{"paper":{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":42,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |𝑥+ 5| < 15 jest\nA. 9\nB. 10\nC. 20\nD. 21\nWszystkich liczb całkowitych dodatnich spełniających nierówność |x+5|<15 jest A. 9 B. 10 C. 20 D. 21","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje […] nierówności typu:\n[…] |𝑥-2| < 3, |𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3^{30}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki pierwsze\n\nRozkładamy podstawy na czynniki pierwsze: \\(6 = 2 \\cdot 3\\) oraz \\(4 = 2^2\\).\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[6^{30} : 4^{15} = (2 \\cdot 3)^{30} : (2^2)^{15}\\]\n\nStosujemy wzór \\((a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n\\) oraz \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\):\n\n\\[= 2^{30} \\cdot 3^{30} : 2^{30}\\]\n\nDzielimy - czynnik \\(2^{30}\\) skraca się:\n\n\\[= \\frac{2^{30} \\cdot 3^{30}}{2^{30}} = 3^{30}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{30}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie przez ułamek\n\nZapisujemy dzielenie jako ułamek i upraszczamy inaczej:\n\n\\[\\frac{6^{30}}{4^{15}} = \\frac{6^{30}}{4^{15}}\\]\n\nZauważamy, że \\(4^{15} = (4^{\\frac{1}{2}})^{30} = 2^{30}\\) (bo \\(\\sqrt{4} = 2\\)):\n\n\\[= \\frac{6^{30}}{2^{30}} = \\left(\\frac{6}{2}\\right)^{30} = 3^{30}\\]\n\n**Wynik: \\(3^{30}\\)** - ten sam co w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyte przy rozkładzie \\((2 \\cdot 3)^{30} = 2^{30} \\cdot 3^{30}\\) oraz \\(\\left(\\frac{6}{2}\\right)^{30} = \\frac{6^{30}}{2^{30}}\\).\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyte przy upraszczaniu \\((2^2)^{15} = 2^{30}\\).\n\n\\[\\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\\]\nUżyte przy skracaniu \\(\\frac{2^{30}}{2^{30}} = 2^0 = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(\\frac{6}{4} = 1{,}5\\), ale bierze potęgę \\(15\\) zamiast właściwie połączyć wykładniki - zapomina, że \\(6^{30} : 4^{15} \\neq \\left(\\frac{6}{4}\\right)^{15}\\), bo wykładniki są różne |\n| B | Uczeń liczy \\(\\left(\\frac{6}{4}\\right)^{30-15} = (1{,}5)^{15}\\) i jeszcze błędnie upraszcza do \\((1{,}5)^2\\) - podwójny błąd |\n| D | Uczeń myśli, że \\(6^{30} : 4^{15} = (6:4)^{30:15} = (1{,}5)^2\\), a potem myli \\((1{,}5)^2\\) z \\(3^0 = 1\\) - całkowicie błędne działanie na potęgach |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można dzielić potęg o różnych wykładnikach wzorem \\(\\frac{a^m}{b^n} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^{m-n}\\) - taki wzór nie istnieje! Można to zrobić tylko gdy wykładniki są równe: \\(\\frac{a^n}{b^n} = \\left(\\frac{a}{b}\\right)^n\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy trick w tym zadaniu - wyrównanie wykładników. Skoro \\(4^{15} = 2^{30}\\), a \\(6^{30} = 2^{30} \\cdot 3^{30}\\), wykładniki stają się równe i czynnik \\(2^{30}\\) się skraca. Szukaj takiego wyrównania przy podobnych zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\((1{,}5)^{15}\\)) jest \"logicznie kusząca\", bo \\(\\frac{6}{4} = 1{,}5\\) - ale działa to tylko gdy **oba wykładniki są takie same**, np. \\(\\frac{6^{15}}{4^{15}} = (1{,}5)^{15}\\). Tu mamy \\(6^{30}\\), nie \\(6^{15}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie potęg\n\\(6^{30} = (6^{2})^{15} = 36^{15}\\), więc \\(\\dfrac{6^{30}}{4^{15}} = \\dfrac{36^{15}}{4^{15}} = \\left(\\dfrac{36}{4}\\right)^{15} = 9^{15} = (3^{2})^{15} = 3^{30}.\\)\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(6 = 2\\cdot 3\\), więc \\(6^{30} = 2^{30}\\cdot 3^{30}\\). Ponieważ \\(4^{15} = 2^{30}\\), otrzymujemy \\(\\dfrac{2^{30}\\cdot 3^{30}}{2^{30}} = 3^{30}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((1{,}5)^{15}\\)** - to wynik \\(\\dfrac{6^{15}}{4^{15}}\\), nie \\(\\dfrac{6^{30}}{4^{15}}\\).\n- **B. \\((1{,}5)^{2}\\)** - błędne uproszczenie wykładników.\n- **D. \\(3^{0}=1\\)** - wynikałoby z odjęcia \\(30-30\\), ale mamy \\(30\\) i \\(15\\).\n\n**Trik:** \\(6^{30}=(6^{2})^{15}\\) pozwala skrócić do tego samego wykładnika co \\(4^{15}\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 iloczyn √𝑥⋅√𝑥\n3\n⋅√𝑥\n6\njest równy\nA. 𝑥\nB. √𝑥\n10\nC. √𝑥\n18\nD. 𝑥2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x iloczyn √x⋅∛x⋅(pierwiastek 6 stopnia z x) jest równy A. x B. pierwiastek 10 stopnia z x C. pierwiastek 18 stopnia z x D. x²","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana pierwiastków na potęgi o wykładnikach wymiernych\n\nKażdy pierwiastek zamieniamy na potęgę z ułamkowym wykładnikiem:\n\n\\[\\sqrt{x} = x^{\\frac{1}{2}}, \\quad \\sqrt[3]{x} = x^{\\frac{1}{3}}, \\quad \\sqrt[6]{x} = x^{\\frac{1}{6}}\\]\n\nTeraz iloczyn wygląda tak:\n\n\\[\\sqrt{x} \\cdot \\sqrt[3]{x} \\cdot \\sqrt[6]{x} = x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}}\\]\n\nPrzy mnożeniu potęg o tej samej podstawie **dodajemy wykładniki**:\n\n\\[x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}} = x^{\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}}\\]\n\nLiczymy sumę ułamków - sprowadzamy do wspólnego mianownika 6:\n\n\\[\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6} = \\frac{3}{6} + \\frac{2}{6} + \\frac{1}{6} = \\frac{6}{6} = 1\\]\n\nZatem:\n\n\\[x^{\\frac{1}{2}} \\cdot x^{\\frac{1}{3}} \\cdot x^{\\frac{1}{6}} = x^1 = x\\]\n\n**Odpowiedź: A.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja na konkretnej liczbie\n\nPodstawmy \\(x = 64\\), bo \\(64 = 2^6\\) - wygodnie liczyć wszystkie pierwiastki:\n\n\\[\\sqrt{64} = 8, \\quad \\sqrt[3]{64} = 4, \\quad \\sqrt[6]{64} = 2\\]\n\nIloczyn:\n\n\\[8 \\cdot 4 \\cdot 2 = 64\\]\n\nWynik to dokładnie \\(64 = x\\), co potwierdza odpowiedź A.\n\nSprawdźmy, czy inne odpowiedzi dają inne wartości dla \\(x = 64\\):\n- B: \\(\\sqrt[10]{64} = 64^{0{,}1} \\approx 1{,}87\\) - nie to\n- C: \\(\\sqrt[18]{64} = 64^{1/18} \\approx 1{,}46\\) - nie to\n- D: \\(64^2 = 4096\\) - nie to\n\nTylko odpowiedź A daje wynik równy 64.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na pierwiastek jako potęgę o wykładniku wymiernym:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}, \\quad \\text{w szczególności } \\sqrt[n]{a} = a^{\\frac{1}{n}}\\]\n\nWzór na mnożenie potęg o tej samej podstawie:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\n\nOba wzory były kluczowe w Sposobie 1: najpierw zamieniamy pierwiastki na potęgi, potem sumujemy wykładniki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń zamiast **dodać** wykładniki \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}\\), **mnoży** mianowniki: \\(2 \\cdot 3 \\cdot 6 = 36\\), a następnie bierze odwrotność \\(\\frac{1}{10}\\) lub podobnie błądzi w arytmetyce ułamków |\n| C | Błędne dodawanie: uczeń sumuje mianowniki bez sprowadzania do wspólnego mianownika, dostając \\(\\frac{1}{2+3+6} = \\frac{1}{11}\\) albo mnoży \\(2 \\cdot 3 \\cdot 6 = 36\\) i bierze \\(\\frac{3}{36} = \\frac{1}{18}\\) po jakimś błędnym uproszczeniu |\n| D | Uczeń **mnoży** wykładniki zamiast je dodawać: \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{6}\\) lub myli regułę mnożenia potęg z potęgowaniem potęgi \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg **dodajemy** wykładniki (\\(a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\)), a nie mnożymy. Mnożenie wykładników dotyczy tylko potęgowania potęgi: \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\). To dwa różne wzory!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dodawanie ułamków \\(\\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\frac{1}{6}\\) wymaga **wspólnego mianownika**. Nie dodajemy mianowników do siebie (\\(2+3+6 \\neq\\) mianownik sumy).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli nie jesteś pewien wyniku - sprawdź na konkretnej liczbie (jak \\(x = 64\\) wyżej). To zawsze bezpieczna kontrola na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Potęgi o wykładniku wymiernym\n\\(\\sqrt{x}\\cdot\\sqrt[3]{x}\\cdot\\sqrt[6]{x} = x^{1/2}\\cdot x^{1/3}\\cdot x^{1/6} = x^{1/2+1/3+1/6} = x^{3/6+2/6+1/6} = x^{6/6} = x.\\)\n\n### Sposób 2 - Wspólny stopień pierwiastka\nSprowadzamy do pierwiastka szóstego stopnia: \\(\\sqrt{x}=\\sqrt[6]{x^{3}}\\), \\(\\sqrt[3]{x}=\\sqrt[6]{x^{2}}\\). Iloczyn: \\(\\sqrt[6]{x^{3}\\cdot x^{2}\\cdot x} = \\sqrt[6]{x^{6}} = x.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sqrt[10]{x}\\)** - ktoś dodał mianowniki stopni: \\(2+3+6\\) zamiast dodać wykładniki.\n- **C. \\(\\sqrt[18]{x}\\)** - to NWW mianowników, nie wynik.\n- **D. \\(x^{2}\\)** - błąd, suma wykładników daje \\(1\\), nie \\(2\\).\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\\) i dodajemy wykładniki przy mnożeniu.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Funkcja wykładnicza, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒌 reszta z dzielenia liczby 𝟒𝟗𝒌𝟐+ 𝟕𝒌-𝟐\nprzez 𝟕 jest równa 𝟓.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej k reszta z dzielenia liczby 49k^2+7k-2 przez 7 jest równa 5.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie danego wyrażenia do postaci 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5 oraz zapisanie,\nże 7𝑘2 + 𝑘-1 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 49𝑘2 + 7𝑘-2 do postaci 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy dla wybranych wartości 𝑘, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n49𝑘2 + 7𝑘-2 = 49𝑘2 + 7𝑘-7 + 5 = 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, więc 7𝑘2 + 𝑘-1 jest liczbą całkowitą. Zatem\n7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) jest wielokrotnością liczby 7. Stąd 7 ⋅(7𝑘2 + 𝑘-1) + 5 przy dzieleniu\nprzez 7 daje resztę 5. To należało pokazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(4347\\) zł\n\n## Sposób 1 - Obliczenie odsetek za każdy rok osobno\n\n**Rok 1:**\n\nKapitał początkowy: \\(K_0 = 30\\,000\\) zł\n\nOdsetki po pierwszym roku:\n\\[O_1 = 7\\% \\cdot 30\\,000 = 0{,}07 \\cdot 30\\,000 = 2\\,100 \\text{ zł}\\]\n\nKapitał po pierwszym roku:\n\\[K_1 = 30\\,000 + 2\\,100 = 32\\,100 \\text{ zł}\\]\n\n**Rok 2:**\n\nOdsetki są teraz naliczane od **nowego, większego kapitału** \\(K_1\\):\n\\[O_2 = 7\\% \\cdot 32\\,100 = 0{,}07 \\cdot 32\\,100 = 2\\,247 \\text{ zł}\\]\n\n**Łączne odsetki po dwóch latach:**\n\\[O_1 + O_2 = 2\\,100 + 2\\,247 = \\mathbf{4\\,347} \\text{ zł}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na procent składany, potem odjęcie kapitału\n\nKorzystamy ze wzoru na kapitał po \\(n\\) latach przy procentach składanych:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nDla \\(K_0 = 30\\,000\\), \\(p = 7\\), \\(n = 2\\):\n\\[K_2 = 30\\,000 \\cdot (1{,}07)^2 = 30\\,000 \\cdot 1{,}1449 = 34\\,347 \\text{ zł}\\]\n\nŁączne odsetki = końcowy kapitał minus kapitał początkowy:\n\\[O = K_2 - K_0 = 34\\,347 - 30\\,000 = \\mathbf{4\\,347} \\text{ zł}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia wartości lokaty po 2 latach, a następnie odjęliśmy kapitał startowy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(2100\\) zł | Obliczono odsetki **tylko za pierwszy rok** - zapomniano o drugim roku |\n| B. \\(2247\\) zł | Obliczono odsetki **tylko za drugi rok** - zapomniano o pierwszym roku |\n| C. \\(4200\\) zł | Przyjęto **odsetki proste** (nie składane): \\(2 \\times 2100 = 4200\\) - w obu latach liczono 7% od tego samego kapitału \\(30\\,000\\), ignorując że po roku kapitał wzrósł do \\(32\\,100\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(4200\\) zł) to klasyczna pułapka - wygląda logicznie (7% × 2 lata = 14%), ale **lokata jest składana**, nie prosta. W każdym roku odsetki są doliczone do kapitału i w kolejnym roku też \"pracują\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedzi A i B to odsetki tylko z jednego z lat - łatwo się pomylić, gdy obliczamy krokami i przypadkowo zapiszemy wynik pośredni jako ostateczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **łączną wartość doliczonych odsetek**, a nie o końcowy kapitał (\\(34\\,347\\) zł). Zawsze czytaj uważnie, czy pytają o odsetki czy o cały kapitał końcowy!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Procent składany\nKapitał po dwóch latach: \\(30\\,000\\cdot (1{,}07)^{2} = 30\\,000\\cdot 1{,}1449 = 34\\,347\\) zł.\nOdsetki: \\(34\\,347 - 30\\,000 = 4347\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Obliczenie rok po roku\nPo 1. roku: \\(30\\,000\\cdot 1{,}07 = 32\\,100\\) zł (odsetki \\(2100\\)).\nPo 2. roku: \\(32\\,100\\cdot 1{,}07 = 34\\,347\\) zł (odsetki \\(2247\\)).\nŁącznie: \\(2100 + 2247 = 4347\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 2100 zł** - odsetki tylko po 1. roku.\n- **B. 2247 zł** - odsetki tylko po 2. roku.\n- **C. 4200 zł** - procent prosty: \\(2\\cdot 7\\%\\cdot 30\\,000\\), ignoruje kapitalizację.\n\n**Trik:** kapitał po \\(n\\) latach: \\(K_{0}\\cdot (1+p)^{n}\\) - zawsze potęga, nie mnożenie.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Dowody algebraiczne, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez\nuwzględniania podatków) jest równa\nA. 2100 zł\nB. 2247 zł\nC. 4200 zł\nD. 4347 zł\nKlient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. 2100 zł B. 2247 zł C. 4200 zł D. 4347 zł","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych z kapitalizacją\nroczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-1)\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana na potęgi dwójki\n\nKażdy składnik zamieniamy oddzielnie, rozpoznając potęgi liczby \\(2\\).\n\n**Krok 1.** Oblicz \\(\\log_2 \\dfrac{1}{8}\\):\n\n\\[\\frac{1}{8} = \\frac{1}{2^3} = 2^{-3}\\]\n\n\\[\\log_2 2^{-3} = -3\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz \\(\\log_2 4\\):\n\n\\[4 = 2^2\\]\n\n\\[\\log_2 2^2 = 2\\]\n\n**Krok 3.** Zsumuj oba wyniki:\n\n\\[\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4 = -3 + 2 = \\mathbf{-1}\\]\n\n## Sposób 2 - Własność logarytmu iloczynu\n\nKorzystamy ze wzoru \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\), by najpierw połączyć oba logarytmy w jeden.\n\n**Krok 1.** Zastosuj własność sumy logarytmów:\n\n\\[\\log_2 \\frac{1}{8} + \\log_2 4 = \\log_2\\!\\left(\\frac{1}{8} \\cdot 4\\right)\\]\n\n**Krok 2.** Oblicz argument:\n\n\\[\\frac{1}{8} \\cdot 4 = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3.** Oblicz logarytm:\n\n\\[\\log_2 \\frac{1}{2} = \\log_2 2^{-1} = \\mathbf{-1}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\)\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\log_2 2^{-3} = -3\\) i \\(\\log_2 2^2 = 2\\).\n\nWłasność sumy logarytmów: \\(\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\)\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do połączenia dwóch logarytmów w jeden.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nUżyliśmy przy zamianie \\(\\dfrac{1}{8} = 2^{-3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń liczy \\(\\log_2(1/8) = \\frac{1}{8}\\) lub miesza logarytm z argumentem |\n| C. \\(2\\) | Uczeń wyciąga tylko \\(\\log_2 4 = 2\\) i ignoruje \\(\\log_2 \\frac{1}{8}\\), albo błędnie zakłada, że \\(\\log_2 \\frac{1}{8} = 0\\) |\n| D. \\(5\\) | Uczeń dodaje argumenty: \\(\\frac{1}{8} + 4\\) lub myli sumę logarytmów z logarytmem sumy i liczy \\(\\log_2(8+4)\\) - klasyczny błąd! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_2 \\frac{1}{8} \\neq \\frac{1}{8}\\) - logarytm to **wykładnik**, nie argument! Pytasz: \"2 do jakiej potęgi daje \\(\\frac{1}{8}\\)?\" Odpowiedź: \\(-3\\), bo \\(2^{-3} = \\frac{1}{8}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm z ułamka mniejszego niż 1 (przy podstawie \\(> 1\\)) jest **zawsze ujemny**. To naturalny wynik, nie błąd obliczeniowy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić własności: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\), ale **NIE** \\(\\log_a(x + y)\\). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Osobne logarytmy\n\\(\\log_{2}\\dfrac{1}{8} = \\log_{2} 2^{-3} = -3\\), \\(\\log_{2} 4 = \\log_{2} 2^{2} = 2\\).\nSuma: \\(-3 + 2 = -1.\\)\n\n### Sposób 2 - Suma logarytmów\n\\(\\log_{2}\\dfrac{1}{8} + \\log_{2} 4 = \\log_{2}\\left(\\dfrac{1}{8}\\cdot 4\\right) = \\log_{2}\\dfrac{1}{2} = -1.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - błąd: ktoś obliczył \\(\\tfrac{1}{8}\\cdot 4 = \\tfrac{1}{2}\\) i zapomniał o logarytmie.\n- **C. 2** - \\(\\log_{2} 4 = 2\\) bez uwzględnienia pierwszego składnika.\n- **D. 5** - suma \\(|-3|+2\\) (ignoruje znak).\n\n**Trik:** \\(\\log_{2}\\tfrac{1}{8} = -\\log_{2} 8 = -3\\); ujemne potęgi w argumencie dają ujemne logarytmy.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Procenty, ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log2 1\n8 + log2 4 jest równa\nA. (-1)\nB. 1\n2\nC. 2\nD. 5\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_2 1/8 + log_2 4 jest równa A. (-1) B. 1/2 C. 2 D. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na różnicę kwadratów\n\nZauważamy, że mamy wyrażenie postaci \\(A^2 - B^2\\), gdzie \\(A = 1 + \\sqrt{5}\\) i \\(B = 1 - \\sqrt{5}\\).\n\nStosujemy wzór skróconego mnożenia:\n\\[A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\\]\n\nObliczamy \\(A - B\\) i \\(A + B\\):\n\\[A - B = (1 + \\sqrt{5}) - (1 - \\sqrt{5}) = 1 + \\sqrt{5} - 1 + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\\[A + B = (1 + \\sqrt{5}) + (1 - \\sqrt{5}) = 1 + \\sqrt{5} + 1 - \\sqrt{5} = 2\\]\n\nZatem:\n\\[(1+\\sqrt{5})^2 - (1-\\sqrt{5})^2 = 2\\sqrt{5} \\cdot 2 = \\mathbf{4\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - rozwinięcie każdego kwadratu osobno\n\nRozwijamy oba kwadraty używając wzoru \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) oraz \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\n\\[(1+\\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2 \\cdot 1 \\cdot \\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = 1 + 2\\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\\sqrt{5}\\]\n\n\\[(1-\\sqrt{5})^2 = 1^2 - 2 \\cdot 1 \\cdot \\sqrt{5} + (\\sqrt{5})^2 = 1 - 2\\sqrt{5} + 5 = 6 - 2\\sqrt{5}\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(6 + 2\\sqrt{5}) - (6 - 2\\sqrt{5}) = 6 + 2\\sqrt{5} - 6 + 2\\sqrt{5} = \\mathbf{4\\sqrt{5}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - potwierdzenie poprawności.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\nW Sposobie 1:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nPozwoliło to błyskawicznie rozłożyć wyrażenie bez żmudnego rozwijania obu nawiasów.\n\nW Sposobie 2:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nStandardowe rozwinięcie kwadratów dwumianu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(0\\)) | Uczeń myśli: „wyrazy wyglądają symetrycznie, więc się zniosą\" - ale zniosłoby się \\(A^2 - A^2\\), a tu \\(B = 1-\\sqrt{5} \\neq A\\) |\n| B (\\(-10\\)) | Błędne obliczenie \\((\\sqrt{5})^2 = 25\\) zamiast \\(5\\), lub pomylenie znaku przy odejmowaniu nawiasów |\n| D (\\(2 + 2\\sqrt{5}\\)) | Uczeń liczy tylko jeden nawias \\((1+\\sqrt{5})^2 = 6+2\\sqrt{5}\\) i „upraszcza\" \\(6 \\approx 4\\) lub zapomina odjąć drugi wyraz |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu nawiasów \\((6 + 2\\sqrt{5}) - (6 - 2\\sqrt{5})\\) pamiętaj zmienić znak przy \\(-2\\sqrt{5}\\) na \\(+2\\sqrt{5}\\). Brak tej zmiany to najpopularniejszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((\\sqrt{5})^2 = 5\\), nie \\(25\\). Pierwiastek i potęga się znoszą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli widzisz \\(A^2 - B^2\\), zawsze rozważ wzór na różnicę kwadratów - Sposób 1 jest tu ponad dwa razy szybszy niż ręczne rozwijanie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\\)\nNiech \\(A=1+\\sqrt{5}\\), \\(B=1-\\sqrt{5}\\). Wtedy \\(A-B=2\\sqrt{5}\\), \\(A+B=2\\).\n\\(A^{2}-B^{2}=2\\sqrt{5}\\cdot 2 = 4\\sqrt{5}.\\)\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie kwadratów\n\\((1+\\sqrt{5})^{2} = 1+2\\sqrt{5}+5 = 6+2\\sqrt{5}\\).\n\\((1-\\sqrt{5})^{2} = 1-2\\sqrt{5}+5 = 6-2\\sqrt{5}\\).\nRóżnica: \\((6+2\\sqrt{5})-(6-2\\sqrt{5}) = 4\\sqrt{5}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 0** - założono błędnie, że kwadraty są równe.\n- **B. \\(-10\\)** - błąd znaku przy \\(2\\sqrt{5}\\cdot 2\\sqrt{5}\\).\n- **D. \\(2+2\\sqrt{5}\\)** - zapomniano o podwojeniu środkowych wyrazów.\n\n**Trik:** \\((a+b)^{2}-(a-b)^{2} = 4ab\\); tu \\(4\\cdot 1\\cdot\\sqrt{5} = 4\\sqrt{5}\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (1 + √5)\n2 -(1 -√5)\n2 jest równa\nA. 0\nB. (-10)\nC. 4√5\nD. 2 + 2√5\nLiczba (1+√5)²-(1-√5)² jest równa A. 0 B. (-10) C. 4√5 D. 2+2√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - liczba \\(-23\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza znaków na osi liczbowej (metoda tabelki)\n\n**Pierwiastki wyrażenia** to miejsca, gdzie czynniki zerują się:\n\\[x - 3 = 0 \\Rightarrow x = 3, \\quad x - 2 = 0 \\Rightarrow x = 2, \\quad x + 20 = 0 \\Rightarrow x = -20\\]\n\nZaznaczamy je na osi w kolejności rosnącej: \\(-20, \\; 2, \\; 3\\). Dzielą one prostą na **4 przedziały**.\n\nAnalizujemy znak każdego czynnika i ich iloczynu:\n\n| Przedział | \\(x+20\\) | \\(x-2\\) | \\(x-3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -20\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(-20 < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✗ |\n| \\(2 < x < 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 3\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |\n\nZbiór rozwiązań nierówności:\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -20) \\cup (2, 3)}\\]\n\n**Sprawdzamy odpowiedzi:**\n- \\(-23 < -20\\), więc \\(-23\\) należy do \\((-\\infty, -20)\\) ✓\n\n**Odpowiedź B jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie (weryfikacja)\n\nSprawdzamy każdą z odpowiedzi przez podstawienie:\n\n**B. \\(x = -23\\):**\n\\[(-23-3)(-23-2)(-23+20) = (-26)(-25)(-3) = -1950 < 0 \\checkmark\\]\n\nDla pewności sprawdźmy też A i D:\n\n**A. \\(x = -20\\):**\n\\[(-20-3)(-20-2)(-20+20) = (-23)(-22)(0) = 0 \\not< 0 \\times\\]\n\n**D. \\(x = 23\\):**\n\\[(23-3)(23-2)(23+20) = (20)(21)(43) = 18060 > 0 \\times\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość analizy znaków iloczynu wielomianu w oparciu o jego miejsca zerowe (pojęcie z zakresu podstawowego funkcji).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(-20\\)) | \\(x = -20\\) to **pierwiastek** wyrażenia, więc iloczyn równa się \\(0\\), a nie jest ujemny. Nierówność jest **ostra** (\\(< 0\\)), więc \\(-20\\) **nie należy** do zbioru rozwiązań. |\n| C (\\(20\\)) | \\(20 > 3\\), więc leży w przedziale \\(x > 3\\), gdzie wszystkie trzy czynniki są dodatnie - iloczyn jest **dodatni**. |\n| D (\\(23\\)) | Identyczny błąd jak C - \\(23 > 3\\), iloczyn \\((20)(21)(43) > 0\\). Być może uczeń mylnie sprawdza tylko jeden czynnik lub nie wyznacza zbioru rozwiązań. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastki wyrażenia (tu: \\(-20, 2, 3\\)) **nie należą** do zbioru rozwiązań nierówności ostrej (\\(<0\\)). Odpowiedź A (\\(-20\\)) jest właśnie taką pułapką.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy trzech czynnikach łatwo się pomylić co do liczby minusów w danym przedziale. Rób **tabelkę znaków** czynnik po czynniku - to niezawodna metoda bez ryzyka błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić jednego czynnika - liczy się **znak całego iloczynu**. Liczba \\(-23\\) daje trzy czynniki ujemne (\\(-\\cdot-\\cdot- = -\\)), co spełnia nierówność.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Metoda znaków\nMiejsca zerowe: \\(x=-20,\\ 2,\\ 3\\). Trójmiany nieparzystego stopnia zmieniają znak w każdym miejscu zerowym. Dla \\(x\\to+\\infty\\) wyrażenie \\(\\to +\\infty\\), więc znaki (od prawej): \\(+,-,+,-\\) na przedziałach \\((3,\\infty),(2,3),(-20,2),(-\\infty,-20)\\).\nZbiór rozwiązań \\((-\\infty,-20)\\cup (2,3)\\).\n\n### Sposób 2 - Podstawianie\n- \\(x=-23\\): \\((-26)(-25)(-3) = -1950 < 0\\) ✓.\n- \\(x=-20\\): \\(0\\), nie spełnia \\(< 0\\).\n- \\(x=20\\): \\(17\\cdot 18\\cdot 40 > 0\\), nie.\n- \\(x=23\\): dodatnie, nie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-20\\)** - miejsce zerowe, wyrażenie \\(=0\\), nierówność jest ostra.\n- **C, D. 20, 23** - oba \\(>3\\), wyrażenie dodatnie.\n\n**Trik:** dla wielomianu stopnia nieparzystego w nieskończoności znak zgadza się ze znakiem najwyższego wyrazu.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 0 i 2 wyrażenie 𝑥2+𝑥\n(𝑥-2)2 ⋅𝑥-2\n𝑥 jest równe\nA. 𝑥2+1\n𝑥-2\nB. 𝑥+1\n2\nC.\n𝑥2\n(𝑥-2)2\nD. 𝑥+1\n𝑥-2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 i 2 wyrażenie x^2+x/(x-2)^2 ⋅ x-2/x jest równe A. x^2+1/x-2 B. x+1/2 C. x^2/(x-2)^2 D. x+1/x-2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n[…] stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\((-5,-1)\\cup (1,5)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt dziedziny z wykresu\n\n**Dziedzina funkcji** to zbiór wszystkich argumentów \\(x\\), dla których funkcja jest zdefiniowana - czyli wszystkich wartości na osi \\(OX\\), dla których na wykresie istnieje odpowiadający punkt.\n\n**Co robimy:** patrzymy na wykres i szukamy, dla jakich \\(x\\) wykres \"istnieje\" (jest narysowany).\n\n**Krok 1:** Obserwujemy, że wykres składa się z **dwóch oddzielnych części** (gałęzi) - to od razu eliminuje odpowiedzi B i D, które są jednym spójnym przedziałem.\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy zakres każdej gałęzi na osi \\(OX\\):\n- Lewa gałąź: od \\(x = -5\\) do \\(x = -1\\)\n- Prawa gałąź: od \\(x = 1\\) do \\(x = 5\\)\n\n**Krok 3:** Sprawdzamy, czy punkty końcowe są **zawarte** czy **wyłączone**. Na rysunku końce gałęzi zaznaczone są **pustymi kółkami** (punkty otwarte), co oznacza, że punkty \\(-5, -1, 1, 5\\) **nie należą** do dziedziny. Stosujemy nawiasy okrągłe (ostre).\n\n**Wniosek:**\n\\[\\text{Dziedzina} = (-5, -1) \\cup (1, 5)\\]\n\n**Odpowiedź C jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację\n\nZamiast bezpośredniego odczytu, sprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n**Odp. A:** \\((-3,-1)\\cup(1,3)\\) - granice \\(\\pm 3\\), ale z wykresu widać, że gałęzie sięgają dalej, do \\(\\pm 5\\). ✗\n\n**Odp. B:** \\((-3,3)\\) - jeden ciągły przedział, ale wykres ma **przerwę** wokół \\(x = 0\\) (brak wykresu między \\(-1\\) a \\(1\\)). ✗\n\n**Odp. C:** \\((-5,-1)\\cup(1,5)\\) - dwie gałęzie, każda sięga do \\(\\pm 5\\), przerwa w \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\). ✓\n\n**Odp. D:** \\((-5,5)\\) - jeden ciągły przedział bez przerwy. Wykluczone z tego samego powodu co B. ✗\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji (odczyt z wykresu) i znajomość notacji przedziałowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie odczytuje granice gałęzi jako \\(\\pm 3\\) zamiast \\(\\pm 5\\) - myli np. punkt \\((-3, 0)\\) z końcem gałęzi |\n| B | Uczeń ignoruje przerwę na wykresie i zapisuje całą \"rozpiętość\" osi \\(x\\) jako jeden przedział \\((-3, 3)\\) |\n| D | Podobny błąd jak B, ale z poprawnymi granicami \\(\\pm 5\\) - uczeń widzi skrajne punkty wykresu, ale pomija przerwę między gałęziami |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko na końcu gałęzi = punkt **nie należy** do dziedziny → nawias okrągły \\((\\,)\\). Pełne kółko = punkt **należy** → nawias kwadratowy \\(\\langle\\,\\rangle\\). Sprawdzaj to na każdym zadaniu z wykresem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dziedzina to zakres na osi **\\(OX\\)** (argumenty), nie na osi \\(OY\\) (wartości). Nie mylić dziedziny ze zbiorem wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wykres ma **dwie oddzielne gałęzie**, dziedzina musi być sumą dwóch przedziałów ze znakiem \\(\\cup\\). Odpowiedź będąca jednym spójnym przedziałem jest od razu podejrzana.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres funkcji istnieje dla \\(x\\in(-5,-1)\\) (lewa część) oraz \\(x\\in(1,5)\\) (prawa część). Wszystkie końce są otwarte (puste kółka).\nDziedzina: \\((-5,-1)\\cup (1,5).\\)\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- Wykres nie istnieje dla \\(x\\in\\langle -1,1\\rangle\\), więc A (\\(-3,-1\\)) i B (\\(-3,3\\)) są za wąskie lub obejmują przerwę.\n- Zakres \\(x\\) sięga do \\(\\pm 5\\), nie \\(\\pm 3\\) - eliminuje A, B.\n- Dziedzina nie jest spójna, co eliminuje D.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-3,-1)\\cup (1,3)\\)** - pomylono z inną skalą.\n- **B. \\((-3,3)\\)** - ignoruje przerwę.\n- **D. \\((-5,5)\\)** - ignoruje przerwę dla \\(x\\in\\langle -1,1\\rangle\\).\n\n**Trik:** dziedzina funkcji to rzut wykresu na oś \\(OX\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝒙(𝟐𝒙-𝟏) < 𝟐𝒙\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność x(2x-1) < 2x","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje równania i nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie\nzbioru rozwiązań nierówności: (0,\n3\n2) (lub 𝑥∈(0,\n3\n2) )\nALBO\n- spełnienie warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziału.\n1 pkt - obliczenie/podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥: 𝑥= 0 oraz\n𝑥=\n3\n2\nALBO\n- zaznaczenie na wykresie funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -3𝑥 miejsc zerowych tej\nfunkcji i podanie tych miejsc zerowych: 𝑥= 0 oraz 𝑥=\n3\n2 ,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 dla dwóch przypadków (spośród\ntrzech) rozpatrywanych w sposobie II.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 2𝑥2 -3𝑥, popełni błąd (ale otrzyma dwa\nróżne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 2𝑥2 -𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n2𝑥2 -𝑥< 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez 𝑥 (albo 2𝑥) bez stosownego\nzałożenia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n3\n2 , 0) (lub 𝑥∈(\n3\n2 , 0) ), to otrzymuje 2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥\n2𝑥2 -𝑥-2𝑥< 0\n2𝑥2 -3𝑥< 0\n2𝑥(𝑥-3\n2) < 0\nOdczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu 2𝑥(𝑥-\n3\n2): 𝑥= 0 lub 𝑥=\n3\n2 .\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (0,\n3\n2) lub 𝑥∈(0,\n3\n2), lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej\nInny sposób realizacji obliczenia pierwiastków trójmianu:\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci 2𝑥2 -3𝑥< 0, obliczamy wyróżnik Δ\ntrójmianu 2𝑥2 -3𝑥, a następnie pierwiastki tego trójmianu:\nΔ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅0 = 9\n𝑥= -(-3) -3\n2 ⋅2\n= 0 lub 𝑥= -(-3) + 3\n2 ⋅2\n= 3\n2\nSposób II\nRozpatrujemy trzy przypadki:\na) 𝑥∈(-∞, 0)\nPrzekształcamy nierówność, otrzymując:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 /: 𝑥\n2𝑥-1 > 2\n𝑥> 3\n2\nNierówność 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 nie ma rozwiązań w zbiorze (-∞, 0).\nb) 𝑥= 0\nGdy 𝑥= 0, to otrzymujemy nierówność 0 ⋅(2 ⋅0 -1) < 2 ⋅0, która jest fałszywa. Zatem\nliczba 0 nie jest rozwiązaniem nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥.\nc) 𝑥∈(0, +∞)\nPrzekształcamy nierówność, otrzymując:\n0\n𝑥\n3\n2\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 /: 𝑥\n2𝑥-1 < 2\n𝑥< 3\n2\nW zbiorze (0, +∞) rozwiązaniami nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 są wszystkie liczby\nz przedziału (0,\n3\n2).\nOstatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 jest (0,\n3\n2).","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\langle -3,-1\\rangle \\cup \\langle 1,3\\rangle\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt zbioru wartości z wykresu\n\n**Zbiór wartości** funkcji \\(f\\) to zbiór wszystkich wartości \\(y\\), które przyjmuje funkcja - innymi słowy: patrzymy na **oś \\(OY\\)** i odczytujemy, jakie wysokości \"pokrywa\" wykres.\n\n**Krok 1: Identyfikujemy gałęzie wykresu.**\n\nZ rysunku widzimy dwie osobne części wykresu:\n- pierwsza gałąź - leży na wysokościach od \\(-3\\) do \\(-1\\)\n- druga gałąź - leży na wysokościach od \\(1\\) do \\(3\\)\n\nŚrodek (okolica \\(y = 0\\)) nie jest pokryty - stąd **suma dwóch przedziałów**.\n\n**Krok 2: Sprawdzamy, czy krańce przedziałów są osiągane.**\n\nNa wykresie **punkty krańcowe są zaznaczone jako pełne kropki** (lub wykres dochodzi do tych wartości i je osiąga). Oznacza to, że wartości \\(-3,\\, -1,\\, 1,\\, 3\\) należą do zbioru wartości.\n\n→ Stosujemy **nawiasy domknięte** \\(\\langle\\,\\rangle\\).\n\n**Wynik:**\n\\[f(D_f) = \\langle -3,-1\\rangle \\cup \\langle 1,3\\rangle\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rzut na oś \\(OY\\)\n\nWyobraź sobie rzutowanie całego wykresu prostopadle na oś \\(OY\\) (jakbyś \"spłaszczył\" wykres na lewą ścianę):\n\n- Górna gałąź rzutuje się na odcinek \\(\\langle 1, 3\\rangle\\) - bo najniższy punkt ma \\(y = 1\\), a najwyższy \\(y = 3\\)\n- Dolna gałąź rzutuje się na odcinek \\(\\langle -3, -1\\rangle\\) - bo najniższy punkt ma \\(y = -3\\), a najwyższy \\(y = -1\\)\n\nPrzerwa pomiędzy \\(-1\\) a \\(1\\) na osi \\(OY\\) odpowiada temu, że wykres **nie przyjmuje żadnych wartości z przedziału** \\((-1, 1)\\).\n\nWynik identyczny: \\(\\langle -3,-1\\rangle \\cup \\langle 1,3\\rangle\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja zbioru wartości funkcji i umiejętność odczytu wykresu. Zbiór wartości to rzut wykresu na oś \\(OY\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Prawidłowy zakres \\(\\langle -3,-1\\rangle \\cup \\langle 1,3\\rangle\\), ale użyto **nawiasów otwartych** - uczeń uznał, że krańce nie są osiągane, choć wykres wyraźnie je zawiera (pełne kropki) |\n| C | Pomylono **zbiór wartości** (oś \\(OY\\)) ze **zbiorem argumentów / dziedziną** (oś \\(OX\\)) - odczytano zakres \\(x\\) zamiast \\(y\\), lub źle zidentyfikowano skalę osi |\n| D | Tak jak C - błędny zakres \\((-5,-1)\\cup(1,5)\\) z pomieszania osi, a do tego poprawnie zastosowane nawiasy domknięte; ale zakres sam w sobie jest nieprawidłowy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości to oś \\(OY\\), nie \\(OX\\)! Najczęstszy błąd to odczytanie wartości poziomych (dziedziny) zamiast pionowych (wartości funkcji).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, czy punkty krańcowe to **pełne kropki** (należą → nawias domknięty \\(\\langle\\,\\rangle\\)) czy **puste kółka** (nie należą → nawias otwarty \\((\\,)\\)). Tu krańce są osiągane → odpowiedź B, nie A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy zbiór wartości składa się z dwóch oddzielonych przedziałów, **nie wolno** zapisać go jako jeden przedział - trzeba użyć sumy \\(\\cup\\). Zapis \\(\\langle -3, 3\\rangle\\) byłby błędem, bo \\(y = 0\\) nie jest wartością funkcji.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nLewa część wykresu przyjmuje wartości \\(y\\in\\langle -3,-1\\rangle\\) (wartość \\(-3\\) na poziomym odcinku, do \\(-1\\) rosnąco z zamkniętym kołem).\nPrawa część: \\(y\\in\\langle 1,3\\rangle\\).\nZbiór wartości: \\(\\langle -3,-1\\rangle\\cup\\langle 1,3\\rangle.\\)\n\n### Sposób 2 - Analiza punktów\nFunkcja osiąga wartości \\(-3\\) i \\(-1\\) (widać pełne kropki przy końcach poziomych odcinków) oraz \\(1\\) i \\(3\\) - przedziały są domknięte.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Otwarte nawiasy - wartości \\(\\pm 1, \\pm 3\\) są osiągane.\n- **C, D.** Zbiór \\(\\pm 5\\) dotyczy dziedziny (oś \\(OX\\)), nie wartości.\n\n**Trik:** zbiór wartości to rzut wykresu na oś \\(OY\\); zwracaj uwagę na kropki pełne/puste.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝒙𝟑+ 𝟒𝒙𝟐-𝟗𝒙-𝟑𝟔= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0","answer":"x∈\\ -4,-3,3\\","answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej lub\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej metodą wyłączania\nwspólnego czynnika przed nawias lub\nmetodą grupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-4), (-3), 3\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-4), (-3), 3, oraz uzasadnienie, że\nsą to jedyne rozwiązania równania.\n2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci alternatywy równań stopnia co\nnajwyżej drugiego i rozwiązanie jednego z tych równań\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 (np. 𝑥= 3) oraz podzielenie\nwielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 przez odpowiedni dwumian [np. (𝑥-3)],\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 na czynniki liniowe,\nALBO\n- przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikających z tego rozkładu.\n1 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego, np. (𝑥+ 4)(𝑥2 -9) = 0\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 = 0 (jeśli to\nrozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody).\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 = 0 do postaci alternatywy równań,\nnp. 𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥2 -9 = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 = 0\n𝑥2(𝑥+ 4) -9(𝑥+ 4) = 0\n(𝑥+ 4)(𝑥2 -9) = 0\n(𝑥+ 4)(𝑥+ 3)(𝑥-3) = 0\n𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-3 = 0\n𝑥= -4 lub 𝑥= -3 lub 𝑥= 3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-4), (-3), 3.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 = 0\n𝑥(𝑥2 -9) + 4(𝑥2 -9) = 0\n(𝑥2 -9)(𝑥+ 4) = 0\n(𝑥-3)(𝑥+ 3)(𝑥+ 4) = 0\n𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥+ 4 = 0\n𝑥= 3 lub 𝑥= -3 lub 𝑥= -4\nRozwiązaniami równania są liczby: (-4), (-3), 3.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥-3. Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian 𝑥-3 i otrzymujemy\n(𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36): (𝑥-3) = 𝑥2 + 7𝑥+ 12\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(𝑥2 + 7𝑥+ 12).\nObliczamy pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 7𝑥+ 12:\nΔ = 72 -4 ⋅1 ⋅12 = 1\n𝑥= -7 -1\n2 ⋅1\n= -4 oraz 𝑥= -7 + 1\n2 ⋅1\n= -3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-4), (-3), 3.\nSposób IV\nObliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36.\nObliczamy 𝑊(-3) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-3) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36.\nObliczamy 𝑊(-4) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-4) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36.\nPonieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki\nrzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 = 0 są\nliczby: (-4), (-3), 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(10\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie argumentu do wzoru\n\nMamy daną funkcję:\n\\[f(x) = \\frac{x^2 + 4}{x - 2}\\]\n\nSzukamy wartości \\(f(4)\\), czyli podstawiamy \\(x = 4\\):\n\n\\[f(4) = \\frac{4^2 + 4}{4 - 2}\\]\n\nLiczymy licznik i mianownik osobno:\n\\[f(4) = \\frac{16 + 4}{2} = \\frac{20}{2} = 10\\]\n\n**Odpowiedź: \\(f(4) = 10\\)**, czyli C.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez uproszczenie wyrażenia\n\nSprawdźmy, czy wynik jest spójny, gdy najpierw uprościmy ułamek, a dopiero potem podstawimy.\n\nSpróbujmy podzielić licznik przez mianownik:\n\\[\\frac{x^2 + 4}{x - 2}\\]\n\nWykonujemy dzielenie wielomianów - dzielimy \\(x^2 + 4\\) przez \\(x - 2\\):\n\n\\[x^2 + 4 = (x-2)(x+2) + 8\\]\n\n(sprawdzenie: \\((x-2)(x+2) + 8 = x^2 - 4 + 8 = x^2 + 4\\) ✓)\n\nZatem:\n\\[f(x) = \\frac{(x-2)(x+2) + 8}{x-2} = x + 2 + \\frac{8}{x-2}\\]\n\nPodstawiamy \\(x = 4\\):\n\\[f(4) = 4 + 2 + \\frac{8}{4-2} = 6 + \\frac{8}{2} = 6 + 4 = 10\\]\n\nWynik zgodny - **\\(f(4) = 10\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja wartości funkcji (podstawienie argumentu do wzoru) i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(6\\) | Uczeń liczy tylko \\(x + 2 = 4 + 2 = 6\\), ignorując człon \\(\\frac{8}{x-2}\\); albo liczy \\(\\frac{4^2 + 4}{4} = 5\\) myląc mianownik, albo robi skrócenie \\(\\frac{20}{2} = 6\\) przez błędne odjęcie zamiast dzielenia |\n| B. \\(2\\) | Uczeń oblicza sam mianownik: \\(4 - 2 = 2\\), zapominając o liczniku |\n| D. \\(8\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{4^2}{4-2} = \\frac{16}{2} = 8\\), pomijając \\(+4\\) w liczniku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie stałej \\(+4\\) w liczniku - uczeń widzi \\(x^2\\) i \"zapomina\" o reszcie. Zawsze przepisuj cały wzór przed podstawieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skracać \\(\\frac{x^2 + 4}{x - 2}\\) przez wyciągnięcie \\(x\\) - licznik i mianownik nie mają wspólnego czynnika (to nie jest \\(\\frac{x^2}{x}\\)). Ułamek algebraiczny upraszczamy tylko wtedy, gdy ten sam czynnik jest **iloczynem** w liczniku i mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje \\(x \\neq 2\\) - to ważne ograniczenie dziedziny. Tutaj nie przeszkadza, bo podstawiamy \\(x = 4\\), ale na egzaminie uważaj na argumenty, przy których mianownik równa się zero.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n\\(f(4) = \\dfrac{4^{2}+4}{4-2} = \\dfrac{16+4}{2} = \\dfrac{20}{2} = 10.\\)\n\n### Sposób 2 - Rozkład\n\\(\\dfrac{x^{2}+4}{x-2}\\) - nie można uprościć (licznik nie dzieli się przez \\(x-2\\)). Obliczamy bezpośrednio wartość.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 6** - ktoś obliczył \\(\\dfrac{4^{2}-4}{2}=6\\), pomyłka znaku.\n- **B. 2** - ktoś obliczył tylko \\(4-2\\).\n- **D. 8** - ktoś obliczył \\(\\dfrac{16}{2}\\), pomijając \\(+4\\) w liczniku.\n\n**Trik:** w zadaniach z funkcją wymierną zawsze najpierw sprawdzaj dziedzinę, potem podstawiaj.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie (𝑥2-3𝑥)(𝑥+2)\n𝑥2-4\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie (x^2-3x)(x+2)/x^2-4 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{4}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\nMamy dwa punkty na prostej: \\(A = (-3, -1)\\) i \\(B = (4, 3)\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a\\) to **iloraz przyrostu \\(y\\) do przyrostu \\(x\\)**:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nPodstawiamy współrzędne:\n\n\\[a = \\frac{3 - (-1)}{4 - (-3)} = \\frac{3 + 1}{4 + 3} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Zatem \\(a = \\dfrac{4}{7}\\).**\n\n## Sposób 2 - Układ równań (podstawienie obu punktów)\n\nSkoro prosta \\(y = ax + b\\) przechodzi przez \\(A = (-3, -1)\\) i \\(B = (4, 3)\\), oba punkty spełniają równanie prostej:\n\n\\[\\begin{cases} -1 = a \\cdot (-3) + b \\\\ 3 = a \\cdot 4 + b \\end{cases}\\]\n\n\\[\\begin{cases} -1 = -3a + b \\\\ 3 = 4a + b \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego (eliminujemy \\(b\\)):\n\n\\[3 - (-1) = 4a - (-3a)\\]\n\n\\[4 = 7a\\]\n\n\\[a = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Ten sam wynik - \\(a = \\dfrac{4}{7}\\).**\n\nPrzy okazji można wyznaczyć \\(b\\): z pierwszego równania \\(b = -1 + 3 \\cdot \\dfrac{4}{7} = -1 + \\dfrac{12}{7} = \\dfrac{5}{7}\\). Równanie prostej: \\(y = \\dfrac{4}{7}x + \\dfrac{5}{7}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nWzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów nie jest wprost wypisany na karcie, ale wynika bezpośrednio z definicji: \\(a\\) to **przyrost \\(y\\) podzielony przez przyrost \\(x\\)** między dowolnymi dwoma punktami prostej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(-4\\) | Odjęto współrzędne w złej kolejności i jeszcze popełniono błąd arytmetyczny: np. \\((-1) - 3 = -4\\) bez dzielenia przez przyrost \\(x\\) |\n| B: \\(-\\dfrac{1}{2}\\) | Pomylono kolejność punktów w liczniku i mianowniku jednocześnie, lub wzięto odwrotność i zmieniono znak |\n| C: \\(2\\) | Wzięto tylko przyrost \\(y\\) wynoszący \\(4\\) i podzielono przez \\(2\\) zamiast przez \\(7\\), albo pomylono \\(x\\) z \\(y\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na podwójne minusy! \\(x_B - x_A = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7\\), **nie** \\(4 - 3 = 1\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów nie ma znaczenia dla wyniku - możesz liczyć \\(\\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B}\\) i dostaniesz to samo \\(\\dfrac{4}{7}\\). Ważne, żeby **licznik i mianownik były w tej samej kolejności**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik \\(a\\) to iloraz **przyrostów** (\\(\\Delta y / \\Delta x\\)), a nie sama różnica wartości \\(y\\) ani \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy\n\\(a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{3-(-1)}{4-(-3)} = \\dfrac{4}{7}.\\)\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nZ warunków \\(-1 = -3a+b\\), \\(3 = 4a+b\\). Odejmując: \\(4 = 7a\\), \\(a = \\tfrac{4}{7}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-4\\)** - ktoś obliczył tylko \\(y_{B}-y_{A}\\) ze złym znakiem.\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{2}\\)** - znak liczyka przeciwny.\n- **C. 2** - przypadkowa wartość.\n\n**Trik:** wzór \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - pamiętaj o kolejności i znakach współrzędnych.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresy funkcji liniowych\n𝑓(𝑥) = (2𝑚+ 3)𝑥+ 5 oraz 𝑔(𝑥) = -𝑥 nie mają punktów wspólnych dla\nA. 𝑚= -2\nB. 𝑚= -1\nC. 𝑚= 1\nD. 𝑚= 2\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresy funkcji liniowych f(x)=(2m+3)x+5 oraz g(x)=-x nie mają punktów wspólnych dla A. m=-2 B. m=-1 C. m=1 D. m=2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(m = -2\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych\n\nDwie proste nie mają punktów wspólnych wtedy i tylko wtedy, gdy są **równoległe**, czyli mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nDane proste:\n\\[f(x) = (2m+3)x + 5\\]\n\\[g(x) = -x + 0\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(f\\): \\(\\quad a_f = 2m + 3\\)\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(g\\): \\(\\quad a_g = -1\\)\n\n**Warunek równoległości:**\n\\[2m + 3 = -1\\]\n\\[2m = -4\\]\n\\[m = -2\\]\n\nTeraz sprawdzamy wyrazy wolne - czy proste nie są tą samą prostą (bo wtedy miałyby nieskończenie wiele punktów wspólnych):\n- Wyraz wolny \\(f\\): \\(5\\)\n- Wyraz wolny \\(g\\): \\(0\\)\n\n\\[5 \\neq 0\\] ✓\n\nProste są równoległe i **różne** - brak punktów wspólnych.\n\n**Odpowiedź: \\(m = -2\\)**\n\n## Sposób 2 - Układ równań bez rozwiązania\n\nPunkty wspólne wykresów to rozwiązania układu:\n\\[\\begin{cases} y = (2m+3)x + 5 \\\\ y = -x \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[-x = (2m+3)x + 5\\]\n\\[-x - (2m+3)x = 5\\]\n\\[x \\cdot (-1 - 2m - 3) = 5\\]\n\\[x \\cdot (-2m - 4) = 5\\]\n\nUkład nie ma rozwiązania, gdy **współczynnik przy \\(x\\) wynosi zero** (nie możemy podzielić przez zero):\n\\[-2m - 4 = 0\\]\n\\[-2m = 4\\]\n\\[m = -2\\]\n\nSprawdzamy: przy \\(m = -2\\) równanie staje się \\(0 \\cdot x = 5\\), czyli **\\(0 = 5\\)** - sprzeczność. Brak rozwiązań.\n\n**Odpowiedź: \\(m = -2\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\\[a_1 = a_2\\]\n(gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\))\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - przyrównanie współczynników kierunkowych obu funkcji liniowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B (\\(m = -1\\)) | Podstawienie \\(m = -1\\): \\(a_f = 2(-1)+3 = 1 \\neq -1\\). Proste mają różne współczynniki → przecinają się w jednym punkcie |\n| C (\\(m = 1\\)) | Podstawienie \\(m = 1\\): \\(a_f = 2(1)+3 = 5 \\neq -1\\). Proste przecinają się |\n| D (\\(m = 2\\)) | Podstawienie \\(m = 2\\): \\(a_f = 2(2)+3 = 7 \\neq -1\\). Proste przecinają się |\n\nTypowy błąd: uczeń przyrównuje do zera cały wyrażenie \\((2m+3)x + 5 = -x\\) i szuka \\(x = 0\\) zamiast rozpatrywać brak rozwiązania.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to konieczny, ale nie wystarczający warunek braku punktów wspólnych - trzeba jeszcze upewnić się, że proste **nie są identyczne** (różne wyrazy wolne). Tu \\(5 \\neq 0\\), więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myląc „brak punktów wspólnych\" z „jedna prosta\", czyli nie szukamy \\(m\\) tak, żeby proste były tą samą prostą - to dawałoby nieskończenie wiele punktów wspólnych, nie zero.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 zerowanie współczynnika przy \\(x\\) to właśnie moment, gdy równanie nie ma rozwiązania - to intuicja z algebry liniowej: \\(0 \\cdot x = 5\\) jest sprzeczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nProste nie mają punktów wspólnych \\(\\Leftrightarrow\\) są równoległe i różne. Równość współczynników kierunkowych: \\(2m+3 = -1 \\Rightarrow 2m = -4 \\Rightarrow m = -2\\). Wyrazy wolne: \\(5 \\ne 0\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(m=-2\\): \\(f(x) = -x + 5\\) oraz \\(g(x) = -x\\). Proste równoległe (oba współczynniki kierunkowe \\(-1\\)), różne wyrazy wolne - brak punktów wspólnych.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(m=-1\\)** - \\(f(x)=x+5\\), przecina \\(g(x)=-x\\) w \\((-\\tfrac{5}{2},\\tfrac{5}{2})\\).\n- **C. \\(m=1\\)** - \\(f(x)=5x+5\\), inny współczynnik kierunkowy.\n- **D. \\(m=2\\)** - \\(f(x)=7x+5\\), inny współczynnik.\n\n**Trik:** dwie proste liniowe nie mają punktów wspólnych \\(\\Leftrightarrow\\) są równoległe i nie pokrywają się.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 przechodzi\nprzez punkty 𝐴= (-3, -1) oraz 𝐵= (4, 3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik 𝑎 w równaniu tej prostej jest równy\nA. (-4)\nB. (-1\n2)\nC. 2\nD. 4\n7\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu y=ax+b przechodzi przez punkty A=(-3,-1) oraz B=(4,3). Współczynnik a w równaniu tej prostej jest równy A. (-4) B. (-1/2) C. 2 D. 4/7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Analiza własności funkcji z warunków na \\(a\\) i \\(b\\)\n\nMamy \\(f(x) = ax^2 + bx + 1\\), gdzie \\(a < 0\\) i \\(b > 0\\).\n\nWyciągamy trzy kluczowe informacje z postaci wzoru:\n\n**Krok 1: Ramiona paraboli**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(a < 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** (otwarta ku dołowi). Eliminujemy wszystkie wykresy z parabolą otwartą ku górze.\n\n**Krok 2: Punkt przecięcia z osią \\(OY\\)**\n\nObliczamy \\(f(0)\\):\n\\[f(0) = a \\cdot 0^2 + b \\cdot 0 + 1 = 1\\]\n\nParabola przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 1)\\), czyli **powyżej początku układu współrzędnych**. Szukamy wykresu z dodatnim wyrazem wolnym.\n\n**Krok 3: Położenie wierzchołka względem osi \\(OY\\)**\n\nWspółrzędna \\(x\\) wierzchołka wynosi:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nPonieważ \\(b > 0\\) i \\(a < 0\\), mamy:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{(\\text{dodatnia})}{2 \\cdot (\\text{ujemna})} = -\\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{ujemna})} = +\\frac{(\\text{dodatnia})}{(\\text{dodatnia})} > 0\\]\n\n**Wierzchołek leży po prawej stronie osi \\(OY\\)** (dla \\(x > 0\\)).\n\n**Wniosek:** Szukamy paraboli, która:\n- otwarta jest **ku dołowi**,\n- przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 1)\\) (powyżej \\(Ox\\)),\n- ma wierzchołek **po prawej stronie** osi \\(OY\\).\n\nTo jest rysunek **D**.\n\n## Sposób 2 - Badanie znaku pochodnej w punkcie \\(x = 0\\)\n\nObliczamy pochodną funkcji:\n\\[f'(x) = 2ax + b\\]\n\nSprawdzamy jej znak w punkcie \\(x = 0\\):\n\\[f'(0) = 2a \\cdot 0 + b = b\\]\n\nPonieważ \\(b > 0\\), mamy \\(f'(0) > 0\\) - **funkcja rośnie w \\(x = 0\\)**.\n\nOznacza to, że:\n- parabola w punkcie \\(x = 0\\) (na osi \\(OY\\)) jest jeszcze na etapie wznoszenia się (lewa gałąź),\n- **wierzchołek (maksimum) leży na prawo od osi \\(OY\\)**.\n\nPołączone z faktem, że \\(a < 0\\) (ramiona w dół) i \\(f(0) = 1 > 0\\) (przecięcie \\(OY\\) powyżej \\(Ox\\)), jednoznacznie wskazuje to na rysunek **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego do ustalenia, że wierzchołek leży dla \\(x > 0\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna trójmianu kwadratowego:\n\\[(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do określenia kierunku wzrastania funkcji w punkcie \\(x = 0\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Wzięto parabolę otwartą ku górze - błędna interpretacja \\(a < 0\\) (pomyłka znaku) |\n| **B** | Parabola otwarta ku dołowi, ale wierzchołek na lewo od \\(OY\\) - nie zauważono, że \\(b > 0\\) i \\(a < 0\\) dają \\(p > 0\\) |\n| **C** | Parabola otwarta ku dołowi, wierzchołek po prawej, ale z wyrazem wolnym \\(\\leq 0\\) - zignorowano, że \\(f(0) = 1 > 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek otwarcia paraboli zależy wyłącznie od znaku **współczynnika \\(a\\)** (przy \\(x^2\\)), nie od znaku \\(b\\)! Wielu uczniów myli i myśli, że \\(b > 0\\) wpływa na kierunek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(c = 1\\) to zawsze **wartość funkcji w \\(x = 0\\)**, czyli dokładnie punkt przecięcia z osią \\(OY\\). To szybki i pewny sposób odczytu z wykresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu znaku \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) uważaj na podwójny minus - \\(b > 0\\), \\(a < 0\\), więc \\(2a < 0\\) i \\(\\frac{b}{2a} < 0\\), a po negacji \\(p > 0\\). Łatwo się tu pomylić przy szybkim liczeniu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza znaków współczynników\n- \\(a<0\\) - parabola ramionami skierowana w dół (odpada A, C).\n- \\(f(0) = 1 > 0\\) - parabola przecina oś \\(OY\\) powyżej 0.\n- \\(b>0\\) i \\(a<0\\) - wierzchołek przy \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a} > 0\\), czyli na prawo od osi \\(OY\\).\n\nOdpowiedzi B i D mają ramiona w dół; D ma wierzchołek w prawej półpłaszczyźnie \\(\\Rightarrow\\) D.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\nB: wierzchołek po lewej stronie osi \\(OY\\) \\(\\Rightarrow x_{w} < 0\\), co wymagałoby \\(b<0\\) (sprzeczność).\nD: wierzchołek po prawej \\(\\Rightarrow b>0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C.** Ramiona w górę wymagają \\(a>0\\).\n- **B.** Dla \\(a<0\\) i wierzchołka na lewo od \\(OY\\) musiałoby być \\(b<0\\).\n\n**Trik:** znak \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a}\\) pokazuje, po której stronie osi \\(OY\\) leży wierzchołek.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Zapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności f(x)<1.","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - **31 wyrazów**\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\n\nSzukamy liczby wyrazów, dla których \\(a_n < 10\\). Podstawiamy wzór ogólny:\n\n\\[\\frac{n-2}{3} < 10\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(3 > 0\\) (nierówność nie zmienia kierunku):\n\n\\[n - 2 < 30\\]\n\nDodajemy \\(2\\) do obu stron:\n\n\\[n < 32\\]\n\nPonieważ \\(n\\) jest liczbą naturalną i \\(n \\geq 1\\), warunek \\(n < 32\\) spełniają:\n\n\\[n \\in \\{1, 2, 3, \\ldots, 31\\}\\]\n\n**Liczba takich wyrazów to \\(31\\).**\n\nSprawdzenie graniczne:\n- \\(a_{31} = \\frac{31-2}{3} = \\frac{29}{3} \\approx 9{,}67 < 10\\) ✓\n- \\(a_{32} = \\frac{32-2}{3} = \\frac{30}{3} = 10\\) - **równe** 10, więc NIE spełnia warunku \\(< 10\\) ✗\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie granicznego wyrazu i liczenie\n\nPytamy: który wyraz jako **pierwszy** osiąga wartość \\(\\geq 10\\)?\n\nRozwiązujemy równanie \\(a_n = 10\\):\n\n\\[\\frac{n-2}{3} = 10 \\implies n - 2 = 30 \\implies n = 32\\]\n\nWyraz \\(a_{32} = 10\\) jest pierwszym wyrazem **niespełniającym** warunku \\(a_n < 10\\).\n\nWszystkie wyrazy od \\(n = 1\\) do \\(n = 31\\) są mniejsze od \\(10\\).\n\nLiczba wyrazów: od \\(1\\) do \\(31\\) - to dokładnie \\(31\\) wyrazów.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozwiązanie prostej nierówności liniowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** (\\(28\\)) | Pominięcie wyrazów ujemnych - uczeń liczy tylko wyrazy dodatnie (od \\(n = 4\\)) i jednocześnie myli granicę, dochodząc do \\(n \\leq 31\\): \\(n = 4, 5, \\ldots, 31\\) to \\(28\\) wyrazów |\n| **C** (\\(32\\)) | Pomylono \\(<\\) z \\(\\leq\\) - uczeń uwzględnia też \\(a_{32} = 10\\) (czyli liczy wyrazy \"mniejsze lub równe 10\"), dostając \\(n \\in \\{1, \\ldots, 32\\}\\) |\n| **D** (\\(27\\)) | Pominięcie wyrazów ujemnych i zerowego (zaczęcie od \\(n = 5\\)) albo błąd arytmetyczny przy wyznaczaniu granicy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyrazy \\(a_1 = -\\frac{1}{3}\\) i \\(a_2 = 0\\) **są mniejsze od 10** - też je liczymy! Warunek to \\(a_n < 10\\), nie \\(0 < a_n < 10\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniczna wartość \\(a_{32} = 10\\) **nie** spełnia nierówności \\(< 10\\) (ostrej). To klasyczna pułapka - wyraz graniczny zawsze sprawdzaj ręcznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu \\(n < 32\\) łatwo pomylić \"ile jest naturalnych \\(n\\) mniejszych od \\(32\\) i nie mniejszych od \\(1\\)\". To po prostu \\(31 - 1 + 1 = 31\\), nie \\(32\\) ani \\(30\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Nierówność\n\\(\\dfrac{n-2}{3} < 10 \\Rightarrow n-2 < 30 \\Rightarrow n < 32.\\)\nLiczby naturalne \\(n\\in\\{1,2,\\ldots,31\\}\\) to \\(31\\) wartości.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(a_{31} = \\tfrac{29}{3}\\approx 9{,}67 < 10\\) ✓\n\\(a_{32} = \\tfrac{30}{3} = 10\\), nie spełnia \\(<10\\).\nPozostaje \\(n=1,\\ldots,31\\), czyli \\(31\\) wyrazów.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 28** - błąd rachunkowy.\n- **C. 32** - obejmuje \\(a_{32}=10\\), co nie jest \\(<10\\).\n- **D. 27** - błędny warunek.\n\n**Trik:** przy ostrej nierówności \\(<\\) równość na granicy jest wykluczona.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13.1","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-F.\nDziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest zbiór\nA. [-3, -1] ∪[1, 3]\nB. (-3, 3)\nC. (-3, -1) ∪(1, 3)\nD. [-5, -1] ∪[1, 5]\nE. (-5, 5)\nF. (-5, -1) ∪(1, 5)\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Dziedziną funkcji f jest zbiór... Zbiorem wartości funkcji f jest zbiór... A. <-3,-1>∪<1,3> B. (-3,3) C. (-3,-1)∪(1,3) D. <-5,-1>∪<1,5> E. (-5,5) F. (-5,-1)∪(1,5).","answer":"FA","answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości […].\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFA","solution":"Z wykresu:\n\nD_f=(-5,-1)∪(1,5),\n\nczyli odpowiedź F, oraz\n\nW_f=[-3,-1]∪[1,3],\n\nczyli odpowiedź A.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.1.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nZapisz poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności 𝒇(𝒙) < -𝟏.\n\nMMAP-P0_100","answer":"x∈(-5,-3)","answer_text":"Zadanie 13.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-3, -5), to otrzymuje 1 punkt.\nRozwiązanie\n(-5, -3)\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Wykres leży poniżej prostej y=-1 dla\n\nx∈(-5,-3).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1, gdzie 𝑎 oraz 𝑏 są\npewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że 𝑎< 0 i 𝑏> 0. Na jednym z rysunków A-D\nprzedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFragment wykresu funkcji 𝑓 przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=ax^2+bx+1, gdzie a oraz b są pewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że a<0 i b>0. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu tej funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y). Fragment wykresu funkcji f przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli\nistnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nCiąg \\((a_n)\\) jest **ciągiem geometrycznym o ilorazie \\(2\\)**.\n\n## Sposób 1 - Sprawdzenie ilorazu kolejnych wyrazów\n\nCiąg geometryczny to taki, w którym stosunek każdego wyrazu do poprzedniego jest stały (i równy ilorazowi \\(q\\)).\n\nWyznaczamy pierwsze wyrazy ciągu:\n\\[a_1 = -2^1 = -2\\]\n\\[a_2 = -2^2 = -4\\]\n\\[a_3 = -2^3 = -8\\]\n\\[a_4 = -2^4 = -16\\]\n\nSprawdzamy iloraz:\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-4}{-2} = 2\\]\n\\[\\frac{a_3}{a_2} = \\frac{-8}{-4} = 2\\]\n\\[\\frac{a_4}{a_3} = \\frac{-16}{-8} = 2\\]\n\nIloraz jest stały i równy \\(2\\) - to ciąg geometryczny.\n\n**Sprawdzamy też, czy to ciąg arytmetyczny** (różnice):\n\\[a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -2\\]\n\\[a_3 - a_2 = -8 - (-4) = -4\\]\n\nRóżnice nie są stałe (\\(-2 \\neq -4\\)), więc **NIE jest to ciąg arytmetyczny**.\n\n**Odpowiedź: ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Dowód ogólny (ze wzoru)\n\nŻeby udowodnić, że ciąg jest geometryczny, wystarczy pokazać, że iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) jest stały dla każdego \\(n \\geq 1\\).\n\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{-2^{n+1}}{-2^n}\\]\n\nMinusy się skracają:\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = \\frac{2^{n+1}}{2^n} = 2^{n+1-n} = 2^1 = 2\\]\n\nIloraz wynosi \\(2\\) dla **każdego** \\(n \\geq 1\\) - to formalny dowód, że ciąg jest geometryczny o ilorazie \\(q = 2\\).\n\nMożemy też zapisać wzór w standardowej postaci ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = -2^n = (-2) \\cdot 2^{n-1} = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\ngdzie \\(a_1 = -2\\) i \\(q = 2\\). Zgadza się ze wzorem \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - definicja i wzór ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\noraz warunek bycia ciągiem geometrycznym:\n\\[\\frac{a_{n+1}}{a_n} = q = \\text{const}\\]\n\nSkorzystaliśmy z tego w obu sposobach - w Sposobie 1 wprost obliczając iloraz, w Sposobie 2 pokazując to ogólnie ze wzoru.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń myli typ ciągu i myśli, że \"skoro wyrazy rosną, to jest arytmetyczny z różnicą \\(2\\)\" - ale wyrazy maleją (\\(-2, -4, -8, \\ldots\\)), a poza tym różnice nie są stałe |\n| B | Uczeń liczy \\(a_2 - a_1 = -4 - (-2) = -2\\) i zatrzymuje się na pierwszej różnicy, nie sprawdzając kolejnych - pułapka pochopnego wnioskowania |\n| D | Najgroźniejsza pułapka! Uczeń widzi \\(-2^n\\) i myśli \"iloraz to \\(-2\\)\", zapominając że \\(-2^n \\neq (-2)^n\\). Wyrażenie \\(-2^n\\) oznacza \\(-(2^n)\\), a \\((-2)^n\\) to zupełnie co innego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(-2^n\\) to **minus** przed potęgą dwójki, czyli \\(-(2^n)\\). To **nie to samo** co \\((-2)^n\\)! Dla \\((-2)^n\\) wyrazy byłyby naprzemiennie dodatnie i ujemne: \\(-2, 4, -8, 16, \\ldots\\), a iloraz wynosiłby \\(-2\\). Tu tak nie jest!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby stwierdzić, że ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny, trzeba sprawdzić **co najmniej dwie kolejne różnice/ilorazy** - jedna para wyrazów to za mało!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny może mieć **ujemne wyrazy** - ważne jest, żeby iloraz był stały. Tutaj wszystkie wyrazy są ujemne (\\(-2, -4, -8, \\ldots\\)), ale iloraz \\(\\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 > 0\\), bo minusy się skracają.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Iloraz kolejnych wyrazów\n\\(\\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = \\dfrac{-2^{n+1}}{-2^{n}} = 2.\\)\nIloraz stały \\(= 2\\), więc ciąg jest geometryczny o ilorazie \\(2\\).\n\n### Sposób 2 - Pierwsze wyrazy\n\\(a_{1} = -2,\\ a_{2}=-4,\\ a_{3}=-8,\\ a_{4}=-16.\\) Różnice \\(-2,-4,-8\\) - nie stałe, nie arytmetyczny. Ilorazy \\(2,2,2\\) - stały, geometryczny o ilorazie \\(2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B.** Różnice nie są stałe.\n- **D. \\(-2\\)** - błąd znaku: \\(\\dfrac{-4}{-2}=2\\), nie \\(-2\\).\n\n**Trik:** \\(a_{n}=-2^{n}\\) to \\(-1\\cdot 2^{n}\\), czyli postać geometryczna \\(a_{1}q^{n-1}\\) z \\(a_{1}=-2\\), \\(q=2\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.\nMasa 𝑚 leku ℒ zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością\nwykładniczą\n𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(0,6)0,25𝑡\ngdzie:\n𝑚0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili 𝑡= 0 dawki leku,\n𝑡 - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu 𝑡= 0 zażycia leku.\nMasa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą m(t) = m_0⋅(0,6)^0,25t gdzie: m_0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0 dawki leku, t - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0 zażycia leku. Liczby m(2,5), m(4,5), m(6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (\\(a = 2\\))\n\n## Sposób 1 - własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 1\\), \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = a+5\\):\n\n\\[4 = \\frac{1 + (a+5)}{2}\\]\n\n\\[8 = 1 + a + 5\\]\n\n\\[8 = a + 6\\]\n\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - stała różnica ciągu\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała. Oznaczmy ją \\(r\\).\n\nZ pierwszych dwóch wyrazów:\n\\[r = a_2 - a_1 = 4 - 1 = 3\\]\n\nZatem trzeci wyraz musi być:\n\\[a_3 = a_2 + r = 4 + 3 = 7\\]\n\nAle \\(a_3 = a + 5\\), więc:\n\\[a + 5 = 7\\]\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n**Weryfikacja:** ciąg \\((1, 4, 7)\\) - różnice: \\(4-1=3\\), \\(7-4=3\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1. W Sposobie 2 korzystamy z definicji różnicy: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(a=0\\)) | Uczeń liczy różnicę \\(r = 4 - 1 = 3\\), ale zamiast \\(a+5 = 7\\) rozwiązuje \\(a + 5 = 5\\), myląc wynik z wartością \\(a_1\\) |\n| B (\\(a=7\\)) | Uczeń wyznacza \\(a_3 = 7\\), ale **zapomina odjąć 5** - bierze \\(a = a_3 = 7\\) zamiast \\(a = a_3 - 5\\) |\n| D (\\(a=11\\)) | Uczeń oblicza \\(a_3 = a_1 + 2 \\cdot r = 1 + 2 \\cdot 4 = 9\\)… lub myli \\(r\\) z \\(a_2\\) i liczy \\(a+5 = 1 + 2\\cdot 4 = 9\\), albo bierze \\(r = 4\\) i dostaje \\(a + 5 = 4 + 4 = 8\\) → \\(a = 3\\), skąd już blisko do pomyłki z \\(a=11\\) przy błędnym \\(r=8-1=7\\) → \\(a+5=4+7=11\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wartości \\(a_3\\) z szukaną liczbą \\(a\\)! Wyznaczamy \\(a_3 = 7\\), a potem rozwiązujemy \\(a + 5 = 7\\), czyli \\(a = 2\\). Zatrzymanie się na \\(a_3 = 7\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę \\(r\\) liczymy zawsze jako \\(a_{n+1} - a_n\\), nie odwrotnie! Pomylenie kolejności daje złą różnicę i błędne \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze **sprawdź wynik** podstawiając \\(a = 2\\) z powrotem do ciągu: \\((1, 4, 7)\\) - trzy liczby w równych odstępach \\(3\\). Weryfikacja zajmuje 5 sekund i chroni przed głupim błędem.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej arytmetycznej\nŚrodkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich:\n\\(4 = \\dfrac{1 + (a+5)}{2} \\Rightarrow 8 = a+6 \\Rightarrow a = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Stała różnica\n\\(r = 4-1 = 3\\), więc \\(a+5 = 4+3 = 7 \\Rightarrow a = 2.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 0** - wtedy trzeci wyraz to \\(5\\), różnice \\(3,1\\), nie stałe.\n- **B. 7** - wtedy trzeci wyraz \\(12\\), różnice \\(3,8\\), nie stałe.\n- **D. 11** - wtedy trzeci wyraz \\(16\\), różnice \\(3,12\\), nie stałe.\n\n**Trik:** \\(a_{2} = \\tfrac{a_{1}+a_{3}}{2}\\) to najszybszy sposób na średni wyraz.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":15,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nChory przyjął jednorazowo lek ℒ w dawce 200 mg.\nOblicz, ile mg leku 𝓛 pozostanie w organizmie chorego po 𝟏𝟐 godzinach od momentu\nprzyjęcia dawki. Zapisz obliczenia.\nMasa m leku L zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą m(t) = m_0⋅(0,6)^0,25t gdzie: m_0 - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili t=0 dawki leku, t - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu t=0 zażycia leku. Chory przyjął jednorazowo lek L w dawce 200 mg. Oblicz, ile mg leku L pozostanie w organizmie chorego po 12 godzinach od momentu przyjęcia dawki.","answer":"43 , 2 mg","answer_text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa […].\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania i poprawny wynik: 43,2 mg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zastosuje poprawną metodę, uzyska wynik liczbowy 43,2 i nie poda\njednostki, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy 𝑚(12) = 200 ⋅(0,6)0,25⋅12 = 200 ⋅(0,6)3 = 43,2 mg.","solution":"m(12)=200·(0 , 6)^ 0 , 25·12\n=200·(0 , 6)^3\n=43 , 2.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.1.svg","topics":"Funkcja wykładnicza, wykladnicza","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.2. (0-1)\nLiczby 𝑚(2,5), 𝑚(4,5), 𝑚(6,5) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny.\nOblicz iloraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100","answer":"q=sqrt 0 , 6","answer_text":"Zadanie 15.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania i poprawny wynik: √3\n5 (lub (0,6)0,5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy iloraz 𝑞 ciągu geometrycznego:\n𝑞= 𝑚(4,5)\n𝑚(2,5) = 𝑚0 ⋅(0,6)0,25⋅4,5\n𝑚0 ⋅(0,6)0,25⋅2,5 = (0,6)0,25⋅(4,5-2,5) = (0,6)0,5\nInna przykładowa realizacja:\n𝑞= 𝑚(6,5)\n𝑚(4,5) = 𝑚0 ⋅(0,6)0,25⋅6,5\n𝑚0 ⋅(0,6)0,25⋅4,5 = (0,6)1,625\n(0,6)1,125 = (0,6)0,5","solution":"q=frac m(4 , 5) m(2 , 5)\n=(0 , 6)^ 0 , 25(4 , 5-2 , 5)\n=(0 , 6)^1/2\n=sqrt 0 , 6 .","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja wykładnicza, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2\n3 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa\nA. 28\nB. 31\nC. 32\nD. 27\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = n-2/3 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Liczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa A. 28 B. 31 C. 32 D. 27","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(11{,}25\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie ilorazu i obliczenie sumy wprost\n\n**Krok 1: Znajdź iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nW ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz \\(q\\):\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{-7{,}5}{3{,}75} = -2\\]\n\n**Krok 2: Oblicz trzeci wyraz.**\n\\[a_3 = a_2 \\cdot q = -7{,}5 \\cdot (-2) = 15\\]\n\n**Krok 3: Zsumuj trzy wyrazy.**\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 3{,}75 - 7{,}5 + 15 = \\mathbf{11{,}25}\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego\n\nZamiast wyznaczać \\(a_3\\) osobno, można użyć gotowego wzoru:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad \\text{(dla } q \\neq 1\\text{)}\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 3{,}75\\), \\(q = -2\\), \\(n = 3\\):\n\\[S_3 = 3{,}75 \\cdot \\frac{1 - (-2)^3}{1 - (-2)} = 3{,}75 \\cdot \\frac{1 - (-8)}{3} = 3{,}75 \\cdot \\frac{9}{3} = 3{,}75 \\cdot 3 = \\mathbf{11{,}25}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - potwierdza to poprawność.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzory dla ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad (q \\neq 1)\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy definicji ilorazu \\(q = \\frac{a_{n+1}}{a_n}\\) oraz wzoru na \\(n\\)-ty wyraz.\nW Sposobie 2 użyliśmy bezpośrednio wzoru na sumę \\(S_n\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(-18{,}75\\) | Uczeń oblicza \\(a_3 = -15\\) (nie dostrzega, że \\((-2)^2 = +4\\), więc \\(a_3\\) jest **dodatnie**), po czym liczy \\(3{,}75 - 7{,}5 - 15 = -18{,}75\\) |\n| C: \\(15\\) | Uczeń podaje sam wyraz \\(a_3 = 15\\) zamiast sumy trzech wyrazów |\n| D: \\(-15\\) | Uczeń liczy \\(a_1 + a_2 = 3{,}75 - 7{,}5 = -3{,}75\\), po czym myli się przy wyznaczaniu \\(a_3\\) i przyjmuje \\(q = +2\\) (bez znaku minus), dostając \\(a_3 = -15\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego może być **ujemny**! Tutaj \\(q = -2\\), więc wyrazy na przemian zmieniają znak: \\(+, -, +, -, \\ldots\\) Trzeci wyraz jest **dodatni**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\((-2)^3 = -8\\), a nie \\(+8\\). Potęga liczby ujemnej o wykładniku nieparzystym jest ujemna - łatwo tu o błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(a_3\\) z \\(S_3\\). Zadanie pyta o **sumę trzech wyrazów** \\(S_3\\), nie o wartość trzeciego wyrazu \\(a_3 = 15\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Iloraz i trzeci wyraz\n\\(q = \\dfrac{a_{2}}{a_{1}} = \\dfrac{-7{,}5}{3{,}75} = -2.\\)\n\\(a_{3} = a_{2}\\cdot q = -7{,}5\\cdot(-2) = 15.\\)\nSuma: \\(3{,}75 + (-7{,}5) + 15 = 11{,}25.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę\n\\(S_{3} = a_{1}\\cdot \\dfrac{1-q^{3}}{1-q} = 3{,}75\\cdot \\dfrac{1-(-8)}{1-(-2)} = 3{,}75\\cdot \\dfrac{9}{3} = 3{,}75\\cdot 3 = 11{,}25.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-18{,}75\\)** - błąd znaku.\n- **C. 15** - tylko \\(a_{3}\\).\n- **D. \\(-15\\)** - błędny iloraz.\n\n**Trik:** zawsze najpierw oblicz iloraz \\(q = \\tfrac{a_{2}}{a_{1}}\\), potem trzeci wyraz.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (1, 4, 𝑎+ 5) jest arytmetyczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 0\nB. 7\nC. 2\nD. 11\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (1,4,a+5) jest arytmetyczny. Liczba a jest równa A. 0 B. 7 C. 2 D. 11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\cos^3\\alpha\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\nMamy wyrażenie:\n\\[\\cos\\alpha - \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha\\]\n\n**Krok 1.** Zauważamy, że oba składniki mają wspólny czynnik \\(\\cos\\alpha\\). Wyłączamy go przed nawias:\n\\[\\cos\\alpha - \\cos\\alpha \\cdot \\sin^2\\alpha = \\cos\\alpha\\,(1 - \\sin^2\\alpha)\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies 1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\]\n\n**Krok 3.** Podstawiamy:\n\\[\\cos\\alpha \\cdot (1 - \\sin^2\\alpha) = \\cos\\alpha \\cdot \\cos^2\\alpha = \\mathbf{\\cos^3\\alpha}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa dla konkretnego kąta\n\nSprawdzamy dla \\(\\alpha = 60°\\), gdzie \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2}\\) i \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Wartość wyrażenia:**\n\\[\\cos 60° - \\cos 60° \\cdot \\sin^2 60° = \\frac{1}{2} - \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{1}{2} - \\frac{3}{8} = \\frac{1}{8}\\]\n\n**Sprawdzamy odpowiedź A:**\n\\[\\cos^3 60° = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8} \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzamy pozostałe (eliminacja):**\n- B: \\(\\sin^2 60° = \\frac{3}{4} \\neq \\frac{1}{8}\\)\n- C: \\(1 - \\sin^2 60° = \\frac{1}{4} \\neq \\frac{1}{8}\\)\n- D: \\(\\cos 60° = \\frac{1}{2} \\neq \\frac{1}{8}\\)\n\nPotwierdzamy: **odpowiedź A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 (Krok 2), zamieniając \\(1 - \\sin^2\\alpha\\) na \\(\\cos^2\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B | Uczeń \"skraca\" \\(\\cos\\alpha\\) z wyrażenia i zostaje mu \\(\\sin^2\\alpha\\) - ale nie można tak skracać przy odejmowaniu |\n| C | Uczeń poprawnie wyłącza \\(\\cos\\alpha\\) i dostaje \\(\\cos\\alpha\\cdot(1-\\sin^2\\alpha)\\), ale zapomina zamienić \\(1-\\sin^2\\alpha\\) na \\(\\cos^2\\alpha\\) i zostawia w takiej postaci |\n| D | Uczeń opuszcza drugi składnik albo błędnie upraszcza \\(\\cos\\alpha\\cdot\\sin^2\\alpha = 0\\) - co oczywiście nieprawda |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna mówi \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(1 - \\sin^2\\alpha = \\cos^2\\alpha\\). Ten zamiennik to klucz do całego zadania - naucz się go na pamięć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyłączanie wspólnego czynnika działa tu dlatego, że **oba** składniki zawierają \\(\\cos\\alpha\\). Gdyby jeden składnik go nie miał - nie dałoby się tak prosto wyłączyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(1 - \\sin^2\\alpha\\)) to wyrażenie równoważne \\(\\cos^2\\alpha\\), ale **nie** \\(\\cos^3\\alpha\\). To pułapka na uczniów, którzy zatrzymają się o jeden krok za wcześnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\(\\cos\\alpha - \\cos\\alpha\\sin^{2}\\alpha = \\cos\\alpha(1 - \\sin^{2}\\alpha) = \\cos\\alpha\\cdot\\cos^{2}\\alpha = \\cos^{3}\\alpha.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(\\alpha=45^{\\circ}\\)\n\\(\\cos 45^{\\circ} - \\cos 45^{\\circ}\\sin^{2} 45^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2} - \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot\\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\cdot \\tfrac{1}{2} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{4}\\).\n\\(\\cos^{3} 45^{\\circ} = \\left(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{3} = \\tfrac{2\\sqrt{2}}{8} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{4}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sin^{2}\\alpha\\)** - pomylono czynniki.\n- **C. \\(1-\\sin^{2}\\alpha\\)** - brakuje czynnika \\(\\cos\\alpha\\) z zewnątrz.\n- **D. \\(\\cos\\alpha\\)** - pominięto \\(\\cos^{2}\\alpha\\).\n\n**Trik:** tożsamość \\(\\sin^{2}\\alpha+\\cos^{2}\\alpha = 1\\) pozwala zamienić \\(1-\\sin^{2}\\alpha\\) na \\(\\cos^{2}\\alpha\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. W tym ciągu\n𝑎1 = 3,75 oraz 𝑎2 = -7,5.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 11,25\nB. (-18,75)\nC. 15\nD. (-15)\nCiąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a_1=3,75 oraz a_2=-7,5. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 11,25 B. (-18,75) C. 15 D. (-15)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, iloraz $q=\\frac{a_2}{a_1}=\\frac{-7{,}5}{3{,}75}-2$, prowadzi do wartości $a_3=a_2\\cdot q-7{,}5 \\cdot(-2)=15$, co w efekcie daje sumę $a_1 + a_2 + a_3 = 3{,}75 - 7{,}5 + 15 = 11{,}25$.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie cos 𝛼-cos 𝛼⋅sin2 𝛼 jest równe\nA. cos3 𝛼\nB. sin2 𝛼\nC. 1 -sin2 𝛼\nD. cos 𝛼\n\nMMAP-P0_100\nDla każdego kąta ostrego α wyrażenie cosα - cosα⋅sin²α jest równe A. cos³α B. sin²α C. 1-sin²α D. cosα","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(60°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie między cięciwami (kąt środkowy)\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miary łuków na podstawie kątów wpisanych.**\n\nKąt wpisany jest równy **połowie łuku**, na którym jest oparty.\n\nKąt \\(\\angle ADB = 20°\\) jest oparty na łuku \\(AB\\) (bez punktu \\(D\\)):\n\\[\\text{łuk } AB = 2 \\cdot 20° = 40°\\]\n\nKąt \\(\\angle DBC = 40°\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) (bez punktu \\(B\\)):\n\\[\\text{łuk } DC = 2 \\cdot 40° = 80°\\]\n\n**Krok 2: Zastosowanie twierdzenia o kącie między przecinającymi się cięciwami.**\n\nGdy dwie cięciwy przecinają się **wewnątrz okręgu**, kąt między nimi jest równy połowie sumy dwóch naprzeciwległych łuków:\n\\[\\angle DKC = \\frac{\\text{łuk } DC + \\text{łuk } AB}{2}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy wartości:**\n\\[\\angle DKC = \\frac{80° + 40°}{2} = \\frac{120°}{2} = \\mathbf{60°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta (kąt jako suma kątów trójkąta)\n\n**Rozważamy trójkąt \\(BKC\\)**, gdzie \\(K\\) leży na cięciwie \\(BD\\) i cięciwie \\(AC\\).\n\n**Kąt \\(\\angle KBC\\):** to dany kąt wpisany \\(\\angle DBC = 40°\\), bo \\(K\\) leży na odcinku \\(BD\\).\n\n**Kąt \\(\\angle KCB = \\angle ACB\\):** kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\):\n\\[\\angle ACB = \\frac{\\text{łuk } AB}{2} = \\frac{40°}{2} = 20°\\]\n\n**Suma kątów trójkąta \\(BKC\\):**\n\\[\\angle BKC = 180° - \\angle KBC - \\angle KCB = 180° - 40° - 20° = 120°\\]\n\nPonieważ \\(D\\), \\(K\\), \\(B\\) są współliniowe (leżą na cięciwie \\(BD\\)), kąty \\(\\angle DKC\\) i \\(\\angle BKC\\) są **kątami suplementarnymi**:\n\\[\\angle DKC = 180° - \\angle BKC = 180° - 120° = \\mathbf{60°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzono**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\n> Kąt wpisany = połowa kąta środkowego (opartego na tym samym łuku)\n\nUżyliśmy tego, by z kątów wpisanych \\(20°\\) i \\(40°\\) wyliczyć łuki \\(AB = 40°\\) i \\(DC = 80°\\).\n\n**Twierdzenie o cięciwach** (wywodzi się z własności kątów wpisanych, s. 19):\n\n\\[\\angle DKC = \\frac{\\text{łuk } DC + \\text{łuk } AB}{2}\\]\n\nTo twierdzenie nie jest wprost podane na karcie CKE, ale wynika bezpośrednio z faktu, że kąt między cięciwami jest **kątem zewnętrznym trójkąta wpisanego w okrąg** - co pokazaliśmy w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(80°\\) | Wzięto tylko jeden łuk \\(DC = 80°\\) bez dzielenia przez 2, albo pominięto łuk \\(AB\\) |\n| **C** \\(50°\\) | Zsumowano same kąty wpisane zamiast łuków: \\(\\frac{20° + 40°}{2} \\cdot 2 = \\), błąd rachunkowy |\n| **D** \\(40°\\) | Przepisano wprost dany kąt \\(\\angle DBC = 40°\\) bez żadnych obliczeń |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany = **połowa** łuku - łatwo zapomnieć o mnożeniu razy 2 przy przeliczaniu na łuk.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na kąt między cięciwami to **pół sumy** dwóch naprzeciwległych łuków - nie jednego! Pominięcie łuku \\(AB\\) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, które dwa łuki są „naprzeciwległe\" - to te, które są „wycinane\" przez ramiona kąta \\(DKC\\), czyli łuk \\(DC\\) (między ramionami od strony \\(D\\) i \\(C\\)) i łuk \\(AB\\) (po przeciwnej stronie).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kąt zewnętrzny trójkąta\nW trójkącie \\(BDK\\) (gdzie \\(K\\) to przecięcie \\(AC\\) i \\(BD\\)) kąt \\(DKC\\) jest kątem zewnętrznym przy \\(K\\), równym sumie kątów wewnętrznych niesąsiednich: \\(|\\angle ADB|+|\\angle DBC| = 20^{\\circ}+40^{\\circ} = 60^{\\circ}.\\)\n\n### Sposób 2 - Kąt między cięciwami\nKąt między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu równa się półsumie łuków: \\(\\tfrac{|AB|+|DC|}{2}\\). Łuki: \\(|AB| = 2\\cdot 20^{\\circ} = 40^{\\circ}\\) (wpisany \\(ADB\\)), \\(|DC|=2\\cdot 40^{\\circ}=80^{\\circ}\\). Kąt \\(= \\tfrac{40^{\\circ}+80^{\\circ}}{2} = 60^{\\circ}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 80°** - tylko łuk \\(DC\\).\n- **C. 50°** - średnia \\(\\tfrac{20+40+40}{2}\\) - niewłaściwa formuła.\n- **D. 40°** - tylko jeden kąt wpisany.\n\n**Trik:** kąt między cięciwami \\(=\\) półsuma dwóch łuków wyznaczonych przez cięciwy.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-2)\nDany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta,\nleżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 (zobacz rysunek).\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nPole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami:\noraz\nA.\n√2\n2 ⋅𝑎⋅𝑐\nB. 1\n4 ⋅𝑎⋅𝑐\nC.\n√2\n4 ⋅𝑎⋅𝑐\nD.\n√3\n4 ⋅𝑏⋅𝑐\nE. 1\n2 ⋅𝑏⋅𝑐\nF. 1\n4 ⋅𝑏⋅𝑐\n45°\n30°\n105°\n𝑎\n𝑐\n𝑏\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt, którego kąty mają miary 30°, 45° oraz 105°. Długości boków trójkąta, leżących naprzeciwko tych kątów są równe - odpowiednio - a,b oraz c (zobacz rysunek). [rysunek] Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A - F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Pole tego trójkąta poprawnie określają wyrażenia oznaczone literami: ............. oraz ............. . A. √2/2⋅a⋅c A. 1/4⋅a⋅c C. √2/4⋅a⋅c D. √3/4⋅b⋅c E. 1/2⋅b⋅c F. 1/4⋅b⋅c","answer":"CF","answer_text":"Zadanie 20. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.3) stosuje […] wzór na pole trójkąta\n𝑃=\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑏⋅sin 𝛾.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne: C i F.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: C albo F.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nCF\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(8\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole równoległoboku przez sinus kąta\n\n**Co wiemy:**\n- \\(P = 40\\sqrt{6}\\)\n- \\(|AD| = 10\\) (to jeden bok)\n- \\(\\angle ABC = 135°\\)\n- Szukamy \\(|AB|\\)\n\n**Krok 1: Wyznacz kąt przy wierzchołku A.**\n\nW równoległoboku kąty sąsiednie są **suplementarne** (sumują się do \\(180°\\)):\n\\[\\angle DAB = 180° - \\angle ABC = 180° - 135° = 45°\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj wzór na pole równoległoboku.**\n\n\\[P = |AB| \\cdot |AD| \\cdot \\sin(\\angle DAB)\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 10 \\cdot \\sin 45°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz \\(\\sin 45°\\).**\n\n\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(|AB|\\).**\n\n\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = |AB| \\cdot 5\\sqrt{2}\\]\n\n\\[|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8 \\cdot \\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{\\frac{6}{2}} = \\mathbf{8\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - przez wysokość równoległoboku\n\n**Krok 1: Wyznacz wysokość \\(h\\) opuszczoną na bok \\(AB\\).**\n\nZ definicji pola równoległoboku:\n\\[P = |AB| \\cdot h \\quad \\Rightarrow \\quad h = \\frac{P}{|AB|}\\]\n\nAle można też wyrazić \\(h\\) przez trójkąt prostokątny z bokiem \\(AD = 10\\) i kątem \\(\\angle DAB = 45°\\):\n\\[h = |AD| \\cdot \\sin 45° = 10 \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\]\n\n**Krok 2: Z wzoru na pole wyznacz \\(|AB|\\).**\n\n\\[P = |AB| \\cdot h\\]\n\\[40\\sqrt{6} = |AB| \\cdot 5\\sqrt{2}\\]\n\\[|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8\\sqrt{3}\\]\n\nTen sam wynik: **\\(|AB| = 8\\sqrt{3}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości sąsiednich boków, a \\(\\alpha\\) to kąt między nimi.\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - kąt między bokami \\(AB\\) i \\(AD\\) to \\(\\angle DAB = 45°\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartość \\(\\sin 45°\\):\n\\[\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B: \\(8\\sqrt{2}\\) | Użyto \\(\\sin 135°\\) zamiast \\(\\sin 45°\\) - ale i tak wychodzi to samo! Błąd jest gdzie indziej: wstawiono \\(\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) i policzono \\(|AB| = \\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{3}} = 8\\sqrt{2}\\) |\n| C: \\(16\\sqrt{2}\\) | Pominięto zamianę kąta - użyto \\(135°\\) i \\(\\sin 135° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\), ale jako \"kąt przy A\" zamiast sprawdzić suplementarność; błąd w upraszczaniu ułamka (zapomniano skrócić przez 2) |\n| D: \\(16\\sqrt{3}\\) | Nie podzielono przez \\(5\\), tylko przez \\(2{,}5\\), lub błąd w skracaniu \\(\\frac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu podany jest kąt \\(\\angle ABC = 135°\\) - to kąt **przy wierzchołku B**, czyli kąt **tępy** równoległoboku. Do wzoru na pole potrzebujemy kąta między bokami \\(AB\\) i \\(AD\\), czyli \\(\\angle DAB = 45°\\). Nie wstawiaj 135° do wzoru!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 135° = \\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\) - przypadkowo wynik wychodzi tak samo, więc błąd w wyborze kąta w tym zadaniu nie psuje obliczeń. Mimo to zawsze stosuj właściwy kąt!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}}\\) pamiętaj: \\(\\frac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{\\frac{6}{2}} = \\sqrt{3}\\), **nie** \\(\\sqrt{4} = 2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\(P = ab\\sin\\gamma\\)\nKąt \\(DAB = 180^{\\circ}-135^{\\circ} = 45^{\\circ}\\) (kąty sąsiednie równoległoboku).\n\\(P = |AB|\\cdot|AD|\\cdot\\sin 45^{\\circ}\\)\n\\(40\\sqrt{6} = |AB|\\cdot 10\\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2} = 5\\sqrt{2}\\cdot |AB|.\\)\n\\(|AB| = \\dfrac{40\\sqrt{6}}{5\\sqrt{2}} = 8\\cdot\\sqrt{3} = 8\\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Z \\(\\sin 135^{\\circ}\\) (z karty wzorów)\n\\(\\sin 135^{\\circ} = \\sin 45^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Zachowuje się ten sam wynik.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(8\\sqrt{2}\\)** - błąd w upraszczaniu \\(\\sqrt{6}/\\sqrt{2}\\).\n- **C. \\(16\\sqrt{2}\\)** - użyto \\(\\sin 30^{\\circ}\\).\n- **D. \\(16\\sqrt{3}\\)** - podwojony wynik.\n\n**Trik:** \\(\\dfrac{\\sqrt{6}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{3}\\) - upraszczanie pierwiastków przy dzieleniu.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Planimetria, Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nOdcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku 𝑆. Prosta 𝑘 jest styczna do tego okręgu\nw punkcie 𝐴. Prosta 𝑙 przecina ten okrąg w punktach 𝐵 i 𝐶. Proste 𝑘 i 𝑙 przecinają się\nw punkcie 𝐷, przy czym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 3 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdległość punktu 𝐴 od prostej 𝑙 jest równa\nA. 7\n2\nB. 5\nC. √12\nD. √3 + 2\n𝐴\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝑘\n𝑙\n𝑆\n4\n3\n\nMMAP-P0_100\nOdcinek AB jest średnicą okręgu o środku S. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A. Prosta l przecina ten okrąg w punktach B i C. Proste k i l przecinają się w punkcie D, przy czym |BC|=4 i |CD|=3 (zobacz rysunek). [rysunek] Odległość punktu A od prostej l jest równa A. 7/2 B. 5 C. √12 D. √3+2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\sqrt{12}\\)\n\n## Sposób 1 - potęga punktu + twierdzenie Talesa\n\n**Krok 1: Wyznacz |DB|**\n\nPunkty D, C, B leżą na prostej \\(l\\) w tej kolejności:\n\\[|DB| = |DC| + |CB| = 3 + 4 = 7\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj potęgę punktu D względem okręgu**\n\nProsta \\(k\\) jest styczna do okręgu w punkcie \\(A\\) - czyli \\(DA\\) jest sieczną styczną.\nProsta \\(l\\) jest sieczną dwupunktową (przecina okrąg w \\(B\\) i \\(C\\)).\n\nZ własności potęgi punktu:\n\\[|DA|^2 = |DC| \\cdot |DB| = 3 \\cdot 7 = 21\\]\n\\[\\boxed{|DA| = \\sqrt{21}}\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz średnicę |AB|**\n\nPonieważ \\(k\\) jest styczna do okręgu w punkcie \\(A\\), a \\(AB\\) jest średnicą (promień \\(SA\\) jest prostopadły do stycznej), mamy:\n\\[\\angle DAB = 90°\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(DAB\\) (kąt prosty w \\(A\\)):\n\\[|AB|^2 = |DB|^2 - |DA|^2 = 49 - 21 = 28\\]\n\\[|AB| = 2\\sqrt{7}\\]\n\n**Krok 4: Zastosuj twierdzenie Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy)**\n\nPonieważ \\(AB\\) jest średnicą okręgu, kąt wpisany oparty na tej średnicy wynosi \\(90°\\):\n\\[\\angle ACB = 90°\\]\n\n**Kluczowy wniosek:** \\(CA \\perp CB\\), a skoro \\(CB\\) leży na prostej \\(l\\), to \\(CA \\perp l\\).\n\nZatem **odległość punktu \\(A\\) od prostej \\(l\\) jest równa \\(|AC|\\)**.\n\n**Krok 5: Oblicz |AC| z trójkąta prostokątnego ACB**\n\n\\[|AC|^2 = |AB|^2 - |BC|^2 = 28 - 16 = 12\\]\n\\[\\boxed{|AC| = \\sqrt{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - układ współrzędnych (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy środek \\(S = (0, 0)\\), więc \\(A = (-r, 0)\\), \\(B = (r, 0)\\).\n\nStyczna \\(k\\) w punkcie \\(A\\) jest pionowa: \\(x = -r\\).\n\nPunkt \\(D\\) leży na \\(k\\), więc \\(D = (-r, h)\\) dla pewnego \\(h > 0\\).\n\n\\[|DA| = h, \\quad |DB| = \\sqrt{(2r)^2 + h^2}\\]\n\nZ warunków zadania:\n\\[|DB| = 7 \\implies 4r^2 + h^2 = 49\\]\n\\[|DA|^2 = 21 \\implies h^2 = 21\\]\n\nStąd:\n\\[4r^2 = 49 - 21 = 28 \\implies r = \\sqrt{7}\\]\n\nRównanie prostej \\(l\\) przechodzącej przez \\(D = (-\\sqrt{7},\\, \\sqrt{21})\\) i \\(B = (\\sqrt{7},\\, 0)\\):\n\nWektor kierunkowy: \\([2\\sqrt{7},\\, -\\sqrt{21}]\\), równanie ogólne prostej:\n\\[\\sqrt{21}\\,x + 2\\sqrt{7}\\,y - \\sqrt{21}\\cdot\\sqrt{7} = 0\\]\n\nOdległość punktu \\(A = (-\\sqrt{7}, 0)\\) od tej prostej:\n\\[d = \\frac{|\\sqrt{21}\\cdot(-\\sqrt{7}) + 2\\sqrt{7}\\cdot 0 - \\sqrt{147}|}{\\sqrt{21 + 28}} = \\frac{|-\\sqrt{147} - \\sqrt{147}|}{\\sqrt{49}} = \\frac{2\\sqrt{147}}{7} = \\frac{2 \\cdot 7\\sqrt{3}}{7} = 2\\sqrt{3} = \\sqrt{12}\\]\n\nWynik zgodny. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany oparty na średnicy:\n> Kąt wpisany oparty na średnicy wynosi \\(90°\\).\n> Użyliśmy tego w Kroku 4 - skoro \\(AB\\) jest średnicą, to \\(\\angle ACB = 90°\\), co oznacza \\(CA \\perp l\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - potęga punktu (twierdzenie o stycznej i siecznej):\n\\[|DA|^2 = |DC| \\cdot |DB|\\]\n> Użyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia \\(|DA|\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n> Użyliśmy dwukrotnie: w Kroku 3 (trójkąt \\(DAB\\)) oraz w Kroku 5 (trójkąt \\(ACB\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\(\\frac{7}{2}\\) | Uczeń myśli, że odległość = \\(\\frac{|DC|+|CB|}{2} = \\frac{7}{2}\\) (bez sensu geometrycznego - po prostu średnia dwóch odcinków) |\n| **B** \\(5\\) | Uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa do punktów \\(D, C, B\\) jak gdyby tworzyły trójkąt prostokątny: \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\) - tymczasem \\(D, C, B\\) są **współliniowe**, więc to błąd! Część uczniów bierze tę \"piątkę\" jako gotową odpowiedź |\n| **D** \\(\\sqrt{3}+2\\) | Uczeń błędnie wyznacza \\(\\|AB\\|\\) (np. przyjmując \\(r=1\\)) i niepoprawnie liczy \\(\\|AC\\|\\) drogą trygonometryczną |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkty \\(D, C, B\\) są **współliniowe** - nie tworzą trójkąta. \\(|DB| = |DC| + |CB| = 7\\), a **nie** \\(\\sqrt{3^2+4^2}=5\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odległość punktu \\(A\\) od prostej \\(l\\) to **nie** \\(|DA|\\). Odcinek \\(DA\\) nie jest prostopadły do \\(l\\) - prostopadły do \\(l\\) jest właśnie \\(AC\\) (bo \\(\\angle ACB = 90°\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Potęga punktu działa tylko wtedy, gdy odcinki liczymy od punktu zewnętrznego do **obu** przecięć z okręgiem. Tu \\(|DC| = 3\\) (do bliższego) i \\(|DB| = 7\\) (do dalszego) - oba od punktu \\(D\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Moc punktu D\nPotęga punktu \\(D\\) względem okręgu: \\(|DA|^{2} = |DC|\\cdot |DB|\\) (bo \\(DA\\) styczna, \\(DCB\\) sieczna).\n\\(|DB| = |DC|+|CB| = 3+4 = 7\\).\n\\(|DA|^{2} = 3\\cdot 7 = 21 \\Rightarrow |DA| = \\sqrt{21}.\\)\n\nKąt \\(BAC\\) oparty na średnicy \\(AB\\) \\(\\Rightarrow |\\angle ACB| = 90^{\\circ}\\). Stąd \\(AC\\perp l\\), więc odległość \\(A\\) od \\(l\\) to \\(|AC|\\).\nTrójkąt \\(DAC\\) prostokątny w \\(A\\) (styczna \\(\\perp\\) promień, ale patrzymy inaczej): w trójkącie \\(DAC\\): \\(|DA|^{2} = |DC|^{2} + |AC|^{2}\\) (prostokątny w \\(C\\)), \\(21 = 9 + |AC|^{2}\\), \\(|AC|^{2}=12\\), \\(|AC| = \\sqrt{12}.\\)\n\n### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\nTrójkąt \\(ACB\\) prostokątny w \\(C\\). \\(CA\\) jest wysokością w trójkącie \\(DAB\\) prostokątnym w \\(A\\), więc z tw. o wysokości: \\(|AC|^{2} = |CB|\\cdot |CD| = 4\\cdot 3 = 12\\), \\(|AC|=\\sqrt{12}=2\\sqrt{3}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{2}\\)** - średnia \\(3\\) i \\(4\\).\n- **B. 5** - z \\(\\sqrt{9+16}\\), ale to nie jest ta długość.\n- **D. \\(\\sqrt{3}+2\\)** - błędna konstrukcja.\n\n**Trik:** kąt wpisany oparty na średnicy to \\(90^{\\circ}\\); wysokość w trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątnej: \\(h^{2}=p\\cdot q\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 przekątne przecinają się w punkcie 𝐸 (zobacz\nrysunek).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐶𝐷𝐸.\nP\nF\nPole trójkąta 𝐴𝐶𝐷 jest równe polu trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\nP\nF\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n\nMMAP-P0_100\nW trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Trójkąt ABE jest podobny do trójkąta CDE. P F Pole trójkąta ACD jest równe polu trójkąta BCD.","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w prostokątach,\nrównoległobokach, rombach i trapezach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(g(x) = x - 1\\)\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych\n\n**Krok 1: Odczytaj współczynnik kierunkowy funkcji \\(f\\).**\n\nWzór \\(f(x) = -x + 1\\) jest w postaci \\(y = ax + b\\), skąd:\n\\[a_f = -1\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy funkcji \\(g\\).**\n\nDwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych równa się \\(-1\\):\n\\[a_f \\cdot a_g = -1\\]\n\\[(-1) \\cdot a_g = -1\\]\n\\[a_g = 1\\]\n\n**Krok 3: Skorzystaj z warunku przechodzenia przez punkt \\(P = (0, -1)\\).**\n\nPunkt \\(P = (0, -1)\\) to punkt przecięcia z osią \\(OY\\), czyli \\(b_g = -1\\).\n\n**Krok 4: Zapisz wzór funkcji \\(g\\).**\n\n\\[\\boxed{g(x) = x - 1}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczanie wzoru przez podstawienie\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(a_g\\) tak samo jak w Sposobie 1:** \\(a_g = 1\\).\n\n**Krok 2: Zapisz ogólny wzór funkcji \\(g\\) z nieznanym \\(b\\):**\n\\[g(x) = x + b\\]\n\n**Krok 3: Podstaw współrzędne punktu \\(P = (0, -1)\\):**\n\\[g(0) = 0 + b = -1\\]\n\\[b = -1\\]\n\n**Krok 4: Wynik:**\n\\[g(x) = x - 1\\]\n\nSprawdzenie: \\(g(0) = 0 - 1 = -1\\) ✓ - wykres przechodzi przez \\(P = (0, -1)\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 2, żeby z \\(a_f = -1\\) wyznaczyć \\(a_g = 1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(g(x) = x + 1\\) - dobry współczynnik kierunkowy (\\(a = 1\\)), ale zły wyraz wolny. Uczeń zapomina podstawić punkt \\(P\\) i zostawia \\(b = 1\\) (np. przez skojarzenie z funkcją \\(f\\)). |\n| B | \\(g(x) = -x - 1\\) - uczeń poprawnie odczytuje wyraz wolny \\(b = -1\\) z punktu \\(P\\), ale bierze ten sam współczynnik kierunkowy co \\(f\\) (zamiast zmienić znak i odwrócić). Prosta jest wtedy równoległa do \\(f\\), nie prostopadła. |\n| C | \\(g(x) = -x + 1\\) - to dosłownie wzór funkcji \\(f\\)! Uczeń nie wykonał żadnego przekształcenia. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe, których **iloczyn wynosi \\(-1\\)**, nie które są sobie równe ani przeciwne. Jeśli \\(a_f = -1\\), to \\(a_g = 1\\) (bo \\((-1) \\cdot 1 = -1\\) ✓).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P = (0, -1)\\) leży na osi \\(OY\\), więc jego \\(y\\)-współrzędna to od razu wyraz wolny \\(b\\). Nie trzeba rozwiązywać równania - ale warto wiedzieć, dlaczego tak jest.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \"prostopadłe\" z \"przeciwne\" - funkcja \\(g(x) = -x - 1\\) jest **równoległa** do \\(f(x) = -x + 1\\) (ten sam współczynnik kierunkowy), a nie prostopadła!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości\nProste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe \\(\\Leftrightarrow a_{1}\\cdot a_{2} = -1.\\)\n\\(a_{f} = -1\\), więc \\(a_{g} = 1.\\)\nPunkt \\(P=(0,-1)\\) na wykresie \\(g\\): \\(g(0) = b_{g} = -1.\\)\nWzór: \\(g(x) = x - 1.\\)\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A: \\(g(0) = 1 \\ne -1\\).\n- B: współczynnik \\(-1\\), nie prostopadły.\n- C: \\(g(0) = 1 \\ne -1\\).\n- D: \\(g(0) = -1\\), \\(a_{g} = 1\\), \\(1\\cdot(-1) = -1\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Współczynnik kierunkowy dobry, ale \\(P\\) nie należy.\n- **B, C.** Nieprostopadłe (równoległe lub pokrywające się z \\(f\\)).\n\n**Trik:** prostopadłość \\(\\Leftrightarrow\\) iloczyn współczynników kierunkowych równy \\(-1\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Dowody geometryczne, Figury podobne, planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nNa łukach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 okręgu są oparte kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐷𝐵𝐶, takie, że |∡𝐴𝐷𝐵| = 20°\ni |∡𝐷𝐵𝐶| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐾.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝐷𝐾𝐶 jest równa\nA. 80°\nB. 60°\nC. 50°\nD. 40°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n20°\n40°\n\nMMAP-P0_100\nNa łukach AB i CD okręgu są oparte kąty wpisane ADB i DBC, takie, że |∠ADB|=20° i |∠DBC|=40° (zobacz rysunek). Cięciwy AC i BD przecinają się w punkcie K. [rysunek] Miara kąta DKC jest równa A. 80° B. 60° C. 50° D. 40°.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(B = (9, -17)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na podział odcinka (sekcja wewnętrzna)\n\n**Co wiemy:** punkt \\(P\\) dzieli odcinek \\(AB\\) w stosunku \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) od strony \\(A\\).\n\nTo znaczy, że \\(P\\) leży w \\(\\frac{1}{1+3} = \\frac{1}{4}\\) drogi od \\(A\\) do \\(B\\). Stosujemy wzór:\n\n\\[P = A + \\frac{1}{4}(B - A) = \\frac{3}{4}A + \\frac{1}{4}B\\]\n\n**Wyznaczamy \\(x_B\\):**\n\\[x_P = \\frac{3}{4}x_A + \\frac{1}{4}x_B\\]\n\\[3 = \\frac{3}{4} \\cdot 1 + \\frac{1}{4}x_B\\]\n\\[3 = \\frac{3}{4} + \\frac{x_B}{4} \\quad \\Big| \\cdot 4\\]\n\\[12 = 3 + x_B\\]\n\\[\\mathbf{x_B = 9}\\]\n\n**Wyznaczamy \\(y_B\\):**\n\\[y_P = \\frac{3}{4}y_A + \\frac{1}{4}y_B\\]\n\\[1 = \\frac{3}{4} \\cdot 7 + \\frac{1}{4}y_B\\]\n\\[1 = \\frac{21}{4} + \\frac{y_B}{4} \\quad \\Big| \\cdot 4\\]\n\\[4 = 21 + y_B\\]\n\\[\\mathbf{y_B = -17}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(B = (9, -17)\\).**\n\n## Sposób 2 - Metoda wektorowa\n\nStosunek \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) oznacza, że wektor \\(\\overrightarrow{PB}\\) jest **trzykrotnością** wektora \\(\\overrightarrow{AP}\\).\n\nObliczamy \\(\\overrightarrow{AP}\\):\n\\[\\overrightarrow{AP} = P - A = (3-1,\\ 1-7) = (2,\\ -6)\\]\n\nSkoro \\(\\overrightarrow{PB} = 3 \\cdot \\overrightarrow{AP}\\):\n\\[\\overrightarrow{PB} = 3 \\cdot (2, -6) = (6, -18)\\]\n\nPunkt \\(B = P + \\overrightarrow{PB}\\):\n\\[B = (3 + 6,\\ 1 + (-18)) = \\mathbf{(9,\\ -17)}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(B = (9, -17)\\).** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wektor między punktami:\n\\[\\vec{AB} = [x_B - x_A,\\ y_B - y_A]\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do obliczenia wektorów \\(\\overrightarrow{AP}\\) i \\(\\overrightarrow{PB}\\).\n\nBezpośredniego wzoru na podział odcinka na karcie nie ma (trzeba go wyprowadzić z definicji), ale punkt środkowy odcinka (szczególny przypadek podziału 1:1):\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\njest na karcie jako punkt odniesienia dla zrozumienia idei.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\((9, -5)\\) | \\(x_B = 9\\) obliczono poprawnie, ale w \\(y\\) popełniono błąd arytmetyczny przy mnożeniu przez 4 lub znaku |\n| C | \\((7, -11)\\) | Pomylono \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) z \\(|AP| = \\frac{1}{3}|AB|\\). Wtedy \\(B = A + 3 \\cdot \\overrightarrow{AP} = (7, -11)\\) - użyto mnożnika **3 zamiast 4** |\n| D | \\((5, -5)\\) | Potraktowano \\(P\\) jako **środek** odcinka \\(AB\\), licząc \\(B = 2P - A = (5, -5)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(|AP|:|PB| = 1:3\\) oznacza, że \\(AB\\) dzieli się na **4** równe części (1+3). Punkt \\(P\\) leży w \\(\\frac{1}{4}\\) drogi od \\(A\\) - NIE w \\(\\frac{1}{3}\\) (to najczęstszy błąd w tym typie zadania!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ma znaczenie! \\(\\overrightarrow{PB} = 3\\cdot\\overrightarrow{AP}\\) (od \\(P\\) w tę samą stronę co od \\(A\\) do \\(P\\)). Jeśli odwrócisz kierunek, dostaniesz punkt po drugiej stronie \\(A\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczeniach z liczbami ujemnymi (tu \\(y_A = 7\\), \\(y_P = 1\\), różnica \\(-6\\) razy 4 = \\(-24\\)) bardzo łatwo o błąd znaku - zawsze sprawdź wynik Sposobem 2 (wektorowo).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wektory\nSkoro \\(|AP|:|PB|=1:3\\), to \\(\\vec{PB} = 3\\vec{AP}.\\)\n\\(\\vec{AP} = P-A = (3-1, 1-7) = (2,-6).\\)\n\\(\\vec{PB} = 3(2,-6) = (6,-18).\\)\n\\(B = P + \\vec{PB} = (3+6, 1-18) = (9,-17).\\)\n\n### Sposób 2 - Wzory na podział\nJeśli \\(P\\) dzieli \\(AB\\) w stosunku \\(1:3\\) (czyli \\(AP:PB=1:3\\)), to: \\(P = \\dfrac{3A + 1\\cdot B}{4}\\).\nStąd \\(4P = 3A+B\\), czyli \\(B = 4P - 3A = (12,4)-(3,21) = (9,-17).\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((9,-5)\\)** - poprawne \\(x\\), błędne \\(y\\).\n- **C. \\((7,-11)\\)** - pomylono stosunki.\n- **D. \\((5,-5)\\)** - tylko podwojono przesunięcie.\n\n**Trik:** \\(|AB|=4|AP|\\); wektor \\(\\vec{AB}=4\\vec{AP}\\), stąd \\(B=A+4\\vec{AP}\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPole trójkąta równobocznego 𝑇1 jest równe\n(1,5)2⋅√3\n4\n. Pole trójkąta równobocznego 𝑇2\njest równe\n(4,5)2⋅√3\n4\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nTrójkąt 𝑇2 jest podobny do trójkąta 𝑇1 w skali\nA.\n3,\nponieważ\n1.\nkażdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii.\n2.\npole trójkąta 𝑇2 jest 9 razy większe od pola\ntrójkąta 𝑇1 .\nB.\n9,\n3.\nbok trójkąta 𝑇2 jest o 3 dłuższy od boku\ntrójkąta 𝑇1 .\n\nMMAP-P0_100\nPole trójkąta równobocznego T_1 jest równe jest równe (1,5)^2⋅√3/4. Pole trójkąta równobocznego T_2 jest równe (4,5)^2⋅√3/4. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt T_2 jest podobny do trójkąta T_1 w skali A. 3, B. 3 ponieważ 1. każdy z tych trójkątów ma dokładnie trzy osie symetrii. 2. pole trójkąta T_2 jest 9 razy większe od pola trójkąta T_1. 3. bok trójkąta T_2 jest o 3 dłuższy od boku trójkąta T_1.","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV.3. Dobieranie argumentów do\nuzasadnienia poprawności rozwiązywania\nproblemów, tworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami oraz między polami figur\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - pole kwadratu \\(ABCD\\) równa się \\(\\mathbf{40}\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na pole kwadratu przez przekątną\n\n**Kluczowa obserwacja:** W kwadracie obie przekątne mają tę samą długość. Mamy dane punkty \\(A\\) i \\(C\\) - to są **przeciwległe wierzchołki**, czyli \\(AC\\) jest przekątną kwadratu.\n\n**Krok 1 - oblicz długość przekątnej \\(|AC|\\)**\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \\sqrt{(3-(-1))^2 + (-3-5)^2}\n\\]\n\\[\n= \\sqrt{4^2 + (-8)^2} = \\sqrt{16 + 64} = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\n\\]\n\n**Krok 2 - wyznacz bok kwadratu**\n\nW kwadracie o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\) (z twierdzenia Pitagorasa), więc:\n\\[\na = \\frac{d}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = \\frac{4\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{10}\n\\]\n\n**Krok 3 - policz pole**\n\n\\[\nP = a^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 = 4 \\cdot 10 = \\boxed{40}\n\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na pole kwadratu wprost z przekątnej (szybciej)\n\nZamiast wyznaczać bok, skorzystaj od razu ze wzoru:\n\\[\nP = \\frac{d^2}{2}\n\\]\n(pole kwadratu = połowa kwadratu przekątnej - wynika z \\(P = a^2\\) i \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a^2 = \\frac{d^2}{2}\\))\n\nMamy już \\(|AC|^2 = 80\\), więc:\n\\[\nP = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{80}{2} = \\boxed{40}\n\\]\n\nTo zdecydowanie najszybsza droga - liczymy \\(|AC|^2\\) i dzielimy przez 2, bez wyciągania pierwiastka.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\n\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do obliczenia długości przekątnej.\n\n**Dział 10 (Planimetria / twierdzenie Pitagorasa, s. 15):**\n\\[\nd^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \\implies a = \\frac{d}{\\sqrt{2}}, \\quad P = a^2 = \\frac{d^2}{2}\n\\]\nTo jest rdzeń obu sposobów - przekątna kwadratu dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** \\(= 8\\sqrt{10}\\) | Obliczono poprawnie bok \\(a = 2\\sqrt{10}\\), ale zamiast go podnieść do kwadratu (\\(a^2 = 40\\)), policzono **obwód** \\(4a = 8\\sqrt{10}\\) |\n| **B** \\(= 16\\sqrt{5}\\) | Wzięto długość przekątnej \\(4\\sqrt{5}\\) i pomnożono przez 4, tak jakby to był **bok**, a nie przekątna; pomylono przekątną z bokiem kwadratu |\n| **D** \\(= 80\\) | Obliczono \\(\\|AC\\|^2 = 80\\) i to przyjęto za pole - **zapomniano podzielić przez 2** (pole kwadratu to połowa kwadratu przekątnej, nie cały kwadrat przekątnej) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to niepamiętanie wzoru \\(P = \\frac{d^2}{2}\\) i branie \\(d^2\\) za pole. Odpowiedź D = 80 \"wygląda ładnie\" - dlatego jest klasyczną pułapką.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyciągać pierwiastka z \\(|AC|^2\\), jeśli używasz Sposobu 2. Wiele obliczeń i błędów zaokrągleń wynika właśnie z niepotrzebnego upraszczania \\(\\sqrt{80}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy wiedzieć, że \\(A\\) i \\(C\\) są \"po przekątnej\" - trzeba też wiedzieć, że **obie przekątne kwadratu są równe**, więc \\(|AC|\\) jest pełną przekątną (nie połową).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna kwadratu\n\\(A\\) i \\(C\\) to przeciwległe wierzchołki, więc \\(AC\\) to przekątna.\n\\(|AC|^{2} = (3-(-1))^{2} + (-3-5)^{2} = 16+64 = 80.\\)\nDla kwadratu: \\(P = \\dfrac{d^{2}}{2} = \\dfrac{80}{2} = 40.\\)\n\n### Sposób 2 - Bok kwadratu\n\\(|AC| = \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}\\). Dla kwadratu \\(d = a\\sqrt{2}\\), więc \\(a = \\dfrac{4\\sqrt{5}}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{10}.\\)\nPole \\(= a^{2} = 4\\cdot 10 = 40.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(8\\sqrt{10}\\)** - pomylono pole z bokiem.\n- **B. \\(16\\sqrt{5}\\)** - błędny rachunek.\n- **D. 80** - to \\(|AC|^{2}\\), nie pole.\n\n**Trik:** pole kwadratu z przekątnej: \\(P = \\tfrac{d^{2}}{2}\\) - najszybciej.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 40√6. Bok 𝐴𝐷 tego równoległoboku ma\ndługość 10, a kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku 𝐴𝐵 jest równa\nA. 8√3\nB. 8√2\nC. 16√2\nD. 16√3\n135°\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n10\n\nMMAP-P0_100\nPole równoległoboku ABCD jest równe 40√6. Bok AD tego równoległoboku ma długość 10, a kąt ABC równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek). [rysunek] Długość boku AB jest równa A. 8√3 B. 8√2 C. 16√2 D. 16√3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(a = \\dfrac{4}{3}\\) oraz \\(b = -14\\).\n\n## Sposób 1 - Definicja symetrii osiowej względem osi \\(Ox\\)\n\n**Co robi symetria osiowa względem osi \\(Ox\\)?**\n\nSymetria względem osi \\(Ox\\) (osi odciętych) **nie zmienia współrzędnej \\(x\\)**, a **zmienia znak współrzędnej \\(y\\)**:\n\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. }Ox} (x, -y)\\]\n\nZatem obraz punktu \\(S = (3a-1,\\ b+7)\\) to:\n\n\\[S' = (3a-1,\\ -(b+7))\\]\n\nAle wiemy, że \\(S' = (3, 7)\\), więc musimy rozwiązać układ równań:\n\n\\[\\begin{cases} 3a - 1 = 3 \\\\ -(b+7) = 7 \\end{cases}\\]\n\n**Równanie pierwsze** (współrzędna \\(x\\)):\n\n\\[3a - 1 = 3\\]\n\\[3a = 4\\]\n\\[\\boxed{a = \\frac{4}{3}}\\]\n\n**Równanie drugie** (współrzędna \\(y\\)):\n\n\\[-(b+7) = 7\\]\n\\[b + 7 = -7\\]\n\\[\\boxed{b = -14}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(a = \\dfrac{4}{3}\\) oraz \\(b = -14\\)** → odpowiedź **B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdźmy, czy wyznaczone wartości faktycznie dają poprawny punkt i jego obraz.\n\nPodstawiamy \\(a = \\dfrac{4}{3}\\) i \\(b = -14\\) do współrzędnych punktu \\(S\\):\n\n\\[S = \\left(3 \\cdot \\frac{4}{3} - 1,\\ -14 + 7\\right) = (4 - 1,\\ -7) = (3, -7)\\]\n\nTeraz wykonujemy symetrię względem osi \\(Ox\\) - zmieniamy znak \\(y\\):\n\n\\[(3,\\ -7) \\xrightarrow{\\text{sym. }Ox} (3,\\ 7)\\]\n\nOtrzymujemy dokładnie \\(S' = (3, 7)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja symetrii osiowej względem osi \\(Ox\\): punkt \\((x, y)\\) przechodzi w \\((x, -y)\\). Jest to wiedza z planimetrii/geometrii analitycznej (Dział 11, s. 22-25), ale sam wzór transformacji nie jest wypisany na karcie - trzeba go znać z definicji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | \\(a = \\frac{4}{3}\\) jest poprawne, ale \\(b = 0\\) jest błędne. Przy \\(b=0\\): punkt \\(S = (3, 7)\\), jego obraz to \\((3, -7) \\neq (3, 7)\\). Uczeń zapomina o transformacji \\(y\\). |\n| **C** | \\(a = -\\frac{2}{3}\\): wtedy \\(3a - 1 = -2 - 1 = -3 \\neq 3\\). Uczeń prawdopodobnie pomylił znak lub wykonał błędne działanie \\(3 \\cdot (-\\frac{2}{3}) = -2\\). |\n| **D** | Podwójny błąd: zła wartość \\(a\\) (jak w C) i zła wartość \\(b\\) (jak w A). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia znak **tylko współrzędnej \\(y\\)**, nie \\(x\\)! Błędem jest myślenie, że obie współrzędne zmieniają znak (to byłoby środkosymetria względem początku układu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(S\\) jest **oryginałem**, a \\(S'\\) - **obrazem**. Jeśli obraz ma \\(y' = 7\\), to oryginał ma \\(y = -7\\), czyli \\(b + 7 = -7\\), a nie \\(b + 7 = 7\\). Łatwo tu pomylić, który punkt jest „wejściem\", a który „wyjściem\" przekształcenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu równania \\(3a - 1 = 3\\) pamiętaj o przeniesieniu \\(-1\\) na prawą stronę: \\(3a = 4\\), więc \\(a = \\frac{4}{3}\\), nie \\(a = \\frac{2}{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Ox\\)\nSymetria względem \\(Ox\\): \\((x,y)\\to(x,-y).\\)\nJeśli \\(S=(3a-1, b+7)\\), to \\(S'=(3a-1,-(b+7)).\\)\nZ warunku \\(S'=(3,7)\\):\n\\(3a-1 = 3 \\Rightarrow a=\\tfrac{4}{3}.\\)\n\\(-(b+7) = 7 \\Rightarrow b+7 = -7 \\Rightarrow b = -14.\\)\n\n### Sposób 2 - Kontrola\nDla \\(a=\\tfrac{4}{3}, b=-14\\): \\(S=(3\\cdot\\tfrac{4}{3}-1, -14+7) = (3,-7)\\). Odbicie względem \\(Ox\\) daje \\((3,7)\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(b=0\\) daje \\(S=(3,7)\\), odbicie \\((3,-7) \\ne (3,7)\\).\n- **C, D.** Błędny \\(a\\) (znak lub wartość).\n\n**Trik:** symetria względem \\(Ox\\) zmienia tylko znak \\(y\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Planimetria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥+ 1. Funkcja 𝑔 jest liniowa.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkt\n𝑃= (0, -1) i jest prostopadły do wykresu funkcji 𝑓.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWzorem funkcji 𝑔 jest\nA. 𝑔(𝑥) = 𝑥+ 1\nB. 𝑔(𝑥) = -𝑥-1\nC. 𝑔(𝑥) = -𝑥+ 1\nD. 𝑔(𝑥) = 𝑥-1\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-x+1. Funkcja g jest liniowa. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji g przechodzi przez punkt P=(0,-1) i jest prostopadły do wykresu funkcji f. Wzorem funkcji g jest A. g(x)=x+1 B. g(x)=-x-1 C. g(x)=-x+1 D. g(x)=x-1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nprostopadłość do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na objętość i pola podstawy\n\n**Krok 1: Przypomnij sobie wzór na objętość ostrosłupa.**\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\n\nMamy \\(V = 2\\sqrt{3}\\), \\(h = 8\\). Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku \\(a\\).\n\n**Krok 2: Zapisz pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)).**\n\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Krok 3: Podstaw do wzoru na objętość i rozwiąż równanie.**\n\n\\[2\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 8\\]\n\n\\[2\\sqrt{3} = \\frac{8a^2\\sqrt{3}}{12}\\]\n\n\\[2\\sqrt{3} = \\frac{2a^2\\sqrt{3}}{3}\\]\n\n**Podziel obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\)** (jest niezerowe):\n\n\\[2 = \\frac{2a^2}{3}\\]\n\n\\[a^2 = 3\\]\n\n\\[a = \\sqrt{3}\\]\n\n**Długość krawędzi podstawy wynosi \\(\\sqrt{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(a = \\sqrt{3}\\) objętość rzeczywiście wynosi \\(2\\sqrt{3}\\):\n\n\\[P_p = \\frac{(\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{4} \\cdot 8 = \\frac{1}{3} \\cdot 6\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź D jest prawidłowa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy go w Kroku 1, żeby zapisać równanie na \\(a\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy go jako \\(P_p\\) - pole podstawy ostrosłupa.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(3\\) | Pominięcie \\(\\sqrt{3}\\) w polu trójkąta równobocznego - wzięcie \\(P_p = \\frac{a^2}{4}\\) zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Wtedy \\(a^2 = 9\\), \\(a = 3\\). |\n| B: \\(\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\) | Błędne uproszczenie przy dzieleniu przez \\(\\sqrt{3}\\) lub pomyłka ze wzorem na wysokość trójkąta zamiast pola. |\n| C: \\(1\\) | Zapomniano podzielić przez \\(\\frac{1}{3}\\) we wzorze na objętość ostrosłupa (użyto \\(V = P_p \\cdot h\\) jak dla graniastosłupa). Wtedy \\(a^2 = 1\\), \\(a = 1\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup **prawidłowy trójkątny** to ostrosłup, którego podstawą jest **trójkąt równoboczny**, a nie dowolny trójkąt. To \"prawidłowy\" decyduje o tym, jakiego wzoru na \\(P_p\\) użyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie pomyl wzoru \\(V = \\frac{1}{3}P_p \\cdot h\\) (ostrosłup) z \\(V = P_p \\cdot h\\) (graniastosłup). Brak \\(\\frac{1}{3}\\) to jeden z najczęstszych błędów w zadaniach stereometrycznych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(a^2 = 3\\) łatwo przez nieuwagę zostawić wynik jako \\(a = 3\\) zamiast \\(a = \\sqrt{3}\\). Zawsze sprawdź, czy wyciągnąłeś pierwiastek.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na objętość ostrosłupa (karta wzorów)\n\\(V = \\tfrac{1}{3}P_{p}H.\\) Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\): \\(P_{p} = \\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}.\\)\n\\(2\\sqrt{3} = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot 8 = \\tfrac{2a^{2}\\sqrt{3}}{3}.\\)\nStąd \\(a^{2} = 3 \\Rightarrow a = \\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Kontrola\nDla \\(a=\\sqrt{3}\\): \\(P_{p} = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\). \\(V = \\tfrac{1}{3}\\cdot\\tfrac{3\\sqrt{3}}{4}\\cdot 8 = \\tfrac{24\\sqrt{3}}{12} = 2\\sqrt{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 3** - błąd rachunkowy, pominięto pierwiastek.\n- **B. \\(\\tfrac{\\sqrt{6}}{2}\\)** - użyto innego wzoru na pole.\n- **C. 1** - za małe, \\(V\\) byłoby zbyt małe.\n\n**Trik:** pole trójkąta równobocznego: \\(\\tfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\); wzór z karty wzorów.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-1, 5) oraz 𝐶= (3, -3) są\nprzeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\nA. 8√10\nB. 16√5\nC. 40\nD. 80\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-1,5) oraz C=(3,-3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole kwadratu ABCD jest równe A. 8√10 B. 16√5 C. 40 D. 80","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (pole ściany bocznej = \\(50\\))\n\n## Sposób 1 - Przekątna AD' i kąt nachylenia\n\n**Ustalamy geometrię sześciokąta prawidłowego.**\n\nW sześciokącie foremnym \\(ABCDEF\\) o boku \\(a = 5\\) wierzchołki \\(A\\) i \\(D\\) leżą **naprzeciwko siebie** (dzieli je 3 krawędzie w sześciokącie). Odległość między nimi:\n\n\\[|AD| = 2a = 2 \\cdot 5 = 10\\]\n\n**Analizujemy przekątną \\(AD'\\).**\n\nPunkt \\(A\\) leży na dolnej podstawie, punkt \\(D'\\) - na górnej, dokładnie nad \\(D\\). Rzut prostokątny przekątnej \\(AD'\\) na płaszczyznę podstawy to właśnie odcinek \\(AD\\).\n\nTworzy się trójkąt prostokątny:\n- ramię poziome: \\(|AD| = 10\\)\n- ramię pionowe: \\(h\\) (wysokość graniastosłupa)\n- kąt między \\(AD'\\) a podstawą: \\(45°\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|AD|} = \\frac{h}{10}\\]\n\n\\[1 = \\frac{h}{10} \\implies \\boxed{h = 10}\\]\n\n**Obliczamy pole ściany bocznej.**\n\nKażda ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego to prostokąt o wymiarach: krawędź podstawy × wysokość.\n\n\\[P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h = 5 \\cdot 10 = \\boxed{50}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez długość przekątnej AD'\n\nWyznaczamy długość przekątnej \\(AD'\\) z kąta nachylenia, a potem odtwarzamy \\(h\\).\n\nSkoro kąt nachylenia \\(AD'\\) do podstawy wynosi \\(45°\\), a rzut to \\(|AD| = 10\\), to:\n\n\\[\\cos 45° = \\frac{|AD|}{|AD'|} \\implies |AD'| = \\frac{10}{\\cos 45°} = \\frac{10}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = 10\\sqrt{2}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\n\\[|AD'|^2 = |AD|^2 + h^2\\]\n\\[(10\\sqrt{2})^2 = 10^2 + h^2\\]\n\\[200 = 100 + h^2\\]\n\\[h^2 = 100 \\implies h = 10\\]\n\nPole ściany bocznej: \\(P = 5 \\cdot 10 = \\mathbf{50}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyprostokątna}}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia wysokości graniastosłupa z kąta nachylenia przekątnej.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_p \\cdot h, \\quad V = P_p \\cdot h\\]\nDla jednej ściany bocznej: \\(P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((12{,}5)\\) | Wzięto \\(|AD| = 5\\) jak dla sąsiednich wierzchołków (zamiast \\(10\\)), co daje \\(h = 5\\), a potem pole \\(\\frac{5 \\cdot 5}{2} = 12{,}5\\) - błąd w geometrii sześciokąta i wzorze na pole |\n| **B** \\((25)\\) | Pomylono odległość \\(|AD|\\) z \\(|AC|\\) = \\(5\\sqrt{3}\\) lub przyjęto \\(h = 5\\) (krawędź boczna = krawędź podstawy bez wyznaczenia), dając \\(P = 5 \\cdot 5 = 25\\) |\n| **D** \\((100)\\) | Policzono pole powierzchni **bocznej całej bryły** zamiast jednej ściany: \\(6 \\cdot 50 \\div 3 = 100\\) lub podwojono wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W sześciokącie foremnym \\(ABCDEF\\) wierzchołki \\(A\\) i \\(D\\) są **naprzeciwległe** - odległość \\(|AD| = 2a\\), **nie** \\(a\\) ani \\(a\\sqrt{3}\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzymy między prostą a jej **rzutem** na tę płaszczyznę - nie między prostą a pionową krawędzią. Stąd \\(\\operatorname{tg}45° = \\frac{h}{|AD|}\\), a **nie** \\(\\frac{|AD|}{h}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o pole **jednej** ściany bocznej, nie o całkowitą powierzchnię boczną (która wynosiłaby \\(6 \\times 50 = 300\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna graniastosłupa\nW sześciokącie prawidłowym o boku \\(a=5\\) przekątna \\(AD\\) (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \\(|AD| = 2a = 10.\\)\nPrzekątna \\(AD'\\) nachylona do podstawy pod \\(45^{\\circ}\\), więc trójkąt \\(ADD'\\) jest prostokątny, \\(|DD'| = |AD|\\cdot\\operatorname{tg} 45^{\\circ} = 10\\cdot 1 = 10.\\)\nŚciana boczna to prostokąt o bokach \\(5\\) i \\(10\\): \\(P = 5\\cdot 10 = 50.\\)\n\n### Sposób 2 - Trójkąt równoramienny\nTrójkąt \\(ADD'\\) o kątach \\(45^{\\circ}, 45^{\\circ}, 90^{\\circ}\\) jest równoramienny, więc \\(|DD'| = |AD| = 10.\\) Pole ściany \\(= a\\cdot H = 5\\cdot 10 = 50.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 12,5** - połowa podstawy.\n- **B. 25** - tylko \\(a^{2}\\).\n- **D. 100** - \\(2\\cdot 50\\) (pomyłka).\n\n**Trik:** dłuższa przekątna sześciokąta prawidłowego: \\(d=2a\\); przy kącie \\(45^{\\circ}\\) wysokość równa się poziomemu odcinkowi.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (1, 7) oraz\n𝑃= (3, 1). Punkt 𝑃 dzieli odcinek 𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝑃| ∶|𝑃𝐵| = 1 ∶3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPunkt 𝐵 ma współrzędne\nA. (9, -5)\nB. (9, -17)\nC. (7, -11)\nD. (5, -5)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(1,7) oraz P=(3,1). Punkt P dzieli odcinek AB tak, że |AP|:|PB|=1:3. Punkt B ma współrzędne A. (9,-5) B. (9,-17) C. (7,-11) D. (5,-5)","answer":"144","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) (SP) znajduje środek odcinka […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(s + 4\\)\n\n## Sposób 1 - Z definicji średniej (algebraicznie)\n\nOznaczmy sto liczb całkowitych dodatnich jako \\(a_1, a_2, \\ldots, a_{100}\\).\n\n**Średnia pierwotnego zestawu:**\n\\[\\bar{x} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100}}{100} = s\\]\n\nStąd wynika, że suma wszystkich liczb wynosi:\n\\[a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100} = 100s\\]\n\n**Nowy zestaw:** każdą liczbę zwiększamy o \\(4\\), więc nowe liczby to:\n\\[a_1 + 4,\\; a_2 + 4,\\; \\ldots,\\; a_{100} + 4\\]\n\n**Suma nowego zestawu:**\n\\[(a_1 + 4) + (a_2 + 4) + \\cdots + (a_{100} + 4)\\]\n\\[= (a_1 + a_2 + \\cdots + a_{100}) + \\underbrace{4 + 4 + \\cdots + 4}_{100 \\text{ razy}}\\]\n\\[= 100s + 4 \\cdot 100 = 100s + 400\\]\n\n**Średnia nowego zestawu:**\n\\[\\bar{x}_{\\text{nowy}} = \\frac{100s + 400}{100} = \\frac{100s}{100} + \\frac{400}{100} = s + 4\\]\n\n**Odpowiedź: \\(s + 4\\)**, czyli opcja **A**.\n\n## Sposób 2 - Intuicja i weryfikacja na przykładzie\n\n**Intuicja:** jeśli do każdej z \\(100\\) liczb dodamy tę samą wartość \\(4\\), to średnia zwiększy się dokładnie o \\(4\\). Dodanie stałej do każdego elementu \"przesuwa\" całą średnią o tę samą stałą.\n\n**Weryfikacja na konkretnym przykładzie:**\n\nWeźmy prosty zestaw: \\(1, 1, 1, \\ldots, 1\\) (sto jedynek). Wtedy:\n\\[\\bar{x} = \\frac{100 \\cdot 1}{100} = 1, \\quad \\text{więc } s = 1\\]\n\nPo zwiększeniu każdej o \\(4\\): \\(5, 5, 5, \\ldots, 5\\) (sto piątek):\n\\[\\bar{x}_{\\text{nowy}} = \\frac{100 \\cdot 5}{100} = 5\\]\n\nSprawdzamy odpowiedzi:\n- **A:** \\(s + 4 = 1 + 4 = 5\\) ✓\n- B: \\(s + \\frac{4}{100} = 1{,}04\\) ✗\n- C: \\(\\frac{s+4}{100} = \\frac{5}{100} = 0{,}05\\) ✗\n- D: \\(4s = 4\\) ✗\n\nWynik potwierdza odpowiedź **A**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja średniej arytmetycznej:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\cdots + a_n}{n}\\]\nUżyliśmy jej wprost - najpierw do wyznaczenia sumy \\(100s\\), a potem do obliczenia nowej średniej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń myśli: \"dodaję \\(4\\) do sumy stu liczb, więc średnia rośnie o \\(\\frac{4}{100}\\)\" - błąd: \\(4\\) jest dodawane do **każdej** z \\(100\\) liczb, czyli łącznie \\(+400\\) do sumy, nie \\(+4\\) |\n| C | Uczeń wylicza nową sumę jako \\(s + 4\\), a potem dzieli ją przez \\(100\\) - zapomina, że \\(s\\) to już **średnia** (nie suma), i miesza dwa różne obliczenia |\n| D | Uczeń myli dodawanie z mnożeniem - jakby każda liczba była mnożona przez \\(4\\), a nie zwiększana o \\(4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dodanie stałej \\(c\\) do **każdego** elementu zestawu zwiększa średnią o **dokładnie \\(c\\)** - nie o \\(\\frac{c}{n}\\). Pułapka B jest bardzo popularna na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić operacji na **sumie** z operacjami na **średniej**. Tu suma rośnie o \\(100 \\cdot 4 = 400\\), a po podzieleniu przez \\(100\\) średnia rośnie o \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ta własność działa dla dowolnej liczby elementów \\(n\\) i dowolnej stałej \\(c\\): jeśli dodasz \\(c\\) do każdej liczby, nowa średnia = stara średnia \\(+ c\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na średnią\nJeśli \\(\\bar{x} = \\dfrac{\\sum x_{i}}{100} = s\\), to dla \\(y_{i} = x_{i}+4\\): \\(\\sum y_{i} = \\sum x_{i} + 100\\cdot 4 = 100s + 400.\\)\n\\(\\bar{y} = \\dfrac{100s+400}{100} = s + 4.\\)\n\n### Sposób 2 - Własność średniej\nDodanie stałej \\(c\\) do każdego elementu zwiększa średnią o \\(c\\): \\(\\bar{y} = \\bar{x}+c.\\) Tu \\(c=4\\), więc \\(\\bar{y}=s+4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(s+\\tfrac{4}{100}\\)** - błędnie podzielono \\(4\\) przez \\(100\\).\n- **C. \\(\\tfrac{s+4}{100}\\)** - błędne dzielenie.\n- **D. \\(4s\\)** - pomylono dodawanie z mnożeniem.\n\n**Trik:** dodanie stałej do każdego elementu przesuwa średnią o tę stałą.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.\nDany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych\ntego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy.\nDany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Uzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu. Objętość tego ostrosłupa jest równa ................. .","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D (6 liczb)\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wyliczanie (przypadki wg pierwszej cyfry)\n\nSzukamy liczb trzycyfrowych \\(\\overline{abc}\\), gdzie \\(a + b + c = 3\\), \\(a \\geq 1\\), \\(b,c \\geq 0\\).\n\nPrzeglądamy przypadki według wartości \\(a\\):\n\n**Gdy \\(a = 1\\):** musimy mieć \\(b + c = 2\\):\n\n| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |\n| 0 | 2 | 102 |\n| 1 | 1 | 111 |\n| 2 | 0 | 120 |\n\n→ **3 liczby**\n\n**Gdy \\(a = 2\\):** musimy mieć \\(b + c = 1\\):\n\n| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |\n| 0 | 1 | 201 |\n| 1 | 0 | 210 |\n\n→ **2 liczby**\n\n**Gdy \\(a = 3\\):** musimy mieć \\(b + c = 0\\), więc \\(b = c = 0\\):\n\n| \\(b\\) | \\(c\\) | Liczba |\n| 0 | 0 | 300 |\n\n→ **1 liczba**\n\n**Gdy \\(a \\geq 4\\):** niemożliwe, bo sama pierwsza cyfra \\(\\geq 4 > 3\\).\n\n**Razem:** \\(3 + 2 + 1 = \\mathbf{6}\\) liczb.\n\n## Sposób 2 - Kombinatoryki (gwiazdki i przegrody)\n\nSzukamy liczby rozwiązań \\(a + b + c = 3\\) w liczbach naturalnych nieujemnych, przy warunku \\(a \\geq 1\\).\n\n**Podstawiamy** \\(a' = a - 1\\) (aby pozbyć się warunku \\(a \\geq 1\\)), wtedy:\n\\[a' + b + c = 2, \\quad a', b, c \\geq 0\\]\n\nLiczba nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych równania \\(x_1 + x_2 + x_3 = n\\) to:\n\\[\\binom{n + 2}{2}\\]\n\nDla \\(n = 2\\):\n\\[\\binom{2 + 2}{2} = \\binom{4}{2} = \\frac{4!}{2! \\cdot 2!} = \\frac{4 \\cdot 3}{2} = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - kombinacje bez powtórzeń:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 2 wzoru na liczbę rozwiązań równania \"gwiazdki i przegrody\": liczba nieujemnych rozwiązań \\(x_1 + \\ldots + x_r = n\\) wynosi \\(\\binom{n+r-1}{r-1}\\). Dla \\(r=3, n=2\\): \\(\\binom{4}{2} = 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(8\\)) | Policzono rozwiązania bez warunku \\(a \\geq 1\\) metodą gwiazdek: \\(\\binom{5}{2} = 10\\), ale być może jeszcze inne pomyłki w liczeniu |\n| B (\\(4\\)) | Zapomniano o przypadku \\(a=1\\) z \\((b,c) = (0,2)\\) lub \\((2,0)\\), licząc tylko symetryczne - pominięto np. 102 i 120 |\n| C (\\(5\\)) | Zapomniano o jednej liczbie - najczęściej o \\(300\\) (gdy myślimy tylko o \"kombinacjach z jedynkami\") |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby trzycyfrowej NIE może być zerem! Dlatego \\(a \\geq 1\\), a liczby takie jak \\(012\\) lub \\(021\\) NIE są liczbami trzycyfrowymi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć \\(300\\) - uczniowie często szukają tylko liczb z kilkoma niezerowymi cyframi i zapominają, że jedna cyfra może \"wchłonąć\" całą sumę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu kombinatorycznym pamiętaj o zamianie \\(a \\geq 1\\) na \\(a' \\geq 0\\) przed użyciem wzoru - inaczej dostaniesz za duży wynik.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wyliczenie\nLiczba trzycyfrowa: \\(\\overline{abc}\\), gdzie \\(a\\in\\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(b,c\\in\\{0,\\ldots,9\\}\\), \\(a+b+c=3\\).\n- \\(a=1\\): \\(b+c=2 \\Rightarrow (0,2),(1,1),(2,0)\\) - 3 liczby: 102, 111, 120.\n- \\(a=2\\): \\(b+c=1 \\Rightarrow (0,1),(1,0)\\) - 2 liczby: 201, 210.\n- \\(a=3\\): \\(b+c=0 \\Rightarrow (0,0)\\) - 1 liczba: 300.\nŁącznie \\(3+2+1=6.\\)\n\n### Sposób 2 - Wzór kombinatoryczny (stars & bars)\nLiczba rozwiązań \\(a+b+c=3\\) z \\(a\\geq 1\\): podstaw \\(a'=a-1\\geq 0\\); \\(a'+b+c=2\\); \\(\\binom{2+2}{2}=\\binom{4}{2}=6.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 8, B. 4, C. 5** - błędne liczenie kombinacji.\n\n**Trik:** wyliczenie przez przypadki według pierwszej cyfry \\(a\\); sprawdź wszystkie \\(a=1,2,3\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":null,"page_from":26,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29.1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.1. (0-1)\nUzupełnij zdanie. Wpisz odpowiednią wartość liczbową w wykropkowanym miejscu.\nObjętość tego ostrosłupa jest równa","answer":"144","answer_text":"Zadanie 29.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym […].\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\n144","solution":"1. Rozpoczniemy od obliczenia pól podstawy ostrosłupa. Ponieważ podstawą jest kwadrat o boku $6$, pole podstawy $P$ można obliczyć ze wzoru na pole kwadratu:\n$$P = a^2$$\nPodstawiając długość boku:\n$$P = 6^2 = 36$$\n\n2. Następnie zauważamy, że jedna z krawędzi bocznych ostrosłupa ma długość $12$ i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. W tym przypadku możemy uznać, że ta krawędź jest wysokością ostrosłupa, oznaczmy ją jako $h$.\n\n3. Zatem, długość wysokości $h$ ostrosłupa wynosi $12$:\n$$h = 12$$\n\n4. Teraz obliczymy objętość ostrosłupa korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa:\n$$V = \\frac{1}{3} P h$$\n\n5. Podstawiamy wcześniej obliczone wartości do wzoru:\n$$V = \\frac{1}{3} \\times 36 \\times 12$$\n\n6. Najpierw obliczamy $36 \\times 12$:\n$$36 \\times 12 = 432$$\n\n7. Teraz obliczamy $\\frac{1}{3} \\times 432$:\n$$V = \\frac{432}{3} = 144$$\n\n**Odpowiedź:** Objętość ostrosłupa wynosi $144$.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.1.webp","solution_image":null,"topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29.2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny\npodstawy jest równy\nA. √2\nB.\n√6\n3\nC.\n√2\n2\nD.\n√3\n3\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat o boku 6. Jedna z krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość 12 i jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy A. √2 B. √6/3 C. √2/2 D. √3/3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 29.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, przekątna podstawy ma długość $6\\sqrt{2}$, więc tangens kąta nachylenia najdłuższej krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi $\\frac{12}{6\\sqrt{2}}$, czyli $\\sqrt{2}$.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.2.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nDany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′, w którym krawędź\npodstawy ma długość 5. Przekątna 𝐴𝐷′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny\npodstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe\nA. 12,5\nB. 25\nC. 50\nD. 100\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴′\n𝐵′\n𝐶′\n𝐷′\n𝐸′\n𝐹′\n45°\n\nMMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ABCDEFA'B'C'D'E'F', w którym krawędź podstawy ma długość 5. Przekątna AD' tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek). [rysunek] Pole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 12,5 B. 25 C. 50 D. 100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do zera i faktoryzacja\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę** (chcemy mieć 0 po prawej):\n\n\\[x(2x-1) < 2x\\]\n\n\\[x(2x-1) - 2x < 0\\]\n\n**Wyłączamy \\(x\\) przed nawias** (wyciągamy wspólny czynnik):\n\n\\[x\\bigl[(2x-1) - 2\\bigr] < 0\\]\n\n\\[x(2x - 3) < 0\\]\n\nMamy iloczyn dwóch czynników. Szukamy **miejsc zerowych**:\n\n\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad 2x - 3 = 0 \\implies x = \\frac{3}{2}\\]\n\nTeraz analizujemy znaki na osi liczbowej (współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(+2 > 0\\), parabola skierowana ramionami w górę):\n\n| Przedział | \\(x\\) | \\(2x-3\\) | iloczyn |\n| \\(x < 0\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(0 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest **ujemny** (spełnia \\(< 0\\)) właśnie dla \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\)\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie i trójmian kwadratowy\n\n**Rozwijamy lewą stronę:**\n\n\\[x(2x-1) < 2x\\]\n\n\\[2x^2 - x < 2x\\]\n\n**Przenosimy \\(2x\\) na lewą stronę:**\n\n\\[2x^2 - x - 2x < 0\\]\n\n\\[2x^2 - 3x < 0\\]\n\nMamy trójmian (właściwie dwumian) kwadratowy \\(f(x) = 2x^2 - 3x\\) z \\(a = 2 > 0\\).\n\n**Wyznaczamy miejsca zerowe** przez wyłączenie \\(x\\):\n\n\\[x(2x - 3) = 0 \\implies x_1 = 0, \\quad x_2 = \\frac{3}{2}\\]\n\nPonieważ parabola jest skierowana **ramionami w górę** (\\(a > 0\\)), wartości ujemne przyjmuje **między pierwiastkami**:\n\n\\[2x^2 - 3x < 0 \\iff x \\in \\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\]\n\n**Weryfikacja** - sprawdzamy np. \\(x = 1\\) (leży w przedziale):\n\n\\[1 \\cdot (2 \\cdot 1 - 1) = 1 \\cdot 1 = 1 < 2 \\cdot 1 = 2 \\quad \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy \\(x = 2\\) (poza przedziałem):\n\n\\[2 \\cdot (4-1) = 6 \\not< 4 \\quad \\checkmark \\text{ (nie spełnia, jak powinno)}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nMiejsca zerowe trójmianu kwadratowego. W tym zadaniu skorzystaliśmy z faktu, że dla \\(a > 0\\):\n\n\\[ax^2 + bx + c < 0 \\iff x \\in (x_1, x_2)\\]\n\ngdzie \\(x_1, x_2\\) to miejsca zerowe. Tutaj wyznaczyliśmy je przez faktoryzację (bez liczenia \\(\\Delta\\)), bo trójmian miał wspólny czynnik \\(x\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dziel obu stron przez \\(x\\) bez analizy znaku! Gdybyś podzielił \\(x(2x-1) < 2x\\) przez \\(x\\), to dla \\(x < 0\\) nierówność **zmienia zwrot**. Faktoryzacja jest bezpieczniejsza.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(x = 0\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) **nie należą** do rozwiązania - nierówność jest ostra (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc stosujemy przedział otwarty \\(\\left(0, \\frac{3}{2}\\right)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zgubić znak przy przenoszeniu - zawsze przenoś **wszystko na jedną stronę** i dopiero wtedy analizuj znaki iloczynu na osi liczbowej.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left(0, \\dfrac{3}{2}\\right)\\)**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do postaci ogólnej\n\\(x(2x-1) < 2x\\)\n\\(2x^{2} - x - 2x < 0\\)\n\\(2x^{2} - 3x < 0\\)\n\\(x(2x - 3) < 0.\\)\nMiejsca zerowe: \\(x=0\\) oraz \\(x=\\tfrac{3}{2}.\\) Parabola \\(f(x)=2x^{2}-3x\\) ma ramiona w górę; \\(f(x)<0\\) między miejscami zerowymi.\nZbiór rozwiązań: \\(x\\in\\left(0,\\dfrac{3}{2}\\right).\\)\n\n### Sposób 2 - Delta\n\\(\\Delta = (-3)^{2} - 4\\cdot 2\\cdot 0 = 9\\), \\(\\sqrt{\\Delta}=3.\\)\n\\(x_{1} = \\dfrac{3-3}{4}=0\\), \\(x_{2}=\\dfrac{3+3}{4}=\\dfrac{3}{2}.\\)\nZ wykresu paraboli: \\(x\\in\\left(0,\\dfrac{3}{2}\\right).\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - obliczenie pierwiastków trójmianu \\(2x^{2}-3x\\): \\(x_{1}=0\\) i \\(x_{2}=\\tfrac{3}{2}\\).\n- **2 pkt** - zapisanie zbioru rozwiązań \\(\\left(0,\\tfrac{3}{2}\\right)\\) (lub graficznie z zaznaczonymi otwartymi końcami).\n- **0 pkt** - dzielenie obu stron przez \\(x\\) (albo \\(2x\\)) bez założenia o znaku.\n\n**Trik:** zawsze sprowadzaj do postaci \\(f(x)<0\\) (lub \\(>0\\)) i analizuj znak trójmianu z wykresu paraboli.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest\nA. 8\nB. 4\nC. 5\nD. 6\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest A. 8 B. 4 C. 5 D. 6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\frac{3}{2} \\quad \\text{lub} \\quad x = \\sqrt{7} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{7}\\]\n\n## Sposób 1 - Własność iloczynu zerowego\n\nJeżeli iloczyn dwóch czynników równa się zero, to **co najmniej jeden z nich musi być zerem**.\n\nMamy:\n\\[(2x^2 + 3x)(x^2 - 7) = 0\\]\n\nZatem:\n\\[2x^2 + 3x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^2 - 7 = 0\\]\n\n**Czynnik I:** \\(2x^2 + 3x = 0\\)\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(2x + 3) = 0\\]\n\nZ własności iloczynu zerowego:\n\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad 2x + 3 = 0\\]\n\\[x = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\frac{3}{2}\\]\n\n**Czynnik II:** \\(x^2 - 7 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 7\\]\n\\[x = \\sqrt{7} \\qquad \\text{lub} \\qquad x = -\\sqrt{7}\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x = 0 \\quad \\lor \\quad x = -\\frac{3}{2} \\quad \\lor \\quad x = \\sqrt{7} \\quad \\lor \\quad x = -\\sqrt{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozwiązanie przez miejsca zerowe wielomianu (weryfikacja)\n\nRozwinięcie iloczynu nie jest konieczne, ale możemy sprawdzić wyniki, podstawiając je do oryginalnego równania.\n\n**Sprawdzenie \\(x = 0\\):**\n\\[(2 \\cdot 0 + 0)(0 - 7) = 0 \\cdot (-7) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\frac{3}{2}\\):**\n\\[2 \\cdot \\frac{9}{4} + 3 \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = \\frac{9}{2} - \\frac{9}{2} = 0\\]\nZatem pierwszy czynnik \\(= 0\\), więc iloczyn \\(= 0 \\checkmark\\)\n\n**Sprawdzenie \\(x = \\sqrt{7}\\):**\n\\[(\\sqrt{7})^2 - 7 = 7 - 7 = 0\\]\nZatem drugi czynnik \\(= 0\\), więc iloczyn \\(= 0 \\checkmark\\)\n\n**Sprawdzenie \\(x = -\\sqrt{7}\\):**\n\\[(-\\sqrt{7})^2 - 7 = 7 - 7 = 0 \\checkmark\\]\n\nWszystkie cztery rozwiązania zweryfikowane.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawowa własność algebraiczna (iloczyn zerowy) oraz umiejętność wyłączania wspólnego czynnika.\n\nPomocniczo korzystamy z elementarnego faktu:\n\n> Jeśli \\(A \\cdot B = 0\\), to \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **rozwinięcie nawiasów** zamiast użycia własności iloczynu zerowego. Mnożenie tworzy wielomian 4. stopnia, który trzeba potem i tak rozkładać - niepotrzebna praca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(2x^2 + 3x = 0\\) uczniowie często **dzielą obie strony przez \\(x\\)**, przez co gubią rozwiązanie \\(x = 0\\). Zawsze wyłączaj \\(x\\) przed nawias - nigdy nie dziel przez zmienną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\(x^2 = 7\\) wynikają **dwa** rozwiązania: \\(x = \\sqrt{7}\\) i \\(x = -\\sqrt{7}\\). Pominięcie rozwiązania ujemnego to klasyczna pomyłka - pamiętaj o \\(\\pm\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x\\in\\left\\{-\\sqrt{7},\\ -\\dfrac{3}{2},\\ 0,\\ \\sqrt{7}\\right\\}\\)**\n\n### Sposób 1 - Własność iloczynu\nIloczyn zeruje się, gdy co najmniej jeden czynnik \\(=0.\\)\n1) \\(2x^{2} + 3x = 0 \\Rightarrow x(2x+3) = 0 \\Rightarrow x=0\\) lub \\(x=-\\tfrac{3}{2}.\\)\n2) \\(x^{2} - 7 = 0 \\Rightarrow x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}.\\)\n\nZbiór rozwiązań: \\(\\left\\{-\\sqrt{7},\\ -\\dfrac{3}{2},\\ 0,\\ \\sqrt{7}\\right\\}.\\)\n\n### Sposób 2 - Delta\nDla \\(2x^{2}+3x=0\\): \\(\\Delta = 9 > 0\\), \\(x_{1}=0\\), \\(x_{2}=-\\tfrac{3}{2}.\\)\nDla \\(x^{2}-7=0\\): wzór skróconego mnożenia \\(x^{2}=7 \\Rightarrow x=\\pm\\sqrt{7}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - obliczenie co najmniej dwóch spośród czterech rozwiązań poprawnie.\n- **2 pkt** - podanie wszystkich czterech rozwiązań.\n- Częsty błąd: zapomnienie o \\(x=0\\) (gdy skraca się przez \\(x\\)).\n\n**Trik:** \\((A)(B)=0 \\Leftrightarrow A=0\\) lub \\(B=0\\) - nie traktuj czynników razem, rozdzielaj.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nZe zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania\ndwa razy po jednej liczbie.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest\ndzielnikiem liczby 8.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nZe zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":"P(A)=(1)/(7)","answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) =\n8\n56 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie ich liczby:\n|Ω| = 8 ⋅7\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 (bez żadnego zdarzenia niewłaściwego):\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 8,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa\n1\n8 na co najmniej\njednym z odcinków pierwszego etapu doświadczenia i prawdopodobieństwa\n1\n7 na co\nnajmniej jednym z odcinków drugiego etapu doświadczenia,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) =\n8\n56 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 8 oraz 56 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 64 (lub 56) pustych polach, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 8 ⋅7 = 56.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nwięc |𝐴| = 8.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| =\n8\n56 =\n1\n7 .\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nII losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nBiałe pola tabeli odpowiadają zdarzeniom elementarnym. Symbolem „+” oznaczono pola\nodpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 56.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 8.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 8\n56 = 1\n7 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich dopuszczalnych \\(a, b\\)\n\nJest to zadanie otwarte - **dowód** nierówności, a nie wybór odpowiedzi.\n\n## Sposób 1 - Dopełnienie do pełnego kwadratu\n\nChcemy pokazać, że lewa strona jest większa od prawej, czyli że różnica LHS \\(-\\) RHS jest dodatnia.\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\\[a^2 + 3b^2 + 4 - 2a - 6b > 0\\]\n\n**Grupujemy wyrazy i uzupełniamy do pełnych kwadratów:**\n\\[\n(a^2 - 2a) + 3(b^2 - 2b) + 4 > 0\n\\]\n\nUzupełniamy pierwszy nawias: \\(a^2 - 2a = (a-1)^2 - 1\\)\n\nUzupełniamy drugi nawias: \\(b^2 - 2b = (b-1)^2 - 1\\)\n\n**Podstawiamy:**\n\\[\n\\bigl[(a-1)^2 - 1\\bigr] + 3\\bigl[(b-1)^2 - 1\\bigr] + 4 > 0\n\\]\n\\[\n(a-1)^2 - 1 + 3(b-1)^2 - 3 + 4 > 0\n\\]\n\\[\n\\boxed{(a-1)^2 + 3(b-1)^2 > 0}\n\\]\n\n**Czy ta nierówność zawsze zachodzi?**\n\nWiemy, że \\((a-1)^2 \\geq 0\\) i \\(3(b-1)^2 \\geq 0\\) dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\).\n\nSuma tych dwóch wyrażeń równa się zero **tylko wtedy**, gdy oba składniki wynoszą zero, czyli gdy:\n\\[\na - 1 = 0 \\quad \\text{i} \\quad b - 1 = 0 \\quad \\Longrightarrow \\quad a = 1 \\text{ i } b = 1\n\\]\n\nAle \\(a = 1\\) i \\(b = 1\\) oznacza \\(b = a\\) - co jest wykluczone przez założenie \\(b \\neq a\\).\n\n**Zatem:** skoro jedyny punkt, w którym wyrażenie byłoby równe \\(0\\), jest wykluczony założeniem, to dla wszystkich dopuszczalnych \\(a, b\\) (z warunkiem \\(b \\neq a\\)):\n\\[(a-1)^2 + 3(b-1)^2 > 0\\]\nco kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Metoda wyróżnika funkcji kwadratowej\n\nPotraktujmy lewą stronę jako **funkcję kwadratową zmiennej \\(a\\)**:\n\\[\nf(a) = a^2 - 2a + (3b^2 - 6b + 4)\n\\]\nJest to parabola z ramionami skierowanymi w górę (współczynnik przy \\(a^2\\) wynosi \\(1 > 0\\)), więc \\(f(a) \\geq \\min f(a)\\).\n\n**Obliczamy wyróżnik** \\(\\Delta\\) tej funkcji kwadratowej (jako funkcji zmiennej \\(a\\)):\n\\[\n\\Delta = (-2)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (3b^2 - 6b + 4) = 4 - 12b^2 + 24b - 16\n\\]\n\\[\n\\Delta = -12b^2 + 24b - 12 = -12(b^2 - 2b + 1) = -12(b-1)^2\n\\]\n\n**Analizujemy znak wyróżnika:**\n\n**Przypadek 1: \\(b \\neq 1\\)**\n\nWtedy \\((b-1)^2 > 0\\), więc \\(\\Delta = -12(b-1)^2 < 0\\).\n\nParabola z \\(\\Delta < 0\\) nie przecina osi \\(OX\\) i leży całkowicie powyżej osi - zatem \\(f(a) > 0\\) dla każdego \\(a \\in \\mathbb{R}\\). ✓\n\n**Przypadek 2: \\(b = 1\\)**\n\nWtedy \\(\\Delta = 0\\), a jedyne miejsce zerowe funkcji:\n\\[\na_0 = \\frac{-(-2)}{2 \\cdot 1} = 1\n\\]\nZatem \\(f(a) = (a-1)^2 \\geq 0\\), i \\(f(a) = 0\\) tylko dla \\(a = 1\\).\n\nAle \\(a = 1\\) i \\(b = 1\\) daje \\(a = b\\) - wykluczone założeniem \\(b \\neq a\\).\n\n**Wniosek:** w obu przypadkach \\(f(a) > 0\\), co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposób 1 do uzupełnienia pełnych kwadratów:\n\\(a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2\\) oraz \\(b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy go w Sposób 2 - obliczając wyróżnik i badając liczbę miejsc zerowych, żeby stwierdzić, kiedy parabola nie przecina osi OX.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno stwierdzić tylko, że \"suma kwadratów jest nieujemna\". To udowodniłoby \\(\\geq 0\\), a nie ścisłą nierówność \\(> 0\\). Trzeba skorzystać z założenia \\(b \\neq a\\), żeby wykluczyć przypadek równości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(b \\neq a\\) nie jest przypadkowy! Dokładnie wyklucza punkt \\(a = b = 1\\), który jest **jedynym punktem**, gdzie wyrażenie \\((a-1)^2 + 3(b-1)^2\\) przyjmuje wartość zero. Bez tego warunku nierówność byłaby tylko \\(\\geq\\), nie \\(>\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy metodzie wyróżnika (Sposób 2) pamiętaj, że traktujesz \\(b\\) jako **stały parametr**, a szukasz wartości \\(f(a)\\) jako funkcji jednej zmiennej. To technika przydatna w wielu zadaniach dowodowych.\n\n**Dowód:**\n\n### Sposób 1 - Przeniesienie i grupowanie\nChcemy wykazać: \\(a^{2} + 3b^{2} + 4 - 2a - 6b > 0.\\)\nGrupujemy i uzupełniamy do kwadratów:\n\\(a^{2} - 2a + 1 + 3(b^{2} - 2b + 1) = (a-1)^{2} + 3(b-1)^{2}.\\)\nSprawdzamy: \\((a-1)^{2} + 3(b-1)^{2} = a^{2}-2a+1 + 3b^{2}-6b+3 = a^{2}+3b^{2}+4-2a-6b.\\)\n\nPozostaje pokazać, że \\((a-1)^{2} + 3(b-1)^{2} > 0\\) przy założeniu \\(a\\ne b.\\)\n\n**Uwaga:** \\((a-1)^{2}\\geq 0\\) i \\(3(b-1)^{2}\\geq 0\\); suma jest \\(=0\\) \\(\\Leftrightarrow a=1\\) i \\(b=1\\), czyli \\(a=b=1\\). Ale założenie mówi \\(b\\ne a\\), więc nie można mieć \\(a=1\\) i \\(b=1\\) jednocześnie z \\(a=b\\). Zatem co najmniej jeden składnik jest dodatni, suma \\(>0.\\)\n\n### Sposób 2 - Analiza przypadków\nJeśli \\(a=1\\), to z \\(b\\ne a = 1\\) mamy \\((b-1)^{2}>0\\), więc \\(3(b-1)^{2}>0\\) i suma \\(>0.\\)\nJeśli \\(a\\ne 1\\), to \\((a-1)^{2}>0\\), więc suma \\(>0.\\)\nW obu przypadkach nierówność jest spełniona.\n\n### Uwagi o punktacji\n- Kluczowe: rozpoznanie kwadratów zupełnych.\n- Pełny dowód wymaga wyjaśnienia, dlaczego suma jest silnie dodatnia przy założeniu \\(a\\ne b\\).\n\n**Trik:** zawsze próbuj przenieść wszystko na jedną stronę i rozpoznaj sumę kwadratów \\((\\square)^{2}+(\\square)^{2}\\geq 0\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nDziałka ma kształt trapezu. Podstawy 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 tego trapezu mają długości |𝐴𝐵| = 400 m\noraz |𝐶𝐷| = 100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty 𝐷𝐴𝐵 i 𝐴𝐵𝐶 są\nostre.\nZ działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking.\nDwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie 𝐴𝐵 tego trapezu, a dwa\npozostałe - 𝐸 oraz 𝐹 - na ramionach 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 trapezu (zobacz rysunek).\nWyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu\nbędzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka:\nAby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest\nsumą pól trapezów 𝐴𝐵𝐹𝐸 oraz 𝐸𝐹𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n100 m\nplac przeznaczony na parking\n75 m\n400 m\n𝐵\n𝐸\n𝐹\n𝐴\n𝐷\n𝐶\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nDziałka ma kształt trapezu. Podstawy AB i CD tego trapezu mają długości |AB|=400 m oraz |CD|=100 m. Wysokość trapezu jest równa 75 m, a jego kąty DAB i ABC są ostre. Z działki postanowiono wydzielić plac w kształcie prostokąta z przeznaczeniem na parking. Dwa z wierzchołków tego prostokąta mają leżeć na podstawie AB tego trapezu, a dwa pozostałe - E oraz F - na ramionach AD i BC trapezu (zobacz rysunek). [rysunek] Wyznacz długości boków prostokąta, dla których powierzchnia wydzielonego placu będzie największa. Wyznacz tę największą powierzchnię. Wskazówka: Aby powiązać ze sobą wymiary prostokąta, skorzystaj z tego, że pole trapezu ABCD jest sumą pól trapezów ABFE oraz EFCD: P_ABCD = P_ABFE + P_EFCD","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nXIII) Zdający rozwiązuje zadania\noptymalizacyjne w sytuacjach dających się\nopisać funkcją kwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawne wyniki: 50 m x 200 m, 10 000 m2 .\n3 pkt - zapisanie dziedziny funkcji 𝑃(𝑥): (0, 75], wyznaczenie argumentu, dla którego\nfunkcja pola przyjmuje wartość największą: 𝑥= 50 m.\n2 pkt - zapisanie wzoru na pole powierzchni placu (prostokąta) w zależności od długości\njednego z jego boków, np. 𝑃(𝑥) = 𝑥⋅(400 -4𝑥).\n1 pkt - zapisanie zależności między wymiarami placu (prostokąta), np. 𝑦= 400 -4𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nZ porównania sumy pól trapezów 𝐴𝐵𝐹𝐸 i 𝐸𝐹𝐶𝐷 otrzymujemy\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐹𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐶𝐷\n100 + 400\n2\n⋅75 = 400 + 𝑦\n2\n⋅𝑥+ 100 + 𝑦\n2\n⋅(75 -𝑥)\nStąd otrzymujemy\n𝑦= 400 -4𝑥\nZatem pole 𝑃 placu wyraża się wzorem 𝑃(𝑥) = 𝑥⋅(400 -4𝑥) dla 𝑥∈(0,75].\nKorzystamy z własności funkcji kwadratowej i obliczamy wartość 𝑥, dla którego wyrażenie\n𝑥(400 -4𝑥) osiąga wartość największą:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n= 0 + 100\n2\n= 50\n400 m\n100 m\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑥\n75 m\n𝑦\n𝐸\n𝐹\nPonieważ 50 ∈(0, 75], więc funkcja 𝑃 osiąga wartość największa dla argumentu 𝑥= 50.\nWtedy 𝑦= 200. Zatem plac o największej powierzchni ma wymiary 50 m x 200 m.\nPowierzchnia placu o największej powierzchni jest równa 50 m ⋅ 200 m = 10 000 m2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ OTWARTYCH\nOSÓB ZE STWIERDZONĄ DYSKALKULIĄ\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin\ndodatkowy 2023.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych\nw przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\n(egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy, termin dodatkowy 2023)\nZadanie 3. (0-2)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 8. (0-2)\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n2𝑥2 -3𝑥, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 2𝑥2 -𝑥< 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (\n3\n2 , 0), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 9. (0-3)\n2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 (o ile nie zostały one\nuzyskane w wyniku błędnej metody).\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 + 4𝑥2 -9𝑥-36 do postaci\n𝑥2(𝑥+ 4) -9(𝑥+ 4) lub 𝑥(𝑥2 -9) + 4(𝑥2 -9).\nZadanie 13.2. (0-1)\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-3, -5), to może otrzymać\n1 punkt.\nZadanie 15.1. (0-1)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 15.2. (0-1)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 29.1. (0-1)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32. (0-2)\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 56 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi\nnr 1 ze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 7) i konsekwentnie zapisze\nwynik\n7\n56 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 33. (0-4)\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna (wzór z wierzchołkiem)\n\nSkoro wiemy, gdzie jest wierzchołek paraboli, **od razu piszemy wzór w postaci kanonicznej**.\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.\n\n**Krok 1.** Podstawiamy wierzchołek \\(A = (0, 3)\\), czyli \\(p = 0\\), \\(q = 3\\):\n\\[f(x) = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3\\]\n\nWzór zawiera jedną nieznaną - \\(a\\). Do jej wyznaczenia użyjemy warunku, że punkt \\(B = (2, 0)\\) leży na wykresie.\n\n**Krok 2.** Warunek \\(f(2) = 0\\):\n\\[a \\cdot 2^2 + 3 = 0\\]\n\\[4a + 3 = 0\\]\n\\[4a = -3\\]\n\\[a = -\\frac{3}{4}\\]\n\n**Krok 3.** Wzór funkcji:\n\\[\\boxed{f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(0) = 3\\) ✓, \\(f(2) = -\\frac{3}{4} \\cdot 4 + 3 = -3 + 3 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna z własnością wierzchołka\n\nZaczynamy od postaci ogólnej \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) i korzystamy z obu danych.\n\n**Krok 1.** Wierzchołek ma współrzędną \\(x\\)-ową równą \\(p = -\\frac{b}{2a}\\).\n\nSkoro \\(p = 0\\):\n\\[-\\frac{b}{2a} = 0 \\implies b = 0\\]\n\nWzór upraszcza się do \\(f(x) = ax^2 + c\\).\n\n**Krok 2.** Wierzchołek leży na wykresie: \\(f(0) = 3\\):\n\\[a \\cdot 0 + c = 3 \\implies c = 3\\]\n\n**Krok 3.** Punkt \\(B = (2, 0)\\) leży na wykresie: \\(f(2) = 0\\):\n\\[a \\cdot 4 + 3 = 0 \\implies a = -\\frac{3}{4}\\]\n\n**Wynik:**\n\\[f(x) = -\\frac{3}{4}x^2 + 3\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\nWierzchołek paraboli to punkt \\((p, q)\\) - bezpośrednio zastosowany w Sposobie 1.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka w postaci ogólnej:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyciągnięcia warunku \\(b = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołek \\(A = (0, 3)\\) leży na osi \\(OY\\) - to znaczy \\(p = 0\\), więc postać kanoniczna od razu daje \\(f(x) = ax^2 + 3\\). Nie ma członu liniowego! Uczniowie często zostawiają \\(bx\\) i mają za dużo niewiadomych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(B = (2, 0)\\) to **miejsce zerowe** paraboli - \\(f(2) = 0\\), nie \\(f(0) = 2\\). Przestaw argumenty w głowie przed podstawieniem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola ma wierzchołek powyżej osi \\(OX\\) i przecina tę oś - musi być skierowana ramionami **w dół**, czyli \\(a < 0\\). Jeśli wychodzi Ci \\(a > 0\\), na pewno gdzieś jest błąd - to dobra szybka weryfikacja logiczna.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{4}x^{2} + 3\\)**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nWierzchołek \\(A=(0,3)\\), więc \\(f(x) = a(x-0)^{2} + 3 = ax^{2} + 3.\\)\nPunkt \\(B=(2,0)\\) należy do wykresu:\n\\(0 = a\\cdot 4 + 3 \\Rightarrow a = -\\dfrac{3}{4}.\\)\nWzór: \\(f(x) = -\\dfrac{3}{4}x^{2} + 3.\\)\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna\nWspółrzędna \\(x\\)-owa wierzchołka: \\(x_{w} = -\\tfrac{b}{2a} = 0 \\Rightarrow b=0.\\)\n\\(f(0) = c = 3.\\)\n\\(f(2) = 4a+3 = 0 \\Rightarrow a = -\\tfrac{3}{4}.\\)\nWzór: \\(f(x) = -\\tfrac{3}{4}x^{2}+3.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - ustalenie postaci z \\(b=0\\) (lub postaci kanonicznej), czyli \\(f(x) = ax^{2}+3.\\)\n- **2 pkt** - wyznaczenie \\(a=-\\tfrac{3}{4}\\) i zapisanie pełnego wzoru.\n\n**Trik:** gdy wierzchołek ma współrzędną \\(x_{w}=0\\), parabola jest symetryczna względem osi \\(OY\\), czyli \\(b=0\\).","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/sol-33.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC o przeciwprostokątnej BC punkt D jest środkiem ramienia AB . Odcinek CD ma długość 5\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2306/z34.png\n\n. Oblicz obwód trójkąta ABC . C 5 A D B","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: obwód trójkąta \\(ABC\\) wynosi \\(4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ACD\n\n**Oznaczenia i setup**\n\nTrójkąt prostokątny równoramienny \\(ABC\\) ma:\n- kąt prosty przy wierzchołku \\(A\\) (bo \\(BC\\) to przeciwprostokątna),\n- ramiona \\(AB = AC = a\\) (równoramienny → ramiona równe),\n- \\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(AD = \\frac{a}{2}\\).\n\n**Obliczamy \\(CD\\) przez Pitagorasa w trójkącie \\(ACD\\)**\n\nTrójkąt \\(ACD\\) jest prostokątny przy \\(A\\) (kąt prosty się dziedziczy):\n\\[CD^2 = AC^2 + AD^2 = a^2 + \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = a^2 + \\frac{a^2}{4} = \\frac{5a^2}{4}\\]\n\nZatem:\n\\[CD = \\frac{a\\sqrt{5}}{2}\\]\n\n**Podstawiamy \\(CD = 5\\):**\n\\[\\frac{a\\sqrt{5}}{2} = 5\\]\n\\[a\\sqrt{5} = 10\\]\n\\[a = \\frac{10}{\\sqrt{5}} = \\frac{10\\sqrt{5}}{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Obliczamy obwód:**\n\nPrzeciwprostokątna: \\(BC = a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\sqrt{10}\\)\n\n\\[\\boxed{O = AB + AC + BC = 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ współrzędnych\n\nUmieszczamy \\(A\\) w początku układu, \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (0, a)\\).\n\nKąt przy \\(A\\): między wektorem \\(\\vec{AB} = (a,0)\\) a \\(\\vec{AC} = (0,a)\\) - kąt prosty ✓\n\nŚrodek \\(AB\\): \\(D = \\left(\\frac{a}{2},\\ 0\\right)\\)\n\nOdległość \\(CD\\):\n\\[CD = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{2} - 0\\right)^2 + (0 - a)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2}{4} + a^2} = \\sqrt{\\frac{5a^2}{4}} = \\frac{a\\sqrt{5}}{2}\\]\n\nWarunek \\(CD = 5\\):\n\\[\\frac{a\\sqrt{5}}{2} = 5 \\implies a = 2\\sqrt{5}\\]\n\nObwód:\n\\[O = 2a + a\\sqrt{2} = 2 \\cdot 2\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}\\]\n\n**Weryfikacja liczbowa:** \\(4\\sqrt{5} \\approx 8{,}94\\), \\(2\\sqrt{10} \\approx 6{,}32\\), razem \\(\\approx 15{,}27\\). Sprawdzam \\(CD\\): \\(a\\sqrt{5}/2 = 2\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{5}/2 = 10/2 = 5\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie - raz do wyznaczenia \\(CD\\) z trójkąta \\(ACD\\), raz do obliczenia \\(BC\\) z ramion.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Trójkąt równoboczny/prostokątny**, własność:\n\\[R = \\frac{c}{2},\\quad \\text{gdzie } c \\text{ to przeciwprostokątna}\\]\nPomocniczo: w trójkącie prostokątnym równoramiennym \\(c = a\\sqrt{2}\\) (wynika wprost z Pitagorasa: \\(c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt prostokątny równoramienny - kąt prosty jest **między ramionami**, czyli przy \\(A\\), nie przy \\(B\\) ani \\(C\\). Początkujący mylą \"ramię\" z \"noga\" i stawiają kąt prosty nie tam, gdzie trzeba.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(D\\) jest środkiem \\(AB\\), więc \\(AD = \\frac{a}{2}\\), a nie \\(a\\). Wzięcie \\(AD = a\\) daje \\(CD = a\\sqrt{2}\\) i błędny wynik \\(a = \\frac{5}{\\sqrt{2}} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu obwodu pamiętaj, że mamy **dwa** ramiona (\\(AB + AC = 2a\\)) plus przeciwprostokątna. Łatwo policzyć tylko \\(a + a\\sqrt{2}\\) zapominając o jednym ramieniu lub pomylić liczby ramion.\n\n**Poprawna odpowiedź: Obwód \\(= 4\\sqrt{5}+2\\sqrt{10}\\)**\n\n### Sposób 1 - Pitagoras w trójkącie \\(ACD\\)\nTrójkąt \\(ABC\\) jest prostokątny w \\(A\\) i równoramienny, więc \\(|AB|=|AC|=a\\), \\(|BC|=a\\sqrt{2}.\\)\n\\(D\\) - środek \\(AB\\), więc \\(|AD|=\\tfrac{a}{2}.\\)\nKąt \\(DAC=90^{\\circ}\\) (bo \\(D\\in AB\\) i \\(\\angle A\\) jest prosty).\nZ Pitagorasa w \\(\\triangle ACD\\):\n\\(|CD|^{2} = |AC|^{2} + |AD|^{2}\\)\n\\(25 = a^{2} + \\tfrac{a^{2}}{4} = \\tfrac{5a^{2}}{4}.\\)\n\\(a^{2} = 20 \\Rightarrow a = 2\\sqrt{5}.\\)\n\nObwód: \\(2a + a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\sqrt{5} + 2\\sqrt{10}.\\)\n\n### Sposób 2 - Trygonometria\nW trójkącie \\(ACD\\): \\(\\operatorname{tg}(\\angle ACD) = \\tfrac{|AD|}{|AC|} = \\tfrac{1}{2}.\\) Z jedynki: \\(\\cos(\\angle ACD) = \\tfrac{2}{\\sqrt{5}}\\), \\(\\sin(\\angle ACD)=\\tfrac{1}{\\sqrt{5}}.\\)\n\\(|AC| = |CD|\\cos(\\angle ACD) = 5\\cdot\\tfrac{2}{\\sqrt{5}} = 2\\sqrt{5}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|AC|=2\\sqrt{5}\\) (lub \\(|AB|\\)).\n- **2 pkt** - obliczenie obwodu \\(4\\sqrt{5}+2\\sqrt{10}.\\)\n\n**Trik:** w trójkącie równoramiennym prostokątnym bok \\(c = a\\sqrt{2}\\), a środek ramienia daje pół długości przy wierzchołku prostym.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Ze zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej liczbie. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest dzielnikiem liczby 8 . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczny rachunek prawdopodobieństwa (kombinacje)\n\n**Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nLosujemy kolejno bez zwracania 2 liczby ze zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\\}.\\)\n\nPonieważ suma wylosowanych liczb nie zależy od kolejności, wygodnie liczyć **pary nieuporzą­dkowane**:\n\n\\[|\\Omega| = \\binom{8}{2} = \\frac{8 \\cdot 7}{2} = 28\\]\n\nKażda para jest jednakowo prawdopodobna.\n\n**Krok 2: Które sumy są dzielnikami liczby 8?**\n\nDzielniki liczby \\(8\\) to: \\(1,\\, 2,\\, 4,\\, 8.\\)\n\nMinimalna możliwa suma wylosowanych liczb: \\(1 + 2 = 3.\\)\nMaksymalna: \\(7 + 8 = 15.\\)\n\nZatem z dzielników \\(8\\) w grę wchodzą tylko **\\(4\\)** i **\\(8\\)** (bo \\(1\\) i \\(2\\) są poniżej minimum).\n\n**Krok 3: Policz sprzyjające pary**\n\n**Suma = 4:**\nSzukamy par \\(\\{a, b\\} \\subset \\{1,\\ldots,8\\}\\), \\(a \\neq b\\), \\(a+b=4\\):\n\\[\\{1,3\\}\\]\nTylko **1 para**.\n\n**Suma = 8:**\nSzukamy par \\(a+b=8\\), \\(a \\neq b\\), \\(a,b \\in \\{1,\\ldots,8\\}\\):\n\\[\\{1,7\\},\\quad \\{2,6\\},\\quad \\{3,5\\}\\]\n(Para \\(\\{4,4\\}\\) odpada - bez zwracania.)\nŁącznie **3 pary**.\n\nZdarzenie \\(A\\) zawiera \\(1 + 3 = 4\\) pary sprzyjające.\n\n**Krok 4: Prawdopodobieństwo**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{28} = \\boxed{\\dfrac{1}{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczanie przez przestrzeń uporządkowaną (weryfikacja)\n\nPonieważ losujemy **kolejno**, możemy liczyć pary **uporzą­dkowane** \\((a,b)\\), gdzie \\(a\\) - pierwsza wylosowana, \\(b\\) - druga.\n\n\\[|\\Omega| = 8 \\cdot 7 = 56\\]\n\nKażda nieuporzą­dkowana para sprzyjająca daje **2 pary uporzą­dkowane**, więc:\n\n\\[|A| = 4 \\cdot 2 = 8\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{8}{56} = \\frac{1}{7}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(P(A) = \\dfrac{1}{7}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy w obu sposobach: liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\n**Dział 4 (Silnia. Współczynnik dwumianowy, s. 6)** - kombinacje:\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\nUżyliśmy do policzenia \\(\\binom{8}{2} = 28\\) możliwych par.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dzielniki liczby \\(8\\) to \\(1, 2, 4, 8\\) - nie tylko \\(4\\) i \\(8\\)! Trzeba pamiętać, że suma dwóch różnych liczb ze zbioru \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) wynosi **co najmniej 3**, więc \\(1\\) i \\(2\\) jako sumy są niemożliwe. Pominięcie tego kroku prowadzi do szukania par o sumie 1 lub 2 - co jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\(\\{4, 4\\}\\) dałaby sumę \\(8\\), ale **losowanie bez zwracania** wyklucza wylosowanie tej samej liczby dwa razy. Łatwo o ten błąd przy mechanicznym szukaniu par.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić dzielników liczby \\(8\\) z dzielnikami sumy! Pytanie brzmi: suma musi być dzielnikiem **liczby 8** (tj. musi dzielić \\(8\\)), a nie odwrotnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{28}\\) (albo równoważnie \\(\\dfrac{6}{56}\\))**\n\n### Sposób 1 - Liczenie par uporządkowanych\nWszystkich par uporządkowanych (bez zwracania): \\(|\\Omega| = 8\\cdot 7 = 56.\\)\n\nDzielniki \\(8\\): \\(1, 2, 4, 8\\). Suma dwóch różnych liczb z \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) jest \\(\\geq 1+2 = 3\\), więc dozwolone sumy to \\(4\\) i \\(8\\).\n\n- Suma \\(=4\\): pary \\(\\{1,3\\}\\) (dwa uporządkowane: \\((1,3)\\) i \\((3,1)\\)). Sum \\(2+2\\) nie liczymy (bez zwracania). Razem: 2 pary uporządkowane.\n- Suma \\(=8\\): pary \\(\\{1,7\\},\\{2,6\\},\\{3,5\\}\\) (\\(\\{4,4\\}\\) niemożliwe). Każda daje 2 uporządkowane: razem \\(6\\) par.\n\nLiczba zdarzeń sprzyjających: \\(2+6 = 8.\\)\nWynik: \\(P(A) = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}.\\)\n\n**Korekta:** sprawdźmy ponownie - sprawdzam sumę \\(=2\\): wymaga dwóch różnych liczb sumujących się do 2, co wymaga \\(\\{1,1\\}\\), niemożliwe. Suma \\(=1\\) - niemożliwe dla dodatnich. Zatem zdarzeń sprzyjających jest \\(|A|=8.\\)\n\n\\(P(A) = \\dfrac{8}{56} = \\dfrac{1}{7}.\\)\n\n### Sposób 2 - Liczenie par nieuporządkowanych\n\\(|\\Omega| = \\binom{8}{2}=28.\\)\nPary sprzyjające: suma \\(=4\\): \\(\\{1,3\\}\\) (1 para). Suma \\(=8\\): \\(\\{1,7\\},\\{2,6\\},\\{3,5\\}\\) (3 pary). Razem: 4 pary.\n\\(P(A) = \\dfrac{4}{28} = \\dfrac{1}{7}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-2 pkt)\n- **1 pkt** - wypisanie wszystkich par sprzyjających lub wyznaczenie \\(|\\Omega|\\).\n- **2 pkt** - poprawne obliczenie \\(P(A)=\\tfrac{1}{7}.\\)\n\n**Trik:** suma dwóch liczb naturalnych z \\(\\{1,\\ldots,8\\}\\) mieści się w \\(\\{3,\\ldots,15\\}\\); wystarczy sprawdzić dzielniki \\(8\\) w tym przedziale.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W trapezie równoramiennym ABCD podstawa CD ma długość 5 . Punkt F= (3, 11) jest środkiem odcinka CD . Prosta o równaniu y= -[4] x+ 15 jest osią symetrii tego trapezu 3 oraz . B= ([23] 2 , 8) Oblicz współrzędne wierzchołka A oraz pole tego trapezu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right), \\qquad P_{ABCD} = \\frac{225}{4} = 56{,}25\\]\n\n## Sposób 1 - Odbicie punktu B względem osi symetrii\n\n### Krok 1: Wyznaczamy C i D\n\n\\(F = (3, 11)\\) jest środkiem \\(CD\\), a \\(|CD| = 5\\).\n\nOś symetrii trapezu (prostą \\(y = -\\tfrac{4}{3}x + 15\\)) musi być **prostopadła** do podstawy \\(CD\\). Sprawdzamy, czy \\(F\\) leży na osi:\n\n\\[y = -\\frac{4}{3} \\cdot 3 + 15 = -4 + 15 = 11 \\quad \\checkmark\\]\n\nNachylenie osi: \\(-\\tfrac{4}{3}\\). Zatem nachylenie \\(CD\\):\n\n\\[a_{CD} = -\\frac{1}{-\\frac{4}{3}} = \\frac{3}{4}\\]\n\nWektor jednostkowy wzdłuż \\(CD\\): kierunek \\((4, 3)\\), długość \\(\\sqrt{16+9} = 5\\), więc wektor jednostkowy \\(= \\frac{1}{5}(4,3)\\).\n\nPołówka \\(CD\\) to \\(\\frac{5}{2}\\), więc:\n\n\\[C = F + \\frac{5}{2} \\cdot \\frac{1}{5}(4,3) = (3,11) + (2; 1{,}5) = \\left(5,\\ \\frac{25}{2}\\right)\\]\n\\[D = F - (2; 1{,}5) = \\left(1,\\ \\frac{19}{2}\\right)\\]\n\n### Krok 2: Wyznaczamy A jako odbicie B względem osi symetrii\n\nProsta osi symetrii w postaci ogólnej: \\(4x + 3y - 45 = 0\\) (mnożymy przez 3: \\(3y = -4x + 45\\)).\n\n**Wzór na odbicie** punktu \\((x_0, y_0)\\) względem prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\n\\[x' = x_0 - \\frac{2A(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2+B^2}, \\qquad y' = y_0 - \\frac{2B(Ax_0 + By_0 + C)}{A^2+B^2}\\]\n\nDla \\(B = \\left(\\frac{23}{2},\\ 8\\right)\\), \\(A=4\\), \\(B=3\\), \\(C=-45\\):\n\n\\[Ax_0 + By_0 + C = 4 \\cdot \\frac{23}{2} + 3 \\cdot 8 - 45 = 46 + 24 - 45 = 25\\]\n\n\\[A^2 + B^2 = 16 + 9 = 25\\]\n\n\\[x_A = \\frac{23}{2} - \\frac{2 \\cdot 4 \\cdot 25}{25} = \\frac{23}{2} - 8 = \\frac{7}{2}\\]\n\n\\[y_A = 8 - \\frac{2 \\cdot 3 \\cdot 25}{25} = 8 - 6 = 2\\]\n\n\\[\\boxed{A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right)}\\]\n\n### Krok 3: Długość podstawy AB\n\n\\[|AB| = \\sqrt{\\left(\\frac{23}{2} - \\frac{7}{2}\\right)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{8^2 + 6^2} = \\sqrt{64+36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\n### Krok 4: Wysokość trapezu\n\nWyznaczamy prostą zawierającą \\(CD\\) (nachylenie \\(\\frac{3}{4}\\), przez \\(C = (5, \\frac{25}{2})\\)):\n\n\\[3x - 4y + 35 = 0\\]\n\nSprawdzenie: \\(3(5) - 4(\\frac{25}{2}) + 35 = 15 - 50 + 35 = 0\\ \\checkmark\\)\n\nProsta zawierająca \\(AB\\) jest równoległa, sprawdzamy stałą dla \\(A = (\\frac{7}{2}, 2)\\):\n\n\\[3 \\cdot \\frac{7}{2} - 4 \\cdot 2 = \\frac{21}{2} - 8 = \\frac{5}{2} \\implies \\text{prosta: } 3x - 4y - \\frac{5}{2} = 0\\]\n\nOdległość między równoległymi prostymi \\(3x - 4y + 35 = 0\\) i \\(3x - 4y - \\frac{5}{2} = 0\\):\n\n\\[h = \\frac{\\left|35 - \\left(-\\frac{5}{2}\\right)\\right|}{\\sqrt{3^2+4^2}} = \\frac{35 + \\frac{5}{2}}{5} = \\frac{\\frac{75}{2}}{5} = \\frac{75}{10} = \\frac{15}{2}\\]\n\n### Krok 5: Pole trapezu\n\n\\[P = \\frac{(|CD| + |AB|) \\cdot h}{2} = \\frac{\\left(5 + 10\\right) \\cdot \\frac{15}{2}}{2} = \\frac{15 \\cdot \\frac{15}{2}}{2} = \\frac{225}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{225}{4} = 56{,}25}\\]\n\n## Sposób 2 - Układ równań (warunek równoległości i środek na osi)\n\nSzukamy \\(A = (a, b)\\). Korzystamy z dwóch warunków:\n\n**Warunek 1:** \\(AB \\parallel CD\\), więc nachylenie \\(AB = \\frac{3}{4}\\):\n\n\\[\\frac{8 - b}{\\frac{23}{2} - a} = \\frac{3}{4} \\implies 4(8-b) = 3\\left(\\frac{23}{2}-a\\right) \\implies 3a - 4b = \\frac{5}{2}\\]\n\n**Warunek 2:** Środek \\(AB\\) leży na osi symetrii \\(y = -\\frac{4}{3}x + 15\\):\n\n\\[\\text{Środek} = \\left(\\frac{a + \\frac{23}{2}}{2},\\ \\frac{b+8}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\\frac{b+8}{2} = -\\frac{4}{3} \\cdot \\frac{a + \\frac{23}{2}}{2} + 15\\]\n\n\\[b + 8 = -\\frac{4}{3}\\left(a + \\frac{23}{2}\\right) + 30 \\implies 4a + 3b = 20\\]\n\n**Rozwiązujemy układ:**\n\n\\[\\begin{cases} 3a - 4b = \\dfrac{5}{2} \\\\[4pt] 4a + 3b = 20 \\end{cases}\\]\n\nMnożymy pierwsze równanie przez 3, drugie przez 4, dodajemy:\n\n\\[9a - 12b + 16a + 12b = \\frac{15}{2} + 80 \\implies 25a = \\frac{175}{2} \\implies a = \\frac{7}{2}\\]\n\n\\[b = \\frac{3 \\cdot \\frac{7}{2} - \\frac{5}{2}}{4} = \\frac{\\frac{16}{2}}{4} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\n\\[\\boxed{A = \\left(\\frac{7}{2},\\ 2\\right)} \\quad \\checkmark\\]\n\nPole wyznaczamy identycznie jak w Sposobie 1: \\(P = \\frac{225}{4}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB| = 10\\).\n\n- Odległość punktu od prostej \\(Ax + By + C = 0\\):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\]\nUżyte do wyznaczenia wysokości trapezu \\(h = \\frac{15}{2}\\).\n\n- Warunek prostopadłości prostych (współczynniki kierunkowe): \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) - użyte do znalezienia kierunku \\(CD\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21):**\n\n- Pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a = 5\\), \\(b = 10\\), \\(h = \\frac{15}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii trapezu jest **prostopadła** do podstaw - nachylenie \\(CD\\) to \\(\\frac{3}{4}\\) (odwrotność ze zmianą znaku od \\(-\\frac{4}{3}\\)). Łatwo zapomnieć o zmianie znaku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu odległości między równoległymi prostymi \\(3x - 4y + k_1 = 0\\) i \\(3x - 4y + k_2 = 0\\) dzielimy przez \\(\\sqrt{A^2+B^2} = 5\\), a **nie** przez \\(\\sqrt{A^2-B^2}\\). To częsty błąd arytmetyczny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że podstawy trapezu są poziome! Tu obie podstawy mają nachylenie \\(\\frac{3}{4}\\) - trapez jest \"przekrzywiony\". Wysokość to **prostopadła odległość** między prostymi, nie różnica współrzędnych \\(y\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(A = \\left(-\\dfrac{11}{2},-4\\right)\\), Pole \\(= \\dfrac{275}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetria osiowa i wektory\nOś symetrii trapezu równoramiennego \\(l: y=-\\tfrac{4}{3}x+15\\) przechodzi przez środki podstaw \\(AB\\) i \\(CD\\). Punkt \\(F=(3,11)\\) - środek \\(CD\\) - rzeczywiście spełnia \\(-\\tfrac{4}{3}\\cdot 3+15=11\\) ✓.\n\n**Wierzchołek \\(A\\):** symetryczny do \\(B\\) względem osi \\(l\\).\nWspółczynnik kierunkowy \\(l\\) to \\(m=-\\tfrac{4}{3}\\). Prosta prostopadła ma współczynnik \\(\\tfrac{3}{4}.\\)\nProsta przez \\(B=(\\tfrac{23}{2},8)\\) prostopadła do \\(l\\):\n\\(y - 8 = \\tfrac{3}{4}(x - \\tfrac{23}{2}) \\Rightarrow y = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{69}{8} + 8 = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{5}{8}.\\)\n\nPrzecięcie z \\(l\\): \\(-\\tfrac{4}{3}x + 15 = \\tfrac{3}{4}x - \\tfrac{5}{8}.\\)\nMnożymy przez 24: \\(-32x + 360 = 18x - 15 \\Rightarrow -50x = -375 \\Rightarrow x = \\tfrac{15}{2}.\\)\n\\(y = -\\tfrac{4}{3}\\cdot\\tfrac{15}{2}+15 = -10+15 = 5.\\)\nŚrodek \\(AB\\): \\(E=(\\tfrac{15}{2},5).\\)\n\nWierzchołek \\(A = 2E - B = (15-\\tfrac{23}{2}, 10-8) = (\\tfrac{7}{2}, 2).\\)\n\n**Weryfikacja w innym kierunku.** Ponieważ \\(E\\) to środek \\(AB\\), to \\(A=2E-B.\\) Otrzymaliśmy \\(A=(\\tfrac{7}{2}, 2).\\)\n\n**Długości:**\n\\(|AB| = 2|BE| = 2\\sqrt{(\\tfrac{23}{2}-\\tfrac{15}{2})^{2}+(8-5)^{2}} = 2\\sqrt{16+9} = 2\\cdot 5 = 10.\\)\n\n**Wysokość trapezu (odległość \\(E\\) do \\(F\\)):**\n\\(|EF| = \\sqrt{(3-\\tfrac{15}{2})^{2}+(11-5)^{2}} = \\sqrt{(-\\tfrac{9}{2})^{2}+36} = \\sqrt{\\tfrac{81}{4}+36} = \\sqrt{\\tfrac{225}{4}} = \\tfrac{15}{2}.\\)\n\n**Pole trapezu:** \\(P = \\tfrac{|AB|+|CD|}{2}\\cdot h = \\tfrac{10+5}{2}\\cdot\\tfrac{15}{2} = \\tfrac{15}{2}\\cdot\\tfrac{15}{2} = \\tfrac{225}{4}.\\)\n\n### Weryfikacja\n\\(A=(\\tfrac{7}{2}, 2)\\), \\(B=(\\tfrac{23}{2}, 8)\\), \\(|AB|=\\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\\sqrt{100}=10\\) ✓.\n\n**Ostateczne wyniki:** \\(A=\\left(\\dfrac{7}{2}, 2\\right)\\), pole \\(= \\dfrac{225}{4}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE, 0-5 pkt)\n- **1 pkt** - wyznaczenie prostej zawierającej \\(AB\\) (prostopadła do osi przez \\(B\\)) lub ustalenie środka \\(E\\) podstawy \\(AB.\\)\n- **2 pkt** - wyznaczenie \\(E = (\\tfrac{15}{2}, 5).\\)\n- **3 pkt** - wyznaczenie \\(A = (\\tfrac{7}{2}, 2).\\)\n- **4 pkt** - obliczenie długości \\(|AB|=10\\) i wysokości \\(|EF|=\\tfrac{15}{2}.\\)\n- **5 pkt** - poprawne pole \\(P = \\tfrac{225}{4}.\\)\n\n**Trik:** środek podstawy trapezu równoramiennego leży na osi symetrii; wierzchołki \\(A\\) i \\(B\\) są symetryczne względem osi.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}