{"paper":{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":13,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nDane są liczby\n𝑎= 4log2 45 oraz 𝑏= log3 2023\nlog9 2023\nOblicz 𝒂-𝒃.\n\nMMAP-R0_100\nDane są liczby a = 4^log_2 45 oraz b = log_3 2023/log_9 2023. Oblicz a - b.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne obliczenie 𝑎-𝑏: 2023.\n1 pkt - obliczenie 𝑎: 𝑎= 452\nALBO\n- obliczenie 𝑏: 𝑏= 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy 𝑎:\n𝑎= 4log2 45 = (22)log2 45 = 2log2 452 = 452 = 2025\nStosujemy wzór na zamianę postawy logarytmu i obliczamy 𝑏:\n𝑏= log3 2023\nlog9 2023 = log3 2023\nlog3 2023\nlog3 9\n= log3 9 = 2\nZatem 𝑎-𝑏= 2023.\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$a - b = 2023$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nWśród 𝑛 osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te 𝑛 osób ustawiamy w kolejkę jedna\nza drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich\ntakich ustawień tych 𝑛 osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne\nmiejsca (w dowolnej kolejności).\nOblicz 𝒏. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nWśród n osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te n osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest 12 razy większa od liczby wszystkich takich ustawień tych n osób w kolejkę, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz n.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji,\nrównież w przypadkach wymagających\nrozważenia złożonego modelu zliczania\nelementów.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑛= 9.\n2 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑛, które wynika z warunków zadania, np.\n𝑛! = 12 ⋅(𝑛-2)! ⋅3!.\n1 pkt - zapisanie, że liczba wszystkich sposobów ustawienia 𝑛 osób w kolejce jest równa\n𝑛!\nALBO\n- zapisanie, że trzy kolejne miejsca spośród 𝑛 miejsc można wybrać na 𝑛-3\nsposoby (lub na ( 𝑛\n𝑛-3) sposoby),\nALBO\n- potraktowanie Ani i jej dwóch znajomych jak jednej osoby i zapisanie, że liczba\nustawień tych 𝑛-2 osób jest równa (𝑛-2)!\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nLiczba wszystkich sposobów ustawienia 𝑛 osób w kolejce jest równa 𝑛!.\nLiczbę wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy sąsiednie\nmiejsca, możemy obliczyć, traktując Anię i jej dwóch znajomych jak „jedną osobę”.\nW rezultacie mamy ustawić ciąg złożony z 𝑛-2 osób, co można zrobić na (𝑛-2)!\nsposobów. Na ustalonych trzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na\n3! sposobów, więc liczba wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych\nzajmują trzy kolejne miejsca jest równa (𝑛-2)! ∙3!.\nZ warunków zadania wynika równanie\n𝑛! = 12 ∙(𝑛-2)! ∙3!\nStąd, po podzieleniu obu stron tego równania przez (𝑛-2)!, otrzymujemy:\n𝑛(𝑛-1) = 12 ∙6\n𝑛2 -𝑛-72 = 0\n(𝑛-9)(𝑛+ 8) = 0\nPonieważ 𝑛 jest liczbą całkowitą dodatnią, więc 𝑛+ 8 > 0. Zatem 𝑛-9 = 0, czyli 𝑛= 9.\nUwaga.\nLiczbę wszystkich ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy kolejne miejsca,\nmożemy obliczyć też w następujący sposób.\nTrzy kolejne miejsca spośród 𝑛 miejsc możemy wybrać na 𝑛-2 sposoby. Na wybranych\ntrzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na 3! sposobów, a na\npozostałych 𝑛-3 miejscach możemy pozostałe osoby ustawić na (𝑛-3)! sposobów.\nZatem liczba szukanych ciągów jest równa (𝑛-2) ∙3! ∙(𝑛-3)! = (𝑛-2)! ∙3!\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$n = 9$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nPrawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu\nmieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że w okresie siedmiu\ndni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym\nosiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu\ndo części setnych. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nPrawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R2) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 0,97 .\n2 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów\nw 𝑛 próbach Bernoullego i zapisanie prawdopodobieństwa w postaci\n𝑃(𝐴) = (7\n0) ⋅(\n1\n10)\n0\n⋅(\n9\n10)\n7\n+ (7\n1) ⋅(\n1\n10)\n1\n⋅(\n9\n10)\n6\n+ (7\n2) ⋅(\n1\n10)\n2\n⋅(\n9\n10)\n5\n1 pkt - ustalenie i zapisanie liczby prób (𝑛), liczby sukcesów (𝑘), prawdopodobieństwa\nsukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej próbie w schemacie Bernoullego: 𝑛= 7,\n𝑘≤2, 𝑝= 1\n10 , 𝑞= 9\n10 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający poprawnie zapisze 𝑃(𝑆7\n0) = (7\n0) ⋅(\n1\n10)\n0\n⋅(\n9\n10)\n7\n, 𝑃(𝑆7\n1) = (7\n1) ⋅(\n1\n10)\n1\n⋅(\n9\n10)\n6\n,\noraz 𝑃(𝑆7\n2) = (7\n2) ⋅(\n1\n10)\n2\n⋅(\n9\n10)\n5\n, ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że\n𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑆7\n0) + 𝑃(𝑆7\n1) + 𝑃(𝑆7\n2), to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOkreślamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞): 𝑝= 1\n10 , 𝑞= 1 -𝑝= 9\n10 .\nNiech 𝑆7\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wystąpieniu awarii w godzinach porannych\ndokładnie w 𝑘 dniach spośród siedmiu rozpatrywanych (𝑘∈{0, 1, 2}).\nObliczamy prawdopodobieństwo 𝑃 wystąpienia awarii w godzinach porannych w co\nnajwyżej dwóch dniach spośród siedmiu:\n𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑆7\n0) + 𝑃(𝑆7\n1) + 𝑃(𝑆7\n2) =\n= (7\n0) ⋅( 1\n10)\n0\n⋅( 9\n10)\n7\n+ (7\n1) ⋅( 1\n10)\n1\n⋅( 9\n10)\n6\n+ (7\n2) ⋅( 1\n10)\n2\n⋅( 9\n10)\n5\n= 97 + 7 ⋅96 + 21 ⋅95\n107\n= 95 ⋅165\n107\n= 9 743 085\n10 000 000 ≈0,97","solution":"$0{,}97$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 -4𝑥2 + 9𝑥 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nPunkt 𝑃= (𝑥0 , 18) należy do wykresu funkcji 𝑓.\nOblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)=2x^3-4x^2+9x dla każdego x∈ℝ. Punkt P=(x_0,18) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 2 oraz 𝑦= 17𝑥-16.\n2 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 2 oraz\n𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.\n1 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃: 𝑥0 = 2\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n18 = 2𝑥0\n3 -4𝑥0\n2 + 9𝑥0\n2𝑥0\n3 -4𝑥0\n2 + 9𝑥0 -18 = 0\n2𝑥0\n2(𝑥0 -2) + 9(𝑥0 -2) = 0\n(2𝑥0\n2 + 9)(𝑥0 -2) = 0\n2𝑥0\n2 + 9 = 0 lub 𝑥0 -2 = 0\nPonieważ 2𝑥0\n2 + 9 > 0 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥0, więc 𝑥0 = 2.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9\nWyznaczamy równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.Obliczamy\nwspółczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(2) = 17\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n18 = 17 ∙2 + 𝑏\n𝑏= -16\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStyczna ma równanie 𝑦= 17𝑥-16.","solution":"$x_0 = 2$ oraz $y = 17x - 16$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝒂 prawdziwa jest nierówność\n𝒂𝟐+ 𝟏𝟔\n𝒂≥𝟏𝟐\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej a prawdziwa jest nierówność a² + 16/a ≥ 12.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R1) znajduje pierwiastki całkowite\ni wymierne wielomianu o współczynnikach\ncałkowitych.\nIII.R1) rozwiązuje nierówności\nwielomianowe typu: 𝑊(𝑥) > 0,\n𝑊(𝑥) ≥0, 𝑊(𝑥) < 0, 𝑊(𝑥) ≤0 dla\nwielomianów doprowadzonych do postaci\niloczynowej lub takich, które dają się\ndoprowadzić do postaci iloczynowej metodą\nwyłączania wspólnego czynnika przed\nnawias lub metodą grupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności\n(𝑎-2)2(𝑎+4)\n𝑎\n≥0 lub (𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 z powołaniem\nsię na założenie (dla sposobu I)\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności\n𝑎2+8\n𝑎+8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅\n8\n𝑎⋅\n8\n𝑎\n3\ndo postaci tezy (dla sposobu II),\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie 𝑓(2): 𝑓(2) = 12 (dla\nsposobu III).\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 do postaci\n(𝑎-2)2(𝑎+4)\n𝑎\n≥0 lub\n(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16\nw postaci (𝑎-2)2(𝑎+ 4) (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie, że dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie oraz zapisanie\nnierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 :\n𝑎2+8\n𝑎+8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅\n8\n𝑎⋅\n8\n𝑎\n3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓 oraz wyznaczenie w przedziale\n(0, +∞) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość najmniejszą\n(wraz z uzasadnieniem): 𝑎= 2 (dla sposobu III).\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 do postaci\n𝑎3-12𝑎+16\n𝑎\n≥0 lub\n𝑎3 -12𝑎+ 16 ≥0, lub 𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 (dla sposobu I)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie, że dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie (dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie pochodnej funkcji 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +\n16\n𝑎 dla 𝑎> 0 (lub w\nszerszym zakresie), np. 𝑓′(𝑎) = 2𝑎-\n16\n𝑎2 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje\nnierówność między średnimi liczb 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12:\n𝑎3\n𝑎+ 16\n𝑎-12𝑎\n𝑎\n≥0\n𝑎3 -12𝑎+ 16\n𝑎\n≥0\n𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 i 𝑎≠0\nZauważamy, że pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑎) = 𝑎3 -12𝑎+ 16 jest liczba 2. Stąd\n𝑊(𝑎) = (𝑎-2)(𝑎2 + 2𝑎-8). Ponieważ pierwiastkami trójmianu kwadratowego\n𝑎2 + 2𝑎-8 są liczby 2 i (-4), więc 𝑊(𝑎) = (𝑎-2)2(𝑎+ 4). Zatem nierówność\n𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 można równoważnie zapisać w postaci\n𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0\nDla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie (𝑎-2)2 jest liczbą nieujemną, natomiast\nwyrażenie (𝑎+ 4) jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie\n𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) jest nieujemne jako iloczyn liczb nieujemnych. Oznacza to, że nierówność\n𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎. To należało wykazać.\nInna realizacja rozkładu wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16 na czynniki:\n𝑎3 -12𝑎+ 16 = 𝑎3 -16𝑎+ 4𝑎+ 16 = 𝑎(𝑎2 -16) + 4(𝑎+ 4) =\n= 𝑎(𝑎-4)(𝑎+ 4) + 4(𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)[𝑎(𝑎-4) + 4] =\n= (𝑎+ 4)(𝑎2 -4𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)(𝑎-2)2\nSposób II\nDla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie. Korzystamy z nierówności między\nśrednimi arytmetyczną i geometryczną liczb 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎2 + 8\n𝑎+ 8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅8\n𝑎⋅8\n𝑎\n3\n𝑎2 + 16\n𝑎\n3\n≥√64\n3\n𝑎2 + 16\n𝑎≥12\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +\n16\n𝑎 dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑎> 0.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑎) = 2𝑎-16\n𝑎2 = 2𝑎3 -16\n𝑎2\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n2𝑎3 -16\n𝑎2\n= 0\n2𝑎3 -16 = 0\n𝑎= 2\nPonieważ 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2), więc funkcja 𝑓\njest malejąca w przedziale (0, 2] oraz jest rosnąca w przedziale [2, +∞).\nZatem dla argumentu 𝑎= 2 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą\n𝑓(2) = 22 +\n16\n2 = 12. Stąd 𝑓(𝑎) ≥12 dla każdej liczby dodatniej 𝑎.\nTo oznacza, że nierówność 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdego 𝑎> 0.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nDany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego\nokręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 leżący na odcinku 𝐴𝑃\npoprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie 𝐷, która przecięła odcinek 𝐴𝑄\nw punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).\nWykaż, że jeżeli |𝑨𝑸| = 𝟓∙|𝑩𝑷| oraz |𝑪𝑫| = 𝟐∙|𝑩𝑫|, to trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest\nrównoramienny.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝑃\n𝑄\nokrąg 𝒪\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest okrąg O. Przez punkt A poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - P oraz Q. Przez punkt B leżący na odcinku AP poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie D, która przecięła odcinek AQ w punkcie C (zobacz rysunek). [rysunek] Wykaż, że jeżeli |AQ|=5⋅|BP| oraz |CD|=2⋅|BD|, to trójkąt ABC jest równoramienny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\nZasady oceniania\n3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz uzasadnienie, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝑄 w zależności od tej samej\nzmiennej, np. |𝐴𝑃| = 5𝑥, |𝐴𝑄| = 5𝑥, |𝐵𝐷| = 𝑥, |𝐶𝐷| = 2𝑥, |𝐶𝑄| = 2𝑥.\n1 pkt - zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach stycznych: |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃|\n(lub |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄|, lub |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷|).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech |𝐵𝑃| = 𝑥.\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wnioskujemy, że |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃| = 𝑥.\nZ założenia |𝐶𝐷| = 2 ∙|𝐵𝐷| otrzymujemy |𝐶𝐷| = 2𝑥. Z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwnioskujemy, że |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷| = 2𝑥 (zobacz rysunek).\nPonieważ |𝐴𝑄| = 5 ∙|𝐵𝑃|, więc |𝐴𝑄| = 5𝑥. Ponownie z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwnioskujemy, że |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄| = 5𝑥.\nZatem |𝐴𝐶| = |𝐴𝑄| -|𝐶𝑄| = 5𝑥-2𝑥= 3𝑥 oraz |𝐵𝐶| = |𝐵𝐷| + |𝐶𝐷| = 𝑥+ 2𝑥= 3𝑥.\nWobec tego |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. To należało wykazać.\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝑄\nokrąg 𝒪\n𝑃\n𝐵\n𝑥\n𝑥\n2𝑥\n2𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nDany jest nieskończony szereg geometryczny\n2𝑥-\n6𝑥\n𝑥-1 +\n18𝑥\n(𝑥-1)2 -\n54𝑥\n(𝑥-1)3 + …\nWyznacz wszystkie wartości zmiennej 𝒙 (różnej od 𝟎 i od 𝟏), dla których suma tego\nszeregu istnieje i jest równa 𝟏𝟓\n𝟐 . Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest nieskończony szereg geometryczny 2x - 6x/x-1 + 18x/(x-1)^2 - 54x/(x-1)^3 + … Wyznacz wszystkie wartości zmiennej x (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15/2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości zmiennej 𝑥, dla których suma szeregu\nistnieje (𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz poprawne wyznaczenie wszystkich wartości\nzmiennej 𝑥, dla których suma jest równa\n15\n2 : 𝑥= 6.\n3 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma\nszeregu ( 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz zastosowanie wzoru na sumę szeregu\ngeometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą 𝑥:\n2𝑥\n1-(-3\n𝑥-1) =\n15\n2\nALBO\n- zapisanie warunku zbieżności szeregu (|𝑞| < 1) oraz zastosowanie wzoru na sumę\nszeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy, zapisanie równania z niewiadomą\n𝑥 (\n2𝑥\n1-(-3\n𝑥-1) =\n15\n2 ) i rozwiązanie tego równania: 𝑥= -\n5\n4 , 𝑥= 6.\n2 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma\nszeregu: 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)\nALBO\n- zapisanie warunku zbieżności szeregu (|𝑞| < 1) oraz zastosowanie wzoru na sumę\nszeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą\n𝑥:\n2𝑥\n1 -(-\n3\n𝑥-1)\n= 15\n2\n1 pkt - zapisanie ilorazu: 𝑞= -\n3\n𝑥-1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający rozwiąże odpowiednie równanie i zapisze: 𝑥= -\n5\n4 ∨ 𝑥= 6, a następnie\nobliczy iloraz szeregu dla każdej z wyznaczonych wartości zmiennych i na tej podstawie\ndokona właściwego wyboru rozwiązania, to otrzymuje 4 punkty.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie bez rozważenia warunku |𝑞| < 1, to może otrzymać\nmaksymalnie 2 punkty.\n3. Jeśli zdający zapisze poprawny warunek zbieżności szeregu: |-\n3\n𝑥-1| < 1, ale popełni błąd\nprzy wyznaczaniu przedziału zbieżności i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\nmoże otrzymać 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu ilorazu ciągu, który będzie wyrażeniem\nwymiernym zmiennej 𝑥, np. zapisze, że 𝑞= -\n3𝑥\n𝑥-1 , i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.\n5. Jeśli zdający zapisze dany szereg jako sumę dwóch szeregów postaci\n2𝑥+\n18𝑥\n(𝑥-1)2 +\n172𝑥\n(𝑥-1)4 + … oraz -\n6𝑥\n𝑥-1 -\n54𝑥\n(𝑥-1)3 -\n516𝑥\n(𝑥-1)5 - … bez odpowiedniego komentarza\ni rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, obliczając sumę dwóch szeregów, to może\notrzymać maksymalnie 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy wyraz i iloraz tego szeregu są równe, odpowiednio, 𝑎1 = 2𝑥 oraz\n𝑞= -\n3\n𝑥-1 . Ponieważ 𝑥≠1 i 𝑥≠0, to szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy\n3\n𝑥-1| < 1, czyli |𝑥-1| > 3. Stąd 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞).\nWtedy suma 𝑆 tego szeregu jest skończona i równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n2𝑥\n1 -(-\n3\n𝑥-1)\n= 2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+ 2\nRozwiązujemy równanie\n2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+2\n15\n2 w zbiorze (-∞, -2) ∪(4, +∞):\n2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+ 2\n= 15\n2\n4𝑥(𝑥-1) = 15(𝑥+ 2)\n4𝑥2 -19𝑥-30 = 0\n𝑥= -5\n4 ∉(-∞, -2) ∪(4, +∞) lub 𝑥= 6 ∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)\nZatem 𝑥= 6.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x = 6$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝐜𝐨𝐬𝒙= 𝟎\nw zbiorze [-𝝅\n𝟐, 𝝅\n𝟐 ]. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(5x) + cos x = 0 w zbiorze <-π/2,π/2>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: -\n𝜋\n8,\n3𝜋\n8 , -\n5𝜋\n12 , -\n𝜋\n12,\n𝜋\n4 .\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2) (lub równania cos 𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2) )\nw zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -\n𝜋\n8 +\n𝑘𝜋\n2 lub 𝑥=\n𝜋\n4 +\n𝑘𝜋\n3 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z tych równań w zbiorze [-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2],\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie wszystkich równań tej alternatywy w zbiorze ℝ.\n2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci, która jest równością sinusów lub\ncosinusów, np. sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2), cos𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów lub na sumę cosinusów i przekształcenie\nrównania do postaci alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych, np.\nsin(2𝑥+\n𝜋\n4) = 0 lub cos(3𝑥-\n𝜋\n4) = 0, cos(\n𝜋\n4 -2𝑥) = 0 lub cos(\n𝜋\n4 -3𝑥) = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru redukcyjnego i przekształcenie równania do postaci, w której\nwystępuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np. sin(5𝑥) + sin (\n𝜋\n2 -𝑥) = 0,\ncos (\n𝜋\n2 -5𝑥) + cos 𝑥= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (równość sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nsin(5𝑥) = -sin (𝜋\n2 -𝑥)\nPonieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc\nsin(5𝑥) = sin (𝑥-𝜋\n2)\nStąd\n5𝑥= 𝑥-𝜋\n2 + 2𝑘𝜋 lub 5𝑥= 𝜋-(𝑥-𝜋\n2) + 2𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze [-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2]:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nSposób II (poprzez sumę sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nKorzystamy ze wzoru na sumę sinusów i otrzymujemy\n2 sin (\n5𝑥+ 𝜋\n2 -𝑥\n2\n) ⋅cos (\n5𝑥-(𝜋\n2 -𝑥)\n2\n) = 0\nsin (2𝑥+ 𝜋\n4) = 0 lub cos (3𝑥-𝜋\n4) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n4 = 𝑘𝜋 lub 3𝑥-𝜋\n4 = 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze [-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2]:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x \\in \\left\\{-\\dfrac{\\pi}{8}, \\dfrac{3\\pi}{8}, -\\dfrac{5\\pi}{12}, -\\dfrac{\\pi}{12}, \\dfrac{\\pi}{4}\\right\\}$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"trygonometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nW okrąg o równaniu (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25 wpisano trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Bok 𝐴𝐵 tego\ntrójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0. Wysokość 𝐶𝐷 tego trójkąta\ndzieli bok 𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝐷| = 4 ⋅|𝐷𝐵|.\nOblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW okrąg o równaniu (x-1)^2+(y-2)^2=25 wpisano trójkąt ABC. Bok AB tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu 4x-3y+2=0. Wysokość CD tego trójkąta dzieli bok AB tak, że |AD|=4⋅|DB|. Oblicz pole trójkąta ABC.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: 𝑃= 20.\n3 pkt - obliczenie wysokości 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: |𝐶𝐷| = 4.\n2 pkt - obliczenie (podanie) długości odcinków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷: |𝐴𝐷| = 8 oraz |𝐷𝐵| = 2.\n1 pkt - zapisanie, że bok 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest średnicą danego okręgu\nALBO\n- zapisanie, że środek 𝑆= (1, 2) danego okręgu leży na prostej o równaniu\n4𝑥-3𝑦+ 2 = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania i poprawny wynik: 𝑃= 20.\n3 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐶= (6, 2) lub 𝐶= (-\n2\n5 ,\n34\n5 ).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (\n14\n5 ,\n22\n5 ).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵, np. 𝐴= (-2, -2) i 𝐵= (4, 6).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający popełnia w rozwiązaniu błąd merytoryczny albo błędnie odgaduje np. długości\nodcinków 𝐴𝐷 i 𝐵𝐷, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ prosta o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 przechodzi przez środek 𝑆= (1, 2) danego\nokręgu, więc bok 𝐴𝐵 jest średnicą tego okręgu. Zatem |𝐴𝐵| = 10. Wysokość 𝐶𝐷 dzieli bok\n𝐴𝐵 tak, że |𝐴𝐷| = 4|𝐷𝐵|. Stąd i z |𝐴𝐷| + |𝐷𝐵| = 10 wynika, że |𝐴𝐷| = 8 oraz |𝐷𝐵| = 2.\nPonieważ kąt 𝐴𝐶𝐵 jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy, więc jest kątem\nprostym. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną 𝐴𝐵\ntak, że |𝐶𝐷| = √|𝐴𝐷| ∙|𝐷𝐵| = √8 ∙2 = 4. Zatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷| = 1\n2 ∙10 ∙4 = 20\nSposób II\nPonieważ prosta o równaniu 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 przechodzi przez środek 𝑆= (1, 2) danego\nokręgu, więc bok 𝐴𝐵 jest średnicą tego okręgu. Obliczamy współrzędne punktów 𝐴 i 𝐵,\nrozwiązując układ równań: 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25.\nZ pierwszego z równań układu wyznaczamy 𝑥: 𝑥=\n3𝑦-2\n4 i podstawiamy do drugiego z\nrównań układu, otrzymując kolejno:\n(3𝑦-2\n4\n-1)\n2\n+ (𝑦-2)2 = 25\n(3𝑦-6\n4\n)\n2\n+ (𝑦-2)2 = 25\n9\n16 (𝑦-2)2 + (𝑦-2)2 = 25\n(𝑦-2)2 = 16\n|𝑦-2| = 4\n𝑦= -2 lub 𝑦= 6\nGdy 𝑦= -2, to 𝑥= -2. Gdy 𝑦= 6, to 𝑥= 4.\nZe względu na symetrię, możemy przyjąć, że 𝐴= (-2, -2) i 𝐵= (4, 6). Wtedy |𝐴𝐵| = 10.\nPonieważ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =\n4\n5 ∙𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , więc 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =\n4\n5 ∙[6, 8] = [\n24\n5 ,\n32\n5 ]. Stąd wynika, że 𝐷= (\n14\n5 ,\n22\n5 ).\nWyznaczamy równanie prostej, która zawiera wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏\nProsta ta jest prostopadła do prostej 4𝑥-3𝑦+ 2 = 0, więc\n4\n3 ⋅𝑎= -1. Stąd 𝑎= -\n3\n4 .\nWykorzystując współrzędne punktu 𝐷, otrzymujemy\n22\n5 = -\n3\n4 ⋅\n14\n5 + 𝑏, czyli 𝑏=\n13\n2 .\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝐶, rozwiązując układ równań\n𝑦= -3\n4 𝑥+ 13\n2 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25\nOtrzymujemy\n(𝑥-1)2 + (-3\n4 𝑥+ 13\n2 -2)\n2\n= 25\n(𝑥-1)2 + (-3\n4 𝑥+ 9\n2)\n2\n= 25\n𝑥2 -2𝑥+ 1 + 9\n16 𝑥2 -27\n4 𝑥+ 81\n4 -25 = 0\n5𝑥2 -28𝑥-12 = 0\n(𝑥-6)(5𝑥+ 2) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= 6 lub 𝑥= -2\n5\nStąd 𝐶= (6, 2) lub 𝐶= (-\n2\n5 ,\n34\n5 ).\nObliczamy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nDla 𝐶= (6, 2) otrzymujemy |𝐷𝐶| = √(6 -\n14\n5 )\n2\n+ (2 -\n22\n5 )\n2\n= 4.\nDla 𝐶= (-\n2\n5 ,\n34\n5 ) otrzymujemy |𝐷𝐶| = √(-\n2\n5 -\n14\n5 )\n2\n+ (\n34\n5 -\n22\n5 )\n2\n= 4.\nZatem pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙|𝐶𝐷| = 1\n2 ∙10 ∙4 = 20\nUwaga:\nPrzyjmując 𝐴= (4, 6) i 𝐵= (-2, -2), otrzymujemy 𝐷= (-\n4\n5 , -\n2\n5). Wtedy prosta, która\nzawiera wysokość 𝐶𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐶, ma równanie 𝑦= -\n3\n4 𝑥-1. Współrzędne punktu 𝐶\nobliczamy, rozwiązując układ równań: 𝑦= -\n3\n4 𝑥-1 i (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 25.\nOtrzymujemy: 𝐶= (-4, 2) lub 𝐶= (\n12\n5 , -\n14\n5 ). Dla obu tych przypadków |𝐶𝐷| = 4 i pole\n𝑃=\n1\n2 ⋅10 ⋅4 = 20.","solution":"$P = 20$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒎𝒙𝟐-(𝒎+ 𝟏)𝒙-𝟐𝒎+ 𝟑= 𝟎\nma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 oraz 𝒙𝟐 , spełniające warunki:\n𝒙𝟏≠𝟎, 𝒙𝟐≠𝟎 oraz 𝟏\n𝒙𝟏\n𝟐+ 𝟏\n𝒙𝟐\n𝟐< 𝟏\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx² - (m+1)x - 2m+3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1 oraz x_2, spełniające warunki: x_1≠0, x_2≠0 oraz 1/x_1^2 + 1/x_2^2 < 1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu warunku ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu\nzdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie warunku ∆> 0: 𝑚∈(-∞,\n1\n9) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których jest\nspełniony warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1: 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która odpowiada warunkowi\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1, np.\n(𝑚+1\n𝑚)\n2\n-2⋅(-2𝑚+3)\n𝑚\n(-2𝑚+3\n𝑚\n)\n2\n< 1.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1𝑥2\n(𝑥1𝑥2)2\n< 1 (lub innej równoważnej, ale\nzawierającej jedynie zmienne 𝑥1 + 𝑥2 oraz 𝑥1𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione\nsą jednocześnie warunki: Δ > 0 i\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości 𝑚, dla których Δ > 0 i\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1:\n𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0,\n1\n9).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0 (zamiast Δ > 0), to za I etap rozwiązania\notrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa niepoprawną nierówność wymierną\ni rozwiązanie tej nierówności jest zbiorem rozłącznym ze zbiorem rozwiązań nierówności\nz I etapu, to zdający otrzymuje 0 punktów za III etap.\n3. Jeżeli w rozwiązaniu zdającego nie ma zapisu 𝑚≠0 albo 𝑚≠\n3\n2, albo zdający nie\nuwzględnia w rozwiązaniu warunku 𝑚≠0, albo 𝑚≠\n3\n2, to zdający może otrzymać co\nnajwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste\nwtedy i tylko wtedy, gdy 𝑚≠0 i wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego\n𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 jest dodatni.\nI etap\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-(𝑚+ 1)]2 -4𝑚⋅(-2𝑚+ 3) > 0\n9𝑚2 -10𝑚+ 1 > 0\n(𝑚-1)(9𝑚-1) > 0\n𝑚∈(-∞, 1\n9) ∪(1, +∞)\nZatem równanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania\nrzeczywiste, gdy 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0,\n1\n9) ∪(1, +∞).\nII etap\nWyznaczymy wszystkie wartości 𝑚, dla których jest spełniony warunek:\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nPrzekształcamy nierówność\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 do postaci, która pozwoli na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a:\n𝑥1 +\n2\n𝑥2\n2\n(𝑥1𝑥2)2 < 1\n(𝑥1+𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2\n(𝑥1𝑥2)2\n< 1\nStąd, po zastosowaniu wzorów Viète’a, otrzymujemy:\n(𝑚+ 1\n𝑚\n)\n2\n-2 ⋅(-2𝑚+ 3)\n𝑚\n(-2𝑚+ 3\n𝑚\n)\n2\n< 1\ni dalej\n(𝑚+ 1\n𝑚\n)\n2\n-2 ⋅\n(-2𝑚+ 3)\n𝑚\n< (-2𝑚+ 3\n𝑚\n)\n2\ni 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n(𝑚+ 1)2 -2𝑚(-2𝑚+ 3) < (-2𝑚+ 3)2 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n𝑚2 + 8𝑚-8 < 0 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\nZatem warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 jest spełniony tylko dla 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).\nIII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki: 𝑚≠0 i\n𝑚∈(-∞,\n1\n9) ∪(1, +∞) i 𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠\n3\n2 :\n𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, 1\n9)\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m \\in (-4 - 2\\sqrt{6}, 0) \\cup \\left(0, \\dfrac{1}{9}\\right)$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nCiąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg\n(2𝑎, 2𝑏, 𝑐+ 1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek\n𝑐-𝑏= 6.\nOblicz 𝒂, 𝒃 oraz 𝒄. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCiąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg (2a,2b,c+1) jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto spełniony jest warunek c-b=6. Oblicz a, b oraz c.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań, również osadzonych\nw kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n5 pkt - obliczenie 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐: 𝑎= 1 i 𝑏= 3 i 𝑐= 9 .\n4 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą, np. 𝑎= -\n49\n2 oraz 𝑎= 1, 𝑞= 3 oraz\n𝑞=\n4\n7 .\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. (\n2\n3 𝑎+\n7\n3)\n2\n= 𝑎(\n2\n3 𝑎+\n25\n3 ),\n4 ⋅\n6\n𝑞2-𝑞⋅𝑞= 2 ⋅\n6\n𝑞2-𝑞+\n6\n𝑞2-𝑞⋅𝑞2 + 1.\n2 pkt - wykorzystanie związku między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz związku między\nwyrazami ciągu geometrycznego i zapisanie układu warunków z trzema\nniewiadomymi prowadzącego do rozwiązania zadania, np. 𝑏2 = 𝑎𝑐 i 2𝑏=\n2𝑎+𝑐+1\n2\ni 𝑐-𝑏= 6\nALBO\n- zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego za pomocą jednej zmiennej/niewiadomej,\nnp. (𝑎,\n2\n3 𝑎+\n7\n3 ,\n2\n3 𝑎+\n25\n3 ),\nALBO\n- zapisanie wyrazów ciągu arytmetycznego za pomocą jednej zmiennej/niewiadomej,\nnp. (\n𝑏2\n𝑏+6 , 2𝑏, 𝑏+ 6),\nALBO\n- wykorzystanie związku między wyrazami ciągu arytmetycznego oraz związku między\nwyrazami ciągu geometrycznego i zapisanie układu warunków z dwiema\nniewiadomymi prowadzącego do rozwiązania zadania, np.\n2𝑎𝑞=\n2𝑎+𝑎𝑞2+1\n2\ni 𝑎𝑞2 -𝑎𝑞= 6.\n1 pkt - wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania 2𝑏=\n2𝑎+𝑐+1\n2\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\n2𝑏=\n2𝑎+𝑏+6+1\n2\n,\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie równania 𝑏2 = 𝑎𝑐,\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie równania 𝑎𝑞2 -𝑎𝑞= 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunku 𝑐-𝑏= 6 wyznaczamy 𝑐: 𝑐= 𝑏+ 6.\nZatem ciąg (2𝑎, 2𝑏, 𝑏+ 7) jest arytmetyczny. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego\ni otrzymujemy 2𝑏=\n2𝑎+𝑏+7\n2\n. Stąd 4𝑏= 2𝑎+ 𝑏+ 7 , czyli 𝑏=\n2\n3 𝑎+\n7\n3 .\nZ zależności 𝑐= 𝑏+ 6 oraz 𝑏=\n2\n3 𝑎+\n7\n3 otrzymujemy 𝑐=\n2\n3 𝑎+\n25\n3 . Zatem ciąg\n(𝑎,\n2\n3 𝑎+\n7\n3 ,\n2\n3 𝑎+\n25\n3 ) jest geometryczny.\nKorzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy\n(2\n3 𝑎+ 7\n3)\n2\n= 𝑎⋅(2\n3 𝑎+ 25\n3 ) /⋅9\n(2𝑎+ 7)2 = 𝑎⋅(6𝑎+ 75)\n0 = 2𝑎2 + 47𝑎-49\nΔ = 472 -4 ⋅2 ⋅(-49) = 2601, √Δ = 51\n𝑎= -49\n2 lub 𝑎= 1\nPonieważ wszystkie wyrazy ciągu (𝑎, 𝑏, 𝑐) są dodatnie, więc 𝑎= 1.\nWtedy 𝑏=\n2\n3 ∙1 +\n7\n3 = 3 i 𝑐= 3 + 6 = 9. Stąd (𝑎, 𝑏, 𝑐) = (1, 3, 9)\ni (2𝑎, 2𝑏, 𝑐+ 1) = (2, 6, 10).\nCiąg (1, 3, 9) ma wszystkie wyrazy dodatnie i jest geometryczny (o ilorazie 3), ciąg (2, 6, 10)\njest arytmetyczny (o różnicy 4).\nZatem ostatecznie 𝑎= 1 , 𝑏= 3 oraz 𝑐= 9 .\nSposób II\nCiąg (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest geometryczny, więc ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑏= 𝑎𝑞 oraz 𝑐= 𝑎𝑞2. Z warunku 𝑐-𝑏= 6 otrzymujemy 𝑎𝑞2 -𝑎𝑞= 6. Stąd\n𝑎𝑞(𝑞-1) = 6.\nZ warunków zadania 𝑎≠0. Gdyby 𝑞= 0 lub 𝑞= 1, to równanie 𝑎𝑞(𝑞-1) = 6 byłoby\nsprzeczne. Zatem 𝑞≠0 oraz 𝑞≠1. Wtedy 𝑎=\n6\n𝑞2-𝑞.\nCiąg (2𝑎, 2𝑏, 𝑐+ 1) jest arytmetyczny, więc korzystamy z własności ciągu arytmetycznego\ni otrzymujemy 2𝑎𝑞=\n2𝑎+𝑎𝑞2+1\n2\n, czyli 4𝑎𝑞= 2𝑎+ 𝑎𝑞2 + 1.\nWykorzystując związki 𝑎=\n6\n𝑞2-𝑞 i 4𝑎𝑞= 2𝑎+ 𝑎𝑞2 + 1, otrzymujemy\n4 ⋅\n6\n𝑞2 -𝑞⋅𝑞= 2 ⋅\n6\n𝑞2 -𝑞+\n6\n𝑞2 -𝑞⋅𝑞2 + 1\nStąd dalej otrzymujemy:\n24𝑞\n𝑞2 -𝑞=\n12\n𝑞2 -𝑞+\n6𝑞2\n𝑞2 -𝑞+ 1\n24𝑞= 12 + 6𝑞2 + 𝑞2 -𝑞\n7𝑞2 -25𝑞+ 12 = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑞-3)(7𝑞-4) = 0\n𝑞= 3 lub 𝑞= 4\n7\nGdy 𝑞=\n4\n7 , to wtedy 𝑎=\n6\n(4\n7)\n2\n-4\n7\n< 0, więc dla tej wartości 𝑞 warunki zadania nie są\nspełnione.\nGdy 𝑞= 3, to wtedy 𝑎=\n6\n32-3 = 1, 𝑏= 3 i 𝑐= 9.\nCiąg (1, 3, 9) ma wszystkie wyrazy dodatnie i jest geometryczny (o ilorazie 3), ciąg (2, 6, 10)\njest arytmetyczny (o różnicy 4).\nZatem ostatecznie 𝑎= 1 , 𝑏= 3 oraz 𝑐= 9 .\nUwaga:\nJeżeli zdający nie odrzuci ujemnego rozwiązania 𝑎= -\n49\n2 i w konsekwencji poda dwie trójki\nliczb 𝑎, 𝑏 i 𝑐, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty.","solution":"$a = 1, b = 3, c = 9$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"ciagi","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nCzworokąt wypukły 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty 𝐵𝐴𝐷 i 𝐵𝐶𝐷 są\nproste (zobacz rysunek). Przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 tego czworokąta przecinają się w punkcie 𝐸\ntak, że |𝐵𝐸| = 3 ∙|𝐷𝐸| oraz |𝐵𝐷| = 2 ∙|𝐴𝐸|.\nOblicz długości boków czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCzworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne AC i BD tego czworokąta przecinają się w punkcie E tak, że |BE=3⋅|DE| oraz |BD|=2⋅|AE|. [rysunek] Oblicz długości boków czworokąta ABCD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz poprawny wynik: |𝐴𝐵| = 2√10, |𝐵𝐶| = 3√6,\n|𝐶𝐷| = √10, |𝐴𝐷| = 2√6.\n4 pkt - obliczenie długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 2√10 i |𝐴𝐷| = 2√6 oraz spełnienie\njednego z poniższych kryteriów I-III:\nI. obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 3,\nII. wyznaczenie skali podobieństwa trójkątów 𝐷𝐸𝐶 i 𝐴𝐸𝐵:\n1\n2 ,\nIII. obliczenie długości jednego z boków tego czworokąta i zapisanie wyrażenia\narytmetycznego opisującego długości pozostałych boków w zależności od długości\ntego obliczonego boku.\n3 pkt - obliczenie długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 2√10 i |𝐴𝐷| = 2√6.\n2 pkt - obliczenie wysokości 𝐴𝑃 trójkąta 𝐴𝑆𝐸: |𝐴𝑃| = √15\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 3,\nALBO\n- wyznaczenie skali podobieństwa trójkątów 𝐷𝐸𝐶 i 𝐴𝐸𝐵:\n1\n2 ,\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐷𝐸, 𝐵𝐸, 𝐴𝐸: |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 i |𝐴𝐸| = 4 oraz\nzapisanie układu równań prowadzącego do wyznaczenia długości boków 𝑎 oraz 𝑑:\n𝑎2 + 𝑑2 = 82, 𝑎2 = 62 + 42 -2 ∙6 ∙4 ∙cos 𝛽 oraz\n𝑑2 = 22 + 42 -2 ∙2 ∙4 ∙cos(180° -𝛽).\n1 pkt - obliczenie długości odcinków 𝐷𝐸, 𝐵𝐸 oraz 𝐴𝐸: |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 oraz |𝐴𝐸| = 4\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐷𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐵 (albo trójkąty 𝐵𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐷) są podobne,\nALBO\n- zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach siecznych:\n|𝐴𝐸| ∙|𝐶𝐸| = |𝐵𝐸| ∙|𝐷𝐸|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający zapisze, że |𝐷𝐸| = 1 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷 są prostokątne, to ich wspólna przeciwprostokątna 𝐵𝐷 jest\nśrednicą okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Zatem |𝐵𝐷| = 8. Stąd i z warunków\n|𝐵𝐸| = 3 ∙|𝐷𝐸| oraz |𝐵𝐷| = 2 ∙|𝐴𝐸| otrzymujemy |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 i |𝐴𝐸| = 4.\nOznaczmy przez 𝑆 środek okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prowadzimy\nwysokość 𝐴𝑃 trójkąta 𝐴𝑆𝐸 i przyjmijmy pozostałe oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ |𝐴𝐸| = 4 = |𝐴𝑆|, więc trójkąt 𝐴𝑆𝐸 jest równoramienny. Zatem spodek 𝑃\nwysokości trójkąta 𝐴𝑆𝐸 jest środkiem podstawy 𝐸𝑆 tego trójkąta. Stąd wynika, że\n|𝐸𝑃| = |𝑃𝑆| = 1.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑆𝑃 otrzymujemy\n|𝐴𝑆|2 = |𝐴𝑃|2 + |𝑃𝑆|2\n42 = ℎ2 + 12\nℎ2 = 15\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐵𝑃 i 𝐴𝐷𝑃 otrzymujemy\n|𝐴𝐵|2 = |𝐴𝑃|2 + |𝑃𝐵|2 oraz |𝐴𝐷|2 = |𝐴𝑃|2 + |𝑃𝐷|2\n𝑎2 = ℎ2 + 52 oraz 𝑑2 = ℎ2 + 32\n𝑎2 = 15 + 25 oraz 𝑑2 = 15 + 9\n𝑎= √40 = 2√10 oraz 𝑑= √24 = 2√6\nKąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐴𝐵𝐷 są równe, gdyż są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐴𝐷. Kąty\n𝐷𝐸𝐶 i 𝐵𝐸𝐴 są równe, gdyż są to kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty 𝐷𝐸𝐶 i 𝐵𝐸𝐴 są\npodobne (cecha kkk). Wynika stąd, że\n|𝐶𝐷|\n|𝐷𝐸| = |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐸|\n𝑐\n2 = 2√10\n4\n𝑐= √10\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑃\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n𝑑\nℎ\n4\n4\n4\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐷 otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = |𝐶𝐷|2 + |𝐵𝐶|2\n82 = 𝑐2 + 𝑏2\n64 = (√10)\n2 + 𝑏2\n𝑏= √54 = 3√6\nUwagi:\n1. Długości boków 𝐶𝐷 i 𝐵𝐶 można obliczyć, wykorzystując twierdzenie o odcinkach\nsiecznych. Wynika z niego, że |𝐴𝐸| ∙|𝐶𝐸| = |𝐵𝐸| ∙|𝐷𝐸|, więc |𝐶𝐸| = 3. Ponieważ\ncos ∡𝐴𝐸𝑃=\n|𝐸𝑃|\n|𝐴𝐸| =\n1\n4 , to z twierdzenia cosinusów wynika, że\n|𝐶𝐷|2 = 22 + 32 -2 ∙2 ∙3 ∙\n1\n4 = 10 oraz |𝐵𝐶|2 = 62 + 32 + 2 ∙6 ∙3 ∙\n1\n4 = 54.\n2. Po wyznaczeniu odcinków |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 i |𝐴𝐸| = 4 można wyznaczyć długości\nboków 𝑎 oraz 𝑑, korzystając z twierdzenia cosinusów. Przyjmując 𝛽= ∡𝐴𝐸𝐵, możemy\nzapisać układ trzech równań: 𝑎2 + 𝑑2 = 82, 𝑎2 = 62 + 42 -2 ∙6 ∙4 ∙cos 𝛽 oraz\n𝑑2 = 22 + 42 -2 ∙2 ∙4 ∙cos(180° -𝛽). Wtedy cos𝛽=\n1\n4 oraz 𝑎= 2√10 i 𝑑= 2√6.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$|AB| = 2\\sqrt{10}, |BC| = 3\\sqrt{6}, |CD| = \\sqrt{10}, |AD| = 2\\sqrt{6}$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których\nodcinek łączący punkt 𝑂 przecięcia przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 z dowolnym\nwierzchołkiem podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻 ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).\na) Wyznacz zależność objętości 𝑽 graniastosłupa od jego wysokości 𝒉 i podaj\ndziedzinę funkcji 𝑽(𝒉).\nb) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest\nnajwiększa.\nZapisz obliczenia.\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEFGH, w których odcinek łączący punkt O przecięcia przekątnych AC i BD podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EFGH ma długość d (zobacz rysunek). [rysunek] a) Wyznacz zależność objętości V graniastosłupa od jego wysokości h i podaj dziedzinę funkcji V(h). b) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n6 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑉(ℎ) oraz jej dziedziny, oraz wyznaczenie\nwysokości graniastosłupa o największej objętości wraz z uzasadnieniem.\n5 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: ℎ= √3\n3 𝑑.\n4 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2).\n3 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑉(ℎ): (0, 𝑑).\n2 pkt - wyznaczenie objętości 𝑉 graniastosłupa jako funkcji jego wysokości, np.\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi podstawy w zależności od wysokości graniastosłupa:\n𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 długość krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, natomiast przez ℎ - wysokość tego\ngraniastosłupa.\na)\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\n𝑂𝐷𝐻 i otrzymujemy:\n𝑑2 = ℎ2 + |𝑂𝐷|2\n|𝑂𝐷| = √𝑑2 -ℎ2\nPonieważ |𝑂𝐷| =\n1\n2 |𝐵𝐷| =\n𝑎√2\n2 , więc\n𝑎√2\n2 = √𝑑2 -ℎ2 .\nStąd 𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 i ℎ∈(0, 𝑑).\nPole 𝑃𝑃 podstawy graniastosłupa jest równe\n𝑃𝑃= (√2 ∙√𝑑2 -ℎ2)\n2\n= 2(𝑑2 -ℎ2)\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\nWyznaczamy objętość graniastosłupa jako funkcję zmiennej ℎ:\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ= 2(𝑑2ℎ-ℎ3) dla 0 < ℎ< 𝑑.\nb)\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2)\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n2(𝑑2 -3ℎ2) = 0 i ℎ∈(0, 𝑑)\nℎ= 𝑑\n√3\nPonieważ 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(0, 𝑑\n√3) oraz 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈( 𝑑\n√3 , 𝑑), więc funkcja 𝑉\njest rosnąca w przedziale (0, 𝑑\n√3] oraz malejąca w przedziale [ 𝑑\n√3 , 𝑑). Zatem funkcja 𝑉\nosiąga wartość największą dla ℎ= 𝑑\n√3 .\nSpośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości\nℎ=\n𝑑\n√3 .","solution":"$h = \\dfrac{d}{\\sqrt{3}}$","image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"optymalizacja","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}