{"paper":{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWartość wyrażenia log√2 3 ∙log√3 2 jest równa\nA. 1\n4\nB. 32\nC. 23\nD. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDany jest trójkąt o bokach długości 4, 5 oraz 6. Cosinus największego kąta wewnętrznego\ntego trójkąta jest równy\nA. 1\n8\nB. 9\n16\nC. 3\n4\nD. (-3\n4)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nReszta z dzielenia wielomianu 𝑊(𝑥) = 5𝑥3 -3𝑥2 + 2𝑥-7 przez dwumian 𝑥+ 2 jest\nrówna\nA. (-63)\nB. (-39)\nC. 25\nD. 41\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Fragment wykresu funkcji 𝑓\nprzedstawiono na rysunku 1.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(1\n2 𝑥) dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nNa jednym z rysunków A-D przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑔.\nFragment wykresu funkcji 𝑔 przedstawia\nA.\nB.\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n𝑦= 𝑓(𝑥)\nRysunek 1.\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nRysunek A.\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nRysunek B.\n\nEMAP-R0_100\nC.\nD.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nRysunek C.\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n1\n2\n3\n𝑦\n5\n4\n-1\n-3\n-2\n-4\n𝑦= 𝑔(𝑥)\nRysunek D.\n\nEMAP-R0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz granicę\nlim\n𝑛→∞\n4𝑛3 -2𝑛+ 1\n3𝑛3 -𝑛2 -2𝑛+ 3\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę\nnieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"1","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1\n3\n3\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do\nuzyskania liczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 -4𝑥2 + 9𝑥 dla każdego 𝑥∈ℝ.\nPunkt 𝑃= (𝑥0 , 18) należy do wykresu funkcji 𝑓.\nOblicz 𝑥0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 2 oraz 𝑦= 17𝑥-16.\n2 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 2 oraz\n𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.\n1 pkt - obliczenie odciętej 𝑥0 punktu 𝑃: 𝑥0 = 2\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n18 = 2𝑥0\n3 -4𝑥0\n2 + 9𝑥0\n2𝑥0\n3 -4𝑥0\n2 + 9𝑥0 -18 = 0\n2𝑥0\n2(𝑥0 -2) + 9(𝑥0 -2) = 0\n(2𝑥0\n2 + 9)(𝑥0 -2) = 0\n2𝑥0\n2 + 9 = 0 lub 𝑥0 -2 = 0\nPonieważ 2𝑥0\n2 + 9 > 0 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥0, więc 𝑥0 = 2.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 -8𝑥+ 9\nWyznaczamy równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃. Obliczamy\nwspółczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(2) = 17\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n18 = 17 ∙2 + 𝑏\n𝑏= -16\nStyczna ma równanie 𝑦= 17𝑥-16.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 prawdziwa jest nierówność\n𝑎2 + 16\n𝑎≥12\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nZasady oceniania\n3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i uzasadnienie prawdziwości nierówności\n(𝑎-2)2(𝑎+4)\n𝑎\n≥0 lub (𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 z powołaniem\nsię na założenie (dla sposobu I)\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty i przekształcenie nierówności\n𝑎2+8\n𝑎+8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅\n8\n𝑎⋅\n8\n𝑎\n3\ndo postaci tezy (dla sposobu II),\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz obliczenie 𝑓(2): 𝑓(2) = 12 (dla\nsposobu III).\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 do postaci\n(𝑎-2)2(𝑎+4)\n𝑎\n≥0 lub\n(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0, lub 𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- spełnienie kryterium oceniania za 1 punkt oraz zapisanie wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16\nw postaci (𝑎-2)2(𝑎+ 4) (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie, że dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie oraz zapisanie\nnierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb dodatnich 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 :\n𝑎2+8\n𝑎+8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅\n8\n𝑎⋅\n8\n𝑎\n3\n(dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓 oraz wyznaczenie w przedziale\n(0, +∞) argumentu, dla którego funkcja osiąga w tym przedziale wartość\nnajmniejszą (wraz z uzasadnieniem): 𝑎= 2 (dla sposobu III).\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 do postaci\n𝑎3-12𝑎+16\n𝑎\n≥0 lub\n𝑎3 -12𝑎+ 16 ≥0, lub 𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie, że dla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie (dla sposobu II),\nALBO\n- obliczenie pochodnej funkcji 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +\n16\n𝑎 dla 𝑎> 0 (lub\nw szerszym zakresie), np. 𝑓′(𝑎) = 2𝑎-\n16\n𝑎2 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający opiera swoje rozwiązanie na nierówności między średnimi (sposób III) i stosuje\nnierówność między średnimi liczb 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 bez zapisania, że liczby te są dodatnie, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12:\n𝑎3\n𝑎+ 16\n𝑎-12𝑎\n𝑎\n≥0\n𝑎3 -12𝑎+ 16\n𝑎\n≥0\n𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 i 𝑎≠0\nZauważamy, że pierwiastkiem wielomianu 𝑊(𝑎) = 𝑎3 -12𝑎+ 16 jest liczba 2. Stąd\n𝑊(𝑎) = (𝑎-2)(𝑎2 + 2𝑎-8). Ponieważ pierwiastkami trójmianu kwadratowego\n𝑎2 + 2𝑎-8 są liczby 2 i (-4), więc 𝑊(𝑎) = (𝑎-2)2(𝑎+ 4). Zatem nierówność\n𝑎(𝑎3 -12𝑎+ 16) ≥0 można równoważnie zapisać w postaci\n𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) ≥0\nDla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie (𝑎-2)2 jest liczbą nieujemną, natomiast\nwyrażenie (𝑎+ 4) jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdej liczby dodatniej 𝑎 wyrażenie\n𝑎(𝑎-2)2(𝑎+ 4) jest nieujemne jako iloczyn liczb nieujemnych. Oznacza to, że nierówność\n𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑎. To należało wykazać.\nInna realizacja rozkładu wielomianu 𝑎3 -12𝑎+ 16 na czynniki:\n𝑎3 -12𝑎+ 16 = 𝑎3 -16𝑎+ 4𝑎+ 16 = 𝑎(𝑎2 -16) + 4(𝑎+ 4) =\n= 𝑎(𝑎-4)(𝑎+ 4) + 4(𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)[𝑎(𝑎-4) + 4] =\n= (𝑎+ 4)(𝑎2 -4𝑎+ 4) = (𝑎+ 4)(𝑎-2)2\nSposób II\nDla każdego 𝑎> 0 liczby 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 są dodatnie. Korzystamy z nierówności między\nśrednimi arytmetyczną i geometryczną liczb 𝑎2,\n8\n𝑎 ,\n8\n𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎2 +\n8\n𝑎+\n8\n𝑎\n3\n≥√𝑎2 ⋅8\n𝑎⋅8\n𝑎\n3\n𝑎2 +\n16\n𝑎\n3\n≥√64\n3\n𝑎2 + 16\n𝑎≥12\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nNiech 𝑓 będzie funkcją określoną wzorem 𝑓(𝑎) = 𝑎2 +\n16\n𝑎 dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑎> 0.\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑎) = 2𝑎-16\n𝑎2 = 2𝑎3 -16\n𝑎2\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n2𝑎3 -16\n𝑎2\n= 0\n2𝑎3 -16 = 0\n𝑎= 2\nPonieważ 𝑓′(𝑎) > 0 dla 𝑎∈(2, +∞) oraz 𝑓′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 2), więc funkcja 𝑓\njest malejąca w przedziale (0, 2⟩ oraz jest rosnąca w przedziale ⟨2, +∞).\nZatem dla argumentu 𝑎= 2 funkcja przyjmuje wartość najmniejszą równą\n𝑓(2) = 22 +\n16\n2 = 12. Stąd 𝑓(𝑎) ≥12 dla każdej liczby dodatniej 𝑎.\nTo oznacza, że nierówność 𝑎2 +\n16\n𝑎≥12 jest prawdziwa dla każdego 𝑎> 0.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nDany jest okrąg 𝒪. Przez punkt 𝐴 poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego\nokręgu w punktach - odpowiednio - 𝑃 oraz 𝑄. Przez punkt 𝐵 leżący na odcinku 𝐴𝑃\npoprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie 𝐷, która przecięła odcinek 𝐴𝑄\nw punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).\nWykaż, że jeżeli |𝐴𝑄| = 5 ∙|𝐵𝑃| oraz |𝐶𝐷| = 2 ∙|𝐵𝐷|, to trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny.\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝑃\n𝑄\nokrąg 𝒪\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nZasady oceniania\n3 pkt - spełnienie kryterium oceniania za 2 punkty oraz uzasadnienie, że |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinków 𝐴𝑃, 𝐴𝑄, 𝐵𝐷, 𝐶𝐷, 𝐶𝑄 w zależności od tej samej\nzmiennej, np. |𝐴𝑃| = 5𝑥, |𝐴𝑄| = 5𝑥, |𝐵𝐷| = 𝑥, |𝐶𝐷| = 2𝑥, |𝐶𝑄| = 2𝑥.\n1 pkt - zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach stycznych: |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃|\n(lub |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄|, lub |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷|).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech |𝐵𝑃| = 𝑥.\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wnioskujemy, że |𝐵𝐷| = |𝐵𝑃| = 𝑥.\nZ założenia |𝐶𝐷| = 2 ∙|𝐵𝐷| otrzymujemy |𝐶𝐷| = 2𝑥. Z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwnioskujemy, że |𝐶𝑄| = |𝐶𝐷| = 2𝑥 (zobacz rysunek).\nPonieważ |𝐴𝑄| = 5 ∙|𝐵𝑃|, więc |𝐴𝑄| = 5𝑥. Ponownie z twierdzenia o odcinkach stycznych\nwnioskujemy, że |𝐴𝑃| = |𝐴𝑄| = 5𝑥.\nZatem |𝐴𝐶| = |𝐴𝑄| -|𝐶𝑄| = 5𝑥-2𝑥= 3𝑥 oraz |𝐵𝐶| = |𝐵𝐷| + |𝐶𝐷| = 𝑥+ 2𝑥= 3𝑥.\nWobec tego |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. To należało wykazać.\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝑄\nokrąg 𝒪\n𝑃\n𝐵\n𝑥\n𝑥\n2𝑥\n2𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nDany jest nieskończony szereg geometryczny\n2𝑥-\n6𝑥\n𝑥-1 +\n18𝑥\n(𝑥-1)2 -\n54𝑥\n(𝑥-1)3 + …\nWyznacz wszystkie wartości zmiennej 𝑥 (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego\nszeregu istnieje i jest równa 15\n2 .\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości zmiennej 𝑥, dla których suma szeregu\nistnieje (𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz poprawne wyznaczenie wszystkich wartości\nzmiennej 𝑥, dla których suma jest równa\n15\n2 : 𝑥= 6.\n3 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma\nszeregu ( 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞) ) oraz zastosowanie wzoru na sumę szeregu\ngeometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą 𝑥:\n2𝑥\n1-(-3\n𝑥-1) =\n15\n2\nALBO\n- zapisanie warunku zbieżności szeregu (|𝑞| < 1) oraz zastosowanie wzoru na sumę\nszeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy, zapisanie równania z niewiadomą\n𝑥 (\n2𝑥\n1-(-3\n𝑥-1) =\n15\n2 ) i rozwiązanie tego równania: 𝑥= -\n5\n4 , 𝑥= 6.\n2 pkt - wyznaczenie zbioru wszystkich wartości 𝑥, dla których istnieje skończona suma\nszeregu: 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)\nALBO\n- zapisanie warunku zbieżności szeregu (|𝑞| < 1) oraz zastosowanie wzoru na sumę\nszeregu geometrycznego, wyznaczenie tej sumy i zapisanie równania z niewiadomą\n𝑥:\n2𝑥\n1 -(-\n3\n𝑥-1)\n= 15\n2\n1 pkt - zapisanie ilorazu: 𝑞= -\n3\n𝑥-1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeśli zdający rozwiąże odpowiednie równanie i zapisze: 𝑥= -\n5\n4 ∨ 𝑥= 6, a następnie\nobliczy iloraz szeregu dla każdej z wyznaczonych wartości zmiennych i na tej podstawie\ndokona właściwego wyboru rozwiązania, to otrzymuje 4 punkty.\n2. Jeśli zdający rozwiąże zadanie bez rozważenia warunku |𝑞| < 1, to może otrzymać\nmaksymalnie 2 punkty.\n3. Jeśli zdający zapisze poprawny warunek zbieżności szeregu: |-\n3\n𝑥-1| < 1, ale popełni błąd\nprzy wyznaczaniu przedziału zbieżności i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\nmoże otrzymać 3 punkty.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd przy wyznaczaniu ilorazu ciągu, który będzie wyrażeniem\nwymiernym zmiennej 𝑥, np. zapisze, że 𝑞= -\n3𝑥\n𝑥-1 , i konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, to może otrzymać maksymalnie 2 punkty.\n5. Jeśli zdający zapisze dany szereg jako sumę dwóch szeregów postaci\n2𝑥+\n18𝑥\n(𝑥-1)2 +\n172𝑥\n(𝑥-1)4 + … oraz -\n6𝑥\n𝑥-1 -\n54𝑥\n(𝑥-1)3 -\n516𝑥\n(𝑥-1)5 - … bez odpowiedniego komentarza\ni rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, obliczając sumę dwóch szeregów, to może\notrzymać maksymalnie 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPierwszy wyraz i iloraz tego szeregu są równe, odpowiednio, 𝑎1 = 2𝑥 oraz\n𝑞= -\n3\n𝑥-1 . Ponieważ 𝑥≠1 i 𝑥≠0, to szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy\n3\n𝑥-1| < 1, czyli |𝑥-1| > 3. Stąd 𝑥∈(-∞, -2) ∪(4, +∞).\nWtedy suma 𝑆 tego szeregu jest skończona i równa\n𝑆=\n𝑎1\n1 -𝑞=\n2𝑥\n1 -(-\n3\n𝑥-1)\n= 2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+ 2\nRozwiązujemy równanie\n2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+2\n15\n2 w zbiorze (-∞, -2) ∪(4, +∞):\n2𝑥(𝑥-1)\n𝑥+ 2\n= 15\n2\n4𝑥(𝑥-1) = 15(𝑥+ 2)\n4𝑥2 -19𝑥-30 = 0\n𝑥= -5\n4 ∉(-∞, -2) ∪(4, +∞) lub 𝑥= 6 ∈(-∞, -2) ∪(4, +∞)\nZatem 𝑥= 6.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nw zbiorze ⟨-𝜋\n2 , 𝜋\n2⟩.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne metoda rozwiązania równania i poprawny wynik: -\n𝜋\n8,\n3𝜋\n8 , -\n5𝜋\n12 , -\n𝜋\n12,\n𝜋\n4 .\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2) (lub równania cos 𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2) )\nw zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= -\n𝜋\n8 +\n𝑘𝜋\n2 lub 𝑥=\n𝜋\n4 +\n𝑘𝜋\n3 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z tych równań w zbiorze 〈-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2〉,\nALBO\n- przekształcenie równania do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie wszystkich równań tej alternatywy w zbiorze ℝ.\n2 pkt - równoważne przekształcenie równania do postaci, która jest równością sinusów lub\ncosinusów, np. sin(5𝑥) = sin (𝑥-\n𝜋\n2), cos𝑥= cos (5𝑥+\n𝜋\n2)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów lub na sumę cosinusów i przekształcenie\nrównania do postaci alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych, np.\nsin(2𝑥+\n𝜋\n4) = 0 lub cos(3𝑥-\n𝜋\n4) = 0, cos(\n𝜋\n4 -2𝑥) = 0 lub cos(\n𝜋\n4 -3𝑥) = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru redukcyjnego i przekształcenie równania do postaci, w której\nwystępuje tylko jedna funkcja trygonometryczna, np. sin(5𝑥) + sin (\n𝜋\n2 -𝑥) = 0,\ncos (\n𝜋\n2 -5𝑥) + cos 𝑥= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (równość sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nsin(5𝑥) = -sin (𝜋\n2 -𝑥)\nPonieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc\nsin(5𝑥) = sin (𝑥-𝜋\n2)\nStąd\n5𝑥= 𝑥-𝜋\n2 + 2𝑘𝜋 lub 5𝑥= 𝜋-(𝑥-𝜋\n2) + 2𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze 〈-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2〉:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nSposób II (poprzez sumę sinusów)\nZapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja\ntrygonometryczna zmiennej 𝑥:\nsin(5𝑥) + cos 𝑥= 0\nsin(5𝑥) + sin (𝜋\n2 -𝑥) = 0\nKorzystamy ze wzoru na sumę sinusów i otrzymujemy\n2 sin (\n5𝑥+\n𝜋\n2 -𝑥\n2\n) ⋅cos (\n5𝑥-(\n𝜋\n2 -𝑥)\n2\n) = 0\nsin (2𝑥+ 𝜋\n4) = 0 lub cos (3𝑥-𝜋\n4) = 0\n2𝑥+ 𝜋\n4 = 𝑘𝜋 lub 3𝑥-𝜋\n4 = 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= -𝜋\n8 + 𝑘𝜋\n2 lub 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\n3\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nWyznaczamy rozwiązania równania sin(5𝑥) + cos𝑥= 0 w zbiorze 〈-\n𝜋\n2 ,\n𝜋\n2〉:\n-𝜋\n8, 3𝜋\n8 , - 5𝜋\n12 , -𝜋\n12, 𝜋\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW pudełku umieszczono 𝑛 kul (𝑛≥3) wśród których dokładnie 2 kule są czarne,\na pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli\nwylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest\nczarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie\nzawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe 37\n50 .\nOblicz 𝑛.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑛= 10.\n3 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 w zależności od 𝑛: 𝑃(𝐴) =\n𝑛2-3𝑛+4\n𝑛2\n2 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐴1 oraz 𝐴2 w zależności od 𝑛:\n𝑃( 𝐴1) =\n𝑛-3\n𝑛 oraz 𝑃(𝐴2) =\n𝑛-1\n𝑛 .\n1 pkt - wyznaczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐵 oraz 𝐶 w zależności od 𝑛:\n𝑃(𝐵) =\n𝑛-2\n𝑛 oraz 𝑃(𝐶) =\n2\n𝑛 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:\n𝐵 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu została wylosowana kula biała,\n𝐶 - zdarzenie polegające na tym, że w pierwszym losowaniu została wylosowana kula\nczarna,\n𝑍1 - zawartość pudełka po wylosowaniu za pierwszym razem kuli białej i dołożeniu kuli\nczarnej,\n𝑍2 - zawartość pudełka po wylosowaniu za pierwszym razem kuli czarnej i dołożeniu kuli\nbiałej,\n𝐴1 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka o zawartości 𝑍1 kula jest\nbiała,\n𝐴2 - zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka o zawartości 𝑍2 kula jest\nbiała.\nWówczas 𝑍1: 𝑛-3 kul białych i 3 kule czarne, 𝑍2: 𝑛-1 kul białych i 1 kula czarna.\nWyznaczamy prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐵, 𝐶, 𝐴1 oraz 𝐴2 :\n𝑃(𝐵) = 𝑛-2\n𝑛\n, 𝑃(𝐶) = 2\n𝑛, 𝑃( 𝐴1) = 𝑛-3\n𝑛\n, 𝑃(𝐴2) = 𝑛-1\n𝑛\nZapisujemy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że kula wylosowana\nz pudełka ze zmienioną zawartością jest biała:\n𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1) ∙ 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐴2) ∙ 𝑃(𝐶)\n𝑃(𝐴) = 𝑛-3\n𝑛\n∙𝑛-2\n𝑛\n+ 𝑛-1\n𝑛\n∙2\n𝑛= 𝑛2 -3𝑛+ 4\n𝑛2\nPonieważ 𝑃(𝐴) =\n37\n50 , więc stąd otrzymujemy kolejno:\n𝑛2 -3𝑛+ 4\n𝑛2\n= 37\n50\n50𝑛2 -150𝑛+ 200 = 37𝑛2\n13𝑛2 -150𝑛+ 200 = 0\n∆= 12100, √∆= 110\n𝑛= 150 -110\n26\n= 40\n26 lub 𝑛= 150 + 110\n26\n= 260\n26 = 10\nPonieważ liczba kul musi być liczbą naturalną większą niż 2, więc jedynym rozwiązaniem\ntego zadania jest 𝑛= 10.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0\nma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 oraz 𝑥2 , spełniające warunki:\n𝑥1 ≠0, 𝑥2 ≠0 oraz 1\n𝑥1\n2 + 1\n𝑥2\n2 < 1\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu warunku ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego etapu\nzdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie warunku ∆> 0: 𝑚∈(-∞,\n1\n9) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których jest\nspełniony warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - wyznaczenie tych wszystkich wartości 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1: 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, która odpowiada warunkowi\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1, np.\n(𝑚+1\n𝑚)\n2\n-2⋅(-2𝑚+3)\n𝑚\n(-2𝑚+3\n𝑚\n)\n2\n< 1.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1+𝑥2)2-2𝑥1𝑥2\n(𝑥1𝑥2)2\n< 1 (lub innej równoważnej, ale\nzawierającej jedynie zmienne 𝑥1 + 𝑥2 oraz 𝑥1𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których spełnione\nsą jednocześnie warunki: Δ > 0 i\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości 𝑚, dla których Δ > 0 i\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1:\n𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0,\n1\n9).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0 (zamiast Δ > 0), to za I etap rozwiązania\notrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania rozważa niepoprawną nierówność wymierną\ni rozwiązanie tej nierówności jest zbiorem rozłącznym ze zbiorem rozwiązań nierówności\nz I etapu, to zdający otrzymuje 0 punktów za III etap.\n3. Jeżeli w rozwiązaniu zdającego nie ma zapisu 𝑚≠0 albo 𝑚≠\n3\n2, albo zdający nie\nuwzględnia w rozwiązaniu warunku 𝑚≠0, albo 𝑚≠\n3\n2, to zdający może otrzymać co\nnajwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste\nwtedy i tylko wtedy, gdy 𝑚≠0 i wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego\n𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 jest dodatni.\nI etap\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n[-(𝑚+ 1)]2 -4𝑚⋅(-2𝑚+ 3) > 0\n9𝑚2 -10𝑚+ 1 > 0\n(𝑚-1)(9𝑚-1) > 0\n𝑚∈(-∞, 1\n9) ∪(1, +∞)\nZatem równanie 𝑚𝑥2 -(𝑚+ 1)𝑥-2𝑚+ 3 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania\nrzeczywiste, gdy 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0,\n1\n9) ∪(1, +∞).\nII etap\nWyznaczymy wszystkie wartości 𝑚, dla których jest spełniony warunek:\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1.\nPrzekształcamy nierówność\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 do postaci, która pozwoli na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a:\n𝑥1 +\n2\n𝑥2\n2\n(𝑥1𝑥2)2 < 1\n(𝑥1+𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2\n(𝑥1𝑥2)2\n< 1\nStąd, po zastosowaniu wzorów Viète’a, otrzymujemy:\n(\n𝑚+1\n𝑚)\n2\n-2 ⋅\n(-2𝑚+3)\n𝑚\n(\n-2𝑚+3\n𝑚\n)\n2\n< 1\ni dalej\n(𝑚+ 1\n𝑚\n)\n2\n-2 ⋅\n(-2𝑚+ 3)\n𝑚\n< (-2𝑚+ 3\n𝑚\n)\n2\ni 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n(𝑚+ 1)2 -2𝑚(-2𝑚+ 3) < (-2𝑚+ 3)2 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n𝑚2 + 8𝑚-8 < 0 i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\n𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠0 i 𝑚≠3\n2\nZatem warunek\n1\n𝑥1\n2 +\n1\n𝑥2\n2 < 1 jest spełniony tylko dla 𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, -4 + 2√6).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nIII etap\nWyznaczamy te wszystkie wartości 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki: 𝑚≠0 i\n𝑚∈(-∞,\n1\n9) ∪(1, +∞) i 𝑚∈(-4 -2√6, -4 + 2√6) i 𝑚≠\n3\n2 :\n𝑚∈(-4 -2√6, 0) ∪(0, 1\n9)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nCzworokąt wypukły 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty 𝐵𝐴𝐷 i 𝐵𝐶𝐷 są\nproste (zobacz rysunek). Przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 tego czworokąta przecinają się w punkcie 𝐸\ntak, że |𝐵𝐸| = 3 ∙|𝐷𝐸| oraz |𝐵𝐷| = 2 ∙|𝐴𝐸|.\nOblicz długości boków czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz poprawny wynik: |𝐴𝐵| = 2√10, |𝐵𝐶| = 3√6,\n|𝐶𝐷| = √10, |𝐴𝐷| = 2√6.\n4 pkt - obliczenie długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 2√10 i |𝐴𝐷| = 2√6 oraz spełnienie\njednego z poniższych kryteriów I-III:\nI. obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 3,\nII. wyznaczenie skali podobieństwa trójkątów 𝐷𝐸𝐶 i 𝐴𝐸𝐵:\n1\n2 ,\nIII. obliczenie długości jednego z boków tego czworokąta i zapisanie wyrażenia\narytmetycznego opisującego długości pozostałych boków w zależności od długości\ntego obliczonego boku.\n3 pkt - obliczenie długości boków 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷: |𝐴𝐵| = 2√10 i |𝐴𝐷| = 2√6.\n2 pkt - obliczenie wysokości 𝐴𝑃 trójkąta 𝐴𝑆𝐸: |𝐴𝑃| = √15\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐶𝐸: |𝐶𝐸| = 3,\nALBO\n- wyznaczenie skali podobieństwa trójkątów 𝐷𝐸𝐶 i 𝐴𝐸𝐵:\n1\n2 ,\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐷𝐸, 𝐵𝐸, 𝐴𝐸: |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 i |𝐴𝐸| = 4 oraz\nzapisanie układu równań prowadzącego do wyznaczenia długości boków 𝑎 oraz 𝑑:\n𝑎2 + 𝑑2 = 82, 𝑎2 = 62 + 42 -2 ∙6 ∙4 ∙cos 𝛽 oraz\n𝑑2 = 22 + 42 -2 ∙2 ∙4 ∙cos(180° -𝛽).\n1 pkt - obliczenie długości odcinków 𝐷𝐸, 𝐵𝐸 oraz 𝐴𝐸: |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 oraz |𝐴𝐸| = 4\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐷𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐵 (albo trójkąty 𝐵𝐸𝐶 oraz 𝐴𝐸𝐷) są podobne,\nALBO\n- zapisanie równości wynikającej z twierdzenia o odcinkach siecznych:\n|𝐴𝐸| ∙|𝐶𝐸| = |𝐵𝐸| ∙|𝐷𝐸|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający zapisze, że |𝐷𝐸| = 1 i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ trójkąty 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷 są prostokątne, to ich wspólna przeciwprostokątna 𝐵𝐷 jest\nśrednicą okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Zatem |𝐵𝐷| = 8. Stąd i z warunków\n|𝐵𝐸| = 3 ∙|𝐷𝐸| oraz |𝐵𝐷| = 2 ∙|𝐴𝐸| otrzymujemy |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 i |𝐴𝐸| = 4.\nOznaczmy przez 𝑆 środek okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷. Prowadzimy\nwysokość 𝐴𝑃 trójkąta 𝐴𝑆𝐸 i przyjmijmy pozostałe oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ |𝐴𝐸| = 4 = |𝐴𝑆|, więc trójkąt 𝐴𝑆𝐸 jest równoramienny. Zatem spodek 𝑃\nwysokości trójkąta 𝐴𝑆𝐸 jest środkiem podstawy 𝐸𝑆 tego trójkąta. Stąd wynika, że\n|𝐸𝑃| = |𝑃𝑆| = 1.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝑆𝑃 otrzymujemy\n|𝐴𝑆|2 = |𝐴𝑃|2 + |𝑃𝑆|2\n42 = ℎ2 + 12\nℎ2 = 15\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐵𝑃 i 𝐴𝐷𝑃 otrzymujemy\n|𝐴𝐵|2 = |𝐴𝑃|2 + |𝑃𝐵|2 oraz |𝐴𝐷|2 = |𝐴𝑃|2 + |𝑃𝐷|2\n𝑎2 = ℎ2 + 52 oraz 𝑑2 = ℎ2 + 32\n𝑎2 = 15 + 25 oraz 𝑑2 = 15 + 9\n𝑎= √40 = 2√10 oraz 𝑑= √24 = 2√6\nKąty 𝐷𝐶𝐴 i 𝐴𝐵𝐷 są równe, gdyż są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐴𝐷. Kąty\n𝐷𝐸𝐶 i 𝐵𝐸𝐴 są równe, gdyż są to kąty wierzchołkowe. Zatem trójkąty 𝐷𝐸𝐶 i 𝐵𝐸𝐴 są\npodobne (cecha kkk). Wynika stąd, że\n|𝐶𝐷|\n|𝐷𝐸| = |𝐴𝐵|\n|𝐴𝐸|\n𝑐\n2 = 2√10\n4\n𝑐= √10\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝑆\n𝑃\n𝑎\n𝑏\n𝑐\n𝑑\nℎ\n4\n4\n4\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐷 otrzymujemy\n|𝐵𝐷|2 = |𝐶𝐷|2 + |𝐵𝐶|2\n82 = 𝑐2 + 𝑏2\n64 = (√10)\n2 + 𝑏2\n𝑏= √54 = 3√6\nUwagi:\n1. Długości boków 𝐶𝐷 i 𝐵𝐶 można obliczyć, wykorzystując twierdzenie o odcinkach\nsiecznych. Wynika z niego, że |𝐴𝐸| ∙|𝐶𝐸| = |𝐵𝐸| ∙|𝐷𝐸|, więc |𝐶𝐸| = 3. Ponieważ\ncos ∢𝐴𝐸𝑃=\n|𝐸𝑃|\n|𝐴𝐸| =\n1\n4 , to z twierdzenia cosinusów wynika, że\n|𝐶𝐷|2 = 22 + 32 -2 ∙2 ∙3 ∙\n1\n4 = 10 oraz |𝐵𝐶|2 = 62 + 32 + 2 ∙6 ∙3 ∙\n1\n4 = 54.\n2. Po wyznaczeniu odcinków |𝐷𝐸| = 2, |𝐵𝐸| = 6 i |𝐴𝐸| = 4 można wyznaczyć długości\nboków 𝑎 oraz 𝑑, korzystając z twierdzenia cosinusów. Przyjmując 𝛽= ∡𝐴𝐸𝐵, możemy\nzapisać układ trzech równań: 𝑎2 + 𝑑2 = 82, 𝑎2 = 62 + 42 -2 ∙6 ∙4 ∙cos 𝛽 oraz\n𝑑2 = 22 + 42 -2 ∙2 ∙4 ∙cos(180° -𝛽). Wtedy cos𝛽=\n1\n4 oraz 𝑎= 2√10 i 𝑑= 2√6.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których\nodcinek łączący punkt 𝑂 przecięcia przekątnych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 z dowolnym\nwierzchołkiem podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻 ma długość 𝑑 (zobacz rysunek).\na) Wyznacz zależność objętości 𝑉 graniastosłupa od jego wysokości ℎ i podaj dziedzinę\nfunkcji 𝑉(ℎ).\nb) Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, który ma największą objętość.\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nZasady oceniania\n6 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑉(ℎ) oraz jej dziedziny, oraz wyznaczenie\nwysokości graniastosłupa o największej objętości wraz z uzasadnieniem.\n5 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: ℎ= √3\n3 𝑑.\n4 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2).\n3 pkt - wyznaczenie dziedziny funkcji 𝑉(ℎ): (0, 𝑑).\n2 pkt - wyznaczenie objętości 𝑉 graniastosłupa jako funkcji jego wysokości, np.\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ.\n1 pkt - wyznaczenie długości krawędzi podstawy w zależności od wysokości graniastosłupa:\n𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 długość krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, natomiast przez ℎ - wysokość tego\ngraniastosłupa.\na)\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta\n𝑂𝐷𝐻 i otrzymujemy:\n𝑑2 = ℎ2 + |𝑂𝐷|2\n|𝑂𝐷| = √𝑑2 -ℎ2\nPonieważ |𝑂𝐷| =\n1\n2 |𝐵𝐷| =\n𝑎√2\n2 , więc\n𝑎√2\n2 = √𝑑2 -ℎ2 .\nStąd 𝑎= √2 ∙√𝑑2 -ℎ2 i ℎ∈(0, 𝑑).\nPole 𝑃𝑃 podstawy graniastosłupa jest równe\n𝑃𝑃= (√2 ∙√𝑑2 -ℎ2)\n2\n= 2(𝑑2 -ℎ2)\nWyznaczamy objętość graniastosłupa jako funkcję zmiennej ℎ:\n𝑉(ℎ) = 2(𝑑2 -ℎ2) ∙ℎ= 2(𝑑2ℎ-ℎ3) dla 0 < ℎ< 𝑑.\nb)\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 2(𝑑2 -3ℎ2)\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(ℎ) = 0\n2(𝑑2 -3ℎ2) = 0 i ℎ∈(0, 𝑑)\nℎ= 𝑑\n√3\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝑑\nPonieważ 𝑉′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(0, 𝑑\n√3) oraz 𝑉′(ℎ) < 0 dla ℎ∈( 𝑑\n√3 , 𝑑), więc funkcja 𝑉\njest rosnąca w przedziale (0, 𝑑\n√3⟩ oraz malejąca w przedziale ⟨𝑑\n√3 , 𝑑). Zatem funkcja 𝑉\nosiąga wartość największą dla ℎ= 𝑑\n√3 .\nSpośród rozważanych graniastosłupów największą objętość ma graniastosłup o wysokości\nℎ=\n𝑑\n√3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nOkrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16.\nOkrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4]. Promienie tych okręgów są\nsobie równe.\nFigura 𝐹 składa się z dwóch okręgów: 𝑜1 oraz 𝑜2. Punkty 𝑀 i 𝑁 są punktami przecięcia\nfigury 𝐹 z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym.\nWyznacz punkt 𝐾, leżący na jednej z osi symetrii figury 𝐹, taki, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest\nrówne 40.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap polega na wyznaczeniu równania osi symetrii figury 𝐹, prostopadłej\ndo prostej 𝑆1𝑆2, a następnie obliczeniu współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁. Za poprawne\nrozwiązanie tego etapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 punkt, gdy obliczy współrzędne środka 𝑆2 okręgu: 𝑆2 = (2, 3).\nZdający otrzymuje 2 punkty, gdy wyznaczy równanie osi symetrii przechodzącej przez\nśrodek 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2, która jest prostopadła do prostej 𝑆1𝑆2: 𝑦= 𝑥-3.\nZdający otrzymuje 3 punkty za zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do\nwyznaczenia współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁, np. (𝑥-6)2 + (𝑥-2)2 -16 = 0.\nZdający otrzymuje 4 punkty za obliczenie współrzędnych punktów 𝑀 i 𝑁: 𝑀= (2, -1)\noraz 𝑁= (6, 3).\nDrugi etap polega na zapisaniu równania prowadzącego do obliczenia współrzędnych\npunktu 𝐾 i obliczeniu tych współrzędnych. Za ten etap rozwiązania zdający otrzymuje\n3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\nZdający otrzymuje 1 punkt za uzależnienie współrzędnych punktu 𝐾 od jednej niewiadomej,\nnp. 𝐾= (𝑥, -𝑥+ 5).\nZdający otrzymuje 2 punkty za zapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do\nwyznaczenia współrzędnych punktu 𝐾, np.\n1\n2 ⋅|-8𝑥+ 32| = 40, 2 ⋅|2𝑥-8| = 40.\nZdający otrzymuje 3 punkty za obliczenie współrzędnych punktu 𝐾: 𝐾1 = (-6, 11),\n𝐾2 = (14, -9).\nUwaga:\nJeżeli zdający prowadzi poprawne rozumowanie na każdym etapie rozwiązania zadania,\nrozwiązuje zadanie do końca i jedynym błędem, który jednak nie ułatwia rozwiązania zadania\nna żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:\na) niepoprawnym wyznaczeniu współrzędnych środka okręgu 𝑜1, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 6 punktów za całe rozwiązanie;\nb) zastosowaniu niepoprawnej metody obliczania współrzędnych punktów wspólnych\nokręgu 𝑜1 i osi symetrii figury 𝐹 prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2, to zdający otrzymuje co\nnajwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za 𝑆2, oś symetrii i 𝐾);\nc) zastosowaniu niepoprawnej metody wyznaczenia:\n- środka okręgu 𝑜2\n- współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów.\nI etap\nWyznaczamy współrzędne środka 𝑆1 okręgu 𝑜1: 𝑆1 = (6, -1). Ponieważ 𝑆1 = (6, -1)\ni 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4], więc współrzędne środka 𝑆2 są równe: 𝑆2 = (6 -4, -1 + 4) = (2, 3).\nZauważmy, że figura 𝐹 ma dwie osie symetrii. Jedną z nich jest prosta 𝑆1𝑆2, do której\nnależą środki okręgów 𝑜1 i 𝑜2 , drugą - prosta prostopadła do prostej 𝑆1𝑆2 przechodząca\nprzez środek 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2 .\nOś symetrii, do której należą środki obu okręgów ma zatem równanie 𝑥+ 𝑦-5 = 0, czyli\n𝑦= -𝑥+ 5.\nWyznaczamy równanie osi symetrii figury 𝐹, prostopadłej do prostej 𝑆1𝑆2 .\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 odcinka 𝑆1𝑆2: 𝑆= (4, 1) i wyznaczamy równanie prostej\nprzechodzącej przez punkt 𝑆: 𝑦= 𝑥-3. Współczynnik kierunkowy tej osi symetrii jest\ndodatni, więc punkty 𝑀 i 𝑁 leżą na tej prostej.\nPonieważ punkty 𝑀 i 𝑁 są punktami przecięcia figury 𝐹 i osi symetrii o równaniu\n𝑦= 𝑥-3, więc są punktami przecięcia okręgu 𝑜1 i prostej 𝑦= 𝑥-3.\nWspółrzędne tych punktów obliczamy, rozwiązując układ równań\n{ (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16\n𝑦= 𝑥-3\nPo podstawieniu 𝑦= 𝑥-3 do pierwszego równania otrzymujemy równanie\n(𝑥-6)2 + (𝑥-2)2 -16 = 0\na po przekształceniach - równanie kwadratowe 2𝑥2 -16𝑥+ 24 = 0.\n𝑁\n𝑀\n0 1 𝑥\n𝑦\n1\n𝑆1\n𝑆2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 6. Zatem współrzędne punktów 𝑀 i 𝑁 są równe: 𝑀= (2, -1) oraz\n𝑁= (6, 3).\nII etap\nPunkt 𝐾 leży na osi symetrii przechodzącej przez środki obu okręgów, więc jego\nwspółrzędne można zapisać w postaci: 𝐾= (𝑥, -𝑥+ 5).\nSposób I\nWiemy, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równe 40, więc\n1\n2 ⋅|(6 -2)(-𝑥+ 5 + 1) -(3 + 1)(𝑥-2)| = 40\nStąd po przekształceniach otrzymujemy równanie\n1\n2 ⋅|-8𝑥+ 32| = 40\nczyli\n-4𝑥+ 16 = 40 lub -4𝑥+ 16 = -40\n𝑥= -6 lub 𝑥= 14\nZatem są dwa takie punkty 𝐾: 𝐾1 = (-6, 11) oraz 𝐾2 = (14, -9).\nSposób II\nObliczamy długość podstawy 𝑀𝑁 trójkąta 𝑀𝑁𝐾: |𝑀𝑁| = √(6 -2)2 + (3 + 1)2 = 4√2.\nWysokość ℎ trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równa odległości punktu 𝐾 od prostej 𝑀𝑁 o równaniu\n𝑥-𝑦-3 = 0. Zatem\nℎ= |1 ⋅𝑥-1 ⋅(-𝑥+ 5) -3|\n√12 + (-1)2\n= |2𝑥-8|\n√2\nWiemy, że pole trójkąta 𝑀𝑁𝐾 jest równe 40, więc\n1\n2 ⋅4√2 ⋅|2𝑥-8|\n√2\n= 40\nStąd otrzymujemy równanie\n2 ⋅|2𝑥-8| = 40\nczyli\n2𝑥-8 = -20 lub 2𝑥-8 = 20\n𝑥= -6 lub 𝑥= 14\nZatem 𝐾= (-6, 11) lub 𝐾= (14, -9).","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}