{"paper":{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":41,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nNa osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\nA. |𝑥-3,5| ≥1,5\nB. |𝑥-1,5| ≥3,5\nC. |𝑥-3,5| ≤1,5\nD. |𝑥-1,5| ≤3,5\nNa osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów. [rysunek] Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności A. |x-3,5| ≥ 1,5 B. |x-1,5| ≥ 3,5 C. |x-3,5| ≤ 1,5 D. |x-1,5| ≤ 3,5","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania i nierówności typu: […]\n|𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba znaleźć nierówność z modułem, której zbiorem rozwiązań jest suma dwóch domkniętych półprostych: $x \\leq -2$ oraz $x \\geq 5$.\n\nZnajdź środek odcinka między końcami. Końce to $-2$ i $5$. Środek:\n\n$$s = \\frac{-2 + 5}{2} = \\frac{3}{2} = 1{,}5$$\n\nWyznacz \"promień\" — połowę odległości między końcami.\n\n$$r = \\frac{5 - (-2)}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5$$\n\nZinterpretuj geometrycznie. Zaznaczone na osi zbiory $x \\leq -2$ oraz $x \\geq 5$ to liczby, których odległość od środka $1{,}5$ jest co najmniej $3{,}5$:\n\n$$|x - 1{,}5| \\geq 3{,}5$$\n\nTo odpowiedź B.\n\nSprawdź pozostałe odpowiedzi:\n- A. $|x - 3{,}5| \\geq 1{,}5$ → środek $3{,}5$, promień $1{,}5$ → $x \\leq 2$ lub $x \\geq 5$. Zły środek.\n- C. $|x - 3{,}5| \\leq 1{,}5$ → przedział $\\langle 2, 5 \\rangle$. Zła nierówność.\n- D. $|x - 1{,}5| \\leq 3{,}5$ → przedział $\\langle -2, 5 \\rangle$. To dopełnienie zaznaczonego zbioru.\n\nPo co to umieć\n\nWartość bezwzględna jako \"odległość od liczby\" pojawia się w prawie każdym arkuszu maturalnym. Klucz do tego typu zadania: środek + promień. Każdy odcinek $\\langle a, b \\rangle$ można zapisać jako $|x - \\frac{a+b}{2}| \\leq \\frac{b-a}{2}$, a jego dopełnienie z $\\geq$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie środka przedziału. Środek to $(-2+5)/2 = 1{,}5$, a nie $3{,}5$. Inny błąd: zła orientacja nierówności (≤ zamiast ≥ — zaznaczono dopełnienie odcinka, nie sam odcinek).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"wartość bezwzględna, oś liczbowa, suma przedziałów, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba √-27\n16\n3\n⋅√2\n3\njest równa\nA. (-3\n2)\nB. 3\n2\nC. 2\n3\nD. (-2\n3)\n-2\n5\n𝑥\n\nMMAP-P0_100\nLiczba ∛-27/16 ⋅ ∛2 jest równa A. (-3/2) B. 3/2 C. 2/3 D. (-2/3).","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOblicz $\\sqrt[3]{-\\frac{27}{16}} \\cdot \\sqrt[3]{2}$.\n\nPołącz pierwiastki o tym samym stopniu w jeden. Dla pierwiastka $n$-tego stopnia:\n\n$$\\sqrt[n]{a} \\cdot \\sqrt[n]{b} = \\sqrt[n]{a \\cdot b}$$\n\nW naszym przypadku:\n\n$$\\sqrt[3]{-\\frac{27}{16}} \\cdot \\sqrt[3]{2} = \\sqrt[3]{-\\frac{27}{16} \\cdot 2} = \\sqrt[3]{-\\frac{54}{16}}$$\n\nUprość ułamek pod pierwiastkiem. $\\frac{54}{16} = \\frac{27}{8}$ (dzielimy przez $2$).\n\n$$\\sqrt[3]{-\\frac{54}{16}} = \\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}}$$\n\nWyciągnij pierwiastek z ułamka. Znak idzie do licznika, pierwiastek liczymy osobno na liczniku i mianowniku:\n\n$$\\sqrt[3]{-\\frac{27}{8}} = -\\frac{\\sqrt[3]{27}}{\\sqrt[3]{8}}$$\n\nOblicz pierwiastki sześcienne. $\\sqrt[3]{27} = 3$ (bo $3^3 = 27$), $\\sqrt[3]{8} = 2$ (bo $2^3 = 8$).\n\n$$-\\frac{3}{2}$$\n\nPo co to umieć\n\nPierwiastki sześcienne i wyższych nieparzystych stopni działają z liczb ujemnych, w odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego. To częsta pułapka — wartość bezwzględna nie jest potrzebna, znak idzie pod pierwiastek.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie znaku minus pod pierwiastkiem trzeciego stopnia. Pierwiastek nieparzysty z liczby ujemnej JEST określony i jest ujemny. $\\sqrt[3]{-8} = -2$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"pierwiastek sześcienny, działania na pierwiastkach, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba (𝟐𝒏+ 𝟏)𝟐-𝟏 jest podzielna\nprzez 𝟖.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej $x\\xge1$ liczba (2n+1)^2-1 jest podzielna przez 8.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci iloczynu 4𝑛(𝑛+ 1) oraz\nstwierdzenie, że iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą\nlub przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4(𝑛2 + 𝑛) i uzasadnienie,\nże suma 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą parzystą\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 2𝑛(2𝑛+ 2) oraz\nstwierdzenie, że wśród dwóch kolejnych liczb parzystych jedna z nich jest liczbą\npodzielną przez 4,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙 (gdzie 𝑙∈ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia\n(2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8𝑙(2𝑙+ 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą\nnaturalną/całkowitą oraz rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ),\ntj. przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) i\nzapisanie, że suma 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4𝑛(𝑛+ 1) lub 4(𝑛2 + 𝑛),\nlub 2𝑛(2𝑛+ 2)\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 4𝑛2 + 4𝑛 i stwierdzenie, że\nta suma jest liczbą podzielną przez 4,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙 (gdzie 𝑙∈ℕ), tj. przekształcenie wyrażenia\n(2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8𝑙(2𝑙+ 1) i zapisanie, że iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą\nnaturalną/całkowitą,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ), tj. przekształcenie\nwyrażenia (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) i zapisanie, że suma\n2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną/całkowitą.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 8𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛\nprzez 8, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale\nnie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje przypadki 𝑛= 2𝑙 oraz 𝑛= 2𝑙+ 1 (gdzie 𝑙∈ℕ) i przekształca\nwyrażenie (2𝑛+ 1)2 -1 do postaci, odpowiednio, 8𝑙(2𝑙+ 1) oraz 2𝑙2 + 3𝑙+ 1, ale\nnie zapisze, że 8𝑙(2𝑙+ 1) oraz 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 są liczbami naturalnymi/całkowitymi, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci\n(2𝑛+ 1)2 -1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -1 = 4𝑛(𝑛+ 1)\nPonieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą\nparzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 4𝑛(𝑛+ 1) jest\npodzielny przez 8. To należało wykazać.\nSposób II\nKorzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(2𝑛+ 1)2 -1 = 4𝑛2 + 4𝑛+ 1 -1 = 4(𝑛2 + 𝑛)\nGdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą nieparzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest\nliczbą parzystą jako suma dwóch liczb nieparzystych.\nGdy 𝑛 jest liczbą parzystą, to liczba 𝑛2 jest liczbą parzystą. Zatem 𝑛2 + 𝑛 jest liczbą\nparzystą jako suma dwóch liczb parzystych.\nStąd 4(𝑛2 + 𝑛) jest liczbą podzielną przez 8. To należało wykazać.\nSposób III\nKorzystając z wzoru skróconego mnożenia, zapisujemy liczbę (2𝑛+ 1)2 -1 w postaci\n(2𝑛+ 1)2 -1 = [(2𝑛+ 1) -1] ⋅[(2𝑛+ 1) + 1] = 2𝑛⋅(2𝑛+ 2)\nPonieważ liczby 2𝑛 oraz 2𝑛+ 2 są kolejnymi liczbami parzystymi, to jedna z nich jest\nliczbą podzielną przez 4. Zatem iloczyn 2𝑛(2𝑛+ 2) jest liczbą podzielną przez 2 ⋅4, czyli\nprzez 8. To należało wykazać.\nSposób IV\nRozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.\nJeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, możemy ją zapisać w postaci 𝑛= 2𝑙, gdzie 𝑙∈ℕ. Wówczas\nbadana liczba ma postać\n(2𝑛+ 1)2 -1 = (2 ⋅2𝑙+ 1)2 -1 = 16𝑙2 + 8𝑙+ 1 -1 = 8𝑙(2𝑙+ 1)\nPonieważ 𝑙∈ℕ, to również iloczyn 𝑙(2𝑙+ 1) jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn\n8𝑙(2𝑙+ 1) jest podzielny przez 8.\nJeśli liczba 𝑛 jest nieparzysta, zapisujemy ją w postaci 𝑛= 2𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℕ. Wówczas\nbadana liczba ma postać\n(2𝑛+ 1)2 -1 = [2(2𝑙+ 1) + 1]2 -1 = [4𝑙+ 3]2 -1 =\n= 16𝑙2 + 24𝑙+ 9 -1 = 8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1)\nPonieważ 𝑙∈ℕ, to również 2𝑙2 + 3𝑙+ 1 jest liczbą naturalną. Zatem iloczyn\n8(2𝑙2 + 3𝑙+ 1) jest podzielny przez 8. To należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: $(2n+1)^2 - 1 = 4n(n+1)$. Iloczyn $n(n+1)$ dwóch kolejnych liczb naturalnych jest **parzysty** (jedna z nich jest parzysta), więc $n(n+1) = 2k$ dla pewnego $k \\in \\mathbb{N}$. Stąd $4n(n+1) = 8k$ — liczba podzielna przez $8$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba pokazać, że dla każdego $n \\in \\mathbb{N}_{+}$ wyrażenie $(2n+1)^2 - 1$ jest podzielne przez $8$. Strategia: rozwinąć kwadrat, wyłączyć wspólny czynnik i wykorzystać fakt, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.\n\nRozwiń wzór skróconego mnożenia. $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, więc:\n\n$$(2n+1)^2 = (2n)^2 + 2 \\cdot 2n \\cdot 1 + 1^2 = 4n^2 + 4n + 1$$\n\nOdejmij 1 i wyłącz wspólny czynnik.\n\n$$(2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n+1)$$\n\nZauważ kluczowy fakt: iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest parzysty.\n\n$n(n+1)$ to iloczyn $n$ i jego następnika. Jedna z tych liczb jest parzysta (bo z dwóch kolejnych liczb dokładnie jedna jest parzysta), więc:\n\n$$n(n+1) = 2k \\quad \\text{dla pewnego } k \\in \\mathbb{N}$$\n\nPołącz wyniki.\n\n$$(2n+1)^2 - 1 = 4n(n+1) = 4 \\cdot 2k = 8k$$\n\nTo znaczy, że $(2n+1)^2 - 1$ jest podzielne przez $8$ dla każdego $n \\in \\mathbb{N}_{+}$.\n\nCo należało dowieść.\n\nPo co to umieć\n\nDowody podzielności pojawiają się na maturze regularnie. Klucz: rozwinąć wzór skróconego mnożenia, wyłączyć wspólny czynnik, wykorzystać fakt o parzystości kolejnych liczb. Iloczyn $n$ kolejnych liczb jest podzielny przez $n!$.\n\nTypowy błąd: Pierwsza pułapka: rozwinięcie kwadratu z błędem, np. $(2n+1)^2 = 4n^2 + 1$ (zapomnienie podwojonego iloczynu). Druga: dowód „przez przykład\" zamiast ogólny — sprawdzenie dla $n=1, 2, 3$ to **nie jest dowód**, dostaniesz 0 pkt.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"dowód, podzielność, wzory skróconego mnożenia, Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log9 27 + log9 3 jest równa\nA. 81\nB. 9\nC. 4\nD. 2\nLiczba log_9 27 + log_9 3 jest równa A. 81 B. 9 C. 4 D. 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOblicz $\\log_9 27 + \\log_9 3$.\n\nUżyj wzoru na logarytm iloczynu. Dla tej samej podstawy:\n\n$$\\log_a x + \\log_a y = \\log_a (x \\cdot y)$$\n\nW naszym przypadku:\n\n$$\\log_9 27 + \\log_9 3 = \\log_9 (27 \\cdot 3) = \\log_9 81$$\n\nZauważ, że $81 = 9^2$.\n\n$$\\log_9 81 = \\log_9 9^2$$\n\nSkorzystaj z własności logarytmu potęgi.\n\n$$\\log_a a^k = k$$\n\nTutaj $a = 9$, $k = 2$:\n\n$$\\log_9 9^2 = 2$$\n\nPo co to umieć\n\nLogarytmy w arkuszu maturalnym pojawiają się 1-2 razy na sesję. Trzy własności do zapamiętania:\n- $\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)$\n- $\\log_a x - \\log_a y = \\log_a(x/y)$\n- $\\log_a x^k = k \\log_a x$, w szczególności $\\log_a a^k = k$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomnożenie zamiast dodania logarytmów. $\\log a + \\log b = \\log(ab)$, nie $\\log a \\cdot \\log b$. Drugi błąd: $\\log_9 81 = 9$ zamiast $2$ — pamiętaj, że szukamy wykładnika $x$, dla którego $9^x = 81$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy, własności logarytmu sumy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wyrażenie (2𝑎-3)2 -(2𝑎+ 3)2 jest równe\nA. -24𝑎\nB. 0\nC. 18\nD. 16𝑎2 -24𝑎\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie (2a-3)^2-(2a+3)² jest równe A. -24a B. 0 C. 18 D. 16a^2-24a","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nUprość $(2a-3)^2 - (2a+3)^2$.\n\nZauważ, że to jest różnica kwadratów. Wzór:\n\n$$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$$\n\nTutaj $A = 2a - 3$, $B = 2a + 3$.\n\nOblicz $A - B$ i $A + B$.\n\n$$A - B = (2a-3) - (2a+3) = 2a - 3 - 2a - 3 = -6$$\n\n$$A + B = (2a-3) + (2a+3) = 2a - 3 + 2a + 3 = 4a$$\n\nPomnóż wyniki.\n\n$$(A-B)(A+B) = (-6) \\cdot 4a = -24a$$\n\nPo co to umieć\n\nWzór różnicy kwadratów $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ pozwala uniknąć rozwijania dwóch kwadratów osobno. Oszczędzasz czas i unikasz błędów rachunkowych. To jeden z najczęściej używanych wzorów na maturze.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozwinięcie obu kwadratów osobno i pomyłka rachunkowa. Szybszy sposób: użyj wzoru $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, gdzie $A = 2a-3$, $B = 2a+3$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wzory skróconego mnożenia, różnica kwadratów, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n-2(𝑥+ 3) ≤2 -𝑥\n3\njest przedział\nA. (-∞, -4]\nB. (-∞, 4]\nC. [-4, ∞)\nD. [4, ∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności -2(x+3) ≤ 2-x/3 jest przedział A. (-∞,4> B. (-∞,4> C. <-4,∞) D. <4,∞)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozwiąż $-2(x+3) \\leq \\frac{2-x}{3}$.\n\nPozbądź się ułamka. Pomnóż obie strony przez $3$ (dodatnia liczba — znak nierówności bez zmiany):\n\n$$-6(x+3) \\leq 2-x$$\n\nRozwiń lewą stronę.\n\n$$-6x - 18 \\leq 2 - x$$\n\nPrzenieś niewiadome na lewo, liczby na prawo.\n\n$$-6x + x \\leq 2 + 18$$\n$$-5x \\leq 20$$\n\nPodziel obie strony przez $-5$ — UWAGA: znak nierówności się zmienia (bo dzielimy przez liczbę ujemną):\n\n$$x \\geq -4$$\n\nZapisz jako przedział. $x \\geq -4$ oznacza:\n\n$$x \\in \\langle -4, +\\infty)$$\n\nPo co to umieć\n\nNierówności liniowe to fundament — pojawiają się prawie w każdym arkuszu, czasem jako odrębne zadanie, czasem jako element większego problemu (dziedzina funkcji, granice). Najważniejsza zasada: mnożenie/dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zapomnienie o zmianie znaku nierówności przy dzieleniu/mnożeniu obu stron przez liczbę ujemną. Tutaj pojawia się ten moment przy końcu rozwiązania.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"nierówność liniowa, Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nJednym z rozwiązań równania √3(𝑥2 -2)(𝑥+ 3) = 0 jest liczba\nA. 3\nB. 2\nC. √3\nD. √2\n\nMMAP-P0_100\nJednym z rozwiązań równania √3(x^2-2)(x+3)=0 jest liczba A. 3 B. 2 C. √3 D. √2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZnajdź jedno rozwiązanie $\\sqrt{3}(x^2 - 2)(x+3) = 0$.\n\nZauważ kluczowy fakt: iloczyn = 0 tylko wtedy, gdy któryś z czynników = 0.\n\nCzynniki: $\\sqrt{3}$, $(x^2 - 2)$, $(x+3)$.\n\n$\\sqrt{3} \\neq 0$ — to stała różna od zera, nie daje rozwiązań.\n\nRozwiąż $x^2 - 2 = 0$:\n\n$$x^2 = 2 \\implies x = \\sqrt{2} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{2}$$\n\nRozwiąż $x + 3 = 0$:\n\n$$x = -3$$\n\nZbierz wszystkie rozwiązania. Równanie ma trzy rozwiązania:\n\n$$x \\in \\left\\{ -3,\\ -\\sqrt{2},\\ \\sqrt{2} \\right\\}$$\n\nSpośród podanych odpowiedzi A=3, B=2, C=$\\sqrt{3}$, D=$\\sqrt{2}$ — pasuje D.\n\nPo co to umieć\n\nReguła „iloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0\" to fundament rozwiązywania równań iloczynowych i wielomianów. Działa tylko gdy mamy iloczyn — przy sumie czy różnicy nie wolno tej reguły stosować.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: rozwiązanie $x^2 = 2$ jako $x = 2$ (zamiast $x = \\pm\\sqrt{2}$). Pamiętaj o **obu** pierwiastkach kwadratowych z liczby dodatniej.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"równanie wielomianu, iloczyn równy zeru, Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie\n(𝑥+1)(𝑥-1)2\n(𝑥-1)(𝑥+1)2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązania.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.\nD. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.\nRównanie (x+1)(x-1)^2/(x-1)(x+1)^2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1. C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1. D. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nA","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba znaleźć liczbę rozwiązań równania:\n\n$$\\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2} = 0$$\n\nWyznacz dziedzinę. Mianownik musi być różny od zera:\n\n$$(x-1)(x+1)^2 \\neq 0$$\n\nTo znaczy $x \\neq 1$ oraz $x \\neq -1$.\n\nDziedzina: $D = \\mathbb{R} \\setminus \\{-1, 1\\}$.\n\nUłamek = 0 ⟺ licznik = 0 (przy zachowaniu dziedziny):\n\n$$(x+1)(x-1)^2 = 0$$\n\nCzyli $x = -1$ lub $x = 1$.\n\nSprawdź dziedzinę. Oba potencjalne rozwiązania ($x = -1$ i $x = 1$) są wykluczone z dziedziny.\n\nWniosek: równanie nie ma rozwiązań.\n\nPo co to umieć\n\nRównania wymierne wymagają dwóch kroków: (1) wyznaczenia dziedziny z mianownika ≠ 0, (2) sprawdzenia, że wyznaczone rozwiązania spełniają tę dziedzinę. Skrócenie ułamka „w głowie\" może prowadzić do błędu, jeśli zapomnimy o pkt 1.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: skrócenie ułamka **przed** ustaleniem dziedziny i zapomnienie, że punkty wykluczone z dziedziny nie mogą być rozwiązaniem. Skrócenie do $\\frac{x-1}{x+1} = 0$ daje pozornie $x = 1$ — ale $x = 1$ jest poza dziedziną.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"równanie wymierne, dziedzina, Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟏𝟐𝒙+ 𝟖= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie 3x^3-2x^2-12x+8=0.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-2), 2\n3 , 2\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-2), 2\n3 , 2, oraz stwierdzenie, że są\nto jedyne rozwiązania równania.\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,\nnp. (3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0 i 𝑥= 2\n3 ,\n(3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0 i 𝑥= -2 oraz 𝑥= 2\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= 2 i (3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8): (𝑥-2) = 3𝑥2 + 4𝑥-4,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (3𝑥-2)(𝑥-2)(𝑥+ 2),\nALBO\n- przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0 do postaci alternatywy równań\ni rozwiązanie jednego z nich, np.\n(3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0) i 𝑥= 2 oraz 𝑥= -2.\n1 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego, np. (3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0 (jeśli to\nrozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),\nALBO\n- przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0 do postaci alternatywy równań,\nnp. 3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -4 = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje\nczynnik (3𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0\n𝑥2(3𝑥-2) -4(3𝑥-2) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0\n3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-2 = 0 lub 𝑥+ 2 = 0\n𝑥= 2\n3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= -2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-2), 2\n3 , 2.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0\n3𝑥(𝑥2 -4) -2(𝑥2 -4) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥2 -4) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥-2)(𝑥+ 2) = 0\n3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-2 = 0 lub 𝑥+ 2 = 0\n𝑥= 2\n3 lub 𝑥= 2 lub 𝑥= -2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-2), 2\n3 , 2.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥-2. Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian 𝑥-2 i otrzymujemy\n(3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8): (𝑥-2) = 3𝑥2 + 4𝑥-4\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(3𝑥2 + 4𝑥-4).\nObliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥2 + 4𝑥-4:\nΔ = 42 -4 ⋅3 ⋅(-4) = 64\n𝑥= -4 -8\n2 ⋅3\n= -2 oraz 𝑥= -4 + 8\n2 ⋅3\n= 2\n3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-2), 2\n3 , 2.\nSposób IV\nObliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.\nObliczamy 𝑊(-2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-2) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.\nObliczamy 𝑊(2\n3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2\n3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8.\nPonieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki\nrzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 = 0\nsą liczby: (-2), 2\n3 , 2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: $x = \\frac{2}{3}$, $x = 2$, $x = -2$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozwiąż $3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0$.\n\nPogrupuj wyrazy po dwa. Spójrz na strukturę współczynników:\n\n$$3x^3 - 2x^2 \\mid -12x + 8$$\n\nWyciągnij wspólny czynnik z każdej grupy:\n\n$$x^2(3x - 2) - 4(3x - 2)$$\n\nZauważ wspólny nawias $(3x - 2)$ i wyłącz go:\n\n$$(3x - 2)(x^2 - 4) = 0$$\n\nRozłóż $x^2 - 4$ jako różnicę kwadratów:\n\n$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$\n\nCałość:\n\n$$(3x - 2)(x - 2)(x + 2) = 0$$\n\nIloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0:\n\n- $3x - 2 = 0 \\implies x = \\frac{2}{3}$\n- $x - 2 = 0 \\implies x = 2$\n- $x + 2 = 0 \\implies x = -2$\n\nPo co to umieć\n\nGrupowanie wyrazów to najszybsza metoda rozkładu wielomianów stopnia 3-4, w których współczynniki układają się parami w proporcję. Schemat: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ z $\\frac{a}{b} = \\frac{c}{d}$.\n\nDrugi sposób — znaleźć wymierny pierwiastek przez wzór Bezouta: jeśli wielomian ma pierwiastek wymierny $\\frac{p}{q}$ (po skróceniu), to $p$ dzieli wyraz wolny ($8$), a $q$ dzieli najwyższy współczynnik ($3$). Kandydaci: $\\pm 1, \\pm 2, \\pm 4, \\pm 8, \\pm\\frac{1}{3}, \\pm\\frac{2}{3}, \\pm\\frac{4}{3}, \\pm\\frac{8}{3}$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: próba zgadnięcia pierwiastka i podzielenia wielomianu przez $(x - p)$ — to działa, ale jest długie. Szybciej: **grupowanie wyrazów po dwa**. $3x^3 - 2x^2$ + $-12x + 8 = x^2(3x-2) - 4(3x-2) = (3x-2)(x^2-4)$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"równanie trzeciego stopnia, grupowanie wyrazów, Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= -2𝑥+ 1\nB. { 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= -2𝑥-1\nC. { 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 2𝑥+ 1\nD. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-1\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n\nMMAP-P0_100\nNa rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) jednego z niżej zapisanych układów równań A-D. [rysunek] Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. {y=-x+2; y=-2x+1 B. {y=x-2; y=-2x-1 C. {y=x-2; y=2x+1 D. {y=-x+2; y=2x-1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów\noznaczonych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba odczytać z wykresu równania obu prostych i znaleźć pasujący układ.\n\nProsta opadająca (z lewej-góry do prawej-dołu). Przechodzi przez $(0, 2)$ i $(2, 0)$.\n\n- Punkt przecięcia z osią $y$: $b = 2$\n- Współczynnik kierunkowy: $a = \\frac{0 - 2}{2 - 0} = -1$\n\nRównanie: $y = -x + 2$\n\nProsta rosnąca (z lewej-dołu do prawej-góry). Przechodzi przez $(0, -1)$ i np. $(1, 1)$.\n\n- Punkt przecięcia z osią $y$: $b = -1$\n- Współczynnik kierunkowy: $a = \\frac{1 - (-1)}{1 - 0} = 2$\n\nRównanie: $y = 2x - 1$\n\nZbierz układ:\n\n$$\\begin{cases} y = -x + 2 \\\\ y = 2x - 1 \\end{cases}$$\n\nTo odpowiedź D.\n\nSprawdzenie: Punkt przecięcia prostych: $-x + 2 = 2x - 1 \\Rightarrow 3 = 3x \\Rightarrow x = 1, y = 1$. Z wykresu też widać punkt przecięcia w $(1, 1)$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nCzytanie wykresów funkcji liniowej to fundament. Z dwóch punktów odczytujesz równanie $y = ax + b$:\n- $b$ — punkt przecięcia z osią $y$ (gdzie $x = 0$)\n- $a$ — przyrost $y$ na jednostkę przyrostu $x$ (kąt nachylenia)\n\nPamiętaj: $a > 0$ ↗ rosnąca, $a < 0$ ↘ opadająca, $a = 0$ pozioma.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie znaku współczynnika kierunkowego. Prosta opadająca ma $a < 0$, rosnąca ma $a > 0$. Drugi błąd: pomylenie wyrazu wolnego (punktu przecięcia z osią $y$) ze współrzędną $x$ punktu przecięcia z osią $x$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"układ równań liniowych, interpretacja geometryczna, Układy równań, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-2)\nDany jest prostokąt o bokach długości 𝑎 i 𝑏, gdzie 𝑎> 𝑏. Obwód tego prostokąta jest\nrówny 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego.\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nZależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań\noznaczonych literami: oraz\nA. { 2𝑎𝑏= 30\n𝑎-𝑏= 5\nB. { 2𝑎+ 𝑏= 30\n𝑎= 5𝑏\nC. { 2(𝑎+ 𝑏) = 30\n𝑏= 𝑎-5\nD. { 2𝑎+ 2𝑏= 30\n𝑏= 5𝑎\nE. { 2𝑎+ 2𝑏= 30\n𝑎-𝑏= 5\nF. { 𝑎+ 𝑏= 30\n𝑎= 𝑏+ 5\n11.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest prostokąt o bokach długości a i b, gdzie a>b. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ............. oraz ............. . A. {2ab=30; a-b=5 B. {2a+b=30; a=5b C. {2(a+b)=30; b=a-5 D. {2a+2b=30; b=5a E. {2a+2b=30; a-b=5 F. {a+b=30; a=b+5.","answer":"CE","answer_text":"Zadanie 11. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nCE\nAD","solution":"Odpowiedź: C, E\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzeba zidentyfikować dwa układy spośród A–F, które poprawnie opisują dane.\n\nZapisz fakty:\n- Obwód prostokąta: $2a + 2b = 30$, równoważnie $2(a + b) = 30$, czyli $a + b = 15$.\n- $a > b$ i jeden bok jest o $5$ krótszy: $a - b = 5$, równoważnie $b = a - 5$.\n\nSprawdź każdą odpowiedź:\n\nOdp. | Obwód | Różnica | Status\nA | $2ab = 30$ (to pole!) | $a - b = 5$ ✓ | ❌ błędny obwód\nB | $2a + b = 30$ (jeden bok dwa razy) | $a = 5b$ ❌ | ❌\nC | $2(a+b) = 30$ ✓ | $b = a - 5$ ✓ | ✅\nD | $2a + 2b = 30$ ✓ | $b = 5a$ ❌ (sprzeczne z $a > b$) | ❌\nE | $2a + 2b = 30$ ✓ | $a - b = 5$ ✓ | ✅\nF | $a + b = 30$ ❌ (powinno być $15$) | $a = b + 5$ ✓ | ❌\n\nWybierz: C i E.\n\nPo co to umieć\n\nModelowanie tekstu w język matematyczny — najtrudniejsza umiejętność na maturze podstawowej. Klucz: zapisz każdy fakt z treści jako równanie, potem dopiero szukaj odpowiedzi w opcjach. Tu są dwa fakty (obwód, różnica boków) → dwa równania w układzie.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zapis $a + b = 30$ zamiast $2a + 2b = 30$ — zapomnienie, że obwód to suma WSZYSTKICH czterech boków, a prostokąt ma dwa boki $a$ i dwa boki $b$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"układ równań, obwód prostokąta, modelowanie, Układy równań, uklady_rownan","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Dziedziną funkcji f jest zbiór A. <-6,5> B. (-6,5) C. (-3,5> D. <-3,5>","answer":"C","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nOdczytaj dziedzinę funkcji $f$ z wykresu.\n\nCo to jest dziedzina? Dziedzina to zbiór wszystkich $x$, dla których funkcja jest określona. Patrzymy na rzut wykresu na oś $x$ (oś pozioma).\n\nZnajdź skrajne wartości $x$ na wykresie.\n\n- Lewy skrajny punkt: $x = -6$ (zamknięte kółko — należy)\n- Prawy skrajny punkt: $x = 5$ (zamknięte kółko — należy)\n\nSprawdź odcinki:\n- $x \\in \\langle -6, -3 \\rangle$ — funkcja określona (pozioma)\n- $x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$ — funkcja określona (skośna)\n- $x \\in \\langle 2, 5 \\rangle$ — funkcja określona (opadająca)\n\nUwaga: otwarte kółka między odcinkami nie wykluczają $x$ z dziedziny, tylko zaznaczają nieciągłość funkcji w danym punkcie. Wartość $f(x)$ w tych punktach może być zdefiniowana przez sąsiedni odcinek.\n\nDziedzina: $\\langle -6, 5 \\rangle$\n\nPo co to umieć\n\nDziedzina funkcji z wykresu = rzut wykresu na oś $x$. Reguła: kółko zamknięte ⇒ należy, kółko otwarte ⇒ nie należy. Ale jeśli ten sam $x$ ma wartość zdefiniowaną przez inny odcinek (np. sąsiedni), to wciąż należy do dziedziny.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie dziedziny ze zbiorem wartości. Dziedzina = wszystkie wartości $x$, dla których funkcja jest określona (oś pozioma). Zbiór wartości = wszystkie wartości $y$ (oś pionowa).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcja, dziedzina, czytanie wykresu","page_from":12,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór\nA. [-6, 5]\nB. (-6, 5)\nC. (-3, 5]\nD. [-3, 5]\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Dziedziną funkcji f jest zbiór A. <-6,5> B. (-6,5) C. (-3,5> D. <-3,5>","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: wyrażenie redukuje się do \\(x^4 + x^2 - 6x\\)\n\nZadanie polega na uproszczeniu dwóch kluczowych części: **wyrażenia \\(81^{\\log_3 x}\\)** oraz **współczynnika \\(\\dfrac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}\\)**. Gdy oba okażą się równe odpowiednio \\(x^4\\) i \\(1\\), teza wynika natychmiast.\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie uproszczenie każdego składnika\n\n**Krok 1: Uproszczenie \\(81^{\\log_3 x}\\)**\n\nZauważamy, że \\(81 = 3^4\\), więc:\n\\[81^{\\log_3 x} = \\left(3^4\\right)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\cdot \\log_3 x}\\]\n\nKorzystamy z własności logarytmu: \\(r \\cdot \\log_a b = \\log_a b^r\\):\n\\[3^{4 \\cdot \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4}\\]\n\nTeraz stosujemy fundamentalną własność \\(a^{\\log_a b} = b\\):\n\\[\\boxed{3^{\\log_3 x^4} = x^4}\\]\n\n**Krok 2: Uproszczenie \\(\\dfrac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}\\)**\n\nRozkładamy \\(\\log_2\\sqrt{27}\\):\n\\[\\log_2\\sqrt{27} = \\log_2 27^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\log_2 27 = \\frac{1}{2}\\log_2 3^3 = \\frac{1}{2} \\cdot 3\\log_2 3 = \\frac{3}{2}\\log_2 3\\]\n\nPodstawiamy do współczynnika:\n\\[\\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{2 \\cdot \\dfrac{3}{2}\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy: \\(\\log_3 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 3}\\), więc:\n\\[\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = \\log_2 3 \\cdot \\frac{1}{\\log_2 3} = \\boxed{1}\\]\n\n**Krok 3: Złożenie wyniku**\n\nPodstawiamy obie uproszczone wartości do wyjściowego wyrażenia:\n\\[81^{\\log_3 x} + \\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} \\cdot x^2 - 6x = x^4 + 1 \\cdot x^2 - 6x = x^4 + x^2 - 6x\\]\n\n**Co kończy dowód.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie konkretnej wartości (jako sprawdzenie)\n\nSprawdzamy dla \\(x = 3\\), czy lewa i prawa strona są równe.\n\n**Lewa strona:**\n\n\\[81^{\\log_3 3} + \\frac{2 \\cdot \\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} \\cdot 9 - 18\\]\n\nPonieważ \\(\\log_3 3 = 1\\):\n\\[81^1 = 81\\]\n\nWspółczynnik (wykazany w Sposobie 1 = 1):\n\\[81 + 1 \\cdot 9 - 18 = 81 + 9 - 18 = 72\\]\n\n**Prawa strona:**\n\\[3^4 + 3^2 - 6 \\cdot 3 = 81 + 9 - 18 = 72\\]\n\nWyniki zgodne: \\(72 = 72\\). ✓\n\n> **Uwaga:** Podstawienie konkretnej liczby **nie jest dowodem** - to tylko sprawdzenie. Pełnym dowodem jest Sposób 1 (przekształcenia ogólne dla każdego \\(x > 0\\)).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\n1. Własność potęgi logarytmu:\n\\[r \\cdot \\log_a b = \\log_a b^r\\]\nUżyta przy przekształceniu \\(4 \\cdot \\log_3 x = \\log_3 x^4\\).\n\n2. Definicja logarytmu / własność podstawowa:\n\\[a^{\\log_a b} = b\\]\nKluczowa przy zamianie \\(3^{\\log_3 x^4} = x^4\\).\n\n3. Zmiana podstawy logarytmu:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}, \\quad \\text{stąd} \\quad \\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]\nUżyta przy wykazaniu, że \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\).\n\n4. Własność \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):\n\\[\\log_2\\sqrt{27} = \\tfrac{1}{2}\\log_2 27 = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(81^{\\log_3 x}\\) łatwo pomylić kolejność: trzeba najpierw zamienić podstawę potęgi \\(81 = 3^4\\), a **dopiero potem** skorzystać z własności \\(a^{\\log_a b} = b\\). Błąd: próba liczenia \\(\\log_3 x\\) z osobna i podstawiania liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_2\\sqrt{27} \\neq \\frac{1}{2}\\log_2 3\\). Poprawnie: \\(\\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}\\), więc \\(\\log_2\\sqrt{27} = \\frac{3}{2}\\log_2 3\\). Pominięcie trójki to najczęstszy błąd w tym zadaniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\) wynika ze zmiany podstawy. Można ją zapamiętać ogólnie: \\(\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1\\) dla dowolnych poprawnych podstaw. Warto ten wzór mieć w głowie - pojawia się na maturze regularnie.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Wykazujemy, że dane wyrażenie jest równe \\(x^{4} + x^{2} - 6x\\).\n\n### Sposób 1\n\n**Krok 1. Przekształcamy \\(81^{\\log_{3} x}\\).**\n\nKorzystamy z \\(81 = 3^{4}\\) i tożsamości \\(a^{\\log_{a} b} = b\\):\n\\[81^{\\log_{3} x} = (3^{4})^{\\log_{3} x} = 3^{4\\log_{3} x} = 3^{\\log_{3} x^{4}} = x^{4}\\]\n\n**Krok 2. Przekształcamy współczynnik przy \\(x^{2}\\).**\n\nObliczamy \\(\\log_{2}\\sqrt{27}\\):\n\\[\\log_{2}\\sqrt{27} = \\log_{2} 27^{1/2} = \\tfrac{1}{2}\\log_{2} 27 = \\tfrac{1}{2}\\log_{2} 3^{3} = \\tfrac{3}{2}\\log_{2} 3\\]\n\nWykorzystujemy wzór na zamianę podstawy: \\(\\log_{3} 2 = \\dfrac{1}{\\log_{2} 3}\\).\n\nZatem:\n\\[\\dfrac{2 \\cdot \\log_{2}\\sqrt{27} \\cdot \\log_{3} 2}{3} = \\dfrac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}\\log_{2} 3 \\cdot \\tfrac{1}{\\log_{2} 3}}{3} = \\dfrac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}}{3} = \\dfrac{3}{3} = 1\\]\n\n**Krok 3. Składamy wyrażenie.**\n\\[81^{\\log_{3} x} + \\dfrac{2 \\cdot \\log_{2}\\sqrt{27} \\cdot \\log_{3} 2}{3} \\cdot x^{2} - 6x = x^{4} + 1 \\cdot x^{2} - 6x = x^{4} + x^{2} - 6x\\]\n\nTo należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- \\(2\\) pkt - poprawne przekształcenie wyrażenia do postaci \\(x^{4} + x^{2} - 6x\\).\n- \\(1\\) pkt - poprawne zastosowanie własności \\(a^{\\log_{a} b} = b\\), tj. przekształcenie \\(3^{\\log_{3} x^{4}}\\) (lub \\(\\left(3^{\\log_{3} x}\\right)^{4}\\)) do postaci \\(x^{4}\\) ALBO poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.\n- \\(0\\) pkt - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** Każde wyrażenie typu \\(a^{b \\cdot \\log_{a} x}\\) zwija się do \\(x^{b}\\). Tutaj \\(81^{\\log_{3} x} = 3^{4\\log_{3} x} = x^{4}\\). Drugi trik: \\(\\log_{a} b \\cdot \\log_{b} a = 1\\) - iloczyn wzajemnie odwrotnych logarytmów.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.1.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [-4, 1] jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 5\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nnajwiększe […] wartości funkcji (o ile\nistnieją) w danym przedziale domkniętym\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-4\\)\n\nNajmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\mathbf{-4}\\) i jest osiągana dla \\(x = 1\\).\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie wzoru + pochodna\n\n### Krok 1: Zweryfikuj wskazówkę - uprość każdy składnik\n\n**Składnik 1:** \\(81^{\\log_3 x}\\)\n\nPonieważ \\(81 = 3^4\\):\n\\[81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4\\]\n\n**Składnik 2:** Współczynnik przy \\(x^2\\)\n\nOblicz \\(\\log_2 \\sqrt{27}\\):\n\\[\\log_2 \\sqrt{27} = \\log_2 27^{1/2} = \\tfrac{1}{2}\\log_2 3^3 = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\]\n\nPodstaw do współczynnika:\n\\[\\frac{2 \\cdot \\tfrac{3}{2}\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2\\]\n\nWzór na zmianę podstawy: \\(\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = \\dfrac{\\log 3}{\\log 2} \\cdot \\dfrac{\\log 2}{\\log 3} = 1\\)\n\n**Wniosek:** Współczynnik przy \\(x^2\\) wynosi \\(1\\), zatem:\n\\[\\boxed{f(x) = x^4 + x^2 - 6x}\\]\n\n### Krok 2: Wyznacz minimum - metoda pochodnej\n\nPochodna:\n\\[f'(x) = 4x^3 + 2x - 6\\]\n\nPrzyrównaj do zera:\n\\[4x^3 + 2x - 6 = 0 \\implies 2x^3 + x - 3 = 0\\]\n\nSprawdź \\(x = 1\\): \\(2(1)^3 + 1 - 3 = 0\\) ✓\n\nWyłącz czynnik \\((x-1)\\):\n\\[2x^3 + x - 3 = (x - 1)(2x^2 + 2x + 3)\\]\n\nCzynnik \\(2x^2 + 2x + 3\\) ma \\(\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0\\), więc **nie ma pierwiastków rzeczywistych**.\n\nDla \\(x > 0\\) mamy \\(2x^2 + 2x + 3 > 0\\), zatem jedyne miejsce zerowe \\(f'(x)\\) dla \\(x > 0\\) to \\(x = 1\\).\n\n### Krok 3: Potwierdź, że to minimum\n\nSprawdź znak \\(f'(x)\\):\n- Dla \\(0 < x < 1\\): np. \\(f'(0{,}5) = 4(0{,}125) + 1 - 6 = 0{,}5 + 1 - 6 = -4{,}5 < 0\\) → funkcja maleje\n- Dla \\(x > 1\\): np. \\(f'(2) = 32 + 4 - 6 = 30 > 0\\) → funkcja rośnie\n\nFunkcja maleje przed \\(x = 1\\) i rośnie po \\(x = 1\\) - to **globalne minimum** na \\((0, +\\infty)\\).\n\n### Krok 4: Oblicz wartość minimalną\n\n\\[f(1) = 1^4 + 1^2 - 6 \\cdot 1 = 1 + 1 - 6 = \\mathbf{-4}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: granice + potwierdzenie globalności\n\nSprawdźmy, że \\(-4\\) to faktycznie minimum globalne (a nie tylko lokalne):\n\n**Zachowanie na brzegach dziedziny \\((0, +\\infty)\\):**\n\nGdy \\(x \\to 0^+\\):\n\\[f(x) = x^4 + x^2 - 6x \\to 0 + 0 - 0 = 0 > -4\\]\n\nGdy \\(x \\to +\\infty\\):\n\\[f(x) \\approx x^4 \\to +\\infty\\]\n\nFunkcja jest ciągła na \\((0, +\\infty)\\), startuje od \\(0\\) (przy \\(x \\to 0^+\\)), dąży do \\(+\\infty\\), a po drodze ma **dokładnie jeden punkt krytyczny** \\(x = 1\\) - musi on być minimum globalnym.\n\n**Alternatywna weryfikacja przez drugą pochodną:**\n\\[f''(x) = 12x^2 + 2, \\quad f''(1) = 14 > 0\\]\n\nWynik: **minimum lokalne (i globalne)** w \\(x = 1\\), wartość \\(-4\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**\n\n\\[\\log_a(x^r) = r \\cdot \\log_a x\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia \\(\\log_2 \\sqrt{27} = \\tfrac{3}{2}\\log_2 3\\).\n\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b} \\implies \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1\\]\n\nUżyliśmy do uproszczenia współczynnika (iloczyn logarytmów wzajemnych = 1).\n\n**Dział 2 (Potęgi, s. 4-5):**\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}, \\quad a^{\\log_a b} = b\\]\n\nUżyliśmy do uproszczenia \\(81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4\\).\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33):**\n\n\\[[x^r]' = r \\cdot x^{r-1}\\]\n\nUżyliśmy do obliczenia \\(f'(x) = 4x^3 + 2x - 6\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(3^{\\log_3 x^4} = x^4\\) - to nie jest oczywiste! Korzystamy z definicji logarytmu: \\(a^{\\log_a b} = b\\). Bez tej zamiany cały wzór wygląda strasznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przyrównując \\(2x^3 + x - 3 = 0\\) - nie \"widać\" pierwiastka na pierwszy rzut oka. Zawsze warto sprawdzić \\(x = 1\\) i \\(x = -1\\) (i ewentualnie \\(x = \\tfrac{3}{2}\\)) metodą prób, bo przy \\(x=1\\) równanie ładnie zeruje się.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sama pochodna zeruje się w \\(x=1\\), ale należy **sprawdzić**, czy to minimum (a nie maximum czy punkt przegięcia). Tu \\(f'' (1) = 14 > 0\\) - minimum. Gdybyś pominął ten krok, mógłbyś oddać wynik bez uzasadnienia.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Najmniejsza wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(-4\\), przyjmowana dla \\(x = 1\\).\n\n### Sposób 1 (pochodna)\n\n**Krok 1. Wyznaczamy pochodną.**\n\nDla \\(f(x) = x^{4} + x^{2} - 6x\\), \\(x > 0\\):\n\\[f'(x) = 4x^{3} + 2x - 6\\]\n\n**Krok 2. Szukamy miejsc zerowych pochodnej.**\n\\[4x^{3} + 2x - 6 = 0\\]\n\nZauważamy, że \\(x = 1\\) jest pierwiastkiem: \\(4 + 2 - 6 = 0\\). Dzielimy:\n\\[4x^{3} + 2x - 6 = (x - 1)(4x^{2} + 4x + 6)\\]\n\nSprawdzamy drugi czynnik: \\(\\Delta = 16 - 96 < 0\\), więc \\(4x^{2} + 4x + 6 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Jedyne miejsce zerowe to \\(x = 1\\).\n\n**Krok 3. Badamy znak pochodnej.**\n\\[f'(x) = (x-1) \\underbrace{(4x^{2} + 4x + 6)}_{> 0}\\]\n\n- dla \\(x \\in (0, 1)\\): \\(f'(x) < 0\\) - \\(f\\) malejąca\n- dla \\(x \\in (1, +\\infty)\\): \\(f'(x) > 0\\) - \\(f\\) rosnąca\n\nZatem \\(f\\) ma minimum lokalne (i globalne na \\((0, +\\infty)\\)) dla \\(x = 1\\).\n\n**Krok 4. Obliczamy najmniejszą wartość.**\n\\[f(1) = 1^{4} + 1^{2} - 6 \\cdot 1 = 1 + 1 - 6 = -4\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- \\(4\\) pkt - uzasadnienie, że \\(f\\) osiąga wartość najmniejszą dla \\(x = 1\\), i obliczenie \\(f(1) = -4\\).\n- \\(3\\) pkt - uzasadnienie (np. przez monotoniczność), że \\(f\\) osiąga wartość najmniejszą dla \\(x = 1\\).\n- \\(2\\) pkt - poprawne rozwiązanie \\(4x^{3} + 2x - 6 = 0\\): \\(x = 1\\).\n- \\(1\\) pkt - wyznaczenie pochodnej \\(f'(x) = 4x^{3} + 2x - 6\\).\n- Błąd przy wyznaczaniu pochodnej (pochodna nie jest wielomianem stopnia trzeciego) - \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** Dla wielomianu \\(f\\) na przedziale otwartym: (1) pochodna, (2) miejsca zerowe, (3) znak pochodnej lub analiza drugiej pochodnej. Gdy pochodna ma jeden pierwiastek i zmienia znak z \"\\(-\\)\" na \"\\(+\\)\" - mamy globalne minimum.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/12.3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"12.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze\nA. [-6, -3)\nB. [-3, 1]\nC. (1, 2]\nD. [2, 5]\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja f jest malejąca w zbiorze A. <-6,-3) B. <-3,1> C. (1,2> D. <2,5>","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały monotoniczności […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nFunkcja \\(f\\) jest malejąca w zbiorze \\(\\langle 2, 5\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie wykres „idzie w dół\"\n\n**Definicja:** Funkcja jest **malejąca** na przedziale, jeśli gdy \\(x\\) rośnie (przesuwamy się w prawo), wartości \\(f(x)\\) maleją (wykres opada).\n\nAnalizujemy wykres odcinek po odcinku, sprawdzając kierunek przebiegu:\n\n| Przedział | Zachowanie wykresu | Wniosek |\n| \\(\\langle -6, -3)\\) | wykres rośnie (idzie ku górze) | rosnąca ✗ |\n| \\(\\langle -3, 1\\rangle\\) | wykres przebiega poziomo lub rośnie | niemalejąca ✗ |\n| \\((1, 2\\rangle\\) | wykres rośnie stromo | rosnąca ✗ |\n| \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) | wykres opada (idzie ku dołowi) | **malejąca ✓** |\n\n**Wniosek:** Jedyny przedział, na którym wykres konsekwentnie opada, to \\(\\langle 2, 5\\rangle\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie wartości\n\nFunkcja jest malejąca na przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), gdy dla każdych \\(x_1, x_2 \\in \\langle a, b \\rangle\\) zachodzi:\n\\[x_1 < x_2 \\implies f(x_1) > f(x_2)\\]\n\nSprawdzamy dla odpowiedzi D na podstawie wykresu:\n- W \\(x = 2\\) funkcja osiąga **lokalne maksimum** (najwyższy punkt na tym fragmencie)\n- W \\(x = 5\\) funkcja osiąga niższą wartość niż w \\(x = 2\\)\n- Każdy punkt wykresu pomiędzy \\(x = 2\\) a \\(x = 5\\) leży niżej od poprzedniego\n\nZatem: \\(x_1 < x_2\\) i oba w \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) \\(\\implies\\) \\(f(x_1) > f(x_2)\\). **Warunek spełniony.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji malejącej oraz odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do złego wyboru |\n| A | Na przedziale \\(\\langle -6, -3)\\) wykres **rośnie** - uczeń myli kierunek lub patrzy na ujemne wartości \\(y\\) i błędnie interpretuje je jako „malenie\" |\n| B | Na \\(\\langle -3, 1\\rangle\\) wykres jest **stały lub rosnący** - uczeń może mylić funkcję stałą z malejącą |\n| C | Na \\((1, 2\\rangle\\) wykres **rośnie stromo** aż do lokalnego maksimum w \\(x = 2\\) - uczeń myli punkt, od którego funkcja zaczyna maleć |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja malejąca to taka, gdzie wykres **opada** przy ruchu w prawo. Wiele osób myli to z ujemnymi wartościami funkcji - wartości mogą być ujemne, a funkcja nadal rosnąca!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zwróć uwagę na nawiasy w odpowiedziach - \\(\\langle 2, 5\\rangle\\) to przedział **domknięty** (z obu stron). Zwykle funkcja może być malejąca razem z końcami przedziału, chyba że w punkcie końcowym zachowanie jest inne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(x = 2\\) to **wierzchołek** (lokalne maksimum). Od tego miejsca wykres zaczyna opadać - to sygnał, że właśnie tu zaczyna się przedział malejący.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza monotoniczności\n- \\(\\langle -6, -3)\\): \\(f\\) stała (\\(y=2\\)) - nie malejąca.\n- \\(\\langle -3, 1\\rangle\\): \\(f\\) rosnąca (od \\(-3\\) do \\(1\\)).\n- \\((1, 2\\rangle\\): \\(f\\) stała (\\(y=5\\)).\n- \\(\\langle 2, 5\\rangle\\): \\(f\\) **malejąca** (od \\(5\\) do \\(3\\)) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(f\\) stała - funkcja stała nie jest malejąca.\n- **B.** \\(f\\) rosnąca.\n- **C.** \\(f\\) stała.\n\n**Definicja:** funkcja jest malejąca, gdy dla \\(x_1 < x_2\\) zachodzi \\(f(x_1) > f(x_2)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza definicji funkcji malejącej\n\nFunkcja \\(f(x)\\) jest malejąca w zbiorze, jeśli dla każdego \\(x_1 < x_2\\) zachodzi \\(f(x_1) > f(x_2)\\). Innymi słowy, wartości funkcji rosną, gdy x rośnie. Zatem, jeśli \\(x_1 < x_2\\), to \\(f(x_1)\\) musi być większe niż \\(f(x_2)\\).\n\nRozważmy przedziały podane w odpowiedziach:\n\n* A. \\([-6, -3)\\): W tym przedziale, jeśli \\(x_1 < x_2\\), to \\(f(x_1)\\) może być mniejsze lub równe \\(f(x_2)\\), co narusza warunek malejącej funkcji.\n* B. \\([-3, 1]\\): Podobnie jak w przypadku A, nie spełnia warunku malejącej funkcji.\n* C. \\((1, 2]\\): Podobnie jak w przypadku A i B, nie spełnia warunku malejącej funkcji.\n* D. \\([2, 5]\\): Podobnie jak w przypadku A, B i C, nie spełnia warunku malejącej funkcji.\n\nW związku z tym, tylko przedział \\([-6, -3)\\) może być prawidłowy, ponieważ w tym przedziale funkcja jest malejąca.\n\n📖 Karta wzorów: \\[(1, 2]\\], strona 3\n\n### Sposób 2: Interpretacja wykresu funkcji\n\nZ wykresu funkcji \\(y = f(x)\\) widać, że funkcja jest malejąca w przedziale \\([-6, -3]\\). W tym przedziale, gdy \\(x\\) rośnie, \\(y\\) maleje. Zatem, funkcja spełnia warunek malejącej funkcji w tym przedziale.\n\n📖 Karta wzorów: \\[(1, 2]\\], strona 3\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. \\([-3, 1]\\)**: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.\n* **C. \\((1, 2]\\)**: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.\n* **D. \\([2, 5]\\)**: Na wykresie widać, że funkcja w tym przedziale rośnie, a nie maleje.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-12.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-12.3.svg","topics":"Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi\nliczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok\nprzedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:\nA. 𝑎> 0 i 𝑏> 0.\nB. 𝑎> 0 i 𝑏< 0.\nC. 𝑎< 0 i 𝑏> 0.\nD. 𝑎< 0 i 𝑏< 0.\n𝑦\n𝑥\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1\n1\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=ax+b, gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y). [rysunek] Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki: A. a>0 i b>0. B. a>0 i b<0. C. a<0 i b>0. D. a<0 i b<0.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz największą wartość funkcji $f$ na przedziale $\\langle -4, 1 \\rangle$.\n\nWytnij interesujący nas przedział z wykresu. Patrzymy tylko na $x \\in \\langle -4, 1 \\rangle$.\n\nW tym zakresie mamy:\n- $x \\in \\langle -4, -3 \\rangle$: na lewej poziomej części, $f(x) = 2$\n- $x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$: na skośnej części, $f(x)$ rośnie od $-3$ do $1$\n\nZnajdź największą wartość $y$:\n\n- Lewa pozioma: $f = 2$ (stała)\n- Skośna: max $f(1) = 1$\n\nNajwiększe $f = 2$.\n\nWniosek: max $f$ w $\\langle -4, 1 \\rangle$ wynosi $2$.\n\nPo co to umieć\n\nZnaleźć największą wartość funkcji na przedziale = znaleźć najwyższy punkt wykresu dla danego zakresu $x$. Zawsze: (1) wybierz przedział na osi $x$, (2) zobacz wszystkie wartości $y$ dla tego $x$, (3) wybierz największe $y$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie wartości na osi $y$ z wartością na osi $x$. Najwyższy punkt wykresu nad osią $x = -4$ do $x = 1$ ma $y = 2$ (lewa pozioma część), nie $y = 5$ (która jest poza tym przedziałem $x$).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcja, największa wartość, czytanie wykresu, Funkcja liniowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna\nwierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓, jest równa 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. 11\nB. 1\nC. (-1)\nD. (-13)\n\nMMAP-P0_100\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f, jest równa 3. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. 11 B. 1 C. (-1) D. (-13)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWybierz przedział, w którym funkcja $f$ maleje (wartości $y$ spadają wraz ze wzrostem $x$).\n\nPrzejrzyj wykres odcinek po odcinku:\n\n- $x \\in \\langle -6, -3 \\rangle$: pozioma na $y = 2$ → funkcja stała (nie maleje)\n- $x \\in \\langle -1, 1 \\rangle$: skośna od $(-1, -3)$ do $(1, 1)$ → funkcja rośnie\n- $x \\in \\langle 2, 5 \\rangle$: skośna od $(2, 5)$ do $(5, 3)$ → funkcja maleje ($5 \\to 3$)\n\nSprawdź odpowiedzi:\n- A. $\\langle -6, -3)$ — stała, nie maleje\n- B. $\\langle -3, 1 \\rangle$ — luka w wykresie + rosnąca część\n- C. $(1, 2)$ — funkcja w ogóle nieokreślona w środku\n- D. $\\langle 2, 5 \\rangle$ — maleje ✓\n\nPo co to umieć\n\nFunkcja maleje na przedziale ⟺ wykres na tym przedziale „opada\". Funkcja rośnie ⟺ wykres „wznosi się\". Funkcja stała ⟺ wykres pozostaje na tej samej wysokości. To trzy różne typy monotoniczności — pozioma to NIE jest malejąca.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie „stałej\" z „malejącą\". Funkcja stała (pozioma) **nie maleje**, ale też **nie rośnie** — pozostaje na tym samym poziomie.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"funkcja, monotoniczność, czytanie wykresu, Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛⋅(𝑛+ 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyraz 𝑎4 jest równy\nA. 64\nB. 40\nC. 48\nD. 80\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n=2^n⋅(n+1) dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyraz a_4 jest równy A. 64 B. 40 C. 48 D. 80","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZ wykresu funkcji liniowej $f(x) = ax + b$ odczytaj znaki $a$ i $b$.\n\nWyznacz znak $a$. Wykres jest opadający (z lewej-góry do prawej-dołu). Funkcja liniowa opada ⟺ $a < 0$.\n\nWyznacz znak $b$. $b$ to wartość $f(0)$ — punkt przecięcia wykresu z osią $y$.\n\nZ wykresu: punkt przecięcia jest powyżej osi $x$ (między $0$ a $1$), więc $b > 0$.\n\nWniosek: $a < 0$ i $b > 0$ → odpowiedź C.\n\nPo co to umieć\n\nWspółczynnik $a$ w $f(x) = ax + b$:\n- $a > 0$ → rośnie ↗\n- $a < 0$ → maleje ↘\n- $a = 0$ → stała (pozioma)\n\nWspółczynnik $b$ — punkt przecięcia z osią $y$. $b > 0$ → powyżej osi $x$, $b < 0$ → poniżej.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie znaczenia $a$ (kierunek) i $b$ (przesunięcie). $a$ to **nachylenie** (znak $a$ ⇒ rośnie/maleje), $b$ to **punkt przecięcia z osią $y$**.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"funkcja liniowa, znaki współczynników a i b, Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (27, 9, 𝑎-1) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 3\nB. 0\nC. 4\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (27,9,a-1) jest geometryczny. Liczba a jest równa A. 3 B. 0 C. 4 D. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\n[…] geometrycznych, do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nMając: $x_1 = -5$ (pierwsze miejsce zerowe) i $x_w = 3$ (pierwsza współrzędna wierzchołka), znajdź $x_2$ (drugie miejsce zerowe).\n\nKluczowy fakt: wierzchołek paraboli leży na osi symetrii. Oś symetrii paraboli leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi:\n\n$$x_w = \\frac{x_1 + x_2}{2}$$\n\nPodstaw dane:\n\n$$3 = \\frac{-5 + x_2}{2}$$\n\nRozwiąż:\n\n$$6 = -5 + x_2$$\n$$x_2 = 11$$\n\nSprawdzenie geometryczne. Odległość od wierzchołka $x_w = 3$ do miejsca zerowego $x_1 = -5$ to $|3 - (-5)| = 8$. Drugie miejsce zerowe musi być w takiej samej odległości po drugiej stronie wierzchołka: $3 + 8 = 11$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nParabola ($y = ax^2 + bx + c$) jest symetryczna względem prostej pionowej $x = x_w$. Dwa miejsca zerowe są w takiej samej odległości od wierzchołka.\n\nWzory: $x_w = \\frac{x_1 + x_2}{2}$ (oś symetrii), $x_w = -\\frac{b}{2a}$ (alternatywnie ze współczynników).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: próba ułożenia wzoru postaci kanonicznej z trzech niewiadomych. Szybciej i pewniej: skorzystać z faktu, że oś symetrii paraboli jest **w połowie odległości** między miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"funkcja kwadratowa, miejsca zerowe, oś symetrii, Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-2)\nPan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna\nrata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.\nOblicz kwotę pierwszej raty. Zapisz obliczenia.\n17.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nPan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):\n2𝑎1 + 17 ⋅(-30)\n2\n⋅18 = 8910\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\noraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1:\n2𝑎1+17⋅30\n2\n⋅18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,\nALBO\n- zapisanie równania\n𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -2 ⋅30) + (𝑎1 -3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 -17 ⋅30) = 8910,\ngdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania\n𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅30) + (𝑎1 + 3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 + 17 ⋅30) = 8910\n(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),\nALBO\n- zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1) i ostatnią ratą (𝑎18), np.\n𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶9 albo 𝑎18 = 𝑎1 -17 ⋅30 itp.,\nALBO\n- rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (-30) lub 30\ni zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.\n(𝑥, 𝑥-30, 𝑥-60, …, 𝑥-510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),\nALBO\n- zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.\n𝑎9+𝑎10\n2\n= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 -30.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟= 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie\ninterpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟= -30. Korzystamy ze\nwzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie\n2𝑎1 + 17 ⋅(-30)\n2\n⋅18 = 8910\nPrzekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy\n9(2𝑎1 -510) = 8910\n2𝑎1 -510 = 990\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób II\nPrzyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym\n𝑆18 = 8910 i 𝑟= 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy równanie\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2𝑎1 + 17 ⋅30\n2\n⋅18 = 8910\nPrzekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy\n9(2𝑎1 + 510) = 8910\n2𝑎1 + 510 = 990\n𝑎1 = 240\nOstatnia rata była równa 240 zł.\nObliczamy wysokość pierwszej raty\n𝑎18 = 240 + 17 ⋅30 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób III\nKolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym\nróżnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę\n(18 -1) ⋅30 = 510 zł.\nStąd\n𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -60) + (𝑎1 -90)+. . . +(𝑎1 -510) = 8910\n18𝑎1 -(30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910\ngdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa\n30 + 510\n2\n⋅17 = 4590\nZatem\n18𝑎1 -4590 = 8910\n18𝑎1 = 13500\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób IV\nKolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem\n𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10\nObliczamy wartość pojedynczej sumy\n𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990\nKorzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy\n𝑎1 + 𝑎1 -17 ⋅30 = 990\n2𝑎1 = 990 + 510\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób V\nPrzyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:\n970 zł, 940 zł, … , 490 zł.\nSuma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania\no 4500 zł.\nObliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:\n4500 ∶18 = 250\n1000 -250 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób VI\nKolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) o różnicy\n𝑟= -30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:\n{(𝑎9 + 𝑎10) ⋅9 = 8910\n𝑎10 = 𝑎9 -30 {𝑎9 + 𝑎10 = 990\n𝑎9 -𝑎10 = 30\n2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510\nZatem\n𝑎1 = 𝑎9 -8 ⋅(-30) = 510 + 240 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWstaw $n = 4$ do wzoru $a_n = 2^n \\cdot (n+1)$.\n\nPodstaw $n = 4$:\n\n$$a_4 = 2^4 \\cdot (4 + 1)$$\n\nOblicz po kolei:\n\n$$2^4 = 16$$\n$$4 + 1 = 5$$\n\nPomnóż:\n\n$$a_4 = 16 \\cdot 5 = 80$$\n\nPo co to umieć\n\nWzór ogólny ciągu daje wartość każdego wyrazu po podstawieniu $n$. Pamiętaj o kolejności działań: najpierw potęga ($2^n$) i nawias ($n+1$), potem mnożenie.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie $2^n \\cdot (n+1)$ z $2^{n+1}$ albo $2^n + n + 1$. Wzór jest **iloczynem** $2^n$ i $(n+1)$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"ciąg, wzór ogólny, obliczanie wyrazu, Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt 𝛼 o wierzchołku\nw punkcie 𝑂= (0, 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią 𝑂𝑥,\na drugie przechodzi przez punkt 𝑃= (-3, 1) (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 1\n√10\nB. (-3\n√10)\nC. (-3\n1)\nD. (-1\n3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O=(0,0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox, a drugie przechodzi przez punkt P=(-3,1) (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta α jest równy A. 1/√10 B. (-3/√10) C. -(3/1) D. (-1/3)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji […]\ntangens dla kątów od 0° do 180° […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nMając $(27, 9, a-1)$ jako ciąg geometryczny, znajdź $a$.\n\nWykorzystaj własność ciągu geometrycznego. Stosunek kolejnych wyrazów (iloraz) jest stały:\n\n$$\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}$$\n\nPodstaw wartości:\n\n$$\\frac{9}{27} = \\frac{a - 1}{9}$$\n\n$$\\frac{1}{3} = \\frac{a - 1}{9}$$\n\nRozwiąż: pomnóż obie strony przez $9$:\n\n$$3 = a - 1$$\n$$a = 4$$\n\nSprawdź: Ciąg $(27, 9, 3)$ — iloraz $q = \\frac{9}{27} = \\frac{1}{3}$, kolejny: $\\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nTrzywyrazowy ciąg geometryczny ma własność: $a_2^2 = a_1 \\cdot a_3$ (kwadrat środkowego = iloczyn skrajnych). Można jej użyć zamiast ilorazu — dla naszego ciągu $(27, 9, a-1)$:\n\n$$9^2 = 27 \\cdot (a-1) \\implies 81 = 27a - 27 \\implies a = 4 \\checkmark$$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: użycie własności ciągu arytmetycznego ($a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}$) zamiast geometrycznego ($a_2^2 = a_1 \\cdot a_3$). Sprawdź najpierw, jakiego ciągu dotyczy zadanie.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"ciąg geometryczny, własności, Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin4 𝛼 + sin2 𝛼 ⋅cos2 𝛼 jest równe\nA. sin2 𝛼\nB. sin6 𝛼 ⋅cos2 𝛼\nC. sin4 𝛼+ 1\nD. sin2 𝛼⋅(sin 𝛼+ cos 𝛼) ⋅(sin 𝛼-cos 𝛼)\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n𝑃= ሺ-3, 1ሻ\n𝛼\n𝑂\n2\n1\n-1\n\nMMAP-P0_100\nDla każdego kąta ostrego α wyrażenie sin^4α + sin^2α⋅cos^2α jest równe A. sin^2α B. sin^6α ⋅ cos^2α C. sin^4α + 1 D. sin^2α ⋅ (sinα+cosα) ⋅ (sinα-cosα)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":"Odpowiedź: **Pierwsza rata: $750$ zł** Wzór: $S_{18} = \\frac{18(a_1 + a_{18})}{2} = 8910$, $a_{18} = a_1 - 510$ → $18a_1 - 4590 = 8910$ → $a_1 = 750$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRaty tworzą ciąg arytmetyczny z różnicą $r = -30$ (bo kolejna rata jest mniejsza). Suma 18 rat: $8910$. Znajdź pierwszą ratę $a_1$.\n\nZapisz wzór na ostatnią ratę. W ciągu arytmetycznym:\n\n$$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$$\n\nDla $n = 18$, $r = -30$:\n\n$$a_{18} = a_1 + 17 \\cdot (-30) = a_1 - 510$$\n\nZapisz wzór na sumę 18 wyrazów.\n\n$$S_n = \\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$\n\nDla $n = 18$:\n\n$$S_{18} = \\frac{18(a_1 + a_{18})}{2} = 9(a_1 + a_{18})$$\n\nPodstaw $a_{18} = a_1 - 510$ i $S_{18} = 8910$:\n\n$$9(a_1 + a_1 - 510) = 8910$$\n$$9(2a_1 - 510) = 8910$$\n$$18a_1 - 4590 = 8910$$\n$$18a_1 = 13500$$\n$$a_1 = 750$$\n\nSprawdzenie: $a_{18} = 750 - 510 = 240$. Suma: $\\frac{18 \\cdot (750 + 240)}{2} = 9 \\cdot 990 = 8910$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nZadania kontekstowe z ciągami pojawiają się prawie na każdej maturze. Schemat: (1) zidentyfikuj typ ciągu, (2) zapisz dane jako $a_1$, $r$/$q$, $n$, $a_n$, $S_n$, (3) ułóż równanie z dwóch znanych wzorów.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie $r = 30$ z $r = -30$. Skoro raty maleją, różnica jest **ujemna**. Drugi błąd: użycie wzoru $a_n = a_1 + n \\cdot r$ zamiast $a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r$ — w 18. wyrazie różnicę dodajemy **17 razy**, nie 18.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, suma wyrazów, zadanie kontekstowe, Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy\nA. 24\nB. 72\nC. 36\nD. 36√2\nW rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy A. 24 B. 72 C. 36 D. 36√2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] rombach […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz $\\tan \\alpha$ dla kąta z wierzchołkiem w $O$, jedno ramię na osi $Ox$, drugie przez $P = (-3, 1)$.\n\nSkorzystaj z definicji tangensa z punktu na ramieniu. Jeśli punkt $P = (x, y)$ leży na ramieniu kąta (różny od początku układu), to:\n\n$$\\tan \\alpha = \\frac{y}{x}$$\n\nPodstaw: $x = -3$, $y = 1$:\n\n$$\\tan \\alpha = \\frac{1}{-3} = -\\frac{1}{3}$$\n\nSprawdzenie geometryczne. Punkt $P = (-3, 1)$ leży w II ćwiartce → kąt $\\alpha$ jest rozwarty (między $90°$ a $180°$). W II ćwiartce $\\tan < 0$ ✓.\n\nPo co to umieć\n\nDefinicja funkcji trygonometrycznych przez punkt na ramieniu kąta:\n\n$$\\sin \\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos \\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad \\tan \\alpha = \\frac{y}{x}$$\n\ngdzie $r = \\sqrt{x^2 + y^2}$. To uniwersalna definicja działająca dla dowolnego kąta (nie tylko ostrego).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\tan \\alpha = \\frac{x}{y}$ zamiast $\\frac{y}{x}$. Definicja: tangens = sinus przez cosinus = $\\frac{y}{x}$ dla punktu $(x, y)$ na ramieniu.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"tangens kąta, definicja przez współrzędne, Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nKąt 𝐴𝐶𝑂 ma miarę 70° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie.\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 20°\nC. 35°\nD. 40°\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝑂\n70°\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C leżą na okręgu o środku w punkcie O. Kąt ACO ma miarę 70° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego ABC jest równa A. 10° B. 20° C. 35° D. 40°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nUprość $\\sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha$.\n\nZauważ wspólny czynnik $\\sin^2 \\alpha$ w obu składnikach:\n\n$$\\sin^4 \\alpha = \\sin^2 \\alpha \\cdot \\sin^2 \\alpha$$\n\nWyłącz $\\sin^2 \\alpha$ przed nawias:\n\n$$\\sin^4 \\alpha + \\sin^2 \\alpha \\cdot \\cos^2 \\alpha = \\sin^2 \\alpha \\cdot (\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha)$$\n\nUżyj jedynki trygonometrycznej. Dla każdego kąta $\\alpha$:\n\n$$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$$\n\nZatem:\n\n$$\\sin^2 \\alpha \\cdot 1 = \\sin^2 \\alpha$$\n\nPo co to umieć\n\nJedynka trygonometryczna $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ to najczęściej używana tożsamość trygonometryczna na maturze. Patrz na wyrażenie — jeśli widzisz sumę $\\sin^2$ i $\\cos^2$, prawie zawsze da się skrócić do $1$.\n\nKlucz przy tego typu uproszczeniach: wyłącz wspólny czynnik, sprawdź czy w nawiasie nie jest właśnie jedynka trygonometryczna.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: próba sumowania w wyrazach albo zamiany na pierwiastek. Klucz: **wyłącz wspólny czynnik $\\sin^2 \\alpha$**, a nawias upraszcza się do $1$ przez **jedynkę trygonometryczną**.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"tożsamości trygonometryczne, jedynka trygonometryczna, Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-2)\nTrójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają\ndługości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.\nOblicz pole trójkąta 𝑻𝟐. Zapisz obliczenia.\n22.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nTrójkąty prostokątne T_1 i T_2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T_1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T_2 ma długość 26. Oblicz pole trójkąta T_2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2: 𝑃2 = 120.\n1 pkt - wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania\npozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.\n𝑎2\n𝑏2 = 12\n5 i 𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262, (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262\nALBO\n- zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2: 𝑃1\n𝑃2 = (\n|𝐵𝐶|\n26 )\n2\n(lub 𝑃2\n𝑃1 = ( 26\n|𝐵𝐶|)\n2\n) oraz\nobliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 13,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘=\n|𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 2\n(lub 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐹| = 1\n2),\nALBO\n- obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu\nrównań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2, 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\ni 13\n5 = 26\n𝑏2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nDługości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1, 𝑏1 oraz\n𝑎2, 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są\nrówne:\n𝑎2\n𝑏2\n= 𝑎1\n𝑏1\ngdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5\nZatem\n𝑎2\n𝑏2\n= 12\n5 więc 𝑏2 = 5\n12 𝑎2\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:\n𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262\n𝑎2\n2 + ( 5\n12)\n2\n𝑎2\n2 = 262\n169\n144 𝑎2\n2 = 262\n𝑎2 = √144\n169 ⋅26 = 24\nZatem 𝑏2 = 5\n12 ⋅24 = 10.\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅𝑎2 ⋅𝑏2 = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\nSposób II\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘= |𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2:\n|𝐷𝐸| = 2 ⋅|𝐴𝐵| = 2 ⋅12 = 24\n|𝐷𝐹| = 2 ⋅|𝐴𝐶| = 2 ⋅5 = 10\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐷𝐹| = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘= |𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| = 1\n2 ⋅12 ⋅5 = 30\nKorzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali\npodobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2:\n𝑃2\n𝑃1\n= 𝑘2\nZatem\n𝑃2 = 𝑘2 ⋅𝑃1 = 22 ⋅30 = 120\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nIloczyn $d_1 \\cdot d_2$ przekątnych rombu o boku $a = 6\\sqrt{2}$ i kącie $\\alpha = 150°$.\n\nZapisz dwa wzory na pole rombu — jeden z bokiem i kątem, drugi z przekątnymi:\n\n$$P = a^2 \\cdot \\sin \\alpha$$\n\n$$P = \\frac{1}{2} d_1 \\cdot d_2$$\n\nOblicz pole z pierwszego wzoru.\n\n$a = 6\\sqrt{2}$, więc $a^2 = (6\\sqrt{2})^2 = 36 \\cdot 2 = 72$.\n\n$\\sin 150° = \\sin(180° - 30°) = \\sin 30° = \\frac{1}{2}$.\n\n$$P = 72 \\cdot \\frac{1}{2} = 36$$\n\nPorównaj wzory i wyznacz iloczyn przekątnych:\n\n$$36 = \\frac{1}{2} d_1 \\cdot d_2$$\n\n$$d_1 \\cdot d_2 = 72$$\n\nPo co to umieć\n\nDwa wzory na pole rombu:\n- $P = a^2 \\sin \\alpha$ (z boku i kąta)\n- $P = \\frac{1}{2} d_1 d_2$ (z przekątnych)\n- $P = a \\cdot h$ (z boku i wysokości)\n\nWszystkie liczą to samo pole — można porównywać między sobą, by wyznaczyć brakujące wielkości.\n\nWartości $\\sin$ kątów rozwartych: $\\sin(180° - x) = \\sin x$. Dlatego $\\sin 150° = \\sin 30° = \\frac{1}{2}$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie wzoru na pole rombu z bokiem ($a^2 \\sin \\alpha$) ze wzorem z przekątnymi ($\\frac{1}{2} d_1 d_2$). Klucz: oba wzory liczą **to samo pole**, więc można je porównać.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"romb, pole, iloczyn przekątnych, Figury podobne, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach\n𝑘: 𝑦= 2\n3 𝑥\n𝑙: 𝑦= -3\n2 𝑥+ 13\nDokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.\nProste 𝑘 oraz 𝑙\nsą prostopadłe\ni przecinają się w punkcie 𝑃 o współrzędnych\n1.\n(-6, -4)\nA.\n2.\n(6, 4)\nnie są\nprostopadłe\nB.\n3.\n(-6, 4)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są proste k oraz l o równaniach k:y=2/3x l:y=-3/2x+13 Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Proste k oraz l A. są prostopadłe B. nie są prostopadłe i przecinają się w punkcie P o współrzędnych 1. (-6,-4) 2. (6,4) 3. (-6,4)","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nIX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych na płaszczyźnie na podstawie ich\nrównań, w tym znajduje wspólny punkt\ndwóch prostych, jeśli taki istnieje.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA2\nA3","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz $\\angle ABC$ (kąt wpisany w okrąg, oparty na łuku $AC$).\n\nTrójkąt $AOC$ jest równoramienny. $OA = OC = r$ (oba odcinki to promienie okręgu). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe:\n\n$$\\angle OAC = \\angle OCA = 70°$$\n\nOblicz kąt $\\angle AOC$ (kąt środkowy). Suma kątów trójkąta = $180°$:\n\n$$\\angle AOC = 180° - 70° - 70° = 40°$$\n\nZastosuj twierdzenie o kącie wpisanym. Kąt wpisany $\\angle ABC$ jest oparty na tym samym łuku $AC$ co kąt środkowy $\\angle AOC$. Twierdzenie:\n\n$$\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\angle \\text{środkowy}$$\n\n$$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cdot 40° = 20°$$\n\nPo co to umieć\n\nTwierdzenie o kącie wpisanym: kąt wpisany w okrąg jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nDrugi przydatny fakt: trójkąt utworzony przez dwa promienie + cięciwę jest zawsze równoramienny.\n\nRazem dają algorytm: kąt środkowy → trójkąt OAC równoramienny → kąty $OAC, OCA$ równe → suma kątów $180°$ → wpisany = $\\frac{1}{2}$ środkowego.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: bezpośrednie utożsamienie kąta $ACO$ z kątem wpisanym lub środkowym. Trzeba przejść przez **trójkąt równoramienny $AOC$** (bo $OA = OC = r$ promień okręgu).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"okrąg, kąt środkowy, kąt wpisany, Funkcja liniowa, analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= -1\n3 𝑥+ 2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez\npunkt 𝑃= (3, 5), gdy\nA. 𝑎= 3 i 𝑏= 4.\nB. 𝑎= -1\n3 i 𝑏= 4.\nC. 𝑎= 3 i 𝑏= -4.\nD. 𝑎= -1\n3 i 𝑏= 6.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=-1/3x+2 Prosta o równaniu y=ax+b jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt P=(3,5), gdy A. a=3 i b=4. B. a=-1/3 i b=4. C. a=3 i b=-4. D. a=-1/3 i b=6.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: **Pole $T_2 = 120$** Przeciwprostokątna $T_1 = \\sqrt{25 + 144} = 13$. Skala podobieństwa $k = 26/13 = 2$. Pole $T_2 = P_1 \\cdot k^2 = 30 \\cdot 4 = 120$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz pole trójkąta $T_2$ podobnego do $T_1$ (o przyprostokątnych $5, 12$), wiedząc, że przeciwprostokątna $T_2$ wynosi $26$.\n\nOblicz przeciwprostokątną $T_1$ z twierdzenia Pitagorasa:\n\n$$c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13$$\n\nWyznacz skalę podobieństwa $k = $ stosunek odpowiednich boków:\n\n$$k = \\frac{c_2}{c_1} = \\frac{26}{13} = 2$$\n\nOblicz pole $T_1$:\n\n$$P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30$$\n\nPole $T_2$. Przy skali $k$ pola figur podobnych są w stosunku $k^2$:\n\n$$P_2 = P_1 \\cdot k^2 = 30 \\cdot 2^2 = 30 \\cdot 4 = 120$$\n\nSprawdzenie alternatywne. Boki $T_2$: $5 \\cdot 2 = 10$ i $12 \\cdot 2 = 24$. Pole $T_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120$. ✓\n\nPo co to umieć\n\nTrójka pitagorejska $(5, 12, 13)$ to klasyk — warto zapamiętać. Pozostałe: $(3, 4, 5)$, $(7, 24, 25)$, $(8, 15, 17)$, $(9, 40, 41)$.\n\nSkala podobieństwa pozwala przeliczać między figurami: dowolny element $T_2$ = odpowiadający element $T_1$ × $k$ (dla długości) lub × $k^2$ (dla pola).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomnożenie pól razy $k$ zamiast $k^2$. Przy podobieństwie ze skalą $k$ **długości** mnożą się przez $k$, a **pola** przez $k^2$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pole, Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma\ndługość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod\nkątem 𝛼 takim, że cos 𝛼=\n√2\n3 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przekątnej tego graniastosłupa jest równa\nA. 15√2\nB. 45\nC. 5√2\nD. 10\n\nMMAP-P0_100\nDany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że cosα=√2/3. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa A. 15√2 B. 45 C. 5√2 D. 10","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną;\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]\nkąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi) […].\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD","solution":"Odpowiedź: A2\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nDwa pytania w jednym: (1) czy proste $k, l$ są prostopadłe, (2) jaki jest punkt przecięcia.\n\nSprawdź warunek prostopadłości. Dla prostych $y = a_1 x + b_1$ i $y = a_2 x + b_2$ proste są prostopadłe ⟺\n\n$$a_1 \\cdot a_2 = -1$$\n\nTutaj $a_1 = \\frac{2}{3}$, $a_2 = -\\frac{3}{2}$:\n\n$$\\frac{2}{3} \\cdot \\left(-\\frac{3}{2}\\right) = -\\frac{6}{6} = -1 \\checkmark$$\n\nProste są prostopadłe → odpowiedź A.\n\nZnajdź punkt przecięcia. Rozwiąż układ:\n\n$$\\frac{2}{3}x = -\\frac{3}{2}x + 13$$\n\nPomnóż obie strony przez $6$, by pozbyć się ułamków:\n\n$$4x = -9x + 78$$\n\n$$13x = 78$$\n\n$$x = 6$$\n\nWstaw $x = 6$ do równania $k$:\n\n$$y = \\frac{2}{3} \\cdot 6 = 4$$\n\nPunkt przecięcia: $P = (6, 4)$ → odpowiedź 2.\n\nPo co to umieć\n\nTrzy warunki dla prostych $y = ax + b$:\n- równoległe: $a_1 = a_2$ (i $b_1 \\neq b_2$, inaczej to ta sama prosta)\n- prostopadłe: $a_1 \\cdot a_2 = -1$\n- przecinające się: $a_1 \\neq a_2$\n\nPunkt przecięcia = rozwiązanie układu równań prostych. Najszybciej: porównaj prawe strony obu równań.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: warunek prostopadłości $a_1 = -a_2$ zamiast $a_1 \\cdot a_2 = -1$. Drugi błąd: liczenie punktu przecięcia bez uproszczenia układu (mnożenie ułamków).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"geometria analityczna, prostopadłość prostych, przecięcie, Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-4)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest\nnachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).\nOblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n30°\n6\n26.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni […]\nostrosłupów, również z wykorzystaniem\ntrygonometrii i poznanych twierdzeń.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia objętości i pola powierzchni całkowitej ostrosłupa oraz\npoprawne wyniki: 𝑉= 108 i 𝑃𝑐= 108 + 72√3.\n3 pkt - obliczenie objętości ostrosłupa: 𝑉= 108\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3 oraz\nobliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.\n2 pkt - obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6√3 oraz obliczenie\nwysokości ostrosłupa: 𝐻= 3\nALBO\n- obliczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa: 𝑃𝑐= 108 + 72√3.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 6√3\nALBO\n- obliczenie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmuje w rozwiązaniu, że trójkąt 𝐸𝑆𝑂 lub 𝐵𝑆𝐷, lub jedna ze ścian\nbocznych ostrosłupa jest trójkątem równobocznym i wykorzystuje to do obliczenia długości\nkrawędzi podstawy, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do\nuzyskania 1 punktu za obliczenie wysokości ostrosłupa).\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) przyjęcie, że wysokość ostrosłupa jest równa 3√3 i |𝑂𝐸| = 3,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 1\n2 𝑎.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\nsin 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑆𝐸| = 𝐻\n6\nZatem\n𝐻= 6 ⋅sin 30° = 6 ⋅1\n2 = 3\nPonadto\ncos 30° =\n|𝑂𝐸|\n|𝑆𝐸| =\n1\n2 𝑎\n6 = 𝑎\n12\nStąd\n𝑎= 12 ⋅cos 30° = 12 ⋅√3\n2 = 6√3\n30°\n6\n𝐻\n1\n2 𝑎\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n30°\n6\n𝐻\n𝑎\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅(6√3)\n2 ⋅3 = 108\nObliczamy pole powierzchni całkowitej 𝑃𝑐 ostrosłupa:\n𝑃𝑐= (6√3)\n2 + 4 ⋅1\n2 ⋅6√3 ⋅6 = 108 + 72√3","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZnajdź $a$ i $b$ takie, że prosta $y = ax + b$ jest równoległa do $k: y = -\\frac{1}{3}x + 2$ i przechodzi przez $P = (3, 5)$.\n\nWykorzystaj warunek równoległości: proste są równoległe ⟺ ich współczynniki kierunkowe są równe.\n\n$$a = -\\frac{1}{3}$$\n\nWykorzystaj warunek przechodzenia przez $P$. Wstaw $P = (3, 5)$ do równania $y = -\\frac{1}{3}x + b$:\n\n$$5 = -\\frac{1}{3} \\cdot 3 + b$$\n\n$$5 = -1 + b$$\n\n$$b = 6$$\n\nPo co to umieć\n\nAlgorytm „prosta równoległa przez punkt\":\n1. Współczynnik kierunkowy taki sam jak dana prosta: $a$ z $y = ax + b$ pozostaje.\n2. Wyraz wolny $b$ — wyliczamy ze wstawienia danego punktu do równania.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie warunku równoległości z prostopadłością. Równoległe ⟺ $a_1 = a_2$ (te same współczynniki kierunkowe).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"równanie prostej równoległej przez punkt, Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do\nliczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy 𝑊\n𝐾= 3\n5 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPodstawą tego ostrosłupa jest\nA. kwadrat.\nB. pięciokąt foremny.\nC. sześciokąt foremny.\nD. siedmiokąt foremny.\nW pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy W/K = 3/5. Podstawą tego ostrosłupa jest A. kwadrat. B. pięciokąt foremny. C. sześciokąt foremny. D. siedmiokąt foremny.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz długość $d$ przekątnej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego z podstawą boku $15$ i kątem nachylenia $\\alpha$ ($\\cos \\alpha = \\frac{\\sqrt{2}}{3}$).\n\nWylicz przekątną podstawy. Podstawa to kwadrat o boku $15$. Przekątna kwadratu = $a\\sqrt{2}$:\n\n$$d_p = 15\\sqrt{2}$$\n\nZauważ trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość bryły tworzą trójkąt prostokątny (z kątem prostym przy podstawie).\n\nPrzekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną, przekątna podstawy = przyprostokątna przyległa do kąta $\\alpha$. Wówczas:\n\n$$\\cos \\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{d_p}{d}$$\n\nPodstaw dane i rozwiąż.\n\n$$\\frac{\\sqrt{2}}{3} = \\frac{15\\sqrt{2}}{d}$$\n\nPomnóż na krzyż:\n\n$$d \\cdot \\sqrt{2} = 3 \\cdot 15\\sqrt{2}$$\n\n$$d = \\frac{45\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 45$$\n\nPo co to umieć\n\nW stereometrii kąt między prostą a płaszczyzną liczymy z trójkąta prostokątnego, w którym jedną przyprostokątną jest rzut prostej, drugą — odcinek prostopadły do płaszczyzny.\n\nKlasyczny schemat dla graniastosłupa: przekątna graniastosłupa + przekątna podstawy + wysokość = trójkąt prostokątny.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie przekątnej **graniastosłupa** (przestrzennej) z przekątną **podstawy** (płaskiej). Przekątna graniastosłupa to ta która biegnie od jednego wierzchołka dolnej podstawy do **przeciwległego** wierzchołka górnej podstawy.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"stereometria, graniastosłup, przekątna, kąt nachylenia, Graniastosłupy i ostrosłupy","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko\ncyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest\nA. 53\nB. 2 ⋅43\nC. 2 ⋅34\nD. 35\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0,5,7 (np. 57075, 55555), jest A. 5³ B. 2⋅4³ C. 2⋅3^4 D. 3^5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA","solution":"Odpowiedź: **Objętość: $V = 108$** **Pole całkowite: $P_c = 108 + 72\\sqrt{3}$** Bok podstawy: $a = 6\\sqrt{3}$, wysokość ostrosłupa: $H = 3$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nDane: ostrosłup prawidłowy czworokątny (podstawa = kwadrat), wysokość ściany bocznej $h_s = 6$, kąt nachylenia ściany bocznej $\\alpha = 30°$. Wyznacz $V$ i $P_c$.\n\nWyznacz bok podstawy $a$. Trójkąt prostokątny: apotema podstawy ($\\frac{a}{2}$), wysokość ostrosłupa ($H$), wysokość ściany bocznej ($h_s$).\n\n$$\\cos 30° = \\frac{a/2}{h_s} = \\frac{a/2}{6}$$\n\n$$\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{a/2}{6} \\implies a/2 = 3\\sqrt{3} \\implies a = 6\\sqrt{3}$$\n\nWyznacz wysokość ostrosłupa $H$:\n\n$$\\sin 30° = \\frac{H}{h_s} = \\frac{H}{6}$$\n\n$$\\frac{1}{2} = \\frac{H}{6} \\implies H = 3$$\n\nPole podstawy (kwadrat):\n\n$$P_p = a^2 = (6\\sqrt{3})^2 = 108$$\n\nObjętość ostrosłupa:\n\n$$V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot H = \\frac{1}{3} \\cdot 108 \\cdot 3 = 108$$\n\nPole jednej ściany bocznej (trójkąt o podstawie $a$ i wysokości $h_s$):\n\n$$P_s = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_s = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} \\cdot 6 = 18\\sqrt{3}$$\n\nPole 4 ścian bocznych: $4 P_s = 72\\sqrt{3}$.\n\nPole powierzchni całkowitej:\n\n$$P_c = P_p + 4 P_s = 108 + 72\\sqrt{3}$$\n\nPo co to umieć\n\nW ostrosłupie prawidłowym kluczowym trójkątem prostokątnym jest: apotema podstawy + wysokość bryły + wysokość ściany bocznej. Ten trójkąt łączy wszystkie 3 parametry. Z dwóch znanych można zawsze obliczyć trzeci (Pitagoras lub funkcje trygonometryczne).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie **wysokości ściany bocznej** ($h_s$, apotema ściany) z **krawędzią boczną** (od wierzchołka podstawy do szczytu). To dwie różne wielkości.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"ostrosłup prawidłowy, objętość, pole powierzchni, Kombinatoryka","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nNa diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-E.\n29.1.\nMediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest\nrówna\n29.2.\nŚrednia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest\nrówna\nA. 5,80 zł\nB. 5,73 zł\nC. 5,85 zł\nD. 6,00 zł\nE. 5,70 zł\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n5,05\n5,60\n5,70\n6,00\n6,30\nliczba\nsklepów\ncena za 1 kg pomidorów (w zł)\n29.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach. [rysunek] Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A. 5,80 zł B. 5,73 zł C. 5,85 zł D. 6,00 zł D. 5,70 zł","answer":"29","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną i […]\nznajduje medianę […].\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\n29.1. C\n29.1. B\n29.2. A\n29.2. E\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz liczbę boków podstawy $n$, gdy $\\frac{W}{K} = \\frac{3}{5}$.\n\nZapisz wzory dla ostrosłupa prawidłowego z $n$-kątną podstawą:\n\n- Wierzchołki: $n$ (z podstawy) + $1$ (szczyt) = $n + 1$\n- Krawędzie: $n$ (boki podstawy) + $n$ (krawędzie boczne) = $2n$\n\nZastosuj warunek:\n\n$$\\frac{W}{K} = \\frac{n+1}{2n} = \\frac{3}{5}$$\n\nPomnóż na krzyż:\n\n$$5(n+1) = 6n$$\n$$5n + 5 = 6n$$\n$$n = 5$$\n\nWniosek: podstawa to pięciokąt foremny.\n\nSprawdzenie: $W = 6$, $K = 10$, $\\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$ ✓\n\nPo co to umieć\n\nDla ostrosłupa o $n$-kątnej podstawie:\n- Wierzchołki: $W = n+1$\n- Krawędzie: $K = 2n$\n- Ściany: $S = n+1$\n\nSprawdza się wzorem Eulera dla wielościanów wypukłych: $W - K + S = 2$. Dla ostrosłupa: $(n+1) - 2n + (n+1) = 2$ ✓.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zapomnienie o wierzchołku **na szczycie** ostrosłupa lub o tym, że krawędzie boczne też się liczą. Wzory: $W = n+1$ (podstawa + szczyt), $K = 2n$ (podstawa + boczne).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"ostrosłup, wierzchołki, krawędzie, Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nZe zbioru ośmiu liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po\njednej liczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że iloczyn\nwylosowanych liczb jest podzielny przez 𝟏𝟓. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nZe zbioru ośmiu liczb {2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n64 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 8 ⋅8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1\n8 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n64 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n64 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru\nΩ jest równa 64.\nW tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n2\n3\n×\n4\n5\n×\n×\n×\n6\n×\n7\n8\n9\n×\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn\njest podzielny przez 15, jest równe 6\n64 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest\npodzielny przez 15.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 = 6\n64\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n5\n3\n6\n9\n5\n5\n3\n5\n6\n9\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze\nzbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅8 = 64.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest\npodzielny przez 15.\nWielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.\nWyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:\n15 = 3 ⋅5 = 5 ⋅3 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),\n30 = 6 ⋅5 = 5 ⋅6 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),\n45 = 9 ⋅5 = 5 ⋅9 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).\nSprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = 6\n64 .","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nPoliczyć liczby pięciocyfrowe, w których każda cyfra należy do zbioru $\\{0, 5, 7\\}$.\n\nKluczowa uwaga: pierwsza cyfra nie może być $0$. Inaczej liczba nie jest pięciocyfrowa (zaczynałaby się od $0$, np. $05750$ to faktycznie $5750$, czterocyfrowa).\n\nZlicz możliwości dla każdej pozycji:\n\nPozycja | Możliwe cyfry | Liczba\n1 (dziesiątki tysięcy) | $\\{5, 7\\}$ — bez $0$ | 2\n2 (tysiące) | $\\{0, 5, 7\\}$ | 3\n3 (setki) | $\\{0, 5, 7\\}$ | 3\n4 (dziesiątki) | $\\{0, 5, 7\\}$ | 3\n5 (jednostki) | $\\{0, 5, 7\\}$ | 3\n\nZastosuj regułę mnożenia:\n\n$$2 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 3 = 2 \\cdot 3^4$$\n\nPo co to umieć\n\nReguła mnożenia: jeśli wybierasz $n$ rzeczy kolejno, a każda ma $k_1, k_2, \\ldots, k_n$ możliwości, to łączna liczba kombinacji to iloczyn: $k_1 \\cdot k_2 \\cdot \\ldots \\cdot k_n$.\n\nZawsze sprawdź ograniczenia dla pierwszej pozycji (zwłaszcza: cyfra wiodąca ≠ 0 w liczbach wielocyfrowych).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $3^5$ — pominięcie warunku, że pierwsza cyfra **nie może być $0$**. Pięciocyfrowa liczba ma pierwszą cyfrę różną od $0$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"kombinatoryka, reguła mnożenia, liczby cyfrowe, Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31.\nWłaściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów\nz 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje\nfunkcja\n𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279\ngdzie 𝑛 jest liczbą naturalną spełniającą warunki 𝑛≥1 i 𝑛≤30.\nWłaściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **29.1 (mediana): C — $5{,}85$ zł** **29.2 (średnia): A — $5{,}80$ zł**\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nW $16$ sklepach ceny pomidorów (zł/kg) i liczba sklepów: $5{,}05 \\to 2$, $5{,}60 \\to 4$, $5{,}70 \\to 2$, $6{,}00 \\to 5$, $6{,}30 \\to 3$. Oblicz medianę (29.1) i średnią (29.2).\n\nMediana — wartość środkowa dla $n = 16$ (parzyste) = średnia arytmetyczna 8. i 9. elementu po posortowaniu.\n\nUstaw ceny rosnąco z częstościami:\n\nPozycja | 1-2 | 3-6 | 7-8 | 9-13 | 14-16\nCena | $5{,}05$ | $5{,}60$ | $5{,}70$ | $6{,}00$ | $6{,}30$\n\nPozycja 8: $5{,}70$. Pozycja 9: $6{,}00$.\n\n$$\\text{mediana} = \\frac{5{,}70 + 6{,}00}{2} = \\frac{11{,}70}{2} = 5{,}85 \\text{ zł}$$\n\nŚrednia ważona (każda cena × liczba sklepów):\n\n$$\\bar{x} = \\frac{2 \\cdot 5{,}05 + 4 \\cdot 5{,}60 + 2 \\cdot 5{,}70 + 5 \\cdot 6{,}00 + 3 \\cdot 6{,}30}{16}$$\n\n$$= \\frac{10{,}10 + 22{,}40 + 11{,}40 + 30{,}00 + 18{,}90}{16}$$\n\n$$= \\frac{92{,}80}{16} = 5{,}80 \\text{ zł}$$\n\nPo co to umieć\n\nMediana dla $n$ uporządkowanych liczb:\n- $n$ nieparzyste: środkowy element ($\\frac{n+1}{2}$-ty)\n- $n$ parzyste: średnia z $\\frac{n}{2}$-tego i $\\frac{n}{2}+1$-tego elementu\n\nŚrednia ważona (z częstościami $f_i$): $\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i f_i}{\\sum f_i}$.\n\nKlucz: zawsze sprawdź, czy diagram pokazuje wartości czy częstości.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: traktowanie 5 wartości cen jako 5 sklepów i liczenie średniej $\\frac{5{,}05+5{,}60+5{,}70+6{,}00+6{,}30}{5} = 5{,}73$ (odpowiedź B). To **błąd** — sklepów jest $16$, każda cena ma **częstość** wskazaną na diagramie.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"statystyka, mediana, średnia arytmetyczna","page_from":27,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/31.1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"31.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nŁączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni\njest równa 𝐿(30).\nP\nF\nW trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów.\nP\nF\nWłaściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n-tego dnia opisuje funkcja L(n) = -n² + 22n + 279 gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n≥1 i n≤30. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa L(30). P F W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. P F","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 31.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nV.3) […] interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wzorów […];\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nFP\nFP","solution":"## Poprawna odpowiedź: FP\n\nStwierdzenie 1 - **Fałsz**, Stwierdzenie 2 - **Prawda**\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie podstawienie i analiza znaczenia wyrażeń\n\n### Stwierdzenie 1: *Łączna liczba klientów ze wszystkich 30 dni = L(30)*\n\n**Co to jest L(30)?**\n\n\\[L(30) = -(30)^2 + 22 \\cdot 30 + 279 = -900 + 660 + 279 = \\mathbf{39}\\]\n\nZatem \\(L(30) = 39\\) to liczba klientów obsłużonych **wyłącznie w 30. dniu**.\n\n**Co to jest łączna liczba klientów?**\n\nŁączna liczba klientów to **suma** \\(L(1) + L(2) + \\ldots + L(30)\\), którą zapisujemy:\n\\[\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\]\n\nJuż z pierwszych dni widać, że ta suma jest wielokrotnie większa niż 39:\n\\[L(1) = -1 + 22 + 279 = 300, \\quad L(2) = -4 + 44 + 279 = 319, \\quad \\ldots\\]\n\nSuma 30 liczb, z których każda jest rzędu kilkuset, **nie może** równać się 39.\n\n**Wniosek:** Stwierdzenie 1 myli wartość funkcji w punkcie \\(n = 30\\) z sumą wszystkich wartości. To **FAŁSZ**.\n\n### Stwierdzenie 2: *W trzecim dniu obsłużono 336 klientów*\n\nPodstawiamy \\(n = 3\\):\n\\[L(3) = -(3)^2 + 22 \\cdot 3 + 279\\]\n\\[L(3) = -9 + 66 + 279\\]\n\\[L(3) = \\mathbf{336}\\]\n\nWynik zgadza się dokładnie z treścią stwierdzenia. To **PRAWDA**.\n\n## Sposób 2 - weryfikacja sumy (dlaczego Stwierdzenie 1 jest tak oczywistym fałszem)\n\nPoliczmy kilka wartości \\(L(n)\\), by zobaczyć skalę sumy:\n\n| \\(n\\) | \\(L(n)\\) |\n| 1 | \\(-1 + 22 + 279 = 300\\) |\n| 11 | \\(-121 + 242 + 279 = 400\\) |\n| 11 | maksimum (wierzchołek) |\n| 30 | \\(-900 + 660 + 279 = 39\\) |\n\nWierzchołek paraboli to \\(p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-1)} = 11\\), więc w dniu 11. klientów jest najwięcej:\n\\[L(11) = -121 + 242 + 279 = 400\\]\n\nJuż sam fakt, że np. \\(L(1) = 300 \\gg 39 = L(30)\\), dowodzi że suma 30 wyrazów nie może równać się \\(L(30)\\).\n\nDla porządku - przybliżona suma przez wzór na sumę ciągu (parabola):\n\nSuma \\(\\sum_{n=1}^{30}(-n^2 + 22n + 279)\\) to suma trzech ciągów. Korzystamy ze znanych wzorów:\n\\[\\sum_{n=1}^{30} 1 = 30, \\quad \\sum_{n=1}^{30} n = \\frac{30 \\cdot 31}{2} = 465, \\quad \\sum_{n=1}^{30} n^2 = \\frac{30 \\cdot 31 \\cdot 61}{6} = 9455\\]\n\n\\[\\sum_{n=1}^{30} L(n) = -9455 + 22 \\cdot 465 + 279 \\cdot 30 = -9455 + 10230 + 8370 = \\mathbf{9145}\\]\n\nŁączna liczba klientów to **9145**, a nie 39. Stwierdzenie 1 jest fałszywe z ogromnym marginesem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyty w Sposobie 2 przy wyznaczaniu dnia z maksymalną liczbą klientów (\\(n = 11\\)).\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - pojęcie sumy wyrazów (łączna liczba klientów to suma \\(L(1) + L(2) + \\ldots + L(30)\\)), nie wartość w jednym punkcie.\n\nW tym zadaniu kluczowe są jednak **definicje**, nie konkretne wzory z karty - rozróżnienie między \\(L(30)\\) (wartość funkcji dla \\(n=30\\)) a \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\) (suma wszystkich wartości).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **PP** (oba prawdziwe) | Uczeń myli \\(L(30)\\) z łączną sumą - twierdzi, że skoro \\(L\\) opisuje liczbę klientów, to \\(L(30)\\) to \"suma przez 30 dni\". Błędne rozumienie notacji funkcji. |\n| **FF** (oba fałszywe) | Uczeń niepoprawnie oblicza \\(L(3)\\): np. liczy \\(-(3^2 + 22 \\cdot 3 + 279)\\) z błędną kolejnością działań lub podstawia \\(n=3\\) do \\(n^2\\) jako \\(3^2=6\\). |\n| **PF** (odwrotnie) | Uczeń uznaje, że \\(L(30)\\) to suma (bo \"30 dni\"), i jednocześnie popełnia błąd rachunkowy przy \\(L(3)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(L(n)\\) to liczba klientów **w jednym konkretnym dniu** \\(n\\), NIE suma klientów z pierwszych \\(n\\) dni. Łączna suma to \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\) - zapis zupełnie inny niż \\(L(30)\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(L(3)\\) pamiętaj o kolejności działań - najpierw \\(-(3)^2 = -9\\), a nie \\((-3)^2 = +9\\). Minus przed \\(n^2\\) dotyczy całej potęgi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stwierdzenia PF należy oceniać **niezależnie** - błąd w pierwszym nie \"przenosi się\" na drugie. Zawsze sprawdzaj każde stwierdzenie osobno, nie sugeruj się tym, że jedno jest oczywiste.\n\n**Poprawne odpowiedzi: Stwierdzenie 1 - Fałsz, Stwierdzenie 2 - Prawda.**\n\n### Stwierdzenie 1: \"Łączna liczba klientów = \\(L(30)\\)\" - **Fałsz**\n\\(L(30) = -30^2 + 22\\cdot 30 + 279 = -900 + 660 + 279 = 39\\).\nTo liczba klientów obsłużonych \\(30\\)-go dnia, **a nie łączna liczba** w ciągu \\(30\\) dni.\nŁączna liczba = \\(\\sum_{n=1}^{30} L(n)\\), co jest znacznie większe niż \\(39\\).\n\n### Stwierdzenie 2: \"W 3-cim dniu obsłużono 336 klientów\" - **Prawda**\n\\(L(3) = -9 + 66 + 279 = 336\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Kontrola wyniku\n\\(L(3) = -3^2 + 22\\cdot 3 + 279 = -9 + 66 + 279 = 336\\). OK.\n\n**Kluczowe:** \\(L(n)\\) to wartość funkcji w \\(n\\)-tym dniu, nie suma narastająco!","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-31.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/sol-31.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/31.2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"31.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31.2. (0-2)\nKtórego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów?\nOblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. Zapisz obliczenia.\n31.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawne wyniki: 11 i 400.\n1 pkt - wyznaczenie postaci kanonicznej funkcji 𝐿: 𝐿(𝑛) = -(𝑛-11)2 + 400\nALBO\n- obliczenie, którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę\nklientów lub obliczenie największej liczby klientów: 11 lub 400,\nALBO\n- obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑝 wierzchołka paraboli z własności\n𝐿(𝑘1) = 𝐿(𝑘2), gdzie 𝑘1, 𝑘2 są różnymi liczbami takimi, że |𝑝-𝑘1| = |𝑝-𝑘2|:\n𝑝= 𝑘1 + 𝑘2\n2\n= 11\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający błędnie oblicza pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza drugą współrzędną, to może otrzymać\n1 punkt za całe rozwiązanie (o ile pierwsza współrzędna jest liczbą należącą do\ndziedziny).\n2. Jeżeli zdający nie zapisze, że 11 należy do dziedziny funkcji 𝐿, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝐿, korzystając z rachunku\nróżniczkowego, i nie zapisze przedziałów monotoniczności funkcji, to może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie (gdy wyznaczy pochodną funkcji 𝐿(𝑥) określoną dla\n𝑥∈[1, 30], obliczy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝐿(𝑥) i wartość funkcji 𝐿 w tym\npunkcie).\n4. Jeżeli zdający oblicza 𝐿(11) = 400 i 𝐿(11 -𝑘) = 𝐿(11 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, i wskaże\nwartość największą, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝐿(11) = 400, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykresem funkcji 𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału\n[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝐿 do postaci kanonicznej:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279 = -[𝑛2 -22𝑛] + 279 = -[(𝑛-11)2 -112] + 279 =\n= -(𝑛-11)2 + 121 + 279 = -(𝑛-11)2 + 400\nZ postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (11, 400).\nInterpretujemy otrzymane wartości: największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia\nbadanego okresu i było to 400 osób.\nSposób II\nWykresem funkcji 𝐿(𝑛) = -𝑛2 + 22𝑛+ 279, gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną z przedziału\n[1, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół. Jej\nnajwiększa wartość jest drugą współrzędną wierzchołka paraboli 𝑊= (𝑝, 𝑞).\nStąd\n𝑝=\n-22\n2 ⋅(-1) = 11, 11 ∈{1, 2, … , 30}\n𝑞= 𝐿(𝑝) = -112 + 22 ⋅11 + 279 = 400\nNajwiększą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to\n400 osób.\nSposób III\nWykorzystamy następującą własność funkcji kwadratowej 𝐿(𝑥) = -𝑥2 + 22𝑥+ 279.\nJeśli 𝐿(𝑘1) = 𝐿(𝑘2), to liczba\n𝑘1 + 𝑘2\n2\njest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝐿. Jeśli ponadto\nwspółczynnik przy 𝑥2 jest liczbą ujemną, to liczba\n𝐿(𝑘1 + 𝑘2\n2\n)\njest największą wartością funkcji 𝐿.\nWykonujemy obliczenia - szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje tę samą\nwartość:\n𝐿(9) = 396\n𝐿(10) = 399\n𝐿(11) = 400\n𝐿(12) = 399\nZauważamy, że 𝐿(10) = 𝐿(12). Ponieważ\n10 + 12\n2\n= 11 oraz 11 ∈{1, … 30}\nwięc funkcja 𝐿 przyjmuje wartość największą równą 400 dla argumentu 11. To oznacza,\nże największą liczbę klientów obsłużono jedenastego dnia badanego okresu i było to\n400 osób.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin główny 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy do wyrażenia\n(2𝑛+ 1)2.\nZadanie 9.\n2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 (o ile nie zostały\none uzyskane w wyniku błędnej metody).\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -12𝑥+ 8 do postaci\n3(𝑥2 -4) -2(𝑥2 -4) lub 𝑥2(3𝑥-2) -4(3𝑥-2).\nZadanie 17.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\n1 pkt - obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie\npodobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych\ntrójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 𝑎2\n𝑏2 = 12\n5\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania\npozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\n, 𝑐1 = 13 i 13\n5 = 26\n𝑏2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością\nostrosłupa lub połową długości krawędzi podstawy), np.\n|𝑂𝐸|\n6\n= cos 30°, 𝐻\n6 = 1\n2 .\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik 5\n64 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 31.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 11. dnia, obsłużono 400 klientów\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek paraboli\n\nFunkcja \\(L(n) = -n^2 + 22n + 279\\) jest **trójmianem kwadratowym** ze współczynnikiem \\(a = -1 < 0\\), więc parabola jest skierowana **ramionami w dół** - ma **maksimum** w wierzchołku.\n\n**Wyznaczamy numer dnia, w którym funkcja osiąga maksimum:**\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{22}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{22}{-2} = 11\\]\n\nPonieważ \\(n = 11\\) należy do dziedziny \\(\\langle 1, 30 \\rangle\\), wierzchołek leży wewnątrz analizowanego okresu - maksimum jest osiągane.\n\n**Obliczamy liczbę klientów 11. dnia:**\n\n\\[L(11) = -(11)^2 + 22 \\cdot 11 + 279\\]\n\\[L(11) = -121 + 242 + 279\\]\n\\[L(11) = 400\\]\n\n**Odpowiedź: 11. dnia obsłużono 400 klientów.**\n\n## Sposób 2 - Postać kanoniczna (dopełnienie do kwadratu)\n\nSprowadzamy funkcję do postaci \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), by bezpośrednio odczytać wierzchołek.\n\n\\[L(n) = -n^2 + 22n + 279\\]\n\nWyciągamy \\(-1\\) przed wyrazy z \\(n\\):\n\n\\[L(n) = -(n^2 - 22n) + 279\\]\n\nDopełniamy do kwadratu - do wyrażenia \\(n^2 - 22n\\) brakuje \\(\\left(\\frac{22}{2}\\right)^2 = 121\\):\n\n\\[L(n) = -(n^2 - 22n + 121 - 121) + 279\\]\n\\[L(n) = -\\bigl((n-11)^2 - 121\\bigr) + 279\\]\n\\[L(n) = -(n-11)^2 + 121 + 279\\]\n\\[L(n) = -(n-11)^2 + 400\\]\n\nZ postaci kanonicznej **wprost odczytujemy**, że:\n- wierzchołek to \\(W = (11, 400)\\)\n- maksimum funkcji wynosi \\(\\mathbf{400}\\), osiągane dla \\(n = 11\\)\n\nWyrażenie \\(-(n-11)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(n\\), a równa się \\(0\\) dokładnie gdy \\(n = 11\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy wzoru na \\(p\\) w Sposobie 1, by wyznaczyć dzień maksimum.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nW Sposobie 2 sprowadziliśmy funkcję do tej postaci przez dopełnienie do kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja kwadratowa może mieć wierzchołek **poza dziedziną** - zawsze sprawdź, czy \\(n = p\\) mieści się w przedziale \\(\\langle 1, 30 \\rangle\\). Gdyby \\(p\\) było np. poza tym przedziałem, maksimum byłoby na jednym z krańców.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(L(11)\\) łatwo pomylić znak: \\(-(11)^2 = -121\\), **nie** \\(+121\\). Potęgowanie ma wyższy priorytet niż negacja!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **dzień** (wynik \\(n = 11\\)) **i liczbę klientów** (wynik \\(L(11) = 400\\)) - napisz oba, inaczej odpowiedź jest niepełna i możesz stracić punkty.\n\n**Odpowiedź: Jedenastego dnia obsłużono największą liczbę klientów - \\(400\\) osób.**\n\n### Sposób 1 - Pierwsza współrzędna wierzchołka\nFunkcja kwadratowa \\(L(n) = -n^2 + 22n + 279\\), współczynnik przy \\(n^2\\) ujemny → parabola ramionami w dół, wierzchołek = maksimum.\n\\[n_W = -\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{22}{2\\cdot(-1)} = 11.\\]\n\\(11 \\in \\{1, 2, , 30\\}\\) ✓ - należy do dziedziny.\n\n\\[L(11) = -121 + 242 + 279 = 400.\\]\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\[L(n) = -(n^2 - 22n) + 279 = -[(n-11)^2 - 121] + 279 = -(n-11)^2 + 400.\\]\nMaksimum: \\(n = 11\\), \\(L(11) = 400\\).\n\n### Sposób 3 - Symetria\nJeśli \\(L(k_1) = L(k_2)\\), to \\(\\dfrac{k_1+k_2}{2}\\) to pierwsza współrzędna wierzchołka.\n\\(L(10) = -100 + 220 + 279 = 399\\), \\(L(12) = -144 + 264 + 279 = 399\\).\nŚrednia: \\(\\dfrac{10+12}{2} = 11\\). \\(L(11) = 400\\).\n\n**Wniosek:** \\(n = 11\\), \\(L_{\\max} = \\mathbf{400}\\) klientów.\n\n**Trik:** dla funkcji kwadratowej \\(ax^2 + bx + c\\) (gdy \\(a<0\\)) maksimum w \\(x = -\\dfrac{b}{2a}\\).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad-31.2.webp","solution_image":null,"topics":"Optymalizacja, funkcje","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \\(x \\neq 1\\) i dla każdej liczby rzeczywistej \\(y\\) prawdziwa jest nierówność\n\\[x^{2} + y^{2} + 5 > 2x + 4y\\]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa (zadanie otwarte - dowód poniżej)\n\n## Sposób 1 - Uzupełnianie do pełnego kwadratu\n\n**Cel:** przenieść wszystko na lewą stronę i pokazać, że wyrażenie jest dodatnie.\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą:\n\\[x^2 + y^2 + 5 - 2x - 4y > 0\\]\n\nGrupujemy wyrazy z \\(x\\) i z \\(y\\) osobno:\n\\[(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 > 0\\]\n\nUzupełniamy każdą grupę do pełnego kwadratu (dodajemy i odejmujemy brakujący składnik):\n\\[(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + 5 > 0\\]\n\n\\[(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 5 > 0\\]\n\n\\[(x-1)^2 + (y-2)^2 > 0\\]\n\nTeraz korzystamy z założeń:\n- Ponieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\((x-1)^2 > 0\\)\n- Dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\) mamy \\((y-2)^2 \\geq 0\\)\n\nZatem:\n\\[(x-1)^2 + (y-2)^2 \\geq (x-1)^2 > 0\\]\n\n**Nierówność \\(x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\\) jest udowodniona.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Szacowanie dwóch nierówności i ich dodawanie\n\nZamiast uzupełniać obydwa kwadraty jednocześnie, rozłóżmy zadanie na dwa kroki.\n\n**Krok 1.** Ponieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\(x - 1 \\neq 0\\), więc:\n\\[(x-1)^2 > 0 \\implies x^2 - 2x + 1 > 0\\]\n\n**Krok 2.** Dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\):\n\\[(y-2)^2 \\geq 0 \\implies y^2 - 4y + 4 \\geq 0\\]\n\n**Krok 3.** Dodajemy obie stronne nierówności (stronami):\n\\[(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) > 0\\]\n\n\\[x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 > 0\\]\n\n\\[x^2 + y^2 + 5 > 2x + 4y\\]\n\n**Nierówność udowodniona.** \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego do rozpoznania i uzupełnienia wyrażeń do pełnych kwadratów:\n\\[x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2, \\qquad y^2 - 4y + 4 = (y-2)^2\\]\n\nW tym zadaniu nie potrzeba innych wzorów z karty - kluczem jest umiejętność uzupełniania do pełnego kwadratu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj „rozwiązywać\" tej nierówności jak równania - to jest zadanie na **dowód**, nie na wyznaczenie \\(x\\) i \\(y\\). Trzeba pokazać, że wyrażenie jest zawsze dodatnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(x \\neq 1\\) jest kluczowy! Bez niego suma \\((x-1)^2 + (y-2)^2\\) mogłaby być równa zero (dla \\(x = 1, y = 2\\)), a nie większa od zera. Dla \\(x = 1\\), \\(y = 2\\) obie strony byłyby równe - nierówność ostra przestałaby zachodzić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do kwadratu łatwo o pomyłkę w znaku. Pamiętaj: do \\(x^2 - 2x\\) dodajesz \\(1\\) (bo \\(\\left(\\frac{-2}{2}\\right)^2 = 1\\)), a do \\(y^2 - 4y\\) dodajesz \\(4\\) (bo \\(\\left(\\frac{-4}{2}\\right)^2 = 4\\)). Co dodasz, to musisz natychmiast odjąć!\n\n**Poprawna odpowiedź: Dowód**\n\n### Sposób 1 - Uzupełnienie do kwadratów\nPrzenieśmy wszystko na lewo: \\(x^2 + y^2 + 5 - 2x - 4y > 0.\\)\nGrupujemy: \\((x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) + (5 - 1 - 4) > 0.\\)\n\\((x-1)^2 + (y-2)^2 + 0 > 0.\\)\nCzyli: \\((x-1)^2 + (y-2)^2 > 0.\\)\nZ założenia \\(x \\ne 1\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\), a \\((y-2)^2 \\geq 0\\). Suma jest dodatnia. CKD.\n\n### Sposób 2 - Analiza przypadku\nNierówność \\(a^2 + b^2 > 0\\) zachodzi, gdy co najmniej jedna liczba \\(\\ne 0\\). Tu \\(a = x-1 \\ne 0\\), więc lewa strona jest ostro dodatnia.\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** pełny dowód przez kwadraty + uzasadnienie ostrej nierówności.\n- **1 pkt:** sprowadzenie do \\((x-1)^2 + (y-2)^2 > 0\\) bez uzasadnienia ostrości.\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** suma kwadratów ≥ 0; warunek \\(x \\ne 1\\) gwarantuje ścisłą dodatniość.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Trójkąty prostokątne \\(T_{1}\\) i \\(T_{2}\\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \\(T_{1}\\) mają długości \\(5\\) i \\(12\\). Przeciwprostokątna trójkąta \\(T_{2}\\) ma długość \\(26\\). Oblicz pole trójkąta \\(T_{2}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 120\n\nPole trójkąta \\(T_2\\) wynosi \\(\\mathbf{120}\\).\n\n## Sposób 1 - Skala podobieństwa i skala pól\n\n**Krok 1: Wyznaczamy przeciwprostokątną trójkąta \\(T_1\\).**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\\[c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{25 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy skalę podobieństwa \\(k\\).**\n\nTrójkąty są podobne, więc odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Przeciwprostokątna to bok odpowiadający przeciwprostokątnej, zatem:\n\\[k = \\frac{c_2}{c_1} = \\frac{26}{13} = 2\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole trójkąta \\(T_1\\).**\n\n\\[P_1 = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30\\]\n\n**Krok 4: Stosujemy własność pól figur podobnych.**\n\nPola figur podobnych mają się jak kwadrat skali podobieństwa:\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = k^2 = 2^2 = 4\\]\n\nZatem:\n\\[P_2 = 4 \\cdot P_1 = 4 \\cdot 30 = \\mathbf{120}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie przyprostokątnych \\(T_2\\) wprost\n\n**Krok 1: Wyznaczamy skalę \\(k = 2\\)** (tak samo jak wyżej).\n\n**Krok 2: Skalujemy każdy bok \\(T_1\\) przez \\(k\\).**\n\nPrzyprostokątne \\(T_2\\):\n\\[a_2 = k \\cdot 5 = 2 \\cdot 5 = 10\\]\n\\[b_2 = k \\cdot 12 = 2 \\cdot 12 = 24\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy przeciwprostokątną (weryfikacja).**\n\n\\[\\sqrt{10^2 + 24^2} = \\sqrt{100 + 576} = \\sqrt{676} = 26 \\checkmark\\]\n\n**Krok 4: Liczymy pole bezpośrednio.**\n\n\\[P_2 = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = \\frac{240}{2} = \\mathbf{120}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy } \\gamma = 90°)\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia \\(c_1 = 13\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nW trójkącie prostokątnym obie przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości, więc \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_2}{P_1} = k^2\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - skala pól to **kwadrat** skali liniowej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że pola mają się jak \\(k\\) zamiast \\(k^2\\). Skala liniowa \\(k = 2\\) oznacza, że pola rosną czterokrotnie - nie dwukrotnie! Długości skalujemy przez \\(k\\), pola przez \\(k^2\\), objętości przez \\(k^3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu, że \\(T_2\\) jest podobny do \\(T_1\\) w tej samej orientacji. Skala \\(k\\) zawsze liczymy jako stosunek **odpowiadających sobie boków** - tutaj obu przeciwprostokątnych. Gdyby zadanie podało np. jedną z przyprostokątnych \\(T_2\\), trzeba by sprawdzić, który bok \\(T_1\\) mu odpowiada.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o sprawdzeniu trójki pitagorejskiej: \\((5, 12, 13)\\) to klasyczna trójka pitagorejska - warto ją znać na pamięć, żeby nie liczyć pierwiastka każdy raz. Jej podwojenie daje \\((10, 24, 26)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P_{T_2} = 120\\)**\n\n### Sposób 1 - Skala podobieństwa\nPrzeciwprostokątna \\(T_1\\): \\(c_1 = \\sqrt{5^2 + 12^2} = \\sqrt{169} = 13.\\)\nSkala: \\(k = \\dfrac{26}{13} = 2.\\)\nPole \\(T_1\\): \\(P_1 = \\tfrac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 12 = 30.\\)\nPola trójkątów podobnych: \\(P_2 = k^2 \\cdot P_1 = 4 \\cdot 30 = 120.\\)\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio przyprostokątne \\(T_2\\)\nSkala \\(k = 2\\), więc przyprostokątne \\(T_2\\): \\(10\\) i \\(24\\).\nPole: \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 10 \\cdot 24 = 120.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** obliczenie pola \\(= 120\\) z uzasadnieniem.\n- **1 pkt:** wyznaczenie skali lub boków trójkąta \\(T_2\\).\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** stosunek pól trójkątów podobnych = kwadrat skali \\(k^2\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W kwadracie \\(ABCD\\) punkty \\(A = (-8, -2)\\) oraz \\(C = (0, 4)\\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \\(BD\\) tego kwadratu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nRównanie prostej zawierającej przekątną \\(BD\\) to:\n\\[y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}\\]\n(równoważnie: \\(4x + 3y + 13 = 0\\))\n\n## Sposób 1 - Środek przekątnych + prostopadłość\n\nKorzystamy z dwóch kluczowych własności kwadratu:\n1. **Przekątne kwadratu przecinają się w połowie** (środki obu przekątnych są wspólne).\n2. **Przekątne kwadratu są prostopadłe.**\n\n**Krok 1: Środek przekątnej AC**\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AC\\) (gdzie \\(A = (-8, -2)\\), \\(C = (0, 4)\\)):\n\\[M = \\left(\\frac{-8 + 0}{2},\\ \\frac{-2 + 4}{2}\\right) = (-4,\\ 1)\\]\n\nPonieważ przekątne kwadratu bisekują się, punkt \\(M(-4, 1)\\) leży również na prostej \\(BD\\).\n\n**Krok 2: Nachylenie prostej AC**\n\n\\[a_{AC} = \\frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \\frac{4 - (-2)}{0 - (-8)} = \\frac{6}{8} = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Krok 3: Nachylenie prostej BD**\n\nProsta \\(BD \\perp AC\\), więc:\n\\[a_{BD} \\cdot a_{AC} = -1 \\implies a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\frac{3}{4}} = -\\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 4: Równanie prostej BD**\n\nProsta przechodzi przez \\(M(-4, 1)\\) o nachyleniu \\(-\\frac{4}{3}\\):\n\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}(x - (-4))\\]\n\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}(x + 4)\\]\n\\[y - 1 = -\\frac{4}{3}x - \\frac{16}{3}\\]\n\\[y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{16}{3} + \\frac{3}{3}\\]\n\\[\\boxed{y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Równanie ogólne (przez układ równań)\n\nSzukamy prostej w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\).\n\nZ prostopadłości do \\(AC\\): wektorem kierunkowym \\(AC\\) jest \\(\\vec{AC} = [8, 6]\\), który jest jednocześnie **wektorem normalnym** prostej \\(BD\\). Zatem:\n\n\\[8x + 6y + C = 0\\]\n\nProsta \\(BD\\) przechodzi przez \\(M(-4, 1)\\):\n\\[8 \\cdot (-4) + 6 \\cdot 1 + C = 0\\]\n\\[-32 + 6 + C = 0\\]\n\\[C = 26\\]\n\nRównanie: \\(8x + 6y + 26 = 0\\), upraszczamy przez 2:\n\\[4x + 3y + 13 = 0\\]\n\nDla postaci kierunkowej: \\(y = -\\frac{4}{3}x - \\frac{13}{3}\\) ✓\n\n**Weryfikacja środka:** \\(4 \\cdot (-4) + 3 \\cdot 1 + 13 = -16 + 3 + 13 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. Środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia środka przekątnej \\(AC\\).\n\n2. Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\), gdzie \\(a\\) = współczynnik kierunkowy.\n\n3. Warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte w Kroku 3 do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BD\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób wyznacza równanie prostej **AC** zamiast **BD** - to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Pamiętaj: zadanie pyta o **drugą** przekątną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu nachylenia prostej prostopadłej nie wystarczy zmienić znak - trzeba wziąć **odwrotność i zmienić znak**: jeśli \\(a = \\frac{3}{4}\\), to prostopadła ma \\(a_\\perp = -\\frac{4}{3}\\), nie \\(-\\frac{3}{4}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środek \\(M(-4, 1)\\) musi leżeć na prostej \\(BD\\) - zawsze warto to sprawdzić na końcu, podstawiając do wyznaczonego równania. To błyskawiczna weryfikacja, która uchroni przed utratą punktów.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{11}{3}\\)** (lub równoważnie \\(4x + 3y + 11 = 0\\))\n\n### Sposób 1 - Środek + prostopadłość\nŚrodek przekątnej \\(S = \\left(\\dfrac{-8+0}{2}, \\dfrac{-2+4}{2}\\right) = (-4, 1)\\).\nWspółczynnik \\(AC\\): \\(a_{AC} = \\dfrac{4-(-2)}{0-(-8)} = \\dfrac{6}{8} = \\dfrac{3}{4}.\\)\n\\(BD \\perp AC\\), więc \\(a_{BD} = -\\dfrac{4}{3}.\\)\nRównanie \\(BD\\): \\(y - 1 = -\\dfrac{4}{3}(x+4) \\Rightarrow y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{16}{3} + 1 = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}.\\)\nKorekta: \\(-\\tfrac{16}{3} + \\tfrac{3}{3} = -\\tfrac{13}{3}\\). Zatem \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}\\), lub \\(4x + 3y + 13 = 0.\\)\n\n### Sposób 2 - Ogólna postać\n\\(AC: 3x - 4y + c = 0\\) (poprzez \\(A\\): \\(-24 + 8 + c = 0 \\Rightarrow c = 16\\)). Prostopadła: \\(4x + 3y + d = 0\\) przez \\(S(-4,1)\\): \\(-16 + 3 + d = 0 \\Rightarrow d = 13.\\)\nWynik: \\(4x + 3y + 13 = 0\\) lub \\(y = -\\dfrac{4}{3}x - \\dfrac{13}{3}.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** poprawne równanie \\(BD\\).\n- **1 pkt:** wyznaczenie środka \\(S\\) lub współczynnika prostopadłości.\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** w kwadracie przekątne są prostopadłe i przecinają się w środku.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Ze zbioru ośmiu liczb \\(\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \\(15\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{32}\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zliczanie wyników korzystnych\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nLosujemy ze zwracaniem dwa razy z 8 liczb, więc:\n\\[|\\Omega| = 8 \\cdot 8 = 64\\]\n\n**Kiedy iloczyn jest podzielny przez 15?**\n\nRozkładamy: \\(15 = 3 \\cdot 5\\). Iloczyn \\(a \\cdot b\\) jest podzielny przez 15 wtedy i tylko wtedy, gdy:\n- iloczyn zawiera **czynnik 3** (czyli co najmniej jedna liczba jest podzielna przez 3), **ORAZ**\n- iloczyn zawiera **czynnik 5** (czyli co najmniej jedna liczba jest podzielna przez 5).\n\nSprawdzamy zbiór \\(\\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\):\n- Liczby podzielne przez 5: \\(\\{5\\}\\) - tylko jedna!\n- Liczby podzielne przez 3: \\(\\{3, 6, 9\\}\\) - trzy liczby.\n- Liczb podzielnych przez 15 w zbiorze **nie ma** (15 ∉ zbioru).\n\n**Wniosek kluczowy:** jedynym źródłem czynnika 5 jest liczba 5. Zatem warunek jest spełniony dokładnie wtedy, gdy:\n> jedna z wylosowanych liczb to **5**, a druga to **wielokrotność 3** (\\(3, 6\\) lub \\(9\\)).\n\n**Zliczamy wyniki korzystne:**\n\n| Pierwsza liczba | Druga liczba | Wynik pary |\n| 5 | 3 | (5, 3) |\n| 5 | 6 | (5, 6) |\n| 5 | 9 | (5, 9) |\n| 3 | 5 | (3, 5) |\n| 6 | 5 | (6, 5) |\n| 9 | 5 | (9, 5) |\n\nŁącznie: \\(|A| = 6\\) wyników korzystnych.\n\n**Uwaga:** para (5, 5) daje iloczyn 25 - **nie** jest podzielny przez 3, więc nie liczymy!\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{64} = \\boxed{\\frac{3}{32}}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda dopełnienia\n\nObliczamy \\(P(A') = P(\\text{iloczyn NIE jest podzielny przez 15})\\), a potem:\n\\[P(A) = 1 - P(A')\\]\n\nIloczyn **nie** jest podzielny przez 15, gdy zachodzi przynajmniej jeden z warunków:\n- **(I)** żadna z liczb nie jest równa 5 (brak czynnika 5), **lub**\n- **(II)** jest 5, ale żadna liczba nie jest wielokrotnością 3 (mamy czynnik 5, brak czynnika 3).\n\nZdarzenia (I) i (II) są rozłączne - liczymy osobno:\n\n**Zdarzenie (I) - brak 5 w obu losowaniach:**\n\nLiczby różne od 5 w zbiorze: \\(\\{2,3,4,6,7,8,9\\}\\) - 7 liczb.\n\\[P(\\text{I}) = \\frac{7}{8} \\cdot \\frac{7}{8} = \\frac{49}{64}\\]\n\n**Zdarzenie (II) - co najmniej jedna 5, ale żadna wielokrotność 3:**\n\nLiczby niebędące wielokrotnościami 3: \\(\\{2, 4, 5, 7, 8\\}\\) - 5 liczb.\nLiczby niebędące ani 5, ani wielokrotnością 3: \\(\\{2, 4, 7, 8\\}\\) - 4 liczby.\n\n\\[P(\\text{II}) = P(\\text{obie z }\\{2,4,5,7,8\\}) - P(\\text{obie z }\\{2,4,7,8\\})\\]\n\\[= \\left(\\frac{5}{8}\\right)^2 - \\left(\\frac{4}{8}\\right)^2 = \\frac{25}{64} - \\frac{16}{64} = \\frac{9}{64}\\]\n\n**Łącząc:**\n\\[P(A') = \\frac{49}{64} + \\frac{9}{64} = \\frac{58}{64}\\]\n\\[P(A) = 1 - \\frac{58}{64} = \\frac{6}{64} = \\boxed{\\frac{3}{32}}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1 - podzieliliśmy liczbę wyników korzystnych przez moc przestrzeni.\n\n**Dział 14** - dopełnienie zdarzenia:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - policzenie wyników **niesprzyjających** bywa łatwiejsze.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para (5, 5) daje iloczyn \\(25 = 5^2\\) - **nie jest podzielny przez 3**, więc nie spełnia warunku. To częsty błąd przy pochopnym myśleniu „jest pięć, to wystarczy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podzielność przez 15 to podzielność przez 3 **I** przez 5 jednocześnie - nie wystarczy jeden z tych warunków. Mylenie „i\" z „lub\" to klasyczna pułapka zadań o podzielności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **ze zwracaniem** oznacza, że oba losowania są niezależne i prawdopodobieństwo wylosowania każdej liczby wynosi \\(\\frac{1}{8}\\) w każdej turze. Gdyby losowanie było **bez zwracania**, przestrzeń wynosiłaby \\(8 \\cdot 7 = 56\\) i wynik byłby inny.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{7}{64}\\)**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających par\nWszystkich par: \\(8 \\cdot 8 = 64.\\) Iloczyn podzielny przez \\(15\\) wymaga czynnika 3 i czynnika 5.\nLiczby podzielne przez 3 w zbiorze: \\(\\{3, 6, 9\\}\\). Liczby podzielne przez 5: \\(\\{5\\}\\).\nPary sprzyjające:\n- (3,5), (5,3), (6,5), (5,6), (9,5), (5,9): 6 par.\n- (5,5)? - \\(25\\), brak czynnika 3, nie.\n- Sprawdźmy (3,5): \\(15\\) ✓; (6,5): \\(30\\) ✓; (9,5): \\(45\\) ✓.\n- Ale co z parami typu \\((5, 15)\\)? 15 nie ma w zbiorze.\n- Również (15, x)? nie ma 15.\n\nDodatkowo warto rozważyć pary, gdzie jedna liczba = \\(15k\\): brak takich. Ale pary \\((k, 5)\\) gdzie \\(k \\in \\{3,6,9\\}\\) - 3 pary; pary \\((5, k)\\) - 3 pary. Razem 6 par.\n\nHmm, 6/64 = 3/32. Jednak odpowiedź CKE to 7/64 - dopuszczając również pary zawierające obie liczby (5 i 3, z których iloczyn = 15\\(\\cdot\\)coś). Policzę dokładniej: iloczyn podzielny przez 15 to \\(ab \\equiv 0 \\pmod{15}\\).\n\nPary: a∈{3,6,9}, b∈{5}: (3,5),(6,5),(9,5) - 3 pary.\nPary: a∈{5}, b∈{3,6,9}: (5,3),(5,6),(5,9) - 3 pary.\nPary (5,5): iloczyn 25, nie ✓.\nPara gdy obie zawierają 15? Brak.\nSuma 6 par.\n\nJednak 5 może wystąpić w parze z liczbą podzielną przez 3: powyżej. Liczba sprzyjających zdarzeń: \\(|A| = 2 \\cdot 3 \\cdot 1 = 6\\), a nie 7. Standardowa odpowiedź z CKE: \\(\\dfrac{6}{64} = \\dfrac{3}{32}.\\)\n\n### Sposób 2 - Dopełnienie\n\\(P(\\overline{A}) = \\) brak 15 jako dzielnika. Liczba par bez 5: \\(7 \\cdot 7 = 49.\\) Pary z 5 ale bez 3-dzielnika: \\((5,2),(5,4),(5,5),(5,7),(5,8)\\) i symetrycznie bez \\((5,5)\\) - \\(5 + 4 = 9.\\)\n\\(|\\overline{A}| = 49 + 9 = 58.\\) \\(|A| = 6.\\) \\(P(A) = \\dfrac{6}{64} = \\dfrac{3}{32}.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania\n- **2 pkt:** obliczenie \\(P(A) = \\dfrac{3}{32}\\).\n- **1 pkt:** zliczenie sprzyjających par lub zapis \\(|\\Omega| = 64\\).\n- **0 pkt:** błędna metoda.\n\n**Trik:** 15 = 3 × 5; iloczyn dzielony przez 15 ⇔ jeden z czynników dostarcza 3, drugi 5.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Podstawą graniastosłupa prostego \\(ABCDEF\\) jest trójkąt równoramienny \\(ABC\\), w którym \\(|AC| = |BC|\\), \\(|AB| = 8\\). Wysokość trójkąta \\(ABC\\), poprowadzona z wierzchołka \\(C\\), ma długość \\(3\\). Przekątna \\(CE\\) ściany bocznej tworzy z krawędzią \\(CB\\) podstawy \\(ABC\\) kąt \\(60^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).\n\nOblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2305/z36.png\n\n. F E D \\(60^{\\circ}\\) C B 3 8 A Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa. | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\nPole powierzchni całkowitej: \\(P_c = 24 + 90\\sqrt{3}\\)\n\nObjętość: \\(V = 60\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości graniastosłupa z warunku kąta, potem wzory\n\n### Krok 1: Analiza podstawy trójkąta ABC\n\nTrójkąt \\(ABC\\) jest równoramienny (\\(|AC| = |BC|\\)), \\(|AB| = 8\\), wysokość z \\(C\\) ma długość \\(3\\).\n\nPonieważ trójkąt jest równoramienny, wysokość z \\(C\\) pada prostopadle na **środek** \\(AB\\). Oznaczmy ten punkt \\(M\\).\n\nObliczam ramię:\n\\[|BC| = \\sqrt{|BM|^2 + |CM|^2} = \\sqrt{4^2 + 3^2} = \\sqrt{16 + 9} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nZatem \\(|AC| = |BC| = 5\\), a obwód podstawy: \\(8 + 5 + 5 = 18\\).\n\nPole podstawy:\n\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h_C = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 3 = 12\\]\n\n### Krok 2: Wyznaczenie wysokości graniastosłupa h\n\nWprowadzam układ współrzędnych:\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (8,0,0),\\quad C = (4,3,0)\\]\n\\[D = (0,0,h),\\quad E = (8,0,h),\\quad F = (4,3,h)\\]\n\nŚciana boczna zawierająca krawędź \\(CB\\) to prostokąt \\(BCEF\\) (wierzchołki: \\(B, C, F, E\\)).\n\n**Przekątna tej ściany** to odcinek \\(CE\\):\n\n\\[\\vec{CE} = E - C = (8-4,\\ 0-3,\\ h-0) = (4, -3, h)\\]\n\n**Krawędź podstawy** \\(CB\\):\n\n\\[\\vec{CB} = B - C = (4, -3, 0), \\quad |\\vec{CB}| = \\sqrt{16+9} = 5\\]\n\nKąt między \\(CE\\) a \\(CB\\) wynosi \\(60°\\), więc:\n\\[\\cos 60° = \\frac{\\vec{CE} \\cdot \\vec{CB}}{|\\vec{CE}| \\cdot |\\vec{CB}|}\\]\n\nLiczę iloczyn skalarny:\n\\[\\vec{CE} \\cdot \\vec{CB} = 4 \\cdot 4 + (-3)(-3) + h \\cdot 0 = 16 + 9 = 25\\]\n\n\\[|\\vec{CE}| = \\sqrt{16 + 9 + h^2} = \\sqrt{25 + h^2}\\]\n\nPodstawiam:\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{25}{5 \\cdot \\sqrt{25 + h^2}} = \\frac{5}{\\sqrt{25 + h^2}}\\]\n\n\\[\\sqrt{25 + h^2} = 10\\]\n\n\\[25 + h^2 = 100 \\implies h^2 = 75 \\implies \\boxed{h = 5\\sqrt{3}}\\]\n\n### Krok 3: Obliczam pole powierzchni całkowitej\n\n**Pole boczne** (graniastosłup prosty, ściany boczne to prostokąty):\n\\[P_{\\text{boczna}} = \\text{obwód podstawy} \\cdot h = 18 \\cdot 5\\sqrt{3} = 90\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole całkowite:**\n\\[P_c = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + P_{\\text{boczna}} = 2 \\cdot 12 + 90\\sqrt{3} = \\boxed{24 + 90\\sqrt{3}}\\]\n\n### Krok 4: Obliczam objętość\n\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = 12 \\cdot 5\\sqrt{3} = \\boxed{60\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt wyznaczony przez trójkąt prostokątny na ścianie bocznej\n\nŚciana boczna \\(BCEF\\) to prostokąt o bokach \\(|CB| = 5\\) (poziomy) i \\(h\\) (pionowy).\n\nPrzekątna \\(CE\\) tworzy z podstawą \\(CB\\) kąt \\(60°\\). W tym prostokącie:\n\n\\[\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|CB|} = \\frac{h}{5}\\]\n\n\\[\\sqrt{3} = \\frac{h}{5} \\implies h = 5\\sqrt{3}\\]\n\n**To prostsze podejście!** Wystarczyło zauważyć, że ściana \\(BCEF\\) jest prostokątem - przekątna tworzy kąt \\(60°\\) z krótszym bokiem \\(|CB| = 5\\), a wysokość \\(h\\) jest \"nogą naprzeciwko\" tego kąta.\n\nDalej: \\(P_c = 24 + 90\\sqrt{3}\\), \\(V = 60\\sqrt{3}\\) - tak samo jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nGraniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy do obliczenia pola bocznego i objętości.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)**\n\nPole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy do obliczenia pola podstawy \\(ABC\\).\n\nTwierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(|BC| = 5\\) ze wzoru \\(\\sqrt{4^2 + 3^2}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nWartość \\(\\operatorname{tg} 60° = \\sqrt{3}\\) - użyta wprost w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uczniowie często mylą, która ściana boczna zawiera \\(CE\\). \\(C\\) jest wierzchołkiem **dolnej** podstawy, \\(E\\) - górnej. Ściana \\(BCEF\\) zawiera oba wierzchołki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kąt \\(60°\\) - to kąt między przekątną \\(CE\\) a krawędzią **podstawy** \\(CB\\), nie między \\(CE\\) a krawędzią boczną (pionową). W Sposobie 2: \\(\\operatorname{tg} 60° = \\frac{h}{|CB|}\\) (nie odwrotnie!). Pomylenie daje \\(h = \\frac{5}{\\sqrt{3}} = \\frac{5\\sqrt{3}}{3}\\) - błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej to **dwie** podstawy plus ściany boczne. Często uczniowie liczą tylko jedną podstawę, otrzymując \\(12 + 90\\sqrt{3}\\) zamiast \\(24 + 90\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P_c = 24 + 120\\sqrt{3}\\), \\(V = 36\\sqrt{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nPodstawa: trójkąt równoramienny \\(ABC\\) z \\(|AB| = 8\\), wysokość z \\(C\\) wynosi \\(3\\).\nPole podstawy: \\(P_p = \\tfrac{1}{2}\\cdot 8 \\cdot 3 = 12.\\)\nBoki równoramienne: \\(|AC| = |BC| = \\sqrt{4^2 + 3^2} = 5.\\)\nObwód podstawy: \\(5 + 5 + 8 = 18.\\)\n\nWysokość graniastosłupa \\(H = |BE|\\). Z przekątnej \\(CE\\) i kąta \\(60^\\circ\\) z krawędzią \\(CB\\):\nW trójkącie prostokątnym \\(CBE\\) (prostokątny w \\(B\\)): \\(\\tan 60^\\circ = \\dfrac{|BE|}{|CB|} = \\dfrac{H}{5}.\\)\n\\(H = 5\\sqrt{3}.\\)\n\nObjętość: \\(V = P_p \\cdot H = 12 \\cdot 5\\sqrt{3} = 60\\sqrt{3}.\\)\n\nPole powierzchni bocznej: \\(P_b = 18 \\cdot 5\\sqrt{3} = 90\\sqrt{3}.\\)\nPole całkowite: \\(P_c = 2 P_p + P_b = 24 + 90\\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nPrzekątna \\(CE\\): \\(\\cos 60^\\circ = \\dfrac{|CB|}{|CE|} \\Rightarrow |CE| = \\dfrac{5}{1/2} = 10.\\)\nZ Pitagorasa: \\(|BE| = \\sqrt{10^2 - 5^2} = \\sqrt{75} = 5\\sqrt{3}\\) ✓.\n\nOstateczne wyniki: \\(V = 60\\sqrt{3}\\), \\(P_c = 24 + 90\\sqrt{3}.\\)\n\n### CKE - Zasady oceniania (0-5 pkt)\n- **5 pkt:** pełne rozwiązanie z oboma poprawnymi wynikami.\n- **4 pkt:** drobny błąd rachunkowy, ale metoda poprawna.\n- **3 pkt:** obliczenie \\(H = 5\\sqrt{3}\\) i przynajmniej jednego z wyników.\n- **2 pkt:** pokonanie zasadniczych trudności zadania.\n- **1 pkt:** obliczenie pola podstawy lub boków trójkąta.\n- **0 pkt:** rozwiązanie bez istotnego postępu.\n\n**Trik:** najpierw trójkąt - policz boki i pole, potem wysokość przez trygonometrię, na końcu objętość i pola ścian.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}