{"paper":{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":37,"source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 6100 + 6100 + 6100 + 6100 + 6100 + 6100 jest równa\nA. 6600\nB. 6101\nC. 36100\nD. 36600","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania (dodawanie,\nodejmowanie, mnożenie, dzielenie,\npotęgowanie, pierwiastkowanie,\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia log7 98 -log7 2 jest równa\nA. 7\nB. 2\nC. 1\nD. (-1)\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\n1 Komunikat o wymaganiach egzaminacyjnych obowiązujących w roku 2023 i 2024,\nhttps://www.gov.pl/web/edukacja-i-nauka/wymagania-egzaminacyjne-obowiazujace-na-egzaminie-maturalnym-w-\nroku-2023-i-2024\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występuje\ncyfra 2, jest\nA. 900\nB. 729\nC. 648\nD. 512","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wartość wyrażenia (3 + 4𝑎)2 -(3 -4𝑎)2 jest równa\nA. 32𝑎2\nB. 0\nC. 48𝑎\nD. 8𝑎2\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nDane są dwie przecinające się proste. Miary kątów utworzonych przez te proste zapisano za\npomocą wyrażeń algebraicznych (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie\nponiższego zdania było prawdziwe.\nUkładem równań, w którym zapisano prawidłowe zależności między miarami kątów\nutworzonych przez te proste, jest układ\nA. {(𝛼+ 𝛽) + 𝛽= 90°\n𝛼+ 𝛽= 2𝛼-𝛽\nB. {(𝛼+ 𝛽) + 𝛽= 180°\n𝛼+ 𝛽= 2𝛼-𝛽\nC. {(𝛼+ 𝛽) + 𝛽= 180°\n𝛽= 2𝛼-𝛽\nD. {𝛼+ 𝛽= 90°\n𝛽= 2𝛼-𝛽\nE. {𝛼+ 𝛽= 2𝛼-𝛽\n180° -(2𝛼-𝛽) = 𝛽\nF. {3𝛼+ 2𝛽= 360°\n2𝛼-𝛽= 2𝛽\n𝛼+ 𝛽\n𝛽\n2𝛼-𝛽\n\nMMAP-P0_100","answer":"BE","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów\noznaczonych, nieoznaczonych\ni sprzecznych.\nVIII.4) korzysta z własności kątów […].\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi: B i E.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna: B albo E.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nBE","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDany jest wielomian\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑘𝑥2 -12𝑥-7𝑘+ 12\ngdzie 𝑘 jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że liczba (-2) jest pierwiastkiem tego\nwielomianu.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑘 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 6\nD. 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej\nwzorem algebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie\n(4𝑥-6)(𝑥-2)2\n2𝑥(𝑥-1,5)(𝑥+ 6) = 0\nma w zbiorze liczb rzeczywistych\nA. dokładnie jedno rozwiązanie: 𝑥= 2.\nB. dokładnie dwa rozwiązania: 𝑥= 1,5, 𝑥= 2.\nC. dokładnie trzy rozwiązania: 𝑥= -6, 𝑥= 0, 𝑥= 2.\nD. dokładnie cztery rozwiązania: 𝑥= -6, 𝑥= 0, 𝑥= 1,5, 𝑥= 2.\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nSpośród rysunków A-D wybierz ten, na którym prawidłowo zaznaczono na osi\nliczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność:\n|𝒙+ 𝟏| ≤𝟐\nA.\nB.\nC.\nD.\n-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 𝑥\n-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 𝑥\n-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 𝑥\n-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 𝑥\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego, zaznacza przedziały na osi\nliczbowej;\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania i nierówności typu:\n|𝑥+ 4| = 5, |𝑥-2| < 3, |𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej 𝒏 liczba 𝒏𝟐+ 𝟐𝟎𝟐𝟑 jest podzielna\nprzez 𝟖.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n1 pkt - zapisanie liczby 𝑛 w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ , i przekształcenie\nwyrażenia (2𝑘+ 1)2 + 2023 do postaci sumy o składnikach podzielnych przez 8\n(lub do postaci iloczynu liczby 4 i liczby parzystej), np. 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024,\n4[𝑘(𝑘+ 1) + 506].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑛 będzie liczbą całkowitą nieparzystą. Wtedy 𝑛= 2𝑘+ 1 przy pewnym 𝑘∈ℤ, więc\n𝑛2 + 2023 = (2𝑘+ 1)2 + 2023 = 4𝑘2 + 4𝑘+ 1 + 2023 = 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024.\nJeżeli 𝑘 jest liczbą parzystą, to liczba 4𝑘(𝑘+ 1) jest podzielna przez 8 jako iloczyn\nliczby 4, liczby parzystej 𝑘 i liczby całkowitej 𝑘+ 1.\nJeżeli 𝑘 jest liczbą nieparzystą, to liczba 4𝑘(𝑘+ 1) jest podzielna przez 8 jako iloczyn\nliczby 4, liczby parzystej 𝑘+ 1 i liczby całkowitej 𝑘.\nLiczba 2024 jest podzielna przez 8, gdyż 2024 = 8 ⋅253.\nZatem liczba 4𝑘(𝑘+ 1) + 2024 jest podzielna przez 8 jako suma liczb podzielnych\nprzez 8. To kończy dowód.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"liczby_naturalne","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.\nDana jest funkcja kwadratowa 𝑓, której fragment\nwykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) na rysunku obok. Wierzchołek\nparaboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, oraz punkty\nprzecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych\nmają współrzędne całkowite.","answer":null,"answer_text":"1","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10.1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"10.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-2).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWykres funkcji 𝑔 przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n𝑦\n𝑥\n𝑔\n𝑦\n𝑥\n𝑔\n𝑦\n𝑥\n𝑔\n𝑦\n𝑥\n𝑔\n2\n2\n0\n2\n0\n2\n𝑦\n𝑥\n𝑓\n2\n0\n2\n2\n0\n2\n2\n0\n2\n\nMMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10.1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎), 𝑦= 𝑓(𝑥) + 𝑏 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10.2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"10.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.2. (0-1)\nWyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań\nnierówności:\n𝒇(𝒙) ≤𝟎","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały\nmonotoniczności, przedziały, w których\nfunkcja przyjmuje wartości większe (nie\nmniejsze) lub mniejsze (nie większe) od\ndanej liczby, największe i najmniejsze\nwartości funkcji (o ile istnieją) w danym\nprzedziale domkniętym oraz argumenty, dla\nktórych wartości największe i najmniejsze\nsą przez funkcję przyjmowane.\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\n(-∞, -1] ∪[3, +∞)\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":"$(-\\infty, -1] \\cup [3, +\\infty)$","image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-10.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/10.3","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"10.3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 10.3. (0-3)\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇 w postaci kanonicznej.\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.2.\n10.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli\nistnieje);\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne wyznaczenie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej i zapisanie wyniku:\n𝑓(𝑥) = -2(𝑥-1)2 + 8.\n2 pkt - poprawne odczytanie z wykresu współrzędnych punktu przecięcia paraboli z jedną\nz osi układu i poprawne podstawienie do równania 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 + 8: np.\n0 = 𝑎(-1 -1)2 + 8.\n1 pkt - poprawne odczytanie z wykresu współrzędnych wierzchołka paraboli i zapisanie\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 + 8.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞.\nOdczytujemy z wykresu funkcji 𝑓 współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑝= 1 oraz 𝑞= 8.\nZatem 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 + 8.\nZ wykresu odczytujemy jedno z miejsc zerowych funkcji 𝑓, np. 𝑥= -1. Ponieważ\n𝑓(-1) = 0, więc\n0 = 𝑎(-1 -1)2 + 8\n𝑎= -2\nWzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej: 𝑓(𝑥) = -2(𝑥-1)2 + 8.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-10.3.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nDana jest funkcja liniowa 𝑓 określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są liczbami\nrzeczywistymi. Wykres funkcji 𝑓 przedstawiono\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) na\nrysunku obok.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynniki 𝑎 i 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki\nA. 𝑎> 0 i 𝑏> 0.\nB. 𝑎> 0 i 𝑏< 0.\nC. 𝑎< 0 i 𝑏> 0.\nD. 𝑎< 0 i 𝑏< 0.\n𝑦\n𝑥\n𝑓\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFirma przeprowadziła badania rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny 𝑃 swojego produktu\nna liczbę 𝑄 kupujących ten produkt. Z badań wynika, że każdorazowe zwiększenie ceny\no 1 jednostkę powoduje spadek liczby kupujących o 3 jednostki. Ponadto przy cenie\nrównej 5 jednostek liczba kupujących jest równa 12 jednostek.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja, która opisuje zależność liczby kupujących ten produkt od jego ceny, ma wzór\nA. 𝑄= -0,9𝑃2 + 6,9\nB. 𝑄= -3𝑃+ 27\nC. 𝑃= -0,9𝑄2 + 6,9\nD. 𝑃= -3𝑄+ 27\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach;\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej i kwadratowej do interpretacji\nzagadnień geometrycznych, fizycznych itp.,\ntakże osadzonych w kontekście\npraktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.\nCzas 𝑇 półtrwania leku w organizmie to czas, po którym masa leku w organizmie zmniejsza się\no połowę - po przyjęciu jednorazowej dawki.\nPrzyjmij, że po przyjęciu jednej dawki masa 𝑚 leku w organizmie zmienia się w czasie\nzgodnie z zależnością wykładniczą\n𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\ngdzie:\n𝑚0 - masa przyjętej dawki leku\n𝑇 - czas półtrwania leku\n𝑡 - czas liczony od momentu przyjęcia dawki.\nW przypadku przyjęcia kilku(nastu) dawek powyższa zależność pozwala obliczyć, ile leku\npozostało w danym momencie w organizmie z każdej poprzednio przyjętej dawki. W ten\nsposób obliczone masy leku z przyjętych poprzednich dawek sumują się i dają informację\no całkowitej aktualnej masie leku w organizmie.\nPacjent otrzymuje co 4 dni o tej samej godzinie dawkę 𝑚0 = 100 mg leku L. Czas\npółtrwania tego leku w organizmie jest równy 𝑇= 4 doby.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"13.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWykres zależności masy 𝑀 leku L w organizmie tego pacjenta od czasu 𝑡, liczonego od\nmomentu przyjęcia przez pacjenta pierwszej dawki, przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n0\n4\n8\n12\n𝑀, mg\n𝑡, doby\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n0\n4\n8\n12\n𝑀, mg\n𝑡, doby\n\nMMAP-P0_100\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13.1 (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą tabel, wykresów,\nwzorów itp., również w sytuacjach\nwielokrotnego użycia tego samego źródła\ninformacji lub kilku źródeł jednocześnie;\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną, w tym ich wykresami, do\nopisu i interpretacji zagadnień związanych\nz zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"13.2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 13.2. (0-3)\nOblicz masę leku L w organizmie tego pacjenta tuż przed przyjęciem jedenastej\ndawki tego leku. Wynik podaj w zaokrągleniu do 𝟎, 𝟏 mg.\nZapisz obliczenia.\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n0\n4\n8\n12\n𝑀, mg\n𝑡, doby\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n0\n4\n8\n12\n𝑀, mg\n𝑡, doby\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.2 (0-3)\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia masy leku tuż przed przyjęciem jedenastej dawki\ni poprawny wynik: 99,9 mg.\n2 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na sumę początkowych kolejnych wyrazów ciągu\ngeometrycznego i zapisanie sumy w postaci 100 ⋅1\n2 ⋅\n1-(1\n2)\n10\n1-1\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - poprawne wyznaczenie mas leku, jakie pozostały w organizmie z poszczególnych\ndawek na moment przed przyjęciem jedenastej dawki:\n100 ⋅(1\n2)\n10\nmg, 100 ⋅(1\n2)\n9\nmg, 100 ⋅(1\n2)\n8\nmg, …, 100 ⋅(1\n2)\n1\nmg.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPacjent przyjmuje jedenastą dawkę leku po 40 dniach, licząc od momentu przyjęcia\npierwszej dawki.\nTuż przed przyjęciem jedenastej dawki leku w organizmie pacjenta znajduje się:\n100 ⋅(1\n2)\n10\nmg leku z pierwszej dawki,\n100 ⋅(1\n2)\n9\nmg leku z drugiej dawki,\n100 ⋅(1\n2)\n8\nmg leku z trzeciej dawki,\n⋮\n100 ⋅(1\n2)\n2\nmg leku z dziewiątej dawki,\n100 ⋅(1\n2)\n1\nmg leku z dziesiątej dawki.\nŁącznie w organizmie pacjenta znajduje się\n100 ⋅(1\n2)\n1\n+ 100 ⋅(1\n2)\n2\n+ … + 100 ⋅(1\n2)\n9\n+ 100 ⋅(1\n2)\n10\n= 100 ⋅1\n2 ⋅\n1 -(1\n2)\n10\n1 -1\n2\n= 100 (1 -(1\n2)\n10\n) ≈99,9 mg leku.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nKlient wpłacił do banku 20 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie\noszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 3% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo 2 latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest\nrówna\nA. 20 000 ∙(1,12)2\nB. 20 000 ∙2 ⋅1,03\nC. 20 000 ∙1,06\nD. 20 000 ∙(1,03)2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych z kapitalizacją\nroczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= -3𝑛+ 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nLiczby 2, (-1), (-4) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami\nciągu (𝑎𝑛).\nP\nF\n(𝑎𝑛) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej 5.\nP\nF\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.2.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.3) sprawdza, czy dany ciąg jest\narytmetyczny lub geometryczny.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"PF","image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 6, |𝐵𝐶| = 5, |𝐴𝐶| = 10.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCosinus kąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy (-0,65).\nP\nF\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest rozwartokątny.\nP\nF","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVII.3) stosuje twierdzenie cosinusów oraz\nwzór na pole trójkąta 𝑃= 1\n2 ∙𝑎∙𝑏∙sin 𝛾.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"PP","image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dany jest okrąg o środku\n𝑆= (2, -5 ) i promieniu 𝑟= 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie tego okręgu ma postać\nA. (𝑥-2)2 + (𝑦+ 5)2 = 9\nB. (𝑥+ 2)2 + (𝑦-5)2 = 3\nC. (𝑥-2)2 + (𝑦+ 5)2 = 3\nD. (𝑥+ 2)2 + (𝑦-3)2 = 9\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nOdcinki 𝐴𝐷 i 𝐵𝐶 przecinają się w punkcie 𝑂. W trójkątach 𝐴𝐵𝑂 i 𝑂𝐷𝐶 zachodzą\nzwiązki: |𝐴𝑂| = 5, |𝐵𝑂| = 3, |𝑂𝐶| = 10, |∡𝑂𝐴𝐵| = |∡𝑂𝐶𝐷| (zobacz rysunek).\nOblicz długość boku 𝑶𝑫 trójkąta 𝑶𝑫𝑪.\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n18.\nMaks. liczba pkt\n1\nUzyskana liczba pkt\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n𝐶\n10\n3\n5\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna metoda rozwiązania oraz zapisanie wyniku: |𝑂𝐷| = 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ |∡𝑂𝐴𝐵| = |∡𝑂𝐶𝐷| (z założenia), |∡𝐴𝑂𝐵| = |∡𝐶𝑂𝐷| (jako miary kątów\nwierzchołkowych) oraz |∡𝐴𝐵𝑂| = |∡𝐶𝐷𝑂| (z twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie),\nwięc trójkąty 𝐴𝐵𝑂 i 𝑂𝐷𝐶 są podobne na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów.\nZatem\n|𝐶𝑂|\n|𝐴𝑂| =\n|𝑂𝐷|\n|𝑂𝐵|\n10\n5 =\n|𝑂𝐷|\n3\n|𝑂𝐷| = 6\nDługość boku 𝑂𝐷 trójkąta 𝑂𝐷𝐶 jest równa 6.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"19","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-2)\nNa płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), dana jest prosta 𝑘\no równaniu 𝑦= -3𝑥+ 1.\nDokończ zdania. Wybierz odpowiedź spośród A-D oraz odpowiedź spośród E-H.\n19.1. Jedną z prostych równoległych do prostej 𝑘 jest prosta o równaniu\nA. 𝑦= 3𝑥+ 2\nB. 𝑦= -3𝑥+ 2\nC. 𝑦= 1\n3 𝑥+ 1\nD. 𝑦= -1\n3 𝑥+ 1\n19.2. Jedną z prostych prostopadłych do prostej 𝑘 jest prosta o równaniu\nE. 𝑦= 1\n3 𝑥+ 2\nF. 𝑦= -1\n3 𝑥+ 2\nG. 𝑦= 3𝑥+ 1\nH. 𝑦= -3𝑥+ 1","answer":"B, E","answer_text":"Zadanie 19. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład\nprzechodzenie przez dwa dane punkty,\nznany współczynnik kierunkowy,\nrównoległość lub prostopadłość do innej\nprostej, styczność do okręgu).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne dokończenia dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne dokończenie jednego zdania.\n0 pkt - odpowiedź całkowicie niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1. B 2. E","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wierzchołki\n𝐴= (-2, 1) i 𝐶= (4, 5) są końcami przekątnej tego kwadratu.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa\nA. 10\nB. 2√13\nC. 2√10\nD. 8\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nOdcinek 𝐴𝐵 jest średnicą okręgu o środku w punkcie 𝑂 i promieniu\n𝑟= 8 (zobacz rysunek). Cięciwa 𝐴𝐶 ma długość 8√3.\nDokończ zdanie.\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa\nA. 30°\nB. 45°\nC. 15°\nD. 60°","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych […].\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz 4 tg 𝛼= 3sin2 𝛼+ 3cos2 𝛼.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 3\n4\nB. 4\n3\nC. 1\n4\nD. 4\n𝐴\n𝑂\n𝐶\n𝐵\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nDane są dwa trójkąty podobne 𝐴𝐵𝐶 i 𝐾𝐿𝑀 o polach równych - odpowiednio - 𝑃 oraz 2𝑃.\nObwód trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równy 𝑥.\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nObwód trójkąta 𝐾𝐿𝑀 jest równy\nA.\n√2 ⋅𝑥,\nponieważ stosunek\nobwodów trójkątów\npodobnych jest równy\n1.\nkwadratowi stosunku pól tych trójkątów.\n2.\npierwiastkowi kwadratowemu ze stosunku\npól tych trójkątów.\nB.\n2𝑥,\n3.\nstosunkowi pól tych trójkątów.\n\nMMAP-P0_100","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do\nuzasadnienia poprawności\nrozwiązywania problemów, tworzenie\nciągu argumentów gwarantujących\npoprawność rozwiązania i skuteczność\nw poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami oraz między polami figur\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPunkty 𝐴 oraz 𝐵 leżą na okręgu o środku 𝑂. Proste 𝑘 i 𝑙 są styczne do tego okręgu\nw punktach - odpowiednio - 𝐴 i 𝐵. Te proste przecinają się w punkcie 𝑆 i tworzą kąt\no mierze 76° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝑂𝐵𝐴 jest równa\nA. 52°\nB. 26°\nC. 14°\nD. 38°\n𝐴\n76°\n𝑆\n𝐵\n𝑂\n𝑙\n𝑘\n\nMMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych;\nVIII.7) stosuje twierdzenia: Talesa,\nodwrotne do twierdzenia Talesa,\no dwusiecznej kąta oraz o kącie między\nstyczną a cięciwą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPowierzchnię boczną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego rozcięto wzdłuż krawędzi\nbocznej graniastosłupa i rozłożono na płaszczyźnie. Otrzymano w ten sposób prostokąt\n𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym bok 𝐵𝐶 odpowiada krawędzi rozcięcia (wysokości graniastosłupa).\nPrzekątna 𝐴𝐶 tego prostokąta ma długość 16 i tworzy z bokiem 𝐵𝐶 kąt o mierze 30°\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość krawędzi podstawy tego graniastosłupa jest równa\nA. 8\nB. 8√3\nC. 2√3\nD. 2\n𝐴\n30°\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n16\n\nMMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶. Punkty 𝐷, 𝐸 i 𝐹 są\nśrodkami - odpowiednio - krawędzi bocznych 𝐴𝑆, 𝐵𝑆 i 𝐶𝑆 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nStosunek objętości ostrosłupa 𝐷𝐸𝐹𝑆 do objętości ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝑆 jest równy\nA. 3 ∶4\nB. 1 ∶4\nC. 1 ∶8\nD. 3 ∶8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐹\n𝑆\n𝐸\n𝐷\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.5) wykorzystuje zależność między\nobjętościami graniastosłupów oraz\nostrosłupów podobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 (zobacz\nrysunek obok).\nNa którym z rysunków prawidłowo narysowano, oznaczono\ni podpisano kąt 𝜶 pomiędzy ścianą boczną 𝑨𝑪𝑭𝑫\ni przekątną 𝑨𝑬 ściany bocznej 𝑨𝑩𝑬𝑫 tego graniastosłupa?\nWybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nA. 𝛼= ∡𝐸𝐴𝐺\nB. 𝛼= ∡𝐸𝐴𝐷\nC. 𝛼= ∡𝐸𝐴𝐹\nD. 𝛼= ∡𝐸𝐴𝐶\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝛼\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝛼\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną;\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między odcinkami (np.\nkrawędziami, krawędziami i przekątnymi),\noblicza miary tych kątów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"28","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-3)\nW pojemniku znajdują się losy loterii fantowej ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi\nod 1000 do 9999. Każdy los, którego numer jest liczbą o sumie cyfr równej 3, jest\nwygrywający. Uczestnicy loterii losują z pojemnika po jednym losie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że pierwszy los\nwyciągnięty z pojemnika był wygrywający.\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n28.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Dostrzeganie regularności, podobieństw\noraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich\npoprawności.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n3 pkt - prawidłowa metoda obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i podanie\npoprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| =\n1\n900 .\n2 pkt - obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych i liczby wszystkich zdarzeń\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴: |Ω| = 9000, |𝐴| = 10.\n1 pkt - obliczenie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych:\n|Ω| = 9999 -999 = 9 000\nLUB\n- wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n1011, 1101, 1110, 1002, 1020, 1200, 2001, 2010, 2100, 3000\nLUB\n- obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 10.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ losy są ponumerowane kolejno od 1000 do 9999, więc początkowa liczba\nwszystkich losów na tej loterii jest równa 9999 -999 = 9000. Zatem |Ω| = 9000.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że pierwszy wylosowany z pojemnika los\nbył wygrywający. Wtedy\n𝐴= {1011, 1101, 1110, 1002, 1020, 1200, 2001, 2010, 2100, 3000}, więc |𝐴| = 10.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| =\n10\n9000 =\n1\n900\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom podstawowy)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"29","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-4)\nRozważamy wszystkie równoległoboki o obwodzie równym 200 i kącie ostrym o mierze 30°.\nPodaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego równoległoboku od\ndługości 𝒙 boku równoległoboku.\nOblicz wymiary tego z rozważanych równoległoboków, który ma największe pole, i oblicz\nto największe pole.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii podczas\nrozwiązywania zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\nZdający:\nXIII. rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia długości obu boków równoległoboku o największym\npolu oraz podanie prawidłowych wyników: 𝑎= 50, 𝑏= 50 oraz 𝑃(50) = 1250.\n3 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole 𝑃 równoległoboku w zależności od jednej\nzmiennej, wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej funkcji oraz prawidłowe obliczenie\nargumentu 𝑎𝑜𝑝𝑡 , dla którego funkcja pola osiąga wartość największą:\n𝑃(𝑎) = 𝑎∙(100 -𝑎) ∙1\n2 , 𝐷= (0, 100), 𝑎𝑜𝑝𝑡= 50.\n2 pkt - poprawne zapisanie wzoru na pole równoległoboku w zależności od jednej zmiennej:\n𝑃(𝑎) = 𝑎∙(100 -𝑎) ∙1\n2 .\n1 pkt - zapisanie wzoru na pole równoległoboku: 𝑃= 𝑎⋅𝑏∙sin 30°\nLUB\n- zapisanie związku między długościami boków równoległoboku: 2𝑎+ 2𝑏= 200.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑎 oraz 𝑏 długości boków\nrównoległoboku o obwodzie równym 200\ni kącie ostrym o mierze 30° (zobacz\nrysunek).\nPonieważ 2𝑎+ 2𝑏= 200 oraz 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc 𝑏= 100 -𝑎 i 𝑎∈(0, 100).\nWyznaczamy pole 𝑃 równoległoboku jako funkcję jednej zmiennej 𝑎:\n𝑃= 𝑎⋅𝑏⋅sin 30°\n𝑃(𝑎) = 𝑎⋅(100 -𝑎) ⋅1\n2\n𝑃(𝑎) = -1\n2 𝑎2 + 50𝑎\ndla 𝑎∈(0, 100).\n𝐶\n𝑎\n𝑏\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n30°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWykresem funkcji 𝑃(𝑎) jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Z własności\nfunkcji kwadratowej wynika, że funkcja 𝑃 może osiągnąć wartość największą w punkcie\nodpowiadającym wierzchołkowi paraboli, tj. dla argumentu 𝑎= -\n50\n2⋅(-1\n2) = 50. Ponieważ\n50 ∈(0, 100), więc funkcja 𝑃 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑎= 50. Wtedy\n𝑏= 100 -𝑎= 100 -50 = 50 oraz 𝑃(50) = 50 ⋅(100 -50) ⋅1\n2 = 1250.\nZ rozważanych równoległoboków największe pole - równe 1250 - ma ten, który jest\nrombem o boku długości 50.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"30","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.\nW pewnej grupie 100 uczniów przeprowadzono sondaż dotyczący dziennego czasu\nkorzystania z komputera. Wyniki sondażu przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej\npodano - wyrażony w godzinach - dzienny czas korzystania przez ucznia z komputera.\nNa osi pionowej przedstawiono liczbę uczniów, którzy dziennie korzystają z komputera przez\nokreślony czas.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/30.1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"30.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nMediana dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa\n2,25 godziny.\nP\nF\nPołowa z tej grupy uczniów korzysta dziennie z komputera przez mniej niż\n2,5 godziny.\nP\nF\n5\n21\n24\n26\n14\n6\n3\n1\n0\n5\n10\n15\n20\n25\n30\n1\n1,5\n2\n2,5\n3\n3,5\n4\n4,5\nDzienny czas korzystania z komputera (w godzinach)\nLiczba uczniów\n\nMMAP-P0_100","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 30.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią\nważoną, znajduje medianę i dominantę.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPP","solution":"PP","image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-30.1.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad/30.2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa","number":"30.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 30.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDominanta dziennego czasu korzystania przez ucznia z komputera jest równa\nA. 2,25 godziny.\nB. 2,50 godziny.\nC. 2,75 godziny.\nD. 1,50 godziny.\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 30.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną i średnią\nważoną, znajduje medianę i dominantę.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-podstawowa/zad-30.2.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"}]}