{"paper":{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":36,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba log9 27 + log9 3 jest równa\nA. 81\nB. 9\nC. 4\nD. 2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba √-27\n16\n3\n⋅√2\n3\njest równa\nA. (-3\n2)\nB. 3\n2\nC. 2\n3\nD. (-2\n3)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 1 sierpnia 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1698).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nCenę aparatu fotograficznego obniżono o 15%, a następnie - o 20% w odniesieniu do\nceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje 340 zł.\nPrzed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa\nA. 500 zł\nB. 425 zł\nC. 400 zł\nD. 375 zł","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wyrażenie (2𝑎-3)2 -(2𝑎+ 3)2 jest równe\nA. -24𝑎\nB. 0\nC. 18\nD. 16𝑎2 -24𝑎\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów\nrównań.\nWskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.\nA. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= -2𝑥+ 1\nB. { 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= -2𝑥-1\nC. { 𝑦= 𝑥-2\n𝑦= 2𝑥+ 1\nD. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.2) wykorzystuje interpretację\ngeometryczną układu równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n-2(𝑥+ 3) ≤2 -𝑥\n3\njest przedział\nA. (-∞, -4⟩\nB. (-∞, 4⟩\nC. ⟨-4, ∞)\nD. ⟨4, ∞)","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności stopnia\npierwszego z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nJednym z rozwiązań równania √3(𝑥2 -2)(𝑥+ 3) = 0 jest liczba\nA. 3\nB. 2\nC. √3\nD. √2\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.6) korzysta z własności iloczynu przy\nrozwiązywaniu równań typu\n𝑥(𝑥+ 1)(𝑥-7) = 0.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównanie\n(𝑥+1)(𝑥-1)2\n(𝑥-1)(𝑥+1)2 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązania.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie: -1.\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1.\nD. ma dokładnie dwa rozwiązania: -1 oraz 1.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓(𝑥) = (2𝑝-1)𝑥+ 𝑝 jest liczba (-4). Wtedy\nA. 𝑝= 4\n9\nB. 𝑝= 4\n7\nC. 𝑝= -4\nD. 𝑝= -4\n7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.2) […] posługuje się poznanymi metodami\nrozwiązywania równań do obliczenia, dla\njakiego argumentu funkcja przyjmuje daną\nwartość.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi\nliczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok\nprzedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓\nw układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦).\nLiczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki:\nA. 𝑎> 0 i 𝑏> 0.\nB. 𝑎> 0 i 𝑏< 0.\nC. 𝑎< 0 i 𝑏> 0.\nD. 𝑎< 0 i 𝑏< 0.\n𝑦\n𝑥\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n1\n1\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 11.-13.\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nnarysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór\nA. ⟨-6, 5⟩\nB. (-6, 5)\nC. (-3, 5⟩\nD. ⟨-3, 5⟩","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze\nA. ⟨-6, -3)\nB. ⟨-3, 1⟩\nC. (1, 2⟩\nD. ⟨2, 5⟩","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] maksymalne przedziały, w których\nfunkcja maleje […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 w przedziale ⟨-4, 1⟩ jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] wartość największą […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nJednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (-5). Pierwsza współrzędna\nwierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓, jest równa 3.\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. 11\nB. 1\nC. (-1)\nD. (-13)\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n-6\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2𝑛⋅(𝑛+ 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyraz 𝑎4 jest równy\nA. 64\nB. 40\nC. 48\nD. 80","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (27, 9, 𝑎-1) jest geometryczny.\nLiczba 𝑎 jest równa\nA. 3\nB. 0\nC. 4\nD. 2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW układzie współrzędnych zaznaczono kąt 𝛼\no wierzchołku w punkcie 𝑂= (0, 0). Jedno\nz ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią\npółosią 𝑂𝑥, a drugie przechodzi przez punkt\n𝑃= (-3, 1) (zobacz rysunek).\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 1\n√10\nB. (-3\n√10)\nC. (-3\n1)\nD. (-1\n3)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.1) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji […] tangens kątów\no miarach od 0° do 180°.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin4 𝛼+ sin2 𝛼 ⋅cos2 𝛼 jest równe\nA. sin2 𝛼\nB. sin6 𝛼⋅cos2 𝛼\nC. sin4 𝛼+ 1\nD. sin2 𝛼⋅(sin 𝛼+ cos 𝛼) ⋅(sin 𝛼-cos 𝛼)\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n𝑃= ሺ-3, 1ሻ\n𝛼\n𝑂\n2\n1\n-1\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂.\nKąt 𝐴𝐶𝑂 ma miarę 70° (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 20°\nC. 35°\nD. 40°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW rombie o boku długości 6√2 kąt rozwarty ma miarę 150°.\nIloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy\nA. 24\nB. 72\nC. 36\nD. 36√2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG10.8) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w […] rombach […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPrzez punkty 𝐴 i 𝐵, leżące na okręgu\no środku 𝑂, poprowadzono proste styczne\ndo tego okręgu, przecinające się\nw punkcie 𝐶 (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐴𝐶𝐵 jest równa\nA. 20°\nB. 35°\nC. 40°\nD. 70°\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝑂\n70°\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝑂 140°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.2) korzysta z własności stycznej do\nokręgu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym\n|𝐵𝐶| = 6. Miara kąta 𝐴𝐶𝐵 jest\nrówna 150° (zobacz rysunek).\nWysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczona z wierzchołka 𝐵 jest równa\nA. 3\nB. 4\nC. 3√3\nD. 4√3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= -1\n3 𝑥+ 2.\nProsta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez\npunkt 𝑃= (3, 5), gdy\nA. 𝑎= 3 i 𝑏= 4.\nB. 𝑎= -1\n3 i 𝑏= 4.\nC. 𝑎= 3 i 𝑏= -4.\nD. 𝑎= -1\n3 i 𝑏= 6.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa […] do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nDane są punkty 𝐾= (-3, -7) oraz 𝑆= (5, 3). Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐾𝐿. Wtedy\npunkt 𝐿 ma współrzędne\nA. (13, 10)\nB. (13, 13)\nC. (1, -2)\nD. (7, -1)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDana jest prosta o równaniu 𝑦= 2𝑥-3. Obrazem tej prostej w symetrii środkowej\nwzględem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu\nA. 𝑦= 2𝑥+ 3\nB. 𝑦= -2𝑥-3\nC. 𝑦= -2𝑥+ 3\nD. 𝑦= 2𝑥-3\n𝐵\n𝐴\n𝐶\n6\n150°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.7) znajduje obrazy niektórych figur\ngeometrycznych ([…] prostej […])\nw […] symetrii środkowej względem\npoczątku układu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma\ndługość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod\nkątem 𝛼 takim, że cos 𝛼=\n√2\n3 .\nDługość przekątnej tego graniastosłupa jest równa\nA. 15√2\nB. 45\nC. 5√2\nD. 10","answer":"B","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n9.1) rozpoznaje w graniastosłupach kąty\nmiędzy odcinkami […];\n9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna liczb 𝑥, 𝑦, 𝑧 jest równa 4.\nŚrednia arytmetyczna czterech liczb: 1 + 𝑥, 2 + 𝑦, 3 + 𝑧, 14, jest równa\nA. 6\nB. 9\nC. 8\nD. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.3) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko\ncyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest\nA. 53\nB. 2 ⋅43\nC. 2 ⋅34\nD. 35","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nW pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do\nliczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy 𝑊\n𝐾= 3\n5 .\nPodstawą tego ostrosłupa jest\nA. kwadrat.\nB. pięciokąt foremny.\nC. sześciokąt foremny.\nD. siedmiokąt foremny.\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.1) rozpoznaje graniastosłupy\ni ostrosłupy prawidłowe.\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝑥(𝑥-2) > 2𝑥2 -3\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nzapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (-3, 1) lub 𝑥∈(-3, 1)\nALBO\n- spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego -𝑥2 -2𝑥+ 3:\n𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = -3\nALBO\n- odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = -𝑥2 -2𝑥+ 3 i zapisanie miejsc zerowych\n𝑥1 = 1 oraz 𝑥2 = -3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n-3\n𝑥\n1\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż\npodany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.\n𝑥2 -2𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 𝑥2 -2𝑥> 0), to oznacza, że\nnie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈⟨-3, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (1, -3), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci -𝑥2 -2𝑥+ 3 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n-𝑥2 -2𝑥+ 3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 16\ni obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-3, 1) lub 𝑥∈(-3, 1), lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej:\n-3\n𝑥\n1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nPan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna\nrata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.\nOblicz kwotę pierwszej raty.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie pierwszej raty: 750 zł.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\ni zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1 (pierwszą ratą):\n2𝑎1 + 17 ⋅(-30)\n2\n⋅18 = 8910\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego\noraz zapisanie równania z niewiadomą 𝑎1:\n2𝑎1+17⋅30\n2\n⋅18 = 8910 i zapisanie, że 𝑎1 jest ostatnią ratą,\nALBO\n- zapisanie równania\n𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -2 ⋅30) + (𝑎1 -3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 -17 ⋅30) = 8910,\ngdzie 𝑎1 jest pierwszą ratą, lub równania\n𝑎1 + (𝑎1 + 30) + (𝑎1 + 2 ⋅30) + (𝑎1 + 3 ⋅30) + ⋯+ (𝑎1 + 17 ⋅30) = 8910\n(łącznie z zapisem, że 𝑎1 jest ostatnią ratą),\nALBO\n- zapisanie zależności między pierwszą (𝑎1) i ostatnią ratą (𝑎18), np.\n𝑎1 + 𝑎18 = 8910 ∶9 albo 𝑎18 = 𝑎1 -17 ⋅30 itp.,\nALBO\n- rozpatrzenie osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego o różnicy (-30) lub 30\ni zapisanie co najmniej pierwszego oraz ostatniego wyrazu tego ciągu, np.\n(𝑥, 𝑥-30, 𝑥-60, …, 𝑥-510) dla dowolnego 𝑥 (np. jak w sposobie V),\nALBO\n- zapisanie układu równań, z którego można obliczyć jedną z rat, np.\n𝑎9+𝑎10\n2\n= 495 i 𝑎10 = 𝑎9 -30.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 750 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozważa ciąg arytmetyczny o różnicy 𝑟= 30, obliczy 𝑎1 = 240 i nie\ninterpretuje 𝑎1 jako ostatniej raty, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę 8910 jako wyraz ciągu rat, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym 𝑆18 = 8910 i 𝑟= -30. Korzystamy ze\nwzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równanie\n2𝑎1 + 17 ⋅(-30)\n2\n⋅18 = 8910\nPrzekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy\n9(2𝑎1 -510) = 8910\n2𝑎1 -510 = 990\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób II\nPrzyjmujemy, że kolejne (licząc od końca) raty tworzą ciąg arytmetyczny, w którym\n𝑆18 = 8910 i 𝑟= 30. Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy równanie\n2𝑎1 + 17 ⋅30\n2\n⋅18 = 8910\nPrzekształcając to równanie równoważnie, otrzymujemy\n9(2𝑎1 + 510) = 8910\n2𝑎1 + 510 = 990\n𝑎1 = 240\nOstatnia rata była równa 240 zł.\nObliczamy wysokość pierwszej raty\n𝑎18 = 240 + 17 ⋅30 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób III\nKolejne kwoty, o które pomniejszana jest pierwsza rata, tworzą ciąg arytmetyczny, w którym\nróżnica jest równa 30. Wtedy osiemnasta rata jest mniejsza od pierwszej raty o kwotę\n(18 -1) ⋅30 = 510 zł.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd\n𝑎1 + (𝑎1 -30) + (𝑎1 -60) + (𝑎1 -90)+. . . +(𝑎1 -510) = 8910\n18𝑎1 -(30 + 60 + 90+. . . +510) = 8910\ngdzie suma siedemnastu liczb 30 + 60 + 90+. . . +510 jest równa\n30 + 510\n2\n⋅17 = 4590\nZatem\n18𝑎1 -4590 = 8910\n18𝑎1 = 13500\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób IV\nKolejne raty tworzą ciąg arytmetyczny, zatem\n𝑎1 + 𝑎18 = 𝑎2 + 𝑎17 = 𝑎3 + 𝑎16 =. . . = 𝑎9 + 𝑎10\nObliczamy wartość pojedynczej sumy\n𝑎1 + 𝑎18 = 8910: 9 = 990\nKorzystając ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, mamy\n𝑎1 + 𝑎1 -17 ⋅30 = 990\n2𝑎1 = 990 + 510\n𝑎1 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób V\nPrzyjmujemy, że pierwsza rata była równa 1000 zł. Wtedy kolejne raty są równe:\n970 zł, 940 zł, … , 490 zł.\nSuma wszystkich rat jest równa 13 410 zł i przewyższa kwotę z warunków zadania\no 4500 zł.\nObliczamy, o ile należy zmniejszyć każdą ratę:\n4500 ∶18 = 250\n1000 -250 = 750\nPierwsza rata była równa 750 zł.\nSposób VI\nKolejne raty są wyrazami osiemnastowyrazowego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) o różnicy\n𝑟= -30. Obliczymy dowolną ratę (np. dziewiątą), korzystając z własności tego ciągu:\n{(𝑎9 + 𝑎10) ⋅9 = 8910\n𝑎10 = 𝑎9 -30 {𝑎9 + 𝑎10 = 990\n𝑎9 -𝑎10 = 30\n2𝑎9 = 1020 𝑎9 = 510\nZatem\n𝑎1 = 𝑎9 -8 ⋅(-30) = 510 + 240 = 750","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci\n(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że\n(𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5)\nzmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 dla 𝑦= 2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑦2 -4𝑦+ (𝑥2 -2𝑥+ 5)\nzmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠1,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ na podstawie\nanalizy zbiorów wartości obu funkcji.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci\n(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5)\nzmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑦-4)2 bądź\nΔ = -4(𝑦-2)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego\nwyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑦2 + 16𝑦-16),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑦2 -4𝑦+ (𝑥2 -2𝑥+ 5)\nzmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(2𝑥-2)2 bądź\nΔ = -4(𝑥-1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku tego\nwyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -4𝑥2 + 8𝑥-4),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości\njednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 w sposób równoważny:\n𝑥2 -2𝑥+ 1 + 𝑦2 -4𝑦 + 4 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów\n(𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠1, więc (𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (𝑦-2)2 jest\nliczbą nieujemną, zatem suma (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 i otrzymujemy\n𝑥2 -2𝑥+ 𝑦2 -4𝑦+ 5 > 0.\nWyrażenie 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅(𝑦2 -4𝑦+ 5)\nΔ = 4 -4𝑦2 + 16𝑦-20\nΔ = -4(𝑦2 -4𝑦+ 4)\nΔ = -4(𝑦-2)2\nGdy 𝑦≠2, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) zmiennej 𝑥\nnie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem\nfunkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.\nGdy 𝑦= 2, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 1. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠1.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nnierówność 𝑥2 -2𝑥+ (𝑦2 -4𝑦+ 5) > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.\nSposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 do postaci\n𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie\nprzekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:\n𝑥2 -2𝑥+ 1 > -𝑦2 + 4𝑦-4 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ\nOtrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci\n(𝑥-1)2 > -(𝑦-2)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ\nRozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że\n𝑓(𝑥) = (𝑥-1)2 dla 𝑥≠1 oraz 𝑔(𝑦) = -(𝑦-2)2 dla 𝑦∈ℝ\nZbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓= (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔= (-∞, 0].\nZauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.\nTo oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nzachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).\nZatem nierówność 𝑥2 + 𝑦2 + 5 > 2𝑥+ 4𝑦 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej\n𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nTrójkąty prostokątne 𝑇1 i 𝑇2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇1 mają długości\n5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇2 ma długość 26.\nOblicz pole trójkąta 𝑇2.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie pola trójkąta 𝑇2: 𝑃2 = 120.\n1 pkt - wykorzystanie podobieństwa trójkątów i zapisanie układu równań/równania\npozwalającego obliczyć długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 , np.\n𝑎2\n𝑏2 = 12\n5 i 𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262, (12𝑥)2 + (5𝑥)2 = 262\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie stosunku pól trójkątów 𝑇1 i 𝑇2: 𝑃1\n𝑃2 = (\n|𝐵𝐶|\n26 )\n2\n(lub 𝑃2\n𝑃1 = ( 26\n|𝐵𝐶|)\n2\n) oraz\nobliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 13,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie skali podobieństwa trójkątów, np. 𝑘=\n|𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 2\n(lub 𝑘=\n|𝐵𝐶|\n|𝐸𝐹| = 1\n2),\nALBO\n- obliczenie/zapisanie długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2 : 10, 24,\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie układu\nrównań pozwalającego obliczyć długości 𝑎2, 𝑏2 przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\ni 13\n5 = 26\n𝑏2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nDługości przyprostokątnych trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 oznaczymy odpowiednio jako: 𝑎1, 𝑏1 oraz\n𝑎2, 𝑏2 . Z podobieństwa trójkątów 𝑇1 i 𝑇2 wynika, że stosunki odpowiednich boków są\nrówne:\n𝑎2\n𝑏2\n= 𝑎1\n𝑏1\ngdzie 𝑎1 = 12, 𝑏1 = 5\nZatem\n𝑎2\n𝑏2\n= 12\n5 więc 𝑏2 = 5\n12 𝑎2\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇2 mamy:\n𝑎2\n2 + 𝑏2\n2 = 262\n𝑎2\n2 + ( 5\n12)\n2\n𝑎2\n2 = 262\n169\n144 𝑎2\n2 = 262\n𝑎2 = √144\n169 ⋅26 = 24\nZatem 𝑏2 = 5\n12 ⋅24 = 10.\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅𝑎2 ⋅𝑏2 = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\nSposób II\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘= |𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy długości przyprostokątnych trójkąta 𝑇2:\n|𝐷𝐸| = 2 ⋅|𝐴𝐵| = 2 ⋅12 = 24\n|𝐷𝐹| = 2 ⋅|𝐴𝐶| = 2 ⋅5 = 10\nObliczamy pole trójkąta 𝑇2:\n𝑃2 = 1\n2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐷𝐹| = 1\n2 ⋅24 ⋅10 = 120\nSposób III\nOznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇1 przez 𝐴, 𝐵, 𝐶, gdzie 𝐵𝐶 jest przeciwprostokątną tego\ntrójkąta, |𝐴𝐵| = 12 i |𝐴𝐶| = 5. Oznaczamy wierzchołki trójkąta 𝑇2 przez 𝐷, 𝐸, 𝐹, gdzie\n𝐸𝐹 jest przeciwprostokątną tego trójkąta.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝑇1 mamy\n|𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2\n122 + 52 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 169\n|𝐵𝐶| = 13\nObliczamy skalę podobieństwa trójkąta 𝑇2 do trójkąta 𝑇1:\n𝑘=\n|𝐸𝐹|\n|𝐵𝐶| = 26\n13 = 2\nObliczamy pole 𝑃1 trójkąta 𝑇1:\n𝑃1 = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| = 1\n2 ⋅12 ⋅5 = 30\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n26\n5\n12\n𝐴\n𝐵\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystając z tego, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali\npodobieństwa, obliczamy pole 𝑃2 trójkąta 𝑇2:\n𝑃2\n𝑃1\n= 𝑘2\nZatem\n𝑃2 = 𝑘2 ⋅𝑃1 = 22 ⋅30 = 120","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nW kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷 punkty 𝐴= (-8, -2) oraz 𝐶= (0, 4) są końcami przekątnej.\nWyznacz równanie prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 tego kwadratu.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt.\nZasady oceniania\n2 pkt - wyznaczenie i zapisanie równania prostej zawierającej przekątną 𝐵𝐷 (w postaci\nrównania stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi) np. 𝑦= -4\n3 𝑥-13\n3 .\n1 pkt - obliczenie współrzędnej punktu 𝑆 oraz obliczenie współczynnika kierunkowego\nprostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania prostej 𝐴𝐶): 𝑆= (-4, 1) oraz 3\n4\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐷: (-4\n3),\nALBO\n- zapisanie równości |𝑃𝐴| = |𝑃𝐶| wynikającej z własności symetralnej (gdzie 𝑃 jest\npunktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶) lub zapisanie równania postaci\n√(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = √(𝑥-0)2 + (𝑦-4)2\nALBO\n- wyznaczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 (lub jednego z nich i punktu 𝑆),\nz wykorzystaniem punktów kratowych.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ przekątne w kwadracie dzielą się na połowy, szukamy środka odcinka 𝐴𝐶:\n𝑆= (𝑥𝐴+ 𝑥𝐶\n2\n, 𝑦𝐴+ 𝑦𝐶\n2\n) = (-8 + 0\n2\n, -2 + 4\n2\n) = (-4, 1)\nKorzystając ze wzoru (𝑦-𝑦𝐴)(𝑥𝐶-𝑥𝐴) -(𝑦𝐶-𝑦𝐴)(𝑥-𝑥𝐴) = 0, wyznaczamy równanie\nprostej 𝐴𝐶:\n(𝑦-(-2)) (0 -(-8)) -(4 -(-2))(𝑥-(-8)) = 0\n(𝑦+ 2) ⋅8 -6 ⋅(𝑥+ 8) = 0\n8𝑦= 6𝑥+ 32\n𝑦= 3\n4 𝑥+ 4\nProsta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐶, zatem jej współczynnik\nkierunkowy jest równy (-4\n3).\nObliczamy współczynnik 𝑏 równania kierunkowego prostej 𝐵𝐷, podstawiając do wzoru\n𝑦= -4\n3 𝑥+ 𝑏 współrzędne punktu 𝑆= (-4, 1):\n1 = -4\n3 ⋅(-4) + 𝑏\n𝑏= -13\n3\nProsta zawierająca przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma postać 𝑦= -4\n3 𝑥-13\n3 .\nUwaga:\nRównanie prostej, która zawiera przekątną 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷, można wyznaczyć\nz równości wynikającej z własności symetralnej odcinka 𝐴𝐶.\nNiech 𝑃= (𝑥, 𝑦) będzie punktem leżącym na symetralnej odcinka 𝐴𝐶.\nWtedy:\n|𝑃𝐴| = |𝑃𝐶|\n√(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = √(𝑥-0)2 + (𝑦-4)2\n(𝑥+ 8)2 + (𝑦+ 2)2 = (𝑥-0)2 + (𝑦-4)2\n𝑥2 + 16𝑥+ 64 + 𝑦2 + 4𝑦+ 4 = 𝑥2 + 𝑦2 -8𝑦+ 16\n12𝑦= -16𝑥-68 + 16\n𝑦= -4\n3 𝑥-13\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nZe zbioru ośmiu liczb {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po\njednej liczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych\nliczb jest podzielny przez 15.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\n35.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n64 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 8 ⋅8 lub sporządzenie tabeli o 64 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(3, 5), (5, 3), (6, 5), (5, 6), (5, 9), (9, 5),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa 1\n8 na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n64 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n64 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 6 lub 64 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych obrazuje tabela 8 × 8, co oznacza, że moc zbioru\nΩ jest równa 64.\nW tabeli zaznaczamy iloczyny podzielne przez 15.\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n2\n3\n×\n4\n5\n×\n×\n×\n6\n×\n7\n8\n9\n×\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 15, jest 6.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn\njest podzielny przez 15, jest równe 6\n64 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest\npodzielny przez 15.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 + 1\n8 ∙1\n8 = 6\n64\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n5\n3\n6\n9\n5\n5\n3\n5\n6\n9\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\n1\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nZbiór wszystkich zdarzeń elementarnych Ω to zbiór par uporządkowanych elementów ze\nzbioru 8-elementowego, zatem moc zbioru Ω jest równa |Ω| = 8 ⋅8 = 64.\nOznaczamy przez 𝐴 zdarzenie polegające na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest\npodzielny przez 15.\nWielokrotności liczby 15, które mogą być iloczynami elementów ze zbioru Ω, to 15, 30, 45.\nWyznaczamy iloczyny, które spełniają powyższy warunek:\n15 = 3 ⋅5 = 5 ⋅3 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (3, 5) oraz (5, 3),\n30 = 6 ⋅5 = 5 ⋅6 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (6, 5) oraz (5, 6),\n45 = 9 ⋅5 = 5 ⋅9 - dwa iloczyny - dwa zdarzenia elementarne: (9, 5) oraz (5, 9).\nSprzyjających zdarzeń elementarnych jest 6, więc 𝑃(𝐴) = 6\n64 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nPodstawą graniastosłupa prostego 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 jest trójkąt\nrównoramienny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, |𝐴𝐵| = 8.\nWysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐶, poprowadzona z wierzchołka 𝐶,\nma długość 3. Przekątna 𝐶𝐸 ściany bocznej tworzy\nz krawędzią 𝐶𝐵 podstawy 𝐴𝐵𝐶 kąt 60° (zobacz\nrysunek).\nOblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n60°\n8\n3\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n36.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków […], pól powierzchni\ni objętości graniastosłupów.\nZasady oceniania\n5 pkt - obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑃= 24 + 90√3\noraz obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑉= 60√3.\n4 pkt - obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑃= 24 + 90√3\nALBO\n- obliczenie objętości graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑉= 60√3.\n3 pkt - obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑃𝑝= 12 oraz obliczenie\nwysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝐻= 5√3.\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: |𝐵𝐶| = 5\noraz obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑃𝑝= 12\nALBO\n- obliczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝐻= 5√3.\n1 pkt - obliczenie długości krawędzi 𝐵𝐶 podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: |𝐵𝐶| = 5\nALBO\n- obliczenie pola podstawy graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: 𝑃𝑝= 12.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pole powierzchni całkowitej, przyjmuje, że:\na) wszystkie ściany boczne są przystającymi prostokątami\nlub\nb) graniastosłup ma 4 ściany boczne,\nlub\nc) graniastosłup ma jedną podstawę,\nale poprawnie obliczy objętość graniastosłupa, to może otrzymać 4 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) zinterpretowanie trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jako równoramiennego (ale nie równobocznego),\nw którym |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶| = 8\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje, że podstawa graniastosłupa jest trójkątem równobocznym i na\ntym opiera całe swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów (o ile nie nabył praw do innej\npunktacji).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia jak na rysunku.\nOznaczamy ℎ𝑝 - wysokość podstawy graniastosłupa, poprowadzona z wierzchołka 𝐶.\nPodstawą graniastosłupa jest trójkąt równoramienny o wysokości ℎ𝑝= 3 i długości\npodstawy 𝑎= |𝐴𝐵| = 8.\nObliczamy pole podstawy graniastosłupa 𝑃𝑝= 1\n2 ∙3 ∙8 = 12.\nKorzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczamy długość\nkrawędzi 𝐵𝐶:\n(1\n2 𝑎)\n2\n+ (ℎ𝑝)\n2 = |𝐵𝐶|2\n16 + 9 = |𝐵𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 25\n|𝐵𝐶| = 5\nKorzystając z definicji funkcji trygonometrycznej tangens\ndla kąta 𝐵𝐶𝐸, obliczamy wysokość 𝐻 (długość krawędzi 𝐵𝐸)\ngraniastosłupa:\ntg 60° =\n𝐻\n|𝐵𝐶|\n√3 = 𝐻\n5\nZatem 𝐻= 5√3.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n60°\n8\nℎ𝑝\n𝐻\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy pole powierzchni całkowitej graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹:\n𝑃= 𝑃𝑏+ 2𝑃𝑝= 2 ∙𝐻∙|𝐵𝐶| + |𝐴𝐵| ∙𝐻+ 2 ∙1\n2 ∙|𝐴𝐵| ∙ℎ𝑝= 2 ∙5√3 ∙5 + 8 ∙5√3 + 2 ∙12\n𝑃= 24 + 90√3\nObliczamy objętość 𝑉 graniastosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹:\n𝑉= 𝑃𝑝∙𝐻= 12 ∙5√3 = 60√3\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin główny 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n-𝑥2 -2𝑥+ 3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥2 -2𝑥> 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz wykorzystanie\npodobieństwa trójkątów i zapisanie związku między długościami przyprostokątnych\ntrójkąta 𝑇2 : 𝑐1 = 13 i 𝑎2\n𝑏2 = 12\n5\nALBO\n- obliczenie długości 𝑐1 przeciwprostokątnej trójkąta 𝑇1 oraz zapisanie równania\npozwalającego obliczyć długość jednej z przyprostokątnych trójkąta 𝑇2, np.\n𝑐1 = 13 i 13\n12 = 26\n𝑎2\n, 𝑐1 = 13 i 13\n5 = 26\n𝑏2\nZadanie 34.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐶 (lub zapisanie równania\nprostej 𝐴𝐶): 3\n4 .\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 64 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik 5\n64 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-maj-matura-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}