{"paper":{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":42,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDana jest nierówność\n|𝑥-1| ≥3\nNa którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź\nspośród podanych.\nA.\nB.\nC.\nD.\nDana jest nierówność |x-1|≥3 Na którym rysunku poprawnie zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających powyższą nierówność? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania i nierówności typu: […]\n|𝑥+ 3| ≥4.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo zrobić?\n\nMamy nierówność z wartością bezwzględną:\n\n$$|x - 1| \\geq 3$$\n\nTrzeba znaleźć zbiór wszystkich $x \\in \\mathbb{R}$, które ją spełniają, i wskazać odpowiadający mu rysunek na osi liczbowej.\n\nZrozum, co znaczy moduł. Wyrażenie $|x - 1|$ to odległość liczby $x$ od liczby $1$ na osi liczbowej. Nierówność $|x - 1| \\geq 3$ czytamy więc: „odległość $x$ od $1$ jest co najmniej $3$\".\n\nZamień moduł na alternatywę. Dla każdej liczby $a \\geq 0$ zachodzi równoważność:\n\n$$|x - 1| \\geq a \\iff x - 1 \\geq a \\quad \\text{lub} \\quad x - 1 \\leq -a$$\n\nW naszym przypadku $a = 3$, więc:\n\n$$x - 1 \\geq 3 \\quad \\text{lub} \\quad x - 1 \\leq -3$$\n\nRozwiąż każdą z nierówności osobno:\n\n$$x - 1 \\geq 3 \\iff x \\geq 4$$\n\n$$x - 1 \\leq -3 \\iff x \\leq -2$$\n\nZapisz zbiór rozwiązań. Łączymy oba warunki spójnikiem „lub\":\n\n$$x \\in (-\\infty,\\, -2\\rangle \\cup \\langle 4,\\, +\\infty)$$\n\nTo są dwie półproste domknięte — wszystkie liczby na lewo od $-2$ (z $-2$ włącznie) oraz wszystkie liczby na prawo od $4$ (z $4$ włącznie).\n\nPo co to umieć\n\nWartość bezwzględna pojawia się na maturze średnio raz na każdej sesji. Zadanie sprawdza, czy rozumiesz geometryczne znaczenie modułu — i czy nie pomylisz kierunku nierówności. To podstawa do trudniejszych zadań z modułów na poziomie rozszerzonym.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to zaznaczenie przedziału między -2 a 4 zamiast jego dopełnienia — moduł ≥ 3 oznacza „odległość od 1 co najmniej 3\", a nie „odległość mniejsza\".","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba ( 1\n16)\n8\n⋅816 jest równa\nA. 224\nB. 216\nC. 212\nD. 28\n-2\n4\n𝑥\n-2\n4\n𝑥\n-2\n4\n𝑥\n-2\n4\n𝑥\n\nMMAP-P0_100\nLiczba (1/16)^8 ⋅ 8^16 jest równa A. 2^24 B. 2^16 C. 2^12 D. 2^8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba zrobić?\n\nObliczyć wartość iloczynu i wskazać, do której potęgi dwójki jest równa:\n\n$$\\left(\\frac{1}{16}\\right)^{8} \\cdot 8^{16}$$\n\nCały trik to sprowadzić obie liczby do potęg tej samej podstawy — w tym wypadku $2$ — i potem już tylko zsumować wykładniki.\n\nZamień obie podstawy na potęgi dwójki.\n\n$$\\frac{1}{16} = \\frac{1}{2^4} = 2^{-4}$$\n\n$$8 = 2^3$$\n\nPodstaw i zastosuj wzór $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$.\n\n$$\\left(\\frac{1}{16}\\right)^{8} = \\left(2^{-4}\\right)^{8} = 2^{-32}$$\n\n$$8^{16} = \\left(2^3\\right)^{16} = 2^{48}$$\n\nPomnoż potęgi o tej samej podstawie — wykładniki się dodają.\n\n$$2^{-32} \\cdot 2^{48} = 2^{-32 + 48} = 2^{16}$$\n\nKlucz do tego typu zadań\n\nGdy widzisz potęgi z różnymi podstawami — zatrzymaj się i zapytaj: „czy obie te podstawy są potęgami tej samej liczby?\". Na maturze prawie zawsze są (najczęściej dwójki, trójki albo dziesiątki). Sprowadzenie do wspólnej podstawy zamienia trudne mnożenie liczb w łatwe dodawanie wykładników.\n\nTypowy błąd: Typowy błąd to liczenie (1/16)^8 = 1/(16^8) bez sprowadzania do potęgi dwójki — wynik wychodzi jak gigantyczna liczba i traci się sens zadania. Albo druga pułapka: pomylenie wykładnika ujemnego ze znakiem podstawy.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"potęgi, prawa działań, Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba 𝒏𝟐+ (𝒏+ 𝟏)𝟐+ (𝒏+ 𝟐)𝟐 przy\ndzieleniu przez 𝟑 daje resztę 𝟐.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba n²+(n+1)²+(n+2)² przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci\n3(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci\n3𝑛2 + 6𝑛+ 5 oraz zapisanie, że składniki 3𝑛2 oraz 6𝑛 są podzielne przez 3,\na reszta z dzielenia liczby 5 przez 3 jest równa 2,\nALBO\n- zapisanie, że 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2, to trzy kolejne liczby całkowite, więc dokładnie jedna\nz nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz\nzapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat\nliczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, oraz zapisanie\nwniosku, że reszta z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 jest\nrówna 2.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 do postaci\n𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛+ 1 + 𝑛2 + 4𝑛+ 4\nALBO\n- zapisanie, że 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2, to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna\nz nich jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3 oraz\nzapisanie, że kwadrat liczby podzielnej przez 3 jest podzielny przez 3, a kwadrat\nliczby niepodzielnej przez 3 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 3𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby\n𝑛 przez 3 (lub 𝑛= 2𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),\ni przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.\nGdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie\nprzeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛= 3𝑘+ 2, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 = 𝑛2 + 𝑛2 + 2𝑛+ 1 + 𝑛2 + 4𝑛+ 4\n= 3𝑛2 + 6𝑛+ 5 = 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 2𝑛+ 1 jest liczbą naturalną.\nZatem 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) jest wielokrotnością liczby 3.\nStąd 3 ∙(𝑛2 + 2𝑛+ 1) + 2 przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nLiczby 𝑛, 𝑛+ 1, 𝑛+ 2 to trzy kolejne liczby naturalne, więc dokładnie jedna z nich jest\npodzielna przez 3, a dwie pozostałe nie są podzielne przez 3.\nKwadrat liczby podzielnej przez 3 jest również podzielny przez 3.\nKwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem suma reszt z dzielenia przez 3 liczby 𝑛2 + (𝑛+ 1)2 + (𝑛+ 2)2 jest równa\n0 + 1 + 1 = 2.\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I lub Sposób II w rozwiązaniu.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba pokazać?\n\nTrzeba udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$ wyrażenie\n\n$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$\n\ndaje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. Czyli: liczba ta jest postaci $3k + 2$ dla pewnej liczby całkowitej $k$.\n\nPokażę to dwoma sposobami — wybierz ten, który łatwiej zapamiętasz.\n\nSposób I — przekształcenie algebraiczne\n\nRozwiń kwadraty wzorami skróconego mnożenia.\n\n$$\n\\begin{aligned}\nn^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 &= n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) \\\\\n&= 3n^2 + 6n + 5\n\\end{aligned}\n$$\n\nWydziel z wyrażenia jak największą wielokrotność liczby 3. Zauważ, że $3n^2$ i $6n$ są podzielne przez $3$, a $5 = 3 + 2$:\n\n$$3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2$$\n\nWyciągnij wniosek. Skoro $n$ jest liczbą naturalną, to $(n+1)^2$ jest również liczbą naturalną — oznaczmy ją $k = (n+1)^2$. Wtedy:\n\n$$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3k + 2$$\n\nTo znaczy, że liczba $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ przy dzieleniu przez $3$ daje resztę $2$ — co należało udowodnić. $\\blacksquare$\n\nSposób II — analiza reszt z dzielenia przez 3\n\nZauważ, że wśród trzech kolejnych liczb naturalnych $n$, $n+1$, $n+2$ dokładnie jedna jest podzielna przez 3, a dwie pozostałe — przy dzieleniu przez 3 — dają reszty $1$ oraz $2$ (w pewnej kolejności).\n\nSprawdź, jaką resztę z dzielenia przez 3 daje kwadrat liczby w zależności od jej reszty. Niech $a$ będzie liczbą całkowitą:\n\n- jeśli $a \\equiv 0 \\pmod 3$, to $a^2 \\equiv 0 \\pmod 3$\n- jeśli $a \\equiv 1 \\pmod 3$, to $a^2 \\equiv 1 \\pmod 3$\n- jeśli $a \\equiv 2 \\pmod 3$, to $a^2 \\equiv 4 \\equiv 1 \\pmod 3$\n\nWniosek: kwadrat liczby podzielnej przez 3 daje resztę 0, a kwadrat liczby niepodzielnej przez 3 daje zawsze resztę 1.\n\nZsumuj reszty trzech kwadratów. Wśród $n$, $n+1$, $n+2$ jest dokładnie jedna liczba podzielna przez 3 i dwie niepodzielne. Zatem suma reszt z dzielenia przez 3 ich kwadratów wynosi:\n\n$$0 + 1 + 1 = 2$$\n\nTo znaczy, że $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$ daje resztę $2$ przy dzieleniu przez $3$. $\\blacksquare$\n\nJak zdobyć 2 punkty\n\nCKE rozdziela punktację na dwie połowy:\n- 1 pkt — za samo prawidłowe rozwinięcie $n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 3n^2 + 6n + 5$, albo za pokazanie, że jedna z trzech kolejnych liczb jest podzielna przez 3.\n- 2 pkt — za doprowadzenie rozumowania do końca, czyli pokazanie, że wynik to $3k + 2$ dla pewnego $k$ (Sposób I) lub że suma reszt wynosi $2$ (Sposób II).\n\nTypowy błąd: Sprawdzanie tezy dla kilku konkretnych n (np. n=1, n=2, n=3) to NIE jest dowód — CKE da za to 0 punktów. Trzeba pokazać warunek dla każdej liczby naturalnej.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"dowody w teorii liczb, podzielność, Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log√3 9 jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 9\nLiczba log_√3 9 jest równa A. 2 B. 3 C. 4 D. 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo znaczy ten zapis?\n\nWyrażenie\n\n$$\\log_{\\sqrt{3}} 9$$\n\nczytamy: „do której potęgi trzeba podnieść $\\sqrt{3}$, żeby otrzymać $9$\". Innymi słowy — szukamy takiej liczby $x$, że:\n\n$$(\\sqrt{3})^x = 9$$\n\nSprowadź obie strony do potęg trójki.\n\nPierwiastek kwadratowy z trzech to po prostu $3$ podniesione do potęgi $\\tfrac{1}{2}$:\n\n$$\\sqrt{3} = 3^{1/2}$$\n\nA dziewiątka to $3^2$:\n\n$$9 = 3^2$$\n\nZastąp w równaniu i zastosuj wzór $(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$.\n\n$$\\left(3^{1/2}\\right)^{x} = 3^{2}$$\n\n$$3^{x/2} = 3^{2}$$\n\nPorównaj wykładniki. Jeśli potęgi o tej samej podstawie są równe, to ich wykładniki też muszą być równe:\n\n$$\\frac{x}{2} = 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 4$$\n\nSposób alternatywny (jeszcze szybszy)\n\nWzór na zmianę podstawy logarytmu mówi, że dla dowolnego $k > 0$:\n\n$$\\log_{a^k} (b) = \\frac{1}{k} \\cdot \\log_a b$$\n\nTutaj $\\sqrt{3} = 3^{1/2}$, więc $k = 1/2$, $a = 3$, $b = 9$:\n\n$$\\log_{\\sqrt{3}} 9 = \\frac{1}{1/2} \\cdot \\log_3 9 = 2 \\cdot 2 = 4$$\n\nJeśli zapamiętałeś ten wzór — robisz całe zadanie w głowie w 5 sekund.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to czytanie log_√3 9 jako log 9 / √3 (zwykły iloraz) zamiast jako „logarytm o podstawie √3 z liczby 9\". Drugi błąd: zapomnienie, że √3 = 3^(1/2), przez co nie da się dobrać wykładnika.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 wartość wyrażenia\n(2𝑎+ 𝑏)2 -(2𝑎-𝑏)2 jest równa wartości wyrażenia\nA. 8𝑎2\nB. 8𝑎𝑏\nC. -8𝑎𝑏\nD. 2𝑏2\n\nMMAP-P0_100\nDla każdej liczby rzeczywistej a i dla każdej liczby rzeczywistej b wartość wyrażenia (2a+b)²-(2a-b)² jest równa wartości wyrażenia A. 8a² B. 8ab C. -8ab D. 2b²","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nD","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nTrik na 10 sekund\n\nTu działa uniwersalny wzór:\n\n$$(X + Y)^2 - (X - Y)^2 = 4XY$$\n\nTo po prostu wzór $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ zastosowany do $(X+Y)$ i $(X-Y)$ — odejmowanie daje $2Y$, dodawanie daje $2X$, iloczyn to $4XY$.\n\nW naszym zadaniu $X = 2a$ oraz $Y = b$, więc:\n\n$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = 4 \\cdot (2a) \\cdot b = 8ab$$\n\nKoniec. Odpowiedź B.\n\nPełne rozwinięcie (gdy nie pamiętasz wzoru)\n\nRozwiń pierwszy kwadrat:\n\n$$(2a + b)^2 = (2a)^2 + 2 \\cdot (2a) \\cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$$\n\nRozwiń drugi kwadrat:\n\n$$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \\cdot (2a) \\cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$$\n\nOdejmij stronami:\n\n$$(2a + b)^2 - (2a - b)^2 = (4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2)$$\n\nRozwiń odejmowanie nawiasu (każdy znak w drugim nawiasie zmienia się na przeciwny):\n\n$$= 4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 = 8ab$$\n\nWyrazy $4a^2$ i $b^2$ znoszą się parami, zostają dwa razy $+4ab$.\n\nCo warto zapamiętać\n\nTrzy najczęściej testowane wzory na maturze:\n\n- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$\n- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$\n- $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$\n\nWszystkie trzy są w \"Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, którą dostajesz na egzaminie. Ale jeśli musisz je przerzucać pod presją czasu — tracisz ~30 sekund. Warto je mieć w pamięci.\n\nTypowy błąd: Najszybsza droga to wzór (X+Y)² − (X−Y)² = 4XY. Kto rozwija pełne kwadraty, łatwo pomyli znaki przy podwójnym iloczynie 2·(2a)·b — wtedy traci czas i często gubi minus.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n1 -3\n2 𝑥< 2\n3 -𝑥\njest przedział\nA. (-∞, -2\n3)\nB. (-∞, 2\n3)\nC. (-2\n3 , +∞)\nD. (2\n3 , +∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 1 - 3/2x < 2/3 - x jest przedział A. (-∞,-2/3) B. (-∞,2/3) C. (-2/3,+∞) & D. (2/3,+∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba zrobić?\n\nRozwiązać nierówność:\n\n$$1 - \\frac{3}{2}x < \\frac{2}{3} - x$$\n\n— czyli znaleźć zbiór wszystkich $x$, dla których ta nierówność jest prawdziwa, i wskazać odpowiadający mu przedział.\n\nPrzenieś wszystkie wyrazy z $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą. Najwygodniej: $x$-y zostawiamy po prawej, liczby po lewej. Dodajemy $x$ do obu stron i odejmujemy $\\tfrac{2}{3}$ z obu stron:\n\n$$1 - \\frac{2}{3} < -x + \\frac{3}{2}x$$\n\nUprość każdą stronę.\n\nLewa: $1 - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{3}{3} - \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{1}{3}$.\n\nPrawa: $-x + \\dfrac{3}{2}x = \\dfrac{-2x + 3x}{2} = \\dfrac{x}{2}$.\n\nOtrzymujemy:\n\n$$\\frac{1}{3} < \\frac{x}{2}$$\n\nPomnoż obie strony przez $2$ (dodatnia liczba — kierunek nierówności bez zmian):\n\n$$\\frac{2}{3} < x$$\n\nTo jest dokładnie warunek, że $x$ jest większe od $\\dfrac{2}{3}$.\n\nZapisz zbiór rozwiązań w postaci przedziału.\n\n$$x \\in \\left(\\frac{2}{3},\\ +\\infty\\right)$$\n\nSposób alternatywny — mnożenie na samym początku\n\nCzasem łatwiej pozbyć się ułamków od razu. Pomnóż obie strony przez $6$ (NWW mianowników 2 i 3):\n\n$$6 - 9x < 4 - 6x$$\n\nPrzenieś $-6x$ na lewą, $6$ na prawą:\n\n$$-9x + 6x < 4 - 6$$\n\n$$-3x < -2$$\n\nPodziel obie strony przez $-3$ — uwaga, dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak:\n\n$$x > \\frac{2}{3}$$\n\nTen sam wynik. Ta wersja jest szybsza, ale ma w sobie pułapkę zmiany znaku — w stresie egzaminacyjnym łatwo o niej zapomnieć i wybrać błędną odpowiedź B.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to przeoczenie zmiany kierunku znaku przy dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Tu tego unikamy — przenosimy x na jedną stronę, liczby na drugą — ale i tak łatwo pomylić znak przy przeniesieniu wyrazu z drugiej strony.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie\n𝑥+1\n(𝑥+2)(𝑥-3) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązania.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (-1).\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania: (-2) oraz 3.\nD. ma dokładnie trzy rozwiązania: (-1), (-2) oraz 3.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie x+1/(x+2)(x+3) w zbiorze liczb rzeczywistych A. nie ma rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: (-1). C. ma dokładnie dwa rozwiązania: (-1) oraz 3. D. ma dokładnie trzy rozwiązania: (-1), (-2) oraz 3.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba zrobić?\n\nRozwiązać równanie wymierne:\n\n$$\\frac{x + 1}{(x + 2)(x - 3)} = 0$$\n\nCzyli ustalić, dla których $x \\in \\mathbb{R}$ ułamek po lewej stronie jest równy zero — oraz policzyć, ile takich rozwiązań jest.\n\nWyznacz dziedzinę. Ułamek ma sens tylko wtedy, gdy mianownik jest różny od zera. Mianownikiem jest iloczyn $(x+2)(x-3)$. Iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem:\n\n$$x + 2 = 0 \\quad\\text{lub}\\quad x - 3 = 0$$\n\n$$x = -2 \\quad\\text{lub}\\quad x = 3$$\n\nTe dwie liczby nie należą do dziedziny równania. Dziedzina to:\n\n$$D = \\mathbb{R} \\setminus \\{-2,\\ 3\\}$$\n\nZastosuj zasadę: ułamek jest zerem, gdy licznik jest zerem (a mianownik różny od zera).\n\nMianownik mamy już ograniczony przez dziedzinę. Wystarczy więc rozwiązać:\n\n$$x + 1 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x = -1$$\n\nSprawdź, czy znalezione rozwiązanie należy do dziedziny.\n\nCzy $-1$ należy do $\\mathbb{R} \\setminus \\{-2, 3\\}$? Tak — $-1$ nie jest ani $-2$, ani $3$, więc jest w dziedzinie.\n\nZlicz rozwiązania. Jedno: $x = -1$.\n\nAlgorytm na każde równanie wymierne\n\nDla równania postaci $\\dfrac{V(x)}{W(x)} = 0$:\n\n1. Wyznacz dziedzinę: $W(x) \\neq 0$.\n2. Rozwiąż $V(x) = 0$.\n3. Odrzuć te rozwiązania, które nie należą do dziedziny.\n\nJeśli pominiesz krok 3, możesz przyjąć rozwiązanie z dziedziną zera w mianowniku i stracić punkt na otwartym zadaniu albo wybrać D zamiast B na zamkniętym.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to wybór D — uznanie miejsc zerowych mianownika za rozwiązania równania. (−2) i 3 nie należą nawet do dziedziny — przy nich równanie nie ma sensu (dzielenie przez zero).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"równania wymierne, dziedzina, Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 3𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nWielomian 𝑊 jest iloczynem wielomianów 𝐹(𝑥) = 3𝑥 i 𝐺(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥+ 3.\nP\nF\nLiczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑊(𝑥) = 0.\nP\nF\nDany jest wielomian W(x)=3x^3+6x²+9x. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Wielomian W jest iloczynem wielomianów F(x)=3x i G(x)=x²+2x+3. P F Liczba (-1) jest rozwiązaniem równania W(x)=0. P F","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nII.2) […] mnoży wielomiany jednej i wielu\nzmiennych.\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […],\nktóre dają się doprowadzić do postaci\niloczynowej metodą wyłączania wspólnego\nczynnika przed nawias […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPF\nFP","solution":"Odpowiedź: PF — pierwsze stwierdzenie PRAWDA, drugie FAŁSZ.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStwierdzenie (1) — czy $W(x) = F(x) \\cdot G(x)$?\n\nWymnóż $F(x) \\cdot G(x) = 3x \\cdot (x^2 + 2x + 3)$ rozdzielając mnożenie:\n\n$$3x \\cdot x^2 + 3x \\cdot 2x + 3x \\cdot 3 = 3x^3 + 6x^2 + 9x$$\n\nTo dokładnie $W(x)$. Stwierdzenie PRAWDA.\n\nAlternatywnie — wystarczyło zauważyć, że we wszystkich wyrazach $W(x)$ jest wspólny czynnik $3x$:\n\n$$W(x) = 3x \\cdot (x^2 + 2x + 3)$$\n\nStwierdzenie (2) — czy $W(-1) = 0$?\n\nPodstaw $x = -1$ do oryginalnego wielomianu:\n\n$$W(-1) = 3 \\cdot (-1)^3 + 6 \\cdot (-1)^2 + 9 \\cdot (-1) = -3 + 6 - 9 = -6$$\n\n$W(-1) = -6 \\neq 0$. Stwierdzenie FAŁSZ.\n\nTypowy błąd: Pomyłka znaku przy wymnażaniu 3x · (x² + 2x + 3) = 3x³ + 6x² + 9x. Druga pułapka: podstawienie x = −1 i zła arytmetyka znaków potęg.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"wielomiany, rozkład na czynniki","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝒙𝟑-𝟐𝒙𝟐-𝟑𝒙+ 𝟔= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie x^3-2x²-3x+6 = 0","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-√3), √3, 2.\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego\nrozkładu, np.:\n(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 i 𝑥= 2,\n(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 i 𝑥= -√3 oraz 𝑥= √3\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich:\n(𝑥-2 = 0, 𝑥2 -3 = 0) oraz 𝑥= 2,\n(𝑥-2 = 0, 𝑥2 -3 = 0) oraz (𝑥= -√3, 𝑥= √3),\nALBO\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 na czynniki liniowe:\n𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3),\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 do postaci alternatywy trzech\nrównań liniowych: (𝑥-2 = 0, 𝑥-√3 = 0, 𝑥+ √3 = 0),\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 oraz\npoprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= 2 i (𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6) ∶(𝑥-2) = 𝑥2 -3.\n1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 w postaci iloczynu wielomianów\nstopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥2 -3)\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: (𝑥-2 = 0, 𝑥2 -3 = 0),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przekształcenie równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 do postaci\n𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) = 0 lub do postaci 𝑥2(𝑥-2) = 3(𝑥-2) oraz zapisanie\nrozwiązania 𝑥= 2,\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 oraz zapisanie\nsprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje\nczynnik (𝑥-2) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥-2)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥2 -3 = 0).\n4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 zapisze (𝑥-2) ± (𝑥2 -3) = 0,\nale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże\nzadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt\nza rozwiązanie równania 𝑥-2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -3 = 0).\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 popełni\nbłąd i zapisze:\n𝑥2(𝑥+ 2) -3(𝑥-2) = 0\nlub\n𝑥2(𝑥-2) + 3(𝑥-2) = 0\nlub\n𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥+ 2) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 + 3) -2(𝑥2 -3) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 -3) + 2(𝑥2 -3) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 + 3) = 0\na następnie:\n5.1. zapisze równanie (𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0 lub poprawną alternatywę\n(𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 -3 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥-2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -3 = 0).\n5.2. zapisze równanie (𝑥-2)(𝑥2 + 3) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥-2 = 0 lub 𝑥2 + 3 = 0) i zapisze rozwiązanie 𝑥= 2, to otrzymuje 1 punkt\nza całe rozwiązanie.\n5.3. zapisze równanie (𝑥+ 2)(𝑥2 -3) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥+ 2 = 0 lub 𝑥2 -3 = 0) i zapisze oba rozwiązania równania 𝑥2 -3 = 0:\n𝑥= -√3 oraz 𝑥= √3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest\niloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.\n(𝑥-2)(𝑥+ 2)(𝑥2 ± 3) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2\noraz 5.3, np. (𝑥-2 = 0 lub 𝑥+ 2 = 0 lub 𝑥2 ± 3 = 0), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0, popełni jeden błąd\n(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,\nktóre ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥-2) = 3(𝑥-2) przez dwumian\n(𝑥-2) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= √3 oraz 𝑥= -√3, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥-2) = 3(𝑥-2) przez dwumian\n(𝑥-2) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= √3 oraz 𝑥= -√3, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0\n𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) = 0\n(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0\n(𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3) = 0\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥-√3 = 0 lub 𝑥+ √3 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= √3 lub 𝑥= -√3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√3), √3, 2.\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0\n𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 -3) = 0\n(𝑥-2)(𝑥2 -3) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3) = 0\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥-√3 = 0 lub 𝑥+ √3 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= √3 lub 𝑥= -√3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√3), √3, 2.\nSposób III\nObliczamy 𝑊(2) = 0 i stwierdzamy, że liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥-2). Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian (𝑥-2) i otrzymujemy\n(𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6): (𝑥-2) = 𝑥2 -3\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥-2)(𝑥2 -3) = (𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊(𝑥):\n(𝑥-2)(𝑥-√3)(𝑥+ √3) = 0\n𝑥-2 = 0 lub 𝑥-√3 = 0 lub 𝑥+ √3 = 0\n𝑥= 2 lub 𝑥= √3 lub 𝑥= -√3\nRozwiązaniami równania są liczby: (-√3), √3, 2.","solution":"Odpowiedź: x = 2 lub x = √3 lub x = -√3\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo trzeba zrobić?\n\nTrzeba rozwiązać równanie wielomianowe trzeciego stopnia:\n\n$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0$$\n\nWielomian trzeciego stopnia ma maksymalnie trzy pierwiastki rzeczywiste. Trzeba je wszystkie znaleźć.\n\nNajprostsza metoda to grupowanie wyrazów — pogrupowanie wyrazów po dwa i wyciągnięcie wspólnego czynnika tak, aby pojawił się ten sam dwumian w nawiasie.\n\nZgrupuj wyrazy w pary. Zauważ, że pierwsze dwa wyrazy ($x^3$ i $-2x^2$) mają wspólne $x^2$, a ostatnie dwa ($-3x$ i $+6$) mają wspólny czynnik $-3$.\n\n$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$$\n\nWyciągnij wspólny czynnik z każdej pary.\n\n$$x^2(x - 2) - 3(x - 2) = 0$$\n\nTeraz w obu składnikach pojawił się ten sam dwumian $(x - 2)$ — to znak, że grupowanie zadziałało.\n\nWyłącz $(x-2)$ jako wspólny czynnik.\n\n$$(x - 2)(x^2 - 3) = 0$$\n\nWielomian został rozłożony na iloczyn dwóch czynników — dwumianu liniowego i dwumianu kwadratowego. Tu już zarobiłeś 2 z 3 punktów.\n\nZastosuj zasadę: iloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.\n\n$$x - 2 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^2 - 3 = 0$$\n\nZ pierwszego: $x = 2$.\n\nZ drugiego: $x^2 = 3$, czyli $x = \\sqrt{3}$ lub $x = -\\sqrt{3}$.\n\nZapisz wszystkie rozwiązania.\n\n$$x \\in \\left\\{ -\\sqrt{3},\\ \\sqrt{3},\\ 2 \\right\\}$$\n\nJak zarobić wszystkie 3 punkty\n\nPunktacja CKE:\n- 1 pkt — zapisanie wielomianu w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników to wielomian stopnia co najwyżej drugiego, np. $W(x) = (x-2)(x^2-3)$.\n- 2 pkt — to samo + rozwiązanie jednego z równań wynikających z rozkładu (np. $x = 2$).\n- 3 pkt — pełna metoda + obliczenie wszystkich trzech rozwiązań: $-\\sqrt{3}$, $\\sqrt{3}$, $2$.\n\nNajczęstsze straty: zapomnienie o jednym rozwiązaniu lub błąd przy wyłączaniu wspólnego czynnika (myli się znak).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to dzielenie obu stron równania x²(x−2) = 3(x−2) przez (x−2) bez zastrzeżenia, że x ≠ 2. Gubisz wtedy rozwiązanie x = 2 i tracisz punkty.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"równania wielomianowe, metoda grupowania, Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nW październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew.\nPo roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim\nsadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.\nLiczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które\npozostały w pierwszym sadzie.\nNiech 𝑥 oraz 𝑦 oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym\ni drugim sadzie.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby 𝑥 drzew\nposadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby 𝑦 drzew posadzonych w drugim sadzie, jest\nA. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,6 ⋅0,95𝑥= 0,9𝑦\nB. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,95𝑥= 0,6 ⋅0,9𝑦\nC. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,05𝑥= 0,6 ⋅0,1𝑦\nD. { 𝑥+ 𝑦= 1960\n0,4 ⋅0,95𝑥= 0,9𝑦\n\nMMAP-P0_100\nW październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie 1960 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 5% drzew w pierwszym sadzie i 10% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 60% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Niech x oraz y oznaczają liczby drzew posadzonych - odpowiednio - w pierwszym i drugim sadzie. Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby x drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby y drzew posadzonych w drugim sadzie, jest A. {x+y=1960; 0,6⋅0,95x=0,9y B. {x+y=1960; 0,95x=0,6⋅0,9y; C. {x+y=1960 0,05x=0,6⋅0,1y D. {x+y=1960; 0,4⋅0,95x=0,9y","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo dane, co szukane?\n\n- $x$ — drzew posadzonych w sadzie 1\n- $y$ — drzew posadzonych w sadzie 2\n- łącznie posadzono $1960$\n- w sadzie 1 uschło $5\\%$ — zostało $95\\%$, czyli $0{,}95x$\n- w sadzie 2 uschło $10\\%$ — zostało $90\\%$, czyli $0{,}9y$\n- liczba pozostałych w sadzie 2 to $60\\%$ liczby pozostałych w sadzie 1: $0{,}9y = 0{,}6 \\cdot 0{,}95x$\n\nPierwsze równanie — bilans posadzonych drzew.\n\n$$x + y = 1960$$\n\nDrugie równanie — relacja między pozostałymi po roku.\n\nDrzewa pozostałe w sadzie 2 to $0{,}9y$. Drzewa pozostałe w sadzie 1 to $0{,}95x$. Pierwsza wielkość to $60\\%$ drugiej:\n\n$$0{,}9y = 0{,}6 \\cdot 0{,}95x$$\n\nRównoważnie (po zamianie stron):\n\n$$0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y$$\n\nZłóż w układ.\n\n$$\\begin{cases} x + y = 1960 \\\\ 0{,}6 \\cdot 0{,}95x = 0{,}9y \\end{cases}$$\n\nTo dokładnie odpowiedź A.\n\nWynik liczbowy (dla ciekawskich)\n\nZ układu A: $x = 1200$, $y = 760$. To nie jest częścią zadania (tylko trzeba wskazać układ), ale warto sprawdzić, że taki układ ma sensowne rozwiązanie — kalibruje pewność wyboru.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to napisanie \"drzew w drugim sadzie to 60% drzew w pierwszym\" jako 0,6x = y (zamiast 0,6 · 0,95x = 0,9y). Trzeba pamiętać że 60% dotyczy liczby POZOSTAŁYCH (po uschnięciu), nie posadzonych.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"układy równań, zadanie tekstowe, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono dwie proste\nrównoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. {\n𝑦= -3\n2 𝑥+ 3\n𝑦= -3\n2 𝑥-1\nB. {\n𝑦= 3\n2 𝑥+ 3\n𝑦= -2\n3 𝑥-1\nC. {\n𝑦= 3\n2 𝑥+ 3\n𝑦= 3\n2 𝑥-1\nD. {\n𝑦= -3\n2 𝑥-3\n𝑦= 3\n2 𝑥+ 1\n1\n𝑥\n1\n𝑦\n0\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów […]\nsprzecznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo widać na rysunku?\n\nDwie proste w układzie współrzędnych:\n\n- opadające (gdy idziemy w prawo, $y$ maleje) → współczynnik kierunkowy ujemny\n- równoległe → mają ten sam współczynnik kierunkowy\n- przecinają oś $OY$ w różnych punktach (jedna w $(0, 3)$, druga w $(0, -1)$) → mają różne wyrazy wolne\n\nTylko jeden z czterech układów spełnia wszystkie trzy warunki.\n\nSprawdź odpowiedź A: $y = -\\tfrac{3}{2}x + 3$ oraz $y = -\\tfrac{3}{2}x - 1$.\n\n- Obie proste mają współczynnik kierunkowy $-\\tfrac{3}{2}$ → równoległe ✓\n- Obie mają ujemny współczynnik → opadające ✓\n- Wyrazy wolne $3$ i $-1$ → proste przecinają $OY$ w $(0, 3)$ i $(0, -1)$ ✓\n\nWszystko się zgadza.\n\nSprawdź dlaczego inne odpadają.\n\n- B: $-\\tfrac{3}{2}$ i $-\\tfrac{2}{3}$ — różne współczynniki, więc proste nie są równoległe (przetną się w jednym punkcie).\n- C: $+\\tfrac{3}{2}$ i $+\\tfrac{3}{2}$ — równoległe, ale rosnące (dodatni współczynnik), a na rysunku są opadające.\n- D: $-\\tfrac{3}{2}$ i $+\\tfrac{3}{2}$ — różne znaki, więc proste są nawet prostopadłe-symetryczne względem osi $OY$, nie równoległe.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór B lub C — układów, w których proste mają RÓŻNE współczynniki kierunkowe (więc nie są równoległe). Skoro proste są równoległe → współczynniki kierunkowe muszą być TAKIE SAME.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja liniowa, równoległość prostych, Układy równań, analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = (-2𝑘+ 3)𝑥+ 𝑘-1, gdzie 𝑘∈ℝ.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca dla każdej liczby 𝑘 należącej do przedziału\nA. (-∞, 1)\nB. (-∞, -3\n2)\nC. (1, +∞)\nD. (3\n2 , +∞)\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=(-2k+3)x+k-1, gdzie k∈R. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest malejąca dla każdej liczby k należącej do przedziału A. (-∞,1) B. (-∞,-3/2) C. (1,+∞) & D. (3/2,+∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo decyduje o monotoniczności?\n\nDla funkcji liniowej $f(x) = ax + b$:\n\n- $a > 0$ → funkcja rosnąca\n- $a < 0$ → funkcja malejąca\n- $a = 0$ → funkcja stała\n\nWyraz wolny $b$ nie wpływa na monotoniczność (tylko przesuwa wykres w pionie).\n\nZidentyfikuj współczynnik kierunkowy.\n\nW naszym wzorze $f(x) = (-2k + 3)x + (k - 1)$ rolę $a$ pełni wyrażenie $-2k + 3$.\n\nPostaw warunek na monotoniczność malejącą: $a < 0$.\n\n$$-2k + 3 < 0$$\n\nRozwiąż nierówność.\n\n$$-2k < -3$$\n\nPodziel obie strony przez $-2$ — dzielenie przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności:\n\n$$k > \\frac{3}{2}$$\n\nZapisz przedział.\n\n$$k \\in \\left(\\frac{3}{2},\\ +\\infty\\right)$$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie znaków — funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest UJEMNY. Drugi błąd: pomyłka kierunku nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcja liniowa, monotoniczność, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nFunkcje liniowe 𝑓 oraz 𝑔, określone wzorami 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 6 oraz 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥+ 7, mają\nto samo miejsce zerowe.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWspółczynnik 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔 jest równy\nA. (-7\n2)\nB. (-2\n7)\nC. 2\n7\nD. 7\n2\n\nMMAP-P0_100\nFunkcje liniowe f oraz g, określone wzorami f(x)=3x+6 oraz g(x)=ax+7, mają to samo miejsce zerowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik a we wzorze funkcji g jest równy A. (-7/2) B. (-2/7) C. 2/7 & D. 7/2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nA","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo to znaczy „to samo miejsce zerowe\"?\n\nMiejsce zerowe funkcji to taki $x$, dla którego $f(x) = 0$. Geometrycznie: punkt przecięcia wykresu z osią $OX$.\n\nJeśli $f$ i $g$ mają to samo miejsce zerowe — istnieje takie $x_0$, że jednocześnie $f(x_0) = 0$ oraz $g(x_0) = 0$.\n\nZnajdź miejsce zerowe $f$.\n\n$$f(x) = 3x + 6 = 0$$\n\n$$3x = -6 \\quad\\Rightarrow\\quad x_0 = -2$$\n\nPodstaw do $g$ i wykorzystaj warunek $g(x_0) = 0$.\n\n$$g(-2) = a \\cdot (-2) + 7 = 0$$\n\n$$-2a + 7 = 0$$\n\nRozwiąż na $a$.\n\n$$-2a = -7$$\n\n$$a = \\frac{-7}{-2} = \\frac{7}{2}$$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to obliczenie miejsca zerowego f, ale potem podstawienie do g i pomyłka znaku przy rozwiązywaniu na \"a\". Drugi błąd: pomylenie miejsca zerowego (gdzie f(x) = 0) z punktem przecięcia z osią OY (gdzie x = 0).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"funkcja liniowa, miejsce zerowe, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest\nwykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty\nprzecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dla funkcji f prawdziwa jest równość A. f(-4)=f(6) B. f(-4)=f(5) C. f(-4)=f(4) D. f(-4)=f(7)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: 14.1: x ∈ [−2, 4] | 14.2: B (f(x) = −(x−1)² + 9) | 14.3: A (f(−4) = f(6)) | 14.4: g↔A, h↔E\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWykres funkcji $f$\n\nZ wykresu odczytujemy:\n\n- wierzchołek: $W = (1,\\, 9)$\n- miejsca zerowe: $x_1 = -2$, $x_2 = 4$\n- punkt przecięcia z osią $OY$: $(0, 8)$\n- parabola otwiera się w dół (ujemny współczynnik przy $x^2$)\n\n14.1 — zbiór rozwiązań $f(x) \\geq 0$ (1 pkt)\n\nNierówność $f(x) \\geq 0$ oznacza: dla których $x$ wykres jest nad osią OX lub na niej?\n\nZ wykresu widać: parabola jest nad osią OX między miejscami zerowymi $-2$ i $4$. W samych miejscach zerowych $f(x) = 0$, więc warunek $\\geq 0$ je obejmuje.\n\n14.2 — wzór funkcji $f$ (1 pkt)\n\nWybierz spośród: A. $f(x) = -(x+1)^2 - 9$, B. $f(x) = -(x-1)^2 + 9$, C. $f(x) = -(x-1)^2 - 9$, D. $f(x) = -(x+1)^2 + 9$.\n\nPostać kanoniczna funkcji kwadratowej:\n\n$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$\n\ngdzie $(p, q)$ to wierzchołek paraboli, a $a$ to współczynnik kierunkowy.\n\nZ wierzchołka $W = (1, 9)$: $p = 1$, $q = 9$. Więc $f(x) = a(x - 1)^2 + 9$.\n\nZ faktu, że parabola otwiera się w dół: $a < 0$. Wszystkie odpowiedzi mają $a = -1$, więc to OK — weryfikujemy.\n\nSprawdzenie $f(0) = 8$: $f(0) = -1 \\cdot (0-1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8$ ✓\n\n14.3 — który $x$ spełnia $f(-4) = f(?)$ (1 pkt)\n\nWybierz spośród: A. $f(-4) = f(6)$, B. $f(-4) = f(5)$, C. $f(-4) = f(4)$, D. $f(-4) = f(7)$.\n\nKlucz: parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek. Tutaj wierzchołek ma $x = 1$, więc oś symetrii to prosta $x = 1$.\n\nDla każdego punktu $x_0$ istnieje punkt $x_1$ symetryczny do niego (i $f(x_0) = f(x_1)$) taki, że $x_0$ i $x_1$ są równo oddalone od $x = 1$:\n\n$$\\frac{x_0 + x_1}{2} = 1 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad x_1 = 2 - x_0$$\n\nDla $x_0 = -4$: $x_1 = 2 - (-4) = 6$.\n\n14.4 — wykresy $g(x) = f(x+3)$ oraz $h(x) = f(-x)$ (2 pkt)\n\nKażdej z funkcji $g, h$ przyporządkuj fragment wykresu (A–F).\n\n$g(x) = f(x + 3)$ — przesunięcie poziome\n\nZastąpienie $x$ przez $x + 3$ powoduje przesunięcie wykresu o 3 w lewo (tak — w lewo, nie w prawo, mimo plusa).\n\nIntuicja: chcemy w $g$ uzyskać wartość, jaką $f$ ma w punkcie „3 dalej w prawo\". Żeby to zrobić, musimy „cofnąć\" wykres o 3 jednostki — przesunąć go w lewo.\n\nPozycja po przesunięciu:\n\n- wierzchołek: $(1, 9) \\to (-2, 9)$\n- miejsca zerowe: $-2$ i $4$ → $-5$ i $1$\n- kształt i orientacja (otwiera się w dół) — bez zmian\n\nWśród rysunków A–F szukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-2, 9)$ i miejscami zerowymi $-5, 1$. To rysunek A.\n\n$h(x) = f(-x)$ — odbicie symetryczne względem osi $OY$\n\nZastąpienie $x$ przez $-x$ powoduje odbicie wykresu względem osi $OY$.\n\nPozycja po odbiciu:\n\n- wierzchołek: $(1, 9) \\to (-1, 9)$\n- miejsca zerowe: $-2, 4$ → $2, -4$ (czyli $-4$ i $2$)\n- kształt i orientacja — bez zmian\n\nSzukamy paraboli opadającej z wierzchołkiem $(-1, 9)$ i miejscami zerowymi $-4, 2$. To rysunek E.\n\nKlucz uniwersalny — przekształcenia wykresów\n\nOperacja | Co robi z wykresem\n$f(x) + c$ | przesunięcie w górę o $c$\n$f(x) - c$ | przesunięcie w dół o $c$\n$f(x + c)$ | przesunięcie w lewo o $c$\n$f(x - c)$ | przesunięcie w prawo o $c$\n$f(-x)$ | odbicie względem osi $OY$\n$-f(x)$ | odbicie względem osi $OX$\n$\\ | f(x)\\ | $ | część pod osią $OX$ odbija się do góry\n$f(\\ | x\\ | )$ | część dla $x \\geq 0$ kopiuje się symetrycznie na $x < 0$\n\nTe osiem reguł pokrywa wszystkie zadania o przekształceniach wykresów na maturze podstawowej. Warto je rozpoznawać natychmiast.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie postaci kanonicznej i ogólnej funkcji kwadratowej, a w 14.4 — kierunek przesunięcia g(x) = f(x+3) (przesunięcie o 3 w LEWO, nie w prawo).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":"funkcja kwadratowa, odczyt z wykresu, przekształcenia","page_from":13,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu\ntak, aby zdanie było prawdziwe.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) ≥0 jest przedział\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f(x)≥0 jest przedział ..................................... .","answer":"[-2,4]","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n[-2, 4]\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci [4, -2], to otrzymuje 1 punkt.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\langle -2,\\ 4 \\rangle\\)\n\nNierówność \\(f(x) \\geq 0\\) ma rozwiązanie: \\(\\langle -2,\\ 4 \\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - odczyt z wykresu (bez wyznaczania wzoru)\n\n**Co widzimy na rysunku?**\n\nParabola jest **otwarta w dół** (ramiona skierowane w dół), a jej miejsca zerowe to:\n\\[x_1 = -2, \\quad x_2 = 4\\]\n\nNierówność \\(f(x) \\geq 0\\) pyta: **dla których \\(x\\) wykres leży powyżej lub na osi \\(Ox\\)?**\n\nPonieważ parabola otwiera się w dół:\n- między pierwiastkami (\\(-2 \\leq x \\leq 4\\)) - wykres jest **powyżej** osi \\(Ox\\), czyli \\(f(x) \\geq 0\\) ✓\n- poza pierwiastkami (\\(x < -2\\) lub \\(x > 4\\)) - wykres jest **poniżej** osi \\(Ox\\), czyli \\(f(x) < 0\\) ✗\n\n**Zbiór rozwiązań:**\n\\[\\boxed{\\langle -2,\\ 4 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wzoru funkcji i rozwiązanie algebraiczne\n\n**Krok 1: Ustal wzór \\(f\\) w postaci iloczynowej.**\n\nZnamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), więc:\n\\[f(x) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik \\(a\\).**\n\nKorzystamy z punktu przecięcia z osią \\(Oy\\): parabola przechodzi przez \\((0, 8)\\), czyli \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]\n\\[a = -1\\]\n\n**Krok 3: Zapisz pełny wzór.**\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nSprawdzenie: wierzchołek w \\(x = \\frac{-2+4}{2} = 1\\), \\(f(1) = -(3)(-3) = 9\\) ✓\n\n**Krok 4: Rozwiąż nierówność \\(f(x) \\geq 0\\).**\n\n\\[-(x+2)(x-4) \\geq 0\\]\n\\[(x+2)(x-4) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny** (≤ 0), gdy czynniki mają **różne znaki lub jeden jest zerem**:\n\n| \\(x\\) | \\(x+2\\) | \\(x-4\\) | iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) → \\(> 0\\) ✗ |\n| \\(x = -2\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-2 < x < 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) → \\(\\leq 0\\) ✓ |\n| \\(x = 4\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) → \\(> 0\\) ✗ |\n\n**Zbiór rozwiązań:**\n\\[\\boxed{\\langle -2,\\ 4 \\rangle}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do zapisania wzoru przez znane pierwiastki.\n\n**Dział 7 (s. 7-9)** - miejsca zerowe i znak funkcji kwadratowej:\n- Dla \\(a < 0\\): funkcja jest nieujemna **między** pierwiastkami (\\(x_1 \\leq x \\leq x_2\\))\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwiera się w **dół** (\\(a < 0\\)), więc \\(f(x) \\geq 0\\) zachodzi **między** pierwiastkami - odwrotnie niż przy paraboli skierowanej w górę. To najczęstszy błąd: zamiana wnętrza z zewnętrzem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostre** (\\(\\geq 0\\)), więc przedział jest **domknięty** \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\) - oba końce należą do zbioru rozwiązań (bo \\(f(-2) = f(4) = 0\\)). Błędem byłoby wpisanie otwartego przedziału \\((-2, 4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba wyznaczać pełnego wzoru \\(f\\) - wystarczy odczytać miejsca zerowe z wykresu i określić kierunek otwarcia paraboli. Sposób 1 jest szybszy i w zupełności wystarczający na maturze.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\([-2,\\ 4]\\)**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nParabola ma ramiona skierowane w dół i przecina oś \\(x\\) w punktach \\(x=-2\\) oraz \\(x=4\\). Między tymi miejscami zerowymi \\(f(x)\\geq 0\\) (wykres nad osią lub na osi).\n\n### Sposób 2 - Znak funkcji kwadratowej\nDla \\(a<0\\) (ramiona w dół) i pierwiastków \\(x_1=-2\\), \\(x_2=4\\): \\(f(x)\\geq 0 \\Leftrightarrow x\\in[x_1,x_2]=[-2,4]\\).\n\n### Dlaczego uważać\n- Popularny błąd: odwrócenie porządku \\([4,-2]\\) (CKE przyznaje 1 pkt za „dyskalkulię\").\n- Nierówność **nieostra** (\\(\\geq\\)) - końce wliczone, używamy nawiasów kwadratowych.\n- Nie mylić z \\(f(x)>0\\) - bez końców, \\((-2,4)\\).\n\n**Trik:** pierwiastki na wykresie czytamy tam, gdzie parabola dotyka lub przecina oś \\(x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza definicji przedziału\nAby funkcją f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x, oznacza to, że wartości funkcji f(x) są nieujemne lub równe zero. Ponieważ parabola jest wykresem funkcji kwadratowej, jej wykres jest zawsze skierowany do góry (bo nie mamy przycisku minus przed x²). Oznacza to, że funkcja f(x) będzie miała zero minimum, a wszystkie jej wartości będą większe lub równe zero. Zatem przedział, w którym f(x) \\(\\geq\\) 0, to przedział z minimum paraboli do nieskończoności. Z treści zadania wiemy, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami są całkowite. Z tego wynika, że minimum paraboli musi być w punkcie, w którym x i y są całkowite. W takim przypadku, f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x.\n\n[\n```math\nf(x) \\geq 0 \\implies x \\in [minimum, \\infty)\n]\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9: F.kwadratowa: Δ=b²-4ac, x=(-b±√Δ)/(2a), W=(-b/2a, -Δ/4a), Viète: x₁+x₂=-b/a, x₁·x₂=c/a\n\n### Sposób 2: Związek z wierzchołkiem i współrzędnymi punktów przecięcia z osiami\nWierzchołek paraboli ma współrzędne całkowite. Ponieważ parabola jest skierowana do góry, jej minimum znajduje się w wierzchołku. Zatem f(x) \\(\\geq\\) 0 dla wszystkich x. Punkt przecięcia z osią x to miejsce, gdzie f(x) = 0. Ponieważ wierzchołek ma współrzędne całkowite, to wierzchołek musi być jednym z rozwiązań nierówności f(x) \\(\\geq\\) 0. Ponieważ parabola jest skierowana do góry, to rozwiązaniem nierówności f(x) \\(\\geq\\) 0 jest przedział od wierzchołka do nieskończoności.\n\n[\n```math\nf(x) \\geq 0 \\implies x \\in [wierzchołek, \\infty)\n]\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Nieprawidłowe, ponieważ f(x) \\(\\geq\\) 0 nie oznacza, że f(x) musi być zawsze dodatnie, tylko nieujemne.\n* **C:** Nieprawidłowe, ponieważ nie określa przedziału, w którym f(x) \\(\\geq\\) 0.\n* **D:** Nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględnia f(x) \\(\\geq\\) 0, a jedynie f(x) ≥ 0.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem\nA. 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 1)2 -9\nB. 𝑓(𝑥) = -(𝑥-1)2 + 9\nC. 𝑓(𝑥) = -(𝑥-1)2 -9\nD. 𝑓(𝑥) = -(𝑥+ 1)2 + 9\n1 2 3 4 5 6 7\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n14.1.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem A. f(x)=-(x+1)^2-9 B. f(x)=-(x-1)^2+9 C. f(x)=-(x-1)^2-9 D. f(x) = -(x+1)^2+9","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna z wierzchołka\n\n**Z opisu rysunku odczytujemy dane:**\n- Parabola otwarta w dół → współczynnik \\(a < 0\\)\n- Wierzchołek: \\(W = (1, 9)\\), czyli \\(p = 1\\), \\(q = 9\\)\n\n**Zapisujemy postać kanoniczną:**\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q = a(x - 1)^2 + 9\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - podstawiamy dowolny punkt z wykresu, np. \\((-2, 0)\\):\n\\[0 = a(-2 - 1)^2 + 9\\]\n\\[0 = a \\cdot 9 + 9\\]\n\\[9a = -9\\]\n\\[a = -1\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\\boxed{f(x) = -(x-1)^2 + 9}\\]\n\n## Sposób 2 - Postać iloczynowa z miejsc zerowych\n\nZ wykresu odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\).\n\n**Zapisujemy postać iloczynową:**\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x+2)(x-4)\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - podstawiamy punkt \\((0, 8)\\) (przecięcie z osią \\(Oy\\)):\n\\[8 = a(0+2)(0-4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a\\]\n\\[a = -1\\]\n\n**Rozwijamy do postaci kanonicznej:**\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -(x^2 - 4x + 2x - 8) = -(x^2 - 2x - 8)\\]\n\\[= -x^2 + 2x + 8\\]\n\nSprawdzamy postać kanoniczną - współrzędna wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-1)} = 1\\]\n\\[q = -\\frac{\\Delta}{4a}, \\quad \\Delta = 4 + 32 = 36, \\quad q = -\\frac{36}{-4} = 9\\]\n\nZatem \\(W = (1, 9)\\) - zgodnie z rysunkiem. **Wynik potwierdzony:**\n\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\).\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nWspółrzędna \\(p\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w obu sposobach - kluczowe było rozpoznanie, że znamy wierzchołek i miejsca zerowe, co daje prostą drogę do wyznaczenia \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Wzięto \\(p = -1\\) zamiast \\(p = 1\\) oraz \\(q = -9\\) zamiast \\(q = 9\\) - pomylono obie współrzędne wierzchołka |\n| C | Wzięto \\(p = 1\\) (poprawnie), ale \\(q = -9\\) zamiast \\(q = 9\\) - zamieniono znak wartości w wierzchołku |\n| D | Wzięto \\(p = -1\\) zamiast \\(p = 1\\) - błędny znak przy \\(p\\): \\(-(x+1)^2\\) to wierzchołek w \\(x = -1\\), nie \\(x = 1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\) jest **minus** przed \\(p\\). Wierzchołek w \\(x = 1\\) daje \\((x - 1)^2\\), nie \\((x + 1)^2\\)! To najczęstszy błąd w tym typie zadania - mylennie znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta **w dół** oznacza \\(a < 0\\). Jeśli widzisz parabolę skierowaną w dół, od razu eliminujesz odpowiedzi z \\(a > 0\\). Tu wszystkie cztery odpowiedzi mają \\(a = -1\\), więc tego kryterium nie możemy zastosować do eliminacji - ale zawsze warto to sprawdzić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze weryfikuj wynik kilkoma punktami z wykresu (np. miejscami zerowymi i punktem na osi \\(Oy\\)). Tu: \\(f(0) = -(0-1)^2 + 9 = -1 + 9 = 8\\) ✓, \\(f(-2) = -(- 3)^2 + 9 = -9 + 9 = 0\\) ✓, \\(f(4) = -(3)^2 + 9 = 0\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt wierzchołka\nZ wykresu: wierzchołek \\((1,9)\\), ramiona skierowane w dół (\\(a<0\\)). Postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2+q, \\quad p=1,\\ q=9.\\]\nPierwiastki \\(-2\\) i \\(4\\): z \\(f(4)=0\\): \\(a(4-1)^2+9=0 \\Rightarrow 9a+9=0 \\Rightarrow a=-1\\).\nWzór: \\(f(x) = -(x-1)^2+9\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja wartości\nDla \\(x=0\\): \\(f(0)=-1+9=8\\) - zgodne z rysunkiem (przecięcie osi \\(y\\) w \\(8\\)).\nDla \\(x=-2\\): \\(f(-2)=-9+9=0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(-(x+1)^2-9\\) - wierzchołek \\((-1,-9)\\), złe miejsce.\n- **C.** Wierzchołek \\((1,-9)\\), pod osią.\n- **D.** Wierzchołek \\((-1,9)\\), zły \\(p\\).\n\n**Trik:** w postaci \\(a(x-p)^2+q\\) wierzchołek to wprost \\((p,q)\\) - uwaga na znak \\(p\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Interpretacja grafu i wzoru kwadratowego\n\n1. **Analiza grafu:** Z wykresu widać, że parabola ma wierzchołek w punkcie (x-1, 0). Ponadto, parabola przecina oś x w punkcie -1.\n2. **Wzór ogólny funkcji kwadratowej:** Wierzchołek paraboli ma postać f(x) = a(x - wierzchołek)², gdzie 'a' jest współczynnikiem określającym kierunek paraboli. W naszym przypadku wierzchołek to (x-1), więc wzór przyjmuje postać: f(x) = a(x - (x-1))²\n3. **Wybór współczynnika 'a':** Ponieważ parabola otwiera się w górę (z wykresu widać, że jej ramiona są skierowane w górę), współczynnik 'a' musi być dodatni. Ponadto, parabola przecina oś x w punkcie x = -1. Podstawiając x = -1 do wzoru, otrzymujemy: f(-1) = 0. To pozwala nam obliczyć wartość 'a':\n0 = a(-1 - (x-1))² = a(-1 + 1 - x + x)² = a(0) = 0\nW tym przypadku, parabola przecina oś x w punkcie (-1,0) i wierzchołek ma współrzędną x = 1. Wzór funkcji kwadratowej wygląda następująco:\nf(x) = a(x - 1)² + 9\nW tym przypadku, parabola przecina oś x w punkcie x = -1.\nf(-1) = a(-1 - 1)² + 9 = 4a + 9 = 0\nStąd a = -9/4\nWzór funkcji kwadratowej wygląda następująco:\nf(x) = -(x - 1)² + 9\n\n4. **Podsumowanie:** Zatem, prawidłowy wzór to f(x) = -(x - 1)² + 9.\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9: F.kwadratowa, strona 9\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli\n\n1. **Wzór na współrzędne wierzchołka:** Współrzędne wierzchołka paraboli f(x) = ax² + bx + c są dane wzorami:\n* x_w = -b / 2a\n* y_w = f(x_w)\n2. **Obliczenie x_w:** W naszym przypadku f(x) = -x² + 9, więc a = -1, b = 0, c = 9. Zatem:\nx_w = -0 / (2 * -1) = 0\n3. **Obliczenie y_w:** Podstawiamy x_w = 0 do funkcji:\ny_w = f(0) = -(0)² + 9 = 9\n4. **Wzór na funkcję w wierzchołku:** Wierzchołek paraboli ma postać: f(x) = a(x - x_w)² + y_w. W naszym przypadku:\nf(x) = a(x - 0)² + 9 = ax² + 9\n5. **Określenie 'a':** Ponieważ wierzchołek ma współrzędną x = 0, a parabola otwiera się w dół, współczynnik 'a' musi być ujemny. Ponadto, parabola przecina oś x w punkcie x = -1.\nf(-1) = a(-1)² + 9 = a + 9 = 0\nStąd a = -9.\n6. **Podsumowanie:** Zatem, prawidłowy wzór to f(x) = -x² + 9.\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9: F.kwadratowa, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. f(x) = -(x+1)² -9:** W tym wzorze wierzchołek byłby w punkcie (-1, -9), co nie odpowiada wykresowi. Ponadto, parabola otwierałaby się w dół, a nie w górę.\n* **C. f(x) = -(x-1)² -9:** W tym wzorze wierzchołek byłby w punkcie (1, -9), co nie odpowiada wykresowi. Ponadto, parabola otwierałaby się w dół, a nie w górę.\n* **D. f(x) = -(x+1)² + 9:** W tym wzorze wierzchołek byłby w punkcie (-1, 9), co nie odpowiada wykresowi. Ponadto, parabola otwierałaby się w górę, a nie w dół.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunków zadania, czyli wierzchołek ma współrzędne całkowite, a parabola otwiera się w górę.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDla funkcji 𝑓 prawdziwa jest równość\nA. 𝑓(-4) = 𝑓(6)\nB. 𝑓(-4) = 𝑓(5)\nC. 𝑓(-4) = 𝑓(4)\nD. 𝑓(-4) = 𝑓(7)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą […] wykresów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(f(-4) = f(6)\\)\n\n## Sposób 1 - Oś symetrii paraboli\n\n**Kluczowa własność paraboli**: punkty symetryczne względem osi symetrii mają tę samą wartość funkcji.\n\nZ opisu rysunku odczytujemy wierzchołek: \\(W = (1, 9)\\).\n\n**Oś symetrii** paraboli: \\(x = 1\\)\n\nSzukamy punktu symetrycznego do \\(x = -4\\) względem osi \\(x = 1\\):\n\n\\[-4 \\xrightarrow{?} x_2, \\quad \\text{warunek: } \\frac{-4 + x_2}{2} = 1\\]\n\n\\[-4 + x_2 = 2\\]\n\n\\[x_2 = 6\\]\n\n**Zatem \\(f(-4) = f(6)\\)** - odpowiedź **A**.\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i podstawienie\n\nZ rysunku odczytujemy miejsca zerowe: \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\). Zapisujemy postać iloczynową:\n\n\\[f(x) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\nPodstawiamy wierzchołek \\(f(1) = 9\\):\n\n\\[a(1+2)(1-4) = 9\\]\n\\[a \\cdot 3 \\cdot (-3) = 9\\]\n\\[-9a = 9 \\implies a = -1\\]\n\nWzór funkcji:\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nWeryfikacja: \\(f(0) = 8\\) ✓ (zgodne z wykresem)\n\nTeraz obliczamy:\n\\[f(-4) = -(-4)^2 + 2 \\cdot (-4) + 8 = -16 - 8 + 8 = \\mathbf{-16}\\]\n\n\\[f(6) = -(6)^2 + 2 \\cdot 6 + 8 = -36 + 12 + 8 = \\mathbf{-16}\\]\n\n\\[f(-4) = f(6) = -16 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli i postać iloczynowa:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} \\quad \\text{(odcięta wierzchołka = oś symetrii)}\\]\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) \\quad \\text{(postać iloczynowa, gdy } \\Delta \\geq 0\\text{)}\\]\n\nUżyliśmy postaci iloczynowej w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji z miejsc zerowych, a własności osi symetrii w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** | Uczeń szuka punktu symetrycznego do \\(-4\\) względem \\(x = 0\\) (osi \\(Oy\\)), zamiast osi symetrii \\(x = 1\\) → wychodzi \\(x_2 = 4\\), a potem myli zapis i podaje 5 |\n| **C** | Uczeń bierze punkt \\(x = 4\\) (miejsce zerowe) jako \"symetryczny\" do \\(-4\\), bo \\(|-4| = |4|\\) - myli symetrię względem \\(Oy\\) z symetrią względem osi paraboli |\n| **D** | Uczeń oblicza oś symetrii jako \\(\\frac{-2 + 4}{2} = 1\\), ale potem popełnia błąd arytmetyczny: \\(1 + (1-(-4)) = 1 + 5 = 6\\) i błędnie zapisuje \\(7\\) zamiast \\(6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to **NIE** jest oś \\(Oy\\). Punkty symetryczne liczymy względem osi \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to odcięta wierzchołka - tu \\(x = 1\\), nie \\(x = 0\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odczytując wierzchołek z wykresu, upewnij się czy skala osi jest \"co 1\". Tu oś \\(Ox\\) zaczyna się od \\(-7\\), więc wierzchołek przy \\(y = 9\\) jest wyraźnie w \\(x = 1\\), nie \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli widzisz miejsca zerowe \\(-2\\) i \\(4\\), możesz od razu odczytać oś symetrii jako ich **średnią arytmetyczną**: \\(\\frac{-2 + 4}{2} = 1\\). To szybszy sposób niż obliczanie \\(-\\frac{b}{2a}\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi paraboli\nOś symetrii paraboli: \\(x=1\\). Dla każdego \\(x_0\\): \\(f(x_0)=f(2-x_0)\\) (odbicie względem \\(x=1\\)).\nDla \\(x_0=-4\\): \\(2-(-4)=6\\). Więc \\(f(-4)=f(6)\\).\n\n### Sposób 2 - Obliczenie bezpośrednie\n\\(f(x)=-(x-1)^2+9\\). \\(f(-4)=-25+9=-16\\). \\(f(6)=-25+9=-16\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(f(5)\\)** - \\(f(5)=-16+9=-7\\) ≠ \\(-16\\).\n- **C. \\(f(4)\\)** - \\(f(4)=-9+9=0\\).\n- **D. \\(f(7)\\)** - \\(f(7)=-36+9=-27\\).\n\n**Trik:** dla paraboli z osią \\(x=p\\) punkty \\((p-d)\\) i \\((p+d)\\) dają tę samą wartość - tu \\(p=1\\), \\(d=5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza wierzchołka i punktów przecięcia z osiami\n\n1. **Zrozumienie warunków zadania:** Wierzchołek paraboli i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi. To oznacza, że współrzędne wierzchołka i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi.\n2. **Wzór ogólny paraboli:** Wzór ogólny paraboli to \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\), gdzie *a*, *b* i *c* są współczynnikami.\n3. **Punkt przecięcia z osią X (pierwiastek):** Ponieważ jeden z pierwiastków (x-współrzędna punktu przecięcia z osią X) jest liczbą całkowitą, możemy użyć wzorów Viète'a: x₁ + x₂ = -b/a, gdzie x₁ i x₂ to pierwiastki.\n4. **Wierzchołek:** Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą -b/(2a). Ponieważ wierzchołek ma współrzędną x będącą liczbą całkowitą, to -b/(2a) musi być liczbą całkowitą.\n5. **Wybór odpowiedzi:** Z analizy wynika, że \\(f(-4) = f(5)\\) jest najbardziej prawdopodobną odpowiedzią, ponieważ wierzchołek znajduje się w punkcie x = -b/(2a) i jeden z pierwiastków to -4, a drugi to 5. Wtedy -b/(2a) = -4 i 5. W takim przypadku -b/(2a) = 5. Wtedy f(-4) = f(5) jest prawdą.\n\n📖 Karta wzorów: **S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności wierzchołka i pierwiastków\n\n1. **Współrzędne wierzchołka:** Wierzchołek paraboli ma współrzędne \\(x_v = -\\frac{b}{2a}\\). Ponieważ \\(x_v\\) jest liczbą całkowitą, to \\(b\\) musi być podzielne przez \\(2a\\).\n2. **Pierwiastki:** Załóżmy, że pierwiastki to \\(x_1\\) i \\(x_2\\). Wtedy \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) i \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\).\n3. **Wybór odpowiednich wartości:** Zauważmy, że jeśli \\(f(-4) = f(5)\\), to \\(x_1 = -4\\) i \\(x_2 = 5\\). Wtedy:\n* \\(x_v = -\\frac{b}{2a} = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-4 + 5}{2} = \\frac{1}{2}\\), co nie jest liczbą całkowitą.\n* To sugeruje, że trzeba sprawdzić, czy \\(f(-4) = f(5)\\) jest prawdą, gdy wierzchołek i punkty przecięcia z osiami są liczbami całkowitymi.\n\n📖 Karta wzorów: **S.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)**, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(f(-4) = f(6)\\):** Nie ma podstaw, aby zakładać, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają takie współrzędne.\n* **C. \\(f(-4) = f(4)\\):** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, nie ma podstaw, aby zakładać, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają takie współrzędne.\n* **D. \\(f(-4) = f(7)\\):** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A i C, nie ma podstaw, aby zakładać, że wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mają takie współrzędne.\n\nW tym konkretnym przypadku, odpowiedź B jest najbardziej prawdopodobna, ponieważ warunki zadania (wierzchołek i punkty przecięcia z osiami mające współrzędne całkowite) sugerują, że pierwiastki są liczbami całkowitymi, a wierzchołek jest w punkcie, który jest liczbą całkowitą. Jednakże, aby to udowodnić, potrzebowalibyśmy dodatkowych informacji o funkcji *f(x)*.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.3.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/14.4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"14.4","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.4. (0-2)\nFunkcje kwadratowe 𝑔 oraz ℎ są określone za pomocą funkcji 𝑓 (zobacz rysunek na\nstronie 13) następująco: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 3), ℎ(𝑥) = 𝑓(-𝑥).\nNa rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦),\nfragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji 𝑔 oraz fragment\nwykresu funkcji ℎ.\nUzupełnij tabelę. Każdej z funkcji 𝒈 oraz 𝒉 przyporządkuj fragment jej wykresu.\nWpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród\noznaczonych literami A-F.\nFragment wykresu funkcji 𝑦= 𝑔(𝑥) przedstawiono na rysunku\nFragment wykresu funkcji 𝑦= ℎ(𝑥) przedstawiono na rysunku\nA.\nB.\n1 2 3 4 5 6 7\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n1 2 3\n-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n14.4.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nC.\nD.\nE.\nF.\n1 2 3 4\n-6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n0\n-8\n-9\n-10\n1 2 3 4\n-6 -5 -4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n0\n8\n9\n10\n1 2 3 4 5 6\n-4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n0\n-8\n-9\n-10\n1 2 3 4 5 6\n-4 -3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n7\n6\n5\n4\n3\n2\n1\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n-6\n-7\n0\n8\n-8\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Funkcje kwadratowe g oraz h są określone za pomocą funkcji f następująco: g(x)=f(x+3), h(x)=f(-x). Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h. Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Fragment wykresu funkcji y=g(x) przedstawiono na rysunku Fragment wykresu funkcji y=h(x) przedstawiono na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14.4. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.12) na podstawie wykresu funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥) szkicuje wykresy funkcji\n𝑦= 𝑓(𝑥-𝑎), […] 𝑦= 𝑓(-𝑥).\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nA\nE\nE","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(g \\to A\\), \\(h \\to E\\)\n\n## Sposób 1 - analiza przekształceń geometrycznych\n\n**Krok 1: Odczytaj funkcję \\(f\\) z rysunku zadania 14.**\n\nZ opisu rysunku wynika, że funkcja \\(f\\) to parabola otwarta w dół z wierzchołkiem w punkcie \\(W = (1, 9)\\) i miejscami zerowymi \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\) - co odpowiada wykresowi **B** (parabola B opisuje właśnie taką funkcję).\n\nMożemy zapisać:\n\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]\n\nSprawdzenie miejsc zerowych:\n\\[-(x-1)^2 + 9 = 0 \\implies (x-1)^2 = 9 \\implies x = 1 \\pm 3\\]\n\\[\\boxed{x_1 = -2, \\quad x_2 = 4} \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz wykres \\(g(x) = f(x+3)\\).**\n\nPrzekształcenie \\(f(x+3)\\) oznacza **przesunięcie wykresu \\(f\\) o 3 jednostki w lewo**.\n\n- Wierzchołek: \\((1, 9) \\xrightarrow{-3 \\text{ w poziomie}} (-2, 9)\\)\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = -2 - 3 = -5\\), \\(x_2 = 4 - 3 = 1\\)\n\nSprawdzenie rachunkowe:\n\\[g(x) = -(x+3-1)^2 + 9 = -(x+2)^2 + 9\\]\n\\[-(x+2)^2 + 9 = 0 \\implies x = -2 \\pm 3 \\implies x_1 = -5,\\ x_2 = 1 \\checkmark\\]\n\n**Pasuje wykres A** - wierzchołek \\((-2, 9)\\), przecięcia osi w \\(-5\\) i \\(1\\). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz wykres \\(h(x) = f(-x)\\).**\n\nPrzekształcenie \\(f(-x)\\) oznacza **symetrię wykresu \\(f\\) względem osi \\(Oy\\)** (odbicie lustrzane).\n\n- Wierzchołek: \\((1, 9) \\xrightarrow{\\text{odbicie } Oy} (-1, 9)\\)\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = -(-2) = 2\\), \\(x_2 = -(4) = -4\\)\n\nSprawdzenie rachunkowe:\n\\[h(x) = f(-x) = -(-x-1)^2 + 9 = -(x+1)^2 + 9\\]\n\\[-(x+1)^2 + 9 = 0 \\implies x = -1 \\pm 3 \\implies x_1 = -4,\\ x_2 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Pasuje wykres E** - wierzchołek \\((-1, 9)\\), przecięcia osi w \\(-4\\) i \\(2\\). ✓\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez wzory Viète'a i symetrię\n\n**Dla \\(g(x) = f(x+3)\\):** Każde miejsce zerowe \\(x_0\\) funkcji \\(f\\) staje się miejscem zerowym \\(g\\) w punkcie \\(x_0 - 3\\).\n\n\\[f: \\quad x_1 = -2,\\ x_2 = 4 \\quad \\Rightarrow \\quad g: \\quad x_1 - 3 = -5,\\ x_2 - 3 = 1\\]\n\nOś symetrii \\(g\\): \\(x = \\frac{-5 + 1}{2} = \\frac{-4}{2} = -2\\) - wierzchołek ma odciętą \\(-2\\). → **Wykres A** ✓\n\n**Dla \\(h(x) = f(-x)\\):** Każde miejsce zerowe \\(x_0\\) funkcji \\(f\\) staje się miejscem zerowym \\(h\\) w punkcie \\(-x_0\\).\n\n\\[f: \\quad x_1 = -2,\\ x_2 = 4 \\quad \\Rightarrow \\quad h: \\quad -x_1 = 2,\\ -x_2 = -4\\]\n\nOś symetrii \\(h\\): \\(x = \\frac{2 + (-4)}{2} = \\frac{-2}{2} = -1\\) - wierzchołek ma odciętą \\(-1\\). → **Wykres E** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna i wierzchołek paraboli:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia, jak przesunięcie \\(x \\to x+3\\) i odbicie \\(x \\to -x\\) zmieniają wierzchołek.\n\n**Dział 7 - miejsca zerowe:**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nWzory Viète'a \\(x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\) pozwoliły szybko wyznaczyć oś symetrii przekształconych funkcji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wykres | Dlaczego nie pasuje do \\(g\\) ani \\(h\\) |\n| **B** | To jest oryginalna funkcja \\(f\\) - przesunięcie o 0 |\n| **C** | Inny wierzchołek - nie odpowiada żadnemu z przekształceń \\(f\\) |\n| **D** | Inny wierzchołek - nie odpowiada żadnemu z przekształceń \\(f\\) |\n| **F** | Parabola otwarta **w górę** - \\(f\\) otwarta w dół, a żadne z przekształceń (\\(x+3\\), \\(-x\\)) nie zmienia znaku współczynnika \\(a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(g(x) = f(x+3)\\) przesuwa wykres **w lewo** (o 3), nie w prawo! Intuicja podpowiada \"+3 = w prawo\", ale to odwrotność - w formule \\(f(x-p)\\) przesuwamy w prawo, a \\(f(x+p)\\) - w lewo.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odbicie \\(h(x) = f(-x)\\) to symetria względem osi \\(Oy\\) - **nie zmienia** wartości maksymalnej (wierzchołek pozostaje na tej samej wysokości \\(y = 9\\)), tylko „przeprowadza\" go na stronę ujemną osi \\(Ox\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie czytaj wykresów A-F „na oko\". Kluczowe są dwie liczby: odciętej wierzchołka i miejsca zerowe. Sprawdź je rachunkowo - wtedy nie ma miejsca na błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(g \\to A\\), \\(h \\to E\\)**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcia wykresu\n- \\(g(x)=f(x+3)\\) - przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(3\\) jednostki **w lewo**. Wierzchołek z \\((1,9)\\) przesuwa się do \\((-2,9)\\). To opcja A.\n- \\(h(x)=f(-x)\\) - symetria względem osi \\(y\\) (pionowej). Wierzchołek z \\((1,9)\\) idzie do \\((-1,9)\\). To opcja E.\n\n### Sposób 2 - Obliczenie wzorów\n\\(f(x)=-(x-1)^2+9\\).\n- \\(g(x)=f(x+3)=-((x+3)-1)^2+9=-(x+2)^2+9\\). Wierzchołek \\((-2,9)\\), miejsca zerowe: \\(x\\in\\{-5,1\\}\\). Rysunek A.\n- \\(h(x)=f(-x)=-(-x-1)^2+9=-(x+1)^2+9\\). Wierzchołek \\((-1,9)\\), miejsca zerowe: \\(x\\in\\{-4,2\\}\\). Rysunek E.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B** (wierzchołek \\((3,9)\\)) - przesunięcie w prawo, odpowiada \\(f(x-3)\\).\n- **C** (wierzchołek \\((1,6)\\)) - inne \\(q\\), nie odpowiada żadnej z naszych funkcji.\n- **D, F** - ramiona w górę (\\(a>0\\)), to nie są przesunięcia/symetrie \\(f\\).\n\n**Trik:** \\(f(x+a)\\) → w lewo o \\(a\\); \\(f(-x)\\) → odbicie względem \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza fragmentów wykresów i definicji funkcji\n\n1. **Zrozumienie definicji funkcji:** Mamy funkcje kwadratowe g(x) i h(x) zdefiniowane za pomocą funkcji f(x) jako:\n* g(x) = f(x + 3)\n* h(x) = f(-x)\nTo oznacza, że wykresy g(x) i h(x) są przesunięte odpowiednio o -3 i +3 wzdłuż osi x oraz odbicia względem osi y.\n\n2. **Analiza fragmentów wykresów:**\n* Fragment wykresu funkcji g (literą A) przedstawia fragment paraboli, który jest przesunięty o 3 jednostki w lewo względem wykresu funkcji f.\n* Fragment wykresu funkcji h (literą B) przedstawia fragment paraboli, który jest odbiciem wykresu funkcji f względem osi y. Odbicie względem osi y to funkcja -f(x).\n\n3. **Wybór odpowiednich fragmentów:** Zatem, fragment wykresu g odpowiada funkcji g(x) i fragment wykresu h odpowiada funkcji h(x).\n\n📖 Karta wzorów: s.7 (Wzory skrócone), strona 7 - Potrzebujemy zrozumienia przesunięć i odbić, co jest związane z definicją funkcji.\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzorów funkcji i własności paraboli\n\n1. **Przypomnienie wzorów:**\n* g(x) = f(x + 3) - Przesunięcie o -3 wzdłuż osi x.\n* h(x) = f(-x) - Odbicie względem osi y.\n\n2. **Związek z wierzchołkiem:** Wierzchołek paraboli f(x) jest punktem, w którym funkcja przyjmuje minimalną lub maksymalną wartość. W zadaniu podano, że wierzchołek ma obie współrzędne całkowite.\n\n3. **Porównanie z wykresami:** Sprawdzamy, który fragment wykresu g i h odpowiada przesunięciu i odbiciu, które zostały zdefiniowane. Fragment B (wykres h) jest odbiciem wykresu f względem osi y, a fragment A (wykres g) jest przesunięciem wykresu f o 3 jednostki w lewo.\n\n📖 Karta wzorów: s.22-25 (Geom.anal), strona 22 - Używamy współrzędnych punktów na wykresie do określenia przesunięć i odbić.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Fragment wykresu g nie odpowiada funkcji g(x) = f(x+3), ponieważ nie jest przesunięty o 3 jednostki w lewo.\n* **C:** Fragment wykresu h nie odpowiada funkcji h(x) = f(-x), ponieważ nie jest odbiciem wykresu f względem osi y.\n* **D:** Fragment wykresu g nie odpowiada funkcji g(x) = f(x+3), ponieważ nie jest przesunięty o 3 jednostki w lewo.\n\nWszystkie inne odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają definicji funkcji g(x) i h(x) oraz nie odpowiadają fragmentom wykresów.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-14.4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-14.4.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= (-1)𝑛⋅(𝑛-5) dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1.\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nPierwszy wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego\nciągu.\nP\nF\nWszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛) są dodatnie.\nP\nF\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = (-1)^n⋅(n-5) dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Pierwszy wyraz ciągu (a_n) jest dwa razy większy od trzeciego wyrazu tego ciągu. P F Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są dodatnie. P F","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPF\nPF","solution":"Odpowiedź: PF — pierwsze stwierdzenie PRAWDA, drugie FAŁSZ.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nNajpierw policz kilka wyrazów ciągu\n\nWzór: $a_n = (-1)^n \\cdot (n - 5)$.\n\n$n$ | $(-1)^n$ | $n - 5$ | $a_n$\n$1$ | $-1$ | $-4$ | $\\mathbf{+4}$\n$2$ | $+1$ | $-3$ | $-3$\n$3$ | $-1$ | $-2$ | $\\mathbf{+2}$\n$4$ | $+1$ | $-1$ | $-1$\n$5$ | $-1$ | $0$ | $0$\n$6$ | $+1$ | $1$ | $1$\n\nPierwszy wyraz: $a_1 = 4$. Trzeci wyraz: $a_3 = 2$.\n\nStwierdzenie (1) — czy $a_1$ jest dwa razy większy od $a_3$?\n\n$$a_1 = 4, \\qquad 2 \\cdot a_3 = 2 \\cdot 2 = 4$$\n\n$a_1 = 2 \\cdot a_3$. Stwierdzenie PRAWDA.\n\nStwierdzenie (2) — czy wszystkie wyrazy są dodatnie?\n\nWyliczona tabelka pokazuje: $a_2 = -3$, $a_4 = -1$, $a_5 = 0$ — nie są wszystkie dodatnie. Wystarczy jeden kontrprzykład, żeby zdyskwalifikować zdanie ogólne.\n\nStwierdzenie FAŁSZ.\n\nStrategia dla wzorów ze znakiem $(-1)^n$\n\nJeśli we wzorze pojawia się $(-1)^n$ — wynik na pewno zmienia znaki naprzemiennie. Dla nieparzystych $n$ czynnik daje $-1$, dla parzystych $+1$. To natychmiast wyklucza stwierdzenia w stylu „wszystkie wyrazy są tego samego znaku\".\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to interpretacja „dwa razy większy\" niejednoznacznie: czy to a_1 = 2 · a_3, czy a_1 = a_3 + 2 · a_3 = 3 · a_3? CKE używa wersji „dwa razy większy = 2× tyle\". Drugi błąd: pominięcie znaku (−1)^n dla dużych n.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciągi, wzór ogólny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (12, 6, 2𝑚-1) jest geometryczny.\nDokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.\nTen ciąg jest\nrosnący\noraz\n1.\n𝑚= 1\n2\nA.\n2.\n𝑚 = 2\nmalejący\nB.\n3.\n𝑚 = 3\n\nMMAP-P0_100\nTrzywyrazowy ciąg (12, 6, 2m-1) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. m=1/2 2. m=2 3. m=3","answer":"B2","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.2) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący;\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów […]\ngeometrycznych, do rozwiązywania zadań\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB2\nA2","solution":"Odpowiedź: B 2 — ciąg jest malejący, m = 2.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz do zadań z ciągiem geometrycznym (3 wyrazy)\n\nDla ciągu geometrycznego $(a, b, c)$ zachodzi tożsamość:\n\n$$b^2 = a \\cdot c$$\n\n(środkowy wyraz do kwadratu równa się iloczynowi sąsiednich). To najszybszy sposób.\n\nZastosuj wzór $b^2 = a \\cdot c$ dla $(12, 6, 2m - 1)$:\n\n$$6^2 = 12 \\cdot (2m - 1)$$\n\n$$36 = 24m - 12$$\n\nRozwiąż na $m$.\n\n$$48 = 24m$$\n\n$$m = 2$$\n\nSprawdź ciąg dla $m = 2$.\n\nTrzeci wyraz: $2 \\cdot 2 - 1 = 3$. Ciąg to $(12, 6, 3)$.\n\nIloraz: $q = \\dfrac{6}{12} = \\dfrac{1}{2}$ (i sprawdzenie: $\\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$ ✓ — ten sam iloraz potwierdza, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny).\n\nUstal monotoniczność.\n\nWyrazy: $12 > 6 > 3$ — każdy kolejny jest mniejszy od poprzedniego. Ciąg jest malejący.\n\nMożna też zauważyć: dla ciągu geometrycznego o wszystkich wyrazach dodatnich, ciąg jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy $0 < q < 1$. Tutaj $q = \\tfrac{1}{2} \\in (0, 1)$ → malejący ✓.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomijanie własności ciągu geometrycznego: b² = a · c (środkowy wyraz do kwadratu = iloczyn sąsiednich). Drugi błąd: zapomnienie, że iloraz q ciągu (12, 6, ...) wynosi 1/2, więc trzeci wyraz to 6 · 1/2 = 3.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"ciąg geometryczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-2)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Trzeci wyraz\ntego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu\njest równa (-165).\nOblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.\n17.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nCiąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy (-1), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa (-165). Oblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.","answer":"r = −2","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟= -2.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć 𝑟, np.:\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz -165 = 2𝑎1 + 14𝑟\n2\n⋅15 ,\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎15 = 𝑎1 + 14𝑟 oraz -165 = 𝑎1 + 𝑎15\n2\n⋅15 ,\n𝑎3 = -1 oraz -165 = (𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟)\n2\n⋅15\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np.:\n(-1 -2𝑟) + (-1 -𝑟) + (-1) + (-1 + 𝑟) + … + (-1 + 12𝑟) = -165 ,\n2(-1 -2𝑟) + 14𝑟\n2\n⋅15 = -165 ,\n(-1 -2𝑟) + (-1 + 12𝑟)\n2\n⋅15 = -165 ,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- obliczenie ósmego wyrazu ciągu (𝑎𝑛) z wykorzystaniem własności ciągu\narytmetycznego: 𝑎8 = -11 (dla sposobów IV oraz V),\nALBO\n- zapisanie kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n3, 1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23, -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n2. Jeżeli zdający zapisze tylko 𝑟= -2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje liczbę (-165) jako piętnasty wyraz ciągu, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzorów na 𝑛-ty wyraz i sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego i otrzymujemy układ równań\n{\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟\n-165 = 2𝑎1 + 14𝑟\n2\n⋅15\nPrzekształcając ten układ równoważnie, otrzymujemy\n{\n-1 = 𝑎1 + 2𝑟\n-11 = 𝑎1 + 7𝑟\nOdejmując stronami równania układu, otrzymujemy\n10 = -5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób II\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165\n(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 -𝑟) + 𝑎3 + (𝑎3 + 𝑟) + (𝑎3 + 2𝑟) + … + (𝑎3 + 12𝑟) = -165\n15𝑎3 + (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) = -165\ngdzie 𝑎3 = -1, a suma piętnastu liczb (-2𝑟-𝑟+ 0 + 𝑟+ 2𝑟+ 3𝑟+ … + 12𝑟) jest\nrówna\n-2𝑟+ 12𝑟\n2\n⋅15 = 75𝑟\nZatem\n15 ∙(-1) + 75𝑟= -165\n75𝑟= -150\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób III\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎15\n2\n⋅15 = -165\n𝑎1 + 𝑎15 = -22\n(𝑎3 -2𝑟) + (𝑎3 + 12𝑟) = -22\n2𝑎3 + 10𝑟= -22\nStąd i z tego, że 𝑎3 = -1, otrzymujemy\n2 ⋅(-1) + 10𝑟= -22\nZatem\n10𝑟= -20\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób IV\nSuma kolejnych piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa (-165),\nzatem\n𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎15 = -165\n(𝑎8 -7𝑟) + (𝑎8 -6𝑟) + … + 𝑎8 + … + (𝑎8 + 6𝑟) + (𝑎8 + 7𝑟) = -165\n15𝑎8 = -165\n𝑎8 = -165\n15\n= -11\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy\n𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟\n-11 = -1 + 5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).\nSposób V\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy równania:\n𝑎8 = 𝑎7 + 𝑎9\n2\n𝑎8 = 𝑎6 + 𝑎10\n2\n𝑎8 = 𝑎5 + 𝑎11\n2\n𝑎8 = 𝑎4 + 𝑎12\n2\n𝑎8 = 𝑎3 + 𝑎13\n2\n𝑎8 = 𝑎2 + 𝑎14\n2\n𝑎8 = 𝑎1 + 𝑎15\n2\nZatem\n𝑎1 + 𝑎2 + … + 𝑎14 + 𝑎15 = (𝑎1 + 𝑎15) + (𝑎2 + 𝑎14) + … + (𝑎7 + 𝑎9) + 𝑎8 =\n= 15𝑎8 = -165\nStąd 𝑎8 = -11. Ponieważ\n𝑎8 = 𝑎3 + 5𝑟\nwięc otrzymujemy\n-11 = -1 + 5𝑟\n𝑟= -2\nRóżnica ciągu jest równa (-2).","solution":"Odpowiedź: r = −2\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo mamy?\n\nCiąg arytmetyczny $(a_n)$. Dane:\n\n- $a_3 = -1$\n- $S_{15} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_{15} = -165$\n\nSzukamy różnicy $r$.\n\nSposób I — wprost ze wzorów\n\nZapisz wzór na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego ($a_n = a_1 + (n-1)r$):\n\n$$a_3 = a_1 + 2r = -1$$\n\nZapisz wzór na sumę ($S_n = \\dfrac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n$ albo $S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n$):\n\n$$S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = -165$$\n\nPodziel obie strony przez $15$ i pomnóż przez $2$:\n\n$$2a_1 + 14r = -22$$\n\n$$a_1 + 7r = -11$$\n\nOtrzymałeś układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:\n\n$$\\begin{cases} a_1 + 2r = -1 \\\\ a_1 + 7r = -11 \\end{cases}$$\n\nOdejmij stronami pierwsze równanie od drugiego:\n\n$$5r = -10 \\quad\\Rightarrow\\quad r = -2$$\n\nSposób II — sprytniejszy (przez 8. wyraz)\n\nDla ciągu arytmetycznego $S_{15} = 15 \\cdot a_8$ — bo $a_8$ jest środkowym wyrazem (mediana = średnia arytmetyczna dla ciągu arytmetycznego). Stąd:\n\n$$a_8 = \\frac{S_{15}}{15} = \\frac{-165}{15} = -11$$\n\nMamy $a_3 = -1$ i $a_8 = -11$, a różnica „dzielona\" jest na 5 kroków:\n\n$$a_8 = a_3 + 5r \\quad\\Rightarrow\\quad -11 = -1 + 5r \\quad\\Rightarrow\\quad r = -2$$\n\nTen sam wynik, mniej rachunków.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć $r$ (jeden z wielu wariantów: $a_3 = a_1 + 2r$ z $S_{15}$, albo $a_8 = -11$ + $a_8 = a_3 + 5r$, itd.).\n- 2 pkt — pełne rozwiązanie + obliczenie $r = -2$.\n\nJest co najmniej 5 sposobów na to zadanie — wszystkie akceptowane.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to interpretacja −165 jako 15. wyrazu ciągu (a_15) zamiast jako sumy S_15 = a_1 + ... + a_15. CKE wprost: „taka interpretacja daje 0 punktów\".","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"ciąg arytmetyczny, suma częściowa, ciagi","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"18","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-2)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) zaznaczono kąt o mierze 𝛼 taki, że\ntg 𝛼= -3 oraz 90° < 𝛼< 180° (zobacz rysunek).\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nPrawdziwe są zależności: oraz\nA. sin 𝛼< 0\nB. sin 𝛼⋅cos 𝛼< 0\nC. sin 𝛼⋅cos 𝛼> 0\nD. cos 𝛼> 0\nE. sin 𝛼= -1\n3 cos 𝛼\nF. sin 𝛼= -3 cos 𝛼\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt o mierze α taki, że tgα=-3 oraz 90\\s<α<180° (zobacz rysunek). [rysunek] Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są zależności: ............ oraz ............ . A. sinα<0 B. sinα⋅cosα<0 C. sinα⋅cosα>0 D. cosα>0 E. sinα=-1/3cosα F. sinα=-3cosα","answer":"BF","answer_text":"Zadanie 18. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji […]\ntangens dla kątów od 0° do 180° […];\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nBF\nCF","solution":"Odpowiedź: B F — sin α · cos α < 0 (II ćwiartka, różne znaki) oraz sin α = −3 cos α (z definicji tangensa).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo wiemy o kącie?\n\n- $\\tan \\alpha = -3$\n- $90° < \\alpha < 180°$ → kąt leży w drugiej ćwiartce\n\nW drugiej ćwiartce mają miejsce konkretne znaki funkcji trygonometrycznych:\n\n- $\\sin \\alpha > 0$ (oś $y$ dodatnia)\n- $\\cos \\alpha < 0$ (oś $x$ ujemna)\n- $\\tan \\alpha < 0$ (iloraz $+/-$)\n\nSprawdźmy każdą odpowiedź\n\nA: $\\sin \\alpha < 0$ — FAŁSZ. W II ćwiartce $\\sin \\alpha > 0$ (rzędna punktu na okręgu jednostkowym jest dodatnia).\n\nB: $\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha < 0$ — PRAWDA. Iloczyn liczby dodatniej ($\\sin \\alpha$) i ujemnej ($\\cos \\alpha$) jest ujemny.\n\nC: $\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha > 0$ — FAŁSZ. Sprzeczne z B (i z analizą znaków).\n\nD: $\\cos \\alpha > 0$ — FAŁSZ. W II ćwiartce $\\cos \\alpha < 0$.\n\nE: $\\sin \\alpha = -\\tfrac{1}{3} \\cos \\alpha$ — FAŁSZ. To pułapka z mylonej definicji tangensa.\n\nF: $\\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha$ — PRAWDA. Z definicji $\\tan \\alpha = \\dfrac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha}$ i $\\tan \\alpha = -3$:\n\n$$\\frac{\\sin \\alpha}{\\cos \\alpha} = -3 \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha$$\n\nKlucz uniwersalny — znaki funkcji w II ćwiartce\n\nPamiętaj „A-S-T-C\" (Acute-Sine-Tangent-Cosine) — w której ćwiartce dana funkcja jest dodatnia:\n\n- I ćwiartka (0°-90°): wszystkie dodatnie\n- II ćwiartka (90°-180°): tylko sin dodatni\n- III ćwiartka (180°-270°): tylko tan dodatni\n- IV ćwiartka (270°-360°): tylko cos dodatni\n\nKażde zadanie maturalne pytające „w II/III/IV ćwiartce\" sprowadza się do tych dwóch faktów: znaki funkcji + tożsamość $\\tan = \\sin / \\cos$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór E (sin α = −1/3 · cos α) — pomylenie definicji tangensa. tg α = sin α / cos α, więc z tg α = −3 wynika sin α = −3 · cos α (nie −1/3).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"trygonometria, znaki funkcji w II ćwiartce","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba sin3 20° + cos2 20° ⋅sin 20° jest równa\nA. cos 20°\nB. sin 20°\nC. tg 20°\nD. sin 20° ⋅cos 20°\n18.\n0-1-2\n1\n2\n3\n-3 -2 -1\n𝑦\n𝑥\n𝛼\n0\n2\n1\n-1\n3\n\nMMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCały trik — wyciąganie wspólnego czynnika\n\nZauważ, że oba składniki zawierają $\\sin 20°$:\n\n- $\\sin^3 20° = \\sin 20° \\cdot \\sin^2 20°$\n- $\\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot \\cos^2 20°$\n\nWyciągnij $\\sin 20°$ przed nawias:\n\n$$\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot \\left( \\sin^2 20° + \\cos^2 20° \\right)$$\n\nZastosuj jedynkę trygonometryczną:\n\n$$\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$$\n\ndla dowolnego kąta $\\alpha$, w szczególności dla $\\alpha = 20°$.\n\nPodstaw $1$ w miejsce nawiasu:\n\n$$\\sin 20° \\cdot \\underbrace{\\left( \\sin^2 20° + \\cos^2 20° \\right)}_{= 1} = \\sin 20° \\cdot 1 = \\sin 20°$$\n\nKlucz uniwersalny\n\nWzór $\\sin^2 \\alpha + \\cos^2 \\alpha = 1$ to najczęściej testowana tożsamość trygonometryczna na maturze podstawowej. Gdy widzisz w wyrażeniu zarówno $\\sin^2$ jak i $\\cos^2$ tego samego kąta — w 95% przypadków zadanie sprowadza się do zauważenia tej jedynki i schludnego przekształcenia algebraicznego (wspólny czynnik, podstawienie). Bez kalkulatora.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie tego kalkulatorem (na maturze podstawowej masz tylko prosty kalkulator) zamiast wyciągnięcia wspólnego czynnika sin20°. Drugi błąd: pomylenie sin³x z sin(3x).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria, tożsamości","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀| = 𝑎, |𝐿𝑀| = 𝑏 oraz 𝑎≠𝑏. Dwusieczna kąta\n𝐾𝑀𝐿 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 takim, że |𝐾𝑁| = 𝑐, |𝑁𝐿| = 𝑑 oraz |𝑀𝑁| = 𝑒\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nW trójkącie 𝐾𝐿𝑀 prawdziwa jest równość\nA. 𝑎⋅𝑏= 𝑐⋅𝑑\nB. 𝑎⋅𝑑= 𝑏⋅𝑐\nC. 𝑎⋅𝑐= 𝑏⋅𝑑\nD. 𝑎⋅𝑏= 𝑒⋅𝑒\nDany jest trójkąt KLM, w którym |KM|=a, |LM|=b oraz a≠b. Dwusieczna kąta KML przecina bok KL w punkcie N takim, że |KN|=c, |NL|=d oraz |MN|=e (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. W trójkącie KLM prawdziwa jest równość A. a⋅b=c⋅ d B. a⋅d=b⋅c C. a⋅c=b⋅ d D. a⋅b=e⋅e","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVIII.7) stosuje twierdzenia: […]\no dwusiecznej kąta […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nB","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nTwierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta\n\nJeśli dwusieczna kąta w wierzchołku $M$ trójkąta $KLM$ przecina przeciwległy bok $KL$ w punkcie $N$, to:\n\n$$\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}$$\n\n— odcinki, na które dwusieczna dzieli bok przeciwległy, są proporcjonalne do boków przyległych do dzielonego kąta.\n\nPodstaw oznaczenia z zadania\n\nMamy: $|KM| = a$, $|LM| = b$, $|KN| = c$, $|NL| = d$, $|MN| = e$.\n\nZapisz proporcję twierdzenia.\n\n$$\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|} \\quad\\Longleftrightarrow\\quad \\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}$$\n\nPomnóż na krzyż (właściwość proporcji $\\frac{x}{y} = \\frac{u}{v} \\iff x \\cdot v = y \\cdot u$):\n\n$$c \\cdot b = d \\cdot a$$\n\nczyli\n\n$$a \\cdot d = b \\cdot c$$\n\nSkrót pamięciowy\n\nDwusieczna dzieli bok w stosunku boków przyległych — przy każdym wierzchołku „swój\" odcinek odpowiada „swojemu\" bokowi. Jeśli w wątpliwości — narysuj sobie szybki szkic i podpisz, który bok wychodzi z którego wierzchołka. Pomyłka w 5 sekundach widoczna.\n\nTypowy błąd: Mylenie kolejności w twierdzeniu o dwusiecznej. Bezpiecznie: „bok przy wierzchołku K (a) ma się do odcinka po stronie K (c) tak, jak bok przy wierzchołku L (b) ma się do odcinka po stronie L (d)\" — czyli a/c = b/d, równoważnie a · d = b · c.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria, twierdzenie o dwusiecznej kąta","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole tego równoległoboku jest równe\nA. 12\nB. 12√3\nC. 6\nD. 6√3\n𝑒\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝑑\n𝑐\n𝐿\n𝑁\n\nMMAP-P0_100\nDany jest równoległobok o bokach długości 3 i 4 oraz o kącie między nimi o mierze 120°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole tego równoległoboku jest równe A. 12 B. 12√3 C. 6 D. 6√3","answer":"D","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków\nw figurach płaskich oraz obliczania pól figur.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nB","solution":"Odpowiedź: D\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWzór na pole równoległoboku z kątem\n\nDla równoległoboku o bokach $a$, $b$ i kącie $\\gamma$ między nimi:\n\n$$P = a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$$\n\nTo wzór analogiczny do trójkąta, ale bez dzielenia przez 2 (równoległobok = dwa trójkąty).\n\nPodstaw dane: $a = 3$, $b = 4$, $\\gamma = 120°$.\n\n$$P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°$$\n\nOblicz $\\sin 120°$. Kąt $120°$ leży w II ćwiartce. Używamy redukcji: $\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60°$.\n\n$$\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$$\n\nStąd $\\sin 120° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$.\n\nWymnóż:\n\n$$P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}$$\n\nKlucz pamięciowy — pole figur\n\nFigura | Wzór | Uwaga\nProstokąt | $a \\cdot b$ | $\\sin 90° = 1$\nRównoległobok | $a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$ | dwa boki + kąt\nTrójkąt | $\\tfrac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin \\gamma$ | dwa boki + kąt między nimi\nRomb | $\\tfrac{1}{2} \\cdot d_1 \\cdot d_2$ | iloczyn przekątnych / 2\n\nWszystkie cztery wzory są w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, ale szybsza droga to mieć je w pamięci.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie pola jako iloczynu boków (3 · 4 = 12 → A) — to działa tylko dla prostokąta. Drugi błąd: użycie sin 120° i zapomnienie, że sin 120° = sin 60° = √3/2 (a nie √3).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"planimetria, pole równoległoboku","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶, wpisanym w okrąg o środku w punkcie 𝑆, kąt 𝐴𝐶𝐵 ma miarę 42°\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐵𝐴𝑆 jest równa\nA. 42°\nB. 45°\nC. 48°\nD. 69°\nW trójkącie ABC, wpisanym w okrąg o środku w punkcie S, kąt ACB ma miarę 42° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego BAS jest równa A. 42° B. 45° C. 48° D. 69°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD","solution":"Odpowiedź: C — 48°.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nDwa kluczowe fakty o okręgach\n\n1. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym: kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy.\n2. Trójkąt utworzony przez dwa promienie (i cięciwę) jest równoramienny — jego oba kąty przy podstawie są równe.\n\nTo wszystko, czego potrzebujemy.\n\nZidentyfikuj relacje. $S$ jest środkiem okręgu, więc $|SA| = |SB|$ (oba to promienie). Trójkąt $ASB$ jest równoramienny z wierzchołkiem $S$.\n\nKąt $ACB = 42°$ to kąt wpisany oparty na łuku $AB$.\n\nKąt $ASB$ to kąt środkowy oparty na tym samym łuku $AB$.\n\nOblicz kąt środkowy. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym:\n\n$$\\angle ASB = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42° = 84°$$\n\nOblicz kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego $ASB$. Suma kątów w trójkącie to $180°$, więc:\n\n$$\\angle SAB + \\angle SBA + \\angle ASB = 180°$$\n\n$$\\angle SAB + \\angle SBA = 180° - 84° = 96°$$\n\nPonieważ trójkąt $ASB$ jest równoramienny, jego kąty przy podstawie $AB$ są równe:\n\n$$\\angle SAB = \\angle SBA = \\frac{96°}{2} = 48°$$\n\nKąt $BAS$ to to samo co $\\angle SAB$ (te same dwa ramiona, ten sam wierzchołek $A$). Czyli:\n\n$$\\angle BAS = 48°$$\n\nKlucz — kąty w okręgu na maturze\n\nNajczęściej testowane fakty:\n\n1. Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku)\n2. Kąt wpisany oparty na średnicy to zawsze $90°$ (twierdzenie Talesa)\n3. Trójkąt zbudowany z dwóch promieni jest równoramienny\n4. Czworokąt wpisany w okrąg ma sumy przeciwległych kątów równe $180°$\n\n90% zadań z okręgów na maturze podstawowej da się rozwiązać kombinacją tych czterech faktów.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to wybór A (42°) — pomylenie kąta BAS z kątem ACB. To DWA RÓŻNE kąty: ACB to kąt wpisany trójkąta, a BAS to kąt w trójkącie ASB (gdzie S to środek okręgu).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"planimetria, kąty wpisane i środkowe w okręgu, Kąty w okręgu","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (𝑚+ 1)𝑥+ 7\n𝑙: 𝑦= -2𝑥+ 7\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są prostopadłe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-1\n2)\nB. 1\n2\nC. (-3)\nD. 1\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n42°\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(m+1)x+7 l: y=-2x+7. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są prostopadłe, gdy liczba m jest równa A. (-1/2) B. 1/2 C. (-3) D. 1","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład […]\nprostopadłość do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nWarunek prostopadłości prostych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej $y = a_1 x + b_1$ oraz $y = a_2 x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n$$a_1 \\cdot a_2 = -1$$\n\n(iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $-1$).\n\nWarto pamiętać dla porównania: są równoległe, gdy $a_1 = a_2$ (równe współczynniki, a nie iloczyn).\n\nZidentyfikuj współczynniki kierunkowe.\n\n- Prosta $k$: $a_1 = m + 1$\n- Prosta $l$: $a_2 = -2$\n\nZastosuj warunek prostopadłości.\n\n$$(m + 1) \\cdot (-2) = -1$$\n\nRozwiąż równanie.\n\n$$-2(m + 1) = -1$$\n\n$$-2m - 2 = -1$$\n\n$$-2m = 1$$\n\n$$m = -\\frac{1}{2}$$\n\nSprawdzenie\n\nDla $m = -\\tfrac{1}{2}$: prosta $k$ ma współczynnik $a_1 = -\\tfrac{1}{2} + 1 = \\tfrac{1}{2}$. Iloczyn: $\\tfrac{1}{2} \\cdot (-2) = -1$ ✓. Prostopadłość spełniona.\n\nKlucz uniwersalny\n\nCztery typowe warunki dla par prostych $y = a_1 x + b_1$ oraz $y = a_2 x + b_2$:\n\nRelacja | Warunek\nRównoległe | $a_1 = a_2$ i $b_1 \\neq b_2$\nPokrywają się | $a_1 = a_2$ i $b_1 = b_2$\nProstopadłe | $a_1 \\cdot a_2 = -1$\nPrzecinają się | $a_1 \\neq a_2$\n\nKażde zadanie z parą prostych w postaci kierunkowej sprowadza się do tej tabelki + arytmetyki na $a$ i $b$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie warunku prostopadłości (iloczyn współczynników = −1) z warunkiem równoległości (współczynniki są EQUAL). Drugi błąd: pomyłka znaku przy rozwiązaniu równania (m + 1) · (−2) = −1.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"geometria analityczna, prostopadłość prostych, Funkcja liniowa, analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-2)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym\n𝐴= (-2, 6) oraz 𝐵= (10, 2). Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego równoległoboku przecinają\nsię w punkcie 𝑃= (6, 7).\nOblicz długość boku 𝑩𝑪 tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.\n24.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD, w którym A=(-2,6) oraz B=(10,2). Przekątne AC oraz BD tego równoległoboku przecinają się w punkcie P=(6,7). Oblicz długość boku BC tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.","answer":"|BC|=2√(13)","answer_text":"Zadanie 24. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie długości boku 𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = √52.\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (14, 8)\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (2, 12),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4) oraz zapisanie równości\n|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆|,\nALBO\n- zapisanie równości 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ⋅𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ oraz obliczenie współrzędnych wektorów\n𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ i 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ : 𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = [-8, -1] oraz 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = [12, -4],\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 oraz 𝐵𝑃 i cosinusa kąta 𝛼 oraz cosinusa\nkąta (180° -𝛼), gdzie 𝛼= |∡𝐴𝑃𝐵|: |𝐴𝐵| = 4√10 oraz |𝐴𝑃| = √65, oraz\n|𝐵𝑃| = √41, oraz cos 𝛼= -\n27\n√65⋅√41\n, oraz cos(180° -𝛼) =\n27\n√65⋅√41 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz błędnie zaznaczy w układzie\nwspółrzędnych co najmniej jeden z punktów 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃 i na tej podstawie oblicza długość\nodcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie (o ile nie nabył praw do innej\npunktacji).\n2. Jeżeli zdający korzysta z punktów kratowych oraz poprawnie zaznaczy w układzie\nwspółrzędnych punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑃, lecz błędnie odczyta współrzędne jednego z tych\npunktów, i na tej podstawie oblicza długość odcinka 𝐵𝐶, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający obliczy długość odcinka 𝐵𝐶, korzystając z przybliżonych wartości funkcji\ntrygonometrycznych, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐴𝐶. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n-2 + 𝑥𝑐\n2\n= 6 oraz 6 + 𝑦𝑐\n2\n= 7\nZatem 𝐶= (14, 8).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = √(14 -10)2 + (8 -2)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13\nSposób II\nPunkt 𝑃 jest środkiem przekątnej 𝐵𝐷. Ze wzoru na współrzędne środka odcinka\notrzymujemy\n10 + 𝑥𝑑\n2\n= 6 oraz 2 + 𝑦𝑑\n2\n= 7\nZatem 𝐷= (2, 12).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = |𝐴𝐷| = √(2 + 2)2 + (12 -6)2 = √16 + 36 = √52 = 2√13\nSposób III\nObliczamy współrzędne punktu 𝑆 środka odcinka 𝐴𝐵:\n𝑆= (-2 + 10\n2\n, 6 + 2\n2\n)\n𝑆= (4, 4)\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝐶:\n|𝐵𝐶| = 2|𝑃𝑆| = 2√(4 -6)2 + (4 -7)2 = 2√4 + 9 = 2√13\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: |BC| = √52 = 2√13\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo wiemy o równoległoboku?\n\nW równoległoboku $ABCD$ przekątne przecinają się w połowie — punkt $P$ jest jednocześnie środkiem $AC$ i środkiem $BD$.\n\nZ tego natychmiast wynika: znając $A$ i $P$, znajdziemy $C$. Znając $B$ i $P$, znajdziemy $D$.\n\nA skoro w równoległoboku $|BC| = |AD|$ (przeciwległe boki) — możemy obliczyć $|BC|$ na kilka równoważnych sposobów.\n\nSposób I — przez wyznaczenie punktu $C$\n\nWyznacz $C$ ze wzoru na środek odcinka. Jeśli $P = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2},\\ \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right)$, to:\n\n$$\\frac{-2 + x_C}{2} = 6 \\quad\\Rightarrow\\quad x_C = 14$$\n\n$$\\frac{6 + y_C}{2} = 7 \\quad\\Rightarrow\\quad y_C = 8$$\n\nZatem $C = (14, 8)$.\n\nOblicz długość $BC$. $B = (10, 2)$, $C = (14, 8)$.\n\n$$|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$\n\nSposób II — przez wyznaczenie punktu $D$ i równość $|BC| = |AD|$\n\nW równoległoboku $|BC| = |AD|$. Wyznacz $D$ jako symetryczny do $B$ względem $P$:\n\n$$\\frac{10 + x_D}{2} = 6 \\Rightarrow x_D = 2, \\qquad \\frac{2 + y_D}{2} = 7 \\Rightarrow y_D = 12$$\n\nCzyli $D = (2, 12)$. Wtedy:\n\n$$|AD| = \\sqrt{(2 - (-2))^2 + (12 - 6)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$$\n\nTen sam wynik — bo $|BC| = |AD|$.\n\nSposób III — przez środek $S$ boku $AB$ (najsprytniejszy)\n\nW trójkącie $ABC$ punkt $P$ leży na środkowej z $C$ — ale dla naszych celów wystarczy obserwacja, że odcinek $PS$ (gdzie $S$ to środek $AB$) jest równoległy do $BC$ i ma połowę jego długości (linia środkowa w trójkącie):\n\nŚrodek $AB$: $S = \\left(\\dfrac{-2 + 10}{2}, \\dfrac{6 + 2}{2}\\right) = (4, 4)$.\n\n$$|PS| = \\sqrt{(4 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}$$\n\n$$|BC| = 2 \\cdot |PS| = 2\\sqrt{13}$$\n\nPunktacja\n\n- 1 pkt — wyznaczenie $C = (14, 8)$ (albo $D = (2, 12)$, albo środka $S = (4, 4)$, albo wektorów $\\vec{CB}$).\n- 2 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie $|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}$.\n\nTrzy równoważne ścieżki — wybierz dowolną. Sprytniejsza (sposób III) wymaga mniej rachunku, ale wymaga zauważenia linii środkowej.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli przy korzystaniu z punktów kratowych BŁĘDNIE zaznaczysz w układzie A, B, C, P i na tej podstawie obliczysz |BC| — dostajesz 0 punktów. Lepiej liczyć ze wzorów (środek odcinka), nie z odczytu z kratki.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"geometria analityczna, równoległobok, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"25","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.\nWysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek).\nPole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3.\nWysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe 15√3. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe A. 36√10 B. 60 C. 6√10 D. 360","answer":"A","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: 25.1: C — 6√10 | 25.2: D — kąt między najdłuższą przekątną podstawy a przekątną 3D do przeciwległego górnego wierzchołka\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — co to znaczy „prawidłowy sześciokątny\"?\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny ma w podstawie sześciokąt foremny (regularny — wszystkie boki i kąty równe).\n\nPole sześciokąta foremnego o boku $a$:\n\n$$P_{\\text{podst}} = 6 \\cdot \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2 \\sqrt{3}}{2}$$\n\n(bo sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku $a$).\n\nŚciana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt o wymiarach $a \\times h$, więc jej pole to $a \\cdot h$.\n\nWyznacz bok $a$ z pola podstawy.\n\n$$\\frac{3a^2 \\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3}$$\n\nPomnóż obie strony przez $2$:\n\n$$3a^2 \\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}$$\n\nPodziel przez $3\\sqrt{3}$:\n\n$$a^2 = 10 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt{10}$$\n\nOblicz pole ściany bocznej.\n\n$$P_{\\text{boczna}} = a \\cdot h = \\sqrt{10} \\cdot 6 = 6\\sqrt{10}$$\n\nKlucz — wzór na sześciokąt foremny\n\nNajprościej zapamiętać: sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych.\n\nTrójkąt równoboczny o boku $a$ ma pole $\\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$. Sześciokąt: $6 \\cdot \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4} = \\dfrac{3 a^2 \\sqrt{3}}{2}$.\n\nTen wzór jest też w „Wybranych wzorach matematycznych\" CKE, ale na sześciokącie foremnym pojawia się co drugą sesję matury — warto go mieć w głowie.\n\n25.2 — kąt nachylenia najdłuższej przekątnej (1 pkt)\n\nPytanie: który z rysunków A–D pokazuje poprawnie zaznaczony kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy?\n\nKrok 1 — która przekątna jest najdłuższa?\n\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym mamy trzy rodzaje przekątnych przestrzennych (łączących wierzchołek dolnej i górnej podstawy, niesąsiednich):\n\nRodzaj | Rzut na podstawę | Długość rzutu | Długość przekątnej 3D\nkrótka | bok | $a$ | $\\sqrt{a^2 + h^2}$\nśrednia | przekątna „przez 1 wierzchołek\" | $a\\sqrt{3}$ | $\\sqrt{3a^2 + h^2}$\ndługa | najdłuższa przekątna sześciokąta (przez środek) | $2a$ | $\\sqrt{4a^2 + h^2}$\n\nNajdłuższa to ta, której rzut na podstawę to najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego — czyli odcinek między dwoma przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta (przechodzący przez środek). Ma długość $2a$.\n\nW naszym graniastosłupie: $a = \\sqrt{10}$, $h = 6$, więc najdłuższa przekątna 3D ma długość $\\sqrt{4 \\cdot 10 + 36} = \\sqrt{76}$.\n\nKrok 2 — kąt nachylenia do płaszczyzny\n\nKąt nachylenia odcinka do płaszczyzny to kąt między odcinkiem a jego rzutem prostopadłym na tę płaszczyznę.\n\nRzut najdłuższej przekątnej 3D na podstawę = najdłuższa przekątna sześciokąta (odcinek długości $2a$ łączący dwa przeciwległe wierzchołki dolnej podstawy).\n\nZatem szukany kąt znajduje się w dolnej podstawie, między:\n\n- najdłuższą przekątną podstawy (idącą od jednego wierzchołka do przeciwległego), oraz\n- przekątną 3D (idącą od tego samego wierzchołka w górę i ukośnie do przeciwległego wierzchołka górnej podstawy).\n\nKrok 3 — który rysunek to pokazuje?\n\nSpośród czterech rysunków szukamy tego, na którym:\n\n1. Przekątna 3D startuje z wierzchołka dolnej podstawy i kończy się w wierzchołku przeciwległym górnej podstawy (przechodzi przez „środek\" bryły).\n2. Kąt zaznaczony przy wierzchołku dolnym jest między tą przekątną a przekątną dolnej podstawy (najdłuższą — idącą od tego wierzchołka do wierzchołka przeciwległego dolnej podstawy).\n\nTo rysunek D.\n\nKlucz — kąt nachylenia prostej do płaszczyzny\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Wybierz prostą (tu: najdłuższą przekątną 3D).\n2. Wyznacz jej rzut prostopadły na płaszczyznę (tu: rzutem jest najdłuższa przekątna podstawy).\n3. Kąt nachylenia to kąt między prostą a jej rzutem — leży w płaszczyźnie, jeden z jego ramion to rzut, drugi to sama prosta.\n\nTe trzy kroki są właściwe dla każdego zadania o kącie nachylenia — w graniastosłupach, ostrosłupach, czy stożku.\n\nTypowy błąd: W 25.1: liczenie boku z pola sześciokąta jako P = 6a² zamiast P = 6 · (a²√3/4). W 25.2: pomyłka — która przekątna jest \"najdłuższa\" w graniastosłupie sześciokątnym (musi łączyć WIERZCHOŁKI PRZECIWLEGŁE przez środek bryły).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria, graniastosłup prawidłowy sześciokątny","page_from":22,"source":"maturaonline","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/25.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"25.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe\nA. 36√10\nB. 60\nC. 6√10\nD. 360\n6\n\nMMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku z pola podstawy\n\n**Krok 1: Wyrażamy pole podstawy przez bok.**\n\nPodstawa to sześciokąt foremny o boku \\(a\\). Sześciokąt foremny składa się z **6 równobocznych trójkątów** o boku \\(a\\), więc:\n\\[P_{\\text{podstawy}} = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy bok \\(a\\).**\n\nWiemy, że \\(P_{\\text{podstawy}} = 15\\sqrt{3}\\):\n\\[\\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3}\\]\n\\[3a^2\\sqrt{3} = 30\\sqrt{3}\\]\n\\[3a^2 = 30\\]\n\\[a^2 = 10 \\implies a = \\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy pole jednej ściany bocznej.**\n\nKażda ściana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt o wymiarach: bok podstawy \\(a\\) × wysokość \\(h\\):\n\\[P_{\\text{boczna}} = a \\cdot h = \\sqrt{10} \\cdot 6 = \\boxed{6\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez obwód i całkowite pole boczne\n\n**Krok 1: Obwód podstawy (sześciokąt foremny ma 6 równych boków \\(a = \\sqrt{10}\\)):**\n\\[O = 6a = 6\\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 2: Całkowite pole boczne graniastosłupa prostego:**\n\\[P_b = O \\cdot h = 6\\sqrt{10} \\cdot 6 = 36\\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 3: Pole jednej ściany bocznej** (sześciokąt ma 6 ścian bocznych):\n\\[P_{\\text{jedna ściana}} = \\frac{P_b}{6} = \\frac{36\\sqrt{10}}{6} = 6\\sqrt{10}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(6\\sqrt{10}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyliśmy tego 6-krotnie, by złożyć pole sześciokąta foremnego.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole boczne graniastosłupa prostego:\n\\[P_b = O_{\\text{podstawy}} \\cdot h\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia łącznego pola bocznego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(36\\sqrt{10}\\) | Poprawnie obliczone **całkowite** pole boczne (\\(6 \\cdot 6\\sqrt{10}\\)), ale zapomniano podzielić przez 6 ścian - to pole boczne **wszystkich** ścian, nie jednej |\n| **B** \\(60\\) | Poprawnie wyznaczono \\(a^2 = 10\\), ale zamiast \\(a = \\sqrt{10}\\) użyto \\(a^2 = 10\\) i pomnożono: \\(a^2 \\cdot h = 10 \\cdot 6 = 60\\) (błąd: wstawiono kwadrat boku zamiast boku) |\n| **D** \\(360\\) | Użyto \\(a^2 = 10\\) jako długości boku i policzono total: \\(6 \\cdot a^2 \\cdot h = 6 \\cdot 10 \\cdot 6 = 360\\) - dwa błędy naraz (kwadrat zamiast pierwiastka + brak dzielenia przez 6) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole sześciokąta foremnego to \\(\\frac{3a^2\\sqrt{3}}{2}\\), **nie** \\(a^2\\) ani \\(6a^2\\). Zapamiętaj - sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(a^2 = 10\\) musisz wziąć pierwiastek: \\(a = \\sqrt{10}\\). Wtedy pole ściany = \\(\\sqrt{10} \\cdot 6\\), a **nie** \\(10 \\cdot 6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź A (\\(36\\sqrt{10}\\)) jest bardzo kusząca - to prawidłowa wartość całkowitego pola bocznego. Zadanie pyta o **jedną** ścianę boczną, więc dzielisz przez 6.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Bok sześciokąta i ściana prostokątna\nSześciokąt foremny o boku \\(a\\): \\(P_6 = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\). Z \\(P_6 = 15\\sqrt{3}\\):\n\\[\\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 = 15\\sqrt{3} \\Rightarrow a^2 = 10 \\Rightarrow a=\\sqrt{10}.\\]\nPole ściany bocznej (prostokąt \\(a\\times h\\)): \\(\\sqrt{10}\\cdot 6 = 6\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Sześciokąt = 6 trójkątów równobocznych\n\\(P_6 = 6\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{4}a^2 = \\tfrac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\). Z \\(15\\sqrt{3}\\) znów \\(a=\\sqrt{10}\\). Ściana: \\(6\\sqrt{10}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(36\\sqrt{10}\\)** - błąd w polu sześciokąta (\\(\\tfrac{\\sqrt 3}{4}\\) zapomniane).\n- **B. \\(60\\)** - zgadywanie: \\(10\\cdot 6\\) (pomylenie \\(a^2\\) z \\(a\\)).\n- **D. \\(360\\)** - pole wszystkich 6 ścian razem, nie jednej.\n\n**Trik:** w graniastosłupie ściana boczna = prostokąt o wymiarach (bok podstawy) × (wysokość).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola podstawy i wysokości, a następnie pola ściany bocznej\n1. **Obliczenie pola podstawy:** Podstawa graniastosłupa to sześciokąt foremny. Pole sześciokąta foremnego o boku *a* wynosi \\( \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 \\). W naszym przypadku, pole podstawy wynosi \\( \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot 15^2 = \\frac{3 \\cdot 225 \\sqrt{3}}{2} = \\frac{675 \\sqrt{3}}{2} \\). To jest błąd w treści zadania, powinno być \\(15\\sqrt{3}\\)\n2. **Obliczenie wysokości:** Wiemy, że pole jednej ściany bocznej jest równe \\(15\\sqrt{3}\\). Pole ściany bocznej to \\(a \\cdot h\\), gdzie *a* to długość krawędzi sześciokąta, a *h* to wysokość graniastosłupa. Zatem \\(15\\sqrt{3} = 15 \\cdot h\\), co daje \\(h = \\sqrt{3}\\).\n3. **Wniosek:** Zatem, pole jednej ściany bocznej jest równe \\(15\\sqrt{3}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 6 (Pole sześciokąta foremnego)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na pole sześciokąta foremnego i obliczenie wysokości\n1. **Wzór na pole sześciokąta foremnego:** Pole sześciokąta foremnego o boku *a* wynosi \\( \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 \\).\n2. **Wyznaczenie boku:** Wiemy, że pole podstawy wynosi \\(15\\sqrt{3}\\). Zatem \\( \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 = 15\\sqrt{3} \\). Dzieląc obie strony przez \\( \\sqrt{3} \\), otrzymujemy \\( \\frac{3}{2}a^2 = 15 \\). Mnożąc przez \\( \\frac{2}{3} \\), otrzymujemy \\( a^2 = 10 \\), więc \\( a = \\sqrt{10} \\).\n3. **Obliczenie wysokości:** Wysokość graniastosłupa *h* jest wysokością trójkąta równobocznego o boku *a*. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku *a* to \\( h = \\frac{\\sqrt{3}}{2}a \\). Zatem \\( h = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\sqrt{10} = \\frac{\\sqrt{30}}{2} \\).\n4. **Wniosek:** To jest błąd w treści zadania, powinno być \\(15\\sqrt{3}\\)\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 6 (Pole sześciokąta foremnego)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(36\\sqrt{10}\\)**: Obliczona wysokość jest \\( \\frac{\\sqrt{30}}{2} \\), a nie \\( 36\\sqrt{10} \\).\n* **B. 60**: To jest wartość liczbowe, a nie pole ściany bocznej.\n* **C. \\(6\\sqrt{10}\\)**: To jest również wartość liczbowe, a nie pole ściany bocznej.\n* **D. 360**: To jest wartość liczbowe, a nie pole ściany bocznej.\n\nW zadaniu podano, że pole podstawy wynosi \\(15\\sqrt{3}\\). Zatem, pole jednej ściany bocznej musi być równe \\(15\\sqrt{3}\\).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-25.1.webp","solution_image":null,"topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/25.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"25.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nKąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do\npłaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku\nA.\nB.\nC.\nD.\n\nMMAP-P0_100\nKąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku A. [rysunek] B. [rysunek] C. [rysunek] D. [rysunek]","answer":"D","answer_text":"Zadanie 25.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nX.2) posługuje się pojęciem kąta między\nprostą a płaszczyzną.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nD\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRysunek D poprawnie pokazuje kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy - jest to kąt zawarty między tą przekątną a **jej rzutem na podstawę**, którym jest najdłuższa przekątna sześciokąta.\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna: definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny\n\n**Co to jest kąt nachylenia prostej do płaszczyzny?**\n\nKąt nachylenia prostej \\(\\ell\\) do płaszczyzny \\(\\pi\\) to kąt między prostą \\(\\ell\\) a jej **rzutem prostokątnym** na płaszczyznę \\(\\pi\\).\n\n**Krok 1 - Identyfikacja najdłuższej przekątnej graniastosłupa sześciokątnego.**\n\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o podstawie z bokiem \\(a\\) i wysokości \\(h\\):\n\n- Najdłuższa przekątna bryłowa łączy **dwa wierzchołki leżące w różnych podstawach i naprzeciwko siebie** (przez środek sześciokąta).\n- Najdłuższa przekątna podstawy (sześciokąta foremnego) ma długość \\(2a\\) - jest to przekątna przez środek figury łącząca dwa przeciwległe wierzchołki.\n\n**Krok 2 - Wyznaczenie rzutu przekątnej na podstawę.**\n\nRzut najdłuższej przekątnej bryłowej \\(AG'\\) (gdzie \\(A\\) leży w dolnej podstawie, \\(G'\\) - w górnej, po przeciwnej stronie) na płaszczyznę dolnej podstawy to odcinek \\(AG\\) - najdłuższa przekątna sześciokąta o długości \\(2a\\).\n\nTrójkąt \\(AGG'\\) jest **prostokątny**:\n\n\\[\n|AG'|^2 = |AG|^2 + |GG'|^2 = (2a)^2 + h^2\n\\]\n\n**Krok 3 - Kąt nachylenia to kąt przy wierzchołku \\(A\\) w tym trójkącie:**\n\n\\[\n\\tan\\alpha = \\frac{h}{2a}\n\\]\n\ngdzie \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną \\(AG'\\) a jej rzutem \\(AG\\).\n\n**To jest właśnie rysunek D** - kąt zawarty między najdłuższą przekątną bryłową a **najdłuższą przekątną podstawy** (jej rzutem).\n\n## Sposób 2 - Obliczenie wartości kąta (weryfikacja z danymi)\n\nPole podstawy (sześciokąt foremny o boku \\(a\\)):\n\n\\[\nP = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2 = 15\\sqrt{3}\n\\]\n\n\\[\na^2 = \\frac{15\\sqrt{3} \\cdot 2}{3\\sqrt{3}} = \\frac{30}{3} = 10 \\implies a = \\sqrt{10}\n\\]\n\nDługość najdłuższej przekątnej podstawy:\n\n\\[\nd = 2a = 2\\sqrt{10}\n\\]\n\nPrzy wysokości \\(h = 6\\):\n\n\\[\n\\tan\\alpha = \\frac{h}{2a} = \\frac{6}{2\\sqrt{10}} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\n\\]\n\n\\[\n\\alpha = \\arctan\\!\\left(\\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\right) \\approx 43{,}5°\n\\]\n\nKąt ten tworzony jest przez najdłuższą przekątną i jej rzut (najdłuższą przekątną podstawy) - **co potwierdza rysunek D**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności graniastosłupa:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = O_b \\cdot h\\]\nNie użyto wzoru objętości, ale korzystamy z faktu, że **wysokość graniastosłupa jest prostopadła do podstawy** - to gwarantuje, że rzut przekątnej na podstawę to odcinek w płaszczyźnie sześciokąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria - wielokąty foremne, s. 15)** - pole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\):\n\\[P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a = \\sqrt{10}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna}}{\\text{przyległa}} = \\frac{h}{2a}\\]\nUżyliśmy do obliczenia wartości kąta nachylenia.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Co pokazuje rysunek | Błąd |\n| **A** | Kąt między przekątną a **krótszą** przekątną podstawy | Rzut najdłuższej przekątnej bryłowej na podstawę to **najdłuższa** przekątna sześciokąta (\\(2a\\)), a nie krótsza (\\(a\\sqrt{3}\\)). Użycie krótszej przekątnej daje kąt niezwiązany z definicją nachylenia. |\n| **B** | Kąt między **krawędzią boczną** a przekątną ściany bocznej | To zupełnie inny kąt - dotyczy ściany bocznej, a nie całej bryły. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy, więc ten kąt nie opisuje nachylenia przekątnej do podstawy. |\n| **C** | Kąt między najdłuższą przekątną a **krawędzią podstawy** | Krawędź podstawy ≠ rzut przekątnej. Rzut przekątnej to odcinek wewnątrz sześciokąta (jego przekątna), a nie krawędź zewnętrzna. Ten kąt nie odpowiada definicji nachylenia do płaszczyzny. |\n| **D ✓** | Kąt między najdłuższą przekątną a jej rzutem (najdłuższa przekątna podstawy) | To jest poprawna definicja kąta nachylenia prostej do płaszczyzny. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt z **rzutem prostokątnym** tej prostej, nie z dowolnym odcinkiem w płaszczyźnie. Uczniowie często mylnie mierzą kąt z krawędzią lub krótszą przekątną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość \\(2a\\) (równa średnicy okręgu opisanego), a **nie** \\(a\\sqrt{3}\\) (to jest krótka przekątna). Mylenie tych dwóch wartości prowadzi do wyboru rysunku A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzut przekątnej bryłowej na podstawę leży **wewnątrz** sześciokąta - to jego wewnętrzna przekątna, a nie bok ani krawędź ściany bocznej. Rysunek D pokazuje to poprawnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Definicja kąta prostej i płaszczyzny\nKąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Najdłuższa przekątna graniastosłupa sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (dolny i górny). Jej rzut na podstawę = najdłuższa przekątna podstawy (\\(=2a\\) dla foremnego). Zaznaczony kąt jest między przekątną bryły a jej rzutem w dolnej płaszczyźnie - rysunek D.\n\n### Sposób 2 - Eliminacja\n- A - kąt w podstawie, nie z przekątną bryły.\n- B - wewnątrz ściany bocznej, zły obiekt.\n- C - kąt z krawędzią, nie z rzutem.\n- D - poprawny rzut na podstawę.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKąt nachylenia musi mieć dwa ramiona: samą prostą (przekątną bryły) oraz jej **rzut prostokątny** na płaszczyznę bazową. Jedynie D przedstawia tę konstrukcję.\n\n**Trik:** rzut = „cień\" obiektu na podstawę. Kąt między obiektem a jego cieniem = nachylenie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie kąta nachylenia z wykorzystaniem pola podstawy i wysokości\n1. **Znajdź promień podstawy:** Pole podstawy sześciokąta foremnego wynosi \\(15\\sqrt{3}\\). Wzór na pole sześciokąta foremnego to \\(P = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} a^2\\), gdzie *a* to długość boku. Zatem:\n\\[15\\sqrt{3} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} a^2\\]\n\\[a^2 = 10\\]\n\\[a = \\sqrt{10}\\]\nPromień podstawy (a) wynosi \\( \\sqrt{10}\\).\n\n2. **Wykorzystaj wzór na tangens kąta:** Kąt nachylenia (*α*) można obliczyć z tangensa:\n\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{h}{a}\\]\ngdzie *h* to wysokość graniastosłupa (6) a *a* to promień podstawy (\\(\\sqrt{10}\\)). Zatem:\n\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{6}{\\sqrt{10}}\\]\n\\[\\alpha = \\arctan\\left(\\frac{6}{\\sqrt{10}}\\right)\\]\nWartość tego kąta to około 64.85 stopni, co odpowiada opcji C.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras: a²+b²=c², tw.sinusów a/sinα=2R, tw.cosinusów a²=b²+c²-2bc·cosα\n\n### Sposób 2: Obliczenie kąta nachylenia z wykorzystaniem wzoru na tangens kąta między przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy\n1. **Znajdź długość przekątnej graniastosłupa:** Długość przekątnej graniastosłupa (d) można obliczyć z twierdzenia Pitagorowego:\n\\[d = \\sqrt{h^2 + (2a)^2} = \\sqrt{6^2 + (2\\sqrt{10})^2} = \\sqrt{36 + 40} = \\sqrt{76} = 2\\sqrt{19}\\]\n\n2. **Wykorzystaj wzór na tangens kąta:** Kąt nachylenia (*α*) można obliczyć z tangensa:\n\\[\\tan(\\alpha) = \\frac{h}{d} = \\frac{6}{2\\sqrt{19}} = \\frac{3}{\\sqrt{19}}\\]\n\\[\\alpha = \\arctan\\left(\\frac{3}{\\sqrt{19}}\\right)\\]\nWartość tego kąta to około 22.2 stopni, co nie odpowiada żadnej z podanych odpowiedzi. To sugeruje, że w pierwszym sposobie, obliczanie promienia podstawy jest kluczowe.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Kąt nachylenia jest znacznie większy niż 60 stopni, co nie jest zgodne z obliczeniami.\n* **B:** Kąt nachylenia jest znacznie większy niż 45 stopni, co nie jest zgodne z obliczeniami.\n* **D:** Kąt nachylenia jest znacznie mniejszy niż 30 stopni, co nie jest zgodne z obliczeniami.\n\nW tym zadaniu kluczowe jest prawidłowe obliczenie promienia podstawy, co pozwala na dokładne określenie kąta nachylenia. Sposób 1 jest bardziej precyzyjny i bezpośrednio wykorzystuje dane z zadania.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-25.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-25.2.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nOstrosłup 𝐹1 jest podobny do ostrosłupa 𝐹2.\nObjętość ostrosłupa 𝐹1 jest równa 64.\nObjętość ostrosłupa 𝐹2 jest równa 512.\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,\naby zdanie było prawdziwe.\nStosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa 𝐹2 do pola powierzchni całkowitej\nostrosłupa 𝐹1 jest równy\nOstrosłup F_1 jest podobny do ostrosłupa F_2. Objętość ostrosłupa F_1 jest równa 64. Objętość ostrosłupa F_2 jest równa 512. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_2 do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa F_1 jest równy ............. .","answer":"4","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.5) wykorzystuje zależność między\nobjętościami graniastosłupów oraz\nostrosłupów podobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n4","solution":"Odpowiedź: 4\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKlucz — skale dla brył podobnych\n\nJeśli dwie bryły są podobne w skali $k$ (każdy odpowiadający wymiar jest $k$ razy większy), to:\n\n- Długości (krawędzie, wysokości, …) skalują się jak $k$\n- Pola (powierzchnie, podstawy, …) skalują się jak $k^2$\n- Objętości skalują się jak $k^3$\n\nTa hierarchia $k$, $k^2$, $k^3$ to fundament wszystkich zadań o bryłach podobnych. Reszta to arytmetyka.\n\nWyznacz skalę podobieństwa $k$ ze stosunku objętości.\n\n$$\\frac{V_2}{V_1} = k^3 \\quad\\Rightarrow\\quad \\frac{512}{64} = k^3 \\quad\\Rightarrow\\quad k^3 = 8 \\quad\\Rightarrow\\quad k = 2$$\n\nWyznacz stosunek pól powierzchni.\n\n$$\\frac{P_2}{P_1} = k^2 = 2^2 = 4$$\n\nKalkulator pamięciowy\n\nGdy widzisz „bryły podobne, stosunek objętości $X$, znajdź stosunek pól\" — to zawsze:\n\n$$\\frac{P_2}{P_1} = \\left(\\frac{V_2}{V_1}\\right)^{2/3}$$\n\nTutaj $\\left(\\dfrac{512}{64}\\right)^{2/3} = 8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4$. Ten sam wynik, jedna linijka.\n\nPodobnie w drugą stronę: jeśli znasz stosunek pól, to stosunek objętości to $\\left(\\dfrac{P_2}{P_1}\\right)^{3/2}$. A jeśli znasz stosunek długości — wszystko leży na ekspozycjach: $k$, $k^2$, $k^3$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to przeniesienie stosunku objętości na pola wprost (512/64 = 8 → odpowiedź 8) bez uwzględnienia, że objętości skalują się jak k³, a pola jak k².","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"stereometria, podobieństwo brył, Graniastosłupy i ostrosłupy","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nRozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1, 3, 6, 8, przy czym\nw każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich takich kodów jest równa\nA. 4\nB. 10\nC. 24\nD. 16\n26.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nRozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr 1,3,6,8, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich takich kodów jest równa A. 4 B. 10 C. 24 D. 16","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: C — 24 kody\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo liczymy?\n\nMamy 4 różne cyfry: $\\{1, 3, 6, 8\\}$. Ustawiamy je w czterech pozycjach kodu — każda cyfra pojawia się dokładnie raz. To klasyczna permutacja zbioru 4-elementowego.\n\nSposób I — reguła mnożenia (intuicyjnie)\n\nWybierz cyfrę na pierwszej pozycji. Mamy do dyspozycji wszystkie 4 cyfry. → 4 możliwości.\n\nWybierz cyfrę na drugiej pozycji. Jedna cyfra już użyta (nie może się powtórzyć). → 3 możliwości.\n\nWybierz cyfrę na trzeciej pozycji. Dwie już użyte. → 2 możliwości.\n\nWybierz cyfrę na czwartej pozycji. Trzy już użyte, pozostała jedna. → 1 możliwość.\n\nWymnóż wszystkie wybory (reguła mnożenia):\n\n$$4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24$$\n\nSposób II — wzór na permutacje\n\nLiczba permutacji zbioru $n$-elementowego to $n!$ (silnia $n$). Dla $n = 4$:\n\n$$P_4 = 4! = 4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24$$\n\nTen sam wynik — wzór to po prostu skrócona wersja reguły mnożenia.\n\nKlucz na maturze — trzy typy zliczania\n\nSytuacja | Liczba sposobów\nPermutacja $n$ różnych obiektów | $n!$\nWariacje z powtórzeniami ($k$ z $n$) | $n^k$\nWariacje bez powtórzeń ($k$ z $n$) | $\\dfrac{n!}{(n-k)!}$\nKombinacje ($k$ z $n$, bez kolejności) | $\\binom{n}{k} = \\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$\n\nSprawdź: czy kolejność ma znaczenie? Tutaj tak — kod \"1368\" to inny kod niż \"3168\". Czy elementy się powtarzają? Tutaj nie — każda cyfra dokładnie raz. Stąd permutacja, $4! = 24$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mylenie permutacji (4! = 24) z liczbą wariacji z powtórzeniami (4⁴ = 256) lub innym wzorem. Tu KAŻDA cyfra występuje DOKŁADNIE RAZ — to klasyczna permutacja.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"kombinatoryka, permutacje","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 9.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑐, 𝑐, jest równa\nA. 9\nB. 6\nC. 4,5\nD. 18\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: a, b, c, jest równa 9. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a, a, b, b, c, c, jest równa A. 9 B. 6 C. 4,5 D. 18","answer":"A","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n2. Dostrzeganie regularności, podobieństw\noraz analogii, formułowanie wniosków na\nich podstawie i uzasadnianie ich\npoprawności.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nC","solution":"Odpowiedź: A — 9\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nTrik — średnia nie zmienia się przy proporcjonalnym powieleniu\n\nŚrednia arytmetyczna to suma podzielona przez liczbę elementów. Jeśli każdy element zostanie powtórzony tę samą liczbę razy, to:\n\n- suma rośnie tę samą liczbę razy\n- liczba elementów rośnie tę samą liczbę razy\n- iloraz (czyli średnia) się nie zmienia\n\nTo intuicja. Sprawdzimy formalnie.\n\nZapisz średnią z $a, b, c$.\n\n$$\\frac{a + b + c}{3} = 9$$\n\nStąd:\n\n$$a + b + c = 27$$\n\nOblicz średnią z $a, a, b, b, c, c$.\n\n$$\\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \\frac{2(a + b + c)}{6} = \\frac{a + b + c}{3}$$\n\nCzyli ta sama formuła co przed chwilą! Wynik:\n\n$$\\frac{a + b + c}{3} = \\frac{27}{3} = 9$$\n\nKlucz pamięciowy\n\nPowielenie każdego elementu tą samą liczbą razy → średnia bez zmian.\n\nDodawanie/odejmowanie stałej do każdego elementu → średnia zmienia się o tę stałą.\n\nPomnożenie każdego elementu przez stałą → średnia mnoży się przez tę stałą.\n\nTe trzy reguły pokrywają 80% pytań o średnią na maturze. Sprawdź zawsze, czy operacja jest jednostajna na wszystkich elementach — wtedy zachodzą.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to mnożenie średniej przez 2 (bo „mamy dwa razy więcej liczb\") — odpowiedź D (18). Tymczasem dwukrotne powtórzenie KAŻDEJ liczby NIE ZMIENIA średniej — proporcja sumy do liczby elementów pozostaje ta sama.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"statystyka, średnia arytmetyczna, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej.\nNa osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano\nliczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\nA. 4,5\nB. 4\nC. 3,5\nD. 3\n0\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n7\n8\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nliczba\nuczniów\nocena\n\nMMAP-P0_100\nNa diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. 4,5 B. 4 C. 3,5 D. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) […] znajduje medianę […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C — 3,5\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo to jest mediana?\n\nMediana to środkowa wartość w uporządkowanym zbiorze danych.\n\n- Jeśli liczba elementów jest nieparzysta: mediana to środkowa wartość (jedna)\n- Jeśli parzysta: mediana to średnia dwóch środkowych\n\nNajpierw policz uczniów\n\nŁącznie: $2 + 7 + 4 + 3 + 6 + 4 = 26$ uczniów.\n\nLiczba parzysta — mediana będzie średnią 13. i 14. wartości w uporządkowanej liście ocen.\n\nUporządkuj oceny od najmniejszej (każda powtórzona tyle razy, ilu uczniów ją dostało):\n\nPozycje | Ocena\n1, 2 | 1\n3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 2\n10, 11, 12, 13 | 3\n14, 15, 16 | 4\n17, 18, 19, 20, 21, 22 | 5\n23, 24, 25, 26 | 6\n\nOdczytaj 13. i 14. wartość. Z tabeli:\n\n- 13. uczeń ma ocenę 3 (ostatni z grupy \"ocena 3\")\n- 14. uczeń ma ocenę 4 (pierwszy z grupy \"ocena 4\")\n\nOblicz średnią dwóch środkowych.\n\n$$\\text{Mediana} = \\frac{3 + 4}{2} = \\frac{7}{2} = 3{,}5$$\n\nKlucz — mediana z diagramu słupkowego\n\nProcedura:\n\n1. Zsumuj liczby z wszystkich słupków → $n$ (łącznie obserwacji).\n2. Wyznacz pozycję mediany: dla nieparzystego $n$ — pozycja $\\frac{n+1}{2}$; dla parzystego — dwie pozycje $\\frac{n}{2}$ i $\\frac{n}{2}+1$, średnia.\n3. „Zlicz w głowie\" po słupkach od lewej, aż znajdziesz słupek, w którym leży ta pozycja. To wartość mediany.\n\nNie myl mediany z modą (najczęstsza wartość — tutaj ocena $2$) ani średnią arytmetyczną ($\\sum / n$ — tutaj $\\approx 3{,}54$).\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie mediany jako \"ocena z największym słupkiem\" (czyli 2, bo 7 uczniów — najwięcej). Mediana to ŚRODKOWA wartość po posortowaniu, nie najczęstsza (to moda).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"statystyka, mediana, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest pięcioelementowy zbiór 𝐾= {5, 6, 7, 8, 9}. Wylosowanie każdej liczby z tego\nzbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru 𝐾 losujemy ze zwracaniem kolejno dwa\nrazy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma\nwylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest pięcioelementowy zbiór K={5,6,7,8,9}. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru K losujemy {ze zwracaniem} kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.","answer":"P(A) = 13/25","answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 13\n25 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5 lub sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 13, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, które zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n25 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 13\n25 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 13 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający rozważa losowanie bez zwracania, to otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥, 𝑦∈{5, 6, 7, 8, 9}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ∙5 = 25.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 obliczamy,\nkorzystając z reguły mnożenia i reguły dodawania. Suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą\nparzystą, gdy sumujemy dwie liczby parzyste lub dwie liczby nieparzyste. Stąd moc zbioru 𝐴\njest równa 3 ∙3 + 2 ∙2 = 13.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 13\n25 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,\nktórych suma jest liczbą parzystą).\n5\n6\n7\n8\n9\n5\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n6\n𝐴\n𝐴\n7\n𝐴\n𝐴\n𝐴\n8\n𝐴\n𝐴\n9\n𝐴\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 25.\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest parzysta, jest 13.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 13\n25 .\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 2\n5 ⋅2\n5 + 3\n5 ⋅3\n5 = 13\n25","solution":"Odpowiedź: P(A) = 13/25\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo losujemy?\n\nLosujemy dwa razy ze zwracaniem ze zbioru pięcioelementowego $K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}$. Każde losowanie jest niezależne — wynik pierwszego nie wpływa na drugie.\n\nKażda para $(x, y)$, gdzie $x, y \\in K$, jest zdarzeniem elementarnym. Wszystkie pary są równo prawdopodobne.\n\nWyznacz $|\\Omega|$ — moc zbioru zdarzeń elementarnych.\n\nZ reguły mnożenia: $5$ możliwości w pierwszym losowaniu × $5$ w drugim:\n\n$$|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$$\n\nOkreśl, kiedy suma dwóch liczb jest parzysta.\n\nSuma $x + y$ jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\n- obie liczby są parzyste, ALBO\n- obie liczby są nieparzyste\n\n(parzysta + parzysta = parzysta; nieparzysta + nieparzysta = parzysta; parzysta + nieparzysta = nieparzysta)\n\nZlicz parzyste i nieparzyste elementy w zbiorze $K$.\n\n- Parzyste: $\\{6, 8\\}$ → 2 elementy\n- Nieparzyste: $\\{5, 7, 9\\}$ → 3 elementy\n\nZlicz pary sprzyjające zdarzeniu $A$ (z reguły mnożenia + reguły dodawania):\n\n- Obie parzyste: $2 \\cdot 2 = 4$ par\n- Obie nieparzyste: $3 \\cdot 3 = 9$ par\n\n$$|A| = 4 + 9 = 13$$\n\nOblicz prawdopodobieństwo.\n\n$$P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{13}{25}$$\n\nSposób alternatywny — drzewo stochastyczne\n\nZ $K$ mamy: $P(\\text{parzysta}) = \\tfrac{2}{5}$, $P(\\text{nieparzysta}) = \\tfrac{3}{5}$.\n\nSuma parzysta = (parzysta, parzysta) lub (nieparzysta, nieparzysta):\n\n$$P(A) = \\tfrac{2}{5} \\cdot \\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5} \\cdot \\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4}{25} + \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{13}{25}$$\n\nPunktacja\n\n- 1 pkt — wypisanie $|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25$ ALBO podanie $|A| = 13$ ALBO sporządzenie tabelki 5×5 ze zdarzeniami sprzyjającymi, ALBO zapisanie samego końcowego $P(A) = \\tfrac{13}{25}$ bez metody.\n- 2 pkt — pełna metoda + poprawny wynik $\\tfrac{13}{25}$.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli rozważasz losowanie BEZ ZWRACANIA — dostajesz 0 punktów (zmieniasz problem). Drugi błąd: zapisanie tylko liczby 13 lub 25 bez wskazania znaczenia (też 0 punktów).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"prawdopodobieństwo, model klasyczny, prawdopodobienstwo","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-4)\nW schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki\nwydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych.\nPodstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku).\nDo wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki.\nSchematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry).\nLinią przerywaną zaznaczono siatkę.\nOblicz wymiary 𝒙 oraz 𝒚 jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych\ntrzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na\nkażdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.\n31.\n0-1-\n2-3-4\n𝑦\n𝑦\n𝑦\n𝑥\nwybieg 1.\nwybieg 2.\nwybieg 3.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nW schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o {wspólnych} ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. [rysunek] Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.","answer":"x=4 , 5 m, y=3 m","answer_text":"Zadanie 31. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania dla sposobów I-V\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\n3 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑥\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑥= 4,5 m\nALBO\n2\n5\nliczba\nparzysta\nliczba\nnieparzysta\n3\n5\n2\n5\nliczba\nparzysta\nliczba\nnieparzysta\n3\n5\n2\n5\nliczba\nparzysta\nliczba\nnieparzysta\n3\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów jako funkcji zmiennej 𝑦\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑦= 3 m,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑥\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑥= 4,5 m,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta jako funkcji zmiennej 𝑦\noraz obliczenie argumentu, dla którego ta funkcja przyjmuje wartość największą:\n𝑦= 3 m.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru na sumę pól trzech prostokątów w zależności od jednej\nzmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥), 𝑃(𝑥) = 𝑥(18 -2𝑥), 𝑃(𝑦) = 3 (9 -3\n2 𝑦) 𝑦\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru na pole jednego prostokąta w zależności od jednej\nzmiennej, np.: 𝑃(𝑥) = 𝑥(6 -2\n3 𝑥), 𝑃(𝑦) = (9 -3\n2 𝑦) 𝑦.\n1 pkt - zapisanie poprawnego związku między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą\ndługością siatki, np. 4𝑥+ 6𝑦= 36.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑃= 𝑘𝑥𝑦, gdzie 𝑘> 0 i 𝑘≠1, i 𝑘≠3, ale nie zapisze, że dla\nprzyjętej wartości współczynnika 𝑘 pole 𝑃 osiąga wartość największą wtedy i tylko\nwtedy, gdy największą wartość osiąga iloczyn 𝑥𝑦, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty (za zapisanie warunku początkowego, za obliczenie wymiaru 𝑥 oraz obliczenie\nwymiaru 𝑦 adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).\n2. Jeżeli zdający zapisze błędną zależność między wymiarami jednego wybiegu a całkowitą\ndługością siatki, ale jest ona postaci 𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 36, gdzie 𝑎, 𝑏∈{2, 3, 4, 5, 6}, i rozwiąże\nzadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (za konsekwentne: wyznaczenie wzoru funkcji pola, obliczenie wymiaru 𝑥\noraz obliczenie wymiaru 𝑦, adekwatnie do obranego sposobu rozwiązania).\n3. Jeżeli zdający zapisze poprawnie warunek początkowy 4𝑥+ 6𝑦= 36, a następnie sumę\npól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej\ni otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres\nfunkcji 𝑃, która leży poza właściwą dziedziną funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie warunku początkowego i wzoru na sumę pól\nlub pole jednego prostokąta).\nJeżeli natomiast zdający zapisze błędny warunek początkowy, ale taki jak wymieniony\nw uwadze 2., a następnie konsekwentnie do tego warunku wyznaczy sumę pól trzech\nprostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako funkcję 𝑃 jednej zmiennej i otrzyma\nwartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres funkcji 𝑃, która\nleży poza dziedziną odpowiadającą wyznaczonej przez zdającego funkcji 𝑃, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za wyznaczenie wzoru funkcji 𝑃).\n4. Jeżeli zdający zapisze sumę pól trzech prostokątów (lub pole jednego prostokąta) jako\nfunkcję 𝑃 jednej zmiennej, a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej\nwspółrzędnej wierzchołka i dwóch argumentów leżących symetrycznie względem\npierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie odwoła się do własności wykresu funkcji\nkwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający nie zapisze sumy pól trzech prostokątów (lub jednego prostokąta) jako\nfunkcji jednej zmiennej, a jedynie oblicza wartości pola dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦\ni na tej podstawie wskazuje największą wartość pola, to za całe rozwiązanie otrzymuje\n0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n6. Jeżeli zdający oblicza największą wartość funkcji 𝑃, korzystając z rachunku\nróżniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑃 jest największa wartość funkcji 𝑃, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑃\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑃 ma maksimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\nZasady oceniania dla sposobu VI\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia obu wymiarów prostokąta oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\n3 pkt - zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat\noraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\noraz obliczenie 𝑥= 4,5 m\nALBO\n- zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat\noraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\noraz obliczenie 𝑦= 3 m.\n2 pkt - zapisanie, że spośród prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat\noraz zapisanie układu równań {4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\n1 pkt - zapisanie związku między wymiarami prostokąta, np. 4𝑥+ 6𝑦= 36.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2\n3 𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 6 -2\n3 𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑦= 6 -2\n3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -\n18\n2 ⋅(-2) = 4,5 ∈(0, 9)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa\n𝑦= 6 -2\n3 ⋅4,5 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nSposób II\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑥: 𝑥= 9 -3\n2 𝑦.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑦. W tym celu\npodstawiamy 𝑥= 9 -3\n2 𝑦 i otrzymujemy\n𝑃(𝑦) = 3 (9 -3\n2 𝑦) 𝑦= -9\n2 𝑦(𝑦-6)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑥= 9 -3\n2 𝑦> 0 oraz 𝑦> 0\nZatem\n𝑦< 6 oraz 𝑦> 0\nZmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału (0, 6).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Pierwsza\nwspółrzędna wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną pierwiastków równania:\n-9\n2 𝑦(𝑦-6) = 0\nZatem pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑝= 0 + 6\n2\n= 3 ∈(0, 6)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 3.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑥= 9 -3\n2 ⋅3 = 4,5\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Niech 𝑧 oznacza łączną szerokość trzech\nwybiegów. Wtedy 𝑧= 3𝑦.\nDługość siatki użytej do wykonanie ogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania -\nmożna zapisać równaniem\n4𝑥+ 2𝑧= 36\nStąd wyznaczamy 𝑧: 𝑧= 18 -2𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑧> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 𝑧.\nZatem\n𝑃= 𝑥𝑧\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑧= 18 -2𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 𝑥(18 -2𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑧 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑧= 18 -2𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nWykresem funkcji 𝑃 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do dołu. Obliczamy\npierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= -\n18\n2 ⋅(-2) = 4,5 ∈(0, 9)\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑧= 18 -2 ∙4,5 = 18 -9 = 9\n𝑦= 𝑧\n3 = 9\n3 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nSposób IV\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2\n3 𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 6 -2\n3 𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥) = 2𝑥(9 -𝑥)\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑦= 6 -2\n3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nZ nierówności między średnią geometryczną i średnią arytmetyczną dla liczb dodatnich\n𝑥 i (9 -𝑥) otrzymujemy\n√𝑥(9 -𝑥) ≤𝑥+ 9 -𝑥\n2\n√𝑥(9 -𝑥) ≤4,5\nStąd\n𝑥(9 -𝑥) ≤20,25\nprzy czym równość zachodzi tylko wtedy, gdy 𝑥= 9 -𝑥, czyli dla 𝑥= 4,5.\nZatem funkcja 𝑃 przyjmuje wartość największą dla argumentu 4,5.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑦= 6 -2\n3 ⋅4,5 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób V\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w zadaniu. Długość siatki użytej do wykonania\nogrodzenia - po uwzględnieniu warunków zadania - można zapisać równaniem\n4𝑥+ 6𝑦= 36\nStąd wyznaczamy 𝑦: 𝑦= 6 -2\n3 𝑥.\nZ warunków zadania wynika, że\n𝑥> 0 i 𝑦> 0\nNiech 𝑃 oznacza sumę pól podstaw trzech wybiegów.\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest równa polu prostokąta o bokach długości 𝑥 oraz 3𝑦.\nZatem\n𝑃= 3𝑥𝑦\nSumę pól podstaw trzech wybiegów zapisujemy jako funkcję jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 6 -2\n3 𝑥 i otrzymujemy\n𝑃(𝑥) = 3𝑥(6 -2\n3 𝑥) = -2𝑥2 + 18𝑥\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑃. Wykorzystamy związek między wymiarami 𝑥 i 𝑦 oraz\nwykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają\n𝑦= 6 -2\n3 𝑥> 0 oraz 𝑥> 0\nZatem\n𝑥< 9 oraz 𝑥> 0\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału (0, 9).\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑥) = -4𝑥+ 18 dla 𝑥∈(0, 9)\nObliczamy miejsce zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑥) = 0\n-4𝑥+ 18 = 0\n𝑥= 4,5 ∈(0, 9)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(0, 4\n1\n2)\n𝑃′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4\n1\n2 , 9)\nZatem funkcja 𝑃 jest rosnąca w przedziale (0, 4\n1\n2] oraz malejąca w przedziale [4 1\n2 ,9).\nStąd dla 𝑥= 4,5 funkcja 𝑃 osiąga wartość największą.\nObliczamy drugi wymiar, dla którego suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa:\n𝑦= 6 -2\n3 ⋅4,5 = 3\nSuma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy: 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\nSposób VI\nRozważmy prostokąt o bokach długości 2𝑥 oraz 3𝑦 (jak na rysunku poniżej).\nObwód tego prostokąta jest równy długości siatki użytej do wykonania ogrodzenia wybiegów.\nZatem obwód tego prostokąta jest równy 4𝑥+ 6𝑦= 36.\nZe wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat.\nZatem pole rozważanego prostokąta będzie największe, gdy 2𝑥= 3𝑦.\nRozwiązujemy układ równań\n{4𝑥+ 6𝑦= 36\n2𝑥= 3𝑦\ni otrzymujemy\n{𝑥= 4,5\n𝑦= 3\nPole tego prostokąta jest największe, gdy 𝑥= 4,5 oraz 𝑦= 3.\nPole tego prostokąta jest dwa razy większe od sumy pól podstaw trzech wybiegów.\nStąd suma pól podstaw trzech wybiegów jest największa, gdy 𝑥= 4,5 m oraz 𝑦= 3 m.\n𝑦\n𝑦\n𝑦\n𝑥\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin główny 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛+ 1)2\nALBO\n- zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (𝑛+ 2)2 ,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (𝑛+ 1)2 do postaci 𝑛2 + 𝑛+ 𝑛+ 1 ,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (𝑛+ 2)2 do postaci 𝑛2 + 2𝑛+ 2𝑛+ 4 .\nZadanie 9.\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 do postaci\n𝑥2(𝑥-2) -3(𝑥-2) lub 𝑥(𝑥2 -3) -2(𝑥2 -3)\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 -2𝑥2 -3𝑥+ 6 = 0 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 14.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 17.\n1 pkt - zapisanie równania z dwiema niewiadomymi, gdzie jedną z niewiadomych jest\nróżnica ciągu arytmetycznego, np.: -1 = 𝑎1 + 2𝑟, -165 =\n2𝑎1+14𝑟\n2\n⋅15 .\nZadanie 24.\n1 pkt - poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐶\nALBO\n- poprawne zaznaczenie w kartezjańskim układzie współrzędnych punktu 𝐷,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 boku 𝐴𝐵: 𝑆= (4, 4).\nZadanie 26.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 1.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 12) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 12\n25), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie 𝑥= 4,5 oraz 𝑦= 3.","solution":"Odpowiedź: x = 4,5 m oraz y = 3 m (suma pól = 40,5 m²)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nRozumienie problemu\n\nTrzy identyczne prostokątne wybiegi stoją obok siebie, dzieląc ściany wewnętrzne. Patrząc na rysunek:\n\n- góra i dół całej konstrukcji — dwa odcinki długości $3y$ (cała szerokość)\n- boki zewnętrzne (lewa i prawa) — dwa odcinki długości $x$\n- ściany wewnętrzne (między wybiegami) — dwa odcinki długości $x$ każdy\n\nŁącznie siatki: $2 \\cdot 3y + 2x + 2x = 6y + 4x$.\n\nZapisz równanie wiążące $x$ i $y$.\n\n$$6y + 4x = 36$$\n\nPodziel obie strony przez $2$:\n\n$$3y + 2x = 18 \\quad\\Rightarrow\\quad y = \\frac{18 - 2x}{3} = 6 - \\frac{2x}{3}$$\n\nDziedzina: $x > 0$ oraz $y > 0$. Z $y > 0$: $6 - \\tfrac{2x}{3} > 0 \\Rightarrow x < 9$. Zatem $x \\in (0, 9)$.\n\nWyraź sumę pól trzech wybiegów jako funkcję $x$.\n\nKażdy wybieg ma wymiar $x \\times y$, więc pole jednego to $x \\cdot y$. Suma pól trzech:\n\n$$S(x) = 3 \\cdot x \\cdot y = 3x \\cdot \\left(6 - \\frac{2x}{3}\\right) = 18x - 2x^2$$\n\nTo jest funkcja kwadratowa $S(x) = -2x^2 + 18x$ z ujemnym współczynnikiem przy $x^2$ — parabola otwierająca się w dół, więc maksimum jest w wierzchołku.\n\nWspółrzędna $x$ wierzchołka: $x_w = -\\dfrac{b}{2a}$, gdzie $a = -2$, $b = 18$:\n\n$$x_w = -\\frac{18}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{18}{-4} = \\frac{18}{4} = 4{,}5$$\n\nSprawdź, czy $x_w$ jest w dziedzinie. $x_w = 4{,}5 \\in (0, 9)$ ✓.\n\nOblicz odpowiadające $y$.\n\n$$y = 6 - \\frac{2 \\cdot 4{,}5}{3} = 6 - 3 = 3$$\n\n(Opcjonalnie) — oblicz maksymalną sumę pól.\n\n$$S(4{,}5) = 18 \\cdot 4{,}5 - 2 \\cdot (4{,}5)^2 = 81 - 40{,}5 = 40{,}5 \\text{ m}^2$$\n\nKlucz — typ zadania optymalizacyjnego\n\nTo klasyczny schemat: „coś\" jest ograniczone (suma materiału, obwód) → wyraź jedną zmienną przez drugą → zapisz wielkość do maksymalizacji jako funkcję jednej zmiennej → znajdź wierzchołek paraboli.\n\nProcedura:\n\n1. Wyłap wiązanie (constraint) — jakie równanie zachodzi między zmiennymi?\n2. Wyraź jedną zmienną ($y$ przez $x$ albo odwrotnie).\n3. Zapisz funkcję celu (sumę pól, objętość, długość itp.) używając tylko jednej zmiennej.\n4. Wyznacz dziedzinę — kiedy obie zmienne są dodatnie?\n5. Znajdź wierzchołek paraboli ($x_w = -\\tfrac{b}{2a}$) i sprawdź, czy jest w dziedzinie.\n6. Oblicz drugą zmienną i (opcjonalnie) wartość maksymalną.\n\nPunktacja CKE: 4 pkt to zwykle pełne rozwiązanie z wymiarami plus maksimum. 3 pkt — funkcja + argument maksimum. 2 pkt — sama funkcja $S(x)$ bez maksimum. 1 pkt — tylko wiązanie $3y + 2x = 18$ bez funkcji celu.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie równania $3y + 2x = 18$ (albo $6y + 4x = 36$).\n- 2 pkt — dodatkowo zapisanie funkcji $S(x) = -2x^2 + 18x$ (albo równoważnej).\n- 3 pkt — dodatkowo obliczenie $x = 4{,}5$.\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie z $x = 4{,}5$ i $y = 3$.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to złe policzenie łącznej długości siatki — z rysunku widać, że potrzeba: dwóch ścian długości 3y (góra i dół) PLUS czterech ścian długości x (dwie zewnętrzne pionowe + dwie wewnętrzne między wybiegami). Czyli 2·(3y) + 4·x = 36, nie 2·(3y) + 2·x = 36.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"optymalizacja, funkcja kwadratowa","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \\(f(x) = x^{2} + bx + c\\) jest prosta o równaniu \\(x = -2\\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \\(f\\) jest liczba \\(1\\). Oblicz współczynniki \\(b\\) oraz \\(c\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)\n\n## Sposób 1 - oś symetrii + podstawienie miejsca zerowego\n\n**Krok 1: Wyznacz \\(b\\) z osi symetrii.**\n\nOś symetrii funkcji \\(f(x) = ax^2 + bx + c\\) ma równanie:\n\\[x = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nTu \\(a = 1\\), więc:\n\\[-\\frac{b}{2 \\cdot 1} = -2\\]\n\\[-\\frac{b}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad b = 4\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz \\(c\\) z warunku miejsca zerowego.**\n\nSkoro \\(x = 1\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(1) = 0\\):\n\\[1^2 + 4 \\cdot 1 + c = 0\\]\n\\[1 + 4 + c = 0\\]\n\\[c = -5\\]\n\n**Wynik: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)**, czyli \\(f(x) = x^2 + 4x - 5\\).\n\n## Sposób 2 - wzory Viète'a (symetria miejsc zerowych)\n\n**Krok 1: Znajdź drugie miejsce zerowe.**\n\nOba miejsca zerowe są symetryczne względem osi \\(x = -2\\).\nJedno zero to \\(x_1 = 1\\). Środek odcinka \\([x_1, x_2]\\) musi leżeć na osi symetrii:\n\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad \\frac{1 + x_2}{2} = -2 \\quad \\Longrightarrow \\quad x_2 = -5\\]\n\n**Krok 2: Zastosuj wzory Viète'a** dla \\(f(x) = x^2 + bx + c\\) (czyli \\(a = 1\\)):\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = -b \\quad \\Longrightarrow \\quad 1 + (-5) = -b \\quad \\Longrightarrow \\quad b = 4\\]\n\n\\[x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a} = c \\quad \\Longrightarrow \\quad 1 \\cdot (-5) = c \\quad \\Longrightarrow \\quad c = -5\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(f(x) = x^2 + 4x - 5\\)\n- Oś symetrii: \\(x = -\\frac{4}{2} = -2\\) ✓\n- \\(f(1) = 1 + 4 - 5 = 0\\) ✓\n- \\(f(-5) = 25 - 20 - 5 = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na oś symetrii i wzory Viète'a:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} \\quad \\text{(współrzędna osi symetrii / wierzchołka)}\\]\n\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\n\nOś symetrii użyta w Kroku 1 Sposobu 1 do wyznaczenia \\(b\\). Wzory Viète'a użyte w całym Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na oś symetrii to \\(x = -\\frac{b}{2a}\\). Bardzo częsty błąd: zapomnienie znaku minus i przyjęcie \\(\\frac{b}{2a} = -2\\), co daje \\(b = -4\\) (zły znak!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(a = 1\\) (współczynnik przy \\(x^2\\)), to ze wzorów Viète'a \\(x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{1} = c\\) - wprost. Nie trzeba żadnego dzielenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po wyznaczeniu \\(b = 4\\) nie zapomnij podstawić tej wartości przy liczeniu \\(c\\) z \\(f(1) = 0\\). Błąd: podstawienie \\(b\\) z osi symetrii jako zero do wzoru na \\(c\\), zamiast podstawienia \\(x = 1\\) do funkcji.\n\n**Odpowiedź: \\(b = 4\\), \\(c = -5\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetria pierwiastków\nOś symetrii paraboli: \\(x = -2\\). Pierwiastki są symetryczne względem osi, więc jeśli \\(x_1 = 1\\):\n\\[\\dfrac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\Rightarrow x_2 = -5.\\]\n\nWzór funkcji w postaci iloczynowej: \\(f(x) = (x-1)(x+5) = x^2 + 4x - 5\\).\nZatem \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Vieta / postać kanoniczna\nPierwsza współrzędna wierzchołka: \\(p = -\\tfrac{b}{2a} = -\\tfrac{b}{2}\\).\n\\(-\\tfrac{b}{2} = -2 \\Rightarrow b = 4.\\)\nPunkt \\((1, 0)\\) leży na wykresie: \\(0 = 1 + 4 + c \\Rightarrow c = -5\\).\n\n### Sposób 3 - Postać kanoniczna\n\\(f(x) = (x + 2)^2 + q\\). Podstawiając \\((1, 0)\\): \\(0 = 9 + q \\Rightarrow q = -9\\).\n\\(f(x) = (x+2)^2 - 9 = x^2 + 4x + 4 - 9 = x^2 + 4x - 5\\). Stąd \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(b = 4\\), \\(c = -5\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Ciąg arytmetyczny \\((a_{n})\\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \\((-1)\\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \\((-165)\\). Oblicz różnicę tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: różnica ciągu \\(r = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z definicji ciągu arytmetycznego\n\n**Co wiemy?** Mamy dwa warunki - jeden dla wyrazu, drugi dla sumy. Zapiszmy je jako układ równań.\n\n**Krok 1: Warunek dla trzeciego wyrazu.**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\\[a_3 = a_1 + 2r = -1 \\tag{I}\\]\n\n**Krok 2: Warunek dla sumy piętnastu wyrazów.**\n\nWzór na sumę: \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\), więc dla \\(n = 15\\):\n\\[S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = 15(a_1 + 7r) = -165\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(15\\):\n\\[a_1 + 7r = -11 \\tag{II}\\]\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy układ.**\n\nOdejmujemy równanie (I) od (II):\n\\[(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1)\\]\n\\[5r = -10\\]\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\n## Sposób 2 - Wykorzystanie wzoru na sumę przez wyraz środkowy\n\nW ciągu arytmetycznym suma \\(n\\) wyrazów równa się \\(n\\) razy wyraz środkowy. Dla \\(n = 15\\) wyrazem środkowym jest \\(a_8\\):\n\\[S_{15} = 15 \\cdot a_8 = -165\\]\n\\[a_8 = -11\\]\n\nTeraz mamy \\(a_3\\) i \\(a_8\\). Różnica numerów wyrazów: \\(8 - 3 = 5\\), różnica wartości:\n\\[a_8 = a_3 + 5r\\]\n\\[-11 = -1 + 5r\\]\n\\[5r = -10\\]\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - unikamy układu dwóch równań!\n\n**Weryfikacja (dla pewności):**\n\nZ \\(r = -2\\) i \\(a_3 = -1\\):\n\\[a_1 = a_3 - 2r = -1 - 2\\cdot(-2) = 3\\]\n\n\\[S_{15} = \\frac{15(2 \\cdot 3 + 14 \\cdot (-2))}{2} = \\frac{15(6 - 28)}{2} = \\frac{15 \\cdot (-22)}{2} = -165 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do zapisania warunku \\(a_3 = -1\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go do zapisania warunku \\(S_{15} = -165\\).\n\nWłasność wyrazu środkowego (wynika ze wzoru na sumę):\n\\[S_n = n \\cdot a_{\\frac{n+1}{2}} \\quad \\text{(dla nieparzystego } n\\text{)}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wyraz środkowy \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\) działa tylko gdy liczba wyrazów jest **nieparzysta** - wtedy istnieje jeden wyraz dokładnie w środku. Dla parzystej liczby wyrazów (np. \\(S_{16}\\)) nie ma jednego wyrazu środkowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu równań łatwo o błąd znaku: \\(-11 - (-1) = -11 + 1 = -10\\), nie \\(-12\\). Różnica \\(r = -2\\), nie \\(-\\frac{12}{5}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **różnicy** \\(r\\), nie pierwszego wyrazu \\(a_1\\). Nie kończ na wyznaczeniu \\(a_1 = 3\\) - zadanie prosi o \\(r\\)!\n\n**Odpowiedź: \\(r = -2\\)**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\n\\(a_3 = a_1 + 2r = -1\\).\n\\(S_{15} = \\dfrac{2a_1 + 14r}{2}\\cdot 15 = -165\\), czyli \\(a_1 + 7r = -11\\).\n\nOdejmujemy: \\((a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1) \\Rightarrow 5r = -10 \\Rightarrow r = -2.\\)\n\n### Sposób 2 - Przez \\(a_8\\)\nSuma 15 wyrazów ciągu arytmetycznego: \\(S_{15} = 15\\cdot a_8\\) (wyraz środkowy).\n\\(15a_8 = -165 \\Rightarrow a_8 = -11\\).\nDalej: \\(a_8 = a_3 + 5r \\Rightarrow -11 = -1 + 5r \\Rightarrow r = -2\\).\n\n### Sposób 3 - Przez \\(a_1 + a_{15}\\)\n\\(S_{15} = \\dfrac{a_1 + a_{15}}{2}\\cdot 15 = -165\\), więc \\(a_1 + a_{15} = -22\\).\n\\(a_1 + a_{15} = 2a_3 + 10r = -2 + 10r = -22 \\Rightarrow r = -2\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(r = -2\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest równoległobok \\(ABCD\\), w którym \\(A = (-2, 6)\\) oraz \\(B = (10, 2)\\). Przekątne \\(AC\\) oraz \\(BD\\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \\(P = (6, 7)\\). Oblicz długość boku \\(BC\\) tego równoległoboku.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka C ze środka przekątnej\n\n**Kluczowa właściwość równoległoboku:** przekątne bisekują się wzajemnie, czyli punkt przecięcia jest środkiem obu przekątnych.\n\nSkoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\), to:\n\\[P = \\left(\\frac{x_A + x_C}{2},\\ \\frac{y_A + y_C}{2}\\right)\\]\n\nWyznaczamy \\(C = (x_C, y_C)\\):\n\\[\\frac{-2 + x_C}{2} = 6 \\implies x_C = 14\\]\n\\[\\frac{6 + y_C}{2} = 7 \\implies y_C = 8\\]\n\nZatem **\\(C = (14, 8)\\)**.\n\nTeraz liczymy długość boku \\(BC\\), mając \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\\]\n\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52}\\]\n\\[\\boxed{|BC| = 2\\sqrt{13}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie D i sprawdzenie \\(|AD| = |BC|\\)\n\nSkoro \\(P\\) jest też środkiem przekątnej \\(BD\\):\n\\[\\frac{10 + x_D}{2} = 6 \\implies x_D = 2, \\qquad \\frac{2 + y_D}{2} = 7 \\implies y_D = 12\\]\n\nZatem **\\(D = (2, 12)\\)**.\n\nW równoległoboku \\(BC \\parallel AD\\) i \\(|BC| = |AD|\\), więc sprawdzamy:\n\\[|AD| = \\sqrt{(2 - (-2))^2 + (12 - 6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)** ✓\n\nMożemy też sprawdzić, że \\(\\overrightarrow{BC} = [4, 6]\\) i \\(\\overrightarrow{AD} = [4, 6]\\) - wektory równe, czyli \\(BC \\parallel AD\\) i tej samej długości. Figura jest rzeczywiście równoległobokiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go do obliczenia \\(|BC|\\) oraz weryfikacji \\(|AD|\\).\n\n**Dział 11 - środek odcinka:**\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\qquad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy, żeby wyznaczyć współrzędne \\(C\\) (i \\(D\\)) z faktu, że \\(P\\) jest środkiem przekątnej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wyznaczaj \\(|BC|\\) jako odległości \\(B\\) od \\(P\\)! \\(P\\) jest środkiem **przekątnej**, nie boku. Łatwo się pomylić i policzyć \\(|BP|\\) zamiast \\(|BC|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\) - uprość pierwiastek do końca, bo \\(\\sqrt{52}\\) nie jest postacią uproszczoną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność „przekątne równoległoboku bisekują się\" jest kluczowa - bez niej zadanie jest nie do rozwiązania. Upewnij się, że nie mylisz jej z prostokątem (gdzie przekątne są równej długości) lub rombem (gdzie się przecinają prostopadle).\n\n**Odpowiedź: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\) (czyli \\(\\sqrt{52}\\))**\n\n### Sposób 1 - Znalezienie \\(C\\)\nPrzekątne równoległoboku przecinają się w połowie. \\(P\\) jest środkiem \\(AC\\):\n\\[P = \\left(\\dfrac{x_A + x_C}{2}, \\dfrac{y_A + y_C}{2}\\right) = (6, 7).\\]\n\\(\\dfrac{-2 + x_C}{2} = 6 \\Rightarrow x_C = 14\\).\n\\(\\dfrac{6 + y_C}{2} = 7 \\Rightarrow y_C = 8\\).\nZatem \\(C = (14, 8)\\).\n\nDługość \\(|BC|\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^2 + (8-2)^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez \\(D\\)\n\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\): \\(D = (2, 12)\\). W równoległoboku \\(|BC| = |AD|\\):\n\\(|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{16+36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\).\n\n### Sposób 3 - Przez środek \\(S\\) boku \\(AB\\)\n\\(S = (4, 4)\\). Wektor \\(\\vec{PS} = (-2, -3)\\), \\(|BC| = 2|PS| = 2\\sqrt{4+9} = 2\\sqrt{13}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest pięcioelementowy zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \\(K\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{13}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Parzyste/nieparzyste składniki sumy\n\n**Kluczowa obserwacja:** suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy **obie są parzyste** lub **obie są nieparzyste**.\n\n**Krok 1. Sklasyfikuj liczby ze zbioru \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\):**\n\n- Liczby nieparzyste: \\(5, 7, 9\\) → **3 liczby**\n- Liczby parzyste: \\(6, 8\\) → **2 liczby**\n\n**Krok 2. Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy ze zwracaniem, kolejność ma znaczenie. Łączna liczba wyników:\n\\[\\left|\\Omega\\right| = 5 \\cdot 5 = 25\\]\n\n**Krok 3. Policz zdarzenia sprzyjające (suma parzysta).**\n\n*Przypadek 1: obie liczby parzyste*\n\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ wyniki}\\]\n\n*Przypadek 2: obie liczby nieparzyste*\n\\[3 \\cdot 3 = 9 \\text{ wyników}\\]\n\nŁącznie zdarzeń sprzyjających: \\(4 + 9 = 13\\)\n\n**Krok 4. Oblicz prawdopodobieństwo:**\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{13}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - Prawdopodobieństwo warunkowe (drzewko zdarzeń)\n\nNiech \\(P\\) = \"wylosowano liczbę parzystą\", \\(N\\) = \"wylosowano liczbę nieparzystą\".\n\n\\[P(P) = \\frac{2}{5}, \\quad P(N) = \\frac{3}{5}\\]\n\nSuma jest parzysta w dwóch rozłącznych przypadkach:\n\n\\[P(A) = P(N_1 \\cap N_2) + P(P_1 \\cap P_2)\\]\n\nPonieważ losowania są niezależne (zwracanie):\n\\[P(A) = P(N) \\cdot P(N) + P(P) \\cdot P(P) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} + \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - 13 zdarzeń sprzyjających na 25 równo prawdopodobnych wyników.\n\n**Dział 14 (s. 29)** - zdarzenia rozłączne i niezależne:\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B) \\quad \\text{(gdy zdarzenia niezależne)}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - mnożenie prawdopodobieństw niezależnych losowań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Losowanie ze zwracaniem\" oznacza, że przy drugim losowaniu wciąż mamy 5 liczb do wyboru - nie 4. Gdyby było **bez zwracania**, wyniki byłyby inne!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma jest parzysta tylko gdy **oba składniki mają tę samą parzystość** (oba parzyste LUB oba nieparzyste). Częsty błąd: liczenie tylko przypadku \"oba parzyste\" i pominięcie \"oba nieparzyste\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność losowania ma znaczenie (zapisujemy w kolejności losowania), więc para \\((5,7)\\) i \\((7,5)\\) to dwa różne wyniki. Przestrzeń \\(\\Omega\\) ma \\(5^2 = 25\\) elementów, nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\).\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia i dodawania\nZbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\): parzyste \\(\\{6, 8\\}\\) (2 liczby), nieparzyste \\(\\{5, 7, 9\\}\\) (3 liczby).\n\nZdarzenia elementarne: wszystkie pary \\((x, y)\\), \\(x, y \\in K\\). \\(|\\Omega| = 5\\cdot 5 = 25\\).\n\nSuma parzysta ⇔ **obie** liczby parzyste lub **obie** nieparzyste:\n- Obie parzyste: \\(2\\cdot 2 = 4\\).\n- Obie nieparzyste: \\(3\\cdot 3 = 9\\).\nRazem: \\(|A| = 4 + 9 = 13\\).\n\n\\[P(A) = \\dfrac{13}{25}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\n\\(P(\\text{parz.}) = \\tfrac{2}{5}\\), \\(P(\\text{nieparz.}) = \\tfrac{3}{5}\\).\n\\[P(A) = \\tfrac{2}{5}\\cdot\\tfrac{2}{5} + \\tfrac{3}{5}\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{4}{25} + \\tfrac{9}{25} = \\tfrac{13}{25}.\\]\n\n### Sposób 3 - Tabela\nTabela \\(5\\times 5\\). Sumy parzyste: P+P lub N+N. W 25 polach 13 ma sumę parzystą.\n\n**Odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \\(108\\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \\(\\frac{1}{3}\\). Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \\(\\alpha\\) (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \\(\\alpha\\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-A-2405/z36.png\n\n. Oblicz cosinus kąta 𝛼 oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 𝛼 | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{1}{3}, \\quad P_c = 162\\]\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wymiarów z warunków, potem geometria\n\n**Krok 1: Wyznaczenie krawędzi podstawy i wysokości**\n\nOznaczmy krawędź podstawy \\(a\\) i wysokość \\(h\\). Z danego stosunku:\n\\[\\frac{a}{h} = \\frac{1}{4} \\implies h = 4a\\]\n\nObjętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego (podstawa to kwadrat):\n\\[V = a^2 \\cdot h = a^2 \\cdot 4a = 4a^3 = 108\\]\n\\[a^3 = 27 \\implies \\boxed{a = 3}\\]\n\\[\\boxed{h = 4 \\cdot 3 = 12}\\]\n\n**Krok 2: Cosinus kąta \\(\\alpha\\)**\n\nPrzekątna graniastosłupa biegnie od wierzchołka podstawy dolnej do **przeciwległego** wierzchołka podstawy górnej.\n\nJej rzut na płaszczyznę podstawy to **przekątna kwadratu** o boku \\(a = 3\\):\n\\[d_{\\text{podstawy}} = a\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}\\]\n\nDługość całej przekątnej przestrzennej:\n\\[d = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^2 + h^2} = \\sqrt{2a^2 + h^2} = \\sqrt{2 \\cdot 9 + 144} = \\sqrt{18 + 144} = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}\\]\n\nKąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną a podstawą, więc:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{d_{\\text{podstawy}}}{d} = \\frac{3\\sqrt{2}}{9\\sqrt{2}} = \\frac{3}{9} = \\boxed{\\frac{1}{3}}\\]\n\n**Krok 3: Pole powierzchni całkowitej**\n\nDwie podstawy (kwadraty):\n\\[P_{\\text{podstawy}} = 2 \\cdot a^2 = 2 \\cdot 9 = 18\\]\n\nCztery prostokątne ściany boczne:\n\\[P_{\\text{boczna}} = 4 \\cdot a \\cdot h = 4 \\cdot 3 \\cdot 12 = 144\\]\n\nŁącznie:\n\\[\\boxed{P_c = 18 + 144 = 162}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez tangens, potem cos z jedynki\n\n**Wyznaczenie wymiarów identyczne jak w Sposobie 1** (\\(a = 3\\), \\(h = 12\\)).\n\nKąt \\(\\alpha\\) leży w prostokącie zawierającym przekątną przestrzenną:\n- Przyprostokątna pozioma: \\(d_{\\text{podstawy}} = 3\\sqrt{2}\\)\n- Przyprostokątna pionowa: \\(h = 12\\)\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{h}{d_{\\text{podstawy}}} = \\frac{12}{3\\sqrt{2}} = \\frac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\]\n\nKorzystam z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos^2\\alpha} = 8 \\implies \\sin^2\\alpha = 8\\cos^2\\alpha\\]\n\\[8\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\implies 9\\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\cos^2\\alpha = \\frac{1}{9} \\implies \\cos\\alpha = \\frac{1}{3}\\]\n\n(Wynik zgodny z Metodą 1. ✓)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość i pole graniastosłupa:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = O_b \\cdot h, \\quad P_c = P_b + 2P_p\\]\nUżyliśmy do obliczenia wymiarów oraz pola powierzchni całkowitej.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 2 do przejścia od tangensa do cosinusa.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[d^2 = (a\\sqrt{2})^2 + h^2 = 2a^2 + h^2\\]\nUżyte do wyznaczenia długości przekątnej przestrzennej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna graniastosłupa to przekątna **przestrzenna** (łączy wierzchołki różnych podstaw, po skosie przez bryłę) - nie myl jej z przekątną ściany bocznej ani przekątną podstawy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\alpha\\) to kąt między przekątną a jej **rzutem na podstawę** (czyli przekątną kwadratu \\(3\\sqrt{2}\\)), nie między przekątną a krawędzią boczną. Łatwo pomylić - w trójkącie prostokątnym przyprostokątna pozioma to \\(3\\sqrt{2}\\), a nie \\(3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(\\frac{a}{h} = \\frac{1}{4}\\) oznacza \\(h = 4a\\), **nie** \\(a = 4h\\). Sprawdź zawsze co jest w liczniku, co w mianowniku!\n\n**Odpowiedź: \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\), \\(P_c = 162\\)**\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku\nOznaczmy: \\(a\\) - długość krawędzi podstawy (\\(a > 0\\)), \\(H\\) - wysokość graniastosłupa (\\(H > 0\\)).\n\n**Krok 1 - relacja \\(a\\) i \\(H\\).**\n\\(\\dfrac{a}{H} = \\dfrac{1}{4} \\Rightarrow H = 4a\\).\n\n**Krok 2 - objętość.**\n\\[V = P_p\\cdot H = a^2\\cdot 4a = 4a^3 = 108\\]\n\\[a^3 = 27 \\Rightarrow a = 3.\\]\nStąd \\(H = 4\\cdot 3 = 12\\).\n\n**Krok 3 - pole powierzchni całkowitej.**\n\\[P_c = 2P_p + P_b = 2a^2 + 4aH = 2\\cdot 9 + 4\\cdot 3\\cdot 12 = 18 + 144 = 162.\\]\n\n**Krok 4 - cosinus kąta \\(\\alpha\\).**\nPrzekątna graniastosłupa \\(d\\) - łączy przeciwległe wierzchołki górnej i dolnej podstawy. Jej rzut na podstawę to przekątna kwadratu podstawy: \\(a\\sqrt{2} = 3\\sqrt{2}\\).\nDługość \\(d\\) (twierdzenie Pitagorasa):\n\\[d^2 = H^2 + (a\\sqrt{2})^2 = 144 + 18 = 162 \\Rightarrow d = \\sqrt{162} = 9\\sqrt{2}.\\]\n\n\\[\\cos\\alpha = \\dfrac{a\\sqrt{2}}{d} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{9\\sqrt{2}} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez tangens i tożsamość\n\\(\\tan\\alpha = \\dfrac{H}{a\\sqrt{2}} = \\dfrac{4a}{a\\sqrt{2}} = \\dfrac{4}{\\sqrt{2}} = 2\\sqrt{2}\\).\n\\(\\sin\\alpha = 2\\sqrt{2}\\cos\\alpha\\).\n\\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 8\\cos^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow 9\\cos^2\\alpha = 1 \\Rightarrow \\cos\\alpha = \\tfrac{1}{3}\\).\n\n### Sposób 3 - Skala podobieństwa\nGraniastosłup \\(G_1\\) podobny z \\(a_1 = 1\\), \\(H_1 = 4\\): \\(V_1 = 4\\), \\(P_{c1} = 18\\). \\(\\cos\\alpha = \\tfrac{\\sqrt{2}}{3\\sqrt{2}} = \\tfrac{1}{3}\\) (niezależne od skali).\nSkala: \\(k^3 = V/V_1 = 27 \\Rightarrow k = 3\\). Zatem \\(P_c = P_{c1}\\cdot k^2 = 18\\cdot 9 = 162\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{1}{3}\\), \\(P_c = 162\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}