{"paper":{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":18,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW chwili początkowej (𝑡= 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu\ncząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa\n19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej 𝑡≥0\nfunkcja 𝑚(𝑡) określa masę substancji w gramach po 𝑡 pełnych dobach (czas liczymy od\nchwili początkowej).\nWyznacz wzór funkcji 𝒎(𝒕). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie\npo raz pierwszy mniejsza od 𝟏, 𝟓 grama.\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nW chwili początkowej (t=0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t≥0 funkcja m(t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m(t). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną, w tym ich wykresami, do\nopisu i interpretacji zagadnień związanych\nz zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡 oraz obliczenie liczby pełnych dni/dób,\npo których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama: 5 dób.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑚: 𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡\nALBO\n- obliczenie liczby dób, po których masa substancji będzie mniejsza od 1,5 grama:\n5 dób.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest ustalenie niepoprawnego wzoru funkcji w postaci\n𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡-1 i zdający konsekwentnie do popełnionego błędu oblicza liczbę dób, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑡 - czas (w dobach), licząc od chwili początkowej,\n𝑚(𝑡) - masa substancji po 𝑡 dobach, licząc od chwili początkowej.\nLiczby 𝑚(0), 𝑚(1), 𝑚(2) itd. są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego\no ilorazie 0,81. Zatem\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚(𝑡) = 4 ⋅0,81𝑡\ngdzie 𝑡 jest liczbą całkowitą nieujemną. Ten ciąg geometryczny jest malejący. Ponadto\n𝑚(4) = 4 ∙ 0,814 ≈1,72 > 1,5\n𝑚(5) = 4 ∙ 0,815 ≈1,39 < 1,5\nwięc masa substancji będzie mniejsza od 1,5 g po pięciu dobach.","solution":"Odpowiedź: **Wzór:** $m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t$ **Po $5$ pełnych dobach** masa po raz pierwszy < $1{,}5$ g. Sprawdzenie: $m(4) \\approx 1{,}72$, $m(5) \\approx 1{,}40$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz funkcję $m(t)$ opisującą masę substancji po $t$ dobach. Następnie znajdź najmniejsze $t \\in \\mathbb{N}$, dla którego $m(t) < 1{,}5$.\n\nModeluj rozpad jako ciąg geometryczny. Po każdej dobie zostaje $100\\% - 19\\% = 81\\%$ poprzedniej masy:\n\n$$m_{t+1} = 0{,}81 \\cdot m_t$$\n\nStąd:\n\n$$m(t) = 4 \\cdot 0{,}81^t$$\n\nUłóż nierówność $m(t) < 1{,}5$:\n\n$$4 \\cdot 0{,}81^t < 1{,}5$$\n\n$$0{,}81^t < 0{,}375$$\n\nSprawdź kolejne wartości $t$ (szybszy niż logarytm):\n\n$t$ | $0{,}81^t$ | $m(t)$\n1 | $0{,}81$ | $3{,}24$\n2 | $0{,}656$ | $2{,}625$\n3 | $0{,}531$ | $2{,}126$\n4 | $0{,}430$ | $1{,}722$\n5 | $0{,}349$ | $\\mathbf{1{,}395}$ ✓\n\nPierwsze $t$ z $m(t) < 1{,}5$: $t = 5$.\n\nAlternatywnie — logarytmy:\n\n$$t \\cdot \\log 0{,}81 < \\log 0{,}375$$\n\n$\\log 0{,}81 < 0$, więc znak nierówności odwraca się:\n\n$$t > \\frac{\\log 0{,}375}{\\log 0{,}81} = \\frac{-0{,}4260}{-0{,}0915} \\approx 4{,}66$$\n\nNajmniejsze całkowite $t$ to $5$.\n\nPo co to umieć\n\nRozpad procentowy o $p\\%$ na okres = ciąg geometryczny z $q = 1 - p/100$. Wzór ogólny: $m(t) = m_0 \\cdot q^t$.\n\nDla obliczeń wystarczy próbkować kolejne $t$ — często szybsze niż logarytmy. Logarytmy są pewniejsze dla dużych wartości.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $m(t) = 4 \\cdot 0{,}19^t$ — ubywa $19\\%$, więc **zostaje $81\\%$**. Drugi błąd: nierówność $0{,}81^t < 0{,}375$ rozwiązana ze złym znakiem (przy logarytmowaniu liczb < 1 znak nierówności **się odwraca**).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"ciąg geometryczny, rozpad procentowy, logarytmy, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nTomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo\nwygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1\n4 .\nOblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu\npartii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nTomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1/4. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R2) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n64 .\n2 pkt - zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najmniej czterech\nsukcesów w pięciu próbach Bernoullego, np. 𝑃= (5\n4) ⋅(1\n4)\n4\n⋅(3\n4)\n1\n+ (5\n5) ⋅(1\n4)\n5\n,\n𝑃= 5 ⋅(1\n4)\n4\n⋅3\n4 + (1\n4)\n5\n,\n𝑃= 1 -[(5\n0) ⋅(1\n4)\n0\n⋅(3\n4)\n5\n+ (5\n1) ⋅(1\n4)\n1\n⋅(3\n4)\n4\n+ (5\n2) ⋅(1\n4)\n2\n⋅(3\n4)\n3\n+ (5\n3) ⋅(1\n4)\n3\n⋅(3\n4)\n1\n]\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej\npartii: 𝑝= 1\n4 , 𝑞= 3\n4\nALBO\n- zapisanie prawdopodobieństwa w postaci 𝑝5 + 5𝑝4 ⋅𝑞, gdzie 𝑝 jest\nprawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, 𝑞 - porażki,\nALBO\n- przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie\nodpowiadające pięciu wygranym i czterem wygranym,\nALBO\n- przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą czterem\nwygranym i jednej przegranej oraz określenie na każdym odcinku gałęzi\nprawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa 𝑃(𝑆5\n4) = (5\n4) ⋅(1\n4)\n4\n⋅(3\n4)\n1\noraz\n𝑃(𝑆5\n5) = (5\n5) ⋅(1\n4)\n5\n, ale z dalszego rozwiązania nie wynika, że 𝑃= 𝑃(𝑆5\n4) + 𝑃(𝑆5\n5), to\notrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający określa błędnie prawdopodobieństwo porażki i konsekwentnie rozwiąże\nzadanie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOkreślamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej partii: 𝑝= 1\n4 ,\n𝑞= 1 -𝑝= 3\n4 .\nNiech 𝑆5\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wygraniu przez Tomka dokładnie 𝑘 partii\nspośród pięciu rozgrywanych (𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}).\nObliczamy prawdopodobieństwo 𝑃 wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu\npartii:\n𝑃= 𝑃(𝑆5\n4) + 𝑃(𝑆5\n5) = (5\n4) ⋅(1\n4)\n4\n⋅(3\n4)\n1\n+ (5\n5) ⋅(1\n4)\n5\n= 5 ⋅3 + 1\n45\n= 16\n45 = 1\n64\nSposób II (poprzez drzewo)\nOkreślamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej partii: 𝑝= 1\n4 ,\n𝑞= 1 -𝑝= 3\n4 .\nRysujemy fragment drzewa doświadczenia, zawierający wszystkie gałęzie odpowiadające\nczterem oraz pięciu wygranym przez Tomka partiom.\nSymbol 𝑇 odpowiada partii wygranej przez Tomka, natomiast 𝑅 - partii, której Tomek nie\nwygrał. Oznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że Tomek wygrał co najmniej\ncztery spośród pięciu partii.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n4 ∙1\n4 ∙1\n4 ∙1\n4 ∙1\n4 + 5 ∙3\n4 ∙1\n4 ∙1\n4 ∙1\n4 ∙1\n4 =\n16\n1024 = 1\n64\nSposób III (przez zdarzenie przeciwne)\nOkreślamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej partii: 𝑝= 1\n4 ,\n𝑞= 1 -𝑝= 3\n4 .\nNiech 𝑆5\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wygraniu przez Tomka dokładnie 𝑘 partii\nspośród pięciu rozgrywanych (𝑘∈{0, 1, 2, 3, 4, 5}).\n1\n4\n3\n4\n𝑇\n𝑅\n1\n4\n1\n4\n3\n4\n𝑇\n𝑅\n𝑇\n𝑇\n𝑅\n𝑇\n𝑇\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n3\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n3\n4\n1\n4\n𝑇\n𝑅\n𝑇\n𝑇\n𝑇\n𝑇\n𝑅\n𝑇\n𝑇\n𝑇\n𝑇\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n3\n4\n1\n4\n1\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴′ - przeciwnego do zdarzenia 𝐴. Zdarzenie 𝐴′\nodpowiada co najwyżej trzem wygranym przez Tomka partiom.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴′ jest równe\n𝑃(𝐴′) = 𝑃(𝑆5\n0) + 𝑃(𝑆5\n1) + 𝑃(𝑆5\n2) + 𝑃(𝑆5\n3) =\n= (5\n0) ⋅(1\n4)\n0\n⋅(3\n4)\n5\n+ (5\n1) ⋅(1\n4)\n1\n⋅(3\n4)\n4\n+ (5\n2) ⋅(1\n4)\n2\n⋅(3\n4)\n3\n+ (5\n3) ⋅(1\n4)\n3\n⋅(3\n4)\n2\n= 9 ∙112\n45\n= 63\n64\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 - tj. wygrania przez Tomka co najmniej czterech\nz pięciu partii, jest równe\n𝑃(𝐴) = 1 -𝑃(𝐴′) = 1 -63\n64 = 1\n64","solution":"Odpowiedź: **$P = \\frac{1}{64}$** Schemat Bernoulliego: $P(\\geq 4) = P(4) + P(5) = \\binom{5}{4} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^4 \\left(\\frac{3}{4}\\right) + \\binom{5}{5} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^5 = \\frac{15}{1024} + \\frac{1}{1024} = \\frac{16}{1024} = \\frac{1}{64}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nSchemat Bernoulliego: $n = 5$ niezależnych prób, $p = \\frac{1}{4}$ (sukces = wygrana Tomka), $q = 1-p = \\frac{3}{4}$. Szukamy $P(X \\geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$.\n\nWzór na prawdopodobieństwo $k$ sukcesów w $n$ próbach:\n\n$$P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$\n\nOblicz $P(X = 4)$:\n\n$$P(X = 4) = \\binom{5}{4} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^4 \\left(\\frac{3}{4}\\right)^1 = 5 \\cdot \\frac{1}{256} \\cdot \\frac{3}{4} = \\frac{15}{1024}$$\n\nOblicz $P(X = 5)$:\n\n$$P(X = 5) = \\binom{5}{5} \\left(\\frac{1}{4}\\right)^5 \\left(\\frac{3}{4}\\right)^0 = 1 \\cdot \\frac{1}{1024} \\cdot 1 = \\frac{1}{1024}$$\n\nSuma:\n\n$$P(X \\geq 4) = \\frac{15}{1024} + \\frac{1}{1024} = \\frac{16}{1024} = \\frac{1}{64}$$\n\nPo co to umieć\n\nSchemat Bernoulliego dotyczy ciągu niezależnych prób z dwoma wynikami (sukces/porażka) i stałym prawdopodobieństwem $p$. Wzór:\n\n$$P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$\n\n„Co najmniej $k$\" = suma wszystkich $P(X = k), P(X = k+1), \\ldots, P(X = n)$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie przypadku 5 wygranych — „co najmniej 4\" obejmuje 4 **i** 5. Drugi błąd: brak współczynnika dwumianowego $\\binom{5}{4} = 5$ (zlicza, na które partie wypadają wygrane).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"schemat Bernoulliego, prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 3𝑥2-2𝑥\n𝑥2+2𝑥+8 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥.\nPunkt 𝑃= (𝑥0 , 3) należy do wykresu funkcji 𝑓.\nOblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 3x^2-2x / x^2+2x+8 dla każdej liczby rzeczywistej x. Punkt P=(x_0,3) należy do wykresu funkcji f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = -3 oraz 𝑦= -8\n11 𝑥+ 9\n11\n(lub 𝑦= -8\n11 (𝑥+ 3) + 3).\n2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = -3 oraz\n𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)\n(𝑥2+2𝑥+8)\n2\n1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = -3\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)⋅(𝑥2+2𝑥+8)-(3𝑥2-2𝑥)⋅(2𝑥+2)\n(𝑥2+2𝑥+8)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n3 =\n3𝑥0\n2 -2𝑥0\n𝑥0\n2 + 2𝑥0 + 8\n3𝑥0\n2 + 6𝑥0 + 24 = 3𝑥0\n2 -2𝑥0\n𝑥0 = -3\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) =\n(6𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 8) -(3𝑥2 -2𝑥)(2𝑥+ 2)\n(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓′(𝑥) = 8𝑥2 + 48𝑥-16\n(𝑥2 + 2𝑥+ 8)2\nWyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓\nw punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(-3) = -8\n11\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n3 = -8\n11 ∙(-3) + 𝑏\n𝑏= 9\n11\nStyczna ma równanie 𝑦= -8\n11 𝑥+ 9\n11 .","solution":"Odpowiedź: $x_0 = -3$, $f'(-3) = -\\frac{8}{11}$ **Styczna:** $y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}$\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\n(1) Znajdź $x_0$ z warunku $f(x_0) = 3$.\n(2) Wylicz pochodną $f'(x_0)$ — to współczynnik kierunkowy stycznej.\n(3) Napisz równanie stycznej.\n\nZnajdź $x_0$:\n\n$$3 = \\frac{3x_0^2 - 2x_0}{x_0^2 + 2x_0 + 8}$$\n\nPomnóż obie strony przez mianownik:\n\n$$3(x_0^2 + 2x_0 + 8) = 3x_0^2 - 2x_0$$\n$$3x_0^2 + 6x_0 + 24 = 3x_0^2 - 2x_0$$\n$$8x_0 = -24$$\n$$x_0 = -3$$\n\nWylicz pochodną (wzór na iloraz). Oznacz $u = 3x^2 - 2x$, $v = x^2 + 2x + 8$:\n\n$$u' = 6x - 2 \\quad v' = 2x + 2$$\n\n$$f'(x) = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$$\n\nWstaw $x = -3$:\n\n$$u(-3) = 27 + 6 = 33, \\quad v(-3) = 9 - 6 + 8 = 11$$\n$$u'(-3) = -20, \\quad v'(-3) = -4$$\n\n$$f'(-3) = \\frac{(-20) \\cdot 11 - 33 \\cdot (-4)}{11^2} = \\frac{-220 + 132}{121} = \\frac{-88}{121}$$\n\nSkróć ($121 = 11^2$, $88 = 8 \\cdot 11$):\n\n$$f'(-3) = -\\frac{8}{11}$$\n\nWyznacz równanie stycznej. Postać: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$, czyli $y - 3 = -\\frac{8}{11}(x + 3)$:\n\n$$y = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + 3 = -\\frac{8}{11}x - \\frac{24}{11} + \\frac{33}{11}$$\n\n$$\\boxed{y = -\\frac{8}{11}x + \\frac{9}{11}}$$\n\nPo co to umieć\n\nPochodna ilorazu: $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$.\n\nStyczna do wykresu w punkcie $(x_0, y_0)$:\n- współczynnik kierunkowy = $f'(x_0)$\n- równanie: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$\n\nTo podstawowy schemat dla zadań „znajdź styczną\" — pojawia się na PR matematyki rok w rok.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: zła pochodna ilorazu — pomyłka w znaku lub kolejności wyrazów. Wzór: $\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ (różnica, nie suma!). Drugi błąd: brak skrócenia $\\frac{-88}{121}$ do $-\\frac{8}{11}$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"pochodna funkcji wymiernej, styczna do wykresu, funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nLiczby rzeczywiste 𝑥 oraz 𝑦 spełniają jednocześnie równanie 𝑥+ 𝑦= 4 i nierówność\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3.\nWykaż, że 𝒙= 𝟐 oraz 𝒚= 𝟐.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nLiczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x+y=4 i nierówność x^3-x^2y ≤ xy^2-y³. Wykaż, że x=2 oraz y=2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nII.R3) korzysta ze wzorów na: (𝑎+ 𝑏)3,\n(𝑎-𝑏)3, 𝑎3 + 𝑏3 i 𝑎3 -𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować\no równości liczb 𝑥 i 𝑦 (lub do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować, że\njedna z liczb: 𝑥, 𝑦, jest równa 2) oraz obliczenie tych liczb: 𝑥= 2 oraz 𝑦= 2.\n2 pkt - zastosowanie wzoru na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy, wykorzystanie\nzałożenia i zapisanie nierówności kwadratowej z jedną niewiadomą 𝑥 (lub 𝑦)\nw postaci 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≥0 lub 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐≤0, np. 16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0\nALBO\n- wykorzystanie założenia 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności w postaci\n4(𝑥-𝑦)2 ≤0 (lub 4(4 -2𝑦)2 ≤0, lub 4(2𝑥-4)2 ≤0),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦) ≤0 oraz poprawne\nokreślenie znaku jednego z czynników iloczynu (𝑥-𝑦)2 ⋅(𝑥+ 𝑦),\nALBO\n- zastosowanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, zapisanie\nobu przypadków i przeprowadzenie poprawnego rozumowania dla jednego z tych\nprzypadków.\n1 pkt - wykorzystanie zależności 𝑥+ 𝑦= 4 i zapisanie nierówności z jedną niewiadomą,\nnp. 𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci\n(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 do postaci 𝑥⋅𝑦≥4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający podstawia do związków 𝑥+ 𝑦= 4 oraz 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 konkretne\nwartości liczbowe i na tym opiera swoją argumentację, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc 𝑦= 4 -𝑥. Ponieważ ponadto 𝑥 i 𝑦 spełniają nierówność\n𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3, więc otrzymujemy\n𝑥3 -𝑥2(4 -𝑥) ≤𝑥(4 -𝑥)2 -(4 -𝑥)3\nStosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy\n𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤𝑥(16 -8𝑥+ 𝑥2) -(64 -48𝑥+ 12𝑥2 -𝑥3)\nPrzekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno\n𝑥3 -4𝑥2 + 𝑥3 ≤16𝑥-8𝑥2 + 𝑥3 -64 + 48𝑥-12𝑥2 + 𝑥3\n16𝑥2 -64𝑥+ 64 ≤0\n(4𝑥-8)2 ≤0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym\nrozwiązaniem tej nierówności jest 𝑥= 2.\nPonieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc 𝑦= 2.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność 𝑥3 -𝑥2𝑦≤𝑥𝑦2 -𝑦3 kolejno do postaci\n𝑥3 -𝑥2𝑦-𝑥𝑦2 + 𝑦3 ≤0\n(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2) ≤0\n(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≤0\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 4, więc otrzymujemy\n4(𝑥-𝑦)2 ≤0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić\n(𝑥-𝑦)2 = 0\nStąd 𝑥-𝑦= 0, czyli 𝑥= 𝑦. Zatem 2𝑥= 4, czyli 𝑥= 2. Ponieważ 𝑦= 4 -𝑥, więc\n𝑦= 2.\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Przekształcamy nierówność: $x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0$ → $(x-y)^2 (x+y) \\leq 0$. Ponieważ $x+y = 4 > 0$, musi być $(x-y)^2 \\leq 0$, więc $(x-y)^2 = 0$ czyli $x = y$. Z $x+y=4$ wynika $x = y = 2$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nMając dwa warunki — $x + y = 4$ i $x^3 - x^2y \\leq xy^2 - y^3$ — pokazać, że jedyne rozwiązanie to $x = y = 2$.\n\nPrzekształć nierówność. Przenieś wszystko na lewo:\n\n$$x^3 - x^2y - xy^2 + y^3 \\leq 0$$\n\nPogrupuj wyrazy po dwa:\n\n$$x^2(x - y) - y^2(x - y) \\leq 0$$\n\n$$(x - y)(x^2 - y^2) \\leq 0$$\n\nRozłóż $x^2 - y^2$ na czynniki:\n\n$$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$\n\nStąd:\n\n$$(x - y)(x - y)(x + y) \\leq 0$$\n\n$$(x - y)^2 (x + y) \\leq 0$$\n\nWykorzystaj warunek $x + y = 4$. Podstaw:\n\n$$(x - y)^2 \\cdot 4 \\leq 0$$\n\n$$(x - y)^2 \\leq 0$$\n\nWnioskuj. $(x - y)^2 \\geq 0$ dla wszystkich liczb rzeczywistych. Jedyną możliwością przy $\\leq 0$ jest równość:\n\n$$(x - y)^2 = 0 \\implies x = y$$\n\nZ $x = y$ i $x + y = 4$:\n\n$$2x = 4 \\implies x = 2 \\implies y = 2$$\n\nCo należało dowieść. ∎\n\nPo co to umieć\n\nSchemat dowodów typu „wykaż, że $x = a, y = b$\" oparty na grupowaniu + nieujemności kwadratu jest częsty na PR. Klucz:\n1. Przekształć nierówność do postaci „suma kwadratów ≤ 0\" lub „kwadrat razy coś &gt; 0 ≤ 0\".\n2. Wnioskuj, że każdy kwadrat = 0.\n3. Z dodatkowego warunku wylicz konkretne wartości.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: brak grupowania wyrazów. Drugi błąd: pominięcie wniosku że $x + y > 0$ — bez tego $(x-y)^2(x+y) \\leq 0$ nie wymusza równości.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"dowód, grupowanie wyrazów, nierówność z kwadratem, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym |∡𝐴𝐵𝐶| = 90° oraz |∡𝐶𝐴𝐵| = 60°. Punkty\n𝐾 i 𝐿 leżą na bokach - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 tak, że |𝐵𝐾| = |𝐵𝐿| = 1 (zobacz\nrysunek). Odcinek 𝐾𝐿 przecina wysokość 𝐵𝐷 tego trójkąta w punkcie 𝑁, a ponadto\n|𝐴𝐷| = 2.\nWykaż, że |𝑵𝑫| = √𝟑+ 𝟏.\n60°\n1\n𝐾\n𝐴\n𝑁\n𝐿\n𝐵\n𝐶\n2\n𝐷\n1\n5.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |∠ABC|=90° oraz |∠CAB|=60°. Punkty K i L leżą na bokach - odpowiednio - AB i BC tak, że |BK|=|BL|=1 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N, a ponadto |AD|=2. [rysunek] Wykaż, że |ND| = √3+1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.R3) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝑁𝐷| = √3 + 1.\n2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐵𝑁: √3 -1\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 2√3 i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą 𝑥 (długością odcinka 𝐵𝑁),\nALBO\n- zapisanie równania\n𝑥\n2√3-𝑥= 2+√3\n1\nz niewiadomą 𝑥= |𝐷𝑁| (otrzymanego\nz podobieństwa trójkątów 𝐵𝐿𝑁 i 𝐷𝐸𝑁, sposób VII),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑁: 𝑁= (\n1\n√3+1 ,\n√3\n√3+1) i obliczenie długości\nodcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 2√3 (sposób V),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktów 𝑁 i 𝐷: 𝑁= (\n1\n√3+1 ,\n√3\n√3+1) i 𝐷= (√3, 3)\n(sposób V),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑁: 𝑁= (\n1\n√3+1 ,\n√3\n√3+1) i zapisanie długości |𝐷𝑁|\nw postaci\n√3\n3 ⋅\n1\n√3+1 - 1 ⋅\n√3\n√3+1 + 4|\n√(-\n√3\n3 )\n2\n+(-1)2\n(sposób V).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥= |𝐵𝑁|, np.\n1\n2 ∙1 ∙𝑥∙sin60° + 1\n2 ∙𝑥∙1 ∙sin30° = 1\n2 (z sumy pól trójkątów 𝐵𝐿𝑁 oraz 𝐾𝐵𝑁),\n1\nsin105° =\n𝑥\nsin45° (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐾),\n1\nsin75° =\n𝑥\nsin45° (z twierdzenia sinusów dla trójkąta 𝐵𝑁𝐿),\n1 -1\n2 ∙𝑥= 𝑥⋅√3\n2 (ze związków miarowych w trójkątach 𝐵𝐸𝑁 i 𝐸𝐿𝑁),\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐵𝐷 i zapisanie |𝐵𝐷| = 2√3,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (pierwszą lub drugą współrzędną\npunktu 𝑁), np. -𝑥+ 1 = √3𝑥 (sposób V),\nALBO\n- wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 oraz obliczenie współrzędnych punktu 𝐷:\n𝐷= (√3, 3) (sposób V).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano nieprawidłową metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nW rozwiązaniach nie są akceptowane przybliżenia dziesiętne liczb rzeczywistych.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (pola trójkątów)\nW trójkącie 𝐷𝐴𝐵 o kątach 90°, 60°, 30° mamy: |𝐴𝐷| = 2, |𝐴𝐵| = 4 i |𝐵𝐷| = 2√3.\nW trójkącie 𝐵𝐿𝑁 miara kąta 𝑁𝐵𝐿 jest równa 60°. W trójkącie 𝐾𝐵𝑁 miara kąta 𝐾𝐵𝑁\njest równa 30°. Ponieważ pole trójkąta 𝐾𝐵𝐿 (równe 1\n2) jest sumą pól trójkątów 𝐵𝐿𝑁 oraz\n𝐾𝐵𝑁, więc możemy zapisać równość\n1\n2 ∙|𝐵𝐿| ∙|𝐵𝑁| ∙sin 60° + 1\n2 ∙|𝐵𝑁| ∙|𝐵𝐾| ∙sin30° = 1\n2\nStąd, po uwzględnieniu warunku |𝐵𝐾| = |𝐵𝐿| = 1, otrzymujemy dalej\n|𝐵𝑁| ∙√3\n2 + |𝐵𝑁| ∙1\n2 = 1\n|𝐵𝑁| ∙(√3 + 1) = 2\n|𝐵𝑁| = √3 -1\nZatem |𝑁𝐷| = |𝐵𝐷| -|𝐵𝑁| = 2√3 -(√3 -1) = √3 + 1.\nTo należało wykazać.\n60°\n1\n𝐾\n𝐴\n𝑁\n𝐿\n𝐵\n𝐶\n2\n𝐷\n1\nSposób II\nW trójkącie 𝐷𝐴𝐵 o kątach 90°, 60°, 30° mamy: |𝐴𝐷| = 2, |𝐴𝐵| = 4 i |𝐵𝐷| = 2√3.\nKąty w trójkącie 𝐵𝑁𝐾 mają miary: 30°, 45°, 105°. Stosujemy twierdzenie sinusów\ni zapisujemy równość:\n|𝐵𝐾|\nsin105° = |𝐵𝑁|\nsin45°\nZatem\n|𝐵𝑁| =\n1 ∙sin45°\nsin(60° + 45°) =\n√2\n2\n√3\n2 ∙√2\n2 + 1\n2 ∙√2\n2\n2\n√3 + 1\n= √3 -1\nOstatecznie |𝑁𝐷| = |𝐵𝐷| -|𝐵𝑁| = 2√3 -(√3 -1) = √3 + 1.\nTo należało wykazać.\nSposób III (trójkąt 𝐵𝐿𝑁)\nProwadzimy wysokość 𝑁𝐸 w trójkącie 𝐵𝐿𝑁 i oznaczamy 𝑥= |𝐵𝐸|.\nTrójkąt prostokątny 𝐷𝐴𝐵 ma kąty ostre 60° i 30°, więc:\n|𝐴𝐵| = 2|𝐴𝐷| = 2 ⋅2 = 4 i |𝐵𝐷| = |𝐴𝐷|√3 = 2√3\nTrójkąt prostokątny 𝐵𝐿𝐾 ma kąty ostre 45°, więc |𝐾𝐿| = √2.\nW trójkącie prostokątnym 𝑁𝐵𝐸 kąty ostre mają miary 60° i 30°, więc\n|𝑁𝐸| = |𝐵𝐸| ∙√3 = 𝑥√3 i |𝐵𝑁| = 2|𝐵𝐸| = 2𝑥\nTrójkąt prostokątny 𝐸𝐿𝑁 ma kąty ostre 45°, więc\n|𝑁𝐸| = |𝐸𝐿| = 𝑥√3\nAle |𝑁𝐸| = |𝐵𝐿| -|𝐵𝐸| = 1 -𝑥, więc otrzymujemy równanie\n𝑥\n60°\n1 -𝑥\n𝐾\n𝐴\n𝑁\n𝐿\n𝐵\n𝐶\n2\n𝐷\n1\n𝐸\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 -𝑥= 𝑥√3\n𝑥√3 + 𝑥= 1\n(√3 + 1)𝑥= 1\nMnożąc obie strony równania przez √3 -1, otrzymujemy\n2𝑥= √3 -1\nczyli\n|𝐵𝑁| = 2𝑥= √3 -1\nZatem |𝑁𝐷| = |𝐵𝐷| -|𝐵𝑁| = 2√3 -(√3 -1) = √3 + 1.\nTo należało wykazać.\nSposób IV (twierdzenie cosinusów)\nW trójkącie 𝐷𝐴𝐵 o kątach 90°, 60°, 30° mamy: |𝐴𝐷| = 2, |𝐴𝐵| = 4 i |𝐵𝐷| = 2√3.\nW trójkącie 𝐾𝐵𝐿 kąty mają miary: 90°, 45°, 45° oraz: |𝐵𝐾| = |𝐵𝐿| = 1, |𝐾𝐿| = √2.\nZ twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów 𝐾𝐵𝑁 oraz 𝐵𝐿𝑁 otrzymujemy\nrówności\n|𝐵𝑁|2 = |𝐵𝐾|2 + |𝐾𝑁|2 -2 ∙|𝐵𝐾| ∙|𝐾𝑁| ∙cos45°\noraz\n|𝐵𝑁|2 = |𝐵𝐿|2 + |𝐿𝑁|2 -2 ∙|𝐵𝐿| ∙|𝐿𝑁| ∙cos45°\nZatem po podstawieniu |𝐵𝐾| = |𝐵𝐿| = 1 i dodaniu stronami równań otrzymujemy równość:\n2 ∙|𝐵𝑁|2 = |𝐿𝑁|2 + |𝐾𝑁|2\nPonieważ |∡𝐾𝐵𝑁| = 30°, więc z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐾𝐵𝑁\notrzymujemy:\n|𝐾𝑁|2 = |𝐵𝐾|2 + |𝐵𝑁|2 -2 ∙|𝐵𝐾| ∙|𝐵𝑁| ∙cos30°\nPonieważ |∡𝑁𝐵𝐿| = 60°, więc z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐵𝐿𝑁\notrzymujemy:\n|𝐿𝑁|2 = |𝐵𝐿|2 + |𝐵𝑁|2 -2 ∙|𝐵𝐿| ∙|𝐵𝑁| ∙cos60°\nZatem po podstawieniu |𝐵𝐾| = |𝐵𝐿| = 1 i dodaniu stronami równań otrzymujemy równość:\n|𝐿𝑁|2 + |𝐾𝑁|2 = 2 + 2 ∙|𝐵𝑁|2 -|𝐵𝑁| ∙√3 -|𝐵𝑁|\nAle\n2 ∙|𝐵𝑁|2 = |𝐿𝑁|2 + |𝐾𝑁|2\nwięc\n2 ∙|𝐵𝑁|2 = 2 + 2 ∙|𝐵𝑁|2 -|𝐵𝑁| ∙√3 -|𝐵𝑁|\nZatem |𝐵𝑁| ∙(√3 + 1) = 2, czyli |𝐵𝑁| = √3 -1. Dlatego\n|𝑁𝐷| = |𝐵𝐷| -|𝐵𝑁| = 2√3 -(√3 -1) = √3 + 1.\nTo należało wykazać.\nSposób V (trójkąt w układzie współrzędnych)\nUmieszczamy trójkąt 𝐴𝐵𝐶 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, aby:\n𝐵= (0, 0), 𝐴 był punktem leżącym na dodatniej półosi 𝑂𝑦, 𝐶 był punktem leżącym na\ndodatniej półosi 𝑂𝑥. Wtedy 𝐾= (0, 1) i 𝐿= (1, 0), więc prosta 𝐾𝐿 ma równanie\n𝑦= -𝑥+ 1. Ponieważ |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° i 𝐵𝐷⊥𝐴𝐶, więc prosta 𝐵𝐷 jest nachylona do osi\n𝑂𝑥 pod kątem 60°. Stąd 𝐵𝐷 ma równanie 𝑦= √3𝑥.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑁:\n{\n𝑦= -𝑥+ 1\n𝑦= √3 𝑥\n{ √3𝑥= -𝑥+ 1\n𝑦= √3 𝑥\n{\n𝑥=\n1\n√3 + 1\n𝑦=\n√3\n√3 + 1\nczyli 𝑁= (\n1\n√3+1 ,\n√3\n√3+1).\nObliczamy współrzędne punktu 𝐴.\n|𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = cos 60°, więc |𝐴𝐵| =\n|𝐴𝐷|\ncos60° = 4 i stąd 𝐴= (0, 4).\n4\n𝑦= -𝑥+ 1\n𝑦= ξ3 ⋅𝑥\n60°\n1\n𝐾\n𝐴\n𝑁\n𝐿\n𝐵\n𝐶\n2\n𝐷\n1\n𝑥\n𝑦\n0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ |∡𝐵𝐶𝐴| = 30°, więc współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu prostej 𝐴𝐶 jest\nrówny 𝑎= tg 150° = -\n√3\n3 . Zatem prosta 𝐴𝐶 ma równanie 𝑦= -\n√3\n3 𝑥+ 4.\nObliczamy odległość punktu 𝑁 od prostej 𝐴𝐶:\n|-√3\n3 ⋅\n1\n√3 + 1 -1 ⋅\n√3\n√3 + 1 + 4|\n√(-√3\n3 )\n2\n+ (-1)2\n|-√3 -3√3 + 12(√3 + 1)\n3(√3 + 1)\n2\n√3\n8√3 + 12\n3(√3 + 1)\n2\n√3\n= 8√3 + 12\n3(√3 + 1)\n⋅√3\n2 = 4 + 2√3\n√3 + 1\n= 2(2 + √3)(√3 -1)\n2\n= √3 + 1\nZatem |𝑁𝐷| = √3 + 1. To należało wykazać.\nSposób VI (prosta równoległa do 𝐾𝐿 przechodząca przez 𝐷)\nProwadzimy wysokość 𝐷𝐸 trójkąta 𝐵𝐶𝐷, a przez punkt 𝐷 prostą równoległą do\nprostej 𝐾𝐿 i oznaczamy przez 𝐹 punkt jej przecięcia z prostą 𝐵𝐶.\nW trójkącie 𝐷𝐴𝐵 o kątach 90°, 60°, 30° mamy: |𝐴𝐷| = 2, |𝐴𝐵| = 4 i |𝐵𝐷| = 2√3.\nTrójkąt prostokątny 𝐵𝐸𝐷 ma również kąty ostre 60° i 30°, więc |𝐵𝐸| =\n|𝐵𝐷|\n2\n= √3\ni |𝐷𝐸| = |𝐵𝐷|√3 = 3.\nTrójkąt prostokątny 𝐷𝐸𝐹 ma kąty ostre 45°, więc jest równoramienny.\nZatem |𝐸𝐹| = |𝐷𝐸| = 3.\nStąd |𝐿𝐹| = |𝐿𝐸| + |𝐸𝐹| = (|𝐵𝐸| -|𝐵𝐿|) + |𝐸𝐹| = √3 -1 + 3 = 2 + √3.\nZ twierdzenia Talesa otrzymujemy\n|𝑁𝐷|\n|𝐿𝐹| =\n|𝐵𝑁|\n|𝐵𝐿|\n𝐹\n60°\n1\n𝐾\n𝐴\n𝑁\n𝐿\n𝐵\n𝐶\n2\n𝐷\n1\n𝐸\n𝐹\nczyli\n|𝑁𝐷|\n2 + √3\n= 2√3 -|𝑁𝐷|\n1\nStąd\n|𝑁𝐷| = (2 + √3) ⋅(2√3 -|𝑁𝐷|)\n|𝑁𝐷| + (2 + √3) ⋅|𝑁𝐷| = 4√3 + 6\n|𝑁𝐷| ⋅(3 + √3) = 4√3 + 6\n|𝑁𝐷| = 4√3 + 6\n3 + √3\n= 2(2√3 + 3)(3 -√3)\n9 -3\n= √3 + 1\nTo należało wykazać.\nSposób VII (prosta równoległa do 𝐵𝐶 przechodząca przez 𝐷)\nProwadzimy przez punkt 𝐷 prostą równoległą do prostej 𝐵𝐶 i oznaczamy przez 𝐸 punkt\njej przecięcia z prostą 𝐾𝐿, natomiast przez 𝐹 - punkt jej przecięcia z prostą 𝐴𝐵.\nW trójkącie 𝐷𝐴𝐵 o kątach 90°, 60°, 30° mamy: |𝐴𝐷| = 2, |𝐴𝐵| = 4 i |𝐵𝐷| = 2√3.\nTrójkąt prostokątny 𝐴𝐹𝐷 ma kąty ostre 60° i 30°, więc |𝐴𝐹| = 1 oraz |𝐷𝐹| = √3.\nZatem |𝐹𝐾| = 4 -1 -1 = 2.\nTrójkąt prostokątny 𝐾𝐹𝐸 ma kąty ostre 45°, więc jest równoramienny.\nZatem |𝐸𝐹| = |𝐹𝐾| = 2. Stąd |𝐸𝐷| = 2 + √3.\nTrójkąty 𝐷𝐸𝑁 i 𝐵𝐿𝑁 są podobne (kkk), więc\n|𝑁𝐷|\n|𝐸𝐷| =\n|𝐵𝑁|\n|𝐵𝐿|\nczyli\n60°\n1\n𝐾\n𝐴\n𝑁\n𝐿\n𝐵\n𝐶\n2\n𝐷\n1\n𝐸\n𝐹\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑁𝐷|\n2 + √3\n= 2√3 -|𝑁𝐷|\n1\nStąd\n|𝑁𝐷| = (2 + √3) ⋅(2√3 -|𝑁𝐷|)\n|𝑁𝐷| + (2 + √3) ⋅|𝑁𝐷| = 4√3 + 6\n|𝑁𝐷| ⋅(3 + √3) = 4√3 + 6\n|𝑁𝐷| = 4√3 + 6\n3 + √3\n= 2(2√3 + 3)(3 -√3)\n9 -3\n= √3 + 1\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Rozwiązanie w układzie współrzędnych: $B = (0,0)$, $A = (0,4)$, $C = (4\\sqrt{3}, 0)$. Wtedy $K = (0,1)$, $L = (1,0)$, $D = (\\sqrt{3}, 3)$, $N = \\left(\\frac{\\sqrt{3}-1}{2}, \\frac{3-\\sqrt{3}}{2}\\right)$. $|ND|^2 = \\left(\\frac{\\sqrt{3}+1}{2}\\right)^2 (1+3) = (\\sqrt{3}+1)^2$, więc $|ND| = \\sqrt{3}+1$. ∎\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWykazać, że $|ND| = \\sqrt{3} + 1$, gdzie $N$ to przecięcie odcinka $KL$ z wysokością $BD$.\n\nUstaw układ współrzędnych. Niech $B = (0,0)$, $A$ na osi $y$, $C$ na osi $x$ (bo $\\angle ABC = 90°$).\n\nW trójkącie $ABD$ ($\\angle ADB = 90°$, $\\angle DAB = 60°$): $AD = 2 = AB \\cdot \\cos 60° = AB / 2$, czyli $AB = 4$.\n\nZ trójkąta 30-60-90 z $AB = 4$: $BC = AB \\cdot \\tan 60° = 4\\sqrt{3}$, $AC = 2 \\cdot AB = 8$.\n\nStąd: $A = (0, 4)$, $C = (4\\sqrt{3}, 0)$.\n\nWyznacz $K, L$. $K$ na $AB$ z $BK = 1$ → $K = (0, 1)$. $L$ na $BC$ z $BL = 1$ → $L = (1, 0)$.\n\nProsta $KL$: $x + y = 1$.\n\nWyznacz prostą $BD$. Prosta $AC$: $y = 4 - \\frac{x}{\\sqrt{3}}$ (współczynnik $-\\frac{1}{\\sqrt{3}}$).\n\nProstopadła z $B = (0,0)$: współczynnik $\\sqrt{3}$, czyli $y = \\sqrt{3} x$.\n\nWyznacz $D = AC \\cap BD$:\n\n$$\\sqrt{3} x = 4 - \\frac{x}{\\sqrt{3}} \\implies 3x = 4\\sqrt{3} - x \\implies x = \\sqrt{3}, \\ y = 3$$\n\n$D = (\\sqrt{3}, 3)$.\n\nWyznacz $N = KL \\cap BD$:\n\n$$x + \\sqrt{3}x = 1 \\implies x = \\frac{1}{1+\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}-1}{2}$$\n\n$$y = \\sqrt{3}x = \\frac{3 - \\sqrt{3}}{2}$$\n\n$N = \\left(\\frac{\\sqrt{3}-1}{2}, \\frac{3-\\sqrt{3}}{2}\\right)$.\n\nOblicz $|ND|$:\n\n$$D - N = \\left(\\sqrt{3} - \\frac{\\sqrt{3}-1}{2},\\ 3 - \\frac{3-\\sqrt{3}}{2}\\right) = \\left(\\frac{\\sqrt{3}+1}{2},\\ \\frac{3+\\sqrt{3}}{2}\\right)$$\n\nDruga współrzędna: $\\frac{3+\\sqrt{3}}{2} = \\frac{\\sqrt{3}(\\sqrt{3}+1)}{2}$ — wspólny czynnik $\\frac{\\sqrt{3}+1}{2}$:\n\n$$|ND|^2 = \\left(\\frac{\\sqrt{3}+1}{2}\\right)^2 (1 + 3) = \\left(\\frac{\\sqrt{3}+1}{2}\\right)^2 \\cdot 4 = (\\sqrt{3}+1)^2$$\n\n$$|ND| = \\sqrt{3} + 1$$\n\nCo należało dowieść. ∎\n\nPo co to umieć\n\nDowody geometryczne na PR często są szybsze w układzie współrzędnych niż klasycznie. Klucz: ustaw układ tak, by jeden wierzchołek był w $(0,0)$, a osie pokrywały się z prostopadłymi bokami.\n\nW trójkącie 30-60-90 ze stosunkami $1 : \\sqrt{3} : 2$ wszystkie funkcje trygonometryczne są łatwo wyznaczalne: $\\sin 30° = 1/2$, $\\cos 30° = \\sqrt{3}/2$, $\\tan 30° = 1/\\sqrt{3}$ itp.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie boków w trójkącie 30-60-90. Stosunki: naprzeciw 30° → naprzeciw 60° → naprzeciw 90° to $1 : \\sqrt{3} : 2$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"trójkąt prostokątny 30-60-90, geometria analityczna, dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟒𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙)𝐜𝐨𝐬(𝟔𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟏𝟎𝒙) + 𝟏\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie 4sin(4x)cos(6x) = 2sin(10x)+1","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7\n12 𝜋+ 𝑘𝜋 oraz 11\n12 𝜋+ 𝑘𝜋,\ngdzie 𝑘∈ℤ .\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci sin(2𝑥) = -1\n2 lub sin(-2𝑥) = 1\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów i zapisanie sin(10𝑥) jako\nsin(6𝑥) cos(4𝑥) + cos(6𝑥) sin(4𝑥)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę/różnicę sinusów i zapisanie wyrażenia\n2 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako sin(10𝑥) -sin(2𝑥) lub sin(10𝑥) + sin(-2𝑥),\nALBO\n- zastosowanie wzorów na sinus różnicy i cosinus sumy kątów i zapisanie\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) jako [sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin𝑥] ⋅[cos(5𝑥) cos 𝑥-sin(5𝑥) sin 𝑥].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełnia błąd rachunkowy, w wyniku którego otrzymuje jedną serię\nrozwiązań, to otrzymuje co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na:\n- niepoprawnym zastosowaniu wzorów trygonometrycznych na: sinus sumy/różnicy lub\nsumy/różnicy sinusów, lub iloczyn sinusa i cosinusa\nALBO\n- błędnym zastosowaniu nieparzystości/parzystości funkcji trygonometrycznej\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, i otrzyma co najmniej jedną serię rozwiązań,\nto może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,\notrzymując:\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(10𝑥) + 1\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(6𝑥+ 4𝑥) + 1\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(6𝑥) cos(4𝑥) + 2 cos(6𝑥) sin(4𝑥) + 1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 sin(4𝑥) cos(6𝑥) -2 sin(6𝑥) cos(4𝑥) = 1\n-2 sin(2𝑥) = 1\nsin(2𝑥) = -1\n2\nStąd 2𝑥= 7\n6 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= 11\n6 𝜋+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ, czyli\n𝑥= 7\n12 𝜋+ 𝑘𝜋 lub 𝑥= 11\n12 𝜋+ 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób II\nZauważamy, że 4𝑥+ 6𝑥= 10𝑥. Postać lewej strony równania sugeruje zastosowanie\nwzoru na różnicę sinusów. Niech 𝛼 i 𝛽 będą liczbami rzeczywistymi takimi, że 𝛼-𝛽\n2\n= 4𝑥\noraz 𝛼+𝛽\n2\n= 6𝑥. Wtedy\n{\n𝛼= 8𝑥+ 𝛽\n8𝑥+ 𝛽+ 𝛽\n2\n= 6𝑥\n{ 𝛼= 10𝑥\n𝛽= 2𝑥\nPrzekształcamy lewą stronę równania 4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(10𝑥) + 1:\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2(sin 𝛼-sin 𝛽) = 2(sin(10𝑥) -sin (2𝑥))\nStąd i ze wzoru na różnicę sinusów otrzymujemy:\n2(sin(10𝑥) -sin(2𝑥)) = 2 sin(10𝑥) + 1\n-2 sin(2𝑥) = 1\nsin(2𝑥) = -1\n2\nRozwiązując to równanie, otrzymujemy:\n2𝑥= 7\n6 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= 11\n6 𝜋+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍\n𝑥= 7\n12 𝜋+ 𝑘𝜋 lub 𝑥= 11\n12 𝜋+ 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍\nSposób III\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 4 sin(4𝑥) cos(6𝑥), stosując wzory na sinus różnicy\ni cosinus sumy kątów:\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 4 sin(5𝑥-𝑥) cos(5𝑥+ 𝑥) =\n= 4[sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥] ⋅[cos(5𝑥) cos 𝑥-sin(5𝑥) sin 𝑥] =\n= 4 sin(5𝑥) cos(5𝑥) cos2 𝑥-4 sin2(5𝑥) sin 𝑥cos 𝑥-4 cos2(5𝑥) sin 𝑥cos 𝑥+\n+4 sin(5𝑥) cos(5𝑥) sin2 𝑥=\n= 4 sin(5𝑥) cos(5𝑥) -4 sin 𝑥cos 𝑥= 2 sin(10𝑥) -2 sin(2𝑥)\nStąd otrzymujemy:\n4 sin(4𝑥) cos(6𝑥) = 2 sin(10𝑥) + 1\n2(sin(10𝑥) -sin(2𝑥)) = 2 sin(10𝑥) + 1\n-2 sin(2𝑥) = 1\nsin(2𝑥) = -1\n2\nRozwiązując to równanie, otrzymujemy:\n2𝑥= 7\n6 𝜋+ 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= 11\n6 𝜋+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍\n𝑥= 7\n12 𝜋+ 𝑘𝜋 lub 𝑥= 11\n12 𝜋+ 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈𝑍\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: $x = -\\frac{\\pi}{12} + k\\pi$ lub $x = \\frac{7\\pi}{12} + k\\pi$ dla $k \\in \\mathbb{Z}$. Krok kluczowy: $2 \\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)$, więc $4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2\\sin(10x) - 2\\sin(2x)$. Po skróceniu: $\\sin(2x) = -\\frac{1}{2}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZastosuj wzór $2\\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)$. Tutaj $A = 4x$, $B = 6x$:\n\n$$4\\sin(4x)\\cos(6x) = 2 \\cdot [2 \\sin(4x) \\cos(6x)] = 2[\\sin(10x) + \\sin(-2x)]$$\n\n$$= 2\\sin(10x) - 2\\sin(2x)$$\n\n(bo $\\sin(-2x) = -\\sin(2x)$)\n\nWstaw do równania:\n\n$$2\\sin(10x) - 2\\sin(2x) = 2\\sin(10x) + 1$$\n\nSkróć $2\\sin(10x)$ po obu stronach:\n\n$$-2\\sin(2x) = 1$$\n\n$$\\sin(2x) = -\\frac{1}{2}$$\n\nRozwiąż $\\sin u = -\\frac{1}{2}$ (gdzie $u = 2x$). Rozwiązania:\n\n$$u = -\\frac{\\pi}{6} + 2k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad u = \\pi + \\frac{\\pi}{6} + 2k\\pi = \\frac{7\\pi}{6} + 2k\\pi$$\n\nPodziel przez $2$:\n\n$$x = -\\frac{\\pi}{12} + k\\pi \\quad \\text{lub} \\quad x = \\frac{7\\pi}{12} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$\n\nPo co to umieć\n\nWzory iloczynowe trygonometrii:\n- $2\\sin A \\cos B = \\sin(A+B) + \\sin(A-B)$\n- $2\\cos A \\cos B = \\cos(A-B) + \\cos(A+B)$\n- $2\\sin A \\sin B = \\cos(A-B) - \\cos(A+B)$\n\nWszystkie z karty wzorów CKE. Kiedy zobaczysz iloczyn $\\sin \\cos$ z różnymi kątami, prawie zawsze pomaga przejść do sumy za pomocą tych wzorów.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie wzoru $2\\sin A \\cos B$ i próba podstawiania bezpośrednia. Klucz: zauważyć że $\\sin(10x)$ pojawia się po obu stronach i można je skrócić po zastosowaniu wzoru.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"równanie trygonometryczne, wzory na sumę, trygonometria","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nDany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi\ndługości 6. Punkt 𝑆 jest punktem przecięcia\nprzekątnych 𝐴𝐻 i 𝐷𝐸 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸\n(zobacz rysunek).\nOblicz wysokość trójkąta 𝑺𝑩𝑯 poprowadzoną z punktu 𝑺 na bok 𝑩𝑯 tego trójkąta.\nZapisz obliczenia.\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑆\n6\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\nDany jest sześcian ABCDEFGH o krawędzi długości 6. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.1) rozpoznaje wzajemne położenie\nprostych w przestrzeni, w szczególności\nproste prostopadłe nieprzecinające się.\nX.R5) wyznacza przekroje sześcianu […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √6.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka 𝑆𝑃), np.:\n|𝑆𝑃|\n6 = 3√2\n6√3 (z podobieństwa trójkątów 𝑃𝐻𝑆 i 𝐴𝐻𝐵, sposób I),\n18√2 = 1\n2 ⋅3√2 ⋅6 + 1\n2 ⋅6√3 ⋅|𝑆𝑃| (z równości pól 𝑃𝐻𝐴𝐵= 𝑃𝐵𝐴𝑆+ 𝑃𝐻𝑆𝐵 ),\n9√2 = 1\n2 ⋅6√3 ⋅|𝑆𝑃| (z równości 𝑃𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅|𝐻𝑆| ⋅|𝐴𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐻𝐵| ⋅|𝑆𝑃|,\nsposób II),\nALBO\n- obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝑅 oraz długości odcinka 𝐻𝑅: 𝑃∆𝐻𝑆𝑅= 9√2\n2 oraz\n|𝐻𝑅| = 3√3,\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 i 𝐻𝑆: |𝐻𝑃| = 2√3 i |𝐻𝑆| = 3√2,\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐻𝑃 oraz cosinusa/tangensa kąta 𝑆𝐻𝑃: |𝐻𝑃| = 2√3\ni cos ∡𝑆𝐻𝑃=\n√6\n3 (tg ∡𝑆𝐻𝑃=\n√2\n2 ),\nALBO\n- obliczenie długości 𝐴𝐾: 𝐴𝐾= 2√6.\n2 pkt - obliczenie długości boków trójkąta 𝐻𝑆𝐵: |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐻𝐵| = 6√3, |𝑆𝐵| = 3√6\nALBO\n- zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa dwóch trójkątów prostokątnych, przy\nczym jednym z nich jest trójkąt 𝐻𝑆𝑃,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie długości odcinków 𝐵𝐻 oraz 𝑆𝑅: |𝐵𝐻| = 6√3 oraz |𝑆𝑅| = 3,\nALBO\n- obliczenie wartości funkcji trygonometrycznej kąta 𝑆𝐻𝑅: np. cos ∡𝑆𝐻𝑅=\n√6\n3 ,\nsin ∡𝑆𝐻𝑅=\n√3\n3 , tg ∡𝑆𝐻𝑅=\n√2\n2 ,\nALBO\n- obliczenie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵: 𝑃𝛥𝐻𝐴𝐵= 18√2,\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i sinusa kąta 𝑆𝐵𝐻: |𝑆𝐵| = 3√6 i sin ∡𝑆𝐵𝐻= 1\n3 ,\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐻𝐴𝐵 jako sumy pól trójkątów 𝑆𝐴𝐵 oraz 𝐻𝑆𝐵 i zapisanie\n𝑃𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅|𝐻𝐵| ⋅|𝑆𝑃| (lub 𝑃𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅𝑃𝐻𝐴𝐵),\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵 na dwa sposoby: 𝑃𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅|𝐻𝑆| ⋅|𝐴𝐵| oraz\n𝑃𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅|𝐻𝐵| ⋅|𝑆𝑃|,\nALBO\n- obliczenie pola trójkąta 𝐻𝑆𝐵: 𝑃𝐻𝑆𝐵= 9√2.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie długości jednego z odcinków 𝐵𝐻, 𝑆𝑅, 𝐻𝑆 albo 𝐵𝑆:\n|𝐵𝐻| = 6√3, |𝑆𝑅| = 3, |𝐻𝑆| = 3√2, |𝐵𝑆| = 3√6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów lub sinusów\ne) błędne zastosowanie wzoru Herona\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający korzysta ze związku |𝐻𝑃| = 1\n3 ⋅|𝐻𝐵| (gdzie 𝑃 jest spodkiem wysokości\npoprowadzonej z wierzchołka 𝑆 na podstawę 𝐻𝐵 trójkąta 𝐻𝑆𝐵) i nie uzasadni jego\nprawdziwości, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑆 - środek odcinka 𝐴𝐻,\n𝑅 - środek odcinka 𝐵𝐻,\n𝑃 - spodek wysokości trójkąta 𝑆𝐵𝐻 poprowadzonej\nz punktu 𝑆 na bok 𝐵𝐻.\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑆\n6\n𝑃\n𝑅\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób I\nObliczamy |𝐴𝐻| = 6√2, |𝐵𝐻| = 6√3.\nTrójkąty 𝐴𝐻𝐵 i 𝑃𝐻𝑆 są podobne (cecha kkk), więc\n|𝑆𝑃|\n|𝐴𝐵| =\n|𝑆𝐻|\n|𝐵𝐻|\n|𝑆𝑃|\n6\n= 3√2\n6√3\n|𝑆𝑃| = √6\nUwaga:\nRównanie |𝑆𝑃|\n6\n= 3√2\n6√3 otrzymamy, stosując dwukrotnie definicję sinusa kąta 𝑆𝐻𝑃\nw trójkątach prostokątnych 𝐻𝑆𝑃 i 𝐻𝐴𝐵.\nSposób II\nObliczamy |𝐴𝐻| = 6√2, |𝐵𝐻| = 6√3, |𝐻𝑆| = 3√2.\nObliczamy pole trójkąta 𝐻𝑆𝐵:\n𝑃∆𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅|𝐻𝑆| ∙|𝐴𝐵| = 1\n2 ∙3√2 ∙6 = 9√2\nAle\n𝑃∆𝐻𝑆𝐵= 1\n2 ⋅|𝐻𝐵| ∙|𝑆𝑃| = 1\n2 ∙6√3 ∙|𝑆𝑃| = 3√3 ⋅|𝑆𝑃|\nStąd\n3√3 ∙|𝑆𝑃| = 9√2\nwięc |𝑆𝑃| = √6.\nSposób IIa\nOdcinek 𝑆𝑅 łączy środki boków w trójkącie 𝐴𝐵𝐻, jest więc równoległy do boku 𝐴𝐵 i ma\ndługość równą |𝑆𝑅| = 1\n2 ⋅6 = 3.\nZauważmy, że trójkąt 𝐻𝐴𝐵 jest prostokątny, zatem trójkąt 𝐻𝑆𝑅 też jest prostokątny.\nObliczamy |𝐴𝐻| = 6√2, |𝐵𝐻| = 6√3.\nObliczamy pole trójkąta 𝐻𝑆𝑅:\n𝑃∆𝐻𝑆𝑅= 1\n2 |𝐻𝑆| ∙|𝑆𝑅| = 1\n2 ∙3√2 ∙3 = 9√2\n2\nAle\n𝑃∆𝐻𝑆𝑅= 1\n2 |𝐻𝑅| ∙|𝑆𝑃| = 1\n2 ∙3√3 ∙|𝑆𝑃|\n6\n𝐻\n𝑃\n𝑆\n𝐵\n𝐴\n6\n𝐻\n𝑃\n𝑆\n𝐵\n𝐴\n6\n𝐻\n𝑃\n𝑅\n𝑆\n𝐵\n𝐴\nStąd\n1\n2 ∙3√3 ∙|𝑆𝑃| = 9√2\n2\nwięc |𝑆𝑃| = √6.\nSposób III\nWyznaczamy cosinus kąta 𝑆𝐻𝑃:\ncos ∡𝑆𝐻𝑃= |𝐴𝐻|\n|𝐵𝐻| = 6√2\n6√3\n= √6\n3\nPonieważ cos ∡𝑆𝐻𝑃= |𝐻𝑃|\n|𝐻𝑆| = |𝐻𝑃|\n3√2 , więc |𝐻𝑃|\n3√2 =\n√6\n3\ni stąd |𝐻𝑃| = 2√3.\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie 𝐻𝑃𝑆 mamy (3√2)\n2 = |𝑆𝑃|2 + (2√3)\n2,\nwięc |𝑆𝑃| = √6.\nSposób IV\nObliczamy |𝐴𝐻| = 6√2, |𝐵𝐻| = 6√3.\nZauważamy, że trójkąt 𝐻𝐴𝐵 jest prostokątny. Pole trójkąta 𝐻𝐴𝐵 jest równe\n𝑃𝛥𝐻𝐴𝐵= 6√2 ⋅6\n2\n= 18√2\nNiech punkt 𝐾 będzie rzutem wierzchołka 𝐴 na bok 𝐵𝐻 trójkąta 𝐻𝐴𝐵, zatem\n|𝐴𝐾| ⋅|𝐻𝐵|\n2\n= 18√2\n|𝐴𝐾| = 36√2\n|𝐻𝐵| = 36√2\n6√3\n= 2√6\nPonieważ trójkąty 𝐻𝑆𝑃 i 𝐻𝐴𝐾 są podobne, więc\n|𝐻𝑆|\n|𝑆𝑃| = |𝐻𝐴|\n|𝐴𝐾|\nStąd\n|𝑆𝑃| = 3√2 ⋅2√6\n6√2\n= √6\nUwaga:\nZadanie można również rozwiązać, rozważając ostrosłupy 𝐷𝐸𝐺𝐻 oraz 𝐷𝐸𝐺𝐵.\nProwadzimy odcinki 𝐸𝐺 i 𝐷𝐺. Trójkąt 𝐸𝐷𝐺 jest równoboczny, gdyż wszystkie jego boki są\nprzekątnymi przystających kwadratów, a ponieważ odcinki 𝐷𝐻, 𝐸𝐻 i 𝐺𝐻 mają równe\n6\n𝐻\n𝑃\n𝑆\n𝐵\n𝐴\n𝐻\n𝑃\n𝐾\n𝑆\n6\n𝐵\n𝐴\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ndługości, odcinki 𝐷𝐵, 𝐸𝐵 i 𝐺𝐵 też mają równe długości, więc ostrosłupy 𝐷𝐸𝐺𝐻 i 𝐷𝐸𝐺𝐵\no wspólnej podstawie 𝐷𝐸𝐺 są prawidłowe.\nWynika stąd, że prosta 𝐵𝐻 zawiera wysokości tych ostrosłupów, a to oznacza, że punkt 𝑃\njest środkiem ciężkości trójkąta 𝐷𝐸𝐺 o boku długości |𝐷𝐸| = 6√2. Zatem\n|𝑆𝑃| = 1\n3 ⋅6√2 ⋅√3\n2\n= √6\n𝐶\n𝐺\n𝐻\n𝐹\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑆\n6\n𝑃","solution":"Odpowiedź: **$h = \\sqrt{6}$** Współrzędne: $S = (0, 3, 3)$, $B = (6, 0, 0)$, $H = (0, 6, 6)$. Pole $\\triangle SBH = 9\\sqrt{2}$ (z iloczynu wektorowego). $|BH| = 6\\sqrt{3}$. Stąd $h = \\frac{2 \\cdot 9\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}} = \\sqrt{6}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nUstaw układ współrzędnych. Wierzchołki sześcianu:\n- $A = (0, 0, 0)$, $B = (6, 0, 0)$, $C = (6, 6, 0)$, $D = (0, 6, 0)$\n- $E = (0, 0, 6)$, $F = (6, 0, 6)$, $G = (6, 6, 6)$, $H = (0, 6, 6)$\n\n$S$ = przecięcie przekątnych ściany $ADHE$ = środek ściany: $S = \\left(0, \\frac{0+6}{2}, \\frac{0+6}{2}\\right) = (0, 3, 3)$.\n\nOblicz długość $|BH|$ (podstawa trójkąta):\n\n$$|BH| = \\sqrt{(6-0)^2 + (0-6)^2 + (0-6)^2} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}$$\n\nOblicz pole $\\triangle SBH$ z iloczynu wektorowego:\n\n$$\\vec{SB} = B - S = (6, -3, -3)$$\n$$\\vec{SH} = H - S = (0, 3, 3)$$\n\n$$\\vec{SB} \\times \\vec{SH} = (0, -18, 18)$$\n\n$$|\\vec{SB} \\times \\vec{SH}| = \\sqrt{0 + 324 + 324} = \\sqrt{648} = 18\\sqrt{2}$$\n\n$$P_{\\triangle SBH} = \\frac{1}{2} \\cdot 18\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}$$\n\nWysokość z $S$ na $BH$:\n\n$$P = \\frac{1}{2} \\cdot |BH| \\cdot h$$\n\n$$9\\sqrt{2} = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{3} \\cdot h \\implies h = \\frac{18\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{6}$$\n\nPo co to umieć\n\nW 3D do odległości punktu od prostej najszybciej jest przez pole trójkąta:\n$$d = \\frac{2 \\cdot P_{\\triangle}}{|\\text{bok}|}$$\n\nPole z iloczynu wektorowego: $P = \\frac{1}{2} |\\vec{u} \\times \\vec{v}|$. Iloczyn wektorowy zawsze działa, bez względu na typ trójkąta.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: założenie, że trójkąt $SBH$ jest prostokątny lub równoramienny. Sprawdź boki: $|SB| = 3\\sqrt{6}$, $|SH| = 3\\sqrt{2}$, $|BH| = 6\\sqrt{3}$ — to **trójkąt różnoboczny**.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"stereometria, sześcian, geometria analityczna 3D","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐵𝐶| = 4 i |𝐶𝐷| = 5, jest opisany na okręgu. Przekątna 𝐴𝐶\ntego czworokąta tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem 𝐴𝐵 - kąt ostry,\nktórego sinus jest równy 1\n4 .\nOblicz obwód czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCzworokąt ABCD, w którym |BC|=4 i |CD|=5, jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze 60°, natomiast z bokiem |AB| - kąt ostry, którego sinus jest równy 1/4. Oblicz obwód czworokąta ABCD.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3 + 10.\n3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|)\nALBO\n- obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 8√3 i zapisanie równania\n8√3 + 5 = 4 + |𝐴𝐷|.\n2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: 8√3\nALBO\n- zapisanie równości 1) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,\nALBO\n- zapisanie równości 2) i 3) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt,\nALBO\n- zapisanie równości 1) i 4) określonych w kryterium oceniania za 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie jednej z poniższych równości 1)- 4):\n1) |𝐴𝐵|\n√3\n2\n= 4\n1\n4\nlub 1\n4 = 2√3\n|𝐴𝐵|,\n2) 1\n2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅\n√3\n2 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1\n4 ,\n3) 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|),\n4) |𝐴𝐵| + 5 = 4 + |𝐴𝐷|\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑥 (długością boku 𝐴𝐵), np.\n𝑥2 = 16 + (2 + 𝑥√15\n4 )\n2\n-4 (2 + 𝑥√15\n4 ),\n16 = (2 + √15\n4 𝑥)\n2\n+ 𝑥2 -√15\n2\n⋅(2 + √15\n4 𝑥) 𝑥\n(z twierdzenia cosinusów dla trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i dwóch kątów tego trójkąta).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania\nsin 𝛼= 1\n4 .\nObliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵. Korzystamy\nz twierdzenia sinusów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 i otrzymujemy\n|𝐴𝐵|\nsin 60° = |𝐵𝐶|\nsin 𝛼\n|𝐴𝐵|\n√3\n2\n= 4\n1\n4\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nPonieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nSposób II\nZauważmy, że pole 𝑃 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć na dwa sposoby:\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐶| ⋅sin 60° = 1\n2 ⋅4 ⋅|𝐴𝐶| ⋅√3\n2\n𝑃= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐴𝐵| ⋅1\n4\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nPonieważ w czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 można wpisać okrąg, więc prawdziwa jest zależność\n|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nSposób III\nOznaczmy 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|. Zgodnie z warunkami zadania\nsin 𝛼= 1\n4 . Obliczamy długość 𝑎 boku 𝐴𝐵.\nProwadzimy wysokość 𝐵𝐸 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nTrójkąt prostokątny 𝐵𝐶𝐸 ma kąty ostre 30° i 60°,\nwięc jest „połową” trójkąta równobocznego o boku\ndługości 4. Zatem\n5\n𝐶\n𝐷\n4\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝑆\n60°\n𝐸\n5\n𝐶\n𝐷\n4\n𝛼\n𝐵\n𝐴\n𝑆\n60°\n𝑎\n|𝐸𝐵| = 4√3\n2\n= 2√3\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐸 otrzymujemy\nsin 𝛼= |𝐸𝐵|\n|𝐴𝐵|\nczyli\n1\n4 = 2√3\n|𝐴𝐵|\nStąd |𝐴𝐵| = 8√3.\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany na okręgu, więc |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + |𝐴𝐷|.\nZatem obwód 𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷 czworokąta jest równy\n𝑂𝑏𝐴𝐵𝐶𝐷= 2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) = 16√3 + 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: **Obwód: $16\\sqrt{3} + 10$** Z twierdzenia sinusów w $\\triangle ABC$: $AB = \\frac{4 \\sin 60°}{\\sin\\alpha} = \\frac{4 \\cdot \\sqrt{3}/2}{1/4} = 8\\sqrt{3}$. Z własności czworokąta opisanego: $AD = AB + CD - BC = 8\\sqrt{3} + 5 - 4 = 8\\sqrt{3} + 1$. Obwód = $AB + BC + CD + DA = 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + 8\\sqrt{3} + 1 = 16\\sqrt{3} + 10$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nSkorzystaj z twierdzenia sinusów w $\\triangle ABC$:\n\n$\\angle ACB = 60°$, $\\angle BAC = \\alpha$ ($\\sin\\alpha = \\frac{1}{4}$), $|BC| = 4$.\n\n$$\\frac{BC}{\\sin\\angle BAC} = \\frac{AB}{\\sin\\angle ACB}$$\n\n$$\\frac{4}{1/4} = \\frac{AB}{\\sqrt{3}/2}$$\n\n$$16 = \\frac{2 \\cdot AB}{\\sqrt{3}} \\implies AB = 8\\sqrt{3}$$\n\nWykorzystaj własność czworokąta opisanego na okręgu. Sumy długości boków przeciwległych są równe:\n\n$$AB + CD = BC + AD$$\n\n$$8\\sqrt{3} + 5 = 4 + AD \\implies AD = 8\\sqrt{3} + 1$$\n\nObwód:\n\n$$L = AB + BC + CD + AD$$\n\n$$= 8\\sqrt{3} + 4 + 5 + 8\\sqrt{3} + 1$$\n\n$$= 16\\sqrt{3} + 10$$\n\nPo co to umieć\n\nTwierdzenie Pitota dla czworokąta opisanego: $AB + CD = BC + AD$.\n\nTwierdzenie sinusów w trójkącie: $\\frac{a}{\\sin A} = \\frac{b}{\\sin B} = \\frac{c}{\\sin C} = 2R$ (R - promień okręgu opisanego).\n\nKlasyczne zadanie PR — łączenie własności czworokąta z trygonometrią trójkąta utworzonego przez przekątną.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie czworokąta **opisanego** (boki styczne do okręgu wewnętrznego) z **wpisanym** (wierzchołki na okręgu). Własności są różne! Opisany: $AB + CD = BC + AD$. Wpisany: $\\angle A + \\angle C = 180°$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"czworokąt opisany na okręgu, twierdzenie sinusów, planimetria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n√𝒙𝟐+ 𝟒𝒙+ 𝟒< 𝟐𝟓\n𝟑-√𝒙𝟐-𝟔𝒙+ 𝟗\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: skorzystaj z tego, że √𝑎2 = |𝑎| dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.\n9.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność √{x^2+4x+4} < 25/3 - √{x^2-6x+9} Wskazówka: skorzystaj z tego, że √{a^2}=|a| dla każdej liczby rzeczywistej a.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną, o stopniu\ntrudności nie większym niż:\n2|𝑥+ 3| + 3|𝑥-1| = 13,\n|𝑥+ 2| + 2|𝑥-3| < 11.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥∈(-11\n3 , 14\n3 ).\n3 pkt - rozwiązanie nierówności w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków\n(o ile rozpatruje nierówność w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa\nℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|), a następnie w postaci\nrównoważnej koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n𝑥-3 < 19\n3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19\n3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31\n3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31\n3 ),\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 pierwszych współrzędnych punktów ich\nprzecięcia: 𝑥= -11\n3 oraz 𝑥= 14\n3 i sprawdzenie rachunkiem poprawności\nodczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej\ni zapisanie danej nierówności odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2),\n[-2, 3), [3, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 < 0\ni 𝑥-3 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-3 ≥0 (z dokładnością do\ndomknięcia)\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|),\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| oraz 𝑔(𝑥) = 25\n3 -|𝑥-3|.\n1 pkt - przekształcenie danej nierówności do postaci |𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeśli w rozwiązaniu algebraicznym zdający popełni błąd przy zapisie nierówności tylko\nw jednym z rozpatrywanych przypadków, ale konsekwentnie do popełnionego błędu\nrozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli w rozwiązaniu graficznym zdający popełni jeden błąd przy rysowaniu wykresu funkcji\n𝑓(𝑥) = |𝑥+ 2| albo 𝑔(𝑥) = 25\n3 -|𝑥-3|, ale otrzyma dwa punkty przecięcia i dalej\nkonsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie wyrażeń w postaci |𝑥+ 2| oraz\n|𝑥-3| oraz konsekwentną interpretację zbioru rozwiązań).\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań 𝑥∈(-11\n3 , 14\n3 ), ale nie\nsprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓\ni 𝑔, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz\n√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.\nZapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci\n|𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))\nW tym przypadku nierówność ma postać - 𝑥-2 < 25\n3 + 𝑥-3, czyli 𝑥> -11\n3 .\nStąd otrzymujemy 𝑥∈(-11\n3 , -2).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-2, 3))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25\n3 + 𝑥-3. Otrzymujemy prawdziwą\nnierówność 5 < 25\n3 , więc 𝑥∈[-2, 3).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[3, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 𝑥+ 2 < 25\n3 -𝑥+ 3, czyli 𝑥< 14\n3 . Stąd\notrzymujemy 𝑥∈[3, 14\n3 ).\nOstatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11\n3 , 14\n3 ).\nSposób II (poprzez koniunkcję nierówności)\nZauważamy, że √𝑥2 + 4𝑥+ 4 = √(𝑥+ 2)2 = |𝑥+ 2| oraz\n√𝑥2 -6𝑥+ 9 = √(𝑥-3)2 = |𝑥-3|.\nZapisujemy nierówność √𝑥2 + 4𝑥+ 4 < 25\n3 -√𝑥2 -6𝑥+ 9 w równoważnej postaci\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3|.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwa jest\nrównoważność: |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |𝑥+ 2| < 25\n3 -|𝑥-3| , korzystając z tej równoważności\ndwukrotnie:\n𝑥+ 2 < 25\n3 -|𝑥-3| i 𝑥+ 2 > -(25\n3 -|𝑥-3|)\n|𝑥-3| < 19\n3 -𝑥 i |𝑥-3| < 𝑥+ 31\n3\n𝑥-3 < 19\n3 -𝑥 i 𝑥-3 > -(19\n3 -𝑥) i 𝑥-3 < 𝑥+ 31\n3 i 𝑥-3 > -(𝑥+ 31\n3 )\n2𝑥< 28\n3 i -3 > -19\n3 i -3 < 31\n3 i 2𝑥> -22\n3\n𝑥< 14\n3 i 𝑥∈ℝ i 𝑥∈ℝ i 𝑥> -11\n3\n-11\n3 < 𝑥< 14\n3\nOstatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru (-11\n3 , 14\n3 ).","solution":"Odpowiedź: $x \\in \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)$. Zauważ: $\\sqrt{x^2+4x+4} = |x+2|$, $\\sqrt{x^2-6x+9} = |x-3|$. Nierówność: $|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}$. Rozpatruje 3 przypadki znaków modułów.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozpoznaj kwadraty pełne pod pierwiastkami.\n\n$$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \\implies \\sqrt{(x+2)^2} = |x+2|$$\n\n$$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 \\implies \\sqrt{(x-3)^2} = |x-3|$$\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\n$$|x+2| + |x-3| < \\frac{25}{3}$$\n\nRozpatrz 3 przypadki znaków modułów (krytyczne punkty: $x = -2$ i $x = 3$).\n\nPrzypadek 1: $x < -2$. Wtedy $|x+2| = -(x+2)$, $|x-3| = 3-x$:\n\n$$-(x+2) + (3-x) = -2x + 1 < \\frac{25}{3}$$\n$$-2x < \\frac{22}{3} \\implies x > -\\frac{11}{3}$$\n\nRazem z $x < -2$: $-\\frac{11}{3} < x < -2$.\n\nPrzypadek 2: $-2 \\leq x < 3$. Wtedy $|x+2| = x+2$, $|x-3| = 3-x$:\n\n$$(x+2) + (3-x) = 5$$\n\n$5 < \\frac{25}{3}$? $5 = \\frac{15}{3} < \\frac{25}{3}$ ✓\n\nCały przedział $-2 \\leq x < 3$ jest rozwiązaniem.\n\nPrzypadek 3: $x \\geq 3$. Wtedy $|x+2| = x+2$, $|x-3| = x-3$:\n\n$$(x+2) + (x-3) = 2x - 1 < \\frac{25}{3}$$\n$$2x < \\frac{28}{3} \\implies x < \\frac{14}{3}$$\n\nRazem z $x \\geq 3$: $3 \\leq x < \\frac{14}{3}$.\n\nZbierz wszystkie przedziały:\n\n$$\\left(-\\frac{11}{3}, -2\\right) \\cup [-2, 3) \\cup \\left[3, \\frac{14}{3}\\right) = \\left(-\\frac{11}{3},\\ \\frac{14}{3}\\right)$$\n\nPo co to umieć\n\n$\\sqrt{a^2} = |a|$ — fundament. To dlatego $\\sqrt{x^2} \\neq x$ dla wszystkich $x$.\n\nGeometryczna interpretacja: $|x - a|$ = odległość $x$ od $a$. Wyrażenie $|x+2| + |x-3| = |x - (-2)| + |x - 3|$ = suma odległości $x$ od $-2$ i od $3$.\n\nDla punktów pomiędzy $-2$ a $3$ ta suma jest stale równa $5$ (długość odcinka). Poza nim — rośnie liniowo. To pozwala szybciej rozumować geometrycznie.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $\\sqrt{x^2} = x$ zamiast $|x|$. Pamiętaj — pierwiastek kwadratowy z liczby jest **zawsze nieujemny**, więc $\\sqrt{a^2} = |a|$, nie $a$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"nierówność z modułami, suma odległości, bezwgledna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nOkreślamy kwadraty 𝐾1 , 𝐾2 , 𝐾3 , … następująco:\n𝐾1 jest kwadratem o boku długości 𝑎\n𝐾2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾1 i dzieli\nten bok w stosunku 1 ∶3\n𝐾3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾2 i dzieli\nten bok w stosunku 1 ∶3\ni ogólnie, dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥2,\n𝐾𝑛 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu 𝐾𝑛-1\ni dzieli ten bok w stosunku 1 ∶3.\nObwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg\ngeometryczny.\nNa rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-4\n𝑎\n𝑎\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nOkreślamy kwadraty K_1, K_2, K_3, … następująco: • K_1 jest kwadratem o boku długości a • K_2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_1 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 • K_3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_2 i dzieli ten bok w stosunku 1:3 i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n≥2, • K_n jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K_{n-1} i dzieli ten bok w stosunku 1:3. Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej. [rysunek] Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐿=\n4𝑎\n1-\n√10\n4\n(lub 𝐿= 8⋅(4+√10)𝑎\n3\n).\n3 pkt - zapisanie: 𝐿= 4𝑎(1 +\n√10\n4 + 5\n8 + … ).\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu: 𝑞=\n√10\n4 .\n1 pkt - obliczenie długości boku drugiego kwadratu: 𝑎2 =\n√10\n4 𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy tylko sumę długości boków (po jednym z każdego kwadratu), to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający błędnie ustala stosunek podziału długości boku kwadratu i rozwiązuje\nzadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (za obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu, o ile 𝑞∈(0, 1), oraz za konsekwentne\nobliczenie sumy obwodów wszystkich kwadratów).\n3. Jeżeli zdający przyjmuje do obliczeń konkretną długość boku kwadratu 𝐾1 i rozwiązuje\nzadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy i otrzyma iloraz 𝑞 ciągu, który jest liczbą spoza\nprzedziału (0, 1), to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za\npoprawne obliczenie 𝑎2).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎𝑖 długość boku kwadratu 𝐾𝑖 , natomiast przez 𝐿𝑖 - obwód kwadratu 𝐾𝑖\n(dla 𝑖= 1, 2, 3, …). Niech 𝐿 oznacza sumę obwodów wszystkich rozważanych kwadratów.\nObliczamy długości boków kolejnych kwadratów:\n𝑎1 = 𝑎\n𝑎2 = √(1\n4 𝑎)\n2\n+ (3\n4 𝑎)\n2\n= √10\n4 𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nAnalogicznie\n𝑎3 = √10\n4 𝑎2 = √10\n4\n∙√10\n4 𝑎= 5\n8 𝑎\n𝑎4 = 5√10\n32 𝑎\ni tak dalej.\nStąd\n𝐿= 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + … = 4𝑎+ 4 ∙√10\n4 𝑎+ 4 ∙5\n8 𝑎+ … = 4𝑎(1 + √10\n4\n+ 5\n8 + … )\nZauważamy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie 𝑎1 = 1\ni 𝑞=\n√10\n4 .\nPonieważ |𝑞| =\n√10\n4\n< 1, zatem spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu sumy\nnieskończonego szeregu geometrycznego.\nZatem 𝐿= 4𝑎∙\n1\n1-\n√10\n4\n4𝑎\n1-\n√10\n4\n= 8⋅(4+√10)𝑎\n3","solution":"Odpowiedź: **Suma: $S = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}$** Bok $K_2$ z Pitagorasa: $\\sqrt{(a/4)^2 + (3a/4)^2} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}$. Iloraz $q = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$. Suma szeregu geom.: $S = \\frac{4a}{1 - \\sqrt{10}/4} = \\frac{16a}{4-\\sqrt{10}} = \\frac{8a(4+\\sqrt{10})}{3}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyznacz bok $K_2$. Każdy wierzchołek $K_2$ leży na boku $K_1$ i dzieli go w stosunku $1 : 3$. Czyli odcinki to $\\frac{a}{4}$ i $\\frac{3a}{4}$.\n\nBok $K_2$ to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $\\frac{a}{4}$ i $\\frac{3a}{4}$:\n\n$$b_2 = \\sqrt{\\left(\\frac{a}{4}\\right)^2 + \\left(\\frac{3a}{4}\\right)^2} = \\sqrt{\\frac{a^2 + 9a^2}{16}} = \\sqrt{\\frac{10a^2}{16}} = \\frac{a\\sqrt{10}}{4}$$\n\nWyznacz iloraz obwodów. Obwód $K_n = 4 b_n$, więc:\n\n$$q = \\frac{L_2}{L_1} = \\frac{4 \\cdot a\\sqrt{10}/4}{4a} = \\frac{\\sqrt{10}}{4}$$\n\nSprawdzenie: $\\frac{\\sqrt{10}}{4} \\approx 0{,}79 < 1$, więc szereg jest zbieżny.\n\nWzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego (przy $|q| < 1$):\n\n$$S = \\frac{L_1}{1 - q}$$\n\n$$S = \\frac{4a}{1 - \\frac{\\sqrt{10}}{4}} = \\frac{4a}{\\frac{4 - \\sqrt{10}}{4}} = \\frac{16a}{4 - \\sqrt{10}}$$\n\nRacjonalizacja mianownika: pomnóż licznik i mianownik przez $4 + \\sqrt{10}$:\n\n$$S = \\frac{16a (4 + \\sqrt{10})}{(4 - \\sqrt{10})(4 + \\sqrt{10})} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{16 - 10} = \\frac{16a(4 + \\sqrt{10})}{6}$$\n\n$$\\boxed{S = \\frac{8a(4 + \\sqrt{10})}{3}}$$\n\nPo co to umieć\n\nSuma nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\n$$S = \\frac{a_1}{1 - q} \\quad \\text{dla } |q| < 1$$\n\nTypowy schemat zadań o „nieskończonej spirali figur\":\n1. Wyznacz parametr drugiej figury (z Pitagorasa lub trygonometrii).\n2. Iloraz tego parametru = $q$ ciągu.\n3. Suma = $\\frac{a_1}{1-q}$.\n4. Racjonalizuj mianownik (jeśli pierwiastek).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: liczenie pól zamiast obwodów. Iloraz pól = $q_{pole}^2 = \\left(\\frac{\\sqrt{10}}{4}\\right)^2 = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8}$. Treść mówi o **obwodach**.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"szereg geometryczny, geometria, twierdzenie Pitagorasa, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎≠𝟐, dla których równanie\n𝒙𝟐+ 𝟒𝒙-𝒎-𝟑\n𝒎-𝟐= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek 𝒙𝟏\n𝟑+ 𝒙𝟐\n𝟑> -𝟐𝟖.\nZapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m≠2, dla których równanie x² + 4x - m-3/m-2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1³ + x_2³ > -28.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(2, 9\n4).\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającej z warunku\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28, np. -64 -3 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) ∙(-4) > -28\nALBO\n- zapisanie nierówności (-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n> -28 i poprawne\nzastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej\njednego ze składników sumy (-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 w zależności\nod 𝑚: 𝑥1 =\n-4-√20𝑚-44\n𝑚-2\n2⋅1\n, 𝑥2 =\n-4+√20𝑚-44\n𝑚-2\n2⋅1\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28: 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb\nrzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań\nz etapów I i II, to za III etap otrzymuje 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑚-3\n𝑚-2 lub\n𝑥1 ⋅𝑥2 = ± 4, to za II etap może otrzymać co najwyżej 1 punkt, a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie\nistotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 do postaci\npozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2], i konsekwentnie do popełnionego błędu\ndoprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej 1 punkt\nza II etap.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 , gdzie 𝑚≠2, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste\nwtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:\n42 -4 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) > 0\n20𝑚-44\n𝑚-2\n> 0\n(20𝑚-44) ⋅(𝑚-2) > 0\n20 (𝑚-11\n5 ) ⋅(𝑚-2) > 0\n𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞)\nII etap\nSposób I\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28, korzystając ze wzorów Viète’a:\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -3𝑥1𝑥2(𝑥1 + 𝑥2) > -28\n-64 -3 ∙(-𝑚-3\n𝑚-2) ∙(-4) > -28\n𝑚-3\n𝑚-2 < -3\n(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0\n𝑚∈(2, 9\n4)\nSposób II\nWyznaczamy pierwiastki 𝑥1, 𝑥2 trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 4𝑥-𝑚-3\n𝑚-2 :\n𝑥1 =\n-4 -√20𝑚-44\n𝑚-2\n2 ⋅1\n= -2 -√5𝑚-11\n𝑚-2\n𝑥2 =\n-4 + √20𝑚-44\n𝑚-2\n2 ⋅1\n= -2 + √5𝑚-11\n𝑚-2\nNierówność 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 > -28 możemy więc zapisać w postaci\n(-2 -√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n+ (-2 + √5𝑚-11\n𝑚-2 )\n3\n> -28\nOznaczmy √5𝑚-11\n𝑚-2 przez 𝑝. Wtedy\n(-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28\nKorzystając ze wzoru na sześcian różnicy i sześcian sumy, otrzymujemy dalej\n(-8 -12𝑝-6𝑝2 -𝑝3) + (-8 + 12𝑝-6𝑝2 + 𝑝3) > -28\n-12𝑝2 -16 > -28\n12𝑝2 -12 < 0\n𝑝2 -1 < 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem\n(√5𝑚-11\n𝑚-2 )\n2\n-1 < 0\n5𝑚-11\n𝑚-2 -1 < 0\n5𝑚-11 -𝑚+ 2\n𝑚-2\n< 0\n4𝑚-9\n𝑚-2 < 0\n(4𝑚-9)(𝑚-2) < 0\n𝑚∈(2, 9\n4)\nUwaga:\nNierówność (-2 -𝑝)3 + (-2 + 𝑝)3 > -28 możemy również przekształcić, korzystając ze\nwzoru na sumę sześcianów. Wtedy otrzymujemy\n(-2 -𝑝+ (-2) + 𝑝)[(-2 -𝑝)2 -(-2 -𝑝)(-2 + 𝑝) + (-2 + 𝑝)2] > -28\n-4(4 + 4𝑝+ 𝑝2 + 𝑝2 -4 + 4 -4𝑝+ 𝑝2) > -28\n3𝑝2 + 4 < 7\n𝑝2 -1 < 0\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠2, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, 2) ∪(11\n5 , +∞) oraz 𝑚∈(2, 9\n4): 𝑚∈(11\n5 , 9\n4).","solution":"Odpowiedź: **$m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\ \\frac{9}{4}\\right)$** Wzory Viety: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}$. Warunki: (1) $\\Delta > 0$ → $\\frac{5m-11}{m-2} > 0$ → $m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$; (2) $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2] > -28$ → $x_1 x_2 > 3$ → $\\frac{4m-9}{m-2} < 0$ → $2 < m < \\frac{9}{4}$. Część wspólna: $\\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nTrzy warunki: (1) $m \\neq 2$ (dziedzina), (2) $\\Delta > 0$ (dwa różne rozwiązania), (3) $x_1^3 + x_2^3 > -28$.\n\nWzory Viety. Dla $x^2 + 4x + c = 0$ z $c = -\\frac{m-3}{m-2}$:\n\n$$x_1 + x_2 = -4, \\quad x_1 x_2 = -\\frac{m-3}{m-2}$$\n\nWarunek $\\Delta > 0$:\n\n$$\\Delta = 16 - 4 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2}$$\n\n$$= \\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} = \\frac{20m - 44}{m-2} = \\frac{4(5m-11)}{m-2}$$\n\n$\\Delta > 0 \\iff \\frac{5m-11}{m-2} > 0 \\iff m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$.\n\nWyraź $x_1^3 + x_2^3$ przez Viete'a:\n\n$$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)\\left[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2\\right]$$\n\n$$= -4 \\cdot [16 - 3 \\cdot x_1 x_2] = -64 + 12 x_1 x_2$$\n\nWarunek: $-64 + 12 x_1 x_2 > -28 \\iff x_1 x_2 > 3$.\n\nRozwiąż $-\\frac{m-3}{m-2} > 3$:\n\n$$\\frac{m-3}{m-2} < -3 \\iff \\frac{m-3 + 3(m-2)}{m-2} < 0 \\iff \\frac{4m-9}{m-2} < 0$$\n\nZerówki: $m = \\frac{9}{4}$ i $m = 2$. Iloraz $< 0$ ⟺ $2 < m < \\frac{9}{4}$.\n\nCzęść wspólna obu warunków:\n\n- $\\Delta > 0$: $m < 2$ lub $m > \\frac{11}{5}$\n- $x_1^3 + x_2^3 > -28$: $2 < m < \\frac{9}{4}$\n\nPrzecięcie: $\\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}$.\n\nPo co to umieć\n\nWzory Viete'a dla $ax^2 + bx + c = 0$ z rozwiązaniami $x_1, x_2$:\n- $x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}$\n- $x_1 x_2 = \\frac{c}{a}$\n\nPozwalają wyrazić dowolne symetryczne wyrażenie $x_1, x_2$ przez współczynniki, bez liczenia samych pierwiastków. Klasyk PR.\n\nWyrażenia symetryczne:\n- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2 x_1 x_2$\n- $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3 x_1 x_2(x_1+x_2) = (x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2 - 3 x_1 x_2]$\n- $\\frac{1}{x_1} + \\frac{1}{x_2} = \\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pominięcie warunku $\\Delta > 0$. Tylko sam warunek na $x_1^3 + x_2^3$ daje $2 < m < 9/4$, ale dla $m \\in (2, 11/5)$ równanie ma rozwiązania zespolone — trzeba wykluczyć.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viete'a, parametr","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥 dla\nkażdej liczby dodatniej 𝑥.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: **12.1.** $81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4\\log_3 x} = x^4$. $\\frac{2\\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$. Stąd $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$. **12.2.** $f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x = 1$ (drugi czynnik $\\Delta < 0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x = 1$: $f(1) = 1+1-6 = -4$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZadanie 12.1: Uprość wyrażenie\n\nPierwszy składnik: $81^{\\log_3 x}$\n\n$81 = 3^4$, więc $81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4 \\log_3 x} = 3^{\\log_3 x^4} = x^4$\n\n(skorzystaliśmy z $4 \\log_3 x = \\log_3 x^4$ i $a^{\\log_a b} = b$)\n\nDrugi składnik: $\\frac{2 \\log_2 \\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3}$\n\n$\\sqrt{27} = 3^{3/2}$, więc $\\log_2 \\sqrt{27} = \\frac{3}{2} \\log_2 3$.\n\nWstaw: $\\frac{2 \\cdot \\frac{3}{2} \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3}$\n\nZastosuj $\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1$: $\\log_2 3 \\cdot \\log_3 2 = 1$.\n\n$$\\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$$\n\nPodsumowanie:\n\n$$f(x) = x^4 + 1 \\cdot x^2 - 6x = x^4 + x^2 - 6x \\quad \\blacksquare$$\n\nZadanie 12.2: Znajdź minimum lokalne\n\nPolicz pochodną $f'(x)$:\n\n$$f'(x) = 4x^3 + 2x - 6$$\n\nRozłóż $f'$. Zauważ, że $f'(1) = 4 + 2 - 6 = 0$. Czyli $x = 1$ jest pierwiastkiem. Podziel przez $(x-1)$:\n\n$$4x^3 + 2x - 6 = (x-1)(4x^2 + 4x + 6) = 2(x-1)(2x^2 + 2x + 3)$$\n\nSprawdź $2x^2 + 2x + 3$. $\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0$ — brak pierwiastków rzeczywistych. Wyraz $> 0$ dla wszystkich $x$.\n\nZnak $f'(x)$: $2(x-1) \\cdot (\\text{dodatnie})$. Czyli $f'(x) > 0 \\iff x > 1$, $f'(x) < 0 \\iff x < 1$. To znaczy:\n\n- $f$ maleje na $(0, 1)$\n- $f$ rośnie na $(1, +\\infty)$\n\nMinimum lokalne w $x = 1$, $f(1) = 1 + 1 - 6 = -4$.\n\nPo co to umieć\n\nTrzy własności logarytmów najczęściej testowane na PR:\n1. $a^{\\log_a b} = b$ (definicja)\n2. $\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1$\n3. $\\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a}$ (zmiana podstawy)\n\nAlgorytm znajdowania ekstremów: $f'(x) = 0$, znajdź pierwiastki, sprawdź zmianę znaku pochodnej (z $-$ na $+$ → minimum; z $+$ na $-$ → maksimum).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd w 12.1: zapomnienie własności $a^{\\log_a b} = b$ i $\\log_a b \\cdot \\log_b a = 1$. W 12.2: brak sprawdzenia że $2x^2+2x+3$ nie ma pierwiastków ($\\Delta = 4 - 24 = -20 < 0$).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne","page_from":20,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝒙 wyrażenie\n𝟖𝟏𝐥𝐨𝐠𝟑𝒙+ 𝟐⋅𝐥𝐨𝐠𝟐√𝟐𝟕⋅𝐥𝐨𝐠𝟑𝟐\n𝟑\n⋅𝒙𝟐-𝟔𝒙\nmożna równoważnie przekształcić do postaci 𝒙𝟒+ 𝒙𝟐-𝟔𝒙.\n12.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^{log_3 x} + {2⋅log_2 √27 ⋅ log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x dla każdej liczby dodatniej x. Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wyrażenie 81^log_3 x + {2⋅log_2√27⋅log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x można równoważnie przekształcić do postaci x^4 + x² - 6x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenie wyrażenia 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥 do\npostaci 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥.\n1 pkt - poprawne zastosowanie własności 𝑎log𝑎𝑏= 𝑏, tj. przekształcenie wyrażenia 3log3 𝑥4\n(lub (3log3 𝑥)\n4) do postaci 𝑥4\nALBO\n- poprawne zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log32\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥, korzystając z własności\nlogarytmów:\n81log3 𝑥+ 2 ⋅log2 √27 ∙log3 2\n3\n∙𝑥2 -6𝑥= (34)log3 𝑥+ 2\n3 log2 3\n3\n2 ∙log3 2 ∙𝑥2 -6𝑥=\n= 34log3 𝑥+ 2\n3 ∙3\n2 ∙log2 3 ∙log3 2 ∙𝑥2 -6𝑥= 3log3 𝑥4 + log2 3 ∙log2 2\nlog2 3 ∙𝑥2 -6𝑥=\n= 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$81^{\\log_3 x} = (3^4)^{\\log_3 x} = 3^{4\\log_3 x} = x^4$. $\\frac{2\\log_2\\sqrt{27} \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\log_2 3 \\cdot \\log_3 2}{3} = \\frac{3 \\cdot 1}{3} = 1$. Stąd $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-12.1.svg","topics":"logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nOblicz najmniejszą wartość funkcji 𝒇 określonej dla każdej liczby dodatniej 𝒙.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: przyjmij, że wzór funkcji 𝑓 można przedstawić w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥.\n12.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = 81^{log_3 x} + {2⋅log_2 √27 ⋅ log_3 2 / 3} ⋅ x² - 6x dla każdej liczby dodatniej x. Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x. Wskazówka: przyjmij, że wzór funkcji f można przedstawić w postaci f(x)=x^4+x^2-6x.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R4) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑥= 1 i obliczenie\nwartości najmniejszej funkcji 𝑓: (-4).\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑥= 1.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0: 𝑥= 1.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥-6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑓 z błędem i wyznaczona pochodna nie jest\nwielomianem stopnia trzeciego, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to\njednocześnie jej najmniejsza wartość\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑓 ma minimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\n3. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,\nnp. znakami „+” i „-” znak pochodnej.\n4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla 𝑥= 1 funkcja 𝑓 osiąga\nnajmniejszą wartość i obliczy 𝑓(1) = -4, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑓(1) = -4, to otrzymuje co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający:\n- nie rozwiązuje równania 4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0, lecz stwierdza, że liczba 1 jest jego\nrozwiązaniem bez uzasadnienia, że jest to jedyne rozwiązanie rzeczywiste tego\nrównania\nALBO\n- popełnia błąd (który nie jest błędem rachunkowym) przy rozkładzie wielomianu\n4𝑥3 + 2𝑥-6 na czynniki, ale otrzymuje wielomian stopnia trzeciego, który przyjmuje\nw zbiorze (0, +∞) wartość najmniejszą\ni dalej konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nDla każdego 𝑥> 0 wyrażenie 81log3 𝑥+ 2 ⋅ log2 √27 ⋅ log3 2\n3\n⋅𝑥2 -6𝑥 jest równe\nwyrażeniu 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥. Obliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥2 -6𝑥 dla 𝑥∈(0, +∞).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥-6 dla 𝑥∈(0, +∞).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 0\n4𝑥3 + 2𝑥-6 = 0\n4𝑥3 + 2𝑥-4 -2 = 0\n4(𝑥3 -1) + 2(𝑥-1) = 0\n4(𝑥-1)(𝑥2 + 𝑥+ 1) + 2(𝑥-1) = 0\n(𝑥-1)(4𝑥2 + 4𝑥+ 4 + 2) = 0\n(𝑥-1)(4𝑥2 + 4𝑥+ 6) = 0\n𝑥-1 = 0 lub 4𝑥2 + 4𝑥+ 6 = 0\n𝑥= 1\ngdyż 4𝑥2 + 4𝑥+ 6 > 0 dla każdego 𝑥> 0.\nBadamy znak pochodnej:\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(1, +∞),\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(0, 1).\nZatem funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 1] oraz jest rosnąca w przedziale [1, +∞).\nStąd dla 𝑥= 1 funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą równą 𝑓(1) = 14 + 12 -6 ∙1 = -4.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$f'(x) = 4x^3 + 2x - 6 = 2(x-1)(2x^2+2x+3)$. Pierwiastek $x = 1$ (drugi czynnik $\\Delta < 0$ — bez pierwiastków). Minimum lokalne w $x = 1$: $f(1) = 1+1-6 = -4$.","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":"logarytmy, ekstrema funkcji, pochodne, funkcje","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-6)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta 𝑙 o równaniu 𝑥-𝑦-2 = 0\nprzecina parabolę o równaniu 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1 w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Odcinek 𝐴𝐵 jest\nśrednicą okręgu 𝒪. Punkt 𝐶 leży na okręgu 𝒪 nad prostą 𝑙, a kąt 𝐵𝐴𝐶 jest ostry i ma\nmiarę 𝛼 taką, że tg 𝛼= 1\n3 (zobacz rysunek).\nOblicz współrzędne punktu 𝑪. Zapisz obliczenia.\n13.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n1\n1\n𝑙\n𝐶\n𝐴\n𝐵\n𝛼\n𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\nokrąg 𝒪\n𝑥\n𝑦\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta l o równaniu x-y-2=0 przecina parabolę o równaniu y=4x^2-7x+1 w punktach A oraz B. Odcinek AB jest średnicą okręgu O. Punkt C leży na okręgu O nad prostą l, a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że tgα={1/3} (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz współrzędne punktu C.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R5) korzysta ze wzorów na sinus,\ncosinus i tangens sumy i różnicy kątów,\na także na funkcje trygonometryczne kątów\npodwojonych.\nIX.R3) znajduje punkty wspólne prostej\ni okręgu oraz prostej i paraboli będącej\nwykresem funkcji kwadratowej.\nZasady oceniania\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐶= (11\n10 , -3\n10).\n5 pkt - zapisanie jednego równania stopnia pierwszego i równania stopnia drugiego\nz dwiema niewiadomymi, np.\n{\n𝑦= 2 (𝑥-1\n2) -3\n2\n(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1\n2\n(pr. 𝐴𝐶 i okrąg 𝒪),\n{\n𝑦= 7(𝑥-1) -1\n(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1\n2\n(pr. 𝑆𝐶 i okrąg 𝒪),\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐶𝐶1: 𝑦= -𝑥+ 4\n5 ,\nALBO\n- zapisanie układu równań liniowych, np. równań prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶.\n4 pkt - zapisanie jednego równania z dwiema niewiadomymi, np.\n𝑦= 2 (𝑥-1\n2) -3\n2 (pr. 𝐴𝐶),\n(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1\n2 (okrąg 𝒪),\n𝑦= 7(𝑥-1) -1 (pr. 𝑆𝐶),\n√2\n10 = √(3\n2 -𝑥)\n2\n+ (-1\n2 -𝑦)\n2\n(okrąg o środku w punkcie 𝐵 i promieniu 𝐵𝐶),\n3√2\n10 = √(1\n2 -𝑥)\n2\n+ (-3\n2 -𝑦)\n2\n(okrąg o środku w punkcie 𝐴 i promieniu 𝐴𝐶),\n√(3\n2 -𝑥)\n2\n+(-1\n2 -𝑦)\n2\n√(1\n2 -𝑥)\n2\n+(-3\n2-𝑦)\n2 = 1\n3 (wykorzystanie zależności między przyprostokątnymi 𝐵𝐶\noraz 𝐴𝐶).\n3 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶: 2 oraz obliczenie\nwspółrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙: 𝐴= (1\n2 , -3\n2) oraz\n𝐵= (3\n2 , -1\n2)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑆 okręgu 𝒪 lub promienia 𝑅 okręgu 𝒪:\n𝑆= (1, -1) lub 𝑅=\n√2\n2 , lub |𝐴𝐵| = √2,\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑆𝐶: 7 oraz obliczenie\nwspółrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙: 𝐴= (1\n2 , -3\n2) oraz\n𝐵= (3\n2 , -1\n2).\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙: 𝐴= (1\n2 , -3\n2)\noraz 𝐵= (3\n2 , -1\n2)\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶: 2,\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝑆𝐶: 7,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵),\nktóre wynika z układu równań { 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\noraz zapisanie, że\n𝑎𝐴𝐶= tg(𝛼+ 45°) (lub 𝑎𝑆𝐶= tg(2𝛼+ 45°) ),\nALBO\n- zapisanie, że pierwsza/druga współrzędna środka 𝑆 okręgu jest średnią\narytmetyczną rozwiązań równania 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0 (lub 4𝑦2 + 8𝑦+ 3 = 0), np.\n𝑥𝑆= 𝑥1+𝑥2\n2\n, 𝑥𝑆=\n8\n4\n2 (wzory Viète’a).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵),\nktóre wynika z układu równań { 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\n, np.\n𝑥-2 = 4𝑥2 -7𝑥+ 1, 𝑦= 4(𝑦+ 2)2 -7(𝑦+ 2) + 1\nALBO\n- zapisanie, że 𝑎𝐴𝐶= tg(𝛼+ 45°) lub 𝑎𝑆𝐶= tg(2𝛼+ 45°).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy 𝐶1 = (11\n10 , -3\n10) oraz 𝐶2 (różny od 𝐶1) i nie odrzuci 𝐶2, to\notrzymuje 5 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej równości tg(𝛼+ 𝛽) = tg𝛼+ tg𝛽,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nb) zastosowanie niepoprawnej definicji funkcji trygonometrycznej,\nc) podstawienie do równania okręgu średnicy zamiast promienia,\nd) błędne zastosowanie wzorów Viète’a przy obliczaniu współrzędnych środka okręgu,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez proste 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶)\nObliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙:\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-(4𝑥2 -7𝑥+ 1) -2 = 0\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n-4𝑥2 + 8𝑥-3 = 0\n{\n𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥= 1\n2 ∨ 𝑥= 3\n2\nStąd 𝐴= (1\n2 , -3\n2) oraz 𝐵= (3\n2 , -1\n2).\nProsta 𝑙 ma równanie kierunkowe 𝑦= 𝑥-2, więc jest nachylona do osi 𝑂𝑥 układu\nwspółrzędnych pod kątem 45°. Zatem prosta przechodząca przez punkty 𝐴 i 𝐶 jest\nnachylona do osi 𝑂𝑥 układu pod kątem 𝛼+ 45°. Obliczamy tg(𝛼+ 45°), korzystając ze\nwzoru na tangens sumy kątów:\ntg(𝛼+ 45°) =\ntg 𝛼+ tg 45°\n1 -tg 𝛼⋅tg 45° =\n1\n3 + 1\n1 -1\n3 ⋅1\n1 + 3\n3 -1 = 2\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2 (𝑥-1\n2) -3\n2 .\nPonieważ 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu, więc kąt 𝐴𝐶𝐵 (jako kąt wpisany oparty na średnicy\n𝐴𝐵) jest prosty. Wobec tego współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝐶 prostej 𝐵𝐶 jest równy\n𝑎𝐵𝐶= -1\n2 i prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= -1\n2 (𝑥-3\n2) -1\n2 .\nPunkt 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leży na prostych 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶, więc 𝑦𝐶= 2 (𝑥𝐶-1\n2) -3\n2 oraz\n𝑦𝐶= -1\n2 (𝑥𝐶-3\n2) -1\n2 . Stąd otrzymujemy:\n2 (𝑥𝐶-1\n2) -3\n2 = -1\n2 (𝑥𝐶-3\n2) -1\n2\n5\n2 𝑥𝐶= 11\n4\n𝑥𝐶= 11\n10\nZatem 𝐶= (11\n10 , -3\n10).\nSposób II (poprzez długości odcinków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶)\nWyznaczamy punkty przecięcia prostej 𝑙 i paraboli 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1:\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\n{ 𝑥-2 = 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑦= 𝑥-2\n{ 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0\n𝑦= 𝑥-2\nRozwiązujemy równanie kwadratowe 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0 i otrzymujemy 𝑥= 1\n2 lub 𝑥= 3\n2 .\nDla 𝑥= 1\n2 otrzymujemy 𝑦= 1\n2 -2 = -3\n2 , więc 𝐴= (1\n2 , -3\n2).\nDla 𝑥= 3\n2 otrzymujemy 𝑦= 3\n2 -2 = -1\n2 , więc 𝐵= (3\n2 , -1\n2).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = √(3\n2 -1\n2)\n2\n+ (-1\n2 + 3\n2)\n2\n= √2\nPonieważ 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu 𝒪, więc kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵 jest prosty.\nObliczamy długości boków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶.\nWobec tg 𝛼= 1\n3 i |𝐴𝐵| = √2 otrzymujemy\n|𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶| = 1\n3 i |𝐴𝐶|2 + |𝐵𝐶|2 = (√2)\n2. Stąd\n|𝐴𝐶| = 3√5\n5 i |𝐵𝐶| =\n√5\n5 .\nNiech 𝐶= (𝑥, 𝑦). Wykorzystujemy obliczone długości przyprostokątnych trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz\nwzór na długość odcinka i zapisujemy równania:\n√5\n5 = |𝐵𝐶| = √(𝑥-3\n2)\n2\n+ (𝑦+ 1\n2)\n2\n3√5\n5\n= |𝐴𝐶| = √(𝑥-1\n2)\n2\n+ (𝑦+ 3\n2)\n2\nZ układu równań\n{\n1\n5 = 𝑥2 -3𝑥+ 9\n4 + 𝑦2 + 𝑦+ 1\n4\n9\n5 = 𝑥2 -𝑥+ 1\n4 + 𝑦2 + 3𝑦+ 9\n4\notrzymujemy zależność liniową między 𝑦 a 𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-8\n5 = -2𝑥-2𝑦\nz której wyznaczamy 𝑦: 𝑦= -𝑥+ 4\n5 .\nZ otrzymanych równań 𝑦= -𝑥+ 4\n5 i 1\n5 = 𝑥2 -3𝑥+ 9\n4 + 𝑦2 + 𝑦+ 1\n4 obliczamy\nwspółrzędne punktu 𝐶:\n1\n5 = 𝑥2 -3𝑥+ 9\n4 + (-𝑥+ 4\n5)\n2\n+ (-𝑥+ 4\n5) + 1\n4\n0 = 2𝑥2 -28\n5 𝑥+ 187\n50\n0 = 100𝑥2 -280𝑥+ 187\n𝑥= 11\n10 lub 𝑥= 17\n10\nRozwiązanie 𝑥= 17\n10 odrzucamy, gdyż wtedy 𝑦= -9\n10 , a punkt (17\n10 , -9\n10) leży pod\nprostą 𝑙.\nGdy 𝑥= 11\n10 , to 𝑦= -3\n10 , więc 𝐶= (11\n10 , -3\n10).\nSposób III (poprzez okrąg 𝒪 i prostą 𝐴𝐶)\nObliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą 𝑙:\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-(4𝑥2 -7𝑥+ 1) -2 = 0\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n-4𝑥2 + 8𝑥-3 = 0\n{\n𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥= 1\n2 ∨ 𝑥= 3\n2\nStąd 𝐴= (1\n2 , -3\n2) oraz 𝐵= (3\n2 , -1\n2).\nProsta 𝑙 ma równanie kierunkowe 𝑦= 𝑥-2, więc jest nachylona do osi 𝑂𝑥 układu\nwspółrzędnych pod kątem 45°. Zatem prosta przechodząca przez punkty 𝐴 i 𝐶 jest\nnachylona do osi 𝑂𝑥 układu pod kątem 𝛼+ 45°. Obliczamy tg(𝛼+ 45°), korzystając ze\nwzoru na tangens sumy kątów:\ntg(𝛼+ 45°) =\ntg 𝛼+ tg 45°\n1 -tg 𝛼⋅tg 45° =\n1\n3 + 1\n1 -1\n3 ⋅1\n1 + 3\n3 -1 = 2\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐶: 𝑦= 2 (𝑥-1\n2) -3\n2 .\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = √(3\n2 -1\n2)\n2\n+ (-1\n2 + 3\n2)\n2\n= √2\nObliczamy współrzędne środka 𝑆 okręgu 𝒪: 𝑆= (1, -1).\nZapisujemy równanie okręgu 𝒪: (𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1\n2 .\nObliczamy współrzędne punktów przecięcia okręgu 𝒪 z prostą 𝐴𝐶:\n{\n(𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1\n2\n𝑦= 2𝑥-5\n2\nStąd\n(𝑥-1)2 + (2𝑥-5\n2 + 1)\n2\n= 1\n2\n𝑥2 -2𝑥+ 1 + 4𝑥2 -6𝑥+ 9\n4 = 1\n2\n5𝑥2 -8𝑥+ 11\n4 = 0\n𝑥= 1\n2 lub 𝑥= 11\n10\nDla 𝑥= 1\n2 otrzymujemy 𝑦= -3\n2 , czyli współrzędne punktu 𝐴.\nDla 𝑥= 11\n10 otrzymujemy 𝑦= -3\n10 , czyli 𝐶= (11\n10 , -3\n10).\nSposób IV (poprzez okrąg 𝒪 i średnicę przechodzącą przez 𝐶)\nWyznaczamy punkty przecięcia prostej 𝑙 i paraboli 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1:\n{ 𝑦= 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑥-𝑦-2 = 0\n{ 𝑥-2 = 4𝑥2 -7𝑥+ 1\n𝑦= 𝑥-2\n{ 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0\n𝑦= 𝑥-2\nRozwiązujemy równanie kwadratowe 4𝑥2 -8𝑥+ 3 = 0 i otrzymujemy 𝑥= 1\n2 lub 𝑥= 3\n2 .\nDla 𝑥= 1\n2 otrzymujemy 𝑦= 1\n2 -2 = -3\n2 , więc 𝐴= (1\n2 , -3\n2).\nDla 𝑥= 3\n2 otrzymujemy 𝑦= 3\n2 -2 = -1\n2 , więc 𝐵= (3\n2 , -1\n2).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝐴𝐵| = √(3\n2 -1\n2)\n2\n+ (-1\n2 + 3\n2)\n2\n= √2\nPonieważ 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu 𝒪, więc ten okrąg ma środek w punkcie 𝑆= (1, -1)\ni promień 𝑟=\n√2\n2 .\nKąty 𝐶𝐴𝐵 oraz 𝐶𝑆𝐵 są oparte na tym samym łuku okręgu 𝒪, więc\n|∡𝐶𝑆𝐵| = 2 ⋅|∡𝐶𝐴𝐵| = 2𝛼. Ponieważ tg 𝛼= 1\n3 , więc\ntg(2𝛼) =\n2 tg 𝛼\n1 -tg2 𝛼=\n2\n3\n1 -(1\n3)\n2 = 3\n4\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu prostej 𝑆𝐶:\n𝑎= tg(2𝛼+ 45°) =\ntg(2𝛼) + tg 45°\n1 -tg(2𝛼) ⋅tg 45° =\n3\n4 + 1\n1 -3\n4 ⋅1\n= 7\nRównanie prostej 𝑆𝐶: 𝑦= 7(𝑥-1) -1.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐶:\n{ (𝑥-1)2 + (𝑦+ 1)2 = 1\n2\n𝑦= 7(𝑥-1) -1\n{ (𝑥-1)2 + [7(𝑥-1)]2 = 1\n2\n𝑦= 7(𝑥-1) -1\n{ 50(𝑥-1)2 = 1\n2\n𝑦= 7(𝑥-1) -1\n{ |𝑥-1| = 1\n10\n𝑦= 7(𝑥-1) -1\n{ 𝑥= 9\n10 ∨ 𝑥= 11\n10\n𝑦= 7(𝑥-1) -1\nDla 𝑥= 9\n10 otrzymujemy 𝑦= -17\n10 < 𝑦𝐴 , więc punkt ( 9\n10 , -17\n10) nie spełnia warunków\nzadania.\nDla 𝑥= 11\n10 otrzymujemy 𝑦= -3\n10 , więc 𝐶= (11\n10 , -3\n10).","solution":"Odpowiedź: **$C = \\left(\\frac{11}{10}, -\\frac{3}{10}\\right)$** Z układu prostej i paraboli: $A = (\\frac{1}{2}, -\\frac{3}{2})$, $B = (\\frac{3}{2}, -\\frac{1}{2})$. Z tw. Talesa (AB średnica) → $\\angle ACB = 90°$. W trójkącie prostokątnym ACB: $|AB| = \\sqrt{2}$, $\\tan\\alpha = BC/AC = 1/3$ → $AC = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$, $BC = \\frac{1}{\\sqrt{5}}$. Wektory: $\\hat{AB} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(1,1)$, prostopadła w górę $= \\frac{1}{\\sqrt{2}}(-1, 1)$. $C = A + AC\\cos\\alpha \\cdot \\hat{AB} + AC\\sin\\alpha \\cdot \\hat{n}$ daje $C = (1{,}1; -0{,}3)$.\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nZnajdź A i B (przecięcie prostej z parabolą). Z $l$: $y = x - 2$. Wstaw do paraboli:\n\n$$x - 2 = 4x^2 - 7x + 1 \\iff 4x^2 - 8x + 3 = 0$$\n\n$\\Delta = 64 - 48 = 16$, $x = \\frac{8 \\pm 4}{8}$, czyli $x = \\frac{1}{2}$ lub $x = \\frac{3}{2}$.\n\n$$A = \\left(\\tfrac{1}{2}, -\\tfrac{3}{2}\\right), \\quad B = \\left(\\tfrac{3}{2}, -\\tfrac{1}{2}\\right)$$\n\n$|AB|$ i twierdzenie Talesa. AB to średnica okręgu, więc dla każdego $C$ na okręgu:\n\n$$\\angle ACB = 90°$$\n\nDługość: $|AB| = \\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$.\n\nTrójkąt prostokątny ACB. $\\tan\\alpha = \\frac{BC}{AC} = \\frac{1}{3} \\implies AC = 3 BC$.\n\nZ Pitagorasa: $AC^2 + BC^2 = 2 \\implies 9 BC^2 + BC^2 = 2 \\implies BC = \\frac{1}{\\sqrt{5}}, AC = \\frac{3}{\\sqrt{5}}$.\n\nWyznacz $\\cos\\alpha, \\sin\\alpha$. Z $\\tan\\alpha = 1/3$ i $\\alpha$ ostry: hipotenuza pomocnicza $\\sqrt{10}$, więc $\\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}}$, $\\sin\\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{10}}$.\n\nWektor jednostkowy wzdłuż AB: $\\hat{AB} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(1, 1)$.\n\nWektor prostopadły, skierowany w górę (z $y > 0$): $\\hat{n} = \\frac{1}{\\sqrt{2}}(-1, 1)$.\n\nWyznacz $C$ z dekompozycji wektora $\\vec{AC}$:\n\n$$\\vec{AC} = AC \\cos\\alpha \\cdot \\hat{AB} + AC \\sin\\alpha \\cdot \\hat{n}$$\n\nKomponenty:\n- $AC \\cos\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{9}{\\sqrt{50}} = \\frac{9}{5\\sqrt{2}}$\n- $AC \\sin\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{5}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{10}} = \\frac{3}{5\\sqrt{2}}$\n\nWkład w x: $\\frac{9}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} - \\frac{3}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{9 - 3}{10} = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$\n\nWkład w y: $\\frac{9}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} + \\frac{3}{5\\sqrt{2}} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{2}} = \\frac{9 + 3}{10} = \\frac{12}{10} = \\frac{6}{5}$\n\n$$C = A + \\left(\\frac{3}{5}, \\frac{6}{5}\\right) = \\left(\\frac{1}{2} + \\frac{3}{5},\\ -\\frac{3}{2} + \\frac{6}{5}\\right) = \\left(\\frac{11}{10},\\ -\\frac{3}{10}\\right)$$\n\nPo co to umieć\n\nTwierdzenie Talesa (kąt wpisany oparty na średnicy = 90°) to klucz do zadań „okrąg + średnica + punkt na okręgu\".\n\nGeometria analityczna 2D — dekompozycja wektora na kierunek równoległy + prostopadły. Niezbędne w zadaniach typu „znajdź punkt $C$ jeśli...\".\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: pomylenie kierunku „nad prostą\" — kąt $\\alpha$ ma dwa możliwe położenia $C$ (po obu stronach AB). Z rysunku/treści wynika, że $C$ leży po stronie $y$ większej (nad $l$).","image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"geometria analityczna, okrąg, kąt wpisany, parabola, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest sześcian \\(ABCDEFGH\\) o krawędzi długości \\(6\\). Punkt \\(S\\) jest punktem przecięcia przekątnych \\(AH\\) i \\(DE\\) ściany bocznej \\(ADHE\\) (zobacz rysunek).\n\nOblicz wysokość trójkąta \\(SBH\\) poprowadzoną z punktu \\(S\\) na bok \\(BH\\) tego trójkąta.\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-R0-100-2305/z14.png\n\n. H G E F S D C A B 6 Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta. Nr zadania 14. Wypełnia Maks. liczba pkt 4 egzaminator Uzyskana liczba pkt","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(h = \\sqrt{6}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych + pole trójkąta z iloczynu wektorowego\n\n**Ustalamy układ współrzędnych.** Krawędź sześcianu = 6.\n\n\\[A = (0,0,0),\\; B = (6,0,0),\\; C = (6,6,0),\\; D = (0,6,0)\\]\n\\[E = (0,0,6),\\; F = (6,0,6),\\; G = (6,6,6),\\; H = (0,6,6)\\]\n\n**Wyznaczamy punkt \\(S\\).**\nŚciana \\(ADHE\\) leży na płaszczyźnie \\(x = 0\\) - to kwadrat o wierzchołkach \\(A(0,0,0)\\), \\(D(0,6,0)\\), \\(H(0,6,6)\\), \\(E(0,0,6)\\). Punkt \\(S\\) to przecięcie przekątnych \\(AH\\) i \\(DE\\) tej ściany, czyli **środek kwadratu**:\n\\[S = \\frac{A + H}{2} = \\frac{(0,0,0)+(0,6,6)}{2} = (0,\\,3,\\,3)\\]\n\n**Wyznaczamy wektory z \\(B\\):**\n\\[\\vec{BS} = S - B = (-6,\\; 3,\\; 3)\\]\n\\[\\vec{BH} = H - B = (-6,\\; 6,\\; 6)\\]\n\nZanim policzę pole, zauważam: \\(BH\\) to **przekątna przestrzenna** sześcianu (łączy wierzchołki \\(B\\) i \\(H\\), odległe o \\(\\sqrt{6^2+6^2+6^2}\\)):\n\\[|BH| = \\sqrt{36+36+36} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Iloczyn wektorowy** \\(\\vec{BS} \\times \\vec{BH}\\):\n\\[\\vec{BS} \\times \\vec{BH} = \\begin{vmatrix} \\vec{i} & \\vec{j} & \\vec{k} \\\\ -6 & 3 & 3 \\\\ -6 & 6 & 6 \\end{vmatrix}\\]\n\n\\[= \\vec{i}(3\\cdot6 - 3\\cdot6) - \\vec{j}((-6)\\cdot6 - 3\\cdot(-6)) + \\vec{k}((-6)\\cdot6 - 3\\cdot(-6))\\]\n\\[= \\vec{i}(0) - \\vec{j}(-18) + \\vec{k}(-18) = (0,\\;18,\\;-18)\\]\n\n\\[|\\vec{BS} \\times \\vec{BH}| = \\sqrt{0 + 324 + 324} = \\sqrt{648} = 18\\sqrt{2}\\]\n\n**Pole trójkąta \\(SBH\\):**\n\\[P_\\triangle = \\frac{1}{2}\\cdot 18\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}\\]\n\n**Wysokość z \\(S\\) na \\(BH\\)** - korzystamy ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2}\\cdot\\text{podstawa}\\cdot\\text{wysokość}\\):\n\\[h = \\frac{2 P_\\triangle}{|BH|} = \\frac{2 \\cdot 9\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}} = \\frac{18\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{3\\sqrt{2}\\cdot\\sqrt{3}}{3} = \\boxed{\\sqrt{6}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rzut prostokątny + twierdzenie Pitagorasa\n\nSzukamy stopy prostopadłej spuszczonej z \\(S\\) na prostą \\(BH\\). Oznaczmy ją \\(P\\).\n\n**Parametryzacja prostej \\(BH\\):**\n\\[\\vec{r}(t) = B + t\\cdot\\vec{BH} = (6,0,0) + t\\cdot(-6,6,6) = (6-6t,\\; 6t,\\; 6t)\\]\n\n**Warunek \\(SP \\perp BH\\):** wektor \\(\\vec{r}(t) - S\\) musi być prostopadły do \\(\\vec{BH}\\):\n\n\\[\\vec{r}(t) - S = (6-6t,\\; 6t-3,\\; 6t-3)\\]\n\n\\[(6-6t)\\cdot(-6) + (6t-3)\\cdot6 + (6t-3)\\cdot6 = 0\\]\n\\[-36 + 36t + 36t - 18 + 36t - 18 = 0\\]\n\\[108t = 72 \\implies t = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Obliczam odległość \\(|BP|\\)** (stopa prostopadłej dzieli \\(BH\\) w stosunku \\(2:1\\) od \\(B\\)):\n\\[|BP|^2 = t^2 \\cdot |\\vec{BH}|^2 = \\frac{4}{9}\\cdot 108 = 48\\]\n\n**Obliczam odległość \\(|SB|\\):**\n\\[|SB|^2 = (-6)^2 + 3^2 + 3^2 = 36 + 9 + 9 = 54\\]\n\n**Twierdzenie Pitagorasa** w trójkącie \\(SBP\\) (kąt prosty przy \\(P\\)):\n\\[h^2 = |SB|^2 - |BP|^2 = 54 - 48 = 6\\]\n\n\\[\\boxed{h = \\sqrt{6}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - przekątna przestrzenna sześcianu (wynika z wielokrotnego Pitagorasa):\n\\[d = a\\sqrt{3}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(|BH| = 6\\sqrt{3}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - Twierdzenie Pitagorasa, s. 15)**:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nW Sposobie 2: z trójkąta prostokątnego \\(SBP\\) wyznaczyliśmy \\(h^2 = |SB|^2 - |BP|^2\\).\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - długość odcinka (wzór rozszerzony na 3D):\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia \\(|SB|\\), \\(|BH|\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(S\\) to środek ściany \\(ADHE\\) - przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc \\(S = (0, 3, 3)\\). Nie myląc: \\(S\\) leży na ścianie, nie wewnątrz sześcianu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(BH\\) to przekątna **przestrzenna** sześcianu (długość \\(6\\sqrt{3}\\)), nie krawędziowa ani ścienna. Łatwo się pomylić i wziąć długość przekątnej ściany \\(6\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(h = \\frac{2P}{a}\\) (wysokość trójkąta = podwójne pole przez podstawę) działa w każdym trójkącie - to jest najprostszy sposób, gdy pole łatwo wyliczyć (np. przez iloczyn wektorowy), a bezpośrednie rzutowanie byłoby żmudne.\n\n### Analiza zadania\nSześcian o krawędzi \\(6\\). \\(S\\) - środek przekątnych ściany \\(ADHE\\). Szukamy wysokości \\(SP\\) w trójkącie \\(SBH\\) (P - spodek na \\(BH\\)).\n\n### Obliczenia pomocnicze\n\\(|AH|=6\\sqrt{2}\\) (przekątna ściany, więc \\(|HS|=3\\sqrt{2}\\)).\n\\(|BH|=6\\sqrt{3}\\) (przekątna sześcianu, karta wzorów dział IX: \\(d=a\\sqrt{3}\\)).\n\\(|AB|=6\\).\n\n### Sposób 1 - podobieństwo trójkątów\nTrójkąt \\(AHB\\) jest prostokątny w \\(A\\) (bo \\(AB\\perp\\) ścianę \\(ADHE\\)). Obliczmy pole:\n\\[P_{\\triangle AHB}=\\dfrac{1}{2}|AH|\\cdot|AB|=\\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\sqrt{2}\\cdot 6=18\\sqrt{2}\\]\n\nTrójkąt \\(HSB\\) ma podstawę \\(|SH|=\\dfrac{1}{2}|AH|=3\\sqrt{2}\\) (bo \\(S\\) to środek). Ponieważ \\(AB\\perp\\) ścianę \\(ADHE\\), to \\(AB\\perp SH\\), czyli \\(SH\\perp AB\\):\n\\[P_{\\triangle HSB}=\\dfrac{1}{2}|HS|\\cdot|AB|=\\dfrac{1}{2}\\cdot 3\\sqrt{2}\\cdot 6=9\\sqrt{2}\\]\n\nZ drugiej strony: \\(P_{\\triangle HSB}=\\dfrac{1}{2}|BH|\\cdot|SP|\\), więc:\n\\[9\\sqrt{2}=\\dfrac{1}{2}\\cdot 6\\sqrt{3}\\cdot|SP|\\]\n\\[|SP|=\\dfrac{9\\sqrt{2}}{3\\sqrt{3}}=\\dfrac{3\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}=\\sqrt{6}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(|SP|=\\sqrt{6}\\).**\n\n### Sposób 2 - przez cosinus kąta\nW trójkącie \\(HAB\\) prostokątnym w \\(A\\):\n\\(\\cos\\angle SHP=\\cos\\angle AHB=\\dfrac{|AH|}{|BH|}=\\dfrac{6\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}=\\dfrac{\\sqrt{6}}{3}\\)\n\nW trójkącie \\(HSP\\) prostokątnym w \\(P\\):\n\\(\\cos\\angle SHP=\\dfrac{|HP|}{|HS|}\\Rightarrow |HP|=|HS|\\cdot\\dfrac{\\sqrt{6}}{3}=3\\sqrt{2}\\cdot\\dfrac{\\sqrt{6}}{3}=2\\sqrt{3}\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w \\(HSP\\):\n\\(|SP|^{2}=|HS|^{2}-|HP|^{2}=18-12=6\\Rightarrow|SP|=\\sqrt{6}\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- 4 pkt - poprawna metoda i wynik \\(\\sqrt{6}\\).\n- 3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą, np. \\(\\dfrac{|SP|}{6}=\\dfrac{3\\sqrt{2}}{6\\sqrt{3}}\\), lub obliczenie \\(|HP|=2\\sqrt{3}\\).\n- 2 pkt - obliczenie \\(|HS|=3\\sqrt{2}\\), \\(|HB|=6\\sqrt{3}\\), \\(|SB|=3\\sqrt{6}\\) albo obliczenie pola \\(HAB=18\\sqrt{2}\\).\n- 1 pkt - obliczenie \\(|BH|=6\\sqrt{3}\\), \\(|SR|=3\\), \\(|HS|=3\\sqrt{2}\\) albo \\(|BS|=3\\sqrt{6}\\).\n- **Uwaga CKE**: Niepoprawne stosowanie \\(\\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+y\\) lub błąd Pitagorasa - max \\(2\\) pkt.\n\n**Trik:** W sześcianie krawędź boczna (tu \\(AB\\)) jest zawsze prostopadła do ściany (tu \\(ADHE\\)), więc \\(AB\\perp\\) każdy odcinek leżący w tej ścianie - to upraszcza liczenie pól metodą dwóch różnych podstaw.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m \\neq 2\\), dla których równanie\n\\[x^{2} + 4x - \\frac{m-3}{m-2} = 0\\]\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \\(x_{1}\\), \\(x_{2}\\) spełniające warunek \\(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > -28\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m \\in \\left(\\dfrac{11}{5},\\, \\dfrac{9}{4}\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + warunek na deltę\n\n### Dane wyjściowe\n\nRównanie: \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\), gdzie \\(m \\neq 2\\).\n\nOznaczmy \\(a = 1,\\; b = 4,\\; c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\).\n\n### Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))\n\n\\[\n\\Delta = b^2 - 4ac = 16 - 4 \\cdot 1 \\cdot \\left(-\\frac{m-3}{m-2}\\right) = 16 + \\frac{4(m-3)}{m-2} > 0\n\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\n\\[\n\\frac{16(m-2) + 4(m-3)}{m-2} > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{20m - 44}{m-2} > 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad \\frac{5m - 11}{m-2} > 0\n\\]\n\nAnaliza znaków:\n\n| | \\(m < 2\\) | \\(2 < m < \\frac{11}{5}\\) | \\(m > \\frac{11}{5}\\) |\n| \\(5m-11\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(m-2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| Iloraz | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n\n**Warunek 1:** \\(m < 2\\) lub \\(m > \\dfrac{11}{5}\\).\n\n### Krok 2: Wzory Viète'a\n\nZ równania \\(x^2 + 4x - \\dfrac{m-3}{m-2} = 0\\):\n\n\\[\nx_1 + x_2 = -4, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = -\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{3-m}{m-2}\n\\]\n\n### Krok 3: Wyznaczenie \\(x_1^3 + x_2^3\\)\n\nUżywamy tożsamości algebraicznej:\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = (-4)^3 - 3 \\cdot \\frac{3-m}{m-2} \\cdot (-4) = -64 + \\frac{12(3-m)}{m-2}\n\\]\n\n### Krok 4: Warunek \\(x_1^3 + x_2^3 > -28\\)\n\n\\[\n-64 + \\frac{12(3-m)}{m-2} > -28\n\\]\n\n\\[\n\\frac{12(3-m)}{m-2} > 36 \\qquad \\Big| : 12\n\\]\n\n\\[\n\\frac{3-m}{m-2} > 3\n\\]\n\n\\[\n\\frac{3-m}{m-2} - 3 > 0 \\qquad\\Longrightarrow\\qquad \\frac{3-m - 3(m-2)}{m-2} > 0 \\qquad\\Longrightarrow\\qquad \\frac{9 - 4m}{m-2} > 0\n\\]\n\nAnaliza znaków:\n\n| | \\(m < 2\\) | \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\) | \\(m > \\frac{9}{4}\\) |\n| \\(9-4m\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n| \\(m-2\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| Iloraz | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) |\n\n**Warunek 2:** \\(2 < m < \\dfrac{9}{4}\\).\n\n### Krok 5: Część wspólna warunków\n\nSzukamy \\(m\\) spełniającego jednocześnie Warunek 1 i Warunek 2:\n\n\\[\n\\underbrace{\\left(m < 2 \\;\\text{ lub }\\; m > \\tfrac{11}{5}\\right)}_{\\Delta > 0} \\quad\\text{AND}\\quad \\underbrace{2 < m < \\tfrac{9}{4}}_{\\text{warunek na } x_1^3+x_2^3}\n\\]\n\n- \\(m < 2\\) nie ma wspólnej części z \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\)\n- \\(m > \\frac{11}{5}\\) przekrojone z \\(2 < m < \\frac{9}{4}\\): \\(\\quad \\frac{11}{5} < m < \\frac{9}{4}\\)\n\n\\[\n\\boxed{m \\in \\left(\\frac{11}{5},\\; \\frac{9}{4}\\right)}\n\\]\n\nczyli \\(2{,}2 < m < 2{,}25\\).\n\n## Sposób 2 - weryfikacja na granicy + sprawdzenie przykładowego punktu\n\nSprawdzamy, że przedział jest poprawnie wyznaczony.\n\n**Granica lewa \\(m = \\frac{11}{5}\\):**\n\n\\[\n\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{\\frac{11}{5}-3}{\\frac{11}{5}-2} = \\frac{-\\frac{4}{5}}{\\frac{1}{5}} = -4\n\\]\n\nRównanie: \\(x^2 + 4x + 4 = 0\\), czyli \\((x+2)^2 = 0\\) - **jeden pierwiastek** (\\(\\Delta = 0\\)). Słusznie wykluczone.\n\n**Granica prawa \\(m = \\frac{9}{4}\\):**\n\n\\[\n\\frac{m-3}{m-2} = \\frac{\\frac{9}{4}-3}{\\frac{9}{4}-2} = \\frac{-\\frac{3}{4}}{\\frac{1}{4}} = -3\n\\]\n\n\\(x_1 x_2 = 3,\\quad x_1+x_2 = -4\\)\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = -64 + 12 \\cdot 3 = -64 + 36 = -28\n\\]\n\nWarunek wymaga \\(> -28\\), tu jest \\(= -28\\). Słusznie wykluczone.\n\n**Punkt wewnętrzny \\(m = \\frac{9}{5} \\cdot \\frac{1}{2}(\\frac{11}{5}+\\frac{9}{4})\\) weźmy \\(m = \\frac{89}{40} = 2{,}225\\):**\n\n\\(x_1 x_2 = \\frac{3-m}{m-2} = \\frac{3-2{,}225}{0{,}225} = \\frac{0{,}775}{0{,}225} \\approx 3{,}44\\)\n\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 \\approx -64 + 12 \\cdot 3{,}44 = -64 + 41{,}3 = -22{,}7 > -28 \\checkmark\n\\]\n\n\\(\\Delta = 16 + 4 \\cdot 3{,}44 - 4 \\cdot \\) - sprawdzamy bezpośrednio: \\(\\Delta = 16 - 4(-3{,}44) = 16+13{,}76 > 0 \\checkmark\\)\n\nWynik potwierdzony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i warunek dwóch pierwiastków:\n\\[\n\\Delta = b^2 - 4ac > 0 \\iff \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\n\\]\nUżyte w Kroku 1 do wyznaczenia warunku na \\(m\\).\n\n**Dział 7 (s. 9)** - wzory Viète'a:\n\\[\nx_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\n\\]\nKluczowe w Kroku 2 - bez nich musielibyśmy rozwiązywać równanie z parametrem.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - tożsamość algebraiczna:\n\\[\nx_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)\n\\]\n(wnioskowana ze wzoru \\(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\\) i wzoru na \\((a+b)^3\\)) - użyta w Kroku 3.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o warunku \\(\\Delta > 0\\) i odpowiadać tylko na pytanie o \\(x_1^3+x_2^3\\). Zadanie wymaga **jednoczesnego** spełnienia obu warunków - zawsze rób przekrój!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorach Viète'a \\(x_1 x_2 = \\frac{c}{a}\\), a tutaj \\(c = -\\dfrac{m-3}{m-2}\\) (uwaga na znak minus przed ułamkiem!). To najczęstsze miejsce błędu przy odczytywaniu \\(c\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu nierówności \\(\\frac{9-4m}{m-2} > 0\\) - **nie mnożymy przez \\((m-2)\\)** bez analizy znaku! Zawsze rozbijamy na przypadki lub używamy tablicy znaków.\n\n### Analiza zadania\nRównanie kwadratowe \\(x^{2}+4x-\\dfrac{m-3}{m-2}=0\\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy \\(\\Delta>0\\). Następnie wykorzystamy wzory Viète'a (karta wzorów, dział III):\n\\[x_{1}+x_{2}=-4,\\quad x_{1}x_{2}=-\\dfrac{m-3}{m-2}\\]\n\n### I etap - warunek \\(\\Delta>0\\)\n\\[\\Delta=16-4\\cdot\\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right)=16+\\dfrac{4(m-3)}{m-2}>0\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika:\n\\[\\dfrac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}=\\dfrac{16m-32+4m-12}{m-2}=\\dfrac{20m-44}{m-2}>0\\]\n\n\\((20m-44)(m-2)>0\\), czyli \\(20\\left(m-\\dfrac{11}{5}\\right)(m-2)>0\\).\n\nMiejsca zerowe: \\(m=\\dfrac{11}{5}\\) oraz \\(m=2\\).\n\nPierwszy warunek: \\(m\\in(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\).\n\n### II etap - warunek \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\\)\nKorzystamy ze wzoru \\(a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)\\):\n\\[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})\\]\n\\[=(-4)^{3}-3\\cdot\\left(-\\dfrac{m-3}{m-2}\\right)\\cdot(-4)=-64-12\\cdot\\dfrac{m-3}{m-2}\\]\n\nWarunek \\(>-28\\):\n\\[-64-\\dfrac{12(m-3)}{m-2}>-28\\]\n\\[-\\dfrac{12(m-3)}{m-2}>36\\]\n\\[\\dfrac{m-3}{m-2}<-3\\]\n\\[\\dfrac{m-3}{m-2}+3<0\\]\n\\[\\dfrac{m-3+3(m-2)}{m-2}<0\\]\n\\[\\dfrac{4m-9}{m-2}<0\\]\n\\[(4m-9)(m-2)<0\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(m=\\dfrac{9}{4}\\) oraz \\(m=2\\).\n\nDrugi warunek: \\(m\\in\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)\\).\n\n### III etap - część wspólna\n\\[\\left[(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\right]\\cap\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)=\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\]\n\nSprawdzenie: \\(\\dfrac{11}{5}=2{,}2\\); \\(\\dfrac{9}{4}=2{,}25\\). Przedział \\((2{,}2; 2{,}25)\\) - niepusty.\n\n**Odpowiedź: \\(m\\in\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\).**\n\n### Sposób 2 - podstawienie \\(p=\\sqrt{\\frac{5m-11}{m-2}}\\)\nPierwiastki to \\(x_{1,2}=-2\\pm p\\). Wtedy \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(-2-p)^{3}+(-2+p)^{3}=-8(3p^{2}+4-?)\\) po rozwinięciu: \\(-16-12p^{2}\\). Warunek \\(-16-12p^{2}>-28\\Rightarrow p^{2}<1\\Rightarrow\\dfrac{5m-11}{m-2}<1\\), itd., prowadzi do tej samej odpowiedzi.\n\n### Uwagi o punktacji\n- Rozwiązanie składa się z **trzech etapów**.\n- I etap (1 pkt): poprawne rozwiązanie \\(\\Delta>0\\): \\(m\\in(-\\infty,2)\\cup\\left(\\dfrac{11}{5},+\\infty\\right)\\). Uwaga: \\(\\Delta\\geq 0\\) = \\(0\\) pkt.\n- II etap (3 pkt max): 3 pkt za rozwiązanie \\(m\\in\\left(2,\\dfrac{9}{4}\\right)\\); 2 pkt za zapisanie właściwej nierówności; 1 pkt za sprowadzenie do postaci pozwalającej bezpośrednio zastosować wzory Viète'a.\n- III etap (1 pkt): poprawna część wspólna \\(m\\in\\left(\\dfrac{11}{5},\\dfrac{9}{4}\\right)\\).\n- **Uwaga CKE**: Jeśli przyjmie \\(x_{1}+x_{2}=\\pm\\dfrac{m-3}{m-2}\\) lub \\(x_{1}x_{2}=\\pm 4\\), max II etap to \\(1\\) pkt, a III etap \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** Zawsze sprowadź \\(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\\) do symetrycznych wyrażeń we wzorach Viète'a: \\(s=x_{1}+x_{2}\\), \\(p=x_{1}x_{2}\\). Np. \\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=s^{3}-3ps\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy trójkąty \\(ABC\\), w których \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (m, 0)\\), gdzie \\(m \\in (4, +\\infty)\\), a wierzchołek \\(C\\) leży na prostej o równaniu \\(y = -2x\\). Na boku \\(BC\\) tego trójkąta leży punkt \\(D = (3, 2)\\).\n\na) Wykaż, że dla \\(m \\in (4, +\\infty)\\) pole \\(P\\) trójkąta \\(ABC\\), jako funkcja zmiennej \\(m\\), wyraża się wzorem\n\\[P(m) = \\frac{m^{2}}{m - 4}\\]\n\nb) Oblicz tę wartość \\(m\\), dla której funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą. Wyznacz równanie prostej \\(BC\\), przy której funkcja \\(P\\) osiąga tę najmniejszą wartość.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Część a)** Wzór $P(m) = \\dfrac{m^2}{m-4}$ - dowód poniżej.\n\n**Część b)** Minimum funkcji $P$ osiągane jest dla $\\mathbf{m = 8}$, minimalna wartość to $P(8) = 16$. Równanie prostej $BC$: $\\mathbf{2x + 5y - 16 = 0}$.\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie C z warunku kolinearności, pochodna do minimum\n\n### Część a) - dowód wzoru na pole\n\n**Krok 1: Wyznaczenie $C$.**\n\nWierzchołek $C$ leży na prostej $y = -2x$, więc $C = (t,\\, -2t)$ dla pewnego $t$.\n\nPunkt $D = (3, 2)$ leży na boku $BC$, gdzie $B = (m, 0)$. Trzy punkty $B, D, C$ muszą być współliniowe.\n\nParametryczna prosta przez $B = (m, 0)$ i $D = (3, 2)$ - wektor kierunkowy: $[3-m,\\; 2]$:\n\\[\\text{Punkt ogólny: } (m + s(3-m),\\; 2s)\\]\n\nDla punktu $C = (t, -2t)$:\n\\[2s = -2t \\implies s = -t\\]\n\\[t = m + (-t)(3-m) = m - 3t + mt\\]\n\nPrzenosimy $t$ na lewą stronę:\n\\[t + 3t - mt = m \\implies t(4-m) = m \\implies \\boxed{t = \\frac{m}{4-m} = -\\frac{m}{m-4}}\\]\n\nZatem:\n\\[C = \\left(-\\frac{m}{m-4},\\; \\frac{2m}{m-4}\\right)\\]\n\n**Sprawdzenie:** $-2 \\cdot \\left(-\\frac{m}{m-4}\\right) = \\frac{2m}{m-4}$ ✓ ($C$ leży na $y = -2x$)\n\nDla $m > 4$: $C_x < 0 < 3 < m$, więc $D$ faktycznie leży **między** $B$ i $C$. ✓\n\n**Krok 2: Obliczenie pola.**\n\nPodstawa trójkąta $ABC$: odcinek $AB$ na osi $Ox$, długość $|AB| = m$.\n\nWysokość z $C$ do osi $Ox$ (prostej $AB$):\n\\[h = |C_y| = \\frac{2m}{m-4} \\quad (> 0, \\text{ bo } m > 4)\\]\n\nPole:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\frac{2m}{m-4} = \\frac{m^2}{m-4}\\]\n\n**Co należało dowieść. $\\square$**\n\n### Część b) - minimum funkcji $P(m) = \\dfrac{m^2}{m-4}$\n\n**Krok 1: Pochodna.**\n\\[P'(m) = \\frac{2m(m-4) - m^2 \\cdot 1}{(m-4)^2} = \\frac{2m^2 - 8m - m^2}{(m-4)^2} = \\frac{m^2 - 8m}{(m-4)^2} = \\frac{m(m-8)}{(m-4)^2}\\]\n\n**Krok 2: Miejsca zerowe pochodnej.**\n\n$(m-4)^2 > 0$ zawsze, $m > 4 > 0$, więc $P'(m) = 0$ gdy $m - 8 = 0$:\n\\[m = 8\\]\n\n**Krok 3: Analiza znaku $P'$.**\n\n| Przedział | $m$ | $m-8$ | $P'(m)$ | Monotoniczność |\n| $(4, 8)$ | $+$ | $-$ | $-$ | malejąca |\n| $(8, +\\infty)$ | $+$ | $+$ | $+$ | rosnąca |\n\n$P$ maleje, potem rośnie → **minimum w $m = 8$**.\n\n\\[P(8) = \\frac{8^2}{8-4} = \\frac{64}{4} = \\mathbf{16}\\]\n\n**Krok 4: Równanie prostej $BC$ przy $m = 8$.**\n\nDla $m = 8$:\n\\[t = -\\frac{8}{8-4} = -\\frac{8}{4} = -2 \\implies C = (-2,\\; 4)\\]\n\nSprawdzenie: $y = -2 \\cdot (-2) = 4$ ✓\n\nProsta przez $B = (8, 0)$ i $C = (-2, 4)$:\n\\[a = \\frac{4-0}{-2-8} = \\frac{4}{-10} = -\\frac{2}{5}\\]\n\\[y - 0 = -\\frac{2}{5}(x - 8) \\implies y = -\\frac{2}{5}x + \\frac{16}{5}\\]\n\nMnożąc przez $5$:\n\\[\\boxed{2x + 5y - 16 = 0}\\]\n\n**Weryfikacja $D \\in BC$:** $2 \\cdot 3 + 5 \\cdot 2 - 16 = 6 + 10 - 16 = 0$ ✓\n\n## Sposób 2 - nierówność AM-GM do minimum (część b)\n\nDla $m > 4$ podstawiamy $u = m - 4 > 0$, czyli $m = u + 4$:\n\\[P = \\frac{(u+4)^2}{u} = \\frac{u^2 + 8u + 16}{u} = u + 8 + \\frac{16}{u}\\]\n\nStosujemy **nierówność AM-GM** do wyrazów $u$ i $\\dfrac{16}{u}$:\n\\[u + \\frac{16}{u} \\geq 2\\sqrt{u \\cdot \\frac{16}{u}} = 2\\sqrt{16} = 8\\]\n\nZatem:\n\\[P = u + \\frac{16}{u} + 8 \\geq 8 + 8 = 16\\]\n\nRówność zachodzi gdy $u = \\dfrac{16}{u}$, czyli $u^2 = 16$, $u = 4$ (bo $u > 0$).\n\n\\[u = 4 \\implies m = u + 4 = 8\\]\n\n**Minimum $P = 16$ dla $m = 8$** - ten sam wynik co Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWzór na pole trójkąta ze współrzędnych (alternatywnie):\n\\[P = \\frac{1}{2}|(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (y_B - y_A)(x_C - x_A)|\\]\nUżywamy prostszego faktu: $A, B$ na osi $Ox$ → wysokość $= |C_y|$.\n\nRównanie kierunkowe prostej $y = ax + b$ - wyznaczyliśmy prostą $BC$ ze współczynnikiem $a = -\\frac{2}{5}$.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)**\n\nReguła ilorazu:\n\\[\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do obliczenia $P'(m)$.\n\nPochodna $x^r$: $(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}$ - przy różniczkowaniu licznika $m^2$.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu $t$ łatwo się pomylić w kierunku: pamiętaj, że $m > 4$, więc $4 - m < 0$, a co za tym idzie $t < 0$, czyli $C$ leży po **lewej stronie** osi $Oy$. To jest poprawne - trójkąt istnieje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu pochodnej ilorazu $\\frac{m^2}{m-4}$ często uczniowie zapominają odjąć $1$ (pochodna mianownika) i piszą błędnie $P'(m) = \\frac{2m}{1} = 2m$. Zawsze sprawdź regułę ilorazu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 (AM-GM) nierówność $u + \\frac{16}{u} \\geq 8$ daje minimum tylko dla $u > 0$. Gdybyś zapomniał podstawić z powrotem $m = u + 4$, dostałbyś błędny wynik $m = 4$ - ale $m = 4$ jest poza dziedziną!\n\n### Analiza zadania\n\\(A=(0,0)\\), \\(B=(m,0)\\), \\(C\\) na prostej \\(y=-2x\\), \\(D=(3,2)\\) na odcinku \\(BC\\). Pole \\(P(m)=\\dfrac{1}{2}|AB|\\cdot h\\), gdzie \\(h\\) = wysokość z \\(C\\) na prostą \\(AB\\) (oś \\(OX\\)).\n\n### Część a) - dowód wzoru\n\n**Sposób 1.** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \\(BD\\) (bo \\(D\\in BC\\), więc \\(BD\\) = część \\(BC\\)):\n\\[a_{BD}=\\dfrac{2-0}{3-m}=\\dfrac{2}{3-m}\\]\n\nProsta \\(BD\\): \\(y=\\dfrac{2}{3-m}(x-m)\\).\n\nPunkt \\(C=(x_{C},y_{C})\\) jest przecięciem \\(BC\\) z \\(y=-2x\\):\n\\[\\dfrac{2}{3-m}(x_{C}-m)=-2x_{C}\\]\n\\[\\dfrac{2(x_{C}-m)}{3-m}=-2x_{C}\\]\n\\[\\dfrac{x_{C}-m}{3-m}=-x_{C}\\]\n\\[x_{C}-m=-x_{C}(3-m)=-3x_{C}+mx_{C}\\]\n\\[x_{C}+3x_{C}-mx_{C}=m\\]\n\\[x_{C}(4-m)=m\\]\n\\[x_{C}=\\dfrac{m}{4-m}\\]\n\nWtedy \\(y_{C}=-2x_{C}=\\dfrac{-2m}{4-m}=\\dfrac{2m}{m-4}\\).\n\nPodstawa \\(|AB|=m\\), wysokość \\(h=|y_{C}|=\\left|\\dfrac{2m}{m-4}\\right|\\). Dla \\(m>4\\): \\(h=\\dfrac{2m}{m-4}\\).\n\n\\[P(m)=\\dfrac{1}{2}\\cdot m\\cdot\\dfrac{2m}{m-4}=\\dfrac{m^{2}}{m-4}\\]\n\nTo należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n### Część b) - minimum funkcji \\(P\\)\n\n**Sposób 1 - pochodna.**\nKorzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu (dział XIII):\n\\[P'(m)=\\dfrac{2m(m-4)-m^{2}\\cdot 1}{(m-4)^{2}}=\\dfrac{m^{2}-8m}{(m-4)^{2}}=\\dfrac{m(m-8)}{(m-4)^{2}}\\]\n\nMiejsca zerowe w \\((4,+\\infty)\\): \\(m=8\\) (bo \\(m=0\\notin(4,+\\infty)\\)).\n\nZnak pochodnej:\n- dla \\(m\\in(4,8)\\): \\(m>0\\), \\(m-8<0\\), mianownik \\(>0\\), więc \\(P'<0\\) (malejąca)\n- dla \\(m\\in(8,+\\infty)\\): \\(P'>0\\) (rosnąca)\n\nZatem \\(m=8\\) daje minimum globalne na \\((4,+\\infty)\\). Wartość najmniejsza:\n\\[P(8)=\\dfrac{64}{4}=16\\]\n\n**Wyznaczenie prostej \\(BC\\) dla \\(m=8\\).**\nDla \\(m=8\\): \\(B=(8,0)\\), \\(D=(3,2)\\). Prosta przez te punkty:\n\\[a_{BD}=\\dfrac{2-0}{3-8}=-\\dfrac{2}{5}\\]\n\\[y=-\\dfrac{2}{5}(x-8)=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(m=8\\); \\(y=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\).**\n\n**Sposób 2 - nierówność AM-GM.**\nPrzekształcamy: \\(\\dfrac{m^{2}}{m-4}=\\dfrac{(m-4)^{2}+8(m-4)+16}{m-4}=(m-4)+8+\\dfrac{16}{m-4}\\).\n\nDla \\(m>4\\), liczby \\(m-4\\) i \\(\\dfrac{16}{m-4}\\) są dodatnie. Z AM-GM:\n\\[(m-4)+\\dfrac{16}{m-4}\\geq 2\\sqrt{16}=8\\]\n\nz równością gdy \\((m-4)^{2}=16\\), czyli \\(m-4=4\\Rightarrow m=8\\).\n\nWięc \\(P(m)\\geq 8+8=16\\), równość dla \\(m=8\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **Część a) - 3 pkt**: 3 pkt za wyznaczenie \\(P(m)=\\dfrac{m^{2}}{m-4}\\); 2 pkt za wyznaczenie \\(x_{C}\\) lub \\(y_{C}\\); 1 pkt za wyznaczenie współczynnika kierunkowego \\(BD=\\dfrac{2}{3-m}\\).\n- **Część b) - 4 pkt**: 4 pkt za \\(y=-\\dfrac{2}{5}x+\\dfrac{16}{5}\\); 3 pkt za zbadanie znaku pochodnej i wyznaczenie \\(m=8\\); 2 pkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej; 1 pkt za wyznaczenie wzoru pochodnej.\n- **Uwagi CKE**: Akceptujemy monotoniczność opisaną słownie, graficznie lub strzałkami. Jeśli zdający nie ograniczy się do przedziału \\((4,+\\infty)\\), to za część b) max \\(3\\) pkt. Jeśli wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest najmniejsze, to max \\(3\\) pkt.\n\n**Trik:** Gdy funkcja ma postać \\(\\dfrac{m^{2}}{m-a}\\), można zawsze przedstawić ją jako \\((m-a)+2a+\\dfrac{a^{2}}{m-a}\\) i użyć AM-GM - to daje wynik błyskawicznie, bez pochodnej.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}