{"paper":{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW chwili początkowej (𝑡= 0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział\nzwiązek A.\nW wyniku tej reakcji masa 𝑚 związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością\n𝑚(𝑡) = 𝑎⋅2-0,05⋅𝑡+ 𝑏 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑚 - masa związku A wyrażona w gramach,\n𝑡\n- czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili 𝑡= 0),\n𝑎, 𝑏 - współczynniki liczbowe.\nMasa początkowa związku A (tj. masa w chwili 𝑡= 0) była równa 𝑚0 gramów.\nPo osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy 𝑡→∞) masa tego związku była równa 1\n9 jego\nmasy początkowej (zobacz rysunek).\nOblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało\n𝟖𝟕, 𝟓 % masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.\n𝑡\n0\n𝑚0\n𝑚\n1\n9 𝑚0\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW chwili początkowej (t=0) zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa m związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością m(t) = a⋅2^(-0,05⋅t) + b dla t≥0 gdzie: m - masa związku A wyrażona w gramach, t - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili t=0), a,b - współczynniki liczbowe. Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili t=0) była równa m_0 gramów. Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy t→∞) masa tego związku była równa 1/9 jego masy początkowej (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5% masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną, w tym ich wykresami, do\nopisu i interpretacji zagadnień związanych\nz zastosowaniami praktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 120 sekund.\n1 pkt - wyznaczenie współczynnika 𝑏: 𝑏= 1\n9 𝑚0\nALBO\n- zapisanie związku 𝑎+ 𝑏= 𝑚0 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A była równa 1\n9 𝑚0 , więc\n1\n9 𝑚0 = lim\n𝑡→+∞𝑚(𝑡) = lim\n𝑡→+∞𝑎⋅2-0,05⋅𝑡+ 𝑏= 0 + 𝑏= 𝑏\nStąd i z warunku 𝑚(0) = 𝑚0 otrzymujemy\n𝑚0 = 𝑎⋅2-0,05⋅0 + 1\n9 𝑚0\nczyli 𝑎= 8\n9 𝑚0 .\nObliczamy czas, po którym pozostało 12,5% początkowej masy związku A:\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1\n8 𝑚0 = 8\n9 𝑚0 ⋅2-0,05⋅𝑡+ 1\n9 𝑚0 /: 𝑚0\n1\n72 = 8\n9 ⋅2-0,05⋅𝑡\n2-6 = 2-0,05⋅𝑡\n6 = 0,05𝑡\n𝑡= 120\nZatem po 120 sekundach przereaguje 87,5% masy początkowej związku A.","solution":"$120$ sekund","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nOblicz granicę\nlim\n𝑥→3- |𝑥-3|\n𝑥2 -9\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nOblicz granicę lim{x→3^-} |x-3| / x^2-9 Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R1) oblicza granice funkcji (w tym\njednostronne).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: (-1\n6).\n1 pkt - zapisanie wyrażenia |𝑥-3|\n𝑥2-9 w postaci -1\n𝑥+3 , gdzie 𝑥∈(-3, 3)\nALBO\n- zapisanie wyrażenia | |𝑥 - 3|\n𝑥2 - 9 + 1\n6 | w postaci 1\n6 ⋅| 𝑥 - 3\n𝑥 + 3 |, gdzie 𝑥∈(-3, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie |𝑥-3|\n𝑥2-9 , korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów i definicji\nwartości bezwzględnej:\n|𝑥-3|\n𝑥2 -9 =\n-(𝑥-3)\n(𝑥-3)(𝑥+ 3) = -1\n𝑥+ 3\ndla każdego 𝑥∈(-3, 3).\nPonieważ lim\n𝑥→3-(𝑥+ 3) = 6 oraz lim\n𝑥→3-(-1) = -1, więc\nlim\n𝑥→3- |𝑥-3|\n𝑥2 -9 = -1\n6\nSposób II\nNiech 𝜖 będzie dowolną liczbą dodatnią. Oznaczmy 𝛿= 6𝜖\n1+𝜖 . Wtedy 𝛿> 0 i 𝛿< 6.\nNiech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek -𝛿< 𝑥-3 < 0.\nWówczas\n|𝑥-3|\n𝑥2 -9 + 1\n6| = |\n-(𝑥-3)\n(𝑥-3)(𝑥+ 3) + 1\n6| = | -1\n𝑥+ 3 + 1\n6| = 1\n6 ⋅|𝑥-3\n𝑥+ 3| < 1\n6 ⋅\n𝛿\n|𝑥+ 3| <\n< 1\n6 ⋅\n𝛿\n6 -𝛿= 1\n6 ⋅\n6𝜖\n1 + 𝜖\n6 -\n6𝜖\n1 + 𝜖\n= 1\n6 ⋅6𝜖\n6 < 𝜖\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem dla każdego 𝜖> 0 istnieje 𝛿> 0 takie, że dla każdego 𝑥 spełniającego warunek\n-𝛿< 𝑥-3 < 0 zachodzi\n||𝑥-3|\n𝑥2 -9 + 1\n6| < 𝜖\nTo oznacza, że\nlim\n𝑥→3- |𝑥-3|\n𝑥2 -9 = -1\n6","solution":"$-\\dfrac{1}{6}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 2𝑥+1\n𝑥-4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠4.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkt 𝑃= (𝑥0 , 5) należy do wykresu\nfunkcji 𝑓.\nOblicz 𝒙𝟎 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji 𝒇 w punkcie 𝑷.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x)= 2x+1/x-4 dla każdej liczby rzeczywistej x≠4. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P=(x_0,5) należy do wykresu funkcja f. Oblicz x_0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥0 = 7 oraz 𝑦= -𝑥+ 12 (lub\n𝑦= -(𝑥-7) + 5).\n2 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃 i wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥0 = 7 oraz\n𝑓′(𝑥) = 2⋅(𝑥 - 4) - (2𝑥 + 1)⋅1\n(𝑥 - 4)2\n1 pkt - obliczenie odciętej punktu 𝑃: 𝑥0 = 7\nALBO\n- wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓: 𝑓′(𝑥) = 2⋅(𝑥 - 4) - (2𝑥 + 1)⋅1\n(𝑥 - 4)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy odciętą 𝑥0 punktu 𝑃:\n5 = 2𝑥0 + 1\n𝑥0 -4\n5𝑥0 -20 = 2𝑥0 + 1\n𝑥0 = 7\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 2(𝑥-4) -(2𝑥+ 1) ⋅1\n(𝑥-4)2\n𝑓′(𝑥) =\n-9\n(𝑥-4)2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy równanie kierunkowe 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 stycznej do wykresu funkcji 𝑓\nw punkcie 𝑃. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(7) = -1\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n5 = -1 ∙7 + 𝑏\n𝑏= 12\nStyczna ma równanie 𝑦= -𝑥+ 12.","solution":"$y = -x + 12$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nDoświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu\nlosowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie\ntrzy razy. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nDoświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R1) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n15 .\n2 pkt - zapisanie liczby elementów zbioru 𝐴∩𝐵 i wyznaczenie/zapisanie liczby elementów\nzbioru 𝐵: |𝐴∩𝐵| = 8 i |𝐵| = (10\n3 )\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzeń 𝐴∩𝐵 oraz 𝐵:\n𝑃(𝐴∩𝐵) = 8\n210 oraz 𝑃(𝐵) =\n(10\n3 )\n210 .\n1 pkt - zapisanie liczby elementów zbioru 𝐴∩𝐵: 8\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie liczby elementów zbioru 𝐵, np. (10\n3 ),\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐵, np. 𝑃(𝐵) =\n(10\n3 )\n210 ,\nALBO\n- wyznaczenie/zapisanie prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴∩𝐵, np. 𝑃(𝐴∩𝐵) = 8\n210.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴 - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów z rzędu w dziesięciu rzutach monetą,\n𝐵 - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów w dziesięciu rzutach monetą,\nΩ - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.\nWynikiem każdego rzutu jest orzeł (𝑜) lub reszka (𝑟). Wynikiem doświadczenia losowego\njest dziesięciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru {𝑜, 𝑟}. Zatem liczba elementów zbioru Ω\njest równa 210 = 1024.\nObliczamy liczbę elementów zbioru 𝐵: |𝐵| = (10\n3 ) = 120.\nZdarzenie 𝐴∩𝐵 polega na wyrzuceniu w dziesięciu rzutach dokładnie trzech orłów i to\ntrzech orłów z rzędu. Obliczamy liczbę elementów zbioru 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = 8.\nObliczamy prawdopodobieństwo 𝑃(𝐴|𝐵):\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n|𝐴∩𝐵|\n|Ω|\n|𝐵|\n|Ω|\n8\n1024\n120\n1024\n8\n120 = 1\n15\nUwagi:\n1. Zdający może rozwiązać zadanie poprzez obliczenie prawdopodobieństw zdarzeń 𝐵 oraz\n𝐴∩𝐵.\n2. Zdający może obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐵, korzystając ze schematu\nBernoullego. Sukcesem w pojedynczej próbie jest wyrzucenie orła. Prawdopodobieństwo\n𝑝 sukcesu jest równe 𝑝= 1\n2 . Przy liczbie prób 𝑛= 10 oraz liczbie sukcesów 𝑘= 3\notrzymujemy\n𝑃(𝐵) = (𝑛\n𝑘) ⋅𝑝𝑘⋅(1 -𝑝)𝑛-𝑘= (10\n3 ) ⋅(1\n2)\n3\n⋅(1 -1\n2)\n7\n= 120\n210","solution":"$\\dfrac{1}{15}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej 𝒂 i każdej liczby dodatniej 𝒃 takich, że\n𝒂+ 𝒃= 𝟏, prawdziwa jest nierówność\n𝟏\n𝟐𝒂+ 𝒃+\n𝟏\n𝒂+ 𝟐𝒃≥𝟒\n𝟑\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że dla każdej liczby dodatniej a i każdej liczby dodatniej b takich, że a+b=1, prawdziwa jest nierówność 1/2a+b + 1/a+2b ≥ 4/3.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nIII.R2) rozwiązuje równania i nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - wykorzystanie założenia i przekształcenie nierówności\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 do\npostaci 4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0, 4𝑏2 -4𝑏+ 1 ≥0 albo 𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 ≥0\nALBO\n- zapisanie nierówności między odpowiednimi średnimi liczb\n1\n2𝑎 + 𝑏 oraz\n1\n𝑎 + 2𝑏 (lub\nmiędzy odpowiednimi średnimi liczb 2𝑎+ 𝑏 oraz 𝑎+ 2𝑏) i przekształcenie tej\nnierówności do postaci, z której można bezpośrednio wnioskować o prawdziwości\ntezy, np. 3\n2 ≥\n2\n1\n2𝑎+𝑏 +\n1\n𝑎+2𝑏\n1 pkt - zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako nierówności wymiernej\n𝑃(𝑎,𝑏)\n𝑄(𝑎,𝑏) ≥0, np. 3(𝑎+2𝑏)+3(2𝑎+𝑏)-4(𝑎+2𝑏)(2𝑎+𝑏)\n3(2𝑎+𝑏)(𝑎+2𝑏)\n≥0\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako nierówności wielomianowej, np.\n3(1 + 𝑏) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(1 + 𝑏),\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią harmoniczną a arytmetyczną liczb\n1\n2𝑎 + 𝑏\noraz\n1\n𝑎 + 2𝑏 (lub między odpowiednimi średnimi liczb 2𝑎+ 𝑏 oraz 𝑎+ 2𝑏), np.\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n1\n1\n2𝑎+𝑏\n1\n1\n𝑎+2𝑏\n, 2𝑎+𝑏+𝑎+2𝑏\n2\n≥\n2\n1\n2𝑎+𝑏+\n1\n𝑎+2𝑏\n,\nALBO\n- wykorzystanie założenia i zapisanie nierówności w postaci równoważnej jako\nnierówności wymiernej z jedną niewiadomą, np.\n1\n2𝑎 +(1-𝑎) +\n1\n𝑎 + 2(1-𝑎) ≥4\n3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑎> 0 i 𝑏> 0, więc (2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏) > 0.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 i otrzymujemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3\n3(𝑎+ 2𝑏)\n3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏) +\n3(2𝑎+ 𝑏)\n3(𝑎 + 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏) -4(𝑎+ 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏)\n3(𝑎+ 2𝑏)(2𝑎+ 𝑏) ≥0\n3𝑎+ 6𝑏+ 6𝑎+ 3𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2\n3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏)\n≥0\n9𝑎+ 9𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2\n3(2𝑎 + 𝑏)(𝑎+ 2𝑏)\n≥0\n9𝑎+ 9𝑏-8𝑎2 -20𝑎𝑏-8𝑏2 ≥0\nKorzystamy z założenia i otrzymujemy dalej\n9𝑎+ 9(1 -𝑎) -8𝑎2 -20𝑎(1 -𝑎) -8(1 -𝑎)2 ≥0\n4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0\n(2𝑎-1)2 ≥0\nKwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność (2𝑎-1)2 ≥0\njest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎. To oznacza, że nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej\nliczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że 𝑎+ 𝑏= 1.\nSposób II\nKorzystamy z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 i nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 zapisujemy\nw postaci\n1\n𝑎 + 1 +\n1\n1 + 𝑏≥4\n3\nMnożymy obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią 3(𝑎+ 1)(1 + 𝑏) i ponownie\nkorzystamy z założenia, otrzymując kolejno:\n3(1 + 𝑏) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(1 + 𝑏)\n2 -(𝑎+ 𝑏) ≥4𝑎𝑏\n1 ≥4𝑎𝑏\n(𝑎+ 𝑏)2 ≥4𝑎𝑏\n(𝑎-𝑏)2 ≥0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność\n(𝑎-𝑏)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby\nrzeczywistej 𝑏. To oznacza, że nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 jest prawdziwa dla każdej\nliczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że\n𝑎+ 𝑏= 1.\nSposób III\nKorzystamy z nierówności między średnią arytmetyczną a harmoniczną dla liczb dodatnich\n1\n2𝑎 + 𝑏 oraz\n1\n𝑎 + 2𝑏 i otrzymujemy:\n1\n2𝑎+ 𝑏+\n1\n𝑎+ 2𝑏\n2\n≥\n2\n1\n1\n2𝑎+ 𝑏\n1\n1\n𝑎+ 2𝑏\n1\n2𝑎+ 𝑏+\n1\n𝑎+ 2𝑏\n2\n≥\n2\n2𝑎+ 𝑏+ 𝑎+ 2𝑏\n1\n2𝑎+ 𝑏+\n1\n𝑎+ 2𝑏\n2\n≥\n2\n3(𝑎+ 𝑏)\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥\n4\n3(𝑎+ 𝑏)\nPo skorzystaniu z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 otrzymujemy tezę.\nSposób IV\nKorzystamy z założenia 𝑎+ 𝑏= 1 i nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 zapisujemy\nw postaci\n1\n2𝑎 + 1 -𝑎+\n1\n𝑎+ 2(1 -𝑎) ≥4\n3\nMnożymy obie strony tej nierówności przez liczbę dodatnią 3(𝑎+ 1)(2 -𝑎) i otrzymujemy\nkolejno:\n1\n𝑎 + 1 +\n1\n2 -𝑎≥4\n3\n3(2 -𝑎) + 3(𝑎+ 1) ≥4(𝑎+ 1)(2 -𝑎)\n6 -3𝑎+ 3𝑎+ 3 ≥-4𝑎2 + 4𝑎+ 8\n4𝑎2 -4𝑎+ 1 ≥0\n(2𝑎-1)2 ≥0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność\n(2𝑎-1)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎, więc w szczególności dla\nkażdego 𝑎∈(0, 1). To oznacza, że nierówność\n1\n2𝑎 + 𝑏+\n1\n𝑎 + 2𝑏≥4\n3 jest prawdziwa dla\nkażdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej 𝑏 takich, że\n𝑎+ 𝑏= 1.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"algebra","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nDługości podstaw trapezu równoramiennego są równe 𝑎 oraz 𝑏, przy czym 𝑎> 𝑏. W ten\ntrapez można wpisać okrąg.\nWykaż, że pole tego trapezu jest większe od 𝒂⋅𝒃.\n\nMMAP-R0_100\nDługości podstaw trapezu równoramiennego są równe a oraz b, przy czym a>b. W ten trapez można wpisać okrąg. Wykaż, że pole tego trapezu jest większe od a⋅ b.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - wyznaczenie pola trapezu w zależności od długości jego podstaw: 𝑃= 𝑎+𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏.\n1 pkt - zastosowanie twierdzenia Pitagorasa i zapisanie równania z 𝑎, 𝑏 oraz ℎ, z którego\nmożna wyznaczyć długość wysokości trapezu w zależności od długości jego\npodstaw, np. (𝑎-𝑏\n2 )\n2\n+ ℎ2 = (𝑎+𝑏\n2 )\n2\nALBO\n- wyznaczenie długości promienia okręgu w zależności od długości podstaw trapezu,\nnp. 𝑟= √𝑎\n2 ⋅𝑏\n2 ,\nALBO\n- zapisanie, że pole czworokąta wpisanego w okrąg i opisanego na okręgu jest równe\npierwiastkowi z iloczynu długości boków tego czworokąta,\nALBO\n- zapisanie, że wysokość trapezu równoramiennego jest średnią geometryczną\ndługości podstaw trapezu.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nW przypadku, gdy zdający zapisze nierówność 𝑎+𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏> 𝑎𝑏 w postaci równoważnej\n𝑎+𝑏\n2\n> √𝑎𝑏 i stwierdzi, że jej prawdziwość wynika z nierówności między średnią\narytmetyczną i geometryczną różnych liczb dodatnich 𝑎 i 𝑏, to rozumowanie uznajemy za\npełne.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nTrapez jest równoramienny, więc |𝐴𝐸| = |𝐵𝐹| = 𝑎-𝑏\n2 . Ponieważ trapez jest opisany na\nokręgu, więc 𝑎+ 𝑏= 𝑐+ 𝑐, czyli 𝑐= 𝑎+𝑏\n2 .\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐶𝐹 otrzymujemy\n|𝐵𝐹|2 + |𝐹𝐶|2 = |𝐶𝐵|2\n(𝑎-𝑏\n2\n)\n2\n+ ℎ2 = 𝑐2\n(𝑎-𝑏\n2\n)\n2\n+ ℎ2 = (𝑎+ 𝑏\n2\n)\n2\n/⋅4\n𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 4ℎ2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏+ 𝑏2\nℎ= √𝑎𝑏\nPole 𝑃 trapezu jest równe 𝑃= 𝑎+𝑏\n2\n⋅ℎ= 𝑎+𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏.\nPonieważ 𝑎> 𝑏, więc z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb\ndodatnich 𝑎 oraz 𝑏 otrzymujemy 𝑎+𝑏\n2\n> √𝑎𝑏. Stąd\n𝑃= 𝑎+ 𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏> √𝑎𝑏⋅√𝑎𝑏\nczyli 𝑃> 𝑎𝑏, co należało wykazać.\n𝐴\n𝐸\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑐\nℎ\n𝑏\n𝑎\n𝑐\nℎ\n𝐹\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku (𝐾, 𝐿, 𝑀 są punktami styczności okręgu z trapezem).\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że |𝐵𝐿| = 𝑎\n2 oraz |𝐶𝐿| = 𝑏\n2 .\nPonieważ środek okręgu wpisanego w trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest punktem przecięcia dwusiecznych\nkątów wewnętrznych tego trapezu, więc\n|∡𝐾𝐵𝑆| = |∡𝐶𝐵𝑆| oraz |∡𝑀𝐶𝑆| = |∡𝐵𝐶𝑆|\nSuma miar kątów wewnętrznych trapezu przy ramieniu 𝐵𝐶 jest równa 180°, więc\n|∡𝐾𝐵𝑆| + |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑀𝐶𝑆| + |∡𝐵𝐶𝑆| = 180°\nZatem\n|∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝐵𝐶𝑆| = 90°\nTo oznacza, że trójkąt 𝐵𝐶𝑆 jest prostokątny.\nWysokość tego trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną jest promieniem okręgu\nwpisanego w trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷, więc z twierdzenia o wysokości trójkąta prostokątnego wynika,\nże 𝑟= √𝑎\n2 ⋅𝑏\n2 = 1\n2 √𝑎𝑏.\nPole 𝑃 trapezu jest równe 𝑃= 𝑎+𝑏\n2\n⋅2𝑟= 𝑎+𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏.\nPozostaje wykazać, że prawdziwa jest nierówność 𝑎+𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏> 𝑎𝑏.\nDzieląc obie strony tej nierówności przez √𝑎𝑏, otrzymujemy\n𝑎+ 𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏> 𝑎𝑏 /: √𝑎𝑏\n𝑎+ 𝑏\n2\n> √𝑎𝑏\n𝐴\n𝐾\n𝑎\n2\n𝐵\n𝐿\n𝐶\n𝑀\n𝐷\n𝑐\n𝑟\n𝑟\n𝑆\n𝑏\n2\n𝑏\n2\n𝑎\n2\n𝑟\n𝑎-2√𝑎𝑏+ 𝑏> 0\n(√𝑎-√𝑏)\n2 > 0\nZ założenia 𝑎> 𝑏> 0, więc √𝑎-√𝑏> 0. Zatem (√𝑎-√𝑏)\n2 > 0 jako kwadrat liczby\ndodatniej √𝑎-√𝑏. To oznacza, że 𝑃> 𝑎𝑏.\nSposób III\nZ własności czworokąta opisanego na okręgu i w który można także wpisać okrąg wynika, że\npole takiego czworokąta jest równe √𝑎⋅𝑏⋅𝑐⋅𝑑, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 są długościami boków\nczworokąta.\nTrapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany na okręgu, ale jest on równoramienny, więc można na nim także\nopisać okrąg. Zatem pole 𝑃 tego trapezu jest równe 𝑃= √𝑎⋅𝑏⋅𝑐⋅𝑐= √𝑎𝑏⋅𝑐, gdzie 𝑐\njest długością ramienia trapezu.\nPonieważ trapez jest opisany na okręgu, więc 𝑎+ 𝑏= 𝑐+ 𝑐, czyli 𝑐= 𝑎+𝑏\n2 .\nStąd 𝑃= √𝑎𝑏⋅𝑎+𝑏\n2 .\nPonieważ 𝑎> 𝑏, więc z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb\ndodatnich 𝑎 oraz 𝑏 otrzymujemy 𝑎+𝑏\n2\n> √𝑎𝑏. Stąd\n𝑃= 𝑎+ 𝑏\n2\n⋅√𝑎𝑏> √𝑎𝑏⋅√𝑎𝑏\nczyli 𝑃> 𝑎𝑏, co należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"planimetria","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nNieskończony ciąg geometryczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.\n𝑎1 + 𝑎3 + 𝑎5 + … = 16\nPonadto 𝑎1 + 𝑎3 = 5\n2 ⋅𝑎2 .\nWyznacz wzór ogólny na 𝒏-ty wyraz ciągu (𝒂𝒏). Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nNieskończony ciąg geometryczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma wszystkich wyrazów ciągu (a_n) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj. a_1 + a_3 + a_5 + … = 16. Ponadto a_1 + a_3 = 5/2⋅a_2. Wyznacz wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu (a_n). Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎𝑛= 12 ⋅(1\n2)\n𝑛-1\n,\n𝑎𝑛= 24 ⋅(1\n2)\n𝑛\n3 pkt - odrzucenie wartości 𝑞= 2 oraz poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu\ngeometrycznego i zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1 :\n𝑎1\n1-(1\n2)\n2 = 16 (dla\nsposobu I)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 oraz obliczenie pierwiastków tego\nrównania, np.\n16(1 -𝑞2) + 16(1 -𝑞2) ⋅𝑞2 = 5\n2 ⋅16(1 -𝑞2) ⋅𝑞\ni 𝑞= 1 oraz 𝑞= -1, oraz 𝑞= 1\n2 , oraz 𝑞= 2 ,\noraz odrzucenie tych wartości 𝑞, dla których nie jest spełniony warunek zbieżności\n|𝑞2| < 1 (dla sposobu II).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞 oraz obliczenie pierwiastków tego\nrównania, np. 2𝑞2 -5𝑞+ 2 = 0 i 𝑞= 1\n2 oraz 𝑞= 2 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie równań 𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5\n2 𝑎1 ⋅𝑞 oraz 𝑎1\n1-𝑞2 = 16 (dla sposobu II).\n1 pkt - zapisanie równania 𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5\n2 𝑎1 ⋅𝑞 (dla sposobu I)\nALBO\n- poprawne zastosowanie wzoru na sumę szeregu geometrycznego i zapisanie\nrównania 𝑎1\n1-𝑞2 = 16 (dla sposobu II).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze sumę wszystkich wyrazów ciągu o wyrazach nieparzystych jako\n𝑎1\n1-𝑞 i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛). Z warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 5\n2 𝑎2 oraz\nz własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5\n2 ⋅𝑎1 ⋅𝑞\n𝑎1 ⋅(1 + 𝑞2 -5\n2 𝑞) = 0\n𝑎1 = 0 ∨ 𝑞2 -5\n2 𝑞+ 1 = 0\n𝑎1 = 0 ∨ 𝑞= 2 ∨ 𝑞= 1\n2\nRozważmy nieskończony ciąg wyrazów o numerach nieparzystych, tj. 𝑎1, 𝑎3, 𝑎5, … . Jest to\nciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 𝑎1 oraz ilorazie 𝑞2. Ponieważ suma\nwszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) o numerach nieparzystych istnieje i jest równa 16, więc\n𝑎1 ≠0 oraz |𝑞2| < 1 i 𝑎1\n1-𝑞2 = 16. Pozostaje zatem rozpatrzeć przypadki 𝑞= 2 oraz\n𝑞= 1\n2 .\nGdy 𝑞= 2, to warunek |𝑞2| < 1 nie jest spełniony.\nGdy 𝑞= 1\n2 , to warunek |𝑞2| < 1 jest spełniony. Wtedy\n𝑎1\n1-(1\n2)\n2 = 16 i stąd 𝑎1 = 12.\nNieskończony ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 12 i ilorazie 1\n2 spełnia\nwarunki zadania. Wzór ogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 12 ⋅(1\n2)\n𝑛-1\nSposób II\nNiech 𝑞 oznacza iloraz ciągu geometrycznego (𝑎𝑛).\nRozważmy nieskończony ciąg wyrazów o numerach nieparzystych, tj. 𝑎1, 𝑎3, 𝑎5, … . Jest to\nciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 𝑎1 oraz ilorazie 𝑞2. Ponieważ suma\nwszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛) o numerach nieparzystych istnieje i jest równa 16, więc\n𝑎1 ≠0 oraz |𝑞2| < 1 i 𝑎1\n1-𝑞2 = 16. Zatem 𝑎1 = 16(1 -𝑞2).\nZ warunku 𝑎1 + 𝑎3 = 5\n2 𝑎2 oraz z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑎1 + 𝑎1 ⋅𝑞2 = 5\n2 ⋅𝑎1 ⋅𝑞\nStąd oraz z równości 𝑎1 = 16(1 -𝑞2) otrzymujemy kolejno:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n16(1 -𝑞2) + 16(1 -𝑞2) ⋅𝑞2 = 5\n2 ⋅16(1 -𝑞2) ⋅𝑞\n16 -16𝑞2 + 16𝑞2 -16𝑞4 = 40𝑞-40𝑞3\n-16𝑞4 + 40𝑞3 -40𝑞+ 16 = 0\n-16(𝑞4 -1) + 40𝑞(𝑞2 -1) = 0\n-16(𝑞2 -1)(𝑞2 + 1) + 40𝑞(𝑞2 -1) = 0\n(𝑞2 -1)[-16(𝑞2 + 1) + 40𝑞] = 0\n(𝑞2 -1)(-16𝑞2 + 40𝑞-16) = 0\n𝑞2 -1 = 0 ∨ -16𝑞2 + 40𝑞-16 = 0\n𝑞= 1 ∨ 𝑞= -1 ∨ 𝑞= 2 ∨ 𝑞= 1\n2\nUwzględniając warunek |𝑞2| < 1, otrzymujemy 𝑞= 1\n2 . Zatem 𝑎1 = 12. Nieskończony ciąg\ngeometryczny o pierwszym wyrazie równym 12 i ilorazie 1\n2 spełnia warunki zadania. Wzór\nogólny na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) ma postać 𝑎𝑛= 12 ⋅(1\n2)\n𝑛-1","solution":"$a_n = 12 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{n-1}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciagi","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nW okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Długość boku 𝐴𝐵 jest równa 6. Bok 𝐵𝐶\nma długość 4√3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta.\nOblicz długość boku 𝑨𝑪 trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt ABC. Długość boku AB jest równa 6. Bok BC ma długość 4√3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku AC trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R8) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych (m.in.\nz wykorzystaniem twierdzenia sinusów).\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: √21 -3 (lub √30 -6√21).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐶), np.\n(4√3)\n2 = |𝐴𝐶|2 + 62 -2 ⋅6 ⋅|𝐴𝐶| ⋅(-1\n2),\n|𝐴𝐶|2 = (4√3)\n2 + 62 -2 ⋅4√3 ⋅6 ⋅\n√7+3√3\n8\n,\n62 = |𝐴𝐶|2 + (4√3)\n2 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅4√3 ⋅\n√7\n4\nALBO\n- zapisanie długości boków trójkąta 𝐴𝐶𝐸 za pomocą jednej niewiadomej i zapisanie\nrównania z tą jedną niewiadomą, które prowadzi do jej obliczenia, np. |𝐴𝐸| = 3𝑥\noraz |𝐴𝐶| = 4𝑥, oraz |𝐸𝐶| = √7𝑥, oraz (4√3 -√7𝑥)\n2 + (3𝑥)2 = 62 (dla\nsposobu II),\nALBO\n- obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶: -3+√21\n8\n(dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝐴𝐶: 120°\nALBO\n- zapisanie długości boków trójkąta 𝐴𝐶𝐸 za pomocą jednej niewiadomej, np.\n|𝐴𝐸| = 3𝑥 oraz |𝐴𝐶| = 4𝑥, oraz |𝐸𝐶| = √7𝑥,\nALBO\n- obliczenie cosinusa kąta 𝐴𝐶𝐵:\n√7\n4 .\n1 pkt - zapisanie równania, w którym jedyną niewiadomą jest miara kąta 𝐵𝐴𝐶 (lub miara\nkąta 𝐴𝐶𝐵), np.\n4√3\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8,\n6\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8, 1\n2 ⋅6 ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 6⋅4√3\n4⋅4 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający uzyska |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° oraz |∡𝐵𝐴𝐶| = 120° i konsekwentnie obliczy\ndługość boku 𝐴𝐶 dla obu tych wartości kątów, ale w rozwiązaniu nie odrzuci wartości\n|𝐴𝐶| = 3 + √21 , to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅\n4√3\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8\nStąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nDługość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 jest równa\n𝑅√3 = 4√3 = |𝐵𝐶|. Niech 𝐷 będzie wierzchołkiem trójkąta równobocznego 𝐵𝐶𝐷\nwpisanego w dany okrąg. Ponieważ |𝐴𝐵| = 6, więc 𝐴≠𝐷. Gdyby wierzchołek 𝐴 leżał na\nkrótszym z łuków 𝐵𝐷, to wówczas 𝐴𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Gdyby\nwierzchołek 𝐴 leżał na krótszym z łuków 𝐶𝐷, to wówczas 𝐴𝐵 byłby najdłuższym bokiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem 𝐴 leży na krótszym z łuków 𝐵𝐶 okręgu i |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie cosinusów i obliczamy długość boku 𝐴𝐶:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶|\n(4√3)\n2 = |𝐴𝐶|2 + 62 -2 ⋅6 ⋅|𝐴𝐶| ⋅(-1\n2)\n|𝐴𝐶|2 + 6 ⋅|𝐴𝐶| -12 = 0\n|𝐴𝐶| = -3 + √21 ∨ |𝐴𝐶| = -3 -√21 < 0\nZatem |𝐴𝐶| = -3 + √21.\nSposób II\nOznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅\n6\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8\nStąd sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 3\n4 .\nNiech 𝐸 będzie spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 z wierzchołka 𝐴 na\nbok 𝐵𝐶.\nOznaczmy |𝐴𝐸| = 3𝑥. Wtedy |𝐴𝐶| = 4𝑥, |𝐸𝐶| = √7𝑥, |𝐵𝐸| = 4√3 -√7𝑥 (zobacz\nrysunek).\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐸𝐵 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy\n(4√3 -√7𝑥)\n2 + (3𝑥)2 = 62\n16𝑥2 -8√21𝑥+ 12 = 0\n4𝑥2 -2√21𝑥+ 3 = 0\n𝑥= 2√21 -6\n8\n∨ 𝑥= 2√21 + 6\n8\n4𝑥= √21 -3 ∨ 4𝑥= √21 + 3\nPonieważ √21 + 3 > 7 > 4√3 = |𝐵𝐶|, więc ostatecznie |𝐴𝐶| = √21 -3.\nSposób III\nOznaczmy przez 𝑅 promień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅\n4√3\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 8\nStąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 60° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nDługość boku trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 𝑅 jest równa\n𝑅√3 = 4√3 = |𝐵𝐶|. Niech 𝐷 będzie wierzchołkiem trójkąta równobocznego 𝐵𝐶𝐷\nwpisanego w dany okrąg. Ponieważ |𝐴𝐵| = 6, więc 𝐴≠𝐷. Gdyby wierzchołek 𝐴 leżał na\nkrótszym z łuków 𝐵𝐷, to wówczas 𝐴𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Gdyby\nwierzchołek 𝐴 leżał na krótszym z łuków 𝐶𝐷, to wówczas 𝐴𝐵 byłby najdłuższym bokiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem 𝐴 leży na krótszym z łuków 𝐵𝐶 okręgu i |∡𝐵𝐴𝐶| = 120°.\nPonownie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐴𝐵|\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅\n6\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐸\n3𝑥\n4𝑥\nξ7𝑥\n4ξ3 -ξ7𝑥\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd sin|∡𝐴𝐶𝐵| = 3\n4 .\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy\nsin2|∡𝐴𝐶𝐵| + cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1\n(3\n4)\n2\n+ cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1\ncos|∡𝐴𝐶𝐵| = √7\n4 ∨ cos|∡𝐴𝐶𝐵| = -√7\n4\nPonieważ 𝐴𝐵 nie jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc kąt 𝐴𝐶𝐵 nie jest rozwarty\ni dlatego cos |∡𝐴𝐶𝐵| =\n√7\n4 .\nObliczamy sin |∡𝐴𝐵𝐶|:\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = sin(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = sin(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =\n= sin|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶| =\n= √3\n2 ⋅√7\n4 + 3\n4 ⋅(-1\n2) = -3 + √21\n8\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\n|𝐴𝐶| = 2𝑅⋅sin|∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶| = 8 ⋅-3 + √21\n8\n= -3 + √21\nUwaga:\nPo obliczeniu cos |∡𝐴𝐶𝐵| można obliczyć cos |∡𝐴𝐵𝐶|:\ncos|∡𝐴𝐵𝐶| = cos(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = -cos(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =\n= -cos|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| =\n= 1\n2 ⋅√7\n4 + 3\n4 ⋅√3\n2 = √7 + 3√3\n8\nPo zastosowaniu twierdzenia cosinusów otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶|2 = 62 + (4√3)\n2 -2 ⋅6 ⋅4√3 ⋅√7 + 3√3\n8\n|𝐴𝐶| = √30 -6√21\n|𝐴𝐶| = √(√21 -3)\n2\n|𝐴𝐶| = √21 -3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$\\sqrt{21} - 3$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟔𝒙) + √𝟑⋅𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) = 𝟎\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(6x) + √3⋅sin(5x) + sin(4x) = 0. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑘𝜋\n5 oraz -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 oraz\n5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(5𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑘𝜋\n5 , gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania cos 𝑥= -\n√3\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych: -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 lub\n5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci alternatywy dwóch równań\ntrygonometrycznych: sin(5𝑥) = 0 lub cos 𝑥= -\n√3\n2 .\n1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus sumy i różnicy kątów i przekształcenie równania do\npostaci\nsin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 sin 6𝑥+4𝑥\n2\ncos 6𝑥-4𝑥\n2\n+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie,\notrzymując:\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\nsin(5𝑥+ 𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥-𝑥) = 0\nsin(5𝑥) cos 𝑥+ cos(5𝑥) sin 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(5𝑥) cos 𝑥-cos(5𝑥) sin 𝑥= 0\nsin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0\nsin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0\n5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3\n2\n𝑥= 𝑘𝜋\n5 ∨ 𝑥= -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób II\nStosujemy wzór na sumę sinusów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:\nsin(6𝑥) + √3 ⋅sin(5𝑥) + sin(4𝑥) = 0\n2 sin 6𝑥+ 4𝑥\n2\ncos 6𝑥-4𝑥\n2\n+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0\n2 sin(5𝑥) cos 𝑥+ √3 ⋅sin(5𝑥) = 0\nsin(5𝑥) ⋅(2 cos 𝑥+ √3) = 0\nsin(5𝑥) = 0 ∨ 2 cos 𝑥+ √3 = 0\n5𝑥= 𝑘𝜋 ∨ cos 𝑥= -√3\n2\n𝑥= 𝑘𝜋\n5 ∨ 𝑥= -5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5\n6 𝜋+ 2𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$x = \\dfrac{k\\pi}{5}$ oraz $x = -\\dfrac{5}{6}\\pi + 2\\pi k$ oraz $x = \\dfrac{5}{6}\\pi + 2\\pi k$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nDługość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 𝑎.\nSinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka\ngraniastosłupa jest równy\n√11\n6 .\nWyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDługość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a. Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka graniastosłupa jest równy √11/6. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]\nkąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi), oblicza miary\ntych kątów;\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów […], również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik:\n√3𝑎2\n2\n+ 3√2𝑎2 .\n3 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa: 𝑎√2.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością graniastosłupa), np.\n(𝐻2 + 𝑎2) + (𝐻2 + 𝑎2) -2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅5\n6 = 𝑎2\n1 pkt - obliczenie cosinusa kąta 𝛼: 5\n6\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐹 i zapisanie równania\n|𝐴𝐹|2 + |𝐵𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐹| ⋅|𝐵𝐹| ⋅cos 𝛼= 𝑎2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\n𝛼\n𝑎\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\nOznaczmy ponadto przez 𝐻 wysokość graniastosłupa.\nKorzystamy z tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i obliczamy cos 𝛼:\n(√11\n6 )\n2\n+ cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 25\n36\nwięc cos 𝛼= 5\n6 , gdyż 𝛼 jest kątem ostrym.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐹 twierdzenie cosinusów, a następnie korzystamy z twierdzenia\nPitagorasa i otrzymujemy:\n|𝐴𝐹|2 + |𝐵𝐹|2 -2 ⋅|𝐴𝐹| ⋅|𝐵𝐹| ⋅cos 𝛼= 𝑎2\n(𝐻2 + 𝑎2) + (𝐻2 + 𝑎2) -2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅√𝐻2 + 𝑎2 ⋅5\n6 = 𝑎2\n1\n3 ⋅(𝐻2 + 𝑎2) = 𝑎2\n𝐻= 𝑎√2\nObliczamy pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa:\n𝑃= 2 ⋅𝑎2√3\n4\n+ 3 ⋅𝑎⋅𝑎√2 = √3𝑎2\n2\n+ 3√2𝑎2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$\\dfrac{\\sqrt{3}a^2}{2} + 3\\sqrt{2}a^2$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0\nprzecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, które są kolejnymi\nwierzchołkami równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Wierzchołek 𝐴 ma pierwszą współrzędną ujemną.\nWierzchołek 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -1\n2 𝑥+ 1 i ma pierwszą współrzędną\ndodatnią. Odległość punktu 𝐶 od prostej zawierającej bok 𝐴𝐵 równoległoboku jest\nrówna 9√10\n5\nOblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta o równaniu 3x+y+2=0 przecina parabolę o równaniu y=x²-2x-8 w punktach A oraz B, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=-1/2x+1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość\\break punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa 9√10/5. Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.R3) znajduje punkty wspólne prostej\ni okręgu oraz prostej i paraboli będącej\nwykresem funkcji kwadratowej.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na obliczeniu współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵. Za poprawne\nwykonanie tego etapu zdający otrzymuje 2 punkty.\nPodział punktów za pierwszy etap rozwiązania:\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐵 przecięcia paraboli i prostej\n3𝑥+ 𝑦= 2 = 0: 𝐴= (-3, 7) oraz 𝐵= (2, -8).\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (jedną ze współrzędnych punktu 𝐴 lub 𝐵),\nktóre wynika z układu równań { 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 , np.\n3𝑥+ 𝑥2 -2𝑥-8 + 2 = 0, 𝑦= (-𝑦+2\n3 )\n2\n+ 2(𝑦+2)\n3\n-8.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nDrugi etap polega na obliczeniu współrzędnych punktu 𝐶. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (6, -2).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą/drugą współrzędną punktu 𝐶), np.\n|3𝑐+(-1\n2𝑐+1)+2|\n√32+12\n= 9√10\n5\n1 pkt - uzależnienie drugiej/pierwszej współrzędnej punktu 𝐶 od pierwszej/drugiej\nwspółrzędnej, np. 𝐶= (𝑐, -1\n2 𝑐+ 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na obliczeniu długości boku 𝐵𝐶.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐵𝐶 równoległoboku: |𝐵𝐶| = 2√13.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0:\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n3𝑥+ 𝑥2 -2𝑥-8 + 2 = 0\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n𝑥2 + 𝑥-6 = 0\n{ 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8\n𝑥= -3 ∨ 𝑥= 2\nStąd 𝐴= (-3 , 7) oraz 𝐵= (2 , -8).\nPunkt 𝐶 leży na prostej o równaniu 𝑦= -1\n2 𝑥+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią,\nwięc 𝐶= (𝑐, -1\n2 𝑐+ 1) przy pewnym 𝑐> 0.\nKorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej i otrzymujemy kolejno:\n|3𝑐+ (-1\n2 𝑐+ 1) + 2|\n√32 + 12\n= 9√10\n5\n|2,5𝑐+ 3|\n√10\n= 9√10\n5\n|2,5𝑐+ 3| = 18\n𝑐= 6 ∨ 𝑐= -42\n5\nZatem 𝐶= (6, -2).\nObliczamy długość boku 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = √(6 -2)2 + (-2 + 8)2 = 2√13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$2\\sqrt{13}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n(𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek\n𝒙𝟏\n𝟐+ 𝒙𝟐\n𝟐= 𝒙𝟏⋅𝒙𝟐+ 𝟕\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie (3-m)⋅x² + (m+1)⋅x - (m+1)² = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1²+x_2² = x_1⋅x_2 + 7. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na zapisaniu warunku ∆> 0 w postaci nierówności z niewiadomą 𝑚\ni rozwiązaniu tej nierówności. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie warunku ∆> 0 w postaci nierówności z niewiadomą 𝑚 i rozwiązanie tej\nnierówności: (𝑚+ 1)2 + 4 ⋅(3 -𝑚) ⋅(𝑚+ 1)2 > 0 oraz\n𝑚∈(-∞, -1) ∪(-1, 13\n4 ).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje\n4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n4 pkt - wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7: 1, -3-2√42\n3\n, -3+2√42\n3\n3 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑚 w postaci -3𝑚3-3𝑚2+59𝑚-53\n(3-𝑚)2\n= 0 lub\n3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 = 0 oraz wyznaczenie jednego z rozwiązań tego równania\n(np. 𝑚= 1) i podzielenie wielomianu 3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 przez odpowiedni\ndwumian, np. (3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53): (𝑚-1) = 3𝑚2 + 6𝑚-53\nALBO\n- zapisanie równania z niewiadomą 𝑚 w postaci -3𝑚3-3𝑚2+59𝑚-53\n(3-𝑚)2\n= 0 lub\n3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 = 0 oraz zastosowanie metody grupowania i zapisanie\nwielomianu 3𝑚3 + 3𝑚2 -59𝑚+ 53 w postaci iloczynu co najmniej dwóch\nwielomianów stopni dodatnich, np. (𝑚-1)(3𝑚2 + 6𝑚-53).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, wynikającego z warunku\n𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7, np. (-𝑚+1\n3-𝑚)\n2\n-2 ⋅-(𝑚+1)2\n3-𝑚\n= -(𝑚+1)2\n3-𝑚\n+ 7.\n1 pkt - przekształcenie warunku 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = 𝑥1 ⋅𝑥2 + 7 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na zapisaniu warunku 3 -𝑚≠0 oraz wyznaczeniu wszystkich\nwartości parametru 𝑚, które spełniają jednocześnie warunki: 3 -𝑚≠0 i Δ > 0,\ni (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7.\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie warunku 3 -𝑚≠0 i poprawne wyznaczenie wszystkich wartości\nparametru 𝑚, które spełniają jednocześnie warunki 3 -𝑚≠0 i Δ > 0,\ni (𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7: 1, -3-2√42\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nI etap\nRównanie (3 -𝑚)𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥-(𝑚+ 1)2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste\ntylko wtedy, gdy 3 -𝑚≠0 i wyróżnik trójmianu (3 -𝑚)𝑥2 + (𝑚+ 1)𝑥-(𝑚+ 1)2 jest\ndodatni. Rozwiązujemy warunek ∆> 0:\n(𝑚+ 1)2 + 4 ∙(3 -𝑚)(𝑚+ 1)2 > 0\n(𝑚+ 1)2[1 + 4 ⋅(3 -𝑚)] > 0\n(𝑚+ 1)2 ⋅(13 -4𝑚) > 0\n-4 ⋅(𝑚+ 1)2 ⋅(𝑚-13\n4 ) > 0\n𝑚∈(-∞, -1) ∪(-1, 13\n4 )\nII etap\nSposób I\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = 𝑥1𝑥2 + 7, korzystając ze wzorów Viète’a:\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(-𝑚+ 1\n3 -𝑚)\n2\n-2 ⋅-(𝑚+ 1)2\n3 -𝑚\n= -(𝑚+ 1)2\n3 -𝑚\n+ 7\n(𝑚+ 1\n𝑚-3)\n2\n-3 ⋅\n(𝑚+ 1)2\n𝑚-3\n-7 = 0\n(𝑚+ 1)2 -3 ⋅(𝑚+ 1)2(𝑚-3) -7(𝑚-3)2\n(𝑚-3)2\n= 0\n𝑚2 + 2𝑚+ 1 -3(𝑚2 + 2𝑚+ 1)(𝑚-3) -7(𝑚2 -6𝑚+ 9) = 0 ∧ 𝑚≠3\n-3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53 = 0 ∧ 𝑚≠3\n-3𝑚3 + 3𝑚-3𝑚2 + 3𝑚+ 53𝑚-53 = 0 ∧ 𝑚≠3\n-3𝑚(𝑚2 -1) -3𝑚(𝑚-1) + 53(𝑚-1) = 0 ∧ 𝑚≠3\n(𝑚-1)[-3𝑚(𝑚+ 1) -3𝑚+ 53] = 0 ∧ 𝑚≠3\n(𝑚-1)[-3𝑚2 -6𝑚+ 53] = 0 ∧ 𝑚≠3\n(𝑚= 1 ∨ 𝑚= -3 -2√42\n3\n∨ 𝑚= -3 + 2√42\n3\n) ∧ 𝑚≠3\n𝑚= 1 ∨ 𝑚= -3 -2√42\n3\n∨ 𝑚= -3 + 2√42\n3\nSposób II\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 = 𝑥1𝑥2 + 7, korzystając ze wzorów Viète’a:\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1𝑥2 = 𝑥1𝑥2 + 7\n(-𝑚+ 1\n3 -𝑚)\n2\n-2 ⋅-(𝑚+ 1)2\n3 -𝑚\n= -(𝑚+ 1)2\n3 -𝑚\n+ 7\n(𝑚+ 1\n𝑚-3)\n2\n-3 ⋅(𝑚+ 1)2\n𝑚-3\n-7 = 0\n(𝑚+ 1)2 -3 ⋅(𝑚+ 1)2(𝑚-3) -7(𝑚-3)2\n(𝑚-3)2\n= 0\n𝑚2 + 2𝑚+ 1 -3(𝑚2 + 2𝑚+ 1)(𝑚-3) -7(𝑚2 -6𝑚+ 9) = 0 ∧ 𝑚≠3\n-3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53 = 0 ∧ 𝑚≠3\nZauważamy, że liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu -3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53.\nDzielimy wielomian -3𝑚3 -3𝑚2 + 59𝑚-53 przez dwumian 𝑚-1. Dzielenie to\nmożemy wykonać, korzystając np. z algorytmu Hornera\n-3\n-3\n59\n-53\n1\n-3\n-6\n53\n0\nOtrzymujemy (𝑚-1)(-3𝑚2 -6𝑚+ 53) = 0. Stąd 𝑚= 1 lub 𝑚= -3-2√42\n3\n, lub\n𝑚= -3+2√42\n3\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚≠3, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, -1) ∪(-1, 13\n4 ) oraz 𝑚∈{1, -3-2√42\n3\n, -3+2√42\n3\n}: 𝑚∈{1, -3-2√42\n3\n}.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m \\in \\left\\{1, \\dfrac{-3-2\\sqrt{42}}{3}\\right\\}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"parametr","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.\nRozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości 𝐻\nostrosłupa oraz promienia 𝑅 okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.\nRozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości H ostrosłupa oraz promienia R okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6. Wykaż, że objętość V każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem V(R)=√3/4⋅(6R^2-R^3)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":null,"page_from":26,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że objętość 𝑽 każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości 𝑹\npromienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem\n𝑽(𝑹) = √𝟑\n𝟒⋅(𝟔𝑹𝟐-𝑹𝟑)\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów i ostrosłupów, również\nz wykorzystaniem trygonometrii i poznanych\ntwierdzeń.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie pola 𝑃𝑝 podstawy ostrosłupa w zależności od promienia 𝑅 okręgu\nopisanego na podstawie: 𝑃𝑝=\n(𝑅√3)\n2⋅ √3\n4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,\n𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa poprowadzona z wierzchołka 𝑆 na płaszczyznę podstawy 𝐴𝐵𝐶,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy ostrosłupa.\nPodstawa 𝐴𝐵𝐶 ostrosłupa jest trójkątem równobocznym, więc promień 𝑅 okręgu\nopisanego na podstawie jest równy 𝑅= 𝑎√3\n3 . Stąd 𝑎= 𝑅√3. Zatem pole 𝑃𝑝 podstawy\njest równe 𝑃𝑝=\n(𝑅√3)\n2⋅ √3\n4\n= 3√3𝑅2\n4\nPonieważ 𝐻+ 𝑅= 6, więc 𝐻= 6 -𝑅.\nWyznaczamy objętość 𝑉 ostrosłupa w zależności od 𝑅:\n𝑉= 1\n3 ⋅3√3𝑅2\n4\n⋅(6 -𝑅) = √3\n4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)","solution":"$V = \\dfrac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot (6R^2 - R^3)$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nObjętość 𝑉 ostrosłupa w zależności od długości 𝑅 promienia okręgu opisanego na\npodstawie ostrosłupa jest określona wzorem\n𝑉(𝑅) = √3\n4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)\ndla 𝑅∈(0, 6).\nWyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych\nostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz\nobliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nObjętość V ostrosłupa w zależności od długości R promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem V(R) = √3/4⋅(6R^2-R^3) dla R∈(0,6). Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R4) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość największą dla 𝑅= 4 i obliczenie\nwartości największej funkcji 𝑉: 8√3.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje\nwartość największą dla 𝑅= 4\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑅+𝑅+12-2𝑅\n3\n≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)\n3\ndo postaci\n√3\n8 ⋅64 ≥\n√3\n4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3) oraz zapisanie, że równość zachodzi tylko wtedy, gdy\nliczby 𝑅 oraz 12 -2𝑅 są równe.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑉: 𝑅= 4\nALBO\n- obliczenie wartości 𝑅, dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej\ni geometrycznej liczb dodatnich 𝑅, 𝑅 oraz 12 -2𝑅: 𝑅= 4,\nALBO\n- przekształcenie nierówności 𝑅+𝑅+12-2𝑅\n3\n≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)\n3\ndo postaci\n√3\n8 ⋅64 ≥\n√3\n4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3).\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑅) =\n√3\n4 ⋅(12𝑅-3𝑅2)\nALBO\n- zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb 𝑅, 𝑅 oraz\n12 -2𝑅: 𝑅+𝑅+12-2𝑅\n3\n≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)\n3\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑅, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej oraz:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑅 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑅 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku,\nnp. znakami „+” i „-” znak pochodnej.\n3. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, że dla 𝑅= 4 funkcja 𝑉 osiąga\nnajmniejszą wartość i obliczy 𝑉(4) = 8√3, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\nJeśli zdający nie przedstawi żadnego uzasadnienia i obliczy 𝑉(4) = 8√3, to otrzymuje co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑅) =\n√3\n4 ⋅(12𝑅-3𝑅2) dla 𝑅∈(0, 6).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑅) = 0\n√3\n4 ⋅(12𝑅-3𝑅2) = 0\n3𝑅⋅(4 -𝑅) = 0\n𝑅= 0 ∉(0, 6) lub 𝑅= 4 ∈(0, 6)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑉′(𝑅) > 0 dla 𝑅∈(0, 4),\n𝑉′(𝑅) < 0 dla 𝑅∈(4, 6).\nZatem funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziale (0, 4] oraz jest malejąca w przedziale [4, 6).\nStąd dla 𝑅= 4 funkcja 𝑉 osiąga wartość największą równą\n𝑉(4) = √3\n4 ⋅(6 ⋅42 -43) = 8√3\nSposób II\nPonieważ 𝑅∈(0, 6), więc liczby 𝑅, 𝑅 oraz 12 -2𝑅 są dodatnie. Z nierówności między\nśrednimi arytmetyczną i geometryczną dla liczb dodatnich 𝑅, 𝑅 oraz 12 -2𝑅\notrzymujemy\n𝑅+ 𝑅+ 12 -2𝑅\n3\n≥√𝑅⋅𝑅⋅(12 -2𝑅)\n3\n4 ≥√2 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)\n3\n64 ≥2 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)\n√3\n8 ⋅64 ≥√3\n4 ⋅(6𝑅2 -𝑅3)\n8√3 ≥𝑉(𝑅)\nprzy czym równość zachodzi tylko dla tych 𝑅, dla których 𝑅= 12 -2𝑅 i jednocześnie\n𝑅∈(0, 6), tj. dla 𝑅= 4.\nZatem funkcja 𝑉 osiąga wartość największą dla 𝑅= 4 i wtedy 𝑉(4) = 8√3.","solution":"$8\\sqrt{3}$","image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg","topics":"optymalizacja","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}