{"paper":{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":41,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia (1 + 3 ⋅2-1)-2 jest równa\nA. 25\n4\nB. 4\n25\nC. 36\n49\nD. 40\n9\nWartość wyrażenia (1+3⋅2^{-1})^{-2} jest równa A. 25/4 B. 4/25 C. 36/49 D. 40/9","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania (dodawanie,\nodejmowanie, mnożenie, dzielenie,\npotęgowanie, pierwiastkowanie,\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nObliczamy wartość wyrażenia:\n(1 + 3 ⋅2-1)-2 = (1 + 3 ⋅1\n2)\n-2\n= (1 + 3\n2)\n-2\n= (5\n2)\n-2\n= (2\n5)\n2\n= 4\n25\n1 Komunikat o wymaganiach egzaminacyjnych obowiązujących w roku 2023 i 2024,\nhttps://www.gov.pl/web/edukacja-i-nauka/wymagania-egzaminacyjne-obowiazujace-na-egzaminie-maturalnym-w-\nroku-2023-i-2024\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Najpierw obliczamy wyrażenie w nawiasie:\n\n1+3·2^-1=1+3·(1)/(2)=(5)/(2).\n\nNastępnie korzystamy z własności potęgi o wykładniku ujemnym:\n\n((5)/(2) )^-2= ((2)/(5) )^2=(4)/(25).\n\nUwaga: na obrazie odpowiedź A ma wartość (25)/(4) , ale z podanego wyrażenia wynika (4)/(25) .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 2 log5 5 + 1 -1\n2 log5 625 jest równa\nA. 1\nB. 5\nC. 10\nD. 25\n\nMMAP-P0_100\nWartość wyrażenia 2log_5 5 + 1 - 1/2⋅log_5 625 jest równa A. 1 B. 5 C. 10 D. 25","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\nObliczamy wartość wyrażenia:\n2 log5 5 + 1 -1\n2 log5 625 = 2 ⋅1 + 1 -1\n2 ⋅4 = 2 + 1 -2 = 1","solution":"Korzystamy z wartości logarytmów:\n\nlog_5 5=1, log_5 625=log_5 5^4=4.\n\nZatem\n\n2log_5 5+1-(1)/(2)log_5 625=2+1-2=1.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne\nprzez 25, jest\nA. 9 ⋅9 ⋅2\nB. 9 ⋅10 ⋅2\nC. 9 ⋅9 ⋅4\nD. 9 ⋅10 ⋅4\nWszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez 25, jest A. 9⋅9⋅2 B. 9⋅10⋅2 C. 9⋅9⋅4 D. 9⋅10⋅4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nWśród wielokrotności liczby 25 nieparzyste to te, których końcówka dwucyfrowa to 25 lub\n75, co daje dwie możliwości. Cyfrę setek możemy wybrać na 10 sposobów, natomiast cyfrę\ntysięcy na 9 sposobów.","solution":"Liczba podzielna przez 25 i nieparzysta musi kończyć się cyframi 25 albo 75 , więc zakończenie wybieramy na 2 sposoby. Pierwszą cyfrę wybieramy na 9 sposobów, a drugą na 10 sposobów. Łącznie:\n\n9·10·2.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 wyrażenie 2\n𝑥-1 -5 jest równe\nA. -5𝑥+1\n𝑥-1\nB. -5𝑥+7\n𝑥-1\nC. -5𝑥+3\n𝑥-1\nD. -5𝑥-3\n𝑥-1\n1.1.\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x≠1 wyrażenie 2/x-1-5 jest równe A. -5x+1/x-1 B. -5x+7/x-1 C. -5x+3/x-1 D. -5x-3/x-1","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.6) dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nPrzekształcamy wyrażenie\n2\n𝑥-1 -5 =\n2\n𝑥-1 -5 ⋅(𝑥-1)\n𝑥-1\n= 2 -5𝑥+ 5\n𝑥-1\n= -5𝑥+ 7\n𝑥-1","solution":"Sprowadzamy liczbę 5 do mianownika x-1 :\n\n(2)/(x-1)-5=(2)/(x-1)-(5(x-1))/(x-1)\n=(2-5x+5)/(x-1)=(-5x+7)/(x-1).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nDokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 wyrażenie\n9 -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2) jest równe\nA. [3 -(𝑥-2𝑦)]2\nB. [3 + (𝑥-2𝑦)]2\nC. [3 -(𝑥+ 2𝑦)]2\nD. [3 -(𝑥-𝑦)] ⋅[3 + (𝑥-𝑦)]\nE. [3 -(𝑥+ 2𝑦)] ⋅[3 + (𝑥+ 2𝑦)]\nF. -[(𝑥-𝑦) -3] ⋅[(𝑥-𝑦) + 3]\n5.\n0-2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y wyrażenie 9-(x^2-2xy+y^2) jest równe A. [3-(x-2y)]^2 B. [3+(x-2y)]^2 C. [3-(x+2y)]^2 D. [3-(x-y)}⋅[3+(x-y)] {\\bf E.} [3-(x+2y)]⋅[3+(x+2y)] {\\bf F.} -[(x-y)-3]⋅[(x-y)+3]","answer":"DF","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nI.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2;\nII.2) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany\njednej i wielu zmiennych;\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: D i F.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: D albo F.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nDF\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKomentarz\nPrzekształcamy wyrażenia, stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów\ndwóch wyrażeń:\n[3 -(𝑥-𝑦)] ⋅[3 + (𝑥-𝑦)] = 9 -(𝑥-𝑦)2 = 9 -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2)\noraz\n-[(𝑥-𝑦) -3] ⋅[(𝑥-𝑦) + 3] = -[(𝑥-𝑦)2 -9] = 9 -(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2).","solution":"Mamy\n\n9-(x^2-2xy+y^2)=9-(x-y)^2.\n\nStosujemy wzór na różnicę kwadratów:\n\n9-(x-y)^2=[3-(x-y)][3+(x-y)],\n\nco odpowiada odpowiedzi D. Ponadto\n\n-[(x-y)-3][(x-y)+3]=[3-(x-y)][3+(x-y)],\n\nwięc poprawna jest także odpowiedź F.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝒙𝟑-𝟔𝒙𝟐-𝟐𝟕𝒙+ 𝟓𝟒= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-3\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: 3x^3-6x^2-27x+54 = 0. Zapisz obliczenia.","answer":"x=-3, x=2, x=3","answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej lub\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej metodą wyłączania\nwspólnego czynnika przed nawias lub\nmetodą grupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania równania i podanie wszystkich\nrozwiązań równania: 𝑥= -3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= 3.\n2 pkt - rozwiązanie jednego z równań: 𝑥2 -9 = 0 albo 𝑥-2 = 0.\n1 pkt - przekształcenie lewej strony równania 3𝑥3 -6𝑥2 -27𝑥+ 54 = 0 do postaci\niloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy lewą stronę równania do postaci iloczynu:\n3𝑥3 -6𝑥2 -27𝑥+ 54 = 0\n3𝑥2(𝑥-2) -27(𝑥-2) = 0\n(𝑥-2)(3𝑥2 -27) = 0\n3(𝑥-2)(𝑥2 -9) = 0\nStąd otrzymujemy kolejno\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -9 = 0\n𝑥-2 = 0 lub (𝑥-3)(𝑥+ 3) = 0\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= 3 lub 𝑥= -3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-3), 2 oraz 3.","solution":"Wyłączamy wspólny czynnik i grupujemy wyrazy:\n\n3x^3-6x^2-27x+54=3(x^3-2x^2-9x+18)\n\n=3[x^2(x-2)-9(x-2)]=3(x-2)(x^2-9).\n\nKorzystamy z różnicy kwadratów:\n\n3(x-2)(x-3)(x+3)=0.\n\nStąd\n\nx=-3, x=2, x=3.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wielomiany","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie\n(𝑥2 + 𝑥)(𝑥+ 3)(𝑥-1)\n𝑥2 -1\n= 0\nma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie\nA. jedno rozwiązanie: 𝑥= -3.\nB. dwa rozwiązania: 𝑥= -3, 𝑥= 0.\nC. trzy rozwiązania: 𝑥= -3, 𝑥= -1, 𝑥= 0.\nD. cztery rozwiązania: 𝑥= -3, 𝑥= -1, 𝑥= 0, 𝑥= 1.\nRównanie (x^2+x)(x+3)(x-1) / x^2-1 = 0 ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie A. jedno rozwiązanie: x=-3. B. dwa rozwiązania: x=-3, x=0. C. trzy rozwiązania: x=-3, x=-1, x=0. D. cztery rozwiązania: x=-3, x=-1, x=0, x=1.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nWyznaczamy dziedzinę równania: 𝐷= 𝑅\\{-1,1}.\nLicznik ułamka jest równy 0, gdy\n(𝑥2 + 𝑥) = 0 lub (𝑥+ 3) = 0 lub (𝑥-1) = 0\nZatem\n𝑥(𝑥+ 1) = 0 lub 𝑥= -3 lub 𝑥= 1\n𝑥= 0 lub 𝑥= -1 lub 𝑥= -3 lub 𝑥= 1\nSpośród tych czterech liczb do dziedziny należą tylko 𝑥= -3 oraz 𝑥= 0.","solution":"Najpierw wyznaczamy dziedzinę:\n\nx^2-1≠0, x≠-1, x≠1.\n\nLicznik rozkładamy na czynniki:\n\n(x^2+x)(x+3)(x-1)=x(x+1)(x+3)(x-1).\n\nPo uwzględnieniu dziedziny równanie spełniają tylko\n\nx=0 oraz x=-3.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nSpośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono\nna osi liczbowej.\nA. |𝑥+ 2| ≤2\nB. |𝑥-2| ≤2\nC. |𝑥+ 2| ≥2\nD. |𝑥-2| ≥2\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑥\n\nMMAP-P0_100\nSpośród nierówności A-D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej. [rysunek] A. |x+2|≤2 B. |x-2|≤2 C. |x+2|≥2 D. |x-2|≥2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego, zaznacza przedziały na osi\nliczbowej;\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania i nierówności typu:\n|𝑥+ 4| = 5, |𝑥-2| < 3, |𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nKomentarz\nDany zbiór składa się z dwóch przedziałów, których końce są równo odległe od liczby (-2).\nZ własności wartości bezwzględnej mamy, że\n|𝑥-𝑎| ≥𝑟 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥≤𝑎-𝑟 lub 𝑥≥𝑎+ 𝑟.\nZatem uwzględniając interpretację geometryczną możemy stwierdzić, że rozwiązaniem jest\nC","solution":"Zaznaczony zbiór to\n\n(-∞,-4]∪[0,∞).\n\nSą to liczby, których odległość od -2 jest nie mniejsza niż 2 , czyli\n\n|x+2|≥2.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nKlient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach\no nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100-złotowych było dwa razy więcej\nniż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o 2 mniej niż 50-złotowych.\nNiech 𝑥 oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a 𝑦 - liczbę banknotów 20-złotowych,\nktóre otrzymał ten klient.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPoprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb 𝑥 i 𝑦 to\nA. { 20𝑦+ 50𝑥+ 100 ⋅2𝑥= 1040\n𝑦= 𝑥-2\nB. { 20𝑦+ 50𝑥+ 50𝑥⋅2 = 1040\n𝑦= 𝑥-2\nC. { 20𝑦+ 50𝑥+ 100 ⋅2𝑥= 1040\n𝑥= 𝑦-2\nD. { 20𝑦+ 50𝑥+ 50𝑥⋅2 = 1040\n𝑥= 𝑦-2\n\nMMAP-P0_100\nKlient banku wypłacił z bankomatu kwotę 1040 zł. Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach 20 zł, 50 zł oraz 100 zł. Banknotów 100-złotowych było dwa razy więcej niż 50-złotowych, a banknotów 20-złotowych było o 2 mniej niż 50-złotowych. Niech x oznacza liczbę banknotów 50-złotowych, a y - liczbę banknotów 20-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb x i y to A. {20y+50x+100⋅2x = 1040; y=x-2⋅r B. {20y+50x+50x⋅2 = 1040; y=x-2⋅r C. {20y+50x+100⋅2x = 1040⋅r y=x-2⋅r D. 20y+50x+50x⋅2 = 1040⋅r; y=x-2⋅r","answer":"A","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Banknotów stuzłotowych jest 2x , a dwudziestozłotowych y=x-2 . Suma wypłaconej kwoty daje równanie\n\n20y+50x+100·2x=1040.\n\nOtrzymujemy układ z odpowiedzi A.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres\nfunkcji 𝑓 określonej dla każdego 𝑥∈[-5, 4).\nNa tym wykresie zaznaczono punkty\no współrzędnych całkowitych.\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x∈<-5,4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych. [rysunek] Zapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji f.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-10.svg","topics":null,"page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/10.1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"10.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nZapisz w wykropkowanym miejscu zbiór wartości funkcji 𝒇.","answer":"[-4,4]","answer_text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\n[-4, 4]","solution":"Najmniejsza wartość funkcji odczytana z wykresu wynosi -4 , a największa 4 . Obie wartości są przyjmowane, dlatego zbiorem wartości jest\n\n[-4,4].","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/10.2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"10.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nDla każdego argumentu z przedziału (-4, -2) funkcja 𝑓 przyjmuje wartości\nujemne.\nP\nF\nFunkcja 𝑓 ma trzy miejsca zerowe.\nP\nF\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n-4\n𝑦\n1 2 3 4\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n5\n0\n𝑥\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n10.1.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x∈<-5,4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych. [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Dla każdego argumentu z przedziału (-4,-2) funkcja f przyjmuje wartości ujemne. P F Funkcja f ma trzy miejsca zerowe. P F","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 10.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nmiejsca zerowe, przedziały\nmonotoniczności, przedziały, w których\nfunkcja przyjmuje wartości większe (nie\nmniejsze) lub mniejsze (nie większe) od\ndanej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Na odcinku wykresu odpowiadającym argumentom z przedziału (-4,-2) funkcja przyjmuje również wartości dodatnie, dlatego pierwsze zdanie jest fałszywe.\n\nWykres przecina oś Ox trzy razy: dla x=-4 , na odcinku między punktami (-3,-2) i (-1,4) oraz dla x=0 . Drugie zdanie jest prawdziwe.\n\nZatem poprawna odpowiedź to: F, P .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-10.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-10.2.svg","topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/10.3","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"10.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajmniejsza wartość funkcji 𝑓 w przedziale [-4, 0] jest równa\nA. (-4)\nB. (-3)\nC. (-2)\nD. 0\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f określonej dla każdego x∈<-5,4). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych. [rysunek] Najmniejsza wartość funkcji f w przedziale <-4,0) jest równa A. (-4) B. (-3) C. (-2) D. 0","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10.3.\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nnajwiększe i najmniejsze wartości funkcji\n(o ile istnieją) w danym przedziale\ndomkniętym […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"W przedziale [-4,0] najniższy punkt wykresu ma współrzędne (-3,-2) . Najmniejsza wartość funkcji wynosi więc -2 .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-10.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-10.3.svg","topics":"Funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są: punkt 𝐴= (8, 11) oraz okrąg\no równaniu (𝑥-3)2 + (𝑦+ 1)2 = 25.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdległość punktu 𝐴 od środka tego okręgu jest równa\nA. 25\nB. 13\nC. √125\nD. √265\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są: punkt A=(8,11) oraz okrąg o równaniu (x-3)^2+(y+1)^2=25. Odległość punktu A od środka tego okręgu jest równa A. 25 B. 13 C. √125 D. √265","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nŚrodkiem okręgu jest punkt 𝑆= (3, -1). Obliczmy długość odcinka 𝐴𝑆:\n|𝐴𝑆| = √(3 -8)2 + (-1 -11)2 = √(-5)2 + (-12)2 = √25 + 144 = √169 = 13","solution":"Środkiem okręgu (x-3)^2+(y+1)^2=25 jest punkt S=(3,-1) . Odległość punktu A=(8,11) od środka:\n\nAS=√((8-3)^2+(11+1)^2)=√(25+144)=√(169)=13.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nBasen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m.\nPrzekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.\nGłębokość 𝑦 basenu zmienia się wraz z odległością 𝑥 od brzegu w sposób opisany\nfunkcją:\n𝑦= { 𝑎𝑥+ 𝑏\ndla 0 ≤𝑥≤15 m\n0,18𝑥-0,9\ndla 15 m ≤𝑥≤25 m\nOdległość 𝑥 jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz\nrysunek). Wielkości 𝑥 i 𝑦 są wyrażone w metrach.\nBasen ma długość 25 m. W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa 1,2 m. Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku. Głębokość y basenu zmienia się wraz z odległością x od brzegu w sposób opisany funkcją: y = {ax+b dla 0 ≤ x ≤ 15 m; 0,18x-0,9 dla 15 m ≤ x ≤ 25 m; Odległość x jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości x i y są wyrażone w metrach. [rysunek] Największa głębokość basenu jest równa A. 5,4 m B. 3,6 m C. 2,2 m D. 1,8 m","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększa głębokość basenu jest równa\nA. 5,4 m\nB. 3,6 m\nC. 2,2 m\nD. 1,8 m\n25 m\n𝑦\n𝑥\n1,2 m\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nNajwiększa głębokość basenu jest miejscu odległym od płytszego brzegu o 25 m.\n𝑦(25) = 0,18 ⋅25 -0,9 = 3,6","solution":"Największa głębokość jest na końcu basenu, czyli dla x=25 . Korzystamy z drugiego wzoru:\n\ny=0 , 18·25-0 , 9=4 , 5-0 , 9=3 , 6 m.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"12.2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nOblicz wartość współczynnika 𝒂 oraz wartość współczynnika 𝒃.\nZapisz obliczenia.\n12.2.\n0-2\n\nMMAP-P0_100\nOblicz wartość współczynnika a oraz wartość współczynnika b. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej;\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne obliczenie wartości współczynnika 𝑎: 𝑎= 0,04.\n1 pkt - poprawne obliczenie wartości współczynnika 𝑏: 𝑏= 1,2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy wartość współczynnika 𝑏:\n𝑏= 𝑦(0) = 1,2\nW celu obliczenia wartości współczynnika 𝑎 obliczamy głębokość basenu w odległości\n15 m od płytszego brzegu, gdzie łączą się obie płaszczyzny dna:\n𝑦(15) = 0,18 ∙15 -0,9 = 1,8\nZatem\n𝑎∙15 + 1,2 = 1,8\ni stąd 𝑎= 0,04.","solution":"Dla x=0 głębokość wynosi 1 , 2 m, więc\n\nb=1 , 2.\n\nOba odcinki dna łączą się dla x=15 . Z drugiego wzoru:\n\ny=0 , 18·15-0 , 9=1 , 8.\n\nZatem\n\n15a+1 , 2=1 , 8,\n\n15a=0 , 6,\n\na=0 , 04.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-12.2.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥-1)2 + 2.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-(x-1)^2+2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,2> B. (-∞,2) C. (2,+∞) D. <2,+∞)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-13.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"13.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWykresem funkcji 𝑓 jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne\nA. (1, 2)\nB. (-1, 2)\nC. (1, -2)\nD. (-1, -2)\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-(x-1)^2+2. Wykresem funkcji f jest parabola, której wierzchołek ma współrzędne A. (1,2) B. (-1,2) C. (1,-2) D. (-1,-2)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli\nistnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKomentarz\nFunkcja 𝑓 dana jest w postaci kanonicznej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞, z której można odczytać\nwspółrzędne wierzchołka 𝑊= (𝑝, 𝑞).","solution":"Funkcja jest zapisana w postaci kanonicznej\n\nf(x)=-(x-1)^2+2.\n\nWierzchołek paraboli ma współrzędne (1,2) .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-13.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-13.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"13.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-∞, 2]\nB. (-∞, 2)\nC. (2, +∞)\nD. [2, +∞)\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\nFunkcja 𝑓 dana jest w postaci kanonicznej 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞, z której można odczytać\nwspółrzędne wierzchołka 𝑊(𝑝, 𝑞). Biorąc pod uwagę, że współczynnik 𝑎= -1,\nstwierdzamy, że ramiona paraboli są opuszczone do dołu, a największa przyjmowana przez\nnią wartość jest w wierzchołku, dla którego 𝑞= 2.","solution":"Ramiona paraboli są skierowane w dół, a największa wartość funkcji wynosi 2 . Zatem zbiorem wartości jest\n\n(-∞,2].","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 7𝑛\n21 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 7^n/21 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Pięćdziesiątym wyrazem ciągu (a_n) jest A. 7^49/3 B. 7^{50}/3 C. 7^{51}/3 D. 7^{52}/3","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":15,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPięćdziesiątym wyrazem ciągu (𝑎𝑛) jest\nA. 749\n3\nB. 750\n3\nC. 751\n3\nD. 752\n3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14.1 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\n𝑎50 = 750\n21 = 749\n3","solution":"Podstawiamy n=50 :\n\na_50=frac 7^50 21 =frac 7^50 3·7 =frac 7^49 3.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest geometryczny.\nP\nF\nSuma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 20.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 7^n/21 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest geometryczny. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 20.","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 14.2 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.3) sprawdza, czy dany ciąg jest\narytmetyczny lub geometryczny;\nVI.5) stosuje wzór […] na sumę 𝑛\npoczątkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF\nKomentarz\nAby sprawdzić, czy ciąg (𝑎𝑛) jest geometryczny, sprawdzamy, czy jego iloraz jest stały:\n𝑞= 𝑎𝑛+1\n𝑎𝑛\n= 7𝑛+1\n21 : 7𝑛\n21 = 7𝑛+1\n7𝑛= 7\nObliczamy sumę trzech początkowych wyrazów:\n𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 1\n3 + 7\n3 + 49\n3 = 57\n3 = 19","solution":"Iloraz kolejnych wyrazów jest stały:\n\nfrac a_n+1 a_n =frac 7^n+1/21 7^n/21 =7,\n\nwięc ciąg jest geometryczny.\n\nTrzy pierwsze wyrazy to\n\n(1)/(3), (7)/(3), (49)/(3).\n\nIch suma wynosi\n\n(1+7+49)/(3)=(57)/(3)=19,\n\na nie 20 .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dana jest prosta 𝑘\no równaniu 𝑦= 3𝑥+ 𝑏, przechodząca przez punkt 𝐴= (-1, 3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik 𝑏 w równaniu tej prostej jest równy\nA. 0\nB. 6\nC. (-10)\nD. 8\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dana jest prosta k o równaniu y=3x+b, przechodząca przez punkt A=(-1,3). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik b w równaniu tej prostej jest równy A. 0 B. 6 C. (-10) D. 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nPodstawiając współrzędne punktu 𝐴 do równania prostej, otrzymamy\n3 = 3 ⋅(-1) + 𝑏,\na stąd\n𝑏= 6","solution":"Punkt A=(-1,3) należy do prostej y=3x+b , więc\n\n3=3·(-1)+b.\n\nStąd\n\nb=6.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛-1 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/16.1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"16.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.1. (0-1)\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nCiąg (𝑎𝑛) jest\nA.\nrosnący,\nponieważ dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1\n1.\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= -1\nB.\nmalejący,\n2.\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 0\nC.\nstały,\n3.\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= 3\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=3n-1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg (a_n) jest A. rosnący, B. malejący, C. stały, ponieważ dla każdej liczby naturalnej n≥1 1. a_{n+1} - a_n = -1, 2. a_{n+1} - a_n = 0, 3. a_{n+1} - a_n = 3.","answer":"A3","answer_text":"Zadanie 16.1 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVI.2) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA3\nKomentarz\nObliczmy różnicę ciągu:\n𝑎𝑛+1 -𝑎𝑛= [3(𝑛+ 1) -1] -[3𝑛-1] = 3𝑛+ 3 -1 -3𝑛+ 1 = 3\nPonieważ różnica ciągu jest liczbą dodatnią, więc ciąg jest rosnący.","solution":"Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów:\n\na_n+1-a_n=[3(n+1)-1]-(3n-1)=3>0.\n\nCiąg jest więc rosnący. Poprawne uzupełnienie to A oraz 3.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-16.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-16.1.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/16.2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"16.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajmniejszą wartością 𝑛, dla której wyraz 𝑎𝑛 jest większy od 25, jest\nA. 8\nB. 9\nC. 7\nD. 26\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=3n-1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Najmniejszą wartością n, dla której wyraz a_n jest większy od 25, jest A. 8 B. 9 C. 7 D. 26","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16.2 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nRozwiązujemy nierówność 𝑎𝑛> 25:\n𝑎𝑛> 25\n3𝑛-1 > 25\n3𝑛> 26\n𝑛> 82\n3\nNajmniejszą liczbą naturalną, która spełnia tę nierówność, jest 𝑛= 9.","solution":"Rozwiązujemy nierówność\n\n3n-1>25.\n\nStąd\n\n3n>26, n>(26)/(3).\n\nNajmniejszą liczbą naturalną spełniającą ten warunek jest 9 .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-16.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-16.2.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/16.3","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"16.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma 𝑛 początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 57 dla 𝑛 równego\nA. 6\nB. 23\nC. 5\nD. 11\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=3n-1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Suma n początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa 57 dla n równego A. 6 B. 23 C. 5 D. 11","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16.3 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.3) sprawdza, czy dany ciąg jest\narytmetyczny lub geometryczny;\nVI.4) stosuje wzór […] na sumę 𝑛\npoczątkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\nWypisujemy kilka początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy ich sumy:\n2 + 5 = 7\n2 + 5 + 8 = 15\n2 + 5 + 8 + 11 = 26\n2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40\n2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57\nSuma sześciu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 57.","solution":"Wyznaczamy sześć początkowych wyrazów ciągu a_n=3n-1 :\n\na_1=2, a_2=5, a_3=8, a_4=11, a_5=14, a_6=17.\n\nIch suma jest równa\n\n2+5+8+11+14+17=57.\n\nZatem n=6 , czyli poprawna jest odpowiedź A.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-16.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-16.3.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dane są:\nprosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥+ 5\nprosta 𝑙 o równaniu 𝑦-1 = -2𝑥.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 i 𝑙\nA. się pokrywają.\nB. nie mają punktów wspólnych.\nC. są prostopadłe.\nD. przecinają się pod kątem 30°.\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), dane są: • prosta k o równaniu y=1/2x+5 • prosta l o równaniu y-1=-2x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k i l A. się pokrywają. B. nie mają punktów wspólnych. C. są prostopadłe. D. przecinają się pod kątem 30°.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX. 2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład\nprzechodzenie przez dwa dane punkty,\nznany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość lub prostopadłość do innej\nprostej, styczność do okręgu).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Współczynniki kierunkowe prostych wynoszą\n\na_k=(1)/(2), a_l=-2.\n\nIch iloczyn jest równy\n\n(1)/(2)·(-2)=-1,\n\nwięc proste są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia (1 -cos 20°) ⋅(1 + cos 20°) -sin220° jest równa\nA. (-1)\nB. 0\nC. 1\nD. 20\n\nMMAP-P0_100\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia (1-cos20°)⋅(1+cos20°) - sin^2 20° jest równa A. (-1) B. 0 C. 1 D. 20","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nPrzekształcamy dane wyrażenie:\n(1 -cos 20°) ⋅(1 + cos 20°) -sin220° =\n= (1 -cos2 20°) -sin2 20° =\n= sin2 20° -sin2 20° = 0","solution":"Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i jedynki trygonometrycznej:\n\n(1-cos20^°)(1+cos20^°)-sin^2 20^°\n\n=1-cos^2 20^°-sin^2 20^°=0.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul\nczerwonych jest równy 4 ∶5. Z pojemnika losujemy jedną kulę.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe\nA. 4\n9\nB. 4\n5\nC. 1\n9\nD. 1\n4\nW pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 4:5. Z pojemnika losujemy jedną kulę. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. 4/9 B. 4/5 C. 1/9 D. 1/4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej. Przyjmujemy, że\nw pojemniku jest 4𝑛 kul białych oraz 5𝑛 kul czerwonych i obliczamy prawdopodobieństwo\nwylosowania kuli białej spośród 9𝑛 wszystkich kul:\n𝑃(𝐴) = 4𝑛\n9𝑛= 4\n9\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Stosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi 4:5 . Wszystkich równych części jest 4+5=9 , z czego 4 odpowiadają kulom białym. Zatem\n\nP=(4)/(9).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Kąt 𝐴𝐵𝑂 ma miarę 40°, a kąt\n𝑂𝐵𝐶 ma miarę 10° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝐴𝐶𝑂 jest równa\nA. 30°\nB. 40°\nC. 50°\nD. 60°\n10°\n40°\n𝑂\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ABO ma miarę 40°, a kąt OBC ma miarę 10° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ACO jest równa A. 30° & B. 40° C. 50° D. 60°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nKażdy z trójkątów 𝐴𝐵𝑂, 𝐵𝐶𝑂 oraz 𝐴𝐶𝑂 jest równoramienny (ramionami są promienie\nokręgu). Wynika stąd, że\n|∠𝐴𝑂𝐵| = 180° -2 ⋅40° = 100°\n|∠𝐵𝑂𝐶| = 180° -2 ⋅10° = 160°\nKąty 𝐴𝑂𝐵, 𝐵𝑂𝐶 oraz 𝐴𝑂𝐶 tworzą razem kąt pełny, stąd\n|∠𝐴𝑂𝐶| = 360° -(100° + 160°) = 100°\nStąd\n|∠𝐴𝐶𝑂| = (180° -100°): 2 = 40°","solution":"Trójkąt AOB jest równoramienny, więc ∠ OAB=∠ ABO=40^° . Stąd\n\n∠ AOB=180^°-80^°=100^°.\n\nTrójkąt BOC także jest równoramienny. Ponieważ ∠ OBC=10^° , mamy ∠ BCO=10^° , a więc\n\n∠ BOC=160^°.\n\nZ sumy kątów wokół punktu O :\n\n∠ AOC=360^°-100^°-160^°=100^°.\n\nTrójkąt AOC jest równoramienny, dlatego\n\n∠ ACO=(180^°-100^°)/(2)=40^°.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"21","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 o bokach długości 6, 7 oraz 8.\nOblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.\nZapisz obliczenia.\n21.\n0-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC o bokach długości 6, 7 oraz 8. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta. Zapisz obliczenia.","answer":"(1)/(4)","answer_text":"Zadanie 21. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem\ntwierdzenia cosinusów).\nVIII.2) […] stosuje twierdzenie: w trójkącie\nnaprzeciw większego kąta wewnętrznego\nleży dłuższy bok.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów i obliczenie cosinusa największego kąta\ntrójkąta: cos 𝛼= 1\n4 .\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia cosinusów i zapisanie równania\n82 = 62 + 72 -2 ⋅6 ⋅7 ⋅cos 𝛼.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy miarę największego kąta w rozpatrywanym trójkącie przez 𝛼.\nW trójkącie największy kąt wewnętrzny znajduje się naprzeciw najdłuższego boku.\nKorzystamy z twierdzenia cosinusów i obliczamy cosinus największego kąta:\n82 = 62 + 72 -2 ⋅6 ⋅7 ⋅cos 𝛼\n64 = 36 + 49 -84 cos 𝛼\ncos 𝛼= 1\n4","solution":"Największy kąt leży naprzeciw boku długości 8 . Z twierdzenia cosinusów:\n\n8^2=6^2+7^2-2·6·7cosα.\n\nZatem\n\ncosα=(6^2+7^2-8^2)/(2·6·7)\n=(36+49-64)/(84)=(21)/(84)=(1)/(4).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 bok 𝐴𝐵 ma długość 4, a bok 𝐵𝐶 ma długość 4,6. Dwusieczna kąta\n𝐴𝐵𝐶 przecina bok 𝐴𝐶 w punkcie 𝐷 takim, że |𝐴𝐷| = 3,2 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdcinek 𝐶𝐷 ma długość\nA. 64\n23\nB. 16\n5\nC. 23\n4\nD. 92\n25\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n4\n4,6\n3,2\n\nMMAP-P0_100\nW trójkącie ABC bok AB ma długość 4, a bok BC ma długość 4,6. Dwusieczna kąta ABC przecina bok AC w punkcie D takim, że |AD|=3,2 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Odcinek CD ma długość A. 64/23 B. 16/5 C. 23/4 D. 92/25.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.7) stosuje twierdzenia: Talesa,\nodwrotne do twierdzenia Talesa,\no dwusiecznej kąta oraz o kącie między\nstyczną a cięciwą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nKomentarz\nKorzystając z twierdzenia o dwusiecznej kąta otrzymujemy proporcję\n|𝐴𝐷|\n|𝐶𝐷| = |𝐴𝐵|\n|𝐶𝐵|\nPodstawiając długości odpowiednich odcinków, mamy\n3,2\n|𝐶𝐷| = 4\n4,6\nStąd\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐶𝐷| = 3,2 ⋅4,6\n4\n= 92\n25","solution":"Z twierdzenia o dwusiecznej:\n\n(AD)/(DC)=(AB)/(BC).\n\nPodstawiamy dane:\n\nfrac 3 , 2 DC =frac4 4 , 6 =(20)/(23).\n\nStąd\n\nDC=3 , 2·(23)/(20)=(92)/(25).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"23","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-4)\nRodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy\nrzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:\nprzychód 𝑃 (w złotych) z tygodniowej sprzedaży 𝑥 wiatraków można opisać funkcją\n𝑃(𝑥) = 251𝑥\nkoszt 𝐾 (w złotych) produkcji 𝑥 wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić\nfunkcją 𝐾(𝑥) = 𝑥2 + 21𝑥+ 170.\nTygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków.\nOblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego\ntygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.\n23.\n0-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że: •przychód P (w złotych) z tygodniowej sprzedaży x wiatraków można opisać funkcją P(x)=251x •koszt K (w złotych) produkcji x wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją K(x)=x^2+21x+170. Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 150 wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk. Zapisz obliczenia. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 23. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII. rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia liczby wiatraków maksymalizującej zysk\noraz poprawny wynik: 𝑥= 115 oraz 𝑍(115) = 13 055 𝑧ł.\n3 pkt - zapisanie dziedziny funkcji 𝑍: 𝑥∈[0 ,150] ∩ℤ oraz obliczenie pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka paraboli i zapisanie, że 115 należy do dziedziny funkcji\n𝑍.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru funkcji 𝑍 zysku w postaci jawnej:\n𝑍(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170.\n1 pkt - zapisanie funkcji 𝑍 zysku w postaci 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży wiatraków oraz kosztu ich\nwytworzenia: 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170.\nTygodniowo w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 150 wiatraków, więc\ndziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych z przedziału [0 , 150].\nPonieważ funkcja 𝑍(𝑥) = -𝑥2 + 230𝑥-170 jest funkcją kwadratową, największą\nwartość przyjmuje dla argumentu będącego pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli.\nKorzystając ze wzoru 𝑝= -\n𝑏\n2𝑎, obliczamy\n𝑥= -\n230\n2 ⋅(-1) = -230\n-2\n= 115\nLiczba 𝑥= 115 należy do dziedziny funkcji 𝑍.\nNajwiększy tygodniowy zysk jest osiągany przy produkcji 115 wiatraków tygodniowo.\nObliczymy go, przyjmując 𝑥= 115:\n𝑍(115) = -1152 + 230 ∙115 -170 = 13 055 zł\nPrzy produkcji 115 wiatraków tygodniowo zysk firmy będzie równy 13 055 zł.","solution":"Zysk jest różnicą przychodu i kosztu:\n\nZ(x)=P(x)-K(x)=251x-(x^2+21x+170).\n\nPo uporządkowaniu:\n\nZ(x)=-x^2+230x-170.\n\nJest to funkcja kwadratowa o ramionach skierowanych w dół. Współrzędna wierzchołka wynosi\n\nx_w=(-230)/(2·(-1))=115.\n\nLiczba 115 mieści się w przedziale 0≤ x≤150 . Obliczamy największy zysk:\n\nZ(115)=-(115)^2+230·115-170=13 055.\n\nZatem należy sprzedać 115 wiatraków, a największy tygodniowy zysk wynosi 13 055 zł.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"24","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.\nFirma ℱ zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia\nponiższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto,\na na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy ℱ, którzy otrzymują płacę miesięczną\nw danej wysokości.\nFirma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy F , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości. [rysunek] Płaca miesięczna brutto (w złotych) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana miesięcznej płacy pracowników firmy F jest równa A. 4000 zł B. 4800 zł C. 5000 zł D. 5500 zł⋅r","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-24.svg","topics":null,"page_from":24,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/24.1","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"24.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia miesięczna płaca brutto w firmie ℱ jest równa\nA. 4 593,75 zł\nB. 4 800,00 zł\nC. 5 360,00 zł\nD. 2 399,33 zł\n75\n50\n20\n10\n5\n0\n10\n20\n30\n40\n50\n60\n70\n80\n4000\n4800\n5000\n6000\n7000\nPłaca miesięczna brutto (w złotych)\nLiczba pracowników\n\nMMAP-P0_100\nFirma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy F , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości. [rysunek] Płaca miesięczna brutto (w złotych) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia miesięczna płaca brutto w firmie F jest równa A. 4593,75 zł B. 4800,00 zł C. 5360,00 zł D. 2399,33 zł","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią\nważoną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\nDodając wszystkie płace pracowników firmy 𝐹, otrzymujemy sumę\n75 ⋅4000 + 50 ⋅4800 + 20 ⋅5000 + 10 ⋅6000 + 5 ⋅7000 = 735 000\nDzieląc ją przez liczbę pracowników, mamy\n735 000: 160 = 4 593,75\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Średnia ważona wynosi\n\n(75·4000+50·4800+20·5000+10·6000+5·7000)/(160).\n\nPo obliczeniu:\n\n(735000)/(160)=4593 , 75 zł.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-24.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-24.1.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/24.2","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"24.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMediana miesięcznej płacy pracowników firmy ℱ jest równa\nA. 4 000 zł\nB. 4 800 zł\nC. 5 000 zł\nD. 5 500 zł","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXII.2) […] znajduje medianę i dominantę.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nKomentarz\nMediana jest średnią arytmetyczną płac pracownika nr 80 i 81 przy uporządkowaniu ich\nw porządku niemalejącym. Obaj pracownicy otrzymują płacę miesięczną równą 4800 zł.","solution":"Pracowników jest 160 , więc mediana jest średnią 80. i 81. wartości po uporządkowaniu. Pierwszych 75 osób zarabia 4000 zł, a osoby od 76. do 125. zarabiają 4800 zł. Zarówno 80., jak i 81. wartość wynosi zatem 4800 zł.","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-24.2.webp","solution_image":null,"topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/24.3","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"24.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba pracowników firmy ℱ, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa\n5 000 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%)\nA. 91% liczby wszystkich pracowników tej firmy.\nB. 78% liczby wszystkich pracowników tej firmy.\nC. 53% liczby wszystkich pracowników tej firmy.\nD. 22% liczby wszystkich pracowników tej firmy.\n\nMMAP-P0_100\nFirma F zatrudnia 160 osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano - wyrażoną w złotych - miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy F , którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości. [rysunek] Płaca miesięczna brutto (w złotych) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba pracowników firmy F, których miesięczna płaca brutto nie przewyższa 5000 zł, stanowi (w zaokrągleniu do 1%) A. 91% liczby wszystkich pracowników tej firmy. B. 78% liczby wszystkich pracowników tej firmy. C. 53% liczby wszystkich pracowników tej firmy. D. 22% liczby wszystkich pracowników tej firmy.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania […] w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nKomentarz\nDo grupy, o której mowa w zadaniu, zaliczamy pracowników z płacą 4000 zł, 4800 zł oraz\n5000 zł. Jest ich razem\n75 + 50 + 20 = 145.\nObliczamy, jakim procentem liczby wszystkich pracowników jest liczba pracowników w danej\ngrupie:\n145\n160 ⋅100% = 90,625% ≈91%\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Płacę nieprzekraczającą 5000 zł otrzymuje\n\n75+50+20=145\n\nosób. Stanowi to\n\n(145)/(160)·100%=90 , 625%.\n\nPo zaokrągleniu do 1% otrzymujemy 91% .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-24.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-24.3.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"25","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-3)\nKażda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√3, a każda jego krawędź\nboczna ma długość 15.\nOblicz wysokość tego ostrosłupa.\nZapisz obliczenia.\n25.\n0-3\n\nMMAP-P0_100\nKażda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość 10√3, a każda jego krawędź boczna ma długość 15. Oblicz wysokość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.","answer":"5√(5)","answer_text":"Zadanie 25. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii podczas\nrozwiązywania zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem\ntwierdzenia cosinusów).\nVIII.2) […] stosuje twierdzenie: w trójkącie\nnaprzeciw większego kąta wewnętrznego\nleży dłuższy bok.\nZasady oceniania\n3 pkt - obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, poprawne\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości 𝐻 bryły i poprawny\nwynik: 𝐻= 5√5.\n2 pkt - obliczenie promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa oraz poprawne\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do obliczenia wysokości 𝐻 bryły.\n1 pkt - obliczenie promienia 𝑅 okręgu opisanego na trójkącie równobocznym: 𝑅= 10.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPodstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku 10√3.\nPonieważ krawędzie boczne ostrosłupa mają taką samą długość, spodek wysokości\nostrosłupa jest punktem jednakowo odległym od wierzchołków podstawy bryły, czyli jest\nśrodkiem okręgu opisanego na podstawie.\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na\npodstawie: 𝑅=\n10√3⋅√3\n3\n= 10.\nOznaczmy przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑆 wierzchołki ostrosłupa,\nprzez 𝑆′ - spodek wysokości 𝐻 opuszczonej z\nwierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐴𝐵𝐶 (patrz rysunek).\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝑆′𝑆 twierdzenie Pitagorasa\ni otrzymujemy kolejno\n|𝐴𝑆′|2 + |𝑆′𝑆|2 = |𝑆𝐴|2\n𝑅2 + 𝐻2 = |𝑆𝐴|2\n102 + 𝐻2 = 152\n𝐻2 = 225 -100\n𝐻= 5√5\nWysokość ostrosłupa jest równa 5√5.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n𝑆′\n𝐻\n𝑅","solution":"Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku\n\na=10√(3).\n\nSpodek wysokości ostrosłupa leży w środku trójkąta równobocznego. Odległość tego punktu od wierzchołka podstawy, czyli odcinek biegnący od spodka wysokości do krawędzi bocznej, ma długość\n\n(a√(3))/(3)=(10√(3)·√(3))/(3)=10.\n\nKrawędź boczna ma długość 15 . Z twierdzenia Pitagorasa:\n\nh^2+10^2=15^2.\n\nZatem\n\nh^2=225-100=125,\n\nh=5√(5).","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2022,"month":"wrzesien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟏𝟎𝒏𝟐+ 𝟑𝟎𝒏+ 𝟖 przy dzieleniu\nprzez 𝟓 daje resztę 𝟑.\n26.\n0-2\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10n^2+30n+8 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3 oraz\nzapisanie, że 2𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 10𝑛2 + 30𝑛+ 8 do postaci\n5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3.\n0 pkt -rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n10𝑛2 + 30𝑛+ 8 = 10𝑛2 + 30𝑛+ 5 + 3 = 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3.\nPonieważ wartość wyrażenia 2𝑛2 + 6𝑛+ 1 jest liczbą całkowitą, to 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1)\njest wielokrotnością liczby 5, zatem 5 ⋅(2𝑛2 + 6𝑛+ 1) + 3 przy dzieleniu przez 5 daje\nresztę 3. To należało wykazać.","solution":"Przekształcamy wyrażenie:\n\n10n^2+30n+8=5(2n^2+6n+1)+3.\n\nPonieważ n jest liczbą naturalną, wyrażenie\n\n2n^2+6n+1\n\njest liczbą całkowitą. Zatem 5(2n^2+6n+1) jest wielokrotnością liczby 5 . Całe wyrażenie ma więc postać\n\n5k+3,\n\ngdzie k jest liczbą całkowitą. Oznacza to, że przy dzieleniu przez 5 zawsze daje resztę 3 .","image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2022-wrzesien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · wrzesień 2022 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}