{"paper":{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty-odpowiedzi/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty-odpowiedzi.pdf","question_count":19,"source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 1. (0-1)\nPoniżej przedstawiono składniki potrzebne do przygotowania ciasta na 8 gofrów.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nDo przygotowania ciasta na 40 gofrów, przy zachowaniu właściwych\nproporcji odpowiednich składników, potrzeba 10 jajek.\nP\nF\nDo przygotowania ciasta na 72 gofry, przy zachowaniu właściwych\nproporcji odpowiednich składników, potrzeba 12 szklanek mleka.\nP\nF","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nXIII. Proporcjonalność prosta. Uczeń:\n2) wyznacza wartość przyjmowaną przez\nwielkość wprost proporcjonalną\nw przypadku konkretnej zależności\nproporcjonalnej […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nPP\nPP","solution":"Na 8 gofrów potrzeba 2 jajek. Na 40 gofrów, czyli pięć razy więcej:\n\n5·2=10\n\nPierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nNa 8 gofrów potrzeba 1(1)/(3)=(4)/(3) szklanki mleka. Na 72 gofry potrzeba dziewięć razy więcej:\n\n9·(4)/(3)=12\n\nDrugie zdanie także jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"Proporcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 2. (0-1)\nDostęp do pliku jest chroniony hasłem ∗∗T ∗∗ złożonym z dwóch liczb dwucyfrowych\noddzielonych literą T. Pierwsza liczba hasła to sześcian liczby 4, a druga to najmniejszy\nwspólny mianownik ułamków 1\n15 i 1\n25 .\nJakie jest hasło do pliku? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 24T45\nB. 24T75\nC. 64T45\nD. 64T75\nGofry\nSkładniki na 8 gofrów:\n1 1\n2 szklanki mąki\n1 1\n3 szklanki mleka\n2 jajka\n1 1\n2 łyżeczki proszku do pieczenia\n2 łyżeczki cukru pudru\n\n1\n2 szklanki oleju\n\nszczypta soli\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2305","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub w działaniach\ntrudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie\ntych umiejętności w sytuacjach\npraktycznych.\nII. Działania na liczbach naturalnych.\nUczeń:\n10) oblicza kwadraty i sześciany liczb\nnaturalnych.\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n4) sprowadza ułamki zwykłe do wspólnego\nmianownika.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 15 lipca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu ósmoklasisty przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022 poz. 1591).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Obliczamy pierwszą liczbę hasła: jest to sześcian liczby $4$. Obliczamy to jako: $$4^3 = 4 \\times 4 \\times 4.$$\n\n2. Najpierw obliczamy $4 \\times 4$, co daje nam: $$4 \\times 4 = 16.$$\n\n3. Teraz obliczamy $$16 \\times 4 = 64.$$\n\n4. Zatem pierwsza liczba hasła to $64$.\n\n5. Teraz obliczamy drugą liczbę hasła, którą jest najmniejszy wspólny mianownik (NWM) dla ułamków $\\frac{1}{15}$ i $\\frac{1}{25}$.\n\n6. Najpierw znajdujemy NWM mianowników, czyli $15$ i $25$. Możemy to zrobić, rozkładając oba liczby na czynniki pierwsze:\n- $15 = 3 \\times 5$\n- $25 = 5^2$\n\n7. Następnie bierzemy:\n- Czynnik $3$ w potędze $1$ (z $15$)\n- Czynnik $5$ w potędze $2$ (z $25$)\n\n8. Obliczamy: $$NWM(15,25) = 3^1 \\times 5^2=3\\cdot25= 75.$$\n\n9. Zatem druga liczba hasła to $75$.\n\n11. Teraz tworzymy pełne hasło, które składa się z pierwszej liczby, litery $T$ i drugiej liczby: $$64T75.$$\n\n12. Sprawdzamy podane opcje i uznajemy, że hasło $64T75$ znajduje się wśród odpowiedzi.\n\n**Odpowiedź:** 64T75","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"NWW i NWD","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 3. (0-1)\nDane są cztery wyrażenia:\n𝐺= 2𝑥2 + 2 𝐻= 2𝑥2 + 2𝑥 𝐽= 2𝑥2 -2 𝐾= 2𝑥2 -2𝑥\nJedno z tych wyrażeń przyjmuje wartość 0 dla 𝑥= 1 oraz dla 𝑥= -1.\nKtóre to wyrażenie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝐺\nB. 𝐻\nC. 𝐽\nD. 𝐾","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nIX. Tworzenie wyrażeń algebraicznych\nz jedną i z wieloma zmiennymi. Uczeń:\n3) oblicza wartości liczbowe wyrażeń\nalgebraicznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nC\nB","solution":"Poprawnie, wyrażenie $J$ przyjmuje wartość 0 dla $x = 1$ oraz $x = -1$, ponieważ $J(1) = 2\\cdot(1)^2 - 2 = 0$ oraz $J(-1) = 2\\cdot(-1)^2 - 2 = 0$.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 4. (0-1)\nMarta układała książki na dwóch półkach o tych samych wymiarach wewnętrznych.\nWszystkie książki były jednakowych rozmiarów.\nPierwszą półkę (I) całkowicie wypełniła 12 książkami.\nNa drugiej półce (II) postanowiła ustawić książki jedna przy drugiej na całej szerokości półki\ntak, aby zostało nad nimi wolne miejsce, w sposób pokazany na rysunku.\nUwaga: na rysunku przedstawiono całkowite wypełnienie książkami pierwszej półki (I) oraz\nczęściowe wypełnienie książkami drugiej półki (II).\nIle najwięcej książek Marta mogła zmieścić na drugiej półce (II) przy wskazanym\nsposobie ustawienia? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 7\nB. 8\nC. 10\nD. 11","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n3) dostrzega zależności między podanymi\ninformacjami.\nII. Działania na liczbach naturalnych.\nUczeń:\n3) mnoży i dzieli liczbę naturalną przez\nliczbę naturalną jednocyfrową lub\ndwucyfrową […].\nV. Działania na ułamkach zwykłych\ni dziesiętnych. Uczeń:\n2) […] mnoży i dzieli ułamki dziesiętne\nw pamięci […] lub pisemnie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nC\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.","solution":"Poprawnie, grzbiet książki ma szerokość $21:6=\\displaystyle\\small\\frac{7}{2}\\text{ cm}$. Zatem obliczmy ile książek zmieści się na drugiej półce w taki sposób, mamy $8\\cdot{\\displaystyle\\small\\frac{7}{2}}=28$. Zatem będzie to dokładnie $8$ książek.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"Zadania tekstowe","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 5. (0-1)\nUzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B\noraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nWyrażenie √81 -√49 jest równe .\nA. 2\nB. √32\nWyrażenie √144 + √25 jest równe .\nC. 13\nD. 17\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nII\n21 cm\n28 cm\nI\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2305","answer":"AD","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\n1. Wykonywanie nieskomplikowanych\nobliczeń w pamięci lub w działaniach\ntrudniejszych pisemnie oraz wykorzystanie\ntych umiejętności w sytuacjach\npraktycznych.\nVIII. Pierwiastki. Uczeń:\n1) oblicza wartości pierwiastków\nkwadratowych i sześciennych z liczb, które\nsą odpowiednio kwadratami lub\nsześcianami liczb wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nAD\nBC","solution":"1. Obliczamy pierwsze wyrażenie:\n$$\\sqrt{81} - \\sqrt{49}.$$\n2. Zapisujemy wartości pierwiastków:\n$$\\sqrt{81} = 9,\\sqrt{49} = 7.$$\n3. Podstawiamy wartości: $$9 - 7.$$\n4. Wykonujemy odejmowanie: $$9 - 7 = 2.$$\n5. Wyrażenie $\\sqrt{81} - \\sqrt{49}$ jest równe $2$, więc zaznaczamy odpowiedź A.\n6. Obliczamy drugie wyrażenie: $$\\sqrt{144} + \\sqrt{25}.$$\n7. Zapisujemy wartości pierwiastków: $$\\sqrt{144} = 12,\\sqrt{25} = 5.$$\n8. Podstawiamy wartości do wzoru: $$12 + 5.$$\n9. Wykonujemy dodawanie: $$12 + 5 = 17.$$\n10. Wyrażenie $\\sqrt{144} + \\sqrt{25}$ jest równe $17$, więc zaznaczamy odpowiedź D.\n**Odpowiedź:** AD","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"Pierwiastki","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 6. (0-1)\nW sadzie rosną drzewa owocowe: grusze i jabłonie. Liczba grusz jest o 40% większa od\nliczby jabłoni. Jabłoni jest o 50 mniej niż grusz.\nIle jabłoni rośnie w tym sadzie? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 20\nB. 30\nC. 70\nD. 125","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzenie prostego rozumowania,\npodawanie argumentów uzasadniających\npoprawność rozumowania, rozróżnianie\ndowodu od przykładu.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za\npomocą równań pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą, w tym\ntakże z obliczeniami procentowymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nD\nA","solution":"1. Niech $j$ oznacza liczbę jabłoni.\n2. Zapiszmy równanie dotyczące liczby grusz. Liczba grusz jest o $40\\%$ większa od liczby jabłoni, co można zapisać jako:\ngrusz jest: $j+40\\%j=j+0{,}4j=1{,}4 j$\n3. Zapiszmy drugą informację dotyczącą liczby jabłoni i grusz. Wiemy również, że jabłoni jest o 50 mniej niż grusz - czyli grusz jest o 50 więcej niż jabłoni.\ngrusz jest: $j+50$\n4. Zapiszmy równanie wiedząc, ile jest grusz z poprzednich rozważań:\n$$1{,}4j=j+50$$\n5. Rozwiążmy równanie:\n$$1{,}4j=j+50\\;\\;|-j$$\n$$0{,}4j=50\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;|\\cdot10$$\n$$4j=500\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;\\;|:4$$\n$$j=125$$\n6. To oznacza, że w sadzie rośnie $125$ jabłoni.\n**Odpowiedź:** 125","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 7. (0-1)\nUzupełnij poniższe zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B\noraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.\nIloraz 108\n58 jest równy .\nA. 58\nB. 28\nIloczyn 26 ∙253 jest równy .\nC. 509\nD. 106","answer":"BD","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nVII. Potęgi o podstawach wymiernych.\nUczeń:\n2) mnoży i dzieli potęgi o wykładnikach\ncałkowitych dodatnich;\n4) podnosi potęgę do potęgi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nBD\nAD","solution":"Skorzystajmy z własności potęgowania i uprośćmy zapis danej liczby: $\\frac{10^8}{5^8}=(\\frac{10}{5})^8=2^8$.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"Potęgi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 8. (0-1)\nLiczbę 𝑥 powiększono o 7, a następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie.\nLiczbę 𝑦 zwiększono 5-krotnie, a otrzymany wynik powiększono o 3.\nKtóra para wyrażeń algebraicznych poprawnie opisuje wykonane działania?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 4(𝑥+ 7) oraz 5𝑦+ 3\nB. 4𝑥+ 7 oraz 5𝑦+ 3\nC. 4(𝑥+ 7) oraz 5(𝑦+ 3)\nD. 4𝑥+ 7 oraz 5(𝑦+ 3)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Interpretowanie i tworzenie tekstów\no charakterze matematycznym oraz\ngraficzne przedstawianie danych.\nIX. Tworzenie wyrażeń algebraicznych\nz jedną i z wieloma zmiennymi. Uczeń:\n4) […] zapisuje zależności przedstawione\nw zadaniach w postaci wyrażeń\nalgebraicznych jednej lub kilku zmiennych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nD","solution":"1. Zaczynamy od pierwszej liczby, $x$. Powiększamy ją o $7$, co zapisujemy jako $x + 7$.\n\n2. Następnie, wynik $x + 7$ zwiększamy $4$-krotnie. Możemy to zapisać jako $4(x + 7)$.\n\n3. Teraz przechodzimy do drugiej liczby, $y$. Zwiększamy ją $5$-krotnie, co zapisujemy jako $5y$.\n\n4. Następnie do wyniku $5y$ dodajemy $3$, co zapisujemy jako $5y + 3$.\n\n5. Podsumowując, otrzymaliśmy dwa wyrażenia algebraiczne: $4(x + 7)$ oraz $5y + 3$.\n\n6. Sprawdzamy dostępne opcje, poprawną odpowiedzią jest A: $4(x + 7)$ oraz $5y + 3$.\n\n**Odpowiedź:** A","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"Wyrażenia algebraiczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 9. (0-1)\nPewien ostrosłup ma 16 wierzchołków.\nIle wierzchołków ma graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ten ostrosłup?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 17\nB. 30\nC. 32\nD. 45\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nA\nB\nC\nD\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2305","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nXIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n1) rozpoznaje graniastosłupy proste,\nostrosłupy (w tym proste i prawidłowe) […]\nw sytuacjach praktycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nC\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.","solution":"Rozwiązanie krok po kroku:\n\n1. Na początku, rozważmy, co oznacza, że ostrosłup ma $16$ wierzchołków. W przypadku ostrosłupa, liczba jego wierzchołków jest równa sumie liczby wierzchołków podstawy oraz $1$ wierzchołka na szczycie ostrosłupa.\n\n2. Obliczmy ile ma wierzchołków podstawa ostrosłupa: $16-1=15$.\n\n3. Teraz przystępujemy do obliczenia liczby wierzchołków graniastosłupa, który ma tę samą podstawę. Liczba wierzchołków graniastosłupa jest równa podwójnej liczbie wierzchołków podstawy, ponieważ graniastosłup ma dwie takie same podstawy.\n\n4. Zapisujemy $2\\cdot15=30$.\n\n5. Ostatecznie, graniastosłup o takiej samej podstawie, jaką ma ostrosłup, ma $30$ wierzchołków.\n\n**Odpowiedź:** B. 30","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy\nDworzec do punktu oznaczającego przystanek autobusowy Galeria jest równa 8 cm.\nPlan miasta został wykonany w skali 1 ∶4 000.\nNa podstawie: www.vividmaps.com\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOdległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa\nA. 320 m\nB. 500 m\nC. 3 200 m\nD. 5 000 m","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Odczytywanie i interpretowanie danych\nprzedstawionych w różnej formie oraz ich\nprzetwarzanie.\nVI. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n4) zamienia i prawidłowo stosuje jednostki\ndługości: […] centymetr, […] metr […];\n6) oblicza rzeczywistą długość odcinka, gdy\ndana jest jego długość w skali […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nA\nD","solution":"Poprawnie, obliczając odległość rzeczywistą wiemy, że $1\\text{ cm}$ na mapie odpowiada $4\\,000\\text{ cm}$ w rzeczywistości, czyli $40\\text{ m}$. Zatem $8\\cdot40=320\\text{ m}$.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"Skala","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"11","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 11. (0-1)\nZ urny, w której jest wyłącznie 18 kul białych i 12 kul czarnych, losujemy 1 kulę.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe 3\n5 .\nP\nF\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest mniejsze od 1\n3 .\nP\nF\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\nPrzystanek\nautobusowy\nDworzec\nPrzystanek\nautobusowy\nGaleria\n8 cm\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2305","answer":"P, F","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nXX. Wprowadzenie do kombinatoryki\ni rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń:\n2) przeprowadza proste doświadczenia\nlosowe, polegające na […] losowaniu np.\nkuli spośród zestawu kul, analizuje je\ni oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń\nw doświadczeniach losowych.\nIV. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń:\n12) porównuje ułamki (zwykłe […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nPF\nFP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"W urnie jest łącznie:\n\n18+12=30\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli białej:\n\n(18)/(30)=(3)/(5)\n\nPierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej:\n\n(12)/(30)=(2)/(5)\n\nPonieważ (2)/(5)>(1)/(3) , drugie zdanie jest fałszywe.\n\nOdpowiedź: P, F","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"Prawdopodobieństwo i kombinatoryka","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 12. (0-1)\nW prostokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐸 i 𝐹 są środkami boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 (zobacz rysunek).\nDługość odcinka 𝐸𝐶 jest równa 6 cm, a długość odcinka 𝐸𝐹 jest równa 10 cm.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 64 cm\nB. 56 cm\nC. 40 cm\nD. 28 cm","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nXVI. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n2) zna najważniejsze własności […],\nprostokąta […];\n6) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n4) oblicza obwód wielokąta o danych\ndługościach boków.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB\nC","solution":"Poprawnie, wiemy, że $|BC|=12\\text{ cm}$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CEF$ mamy $|CF|=8\\text{ cm}$, zatem $|CD|=16\\text{ cm}$. Stąd obwód to $Obw=2\\cdot12+2\\cdot16=24+32=56\\text{ cm}$.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"odrabiamy","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"13","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 13. (0-1)\nAgata na dużej kartce w kratkę narysowała figurę złożoną z 40 połączonych odcinków,\nktóre kolejno ponumerowała liczbami naturalnymi od 1 do 40.\nNa rysunku przedstawiono fragment tej figury, złożony z ośmiu początkowych odcinków.\nKolejne odcinki tej figury Agata narysowała według tej samej reguły, którą zastosowała do\nnarysowania odcinków 1-8.\nUwaga: wszystkie komórki kratki są takimi samymi kwadratami.\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nProste zawierające odcinki o numerach 1 oraz 7 są wzajemnie\nprostopadłe.\nP\nF\nProste zawierające odcinki o numerach 5 oraz 33 są wzajemnie\nrównoległe.\nP\nF\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n3\n4\n1\n2\n6\n7\n5\n8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2305","answer":"P, P","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Dostrzeganie regularności, podobieństw\noraz analogii i formułowanie wniosków na\nich podstawie.\nXIV. Proste i odcinki. Uczeń:\n2) rozpoznaje proste i odcinki prostopadłe\ni równoległe.\nII. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń:\n4) wykonuje dzielenie z resztą liczb\nnaturalnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nPP\nPP\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.","solution":"Ustawienia odcinków powtarzają się co 4 numery.\n\nDzielimy 33 przez 4:\n\n33:4=8 reszty 1\n\nReszta wynosi 1, więc odcinek 33 jest ustawiony tak samo jak odcinek 1, a także jak odcinek 5.\n\nMożna też przyjąć:\n\n8·4=32\n\nOznacza to osiem pełnych ustawień. Odcinek 33 rozpoczyna kolejny cykl, dlatego jest ustawiony tak samo jak odcinki 1 i 5.\n\nZatem proste zawierające odcinki 5 i 33 są równoległe.\n\nOdcinki 1 i 7 leżą na prostych o kierunkach różniących się o 90^° , więc te proste są prostopadłe.\n\nOdpowiedź: P, P","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":"Zadania tekstowe","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 14. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono trzy figury: kwadrat 𝐹1, kwadrat 𝐹2 i prostokąt 𝐹3, oraz podano\nich wymiary.\nCzy z figur 𝑭𝟏, 𝑭𝟐, 𝑭𝟑 można ułożyć, bez rozcinania tych figur, kwadrat 𝑲 o polu 𝟒𝟗 𝐜𝐦𝟐?\nWybierz odpowiedź A albo B i jej uzasadnienie spośród 1., 2. albo 3.\nA.\nTak,\nponieważ\n1.\nsuma obwodów figur 𝐹2 i 𝐹3 jest równa obwodowi\nkwadratu 𝐾.\n2.\nsuma pól figur 𝐹1, 𝐹2 i 𝐹3 jest równa 49 cm2.\nB.\nNie,\n3.\nsuma długości dowolnych boków figur 𝐹1, 𝐹2 i 𝐹3\nnie jest równa 7 cm.","answer":"B3","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzenie prostego rozumowania,\npodawanie argumentów uzasadniających\npoprawność rozumowania, rozróżnianie\ndowodu od przykładu.\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n5) stosuje wzory na pole […] kwadratu […],\nprzedstawionych na rysunku […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nB3\nB2","solution":"Kwadrat K o polu 49 cm^2 ma bok długości:\n\n√(49)=7 cm\n\nBoki danych figur mają długości 5 cm i 3 cm. Żadna suma długości boków tych figur nie daje 7 cm, więc nie można z nich ułożyć boku kwadratu długości 7 cm bez rozcinania figur.\n\nOdpowiedź: B3","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"15","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 15. (0-1)\nW czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 boki 𝐴𝐵, 𝐶𝐷 i 𝐷𝐴 mają równe długości, a kąt 𝐵𝐶𝐷 ma miarę 131.\nPrzekątna 𝐴𝐶 dzieli ten czworokąt na trójkąt równoboczny i na trójkąt równoramienny\n(zobacz rysunek).\nOceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F -\njeśli jest fałszywe.\nKąt 𝐴𝐵𝐶 ma miarę 60.\nP\nF\nKąt 𝐷𝐴𝐵 ma miarę 98.\nP\nF\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n131\nPRZENIEŚ ROZWIĄZANIA ZADAŃ NA KARTĘ ODPOWIEDZI!\n𝐹2\n3 cm\n3 cm\n𝐹1\n5 cm\n5 cm\n𝐹3\n3 cm\n5 cm\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)\nOMAP-100-2305","answer":"F, P","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n7) oblicza miary kątów, stosując przy tym\npoznane własności kątów i wielokątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie - wersja X\nRozwiązanie - wersja Y\nFP\nFP\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne\nAkceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne, spełniające warunki\nzadania.\nZa rozwiązanie zadania na danym etapie uczeń może otrzymać punkty tylko wtedy, gdy\nprzedstawia poprawne sposoby rozwiązania na wszystkich wcześniejszych etapach.\nJeżeli na dowolnym etapie rozwiązania zadania uczeń popełnia jeden lub więcej błędów\nrachunkowych (albo błąd przepisania wartości poprawnie zidentyfikowanej danej albo\nwartości z wcześniejszych etapów rozwiązania), ale stosuje poprawne sposoby\nrozwiązania i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie zadania do końca, to ocenę\nrozwiązania obniża się o 1 punkt.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych ze sobą\nrozwiązań i nie wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to może uzyskać\npunkty tylko za wcześniejsze poprawne etapy rozwiązania.\nJeżeli na pewnym etapie rozwiązania zadania uczeń podaje kilka sprzecznych ze sobą\nrozwiązań i wskazuje, które z nich należy uznać za poprawne, to zapisów w innych\nrozwiązaniach nie bierze się pod uwagę w ocenianiu.\nJeżeli w zadaniach 16., 17., 18. i 19. uczeń podaje tylko poprawny końcowy wynik, to\notrzymuje 0 punktów.\nW pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych zasad oceniania dopuszcza się:\n1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6-9)\n2. gubienie liter, cyfr, nawiasów\n3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych\n4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe)\n5. luki w zapisie obliczeń - obliczenia pamięciowe\n6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu\nniewiadomych\n7. niekończenie wyrazów\n8. problemy z zapisywaniem jednostek (np.℃ - OC)\n9. błędy w przepisywaniu\n10. chaotyczny zapis operacji matematycznych\n11. mylenie indeksów górnych i dolnych (np. 𝑥2 - 𝑥2, 𝑚2 - 𝑚2).\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.","solution":"Trójkąt ACD jest równoboczny, więc:\n\n∠ ACD=60^°\n\nZatem:\n\n∠ ACB=131^°-60^°=71^°\n\nW trójkącie ABC mamy AB=AC , więc kąty przy podstawie są równe:\n\n∠ ABC=∠ ACB=71^°\n\nPierwsze zdanie jest fałszywe.\n\nKąt przy wierzchołku A w trójkącie ABC :\n\n∠ CAB=180^°-2·71^°=38^°\n\nStąd:\n\n∠ DAB=60^°+38^°=98^°\n\nDrugie zdanie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"Własności kątów","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"16","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 16. (0-2)\nCena biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny biletu do kina. Za 4 bilety do teatru\ni 5 biletów do kina zapłacono łącznie 400 zł.\nOblicz cenę jednego biletu do teatru. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2305","answer":"80 zł","answer_text":"Zadanie 16. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nXII. Równania z jedną niewiadomą. Uczeń:\n4) rozwiązuje zadania tekstowe za pomocą\nrównań pierwszego stopnia z jedną\nniewiadomą […].\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje\npoznaną wiedzę z zakresu arytmetyki\n[…] oraz nabyte umiejętności\nrachunkowe, a także własne poprawne\nmetody.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia ceny jednego biletu do teatru (tzn. zapisanie odpowiednich\nrównań lub wyrażeń arytmetycznych), prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy (80 zł)\nLUB\nzastosowanie metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków zadania dla co\nnajmniej jednej ceny biletu do teatru z uwzględnieniem kwoty 80 zł, prawidłowe\nobliczenia oraz podanie prawidłowej ceny jednego biletu do teatru (80 zł).\n1 punkt\nzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny\njednego biletu do teatru, np. 4𝑥+ 5(𝑥-64) = 400\nLUB\nzapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia ceny\njednego biletu do kina, np. 4(𝑥+ 64) + 5𝑥= 400,\nLUB\nzapisanie poprawnych równań prowadzących do obliczenia ceny jednego biletu do\nteatru i ceny jednego biletu do kina, np. 4𝑡+ 5𝑘= 400 oraz 𝑡= 𝑘+ 64,\nLUB\nzapisanie poprawnego wyrażenia lub wyrażeń arytmetycznych prowadzących do\nobliczenia ceny jednego biletu do teatru, np. (400 + 5 ∙64) ∶9,\nLUB\nzapisanie poprawnego wyrażenia lub wyrażeń arytmetycznych prowadzących do\nobliczenia ceny jednego biletu do kina, np. (400 -4 ∙64) ∶9,\nLUB\nzastosowanie niepełnej metody prób i błędów - sprawdzenie wszystkich warunków\nzadania dla co najmniej dwóch różnych cen biletu do teatru bez uwzględnienia kwoty\n80 zł oraz prawidłowe obliczenia,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLUB\nzastosowanie niepełnej metody prób i błędów - zapisanie kosztu zakupu biletów do kina\n(80 zł) oraz kosztu zakupu biletów do teatru (320 zł) przy ustalonej cenie jednego biletu\ndo kina (16 zł) i ustalonej cenie jednego biletu do teatru (80 zł).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nOznaczymy cenę jednego biletu do teatru jako 𝑥.\nCena jednego biletu do kina jest o 64 zł mniejsza od ceny jednego biletu do teatru, zatem\noznaczymy ją jako 𝑥-64.\nZa 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina zapłacono 400 zł.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie uwzględniające powyższe warunki:\n4𝑥+ 5(𝑥-64) = 400\n4𝑥+ 5𝑥-320 = 400\n4𝑥+ 5𝑥= 400 + 320\n9𝑥= 720\n𝑥= 80\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nII sposób\nOznaczymy cenę jednego biletu do kina jako 𝑥.\nCena jednego biletu do teatru jest o 64 zł większa od ceny jednego biletu do kina, zatem\noznaczymy ją jako 𝑥+ 64.\nZapiszemy i rozwiążemy równanie uwzględniające warunki zadania:\n4(𝑥+ 64) + 5𝑥= 400\n4𝑥+ 5𝑥= 400 -256\n9𝑥= 144\n𝑥= 16\n16 zł + 64 zł = 80 zł\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nIII sposób\nObliczymy, ile kosztowałoby 9 biletów do teatru.\nZamiast 5 biletów do kina, kupujemy 5 biletów do teatru. Za każdy z tych biletów do teatru\npłacimy o 64 zł więcej niż za każdy z biletów do kina, zatem łącznie płacimy o 320 zł więcej\nniż za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina:\n5 ∙64 = 320\nZatem łączny koszt zakupu 9 biletów do teatru byłby równy:\n400 + 320 = 720\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.\nObliczymy cenę jednego biletu do teatru:\n720 ∶9 = 80\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nIV sposób\nObliczymy, ile kosztowałoby 9 biletów do kina.\nZamiast 4 biletów do teatru, kupujemy 4 bilety do kina. Za każdy z tych biletów do kina\npłacimy o 64 zł mniej niż za każdy z biletów do teatru, zatem łącznie płacimy o 256 zł mniej\nniż za 4 bilety do teatru i 5 biletów do kina:\n4 ∙64 = 256\nZatem łączny koszt zakupu 9 biletów do kina byłby równy:\n400 -256 = 144\nObliczymy cenę jednego biletu do kina:\n144 ∶9 = 16\nObliczymy cenę jednego biletu do teatru:\n16 + 64 = 80\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nV sposób\nMetoda prób i błędów:\nŁączny koszt zakupu biletów, gdy cena biletu do teatru jest o 64 zł\nwiększa od ceny biletu do kina\n1 bilet do teatru\n100\n90\n80\n70\n1 bilet do kina\n36\n26\n16\n6\n4 bilety do teatru\n400\n360\n320\n280\n5 biletów do kina\n180\n130\n80\n30\nRazem\n580\n490\n400\n310\nWniosek\n580 > 400\n(za dużo)\n490 > 400\n(za dużo)\n400 = 400\n(dobrze)\n310 < 400\n(za mało)\nOdpowiedź: Cena jednego biletu do teatru jest równa 80 zł.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Oznaczmy cenę biletu do kina przez x zł. Bilet do teatru kosztuje x+64 zł.\n\n4(x+64)+5x=400\n\n4x+256+5x=400\n\n9x=144, x=16\n\nCena biletu do teatru:\n\n16+64=80 zł\n\nOdpowiedź: 80 zł.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 17. (0-2)\nPociąg przebył ze stałą prędkością drogę 700 metrów w czasie 50 sekund.\nPrzy zachowaniu tej samej, stałej prędkości ten sam pociąg drogę równą jego długości przebył\nw czasie 15 sekund.\nOblicz długość tego pociągu. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2305","answer":"210 m","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego do\nprostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także w kontekście\npraktycznym.\nVI. Obliczenia praktyczne. Uczeń:\n4) […] prawidłowo stosuje jednostki\ndługości […];\n7) w sytuacji praktycznej oblicza: drogę przy\ndanej prędkości i danym czasie, prędkość\nprzy danej drodze i danym czasie […] oraz\nstosuje jednostki prędkości […] m/s.\nXIII. Proporcjonalność prosta. Uczeń:\n2) wyznacza wartość przyjmowaną przez\nwielkość wprost proporcjonalną\nw przypadku konkretnej zależności\nproporcjonalnej […].\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia długości pociągu, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy zgodny z zastosowaną jednostką długości (np. 210 m).\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia prędkości z jaką jechał pociąg, czyli zastosowanie\npoprawnego związku między prędkością a drogą całkowitą i czasem, np. zapisanie\nv = 700 m\n50 s (lub zapisy równoważne)\noraz poprawny sposób obliczenia drogi przebytej przez ten pociąg w czasie 15 s, np.\nzapisanie\n𝑠= 700 m\n50 s ∙15 s\nLUB\npoprawny sposób obliczenia długości pociągu, czyli zastosowanie poprawnego związku\nmiędzy drogami przebytymi w czasie 15 s oraz w czasie 50 s, z zastosowaniem własności\nwielkości wprost proporcjonalnych, np. zapisanie\n𝑥\n15 = 700\n50 (lub zapisy równoważne).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.\nUwaga\nBłąd w zamianie jednostek lub zapisanie niewłaściwej jednostki w wyniku końcowym traktuje\nsię jako błąd rachunkowy.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy prędkość z jaką pociąg przejeżdża 700 m w czasie 50 s.\nSkorzystamy ze wzoru na prędkość, gdy jest ona stała:\nv = 𝑠\n𝑡, gdzie:\nv -prędkość\n𝑠= 700 m -droga\n𝑡= 50 s -czas\nv = 700 m\n50 s = 14 m\ns\nObliczymy drogę, którą pociąg przejedzie z tą prędkością w czasie 15 s:\n𝑠= 14 m\ns ∙15 s = 210 m\nOdpowiedź: Pociąg ma długość 210 m.\nII sposób\nPociąg przejeżdża drogę o długości 700 m w czasie 50 s.\nW czasie 15 sekund pociąg przejeżdża drogę, która jest równa jego długości.\nGdy prędkość w ruchu jest stała, to droga jest wprost proporcjonalna do czasu.\nSkorzystamy z zależności wielkości wprost proporcjonalnych:\n50 s -700 m\n15 s -𝑥 m\n𝑥= 15 ∙700\n50\n= 210\nOdpowiedź: Pociąg ma długość 210 m.\nIII sposób\nGdy prędkość w ruchu jest stała, to droga jest wprost proporcjonalna do czasu.\nSkorzystamy z zależności wielkości wprost proporcjonalnych:\n700 m -50 s /: 10\n70 m -5 s /∙3\n210 m -15 s\nOdpowiedź: Pociąg ma długość 210 m.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Zaczynamy od obliczenia prędkości pociągu. Prędkość $v$ można obliczyć ze wzoru:\n$$v = \\frac{s}{t}$$\ngdzie $s$ to droga, a $t$ to czas. W naszym przypadku \\(s = 700 \\, \\text{m}\\) a \\(t = 50 \\, \\text{s}\\$.\n\n2. Podstawiamy wartości do wzoru:\n$$v = \\frac{700}{50}$$\n\n3. Obliczamy prędkość:\n$$v = 14 \\, \\text{m/s}$$\n\n4. Teraz wiemy, że podczas pokonywania drogi równej długości pociągu, pociąg przebył ją w czasie 15 sekund. Oznacza to, że długość pociągu \\(L\\) możemy również obliczyć z tego wzoru:\n$$L = v \\cdot t$$\ngdzie teraz \\(t = 15 \\, \\text{s}\\) i \\(v = 14 \\, \\text{m/s}\\).\n\n5. Podstawiamy wartości do wzoru:\n$$L = 14 \\cdot 15$$\n\n6. Obliczamy długość pociągu:\n$$L = 210 \\, \\text{m}$$\n\n**Odpowiedź:** Długość pociągu wynosi 210 m.","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Droga, prędkość, czas","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"18","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 18. (0-3)\nW czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 o polu 48 cm2 przekątna 𝐴𝐶 ma długość 8 cm i dzieli ten\nczworokąt na dwa trójkąty: 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷\npoprowadzona z wierzchołka 𝐷 do prostej 𝐴𝐶 jest równa 2 cm.\nOblicz wysokość trójkąta 𝑨𝑩𝑪 poprowadzoną z wierzchołka 𝑩 do prostej 𝑨𝑪.\nZapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐶\nOMAP-100-2305","answer":"10 cm","answer_text":"Zadanie 18. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych, interpretowanie\npojęć matematycznych i operowanie\nobiektami matematycznymi.\nXVII. Wielokąty. Uczeń:\n5) stosuje wzory na pole trójkąta […]\nprzedstawionych na rysunku […], a także\ndo wyznaczania długości odcinków […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶, prawidłowe obliczenia oraz\nprawidłowy wynik liczbowy (10 cm).\n2 punkty\nzapisanie, że pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie pól trójkątów 𝐴𝐶𝐷 i 𝐴𝐵𝐶\noraz zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, oraz zastosowanie wzoru na pole\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zgodnie z oznaczeniami i danymi), np. zapisanie:\n48 = 1\n2 ∙8 ∙2 + 1\n2 ∙8 ∙ℎ𝐵 lub 48 = 8 + 4ℎ𝐵 (lub zapisy równoważne)\nalbo\n48 = 𝑃𝐴𝐶𝐷 + 𝑃𝐴𝐵𝐶 oraz 𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ∙2 ⋅8 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ∙8 ∙ℎ𝐵\nLUB\nzapisanie, że pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe różnicy pól czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 i trójkąta\n𝐴𝐶𝐷 oraz zastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, oraz zastosowanie wzoru na\npole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (zgodnie z oznaczeniami i danymi), np. zapisanie:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 48 -1\n2 ∙8 ∙2 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅8 ⋅ℎ𝐵 (lub zapisy równoważne)\nalbo\n1\n2 ⋅8 ⋅ℎ𝐵= 48 -1\n2 ∙8 ∙2 (lub zapisy równoważne),\nLUB\nzastosowanie wzoru na pole czworokąta jako połowy iloczynu długości wspólnej\npodstawy 𝐴𝐶 trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 i sumy wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 poprowadzonych\nz wierzchołków 𝐵 i 𝐷 tych trójkątów oraz zastosowanie poprawnego sposobu\nobliczenia wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶, np. zapisanie\n48 = 1\n2 |𝐴𝐶| ⋅𝑥 oraz ℎ𝐵= 𝑥-2 ,\ngdzie 𝑥 jest sumą wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 (𝑥 nie jest równe długości przekątnej 𝐵𝐷).\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐶𝐷, np. zapisanie\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅2 ⋅8\nLUB\nzastosowanie wzoru na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 z poprawnie podstawioną daną, np.\nzapisanie\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ∙8 ∙ℎ𝐵 (lub zapisy równoważne),\nLUB\nzastosowanie wzoru na pole czworokąta jako połowy iloczynu długości wspólnej\npodstawy 𝐴𝐶 trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐶𝐷 i sumy wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 poprowadzonych\nz wierzchołków 𝐵 i 𝐷 tych trójkątów, np. zapisanie\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 |𝐴𝐶| ⋅𝑥 ,\ngdzie 𝑥 jest sumą wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷 (𝑥 nie jest równe długości przekątnej 𝐵𝐷).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.\nUwagi\n1. Jeżeli uczeń rozważa szczególny czworokąt, w którym przekątne przecinają się pod\nkątem prostym (tzn. długość przekątnej 𝐵𝐷 jest równa sumie długości wysokości ℎ𝐵, ℎ𝐷\npoprowadzonych z wierzchołków 𝐵 i 𝐷 trójkątów 𝐴𝐵𝐶 oraz 𝐴𝐶𝐷) i konsekwentnie do\ntego założenia doprowadza rozwiązanie do końca bez błędów rachunkowych, to\notrzymuje 2 punkty.\n2. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze np. linijką.\n3. Nie ocenia się stosowania jednostki.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie pól dwóch trójkątów: 𝐴𝐵𝐶 oraz 𝐴𝐶𝐷.\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐶+ 𝑃𝐴𝐶𝐷\nZatem korzystając ze wzoru na pole trójkąta (dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz trójkąta 𝐴𝐶𝐷), możemy\nobliczyć wysokość ℎ𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐵:\n48 = 1\n2 ∙8 ∙2 + 1\n2 ∙8 ∙ℎ𝐵\n48 = 8 + 4ℎ𝐵\nℎ𝐵= 40\n4 = 10\nOdpowiedź: Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 jest równa 10 cm.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest różnicą pól czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 i trójkąta 𝐴𝐶𝐷.\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-𝑃𝐴𝐶𝐷\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷, korzystając ze wzoru na jego pole:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ∙|𝐴𝐶| ∙ℎ𝐷, gdzie:\n𝑃𝐴𝐶𝐷-pole trójkąta ACD\n|𝐴𝐶| = 8 cm -długość boku trójkąta ACD\nℎ𝐷= 2 cm -wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 do boku 𝐴𝐶\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ∙8 cm ∙2 cm = 8 cm2\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 48 cm2 -8 cm2 = 40 cm2\nObliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶, korzystając ze wzoru na jego pole:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ∙8 ∙ℎ𝐵\ngdzie ℎ𝐵 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐵, zatem:\nℎ𝐵= 40 cm2\n8\n2 cm\n= 40 cm\n4\n= 10 cm\nOdpowiedź: Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 jest równa 10 cm.\nIII sposób\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe sumie pól dwóch trójkątów: 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶.\nZapiszemy wzór na pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 |𝐴𝐶| ⋅ℎ𝐷+ 1\n2 |𝐴𝐶| ⋅ℎ𝐵= 1\n2 |𝐴𝐶|(ℎ𝐷+ ℎ𝐵)\ngdzie ℎ𝐷 i ℎ𝐵 są odpowiednio wysokościami trójkątów 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonymi\nodpowiednio z wierzchołków 𝐷 i 𝐵. Do powyższego wzoru podstawimy dane liczbowe oraz\nzastosujemy oznaczenie 𝑥 na sumę tych wysokości:\n48 = 1\n2 ⋅8 ⋅𝑥 , gdzie 𝑥= ℎ𝐷+ ℎ𝐵\nObliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑥= 12\nℎ𝐵= 𝑥-ℎ𝐷\nℎ𝐵= 12 -2 = 10\nOdpowiedź: Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 jest równa 10 cm.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.","solution":"Pole trójkąta ACD :\n\nP_ACD=(1)/(2)·8·2=8 cm^2\n\nPole trójkąta ABC :\n\nP_ABC=48-8=40 cm^2\n\nOznaczmy szukaną wysokość przez h :\n\n(1)/(2)·8· h=40\n\n4h=40, h=10 cm\n\nOdpowiedź: 10 cm .","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"},{"id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2023,"month":null,"level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)\nZ pięciu prostopadłościennych klocków o jednakowych wymiarach ułożono figurę. Kształt\ni wybrane wymiary tej figury przedstawiono na rysunku.\nOblicz objętość jednego klocka. Zapisz obliczenia.\n20,5 cm\n5 cm\n23 cm\nOMAP-100-2305\nBrudnopis (nie podlega ocenie)","answer":"225 cm^3","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej z treści\nzadania, tworzenie strategii rozwiązania\nproblemu, również w rozwiązaniach\nwieloetapowych oraz takich, które\nwymagają umiejętności łączenia wiedzy\nz różnych działów matematyki.\nXIX. Geometria przestrzenna. Uczeń:\n4) oblicza objętość […] prostopadłościanu\nprzy danych długościach krawędzi.\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia objętości prostopadłościennego klocka, prawidłowe obliczenia\noraz prawidłowy wynik liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką objętości (225 cm3).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia długości dwóch krawędzi prostopadłościennego klocka\noraz poprawny sposób obliczenia objętości prostopadłościennego klocka (zgodnie\nz przyjętymi oznaczeniami lub otrzymanymi wartościami liczbowymi), np. zapisanie:\n𝑥+ 20,5 = 23 oraz 𝑦= 20,5 - 𝑥 oraz 𝑉= 5 ∙𝑥∙𝑦 (lub zapisy równoważne)\nalbo\n𝑥= 23 -20,5 oraz 𝑦= 23 - 2𝑥 oraz 𝑉= 5 ∙𝑃𝑃 oraz 𝑃𝑃= 𝑥⋅𝑦\n(lub zapisy równoważne)\nLUB\nustalenie (np. zapisanie na rysunku) prawidłowych długości dwóch krawędzi\nprostopadłościennego klocka (2,5 cm i 18 cm) bez zapisania poprawnego sposobu ich\nobliczenia oraz poprawny sposób obliczenia objętości prostopadłościennego klocka\n(zgodnie z ustalonymi wartościami liczbowymi lub przyjętymi oznaczeniami), np.\nzapisanie:\n𝑉= 5 ∙2,5 ∙18\nalbo\n𝑉= 5 ∙𝑥∙𝑦 , gdzie 𝑥= 2,5 oraz 𝑦= 18\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia długości najkrótszej krawędzi prostopadłościennego klocka,\nnp. zapisanie\n23 cm - 20,5 cm\nLUB\nzapisanie dwóch zależności między długościami dwóch krawędzi prostopadłościennego\nklocka wynikających z warunków zadania, np.:\n𝑥+ 𝑦= 20,5 oraz 𝑥+ 𝑥+ 𝑦= 23 (lub zapisy równoważne),\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nustalenie (np. zapisanie na rysunku) poprawnych długości krawędzi\nprostopadłościennego klocka (2,5 cm i 18 cm) bez zapisania sposobu ich obliczenia,\nLUB\nzapisanie równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia długości jednej\nkrawędzi prostopadłościennego klocka, np.\n20,5 + 𝑥 = 23 (lub zapisy równoważne),\nLUB\nzapisanie poprawnego wzoru na objętość prostopadłościennego klocka oraz uwzględnienie\nzwiązku między długościami krawędzi, np.:\n𝑉= 5 ∙𝑥∙(20,5 -𝑥) (lub zapisy równoważne)\nalbo\n𝑉= 5 ∙𝑥∙𝑦 oraz 𝑦= 20,5 -𝑥\nalbo\n𝑉= 5 ∙𝑥∙𝑦 oraz 𝑦+ 2𝑥= 23\n0 punktów\nrozwiązanie błędne lub brak rozwiązania.\nUwagi\n1. a) Jeżeli uczeń ustali nieprawidłowe długości dwóch krawędzi (np. zapisze na rysunku)\nbez zapisania sposobu obliczenia każdej z nich, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów;\nb) Jeżeli uczeń ustali nieprawidłową długość jednej krawędzi bez zapisania sposobu jej\nobliczenia, a długość drugiej krawędzi konsekwentnie obliczy korzystając z jednej\nz zależności wynikającej z warunków zadania, to może otrzymać 1 punkt (na mocy\nostatniego warunku za 1 punkt: zapisanie poprawnego wzoru na objętość\nprostopadłościennego klocka oraz uwzględnienie związku między długościami krawędzi).\n2. Nie akceptuje się rozwiązań zadania opartych na pomiarze np. linijką.\n3. Poprawność stosowania jednostek ocenia się tylko w wyniku końcowym.\n4. Zapisanie niewłaściwej jednostki objętości lub brak jednostki objętości w wyniku\nkońcowym traktuje się jako błąd rachunkowy.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nObliczymy długość najkrótszej krawędzi prostopadłościennego klocka:\n23 cm -20,5 cm = 2,5 cm\nObliczymy długość najdłuższej krawędzi klocka:\n20,5 cm -2,5 cm = 18 cm\nObliczymy objętość klocka:\n𝑉= 5 cm ∙2,5 cm ∙18 cm = 225 cm3\nOdpowiedź: Objętość prostopadłościennego klocka jest równa 225 cm3.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin główny 2023 r.\nII sposób\nOznaczymy długość jednej (najkrótszej) krawędzi prostopadłościennego klocka jako 𝑥,\na drugiej (najdłuższej) jako 𝑦.\nZapiszemy zależności pomiędzy długościami tych krawędzi:\n𝑥+ 𝑦= 20,5\n𝑥+ 𝑥+ 𝑦= 23\nW miejsce 𝑥+ 𝑦 w drugim równaniu podstawimy 20,5. Następnie obliczymy 𝑥:\n𝑥+ 20,5 = 23\n𝑥= 2,5\nObliczymy długość 𝑦 drugiej krawędzi prostopadłościennego klocka:\n𝑦= 20,5 -𝑥= 20,5 -2,5 = 18\nObliczymy objętość klocka:\n𝑉= 5 cm ∙2,5 cm ∙18 cm = 225 cm3\nOdpowiedź: Objętość prostopadłościennego klocka jest równa 225 cm3.\nIII sposób\nOznaczymy długość jednej z krawędzi prostopadłościennego klocka jako 𝑥.\nDługość drugiej krawędzi prostopadłościennego klocka oznaczymy jako 20,5 -𝑥.\n𝑥\n20,5 cm\n𝑦\n20,5 cm\n5 cm\n23 cm\n20,5 cm\n5 cm\n23 cm\n𝑥\n20,5 -𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZapiszemy równanie:\n2𝑥+ 20,5 - 𝑥= 23\n𝑥= 2,5\n20,5 - 2,5 = 18\nObliczymy objętość klocka:\n𝑉= 5 cm ∙ 2,5 cm ∙ 18 cm = 225 cm3\nOdpowiedź: Objętość prostopadłościennego klocka jest równa 225 cm3.","solution":"Wysokość klocka wynosi 5 cm.\n\nKlocek wystaje poza drugi klocek o:\n\n23-20 , 5=2 , 5 cm\n\nSzerokość klocka wynosi 2 , 5 cm.\n\nDługość klocka:\n\n20 , 5-2 , 5=18 cm\n\nObjętość jednego klocka:\n\nV=18·2 , 5·5=225 cm^3\n\nOdpowiedź: 225 cm^3 .","image":"img/matematyka-2023-egzamin-osmoklasisty/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Stereometria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · 2023","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty"}]}