{"paper":{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":13,"source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-3)\nDane są liczby 𝑎= log2 3 oraz 𝑏= log3 7.\nWyraź 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟒𝟗 za pomocą liczb 𝒂 oraz 𝒃.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania (dodawanie,\nodejmowanie, mnożenie, dzielenie,\npotęgowanie, pierwiastkowanie,\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nI.1) (R) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie ciągu poprawnych przekształceń i wyrażenie log4 49 za pomocą\ndanych liczb 𝑎 oraz 𝑏: log4 49 = 𝑎⋅𝑏.\n2 pkt - zastosowanie do log3 4 wzoru na zamianę podstawy logarytmu i przekształcenie\nlog3 4 do postaci log3 4 =\n2\nlog2 3 .\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu i zapisanie log4 49 za\npomocą logarytmów o podstawie 3 z liczb naturalnych, np. log4 49 = log3 49\nlog3 4 ,\nlog4 49 = 2 ⋅log3 7\nlog3 4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy log4 49, stosując wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu, i otrzymujemy\n1 Komunikat o wymaganiach egzaminacyjnych obowiązujących w roku 2023 i 2024,\nhttps://www.gov.pl/web/edukacja-i-nauka/wymagania-egzaminacyjne-obowiazujace-na-egzaminie-maturalnym-w-\nroku-2023-i-2024\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlog4 49 = 2 ∙log4 7 = 2 ∙log3 7\nlog3 4 = 2 ∙log3 7\nlog2 4\nlog2 3\n= 2 ∙log3 7 ∙log2 3\nlog2 4 = 2 ∙log3 7 ∙log2 3\n2\nZatem\nlog4 49 = 2 ∙𝑏∙𝑎\n2 = 𝑎∙𝑏\nOdp. log4 49 = 𝑎⋅𝑏.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥2+3\n𝑥-1 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1.\nWyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie 𝑷= (-𝟑, -𝟑).\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\n2.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.2) (R) stosuje definicję pochodnej\nfunkcji, podaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.3) (R) oblicza pochodną funkcji\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia równania stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie\n𝑃= (-3, -3) i podanie prawidłowego wyniku: 𝑦= 3\n4 𝑥-3\n4 .\n2 pkt - podanie poprawnej interpretacji liczby 𝑓′(-3) jako współczynnika kierunkowego\nstycznej i obliczenie 𝑓′(-3): 𝑓′(-3) = 3\n4 .\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 𝑥2-2𝑥-3\n(𝑥-1)2 dla każdego 𝑥∈ℝ\\{1}.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥⋅(𝑥-1) -(𝑥2 + 3) ⋅1\n(𝑥-1)2\n= 𝑥2 -2𝑥-3\n(𝑥-1)2\ndla każdego 𝑥∈ℝ\\{1}.\nObliczamy współczynnik kierunkowy szukanej stycznej:\n𝑓′(-3) =\n(-3)2 -2 ⋅(-3) -3\n(-3 -1)2\n= 9 + 6 -3\n16\n= 3\n4\nZatem równanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃= (-3, -3) ma postać:\n𝑦= 3\n4 𝑥+ 𝑏\nObliczamy współczynnik 𝑏. Ponieważ punkt 𝑃 leży na prostej stycznej, więc\n-3 = 3\n4 ⋅(-3) + 𝑏. Stąd 𝑏= -3\n4 .\nRównanie stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃= (-3, -3) ma postać 𝑦= 3\n4 𝑥-3\n4 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"3","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-4)\nDany jest nieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma trzech początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 7, a suma 𝑆 wszystkich\nwyrazów tego ciągu jest równa 8.\nWyznacz wszystkie wartości 𝒏, dla których spełniona jest nierówność\n|𝑺-𝑺𝒏\n𝑺𝒏\n| < 𝟎, 𝟎𝟎𝟏\ngdzie 𝑺𝒏 oznacza sumę 𝒏 początkowych wyrazów ciągu (𝒂𝒏).\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nVI.2) (R) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ilorazu ciągu i poprawna metoda rozwiązania\nnierówności |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb naturalnych dodatnich oraz poprawny\nwynik: 𝑛> 9.\n3 pkt - zapisanie, że 1 -𝑞𝑛> 0 (albo 0 < 1 -𝑞𝑛< 1) i przekształcenie nierówności\n|𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 do postaci nierówności wymiernej z niewiadomą 𝑡 (𝑡= 𝑞𝑛), np.\n𝑡\n1-𝑡< 0,001, 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛< 0,001\nLUB\nprzekształcenie nierówności |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 do koniunkcji dwóch nierówności\nwymiernych z niewiadomą 𝑡 (𝑡= 𝑞𝑛), np. 𝑡\n1-𝑡> -0,001 i\n𝑡\n1-𝑡< 0,001 (albo: 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛< 0,001 i 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛> -0,001), i zapisanie, że nierówność\n𝑡\n1-𝑡> -0,001 jest spełniona dla każdej liczby 𝑡∈(0, 1) (analogicznie: zapisanie,\nże nierówność 𝑞𝑛\n1-𝑞𝑛> -0,001 jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej\ndodatniej 𝑛).\n2 pkt - obliczenie ilorazu 𝑞 ciągu (𝑎𝑛): 𝑞= 1\n2 .\n1 pkt - skorzystanie ze wzorów na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego\noraz sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i zapisanie równania\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑆⋅(1 -𝑞3)\nLUB\nzapisanie dwóch równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑞, wynikających z treści zadania,\nnp. 𝑎1 ⋅(1 + 𝑞+ 𝑞2) = 7 i 8 = 𝑎1\n1-𝑞 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ suma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) istnieje i jest różna od zera, więc 𝑎1 ≠0\ni iloraz 𝑞 tego ciągu spełnia warunek |𝑞| < 1.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\nKorzystamy ze wzorów na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego oraz na\nsumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i obliczamy iloraz 𝑞 ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 𝑎1 ∙1 -𝑞3\n1 -𝑞=\n𝑎1\n1 -𝑞⋅(1 -𝑞3) = 𝑆⋅(1 -𝑞3)\n7 = 8(1 -𝑞3)\n𝑞= 1\n2\nZatem 𝑆= 𝑎1 ⋅\n1\n1-1\n2\n= 2𝑎1 i 𝑆𝑛= 𝑎1 ⋅\n1-(1\n2)\n𝑛\n1-1\n2\n= 2𝑎1 ⋅[1 -(\n1\n2)\n𝑛\n]. Stąd, wobec 𝑎1 ≠0,\notrzymujemy 𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛\n2𝑎1-2𝑎1⋅[1-(1\n2)\n𝑛\n]\n2𝑎1⋅[1-(1\n2)\n𝑛\n]\n2𝑎1⋅(1\n2)\n𝑛\n2𝑎1⋅[1-(1\n2)\n𝑛\n] =\n(1\n2)\n𝑛\n1-(1\n2)\n𝑛 .\nRozwiązujemy nierówność |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb całkowitych dodatnich:\n|𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛\n| < 0,001\n(\n1\n2)\n𝑛\n1 -(\n1\n2)\n𝑛| < 0,001\nPonieważ 𝑞= 1\n2 ∈(0, 1), więc 1 -(1\n2)\n𝑛\n> 0. Zatem nierówność |\n(1\n2)\n𝑛\n1-(1\n2)\n𝑛| < 0,001\nmożemy przekształcić do postaci\n(1\n2)\n𝑛\n1-(1\n2)\n𝑛< 0,001. Stąd otrzymujemy dalej\n(1\n2)\n𝑛\n< 0,001 [1 -(1\n2)\n𝑛\n] /⋅2𝑛\n1 < 0,001(2𝑛-1)\n2𝑛> 1001\nPonieważ 29 = 512 i 210 = 1024, więc 𝑛> 9.\nRozwiązaniem nierówności |𝑆-𝑆𝑛\n𝑆𝑛| < 0,001 w zbiorze liczb całkowitych dodatnich są\nwszystkie liczby naturalne większe od 9.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"4","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-5)\nDane jest równanie\n(𝑥-6) ⋅[(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1] = 0\nz niewiadomą 𝑥 i parametrem 𝑚∈ℝ.\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których to równanie ma trzy różne\nrozwiązania rzeczywiste tego samego znaku.\nZapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n4.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania\n[…].\nZdający:\nIII.3) (R) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.5) (R) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę\nrozwiązań w zależności od parametrów,\npodaje warunki, przy których rozwiązania\nmają żądaną własność, i wyznacza\nrozwiązania w zależności od parametrów.\nZasady oceniania\n5 pkt - wyznaczenie części wspólnej rozwiązań warunków (W1)-(W5) i podanie poprawnego\nwyniku: 𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).\n4 pkt - zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz rozwiązanie\nwarunków (W1)-(W5):\n(W1) 𝑚≠2\n(W2) 𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(-2, +∞)\n(W3) 𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)\n(W4) 𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞)\n(W5) 𝑚≠11.\n3 pkt - rozwiązanie warunków (W2)-(W4):\n(W2) 𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(-2, +∞)\n(W3) 𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)\n(W4) 𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞).\n2 pkt - zapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz zapisanie warunków\nkoniecznych i dostatecznych na to, aby równanie (2) było równaniem kwadratowym,\nktóre ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dodatnie różne od liczby 6: 𝑚-2 ≠0\ni Δ > 0 i 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0 i 𝑥1 + 𝑥2 > 0 i (𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0\nLUB\nzapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz zapisanie warunków\n𝑥1 ⋅𝑥2 > 0 i 𝑥1 + 𝑥2 > 0 w zależności od parametru 𝑚: 𝑚+1\n𝑚-2 > 0\ni --4(𝑚+3)\n𝑚-2\n> 0\nLUB\nzapisanie, że dla 𝑚= 2 warunki zadania nie są spełnione oraz wyznaczenie tych\nwszystkich wartości parametru 𝑚, dla których wyróżnik ∆ trójmianu\n(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0 jest dodatni.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n1 pkt - zapisanie, że równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego\nznaku tylko wtedy, gdy równanie (2) ma dwa różne rozwiązania dodatnie różne od\nliczby 6.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że jednym z rozwiązań równania\n(𝑥-6) ⋅[(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1] = 0\n(1)\njest liczba 6. Zatem równanie (1) ma trzy różne rozwiązania rzeczywiste tego samego znaku\nwtedy i tylko wtedy, gdy równanie\n(𝑚-2)𝑥2 -4(𝑚+ 3)𝑥+ 𝑚+ 1 = 0\n(2)\nma dokładnie dwa różne rozwiązania dodatnie 𝑥1 , 𝑥2 takie, że 𝑥1 ≠6 i 𝑥2 ≠6.\nDla 𝑚= 2 równanie (2) przyjmuje postać -20𝑥+ 3 = 0 i ma tylko jedno rozwiązanie.\nPozostaje wyznaczyć te wartości parametru 𝑚, dla których warunki zadania są spełnione,\na równanie (2) jest kwadratowe, tj. wyznaczyć te wartości parametru, dla których spełnione\nsą jednocześnie następujące warunki:\n(W1) 𝑚-2 ≠0\n(W2) Δ > 0\n(W3) 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0\n(W4) 𝑥1 + 𝑥2 > 0\n(W5) (𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0\nRozwiązaniem warunku (W1) jest 𝑚≠2.\nRozwiązujemy nierówność Δ > 0:\n[-4(𝑚+ 3)]2 -4 ⋅(𝑚-2) ⋅(𝑚+ 1) > 0\n16𝑚2 + 96𝑚+ 144 -4𝑚2 + 4𝑚+ 8 = 0\n12𝑚2 + 100𝑚+ 152 > 0\n𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(-2, +∞)\nKorzystając ze wzorów Viète’a, rozwiązujemy warunek (W3):\n𝑥1 ⋅𝑥2 > 0\n𝑚+ 1\n𝑚-2 > 0\n(𝑚+ 1)(𝑚-2) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -1) ∪(2, +∞)\nKorzystając ze wzorów Viète’a, rozwiązujemy warunek (W4):\n𝑥1 + 𝑥2 > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n--4(𝑚+ 3)\n𝑚-2\n> 0\n(𝑚+ 3)(𝑚-2) > 0 ∧ 𝑚≠2\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(2, +∞)\nRozwiązujemy warunek (W5):\n(𝑚-2) ⋅62 -4 ⋅(𝑚+ 3) ⋅6 + 𝑚+ 1 ≠0\n13𝑚-143 ≠0\n𝑚≠11\nWyznaczamy część wspólną rozwiązań warunków (W1)-(W5) i otrzymujemy\n𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).\nRównanie (1) ma trzy różne rozwiązania tego samego znaku dla\n𝑚∈(-∞, -19\n3 ) ∪(2, 11) ∪(11, +∞).\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nUdowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych\nprzez 𝟒 jest liczbą podzielną przez 𝟑𝟔.\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, odróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nZdający:\nI.2) (R) przeprowadza proste dowody\ndotyczące podzielności liczb całkowitych\ni reszt z dzielenia nie trudniejsze niż dowód\nwłasności: jeśli liczba przy dzieleniu\nprzez 5 daje resztę 3, to jej trzecia potęga\nprzy dzieleniu przez 5 daje resztę 2.\nZasady oceniania\ndla sposobu 1.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 do postaci 3𝑎(𝑎2 + 2), gdzie\n𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4, i wykazanie, że liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) jest\npodzielna przez 4\nLUB\nprzekształcenie wyrażenia (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 do postaci 3𝑎(𝑎2 + 2), gdzie\n𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4, i wykazanie, że liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) jest\npodzielna przez 9.\n1 pkt - zapisanie sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4\nw postaci (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3, gdzie 𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną\nprzez 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla sposobu 2.\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego dowodu.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3 do postaci\n36 ⋅𝑃(𝑘) + 12 ⋅𝑄(𝑘), gdzie 𝑃 i 𝑄 są wielomianami o współczynnikach\ncałkowitych, np. 12(16𝑘3 + 24𝑘2 + 14𝑘+ 3),\n36(5𝑘3 + 8𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 12𝑘(𝑘2 + 2).\n1 pkt - zapisanie sumy sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4\nw postaci (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3, gdzie 𝑘∈ℤ.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nSumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać\nw postaci (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3, gdzie 𝑎 jest liczbą parzystą niepodzielną przez 4.\nPonieważ\n(𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 = 𝑎3 -3𝑎2 + 3𝑎-1 + 𝑎3 + 𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎+ 1 = 3𝑎(𝑎2 + 2),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nwięc liczba (𝑎-1)3 + 𝑎3 + (𝑎+ 1)3 jest podzielna przez 4 jako iloczyn liczby parzystej\n3𝑎 i liczby parzystej 𝑎2 + 2.\nJeżeli 𝑎= 3𝑘, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to 3𝑎(𝑎2 + 2) = 9𝑘(9𝑘2 + 2) jest liczbą podzielną\nprzez 9.\nJeżeli 𝑎= 3𝑘+ 1, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to 3𝑎(𝑎2 + 2) = 3(3𝑘+ 1)[(3𝑘+ 1)2 + 2] =\n= 3(3𝑘+ 1)(9𝑘2 + 6𝑘+ 3) = 9(3𝑘+ 1)(3𝑘2 + 2𝑘+ 1) jest liczbą podzielną przez 9.\nJeżeli 𝑎= 3𝑘+ 2, przy pewnym 𝑘∈ℤ, to liczba 3𝑎(𝑎2 + 2) =\n= 3(3𝑘+ 2)[(3𝑘+ 2)2 + 2] = 3(3𝑘+ 2)(9𝑘2 + 12𝑘+ 6) = 9(3𝑘+ 2)(3𝑘2 + 4𝑘+ 2)\njest liczbą podzielną przez 9.\nZatem suma sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest\npodzielna przez 9.\nPonieważ suma trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 jest liczbą\npodzielną przez 4 i przez 9 oraz liczby 4 i 9 są względnie pierwsze, więc ta suma jest\nliczbą podzielną przez 36.\nSposób 2.\nSumę sześcianów trzech kolejnych liczb całkowitych niepodzielnych przez 4 można zapisać\nw postaci (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3, gdzie 𝑘∈ℤ.\nPonieważ (4𝑘+ 1)3 + (4𝑘+ 2)3 + (4𝑘+ 3)3 =\n= 64𝑘3 + 48𝑘2 + 12𝑘+ 1 + 64𝑘3 + 96𝑘2 + 48𝑘+ 8 + 64𝑘3 + 144𝑘2 + 108𝑘+ 27 =\n= 192𝑘3 + 288𝑘2 + 168𝑘+ 36 = 12(16𝑘3 + 24𝑘2 + 14𝑘+ 3) =\n= 36(5𝑘3 + 8𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 12𝑘(𝑘2 + 2), więc wystarczy pokazać, że liczba 𝑘(𝑘2 + 2)\njest podzielna przez 3 dla każdego 𝑘∈ℤ.\nJeżeli 𝑘= 3𝑚, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = 3𝑚(9𝑚2 + 2) jest podzielna przez 3\njako iloczyn liczby 3 i liczby całkowitej 𝑚(9𝑚2 + 2).\nJeżeli 𝑘= 3𝑚+ 1, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = (3𝑚+ 1)[(3𝑚+ 1)2 + 2] =\n= (3𝑚+ 1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 3) = 3(3𝑚+ 1)(3𝑚2 + 2𝑚+ 1) jest podzielna przez 3 jako\niloczyn liczby 3 i liczby całkowitej (3𝑚+ 1)(3𝑚2 + 2𝑚+ 1).\nJeżeli 𝑘= 3𝑚+ 2, gdzie 𝑚∈ℤ, to liczba 𝑘(𝑘2 + 2) = (3𝑚+ 2)[(3𝑚+ 2)2 + 2] =\n(3𝑚+ 2)(9𝑚2 + 12𝑚+ 6) = 3(3𝑚+ 2)(3𝑚2 + 4𝑚+ 2) jest podzielna przez 3 jako\niloczyn liczby 3 i liczby całkowitej (3𝑚+ 2)(3𝑚2 + 4𝑚+ 2).\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"algebra","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"6","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.\nNa obrzeżach miasta znajduje się jezioro, na którym\npostanowiono stworzyć tor regatowy. Na podstawie\ndostępnych map wymodelowano w pewnej skali kształt\nlinii brzegowej jeziora w kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) za pomocą fragmentów\nwykresów funkcji 𝑓 oraz 𝑔 (zobacz rysunek).\nFunkcje 𝑓 oraz 𝑔 są określone wzorami 𝑓(𝑥) = 𝑥2\noraz 𝑔(𝑥) = -1\n2 (𝑥-1\n2)\n2\n+ 4.\nPoczątek toru postanowiono zlokalizować na brzegu jeziora w miejscu, któremu odpowiada\nw układzie współrzędnych punkt 𝑃= (-1, 1).","answer":null,"answer_text":"6","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/6.1","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"6.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.1. (0-2)\nNiech 𝑅 będzie punktem leżącym na wykresie funkcji 𝑔.\nWykaż, że odległość punktu 𝑹 od punktu 𝑷 wyraża się wzorem\n|𝑷𝑹| = √𝟏\n𝟒𝒙𝟒-𝟏\n𝟐𝒙𝟑-𝟏𝟑\n𝟖𝒙𝟐+ 𝟑𝟗\n𝟖𝒙+ 𝟓𝟗𝟑\n𝟔𝟒\ngdzie 𝒙 jest pierwszą współrzędną punktu 𝑹.\n0 1 𝑥\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝑦\n1\n𝑃\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.1. (0-2)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych;\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - doprowadzenie wyrażenia określającego długość odcinka 𝑃𝑅 do postaci\n√1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64 .\n1 pkt - przyjęcie 𝑅= (𝑥, -0,5(𝑥-0,5)2 + 4) (lub 𝑅= (𝑥, 𝑔(𝑥)) ) i zastosowanie wzoru\nna odległość dwóch punktów do wyznaczenia długości odcinka 𝑃𝑅:\n|𝑃𝑅| = √(𝑥+ 1)2 + (-0,5(𝑥-0,5)2 + 4 -1)2\n(lub |𝑃𝑅| = √(𝑥+ 1)2 + (𝑔(𝑥) -1)2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝑅∈𝑔, więc 𝑅= (𝑥, -0,5(𝑥-0,5)2 + 4). Zatem\n|𝑃𝑅| = √(𝑥-(-1))\n2 + (-0,5(𝑥-0,5)2 + 4 -1)2\nStosując wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, otrzymujemy\n|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + (-0,5(𝑥-0,5)2)2 + 2 ⋅(-0,5)(𝑥-0,5)2 ⋅3 + 9\n|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + 1\n4 (𝑥2 -𝑥+ 1\n4) (𝑥2 -𝑥+ 1\n4) -3 (𝑥2 -𝑥+ 1\n4) + 9\n|𝑃𝑅| = √𝑥2 + 2𝑥+ 1 + 1\n4 (𝑥4 -2𝑥3 + 3\n2 𝑥2 -1\n2 𝑥+ 1\n16) -3𝑥2 + 3𝑥-3\n4 + 9\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑃𝑅| = √1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64\nTo należało pokazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-6.1.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/6.2","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"6.2","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.2. (0-6)\nKoniec toru regatowego należy umieścić na linii brzegowej.\nOblicz współrzędne punktu 𝑲, w którym należy zlokalizować koniec toru, aby długość\ntoru (tj. odległość końca 𝑲 toru od początku 𝑷) była możliwie największa. Oblicz\ndługość najdłuższego toru.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka.\nPrzy rozwiązywaniu zadania możesz skorzystać z tego, że odległość dowolnego punktu 𝑅\nleżącego na wykresie funkcji 𝑔 od punktu 𝑃 wyraża się wzorem\n|𝑃𝑅| = √1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64\ngdzie 𝑥 jest pierwszą współrzędną punktu 𝑅.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.2.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.2. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\nZdający:\nXIII.3) (R) oblicza pochodną funkcji\npotęgowej o wykładniku rzeczywistym […];\nXIII.4) (R) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.5) (R) rozwiązuje zadania\noptymalizacyjne z zastosowaniem\npochodnej.\nZasady oceniania\n6 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i poprawne\nuzasadnienie, że funkcja 𝑑 przyjmuje wartość największą dla argumentu 𝑥= 3\n2 ,\nobliczenie współrzędnych punktu 𝐾 oraz długości |𝑃𝐾| toru: 𝐾= ( 3\n2 , 7\n2),\n|𝑃𝐾| = 5√2\n2 .\n5 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i uzasadnienie, że\nfunkcja 𝑘 przyjmuje wartość największą dla argumentu 𝑥= 3\n2\nLUB\npoprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑑 przyjmuje wartość największą dla argumentu\n𝑥= 3\n2 oraz obliczenie 𝑔(3\n2), oraz obliczenie 𝑑(3\n2): 𝑔(3\n2) = 7\n2 , 𝑑(3\n2) = 5√2\n2 .\n4 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i obliczenie miejsc\nzerowych pochodnej funkcji 𝑘: 𝑥= 3\n2\nLUB\nuzasadnienie, że funkcja 𝑘 przyjmuje wartość największą dla argumentu 𝑥= 3\n2 .\n3 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i wyznaczenie\npochodnej funkcji 𝑘: 𝑘′(𝑥) = 𝑥3 -3\n2 𝑥2 -13\n4 𝑥2 + 39\n8 dla 𝑥∈[1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n]\nLUB\nobliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑘: 𝑥= 3\n2 .\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n2 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔 i określenie dziedziny\nfunkcji 𝑑: 𝑥∈[1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n]\nLUB\nwyznaczenie pochodnej funkcji 𝑘: 𝑘′(𝑥) = 𝑥3 -3\n2 𝑥2 -13\n4 𝑥2 + 39\n8 dla\n𝑥∈[1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n].\n1 pkt - uzasadnienie, że punkt 𝐾 musi należeć do wykresu funkcji 𝑔\nLUB\nokreślenie dziedziny funkcji 𝑑: 𝑥∈[1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPokażemy najpierw, że optymalna lokalizacja końca toru regatowego musi znajdować się na\nlinii brzegowej określonej przez funkcję 𝑔.\nNiech 𝐴= (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) i 𝐵= (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) będą punktami przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔\n(zobacz rysunek).\nWspółrzędne każdego punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) leżącego na fragmencie paraboli (będącej\nwykresem funkcji 𝑓) pomiędzy punktami 𝐴 i 𝐵 spełniają nierówności\n|𝑥𝐶-𝑥𝑃| ≤|𝑥𝐵-𝑥𝑃| ∧ |𝑦𝐶-𝑦𝑃| ≤|𝑦𝐵-𝑦𝑃|\nwięc\n|𝑥𝐶-𝑥𝑃|2 + |𝑦𝐶-𝑦𝑃|2 ≤|𝑥𝐵-𝑥𝑃|2 + |𝑦𝐵-𝑦𝑃|2\n|𝑃𝐶|2 ≤|𝑃𝐵|2\n|𝑃𝐶| ≤|𝑃𝐵|\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n𝑦\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n0 1 𝑥\n1\n𝑃\n𝐵\n𝐴\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ 𝐵∈𝑔, więc optymalna lokalizacja końca toru musi znajdować się na linii\nbrzegowej określonej przez funkcję 𝑔.\nObliczamy pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔:\n𝑥2 = -0,5(𝑥-0,5)2 + 4\n3\n2 𝑥2 -1\n2 𝑥-31\n8 = 0\n12𝑥2 -4𝑥-31 = 0\n𝑥= 1 -√94\n6\n≈-1,45 ∨ 𝑥= 1 + √94\n6\n≈1,78\nZatem 𝑥𝐴= 1-√94\n6\noraz 𝑥𝐵= 1+√94\n6\nW celu wyznaczenia punktu, w którym należy umiejscowić koniec toru, rozpatrujemy\nfunkcję 𝑑 określoną wzorem\n𝑑(𝑥) = √1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64\ndla każdego 𝑥∈[1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n] i szukamy argumentu, dla którego funkcja ta osiąga\nwartość największą.\nFunkcja 𝑑 określa odległość punktu 𝑃 od punktu 𝑅 (leżącego na linii brzegowej\nokreślonej przez funkcję 𝑔) w zależności od pierwszej współrzędnej 𝑥 punktu 𝑅.\nTworzymy funkcję pomocniczą 𝑘 określoną wzorem\n𝑘(𝑥) = 1\n4 𝑥4 -1\n2 𝑥3 -13\n8 𝑥2 + 39\n8 𝑥+ 593\n64 dla 𝑥∈[1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n].\nObliczamy pochodną funkcji 𝑘:\n𝑘′(𝑥) = 𝑥3 -3\n2 𝑥2 -13\n4 𝑥2 + 39\n8\ni miejsca zerowe pochodnej:\n𝑥3 -3\n2 𝑥2 -13\n4 𝑥2 + 39\n8 = 0\n8𝑥3 -12𝑥2 -26𝑥+ 39 = 0\n4𝑥2(2𝑥-3) -13(2𝑥-3) = 0\n(4𝑥2 -13)(2𝑥-3) = 0\n𝑥= -√13\n2 ∨ 𝑥= √13\n2 ∨ 𝑥= 3\n2\nSpośród liczb (-\n√13\n2 ),\n√13\n2 , 3\n2 tylko liczba 3\n2 należy do przedziału [1-√94\n6\n, 1+√94\n6\n].\nZatem 𝑘′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 3\n2.\nPonieważ:\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n𝑘′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈[1-√94\n6\n, 3\n2) oraz\n𝑘′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(3\n2 , 1+√94\n6\n],\nwięc\nfunkcja 𝑘 jest rosnąca w zbiorze [1-√94\n6\n, 3\n2] oraz malejąca w zbiorze [3\n2 , 1+√94\n6\n].\nZatem funkcja 𝑘 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑥= 3\n2 .\nPonieważ funkcja ℎ(𝑡) = √𝑡 jest rosnąca w zbiorze [0, +∞), więc funkcja 𝑑 osiąga\nwartość największą dla tego samego argumentu, dla którego funkcja 𝑘 osiąga wartość\nnajwiększą.\nStąd wynika, że funkcja 𝑑 osiąga wartość największą dla argumentu 𝑥= 3\n2 .\nObliczamy współrzędne punktu 𝐾 oraz |𝑃𝐾|:\n𝑔(3\n2) = -0,5 (3\n2 -0,5)\n2\n+ 4 = 3,5\n𝐾= (3\n2 , 7\n2)\n|𝑃𝐾| = 𝑑(3\n2) = √(3\n2 + 1)\n2\n+ (7\n2 -1)\n2\n= 5√2\n2\nKoniec toru regatowego należy zlokalizować w punkcie, który odpowiada punktowi\n𝐾= ( 3\n2 , 7\n2). Największa możliwa długość toru regatowego jest równa 5√2\n2 (j).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-6.2.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) = 𝟐𝐬𝐢𝐧𝒙\nw zbiorze [𝟎, 𝝅].\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.5 (R) korzysta z wzorów na sinus,\ncosinus i tangens sumy i różnicy kątów,\na także na funkcje trygonometryczne kątów\npodwojonych;\nVII.6) (R) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne rozwiązanie równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 w zbiorze [0, 𝜋]:\n𝑥= 0 ∨ 𝑥= 1\n6 𝜋 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋 ∨ 𝑥= 𝜋.\n3 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci alternatywy\nrównań sin 𝑥= 1\n2 , sin 𝑥= -1\n2 oraz sin 𝑥= 0 i zapisanie, że równanie\nsin 𝑥= -1\n2 nie ma rozwiązań w zbiorze [0, 𝜋], i rozwiązanie równania sin 𝑥= 1\n2\n(lub sin 𝑥= 0) w zbiorze [0, 𝜋]: 𝑥= 1\n6 𝜋 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋 (lub 𝑥= 0 ∨ 𝑥= 𝜋).\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci alternatywy\ndwóch równań: 1 -4sin2𝑥= 0 lub sin 𝑥= 0.\n1 pkt - przekształcenie równania sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 do postaci, w której występuje jedna\nfunkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥, np.\n2 sin 𝑥(1 -sin2 𝑥) + (1 -2 sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 równoważnie do postaci, w której występuje\ntylko jedna funkcja trygonometryczna zmiennej 𝑥. Skorzystamy ze wzoru na sinus sumy\nkątów, wzorów na cosinus i sinus podwojonego kąta oraz z jedynki trygonometrycznej:\nsin(3𝑥) = 2 sin 𝑥\nsin(2𝑥+ 𝑥) = 2 sin 𝑥\nsin(2𝑥) ⋅cos 𝑥+ cos(2𝑥) ⋅sin 𝑥= 2 sin 𝑥\n2 sin 𝑥cos2 𝑥+ (cos2 𝑥-sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥\n2 sin 𝑥(1 -sin2 𝑥) + (1 -2 sin2 𝑥) sin 𝑥= 2 sin 𝑥\n-4 sin3 𝑥+ sin 𝑥= 0\nStąd otrzymujemy dalej\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n(-4 sin2 𝑥+ 1) sin 𝑥= 0\n-4 sin2 𝑥+ 1 = 0 ∨ sin 𝑥= 0\nsin 𝑥= 1\n2 ∨ sin 𝑥= -1\n2 ∨ sin 𝑥= 0\nRównanie sin 𝑥= 1\n2 ma w zbiorze [0, 𝜋] dwa rozwiązania: 𝑥= 1\n6 𝜋 oraz 𝑥= 5\n6 𝜋.\nRównanie sin 𝑥= -1\n2 nie ma w zbiorze [0, 𝜋] rozwiązań.\nRównanie sin 𝑥= 0 ma w zbiorze [0, 𝜋] dwa rozwiązania: 𝑥= 0 oraz 𝑥= 𝜋.\nRównanie sin(3𝑥) = 2 sin 𝑥 ma w zbiorze [0, 𝜋] cztery rozwiązania: 0, 1\n6 𝜋, 5\n6 𝜋, 𝜋.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nDany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o obwodzie 𝑙 i podstawach 𝐴𝐵 oraz 𝐶𝐷 takich,\nże |𝐴𝐵| > |𝐶𝐷|. Trapez jest opisany na okręgu i wpisany w okrąg, a przekątna 𝐴𝐶 trapezu\nma długość 𝑑 (zobacz rysunek).\nWykaż, że promień 𝑹 okręgu opisanego na trapezie 𝑨𝑩𝑪𝑫 jest równy\n𝒅⋅𝒍\n𝟐√𝟏𝟔𝒅𝟐-𝒍𝟐 .\n𝑅\n𝑑\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność\nrozumowania, odróżnianie dowodu od\nprzykładu.\nZdający:\nVIII.1) (R) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu;\nVIII.2) (R) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne zastosowanie twierdzeń i zależności prowadzących do obliczenia\npromienia 𝑅 okręgu opisanego na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i pokazanie, że\n𝑅=\n𝑑⋅𝑙\n2√16𝑑2-𝑙2 .\n3 pkt - zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie równości 2𝑅=\n𝑑\nsin𝛼 .\n2 pkt - obliczenie wysokości ℎ trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷: ℎ=\n√16𝑑2-𝑙2\n4\n1 pkt - zastosowanie własności czworokąta opisanego na okręgu i obliczenie 𝑐: 𝑐= 1\n4 𝑙\nLUB\nzastosowanie twierdzenia Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i zapisanie równości\n(𝑎+𝑏\n2 )\n2\n+ ℎ2 = 𝑑2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑎 - długość podstawy 𝐴𝐵 trapezu,\n𝑏 - długość podstawy 𝐶𝐷 trapezu,\nℎ - wysokość trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑐 - długość ramienia trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐴𝐵𝐶 trapezu.\n𝐸 - punkt wspólny prostej\nprzechodzącej przez 𝐶 i zawierającej\nwysokość trapezu oraz odcinka 𝐴𝐵\n(zobacz rysunek).\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równoramienny, więc |𝐸𝐵| = 𝑎-𝑏\n2 oraz |𝐴𝐸| = 𝑎+𝑏\n2 .\nPonieważ 𝑎+ 𝑏+ 2𝑐= 𝑙 (z warunków zadania) oraz 𝑎+ 𝑏= 2𝑐 (z własności czworokąta\nopisanego na okręgu otrzymujemy), więc 4𝑐= 𝑙, czyli 𝑐= 1\n4 𝑙. Stąd też |𝐴𝐸| = 𝑎+𝑏\n2\n= 𝑐.\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐸𝐶 i wyznaczamy wysokość ℎ trapezu:\n𝐶\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝑑\n𝑏\n𝐸\n𝛼\n𝑐\n𝑐\nℎ\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n|𝐴𝐸|2 + |𝐸𝐶|2 = |𝐴𝐶|2\n𝑐2 + ℎ2 = 𝑑2.\nℎ2 = 𝑑2 -𝑐2 = 𝑑2 -(\n𝑙\n4)\n2\nℎ= √16𝑑2 -𝑙2\n4\nOkrąg opisany na trapezie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy twierdzenie sinusów do wyznaczenia promienia 𝑅 okręgu opisanego na\ntrójkącie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝑅= |𝐴𝐶|\nsin 𝛼\nSinus kąta 𝛼 obliczamy z trójkąta prostokątnego 𝐵𝐸𝐶:\nsin 𝛼= ℎ\n𝑐=\n√16𝑑2-𝑙2\n4\n𝑙\n4\n= √16𝑑2 -𝑙2\n𝑙\nZatem promień 𝑅 jest równy\n𝑅=\n|𝐴𝐶|\n2 sin 𝛼=\n𝑑∙𝑙\n2√16𝑑2 -𝑙2\nTo kończy dowód.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"9","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-6)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (9, 12) jest wierzchołkiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥 zawiera dwusieczną kąta 𝐴𝐵𝐶 tego trójkąta.\nOkrąg 𝒪 o równaniu (𝑥-8)2 + (𝑦-4)2 = 16 jest wpisany w ten trójkąt.\nOblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki 𝑩 i 𝑪\ntego trójkąta z okręgiem 𝓞.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-6)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.1) (R) posługuje się równaniem prostej\nw postaci ogólnej na płaszczyźnie, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach […];\nIX.3) (R) znajduje punkty wspólne prostej\ni okręgu […].\nZasady oceniania\n6 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 i obliczenie współrzędnych punktu styczności\nprostej 𝐵𝐶 z okręgiem 𝒪: 𝑦= 0 i (8, 0).\n5 pkt - uzasadnienie, że prosta o równaniu 𝑦= -12\n5 𝑥+ 168\n5 nie przechodzi przez\npunkt 𝐵 i obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (0, 0).\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (0, 0)\nLUB\n- uzasadnienie, że prosta o równaniu 𝑦= -12\n5 𝑥+ 168\n5 nie przechodzi przez\npunkt 𝐵.\n3 pkt - wyznaczenie równań prostych, które są styczne do okręgu 𝒪 i przechodzą przez\npunkt 𝐴, np. 𝑦= 4\n3 𝑥 i 𝑦= -12\n5 𝑥+ 168\n5 .\n2 pkt - zastosowanie wzoru na odległość punktu od prostej i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą, prowadzącego do wyznaczenia współczynników występujących\nw równaniu prostej, która jest styczna do okręgu 𝒪 i przechodzi przez punkt 𝐴, np.\n|𝑎⋅8-4+12-9𝑎|\n√𝑎2+(-1)2\n= 4.\n1 pkt - zapisanie równania prostej, która jest styczna do okręgu i przechodzi przez punkt 𝐴\nw postaci kierunkowej (lub ogólnej), ze współczynnikami zależnymi od jednego\nparametru, np. 𝑦= 𝑎𝑥+ 12 -9𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑙 prostą, która przechodzi przez wierzchołki 𝐴 i 𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Prosta\nta jest styczna do okręgu 𝒪. Równanie prostej 𝑙 można zapisać w postaci kierunkowej\n𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 (prosta o równaniu 𝑥= 9 nie jest styczna do okręgu, gdyż równanie\n(9 -8)2 + (𝑦-4)2 = 16 ma dwa rozwiązania). Ponieważ 𝐴∈𝑙, więc 12 = 9𝑎+ 𝑏, czyli\n𝑏= 12 -9𝑎.\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\nProsta 𝑙 ma równanie 𝑎𝑥-𝑦+ 12 -9𝑎= 0 i jest styczna do okręgu o środku 𝑆= (8, 4)\ni promieniu 4. Zatem odległość punktu 𝑆 od prostej 𝑙 jest równa 4:\n|𝑎⋅8 -4 + 12 -9𝑎|\n√𝑎2 + (-1)2\n= 4\nStąd, poprzez przekształcenia równoważne, otrzymujemy kolejno\n|8 -𝑎| = 16√𝑎2 + 1\n64 -16𝑎+ 𝑎2 = 16𝑎2 + 16\n15𝑎2 + 16𝑎-48 = 0\n𝑎= 4\n3 ∨ 𝑎= -12\n5\nRozważamy przypadek 𝑎= 4\n3 .\nGdy 𝑎= 4\n3 , to 𝑏= 0 i równanie prostej 𝑙 ma postać 𝑦= 4\n3 𝑥.\nWierzchołek 𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest punktem przecięcia prostych 𝑘 i 𝑙.\nRozwiązaniem układu równań {\n𝑦= 4\n3 𝑥\n𝑦= 1\n2 𝑥\njest (𝑥, 𝑦) = (0, 0). Zatem 𝐵= (0, 0). Ponieważ\nokrąg 𝒪 jest styczny do osi 𝑂𝑥 i 𝐵= (0, 0), więc prosta o równaniu 𝑦= 0 zawiera bok\n𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 styczny do danego okręgu w punkcie (8, 0).\nRozważamy przypadek 𝑎= -12\n5 .\nGdy 𝑎= -12\n5 , to 𝑏= 168\n5 i otrzymujemy prostą 𝑙 o równaniu 𝑦= -12\n5 𝑥+ 168\n5 .\nZauważmy jednak, że prosta o równaniu 𝑦= 5\n12 𝑥 jest prostopadła do prostej\n𝑦= -12\n5 𝑥+ 168\n5 i tworzy z osią 𝑂𝑥 kąt ostry o mierze 𝛼 takiej, że tg 𝛼= 5\n12 . Prosta 𝑘\ntworzy z osią 𝑂𝑥 kąt ostry o mierze 𝛽 takiej, że tan 𝛽= 1\n2 . Zatem, korzystając\nz własności funkcji tangens, otrzymujemy 𝛼< 𝛽. Wynika stąd, że |∡𝐴𝐵𝑆| > 90°, gdzie 𝐵\njest punktem przecięcia prostych 𝑘 i 𝑙. To jest jednak niemożliwe, gdyż (z założenia)\n|∡𝐴𝐵𝑆| = 1\n2 |∡𝐴𝐵𝐶|, a 1\n2 |∡𝐴𝐵𝐶| < 1\n2 ⋅180°.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"10","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-6)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu\npowierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych\npoprowadzonych z wierzchołka 𝑆 ma miarę 2𝛼.\nObjętość tego ostrosłupa jest równa √𝑘⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼) , gdzie 𝑘 jest stałym\nwspółczynnikiem liczbowym.\nOblicz współczynnik 𝒌.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również\nw sytuacjach nietypowych.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\n[…] ostrosłupów, również z wykorzystaniem\ntrygonometrii i poznanych twierdzeń.\nX.5) (R) wyznacza przekroje […]\nostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich\npola, także z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\ndla sposobu 1.\n6 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na objętość 𝑉 ostrosłupa i poprawne obliczenie\nwspółczynnika 𝑘: 𝑘=\n√2\n36 .\n5 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, wysokości 𝐻 ostrosłupa:\n𝐻= √𝑃⋅cos(2𝛼)\n4√2⋅sin𝛼 .\n4 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu długości krawędzi podstawy\noraz kwadratu wysokości ściany bocznej ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼,\nℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n3 pkt - obliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu długości krawędzi podstawy\nostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼\nLUB\nobliczenie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, kwadratu wysokości ściany bocznej\nostrosłupa: ℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n2 pkt - zastosowanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆\n(albo twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą 𝑎, np.\n𝑎√2\n4\n𝑃\n2𝑎\n= sin 𝛼, ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n+ ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n-2 ⋅𝑃\n2𝑎⋅𝑃\n2𝑎⋅cos(2𝛼) = (𝑎√2\n2 )\n2\nLUB\nzapisanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, zależności między ℎ oraz 𝑎,\nwynikających ze związków miarowych w trójkącie 𝐸𝑆𝐹 (lub 𝐸𝐺𝑆), np. ℎ= 𝑎√2\n2\nLUB\nzastosowanie, przy obranych wartościach 𝑃 i 𝛼, definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆\n(albo twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą ℎ, np.\n𝑃√2\n8ℎ\nℎ= sin 𝛼, ℎ2 + ℎ2 -2 ⋅ℎ⋅ℎ⋅cos(2𝛼) = (𝑃√2\n4ℎ)\n2\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n1 pkt - przypisanie wielkościom 𝑃 i 𝛼 konkretnych wartości liczbowych\n(pod warunkami: 𝑃> 0 i 𝛼∈(0, 45°)) i wyznaczenie wysokości ℎ ściany bocznej\nw zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: ℎ= 𝑃\n2𝑎\nLUB\nprzypisanie wielkościom 𝑃 i 𝛼 konkretnych wartości liczbowych\n(pod warunkami: 𝑃> 0 i 𝛼∈(0, 45°)) i wyznaczenie długości 𝑎 krawędzi bocznej\nw zależności od wysokości ℎ ściany bocznej ostrosłupa: 𝑎= 𝑃\n2ℎ .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\ndla sposobu 2.\n6 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na objętość 𝑉 ostrosłupa i poprawne obliczenie\nwspółczynnika 𝑘: 𝑘=\n√2\n36 .\n5 pkt - obliczenie wysokości 𝐻 ostrosłupa: 𝐻= √\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼-\n√2𝑃⋅sin𝛼\n4\n4 pkt - obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy oraz kwadratu wysokości ściany\nbocznej ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼, ℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n3 pkt - obliczenie kwadratu długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼\nLUB\nobliczenie kwadratu wysokości ściany bocznej ostrosłupa: ℎ2 =\n𝑃\n4√2⋅sin𝛼 .\n2 pkt - zastosowanie definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆 (albo twierdzenia cosinusów do\ntrójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n𝑎√2\n4\n𝑃\n2𝑎\n= sin 𝛼, ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n+ ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n-2 ⋅𝑃\n2𝑎⋅𝑃\n2𝑎⋅cos(2𝛼) = (𝑎√2\n2 )\n2\nLUB\nzastosowanie definicji sinusa w trójkącie 𝐸𝐺𝑆 (albo twierdzenia cosinusów do\ntrójkąta 𝐸𝐹𝑆) i zapisanie równania z jedną niewiadomą ℎ, np.\n𝑃√2\n8ℎ\nℎ= sin 𝛼, ℎ2 + ℎ2 -2 ⋅ℎ⋅ℎ⋅cos(2𝛼) = (𝑃√2\n4ℎ)\n2\n1 pkt - wyznaczenie wysokości ℎ ściany bocznej w zależności od długości 𝑎 krawędzi\npodstawy ostrosłupa: ℎ= 𝑃\n2𝑎\nLUB\nwyznaczenie długości 𝑎 krawędzi bocznej w zależności od wysokości ℎ ściany\nbocznej ostrosłupa: 𝑎= 𝑃\n2ℎ .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ 𝑘 jest współczynnikiem liczbowym, który nie zależy od 𝑃 ani od 𝛼, więc\nobliczymy objętość ostrosłupa prawidłowego o polu powierzchni bocznej 𝑃= √2 , w którym\n𝛼= 30°.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa,\nℎ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑆𝐸, 𝑆𝐹 - wysokości sąsiednich ścian bocznych,\n𝑆𝐺 - wysokość trójkąta 𝑆𝐸𝐺 poprowadzona z wierzchołka 𝑆.\nWyznaczamy wysokość ℎ ściany bocznej ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝑆 w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa:\n√2 = 4 ⋅1\n2 𝑎ℎ\nℎ= √2\n2𝑎\nPonieważ 𝛼= 30°, więc trójkąt równoramienny 𝐸𝑆𝐹 jest równoboczny. Zatem\nℎ= |𝐸𝐹| = √2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑎√2\n2 . Stąd\n√2\n2𝑎= 𝑎√2\n2\n𝑎= 1\n𝐻\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝐹\nℎ\nℎ\n60°\n𝑆\n𝐷\n𝑂\n𝑎\n𝑎\n𝐺\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\nwięc\nℎ2 = (√2\n2𝑎)\n2\n= 1\n2\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐹𝑂𝑆 i obliczamy wysokość 𝐻 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝐹𝑆|2 -|𝑂𝐹|2\n𝐻2 = ℎ2 -(𝑎\n2)\n2\n𝐻2 = 1\n2 -(1\n2)\n2\n𝐻= 1\n2\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n𝑉= 1\n3 𝑎2𝐻= 1\n3 ∙1 ⋅1\n2 = 1\n6\nZ treści zadania wiadomo, że 𝑉= √𝑘⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼) ⋅, więc 𝑉= √𝑘⋅(√2)\n3 ⋅1\n2 ⋅1\n2 .\nPorównując otrzymane wartości objętości, obliczamy 𝑘:\n1\n6 = √𝑘⋅√2\n2\n𝑘= √2\n36\nWspółczynnik 𝑘 ma wartość\n√2\n36 .\nSposób 2.\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa,\nℎ - wysokość ściany bocznej ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝑆,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - punkt przecięcia przekątnych podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑆𝐸, 𝑆𝐹 - wysokości sąsiednich ścian bocznych,\n𝑆𝐺 - wysokość trójkąta 𝑆𝐸𝐺 poprowadzona z wierzchołka 𝑆.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy wysokość ℎ ściany bocznej ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 poprowadzonej\nz wierzchołka 𝑆 w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa:\n𝑃= 4 ⋅1\n2 𝑎ℎ\nℎ= 𝑃\n2𝑎\nPonieważ |𝐸𝐹| = √2 ⋅|𝐸𝐵| = 𝑎√2\n2 , więc |𝐸𝐺| = 1\n2 |𝐸𝐹| = 𝑎√2\n4 . Zatem\n|𝐸𝐺|\n|𝐸𝑆| = sin 𝛼\n𝑎√2\n4\n𝑃\n2𝑎\n= sin 𝛼\n𝑎2 = √2𝑃⋅sin 𝛼\nStąd\nℎ2 = ( 𝑃\n2𝑎)\n2\n𝑃\n4√2 ⋅sin 𝛼\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐹𝑂𝑆 i obliczamy wysokość 𝐻 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n|𝑂𝑆|2 = |𝐹𝑆|2 -|𝑂𝐹|2\n𝐻2 = ℎ2 -(𝑎\n2)\n2\n𝐻\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝐸\n𝐹\nℎ\nℎ\n2𝛼\n𝑆\n𝐷\n𝑂\n𝑎\n𝑎\n𝐺\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z matematyki (poziom rozszerzony)\n𝐻2 =\n𝑃\n4√2 ⋅sin 𝛼\n-√2𝑃⋅sin 𝛼\n4\n𝐻2 = 𝑃(1 -2 sin2 𝛼)\n4√2 ⋅sin 𝛼\n𝐻= √𝑃⋅cos(2𝛼)\n4√2 ⋅sin 𝛼\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆:\n𝑉= 1\n3 𝑎2𝐻= 1\n3 ∙√2𝑃⋅sin 𝛼⋅√𝑃cos(2𝛼)\n4√2 sin 𝛼\n= √√2\n36 ⋅𝑃3 ⋅sin 𝛼⋅cos(2𝛼)\nZatem 𝑘=\n√2\n36 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"},{"id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nEgzamin składa się z 15 zadań zamkniętych. Do każdego zadania podano cztery\nodpowiedzi, z których tylko jedna okazuje się poprawna. Zdający zalicza egzamin, jeśli\nudzieli poprawnych odpowiedzi w co najmniej 11 zadaniach. Pewien student przystąpił\nnieprzygotowany do egzaminu i w każdym zadaniu wybierał losowo odpowiedź.\nPrzyjmij, że w każdym zadaniu wybór każdej z odpowiedzi przez studenta jest równo\nprawdopodobny.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że ten student zaliczył egzamin.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) (R) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia prawdopodobieństwa zaliczenia egzaminu przez\nstudenta i poprawny wynik: 123841\n415\n3 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania 𝑘 sukcesów\nw 𝑛 próbach i skorzystanie z addytywności prawdopodobieństwa dla zdarzeń\nparami rozłącznych.\n2 pkt - wyznaczenie zdarzenia odpowiadającego zaliczeniu egzaminu za pomocą zdarzeń\n𝑆15\n𝑘 , gdzie 𝑘∈{11, 12, 13, 14, 15}: 𝑆15\n11 ∪𝑆15\n12 ∪𝑆15\n13 ∪𝑆15\n14 ∪𝑆15\n15.\n1 pkt - obliczenie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPróbą Bernoullego jest losowe wybranie przez studenta odpowiedzi w zadaniu. Sukcesem\nw tej próbie jest wybranie odpowiedzi, która jest poprawna.\nPrawdopodobieństwo sukcesu jest równe 𝑝= 0,25, natomiast prawdopodobieństwo porażki\njest równe 𝑞= 0,75.\nNiech 𝑆15\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na wybraniu przez studenta poprawnych\nodpowiedzi w dokładnie 𝑘 zadaniach spośród 15.\nKorzystamy ze schematu Bernoullego. Prawdopodobieństwo zaliczenia przez studenta\negzaminu jest równe 𝑃(𝑆15\n11 ∪𝑆15\n12 ∪𝑆15\n13 ∪𝑆15\n14 ∪𝑆15\n15). Zdarzenia 𝑆15\n11, 𝑆15\n12,.𝑆15\n13, 𝑆15\n14, 𝑆15\n15 są\nparami rozłączne, więc\n𝑃(𝑆15\n11 ∪𝑆15\n12 ∪𝑆15\n13 ∪𝑆15\n14 ∪𝑆15\n15) = 𝑃(𝑆15\n11) + 𝑃(𝑆15\n12) + 𝑃(𝑆15\n13) + 𝑃(𝑆15\n14) + 𝑃(𝑆15\n15) =\n= (15\n11) ⋅(0,25)11 ⋅(0,75)4 + (15\n12) ⋅(0,25)12 ⋅(0,75)3 + (15\n13) ⋅(0,25)13 ⋅(0,75)2 +\n+ (15\n14) ⋅(0,25)14 ⋅(0,75)1 + (15\n15) ⋅(0,25)15 =\n= (1\n4)\n15\n⋅(1365 ⋅81 + 455 ⋅27 + 105 ⋅9 + 15 ⋅3 + 1) = (1\n4)\n15\n⋅123841 ≈0,00012\nPrawdopodobieństwo zaliczenia przez studenta egzaminu jest równe 123841\n10243 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Arkusz przykładowy"}]}