{"paper":{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":41,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDana jest nierówność\n|𝑥-5| < 2\nNa którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n-3\n7\n𝑥\n0\n-1\n-2\n1 2 3 4 5 6\n\nMMAP-P0_100\nDana jest nierówność |x-5|<2. Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A = \\(-\\frac{1}{4}\\)\n\nNa podstawie treści zadania wyrażenie do obliczenia to:\n\\[\\log_{25}1 - \\frac{1}{2}\\log_{25}5\\]\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie obu logarytmów\n\n**Krok 1: Obliczamy \\(\\log_{25}1\\)**\n\nZ definicji logarytmu: \\(\\log_{25}1 = c \\iff 25^c = 1\\). Wiemy, że każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1, więc:\n\\[\\log_{25}1 = 0\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy \\(\\log_{25}5\\)**\n\nSzukamy \\(c\\) takiego, że \\(25^c = 5\\). Kluczowa obserwacja:\n\\[25 = 5^2 \\quad \\Rightarrow \\quad 5 = 25^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nZatem:\n\\[\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy do wyrażenia**\n\n\\[\\log_{25}1 - \\frac{1}{2}\\log_{25}5 = 0 - \\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Wynik: \\(-\\frac{1}{4}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzory na logarytmy (zamiana podstawy)\n\nKorzystamy z własności: \\(\\log_a x^r = r\\cdot\\log_a x\\)\n\n\\[\\frac{1}{2}\\log_{25}5 = \\log_{25}5^{\\frac{1}{2}} = \\log_{25}\\sqrt{5}\\]\n\nZatem wyrażenie możemy przepisać jako:\n\\[\\log_{25}1 - \\log_{25}\\sqrt{5} = \\log_{25}\\frac{1}{\\sqrt{5}}\\]\n\n(skorzystaliśmy z \\(\\log_a x - \\log_a y = \\log_a\\frac{x}{y}\\))\n\nTeraz obliczamy:\n\\[\\log_{25}\\frac{1}{\\sqrt{5}} = \\log_{25}5^{-\\frac{1}{2}} = -\\frac{1}{2}\\cdot\\log_{25}5 = -\\frac{1}{2}\\cdot\\frac{1}{2} = -\\frac{1}{4}\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(-\\frac{1}{4}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6):**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\(\\log_{25}1 = 0\\) i \\(\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\).\n\nWłasność potęgowania logarytmu:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyciągnięcia wykładnika \\(\\frac{1}{2}\\) przed logarytm.\n\nRóżnica logarytmów:\n\\[\\log_a\\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do połączenia obu logarytmów w jeden.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | \\(-\\frac{1}{2}\\) | Zapominamy podzielić przez 2 - liczymy \\(-1 \\cdot \\log_{25}5 = -\\frac{1}{2}\\) zamiast \\(-\\frac{1}{2}\\cdot\\log_{25}5\\) |\n| **C** | \\(\\frac{1}{4}\\) | Poprawna wartość bezwzględna, ale zgubiony minus - ignorujemy znak ujemny przed ułamkiem \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| **D** | \\(\\frac{1}{2}\\) | Liczymy tylko \\(\\log_{25}5 = \\frac{1}{2}\\) i pomijamy mnożnik \\(\\frac{1}{2}\\) oraz znak minus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_{25}5 \\neq 1\\)! Często uczniowie mylą \\(\\log_{25}25 = 1\\) z \\(\\log_{25}5\\). Pamiętaj: logarytm jest równy 1 tylko gdy argument równa się podstawie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_{25}1 = 0\\), **nie** \"1\"! Logarytm z jedynki wynosi zawsze 0, niezależnie od podstawy. Łatwo tu pomylić się i wstawić 1 zamiast 0.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy widzisz \\(\\log_{25}5\\), od razu myśl: \"25 = 5², więc 5 = 25^½, zatem logarytm = ½\". Ten trik - wyrażenie argumentu jako potęgi podstawy - działa tu błyskawicznie i nie wymaga żadnych wzorów.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy: \\\\(\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5}\\\\)\n\nZapisujemy \\\\(25 = 5^2\\\\), więc:\n\\\\[\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5} = \\\\log_{25} 5^{-1} = -\\\\log_{25} 5\\\\]\n\nKorzystamy ze wzoru na zmianę podstawy:\n\\\\[\\\\log_{25} 5 = \\\\frac{\\\\log_5 5}{\\\\log_5 25} = \\\\frac{1}{2}\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[\\\\log_{25} \\\\frac{1}{5} = -\\\\frac{1}{2}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja logarytmu: \\\\(\\\\log_a b = c \\\\iff a^c = b\\\\); zmiana podstawy logarytmu.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(-\\\\frac{1}{4}\\\\) - błędne, wynikałoby z niepoprawnego \\\\(\\\\log_{625}\\\\frac{1}{5}\\\\)\n- C. \\\\(\\\\frac{1}{4}\\\\) - błędny znak, logarytm z liczby mniejszej od 1 przy podstawie większej od 1 jest ujemny\n- D. \\\\(\\\\frac{1}{2}\\\\) - to \\\\(\\\\log_{25} 5\\\\), brakuje minusa","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 3√45 -√20 jest równa\nA. (7 ⋅5)\n1\n2\nB. 5\n1\n2\nC. 7\nD. 7 ⋅5\n1\n2\nLiczba 3√45-√20 jest równa A. (7⋅5)^1/2 B. 5^1/2 C. 7 D. 7⋅5^1/2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(3\\sqrt{45} - \\sqrt{20} = 7\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączanie czynnika przed pierwiastek\n\nUpraszczamy każdy pierwiastek osobno, rozkładając liczby pod pierwiastkiem na iloczyn kwadratu i reszty.\n\n**Krok 1:** Uprość \\(\\sqrt{45}\\)\n\\[\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{9} \\cdot \\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 2:** Uprość \\(\\sqrt{20}\\)\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = \\sqrt{4} \\cdot \\sqrt{5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 3:** Podstaw do wyrażenia\n\\[3\\sqrt{45} - \\sqrt{20} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = 9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 4:** Wyłącz \\(\\sqrt{5}\\) jako wspólny czynnik\n\\[9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = (9 - 2)\\sqrt{5} = \\mathbf{7\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa\n\nSprawdźmy, czy wynik \\(7\\sqrt{5}\\) zgadza się z wartością liczbową.\n\nWiemy, że \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}236\\), więc:\n\\[7\\sqrt{5} \\approx 7 \\cdot 2{,}236 = 15{,}652\\]\n\nObliczmy lewą stronę:\n\\[\\sqrt{45} \\approx 6{,}708, \\quad \\sqrt{20} \\approx 4{,}472\\]\n\\[3 \\cdot 6{,}708 - 4{,}472 = 20{,}124 - 4{,}472 = 15{,}652 \\checkmark\\]\n\nWyniki się zgadzają - odpowiedź C jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność pierwiastka z iloczynu:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do rozkładu \\(\\sqrt{45} = \\sqrt{9 \\cdot 5}\\) i \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((7\\sqrt{5})^2 = 49 \\cdot 5 = 245\\) - to wartość, którą otrzymujemy, gdy **podnosimy do kwadratu** poprawny wynik zamiast go zostawić |\n| B | \\(\\sqrt{5} \\approx 2{,}24\\) - za mały wynik; pojawia się, gdy uczeń liczy \\(3\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = \\sqrt{5}\\), **zapominając** pomnożyć \\(3 \\cdot \\sqrt{45} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5}\\) i bierze samo \\(\\sqrt{45}\\) zamiast \\(3\\sqrt{45}\\) |\n| D | \\(7 \\cdot 5 = 35\\) - uczeń błędnie \"upraszcza\" \\(7\\sqrt{5}\\) do \\(7 \\cdot 5\\), **myląc** \\(\\sqrt{5}\\) z \\(5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{9 \\cdot 5} = \\sqrt{9} \\cdot \\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}\\), ale **NIE** \\(\\sqrt{9+5} = \\sqrt{14}\\). Pierwiastek rozkłada się na czynniki iloczynu, nie sumy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o mnożniku przed pierwiastkiem - \\(3\\sqrt{45} = 3 \\cdot 3\\sqrt{5} = 9\\sqrt{5}\\), a **nie** \\(3\\sqrt{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5}\\) to odejmowanie jak z literą: tak jak \\(9x - 2x = 7x\\), tak samo \\(9\\sqrt{5} - 2\\sqrt{5} = 7\\sqrt{5}\\). Wyrażenia z tym samym pierwiastkiem dodajemy/odejmujemy jak wyrazy podobne.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nUpraszczamy wyrażenie \\\\(3\\\\sqrt{45} - \\\\sqrt{20}\\\\):\n\n\\\\[3\\\\sqrt{45} = 3\\\\sqrt{9 \\\\cdot 5} = 3 \\\\cdot 3\\\\sqrt{5} = 9\\\\sqrt{5}\\\\]\n\\\\[\\\\sqrt{20} = \\\\sqrt{4 \\\\cdot 5} = 2\\\\sqrt{5}\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[3\\\\sqrt{45} - \\\\sqrt{20} = 9\\\\sqrt{5} - 2\\\\sqrt{5} = 7\\\\sqrt{5}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Własności pierwiastków: \\\\(\\\\sqrt{a \\\\cdot b} = \\\\sqrt{a} \\\\cdot \\\\sqrt{b}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(7 \\\\cdot 5 = 35\\\\) - bez pierwiastka, błąd rachunkowy\n- B. \\\\(5\\\\) - bez \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\), nie wynika z obliczeń\n- C. \\\\(7\\\\) - pominięto czynnik \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log25 1 -1\n2 log25 5 jest równa\nA. (-1\n4)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n4\nD. 1\n2\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_25 1 - 1/2 log_25 5 jest równa A. (-1/4) B. (-1/2) C. 1/4 D. 1/2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(16\\frac{2}{3}\\%\\) początkowej wartości)\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie procentu obniżki\n\n**Obliczamy, o ile złotych obniżono cenę:**\n\\[240 - 200 = 40 \\text{ zł}\\]\n\n**Obliczamy, jaką część początkowej ceny stanowi ta obniżka:**\n\\[\\frac{40}{240} = \\frac{1}{6}\\]\n\n**Przeliczamy na procenty:**\n\\[\\frac{1}{6} \\cdot 100\\% = \\frac{100}{6}\\% = 16\\frac{2}{3}\\%\\]\n\n**Odpowiedź: cenę obniżono o \\(\\boldsymbol{16\\frac{2}{3}\\%}\\) wartości początkowej.**\n\n## Sposób 2 - przez udział nowej ceny w cenie pierwotnej\n\nZamiast liczyć samą obniżkę, sprawdzamy, jakim ułamkiem ceny wyjściowej jest cena po przecenie:\n\n\\[\\frac{200}{240} = \\frac{5}{6} \\approx 83\\frac{1}{3}\\%\\]\n\nNowa cena stanowi \\(\\frac{5}{6}\\) ceny pierwotnej, więc obniżka to:\n\n\\[1 - \\frac{5}{6} = \\frac{1}{6} = 16\\frac{2}{3}\\%\\]\n\nWynik identyczny - **obniżono o \\(16\\frac{2}{3}\\%\\)** ceny pierwotnej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wynik | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(20\\%\\) | Obliczenie \\(\\frac{40}{200} \\cdot 100\\%\\) - podzielono obniżkę przez **nową cenę** zamiast przez cenę **pierwotną** |\n| C | \\(40\\%\\) | Wzięto absolutną obniżkę w złotówkach (40 zł) i odczytano ją jako procent - pominięto dzielenie |\n| D | \\(83\\frac{1}{3}\\%\\) | Obliczono, jaki procent ceny pierwotnej stanowi **nowa cena** (\\(\\frac{200}{240}\\)), zamiast jaki procent stanowi **różnica** |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Procent obniżki zawsze liczymy względem ceny **pierwotnej** (wyjściowej), nie końcowej. To najczęstszy błąd - odpowiedź B powstaje właśnie z tego błędu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwota obniżki (40 zł) to nie to samo co procent obniżki (16⅔%). Nie wolno mieszać jednostek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest wynikiem poprawnego obliczenia - ale złej rzeczy. Uczeń policzył, ile zostało, zamiast ile odjęto. Warto sprawdzić, czy pytanie brzmi „o ile obniżono\" czy „ile wynosi nowa cena\".\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCena początkowa: 240 zł, cena po obniżce: 200 zł.\n\nObniżka wynosi:\n\\\\[240 - 200 = 40 \\\\text{ zł}\\\\]\n\nProcent obniżki:\n\\\\[\\\\frac{40}{240} \\\\cdot 100\\\\% = \\\\frac{1}{6} \\\\cdot 100\\\\% = 16\\\\frac{2}{3}\\\\%\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Obliczanie procentów (procent = część/całość × 100%).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- B. 20% - byłoby 20% gdyby \\\\(\\\\frac{40}{200}\\\\), ale liczymy procent od ceny początkowej (240), nie końcowej\n- C. 40% - to kwota obniżki w złotych, nie procent\n- D. \\\\(83\\\\frac{1}{3}\\\\%\\\\) - to procent, który stanowi nowa cena z początkowej (\\\\(\\\\frac{200}{240}\\\\)), nie procent obniżki","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝟑𝒏𝟑+ 𝟏𝟖𝒏𝟐+ 𝟏𝟓𝒏 jest\npodzielna przez 𝟔.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 3n^3+18n^2+15n jest podzielna przez 6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 jest liczbą podzielną przez 3 oraz\nprzez 2.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci 3𝑛(𝑛2 + 6𝑛+ 5) lub\n3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛), lub 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5)\nALBO\n- uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 jest liczbą podzielną przez 3,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛 jest liczbą parzystą (lub nieparzystą) i uzasadnienie,\nże wówczas 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 dzieli się przez 6,\nALBO\n- uzasadnienie, że wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 (lub 3𝑛3 + 15𝑛, lub 𝑛3 + 5𝑛) jest\nliczbą podzielną przez 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 6𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą nieujemną i 𝑟\njest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 6, i przeprowadzi poprawne rozumowanie dla co\nnajmniej połowy przypadków, ale nie przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich\nprzypadków, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci iloczynu\n3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛= 3𝑛(𝑛2 + 6𝑛+ 5) = 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5)\nPonieważ liczby 𝑛 oraz 𝑛+ 1 są kolejnymi liczbami naturalnymi, to jedna z nich jest liczbą\nparzystą, zatem iloczyn 𝑛(𝑛+ 1) jest liczbą parzystą, więc iloczyn 3𝑛(𝑛+ 1)(𝑛+ 5) jest\npodzielny przez 6. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie wyrażenie 3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛 do postaci iloczynu\n3𝑛3 + 18𝑛2 + 15𝑛= 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛)\nRozważmy dwa przypadki: gdy 𝑛 jest liczbą parzystą oraz gdy 𝑛 jest liczbą nieparzystą.\nJeśli 𝑛 jest liczbą parzystą, to wtedy 𝑛3 jest liczbą parzystą, 6𝑛2 jest liczba parzystą i 5𝑛\njest liczbą parzystą. Stąd 𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛 jest liczbą parzystą (jako suma liczb parzystych).\nZatem 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛) dzieli się przez 3 oraz przez 2, czyli dzieli się przez 6.\nJeśli 𝑛 jest liczbą nieparzystą, to wtedy 𝑛3 jest liczbą nieparzystą, 6𝑛2 jest liczba parzystą\ni 5𝑛 jest liczbą nieparzystą. Stąd 𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛 jest liczbą parzystą (jako suma dwóch\nliczb nieparzystych i liczby parzystej). Zatem 3(𝑛3 + 6𝑛2 + 5𝑛) dzieli się przez 3 oraz\nprzez 2, czyli dzieli się przez 6. To należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczanie po kolei każdego składnika\n\nRozbijamy wyrażenie na części i obliczamy każdą z osobna.\n\n**Krok 1: Licznik ułamka**\n\\[3^{-1} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2: Mianownik ułamka**\n\nUwaga na dwie rzeczy: podstawa jest ujemna, a wykładnik jest ujemny.\n\nUjemny wykładnik oznacza odwrotność:\n\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2}\\]\n\nPodnosimy do kwadratu (minus znika, bo wykładnik parzysty):\n\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{(-1)^2}{9^2} = \\frac{1}{81}\\]\n\nZatem:\n\\[\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81\\]\n\n**Krok 3: Składamy ułamek**\n\\[\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} = \\frac{\\frac{1}{3}}{81} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{81} = \\frac{1}{243}\\]\n\n**Krok 4: Mnożymy przez 81**\n\\[\\frac{1}{243} \\cdot 81 = \\frac{81}{243} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie przez zamianę ujemnych wykładników\n\nUżywamy reguły \\(a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\) odwrotnie: dzielenie przez \\(a^{-n}\\) to mnożenie przez \\(a^n\\).\n\n\\[\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81 = 3^{-1} \\cdot \\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{2} \\cdot 81\\]\n\nTeraz każdy czynnik:\n\\[3^{-1} = \\frac{1}{3}, \\qquad \\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{1}{81}\\]\n\nMnożymy wszystko razem:\n\\[\\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3} \\cdot \\underbrace{\\frac{81}{81}}_{= 1} = \\frac{1}{3}\\]\n\nCzynniki \\(\\frac{1}{81}\\) i \\(81\\) skracają się do 1 - warto to zauważyć od razu, żeby zaoszczędzić obliczenia.\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{3}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzory użyte w tym zadaniu:\n\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\n\nUżyte przy \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\) oraz do rozwinięcia \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}\\).\n\n\\[\\left(\\frac{a}{b}\\right)^r = \\frac{a^r}{b^r}\\]\n\nUżyte przy potęgowaniu ułamka \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = \\frac{(-1)^2}{9^2} = \\frac{1}{81}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus podstawy NIE przenosi się na wynik przy parzystym wykładniku. \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2 = +\\frac{1}{81}\\), a nie \\(-\\frac{1}{81}\\). To najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy mianowniku ułamka - wiele osób myli kierunek: \\(\\frac{1}{a^{-2}} = a^2\\), nie \\(\\frac{1}{a^2}\\). Dzielenie przez \\(a^{-2}\\) to mnożenie przez \\(a^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań - mnożenie przez 81 dotyczy całego wyrażenia \\(\\frac{3^{-1}}{(\\ldots)^{-2}}\\), nie tylko mianownika. Nie wolno wciągnąć 81 tylko do mianownika.\n\n**Odpowiedź: \\(\\frac{1}{3}\\)**\n\n**Sposób 1** - Krok po kroku\n\nWyrażenie: \\(\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81\\)\n\nKrok 1: \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\)\n\nKrok 2: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\left(\\frac{1}{-\\frac{1}{9}}\\right)^{2}\\) Lepiej: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = \\frac{1}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^2} = \\frac{1}{\\frac{1}{81}} = 81\\)\n\nAlbo inaczej: \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = (-9)^2 = 81\\).\n\nKrok 3: Podstawiamy:\n\\[\\frac{\\frac{1}{3}}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{81}{81} = \\frac{1}{3} \\cdot 1 = \\frac{1}{3}\\]\n\nAle uwaga - kolejność działań: \\(\\frac{3^{-1}}{\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2}} \\cdot 81\\).\n\n\\[= \\frac{1/3}{81} \\cdot 81 = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Sposób 2** - Zamiana na potęgi 3\n\n\\(3^{-1} = 3^{-1}\\), \\(\\left(-\\frac{1}{9}\\right)^{-2} = 9^2 = 3^4 = 81\\), \\(81 = 3^4\\).\n\n\\[\\frac{3^{-1}}{3^4} \\cdot 3^4 = 3^{-1} \\cdot 3^{4-4} = 3^{-1} \\cdot 3^0 = 3^{-1} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Wzory z karty CKE:**\n- \\(a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\), \\(\\left(\\frac{a}{b}\\right)^{-n} = \\left(\\frac{b}{a}\\right)^n\\) (Dział 1, s. 1)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia\n3-1\n(- 1\n9\n)\n-2 ∙81 jest równa\nA. 1\n3\nB. (-1\n3)\nC. 3\nD. (-3)\nWartość wyrażenia 3^-1 /(-1/9)^-2⋅81 jest równa A. 1/3 B. (-1/3) C. 3 D. (-3)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - wartość wyrażenia wynosi \\(0\\)\n\n## Sposób 1 - Spostrzeżenie algebraiczne (bez rachunków)\n\nTreść zadania to (po odczytaniu garblednego OCR):\n\\[(2 - \\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3} - 2)^2\\]\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** zauważamy, że drugi czynnik jest negacją pierwszego:\n\\[\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\sqrt{3})\\]\n\nJeśli oznaczymy \\(a = 2 - \\sqrt{3}\\), to:\n\\[a^2 - (-a)^2 = a^2 - a^2 = \\boxed{0}\\]\n\nPodniesienie liczby do kwadratu **zawsze daje wynik nieujemny i eliminuje znak**, dlatego \\(a^2 = (-a)^2\\) dla każdego \\(a\\).\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie nawiasów (weryfikacja)\n\nRozwijamy oba kwadraty ze wzorów skróconego mnożenia \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\n\\[(2-\\sqrt{3})^2 = 4 - 2 \\cdot 2 \\cdot \\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\\sqrt{3}\\]\n\n\\[(\\sqrt{3}-2)^2 = 3 - 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 2 + 4 = 7 - 4\\sqrt{3}\\]\n\nOdejmujemy:\n\\[(7 - 4\\sqrt{3}) - (7 - 4\\sqrt{3}) = 7 - 4\\sqrt{3} - 7 + 4\\sqrt{3} = \\mathbf{0}\\]\n\nWynik potwierdza: **odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((2-\\sqrt{3})^2\\) i \\((\\sqrt{3}-2)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(-2\\sqrt{3}\\) | Odjęcie wyrazów bez podnoszenia do kwadratu: \\((2-\\sqrt{3}) - (\\sqrt{3}-2) = 4 - 2\\sqrt{3}\\), lub pomylenie kolejności - wychodzi coś z \\(\\sqrt{3}\\) |\n| C: \\(6\\) | Policzenie \\((2-\\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1\\) i \\((\\sqrt{3}-2)^2 = 3-4 = -1\\) (błędne mnożenie krzyżowe), a następnie: \\(1-(-1) = \\), lub inne błędy przy rozwinięciu |\n| D: \\(8\\sqrt{3}\\) | Pomylenie znaków - policzenie \\((2+\\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3}-2)^2\\) zamiast z minusem: \\[(2+\\sqrt{3})^2 - (\\sqrt{3}-2)^2 = (7+4\\sqrt{3}) - (7-4\\sqrt{3}) = 8\\sqrt{3}\\] |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni - \\((-a)^2 = a^2\\). Uczniowie często mylą \\((-\\sqrt{3})^2 = 3\\) z \\(-(\\sqrt{3})^2 = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\)! To drugi wzór to różnica kwadratów \\((a-b)(a+b)\\), a nie kwadrat różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Widząc dwie liczby różniące się tylko kolejnością w odejmowaniu (np. \\(2-\\sqrt{3}\\) i \\(\\sqrt{3}-2\\)), od razu sprawdź, czy są swoimi przeciwnościami - jeśli tak i stoją pod parzystą potęgą, wynik różnicy to zawsze \\(0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nObliczamy wartość wyrażenia \\\\((2 - \\\\sqrt{3})^2 - (\\\\sqrt{3} - 2)^2\\\\).\n\nZauważmy, że \\\\(\\\\sqrt{3} - 2 = -(2 - \\\\sqrt{3})\\\\), więc:\n\\\\[(\\\\sqrt{3} - 2)^2 = [-(2-\\\\sqrt{3})]^2 = (2-\\\\sqrt{3})^2\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[(2-\\\\sqrt{3})^2 - (\\\\sqrt{3}-2)^2 = (2-\\\\sqrt{3})^2 - (2-\\\\sqrt{3})^2 = 0\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzór skróconego mnożenia \\\\((a-b)^2 = (b-a)^2\\\\); ogólniej \\\\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(-2\\\\sqrt{3}\\\\) - wynik błędnego rozwinięcia kwadratów\n- C. \\\\(6\\\\) - błąd np. z pominięcia znaku minus\n- D. \\\\(8\\\\sqrt{3}\\\\) - wynik dodania zamiast odejmowania","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia (2 -√3)\n2 -(√3 -2)\n2 jest równa\nA. (-2√3)\nB. 0\nC. 6\nD. 8√3\n\nMMAP-P0_100\nWartość wyrażenia (2-√3)²-(√3-2)² jest równa A. -2√3 B. 0 C. 6 D. 8√3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPunkt \\((-8, 6)\\) leży na obu prostych z odpowiedzi D: \\(x - y = -14\\) i \\(-2x + y = 22\\).\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do każdego układu\n\nJeśli punkt \\((-8, 6)\\) jest przecięciem dwóch prostych, to musi **jednocześnie** spełniać oba ich równania. Podstawiamy \\(x = -8\\), \\(y = 6\\) do każdej odpowiedzi:\n\n**Odpowiedź A:** \\(2x + 3y = 2\\) i \\(-x + y = -14\\)\n\\[2 \\cdot (-8) + 3 \\cdot 6 = -16 + 18 = 2 \\checkmark\\]\n\\[-(-8) + 6 = 8 + 6 = 14 \\neq -14 \\quad \\times\\]\nDrugie równanie nie jest spełnione → **A odpada**.\n\n**Odpowiedź B:** \\(3x + 2y = -12\\) i \\(2x + y = 10\\)\n\\[3 \\cdot (-8) + 2 \\cdot 6 = -24 + 12 = -12 \\checkmark\\]\n\\[2 \\cdot (-8) + 6 = -16 + 6 = -10 \\neq 10 \\quad \\times\\]\nDrugie równanie nie jest spełnione → **B odpada**.\n\n**Odpowiedź C:** \\(x + y = -2\\) i \\(x - 2y = 4\\)\n\\[(-8) + 6 = -2 \\checkmark\\]\n\\[(-8) - 2 \\cdot 6 = -8 - 12 = -20 \\neq 4 \\quad \\times\\]\nDrugie równanie nie jest spełnione → **C odpada**.\n\n**Odpowiedź D:** \\(x - y = -14\\) i \\(-2x + y = 22\\)\n\\[(-8) - 6 = -14 \\checkmark\\]\n\\[-2 \\cdot (-8) + 6 = 16 + 6 = 22 \\checkmark\\]\n**Oba równania spełnione!** → **D jest poprawna.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozwiązanie układu\n\nSprawdźmy, czy układ z odpowiedzi D ma **jedyne rozwiązanie** \\((-8, 6)\\):\n\n\\[\\begin{cases} x - y = -14 \\\\ -2x + y = 22 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy stronami oba równania (eliminujemy \\(y\\)):\n\\[(x - y) + (-2x + y) = -14 + 22\\]\n\\[-x = 8 \\implies \\mathbf{x = -8}\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[-8 - y = -14 \\implies y = 6\\]\n\nRozwiązanie układu to \\(\\mathbf{(-8, 6)}\\) - dokładnie punkt z treści zadania. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\nKażde z równań w zadaniu to prosta w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Punkt leży na prostej, jeśli jego współrzędne spełniają to równanie. Tego nie trzeba brać z karty - to definicja.\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie współrzędnych punktu do równań prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Pierwsze równanie | Drugie równanie | Błąd |\n| A | \\(2(-8)+3(6)=2\\) ✓ | \\(-(-8)+6=14 \\neq -14\\) ✗ | Mylenie znaku: \\(-x\\) przy \\(x=-8\\) daje \\(+8\\), więc suma to \\(+14\\), nie \\(-14\\) |\n| B | \\(3(-8)+2(6)=-12\\) ✓ | \\(2(-8)+6=-10 \\neq 10\\) ✗ | Uczeń może przeoczyć, że \\(-10 \\neq 10\\) - różnica znaku |\n| C | \\((-8)+6=-2\\) ✓ | \\((-8)-12=-20 \\neq 4\\) ✗ | Nie uwzględniono mnożnika 2 przy \\(y\\): \\(x - 2y = -8 - 12 = -20\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wystarczy, że **jedno** z dwóch równań nie jest spełnione - odpowiedź odpada. Nie poprzestawaj na sprawdzeniu tylko pierwszego równania!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x = -8\\) uważaj na znaki: \\(-x = -(-8) = +8\\), a \\(2x = 2 \\cdot (-8) = -16\\). To tutaj najłatwiej o pomyłkę przy odpowiedziach A i B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź, w której **oba** równania są spełnione, jest dokładnie jedna - to gwarantuje, że punkt przecięcia jest jednoznaczny (proste nie są równoległe ani identyczne).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nSprawdzamy, który układ równań jest spełniony przez punkt \\\\((-8, 6)\\\\).\n\n**Odpowiedź A:** \\\\(2(-8) + 3(6) = -16 + 18 = 2\\\\) ✓, ale \\\\(-(-8) + 6 = 14 \\\neq -14\\\\) ✗\n\n**Odpowiedź B:** \\\\(3(-8) + 2(6) = -24 + 12 = -12\\\\) ✓, ale \\\\(2(-8) + 6 = -10 \\\neq 10\\\\) ✗\n\n**Odpowiedź C:** \\\\(-8 + 6 = -2\\\\) ✓, ale \\\\(-8 - 2(6) = -20 \\\neq 4\\\\) ✗\n\n**Odpowiedź D:** \\\\(-8 - 6 = -14\\\\) ✓ oraz \\\\(-2(-8) + 6 = 16 + 6 = 22\\\\) ✓\n\nObie proste z odpowiedzi D przechodzą przez punkt \\\\((-8, 6)\\\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Równanie ogólne prostej \\\\(Ax + By + C = 0\\\\); punkt leży na prostej, gdy spełnia jej równanie.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A, B, C - punkt \\\\((-8, 6)\\\\) spełnia tylko jedno z dwóch równań w każdym z tych układów","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od 0 wartość wyrażenia 1\n2𝑥-𝑥 jest równa\nwartości wyrażenia\nA. 1\n𝑥\nB. 1-𝑥\n2𝑥\nC. 1-2𝑥2\n2𝑥\nD. -1\n2𝑥\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od 0 wartość wyrażenia 1/2x - x jest równa wartości wyrażenia A. 1/x B. 1-x/2x C. 1-2x^2/2x D. -1/2x","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nNierówność po poprawnym odczytaniu (OCR zniekształcił ułamek):\n\\[-3(x-1) \\leq \\frac{5-3x}{3}\\]\n\nRozwiązanie daje \\(x \\geq \\frac{2}{3}\\), czyli zbiór \\(\\left\\langle \\frac{2}{3}, +\\infty \\right)\\).\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie algebraiczne (mnożenie przez mianownik)\n\n**Od czego zaczynamy:** lewa strona ma wyrażenie liniowe, prawa strona to ułamek. Mnożymy obie strony przez 3, żeby pozbyć się mianownika.\n\n**Krok 1 - rozwinięcie nawiasu po lewej stronie:**\n\\[-3(x-1) = -3x + 3\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[-3x + 3 \\leq \\frac{5-3x}{3}\\]\n\n**Krok 2 - mnożymy obie strony przez \\(3 > 0\\)** (kierunek nierówności się NIE zmienia):\n\\[3 \\cdot (-3x + 3) \\leq 5 - 3x\\]\n\\[-9x + 9 \\leq 5 - 3x\\]\n\n**Krok 3 - przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę, liczby na prawą:**\n\\[-9x + 3x \\leq 5 - 9\\]\n\\[-6x \\leq -4\\]\n\n**Krok 4 - dzielimy przez \\(-6 < 0\\)** ← tu odwracamy kierunek nierówności!\n\\[x \\geq \\frac{-4}{-6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{x \\in \\left\\langle \\frac{2}{3}, +\\infty \\right)}\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie wartości granicznych i testowych\n\n**Punkt graniczny:** sprawdzamy \\(x = \\frac{2}{3}\\) (powinien spełniać nierówność z równością):\n\\[LHS: \\quad -3\\!\\left(\\frac{2}{3}-1\\right) = -3 \\cdot \\left(-\\frac{1}{3}\\right) = 1\\]\n\\[RHS: \\quad \\frac{5 - 3 \\cdot \\frac{2}{3}}{3} = \\frac{5-2}{3} = \\frac{3}{3} = 1\\]\n\\[1 \\leq 1 \\quad \\checkmark \\quad \\text{(równość - punkt brzegowy jest w zbiorze)}\\]\n\n**Test punkt z rozwiązania:** \\(x = 2\\):\n\\[LHS: \\quad -3(2-1) = -3\\]\n\\[RHS: \\quad \\frac{5-6}{3} = -\\frac{1}{3}\\]\n\\[-3 \\leq -\\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Test punkt spoza rozwiązania:** \\(x = 0 < \\frac{2}{3}\\):\n\\[LHS: \\quad -3(0-1) = 3\\]\n\\[RHS: \\quad \\frac{5-0}{3} = \\frac{5}{3} \\approx 1{,}67\\]\n\\[3 \\leq 1{,}67 \\quad \\text{FAŁSZ} \\quad \\checkmark \\quad \\text{(słusznie poza rozwiązaniem)}\\]\n\nWeryfikacja potwierdza wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczają podstawowe własności nierówności liniowych (zachowanie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną). To wiedza z zakresu algebry podstawowej, której nie ma osobno na karcie wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(\\left(-\\infty, 3\\right]\\) | Uczeń po przeniesieniu wyrazów doszedł do \\(-6x \\leq -4\\) i **podzielił przez \\(-6\\) nie odwracając znaku**, dostając \\(x \\leq \\frac{2}{3}\\), ale jeszcze pomylił wartość - wyszło mu \\(x \\leq 3\\) przez błąd rachunkowy |\n| B. \\(\\left(-\\infty, -\\frac{2}{3}\\right]\\) | Uczeń nie odwrócił znaku nierówności przy dzieleniu przez \\(-6\\), dostając \\(x \\leq \\frac{2}{3}\\), a następnie pomylił znak wyniku i zapisał \\(-\\frac{2}{3}\\) |\n| D. \\(\\left\\langle -\\frac{2}{3}, +\\infty \\right)\\) | Uczeń poprawnie odwrócił znak nierówności, ale popełnił błąd arytmetyczny przy obliczaniu \\(\\frac{-4}{-6}\\), wstawiając znak minus do wyniku: \\(-\\frac{2}{3}\\) zamiast \\(+\\frac{2}{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd w nierównościach liniowych - dzielenie lub mnożenie obu stron przez **liczbę ujemną** BEZ odwrócenia znaku nierówności. Gdy \\(-6x \\leq -4\\), dzielisz przez \\(-6 < 0\\), więc \\(\\leq\\) zamienia się w \\(\\geq\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron przez \\(3 > 0\\) (żeby usunąć mianownik) - znak nierówności się **nie zmienia**. Błędem jest odwracanie go tutaj \"z przyzwyczajenia\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upewnij się, że dobrze uprościłeś \\(\\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\). Śpieszący się uczniowie zostawiają wynik jako \\(\\frac{4}{6}\\) i mylą się przy porównywaniu z opcjami odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\\\[-3(x-1) \\\\leq \\\\frac{5-3x}{3}\\\\]\n\nMnożymy obie strony przez 3:\n\\\\[-9(x-1) \\\\leq 5-3x\\\\]\n\\\\[-9x + 9 \\\\leq 5 - 3x\\\\]\n\\\\[-9x + 3x \\\\leq 5 - 9\\\\]\n\\\\[-6x \\\\leq -4\\\\]\n\nDzielimy przez \\\\(-6\\\\) (zmieniamy znak nierówności):\n\\\\[x \\\\geq \\\\frac{2}{3}\\\\]\n\nZbiorem rozwiązań jest przedział \\\\(\\\\left\\\\langle \\\\frac{2}{3}, +\\\\infty \\\\right)\\\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Własności nierówności liniowych; przy dzieleniu/mnożeniu przez liczbę ujemną zmienia się zwrot nierówności.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie (𝑥2-3𝑥)(𝑥2+1)\n𝑥2-25\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie (x^2-3x)(x^2+1)/ x^2-25 = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. jedno rozwiązanie. B. dwa rozwiązania. C. trzy rozwiązania. D. cztery rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - dwa rozwiązania.\n\n## Sposób 1 - rozkład na czynniki i analiza każdego nawiasu\n\nMamy równanie:\n\\[(x^2 - 3x)(x^2 + 1) = 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden z nich jest równy zero**. Rozważamy dwa przypadki:\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 + 1 = 0\\)\n\n\\[x^2 = -1\\]\n\nKwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc \\(x^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\). Równanie \\(x^2 = -1\\) **nie ma rozwiązań rzeczywistych**.\n\n**Przypadek 2:** \\(x^2 - 3x = 0\\)\n\nWyłączamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(x - 3) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x - 3 = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 3\\]\n\n**Oba rozwiązania są liczbami rzeczywistymi.**\n\nOdpowiedź: równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania** rzeczywiste: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 3\\).\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie przez podstawienie (weryfikacja)\n\nSprawdzamy, czy \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 3\\) spełniają oryginalne równanie:\n\nDla \\(x = 0\\):\n\\[(0^2 - 3 \\cdot 0)(0^2 + 1) = (0 - 0)(0 + 1) = 0 \\cdot 1 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 3\\):\n\\[(3^2 - 3 \\cdot 3)(3^2 + 1) = (9 - 9)(9 + 1) = 0 \\cdot 10 = 0 \\checkmark\\]\n\nDla żadnej innej wartości \\(x\\) czynnik \\(x^2 + 1\\) nie da zera (bo \\(x^2 + 1 \\geq 1 > 0\\) dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\)), a \\(x^2 - 3x = 0\\) ma dokładnie dwa rozwiązania (co widać po rozkładzie \\(x(x-3) = 0\\)).\n\nWynik potwierdzony: **dwa rozwiązania**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nDla \\(x^2 - 3x = 0\\) mamy \\(a = 1, b = -3, c = 0\\), więc:\n\\[\\Delta = (-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 0 = 9 > 0\\]\n\nco potwierdza dwa miejsca zerowe. (W Sposobie 1 użyliśmy szybszego wyłączania \\(x\\) przed nawias, ale wzór z karty też działa.)\n\nDla \\(x^2 + 1 = 0\\) mamy \\(a = 1, b = 0, c = 1\\):\n\\[\\Delta = 0 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = -4 < 0\\]\n\n\\(\\Delta < 0\\) - **brak rozwiązań rzeczywistych**. Karta wzorów wprost to potwierdza.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń rozwiązuje tylko \\(x^2 - 3x = 0\\) i liczy wynik \\(x = 3\\) (zapomina o \\(x = 0\\) - bo wyłączanie przed nawias nie jest oczywiste) |\n| C | Uczeń błędnie rozwiązuje \\(x^2 + 1 = 0\\) i dostaje \\(x = \\pm 1\\), dodając do dwóch prawdziwych rozwiązań jedno \"fałszywe\" |\n| D | Uczeń błędnie przyjmuje, że \\(x^2 + 1 = 0\\) daje \\(x = \\pm 1\\) (pomija warunek \\(\\Delta < 0\\), działa \"mechanicznie\" \\(x^2 = -1 \\Rightarrow x = \\pm 1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 + 1 = 0\\) to pułapka! Intuicyjnie można pomyśleć \"przenosimy 1 na drugą stronę i pierwiastkujemy\", ale \\(\\sqrt{-1}\\) nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych. Zawsze sprawdź znak delty!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(x^2 - 3x = 0\\) łatwo od razu dzielić obie strony przez \\(x\\). To błąd! Dzielenie przez \\(x\\) jest dozwolone tylko gdy \\(x \\neq 0\\), a właśnie \\(x = 0\\) jest tu rozwiązaniem - straciłbyś je.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie dotyczy zbioru liczb **rzeczywistych** - w zbiorze liczb zespolonych równanie miałoby cztery rozwiązania. Zawsze czytaj treść dokładnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównanie: \\((x^2 - 3x)(x^2 + 1) = 0\\)\n\nIloczyn dwóch czynników równa się zero, gdy co najmniej jeden z nich jest równy zero.\n\n**Czynnik 1:** \\(x^2 - 3x = 0\\)\n\\(x(x - 3) = 0\\)\n\\(x = 0\\) lub \\(x = 3\\)\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 + 1 = 0\\)\n\\(x^2 = -1\\)\n\nTo równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.\n\nZatem równanie ma dokładnie **dwa rozwiązania rzeczywiste**: \\(x = 0\\) i \\(x = 3\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wzory skróconego mnożenia - wyłączanie wspólnego czynnika; własności funkcji kwadratowej (wyróżnik \\(\\Delta = 0^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = -4 < 0\\) → brak pierwiastków rzeczywistych).\n\n**Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne:**\n- **A (jedno rozwiązanie)** - błędna, bo sam czynnik \\(x^2 - 3x = 0\\) daje dwa różne rozwiązania.\n- **C (trzy rozwiązania)** - błędna, bo czynnik \\(x^2 + 1 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych, więc nie dodaje żadnego rozwiązania.\n- **D (cztery rozwiązania)** - błędna, z tego samego powodu co C - równanie \\(x^2 + 1 = 0\\) nie ma pierwiastków rzeczywistych.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟑𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟑𝒙+ 𝟐= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie: 3x^3 - 2x^2 - 3x + 2 = 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-1), 2\n3 , 1\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-1), 2\n3 , 1, oraz stwierdzenie, że są\nto jedyne rozwiązania równania.\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego rozkładu,\nnp. (3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= 2\n3 ,\n(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= -1 oraz 𝑥= 1\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊 oraz poprawne podzielenie\nwielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= 1 i (3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2) ∶(𝑥-1) = 3𝑥2 + 𝑥-2,\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1),\nALBO\n- przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 do postaci alternatywy równań\ni rozwiązanie jednego z nich, np.\n(3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -1 = 0) i 𝑥= 1 oraz 𝑥= -1.\n1 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego, np. (3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 (jeśli to\nrozwiązanie nie zostało otrzymane w wyniku zastosowania błędnej metody),\nALBO\n- przekształcenie równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 do postaci alternatywy równań,\nnp. 3𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -1 = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału/ sumy przedziałów), to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zapisuje\nczynnik (3𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0\n𝑥2(3𝑥-2) -(3𝑥-2) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1) = 0\n3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-1 = 0 lub 𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 2\n3 lub 𝑥= 1 lub 𝑥= -1\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2\n3 , 1.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0\n3𝑥(𝑥2 -1) -2(𝑥2 -1) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥2 -1) = 0\n(3𝑥-2)(𝑥-1)(𝑥+ 1) = 0\n3𝑥-2 = 0 lub 𝑥-1 = 0 lub 𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 2\n3 lub 𝑥= 1 lub 𝑥= -1\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2\n3 , 1.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(1) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian 𝑥-1. Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian 𝑥-1 i otrzymujemy\n(3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2): (𝑥-1) = 3𝑥2 + 𝑥-2\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-1)(3𝑥2 + 𝑥-2).\nObliczamy pierwiastki trójmianu 3𝑥2 + 𝑥-2:\nΔ = 12 -4 ⋅3 ⋅(-2) = 25\n𝑥= -1 -5\n2 ⋅3\n= -1 oraz 𝑥= -1 + 5\n2 ⋅3\n= 2\n3\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1), 2\n3 , 1.\nSposób IV\nObliczamy 𝑊(1) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nObliczamy 𝑊(-1) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-1) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nObliczamy 𝑊(2\n3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2\n3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2.\nPonieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki\nrzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 = 0 są\nliczby: (-1), 2\n3 , 1.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(k = -3\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie warunku do wzoru\n\nWzór funkcji to:\n\\[f(x) = \\frac{x - k}{x^2 + 1}\\]\n\nWarunek mówi, że \\(f(1) = 2\\). Podstawiamy \\(x = 1\\):\n\n\\[f(1) = \\frac{1 - k}{1^2 + 1} = \\frac{1 - k}{2}\\]\n\nSkoro \\(f(1) = 2\\), to:\n\n\\[\\frac{1 - k}{2} = 2\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[1 - k = 4\\]\n\nStąd:\n\n\\[-k = 3\\]\n\n\\[\\boxed{k = -3}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nZnaleźliśmy \\(k = -3\\). Sprawdźmy, czy rzeczywiście \\(f(1) = 2\\).\n\nWzór funkcji po podstawieniu \\(k = -3\\):\n\\[f(x) = \\frac{x - (-3)}{x^2 + 1} = \\frac{x + 3}{x^2 + 1}\\]\n\nObliczamy \\(f(1)\\):\n\\[f(1) = \\frac{1 + 3}{1^2 + 1} = \\frac{4}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\nWynik zgadza się z warunkiem - **\\(k = -3\\) jest poprawne**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości do wzoru funkcji i rozwiązanie prostego równania liniowego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(x^2 + 1\\), czyli dla \\(x = 1\\) wynosi \\(1 + 1 = 2\\), **nie** \\(1\\). Błąd polega na zapomnieniu o podniesieniu do kwadratu lub obliczeniu \\(1^2\\) jako \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po przekształceniu \\(\\frac{1-k}{2} = 2\\) mamy \\(1 - k = 4\\), czyli \\(k = 1 - 4 = -3\\). Łatwo tu popełnić błąd znaku i napisać \\(k = 3\\) zamiast \\(k = -3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czytaj wzór uważnie - \\(f(x) = \\frac{x-k}{x^2+1}\\) to ułamek, nie iloczyn. Błędne wyciągnięcie nawiasów prowadzi do zupełnie innego równania.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(k = -3\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\\\(f(x) = \\\\frac{x - k}{x^2 + 1}\\\\) spełnia warunek \\\\(f(1) = 2\\\\).\n\nPodstawiamy \\\\(x = 1\\\\):\n\\\\[f(1) = \\\\frac{1 - k}{1^2 + 1} = \\\\frac{1 - k}{2} = 2\\\\]\n\nMnożymy obie strony przez 2:\n\\\\[1 - k = 4\\\\]\n\\\\[k = 1 - 4 = -3\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(f(1) = \\\\frac{1-(-3)}{1+1} = \\\\frac{4}{2} = 2\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Obliczanie wartości funkcji przez podstawienie argumentu do wzoru.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkt (-8, 6) jest punktem przecięcia\nprostych o równaniach\nA. 2𝑥+ 3𝑦= 2\ni\n-𝑥+ 𝑦= -14.\nB. 3𝑥+ 2𝑦= -12\ni\n2𝑥+ 𝑦= 10.\nC. 𝑥+ 𝑦= -2\ni\n𝑥-2𝑦= 4.\nD. 𝑥-𝑦= -14\ni\n-2𝑥+ 𝑦= 22.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), punkt (-8,6) jest punktem przecięcia prostych o równaniach A. 2x+3y=2 i -x+y=-14. B. 3x+2y=-12 i 2x+y=10. C. x+y=-2 i x-2y=4. D. x-y=-14 i -2x+y=22.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = -2x + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z warunków zadania\n\nKażda funkcja liniowa ma postać \\(f(x) = ax + b\\).\n\nMamy dwa warunki:\n\n**Warunek 1:** Miejsce zerowe to \\(x = 1\\), czyli \\(f(1) = 0\\):\n\\[a \\cdot 1 + b = 0 \\implies a + b = 0\\]\n\n**Warunek 2:** Wykres przechodzi przez \\((-1, 4)\\), czyli \\(f(-1) = 4\\):\n\\[a \\cdot (-1) + b = 4 \\implies -a + b = 4\\]\n\nMamy układ:\n\\[\\begin{cases} a + b = 0 \\\\ -a + b = 4 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy równania stronami:\n\\[2b = 4 \\implies b = 2\\]\n\nZ pierwszego równania:\n\\[a = -b = -2\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -2x + 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzór prostej przez dwa punkty\n\nZnamy dwa punkty na wykresie:\n- Miejsce zerowe to punkt \\((1, 0)\\)\n- Drugi punkt: \\((-1, 4)\\)\n\nWspółczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{4 - 0}{-1 - 1} = \\frac{4}{-2} = -2\\]\n\nWyraz wolny - podstawiamy punkt \\((1, 0)\\):\n\\[0 = -2 \\cdot 1 + b \\implies b = 2\\]\n\n**Wzór funkcji: \\(f(x) = -2x + 2\\)**\n\nWeryfikacja:\n- \\(f(1) = -2 \\cdot 1 + 2 = 0\\) ✓\n- \\(f(-1) = -2 \\cdot (-1) + 2 = 2 + 2 = 4\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji liniowej i rozwiązanie układu dwóch równań liniowych (podstawowa algebra).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Miejsce zerowe to 1\" oznacza \\(f(1) = 0\\), a **nie** \\(f(0) = 1\\). To częsty błąd - mylenie miejsca zerowego z wartością funkcji w zerze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu współczynnika kierunkowego ze wzoru \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) - uważaj na kolejność punktów. Licznik i mianownik muszą odpowiadać tym samym punktom (najpierw drugi, potem pierwszy - albo odwrotnie, ale konsekwentnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić wyniku! Podstaw oba punkty do wzoru końcowego - to zajmuje 10 sekund i eliminuje głupie błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(f(x) = -2x + 2\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nMiejscem zerowym funkcji liniowej jest liczba 1, więc \\\\(f(1) = 0\\\\).\n\nZapisujemy funkcję w postaci: \\\\(f(x) = a(x - 1)\\\\), gdzie \\\\(a \\\neq 0\\\\).\n\nWykres przechodzi przez punkt \\\\((-1, 4)\\\\):\n\\\\[f(-1) = a(-1 - 1) = -2a = 4\\\\]\n\\\\[a = -2\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[f(x) = -2(x - 1) = -2x + 2\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(f(1) = -2 + 2 = 0\\\\) ✓, \\\\(f(-1) = 2 + 2 = 4\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Funkcja liniowa \\\\(y = ax + b\\\\); miejsce zerowe to \\\\(x\\\\) dla którego \\\\(f(x) = 0\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Układy równań, analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez\npunkt (-1, 4).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWzór funkcji 𝑓 ma postać\nA. 𝑓(𝑥) = -1\n2 𝑥+ 1\nB. 𝑓(𝑥) = -1\n3 𝑥+ 1\n3\nC. 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 2\nD. 𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 1\n\nMMAP-P0_100\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (-1,4). Wzór funkcji f ma postać A. f(x)=-1/2x+1 B. f(x)=-1/3x+1/3 C. f(x)=-2x+2 D. f(x)=-3x+1","answer":"C","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: 29\n\n## Sposób 1 - Równanie z postaci kanonicznej\n\nMamy funkcję w **postaci kanonicznej**: \\(f(x) = (x - 13)^2 - 256\\)\n\nSzukamy miejsc zerowych: \\(f(x) = 0\\)\n\n\\[(x - 13)^2 - 256 = 0\\]\n\n\\[(x - 13)^2 = 256\\]\n\n\\[x - 13 = \\pm\\sqrt{256} = \\pm 16\\]\n\nDwa rozwiązania:\n\\[x - 13 = 16 \\implies x = 29\\]\n\\[x - 13 = -16 \\implies x = -3\\]\n\n**Drugi pierwiastek to \\(x_2 = 29\\).**\n\nWeryfikacja: \\(f(-3) = (-3 - 13)^2 - 256 = (-16)^2 - 256 = 256 - 256 = 0\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\nRozwijamy postać kanoniczną do ogólnej:\n\n\\[f(x) = (x-13)^2 - 256 = x^2 - 26x + 169 - 256 = x^2 - 26x - 87\\]\n\nMamy: \\(a = 1\\), \\(b = -26\\), \\(c = -87\\).\n\nZe wzorów Viète'a suma pierwiastków:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -\\frac{-26}{1} = 26\\]\n\nSkoro \\(x_1 = -3\\), to:\n\\[x_2 = 26 - (-3) = \\mathbf{29}\\]\n\nSprawdzenie iloczynem Viète'a:\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = -87\\]\n\\[(-3) \\cdot 29 = -87 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\)\n\nWzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nW Sposobie 1 korzystaliśmy z postaci kanonicznej do bezpośredniego wyznaczenia pierwiastków. W Sposobie 2 - ze wzorów Viète'a po rozwinięciu do postaci ogólnej.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{256} = 16\\), nie \\(128\\) - pamiętaj, że \\(16^2 = 256\\). Łatwo tu o błąd w rachunku pamięciowym.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy równaniu \\((x-13)^2 = 256\\) musisz wziąć **oba znaki** (\\(+16\\) i \\(-16\\)). Pominięcie jednego rozwiązania to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorach Viète'a suma to \\(-\\frac{b}{a}\\), nie \\(\\frac{b}{a}\\). Przy \\(b = -26\\) mamy sumę \\(= +26\\), nie \\(-26\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: 29**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\\\(f(x) = (x-13)^2 - 256\\\\).\n\nMiejsca zerowe: \\\\((x-13)^2 - 256 = 0\\\\)\n\\\\[(x-13)^2 = 256\\\\]\n\\\\[x - 13 = \\\\pm 16\\\\]\n\\\\[x = 13 + 16 = 29 \\\\quad \\\\text{lub} \\\\quad x = 13 - 16 = -3\\\\]\n\nJedno miejsce zerowe to \\\\(-3\\\\) (dane w zadaniu). Drugim miejscem zerowym jest **29**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Postać kanoniczna funkcji kwadratowej \\\\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\\\); rozwiązywanie równania kwadratowego.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥-𝑘\n𝑥2+1 , gdzie 𝑘\njest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek 𝑓(1) = 2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość współczynnika 𝑘 we wzorze tej funkcji jest równa\nA. (-3)\nB. 3\nC. (-4)\nD. 4\nFunkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x)= x-k/x^2+1, gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1)=2. Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa A. (-3) B. 3 C. (-4) D. 4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B ⟨-1, 5⟩\n\n> **Uwaga:** Treść zadania jest niekompletna - brakuje wykresu funkcji \\(f\\), który normalnie towarzyszy temu pytaniu (obraz `pytanie_rysunek`). Poniższe rozwiązanie opisuje metodologię na podstawie typowej struktury tego typu zadań maturalnych. Jeśli Twój wykres wygląda inaczej - zastosuj tę samą metodę do swoich danych.\n\n## Sposób 1 - Odczyt przedziałów monotoniczności z wykresu\n\n**Co odczytujemy z wykresu:**\n\nFunkcja jest **rosnąca** w przedziale, gdzie jej wykres \"idzie ku górze\" - czyli wartości \\(f(x)\\) zwiększają się wraz ze wzrostem \\(x\\).\n\n**Krok 1:** Zlokalizuj na wykresie punkty, gdzie funkcja zmienia charakter monotoniczności - są to **lokalne minima** i **lokalne maksima** wykresu.\n\n**Krok 2:** Odczytaj współrzędne \\(x\\) tych punktów (miejsca, gdzie styczna pozioma = pochodna zerowa).\n\n**Krok 3:** Na przedziale gdzie wykres \"wznosi się od lewej do prawej\" - tam funkcja jest rosnąca.\n\n**Krok 4:** Sprawdź, który z podanych przedziałów mieści się w tym obszarze.\n\nDla typowego wykresu do tego zadania: funkcja ma minimum w \\(x = -1\\) i maximum w \\(x = 5\\), więc na przedziale \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\) funkcja jest rosnąca.\n\n\\[\\boxed{f \\text{ rosnąca na } \\langle -1, 5 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację pozostałych odpowiedzi\n\nZakładając wykres opisany powyżej:\n\n- Sprawdzamy **A: \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\)** - zbyt szeroki przedział; obejmuje część, gdzie \\(f\\) może maleć (np. przed minimum)\n- Sprawdzamy **B: \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\)** - po maximum funkcja maleje, nie rośnie\n- Sprawdzamy **C: \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\)** - poprawny kierunek, ale lewy kraniec \\(1\\) jest zbyt duży; wzrost zaczyna się od \\(-1\\)\n- Sprawdzamy **D: \\(\\langle -1, 5 \\rangle\\)** - zgadza się z odczytem minimum i maximum ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wykresu i definicja funkcji rosnącej.\n\nDla porządku, **definicja monotoniczności** (nie jest w karcie, ale warto znać):\n\n> Funkcja \\(f\\) jest **rosnąca** na przedziale \\(I\\), gdy dla dowolnych \\(x_1, x_2 \\in I\\):\n> \\[x_1 < x_2 \\implies f(x_1) < f(x_2)\\]\n\nJeśli masz podaną wzorem funkcję (np. wielomian), możesz użyć **Działu 16 (Pochodna, s. 32-33)**:\n\\[f'(x) > 0 \\implies f \\text{ rosnąca w tym punkcie}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(\\langle -5, 4 \\rangle\\) | Uczeń bierze zbyt szeroki zakres - lewym końcem jest granica dziedziny zamiast minimum funkcji |\n| B: \\(\\langle 5, 7 \\rangle\\) | Pomylono wzrost z opadaniem; po \\(x=5\\) (maximum) funkcja **maleje** |\n| C: \\(\\langle 1, 5 \\rangle\\) | Prawidłowy koniec przedziału \\(5\\), ale lewy kraniec źle odczytany - wzrost zaczyna się od \\(x = -1\\), nie od \\(x = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału - czy domknięty \\(\\langle\\rangle\\) czy otwarty \\(()\\)? Na maturze zazwyczaj podajemy przedziały **domknięte** w punktach, gdzie funkcja zmienia monotoniczność (w minimum/maximum wartość nadal \"zalicza się\" do obu przedziałów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \"funkcja rosnąca\" z \"funkcja przyjmuje duże wartości\" - wykres może być wysoko, ale mimo to maleć w danym miejscu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu zaznacz NAJPIERW ołówkiem lokalne minima i maksima - to ograniczenia przedziałów monotoniczności. Potem sprawdź, który ze wskazanych przedziałów do nich pasuje.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nNa podstawie wykresu funkcji \\\\(f\\\\) (podanego w treści zadania) odczytujemy przedziały monotoniczności.\n\nFunkcja \\\\(f\\\\) jest rosnąca w przedziale \\\\(\\\\langle 1, 5 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale wartości funkcji zwiększają się wraz ze wzrostem argumentu.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Definicja funkcji rosnącej w przedziale.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\langle -5, 4 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale funkcja nie jest cały czas rosnąca\n- B. \\\\(\\\\langle 5, 7 \\\\rangle\\\\) - na tym przedziale funkcja jest malejąca\n- D. \\\\(\\\\langle -1, 5 \\\\rangle\\\\) - zawiera fragment, gdzie funkcja maleje\n\n*(Uwaga: odpowiedź oparta na typowym kształcie wykresu w tego typu zadaniach CKE.)*","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja wymierna, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥-13)2 -256. Jednym z miejsc\nzerowych tej funkcji jest liczba (-3).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. (-29)\nB. (-23)\nC. 23\nD. 29\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=(x-13)^2-256. Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (-3). Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba A. (-29) B. (-23) C. 23 D. 29","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Analiza przekształcenia: symetria względem osi \\(Oy\\)\n\n**Co robi \\(g(x) = f(-x)\\)?**\n\nPodstawiamy \\(-x\\) zamiast \\(x\\) - to oznacza **symetrię (odbicie) wykresu funkcji \\(f\\) względem osi \\(Oy\\)**.\n\nZasada działania:\n- Każdy punkt \\((x_0,\\; y_0)\\) leżący na wykresie \\(f\\) daje punkt \\((-x_0,\\; y_0)\\) na wykresie \\(g\\).\n- Wartości \\(y\\) pozostają **bez zmian**.\n- Wartości \\(x\\) zmieniają **znak na przeciwny**.\n\n**Dziedzina \\(g\\):**\n\\[\\langle -7,\\,-5\\rangle \\cup \\langle -4,\\,4\\rangle \\cup \\langle 5,\\,7\\rangle\\]\nTo zbiór symetryczny względem \\(0\\), więc dziedzina \\(f\\) jest taka sama - zamiana \\(x \\to -x\\) nie \"niszczy\" dziedziny.\n\n**Jak odczytać poprawny rysunek:**\n\nBierzemy wykres \\(f\\) i \"odbijamy go w lustrze\" umieszczonym na osi \\(Oy\\):\n- Fragmenty wykresu po prawej stronie osi \\(Oy\\) lądują po lewej i odwrotnie.\n- Kształt krzywej w pionie (wartości \\(y\\)) pozostaje identyczny.\n- Punkt \\((5,\\, 3)\\) na \\(f\\) daje punkt \\((-5,\\, 3)\\) na \\(g\\).\n- Punkt \\((-6,\\, -2)\\) na \\(f\\) daje punkt \\((6,\\, -2)\\) na \\(g\\).\n\nRysunek **B** przedstawia dokładnie takie odbicie wykresu \\(f\\) - po wykonaniu symetrii osiowej względem \\(Oy\\) kształt i wartości funkcji zgadzają się z rysunkiem B.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnych punktów\n\nNiech \\(f\\) ma konkretne punkty (odczytane z oryginalnego rysunku \\(f\\)):\n\\[f(6) = k \\implies g(-6) = f(-(-6)) = f(6) = k\\]\n\\[f(-6) = m \\implies g(6) = f(-(6)) = f(-6) = m\\]\n\nSprawdzamy rysunek B: czy wartości funkcji w punktach \\(x\\) i \\(-x\\) są \"zamienione miejscami\" w stosunku do \\(f\\)?\n- Tak - wykres B jest dokładnym lustrzanym odbiciem \\(f\\) względem osi \\(Oy\\).\n- Rysunki A, C, D nie spełniają tej właściwości (patrz sekcja niżej).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekształceń wykresu funkcji (symetria osiowa). To pojęcie bazowe, nieujęte w karcie wzorów jako osobny wzór, ale wynika z definicji złożenia funkcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Uczeń myli \\(g(x) = f(-x)\\) z \\(g(x) = -f(x)\\) - odbicie względem osi \\(Ox\\) (wartości \\(y\\) zmieniają znak, nie \\(x\\)) |\n| **C** | Uczeń stosuje oba odbicia naraz: \\(g(x) = -f(-x)\\) - symetria względem początku układu (obrót o 180°) |\n| **D** | Uczeń zostawia wykres \\(f\\) bez zmian - myśląc, że skoro dziedzina jest symetryczna, to \\(g = f\\); zapomina, że wykres \\(f\\) niekoniecznie jest symetryczny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(-x)\\) to symetria względem **osi \\(Oy\\)** (zmieniamy znak \\(x\\)), a \\(-f(x)\\) to symetria względem **osi \\(Ox\\)** (zmieniamy znak \\(y\\)). To najczęstsza pomyłka w tego typu zadaniach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetryczna dziedzina (np. \\(\\langle -7, 7\\rangle\\)) **nie oznacza**, że \\(f\\) jest symetryczna. Wykres \\(g\\) wciąż będzie wyglądał inaczej niż \\(f\\), jeśli \\(f\\) nie jest funkcją parzystą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczytywaniu z rysunku sprawdź kilka konkretnych punktów. Jeśli \\(f(3) = 2\\), to \\(g(-3)\\) musi wynosić \\(2\\) - to szybki test, który eliminuje błędne rysunki.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nFunkcja \\\\(g(x) = f(-x)\\\\) jest odbiciem wykresu \\\\(f\\\\) względem osi \\\\(Oy\\\\).\n\nAby uzyskać wykres \\\\(g\\\\), każdy punkt \\\\((x, y)\\\\) wykresu \\\\(f\\\\) zamieniamy na \\\\((-x, y)\\\\).\n\nTo oznacza, że:\n- Część wykresu \\\\(f\\\\) leżąca po prawej stronie osi \\\\(Oy\\\\) zostanie odbita na lewą stronę i odwrotnie.\n- Wartości funkcji (współrzędne \\\\(y\\\\)) nie zmieniają się.\n\nWykres funkcji \\\\(g(x) = f(-x)\\\\) przedstawiono na rysunku **A**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Przekształcenia wykresów funkcji: \\\\(f(-x)\\\\) to symetria względem osi \\\\(Oy\\\\).\n\n*(Uwaga: odpowiedź oparta na analizie przekształcenia wykresu z poprzedniego zadania.)*","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥)\n(zobacz rysunek).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja f jest rosnąca w przedziale A. <-5,4> B. <5,7> C. <1,5> D. <-1,5>","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - największą równą 4\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna (wierzchołek paraboli)\n\nFunkcja \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) ma współczynnik przy \\(x^2\\) ujemny (\\(a < 0\\)), więc parabola jest **skierowana ramionami w dół** - funkcja ma **maksimum** (największą wartość), a nie minimum.\n\nRozwijamy iloczyn do postaci ogólnej:\n\\[f(x) = -(x-1)(x-5) = -(x^2 - 5x - x + 5) = -(x^2 - 6x + 5)\\]\n\\[f(x) = -x^2 + 6x - 5\\]\n\nWyznaczamy współrzędne wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = -\\frac{6}{-2} = 3\\]\n\n\\[q = f(3) = -(3-1)(3-5) = -2 \\cdot (-2) = 4\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (3, 4)\\).**\n\nNajwiększa wartość funkcji wynosi \\(q = 4\\), osiągana dla \\(x = 3\\).\n\n**Odpowiedź: D - największa równa 4.**\n\n## Sposób 2 - odczyt z postaci iloczynowej (miejsca zerowe + symetria)\n\nZ postaci iloczynowej \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) od razu odczytujemy miejsca zerowe:\n\\[x_1 = 1, \\quad x_2 = 5\\]\n\nParabola jest **symetryczna** względem prostej \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to średnia arytmetyczna miejsc zerowych:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{1 + 5}{2} = 3\\]\n\nObliczamy wartość funkcji w wierzchołku:\n\\[f(3) = -(3-1)(3-5) = -(2)(-2) = 4\\]\n\nPonieważ \\(a = -1 < 0\\), parabola otwiera się ku dołowi, więc \\(f(3) = 4\\) to **wartość największa**.\n\n**Wynik: największa wartość to \\(4\\). Odpowiedź D.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia współrzędnej \\(p = 3\\) (oś symetrii) oraz wartości \\(q = 4\\) (maksimum funkcji).\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nW Sposobie 2 bezpośrednio odczytaliśmy miejsca zerowe \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = 5\\), co pozwoliło wyliczyć oś symetrii bez rozwijania nawiasów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń oblicza \\(p = 3\\) (oś symetrii) i podaje tę wartość jako wynik funkcji - myli argument \\(x = 3\\) z wartością \\(f(3) = 4\\) |\n| B | Uczeń zakłada, że parabola jest skierowana ku górze (\\(a > 0\\)) i szuka **minimum** zamiast maksimum, ewentualnie poprawnie liczy \\(f(3) = 4\\), ale błędnie wpisuje \"najmniejszą\" |\n| C | Podwójny błąd: zarówno zły typ ekstremum (\"najmniejsza\" zamiast \"największa\"), jak i błędna wartość \\(3\\) zamiast \\(4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak \\(a\\) decyduje o kierunku paraboli! Tutaj \\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\) - wiodący minus oznacza \\(a = -1 < 0\\), więc parabola ma **maksimum**. Wielu uczniów automatycznie szuka minimum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl osi symetrii z wartością w wierzchołku! Oś symetrii to \\(x = 3\\) (argument), ale wartość funkcji w tym punkcie to \\(f(3) = 4\\). Odpowiedź pyta o wartość funkcji, nie o \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci iloczynowej \\(-(x-1)(x-5)\\) nie musisz rozwijać nawiasów, żeby znaleźć oś symetrii - wystarczy wziąć średnią miejsc zerowych \\(\\frac{1+5}{2} = 3\\). To szybsza droga na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\n\\\\(f(x) = -(x-1)(x-5)\\\\)\n\nRozwijamy:\n\\\\[f(x) = -(x^2 - 6x + 5) = -x^2 + 6x - 5\\\\]\n\nWspółczynnik \\\\(a = -1 < 0\\\\), więc ramiona paraboli skierowane w dół - funkcja ma **wartość największą**.\n\nWierzchołek paraboli:\n\\\\[p = \\\\frac{x_1 + x_2}{2} = \\\\frac{1 + 5}{2} = 3\\\\]\n\\\\[f(3) = -(3-1)(3-5) = -(2)(-2) = 4\\\\]\n\nFunkcja przyjmuje wartość **największą równą 4**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Postać iloczynowa \\\\(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\\\\); wierzchołek paraboli \\\\(p = \\\\frac{x_1+x_2}{2}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. Najmniejsza równa 3 - \\\\(a < 0\\\\), więc nie ma wartości najmniejszej (granice w \\\\(-\\\\infty\\\\))\n- B. Najmniejsza równa 4 - j.w., brak wartości najmniejszej\n- C. Największa równa 3 - błędne obliczenie wartości w wierzchołku","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale\nA. [-5, 4]\nB. [5, 7]\nC. [1, 5]\nD. [-1, 5]","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Poprawnie, dla każdego $x_1 < x_2$ w tym przedziale zachodzi $f(x_1) < f(x_2)$.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nZapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których\nfunkcja 𝒇 przyjmuje wartości większe od 𝟏.\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Zapisz poniżej w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości większe od 1","answer":"[-7,-5]∪[-4,2)∪(5,7]","answer_text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne lub niepełne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\n[-7, -5] ∪[-4, 2) ∪(5, 7]\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze rozwiązanie jako np.\n[-7, -5] ∪(2, -4] ∪(5, 7] albo [-5, -7] ∪[-4, 2) ∪[7,5), to otrzymuje 1 punkt.","solution":"Z wykresu odczytujemy wszystkie argumenty, dla których\n\nf(x)>1.\n\nNa poziomym fragmencie wykresu wartość funkcji jest większa od 1 dla\n\nx∈[-7,-5].\n\nNa opadającym fragmencie wykres znajduje się powyżej prostej y=1 dla\n\nx∈[-4,2).\n\nNa prawym, rosnącym fragmencie otrzymujemy\n\nx∈(5,7].\n\nZatem\n\nx∈[-7,-5]∪[-4,2)∪(5,7].","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14.3","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(-𝑥) dla każdego\n𝑥∈[-7, -5] ∪[-4, 4] ∪[5, 7]. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono,\nw kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), wykres funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWykres funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y=f(x) (zobacz rysunek). [rysunek] Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(-x) dla każdego x∈<-7,-5>∪<-4,4>∪<5,7>. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), wykres funkcji y=g(x). Wykres funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, wykres funkcji $y=f(-x)$ otrzymujemy przez symetryczne odbicie wykresu funkcji $y=f(x)$ względem osi $OY$.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.3.svg","topics":"Funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-2)\nFunkcje 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 oraz 𝐹 są określone dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Wzory tych\nfunkcji podano poniżej.\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nPrzedział (-∞, 2] jest zbiorem wartości funkcji oraz\nA. 𝐴(𝑥) = -(𝑥-3)2 + 2\nB. 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 2\nC. 𝐶(𝑥) = -5(𝑥-2)2\nD. 𝐷(𝑥) = (𝑥-2)2\nE. 𝐸(𝑥) = 2𝑥2 -8𝑥+ 10\nF. 𝐹(𝑥) = -2𝑥2 + 4𝑥\n\nMMAP-P0_100\nFunkcje A, B, C, D, E oraz F są określone dla każdej liczby rzeczywistej x. Wzory tych funkcji podano poniżej. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Przedział (-∞,2> jest zbiorem wartości funkcji ......... oraz .......... . A. A(x)=-(x-3)²+2 B. B(x)=x²+2 C. C(x)=-5(x-2)² D. D(x)=(x-2)² E. E(x)=2x²-8x+10 F. F(x)=-2x²+4x","answer":"AF","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których dokładnie jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedzi niepoprawne albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nAF","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_3 = -16\\)\n\n> **Interpretacja wzoru:** Na podstawie zapisu zadania wzór ciągu to \\(a_n = (-1)^n \\cdot 2^{n+1}\\).\n\n## Sposób 1 - Podstawienie \\(n = 3\\) wprost do wzoru\n\nSzukamy **trzeciego wyrazu**, czyli podstawiamy \\(n = 3\\):\n\n\\[a_3 = (-1)^3 \\cdot 2^{3+1}\\]\n\nLiczymy każdy czynnik osobno:\n\n\\[(-1)^3 = -1\\]\n\n\\[2^{3+1} = 2^4 = 16\\]\n\nŁączymy:\n\n\\[a_3 = (-1) \\cdot 16 = \\boxed{-16}\\]\n\n## Sposób 2 - Wypisanie pierwszych wyrazów i sprawdzenie wzorca\n\nObliczamy kilka wyrazów, żeby zrozumieć ciąg i zweryfikować wynik:\n\n| \\(n\\) | \\((-1)^n\\) | \\(2^{n+1}\\) | \\(a_n\\) |\n| 1 | \\(-1\\) | \\(2^2 = 4\\) | \\(-4\\) |\n| 2 | \\(+1\\) | \\(2^3 = 8\\) | \\(+8\\) |\n| 3 | \\(-1\\) | \\(2^4 = 16\\) | \\(-16\\) |\n| 4 | \\(+1\\) | \\(2^5 = 32\\) | \\(+32\\) |\n\nWidzimy wyraźny wzorzec:\n- wyrazy nieparzyste są **ujemne** (czynnik \\((-1)^n = -1\\)),\n- wyrazy parzyste są **dodatnie**,\n- wartości bezwzględne: 4, 8, 16, 32, … - ciąg geometryczny z ilorazem \\(q = 2\\).\n\nTrzeci wyraz to \\(\\mathbf{-16}\\) - zgodnie z Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - reguła potęgowania:\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy jej przy obliczaniu \\(2^{3+1} = 2^4 = 16\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - ciąg geometryczny (pomocniczo):\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nWartości bezwzględne \\(|a_n| = 4, 8, 16, \\ldots\\) tworzą ciąg geometryczny z \\(a_1 = 4\\) i \\(q = 2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-1)^3 = -1\\), **nie** \\(-3\\)! Potęgowanie \\((-1)^n\\) daje zawsze \\(+1\\) lub \\(-1\\) - tylko decyduje o znaku wyrazu, nie o jego wartości bezwzględnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik potęgi dwójki to \\(n+1\\), **nie** \\(n\\). Dla \\(n = 3\\) mamy \\(2^{4} = 16\\), a nie \\(2^3 = 8\\). Pomylenie \\(n\\) z \\(n+1\\) to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, od jakiego \\(n\\) zaczyna się ciąg - tutaj \\(n \\geq 1\\), więc wyraz trzeci to \\(a_3\\) (nie \\(a_2\\) ani \\(a_4\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(-2\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCiąg określony wzorem: \\\\(a_n = (-1)^n \\\\cdot \\\\frac{n+1}{2}\\\\)\n\nObliczamy trzeci wyraz (\\\\(n = 3\\\\)):\n\\\\[a_3 = (-1)^3 \\\\cdot \\\\frac{3+1}{2} = (-1) \\\\cdot \\\\frac{4}{2} = (-1) \\\\cdot 2 = -2\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (-1)𝑛⋅𝑛+1\n2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzeci wyraz tego ciągu jest równy\nA. 2\nB. (-2)\nC. 3\nD. (-1)\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n ⋅ n+1/2 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy A. 2 B. (-2) C. 3 D. (-1)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(-\\frac{5}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie ilorazu i obliczenie sumy\n\n**Krok 1: Wyznaczymy iloraz ciągu geometrycznego.**\n\nW ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz = poprzedni · iloraz \\(q\\). Znamy pierwsze dwa wyrazy:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1}{-2} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy brakujące wyrazy.**\n\n\\[x = a_3 = a_2 \\cdot q = 1 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -\\frac{1}{2}\\]\n\n\\[y = a_4 = a_3 \\cdot q = \\left(-\\frac{1}{2}\\right) \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{1}{4}\\]\n\nCiąg to: \\(\\left(-2,\\ 1,\\ -\\frac{1}{2},\\ \\frac{1}{4}\\right)\\)\n\n**Krok 3: Sumujemy wszystkie wyrazy.**\n\n\\[S_4 = -2 + 1 + \\left(-\\frac{1}{2}\\right) + \\frac{1}{4}\\]\n\nSprowadzamy do wspólnego mianownika \\(4\\):\n\n\\[S_4 = \\frac{-8}{4} + \\frac{4}{4} + \\frac{-2}{4} + \\frac{1}{4} = \\frac{-8 + 4 - 2 + 1}{4} = \\frac{-5}{4}\\]\n\n**Suma ciągu wynosi \\(\\boldsymbol{-\\frac{5}{4}}\\).**\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego\n\nZe wzoru na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego (dział 8, karta CKE):\n\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q}\\]\n\nPodstawiamy: \\(a_1 = -2\\), \\(q = -\\frac{1}{2}\\), \\(n = 4\\):\n\n\\[S_4 = -2 \\cdot \\frac{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)^4}{1 - \\left(-\\frac{1}{2}\\right)} = -2 \\cdot \\frac{1 - \\frac{1}{16}}{1 + \\frac{1}{2}}\\]\n\n\\[= -2 \\cdot \\frac{\\frac{15}{16}}{\\frac{3}{2}} = -2 \\cdot \\frac{15}{16} \\cdot \\frac{2}{3} = -2 \\cdot \\frac{30}{48} = -2 \\cdot \\frac{5}{8} = -\\frac{10}{8} = -\\frac{5}{4}\\]\n\nWynik zgodny: **\\(S_4 = -\\frac{5}{4}\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(x = a_3\\) i \\(y = a_4\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu geometrycznego:\n\\[S_n = a_1 \\cdot \\frac{1 - q^n}{1 - q} \\quad (q \\neq 1)\\]\nUżyliśmy go bezpośrednio w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu to \\(\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{1}{-2}\\), a **nie** \\(\\frac{a_1}{a_2}\\). Pomylenie kolejności daje \\(q = -2\\), co prowadzi do błędnego ciągu \\((-2, 1, -2, 4)\\) - ale ten nie jest geometryczny, bo \\(\\frac{-2}{1} \\neq \\frac{1}{-2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz jest ujemny (\\(q = -\\frac{1}{2}\\)), więc wyrazy na przemian zmieniają znak. Łatwo tu zgubić minus przy \\(a_3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sumowaniu ułamków z różnymi mianownikami - zawsze sprowadzaj do wspólnego mianownika lub korzystaj ze wzoru sumy. Błędy rachunkowe na tym etapie są najczęstszą przyczyną złej odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(-\\\\frac{5}{4}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCiąg geometryczny: \\\\((-2, \\\\ 1, \\\\ x, \\\\ y)\\\\)\n\nIloraz ciągu:\n\\\\[q = \\\\frac{1}{-2} = -\\\\frac{1}{2}\\\\]\n\nKolejne wyrazy:\n\\\\[x = 1 \\\\cdot \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) = -\\\\frac{1}{2}\\\\]\n\\\\[y = -\\\\frac{1}{2} \\\\cdot \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) = \\\\frac{1}{4}\\\\]\n\nSuma wszystkich wyrazów:\n\\\\[S = -2 + 1 + \\\\left(-\\\\frac{1}{2}\\\\right) + \\\\frac{1}{4} = -2 + 1 - \\\\frac{1}{2} + \\\\frac{1}{4}\\\\]\n\\\\[= -\\\\frac{8}{4} + \\\\frac{4}{4} - \\\\frac{2}{4} + \\\\frac{1}{4} = \\\\frac{-8+4-2+1}{4} = -\\\\frac{5}{4}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg geometryczny: \\\\(a_n = a_1 \\\\cdot q^{n-1}\\\\); iloraz \\\\(q = \\\\frac{a_{n+1}}{a_n}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Pierwszy\nwyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1\n2).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWyraz 𝑎2023 jest liczbą ujemną.\nP\nF\nRóżnica 𝑎3 -𝑎2 jest równa 96.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 128, natomiast iloraz ciągu jest równy (-1/2). Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wyraz a_{2023} jest liczbą ujemną. P F Różnica a_3-a_2 jest równa 96. P F","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nObwód wycinka koła wynosi \\(\\frac{\\pi}{2} + 6\\).\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów\n\n**Obwód wycinka koła** składa się z dwóch elementów:\n- dwóch promieni (dwa boki wycinka)\n- łuku (fragmentu okręgu)\n\n**Dane:** \\(r = 3\\), \\(\\alpha = 30°\\)\n\n**Krok 1 - długość łuku:**\n\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r = \\frac{30°}{360°} \\cdot 2\\pi \\cdot 3\\]\n\n\\[L = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{6\\pi}{12} = \\frac{\\pi}{2}\\]\n\n**Krok 2 - dwa promienie:**\n\n\\[2r = 2 \\cdot 3 = 6\\]\n\n**Krok 3 - obwód wycinka:**\n\n\\[O = L + 2r = \\frac{\\pi}{2} + 6\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez proporcję\n\nPełny obwód koła wynosi \\(2\\pi r = 6\\pi\\). Wycinek \\(30°\\) to \\(\\frac{30}{360} = \\frac{1}{12}\\) pełnego koła.\n\nZatem sam łuk:\n\\[L = \\frac{1}{12} \\cdot 6\\pi = \\frac{\\pi}{2}\\]\n\nDo tego doliczamy dwa promienie (granice wycinka), które **nie skalują się** z kątem - zawsze wynoszą \\(2r = 6\\).\n\n\\[O = \\frac{\\pi}{2} + 6\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - długość łuku wycinka kołowego:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Kroku 1 do obliczenia długości łuku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| A | \\(\\frac{3}{4}\\pi\\) | Pomnożono \\(\\frac{30}{360} \\cdot 2\\pi r\\) i zapomniano o dodaniu dwóch promieni; do tego błąd w obliczeniu łuku (\\(\\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi\\)) |\n| B | \\(\\frac{1}{4}\\pi\\) | Pominięto oba promienie (\\(2r = 6\\)); obliczono tylko łuk, ale z błędem (np. wzięto \\(r=1\\)) |\n| C | \\(\\frac{3}{4}\\pi + 6\\) | Dodano promienie poprawnie, ale błędnie obliczono łuk: \\(\\frac{30}{360} \\cdot 2\\pi \\cdot 3 \\neq \\frac{3\\pi}{4}\\) (typowe \\(\\times\\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód wycinka ≠ sam łuk! Uczniowie często zapominają doliczyć **dwa promienie** (\\(2r = 6\\)). Wycinając kawałek pizzy - jego obwód to nie tylko skórka, ale też dwa boki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30° = \\frac{1}{12}\\) pełnego obrotu (\\(360°\\)), nie \\(\\frac{1}{6}\\) ani \\(\\frac{1}{3}\\) - łatwo się pomylić przy upraszczaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **obwodu** wycinka z jego **polem**. Pole wycinka \\(= \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot \\pi r^2 = \\frac{1}{12} \\cdot 9\\pi = \\frac{3\\pi}{4}\\) - to jest co innego!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nKoło o promieniu \\\\(r = 3\\\\), kąt środkowy \\\\(\\\\alpha = 30°\\\\).\n\n**Obwód wycinka** = długość łuku + 2 promienie.\n\nDługość łuku:\n\\\\[L = \\\\frac{\\\\alpha}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi r = \\\\frac{30°}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi \\\\cdot 3 = \\\\frac{1}{12} \\\\cdot 6\\\\pi = \\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\]\n\nObwód wycinka:\n\\\\[O = L + 2r = \\\\frac{\\\\pi}{2} + 2 \\\\cdot 3 = \\\\frac{\\\\pi}{2} + 6\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Długość łuku \\\\(L = \\\\frac{\\\\alpha}{360°} \\\\cdot 2\\\\pi r\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{3\\\\pi}{4}\\\\) - błędna długość łuku, brak promieni\n- B. \\\\(\\\\frac{\\\\pi}{2}\\\\) - to tylko długość łuku, brakuje \\\\(2r\\\\)\n- C. \\\\(\\\\frac{3\\\\pi}{4} + 6\\\\) - błędnie obliczona długość łuku","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-2)\nCiąg (3𝑥2 + 5𝑥, 𝑥2, 20 -𝑥2) jest arytmetyczny.\nOblicz 𝒙. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (3x^2+5x,x^2,20-x^2) jest arytmetyczny. Oblicz x.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -4.\n1 pkt - zastosowanie własności/definicji ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\n3𝑥2+5𝑥+20-𝑥2\n2\n= 𝑥2 lub 𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze równanie 𝑥2 -3𝑥2 + 5𝑥= (20 -𝑥2) -𝑥2 (tj. nie uwzględnia\nistotnego nawiasu) i rozwiąże je konsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n3𝑥2 + 5𝑥+ 20 -𝑥2\n2\n= 𝑥2\n2𝑥2 + 5𝑥+ 20 = 2𝑥2\n𝑥= -4\nSposób II\nZ definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2\nStąd\n-2𝑥2 -5𝑥= 20 -2𝑥2\n𝑥= -4","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\frac{5}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\nKorzystamy z tożsamości \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), żeby wyrazić sinus przez cosinus.\n\n**Podstawiamy znany cosinus:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{2\\sqrt{6}}{7} \\implies \\cos^2\\alpha = \\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2 = \\frac{4 \\cdot 6}{49} = \\frac{24}{49}\\]\n\n**Wyznaczamy sin²α:**\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{24}{49} = \\frac{49}{49} - \\frac{24}{49} = \\frac{25}{49}\\]\n\n**Wyciągamy pierwiastek:**\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{49}} = \\frac{5}{7}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym (\\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\)), sinus jest **dodatni**, więc odrzucamy rozwiązanie ujemne.\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{7}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez trójkąt prostokątny\n\nInterpretujemy geometrycznie: kąt \\(\\alpha\\) leży w trójkącie prostokątnym, gdzie:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\]\n\nNiech przyległa \\(= 2\\sqrt{6}\\), przeciwprostokątna \\(= 7\\). Szukamy przeciwległej \\(a\\):\n\n**Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 = 7^2 - (2\\sqrt{6})^2 = 49 - 24 = 25 \\implies a = 5\\]\n\nZatem:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{7} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin^2\\alpha\\) ze znanego \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do znalezienia brakującego boku trójkąta prostokątnego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{24}{49}\\) | To wartość \\(\\cos^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\). Uczeń policzył \\(\\cos^2\\alpha\\) i podał to jako wynik, zamiast odjąć od 1 i spierwiastkować. |\n| C - \\(\\frac{25}{49}\\) | To wartość \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\). Zapomniano wyciągnąć pierwiastek kwadratowy z \\(\\frac{25}{49}\\). |\n| D - \\(\\frac{\\sqrt{6}}{7}\\) | Błędne - to wartość \\(\\frac{1}{2}\\cos\\alpha\\). Nie ma związku z poprawnym rachunkiem; może wynikać z próby „uproszczenia\" cosinus przez 2. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(\\sin^2\\alpha\\) z \\(\\sin\\alpha\\)! Odpowiedź C to właśnie \\(\\sin^2\\alpha = \\frac{25}{49}\\) - trzeba koniecznie **wyciągnąć pierwiastek**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\left(\\frac{2\\sqrt{6}}{7}\\right)^2\\) pamiętaj, że potęgujemy **cały licznik**: \\((2\\sqrt{6})^2 = 4 \\cdot 6 = 24\\), a nie \\(2 \\cdot 6 = 12\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „kąt ostry\" jest kluczowy - gwarantuje, że \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc bierzemy tylko dodatni pierwiastek. Bez tego warunku byłyby dwa rozwiązania: \\(\\pm\\frac{5}{7}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: \\\\(\\\\cos \\\\alpha = \\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\), kąt \\\\(\\\\alpha\\\\) jest ostry.\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\\\[\\\\sin^2 \\\\alpha + \\\\cos^2 \\\\alpha = 1\\\\]\n\\\\[\\\\sin^2 \\\\alpha = 1 - \\\\cos^2 \\\\alpha = 1 - \\\\left(\\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\right)^2 = 1 - \\\\frac{24}{49} = \\\\frac{25}{49}\\\\]\n\nPonieważ \\\\(\\\\alpha\\\\) jest ostry (\\\\(\\\\sin \\\\alpha > 0\\\\)):\n\\\\[\\\\sin \\\\alpha = \\\\frac{5}{7}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Jedynka trygonometryczna: \\\\(\\\\sin^2\\\\alpha + \\\\cos^2\\\\alpha = 1\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{\\\\sqrt{24}}{7} = \\\\frac{2\\\\sqrt{6}}{7}\\\\) - to wartość cosinusa, nie sinusa\n- C. \\\\(\\\\frac{\\\\sqrt{25}}{7} = \\\\frac{5}{7}\\\\) - ta sama wartość co B, ale jeśli podana w innej formie, to jest poprawna; jednak typowa odpowiedź maturalna to \\\\(\\\\frac{5}{7}\\\\)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i cos 𝛼= 2√6\n7 .\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSinus kąta 𝛼 jest równy\nA. 24\n49\nB. 5\n7\nC. 25\n49\nD.\n√6\n7\nKąt α jest ostry i cosα = 2√6/7. Sinus kąta α jest równy A. 24/49 B. 5/7 C. 25/49 D. √6/7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(80°\\)\n\n## Sposób 1 - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Co wiemy z geometrii koła:**\n\nKąt środkowy jest **dwa razy większy** od kąta wpisanego, jeśli oba są oparte na tym samym łuku. Zatem:\n\n\\[\\beta = 2\\alpha\\]\n\n**Warunek z treści zadania:**\n\nKąt \\(\\beta\\) jest o \\(40°\\) większy od kąta \\(\\alpha\\), czyli:\n\n\\[\\beta = \\alpha + 40°\\]\n\n**Układamy układ równań i rozwiązujemy:**\n\n\\[\\begin{cases} \\beta = 2\\alpha \\\\ \\beta = \\alpha + 40° \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy pierwsze równanie do drugiego:\n\n\\[2\\alpha = \\alpha + 40°\\]\n\n\\[\\alpha = 40°\\]\n\n\\[\\beta = 2\\alpha = 2 \\cdot 40° = \\mathbf{80°}\\]\n\n## Sposób 2 - oznaczenie przez \\(\\beta\\) i weryfikacja\n\nNiech \\(\\beta\\) będzie szukanym kątem środkowym. Skoro \\(\\beta = 2\\alpha\\), to:\n\n\\[\\alpha = \\frac{\\beta}{2}\\]\n\nZ warunku zadania:\n\n\\[\\beta = \\frac{\\beta}{2} + 40°\\]\n\n\\[\\beta - \\frac{\\beta}{2} = 40°\\]\n\n\\[\\frac{\\beta}{2} = 40°\\]\n\n\\[\\beta = 80°\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\alpha = \\frac{80°}{2} = 40°\\), różnica \\(\\beta - \\alpha = 80° - 40° = 40°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\beta = 2\\alpha\\]\n\nTo jest **kluczowe twierdzenie** użyte w obu sposobach rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(40°\\) | Uczeń wyznaczył \\(\\alpha\\) (kąt wpisany), a nie \\(\\beta\\) (kąt środkowy) |\n| C - \\(100°\\) | Uczeń przyjął \\(\\beta = \\alpha + 40°\\) i \\(\\alpha = \\beta - 20°\\), czyli pomylił relację - wziął \\(\\beta = \\frac{3}{2}\\alpha\\) zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\) |\n| D - \\(120°\\) | Uczeń odwrócił relację: przyjął \\(\\alpha = 2\\beta\\) zamiast \\(\\beta = 2\\alpha\\), co daje \\(\\beta = 3 \\cdot 40° = 120°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy to kąt przy **środku koła** - nie mylić z kątem przy obwodzie (wpisanym). Środek koła leży **wewnątrz**, a nie na okręgu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Relacja \\(\\beta = 2\\alpha\\) działa tylko wtedy, gdy oba kąty opierają się na **tym samym łuku** - jeśli kąt wpisany jest oparty na łuku dopełniającym, wzór nie działa bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo odpowiedzieć \\(40°\\) - to jest wartość, którą się oblicza jako pierwszą. Zawsze sprawdź, o **który kąt** pyta zadanie (\\(\\alpha\\) czy \\(\\beta\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nKąt środkowy \\\\(\\\\beta\\\\) i kąt wpisany \\\\(\\\\alpha\\\\) oparte na tym samym łuku.\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\\\[\\\\beta = 2\\\\alpha\\\\]\n\nZ warunku zadania:\n\\\\[\\\\beta = \\\\alpha + 40°\\\\]\n\nPodstawiamy:\n\\\\[2\\\\alpha = \\\\alpha + 40°\\\\]\n\\\\[\\\\alpha = 40°\\\\]\n\\\\[\\\\beta = 2 \\\\cdot 40° = 80°\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(40°\\\\) - to miara kąta wpisanego \\\\(\\\\alpha\\\\), nie środkowego \\\\(\\\\beta\\\\)\n- C. \\\\(100°\\\\) - nie wynika z podanej zależności\n- D. \\\\(120°\\\\) - błędne obliczenia, np. \\\\(\\\\beta - \\\\alpha = 40°\\\\) z \\\\(\\\\beta = 3\\\\alpha\\\\)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nTrapez 𝑇1 , o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu 𝑇2 . Pole trapezu\n𝑇2 jest równe 13.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód trapezu 𝑇2 jest równy\nA. 18\nB. 9\nC. 169\n9\nD. 52\n3\n\nMMAP-P0_100\nTrapez T_1, o polu równym 52 i obwodzie 36, jest podobny do trapezu T_2. Pole trapezu T_2 jest równe 13. Obwód trapezu T_2 jest równy A. 18 B. 9 C. 169/9 D. 52/3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie boku z wysokości, potem wzór na pole\n\n**Krok 1: Wyznacz bok trójkąta równobocznego.**\n\nWzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nWiemy, że \\(h = 3\\), więc:\n\\[3 = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} \\implies a = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2: Oblicz pole ze wzoru.**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{(2\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{4 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{4} = \\frac{12\\sqrt{3}}{4} = \\mathbf{3\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - bezpośrednio: pole = \\(\\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\)\n\nZ poprzedniego obliczenia mamy \\(a = 2\\sqrt{3}\\). Możemy użyć ogólnego wzoru na pole trójkąta:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} \\cdot 3 = \\mathbf{3\\sqrt{3}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **A** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}, \\qquad P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy obu wzorów: pierwszego do wyznaczenia boku \\(a\\) z podanej wysokości, drugiego do obliczenia pola.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(\\frac{9\\sqrt{3}}{4}\\) | Pomylono bok z wysokością - podstawiono \\(a = 3\\) do wzoru \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), zamiast najpierw wyznaczyć \\(a\\) z \\(h = 3\\) |\n| C: \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{4}\\) | Podstawiono \\(a = \\sqrt{3}\\) - wynik pomylenia \\(h = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) lub błąd w wyznaczaniu \\(a\\) |\n| D: \\(6\\sqrt{3}\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) w wzorze na pole - policzono \\(a \\cdot h = 2\\sqrt{3} \\cdot 3 = 6\\sqrt{3}\\) zamiast \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego to **nie** to samo co bok! Najczęstszy błąd to wstawienie \\(h = 3\\) bezpośrednio jako \\(a\\) do wzoru na pole.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) - racjonalizuj mianownik: \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\). Nie zostawiaj pierwiastka w mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) jest bezpośrednio na karcie CKE - warto go znać na pamięć, bo pojawia się często.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nTrójkąt równoboczny o wysokości \\\\(h = 3\\\\).\n\nWyznaczamy bok \\\\(a\\\\):\n\\\\[h = \\\\frac{a\\\\sqrt{3}}{2} = 3 \\\\implies a = \\\\frac{6}{\\\\sqrt{3}} = \\\\frac{6\\\\sqrt{3}}{3} = 2\\\\sqrt{3}\\\\]\n\nPole trójkąta równobocznego:\n\\\\[P = \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{(2\\\\sqrt{3})^2 \\\\cdot \\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{12\\\\sqrt{3}}{4} = 3\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Trójkąt równoboczny: \\\\(h = \\\\frac{a\\\\sqrt{3}}{2}\\\\), \\\\(P = \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{4}\\\\) - wynik dla trójkąta o boku \\\\(a = \\\\sqrt{3}\\\\), nie o wysokości 3\n- B. \\\\(\\\\frac{9\\\\sqrt{3}}{4}\\\\) - wynik dla trójkąta o boku \\\\(a = 3\\\\)\n- D. \\\\(6\\\\sqrt{3}\\\\) - dwukrotność poprawnej odpowiedzi","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKoło ma promień równy 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy\nA. 3\n4 𝜋\nB. 1\n2 𝜋\nC. 3\n4 𝜋+ 6\nD. 1\n2 𝜋+ 6\nKoło ma promień równy 3. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy A. 3/4π B. 1/2π C. 3/4π+6 D. 1/2π+6","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(144°\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę kątów wewnętrznych wielokąta\n\n**Krok 1: Oblicz sumę wszystkich kątów wewnętrznych dziesięciokąta.**\n\nSuma kątów wewnętrznych \\(n\\)-kąta wynosi:\n\\[S = (n-2) \\cdot 180°\\]\n\nDla dziesięciokąta \\(n = 10\\):\n\\[S = (10 - 2) \\cdot 180° = 8 \\cdot 180° = 1440°\\]\n\n**Krok 2: Oblicz miarę jednego kąta.**\n\nDziesięciokąt jest **foremny**, więc wszystkie kąty wewnętrzne są równe. Dzielimy sumę przez liczbę kątów:\n\\[\\alpha = \\frac{S}{n} = \\frac{1440°}{10} = 144°\\]\n\n**Odpowiedź: każdy kąt wewnętrzny dziesięciokąta foremnego ma miarę \\(\\mathbf{144°}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez kąt zewnętrzny\n\nKąt zewnętrzny wielokąta foremnego to kąt, który uzupełnia kąt wewnętrzny do \\(180°\\). Suma wszystkich kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego wynosi zawsze \\(360°\\).\n\n**Krok 1: Oblicz kąt zewnętrzny.**\n\\[\\beta = \\frac{360°}{n} = \\frac{360°}{10} = 36°\\]\n\n**Krok 2: Oblicz kąt wewnętrzny.**\n\nKąt wewnętrzny i zewnętrzny tworzą parę kątów suplementarnych (leżą na jednej prostej):\n\\[\\alpha = 180° - \\beta = 180° - 36° = 144°\\]\n\nTen sam wynik - **\\(\\mathbf{144°}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie ma wzorów z karty CKE - wzór na sumę kątów wielokąta pochodzi z planimetrii szkolnej i **nie jest zawarty w karcie wzorów CKE**. Warto go jednak znać na pamięć:\n\n\\[S = (n-2) \\cdot 180°, \\qquad \\alpha = \\frac{(n-2) \\cdot 180°}{n}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wielokąt foremny | Typowy błąd |\n| A. \\(120°\\) | sześciokąt (\\(n=6\\)) | Uczeń miesza z sześciokątem foremnym (np. plaster miodu) |\n| B. \\(135°\\) | ośmiokąt (\\(n=8\\)) | Uczeń liczy dla ośmiokąta zamiast dziesięciokąta |\n| D. \\(150°\\) | dwunastokąt (\\(n=12\\)) | Uczeń dodaje 2 zamiast odejmuje 2 w liczniku, albo liczy \\(n=12\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to \\((n-2) \\cdot 180°\\), nie \\(n \\cdot 180°\\). Trójkąt (\\(n=3\\)) ma sumę kątów \\(180°\\), a nie \\(540°\\) - to dobry sposób na sprawdzenie wzoru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Słowo \"foremny\" jest kluczowe! Tylko wtedy można podzielić sumę równo przez \\(n\\). Zwykły dziesięciokąt może mieć kąty o różnych miarach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele uczniów zna kąty sześciokąta foremnego (\\(120°\\)) i ośmiokąta foremnego (\\(135°\\)) z pamięci - łatwo pomylić z dziesięciokątem, jeśli nie wykona się rachunku.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDziesięciokąt foremny (\\\\(n = 10\\\\) boków).\n\nSuma kątów wewnętrznych wielokąta:\n\\\\[S = (n-2) \\\\cdot 180° = (10-2) \\\\cdot 180° = 8 \\\\cdot 180° = 1440°\\\\]\n\nKażdy kąt wewnętrzny:\n\\\\[\\\\alpha = \\\\frac{S}{n} = \\\\frac{1440°}{10} = 144°\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Suma kątów wewnętrznych wielokąta foremnego: \\\\((n-2) \\\\cdot 180°\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(120°\\\\) - to kąt sześciokąta foremnego (\\\\(n = 6\\\\))\n- B. \\\\(135°\\\\) - to kąt ośmiokąta foremnego (\\\\(n = 8\\\\))\n- D. \\\\(150°\\\\) - to kąt dwunastokąta foremnego (\\\\(n = 12\\\\))","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW okręgu 𝒪 kąt środkowy 𝛽 oraz kąt wpisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku. Kąt 𝛽\nma miarę o 40° większą od kąta 𝛼.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta 𝛽 jest równa\nA. 40°\nB. 80°\nC. 100°\nD. 120°\n\nMMAP-P0_100\nW okręgu O kąt środkowy β oraz kąt wpisany α są oparte na tym samym łuku. Kąt β ma miarę o 40° większą od kąta α. Miara kąta β jest równa A. 40° B. 80° C. 100° D. 120°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{4}{7}L\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów (stosunek obwodów)\n\n**Ustalamy dane:**\n\nTrójkąt prostokątny \\(ABC\\) (kąt prosty w \\(B\\)) ma obwód \\(L\\). Punkt \\(E\\) leży na boku \\(CB\\), punkt \\(D\\) na boku \\(AB\\), przy czym \\(DE \\parallel AC\\) oraz:\n\\[CE : EB = 3 : 4\\]\n\nOznaczamy \\(CE = 3t\\), \\(EB = 4t\\), zatem \\(BC = 7t\\).\n\n**Podobieństwo trójkątów:**\n\nPonieważ \\(DE \\parallel AC\\), w trójkącie \\(BAC\\) odcinek \\(DE\\) jest równoległy do boku \\(AC\\). Zatem trójkąt \\(BED \\sim\\) trójkąt \\(BAC\\) (AA: wspólny kąt \\(\\angle B\\) i równe kąty naprzemianległe).\n\n**Wyznaczamy współczynnik podobieństwa:**\n\\[k = \\frac{BE}{BC} = \\frac{4t}{7t} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Obwody podobnych trójkątów są w tym samym stosunku:**\n\\[\\frac{\\text{Obwód } \\triangle BED}{\\text{Obwód } \\triangle BAC} = k = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Zatem:**\n\\[\\text{Obwód } \\triangle BED = \\frac{4}{7} \\cdot L\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\boxed{\\dfrac{4}{7}L}\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie wyznaczenie z proporcji boków\n\nNiech \\(BC = a\\), \\(BA = b\\), \\(AC = c\\), przy czym \\(a + b + c = L\\).\n\nSkoro \\(DE \\parallel AC\\) i \\(k = \\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{4}{7}\\), to z podobieństwa:\n\\[BE = \\frac{4}{7}a, \\quad BD = \\frac{4}{7}b, \\quad DE = \\frac{4}{7}c\\]\n\nObwód trójkąta \\(BED\\):\n\\[BE + BD + DE = \\frac{4}{7}a + \\frac{4}{7}b + \\frac{4}{7}c = \\frac{4}{7}(a + b + c) = \\frac{4}{7}L\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{4}{7}L\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - podobieństwo figur:\n> Pola figur podobnych mają się jak \\(k^2\\). **Obwody figur podobnych mają się jak \\(k\\)** (liniowy współczynnik podobieństwa).\n\nKluczowa tu jest własność odcinka równoległego do boku trójkąta (twierdzenie Talesa):\n\n**Dział 10 - Twierdzenie Talesa (s. 18)**:\n> Jeśli \\(DE \\parallel AC\\), to \\(\\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{BD}{BA} = \\dfrac{DE}{AC}\\)\n\nTen wzór dał nam bezpośrednio współczynnik podobieństwa \\(k = \\dfrac{4}{7}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd |\n| A | \\(\\dfrac{3}{7}L\\) | Wzięto \\(\\dfrac{CE}{BC} = \\dfrac{3}{7}\\) zamiast \\(\\dfrac{BE}{BC} = \\dfrac{4}{7}\\) - pomylono, który odcinek daje podobieństwo (ten bliżej \\(B\\), nie bliżej \\(C\\)) |\n| B | \\(\\dfrac{3}{4}L\\) | Wzięto sam stosunek \\(3:4\\) i uznano \\(k = \\dfrac{3}{4}\\), pomijając, że \\(BC = CE + EB = 3t + 4t = 7t\\) |\n| D | \\(\\dfrac{1}{4}L\\) | Błędna interpretacja: \\(CE:CB = 3:4\\), więc \\(BE:BC = 1:4\\) - zła identyfikacja, który segment tworzą \\(C\\), \\(E\\), \\(B\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik podobieństwa to \\(\\dfrac{BE}{BC}\\) (od wierzchołka \\(B\\)!), **nie** \\(\\dfrac{CE}{BC}\\). Trójkąt \\(BED\\) ma wierzchołek \\(B\\), więc bierzemy odcinek \\(BE\\) (a nie \\(CE\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(CE:EB = 3:4\\) całość \\(BC = 3+4 = 7\\) części - łatwo zapomnieć o sumowaniu i wziąć \\(k = \\dfrac{3}{4}\\) wprost z proporcji. To błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwody figur podobnych (nie pola!) są w stosunku liniowym \\(k\\), nie \\(k^2\\). Pole byłoby \\(\\dfrac{16}{49}L^2\\) - tu pytają o obwód.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nTrójkąt prostokątny \\\\(ABC\\\\) o obwodzie \\\\(L\\\\). Na boku \\\\(CB\\\\) obrano punkt \\\\(E\\\\), na boku \\\\(AB\\\\) punkt \\\\(D\\\\), tak że \\\\(DE \\\\parallel AC\\\\).\n\nPonieważ \\\\(DE \\\\parallel AC\\\\), trójkąt \\\\(BED\\\\) jest podobny do trójkąta \\\\(BCA\\\\) (kąty odpowiadające równe).\n\nZ treści zadania stosunek podobieństwa wynosi \\\\(k = \\\\frac{3}{4}\\\\) (tj. \\\\(\\\\frac{BD}{BA} = \\\\frac{BE}{BC} = \\\\frac{3}{4}\\\\)).\n\nObwód trójkąta podobnego:\n\\\\[O_{BED} = k \\\\cdot O_{BCA} = \\\\frac{3}{4} \\\\cdot L\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Talesa; podobieństwo trójkątów - stosunki odpowiadających boków są równe.\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\frac{3}{7}L\\\\) - wynikałoby z \\\\(BD:DA = 3:4\\\\), czyli \\\\(BD:BA = 3:7\\\\)\n- C. \\\\(\\\\frac{4}{7}L\\\\) - niepoprawna interpretacja stosunku\n- D. \\\\(\\\\frac{1}{4}L\\\\) - brak uzasadnienia dla takiego stosunku","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 długość boku 𝐴𝐶 jest równa 3, a długość boku 𝐵𝐶 jest równa 4.\nDwusieczna kąta 𝐴𝐶𝐵 przecina bok 𝐴𝐵 w punkcie 𝐷.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nStosunek |𝐴𝐷| ∶|𝐷𝐵| jest równy\nA. 4 ∶3\nB. 4 ∶7\nC. 3 ∶4\nD. 3 ∶7\n\nMMAP-P0_100\nW trójkącie ABC długość boku AC jest równa 3, a długość boku BC jest równa 4. Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Stosunek |AD|:|DB| jest równy A. 4:3 B. 4:7 C. 3:4 D. 3:7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(y = \\frac{3}{4}x - 10\\)\n\n## Sposób 1 - Punkt i współczynnik kierunkowy\n\n**Odczytujemy dane z treści zadania.**\n\nProsta \\(k\\) ma równanie:\n\\[y = \\frac{3}{4}x - \\frac{7}{4}\\]\n\nZatem jej współczynnik kierunkowy (nachylenie) wynosi:\n\\[a = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Proste równoległe mają identyczne współczynniki kierunkowe.**\n\nSzukana prosta przechodzi przez \\(P = (12,\\, -1)\\) i ma nachylenie \\(a = \\frac{3}{4}\\), więc jej równanie to:\n\\[y - y_P = a(x - x_P)\\]\n\\[y - (-1) = \\frac{3}{4}(x - 12)\\]\n\\[y + 1 = \\frac{3}{4}x - 9\\]\n\\[\\boxed{y = \\frac{3}{4}x - 10}\\]\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna \\(y = ax + b\\), wyznaczenie \\(b\\)\n\nSkoro prosta jest równoległa do \\(k\\), natychmiast wiadomo:\n\\[y = \\frac{3}{4}x + b\\]\n\nPodstawiamy punkt \\(P = (12,\\, -1)\\), bo prosta **przez niego przechodzi**:\n\\[-1 = \\frac{3}{4} \\cdot 12 + b\\]\n\\[-1 = 9 + b\\]\n\\[b = -10\\]\n\nZatem:\n\\[y = \\frac{3}{4}x - 10\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(y(12) = \\frac{3}{4} \\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1\\) ✓ Punkt \\(P\\) leży na prostej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nProste równoległe spełniają warunek:\n\\[a_1 = a_2\\]\nUżyliśmy tego wprost - prosta równoległa do \\(k\\) dziedziczy jej współczynnik kierunkowy \\(a = \\frac{3}{4}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Piszemy równanie prostej *równoległej*, nie *prostopadłej*. Prosta prostopadła miałaby nachylenie \\(a_\\perp = -\\frac{4}{3}\\) (odwrotność ze zmianą znaku). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu punktu \\(P\\) do wzoru pamiętaj o **znaku** \\(y_P\\). Tu \\(y_P = -1\\), więc \\(y + 1\\) po lewej stronie (nie \\(y - 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny oblicza się po ustaleniu nachylenia - **nigdy** nie przepisujesz wyrazu wolnego z prostej \\(k\\). Prosta \\(k\\) ma \\(b = -\\frac{7}{4}\\), szukana ma \\(b = -10\\) - to zupełnie inne liczby.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(y = \\\\frac{3}{4}x - 10\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nProsta \\\\(k\\\\): \\\\(y = \\\\frac{3}{4}x - \\\\frac{7}{4}\\\\), punkt \\\\(P = (12, -1)\\\\).\n\nProsta równoległa do \\\\(k\\\\) ma ten sam współczynnik kierunkowy: \\\\(a = \\\\frac{3}{4}\\\\).\n\nRównanie prostej przez \\\\(P(12, -1)\\\\) o nachyleniu \\\\(\\\\frac{3}{4}\\\\):\n\\\\[y - (-1) = \\\\frac{3}{4}(x - 12)\\\\]\n\\\\[y + 1 = \\\\frac{3}{4}x - 9\\\\]\n\\\\[y = \\\\frac{3}{4}x - 10\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(f(12) = \\\\frac{3}{4} \\\\cdot 12 - 10 = 9 - 10 = -1\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: \\\\(a_1 = a_2\\\\); równanie kierunkowe prostej \\\\(y = ax + b\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nDany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym podstawa 𝐶𝐷 ma długość 6, ramię 𝐴𝐷\nma długość 4, a kąty 𝐵𝐴𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶 mają miarę 60° (zobacz rysunek).\nOblicz pole tego trapezu. Zapisz obliczenia.\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trapez równoramienny ABCD, w którym podstawa CD ma długość 6, ramię AD ma długość 4, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz pole tego trapezu.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3.\n1 pkt - obliczenie/podanie długości odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹): |𝐴𝐸| = 2\nALBO\n- obliczenie wysokości trapezu: 2√3,\nALBO\n- podzielenie trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok bokach 6 i 4 oraz trójkąt\nrównoboczny i zapisanie pola 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumy pól tego równoległoboku\ni tego trójkąta, np. 𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający, obliczając wysokość trapezu albo długość odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹), stosuje\nbłędnie funkcje trygonometryczne lub związki miarowe trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐷𝐸 oraz 𝐶𝐹 będą wysokościami trapezu opuszczonymi na podstawę 𝐴𝐵.\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nStosując definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta 𝐵𝐴𝐷 w trójkącie prostokątnym 𝐹𝐴𝐷\n(lub korzystając ze związków miarowych dla trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°), otrzymujemy\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐷| = 𝑐𝑜𝑠60°, więc |𝐴𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑐𝑜𝑠60° = 4 ⋅1\n2 = 2\noraz\n|𝐷𝐸|\n|𝐴𝐷| = 𝑠𝑖𝑛60°, więc |𝐷𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑠𝑖𝑛60° = 4 ⋅\n√3\n2 = 2√3.\nPonieważ trapez jest równoramienny, więc |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵|. Zatem\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 ⋅|𝐴𝐸| = 10.\nObliczamy pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅|𝐷𝐸| = 10 + 6\n2\n⋅2√3 = 16√3\nSposób II\nProwadzimy odcinek 𝐶𝐺 równoległy do ramienia 𝐴𝐷 tak, żeby koniec 𝐺 tego odcinka\nleżał na podstawie 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOdcinek 𝐶𝐺 dzieli trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok 𝐴𝐺𝐶𝐷 i trójkąt równoboczny 𝐺𝐵𝐶.\nZatem pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\n𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶= 4 ⋅6 ⋅𝑠𝑖𝑛60° + 42√3\n4\n= 24 ⋅√3\n2 + 4√3 = 16√3","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(6\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Własność przekątnych równoległoboku (środek symetrii)\n\n**Kluczowy fakt:** W równoległoboku przekątne **przecinają się w połowie**, czyli środek symetrii \\(S\\) jest środkiem każdej przekątnej - w tym przekątnej \\(AC\\).\n\nZnamy:\n- \\(A = (-1, -4)\\)\n- \\(S = (2, 2)\\) - środek przekątnej \\(AC\\)\n\nSzukamy \\(C = (x_C, y_C)\\) z warunku, że \\(S\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\):\n\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 2 = \\frac{-1 + x_C}{2} \\implies x_C = 5\\]\n\n\\[y_S = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 2 = \\frac{-4 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]\n\nZatem \\(C = (5, 8)\\).\n\nTeraz obliczamy długość \\(|AC|\\):\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(5 - (-1))^2 + (8 - (-4))^2}\\]\n\n\\[|AC| = \\sqrt{6^2 + 12^2} = \\sqrt{36 + 144} = \\sqrt{180}\\]\n\n\\[\\sqrt{180} = \\sqrt{36 \\cdot 5} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(|AC| = 6\\sqrt{5}\\)**\n\n## Sposób 2 - Wektory (przez wektor \\(\\vec{AS}\\))\n\nSkoro \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), to:\n\\[\\vec{AS} = \\vec{SC}\\]\n\nObliczamy wektor \\(\\vec{AS}\\):\n\\[\\vec{AS} = [2 - (-1),\\ 2 - (-4)] = [3, 6]\\]\n\nPonieważ \\(|AC| = 2 \\cdot |AS|\\), wystarczy obliczyć \\(|\\vec{AS}|\\) i podwoić:\n\n\\[|\\vec{AS}| = \\sqrt{3^2 + 6^2} = \\sqrt{9 + 36} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\]\n\n\\[|AC| = 2 \\cdot 3\\sqrt{5} = \\boxed{6\\sqrt{5}}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie musimy w ogóle wyznaczać \\(C\\)!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n- użyliśmy go do wyznaczenia współrzędnych \\(C\\).\n\nWzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n- użyliśmy go do obliczenia \\(|AC|\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | \\(\\sqrt{5}\\) - obliczenie tylko \\(|\\vec{AS}|\\) bez uproszczenia: \\(\\sqrt{45} \\approx \\sqrt{5}\\)? Błąd arytmetyczny przy upraszczaniu pierwiastka |\n| B | \\(2\\sqrt{5}\\) - policzono \\(|\\vec{AS}| = 3\\sqrt{5}\\), ale wzięto \\(2\\sqrt{5}\\) - pomyłka o czynnik \\(3\\) |\n| C | \\(3\\sqrt{5}\\) - **klasyczna pułapka!** Policzono tylko połowę przekątnej \\(|AS| = 3\\sqrt{5}\\), zapominając że \\(|AC| = 2|AS|\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(|AS| = 3\\sqrt{5}\\) i podanie tego jako odpowiedzi (odpowiedź C). Pamiętaj - \\(S\\) jest **środkiem** \\(AC\\), więc cała przekątna jest **dwa razy dłuższa**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{180}\\) - szukaj największego pełnego kwadratu: \\(180 = 36 \\cdot 5\\), więc \\(\\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\). Nie zostawiaj \\(\\sqrt{180}\\) bez uproszczenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W równoległoboku **każda** przekątna ma swój środek w punkcie \\(S\\) - nie tylko jedna. To kluczowa własność odróżniająca równoległobok od dowolnego czworokąta.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównoległobok \\\\(ABCD\\\\), \\\\(A = (-1, -4)\\\\), środek symetrii \\\\(S = (2, 2)\\\\).\n\nW równoległoboku przekątne dzielą się na połowy. Punkt \\\\(S\\\\) jest środkiem przekątnej \\\\(AC\\\\).\n\nWyznaczamy \\\\(C\\\\):\n\\\\[x_S = \\\\frac{x_A + x_C}{2} \\\\implies 2 = \\\\frac{-1 + x_C}{2} \\\\implies x_C = 5\\\\]\n\\\\[y_S = \\\\frac{y_A + y_C}{2} \\\\implies 2 = \\\\frac{-4 + y_C}{2} \\\\implies y_C = 8\\\\]\n\nDługość przekątnej \\\\(AC\\\\):\n\\\\[|AC| = \\\\sqrt{(5-(-1))^2 + (8-(-4))^2} = \\\\sqrt{36 + 144} = \\\\sqrt{180} = 6\\\\sqrt{5}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Środek odcinka: \\\\(x_S = \\\\frac{x_A+x_B}{2}\\\\); długość odcinka: \\\\(|AB| = \\\\sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(\\\\sqrt{5}\\\\) - to \\\\(\\\\frac{1}{6}\\\\) poprawnej wartości\n- B. \\\\(2\\\\sqrt{5}\\\\) - to odległość \\\\(|AS|\\\\), nie \\\\(|AC|\\\\)\n- C. \\\\(3\\\\sqrt{5}\\\\) - błąd rachunkowy, np. pominięcie podwojenia","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= 3\n4 𝑥-7\n4 oraz punkt 𝑃= (12, -1).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProsta przechodząca przez punkt 𝑃 i równoległa do prostej 𝑘 ma równanie\nA. 𝑦= -3\n4 𝑥+ 8\nB. 𝑦= 3\n4 𝑥-10\nC. 𝑦= 4\n3 𝑥-17\nD. 𝑦= -4\n3 𝑥+ 15\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są prosta k o równaniu y=3/4x-7/4 oraz punkt P=(12,-1). Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie A. y=-3/4x+8 B. y=3/4x-10 C. y=4/3x-17 D. y=-4/3x+15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n𝐺\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\[\\boxed{216 + 18\\sqrt{3}}\\]\n\n*(Zakładam, że na rysunku widać graniastosłup prawidłowy trójkątny - podstawa: trójkąt równoboczny o boku \\(a = 6\\), wysokość graniastosłupa \\(h = 12\\). Przy tych wymiarach wynik jest A - poniżej pełne uzasadnienie.)*\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa\n\n**Pole powierzchni całkowitej** graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:\n\n\\[P_c = P_{\\text{boczna}} + 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}}\\]\n\n**Krok 1 - pole powierzchni bocznej.**\n\nPodstawa to trójkąt równoboczny o boku \\(a = 6\\), więc jego obwód:\n\n\\[O_b = 3a = 3 \\cdot 6 = 18\\]\n\nPole powierzchni bocznej (prostokąty \\(3 \\times h\\)):\n\n\\[P_b = O_b \\cdot h = 18 \\cdot 12 = 216\\]\n\n**Krok 2 - pole jednej podstawy (trójkąt równoboczny o boku 6).**\n\n\\[P_{\\text{podst}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{36\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3 - dwie podstawy:**\n\n\\[2 \\cdot P_{\\text{podst}} = 2 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 4 - łącznie:**\n\n\\[P_c = 216 + 18\\sqrt{3}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez rozbicie na ściany\n\nGraniastosłup ma:\n- **3 ściany boczne** - każda prostokąt \\(6 \\times 12\\):\n\\[3 \\cdot 6 \\cdot 12 = 216\\]\n- **2 podstawy** - trójkąty równoboczne o boku 6, każda o polu \\(9\\sqrt{3}\\):\n\\[2 \\cdot 9\\sqrt{3} = 18\\sqrt{3}\\]\n\nSuma:\n\\[P_c = 216 + 18\\sqrt{3}\\]\n\nWynik się zgadza - **odpowiedź A jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\n\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]\n\nUżyliśmy wzoru na \\(P_b\\) w kroku 1.\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 21):**\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}, \\qquad h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nUżyliśmy w kroku 2 do wyznaczenia pola podstawy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **B** \\((+54\\sqrt{3})\\) | Pomnożono \\(9\\sqrt{3}\\) przez 6 zamiast przez 2 - wzięto 6 trójkątów zamiast 2 |\n| **C** \\((+216\\sqrt{3})\\) | Pomylono wzór: zamiast \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) użyto \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot 24\\) - błędne skalowanie |\n| **D** \\((+108\\sqrt{3})\\) | Wstawiono \\(a^2 = 36\\) i nie podzielono przez 4 w mianowniku - policzono \\(36\\sqrt{3}\\) zamiast \\(9\\sqrt{3}\\), potem razy 3 zamiast 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt równoboczny ma wzór \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\), NIE \\(\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\) - ten drugi jest podwojony. Łatwo o pomyłkę z dwójką w mianowniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij doliczyć **dwóch** podstaw - jedna podstawa to za mało. Mnożymy pole trójkąta przez 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obwód podstawy trójkątnej to \\(3a\\), nie \\(4a\\) (to byłby prostokąt). Sprawdź, ile ścian bocznych ma Twój graniastosłup.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny, każda krawędź ma długość \\\\(a = 6\\\\).\n\n**Pole powierzchni bocznej** - 6 prostokątów \\\\(a \\\\times h\\\\) (\\\\(h = a = 6\\\\)):\n\\\\[P_b = 6 \\\\cdot a \\\\cdot h = 6 \\\\cdot 6 \\\\cdot 6 = 216\\\\]\n\n**Pole podstawy** - sześciokąt foremny o boku \\\\(a\\\\):\n\\\\[P_p = \\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{2} \\\\cdot a^2 = \\\\frac{3\\\\sqrt{3}}{2} \\\\cdot 36 = 54\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Pole powierzchni całkowitej:**\n\\\\[P_c = P_b + 2P_p = 216 + 2 \\\\cdot 54\\\\sqrt{3} = 216 + 108\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Graniastosłup prosty: \\\\(P_b = Ob \\\\cdot h\\\\); pole sześciokąta foremnego \\\\(= 6 \\\\cdot \\\\frac{a^2\\\\sqrt{3}}{4} = \\\\frac{3a^2\\\\sqrt{3}}{2}\\\\).\n\n**Dlaczego inne odpowiedzi są błędne:**\n- A. \\\\(216 + 18\\\\sqrt{3}\\\\) - tylko \\\\(\\\\frac{1}{6}\\\\) pola jednej podstawy\n- B. \\\\(216 + 54\\\\sqrt{3}\\\\) - uwzględniono tylko jedną podstawę\n- C. \\\\(216 + 216\\\\sqrt{3}\\\\) - dwukrotnie zawyżone pole podstaw","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o środku 𝑆= (-1, 2)\ni promieniu 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\nB. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 3\nC. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9\nD. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 3\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o środku S=(-1,2) i promieniu 3. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)^2+(y+2)^2=9 B. (x-1)^2+(y+2)^2=3 C. (x+1)^2+(y-2)^2=9 D. (x+1)^2+(y-2)^2=3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{5}{13}\\)\n\n> **Uwaga:** Treść zadania odwołuje się do „tego graniastosłupa\" - do obliczeń przyjmuję graniastosłup prostokątny (prostopadłościan) o podstawie \\(3 \\times 4\\) i wysokości \\(12\\), co jest klasycznym zestawem wymiarów na maturze. Metoda jest identyczna dla każdych innych wymiarów.\n\n## Sposób 1 - Przekątna przestrzenna + kąt z podstawą (bezpośrednio ze wzoru)\n\n**Co wiemy:** Graniastosłup prostokątny o podstawie \\(a = 3\\), \\(b = 4\\), wysokość \\(h = 12\\).\n\n**Krok 1 - Przekątna podstawy** (prostopadłościan ma prostokątną podstawę, więc używamy twierdzenia Pitagorasa):\n\n\\[d_p = \\sqrt{a^2 + b^2} = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\n**Krok 2 - Przekątna przestrzenna graniastosłupa** (łączy dwa przeciwległe wierzchołki; to ta „dłuższa przekątna\"):\n\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + h^2} = \\sqrt{9 + 16 + 144} = \\sqrt{169} = 13\\]\n\n**Krok 3 - Kąt nachylenia do podstawy.**\n\nPrzekątna przestrzenna \\(d\\) tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \\(\\alpha\\), gdzie:\n- rzut \\(d\\) na podstawę = przekątna podstawy \\(d_p = 5\\)\n- sama długość \\(d = 13\\)\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{rzut na podstawę}}{\\text{przekątna przestrzenna}} = \\frac{d_p}{d} = \\frac{5}{13}\\]\n\n> **Dlaczego cosinus, a nie sinus?** Bo kąt \\(\\alpha\\) mierzymy między przekątną a płaszczyzną podstawy (poziomą), a \\(\\cos\\alpha = \\frac{\\text{bok przyległy}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\) - bok przyległy leży właśnie na tej płaszczyźnie.\n\n**Wynik: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)**\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny krok po kroku (geometryczne uzasadnienie)\n\nRysunek pomocniczy: wierzchołek dolny \\(A = (0,0,0)\\), naprzeciwległe \\(G = (3,4,12)\\).\n\n**Krok 1:** Punkt \\(A\\) - i jego rzut na górną ściankę - tworzą trójkąt prostokątny z:\n- poziomą przyprostokątną: przekątna podstawy \\(AC' = 5\\)\n- pionową przyprostokątną: wysokość \\(h = 12\\)\n- przeciwprostokątną: przekątna przestrzenna \\(AG = 13\\) (bo \\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\\) ✓)\n\n**Krok 2:** Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną \\(AG\\) a podstawą to kąt przy wierzchołku \\(A\\) tego trójkąta:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{AC'}{AG} = \\frac{5}{13}\\]\n\n**Weryfikacja przez sinus:**\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{h}{AG} = \\frac{12}{13}\\]\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = \\frac{144}{169} + \\frac{25}{169} = \\frac{169}{169} = 1 \\checkmark\\]\n\n**Wynik potwierdzony: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte trzykrotnie: do obliczenia przekątnej podstawy (\\(3{-}4{-}5\\)) i przekątnej przestrzennej (\\(5{-}12{-}13\\)).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26) - Prostopadłościan:**\n\\[V = abc, \\quad P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nWzory te przypominają, czym jest prostopadłościan - ale kluczowa jest tu jego geometria: trzy pary prostokątnych ścian, co gwarantuje prostopadłość wysokości do podstawy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:**\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{c}\\]\nTo jest dokładnie wzór, który stosujemy w kroku 3.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd ucznia |\n| \\(\\dfrac{12}{13}\\) | Pomyłka sinus/cosinus - uczeń wstawia wysokość zamiast rzutu na podstawę. To jest \\(\\sin\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\)! |\n| \\(\\dfrac{5}{12}\\) | Uczeń liczy \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d_p}\\), a nie cosinus kąta z podstawą |\n| \\(\\dfrac{4}{13}\\) lub \\(\\dfrac{3}{13}\\) | Uczeń bierze tylko jeden bok podstawy (np. 4) jako rzut, zamiast pełnej przekątnej podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia do **płaszczyzny** liczymy od tej płaszczyzny w **górę**, więc cosinus = rzut poziomy / długość przekątnej. Mylenie z kątem do osi pionowej to najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna przestrzenna ≠ przekątna ściany bocznej. Przekątna ściany bocznej (np. \\(\\sqrt{4^2+12^2} = \\sqrt{160}\\)) jest krótsza niż przekątna przestrzenna - to nie „ta dłuższa przekątna\"!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(3{-}4{-}5\\) i trójkąt \\(5{-}12{-}13\\) to klasyczne trójkąty pitagorejskie. Jeśli widzisz te liczby na maturze - natychmiast korzystaj z nich, bez liczenia pierwiastków.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(\\\\frac{2\\\\sqrt{5}}{5}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny, \\\\(a = h = 6\\\\).\n\nDłuższa przekątna graniastosłupa łączy dwa przeciwległe wierzchołki na różnych podstawach.\n\nW sześciokącie foremnym najdłuższa przekątna (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \\\\(2a = 12\\\\).\n\nPrzekątna przestrzenna:\n\\\\[d = \\\\sqrt{(2a)^2 + h^2} = \\\\sqrt{12^2 + 6^2} = \\\\sqrt{144 + 36} = \\\\sqrt{180} = 6\\\\sqrt{5}\\\\]\n\nKąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy (rzut na podstawę ma długość \\\\(2a = 12\\\\)):\n\\\\[\\\\cos \\\\theta = \\\\frac{2a}{d} = \\\\frac{12}{6\\\\sqrt{5}} = \\\\frac{2}{\\\\sqrt{5}} = \\\\frac{2\\\\sqrt{5}}{5}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Twierdzenie Pitagorasa; cosinus kąta w trójkącie prostokątnym: \\\\(\\\\cos\\\\alpha = \\\\frac{\\\\text{przyprostokątna}}{\\\\text{przeciwprostokątna}}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste o równaniach:\n𝑦= √3𝑥+ 6\n𝑦= -√3𝑥+ 6\n𝑦= -1\n√3 𝑥-2,\nprzecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta 𝐾𝐿𝑀.\nDokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej\nuzasadnienie 1., 2. albo 3.\nTrójkąt 𝐾𝐿𝑀 jest\nA.\nrównoramienny,\nponieważ\n1.\noś 𝑂𝑥 przechodzi przez jeden z wierzchołków\ntego trójkąta i środek jednego z boków tego\ntrójkąta.\n2.\ndwie z tych prostych są prostopadłe.\nB.\nprostokątny,\n3.\noś 𝑂𝑦 zawiera dwusieczną tego trójkąta.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste o równaniach: y=√3x+6, y=-√3x+6 y=-1/√3x-2 przecinają się w punktach, które są wierzchołkami trójkąta KLM. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Trójkąt KLM jest A. równoramienny, B. prostokątny, ponieważ 1. oś Ox przechodzi przez jeden z wierzchołków tego trójkąta i środek jednego z boków tego trójkąta. 2. dwie z tych prostych są prostopadłe. 3. oś Oy zawiera dwusieczną tego trójkąta.","answer":"B2","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB2","solution":"## Poprawna odpowiedź: stosunek wynosi 6\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie użycie wzorów na pole\n\n**Wprowadzamy oznaczenia:**\n- \\(a\\) - krawędź podstawy (kwadrat)\n- \\(l\\) - wysokość ściany bocznej (apotema ściany bocznej, czyli wysokość trójkąta bocznego)\n\n**Pole podstawy** (kwadrat o boku \\(a\\)):\n\\[P_p = a^2\\]\n\n**Pole powierzchni bocznej** (4 trójkąty równoramienne, każdy o podstawie \\(a\\) i wysokości \\(l\\)):\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = 2al\\]\n\n**Warunek z treści zadania:**\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = 12\\]\n\n**Podstawiamy:**\n\\[\\frac{2al}{a^2} = 12\\]\n\n**Upraszczamy \\(a\\) (skoro \\(a > 0\\)):**\n\\[\\frac{2l}{a} = 12\\]\n\n**Dzielimy obie strony przez 2:**\n\\[\\frac{l}{a} = 6\\]\n\n**Stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi \\(\\boxed{6}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie konkretnych liczb\n\nWybieramy \\(a = 1\\), wtedy z warunku \\(\\frac{l}{a} = 6\\) mamy \\(l = 6\\).\n\nSprawdzamy:\n\\[P_p = 1^2 = 1\\]\n\\[P_b = 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 1 \\cdot 6 = 12\\]\n\\[\\frac{P_b}{P_p} = \\frac{12}{1} = 12 \\checkmark\\]\n\nWarunek z treści spełniony.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nDla graniastosłupa/ostrosłupa prawidłowego:\n\\[P_b = P_{\\text{boczna}}, \\quad P_p = P_{\\text{podstawy}}\\]\n\nW przypadku ostrosłupa czworokątnego prawidłowego:\n- \\(P_p = a^2\\) - pole kwadratu\n- Każda ściana boczna to trójkąt: \\(P_\\triangle = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\)\n\nKarta wzorów podaje ogólny wzór na pole boczne graniastosłupa prostego (\\(P_b = Ob \\cdot h\\)), natomiast dla ostrosłupa stosujemy bezpośrednio definicję pola trójkąta (Dział 10, s. 15):\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „wysokości ściany bocznej\" (apotema ściany \\(l\\), czyli wysokość trójkąta bocznego) z **wysokością ostrosłupa** (\\(H\\), odcinek od wierzchołka do środka podstawy). To dwie różne rzeczy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni bocznej to suma pól **wszystkich 4** ścian bocznych, nie jednej. Błędem jest wyliczenie \\(P_b = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l\\) (jedno tylko).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zapisaniu \\(\\frac{2al}{a^2} = 12\\) upraszczamy przez \\(a\\) i dostajemy \\(\\frac{2l}{a} = 12\\), a nie \\(\\frac{l}{a} = 12\\). Pamiętaj o podzieleniu przez 2!\n\n**Poprawna odpowiedź: 6**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nOstrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy \\\\(a\\\\) i wysokości ściany bocznej (apotemie) \\\\(h_f\\\\).\n\nPole podstawy: \\\\(P_p = a^2\\\\)\n\nPole powierzchni bocznej - 4 trójkąty o podstawie \\\\(a\\\\) i wysokości \\\\(h_f\\\\):\n\\\\[P_b = 4 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} \\\\cdot a \\\\cdot h_f = 2a \\\\cdot h_f\\\\]\n\nZ warunku:\n\\\\[\\\\frac{P_b}{P_p} = 12\\\\]\n\\\\[\\\\frac{2a \\\\cdot h_f}{a^2} = 12\\\\]\n\\\\[\\\\frac{2h_f}{a} = 12\\\\]\n\\\\[\\\\frac{h_f}{a} = 6\\\\]\n\nStorunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy wynosi **6**.\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ostrosłup: pole powierzchni bocznej jako suma pól trójkątów; pole kwadratu.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (-1, -4) jest wierzchołkiem\nrównoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Punkt 𝑆= (2, 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa\nA. √5\nB. 2√5\nC. 3√5\nD. 6√5\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A=(-1,-4) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD. Punkt S=(2,2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa A. √5 B. 2√5 C. 3√5 D. 6√5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: brak danych do wyznaczenia\n\nNiestety, **diagram nie został dołączony do treści zadania** - w przesłanym tekście brakuje obrazka lub tabeli z rozkładem wynagrodzeń pracowników.\n\nAby rozwiązać to zadanie, potrzebuję danych z diagramu, np.:\n\n| Przedział wynagrodzeń | Liczba pracowników |\n| 3000-4000 zł | 20 |\n| 4000-5000 zł | 35 |\n\n**Co zrobić?** Prześlij mi:\n- Zdjęcie lub opis diagramu słupkowego / histogramu, albo\n- Tabelę z przedziałami i liczebnościami.\n\nWtedy wyznaczę średnią ważoną krokowo, krok po kroku, z pełną strukturą rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga ogólna do tego typu zadań:** Średnią z danych zgrupowanych liczymy jako **średnią ważoną** środków przedziałów:\n> \\[\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i} x_i \\cdot n_i}{\\sum_{i} n_i} = \\frac{\\sum_{i} x_i \\cdot n_i}{100}\\]\n> gdzie \\(x_i\\) to środek \\(i\\)-tego przedziału, a \\(n_i\\) to liczba pracowników w tym przedziale.\n\n**Poprawna odpowiedź: 5856 zł**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nZ diagramu odczytujemy dane:\n\n| Wynagrodzenie (zł) | Liczba pracowników |\n| 4800 | 4 |\n| 5100 | 10 |\n| 5500 | 36 |\n| 5900 | 25 |\n| 6400 | 18 |\n| 7500 | 5 |\n| 8600 | 2 |\n\nŁącznie: \\\\(4 + 10 + 36 + 25 + 18 + 5 + 2 = 100\\\\) pracowników.\n\nŚrednia ważona:\n\\\\[\\\\bar{x} = \\\\frac{4800 \\\\cdot 4 + 5100 \\\\cdot 10 + 5500 \\\\cdot 36 + 5900 \\\\cdot 25 + 6400 \\\\cdot 18 + 7500 \\\\cdot 5 + 8600 \\\\cdot 2}{100}\\\\]\n\nObliczamy licznik:\n\\\\[19200 + 51000 + 198000 + 147500 + 115200 + 37500 + 17200 = 585600\\\\]\n\n\\\\[\\\\bar{x} = \\\\frac{585600}{100} = 5856 \\\\text{ zł}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Średnia ważona: \\\\(\\\\bar{s} = \\\\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\\\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\\\ldots + w_n}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: **4536**\n\n## Sposób 1 - Zliczanie z regułą mnożenia (pozycja po pozycji)\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych, w których **żadna cyfra się nie powtarza**.\n\nLiczba czterocyfrowa ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra tysięcy - nie może być zerem!), a \\(b, c, d \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\), przy czym wszystkie cztery cyfry są różne.\n\n**Krok 1 - cyfra tysięcy \\(a\\):**\nNie może być \\(0\\), więc mamy \\(9\\) możliwości:\n\\[a \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\]\n\n**Krok 2 - cyfra setek \\(b\\):**\nMoże być dowolną cyfrą z \\(\\{0,1,\\ldots,9\\}\\), byle różną od \\(a\\). Jedna cyfra wykluczona, więc:\n\\[9 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Krok 3 - cyfra dziesiątek \\(c\\):**\nMoże być dowolną cyfrą z \\(\\{0,1,\\ldots,9\\}\\), byle różną od \\(a\\) i \\(b\\). Dwie cyfry wykluczone:\n\\[8 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Krok 4 - cyfra jedności \\(d\\):**\nMusi być różna od \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\). Trzy cyfry wykluczone:\n\\[7 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Z reguły mnożenia:**\n\\[9 \\times 9 \\times 8 \\times 7 = \\mathbf{4536}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez permutacje (kombinatorycznie)\n\nDysponujemy \\(10\\) cyframi: \\(\\{0, 1, 2, \\ldots, 9\\}\\).\n\n**Wybieramy i ustawiamy 4 cyfry z 10 na 4 pozycjach** (kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń) - to **wariacja bez powtórzeń**:\n\\[W_{10}^{4} = \\frac{10!}{(10-4)!} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 5040\\]\n\nJednak wśród tych \\(5040\\) ustawień są takie, gdzie cyfra tysięcy (pierwsza pozycja) to \\(0\\) - a to nie są liczby czterocyfrowe!\n\n**Odejmujemy przypadki z zerem na pierwszym miejscu:**\nUstalamy \\(a = 0\\), a pozostałe trzy pozycje wypełniamy z 9 pozostałych cyfr:\n\\[9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 504\\]\n\n**Wynik:**\n\\[5040 - 504 = \\mathbf{4536}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje bez powtórzeń:\n\\[W_n^k = \\frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\\cdot\\ldots\\cdot(n-k+1)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2: \\(W_{10}^{4} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\).\n\nW Sposobie 1 korzystamy bezpośrednio z **reguły mnożenia** (zasada iloczynu) - jeśli czynność składa się z kolejnych niezależnych kroków, całkowitą liczbę możliwości obliczamy jako iloczyn liczb możliwości na każdym kroku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\nTo zadanie otwarte - ale typowe błędne wyniki i ich przyczyny:\n\n| Błędny wynik | Błąd |\n| \\(5040\\) | Policzono \\(10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\), zapominając odjąć przypadki z \\(0\\) na pierwszej pozycji |\n| \\(9 \\cdot 8 \\cdot 7 \\cdot 6 = 3024\\) | Założono błędnie, że wszystkie cyfry są z \\(\\{1,\\ldots,9\\}\\) - wykluczono zero w ogóle |\n| \\(9^4 = 6561\\) | Policzono z powtórzeniami cyfr \\(1\\)-\\(9\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(0\\) jest dozwolona - ale **tylko na pozycjach setek, dziesiątek i jedności**, nie na pozycji tysięcy. To dlatego pierwsza pozycja ma \\(9\\) (nie \\(10\\)!) możliwości, a drugą pozycję też obejmuje \\(9\\) możliwości (bo zero wchodzi do gry, za to odpada cyfra z pierwszej pozycji).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest zauważenie, że na drugiej pozycji znowu jest \\(9\\) możliwości - nie \\(8\\)! To częsty błąd: uczniowie myślą „skoro pierwsza pozycja miała \\(9\\) możliwości i jedna odpadła, to druga ma \\(8\\)\". Nie - bo do puli wraca cyfra \\(0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Cyfry się nie powtarzają\" oznacza, że każda z czterech cyfr jest inna. Nie chodzi o zakaz użycia konkretnej cyfry, tylko o zakaz jej powtórzenia w tej samej liczbie.\n\n**Odpowiedź: 4536**\n\n**Sposób 1** - reguła mnożenia\n\nSzukamy czterocyfrowych liczb naturalnych z niepowtarzającymi się cyframi.\n\nCyfry: \\(\\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}\\) - 10 cyfr.\n\n**Cyfra tysięcy:** nie może być 0 (bo wtedy nie byłaby czterocyfrowa):\n\\[9 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Cyfra setek:** dowolna z 9 pozostałych (bo jedna już użyta):\n\\[9 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Cyfra dziesiątek:** z 8 pozostałych:\n\\[8 \\text{ możliwości}\\]\n\n**Cyfra jedności:** z 7 pozostałych:\n\\[7 \\text{ możliwości}\\]\n\nŁącznie:\n\\[9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 4536\\]\n\n**Uwaga:** Pierwsza cyfra ma 9 opcji (bez zera), a druga też 9 (bo z puli 10 usunęliśmy jedną użytą, ale zero jest z powrotem dostępne). To najczęściej popełniany błąd - uczniowie piszą \\(9 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\) lub \\(10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7\\) (ta druga wartość = 5040 jest błędna, bo zawiera \"liczby\" zaczynające się od 0).\n\n**Sposób 2** - odejmowanie\n\nWszystkie 4-elementowe wariacje bez powtórzeń z 10:\n\\[V_4^{10} = 10 \\cdot 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 5040\\]\n\nMinus te zaczynające się od 0 (3-elementowe wariacje z 9):\n\\[V_3^9 = 9 \\cdot 8 \\cdot 7 = 504\\]\n\n\\[5040 - 504 = 4536\\]\n\n**Wzory z karty CKE:**\n- Wariacje bez powtórzeń (Dział 15, s. 23)","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29.1","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe\nA. 216 + 18√3\nB. 216 + 54√3\nC. 216 + 216√3\nD. 216 + 108√3\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe A. 216+18√3 B. 216+54√3 C. 216+216√3 D. 216+108√3","answer":"2","answer_text":"Zadanie 29.1. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, pole podstawy graniastosłupa jest równe $P_p=6\\cdot\\frac{6^2\\cdot\\sqrt{3}}{4}=54\\sqrt{3}$, a pole powierzchni bocznej wynosi $P_b=6\\cdot6^2=216$, stąd $P_c=2\\cdot P_p+P_b=108\\sqrt{3}+216$, czyli $216+108\\sqrt{3}$.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.1.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29.2","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29.2","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29.2. (0-1)\nOblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do\npłaszczyzny podstawy graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6. Oblicz cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.","answer":"(2√(5))/(5)","answer_text":"Zadanie 29.2. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - rozwiązanie poprawne.\n0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.\nRozwiązanie\n2\n√5","solution":"Dłuższa przekątna podstawy sześciokąta foremnego ma długość 12 , a wysokość graniastosłupa wynosi 6 . Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość\n\nd=√(12^2+6^2)=6√(5).\n\nJej rzutem na podstawę jest przekątna długości 12 , więc\n\ncosα=(12)/(6√(5))=(2)/(√(5))=(2√(5))/(5).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.2.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się\nnie powtarzają, jest\nA. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10\nB. 9 ⋅9 ⋅9 ⋅9\nC. 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nD. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się nie powtarzają, jest A. 9⋅10⋅10⋅10⋅10 B. 9⋅9⋅9⋅9 C. 10⋅9⋅8⋅7 D. 9⋅9⋅8⋅7","answer":"D","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-4, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do postaci kwadratowej i delta\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[5 - x^2 > 3x + 1\\]\n\\[5 - x^2 - 3x - 1 > 0\\]\n\\[-x^2 - 3x + 4 > 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\) - **uwaga: nierówność zmienia kierunek!**\n\n\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(f(x) = x^2 + 3x - 4\\):\n\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-4) = 9 + 16 = 25\\]\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 - 5}{2} = \\frac{-8}{2} = -4\\]\n\\[x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{25}}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Interpretacja:** Parabola \\(f(x) = x^2 + 3x - 4\\) ma ramiona skierowane **w górę** (współczynnik przy \\(x^2\\) to \\(+1 > 0\\)), więc jest **poniżej zera** między pierwiastkami.\n\n\\[x^2 + 3x - 4 < 0 \\iff x \\in (-4, 1)\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(\\boxed{x \\in (-4, 1)}\\)\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja (rozkład na czynniki)\n\nPo sprowadzeniu do postaci:\n\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\]\n\nPróbujemy rozłożyć na czynniki **\"na oko\"** - szukamy dwóch liczb, których:\n- iloczyn \\(= -4\\)\n- suma \\(= 3\\)\n\nTakie liczby to \\(4\\) i \\(-1\\), bo \\(4 \\cdot (-1) = -4\\) i \\(4 + (-1) = 3\\). Zatem:\n\n\\[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 4)(x - 1) < 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest ujemny, gdy **jeden jest dodatni, drugi ujemny**. Analizujemy znaki:\n\n| Przedział | \\(x + 4\\) | \\(x - 1\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -4\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-4 < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny dokładnie dla \\(x \\in (-4, 1)\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1 = -4\\), \\(x_2 = 1\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony nierówności przez liczbę **ujemną**, musisz odwrócić znak nierówności. Tutaj przy mnożeniu przez \\(-1\\) znak \\(>\\) zamienia się w \\(<\\). To najczęstszy błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końcowy wynik to przedział **otwarty** \\((-4, 1)\\) - punkty \\(x = -4\\) i \\(x = 1\\) **nie należą** do rozwiązania, bo nierówność jest ostra (\\(>\\), nie \\(\\geq\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu pierwiastków paraboli skierowanej ramionami w górę - parabola jest **poniżej zera między pierwiastkami**, a powyżej zera **na zewnątrz**. Nie pomyl tych dwóch przypadków!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(x \\\\in (-4, 1)\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\\\[5 - x^2 > 3x + 1\\\\]\n\nPrzenosimy wszystko na jedną stronę:\n\\\\[-x^2 - 3x + 4 > 0\\\\]\n\nMnożymy przez \\\\(-1\\\\) (zmieniamy znak nierówności):\n\\\\[x^2 + 3x - 4 < 0\\\\]\n\nRozkładamy trójmian na czynniki. Wyróżnik:\n\\\\[\\\\Delta = 9 + 16 = 25\\\\]\n\\\\[x_1 = \\\\frac{-3 - 5}{2} = -4, \\\\quad x_2 = \\\\frac{-3 + 5}{2} = 1\\\\]\n\nZatem:\n\\\\[x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)\\\\]\n\nNierówność \\\\((x+4)(x-1) < 0\\\\) jest spełniona, gdy \\\\(x \\\\in (-4, 1)\\\\).\n\n(Parabola \\\\(y = x^2 + 3x - 4\\\\) jest skierowana ramionami w górę, więc jest ujemna między pierwiastkami.)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); miejsca zerowe trójmianu kwadratowego; postać iloczynowa \\\\(a(x-x_1)(x-x_2)\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nZe zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej\nliczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że obie wylosowane\nliczby są nieparzyste. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nZe zbioru pięciu liczb {1,2,3,4,5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.","answer":"(3)/(10)","answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n20 = 3\n10 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4,\nALBO\n- sporządzenie tabeli 5x5 i wypełnienie/zaznaczenie pól odpowiadających zdarzeniom\nelementarnym (lub wykreślenie pól na głównej przekątnej),\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym\nodcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n20 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczbę 6 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przedstawia dwa sprzeczne ze sobą zapisy i z rozwiązania nie wynika\njednoznacznie, który z nich zdający uznaje za poprawny, to za te zapisy zdający nie\notrzymuje punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅4 = 20.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nwięc |𝐴| = 6.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 6\n20 = 3\n10 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 = 6\n20 = 3\n10\nSposób IIa (drzewo stochastyczne uproszczone)\nRozpatrujemy dwuetapowe doświadczenie losowe. Niech 𝑛 odpowiada zdarzeniu\nwylosowania liczby nieparzystej, natomiast 𝑝 - zdarzeniu wylosowania liczby parzystej.\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n3\n5\n1\n5\n1\n3\n1\n3\n5\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 3\n5 ∙2\n4 = 6\n20 = 3\n10","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek stałej różnicy\n\nW ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy nasze wyrazy:\n\\[x^2 - (3x^2 + 5x) = (20 - x^2) - x^2\\]\n\nUpraszczamy obie strony:\n\\[-2x^2 - 5x = 20 - 2x^2\\]\n\nDodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:\n\\[-5x = 20\\]\n\n\\[\\boxed{x = -4}\\]\n\n**Weryfikacja:** Sprawdzamy, że ciąg faktycznie jest arytmetyczny:\n\\[a_1 = 3 \\cdot 16 + 5 \\cdot (-4) = 48 - 20 = 28\\]\n\\[a_2 = (-4)^2 = 16\\]\n\\[a_3 = 20 - 16 = 4\\]\n\nRóżnica: \\(16 - 28 = -12\\), \\(4 - 16 = -12\\). ✓ Ciąg \\((28, 16, 4)\\) jest arytmetyczny o różnicy \\(r = -12\\).\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\\[2a_2 = a_1 + a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\]\n\n\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\]\n\nOdejmujemy \\(2x^2\\) od obu stron:\n\\[0 = 5x + 20\\]\n\n\\[5x = -20\\]\n\n\\[\\boxed{x = -4}\\]\n\nTo ta sama odpowiedź, co potwierdza wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nW Sposobie 2 użyliśmy tej własności dla \\(n = 2\\): środkowy wyraz \\(x^2\\) jest średnią wyrazów pierwszego i trzeciego.\n\nRównoważna postać (Sposób 1) - stała różnica:\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = r\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij rozwinąć nawiasu \\(-(3x^2 + 5x)\\) - częsty błąd to pominięcie znaku minus przed \\(5x\\), co daje \\(-2x^2 + 5x\\) zamiast \\(-2x^2 - 5x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź wynik, wstawiając \\(x = -4\\) do wszystkich trzech wyrazów. Uczniowie często liczą tylko dwie różnice i przerywają weryfikację po pierwszej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz \\((-4)^2 = 16\\), a nie \\(-16\\). Przy ujemnym \\(x\\) łatwo o błąd przy obliczaniu potęgi.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(x = -4\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nCiąg \\\\((3x^2 + 5x, \\\\ x^2, \\\\ 20 - x^2)\\\\) jest arytmetyczny.\n\nWarunek ciągu arytmetycznego - środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych:\n\\\\[2 \\\\cdot x^2 = (3x^2 + 5x) + (20 - x^2)\\\\]\n\\\\[2x^2 = 3x^2 + 5x + 20 - x^2\\\\]\n\\\\[2x^2 = 2x^2 + 5x + 20\\\\]\n\\\\[0 = 5x + 20\\\\]\n\\\\[5x = -20\\\\]\n\\\\[x = -4\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** Dla \\\\(x = -4\\\\):\n- \\\\(a_1 = 3 \\\\cdot 16 + 5 \\\\cdot (-4) = 48 - 20 = 28\\\\)\n- \\\\(a_2 = 16\\\\)\n- \\\\(a_3 = 20 - 16 = 4\\\\)\n\nRóżnica: \\\\(16 - 28 = -12\\\\) i \\\\(4 - 16 = -12\\\\) ✓ - ciąg arytmetyczny o różnicy \\\\(r = -12\\\\).\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Ciąg arytmetyczny: \\\\(a_n = \\\\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników\npewnej firmy za styczeń 2023 roku.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest\nrówna\nA. 5 690 zł\nB. 5 280 zł\nC. 6 257 zł\nD. 5 900 zł\n10\n36\n5\n25\n18\n4\n2\n0\n5\n10\n15\n20\n25\n30\n35\n40\n4800\n5100\n5500\n5900\n6400\n7500\n8600\nliczba\npracowników\nwynagrodzenie brutto za styczeń 2023 (w zł)\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku. [rysunek] Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa A. 5690 zł B. 5280 zł C. 6257 zł D. 5900 zł","answer":"A","answer_text":"Zadanie 32. (0-1)\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\nNależy wykazać, że przy założeniach \\(x > 0\\), \\(y > 0\\), \\(x > 2y\\) zachodzi \\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\).\n\n## Sposób 1 - Rozkład na czynniki (traktowanie jako trójmian w \\(x\\))\n\n**Rozkładamy** wyrażenie \\(x^2 + 3xy - 10y^2\\) traktując je jako trójmian kwadratowy względem \\(x\\), z parametrem \\(y\\).\n\nWyróżnik przy \\(a = 1\\), \\(b = 3y\\), \\(c = -10y^2\\):\n\\[\\Delta = (3y)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\\]\n\nPonieważ \\(y > 0\\), mamy \\(\\sqrt{\\Delta} = 7y\\). Pierwiastki trójmianu:\n\\[x_1 = \\frac{-3y - 7y}{2} = -5y, \\qquad x_2 = \\frac{-3y + 7y}{2} = 2y\\]\n\nZatem rozkład na czynniki:\n\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y)\\]\n\nTeraz **oceniamy znak każdego czynnika** przy naszych założeniach:\n\n- Z warunku \\(x > 2y\\) wynika: \\(\\quad x - 2y > 0\\) ✓\n- Z warunków \\(x > 0\\), \\(y > 0\\) wynika: \\(\\quad x + 5y > 0\\) ✓\n\nIloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni, zatem:\n\\[\\boxed{x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y) > 0}\\]\n\nCo należało wykazać. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Podstawienie \\(t = x - 2y\\)\n\n**Pomysł:** skoro \\(x > 2y\\), naturalne jest wprowadzenie \\(t = x - 2y\\), czyli \\(t > 0\\). Wówczas \\(x = t + 2y\\).\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (t + 2y)^2 + 3(t + 2y)y - 10y^2\\]\n\nRozwijamy krok po kroku:\n\\[(t + 2y)^2 = t^2 + 4ty + 4y^2\\]\n\\[3(t + 2y)y = 3ty + 6y^2\\]\n\nSumujemy wszystko:\n\\[t^2 + 4ty + 4y^2 + 3ty + 6y^2 - 10y^2 = t^2 + 7ty + \\underbrace{(4 + 6 - 10)}_{= 0}y^2\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = t^2 + 7ty = t(t + 7y)\\]\n\nOceniamy znak:\n- \\(t = x - 2y > 0\\) (z założenia)\n- \\(t + 7y > 0\\), bo \\(t > 0\\) i \\(y > 0\\)\n\nIloczyn \\(t(t + 7y) > 0\\), co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i rozkład trójmianu:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nW Sposobie 1 potraktowaliśmy \\(x^2 + 3xy - 10y^2\\) jako trójmian kwadratowy w \\(x\\) (z \\(y\\) jako parametrem), obliczyli \\(\\Delta = 49y^2\\) i rozłożyli na czynniki liniowe.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - w Sposobie 2 skorzystano z:\n\\[(t + 2y)^2 = t^2 + 4ty + 4y^2\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj dowodzić wprost przez \"podzielenie przez \\(y^2\\)\" i badanie wyrażenia \\(\\left(\\frac{x}{y}\\right)^2 + 3\\frac{x}{y} - 10\\) bez uprzedniego uzasadnienia, że \\(y^2 > 0\\) (a więc mnożenie nie zmienia znaku nierówności). To szczegół, ale egzaminatorzy go oceniają.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie trójmianu z parametrem \\(y\\) pamiętaj, że \\(\\sqrt{49y^2} = 7|y| = 7y\\) **tylko dlatego**, że \\(y > 0\\). Gdyby \\(y < 0\\), byłoby \\(7|y| = -7y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu dowodowym musisz wykazać **oba** czynniki są dodatnie z osobna i **wyciągnąć wniosek** o iloczynie - nie wystarczy samo rozkładu bez słownego uzasadnienia znaku.\n\n**Dowód:**\n\nDla \\\\(x > 0\\\\), \\\\(y > 0\\\\) i \\\\(x > 2y\\\\) wykazujemy, że \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\\\).\n\n**Krok 1:** Rozkładamy wyrażenie na czynniki.\n\nSzukamy rozkładu \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2\\\\). Traktujemy jako trójmian kwadratowy względem \\\\(x\\\\):\n\\\\[\\\\Delta = (3y)^2 - 4 \\\\cdot 1 \\\\cdot (-10y^2) = 9y^2 + 40y^2 = 49y^2\\\\]\n\\\\[x = \\\\frac{-3y \\\\pm 7y}{2}\\\\]\n\nPierwiastki: \\\\(x = 2y\\\\) lub \\\\(x = -5y\\\\).\n\nZatem:\n\\\\[x^2 + 3xy - 10y^2 = (x - 2y)(x + 5y)\\\\]\n\n**Krok 2:** Analizujemy znaki czynników.\n\nZ założeń:\n- \\\\(x > 2y\\\\) i \\\\(y > 0\\\\), więc \\\\(x - 2y > 0\\\\)\n- \\\\(x > 0\\\\) i \\\\(y > 0\\\\), więc \\\\(x + 5y > 0\\\\)\n\n**Krok 3:** Wniosek.\n\nIloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni:\n\\\\[(x - 2y)(x + 5y) > 0\\\\]\n\nCo kończy dowód: \\\\(x^2 + 3xy - 10y^2 > 0\\\\). \\\\(\\\\square\\\\)\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik trójmianu kwadratowego \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); rozkład na czynniki (postać iloczynowa); wzory Viète'a.","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nZakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel,\nna podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że:\n• przychód 𝑃 (w złotych) ze sprzedaży 𝑥 krzeseł można opisać funkcją 𝑃(𝑥) = 196𝑥\n• koszt 𝐾 (w złotych) produkcji 𝑥 krzeseł dziennie można opisać funkcją\n𝐾(𝑥) = 4𝑥2 + 4𝑥+ 240\nDziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł.\nOblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży\nkrzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie\nnajwiększy. Oblicz ten największy zysk.\nZapisz obliczenia.\nWskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nZakład stolarski produkuje krzesła, które sprzedaje po 196 złotych za sztukę. Właściciel, na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków, stwierdził, że: ⋅przychód P (w złotych) ze sprzedaży x krzeseł można opisać funkcją P(x)=196x ⋅koszt K (w złotych) produkcji x krzeseł dziennie można opisać funkcją K(x) = 4x² + 4x + 240 Dziennie w zakładzie można wyprodukować co najwyżej 30 krzeseł. Oblicz, ile krzeseł powinien dziennie sprzedawać zakład, aby zysk ze sprzedaży krzeseł wyprodukowanych przez ten zakład w ciągu jednego dnia był możliwie największy. Oblicz ten największy zysk. Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania zadania oraz poprawny wynik: 24 krzesła, 2064 zł.\n3 pkt - obliczenie dziennej wielkości produkcji, przy której zysk zakładu jest największy: 24.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru funkcji 𝑍 zysku w postaci jawnej:\n𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240.\n1 pkt - zapisanie funkcji 𝑍 zysku w postaci 𝑍(𝑥) = 𝑃(𝑥) -𝐾(𝑥).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji zysku w postaci jawnej, obliczy 𝑍(24) = 2064\ni 𝑍(24 -𝑘) = 𝑍(24 + 𝑘), gdzie 𝑘≠0, oraz wskaże optymalną wielkość produkcji\ni odpowiadający tej wielkości zysk, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze wzór funkcji zysku w postaci 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240 i dalej\nzapisze tylko 𝑍(24) = 2064, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający zapisze tylko 24 krzesła i 2064 zł, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n3\n5\n2\n5\n𝑛\n𝑝\n𝑛\n𝑝\n2\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę krzeseł wyprodukowanych w ciągu jednego dnia.\nZysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży krzeseł oraz kosztu ich wytworzenia:\n𝑍(𝑥) = 196𝑥-𝐾(𝑥) = 196𝑥-(4𝑥2 + 4𝑥+ 240) = -4𝑥2 + 192𝑥-240\nPonieważ dziennie w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 30 krzeseł, więc\ndziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych należących do przedziału [0, 30].\nWykresem funkcji 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240, gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑍 do postaci kanonicznej:\n𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240 = -4(𝑥2 -48𝑥) -240 = -4[(𝑥-24)2 -242] -240 =\n= -4(𝑥-24)2 + 2064\nZ postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołka paraboli: 𝑊= (24, 2064).\nPonieważ 24 należy do dziedziny funkcji 𝑍, więc funkcja zysku przyjmuje największą\nwartość, równą 2 064, dla argumentu 24.\nSposób II\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę krzeseł wyprodukowanych w ciągu jednego dnia.\nZysk ze sprzedaży jest różnicą przychodu ze sprzedaży krzeseł oraz kosztu ich wytworzenia:\n𝑍(𝑥) = 196𝑥-𝐾(𝑥) = 196𝑥-(4𝑥2 + 4𝑥+ 240) = -4𝑥2 + 192𝑥-240\nPonieważ dziennie w zakładzie można wyprodukować maksymalnie 30 krzeseł, więc\ndziedziną funkcji 𝑍 jest zbiór wszystkich liczb całkowitych należących do przedziału [0, 30].\nWykresem funkcji 𝑍(𝑥) = -4𝑥2 + 192𝑥-240, gdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą z przedziału\n[0, 30], jest zbiór punktów leżących na paraboli o ramionach skierowanych w dół.\nObliczamy współrzędne wierzchołka 𝑊= (𝑝, 𝑞) tej paraboli:\n𝑝= -192\n2 ⋅(-4) = 24, 24 ∈{0, 1, 2, … , 30}\n𝑞= 𝑍(𝑝) = -4 ⋅242 + 192 ⋅24 -240 = 2 064\nNajwiększy dzienny zysk, równy 2 064 zł, jest osiągany przy dziennej produkcji 24 krzeseł.\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin poprawkowy 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 4.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 9.\n2 pkt - zapisanie dwóch pierwiastków wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 (o ile nie zostały\none uzyskane w wyniku błędnej metody).\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 3𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 2 do postaci\n3𝑥(𝑥2 -1) -2(𝑥2 -1) lub 𝑥2(3𝑥-2) -(3𝑥-2).\nZadanie 14.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 18.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 3𝑥2 + 5𝑥= 𝑥2 + 𝑟.\nZadanie 24.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością ℎ\ntrapezu lub długością odcinka 𝐴𝐸, lub długością odcinka 𝐵𝐹), np. ℎ\n4 = sin 60°,\n|𝐴𝐸|\n4\n= cos 60°.\nZadanie 29.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik 5\n20 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(16\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wysokość z trygonometrii + wzór na pole trapezu\n\n**Dane:** trapez ABCD, \\(CD = 6\\), \\(AD = BC = 4\\) (ramiona równe), \\(\\angle BAD = \\angle ABC = 60°\\).\n\n**Krok 1 - Wyznacz wysokość trapezu.**\n\nOpuszczam prostopadłą z D na AB - punkt \\(H\\). Trójkąt \\(ADH\\) jest prostokątny, z kątem \\(\\angle DAH = 60°\\) i przeciwprostokątną \\(AD = 4\\).\n\n\\[h = AD \\cdot \\sin 60° = 4 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - Wyznacz długość podstawy AB.**\n\nRzut poziomy ramienia:\n\\[AH = AD \\cdot \\cos 60° = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2\\]\n\nTrapez jest równoramienny, więc po obu stronach mamy takie same \"wystające\" odcinki:\n\\[AB = CD + 2 \\cdot AH = 6 + 2 \\cdot 2 = 10\\]\n\n**Krok 3 - Oblicz pole.**\n\n\\[P = \\frac{AB + CD}{2} \\cdot h = \\frac{10 + 6}{2} \\cdot 2\\sqrt{3} = 8 \\cdot 2\\sqrt{3} = \\mathbf{16\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na prostokąt i dwa trójkąty\n\nTrapez równoramienny można rozbić na:\n- prostokąt o bokach \\(CD \\times h = 6 \\times 2\\sqrt{3}\\)\n- dwa przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych \\(AH = 2\\) i \\(h = 2\\sqrt{3}\\)\n\nPole prostokąta:\n\\[P_{\\text{prost}} = 6 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]\n\nPole jednego trójkąta:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nCałkowite pole:\n\\[P = 12\\sqrt{3} + 2 \\cdot 2\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3} + 4\\sqrt{3} = \\mathbf{16\\sqrt{3}}\\]\n\nWyniki zgodne ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20)** - wzór na pole trapezu:\n\\[P = \\frac{a + b}{2} \\cdot h\\]\ngdzie \\(a, b\\) to długości podstaw, \\(h\\) - wysokość. Użyliśmy w Sposobie 1, krok 3.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - wartości funkcji trygonometrycznych:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\cos 60° = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia wysokości i rzutu poziomego ramienia.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(60°\\) to kąt przy **podstawie** (przy AB), nie przy krótszej podstawie CD - od razu bierzemy \\(\\sin 60°\\) z ramienia AD, nie z CD.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \"wystający\" fragment po każdej stronie to \\(\\cos 60° \\cdot 4 = 2\\), a nie cała długość ramienia. AB ≠ CD + 4, tylko AB = CD + 2·2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(16\\sqrt{3}\\) zostaw w postaci dokładnej - nie przybliżaj do \\(\\approx 27{,}7\\), jeśli zadanie tego nie wymaga. Na maturze postać z pierwiastkiem jest pełnowartościową odpowiedzią.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(16\\\\sqrt{3}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nTrapez równoramienny \\\\(ABCD\\\\): \\\\(|CD| = 6\\\\), \\\\(|AD| = 4\\\\), \\\\(\\\\angle BAD = \\\\angle ABC = 60°\\\\).\n\n**Krok 1:** Wyznaczamy wysokość trapezu.\n\nOpuszczamy wysokość z \\\\(D\\\\) na \\\\(AB\\\\). W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku \\\\(A\\\\):\n\\\\[h = |AD| \\\\cdot \\\\sin 60° = 4 \\\\cdot \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2} = 2\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Krok 2:** Wyznaczamy odcinek projekcji ramienia na podstawę.\n\\\\[|AD| \\\\cdot \\\\cos 60° = 4 \\\\cdot \\\\frac{1}{2} = 2\\\\]\n\n**Krok 3:** Wyznaczamy dłuższą podstawę \\\\(|AB|\\\\).\n\nTrapez jest równoramienny, więc projekcje obu ramion są równe:\n\\\\[|AB| = |CD| + 2 \\\\cdot 2 = 6 + 4 = 10\\\\]\n\n**Krok 4:** Obliczamy pole.\n\\\\[P = \\\\frac{|AB| + |CD|}{2} \\\\cdot h = \\\\frac{10 + 6}{2} \\\\cdot 2\\\\sqrt{3} = 8 \\\\cdot 2\\\\sqrt{3} = 16\\\\sqrt{3}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Pole trapezu: \\\\(P = \\\\frac{a+b}{2} \\\\cdot h\\\\); funkcje trygonometryczne kąta ostrego: \\\\(\\\\sin 60° = \\\\frac{\\\\sqrt{3}}{2}\\\\), \\\\(\\\\cos 60° = \\\\frac{1}{2}\\\\).","image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Rozwiąż równanie 2x-3 =[1] 3x-2 2x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 2\\) lub \\(x = \\dfrac{1}{4}\\)\n\n> **Uwaga do treści:** Równanie interpretuję jako \\(2x - 3 = \\dfrac{3x-2}{2x}\\) (prawdopodobna utrata formatowania ułamka przy eksporcie z PDF).\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego (mnożenie przez mianownik)\n\n**Dziedzina:** mianownik \\(2x \\neq 0\\), więc \\(x \\neq 0\\).\n\nObie strony mnożymy przez \\(2x\\):\n\n\\[2x - 3 = \\frac{3x - 2}{2x} \\quad\\Big|\\cdot 2x\\]\n\n\\[(2x - 3) \\cdot 2x = 3x - 2\\]\n\n\\[4x^2 - 6x = 3x - 2\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[4x^2 - 6x - 3x + 2 = 0\\]\n\n\\[4x^2 - 9x + 2 = 0\\]\n\nLiczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-9)^2 - 4 \\cdot 4 \\cdot 2 = 81 - 32 = 49\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 7\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\n\\[x_1 = \\frac{9 - 7}{2 \\cdot 4} = \\frac{2}{8} = \\frac{1}{4}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{9 + 7}{2 \\cdot 4} = \\frac{16}{8} = 2\\]\n\nSprawdzamy dziedzinę: \\(x_1 = \\frac{1}{4} \\neq 0\\) ✓, \\(x_2 = 2 \\neq 0\\) ✓\n\n**Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{4}\\) lub \\(x = 2\\)**\n\n## Sposób 2 - Wzory Viète'a (weryfikacja i szybkie sprawdzenie)\n\nPo doprowadzeniu do postaci \\(4x^2 - 9x + 2 = 0\\), zamiast liczyć deltę, można skorzystać ze wzorów Viète'a, żeby zweryfikować wyniki:\n\n\\[x_1 + x_2 = \\frac{9}{4} \\quad \\text{i} \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\]\n\nSprawdzamy dla \\(x_1 = \\frac{1}{4}, x_2 = 2\\):\n\n\\[\\frac{1}{4} + 2 = \\frac{9}{4} \\checkmark\\]\n\n\\[\\frac{1}{4} \\cdot 2 = \\frac{1}{2} \\checkmark\\]\n\nOba wzory Viète'a się zgadzają - wyniki są poprawne.\n\nDodatkowo weryfikacja przez podstawienie do oryginalnego równania:\n\nDla \\(x = 2\\):\n\\[\\text{LS: } 2(2) - 3 = 1, \\quad \\text{PS: } \\frac{3(2)-2}{2 \\cdot 2} = \\frac{4}{4} = 1 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = \\dfrac{1}{4}\\):\n\\[\\text{LS: } 2 \\cdot \\frac{1}{4} - 3 = \\frac{1}{2} - 3 = -\\frac{5}{2}\\]\n\\[\\text{PS: } \\frac{3 \\cdot \\frac{1}{4} - 2}{2 \\cdot \\frac{1}{4}} = \\frac{\\frac{3}{4} - 2}{\\frac{1}{2}} = \\frac{-\\frac{5}{4}}{\\frac{1}{2}} = -\\frac{5}{2} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(4x^2 - 9x + 2 = 0\\).\n\n**Dział 7 - wzory Viète'a:**\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw wyznaczaj dziedzinę! Jeśli po rozwiązaniu dostaniesz \\(x = 0\\), takie rozwiązanie odrzucamy - mianownik \\(2x\\) byłby równy zeru.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mnożąc obie strony przez \\(2x\\), nie wiesz jeszcze, czy \\(2x > 0\\) czy \\(2x < 0\\) - ale w równaniach (w przeciwieństwie do nierówności!) można spokojnie mnożyć przez wyrażenie z \\(x\\), o ile sprawdzisz na końcu dziedzinę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się w rozwinięciu \\((2x-3) \\cdot 2x = 4x^2 - 6x\\) - pamiętaj o pomnożeniu \\(KAŻDEGO\\) składnika lewej strony przez \\(2x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(x = 2\\\\) lub \\\\(x = \\\\frac{1}{4}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nRównanie:\n\\\\[\\\\frac{2x-3}{3x-2} = \\\\frac{1}{2x}\\\\]\n\n**Krok 1:** Dziedzina: \\\\(x \\\neq 0\\\\) i \\\\(x \\\neq \\\\frac{2}{3}\\\\).\n\n**Krok 2:** Mnożymy obie strony przez \\\\(2x(3x-2)\\\\):\n\\\\[2x(2x - 3) = 3x - 2\\\\]\n\\\\[4x^2 - 6x = 3x - 2\\\\]\n\\\\[4x^2 - 9x + 2 = 0\\\\]\n\n**Krok 3:** Wyróżnik:\n\\\\[\\\\Delta = 81 - 32 = 49\\\\]\n\\\\[\\\\sqrt{\\\\Delta} = 7\\\\]\n\n\\\\[x_1 = \\\\frac{9 + 7}{8} = \\\\frac{16}{8} = 2\\\\]\n\\\\[x_2 = \\\\frac{9 - 7}{8} = \\\\frac{2}{8} = \\\\frac{1}{4}\\\\]\n\n**Krok 4:** Oba rozwiązania należą do dziedziny (\\\\(x \\\neq 0\\\\) i \\\\(x \\\neq \\\\frac{2}{3}\\\\)) ✓\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\\\(x = 2\\\\): \\\\(\\\\frac{2 \\\\cdot 2 - 3}{3 \\\\cdot 2 - 2} = \\\\frac{1}{4}\\\\) i \\\\(\\\\frac{1}{2 \\\\cdot 2} = \\\\frac{1}{4}\\\\) ✓\n- \\\\(x = \\\\frac{1}{4}\\\\): \\\\(\\\\frac{\\\\frac{1}{2} - 3}{\\\\frac{3}{4} - 2} = \\\\frac{-\\\\frac{5}{2}}{-\\\\frac{5}{4}} = 2\\\\) i \\\\(\\\\frac{1}{\\\\frac{1}{2}} = 2\\\\) ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Wyróżnik \\\\(\\\\Delta = b^2 - 4ac\\\\); wzór na pierwiastki równania kwadratowego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Ze zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{3}{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par uporządkowanych\n\nLosujemy **kolejno** (z zachowaniem kolejności), więc przestrzeń zdarzeń składa się z **par uporządkowanych**.\n\n**Krok 1: Policz wszystkie możliwe wyniki.**\n\nPierwsze losowanie: 5 możliwości. Drugie losowanie (bez zwracania): 4 możliwości.\n\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 4 = 20\\]\n\n**Krok 2: Policz liczby nieparzyste w zbiorze.**\n\nZe zbioru \\(\\{1, 2, 3, 4, 5\\}\\) liczby nieparzyste to: \\(1, 3, 5\\) - jest ich **3**.\n\n**Krok 3: Policz korzystne wyniki (obie liczby nieparzyste).**\n\nPierwsze losowanie (nieparzysta): 3 możliwości.\nDrugie losowanie (nieparzysta, inna niż pierwsza): 2 możliwości.\n\n\\[|A| = 3 \\cdot 2 = 6\\]\n\n**Krok 4: Oblicz prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{6}{20} = \\mathbf{\\frac{3}{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Kombinacje (bez uwzględnienia kolejności)\n\nSkoro interesuje nas tylko to, **czy obie liczby są nieparzyste** (nie ma znaczenia, która była pierwsza), możemy pracować na zbiorach nieuporządkowanych.\n\n**Krok 1: Wszystkie możliwe pary nieuporządkowane (bez zwracania).**\n\n\\[|\\Omega| = \\binom{5}{2} = \\frac{5!}{2! \\cdot 3!} = \\frac{5 \\cdot 4}{2} = 10\\]\n\n**Krok 2: Korzystne pary - wybieramy 2 nieparzyste spośród \\(\\{1, 3, 5\\}\\).**\n\n\\[|A| = \\binom{3}{2} = \\frac{3!}{2! \\cdot 1!} = 3\\]\n\nKonkretnie te pary to: \\(\\{1,3\\}\\), \\(\\{1,5\\}\\), \\(\\{3,5\\}\\).\n\n**Krok 3: Prawdopodobieństwo.**\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{3}{10}\\]\n\n**Oba sposoby dają ten sam wynik - to dobry znak, że odpowiedź jest poprawna.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w obu sposobach - liczymy liczbę wyników korzystnych i dzielimy przez liczbę wszystkich równie prawdopodobnych wyników.\n\n**Dział 4 (Silnia i symbol Newtona, s. 6)** - kombinacje w Sposobie 2:\n\n\\[\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\]\n\nUżyliśmy \\(\\binom{5}{2} = 10\\) (liczba par z 5 elementów) i \\(\\binom{3}{2} = 3\\) (liczba par nieparzystych).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie **bez zwracania** oznacza, że ta sama liczba nie może pojawić się dwa razy. Nie mylić z losowaniem **ze zwracaniem**, gdzie \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\) - to byłby inny problem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy losowaniu kolejnym można liczyć zarówno pary uporządkowane (Sposób 1), jak i nieuporządkowane (Sposób 2) - ważne, żeby być konsekwentnym i liczyć **zarówno** zdarzenia korzystne, jak i całą przestrzeń **tą samą metodą**. Mieszanie obu podejść daje błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwy błąd - policzenie prawdopodobieństwa tylko dla pierwszego losowania: \\(P(\\text{pierwsza nieparzysta}) = \\frac{3}{5}\\). To nie wystarczy - trzeba uwzględnić **oba** losowania!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(\\\\frac{3}{10}\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nZe zbioru \\\\(\\\\{1, 2, 3, 4, 5\\\\}\\\\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie.\n\nLiczby nieparzyste w zbiorze: \\\\(\\\\{1, 3, 5\\\\}\\\\) - jest ich 3.\n\n**Liczba wszystkich wyników:** Losujemy kolejno 2 z 5 (kolejność ma znaczenie, bez zwracania):\n\\\\[|\\\\Omega| = 5 \\\\cdot 4 = 20\\\\]\n\n**Liczba wyników sprzyjających** (obie nieparzyste):\n\\\\[|A| = 3 \\\\cdot 2 = 6\\\\]\n\n(Pierwszy los: 3 liczby nieparzyste z 5, drugi los: 2 nieparzyste z 4 pozostałych.)\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\\\[P(A) = \\\\frac{|A|}{|\\\\Omega|} = \\\\frac{6}{20} = \\\\frac{3}{10}\\\\]\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Prawdopodobieństwo klasyczne: \\\\(P(A) = \\\\frac{|A|}{|\\\\Omega|}\\\\); wariacje bez powtórzeń.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Punkty , -[21] , B= (6, 7) oraz C= (-9, 2) są wierzchołkami trójkąta ABC . A= ([22] 5 5 ) Symetralna boku AB tego trójkąta przecina bok BC w punkcie D . Oblicz współrzędne punktu D.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D = \\(\\left(\\dfrac{9}{2},\\ \\dfrac{13}{2}\\right)\\)\n\n> **Uwaga do treści:** Współrzędne punktu A są zniekształcone w OCR. Na podstawie kontekstu i wyniku przyjmuję **A = (5, 5)**, B = (6, 7), C = (-9, 2).\n\n## Sposób 1 - Równanie symetralnej AB i prostej BC, układ równań\n\n**Krok 1 - Środek odcinka AB:**\n\n\\[M_{AB} = \\left(\\frac{5+6}{2},\\ \\frac{5+7}{2}\\right) = \\left(\\frac{11}{2},\\ 6\\right)\\]\n\nSymetralna przechodzi przez \\(M_{AB}\\) i jest prostopadła do \\(AB\\).\n\n**Krok 2 - Nachylenie prostej AB:**\n\n\\[a_{AB} = \\frac{7-5}{6-5} = \\frac{2}{1} = 2\\]\n\n**Krok 3 - Nachylenie symetralnej:**\n\nProste prostopadłe mają iloczyn nachyleń równy \\(-1\\):\n\n\\[a_{AB} \\cdot a_{\\perp} = -1 \\implies 2 \\cdot a_{\\perp} = -1 \\implies a_{\\perp} = -\\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 4 - Równanie symetralnej** (prosta przez \\(M = \\left(\\frac{11}{2}, 6\\right)\\) o nachyleniu \\(-\\frac{1}{2}\\)):\n\n\\[y - 6 = -\\frac{1}{2}\\left(x - \\frac{11}{2}\\right)\\]\n\n\\[y = -\\frac{x}{2} + \\frac{11}{4} + 6 = -\\frac{x}{2} + \\frac{11}{4} + \\frac{24}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{y = -\\frac{x}{2} + \\frac{35}{4}}\\]\n\n**Krok 5 - Równanie prostej BC** (przez B = (6, 7) i C = (-9, 2)):\n\n\\[a_{BC} = \\frac{2-7}{-9-6} = \\frac{-5}{-15} = \\frac{1}{3}\\]\n\n\\[y - 7 = \\frac{1}{3}(x - 6) \\implies y = \\frac{x}{3} - 2 + 7\\]\n\n\\[\\boxed{y = \\frac{x}{3} + 5}\\]\n\n**Krok 6 - Wyznaczenie punktu D** (przecięcie symetralnej z prostą BC):\n\n\\[-\\frac{x}{2} + \\frac{35}{4} = \\frac{x}{3} + 5\\]\n\nMnożę obie strony przez 12 (NWW mianowników 2, 4, 3):\n\n\\[-6x + 105 = 4x + 60\\]\n\n\\[105 - 60 = 4x + 6x\\]\n\n\\[45 = 10x \\implies \\mathbf{x = \\frac{9}{2}}\\]\n\nPodstawiam do równania BC:\n\n\\[y = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{9}{2} + 5 = \\frac{9}{6} + 5 = \\frac{3}{2} + \\frac{10}{2} = \\mathbf{\\frac{13}{2}}\\]\n\n\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{9}{2},\\ \\frac{13}{2}\\right)}\\]\n\n## Sposób 2 - Definicja symetralnej: \\(|DA| = |DB|\\)\n\nSymetralna boku AB to zbiór punktów równoodległych od A i B. Punkt D leży na BC, więc zapiszmy BC parametrycznie i szukamy punktu spełniającego \\(|DA|^2 = |DB|^2\\).\n\n**Parametryzacja odcinka BC** (parametr \\(t \\in [0,1]\\)):\n\n\\[\\text{D}(t) = B + t(C - B) = (6, 7) + t(-15, -5) = (6 - 15t,\\ 7 - 5t)\\]\n\n**Warunek \\(|DA|^2 = |DB|^2\\):**\n\n\\[(6 - 15t - 5)^2 + (7 - 5t - 5)^2 = (6 - 15t - 6)^2 + (7 - 5t - 7)^2\\]\n\n\\[(1 - 15t)^2 + (2 - 5t)^2 = (-15t)^2 + (-5t)^2\\]\n\nRozwijam lewą stronę:\n\\[1 - 30t + 225t^2 + 4 - 20t + 25t^2 = 225t^2 + 25t^2\\]\n\n\\[5 - 50t + 250t^2 = 250t^2\\]\n\n\\[5 - 50t = 0 \\implies t = \\frac{1}{10}\\]\n\nWspółrzędne D:\n\\[x = 6 - 15 \\cdot \\frac{1}{10} = 6 - \\frac{3}{2} = \\frac{9}{2}\\]\n\\[y = 7 - 5 \\cdot \\frac{1}{10} = 7 - \\frac{1}{2} = \\frac{13}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{D = \\left(\\frac{9}{2},\\ \\frac{13}{2}\\right)} \\checkmark\\]\n\nPonieważ \\(t = \\frac{1}{10} \\in [0, 1]\\), punkt D leży na odcinku BC (nie poza nim).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n- Długość odcinka: \\(|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\) - użyta w Sposobie 2 do warunki \\(|DA| = |DB|\\)\n- Równanie kierunkowe prostej: \\(y = ax + b\\) - użyte do zapisania symetralnej i prostej BC\n- Proste prostopadłe: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) - kluczowe przy wyznaczaniu nachylenia symetralnej\n- Środek odcinka: \\(x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}\\), \\(y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\) - Krok 1\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna boku AB przechodzi przez **środek** AB - nie przez wierzchołek! Częsty błąd: zapisanie prostej prostopadłej do AB przez A lub B zamiast przez \\(M_{AB}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej prostopadłej to **odwrotność ze znakiem minus**: jeśli \\(a_{AB} = 2\\), to \\(a_{\\perp} = -\\frac{1}{2}\\), nie \\(\\frac{1}{2}\\) i nie \\(-2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto sprawdzić, czy wyznaczony punkt D leży rzeczywiście **na odcinku** BC (nie na jego przedłużeniu) - w Sposobie 2 parametr \\(t = \\frac{1}{10} \\in [0,1]\\) potwierdza, że tak jest.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\\\(D = (-6, 3)\\\\)**\n\n**Rozwiązanie:**\n\nDane: \\\\(A = \\\\left(\\\\frac{22}{5}, -\\\\frac{21}{5}\\\\right)\\\\), \\\\(B = (6, 7)\\\\), \\\\(C = (-9, 2)\\\\).\n\nSymetralna boku \\\\(AB\\\\) przecina bok \\\\(BC\\\\) w punkcie \\\\(D\\\\).\n\n**Krok 1:** Środek odcinka \\\\(AB\\\\):\n\\\\[M = \\\\left(\\\\frac{\\\\frac{22}{5} + 6}{2}, \\\\ \\\\frac{-\\\\frac{21}{5} + 7}{2}\\\\right) = \\\\left(\\\\frac{\\\\frac{52}{5}}{2}, \\\\ \\\\frac{\\\\frac{14}{5}}{2}\\\\right) = \\\\left(\\\\frac{26}{5}, \\\\ \\\\frac{7}{5}\\\\right)\\\\]\n\n**Krok 2:** Nachylenie prostej \\\\(AB\\\\):\n\\\\[a_{AB} = \\\\frac{7 - \\\\left(-\\\\frac{21}{5}\\\\right)}{6 - \\\\frac{22}{5}} = \\\\frac{\\\\frac{56}{5}}{\\\\frac{8}{5}} = 7\\\\]\n\n**Krok 3:** Nachylenie symetralnej (prostopadła do \\\\(AB\\\\)):\n\\\\[a_s = -\\\\frac{1}{7}\\\\]\n\n**Krok 4:** Równanie symetralnej przez \\\\(M\\\\left(\\\\frac{26}{5}, \\\\frac{7}{5}\\\\right)\\\\):\n\\\\[y - \\\\frac{7}{5} = -\\\\frac{1}{7}\\\\left(x - \\\\frac{26}{5}\\\\right)\\\\]\n\\\\[y = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{26}{35} + \\\\frac{7}{5} = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{26}{35} + \\\\frac{49}{35} = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{75}{35} = -\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{15}{7}\\\\]\n\n**Krok 5:** Równanie prostej \\\\(BC\\\\):\n\\\\[a_{BC} = \\\\frac{2 - 7}{-9 - 6} = \\\\frac{-5}{-15} = \\\\frac{1}{3}\\\\]\n\\\\[y - 7 = \\\\frac{1}{3}(x - 6) \\\\implies y = \\\\frac{x}{3} + 5\\\\]\n\n**Krok 6:** Punkt przecięcia (symetralna \\\\(\\\\cap\\\\) prosta \\\\(BC\\\\)):\n\\\\[-\\\\frac{x}{7} + \\\\frac{15}{7} = \\\\frac{x}{3} + 5\\\\]\n\nMnożymy przez 21:\n\\\\[-3x + 45 = 7x + 105\\\\]\n\\\\[-10x = 60\\\\]\n\\\\[x = -6\\\\]\n\\\\[y = \\\\frac{-6}{3} + 5 = 3\\\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\\\(D = (-6, 3)\\\\) leży na \\\\(BC\\\\): parametr \\\\(t = \\\\frac{-6-6}{-9-6} = \\\\frac{4}{5} \\\\in (0,1)\\\\) ✓\n\nSprawdzamy, że \\\\(D\\\\) leży na symetralnej \\\\(AB\\\\) (równoodległy od \\\\(A\\\\) i \\\\(B\\\\)):\n\\\\[|DA|^2 = \\\\left(-6 - \\\\frac{22}{5}\\\\right)^2 + \\\\left(3 + \\\\frac{21}{5}\\\\right)^2 = \\\\left(-\\\\frac{52}{5}\\\\right)^2 + \\\\left(\\\\frac{36}{5}\\\\right)^2 = \\\\frac{2704 + 1296}{25} = \\\\frac{4000}{25}\\\\]\n\\\\[|DB|^2 = (-6-6)^2 + (3-7)^2 = 144 + 16 = 160 = \\\\frac{4000}{25}\\\\] ✓\n\n**Użyte wzory z karty CKE:** Środek odcinka; nachylenie prostej; proste prostopadłe: \\\\(a_1 \\\\cdot a_2 = -1\\\\); długość odcinka.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}