{"paper":{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":36,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 630: 415 jest równa\nA. (1,5)15\nB. (1,5)2\nC. 330\nD. 30","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 iloczyn √𝑥⋅√𝑥\n3\n⋅√𝑥\n6\njest równy\nA. 𝑥\nB. √𝑥\n10\nC. √𝑥\n18\nD. 𝑥2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 30 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 7% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie.\nPo dwóch latach oszczędzania łączna wartość doliczonych odsetek na tej lokacie (bez\nuwzględniania podatków) jest równa\nA. 2100 zł\nB. 2247 zł\nC. 4200 zł\nD. 4347 zł","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba log2 1\n8 + log2 4 jest równa\nA. (-1)\nB. 1\n2\nC. 2\nD. 5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nLiczba (1 + √5)\n2 -(1 -√5)\n2 jest równa\nA. 0\nB. (-10)\nC. 4√5\nD. 2 + 2√5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDo zbioru rozwiązań nierówności (𝑥-3)(𝑥-2)(𝑥+ 20) < 0 należy liczba\nA. (-20)\nB. (-23)\nC. 20\nD. 23\nInformacja do zadań 7.-8.\nNa rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór\nA. (-3, -1) ∪(1, 3)\nB. (-3, 3)\nC. (-5, -1) ∪(1, 5)\nD. (-5, 5)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest zbiór\nA. (-3, -1) ∪(1, 3)\nB. ⟨-3,-1⟩∪⟨1, 3⟩\nC. (-5, -1) ∪(1, 5)\nD. ⟨-5,-1⟩∪⟨1, 5⟩\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2+4\n𝑥-2 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠2.\nWartość funkcji 𝑓 dla argumentu 4 jest równa\nA. 6\nB. 2\nC. 10\nD. 8","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nProsta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 przechodzi przez punkty 𝐴= (-3, -1) oraz 𝐵= (4, 3).\nWspółczynnik 𝑎 w równaniu tej prostej jest równy\nA. (-4)\nB. (-1\n2)\nC. 2\nD. 4\n7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nWykresy funkcji liniowych\n𝑓(𝑥) = (2𝑚+ 3)𝑥+ 5 oraz 𝑔(𝑥) = -𝑥\nnie mają punktów wspólnych dla\nA. 𝑚= -2\nB. 𝑚= -1\nC. 𝑚= 1\nD. 𝑚= 2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 1, gdzie 𝑎 oraz 𝑏 są\npewnymi liczbami rzeczywistymi, takimi, że 𝑎< 0 i 𝑏> 0. Na jednym z rysunków A-D\nprzedstawiono fragment wykresu tej funkcji.\nFragment wykresu funkcji 𝑓 przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 𝑛-2\n3 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nLiczba wyrazów tego ciągu mniejszych od 10 jest równa\nA. 28\nB. 31\nC. 32\nD. 27\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n𝑦\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛), określony wzorem 𝑎𝑛= -2𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest\nA. ciągiem arytmetycznym o różnicy 2.\nB. ciągiem arytmetycznym o różnicy (-2).\nC. ciągiem geometrycznym o ilorazie 2.\nD. ciągiem geometrycznym o ilorazie (-2).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (1, 4, 𝑎+ 5) jest arytmetyczny.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 0\nB. 7\nC. 2\nD. 11","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. W tym ciągu\n𝑎1 = 3,75 oraz 𝑎2 = -7,5.\nSuma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 11,25\nB. (-18,75)\nC. 15\nD. (-15)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie cos 𝛼-cos 𝛼⋅sin2 𝛼 jest równe\nA. cos3 𝛼\nB. sin2 𝛼\nC. 1 -sin2 𝛼\nD. cos 𝛼","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nCosinus kąta ostrego 𝛼 jest równy 2\n3 . Wtedy tg 𝛼 jest równy\nA. 2√5\n5\nB.\n√5\n2\nC. 2\nD. 1\n2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nNa łukach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 okręgu są oparte kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐷𝐵𝐶, takie że |∡𝐴𝐷𝐵| = 20°\ni |∡𝐷𝐵𝐶| = 40° (zobacz rysunek). Cięciwy 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝐾.\nMiara kąta 𝐷𝐾𝐶 jest równa\nA. 80°\nB. 60°\nC. 50°\nD. 40°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPole równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe 40√6. Bok 𝐴𝐷 tego równoległoboku ma\ndługość 10, a kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku ma miarę 135° (zobacz rysunek).\nDługość boku 𝐴𝐵 jest równa\nA. 8√3\nB. 8√2\nC. 16√2\nD. 16√3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n20°\n40°\n135°\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n10\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nOdcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku 𝑆. Prosta 𝑘 jest styczna do tego okręgu\nw punkcie 𝐴. Prosta 𝑙 przecina ten okrąg w punktach 𝐵 i 𝐶. Proste 𝑘 i 𝑙 przecinają się\nw punkcie 𝐷, przy czym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 3 (zobacz rysunek).\nOdległość punktu 𝐴 od prostej 𝑙 jest równa\nA. 7\n2\nB. 5\nC. √12\nD. √3 + 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥+ 1. Funkcja 𝑔 jest liniowa.\nW prostokątnym układzie współrzędnych wykres funkcji 𝑔 przechodzi przez punkt\n𝑃= (0, -1) i jest prostopadły do wykresu funkcji 𝑓.\nWzorem funkcji 𝑔 jest\nA. 𝑔(𝑥) = 𝑥+ 1\nB. 𝑔(𝑥) = -𝑥-1\nC. 𝑔(𝑥) = -𝑥+ 1\nD. 𝑔(𝑥) = 𝑥-1\n𝐴\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝑘\n𝑙\n𝑆\n4\n3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDane są punkty 𝐴= (1, 7) oraz 𝑃= (3, 1). Punkt 𝑃 dzieli odcinek 𝐴𝐵 tak, że\n|𝐴𝑃| ∶|𝑃𝐵| = 1 ∶3.\nPunkt 𝐵 ma współrzędne\nA. (9, -5)\nB. (9, -17)\nC. (7, -11)\nD. (5, -5)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPunkty 𝐴= (-1, 5) oraz 𝐶= (3, -3) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nPole kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\nA. 8√10\nB. 16√5\nC. 40\nD. 80","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPunkt 𝑆′ = (3, 7) jest obrazem punktu 𝑆= (3𝑎-1, 𝑏+ 7) w symetrii osiowej względem\nosi 𝑂𝑥 układu współrzędnych, gdy\nA. 𝑎= 4\n3 oraz 𝑏= 0.\nB. 𝑎= 4\n3 oraz 𝑏= -14.\nC. 𝑎= -2\n3 oraz 𝑏= -14.\nD. 𝑎= -2\n3 oraz 𝑏= 0.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 8 jest równa 2√3. Długość\nkrawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa\nA. 3\nB.\n√6\n2\nC. 1\nD. √3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′, w którym krawędź\npodstawy ma długość 5. Przekątna 𝐴𝐷′ tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny\npodstawy pod kątem 45° (zobacz rysunek).\nPole ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe\nA. 12,5\nB. 25\nC. 50\nD. 100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna zestawu pewnych stu liczb całkowitych dodatnich jest równa 𝑠. Każdą\nz liczb tego zestawu zwiększamy o 4, w wyniku czego otrzymujemy nowy zestaw stu liczb.\nŚrednia arytmetyczna nowego zestawu stu liczb jest równa\nA. 𝑠+ 4\nB. 𝑠+ 4\n100\nC. 𝑠 + 4\n100\nD. 4𝑠","answer":"A","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej 3 jest\nA. 8\nB. 4\nC. 5\nD. 6\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴′\n𝐵′\n𝐶′\n𝐷′\n𝐸′\n𝐹′\n45°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nzapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (0, 3\n2) lub 𝑥∈(0, 3\n2)\nALBO\n- spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziału\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -3𝑥:\n𝑥1 = 0 oraz 𝑥2 = 3\n2\nALBO\n- zaznaczenie na wykresie funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -3𝑥 miejsc zerowych tej\nfunkcji i podanie tych miejsc zerowych: 𝑥1 = 0 oraz 𝑥2 = 3\n2 ,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 dla dwóch przypadków\n(spośród trzech) rozpatrywanych w sposobie 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 2𝑥2 -3𝑥, popełni błąd (ale otrzyma dwa\nróżne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n0\n𝑥\n3\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 2𝑥2 -𝑥) i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n2𝑥2 -𝑥< 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający dzieli obie strony nierówności przez 𝑥 (albo 2𝑥) bez stosownego\nzałożenia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n3\n2 , 0) (lub 𝑥∈(\n3\n2 , 0) ), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥\n2𝑥2 -𝑥-2𝑥< 0\n2𝑥2 -3𝑥< 0\n2𝑥(𝑥-3\n2) < 0\nOdczytujemy i zapisujemy pierwiastki trójmianu 2𝑥(𝑥-\n3\n2): 𝑥= 0 lub 𝑥=\n3\n2 .\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (0,\n3\n2) lub 𝑥∈(0,\n3\n2), lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej\nInna realizacja obliczenia pierwiastków trójmianu:\nPrzekształcamy równoważnie nierówność do postaci 2𝑥2 -3𝑥< 0, obliczamy wyróżnik Δ\ntrójmianu 2𝑥2 -3𝑥, a następnie pierwiastki tego trójmianu:\nΔ = (-3)2 -4 ⋅2 ⋅0 = 9\n𝑥= -(-3) -3\n2 ⋅2\n= 0 lub 𝑥= -(-3) + 3\n2 ⋅2\n= 3\n2\n0\n𝑥\n3\n2\nSposób 2.\nRozpatrujemy trzy przypadki:\na) 𝑥∈(-∞, 0)\nPrzekształcamy nierówność, otrzymując:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 /: 𝑥\n2𝑥-1 > 2\n𝑥> 3\n2\nNierówność 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 nie ma rozwiązań w zbiorze (-∞, 0).\nb) 𝑥= 0\nGdy 𝑥= 0, to otrzymujemy nierówność 0 ⋅(2 ⋅0 -1) < 2 ⋅0, która jest fałszywa. Zatem\nliczba 0 nie jest rozwiązaniem nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥.\nc) 𝑥∈(0, +∞)\nPrzekształcamy nierówność, otrzymując:\n𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 /: 𝑥\n2𝑥-1 < 2\n𝑥< 3\n2\nW zbiorze (0, +∞) rozwiązaniami nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 są wszystkie liczby\nz przedziału (0,\n3\n2).\nOstatecznie zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑥(2𝑥-1) < 2𝑥 jest (0,\n3\n2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nRozwiąż równanie\n(2𝑥2 + 3𝑥)(𝑥2 -7) = 0\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku: -√7, -\n3\n2 , 0, √7.\n1 pkt - zapisanie alternatywy równań 2𝑥2 + 3𝑥= 0 lub 𝑥2 -7 = 0\nALBO\n- wyznaczenie/podanie wszystkich rozwiązań równania 2𝑥2 + 3𝑥= 0: 𝑥= 0 oraz\n𝑥= -\n3\n2 ,\nALBO\n- wyznaczenie/podanie wszystkich rozwiązań równania 𝑥2 -7 = 0: 𝑥= -√7 oraz\n𝑥= √7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania (2𝑥2 + 3𝑥)(𝑥2 -7) = 0 przez wielomian\n2𝑥2 + 3𝑥 (lub przez 𝑥, lub przez 𝑥2 -7) bez stosownego założenia i wyznacza\nrozwiązania tak powstałego równania, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wyznaczy wszystkie rozwiązania równania 2𝑥2 + 3𝑥= 0 oraz\nrównania 𝑥2 -7 = 0, lecz poda błędną odpowiedź, np. 𝑥∈ℝ-{-√7, -\n3\n2 , 0, √7}, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie do postaci alternatywy i otrzymujemy:\n(2𝑥2 + 3𝑥)(𝑥2 -7) = 0\n2𝑥2 + 3𝑥= 0 lub 𝑥2 -7 = 0\n𝑥(2𝑥+ 3) = 0 lub 𝑥2 = 7\n𝑥= 0 lub 2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥= -√7 lub 𝑥= √7\n𝑥= 0 lub 𝑥= -3\n2 lub 𝑥= -√7 lub 𝑥= √7\nRozwiązaniami równania są liczby: -√7, -\n3\n2 , 0, √7.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 takiej, że\n𝑏≠𝑎, prawdziwa jest nierówność\n𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tzn. spełnienie kryterium określonego\nw zasadach oceniania za 1 pkt oraz sformułowanie poprawnego wniosku\nz powołaniem się na założenie.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 do postaci równoważnej\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) zmiennej 𝑎\ni zapisanie go w postaci Δ = -12(𝑏-1)2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu 3𝑏2 -6𝑏+ (𝑎2 -2𝑎+ 4) zmiennej 𝑏\ni zapisanie go w postaci Δ = -12(𝑎-1)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏:\n𝑎2 -2𝑎+ 3𝑏2 -6𝑏+ 4 > 0\n𝑎2 -2𝑎+ 1 + 3𝑏2 -6𝑏+ 3 > 0\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏2 -2𝑏+ 1) > 0\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0\nLiczby (𝑎-1)2 oraz (𝑏-1)2 są nieujemne jako kwadraty liczb rzeczywistych.\nZ założenia wiadomo, że 𝑏≠𝑎, więc liczby 𝑎-1 oraz 𝑏-1 nie mogą być jednocześnie\nzerami. Stąd co najmniej jedna z liczb: (𝑎-1)2 lub (𝑏-1)2 jest dodatnia. Zatem\n(𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 jest liczbą dodatnią jako suma liczby nieujemnej i liczby dodatniej.\nPonieważ nierówność (𝑎-1)2 + 3(𝑏-1)2 > 0 jest prawdziwa, więc nierówność\n𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 również jest prawdziwa. To należało pokazać.\nSposób 2.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏 i otrzymujemy\n𝑎2 -2𝑎+ 3𝑏2 -6𝑏+ 4 > 0.\nWyrażenie 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej np.\n𝑎. Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅(3𝑏2 -6𝑏+ 4)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nΔ = 4 -12𝑏2 + 24𝑏-16\nΔ = -12(𝑏2 -2𝑏+ 1)\nΔ = -12(𝑏-1)2\nGdy 𝑏≠1, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑎) = 𝑎2 -2𝑎+ (3𝑏2 -6𝑏+ 4) zmiennej\n𝑎 nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem\nfunkcja przyjmuje wtedy tylko wartości dodatnie.\nGdy 𝑏= 1, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑎= 1. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑎≠1. Czyli dla 𝑎≠𝑏 funkcja przyjmuje wartości dodatnie.\nOstatecznie, gdy 𝑎≠𝑏, to funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie. Oznacza to, że dla\nkażdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 takich, że 𝑏≠𝑎 spełniona jest nierówność\n𝑎2 + 3𝑏2 + 4 > 2𝑎+ 6𝑏. To należało pokazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nWykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola o wierzchołku w punkcie 𝐴= (0, 3). Punkt\n𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku:\n𝑓(𝑥) = -3\n4 𝑥2 + 3 [lub 𝑓(𝑥) = -3\n4 (𝑥-0)2 + 3, lub 𝑓(𝑥) = -3\n4 (𝑥-2)(𝑥+ 2) ].\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3 lub 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3\nALBO\n- zapisanie, że liczba (-2) jest miejscem zerowym funkcji 𝑓,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)(𝑥+ 2),\nALBO\n- obliczenie/zapisanie wartości współczynników 𝑏 oraz 𝑐: 𝑏= 0 oraz 𝑐= 3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający przyjmuje/zapisuje wzór funkcji w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3 lub\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3 z konkretną ustaloną liczbą 𝑎 [różną od 0 i różną od (-3\n4) ], to\notrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZapisujemy wzór funkcji kwadratowej 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-0)2 + 3.\nObliczamy 𝑎, korzystając z informacji, że punkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓:\n0 = 𝑎(2 -0)2 + 3\n0 = 4𝑎+ 3\n𝑎= -3\n4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3\n4 𝑥2 + 3.\nSposób 2.\nPunkt 𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc liczba 2 jest miejscem zerowym tej\nfunkcji. Obliczamy drugie miejsce zerowe (𝑥2) funkcji 𝑓, korzystając z informacji, że punkt\n𝐴= (0, 3) jest wierzchołkiem paraboli:\n𝑝= 𝑥1 + 𝑥2\n2\n0 = 2 + 𝑥2\n2\n𝑥2 = -2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZapisujemy wzór funkcji kwadratowej 𝑓 w postaci iloczynowej: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)(𝑥+ 2).\nObliczamy 𝑎, korzystając z informacji, że punkt 𝐴= (0, 3) leży na wykresie funkcji 𝑓:\n3 = 𝑎(0 -2)(0 + 2)\n3 = -4𝑎\n𝑎= -3\n4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3\n4 (𝑥-2)(𝑥+ 2).\nSposób 3.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐. Ponieważ 𝐴= (0, 3)\njest wierzchołkiem paraboli, więc\n-𝑏\n2𝑎= 0 oraz -Δ\n4𝑎= 3\nStąd\n𝑏= 0 oraz -02 -4𝑎𝑐\n4𝑎\n= 3\n𝑏= 0 oraz 𝑐= 3\nZatem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 3. Wyznaczamy współczynnik 𝑎, korzystając z informacji, że punkt\n𝐵= (2, 0) leży na wykresie funkcji 𝑓:\n0 = 𝑎⋅22 + 3\n0 = 4𝑎+ 3\n𝑎= -3\n4\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = -3\n4 𝑥2 + 3.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nW trójkącie prostokątnym równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 o przeciwprostokątnej 𝐵𝐶 punkt 𝐷 jest\nśrodkiem ramienia 𝐴𝐵. Odcinek 𝐶𝐷 ma długość 5 (zobacz rysunek).\nOblicz obwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝐴\n5\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i uzyskanie poprawnego wyniku: 4√5 + 2√10 (lub\n2√5(2 + √2) ).\n1 pkt - obliczenie długości jednego z boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶, np. |𝐴𝐵| = 2√5\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą, które wynika z zastosowania twierdzenia\nPitagorasa do trójkąta 𝐶𝐴𝐷, i zapisanie obwodu trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od tej\nniewiadomej, np. 𝑎2 + (1\n2 ⋅𝑎)\n2\n= 52 i 𝐿= 2𝑎+ 𝑎√2 (gdzie 𝑎= |𝐴𝐶|).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 długość przyprostokątnej trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Stosujemy do trójkąta 𝐶𝐴𝐷\ntwierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy:\n𝑎2 + (1\n2 𝑎)\n2\n= 52\n5\n4 𝑎2 = 25\n𝑎2 = 20\n𝑎= 2√5\nObliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝐿= 2𝑎+ 𝑎√2 = 2 ⋅2√5 + 2√5 ⋅√2 = 4√5 + 2√10.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nZe zbioru ośmiu kolejnych liczb naturalnych - od 1 do 8 - losujemy kolejno bez zwracania\ndwa razy po jednej liczbie.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że suma wylosowanych liczb jest\ndzielnikiem liczby 8.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 8\n56 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 8 ⋅7\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 8, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1\n8 na co najmniej\njednym z odcinków pierwszego etapu doświadczenia i prawdopodobieństwa 1\n7 na co\nnajmniej jednym z odcinków drugiego etapu doświadczenia,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 8\n56 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 8 oraz 56 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie tabelę o 64 (lub 56) pustych polach, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 8 ⋅7 = 56.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 7), (2, 6), (3, 1), (3, 5), (5, 3), (6, 2), (7, 1),\nwięc |𝐴| = 8.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| =\n8\n56 =\n1\n7 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} i 𝑎≠𝑏.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nII losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\nBiałe pola tabeli odpowiadają zdarzeniom elementarnym. Symbolem „+” oznaczono pola\nodpowiadające zdarzeniom elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 56.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest równa 8.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 8\n56 = 1\n7 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW trapezie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶𝐷 podstawa 𝐶𝐷 ma długość 5. Punkt 𝐹= (3, 11) jest\nśrodkiem odcinka 𝐶𝐷. Prosta o równaniu 𝑦= -4\n3 𝑥+ 15 jest osią symetrii tego trapezu\noraz 𝐵= (23\n2 , 8).\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝐴 oraz pole tego trapezu.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nZasady oceniania\nRozwiązanie składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap polega na obliczeniu współrzędnych wierzchołka 𝐴 trapezu: 𝐴= (\n7\n2 , 2).\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy obliczy/zapisze współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵: 𝑎=\n3\n4.\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy współrzędne punktu 𝐸: 𝐸= (\n15\n2 , 5).\n3 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy współrzędne punktu 𝐴: 𝐴= (\n7\n2 , 2).\nDrugi etap polega na obliczeniu pola trapezu: 𝑃=\n225\n4 .\nZa poprawne rozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n1 punkt zdający otrzymuje, gdy obliczy długość podstawy 𝐴𝐵 lub długość odcinka 𝐸𝐵, lub\nwysokość trapezu: |𝐴𝐵| = 10 lub |𝐸𝐵| = 5, lub ℎ=\n15\n2 .\n2 punkty zdający otrzymuje, gdy obliczy pole trapezu: 𝑃=\n225\n4 .\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOś symetrii trapezu równoramiennego jest prostopadła po podstaw tego trapezu. Zatem\nprosta 𝐴𝐵 jest prostopadła do prostej 𝑦= -\n4\n3 𝑥+ 15.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏.\nZ warunku prostopadłości prostych obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 prostej 𝐴𝐵:\n-4\n3 ⋅𝑎= -1\n𝑎= 3\n4\nProsta 𝐴𝐵 przechodzi przez punkt 𝐵= (\n23\n2 , 8), więc\n8 = 3\n4 ⋅23\n2 + 𝑏\n𝑏= -5\n8\nRównanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦=\n3\n4 𝑥-\n5\n8 .\nObliczamy współrzędne punktu 𝐸 przecięcia osi symetrii z prostą 𝐴𝐵:\n-4\n3 𝑥+ 15 = 3\n4 𝑥-5\n8 /⋅24\n-32𝑥+ 360 = 18𝑥-15\n-50𝑥= -375\n𝑥= 15\n2\n𝑦= 3\n4 ⋅15\n2 -5\n8 = 5\n𝐸= (15\n2 , 5)\nObliczamy współrzędne wierzchołka 𝐴= (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴):\n𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n= 𝑥𝐸 oraz 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n= 𝑦𝐸\n𝑥𝐴+ 23\n2\n2\n= 15\n2 oraz 𝑦𝐴+ 8\n2\n= 5\n𝑥𝐴= 7\n2 oraz 𝑦𝐴= 2\nObliczamy długości podstawy 𝐴𝐵 i wysokość ℎ trapezu:\n|𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐸𝐵| = 2 ⋅√(23\n2 -15\n2 )\n2\n+ (8 -5)2 = 2 ⋅√16 + 9 = 2 ⋅5 = 10\nℎ= |𝐸𝐹| = √(3 -15\n2 )\n2\n+ (11 -5)2 = √81\n4 + 36 = √225\n4\n= 15\n2\nObliczamy pole 𝑃 trapezu:\n𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅ℎ= 10 + 5\n2\n⋅15\n2 = 225\n4","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}