{"paper":{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":15,"source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nŁadunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością\n𝑄(𝑡) = 𝑄0 ⋅𝛽-𝑡 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑄0 - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (𝑡= 0)\nwyrażony w milikulombach\n𝑄 - ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili 𝑡 (licząc od chwili\npoczątkowej) wyrażony w milikulombach\n𝛽 - stała dodatnia\n𝑡 - czas wyrażony w sekundach.\nWiadomo, że w chwili 𝑡= 4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów,\na w chwili 𝑡= 6 s - ładunek 18 milikulombów.\nOblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili\n𝒕= 𝟓 s. Zapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym […].\nZdający:\nV.14) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 6 (milikulombów).\n1 pkt - obliczenie 𝑄0 : 2\n81\nALBO\n- obliczenie 𝛽: 1\n3 ,\nALBO\n- zapisanie związku [𝑄(5)]2 = 𝑄(4) ⋅𝑄(6).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków 𝑄(4) = 2 oraz 𝑄(6) = 18 otrzymujemy związki 2 = 𝑄0 ⋅𝛽-4 oraz\n18 = 𝑄0 ⋅𝛽-6 . Stąd\n2\n18 = 𝑄0 ⋅𝛽-4\n𝑄0 ⋅𝛽-6\n1\n9 = 𝛽2\n𝛽= 1\n3\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem 2 = 𝑄0 ⋅(1\n3)\n-4\n, więc 𝑄0 = 2\n81 .\nObliczamy 𝑄(5):\n𝑄(5) = 2\n81 ⋅(1\n3)\n-5\n= 2\n81 ⋅35 = 6\nSposób II\nZauważamy, że ciąg wartości funkcji 𝑄 dla kolejnych liczb naturalnych, tj. 𝑄(1), 𝑄(2),\n𝑄(3), …, jest geometryczny, ma wszystkie wyrazy dodatnie, pierwszy wyraz równy 𝑄0 oraz\niloraz 1\n𝛽 .\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n[𝑄(5)]2 = 𝑄(4) ⋅𝑄(6)\n[𝑄(5)]2 = 2 ⋅18\n𝑄(5) = 6\nW chwili 𝑡= 5 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 6 milikulombów.","solution":"$6$ (milikulombów)","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":"wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nOkrąg 𝒪 jest styczny do boków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz przecina bok 𝐴𝐵 tego\ntrójkąta w punktach 𝑀 oraz 𝑁, przy czym 0 < |𝐴𝑀| < |𝐴𝑁| < |𝐴𝐵|.\nWykaż, że jeśli |𝑨𝑴| = |𝑩𝑵|, to trójkąt 𝑨𝑩𝑪 jest równoramienny.\n2.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - uzasadnienie, że |𝐶𝐷| = |𝐶𝐸|\nALBO\n- uzasadnienie, że |𝐴𝐷| = |𝐵𝐸|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐷 - punkt styczności okręgu 𝒪 do boku 𝐴𝐶 trójkąta,\n𝐸 - punkt styczności okręgu 𝒪 do boku 𝐵𝐶 trójkąta,\n𝑆 - środek okręgu 𝒪 (zobacz rysunek).\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że |𝐶𝐷| = |𝐶𝐸|.\nPonieważ |𝑀𝑆| = |𝑁𝑆|, więc trójkąt 𝑀𝑁𝑆 jest równoramienny i |∡𝑆𝑀𝑁| = |∡𝑆𝑁𝑀|.\nZatem |∡𝑆𝑀𝐴| = |∡𝑆𝑁𝐵|.\nJeżeli |𝐴𝑀| = |𝑁𝐵|, to wówczas trójkąty 𝐴𝑀𝑆 i 𝐵𝑁𝑆 będą przystające (na podstawie\ncechy bkb przystawania trójkątów), czyli |𝐴𝑆| = |𝐵𝑆|. Z równości |𝐴𝑆| = |𝐵𝑆| oraz\n|𝐷𝑆| = |𝐸𝑆|, po zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy |𝐴𝐷| = |𝐵𝐸|. Stąd\n|𝐴𝐶| = |𝐴𝐷| + |𝐷𝐶| = |𝐶𝐸| + |𝐸𝐵| = |𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝑀\n𝑁\n𝐸\n𝑆\n𝐷\n𝐶\n𝐵\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nOznaczmy przez 𝐷 punkt styczności okręgu 𝒪 do boku 𝐴𝐶 trójkąta. Niech 𝐸 będzie\npunktem styczności okręgu 𝒪 do boku 𝐵𝐶 trójkąta (zobacz rysunek).\nZ twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że |𝐶𝐷| = |𝐶𝐸|.\nJeżeli |𝐴𝑀| = |𝑁𝐵|, to z twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej otrzymujemy\n|𝐴𝐷|2 = |𝐴𝑀| ⋅|𝐴𝑁| = |𝐴𝑀| ⋅(|𝐴𝑀| + |𝑀𝑁|) = |𝐴𝑀| ⋅(|𝐵𝑁| + |𝑀𝑁|) = |𝐴𝑀| ⋅|𝐵𝑀|\noraz\n|𝐵𝐸|2 = |𝐵𝑁| ⋅|𝐵𝑀| = |𝐴𝑀| ⋅|𝐵𝑀|\nZatem |𝐴𝐷| = |𝐵𝐸| i dlatego |𝐴𝐶| = |𝐴𝐷| + |𝐷𝐶| = |𝐵𝐸| + |𝐶𝐸| = |𝐵𝐶|.\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝑀\n𝑁\n𝐸\n𝐷\n𝐶\n𝐵","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":"dowody_geometryczne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nIloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy 12√3.\nPole powierzchni całkowitej tego walca jest równe 12𝜋(√3 + 1).\nOblicz objętość tego walca. Zapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni […]\nwalca […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 18𝜋√2.\n2 pkt - obliczenie promienia walca i wysokości walca: 𝑟= √6 i ℎ= 3√2.\n1 pkt - zapisanie dwóch równań: 2𝑟⋅ℎ= 12√3 i 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ= 12𝜋(√3 + 1).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑟 będzie promieniem podstawy walca, natomiast ℎ - wysokością walca.\nZ warunków zadania otrzymujemy 2𝑟⋅ℎ= 12√3 oraz 2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟ℎ= 12𝜋(√3 + 1).\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy ℎ= 6√3\n𝑟 i podstawiamy w miejsce ℎ do\ndrugiego z równań, otrzymując\n2𝜋𝑟2 + 2𝜋𝑟⋅6√3\n𝑟\n= 12𝜋(√3 + 1)\n2𝜋𝑟2 + 12√3𝜋= 12𝜋(√3 + 1)\n𝑟2 = 6\nZatem 𝑟= √6 oraz ℎ= 6√3\n√6 = 3√2.\nObliczamy objętość 𝑉 walca:\n𝑉= 𝜋𝑟2ℎ= 𝜋⋅6 ⋅3√2 = 18𝜋√2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$18\\pi\\sqrt{2}$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nWykaż, że\n𝟏\n𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑𝟓+ 𝟏+\n𝟏\n𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏𝟒𝟎-𝐥𝐨𝐠𝟕𝟐+\n𝟏\n𝐥𝐨𝐠𝟓𝟕+ 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟐+ 𝟏= 𝟏\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.R) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia\n1\nlog235 + 1 +\n1\nlog7 140 - log72 +\n1\nlog5 7 + log5 2 + 1 do\npostaci log70 2 + log70 7 + log70 5.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia\n1\nlog235 + 1 +\n1\nlog7 140 - log72 +\n1\nlog5 7 + log5 2 + 1 do\npostaci\n1\nlog2 70 +\n1\nlog7 70 +\n1\nlog5 70 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nStosujemy definicję logarytmu oraz wzory na sumę logarytmów oraz na różnicę logarytmów\ni otrzymujemy\n1\nlog2 35 + 1 +\n1\nlog7 140 -log7 2 +\n1\nlog5 7 + log5 2 + 1 =\n1\nlog2 35 + log2 2 +\n1\nlog7 70 +\n1\nlog5 7 + log5 2 + log5 5 =\n1\nlog2 70 +\n1\nlog7 70 +\n1\nlog5 70\nStąd, po zastosowaniu wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz na logarytm sumy,\ndostajemy\n1\nlog2 70 +\n1\nlog7 70 +\n1\nlog5 70 = log70 2 + log70 7 + log70 5 = log70 70 = 1\nZatem\n1\nlog2 35 + 1 +\n1\nlog7 140 -log7 2 +\n1\nlog5 7 + log5 2 + 1 = 1\nTo należało wykazać.","solution":"Dowód.","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":"logarytmy","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nW pewnej lokalnej społeczności 35% osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności\njęzykiem niemieckim dobrze włada 70% osób mających wyższe wykształcenie i 40%\nosób bez wyższego wykształcenia.\nSpośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę\nz wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem\nniemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części\nsetnych. Zapisz obliczenia.\n5.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nKolejne zadania egzaminacyjne są wydrukowane\nna następnych stronach.\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.R1) […] stosuje wzór Bayesa, stosuje\ntwierdzenie o prawdopodobieństwie\ncałkowitym.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 0,49.\n2 pkt - zastosowanie twierdzenia Bayesa i zapisanie 𝑃(𝐵1|𝐴) =\n0,35 ⋅ 0,7\n0,7 ⋅ 0,35+0,4 ⋅ 0,65 .\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństw: 𝑃(𝐵1) = 0,35 i 𝑃(𝐴|𝐵1) = 0, 7 oraz\n𝑃(𝐵2) = 0,65, oraz 𝑃(𝐴|𝐵2) = 0,4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZbiór zdarzeń elementarnych Ω to zbiór osób w badanej społeczności.\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia zdarzeń:\n𝐴 - losowo wybrana osoba dobrze włada językiem niemieckim,\n𝐵1 - losowo wybrana osoba ma wyższe wykształcenie,\n𝐵2 - losowo wybrana osoba nie ma wyższego wykształcenia.\nZgodnie z warunkami zadania 𝐵1 ∪𝐵2 = Ω, 𝐵1 ∩𝐵2 = ∅ oraz\n𝑃(𝐵1) = 0,35\n𝑃(𝐵2) = 0,65\n𝑃(𝐴) > 0\nNiech 𝐵1|𝐴 oznacza zdarzenie: losowo wybrana osoba ma wyższe wykształcenie, pod\nwarunkiem, że dobrze włada językiem niemieckim.\nZ warunków zadania\n𝑃(𝐴|𝐵1) = 0,7\n𝑃(𝐴|𝐵2) = 0,4\nObliczamy 𝑃(𝐵1|𝐴), korzystając z twierdzenia Bayesa:\n𝑃(𝐵1|𝐴) =\n𝑃(𝐵1) ⋅𝑃(𝐴|𝐵1)\n𝑃(𝐴|𝐵1) ⋅𝑃(𝐵1) + 𝑃(𝐴|𝐵2) ⋅𝑃(𝐵2) =\n0,35 ⋅0,7\n0,7 ⋅0,35 + 0,4 ⋅0,65 =\n= 0, (4851) ≈0,49\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$0{,}49$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nRozwiąż równanie\n|𝟒𝒙-𝟖| + |𝒙-𝟐| = |𝟐-𝒙| + |𝒙+ 𝟐| + 𝟒\nZapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania […] z wartością\nbezwzględną.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2\n5 oraz 14\n3 .\n3 pkt - rozwiązanie równania w dwóch spośród rozważanych przedziałów/przypadków (o ile\nzdający rozpatruje równanie w przedziałach/przypadkach, których suma jest równa\nℝ/wyczerpujących zbiór ℝ)\nALBO\n- rozwiązanie równania 4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 (dla sposobu II),\nALBO\n- rozwiązanie równania 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4 (dla sposobu II).\n2 pkt - zastosowanie definicji wartości bezwzględnej lub własności wartości bezwzględnej\ni zapisanie danego równania odpowiednio w trzech przedziałach: (-∞, -2), [-2, 2),\n[2, +∞), lub w czterech przypadkach: 𝑥+ 2 < 0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 2 < 0\ni 𝑥-2 ≥0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-2 < 0, 𝑥+ 2 ≥0 i 𝑥-2 ≥0\nALBO\n- zapisanie równania w postaci równoważnej alternatywy dwóch równań:\n4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 lub 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4 (dla sposobu II).\n1 pkt - przekształcenie danego równania do postaci 4 ⋅|𝑥-2| = |𝑥+ 2| + 4\nALBO\n- przekształcenie danego równania do postaci |4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4,\nALBO\n- zapisanie przedziałów: (-∞, -2), [-2, 2), [2, +∞), oraz zapisanie danego\nrównania w jednym z tych przedziałów bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -2), [-2, 2), [2, +∞), oraz rozwiązanie\ndanego równania w tym przedziale.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ |4𝑥-8| = 4 ⋅|𝑥-2| oraz |2 -𝑥| = |𝑥-2| dla każdego 𝑥∈ℝ, więc\nrównanie |4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 można przekształcić równoważnie do\npostaci\n4 ⋅|𝑥-2| = |𝑥+ 2| + 4\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -2))\nW tym przypadku równanie ma postać -4𝑥+ 8 = -𝑥-2 + 4, czyli 𝑥= 2.\nPonieważ 2 ∉(-∞, -2), więc liczba 2 nie jest rozwiązaniem równania.\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-2, 2))\nW tym przypadku równanie ma postać -4𝑥+ 8 = 𝑥+ 2 + 4, czyli 𝑥= 2\n5 .\nPonieważ 2\n5 ∈[-2, 2), więc liczba 2\n5 jest rozwiązaniem równania.\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[2, +∞))\nW tym przypadku równanie ma postać 4𝑥-8 = 𝑥+ 2 + 4, czyli 𝑥= 14\n3 .\nPonieważ 14\n3 ∈[2, +∞), więc liczba 14\n3 jest rozwiązaniem równania.\nOstatecznie rozwiązaniami danego równania są liczby 2\n5 oraz 14\n3 .\nSposób II\nPonieważ |2 -𝑥| = |𝑥-2| dla każdego 𝑥∈ℝ, więc równanie\n|4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 można przekształcić równoważnie do postaci\n|4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4\nPonieważ wyrażenie |𝑥+ 2| + 4 jest dodatnie dla każdego 𝑥∈ℝ, więc równanie\n|4𝑥-8| = |𝑥+ 2| + 4 można zapisać równoważnie jako alternatywę równań:\n4𝑥-8 = |𝑥+ 2| + 4 ∨ 4𝑥-8 = -|𝑥+ 2| -4\nStąd\n|𝑥+ 2| = 4𝑥-12 ∨ |𝑥+ 2| = 4 -4𝑥\nRozwiązujemy równanie |𝑥+ 2| = 4𝑥-12:\n4𝑥-12 ≥0 ∧ (𝑥+ 2 = 4𝑥-12 ∨ 𝑥+ 2 = -4𝑥+ 12)\n𝑥≥3 ∧ (𝑥= 14\n3 ∨ 𝑥= 2)\nPonieważ 14\n3 ∈[3, +∞) i 2 ∉[3, +∞), więc rozwiązaniem równania\n|𝑥+ 2| = 4𝑥-12 jest liczba 14\n3 .\nRozwiązujemy równanie |𝑥+ 2| = 4 -4𝑥:\n4 -4𝑥≥0 ∧ (𝑥+ 2 = 4 -4𝑥 ∨ 𝑥+ 2 = -4 + 4𝑥)\n𝑥≤1 ∧ (𝑥= 2\n5 ∨ 𝑥= 2)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ 2\n5 ∈(-∞, 1] i 2 ∉(-∞, 1], więc rozwiązaniem równania\n|𝑥+ 2| = 4 -4𝑥 jest liczba 2\n5 .\nRozwiązaniami równania |4𝑥-8| + |𝑥-2| = |2 -𝑥| + |𝑥+ 2| + 4 są liczby 2\n5 oraz 14\n3 .","solution":"$x \\in \\left\\{\\dfrac{2}{5}, \\dfrac{14}{3}\\right\\}$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"bezwgledna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dane są:\nokrąg o równaniu (𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 50 i punkty 𝐴= (6, 4) oraz 𝐵= (-6, 8).\nPunkt 𝐶 leży na tym okręgu i |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|.\nOblicz współrzędne punktu 𝑪. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.R1) znajduje punkty wspólne prostej\ni okręgu;\nIX.R4) wyznacza równanie prostej\nprostopadłej do zadanej prostej […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝐶= (√5 -1, 3√5 + 3) lub\n𝐶= (-√5 -1, -3√5 + 3).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),\nnp. (𝑥+ 1)2 + (3𝑥+ 6 -3)2 = 50.\n2 pkt - wyznaczenie równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵: 𝑦= 3𝑥+ 6.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: (-1\n3)\nALBO\n- zapisanie równości √(𝑥-6)2 + (𝑦-4)2 = √(𝑥+ 6)2 + (𝑦-8)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ warunku |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| wynika, że punkt 𝐶 leży na symetralnej odcinka 𝐴𝐵.\nWspółczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵 jest równy 𝑎𝐴𝐵= 8-4\n-6-6 = -1\n3 , więc\nwspółczynnik kierunkowy prostej, która jest symetralną odcinka 𝐴𝐵, jest równy 𝑎= 3.\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (6 + (-6)\n2\n, 4 + 8\n2\n) = (0, 6)\nPonieważ ta symetralna przechodzi przez punkt 𝑀, więc ma ona równanie\n𝑦= 3(𝑥-0) + 6, czyli 𝑦= 3𝑥+ 6.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐶, który jest punktem przecięcia symetralnej odcinka 𝐴𝐵\nz danym okręgiem:\n(𝑥+ 1)2 + (3𝑥+ 6 -3)2 = 50\n(𝑥+ 1)2 + 9(𝑥+ 1)2 = 50\n(𝑥+ 1)2 = 5\n|𝑥+ 1| = √5\n𝑥= √5 -1 ∨ 𝑥= -√5 -1\nGdy 𝑥= √5 -1, to 𝑦= 3(√5 -1) + 6 = 3√5 + 3, więc wtedy 𝐶= (√5 -1, 3√5 + 3).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nGdy 𝑥= -√5 -1, to 𝑦= 3(-√5 -1) + 6 = -3√5 + 3, więc wtedy\n𝐶= (-√5 -1, -3√5 + 3).\nOdp. 𝐶= (√5 -1, 3√5 + 3) lub 𝐶= (-√5 -1, -3√5 + 3).","solution":"$C = (\\sqrt{5} - 1, 3\\sqrt{5} + 3)$ lub $C = (-\\sqrt{5} - 1, -3\\sqrt{5} + 3)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nOblicz granicę\n𝐥𝐢𝐦\n𝒏→+∞\n1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1)\n(𝑛\n2)\ngdzie 𝟏+ 𝟑+ 𝟓+ 𝟕+ … + (𝟐𝒏+ 𝟏) jest sumą kolejnych liczb naturalnych\nnieparzystych. Zapisz obliczenia.\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.R1) oblicza granice ciągów […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n3 pkt - wyznaczenie sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)2 oraz zapisanie\nsymbolu Newtona (𝑛\n2) w postaci 𝑛(𝑛 - 1)\n2\n2 pkt - wyznaczenie liczby składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)\noraz zapisanie symbolu Newtona (𝑛\n2) w postaci 𝑛(𝑛 - 1)\n2\nALBO\n- wyznaczenie sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)2.\n1 pkt - wyznaczenie liczby składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1): (𝑛+ 1)\nALBO\n- zapisanie symbolu Newtona (𝑛\n2) w postaci 𝑛(𝑛 - 1)\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający przyjmie, że liczba składników sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) jest\nrówna 𝑛 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca to otrzymuje\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKolejne składniki sumy 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego o pierwszym wyrazie 𝑎1 = 1 oraz różnicy 𝑟= 2.\nNiech 𝑘 oznacza liczbę składników tej sumy. Wyznaczamy 𝑘:\n𝑎𝑘= 𝑎1 + (𝑘-1) ⋅𝑟\n2𝑛+ 1 = 1 + (𝑘-1) ⋅2\n𝑘= 𝑛+ 1\nZatem suma składa się z (𝑛+ 1) składników.\nStosując wzór na sumę (𝑛+ 1) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego,\notrzymujemy\n1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1) = [1 + (2𝑛+ 1)]\n2\n⋅(𝑛+ 1) = (𝑛+ 1)2\nWyznaczamy współczynnik dwumianowy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑛\n2) = 𝑛(𝑛-1)\n2\nObliczamy granicę\nlim\n𝑛→+∞\n1 + 3 + 5 + 7 + … + (2𝑛+ 1)\n(𝑛\n2)\n= lim\n𝑛→+∞\n(𝑛+ 1)2\n𝑛(𝑛-1)\n2\n= lim\n𝑛→+∞\n2𝑛2 + 4𝑛+ 2\n𝑛2 -𝑛\n= lim\n𝑛→+∞\n2 + 4\n𝑛+ 2\n𝑛2\n1 -1\n𝑛\n= 2","solution":"$2$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":"granice","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧𝟒𝒙= 𝐬𝐢𝐧𝒙⋅𝐜𝐨𝐬𝒙-𝐜𝐨𝐬𝟒𝒙\nw zbiorze [-𝝅, 𝟐𝝅]. Zapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - zapisanie, że równanie sin(2𝑥) = -2 nie ma rozwiązań oraz rozwiązanie równania\nsin(2𝑥) = 1 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋]: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= 1\n4 𝜋+ 𝜋⋅𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋]: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\n2 pkt - przekształcenie równania do alternatywy równań sin(2𝑥) = -2 lub\nsin(2𝑥) = 1.\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci\n(sin2 𝑥+ cos2 𝑥)2 -2 sin2 𝑥cos2 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥\nALBO\n- zastosowanie tożsamości sin4 𝑥+ cos4 𝑥= 1 -2 sin2 𝑥⋅cos2 𝑥,\nALBO\n- zastosowanie tożsamości sin4 𝑥+ cos4 𝑥= 1 -1\n2 sin2(2𝑥).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - spełnienie kryterium za 3 punkty oraz sprawdzenie rachunkiem, że liczby (-3\n4 𝜋),\n1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋 spełniają równanie sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.\n3 pkt - rozwiązanie równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych: 𝑥= 1\n4 𝜋+ 𝜋⋅𝑘,\ngdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋]: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\n2 pkt - wykorzystanie równości sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 i przekształcenie\nnierówności √sin4𝑥 + cos4𝑥\n2\n≥sin2𝑥 + cos2𝑥\n2\ndo postaci sin(2𝑥) ≥1.\n1 pkt - zastosowanie nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną i zapisanie\nnierówności √sin4𝑥 + cos4𝑥\n2\n≥sin2𝑥 + cos2𝑥\n2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\n3 pkt - równoważne przekształcenie równania do alternatywy równań sin3 𝑥-cos3 𝑥= 0\nlub sin 𝑥-cos 𝑥= 0 i rozwiązanie równań tej alternatywy w zbiorze liczb\nrzeczywistych: 𝑥= 1\n4 𝜋+ 𝜋⋅𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci (sin3 𝑥-cos3 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥) = 0.\n1 pkt - przekształcenie równania do postaci\nsin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(sin2 𝑥+ cos2 𝑥).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający przekształci równanie do postaci (sin3 𝑥-cos3 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥) = 0,\na następnie rozwiąże poprawnie równania sin3 𝑥-cos3 𝑥= 0 oraz sin 𝑥-cos 𝑥= 0\nw zbiorze [-𝜋, 2𝜋], to otrzymuje 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy oraz\nz jedynki trygonometrycznej:\nsin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥\nsin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥\n(sin2 𝑥+ cos2 𝑥)2 -2 sin2 𝑥⋅cos2 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥\n1 -2(sin 𝑥⋅cos 𝑥)2 = sin 𝑥⋅cos 𝑥\nKorzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta i otrzymujemy dalej\n1 -1\n2 sin2(2𝑥) = 1\n2 sin(2𝑥)\nsin2(2𝑥) + sin(2𝑥) -2 = 0\nsin(2𝑥) = 1 ∨ sin(2𝑥) = -2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze ℝ:\n2𝑥= 𝜋\n2 + 2𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ\nRozwiązaniami równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są liczby: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz\n5\n4 𝜋.\nRównanie sin(2𝑥) = -2 nie ma rozwiązań w zbiorze ℝ.\nZatem rozwiązaniami równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są\nliczby: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\nSposób II\nKorzystamy z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną i otrzymujemy\n√sin4 𝑥+ cos4 𝑥\n2\n≥sin2 𝑥+ cos2 𝑥\n2\nStąd, po zastosowaniu tożsamości sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1 i wzoru na sinus podwojonego kąta\noraz związku sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥, dostajemy kolejno:\n√sin 𝑥⋅cos 𝑥\n2\n≥1\n2\nsin 𝑥⋅cos 𝑥≥1\n2\nsin(2𝑥) ≥1\nStąd i z własności funkcji sinus wynika, że sin(2𝑥) = 1.\nZatem\n2𝑥= 𝜋\n2 + 2𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝜋⋅𝑘 ∧ 𝑘∈ℤ\nGdy 𝑥= -3\n4 𝜋, to wtedy\nsin4 (-3\n4 𝜋) = (-√2\n2 )\n4\n= 1\n4\nsin (-3\n4 𝜋) ⋅cos (-3\n4 𝜋) -cos4 (-3\n4 𝜋) = -√2\n2 ⋅(-√2\n2 ) -(-√2\n2 )\n4\n= 1\n4\nwięc liczba (-3\n4 𝜋) jest rozwiązaniem równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.\nGdy 𝑥= 1\n4 𝜋, to wtedy\nsin4 (1\n4 𝜋) = (√2\n2 )\n4\n= 1\n4\nsin (1\n4 𝜋) ⋅cos (1\n4 𝜋) -cos4 (1\n4 𝜋) = √2\n2 ⋅√2\n2 -(√2\n2 )\n4\n= 1\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nwięc liczba 1\n4 𝜋 jest rozwiązaniem równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.\nGdy 𝑥= 5\n4 𝜋, to wtedy\nsin4 (5\n4 𝜋) = (-√2\n2 )\n4\n= 1\n4\nsin (5\n4 𝜋) ⋅cos (5\n4 𝜋) -cos4 (5\n4 𝜋) = -√2\n2 ⋅(-√2\n2 ) -(-√2\n2 )\n4\n= 1\n4\nwięc liczba 5\n4 𝜋 jest rozwiązaniem równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥.\nZatem rozwiązaniami równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są\nliczby: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\nSposób III\nPrzekształcamy równanie równoważnie:\nsin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥\nsin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥\nsin4 𝑥+ cos4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(sin2 𝑥+ cos2 𝑥)\nsin4 𝑥-sin3 𝑥⋅cos 𝑥+ cos4 𝑥-cos3 𝑥⋅sin 𝑥= 0\nsin3 𝑥(sin 𝑥-cos 𝑥) + cos3 𝑥(cos 𝑥-sin 𝑥) = 0\n(sin3 𝑥-cos3 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥) = 0\nsin3 𝑥= cos3 𝑥 ∨ sin 𝑥= cos 𝑥\nsin 𝑥= cos 𝑥 ∨ sin 𝑥= cos 𝑥\nsin 𝑥= cos 𝑥\nGdyby cos 𝑥= 0, to wtedy sin 𝑥= cos 𝑥= 0, więc wstawiając te wartości do tożsamości\ntrygonometrycznej sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1, otrzymalibyśmy 0 + 0 = 1. To oznacza, że\ncos 𝑥≠0, więc możemy obie strony równania sin 𝑥= cos 𝑥 podzielić obustronnie przez\ncos 𝑥 i otrzymujemy tg 𝑥= 1. To równanie w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] ma trzy rozwiązania:\n(-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.\nZatem rozwiązaniami równania sin4 𝑥= sin 𝑥⋅cos 𝑥-cos4 𝑥 w zbiorze [-𝜋, 2𝜋] są\nliczby: (-3\n4 𝜋), 1\n4 𝜋 oraz 5\n4 𝜋.","solution":"$-\\dfrac{3}{4}\\pi$, $\\dfrac{1}{4}\\pi$, $\\dfrac{5}{4}\\pi$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nTrzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1, spełniają warunek 𝑎3 + 𝑎5 = 10.\nTrzywyrazowy ciąg (2𝑎1 + 4, 𝑎4 -1, -1\n8 𝑎7) jest geometryczny.\nOblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania\n5 pkt - odrzucenie ciągu odpowiadającego 𝑟= 11\n3 i obliczenie wyrazów ciągu\ngeometrycznego: (32, 4, 1\n2).\n4 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= -3 oraz 𝑟= 11\n3\nALBO\n- rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑎1: 𝑎1 = 14 oraz 𝑎1 = -6.\n3 pkt - zapisane równania z jedną niewiadomą (𝑎1 lub 𝑟), np.\n42 = -1\n8 (5 + 3𝑟) ⋅(10 -6𝑟+ 4), 42 = -1\n8 (10 -𝑎1) ⋅(4 + 2𝑎1).\n2 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi 𝑎1 i 𝑟, np.\n𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10 i (𝑎1 + 3𝑟-1)2 = -1\n8 (𝑎1 + 6𝑟)(2𝑎1 + 4)\nALBO\n- zapisanie związku 42 = -1\n8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4).\n1 pkt - zastosowanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku\n(𝑎4 -1)2 = -1\n8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisanie równania\nz dwiema niewiadomymi 𝑎1 i 𝑟, np. 𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10,\nALBO\n- obliczenie 𝑎4 : 𝑎4 = 5.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający obliczy wyrazy ciągów geometrycznych odpowiadające wartościom 𝑟= -3\noraz 𝑟= 11\n3 i w odpowiedzi końcowej nie odrzuci ciągu (-8, 4, -2), to otrzymuje 4 punkty\nza całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu (𝑎𝑛). Z warunków zadania oraz ze wzoru na 𝑛-ty wyraz\nciągu arytmetycznego otrzymujemy\n𝑎3 + 𝑎5 = 10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 4𝑟= 10\n𝑎1 = 5 -3𝑟\nZ warunków zadania i z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n(𝑎4 -1)2 = -1\n8 𝑎7 ⋅(2𝑎1 + 4)\n(𝑎1 + 3𝑟-1)2 = -1\n8 (𝑎1 + 6𝑟)(2𝑎1 + 4)\nStąd i ze związku 𝑎1 = 5 -3𝑟 dostajemy kolejno\n(5 -3𝑟+ 3𝑟-1)2 = -1\n8 (5 -3𝑟+ 6𝑟)(10 -6𝑟+ 4)\n16 = -1\n8 (3𝑟+ 5)(14 -6𝑟)\n18𝑟2 -12𝑟-198 = 0\n𝑟= -3 ∨ 𝑟= 11\n3\nDla 𝑟= 11\n3 ciąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= -3 ciąg (𝑎𝑛) jest malejący, 𝑎1 = 14 oraz 𝑎3 + 𝑎5 = 8 + 2 = 10. Wtedy\nrównież (2𝑎1 + 4, 𝑎4 -1, -1\n8 𝑎7) = (32, 4, 1\n2). Ciąg (32, 4, 1\n2) jest geometryczny, więc\njest jedynym rozwiązaniem zadania.","solution":"$\\left(32, 4, \\dfrac{1}{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 zmiennej rzeczywistej 𝑥 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑥2 -3𝑥-𝑚2 + 𝑚+ 3\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których funkcja 𝒇 ma dwa różne\nmiejsca zerowe 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek |𝒙𝟏\n𝟐-𝒙𝟐\n𝟐| ≤𝟏𝟐. Zapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania […] kwadratowe\nz parametrami […].\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(3\n2 , +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek |𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n3 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n32 -4 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) ≤16: 𝑚∈[1 - 2√5\n2\n, 1 + 2√5\n2\n].\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n|𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12, np. 32 -4 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) ≤16.\n1 pkt - przekształcenie nierówności |𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie jednokrotne zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n|𝑥1 -𝑥2| ⋅|𝑥1 + 𝑥2| ≤12.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i |𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12: 𝑚∈[1 - 2√5\n2\n, -1\n2) ∪(3\n2 , 1 + 2√5\n2\n].\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i |𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12:\n𝑚∈[1 - 2√5\n2\n, -1\n2) ∪(3\n2 , 1 + 2√5\n2\n].\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III\netap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za\nIII etap może otrzymać 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ±(±𝑚2 + 𝑚+ 3) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±3, lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za II etap może\notrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności |𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12\ndo postaci pozwalającej na bezpośrednie jednokrotne zastosowanie wzorów Viète’a oraz\n1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III etap otrzymuje\n0 punktów.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:\npominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności |𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12 do\npostaci pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a\nprzyjmie, że 𝑥1\n2 -𝑥2\n2 = (𝑥1 -𝑥2)2\ni konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do\nkońca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie\nwzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za III\netap otrzymuje 0 punktów.\n5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to\nza podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉\njest stopnia co najmniej drugiego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n3 punkty (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 2 punkty za II etap).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nFunkcja kwadratowa 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik Δ\ntrójmianu kwadratowego 𝑥2 -3𝑥-𝑚2 + 𝑚+ 3 jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek ∆> 0:\n(-3)2 -4 ∙1 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) > 0\n4𝑚2 -4𝑚-3 > 0\n(2𝑚-1)2 -4 > 0\n(2𝑚-1 -2) ⋅(2𝑚-1 + 2) > 0\n4 (𝑚-3\n2) (𝑚+ 1\n2) > 0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(3\n2 , +∞)\nII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n|𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12, korzystając ze wzorów Viète’a.\n|𝑥1\n2 -𝑥2\n2| ≤12\n|𝑥1 -𝑥2| ⋅|𝑥1 + 𝑥2| ≤12\n|𝑥1 -𝑥2| ⋅3 ≤12\n|𝑥1 -𝑥2| ≤4\nPonieważ obie strony nierówności |𝑥1 -𝑥2| ≤4 są nieujemne, więc przekształcamy tę\nnierówność równoważnie do postaci (𝑥1 -𝑥2)2 ≤16. Stąd otrzymujemy\n(𝑥1 + 𝑥2)2 -4 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ≤16\n32 -4 ⋅(-𝑚2 + 𝑚+ 3) ≤16\n4𝑚2 -4𝑚-19 ≤0\nObliczamy wyróżnik Δ𝑚 trójmianu kwadratowego 4𝑚2 -4𝑚-19 i rozwiązujemy\nnierówność 4𝑚2 -4𝑚-19 ≤0:\nΔ𝑚= (-4)2 -4 ⋅4 ⋅(-19) = 20 ⋅16\n𝑚= 4 -8√5\n8\n= 1 -2√5\n2\n∨ 𝑚= 4 + 8√5\n8\n= 1 + 2√5\n2\n𝑚∈[1 -2√5\n2\n, 1 + 2√5\n2\n]\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(3\n2 , +∞) oraz 𝑚∈[1 - 2√5\n2\n, 1 + 2√5\n2\n]:\n𝑚∈[1 - 2√5\n2\n, -1\n2) ∪(3\n2 , 1 + 2√5\n2\n].\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m \\in \\left[\\dfrac{1 - 2\\sqrt{5}}{2}, -\\dfrac{1}{2}\\right) \\cup \\left(\\dfrac{3}{2}, \\dfrac{1 + 2\\sqrt{5}}{2}\\right]$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"parametr","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nW trójkącie ostrokątnym 𝐴𝐵𝐶 miara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest dwa razy większa od miary kąta 𝐴𝐵𝐶.\nPunkt 𝐷 jest środkiem boku 𝐴𝐵. Niech 𝛼 oznacza miarę kąta 𝐴𝐵𝐶, natomiast 𝛽 - miarę\nkąta 𝐴𝐷𝐶 (zobacz rysunek).\nOblicz\n𝐭𝐠𝜷\n𝐬𝐢𝐧(𝟐𝜶) . Zapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji: sinus,\ncosinus i tangens […].\nVII.R5) korzysta z wzorów na sinus, cosinus\ni tangens sumy i różnicy kątów, a także na\nfunkcje trygonometryczne kątów\npodwojonych;\nVII.R7) stosuje twierdzenie sinusów.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie związków\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| i |𝐸𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐶𝐹| oraz uzasadnienie, że\n|𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|.\n3 pkt - zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| oraz uzasadnienie, że |𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|.\n2 pkt - uzasadnienie, że |𝐶𝐹| = |𝐴𝐶|\nALBO\n- zdefiniowanie punktu 𝐹 jako obrazu punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem\nprostej 𝑘 oraz zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| .\n1 pkt - zdefiniowanie punktu 𝐹 jako obrazu punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem\nprostej 𝑘\nALBO\n- zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie związku 2sin𝛼\nsin(3𝛼) =\nsin𝛽\nsin(2𝛼+𝛽) i zastosowanie wzoru na sinus sumy kątów\ndo sin(3𝛼) oraz sin(2𝛼+ 𝛽), np.:\n2 sin 𝛼[sin(2𝛼) cos 𝛽+ cos(2𝛼) sin 𝛽] = sin 𝛽[sin(2𝛼) cos 𝛼+ cos(2𝛼) sin 𝛼].\n3 pkt - wyeliminowanie długości odcinków z układu 𝑏\nsin𝛼=\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼)\ni 𝑏\nsin𝛽=\n𝑐\nsin[180°-(2𝛼+𝛽)] , np. zapisanie związku 2sin𝛼\nsin(3𝛼) =\nsin𝛽\nsin(2𝛼+𝛽) .\n2 pkt - zapisanie związków 𝑏\nsin𝛼=\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼) i 𝑏\nsin𝛽=\n𝑐\nsin[180°-(2𝛼+𝛽)] .\n1 pkt - zapisanie związku 𝑏\nsin𝛼=\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼)\nALBO\n- zapisanie związku 𝑏\nsin𝛽=\n𝑐\nsin[180°-(2𝛼+𝛽)] .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie równań:\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥 oraz 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥).\n3 pkt - spełnienie wszystkich trzech warunków określonych w zasadach oceniania za\n1 punkt\nALBO\n- zapisanie równań\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥 oraz 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥,\nALBO\n- zapisanie równań\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥),\nALBO\n- zapisanie równań 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥 oraz 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥).\n2 pkt - spełnienie dwóch warunków spośród 1)-3) określonych w zasadach oceniania za\n1 punkt\nALBO\n- zapisanie związku 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥),\nALBO\n- zapisanie związku 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥.\n1 pkt - spełnienie jednego z poniższych trzech warunków:\n1) zapisanie równości\ntg𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥\n2) zapisanie związku 𝑏\nsin𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼)\n3) zapisanie równań 𝑎2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2 oraz 𝑏2 = ℎ2 + (𝑐-𝑥)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu IV)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 2.\n4 pkt - zapisanie związków:\n(𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼) i\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼) =\n𝑏\nsin𝛼 , i 𝑏\nsin𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼) oraz\nzapisanie tożsamości sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ cos(2𝛼) ⋅sin 𝛼\n(lub sin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ (2 cos2 𝛼-1) ⋅sin 𝛼).\n3 pkt - zapisanie związków (𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼) i\n2𝑐\nsin(180°-3𝛼) =\n𝑏\nsin𝛼 oraz\n𝑏\nsin𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼) .\n2 pkt - zapisanie związku (𝑎2 -𝑏2) ⋅tg 𝛽= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼).\n1 pkt - zapisanie związku 4𝑐𝑑⋅cos 𝛽= 𝑎2 -𝑏2\nALBO\n- zapisanie związku 𝑑⋅sin 𝛽= 𝑏⋅sin(2𝛼).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑘 - prosta prostopadła do 𝐴𝐵 i przechodząca przez punkt 𝐷,\n𝐹 - obraz punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem prostej 𝑘,\n𝐸 - spodek wysokości trapezu poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na podstawę 𝐴𝐵.\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐹𝐶 jest trapezem równoramiennym o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐹 oraz ramionach\n𝐴𝐶 i 𝐵𝐹. Zatem |∡𝐶𝐵𝐹| = |∡𝐶𝐴𝐵| -|∡𝐶𝐵𝐴| = 2𝛼-𝛼= 𝛼 oraz\n|∡𝐵𝐶𝐹| = |∡𝐴𝐵𝐶| = 𝛼, więc trójkąt 𝐵𝐶𝐹 jest równoramienny (zobacz rysunek). Stąd\n|𝐶𝐹| = |𝐹𝐵| = |𝐴𝐶|.\nPonieważ tg 𝛽= |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷| oraz sin(2𝛼) = |𝐶𝐸|\n|𝐴𝐶| , więc\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) =\n|𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷|\n|𝐶𝐸|\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷|\nPonieważ trapez 𝐴𝐵𝐹𝐶 jest równoramienny i 𝐷 jest środkiem podstawy 𝐴𝐵 tego trapezu,\nwięc |𝐸𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐶𝐹|.\nZatem\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) = |𝐴𝐶|\n|𝐸𝐷| =\n|𝐴𝐶|\n1\n2 ⋅|𝐶𝐹|\n|𝐴𝐶|\n1\n2 ⋅|𝐴𝐶|\n= 2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝐸\n𝛼\n𝛼\n𝐹\n𝑘\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑\n(zobacz rysunek).\nStosujemy do trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n𝑏\nsin 𝛼=\n2𝑐\nsin(180° -3𝛼) ∧\n𝑏\nsin 𝛽=\n𝑐\nsin[180° -(2𝛼+ 𝛽)]\nStąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych, dostajemy\n𝑏\nsin 𝛼=\n2𝑐\nsin(3𝛼) ∧\n𝑏\nsin 𝛽=\n𝑐\nsin(2𝛼+ 𝛽)\n𝑏\n𝑐= 2 sin 𝛼\nsin(3𝛼) ∧ 𝑏\n𝑐=\nsin 𝛽\nsin(2𝛼+ 𝛽)\n2 sin 𝛼\nsin(3𝛼) =\nsin 𝛽\nsin(2𝛼+ 𝛽)\n2 sin 𝛼⋅sin(2𝛼+ 𝛽) = sin 𝛽⋅sin(3𝛼)\nStosujemy wzór na sinus sumy kątów, otrzymując kolejno:\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽+ 2 sin 𝛼cos(2𝛼) sin 𝛽= sin 𝛽sin(2𝛼) cos 𝛼+ sin 𝛽cos(2𝛼) sin 𝛼\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽sin(2𝛼) cos 𝛼-sin 𝛽cos(2𝛼) sin 𝛼\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽[sin(2𝛼) cos 𝛼-cos(2𝛼) sin 𝛼]\nStosujemy wzór na sinus różnicy kątów i dostajemy\n2 sin 𝛼sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽sin 𝛼\nStąd\nsin 𝛼= 0 ∨ 2 sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽\nTrójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest ostrokątny, więc sin 𝛼= 0 jest wykluczone przez warunki zadania.\nZatem 2 sin(2𝛼) cos 𝛽= sin 𝛽, czyli\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) = 2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝑐\n𝑐\n𝑎\n𝑑\n𝑏\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑,\n𝐸 - spodek wysokości trójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzonej z wierzchołka 𝐶 na bok 𝐴𝐷,\nℎ - wysokość trójkąta 𝐴𝐷𝐶 poprowadzona z wierzchołka 𝐶,\n𝑥 - długość odcinka 𝐷𝐸 (zobacz rysunek).\nPrzy przyjętych oznaczeniach mamy\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) =\nℎ\n𝑥\nℎ\n𝑏\n= 𝑏\n𝑥\nPo zastosowaniu do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenia sinusów oraz wzoru na sinus podwojonego\nkąta otrzymujemy:\n𝑏\nsin 𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼)\n𝑏\nsin 𝛼=\n𝑎\n2 sin 𝛼cos 𝛼\ncos 𝛼= 𝑎\n2𝑏\nZ definicji cosinusa zastosowanej do trójkąta prostokątnego 𝐸𝐵𝐶 mamy cos 𝛼= 𝑐 + 𝑥\n𝑎\n,\nwięc po uwzględnieniu związku cos 𝛼= 𝑎\n2𝑏 otrzymujemy\n𝑎\n2𝑏= 𝑐+ 𝑥\n𝑎\n𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥)\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝑐-𝑥\n𝑐\n𝑎\n𝑑\n𝑏\n𝑥\nℎ\n𝐸\nPo zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa do trójkątów 𝐴𝐸𝐶 i 𝐸𝐵𝐶 otrzymujemy\n𝑏2 = ℎ2 + (𝑐-𝑥)2 ∧ 𝑎2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2\nStąd\n𝑎2 -𝑏2 = ℎ2 + (𝑐+ 𝑥)2 -ℎ2 -(𝑐-𝑥)2\nczyli\n𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥\nStąd i z zależności 𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥) otrzymujemy kolejno\n𝑎2 = 2𝑏(𝑐+ 𝑥) ∧ 𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑥\n2𝑏(𝑐+ 𝑥) -𝑏2 = 4𝑐𝑥\n2𝑏𝑐+ 2𝑏𝑥-𝑏2 = 4𝑐𝑥\n2𝑏𝑐-𝑏2 = 4𝑐𝑥-2𝑏𝑥\n𝑏(2𝑐-𝑏) = 2𝑥(2𝑐-𝑏)\n𝑏= 2𝑥 ∨ 𝑏= 2𝑐\nGdy 𝑏= 2𝑐, to trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny i |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐵𝐶𝐴|, czyli 𝛼= 180 -3𝛼,\ntj. 𝛼= 45°. Wtedy |∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝛼= 90° i trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest ostrokątny.\nZatem 𝑏= 2𝑥 i ostatecznie\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) = 𝑏\n𝑥= 2𝑥\n𝑥= 2\nSposób IV\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: |𝐴𝐷| = |𝐵𝐷| = 𝑐, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐷| = 𝑑\n(zobacz rysunek).\nStosujemy do trójkątów 𝐵𝐶𝐷 i 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie cosinusów i otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑑2 -2𝑐𝑑⋅cos(180° -𝛽)\n𝑏2 = 𝑐2 + 𝑑2 -2𝑐𝑑⋅cos 𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝛼\n2𝛼\n𝛽\n𝑐\n𝑐\n𝑎\n𝑑\n𝑏\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nStąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych, dostajemy\n𝑎2 -𝑏2 = 4𝑐𝑑⋅cos 𝛽\ncos 𝛽= 𝑎2 -𝑏2\n4𝑐𝑑\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n𝑏\nsin 𝛽=\n𝑑\nsin(2𝛼)\nsin 𝛽= 𝑏⋅sin(2𝛼)\n𝑑\nZatem\ntg 𝛽=\n𝑏⋅sin(2𝛼)\n𝑑\n𝑎2 -𝑏2\n4𝑐𝑑\n= 4𝑏𝑐⋅sin(2𝛼)\n𝑎2 -𝑏2\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n2𝑐\nsin(180° -3𝛼) =\n𝑏\nsin 𝛼 ∧\n𝑏\nsin 𝛼=\n𝑎\nsin(2𝛼)\nStąd, po zastosowaniu wzorów redukcyjnych oraz wzoru na sinus podwojonego kąta,\notrzymujemy\nsin(3𝛼) = 2𝑐⋅sin 𝛼\n𝑏\n∧ sin(2𝛼) = 𝑎⋅sin 𝛼\n𝑏\nsin(3𝛼) = 2𝑐⋅sin 𝛼\n𝑏\n∧ cos 𝛼= 𝑎\n2𝑏\nStąd i ze wzoru na sinus sumy kątów oraz cosinus podwojonego kąta uzyskujemy kolejno:\nsin(3𝛼) = sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼+ cos(2𝛼) ⋅sin 𝛼\n2𝑐⋅sin 𝛼\n𝑏\n= 𝑎⋅sin 𝛼\n𝑏\n⋅𝑎\n2𝑏+ [2 ⋅( 𝑎\n2𝑏)\n2\n-1] ⋅sin 𝛼\n2𝑐\n𝑏= 𝑎2\n2𝑏2 + 𝑎2\n2𝑏2 -1\n2𝑏𝑐= 𝑎2 -𝑏2\nStąd i z zależności tg 𝛽= 4𝑏𝑐 ⋅ sin(2𝛼)\n𝑎2 - 𝑏2\notrzymujemy\ntg 𝛽\nsin(2𝛼) =\n4𝑏𝑐\n𝑎2 -𝑏2 = 4𝑏𝑐\n2𝑏𝑐= 2","solution":"$2$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 12𝑥-84\n𝑥-8\ndla każdego 𝑥∈(-∞, 8).\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) rozważamy wszystkie czworokąty 𝑂𝐵𝐶𝐷,\nw których:\nwierzchołek 𝑂 ma współrzędne (0, 0)\nwierzchołki 𝐵 oraz 𝐷 są punktami przecięcia wykresu funkcji 𝑓 z osią -\nodpowiednio - 𝑂𝑥 i 𝑂𝑦\nwierzchołek 𝐶 ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji 𝑓\n(zobacz rysunek).","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że pole 𝑷 czworokąta 𝑶𝑩𝑪𝑫 w zależności od pierwszej współrzędnej 𝒙\npunktu 𝑪 jest określone wzorem\n𝑷(𝒙) = 𝟐𝟏\n𝟒⋅𝒙𝟐-𝟓𝟔\n𝒙-𝟖\n1\n𝑥\n1\n𝑂\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n𝑦\n𝐵\n𝐷\n𝐶\n13.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów,\nwzorów itp., również w sytuacjach\nwielokrotnego użycia tego samego źródła\ninformacji lub kilku źródeł jednocześnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐵 i 𝐷 oraz zapisanie drugiej współrzędnej\npunktu 𝐶 w zależności od 𝑥: 𝐵= (7, 0) i 𝐷= (0, 21\n2 ) oraz 𝐶= (𝑥, 12𝑥-84\n𝑥-8 ).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy współrzędne punktu 𝐵:\n12𝑥-84\n𝑥-8\n= 0\n12𝑥-84 = 0\n𝑥= 7 ∈(-∞, 8)\nZatem 𝐵= (7, 0).\nObliczamy współrzędne punktu 𝐷: 𝑓(0) = 12⋅0-84\n0-8\n= 21\n2\nZatem 𝐷= (0, 21\n2 ).\nPonieważ 𝐶 leży na wykresie funkcji 𝑓 i ma obie współrzędne dodatnie, więc\n𝐶= (𝑥, 12𝑥-84\n𝑥-8 ), gdzie 0 < 𝑥< 7.\nPole 𝑃 czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest sumą pól trójkątów 𝑂𝐶𝐷 i 𝑂𝐵𝐶, więc\n𝑃= 𝑃𝑂𝐶𝐷+ 𝑃𝑂𝐵𝐶= 1\n2 ⋅21\n2 ⋅𝑥+ 1\n2 ⋅7 ⋅12𝑥-84\n𝑥-8\n= 21\n4 ⋅𝑥2 -8𝑥+ 8𝑥-56\n𝑥-8\n= 21\n4 ⋅𝑥2 -56\n𝑥-8\ngdzie 𝑥∈(0, 7).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$P = \\dfrac{21}{4} \\cdot \\dfrac{x^2 - 56}{x - 8}$ dla $x \\in (0, 7)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"},{"id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2024,"month":"grudzien","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nPole 𝑃 czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 w zależności od pierwszej współrzędnej 𝑥 punktu 𝐶 jest\nokreślone wzorem\n𝑃(𝑥) = 21\n4 ⋅𝑥2 -56\n𝑥-8\ndla 𝑥∈(0, 7).\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝑪, dla których pole czworokąta 𝑶𝑩𝑪𝑫 jest\nnajwiększe. Zapisz obliczenia.\n13.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla 𝑥= 8 -2√2\ni obliczenie współrzędnych punktu 𝐶, dla których pole czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest\nnajwiększe: 𝐶= (8 -2√2, 12 -3√2).\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość największą dla 𝑥= 8 -2√2.\n2 pkt - obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji 𝑃: 𝑥= 8 -2√2.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃, np. 𝑃′(𝑥) = 21\n4 ⋅2𝑥(𝑥 - 8) - (𝑥2 - 56) ⋅ 1\n(𝑥 - 8)2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑥, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 funkcja 𝑃 ma maksimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nJeżeli zdający nie przedstawi poprawnego uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-” znak pochodnej.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 21\n4 ⋅2𝑥(𝑥 - 8) - (𝑥2 - 56) ⋅1\n(𝑥 - 8)2\n= 21\n4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56\n(𝑥 - 8)2\ndla 𝑥∈(0, 7).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 0\n21\n4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56\n(𝑥 - 8)2\n= 0\n𝑥2 - 16𝑥+ 56 = 0\n𝑥= 16 -√32\n2\n= 8 -2√2 ∈(0, 7) ∨ 𝑥= 16 + √32\n2\n∉(0, 7)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑥) > 0\n21\n4 ⋅𝑥2 - 16𝑥+ 56\n(𝑥 - 8)2\n> 0\n𝑥2 - 16𝑥+ 56 > 0\n𝑥∈(0, 8 -2√2)\nZatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 8 -2√2 ] i funkcja 𝑃 jest malejąca\nw przedziale [8 -2√2, 7).\nStąd dla 𝑥= 8 -2√2 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.\nGdy pierwsza współrzędna punktu 𝐶 jest równa 𝑥𝐶= 8 -2√2 , to wtedy druga\nwspółrzędna 𝑦𝐶 tego punktu jest równa:\n𝑦𝐶= 12 ⋅(8 -2√2) -84\n8 -2√2 -8\n= 12 -24√2\n-2√2\n12\n-2√2\n+ 12 = 12 -3√2\nPole czworokąta 𝑂𝐵𝐶𝐷 jest największe, gdy 𝐶= (8 -2√2, 12 -3√2).","solution":"$C = \\left(8 - 2\\sqrt{2}, 12 - 3\\sqrt{2}\\right)$","image":"img/matematyka-2024-grudzien-probna-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · grudzień 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna"}]}