i jest wyrazem ciągu (b_n). D. nie jest wyrazem ciągu (a_n) i nie jest wyrazem ciągu (b_n).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nLiczba \\(10\\) **nie jest** wyrazem ciągu \\((a_n)\\) i **jest** wyrazem ciągu \\((b_n)\\).\n\n## Sposób 1 - sprawdzenie równania wprost\n\n**Badamy ciąg \\((a_n) = 3n\\):**\n\nPytamy: czy istnieje liczba naturalna \\(n \\geq 1\\) taka, że \\(3n = 10\\)?\n\n\\[3n = 10 \\implies n = \\frac{10}{3} \\approx 3{,}33\\ldots\\]\n\nWynik nie jest liczbą naturalną, więc **10 nie jest wyrazem ciągu \\((a_n)\\)**.\n\n**Badamy ciąg \\((b_n) = 4n - 2\\):**\n\nPytamy: czy istnieje liczba naturalna \\(n \\geq 1\\) taka, że \\(4n - 2 = 10\\)?\n\n\\[4n - 2 = 10\\]\n\\[4n = 12\\]\n\\[n = 3\\]\n\nWynik \\(n = 3\\) jest liczbą naturalną większą od \\(0\\), więc sprawdzamy:\n\n\\[b_3 = 4 \\cdot 3 - 2 = 12 - 2 = 10 \\checkmark\\]\n\n**10 jest wyrazem ciągu \\((b_n)\\)** - konkretnie trzecim.\n\n**Wniosek:** 10 nie należy do \\((a_n)\\), ale należy do \\((b_n)\\) → odpowiedź **C**.\n\n## Sposób 2 - analiza podzielności i parzystości\n\n**Ciąg \\((a_n) = 3n\\)** zawiera wyłącznie wielokrotności liczby 3:\n\\[3, 6, 9, 12, 15, \\ldots\\]\n\nLiczba \\(10\\) **nie jest wielokrotnością 3** (bo \\(10 = 3 \\cdot 3 + 1\\), czyli reszta z dzielenia przez 3 wynosi 1), więc na pewno nie należy do \\((a_n)\\).\n\n**Ciąg \\((b_n) = 4n - 2\\)** można przepisać jako:\n\\[b_n = 2(2n - 1)\\]\n\nWyrazy tego ciągu to liczby parzyste **niebędące wielokrotnościami 4**:\n\\[2, 6, 10, 14, 18, \\ldots\\]\n\nLiczba \\(10 = 2 \\cdot 5 = 2(2 \\cdot 3 - 1)\\), co odpowiada \\(n = 3\\). Potwierdzamy: \\(10\\) **należy do \\((b_n)\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja wyrazu ogólnego ciągu i rozwiązanie prostego równania liniowego. Wzory na ciąg arytmetyczny (Dział 8, s. 9) mogą pomóc w zrozumieniu struktury ciągu, ale nie są niezbędne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń zakłada, że \\(10 \\div 3 = 3\\) (zaokrągla), i \"sprawdza\" \\(b_n\\) poprawnie - błędne sprawdzanie \\((a_n)\\) |\n| B | Uczeń poprawnie eliminuje \\((a_n)\\), ale przy \\((b_n)\\) popełnia błąd arytmetyczny (np. \\(4n = 10 \\Rightarrow n = 2{,}5\\) - zapomina odjąć 2 przed podziałem) |\n| D | Uczeń popełnia błąd przy obu ciągach - np. rozwiązuje \\(4n = 10\\) zamiast \\(4n - 2 = 10\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzając przynależność do ciągu, musisz otrzymać **liczbę naturalną** \\(n \\geq 1\\). Wynik \\(n = 2{,}5\\) lub \\(n = 0\\) oznacza, że liczba **nie jest** wyrazem ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy ciągu \\(b_n = 4n - 2\\) łatwo zapomnieć o odjęciu \\(2\\) i rozwiązać \\(4n = 10\\) zamiast \\(4n - 2 = 10\\) - to prowadzi prosto do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie sprawdzaj \"na oko\" - zawsze zapisz równanie i je rozwiąż. Liczba \\(12 = 3 \\cdot 4\\) należy do \\((a_n)\\), a \\(10\\) już nie, choć obydwie są zbliżone.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Sprawdzenie równań dla \\(n\\in\\mathbb{N}_+\\)\n\\(a_n=10\\): \\(3n=10 \\Rightarrow n=\\tfrac{10}{3}\\notin\\mathbb{N}_+\\). Nie jest wyrazem \\((a_n)\\).\n\\(b_n=10\\): \\(4n-2=10 \\Rightarrow n=3\\in\\mathbb{N}_+\\). JEST wyrazem \\((b_n)\\), konkretnie \\(b_3\\).\n\n### Sposób 2 - Wypisanie pierwszych wyrazów\n\\((a_n): 3, 6, 9, 12, 15, \\ldots\\) - brak 10.\n\\((b_n): 2, 6, 10, 14, \\ldots\\) - 10 występuje (trzeci wyraz).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - błędnie twierdzą, że \\(10\\in(a_n)\\).\n- **D** - błędnie odrzuca \\(10\\) z \\((b_n)\\).\n\n**Trik:** by sprawdzić, czy \\(k\\) jest wyrazem, rozwiąż \\(k = \\text{wzór}\\) i sprawdź, czy \\(n\\) jest dodatnią liczbą całkowitą.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Drugi\nwyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (𝑎𝑛) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych\nwyrazów tego ciągu jest równa\nA. 1\nB. 11\nC. 21\nD. 31\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu (a_n) są równe 2. Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 1 B. 11 C. 21 D. 31","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(31\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie pierwszego wyrazu i wzór na sumę\n\n**Dane z treści zadania:**\n- \\(a_2 = 2\\)\n- iloraz \\(q = 2\\)\n\n**Krok 1: Znajdź pierwszy wyraz \\(a_1\\).**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 2\\):\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = a_1 \\cdot 2 = 2\\]\n\\[a_1 = 1\\]\n\n**Krok 2: Oblicz sumę pięciu pierwszych wyrazów.**\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dla \\(q \\neq 1\\)):\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 1\\), \\(q = 2\\), \\(n = 5\\):\n\\[S_5 = 1 \\cdot \\frac{1 - 2^5}{1 - 2} = \\frac{1 - 32}{-1} = \\frac{-31}{-1} = \\mathbf{31}\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie wyrazów i zsumowanie wprost\n\nSkoro \\(a_1 = 1\\) i \\(q = 2\\), kolejne wyrazy to:\n\n| \\(n\\) | \\(a_n = 1 \\cdot 2^{n-1}\\) | wartość |\n| 1 | \\(2^0\\) | \\(1\\) |\n| 2 | \\(2^1\\) | \\(2\\) |\n| 3 | \\(2^2\\) | \\(4\\) |\n| 4 | \\(2^3\\) | \\(8\\) |\n| 5 | \\(2^4\\) | \\(16\\) |\n\nSuma:\n\\[S_5 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = \\mathbf{31}\\]\n\nWynik zgodny z Podejściem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(a_1\\) z warunku \\(a_2 = 2\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(S_5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((1)\\) | Uczeń mylnie uznaje, że \\(a_1 = 1\\) jest od razu odpowiedzią - zapomina o poleceniu „suma pięciu wyrazów\" |\n| B \\((11)\\) | Błędne założenie \\(q = 1\\) i suma \\(5 \\cdot a_2 = 10\\), lub pominięcie wyrazu \\(a_1\\) i policzenie \\(2+4+8+16 = 30\\) zaokrąglone \"w dół\" |\n| C \\((21)\\) | Policzenie sumy tylko czterech wyrazów: \\(1+2+4+8+16\\) ale z pomyłką na \\(a_4 = 8\\) zamiast pięciu, lub przyjęcie \\(a_1 = 2\\) i sumy \\(2+4+8+16 = 30\\) z błędem |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie mówi o **drugim** wyrazie, nie pierwszym. Musimy cofnąć się o jeden krok: \\(a_1 = \\frac{a_2}{q}\\). Mylenie \\(a_1\\) z \\(a_2\\) to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(S_5\\) dla \\(q = 2\\) mianownik \\(1 - q = -1\\) - pamiętaj, że dzielenie przez \\(-1\\) zmienia znak. Łatwo tu o błąd przy upraszczaniu ułamka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź metodą „na piechotę\" (wypisz wyrazy i dodaj) - to zajmuje 30 sekund i eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu geometrycznego (karta wzorów)\n\\(a_2 = a_1\\cdot q = 2\\) i \\(q=2\\), więc \\(a_1 = 1\\).\nWypisujemy: \\(1, 2, 4, 8, 16\\). Suma: \\(1+2+4+8+16 = 31\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(S_n = a_1\\cdot\\dfrac{q^n - 1}{q-1}\\)\n\\(S_5 = 1\\cdot\\dfrac{2^5 - 1}{2-1} = \\dfrac{31}{1} = 31\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - tylko \\(a_1\\).\n- **B. \\(11\\)** - suma pierwszych czterech wyrazów byłaby \\(15\\), też nie.\n- **C. \\(21\\)** - pomyłka \\(16+5\\) lub podobnej natury.\n\n**Trik:** dla \\(q=2\\) suma potęg \\(1+2+4+\\ldots+2^{n-1} = 2^n - 1\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nW ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile\nguzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny\npracują z taką samą, stałą wydajnością.\nA. 800\nB. 900\nC. 1000\nD. 1500\nW ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem 1200 guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością. A. 800 B. 900 C. 1000 D. 1500","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(1000\\) guzików\n\n## Sposób 1 - wydajność jednej maszyny\n\n**Krok 1: Wydajność 3 maszyn razem**\n\n3 maszyny w 2 godzinach produkują 1200 guzików, więc:\n\n\\[\\text{wydajność 3 maszyn} = \\frac{1200}{2} = 600 \\text{ guzików/h}\\]\n\n**Krok 2: Wydajność 1 maszyny**\n\n\\[\\text{wydajność 1 maszyny} = \\frac{600}{3} = 200 \\text{ guzików/h}\\]\n\n**Krok 3: Wydajność 5 maszyn**\n\n\\[\\text{wydajność 5 maszyn} = 5 \\cdot 200 = \\mathbf{1000} \\text{ guzików/h}\\]\n\n## Sposób 2 - proporcja bezpośrednia\n\nProdukcja jest wprost proporcjonalna do liczby maszyn i czasu pracy.\n\nŁączna liczba **maszynogodzin** w zadaniu wyjściowym:\n\\[3 \\text{ maszyny} \\times 2 \\text{ h} = 6 \\text{ maszynogodzin} \\to 1200 \\text{ guzików}\\]\n\nZapytanie dotyczy:\n\\[5 \\text{ maszyn} \\times 1 \\text{ h} = 5 \\text{ maszynogodzin}\\]\n\nProporcja:\n\\[\\frac{x}{1200} = \\frac{5}{6}\\]\n\\[x = 1200 \\cdot \\frac{5}{6} = \\frac{6000}{6} = \\mathbf{1000} \\text{ guzików}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy proporcjonalność prosta i podstawowe działania arytmetyczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((800)\\) | Podzielono 1200 przez 3 maszyny, otrzymano 400 na maszynę w 2h, ale potem pomnożono przez 2 zamiast przez 5; lub inne błędne przestawienie proporcji |\n| B \\((900)\\) | Prawdopodobnie błąd arytmetyczny przy obliczaniu ułamka \\(\\frac{5}{6} \\cdot 1200\\), np. użyto \\(\\frac{3}{4}\\) zamiast \\(\\frac{5}{6}\\) |\n| D \\((1500)\\) | Wzięto 1200 i pomnożono przez \\(\\frac{5}{4}\\) lub pomylono kierunek proporcji (np. więcej maszyn → więcej guzików, ale zapomniano o krótszym czasie - tu czas jest KRÓTSZY, więc wynik powinien być MNIEJSZY niż 1200) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas pracy w pytaniu jest krótszy (1h zamiast 2h), więc wynik MUSI być mniejszy niż 1200 - odpowiedzi D można natychmiast odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mamy dwie zmienne naraz: liczbę maszyn i czas. Nie wolno zmieniać tylko jednej i zapomnieć o drugiej. Najspokojensze podejście to policzyć wydajność jednej maszyny w jednej godzinie (Sposób 1).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pojęcie „maszynogodziny\" (Sposób 2) jest bardzo przydatne - sprowadza problem do jednej proporcji i eliminuje ryzyko pomylenia zmiennych.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wydajność na maszynę na godzinę\n\\(3\\) maszyny \\(\\times\\) \\(2\\) godz \\(= 6\\) maszynogodzin daje \\(1200\\) guzików.\nJedna maszyna w ciągu godziny: \\(\\dfrac{1200}{6} = 200\\) guzików.\n\\(5\\) maszyn w \\(1\\) godz: \\(5\\cdot 200 = 1000\\).\n\n### Sposób 2 - Proporcja\nW ciągu 2 godz 3 maszyny → 1200. W ciągu 1 godz 3 maszyny → 600. Dla 5 maszyn: \\(\\dfrac{600}{3}\\cdot 5 = 1000\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(800\\)** - pomyłka: \\(1200\\cdot \\tfrac{2}{3}\\), błędne podejście.\n- **B. \\(900\\)** - nie odzwierciedla zwiększonej liczby maszyn.\n- **D. \\(1500\\)** - pomyłka: pomnożono \\(1200\\) przez \\(\\tfrac{5}{4}\\) zamiast \\(\\tfrac{5}{6}\\).\n\n**Trik:** zamień zadanie na \"maszynogodziny\" - to zwykle upraszcza arytmetykę.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nPrzyprostokątna 𝐴𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 ma długość 6, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵\nma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego 𝐶𝐴𝐵 tego trójkąta jest równy\nA.\n√5\n5\nB. 2√5\n5\nC. 1\n2\nD. 2\nPrzyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a przeciwprostokątna AB ma długość 3√5. Wtedy tangens kąta ostrego CAB tego trójkąta jest równy A. √5/5 B. 2√5/5 C. 1/2 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + definicja tangensa\n\nKąt prosty w trójkącie prostokątnym \\(ABC\\) leży przy wierzchołku \\(C\\) (bo \\(AB\\) jest przeciwprostokątną). Znamy:\n- \\(AC = 6\\) (przyprostokątna przy kącie \\(A\\))\n- \\(AB = 3\\sqrt{5}\\) (przeciwprostokątna)\n\n**Szukamy brakującej przyprostokątnej \\(BC\\)** - z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[BC^2 = AB^2 - AC^2 = (3\\sqrt{5})^2 - 6^2 = 45 - 36 = 9\\]\n\n\\[BC = 3\\]\n\nTeraz korzystamy z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\), więc:\n\n- **przyprostokątna naprzeciwległa** do kąta \\(A\\): \\(BC = 3\\)\n- **przyprostokątna przyległa** do kąta \\(A\\): \\(AC = 6\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}(CAB) = \\frac{BC}{AC} = \\frac{3}{6} = \\boxed{\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez sinus i cosinus\n\nZamiast bezpośrednio z definicji tangensa, wyznaczamy najpierw \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) kąta \\(A\\):\n\n\\[\\sin(CAB) = \\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{3\\sqrt{5}} = \\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[\\cos(CAB) = \\frac{AC}{AB} = \\frac{6}{3\\sqrt{5}} = \\frac{2}{\\sqrt{5}} = \\frac{2\\sqrt{5}}{5}\\]\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}(CAB) = \\frac{\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}}{\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}} = \\frac{\\sqrt{5}}{5} \\cdot \\frac{5}{2\\sqrt{5}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\operatorname{tg}(CAB) = \\dfrac{1}{2}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przyprostokątna przyległa}}\\]\nUżyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy } \\gamma = 90°)\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia długości \\(BC\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - związek tangensa z sinusem i cosinusem:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| **A** | \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\) | To **sinus** kąta \\(A\\): \\(\\sin(CAB) = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{5}\\). Uczeń mylnie podaje \\(\\sin\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}\\). |\n| **B** | \\(\\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\) | To **cosinus** kąta \\(A\\): \\(\\cos(CAB) = \\dfrac{AC}{AB} = \\dfrac{6}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\). Uczeń mylnie podaje \\(\\cos\\) zamiast \\(\\operatorname{tg}\\). |\n| **D** | \\(2\\) | To tangens **drugiego** kąta ostrego, czyli \\(\\operatorname{tg}(ABC) = \\dfrac{AC}{BC} = \\dfrac{6}{3} = 2\\). Uczeń odwrócił stosunek (przyległa ÷ naprzeciwległa zamiast odwrotnie) lub policzył tangens złego kąta. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tangens to **naprzeciwległa przez przylegającą** - nie odwrotnie! Tutaj naprzeciwległą do kąta \\(A\\) jest \\(BC = 3\\), a przylegającą \\(AC = 6\\). Zamiana tych boków daje wynik \\(2\\) - częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i B to \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) tego samego kąta. Jeśli spieszysz się i liczysz wszystkie funkcje trygonometryczne razem, łatwo wziąć złą z tabeli.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze zaznacz na rysunku, który kąt liczymy - kąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\), co od razu wskazuje, które boki są \"naprzeciwległy\" i \"przyległy\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Druga przyprostokątna z tw. Pitagorasa (karta wzorów)\nPrzeciwprostokątna: \\(AB = 3\\sqrt{5}\\), więc \\(AB^2 = 45\\). Przyprostokątna \\(AC = 6\\), \\(AC^2 = 36\\).\n\\(BC^2 = AB^2 - AC^2 = 45 - 36 = 9 \\Rightarrow BC = 3\\).\n\\(\\tan(\\angle CAB) = \\dfrac{BC}{AC} = \\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Definicja tangensa\nKąt \\(CAB\\) jest przy wierzchołku \\(A\\); naprzeciw leży \\(BC\\), przy boku - \\(AC\\).\n\\(\\tan = \\dfrac{\\text{przeciwległy}}{\\text{przyległy}} = \\dfrac{BC}{AC}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{5}}{5}\\)** - \\(\\dfrac{\\sqrt{5}}{5} = \\dfrac{1}{\\sqrt{5}}\\), nie pasuje.\n- **B. \\(\\tfrac{2\\sqrt{5}}{5}\\)** - \\(\\sin\\) tego kąta, nie \\(\\tan\\).\n- **D. \\(2\\)** - odwrotność, \\(\\tan\\) przy \\(B\\), nie \\(A\\).\n\n**Trik:** najpierw znajdź wszystkie trzy boki, potem wybierz właściwą parę do tangensa.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nNie istnieje kąt ostry 𝛼 taki, że\nA. sin 𝛼= 1\n3 i cos 𝛼= 2\n3\nB. sin 𝛼= 5\n13 i cos 𝛼= 12\n13\nC. sin 𝛼= 3\n5 i cos 𝛼= 4\n5\nD. sin 𝛼= 9\n15 i cos 𝛼= 12\n15\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nNie istnieje kąt ostry α taki, że A. sinα=1/3 i cosα=2/3 B. sinα=5/13 i cosα=12/13 C. sinα=3/5 i cosα=4/5 D. sinα=9/15 i cosα=12/15","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, ponieważ korzystając z jedynki trygonometrycznej dostajemy $\\small \\displaystyle (\\frac{1}{3})^2 + (\\frac{2}{3})^2 = \\frac{1}{9} + \\frac{4}{9} = \\frac{5}{9}\\neq1$. Równość nie jest spełniona, a więc taki kąt nie może istnieć.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nWierzchołki 𝐴, 𝐵, 𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑆. Kąt 𝐴𝐵𝑆 ma\nmiarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna 𝐵𝐶 jest dwusieczną tego kąta.\nMiara kąta 𝐴𝑆𝐶 jest równa\nA. 30°\nB. 40°\nC. 50°\nD. 60°\nWierzchołki A, B, C czworokąta ABSC leżą na okręgu o środku S. Kąt ABS ma miarę 40° (zobacz rysunek), a przekątna BC jest dwusieczną tego kąta. [rysunek] Miara kąta ASC jest równa A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (40°)\n\n## Sposób 1 - Izoscele trójkąty i odejmowanie kątów środkowych\n\n**Co wiemy:** \\(S\\) to środek okręgu, więc \\(SA = SB = SC = r\\) - trójkąty \\(SAB\\) i \\(SBC\\) są **równoramienne**.\n\n**Krok 1 - Kąt \\(ASB\\)**\n\nW trójkącie \\(SAB\\): \\(SA = SB\\), więc jest równoramienny. Kąt przy podstawie:\n\\[\\angle SBA = 40°\\]\nZatem kąt przy drugiej podstawie też wynosi \\(40°\\):\n\\[\\angle SAB = 40°\\]\nKąt środkowy \\(\\angle ASB\\):\n\\[\\angle ASB = 180° - 40° - 40° = 100°\\]\n\n**Krok 2 - Kąt \\(BSC\\)**\n\n\\(BC\\) jest dwusieczną kąta \\(ABS = 40°\\), więc dzieli go na dwa równe kąty:\n\\[\\angle CBS = \\frac{40°}{2} = 20°\\]\nW trójkącie \\(SBC\\): \\(SB = SC\\), więc jest równoramienny. Kąt przy podstawie:\n\\[\\angle SBC = 20° \\Rightarrow \\angle SCB = 20°\\]\nKąt środkowy \\(\\angle BSC\\):\n\\[\\angle BSC = 180° - 20° - 20° = 140°\\]\n\n**Krok 3 - Kąt \\(ASC\\)**\n\nZ rysunku widać, że punkt \\(A\\) leży **na łuku \\(BC\\)** (między \\(B\\) a \\(C\\) na okręgu). Oznacza to, że kąt \\(\\angle BSC\\) jest sumą kątów \\(\\angle BSA\\) i \\(\\angle ASC\\):\n\\[\\angle BSC = \\angle BSA + \\angle ASC\\]\n\\[140° = 100° + \\angle ASC\\]\n\\[\\boxed{\\angle ASC = 40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez miary łuków (weryfikacja)\n\nKąty środkowe odpowiadają długościom łuków na okręgu. Ustawmy \\(B\\) w punkcie \\(0°\\) na okręgu:\n\n- Łuk \\(BA\\) (od \\(B\\) do \\(A\\)) odpowiada kątowi środkowemu \\(\\angle ASB = 100°\\), więc \\(A\\) jest w punkcie \\(100°\\).\n- Łuk \\(BC\\) (od \\(B\\) do \\(C\\)) odpowiada kątowi środkowemu \\(\\angle BSC = 140°\\), więc \\(C\\) jest w punkcie \\(140°\\).\n\nKąt środkowy \\(\\angle ASC\\) odpowiada łukowi od \\(A\\) do \\(C\\):\n\\[\\angle ASC = 140° - 100° = 40°\\]\n\nZgadza się z obliczeniami z Metody 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** oraz ogólna własność okręgu:\n\nW zadaniu kluczowe były własności trójkąta równoramiennego (brak bezpośredniego wzoru na karcie, ale wynika z definicji okręgu) oraz suma kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180°\\]\n(dla trójkąta \\(SAB\\): \\(40° + 40° + \\angle ASB = 180°\\))\n\nW tym zadaniu nie używamy zaawansowanych wzorów z karty CKE - wystarczy własność okręgu (\\(SA = SB = SC = r\\)) i suma kątów w trójkącie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(30°\\)) | Uczeń dzieli kąt \\(\\angle ASB = 100°\\) przez coś lub pomija, że \\(BC\\) bisekuje tylko \\(\\angle ABS\\), nie wszystkie kąty |\n| C (\\(50°\\)) | Uczeń liczy \\(\\angle BSC - \\angle BSA = 140° - 100° = 40°\\), ale przez błąd w wyznaczeniu \\(\\angle BSA\\) dostaje \\(50°\\) (np. przyjmuje \\(\\angle SAB \\neq \\angle SBA\\)) |\n| D (\\(60°\\)) | Uczeń przyjmuje błędnie \\(\\angle SBC = 40°\\) (nie uwzględnia, że \\(BC\\) bisekuje kąt, czyli bierze pełny kąt \\(40°\\)), co daje \\(\\angle BSC = 100°\\) i mylne wyniki |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(S\\) to środek okręgu, a nie punkt na okręgu - stąd \\(SA = SB = SC\\), co czyni trójkąty równoramiennymi. Mylenie środka z punktem na okręgu to najczęstszy błąd w tym typie zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** BC jest dwusieczną kąta \\(ABS\\), czyli kąta **przy wierzchołku \\(B\\)** - bisekuje go na dwa kąty \\(20°\\). Nie mylić z dwusieczną kąta \\(ASC\\) lub innego kąta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest ustalenie z rysunku, że \\(A\\) leży **między** \\(B\\) a \\(C\\) na łuku - bez tego nie wiadomo, czy kąt \\(ASC\\) to różnica, czy suma kątów \\(\\angle ASB\\) i \\(\\angle BSC\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny \\(ABS\\)\n\\(SA=SB\\) (promienie), więc \\(\\triangle ABS\\) jest równoramienny.\nKąt \\(ABS = 40°\\), czyli kąt \\(BAS = 40°\\). Kąt \\(ASB = 180°-80° = 100°\\).\nAnalogicznie w \\(\\triangle CBS\\): \\(SB=SC\\), \\(\\angle CBS = 40°\\) (dwusieczna), więc \\(\\angle BCS=40°\\), \\(\\angle BSC=100°\\).\nDla pełnego kąta w \\(S\\) (czworokąt \\(ABSC\\)): \\(\\angle ASC = 360° - 100° - 100° - 60°\\)\nProściej: \\(\\angle ASC\\) to kąt zewnętrzny łączący bok \\(SA\\) i \\(SC\\). Skoro \\(BC\\) dzieli \\(\\angle ABS\\) na pół i \\(\\triangle ABS\\cong\\triangle CBS\\) (symetria, obydwa z ramionami-promieniami i \\(\\angle B = 40°\\)), trójkąty są przystające, więc \\(\\angle ASB=\\angle CSB=100°\\). Suma kątów przy \\(S\\) w czworokącie wynosi \\(360°\\), stąd \\(\\angle ASC = 360°-100°-100°-120°\\) - skorygujmy: czworokąt \\(ABSC\\) ma wierzchołki \\(A,B,S,C\\), więc w \\(S\\) jest kąt wewnętrzny. W \\(\\triangle ABС\\) suma miar wychodzi: kąt \\(\\angle ASC = 2\\cdot(90°-40°)-40° = \\).\nProsta droga: \\(\\angle SBC = 20°\\) (dwusieczna), \\(\\angle SCB=20°\\), więc \\(\\angle BSC = 180°-40°=140°\\). Analogicznie \\(\\angle BSA=140°\\). W czworokącie suma 360° ⇒ \\(\\angle ASC = 360°-140°-140°-40° = 40°\\).\n\n### Sposób 2 - Symetria względem \\(BC\\)\n\\(BC\\) jako dwusieczna \\(\\angle ABS\\) przy \\(SA=SB=SC=R\\) powoduje, że \\(A\\) jest odbiciem \\(S\\) względem \\(BC\\)… to prowadzi do \\(\\angle ASC = \\angle ABS = 40°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(30°\\)**, **C. \\(50°\\)**, **D. \\(60°\\)** - błędne miary kątów w trójkącie równoramiennym.\n\n**Trik:** jeśli wierzchołki leżą na okręgu, wykorzystaj równoramienność trójkątów z bokami-promieniami.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴 oraz 𝐵 leżą na okręgu o środku 𝑆. Kąt środkowy 𝐴𝑆𝐵 ma miarę 100°.\nProsta 𝑙 jest styczna do tego okręgu w punkcie 𝐴 i tworzy z cięciwą 𝐴𝐵 okręgu kąt\no mierze 𝛼 (zobacz rysunek).\nWtedy\nA. 𝛼= 40°\nB. 𝛼= 45°\nC. 𝛼= 50°\nD. 𝛼= 60°\n𝐵\n𝑙\n𝑆\n𝛼\n100°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐴\n𝑆\n40°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nPunkty A oraz B leżą na okręgu o środku S. Kąt środkowy ASB ma miarę 100°. Prosta l jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB okręgu kąt o mierze α (zobacz rysunek). [rysunek] Wtedy A. α=40° B. α=45° C. α=50° D. α=60°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\alpha = 50°\\)\n\n## Sposób 1 - Promień prostopadły do stycznej + trójkąt równoramienny\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Promień narysowany do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc \\(SA \\perp l\\), czyli \\(\\angle SAl = 90°\\).\n\n**Krok 1.** Rozpatruję trójkąt \\(SAB\\). Ponieważ \\(SA\\) i \\(SB\\) są promieniami tego samego okręgu:\n\\[SA = SB\\]\nTrójkąt \\(SAB\\) jest **równoramienny**.\n\n**Krok 2.** Kąt przy wierzchołku \\(S\\) wynosi \\(100°\\), więc kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{180° - 100°}{2} = \\frac{80°}{2} = 40°\\]\n\n**Krok 3.** Kąt między styczną \\(l\\) a cięciwą \\(AB\\) to:\n\\[\\alpha = \\angle SAl - \\angle SAB = 90° - 40° = \\mathbf{50°}\\]\n\n## Sposób 2 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą\n\nIstnieje twierdzenie planimetryczne: **kąt między styczną a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności równa się połowie łuku, który ta cięciwa wycina po stronie tego kąta.**\n\n**Krok 1.** Kąt środkowy \\(\\angle ASB = 100°\\) odpowiada łukowi \\(AB\\) o mierze \\(100°\\) (łuk mniejszy, po stronie kąta \\(\\alpha\\) widocznego na rysunku).\n\n**Krok 2.** Kąt między styczną a cięciwą:\n\\[\\alpha = \\frac{\\overset{\\frown}{AB}}{2} = \\frac{100°}{2} = \\mathbf{50°}\\]\n\nWyniki obu metod się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - własność kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego oraz fakt, że promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.\n\nKonkretnie w Sposobie 1 użyliśmy:\n\\[\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{180° - \\angle ASB}{2}\\]\n(suma kątów w trójkącie równoramiennym)\n\nOraz własności okręgu z s. 19:\n\\[\\text{kąt między styczną a cięciwą} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{łuk wycinany przez cięciwę}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(40°\\) | Uczeń oblicza kąt \\(\\angle SAB = 40°\\) i na tym kończy, zapominając, że szukamy kąta z **tangentą**, a nie z promieniem \\(SA\\). Kąt \\(\\alpha = 90° - 40° = 50°\\), nie \\(40°\\). |\n| B - \\(45°\\) | Błędne zgadywanie - brak uzasadnienia matematycznego; \\(45°\\) nie wynika z żadnego poprawnego przekształcenia. |\n| D - \\(60°\\) | Uczeń dzieli \\(100° + 20° = 120°\\) przez 2, lub błędnie stosuje twierdzenie o kącie wpisanym (\\(\\frac{1}{2} \\cdot 100° = 50°\\)) z pomyłką w odczycie łuku. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień do punktu stycznego jest **prostopadły** do stycznej - ten fakt to absolutna podstawa. Bez niego nie można poprawnie wyznaczyć kąta \\(\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle SAB = 40°\\) to kąt między **promieniem** a cięciwą, a nie między **styczną** a cięciwą. To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy kącie między styczną a cięciwą zawsze sprawdź, który łuk (mniejszy czy większy) leży „po stronie\" kąta - w tym zadaniu łuk \\(100°\\) daje \\(\\alpha = 50°\\), ale gdyby pytano o kąt z drugiej strony, byłoby \\(\\frac{260°}{2} = 130°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą (karta wzorów)\nKąt między styczną a cięciwą jest równy połowie kąta środkowego opartego na tej cięciwie.\n\\(\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\cdot 100° = 50°\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt równoramienny \\(ABS\\)\n\\(SA=SB=R\\). \\(\\angle ASB = 100°\\) ⇒ \\(\\angle SAB = \\angle SBA = 40°\\).\nStyczna \\(l\\) w \\(A\\) jest prostopadła do promienia \\(SA\\), więc \\(\\angle(l, SA) = 90°\\).\n\\(\\alpha = 90° - \\angle SAB = 90° - 40° = 50°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(40°\\)** - błąd: użyto kąta \\(\\angle SAB\\) zamiast dopełnienia do \\(90°\\).\n- **B. \\(45°\\)** - bez uzasadnienia.\n- **D. \\(60°\\)** - pomyłka: \\(180° - 100° - ?\\).\n\n**Trik:** kąt między styczną a cięciwą = połowa kąta środkowego = kąt wpisany po drugiej stronie cięciwy.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem\nostrym 𝛼, takim, że sin 𝛼= 0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa\nA. 4√5\nB. 4√10\nC. 80\nD. 160\nPole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym α, takim, że sinα=0,2. Długość przekątnej tego prostokąta jest równa A. 4√5 B. 4√10 C. 80 D. 160","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Pole prostokąta przez przekątne i kąt między nimi\n\nOznaczmy długość przekątnej prostokąta jako \\(d\\). Przekątne prostokąta są równe i przecinają się w środku, dzieląc się na połowy. Punkt przecięcia przekątnych nazwijmy \\(O\\).\n\n**Kluczowa obserwacja:** przekątne dzielą prostokąt na 4 trójkąty. Każdy z nich jest **równoramienny** (dwa ramiona = \\(\\frac{d}{2}\\)), a kąty przy wierzchołku \\(O\\) to na przemian \\(\\alpha\\) i \\(180° - \\alpha\\).\n\nPole jednego trójkąta (np. \\(\\triangle AOB\\)):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{d}{2} \\cdot \\frac{d}{2} \\cdot \\sin\\alpha = \\frac{d^2}{8}\\sin\\alpha\\]\n\nPonieważ \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\), **wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole**.\n\nPole prostokąta:\n\\[P = 4 \\cdot \\frac{d^2}{8}\\sin\\alpha = \\frac{d^2}{2}\\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(P = 16\\), \\(\\sin\\alpha = 0{,}2\\):\n\\[16 = \\frac{d^2}{2} \\cdot 0{,}2 = \\frac{d^2}{10}\\]\n\\[d^2 = 160\\]\n\\[\\boxed{d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Sinus kąta przez wzór z boków prostokąta\n\nNiech boki prostokąta mają długości \\(a\\) i \\(b\\). Umieszczamy prostokąt w układzie współrzędnych:\n- \\(A = (0,0)\\), \\(B = (a,0)\\), \\(C = (a,b)\\), \\(D = (0,b)\\)\n\nWektory wyznaczające przekątne (od środka \\(O\\)):\n\\[\\vec{v_1} = [a, b] \\quad \\text{(wzdłuż AC)}, \\quad \\vec{v_2} = [-a, b] \\quad \\text{(wzdłuż BD)}\\]\n\nSinus kąta między dwoma wektorami (z iloczynu wektorowego w 2D):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{|a \\cdot b - b \\cdot (-a)|}{|\\vec{v_1}| \\cdot |\\vec{v_2}|} = \\frac{|ab + ab|}{\\sqrt{a^2+b^2} \\cdot \\sqrt{a^2+b^2}} = \\frac{2ab}{a^2+b^2}\\]\n\nPonieważ \\(ab = P = 16\\) (pole prostokąta) i \\(a^2 + b^2 = d^2\\) (wzór na przekątną):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{2 \\cdot 16}{d^2} = \\frac{32}{d^2}\\]\n\nZ warunku \\(\\sin\\alpha = 0{,}2\\):\n\\[0{,}2 = \\frac{32}{d^2} \\implies d^2 = \\frac{32}{0{,}2} = 160 \\implies d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole trójkąta z kąta i dwóch boków:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia pola każdego z 4 trójkątów tworzonych przez przekątne, gdzie boki to \\(\\frac{d}{2}\\), \\(\\frac{d}{2}\\), a kąt między nimi to \\(\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = a^2 + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do zamiany \\(a^2 + b^2\\) na \\(d^2\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna oraz fakt, że \\(\\sin\\alpha = \\sin(180° - \\alpha)\\):\nPozwoliło to stwierdzić, że wszystkie 4 trójkąty mają to samo pole.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(4\\sqrt{5}\\) | Policzono \\(d^2 = 80\\) zamiast \\(160\\) - pomyłka \\(\\frac{d^2}{2} \\cdot 0{,}2 = 16\\) rozwiązana jako \\(\\frac{d^2}{4} = 16\\), czyli zgubieniu czynnika przy \\(\\sin\\alpha\\) |\n| C: \\(80\\) | Wzięto \\(d = d^2/2 = 80\\), czyli pomylono \\(d\\) z \\(d^2\\) - brak obliczenia pierwiastka |\n| D: \\(160\\) | To wartość \\(d^2\\), nie \\(d\\) - zatrzymano się o jeden krok za wcześnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie \\(d^2 = 160\\) z \\(d = 160\\) - zawsze pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka na końcu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) w treści to kąt **ostry** między przekątnymi. Kąt rozwarty między nimi to \\(180° - \\alpha\\), ale \\(\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\), więc oba kąty dają takie samo pole trójkąta - nie trzeba się tym martwić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Formuła \\(P = \\frac{d^2}{2}\\sin\\alpha\\) działa też dla **rombu** (przekątne też się prostopadle przecinają) - to ten sam schemat. Warto ją zapamiętać!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na pole przez przekątne (karta wzorów)\nDla czworokąta z przekątnymi \\(d_1, d_2\\) przecinającymi się pod kątem \\(\\alpha\\): \\(P = \\dfrac{1}{2} d_1 d_2 \\sin\\alpha\\).\nW prostokącie \\(d_1 = d_2 = d\\), więc \\(P = \\dfrac{1}{2} d^2 \\sin\\alpha\\).\n\\(16 = \\dfrac{1}{2}\\cdot d^2\\cdot 0{,}2 \\Rightarrow d^2 = \\dfrac{32}{0{,}2} = 160 \\Rightarrow d = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Sprowadzenie do kąta między przekątnymi\nZ własności przekątnych prostokąta: dzielą się na pół, tworzą dwa różne kąty sumujące do \\(180°\\). Pole liczone z dwóch trójkątów o wspólnym kącie \\(\\alpha\\): ten sam wzór.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\sqrt{5}\\)** - \\((4\\sqrt{5})^2 = 80\\), nie \\(160\\).\n- **C. \\(80\\)** - to \\(d^2/2\\), nie długość.\n- **D. \\(160\\)** - to \\(d^2\\), nie długość.\n\n**Trik:** w prostokącie obie przekątne są równe, więc wzór \\(P=\\tfrac{1}{2}d^2\\sin\\alpha\\) upraszcza się.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= 2\n3 𝑥-3 oraz 𝑦= (2𝑚-1)𝑥+ 1 są prostopadłe, gdy\nA. 𝑚= -5\n4\nB. 𝑚= -1\n4\nC. 𝑚= 5\n6\nD. 𝑚= 5\n4\nProste o równaniach y={2/3}x-3 oraz y=(2m-1)x+1 są prostopadłe, gdy A. m=-{5/4}; B. m=-{1/4}; C. m={5/6}; D. m={5/4}.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -\\dfrac{1}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (iloczyn współczynników kierunkowych)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n**Odczytujemy współczynniki kierunkowe** obu prostych:\n\n- Prosta 1: \\(y = \\dfrac{2}{3}x - 3\\) → \\(a_1 = \\dfrac{2}{3}\\)\n- Prosta 2: \\(y = (2m-1)x + 1\\) → \\(a_2 = 2m - 1\\)\n\n**Zapisujemy warunek prostopadłości:**\n\\[\\frac{2}{3} \\cdot (2m - 1) = -1\\]\n\n**Rozwiązujemy równanie:**\n\\[\\frac{2(2m-1)}{3} = -1\\]\n\\[2(2m-1) = -3\\]\n\\[4m - 2 = -3\\]\n\\[4m = -1\\]\n\\[\\boxed{m = -\\frac{1}{4}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku (sprawdzenie)\n\nDla \\(m = -\\dfrac{1}{4}\\) obliczamy współczynnik kierunkowy drugiej prostej:\n\\[a_2 = 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{4}\\right) - 1 = -\\frac{1}{2} - 1 = -\\frac{3}{2}\\]\n\nSprawdzamy warunek prostopadłości:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - proste są rzeczywiście prostopadłe.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio do ustawienia równania z niewiadomą \\(m\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(m = -\\dfrac{5}{4}\\) | Błąd przy mnożeniu - np. pomnożono \\(\\dfrac{2}{3} \\cdot 2m = -1\\) bez \\(-1\\) w nawiasie, albo zły znak po pomnożeniu przez 3 |\n| C. \\(m = \\dfrac{5}{6}\\) | Użycie warunku równoległości \\(a_1 = a_2\\) zamiast prostopadłości: \\(\\dfrac{2}{3} = 2m-1\\) daje \\(m = \\dfrac{5}{6}\\) |\n| D. \\(m = \\dfrac{5}{4}\\) | Mylne użycie warunku \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\) (ze znakiem \\(+\\) zamiast \\(-1\\)), czyli brak znaku minus |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), **nie** \\(a_1 \\cdot a_2 = 1\\). Łatwo zgubić ten minus pod presją egzaminu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl warunku prostopadłości z równoległością! Równoległość to \\(a_1 = a_2\\) - właśnie taką \"pułapką\" jest odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy otwieraniu nawiasu \\(2(2m - 1)\\) pamiętaj o obu składnikach: wynik to \\(4m - 2\\), nie samo \\(4m\\). Pominięcie \\(-2\\) daje błędny wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości (karta wzorów)\nDwie proste \\(y=a_1 x+b_1\\) i \\(y=a_2 x+b_2\\) są prostopadłe \\(\\Leftrightarrow a_1\\cdot a_2 = -1\\).\n\\(\\dfrac{2}{3}(2m-1) = -1 \\Rightarrow 2m-1 = -\\dfrac{3}{2} \\Rightarrow 2m = -\\dfrac{1}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{4}\\).\n\n### Sposób 2 - Znajdź przeciwny współczynnik odwrotny\nNachylenie prostej prostopadłej to \\(-\\dfrac{1}{2/3} = -\\dfrac{3}{2}\\).\nZatem \\(2m-1 = -\\dfrac{3}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{4}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{5}{4}\\)** - błąd znaku.\n- **C. \\(\\tfrac{5}{6}\\)** - prawdopodobnie warunek równoległości zastosowany odwrotnie.\n- **D. \\(\\tfrac{5}{4}\\)** - pomyłka rachunkowa.\n\n**Trik:** prostopadłość ⇔ iloczyn współczynników \\(a_1\\cdot a_2 = -1\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPunkty 𝐴= (1, -3) oraz 𝐶= (-2, 4) są końcami przekątnej 𝐴𝐶 rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Środek\nprzekątnej 𝐵𝐷 tego rombu ma współrzędne\nA. (-1\n2 , 1\n2)\nB. (1\n2 , -3\n2)\nC. (-1, 2)\nD. (-1, 1)\nPunkty A=(1,-3) oraz C=(-2,4) są końcami przekątnej AC rombu ABCD. Środek przekątnej BD tego rombu ma współrzędne A. (-1/2,1/2) B. (1/2,-3/2) C. (-1,2) D. (-1,1).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\left(-\\dfrac{1}{2},\\, \\dfrac{1}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Własność przekątnych rombu (środki są wspólne)\n\n**Kluczowa własność rombu:** Przekątne rombu **przecinają się w swoich środkach** (bisekują się nawzajem). Oznacza to, że środek przekątnej \\(AC\\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \\(BD\\).\n\nWystarczy więc wyznaczyć środek odcinka \\(AC\\), gdzie \\(A = (1, -3)\\) i \\(C = (-2, 4)\\):\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_C}{2} = \\frac{1 + (-2)}{2} = \\frac{-1}{2}\\]\n\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_C}{2} = \\frac{-3 + 4}{2} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Środek przekątnej \\(BD\\) ma współrzędne \\(\\left(-\\dfrac{1}{2},\\, \\dfrac{1}{2}\\right)\\).**\n\n## Sposób 2 - Myślenie przez równoległobok (romb jako szczególny przypadek)\n\nRomb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równe. Dla każdego równoległoboku \\(ABCD\\) zachodzi:\n\n\\[\\vec{OA} + \\vec{OC} = \\vec{OB} + \\vec{OD}\\]\n\ngdzie \\(O\\) to punkt przecięcia przekątnych. Inaczej mówiąc: **środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\)**.\n\nMożna to też zobaczyć geometrycznie: gdyby środki przekątnych były różne, figura nie byłaby równoległobokiem (a każdy romb nim jest). Zatem znowu liczymy środek \\(AC\\):\n\n\\[S = \\left(\\frac{1 + (-2)}{2},\\ \\frac{-3 + 4}{2}\\right) = \\left(-\\frac{1}{2},\\ \\frac{1}{2}\\right)\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego wzoru do wyznaczenia środka przekątnej \\(AC\\), który jest jednocześnie środkiem \\(BD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\(\\left(\\frac{1}{2}, -\\frac{3}{2}\\right)\\) | Wzięto tylko punkt \\(A = (1, -3)\\) i podzielono współrzędne przez 2: \\(\\frac{1}{2} = 0{,}5\\), \\(\\frac{-3}{2} = -1{,}5\\) - zapomniano dodać współrzędne \\(C\\) |\n| C \\((-1, 2)\\) | Wzięto punkt \\(C = (-2, 4)\\) i podzielono przez 2: \\(\\frac{-2}{2} = -1\\), \\(\\frac{4}{2} = 2\\) - pominięto punkt \\(A\\) |\n| D \\((-1, 1)\\) | Zsumowano współrzędne \\(x\\): \\(1 + (-2) = -1\\) (bez dzielenia przez 2), a \\(y\\) policzono poprawnie: \\(\\frac{-3+4}{2} = \\frac{1}{2}\\), ale zaokrąglono do \\(1\\) - błąd przy \\(x\\) (zapomniano podzielić) i przy \\(y\\) (zaokrąglenie) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw trzeba wiedzieć, że w rombie (i każdym równoległoboku) przekątne **bisekują się** - to własność, którą warto znać na pamięć. Bez niej zadanie staje się o wiele trudniejsze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić: środek \\(BD\\) to **nie jest środek boku** - to punkt, w którym przekątne się przecinają. W rombie jest to ten sam punkt co środek \\(AC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu środka odcinka pamiętaj o podzieleniu przez 2 w **obu** współrzędnych - to najczęstszy błąd rachunkowy w tym typie zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność rombu (karta wzorów)\nPrzekątne rombu przecinają się w połowie i w jednym punkcie. Środek \\(BD\\) = środek \\(AC\\).\nŚrodek odcinka \\(AC\\): \\(\\left(\\dfrac{1+(-2)}{2}, \\dfrac{-3+4}{2}\\right) = \\left(-\\dfrac{1}{2}, \\dfrac{1}{2}\\right)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na środek odcinka\n\\(S = \\left(\\dfrac{x_A+x_C}{2}, \\dfrac{y_A+y_C}{2}\\right)\\) - wynik ten sam.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((\\tfrac{1}{2}, -\\tfrac{3}{2})\\)** - pomyłka: liczba \\(\\tfrac{A+0}{2}\\).\n- **C. \\((-1,2)\\)** - niewłaściwa suma.\n- **D. \\((-1,1)\\)** - błąd dzielenia przez \\(2\\).\n\n**Trik:** w równoległoboku (i rombie) przekątne mają wspólny środek. Wystarczy policzyć środek jednej.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPunkty 𝐴= (-6, 5), 𝐵= (5, 7), 𝐶= (10, -3) są wierzchołkami równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDługość przekątnej 𝐵𝐷 tego równoległoboku jest równa\nA. 3√5\nB. 4√5\nC. 6√5\nD. 8√5\nPunkty A=(-6,5), B=(5,7), C=(10,-3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Długość przekątnej BD tego równoległoboku jest równa A. 3√5 B. 4√5 C. 6√5 D. 8√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie D przez punkt przecięcia przekątnych\n\nW równoległoboku przekątne **przecinają się w połowie** - środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\).\n\n**Krok 1: Środek przekątnej \\(AC\\)**\n\\[S = \\left(\\frac{-6 + 10}{2},\\ \\frac{5 + (-3)}{2}\\right) = \\left(\\frac{4}{2},\\ \\frac{2}{2}\\right) = (2,\\ 1)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie \\(D\\)**\n\nNiech \\(D = (x, y)\\). Środek \\(BD\\) musi być równy \\(S = (2, 1)\\):\n\\[\\frac{5 + x}{2} = 2 \\implies x = -1\\]\n\\[\\frac{7 + y}{2} = 1 \\implies y = -5\\]\n\nZatem \\(D = (-1, -5)\\).\n\n**Krok 3: Długość \\(BD\\)**\n\\[|BD| = \\sqrt{(5 - (-1))^2 + (7 - (-5))^2} = \\sqrt{6^2 + 12^2} = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180}\\]\n\\[\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(|BD| = 6\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie D przez równość wektorów\n\nW równoległoboku \\(ABCD\\) mamy \\(\\vec{AB} = \\vec{DC}\\) (boki równoległe i równe).\n\n**Krok 1: Wektor \\(\\vec{AB}\\)**\n\\[\\vec{AB} = (5 - (-6),\\ 7 - 5) = (11,\\ 2)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie \\(D\\) z warunku \\(\\vec{DC} = \\vec{AB}\\)**\n\\[(10 - x,\\ -3 - y) = (11,\\ 2)\\]\n\\[10 - x = 11 \\implies x = -1\\]\n\\[-3 - y = 2 \\implies y = -5\\]\n\nZatem \\(D = (-1, -5)\\) - zgodnie z wynikiem ze Sposobu 1.\n\n**Krok 3: Długość \\(BD\\)** - identyczne obliczenie jak wyżej:\n\\[|BD| = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Kroku 3 obu sposobów do wyznaczenia \\(|BD|\\).\n\nWłaściwość równoległoboku (przekątne przecinają się w połowie) - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2},\\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| **A** | \\(3\\sqrt{5}\\) | Obliczono **połowę** przekątnej \\(BD\\), czyli \\(\\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{5}\\) zamiast całej długości |\n| **B** | \\(4\\sqrt{5}\\) | Obliczono **połowę** przekątnej \\(AC\\): \\(|AC| = \\sqrt{16^2 + 8^2} = \\sqrt{320} = 8\\sqrt{5}\\), a następnie podzielono przez 2 |\n| **D** | \\(8\\sqrt{5}\\) | Obliczono długość **drugiej przekątnej** \\(AC\\) zamiast \\(BD\\): \\(|AC| = \\sqrt{(10-(-6))^2 + (-3-5)^2} = \\sqrt{256+64} = \\sqrt{320} = 8\\sqrt{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równoległoboku wierzchołki idą **po kolei** - \\(ABCD\\), więc przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), a **nie** \\(AB\\) czy \\(BC\\). Zadanie pyta o \\(BD\\), nie \\(AC\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu pierwiastka sprawdź, czy liczba pod nim ma czynnik będący pełnym kwadratem: \\(\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\). Bez uproszczenia trudno dopasować odpowiedź.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek odcinka to \\(\\left(\\frac{x_1+x_2}{2}, \\frac{y_1+y_2}{2}\\right)\\) - dzielimy **sumę** współrzędnych, nie różnicę!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Środek \\(AC\\) = środek \\(BD\\)\nŚrodek \\(AC\\): \\(S = \\left(\\dfrac{-6+10}{2}, \\dfrac{5+(-3)}{2}\\right) = (2, 1)\\).\n\\(S\\) jest też środkiem \\(BD\\). Z \\(B=(5,7)\\): \\(D = 2S - B = (2\\cdot 2 - 5, 2\\cdot 1 - 7) = (-1, -5)\\).\nDługość \\(BD = \\sqrt{(5-(-1))^2 + (7-(-5))^2} = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor \\(\\vec{BD} = 2\\vec{BS}\\)\n\\(\\vec{BS} = (2-5, 1-7) = (-3, -6)\\). \\(\\vec{BD} = 2\\vec{BS} = (-6, -12)\\).\n\\(|BD| = \\sqrt{36+144} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\sqrt{5}\\)** - to \\(|BS|\\) (połowa przekątnej).\n- **B. \\(4\\sqrt{5}\\)**, **D. \\(8\\sqrt{5}\\)** - błędne obliczenia.\n\n**Trik:** przekątne równoległoboku mają wspólny środek (punkt \\(S\\)). To pozwala wyznaczyć \\(D\\), a potem \\(|BD|\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nObrazem prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥+ 5 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑥 jest prosta\no równaniu\nA. 𝑦= 2𝑥-5\nB. 𝑦= -2𝑥-5\nC. 𝑦= -2𝑥+ 5\nD. 𝑦= 2𝑥+ 5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nObrazem prostej o równaniu y=2x+5 w symetrii osiowej względem osi Ox jest prosta o równaniu A. y=2x-5 B. y=-2x-5 C. y=-2x+5 D. y=2x+5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(y = -2x - 5\\)\n\n## Sposób 1 - Algebraiczne podstawienie (zamiana \\(y\\) na \\(-y\\))\n\nSymetria osiowa względem osi \\(Ox\\) to odbicie każdego punktu w pionie:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y)\\]\n\nJeśli punkt \\((x, y)\\) leży na obrazie prostej, to punkt \\((x, -y)\\) leżał na prostej **wyjściowej**.\n\nPodstawiamy \\(-y\\) zamiast \\(y\\) do równania \\(y = 2x + 5\\):\n\\[-y = 2x + 5\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\\[\\boxed{y = -2x - 5}\\]\n\n**To jest równanie szukanego obrazu - odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Punktowy (odbicie konkretnych punktów)\n\nBierzemy dwa punkty leżące na prostej \\(y = 2x + 5\\) i odbijamy je względem osi \\(Ox\\).\n\n**Punkt 1:** \\(x = 0\\) → \\(y = 5\\), punkt \\(A = (0, 5)\\)\nOdbicie: \\(A' = (0, -5)\\)\n\n**Punkt 2 (miejsce zerowe):** \\(0 = 2x + 5\\), czyli \\(x = -\\frac{5}{2}\\), punkt \\(B = \\left(-\\frac{5}{2},\\ 0\\right)\\)\nOdbicie: \\(B' = \\left(-\\frac{5}{2},\\ 0\\right)\\) - punkt na osi \\(Ox\\) nie zmienia miejsca.\n\nSzukamy równania prostej przez \\(A' = (0, -5)\\) i \\(B' = \\left(-\\frac{5}{2}, 0\\right)\\):\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{-5 - 0}{0 - \\left(-\\frac{5}{2}\\right)} = \\frac{-5}{\\frac{5}{2}} = -5 \\cdot \\frac{2}{5} = -2\\]\n\nWyraz wolny odczytujemy wprost z punktu \\(A' = (0, -5)\\): \\(b = -5\\)\n\n\\[\\boxed{y = -2x - 5} \\quad \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\nWiemy, że symetria względem osi \\(Ox\\) to zamiana \\(y \\to -y\\) w równaniu prostej. To wystarczy - nie potrzebujemy tu żadnych bardziej zaawansowanych wzorów.\n\nW tym zadaniu nie używamy wzorów z karty CKE poza ogólną znajomością postaci równania prostej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(y = 2x - 5\\) | Uczeń **zmienił tylko znak wyrazu wolnego** (\\(+5 \\to -5\\)), ale zapomniał o zmianie znaku \\(a\\). Jakby odbijał samą \"wysokość\", a nie całą prostą |\n| C: \\(y = -2x + 5\\) | Uczeń **zmienił tylko znak współczynnika kierunkowego** (\\(2 \\to -2\\)), a zostawił \\(+5\\) bez zmian. To byłoby odbicie względem osi \\(Oy\\), nie \\(Ox\\)! |\n| D: \\(y = 2x + 5\\) | Brak jakiejkolwiek zmiany - prosta wyjściowa. Uczeń mógł pomylić symetrię z identycznością (np. gdy prosta jest równoległa do osi \\(Ox\\), obraz się nie zmienia - ale tu tak nie jest) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia **oba**: znak współczynnika kierunkowego **i** znak wyrazu wolnego. W wyniku zamiany \\(y \\to -y\\) i pomnożenia przez \\(-1\\) oba wyrazy po prawej stronie zmieniają znak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić symetrii względem \\(Ox\\) z symetrią względem \\(Oy\\)! Odbicie względem \\(Oy\\) to zamiana \\(x \\to -x\\), co zmienia tylko znak \\(a\\) (i daje odpowiedź C).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta pionowa (np. \\(x = 3\\)) odbija się w \\(Ox\\) w siebie. Prosta pozioma (np. \\(y = 5\\)) odbija się w prostą \\(y = -5\\). Dla prostych \"ukośnych\" zmieniają się **oba** parametry.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Ox\\): \\((x,y)\\to(x,-y)\\)\nPodstawiamy \\(y \\to -y\\) w równaniu \\(y=2x+5\\):\n\\(-y = 2x + 5 \\Rightarrow y = -2x - 5\\).\n\n### Sposób 2 - Dwa punkty\nNa prostej \\(y=2x+5\\): \\((0,5)\\) i \\((-\\tfrac{5}{2}, 0)\\). Po odbiciu względem \\(Ox\\): \\((0,-5)\\) i \\((-\\tfrac{5}{2}, 0)\\).\nProsta przez te punkty: współczynnik \\(\\dfrac{0-(-5)}{-\\tfrac{5}{2}-0} = \\dfrac{5}{-\\tfrac{5}{2}} = -2\\), przecięcie osi \\(y\\) w \\(-5\\). Stąd \\(y=-2x-5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y=2x-5\\)** - odbicie względem osi \\(Ox\\) NIE zmienia współczynnika przy \\(x\\) w ten sposób.\n- **C. \\(y=-2x+5\\)** - symetria względem osi \\(Oy\\).\n- **D. \\(y=2x+5\\)** - ta sama prosta (nie zmieniła się).\n\n**Trik:** symetria względem \\(Ox\\): zamień \\(y\\) na \\(-y\\). Względem \\(Oy\\): zamień \\(x\\) na \\(-x\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich\nścian jest równy 7 ∶3. Podstawą tego graniastosłupa jest\nA. trójkąt.\nB. pięciokąt.\nC. siedmiokąt.\nD. ośmiokąt.\nW graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy 7:3. Podstawą tego graniastosłupa jest A. trójkąt. B. pięciokąt. C. siedmiokąt. D. ośmiokąt.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (siedmiokąt)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(n\\) ze stosunku krawędzi do ścian\n\nNiech \\(n\\) będzie liczbą boków podstawy graniastosłupa prawidłowego.\n\n**Policzmy krawędzie i ściany dla dowolnego \\(n\\):**\n\n- **Krawędzie**: \\(n\\) krawędzi dolnej podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi górnej podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi bocznych \\(= 3n\\)\n- **Ściany**: \\(2\\) podstawy \\(+\\) \\(n\\) ścian bocznych \\(= n + 2\\)\n\n**Stosunek krawędzi do ścian wynosi \\(7:3\\)**, więc:\n\n\\[\\frac{3n}{n+2} = \\frac{7}{3}\\]\n\n**Krzyżowo mnożymy:**\n\n\\[3 \\cdot 3n = 7 \\cdot (n + 2)\\]\n\n\\[9n = 7n + 14\\]\n\n\\[2n = 14\\]\n\n\\[\\boxed{n = 7}\\]\n\nPodstawą jest **siedmiokąt**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie \\(n=7\\))\n\nSprawdzamy, czy graniastosłup o podstawie siedmiokąta daje stosunek \\(7:3\\):\n\n- **Krawędzie:** \\(3 \\cdot 7 = 21\\)\n- **Ściany:** \\(7 + 2 = 9\\)\n- **Stosunek:** \\(21 : 9 = 7 : 3\\) ✓\n\nWynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność zliczania elementów graniastosłupa (krawędzie, ściany) i układania proporcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Podstawa | Krawędzie | Ściany | Stosunek | Błąd |\n| A | trójkąt (\\(n=3\\)) | 9 | 5 | \\(9:5\\) | Nie równa się \\(7:3\\) - typowy błąd: uczeń liczy tylko krawędzie boczne zamiast wszystkich |\n| B | pięciokąt (\\(n=5\\)) | 15 | 7 | \\(15:7\\) | Nie równa się \\(7:3\\) |\n| D | ośmiokąt (\\(n=8\\)) | 24 | 10 | \\(12:5\\) | Nie równa się \\(7:3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o krawędziach **obu podstaw** - dolnej i górnej. Krawędzie bocznych ścian to tylko jedna z trzech grup krawędzi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ściany to oba wielokąty-podstawy PLUS prostokąty boczne. Suma to \\(n + 2\\), nie samo \\(n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(7:3\\) nie oznacza, że krawędzi jest 7, a ścian 3 - to tylko proporcja. Szukamy \\(n\\), nie konkretnych liczb.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Liczba krawędzi i ścian graniastosłupa o podstawie \\(n\\)-kątnej\nKrawędzi: \\(3n\\) (\\(n\\) w każdej podstawie + \\(n\\) bocznych). Ścian: \\(n+2\\) (\\(n\\) bocznych + 2 podstawy).\nWarunek: \\(\\dfrac{3n}{n+2} = \\dfrac{7}{3}\\).\n\\(9n = 7(n+2) \\Rightarrow 9n = 7n + 14 \\Rightarrow 2n = 14 \\Rightarrow n = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzanie odpowiedzi\nA. \\(n=3\\): \\(\\tfrac{9}{5}\\). B. \\(n=5\\): \\(\\tfrac{15}{7}\\). C. \\(n=7\\): \\(\\tfrac{21}{9}=\\tfrac{7}{3}\\) ✓. D. \\(n=8\\): \\(\\tfrac{24}{10} = \\tfrac{12}{5}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. trójkąt**: stosunek \\(9:5\\neq 7:3\\).\n- **B. pięciokąt**: \\(15:7\\neq 7:3\\).\n- **D. ośmiokąt**: \\(24:10\\neq 7:3\\).\n\n**Trik:** dla graniastosłupa \\(n\\)-kątnego: \\(W=2n, K=3n, S=n+2\\). Zapamiętaj te wzory!","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu liczb 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna\nzestawu liczb 𝑎-10, 𝑏+ 30, 𝑐, 𝑑 jest równa\nA. 10\nB. 20\nC. 25\nD. 30\nŚrednia arytmetyczna zestawu liczb a, b, c, d jest równa 20. Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb a-10, b+30, c, d jest równa A. 10 B. 20 C. 25 D. 30","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(25\\)\n\n## Sposób 1 - Przez sumę elementów\n\nŚrednia arytmetyczna to suma elementów podzielona przez ich liczbę. Skoro średnia zestawu \\(a, b, c, d\\) wynosi \\(20\\), to:\n\n\\[\\frac{a + b + c + d}{4} = 20\\]\n\n\\[a + b + c + d = 80\\]\n\nTeraz obliczamy sumę nowego zestawu \\(a-10,\\ b+30,\\ c,\\ d\\):\n\n\\[(a - 10) + (b + 30) + c + d\\]\n\n\\[= a + b + c + d + (-10 + 30)\\]\n\n\\[= 80 + 20 = 100\\]\n\nNowa średnia:\n\n\\[\\frac{100}{4} = \\mathbf{25}\\]\n\n## Sposób 2 - Śledzenie zmiany średniej\n\nZamiast liczyć sumy, możemy śledzić, **o ile zmienia się suma** (a więc i średnia) po modyfikacjach.\n\nMamy 4 elementy. Zmieniamy:\n- \\(a \\to a - 10\\) → suma spada o \\(10\\)\n- \\(b \\to b + 30\\) → suma rośnie o \\(30\\)\n- \\(c\\) i \\(d\\) bez zmian\n\n**Łączna zmiana sumy:** \\(-10 + 30 = +20\\)\n\n**Łączna zmiana średniej:** \\(\\frac{+20}{4} = +5\\)\n\nNowa średnia: \\(20 + 5 = \\mathbf{25}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - w Sposobie 1 do wyznaczenia sumy z danej średniej, w Sposobie 2 do przeliczenia zmiany sumy na zmianę średniej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((10)\\) | Uczeń widzi \\(-10\\) i myśli, że średnia spada o \\(10\\): \\(20 - 10 = 10\\). Ignoruje \\(+30\\). |\n| B \\((20)\\) | Uczeń uznaje, że zmiany się \"równoważą\": \\(-10\\) i \\(+30\\) to skrajności, więc średnia ta sama. Nie liczy dokładnie: \\(-10 + 30 = +20\\), nie \\(0\\). |\n| D \\((30)\\) | Uczeń bierze tylko \\(+30\\) i przelicza na całość bez odejmowania \\(10\\): \\(20 + \\frac{30}{4} \\approx 27{,}5\\), albo po prostu daje \\(20 + 10 = 30\\) zgadując. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie patrz na modyfikacje oddzielnie - zawsze licz **łączną zmianę sumy**, a dopiero potem dziel przez liczbę elementów. Tutaj \\(-10 + 30 = +20\\), a nie \\(-10\\) lub \\(+30\\) osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Elementy \\(c\\) i \\(d\\) nie zmieniają się - nie doliczaj do nich nic. Zmiana sumy wynika **wyłącznie** z modyfikacji \\(a\\) i \\(b\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że przy \\(n\\) elementach zmiana sumy o \\(k\\) to zmiana średniej o \\(\\frac{k}{n}\\). Tu \\(n=4\\), więc zmiana sumy \\(+20\\) daje zmianę średniej \\(+5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią (karta wzorów)\n\\(\\dfrac{a+b+c+d}{4} = 20 \\Rightarrow a+b+c+d = 80\\).\nNowa suma: \\((a-10)+(b+30)+c+d = 80 + 20 = 100\\).\nNowa średnia: \\(\\dfrac{100}{4} = 25\\).\n\n### Sposób 2 - Zmiana średniej\nZmiana sumy: \\(-10 + 30 = +20\\). Zmiana średniej: \\(\\dfrac{+20}{4} = +5\\).\nNowa średnia: \\(20 + 5 = 25\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)**, **D. \\(30\\)** - błędne przesunięcia.\n- **B. \\(20\\)** - założenie, że średnia się nie zmieniła (ale suma wzrosła o 20).\n\n**Trik:** zmiany \\(+30\\) i \\(-10\\) NIE znoszą się - suma wzrasta o \\(20\\), średnia o \\(5\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach\nparzystych jest\nA. 6 ⋅10 ⋅10\nB. 3 ⋅10 ⋅10\nC. 6 ⋅5 ⋅5\nD. 3 ⋅5 ⋅5\nWszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od 300 o wszystkich cyfrach parzystych jest A. 6⋅10⋅10 B. 3⋅10⋅10 C. 6⋅5⋅5 D. 3⋅5⋅5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie cyfr na każdej pozycji osobno\n\nLiczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{ABC}\\), gdzie \\(A\\) to cyfra setek, \\(B\\) dziesiątek, \\(C\\) jedności.\n\n**Warunki:**\n1. Wszystkie cyfry parzyste (każda z \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\))\n2. Liczba większa od \\(300\\)\n\n**Cyfra setek \\(A\\):**\n\nCyfry parzyste to \\(0, 2, 4, 6, 8\\). Ale \\(A\\) musi spełniać dwa warunki naraz:\n- \\(A \\neq 0\\) (liczba trzycyfrowa)\n- \\(A > 3\\) (liczba \\(> 300\\))\n- \\(A\\) parzysta\n\nCyfry parzyste większe od \\(3\\): \\(4, 6, 8\\) → **3 możliwości**\n\n(Cyfra \\(2\\) daje liczby \\(200\\text{-}299 < 300\\), więc odpada.)\n\n**Cyfra dziesiątek \\(B\\):**\n\nJedyne ograniczenie: \\(B\\) parzysta.\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) → **5 możliwości**\n\n**Cyfra jedności \\(C\\):**\n\nAnalogicznie: \\(C\\) parzysta.\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) → **5 możliwości**\n\n**Łączna liczba takich liczb** (zasada mnożenia - wybory niezależne):\n\\[3 \\cdot 5 \\cdot 5 = 75\\]\n\n**Odpowiedź to \\(3 \\cdot 5 \\cdot 5\\), czyli D.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyliczenie dla \\(A = 4\\)\n\nSprawdźmy, ile jest liczb z \\(A = 4\\) (analogicznie dla \\(6\\) i \\(8\\)):\n\n\\[4\\underbrace{\\_}_{B \\in \\{0,2,4,6,8\\}}\\underbrace{\\_}_{C \\in \\{0,2,4,6,8\\}}\\]\n\nDla \\(A = 4\\): \\(5 \\cdot 5 = 25\\) liczb.\n\nPonieważ każda z trzech możliwości dla \\(A\\) daje dokładnie \\(25\\) liczb:\n\\[3 \\cdot 25 = 75\\]\n\nZgadza się z wynikiem ze Sposobu 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy **zasada mnożenia** (reguła iloczynu z kombinatoryki, Dział 13, s. 28): jeśli wybieramy niezależnie \\(k_1\\) obiektów na pierwszej pozycji, \\(k_2\\) na drugiej itd., to łączna liczba sposobów wynosi \\(k_1 \\cdot k_2 \\cdot \\ldots\\)\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wyrażenie | Błąd |\n| A | \\(6 \\cdot 10 \\cdot 10\\) | Pominięto warunek parzystości na **wszystkich** pozycjach. Cyfra setek: dowolna \\(> 3\\), czyli \\(4,5,6,7,8,9\\) → 6 opcji; dziesiątki i jedności: wszystkie 10 cyfr. Zignorowano „wszystkie cyfry parzyste\". |\n| B | \\(3 \\cdot 10 \\cdot 10\\) | Poprawnie wyznaczono cyfrę setek (\\(4,6,8\\) → 3), ale **zapomniano** o warunku parzystości dla dziesiątek i jedności - wzięto po 10 cyfr zamiast 5. |\n| C | \\(6 \\cdot 5 \\cdot 5\\) | Poprawnie wzięto 5 parzystych cyfr dla dziesiątek i jedności, ale **zapomniano** o warunku parzystości dla setek - wzięto \\(4,5,6,7,8,9\\) → 6 zamiast tylko parzyste \\(4,6,8\\) → 3. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra setek ma DWA ograniczenia jednocześnie: parzysta **i** większa od 3. Uczniowie często sprawdzają tylko jeden z tych warunków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest parzysta - należy ją liczyć w dziesiątkach i jedności (\\(B, C \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\)), ale **nie** w setkach (bo \\(0\\text{\\_\\_}\\) to nie jest liczba trzycyfrowa).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „liczba \\(> 300\\)\" dotyczy setek, a nie wszystkich cyfr - błędem jest myśleć, że każda cyfra musi być \\(> 3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie pozycji\nCyfry parzyste: \\(0, 2, 4, 6, 8\\) (5 cyfr).\nCyfra setek > 3 i parzysta: \\(4, 6, 8\\) - **3 możliwości**.\nCyfra dziesiątek: parzysta, dowolna - **5 możliwości**.\nCyfra jedności: parzysta, dowolna - **5 możliwości**.\nRazem: \\(3\\cdot 5\\cdot 5\\).\n\n### Sposób 2 - Reguła mnożenia (karta wzorów)\nLiczba układów = iloczyn liczby wyborów dla każdej pozycji. Tu: \\(3\\cdot 5\\cdot 5 = 75\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(6\\cdot 10\\cdot 10\\)** - cyfry dowolne (nieograniczone), nie parzyste.\n- **B. \\(3\\cdot 10\\cdot 10\\)** - setki OK, ale pozostałe cyfry nieograniczone.\n- **C. \\(6\\cdot 5\\cdot 5\\)** - setki: \\(6\\) (wszystkie \\(>3\\)), ale wymagana też parzystość.\n\n**Trik:** \"większe od 300\" znaczy od 301, ale też musi mieć cyfrę setek parzystą - zostają 4, 6, 8.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech 𝑝 oznacza\nprawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy\nA. 𝑝= 1\n18\nB. 𝑝= 1\n6\nC. 𝑝= 1\n3\nD. 𝑝= 2\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez 3. Wtedy A. p=1/18 B. p=1/6 C. p=1/3 D. p=2/3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(p = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie wyznaczenie prawdopodobieństwa\n\n**Co szukamy?** Prawdopodobieństwo, że w **drugim rzucie** wypadnie liczba oczek podzielna przez 3.\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Wynik drugiego rzutu jest **niezależny** od wyniku pierwszego rzutu. To, co wypadło za pierwszym razem, nie ma żadnego wpływu na kostkę przy drugim rzucie.\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych** drugiego rzutu:\n\\[\\Omega_2 = \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}, \\quad |\\Omega_2| = 6\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające** - wypadnięcie liczby podzielnej przez 3:\n\\[A = \\{3, 6\\}, \\quad |A| = 2\\]\n\nStosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:\n\\[p = P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega_2|} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez pełną przestrzeń doświadczenia\n\nRozważamy **całe doświadczenie** (oba rzuty razem). Pełna przestrzeń zdarzeń elementarnych:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36 \\text{ równie prawdopodobnych par}\\]\n\n**Zdarzenie sprzyjające** - drugi rzut daje liczbę podzielną przez 3, czyli 3 lub 6. Pierwszy rzut może być dowolny (6 możliwości), drugi - 2 możliwości:\n\n\\[|A| = 6 \\cdot 2 = 12\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[p = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w obu sposobach - liczymy liczbę zdarzeń sprzyjających i dzielimy przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{18}\\) | Uczeń mnożył prawdopodobieństwa obu rzutów: \\(\\frac{1}{6} \\cdot \\frac{1}{3} = \\frac{1}{18}\\) - błędnie traktując wynik drugiego rzutu jako zależny od wyniku pierwszego (lub licząc tylko jedną liczbę podzielną przez 3 zamiast dwóch) |\n| B - \\(\\frac{1}{6}\\) | Uczeń policzył, że podzielne przez 3 to tylko liczba 3 (jedna liczba), zapominając o liczbie 6 |\n| D - \\(\\frac{2}{3}\\) | Zamieniono zdarzenie z jego dopełnieniem: \\(1 - \\frac{1}{3} = \\frac{2}{3}\\), czyli uczeń policzył prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (wypadnięcie liczby **nie**podzielnej przez 3) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzmianka o „dwukrotnym rzucie\" to celowe wprowadzenie w błąd - wynik **drugiego** rzutu jest całkowicie niezależny od pierwszego. Nie komplikuj zadania bez potrzeby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczby podzielne przez 3 w zakresie 1-6 to **3 i 6** (dwie liczby, nie jedna!). Pominięcie liczby 6 to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetryczność kostki gwarantuje, że każda ściana wypada z jednakowym prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{6}\\) - możemy stosować prawdopodobieństwo klasyczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Niezależność rzutów\nWynik pierwszego rzutu nie ma wpływu na drugi. Liczby podzielne przez \\(3\\) na kostce: \\(3, 6\\) - 2 z 6.\n\\(p = \\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nPrzestrzeń drugiego rzutu: \\(\\{1,2,3,4,5,6\\}\\), 6 wyników. Sprzyjające: \\(\\{3,6\\}\\), 2 wyniki.\n\\(P = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{18}\\)** - pomyłka: mnożenie \\(\\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{1}{6}\\), niezrozumienie warunku.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{6}\\)** - liczenie jednej konkretnej wartości (np. \"wypadnie 3\").\n- **D. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - prawdopodobieństwo dopełnienia.\n\n**Trik:** przy niezależnych zdarzeniach warunek na drugi rzut traktuj osobno, bez pierwszego.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n3𝑥2 -8𝑥≥3\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność: 3x^2-8x ≥ 3","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nZasady oceniania\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥-3.\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej 3𝑥2 -8𝑥-3 ≥0.\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie zrealizuje pierwszy etap rozwiązania, tj. obliczy/poda pierwiastki trójmianu\nkwadratowego 3𝑥2 -8𝑥-3: 𝑥1 = -1\n3 oraz 𝑥2 = 3.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz poprawnie zrealizuje drugi\netap rozwiązania, tj.:\npoda zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞)\nALBO\npoda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n-1\n3\n𝑥\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny\nniż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.\n3𝑥2 -8𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥2 -8𝑥≥0), to oznacza,\nże nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-∞, -1\n3) ∪(3, +∞), to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , +∞), (+∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , -∞), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy etap rozwiązania\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -8𝑥-3 ≥0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n3𝑥2 -8𝑥-3.\nObliczamy wyróżnik tego trójmianu: Δ = 100 i stąd 𝑥1 = -1\n3 oraz 𝑥2 = 3\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -1\n3 oraz 𝑥2 = 3.\nDrugi etap rozwiązania\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞) lub 𝑥∈(-∞, -1\n3⟩∪⟨3, +∞),\nlub zaznaczamy zbiór rozwiązań na osi liczbowej\n-1\n3\n𝑥\n3","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\leq \\frac{1}{3}\\) lub \\(x \\geq 3\\)\n\nCzyli zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\left(-\\infty, \\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie miejsc zerowych i analiza paraboli\n\n**Krok 1: Przenosimy wszystko na lewą stronę**\n\n\\[3x^2 - 8x \\geq 3\\]\n\\[3x^2 - 8x - 3 \\geq 0\\]\n\nMamy trójmian \\(f(x) = 3x^2 - 8x - 3\\) z \\(a = 3 > 0\\), więc **parabola jest skierowana ramionami w górę**.\n\n**Krok 2: Obliczamy wyróżnik**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-3) = 64 + 36 = 100\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy miejsca zerowe**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - \\sqrt{100}}{6} = \\frac{8 - 10}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]\n\nZaraz - sprawdzam znak: skoro \\(b = -8\\), to \\(-b = 8\\).\n\n\\[x_1 = \\frac{8 - 10}{6} = \\frac{-2}{6} = -\\frac{1}{3}\\]\n\\[x_2 = \\frac{8 + 10}{6} = \\frac{18}{6} = 3\\]\n\n**Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie nierówności**\n\nParabola ma ramiona skierowane w górę (\\(a > 0\\)), więc \\(f(x) \\geq 0\\) **na zewnątrz** miejsc zerowych, czyli:\n\n\\[x \\leq -\\frac{1}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 3\\]\n\nUwzględniamy punkty końcowe (nierówność nieostra \\(\\geq\\)):\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\n**Krok 1: Szukamy rozkładu trójmianu \\(3x^2 - 8x - 3\\)**\n\nSzukamy liczb takich, żeby \\(3x^2 - 8x - 3 = 3(x - x_1)(x - x_2)\\).\n\nZnamy pierwiastki \\(x_1 = -\\frac{1}{3}\\), \\(x_2 = 3\\), więc:\n\n\\[3x^2 - 8x - 3 = 3\\left(x + \\frac{1}{3}\\right)(x - 3)\\]\n\nMożemy elegancko zapisać:\n\n\\[3x^2 - 8x - 3 = (3x + 1)(x - 3)\\]\n\n*(sprawdzamy: \\((3x+1)(x-3) = 3x^2 - 9x + x - 3 = 3x^2 - 8x - 3\\) ✓)*\n\n**Krok 2: Analizujemy znak iloczynu**\n\nNierówność ma postać:\n\n\\[(3x + 1)(x - 3) \\geq 0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(3x + 1 = 0 \\Rightarrow x = -\\frac{1}{3}\\) oraz \\(x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3\\)\n\n| Przedział | \\(3x+1\\) | \\(x-3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -\\frac{1}{3}\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-\\frac{1}{3} < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 3\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\n**Wynik:**\n\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty, -\\frac{1}{3}\\right] \\cup \\langle 3, +\\infty\\rangle}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = -\\frac{1}{3}\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozkładu trójmianu na czynniki i analizy znaku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij przenieść \\(3\\) na lewą stronę! Nierówność \\(3x^2 - 8x \\geq 3\\) to **nie to samo** co \\(3x^2 - 8x \\geq 0\\). Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(a > 0\\) (ramiona paraboli w górę), to trójmian jest **nieujemny na zewnątrz** miejsc zerowych, a **ujemny między nimi**. Wielu uczniów odwraca kierunek - zapamiętaj: \"uśmiechnięta parabola\" jest powyżej osi \\(x\\) po bokach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest nieostra (\\(\\geq\\)), więc punkty \\(x = -\\frac{1}{3}\\) i \\(x = 3\\) **należą do zbioru rozwiązań** - zapisujemy nawiasy domknięte \\(\\langle\\) i \\(\\rangle\\), nie okrągłe.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 1 - Delta i pierwiastki (karta wzorów)\n\\(3x^2 - 8x - 3 \\geq 0\\).\n\\(\\Delta = (-8)^2 - 4\\cdot 3\\cdot(-3) = 64 + 36 = 100\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 10\\).\n\\(x_1 = \\dfrac{8-10}{6} = -\\dfrac{1}{3}\\), \\(x_2 = \\dfrac{8+10}{6} = 3\\).\nParabola w górę (\\(a=3>0\\)), więc \\(\\geq 0\\) na zewnątrz pierwiastków:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{3}\\right\\rangle \\cup \\langle 3, +\\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nZe wzorów: \\(x_1+x_2 = \\dfrac{8}{3}\\), \\(x_1 x_2 = -1\\). Sprawdzenie: \\(-\\dfrac{1}{3}+3 = \\dfrac{8}{3}\\) ✓, \\(-\\dfrac{1}{3}\\cdot 3 = -1\\) ✓.\nPostać iloczynowa: \\(3(x+\\dfrac{1}{3})(x-3) \\geq 0\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za obliczenie pierwiastków \\(x_1 = -\\dfrac{1}{3}, x_2 = 3\\).\n- **2 pkt** - za poprawny zbiór rozwiązań w notacji przedziałowej.\n- Jeśli \\(\\Delta<0\\) błędnie obliczone → 0 pkt.\n- Dopuszczalna forma graficzna z zaznaczonymi końcami przedziałów.\n\n**Trik:** dla \\(ax^2+bx+c\\geq 0\\) z \\(a>0\\): rozwiązanie na zewnątrz pierwiastków. Dla \\(\\leq 0\\): pomiędzy nimi.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nTrójwyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦-4, 𝑦) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu\njest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nTrójwyrazowy ciąg (x,y-4,y) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa 6. Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nzapisze dwa równania z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 wynikające z warunków zadania, np.\n(𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4) i 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6\nLUB\n𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4 i 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6\nALBO\npoda/obliczy różnicę 𝑟 ciągu arytmetycznego: 𝑟= 4 lub przyjmuje w rozwiązaniu,\nże 𝑟= 4,\nALBO\nbez zapisania obliczeń poda poprawną odpowiedź: (-2, 2, 6).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy wszystkie wyrazy ciągu: (-2, 2, 6).\nUwaga:\nJeśli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ trzeci wyraz tego ciągu jest o 4 większy od drugiego wyrazu, więc różnica ciągu\njest równa 4. Zatem ciąg możemy zapisać w postaci (𝑥, 𝑥+ 4, 𝑥+ 8). Suma wszystkich\nwyrazów ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑥+ 4) + (𝑥+ 8) = 6. Stąd\n3𝑥+ 12 = 6\n3𝑥= -6\n𝑥= -2\nSzukany ciąg to (-2, 2, 6).\nSposób 2.\nKorzystamy z definicji ciągu arytmetycznego i otrzymujemy (𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4),\nczyli 𝑦-4 -𝑥= 4.\nSuma wszystkich wyrazów ciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6. Rozwiązujemy\nukład równań { 𝑦-4 -𝑥= 4\n𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6 :\n{ -𝑥+ 𝑦= 4 + 4\n𝑥+ 𝑦+ 𝑦= 6 + 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n+ { -𝑥+ 𝑦= 8\n𝑥+ 2𝑦= 10\n3𝑦= 18\n𝑦= 6\nZatem -𝑥+ 6 = 8 i stąd 𝑥= -2.\nSzukany ciąg to (-2, 2, 6).\nSposób 3.\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy 𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4. Suma wszystkich wyrazów\nciągu jest równa 6, więc 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6. Z równania 𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4 wyznaczamy 𝑥:\n𝑥+ 𝑦= 2(𝑦-4)\n𝑥+ 𝑦= 2𝑦-8\n𝑥= 𝑦-8\ni podstawiamy wyrażenie 𝑦-8 w miejsce 𝑥 do równania 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6,\notrzymując kolejno\n(𝑦-8) + (𝑦-4) + 𝑦= 6\n3𝑦-12 = 6\n𝑦= 6\nZatem 𝑥= 𝑦-8 = -2 i szukany ciąg to (-2, 2, 6).","solution":"## Poprawna odpowiedź: wyrazy ciągu to \\(-2, 2, 6\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań z własności ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Warunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz to średnia skrajnych**\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz spełnia:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2} \\quad \\Longleftrightarrow \\quad 2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = x\\), \\(a_2 = y-4\\), \\(a_3 = y\\):\n\\[2(y-4) = x + y\\]\n\\[2y - 8 = x + y\\]\n\\[\\boxed{y - 8 = x} \\quad \\text{(równanie I)}\\]\n\n**Krok 2: Warunek sumy wyrazów**\n\n\\[x + (y-4) + y = 6\\]\n\\[x + 2y - 4 = 6\\]\n\\[\\boxed{x + 2y = 10} \\quad \\text{(równanie II)}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy równanie I do II**\n\n\\[(y-8) + 2y = 10\\]\n\\[3y - 8 = 10\\]\n\\[3y = 18\\]\n\\[\\mathbf{y = 6}\\]\n\nStąd:\n\\[x = y - 8 = 6 - 8 = \\mathbf{-2}\\]\n\n**Wyrazy ciągu:**\n\\[x = -2, \\quad y - 4 = 6 - 4 = 2, \\quad y = 6\\]\n\n**Ciąg: \\((-2,\\ 2,\\ 6)\\) z różnicą \\(r = 4\\).**\n\n## Sposób 2 - przez różnicę ciągu\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę \\(r\\)**\n\nRóżnica między sąsiednimi wyrazami musi być stała:\n\\[r = a_2 - a_1 = (y-4) - x\\]\n\\[r = a_3 - a_2 = y - (y-4) = 4\\]\n\nZatem **różnica ciągu wynosi \\(r = 4\\)**.\n\n**Krok 2: Wyrażamy wszystkie wyrazy przez \\(a_1 = x\\)**\n\n\\[a_1 = x, \\quad a_2 = x + 4, \\quad a_3 = x + 8\\]\n\n**Krok 3: Suma wyrazów**\n\n\\[x + (x+4) + (x+8) = 6\\]\n\\[3x + 12 = 6\\]\n\\[3x = -6\\]\n\\[\\mathbf{x = -2}\\]\n\nStąd wyrazy: \\(-2,\\ 2,\\ 6\\). ✓\n\n**Krok 4: Sprawdzenie wartości \\(y\\)**\n\nZ \\(a_3 = y = x + 8 = -2 + 8 = 6\\) - zgodnie z treścią zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad (\\text{dla } n \\geq 2)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do zapisania warunku na środkowy wyraz.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(a_2\\) i \\(a_3\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapisanie warunku arytmetyczności jako \\(a_2 - a_1 = a_2 - a_3\\) (z błędnym znakiem). Zawsze: \\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\), czyli **różnice kolejnych par są równe**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć, że szukamy **wszystkich trzech wyrazów** - \\(x\\), \\(y-4\\) i \\(y\\). Wyznaczyć \\(x\\) i \\(y\\) to nie koniec - trzeba jeszcze podstawić i podać \\(y - 4 = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj sumę na końcu! Tu: \\(-2 + 2 + 6 = 6\\) ✓ i różnice: \\(2-(-2)=4\\), \\(6-2=4\\) ✓. Taki rachunek kontrolny to 10 sekund, a ratuje przed utratą punktów.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\((x, y-4, y) = (-2, 2, 6)\\).\n\n### Sposób 1 - Z własności ciągu arytmetycznego\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz = średnia sąsiadów i różnica stała.\n\\((y-4) - x = y - (y-4) \\Rightarrow y - 4 - x = 4 \\Rightarrow r = 4\\).\nCiąg: \\((x, x+4, x+8)\\). Suma: \\(3x + 12 = 6 \\Rightarrow x = -2\\).\nZatem ciąg \\((-2, 2, 6)\\). Sprawdzenie: \\(y=6\\), \\(y-4=2\\), różnice: \\(4, 4\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\(\\begin{cases} 2(y-4) = x+y \\\\ x + (y-4) + y = 6 \\end{cases}\\)\nZ pierwszego: \\(x = y - 8\\). Podstawiamy: \\((y-8) + (y-4) + y = 6 \\Rightarrow 3y - 12 = 6 \\Rightarrow y = 6\\).\nStąd \\(x = -2\\) i ciąg \\((-2, 2, 6)\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za wypisanie dwóch równań lub za \\(r=4\\) lub za sam poprawny wynik \\((-2,2,6)\\) bez obliczeń.\n- **2 pkt** - za poprawne wyznaczenie wszystkich trzech wyrazów.\n- Pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym → 0 pkt.\n\n**Trik:** w trójwyrazowym ciągu arytmetycznym \\((a, b, c)\\): \\(2b = a+c\\) i suma \\(= 3b\\).","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏\nróżnej od 0 spełniona jest nierówność\n2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0\n\nEMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0 spełniona jest nierówność 2a^2-4ab+5b².","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nprzekształci nierówność 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0 do postaci 2(𝑎-𝑏)2 + 3𝑏2 > 0\nlub 𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 > 0\nALBO\nobliczy wyróżnik trójmianu 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 zmiennej 𝑎 (lub zmiennej 𝑏)\ni zapisze, że jest on ujemny dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 różnej od 0 (lub -\nodpowiednio - dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 różnej od 0).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie, tzn.\nspełni kryterium określone w zasadach oceniania w pierwszej kropce za 1 pkt oraz\nsformułuje poprawny wniosek z powołaniem się na założenie\nALBO\nspełni kryterium określone w zasadach oceniania w drugiej kropce za 1 pkt oraz\nzapisze, że wykres funkcji 𝑓(𝑎) = 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 (lub funkcji\n𝑔(𝑏) = 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 2𝑎2 określonej dla każdego 𝑏≠0) leży powyżej osi odciętych\ni na tej podstawie sformułuje poprawny wniosek.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0:\n𝑎2 + 𝑎2 -4𝑎𝑏+ 4𝑏2 + 𝑏2 > 0\n𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 > 0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny oraz kwadrat każdej liczby\nróżnej od zera jest liczbą dodatnią, więc 𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 jest dodatnie, jako suma\nliczb dodatnich 𝑎2 oraz 𝑏2 i liczby nieujemnej (𝑎-2𝑏)2.\nZatem nierówność 𝑎2 + (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 > 0 jest prawdziwa dla każdych liczb 𝑎 i 𝑏\nróżnych od zera. Stąd nierówność 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0 jest również prawdziwa dla\nkażdych liczb 𝑎 i 𝑏 różnych od zera. To należało pokazać.\nSposób 2.\nWyrażenie 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej np. 𝑎.\nObliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = (-4𝑏)2 -4 ⋅2 ⋅5𝑏2 = -24𝑏2 < 0 dla każdej\nliczby 𝑏≠0. Zatem funkcja 𝑓 określona wzorem 𝑓(𝑎) = 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 dla każdego\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎≠0 nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc wykres funkcji 𝑓 leży powyżej osi odciętych. Zatem ta funkcja przyjmuje tylko\nwartości dodatnie.\nOznacza to, że dla każdych liczb 𝑎 i 𝑏 różnych od zera prawdziwa jest nierówność\n2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 > 0. To należało pokazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód - wyrażenie \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\) dla każdego \\(a \\neq 0\\), \\(b \\neq 0\\)\n\n## Sposób 1 - uzupełnienie do kwadratu\n\n**Krok 1.** Wyłączamy \\(2\\) przed wyraz z \\(a^2\\) i uzupełniamy do kwadratu:\n\n\\[\n2a^2 - 4ab + 5b^2 = 2(a^2 - 2ab) + 5b^2\n\\]\n\nDodajemy i odejmujemy \\(b^2\\) wewnątrz nawiasu:\n\n\\[\n= 2(a^2 - 2ab + b^2 - b^2) + 5b^2\n= 2\\bigl[(a - b)^2 - b^2\\bigr] + 5b^2\n\\]\n\n\\[\n= 2(a - b)^2 - 2b^2 + 5b^2\n\\]\n\n\\[\n= 2(a - b)^2 + 3b^2\n\\]\n\n**Krok 2.** Oceniamy znaki obu składników:\n\n- \\((a - b)^2 \\geq 0\\) dla każdych liczb rzeczywistych \\(a, b\\) - kwadrat jest zawsze nieujemny\n- \\(b \\neq 0\\), więc \\(b^2 > 0\\), zatem \\(3b^2 > 0\\)\n\n**Krok 3.** Sumujemy:\n\n\\[\n2\\underbrace{(a-b)^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{3b^2}_{>\\, 0} \\geq 0 + 3b^2 > 0\n\\]\n\n**Wniosek:** \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\) i każdego \\(b \\neq 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - wyróżnik trójmianu kwadratowego (traktujemy jako kwadratowy względem \\(a\\))\n\nPatrzymy na wyrażenie \\(2a^2 - 4ab + 5b^2\\) jako **trójmian kwadratowy w zmiennej \\(a\\)** (przy ustalonym \\(b \\neq 0\\)):\n\n\\[\nf(a) = 2a^2 + (-4b)\\cdot a + 5b^2\n\\]\n\nWspółczynniki: \\(A = 2\\), \\(B = -4b\\), \\(C = 5b^2\\).\n\n**Krok 1.** Obliczamy wyróżnik \\(\\Delta\\):\n\n\\[\n\\Delta = B^2 - 4AC = (-4b)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 5b^2 = 16b^2 - 40b^2 = -24b^2\n\\]\n\n**Krok 2.** Ponieważ \\(b \\neq 0\\), mamy \\(b^2 > 0\\), więc:\n\n\\[\n\\Delta = -24b^2 < 0\n\\]\n\n**Krok 3.** Trójmian kwadratowy z \\(\\Delta < 0\\) i współczynnikiem wiodącym \\(A = 2 > 0\\) **nie ma miejsc zerowych** i jest dodatni dla wszystkich wartości \\(a\\):\n\n\\[\nf(a) > 0 \\quad \\text{dla każdego } a \\in \\mathbb{R}\n\\]\n\n**Wniosek:** \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\) i każdego \\(b \\neq 0\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2: gdy \\(\\Delta < 0\\) i \\(a > 0\\), trójmian jest zawsze dodatni (brak miejsc zerowych, ramiona paraboli skierowane w górę).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 przy uzupełnieniu do kwadratu - to fundamentalny krok dowodu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Samo stwierdzenie „każdy kwadrat jest nieujemny\" nie wystarczy do uzasadnienia **ścisłej** nierówności (\\(> 0\\)). Trzeba wskazać, **który składnik jest ściśle dodatni** - tu jest to \\(3b^2 > 0\\) z warunku \\(b \\neq 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a \\neq 0\\) w treści zadania jest zbędny matematycznie - nierówność zachodzi dla **każdego** \\(a \\in \\mathbb{R}\\) (w tym \\(a = 0\\)), o ile \\(b \\neq 0\\). Wystarczy warunek \\(b \\neq 0\\). Nie daj się zmylić - nie musisz go osobno wykorzystywać.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do kwadratu łatwo pomylić znaki. Sprawdź: \\(2(a-b)^2 = 2a^2 - 4ab + 2b^2\\) - i dopiero do tego dodajesz \\(3b^2\\), żeby uzyskać \\(5b^2\\) łącznie. Warto zweryfikować rozwinięcie na końcu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Tożsamościowe przekształcenie pokazuje nierówność.\n\n### Sposób 1 - Uzupełnienie do pełnego kwadratu\n\\(2a^2 - 4ab + 5b^2 = a^2 + (a^2 - 4ab + 4b^2) + b^2 = a^2 + (a-2b)^2 + b^2\\).\nKwadraty są nieujemne; \\(a\\neq 0\\) i \\(b\\neq 0\\) oznaczają \\(a^2>0\\) i \\(b^2>0\\).\nZatem \\(a^2 + (a-2b)^2 + b^2 > 0\\), czyli \\(2a^2 - 4ab + 5b^2 > 0\\). **To należało pokazać.**\n\n### Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(a\\)\nTraktujemy wyrażenie jako \\(f(a) = 2a^2 - 4ab + 5b^2\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta_a = (-4b)^2 - 4\\cdot 2\\cdot 5b^2 = 16b^2 - 40b^2 = -24b^2 < 0\\) dla \\(b\\neq 0\\).\nSkoro \\(\\Delta_a<0\\) i współczynnik przy \\(a^2\\) dodatni, to \\(f(a)>0\\) dla każdego \\(a\\).\n\n### Sposób 3 - Inna dekompozycja\n\\(2a^2 - 4ab + 5b^2 = 2(a-b)^2 + 3b^2\\). Obydwa składniki nieujemne; \\(b\\neq 0 \\Rightarrow 3b^2>0\\). Suma dodatnia.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za przekształcenie do postaci sumy kwadratów LUB za obliczenie ujemnego wyróżnika.\n- **2 pkt** - za pełne rozumowanie z wnioskiem i powołaniem na założenia (\\(a\\neq 0, b\\neq 0\\)).\n- Sprawdzanie tylko dla kilku wartości \\(a, b\\) → 0 pkt.\n\n**Trik:** w zadaniach \"wykaż nierówność\" zwykle pomaga rozkład na sumę kwadratów.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"algebra","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nRozwiąż równanie\n4\n𝑥+ 2 = 𝑥-1\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: 4/x+2 = x-1","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy poprawnie przekształci równanie 4\n𝑥+2 = 𝑥-1 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 2)(𝑥-1) = 4, 𝑥2 + 𝑥-6 = 0.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania wymiernego (np. stosuje\nprzekształcenia równoważne) i uzyska poprawne rozwiązania: 𝑥= -3 lub 𝑥= 2.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżenia 𝑥≠-2, ale poprawnie przekształci równanie\nwymierne do równania kwadratowego i poprawnie to równanie kwadratowe rozwiąże, to\nmoże otrzymać 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe (które ma dwa rozwiązania rzeczywiste) i konsekwentnie rozwiąże\nje do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego,\nzastosuje błędną metodę i zapisze np. 4(𝑥+ 2) = (𝑥-1)(𝑥+ 2) albo\n4 = (𝑥+ 2) ⋅𝑥-1, nie uzyskując poprawnego równania, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli\nodgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to\notrzymuje 1 punkt.\n5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedział(y) jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt. Podobnie, jeżeli zdający\npoprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska poprawne wartości\npierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy przedziałów o końcach\n(-3) i 2, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠-2.\nPrzekształcamy równanie:\n4\n𝑥+ 2 = 𝑥-1\n4 = (𝑥-1)(𝑥+ 2)\n4 = 𝑥2 + 𝑥-2\n𝑥2 + 𝑥-6 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 𝑥-6: Δ = 12 -4 ⋅1 ⋅(-6) = 25\ni stąd 𝑥1 = 2 oraz 𝑥2 = -3.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby (-2), więc są rozwiązaniami danego równania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\n**Dziedzina:** mianownik nie może być zerem, więc \\(x + 2 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq -2\\).\n\nMnożymy obie strony przez \\((x + 2)\\) - to eliminuje ułamek:\n\n\\[4 = (x - 1)(x + 2)\\]\n\nRozkładamy prawą stronę:\n\n\\[4 = x^2 + 2x - x - 2\\]\n\n\\[4 = x^2 + x - 2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:\n\n\\[x^2 + x - 6 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-6) = 1 + 24 = 25\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 5\\]\n\nWyznaczamy pierwiastki:\n\n\\[x_1 = \\frac{-1 - 5}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-1 + 5}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\]\n\n**Sprawdzamy dziedzinę:** oba wyniki \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\) spełniają \\(x \\neq -2\\), więc oba są rozwiązaniami.\n\n**Odpowiedź: \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każde rozwiązanie bezpośrednio w wyjściowym równaniu.\n\n**Dla \\(x = -3\\):**\n\n\\[\\frac{4}{-3 + 2} = \\frac{4}{-1} = -4 \\qquad \\text{i} \\qquad x - 1 = -3 - 1 = -4 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 2\\):**\n\n\\[\\frac{4}{2 + 2} = \\frac{4}{4} = 1 \\qquad \\text{i} \\qquad x - 1 = 2 - 1 = 1 \\quad \\checkmark\\]\n\nObie wartości spełniają równanie - weryfikacja potwierdza wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 po sprowadzeniu równania do postaci \\(x^2 + x - 6 = 0\\) (tu \\(a = 1, b = 1, c = -6\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć o dziedzinie! Gdyby wyszło \\(x = -2\\), musielibyśmy je odrzucić - wstawianie do mianownika daje dzielenie przez zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów mnoży przez \\((x+2)\\) i traci czujność - **wynik musi mieć DWA rozwiązania** (równanie kwadratowe), a tu faktycznie oba są poprawne. Nie kończ na jednym!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładaniu \\((x-1)(x+2)\\) łatwo pomylić się ze znakami: \\((x-1)(x+2) = x^2 + x - 2\\), nie \\(x^2 - x - 2\\). Pamiętaj: \\(-1 \\cdot x + 1 \\cdot 2x = +x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -3\\) lub \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego\nZałożenie: \\(x \\neq -2\\). Mnożymy obie strony przez \\(x+2\\):\n\\[4 = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2.\\]\n\\(x^2 + x - 6 = 0\\). \\(\\Delta = 1 + 24 = 25\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=5\\).\n\\(x_1 = \\dfrac{-1-5}{2} = -3\\), \\(x_2 = \\dfrac{-1+5}{2} = 2\\). Oba różne od \\(-2\\), więc oba są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Rozkład przez wzory Viète'a\n\\(x^2 + x - 6 = 0\\). Szukamy dwóch liczb o sumie \\(-1\\) i iloczynie \\(-6\\): \\(-3\\) i \\(2\\).\nStąd \\((x+3)(x-2)=0 \\Rightarrow x\\in\\{-3, 2\\}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za poprawne przekształcenie do równania kwadratowego \\(x^2 + x - 6 = 0\\).\n- **2 pkt** - za poprawne rozwiązania \\(x = -3\\) i \\(x = 2\\).\n- Brak zastrzeżenia \\(x \\neq -2\\), ale poprawne równanie i rozwiązania → 2 pkt.\n- Odgadnięcie jednego rozwiązania bez uzasadnienia → 0 pkt; odgadnięcie dwóch → 1 pkt.\n\n**Trik:** zawsze notuj dziedzinę: \\(x+2\\neq 0 \\Rightarrow x\\neq -2\\). W tym zadaniu obydwa pierwiastki są OK.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶 o boku długości 24. Punkt 𝐸 leży na boku 𝐴𝐵,\na punkt 𝐹 - na boku 𝐵𝐶 tego trójkąta. Odcinek 𝐸𝐹 jest równoległy do boku 𝐴𝐶\ni przechodzi przez środek 𝑆 wysokości 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka 𝐸𝐹.\n𝐴\n𝐵\n24\n𝐹\n𝑆\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n\nEMAP-P0_100\nDany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt E leży na boku AB, a punkt F - na boku BC tego trójkąta. Odcinek EF jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek S wysokości CD trójkąta ABC (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka EF.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nobliczy długość odcinka 𝐸𝐷: |𝐸𝐷| = 6\nALBO\nobliczy długość odcinka 𝐷𝑆: |𝐷𝑆| = 6√3,\nALBO\nobliczy długość odcinka 𝐸𝑆: |𝐸𝑆| = 12,\nALBO\nobliczy długość odcinka 𝑆𝐹: |𝑆𝐹| = 6 (sposób 3.).\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę i otrzyma poprawny wynik: |𝐸𝐹| = 18.\nUwaga:\nJeśli zdający zapisze tylko |𝐸𝐹| = 18, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ 𝐸𝑆∥𝐴𝐶, więc |∡𝐶𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐸𝐷| = 60° i |∡𝐴𝐶𝐷| = |∡𝐸𝑆𝐷| = 30°. Zatem\ntrójkąty prostokątne 𝐴𝐶𝐷 i 𝐸𝑆𝐷 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa\ntrójkątów). Stąd |𝐴𝐷|\n|𝐸𝐷| = |𝐶𝐷|\n|𝑆𝐷| , więc 12\n|𝐸𝐷| = 2, czyli |𝐸𝐷| = 6.\nTrójkąt 𝐸𝐹𝐵 jest równoboczny, więc |𝐸𝐹| = |𝐸𝐵| = |𝐸𝐷| + |𝐷𝐵| = 6 + 12 = 18.\nSposób 2.\nWysokość trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 jest równa 24√3\n2\n, więc |𝑆𝐷| = 1\n2 ⋅24√3\n2\n= 6√3.\nPonieważ |𝑆𝐷|\n|𝐸𝑆| = sin 60°, więc 6√3\n|𝐸𝑆| =\n√3\n2 i stąd |𝐸𝑆| = 12.\nNiech 𝐾 będzie środkiem odcinka 𝐶𝑆.\n𝐴\n𝐹\n24\n𝑆\n𝐷\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐾\nPonieważ |∡𝐵𝐶𝐷| = 30° i |∡𝐶𝑆𝐹| = |∡𝐷𝑆𝐸| = 30°, więc trójkąt 𝐶𝑆𝐹 jest\nrównoramienny i 𝐹𝐾 jest wysokością tego trójkąta. Stąd |𝐾𝑆| = 1\n2 ⋅|𝐶𝑆| = 1\n2 ⋅|𝑆𝐷| = 3√3.\nPonieważ |𝐾𝑆|\n|𝑆𝐹| = cos|∡𝐶𝑆𝐹|, więc 3√3\n|𝑆𝐹| =\n√3\n2 , czyli |𝑆𝐹| = 6.\nObliczamy długość odcinka 𝐸𝐹: |𝐸𝐹| = |𝐸𝑆| + |𝑆𝐹| = 12 + 6 = 18.\nSposób 3.\nNiech 𝐺 będzie punktem na boku 𝐵𝐶, takim, że 𝐷𝐺∥𝐴𝐶.\nWtedy trójkąt 𝐷𝐵𝐺 jest równoboczny i |𝐷𝐺| = 12. Ponieważ 𝐷𝐺∥𝐸𝐹, więc\n|∡𝐺𝐷𝐶| = |∡𝐹𝑆𝐶| oraz |∡𝑆𝐹𝐶| = |∡𝐷𝐺𝐶|. Zatem trójkąty 𝑆𝐹𝐶 i 𝐷𝐺𝐶 są podobne (na\npodstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów). Stąd |𝐷𝐺|\n|𝑆𝐹| = |𝐶𝐷|\n|𝐶𝑆| , więc 12\n|𝑆𝐹| = 2, czyli\n|𝑆𝐹| = 6.\nWysokość trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶 jest równa 24√3\n2\n, więc |𝑆𝐷| = 1\n2 ⋅24√3\n2\n= 6√3.\nPonieważ |𝑆𝐷|\n|𝐸𝑆| = sin 60°, więc 6√3\n|𝐸𝑆| =\n√3\n2 i stąd |𝐸𝑆| = 12.\nObliczamy długość odcinka 𝐸𝐹: |𝐸𝐹| = |𝐸𝑆| + |𝑆𝐹| = 12 + 6 = 18.\n𝐴\n𝐹\n24\n𝑆\n𝐷\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n𝐺\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(EF = 18\\)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych\n\n**Ustawiamy trójkąt na układzie współrzędnych:**\n\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (24, 0), \\quad C = (12, 12\\sqrt{3})\\]\n\n(wysokość trójkąta równobocznego o boku 24: \\(h = \\frac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\))\n\n**Wyznaczamy D i S:**\n\n\\(D\\) to stopa wysokości z \\(C\\) na \\(AB\\) - w trójkącie równobocznym wysokość = mediana, więc \\(D\\) to środek \\(AB\\):\n\\[D = (12, 0)\\]\n\n\\(S\\) to środek odcinka \\(CD\\):\n\\[S = \\left(12,\\ \\frac{0 + 12\\sqrt{3}}{2}\\right) = (12,\\ 6\\sqrt{3})\\]\n\n**Wyznaczamy prostą \\(EF\\):**\n\n\\(EF \\parallel AC\\), więc kierunek prostej \\(EF\\) = kierunek \\(\\overrightarrow{AC} = (12, 12\\sqrt{3})\\), czyli wektor \\((1, \\sqrt{3})\\).\n\nProsta przez \\(S(12, 6\\sqrt{3})\\) o kierunku \\((1, \\sqrt{3})\\):\n\\[x = 12 + t, \\quad y = 6\\sqrt{3} + t\\sqrt{3}\\]\n\n**Szukamy punktu E (na \\(AB\\), czyli \\(y = 0\\)):**\n\\[6\\sqrt{3} + t\\sqrt{3} = 0 \\implies t = -6 \\implies E = (6,\\ 0)\\]\n\n**Szukamy punktu F (na \\(BC\\)):**\n\nRównanie prostej \\(BC\\): od \\(B(24, 0)\\) do \\(C(12, 12\\sqrt{3})\\), postać parametryczna: \\((24 - 12s,\\ 12\\sqrt{3} \\cdot s)\\).\n\nPrzyrównując do punktu na \\(EF\\) przy \\(t = 3\\):\n\\[12 + 3 = 15 = 24 - 12s \\implies s = \\frac{3}{4}\\]\n\\[F = \\left(15,\\ 9\\sqrt{3}\\right)\\]\n\n**Długość \\(EF\\):**\n\n\\[EF = \\sqrt{(15-6)^2 + (9\\sqrt{3} - 0)^2} = \\sqrt{81 + 243} = \\sqrt{324} = \\boxed{18}\\]\n\n## Sposób 2 - Wektory i trójkąty podobne\n\n**Zapis wektorowy** (B jako początek układu, wektory \\(\\vec{a} = \\overrightarrow{BA}\\), \\(\\vec{c} = \\overrightarrow{BC}\\)):\n\nPonieważ \\(EF \\parallel AC\\), \\(E \\in BA\\), \\(F \\in BC\\), z podobieństwa trójkątów \\(BEF \\sim BAC\\) z współczynnikiem \\(k\\):\n\\[\\overrightarrow{BE} = k\\vec{a}, \\quad \\overrightarrow{BF} = k\\vec{c}, \\quad EF = k \\cdot 24\\]\n\n**Wyrażamy punkty D i S wektorowo:**\n\n\\(D\\) = środek \\(AB\\): \\(\\overrightarrow{BD} = \\frac{\\vec{a}}{2}\\)\n\n\\(S\\) = środek \\(CD\\): \\(\\overrightarrow{BS} = \\frac{\\overrightarrow{BC} + \\overrightarrow{BD}}{2} = \\frac{\\vec{c} + \\frac{\\vec{a}}{2}}{2} = \\frac{\\vec{c}}{2} + \\frac{\\vec{a}}{4}\\)\n\n**Warunek: S leży na prostej EF:**\n\nPunkt na odcinku \\(EF\\): \\(k\\vec{a}(1-t) + k\\vec{c} \\cdot t\\) dla pewnego \\(t \\in [0,1]\\).\n\nPrzyrównując do \\(\\overrightarrow{BS}\\) (wektory \\(\\vec{a}\\) i \\(\\vec{c}\\) są liniowo niezależne):\n\n\\[\\text{przy } \\vec{a}: \\quad k(1-t) = \\frac{1}{4}\\]\n\\[\\text{przy } \\vec{c}: \\quad kt = \\frac{1}{2}\\]\n\nDodając oba równania:\n\\[k(1-t) + kt = \\frac{1}{4} + \\frac{1}{2} \\implies k = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Wynik:**\n\n\\[EF = k \\cdot AC = \\frac{3}{4} \\cdot 24 = \\boxed{18}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-18)** - Twierdzenie Talesa / podobieństwo trójkątów:\n\nJeśli \\(EF \\parallel AC\\), \\(E \\in AB\\), \\(F \\in BC\\), to:\n\\[\\frac{BE}{BA} = \\frac{BF}{BC} = \\frac{EF}{AC}\\]\n\nUżyliśmy tego, by stwierdzić, że \\(EF = k \\cdot 24\\), a cały problem sprowadził się do wyznaczenia \\(k = \\frac{3}{4}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - wysokość trójkąta równobocznego:\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nUżyte przy wyznaczeniu długości wysokości \\(CD = \\frac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\) i współrzędnych \\(S\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \"środek wysokości CD\" z \"środek podstawy AB\". S leży na wysokości, nie na podstawie - trzeba uważnie odczytać treść zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** EF jest równoległy do AC, nie do AB! Odcinek EF jest pochylony - nie łącz punktów \"na tej samej wysokości\", bo E leży na AB (wysokość 0), a F leży na BC (wysokość \\(9\\sqrt{3}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie równobocznym wysokość, mediana i dwusieczna z tego samego wierzchołka to ten sam odcinek - stąd D jest środkiem AB. To ułatwia obliczenia, ale nie wolno zakładać tego w ogólnym trójkącie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|EF| = 18\\).\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nWysokość trójkąta równobocznego o boku \\(24\\): \\(|CD| = \\dfrac{24\\sqrt{3}}{2} = 12\\sqrt{3}\\), więc \\(|SD| = 6\\sqrt{3}\\) (środek wysokości).\n\\(ES\\parallel AC \\Rightarrow \\triangle ACD \\sim \\triangle ESD\\) (kkk). Stosunek podobieństwa: \\(\\dfrac{|AD|}{|ED|} = \\dfrac{|CD|}{|SD|} = 2\\), stąd \\(|ED|=6\\). Analogicznie \\(|DF|=6\\), lecz (uważniej): \\(\\triangle EFB\\) jest równoboczny, bo \\(EF\\parallel AC\\), więc \\(|EB|=|FB|=|EF|\\).\nW \\(\\triangle ACD\\): \\(|AD|=12\\). W \\(\\triangle ESD\\): \\(|ED|=6\\). Zatem \\(|EB|=|AB|-|AE| = |EB|\\) prościej: \\(|AE| = |AD|-|ED| = 12-6 = 6\\), więc \\(|EB|=24-6=18\\). \\(\\triangle EFB\\) równoboczny, stąd \\(|EF|=18\\).\n\n### Sposób 2 - Trygonometria\n\\(|SD|=6\\sqrt{3}\\). W \\(\\triangle ESD\\) prostokątnym: \\(\\sin 60° = \\dfrac{|SD|}{|ES|}\\), więc \\(|ES| = \\dfrac{|SD|}{\\sin 60°} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}/2} = 12\\).\nW \\(\\triangle CSF\\) równoramiennym (\\(\\angle BCD=30°\\)) z wysokością \\(FK\\): \\(|KS|=3\\sqrt{3}\\), \\(|SF|=\\dfrac{|KS|}{\\cos 30°} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}/2} = 6\\).\n\\(|EF|=|ES|+|SF|=12+6=18\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za obliczenie dowolnego odcinka pomocniczego: \\(|ED|=6\\) lub \\(|DS|=6\\sqrt{3}\\) lub \\(|ES|=12\\) lub \\(|SF|=6\\).\n- **2 pkt** - za poprawny wynik \\(|EF|=18\\) z uzasadnieniem.\n- Sam wynik bez obliczeń → 1 pkt.\n\n**Trik:** w trójkącie równobocznym \\(EF\\parallel AC\\) generuje trójkąt \\(\\triangle EFB\\) podobny (równoboczny). Wystarczy znaleźć stosunek.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nZe zbioru pięciu liczb {-5, -4, 1, 2, 3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej\nliczbie. Zdarzenie 𝐴 polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nZe zbioru pięciu liczb {-5,-4,1,2,3} losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie A polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy:\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 5 ⋅5\nALBO\nprzedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub wypisze\n(zaznaczy w tabeli) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 i nie\nwypisze żadnego niewłaściwego:\n(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3),\n(1, -5), (2, -5), (3, -5), (1, -4), (2, -4), (3, -4),\nALBO\npoda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴: |𝐴| = 12,\nALBO\nsporządzi fragment drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisze prawdopodobieństwo 1\n5 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\nzapisze |𝐴| = 2 ⋅3 + 3 ⋅2 (lub |𝐴| = 2 ⋅2 ⋅3),\nALBO\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 12\n25 .\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną\nmetodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n25 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 12 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie\ntych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 25 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{-5, -4, 1, 2, 3}.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅5 = 25.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(-5, 1), (-5, 2), (-5, 3), (-4, 1), (-4, 2), (-4, 3),\n(1, -5), (2, -5), (3, -5), (1, -4), (2, -4), (3, -4),\nwięc |𝐴| = 12.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n25 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{-5, -4, 1, 2, 3}.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n-𝟓 -𝟒\n𝟏\n𝟐\n𝟑\nII losowanie\n-𝟓\n×\n×\n×\n-𝟒\n×\n×\n×\n𝟏\n×\n×\n𝟐\n×\n×\n𝟑\n×\n×\nSymbolem × oznaczono pola odpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym\nzdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 25.\nWszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 12.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n25 .\nSposób 3. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\n-5\n1\n3\n2\n1\n-4\n-5\n-4\n3\n2\n1\n2\n-4\n-5\n3\n-4\n-5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n1\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 12 ⋅1\n5 ∙1\n5 = 12\n25","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par (ujemny × dodatni)\n\n**Ustalamy przestrzeń zdarzeń.**\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru 5-elementowego, więc każde ciągnięcie jest niezależne.\n\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Kiedy iloczyn jest ujemny?**\n\nIloczyn dwóch liczb jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy **jedna jest ujemna, a druga dodatnia**.\n\nPodzielmy zbiór:\n- Liczby **ujemne**: \\(\\{-5, -4\\}\\) → **2 liczby**\n- Liczby **dodatnie**: \\(\\{1, 2, 3\\}\\) → **3 liczby**\n- Liczby zerowe: brak\n\n**Zliczamy zdarzenie \\(A\\):**\n\nMożliwe są dwa przypadki:\n\n| Przypadek | 1. losowanie | 2. losowanie | Liczba par |\n| ujemna × dodatnia | 2 możliwości | 3 możliwości | \\(2 \\cdot 3 = 6\\) |\n| dodatnia × ujemna | 3 możliwości | 2 możliwości | \\(3 \\cdot 2 = 6\\) |\n\n\\[|A| = 6 + 6 = 12\\]\n\n**Obliczamy prawdopodobieństwo:**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{12}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo geometryczne / zdarzenie dopełniające\n\nZamiast liczyć wprost, możemy skorzystać ze **zdarzenia dopełniającego**:\n\n\\[P(A) = 1 - P(A')\\]\n\nZdarzenie \\(A'\\) to „iloczyn jest nieujemny\", czyli:\n- obydwie liczby są **dodatnie**, lub\n- obydwie liczby są **ujemne**\n\n\\[P(\\text{obie dodatnie}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\\]\n\n\\[P(\\text{obie ujemne}) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}\\]\n\n\\[P(A') = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}\\]\n\n\\[P(A) = 1 - \\frac{13}{25} = \\boxed{\\frac{12}{25}}\\]\n\nWynik zgodny - potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: \\(|A| = 12\\), \\(|\\Omega| = 25\\).\n\n**Dział 14 - zdarzenie dopełniające:**\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, licząc \\(P(A) = 1 - P(A')\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To losowanie **ze zwracaniem** - po pierwszym losowaniu wracamy liczbę do zbioru, więc drugie losowanie nadal ma 5 możliwości. Gdyby było **bez zwracania**, przestrzeń byłaby \\(5 \\cdot 4 = 20\\), a zadanie inne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór nie zawiera zera, więc nie ma przypadku „iloczyn = 0\". Gdyby zero było w zbiorze, nie zaliczałoby się do zdarzenia \\(A\\) (iloczyn nie byłby ujemny) - trzeba by je osobno wykluczyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloczyn **ujemny × ujemny = dodatni** - dwie liczby ujemne dają iloczyn DODATNI, nie ujemny. To częsty błąd przy pochopnym czytaniu treści!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nZdarzenia elementarne: pary uporządkowane \\((a,b)\\), \\(a,b\\in\\{-5,-4,1,2,3\\}\\).\n\\(|\\Omega|=5\\cdot 5=25\\).\nIloczyn ujemny ⇔ jedna liczba dodatnia, druga ujemna. Ujemnych: \\(2\\) \\((-5,-4)\\), dodatnich: \\(3\\) \\((1,2,3)\\).\nPary: (ujemna, dodatnia) → \\(2\\cdot 3 = 6\\); (dodatnia, ujemna) → \\(3\\cdot 2 = 6\\).\n\\(|A|=6+6=12\\), więc \\(P(A) = \\dfrac{12}{25}\\).\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\nPrawdopodobieństwo wylosowania dodatniej w pojedynczym rzucie: \\(\\tfrac{3}{5}\\); ujemnej: \\(\\tfrac{2}{5}\\).\n\\(P(A) = 2\\cdot P(\\text{U})\\cdot P(\\text{D}) = 2\\cdot \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{12}{25}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za \\(|\\Omega|=25\\) lub \\(|A|=12\\) lub wypisanie wszystkich par sprzyjających.\n- **2 pkt** - za poprawny wynik \\(P(A)=\\tfrac{12}{25}\\) z uzasadnieniem.\n- Same liczby \\(12\\) lub \\(25\\) bez kontekstu → 0 pkt.\n\n**Trik:** \"iloczyn ujemny\" = jeden dodatni i jeden ujemny czynnik. Pomnóż liczby grup i uwzględnij kolejność.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2022,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nDany jest graniastosłup prosty 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, którego podstawą jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷. W tym\ngraniastosłupie |𝐵𝐷| = 15, a ponadto |𝐶𝐷| = 3 + |𝐵𝐶| oraz |∡𝐶𝐷𝐺| = 60° (zobacz\nrysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.\n𝐴\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n15\n60°\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD|=15, a ponadto |CD|=3+|BC| oraz |∠CDG|=60° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nZdający otrzymuje 1 pkt\ngdy zapisze równanie, w którym niewiadomą jest długość jednej z krawędzi podstawy\n𝐴𝐵𝐶𝐷, wynikające z uwzględnienia warunków zadania i zastosowania twierdzenia\nPitagorasa, np. 𝑏2 + (3 + 𝑏)2 = 152, (|𝐶𝐷| -3)2 + |𝐶𝐷|2 = 152.\nZdający otrzymuje 2 pkt\ngdy obliczy długość jednej z krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. 𝑏= 9, |𝐶𝐷| = 12.\nZdający otrzymuje 3 pkt\ngdy obliczy wysokość ℎ graniastosłupa o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷: ℎ= 12√3.\nZdający otrzymuje 4 pkt\ngdy:\nobliczy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 1296√3\nALBO\nobliczy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej graniastosłupa: 𝑃𝑏= 504√3.\nZdający otrzymuje 5 pkt\ngdy zastosuje poprawną metodę obliczenia objętości 𝑉 i pola 𝑃𝑏 powierzchni bocznej\ngraniastosłupa oraz otrzyma poprawne wyniki: 𝑉= 1296√3 i 𝑃𝑏= 504√3.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poda (bez stosownych obliczeń) długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, lecz\ndalej zapisze, że trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny (lub sprawdzi rachunkiem,\nże taki trójkąt jest prostokątny) i bez błędu doprowadzi rozwiązanie do końca, to\notrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poda (bez stosownych obliczeń) długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i nie\nzapisze, że trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny ani nie sprawdzi tego\nrachunkiem, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni jeden błąd rzeczowy, np.: przyjmie |𝐶𝐺|= 2|𝐶𝐷| lub\n|𝐶𝐺| =\n|𝐶𝐷|\n√3 , niepoprawnie zastosuje twierdzenie Pitagorasa, niepoprawnie zastosuje\nwzory skróconego mnożenia, i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie długości boków podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i na tym zakończy, to\notrzymuje 1 punkt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadźmy następujące oznaczenia:\n𝑏 - długość krótszej krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\nℎ - wysokość graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 opuszczona\nna podstawę 𝐴𝐵𝐶𝐷\n(zobacz rysunek).\nObliczamy długość krótszej krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷, stosując do trójkąta 𝐵𝐶𝐷\ntwierdzenie Pitagorasa:\n𝑏2 + (𝑏+ 3)2 = 152\n𝑏2 + 𝑏2 + 6𝑏+ 9 = 225\n2𝑏2 + 6𝑏-216 = 0\nΔ = 62 -4 ⋅2 ⋅(-216) = 49 ⋅36\n𝑏= -6 -42\n2 ⋅2\n< 0 lub 𝑏= -6 + 42\n2 ⋅2\n= 9\nwięc |𝐶𝐷| = 3 + 𝑏= 3 + 9 = 12.\nObliczamy wysokość ℎ graniastosłupa:\nℎ\n|𝐶𝐷| = tg 60°\nℎ\n12 = √3\nℎ= 12√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa: 𝑉= 𝑏⋅(𝑏+ 3) ⋅ℎ= 9 ⋅12 ⋅12√3 = 1296√3.\nObliczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej graniastosłupa:\n𝑃𝑏= 2 ⋅(𝑏+ 𝑏+ 3) ⋅ℎ= 2 ⋅(9 + 12) ⋅12√3 = 504√3\n𝐻\n𝐺\n𝐹\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n15\n𝐵\n𝐴\n𝑏\n𝑏+ 3\nℎ\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.)\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\npoprawkowy 2022.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania,\nprzestawienia cyfr,\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym\nzadaniu oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów\narytmetycznych lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli\nprzedstawi wykorzystanie takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie\nrozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry\nlub geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność,\nktóra wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może\notrzymać 1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nstosuje poprawną metodę obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -8𝑥-3, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy tylko o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\nw wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę,\nALBO\npoprawnie rozwiązuje nierówność 3𝑥2 -8𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\ndla wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego trójmianu\ni nierówności konsekwentnie wyznaczy zbiór rozwiązań tej nierówności.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nspełni jeden z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz przedstawi\nrozwiązanie w postaci graficznej z poprawnie narysowaną parabolą, zaznaczonymi\nmiejscami zerowymi oraz zaznaczeniem przedziałów, w których funkcja przyjmuje wartości\nnieujemne.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci sumy przedziałów\notwartych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np.\nzapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , +∞),\n(+∞, 3⟩∪⟨-1\n3 , -∞), to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze równanie z niewiadomymi 𝑥 i 𝑦 wynikające z warunków zadania, np.\n(𝑦-4) -𝑥= 𝑦-(𝑦-4) lub 𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6, lub 𝑥+𝑦\n2\n= 𝑦-4, lub\n𝑥+ (𝑦-4) + 𝑦= 6.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nobliczy wyróżnik trójmianu 2𝑎2 -4𝑎𝑏+ 5𝑏2 zmiennej 𝑎 (lub zmiennej 𝑏).\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nprzekształca równanie wymierne do postaci równania kwadratowego, popełniając przy\ntym błędy tylko o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\npopełnia błąd przy przekształceniu równania 4\n𝑥+2 = 𝑥-1 do prostszej postaci, lecz\ndalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania i konsekwentnie\noblicza pierwiastki tego równania.\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 32. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 3 do\nzadania ze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 33.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze równanie, w którym jedyną niewiadomą jest długość odcinka 𝐸𝐷 (lub odcinka 𝐸𝑆,\nlub 𝑆𝐹), np. 12\n|𝐸𝐷| = 12√3\n6√3 , 6√3\n|𝐸𝑆| =\n√3\n2 , 12\n|𝑆𝐹| = 12√3\n6√3 .\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nzapisze jedynie liczbę 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych)\nALBO\nwyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴, popełniając przy\ntym tylko błędy o charakterze dyskalkulicznym.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\nwyznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴, popełniając przy tym\ntylko błędy o charakterze dyskalkulicznym, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 1 ze\nstandardowych zasad oceniania.\nZadanie 35.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: V = 1296√3, P_b = 504√3\n\n## Sposób 1 - Układ równań z diagonalą + trygonometria kąta CDG\n\n### Krok 1: Wyznaczymy boki podstawy\n\nOznaczmy \\(|BC| = a\\), wtedy \\(|CD| = a + 3\\).\n\nPodstawa to prostokąt, więc \\(BD\\) jest jego przekątną. Z twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\\]\n\\[225 = a^2 + (a+3)^2\\]\n\\[225 = a^2 + a^2 + 6a + 9\\]\n\\[2a^2 + 6a - 216 = 0\\]\n\\[a^2 + 3a - 108 = 0\\]\n\nWyróżnik: \\(\\Delta = 9 + 432 = 441 = 21^2\\)\n\n\\[a = \\frac{-3 + 21}{2} = 9\\]\n\n(odrzucamy ujemne). Zatem:\n\\[|BC| = 9, \\quad |CD| = 12\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\\) ✓ (trójka pitagorejska 9-12-15, czyli 3·(3-4-5))\n\n### Krok 2: Wyznaczymy wysokość graniastosłupa z kąta ∠CDG\n\nW graniastosłupie prostym \\(G\\) leży **bezpośrednio nad \\(C\\)** (krawędź \\(CG\\) jest prostopadła do podstawy i ma długość \\(h\\) - szukaną wysokość).\n\nRozpatrzmy trójkąt \\(CDG\\). Kąt \\(\\angle CDG = 60°\\) jest przy wierzchołku \\(D\\).\n\n- \\(|DC| = 12\\) - bok podstawy (poziomy)\n- \\(|CG| = h\\) - krawędź boczna (pionowa)\n- Kąt między \\(DC\\) a \\(DG\\): ponieważ \\(DC \\perp CG\\), trójkąt \\(DCG\\) jest prostokątny przy \\(C\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle CDG) = \\frac{|CG|}{|DC|} = \\frac{h}{12}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]\n\\[h = 12\\sqrt{3}\\]\n\n### Krok 3: Objętość\n\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = |BC| \\cdot |CD| \\cdot h = 9 \\cdot 12 \\cdot 12\\sqrt{3}\\]\n\\[\\boxed{V = 1296\\sqrt{3}}\\]\n\n### Krok 4: Pole powierzchni bocznej\n\nPole boczne graniastosłupa prostego = obwód podstawy × wysokość:\n\n\\[O = 2(|BC| + |CD|) = 2(9 + 12) = 2 \\cdot 21 = 42\\]\n\\[P_b = O \\cdot h = 42 \\cdot 12\\sqrt{3}\\]\n\\[\\boxed{P_b = 504\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Inaczej wyznaczymy wysokość (przez długość DG)\n\nZamiast tangensa, możemy użyć cosinusa.\n\nOdcinek \\(DG\\) biegnie od \\(D\\) (w podstawie) do \\(G\\) (na górze, nad \\(C\\)). Jego długość:\n\n\\[|DG|^2 = |DC|^2 + |CG|^2 = 144 + h^2\\]\n\nZ definicji cosinusa w trójkącie \\(CDG\\) (kąt przy \\(D\\)):\n\n\\[\\cos(\\angle CDG) = \\frac{|DC|}{|DG|} = \\frac{12}{\\sqrt{144 + h^2}}\\]\n\\[\\cos(60°) = \\frac{1}{2} = \\frac{12}{\\sqrt{144 + h^2}}\\]\n\\[\\sqrt{144 + h^2} = 24\\]\n\\[h^2 = 576 - 144 = 432\\]\n\\[h = \\sqrt{432} = 12\\sqrt{3}\\]\n\nWynik identyczny. ✓\n\n**Weryfikacja \\(|DG|\\):** \\(\\sqrt{144 + 432} = \\sqrt{576} = 24\\), i rzeczywiście \\(\\sin(60°) = \\frac{12\\sqrt{3}}{24} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_{\\text{podstawy}} \\cdot h, \\quad V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]\nUżyte w Krokach 3 i 4.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[|BD|^2 = |BC|^2 + |CD|^2\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia boków prostokąta.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór kwadratowy:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad a = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte do rozwiązania równania \\(a^2 + 3a - 108 = 0\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do kąta}}{\\text{przyległa do kąta}}\\]\nUżyte w Sposobie 1 (Krok 2) do wyznaczenia wysokości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle CDG\\) to kąt **przy wierzchołku D**, a nie przy C ani G! Łatwo go pomylić z kątem przy \\(C\\) (który wynosi 90°, bo \\(CG \\perp\\) podstawy).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna \\(|BD| = 15\\) to **przekątna prostokąta**, nie krawędź boczna! Wielu uczniów błędnie przyjmuje \\(|BC| = 15\\) lub \\(|CD| = 15\\) bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole **powierzchni bocznej** \\(\\neq\\) pole **powierzchni całkowitej**. Pytanie dotyczy wyłącznie bocznej (bez dwóch podstaw), więc używamy \\(P_b = O \\cdot h\\), a nie \\(P_c = P_b + 2P_p\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(V = 1296\\sqrt{3}\\), \\(P_b = 504\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Krawędzie podstawy z tw. Pitagorasa (karta wzorów)\nNiech \\(|BC|=b\\), \\(|CD|=3+b\\). Z tw. Pitagorasa w \\(\\triangle BCD\\):\n\\(b^2 + (3+b)^2 = 15^2 \\Rightarrow 2b^2 + 6b + 9 = 225 \\Rightarrow b^2 + 3b - 108 = 0\\).\n\\(\\Delta = 9 + 432 = 441\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=21\\). \\(b = \\dfrac{-3+21}{2} = 9\\) (drugi < 0 odrzucamy).\nCzyli \\(|BC|=9\\), \\(|CD|=12\\). Zauważ trójkąt \\(9,12,15\\) - pitagorejski.\n\nWysokość graniastosłupa \\(h=|CG|\\) z \\(\\triangle CDG\\): \\(\\tan 60° = \\dfrac{|CG|}{|CD|}\\), więc \\(h = 12\\tan 60° = 12\\sqrt{3}\\).\n\nObjętość: \\(V = |BC|\\cdot|CD|\\cdot h = 9\\cdot 12\\cdot 12\\sqrt{3} = 1296\\sqrt{3}\\).\n\nPole powierzchni bocznej: \\(P_b = \\text{obwód podstawy}\\cdot h = 2(9+12)\\cdot 12\\sqrt{3} = 42\\cdot 12\\sqrt{3} = 504\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Analogia z trójką pitagorejską\nOd razu zauważamy, że \\(15^2=225\\) i szukamy boków \\(b, b+3\\) z \\(b^2+(b+3)^2=225\\); trójka \\(9,12,15\\) to znana trójka pitagorejska. Reszta obliczeń jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - za zapisanie równania z tw. Pitagorasa dla boków podstawy.\n- **2 pkt** - za obliczenie boków \\(|BC|=9, |CD|=12\\).\n- **3 pkt** - za obliczenie wysokości \\(h = 12\\sqrt{3}\\).\n- **4 pkt** - za obliczenie objętości \\(V=1296\\sqrt{3}\\) LUB pola bocznego \\(P_b = 504\\sqrt{3}\\).\n- **5 pkt** - za oba wyniki z poprawną metodą.\n\n**Trik:** trójki pitagorejskie \\(3,4,5\\) (i wielokrotności \\(9,12,15\\), \\(6,8,10\\)) często pojawiają się w zadaniach - warto je znać na pamięć.","image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-35.svg","topics":"stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}