{"paper":{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":35,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczby 𝑥1 i 𝑥2 są różnymi rozwiązaniami równania |𝑥+ 4| = 7.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma 𝑥1 + 𝑥2 jest równa\nA. (-14)\nB. (-8)\nC. 3\nD. 8\nLiczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x+4|=7. Suma x_1+x_2 jest równa A. (-14) B. (-8) C. 3 D. 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania typu: |𝑥+ 4| = 5.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Równanie z wartością bezwzględną rozpatrujemy w dwóch przypadkach:\n\nx+4=7 lub x+4=-7\n\nx_1=3, x_2=-11\n\nZatem\n\nx_1+x_2=3+(-11)=-8.\n\nOdpowiedź: B. (-8).","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (√5\n5\n⋅1\n5)\n-5\njest równa\nA. 54\nB. 5-4\nC. 50,25\nD. 5-0,25\n\nMMAP-P0_100\nLiczba (pierwiastek 5 stopnia z 5 razy 1/5)^5 jest równa A. 5^4 B. 5^{-4} C. 5^0,25 D. 5^{-0,25}","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).","solution":"Zapisujemy pierwiastek i ułamek jako potęgi liczby 5 :\n\n(√[5](5)·(1)/(5) )^-5\n= (5^(1)/(5)· 5^-1 )^-5\n\n= (5^-(4)/(5) )^-5\n=5^4.\n\nOdpowiedź: A. 5^4 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że liczba 𝟐𝟏𝟎𝟎+ 𝟒𝟒𝟗+ 𝟏𝟔𝟐𝟒 jest podzielna przez 𝟐𝟏.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że liczba 2^100+4^49+16^24 jest podzielna przez 21.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych […];\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 21 ⋅𝑛, gdzie 𝑛 jest liczbą\nnaturalną, np.: 296 ⋅21, 448 ⋅21.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 2100 + 298 + 296\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 450 + 449 + 448,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 2100 + 449 + 1624 do postaci 1625 + 1624 ⋅4 + 1624.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n2100 + 449 + 1624 = 2100 + (22)49 + (24)24 = 2100 + 298 + 296\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n2100 + 298 + 296 = 296 ⋅(24 + 22 + 1) = 296 ⋅21\nLiczba 296 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.\nSposób II\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n2100 + 449 + 1624 = (22)50 + 449 + (42)24 = 450 + 449 + 448\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\n450 + 449 + 448 = 448 ⋅(42 + 4 + 1) = 448 ⋅21\nLiczba 448 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.\nSposób III\nKorzystamy z własności działań na potęgach i otrzymujemy:\n2100 + 449 + 1624 = (24)25 + (42)24 ⋅4 + 1624 = 1625 + 1624 ⋅4 + 1624\nWyłączamy wspólny czynnik przed nawias\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1625 + 1624 ⋅4 + 1624 = 1624 ⋅(16 + 4 + 1) = 1624 ⋅21\nLiczba 1624 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.","solution":"Sprowadzamy wszystkie składniki do potęg o podstawie 2 :\n\n2^100+4^49+16^24\n=2^100+(2^2)^49+(2^4)^24\n\n=2^100+2^98+2^96.\n\nWyłączamy przed nawias 2^96 :\n\n2^96 (2^4+2^2+1 )\n=2^96(16+4+1)\n=21· 2^96.\n\nOtrzymana liczba ma czynnik 21 , więc jest podzielna przez 21 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Dowody algebraiczne, wykladnicza","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑦\nwartość wyrażenia log7 𝑥+ 6 log7 𝑦 jest równa wartości wyrażenia\nA. log7 ( 𝑥\n𝑦6)\nB. log7(𝑥𝑦)6\nC. log7(6𝑥𝑦)\nD. log7(𝑥𝑦6)\nDla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia log_7 x + 6log_7 y jest równa wartości wyrażenia A. log_7 (x/y^6) B. log_7 (xy)^6 C. log_7 (6xy) D. log_7 (xy^6)⋅","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) […] posługuje się wzorami na logarytm\niloczynu […] i logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Korzystamy z własności logarytmów:\n\n6log_7 y=log_7(y^6).\n\nZatem\n\nlog_7 x+6log_7 y\n=log_7 x+log_7(y^6)\n=log_7(xy^6).\n\nOdpowiedź: D. \\log_7(xy^6) .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nPani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym\nokresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości 𝑝% w skali roku od kwoty\nbieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym.\nNa koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 67 925,76 zł wraz\nz odsetkami (bez uwzględniania podatków).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOprocentowanie lokaty w skali roku było równe\nA. 6%\nB. 6,4%\nC. 6,5%\nD. 7%\n\nMMAP-P0_100\nPani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości p% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie - zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 67925,76 zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe A. 6% B. 6,4% C. 6,5% D. 7%","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nZdający:\nI.8) wykorzystuje własności potęgowania\ni pierwiastkowania w sytuacjach\npraktycznych, w tym do obliczania\nprocentów składanych, zysków z lokat\ni kosztów kredytów.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Po dwóch latach wartość lokaty wynosi\n\n60000 (1+(p)/(100) )^2=67925 , 76.\n\nDzielimy obie strony przez 60000 :\n\n(1+(p)/(100) )^2=1 , 132096.\n\nPonieważ\n\n1 , 064^2=1 , 132096,\n\nto\n\n1+(p)/(100)=1 , 064,\n(p)/(100)=0 , 064,\np=6 , 4.\n\nOdpowiedź: B. 6,4%.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Procenty, ciagi","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od (-1), 0 oraz 1 wartość wyrażenia\n𝑥\n𝑥2 - 1 ∶3𝑥2\n𝑥 + 1 jest równa wartości wyrażenia\nA. 𝑥\n𝑥-1\nB.\n1\n3𝑥2-3𝑥\nC. -3𝑥\nD. -1\n3𝑥\nDla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (-1), 0 oraz 1 wartość wyrażenia x/x^2-1 : 3x^2/x+1 jest równa wartości wyrażenia A. x/x-1 B. 1/3x^2-3x C. -3x D. -1/3x","answer":"B","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.4) […] dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność:\n\n(x)/(x^2-1):(3x^2)/(x+1)\n=(x)/((x-1)(x+1))·(x+1)/(3x^2).\n\nSkracamy x+1 oraz jeden czynnik x :\n\n(1)/(3x(x-1))\n=(1)/(3x^2-3x).\n\nOdpowiedź: B. 13x2-3x.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Funkcja wymierna, algebra","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nPara liczb 𝑥= -1 i 𝑦= 6 jest rozwiązaniem układu równań\n{𝑎𝑥+ 3𝑦= 20\n𝑥+ 𝑏𝑦= 5\ngdzie 𝑎 oraz 𝑏 są liczbami rzeczywistymi.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 𝑎⋅𝑏 jest równa\nA. (-2)\nB. (-0,5)\nC. 0,5\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nPara liczb x=-1 i y=6 jest rozwiązaniem układu równań {ax+3y=20 x+by=5 gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi. Wartość wyrażenia a⋅ b jest równa A. (-2) B. (-0,5) C. 0,5 D. 2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Podstawiamy x=-1 i y=6 do pierwszego równania:\n\na·(-1)+3·6=20\n\n-a+18=20,\na=-2.\n\nZ drugiego równania:\n\n-1+6b=5\n\n6b=6,\nb=1.\n\nZatem\n\na· b=(-2)·1=-2.\n\nOdpowiedź: A. (-2).","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝒙+ 𝟑\n𝒙-𝟏=\n𝒙\n𝟐𝒙-𝟐\nZapisz konieczne założenie i obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie x+3/x-1 = x/2x-2. Zapisz konieczne założenie i obliczenia.","answer":"x = -6","answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.1) przekształca równania i nierówności\nw sposób równoważny, w tym np.\nprzekształca równoważnie równanie\n5\n𝑥 + 1 = 𝑥 + 3\n2𝑥-1;\nIII.4) rozwiązuje równania […] kwadratowe.\nSP VI. Równania z jedną niewiadomą.\n3) rozwiązuje równania, które po prostych\nprzekształceniach wyrażeń algebraicznych\nsprowadzają się do równań pierwszego\nstopnia z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1, oraz poprawny\nwynik: 𝑥= -6.\n2 pkt - przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.\n2(𝑥+ 3) = 𝑥, oraz rozwiązanie tego równania: 𝑥= -6\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), oraz rozwiązanie tego równania:\n𝑥= -6 oraz 𝑥= 1,\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.\n2(𝑥+ 3) = 𝑥, oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1,\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), oraz zapisanie założenia: 𝑥≠1.\n1 pkt - przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania liniowego, np.\n2(𝑥+ 3) = 𝑥\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 do równania kwadratowego, np.\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1),\nALBO\n- zapisanie założenia: 𝑥≠1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający stosuje metodę analizy starożytnych i nie zapisze założenia, ale uwzględni je\nw końcowej odpowiedzi, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKażde z wyrażeń: 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 ,\n𝑥\n2𝑥 - 2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠1.\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n𝑥+ 3\n𝑥-1 =\n𝑥\n2𝑥-2 /⋅2(𝑥-1), gdzie 𝑥≠1\n2(𝑥+ 3) = 𝑥, gdzie 𝑥≠1\nRozwiązujemy otrzymane równanie liniowe:\n2𝑥+ 6 = 𝑥\n𝑥= -6\nRozwiązaniem równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 jest liczba (-6).\nSposób II\nKażde z wyrażeń: 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 ,\n𝑥\n2𝑥 - 2 ma sens liczbowy dla 𝑥≠1.\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\n𝑥+ 3\n𝑥-1 =\n𝑥\n2𝑥-2\n(𝑥+ 3)(2𝑥-2) = 𝑥(𝑥-1), gdzie 𝑥≠1\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe:\n2𝑥2 -2𝑥+ 6𝑥-6 = 𝑥2 -𝑥\n𝑥2 + 5𝑥-6 = 0\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 5𝑥-6:\nΔ = 52 -4 ⋅1 ⋅(-6) = 49\nStąd\n𝑥1 = -5 -√49\n2 ⋅1\n= -6\n𝑥2 = -5 + √49\n2 ⋅1\n= 1\nWobec założenia 𝑥≠1 jedynym rozwiązaniem równania 𝑥 + 3\n𝑥 - 1 =\n𝑥\n2𝑥 - 2 jest liczba (-6).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Najpierw zapisujemy konieczne założenie:\n\nx-1≠0,\n2x-2≠0,\nx≠1.\n\nMnożymy obie strony równania przez (x-1)(2x-2) :\n\n(x+3)(2x-2)=x(x-1).\n\nRozwijamy nawiasy i przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę:\n\n2x^2+4x-6=x^2-x,\n\nx^2+5x-6=0.\n\nObliczamy deltę:\n\nΔ=5^2-4·1·(-6)=25+24=49.\n\n√(Δ)=7.\n\nWyznaczamy pierwiastki równania:\n\nx_1=(-5-7)/(2)=-6,\n\nx_2=(-5+7)/(2)=1.\n\nSprawdzamy otrzymane wyniki z założeniem x≠1 . Liczba x_2=1 nie należy do dziedziny równania, więc ją odrzucamy. Jedynym rozwiązaniem jest:\n\nx=-6.\n\nOdpowiedź: x=-6 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝒙(𝒙-𝟔) ≤𝟕\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność x(x-6) ≤ 7.","answer":"x ∈ [-1, 7]","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie warunku określonego w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zapisanie\nzbioru rozwiązań nierówności: 𝑥∈[-1, 7]\nALBO\n- spełnienie warunku określonego w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów.\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 -6𝑥-7:\n𝑥1 = -1 oraz 𝑥2 = 7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 -6𝑥-7, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥2 -6𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n𝑥2 -6𝑥≤0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈(-1, 7)), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci [7, -1], to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 -6𝑥-7 ≤0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 𝑥2 -6𝑥-7.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 -6𝑥-7:\nΔ = (-6)2 -4 ⋅1 ⋅(-7) = 64\nStąd\n𝑥1 = -(-6) -√64\n2 ⋅1\n= -1\n𝑥2 = -(-6) + √64\n2 ⋅1\n= 7\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 -6𝑥-7.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział [-1, 7].\n-1\n7\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:\n\nx(x-6)≤ 7\n\nx^2-6x-7≤0.\n\nRozkładamy trójmian na czynniki:\n\nx^2-6x-7=(x+1)(x-7).\n\nMiejsca zerowe to\n\nx_1=-1, x_2=7.\n\nWspółczynnik przy x^2 jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę.\n\nWartości funkcji są niedodatnie pomiędzy miejscami zerowymi, wraz z końcami przedziału. Zatem\n\nx∈[-1,7].","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"10","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n3\ndla 𝑥∈(-4, -2]\n-𝑥+ 1\ndla 𝑥∈(-2, 2]\n𝑥-3\ndla 𝑥∈(2, 4]\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości ujemne, jest\nprzedział\n4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje największą wartość,\njest przedział\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n10.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {3 dla x∈(-4,-2>; -x+1 dla x∈(-2,2>; x-3 dla x∈(2,4> Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział .................. . 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział .................. . 3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne, jest przedział .................. . 4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje największą wartość, jest przedział .................. .","answer":"1. (-4,4]\n\n2. [-1,3]\n\n3. (1,3)\n\n4. (-4,-2]","answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów […].\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości, […] przedziały, w których\nfunkcja przyjmuje wartości większe (nie\nmniejsze) lub mniejsze (nie większe) od\ndanej liczby, […] argumenty, dla których\nwartości największe i najmniejsze są przez\nfunkcję przyjmowane.\nZasady oceniania\n4 pkt - zapisanie dokładnie czterech poprawnych odpowiedzi.\n3 pkt - zapisanie dokładnie trzech poprawnych odpowiedzi.\n2 pkt - zapisanie dokładnie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - zapisanie dokładnie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział (-4, 4].\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział [-1, 3].\n3. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje wartości ujemne, jest\nprzedział (1, 3).\n4. Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja 𝑓 przyjmuje największą wartość,\njest przedział (-4, -2].\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [4, -4), to otrzymuje 1 punkt\nza tak zapisaną odpowiedź.","solution":"Z definicji funkcji odczytujemy przedziały, dla których podano kolejne wzory.\n\n1. Dziedzinę tworzy suma przedziałów:\n\n(-4,-2]∪(-2,2]∪(2,4]=(-4,4].\n\n2. Pierwsza część przyjmuje wartość 3 . Druga część przyjmuje wartości od -1 do 3 , a trzecia - od -1 do 1 . Zatem:\n\nW_f=[-1,3].\n\n3. Dla argumentów z przedziału (1,3) wykres funkcji znajduje się pod osią OX , więc funkcja przyjmuje wartości ujemne.\n\nMożna to również sprawdzić z podanych wzorów. Dla drugiej części:\n\n-x+1<0 ⇔ x>1,\n\nczyli x∈(1,2] . Dla trzeciej części:\n\nx-3<0 ⇔ x<3,\n\nczyli x∈(2,3) . Łącznie:\n\nx∈(1,3).\n\n4. Największa wartość funkcji jest równa 3 i jest osiągana dla:\n\nx∈(-4,-2].","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej 𝑓 jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji 𝑓\nz osią 𝑂𝑦 kartezjańskiego układu współrzędnych (𝑥, 𝑦) ma współrzędne (0, 4) (zobacz\nrysunek).\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWspółczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji 𝑓, jest\nrówny (-2).\nP\nF\nPole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych\n(𝑥, 𝑦) oraz wykresem funkcji 𝑓 jest równe 8.\nP\nF\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) ma współrzędne (0,4) (zobacz rysunek). [rysunek] Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji f, jest równy (-2). | P | F | Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) oraz wykresem funkcji f jest równe 8. | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów […].\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach;\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej […] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"Wykres funkcji przechodzi przez punkty (0,4) oraz (2,0) . Współczynnik kierunkowy jest równy:\n\na=(0-4)/(2-0)=-2,\n\nwięc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.\n\nTrójkąt ograniczony osiami układu współrzędnych i wykresem funkcji ma przyprostokątne długości 2 i 4 . Jego pole wynosi:\n\nP=(1)/(2)·2·4=4.\n\nNie jest więc równe 8 . Drugie stwierdzenie jest fałszywe.\n\nOdpowiedź: P, F.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest\nparabola, której wierzchołkiem jest punkt (3, 0). Ta parabola przechodzi przez punkt\no współrzędnych (0, -9).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,-9). Funkcja f jest malejąca w przedziale A. (-∞,0> B. (-∞,3> C. <0,+∞) D. <3,+∞)","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale\nA. (-∞, 0]\nB. (-∞, 3]\nC. [0, +∞)\nD. [3, +∞)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,-9). Funkcja f jest malejąca w przedziale A. (-∞,0> B. (-∞,3> C. <0,+∞) D. <3,+∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nV.4) odczytuje […] przedziały\nmonotoniczności […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Wierzchołkiem paraboli jest punkt (3,0) , a punkt (0,-9) leży poniżej wierzchołka. Ramiona paraboli są więc skierowane w dół.\n\nFunkcja rośnie do argumentu 3 , a następnie maleje. Zatem jest malejąca w przedziale:\n\n[3,+∞).\n\nOdpowiedź: D.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-12.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"12.2","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nWzór funkcji 𝑓 zapisano w odpowiedziach oznaczonych literami: oraz\nA. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 -9\nB. 𝑓(𝑥) = -(𝑥-3)2\nC. 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 3)2\nD. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 6𝑥-9\nE. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 -6𝑥+ 9\nF. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 -6𝑥-9\n12.2.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100","answer":"BD","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nUwaga:\nJeżeli zdający wybierze trzy lub więcej odpowiedzi, to otrzymuje 0 punktów.\nRozwiązanie\nBD","solution":"Korzystamy z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne (3,0) , zapisujemy:\n\nf(x)=a(x-3)^2.\n\nParabola przechodzi przez punkt (0,-9) , więc:\n\n-9=a(0-3)^2=9a,\n\nstąd a=-1 . Otrzymujemy:\n\nf(x)=-(x-3)^2.\n\nJest to odpowiedź B.\n\nPo rozwinięciu:\n\nf(x)=-(x^2-6x+9)=-x^2+6x-9,\n\nczyli również odpowiedź D.\n\nOdpowiedź: B i D.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/12.3","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"12.3","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -1.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑔 ma jedno miejsce zerowe.\nP\nF\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) osią symetrii wykresu funkcji 𝑔\njest prosta o równaniu 𝑥= 3.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0). Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,-9). Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja g ma jedno miejsce zerowe. | P | F | W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x=3. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji […]\n𝑦= 𝑓(𝑥) + 𝑏.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Mamy:\n\ng(x)=f(x)-1=-(x-3)^2-1.\n\nPonieważ -(x-3)^2≤ 0 , to:\n\ng(x)≤ -1.\n\nFunkcja g nie ma miejsc zerowych, zatem pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.\n\nPrzesunięcie wykresu o jedną jednostkę w dół nie zmienia osi symetrii. Nadal jest nią prosta:\n\nx=3.\n\nDrugie stwierdzenie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-12.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-12.3.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcja logarytmiczna 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = log6 𝑥 dla każdej dodatniej liczby\nrzeczywistej 𝑥.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWartość funkcji 𝑓 dla argumentu 36 jest równa 6.\nP\nF\nFunkcja 𝑓 jest rosnąca.\nP\nF\nFunkcja logarytmiczna f jest określona wzorem f(x) = log_6 x dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wartość funkcji f dla argumentu 36 jest równa 6. | P | F | Funkcja f jest rosnąca. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.14) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Obliczamy:\n\nf(36)=log_6 36=log_6 6^2=2.\n\nWartość funkcji nie jest równa 6 , więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.\n\nPodstawa logarytmu jest większa od 1 , ponieważ 6>1 . Funkcja f(x)=log_6 x jest więc rosnąca.\n\nOdpowiedź: F, P.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja wykładnicza, logarytmy","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3 ⋅(-1)𝑛+ 10 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest geometryczny.\nP\nF\nSuma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa 80.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3⋅(-1)^n + 10 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest geometryczny. | P | F | Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu a_n jest równa 80. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.4) sprawdza, czy dany ciąg jest […]\ngeometryczny.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Kolejne wyrazy ciągu są równe:\n\na_1=3·(-1)+10=7,\n\na_2=3·1+10=13,\n\na_3=7, a_4=13.\n\nIlorazy kolejnych wyrazów nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.\n\nWśród ośmiu początkowych wyrazów cztery są równe 7 , a cztery są równe 13 . Zatem:\n\nS_8=4·7+4·13=28+52=80.\n\nDrugie stwierdzenie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzywyrazowy ciąg (5𝑚, 4 + 2𝑚, 𝑚) jest arytmetyczny, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-4)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 4\nTrzywyrazowy ciąg (5m, 4+2m, m) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa A. (-4) B. (-1) C. 1 D. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"W ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Zatem:\n\n4+2m=(5m+m)/(2).\n\nMnożymy obie strony równania przez 2 :\n\n8+4m=6m,\n\n2m=8,\n\nm=4.\n\nOdpowiedź: D. 4 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎2 = 1\n6 oraz 𝑎3 = 1\n9\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPiąty wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 1\n15\nB. 2\n27\nC. 4\n81\nD. 8\n243\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a_2=1/6 oraz a_3=1/9. Piąty wyraz ciągu (a_n) jest równy A. 1/15 B. 2/27 C. 4/81 D. 8/243","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.6) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Iloraz ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru:\n\nq=(a_3)/(a_2).\n\nPodstawiamy dane:\n\nq=frac (1)/(9) (1)/(6)\n=(1)/(9)· 6\n=(2)/(3).\n\nOd trzeciego do piątego wyrazu wykonujemy dwa kroki, więc:\n\na_5=a_3q^2.\n\nZatem:\n\na_5=(1)/(9) ((2)/(3) )^2\n=(1)/(9)·(4)/(9)\n=(4)/(81).\n\nOdpowiedź: C. (4)/(81) .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"17","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17.\nDany jest trójkąt prostokątny 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = √15 i |𝐵𝐶| = 8. Na przyprostokątnej\n𝐴𝐵 leży taki punkt 𝐷, że |𝐵𝐷| = 6 (zobacz rysunek).\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC|=√15 i |BC|=8. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD|=6 (zobacz rysunek). [rysunek] Tangens kąta ostrego ADC jest równy A. √15 B. 1/2 C. 7/8 D. √15/8","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-17.svg","topics":null,"page_from":16,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/17.1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"17.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSinus kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równy\nA. 1\n2\nB. 7\n8\nC.\n√15\n4\nD.\n√15\n8\nDany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym |AC|=√{15} i |BC|=8. Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D, że |BD|=6 (zobacz rysunek). [rysunek] Sinus kąta ostrego ABC jest równy A. 1/2 B. 7/8 C. √15/4 D. √15/8","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus\n[…] dla kątów od 0° do 180° […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Trójkąt ABC jest prostokątny, a przeciwprostokątna ma długość:\n\n|BC|=8.\n\nDla kąta ABC bokiem leżącym naprzeciw tego kąta jest AC , którego długość wynosi √(15) . Zatem:\n\nsin ∠ ABC=(|AC|)/(|BC|)\n=frac √(15) 8 .\n\nOdpowiedź: D. frac √(15) 8 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-17.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-17.1.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/17.2","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"17.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta ostrego 𝐴𝐷𝐶 jest równy\nA. √15\nB. 1\n2\nC. 7\n8\nD.\n√15\n8\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n6\n8\nξ15\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji […]\ntangens dla kątów od 0° do 180° […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Najpierw obliczamy długość przyprostokątnej AB . Z twierdzenia Pitagorasa:\n\n|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2,\n\n|AB|^2+15=64,\n\n|AB|^2=49,\n\n|AB|=7.\n\nPonieważ |BD|=6 , to:\n\n|AD|=|AB|-|BD|=7-6=1.\n\nW trójkącie prostokątnym ADC :\n\ntan ∠ ADC=(|AC|)/(|AD|)\n=frac √(15) 1\n=√(15).\n\nOdpowiedź: A. √(15) .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-17.2.webp","solution_image":null,"topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nKąt o mierze 𝛼 jest rozwarty oraz sin 𝛼=\n√3\n4\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nCosinus kąta o mierze 𝛼 jest równy\nA. (-\n√13\n4 )\nB. (-1\n2)\nC. 1\n2\nD.\n√13\n4\n\nMMAP-P0_100\nKąt o mierze α jest rozwarty oraz sinα = √3/4. Cosinus kąta o mierze α jest równy A. (-√13/4) B. (-1/2}) C. 1/2 D. √13/4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1.\n\nPodstawiamy sinα=frac √(3) 4 :\n\n(frac √(3) 4 )^2+cos^2α=1,\n\n(3)/(16)+cos^2α=1,\n\ncos^2α=(13)/(16).\n\nStąd:\n\n|cosα|=frac √(13) 4 .\n\nKąt α jest rozwarty, więc jego cosinus jest ujemny:\n\ncosα=-frac √(13) 4 .\n\nOdpowiedź: A. -frac √(13) 4 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"19","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-4)\nW trapezie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶𝐷 dłuższa podstawa 𝐴𝐵 ma długość 7,5.\nKrótsza przekątna 𝐴𝐶 ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne\n(zobacz rysunek).\nOblicz pole trapezu 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n𝐶\n7,5\n6\n19.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz pole trapezu ABCD.","answer":"22,14","answer_text":"Zadanie 19. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nSP IX. Wielokąty.\n2) stosuje wzory na pole trójkąta, […]\ntrapezu, a także do wyznaczania długości\nodcinków […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 22,14.\n3 pkt - obliczenie długości odcinków 𝐴𝐷 oraz 𝐶𝐷: |𝐴𝐷| = 3,6 oraz |𝐶𝐷| = 4,8\nALBO\n- obliczenie pól trójkątów 𝐴𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐴𝐷: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 13,5 oraz 𝑃𝐶𝐴𝐷= 8,64.\n2 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐴𝐷: |𝐴𝐷| = 3,6\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐶𝐷: |𝐶𝐷| = 4,8,\nALBO\n- obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 13,5.\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 4,5\nALBO\n- zapisanie równania wynikającego z podobieństwa trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐶𝐴𝐷, np.\n|𝐶𝐷|\n|𝐴𝐶| = |𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵|\n,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest podobny do trójkąta 𝐶𝐴𝐷 w skali 𝑘= 7,5\n6\n,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąt 𝐶𝐴𝐷 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w skali 𝑘= 6\n7,5\n,\nALBO\n- zapisanie, że |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐷| oraz obliczenie cosinusa kąta 𝐵𝐴𝐶:\ncos|∡𝐵𝐴𝐶| = 6\n7,5\n,\nALBO\n- zapisanie zależności między wysokością 𝐴𝐷 trapezu a długością ramienia 𝐵𝐶, np.\n1\n2 ⋅7,5 ⋅|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅6 ⋅|𝐵𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnej definicji jednej funkcji trygonometrycznej\nb) błędne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa\nc) zastosowanie niepoprawnej tożsamości √𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥+ 𝑦\nd) błędne zastosowanie podobieństwa trójkątów (zapisanie błędnej proporcji),\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-d), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐴𝐷 są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt podobieństwa\ntrójkątów. Stąd\n|𝐶𝐷|\n|𝐴𝐶| =\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵|\n|𝐶𝐷|\n6\n= 6\n7,5\n|𝐶𝐷| = 4,8\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐴𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐶|2 -|𝐶𝐷|2\n|𝐴𝐷|2 = 62 -4,82\n|𝐴𝐷|2 = 12,96\n|𝐴𝐷| = 3,6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅(7,5 + 4,8) ⋅3,6 = 22,14\nSposób II\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐵|2 - |𝐴𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 7,52 -62\n|𝐵𝐶|2 = 20,25\n|𝐵𝐶| = 4,5\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐶| = 1\n2 ⋅6 ⋅4,5 = 13,5\nTrójkąt 𝐶𝐴𝐷 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (na podstawie cechy kąt - kąt - kąt\npodobieństwa trójkątów) w skali 𝑘= 6\n7,5 = 0,8.\nWykorzystujemy zależność między polami figur podobnych i obliczamy pole trójkąta 𝐶𝐴𝐷:\n𝑃𝐶𝐴𝐷= 𝑘2 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶= 0,82 ⋅13,5 = 8,64\nObliczamy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐶+ 𝑃𝐶𝐴𝐷= 13,5 + 8,64 = 22,14\nSposób III\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐵|2 - |𝐴𝐶|2\n|𝐵𝐶|2 = 7,52 -62\n|𝐵𝐶|2 = 20,25\n|𝐵𝐶| = 4,5\nDługość odcinka 𝐴𝐷 jest równa wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶.\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅7,5 ⋅|𝐴𝐷|\nPonadto pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 można obliczyć jako połowę iloczynu długości\nprzyprostokątnych:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅6 ⋅4,5 = 13,5\nZatem\n1\n2 ⋅7,5 ⋅|𝐴𝐷| = 13,5\n|𝐴𝐷| = 3,6\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐴𝐶|2 - |𝐴𝐷|2\n|𝐶𝐷|2 = 62 -3,62\n|𝐶𝐷|2 = 23,04\n|𝐶𝐷| = 4,8\nObliczamy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅(7,5 + 4,8) ⋅3,6 = 22,14\nSposób IV\nZauważmy, że |∡𝐴𝐶𝐷| = |∡𝐵𝐴𝐶|.\nZatem cos|∡𝐴𝐶𝐷| = cos|∡𝐵𝐴𝐶| = |𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵| = 6\n7,5 = 0,8 .\nJednocześnie cos|∡𝐴𝐶𝐷| = |𝐶𝐷|\n|𝐴𝐶| = |𝐶𝐷|\n6\nStąd\n|𝐶𝐷|\n6\n= 0,8\nwięc\n|𝐶𝐷| = 4,8\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐴𝐷:\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝐶|2 -|𝐶𝐷|2\n|𝐴𝐷|2 = 62 -4,82\n|𝐴𝐷|2 = 12,96\n|𝐴𝐷| = 3,6\nObliczamy pole trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(|𝐴𝐵| + |𝐶𝐷|) ⋅|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅(7,5 + 4,8) ⋅3,6 = 22,14\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Trójkąty ADC i ACB są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt:\n\n• oba są trójkątami prostokątnymi,\n\n• ponieważ AB∥ DC , to ∠ ACD=∠ CAB .\n\nZ podobieństwa trójkątów otrzymujemy proporcję:\n\n(|DC|)/(|AC|)=(|AC|)/(|AB|).\n\nPodstawiamy dane:\n\n(|DC|)/(6)=frac 6 7 , 5 ,\n\n|DC|=frac 36 7 , 5 =4 , 8.\n\nW trójkącie prostokątnym ABC obliczamy długość boku BC :\n\n|BC|=sqrt 7 , 5^2-6^2 =sqrt 20 , 25 =4 , 5.\n\nZ podobieństwa trójkątów:\n\n(|AD|)/(|BC|)=(|AC|)/(|AB|)=frac 6 7 , 5 ,\n\n|AD|=4 , 5·frac 6 7 , 5 =3 , 6.\n\nPole trapezu jest równe:\n\nP=frac (7 , 5+4 , 8)·3 , 6 2 =22 , 14.\n\nOdpowiedź: 22 , 14 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest okrąg o środku w punkcie 𝑆 i promieniu 6.\nMiara kąta wpisanego 𝐴𝐶𝐵 jest równa 60° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość łuku 𝐴𝐵, na którym oparty jest kąt wpisany 𝐴𝐶𝐵, jest równa\nA. 2𝜋\nB. 4𝜋\nC. 6𝜋\nD. 12𝜋\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n60°\n\nMMAP-P0_100\nDany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 6. Miara kąta wpisanego ACB jest równa 60° (zobacz rysunek). [rysunek] Długość łuku AB, na którym oparty jest kąt wpisany ACB, jest równa A. 2π B. 4π C. 6π D. 12π","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych;\nVIII.6) stosuje wzory na […] długość łuku\nokręgu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego:\n\n2·60^°=120^°.\n\nDługość łuku wynosi:\n\nl=(120^°)/(360^°)·2π·6=4π.\n\nOdpowiedź: B. 4π .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-2, -1) oraz 𝐶= (3, 4) są\nprzeciwległymi wierzchołkami kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równa\nA. 5\nB. 10\nC. 5√2\nD. √10\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-2,-1) oraz C=(3,4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Długość boku kwadratu ABCD jest równa A. 5 B. 10 C. 5√2 D. √10","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Odcinek AC jest przekątną kwadratu. Obliczamy jego długość:\n\n|AC|=√((3-(-2))^2+(4-(-1))^2)=√(25+25)=5√(2).\n\nJeżeli bok kwadratu ma długość a , to jego przekątna ma długość a√(2) . Zatem:\n\na√(2)=5√(2),\n\na=5.\n\nOdpowiedź: A. 5 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= -7𝑥+ 3. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, 6).\nPunkt o współrzędnych (1, 𝑝) należy do prostej 𝑙.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑝 jest równa\nA. (-4)\nB. (-1)\nC. 5\n7\nD. 7\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=-7x+3. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,6). Punkt o współrzędnych (1,p) należy do prostej l. Liczba p jest równa A. (-4) B. (-1) C. 5/7 D. 7","answer":"B","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie, w postaci kierunkowej […],\nw tym wyznacza równanie prostej\no zadanych własnościach (takich, jak np.\n[…] równoległość do innej prostej).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe. Prosta l ma więc równanie:\n\ny=-7x+6.\n\nPunkt (1,p) należy do tej prostej, więc:\n\np=-7·1+6=-1.\n\nOdpowiedź: B. -1 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są cztery okręgi: 𝑜1, 𝑜2, 𝑜3, 𝑜4,\no równaniach:\n𝑜1: (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 1\n𝑜2: (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\n𝑜3: (𝑥-3)2 + (𝑦-4)2 = 4\n𝑜4: (𝑥+ 3)2 + (𝑦+ 4)2 = 16\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych (𝑥, 𝑦),\njest\nA. 𝑜1\nB. 𝑜2\nC. 𝑜3\nD. 𝑜4\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są cztery okręgi: o_1, o_2, o_3, o_4, o równaniach: o_1: (x-1)²+(y-2)² = 1 o_2: (x+1)²+(y+2)² = 9 o_3: (x-3)²+(y-4)² = 4 o_4: (x+3)²+(y+4)² = 16 Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych (x,y), jest A. o_1 B. o_2 C. o_3 D. o_4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Okrąg nie ma punktów wspólnych z osiami, gdy odległość jego środka od każdej osi jest większa od promienia.\n\nDla okręgu o_3 środek ma współrzędne (3,4) , a promień jest równy 2 . Odległości środka od osi wynoszą odpowiednio 3 i 4 , a więc obie są większe od 2 .\n\nPozostałe okręgi przecinają co najmniej jedną z osi albo są do niej styczne.\n\nOdpowiedź: C. o_3 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4.\nŚciana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem 𝛼,\nże tg 𝛼= 3.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego ostrosłupa jest równa\nA. 3\nB. 6\nC. 6√2\nD. 12\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem α, że tgα=3. Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. 3 B. C. 6√2 D. 12","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w […] ostrosłupach […]\nkąty między ścianami […];\nX.5) oblicza objętości […] ostrosłupów, […]\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Niech S będzie wierzchołkiem ostrosłupa, O środkiem podstawy, a M środkiem boku podstawy. W przekroju prostopadłym do boku podstawy kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy jest równy α .\n\nPonieważ bok kwadratu ma długość 4 , to:\n\n|OM|=2.\n\nDla wysokości ostrosłupa h=|SO| :\n\ntanα=(h)/(2)=3.\n\nZatem:\n\nh=6.\n\nOdpowiedź: B. 6 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDługości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema\nkolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma\ndługość 𝑝.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nObjętość tego prostopadłościanu jest równa\nA. 𝑝3 -3𝑝2 + 2𝑝\nB. 𝑝3 + 3𝑝2 + 2𝑝\nC. 𝑝3 -6𝑝2 -8𝑝\nD. 𝑝3 -6𝑝2 + 8𝑝\n\nMMAP-P0_100\nDługości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p. Objętość tego prostopadłościanu jest równa A. p³ - 3p² + 2p B. p³ + 3p² + 2p C. p³ - 6p² - 8p D. p³ - 6p² + 8p","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście […]\nmatematycznym […].\nZdający:\nX.5) oblicza objętości […] graniastosłupów\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Najdłuższa krawędź ma długość p . Ponieważ długości krawędzi są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi, pozostałe mają długości:\n\np-2 oraz p-4.\n\nObjętość prostopadłościanu wynosi:\n\nV=p(p-2)(p-4).\n\nPo wymnożeniu:\n\nV=p(p^2-6p+8)=p^3-6p^2+8p.\n\nOdpowiedź: D. p^3-6p^2+8p .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nObjętość stożka o wysokości 2 jest równa 8𝜋.\nOblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.\n26.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nObjętość stożka o wysokości $2$ jest równa $8\\pi$. Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.","answer":"120°","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą), oblicza\nmiary tych kątów;\nX.5) oblicza objętości […] stożka […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 120°.\n1 pkt - obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka: 𝑟2 = 12 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZe wzoru na objętość stożka otrzymujemy:\n𝑉= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅𝐻\n8𝜋= 1\n3 ⋅𝜋⋅𝑟2 ⋅2\n𝑟2 = 12\n𝑟= √12 = 2√3\nNiech 𝛼 oznacza połowę miary kąta rozwarcia stożka. Wtedy\ntg 𝛼= 2√3\n2\n= √3\nStąd 𝛼= 60°.\nZatem kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Objętość stożka obliczamy ze wzoru:\n\nV=(1)/(3)π r^2h.\n\nPodstawiamy V=8π oraz h=2 :\n\n8π=(1)/(3)π r^2·2,\n\nr^2=12,\n\nr=2√(3).\n\nPrzekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Połowę kąta rozwarcia oznaczmy przez β . W powstałym trójkącie prostokątnym:\n\ntanβ=(r)/(h)=(2√(3))/(2)=√(3).\n\nStąd β=60^° . Kąt rozwarcia stożka ma więc miarę:\n\n2β=120^°.\n\nOdpowiedź: 120^° .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępują wyłącznie cyfry 0, 1, 2, 3 (np. 12 303, 11 111), jest\nA. 32\nB. 384\nC. 512\nD. 576\n\nMMAP-P0_100\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych {nieparzystych}, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0,1,2,3 (np. 12303, 11111), jest A. 32 B. 384 C. 512 D. 576","answer":"B","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście […]\nmatematycznym […].\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Pierwszą cyfrę można wybrać na 3 sposoby: 1 , 2 lub 3 , ponieważ liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera.\n\nKażdą z trzech środkowych cyfr można wybrać na 4 sposoby. Ostatnia cyfra musi być nieparzysta, więc można wybrać 1 albo 3 , czyli mamy 2 możliwości.\n\nLiczba takich liczb wynosi:\n\n3·4^3·2=384.\n\nOdpowiedź: B. 384 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝐶= {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz 𝐷= {7, 8, 9, 10}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐶, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐷.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosujemy liczby,\nktórych iloczyn będzie podzielny przez 𝟒. Zapisz obliczenia.\n28.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa zbiory: C={1,2,3,4,5,6} oraz D={7,8,9,10}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez 4.","answer":"1124","answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 11\n24\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 11, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n24\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 11\n24\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 11 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz 𝑦∈{7, 8, 9, 10}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 8), (2, 8), (2, 10), (3, 8), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (5, 8), (6, 8), (6, 10),\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 11.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 11\n24\nSposób II\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,\nktórych iloczyn jest podzielny przez 4).\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n𝒜\n8\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n9\n𝒜\n10\n𝒜\n𝒜\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 24.\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 4, jest 11.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 11\n24\n𝐶\n𝐷\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 3\n6 ⋅1\n4 + 2\n6 ⋅2\n4 + 1\n6 ⋅4\n4 = 11\n24","solution":"Wszystkich możliwych wyników losowania jest:\n\n|Ω|=6·4=24.\n\nLiczymy wyniki sprzyjające:\n\n• dla liczby 8 ze zbioru D każdy iloczyn jest podzielny przez 4 - 6 wyników,\n\n• dla liczby 7 tylko liczba 4 ze zbioru C daje odpowiedni iloczyn - 1 wynik,\n\n• dla liczby 9 również tylko liczba 4 - 1 wynik,\n\n• dla liczby 10 należy wylosować liczbę parzystą: 2 , 4 lub 6 - 3 wyniki.\n\nZatem:\n\n|A|=6+1+1+3=11.\n\nPrawdopodobieństwo wynosi:\n\nP(A)=(|A|)/(|Ω|)=(11)/(24).\n\nOdpowiedź: (11)/(24) .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDo szkolnego koła czytelniczego należy 50 uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące\nliczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli\nprzedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.\nLiczba przeczytanych książek\n4\n5\n6\n7\n8\nLiczba uczniów,\nktórzy przeczytali daną\nliczbę książek\n5\n8\n12\n13\n12\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa\n2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa\n29.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDo szkolnego koła czytelniczego należy 50 uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna. Liczba przeczytanych książek | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | Liczba uczniów, którzy przeczytali daną liczbę książek | 5 | 8 | 12 | 13 | 12 | Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ......... . 2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa ......... .","answer":"1. 6,38\n\n2. 6,5","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje medianę […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zapisanie dokładnie dwóch poprawnych odpowiedzi.\n1 pkt - zapisanie dokładnie jednej poprawnej odpowiedzi.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nNie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.\n1\n6\n3\n6\n2\n6\n4\n2\n6\n1\n3\n5\n8\n8\n10\n7\n8\n9\n10\n1\n4\n2\n4\n4\n4\nRozwiązanie\n1. Średnia arytmetyczna liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa 6,38.\n2. Mediana liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów jest równa 6,5.","solution":"Średnią arytmetyczną obliczamy jako średnią ważoną:\n\nx=(4·5+5·8+6·12+7·13+8·12)/(50)\n=(319)/(50)=6 , 38.\n\nAby wyznaczyć medianę, rozpatrujemy 25. i 26. wartość w uporządkowanym zestawie 50 wyników.\n\nDo liczby 6 włącznie znajduje się:\n\n5+8+12=25\n\nwyników. Zatem 25. wartością jest 6 , a 26. wartością jest 7 . Mediana wynosi:\n\n(6+7)/(2)=6 , 5.\n\nOdpowiedź: średnia 6 , 38 , mediana 6 , 5 .","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa","number":"30","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-4)\nRozważamy wszystkie prostopadłościany 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w których krawędź 𝐴𝐸 jest 3 razy\ndłuższa od krawędzi 𝐴𝐵, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi\nprostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).\nNiech 𝑃(𝑥) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu\nw zależności od długości 𝑥 krawędzi 𝐴𝐵.\nWyznacz wzór i dziedzinę funkcji 𝑷. Oblicz długość 𝒙 krawędzi 𝑨𝑩 tego\nz rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest\nnajwiększe. Zapisz obliczenia.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n30.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEFGH, w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB, a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek). Niech P(x) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB. [rysunek] Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P. Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki, np.:\n𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝐷= (0, 3) oraz 𝑥= 24\n13\n3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 oraz wyznaczenie dziedziny 𝐷 tej\nfunkcji, np. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝐷= (0, 3)\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃)\noraz prawidłowe obliczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka wykresu funkcji 𝑃,\nnp. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥 oraz 𝑥= 24\n13\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu\n𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 w zależności od zmiennej 𝑥 (bez wyznaczonej dziedziny funkcji 𝑃),\nnp. 𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥\nALBO\n- zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu\noraz wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥, np.\n4 ⋅𝑥+ 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅3𝑥= 48 oraz 𝑥∈(0, 3).\n1 pkt - zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵 prostopadłościanu,\nnp. 4 ⋅𝑥+ 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅3𝑥= 48\nALBO\n- wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥: 𝑥∈(0, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawny wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 oraz zapisze poprawną\ndziedzinę funkcji 𝑃, a następnie obliczy 𝑃(24\n13) oraz wartości funkcji 𝑃 dla dwóch\nargumentów leżących symetrycznie względem prostej 𝑥= 24\n13, i nie odwoła się do\nsymetrii wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający nie zapisze pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcji 𝑃\nzmiennej 𝑥, a jedynie obliczy wartości pola dla wybranych długości krawędzi i na tej\npodstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n3. Jeżeli zdający zamiast sumy długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu rozpatruje\nsumę obwodów wszystkich jego ścian i rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za konsekwentne:\nwyznaczenie wzoru funkcji pola, dziedziny tej funkcji oraz obliczenie wartości 𝑥, dla której\nfunkcja osiąga wartość największą).\n4. Jeżeli zdający w wyniku popełnionych błędów otrzymuje funkcję pola, która jest funkcją\nkwadratową o dodatnim współczynniku przy 𝑥2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie (za zapisanie zależności między długościami krawędzi 𝐴𝐷 i 𝐴𝐵\nprostopadłościanu oraz za wyznaczenie zakresu zmienności 𝑥).\n5. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃 z wykorzystaniem rachunku\nróżniczkowego i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicuje wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznacza na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej), oraz:\n- opisuje przedziały monotoniczności funkcji 𝑃 (słownie lub graficznie - np. przy użyciu\nstrzałek)\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.\nPonieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, więc |𝐴𝐸| = 3𝑥.\nSuma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48, zatem\n4 ⋅|𝐴𝐵| + 4 ⋅|𝐴𝐷| + 4 ⋅|𝐴𝐸| = 48\n|𝐴𝐵| + |𝐴𝐷| + |𝐴𝐸| = 12\n𝑥+ |𝐴𝐷| + 3𝑥= 12\n|𝐴𝐷| = 12 -4𝑥\nPole 𝑃 powierzchni całkowitej prostopadłościanu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 jest równe\n𝑃= 2 ⋅(|𝐴𝐵| ∙|𝐴𝐷| + |𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐸| + |𝐴𝐷| ⋅|𝐴𝐸|)\nPonieważ |𝐴𝐵| = 𝑥, |𝐴𝐷| = 12 -4𝑥, |𝐴𝐸| = 3𝑥, więc wzór funkcji 𝑃 zmiennej 𝑥 ma\npostać\n𝑃(𝑥) = 2 ⋅[𝑥⋅(12 -4𝑥) + 𝑥⋅3𝑥+ (12 -4𝑥) ⋅3𝑥]\n𝑃(𝑥) = 2 ⋅(12𝑥-4𝑥2 + 3𝑥2 + 36𝑥-12𝑥2)\n𝑃(𝑥) = 2 ⋅(-13𝑥2 + 48𝑥)\n𝑃(𝑥) = -26𝑥2 + 96𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Z warunków zadania wynika, że:\n|𝐴𝐵| = 𝑥> 0 oraz |𝐴𝐷| = 12 -4𝑥> 0 oraz |𝐴𝐸| = 3𝑥> 0\nZatem\n𝑥> 0 oraz 𝑥< 3\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 3).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli:\n𝑝=\n-96\n2 ⋅(-26) = 24\n13 ∈(0, 3)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 24\n13\nSpośród rozważanych prostopadłościanów największe pole powierzchni całkowitej ma ten,\nw którym 𝑥= 24\n13","solution":"Oznaczmy długość krawędzi AD przez y . Mamy:\n\n|AB|=x, |AE|=3x, |AD|=y.\n\nSuma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa:\n\n4(x+3x+y)=48.\n\nStąd:\n\n4x+y=12,\n\ny=12-4x.\n\nDługości krawędzi muszą być dodatnie, więc:\n\nx>0 oraz 12-4x>0.\n\nDziedziną funkcji jest zatem:\n\nD_P=(0,3).\n\nPole powierzchni całkowitej wynosi:\n\nP(x)=2 l(x·3x+x· y+3x· y r).\n\nPodstawiamy y=12-4x :\n\nP(x)=2 l(3x^2+4x(12-4x) r),\n\nP(x)=-26x^2+96x.\n\nJest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół. Największą wartość przyjmuje dla argumentu równego współrzędnej x wierzchołka:\n\nx_w=-(b)/(2a)=-(96)/(2·(-26))=(24)/(13).\n\nLiczba (24)/(13) należy do przedziału (0,3) , więc dla tej długości krawędzi AB pole powierzchni całkowitej jest największe.\n\nOdpowiedź:\n\nP(x)=-26x^2+96x, D_P=(0,3), x=(24)/(13).","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}