{"paper":{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":36,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba log25 1 -1\n2 log25 5 jest równa\nA. (-1\n4)\nB. (-1\n2)\nC. 1\n4\nD. 1\n2","answer":"A","answer_text":"1 pkt - odpowiedź poprawna.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba 3√45 -√20 jest równa\nA. (7 ⋅5)\n1\n2\nB. 5\n1\n2\nC. 7\nD. 7 ⋅5\n1\n2","answer":"D","answer_text":"2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nW ramach wyprzedaży sezonowej płaszcz o początkowej wartości 240 zł przeceniono na\n200 zł. Zatem cenę tego płaszcza obniżono o\nA. 16 2\n3 % jego początkowej wartości.\nB. 20 % jego początkowej wartości.\nC. 40 % jego początkowej wartości.\nD. 83 1\n3 % jego początkowej wartości.","answer":"A","answer_text":"3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nzapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (-4, 1) lub 𝑥∈(-4, 1)\nALBO\n- spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n-4\n𝑥\n1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego -𝑥2 -3𝑥+ 4:\n𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1\nALBO\n- odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = -𝑥2 -3𝑥+ 4 i zapisanie miejsc zerowych\n𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, wyznaczając pierwiastki trójmianu -𝑥2 -3𝑥+ 4, popełni błędy (ale\notrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając rozwiązanie zadania, rozpatruje inny niż podany w zadaniu\ntrójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np. 5 -𝑥2),\ni w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 5 -𝑥2 > 0), to i otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nWartość wyrażenia\n3-1\n(- 1\n9\n)\n-2 ∙81 jest równa\nA. 1\n3\nB. (-1\n3)\nC. 3\nD. (-3)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nWartość wyrażenia (2 -√3)\n2 -(√3 -2)\n2 jest równa\nA. (-2√3)\nB. 0\nC. 6\nD. 8√3","answer":"B","answer_text":"5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈⟨-4, 1⟩, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (1, -4), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci -𝑥2 -3𝑥+ 4 > 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n-𝑥2 -3𝑥+ 4.\nObliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 25\ni obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -4 oraz 𝑥2 = 1.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (-4, 1) lub 𝑥∈(-4, 1), lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej:\n-4\n𝑥\n1\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -4.\n1 pkt - zastosowanie własności/definicji ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\n3𝑥2+5𝑥+20-𝑥2\n2\n= 𝑥2 lub 𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze równanie 𝑥2 -3𝑥2 + 5𝑥= (20 -𝑥2) -𝑥2 (tj. nie uwzględnia\nistotnego nawiasu) i rozwiąże je konsekwentnie do końca, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n3𝑥2 + 5𝑥+ 20 -𝑥2\n2\n= 𝑥2\n2𝑥2 + 5𝑥+ 20 = 2𝑥2\n𝑥= -4\nSposób II\nZ definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n𝑥2 -(3𝑥2 + 5𝑥) = (20 -𝑥2) -𝑥2\nStąd\n-2𝑥2 -5𝑥= 20 -2𝑥2\n𝑥= -4\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. przekształcenie nierówności\n𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0 do postaci (𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0 oraz powołanie się na\nzałożenie i stwierdzenie, że: czynniki 𝑥+ 5𝑦 oraz 𝑥-2𝑦 są liczbami dodatnimi\noraz iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią (dla sposobu I)\nALBO\n- przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. wykorzystanie założenia 𝑥> 2𝑦> 0\ni wywnioskowanie stąd nierówności 𝑥2 -4𝑦2 > 0 oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2 > 0 (lub\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥2 > 4𝑦2 oraz 3𝑥𝑦> 6𝑦2), a następnie wywnioskowanie nierówności\n𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0 do postaci\n(𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0\nALBO\n- wykorzystanie założenia 𝑥> 2𝑦> 0 i wywnioskowanie stąd nierówności\n𝑥2 -4𝑦2 > 0 oraz 3𝑥𝑦-6𝑦2 > 0 (lub: 𝑥2 > 4𝑦2 oraz 3𝑥𝑦> 6𝑦2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0 w sposób równoważny:\n𝑥2 + 5𝑥𝑦-2𝑥𝑦-10𝑦2 > 0\n𝑥(𝑥+ 5𝑦) -2𝑦(𝑥+ 5𝑦) > 0\n(𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0\nZ założenia 𝑥 oraz 𝑦 są dodatnie, więc 𝑥+ 5𝑦> 0. Z założenia 𝑥> 2𝑦, więc\n𝑥-2𝑦> 0. Stąd (𝑥-2𝑦)(𝑥+ 5𝑦) > 0.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPonieważ z założenia liczby 𝑥 oraz 𝑦 są dodatnie i 𝑥> 2𝑦, więc 𝑥2 > 4𝑦2 , czyli\n𝑥2 -4𝑦2 > 0\nMnożąc obie strony nierówności 𝑥> 2𝑦 przez liczbę dodatnią 3𝑦 otrzymujemy\n3𝑥𝑦> 6𝑦2, czyli\n3𝑥𝑦-6𝑦2 > 0\nZatem 𝑥2 -4𝑦2 + 3𝑥𝑦-6𝑦2 jest liczbą dodatnią (jako suma liczb dodatnich 𝑥2 -4𝑦2\noraz 3𝑥𝑦-6𝑦2). Oznacza to, że dla każdego 𝑥 oraz 𝑦 takich, że 𝑥> 2𝑦, spełniona jest\nnierówność 𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 16√3.\n1 pkt - obliczenie/podanie długości odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹): |𝐴𝐸| = 2\nALBO\n- obliczenie wysokości trapezu: 2√3,\nALBO\n- podzielenie trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok bokach 6 i 4 oraz trójkąt\nrównoboczny i zapisanie pola 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumy pól tego równoległoboku\ni tego trójkąta, np. 𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający, obliczając wysokość trapezu albo długość odcinka 𝐴𝐸 (lub 𝐵𝐹), stosuje\nbłędnie funkcje trygonometryczne lub związki miarowe trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐷𝐸 oraz 𝐶𝐹 będą wysokościami trapezu opuszczonymi na podstawę 𝐴𝐵.\nStosując definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta 𝐵𝐴𝐷 w trójkącie prostokątnym 𝐹𝐴𝐷\n(lub korzystając ze związków miarowych dla trójkąta o kątach 30°, 60° i 90°), otrzymujemy\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐷| = 𝑐𝑜𝑠60°, więc |𝐴𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑐𝑜𝑠60° = 4 ⋅1\n2 = 2\noraz\n|𝐷𝐸|\n|𝐴𝐷| = 𝑠𝑖𝑛60°, więc |𝐷𝐸| = |𝐴𝐷| ⋅𝑠𝑖𝑛60° = 4 ⋅\n√3\n2 = 2√3.\nPonieważ trapez jest równoramienny, więc |𝐴𝐸| = |𝐹𝐵|. Zatem\n|𝐴𝐵| = |𝐶𝐷| + 2 ⋅|𝐴𝐸| = 10.\nObliczamy pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃= |𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|\n2\n⋅|𝐷𝐸| = 10 + 6\n2\n⋅2√3 = 16√3\n𝐸\n𝐹\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nProwadzimy odcinek 𝐶𝐺 równoległy do ramienia 𝐴𝐷 tak, żeby koniec 𝐺 tego odcinka\nleżał na podstawie 𝐴𝐵 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nOdcinek 𝐶𝐺 dzieli trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 na równoległobok 𝐴𝐺𝐶𝐷 i trójkąt równoboczny 𝐺𝐵𝐶.\nZatem pole 𝑃 trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równe\n𝑃= 𝑃𝐴𝐺𝐶𝐷+ 𝑃𝐺𝐵𝐶= 4 ⋅6 ⋅𝑠𝑖𝑛60° + 42√3\n4\n= 24 ⋅√3\n2 + 4√3 = 16√3\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody rozwiązania równania wymiernego i poprawny\nwynik: 1\n4 oraz 2.\n1 pkt - poprawne przekształcenie równania\n2𝑥-3\n3𝑥-2 =\n1\n2𝑥 do równania kwadratowego, np.\n(2𝑥-3) ⋅2𝑥= 3𝑥-2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżeń: 𝑥≠2\n3, 𝑥≠0, to może otrzymać 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma\nrównanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca,\nto może otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego,\nzastosuje błędną metodę i zapisze np. (2𝑥-3) ⋅2𝑥= 2𝑥⋅(3𝑥-2), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli\nodgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPodobnie, jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego,\nuzyska poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów o końcach 1\n4 i 2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n𝐺\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠2\n3 i 𝑥≠0.\nPrzekształcamy równanie:\n2𝑥-3\n3𝑥-2 = 1\n2𝑥\n(2𝑥-3) ⋅2𝑥= (3𝑥-2) ⋅1\n4𝑥2 -6𝑥= 3𝑥-2\n4𝑥2 -9𝑥+ 2 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 4𝑥2 -9𝑥+ 2: Δ = (-9)2 -4 ⋅4 ⋅2 = 49 i\nstąd 𝑥1 = 1\n4 oraz 𝑥2 = 16\n8 = 2.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 2\n3 oraz od liczby 0, więc są rozwiązaniami danego\nrównania.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 6\n20 = 3\n10 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅4,\nALBO\n- sporządzenie tabeli 5x5 i wypełnienie/zaznaczenie pól odpowiadających zdarzeniom\nelementarnym (lub wykreślenie pól na głównej przekątnej),\nALBO\n- sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego,\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 6, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej jednym\nodcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n20 ,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 6\n20 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczbę 6 lub 20 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przedstawia dwa sprzeczne ze sobą zapisy i z rozwiązania nie wynika\njednoznacznie, który z nich zdający uznaje za poprawny, to za te zapisy zdający nie\notrzymuje punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5} i 𝑎≠𝑏.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 5 ⋅4 = 20.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 5), (5, 1), (5, 3),\nwięc |𝐴| = 6.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 6\n20 = 3\n10 .\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\n1\n5\n1\n5\n1\n5\n3\n5\n1\n5\n1\n3\n1\n3\n5\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\n1\n4\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 + 1\n5 ∙1\n4 = 6\n20 = 3\n10\nSposób IIa (drzewo stochastyczne uproszczone)\nRozpatrujemy dwuetapowe doświadczenie losowe. Niech 𝑛 odpowiada zdarzeniu\nwylosowania liczby nieparzystej, natomiast 𝑝 - zdarzeniu wylosowania liczby parzystej.\nRysujemy drzewo z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 3\n5 ∙2\n4 = 6\n20 = 3\n10\n3\n5\n2\n5\n𝑛\n𝑝\n𝑛\n𝑝\n2\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐷= (-6, 3).\n4 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 i wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵:\n𝑦= 1\n3 𝑥+ 5 i 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝑆𝐷 i zapisanie równania z jedną\nniewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐷), np.\n(𝑥-26\n5 )\n2\n+ (1\n3 𝑥+ 18\n5 )\n2\n+ (4\n5)\n2\n+ (28\n5 )\n2\n= (𝑥-6)2 + (1\n3 𝑥-2)\n2\n3 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego 𝑎2 prostej prostopadłej do 𝐴𝐵: 𝑎2 = -1\n7\ni wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5,\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝑆𝐵 i zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 za pomocą\npierwszej/drugiej współrzędnej punktu 𝐷: |𝑆𝐵| = √32 i 𝐷= (𝑥, 1\n3 𝑥+ 5)\n(lub 𝐷= (3𝑦-5, 𝑦) ).\n2 pkt - spełnienie dwóch spośród trzech warunków wymienionych w kryteriach oceniania za\n1 punkt\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego 𝑎2 prostej prostopadłej do odcinka 𝐴𝐵:\n𝑎2 = -1\n7 .\n1 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵: 𝑆= (26\n5 , 7\n5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zamiast symetralnej boku 𝐴𝐵 rozpatruje symetralną boku 𝐵𝐶 (lub 𝐶𝐴)\ni poprawnie realizuje strategię obliczenia współrzędnych punktu przecięcia symetralnej\nboku 𝐵𝐶 (lub 𝐶𝐴) z bokiem 𝐶𝐴 (lub 𝐵𝐶) oraz (konsekwentnie do popełnionego błędu)\nrozwiązuje zadanie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa,\nb) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦,\nc) błędne zastosowanie wzoru na współrzędne środka odcinka,\nd) błędne zastosowanie warunku prostopadłości prostych,\ne) błędne zastosowanie wzoru na odległość między dwoma punktami,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający otrzymuje\n3 punkty za całe rozwiązanie (o ile nie nabył prawa do 4 punktów).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy równanie kierunkowe prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏, rozwiązując układ równań\n{ 7 = 𝑎⋅6 + 𝑏\n2 = 𝑎⋅(-9) + 𝑏\nOtrzymujemy\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 𝑏\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 7 -6𝑎\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n15𝑎= 5\n{\n7 -6𝑎= 𝑏\n𝑎= 1\n3\n{\n5 = 𝑏\n𝑎= 1\n3\nZatem prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5.\nObliczamy współrzędne 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝑆 środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑥𝑆= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n22\n5 + 6\n2\n52\n5\n2 = 26\n5\n𝑦𝑆= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n-21\n5 + 7\n2\n14\n5\n2 = 7\n5\nZatem 𝑆= (26\n5 , 7\n5).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 𝑦𝐵-𝑦𝐴\n𝑥𝐵-𝑥𝐴\n7 -(-21\n5 )\n6 -22\n5\n56\n5\n8\n5\n= 7\nWyznaczamy równanie symetralnej boku 𝐴𝐵: 𝑦= 𝑎2𝑥+ 𝑏2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎2 symetralnej: 𝑎2 ⋅𝑎𝐴𝐵= -1. Stąd 𝑎2 = -1\n7 .\nSymetralna boku 𝐴𝐵 przechodzi przez punkt 𝑆, więc 7\n5 = -1\n7 ⋅26\n5 + 𝑏2 . Stąd 𝑏2 = 15\n7\ni symetralna ma równanie 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7 .\nPunkt 𝐷 jest punktem przecięcia prostej 𝐵𝐶 i symetralnej boku 𝐴𝐵.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷, rozwiązując układ równań:\n{\n𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n𝑦= 1\n3 𝑥+ 5\nOtrzymujemy\n{\n𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n1\n3 𝑥+ 5 = -1\n7 𝑥+ 15\n7\n{ 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n7𝑥+ 105 = -3𝑥+ 45\n{ 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n10𝑥= -60\n{ 𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\n𝑥= -6\n{ 𝑦= 3\n𝑥= -6\nZatem 𝐷= (-6, 3).\nPunkt ten leży na odcinku 𝐵𝐶, gdyż 𝑥𝐵= 6 > 𝑥𝐷= -6 > -9 = 𝑥𝐶.\nUwaga:\nRównanie symetralnej można również wyznaczyć korzystając z tego, że symetralna odcinka\njest zbiorem punktów równo oddalonych od końców odcinka.\nNiech punkt 𝑃= (𝑥, 𝑦) będzie punktem leżącym na symetralnej boku 𝐴𝐵. Wtedy\n|𝐴𝑃| = |𝑃𝐵|.\nZatem\n√(𝑥-22\n5 )\n2\n+ (𝑦+ 21\n5 )\n2\n= √(𝑥-6)2 + (𝑦-7)2\n𝑥2 -44\n5 𝑥+ 484\n25 + 𝑦2 + 42\n5 𝑦+ 441\n25 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 𝑦2 -14𝑦+ 49\n42\n5 𝑦+ 14𝑦= 44\n5 𝑥-12𝑥+ 36 + 49 -37\n112\n5 𝑦= -16\n5 𝑥+ 48\n𝑦= -1\n7 𝑥+ 15\n7\nSposób II\nWyznaczamy równanie kierunkowe prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏, rozwiązując układ równań\n{ 7 = 𝑎⋅6 + 𝑏\n2 = 𝑎⋅(-9) + 𝑏\nOtrzymujemy\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 𝑏\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n2 + 9𝑎= 7 -6𝑎\n{ 7 -6𝑎= 𝑏\n15𝑎= 5\n{\n7 -6𝑎= 𝑏\n𝑎= 1\n3\n{\n5 = 𝑏\n𝑎= 1\n3\nZatem prosta 𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= 1\n3 𝑥+ 5.\nObliczamy współrzędne 𝑥𝑆 oraz 𝑦𝑆 środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑥𝑆= 𝑥𝐴+ 𝑥𝐵\n2\n22\n5 + 6\n2\n52\n5\n2 = 26\n5\n𝑦𝑆= 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵\n2\n-21\n5 + 7\n2\n14\n5\n2 = 7\n5\nZatem 𝑆= (26\n5 , 7\n5).\nWyznaczamy równanie symetralnej odcinka 𝐴𝐵.\nPonieważ symetralna 𝑆𝐷 jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc trójkąt 𝐵𝑆𝐷 jest trójkątem\nprostokątnym, w którym wierzchołkiem kąta prostego jest punkt 𝑆.\nPunkt 𝐷 przecięcia symetralnej boku 𝐴𝐵 i boku 𝐵𝐶, należy do prostej 𝐵𝐶, więc\n𝐷= (𝑥, 1\n3 𝑥+ 5).\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝑆𝐷 i obliczamy współrzędne punktu 𝐷:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑆𝐷|2 + |𝑆𝐵|2 = |𝐵𝐷|2\n(𝑥-26\n5 )\n2\n+ (1\n3 𝑥+ 5 -7\n5)\n2\n+ (6 -26\n5 )\n2\n+ (7 -7\n5)\n2\n= (𝑥-6)2 + (1\n3 𝑥+ 5 -7)\n2\n(𝑥-26\n5 )\n2\n+ (1\n3 𝑥+ 18\n5 )\n2\n+ (4\n5)\n2\n+ (28\n5 )\n2\n= (𝑥-6)2 + (1\n3𝑥-2)\n2\n𝑥2 -52\n5 𝑥+ 676\n25 + 1\n9 𝑥2 + 36\n15 𝑥+ 324\n25 + 32 = 𝑥2 -12𝑥+ 36 + 1\n9 𝑥2 -4\n3 𝑥+ 4\n-52\n5 𝑥+ 36\n15 𝑥= -12𝑥-32 -4\n3 𝑥\n16\n3 𝑥= -32\n𝑥= -6\nZatem 1\n3 𝑥+ 5 = 1\n3 ⋅(-6) + 5 = 3, czyli 𝐷= (-6, 3).\nPunkt ten leży na odcinku 𝐵𝐶, gdyż 𝑥𝐵= 6 > 𝑥𝐷= -6 > -9 = 𝑥𝐶.\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin poprawkowy 2023.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), punkt (-8, 6) jest punktem przecięcia prostych\no równaniach\nA. 2𝑥+ 3𝑦= 2 i -𝑥+ 𝑦= -14.\nB. 3𝑥+ 2𝑦= -12 i 2𝑥+ 𝑦= 10.\nC. 𝑥+ 𝑦= -2 i 𝑥-2𝑦= 4.\nD. 𝑥-𝑦= -14 i -2𝑥+ 𝑦= 22.","answer":"D","answer_text":"6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n-3(𝑥-1) ≤5 -3𝑥\n3\njest przedział\nA. (-∞, 2\n3 ⟩\nB. (-∞, -2\n3 ⟩\nC. ⟨ 2\n3 , ∞)\nD. ⟨-2\n3 , ∞)","answer":"C","answer_text":"7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nRównanie (𝑥2 -3𝑥)(𝑥2 + 1) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. jedno rozwiązanie.\nB. dwa rozwiązania.\nC. trzy rozwiązania.\nD. cztery rozwiązania.\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥-𝑘\n𝑥2+1 , gdzie 𝑘\njest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek 𝑓(1) = 2.\nWartość współczynnika 𝑘 we wzorze tej funkcji jest równa\nA. (-3)\nB. 3\nC. (-4)\nD. 4","answer":"A","answer_text":"9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez\npunkt (-1, 4). Wzór funkcji 𝑓 ma postać\nA. 𝑓(𝑥) = -1\n2 𝑥+ 1\nB. 𝑓(𝑥) = -1\n3 𝑥+ 1\n3\nC. 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 2\nD. 𝑓(𝑥) = -3𝑥+ 1","answer":"C","answer_text":"10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥-13)2 -256. Jednym z miejsc\nzerowych tej funkcji jest liczba (-3).\nDrugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba\nA. (-29)\nB. (-23)\nC. 23\nD. 29\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 12.-13.\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) (zobacz rysunek).","answer":"D","answer_text":"11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale\nA. ⟨-5, 4⟩\nB. ⟨5, 7⟩\nC. ⟨1, 5⟩\nD. ⟨-1, 5⟩","answer":"B","answer_text":"12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n-𝑥2 -3𝑥+ 4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (1, -4), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 3𝑥2 + 5𝑥= 𝑥2 + 𝑟.\nZadanie 32.\n1 pkt - zapisanie nierówności 𝑥2 > 4𝑦2 lub 3𝑥𝑦> 6𝑦2.\nZadanie 33.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością ℎ\ntrapezu lub długością odcinka 𝐴𝐸, lub długością odcinka 𝐵𝐹), np. ℎ\n4 = sin 60°,\n|𝐴𝐸|\n4\n= cos 60°.\nZadanie 34.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 20 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (|𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik 5\n20 , to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐵𝐶: 1\n3 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(-𝑥) dla każdego\n𝑥∈⟨-7, -5⟩∪⟨-4, 4⟩∪⟨5, 7⟩. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦), wykres funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥).\nWykres funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n\nEMAP-P0_100\nC.\nD.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n-4\n-5\n-6\n1 2 3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6 7\n-4\n-5\n-6\n-7\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓, określona wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥-1)(𝑥-5), przyjmuje wartość\nA. najmniejszą równą 3.\nB. najmniejszą równą 4.\nC. największą równą 3.\nD. największą równą 4.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (-1)𝑛∙𝑛+1\n2 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrzeci wyraz tego ciągu jest równy\nA. 2\nB. (-2)\nC. 3\nD. (-1)","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nCzterowyrazowy ciąg (-2, 1, 𝑥, 𝑦) jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego\nciągu jest równa\nA. (-5\n4)\nB. (-4)\nC. (-1\n4)\nD. (-15\n4 )","answer":"A","answer_text":"17\n18\n19\n20\n21\n22\n23\n24\n25\n26\n27\n28\n29","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nKoło ma promień równy 3. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 30° jest równy\nA. 3\n4 𝜋\nB. 1\n2 𝜋\nC. 3\n4 𝜋+ 6\nD. 1\n2 𝜋+ 6","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i cos 𝛼= 2√6\n7 . Sinus kąta 𝛼 jest równy\nA. 24\n49\nB. 5\n7\nC. 25\n49\nD.\n√6\n7\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW okręgu 𝒪 kąt środkowy 𝛽 oraz kąt wpisany 𝛼 są oparte na tym samym łuku. Kąt 𝛽\nma miarę o 40° większą od kąta 𝛼. Miara kąta 𝛽 jest równa\nA. 40°\nB. 80°\nC. 100°\nD. 120°","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPole trójkąta równobocznego o wysokości 3 jest równe\nA. 3√3\n4\nB. 9√3\n4\nC. 3√3\nD. 6√3","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKażdy z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego ma miarę\nA. 120°\nB. 135°\nC. 144°\nD. 150°","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nObwód trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶 jest równy 𝐿. Na boku 𝐶𝐵 tego trójkąta obrano\npunkt 𝐸, a na boku 𝐴𝐵 obrano punkt 𝐷 tak, że 𝐷𝐸∥𝐴𝐶 oraz |𝐴𝐷| ∶|𝐷𝐵| = 3 ∶4\n(zobacz rysunek).\nObwód trójkąta 𝐵𝐸𝐷 jest równy\nA. 3\n4 𝐿\nB. 3\n7 𝐿\nC. 4\n7 𝐿\nD. 1\n4 𝐿\n𝐴\n𝐸\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"22 sierpnia 2023 r.\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nZasady oceniania","solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są prosta 𝑘 o równaniu 𝑦= 3\n4 𝑥-7\n4 oraz\npunkt 𝑃= (12, -1).\nProsta przechodząca przez punkt 𝑃 i równoległa do prostej 𝑘 ma równanie\nA. 𝑦= -3\n4 𝑥+ 8\nB. 𝑦= 3\n4 𝑥-10\nC. 𝑦= 4\n3 𝑥-17\nD. 𝑦= -4\n3 𝑥+ 15","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝐴= (-1, -4) jest wierzchołkiem\nrównoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Punkt 𝑆= (2, 2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku.\nDługość przekątnej 𝐴𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa\nA. √5\nB. 2√5\nC. 3√5\nD. 6√5\nInformacja do zadań 25.-26.\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe\nA. 216 + 18√3\nB. 216 + 54√3\nC. 216 + 216√3\nD. 216 + 108√3","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nCosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy\ngraniastosłupa jest równy\nA. 1\n2\nB. 2\n√5\nC. 1\n√5\nD.\n√3\n2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola\npodstawy jest równy 12. Wynika stąd, że w tym ostrosłupie stosunek wysokości ściany\nbocznej do krawędzi podstawy jest równy\nA. 24\nB. 3\nC. 6\nD. 4","answer":"C","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników\npewnej firmy za styczeń 2023 roku.\nŚrednia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest\nrówna\nA. 5 690 zł\nB. 5 280 zł\nC. 6 257 zł\nD. 5 900 zł","answer":"A","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfry się\nnie powtarzają, jest\nA. 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 ⋅10\nB. 9 ⋅9 ⋅9 ⋅9\nC. 10 ⋅9 ⋅8 ⋅7\nD. 9 ⋅9 ⋅8 ⋅7\n10\n36\n5\n25\n18\n4\n2\n0\n5\n10\n15\n20\n25\n30\n35\n40\n4800\n5100\n5500\n5900\n6400\n7500\n8600\nliczba\npracowników\nwynagrodzenie brutto za styczeń 2023 (w zł)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n5 -𝑥2 > 3𝑥+ 1\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nCiąg (3𝑥2 + 5𝑥, 𝑥2, 20 -𝑥2) jest arytmetyczny. Oblicz 𝑥.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej\ndodatniej 𝑦 takiej, że 𝑥> 2𝑦, prawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 3𝑥𝑦-10𝑦2 > 0\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trapez równoramienny 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym podstawa 𝐶𝐷 ma długość 6, ramię 𝐴𝐷\nma długość 4, a kąty 𝐵𝐴𝐷 oraz 𝐴𝐵𝐶 mają miarę 60° (zobacz rysunek).\nOblicz pole tego trapezu.\n𝐶\n𝐷\n60°\n6\n4\n𝐵\n𝐴\n60°\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nRozwiąż równanie\n2𝑥-3\n3𝑥-2 = 1\n2𝑥\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nZe zbioru pięciu liczb {1, 2, 3, 4, 5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej\nliczbie.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że obie wylosowane liczby\nsą nieparzyste.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2023,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nPunkty 𝐴= (22\n5 , -21\n5 ), 𝐵= (6, 7) oraz 𝐶= (-9, 2) są wierzchołkami trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nSymetralna boku 𝐴𝐵 tego trójkąta przecina bok 𝐵𝐶 w punkcie 𝐷.\nOblicz współrzędne punktu 𝐷.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2023-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2023 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}