{"paper":{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":36,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (3-2,4 ⋅3\n2\n5 )\n1\n2\njest równa\nA. √3\nB.\n√3\n3\nC. 1\n3\nD. 0,3\nLiczba (3^-2,4⋅3^2/5)^1/2 jest równa A. √3 B. √3/3 C. 1/3 D. 0,3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…] potęgowanie\n[…]) w zbiorze liczb rzeczywistych;\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Zapisujemy liczby jako potęgi liczby 3 :\n\n(3^ -2 , 4 · 3^(2)/(5) )^(1)/(2)\n\nPonieważ -2 , 4=-(12)/(5) , otrzymujemy:\n\n3^-(12)/(5)· 3^(2)/(5)=3^-(10)/(5)=3^-2.\n\nNastępnie:\n\n(3^-2 )^(1)/(2)=3^-1=(1)/(3).\n\nOdpowiedź: C. (1)/(3)","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log2 96 -log2 3 jest równa\nA. log2 93\nB. log2 30\nC. 4\nD. 5\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_2 96 - log_2 3 jest równa A. log_2 93 B. log_2 30 C. 4 & D. 5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm […] ilorazu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Obliczamy wartość wyrażenia:\n\nlog_2 96-log_2 3\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:\n\nlog_a x-log_a y=log_a ((x)/(y) )\n\nZatem:\n\nlog_2 96-log_2 3\nlog_2 ((96)/(3) )\nlog_2 32\n\nPonieważ 32=2^5 , mamy:\n\nlog_2 32=log_2 2^5=5\n\nOdpowiedź: D. 5","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nPan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym\nokresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego\nbanku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa\nA. 4300 zł\nB. 4400 zł\nC. 4500 zł\nD. 4600 zł\nPan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 5% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę 4851 zł (bez uwzględnienia podatków). Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa A. 4300 zł B. 4400 zł C. 4500 zł D. 4600 zł","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych z kapitalizacją\nroczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"K·1 , 05^2=4851, K=frac 4851 1 , 1025 =4400.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Procenty, ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nNa osi liczbowej zaznaczono przedział.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\nA. |𝑥-2| < 5\nB. |𝑥-2| > 5\nC. |𝑥-5| < 2\nD. |𝑥-5| > 2\n-3\n7\n𝑥\n\nMMAP-P0_100\nNa osi liczbowej zaznaczono przedział. [rysunek] Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności A. |x-2|<5 B. |x-2|>5 C. |x-5|<2 D. |x-5|>2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania i nierówności typu: […]\n|𝑥-2| < 3 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Zaznaczony przedział to (-3,7) . Jego środkiem jest 2 , a promieniem 5 , zatem\n|x-2|<5.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej 𝒏 liczba 𝟑𝒏𝟐+ 𝟒𝒏+ 𝟏 jest\npodzielna przez 𝟒.\n5.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej n liczba 3n^2+4n+1 jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1 oraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do\npostaci 4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2) oraz zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma\n3𝑙2 + 5𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą\nALBO\n- stwierdzenie, że składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4, oraz założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1\noraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 1 do postaci 4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1) i zapisanie,\nże 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma 3𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą całkowitą,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) oraz\nstwierdzenie, że wyrażenie (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) jest iloczynem dwóch liczb parzystych,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛)\noraz stwierdzenie, że wyrażenie 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛) jest sumą dwóch\nliczb podzielnych przez 4,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2\noraz stwierdzenie, że wyrażenie 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2 jest sumą dwóch liczb\npodzielnych przez 4,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 1, tj. przekształcenie wyrażenia\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą\nlub, że suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy\n𝑛= 4𝑙+ 3, tj. przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci\n4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą lub, że suma\n12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą.\n1 pkt - założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1 oraz zapisanie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci\n3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 4(2𝑙+ 1) + 1\nALBO\n- stwierdzenie, że składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4, oraz założenie, że 𝑛= 2𝑙+ 1\noraz przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 1 do postaci 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 1,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1),\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛),\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 2(𝑛2 + 𝑛) + (𝑛+ 1)2,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 1, tj. przekształcenie wyrażenia\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą całkowitą\nlub, że suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 4𝑙+ 3, tj. przekształcenie wyrażenia\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 do postaci 4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) i zapisanie, że 𝑙 jest liczbą\ncałkowitą lub, że suma 12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta, więc zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWówczas badana liczba ma postać\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(2𝑙+ 1)2 + 4(2𝑙+ 1) + 1 = 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 8𝑙+ 4 + 1\n= 12𝑙2 + 12𝑙+ 3 + 8𝑙+ 5 = 12𝑙2 + 20𝑙+ 8 = 4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc również 3𝑙2 + 5𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(3𝑙2 + 5𝑙+ 2) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.\nSposób II\nLiczba 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 jest sumą trzech składników. Składnik 4𝑛 jest podzielny przez 4\ndla dowolnej liczby całkowitej 𝑛. Wystarczy zatem udowodnić, że liczba 3𝑛2 + 1 jest\npodzielna przez 4 dla dowolnej nieparzystej liczby 𝑛. Ponieważ liczba 𝑛 jest nieparzysta,\nwięc zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas liczba 3𝑛2 + 1 ma\npostać\n3𝑛2 + 1 = 3(2𝑙+ 1)2 + 1 = 3(4𝑙2 + 4𝑙+ 1) + 1 = 12𝑙2 + 12𝑙+ 3 + 1\n= 12𝑙2 + 12𝑙+ 4 = 4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc również 3𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(3𝑙2 + 3𝑙+ 1) jest podzielny przez 4. To należało wykazać.\nSposób III\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 oraz jego pierwiastki\nΔ = 42 -4 ∙3 ∙1 = 16 -12 = 4\n𝑛1 = -4 + 2\n6\n= -2\n6 = -1\n3\n𝑛2 = -4 -2\n6\n= -6\n6 = -1\nNastępnie zapisujemy liczbę 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci iloczynu\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3 (𝑛+ 1\n3) (𝑛+ 1) = (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1)\nLiczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczby 3𝑛+ 1 oraz 𝑛+ 1 są parzyste (suma dwóch liczb\nnieparzystych). Stąd iloczyn (3𝑛+ 1)(𝑛+ 1) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅2, czyli przez\n4. To należało wykazać.\nSposób IV\nZapisujemy liczbę 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 w postaci sumy dwóch liczb podzielnych przez 4\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 4𝑛2 -𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -𝑛2 = 4(𝑛2 + 𝑛) + (1 -𝑛)(1 + 𝑛)\nLiczba 4(𝑛2 + 𝑛) jest podzielna przez 4 dla dowolnej liczby całkowitej 𝑛.\nLiczba 𝑛 jest nieparzysta, zatem liczby 1 -𝑛 oraz 1 + 𝑛 są parzyste (różnica oraz suma\ndwóch liczb nieparzystych). Stąd iloczyn (1 -𝑛)(1 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅2,\nczyli przez 4. Zatem liczba 3𝑛2 + 4𝑛+ 1 jest podzielna prze 4 jako suma dwóch liczb\npodzielnych przez 4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób V\nRozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1,\noraz gdy 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3.\nJeśli 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1, to możemy ją zapisać\nw postaci 𝑛= 4𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas badana liczba ma postać\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(4𝑙+ 1)2 + 4(4𝑙+ 1) + 1 = 3(16𝑙2 + 8𝑙+ 1) + 16𝑙+ 4 + 1\n= 48𝑙2 + 24𝑙+ 3 + 16𝑙+ 5 = 48𝑙2 + 40𝑙+ 8 = 4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc suma 12𝑙2 + 10𝑙+ 2 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(12𝑙2 + 10𝑙+ 2) jest podzielny przez 4.\nJeśli 𝑛 jest liczbą, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to możemy ją zapisać\nw postaci 𝑛= 4𝑙+ 3, gdzie 𝑙∈ℤ. Wówczas badana liczba ma postać\n3𝑛2 + 4𝑛+ 1 = 3(4𝑙+ 3)2 + 4(4𝑙+ 3) + 1 = 3(16𝑙2 + 24𝑙+ 9) + 16𝑙+ 12 + 1\n= 48𝑙2 + 72𝑙+ 27 + 16𝑙+ 13 = 48𝑙2 + 88𝑙+ 40 = 4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10)\nPonieważ 𝑙∈ℤ, więc suma 12𝑙2 + 22𝑙+ 10 jest liczbą całkowitą. Zatem iloczyn\n4(12𝑙2 + 22𝑙+ 10) jest podzielny przez 4.","solution":"Ponieważ n jest liczbą nieparzystą, możemy zapisać\n\nn=2k+1,\n\ngdzie k∈mathbb Z .\n\nPodstawiamy tę postać do wyrażenia:\n\n3n^2+4n+1=3(2k+1)^2+4(2k+1)+1.\n\nKorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia\n\n(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.\n\nOtrzymujemy:\n\n(2k+1)^2=4k^2+4k+1.\n\nZatem\n\n3n^2+4n+1=3(4k^2+4k+1)+8k+4+1.\n\nUsuwamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne:\n\n3n^2+4n+1=12k^2+12k+3+8k+4+1,\n\n3n^2+4n+1=12k^2+20k+8.\n\nWyłączamy 4 przed nawias:\n\n3n^2+4n+1=4(3k^2+5k+2).\n\nPonieważ k∈mathbb Z , to także\n\n3k^2+5k+2∈mathbb Z.\n\nWyrażenie 3n^2+4n+1 jest więc iloczynem liczby 4 i liczby całkowitej, a zatem jest podzielne przez 4 .","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDany jest układ równań {𝑥-3𝑦+ 5 = 0\n2𝑥+ 𝑦+ 3 = 0\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRozwiązaniem tego układu równań jest para liczb\nA. 𝑥= 1 i 𝑦= 2\nB. 𝑥= 0 i 𝑦= -3\nC. 𝑥= -2 i 𝑦= 1\nD. 𝑥= -1 i 𝑦= -1\nDany jest układ równań {x-3y+5=0 2x+y+3=0. Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb A. x=1 i y=2 B. x=0 i y=-3 C. x=-2 i y=1 D. x=-11 i y=-1.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Z pierwszego równania x=3y-5 . Po podstawieniu:\n2(3y-5)+y+3=0, 7y-7=0, y=1.\nStąd x=-2 .","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od (-3) i (-2) wartość wyrażenia\n𝑥+3\n𝑥2+4𝑥+4 ⋅𝑥2+2𝑥\n2𝑥+6 jest równa wartości wyrażenia\nA. 𝑥\n2\nB. 𝑥\n4\nC.\n𝑥\n2𝑥+4\nD.\n𝑥3+3𝑥2\n6𝑥2+24𝑥+24\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-3) i (-2) wartość wyrażenia x+3/x^2+4x+4 ⋅ x^2+2x/2x+6 jest równa wartości wyrażenia A. x/2 B. x/4 C. x/2x+4 D. x^3+3x^2/6x^2+24x+24","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2;\nII.5) mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"(x+3)/((x+2)^2)·(x(x+2))/(2(x+3))=(x)/(2(x+2))=(x)/(2x+4).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDany jest wielomian 𝑊(𝑥) = -3𝑥3 -𝑥2 + 𝑘𝑥+ 1, gdzie 𝑘 jest pewną liczbą rzeczywistą.\nWiadomo, że wielomian 𝑊 można zapisać w postaci 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 1) ⋅𝑄(𝑥) dla pewnego\nwielomianu 𝑄.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑘 jest równa\nA. 29\nB. (-3)\nC. 0\nD. 3\nDany jest wielomian W(x)=-3x^3-x^2+kx+1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian W można zapisać w postaci W(x)=(x+1)⋅Q(x) dla pewnego wielomianu Q. Liczba k jest równa A. 29 B. (-3) C. 0 D. 3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej\n[…];\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Ponieważ x+1 jest dzielnikiem, W(-1)=0 :\n3-1-k+1=0, k=3.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟐𝒙𝟑+ 𝟑𝒙𝟐= 𝟏𝟎𝒙+ 𝟏𝟓\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie 2x^3+3x²=10x+15.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności w\nsposób równoważny;\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-√5), (-3\n2 ), √5 .\n2 pkt - przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego oraz rozwiązanie\njednego z równań wynikającego z tego rozkładu, np.\n(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0 i 𝑥= -\n3\n2\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest wielomianem rozłożonym na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) ,\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego oraz obliczenie jednego z pierwiastków\nwielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni\ndwumian, np.\n𝑥= -\n3\n2 i (2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15): (𝑥+\n3\n2) = 2𝑥2 -10 ,\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci alternatywy równań\noraz rozwiązanie jednego z nich, tj. zapisanie:\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 -5 = 0) oraz 𝑥= -\n3\n2\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 -5 = 0) oraz (𝑥= -√5 , 𝑥= √5) ,\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= -√5 ,\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= √5 ,\nalbo\n(2𝑥+ 3 = 0, 𝑥-√5 = 0, 𝑥+ √5 = 0) oraz 𝑥= -\n3\n2 .\n1 pkt - przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci 𝑊(𝑥) = 0, gdzie\n𝑊 jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego, np.\n𝑊(𝑥) = (2𝑥+ 3)(𝑥2 -5)\nALBO\n- zapisanie jednego rozwiązania wymiernego równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 lub\ndwóch rozwiązań niewymiernych tego równania, jeśli te rozwiązania nie zostały\notrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- przekształcenie równania 2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15 do postaci alternatywy równań,\n(np. 2𝑥+ 3 = 0, 𝑥2 = 5), przy czym alternatywa musi wynikać z poprawnego\nwnioskowania.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania 𝑥= √5 oraz 𝑥= -√5 w wyniku\ndzielenia obustronnie równania przez dwumian (2𝑥+ 3) z podaniem odpowiednich\nzałożeń, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający uzyska dwa poprawne rozwiązania 𝑥= √5 oraz 𝑥= -√5 w wyniku\ndzielenia obustronnie równania przez dwumian (2𝑥+ 3) bez podania odpowiednich\nzałożeń lub w wyniku zauważenia, że obie strony równania 𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)\nzawierają ten sam czynnik 2𝑥+ 3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci 𝑊(𝑥) = 0 zapisuje czynnik\n(2𝑥+ 3) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie\n(za zapisanie alternatywy równań oraz za rozwiązanie równań tej alternatywy).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0\n𝑥2(2𝑥+ 3) -5(2𝑥+ 3) = 0\n(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0\n2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie, stosując metodę grupowania wyrazów:\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0\n2𝑥(𝑥2 -5) + 3(𝑥2 -5) = 0\n(2𝑥+ 3)(𝑥2 -5) = 0\n(2𝑥+ 3)(𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0\n2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób III\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15 = 0\nObliczamy 𝑊(-\n3\n2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-\n3\n2) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥+\n3\n2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian 𝑥+\n3\n2 i otrzymujemy\n(2𝑥3 + 3𝑥2 -10𝑥-15): (𝑥+ 3\n2) = 2𝑥2 -10\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥+\n3\n2) (2𝑥2 -10) = 2 (𝑥+\n3\n2) (𝑥2 -5) = 2 (𝑥+\n3\n2) (𝑥-√5)(𝑥+ √5).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊:\n2 (𝑥+ 3\n2) (𝑥-√5)(𝑥+ √5) = 0\n𝑥+ 3\n2 = 0 lub 𝑥-√5 = 0 lub 𝑥+ √5 = 0\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób IV\nPrzekształcamy równanie do postaci alternatywy dwóch równań\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)\nZatem\n2𝑥+ 3 = 0 lub 𝑥2 = 5\n𝑥= -3\n2 lub 𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nSposób V\nPrzekształcamy równanie równoważnie\n2𝑥3 + 3𝑥2 = 10𝑥+ 15\n𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3)\nZatem 𝑥= -\n3\n2 jest rozwiązaniem tego równania.\nRozwiązujemy równanie 𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3) w zbiorze (-∞, -\n3\n2) ∪(-\n3\n2 , +∞)\n𝑥2(2𝑥+ 3) = 5(2𝑥+ 3) /: (2𝑥+ 3)\n𝑥2 = 5\n𝑥= √5 lub 𝑥= -√5\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√5) , (-\n3\n2), √5 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Rozwiązujemy równanie\n\n2x^3+3x^2-10x-15=0.\n\nGrupujemy wyrazy w dwie pary:\n\n(2x^3+3x^2)+(-10x-15)=0.\n\nZ pierwszej pary wyłączamy x^2 , a z drugiej -5 :\n\nx^2(2x+3)-5(2x+3)=0.\n\nW obu składnikach występuje wspólny czynnik 2x+3 , więc:\n\n(2x+3)(x^2-5)=0.\n\nIloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru:\n\n2x+3=0\n\nlub\n\nx^2-5=0.\n\nZ pierwszego równania:\n\nx=-(3)/(2).\n\nZ drugiego równania:\n\nx^2=5,\n\nczyli\n\nx=-√(5) lub x=√(5).\n\nZatem\n\nx∈ \\ -√(5),-(3)/(2),√(5) \\ .","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -1\n6 𝑥+ 2\n3 .\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 4.\nP\nF\nPunkt przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osią 𝑂𝑦 ma współrzędne (0, -1\n6).\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-1/6x+2/3. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Miejscem zerowym funkcji f jest liczba 4. P F Punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy ma współrzędne (0,-1/6). P F","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"Dana jest funkcja\n\nf(x)=-(1)/(6)x+(2)/(3).\n\nZdanie 1. Sprawdzamy, czy liczba 4 jest miejscem zerowym funkcji.\n\nMiejsce zerowe spełnia równanie\n\nf(x)=0.\n\nZatem\n\n-(1)/(6)x+(2)/(3)=0.\n\nPrzenosimy (2)/(3) na prawą stronę:\n\n-(1)/(6)x=-(2)/(3).\n\nMnożymy obie strony równania przez -6 :\n\nx=4.\n\nLiczba 4 jest miejscem zerowym funkcji, więc pierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nZdanie 2. Punkt przecięcia wykresu z osią Oy otrzymujemy dla\n\nx=0.\n\nObliczamy:\n\nf(0)=-(1)/(6)·0+(2)/(3)=(2)/(3).\n\nWykres przecina więc oś Oy w punkcie\n\n(0,(2)/(3) ),\n\na nie w punkcie\n\n(0,-(1)/(6) ).\n\nDrugie zdanie jest zatem fałszywe.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment wykresu funkcji\nkwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, oraz\npunkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. [rysunek] Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,-2> B. (-∞,4> C. <-2,+∞) D. <4,+∞)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":11,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/11.1","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"11.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-∞, -2]\nB. (-∞, 4]\nC. [-2, +∞)\nD. [4, +∞)\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n7\n8\n9\n-1\n-2\n-3\n4 5 6\n2\n1\n𝑥\n3\n8\n7\n9\n-1\n-2\n-3\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […] zbiór\nwartości […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Wierzchołek ma współrzędne (4,-2) , a ramiona paraboli są skierowane w górę. Zatem\nW_f=[-2,+∞).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/11.2","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"11.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nZapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których\nfunkcja 𝒇 przyjmuje wartości ujemne.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. [rysunek] Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.","answer":"(2,6)","answer_text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n(2, 6)","solution":"Funkcja przyjmuje wartości ujemne pomiędzy miejscami zerowymi 2 i 6 , więc\nx∈(2,6).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-11.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/11.3","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"11.3","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.3. (0-2)\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nWzór funkcji 𝑓 można przedstawić w postaci: oraz\nA. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-2)(𝑥-6)\nB. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-4)2 -2\nC. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-2)(𝑥-6)\nD. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 4)2 -2\nE. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥+ 2)(𝑥+ 6)\nF. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥+ 4)2 -2\n11.2.\n0-1\n11.3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. [rysunek] Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A - F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Wzór funkcji f można przedstawić w postaci: ............ oraz ............ . A. f(x)=1/2(x-2)(x-6) B. f(x)=1/2(x-4)^2-2 C. f(x)=2(x-2)(x-6) D. f(x)=1/2(x+4)^2-2 E. f(x)=2(x+2)(x+6) F. f(x)=2(x+4)^2-2","answer":"AB","answer_text":"Zadanie 11.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Miejsca zerowe to 2 i 6 , a f(0)=6 :\n6=a(-2)(-6)⇒ a=(1)/(2).\nStąd\nf(x)=(1)/(2)(x-2)(x-6)=(1)/(2)(x-4)^2-2.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-11.3.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/11.4","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"11.4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.4. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 (zobacz rysunek na stronie 11)\nnastępująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono,\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), fragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n7\n8\n9\n-1\n-2\n-3\n4 5 6\n2\n1\n𝑥\n3\n8\n7\n9\n-1\n-2\n-3\n0\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n7\n8\n9\n-1\n-2\n-3\n4 5 6\n2\n1\n𝑥\n3\n8\n7\n9\n-1\n-2\n-3\n0\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n7\n8\n9\n-1\n-2\n-3\n4 5 6\n2\n1\n𝑥\n3\n8\n7\n9\n-1\n-2\n-3\n0\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n7\n8\n9\n-1\n-2\n-3\n4 5 6\n2\n1\n𝑥\n3\n8\n7\n9\n-1\n-2\n-3\n0\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite. [rysunek] Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+1). Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=g(x). Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11.4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Funkcja g(x)=f(x+1) powstaje przez przesunięcie wykresu o 1 jednostkę w lewo. Wierzchołek przechodzi z (4,-2) do (3,-2) , a miejsca zerowe z 2,6 do 1,5 . To rysunek B.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-11.4.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nProces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22 °C opisuje funkcja\nwykładnicza 𝑇(𝑥) = 78 ⋅2-0,05𝑥+ 22, gdzie 𝑇(𝑥) to temperatura naparu wyrażona\nw stopniach Celsjusza (°C) po 𝑥 minutach liczonych od momentu 𝑥= 0, w którym zioła\nzalano wrzątkiem.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTemperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa\nA. 22 °C\nB. 39 °C\nC. 78 °C\nD. 61 °C\nProces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze 22°C opisuje funkcja wykładnicza T(x)=78⋅2^{-0,05x}+22, gdzie T(x) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po x minutach liczonych od momentu x=0, w którym zioła zalano wrzątkiem. Temperatura naparu po 20 minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa A. 22°C B. 39°C C. 78°C & D. 61°C","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcją wykładniczą […]\ndo opisu i interpretacji zagadnień\nzwiązanych z zastosowaniami\npraktycznymi;\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Korzystamy ze wzoru\n\nT(t)=78·2^ -0 , 05t +22.\n\nPodstawiamy t=20 :\n\nT(20)=78·2^ -0 , 05·20 +22.\n\nObliczamy wykładnik:\n\n-0 , 05·20=-1.\n\nZatem\n\nT(20)=78·2^-1+22.\n\nPonieważ\n\n2^-1=(1)/(2),\n\nto\n\nT(20)=78·(1)/(2)+22=39+22=61.\n\nPo 20 minutach temperatura wynosi\n\n61^°mathrm C.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja wykładnicza, wykladnicza","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. W tym ciągu\n𝑎2 = 4 oraz 𝑎3 = 9.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSzósty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 24\nB. 29\nC. 36\nD. 69\n\nMMAP-P0_100\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. W tym ciągu a_2=4 oraz a_3=9. Szósty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 24 B. 29 C. 36 D. 69","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"r=a_3-a_2=9-4=5, a_6=a_2+4r=4+20=24.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Suma 𝑛 początkowych\nwyrazów tego ciągu jest określona wzorem 𝑆𝑛= 4 ⋅(2𝑛-1) dla każdej liczby naturalnej\n𝑛≥1.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPierwszy wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy 4.\nP\nF\nDrugi wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy 12.\nP\nF\nCiąg (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem S_n=4⋅(2^n-1) dla każdej liczby naturalnej n≥1. Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest równy 4. P F Drugi wyraz ciągu (a_n) jest równy 12. P F","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.5) stosuje wzór […] na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Korzystamy ze wzoru\n\nS_n=4(2^n-1).\n\nNajpierw obliczamy pierwszy wyraz:\n\na_1=S_1=4(2^1-1)=4(2-1)=4.\n\nZatem pierwsze zdanie jest prawdziwe.\n\nTeraz obliczamy sumę dwóch pierwszych wyrazów:\n\nS_2=4(2^2-1)=4(4-1)=4·3=12.\n\nPonieważ\n\nS_2=a_1+a_2,\n\nto\n\na_2=S_2-a_1=12-4=8.\n\nDrugi wyraz ciągu nie jest równy 12 , więc drugie zdanie jest fałszywe.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (1 -2𝑎, 12, 48) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. (-1)\nB. 3\nC. 4\nD. 12,5\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (1-2a,12,48) jest geometryczny. Liczba a jest równa A. (-1) B. 3 C. 4 D. 12,5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów […]\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Dla ciągu geometrycznego\n12^2=(1-2a)·48.\nStąd 144=48(1-2a) , więc a=-1 .","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"16","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-2)\nDane są dwa kąty o miarach 𝛼 oraz 𝛽, spełniające warunki:\n𝛼∈(0°, 180°) i tg 𝛼= -2\n3 oraz 𝛽∈(0°, 180°) i cos 𝛽=\n1\n√10 .\nNa rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono różne kąty\n- w tym kąt o mierze 𝛼 oraz kąt o mierze 𝛽. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa\nsię z dodatnią półosią 𝑂𝑥, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych\ncałkowitych: 𝐴 lub 𝐵, lub 𝐶, lub 𝐷, lub 𝐸, lub 𝐹.\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-F.\n16.1.\nKąt 𝛼 jest zaznaczony na rysunku\n16.2.\nKąt 𝛽 jest zaznaczony na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\nE.\nF.\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐴\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐵\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐶\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐷\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐸\n0\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n2\n1\n-1\n3\n𝑦\n𝑥\n𝐹\n0\n16.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa kąty o miarach α oraz β, spełniające warunki: α∈(0°,180°) i tgα=-2/3 oraz β∈(0°,180°) i cosβ=1/√10. Na rysunkach A-F w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono różne kąty - w tym kąt o mierze α oraz kąt o mierze β. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych całkowitych: A lub B, lub C, lub D, lub E, lub F. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. 16.1 Kąt α jest zaznaczony na rysunku 16.2 Kąt β jest zaznaczony na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek] E. [rysunek] F. [rysunek]","answer":"B, D","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: […]\ncosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n16.1. B\n16.2. D","solution":"1. Wiemy, że\n\ntanα=-(2)/(3).\n\nDla punktu (x,y) leżącego na końcowym ramieniu kąta zachodzi\n\ntanα=(y)/(x).\n\nKąt α leży w II ćwiartce, więc\n\nx<0 oraz y>0.\n\nNa rysunku B punkt ma współrzędne w proporcji\n\nx:y=-3:2.\n\nZatem\n\ntanα=(y)/(x)=(2)/(-3)=-(2)/(3).\n\nDlatego poprawna jest odpowiedź B.\n\n2. Mamy\n\ncosβ=frac1 √(10) >0.\n\nKąt β jest ostry, więc jego końcowe ramię leży w I ćwiartce. Na rysunku D punkt ma współrzędne w proporcji\n\nx:y=1:3.\n\nDługość promienia wynosi\n\nr=√(1^2+3^2)=√(10).\n\nZatem\n\ncosβ=(x)/(r)=frac1 √(10) .\n\nDlatego poprawna jest odpowiedź D.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz sin 𝛼=\n√5\n3 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA.\n√5\n2\nB. 2\n3\nC. 2√5\n5\nD. 3√5\n5\n\nMMAP-P0_100\nKąt α jest ostry oraz sinα = √5/3. Tangens kąta α jest równy A. √5/2 B. 2/3 C. 2√5/5 D. 3√5/5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,\ncosinus i tangens dla kątów\nod 0° do 180° […];\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1.\n\nPodstawiamy\n\nsinα=(√(5))/(3).\n\nOtrzymujemy:\n\n((√(5))/(3) )^2+cos^2α=1,\n\n(5)/(9)+cos^2α=1,\n\ncos^2α=(4)/(9).\n\nPonieważ kąt α jest ostry, mamy cosα>0 , więc\n\ncosα=(2)/(3).\n\nTeraz\n\ntanα=(sinα)/(cosα)=frac (√(5))/(3) (2)/(3) =(√(5))/(3)·(3)/(2)=(√(5))/(2).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑙 o równaniu\n𝑦= 3\n2 𝑥-15\n2 . Prosta 𝑘 jest prostopadła do prostej 𝑙 i przechodzi przez punkt 𝑃= (6, 0).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta 𝑘 ma równanie\nA. 𝑦= 3\n2 𝑥+ 6\nB. 𝑦= -2\n3 𝑥+ 6\nC. 𝑦= 3\n2 𝑥-9\nD. 𝑦= -2\n3 𝑥+ 4\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta l o równaniu y=3/2x-15/2. Prosta k jest prostopadła do prostej l i przechodzi przez punkt P=(6,0). Prosta k ma równanie A. y=3/2x+6 B. y=-2/3x+6 C. y=3/2x-9 D. y=-2/3x+4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nprostopadłość do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Współczynnik kierunkowy prostej l jest równy\n\n(3)/(2).\n\nProsta prostopadła ma współczynnik kierunkowy\n\n-(1)/(frac32)=-(2)/(3).\n\nSzukana prosta ma więc postać\n\ny=-(2)/(3)x+b.\n\nPrzechodzi ona przez punkt P=(6,0) . Podstawiamy jego współrzędne:\n\n0=-(2)/(3)·6+b,\n\n0=-4+b,\n\nb=4.\n\nRównanie prostej ma postać\n\ny=-(2)/(3)x+4.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach\n𝑘: 𝑦= -1\n2 𝑥-7\n𝑙: 𝑦= (2𝑚-1)𝑥+ 13\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy\nA. 𝑚= (-1\n2)\nB. 𝑚= 1\n4\nC. 𝑚= 3\n2\nD. 𝑚= 2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są proste k oraz l o równaniach k:y=-1/2x-7 y=(2m-1)x+13 Proste k oraz l są równoległe, gdy A. m=-1/2 B. m=1/4 C. m=3/2 D. m=2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Dla prostych równoległych współczynniki kierunkowe są równe:\n2m-1=-(1)/(2), m=(1)/(4).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie\n𝑆= (4, -2). Okrąg 𝒪 jest styczny do osi 𝑂𝑥 układu współrzędnych.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-4)2 + (𝑦+ 2)2 = 4\nB. (𝑥-4)2 + (𝑦+ 2)2 = 2\nC. (𝑥+ 4)2 + (𝑦-2)2 = 4\nD. (𝑥+ 4)2 + (𝑦-2)2 = 2\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku w punkcie S=(4,-2). Okrąg O jest styczny do osi Ox układu współrzędnych. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-4)^2+(y+2)^2=4 B. (x-4)^2+(y+2)^2=2 C.(x+4)^2+(y-2)^2=4 D. (x+4)^2+(y-2)^2=2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Środek to S=(4,-2) . Odległość środka od osi Ox wynosi 2 , więc r=2 . Zatem\n(x-4)^2+(y+2)^2=4.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐾= (-7, -2) oraz 𝐿= (-1, 4)\nsą wierzchołkami trójkąta równobocznego 𝐾𝐿𝑀.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole trójkąta 𝐾𝐿𝑀 jest równe\nA. 17√2\nB. 17√3\nC. 18√2\nD. 18√3\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty K=(-7,-2) oraz L=(-1,4) są wierzchołkami trójkąta równobocznego KLM. Pole trójkąta KLM jest równe A. 17√2 B. 17√3 C. 18√2 D. 18√3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Punkty mają współrzędne\n\nK=(-7,-2), L=(-1,4).\n\nKorzystamy ze wzoru na długość odcinka:\n\n|KL|=√((x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2).\n\nPodstawiamy:\n\n|KL|=√((-1-(-7))^2+(4-(-2))^2).\n\nObliczamy różnice:\n\n-1-(-7)=6, 4-(-2)=6.\n\nZatem\n\n|KL|=√(6^2+6^2)=√(36+36)=√(72)=√(36·2)=6√(2).\n\nPole trójkąta równobocznego:\n\nP=(a^2√(3))/(4).\n\nDla a=6√(2) :\n\nP=((6√(2))^2√(3))/(4)=(36·2√(3))/(4)=18√(3).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Prosta 𝑘 jest styczna do tego\nokręgu w punkcie 𝐴 i tworzy z cięciwą 𝐴𝐵 kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek 𝐴𝐶 jest\nśrednicą tego okręgu (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta rozwartego 𝐵𝑂𝐶 jest równa\nA. 148°\nB. 116°\nC. 154°\nD. 122°\n𝐶\n𝑂\n𝐵\n𝑘\n32°\n𝐴\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Prosta k jest styczna do tego okręgu w punkcie A i tworzy z cięciwą AB kąt o mierze 32°. Ponadto odcinek AC jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta rozwartego BOC jest równa A. 148° & B. 116° C. 154° D. 122°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych;\nVIII.7) stosuje twierdzenie […] o kącie\nmiędzy styczną a cięciwą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, zatem\n\n∠ OBC=90^°.\n\nZ rysunku\n\n∠ ABC=32^°.\n\nStąd\n\n∠ ABO=90^°-32^°=58^°.\n\nTrójkąt AOB jest równoramienny, ponieważ\n\nOA=OB\n\n- są to promienie tego samego okręgu.\n\nZatem\n\n∠ BAO=∠ ABO=58^°.\n\nSuma kątów w trójkącie AOB wynosi 180^° , więc\n\n∠ AOB=180^°-58^°-58^°=64^°.\n\nPonieważ punkty A,O,C leżą na jednej prostej,\n\n∠ AOC=180^°.\n\nStąd\n\n∠ BOC=180^°-64^°=116^°.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW rombie 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa przekątna 𝐴𝐶 ma długość 12 i tworzy z bokiem 𝐴𝐵 kąt\no mierze 30° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\nA. 24\nB. 36\nC. 24√3\nD. 36√2\n30°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n\nMMAP-P0_100\nW rombie ABCD dłuższa przekątna AC ma długość 12 i tworzy z bokiem AB kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Pole rombu ABCD jest równe A. 24 B. 36 C. 24√3 D. 36√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] rombach […];\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Przekątna rombu dzieli kąt na połowy, więc kąt rombu ma 60^° . Z zależności 12=a√(3) otrzymujemy a=4√(3) . Zatem\nP=a^2sin60^°=48·(√(3))/(2)=24√(3).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nDany jest okrąg 𝒪 o środku w punkcie 𝑆. Średnica 𝐴𝐵 tego okręgu przecina cięciwę 𝐶𝐷\nw punkcie 𝑃 (zobacz rysunek). Ponadto: |𝑃𝐵| = 4, |𝑃𝐶| = 8 oraz |𝑃𝐷| = 5.\nOblicz promień okręgu 𝓞. Zapisz obliczenia.\n24.\n0-1-2\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝑃\n𝑆\n\nMMAP-P0_100\nDany jest okrąg O o środku w punkcie S. Średnica AB tego okręgu przecina cięciwę CD w punkcie P (zobacz rysunek). Ponadto: |PB|=4, |PC|=8 oraz |PD|=5. [rysunek] Oblicz promień okręgu O. Zapisz obliczenia.","answer":"r=7","answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa;\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie promienia okręgu 𝒪: 𝑟= 7.\n1 pkt - stwierdzenie i wykazanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐶 oraz 𝐵𝑃𝐷 są podobne\nALBO\n- stwierdzenie i wykazanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐷 oraz 𝐵𝑃𝐶 są podobne,\nALBO\n- zapisanie równości, wynikającej z podobieństwa trójkątów lub twierdzenia\no siecznych, prowadzącej do obliczenia długości odcinka 𝑃𝐴, np.\n|𝑃𝐴|\n|𝑃𝐷| =\n|𝑃𝐶|\n|𝑃𝐵| , |𝑃𝐴| ∙|𝑃𝐵| = |𝑃𝐶| ∙|𝑃𝐷|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐴𝐵𝐷| = |∢𝐴𝐶𝐷| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐴𝐷,\n|∢𝐵𝐴𝐶| = |∢𝐵𝐷𝐶| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐵𝐶,\n|∢𝐴𝑃𝐶| = |∢𝐵𝑃𝐷| , ponieważ są to kąty wierzchołkowe.\nZatem trójkąty 𝐴𝐶𝑃 oraz 𝐵𝑃𝐷 są podobne na podstawie cechy 𝐾𝐾𝐾 (kąt - kąt - kąt).\nZ podobieństwa trójkątów 𝐴𝐶𝑃 oraz 𝐵𝑃𝐷 otrzymujemy:\n|𝑃𝐴|\n|𝑃𝐷| = |𝑃𝐶|\n|𝑃𝐵|\n|𝑃𝐴|\n5\n= 8\n4\n|𝑃𝐴| = 10\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝑃| + |𝑃𝐵| = 10 + 4 = 14\nZatem promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy:\n𝑟= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| = 1\n2 ∙14 = 7\nSposób II\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐴𝐷𝐶| = |∢𝐴𝐵𝐶| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐴𝐶,\n|∢𝐵𝐴𝐷| = |∢𝐵𝐶𝐷| , ponieważ są to kąty wpisane oparte na tym samym łuku 𝐵𝐷,\n|∢𝐴𝑃𝐷| = |∢𝐵𝑃𝐶| , ponieważ są to kąty wierzchołkowe.\nZatem trójkąty 𝐴𝑃𝐷 oraz 𝐵𝑃𝐶 są podobne na podstawie cechy 𝐾𝐾𝐾 (kąt - kąt - kąt).\nZ podobieństwa trójkątów 𝐴𝑃𝐷 oraz 𝐵𝑃𝐶 otrzymujemy:\n|𝑃𝐴|\n|𝑃𝐶| = |𝑃𝐷|\n|𝑃𝐵|\n|𝑃𝐴|\n8\n= 5\n4\n|𝑃𝐴| = 10\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝑃| + |𝑃𝐵| = 10 + 4 = 14\nZatem promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy:\n𝑟= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| = 1\n2 ∙14 = 7\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nKorzystamy z twierdzenia o siecznych okręgu:\n|𝑃𝐴| ∙|𝑃𝐵| = |𝑃𝐶| ∙|𝑃𝐷|\n|𝑃𝐴| ∙4 = 8 ∙5\n|𝑃𝐴| = 10\nObliczamy długość średnicy okręgu 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = |𝐴𝑃| + |𝑃𝐵| = 10 + 4 = 14\nZatem promień 𝑟 okręgu 𝒪 jest równy:\n𝑟= 1\n2 ∙|𝐴𝐵| = 1\n2 ∙14 = 7","solution":"Z twierdzenia o przecinających się cięciwach:\nPA·4=8·5, PA=10.\nŚrednica AB=10+4=14 , więc\nr=7.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się\npunkt 𝑃 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma odległości punktu 𝑃 od wszystkich ścian sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równa\nA. 15\nB. 20\nC. 25\nD. 30\n𝐴\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n𝑃\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n5\n\nMMAP-P0_100\nDany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 5. Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt P (zobacz rysunek). [rysunek] Suma odległości punktu P od wszystkich ścian sześcianu ABCDEFGH jest równa A. 15 B. 20 C. 25 D. 30","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych w przestrzeni […];\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną;\nX.4) oblicza objętości […] graniastosłupów\ni ostrosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Dla każdej pary przeciwległych ścian suma odległości punktu od tych ścian wynosi 5 . Są trzy takie pary, więc suma wynosi\n5+5+5=15.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"26","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-3)\nObjętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany\nbocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 𝛼 taki, że tg 𝛼= 4\n3\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n26.\n0-1-\n2-3\n𝛼\n⋅\n⋅\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nObjętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 384. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze α taki, że tgα=4/3 (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.","answer":"10","answer_text":"Zadanie 26. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną;\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami\n(np. krawędziami, krawędziami\ni przekątnymi), oblicza miary tych kątów;\nX.4) oblicza objętości […] ostrosłupów,\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii\ni poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości ściany bocznej ostrosłupa oraz poprawny\nwynik: ℎ𝑏= 10.\n2 pkt - obliczenie współczynnika proporcjonalności: 𝑥= 2\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 12,\nALBO\n- obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 8,\nALBO\n- zapisanie, że 𝐻= 8 i\n1\n2 𝑎= 6 oraz sprawdzenie, że dla tych danych liczbowych\nobjętość ostrosłupa jest równa 384,\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą ℎ𝑏 - wysokością ściany bocznej, np.\n1\n3 ∙(\n6\n5 ℎ𝑏)\n2\n∙\n4\n5 ℎ𝑏= 384,\n- obliczenie objętości 𝑉1 = 48 ostrosłupa o krawędzi podstawy 𝑎1 = 6 i wysokości\n𝐻1 = 4, podobnego do rozpatrywanego oraz obliczenie skali podobieństwa tych\nostrosłupów, np. 𝑘= √\n384\n48\n3\n= 2.\n1 pkt - oznaczenie połowy krawędzi podstawy jako 3𝑥 i zapisanie wysokości ostrosłupa\njako 4𝑥 oraz zapisanie wysokości ściany bocznej jako 5𝑥, gdzie 𝑥 jest\nwspółczynnikiem proporcjonalności\nALBO\n- oznaczenie połowy krawędzi podstawy jako 3𝑥 i zapisanie wysokości ostrosłupa\njako 4𝑥 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 prowadzącego do\nwyznaczenia krawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np.\n1\n3 ∙(6𝑥)2 ∙4𝑥= 384,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑎 oraz 𝐻 prowadzących do wyznaczenia\nkrawędzi podstawy oraz wysokości ostrosłupa, np.\n𝐻\n1\n2𝑎=\n4\n3 oraz\n1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 384,\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy oraz wysokością ściany\nbocznej np.\n1\n2𝑎\nℎ𝑏=\n3\n5 oraz zapisanie zależności pomiędzy wysokością ostrosłupa oraz\nwysokością ściany bocznej, np.\n𝐻\nℎ𝑏=\n4\n5 ,\n- obliczenie objętości 𝑉1 = 48 ostrosłupa o krawędzi podstawy 𝑎1 = 6 i wysokości\n𝐻1 = 4, podobnego do rozpatrywanego oraz zapisanie stosunku objętości tych\nostrosłupów, np.\n𝑉\n𝑉1 =\n384\n48 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że jedna ze ścian bocznych ostrosłupa jest\ntrójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia wysokości ściany bocznej, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) uwzględnienie we wzorze na objętość ostrosłupa połowy długości krawędzi\npodstawy\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n1 punkt za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a) - d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający jedynie zapisze lub obliczy długość przeciwprostokątnej trójkąta\nprostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4, to otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy wysokość ściany bocznej ostrosłupa opuszczoną\nz wierzchołka podstawy na krawędź boczną, to otrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,\n𝑉 - objętość ostrosłupa,\n𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎> 0, 𝐻> 0 i ℎ𝑏> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =\n1\n2 𝑎.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 𝛼= |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| = 𝐻\n1\n2 𝑎\n= 4\n3\nZatem |𝑆𝑂| = 4𝑥 oraz |𝑂𝐸| = 3𝑥 (zobacz rysunek)\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:\n|𝑆𝐸|2 = |𝑆𝑂|2 + |𝑂𝐸|2\n(ℎ𝑏)2 = 𝐻2 + (1\n2 𝑎)\n2\n(ℎ𝑏)2 = (4𝑥)2 + (3𝑥)2 = 16𝑥2 + 9𝑥2 = 25𝑥2\nℎ𝑏= 5𝑥\nPonadto\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1\n3 ∙(6𝑥)2 ∙4𝑥= 1\n3 ∙36𝑥2 ∙4𝑥= 48𝑥3\nStąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy\n48𝑥3 = 384\n𝑥3 = 8\n𝑥= 2\nObliczamy wysokość ℎ𝑏 ściany bocznej ostrosłupa:\nℎ𝑏= 5𝑥= 10\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\nℎ𝑏\n4𝑥\n3𝑥\n6𝑥\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,\n𝑉 - objętość ostrosłupa,\n𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎> 0, 𝐻> 0 i ℎ𝑏> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =\n1\n2 𝑎.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 𝛼=\n|𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| = 𝐻\n1\n2 𝑎\n= 4\n3\nZatem\n𝐻= 4\n3 ⋅1\n2 𝑎= 2\n3 𝑎\nPonadto\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙2\n3 𝑎= 2\n9 𝑎3\nStąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy\n2\n9 𝑎3 = 384\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\nℎ𝑏\n𝐻\n1\n2\n𝑎\n𝑎\n𝐸\n𝑎3 = 384 ∶2\n9 = 384 ∙9\n2 = 1728\n𝑎= 12\n𝐻= 2\n3 𝑎= 2\n3 ∙12 = 8\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ℎ𝑏 ściany bocznej ostrosłupa:\n|𝑆𝐸|2 = |𝑆𝑂|2 + |𝑂𝐸|2\n(ℎ𝑏)2 = 𝐻2 + (1\n2 𝑎)\n2\n(ℎ𝑏)2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100\nℎ𝑏= 10\nSposób III\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝛼 - miara kąta pomiędzy wysokością ściany bocznej a podstawą,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej ostrosłupa,\n𝑉 - objętość ostrosłupa,\n𝑃𝑝 - pole podstawy ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝛼∈(0°, 90°) oraz 𝑎> 0, 𝐻> 0 i ℎ𝑏> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia przekątnych kwadratu, więc |𝑂𝐸| =\n1\n2 𝑎.\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑂\nℎ𝑏\n𝐻\n1\n2\n𝑎\n𝑎\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ treści zadania wiemy, że tg 𝛼=\n4\n3 , zatem\nsin𝛼\ncos 𝛼=\n4\n3 . Stąd sin 𝛼=\n4\n3 ⋅cos 𝛼.\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 otrzymujemy\n(4\n3 cos 𝛼)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\n16\n9 cos2 𝛼+ cos2 𝛼= 1\n25\n9 cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 9\n25\nStąd cos 𝛼=\n3\n5 , ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.\nZatem sin 𝛼=\n4\n3 ⋅cos 𝛼=\n4\n3 ⋅\n3\n5 =\n4\n5\nZ trójkąta prostokątnego 𝐴𝑂𝑆 otrzymujemy\nsin 𝛼=\n𝐻\nℎ𝑏 oraz cos 𝛼=\n1\n2𝑎\nℎ𝑏\nZatem\n𝐻\nℎ𝑏=\n4\n5 oraz\n1\n2𝑎\nℎ𝑏=\n3\n5\n𝐻=\n4\n5 ℎ𝑏 oraz 𝑎=\n6\n5 ℎ𝑏\nPonadto\n𝑉= 1\n3 ∙𝑃𝑝∙𝐻= 1\n3 ∙𝑎2 ∙𝐻= 1\n3 ∙(6\n5 ℎ𝑏)\n2\n∙4\n5 ℎ𝑏= 1\n3 ⋅36\n25 ℎ𝑏\n2 ⋅4\n5 ℎ𝑏= 48\n125 ℎ𝑏\n3\nStąd, że 𝑉= 384, otrzymujemy\n48\n125 ℎ𝑏\n3 = 384\nℎ𝑏\n3 = 384 ∶48\n125 = 384 ⋅125\n48 = 1000\nℎ𝑏= 10\nSposób IV\nRozważmy ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆1 o wysokości 4\ni krawędzi podstawy długości 6.\nObjętość tego ostrosłupa jest równa\n𝑉1 = 1\n3 ⋅62 ⋅4 = 48\nOstrosłup ten jest podobny do danego ostrosłupa, a stosunek ich objętości jest równy\nsześcianowi skali podobieństwa. Zatem\n𝑘3 = 𝑉\n𝑉1\n= 384\n48 = 8\nStąd 𝑘= 2.\nPonieważ wysokość 𝑆1𝐸1 ściany bocznej ostrosłupa 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1𝑆1 jest równa 5, więc\nszukana wysokość ściany bocznej danego ostrosłupa jest równa 5 ⋅2 = 10.\n𝛼\n∶\n∶\n𝐴1\n𝐵1\n𝐶1\n𝐷1\n𝑆1\n𝑂1\n5\n4\n3\n6\n𝐸1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Niech a oznacza długość boku kwadratowej podstawy, H - wysokość ostrosłupa, a l - wysokość ściany bocznej.\n\nNiech O będzie środkiem podstawy, a M środkiem jednego z jej boków. Wtedy\n\nOM=(a)/(2).\n\nKąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest kątem między odcinkami SM i OM . Z treści:\n\ntanα=(4)/(3).\n\nW trójkącie prostokątnym SOM :\n\ntanα=(SO)/(OM)=(H)/(a/2).\n\nZatem\n\n(H)/(a/2)=(4)/(3),\n\nH=(4)/(3)·(a)/(2)=(2a)/(3).\n\nObjętość ostrosłupa:\n\nV=(1)/(3)P_pH.\n\nPonieważ podstawa jest kwadratem, P_p=a^2 . Podstawiamy:\n\n384=(1)/(3)a^2·(2a)/(3)=(2a^3)/(9).\n\nMnożymy przez 9 :\n\n3456=2a^3,\n\na^3=1728,\n\na=12.\n\nObliczamy wysokość ostrosłupa:\n\nH=(2a)/(3)=(2·12)/(3)=8.\n\nW trójkącie prostokątnym SOM szukana wysokość ściany bocznej spełnia:\n\nl^2=H^2+ ((a)/(2) )^2.\n\nPodstawiamy:\n\nl^2=8^2+6^2=64+36=100.\n\nZatem\n\nl=10.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nE-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który\nzabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione.\nOblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach,\nspełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego o różnicy (-𝟑). Zapisz obliczenia.\n27.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nE-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy (-3).","answer":"840","answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych;\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania (także łącznie) […];\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań, również osadzonych w kontekście\npraktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie liczby numerów CAN spełniających warunki zadania:\n840.\n1 pkt - podanie liczby możliwości wyboru pierwszej, drugiej i trzeciej cyfry numeru CAN\nALBO\n- wypisanie czterech trzywyrazowych ciągów arytmetycznych: (9, 6, 3), (8, 5, 2),\n(7, 4, 1), (6, 3, 0),\nALBO\n- zapisanie liczby możliwości wyboru czwartej, piątej i szóstej cyfry numeru CAN:\n7 ⋅6 ⋅5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie przyjmie, że w numerze CAN nie występuje cyfra 0\ni konsekwentnie poda liczbę wszystkich numerów CAN, w których nie występuje cyfra 0,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 840, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nLiczba wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN spełniających warunki zadania jest\niloczynem liczby możliwości ustawienia cyfr na trzech pierwszych miejscach i liczby\nmożliwości ustawienia czwartej, piątej i szóstej cyfry.\nNa pierwszych trzech miejscach znajdują się cyfry, które tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy\n(-3). Cztery trzywyrazowe ciągi spełniają powyższy warunek: (9, 6, 3), (8, 5, 2), (7, 4, 1),\n(6, 3, 0).\nCzwartą cyfrę w numerze CAN możemy ustawić na 7 sposobów. Piątą cyfrę - na 6\nsposobów. Szóstą cyfrę - na 5 sposobów.\nZatem liczba wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN, spełniających warunki zadania,\njest równa: 4 ∙7 ∙6 ∙5 = 840.","solution":"Możliwe pierwsze trójki cyfr to (6,3,0),(7,4,1),(8,5,2),(9,6,3) , czyli 4 możliwości. Pozostałe trzy miejsca obsadzamy różnymi cyframi na\n7·6·5=210\nsposobów. Łącznie\n4·210=840.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek\njest liczbą nieparzystą, jest równe\nA. 1\n2\nB. 1\n5\nC. 1\n4\nD. 3\n4\n\nMMAP-P0_100\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe A. 1/2 B. 1/5 C. 1/4 D. 3/4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych;\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Iloczyn dwóch liczb jest nieparzysty wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste.\n\nNa kostce liczbami nieparzystymi są\n\n1, 3, 5.\n\nZdarzenia sprzyjające to uporządkowane pary:\n\n(1,1), (1,3), (1,5),\n\n(3,1), (3,3), (3,5),\n\n(5,1), (5,3), (5,5).\n\nMamy więc 9 zdarzeń sprzyjających.\n\nWszystkich możliwych wyników dwóch rzutów kostką jest\n\n6·6=36.\n\nZatem\n\nP=(9)/(36)=(1)/(4).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.\nW hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po\nzaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19 dag, 21 dag].\nPobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich.\nNa poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie.\nNa osi poziomej podano - wyrażoną w dekagramach - masę jabłka (w zaokrągleniu do\npełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.\nW hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19dag, 21dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano - wyrażoną w dekagramach - masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie. [rysunek] Spośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe A. 3/7 B. 5/7 C. 18/25 D. 9/10","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-29.svg","topics":null,"page_from":28,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/29.1","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"29.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.1. (0-1)\nSpośród 50 zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę\njakości, jest równe\nA. 3\n7\nB. 5\n7\nC. 18\n25\nD. 9\n10\n0\n2\n4\n6\n8\n10\n12\n14\n16\n18\n17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\nliczba\njabłek\nmasa jabłka (w dag)\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29.1 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Normę spełniają jabłka o masach\n\n19 dag, 20 dag, 21 dag.\n\nZ wykresu odczytujemy odpowiednie liczebności:\n\n11, 14, 11.\n\nLiczba jabłek spełniających normę wynosi więc\n\n11+14+11=36.\n\nWszystkich jabłek jest 50 , zatem\n\nP=(36)/(50)=(18)/(25).","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-29.1.webp","solution_image":null,"topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/29.2","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"29.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.2. (0-1)\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nDominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów)\nz pobranej próby kontrolnej jest równa\n20 dag,\nponieważ\n1.\nta masa jest największa w tej próbie.\nA.\n2.\niloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest\nnajwiększy w tej próbie.\n23 dag,\nB.\n3.\nta masa występuje najliczniej w tej próbie.\n\nMMAP-P0_100\nW hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale [19dag, 21dag]. Pobrano próbę kontrolną liczącą 50 jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano - wyrażoną w dekagramach - masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie. [rysunek] Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Dominanta masy 50 zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa A. 20 dag, B. 23 dag, ponieważ 1. ta masa jest największa w tej próbie. 2. iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie. 3. ta masa występuje najliczniej w tej próbie.","answer":"A3","answer_text":"Zadanie 29.2 (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel;\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nXII.2) […] znajduje […] dominantę.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA3","solution":"Dominanta to wartość występująca w badanym zbiorze najczęściej.\n\nNajwyższy słupek na wykresie odpowiada masie\n\n20 dag.\n\nOznacza to, że masa 20 dag występuje najczęściej. Poprawne są więc odpowiedź A oraz uzasadnienie 3.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-29.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-29.2.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2023,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nZgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu\nrównoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć\ndługość 12 dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być\nrówna 18 dm.\nOblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole\npowierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nZgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość 12dm, a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa 18dm. Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia długości krótszej podstawy trapezu o największym polu\ni obliczenie największego pola trapezu oraz poprawne wyniki:\n𝑏= 3 dm, 𝑃= 112,5 dm2.\n3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od zmiennej 𝑏 oraz\nprawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: 𝑏= 3\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od zmiennej ℎ oraz\nprawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: ℎ= 15,\nALBO\n- zapisanie poprawnej nierówności między średnią geometryczną i średnią\narytmetyczną dla liczb dodatnich, np. (12 + 𝑏) i (18 -𝑏)\n√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤\n12+𝑏+18-𝑏\n2\n,\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃 oraz obliczenie jej miejsca zerowego, np.\n𝑃′(𝑏) = -𝑏+ 3, 𝑏= 3.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole trapezu w zależności od jednej zmiennej:\n𝑃(𝑏) =\n1\n2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏) lub 𝑃(ℎ) =\n1\n2 (30 -ℎ)ℎ.\n1 pkt - zapisanie związku między krótszą podstawą a wysokością trapezu: 𝑏+ ℎ= 18\noraz zapisanie wzoru na pole trapezu w zależności od dwóch zmiennych:\n𝑃(𝑏) =\n1\n2 (12 + 𝑏)ℎ.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej, ale otrzyma wartość\npierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która leży\npoza dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze pole trapezu jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy\nwartości tej funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nsymetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka i nie odwoła się do własności\nwykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający nie zapisze pola trapezu jako funkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza\nwartości pola dla wybranych par liczb 𝑏 oraz ℎ i na tej podstawie wskazuje największą\nwartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej\nliczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSposób I\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,\n𝑏 - krótsza podstawa trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n𝑏+ ℎ= 18\nStąd wyznaczamy ℎ:\nℎ= 18 -𝑏\nPole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) = 1\n2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏) = -1\n2 (𝑏+ 12)(𝑏-18)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:\n𝑏> 0 oraz ℎ= 18 -𝑏> 0 oraz 𝑏< 12\nZatem\n𝑏> 0 oraz 𝑏< 18 oraz 𝑏< 12\nZmienna 𝑏 może przyjmować wartość z przedziału (0, 12).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -12 + 18\n2\n= 6\n2 = 3 ∈(0, 12)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.\nDla 𝑏= 3 pole tego trapezu jest równe:\n𝑃(3) = 1\n2 (12 + 3)(18 -3) = 112,5\nNajwiększe pole równe 112,5 dm2 ma trapez, którego krótsza podstawa ma 3 dm.\nSposób II\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,\n𝑏 - krótsza podstawa trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n𝑏+ ℎ= 18\nStąd wyznaczamy 𝑏:\n𝑏= 18 -ℎ\nPole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej ℎ:\n𝑃(ℎ) = 1\n2 (12 + 18 -ℎ)ℎ= 1\n2 (30 -ℎ)ℎ\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:\nℎ> 0 oraz 𝑏= 18 -ℎ> 0 oraz 𝑏= 18 -ℎ< 12\nZatem\nℎ> 0 oraz ℎ< 18 oraz ℎ> 6\nZmienna ℎ może przyjmować wartość z przedziału (6, 18).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= 30 + 0\n2\n= 15 ∈(6, 18)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 15.\nDla ℎ= 15 pole tego trapezu jest równe:\n𝑃(15) = 1\n2 (30 -15)15 = 112,5\nObliczamy długość krótszej podstawy trapezu:\n𝑏= 18 -15 = 3\nNajwiększe pole równe 112,5 dm2 ma trapez, którego krótsza podstawa ma 3 dm.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzyjmujemy oznaczenia:\n𝑎= 12 - dłuższa podstawa trapezu,\n𝑏 - krótsza podstawa trapezu,\nℎ - wysokość trapezu.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n𝑏+ ℎ= 18\nStąd wyznaczamy ℎ:\nℎ= 18 -𝑏\nPole trapezu wyrażamy jako funkcję zmiennej 𝑏:\n𝑃(𝑏) = 1\n2 (12 + 𝑏)(18 -𝑏)\nZ nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich\n(12 + 𝑏) i (18 -𝑏) otrzymujemy\n√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤12 + 𝑏+ 18 -𝑏\n2\n√(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤15\nStąd\n(12 + 𝑏)(18 -𝑏) ≤225\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 12 + 𝑏= 18 -𝑏, czyli dla 𝑏= 3.\nWtedy pole trapezu jest największe i równe 𝑃(3) =\n1\n2 ⋅225 = 112,5.","solution":"Niech x oznacza krótszą podstawę. Wysokość wynosi 18-x , więc\nP(x)=(12+x)/(2)(18-x)=-(1)/(2)x^2+3x+108.\nFunkcja osiąga maksimum dla\nx=-(3)/(2(-frac12))=3.\nWtedy\nP_max=(12+3)/(2)·15=112 , 5 dm^2.","image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}