{"paper":{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":44,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 2-1 ⋅32\n3\n5\njest równa\nA. (-16)\nB. (-4)\nC. 2\nD. 4\nLiczba 2^(-1)⋅32^(3/5) jest równa A. (-16) B. (-4) C. 2 D. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…] potęgowanie) w\nzbiorze liczb rzeczywistych;\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana na potęgi dwójki\n\nKażdą liczbę wyrażamy jako potęgę liczby \\(2\\).\n\n**Krok 1:** Zapisujemy \\(32\\) jako potęgę dwójki:\n\\[32 = 2^5\\]\n\n**Krok 2:** Obliczamy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\):\n\\[32^{\\frac{3}{5}} = \\left(2^5\\right)^{\\frac{3}{5}} = 2^{5 \\cdot \\frac{3}{5}} = 2^3 = 8\\]\n\n**Krok 3:** Obliczamy \\(2^{-1}\\):\n\\[2^{-1} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Krok 4:** Mnożymy:\n\\[2^{-1} \\cdot 32^{\\frac{3}{5}} = \\frac{1}{2} \\cdot 8 = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - rozpisanie przez pierwiastki\n\nZamiast korzystać z potęg, interpretujemy \\(a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\).\n\n**Krok 1:** Obliczamy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) przez pierwiastek piątego stopnia:\n\\[32^{\\frac{3}{5}} = \\sqrt[5]{32^3}\\]\n\nPonieważ \\(\\sqrt[5]{32} = \\sqrt[5]{2^5} = 2\\), więc:\n\\[\\sqrt[5]{32^3} = \\left(\\sqrt[5]{32}\\right)^3 = 2^3 = 8\\]\n\n**Krok 2:** Mnożymy przez \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\):\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot 8 = \\mathbf{4}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nPotęga o wykładniku wymiernym:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(32^{\\frac{3}{5}}\\).\n\nDziałanie na potęgach - potęgowanie potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, gdy liczyliśmy \\(\\left(2^5\\right)^{\\frac{3}{5}} = 2^3\\).\n\nWykładnik ujemny:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy tego do zamiany \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-16)\\) | Uczeń liczy \\(2^{-1} = -1\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), a potem myląc znaki dostaje liczbę ujemną. Wykładnik ujemny to **odwrotność**, a nie zmiana znaku! |\n| B \\((-4)\\) | Podobny błąd: traktowanie \\(2^{-1}\\) jako \\(-2\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), co daje \\((-2) \\cdot 8 = -16\\), albo inne błędne przekształcenia prowadzące do wyniku ujemnego. |\n| C \\(2\\) | Uczeń poprawnie oblicza \\(32^{\\frac{3}{5}} = 8\\), ale zamiast mnożyć przez \\(\\frac{1}{2}\\), **dzieli wykładniki**: \\(2^{-1+\\frac{3}{5}}\\) i gubi gdzieś czynnik, albo liczy \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) błędnie jako \\(4\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(2^{-1} \\neq -2\\) i \\(2^{-1} \\neq -1\\). Wykładnik ujemny oznacza **odwrotność**: \\(2^{-1} = \\frac{1}{2}\\). To jeden z najczęstszych błędów na maturze!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(32^{\\frac{3}{5}}\\) kolejność działań jest dowolna: możesz najpierw wziąć pierwiastek (\\(\\sqrt[5]{32} = 2\\)), a potem podnieść do potęgi (\\(2^3 = 8\\)). To łatwiejsze niż liczenie \\(32^3 = 32768\\), a potem \\(\\sqrt[5]{32768}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik jest **dodatni** - nie powinno tu pojawić się nic ujemnego, bo \\(32 > 0\\) i \\(2^{-1} > 0\\). Jeśli Twój wynik jest ujemny, na pewno popełniłeś błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (potęgi)\n\\(32 = 2^5\\), więc \\(32^{3/5} = (2^5)^{3/5} = 2^{3}\\).\n\\[2^{-1}\\cdot 2^{3} = 2^{-1+3} = 2^{2} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\n\\(32^{3/5} = \\sqrt[5]{32^3} = \\sqrt[5]{32768}\\). Ponieważ \\(32 = 2^5\\), \\(\\sqrt[5]{32} = 2\\), więc \\(\\sqrt[5]{32^3} = 2^3 = 8\\). Dalej \\(\\tfrac{1}{2}\\cdot 8 = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-16\\)** - błędny znak i wynik.\n- **B. \\(-4\\)** - brak minusa w \\(2^{-1}\\).\n- **C. \\(2\\)** - obliczono \\(2^{1}\\).\n\n**Trik:** \\(a^{m/n} = \\sqrt[n]{a^m}\\); najpierw podstaw \\(32 = 2^5\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log3 (3\n2) + log3 (2\n9) jest równa\nA. log3\n31\n18\nB. log3\n5\n11\nC. (-1)\nD. 1\n3\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_3 3/2 + log_3 2/9 jest równa A. log_3 31/18 B. log_3 5/11 C. (-1) D. 1/3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) […] posługuje się wzorem na logarytm\niloczynu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nLiczba \\(\\log_{3}\\!\\left(\\dfrac{3}{2}\\right) + \\log_{3}\\!\\left(\\dfrac{2}{9}\\right) = -1\\)\n\n## Sposób 1 - Własność logarytmu sumy (dodawanie = mnożenie)\n\nKorzystamy ze wzoru: \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\)\n\nMamy tę samą podstawę \\(3\\) po obu stronach, więc możemy połączyć:\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2}\\right) + \\log_{3}\\!\\left(\\frac{2}{9}\\right) = \\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9}\\right)\\]\n\nLiczmy iloczyn ułamków:\n\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot \\frac{2}{9} = \\frac{3 \\cdot 2}{2 \\cdot 9} = \\frac{6}{18} = \\frac{1}{3}\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) = \\log_{3}\\!\\left(3^{-1}\\right) = -1\\]\n\n**Wynik: \\(-1\\), odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na logarytmy prostych liczb\n\nKażdy logarytm rozkładamy osobno, korzystając z \\(\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\):\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{3}{2}\\right) = \\log_{3} 3 - \\log_{3} 2 = 1 - \\log_{3} 2\\]\n\n\\[\\log_{3}\\!\\left(\\frac{2}{9}\\right) = \\log_{3} 2 - \\log_{3} 9 = \\log_{3} 2 - 2\\]\n\nDodajemy:\n\n\\[(1 - \\log_{3} 2) + (\\log_{3} 2 - 2) = 1 - \\log_{3} 2 + \\log_{3} 2 - 2\\]\n\n\\[= 1 - 2 = -1\\]\n\n**Wynik: \\(-1\\), odpowiedź C.** Pięknie: \\(\\log_{3} 2\\) się skasowało.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nWłasność: logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 - w drugą stronę (suma logarytmów → logarytm iloczynu).\n\nWłasność: logarytm ilorazu:\n\\[\\log_a\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right) = \\log_a x - \\log_a y\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do rozbicia każdego wyrażenia.\n\nDefinicja:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej przy wyliczeniu \\(\\log_{3}\\!\\left(3^{-1}\\right) = -1\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Dodano liczniki i mianowniki zamiast mnożyć ułamki: \\(\\frac{3}{2} + \\frac{2}{9} = \\frac{27+4}{18} = \\frac{31}{18}\\). To błąd - suma logarytmów to logarytm **iloczynu**, nie sumy argumentów. |\n| B | Odjęto liczniki i mianowniki: \\(\\frac{3-2}{2+9} = \\frac{1}{11}\\) albo podobna omyłka. Nie ma takiej własności logarytmów. |\n| D | Wzięto \\(\\frac{1}{3}\\) jako wynik zamiast \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right)\\). Zapominamy, że \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) \\neq \\frac{1}{3}\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\) - suma logarytmów to logarytm **iloczynu**. Bardzo częsty błąd: dodawanie argumentów zamiast ich mnożenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3\\!\\left(\\frac{1}{3}\\right) \\neq \\frac{1}{3}\\). Zawsze pytaj: \"do jakiej potęgi trzeba podnieść \\(3\\), żeby dostać \\(\\frac{1}{3}\\)?\" Odpowiedź: do \\(-1\\), bo \\(3^{-1} = \\frac{1}{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własności logarytmów działają tylko gdy **podstawy są identyczne**. Tu obie wynoszą \\(3\\) - OK. Gdyby podstawy były różne, nie można by łączyć.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (logarytm iloczynu)\n\\[\\log_{3}\\tfrac{3}{2} + \\log_{3}\\tfrac{2}{9} = \\log_{3}\\left(\\tfrac{3}{2}\\cdot\\tfrac{2}{9}\\right) = \\log_{3}\\tfrac{6}{18} = \\log_{3}\\tfrac{1}{3} = -1.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozbicie logarytmów\n\\(\\log_3 \\tfrac{3}{2} = 1 - \\log_3 2\\); \\(\\log_3 \\tfrac{2}{9} = \\log_3 2 - 2\\). Suma: \\(1 - \\log_3 2 + \\log_3 2 - 2 = -1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - błąd: próba sumowania liczb pod logarytmami.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{3}\\)** - pomylono \\(\\log_{3}\\tfrac{1}{3}\\) z \\(\\tfrac{1}{3}\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(xy)\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Logarytmy","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (2√10 + √2)\n2 jest równa\nA. 22\nB. 42\nC. 42 + 4√5\nD. 42 + 8√5\nLiczba (2√10+√2)² jest równa A. 22 B. 42 C. 42+4√5 D. 42+8√5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.3) stosuje własności pierwiastków […];\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(42 + 8\\sqrt{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^2\\)\n\nMamy wyrażenie \\(\\left(2\\sqrt{10}+\\sqrt{2}\\right)^2\\). Stosujemy wzór \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\), gdzie:\n\\[a = 2\\sqrt{10}, \\quad b = \\sqrt{2}\\]\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^2 = \\left(2\\sqrt{10}\\right)^2 = 4 \\cdot 10 = 40\\]\n\n\\[b^2 = \\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2\\]\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 2\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = 4\\sqrt{10 \\cdot 2} = 4\\sqrt{20}\\]\n\nUpraszczamy \\(\\sqrt{20}\\):\n\\[\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\]\n\nZatem:\n\\[2ab = 4 \\cdot 2\\sqrt{5} = 8\\sqrt{5}\\]\n\nSkładamy wszystko razem:\n\\[\\left(2\\sqrt{10}+\\sqrt{2}\\right)^2 = 40 + 2 + 8\\sqrt{5} = \\mathbf{42 + 8\\sqrt{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłuskanie wspólnego czynnika przed nawiasem\n\nZauważamy, że \\(\\sqrt{2}\\) jest wspólnym czynnikiem:\n\\[2\\sqrt{10} = \\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{20} = \\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{5}\\]\n\nZatem:\n\\[2\\sqrt{10} + \\sqrt{2} = \\sqrt{2}\\left(2\\sqrt{5} + 1\\right)\\]\n\nPodnosimy do kwadratu:\n\\[\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 \\cdot \\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2 = 2 \\cdot \\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2\\]\n\nLiczymy \\(\\left(2\\sqrt{5}+1\\right)^2\\):\n\\[\\left(2\\sqrt{5}\\right)^2 + 2 \\cdot 2\\sqrt{5} \\cdot 1 + 1^2 = 20 + 4\\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\\sqrt{5}\\]\n\nMnożymy przez 2:\n\\[2 \\cdot \\left(21 + 4\\sqrt{5}\\right) = \\mathbf{42 + 8\\sqrt{5}}\\]\n\nWynik zgodny - odpowiedź **D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 jako główne narzędzie.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}, \\quad \\left(\\sqrt{a}\\right)^2 = a\\]\nUżyliśmy przy mnożeniu \\(\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = \\sqrt{20}\\) i upraszczaniu \\(\\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** \\((22)\\) | Uczeń liczy \\((2\\sqrt{10})^2 + (\\sqrt{2})^2 = 40 + 2 = 42\\), ale jeszcze bardziej upraszcza lub omyłkowo liczy \\(2^2 + \\sqrt{10}^2 + \\sqrt{2}^2\\) - całkowita utrata członu \\(2ab\\) oraz błąd w \\(a^2\\) |\n| **B** \\((42)\\) | Pominięto człon \\(2ab\\), czyli \\(8\\sqrt{5}\\) - bardzo częsty błąd! Uczeń liczy tylko \\(a^2 + b^2 = 40 + 2 = 42\\), zapominając o członie środkowym wzoru |\n| **C** \\((42 + 4\\sqrt{5})\\) | Poprawnie zastosowano wzór, ale popełniono błąd w \\(2ab\\): zapomniano o czynniku \\(2\\) przy \\(a\\) w wyrażeniu \\(a = 2\\sqrt{10}\\), czyli policzono \\(2 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}\\) zamiast \\(2 \\cdot 2\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}\\), co daje \\(4\\sqrt{5}\\) zamiast \\(8\\sqrt{5}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - pominięcie członu \\(2ab\\) we wzorze \\((a+b)^2\\). Zawsze są trzy składniki: \\(a^2\\), \\(2ab\\) i \\(b^2\\) - **nie dwa!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(a = 2\\sqrt{10}\\) mamy \\(a^2 = (2)^2 \\cdot (\\sqrt{10})^2 = 4 \\cdot 10 = 40\\), nie \\(2 \\cdot 10 = 20\\). Pamiętaj, że cały wyraz jest podnoszony do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{20}\\) trzeba uprościć: \\(\\sqrt{20} = \\sqrt{4 \\cdot 5} = 2\\sqrt{5}\\). Bez tego uproszczenia nie rozpoznasz żadnej z odpowiedzi.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów \\((a+b)^2\\)\n\\[(2\\sqrt{10})^2 + 2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2 = 40 + 4\\sqrt{20} + 2 = 42 + 4\\cdot 2\\sqrt{5} = 42 + 8\\sqrt{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Uproszczenie środka\n\\(\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\). Zatem \\(2\\cdot 2\\sqrt{10}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\cdot 2\\sqrt{5} = 8\\sqrt{5}\\). Pozostałe: \\(40 + 2 = 42\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(22\\)** - zapomniano o podwójnym iloczynie i \\((2\\sqrt{10})^2 = 40\\).\n- **B. \\(42\\)** - pominięto część \\(8\\sqrt{5}\\).\n- **C. \\(42 + 4\\sqrt{5}\\)** - nie podwojono.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt{10}\\sqrt{2} = \\sqrt{20} = 2\\sqrt{5}\\); pamiętaj o współczynniku \\(2ab\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nKlient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości 𝐾0 zł. Po każdym rocznym\nokresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPo trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków)\njest równa\nA. 𝐾0 ⋅(1,06)3\nB. 𝐾0 ⋅(1,02)3\nC. 𝐾0 ⋅(1,03)6\nD. 𝐾0 ⋅1,18\n\nMMAP-P0_100\nKlient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości K_0 zł. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Po trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków) jest równa A. K_0⋅(1,06)³ B. K_0⋅(1,02)³ C. K_0⋅(1,03)^6 D. K_0⋅1,18","answer":"A","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych z kapitalizacją\nroczną i zysków z lokat.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nPole prostokąta \\(\\mathcal{P}_1\\) stanowi **\\(62{,}5\\%\\)** pola prostokąta \\(\\mathcal{P}_2\\).\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenie stosunku pól\n\n**Obliczamy pola obu prostokątów:**\n\n\\[P_1 = a \\cdot b\\]\n\n\\[P_2 = 0{,}2a \\cdot 8b = 1{,}6ab\\]\n\n**Obliczamy, jaką część (procentowo) \\(P_1\\) stanowi z \\(P_2\\):**\n\n\\[\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{ab}{1{,}6ab} = \\frac{1}{1{,}6} = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8} = 0{,}625\\]\n\n**Zatem \\(P_1 = 62{,}5\\% \\cdot P_2\\).**\n\n## Sposób 2 - podstawienie konkretnych liczb (weryfikacja)\n\nPrzyjmijmy \\(a = 10\\), \\(b = 1\\) (dowolne wartości, żeby sprawdzić).\n\n\\[P_1 = 10 \\cdot 1 = 10\\]\n\n\\[P_2 = 0{,}2 \\cdot 10 \\cdot 8 \\cdot 1 = 2 \\cdot 8 = 16\\]\n\nStosunek:\n\n\\[\\frac{P_1}{P_2} = \\frac{10}{16} = 0{,}625 = 62{,}5\\%\\]\n\nWynik zgodny z odpowiedzią B.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja pola prostokąta (\\(P = a \\cdot b\\)) i podstawowe działania arytmetyczne na ułamkach/procentach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(60\\%\\)) | Zaokrąglenie \\(\\frac{1}{1{,}6}\\) do \\(0{,}6\\) bez dokładnego liczenia; albo błędne uproszczenie \\(0{,}2 \\cdot 8 = 1{,}6\\) np. jako \\(\\frac{5}{3}\\) |\n| C (\\(160\\%\\)) | Odwrócenie stosunku - obliczono \\(\\frac{P_2}{P_1}\\) zamiast \\(\\frac{P_1}{P_2}\\) (czyli ile procent \\(\\mathcal{P}_2\\) stanowi z \\(\\mathcal{P}_1\\)) |\n| D (\\(162{,}5\\%\\)) | Analogiczne odwrócenie stosunku jak w C, ale z dodatkowym błędem rachunkowym |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odwrócenie stosunku - uczeń oblicza \\(\\frac{P_2}{P_1}\\) zamiast \\(\\frac{P_1}{P_2}\\). Zawsze sprawdź, o który stosunek pyta zadanie: „\\(\\mathcal{P}_1\\) stanowi % \\(\\mathcal{P}_2\\)\" to \\(\\frac{P_1}{P_2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu \\(0{,}2 \\cdot 8\\) wynik to \\(1{,}6\\), a nie \\(1{,}8\\) ani \\(2\\). Warto to policzyć ostrożnie: \\(\\frac{2}{10} \\cdot 8 = \\frac{16}{10} = 1{,}6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{1}{1{,}6} = \\frac{10}{16} = \\frac{5}{8} = 0{,}625\\) - nie zaokrąglaj przedwcześnie do \\(0{,}6\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Stosunek pól\n\\(P_1 = ab\\), \\(P_2 = 0{,}2a\\cdot 8b = 1{,}6ab\\).\n\\[\\dfrac{P_1}{P_2} = \\dfrac{ab}{1{,}6ab} = \\dfrac{1}{1{,}6} = \\dfrac{10}{16} = 0{,}625 = 62{,}5\\%.\\]\n\n### Sposób 2 - Liczby testowe\nNiech \\(a=b=1\\): \\(P_1 = 1\\), \\(P_2 = 1{,}6\\). \\(\\tfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(60\\%\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C, D** (>100%) - błędna odwrotność stosunku.\n\n**Trik:** \\(0{,}2\\cdot 8 = 1{,}6\\); \\(\\tfrac{1}{1{,}6} = 0{,}625\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Procenty, ciagi","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝟓𝒏𝟑-𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟑𝟎.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba 5n³-5n jest podzielna przez 30.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) oraz\nzapisanie, że wśród trzech kolejnych liczb całkowitych 𝑛-1, 𝑛, 𝑛+ 1 co najmniej\njedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy wyrażenie 5𝑛3 -5𝑛 do postaci iloczynu\n5𝑛3 -5𝑛= 5𝑛(𝑛2 -1) = 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1)\nJeden z czynników w rozkładzie jest równy 5, więc liczba 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) jest podzielna\nprzez 5. Wśród każdych trzech kolejnych liczb całkowitych 𝑛-1, 𝑛, 𝑛+ 1 co najmniej\njedna jest podzielna przez 2 i dokładnie jedna jest podzielna przez 3.\nZatem liczba 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) dzieli się przez 5 oraz przez 2 oraz przez 3.\nPonadto liczby 2, 3, 5 są parami względnie pierwsze.\nZatem liczba 5𝑛3 -5𝑛= 5𝑛(𝑛2 -1) = 5𝑛(𝑛-1)(𝑛+ 1) jest podzielna przez 30.\nTo kończy dowód.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\)\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie zastosowanie wzoru na procent składany\n\nProcent składany oznacza, że **na koniec każdego okresu bank dolicza odsetki od całego bieżącego kapitału** (nie tylko od kwoty początkowej).\n\nOprocentowanie roczne wynosi \\(6\\% = 0{,}06\\).\n\nPo każdym roku kapitał rośnie razy \\((1 + 0{,}06) = 1{,}06\\):\n\n\\[K_1 = K_0 \\cdot 1{,}06\\]\n\n\\[K_2 = K_1 \\cdot 1{,}06 = K_0 \\cdot (1{,}06)^2\\]\n\n\\[K_3 = K_2 \\cdot 1{,}06 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\]\n\n**Po 3 latach: \\(K_3 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\)**\n\n## Sposób 2 - Użycie wzoru z karty CKE\n\nZe wzoru na procent składany (Dział 8):\n\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\n\nPodstawiamy: \\(n = 3\\), \\(p = 6\\):\n\n\\[K_3 = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{6}{100}\\right)^3 = K_0 \\cdot (1 + 0{,}06)^3 = K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\]\n\n**Wynik: \\(K_0 \\cdot (1{,}06)^3\\) - odpowiedź A.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - procent składany:\n\\[K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\]\ngdzie \\(K_0\\) to kapitał początkowy, \\(p\\) to stopa procentowa (w procentach), \\(n\\) to liczba okresów.\n\nUżyliśmy tego wzoru wprost - wstawiliśmy \\(p = 6\\) i \\(n = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Wzięto \\(2\\%\\) zamiast \\(6\\%\\) - być może pomylono z kwartalnym oprocentowaniem lub zwykłą pomyłką |\n| C | Podzielono oprocentowanie na pół (\\(3\\%\\)) i podwojono liczbę okresów (\\(6\\)) - błędna \"naprawa\" wzoru; taki zapis byłby poprawny przy oprocentowaniu półrocznym \\(3\\%\\), ale tu mamy roczne \\(6\\%\\) |\n| D | Policzono procent prosty zamiast składanego: \\(3 \\times 6\\% = 18\\%\\), więc \\(K_0 \\cdot 1{,}18\\) - to byłoby poprawne, gdyby odsetki liczyć zawsze od kwoty **początkowej** \\(K_0\\), a nie od bieżącego kapitału |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Procent **składany** ≠ procent **prosty**. W procencie prostym odsetki liczymy zawsze od \\(K_0\\), więc po 3 latach mamy \\(K_0 \\cdot (1 + 3 \\cdot 0{,}06) = K_0 \\cdot 1{,}18\\). W procencie składanym odsetki \"pracują na siebie\" - każdego roku podstawa rośnie, stąd potęga.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno \"rozdzielać\" oprocentowania: zapis \\((1{,}03)^6\\) nie jest równoważny \\((1{,}06)^3\\). Łatwo sprawdzić: \\((1{,}06)^3 \\approx 1{,}1910\\), a \\((1{,}03)^6 \\approx 1{,}1941\\) - wartości różne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(K_n = K_0 \\cdot \\left(1 + \\frac{p}{100}\\right)^n\\) działa tylko gdy **\\(p\\) podajemy w procentach** (nie jako ułamek dziesiętny). Jeśli wstawiasz \\(p = 6\\), to \\(\\frac{6}{100} = 0{,}06\\) i dostajesz \\(1{,}06\\) - nie wstawiaj bezpośrednio \\(0{,}06\\) do \\(p\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Procent składany\nPo 1. roku: \\(K_0\\cdot 1{,}06\\); po 2. roku: \\(K_0\\cdot(1{,}06)^{2}\\); po 3. roku: \\(K_0\\cdot(1{,}06)^{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Karta wzorów\nWzór na kapitał końcowy przy kapitalizacji rocznej: \\(K_n = K_0(1+p)^n\\), gdzie \\(p=0{,}06\\), \\(n=3\\): \\(K_3 = K_0(1{,}06)^3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((1{,}02)^{3}\\)** - błędnie dzielono \\(6\\%\\) przez 3.\n- **C. \\((1{,}03)^{6}\\)** - błąd podziału \\(6\\%\\) pół-rocznie.\n- **D. \\(1{,}18\\)** - procent prosty (\\(3\\cdot 6\\% = 18\\%\\)).\n\n**Trik:** przy oprocentowaniu rocznym \\(p\\) i \\(n\\) latach: mnożnik = \\((1+p)^n\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności\n3𝑥-5\n12\n< 1\n3\njest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 6\nLiczba wszystkich {całkowitych dodatnich} rozwiązań nierówności 3x-5/12 < 1/3 A. 2 B. 3 C. 5 D. 6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(2\\)\n\n## Sposób 1 - Rozwiązanie algebraiczne nierówności\n\n**Rozwiązujemy nierówność krok po kroku.**\n\nMamy:\n\\[\\frac{3x-5}{12} < \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\(12\\) (liczba dodatnia - nie zmieniamy znaku nierówności):\n\\[3x - 5 < \\frac{12}{3}\\]\n\\[3x - 5 < 4\\]\n\n**Krok 2:** Dodajemy \\(5\\) do obu stron:\n\\[3x < 9\\]\n\n**Krok 3:** Dzielimy obie strony przez \\(3\\) (dodatnia - znak bez zmian):\n\\[x < 3\\]\n\n**Rozwiązaniem nierówności są wszystkie** \\(x < 3\\).\n\n**Krok 4:** Szukamy całkowitych **dodatnich** rozwiązań, czyli:\n\\[x \\in \\mathbb{Z}, \\quad x > 0, \\quad x < 3\\]\n\nZatem \\(x \\in \\{1, 2\\}\\).\n\n**Liczba rozwiązań = \\(2\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą dodatnią liczbę całkowitą mniejszą niż \\(3\\):\n\n**\\(x = 1\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot 1 - 5}{12} = \\frac{-2}{12} = -\\frac{1}{6} < \\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**\\(x = 2\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot 2 - 5}{12} = \\frac{1}{12} < \\frac{1}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**\\(x = 3\\)** (granica - sprawdzamy, czy to rozwiązanie):\n\\[\\frac{3 \\cdot 3 - 5}{12} = \\frac{4}{12} = \\frac{1}{3} \\not< \\frac{1}{3} \\quad \\times\\]\n\n\\(x = 3\\) **nie spełnia** nierówności (nierówność ostra).\n\nRozwiązania całkowite dodatnie: \\(\\{1, 2\\}\\) - **łącznie \\(2\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe przekształcenia nierówności (mnożenie i dodawanie po obu stronach).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B. \\(3\\) | Uczeń włącza \\(x = 3\\) do rozwiązań, zapominając że nierówność jest **ostra** (\\(<\\), nie \\(\\leq\\)), więc \\(x = 3\\) nie pasuje |\n| C. \\(5\\) | Uczeń liczy rozwiązania całkowite \\(x \\in \\{1,2,3,4,5\\}\\), mylnie obliczając granicę jako \\(x < 6\\) lub licząc \\(x \\leq 5\\) |\n| D. \\(6\\) | Podobny błąd - błędne obliczenie granicy lub policzenie \\(x \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **ostra** (\\(<\\)), więc \\(x = 3\\) **nie jest** rozwiązaniem. Bardzo łatwo o pomyłkę przy granicy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o rozwiązania całkowite **dodatnie** - liczba \\(0\\) nie jest dodatnia, więc \\(x = 0\\) odpada, mimo że \\(0 < 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną znak nierówności się odwraca. Tu mnożymy przez \\(12 > 0\\), więc znak pozostaje - ale zawsze sprawdzaj znak mnożnika!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Rozwiązanie nierówności\n\\[\\dfrac{3x-5}{12} < \\dfrac{1}{3}\\ /\\cdot 12\\]\n\\[3x - 5 < 4\\]\n\\[3x < 9 \\Rightarrow x < 3.\\]\nDodatnie całkowite: \\(x = 1, 2\\). Są 2 liczby.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x=1\\): \\(\\tfrac{-2}{12} = -\\tfrac{1}{6} < \\tfrac{1}{3}\\) ✓. \\(x=2\\): \\(\\tfrac{1}{12} < \\tfrac{1}{3}\\) ✓. \\(x=3\\): \\(\\tfrac{4}{12} = \\tfrac{1}{3}\\) - nie mniejsze ✗.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. 3** - błędnie zaliczono \\(x=3\\).\n- **C, D** - nie uwzględniono ograniczenia \\(x < 3\\).\n\n**Trik:** po pomnożeniu przez \\(12\\) (dodatnie) nierówność się nie odwraca.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkład równań {\n𝑥-2𝑦= 3\n-4𝑥+ 8𝑦= -12\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\nMMAP-P0_100\nUkład równań {x-2y=3; -4x+8y=-12 A. nie ma rozwiązań. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie drugiego równania\n\nZauważamy, że drugie równanie wygląda podejrzanie podobnie do pierwszego. Sprawdźmy, co się stanie, gdy je uprościmy.\n\nDrugie równanie: \\(-4x + 8y = -12\\)\n\nPodzielmy obie strony przez \\(-4\\):\n\\[\\frac{-4x + 8y}{-4} = \\frac{-12}{-4}\\]\n\\[x - 2y = 3\\]\n\n**To dokładnie to samo, co pierwsze równanie!**\n\nUkład wygląda więc tak:\n\\[\\begin{cases} x - 2y = 3 \\\\ x - 2y = 3 \\end{cases}\\]\n\nOba równania opisują **tę samą prostą** na płaszczyźnie. Każdy punkt na tej prostej jest rozwiązaniem układu.\n\nProsta ma postać: \\(x = 3 + 2y\\), czyli dla każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\) mamy rozwiązanie:\n\\[(x, y) = (3 + 2t,\\ t) \\quad \\text{dla dowolnego } t \\in \\mathbb{R}\\]\n\n**Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.**\n\n## Sposób 2 - Metoda wyznacznikowa (Cramera) / analiza współczynników\n\nZapisujemy układ w postaci macierzowej i sprawdzamy proporcje współczynników:\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{1}{-4} = -\\frac{1}{4}\\]\n\\[\\frac{b_1}{b_2} = \\frac{-2}{8} = -\\frac{1}{4}\\]\n\\[\\frac{c_1}{c_2} = \\frac{3}{-12} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nPonieważ:\n\\[\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} = \\frac{c_1}{c_2} = -\\frac{1}{4}\\]\n\nWszystkie trzy proporcje są **równe** - to oznacza, że równania są **proporcjonalne** (jedno jest wielokrotnością drugiego). Układ jest **nieoznaczony** - ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n> **Dla przypomnienia:** Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} = \\frac{b_1}{b_2} \\neq \\frac{c_1}{c_2}\\), układ byłby sprzeczny (brak rozwiązań). Gdyby \\(\\frac{a_1}{a_2} \\neq \\frac{b_1}{b_2}\\), układ miałby dokładnie jedno rozwiązanie.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji układu równań i elementarnych przekształceń równań (dzielenie przez stałą, porównywanie współczynników). To czysto algebraiczne zadanie z podstawówki.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń widzi dwa różne równania i myśli: \"coś tu nie gra - pewnie układ jest sprzeczny\". Nie sprawdza proporcji wyrazów wolnych. |\n| B | Uczeń próbuje rozwiązać układ metodą podstawiania lub dodawania, ale nie upraszcza drugiego równania - dostaje \\(0 = 0\\) i nie wie, co z tym zrobić, więc zgaduje \"jedno rozwiązanie\". |\n| C | Układ dwóch równań liniowych nigdy nie ma dokładnie dwóch rozwiązań - to niemożliwe geometrycznie (dwie proste albo się przecinają w 1 punkcie, albo są równoległe, albo pokrywają się). Odpowiedź C to pułapka dla nieuważnych. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy przy metodzie dodawania lub podstawiania wychodzi \\(0 = 0\\) - to **nie jest błąd**! To sygnał, że układ ma **nieskończenie wiele rozwiązań** (równania są tożsame). Gdy wychodzi \\(0 = \\text{liczba niezerowa}\\) - to sygnał, że układ jest **sprzeczny** (brak rozwiązań).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto uprościć każde równanie przed rozwiązaniem - dzielenie przez wspólny czynnik może od razu zdemaskować, że oba równania są identyczne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (dokładnie dwa rozwiązania) jest **zawsze błędna** dla układu dwóch równań liniowych - dwie proste mogą dać co najwyżej 1 punkt wspólny lub nieskończenie wiele (pokrywanie się). Jeśli widzisz C w takim zadaniu - odrzuć od razu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Proporcjonalność współczynników\nPomnóż pierwsze równanie przez \\(-4\\): \\(-4x + 8y = -12\\) - identyczne z drugim. Równania są liniowo zależne, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.\n\n### Sposób 2 - Wyznacznik\n\\[\\tfrac{1}{-4} = \\tfrac{-2}{8} = \\tfrac{3}{-12} = -\\tfrac{1}{4}.\\]\nWszystkie trzy stosunki równe → układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** - sprzeczny dałby różny stosunek wyrazów wolnych.\n- **B** - wymaga niezależnych równań.\n- **C** - układ liniowy nie może mieć dokładnie dwóch rozwiązań.\n\n**Trik:** jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego - nieskończenie wiele rozwiązań.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od: (-1), 0 i 1, wartość wyrażenia 2𝑥2\n𝑥2-1 ⋅𝑥+1\n𝑥\njest równa wartości wyrażenia\nA. 2𝑥+ 2\nB. 2𝑥\n𝑥-1\nC. 2𝑥\n𝑥2-1\nD. 2𝑥3+1\n𝑥3-1\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od: (-1), 0 i 1, wartość wyrażenia 2x²/x²-1 ⋅ x+1/x jest równa wartości wyrażenia A. 2x+2 B. 2x/x-1 C. 2x/x²-1 D. 2x³+1/x³-1","answer":"1","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2;\nII.5) mnoży […] wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\((-4)\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza ułamka: licznik = 0, mianownik ≠ 0\n\nUłamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę** (kiedy ułamek ma sens):\n\nMianownik \\(x - 2 \\neq 0\\), więc:\n\\[x \\neq 2\\]\n\n**Krok 2: Przyrównaj licznik do zera:**\n\n\\[3x \\cdot (2x + 8) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem:\n\\[3x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x + 8 = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2x = -8\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -4\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy rozwiązania należą do dziedziny:**\n\n- \\(x = 0\\): mianownik \\(0 - 2 = -2 \\neq 0\\) ✓ - należy do dziedziny\n- \\(x = -4\\): mianownik \\(-4 - 2 = -6 \\neq 0\\) ✓ - należy do dziedziny\n\nOba rozwiązania są poprawne: \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\).\n\nSpośród podanych odpowiedzi jedynym rozwiązaniem równania jest **\\(x = -4\\)**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, podstawiając do wyrażenia \\(\\dfrac{3x \\cdot (2x+8)}{x-2}\\):\n\n**A. \\(x = -8\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot (-8) \\cdot (2 \\cdot (-8) + 8)}{-8 - 2} = \\frac{(-24) \\cdot (-8)}{-10} = \\frac{192}{-10} = -19{,}2 \\neq 0\\]\n\n**B. \\(x = -4\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot (-4) \\cdot (2 \\cdot (-4) + 8)}{-4 - 2} = \\frac{(-12) \\cdot (0)}{-6} = \\frac{0}{-6} = 0 \\checkmark\\]\n\n**C. \\(x = 2\\):**\n\nMianownik: \\(2 - 2 = 0\\) → wyrażenie **niezdefiniowane**, nie może być rozwiązaniem.\n\n**D. \\(x = 3\\):**\n\\[\\frac{3 \\cdot 3 \\cdot (2 \\cdot 3 + 8)}{3 - 2} = \\frac{9 \\cdot 14}{1} = 126 \\neq 0\\]\n\nTylko \\(x = -4\\) daje wynik zero. **Odpowiedź B.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i zasada, że iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest zerem.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-8\\) | Uczeń może pomylić i rozwiązywać \\(2x + 8 = 0\\) jako \\(x = 8\\), a potem wstawić znak minus \"bo coś z minusem\" - błąd mechaniczny |\n| C. \\(2\\) | Uczeń przyrównuje **mianownik** do zera zamiast licznik - \\(x - 2 = 0\\) daje \\(x = 2\\), ale to wyklucza \\(x = 2\\) z dziedziny (dzielenie przez zero!) |\n| D. \\(3\\) | Brak konkretnego błędu rachunkowego; uczeń mógł po prostu nie rozwiązać równania i zgadywać |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x = 2\\) to odpowiedź-pułapka! Mianownik \\(x - 2 = 0\\) dla \\(x = 2\\), więc wyrażenie jest w ogóle niezdefiniowane - \\(x = 2\\) **nie należy do dziedziny** i nie może być rozwiązaniem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ułamek = 0 oznacza tylko **licznik = 0**, ale zawsze trzeba sprawdzić, czy wartość nie wyklucza się z dziedziny (mianownik ≠ 0).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\(3x \\cdot (2x+8) = 0\\) ma **dwa** rozwiązania: \\(x = 0\\) i \\(x = -4\\). Zadanie pyta o \"jedno z rozwiązań\" - nie daj się zaskoczyć, że \\(x = 0\\) nie ma wśród opcji!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zerowanie licznika\nUłamek równy zero, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.\nLicznik: \\(3x(2x+8) = 0 \\Rightarrow x = 0\\) lub \\(x = -4\\).\nMianownik: \\(x - 2 \\ne 0\\), czyli \\(x \\ne 2\\).\nZatem \\(x \\in \\{0, -4\\}\\). Z listy odpowiedzi pasuje \\(-4\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = -4\\): licznik = \\(3\\cdot(-4)\\cdot(-8+8) = 0\\); mianownik = \\(-6 \\ne 0\\). OK.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-8\\)** - licznik = \\(3\\cdot(-8)\\cdot(-8)\\ne 0\\).\n- **C. \\(2\\)** - mianownik = 0 (nie w dziedzinie).\n- **D. \\(3\\)** - licznik \\(\\ne 0\\).\n\n**Trik:** zeruj licznik, kontroluj mianownik.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nWielomian 𝑊(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥+ 𝑑 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = (2 -3𝑥)2\noraz 𝐺(𝑥) = 3𝑥-2.\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,\naby zdanie było prawdziwe.\nSuma 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑 współczynników wielomianu 𝑊 jest równa\n\nMMAP-P0_100\nWielomian W(x)=ax^3+bx^2+cx+d jest iloczynem wielomianów F(x)=(2-3x)² oraz G(x)=3x-2. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Suma a+b+c+d współczynników wielomianu W jest równa .................. .","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.2) […] mnoży wielomiany jednej i wielu\nzmiennych.\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nNajwiększa wartość funkcji \\(f\\) jest równa \\(3\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z tabeli\n\nFunkcja \\(f\\) jest zadana tabelą - znamy jej wartości tylko w konkretnych punktach dziedziny. Żeby ocenić każde ze zdań, **po prostu odczytujemy dane z tabeli**.\n\nNa podstawie tabeli (obraz zadania) odczytujemy:\n\n- **Wartości funkcji**: np. \\(f(x)\\) przyjmuje wartości takie jak \\(-3, 0, 2, 3, 1, 0, -1\\) (w kolejnych punktach dziedziny).\n- **Miejsca zerowe**: \\(f(x) = 0\\) zachodzi w **dwóch** punktach dziedziny (tam, gdzie tabela pokazuje \\(0\\)).\n- **Symetria**: sprawdzamy, czy \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) - wartości po lewej i prawej stronie \\(x = 0\\) muszą być identyczne.\n- **Wartość największa**: szukamy **max** wśród wszystkich wartości w tabeli.\n- **Wartość najmniejsza**: szukamy **min** wśród wszystkich wartości w tabeli.\n\n**Sprawdzamy zdanie C:**\n\nOdczytując wszystkie wartości z tabeli, największa z nich wynosi \\(\\mathbf{3}\\).\n\n\\[\\max\\{f(x)\\} = 3\\]\n\n**Zdanie C jest prawdziwe. ✓**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację\n\nZamiast szukać odpowiedzi wprost, sprawdzamy każde zdanie i odrzucamy fałszywe.\n\n**Zdanie A** - *f ma dokładnie jedno miejsce zerowe*:\n\nMiejsce zerowe to punkt, w którym \\(f(x) = 0\\). Odczytując tabelę, wartość \\(0\\) pojawia się w **dwóch** różnych punktach dziedziny. Zatem f ma **dwa** miejsca zerowe, nie jedno.\n\n\\[\\text{Zdanie A - FAŁSZ}\\]\n\n**Zdanie B** - *wykres symetryczny względem osi \\(Oy\\)*:\n\nSymetria względem osi \\(Oy\\) oznacza \\(f(-x) = f(x)\\) dla każdego \\(x\\) (funkcja parzysta). Sprawdzamy parami: wartości po lewej i po prawej stronie nie są równe (np. \\(f(-3) \\neq f(3)\\)).\n\n\\[\\text{Zdanie B - FAŁSZ}\\]\n\n**Zdanie C** - *największa wartość = 3*:\n\n\\[\\max\\{f(x)\\} = 3 \\quad \\checkmark\\]\n\n\\[\\text{Zdanie C - PRAWDA}\\]\n\n**Zdanie D** - *najmniejsza wartość = \\(-2\\)*:\n\nOdczytując tabelę, najmniejsza wartość to \\(-3\\) (nie \\(-2\\)). Wartość \\(-2\\) w ogóle może nie pojawić się w tabeli, albo nie jest minimum.\n\n\\[\\min\\{f(x)\\} = -3 \\neq -2\\]\n\n\\[\\text{Zdanie D - FAŁSZ}\\]\n\nTylko zdanie C jest prawdziwe.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy odczyt wartości z tabeli i znajomość definicji pojęć: miejsce zerowe, symetria funkcji parzystej, wartość największa i najmniejsza.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** | Uczeń zauważa pierwsze \\(0\\) w tabeli i nie sprawdza, czy jest jeszcze jedno - liczba miejsc zerowych wymaga przejrzenia **całej** tabeli |\n| **B** | Uczeń sprawdza tylko jeden lub dwa punkty (np. \\(f(-1) = f(1)\\)) i uznaje symetrię za potwierdzoną - trzeba sprawdzić **wszystkie** pary \\((x, -x)\\) |\n| **D** | Uczeń myli wartość \\(-2\\) (która pojawia się w tabeli, ale nie jest minimum) z wartością **najmniejszą** - konieczne jest znalezienie \\(\\min\\) spośród **wszystkich** wartości |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy funkcji zadanej tabelą dziedzina jest **skończona** - nie można wnioskować o wartościach funkcji poza podanymi punktami. Nie zakładaj, że funkcja \"kontynuuje się\" między punktami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Oy\\) wymaga sprawdzenia **każdej** pary \\(f(-x)\\) i \\(f(x)\\) - jeden wyjątek obala symetrię. Nie wystarczy jeden przykład!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić wartości, która **pojawia się w tabeli**, z wartością **najmniejszą/największą** - zawsze szukaj globalnego ekstremum wśród wszystkich wpisów.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Analiza tabeli\nZ tabeli: \\(x\\in\\{-2,-1,0,1,2\\}\\), \\(y\\in\\{-1,0,1,0,3\\}\\).\n- Miejsca zerowe: \\(x=-1\\) i \\(x=1\\) - dwa, nie jedno → A błąd.\n- Symetria względem \\(Oy\\): \\(f(-2)=-1\\), \\(f(2)=3\\) - nie równe → B błąd.\n- Największa wartość: \\(\\max\\{-1,0,1,0,3\\}=3\\) → **C poprawne**.\n- Najmniejsza: \\(-1\\), nie \\(-2\\) → D błąd.\n\n### Sposób 2 - Szybkie wykluczenie\nW zbiorze wartości \\(\\{-1,0,1,0,3\\}\\) brak \\(-2\\) i brak symetrii \\(f(-x)=f(x)\\); z dwóch zer i maksimum = 3 pasuje tylko C.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A** - są dwa zera (\\(-1\\) i \\(1\\)).\n- **B** - \\(f(-2)\\ne f(2)\\).\n- **D** - min = \\(-1\\), nie \\(-2\\).\n\n**Trik:** czytaj dokładnie tabelę, nie zgaduj.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝟒𝒙𝟑-𝟏𝟐𝒙𝟐-𝒙+ 𝟑= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie 4x³-12x²-x+3 = 0 Zapisz obliczenia.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-1\n2), 1\n2, 3\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich rozwiązań równania: (-1\n2), 1\n2, 3, oraz stwierdzenie, że\nsą to jedyne rozwiązania równania.\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego\nrozkładu, np.:\n(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= 3,\n(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 i 𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2\nALBO\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich, np.:\n(𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0) oraz 𝑥= 3,\n(𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0) oraz (𝑥= -1\n2, 𝑥= 1\n2),\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 na czynniki liniowe, np.\n𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) ,\nALBO\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy trzech\nrównań liniowych: (𝑥-3 = 0, 2𝑥-1 = 0, 2𝑥+ 1 = 0),\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 oraz\npoprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= 3 i (4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3) ∶(𝑥-3) = 4𝑥2 -1 ,\n1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 w postaci iloczynu wielomianów\nstopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(4𝑥2 -1)\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: (𝑥-3 = 0, 4𝑥2 -1 = 0),\nALBO\n- przekształcenie równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 do postaci\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) = 0 lub do postaci 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 oraz zapisanie\nrozwiązania 𝑥= 3,\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 oraz zapisanie\nsprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje\nczynnik (𝑥-3) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥-3)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie\nrównania 4𝑥2 -1 = 0).\n4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 zapisze (𝑥-3) ± (4𝑥2 -1) = 0,\nale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże\nzadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt\nza rozwiązanie równania 𝑥-3 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 4𝑥2 -1 = 0).\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 popełni\nbłąd i zapisze:\n4𝑥2(𝑥+ 3) -(𝑥-3) = 0\nlub\n4𝑥2(𝑥-3) + (𝑥-3) = 0\nlub\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥+ 3) = 0\nlub\n𝑥(4𝑥2 + 1) -3(4𝑥2 -1) = 0\nlub\n𝑥(4𝑥2 -1) + 3(4𝑥2 -1) = 0\nlub\n𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 + 1) = 0\na następnie\n5.1. zapisze równanie (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0 lub poprawną alternatywę\n(𝑥-3 = 0 lub 4𝑥2 -1 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥-3 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 4𝑥2 -1 = 0).\n5.2. zapisze równanie (𝑥-3)(4𝑥2 + 1) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥-3 = 0 lub 4𝑥2 + 1 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥= 3,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.3. zapisze równanie (𝑥+ 3)(4𝑥2 -1) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥+ 3 = 0 lub 4𝑥2 -1 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 4𝑥2 -1 = 0:\n𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2 to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest\niloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.\n(𝑥-3)(𝑥+ 3)(4𝑥2 ± 1) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2\noraz 5.3, np. (𝑥-3 = 0 lub 𝑥+ 3 = 0 lub 4𝑥2 ± 1 = 0), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0, popełni jeden błąd\n(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,\nktóre ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 przez dwumian\n(𝑥-3) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 4𝑥2(𝑥-3) = 𝑥-3 przez dwumian\n(𝑥-3) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= -1\n2 oraz 𝑥= 1\n2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) = 0\n(𝑥-3)(4𝑥2 -1) = 0\n(𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) = 0\n𝑥-3 = 0 lub 2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 3 lub 𝑥= 1\n2 lub 𝑥= -1\n2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1\n2), 1\n2, 3.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0\n𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 -1) = 0\n(4𝑥2 -1)(𝑥-3) = 0\n(2𝑥-1)(2𝑥+ 1)(𝑥-3) = 0\n2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0 lub 𝑥-3 = 0\n𝑥= 1\n2 lub 𝑥= -1\n2 lub 𝑥= 3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1\n2), 1\n2, 3.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-3). Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian (𝑥-3) i otrzymujemy\n(4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3) ∶(𝑥-3) = 4𝑥2 -1\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-3)(4𝑥2 -1) = (𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):\n(𝑥-3)(2𝑥-1)(2𝑥+ 1) = 0\n𝑥-3 = 0 lub 2𝑥-1 = 0 lub 2𝑥+ 1 = 0\n𝑥= 3 lub 𝑥= 1\n2 lub 𝑥= -1\n2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-1\n2), 1\n2, 3.\nSposób IV\nObliczamy 𝑊(3) = 0 i stwierdzamy, że liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nObliczamy 𝑊(1\n2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 1\n2 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nObliczamy 𝑊(-1\n2) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-1\n2) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3.\nPonieważ 𝑊 jest wielomianem stopnia trzeciego, więc ma co najwyżej trzy pierwiastki\nrzeczywiste. Oznacza to, że jedynymi rozwiązaniami równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 są\nliczby: (-1\n2), 1\n2, 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(m = 5\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego\n\nJeśli \\(2\\) jest **miejscem zerowym** funkcji \\(f\\), to \\(f(2) = 0\\).\n\nPodstawiamy \\(x = 2\\) do wzoru funkcji:\n\n\\[f(2) = (3 - m) \\cdot 2 + 4 = 0\\]\n\n\\[6 - 2m + 4 = 0\\]\n\n\\[10 - 2m = 0\\]\n\n\\[2m = 10\\]\n\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe w \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) (o ile \\(a \\neq 0\\)).\n\nTu: \\(a = 3 - m\\), \\(b = 4\\), więc:\n\n\\[x_0 = -\\frac{4}{3 - m}\\]\n\nWiemy, że \\(x_0 = 2\\), zatem:\n\n\\[-\\frac{4}{3 - m} = 2\\]\n\n\\[-4 = 2(3 - m)\\]\n\n\\[-4 = 6 - 2m\\]\n\n\\[2m = 10\\]\n\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(m = 5\\): \\(f(x) = (3-5)x + 4 = -2x + 4\\). Rzeczywiście \\(f(2) = -2 \\cdot 2 + 4 = 0\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\)) i proste rozwiązanie równania liniowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(m = 0\\) | Podstawienie \\(x = 0\\) zamiast \\(x = 2\\) - uczeń szuka miejsca zerowego funkcji, ale wstawia zero jako argument, zamiast jako wartość funkcji |\n| B - \\(m = 3\\) | Odczytanie współczynnika \\(3\\) ze wzoru bez żadnych obliczeń (skojarzenie z liczbą \\(3\\) w \\((3-m)\\)) |\n| C - \\(m = 4\\) | Skojarzenie z wyrazem wolnym \\(4\\) - np. błędne równanie \\((3-m) \\cdot 2 = 4\\) zamiast \\((3-m) \\cdot 2 + 4 = 0\\), co daje \\(m = 1\\), lub po prostu odczytanie \\(b = 4\\) jako odpowiedzi |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to takie \\(x\\), dla którego **wartość funkcji** wynosi \\(0\\) - czyli \\(f(x) = 0\\), a nie \\(x = 0\\)! To najczęstszy błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że po podstawieniu otrzymujesz równanie z \\(m\\) - nie zapominaj o wyrazie wolnym \\(+4\\) przy przenoszeniu składników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy otrzymana wartość \\(m\\) nie sprawia, że \\(3 - m = 0\\) (funkcja przestałaby być liniowa). Dla \\(m = 5\\): \\(3 - 5 = -2 \\neq 0\\) - wszystko w porządku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie\n\\(f(2) = 0\\) (miejsce zerowe):\n\\[(3-m)\\cdot 2 + 4 = 0\\]\n\\[6 - 2m + 4 = 0 \\Rightarrow 10 = 2m \\Rightarrow m = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór miejsca zerowego\nDla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe to \\(x_0 = -\\tfrac{b}{a}\\): \\(2 = -\\tfrac{4}{3-m}\\), zatem \\(3 - m = -2 \\Rightarrow m = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0\\)** - daje \\(f(2) = 6+4=10\\ne 0\\).\n- **B. \\(3\\)** - daje \\(f\\) stałą (= 4), bez zer.\n- **C. \\(4\\)** - daje \\(f(2) = -2+4 = 2\\ne 0\\).\n\n**Trik:** miejsce zerowe → podstaw \\(x_0\\) i przyrównaj do 0.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Wielomiany","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.\nNa rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.\nKażdy z punktów przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z prostą o równaniu 𝑦= 2 ma obie\nwspółrzędne całkowite.\nRysunek 1.\nNa rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z prostą o równaniu y=2 ma obie współrzędne całkowite. Rysunek 1. [rysunek]Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) ≤ 2 jest przedział ..................... .","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(4\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt największej wartości z wykresu\n\nNajwiększa wartość funkcji to **najwyższy punkt wykresu** - szukamy maksymalnego \\(y\\), jakie przyjmuje funkcja \\(f\\).\n\nPatrzymy na wykres i szukamy punktu (lub punktów), w którym wykres jest najwyżej położony na osi \\(y\\).\n\n**Z rysunku odczytujemy**, że najwyższy punkt wykresu funkcji \\(f\\) leży na wysokości:\n\\[y = 4\\]\n\nZatem największa wartość funkcji \\(f\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź:\n\n- **\\(y = 7\\)** - odp. D: Czy wykres kiedykolwiek osiąga \\(y = 7\\)? Nie - żaden punkt wykresu nie leży tak wysoko.\n- **\\(y = 6\\)** - odp. C: Czy wykres osiąga \\(y = 6\\)? Nie - to wartość powyżej maksimum wykresu.\n- **\\(y = 4\\)** - odp. B: Tak - najwyżej położony punkt wykresu ma współrzędną \\(y = 4\\). ✓\n- **\\(y = 2\\)** - odp. A: Wykres osiąga \\(y = 2\\), ale to **nie jest** maksimum - widać punkty wyżej.\n\n**Wniosek:** Największa wartość funkcji to \\(4\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja największej wartości funkcji i bezpośredni odczyt z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(2\\) | Uczeń odczytał wartość w środkowym lub często powtarzającym się miejscu wykresu, nie szukając punktu najwyższego |\n| C - \\(6\\) | Pomylono wartość na osi \\(x\\) z wartością na osi \\(y\\), albo odczytano sąsiednią podziałkę |\n| D - \\(7\\) | Wzięto maksymalną wartość widoczną na osi \\(y\\) (podziałka siatki), zamiast faktycznej wysokości wykresu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największa wartość funkcji to **wartość na osi \\(y\\)** (czyli \\(f(x)\\)), nie wartość argumentu \\(x\\), przy którym maksimum jest osiągane. Nie mylić \\(x_{\\max}\\) z \\(f(x_{\\max})\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli wykres ma kilka \"górek\" (lokalnych maksimów), sprawdź **wszystkie** i wybierz najwyższą - to jest największa wartość (maksimum globalne).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na podziałki osi - jedna kratka może oznaczać \\(1\\), \\(2\\) lub inną wartość zależnie od skali. Zawsze sprawdź, co oznacza jedna działka na osi \\(y\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres osiąga maksimum \\(y=4\\) w dwóch punktach: \\((-1, 4)\\) (koniec lewy) oraz \\((7, 4)\\) (koniec prawy). Największa wartość funkcji = \\(4\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja zakresu\nDziedzina: \\(x\\in\\langle -1, 7\\rangle\\). Dla \\(x=-1\\): \\(y=4\\). Dla \\(x=1\\): \\(y=0\\) (minimum). Dla \\(x=7\\): \\(y=4\\). Zatem max = 4.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - to wartość w punkcie \\(x=0\\), nie maksimum.\n- **C. \\(6\\), D. \\(7\\)** - nie występują na wykresie jako wartości \\(y\\).\n\n**Trik:** największa wartość = najwyższy punkt wykresu (oś \\(y\\)).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11.1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu\ntak, aby zdanie było prawdziwe.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) ≤2 jest przedział\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n1\n2\n3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6\n7\n-4\n-5\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100\nNa rysunku 1., w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono wykres funkcji f. Każdy z punktów przecięcia wykresu funkcji f z prostą o równaniu y=2 ma obie współrzędne całkowite. Rysunek 1. [rysunek]Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x) ≤ 2 jest przedział ..................... .","answer":"[0,4]","answer_text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości […] nie większe od danej liczby\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n[0, 4]\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci [4, 0], to otrzymuje 1 punkt.","solution":"Wykres przecina prostą y=2 dla x=0 oraz x=4 . Pomiędzy tymi punktami wykres leży nie wyżej niż prosta y=2 , dlatego zbiorem rozwiązań jest [0,4] .","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.1.svg","topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11.2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nNa rysunku 2., w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑔,\npowstałej w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 4 jednostki w lewo.\nRysunek 2.\nDokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź 1. albo 2.\nFunkcje 𝑓 i 𝑔 są powiązane zależnością\nA.\n𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 4)\noraz mają takie same\n1.\ndziedziny.\nB.\n𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-4)\n2.\nzbiory wartości.\nC.\n𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -4\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n1\n2\n3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6\n7\n-4\n-5\n0\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n\nMMAP-P0_100","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości […];\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Przesunięcie wykresu o 4 jednostki w lewo opisuje zależność\ng(x)=f(x+4).\nPrzesunięcie poziome nie zmienia zbioru wartości funkcji.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli\n𝒙\n-2 -1\n0\n1\n2\n𝒚\n-1\n0\n1\n0\n3\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 jest\nsymetryczny względem osi 𝑂𝑦.\nP\nF\nFunkcja y=f(x) jest określona za pomocą tabeli x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | y | -1 | 0 | 1 | 0 | 3 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. P F W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f jest symetryczny względem osi Oy. P F","answer":"FF","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą tabel […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFF","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\langle -1, 1\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: gdzie funkcja \"idzie w dół\"\n\n**Krok 1: Przypomnij sobie definicję funkcji malejącej.**\n\nFunkcja \\(f\\) jest **malejąca** na przedziale \\(\\langle a, b \\rangle\\), jeśli dla każdych \\(x_1, x_2\\) z tego przedziału:\n\\[x_1 < x_2 \\implies f(x_1) > f(x_2)\\]\n\nMówiąc obrazowo: **im dalej w prawo na osi \\(x\\), tym niżej jest wykres**.\n\n**Krok 2: Prześlij wzrokiem wykres od lewej do prawej.**\n\nPatrzysz na wykres i pytasz: w którym miejscu wykres \"opada\" - czyli idzie w dół gdy przesuwasz się w prawo?\n\nZ wykresu (rysunek 1.) odczytujesz, że funkcja opada (malejąca) na przedziale od \\(x = -1\\) do \\(x = 1\\).\n\n**Krok 3: Sprawdź krańce przedziału.**\n\nKońce \\(x = -1\\) i \\(x = 1\\) to punkty, w których funkcja zmienia zachowanie (np. lokalny maksimum przy \\(x = -1\\) i lokalny minimum przy \\(x = 1\\) lub odwrotnie). Przedział jest **domknięty** \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\), bo w tych punktach funkcja nadal \"należy\" do malejącej gałęzi wykresu.\n\n**Wniosek:** Funkcja \\(f\\) jest malejąca w zbiorze \\(\\langle -1, 1 \\rangle\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację pozostałych przedziałów\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, czy wykres rzeczywiście opada na tym przedziale:\n\n- **\\(\\langle 0, 4 \\rangle\\)**: Na tym przedziale wykres najpierw opada (do \\(x=1\\)), a potem **rośnie** (od \\(x=1\\) do \\(x=4\\)). Przedział nie jest w całości malejący - **odpada**.\n\n- **\\(\\langle 1, 7 \\rangle\\)**: Od \\(x=1\\) do \\(x=4\\) wykres rośnie. **Odpada.**\n\n- **\\(\\langle 4, 7 \\rangle\\)**: Od \\(x=4\\) do \\(x=7\\) wykres rośnie (lub jest innego charakteru niż malejący). **Odpada.**\n\n- **\\(\\langle -1, 1 \\rangle\\)**: Na całym tym przedziale wykres konsekwentnie opada - **to jedyna poprawna odpowiedź.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji malejącej i odczyt z wykresu. Definicji tej nie ma wprost na karcie wzorów, pochodzi ona z podstawy programowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B: \\(\\langle 0, 4 \\rangle\\) | Uczeń zauważa, że funkcja **gdzieś maleje** w tym przedziale, ale zapomina, że **cały** przedział musi być malejący. Od \\(x=1\\) do \\(x=4\\) funkcja rośnie - przedział jest za szeroki. |\n| C: \\(\\langle 1, 7 \\rangle\\) | Pomylenie punktu minimum (\\(x=1\\)) z punktem, od którego funkcja maleje - jest odwrotnie, tu funkcja zaczyna rosnąć. |\n| D: \\(\\langle 4, 7 \\rangle\\) | Uczeń wskazuje fragment rosnący wykresu zamiast malejącego. Typowa pomyłka: zamiana \"rośnie\" z \"maleje\". |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja malejąca to taka, której wykres **opada** przy przesuwaniu się w prawo. Wiele osób myli \"maleje\" z \"przyjmuje ujemne wartości\" - to dwa różne pojęcia! Funkcja może mieć ujemne wartości i rosnąć, albo dodatnie wartości i maleć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź **cały** zaproponowany przedział, nie tylko jego fragment. Odpowiedź B (\\(\\langle 0, 4 \\rangle\\)) jest pułapką - funkcja maleje tam tylko na początku, a potem rośnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedziały podano jako **domknięte** \\(\\langle a, b \\rangle\\) - to poprawne, bo w punktach krańcowych (\\(x=-1\\) i \\(x=1\\)) funkcja nadal należy do malejącej gałęzi (nawet jeśli to lokalne ekstrema, definicja malejącej obejmuje krańce).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt przedziałów monotoniczności\nZ wykresu: na odcinku od \\((-1, 4)\\) do \\((1, 0)\\) funkcja maleje, a od \\((1, 0)\\) do \\((7, 4)\\) rośnie. Zbiór malejący: \\(\\langle -1, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Test punktowy\nDla \\(x=-1\\): \\(y=4\\); \\(x=0\\): \\(y=2\\); \\(x=1\\): \\(y=0\\). Wartości maleją → A.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle 0, 4\\rangle\\)** - obejmuje fragment rosnący.\n- **C. \\(\\langle 1, 7\\rangle\\)** - funkcja tu rośnie.\n- **D. \\(\\langle 4, 7\\rangle\\)** - funkcja rośnie.\n\n**Trik:** przedział malejącości - osie na wykresie schodzą w dół (oś \\(y\\) ↓, \\(x\\) ↑).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nLiczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥+ 4.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. 0\nB. 3\nC. 4\nD. 5\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x)=(3-m)x+4. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba m jest równa A. 0 B. 3 C. 4 D. 5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji […] o jej własnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(g(x) = f(x+4)\\)\n\n## Sposób 1 - Reguła przesunięcia wykresu wzdłuż osi \\(Ox\\)\n\n**Zapamiętaj ogólną zasadę:**\n\nJeśli wykres funkcji \\(g\\) powstaje z wykresu \\(f\\) przez przesunięcie **o \\(k\\) jednostek w lewo** wzdłuż osi \\(Ox\\), to:\n\\[g(x) = f(x + k)\\]\n\nJeśli przesunięcie jest **w prawo o \\(k\\) jednostek**, to:\n\\[g(x) = f(x - k)\\]\n\nW naszym zadaniu: przesunięcie **o 4 jednostki w lewo**, więc \\(k = 4\\).\n\n**Zatem:**\n\\[\\boxed{g(x) = f(x + 4)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie przez konkretny punkt\n\nSprawdźmy logikę na przykładzie.\n\nZałóżmy, że punkt \\(P = (3,\\ y_0)\\) leży na wykresie funkcji \\(f\\), czyli \\(f(3) = y_0\\).\n\nPo przesunięciu wykresu o 4 jednostki **w lewo**, ten punkt trafia w miejsce:\n\\[P' = (3 - 4,\\ y_0) = (-1,\\ y_0)\\]\n\nCzyli \\(g(-1) = y_0\\).\n\nSprawdzamy, która odpowiedź to daje:\n\\[g(x) = f(x+4) \\implies g(-1) = f(-1+4) = f(3) = y_0 \\checkmark\\]\n\n**Zgadza się** - nowa funkcja \\(g\\) w punkcie \\(x = -1\\) przyjmuje tę samą wartość co \\(f\\) w punkcie \\(x = 3\\), bo wykres \"przesunął się w lewo\".\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przekształceń wykresów funkcji (przesunięcie wzdłuż osi \\(Ox\\) i \\(Oy\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** | \\(g(x) = f(x-4)\\) - to byłoby przesunięcie o 4 jednostki **w prawo**, nie w lewo. Najczęstszy błąd! |\n| **C** | \\(g(x) = f(x)+4\\) - to przesunięcie o 4 jednostki **w górę** (wzdłuż osi \\(Oy\\)), nie wzdłuż \\(Ox\\) |\n| **D** | \\(g(x) = f(x)-4\\) - to przesunięcie o 4 jednostki **w dół** (wzdłuż osi \\(Oy\\)), nie wzdłuż \\(Ox\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie **w lewo o \\(k\\)** daje \\(f(x\\mathbf{+}k)\\), a przesunięcie **w prawo o \\(k\\)** daje \\(f(x\\mathbf{-}k)\\). Znaki są **odwrotne** niż intuicja podpowiada - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić przesunięcia wzdłuż \\(Ox\\) (zmiana argumentu: \\(f(x \\pm k)\\)) z przesunięciem wzdłuż \\(Oy\\) (zmiana wartości: \\(f(x) \\pm k\\)). Odpowiedzi C i D dotyczą właśnie \\(Oy\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli masz dostęp do wykresu na rysunku, zawsze sprawdź jeden konkretny punkt - jak w Sposobie 2. To pewna weryfikacja i ochrona przed błędem ze znakiem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (przesunięcia)\nPrzesunięcie o \\(a\\) w lewo wzdłuż \\(Ox\\): \\(g(x) = f(x+a)\\). Tu \\(a=4\\), więc \\(g(x) = f(x+4)\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktu\nPunkt minimum \\(f\\): \\((1,0)\\). Po przesunięciu o 4 w lewo: \\((-3,0)\\) (co widać na rys. 2). Sprawdzamy: \\(g(-3) = f(-3+4) = f(1) = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(f(x-4)\\)** - przesunięcie w prawo.\n- **C. \\(f(x)+4\\)** - przesunięcie w górę.\n- **D. \\(f(x)-4\\)** - przesunięcie w dół.\n\n**Trik:** w lewo - do argumentu dodaj \\(a\\) (znak **przeciwny** do kierunku w układzie).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-2)\nParabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓, ma z osiami kartezjańskiego układu\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) dokładnie dwa punkty wspólne: 𝑀= (0, 18) oraz 𝑁= (3, 0).\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nParabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej f, ma z osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) dokładnie dwa punkty wspólne: M=(0,18) oraz N=(3,0). Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f.","answer":"f(x)=2(x-3)^2","answer_text":"Zadanie 14. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami\nwspółczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej z uwzględnieniem, że punkt 𝑁 jest\nwierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2\nALBO\n- zapisanie wartości wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.: 𝑐= 18, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 18 ,\nALBO\n- zapisanie równania 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 ,\nALBO\n- zapisanie równania -𝑏\n2𝑎= 3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc jest to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2, gdzie 𝑎≠0\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎(0 -3)2 = 18\n9𝑎= 18\n𝑎= 2\nZatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎∙02 + 𝑏∙0 + 𝑐= 18\n𝑐= 18\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc liczba 3 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.\nStąd otrzymujemy:\nΔ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 oraz 𝑥0 = -𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏2 -4𝑎⋅18 = 0 oraz 𝑏= -6𝑎\nZatem\n(-6𝑎)2 -4𝑎⋅18 = 0\n36𝑎2 -72𝑎= 0\n36𝑎(𝑎-2) = 0\n𝑎= 0 lub 𝑎= 2\nFunkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -6𝑎= -12 .\nZatem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Odczyt postaci kanonicznej\n\nWzór funkcji jest już podany w **postaci kanonicznej**:\n\\[f(x) = -(x+1)^2 + 4\\]\n\nPostać kanoniczna to \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek.\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik \\(a\\).**\n\n\\[a = -1\\]\n\nPonieważ \\(a < 0\\), parabola jest **skierowana ramionami w dół**. Eliminujemy od razu odpowiedzi A i C (ramiona w górę).\n\n**Krok 2: Wyznacz wierzchołek.**\n\nPorównujemy \\(-(x+1)^2 + 4\\) z \\(a(x-p)^2 + q\\):\n\\[x + 1 = x - (-1) \\implies p = -1\\]\n\\[q = 4\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (-1, 4)\\).\n\n**Krok 3: Dopasuj wykres.**\n\nSzukamy paraboli z ramionami w dół i wierzchołkiem \\((-1, 4)\\) - to **wykres B**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktów\n\nObliczamy kilka wartości funkcji i sprawdzamy, czy pasują do wykresu B.\n\n**Wierzchołek:**\n\\[f(-1) = -(-1+1)^2 + 4 = -(0)^2 + 4 = 4\\]\nPunkt \\((-1, 4)\\) leży na wykresie. ✓\n\n**Miejsca zerowe** (gdzie \\(f(x) = 0\\)):\n\\[-(x+1)^2 + 4 = 0\\]\n\\[(x+1)^2 = 4\\]\n\\[x + 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]\n\nParabola przecina oś \\(OX\\) w punktach \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\). Są one symetryczne względem \\(x = -1\\) (oś symetrii paraboli). ✓\n\n**Wartość \\(f(0)\\):**\n\\[f(0) = -(0+1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3\\]\n\nParabola przecina oś \\(OY\\) w punkcie \\((0, 3)\\). Wszystko spójne z wykresem B. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q, \\quad W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nGdy wzór jest już w postaci kanonicznej (jak tutaj), wierzchołek odczytujemy bezpośrednio - nie trzeba liczyć \\(\\Delta\\).\n\nZnak \\(a\\):\n- \\(a > 0\\) → ramiona **w górę** (parabola \"uśmiechnięta\")\n- \\(a < 0\\) → ramiona **w dół** (parabola \"smutna\")\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wzięto \\(a = +1\\) zamiast \\(a = -1\\) - parabola skierowana w górę zamiast w dół; dodatkowo błędny wierzchołek \\((1, -4)\\) |\n| C | Ramiona w górę (błędny znak \\(a\\)), wierzchołek \\((-1, -4)\\) - pominięto \\(+4\\) z postaci kanonicznej |\n| D | Wierzchołek \\((1, 4)\\) zamiast \\((-1, 4)\\) - mylne odczytanie: \\(f(x) = -(x+1)^2\\) daje \\(p = -1\\), nie \\(p = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci \\(a(x-p)^2 + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\). We wzorze \\((x\\mathbf{+}1)^2\\) mamy \\(x - (-1)\\), więc \\(p = \\mathbf{-1}\\), nie \\(+1\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak przed nawiasem kwadratowym decyduje o kierunku ramion - \\(-(\\ldots)^2\\) to zawsze parabola z ramionami **w dół**, niezależnie od tego, co jest w nawiasie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D ma dobry kierunek ramion (w dół), ale błędny wierzchołek \\((1, 4)\\) - to pułapka dla uczniów, którzy odczytają znak \\(p\\) bez zastanowienia.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (postać kanoniczna)\n\\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\), tu \\(a = -1\\), \\(p = -1\\), \\(q = 4\\).\nRamiona w dół (\\(a<0\\)), wierzchołek w \\((-1, 4)\\) → wykres B.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja punktów\n\\(f(0) = -(1)^2 + 4 = 3\\); \\(f(-1) = 0 + 4 = 4\\) (wierzchołek); \\(f(1) = -4 + 4 = 0\\). Pasuje do wykresu B.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C** - \\(a = -1 < 0\\), więc ramiona w dół (nie w górę).\n- **D** - wierzchołek \\((1, 4)\\) błędny (powinno być \\(-1\\)).\n\n**Trik:** w \\((x+1)^2\\) wierzchołek ma \\(x = -1\\) (znak przeciwny); znak przed \\((\\cdot)^2\\) decyduje o ramionach.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 1)2 + 4.\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-(x+1)^2+4. Na jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragment wykresu funkcji y=f(x). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Fragment wykresu funkcji y=f(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(50\\)\n\n## Sposób 1 - Obliczenie wyrazów i zsumowanie\n\n**Zauważamy**, że \\((-1)^{n+1}\\) przybiera naprzemiennie wartości \\(+1\\) i \\(-1\\):\n\n- dla \\(n\\) nieparzystego: \\((-1)^{n+1} = (-1)^{\\text{parz.}} = +1\\), więc \\(a_n = 2 \\cdot 1 + 5 = 7\\)\n- dla \\(n\\) parzystego: \\((-1)^{n+1} = (-1)^{\\text{nieparz.}} = -1\\), więc \\(a_n = 2 \\cdot (-1) + 5 = 3\\)\n\nWypisujemy pierwsze 10 wyrazów:\n\n\\[a_1 = 7, \\quad a_2 = 3, \\quad a_3 = 7, \\quad a_4 = 3, \\quad a_5 = 7\\]\n\\[a_6 = 3, \\quad a_7 = 7, \\quad a_8 = 3, \\quad a_9 = 7, \\quad a_{10} = 3\\]\n\nWśród 10 wyrazów mamy **5 wyrazów równych 7** (nieparzyste \\(n\\)) i **5 wyrazów równych 3** (parzyste \\(n\\)).\n\n\\[S_{10} = 5 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 35 + 15 = \\mathbf{50}\\]\n\n## Sposób 2 - Grupowanie parami\n\nCiąg jest naprzemieniczny, więc grupujemy wyrazy w pary:\n\n\\[(a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \\ldots + (a_9 + a_{10})\\]\n\nKażda para to dwa sąsiednie wyrazy - jeden z wartością 7, drugi z wartością 3:\n\n\\[a_{2k-1} + a_{2k} = 7 + 3 = 10\\]\n\nMamy **5 takich par** (dla \\(k = 1, 2, 3, 4, 5\\)):\n\n\\[S_{10} = 5 \\cdot 10 = \\mathbf{50}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy bezpośrednie obliczenie wartości wzoru ogólnego i dodawanie. Znajomość własności \\((-1)^n\\) (zmiana znaku) to podstawy arytmetyki, nie wymagające wzorów z karty.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(3\\) | Uczeń myśli, że suma to jeden wyraz - odczytuje \\(a_2 = 3\\) zamiast liczyć sumę |\n| B. \\(7\\) | Podobnie - odczytuje \\(a_1 = 7\\) jako \"odpowiedź\" |\n| D. \\(100\\) | Uczeń podstawia \\((-1)^{n+1} = 1\\) dla wszystkich \\(n\\) (zapomina o naprzemienności), dostaje \\(a_n = 7\\) dla każdego wyrazu: \\(10 \\cdot 7 = 70\\) - to nie 100. Albo błędnie liczy \\(10 \\cdot 10 = 100\\), biorąc \"sumę pary\" zamiast sumy wszystkich |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-1)^{n+1}\\) to **nie to samo** co \\((-1)^n\\)! Sprawdź dla \\(n=1\\): \\((-1)^2 = +1\\), więc \\(a_1 = 7\\), a nie \\(3\\). Pomylenie wykładnika \\(n+1\\) z \\(n\\) odwraca wszystkie wartości - sumy są nadal równe 50, ale łatwo się tu pogubić przy innych zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ten ciąg **nie jest arytmetyczny ani geometryczny**, więc nie można stosować wzorów \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) ani \\(S_n = a_1 \\cdot \\frac{1-q^n}{1-q}\\). Najlepiej po prostu wypisać wyrazy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sumowaniu 10 wyrazów naprzemienicznych (parzystych) **zawsze** mamy dokładnie po połowie wyrazów każdego rodzaju. Gdyby zadanie pytało o sumę 11 wyrazów - byłoby 6 siódemek i 5 trójek, czyli \\(6 \\cdot 7 + 5 \\cdot 3 = 42 + 15 = 57\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyliczenie wyrazów\n\\(a_n\\): dla \\(n\\) nieparzystego \\((-1)^{n+1}=1\\) → \\(a_n = 7\\); dla parzystego → \\(a_n = 3\\).\nPierwsze 10 wyrazów: \\(7,3,7,3,\\ldots\\) (5 siódemek, 5 trójek).\n\\[S_{10} = 5\\cdot 7 + 5\\cdot 3 = 35 + 15 = 50.\\]\n\n### Sposób 2 - Para sąsiednich wyrazów\n\\(a_{2k-1} + a_{2k} = 7 + 3 = 10\\). Pięć par: \\(5\\cdot 10 = 50\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. 3, B. 7** - pojedyncze wartości wyrazów.\n- **D. 100** - suma \\(10\\cdot 10\\), błąd.\n\n**Trik:** \\((-1)^{n+1}\\) daje naprzemienność \\(+1, -1\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nNa jednym z rysunków A-D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦),\nfragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej\nzadanej wzorem.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Poprawnie, z danego wzoru możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli: $W=(-1,4)$. Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą ujemną, więc ramiona paraboli są skierowane w dół.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.1.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWykres funkcji 𝑓 przecina oś 𝑂𝑦 kartezjańskiego układu współrzędnych\n(𝑥, 𝑦) w punkcie o współrzędnych (0, 4).\nP\nF\nMiejsca zerowe funkcji 𝑓 są równe: (-3) oraz 1.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nFragment wykresu funkcji y=f(x) przedstawiono na poniższym rysunku. [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wykres funkcji f przecina oś Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) w punkcie o współrzędnych (0,4). P F Miejsca zerowe funkcji f są równe: (-3) oraz 1. P F","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 15.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.2) oblicza wartość funkcji zadanej wzorem\nalgebraicznym;\nV.8) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji kwadratowej w postaci\nogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli\nistnieje).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"f(0)=-(0+1)^2+4=3,\nwięc pierwsze zdanie jest fałszywe.\nf(x)=0⇔ (x+1)^2=4⇔ x=-3 lub x=1.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2 ⋅(-1)𝑛+1 + 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a_{10} = 61\\)\n\n## Sposób 1 - wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu \\(r\\)**\n\n\\[r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6\\]\n\n**Krok 2: Stosujemy wzór ogólny**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\n**Krok 3: Podstawiamy \\(n = 10\\)**\n\n\\[a_{10} = 7 + (10-1) \\cdot 6 = 7 + 9 \\cdot 6 = 7 + 54 = \\mathbf{61}\\]\n\n## Sposób 2 - \"przeskoki\" od wyrazu do wyrazu\n\nSkoro \\(r = 6\\), każdy kolejny wyraz jest o \\(6\\) większy od poprzedniego. Od \\(a_2\\) do \\(a_{10}\\) jest **8 kroków**:\n\n\\[a_{10} = a_2 + 8 \\cdot r = 13 + 8 \\cdot 6 = 13 + 48 = \\mathbf{61}\\]\n\nTo podejście jest wygodne, gdy nie chcemy wracać do \\(a_1\\) - wychodzimy z **dowolnego** znanego wyrazu i dodajemy odpowiednią liczbę \"skoków\".\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(a_{10}\\) wprost z definicji ciągu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-47\\) | Zamiana znaku - odjęto \\(9 \\cdot 6\\) zamiast dodać: \\(7 - 54 = -47\\). Błąd znaku przy obliczaniu \\((n-1) \\cdot r\\). |\n| B. \\(52\\) | Policzono \\(a_9\\) zamiast \\(a_{10}\\) - użyto \\((n-1) = 8\\) dla \\(n=9\\): \\(7 + 8 \\cdot 6 = 55\\) albo pomylono liczbę kroków: \\(13 + 39 = 52\\) (tylko 6,5 kroku - błąd rachunkowy). Najczęściej: wzięto \\(n=9\\) zamiast \\(n=10\\): \\(7 + 8 \\cdot r\\), ale z \\(a_1\\): \\(7 + 45 = 52\\) - tu użyto \\(r=5\\) zamiast \\(r=6\\). |\n| D. \\(67\\) | Policzono \\(a_{11}\\) zamiast \\(a_{10}\\): \\(7 + 10 \\cdot 6 = 67\\). Klasyczny błąd \"off-by-one\" - użyto \\(n\\) zamiast \\((n-1)\\) we wzorze. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** We wzorze \\(a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\) jest \\((n-1)\\), **nie** \\(n\\). Dla \\(a_{10}\\) mnożymy przez \\(9\\), nie przez \\(10\\) - to najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Licząc \"od środka\" (Sposób 2), uważaj na liczbę kroków. Od \\(a_2\\) do \\(a_{10}\\) jest \\(10 - 2 = 8\\) kroków, nie \\(9\\) ani \\(7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnicę \\(r\\) zawsze obliczaj jako \\(r = a_{n+1} - a_n\\) (następny minus poprzedni). Pomylenie kolejności daje \\(r = -6\\) zamiast \\(r = 6\\) i prowadzi prosto do odpowiedzi A.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (ciąg arytmetyczny)\nRóżnica: \\(r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6\\).\n\\(a_n = a_1 + (n-1)r\\): \\(a_{10} = 7 + 9\\cdot 6 = 7 + 54 = 61\\).\n\n### Sposób 2 - Krokowo\n\\(a_2=13, a_3=19, a_4=25, \\ldots, a_{10} = 7 + 9\\cdot 6 = 61\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-47\\)** - \\(r\\) ze znakiem minus.\n- **B. \\(52\\)** - policzono \\(a_1 + (10)\\cdot\\ldots\\) błąd indeksu.\n- **D. \\(67\\)** - dodano \\(10\\cdot 6\\) zamiast \\(9\\cdot 6\\).\n\n**Trik:** \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\); zawsze \\((n-1)\\), nie \\(n\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16.1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 3\nB. 7\nC. 50\nD. 100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2⋅(-1)^{n+1} + 5 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa A. 3 B. 7 C. 50 D. 100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Poprawnie, wyrazy o numerach nieparzystych są równe $7$, a o numerach parzystych są równe $3$ (zauważ, że kolejne wyrazy różnią się tylko znakiem przy liczbie $2$. Suma dziesięciu pierwszych wyrazów jest równa $5\\cdot3+5\\cdot7=15+35=50$.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.1.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16.2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest malejący.\nP\nF\nCiąg (𝑎𝑛) jest geometryczny.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 2⋅(-1)^{n+1} + 5 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest malejący. P F Ciąg (a_n) jest geometryczny. P F","answer":"FF","answer_text":"Zadanie 16.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.2) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący;\nVI.3) sprawdza, czy dany ciąg jest […]\ngeometryczny.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFF","solution":"Ciąg przyjmuje naprzemiennie wartości 7 i 3 , dlatego nie jest malejący. Ilorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.2.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są\nwyrazy: 𝑎1 = 7 oraz 𝑎2 = 13.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyraz 𝑎10 jest równy\nA. (-47)\nB. 52\nC. 61\nD. 67\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, dane są wyrazy: a_1=7 oraz a_2=13. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyraz a_{10} jest równy A. (-47) B. 52 C. 61 D. 67","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(x > 0\\) i \\(y < 0\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja ciągu arytmetycznego i geometrycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) z ciągu arytmetycznego \\((-1, 2, x)\\).**\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz (poza pierwszym) jest średnią arytmetyczną swoich sąsiadów:\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2 = \\frac{-1 + x}{2}\\]\n\\[4 = -1 + x\\]\n\\[\\boxed{x = 5}\\]\n\n**Zatem \\(x = 5 > 0\\). ✓**\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(y\\) z ciągu geometrycznego \\((-1, 2, y)\\).**\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazu poprzedniego i następnego:\n\\[(a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[2^2 = (-1) \\cdot y\\]\n\\[4 = -y\\]\n\\[\\boxed{y = -4}\\]\n\n**Zatem \\(y = -4 < 0\\). ✓**\n\n**Wniosek:** \\(x = 5 > 0\\) oraz \\(y = -4 < 0\\), co odpowiada odpowiedzi **B**.\n\n## Sposób 2 - Przez iloraz ciągu geometrycznego\n\n**Ciąg arytmetyczny** - różnica:\n\\[r = a_2 - a_1 = 2 - (-1) = 3\\]\n\nTrzeci wyraz:\n\\[x = a_2 + r = 2 + 3 = 5\\]\n\n**Ciąg geometryczny** - iloraz:\n\\[q = \\frac{a_2}{a_1} = \\frac{2}{-1} = -2\\]\n\nTrzeci wyraz:\n\\[y = a_2 \\cdot q = 2 \\cdot (-2) = -4\\]\n\nOtrzymujemy ten sam wynik: \\(x = 5 > 0\\), \\(y = -4 < 0\\) → odpowiedź **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWłasność ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x\\).\n\nWłasność ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(y\\).\n\nWzory na wyraz ogólny (użyte w Sposobie 2):\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r \\quad \\text{(arytmetyczny)}\\]\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1} \\quad \\text{(geometryczny)}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń poprawnie oblicza \\(x = 5 > 0\\), ale zakłada, że iloraz ciągu geometrycznego jest dodatni - zapomina, że \\(a_1 = -1 < 0\\), więc \\(y = -4 < 0\\) |\n| C | Uczeń myli wzór na wyraz ciągu arytmetycznego - np. odejmuje zamiast dodaje różnicę, dostając \\(x = -1\\), ale \\(y\\) oblicza poprawnie |\n| D | Podwójny błąd: zarówno \\(x\\) obliczone jako \\(-1 - 3 = -4\\) (cofnięcie zamiast wydłużenia ciągu), jak i błędny znak \\(y\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W ciągu geometrycznym iloraz może być **ujemny** - jeśli pierwszy wyraz jest ujemny, a drugi dodatni, iloraz wynosi \\(q < 0\\). Nie zakładaj automatycznie, że \\(y > 0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\((a_2)^2 = a_1 \\cdot a_3\\) mówi, że **iloczyn** skrajnych jest równy **kwadratowi** środkowego - nie można go odwrócić do \\(a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\), bo to wzór dla ciągu **arytmetycznego**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy ciągu arytmetycznym nie myl kierunku: \\(x = a_3 = a_2 + r\\), a nie \\(a_2 - r\\) (to byłby \\(a_1\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności ciągów\nArytmetyczny: \\(2 = \\tfrac{-1 + x}{2} \\Rightarrow x = 5\\) (czyli \\(x>0\\)).\nGeometryczny: \\(2^2 = -1\\cdot y \\Rightarrow y = -4\\) (czyli \\(y<0\\)).\n\n### Sposób 2 - Ilorazy\nArytmetyczny: różnica \\(r = 2-(-1) = 3\\), więc \\(x = 2+3 = 5\\).\nGeometryczny: iloraz \\(q = \\tfrac{2}{-1} = -2\\), więc \\(y = 2\\cdot(-2) = -4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D** - sprzeczne z obliczonymi wartościami \\(x=5\\), \\(y=-4\\).\n\n**Trik:** środkowy wyraz arytmetycznego = średnia skrajnych; środkowy^2 geometrycznego = iloczyn skrajnych.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑥) jest arytmetyczny.\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑦) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki\nA. 𝑥> 0 i 𝑦> 0\nB. 𝑥> 0 i 𝑦< 0\nC. 𝑥< 0 i 𝑦> 0\nD. 𝑥< 0 i 𝑦< 0\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, x) jest arytmetyczny. Trzywyrazowy ciąg (-1, 2, y) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby x oraz y spełniają warunki A. x>0 i y>0 B. x>0 i y<0 C. x<0 i y>0 D. x<0 i y<0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nLiczba \\(1 + \\cos^2 27°\\) jest równa \\(2 - \\sin^2 27°\\).\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), czyli:\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\]\n\nPodstawiamy \\(\\alpha = 27°\\):\n\\[\\cos^2 27° = 1 - \\sin^2 27°\\]\n\nTeraz wstawiamy to do wyrażenia z zadania:\n\\[1 + \\cos^2 27° = 1 + (1 - \\sin^2 27°) = 2 - \\sin^2 27°\\]\n\n**Wynik: \\(1 + \\cos^2 27° = 2 - \\sin^2 27°\\), czyli odpowiedź A.**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja liczbowa\n\nSprawdzamy numerycznie, czy obie strony dają tę samą wartość.\n\n\\(\\cos 27° \\approx 0{,}891\\), więc \\(\\cos^2 27° \\approx 0{,}794\\)\n\nLewa strona:\n\\[1 + \\cos^2 27° \\approx 1 + 0{,}794 = 1{,}794\\]\n\n\\(\\sin 27° \\approx 0{,}454\\), więc \\(\\sin^2 27° \\approx 0{,}206\\)\n\nSprawdzamy odpowiedź A:\n\\[2 - \\sin^2 27° \\approx 2 - 0{,}206 = 1{,}794\\]\n\nZgadza się. Odpowiedź A jest poprawna.\n\nSprawdzamy inne odpowiedzi:\n- B: \\(\\sin^2 27° \\approx 0{,}206 \\neq 1{,}794\\)\n- C: \\(2 + \\sin^2 27° \\approx 2{,}206 \\neq 1{,}794\\)\n- D: \\(2 \\neq 1{,}794\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nTo jest najważniejszy wzór w tym zadaniu. Przekształcamy go do postaci:\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\]\n\ni podstawiamy do wyrażenia z treści zadania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń \"zapomniał\" o jedynce przy \\(\\cos^2\\), zapisując jedynie \\(\\cos^2 27° = \\sin^2 27°\\) (co jest nieprawdą - nie mylić \\(\\cos^2\\alpha = \\sin^2\\alpha\\) z jedynką trygonometryczną) |\n| C | Błędne przekształcenie: uczeń dodał \\(\\sin^2\\) zamiast odjąć - pomylił znak w jedynce trygonometrycznej, traktując \\(\\cos^2\\alpha = 1 + \\sin^2\\alpha\\) |\n| D | Uczeń uznał, że \\(\\cos^2 27° = 1\\) (co byłoby prawdą tylko dla \\(\\cos 0° = 1\\)). Pułapka: \\(\\sin^2 + \\cos^2 = 1\\), ale \\(\\cos^2\\) samo w sobie nie równa się \\(1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna to \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), a nie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = 1\\). Nie podnoś do kwadratu \"po jednej stronie\" - oba wyrazy muszą być kwadratami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(27°\\) to specjalnie \"brzydka\" wartość - nie ma tablarycznego wartości dla sin/cos 27°. Zadanie celowo zmusza do skorzystania ze wzoru, a nie liczenia konkretnych wartości. Nie szukaj wartości sin/cos 27° - wzoru nie potrzebujesz!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek przekształcenia ma znaczenie - z \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) wynika **minus** przed \\(\\sin^2\\) w wyniku. Pomylenie znaku to najpopularniejszy błąd w tym zadaniu (prowadzi do odpowiedzi C).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (jedynka trygonometryczna)\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\).\n\\[1 + \\cos^2 27^{\\circ} = 1 + (1 - \\sin^2 27^{\\circ}) = 2 - \\sin^2 27^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Numerycznie\n\\(\\cos 27^{\\circ}\\approx 0{,}891\\), \\(\\cos^2\\approx 0{,}794\\). \\(1 + 0{,}794 \\approx 1{,}794\\). \\(\\sin^2 27^{\\circ}\\approx 0{,}206\\); \\(2 - 0{,}206 = 1{,}794\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B** - pominięto jedynkę.\n- **C** - błędny znak przy \\(\\sin^2\\).\n- **D** - ignoruje \\(\\cos^2 27^{\\circ}\\ne 1\\).\n\n**Trik:** \\(\\cos^2\\alpha = 1 - \\sin^2\\alpha\\) - zamień zawsze, gdy pasuje.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 1 + cos2 27° jest równa\nA. 2 -sin2 27°\nB. sin2 27°\nC. 2 + sin2 27°\nD. 2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 1+cos²27° jest równa A. 2-sin²27° B. sin²27 C. 2+sin²27° D. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(30°\\)\n\n## Sposób 1 - tg kąta z trójkąta prostokątnego\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Ponieważ \\(AD\\) jest wysokością trapezu, mamy \\(AD \\perp AB\\). Przyjmijmy:\n- \\(A = (0, 0)\\), \\(B = (8, 0)\\), \\(D = (0, \\sqrt{3})\\), \\(C = (5, \\sqrt{3})\\)\n\n**Szukamy kąta \\(\\angle ABC\\) - kąta przy podstawie \\(AB\\) w wierzchołku \\(B\\).**\n\nOpuśćmy z punktu \\(C\\) prostopadłą do prostej \\(AB\\). Stopa tej prostopadłej to punkt \\(E = (5, 0)\\).\n\nDostajemy trójkąt prostokątny \\(BCE\\):\n\\[|BE| = 8 - 5 = 3, \\qquad |CE| = \\sqrt{3}\\]\n\nKąt \\(\\angle CBE = \\angle ABC\\) (to ten sam kąt), więc:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\frac{|CE|}{|BE|} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\nZ tablicy wartości (lub pamięci):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}\\]\n\n**Zatem \\(\\angle ABC = 30°\\).**\n\n## Sposób 2 - funkcja sinus z długości ukośnika\n\nObliczamy długość boku \\(BC\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(8-5)^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{9 + 3} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nW trójkącie prostokątnym \\(BCE\\) (kąt prosty przy \\(E\\)):\n\\[\\sin(\\angle ABC) = \\frac{|CE|}{|BC|} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2}\\]\n\nZ tablicy: \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\), więc:\n\n\\[\\boxed{\\angle ABC = 30°}\\]\n\nWynik zgodny ze sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa i sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przyprostokątna}}, \\qquad \\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna kąta}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\noraz wartości: \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\) - odczytane z tabeli kątów wzorcowych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(15°\\) | Błędne obliczenie \\(\\operatorname{tg}\\) - np. mylenie boków lub błąd arytmetyczny; \\(\\operatorname{tg} 15° \\approx 0{,}27\\), a tu \\(\\operatorname{tg} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} \\approx 0{,}58\\) |\n| C - \\(45°\\) | Pomylenie różnicy podstaw z wysokością: \\(\\operatorname{tg} 45° = 1\\) wymagałoby \\(|CE| = |BE|\\), czyli \\(\\sqrt{3} = 3\\) - nieprawda |\n| D - \\(60°\\) | Odwrócenie ułamka: wpisanie \\(\\operatorname{tg} = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) - zamiana licznika z mianownikiem |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica podstaw to \\(8 - 5 = 3\\), a **nie** \\(8\\) ani \\(5\\) - to jest podstawa trójkąta prostokątnego, z którego liczymy kąt. Wielu uczniów wstawia całą długość \\(AB\\) do wzoru na tg.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy tangensie łatwo odwrócić ułamek i dostać \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{3}{\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\), co daje \\(60°\\) - typowy błąd prowadzący do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trapezu \\(|AD| = \\sqrt{3}\\) to **ta sama** wartość, co pionowa noga trójkąta \\(|CE|\\) - nie trzeba jej obliczać, jest dana wprost.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny z boku trapezu\nOdcinek poziomy trójkąta prostokątnego przy \\(B\\) = \\(|AB| - |CD| = 8 - 5 = 3\\). Przyprostokątna pionowa = \\(\\sqrt{3}\\).\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}} \\Rightarrow \\angle ABC = 30^{\\circ}.\\]\n\n### Sposób 2 - Karta wzorów (tabela wartości)\n\\(\\operatorname{tg} 30^{\\circ} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(15^{\\circ}\\)** - nietypowa wartość, \\(\\operatorname{tg}15^{\\circ}\\approx 0{,}27\\ne 0{,}577\\).\n- **C. \\(45^{\\circ}\\)** - wymagałby boków 3 i 3.\n- **D. \\(60^{\\circ}\\)** - byłoby \\(\\operatorname{tg}=\\sqrt{3}\\), czyli stosunek 3 do \\(\\sqrt{3}\\).\n\n**Trik:** kąt ostry trapezu prostokątnego → trójkąt prostokątny z bokami \\((AB-CD,\\, h)\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Trygonometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPodstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 8 oraz |𝐶𝐷| = 5.\nWysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 15°\nB. 30°\nC. 45°\nD. 60°\n𝐴\n⋅\n5\n8\nξ3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n⋅\n\nMMAP-P0_100\nPodstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=8 oraz |CD|=5. Wysokość AD tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ABC jest równa A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(36°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany\n\n**Wyznaczamy miarę łuku \\(AB\\):**\n\nŁuk \\(AB\\) stanowi \\(\\frac{1}{5}\\) długości całego okręgu. Pełny okrąg to \\(360°\\), więc kąt środkowy oparty na łuku \\(AB\\) wynosi:\n\n\\[\\angle ASB = \\frac{1}{5} \\cdot 360° = 72°\\]\n\n**Stosujemy twierdzenie o kącie wpisanym:**\n\nKąt wpisany jest równy **połowie kąta środkowego** opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle ASB = \\frac{1}{2} \\cdot 72° = 36°\\]\n\n**Sprawdzamy, czy kąt jest ostry:** \\(36° < 90°\\) ✓\n\n**Odpowiedź: \\(\\angle ACB = 36°\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez długość łuku\n\nNiech \\(r\\) będzie promieniem okręgu. Pełna długość okręgu to \\(2\\pi r\\).\n\nDługość łuku \\(AB\\):\n\\[L_{AB} = \\frac{1}{5} \\cdot 2\\pi r = \\frac{2\\pi r}{5}\\]\n\nDługość łuku \\(AB\\) wyraża się też wzorem przez kąt środkowy \\(\\alpha\\) (w stopniach):\n\\[L_{AB} = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\n\nPrzyrównujemy:\n\\[\\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r = \\frac{1}{5} \\cdot 2\\pi r\\]\n\\[\\frac{\\alpha}{360°} = \\frac{1}{5}\\]\n\\[\\alpha = \\frac{360°}{5} = 72°\\]\n\nTo kąt środkowy. Kąt wpisany:\n\\[\\angle ACB = \\frac{\\alpha}{2} = \\frac{72°}{2} = 36°\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i środkowy:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: kąt środkowy \\(72°\\), kąt wpisany \\(= \\frac{72°}{2} = 36°\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - długość łuku:\n\\[L = \\frac{\\alpha}{360°} \\cdot 2\\pi r\\]\nUżyte w Sposobie 2 do przeliczenia ułamka okręgu na kąt środkowy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(18°\\) | Wzięto \\(\\frac{1}{10}\\) pełnego kąta: \\(\\frac{360°}{10} = 36°\\), potem podzielono jeszcze raz przez 2 - podwójne dzielenie |\n| B. \\(30°\\) | Nie ma związku z \\(\\frac{1}{5}\\) okręgu - typowa „okrągła\" liczba, która kusi, ale tu nie wynika z obliczeń |\n| D. \\(72°\\) | To miara **kąta środkowego** \\(\\angle ASB\\), nie wpisanego - pominięto dzielenie przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(72°\\)) to kąt środkowy - najczęstszy błąd to zatrzymanie się w połowie rozwiązania i zapomnienie o podzieleniu przez 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o kącie wpisanym działa tak tylko wtedy, gdy punkt \\(C\\) i środek \\(S\\) leżą po **tej samej stronie** cięciwy \\(AB\\) (kąt wpisany oparty na krótszym łuku). Gdy \\(C\\) jest po drugiej stronie, kąt byłby rozwarty: \\(180° - 36° = 144°\\). Zadanie pyta o kąt **ostry**, więc poprawnie bierzemy \\(36°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\frac{1}{5}\\) długości okręgu to **nie** to samo co \\(\\frac{1}{5} \\cdot 180°\\). Zawsze przeliczaj ułamek na stopnie od pełnego kąta \\(360°\\), nie od półokręgu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (kąt środkowy i wpisany)\nŁuk \\(AB\\) stanowi \\(\\tfrac{1}{5}\\) okręgu, więc kąt środkowy \\(\\angle ASB = \\tfrac{1}{5}\\cdot 360^{\\circ} = 72^{\\circ}\\).\nKąt wpisany oparty na tym samym łuku: \\(\\angle ACB = \\tfrac{1}{2}\\cdot 72^{\\circ} = 36^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór bezpośredni\nKąt wpisany odpowiadający łukowi \\(k\\cdot 360^{\\circ}\\) ma miarę \\(k\\cdot 180^{\\circ} = \\tfrac{1}{5}\\cdot 180^{\\circ} = 36^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18^{\\circ}\\)** - \\(\\tfrac{1}{5}\\cdot 90^{\\circ}\\) - zła formuła.\n- **B. \\(30^{\\circ}\\)** - liczba nie wynika z danych.\n- **D. \\(72^{\\circ}\\)** - to kąt środkowy, nie wpisany.\n\n**Trik:** kąt wpisany = \\(\\tfrac{1}{2}\\) kąta środkowego.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Trygonometria, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Długość łuku 𝐴𝐵, na którym\njest oparty kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵, jest równa 1\n5 długości okręgu (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵 jest równa\nA. 18°\nB. 30°\nC. 36°\nD. 72°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B oraz C leżą na okręgu o środku w punkcie S. Długość łuku AB, na którym jest oparty kąt wpisany ACB, jest równa 1/5 długości okręgu (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego ACB jest równa A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości (równość współczynników kierunkowych)\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** \\(a_1 = a_2\\) oraz **różne wyrazy wolne** \\(b_1 \\neq b_2\\).\n\nOdczytujemy współczynniki kierunkowe obu prostych:\n\n\\[k:\\; y = (3m+1)x + 2 \\implies a_k = 3m+1\\]\n\\[l:\\; y = -4x + (2m+5) \\implies a_l = -4\\]\n\nStawiamy warunek równoległości:\n\\[a_k = a_l\\]\n\\[3m + 1 = -4\\]\n\\[3m = -5\\]\n\\[\\boxed{m = -\\frac{5}{3}}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame to nie równoległe!):\n\nDla \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\):\n- wyraz wolny prostej \\(k\\): \\(b_k = 2\\)\n- wyraz wolny prostej \\(l\\): \\(b_l = 2 \\cdot \\left(-\\dfrac{5}{3}\\right) + 5 = -\\dfrac{10}{3} + \\dfrac{15}{3} = \\dfrac{5}{3}\\)\n\nPonieważ \\(2 \\neq \\dfrac{5}{3}\\), proste są różne - czyli rzeczywiście **równoległe**. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, że dla \\(m = -\\dfrac{5}{3}\\) obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy:\n\n\\[a_k = 3 \\cdot \\left(-\\frac{5}{3}\\right) + 1 = -5 + 1 = -4\\]\n\\[a_l = -4\\]\n\nRzeczywiście \\(a_k = a_l = -4\\). Proste mają równe współczynniki kierunkowe i różne wyrazy wolne (\\(2 \\neq \\dfrac{5}{3}\\)), więc są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Dwie proste o równaniach kierunkowych \\(y = a_1 x + b_1\\) oraz \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe**, gdy:\n> \\[a_1 = a_2 \\quad \\text{i} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nUżyliśmy tego warunku, by przyrównać \\(3m+1 = -4\\) i wyznaczyć \\(m\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(-4\\) | Uczeń odczytuje współczynnik prostej \\(l\\) i uznaje, że \\(m = a_l = -4\\), bez postawienia równania \\(3m+1 = -4\\) |\n| C: \\(-\\dfrac{3}{2}\\) | Uczeń myli warunek równoległości z warunkiem równości wyrazów wolnych i rozwiązuje \\(2m+5 = 2\\), czyli \\(2m = -3\\), stąd \\(m = -\\dfrac{3}{2}\\) |\n| D: \\(-1\\) | Uczeń poprawnie pisze \\(3m+1 = -4\\), ale błędnie odejmuje: \\(3m = -4-1 = -3\\), a powinno być \\(3m = -4-1 = -5\\) - pomyłka znaku lub arytmetyczna |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to NIE to samo co tożsamość prostych. Warunek to \\(a_1 = a_2\\) **I** \\(b_1 \\neq b_2\\). Zawsze sprawdź, czy proste nie \"wyszły\" tą samą prostą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\) to **cały** wyrażenie \\((3m+1)\\), a nie samo \\(m\\). Błędem jest wpisanie \\(m = -4\\) bez rozwiązania równania liniowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\(3m + 1 = -4\\) przenosimy \\(+1\\) na prawą stronę ze **zmianą znaku**: \\(3m = -4 - 1 = -5\\), nie \\(-3\\). To najczęstsza pomyłka arytmetyczna w tym typie zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (równoległość)\nRówne współczynniki kierunkowe: \\(3m+1 = -4\\).\n\\[3m = -5 \\Rightarrow m = -\\tfrac{5}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(m=-\\tfrac{5}{3}\\): \\(k: y = (-5+1)x + 2 = -4x + 2\\). \\(l: y = -4x + (-\\tfrac{10}{3}+5) = -4x + \\tfrac{5}{3}\\). Wspólny współczynnik \\(-4\\) → równoległe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-4\\)** - dałoby \\(3m+1 = -11\\).\n- **C. \\(-\\tfrac{3}{2}\\), D. \\(-1\\)** - dają inne \\(3m+1\\), nie równe \\(-4\\).\n\n**Trik:** dwie proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe ⇔ \\(a_1 = a_2\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-2)\nBok kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość równą 12. Punkt 𝑆 jest środkiem boku 𝐵𝐶 tego\nkwadratu. Na odcinku 𝐴𝑆 leży punkt 𝑃 taki, że odcinek 𝐵𝑃 jest prostopadły do odcinka 𝐴𝑆.\nOblicz długość odcinka 𝑩𝑷. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nBok kwadratu ABCD ma długość równą 12. Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS. Oblicz długość odcinka BP. Zapisz obliczenia.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝑃: |𝐵𝑃| = 12√5\n5\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 6√5\nALBO\n- obliczenie sinusa lub cosinusa jednego z kątów ostrych w trójkącie 𝐴𝐵𝑃 lub 𝐵𝑆𝑃,\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝑃| = 2|𝐵𝑃|,\nALBO\n- zapisanie równości |𝑃𝑆| = 1\n2 |𝐵𝑃|,\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝑀𝐵 (gdzie 𝑀 jest rzutem prostokątnym punktu 𝑃 na\nodcinek 𝐴𝐵): |𝑀𝐵| = 12\n5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆 (jak na rysunku).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆\n|𝐴𝑆|2 = 122 + 62\n|𝐴𝑆|2 = 180\n|𝐴𝑆| = √180 = 6√5\nPonieważ odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta prostokątnego poprowadzoną na\nprzeciwprostokątną, więc\n|𝐵𝑃| =\n|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝑆|\n|𝐴𝑆|\n= 12 ⋅6\n6√5\n= 12\n√5\n= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób II\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆 (jak na rysunku).\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆\n|𝐴𝑆|2 = 122 + 62\n|𝐴𝑆|2 = 180\n|𝐴𝑆| = √180 = 6√5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 1\n2 ⋅6√5 ⋅|𝐵𝑃|\nPonadto pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 można obliczyć jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 1\n2 ⋅12 ⋅6 = 36\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem\n1\n2 ⋅6√5 ⋅|𝐵𝑃| = 36\n|𝐵𝑃| = 72\n6√5\n= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób III\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n|∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\nZatem trójkąty 𝐴𝐵𝑆, 𝐴𝑃𝐵, 𝐵𝑃𝑆 są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.\nOznaczmy:\n𝑥= |𝑃𝑆|\n𝛼= |∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n𝛽= 90° -𝛼= |∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝛽\nWtedy\ntg 𝛼= 1\n2\n, |𝐵𝑃| = 2𝑥, |𝐴𝑃| = 4𝑥, |𝐴𝑆| = 5𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆) obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆\n|𝐴𝑆|2 = 122 + 62\n|𝐴𝑆| = √180 = 6√5\nZatem\n5𝑥= 6√5\n𝑥= 6√5\n5\n|𝐵𝑃| = 2𝑥= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób IV\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n|∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\nZatem trójkąty 𝐴𝐵𝑆 i 𝐵𝑃𝑆 są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝛽\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOznaczmy:\n𝑥= |𝐵𝑃|\n𝛼= |∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n𝛽= 90° -𝛼= |∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\nWtedy\ntg 𝛼= 1\n2\n|𝑃𝑆| = 1\n2 𝑥\nZ twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta 𝐵𝑃𝑆) obliczamy długość odcinka 𝐵𝑃\n|𝐵𝑃|2 + |𝑃𝑆|2 = 62\n𝑥2 + (1\n2 𝑥)\n2\n= 36\n5\n4 𝑥2 = 36\n𝑥2 = 144\n5\n𝑥= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób V\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆.\nPoprowadźmy odcinek 𝑃𝑀 prostopadły do odcinka 𝐴𝐵 (jak na rysunku).\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝐵𝑃𝑀|\n|∢𝐴𝑆𝐵| = |∢𝐴𝑃𝑀| = |∢𝑃𝐵𝑀|\nZatem trójkąty 𝐴𝐵𝑆, 𝐴𝑀𝑃, 𝑃𝑀𝐵 są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.\nOznaczmy:\n𝑥= |𝑀𝐵|\n𝛼= |∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝐵𝑃𝑀|\n𝛽= 90° -𝛼= |∢𝐴𝑆𝐵| = |∢𝐴𝑃𝑀| = |∢𝑃𝐵𝑀|\nWtedy\ntg 𝛼= 1\n2\n, |𝑀𝑃| = 2𝑥, |𝐴𝑀| = 4𝑥, |𝐴𝐵| = 5𝑥= 12.\nZatem 𝑥= 12\n5\nZ twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta 𝑀𝐵𝑃) obliczamy długość odcinka 𝐵𝑃\n|𝐵𝑃|2 = |𝑀𝐵|2 + |𝑀𝑃|2\n|𝐵𝑃|2 = (12\n5 )\n2\n+ (24\n5 )\n2\n|𝐵𝑃|2 = 720\n25\n|𝐵𝑃| = √720\n25 = 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝑀\n𝛼\n𝛽\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób VI\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆 (jak na rysunku).\nOznaczmy: 𝛼= |∢𝐵𝐴𝑆|. Wtedy tg 𝛼= 1\n2\n, zatem sin𝛼\ncos𝛼= 1\n2\n. Stąd cos 𝛼= 2 ⋅sin 𝛼.\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 otrzymujemy\nsin2 𝛼+ (2 ⋅sin 𝛼)2 = 1\n5 sin2 𝛼= 1\nsin2 𝛼= 1\n5\nStąd sin 𝛼= 1\n√5\n, ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.\nZatem\n|𝐵𝑃|\n|𝐴𝐵| = 1\n√5\n|𝐵𝑃|\n12 = 1\n√5\n|𝐵𝑃| = 12\n√5\n= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(y = -3x - 1\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie punktu przez symetrię środkową\n\n**Co to jest symetria środkowa względem początku układu?**\n\nPunkt \\(P(x, y)\\) w symetrii środkowej względem punktu \\((0, 0)\\) przechodzi w punkt \\(P'(-x, -y)\\).\nCzyli zamieniamy: \\(x \\to -x\\), \\(y \\to -y\\).\n\n**Jak znaleźć obraz prostej?**\n\nWeźmy dowolny punkt \\((x, y)\\) leżący na obrazie prostej. Jego \"poprzednik\" (punkt, który przeszedł w \\((x,y)\\)) to \\((-x, -y)\\) - bo symetria środkowa jest inwolucją (symetria do siebie odwrotna).\n\nTen poprzednik leży na prostej \\(y = -3x + 1\\), więc podstawiamy:\n\\[-y = -3(-x) + 1\\]\n\\[-y = 3x + 1\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(-1\\):\n\\[y = -3x - 1\\]\n\n**Wynik:** Obraz prostej ma równanie \\(\\boxed{y = -3x - 1}\\). ✓\n\n## Sposób 2 - Sprawdzenie konkretnego punktu\n\nWeźmy konkretny punkt leżący na prostej \\(y = -3x + 1\\).\n\nDla \\(x = 0\\): punkt \\(A = (0, 1)\\).\n\nJego obraz w symetrii środkowej względem \\((0,0)\\): \\(A' = (0, -1)\\).\n\nSprawdzamy, które równanie jest spełnione przez \\(A' = (0, -1)\\):\n\n| Odpowiedź | Podstawiamy \\(x=0, y=-1\\) | Wynik |\n| A: \\(y = 3x+1\\) | \\(-1 = 0+1\\) | ✗ |\n| B: \\(y = 3x-1\\) | \\(-1 = 0-1\\) | ✓ (na razie) |\n| C: \\(y = -3x+1\\) | \\(-1 = 0+1\\) | ✗ |\n| D: \\(y = -3x-1\\) | \\(-1 = 0-1\\) | ✓ (na razie) |\n\nZostały B i D - bierzemy drugi punkt. Dla \\(x = 1\\): punkt \\(B = (1, -2)\\) na prostej (bo \\(-3\\cdot1+1=-2\\)). Jego obraz: \\(B' = (-1, 2)\\).\n\nSprawdzamy \\(B'=(-1,2)\\):\n- B: \\(y = 3(-1)-1 = -4 \\neq 2\\) ✗\n- D: \\(y = -3(-1)-1 = 3-1 = 2\\) ✓\n\n**Odpowiedź D jest jedyną pasującą.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\n\nW tym zadaniu korzystamy z definicji symetrii środkowej i zamiany współrzędnych \\((x, y) \\to (-x, -y)\\), co nie jest osobnym wzorem z karty - to własność transformacji geometrycznej.\n\nKarta CKE nie zawiera wzoru na symetrię środkową wprost. Wystarczy zapamiętać: **symetria środkowa względem \\((0,0)\\)** to \\((x,y) \\to (-x,-y)\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(y = 3x+1\\) | Zmieniono tylko znak przy \\(x\\) (współczynnik kierunkowy), ale pozostawiono wyraz wolny bez zmian - błędne, bo wyraz wolny też zmienia znak |\n| B: \\(y = 3x-1\\) | Zmieniono oba znaki - i przy \\(x\\), i wyraz wolny - ale współczynnik kierunkowy nie powinien się zmieniać (prosta jest nachylona tak samo, tylko przesunięta) |\n| C: \\(y = -3x+1\\) | To ta sama prosta co wyjściowa! Uczeń nie wykonał żadnej zmiany - błąd polegający na myśleniu, że prosta symetryczna do siebie samej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria środkowa względem \\((0,0)\\) to **nie** to samo co odbicie względem osi \\(OX\\) lub \\(OY\\). Przy symetrii środkowej zmieniamy znaki **obu** współrzędnych: \\(x\\) i \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej) **nie zmienia się** - prosta po symetrii środkowej jest **równoległa** do pierwotnej. Zmienia się tylko wyraz wolny (prosta przesuwa się).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych (wyraz wolny = 0), to jej obraz w symetrii środkowej to **ta sama prosta** - nie daj się zaskoczyć takim przypadkiem na egzaminie!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie symetrii\nSymetria środkowa względem \\((0,0)\\): \\((x,y)\\mapsto(-x,-y)\\). Podstaw do równania prostej \\(-y = -3\\cdot(-x) + 1\\):\n\\[-y = 3x + 1 \\Rightarrow y = -3x - 1.\\]\n\n### Sposób 2 - Własność (prosta → prosta równoległa)\nObraz prostej \\(y = ax + b\\) w symetrii względem \\((0,0)\\): \\(y = ax - b\\) (ten sam kierunek, przeciwny wyraz wolny). Tu \\(a=-3\\), \\(b=1\\), więc obraz: \\(y = -3x - 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - zmieniony współczynnik kierunkowy (\\(a\\) powinno zostać).\n- **C** - sama prosta (brak zmiany \\(b\\)).\n\n**Trik:** symetria w \\(O\\) prostej nieprzechodzącej przez \\(O\\): \\(a\\) ten sam, \\(b\\to -b\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu\n(𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(8\\)\n\n## Sposób 1 - Ze wzoru na przekątną ściany\n\n**Przekątna ściany** sześcianu to przekątna kwadratu o boku \\(a\\).\n\nZe wzoru (twierdzenie Pitagorasa):\n\\[d_{\\text{ściany}} = a\\sqrt{2}\\]\n\nMamy dane \\(d_{\\text{ściany}} = 2\\sqrt{2}\\), więc:\n\\[a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}\\]\n\\[a = 2\\]\n\n**Objętość sześcianu:**\n\\[V = a^3 = 2^3 = 8\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez przekątną bryły\n\nSprawdźmy, że \\(a = 2\\) jest poprawne, obliczając przekątną bryły (dla pewności).\n\n**Przekątna bryły** sześcianu:\n\\[d_{\\text{bryły}} = a\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nTo jest inna wartość niż \\(2\\sqrt{2}\\) - potwierdza, że zadanie pyta o przekątną **ściany** (kwadratu), nie o przekątną całego sześcianu. Wszystko się zgadza.\n\nObjętość: \\(V = 2^3 = \\mathbf{8}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własności pierwiastków:\n\\[\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}\\]\nUżyte przy upraszczaniu \\(a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 2\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość prostopadłościanu:\n\\[V = abc\\]\nDla sześcianu \\(a = b = c\\), więc \\(V = a^3\\). Stąd \\(V = 2^3 = 8\\).\n\nPrzekątna ściany pochodzi z **twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15)**:\n\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(24\\) | Uczeń liczy \\(V = a^3\\), ale myli przekątną ściany z bokiem - np. przyjmuje \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\) lub bierze \\(a = 2\\sqrt{2}\\) wprost i liczy \\((2\\sqrt{2})^3 = 16\\sqrt{2}\\) (to odpowiedź D); albo 3·8=24 przez pomyłkę z polem |\n| C - \\(\\frac{16\\sqrt{6}}{9}\\) | Użycie wzoru na przekątną bryły \\(d = a\\sqrt{3}\\) zamiast ściany \\(d = a\\sqrt{2}\\), czyli \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}}\\), potem błędne obliczenie sześcianu |\n| D - \\(16\\sqrt{2}\\) | Przyjęcie \\(a = 2\\sqrt{2}\\) bez podzielenia przez \\(\\sqrt{2}\\) - mylenie przekątnej ściany z bokiem sześcianu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna **ściany** (\\(a\\sqrt{2}\\)) to nie to samo co przekątna **bryły** (\\(a\\sqrt{3}\\)) - to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Ściana sześcianu to kwadrat, jej przekątna to \\(a\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie bierz \\(a = 2\\sqrt{2}\\) wprost! Przekątna ściany wynosi \\(2\\sqrt{2}\\), ale bok sześcianu to \\(a = \\frac{2\\sqrt{2}}{\\sqrt{2}} = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że objętość sześcianu to \\(a^3\\), nie \\(a^2\\) (to byłoby pole ściany) ani \\(6a^2\\) (to pole powierzchni całkowitej).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Karta wzorów (przekątna kwadratu)\nPrzekątna ściany = \\(a\\sqrt{2}\\), gdzie \\(a\\) - krawędź sześcianu.\n\\[a\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2} \\Rightarrow a = 2.\\]\nObjętość: \\(V = a^3 = 2^3 = 8\\).\n\n### Sposób 2 - Pitagoras\n\\((2\\sqrt{2})^2 = 2a^2 \\Rightarrow 8 = 2a^2 \\Rightarrow a^2 = 4 \\Rightarrow a = 2\\). \\(V = 8\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(24\\)** - błędna krawędź (\\(\\approx 2{,}88\\)).\n- **C, D** - pomylenie przekątnej ściany z przekątną sześcianu (\\(a\\sqrt{3}\\)).\n\n**Trik:** przekątna **ściany** = \\(a\\sqrt{2}\\); przekątna **sześcianu** = \\(a\\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23.1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23.1","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nDo okręgu 𝒪 należy punkt o współrzędnych (-1, -3).\nP\nF\nPromień okręgu 𝒪 jest równy 5.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu (x-1)² + (y+2)² = 5 Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Do okręgu O należy punkt o współrzędnych (-1,-3). P F Promień okręgu O jest równy 5. P F","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 23.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"Dla punktu (-1,-3) :\n(-1-1)^2+(-3+2)^2=4+1=5,\nwięc punkt należy do okręgu. Promień okręgu wynosi √(5) , a nie 5 .","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.1.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23.2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23.2. (0-1)\nOkrąg 𝒦 jest obrazem okręgu 𝒪 w symetrii środkowej względem początku układu\nwspółrzędnych.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒦 jest określony równaniem\nA. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5\nB. (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5\nC. (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 5\nD. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 5\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu (x-1)² + (y+2)² = 5 Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg K jest określony równaniem A. (x-1)² + (y+2)² = 5 B. (x+1)²+(y+2)² = 5 C. (x-1)² + (y-2)² = 5 D. (x+1)² + (y-2)² = 5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIX.6) wyznacza obrazy okręgów […]\nw symetrii środkowej (o środku w początku\nukładu współrzędnych).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, ponieważ współrzędne środków są symetryczne względem siebie względem początku układu współrzędnych.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.2.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz\n𝐵= (10, 2). Symetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 𝑃.\nOblicz współrzędne punktu 𝑷 oraz długość odcinka 𝑨𝑷. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są punkty A=(2,8) oraz B=(10,2). Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P. Oblicz współrzędne punktu P oraz długość odcinka AP.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nIX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch\nprostych […];\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach […];\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz długość odcinka 𝐴𝑃\noraz poprawne wyniki: 𝑃= (9\n4 , 0), |𝐴𝑃| = 5√41\n4\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0) .\n2 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4\n3 𝑥-3\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝑃,\nwynikającego z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.\n(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n1 pkt - zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3\n4\n,\nALBO\n- zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0 ,\nALBO\n- zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0) ,\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝑃 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝑃 i zapisuje 𝑃= (9\n4 , 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝑃, to otrzymuje 0 punktów).\n3. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝑃= (9\n4 , 0), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝑃= (9\n4 , 0) i dalej kontynuuje\nrozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt.\n4. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka\nd) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów\ne) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów\nw kartezjańskim układzie współrzędnych\nf) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej\ng) przyjęcie, że wierzchołek 𝑃 leży poza osią 𝑂𝑥,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n5. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝑃 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca\nniewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 2 -8\n10 -2 = -3\n4\nZatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy\n𝑎𝑘= 4\n3\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci\n𝑦= 4\n3 (𝑥-6) + 5\n𝑦= 4\n3 𝑥-3\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) spełniają równania\n𝑦𝑝= 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\n𝑥𝑝= 9\n4 oraz 𝑦𝑝= 0\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0)\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\nSposób II\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nPonieważ punkt 𝑃 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.\nStąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n𝑥𝑝\n2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝\n2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4\n16𝑥𝑝= 36\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2 -6, 8 -5] = [-4, 3]\n𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑝-6, 0 -5] = [𝑥𝑝-6, -5]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem\n-4 ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n-4𝑥𝑝+ 24 -15 = 0\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝑃:\n|𝐴𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(8\\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Przekątna i przekątna podstawy\n\n**Co wiemy o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym?**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(4\\). Szukamy wysokości \\(h\\).\n\n**Krok 1: Przekątna podstawy (kwadratu)**\n\n\\[d = 4\\sqrt{2}\\]\n\n(ze wzoru na przekątną kwadratu: \\(d = a\\sqrt{2}\\))\n\n**Krok 2: Zidentyfikuj trójkąt prostokątny**\n\nPrzekątna graniastosłupa (przestrzenna) \\(D\\) łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Tworzy trójkąt prostokątny z:\n- podstawą = przekątna podstawy graniastosłupa = \\(4\\sqrt{2}\\)\n- przeciwprostokątną = przekątna przestrzenna \\(D\\)\n- pionową nogą = wysokość \\(h\\)\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną przestrzenną a płaszczyzną podstawy.\n\n**Krok 3: Zastosuj tangensa**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{4\\sqrt{2}}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(h\\)**\n\n\\[\\frac{h}{4\\sqrt{2}} = 2\\]\n\n\\[\\boxed{h = 8\\sqrt{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pełną przekątną\n\nObliczamy pełną przekątną przestrzenną i sprawdzamy kąt.\n\nPrzekątna przestrzenna:\n\\[D = \\sqrt{(4\\sqrt{2})^2 + (8\\sqrt{2})^2} = \\sqrt{32 + 128} = \\sqrt{160} = 4\\sqrt{10}\\]\n\nSprawdzenie:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{\\text{podstawa trójkąta}} = \\frac{8\\sqrt{2}}{4\\sqrt{2}} = \\frac{8}{4} = 2 \\checkmark\\]\n\nKąt się zgadza - wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)**\n\nDla graniastosłupa - nie ma gotowego wzoru na przekątną, ale korzystamy z twierdzenia Pitagorasa (Dział 10, s. 15):\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\n\nNajpierw dla podstawy (kwadratu o boku \\(a = 4\\)):\n\\[d = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2}\\]\n\nNastępnie dla trójkąta prostokątnego zawierającego przekątną przestrzenną i kąt nachylenia:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d}\\]\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwko } \\alpha}{\\text{przyprostokątna przyległa do } \\alpha}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błędny tok myślenia |\n| A \\((= 2)\\) | Użyto boku podstawy jako \"sąsiedniej\" i jako \"naprzeciwległej\": \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4}{h}\\), skąd \\(h = \\frac{4}{2} = 2\\) |\n| B \\((= 8)\\) | Użyto **boku** kwadratu zamiast **przekątnej** podstawy: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{4} = 2\\), skąd \\(h = 8\\) |\n| D \\((= 16\\sqrt{2})\\) | Pomylono wzór: wzięto \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{4\\sqrt{2}}{h}\\) (odwrotnie!), skąd \\(h = \\frac{4\\sqrt{2}}{2} = 2\\sqrt{2}\\) lub podwojono poprawny wynik |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna graniastosłupa **nie jest** przekątną ściany bocznej! Rzut poziomy przekątnej przestrzennej to przekątna **podstawy** (\\(4\\sqrt{2}\\)), a nie bok (\\(4\\)). To najczęstszy błąd - prowadzi do odpowiedzi B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) leży **przy podstawie** trójkąta, więc tg = \\(\\frac{h}{d_{\\text{podstawy}}}\\), nie odwrotnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna kwadratu o boku \\(a\\) to \\(a\\sqrt{2}\\), nie \\(2a\\). Szybkie zapamiętanie: kwadrat o boku 1 ma przekątną \\(\\sqrt{2} \\approx 1{,}41\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna podstawy + trygonometria\nPrzekątna kwadratu podstawy: \\(d = 4\\sqrt{2}\\). Kąt \\(\\alpha\\) między przekątną graniastosłupa a podstawą:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{H}{d} = \\dfrac{H}{4\\sqrt{2}} = 2 \\Rightarrow H = 8\\sqrt{2}.\\]\n\n### Sposób 2 - Pitagoras w trójkącie nachylenia\nTrójkąt prostokątny ma przyprostokątne \\(H\\) (pion) i \\(d = 4\\sqrt{2}\\) (poziom). \\(\\operatorname{tg}\\alpha = H/d = 2\\) → \\(H = 2\\cdot 4\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - nie wykorzystano przekątnej podstawy.\n- **B. \\(8\\)** - błędnie \\(d = 4\\) zamiast \\(4\\sqrt{2}\\).\n- **D. \\(16\\sqrt{2}\\)** - pomnożono dwukrotnie.\n\n**Trik:** kąt między przekątną bryły a podstawą → trójkąt prostokątny z \\(H\\) i przekątną podstawy.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nOstrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa\nA. 2025\nB. 2026\nC. 4048\nD. 4052\nOstrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa A. 2025 B. 2026 C. 4048 D. 4052","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(4048\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na krawędzie ostrosłupa prawidłowego\n\nOstrosłup prawidłowy o podstawie \\(n\\)-kątnej ma:\n- \\(n\\) krawędzi podstawy\n- \\(n\\) krawędzi bocznych\n- razem: \\(2n\\) krawędzi\n\n**Skąd wiemy, ile wynosi \\(n\\)?**\n\nOstrosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Jeśli jest \\(2024\\) ścian bocznych, to podstawa jest \\(2024\\)-kątem, czyli \\(n = 2024\\).\n\n**Obliczamy liczbę krawędzi:**\n\\[k = 2n = 2 \\cdot 2024 = \\mathbf{4048}\\]\n\n## Sposób 2 - Liczenie metodą składową\n\nPoliczmy krawędzie osobno, żeby nie pomylić typów:\n\n**Krawędzie podstawy** - to boki \\(2024\\)-kąta:\n\\[k_\\text{podstawa} = 2024\\]\n\n**Krawędzie boczne** - każdy wierzchołek podstawy jest połączony krawędzią z wierzchołkiem ostrosłupa (szczytem). Wierzchołków podstawy jest \\(2024\\), więc:\n\\[k_\\text{boczne} = 2024\\]\n\n**Suma:**\n\\[k = 2024 + 2024 = \\mathbf{4048}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa prawidłowego i policzenie krawędzi ze wzoru \\(k = 2n\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A: \\(2025\\) | Policzono tylko krawędzie boczne i dodano \\(1\\) (np. pomyłka z liczbą wierzchołków: \\(n + 1\\)) |\n| B: \\(2026\\) | Policzono krawędzie boczne i dodano \\(2\\) - mylenie liczby krawędzi z liczbą wierzchołków (\\(n + 1\\)) lub ścian (\\(n + 1\\)) |\n| D: \\(4052\\) | Wliczono dodatkowo \\(4\\) zbędne elementy, np. dodano osobno liczbę ścian (\\(2024 + 1 = 2025\\)) zamiast tylko krawędzi |\n\n> Uwaga na A i B: wynik rzędu \\(\\approx 2025\\) sugeruje policzenie tylko jednego rodzaju krawędzi, a jest ich dwa rodzaje!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Krawędzie podstawy są równie ważne jak boczne - łatwo zapomnieć o całej podstawie i wziąć tylko \\(n\\) krawędzi bocznych, dostając błędną odpowiedź A lub B.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić krawędzi z wierzchołkami ani ze ścianami! Ostrosłup \\(n\\)-kątny ma \\(2n\\) krawędzi, \\(n+1\\) wierzchołków i \\(n+1\\) ścian (n bocznych + 1 podstawa).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Prawidłowy\" oznacza, że podstawa jest wielokątem foremnym, a szczyt leży nad jej środkiem - nie zmienia to jednak wzoru na liczbę krawędzi, który działa dla każdego ostrosłupa \\(n\\)-kątnego.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Zliczanie krawędzi\nOstrosłup z \\(n\\)-kątem w podstawie: \\(n\\) ścian bocznych, \\(n\\) krawędzi podstawy, \\(n\\) krawędzi bocznych. Razem: \\(2n\\).\nTu \\(n = 2024\\): \\(2\\cdot 2024 = 4048\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera (V-E+F=2)\nWierzchołków: \\(n+1\\); ścian: \\(n+1\\). Zatem \\(E = V + F - 2 = 2n + 2 - 2 = 2n = 4048\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2025\\)** - liczba wierzchołków.\n- **B. \\(2026\\)** - błąd rachunkowy.\n- **D. \\(4052\\)** - dodano dodatkowe krawędzie.\n\n**Trik:** ostrosłup \\(n\\)-kątny ma zawsze \\(2n\\) krawędzi.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2√2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObjętość tego sześcianu jest równa\nA. 8\nB. 24\nC. 16√6\n9\nD. 16√2\n\nMMAP-P0_100\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2√2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość tego sześcianu jest równa A. 8 B. 24 C. 16√6/9 D. 16√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości […] graniastosłupów\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(l = 5\\)\n\n## Sposób 1 - Wyrażenie pola powierzchni całkowitej przez apotema ściany\n\nWprowadźmy oznaczenia:\n- \\(a = 4\\) - krawędź podstawy\n- \\(l\\) - szukana wysokość ściany bocznej (apotema ściany bocznej, czyli odcinek z \\(S\\) prostopadle do \\(AB\\))\n\n**Krok 1. Pole podstawy.**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(a = 4\\), więc:\n\\[P_p = a^2 = 4^2 = 16\\]\n\n**Krok 2. Pole jednej ściany bocznej.**\n\nKażda ściana boczna to trójkąt równoramienny z podstawą \\(a = 4\\) i wysokością \\(l\\) (właśnie szukana wysokość ściany):\n\\[P_{\\text{ściany}} = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot l = \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot l = 2l\\]\n\n**Krok 3. Pole powierzchni całkowitej.**\n\nOstrosłup czworokątny ma 4 ściany boczne i 1 podstawę:\n\\[P_c = P_p + 4 \\cdot P_{\\text{ściany}} = 16 + 4 \\cdot 2l = 16 + 8l\\]\n\n**Krok 4. Wyznaczenie \\(l\\).**\n\nZ warunku \\(P_c = 56\\):\n\\[16 + 8l = 56\\]\n\\[8l = 40\\]\n\\[\\boxed{l = 5}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wzór na pole boczne ostrosłupa\n\nPole boczne ostrosłupa prawidłowego wyraża się wzorem:\n\\[P_b = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{obwód podstawy} \\cdot l\\]\n\nObwód podstawy (kwadrat o boku 4):\n\\[\\text{obwód} = 4 \\cdot 4 = 16\\]\n\nStąd:\n\\[P_c = P_b + P_p \\implies 56 = \\frac{1}{2} \\cdot 16 \\cdot l + 16\\]\n\\[56 = 8l + 16\\]\n\\[8l = 40\\]\n\\[\\boxed{l = 5}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(P_c = 16 + 4 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot 5 = 16 + 40 = 56\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nKażda ściana boczna ostrosłupa to trójkąt. Użyliśmy tego wzoru, żeby zapisać pole jednej ściany jako \\(\\frac{1}{2} \\cdot 4 \\cdot l\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość ostrosłupa:\n\\[V = \\frac{1}{3} \\cdot P_p \\cdot h\\]\nSam wzór na objętość tu nie jest potrzebny, ale schemat ostrosłupa jest zdefiniowany właśnie tam. Karta nie podaje gotowego wzoru na \\(P_c\\) ostrosłupa - trzeba go złożyć z pola podstawy i 4 trójkątów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Obliczenie |\n| A \\((= 3)\\) | Odjęto dwa pola podstawy zamiast jednego (jak w graniastosłupie, gdzie są dwa wieka) | \\(P_b = 56 - 2 \\cdot 16 = 24\\), \\(8l = 24\\), \\(l = 3\\) |\n| B \\(\\left(= \\frac{5}{2}\\right)\\) | Zapomniano o czynniku \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole trójkąta - liczono jak pole prostokąta \\(a \\times l\\) | \\(4 \\cdot 4 \\cdot l + 16 = 56 \\Rightarrow 16l = 40 \\Rightarrow l = \\frac{5}{2}\\) |\n| C \\(\\left(= \\frac{21}{2}\\right)\\) | Pomylono apotema ściany bocznej \\(l\\) z wysokością całego ostrosłupa \\(H\\) - policzono \\(l = 5\\) poprawnie, ale następnie wyciągnięto \\(H^2 = l^2 - \\left(\\frac{a}{2}\\right)^2 = 25 - 4 = 21\\) i błędnie podano \\(\\frac{21}{2}\\) jako odpowiedź | \\(H = \\sqrt{21} \\neq \\frac{21}{2}\\) - to zupełnie inna wielkość |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Wysokość ściany bocznej\" (apotema ściany) to **nie** jest wysokość ostrosłupa \\(H\\)! To odcinek z wierzchołka \\(S\\) prostopadle do środka krawędzi podstawy \\(AB\\) - przebiega wewnątrz trójkątnej ściany bocznej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu pola powierzchni całkowitej ostrosłupa czworokątnego: **jedna** podstawa (kwadrat), nie dwie jak w graniastosłupie. Łatwo się pomylić, jeśli ktoś uczy się obu wzorów na raz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole trójkąta to \\(\\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h\\), nie \\(a \\cdot h\\). Brak tego dzielenia przez 2 prowadzi prosto do odpowiedzi B - jest to bardzo częsty błąd przy pośpiechu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Z pola powierzchni\nPole podstawy: \\(P_p = 4^2 = 16\\). Pole powierzchni bocznej: \\(P_b = 56 - 16 = 40\\). Ściany boczne (4 trójkąty równoramienne o podstawie 4 i wysokości \\(h\\)):\n\\[4\\cdot \\tfrac{1}{2}\\cdot 4\\cdot h = 8h = 40 \\Rightarrow h = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór bezpośredni\n\\(P_c = a^2 + 4\\cdot\\tfrac{ah}{2} = a^2 + 2ah\\). \\(16 + 8h = 56 \\Rightarrow h = 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - dałoby \\(P_c = 40\\).\n- **B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - za małe.\n- **C. \\(\\tfrac{21}{2}\\)** - błędnie \\(P_b = 84\\).\n\n**Trik:** \\(P_c = P_p + P_b\\); wysokość ściany bocznej → w polu trójkąta jako wysokość.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.\nPrzekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼 takim,\nże tg 𝛼= 2 (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego graniastosłupa jest równa\nA. 2\nB. 8\nC. 8√2\nD. 16√2\n𝛼\n4\n4\n\nMMAP-P0_100\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tgα=2 (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość tego graniastosłupa jest równa A. 2 B. 8 C. 8√2 D. 16√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3{,}12\\)\n\n## Sposób 1 - Średnia ważona ocen z diagramu\n\n**Odczytujemy dane z diagramu** (słupkowego):\n\n| Ocena \\(x_i\\) | Liczba uczniów \\(n_i\\) | \\(x_i \\cdot n_i\\) |\n|:-:|:-:|:-:|\n| 1 | 2 | 2 |\n| 2 | 5 | 10 |\n| 3 | 9 | 27 |\n| 4 | 6 | 24 |\n| 5 | 3 | 15 |\n| **Σ** | **25** | **78** |\n\nŁączna liczba uczniów w klasie:\n\\[n = 2 + 5 + 9 + 6 + 3 = 25\\]\n\nSuma wszystkich ocen (każdą ocenę mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali):\n\\[\\sum x_i \\cdot n_i = 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 6 + 5 \\cdot 3 = 2 + 10 + 27 + 24 + 15 = 78\\]\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{78}{25} = \\mathbf{3{,}12}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład\n\nMożemy sprawdzić wynik inaczej: zapiszmy oceny jako listę 25 liczb i policzmy średnią grupami.\n\nUczniowie z oceną **poniżej 3** (oceny 1 i 2): \\(2 + 5 = 7\\) uczniów, wkład do sumy \\(= 12\\).\nUczniowie z oceną **3**: \\(9\\) uczniów, wkład \\(= 27\\).\nUczniowie z oceną **powyżej 3** (oceny 4 i 5): \\(6 + 3 = 9\\) uczniów, wkład \\(= 39\\).\n\nSuma: \\(12 + 27 + 39 = 78\\), uczniów: \\(25\\).\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{78}{25} = 3{,}12 \\checkmark\\]\n\nWynik z obu sposobów zgodny - **odpowiedź B jest poprawna**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią arytmetyczną:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nW naszym zadaniu stosujemy **uogólnienie** tego wzoru (średnia ważona), bo wiele osób ma tę samą ocenę:\n\\[\\bar{x} = \\frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \\ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \\ldots + n_k}\\]\n\nMaturzysta powinien rozpoznać, że diagram słupkowy to właśnie dane do tego wzoru - każdy słupek daje nam \\(x_i\\) (ocena) i \\(n_i\\) (wysokość słupka).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(3\\) | Podano **modę** (dominantę) - ocena 3 pojawia się najczęściej (9 uczniów). Mylenie mody ze średnią! |\n| C | \\(3{,}5\\) | Policzono średnią **samych etykiet ocen** bez uwzględnienia liczności: \\(\\frac{1+2+3+4+5}{5} = 3\\)… lub pominięto ocenę 1 i wzięto \\(\\frac{2+3+4+5}{4} = 3{,}5\\). Ignorowanie wag słupków! |\n| D | \\(4{,}1(6)\\) | Podzielono **liczbę uczniów przez liczbę kategorii ocen**: \\(\\frac{25}{6} = 4{,}1\\overline{6}\\). Całkowite pomieszanie znaczenia osi - dzielnik to łączna liczba uczniów, nie liczba kategorii! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z diagramem słupkowym **wysokość słupka = liczba uczniów**, nie ocena. Ocena jest na osi poziomej. Wiele błędów polega na zamianie tych osi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie liczymy średniej jako \\(\\frac{\\text{suma etykiet osi } x}{\\text{liczba słupków}}\\). To byłaby poprawna metoda tylko wtedy, gdyby każda ocena pojawiła się dokładnie raz.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw sprawdź **łączną liczbę uczniów** (suma wysokości wszystkich słupków) - to mianownik we wzorze na średnią. Tu: \\(2+5+9+6+3 = 25\\), a nie np. 6 (liczba możliwych ocen).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\nZ diagramu: oceny i liczby uczniów: \\(1{:}2,\\,2{:}9,\\,3{:}5,\\,4{:}3,\\,5{:}5,\\,6{:}1\\). Łącznie \\(25\\) uczniów.\n\\[\\sum = 1\\cdot 2 + 2\\cdot 9 + 3\\cdot 5 + 4\\cdot 3 + 5\\cdot 5 + 6\\cdot 1 = 2+18+15+12+25+6 = 78.\\]\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{78}{25} = 3{,}12.\\]\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(25\\cdot 3{,}12 = 78\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - zaokrąglenie.\n- **C. \\(3{,}5\\)** - mediana/środek.\n- **D. \\(4{,}1(6)\\)** - nie pasuje do rozkładu.\n\n**Trik:** średnia = \\(\\tfrac{\\sum(n_i\\cdot x_i)}{\\sum n_i}\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest\nrówna\nA. 3\nB. 3,12\nC. 3,5\nD. 4,1(6)\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 3 B. 3,12 C. 3,5 D. 4,1(6)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **54**\n\n## Sposób 1 - Zliczanie z podziałem na pozycje\n\nBudujemy czterocyfrową liczbę, wybierając kolejno każdą cyfrę. Cyfry do dyspozycji: \\(\\{2, 4, 7\\}\\).\n\n**Warunek parzystości:** liczba jest parzysta, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta.\nParzyste cyfry z naszego zbioru: \\(2\\) i \\(4\\) → **2 możliwości** na ostatnią pozycję.\n\nPozostałe trzy pozycje (tysiące, setki, dziesiątki) mogą być dowolną z trzech cyfr \\(\\{2, 4, 7\\}\\) → **3 możliwości** na każdą.\n\n\\[\n\\underbrace{3}_{\\text{tysiące}} \\times \\underbrace{3}_{\\text{setki}} \\times \\underbrace{3}_{\\text{dziesiątki}} \\times \\underbrace{2}_{\\text{jedności}} = 3^3 \\cdot 2 = 27 \\cdot 2 = \\mathbf{54}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Od wszystkich liczb, odejmując nieparzyste\n\nNajpierw liczymy **wszystkie** czterocyfrowe liczby zbudowane z cyfr \\(\\{2, 4, 7\\}\\) (bez żadnych ograniczeń):\n\n\\[\n3^4 = 81\n\\]\n\nLiczby **nieparzyste** kończą się cyfrą \\(7\\) (jedyna nieparzysta cyfra w zbiorze). Liczba takich liczb:\n\n\\[\n3^3 \\cdot 1 = 27\n\\]\n\n(3 wolne wybory na pierwsze trzy cyfry, ostatnia musi być \\(7\\))\n\nLiczby parzyste:\n\n\\[\n81 - 27 = \\mathbf{54}\n\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\\[n^k\\]\ngdzie \\(n\\) = liczba dostępnych elementów, \\(k\\) = liczba pozycji.\n\nUżyliśmy tego wzoru: na każdej z 3 swobodnych pozycji mamy \\(n = 3\\) cyfry do wyboru, więc \\(3^3 = 27\\) kombinacji. Na ostatniej pozycji \\(n = 2\\) (tylko cyfry parzyste).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((16)\\) | Uczeń myśli tylko o cyfrach parzystych \\(\\{2,4\\}\\) - na każdej pozycji 2 wybory: \\(2^4 = 16\\). Pomija, że cyfra \\(7\\) też może wystąpić na pierwszych trzech pozycjach. |\n| B \\((27)\\) | Uczeń oblicza \\(3^3 = 27\\) - zapomina o ostatniej cyfrze lub zakłada tylko 1 możliwość (np. tylko \\(2\\)) na ostatniej pozycji, albo wręcz zapomina sprawdzić warunek parzystości. |\n| D \\((81)\\) | Uczeń oblicza \\(3^4 = 81\\) - czyli wszystkie liczby z cyfr \\(\\{2,4,7\\}\\) **bez** warunku parzystości. Zupełnie pominął wymaganie \"parzyste\". |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parzyste = ostatnia cyfra parzysta. Sprawdź, które cyfry ze zbioru są parzyste - tu to \\(2\\) i \\(4\\), ale \\(7\\) jest nieparzyste. Nie wolno zapomnieć, że \\(7\\) może stać na pierwszych trzech pozycjach!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić: liczymy liczby z dokładnie cyframi \\(\\{2,4,7\\}\\) (mogą się powtarzać!), a nie permutacje bez powtórzeń. Skoro powtórzenia są dozwolone, używamy \\(n^k\\), nie \\(n!\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Całkowita liczba takich liczb to \\(3^4 = 81\\) (odpowiedź D) - to kuszące, ale to wynik bez uwzględnienia parzystości. Zawsze czytaj wszystkie warunki zadania!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nCyfry możliwe: \\(\\{2, 4, 7\\}\\). Parzystość decyduje ostatnia cyfra: \\(\\{2, 4\\}\\) (2 możliwości). Pozostałe 3 pozycje: po 3 możliwości każda.\n\\[3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 2 = 54.\\]\n\n### Sposób 2 - Zasada dopełnienia\nWszystkich liczb z cyfrą \\(\\{2,4,7\\}\\): \\(3^4 = 81\\). Parzystych (kończących się na 2 lub 4) to \\(\\tfrac{2}{3}\\) z nich: \\(81\\cdot \\tfrac{2}{3} = 54\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\)** - zbyt mało.\n- **B. \\(27 = 3^3\\)** - pominięto warunek parzystości.\n- **D. \\(81 = 3^4\\)** - wszystkie (również nieparzyste).\n\n**Trik:** parzystość liczby zależy tylko od ostatniej cyfry.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest\nA. 16\nB. 27\nC. 54\nD. 81\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 2, 4, 7 (np.: 7272, 2222, 7244), jest A. 16 B. 27 C. 54 D. 81","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - 12 kul białych\n\n## Sposób 1 - równanie z prawdopodobieństwa\n\n**Oznaczamy:** niech \\(n\\) = całkowita liczba kul w pudełku.\n\nWiemy, że kul czarnych jest \\(18\\), a prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi \\(\\dfrac{3}{5}\\).\n\nKorzystamy z definicji prawdopodobieństwa klasycznego:\n\n\\[P(\\text{czarna}) = \\frac{\\text{liczba kul czarnych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{18}{n}\\]\n\nUstawiamy równanie:\n\n\\[\\frac{18}{n} = \\frac{3}{5}\\]\n\nRozwiązujemy przez mnożenie krzyżowe:\n\n\\[3n = 18 \\cdot 5 = 90\\]\n\n\\[n = 30\\]\n\nZatem w pudełku jest łącznie \\(30\\) kul. Liczba kul białych:\n\n\\[\\text{białe} = n - 18 = 30 - 18 = \\mathbf{12}\\]\n\n## Sposób 2 - proporcja i rozumowanie przez część całości\n\nPrawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej kuli wynosi \\(\\dfrac{3}{5}\\), co oznacza, że **kule czarne stanowią \\(\\dfrac{3}{5}\\) wszystkich kul**.\n\nSkoro \\(\\dfrac{3}{5}\\) odpowiada \\(18\\) kulom, to obliczamy wartość \\(\\dfrac{1}{5}\\):\n\n\\[\\frac{1}{5} \\text{ całości} = \\frac{18}{3} = 6 \\text{ kul}\\]\n\nZatem całość (wszystkie kule):\n\n\\[5 \\cdot 6 = 30 \\text{ kul}\\]\n\nKule białe stanowią pozostałe \\(\\dfrac{2}{5}\\) całości:\n\n\\[\\frac{2}{5} \\cdot 30 = 2 \\cdot 6 = \\mathbf{12} \\text{ kul białych}\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(P(\\text{czarna}) = \\dfrac{18}{30} = \\dfrac{3}{5}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nGdzie \\(|A|\\) = liczba wyników sprzyjających (kule czarne = \\(18\\)), \\(|\\Omega|\\) = liczba wszystkich możliwych wyników (wszystkie kule = \\(n\\)). Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(9\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{3}{5} \\cdot 18 - 18 = 10{,}8 - 18\\) bez sensu, albo dzieli \\(18 : 2 = 9\\) myląc kule białe z \"różnicą\" |\n| C - \\(15\\) | Uczeń myśli, że skoro \\(P = \\dfrac{3}{5}\\), to kul białych jest \\(\\dfrac{2}{3} \\cdot 18 = 12\\) i się myli w przeliczeniu, albo liczy białe jako \\(\\dfrac{2}{3}\\) czarnych zamiast \\(\\dfrac{2}{3}\\) całości |\n| D - \\(30\\) | Uczeń poprawnie liczy **wszystkie** kule (\\(30\\)), ale zapomina, że pytanie dotyczy kul **białych**, nie sumy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie pyta o liczbę kul **białych** - wielu uczniów poprawnie wylicza \\(n = 30\\) (odpowiedź D) i tu kończy. Zawsze czytaj, o co dokładnie pyta zadanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: \\(\\dfrac{3}{5}\\) to ułamek **czarnych ze wszystkich**, nie czarnych z białych. Ustawienie proporcji \\(\\dfrac{18}{\\text{białe}} = \\dfrac{3}{2}\\) to błąd - to porównanie czarnych do białych, a nie do całości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu równania \\(\\dfrac{18}{n} = \\dfrac{3}{5}\\) nie odwracaj ułamków bez powodu - działaj konsekwentnie przez mnożenie krzyżowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nNiech \\(n\\) = wszystkie kule. \\(\\tfrac{18}{n} = \\tfrac{3}{5}\\) → \\(n = 30\\). Białych: \\(30 - 18 = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Dopełnienie\nPrawd. kuli białej = \\(1 - \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{2}{5}\\). \\(\\tfrac{b}{n} = \\tfrac{2}{5}\\) i \\(\\tfrac{18}{n} = \\tfrac{3}{5}\\). Stąd \\(\\tfrac{b}{18} = \\tfrac{2}{3}\\), czyli \\(b = 12\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\)** - dałoby \\(n=27\\), \\(\\tfrac{18}{27}=\\tfrac{2}{3}\\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n- **C. \\(15\\)** - dałoby \\(\\tfrac{18}{33}\\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n- **D. \\(30\\)** - to suma, nie białe.\n\n**Trik:** rozwiąż \\(\\tfrac{k}{n} = p\\) → \\(n = k/p\\), potem \\(\\text{białe} = n - k\\).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-1)\nW pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.\nZ tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną,\njest równe 3\n5\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa\nA. 9\nB. 12\nC. 15\nD. 30\n\nMMAP-P0_100\nW pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18. Z tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną, jest równe 3/5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa A. 9 B. 12 C. 15 D. 30","answer":"B","answer_text":"Zadanie 30. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{1}{3}, 3\\right)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej i wzór na pierwiastki\n\n**Krok 1: Rozwinięcie nawiasu i przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę**\n\n\\[x(3x - 1) + 4 < 7x\\]\n\\[3x^2 - x + 4 < 7x\\]\n\\[3x^2 - x - 7x + 4 < 0\\]\n\\[3x^2 - 8x + 4 < 0\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie wyróżnika**\n\nMamy trójmian \\(3x^2 - 8x + 4\\), gdzie \\(a = 3\\), \\(b = -8\\), \\(c = 4\\).\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 4 = 64 - 48 = 16\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie pierwiastków**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{1}{3}\\]\n\nUważnie:\n\n\\[x_1 = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} \\quad \\text{- STOP, policzmy jeszcze raz}\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-(-8) - \\sqrt{16}}{2 \\cdot 3} = \\frac{8 - 4}{6} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{-(-8) + \\sqrt{16}}{2 \\cdot 3} = \\frac{8 + 4}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\nHmm - zaraz, sprawdźmy raz jeszcze \\(x_1\\):\n\n\\[\\frac{4}{6} = \\frac{2}{3}\\]\n\nAle podstawmy \\(x = \\frac{2}{3}\\) do trójmianu: \\(3 \\cdot \\frac{4}{9} - 8 \\cdot \\frac{2}{3} + 4 = \\frac{4}{3} - \\frac{16}{3} + \\frac{12}{3} = \\frac{4 - 16 + 12}{3} = 0\\) ✓\n\nPodstawmy \\(x = 2\\): \\(3 \\cdot 4 - 8 \\cdot 2 + 4 = 12 - 16 + 4 = 0\\) ✓\n\nMamy więc \\(x_1 = \\frac{1}{3}\\)? Nie - wróćmy do pierwiastków. Wzór Viète'a: \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = \\frac{4}{3}\\) oraz \\(x_1 + x_2 = \\frac{8}{3}\\).\n\nSprawdzam: \\(\\frac{2}{3} \\cdot 2 = \\frac{4}{3}\\) ✓ i \\(\\frac{2}{3} + 2 = \\frac{8}{3}\\) ✓\n\nZatem \\(x_1 = \\frac{2}{3}\\), \\(x_2 = 2\\) - **obie wartości są pierwiastkami**.\n\nAle sprawdźmy jeszcze raz zadanie: \\(3x^2 - 8x + 4 < 0\\). Faktorizacja:\n\n\\[3x^2 - 8x + 4 = 3\\left(x - \\frac{2}{3}\\right)(x - 2) = (3x - 2)(x - 2)\\]\n\nSprawdzenie rozwinięcia: \\((3x-2)(x-2) = 3x^2 - 6x - 2x + 4 = 3x^2 - 8x + 4\\) ✓\n\n**Krok 4: Analiza znaku - parabola otwarta w górę (\\(a = 3 > 0\\))**\n\nParabola otwarta w górę przyjmuje wartości **ujemne między pierwiastkami**.\n\n\\[\\boxed{3x^2 - 8x + 4 < 0 \\iff \\frac{2}{3} < x < 2}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\)**\n\n## Sposób 2 - Faktoryzacja bezpośrednia\n\n**Krok 1: Sprowadzamy nierówność do postaci standardowej**\n\n\\[3x^2 - 8x + 4 < 0\\]\n\n**Krok 2: Rozkładamy trójmian na czynniki metodą „ac\"**\n\nSzukamy dwóch liczb, których iloczyn wynosi \\(a \\cdot c = 3 \\cdot 4 = 12\\), a suma \\(-8\\).\n\nTakie liczby to \\(-6\\) i \\(-2\\), bo \\((-6) \\cdot (-2) = 12\\) i \\((-6) + (-2) = -8\\).\n\nRozkładamy środkowy wyraz:\n\\[3x^2 - 6x - 2x + 4 < 0\\]\n\\[3x(x - 2) - 2(x - 2) < 0\\]\n\\[(3x - 2)(x - 2) < 0\\]\n\n**Krok 3: Analiza znaku iloczynu**\n\nIloczyn \\((3x-2)(x-2)\\) jest **ujemny**, gdy jeden czynnik jest dodatni, a drugi ujemny.\n\n| Przedział | \\(3x - 2\\) | \\(x - 2\\) | Iloczyn |\n| \\(x < \\frac{2}{3}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(\\frac{2}{3} < x < 2\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > 2\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\, 2\\right)\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik i pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nKluczowa zasada: **trójmian kwadratowy z \\(a > 0\\) przyjmuje wartości ujemne dokładnie między pierwiastkami**, czyli rozwiązaniem \\(ax^2 + bx + c < 0\\) jest przedział \\((x_1, x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie przenosząc wszystkiego na jedną stronę przed obliczaniem delty - to najczęstszy błąd. Upewnij się, że po prawej stronie nierówności stoi \\(0\\), zanim zaczniesz liczyć \\(\\Delta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\), rozwiązaniem nierówności \\(f(x) < 0\\) jest przedział **otwarty** \\((x_1, x_2)\\) - bez nawiasów kwadratowych, bo w pierwiastkach \\(f(x) = 0\\), a nie \\(< 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek nierówności przy mnożeniu/dzieleniu przez liczbę ujemną. Tu na szczęście sprowadzamy do \\(3x^2 - 8x + 4 < 0\\) bez takiego kroku - ale gdybyś mnożył przez ujemną, musisz odwrócić znak \\(<\\) na \\(>\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\left(\\dfrac{2}{3}, 2\\right)\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik \\(\\Delta\\)\nPrzekształcamy: \\(3x^2 - x + 4 < 7x \\Rightarrow 3x^2 - 8x + 4 < 0\\).\n\\(\\Delta = (-8)^2 - 4\\cdot 3\\cdot 4 = 64 - 48 = 16\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 4\\).\n\\[x_1 = \\dfrac{8-4}{6} = \\dfrac{2}{3},\\; x_2 = \\dfrac{8+4}{6} = 2.\\]\nPonieważ \\(a = 3 > 0\\), nierówność \\(< 0\\) zachodzi **między** pierwiastkami:\n\\[x \\in \\left(\\tfrac{2}{3}, 2\\right).\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład na czynniki\n\\(3x^2 - 8x + 4 = (3x - 2)(x - 2) < 0\\). Znaki czynników: \\(3x-2<0 \\wedge x-2>0\\) (sprzeczne) albo \\(3x-2>0 \\wedge x-2<0\\) → \\(\\tfrac{2}{3} < x < 2\\).\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: pierwiastki \\(x_1=\\tfrac{2}{3}\\), \\(x_2=2\\) oraz zbiór rozwiązań \\(\\left(\\tfrac{2}{3}, 2\\right)\\).\n- **1 pkt**: tylko pierwiastki lub tylko zbiór.\n- **0 pkt**: błędna metoda.\n\n**Trik:** parabola z \\(a>0\\) + nierówność \\(<0\\) → przedział **między** pierwiastkami (otwarty).","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że w pierwszym\nrzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.","answer":"(5)/(12)","answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 15\n36\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6 lub sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 15, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n36\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 5\n12\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 15\n36\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 5 i 12 lub 15 i 36 i z rozwiązania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟏\n𝟐\n𝐴\n𝟑\n𝐴\n𝐴\n𝟒\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝟓\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝟔\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 36.\nZdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 15.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 15\n36 = 5\n12\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n6 ⋅1\n6 + 1\n6 ⋅2\n6 + 1\n6 ⋅3\n6 + 1\n6 ⋅4\n6 + 1\n6 ⋅5\n6 = 15\n36 = 5\n12\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n1\n2\n1\n2\n3\n1\n2\n3\n4\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n4\n6\n5\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18\\]\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna z podwójnym pierwiastkiem\n\n**Kluczowa obserwacja:** Parabola ma z osiami układu współrzędnych **dokładnie dwa** punkty wspólne. Z osią \\(OY\\) każda parabola przecina się dokładnie raz (jeden punkt \\(M\\)), więc z osią \\(OX\\) może mieć już tylko **jeden** punkt wspólny - punkt \\(N\\).\n\nJeden punkt wspólny z osią \\(OX\\) oznacza, że \\(\\Delta = 0\\), czyli parabola jest **styczna** do osi \\(OX\\) w punkcie \\(N = (3, 0)\\).\n\nZatem \\(x = 3\\) jest podwójnym pierwiastkiem, więc:\n\\[f(x) = a(x - 3)^2\\]\n\nTeraz korzystamy z warunku \\(M = (0, 18)\\), czyli \\(f(0) = 18\\):\n\\[f(0) = a(0 - 3)^2 = 9a = 18\\]\n\\[\\boxed{a = 2}\\]\n\n**Wzór funkcji:**\n\\[f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\(f(0) = 2 \\cdot 9 = 18\\) ✓ - punkt \\(M = (0, 18)\\) leży na wykresie\n- \\(f(3) = 2 \\cdot 0 = 0\\) ✓ - punkt \\(N = (3, 0)\\) leży na wykresie\n- \\(\\Delta = (-12)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 18 = 144 - 144 = 0\\) ✓ - dokładnie jeden pierwiastek\n\n## Sposób 2 - Postać ogólna z układem równań\n\nPrzyjmijmy \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\). Mamy trzy warunki:\n\n**Warunek 1:** \\(M = (0, 18)\\) leży na wykresie:\n\\[f(0) = c = 18\\]\n\n**Warunek 2:** \\(N = (3, 0)\\) leży na wykresie:\n\\[f(3) = 9a + 3b + 18 = 0 \\implies 3a + b = -6\\]\n\n**Warunek 3:** Parabola ma z osią \\(OX\\) **dokładnie jeden** punkt wspólny, więc \\(\\Delta = 0\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = b^2 - 72a = 0 \\implies b^2 = 72a\\]\n\nZ warunku 2: \\(b = -6 - 3a\\). Podstawiamy do warunku 3:\n\\[(-6 - 3a)^2 = 72a\\]\n\\[36 + 36a + 9a^2 = 72a\\]\n\\[9a^2 - 36a + 36 = 0\\]\n\\[a^2 - 4a + 4 = 0\\]\n\\[(a - 2)^2 = 0 \\implies a = 2\\]\n\nStąd \\(b = -6 - 6 = -12\\), \\(c = 18\\).\n\n\\[\\boxed{f(x) = 2x^2 - 12x + 18}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n- Wyróżnik: \\(\\Delta = b^2 - 4ac\\)\n- \\(\\Delta = 0\\) - dokładnie jedno miejsce zerowe: \\(x_1 = x_2 = -\\dfrac{b}{2a}\\)\n- Postać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\)\n\nWłaśnie fakt \\(\\Delta = 0\\) był kluczem - pozwolił zapisać \\(f\\) w postaci \\(a(x-3)^2\\) i sprowadził problem do wyznaczenia jednej niewiadomej \\(a\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to przyjęcie, że parabola ma **dwa** pierwiastki (w tym \\(x = 3\\)), i próba dopisania drugiego. Treść wyraźnie mówi: parabola ma z **obiema osiami łącznie** tylko dwa punkty wspólne - jeden na \\(OY\\), jeden na \\(OX\\). Stąd \\(\\Delta = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj pochopnie, że parabola przecina \\(OX\\) w dwóch punktach - zadanie to klasyczna pułapka na ten właśnie błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj sprawdzić na koniec, czy \\(\\Delta = 0\\) faktycznie wychodzi z wyznaczonego wzoru. Jeśli nie - gdzieś popełniłeś błąd w obliczeniach.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(f(x) = 2(x-3)^2\\) lub równoważnie \\(f(x) = 2x^2 - 12x + 18\\).\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna (wierzchołek)\nSkoro \\(N=(3,0)\\) jest **jedynym** punktem wspólnym z osią \\(Ox\\), to jest to wierzchołek paraboli. Zatem:\n\\[f(x) = a(x-3)^2.\\]\nPunkt \\(M=(0,18)\\) leży na wykresie:\n\\[a(0-3)^2 = 18 \\Rightarrow 9a = 18 \\Rightarrow a = 2.\\]\nZatem \\(f(x) = 2(x-3)^2 = 2x^2 - 12x + 18\\).\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna + warunek \\(\\Delta = 0\\)\n\\(f(x) = ax^2 + bx + c\\). Z \\(M\\): \\(c = 18\\). \\(N=(3,0)\\) jedyne zero → \\(\\Delta = 0\\) i \\(x_0 = -\\tfrac{b}{2a} = 3\\).\nZ \\(\\Delta = b^2 - 4ac = 0\\) i \\(b = -6a\\): \\(36a^2 - 72a = 0 \\Rightarrow a(a-2) = 0 \\Rightarrow a = 2\\) (kwadratowa), \\(b = -12\\).\nZatem \\(f(x) = 2x^2 - 12x + 18\\).\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: poprawna metoda i wzór \\(f(x) = 2(x-3)^2\\) lub \\(2x^2-12x+18\\).\n- **1 pkt**: postać kanoniczna \\(f(x)=a(x-3)^2\\) ALBO \\(c=18\\) ALBO \\(\\Delta=0\\) ALBO \\(-\\tfrac{b}{2a}=3\\).\n\n**Trik:** jedyny punkt styku z \\(Ox\\) = wierzchołek → postać kanoniczna \\(a(x-p)^2\\) najkrótsza droga.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWłaściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu\nzmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że\ndzienny przychód 𝑃 ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny\nzestawu o 𝑥 zł, wyraża się wzorem\n𝑃(𝑥) = (70 -𝑥)(20 + 𝑥)\ngdzie 𝑥 jest liczbą całkowitą spełniającą warunki 𝑥≥0 i 𝑥≤60.\nUzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną\nspośród oznaczonych literami A-E.\n32.1.\nDzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy,\ngdy liczba 𝑥 jest równa\n32.2.\nDzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł,\ngdy liczba 𝑥 jest równa\nA. 25\nB. 30\nC. 45\nD. 50\nE. 60\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nWłaściciel sklepu z zabawkami przeprowadził lokalne badanie rynkowe dotyczące wpływu zmiany ceny zestawu klocków na liczbę kupujących ten produkt. Z badania wynika, że dzienny przychód~P ze sprzedaży zestawów klocków, w zależności od kwoty obniżki ceny zestawu o x zł, wyraża się wzorem P(x) = (70-x)(20+x) gdzie x jest liczbą całkowitą spełniającą warunki x≥0 i x≤60. Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A - E. 32.1 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie największy, gdy liczba x jest równa 32.2 Dzienny przychód ze sprzedaży zestawów klocków będzie równy 800 zł, gdy liczba x jest równa A. 25 B. 30 C. 45 D. 50 E. 60","answer":"A, E","answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - wybranie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n32.1. A\n32.2. E\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin dodatkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 5𝑛3 -5𝑛 do postaci 5𝑛(𝑛2 -1).\nZadanie 9.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 10.\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 do postaci\n4𝑥2(𝑥-3) -(𝑥-3) lub 𝑥(4𝑥2 -1) -3(4𝑥2 -1)\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 4𝑥3 -12𝑥2 -𝑥+ 3 = 0 .\nZadanie 11.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 14.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝑃𝐵 są podobne\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐵 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne.\nZadanie 24.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 14) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 14\n36) , to otrzymuje 2 punkty.","solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa - dowód przez uzupełnienie do pełnych kwadratów.\n\n## Sposób 1 - Uzupełnienie do pełnych kwadratów\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x^2 + 49y^2 - 2(x + 7y - 1) > 0\\]\n\n\\[x^2 + 49y^2 - 2x - 14y + 2 > 0\\]\n\n**Grupujemy wyrazy i uzupełniamy do kwadratów:**\n\n\\[\n\\underbrace{x^2 - 2x + 1}_{(x-1)^2} + \\underbrace{49y^2 - 14y + 1}_{(7y-1)^2} > 0\n\\]\n\nSprawdzamy, że rozpad jest poprawny:\n- \\(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\\) ✓\n- \\(49y^2 - 14y + 1 = (7y - 1)^2\\) ✓ &nbsp;&nbsp;(bo \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\))\n\nZatem lewa strona to:\n\n\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0\\]\n\n**Teraz uzasadniamy nierówność:**\n\n- Każdy kwadrat liczby rzeczywistej jest **nieujemny**: \\((x-1)^2 \\geq 0\\) oraz \\((7y-1)^2 \\geq 0\\).\n- Skoro \\(x \\neq 1\\), to \\(x - 1 \\neq 0\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\).\n\nSuma, w której jeden składnik jest dodatni, a drugi nieujemny, jest **dodatnia**:\n\n\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 \\geq (x-1)^2 > 0 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówności AM-GM (suma kwadratów i liniowych)\n\nKorzystamy z faktu, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \\(a\\) zachodzi:\n\n\\[a^2 + 1 \\geq 2a, \\quad \\text{bo } a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 \\geq 0\\]\n\nStosujemy tę nierówność dwa razy:\n\n**Dla \\(a = x\\):**\n\\[x^2 + 1 \\geq 2x\\]\nPonieważ \\(x \\neq 1\\), mamy \\((x-1)^2 > 0\\), więc nierówność jest **ostra**:\n\\[x^2 + 1 > 2x \\tag{1}\\]\n\n**Dla \\(a = 7y\\):**\n\\[(7y)^2 + 1 \\geq 2 \\cdot 7y\\]\n\\[49y^2 + 1 \\geq 14y \\tag{2}\\]\n\n**Dodajemy stronami (1) i (2):**\n\n\\[x^2 + 49y^2 + 2 > 2x + 14y\\]\n\n\\[x^2 + 49y^2 > 2x + 14y - 2\\]\n\n\\[x^2 + 49y^2 > 2(x + 7y - 1) \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nUżyliśmy go w obu sposobach - przy uzupełnianiu do pełnych kwadratów:\n- \\((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\\)\n- \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\)\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „\\((x-1)^2 + (7y-1)^2 \\geq 0\\)\" - nierówność nieostra nie dowodzi nierówności ostrej. Musisz **osobno wskazać**, że \\((x-1)^2 > 0\\), bo \\(x \\neq 1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to pominięcie warunku \\(x \\neq 1\\) w uzasadnieniu. Gdyby \\(x = 1\\) i jednocześnie \\(y = \\frac{1}{7}\\), to \\((x-1)^2 + (7y-1)^2 = 0\\) i nierówność **nie byłaby prawdziwa** - właśnie dlatego ten warunek jest w treści zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do kwadratów zawsze sprawdź rachunkowo, że rozwinięcie się zgadza - tu: \\((7y-1)^2 = 49y^2 - 14y + 1\\), nie \\(49y^2 - 7y + 1\\). Błąd w czynniku przy \\(y\\) to najpopularniejsza pomyłka.\n\n**Poprawna odpowiedź:** nierówność wynika z sumy dwóch kwadratów.\n\n### Sposób 1 - Suma kwadratów (karta wzorów \\((a\\pm b)^2\\))\nPrzekształcamy równoważnie:\n\\[x^2 + 49y^2 > 2x + 14y - 2\\]\n\\[x^2 - 2x + 1 + 49y^2 - 14y + 1 > 0\\]\n\\[(x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0.\\]\nZ założenia \\(x \\ne 1\\), więc \\((x-1)^2 > 0\\). \\((7y-1)^2 \\ge 0\\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Nierówność prawdziwa.\n\n### Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\)\n\\(x^2 - 2x + (49y^2 - 14y + 2)\\). Wyróżnik:\n\\(\\Delta = 4 - 4(49y^2 - 14y + 2) = -4(49y^2 - 14y + 1) = -4(7y-1)^2 \\le 0\\).\nGdy \\(y \\ne \\tfrac{1}{7}\\): \\(\\Delta < 0\\), trójmian dodatni dla każdego \\(x\\).\nGdy \\(y = \\tfrac{1}{7}\\): \\(\\Delta = 0\\), trójmian zeruje się tylko dla \\(x = 1\\); dla \\(x \\ne 1\\) dodatni. c.n.d.\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: pełne uzasadnienie.\n- **1 pkt**: przekształcenie do \\((x-1)^2 + (7y-1)^2 > 0\\) bez uzasadnienia.\n\n**Trik:** gdy nierówność \"kwadratowa + stała\", próbuj uzupełnić do sumy kwadratów - niemal zawsze działa.","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Bok kwadratu ABCD ma długość równą 12 . Punkt S jest środkiem boku BC tego kwadratu. Na odcinku AS leży punkt P taki, że odcinek BP jest prostopadły do odcinka AS . Oblicz długość odcinka BP.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(BP = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych + prostopadłość wektorów\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych** z wierzchołkiem \\(A\\) w początku:\n\n\\[A = (0, 0),\\quad B = (12, 0),\\quad C = (12, 12),\\quad D = (0, 12)\\]\n\nPunkt \\(S\\) - środek \\(BC\\):\n\n\\[S = \\left(12,\\ 6\\right)\\]\n\n**Wyznaczamy prostą \\(AS\\)** (parametrycznie):\n\n\\[\\vec{AS} = (12, 6) \\implies \\text{wektor kierunkowy: } (2, 1)\\]\n\n\\[(x, y) = t \\cdot (12, 6) = (12t,\\ 6t), \\quad t \\in [0, 1]\\]\n\n**Warunek prostopadłości** \\(BP \\perp AS\\): wektor \\(\\vec{BP}\\) musi być prostopadły do \\((2, 1)\\), czyli musi mieć kierunek \\((1, -2)\\).\n\nProsta \\(BP\\) przez \\(B = (12, 0)\\):\n\n\\[(x, y) = (12, 0) + s \\cdot (1, -2) = (12 + s,\\ -2s)\\]\n\n**Szukamy punktu przecięcia** \\(P\\):\n\n\\[\\begin{cases} 12t = 12 + s \\\\ 6t = -2s \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania: \\(s = -3t\\). Podstawiamy:\n\n\\[12t = 12 + (-3t) \\implies 15t = 12 \\implies t = \\frac{4}{5}\\]\n\nZatem: \\(s = -\\dfrac{12}{5}\\)\n\n**Obliczamy \\(|BP|\\)**:\n\n\\[P = \\left(\\frac{48}{5},\\ \\frac{24}{5}\\right), \\quad B = \\left(\\frac{60}{5},\\ 0\\right)\\]\n\n\\[|BP| = \\sqrt{\\left(\\frac{60}{5} - \\frac{48}{5}\\right)^2 + \\left(0 - \\frac{24}{5}\\right)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{12}{5}\\right)^2 + \\left(\\frac{24}{5}\\right)^2}\\]\n\n\\[= \\sqrt{\\frac{144 + 576}{25}} = \\sqrt{\\frac{720}{25}} = \\frac{\\sqrt{720}}{5} = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{|BP| = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole trójkąta (metoda wysokości)\n\n**Kluczowa obserwacja:** W trójkącie \\(ABS\\) mamy:\n- \\(AB = 12\\) (bok kwadratu, poziomy),\n- \\(BS = 6\\) (połowa boku \\(BC\\), pionowy),\n- kąt \\(\\angle ABSs = 90°\\) (bo \\(AB \\perp BC\\) - boki kwadratu!).\n\nTrójkąt \\(ABS\\) jest **prostokątny przy \\(B\\)**.\n\n**Pole trójkąta \\(ABS\\)** obliczamy z przyprostokątnych:\n\n\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |BS| = \\frac{1}{2} \\cdot 12 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Długość \\(AS\\)** (z Pitagorasa):\n\n\\[|AS| = \\sqrt{12^2 + 6^2} = \\sqrt{144 + 36} = \\sqrt{180} = 6\\sqrt{5}\\]\n\n**To samo pole** wyrazimy inaczej: \\(BP\\) jest wysokością trójkąta \\(ABS\\) opuszczoną z \\(B\\) na \\(AS\\) (bo \\(BP \\perp AS\\)):\n\n\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BP|\\]\n\n\\[36 = \\frac{1}{2} \\cdot 6\\sqrt{5} \\cdot |BP| = 3\\sqrt{5} \\cdot |BP|\\]\n\n\\[|BP| = \\frac{36}{3\\sqrt{5}} = \\frac{12}{\\sqrt{5}} = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}\\]\n\n\\[\\boxed{|BP| = \\frac{12\\sqrt{5}}{5}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|AS| = \\sqrt{12^2 + 6^2} = 6\\sqrt{5}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nW Sposobie 2 obliczyliśmy pole na dwa różne sposoby i przyrównaliśmy - to klasyczna technika wyznaczania wysokości z pola.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wiele osób oblicza \\(|AS|\\) poprawnie jako \\(6\\sqrt{5}\\), ale potem zapomina, że \\(P\\) leży **na \\(AS\\)**, nie że \\(BP = AS\\). To dwa różne odcinki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest dostrzeżenie, że kąt \\(\\angle ABSs = 90°\\) (bo \\(AB\\) i \\(BS\\) są fragmentami prostopadłych boków kwadratu). Bez tego Sposób 2 nie zadziała.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\dfrac{12}{\\sqrt{5}}\\) i \\(\\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\) to **to samo** - zawsze racjonalizujemy mianownik, mnożąc licznik i mianownik przez \\(\\sqrt{5}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|BP| = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\).\n\n### Sposób 1 - Wysokość w trójkącie prostokątnym\n\\(S\\) środek \\(BC\\), więc \\(|BS|=6\\). Trójkąt \\(ABS\\) prostokątny przy \\(B\\) (bok kwadratu ⊥ bok kwadratu).\nZ twierdzenia Pitagorasa: \\(|AS|^2 = 12^2 + 6^2 = 180 \\Rightarrow |AS| = 6\\sqrt{5}\\).\nOdcinek \\(BP\\) to wysokość trójkąta \\(ABS\\) opuszczona na przeciwprostokątną \\(AS\\). Ze wzoru \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{przyp.}_1\\cdot\\text{przyp.}_2 = \\tfrac{1}{2}\\cdot\\text{przeciwpr.}\\cdot h\\):\n\\[|BP| = \\dfrac{|AB|\\cdot|BS|}{|AS|} = \\dfrac{12\\cdot 6}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}.\\]\n\n### Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\n\\(\\triangle ABS\\) i \\(\\triangle BPS\\) podobne (kąt prosty + wspólny \\(\\angle S\\)). Stąd \\(\\tfrac{BP}{AB} = \\tfrac{BS}{AS}\\):\n\\[|BP| = 12\\cdot \\dfrac{6}{6\\sqrt{5}} = \\dfrac{12}{\\sqrt{5}} = \\dfrac{12\\sqrt{5}}{5}.\\]\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: poprawny wynik \\(\\tfrac{12\\sqrt{5}}{5}\\).\n- **1 pkt**: \\(|AS| = 6\\sqrt{5}\\) ALBO równość \\(|AP|=2|BP|\\) lub podobnej relacji.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym \\(h = \\tfrac{a\\cdot b}{c}\\), gdzie \\(c\\) - przeciwprostokątna.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Trzywyrazowy ciąg (\\(4x^{2}\\) -1, \\(2x^{2}\\) + 1, 1 -x) jest arytmetyczny. Oblicz x.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek ciągu arytmetycznego (równe różnice)\n\nW ciągu arytmetycznym każda kolejna różnica jest taka sama:\n\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy wyrazy:\n\n\\[(2x^2 + 1) - (4x^2 - 1) = (1 - x) - (2x^2 + 1)\\]\n\nUpraszczamy obie strony:\n\n\\[-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\]\n\nDodajemy \\(2x^2\\) do obu stron:\n\n\\[2 = -x\\]\n\n\\[\\boxed{x = -2}\\]\n\n**Sprawdzenie** (podstawiamy \\(x = -2\\)):\n- \\(a_1 = 4 \\cdot 4 - 1 = 15\\)\n- \\(a_2 = 2 \\cdot 4 + 1 = 9\\)\n- \\(a_3 = 1 - (-2) = 3\\)\n\nRóżnica: \\(9 - 15 = -6\\), \\(3 - 9 = -6\\). ✓ Ciąg \\((15, 9, 3)\\) jest arytmetyczny z różnicą \\(r = -6\\).\n\n## Sposób 2 - Środkowy wyraz jako średnia arytmetyczna sąsiadów\n\nW ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest **średnią arytmetyczną** dwóch sąsiednich wyrazów:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\n\\[2x^2 + 1 = \\frac{(4x^2 - 1) + (1 - x)}{2}\\]\n\n\\[2x^2 + 1 = \\frac{4x^2 - x}{2}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[4x^2 + 2 = 4x^2 - x\\]\n\n\\[2 = -x\\]\n\n\\[\\boxed{x = -2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - definicja ciągu arytmetycznego:\n\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\n\nczyli środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów - tego użyliśmy w Sposobie 2.\n\nRównoważnie: stała różnica \\(a_n - a_{n-1} = r\\) - tego użyliśmy w Sposobie 1.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapisanie warunku jako \\(a_1 - a_2 = a_2 - a_3\\) (odwrócona kolejność odjemnika) - wtedy dostajemy tę samą równanie, więc wynik i tak jest dobry, ALE jeśli wyrażenia są bardziej złożone, pomylenie kolejności może dać błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\) - uczeń często boi się, że „\\(x^2\\) się nie upraszcza\" i szuka delty. Tu \\(x^2\\) **odejmuje się** z obu stron i zostaje równanie liniowe!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj wynik - podstaw \\(x\\) i oblicz wszystkie trzy wyrazy. Ciąg arytmetyczny jest poprawny tylko gdy obie różnice są **dokładnie równe**.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -2\\).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu\nW ciągu arytmetycznym \\(a_2 = \\tfrac{a_1 + a_3}{2}\\):\n\\[2x^2 + 1 = \\dfrac{(4x^2 - 1) + (1 - x)}{2} = \\dfrac{4x^2 - x}{2}.\\]\n\\[2(2x^2 + 1) = 4x^2 - x\\]\n\\[4x^2 + 2 = 4x^2 - x \\Rightarrow x = -2.\\]\n\n### Sposób 2 - Równe różnice\n\\(a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\):\n\\[(2x^2+1) - (4x^2-1) = (1-x) - (2x^2+1)\\]\n\\[-2x^2 + 2 = -2x^2 - x\\]\n\\[2 = -x \\Rightarrow x = -2.\\]\n\n### Weryfikacja\n\\(x=-2\\): ciąg \\((15, 9, 3)\\) - różnica \\(-6\\) ✓.\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: \\(x = -2\\).\n- **1 pkt**: zapisanie równania \\(\\tfrac{4x^2-1+1-x}{2} = 2x^2+1\\) albo \\((2x^2+1)-(4x^2-1) = (1-x)-(2x^2+1)\\).\n\n**Trik:** ciąg arytmetyczny → środkowy wyraz = średnia dwóch pozostałych.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"35","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie wypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{5}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie bezpośrednie (przestrzeń zdarzeń)\n\n**Przestrzeń zdarzeń** to wszystkie możliwe wyniki dwukrotnego rzutu kostką.\n\nKażdy rzut daje 6 możliwości, więc łącznie:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Szukamy zdarzeń, gdzie pierwszy rzut > drugi rzut.**\n\nUkładamy tablicę korzystną (pierwsza liczba > druga):\n\n| Pierwszy rzut | Drugi rzut (możliwe) | Liczba par |\n| 1 | - (brak) | 0 |\n| 2 | 1 | 1 |\n| 3 | 1, 2 | 2 |\n| 4 | 1, 2, 3 | 3 |\n| 5 | 1, 2, 3, 4 | 4 |\n| 6 | 1, 2, 3, 4, 5 | 5 |\n\nŁączna liczba wyników korzystnych:\n\\[|A| = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\\]\n\n**Prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\):**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{15}{36} = \\frac{5}{12}}\\]\n\n## Sposób 2 - Argument symetrii (elegancki trick)\n\nZamiast liczyć wprost, korzystamy z **symetrii doświadczenia**.\n\nDla każdej pary \\((i, j)\\) gdzie \\(i \\neq j\\), dokładnie jedno z dwóch zdarzeń zachodzi:\n- albo \\(i > j\\) (pierwszy rzut większy),\n- albo \\(i < j\\) (drugi rzut większy).\n\nPonieważ kostka jest **symetryczna**, te dwa zdarzenia mają jednakowe prawdopodobieństwa:\n\\[P(\\text{pierwszy} > \\text{drugi}) = P(\\text{pierwszy} < \\text{drugi})\\]\n\nTrzecia możliwość to remis (\\(i = j\\)):\n\\[P(\\text{remis}) = \\frac{6}{36} = \\frac{1}{6}\\]\n\n(Remis to pary: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).)\n\nZ zasady prawdopodobieństwa całkowitego:\n\\[P(A) + P(\\text{remis}) + P(\\text{drugi} > \\text{pierwszy}) = 1\\]\n\\[2P(A) + \\frac{1}{6} = 1\\]\n\\[2P(A) = \\frac{5}{6}\\]\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{5}{12}}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzenie poprawności**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1: liczymy liczbę wyników korzystnych \\(|A| = 15\\) i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników \\(|\\Omega| = 36\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że przestrzeń zdarzeń ma \\(6 + 6 = 12\\) elementów - dwa rzuty dają \\(6 \\times 6 = 36\\) par, bo **kolejność ma znaczenie** (rzut pierwszy i drugi to różne zdarzenia).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć o parach z remisem i błędnie liczyć \\(\\frac{15}{30} = \\frac{1}{2}\\). Pary \\(i = j\\) też wchodzą do przestrzeni zdarzeń i **redukują** prawdopodobieństwo poniżej \\(\\frac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Argument symetrii działa tylko dlatego, że kostka jest **symetryczna** (każdy wynik jednakowo prawdopodobny). Dla kostki obciążonej ta metoda zawodzi.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}\\).\n\n### Sposób 1 - Zliczanie zdarzeń sprzyjających\n\\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\). Zdarzenia \\(A\\): pierwszy wynik > drugi. Liczba par z \\(a > b\\) to \\(\\binom{6}{2} = 15\\) (dla każdej pary cyfr istnieje dokładnie jedno ustawienie z większą pierwszą).\n\\[P(A) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Symetria\nZdarzenia: \\(a>b\\), \\(a=b\\), \\(a<b\\). Z symetrii \\(P(a>b) = P(a<b)\\). \\(P(a=b) = \\tfrac{6}{36} = \\tfrac{1}{6}\\). Zatem \\(P(A) = \\tfrac{1}{2}\\left(1 - \\tfrac{1}{6}\\right) = \\tfrac{5}{12}\\).\n\n### Sposób 3 - Drzewo stochastyczne\nDla pierwszego rzutu \\(k \\in \\{2,3,4,5,6\\}\\), sprzyjająco w drugim \\(k-1\\) wartości:\n\\[P(A) = \\dfrac{1}{6}\\left(\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{2}{6} + \\dfrac{3}{6} + \\dfrac{4}{6} + \\dfrac{5}{6}\\right) = \\dfrac{15}{36} = \\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **2 pkt**: \\(P(A) = \\tfrac{15}{36} = \\tfrac{5}{12}\\).\n- **1 pkt**: zdarzenia elementarne lub \\(|A|=15\\) lub \\(P(A) = \\tfrac{15}{36}\\) bez uproszczenia.\n\n**Trik:** przy dwóch niezależnych rzutach i nierówności surowej: \\(P = \\tfrac{1-P(\\text{równości})}{2}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) dane są punkty A= (2, 8) oraz B= (10, 2) Symetralna odcinka AB przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie P . Oblicz współrzędne punktu P oraz obwód trójkąta ABP","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(P = \\left(\\frac{9}{4},\\ 0\\right)\\), obwód trójkąta \\(ABP = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Środek odcinka + prosta prostopadła\n\n**Krok 1: Wyznaczamy środek odcinka AB**\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):\n\\[M = \\left(\\frac{2+10}{2},\\ \\frac{8+2}{2}\\right) = (6,\\ 5)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy nachylenie prostej AB**\n\n\\[k_{AB} = \\frac{2 - 8}{10 - 2} = \\frac{-6}{8} = -\\frac{3}{4}\\]\n\n**Krok 3: Nachylenie symetralnej**\n\nSymetralna jest prostopadła do \\(AB\\), więc:\n\\[k_s = -\\frac{1}{k_{AB}} = -\\frac{1}{-\\frac{3}{4}} = \\frac{4}{3}\\]\n\n**Krok 4: Równanie symetralnej**\n\nSymetralna przechodzi przez \\(M = (6, 5)\\) z nachyleniem \\(\\frac{4}{3}\\):\n\\[y - 5 = \\frac{4}{3}(x - 6)\\]\n\\[y = \\frac{4}{3}x - 8 + 5\\]\n\\[y = \\frac{4}{3}x - 3\\]\n\n**Krok 5: Punkt P - przecięcie z osią Ox**\n\nNa osi \\(Ox\\) mamy \\(y = 0\\):\n\\[0 = \\frac{4}{3}x - 3 \\implies \\frac{4}{3}x = 3 \\implies x = \\frac{9}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\left(\\frac{9}{4},\\ 0\\right)}\\]\n\n**Krok 6: Obliczamy długości boków trójkąta**\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(10-2)^2 + (2-8)^2} = \\sqrt{64 + 36} = \\sqrt{100} = 10\\]\n\nPonieważ \\(P\\) leży na symetralnej odcinka \\(AB\\), to \\(|PA| = |PB|\\) - wystarczy policzyć jeden z nich.\n\n\\[|PA| = \\sqrt{\\left(\\frac{9}{4} - 2\\right)^2 + (0 - 8)^2} = \\sqrt{\\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + 64} = \\sqrt{\\frac{1}{16} + \\frac{1024}{16}} = \\sqrt{\\frac{1025}{16}}\\]\n\n\\[1025 = 25 \\cdot 41 \\implies \\sqrt{\\frac{1025}{16}} = \\frac{5\\sqrt{41}}{4}\\]\n\n**Krok 7: Obwód trójkąta**\n\n\\[L = |AB| + |PA| + |PB| = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{4} + \\frac{5\\sqrt{41}}{4} = 10 + \\frac{10\\sqrt{41}}{4}\\]\n\n\\[\\boxed{L = 10 + \\frac{5\\sqrt{41}}{2} = \\frac{20 + 5\\sqrt{41}}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Równanie okręgu (metoda algebraiczna)\n\nSymetralna odcinka \\(AB\\) to zbiór punktów jednakowo oddalonych od \\(A\\) i \\(B\\). Punkt \\(P = (x, 0)\\) leży na osi \\(Ox\\), więc szukamy \\(x\\) takiego, że \\(|PA|^2 = |PB|^2\\):\n\n\\[(x-2)^2 + (0-8)^2 = (x-10)^2 + (0-2)^2\\]\n\\[x^2 - 4x + 4 + 64 = x^2 - 20x + 100 + 4\\]\n\\[-4x + 68 = -20x + 104\\]\n\\[16x = 36\\]\n\\[x = \\frac{36}{16} = \\frac{9}{4}\\]\n\nWynik taki sam: \\(P = \\left(\\frac{9}{4}, 0\\right)\\) ✓\n\n**Weryfikacja symetralnej:** \\(|PA|^2 = \\left(\\frac{1}{4}\\right)^2 + 64 = \\frac{1025}{16}\\), \\(|PB|^2 = \\left(\\frac{31}{4}\\right)^2 + 4 = \\frac{961}{16} + \\frac{64}{16} = \\frac{1025}{16}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AB|\\), \\(|PA|\\), \\(|PB|\\).\n\nŚrodek odcinka (w Sposobie 1):\n\\[x_M = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nWarunek prostopadłości prostych (w Sposobie 1):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte do wyznaczenia nachylenia symetralnej z nachylenia \\(AB\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetralna to prosta **prostopadła do AB** przechodząca przez jego środek - nie mylić ze środkową trójkąta ani z prostą równoległą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(1025 = 25 \\cdot 41\\), więc \\(\\sqrt{1025} = 5\\sqrt{41}\\) - zawsze szukaj czynnika będącego pełnym kwadratem, by uprościć pierwiastek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 można zaoszczędzić czas, korzystając z własności symetralnej (\\(|PA| = |PB|\\)) - nie trzeba liczyć obu odcinków osobno, wystarczy jeden. Skoro \\(P\\) leży na symetralnej, równość \\(|PA| = |PB|\\) jest gwarantowana z definicji.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P = \\left(\\dfrac{9}{4}, 0\\right)\\), obwód \\(L = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie symetralnej\nŚrodek \\(M = \\left(\\tfrac{2+10}{2}, \\tfrac{8+2}{2}\\right) = (6, 5)\\).\nWspółczynnik kierunkowy \\(AB\\): \\(a_{AB} = \\tfrac{2-8}{10-2} = -\\tfrac{3}{4}\\). Symetralna ⊥ \\(AB\\), więc \\(a_k = \\tfrac{4}{3}\\).\nRównanie symetralnej: \\(y - 5 = \\tfrac{4}{3}(x - 6) \\Rightarrow y = \\tfrac{4}{3}x - 3\\).\nPrzecięcie z \\(Ox\\) (\\(y=0\\)): \\(0 = \\tfrac{4}{3}x - 3 \\Rightarrow x = \\tfrac{9}{4}\\). Zatem \\(P = \\left(\\tfrac{9}{4}, 0\\right)\\).\n\nDługości boków:\n\\(|AP| = |BP| = \\sqrt{\\left(\\tfrac{9}{4} - 2\\right)^2 + (0-8)^2} = \\sqrt{\\tfrac{1}{16} + 64} = \\sqrt{\\tfrac{1025}{16}} = \\tfrac{5\\sqrt{41}}{4}\\).\n\\(|AB| = \\sqrt{8^2 + 6^2} = 10\\).\n\\[L = 2\\cdot \\tfrac{5\\sqrt{41}}{4} + 10 = \\dfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10.\\]\n\n### Sposób 2 - \\(|AP| = |BP|\\)\nPunkt \\(P = (x_p, 0)\\) leży na osi \\(Ox\\) i jednakowo odległy od \\(A\\), \\(B\\):\n\\[(x_p - 2)^2 + 64 = (x_p - 10)^2 + 4\\]\n\\[-4x_p + 68 = -20x_p + 104 \\Rightarrow 16x_p = 36 \\Rightarrow x_p = \\tfrac{9}{4}.\\]\n\n### CKE - Zasady punktacji\n- **5 pkt**: \\(P = \\left(\\tfrac{9}{4}, 0\\right)\\) i \\(L = \\tfrac{5\\sqrt{41}}{2} + 10\\).\n- **4 pkt**: współrzędne \\(P\\) + jeden bok \\(AB\\) lub \\(AP\\).\n- **3 pkt**: \\(|AB|=10\\) + równanie symetralnej/warunek.\n- **2 pkt**: \\(|AB|=10\\) + jeden dodatkowy krok.\n- **1 pkt**: np. \\(|AB|=10\\) LUB \\(M=(6,5)\\) LUB \\(a_{AB}=-\\tfrac{3}{4}\\).\n\n**Trik:** symetralna = zbiór punktów równoodległych od końców odcinka; bezpośrednio daje równanie \\(|AP|=|BP|\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}