{"paper":{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":36,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczba 2-1 ⋅32\n3\n5\njest równa\nA. (-16)\nB. (-4)\nC. 2\nD. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych i stosuje prawa działań na\npotęgach o wykładnikach wymiernych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba log3 (3\n2) + log3 (2\n9) jest równa\nA. log3\n31\n18\nB. log3\n5\n11\nC. (-1)\nD. 1\n3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 1 sierpnia 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1698).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba (2√10 + √2)\n2 jest równa\nA. 22\nB. 42\nC. 42 + 4√5\nD. 42 + 8√5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDane są dwa prostokąty: 𝒫1 oraz 𝒫2 .\nDługości boków prostokąta 𝒫1 są równe 𝑎 oraz 𝑏.\nDługości boków prostokąta 𝒫2 są równe 0,2𝑎 oraz 8𝑏.\nPole prostokąta 𝒫1 stanowi\nA. 60% pola prostokąta 𝒫2 .\nB. 62,5% pola prostokąta 𝒫2 .\nC. 160% pola prostokąta 𝒫2 .\nD. 162,5% pola prostokąta 𝒫2 .\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nKlient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości 𝐾0 zł. Po każdym rocznym\nokresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6% od kwoty bieżącego kapitału\nznajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nPo trzech latach oszczędzania w tym banku kwota na lokacie (bez uwzględniania podatków)\njest równa\nA. 𝐾0 ⋅(1,06)3\nB. 𝐾0 ⋅(1,02)3\nC. 𝐾0 ⋅(1,03)6\nD. 𝐾0 ⋅1,18","answer":"A","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.8) […] oblicza […] zysk z lokat […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nLiczba wszystkich całkowitych dodatnich rozwiązań nierówności\n3𝑥-5\n12\n< 1\n3\njest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 6","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności stopnia\npierwszego z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nUkład równań {\n𝑥-2𝑦= 3\n-4𝑥+ 8𝑦= -12\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG7.6) rozwiązuje układy równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nJednym z rozwiązań równania 3𝑥⋅(2𝑥 + 8)\n𝑥-2\n= 0 jest liczba\nA. (-8)\nB. (-4)\nC. 2\nD. 3\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nFunkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli\n𝒙\n-2 -1\n0\n1\n2\n𝒚\n-1\n0\n1\n0\n3\nWskaż zdanie prawdziwe.\nA. Funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe.\nB. W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem osi 𝑂𝑦.\nC. Największa wartość funkcji 𝑓 jest równa 3.\nD. Najmniejsza wartość funkcji 𝑓 jest równa (-2).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG8.1) zaznacza w układzie współrzędnych\nna płaszczyźnie punkty o danych\nwspółrzędnych.\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] miejsca zerowe, […] wartość\nnajwiększą lub najmniejszą).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nLiczba 2 jest miejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓(𝑥) = (3 -𝑚)𝑥+ 4.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. 0\nB. 3\nC. 4\nD. 5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 11.-13.\nNa rysunku 1., w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑓.\nRysunek 1.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 6\nD. 7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] wartość największą […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze\nA. ⟨-1, 1⟩\nB. ⟨0, 4⟩\nC. ⟨1, 7⟩\nD. ⟨4, 7⟩\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n1\n2\n3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6\n7\n-4\n-5\n0\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] maksymalne przedziały, w których\nfunkcja maleje […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nNa rysunku 2., w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono wykres funkcji 𝑔, powstałej\nw wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥 o 4 jednostki w lewo.\nRysunek 2.\nFunkcje 𝑓 i 𝑔 są powiązane zależnością\nA. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 4)\nB. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥-4)\nC. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 4\nD. 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -4\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n3\n2\n𝑦\n-3\n-2\n1\n-1\n4\n5\n6\n1\n2\n3\n-1\n-2\n𝑥\n-3\n5\n4\n6\n7\n-4\n-5\n0\n𝑦= 𝑔(𝑥)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.4) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥+ 𝑎) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 1)2 + 4.\nFragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n1 2 3 4 5\n-5 -4 -3 -2 -1 0\n𝑦\n𝑥\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.8) szkicuje wykres funkcji kwadratowej,\nkorzystając z jej wzoru.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 2 ⋅(-1)𝑛+1 + 5 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma dziesięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. 3\nB. 7\nC. 50\nD. 100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są\nwyrazy: 𝑎1 = 7 oraz 𝑎2 = 13.\nWyraz 𝑎10 jest równy\nA. (-47)\nB. 52\nC. 61\nD. 67","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑥) jest arytmetyczny.\nTrzywyrazowy ciąg (-1, 2, 𝑦) jest geometryczny.\nLiczby 𝑥 oraz 𝑦 spełniają warunki\nA. 𝑥> 0 i 𝑦> 0\nB. 𝑥> 0 i 𝑦< 0\nC. 𝑥< 0 i 𝑦> 0\nD. 𝑥< 0 i 𝑦< 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nLiczba 1 + cos2 27° jest równa\nA. 2 -sin2 27°\nB. sin2 27°\nC. 2 + sin2 27°\nD. 2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPodstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 8 oraz |𝐶𝐷| = 5.\nWysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość √3 (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa\nA. 15°\nB. 30°\nC. 45°\nD. 60°","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵 oraz 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Długość łuku 𝐴𝐵, na którym\njest oparty kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵, jest równa 1\n5 długości okręgu (zobacz rysunek).\nMiara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵 jest równa\nA. 18°\nB. 30°\nC. 36°\nD. 72°\n𝐴\n⋅\n5\n8\nξ3\n𝐶\n𝐷\n𝐵\n⋅\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3𝑚+ 1)𝑥+ 2\n𝑙: 𝑦= -4𝑥+ (2𝑚+ 5)\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-4)\nB. (-5\n3)\nC. (-3\n2)\nD. (-1)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość […] prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nDana jest prosta o równaniu 𝑦= -3𝑥+ 1.\nObrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest\nprosta o równaniu\nA. 𝑦= 3𝑥+ 1\nB. 𝑦= 3𝑥-1\nC. 𝑦= -3𝑥+ 1\nD. 𝑦= -3𝑥-1","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.7) znajduje obrazy niektórych figur\ngeometrycznych ([…] prostej […])\nw […] symetrii środkowej względem\npoczątku układu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPrzekątna ściany sześcianu ma długość 2√2.\nObjętość tego sześcianu jest równa\nA. 8\nB. 24\nC. 16√6\n9\nD. 16√2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza […] objętość graniastosłupa\nprostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPodstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.\nPrzekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼 takim,\nże tg 𝛼= 2 (zobacz rysunek).\nWysokość tego graniastosłupa jest równa\nA. 2\nB. 8\nC. 8√2\nD. 16√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nOstrosłup prawidłowy ma 2024 ściany boczne.\nLiczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa\nA. 2025\nB. 2026\nC. 4048\nD. 4052","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.1) rozpoznaje […] ostrosłupy\nprawidłowe.\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDługość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa 4.\nPole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe 56.\nWysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka 𝑆 do krawędzi podstawy 𝐴𝐵 tego\nostrosłupa jest równa\nA. 3\nB. 5\n2\nC. 21\n2\nD. 5\n𝛼\n4\n4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\nostrosłupa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nŚrednia arytmetyczna ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest\nrówna\nA. 3\nB. 3,12\nC. 3,5\nD. 4,1(6)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.3) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują tylko cyfry 2, 4, 7 (np. 7272, 2222, 7244), jest\nA. 16\nB. 27\nC. 54\nD. 81","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.1) […] stosuje regułę mnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nW pudełku znajdują się wyłącznie kule białe i czarne. Kul czarnych jest 18.\nZ tego pudełka w sposób losowy wyciągamy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wyciągniemy kulę czarną,\njest równe 3\n5\nLiczba kul białych w pudełku, przed wyciągnięciem jednej kuli, była równa\nA. 9\nB. 12\nC. 15\nD. 30\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n9\n10\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝑥(3𝑥-1) + 4 < 7𝑥\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nzapisanie zbioru rozwiązań nierówności: (2\n3 , 2) lub 𝑥∈(2\n3 , 2)\nALBO\n- spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -8𝑥+ 4:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2\nALBO\n- odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 -8𝑥+ 4 i zapisanie miejsc zerowych\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2 .\n2\n3\n𝑥\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, realizując pierwszy etap rozwiązania zadania, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozpoczynając realizację pierwszego etapu rozwiązania, rozpatruje inny niż\npodany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika z błędu przekształcenia (np.\n3𝑥2 -𝑥+ 4), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np. 3𝑥2 -𝑥+ 4 < 0), to\noznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈〈2\n3 , 2〉, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (2, 2\n3), to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -8𝑥+ 4 < 0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n3𝑥2 -8𝑥+ 4.\nObliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 16 i obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = 2\n3 oraz 𝑥2 = 2.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (2\n3 , 2) lub 𝑥∈(2\n3 , 2) lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej:\n2\n3\n𝑥\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nParabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej 𝑓, ma z osiami układu współrzędnych (𝑥, 𝑦)\ndokładnie dwa punkty wspólne: 𝑀= (0, 18) oraz 𝑁= (3, 0).\nWyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝑓.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i zapisanie wzoru funkcji 𝑓 z poprawnymi wartościami\nwspółczynników, np.: 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2, 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej z uwzględnieniem, że punkt 𝑁 jest\nwierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2\nALBO\n- zapisanie wartości wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.: 𝑐= 18, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 18 ,\nALBO\n- zapisanie równania 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 ,\nALBO\n- zapisanie równania -𝑏\n2𝑎= 3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc jest to wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓.\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2, gdzie 𝑎≠0\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎(0 -3)2 = 18\n9𝑎= 18\n𝑎= 2\nZatem 𝑓(𝑥) = 2(𝑥-3)2 .\nSposób II\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0 oraz 𝑏, 𝑐∈ℝ\nPunkt 𝑀= (0, 18) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem\n𝑓(0) = 18\n𝑎∙02 + 𝑏∙0 + 𝑐= 18\n𝑐= 18\nPonieważ punkt 𝑁= (3, 0) jest jedynym punktem wspólnym wykresu funkcji 𝑓 i osi 𝑂𝑥,\nwięc liczba 3 jest jedynym miejscem zerowym tej funkcji.\nStąd otrzymujemy:\nΔ = 𝑏2 -4𝑎𝑐= 0 oraz 𝑥0 = -𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏2 -4𝑎⋅18 = 0 oraz 𝑏= -6𝑎\nZatem\n(-6𝑎)2 -4𝑎⋅18 = 0\n36𝑎2 -72𝑎= 0\n36𝑎(𝑎-2) = 0\n𝑎= 0 lub 𝑎= 2\nFunkcja 𝑓 jest kwadratowa, więc 𝑎= 2 i wówczas 𝑏= -6𝑎= -12 .\nZatem 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 -12𝑥+ 18 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nprawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1)\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) do postaci\n(𝑥-1)2 + (7𝑦-1)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że\n(𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią i suma (𝑥-1)2 + (7𝑦-1)2 jest liczbą dodatnią\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -2𝑥+ (49𝑦2 -14𝑦+ 2)\nzmiennej 𝑥 oraz uzasadnienie, że jest on niedodatni, oraz uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) dla 𝑦= 1\n7\n,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 49𝑦2 -14𝑦+ (𝑥2 -2𝑥+ 2)\nzmiennej 𝑦 oraz uzasadnienie, że ten wyróżnik jest ujemny dla każdego 𝑥≠1,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz poprawne uzasadnienie\nprawdziwości nierówności 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) dla każdego 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ na podstawie\nanalizy zbiorów wartości obu funkcji.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) do postaci\n(𝑥-1)2 + (7𝑦-1)2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 -2𝑥+ (49𝑦2 -14𝑦+ 2)\nzmiennej 𝑥 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(14𝑦-2)2\nbądź Δ = -4(7𝑦-1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku\ntego wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -196𝑦2 + 56𝑦-4),\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 49𝑦2 -14𝑦+ (𝑥2 -2𝑥+ 2)\nzmiennej 𝑦 oraz przekształcenie tego wyróżnika do postaci Δ = -(14𝑥-14)2\nbądź Δ = -196(𝑥-1)2 lub (zamiast przekształcenia wyróżnika) zbadanie znaku\ntego wyróżnika (np. obliczenie wyróżnika trójmianu -196𝑥2 + 392𝑥-196),\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦) oraz zbadanie zbioru wartości\njednej z funkcji: 𝑓 albo 𝑔.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) w sposób równoważny:\n𝑥2 -2𝑥+ 1 + 49𝑦2 -14𝑦 + 1 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów\n(𝑥-1)2 + (7𝑦-1)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠1, więc (𝑥-1)2 jest liczbą dodatnią. Liczba (7𝑦-1)2 jest\nliczbą nieujemną, zatem suma (𝑥-1)2 + (7𝑦-1)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) i otrzymujemy\n𝑥2 -2𝑥+ 49𝑦2 -14𝑦+ 2 > 0.\nWyrażenie 𝑥2 -2𝑥+ (49𝑦2 -14𝑦+ 2) traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅(49𝑦2 -14𝑦+ 2)\nΔ = 4 -196𝑦2 + 56𝑦-8\nΔ = -196𝑦2 + 56𝑦-4\nΔ = -4(49𝑦2 -14𝑦+ 1)\nΔ = -4(7𝑦-1)2\nGdy 𝑦≠1\n7, to Δ < 0 i funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -2𝑥+ (49𝑦2 -14𝑦+ 2)\nzmiennej 𝑥 nie ma miejsc zerowych, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze\nzmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych.\nZatem funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie.\nGdy 𝑦= 1\n7, to Δ = 0 i funkcja 𝑓 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 1. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠1.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nnierówność 𝑥2 -2𝑥+ (49𝑦2 -14𝑦+ 2) > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (poprzez analizę zbioru wartości dwóch funkcji)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) do postaci\n𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦), następnie analizujemy zbiory wartości funkcji 𝑓 (określonej dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠ 1) oraz funkcji 𝑔 (określonej dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦). Takie\nprzekształcenie równoważne nierówności można wykonać na różne sposoby, np. tak:\n𝑥2 -2𝑥+ 1 > -49𝑦2 + 14𝑦-1 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ\nOtrzymaną postać nierówności przekształcamy do postaci\n(𝑥-1)2 > -(7𝑦-1)2 oraz 𝑥≠1 i 𝑦∈ℝ\nRozważamy funkcje 𝑓 i 𝑔 takie, że\n𝑓(𝑥) = (𝑥-1)2 dla 𝑥≠1 oraz 𝑔(𝑦) = -(7𝑦-1)2 dla 𝑦∈ℝ\nZbiorami wartości tych funkcji są przedziały: 𝑍𝑊𝑓= (0, +∞) oraz 𝑍𝑊𝑔= (-∞, 0].\nZauważmy, że każda wartość funkcji 𝑓 jest większa od każdej wartości funkcji 𝑔.\nTo oznacza, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥≠1 oraz dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦\nzachodzi nierówność 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑦).\nZatem nierówność 𝑥2 + 49𝑦2 > 2(𝑥+ 7𝑦-1) jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥≠1 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nBok kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość równą 12. Punkt 𝑆 jest środkiem boku 𝐵𝐶 tego\nkwadratu. Na odcinku 𝐴𝑆 leży punkt 𝑃 taki, że odcinek 𝐵𝑃 jest prostopadły do odcinka 𝐴𝑆.\nOblicz długość odcinka 𝐵𝑃.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nG10.7) stosuje twierdzenie Pitagorasa.\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝑃: |𝐵𝑃| = 12√5\n5\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 6√5\nALBO\n- obliczenie sinusa lub cosinusa jednego z kątów ostrych w trójkącie 𝐴𝐵𝑃 lub 𝐵𝑆𝑃,\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝑃| = 2|𝐵𝑃|,\nALBO\n- zapisanie równości |𝑃𝑆| = 1\n2 |𝐵𝑃|,\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝑀𝐵 (gdzie 𝑀 jest rzutem prostokątnym punktu 𝑃 na\nodcinek 𝐴𝐵): |𝑀𝐵| = 12\n5\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆 (jak na rysunku).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆\n|𝐴𝑆|2 = 122 + 62\n|𝐴𝑆|2 = 180\n|𝐴𝑆| = √180 = 6√5\nPonieważ odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta prostokątnego poprowadzoną na\nprzeciwprostokątną, więc\n|𝐵𝑃| =\n|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝑆|\n|𝐴𝑆|\n= 12 ⋅6\n6√5\n= 12\n√5\n= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób II\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆 (jak na rysunku).\nZ twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆\n|𝐴𝑆|2 = 122 + 62\n|𝐴𝑆|2 = 180\n|𝐴𝑆| = √180 = 6√5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest równe\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 1\n2 ⋅6√5 ⋅|𝐵𝑃|\nPonadto pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 można obliczyć jako połowę iloczynu długości przyprostokątnych\n𝑃𝐴𝐵𝑆= 1\n2 ⋅12 ⋅6 = 36\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\nZatem\n1\n2 ⋅6√5 ⋅|𝐵𝑃| = 36\n|𝐵𝑃| = 72\n6√5\n= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób III\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n|∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\nZatem trójkąty 𝐴𝐵𝑆, 𝐴𝑃𝐵, 𝐵𝑃𝑆 są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.\nOznaczmy:\n𝑥= |𝑃𝑆|\n𝛼= |∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n𝛽= 90° -𝛼= |∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝛽\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWtedy\ntg 𝛼= 1\n2\n, |𝐵𝑃| = 2𝑥, |𝐴𝑃| = 4𝑥, |𝐴𝑆| = 5𝑥.\nZ twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta 𝐴𝐵𝑆) obliczamy długość odcinka 𝐴𝑆\n|𝐴𝑆|2 = 122 + 62\n|𝐴𝑆| = √180 = 6√5\nZatem\n5𝑥= 6√5\n𝑥= 6√5\n5\n|𝐵𝑃| = 2𝑥= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób IV\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆.\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n|∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\nZatem trójkąty 𝐴𝐵𝑆 i 𝐵𝑃𝑆 są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\n𝛼\n𝛽\n𝛽\nOznaczmy:\n𝑥= |𝐵𝑃|\n𝛼= |∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝑃𝐵𝑆|\n𝛽= 90° -𝛼= |∢𝐴𝐵𝑃| = |∢𝐵𝑆𝑃|\nWtedy\ntg 𝛼= 1\n2\n|𝑃𝑆| = 1\n2 𝑥\nZ twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta 𝐵𝑃𝑆) obliczamy długość odcinka 𝐵𝑃\n|𝐵𝑃|2 + |𝑃𝑆|2 = 62\n𝑥2 + (1\n2 𝑥)\n2\n= 36\n5\n4 𝑥2 = 36\n𝑥2 = 144\n5\n𝑥= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\nSposób V\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆.\nPoprowadźmy odcinek 𝑃𝑀 prostopadły do odcinka 𝐴𝐵 (jak na rysunku).\nZ warunków zadania otrzymujemy:\n|∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝐵𝑃𝑀|\n|∢𝐴𝑆𝐵| = |∢𝐴𝑃𝑀| = |∢𝑃𝐵𝑀|\nZatem trójkąty 𝐴𝐵𝑆, 𝐴𝑀𝑃, 𝑃𝑀𝐵 są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOznaczmy:\n𝑥= |𝑀𝐵|\n𝛼= |∢𝐵𝐴𝑃| = |∢𝐵𝑃𝑀|\n𝛽= 90° -𝛼= |∢𝐴𝑆𝐵| = |∢𝐴𝑃𝑀| = |∢𝑃𝐵𝑀|\nWtedy\ntg 𝛼= 1\n2\n, |𝑀𝑃| = 2𝑥, |𝐴𝑀| = 4𝑥, |𝐴𝐵| = 5𝑥= 12.\nZatem 𝑥= 12\n5\nZ twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta 𝑀𝐵𝑃) obliczamy długość odcinka 𝐵𝑃\n|𝐵𝑃|2 = |𝑀𝐵|2 + |𝑀𝑃|2\n|𝐵𝑃|2 = (12\n5 )\n2\n+ (24\n5 )\n2\n|𝐵𝑃|2 = 720\n25\n|𝐵𝑃| = √720\n25 = 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\n𝛽\n𝛽\n𝑀\n𝛼\n𝛽\nSposób VI\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐶, więc |𝐵𝑆| = 6.\nTrójkąt 𝐴𝐵𝑆 jest prostokątny. Odcinek 𝐵𝑃 jest wysokością trójkąta 𝐴𝐵𝑆 poprowadzoną\nna przeciwprostokątną 𝐴𝑆 (jak na rysunku).\nOznaczmy: 𝛼= |∢𝐵𝐴𝑆|. Wtedy tg 𝛼= 1\n2\n, zatem sin𝛼\ncos𝛼= 1\n2\n. Stąd cos 𝛼= 2 ⋅sin 𝛼.\nWykorzystując tę zależność oraz tożsamość sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 otrzymujemy\nsin2 𝛼+ (2 ⋅sin 𝛼)2 = 1\n5 sin2 𝛼= 1\nsin2 𝛼= 1\n5\nStąd sin 𝛼= 1\n√5\n, ponieważ 𝛼 jest kątem ostrym.\nZatem\n|𝐵𝑃|\n|𝐴𝐵| = 1\n√5\n|𝐵𝑃|\n12 = 1\n√5\n|𝐵𝑃| = 12\n√5\n= 12√5\n5\nDługość odcinka 𝐵𝑃 jest równa 12√5\n5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n𝑃\n12\n6\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nTrzywyrazowy ciąg (4𝑥2 -1, 2𝑥2 + 1, 1 -𝑥) jest arytmetyczny.\nOblicz 𝑥.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -2.\n1 pkt - zastosowanie własności/definicji ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\n4𝑥2-1+1-𝑥\n2\n= 2𝑥2 + 1 lub (2𝑥2 + 1) -(4𝑥2 -1) = (1 -𝑥) -(2𝑥2 + 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze równanie 2𝑥2 + 1 -4𝑥2 -1 = 1 -𝑥-2𝑥2 + 1 (tj. nie\nuwzględnia istotnych nawiasów) i rozwiąże je konsekwentnie do końca, to otrzymuje 1\npunkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n4𝑥2 -1 + 1 -𝑥\n2\n= 2𝑥2 + 1\n4𝑥2 -𝑥= 4𝑥2 + 2\n𝑥= -2\nSposób II\nZ definicji/własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n(2𝑥2 + 1) -(4𝑥2 -1) = (1 -𝑥) -(2𝑥2 + 1)\nStąd\n-2𝑥2 + 2 = -𝑥-2𝑥2\n𝑥= -2","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że w pierwszym rzucie\nwypadnie większa liczba oczek niż w drugim rzucie.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 15\n36\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅6 lub sporządzenie tabeli o 36 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających\nzdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 15, jeśli nie została otrzymana w wyniku zastosowania błędnej metody,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n36\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 5\n12\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 15\n36\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 5 i 12 lub 15 i 36 i z rozwiązania nie wynika\nznaczenie tych liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n𝟏\n𝟐\n𝟑\n𝟒\n𝟓\n𝟔\n𝟏\n𝟐\n𝐴\n𝟑\n𝐴\n𝐴\n𝟒\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝟓\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝟔\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 36.\nZdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 15.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 15\n36 = 5\n12\nSposób II (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n6 ⋅1\n6 + 1\n6 ⋅2\n6 + 1\n6 ⋅3\n6 + 1\n6 ⋅4\n6 + 1\n6 ⋅5\n6 = 15\n36 = 5\n12\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n1\n2\n1\n2\n3\n1\n2\n3\n4\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n6\n2\n6\n3\n6\n4\n6\n5\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są punkty 𝐴= (2, 8) oraz 𝐵= (10, 2).\nSymetralna odcinka 𝐴𝐵 przecina oś 𝑂𝑥 układu współrzędnych w punkcie 𝑃.\nOblicz współrzędne punktu 𝑃 oraz obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\n[…] prostopadła do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝑃 oraz obwodu 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝑃\noraz poprawne wyniki: 𝑃= (9\n4 , 0), 𝐿= 5√41\n2\n+ 10 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑃 oraz obliczenie długości jednego z boków\ntrójkąta 𝐴𝐵𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0) oraz |𝐴𝐵| = 10 (lub |𝐴𝑃| = 5√41\n4\n).\n3 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10 oraz spełnienie jednego z poniższych\nwarunków:\n1) wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4\n3 𝑥-3\n2) zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0\n3) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\nwierzchołka 𝑃, wynikające z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.\n(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝑃: 𝑃= (9\n4 , 0).\n2 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10 oraz spełnienie jednego z poniższych\nwarunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3\n4 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0)\n3) zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4) zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.: √(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2\nALBO\n- wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵 : 𝑦= 4\n3 𝑥-3,\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2 i 𝑦𝑝= 0\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝑃,\nwynikającego z prostopadłości odpowiednich wektorów, np.:\n(-4) ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 10\nALBO\n- spełnienie jednego z poniższych warunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (6, 5)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -3\n4 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 3𝑥+ 4𝑦-38 = 0)\n3) zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝑃 np.: 𝑦𝑝= 0, 𝑃= (𝑥𝑝, 0)\n4) zapisanie równości |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| w zależności od współrzędnych punktu\n𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝), np.: √(𝑥𝑝-2)\n2 + (𝑦𝑝-8)\n2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (𝑦𝑝-2)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝑃 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝑃 i zapisuje 𝑃= (9\n4 , 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝑃, to otrzymuje 0 punktów).\n3. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝑃= (9\n4 , 0), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝑃= (9\n4 , 0) i dalej kontynuuje\nrozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n4. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka\nd) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów\ne) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów\nw kartezjańskim układzie współrzędnych\nf) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej\ng) przyjęcie, że wierzchołek 𝑃 leży poza osią 𝑂𝑥,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to może otrzymać\nco najwyżej 1 punkt, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n5. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝑃 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca\nniewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 2 -8\n10 -2 = -3\n4\nZatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy\n𝑎𝑘= 4\n3\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci\n𝑦= 4\n3 (𝑥-6) + 5\n𝑦= 4\n3 𝑥-3\nPunkt 𝑃 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝑃= (𝑥𝑝, 𝑦𝑝) spełniają równania\n𝑦𝑝= 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = 4\n3 𝑥𝑝-3 oraz 𝑦𝑝= 0\n𝑥𝑝= 9\n4 oraz 𝑦𝑝= 0\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0)\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\n|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10\nObliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n𝐿= 2 ⋅5√41\n4\n+ 10 = 5√41\n2\n+ 10\nSposób II\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nPonieważ punkt 𝑃 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵, więc |𝐴𝑃| = |𝐵𝑃|.\nStąd i ze wzoru na odległość między dwoma punktami otrzymujemy równanie\n√(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = √(𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n(𝑥𝑝-2)\n2 + (0 -8)2 = (𝑥𝑝-10)\n2 + (0 -2)2\n𝑥𝑝\n2 -4𝑥𝑝+ 4 + 64 = 𝑥𝑝\n2 -20𝑥𝑝+ 100 + 4\n16𝑥𝑝= 36\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\n|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10\nObliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n𝐿= 2 ⋅5√41\n4\n+ 10 = 5√41\n2\n+ 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPonieważ punkt 𝑃 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝑃= (𝑥𝑝, 0).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (2 + 10\n2\n, 8 + 2\n2\n) = (6, 5)\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [2 -6, 8 -5] = [-4, 3]\n𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝑝-6, 0 -5] = [𝑥𝑝-6, -5]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem\n-4 ∙(𝑥𝑝-6) + 3 ∙(-5) = 0\n-4𝑥𝑝+ 24 -15 = 0\n𝑥𝑝= 9\n4\nZatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (9\n4 , 0).\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n|𝐴𝑃| = |𝐵𝑃| = √(9\n4 -2)\n2\n+ (0 -8)2 = √(1\n4)\n2\n+ (-8)2 = √1\n16 + 64 = √1025\n16\n= 5√41\n4\n|𝐴𝐵| = √(10 -2)2 + (2 -8)2 = √(8)2 + (-6)2 = √64 + 36 = √100 = 10\nObliczamy obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑃:\n𝐿= 2 ⋅5√41\n4\n+ 10 = 5√41\n2\n+ 10\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin dodatkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -8𝑥+ 4, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 -𝑥+ 4 < 0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (2, 2\n3), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝑃𝐵 są podobne\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑃𝐵 oraz 𝐵𝑃𝑆 są podobne.\nZadanie 34.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi: 𝑥 oraz 𝑟 (gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu\narytmetycznego), np. 4𝑥2 -1 + 𝑟= 2𝑥2 + 1.\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 14) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 14\n36), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}