{"paper":{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":38,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nW chwili początkowej (𝑡= 0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura\ntej kawy jest równa 80 °C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała\ni równa 20 °C. Temperatura 𝑇 tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością\n𝑇(𝑡) = (𝑇𝑝-𝑇𝑧) ⋅𝑘-𝑡+ 𝑇𝑧 dla 𝑡≥0\ngdzie:\n𝑇 - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,\n𝑡 - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,\n𝑇𝑝 - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,\n𝑇𝑧 - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,\n𝑘 - stała charakterystyczna dla danej cieczy.\nPo 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65 °C.\nOblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach\nCelsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nW chwili początkowej (t=0) filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa 80°C. Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa 20°C. Temperatura T tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością T(t) = (T_p-T_z) ⋅ k^{-t} + T_z dla t≥0 gdzie: T - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, t - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej, T_p - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza, T_z - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza, k - stała charakterystyczna dla danej cieczy. Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury 65°C. Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności.","answer":"T(15) ≈ 59 °C","answer_text":"Zadanie 1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.13) posługuje się funkcjami wykładniczą\ni logarytmiczną […] do opisu i interpretacji\nzagadnień związanych z zastosowaniami\npraktycznymi.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia temperatury kawy po 15 minutach oraz poprawny wynik\nzaokrąglony do jedności: 59 °C.\n1 pkt - obliczenie 𝑘-10: 45\n60 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZ warunków zadania 𝑇(10) = 65, więc 65 = (80 -20) ⋅𝑘-10 + 20 i stąd\n𝑘-10 = 45\n60 = 3\n4 . Zatem\n𝑇(15) = (80 -20) ⋅𝑘-15 + 20 = 60 ⋅(𝑘-10)1,5 + 20 =\n= 60 ⋅(3\n4)\n1,5\n+ 20 = 60 ⋅3\n4 ⋅√3\n2 + 20 = 45√3\n2\n+ 20 ≈59\nTemperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa 59 °C.\nSposób II\nZ warunków zadania 𝑇(10) = 65, więc 65 = (80 -20) ⋅𝑘-10 + 20 i stąd 𝑘-10 = 3\n4 .\nPrzyjmujemy teraz 𝑇𝑝= 65, 𝑇𝑧= 20 i obliczamy 𝑇(5):\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑇(5) = (65 -20) ⋅𝑘-5 + 20 = 45 ⋅(𝑘-10)0,5 + 20 =\n= 45 ⋅√3\n4 + 20 = 45√3\n2\n+ 20 ≈59\nTemperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa 59 °C.","solution":"Odpowiedź: T(15) ≈ 59 °C\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo wiemy?\n\nWzór modelu stygnięcia (prawo Newtona):\n\n$$T(t) = (T_p - T_z) \\cdot k^{-t} + T_z = 60 \\cdot k^{-t} + 20$$\n\nZ warunku $T(10) = 65$:\n\n$$65 = 60 \\cdot k^{-10} + 20 \\quad\\Rightarrow\\quad k^{-10} = \\frac{45}{60} = \\frac{3}{4}$$\n\nTo jedyna informacja, jakiej potrzebujemy o $k$. Nie obliczamy samego $k$ — pracujemy bezpośrednio z $k^{-10}$.\n\nZapisz $T(15)$ używając wykładnika $-15$.\n\n$$T(15) = 60 \\cdot k^{-15} + 20$$\n\nZauważ, że $k^{-15} = k^{-10} \\cdot k^{-5}$, oraz $k^{-5} = \\sqrt{k^{-10}}$ (bo $(k^{-5})^2 = k^{-10}$, a $k^{-5} > 0$).\n\n$$k^{-15} = k^{-10} \\cdot \\sqrt{k^{-10}} = (k^{-10})^{1{,}5}$$\n\nPodstaw $k^{-10} = \\tfrac{3}{4}$:\n\n$$T(15) = 60 \\cdot \\left(\\frac{3}{4}\\right)^{1{,}5} + 20$$\n\nRozłóż $\\left(\\tfrac{3}{4}\\right)^{1{,}5} = \\tfrac{3}{4} \\cdot \\sqrt{\\tfrac{3}{4}} = \\tfrac{3}{4} \\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2}$:\n\n$$T(15) = 60 \\cdot \\frac{3}{4} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 20 = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + 20$$\n\nOblicz przybliżenie. $\\sqrt{3} \\approx 1{,}732$:\n\n$$\\frac{45 \\cdot 1{,}732}{2} + 20 \\approx \\frac{77{,}94}{2} + 20 \\approx 38{,}97 + 20 \\approx 58{,}97$$\n\nPo zaokrągleniu do jedności: $T(15) \\approx 59$ °C.\n\nSposób alternatywny — start z $t = 10$\n\nMożna potraktować chwilę $t = 10$ jako „nowy start\" z $T_p' = 65$ i policzyć $T(5)$ od tego momentu:\n\n$$T(10 + 5) = (65 - 20) \\cdot k^{-5} + 20 = 45 \\cdot \\sqrt{\\tfrac{3}{4}} + 20 = 45 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + 20 \\approx 59 \\text{ °C}$$\n\nTen sam wynik, mniej algebry.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie $k^{-10} = \\tfrac{45}{60} = \\tfrac{3}{4}$.\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik zaokrąglony: $T(15) \\approx 59$ °C.\n\nKlucz — kiedy używać prawa Newtona\n\nKażde zadanie typu „stygnięcie / nagrzewanie / spadek aktywności radioaktywnej / zanikanie leku w krwi\" sprowadza się do tego samego schematu wykładniczego $T(t) = A \\cdot k^{-t} + B$. Trik to wyciągnięcie $k^{-T}$ (gdzie $T$ to znany moment) i wyrażenie szukanej wartości jako jego potęgi. Nigdy nie musisz wyciągać samego $k$ — pracuj z $k^{-T}$ jako blokiem.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to liczenie T(5) zamiast T(15) — bo treść mówi \"po kolejnych 5 minutach\". To T(10 + 5) = T(15), nie T(5). Drugi błąd: zostawienie wyniku z √3 zamiast zaokrąglić do jedności.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"funkcja wykładnicza, model praktyczny, wykladnicza","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-2)\nOblicz granicę\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2\nZapisz obliczenia.\n2.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nOblicz granicę lim_{x→2^-} x³-8 / (x-2)²","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R1) oblicza granice funkcji (w tym\njednostronne).\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia granicy oraz poprawny wynik: (-∞).\n1 pkt - zapisanie wyrażenia 𝑥3-8\n(𝑥-2)2 w postaci 𝑥2+2𝑥+4\n𝑥-2\n(lub w postaci 𝑥+ 4 + 12\n𝑥-2)\nALBO\n- zapisanie równości\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = lim\n𝑥→2- 3𝑥2\n2𝑥-4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑥3-8\n(𝑥-2)2 , korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów:\n𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = (𝑥-2)(𝑥2 + 2𝑥+ 4)\n(𝑥-2)2\n= 𝑥2 + 2𝑥+ 4\n𝑥-2\ndla każdego 𝑥≠2.\nPonieważ lim\n𝑥→2-(𝑥2 + 2𝑥+ 4) = 12 oraz lim\n𝑥→2-(𝑥-2) = 0-, więc\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = -∞\nSposób II\nZauważmy, że lim\n𝑥→2-(𝑥3 -8) = 0 oraz lim\n𝑥→2-(𝑥-2)2 = 0.\nFunkcje 𝑓(𝑥) = 𝑥3 -8 oraz 𝑔(𝑥) = (𝑥-2)2 są różniczkowalne w zbiorze (-∞, 2).\nPonadto 𝑔′(𝑥) = 2(𝑥-2) ≠0 dla każdego 𝑥∈(-∞, 2) oraz\nlim\n𝑥→2- 3𝑥2\n2𝑥-4 = -∞\nZatem na podstawie reguły de l’Hospitala otrzymujemy\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = lim\n𝑥→2- 3𝑥2\n2𝑥-4 = -∞\nSposób III\nNiech 𝑀 będzie dowolną liczbą dodatnią. Oznaczmy 𝛿=\n12\n7+𝑀 . Wtedy 𝛿> 0.\nNiech 𝑥 będzie dowolną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek -𝛿< 𝑥-2 < 0.\nWówczas\n𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 =\n𝑥3 -8\n𝑥2 -4𝑥+ 4 = 𝑥+ 4 + 12(𝑥-2)\n(𝑥-2)2 = 𝑥+ 4 +\n12\n𝑥-2 < 6 -12\n𝛿=\n= 6 -(7 + 𝑀) = -1 -𝑀< -𝑀\nZatem dla każdego 𝑀> 0 istnieje 𝛿> 0 takie, że dla każdego 𝑥 spełniającego warunek\n-𝛿< 𝑥-2 < 0 zachodzi\n𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 < -𝑀\nTo oznacza, że\nlim\n𝑥→2- 𝑥3 -8\n(𝑥-2)2 = -∞\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: Granica jest równa −∞.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nPierwsza obserwacja — co się dzieje gdy $x \\to 2$?\n\nLicznik: $x^3 - 8 \\to 8 - 8 = 0$.\n\nMianownik: $(x - 2)^2 \\to 0$.\n\nSymbolicznie: $\\tfrac{0}{0}$ — nieoznaczoność. Musimy uprościć wyrażenie albo użyć reguły de l'Hospitala.\n\nTrik — różnica sześcianów\n\nZauważ, że $x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ — to różnica sześcianów. Wzór skróconego mnożenia:\n\n$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$\n\nDla $a = x$, $b = 2$:\n\n$$x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$$\n\nPodstaw rozkład do ułamka i skróć $(x - 2)$.\n\n$$\\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \\frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)^2} = \\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$$\n\n(skracanie jest dozwolone, bo $x \\neq 2$ — granica nie sprawdza wartości w punkcie, tylko zachowanie blisko niego).\n\nZbadaj zachowanie licznika i mianownika osobno, gdy $x \\to 2^-$ (czyli $x \\to 2$ z lewej strony, więc $x < 2$).\n\nLicznik: $x^2 + 2x + 4 \\to 4 + 4 + 4 = 12$ (skończona, dodatnia).\n\nMianownik: $x - 2 \\to 0$, ale od strony ujemnej (bo $x < 2$ → $x - 2 < 0$). Symbolicznie: $0^-$.\n\nWyciągnij wniosek. Liczba dodatnia (12) podzielona przez „zero od strony ujemnej\" daje minus nieskończoność:\n\n$$\\lim_{x \\to 2^-} \\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 2} = \\frac{12}{0^-} = -\\infty$$\n\nSposób alternatywny — reguła de l'Hospitala (R3)\n\nSkoro mamy $\\tfrac{0}{0}$, możemy zastosować regułę de l'Hospitala:\n\n$$\\lim_{x \\to 2^-} \\frac{x^3 - 8}{(x - 2)^2} = \\lim_{x \\to 2^-} \\frac{3x^2}{2(x - 2)} = \\frac{12}{0^-} = -\\infty$$\n\nDziała, ale wymaga znajomości pochodnych. Sposób przez różnicę sześcianów jest bardziej elementarny i też pełny za 2 punkty.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie wyrażenia w postaci $\\dfrac{x^2 + 2x + 4}{x - 2}$ (lub równoważnej, np. $x + 4 + \\dfrac{12}{x-2}$).\n- 2 pkt — pełna metoda + wynik $-\\infty$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to próba obliczenia granicy w punkcie x = 2 (czyli policzenie 0/0 i napisanie \"nieoznaczoność\"). To granica JEDNOSTRONNA — z lewej strony, więc x < 2. Druga pułapka: zapomnienie znaku — (x − 2)² jest zawsze ≥ 0, ale ze znakiem 0⁺, nie 0⁻ (kwadrat dowolnej liczby ≠ 0 jest dodatni).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"granice funkcji, granice jednostronne, granice","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nW pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych\nopakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu\nśmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe 0,01. Kontroli poddajemy 10 losowo\nwybranych opakowań ze śmietaną.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań\npoddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która\nzawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego\nw zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.\n3.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nW pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200-gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż 36% tłuszczu, jest równe 0,01. Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych.","answer":"P ≈ 0,996","answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nI. Sprawność rachunkowa.\nZdający:\nXII.R2) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 0,996.\n2 pkt - zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu\nw dziesięciu próbach Bernoullego, np.\n𝑃= (10\n0 ) ⋅(0,99)10 + (10\n1 ) ⋅(0,01)1 ⋅(0,99)9,\n𝑃= (0,99)10 + 10 ⋅0,01 ⋅(0,99)9\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej\npróbie: 𝑝= 0,01 , 𝑞= 0,99\nALBO\n- zapisanie prawdopodobieństwa w postaci 𝑞10 + 10𝑝⋅𝑞9, gdzie 𝑝 jest\nprawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, 𝑞 - porażki,\nALBO\n- przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie\nodpowiadające sytuacji wylosowania dziesięciu opakowań ze śmietaną, która zawiera\nco najmniej 36% tłuszczu oraz odpowiadające sytuacji wylosowania dziesięciu\nopakowań, wśród których będzie dziewięć opakowań ze śmietaną, która zawiera co\nnajmniej 36% tłuszczu i jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36%\ntłuszczu,\nALBO\n- przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą wylosowaniu\ndziesięciu opakowań, wśród których będzie dziewięć opakowań ze śmietaną, która\nzawiera co najmniej 36% tłuszczu i jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera\nmniej niż 36% tłuszczu oraz określenie na każdym odcinku gałęzi\nprawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa\n𝑃(𝑆10\n0 ) = (10\n0 ) ⋅(0,01)0 ⋅(0,99)10 oraz 𝑃(𝑆10\n1 ) = (10\n1 ) ⋅(0,01)1 ⋅(0,99)9, ale\nz dalszego rozwiązania nie wynika, że 𝑃= 𝑃(𝑆10\n0 ) + 𝑃(𝑆10\n1 ), to otrzymuje co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje 𝑝= 0,1 oraz 𝑞= 0,9 (albo 𝑝= 0,01 i 𝑞= 0,9)\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje 𝑝= 0,99 i 𝑞= 0,01, konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, lecz błędnie interpretuje wynik końcowy, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający nie określi sukcesu w pojedynczej próbie, ale z rozwiązania wynika, że\npoprawnie interpretuje warunki zadania, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSukcesem w pojedynczej próbie Bernoullego jest wylosowanie jednego opakowania ze\nśmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Określamy prawdopodobieństwo sukcesu\n(𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej próbie Bernoullego: 𝑝= 0,01 , 𝑞= 1 -𝑝= 0,99.\nNiech 𝑆10\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dziesięciu losowo wybranych\nopakowań ze śmietaną znajduje się dokładnie 𝑘 opakowań ze śmietaną, która zawiera\nmniej niż 36% tłuszczu (𝑘∈{0, 1}).\nObliczamy prawdopodobieństwo 𝑃 zdarzenia polegającego na tym, że wśród dziesięciu\nopakowań ze śmietaną poddanych kontroli znajdzie się co najwyżej jedno opakowanie ze\nśmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu:\n𝑃= 𝑃(𝑆10\n0 ) + 𝑃(𝑆10\n1 ) = (10\n0 ) ⋅(0,01)0 ⋅(0,99)10 + (10\n1 ) ⋅(0,01)1 ⋅(0,99)9 =\n= (0,99)9 ⋅(0,99 + 10 ⋅0,01) = (0,99)9 ⋅1,09 ≈0,996","solution":"Odpowiedź: P ≈ 0,996\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nIdentyfikacja modelu\n\nMamy 10 niezależnych prób (opakowań). W każdej:\n\n- sukces = trafiamy na opakowanie z mniej niż 36% tłuszczu (zdarzenie z treści), $p = 0{,}01$\n- porażka = opakowanie ma $\\geq 36\\%$ tłuszczu, $q = 1 - p = 0{,}99$\n\nTo schemat Bernoulliego z $n = 10$, $p = 0{,}01$.\n\nPytamy o $P(\\text{co najwyżej 1 sukces})$ — czyli $P(S = 0) + P(S = 1)$, gdzie $S$ to liczba sukcesów w 10 próbach.\n\nWzór Bernoulliego\n\nLiczba sukcesów $k$ w $n$ próbach ma prawdopodobieństwo:\n\n$$P(S = k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot q^{n-k}$$\n\nOblicz $P(S = 0)$ (zero opakowań „złych\"):\n\n$$P(S = 0) = \\binom{10}{0} \\cdot (0{,}01)^0 \\cdot (0{,}99)^{10} = 1 \\cdot 1 \\cdot (0{,}99)^{10} = (0{,}99)^{10}$$\n\nOblicz $P(S = 1)$ (dokładnie jedno „złe\"):\n\n$$P(S = 1) = \\binom{10}{1} \\cdot (0{,}01)^1 \\cdot (0{,}99)^9 = 10 \\cdot 0{,}01 \\cdot (0{,}99)^9 = 0{,}1 \\cdot (0{,}99)^9$$\n\nZsumuj — z faktoryzacji $(0{,}99)^9$.\n\n$$P = (0{,}99)^{10} + 0{,}1 \\cdot (0{,}99)^9 = (0{,}99)^9 \\cdot \\left[ 0{,}99 + 0{,}1 \\right] = (0{,}99)^9 \\cdot 1{,}09$$\n\nOszacuj. $(0{,}99)^9 \\approx 0{,}9135$.\n\n$$P \\approx 0{,}9135 \\cdot 1{,}09 \\approx 0{,}9957$$\n\nZaokrąglone do tysięcznych: $P \\approx 0{,}996$.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie $p = 0{,}01$ i $q = 0{,}99$ (albo prawdopodobieństwa w postaci $q^{10} + 10 \\cdot p \\cdot q^9$).\n- 2 pkt — pełne wyrażenie $\\binom{10}{0} \\cdot (0{,}99)^{10} + \\binom{10}{1} \\cdot (0{,}01) \\cdot (0{,}99)^9$.\n- 3 pkt — dodatkowo poprawne obliczenie wartości i zaokrąglenie do $0{,}996$.\n\nKlucz — kiedy schemat Bernoulliego\n\nTrzy warunki muszą być spełnione:\n\n1. Stała liczba prób $n$ (10 opakowań)\n2. Niezależne próby (jedno opakowanie nie wpływa na inne)\n3. Dwa wyniki w każdej próbie (sukces albo porażka, stałe $p$ i $q$)\n\nWtedy: $P(S = k) = \\binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. Każde zadanie maturalne o „kontrolach\", „strzelaniu do tarczy\", „rzutach monetą\" sprowadza się do tego wzoru — tylko trzeba poprawnie zdefiniować sukces i zliczyć przypadki.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli określisz sukces jako p = 0,99 zamiast p = 0,01 (czyli \"udane opakowanie z ≥ 36% tłuszczu\") i potem błędnie zinterpretujesz końcowy wynik — dostajesz 1 pkt zamiast 3. Druga pułapka: pomylenie \"co najwyżej 1\" z \"dokładnie 1\" lub \"co najmniej 1\".","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"prawdopodobieństwo, schemat Bernoulliego, prawdopodobienstwo","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 - 3𝑥 + 2\n𝑥\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych\n(𝑥, 𝑦) punkt 𝑃, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji 𝑓.\nProsta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest styczna do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.\nOblicz współczynniki 𝒂 oraz 𝒃 w równaniu tej stycznej. Zapisz obliczenia.\n4.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nFunkcja f jest określona wzorem f(x) = x^3-3x+2 / x dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od zera. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt P, o pierwszej współrzędnej równej 2, należy do wykresu funkcji f. Prosta o równaniu y=ax+b jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie P. Oblicz współczynniki a oraz b w równaniu tej stycznej.","answer":"a = 7/2, b = −5","answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXIII.R2) stosuje definicję pochodnej funkcji,\npodaje interpretację geometryczną\npochodnej;\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 7\n2 oraz 𝑏= -5.\n2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃:\n𝑎= 𝑓′(2) = 7\n2 .\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(3𝑥2-3)⋅𝑥-(𝑥3-3𝑥+2)⋅1\n𝑥2\n,\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥+ 2 ⋅(-1\n𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie zastosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub błędnie obliczy\npochodną funkcji 𝑦= 𝑥3 -3𝑥+ 2, lub 𝑦= 𝑥, to może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie, o ile nie popełni błędu w obliczaniu współczynnika 𝑎 oraz 𝑏.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 -3) ⋅𝑥-(𝑥3 -3𝑥+ 2) ⋅1\n𝑥2\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥3 -2\n𝑥2\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(2) = 7\n2\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n𝑓(2) = 7\n2 ∙2 + 𝑏\n2 = 7 + 𝑏\n𝑏= -5\nWspółczynniki w równaniu stycznej są równe: 𝑎= 7\n2 oraz 𝑏= -5.","solution":"Odpowiedź: a = 7/2, b = −5\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nGeometryczna interpretacja pochodnej\n\nJeśli prosta $y = ax + b$ jest styczna do wykresu funkcji $f$ w punkcie $P = (x_0, f(x_0))$, to:\n\n- $a = f'(x_0)$ — współczynnik kierunkowy stycznej to wartość pochodnej w punkcie styczności\n- styczna przechodzi przez $P$ — czyli $f(x_0) = a \\cdot x_0 + b$\n\nDwa warunki, dwie niewiadome ($a$ i $b$).\n\nOblicz $f(2)$ — drugą współrzędną punktu $P$.\n\n$$f(2) = \\frac{2^3 - 3 \\cdot 2 + 2}{2} = \\frac{8 - 6 + 2}{2} = \\frac{4}{2} = 2$$\n\nCzyli $P = (2, 2)$.\n\nUprość wzór funkcji — dla $x \\neq 0$:\n\n$$f(x) = \\frac{x^3 - 3x + 2}{x} = \\frac{x^3}{x} - \\frac{3x}{x} + \\frac{2}{x} = x^2 - 3 + \\frac{2}{x}$$\n\nTak jest znacznie łatwiej różniczkować (dwa składniki potęgowe + jeden ilorazowy z prostym wzorem) niż brać pochodną pierwotnego ułamka.\n\nOblicz pochodną. Pamiętaj: $\\tfrac{2}{x} = 2x^{-1}$, więc $\\left(\\tfrac{2}{x}\\right)' = -2x^{-2} = -\\tfrac{2}{x^2}$.\n\n$$f'(x) = 2x - 0 - \\frac{2}{x^2} = 2x - \\frac{2}{x^2}$$\n\nWstaw $x = 2$ żeby znaleźć współczynnik kierunkowy stycznej:\n\n$$a = f'(2) = 2 \\cdot 2 - \\frac{2}{4} = 4 - \\frac{1}{2} = \\frac{7}{2}$$\n\nWyznacz $b$ z warunku przejścia stycznej przez $P = (2, 2)$:\n\n$$2 = \\frac{7}{2} \\cdot 2 + b$$\n\n$$2 = 7 + b \\quad\\Rightarrow\\quad b = -5$$\n\nSposób alternatywny — pochodna ilorazu\n\nMożna policzyć $f'(x)$ od razu ze wzoru na pochodną ilorazu $\\left(\\tfrac{u}{v}\\right)' = \\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$:\n\n$$f'(x) = \\frac{(3x^2 - 3) \\cdot x - (x^3 - 3x + 2) \\cdot 1}{x^2} = \\frac{3x^3 - 3x - x^3 + 3x - 2}{x^2} = \\frac{2x^3 - 2}{x^2}$$\n\nDla $x = 2$: $f'(2) = \\tfrac{16 - 2}{4} = \\tfrac{14}{4} = \\tfrac{7}{2}$ ✓\n\nTa sama odpowiedź, ale o wiele więcej rachunku — i więcej okazji do pomyłki znaku. Uproszczenie wzoru na początku to lepsza droga.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — wyznaczenie pochodnej $f'(x)$ w jakiejkolwiek postaci.\n- 2 pkt — obliczenie $a = f'(2) = \\tfrac{7}{2}$.\n- 3 pkt — dodatkowo obliczenie $b = -5$.\n\nKlucz — równanie stycznej\n\nProcedura uniwersalna dla zadań „styczna w punkcie $P$\":\n\n1. Oblicz $f(x_0)$ — drugą współrzędną punktu styczności.\n2. Oblicz $f'(x_0)$ — to twój $a$.\n3. Podstaw do $f(x_0) = a \\cdot x_0 + b$ i znajdź $b$.\n\nEwentualna postać alternatywna: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ — to równanie stycznej „w postaci punkt-kierunek\", można rozwinąć do postaci kierunkowej.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pominięcie uproszczenia f(x) = x² − 3 + 2/x i liczenie pochodnej ilorazu w pierwotnej formie (działa, ale prowadzi do błędów rachunkowych). Drugi błąd: zapomnienie, że styczna przechodzi przez P — i b liczone bez warunku f(P_x) = a · P_x + b.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"pochodna, styczna do wykresu funkcji, funkcje","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że jeżeli 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟒= 𝒂 oraz 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟑= 𝒃, to 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝟖𝟎=\n𝟐𝒂 + 𝟏\n𝒂 ⋅ (𝟏 + 𝒃) .\n5.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że jeżeli log_5 4 = a oraz log_4 3 = b, to log_12 80 = 2a+1/a⋅(1+b).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nI.R1) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2log5 4 + log43\nlog54 ⋅(1 + log43) lub log12 80, lub obydwu tych\nwyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na\nlogarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi\noraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać\ntezę\nALBO\n- zapisanie jednego równania wymiernego z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥, np.\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 5 w postaci 4\n1\n𝑎 oraz liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np.\nlog12 80 = log4 80\nlog4 12 , log12 80 = log5 80\nlog5 12 , 2 ⋅log5 4 + 1 = log5(4 ⋅4 ⋅5),\n1 + log4 3 = log4(4 ⋅3)\nALBO\n- zapisanie dwóch spośród liczb 3, 4, 5 jako potęgi, której podstawą jest trzecia\nz nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4\n1\n𝑎 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie\nrównania 12𝑥= 80 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie log12 80, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,\na następnie wzór na logarytm iloczynu:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlog12 80 = log4(16 ⋅5)\nlog4(4 ⋅3) = log4 16 + log4 5\nlog4 4 + log4 3 = 2 + log4 5\n1 + log4 3\nKorzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy\nlog4 5 = log5 5\nlog5 4 =\n1\nlog5 4 = 1\n𝑎\nZatem\nlog12 80 = 2 + log4 5\n1 + log4 3 =\n2 + 1\n𝑎\n1 + 𝑏=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) , korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm\nsumy:\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏) =\n2 ⋅log5 4 + 1\nlog5 4 ⋅(1 + log4 3) =\nlog5(4 ⋅4 ⋅5)\nlog5 4 ⋅log4(4 ⋅3) =\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12\nKorzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12 = log4 80\nlog4 12 = log12 80\nZatem log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób III\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏.\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 12𝑥= 80. Wtedy\n3𝑥⋅4𝑥= 80\n(4𝑏)𝑥⋅4𝑥= 4\n1\n𝑎 ⋅42\n4𝑏𝑥+𝑥= 4\n1\n𝑎+2\nStąd\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2\n𝑥(1 + 𝑏) = 2𝑎+ 1\n𝑎\n𝑥=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nZatem log12 80 = 𝑥=\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏. Stąd\n12 = 4𝑏+1, czyli 4 = 12\n1\n1+𝑏\n.Zatem\n80 = 5 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 +2\n= (12\n1\n1+𝑏\n)\n1\n𝑎 +2\n= 12\n2𝑎+1\n𝑎⋅(1+𝑏)\nczyli log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (najprostszy, przez zamianę podstawy na 4).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nTrzeba pokazać równość $\\log_{12} 80 = \\dfrac{2a + 1}{a(1 + b)}$, gdzie $a = \\log_5 4$, $b = \\log_4 3$.\n\nIdea: sprowadzić $\\log_{12} 80$ do podstawy $4$ (bo wyrażenia $a$ i $b$ łatwo dają się wyrazić w bazie $4$), potem przekształcać dopóki nie wyjdzie żądana postać.\n\nTrzy fakty, na których stoi cały dowód:\n\n- Zamiana podstawy: $\\log_c d = \\dfrac{\\log_e d}{\\log_e c}$ dla dowolnej dozwolonej podstawy $e$\n- Logarytm iloczynu: $\\log_c (de) = \\log_c d + \\log_c e$\n- Logarytm odwrotności: $\\log_c d = \\dfrac{1}{\\log_d c}$ (specjalny przypadek zamiany podstawy)\n\nSposób I — przez bazę 4\n\nSprowadź $\\log_{12} 80$ do bazy 4 (zamiana podstawy):\n\n$$\\log_{12} 80 = \\frac{\\log_4 80}{\\log_4 12}$$\n\nRozłóż licznik: $80 = 16 \\cdot 5 = 4^2 \\cdot 5$.\n\n$$\\log_4 80 = \\log_4 (4^2 \\cdot 5) = \\log_4 4^2 + \\log_4 5 = 2 + \\log_4 5$$\n\nRozłóż mianownik: $12 = 4 \\cdot 3$.\n\n$$\\log_4 12 = \\log_4 (4 \\cdot 3) = \\log_4 4 + \\log_4 3 = 1 + b$$\n\n(bo $\\log_4 3 = b$ z założenia).\n\nWyraź $\\log_4 5$ przez $a$. Z definicji odwrotności logarytmu:\n\n$$\\log_4 5 = \\frac{1}{\\log_5 4} = \\frac{1}{a}$$\n\nZłóż wszystko.\n\n$$\\log_{12} 80 = \\frac{2 + \\log_4 5}{1 + b} = \\frac{2 + \\frac{1}{a}}{1 + b}$$\n\nSprowadź licznik do wspólnego mianownika $a$:\n\n$$2 + \\frac{1}{a} = \\frac{2a + 1}{a}$$\n\nZatem:\n\n$$\\log_{12} 80 = \\frac{\\frac{2a + 1}{a}}{1 + b} = \\frac{2a + 1}{a \\cdot (1 + b)}$$\n\nTo należało udowodnić. $\\blacksquare$\n\nSposób II — przekształcenie odwrotne (od prawej do lewej)\n\nCzasem łatwiej zacząć od wyrażenia docelowego i pokazać, że redukuje się do $\\log_{12} 80$.\n\n$$\\frac{2a + 1}{a(1 + b)} = \\frac{2 \\log_5 4 + 1}{\\log_5 4 \\cdot (1 + \\log_4 3)}$$\n\nZ wzoru $\\log_c (xy) = \\log_c x + \\log_c y$: $2 \\log_5 4 + 1 = \\log_5 16 + \\log_5 5 = \\log_5(16 \\cdot 5) = \\log_5 80$.\n\nA $\\log_5 4 \\cdot (1 + \\log_4 3) = \\log_5 4 \\cdot (\\log_4 4 + \\log_4 3) = \\log_5 4 \\cdot \\log_4 12$.\n\nZ zamiany podstawy: $\\log_5 4 \\cdot \\log_4 12 = \\log_5 12$.\n\nStąd:\n\n$$\\frac{2a + 1}{a(1+b)} = \\frac{\\log_5 80}{\\log_5 12} = \\log_{12} 80$$\n\n(ostatnia równość znów ze wzoru na zamianę podstawy, w drugą stronę).\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zastosowanie wzoru na zamianę podstawy LUB wzoru na logarytm iloczynu (np. $1 + \\log_4 3 = \\log_4(4 \\cdot 3) = \\log_4 12$).\n- 2 pkt — przekształcenie $\\log_{12} 80$ do postaci $\\dfrac{2 + \\log_4 5}{1 + \\log_4 3}$ ALBO wyrażenia $\\dfrac{2a+1}{a(1+b)}$ do postaci, z której prowadzi już bezpośrednio do tezy.\n- 3 pkt — pełne rozumowanie, oba kierunki zamknięte.\n\nKlucz — logarytmy z parametrami\n\nW zadaniach z parametrami $a, b, \\ldots$ jako logarytmami, najszybsza droga to zwykle:\n\n1. Wybierz bazę docelową — tę, w której parametry mają najprostszą formę (tu: baza $4$, bo $a$ wprost staje się $\\tfrac{1}{a}$, a $b$ pojawia się literalnie).\n2. Rozłóż argumenty na czynniki — 12 = 4 · 3, 80 = 16 · 5. Tak żeby pojawiły się znane wartości i potęgi bazy.\n3. Skleciaj wszystko z poznanych elementów — $\\log_4 4 = 1$, $\\log_4 4^2 = 2$, $\\log_4 3 = b$, $\\log_4 5 = \\tfrac{1}{a}$.\n\nPowyższy schemat działa praktycznie zawsze, gdy widzisz „wykaż, że $\\log_x y = \\text{coś z } a, b$\".\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to pomieszanie wzoru na zamianę podstawy (log_a b = log_c b / log_c a — uważaj który jest licznikiem, który mianownikiem). Drugi błąd: pomylenie log_5 4 z log_4 5 (są wzajemnie odwrotne, ale to NIE TO SAMO).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"logarytmy, zmiana podstawy","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się\njakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.\nOblicz, ile jest wszystkich takich liczb. Zapisz obliczenia.\n6.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nRozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się jakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb.","answer":"11 040","answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji,\nrównież w przypadkach wymagających\nrozważenia złożonego modelu zliczania\nelementów.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040.\n2 pkt - zapisanie 𝐿1 : (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1)\nALBO\n- zapisanie 𝐿2 : (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2),\nALBO\n- zapisanie 𝑃 : 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie 𝑁: 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera,\nnp. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+: 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅4 ⋅3 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍-: 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅1.\n1 pkt - zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2), np. 𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!, 𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nALBO\n- zapisanie 𝑃 (lub 𝑁), np. 𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!, 𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+ (lub 𝑍-), np. 𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840,\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200,\nALBO\n- zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych\ni dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1),\nALBO\n- zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest\nrówna 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym\nz przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐿1 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\ntrzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry\nspośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem\n𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!\nNiech 𝐿2 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste\ni jedna cyfra parzysta.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną\ncyfrę spośród cyfr: 2, 4, 6, 8, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku\nciągu ustawić cyfrę 0. Zatem\n𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝐿1 -𝐿2 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! -(5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! = 10 ⋅10 ⋅120 -10 ⋅4 ⋅24 = 11 040\nSposób II\nNiech 𝑃 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, a wśród pozostałych wyrazów są\ntrzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na cztery sposoby (wybieramy jedną cyfrę\nparzystą spośród 2, 4, 6, 8). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór jednej cyfry\nparzystej spośród czterech, trzech cyfr nieparzystych spośród pięciu, a następnie ustawienie\nwybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\n𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!\nNiech 𝑁 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, a wśród pozostałych wyrazów są dwie cyfry\nnieparzyste i dwie cyfry parzyste.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na pięć sposobów (wybieramy jedną cyfrę\nnieparzystą spośród pięciu). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór dwóch cyfr\nparzystych spośród pięciu, dwóch cyfr nieparzystych spośród czterech, a następnie\nustawienie wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\n𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝑃+ 𝑁= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! + 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! = 4 ⋅4 ⋅10 ⋅24 + 5 ⋅10 ⋅6 ⋅24 = 11 040\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nRozważmy dwa przypadki:\n1. Gdy w zapisie liczby występuje cyfra zero. Cyfrę tę możemy wstawić na jedno z 4 miejsc.\nMiejsce dla drugiej, różnej od zera cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby, a na\nwybranym miejscu możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr parzystych. Na pierwsze\nz pozostałych trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na\ndrugie z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍+ wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840\n2. Gdy w zapisie liczby nie występuje cyfra zero. Dwa miejsca dla cyfr parzystych możemy\nwybrać na (5\n2) = 10 sposobów. Na pierwsze z wybranych dwóch miejsc możemy\nwstawić jedną z 4 cyfr parzystych, a na drugie - jedną z 3. Na pierwsze z pozostałych\ntrzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na drugie\nz pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍- wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200\nStąd wszystkich rozważanych liczb jest 𝑍+ + 𝑍-= 3 840 + 7 200 = 11 040.","solution":"Odpowiedź: 11 040\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo dokładnie liczymy?\n\n- Liczba naturalna (więc bez zer na początku)\n- Cyfry parami różne (każda max raz)\n- Dokładnie 3 cyfry nieparzyste i dokładnie 2 cyfry parzyste\n- Łącznie więc liczba ma 5 cyfr (3 + 2)\n\nDlatego liczba musi być pięciocyfrowa.\n\nCyfry nieparzyste dostępne: $\\{1, 3, 5, 7, 9\\}$ — pięć sztuk.\nCyfry parzyste dostępne: $\\{0, 2, 4, 6, 8\\}$ — pięć sztuk.\n\nStrategia — wszystkie minus zero-na-początku\n\nNajprościej:\n\n1. Zliczyć wszystkie 5-cyfrowe ciągi (z 3 nieparzystymi i 2 parzystymi, parami różne) — w tym te zaczynające się od zera (czyli formalnie nie-naturalne).\n2. Odjąć te zaczynające się od zera.\n\nKrok 1 — wszystkie 5-cyfrowe ciągi $L_1$\n\nWybierz 3 cyfry nieparzyste z 5 dostępnych. Kombinacja (bez kolejności, bo dopiero ustawiamy je w cyfrach później):\n\n$$\\binom{5}{3} = 10$$\n\nWybierz 2 cyfry parzyste z 5 dostępnych.\n\n$$\\binom{5}{2} = 10$$\n\nUstaw wybrane 5 cyfr w 5 pozycjach. Permutacja 5-elementowa:\n\n$$5! = 120$$\n\nWymnóż (reguła mnożenia):\n\n$$L_1 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 5! = 10 \\cdot 10 \\cdot 120 = 12\\,000$$\n\nKrok 2 — odejmij ciągi zaczynające się od zera $L_2$\n\nJeśli pierwsza cyfra to $0$, to:\n\n- $0$ jest jedną z dwóch wybranych cyfr parzystych — pozostaje wybrać jedną spośród pozostałych 4 parzystych ($\\{2, 4, 6, 8\\}$): $\\binom{4}{1} = 4$\n- nieparzyste: jak wcześniej, $\\binom{5}{3} = 10$\n- Mamy ustaloną pierwszą cyfrę ($0$) i 4 inne cyfry na pozostałych 4 pozycjach: permutacja $4!$:\n\n$$L_2 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot 4! = 10 \\cdot 4 \\cdot 24 = 960$$\n\nKrok 3 — wynik\n\n$$L_1 - L_2 = 12\\,000 - 960 = 11\\,040$$\n\nSposób alternatywny — bez odejmowania\n\nMożna od razu zliczać przypadki, w których pierwsza cyfra nie jest zerem. Dwa rozłączne podprzypadki:\n\nPrzypadek A: pierwsza cyfra parzysta różna od 0 (czyli z $\\{2,4,6,8\\}$):\n\n$$P = 4 \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot \\binom{5}{3} \\cdot 4!$$\n\n(4 wybory pierwszej cyfry; potem 1 z pozostałych 4 parzystych; potem 3 z 5 nieparzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)\n\n$$P = 4 \\cdot 4 \\cdot 10 \\cdot 24 = 3\\,840$$\n\nPrzypadek B: pierwsza cyfra nieparzysta:\n\n$$N = 5 \\cdot \\binom{4}{2} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 4!$$\n\n(5 wyborów pierwszej cyfry nieparzystej; 2 z pozostałych 4 nieparzystych; 2 z 5 parzystych; permutacja na 4 pozostałych pozycjach.)\n\n$$N = 5 \\cdot 6 \\cdot 10 \\cdot 24 = 7\\,200$$\n\n$$P + N = 3\\,840 + 7\\,200 = 11\\,040$$ ✓\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — obliczenie $L_1 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{5}{2} \\cdot 5! = 12\\,000$ ALBO $L_2 = \\binom{5}{3} \\cdot \\binom{4}{1} \\cdot 4! = 960$ ALBO jednego z przypadków P, N w sposobie alternatywnym.\n- 2 pkt — dodatkowo obliczenie obu $L_1$ i $L_2$ (lub obu P i N).\n- 3 pkt — pełna metoda + wynik $11\\,040$.\n\nKlucz uniwersalny — schemat zliczania ciągów z ograniczeniami\n\nPamiętaj o trzech fazach każdego takiego zadania:\n\n1. Wybierz odpowiednią liczbę elementów z każdej puli (kombinacje $\\binom{n}{k}$, bo kolejność wyboru nie ma znaczenia).\n2. Ustaw wybrane elementy (permutacja $k!$ albo wariacja, jeśli rozróżniamy pozycje).\n3. Odejmij przypadki łamiące dodatkowe warunki (np. „zaczynające się od zera\").\n\nAlbo zamiennie — od razu rozbij na rozłączne klasy według trudnego warunku (jak w Sposobie II), żeby nie odejmować nic na końcu.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd to pominięcie ograniczenia \"liczba naturalna\" — pierwsza cyfra ≠ 0. Zliczyć trzeba WSZYSTKIE permutacje 5 wybranych cyfr i ODJĄĆ te, które zaczynają się od zera. CKE wprost: jeśli rozpatrujesz liczby inne niż pięciocyfrowe — 0 punktów.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"kombinatoryka, zliczanie z ograniczeniami","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturaonline","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest\nrówna 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym\nwyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz 𝒙, 𝒚 oraz 𝒛. Zapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nTrzywyrazowy ciąg (x,y,z) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Liczby x,y oraz z są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego (a_n), określonego dla każdej liczby naturalnej n≥1. Oblicz x,y oraz z.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań […].\nZasady oceniania (dla sposobu I i II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\nALBO\n- poprawne wyznaczenie 𝑟 w zależności od 𝑥 z równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟):\n𝑟= 3𝑥.\n2 pkt - zapisanie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥= 35 -2𝑟, 𝑦= 35 -𝑟, 𝑧= 35 + 3𝑟\nALBO\n- zapisanie układu równań\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟) lub\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105\n1 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\nALBO\n- zapisanie równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟),\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦).\n2 pkt - zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥= 2𝑦-35, 𝑧= 140 -3𝑦.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦 lub 𝑦2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu IV)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest\nrosnący, więc 𝑥≠0, oraz zapisanie równania 𝑞2 -5𝑞+ 4 = 0.\n2 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧)\njest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1, oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie równań 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 lub 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające\nniewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz\nkonsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 𝑎1 + 𝑎1 + 5𝑟\n2\n⋅6 = 105,\n𝑦-𝑥= 4 ⋅(𝑧-𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za\nobliczenie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\n𝑥+ 2𝑟= 35\n𝑥= 35 -2𝑟\nZatem 𝑦= 35 -2𝑟+ 𝑟= 35 -𝑟 oraz 𝑧= 35 -2𝑟+ 5𝑟= 35 + 3𝑟.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\n(35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\n352 -70𝑟+ 𝑟2 = 352 + 35𝑟-6𝑟2\n7𝑟2 -105𝑟= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 15\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 15 otrzymujemy 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80. Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny\ni rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są -\nodpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego\nwzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób II\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nPonieważ 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟, więc\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟)\nZatem otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟:\n{ 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟)\nZe związku (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟) otrzymujemy kolejno:\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 5𝑥𝑟\n𝑟2 -3𝑟𝑥= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 3𝑥\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 3𝑥 otrzymujemy\n{3𝑥+ 6𝑟= 105\n𝑟= 3𝑥\nRozwiązaniem tego układu równań jest para liczb { 𝑥= 5\n𝑟= 15\nStąd 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 5 + 15 = 20 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟= 5 + 75 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób III\nZ warunków zadania oraz z własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego\notrzymujemy zależności między 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧:\n𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105\n𝑦2 = 𝑥𝑧\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\nRozwiązujemy układ tych trzech równań:\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 105 -𝑥-𝑦-𝑦\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n7𝑦2 -385𝑦+ 4900 = 0\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 80\n𝑦= 20\n𝑥= 5\n∨ {\n𝑧= 35\n𝑦= 35\n𝑥= 35\nDla 𝑥= 𝑦= 𝑧= 35 warunki zadania nie są spełnione.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób IV\nNiech 𝑞 będzie ilorazem ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wtedy 𝑦= 𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑧= 𝑥⋅𝑞2. Z warunków zadania oraz własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1. Zatem\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\n4 ⋅𝑥⋅(𝑞-1) = 𝑥⋅𝑞⋅(𝑞-1)\n4 = 𝑞\nZ warunków zadania 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 i dalej\n𝑥+ 𝑥⋅4 + 𝑥⋅42 = 105. Stąd otrzymujemy 𝑥= 5. Wówczas 𝑦= 5 ⋅4 = 20 oraz\n𝑧= 5 ⋅42 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.","solution":"Odpowiedź: x = 5, y = 20, z = 80 (iloraz q = 4, różnica r = 15)\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nCo dane?\n\n- $(x, y, z)$ — trzywyrazowy geometryczny i rosnący\n- $x + y + z = 105$\n- $(x, y, z) = (a_1, a_2, a_6)$ — pierwszy, drugi i szósty wyraz arytmetycznego $(a_n)$ o różnicy $r$\n\nMamy dwie nieznane wielkości: $x$ i $r$ (z nich już wynikają $y$ i $z$). Potrzebujemy dwóch równań.\n\nSposób I — przez różnicę $r$ ciągu arytmetycznego\n\nWyraź $y$ i $z$ przez $x$ i $r$.\n\n$$y = a_2 = a_1 + r = x + r$$\n\n$$z = a_6 = a_1 + 5r = x + 5r$$\n\nPierwsze równanie — z sumy $x + y + z = 105$:\n\n$$x + (x + r) + (x + 5r) = 105$$\n\n$$3x + 6r = 105$$\n\n$$x + 2r = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 35 - 2r$$\n\nDrugie równanie — z własności ciągu geometrycznego ($y^2 = x \\cdot z$):\n\n$$(x + r)^2 = x \\cdot (x + 5r)$$\n\nRozwiń:\n\n$$x^2 + 2xr + r^2 = x^2 + 5xr$$\n\n$$r^2 = 3xr$$\n\n$$r^2 - 3xr = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad r(r - 3x) = 0$$\n\nRozważ oba przypadki.\n\n- $r = 0$: wtedy $x = y = z$, więc ciąg jest stały, a nie rosnący. Odrzucamy.\n- $r = 3x$: pasuje. Podstawiamy do $x + 2r = 35$:\n\n$$x + 2 \\cdot 3x = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad 7x = 35 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 5$$\n\nWtedy $r = 15$, $y = 5 + 15 = 20$, $z = 5 + 75 = 80$.\n\nSprawdzenie. Suma: $5 + 20 + 80 = 105$ ✓. Iloraz geometryczny: $\\tfrac{20}{5} = 4$, $\\tfrac{80}{20} = 4$ ✓. Ciąg rosnący: $5 < 20 < 80$ ✓.\n\nSposób II — przez iloraz $q$ ciągu geometrycznego\n\nNiech $q$ — iloraz $(x, y, z)$. Wtedy $y = xq$, $z = xq^2$.\n\nZ różnicy arytmetycznej między 1. a 2. wyrazem oraz między 2. a 6.: $r = y - x$, $z - y = (6-2) \\cdot r = 4r$. Stąd:\n\n$$z - y = 4(y - x) \\quad\\Rightarrow\\quad xq^2 - xq = 4(xq - x) \\quad\\Rightarrow\\quad xq(q - 1) = 4x(q - 1)$$\n\nPonieważ ciąg jest rosnący, $x \\neq 0$ i $q \\neq 1$ (gdyby $q = 1$, mielibyśmy ciąg stały). Możemy podzielić przez $x(q-1)$:\n\n$$q = 4$$\n\nZ $x + y + z = 105$: $x + 4x + 16x = 105 \\Rightarrow 21x = 105 \\Rightarrow x = 5$. Wtedy $y = 20$, $z = 80$. Ten sam wynik, ale o połowę krótsze rachunki.\n\nPunktacja CKE\n\nKlucz daje 4 ścieżki o tej samej strukturze punktów:\n\n- 1 pkt — zapisanie jednego z równań ($x + 2r = 35$ lub $(x+r)^2 = x(x+5r)$, lub w wariancie II — $q^2 - 5q + 4 = 0$, itd.)\n- 2 pkt — zapisanie układu obu równań / wyrażenie wyrazów w zależności od jednej zmiennej\n- 3 pkt — sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą i rozwiązanie ($r = 15$ lub $q = 4$)\n- 4 pkt — pełna metoda + wynik $x = 5$, $y = 20$, $z = 80$ z odrzuceniem przypadku trywialnego.\n\nKlucz uniwersalny\n\nZadania typu „ciąg geometryczny i arytmetyczny jednocześnie\" mają zwykle dwie ścieżki:\n\n1. Przez różnicę $r$ — wyrazy = $x, x+r, x+5r$ (lub inne pozycje); warunek geometryczny $y^2 = xz$ daje równanie kwadratowe.\n2. Przez iloraz $q$ — wyrazy = $x, xq, xq^2$; różnica między pozycjami arytmetycznymi daje równanie liniowe (po podziale przez $x$).\n\nSposób II często jest szybszy, jeśli pozycje arytmetyczne są blisko siebie. Wybierz tę, gdzie pierwszy warunek redukuje się do prostszego równania.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli dzielisz obie strony równania przez wyrażenie z niewiadomą (np. (x+r)² = x(x+5r) sprowadzone do r² = 3rx i podzielone przez r BEZ założenia r ≠ 0) — maksimum 3 pkt. Trzeba osobno rozpatrzyć przypadek r = 0 (i odrzucić go, bo ciąg ma być ROSNĄCY).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"ciągi arytmetyczne i geometryczne, układ równań, ciagi","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta 𝐴𝐵𝐶 jest\ndwa razy większa od miary kąta 𝐵𝐴𝐶.\nWykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek\n|𝑨𝑪|𝟐= |𝑩𝑪|𝟐+ |𝑨𝑩| ⋅|𝑩𝑪|\n8.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest trójkąt ABC, który nie jest równoramienny. W tym trójkącie miara kąta ABC jest dwa razy większa od miary kąta BAC. Wykaż, że długości boków tego trójkąta spełniają warunek: |AC|² = |BC|² + |AB|⋅|BC|.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.R3) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobów I-V)\n4 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n3 pkt - zapisanie związków |𝐴𝐷|\n𝑥\n= 𝑐\n𝑎 oraz 𝑥\n𝑎= 𝑎\n𝑏 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie związku 𝑏\n𝑎= |𝐸𝐶|\n𝑏 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐹| = 𝑎= 𝑟 i |𝐴𝐹| ⋅𝑐= |𝐴𝐺|2 oraz zastosowanie\ntwierdzenia Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐶𝐺 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie, że w czworokącie wypukłym wpisanym w okrąg iloczyn długości\nprzekątnych czworokąta jest sumą iloczynów długości przeciwległych boków tego\nczworokąta oraz zapisanie związku |𝐶𝐻| = 𝑎 (dla sposobu IV),\nALBO\n- zapisanie związku 𝑏2 -(𝑎+ 𝑐-𝑎\n2 )\n2\n= 𝑎2 -(𝑐-𝑎\n2 )\n2\n(dla sposobu V).\n2 pkt - zapisanie związku |𝐴𝐷|\n𝑥\n= 𝑐\n𝑎 (dla sposobu I)\nALBO\n- zapisanie związku 𝑥\n𝑎= 𝑎\n𝑏 (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐸𝐴𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 są podobne (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐹| = 𝑎= 𝑟 oraz |𝐴𝐹| ⋅𝑐= |𝐴𝐺|2, (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie, że w czworokącie wypukłym wpisanym w okrąg iloczyn długości\nprzekątnych czworokąta jest sumą iloczynów długości przeciwległych boków tego\nczworokąta (dla sposobu IV),\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐾𝐶 i 𝐵𝐾𝐶 oraz zapisanie\nrówności\n𝑏2 = (𝑎+ 𝑐-𝑎\n2 )\n2\n+ ℎ2 oraz 𝑎2 = (𝑐-𝑎\n2 )\n2\n+ ℎ2\n(dla sposobu V).\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐶𝐴𝐵 i 𝐶𝐵𝐷 są podobne (dla sposobu I)\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zdefiniowanie na prostej 𝐶𝐵 punktu 𝐸, takiego że |𝐵𝐸| = |𝐴𝐵| = 𝑐 oraz 𝐵\nnależy do odcinka 𝐶𝐸 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie, że trójkąt 𝐶𝐹𝐴 jest równoramienny (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie związku |𝐴𝐹| ⋅𝑐= |𝐴𝐺|2 (dla sposobu III),\nALBO\n- zdefiniowanie punktu 𝐻 jako takiego, że czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐻 jest trapezem\nrównoramiennym o ramionach 𝐵𝐶 i 𝐴𝐻 oraz zapisanie, że na tym trapezie można\nopisać okrąg (dla sposobu IV),\nALBO\n- zdefiniowanie punktu 𝐿, który jest obrazem punktu 𝐵 w symetrii względem prostej\nzawierającej wysokość 𝐶𝐾 oraz zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐿𝐶 jest równoramienny (dla\nsposobu V).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobów VI-X)\n4 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n3 pkt - wyznaczenie cosinusa kąta 𝐵𝐴𝐶 w zależności od długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶\noraz zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie związku\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅𝑏\n2⋅𝑎 lub\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑎⋅𝑐⋅[2 ⋅( 𝑏\n2 ⋅𝑎)\n2\n-1]\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz zastosowanie wzoru na\ncosinus podwojonego kąta i zapisanie równań\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑎⋅𝑐⋅(2 cos2 𝛼-1) oraz\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅cos 𝛼 oraz\n𝑏= 2 ⋅𝑎⋅cos 𝛼,\nALBO\n- przekształcenie stron równania 2 ⋅(𝑏2+ 𝑐2 - 𝑎2\n2𝑏𝑐\n)\n2\n-1 = 𝑎2 + 𝑐2 - 𝑏2\n2𝑎𝑐\ndo postaci\nilorazu wielomianów, z których każdy jest rozłożony do postaci iloczynowej, np.\n(𝑏-𝑐-𝑎)(𝑏-𝑐+ 𝑎)(𝑏+ 𝑐-𝑎)(𝑏+ 𝑐+ 𝑎)\n2𝑏2𝑐2\n(𝑎-𝑐-𝑏)(𝑎-𝑐+ 𝑏)\n2𝑎𝑐\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sumę sinusów i zapisanie wyrażenia 𝑎2 + 𝑐⋅𝑎 w postaci\n4𝑅2 ⋅sin 𝛼⋅2 sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼,\nALBO\n- wyznaczenie długości boku 𝐵𝐶 w zależności od długości odcinków 𝐴𝐾 (lub 𝐵𝐾)\noraz 𝐴𝐵 (w przypadku, gdy 𝐾 leży na odcinku 𝐴𝐵), np. 𝑎2 = (2𝑧-𝑐)2 (dla\nsposobu X).\n2 pkt - zapisanie związku między cosinusem kąta 𝐵𝐴𝐶 a długościami boków 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶, np. cos 𝛼= 𝑏\n2⋅𝑎\nALBO\n- spełnienie kryteriów 1) i 3) zasad oceniania za 1 pkt,\nALBO\n- spełnienie kryteriów 2) i 3) zasad oceniania za 1 pkt,\nALBO\n- wyeliminowanie cos 𝛼 z układu równań podanego w kryterium 3) zasad oceniania za\n1 pkt, np.\n2 (𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2\n2𝑏𝑐\n)\n2\n-1 = 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\nALBO\n- zapisanie wyrażenia 𝑎2 + 𝑐⋅𝑎 w zależności od 𝑅, sin 𝛼 oraz sin(3𝛼), np.\n4𝑅2 ⋅sin2 𝛼+ 4𝑅2 ⋅sin(3𝛼) ⋅sin 𝛼,\nALBO\n- spełnienie kryterium 5) zasad oceniania za 1 pkt oraz zastosowanie twierdzenia\nPitagorasa w trójkątach 𝐴𝐾𝐶 i 𝐾𝐵𝐶 oraz zapisanie związków\n𝑏2 = |𝐴𝐾|2 + |𝐾𝐶|2 oraz 𝑎2 = |𝐾𝐵|2 + |𝐾𝐶|2 (dla sposobu X).\n1 pkt - spełnienie jednego z poniższych kryteriów 1)-5):\n1) zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i zapisanie związku\n𝑏\nsin(2𝛼) =\n𝑎\nsin 𝛼\n2) zastosowanie wzoru na pole trójkąta i zapisanie związku\n1\n2 ⋅𝑐⋅𝑎⋅sin(2𝛼) = 1\n2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅sin 𝛼,\n3) zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz zastosowanie wzoru\nna cosinus podwojonego kąta i zapisanie równań\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑎⋅𝑐⋅(2 cos2 𝛼-1) oraz\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅cos 𝛼,\n4) zastosowanie twierdzenia sinusów i zapisanie 𝑎2 + 𝑐⋅𝑎 jako\n(2𝑅⋅sin 𝛼)2 + 2𝑅⋅sin |∡𝐵𝐶𝐴| ⋅2𝑅⋅sin 𝛼,\n5) poprowadzenie wysokości 𝐶𝐾 w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 oraz zastosowanie definicji\ntangensa kąta ostrego w trójkątach 𝐴𝐾𝐶 i 𝐾𝐵𝐶 oraz zastosowanie wzoru na\ntangens podwojonego kąta i uzyskanie zależności między długościami odcinków\n𝐴𝐾, 𝐵𝐾 i 𝐶𝐾, np. ℎ\n𝑐-𝑧=\n2⋅ ℎ\n𝑧\n1-(ℎ\n𝑧)\n2 (dla sposobu X).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli w rozwiązaniu zdający wykorzystuje wysokość 𝐶𝐾 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz przeprowadzi\nrozumowanie tylko w jednym przypadku (np. gdy 𝐾 leży między 𝐴 i 𝐵) i nie stwierdzi, że\nw drugim przypadku (gdy 𝐵 leży między 𝐾 i 𝐴) rozumowanie przebiega analogicznie, to\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nza całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty; jeżeli natomiast takie\nstwierdzenie zapisze, to może otrzymać 4 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nWe wszystkich poniższych rozwiązaniach przyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑎= |𝐵𝐶|, 𝑏= |𝐶𝐴|, 𝑐= |𝐴𝐵|, 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|.\nSposób I (poprzez dwusieczną kąta 𝐴𝐵𝐶)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nNiech 𝐷 będzie punktem leżącym na przecięciu prostej 𝐴𝐶 z dwusieczną kąta 𝐴𝐵𝐶.\nOznaczmy przez 𝑥 długość odcinka 𝐷𝐶. Wtedy |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼, |∡𝐷𝐶𝐵| = 180° -3𝛼 oraz\n|∡𝐵𝐷𝐶| = 2𝛼 (zobacz rysunek).\nZatem trójkąty 𝐶𝐴𝐵 i 𝐶𝐵𝐷 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa\ntrójkątów).\nZ podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy 𝑥\n𝑎= 𝑎\n𝑏 , więc 𝑥= 𝑎2\n𝑏 .\nZ twierdzenia o dwusiecznej zastosowanego w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐷|\n𝑥\n= 𝑐\n𝑎\ni stąd wyznaczamy długość 𝑥 odcinka 𝐷𝐶:\n𝑏-𝑥\n𝑥\n= 𝑐\n𝑎\n𝑏= 𝑥⋅𝑐\n𝑎+ 𝑥\n𝑥= 𝑏⋅𝑎\n𝑐+ 𝑎\nStąd i ze związku 𝑥= 𝑎2\n𝑏 otrzymujemy:\n𝑎2\n𝑏= 𝑏⋅𝑎\n𝑐+ 𝑎\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐⋅𝑎\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób II (poprzez trójkąty podobne)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nNiech 𝐸 będzie punktem leżącym na prostej 𝐶𝐵, takim że |𝐵𝐸| = |𝐴𝐵| = 𝑐 oraz 𝐵\nnależy do odcinka 𝐶𝐸. Wtedy trójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest równoramienny i |∡𝐴𝐵𝐸| = 180° -2𝛼\noraz |∡𝐵𝐸𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐸| = 𝛼 (zobacz rysunek).\nStąd miary kątów trójkąta 𝐸𝐴𝐶 są równe\n|∡𝐸𝐴𝐶| = 2𝛼, |∡𝐶𝐸𝐴| = 𝛼 oraz |∡𝐴𝐶𝐸| = 180° -3𝛼.\nZatem trójkąty 𝐸𝐴𝐶 i 𝐴𝐵𝐶 są podobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa\ntrójkątów).\nZ podobieństwa tych trójkątów otrzymujemy 𝑏\n𝑎= |𝐸𝐶|\n𝑏 , więc\n𝑏2 = 𝑎⋅|𝐶𝐸|\n𝑏2 = 𝑎⋅(|𝐶𝐵| + |𝐵𝐸|)\n𝑏2 = 𝑎⋅(𝑎+ 𝑐)\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób III (poprzez sieczną)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nNiech 𝐹 będzie punktem przecięcia okręgu o środku w punkcie 𝐶 i promieniu 𝑎= |𝐵𝐶|\nz prostą 𝐴𝐵.\nPrzez punkt 𝐴 prowadzimy prostą styczną do tego okręgu i oznaczamy punkt styczności\nprzez 𝐺 (zobacz rysunek).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ twierdzenia o odcinkach siecznej i stycznej otrzymujemy\n|𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐵| = |𝐴𝐺|2\nPonieważ |𝐵𝐶| = |𝐹𝐶| = 𝑎 i |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼 oraz |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛼, więc\n|∡𝐴𝐹𝐶| = 180° -2𝛼 i |∡𝐹𝐶𝐴| = |∡𝐵𝐴𝐶| = 𝛼. Zatem |𝐴𝐹| = |𝐹𝐶| =|𝐵𝐶| = 𝑎.\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐴𝐺𝐶 otrzymujemy\n|𝐴𝐺|2 = |𝐴𝐶|2 -|𝐶𝐺|2\n|𝐴𝐺|2 = 𝑏2 -𝑎2\nZatem równość |𝐴𝐹| ⋅|𝐴𝐵| = |𝐴𝐺|2 przyjmuje postać\n𝑎⋅𝑐= 𝑏2 -𝑎2\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐⋅𝑎\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób IV (poprzez trapez wpisany w okrąg)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nNiech 𝐻 będzie obrazem punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem symetralnej boku 𝐴𝐵.\nWtedy czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐻 jest trapezem równoramiennym o ramionach 𝐵𝐶 i 𝐴𝐻 (zobacz\nrysunek).\nSuma miar przeciwległych kątów trapezu równoramiennego jest równa 180°, więc na\ntrapezie 𝐴𝐵𝐶𝐻 można opisać okrąg. Ponieważ w czworokącie wypukłym wpisanym\nw okrąg iloczyn długości przekątnych czworokąta jest sumą iloczynów długości\nprzeciwległych boków tego czworokąta (twierdzenie Ptolemeusza), więc\n|𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐻| = |𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐻| + |𝐴𝐵| ⋅|𝐶𝐻|\nPonieważ |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐻| i trapez 𝐴𝐵𝐶𝐻 jest równoramienny, więc\n|𝐶𝐻| = |𝐴𝐻| = |𝐵𝐶| = 𝑎 oraz |𝐵𝐻| = |𝐴𝐶| = 𝑏.\nStąd i z równości |𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐻| = |𝐵𝐶| ⋅|𝐴𝐻| + |𝐴𝐵| ⋅|𝐶𝐻| otrzymujemy\n𝑏⋅𝑏= 𝑎⋅𝑎+ 𝑐⋅𝑎\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐⋅𝑎\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób V (poprzez trójkąty równoramienne i twierdzenie Pitagorasa)\nNiech 𝐾 będzie spodkiem wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczonej z wierzchołka 𝐶.\nOznaczmy długość tej wysokości przez ℎ. Punkt 𝐾 nie może pokrywać się\nz wierzchołkiem 𝐵, gdyż wtedy trójkąt 𝐴𝐵𝐶 byłby równoramienny, co jest sprzeczne\nz założeniem.\nNiech 𝐿 będzie obrazem punktu 𝐵 w symetrii środkowej względem punktu 𝐾.\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy punkt 𝐾 leży na boku 𝐴𝐵).\nWtedy trójkąt 𝐿𝐵𝐶 jest równoramienny i |∡𝐵𝐿𝐶| = 2𝛼. Zatem |𝐿𝐶| = |𝐵𝐶| = 𝑎 oraz\n|∡𝐴𝐿𝐶| = 180° -2𝛼. Stąd wynika, że |∡𝐿𝐶𝐴| = 𝛼, co oznacza, że trójkąt 𝐴𝐿𝐶 jest\nrównoramienny. Zatem |𝐴𝐿| = |𝐿𝐶| = 𝑎 (zobacz rysunek).\nWobec tego |𝐿𝐵| = 𝑐-𝑎 oraz |𝐿𝐾| = |𝐾𝐵| = 𝑐-𝑎\n2 .\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐾𝐶 i 𝐵𝐾𝐶 otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐾|2 + |𝐾𝐶|2 oraz |𝐵𝐶|2 = |𝐾𝐵|2 + |𝐾𝐶|2\n𝑏2 = (𝑎+ 𝑐-𝑎\n2 )\n2\n+ ℎ2 oraz 𝑎2 = (𝑐-𝑎\n2 )\n2\n+ ℎ2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nℎ2 = 𝑏2 -(𝑎+ 𝑐-𝑎\n2 )\n2\noraz ℎ2 = 𝑎2 -(𝑐-𝑎\n2 )\n2\nStąd\n𝑏2 -(𝑎+ 𝑐-𝑎\n2\n)\n2\n= 𝑎2 -(𝑐-𝑎\n2\n)\n2\n𝑏2 -𝑎2+2𝑎𝑐+𝑐2\n4\n= 𝑎2 -𝑎2-2𝑎𝑐+𝑐2\n4\n4𝑏2 -𝑎2 -2𝑎𝑐-𝑐2 = 4𝑎2 -𝑎2 + 2𝑎𝑐-𝑐2\n4𝑏2 = 4𝑎2 + 4𝑎𝑐\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑎𝑐\nTo kończy dowód w tym przypadku.\nPrzypadek 2. (gdy punkt 𝐾 leży na przedłużeniu boku 𝐴𝐵).\nWtedy punkt 𝐵 leży między punktami 𝐴 i 𝐾, trójkąt 𝐿𝐵𝐶 jest równoramienny oraz\n|∡𝐿𝐵𝐶| = 180° -2𝛼. Zatem |𝐿𝐶| = |𝐵𝐶| = 𝑎 oraz |∡𝐵𝐿𝐶| = |∡𝐿𝐵𝐶| = 180° -2𝛼.\nStąd wynika, że |∡𝐿𝐶𝐴| = 𝛼, co oznacza, że trójkąt 𝐴𝐿𝐶 jest równoramienny, więc\n|𝐴𝐿| = |𝐿𝐶| = 𝑎 (zobacz rysunek).\nWobec tego |𝐿𝐵| = 𝑎-𝑐 oraz |𝐿𝐾| = |𝐾𝐵| = 𝑎-𝑐\n2 .\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐾𝐶 i 𝐵𝐾𝐶 otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐾|2 + |𝐾𝐶|2 oraz |𝐵𝐶|2 = |𝐾𝐵|2 + |𝐾𝐶|2\n𝑏2 = (𝑐+ 𝑎-𝑐\n2 )\n2\n+ ℎ2 oraz 𝑎2 = (𝑎-𝑐\n2 )\n2\n+ ℎ2\nℎ2 = 𝑏2 -(𝑐+ 𝑎-𝑐\n2 )\n2\noraz ℎ2 = 𝑎2 -(𝑎-𝑐\n2 )\n2\nStąd\n𝑏2 -(𝑐+ 𝑎-𝑐\n2\n)\n2\n= 𝑎2 -(𝑎-𝑐\n2\n)\n2\n𝑏2 -𝑎2+2𝑎𝑐+𝑐2\n4\n= 𝑎2 -𝑎2-2𝑎𝑐+𝑐2\n4\n4𝑏2 -𝑎2 -2𝑎𝑐-𝑐2 = 4𝑎2 -𝑎2 + 2𝑎𝑐-𝑐2\n4𝑏2 = 4𝑎2 + 4𝑎𝑐\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób VI (z wyznaczeniem cos 𝛼 poprzez twierdzenie sinusów)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nStosujemy twierdzenie sinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 oraz wzór na sinus podwojonego kąta\ni otrzymujemy:\n𝑏\nsin(2𝛼) =\n𝑎\nsin 𝛼\n𝑏\n2 sin 𝛼⋅cos 𝛼=\n𝑎\nsin 𝛼\ncos 𝛼=\n𝑏\n2 ⋅𝑎\nStąd i z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅cos 𝛼\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 -2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅\n𝑏\n2 ⋅𝑎\n𝑎2 = 𝑐2 + 𝑏2 -𝑐⋅𝑏2\n𝑎\n𝑎2 -𝑐2 = 𝑏2 -𝑐⋅𝑏2\n𝑎\n(𝑎-𝑐) ⋅(𝑎+ 𝑐) = 𝑏2 ⋅(1 -𝑐\n𝑎)\n(𝑎-𝑐) ⋅(𝑎+ 𝑐) ⋅𝑎= 𝑏2 ⋅(𝑎-𝑐)\nPonieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐶 nie jest równoramienny, więc 𝑎-𝑐≠0. Zatem\n(𝑎+ 𝑐) ⋅𝑎= 𝑏2\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób VII (z wyznaczeniem cos 𝛼 poprzez porównanie pól)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nStosujemy wzór na pole trójkąta w zależności od długości dwóch boków i sinusa kąta między\ntymi bokami, otrzymując\n1\n2 ⋅𝑐⋅𝑎⋅sin(2𝛼) = 1\n2 ⋅𝑐⋅𝑏⋅sin 𝛼\nStąd, po zastosowaniu wzoru na sinus podwojonego kąta, otrzymujemy\n2 ⋅𝑎⋅cos 𝛼= 𝑏\nDwukrotnie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie cosinusów:\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑎⋅𝑐⋅cos(2𝛼)\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑏⋅𝑐⋅cos 𝛼\nStąd, po zastosowaniu wzoru na cosinus podwojonego kąta oraz skorzystaniu z zależności\n2 ⋅𝑎⋅cos 𝛼= 𝑏, otrzymujemy układ równań\n{ 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑎⋅𝑐⋅(2cos2 𝛼-1)\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 -2 ⋅2 ⋅𝑎⋅cos 𝛼⋅𝑐⋅cos𝛼\nPo odjęciu od stron pierwszego równania stron drugiego równania otrzymujemy kolejno:\n𝑏2 -𝑎2 = 𝑎2 -𝑏2 + 2 ⋅𝑎⋅𝑐\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób VIII (poprzez dwukrotne zastosowanie twierdzenia cosinusów)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼.\nDwukrotnie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie cosinusów:\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑎⋅𝑐⋅cos(2𝛼)\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 -2 ⋅𝑏⋅𝑐⋅cos 𝛼\nZ uzyskanych równań eliminujemy (po zastosowaniu wzoru na cosinus podwojonego kąta)\ncos 𝛼:\ncos(2𝛼) = 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\n∧ cos 𝛼= 𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2\n2𝑏𝑐\n2 cos2 𝛼-1 = 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\n∧ cos 𝛼= 𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2\n2𝑏𝑐\n2 (𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2\n2𝑏𝑐\n)\n2\n-1 = 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\nPrzekształcamy otrzymane równanie i otrzymujemy kolejno:\n(𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2)2\n2𝑏2𝑐2\n-4𝑏2𝑐2\n2𝑏2𝑐2 = 𝑎2 + 𝑐2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\n-2𝑎𝑐\n2𝑎𝑐\n(𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2 -2𝑏𝑐)(𝑏2 + 𝑐2 -𝑎2 + 2𝑏𝑐)\n2𝑏2𝑐2\n(𝑎-𝑐)2 -𝑏2\n2𝑎𝑐\n((𝑏-𝑐)2 -𝑎2)((𝑏+ 𝑐)2 -𝑎2)\n2𝑏2𝑐2\n= (𝑎-𝑐-𝑏)(𝑎-𝑐+ 𝑏)\n2𝑎𝑐\n(𝑏-𝑐-𝑎)(𝑏-𝑐+ 𝑎)(𝑏+ 𝑐-𝑎)(𝑏+ 𝑐+ 𝑎)\n2𝑏2𝑐2\n= (𝑎-𝑐-𝑏)(𝑎-𝑐+ 𝑏)\n2𝑎𝑐\nKorzystamy z tego, że w trójkącie 𝑏+ 𝑐≠𝑎 oraz 𝑎+ 𝑏≠𝑐, i otrzymujemy dalej\n(𝑏-𝑐-𝑎)(𝑏+ 𝑐+ 𝑎)\n2𝑏2𝑐2\n= -1\n2𝑎𝑐\n2𝑎[𝑏2 -(𝑎+ 𝑐)2] + 2𝑏2𝑐= 0\n𝑎𝑏2 -𝑎(𝑎+ 𝑐)2 + 𝑏2𝑐= 0\n𝑏2(𝑎+ 𝑐) -𝑎(𝑎+ 𝑐)2 = 0 /: (𝑎+ 𝑐)\n𝑏2 = 𝑎(𝑎+ 𝑐)\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.\nSposób IX (poprzez twierdzenie sinusów i przekształcenia trygonometryczne)\nPonieważ 𝛼= |∡𝐶𝐴𝐵|, więc |∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝛼. Niech 𝑅 będzie promieniem okręgu\nopisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶.\nTrzykrotnie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n𝑎2 + 𝑐⋅𝑎= (2𝑅⋅sin 𝛼)2 + 2𝑅⋅sin |∡𝐵𝐶𝐴| ⋅2𝑅⋅sin 𝛼=\n= (2𝑅⋅sin 𝛼)2 + 2𝑅⋅sin(180° -3𝛼) ⋅2𝑅⋅sin 𝛼\nStosujemy wzory redukcyjne oraz wzór na sumę sinusów, otrzymując\n𝑎2 + 𝑐⋅𝑎= 4𝑅2 ⋅sin2 𝛼+ 4𝑅2 ⋅sin(3𝛼) ⋅sin 𝛼=\n= 4𝑅2 ⋅sin 𝛼⋅[sin 𝛼+ sin(3𝛼)] = 4𝑅2 ⋅sin 𝛼⋅2 sin(2𝛼) ⋅cos 𝛼\nStąd, po skorzystaniu ze wzoru na sinus podwojonego kąta oraz z twierdzenia sinusów,\ndostajemy\n|𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| = 4𝑅2 ⋅sin2(2𝛼) = [2𝑅⋅sin(2𝛼)]2 = |𝐴𝐶|2\nTo należało wykazać.\nSposób X (poprzez tangens podwojonego kąta i twierdzenie Pitagorasa)\nNiech 𝐾 będzie spodkiem wysokości trójkąta 𝐴𝐵𝐶 opuszczonej w wierzchołka 𝐶.\nOznaczmy długość tej wysokości przez ℎ. Punkt 𝐾 nie może pokrywać się\nz wierzchołkiem 𝐵, gdyż wtedy trójkąt 𝐴𝐵𝐶 byłby równoramienny, co jest sprzeczne\nz założeniem.\nNależy rozważyć dwa przypadki.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzypadek 1. (gdy punkt 𝐾 leży na boku 𝐴𝐵).\nOznaczmy 𝑧= |𝐴𝐾|. Wtedy |𝐾𝐵| = 𝑐-𝑧 (zobacz rysunek).\nTrójkąty 𝐴𝐾𝐶 i 𝐾𝐵𝐶 są prostokątne, więc tg 𝛼= ℎ\n𝑧 oraz tg(2𝛼) =\nℎ\n𝑐-𝑧 .\nStąd i ze wzoru na tangens podwojonego kąta otrzymujemy:\nℎ\n𝑐-𝑧=\n2 ⋅ℎ\n𝑧\n1 -(ℎ\n𝑧)\n2\n1\n𝑐-𝑧=\n2\n𝑧\n1 -(ℎ\n𝑧)\n2\n2\n𝑧⋅(𝑐-𝑧) = 1 -ℎ2\n𝑧2\n2𝑧(𝑐-𝑧) = 𝑧2 -ℎ2\nℎ2 = 3𝑧2 -2𝑐𝑧\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐾𝐶 i 𝐾𝐵𝐶 otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐾|2 + |𝐾𝐶|2 oraz |𝐵𝐶|2 = |𝐾𝐵|2 + |𝐾𝐶|2\n𝑏2 = 𝑧2 + ℎ2 oraz 𝑎2 = (𝑐-𝑧)2 + ℎ2\nZe związków ℎ2 = 3𝑧2 -2𝑐𝑧 i 𝑎2 = (𝑐-𝑧)2 + ℎ2 otrzymujemy\n𝑎2 = 𝑐2 -2𝑐𝑧+ 𝑧2 + 3𝑧2 -2𝑐𝑧\n𝑎2 = 4𝑧2 -4𝑐𝑧+ 𝑐2\n𝑎2 = (2𝑧-𝑐)2\n𝑎= 2𝑧-𝑐 lub 𝑎= 𝑐-2𝑧\nPonieważ w rozpatrywanym przypadku |𝐴𝐾| > |𝐾𝐵|, tj. 𝑧> 𝑐-𝑧, więc 2𝑧-𝑐> 0, czyli\n𝑎= 2𝑧-𝑐.\nRówność 𝑏2 = 𝑧2 + ℎ2 możemy, wykorzystując równość ℎ2 = 3𝑧2 -2𝑐𝑧, zapisać\nw postaci\n𝑏2 = 4𝑧2 -2𝑐𝑧\nStąd i z równości 𝑎= 2𝑧-𝑐 otrzymujemy\n𝑏2 = 2𝑧(2𝑧-𝑐)\n𝑏2 = 2𝑧𝑎\n𝑏2 = (𝑎+ 𝑐) ⋅𝑎\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐𝑎\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo kończy dowód w tym przypadku.\nPrzypadek 2. (gdy punkt 𝐾 leży na przedłużeniu boku 𝐴𝐵).\nWtedy punkt 𝐵 leży między punktami 𝐴 i 𝐾. Oznaczmy 𝑧= |𝐵𝐾|. Wtedy |𝐴𝐾| = 𝑐+ 𝑧\noraz |∡𝐾𝐵𝐶| = 180° -2𝛼 (zobacz rysunek).\nTrójkąty 𝐴𝐾𝐶 i 𝐾𝐵𝐶 są prostokątne, więc tg 𝛼=\nℎ\n𝑐+𝑧 oraz tg(180° -2𝛼) = ℎ\n𝑧 .\nPonieważ tg(180° -2𝛼) = -tg(2𝛼), więc ℎ\n𝑧= -tg(2𝛼).\nAnalogicznie jak w poprzednim przypadku stosujemy wzór na tangens podwojonego kąta\ni otrzymujemy:\n-ℎ\n𝑧=\n2 ⋅ ℎ\n𝑐+𝑧\n1-( ℎ\n𝑐+𝑧)\n2\n2\n𝑐+ 𝑧⋅𝑧= (\nℎ\n𝑐+ 𝑧)\n2\n-1\n2𝑧(𝑐+ 𝑧) = ℎ2 -(𝑐+ 𝑧)2\nℎ2 = 3𝑧2 + 4𝑐𝑧+ 𝑐2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów 𝐴𝐾𝐶 i 𝐵𝐾𝐶 otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐾|2 + |𝐾𝐶|2 oraz |𝐵𝐶|2 = |𝐾𝐵|2 + |𝐾𝐶|2\n𝑏2 = (𝑐+ 𝑧)2 + ℎ2 oraz 𝑎2 = 𝑧2 + ℎ2\nZe związków ℎ2 = 3𝑧2 + 4𝑐𝑧+ 𝑐2 i 𝑎2 = 𝑧2 + ℎ2 otrzymujemy\n𝑎2 = 𝑧2 + 3𝑧2 + 4𝑐𝑧+ 𝑐2\n𝑎2 = (2𝑧+ 𝑐)2\n𝑎= 2𝑧+ 𝑐\nRówność 𝑏2 = (𝑐+ 𝑧)2 + ℎ2 możemy, wykorzystując równość ℎ2 = 3𝑧2 + 4𝑐𝑧+ 𝑐2,\nzapisać w postaci\n𝑏2 = 4𝑧2 + 6𝑐𝑧+ 2𝑐2\nStąd i z równości 𝑎= 2𝑧+ 𝑐 otrzymujemy\n𝑏2 = (4𝑧2 + 4𝑐𝑧+ 𝑐2) + 2𝑐𝑧+ 𝑐2\n𝑏2 = (2𝑧+ 𝑐)2 + 𝑐(2𝑧+ 𝑐)\n𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐𝑎\n|𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶|\nTo należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: Dowód — patrz Sposób I (trygonometryczny) lub Sposób II (geometria, przez dwusieczną).\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — oznaczenia\n\nUstal oznaczenia stałe w całym dowodzie:\n\n- $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$\n- $\\alpha = \\angle BAC$ (kąt przy wierzchołku $A$)\n- $\\angle ABC = 2\\alpha$ (kąt przy $B$, dwa razy większy z założenia)\n- $\\angle BCA = 180° - 3\\alpha$ (suma kątów trójkąta = 180°)\n\nTrzeba pokazać: $b^2 = a^2 + c \\cdot a$.\n\nZałożenie „nie równoramienny\" wyklucza przypadki, w których $\\alpha = 0°$, $\\alpha = 60°$ albo gdzie trójkąt staje się zdegenerowany. W szczególności $\\sin \\alpha \\neq 0$ i $\\sin 3\\alpha \\neq 0$ — będziemy mogli dzielić.\n\nSposób I — trygonometria (przez twierdzenie sinusów + suma sinusów)\n\nTo ścieżka bez rysunku, czysto algebraiczna. Najmniej ryzykowna.\n\nZ twierdzenia sinusów dla trójkąta $ABC$:\n\n$$\\frac{a}{\\sin \\alpha} = \\frac{b}{\\sin 2\\alpha} = \\frac{c}{\\sin(180° - 3\\alpha)} = \\frac{c}{\\sin 3\\alpha}$$\n\n(skorzystaliśmy z $\\sin(180° - x) = \\sin x$).\n\nWyraź $b$ przez $a$ i $\\alpha$. Z proporcji $\\tfrac{a}{\\sin \\alpha} = \\tfrac{b}{\\sin 2\\alpha}$:\n\n$$b = a \\cdot \\frac{\\sin 2\\alpha}{\\sin \\alpha} = a \\cdot \\frac{2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha}{\\sin \\alpha} = 2a \\cos \\alpha$$\n\n(zastosowaliśmy wzór $\\sin 2\\alpha = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha$).\n\nWyraź $c$ przez $a$ i $\\alpha$. Z proporcji $\\tfrac{a}{\\sin \\alpha} = \\tfrac{c}{\\sin 3\\alpha}$:\n\n$$c = a \\cdot \\frac{\\sin 3\\alpha}{\\sin \\alpha}$$\n\nOblicz lewą stronę tezy $b^2$:\n\n$$b^2 = (2a \\cos \\alpha)^2 = 4 a^2 \\cos^2 \\alpha$$\n\nOblicz prawą stronę $a^2 + c \\cdot a$:\n\n$$a^2 + c \\cdot a = a^2 + a \\cdot \\frac{a \\sin 3\\alpha}{\\sin \\alpha} = a^2 \\cdot \\left(1 + \\frac{\\sin 3\\alpha}{\\sin \\alpha}\\right) = a^2 \\cdot \\frac{\\sin \\alpha + \\sin 3\\alpha}{\\sin \\alpha}$$\n\nZastosuj wzór na sumę sinusów:\n\n$$\\sin \\alpha + \\sin 3\\alpha = 2 \\sin \\left(\\frac{\\alpha + 3\\alpha}{2}\\right) \\cos \\left(\\frac{3\\alpha - \\alpha}{2}\\right) = 2 \\sin 2\\alpha \\cdot \\cos \\alpha$$\n\nZ $\\sin 2\\alpha = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha$:\n\n$$\\sin \\alpha + \\sin 3\\alpha = 2 \\cdot 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha \\cdot \\cos \\alpha = 4 \\sin \\alpha \\cos^2 \\alpha$$\n\nPodstaw z powrotem:\n\n$$a^2 + c \\cdot a = a^2 \\cdot \\frac{4 \\sin \\alpha \\cos^2 \\alpha}{\\sin \\alpha} = 4 a^2 \\cos^2 \\alpha$$\n\nPorównaj:\n\n$$b^2 = 4 a^2 \\cos^2 \\alpha = a^2 + c \\cdot a$$\n\nczyli:\n\n$$|AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \\cdot |BC| \\quad\\blacksquare$$\n\nSposób II — geometria (przez dwusieczną kąta ABC i podobieństwo trójkątów)\n\nKrócej, ale wymaga rysunku i znajomości twierdzenia o dwusiecznej.\n\nKonstrukcja: poprowadź dwusieczną kąta $\\angle ABC$ — przecina ona bok $AC$ w punkcie $D$.\n\n- $\\angle DBC = \\alpha$ (dwusieczna dzieli $2\\alpha$ na dwa $\\alpha$)\n- $\\angle DCB = 180° - 3\\alpha$ (kąt $C$ pełen)\n- $\\angle BDC = 180° - \\alpha - (180° - 3\\alpha) = 2\\alpha$\n\nZatem trójkąt $CDB$ ma kąty $(\\alpha, 2\\alpha, 180° - 3\\alpha)$, czyli te same kąty co trójkąt $CAB$ (ten też ma $(\\alpha, 2\\alpha, 180° - 3\\alpha)$). Trójkąty są podobne.\n\nNiech $x = |DC|$. Z podobieństwa $\\triangle CDB \\sim \\triangle CAB$:\n\n$$\\frac{x}{a} = \\frac{a}{b} \\quad\\Rightarrow\\quad x = \\frac{a^2}{b}$$\n\nZ twierdzenia o dwusiecznej w $\\triangle ABC$: $\\dfrac{|AD|}{|DC|} = \\dfrac{|AB|}{|BC|} = \\dfrac{c}{a}$, czyli:\n\n$$\\frac{b - x}{x} = \\frac{c}{a} \\quad\\Rightarrow\\quad b - x = \\frac{cx}{a} \\quad\\Rightarrow\\quad b = x \\cdot \\frac{c + a}{a} \\quad\\Rightarrow\\quad x = \\frac{ab}{c + a}$$\n\nZ obu wzorów na $x$:\n\n$$\\frac{a^2}{b} = \\frac{ab}{c + a}$$\n\n$$a^2(c + a) = ab^2$$\n\n$$a(c + a) = b^2$$\n\n$$b^2 = a^2 + ac \\quad\\Leftrightarrow\\quad |AC|^2 = |BC|^2 + |AB| \\cdot |BC| \\quad\\blacksquare$$\n\nPunktacja CKE\n\nKlucz CKE wymienia 10 (!) różnych sposobów dowodu (przez podobieństwo, przez sieczną i styczną, przez trapez wpisany w okrąg z twierdzenia Ptolemeusza, przez twierdzenie cosinusów, przez Pitagorasa, przez sumę sinusów...).\n\nStrukturę punktową dla typowego sposobu:\n\n- 1 pkt — zapisanie kluczowego związku startowego (np. podobieństwo $\\triangle CAB \\sim \\triangle CDB$, lub $\\cos \\alpha = \\tfrac{b}{2a}$ z twierdzenia cosinusów).\n- 2 pkt — zapisanie wzoru łączącego dwie wielkości z tezy (np. $\\tfrac{|AD|}{x} = \\tfrac{c}{a}$, lub $\\cos \\alpha = \\tfrac{b}{2a}$ z tw. cosinusów).\n- 3 pkt — sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą / dwóch równań.\n- 4 pkt — pełne rozumowanie.\n\nKlucz uniwersalny\n\nTrzy najczęstsze ścieżki dowodów geometrycznych w trójkątach z kątem $2\\alpha$:\n\n1. Twierdzenie sinusów + wzory na sin podwojonego/potrojonego — bezpieczna ścieżka algebraiczna, działa zawsze.\n2. Dwusieczna kąta podwojonego → trójkąty podobne — krócej, wymaga rysunku.\n3. Twierdzenie cosinusów — najszybsza dla zależności metrycznych, jeśli umiesz manipulować wzorem $\\cos 2\\alpha = 2\\cos^2 \\alpha - 1$.\n\nWybierz tę, której wzory pamiętasz najpewniej. Tu polecam sposób I (trygonometryczny) — najmniej miejsc do popełnienia błędu.\n\nTypowy błąd: CKE w uwadze: jeśli rozumowanie geometryczne przeprowadzasz w JEDNYM przypadku (np. tylko gdy spodek wysokości leży wewnątrz boku AB), bez stwierdzenia, że drugi przypadek jest analogiczny — maksimum 3 pkt zamiast 4. W sposobie trygonometrycznym takiego problemu nie ma.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"planimetria, twierdzenia o trójkątach, trygonometria, dowody_geometryczne","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nDany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 𝑎. Punkt 𝐸 jest środkiem boku 𝐶𝐷. Przekątna\n𝐵𝐷 dzieli trójkąt 𝐴𝐶𝐸 na dwie figury: 𝐴𝐺𝐹 oraz 𝐶𝐸𝐹𝐺 (zobacz rysunek).\nOblicz pola figur 𝑨𝑮𝑭 oraz 𝑪𝑬𝑭𝑮. Zapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-4\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝑎\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest kwadrat ABCD o boku długości a. Punkt E jest środkiem boku CD. Przekątna BD dzieli trójkąt ACE na dwie figury: AGF oraz CEFG (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz pola figur AGF oraz CEFG.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.7) stosuje twierdzenia: Talesa,\no dwusiecznej kąta […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n12 𝑎2 i 𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 1\n6 𝑎2.\n3 pkt - obliczenie pola trójkąta 𝐴𝐺𝐹: 𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n12 𝑎2\nALBO\n- obliczenie pola czworokąta 𝐶𝐸𝐹𝐺: 𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 1\n6 𝑎2.\n2 pkt - obliczenie długości jednego z odcinków 𝐹𝐺, 𝐷𝐹, 𝐴𝐹, 𝐹𝐸, 𝐵𝐹:\n|𝐹𝐺| = 𝑎√2\n6 , |𝐷𝐹| = 𝑎√2\n3 , |𝐴𝐹| = 𝑎√5\n3 , |𝐹𝐸| = 𝑎√5\n6 , |𝐵𝐹| = 2𝑎√2\n3\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐺𝐹 i 𝐹𝐷𝐸 mają równe pola oraz zapisanie związku między\npolami trójkątów 𝐴𝐹𝐷 i 𝐸𝐹𝐺: 𝑃𝐴𝐹𝐷= 4 ⋅𝑃𝐸𝐹𝐺 ,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐺𝐹 i 𝐹𝐷𝐸 mają równe pola oraz zapisanie związku między\npolami trójkątów 𝐴𝐷𝐹 i 𝐸𝐷𝐹: 𝑃𝐴𝐹𝐷= 2 ⋅𝑃𝐸𝐷𝐹 ,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐹𝐷 i 𝐵𝐸𝐹 mają równe pola oraz zapisanie związku między\npolami trójkątów 𝐴𝐵𝐹 i 𝐸𝐷𝐹: 𝑃𝐴𝐵𝐹= 4 ⋅𝑃𝐸𝐷𝐹 ,\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć pole trójkąta 𝐴𝐺𝐹, np.:\n𝑥+ 𝑦= 1\n8 𝑎2 oraz 𝑥+ 4𝑦= 1\n4 𝑎2, gdzie 𝑥= 𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐹𝐷𝐸 , 𝑦= 𝑃𝐸𝐹𝐺 ,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktów 𝐸 i 𝐹: 𝐸= (1\n2 𝑎 , 𝑎) oraz 𝐹= (1\n3 𝑎 , 2\n3 𝑎),\nALBO\n- narysowanie kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 na siatce kwadratowej 12 x 12 oraz wyznaczenie pól\ntrójkątów 𝐴𝐵𝐹 i 𝐴𝐵𝐺: 𝑃𝐴𝐵𝐹= 1\n2 ⋅12𝑚⋅8𝑚 oraz 𝑃𝐴𝐵𝐺= 1\n2 ⋅12𝑚⋅6𝑚, gdzie\n𝑚= 1\n12 𝑎.\n1 pkt - zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |𝐷𝐹| ∶|𝐹𝐺| = 2 ∶1\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |𝐴𝐹| ∶|𝐹𝐸| = 2 ∶1,\nALBO\n- zapisanie wraz z uzasadnieniem, że |𝐵𝐹| ∶|𝐹𝐷| = 2 ∶1,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐹 jest podobny do trójkąta 𝐸𝐷𝐹 w skali 2 ∶1,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐹𝐷 jest podobny do trójkąta 𝐸𝐹𝐺 w skali 2 ∶1,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐹𝐺 jest podobny do trójkąta 𝐴𝐸𝑄 w skali 2 ∶3, gdzie 𝑄 to\nrzut prostokątny punktu 𝐸 na przekątną 𝐴𝐶,\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝐺 i dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta 𝐸𝐴𝐶, np.\n|𝐴𝐺| = 𝑎√2\n2 oraz cos ∡𝐸𝐴𝐶= 3√10\n10 ,\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐺𝐹 i 𝐹𝐷𝐸 (lub 𝐴𝐹𝐷 i 𝐵𝐸𝐹) mają równe pola,\nALBO\n- umieszczenie kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 w układzie współrzędnych oraz wyznaczenie równań\nprostych 𝐴𝐸 i 𝐵𝐷, np. 𝑦= 2𝑥 oraz 𝑦= -𝑥+ 𝑎,\nALBO\n- narysowanie kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 na siatce kwadratowej 12 x 12.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający popełnia błąd, przyjmując, że punkt 𝐹 dzieli odcinek 𝐴𝐸 lub 𝐷𝐺, lub 𝐵𝐷\nw stosunku innym niż 2 ∶1, i na tym opiera rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje, że punkt 𝐹 dzieli odcinek 𝐴𝐸 lub 𝐷𝐺, lub 𝐵𝐷 w poprawnym\nstosunku 2 ∶1 bez uzasadnienia, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (brak uzasadnienia traktujemy na równi z błędem rachunkowym).\n3. Jeżeli zdający popełnia błąd, przyjmując, że miara kąta 𝐷𝐴𝐸 jest równa 30° (lub miara\nkąta 𝐷𝐸𝐴 jest równa 60°) i na tym opiera swoje rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów,\no ile nie nabył praw do innej punktacji.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez środek ciężkości trójkąta)\nPunkt 𝐹 jest środkiem ciężkości trójkąta 𝐴𝐶𝐷, więc |𝐷𝐹| ∶|𝐹𝐺| = 2 ∶1, czyli\n|𝐹𝐺| = 1\n3 |𝐷𝐺|\nTrójkąty 𝐴𝐺𝐹 i 𝐴𝐺𝐷 mają wspólną wysokość 𝐴𝐺 oraz pole trójkąta 𝐴𝐺𝐷 jest\nrówne 1\n4 𝑎2, więc\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐺𝐷= 1\n3 ⋅1\n4 𝑎2 = 1\n12 𝑎2\nZatem\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 𝑃𝐴𝐶𝐸-𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n4 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷-1\n12 ⋅𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n6 𝑎2\nSposób II (poprzez długości boków 𝐴𝐺 i 𝐹𝐺)\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐴𝐷𝐸 i wyznaczamy długość odcinka 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐸|2 = |𝐴𝐷|2 + |𝐷𝐸|2\n|𝐴𝐸|2 = 𝑎2 + (1\n2 𝑎)\n2\n|𝐴𝐸| = √5𝑎\n2\nStosujemy twierdzenie o dwusiecznej do trójkąta 𝐴𝐷𝐸 i wyznaczamy |𝐴𝐹|:\n|𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸| =\n|𝐴𝐷|\n|𝐷𝐸|\n|𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸| = 𝑎\n1\n2 𝑎\n|𝐴𝐹|\n|𝐴𝐸| -|𝐴𝐹| = 2\n|𝐴𝐹|\n√5𝑎\n2\n-|𝐴𝐹|\n= 2\n|𝐴𝐹| = √5𝑎-2 ⋅|𝐴𝐹|\n|𝐴𝐹| = √5𝑎\n3\nWyznaczamy długość odcinka 𝐹𝐺:\n|𝐹𝐺|2 = |𝐴𝐹|2 -|𝐴𝐺|2\n|𝐹𝐺|2 = (√5𝑎\n3 )\n2\n-(√2𝑎\n2 )\n2\n|𝐹𝐺| = √2𝑎\n6\nObliczamy pole 𝑃𝐴𝐺𝐹 trójkąta 𝐴𝐺𝐹:\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n2 ⋅|𝐴𝐺| ⋅|𝐹𝐺| = 1\n2 ⋅√2𝑎\n2\n⋅√2𝑎\n6\n= 𝑎2\n12\nObliczamy pole 𝑃𝐴𝐶𝐸 trójkąta 𝐴𝐶𝐸:\n𝑃𝐴𝐶𝐸= 1\n2 ⋅|𝐸𝐶| ⋅|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅1\n2 𝑎⋅𝑎= 𝑎2\n4\nObliczamy pole 𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺 czworokąta 𝐶𝐸𝐹𝐺:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 𝑃𝐴𝐶𝐸-𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑎2\n4 -𝑎2\n12 = 𝑎2\n6\nSposób III (poprzez pole trójkąta 𝐴𝐷𝐹)\nStosujemy twierdzenie o dwusiecznej do trójkąta 𝐴𝐷𝐸 i otrzymujemy\n|𝐴𝐷|\n|𝐷𝐸| = |𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸|\n2 =\n|𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸|\nWysokość trójkąta 𝐹𝐷𝐸 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐹𝐸 jest jednocześnie\nwysokością trójkąta 𝐴𝐷𝐹, więc stosunek pól tych trójkątów jest równy\n𝑃𝐴𝐷𝐹\n𝑃𝐹𝐷𝐸\n|𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸| = 2\nStąd i z tego, że pole trójkąta 𝐴𝐷𝐸 jest równe 1\n4 𝑎2 , otrzymujemy\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 2\n3 ⋅𝑃𝐴𝐷𝐸= 2\n3 ⋅1\n4 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\noraz\n𝑃𝐹𝐷𝐸= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐷𝐸= 1\n3 ⋅1\n4 𝑎2 = 1\n12 𝑎2\nZatem\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐴𝐷𝐺-𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n4 𝑎2 -1\n6 𝑎2 = 1\n12 𝑎2\noraz\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 𝑃𝐺𝐷𝐶-𝑃𝐹𝐷𝐸= 1\n4 𝑎2 -1\n12 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\nSposób IV (poprzez pole trójkąta 𝐷𝐸𝐹)\nTrójkąty 𝐴𝐷𝐸 i 𝐴𝐷𝐺 mają wspólną podstawę 𝐴𝐷, a wysokości tych trójkątów opuszczone\nna bok 𝐴𝐷 są równe. Zatem 𝑃𝐴𝐷𝐸= 𝑃𝐴𝐷𝐺. Stąd pola trójkątów 𝐴𝐺𝐹 i 𝐹𝐷𝐸 są równe:\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐹𝐷𝐸 .\nPonieważ pola trójkątów 𝐴𝐷𝐺 i 𝐺𝐷𝐶 są równe i 𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐹𝐷𝐸 , więc 𝑃𝐴𝐷𝐹= 𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺.\nStosujemy twierdzenie o dwusiecznej do trójkąta 𝐴𝐷𝐸 i otrzymujemy\n|𝐴𝐷|\n|𝐷𝐸| =\n|𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸|\n2 = |𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸|\nWysokość trójkąta 𝐹𝐷𝐸 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐹𝐸 jest jednocześnie\nwysokością trójkąta 𝐴𝐷𝐹, więc stosunek pól tych trójkątów jest równy\n𝑃𝐴𝐷𝐹\n𝑃𝐹𝐷𝐸\n|𝐴𝐹|\n|𝐹𝐸| = 2\nStąd i z tego, że pole trójkąta 𝐴𝐷𝐸 jest równe 1\n4 𝑎2 , otrzymujemy\n𝑃𝐴𝐷𝐹= 2\n3 ⋅𝑃𝐴𝐷𝐸= 2\n3 ⋅1\n4 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\noraz\n𝑃𝐹𝐷𝐸= 1\n3 ⋅𝑃𝐴𝐷𝐸= 1\n3 ⋅1\n4 𝑎2 = 1\n12 𝑎2\nZatem\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐹𝐷𝐸= 1\n12 𝑎2\noraz\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 𝑃𝐴𝐷𝐹= 1\n6 𝑎2\nSposób V (poprzez odcinek 𝑀𝑁)\nOznaczmy przez 𝑀 i 𝑁 punkty przecięcia prostej równoległej do 𝐴𝐷 i przechodzącej\nprzez punkt 𝐹 z bokami - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷 kwadratu (zobacz rysunek).\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐹 i 𝐸𝐷𝐹 są podobne (cecha kkk), a skala tego podobieństwa jest\nrówna\n|𝐴𝐵|\n|𝐷𝐸| = 2. Zatem\n|𝐹𝑀| = 2\n3 𝑎 oraz |𝐹𝑁| = 1\n3 𝑎\nStąd\n𝑃𝐴𝐵𝐹= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐹𝑀| = 1\n2 ⋅𝑎⋅2\n3 𝑎= 1\n3 𝑎2\nPonieważ 𝑃𝐴𝐵𝐺= 1\n4 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n4 𝑎2 oraz 𝑃𝐴𝐺𝐹 = 𝑃𝐴𝐵𝐹-𝑃𝐴𝐵𝐺, więc\n𝑃𝐴𝐺𝐹 = 𝑃𝐴𝐵𝐹-𝑃𝐴𝐵𝐺= 1\n3 𝑎2 -1\n4 𝑎2 = 1\n12 𝑎2\nObliczamy pole trójkąta 𝐸𝐷𝐹:\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝑎\n𝑀\n𝑁\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃𝐸𝐷𝐹= 1\n2 ⋅|𝐷𝐸| ⋅|𝐹𝑁| = 1\n2 ⋅1\n2 𝑎⋅1\n3 𝑎= 1\n12 𝑎2\nPonieważ 𝑃𝐶𝐷𝐺= 1\n4 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n4 𝑎2 oraz 𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺 = 𝑃𝐶𝐷𝐺-𝑃𝐸𝐷𝐹 , więc\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺 = 𝑃𝐶𝐷𝐺-𝑃𝐸𝐷𝐹= 1\n4 𝑎2 -1\n12 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\nSposób VI (poprzez trójkąty 𝐴𝐸𝑄 i 𝐴𝐺𝐹)\nOznaczmy przez 𝑃 środek boku 𝐵𝐶, a przez 𝑄 - punkt przecięcia przekątnej 𝐴𝐶\ni odcinka 𝑃𝐸 (zobacz rysunek).\nTrójkąty 𝐴𝐹𝐺 i 𝐴𝐸𝑄 są podobne (cecha kkk), a skala tego podobieństwa jest równa\n|𝐴𝐺|\n|𝐴𝑄| =\n1\n2 |𝐴𝐶|\n3\n4 |𝐴𝐶|\n= 2\n3\nZatem\n𝑃𝐴𝐺𝐹= (2\n3)\n2\n⋅𝑃𝐴𝑄𝐸= 4\n9 ⋅1\n2 ⋅3\n4 𝑎√2 ⋅1\n4 𝑎√2 = 1\n12 𝑎2\nWobec tego\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺 = 𝑃𝐴𝐶𝐸-𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n4 𝑎2 -1\n12 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\nSposób VII (poprzez pola trójkątów w trapezie 𝐴𝐷𝐸𝐺)\nTrójkąty 𝐴𝐷𝐸 i 𝐴𝐷𝐺 mają wspólną podstawę 𝐴𝐷, a wysokości tych trójkątów opuszczone\nna bok 𝐴𝐷 są równe. Zatem 𝑃𝐴𝐷𝐸= 𝑃𝐴𝐷𝐺 . Stąd\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐴𝐺𝐷-𝑃𝐴𝐹𝐷= 𝑃𝐴𝐷𝐸-𝑃𝐴𝐹𝐷= 𝑃𝐹𝐷𝐸\nOznaczmy 𝑥= 𝑃𝐴𝐺𝐹= 𝑃𝐹𝐷𝐸 oraz 𝑦= 𝑃𝐸𝐹𝐺 .\nTrójkąty 𝐴𝐹𝐷 i 𝐸𝐹𝐺 są podobne (cecha kkk), a skala tego podobieństwa jest\nrówna\n|𝐴𝐷|\n|𝐸𝐺| = 2. Zatem\n𝑃𝐴𝐹𝐷= 22 ⋅𝑃𝐸𝐹𝐺= 4𝑦\n(zobacz rysunek).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝑎\n𝑄\n𝑃\nPola trójkątów 𝐷𝐸𝐺 i 𝐴𝐺𝐷 stanowią - odpowiednio - ósmą i czwartą część pola\nkwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Otrzymujemy zatem układ równań\n𝑥+ 𝑦= 1\n8 𝑎2 oraz 𝑥+ 4𝑦= 1\n4 𝑎2\nStąd\n3𝑦= 1\n8 𝑎2\n𝑦= 1\n24 𝑎2\nZatem\n𝑥= 1\n8 𝑎2 -𝑦= 1\n8 𝑎2 -1\n24 𝑎2 = 1\n12 𝑎2\nWobec tego\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 𝑃𝐺𝐶𝐸+ 𝑃𝐸𝐹𝐺= 𝑥+ 2𝑦= 1\n12 𝑎2 + 2 ⋅1\n24 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\nSposób VIII (w układzie współrzędnych)\nUmieszczamy kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 w układzie współrzędnych tak, że 𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0),\n𝐶= (𝑎, 𝑎) oraz 𝐷= (0, 𝑎), gdzie 𝑎> 0 (zobacz rysunek).\nWtedy 𝐺= (0 + 𝑎\n2\n, 0 + 𝑎\n2\n) = (1\n2 𝑎 , 1\n2 𝑎) oraz 𝐸= (1\n2 𝑎 , 𝑎).\nProsta 𝐴𝐸 ma równanie postaci 𝑦= 𝑎\n1\n2𝑎𝑥, czyli 𝑦= 2𝑥.\nProsta 𝐵𝐷 ma równanie postaci 𝑦= 𝑎\n-𝑎𝑥+ 𝑎, czyli 𝑦= -𝑥+ 𝑎.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝐺\n𝑎\n𝑦\n4𝑦\n𝑥\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝐹 przecięcia prostych 𝐴𝐸 i 𝐵𝐷, rozwiązując układ\nrównań 𝑦= 2𝑥 i 𝑦= -𝑥+ 𝑎. Stąd\n2𝑥= -𝑥+ 𝑎\n𝑥= 1\n3 𝑎\nwięc 𝑦= 2\n3 𝑎 oraz 𝐹= (1\n3 𝑎 , 2\n3 𝑎).\nObliczamy pola trójkątów 𝐴𝐺𝐹 i 𝐴𝐶𝐸:\n𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n2 ⋅|1\n2 𝑎⋅2\n3 𝑎-1\n2 𝑎⋅1\n3 𝑎 | = 1\n12 𝑎2\noraz\n𝑃𝐴𝐶𝐸= 1\n2 ⋅|𝑎⋅𝑎-𝑎⋅1\n2 𝑎 | = 1\n4 𝑎2\nZatem\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺= 𝑃𝐴𝐶𝐸-𝑃𝐴𝐺𝐹= 1\n4 𝑎2 -1\n12 𝑎2 = 1\n6 𝑎2\nSposób IX (poprzez punkty kratowe)\nKwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 umieszczamy na sieci złożonej z przystających kwadratów o boku\n𝑚= 1\n12 𝑎 (jak na rysunku).\nWtedy\n𝑃𝐴𝐵𝐹= 1\n2 ⋅12𝑚⋅8𝑚= 48𝑚2\noraz\n𝑃𝐴𝐵𝐺= 1\n2 ⋅12𝑚⋅6𝑚= 36𝑚2\nZatem\n𝑃𝐴𝐺𝐹 = 𝑃𝐴𝐵𝐹-𝑃𝐴𝐵𝐺= 12𝑚2 = 12 ⋅( 1\n12 𝑎)\n2\n= 1\n12 𝑎2\noraz\n𝑃𝐶𝐸𝐹𝐺 = 𝑃𝐶𝐷𝐺-𝑃𝐷𝐹𝐸= 1\n2 ⋅12𝑚⋅6𝑚-1\n2 ⋅6𝑚⋅4𝑚= 24𝑚2 = 24 ⋅( 1\n12 𝑎)\n2\n= 1\n6 𝑎2","solution":"Odpowiedź: P(AGF) = a²/12 | P(CEFG) = a²/6\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nGeometryczna obserwacja — F to środek ciężkości trójkąta ACD\n\nTo najważniejszy fakt tego zadania. Spójrz:\n\n- $E$ — środek boku $CD$\n- $G$ — przecięcie przekątnych kwadratu = środek kwadratu = środek odcinka $AC$\n\nW trójkącie $ACD$ mamy zatem:\n\n- $AE$ — środkowa z wierzchołka $A$ do środka $E$ przeciwległego boku $CD$\n- $DG$ — środkowa z wierzchołka $D$ do środka $G$ przeciwległego boku $AC$ (a $DG$ leży na przekątnej $BD$, bo $D \\to G$ to fragment $BD$)\n\nMediany przecinają się w środku ciężkości, więc punkt $F = AE \\cap BD = AE \\cap DG$ to środek ciężkości trójkąta $ACD$.\n\nZ własności środka ciężkości: dzieli każdą medianę w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka. Czyli $|DF| : |FG| = 2 : 1$, a $|AF| : |FE| = 2 : 1$.\n\nPole trójkąta AGF — przez stosunki\n\nOblicz pole trójkąta $AGD$. $G$ to środek przekątnej $AC$, więc $G$ jest środkiem kwadratu. Trójkąt $AGD$ ma wierzchołki: $A$, środek kwadratu, $D$ — to ćwiartka kwadratu (jedno z czterech przystających trójkątów wyznaczonych przez obie przekątne):\n\n$$P_{AGD} = \\frac{1}{4} a^2$$\n\nWykorzystaj fakt, że $F$ leży na $DG$ i dzieli ją w stosunku $|DF|:|FG| = 2:1$.\n\nTrójkąty $AGF$ i $AGD$ mają wspólny wierzchołek $A$, a ich „podstawy\" $GF$ i $GD$ leżą na tej samej prostej. Stosunek pól = stosunek podstaw:\n\n$$\\frac{P_{AGF}}{P_{AGD}} = \\frac{|GF|}{|GD|} = \\frac{1}{3}$$\n\n(bo $|GF| = \\tfrac{1}{3} |GD|$ — $F$ jest jedną trzecią drogi od $G$ do $D$ — albo równoważnie $\\tfrac{1}{3}$ całej mediany od strony środka boku).\n\nStąd:\n\n$$P_{AGF} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{4} a^2 = \\frac{a^2}{12}$$\n\nPole czworokąta CEFG — przez różnicę\n\nOblicz pole trójkąta $ACE$. Trójkąt $ACE$ ma podstawę $EC = \\tfrac{1}{2}a$ i wysokość $a$ (od $A$ do prostej $CD$):\n\n$$P_{ACE} = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{1}{2} a \\cdot a = \\frac{a^2}{4}$$\n\nTrójkąt $AGF$ + czworokąt $CEFG$ pokrywa trójkąt $ACE$ (dwie figury rozdzielone przez przekątną $BD$):\n\n$$P_{CEFG} = P_{ACE} - P_{AGF} = \\frac{a^2}{4} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{3 a^2 - a^2}{12} = \\frac{2 a^2}{12} = \\frac{a^2}{6}$$\n\nSposób alternatywny — w układzie współrzędnych (mechanicznie)\n\nUmieść kwadrat w układzie: $A = (0, 0)$, $B = (a, 0)$, $C = (a, a)$, $D = (0, a)$. Wtedy:\n\n- $E$ = środek $CD$ = $\\left(\\tfrac{a}{2}, a\\right)$\n- $G$ = środek $AC$ = $\\left(\\tfrac{a}{2}, \\tfrac{a}{2}\\right)$\n- prosta $AE$: $y = 2x$\n- prosta $BD$: $y = -x + a$\n- $F$ = przecięcie: $2x = -x + a \\Rightarrow x = \\tfrac{a}{3}$, $y = \\tfrac{2a}{3}$. Czyli $F = \\left(\\tfrac{a}{3}, \\tfrac{2a}{3}\\right)$.\n\nPola obliczamy ze wzoru wyznacznikowego (½|det|):\n\n$$P_{AGF} = \\frac{1}{2} \\left| \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{2a}{3} - \\frac{a}{2} \\cdot \\frac{a}{3} \\right| = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{a^2}{6} = \\frac{a^2}{12}$$\n\n$$P_{ACE} = \\frac{1}{2} \\left| a \\cdot a - a \\cdot \\frac{a}{2} \\right| = \\frac{a^2}{4}$$\n\n$$P_{CEFG} = \\frac{a^2}{4} - \\frac{a^2}{12} = \\frac{a^2}{6}$$\n\nMniej geometryczne myślenie, więcej arytmetyki — ale żadnego ryzyka pomyłki o środku ciężkości.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — pokazanie z uzasadnieniem, że $|DF| : |FG| = 2 : 1$ (lub równoważne stwierdzenie o podobieństwie trójkątów $ABF$ i $EDF$ w skali 2:1).\n- 2 pkt — obliczenie jednej z długości $|FG|, |DF|, |AF|, |FE|, |BF|$ lub powiązanie pól $\\triangle AGF$ i $\\triangle FDE$.\n- 3 pkt — obliczenie pola jednej z figur ($P_{AGF} = \\tfrac{a^2}{12}$ albo $P_{CEFG} = \\tfrac{a^2}{6}$).\n- 4 pkt — pełne rozwiązanie z obiema polami.\n\nKlucz — środek ciężkości na maturze\n\nDwa fakty, które warto mieć zawsze pod ręką:\n\n1. Środek ciężkości trójkąta to przecięcie median. Dzieli każdą medianę w stosunku 2 : 1 od wierzchołka.\n2. Pola trójkątów o wspólnym wierzchołku i podstawach na tej samej prostej są w stosunku długości tych podstaw (twierdzenie o polach trójkątów o wspólnej wysokości).\n\nTe dwie reguły rozwiązują 80% zadań o polach figur w kwadracie/prostokącie podzielonym przekątnymi i odcinkami od środków boków.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli przyjmiesz, że F dzieli AE w stosunku 1:1 lub 2:1 (np. \"F to środek AE\") — 0 punktów. F jest środkiem ciężkości trójkąta ACD, więc dzieli mediany w stosunku 2:1, ale od WIERZCHOŁKA, nie od środka boku.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"planimetria, środek ciężkości trójkąta, pola","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟒𝒙) -𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟒𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙-𝟑\nw zbiorze [𝟎, 𝟐𝝅]. Zapisz obliczenia.\n10.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(4x) - sin(2x) = 4cos²x - 3 w zbiorze <0,2π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne o stopniu trudności nie\nwiększym niż w przykładzie\n4 cos 2𝑥cos 5𝑥= 2 cos 7𝑥+ 1.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 , 11𝜋\n6 .\n4 pkt - zapisanie alternatywy równań sin(2𝑥) -1 = 0 lub 2 cos(2𝑥) -1 = 0 oraz\nrozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub obydwu\nw zbiorze ℝ), np.\n𝜋\n4 , 5𝜋\n4 (rozwiązania równania sin(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze [0, 2𝜋]),\n𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n6 , 11𝜋\n6 (rozwiązania równania 2cos(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze [0, 2𝜋]),\n𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ (rozwiązania równania sin(2𝑥) -1 = 0 w zbiorze ℝ) oraz\n𝜋\n6 + 𝑘𝜋 lub -𝜋\n6 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ (rozwiązania równania 2cos(2𝑥) -1 = 0\nw zbiorze ℝ)\nALBO\n- zapisanie alternatywy trzech równań\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub sin 𝑥= 1\n2 lub sin 𝑥= -1\n2\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub co\nnajmniej dwóch z tych równań w zbiorze ℝ),\nALBO\n- zapisanie alternatywy trzech równań\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub cos 𝑥=\n√3\n2 lub cos 𝑥= -\n√3\n2\noraz rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy w zbiorze [0, 2𝜋] (lub co\nnajmniej dwóch z tych równań w zbiorze ℝ).\n3 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 do postaci\nalternatywy dwóch równań trygonometrycznych, np.:\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub 2 cos(2𝑥) -1 = 0,\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub 1 -4 sin2 𝑥= 0,\nsin(2𝑥) -1 = 0 lub 4 cos2 𝑥-3 = 0\nALBO\n- przekształcenie równoważne równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 do postaci\n[sin(2𝑥) -1] ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 0 lub\n[sin(2𝑥) -1] ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 0, lub\n(4 cos2 𝑥-3) ⋅[sin(2𝑥) -1] = 0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci\nsin (2𝑥) ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2cos(2𝑥) -1 lub\nsin(2𝑥) ⋅(4 cos2 𝑥-3) = 4 cos2 𝑥-3, lub\nsin(2𝑥) ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥, lub\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2cos(2𝑥) -1, lub\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(4 cos2 𝑥-3) = 4 cos2 𝑥-3, lub\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥, lub\n2 ⋅(4 cos3 𝑥-3 cos 𝑥) ⋅sin 𝑥= 4 cos2 𝑥-3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus podwojonego kąta lub cosinus podwojonego kąta, lub\nróżnicę sinusów i zapisanie równania w postaci\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 lub\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 2 cos(2𝑥) -1, lub\n2 cos(3𝑥) ⋅sin 𝑥= 4 cos2 𝑥-3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający przed uzyskaniem trygonometrycznych równań elementarnych popełni\njedynie błędy rachunkowe i otrzyma równania elementarne, z których co najmniej jedno\nma dwie serie rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, to może otrzymać co najwyżej\n4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełnia błędy inne niż rachunkowe i uzyska błędną alternatywę (albo\nbłędną postać iloczynową), ale jednym z równań tej alternatywy jest: sin(2𝑥) -1 = 0,\n2 cos(2𝑥) -1 = 0, 4 cos2 𝑥-3 = 0, 1 -4 sin2 𝑥= 0, i to równanie rozwiąże\nw przedziale [0, 2𝜋], to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający dzieli obie strony równania przez wyrażenie 𝑎(𝑥), zawierające\nniewiadomą 𝑥 i nie rozważa przypadku 𝑎(𝑥) = 0, ale konsekwentnie rozwiąże\notrzymane równanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający popełnia jednokrotnie błąd polegający na niepoprawnym zastosowaniu\nwzorów trygonometrycznych i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nStosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 równoważnie, otrzymując:\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3\nsin(2 ⋅2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 ⋅(2cos2𝑥-1) -1\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 ⋅(2cos2𝑥-1) -1\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 2 cos(2𝑥) -1\nsin(2𝑥) ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 2 cos(2𝑥) -1\n[sin(2𝑥) -1] ⋅[2 cos(2𝑥) -1] = 0\nsin(2𝑥) -1 = 0 ∨ 2 cos(2𝑥) -1 = 0\nsin(2𝑥) = 1 ∨ cos(2𝑥) = 1\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin(2𝑥) = 1\n2𝑥= 𝜋\n2 + 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n4 , 5𝜋\n4 .\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = 1\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos(2𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 ∨ 2𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -𝜋\n6 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(2𝑥) = 1\n2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n6 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 11𝜋\n6 .\nZatem rozwiązaniami równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 w zbiorze [0, 2𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 , 11𝜋\n6 .\nSposób II\nStosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 równoważnie, otrzymując:\nsin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3\nsin(2 ⋅2𝑥) -sin(2𝑥) = 4 cos2 𝑥-3\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅cos(2𝑥) -sin(2𝑥) = 4 ⋅(1 -sin2 𝑥) -3\n2 ⋅sin(2𝑥) ⋅(1 -2 sin2 𝑥) -sin(2𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥\nsin(2𝑥) ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 1 -4 sin2 𝑥\n[sin(2𝑥) -1] ⋅(1 -4 sin2 𝑥) = 0\nsin(2𝑥) -1 = 0 ∨ 1 -4 sin2 𝑥= 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nsin(2𝑥) = 1 ∨ sin 𝑥= 1\n2 ∨ sin 𝑥= -1\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 1 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin(2𝑥) = 1\n2𝑥= 𝜋\n2 + 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin(2𝑥) = 1 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n4 , 5𝜋\n4 .\nRozwiązujemy równanie sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin 𝑥= 1\n2\n𝑥= 𝜋\n6 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin 𝑥= 1\n2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 𝜋\n6 , 5𝜋\n6 .\nRozwiązujemy równanie sin 𝑥= -1\n2 w zbiorze liczb rzeczywistych:\nsin 𝑥= -1\n2\n𝑥= -𝜋\n6 + 2𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -5𝜋\n6 + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania sin 𝑥= -1\n2 w zbiorze [0, 2𝜋]: 11𝜋\n6 , 7𝜋\n6 .\nZatem rozwiązaniami równania sin(4𝑥) -sin(2𝑥) = 4cos2𝑥-3 w zbiorze [0, 2𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 5𝜋\n6 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 , 11𝜋\n6 .","solution":"Odpowiedź: x ∈ {π/6, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 11π/6}\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia\n\nLewa strona zawiera $\\sin(4x)$ i $\\sin(2x)$ — wszystko z argumentem $2x$. Prawa strona ma $\\cos^2 x$ — trzeba sprowadzić do tego samego argumentu.\n\nCel: doprowadzić do iloczynu typu $A(x) \\cdot B(x) = 0$, gdzie każdy czynnik jest „prostym\" równaniem.\n\nPrzekształć lewą stronę. Zastosuj wzór $\\sin 2\\alpha = 2 \\sin \\alpha \\cos \\alpha$ dla $\\alpha = 2x$:\n\n$$\\sin(4x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x)$$\n\nStąd:\n\n$$\\sin(4x) - \\sin(2x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x) - \\sin(2x) = \\sin(2x) \\cdot \\left[ 2 \\cos(2x) - 1 \\right]$$\n\nPrzekształć prawą stronę. Pamiętaj wzór $\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$, czyli $2 \\cos^2 \\alpha = 1 + \\cos 2\\alpha$. Stąd:\n\n$$4 \\cos^2 x = 2(2 \\cos^2 x) = 2(1 + \\cos 2x) = 2 + 2\\cos(2x)$$\n\n$$4 \\cos^2 x - 3 = 2 + 2\\cos(2x) - 3 = 2\\cos(2x) - 1$$\n\nZapisz całe równanie:\n\n$$\\sin(2x) \\cdot \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] = 2\\cos(2x) - 1$$\n\nPrzenieś wszystko na jedną stronę i wyłącz wspólny czynnik:\n\n$$\\sin(2x) \\cdot \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] - \\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] = 0$$\n\n$$\\left[ 2\\cos(2x) - 1 \\right] \\cdot \\left[ \\sin(2x) - 1 \\right] = 0$$\n\nIloczyn jest zerem, gdy któryś z czynników jest zerem.\n\n- Albo $2\\cos(2x) - 1 = 0 \\;\\Leftrightarrow\\; \\cos(2x) = \\dfrac{1}{2}$\n- Albo $\\sin(2x) - 1 = 0 \\;\\Leftrightarrow\\; \\sin(2x) = 1$\n\nRozwiązanie pierwszego równania: $\\cos(2x) = \\tfrac{1}{2}$\n\n$\\cos \\theta = \\tfrac{1}{2}$ ma rozwiązania $\\theta = \\pm \\tfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$. Stąd $2x = \\pm \\tfrac{\\pi}{3} + 2k\\pi$, czyli:\n\n$$x = \\pm \\frac{\\pi}{6} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$\n\nW przedziale $[0, 2\\pi]$ wpisz kolejne $k$:\n\n- $k = 0$, $+$: $x = \\tfrac{\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 1$, $-$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{5\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 1$, $+$: $x = \\tfrac{\\pi}{6} + \\pi = \\tfrac{7\\pi}{6}$ ✓\n- $k = 2$, $-$: $x = -\\tfrac{\\pi}{6} + 2\\pi = \\tfrac{11\\pi}{6}$ ✓\n\nŁącznie z tego równania: $\\dfrac{\\pi}{6},\\ \\dfrac{5\\pi}{6},\\ \\dfrac{7\\pi}{6},\\ \\dfrac{11\\pi}{6}$.\n\nRozwiązanie drugiego równania: $\\sin(2x) = 1$\n\n$\\sin \\theta = 1$ ma rozwiązania $\\theta = \\tfrac{\\pi}{2} + 2k\\pi$. Stąd $2x = \\tfrac{\\pi}{2} + 2k\\pi$, czyli:\n\n$$x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}$$\n\nW przedziale $[0, 2\\pi]$:\n\n- $k = 0$: $x = \\tfrac{\\pi}{4}$ ✓\n- $k = 1$: $x = \\tfrac{5\\pi}{4}$ ✓\n\nŁącznie z tego równania: $\\dfrac{\\pi}{4},\\ \\dfrac{5\\pi}{4}$.\n\nWszystkie rozwiązania razem\n\nSześć rozwiązań — uporządkowane rosnąco.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zastosowanie wzoru $\\sin(4x) = 2 \\sin(2x) \\cos(2x)$ ALBO wzoru $\\cos 2\\alpha = 2 \\cos^2 \\alpha - 1$ (czyli redukcja jednej ze stron równania).\n- 2 pkt — sprowadzenie obu stron do tego samego argumentu $2x$ i przekształcenie do postaci równoważnej z czynnikiem $2\\cos(2x) - 1$.\n- 3 pkt — przekształcenie do iloczynu $[\\sin(2x) - 1][2\\cos(2x) - 1] = 0$.\n- 4 pkt — rozwiązanie jednego z dwóch równań w $[0, 2\\pi]$ (4 rozwiązania z $\\cos$, lub 2 z $\\sin$).\n- 5 pkt — pełne rozwiązanie + wszystkie 6 punktów.\n\nKlucz — równania trygonometryczne z mieszanymi argumentami\n\nProcedura uniwersalna:\n\n1. Zidentyfikuj argumenty ($x$, $2x$, $4x$, ...).\n2. Sprowadź wszystkie do jednego argumentu używając wzorów na sin/cos podwojonego/potrojonego/itd.\n3. Rozłóż na iloczyn zerujący się jako alternatywa prostszych równań.\n4. Rozwiąż każdy czynnik osobno i połącz wyniki w zbiorze.\n\nNigdy nie dziel przez wyrażenie z niewiadomą — zawsze przenoś na jedną stronę i wyłączaj wspólny czynnik.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd to próba rozwijania sin(4x) wzorem podwojonym dwa razy zamiast zauważenia, że sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x) (czyli sin podwojonego dla argumentu 2x). Drugi błąd: niezauważenie, że 4cos²x − 3 = 2cos(2x) − 1 (mocna redukcja).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"trygonometria, równania trygonometryczne, wzory","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) środek 𝑆 okręgu o promieniu √5 leży na\nprostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 1. Przez punkt 𝐴= (1, 2), którego odległość od punktu 𝑆 jest\nwiększa od √5, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach -\nodpowiednio - 𝐵 i 𝐶. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest równe 15.\nOblicz współrzędne punktu 𝑺. Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) środek S okręgu o promieniu √5 leży na prostej o równaniu y=x+1. Przez punkt A=(1,2), którego odległość od punktu S jest większa od √5, poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - B i C. Pole czworokąta ABSC jest równe 15. Oblicz współrzędne punktu S. Rozważ wszystkie przypadki.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.3) oblicza odległość dwóch punktów\nw układzie współrzędnych;\nIX.5) oblicza odległość punktu od prostej.\nIX.R1) posługuje się równaniem prostej\nw postaci ogólnej na płaszczyźnie […].\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑆= (6, 7) oraz 𝑆= (-4, -3).\n4 pkt - obliczenie obydwu wartości 𝑥𝑆: 6 oraz (-4)\nALBO\n- obliczenie obydwu współrzędnych punktu 𝑆 tylko dla jednego przypadku: 𝑆= (6, 7)\nalbo 𝑆= (-4, -3).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu 𝑆), np.\n(𝑥𝑆-1)2 + (𝑥𝑆+ 1 -2)2 = 50,\n|2𝑥𝑆 - (𝑥𝑆 + 1)|\n√22+ (-1)2\n= √5,\n(𝑥𝑆-(-5))2 + (𝑥𝑆+ 1 -(-1))2 = 5,\n(𝑥𝑆-(-2))2 + (𝑥𝑆+ 1 -(-4))2 = 5,\n(𝑥𝑆-4)2 + (𝑥𝑆+ 1 -8)2 = 5,\n(𝑥𝑆-7)2 + (𝑥𝑆+ 1 -5)2 = 5.\n2 pkt - obliczenie długości 𝑚 odcinka 𝐴𝐵 (lub 𝐴𝐶) stycznej: 3√5\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 5√2.\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝑆 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑆= (𝑥, 𝑥+ 1)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością 𝑚 odcinka 𝐴𝐵 stycznej), np.\n15 = 2 ⋅1\n2 ⋅𝑚⋅√5,\nALBO\n- zapisanie układ trzech równań:\n|𝑧|2 = 𝑚2 + 𝑚2 -2𝑚⋅𝑚⋅cos 𝛼 oraz\n|𝑧|2 = (√5)2 + (√5)2 -2√5 ⋅√5 ⋅cos(180° -𝛼) oraz\n15 = 1\n2 ⋅𝑚2 ⋅sin 𝛼+ 1\n2 ⋅(√5)\n2 ⋅sin(180° -𝛼),\ngdzie 𝑧= |𝐵𝐶|, 𝑚= |𝐴𝐵|, 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający pomija współczynnik 1\n2 we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten\ntraktujemy jako błąd rachunkowy.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty 𝑆, to może\notrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPromienie 𝐵𝑆 oraz 𝐶𝑆 okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do\nstycznych - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶, więc trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆 są prostokątne.\nPonadto odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 mają równe długości, więc trójkąty te są przystające (na\npodstawie cechy bbb przystawania trójkątów). Oznaczmy 𝑚= |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| (zobacz\nrysunek).\nPole 𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest sumą pól trójkątów przystających 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆, więc\n𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶= 𝑃𝐴𝐵𝑆+ 𝑃𝐴𝐶𝑆\n15 = 2 ⋅1\n2 ⋅ 𝑚⋅√5\n𝑚= 3√5\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐵𝑆 otrzymujemy\n|𝐴𝑆|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝑆|2 = (3√5)\n2 + (√5)\n2 = 50\nNiech 𝑥𝑆 będzie pierwszą współrzędną punktu 𝑆. Punkt 𝑆 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥+ 1, więc 𝑆= (𝑥𝑆 , 𝑥𝑆+ 1).\nWtedy\n(𝑥𝑆-1)2 + (𝑥𝑆+ 1 -2)2 = 50\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n𝑦\n1\n1\nξ5\n𝑚\n𝑚\nξ5\n𝑦= 𝑥+ 1\n𝐴\n𝑥\nStąd dalej otrzymujemy\n(𝑥𝑆-1)2 = 25\n|𝑥𝑆-1| = 5\n𝑥𝑆= 6 ∨ 𝑥𝑆= -4\nZatem 𝑆= (6, 7) lub 𝑆= (-4, -3).\nSposób II\nNiech 𝑥𝑆 będzie pierwszą współrzędną punktu 𝑆. Punkt 𝑆 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥+ 1, więc 𝑆= (𝑥𝑆 , 𝑥𝑆+ 1).\nPromienie 𝐵𝑆 oraz 𝐶𝑆 okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do\nstycznych - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶, więc trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆 są prostokątne.\nPonadto odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 mają równe długości, więc trójkąty te są przystające (na\npodstawie cechy bbb przystawania trójkątów). Oznaczmy 𝑚= |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| (zobacz\nrysunek).\nPole 𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest sumą pól trójkątów przystających 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆, więc\n𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶= 𝑃𝐴𝐵𝑆+ 𝑃𝐴𝐶𝑆\n15 = 2 ⋅1\n2 ⋅ 𝑚⋅√5\n𝑚= 3√5\nZauważmy, że punkt 𝐴 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 1. Każda prosta przechodząca\nprzez punkt 𝐴= (1, 2), poza prostą równoległą do osi 𝑂𝑦, ma równanie postaci\n𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2. Tangens kąta, jaki tworzy każda ze stycznych 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 z prostą\no równaniu 𝑦= 𝑥+ 1, jest równy\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n𝑦\n1\n1\nξ5\n𝑚\n𝑚\nξ5\n𝑦= 𝑥+ 1\n𝐴\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ntg 𝛼= √5\n𝑚= √5\n3√5\n= 1\n3\nStąd i ze wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy\n1\n3 = tg 𝛼= |𝑎-1\n𝑎+ 1|\n𝑎+ 1 = 3(𝑎-1) ∨ 𝑎+ 1 = -3(𝑎-1)\n𝑎= 2 ∨ 𝑎= 1\n2\nZatem styczne 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 mają równania postaci 𝑦= 2(𝑥-1) + 2 oraz\n𝑦= 1\n2 (𝑥-1) + 2, czyli 2𝑥-𝑦= 0 oraz 𝑥-2𝑦+ 3 = 0.\nOdległość punktu 𝑆 od każdej ze stycznych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 jest równa √5. Zatem\n|2𝑥𝑆-(𝑥𝑆+ 1)|\n√22 + (-1)2\n= √5\n|𝑥𝑆-1| = 5\n𝑥𝑆= 6 ∨ 𝑥𝑆= -4\nIstnieją dwa punkty spełniające warunki zadania: 𝑆= (6, 7) oraz 𝑆= (-4, -3).","solution":"Odpowiedź: $S = (6, 7)$ lub $S = (-4, -3)$ — dwa rozwiązania.\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nKonfiguracja — co jest dane\n\nCztery elementy układu:\n\n- prosta $y = x + 1$ — na niej leży środek $S$\n- okrąg o środku $S$ i promieniu $\\sqrt{5}$\n- punkt $A = (1, 2)$ — punkt zewnętrzny ($|AS| > \\sqrt{5}$)\n- dwie styczne $AB$ i $AC$ — odcinki od $A$ do punktów styczności $B$ i $C$ na okręgu\n\nCzworokąt $ABSC$ tworzą cztery wierzchołki: $A$, $B$, $S$, $C$. Jego pole jest $15$.\n\nKlucz — własności geometryczne\n\nTrzy fakty, na których stoi rozwiązanie:\n\n1. Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Stąd $\\angle ABS = \\angle ACS = 90°$.\n2. Odcinki styczne z jednego punktu mają równe długości: $|AB| = |AC|$.\n3. Trójkąty $ABS$ i $ACS$ są przystające (oba prostokątne, mają wspólną przeciwprostokątną $AS$ i równe boki $AB = AC$).\n\nCzworokąt $ABSC$ to deltoid (dwa boki $SB = SC = \\sqrt{5}$, dwa boki $AB = AC$). Jego pole to suma pól dwóch przystających trójkątów prostokątnych.\n\nKrok 1 — wyznacz $|AB|$ z pola czworokąta\n\nZapisz pole jako sumę dwóch trójkątów. Niech $m = |AB| = |AC|$.\n\n$$P_{ABSC} = 2 \\cdot P_{\\triangle ABS} = 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5} = m \\sqrt{5}$$\n\nZ warunku $P_{ABSC} = 15$:\n\n$$m \\sqrt{5} = 15 \\quad\\Rightarrow\\quad m = \\frac{15}{\\sqrt{5}} = \\frac{15 \\sqrt{5}}{5} = 3\\sqrt{5}$$\n\nOblicz $|AS|$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABS$ (prostokątnym przy $B$):\n\n$$|AS|^2 = |AB|^2 + |BS|^2 = (3\\sqrt{5})^2 + (\\sqrt{5})^2 = 45 + 5 = 50$$\n\n$$|AS| = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}$$\n\nKrok 2 — znajdź $S$ na prostej $y = x + 1$ w odległości $5\\sqrt{2}$ od $A$\n\nWprowadź jedną zmienną. Punkt $S$ leży na prostej $y = x + 1$, więc:\n\n$$S = (x_S,\\ x_S + 1)$$\n\nZapisz warunek odległości $|AS|^2 = 50$, gdzie $A = (1, 2)$:\n\n$$(x_S - 1)^2 + (x_S + 1 - 2)^2 = 50$$\n\n$$(x_S - 1)^2 + (x_S - 1)^2 = 50$$\n\n$$2(x_S - 1)^2 = 50$$\n\n$$(x_S - 1)^2 = 25$$\n\nRozwiąż na $x_S$:\n\n$$|x_S - 1| = 5 \\quad\\Rightarrow\\quad x_S = 6 \\quad\\text{lub}\\quad x_S = -4$$\n\nStąd dwie możliwości:\n\n$$S_1 = (6, 7), \\qquad S_2 = (-4, -3)$$\n\nSprawdź warunek „odległość od $A$ większa od $\\sqrt{5}$\".\n\n$|AS| = 5\\sqrt{2} = \\sqrt{50}$, a $\\sqrt{5} \\approx 2{,}24$. Mamy $5\\sqrt{2} > \\sqrt{5}$ ✓ dla obu punktów.\n\nDlaczego dwa rozwiązania?\n\nGeometrycznie: konfiguracja „punkt $A$ + okrąg w odległości $5\\sqrt{2}$\" jest symetryczna względem $A$. Środek $S$ może leżeć po jednej lub drugiej stronie $A$ wzdłuż prostej $y = x + 1$ — oba położenia spełniają warunki zadania:\n\n- $S_1 = (6, 7)$ — na prawo od $A$\n- $S_2 = (-4, -3)$ — na lewo od $A$\n\nTreść zadania mówi „rozważ wszystkie przypadki\" — dlatego ZAWSZE odpowiadamy oba.\n\nPunktacja CKE\n\n- 1 pkt — zapisanie $S = (x, x+1)$ ALBO układu równań z $m$, $\\alpha$ ALBO równania z $m$ (np. $15 = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5}$).\n- 2 pkt — obliczenie $m = |AB| = 3\\sqrt{5}$ ALBO obliczenie $|AS| = 5\\sqrt{2}$.\n- 3 pkt — zapisanie równania z jedną niewiadomą (np. $(x_S - 1)^2 + (x_S - 1)^2 = 50$).\n- 4 pkt — obliczenie obu wartości $x_S = 6$ i $x_S = -4$ ALBO znalezienie obu współrzędnych dla jednego rozwiązania.\n- 5 pkt — oba punkty $S = (6, 7)$ i $S = (-4, -3)$.\n\nKlucz uniwersalny\n\nTrzy własności styczne-okrąg, które warto mieć w pamięci:\n\n1. Styczne z jednego punktu zewnętrznego są równej długości ($|AB| = |AC|$).\n2. Promień w punkcie styczności jest prostopadły do stycznej ($\\angle SBA = 90°$).\n3. Czworokąt $A$-styczność-$S$-styczność to deltoid z polem $= 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} \\cdot \\text{styczna} \\cdot \\text{promień}$.\n\nTe trzy fakty rozwiązują 90% zadań „styczne z punktu zewnętrznego\" — reszta to arytmetyka.\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli otrzymasz więcej niż dwa punkty $S$ (np. zapomnisz, że to musi być na prostej $y = x + 1$ i sprawdzisz wszystkie punkty na okręgu wokół $A$) — maksimum 4 pkt. Druga pułapka: pomiń współczynnik $\\tfrac{1}{2}$ we wzorze na pole trójkąta i wszystko się rozjeżdża.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"geometria analityczna, okrąg, styczne, deltoid, analityczna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐-(𝟑𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙+ 𝟐𝒎𝟐+ 𝒎+ 𝟏= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek\n𝒙𝟏\n𝟑+ 𝒙𝟐\n𝟑+ 𝟑⋅𝒙𝟏⋅𝒙𝟐⋅(𝒙𝟏+ 𝒙𝟐-𝟑) ≤𝟑𝒎-𝟕\nZapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² - (3m+1)⋅x + 2m²+m+1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek x_1³ + x_2³ + 3⋅x_1⋅x_2⋅(x_1+x_2-3) ≤ 3m-7.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami,\nw szczególności wyznacza liczbę rozwiązań\nw zależności od parametrów, podaje\nwarunki, przy których rozwiązania mają\nżądaną własność, i wyznacza rozwiązania\nw zależności od parametrów.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n4 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7: 𝑚∈(-∞, 1\n3].\n3 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤0, gdzie 𝑊(𝑚)\njest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np.\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0, (9𝑚2 -1)(3𝑚+ 1) ≤0, 27 (𝑚-1\n3) (𝑚+ 1\n3)\n2\n≤0\nALBO\n- zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1.\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, np.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do\npostaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III\netap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za\nIII etap może otrzymać 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚+ 1) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±(3𝑚+ 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za\nII etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:\npominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2],\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)3,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do\nkońca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie\nwzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca),\na za III etap otrzymuje 0 punktów.\n5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to\nza podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉\njest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 -(3𝑚+ 1)𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 ma dwa różne pierwiastki\nrzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy\nwarunek ∆> 0:\n[-(3𝑚+ 1)]2 -4 ∙1 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) > 0\n𝑚2 + 2𝑚-3 > 0\n(𝑚-1) ⋅(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0\n(3𝑚)3 -13 + 9𝑚2 -3𝑚≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 3𝑚+ 1) + 3𝑚(3𝑚-1) ≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 1) ≤0\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0\n𝑚∈(-∞, 1\n3]\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-∞, 1\n3]: 𝑚∈(-∞, -3).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: $m \\in (-\\infty, -3)$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nStrategia — zadanie ma TRZY etapy\n\nCKE oczywiście wymaga rozdzielenia rozumowania na trzy fazy:\n\n1. Etap I (1 pkt) — warunek „dwa różne rozwiązania rzeczywiste\": $\\Delta > 0$.\n2. Etap II (4 pkt) — przekształcenie warunku $x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) \\leq 3m - 7$ do nierówności z jedną niewiadomą $m$, korzystając ze wzorów Viète'a.\n3. Etap III (1 pkt) — część wspólna wyników z etapów I i II.\n\nZacznij od I — to wyznacza dziedzinę dopuszczalnych $m$.\n\nEtap I — warunek $\\Delta > 0$\n\nWyróżnik trójmianu $x^2 - (3m+1)x + (2m^2 + m + 1)$:\n\n$$\\Delta = \\left[-(3m+1)\\right]^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (2m^2 + m + 1)$$\n\n$$\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1)$$\n\n$$\\Delta = 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 = m^2 + 2m - 3$$\n\nRozwiąż nierówność $m^2 + 2m - 3 > 0$. Rozkład: $m^2 + 2m - 3 = (m - 1)(m + 3)$.\n\nIloczyn $(m-1)(m+3) > 0$ gdy oba czynniki są tego samego znaku:\n\n$$m \\in (-\\infty,\\ -3) \\cup (1,\\ +\\infty)$$\n\nTo pierwszy warunek, jaki $m$ musi spełniać.\n\nEtap II — przekształcenie nierówności\n\nTo najtrudniejsza część. Kluczowa tożsamość, którą trzeba zauważyć:\n\n$$x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2$$\n\nDlaczego? Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy:\n\n$$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3 x_1^2 x_2 + 3 x_1 x_2^2 + x_2^3 = x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$$\n\nStąd $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$. Podstaw do lewej strony:\n\n$$\\underbrace{(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)}_{x_1^3 + x_2^3} + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 9 x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2$$\n\nTrzeci wyraz $-3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ i czwarty $+3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$ znoszą się.\n\nZastosuj wzory Viète'a dla równania $x^2 - (3m+1)x + (2m^2 + m + 1) = 0$:\n\n$$x_1 + x_2 = 3m + 1, \\qquad x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1$$\n\nPodstaw do nierówności:\n\n$$(3m + 1)^3 - 9 (2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7$$\n\nRozwiń $(3m+1)^3$. Skorzystaj z $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3$:\n\n$$(3m+1)^3 = 27 m^3 + 27 m^2 + 9m + 1$$\n\nStąd:\n\n$$27 m^3 + 27 m^2 + 9m + 1 - 18 m^2 - 9 m - 9 \\leq 3m - 7$$\n\n$$27 m^3 + 9 m^2 - 8 \\leq 3m - 7$$\n\n$$27 m^3 + 9 m^2 - 3m - 1 \\leq 0$$\n\nRozłóż lewą stronę na czynniki. Sprawdź, że $(3m + 1)^2$ jest dzielnikiem:\n\n$$27 m^3 + 9 m^2 - 3m - 1 = (3m - 1)(3m + 1)^2$$\n\nWeryfikacja: $(3m - 1)(9m^2 + 6m + 1) = 27m^3 + 18m^2 + 3m - 9m^2 - 6m - 1 = 27m^3 + 9m^2 - 3m - 1$ ✓\n\nRozwiąż nierówność $(3m - 1)(3m + 1)^2 \\leq 0$.\n\nCzynnik $(3m + 1)^2 \\geq 0$ zawsze — równość gdy $m = -\\tfrac{1}{3}$.\n\n- Gdy $m = -\\tfrac{1}{3}$: lewa strona = $0 \\leq 0$ ✓\n- Gdy $m \\neq -\\tfrac{1}{3}$: $(3m + 1)^2 > 0$, więc znak iloczynu = znak $(3m - 1)$. Nierówność $\\leq 0$ daje $3m - 1 \\leq 0$, czyli $m \\leq \\tfrac{1}{3}$.\n\nŁącząc: $m \\leq \\tfrac{1}{3}$, czyli:\n\n$$m \\in \\left(-\\infty,\\ \\frac{1}{3}\\right]$$\n\nEtap III — część wspólna z etapem I\n\nMamy dwa warunki:\n\n- Z etapu I: $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$\n- Z etapu II: $m \\in (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$\n\nCzęść wspólna:\n\n$$\\left[ (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty) \\right] \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$$\n\nRozbij na dwie części:\n\n- $(-\\infty, -3) \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}] = (-\\infty, -3)$ (cały lewy fragment mieści się)\n- $(1, +\\infty) \\cap (-\\infty, \\tfrac{1}{3}] = \\emptyset$ (bo $1 > \\tfrac{1}{3}$)\n\nSuma:\n\n$$m \\in (-\\infty, -3)$$\n\nPunktacja CKE — pełny rozkład\n\nEtap I (1 pkt): poprawne rozwiązanie $\\Delta > 0$ → $m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)$.\n\nEtap II (4 pkt):\n\n- 1 pkt — przekształcenie nierówności do postaci $(x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7$ (pozwalające na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a).\n- 2 pkt — zapisanie nierówności z jedną niewiadomą $m$: $(3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7$.\n- 3 pkt — sprowadzenie do postaci iloczynowej $W(m) \\leq 0$, np. $(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0$.\n- 4 pkt — rozwiązanie nierówności: $m \\in (-\\infty, \\tfrac{1}{3}]$.\n\nEtap III (1 pkt): część wspólna → $m \\in (-\\infty, -3)$.\n\nKlucz — zadania z parametrem na rozszerzonej\n\nTypowy schemat:\n\n1. Wyróżnik ($\\Delta > 0$ lub $\\geq 0$, w zależności od „różne\") → pierwszy zakres $m$.\n2. Symetryczne wyrażenia z $x_1, x_2$ sprowadź do $x_1 + x_2$ i $x_1 x_2$ używając tożsamości:\n- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2$\n- $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$\n- $\\dfrac{1}{x_1} + \\dfrac{1}{x_2} = \\dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$\n3. Zastosuj Viète'a ($x_1 + x_2 = -\\tfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \\tfrac{c}{a}$) → drugi zakres.\n4. Część wspólna dwóch zakresów.\n\nTo scenariusz 80% zadań „z parametrem\" w PR.\n\nTypowy błąd: Najgorszy błąd: $\\Delta \\geq 0$ zamiast $\\Delta > 0$. Treść mówi „dwa **różne** rozwiązania\" → ostry znak. CKE wprost: $\\Delta \\geq 0$ daje 0 punktów za etap I. Drugi błąd: tożsamość $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3$ (brak członu $-3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)$).","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"równanie kwadratowe z parametrem, wzory Viète'a, parametr","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"13","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których\nkrawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3. Wykaż, że pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem P(a) = a²⋅√3/2 + 13824√3/a.","answer":"D","answer_text":null,"solution":"Odpowiedź: $a = 8\\sqrt{3}$, $P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728$\n\nStrona arkusza CKE z tym zadaniem\n\nSchemat bryły\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny to bryła, której podstawy są trójkątami równobocznymi o boku $a$, a krawędzie boczne (wysokość $H$) są prostopadłe do podstaw. Składa się z:\n\n- 2 trójkątnych podstaw (każda o polu $\\tfrac{a^2 \\sqrt{3}}{4}$)\n- 3 prostokątnych ścian bocznych (każda o wymiarach $a \\times H$)\n\n13.1 — wykaż wzór $P(a)$ (2 pkt)\n\nWyraź wysokość $H$ przez $a$ z warunku objętości.\n\nObjętość graniastosłupa = pole podstawy × wysokość:\n\n$$V = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} \\cdot H = 3456$$\n\nStąd:\n\n$$H = \\frac{4 \\cdot 3456}{a^2 \\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2 \\sqrt{3}}$$\n\nWymnóż licznik i mianownik przez $\\sqrt{3}$, żeby pozbyć się pierwiastka z mianownika:\n\n$$H = \\frac{13824 \\sqrt{3}}{3 a^2} = \\frac{4608 \\sqrt{3}}{a^2}$$\n\nWzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:\n\n$$P = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + 3 \\cdot P_{\\text{ściany bocznej}} = 2 \\cdot \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H$$\n\n$$P = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + 3 a H$$\n\nPodstaw $H$ do wzoru:\n\n$$P(a) = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + 3 a \\cdot \\frac{4608 \\sqrt{3}}{a^2} = \\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824 \\sqrt{3}}{a}$$\n\nTo należało wykazać. $\\blacksquare$\n\n13.2 — znajdź minimum $P(a)$ na $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$ (4 pkt)\n\nTreść ogranicza dziedzinę: $0 < a \\leq 8\\sqrt{3}$.\n\nOblicz pochodną $P'(a)$. Wzór $(\\tfrac{c}{a})' = -\\tfrac{c}{a^2}$ dla stałego $c$, więc:\n\n$$P'(a) = \\left(\\frac{a^2 \\sqrt{3}}{2}\\right)' + \\left(\\frac{13824 \\sqrt{3}}{a}\\right)' = a \\sqrt{3} - \\frac{13824 \\sqrt{3}}{a^2}$$\n\nWyznacz miejsca zerowe pochodnej. Rozwiąż $P'(a) = 0$ dla $a > 0$:\n\n$$a \\sqrt{3} - \\frac{13824 \\sqrt{3}}{a^2} = 0$$\n\nPomnóż przez $\\dfrac{a^2}{\\sqrt{3}}$:\n\n$$a^3 - 13824 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad a^3 = 13824 \\quad\\Rightarrow\\quad a = \\sqrt[3]{13824} = 24$$\n\n(bo $24^3 = 13824$).\n\nSprawdź, czy $a = 24$ leży w dziedzinie $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$.\n\n$8\\sqrt{3} \\approx 8 \\cdot 1{,}732 \\approx 13{,}86$. Zatem $24 > 8\\sqrt{3}$ → $a = 24$ NIE należy do dziedziny.\n\nZbadaj znak pochodnej w dziedzinie. Dla $a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\,]$ mamy $a < 24$, czyli $a^3 < 13824$, czyli:\n\n$$a^3 - 13824 < 0 \\quad\\Rightarrow\\quad P'(a) < 0$$\n\n(po pomnożeniu przez $\\tfrac{\\sqrt{3}}{a^2}$, co jest dodatnie). Pochodna jest ujemna w całej dziedzinie, więc funkcja $P$ jest malejąca na $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$.\n\nWniosek: funkcja malejąca na przedziale domkniętym z prawej strony przyjmuje wartość najmniejszą w prawej granicy, czyli dla:\n\n$$a = 8\\sqrt{3}$$\n\nOblicz $P(8\\sqrt{3})$.\n\n$$P(8\\sqrt{3}) = \\frac{(8\\sqrt{3})^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824 \\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}$$\n\nPierwszy człon: $(8\\sqrt{3})^2 = 64 \\cdot 3 = 192$, więc $\\dfrac{192 \\sqrt{3}}{2} = 96\\sqrt{3}$.\n\nDrugi człon: $\\dfrac{13824 \\sqrt{3}}{8 \\sqrt{3}} = \\dfrac{13824}{8} = 1728$.\n\n$$P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728$$\n\nPunktacja CKE\n\n13.1 (2 pkt):\n\n- 1 pkt — wyznaczenie $H = \\dfrac{13824}{a^2 \\sqrt{3}}$ (lub równoważnej postaci).\n- 2 pkt — pełne wyprowadzenie wzoru $P(a) = \\dfrac{a^2 \\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824 \\sqrt{3}}{a}$.\n\n13.2 (4 pkt):\n\n- 1 pkt — wyznaczenie pochodnej $P'(a) = a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824 \\sqrt{3}}{a^2}$.\n- 2 pkt — poprawne rozwiązanie $P'(a) = 0$ → $a = 24$ (i stwierdzenie, że to nie należy do dziedziny).\n- 3 pkt — uzasadnienie, że funkcja $P$ jest malejąca na $(0, 8\\sqrt{3}\\,]$ → najmniejsza wartość w $a = 8\\sqrt{3}$, ALBO obliczenie $P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728$.\n- 4 pkt — pełne rozumowanie: monotoniczność + obliczenie wartości minimum.\n\nKlucz — optymalizacja na zamkniętym przedziale\n\nProcedura dla zadań „znajdź minimum $P(a)$ na $[a_1, a_2]$\" (lub półzamkniętym):\n\n1. Pochodna $P'(a)$.\n2. Miejsca zerowe $P'(a) = 0$ w $\\mathbb{R}$.\n3. Wybierz miejsca w dziedzinie — jeśli któreś jest poza, odrzucasz je.\n4. Zbadaj znak pochodnej w dziedzinie — jeśli stały (jak tutaj), funkcja jest monotoniczna → ekstremum na końcu.\n5. Jeśli pochodna zmienia znak w dziedzinie, miejsce zmiany to kandydat na ekstremum lokalne.\n6. Porównaj wartości $P$ w kandydatach i na końcach przedziału — wybierz najmniejszą.\n\nNajczęstsze ścieżki: a) ekstremum w środku (gdy pochodna ma miejsce zerowe wewnątrz dziedziny), b) ekstremum na końcu (gdy pochodna nie zeruje się wewnątrz). To zadanie należy do typu b).\n\nTypowy błąd: CKE wprost: jeśli rozważasz inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny (np. czworokątny lub ostrosłup) — 0 punktów za 13.1. W 13.2: jeśli przyjmiesz tylko $a = 8\\sqrt{3}$ bez sprawdzenia czy P jest naprawdę najmniejsze (np. nie zbadasz znaku pochodnej) — 0 punktów.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-13.svg","topics":"stereometria, optymalizacja, pochodna","page_from":23,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/13.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"13.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWykaż, że pole 𝑷 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝒂\nkrawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑷(𝒂) = 𝒂𝟐⋅√𝟑\n𝟐\n+ 𝟏𝟑𝟖𝟐𝟒√𝟑\n𝒂\n13.1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.4) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi\npodstawy, np. 𝐻= 13824\n𝑎2√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎= 8√3, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy jego wysokość przez 𝐻.\nKorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz wzoru na pole trójkąta\nrównobocznego i otrzymujemy:\n3456 = 𝑎2√3\n4\n⋅𝐻\n𝐻= 4608√3\n𝑎2\nStąd oraz ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa dostajemy\n𝑃= 2 ⋅𝑎2√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\n𝑃= 𝑎2√3\n2\n+ 3𝑎⋅4608√3\n𝑎2\n𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎","solution":"## Poprawna odpowiedź: Dowód\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wysokości z objętości i podstawienie\n\n**Dane graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:**\n- krawędź podstawy: \\(a\\), gdzie \\(0 < a \\leq 8\\sqrt{3}\\)\n- wysokość: \\(h > 0\\)\n- objętość: \\(V = 3456\\)\n\n**Krok 1 - Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku \\(a\\)):**\n\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\n**Krok 2 - Wyznaczenie wysokości \\(h\\) z warunku objętości:**\n\nObjętość graniastosłupa to:\n\\[V = P_p \\cdot h = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot h = 3456\\]\n\nStąd wyznaczamy \\(h\\):\n\\[h = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\]\n\nRacjonalizujemy mianownik (mnożymy przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\)):\n\\[h = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\n**Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:**\n\nGraniastosłup ma dwie podstawy i trzy prostokątne ściany boczne (każda o wymiarach \\(a \\times h\\)):\n\\[P = \\underbrace{2 P_p}_{\\text{dwie podstawy}} + \\underbrace{3 \\cdot a \\cdot h}_{\\text{trzy ściany boczne}}\\]\n\n\\[P = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\n\n**To jest dokładnie wzór, który należało wykazać.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie konkretnego przypadku\n\nSprawdźmy wzór dla \\(a = 12\\) (spełnia \\(12 \\leq 8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\)).\n\n**Wyznaczamy \\(h\\) z objętości:**\n\\[P_p = \\frac{144\\sqrt{3}}{4} = 36\\sqrt{3}\\]\n\\[h = \\frac{3456}{36\\sqrt{3}} = \\frac{96}{\\sqrt{3}} = \\frac{96\\sqrt{3}}{3} = 32\\sqrt{3}\\]\n\n**Pole powierzchni całkowitej wprost:**\n\\[P = 2 \\cdot 36\\sqrt{3} + 3 \\cdot 12 \\cdot 32\\sqrt{3} = 72\\sqrt{3} + 1152\\sqrt{3} = 1224\\sqrt{3}\\]\n\n**Wartość ze wzoru:**\n\\[P(12) = \\frac{144\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{12} = 72\\sqrt{3} + 1152\\sqrt{3} = 1224\\sqrt{3} \\checkmark\\]\n\nWyniki są zgodne, co potwierdza poprawność wyprowadzonego wzoru.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nGraniastosłup prosty:\n\\[V = P_p \\cdot h, \\quad P_b = Ob \\cdot h\\]\n\nUżyte w Kroku 2 (wyznaczenie \\(h\\)) i Kroku 3 (pole boczne = obwód podstawy \\(\\times\\) wysokość).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 20-21):**\n\\[P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nPole podstawy graniastosłupa to pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) - kluczowy wzór dla całego wyprowadzenia.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę będącą **trójkątem równobocznym** - nie mylić z \"dowolnym\" trójkątem prostokątnym. Wzór \\(P_p = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) pochodzi właśnie z trójkąta równobocznego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole **powierzchni bocznej** graniastosłupa to \\(3 \\cdot a \\cdot h\\) (trzy prostokąty), a nie \\(a \\cdot h\\). Zapomnienie o mnożniku \\(3\\) to najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy racjonalizacji \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\) trzeba pomnożyć przez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}\\), co daje mianownik \\(3a^2\\), nie \\(a^2\\). Stąd \\(\\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\). Błąd tutaj przesuwa się na wynik końcowy.\n\n### Analiza zadania\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny: podstawa - trójkąt równoboczny o boku \\(a\\), wysokość \\(H\\). Objętość \\(V=3456\\). Należy wyrazić \\(P_{calk}\\) w zależności od \\(a\\).\n\n### Sposób 1 (bezpośredni)\n\nPole podstawy: \\(P_{\\triangle}=\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\). Z \\(V=P_\\triangle\\cdot H\\): \\[3456=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\cdot H\\Rightarrow H=\\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}}=\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\nPole powierzchni całkowitej: \\(P=2P_\\triangle+3\\cdot a\\cdot H\\) (2 podstawy + 3 ściany boczne prostokątne). \\[P=2\\cdot\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}+3a\\cdot\\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}=\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\n\nc.n.d.\n\n### Odniesienie do karty wzorów CKE\n\nDział X: Pole trójkąta równobocznego \\(P=\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\); objętość graniastosłupa \\(V=P_p\\cdot H\\); pole powierzchni graniastosłupa prostego \\(P=2P_p+P_b\\), gdzie \\(P_b\\) to suma pól ścian bocznych.\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- 2 pkt: przeprowadzenie pełnego rozumowania\n- 1 pkt: wyznaczenie \\(H=\\tfrac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\)\n- 0 pkt: niepoprawna metoda; rozpatrywanie innej bryły - 0 pkt!\n- UWAGA: rozpatrywanie tylko \\(a=8\\sqrt{3}\\) - 0 pkt za całość!\n\n**Trik:** Po wyznaczeniu \\(H\\) warto od razu racjonalizować: \\(\\tfrac{13824}{a^2\\sqrt{3}}\\cdot\\tfrac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}}=\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^2}=\\tfrac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\). Wtedy \\(3a\\cdot H=\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) - człon zgadza się z tezą.","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-13.1.webp","solution_image":null,"topics":"stereometria","page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/13.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"13.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nPole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi\npodstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla 𝑎∈(0, 8√3 ].\nWyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego\npole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz\nobliczenia.\n13.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których krawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3. Pole P powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem P(a) = a²⋅√3/2 + 13824√3/a dla a∈(0,8√3>. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R3) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu\ni ilorazu;\nXIII.R4) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R5) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\ni obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nALBO\n- zapisanie, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą i obliczenie\n𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0: 𝑎= 24.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma\npostać 𝐴𝑎+ 𝐵\n𝑎2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka,\nw którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2,\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej\nwartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\nJeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej oraz za uzasadnienie\nistnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-” znak pochodnej.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to\nmoże otrzymać co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej).\n4. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nmożna uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub\ngraficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0), gdzie 𝑎0 jest miejscem\nzerowym pochodnej funkcji 𝑓, będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞).\n5. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość\nnajmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑃 określonej wzorem 𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla\n𝑎∈(0, 8√3 ].\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\ndla 𝑎∈(0, 8√3 ].\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0\n𝑎3√3 -13824√3 = 0\n𝑎3 = 13824 = 243\n𝑎= 24 ∉(0, 8√3 ]\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n< 0\n𝑎3√3 -13824√3 < 0\n𝑎3 < 13824\n𝑎< 24\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 8√3 ].\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 8√3 ].\nStąd dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą równą\n𝑃(8√3) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\n(8√3)\n2⋅ √3\n2\n+ 13824√3\n8√3\n= 96√3 + 1728.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)\n\n## Sposób 1 - Pochodna i analiza monotoniczności\n\n**Wyznaczamy pochodną** funkcji \\(P(a) = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) na dziedzinie \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\,]\\):\n\n\\[P'(a) = \\frac{2a\\sqrt{3}}{2} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\sqrt{3}\\left(a - \\frac{13824}{a^2}\\right)\\]\n\n**Szukamy punktów krytycznych** - przyrównujemy pochodną do zera:\n\n\\[P'(a) = 0 \\iff a - \\frac{13824}{a^2} = 0 \\iff a^3 = 13824\\]\n\n\\[a = \\sqrt[3]{13824} = 24\\]\n\n(sprawdzenie: \\(24^3 = 576 \\cdot 24 = 13824\\) ✓)\n\n**Kluczowa obserwacja:** jedyny punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży **poza dziedziną**, bo:\n\\[8\\sqrt{3} \\approx 8 \\cdot 1{,}732 = 13{,}856 \\ll 24\\]\n\n**Badamy znak \\(P'(a)\\) na dziedzinie.** Sprawdzamy na prawym krańcu:\n\\[P'(8\\sqrt{3}) = \\sqrt{3}\\!\\left(8\\sqrt{3} - \\frac{13824}{(8\\sqrt{3})^2}\\right) = \\sqrt{3}\\!\\left(8\\sqrt{3} - \\frac{13824}{192}\\right) = \\sqrt{3}(8\\sqrt{3} - 72)\\]\n\n\\[= \\sqrt{3}\\,(13{,}856\\ldots - 72) < 0\\]\n\nPonieważ \\(P'(a)\\) jest ciągła i ma jedyne zero w \\(a = 24 > 8\\sqrt{3}\\), to:\n\n\\[\\forall\\, a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}]: \\quad P'(a) < 0\\]\n\n**Wniosek:** funkcja \\(P\\) jest **ściśle malejąca** na całej dziedzinie. Zatem minimum osiąga w prawym krańcu dziedziny, czyli dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\).\n\n**Obliczamy minimalne pole:**\n\n\\[(8\\sqrt{3})^2 = 64 \\cdot 3 = 192\\]\n\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{192 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = 96\\sqrt{3} + \\frac{13824}{8}\\]\n\n\\[\\boxed{P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]\n\n## Sposób 2 - Nierówność AM-GM i ograniczenie dziedziny\n\n**Szukamy bezwzględnego minimum** funkcji \\(P(a)\\) bez ograniczenia dziedziny. Rozbijamy drugi składnik na dwie równe części i stosujemy **nierówność AM-GM dla trzech liczb** (\\(\\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\geq \\sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}\\)):\n\n\\[P(a) = \\underbrace{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}}_{x_1} + \\underbrace{\\frac{6912\\sqrt{3}}{a}}_{x_2} + \\underbrace{\\frac{6912\\sqrt{3}}{a}}_{x_3}\\]\n\n\\[P(a) \\geq 3\\sqrt[3]{\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{6912\\sqrt{3}}{a} \\cdot \\frac{6912\\sqrt{3}}{a}} = 3\\sqrt[3]{\\frac{3\\sqrt{3} \\cdot 6912^2}{2}}\\]\n\nRówność w AM-GM zachodzi, gdy \\(x_1 = x_2 = x_3\\):\n\n\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} = \\frac{6912\\sqrt{3}}{a} \\implies a^3 = 13824 \\implies a = 24\\]\n\n**Jednak \\(a = 24 \\notin (0,\\, 8\\sqrt{3}\\,]\\).** Bezwzględne minimum funkcji leży poza dozwoloną dziedziną.\n\nPonieważ minimum globalne jest w \\(a = 24\\), a \\(24 > 8\\sqrt{3}\\), funkcja na przedziale \\((0, 24)\\) jest **malejąca** (zbliżamy się do minimum, ale go nie osiągamy). W szczególności jest malejąca na całym \\((0, 8\\sqrt{3}]\\).\n\nZatem minimum na dozwolonej dziedzinie osiągane jest w **jedynym możliwym miejscu** - prawym krańcu \\(a = 8\\sqrt{3}\\):\n\n\\[P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna potęgi \\([x^r]' = r \\cdot x^{r-1}\\) oraz reguła różniczkowania sumy i stałej:\n\n\\[\\left[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\right]' = a\\sqrt{3}, \\qquad \\left[\\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\right]' = \\left[13824\\sqrt{3} \\cdot a^{-1}\\right]' = -\\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(P'(a)\\) i szukania punktów krytycznych.\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego:\n\\[P_c = P_b + 2P_p = O_b \\cdot h + 2P_p\\]\n\nDla graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n- pole podstawy: \\(P_p = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\) (z Działu 10, s. 15-16)\n- dwa razy pole podstawy daje \\(\\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}\\) - to pierwszy składnik wzoru zadania\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpowszechniejszy błąd to znalezienie \\(a = 24\\) jako \"minimum\" i podanie go jako odpowiedź - bez sprawdzenia, czy punkt krytyczny należy do dziedziny. **Zawsze sprawdzaj, czy \\(P'(a_0) = 0\\) i \\(a_0 \\in\\) dziedzina!**\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy punkt krytyczny wypada poza dziedziną, minimum szukamy na **krańcach** (oraz sprawdzamy, czy dziedzina jest przedziałem domkniętym czy otwartym). Tu dziedzina jest domknięta z prawej strony, więc \\(a = 8\\sqrt{3}\\) jest osiągalne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(P(8\\sqrt{3})\\) łatwo pomylić \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) - \\(\\sqrt{3}\\) w liczniku i mianowniku skracają się, dając \\(\\dfrac{13824}{8} = 1728\\), a nie \\(\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8}\\).\n\n### Analiza zadania\n\nZadanie optymalizacyjne z pochodną na przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\). Ważne: zwykle minimum przyjmowane w miejscu zerowym pochodnej, ale tutaj trzeba sprawdzić, czy miejsce zerowe należy do przedziału.\n\n### Sposób 1 (z pochodną)\n\nLiczymy \\(P'(a)\\): \\[P'(a)=a\\sqrt{3}-\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\]\n\nMiejsca zerowe: \\(P'(a)=0\\Rightarrow a\\sqrt{3}=\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\Rightarrow a^{3}=13824=24^{3}\\Rightarrow a=24\\).\n\nAle \\(24\\notin(0,8\\sqrt{3}\\,]\\), bo \\(8\\sqrt{3}\\approx 13{,}86<24\\). Badamy znak \\(P'\\) na \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\): dla \\(a<24\\) mamy \\(a\\sqrt{3}<\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\) (bo \\(a^3<13824\\)), więc \\(P'(a)<0\\). Funkcja \\(P\\) jest malejąca na całym przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\)!\n\nZatem minimum dla \\(a=8\\sqrt{3}\\) (prawy koniec przedziału). Obliczamy: \\[P(8\\sqrt{3})=\\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}=\\dfrac{192\\sqrt{3}}{2}+\\dfrac{13824}{8}=96\\sqrt{3}+1728\\]\n\n### Sposób 2 (weryfikacja AM-GM - niestandardowy)\n\nZ nierówności \\(x+y\\geq 2\\sqrt{xy}\\). Jednak tu mamy 3 składniki. Z AM-GM (trzy równe części \\(\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a}=\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}+\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\)):\n\n\\[P(a)\\geq 3\\sqrt[3]{\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\cdot\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\cdot\\dfrac{6912\\sqrt{3}}{a}}=3\\sqrt[3]{\\dfrac{3\\sqrt{3}\\cdot 6912^{2}}{2}}\\]\n\nRówność dla \\(\\tfrac{a^2\\sqrt{3}}{2}=\\tfrac{6912\\sqrt{3}}{a}\\Rightarrow a^3=13824\\Rightarrow a=24\\notin(0,8\\sqrt{3}\\,]\\). Metoda 1 dokładniejsza.\n\n### Odniesienie do karty wzorów CKE\n\nDział XIII (R): Pochodna \\((a^n)'=na^{n-1}\\); zastosowanie pochodnej do badania monotoniczności; zadania optymalizacyjne; \\((a^{-1})'=-\\tfrac{1}{a^2}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\n- 4 pkt: uzasadnienie, że \\(P\\) osiąga minimum dla \\(a=8\\sqrt{3}\\) ORAZ wynik \\(96\\sqrt{3}+1728\\)\n- 3 pkt: uzasadnienie monotoniczności lub obliczenie \\(P(8\\sqrt{3})\\)\n- 2 pkt: poprawne rozwiązanie \\(a\\sqrt{3}-\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}=0\\Rightarrow a=24\\)\n- 1 pkt: wyznaczenie pochodnej \\(P'(a)=a\\sqrt{3}-\\tfrac{13824\\sqrt{3}}{a^2}\\)\n- 0 pkt: niepoprawna metoda\n- UWAGA 3: jeśli miejsce zerowe pochodnej jest w \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\) (błąd rachunkowy), max 1 pkt!\n\n**Trik:** Krytyczne zauważenie: \\(a=24\\) nie leży w przedziale \\((0,8\\sqrt{3}\\,]\\), więc minimum w prawym końcu \\(a=8\\sqrt{3}\\)! To nietypowe zadanie - zwykle minimum jest w miejscu zerowym pochodnej. Trzeba ZBADAĆ MONOTONICZNOŚĆ!","image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad-13.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/sol-13.2.svg","topics":"optymalizacja","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Środek \\(S\\) okręgu o promieniu \\(\\sqrt{5}\\) leży na prostej o równaniu \\(y = x + 1\\). Przez punkt \\(A = (1, 2)\\), którego odległość od punktu \\(S\\) jest większa od \\(\\sqrt{5}\\), poprowadzono dwie proste styczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - \\(B\\) i \\(C\\). Pole czworokąta \\(ABSC\\) jest równe \\(15\\).\n\nOblicz współrzędne punktu \\(S\\). Rozważ wszystkie przypadki.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(S = (6,\\, 7)\\) lub \\(S = (-4,\\, -3)\\)\n\n## Sposób 1 - Podział czworokąta na dwa trójkąty prostokątne\n\n**Krok 1: Parametryzacja środka okręgu.**\n\nPonieważ \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), przyjmijmy \\(S = (a,\\, a+1)\\) dla pewnego \\(a \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Krok 2: Kąty przy punktach stycznych są proste.**\n\nProsta styczna do okręgu w punkcie \\(B\\) jest prostopadła do promienia \\(SB\\), więc \\(\\angle ABS = 90°\\). Analogicznie \\(\\angle ACS = 90°\\).\n\n**Krok 3: Pole czworokąta \\(ABSC\\).**\n\nDzielimy przekątną \\(AS\\) czworokąt na dwa trójkąty prostokątne:\n\\[\\text{Pole}(ABSC) = \\text{Pole}(\\triangle ABS) + \\text{Pole}(\\triangle ACS) = 2 \\cdot \\tfrac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |SB|\\]\n\nOdcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe: \\(|AB| = |AC|\\). Zatem:\n\\[\\text{Pole}(ABSC) = |AB| \\cdot \\sqrt{5}\\]\n\n**Krok 4: Wyrazić \\(|AB|\\) przez \\(|AS|\\).**\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w \\(\\triangle ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\), przeciwprostokątna \\(AS\\)):\n\\[|AB|^2 = |AS|^2 - |SB|^2 = |AS|^2 - 5\\]\n\n**Krok 5: Równanie z warunku na pole.**\n\n\\[\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{|AS|^2 - 5} = 15\\]\n\\[\\sqrt{|AS|^2 - 5} = \\frac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]\n\\[|AS|^2 - 5 = 45 \\implies \\mathbf{|AS|^2 = 50}\\]\n\n**Krok 6: Obliczenie \\(|AS|^2\\) ze współrzędnych.**\n\n\\[|AS|^2 = (a - 1)^2 + (a+1-2)^2 = (a-1)^2 + (a-1)^2 = 2(a-1)^2\\]\n\nRównanie:\n\\[2(a-1)^2 = 50 \\implies (a-1)^2 = 25 \\implies a - 1 = \\pm 5\\]\n\n- \\(a = 6 \\implies S = (6,\\; 7)\\)\n- \\(a = -4 \\implies S = (-4,\\; -3)\\)\n\n**Sprawdzenie warunku \\(|AS| > \\sqrt{5}\\):** \\(\\;|AS| = \\sqrt{50} \\gg \\sqrt{5}\\) ✓ - oba rozwiązania spełniają warunek.\n\n**Odpowiedź: \\(\\boldsymbol{S = (6,\\, 7)}\\) lub \\(\\boldsymbol{S = (-4,\\, -3)}\\)**\n\n## Sposób 2 - ABSC jako deltoid; wzór na pole przez przekątne\n\n**Krok 1: ABSC jest deltoildem (latawcem).**\n\nPonieważ:\n- \\(|AB| = |AC|\\) - odcinki styczne z jednego punktu zewnętrznego są równe,\n- \\(|SB| = |SC| = \\sqrt{5}\\) - oba są promieniami okręgu,\n\nczworokąt \\(ABSC\\) ma **dwie pary sąsiednich równych boków** (przy wierzchołku \\(A\\) mamy \\(|AB|=|AC|\\), przy wierzchołku \\(S\\) mamy \\(|SB|=|SC|\\)), czyli jest **deltoildem**.\n\n**Krok 2: Przekątne deltoidu są prostopadłe.**\n\nPrzekątne \\(ABSC\\) to \\(AS\\) i \\(BC\\). Własnością deltoidu jest \\(AS \\perp BC\\). Niech \\(M\\) = punkt przecięcia przekątnych.\n\n\\[\\text{Pole}(ABSC) = \\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot |BC|\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczyć \\(|BC|\\) przez \\(|AS|\\).**\n\nPonieważ \\(SM \\perp BC\\), odcinek \\(SM\\) jest prostopadły do cięciwy \\(BC\\). Z własności rzutu wysokości na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym \\(ABS\\) (kąt prosty przy \\(B\\)):\n\\[|SM| = \\frac{|SB|^2}{|AS|} = \\frac{5}{|AS|}\\]\n\nPołowa cięciwy:\n\\[|BM|^2 = |SB|^2 - |SM|^2 = 5 - \\frac{25}{|AS|^2}\\]\n\n\\[|BC| = 2|BM| = 2\\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}}\\]\n\n**Krok 4: Równanie z warunku na pole.**\n\n\\[\\frac{1}{2} \\cdot |AS| \\cdot 2\\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}} = 15\\]\n\\[|AS| \\cdot \\sqrt{5 - \\frac{25}{|AS|^2}} = 15\\]\n\\[\\sqrt{5|AS|^2 - 25} = 15\\]\n\\[5|AS|^2 - 25 = 225 \\implies \\mathbf{|AS|^2 = 50}\\]\n\nDalej: \\(2(a-1)^2 = 50 \\implies a = 6\\) lub \\(a = -4\\), co daje:\n\n**\\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. **Długość odcinka:**\n\\[|AS| = \\sqrt{(x_S - x_A)^2 + (y_S - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy do obliczenia \\(|AS|^2 = 2(a-1)^2\\).\n\n2. **Równanie prostej kierunkowe:** \\(y = x + 1\\)\nPosłużyło do zapisania \\(S = (a, a+1)\\) i ograniczenia jednej niewiadomej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)**\n\nTwierdzenie Pitagorasa: \\(|AB|^2 + |SB|^2 = |AS|^2\\) - użyte w Sposobie 1 do wyrażenia \\(|AB|\\) przez \\(|AS|\\).\n\nWłasność wysokości w trójkącie prostokątnym (rzut na przeciwprostokątną): \\(|SM| = \\dfrac{|SB|^2}{|AS|}\\) - użyte w Sposobie 2.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czworokąt to \\(ABSC\\), nie \\(ABCS\\) - kolejność wierzchołków determinuje, które boki i przekątne wyznaczamy. Przekątne to \\(AS\\) i \\(BC\\), nie \\(AB\\) i \\(SC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z punktu zewnętrznego poprowadzono **dwie** styczne, więc \\(|AB| = |AC|\\) - to automatyczna własność stycznych, nie dodatkowe założenie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((a-1)^2 = 25\\) daje **dwa** rozwiązania: \\(a=6\\) i \\(a=-4\\). Zadanie explicite wymaga rozważenia wszystkich przypadków - żadnego nie wolno pominąć!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź warunek \\(|AS| > r\\) (punkt \\(A\\) musi leżeć **poza** okręgiem, żeby styczne w ogóle istniały). Tu \\(|AS| = \\sqrt{50} > \\sqrt{5}\\), więc oba wyniki są poprawne.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\)**\n\n### Sposób 1\n\nPromienie \\(BS\\) oraz \\(CS\\) okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych - odpowiednio - \\(AB\\) i \\(AC\\), więc trójkąty \\(ABS\\) oraz \\(ACS\\) są prostokątne (kąt prosty przy \\(B\\) i przy \\(C\\)). Ponadto odcinki \\(AB\\) oraz \\(AC\\) mają równe długości (odcinki stycznych z tego samego punktu zewnętrznego), więc trójkąty te są przystające (na podstawie cechy bok-bok-bok). Oznaczmy \\(m = |AB| = |AC|\\).\n\nPole czworokąta \\(ABSC\\) jest sumą pól trójkątów przystających \\(ABS\\) oraz \\(ACS\\):\n\\[P_{ABSC} = P_{ABS} + P_{ACS} = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5} = m \\cdot \\sqrt{5}\\]\n\nZ warunku \\(P_{ABSC} = 15\\):\n\\[15 = m \\cdot \\sqrt{5}\\]\n\\[m = \\dfrac{15}{\\sqrt{5}} = 3\\sqrt{5}\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta \\(ABS\\):\n\\[|AS|^{2} = |AB|^{2} + |BS|^{2} = (3\\sqrt{5})^{2} + (\\sqrt{5})^{2} = 45 + 5 = 50\\]\n\nNiech \\(x_S\\) będzie pierwszą współrzędną punktu \\(S\\). Punkt \\(S\\) leży na prostej \\(y = x + 1\\), więc \\(S = (x_S, x_S + 1)\\). Wtedy:\n\\[(x_S - 1)^{2} + (x_S + 1 - 2)^{2} = 50\\]\n\\[(x_S - 1)^{2} + (x_S - 1)^{2} = 50\\]\n\\[2(x_S - 1)^{2} = 50\\]\n\\[(x_S - 1)^{2} = 25\\]\n\\[|x_S - 1| = 5\\]\n\\[x_S = 6 \\quad \\lor \\quad x_S = -4\\]\n\nZatem \\(S = (6, 7)\\) lub \\(S = (-4, -3)\\).\n\nSprawdzamy warunek \\(|AS| > \\sqrt{5}\\): dla obu rozwiązań \\(|AS| = \\sqrt{50} > \\sqrt{5}\\) ✓.\n\n### Sposób 2\n\nPowtarzamy kroki obliczenia \\(m = 3\\sqrt{5}\\). Każda prosta przechodząca przez punkt \\(A = (1, 2)\\), poza prostą równoległą do osi \\(Oy\\), ma równanie postaci \\(y = a(x - 1) + 2\\).\n\nTangens kąta \\(\\alpha\\), jaki tworzy każda ze stycznych \\(AB\\) oraz \\(AC\\) z prostą \\(y = x + 1\\), jest równy:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{5}}{m} = \\dfrac{\\sqrt{5}}{3\\sqrt{5}} = \\dfrac{1}{3}\\]\n\nZe wzoru na tangens kąta między prostymi \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\left|\\dfrac{a - 1}{1 + a \\cdot 1}\\right| = \\left|\\dfrac{a - 1}{a + 1}\\right|\\):\n\\[\\dfrac{1}{3} = \\left|\\dfrac{a - 1}{a + 1}\\right|\\]\n\\[a + 1 = 3(a - 1) \\quad \\lor \\quad a + 1 = -3(a - 1)\\]\n\\[a = 2 \\quad \\lor \\quad a = \\dfrac{1}{2}\\]\n\nZatem styczne \\(AB\\) oraz \\(AC\\) mają równania \\(y = 2(x - 1) + 2\\) oraz \\(y = \\dfrac{1}{2}(x - 1) + 2\\), czyli \\(2x - y = 0\\) oraz \\(x - 2y + 3 = 0\\).\n\nOdległość punktu \\(S = (x_S, x_S + 1)\\) od każdej ze stycznych \\(AB\\) i \\(AC\\) jest równa \\(\\sqrt{5}\\). Dla stycznej \\(2x - y = 0\\):\n\\[\\dfrac{|2x_S - (x_S + 1)|}{\\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \\sqrt{5}\\]\n\\[\\dfrac{|x_S - 1|}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\]\n\\[|x_S - 1| = 5\\]\n\\[x_S = 6 \\quad \\lor \\quad x_S = -4\\]\n\nIstnieją dwa punkty spełniające warunki zadania: \\(S = (6, 7)\\) oraz \\(S = (-4, -3)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \\(S = (6, 7)\\) oraz \\(S = (-4, -3)\\).\n4 pkt - obliczenie obydwu wartości \\(x_S\\): \\(6\\) oraz \\((-4)\\) ALBO obliczenie obydwu współrzędnych punktu \\(S\\) tylko dla jednego przypadku.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu \\(S\\)), np. \\((x_S - 1)^{2} + (x_S + 1 - 2)^{2} = 50\\).\n2 pkt - obliczenie długości \\(m\\) odcinka \\(AB\\) (lub \\(AC\\) stycznej): \\(3\\sqrt{5}\\) ALBO obliczenie długości odcinka \\(AS\\): \\(|AS| = 5\\sqrt{2}\\).\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu \\(S\\) w zależności od jednej zmiennej, np. \\(S = (x, x + 1)\\) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością \\(m\\) odcinka \\(AB\\) stycznej), np. \\(15 = 2 \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot m \\cdot \\sqrt{5}\\).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**Uwagi:**\n1. Jeżeli zdający pomija współczynnik \\(\\dfrac{1}{2}\\) we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten traktujemy jako błąd rachunkowy.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty \\(S\\), to może otrzymać co najwyżej **4 punkty** za całe rozwiązanie.\n\n**Trik:** W zadaniach o dwóch stycznych z punktu zewnętrznego używaj symetrii (odcinki styczne są równe). Czworokąt \\(ABSC\\) jest deltoidem, pole: \\(P = m \\cdot r\\) gdzie \\(m\\) to długość stycznej, \\(r\\) promień okręgu.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiedni przedział w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.\n\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \\(f(x) \\geq 0\\) jest przedział","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu (geometryczny)\n\nZ rysunku bezpośrednio odczytujemy:\n\n- Parabola **otwarta w dół** (ramiona skierowane ku dołowi)\n- Przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\((-2, 0)\\) i \\((4, 0)\\) - to **miejsca zerowe** funkcji \\(f\\)\n\nNierówność \\(f(x) \\geq 0\\) oznacza: **dla których \\(x\\) wykres leży powyżej lub na osi \\(Ox\\)?**\n\nParabola otwarta w dół jest:\n- **powyżej** osi \\(Ox\\) - między miejscami zerowymi\n- **poniżej** osi \\(Ox\\) - na zewnątrz miejsc zerowych\n\nZatem \\(f(x) \\geq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 4 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\)\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru i algebraiczne rozwiązanie nierówności\n\n**Krok 1: Wyznaczamy wzór funkcji.**\n\nZnamy miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), więc stosujemy postać iloczynową:\n\\[f(x) = a(x - (-2))(x - 4) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy współczynnik \\(a\\).**\n\nZ rysunku wiemy, że parabola przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 8)\\), czyli \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]\n\\[a = -1\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = -(x + 2)(x - 4)\\]\n\n**Weryfikacja wierzchołka:** \\(p = \\frac{-2 + 4}{2} = 1\\), \\(f(1) = -(3)(-3) = 9\\) ✓ - zgadza się z opisem rysunku.\n\n**Krok 3: Rozwiązujemy nierówność \\(f(x) \\geq 0\\).**\n\n\\[-(x + 2)(x - 4) \\geq 0\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\((-1)\\) i **odwracamy znak**:\n\\[(x + 2)(x - 4) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest \\(\\leq 0\\), gdy **mają różne znaki** (lub jeden jest zerem). Analizujemy znaki:\n\n| Przedział | \\(x + 2\\) | \\(x - 4\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 \\leq x \\leq 4\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(\\leq 0\\) ✓ |\n| \\(x > 4\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\langle -2, 4 \\rangle\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do zapisania wzoru funkcji przez jej miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).\n\nWierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nSkorzystaliśmy przy weryfikacji - środek odcinka między zerami: \\(p = \\frac{-2+4}{2} = 1\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola otwarta **w dół** - nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) daje przedział **między** zerami, nie na zewnątrz. Przy paraboli otwartej w górę byłoby odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-2\\) i \\(4\\) należą do zbioru rozwiązań (bo \\(f(-2) = 0\\) i \\(f(4) = 0\\), a warunek to \\(\\geq 0\\)). Przedział jest **domknięty**: \\(\\langle -2, 4 \\rangle\\), nie otwarty \\((-2, 4)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu nierówności przez liczbę ujemną (jak \\(-1\\) w Sposobie 2) **zawsze odwracamy znak nierówności**. Pominięcie tego kroku to jeden z najczęstszych błędów!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\([-2, 4]\\)**\n\n### Sposób 1 (odczyt z wykresu)\n\\(f(x) \\geq 0\\) oznacza, że wykres znajduje się NA lub POWYŻEJ osi \\(OX\\). Z rysunku parabola przecina oś \\(OX\\) w punktach \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\). Parabola jest skierowana ramionami w dół, więc między tymi punktami \\(f(x) \\geq 0\\).\nZbiór rozwiązań: \\([-2, 4]\\) (końce domknięte bo \\(f(-2) = f(4) = 0\\) spełnia \\(\\geq 0\\)).\n\n### Sposób 2 (wzór funkcji + rozwiązanie nierówności)\nZ wykresu: wierzchołek \\((1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x_{1} = -2\\), \\(x_{2} = 4\\). Wzór: \\(f(x) = -(x+2)(x-4)\\). Rozwiązujemy \\(-(x+2)(x-4) \\geq 0\\), czyli \\((x+2)(x-4) \\leq 0\\). Stąd \\(x \\in [-2, 4]\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- \\((-2, 4)\\): zignorowano, że nierówność słaba (\\(\\geq\\)) uwzględnia końce.\n- \\([-3, 4]\\) / \\([4, -2]\\): błędny odczyt miejsc zerowych.\n- Kryteria CKE dla dyskalkulii: zapisanie \\([4, -2]\\) (zła kolejność) - 1 punkt.\n\n**Trik:** Dla paraboli otwartej do dołu z miejscami zerowymi \\(x_{1}, x_{2}\\) (z \\(x_{1} < x_{2}\\)): \\(f \\geq 0\\) na \\([x_{1}, x_{2}]\\); \\(f \\leq 0\\) na zewnątrz.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną\nW zadaniu mamy nierówność \\(f(x) \\geq 0\\). To oznacza, że \\(f(x)\\) musi być większa lub równa zero. Wartość bezwzględna jest zbiorem wszystkich liczb, które są równe jej wartości bezwzględnej lub większe od niej. Zatem, jeśli \\(f(x) \\geq 0\\), to \\(x\\) musi należeć do przedziału, w którym \\(f(x)\\) jest nieujemne lub równe zero. Ponieważ nie znamy definicji funkcji \\(f(x)\\), nie możemy określić konkretnego przedziału. Jednakże, w kontekście nierówności z wartością bezwzględną, przedział ten musi obejmować wszystkie wartości, dla których \\(f(x) \\geq 0\\). Zatem, odpowiedź to przedział, który zawiera wszystkie takie wartości. W tym przypadku, odpowiedź B jest najbardziej ogólną i poprawną odpowiedzią.\n\n\\[f(x) \\geq 0\\] oznacza, że \\(x\\) należy do przedziału, w którym \\(f(x)\\) jest nieujemne lub równe zero.\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 20 (Wartość bezwzględna)\n\n### Sposób 2: Interpretacja nierówności z wartością bezwzględną\nNierówność \\(|x-a| \\leq b\\) oznacza, że \\(x\\) należy do przedziału \\[a-b, a+b]. W naszym przypadku mamy \\(f(x) \\geq 0\\), co oznacza, że \\(f(x)\\) może być równe zero lub dodatnie. Zatem, przedział, w którym \\(f(x)\\) jest nieujemny lub równy zero, powinien być jak najszerszy, aby uwzględnić wszystkie możliwe wartości \\(x\\). Ponieważ nie mamy więcej informacji o funkcji \\(f(x)\\), najbardziej odpowiednią odpowiedzią jest przedział, który zawiera wszystkie takie wartości.\n\n\\[|x-a| \\leq b\\] oznacza, że \\(x\\) należy do przedziału \\[a-b, a+b].\n\n📖 Karta wzorów: s.4, strona 20 (Wartość bezwzględna)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. (na zdjęciu)** - To jest pusty obszar, co nie odpowiada definicji przedziału.\n* **C. (na zdjęciu)** - To jest również pusty obszar i nie jest to poprawny sposób interpretacji nierówności z wartością bezwzględną.\n* **D. (na zdjęciu)** - To jest również pusty obszar i nie jest to poprawny sposób interpretacji nierówności z wartością bezwzględną.\n\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są nieprawidłowe, ponieważ nie uwzględniają, że nierówność \\(f(x) \\geq 0\\) oznacza, że \\(f(x)\\) może być równa zero lub dodatnia. Odpowiedź B jest poprawna, ponieważ jest to najbardziej ogólny i prawidłowy sposób interpretacji nierówności z wartością bezwzględną.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nFunkcja kwadratowa \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) jest określona wzorem\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_2.png\n\nna stronie 20) jest określona wzorem\n\nA. \\(f(x) = -(x+1)^{2} - 9\\)\nB. \\(f(x) = -(x-1)^{2} + 9\\)\nC. \\(f(x) = -(x-1)^{2} - 9\\)\nD. \\(f(x) = -(x+1)^{2} + 9\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nNa podstawie rysunku odczytujemy: parabola skierowana ramionami w dół, wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\), przekrój z osią \\(Oy\\) w punkcie \\((0, 8)\\).\n\nOdpowiedź B: \\(f(x) = -x^2 + 2x + 8\\)\n\n## Sposób 1 - postać iloczynowa (z miejsc zerowych)\n\nSkoro parabola przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\), zapisujemy wzór w **postaci iloczynowej**:\n\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a(x + 2)(x - 4)\\]\n\nParabola jest skierowana **ramionami w dół**, więc wiemy, że \\(a < 0\\) - ale wyznaczymy dokładną wartość ze znanych punktów.\n\n**Wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\)** (parabola przechodzi przez \\((0, 8)\\)):\n\n\\[f(0) = a(0 + 2)(0 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8\\]\n\n\\[a = -1\\]\n\n**Rozwijamy do postaci ogólnej:**\n\n\\[f(x) = -(x + 2)(x - 4) = -(x^2 - 4x + 2x - 8) = -(x^2 - 2x - 8)\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 2x + 8}\\]\n\n**Sprawdzenie wierzchołka:**\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{2}{2 \\cdot (-1)} = 1 \\checkmark\\]\n\\[f(1) = -1 + 2 + 8 = 9 \\checkmark\\]\n\n## Sposób 2 - postać kanoniczna (z wierzchołka)\n\nZ rysunku odczytujemy wierzchołek \\(W = (1, 9)\\), więc zapisujemy **postać kanoniczną**:\n\n\\[f(x) = a(x - 1)^2 + 9\\]\n\nWyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\n\\[f(0) = a(0 - 1)^2 + 9 = a \\cdot 1 + 9 = a + 9 = 8\\]\n\n\\[a = -1\\]\n\nRozwijamy:\n\n\\[f(x) = -(x - 1)^2 + 9 = -(x^2 - 2x + 1) + 9 = -x^2 + 2x - 1 + 9\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 2x + 8}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź B potwierdzona dwiema metodami**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać iloczynowa (Sposób 1):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta do zapisania wzoru z miejsc zerowych \\(x_1 = -2\\), \\(x_2 = 4\\).\n\nPostać kanoniczna (Sposób 2):\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad W = (p, q)\\]\nUżyta do zapisania wzoru z wierzchołka \\(W = (1, 9)\\).\n\nWzór na współrzędną \\(x\\) wierzchołka (weryfikacja):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Wzięto \\(a = +1\\) zamiast \\(a = -1\\) - uczeń nie zauważył, że parabola jest skierowana ramionami **w dół**, lub pomylił znak przy wyznaczaniu \\(a\\) |\n| C | Wpisano postać kanoniczną \\(f(x) = -(x-1)^2 + 9\\) jako odpowiedź - to poprawny wzór pośredni, ale **nie jest rozwinięty** do postaci ogólnej; zadanie pyta o konkretną postać wzoru |\n| D | Błędnie odczytano miejsca zerowe z wykresu (np. przyjęto \\(x_1 = 2\\) zamiast \\(x_1 = -2\\)) albo pomylono wierzchołek z przecięciem osi \\(Oy\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana **w dół** → \\(a < 0\\). Jeśli w postaci iloczynowej po podstawieniu wychodzi \\(a > 0\\) - to sygnał błędu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(a\\) z warunku \\(f(0) = 8\\) uważaj na kolejność: \\((0+2)(0-4) = 2 \\cdot (-4) = -8\\), a nie \\(+8\\). Tutaj łatwo o błąd znaku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Postać kanoniczna \\(-(x-1)^2 + 9\\) i postać ogólna \\(-x^2 + 2x + 8\\) to **ten sam wzór** - zapisany inaczej. Na egzaminie sprawdź, jakiej formy wymaga zadanie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (postać kanoniczna)\nZ rysunku wierzchołek paraboli: \\(W = (1, 9)\\). Parabola skierowana ramionami w dół: \\(a < 0\\).\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = a(x - p)^{2} + q = a(x - 1)^{2} + 9\\).\nPunkt \\((4, 0)\\) (miejsce zerowe) - podstawiamy: \\(0 = a(4-1)^{2} + 9 = 9a + 9\\), stąd \\(a = -1\\).\nZatem \\(f(x) = -(x - 1)^{2} + 9\\).\n\n### Sposób 2 (odczyt z rysunku - postać iloczynowa → kanoniczna)\nMiejsca zerowe \\(x_{1} = -2\\), \\(x_{2} = 4\\). Wzór iloczynowy: \\(f(x) = a(x+2)(x-4)\\). Wierzchołek ma \\(x_{W} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1\\), \\(y_{W} = 9\\) daje \\(a = -1\\). Potem przekształcenie daje postać B.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A: znak \"\\(+1\\)\" przy \\(x\\) (wierzchołek błędny \\(x = -1\\)) i \\(-9\\) (wierzchołek \\(y = -9\\)).\n- C: \\(x - 1\\) poprawne, ale \\(-9\\) zamiast \\(+9\\).\n- D: \"\\(+1\\)\" błędne (wierzchołek \\(x = -1\\)).\n\n**Trik:** Postać kanoniczna: \\(a(x - p)^{2} + q\\), gdzie \\(W = (p, q)\\). Zwróć uwagę na znaki: wierzchołek \\((1, 9)\\) daje \\((x-1)^{2}+9\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\n1. **Zrozumienie wzoru:** Wzór funkcji kwadratowej to \\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\), gdzie \\(x_1\\) i \\(x_2\\) to pierwiastki równania \\(f(x) = 0\\). W zadaniu mamy \\(f(x) = -(x+1)^2\\).\n2. **Przekształcenie:** Możemy zapisać \\(f(x) = -(x+1)(x+1)\\). Zauważ, że \\(x+1\\) jest w kwadracie, więc możemy to zapisać jako \\(f(x) = -(x - (-1))^2\\).\n3. **Porównanie:** Spójrzmy na podane odpowiedzi. Odpowiedź B \\(f(x) = -(x-1)^2\\) jest najbliższa, ponieważ \\(x-1 = -(x+1)\\). Zatem \\(f(x) = -((x-1))^2 = -(x-1)^2\\)\n\n📖 Karta wzorów: **Silnia n!=1·2 n, (a^r)^s=a^(rs)** strona 9\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na kwadrat różnicy\n1. **Wzór na kwadrat różnicy:** \\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\\)\n2. **Zastosowanie wzoru:** W naszym przypadku \\(f(x) = -(x+1)^2\\). Możemy to zapisać jako \\(f(x) = - (x+1)^2\\).\n3. **Przekształcenie:** Aby uzyskać formę \\(f(x) = -(x-x_2)^2\\), musimy \\(x_2 = -1\\). Zatem \\(f(x) = -(x - (-1))^2 = -(x+1)^2\\). Porównując z podanymi odpowiedziami, widzimy, że odpowiedź B jest poprawna.\n\n📖 Karta wzorów: **Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²** strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. \\(f(x) = -(x+ 1)^{2} -9\\):** Ta odpowiedź zawiera dodatkowy składnik \\(-9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Funkcja kwadratowa nie ma wyrazu wolnego.\n* **C. \\(f(x) = -(x-1)^{2} -9\\):** Ta odpowiedź również zawiera dodatkowy składnik \\(-9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Ponadto, pierwiastek kwadratowy jest niepotrzebny.\n* **D. \\(f(x) = -(x+ 1)^{2} + 9\\):** Ta odpowiedź również zawiera dodatkowy składnik \\(+9\\), który nie jest związany z funkcją kwadratową. Ponadto, pierwiastek kwadratowy jest niepotrzebny. Ponadto, funkcja kwadratowa nie ma wyrazu wolnego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14.3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nDla funkcji \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) prawdziwa jest równość\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_3.png\n\nna stronie 20) prawdziwa jest równość\n\nA. \\(f(-4) = f(6)\\)\nB. \\(f(-4) = f(5)\\)\nC. \\(f(-4) = f(4)\\)\nD. \\(f(-4) = f(7)\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nNa podstawie opisu rysunku: parabola otwarta w dół, wierzchołek \\(W=(1,9)\\), miejsca zerowe \\(x_1=-2\\) i \\(x_2=4\\), wartość \\(f(0)=8\\).\n\nOdpowiedź A jest prawdziwa - wynika bezpośrednio z osi symetrii paraboli.\n\n## Sposób 1 - Odczyt osi symetrii z wykresu\n\n**Krok 1: Ustalamy oś symetrii paraboli.**\n\nParabola ma miejsca zerowe w \\(x_1 = -2\\) i \\(x_2 = 4\\). Oś symetrii przebiega dokładnie w połowie między nimi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-2 + 4}{2} = 1\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z symetrii.**\n\nJeśli oś symetrii to \\(x = 1\\), to dla każdego punktu \\(x\\) jego odbicie symetryczne to \\(2 - x\\), i zawsze:\n\\[f(x) = f(2 - x)\\]\n\nSprawdzamy kilka par (każda para jest równoodległa od \\(x=1\\)):\n\n| \\(x\\) | odległość od \\(x=1\\) | symetryczny | f(x) |\n| \\(0\\) | \\(1\\) | \\(2\\) | \\(f(0) = f(2)\\) |\n| \\(-1\\) | \\(2\\) | \\(3\\) | \\(f(-1) = f(3)\\) |\n| \\(-2\\) | \\(3\\) | \\(4\\) | \\(f(-2) = f(4) = 0\\) |\n\n**Odpowiedź A korzysta właśnie z tej własności - jest prawdziwa.**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i sprawdzenie algebraiczne\n\n**Krok 1: Postać iloczynowa** (znamy miejsca zerowe \\(x_1=-2\\), \\(x_2=4\\) i parabolę skierowaną w dół, \\(a < 0\\)):\n\\[f(x) = a(x+2)(x-4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(a\\)** z warunku \\(f(0) = 8\\):\n\\[f(0) = a \\cdot 2 \\cdot (-4) = -8a = 8 \\implies a = -1\\]\n\n**Krok 3: Wzór funkcji:**\n\\[f(x) = -(x+2)(x-4) = -x^2 + 2x + 8\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = -(x-1)^2 + 9\\]\n\n**Krok 4: Sprawdzamy równość A** (np. \\(f(0) = f(2)\\)):\n\\[f(0) = -(0)^2 + 2 \\cdot 0 + 8 = 8\\]\n\\[f(2) = -(2)^2 + 2 \\cdot 2 + 8 = -4 + 4 + 8 = 8\\]\n\\[\\boxed{f(0) = f(2) = 8} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nMiejsca zerowe trójmianu kwadratowego:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nOś symetrii (współrzędna wierzchołka):\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = \\frac{x_1 + x_2}{2}\\]\n\nUżyliśmy wzoru na oś symetrii w Sposobie 1, a postaci iloczynowej w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd | Co naprawdę wychodzi |\n| B | Pomylono oś symetrii - uznano, że \\(f(-2) = f(2)\\) (jakby oś była w \\(x=0\\)) | \\(f(-2) = 0 \\neq f(2) = 8\\) |\n| C | Wzięto punkt niesymetryczny względem osi | np. \\(f(0) = 8 \\neq f(3) = 5\\) |\n| D | Mylnie przyjęto, że środek odcinka między \\(-2\\) a \\(0\\) to punkt symetrii | wynik niezgodny z obliczeniami |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii to \\(x = 1\\), **nie** \\(x = 0\\)! Łatwo o błąd, jeśli patrząc na wykres skupimy się na osi \\(Oy\\) zamiast policzyć środek między zerami.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parę symetryczną do \\(x_0\\) względem osi \\(x = p\\) wyliczamy jako \\(2p - x_0\\), nie jako \\(-x_0\\). Tu: para do \\(0\\) to \\(2\\cdot1 - 0 = 2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu \\(a\\) z postaci iloczynowej podstaw konkretny znany punkt (np. \\(f(0) = 8\\) z wykresu) - to pewniejsze niż próba odczytu \\(a\\) \"na oko\" z kształtu paraboli.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (symetria paraboli)\nParabola jest symetryczna względem osi przechodzącej przez wierzchołek. Oś symetrii: \\(x = 1\\).\nDwa punkty mają tę samą wartość \\(f\\), jeśli są symetryczne względem \\(x = 1\\).\nDla \\(x_{1} = -4\\): odległość od osi to \\(|{-4} - 1| = 5\\). Punkt symetryczny: \\(1 + 5 = 6\\).\nZatem \\(f(-4) = f(6)\\).\n\n### Sposób 2 (obliczenie ze wzoru)\n\\(f(x) = -(x-1)^{2} + 9\\).\n\\(f(-4) = -(-5)^{2} + 9 = -25 + 9 = -16\\).\n\\(f(6) = -(5)^{2} + 9 = -25 + 9 = -16\\). ✓\n\n### Dlaczego inne błędne\n- B \\(f(5)\\): \\(f(5) = -(4)^{2} + 9 = -7 \\neq -16\\).\n- C \\(f(4)\\): \\(f(4) = -(3)^{2} + 9 = 0 \\neq -16\\).\n- D \\(f(7)\\): \\(f(7) = -(6)^{2} + 9 = -27 \\neq -16\\).\n\n**Trik:** Dla paraboli \\(f(a) = f(b)\\) wtedy i tylko wtedy, gdy średnia \\(\\dfrac{a+b}{2} = x_{W}\\). Tu \\(\\dfrac{-4+6}{2} = 1\\) ✓.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i własności funkcji\n\n1. **Zbadanie punktów:** Zauważmy, że funkcja f jest określona dla kilku punktów: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.\n2. **Sprawdzenie równości f(-4) = f(5):** Na wykresie (strona 20) widzimy, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest równa 0, a wartość funkcji f w punkcie x = 5 również jest równa 0.\n3. **Wniosek:** Zatem równość f(-4) = f(5) jest prawdziwa.\n\n📖 Karta wzorów: **Ciąg:** s.4, (wartość bezwzględna) strona 4\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie własności funkcji wartości bezwzględnych\n\n1. **Własność funkcji wartości bezwzględnych:** Funkcja wartości bezwzględnej ma własność, że wartości funkcji w punktach leżących po obu stronach zera są równe. Innymi słowy, |x| = |x| dla każdego x.\n2. **Zastosowanie do zadania:** W naszym przypadku, f(-4) to wartość funkcji w punkcie x = -4, a f(5) to wartość funkcji w punkcie x = 5. Ponieważ f jest funkcją wartości bezwzględnych, f(-4) = f(5).\n\n📖 Karta wzorów: **Potęgi:** s.4, (wartość bezwzględna) strona 4\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(f(-4) = f(6)\\):** Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 6.\n* **C. \\(f(-4) = f(4)\\):** Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 4.\n* **D. \\(f(-4) = f(7)\\):** Na wykresie (strona 20) widać, że wartość funkcji f w punkcie x = -4 jest różna od wartości funkcji f w punkcie x = 7.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/14.4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"14.4","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Funkcje kwadratowe \\(g\\) oraz \\(h\\) są określone za pomocą funkcji \\(f\\) (zobacz rysunek na stronie 20) następująco: \\(g(x) = f(x + 3)\\), \\(h(x) = f(-x)\\).\n\nNa rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\), fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji \\(g\\) oraz fragment wykresu funkcji \\(h\\).\n\nUzupełnij tabelę. Każdej z funkcji \\(g\\) oraz \\(h\\) przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F.\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z14_4.png\n\nna stronie 20) następująco: g(x) = f(x+ 3) , h(x) = f(-x) . Na rysunkach A-F przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) , fragmenty wykresów różnych funkcji - w tym fragment wykresu funkcji g oraz fragment wykresu funkcji h . Uzupełnij tabelę. Każdej z funkcji g oraz h przyporządkuj fragment jej wykresu. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F. Fragment wykresu funkcji y= g(x) przedstawiono na rysunku Fragment wykresu funkcji y= h(x) przedstawiono na rysunku","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: g → A, h → E\n\n## Sposób 1 - Analiza przekształceń wykresu\n\n**Kluczowe obserwacje:**\n\nMamy funkcję \\(f\\) z wykresu (parabola otwarta w dół) oraz dwie funkcje:\n\\[g(x) = f(x+3), \\qquad h(x) = f(-x)\\]\n\n**Krok 1 - Co robi \\(g(x) = f(x+3)\\)?**\n\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(x+3\\) w argumencie funkcji oznacza **przesunięcie wykresu o 3 jednostki w lewo**.\n\nJeśli wierzchołek \\(f\\) leży w punkcie \\((p,\\, q)\\), to wierzchołek \\(g\\) leży w:\n\\[(p - 3,\\, q)\\]\n\nZ opisu rysunków widzimy, że **rysunek A** pokazuje parabolę z wierzchołkiem wysuniętym wyraźnie w lewo (okolice \\((-3, 10)\\)) - to dokładnie taki efekt. **g → A**.\n\n**Krok 2 - Co robi \\(h(x) = f(-x)\\)?**\n\nZastąpienie \\(x\\) przez \\(-x\\) oznacza **odbicie wykresu względem osi \\(OY\\)** (symetria osiowa).\n\nJeśli wierzchołek \\(f\\) leży w \\((p,\\, q)\\), to wierzchołek \\(h\\) leży w:\n\\[(-p,\\, q)\\]\n\nParabola zmienia swoją poziomą pozycję na lustrzaną, ale zostaje na tej samej wysokości. **Rysunek E** pokazuje parabolę otwartą w dół z wierzchołkiem po lewej stronie osi \\(OY\\) - to właśnie odbicie \\(f\\) względem \\(OY\\). **h → E**.\n\n## Sposób 2 - Śledzenie konkretnych punktów\n\nZałóżmy (na podstawie wyglądu \\(f\\)), że wierzchołek \\(f\\) leży w przybliżeniu w \\((2,\\, 9)\\).\n\n**Dla \\(g(x) = f(x+3)\\):**\n\\[\\text{wierzchołek } g = (2 - 3,\\; 9) = (-1,\\; 9)\\]\nWierzchołek przeskakuje wyraźnie na lewo od osi \\(OY\\) - odpowiada rysunkowi A.\n\n**Dla \\(h(x) = f(-x)\\):**\n\\[\\text{wierzchołek } h = (-2,\\; 9)\\]\nWierzchołek wędruje symetrycznie na lewą stronę osi \\(OY\\) - odpowiada rysunkowi E.\n\n**Weryfikacja kształtu:** Oba przekształcenia nie zmieniają ramion paraboli (parabola nadal otwarta w dół, ten sam stopień \"szerokości\") - szukamy więc identycznej kształtem paraboli, tylko przesuniętej lub odbitej.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[W = (p,\\, q), \\quad \\text{gdzie } p = -\\frac{b}{2a},\\; q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nWiemy, że:\n- **przesunięcie o wektor \\([t, 0]\\)** (poziomo): zastępujemy \\(x\\) przez \\(x - t\\), więc \\(g(x) = f(x+3)\\) oznacza \\(t = -3\\) (przesunięcie w lewo)\n- **odbicie względem \\(OY\\)**: zastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\)\n\nJeśli \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\) (postać kanoniczna), to:\n\\[g(x) = f(x+3) = a(x+3-p)^2 + q = a\\!\\left(x - (p-3)\\right)^2 + q\\]\n\\[h(x) = f(-x) = a(-x-p)^2 + q = a(x+p)^2 + q\\]\n\nWierzchołek \\(g\\): \\((p-3,\\, q)\\) - **3 jednostki w lewo od wierzchołka \\(f\\)**\nWierzchołek \\(h\\): \\((-p,\\, q)\\) - **symetrycznie względem \\(OY\\)**\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Rysunek | Dlaczego nie pasuje do \\(g\\) lub \\(h\\) |\n| B | Wierzchołek przesunięty w **prawo** - gdyby \\(g(x) = f(x-3)\\), ale mamy \\(f(x+3)\\), nie \\(f(x-3)\\) |\n| C | Zbyt mały pionowy zasięg, wierzchołek za blisko środka - nie odpowiada ani przesunięciu o 3, ani odbiciu |\n| D | Wierzchołek po prawej stronie \\(OY\\) - nie pasuje ani do \\(g\\) (przesuniętej w lewo), ani do \\(h\\) (odbitej) |\n| F | Wierzchołek daleko po prawej - klasyczny błąd: mycie się \\(f(x+3)\\) z \\(f(x-3)\\), gdzie przesunięcie byłoby w **prawo** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(f(x+3)\\) uczniowie często mylą kierunek przesunięcia - dodajemy 3 do argumentu, więc przesuwamy **w lewo** (nie w prawo!). Intuicja \"plus = prawo\" jest błędna dla przesunięć wewnątrz argumentu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(f(-x)\\) oś symetrii odbicia to \\(OY\\), a nie \\(OX\\). Nie odwracamy paraboli \"do góry nogami\" - tylko poziomo ją lustrzujemy. Parabola otwarta w dół pozostaje otwarta w dół.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oba przekształcenia (\\(f(x+3)\\) i \\(f(-x)\\)) zachowują **kształt i szerokość** paraboli - szukamy więc rysunków identycznie wyglądającej paraboli, tylko w innym miejscu układu.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(g\\) → A, \\(h\\) → E**\n\n### Sposób 1 (interpretacja przekształceń wykresu)\nWykres \\(f\\): parabola, wierzchołek \\((1, 9)\\), miejsca zerowe \\(x = -2\\) i \\(x = 4\\).\n\n**\\(g(x) = f(x+3)\\)** - przesunięcie wykresu \\(f\\) o \\(3\\) jednostki w LEWO:\n- Wierzchołek: \\((1-3, 9) = (-2, 9)\\).\n- Miejsca zerowe: \\(-2-3 = -5\\) oraz \\(4-3 = 1\\).\nTo rysunek **A** (wierzchołek nad \\(x=-2\\)).\n\n**\\(h(x) = f(-x)\\)** - SYMETRIA względem osi \\(OY\\):\n- Wierzchołek: \\((1, 9) \\to (-1, 9)\\).\n- Miejsca zerowe: \\(-2 \\to 2\\), \\(4 \\to -4\\).\nTo rysunek **E** (wierzchołek nad \\(x=-1\\), miejsca zerowe \\(-4\\) i \\(2\\)).\n\n### Sposób 2 (obliczenia wartości kontrolnych)\nDla \\(g\\): \\(g(0) = f(3) = -(3-1)^{2} + 9 = 5\\). W A parabola przecina \\(OY\\) powyżej \\(4\\) ✓.\nDla \\(h\\): \\(h(0) = f(0) = -(0-1)^{2} + 9 = 8\\). W E parabola przecina \\(OY\\) w \\(y=8\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- B (wierzchołek nad \\(x=3\\)): odpowiada \\(f(x-2)\\), nie \\(f(-x)\\).\n- C (skala zmieniona): nie pasuje.\n- D, F (parabole otwarte do góry): \\(f(x+3)\\) i \\(f(-x)\\) mają ramiona w dół.\n\n**Trik:** Dla \\(f(x+a)\\) przesunięcie o \\(a\\) w lewo (\\(a > 0\\)). Dla \\(f(-x)\\) odbicie w osi OY (wierzchołek \\((p, q) \\to (-p, q)\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresów i dopasowanie funkcji\n\nTen sposób polega na bezpośrednim porównaniu fragmentów wykresów funkcji g(x) i h(x) z opcjami A-F. Zauważamy, że fragment wykresu funkcji g(x) odpowiada opcji B. Fragment wykresu funkcji h(x) odpowiada opcji A.\n\n1. **Zidentyfikuj fragmenty wykresów:** Spójrz na rysunek i zidentyfikuj fragmenty wykresów funkcji g(x) i h(x).\n2. **Porównaj z opcjami:** Porównaj te fragmenty z opcjami A-F.\n3. **Dopasuj:** Zauważ, że fragment wykresu g(x) (kolor fioletowy) w opcji B jest zgodny z tym, co widzimy na rysunku. Analogicznie, fragment wykresu h(x) (kolor fioletowy) w opcji A jest zgodny z tym, co widzimy na rysunku.\n\n\\[g(x) = f(x+3)\\]\n\\[h(x) = f(-x)\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji funkcji g(x) i h(x)\n\nTen sposób polega na obliczeniu wartości funkcji g(x) i h(x) dla kilku wartości x i porównaniu z opcjami A-F.\n\n1. **Oblicz g(x) i h(x):** Dla kilku wartości x (np. x = 0, 1, 2, 3) oblicz g(x) i h(x) używając definicji g(x) = f(x+3) i h(x) = f(-x).\n2. **Porównaj z opcjami:** Porównaj obliczone wartości g(x) i h(x) z opcjami A-F. Zauważ, że opcja B jest najbardziej zbliżona do obliczonych wartości.\n\n📖 Karta wzorów: s.7 - Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Fragment wykresu g(x) w opcji A nie pasuje do fragmentu wykresu g(x) na rysunku.\n* **C:** Fragment wykresu h(x) w opcji C nie pasuje do fragmentu wykresu h(x) na rysunku.\n* **D:** Fragment wykresu g(x) w opcji D nie pasuje do fragmentu wykresu g(x) na rysunku.\n* **E:** Fragment wykresu h(x) w opcji E nie pasuje do fragmentu wykresu h(x) na rysunku.\n* **F:** Fragment wykresu g(x) w opcji F nie pasuje do fragmentu wykresu g(x) na rysunku.\n\n**Podsumowanie:** Najprostszym i najszybszym sposobem rozwiązania tego zadania jest bezpośrednie porównanie fragmentów wykresów funkcji g(x) i h(x) z opcjami A-F. Zauważ, że fragmenty wykresów funkcji g(x) i h(x) na rysunku są identyczne z fragmentami wykresów funkcji g(x) i h(x) w opcji B.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Wyznacz wszystkie wartości parametru \\(m\\), dla których równanie\n\\[x^2 - (3m + 1) \\cdot x + 2m^2 + m + 1 = 0\\]\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \\(x_1\\), \\(x_2\\) spełniające warunek\n\\[x_1^2 + x_2^2 + 3 \\cdot x_1 \\cdot x_2 \\cdot (x_1 + x_2 - 3) \\leq 3m - 7.\\]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzory Viète'a + uproszczenie wyrażenia\n\n### Krok 1: Warunek na dwa różne pierwiastki rzeczywiste (\\(\\Delta > 0\\))\n\n\\[\\Delta = (3m+1)^2 - 4(2m^2 + m + 1) > 0\\]\n\\[= 9m^2 + 6m + 1 - 8m^2 - 4m - 4 > 0\\]\n\\[= m^2 + 2m - 3 > 0\\]\n\\[= (m+3)(m-1) > 0\\]\n\nStąd: **\\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\).**\n\n### Krok 2: Wzory Viète'a\n\nDla równania \\(x^2 - (3m+1)x + (2m^2+m+1) = 0\\):\n\\[x_1 + x_2 = 3m+1, \\qquad x_1 x_2 = 2m^2 + m + 1\\]\n\nOznaczmy \\(s = x_1 + x_2\\), \\(p = x_1 x_2\\).\n\n### Krok 3: Uproszczenie lewej strony nierówności\n\nKluczowa obserwacja: ze wzoru \\((a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)\\) wynika:\n\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1+x_2)\\]\n\nPodstawiamy do wyrażenia z nierówności:\n\\[x_1^3 + x_2^3 + 3x_1 x_2(x_1+x_2-3)\\]\n\\[= \\underbrace{(x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)}_{=x_1^3+x_2^3} + 3x_1x_2(x_1+x_2) - 9x_1x_2\\]\n\\[= (x_1+x_2)^3 - 9x_1x_2 = s^3 - 9p\\]\n\n### Krok 4: Podstawienie Viète'a do nierówności\n\n\\[s^3 - 9p \\leq 3m - 7\\]\n\\[(3m+1)^3 - 9(2m^2+m+1) \\leq 3m - 7\\]\n\nRozwijamy \\((3m+1)^3 = 27m^3 + 27m^2 + 9m + 1\\):\n\\[27m^3 + 27m^2 + 9m + 1 - 18m^2 - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^3 + 9m^2 - 8 \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\]\n\n### Krok 5: Faktoryzacja wielomianu\n\nSzukamy rozkładu przez grupowanie:\n\\[27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = 9m^2(3m+1) - 1(3m+1) = (9m^2-1)(3m+1)\\]\n\\[= (3m-1)(3m+1)(3m+1) = (3m-1)(3m+1)^2\\]\n\nSprawdzenie: \\((3m-1)(9m^2+6m+1) = 27m^3 + 18m^2 + 3m - 9m^2 - 6m - 1 = 27m^3 + 9m^2 - 3m - 1\\) ✓\n\nNierówność:\n\\[(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\]\n\nPonieważ \\((3m+1)^2 \\geq 0\\) **zawsze**:\n- Gdy \\(m = -\\frac{1}{3}\\): cały iloczyn \\(= 0 \\leq 0\\) ✓\n- Gdy \\(m \\neq -\\frac{1}{3}\\): \\((3m+1)^2 > 0\\), więc potrzebujemy \\(3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\)\n\n**Z nierówności wynika: \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\).**\n\n### Krok 6: Część wspólna obu warunków\n\n\\[(\\underbrace{m < -3 \\text{ lub } m > 1}_{\\Delta > 0}) \\quad \\cap \\quad (\\underbrace{m \\leq \\tfrac{1}{3}}_{\\text{nierówność}})\\]\n\n- \\(m < -3\\) i \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) → daje \\(m < -3\\)\n- \\(m > 1\\) i \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) → **zbiór pusty**\n\n**Odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie i analiza znaku\n\n### Uproszczona postać nierówności (ta sama co wyżej):\n\n\\[(3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\]\n\nZanalizujemy znaki na osi liczbowej. Zera funkcji: \\(m = \\frac{1}{3}\\) (prosta) i \\(m = -\\frac{1}{3}\\) (podwójne - nie zmienia znaku).\n\n| Przedział | \\(3m-1\\) | \\((3m+1)^2\\) | Iloczyn |\n| \\(m < -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(m = -\\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-\\frac{1}{3} < m < \\frac{1}{3}\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(m = \\frac{1}{3}\\) | \\(0\\) | \\(+\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(m > \\frac{1}{3}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✗ |\n\nNierówność spełniona dla \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\) - identycznie jak w Sposobie 1.\n\n### Część wspólna z warunkiem \\(\\Delta > 0\\):\n\nNakładamy \\(m < -3\\) lub \\(m > 1\\) na \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\):\n\n\\[m \\in (-\\infty, -3)\\]\n\n**Sprawdzenie przykładowego punktu:** dla \\(m = -4\\):\n- \\(\\Delta = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0\\) ✓\n- \\((3(-4)-1)(3(-4)+1)^2 = (-13)(-11)^2 = -13 \\cdot 121 = -1573 \\leq 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i warunek dwóch różnych pierwiastków:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\quad \\Delta > 0 \\Rightarrow \\text{dwa różne pierwiastki rzeczywiste}\\]\nUżyte w Kroku 1 do warunku \\(\\Delta > 0\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\frac{c}{a}\\]\nKluczowe w Kroku 2 - zamieniliśmy wyrażenie z \\(x_1, x_2\\) na wyrażenie w \\(m\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na sześcian sumy (w odwrotną stronę):\n\\[(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\\]\nUżyte w Kroku 3 do uproszczenia \\(x_1^3 + x_2^3 + 3x_1x_2(x_1+x_2)\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie warunku \\(\\Delta > 0\\). Samo rozwiązanie nierówności daje \\(m \\leq \\frac{1}{3}\\), ale zadanie wymaga **dwóch różnych** pierwiastków - bez \\(\\Delta > 0\\) wynik jest błędny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy grupowaniu \\(9m^2(3m+1) - 1 \\cdot (3m+1)\\) łatwo popełnić błąd znaku. Sprawdź zawsze przez rozwinięcie czynników z powrotem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((3m+1)^2 = 0\\) dla \\(m = -\\frac{1}{3}\\) sprawia, że ten punkt **spełnia** nierówność (wynik to \\(0 \\leq 0\\)), ale nie spełnia warunku \\(\\Delta > 0\\) - jest więc odrzucony. Podwójny pierwiastek \\((3m+1)^2\\) nie zmienia znaku iloczynu, więc nie tworzy nowego przedziału rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\)**\n\n### Sposób 1\n\n**I etap: rozwiązanie nierówności \\(\\Delta > 0\\).**\n\nTrójmian kwadratowy \\(x^{2} - (3m + 1)x + 2m^{2} + m + 1\\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik jest dodatni. Rozwiązujemy warunek \\(\\Delta > 0\\):\n\\[[-(3m + 1)]^{2} - 4 \\cdot 1 \\cdot (2m^{2} + m + 1) > 0\\]\n\\[(3m + 1)^{2} - 4(2m^{2} + m + 1) > 0\\]\n\\[9m^{2} + 6m + 1 - 8m^{2} - 4m - 4 > 0\\]\n\\[m^{2} + 2m - 3 > 0\\]\n\\[(m - 1)(m + 3) > 0\\]\n\\[m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\]\n\n**II etap: wyznaczenie wartości \\(m\\) z warunku algebraicznego.**\n\nZ wzorów Viète'a: \\(x_1 + x_2 = 3m + 1\\) oraz \\(x_1 \\cdot x_2 = 2m^2 + m + 1\\).\n\nPrzekształcamy nierówność: zauważmy, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) = (x_1 + x_2)^3\\). Zatem:\n\\[x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2 - 3) = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2\\]\n\nWarunek zadania:\n\\[(x_1 + x_2)^{3} - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\]\n\\[(3m + 1)^{3} - 9 \\cdot (2m^{2} + m + 1) \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^{3} + 27m^{2} + 9m + 1 - 18m^{2} - 9m - 9 \\leq 3m - 7\\]\n\\[27m^{3} + 9m^{2} - 3m - 1 \\leq 0\\]\n\nRozkładamy wielomian: \\((3m)^3 - 1^3 + 9m^2 - 3m = (3m - 1)(9m^2 + 3m + 1) + 3m(3m - 1) = (3m - 1)(9m^2 + 3m + 1 + 3m) = (3m - 1)(9m^2 + 6m + 1) = (3m - 1)(3m + 1)^2\\).\n\nZatem nierówność: \\((3m - 1)(3m + 1)^{2} \\leq 0\\).\n\nPonieważ \\((3m + 1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(m\\), więc:\n- \\((3m + 1)^2 = 0 \\iff m = -\\dfrac{1}{3}\\), wtedy nierówność spełniona.\n- \\((3m + 1)^2 > 0\\): nierówność spełniona gdy \\(3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\(m \\leq \\dfrac{1}{3}\\).\n\nOstatecznie warunek II etapu: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).\n\n**III etap: część wspólna warunków z etapu I i II.**\n\n\\[m \\in \\left[(-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\right] \\cap \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle = (-\\infty, -3)\\]\n\nZatem ostatecznie \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).\n\n### Sposób 2\n\nPo obliczeniu \\(\\Delta > 0 \\iff m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\), stosujemy tożsamość:\n\\[x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)\\]\n\nPodstawiamy do lewej strony warunku:\n\\[(x_1 + x_2)^3 - 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 9 x_1 x_2 = (x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2\\]\n\nZatem nierówność \\((x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\) sprowadza się do \\((3m+1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7\\), czyli \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\), czyli \\((3m-1)(3m+1)^2 \\leq 0\\).\n\nStąd \\(m \\leq \\dfrac{1}{3}\\). Przecięcie z warunkiem z I etapu: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\n\n**I etap** (\\(1\\) pkt): poprawne rozwiązanie nierówności \\(\\Delta > 0\\): \\(m \\in (-\\infty, -3) \\cup (1, +\\infty)\\).\n**II etap** (\\(4\\) pkt): wyznaczenie wartości \\(m\\) z warunku algebraicznego: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).\n- 4 pkt - rozwiązanie nierówności równoważnej warunkowi: \\(m \\in \\left(-\\infty, \\dfrac{1}{3}\\right\\rangle\\).\n- 3 pkt - zapisanie nierówności w postaci \\(W(m) \\leq 0\\), gdzie \\(W(m)\\) jest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np. \\((3m - 1)(3m + 1)^2 \\leq 0\\) ALBO zapisanie nierówności \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 \\leq 0\\) oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków.\n- 2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \\(m\\) równoważnej warunkowi, np. \\((3m + 1)^3 - 9(2m^2 + m + 1) \\leq 3m - 7\\).\n- 1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a, np. \\((x_1 + x_2)^3 - 9 x_1 x_2 \\leq 3m - 7\\).\n- 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**III etap** (\\(1\\) pkt): wyznaczenie wszystkich wartości parametru \\(m\\), które spełniają jednocześnie warunki z I i II etapu: \\(m \\in (-\\infty, -3)\\).\n\n**Uwagi:**\n- Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \\(\\Delta \\geq 0\\), to za I etap otrzymuje **0 punktów**.\n- Jeżeli zdający pominie istotne nawiasy lub błędnie zastosuje \\(x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3\\), to za II etap może otrzymać co najwyżej **2 punkty**.\n\n**Trik:** Kluczem jest rozpoznanie, że \\(x_1^3 + x_2^3 + 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2) = (x_1 + x_2)^3\\). Wtedy cała nierówność sprowadza się do funkcji w \\(m\\). Rozkład \\(27m^3 + 9m^2 - 3m - 1 = (3m - 1)(3m + 1)^2\\) znajdujemy szukając pierwiastka wymiernego wg twierdzenia Bézouta (kandydaci \\(\\pm \\dfrac{1}{3}, \\pm 1\\)).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości \\(3456\\), których krawędź podstawy ma długość nie większą niż \\(8\\sqrt{3}\\).\n\na) Wykaż, że pole \\(P\\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \\(a\\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n\\[P(a) = \\frac{a^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}.\\]\n\nb) Pole \\(P\\) powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości \\(a\\) krawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n\\[P(a) = \\frac{a^2 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\ndla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3})\\). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**Część a)** Wyprowadzamy wzór \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) - dowód poniżej.\n\n**Część b)** Minimalne pole osiągane jest dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\), a jego wartość wynosi:\n\\[P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\n## Sposób 1 - Wyprowadzenie wzoru i minimalizacja pochodną\n\n### Część a) - Wyprowadzenie wzoru na \\(P(a)\\)\n\n**Krok 1: Wyraź wysokość \\(h\\) z warunku na objętość.**\n\nGraniastosłup prawidłowy trójkątny ma podstawę w kształcie trójkąta równobocznego. Jego pole:\n\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nObjętość graniastosłupa:\n\\[V = P_{\\text{podstawy}} \\cdot h = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} \\cdot h = 3456\\]\n\nStąd:\n\\[h = \\frac{3456 \\cdot 4}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} = \\frac{13824}{a^2\\sqrt{3}} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = \\frac{13824\\sqrt{3}}{3a^2} = \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\n**Krok 2: Zapisz pole powierzchni całkowitej.**\n\nGraniastosłup ma 2 podstawy i 3 prostokątne ściany boczne o wymiarach \\(a \\times h\\):\n\\[P = 2 \\cdot P_{\\text{podstawy}} + 3 \\cdot a \\cdot h\\]\n\\[P = 2 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} + 3a \\cdot \\frac{4608\\sqrt{3}}{a^2}\\]\n\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{3 \\cdot 4608\\sqrt{3}}{a}\\]\n\\[\\boxed{P(a) = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{a}}\\]\n\nco kończy dowód. \\(\\square\\)\n\n### Część b) - Wyznaczenie minimum\n\nFunkcja \\(P(a) = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) określona dla \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\n**Krok 1: Oblicz pochodną.**\n\\[P'(a) = a\\sqrt{3} - \\frac{13824\\sqrt{3}}{a^2} = \\sqrt{3}\\left(a - \\frac{13824}{a^2}\\right) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2}\\]\n\n**Krok 2: Znajdź punkt krytyczny.**\n\nPrzyrównaj \\(P'(a) = 0\\):\n\\[a^3 - 13824 = 0 \\implies a^3 = 13824 = 24^3 \\implies a = 24\\]\n\n**Krok 3: Sprawdź, czy punkt krytyczny należy do dziedziny.**\n\nPorównaj \\(24\\) z \\(8\\sqrt{3}\\):\n\\[(8\\sqrt{3})^3 = 512 \\cdot 3\\sqrt{3} = 1536\\sqrt{3} \\approx 2660\\]\n\\[24^3 = 13824\\]\n\nPonieważ \\(2660 < 13824\\), mamy \\(8\\sqrt{3} < 24\\), czyli **punkt krytyczny \\(a = 24\\) leży poza dziedziną** \\((0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\n**Krok 4: Zbadaj znak \\(P'(a)\\) na całej dziedzinie.**\n\nDla każdego \\(a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\):\n\\[a^3 \\leq (8\\sqrt{3})^3 = 1536\\sqrt{3} \\approx 2660 < 13824\\]\n\nZatem \\(a^3 - 13824 < 0\\), więc:\n\\[P'(a) = \\frac{\\sqrt{3}(a^3 - 13824)}{a^2} < 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]\n\n**Wniosek:** \\(P\\) jest **ściśle malejąca** na całej dziedzinie - minimum osiągane jest na **prawym krańcu**, czyli dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\).\n\n**Krok 5: Oblicz wartość minimalną.**\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\frac{(8\\sqrt{3})^2\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\]\n\\[= \\frac{192\\sqrt{3}}{2} + \\frac{13824}{8}\\]\n\\[= 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\n\\[\\boxed{P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728}\\]\n\n## Sposób 2 - Monotoniczne porównanie (bez szukania pochodnej zerowej)\n\nMożna obejść się bez wyznaczania konkretnego punktu krytycznego - wystarczy pokazać bezpośrednio, że \\(P\\) maleje.\n\n**Cel:** Pokazać, że dla \\(0 < a_1 < a_2 \\leq 8\\sqrt{3}\\) zachodzi \\(P(a_1) > P(a_2)\\).\n\nObliczamy różnicę:\n\\[P(a_2) - P(a_1) = \\sqrt{3}\\left[\\frac{a_2^2 - a_1^2}{2} - 13824\\left(\\frac{1}{a_1} - \\frac{1}{a_2}\\right)\\right]\\]\n\\[= \\sqrt{3}(a_2 - a_1)\\left[\\frac{a_2 + a_1}{2} - \\frac{13824}{a_1 a_2}\\right]\\]\n\nPonieważ \\(a_2 > a_1 > 0\\), czynnik \\((a_2 - a_1) > 0\\). Sprawdzamy znak wyrażenia w nawiasie:\n\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} - \\frac{13824}{a_1 a_2}\\]\n\nDla \\(a_1, a_2 \\in (0,\\, 8\\sqrt{3}\\rangle\\) mamy \\(a_1 a_2 \\leq (8\\sqrt{3})^2 = 192\\), więc:\n\\[\\frac{13824}{a_1 a_2} \\geq \\frac{13824}{192} = 72\\]\n\nZ drugiej strony:\n\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} \\leq \\frac{8\\sqrt{3} + 8\\sqrt{3}}{2} = 8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{a_2 + a_1}{2} \\leq 8\\sqrt{3} < 72 \\leq \\frac{13824}{a_1 a_2}\\]\n\nWyrażenie w nawiasie jest **ujemne**, więc \\(P(a_2) - P(a_1) < 0\\), czyli \\(P\\) maleje. Minimum jest w \\(a = 8\\sqrt{3}\\) i wynosi \\(96\\sqrt{3} + 1728\\). \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_b \\cdot h, \\qquad V = P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy wzoru na objętość do wyznaczenia \\(h\\) z \\(V = 3456\\), i wzoru na pole boczne do zbudowania \\(P(a)\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt równoboczny, s. 15-16):**\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nPole każdej z dwóch podstaw graniastosłupa.\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33):**\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\nZastosowane przy różniczkowaniu \\(P(a)\\): \\(\\left(\\frac{1}{a}\\right)' = -\\frac{1}{a^2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt krytyczny \\(a = 24\\) **leży poza dziedziną** \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). To częsty błąd - uczniowie wyznaczają \\(a = 24\\) i podają to jako odpowiedź, nie sprawdzając, czy należy do dopuszczalnego zakresu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skoro \\(P'(a) < 0\\) na całej dziedzinie, funkcja maleje - minimum jest na **prawym krańcu** przedziału, nie w środku. Pamiętaj: brak punktu krytycznego w dziedzinie ≠ brak minimum!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}}\\) wiele osób błędnie zostawia \\(\\sqrt{3}\\) w wyniku. Tutaj \\(\\frac{\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 1\\), więc wynik to po prostu \\(\\frac{13824}{8} = 1728\\) - liczba wymierna!\n\n**Poprawna odpowiedź: a) dowód; b) \\(a = 8\\sqrt{3}\\), \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\)**\n\n### Sposób 1\n\n**a) Wyprowadzenie wzoru.**\n\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów prawidłowych trójkątnych. Oznaczmy jego wysokość przez \\(H\\), a krawędź podstawy przez \\(a\\). Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \\(P_{\\triangle} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\):\n\\[V = P_{\\triangle} \\cdot H\\]\n\\[3456 = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} \\cdot H\\]\n\\[H = \\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}} = \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{3a^{2}} = \\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}}\\]\n\nZe wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa (dwa trójkąty równoboczne w podstawach i trzy prostokąty boczne o wymiarach \\(a \\times H\\)):\n\\[P = 2 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} + 3 \\cdot a \\cdot H = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + 3a \\cdot \\dfrac{4608\\sqrt{3}}{a^{2}} = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\]\n\nZatem \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\). To należało wykazać.\n\n**b) Minimalizacja pola.**\n\nObliczamy najmniejszą wartość funkcji \\(P(a) = \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a}\\) dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\nWyznaczamy pochodną funkcji \\(P\\):\n\\[P'(a) = \\dfrac{2a\\sqrt{3}}{2} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} \\quad \\text{dla} \\quad a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]\n\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej:\n\\[P'(a) = 0\\]\n\\[a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = 0\\]\n\\[a^{3}\\sqrt{3} = 13824\\sqrt{3}\\]\n\\[a^{3} = 13824 = 24^{3}\\]\n\\[a = 24 \\notin (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\]\n\nPonieważ \\(8\\sqrt{3} \\approx 13{,}86 < 24\\), miejsce zerowe \\(a = 24\\) leży poza dziedziną. Badamy znak pochodnej w dziedzinie:\n\\[P'(a) < 0 \\iff a\\sqrt{3} < \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} \\iff a^{3} < 13824 \\iff a < 24\\]\n\nWięc \\(P'(a) < 0\\) dla \\(a \\in (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Zatem funkcja \\(P\\) jest malejąca w przedziale \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\).\n\nStąd dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą:\n\\[P(8\\sqrt{3}) = \\dfrac{(8\\sqrt{3})^{2}\\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{8\\sqrt{3}} = \\dfrac{64 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{3}}{2} + \\dfrac{13824}{8} = \\dfrac{192\\sqrt{3}}{2} + 1728 = 96\\sqrt{3} + 1728\\]\n\nZatem długość krawędzi podstawy to \\(a = 8\\sqrt{3}\\), a najmniejsze pole powierzchni całkowitej wynosi \\(P_{\\min} = 96\\sqrt{3} + 1728\\).\n\n### Sposób 2\n\nAlternatywnie w części b) można zastosować rozumowanie \"krańcowe\": ponieważ pochodna \\(P'\\) zeruje się dla \\(a = 24\\), a funkcja \\(P\\) jest ciągła i różniczkowalna, to monotoniczność \\(P\\) nie zmienia się w przedziale \\((0, 24)\\). Sprawdzamy, że \\(P'(1) = \\sqrt{3} - 13824\\sqrt{3} < 0\\), więc \\(P\\) maleje na \\((0, 24)\\), w szczególności na \\((0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Zatem minimum osiągane jest w prawym krańcu \\(a = 8\\sqrt{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n\n**Część a)** (2 pkt):\n- 2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n- 1 pkt - wyznaczenie wysokości \\(H\\) graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy, np. \\(H = \\dfrac{13824}{a^{2}\\sqrt{3}}\\).\n- 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**Uwagi:**\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje **0 punktów** za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\), to otrzymuje **0 punktów** za całe rozwiązanie części a).\n\n**Część b)** (4 pkt):\n- 4 pkt - uzasadnienie, że funkcja \\(P\\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) i obliczenie wartości najmniejszej funkcji \\(P\\): \\(96\\sqrt{3} + 1728\\).\n- 3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \\(P\\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) ALBO zapisanie, że dla \\(a = 8\\sqrt{3}\\) funkcja \\(P\\) osiąga wartość najmniejszą i obliczenie \\(P(8\\sqrt{3}) = 96\\sqrt{3} + 1728\\).\n- 2 pkt - poprawne rozwiązanie równania \\(a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}} = 0\\): \\(a = 24\\).\n- 1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji \\(P\\): \\(P'(a) = a\\sqrt{3} - \\dfrac{13824\\sqrt{3}}{a^{2}}\\).\n- 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n\n**Trik:** W optymalizacji z ograniczeniem, gdy miejsce zerowe pochodnej leży poza dziedziną, minimum/maksimum osiągane jest w krańcu dziedziny - w tym przypadku \\(a = 8\\sqrt{3}\\), gdyż \\(P\\) maleje na całym \\((0, 24)\\supset (0, 8\\sqrt{3}\\rangle\\). Liczba \\(13824 = 24^3\\), więc pierwiastek kubiczny łatwo wyliczyć.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Ciąg arytmetyczny \\((a_{n})\\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \\(n \\geq 1\\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \\((-1)\\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \\((-165)\\).\n\nOblicz różnicę tego ciągu. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = -2\\)\n\n## Sposób 1 - układ równań (wzór na wyraz ogólny i sumę)\n\n**Co wiemy:**\n- \\(a_3 = -1\\)\n- \\(S_{15} = -165\\)\n\n**Krok 1: Zapisz wzór na trzeci wyraz.**\n\n\\[a_3 = a_1 + 2r = -1\\]\n\n**Krok 2: Zapisz wzór na sumę 15 wyrazów.**\n\n\\[S_{15} = \\frac{2a_1 + 14r}{2} \\cdot 15 = 15(a_1 + 7r) = -165\\]\n\nDzielimy przez 15:\n\n\\[a_1 + 7r = -11\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż układ równań.**\n\n\\[\\begin{cases} a_1 + 2r = -1 \\\\ a_1 + 7r = -11 \\end{cases}\\]\n\nOdejmujemy pierwsze równanie od drugiego:\n\n\\[(a_1 + 7r) - (a_1 + 2r) = -11 - (-1)\\]\n\n\\[5r = -10\\]\n\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\n**Krok 4: Wyznacz \\(a_1\\) (dla porządku).**\n\n\\[a_1 = -1 - 2r = -1 - 2\\cdot(-2) = -1 + 4 = 3\\]\n\n## Sposób 2 - wzór na sumę przez \\(a_3\\) (sprytne podstawienie)\n\nZamiast wyznaczać \\(a_1\\), skorzystamy z tego, że **środkowy wyraz ciągu arytmetycznego** jest równy **średniej arytmetycznej** całego ciągu.\n\n**Krok 1: Znajdź środkowy wyraz sumy 15 wyrazów.**\n\n15 wyrazów → środkowy to wyraz numer 8, czyli \\(a_8\\).\n\nDla ciągu arytmetycznego:\n\\[S_{15} = 15 \\cdot a_8\\]\n\nStąd:\n\\[a_8 = \\frac{S_{15}}{15} = \\frac{-165}{15} = -11\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz różnicę.**\n\nMamy \\(a_3\\) i \\(a_8\\). Odległość między nimi to \\(8 - 3 = 5\\) kroków, więc:\n\n\\[a_8 = a_3 + 5r\\]\n\n\\[-11 = -1 + 5r\\]\n\n\\[5r = -10\\]\n\n\\[\\boxed{r = -2}\\]\n\nTen sposób jest szybszy - nie trzeba w ogóle liczyć \\(a_1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_3\\) oraz w Sposobie 2 do przejścia od \\(a_3\\) do \\(a_8\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 dla \\(n = 15\\).\n\nWłasność środkowego wyrazu (wynika z definicji):\n\\[S_n = n \\cdot a_{\\frac{n+1}{2}} \\quad \\text{(dla nieparzystego } n\\text{)}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - \\(S_{15} = 15 \\cdot a_8\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 1 łatwo pomylić indeksy - \\(a_3 = a_1 + 2r\\), bo wzór to \\(a_1 + (n-1)r\\), czyli dla \\(n=3\\) mamy \\((3-1) = 2\\), nie 3!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odejmowaniu równań pilnuj znaków - \\(-11 - (-1) = -11 + 1 = -10\\), nie \\(-12\\). To najczęstsze miejsce pomyłki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz 15-elementowego ciągu to \\(a_8\\) (nie \\(a_7\\) ani \\(a_{8.5}\\)) - bo \\(\\frac{15+1}{2} = 8\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(r = -2\\)**\n\n### Sposób 1 (układ równań - CKE Sposób I)\nZ własności ciągu arytmetycznego:\n\\[\\begin{cases} a_{3} = a_{1} + 2r = -1 \\\\ S_{15} = \\dfrac{2a_{1} + 14r}{2} \\cdot 15 = -165 \\end{cases}\\]\nDrugie równanie: \\((2a_{1} + 14r) \\cdot \\dfrac{15}{2} = -165 \\Rightarrow 2a_{1} + 14r = -22 \\Rightarrow a_{1} + 7r = -11\\).\nUkład: \\(\\begin{cases} a_{1} + 2r = -1 \\\\ a_{1} + 7r = -11 \\end{cases}\\). Odejmując: \\(5r = -10\\), czyli \\(r = -2\\).\n\n### Sposób 2 (własność \\(S_{n} = n \\cdot a_{\\text{środkowy}}\\) - CKE Sposób IV)\nDla ciągu arytmetycznego o nieparzystej liczbie wyrazów suma jest równa iloczynowi liczby wyrazów i wyrazu środkowego:\n\\[S_{15} = 15 \\cdot a_{8} = -165\\]\n\\[a_{8} = -11\\]\nZ własności: \\(a_{8} = a_{3} + 5r\\), czyli \\(-11 = -1 + 5r\\), stąd \\(5r = -10\\), \\(r = -2\\).\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Pomylenie ciągu arytmetycznego z geometrycznym → \\(0\\) pkt.\n- Zapisanie tylko \\(r = -2\\) bez uzasadnienia → \\(1\\) pkt.\n- Błędne uznanie \\(-165\\) za 15. wyraz (nie sumę) → \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** Dla \\(S_{n}\\) z nieparzystym \\(n\\): \\(S_{n} = n \\cdot a_{\\text{środkowy}}\\). Tu od razu \\(a_{8} = -11\\) i z \\(a_{3}\\) wyliczamy \\(r\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"18","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) zaznaczono kąt \\(\\alpha\\) o mierze \\(\\alpha\\) taki, że \\(\\operatorname{tg} \\alpha = -3\\) oraz \\(90^{\\circ} < \\alpha < 180^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).\n\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\n\nPrawdziwe są zależności: oraz\n\nA. \\(\\sin \\alpha < 0\\)\nB. \\(\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha < 0\\)\nC. \\(\\sin \\alpha \\cdot \\cos \\alpha > 0\\)\nD. \\(\\cos \\alpha > 0\\)\nE. \\(\\sin \\alpha = -\\frac{1}{3} \\cos \\alpha\\)\nF. \\(\\sin \\alpha = -3 \\cos \\alpha\\)\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z18.png\n\n. y 3 2 1 𝛼 0 x -3 -2 -1 1 2 3 -1 Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.** Prawdziwe są zależności: oraz\n\nA. \\(\\sin\\alpha < 0\\); \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha < 0\\); \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha > 0\\); \\(\\cos\\alpha > 0\\); \\(\\sin\\alpha = -\\dfrac{1}{3}\\cos\\alpha\\); \\(\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\)\nB. \\(sin 𝛼\\cdot cos 𝛼< 0\\)\nC. \\(sin 𝛼\\cdot cos 𝛼> 0\\)\nD. \\(cos 𝛼> 0 - E. sin 𝛼= -[1] cos 𝛼 3 - F. sin 𝛼= -3 cos 𝛼\\)","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B i F\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie sin α i cos α z definicji trygonometrycznej\n\n**Analizujemy dane:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = -3, \\quad 90° < \\alpha < 180° \\text{ (II ćwiartka)}\\]\n\nW II ćwiartce: \\(\\sin\\alpha > 0\\), \\(\\cos\\alpha < 0\\), \\(\\operatorname{tg}\\alpha < 0\\) - spójne z danymi ✓\n\n**Wyznaczamy punkt na ramieniu końcowym kąta:**\n\nZe wzoru na tangens \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x} = -3\\), w II ćwiartce dobieramy:\n\\[x = -1, \\quad y = 3\\]\n\\[r = \\sqrt{x^2 + y^2} = \\sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \\sqrt{1 + 9} = \\sqrt{10}\\]\n\n**Stąd wartości funkcji trygonometrycznych:**\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r} = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\]\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{x}{r} = \\frac{-1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\]\n\n**Obliczamy przydatne wyrażenia:**\n\n| Wyrażenie | Wartość | Uwaga |\n| \\(\\sin\\alpha\\) | \\(\\dfrac{3\\sqrt{10}}{10}\\) | dodatnie (II ćw.) |\n| \\(\\cos\\alpha\\) | \\(-\\dfrac{\\sqrt{10}}{10}\\) | ujemne (II ćw.) |\n| \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha\\) | \\(\\dfrac{2\\sqrt{10}}{10} = \\dfrac{\\sqrt{10}}{5}\\) | |\n| \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha\\) | \\(-\\dfrac{3}{10}\\) | |\n| \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\) | \\(\\dfrac{9}{10} - \\dfrac{1}{10} = \\dfrac{4}{5}\\) | |\n| \\(\\cos 2\\alpha\\) | \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = -\\dfrac{4}{5}\\) | |\n| \\(\\sin 2\\alpha\\) | \\(2\\sin\\alpha\\cos\\alpha = -\\dfrac{3}{5}\\) | |\n\n**Odpowiedzi B i F są prawdziwe** - odpowiadają wartościom wyliczonym powyżej (typowo dla tego zadania CKE: \\(\\cos\\alpha = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\) oraz \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha = \\frac{4}{5}\\)).\n\n## Sposób 2 - użycie jedynki trygonometrycznej\n\nZ \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) oraz tożsamości \\(1 + \\operatorname{tg}^2\\alpha = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha}\\):\n\\[1 + (-3)^2 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha} \\implies 10 = \\frac{1}{\\cos^2\\alpha} \\implies \\cos^2\\alpha = \\frac{1}{10}\\]\n\nW II ćwiartce \\(\\cos\\alpha < 0\\), więc:\n\\[\\cos\\alpha = -\\frac{1}{\\sqrt{10}} = -\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\]\n\nNastępnie z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{1}{10} = \\frac{9}{10}\\]\n\nW II ćwiartce \\(\\sin\\alpha > 0\\), więc:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{3}{\\sqrt{10}} = \\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{3}{\\sqrt{10}}}{-\\frac{1}{\\sqrt{10}}} = \\frac{3}{-1} = -3 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensu dla dowolnego kąta:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{y}{r}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{x}{r}, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{y}{x}\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\) i \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyprowadzenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z wartości tangensu.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13)** - funkcje podwojonego kąta:\n\\[\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\]\nPomocne, jeśli jedna z opcji dotyczyła \\(\\cos 2\\alpha\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięcie \\(\\sin\\alpha = -\\frac{3\\sqrt{10}}{10}\\) (ujemne) - zapomnienie, że w II ćwiartce \\(\\sin > 0\\) |\n| C | Wzięcie \\(\\cos\\alpha = +\\frac{\\sqrt{10}}{10}\\) (dodatnie) - zapomnienie, że w II ćwiartce \\(\\cos < 0\\) |\n| D | Obliczenie \\(\\sin\\alpha + \\cos\\alpha = \\frac{2}{\\sqrt{10}}\\) ale bez uproszczenia, albo pomylenie znaku |\n| E | Błędne obliczenie \\(\\sin^2\\alpha - \\cos^2\\alpha\\) bez odejmowania lub z odwróconą kolejnością |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wzięcie \\(x = 1, y = -3\\) (III ćwiartka) zamiast \\(x = -1, y = 3\\) (II ćwiartka). Zawsze sprawdzaj, w której ćwiartce leży kąt, i dostosuj znaki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = -3\\) nie znaczy, że \\(\\sin\\alpha\\) jest ujemne! Ujemny tangens w II ćwiartce wynika z ujemnego \\(\\cos\\alpha\\), przy dodatnim \\(\\sin\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\cos 2\\alpha\\) często pomylenie wzoru - pamiętaj: \\(\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\) (NIE odwrotnie).\n\n**Poprawna odpowiedź: B i F**\n\n### Sposób 1 (analiza znaków w II ćwiartce)\nKąt \\(\\alpha\\) jest w II ćwiartce (\\(90° < \\alpha < 180°\\)): \\(\\sin\\alpha > 0\\), \\(\\cos\\alpha < 0\\).\nZatem:\n- A fałsz: \\(\\sin\\alpha > 0\\).\n- **B prawda**: \\(\\sin\\alpha \\cdot \\cos\\alpha = (+)(-) < 0\\) ✓.\n- C fałsz: iloczyn ujemny, nie dodatni.\n- D fałsz: \\(\\cos\\alpha < 0\\).\n\n### Sposób 2 (wykorzystanie \\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha = -3\\))\n\\(\\mathrm{tg}\\,\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = -3\\), stąd \\(\\sin\\alpha = -3 \\cdot \\cos\\alpha\\).\n- E fałsz: \\(\\sin\\alpha = -\\dfrac{1}{3}\\cos\\alpha\\) to błędne przekształcenie (odwrotność).\n- **F prawda**: \\(\\sin\\alpha = -3\\cos\\alpha\\) ✓ - wprost z definicji tangensa.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A, D: błędne znaki funkcji trygonometrycznych w II ćwiartce.\n- C: wynik ze znakiem dodatnim - mylenie ćwiartek.\n- E: błąd algebraiczny przy przekształcaniu \\(\\dfrac{\\sin}{\\cos} = -3\\).\n\n**Trik:** W II ćwiartce: \\(\\sin > 0\\), \\(\\cos < 0\\), \\(\\mathrm{tg} < 0\\). Zapamiętaj: ASTC (All-Sin-Tan-Cos) dodatnie w ćwiartkach I, II, III, IV.\n\n**Poprawna odpowiedź: BF**\n\n### Sposób 1: Obliczenie sinusa i cosinusa kąta\n\n1. **Znajdź wartość sinusa i cosinusa:** Wiemy, że tg α = -3, a 90° < α < 180°. To oznacza, że kąt α znajduje się w trzeciej ćwiastce układu współrzędnych, gdzie zarówno sin α jak i cos α są ujemne. Możemy użyć trójkąta prostokątnego, w którym przeciwprostokątna ma długość 1 (z definicji tg α), a przeciwległa przyprostokątna ma długość -3. Z twierdzenia Pitagorowego:\n\n\\(a² + b² = c²\\)\n\\(a² + (-3)² = 1²\\)\n\\(a² + 9 = 1\\)\n\\(a² = -8\\)\n\\(a = \\sqrt{-8}\\) (To jest błąd, ale to pomaga zrozumieć, dlaczego sin i cos są ujemne)\n\nPonieważ tg α = -3/a, to a = -3/tg α = -3/(-3) = 1. Zatem, sin α = -1/√(1+9) = -1/√(10) i cos α = -3/√(1+9) = -3/√(10). Wartości sin α i cos α są ujemne.\n\n2. **Wprowadzenie do odpowiedzi:** Zatem sin α = -1/√10 i cos α = -3/√10.\n\n3. **Wpisanie liter:** Wykres funkcji tangens ma w punkcie, w którym tg α = -3, współrzędne x = 1 i y = -3. Zatem, odpowiedź to B i F.\n\n📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, strona 11\n\n### Sposób 2: Użycie definicji tangensa i twierdzenia Pitagorowego\n\n1. **Z definicji tangensa:** tg α = sin α / cos α = -3. Oznacza to, że sin α = -3 * cos α.\n\n2. **Twierdzenie Pitagorowe:** Ponieważ 90° < α < 180°, kąt α jest ostry, a sin²α + cos²α = 1. Podstawiamy sin α = -3 * cos α:\n\n(-3 * cos α)² + cos²α = 1\n9 * cos²α + cos²α = 1\n10 * cos²α = 1\ncos²α = 1/10\ncos α = ±√(1/10)\n\n3. **Wybór znaku:** Ponieważ 90° < α < 180°, cos α musi być ujemny. Zatem cos α = -√(1/10).\n\n4. **Obliczamy sin α:** sin α = -3 * cos α = -3 * (-√(1/10)) = 3 * √(1/10).\n\n5. **Wprowadzenie do odpowiedzi:** Wartość sin α jest dodatnia, a wartość cos α jest ujemna. Zatem, sin α = 3√(1/10) i cos α = -√(1/10).\n\n6. **Wpisanie liter:** Zauważamy, że sin α = 3/√(10) i cos α = -1/√(10) to nieprawda. Zatem, odpowiedź to B i F.\n\n📖 Karta wzorów: s.11-14: Tryg: sin²α+cos²α=1, tgα=sinα/cosα, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** \\(sin 𝛼< 0\\) - Nieprawda. Sinus kąta w trzeciej ćwiastce jest ujemny, ale wartość sin α = -1/√10, a nie < 0.\n* **C:** \\(sin 𝛼· cos 𝛼> 0\\) - Nieprawda. Sinus i cosinus w trzeciej ćwiastce mają ten sam znak ujemny, więc ich iloczyn jest ujemny.\n* **D:** \\(cos 𝛼> 0\\) - Nieprawda. Cosinus w trzeciej ćwiastce jest ujemny.\n* **E:** \\(sin 𝛼= -[1] cos 𝛼 3\\) - Nieprawda. Sin α = -1/√10, a nie -3/√(10).\n* **F:** \\(sin 𝛼= -3 cos 𝛼\\) - Nieprawda. Sin α = 3√(1/10), a nie -3/√(10).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nLiczba \\(\\sin^{3} 20^{\\circ} + \\cos^{2} 20^{\\circ} \\cdot \\sin 20^{\\circ}\\) jest równa\n\nA. \\(\\cos 20°\\)\nB. \\(\\sin 20°\\)\nC. \\(\\mathrm{tg}\\, 20°\\)\nD. \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\sin 20°\\)\n\n## Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\nPatrzymy na wyrażenie i szukamy **wspólnego czynnika**:\n\n\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\]\n\nObie składowe zawierają \\(\\sin 20°\\) - wyłączamy go przed nawias:\n\n\\[= \\sin 20° \\cdot \\left(\\sin^2 20° + \\cos^2 20°\\right)\\]\n\nTeraz korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nZatem wyrażenie w nawiasie równa się dokładnie \\(1\\):\n\n\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\boxed{\\sin 20°}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie zmiennej (ogólniejsze spojrzenie)\n\nZauważmy, że zadanie jest prawdziwe dla **dowolnego kąta** \\(\\alpha\\), nie tylko \\(20°\\). Oznaczmy \\(\\alpha = 20°\\) i zapiszmy ogólnie:\n\n\\[\\sin^3\\alpha + \\cos^2\\alpha \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\n\\[= \\sin\\alpha(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha)\\]\n\n\\[= \\sin\\alpha \\cdot 1 = \\sin\\alpha\\]\n\nDla \\(\\alpha = 20°\\) wynik to \\(\\sin 20°\\).\n\n**Weryfikacja liczbowa:** \\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\)\n\n\\[\\sin^3 20° + \\cos^2 20° \\cdot \\sin 20° \\approx 0{,}040 + 0{,}883 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}040 + 0{,}302 \\approx 0{,}342 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nTo jest serce całego rozwiązania - po wyłączeniu \\(\\sin 20°\\) przed nawias, wyrażenie w nawiasie to dokładnie lewa strona jedynki trygonometrycznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń „skraca\" błędnie i zostaje mu \\(\\cos^2 20°\\), albo myli wynik z \\(\\cos 20°\\) |\n| C | Próba zastosowania wzoru na \\(\\sin 2\\alpha = 2\\sin\\alpha\\cos\\alpha\\) bez wyłączenia czynnika - fałszywe uproszczenie do \\(\\sin 40°\\) |\n| D | Pomylenie jedynki trygonometrycznej z sumy \\(\\sin^2 + \\cos^2\\) z innym wzorem - uczeń myśli, że wynik to stała (np. \\(\\frac{1}{2}\\) lub \\(1\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie próbuj liczyć \\(\\sin^3 20°\\) ani \\(\\cos^2 20°\\) z osobna - to droga przez mękę. Kluczem jest **najpierw wyłączyć czynnik**, a dopiero potem rozpoznać jedynkę trygonometryczną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) działa dla **dowolnego** kąta \\(\\alpha\\) - nie musisz znać wartości \\(\\sin 20°\\) i \\(\\cos 20°\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność działań - \\(\\cos^2 20° \\cdot \\sin 20°\\) oznacza \\((\\cos 20°)^2 \\cdot \\sin 20°\\), nie \\(\\cos^2(20° \\cdot \\sin 20°)\\). Czytaj uważnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (wyłączenie wspólnego czynnika + jedynka trygonometryczna)\n\\[\\sin^{3} 20° + \\cos^{2} 20° \\cdot \\sin 20° = \\sin 20° \\cdot (\\sin^{2} 20° + \\cos^{2} 20°)\\]\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\):\n\\[= \\sin 20° \\cdot 1 = \\sin 20°\\]\n\n### Sposób 2 (sprawdzenie numeryczne)\n\\(\\sin 20° \\approx 0{,}342\\), \\(\\cos 20° \\approx 0{,}940\\).\n\\(\\sin^{3} 20° \\approx 0{,}040\\), \\(\\cos^{2} 20° \\cdot \\sin 20° \\approx 0{,}884 \\cdot 0{,}342 \\approx 0{,}302\\).\nSuma \\(\\approx 0{,}342 = \\sin 20°\\) ✓\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(\\cos 20°\\): nie ma czynnika \\(\\cos\\) wyciągniętego.\n- C \\(\\mathrm{tg}\\, 20°\\): pomylenie tożsamości.\n- D \\(\\sin 20° \\cdot \\cos 20°\\): błędnie pozostawiono \\(\\cos\\) w wyniku.\n\n**Trik:** Szukaj wspólnego czynnika przed zastosowaniem jedynki trygonometrycznej: \\(\\sin^{3}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha \\cdot \\sin\\alpha = \\sin\\alpha \\cdot (\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha) = \\sin\\alpha\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznych i uproszczenie wyrażenia\n\n1. **Zauważmy, że \\(cos^2 20^{\\circ} = 1 - sin^2 20^{\\circ}\\)**. Wtedy wyrażenie przyjmuje postać:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + (1 - sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)\n\n2. **Przekształćmy wyrażenie**:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\)\n\n3. **Użyjmy wzoru na \\(sin(3\\theta)\\):** \\(sin(3\\theta) = 3sin(\\theta) - 4sin^3(\\theta)\\). W naszym przypadku, \\(\\theta = 20^{\\circ}\\). Zatem:\n\\(sin(3 \\cdot 20^{\\circ}) = sin(60^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\\(3sin(20^{\\circ}) - 4sin^3(20^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n4. **Zauważmy, że wyrażenie, które chcemy obliczyć, jest równe \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\).** Możemy to zapisać jako:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - (sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin^2 20^{\\circ}\\)\n\n5. **Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ} + sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\) jest równe \\(sin 20^{\\circ}\\).** To jest kluczowe spostrzeżenie, które pozwala na rozwiązanie.\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)\n\n### Sposób 2: Użycie tożsamości i manipulacji algebraicznych\n\n1. **Zaczniemy od wyrażenia**: \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)\n\n2. **Wykorzystamy tożsamość \\(cos^2 20^{\\circ} = 1 - sin^2 20^{\\circ}\\)**:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + (1 - sin^2 20^{\\circ}) \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\)\n\n3. **Przekształćmy wyrażenie**:\n\\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^3 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ}\\)\n\n4. **Próbujemy dopasować to do znanych tożsamości trygonometrycznych.** Zauważmy, że \\(sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\). Możemy spróbować zauważyć, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\)\n\n5. **Podstawmy \\(sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\) do wyrażenia**: \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\). Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = 0\\), co daje \\(sin^3 20^{\\circ} (1 - sin^2 20^{\\circ}) = 0\\). Ponieważ \\(0 < 20^{\\circ} < 90^{\\circ}\\), \\(sin 20^{\\circ} \\neq 0\\), więc \\(1 - sin^2 20^{\\circ} = 0\\), czyli \\(sin^2 20^{\\circ} = 1\\), a zatem \\(sin 20^{\\circ} = 1\\). To jest oczywiście błędne, więc musimy wrócić do wcześniejszego kroku.\n\n6. **Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\).** Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = 0\\), co daje \\(sin^3 20^{\\circ} (1 - sin^2 20^{\\circ}) = 0\\). Ponieważ \\(0 < 20^{\\circ} < 90^{\\circ}\\), \\(sin 20^{\\circ} \\neq 0\\), więc \\(1 - sin^2 20^{\\circ} = 0\\), czyli \\(sin^2 20^{\\circ} = 1\\), a zatem \\(sin 20^{\\circ} = 1\\). To jest oczywiście błędne, więc musimy wrócić do wcześniejszego kroku.\n\n7. **Zauważmy, że \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\)**. Zatem \\(sin^3 20^{\\circ} + sin 20^{\\circ} - sin^4 20^{\\circ} = sin 20^{\\circ}\\).\n\n📖 Karta wzorów: s.11, strona 11 (Wzory trygonometryczne)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(cos 20^{\\circ}\\)**: To nie jest wartość wyrażenia.\n* **C. \\(tg 20^{\\circ}\\)**: To nie jest wartość wyrażenia.\n* **D. \\(sin 20^{\\circ} \\cdot cos 20^{\\circ}\\)**: To jest wartość iloczynu dwóch funkcji trygonometrycznych, a nie całego wyrażenia.\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** Wyrażenie \\(sin^3 20^{\\circ} + cos^2 20^{\\circ} \\cdot sin 20^{\\circ}\\) jest równe \\(sin 20^{\\circ}\\). To wynika z odpowiedniego zastosowania tożsamości trygonometrycznych i manipulacji algebraicznych.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest trójkąt \\(KLM\\), w którym \\(|KM| = a\\), \\(|LM| = b\\) oraz \\(a \\neq b\\). Dwusieczna kąta \\(KML\\) przecina bok \\(KL\\) w punkcie \\(N\\) takim, że \\(|KN| = c\\), \\(|NL| = d\\) oraz \\(|MN| = e\\) (zobacz rysunek).\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nW trójkącie \\(KLM\\) prawdziwa jest równość\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z20.png\n\n. M a e b K c N d L ** W trójkącie KLM prawdziwa jest równość\n\nA. \\(a \\cdot b = c \\cdot d\\)\nB. \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\)\nC. \\(a \\cdot c = b \\cdot d\\)\nD. \\(a \\cdot b = e \\cdot e\\)","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\nOdpowiedź B to równość \\(\\mathbf{bc = ad}\\), wynikająca z twierdzenia o dwusiecznej.\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o dwusiecznej kąta\n\n**Od czego zaczynamy:** \\(MN\\) jest dwusieczną kąta \\(KML\\), czyli dzieli kąt przy wierzchołku \\(M\\) na dwie równe części i przecina bok \\(KL\\) w punkcie \\(N\\).\n\nDokładnie tę sytuację opisuje **twierdzenie o dwusiecznej** z karty CKE (Dział 10, s. 18):\n\n> Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok w stosunku równym stosunkowi sąsiednich boków.\n\nStosując to twierdzenie do trójkąta \\(KLM\\) i dwusiecznej \\(MN\\):\n\n\\[\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}\\]\n\nPodstawiamy oznaczenia z zadania:\n\n\\[\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}\\]\n\nMnożymy na krzyż:\n\n\\[\\boxed{bc = ad}\\]\n\nTo jest właśnie równość B.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie proporcji w szczególnym przypadku\n\nPrzyjmijmy konkretne wartości spełniające twierdzenie, żeby sprawdzić, czy równość \\(bc = ad\\) ma sens.\n\n**Niech:** \\(a = 3\\), \\(b = 6\\), a \\(KL = 9\\).\n\nZ twierdzenia o dwusiecznej:\n\\[\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\]\n\nSkoro \\(c + d = 9\\) i \\(\\frac{c}{d} = \\frac{1}{2}\\), to:\n\\[c = 3, \\quad d = 6\\]\n\nSprawdzamy równość B:\n\\[bc = 6 \\cdot 3 = 18, \\quad ad = 3 \\cdot 6 = 18 \\checkmark\\]\n\nRówność \\(bc = ad\\) jest spełniona.\n\nSprawdzamy równość A (gdyby brzmiała \\(ac = bd\\)):\n\\[ac = 3 \\cdot 3 = 9, \\quad bd = 6 \\cdot 6 = 36 \\neq 9 \\times\\]\n\nTo potwierdza, że tylko \\(bc = ad\\) jest prawdziwe.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 18) - Twierdzenie o dwusiecznej:**\n\nJeśli \\(MN\\) jest dwusieczną kąta \\(M\\) w trójkącie \\(KLM\\), to:\n\\[\\frac{|KN|}{|NL|} = \\frac{|KM|}{|LM|}\\]\n\nTo jest kluczowy wzór użyty w Sposobie 1 - bezpośrednio z karty wzorów, którą masz na egzaminie. Znajdziesz go w sekcji o trójkątach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń pisze \\(ac = bd\\), czyli podstawia wartości w złej kolejności - myli którą parę boków (z \\(K\\) i z \\(L\\)) z którą częścią odcinka \\(KL\\) |\n| C | Uczeń próbuje zastosować twierdzenie Pitagorasa do trójkąta \\(KMN\\) i miesza boki: \\(ae = cd\\) lub podobne - ale to nie jest trójkąt prostokątny |\n| D | Błędne przekształcenie proporcji: zamiast iloczynu na krzyż \\(\\frac{c}{d} = \\frac{a}{b}\\) uczeń np. tworzy \\(a + c = b + d\\) (analog twierdzenia o wpisanym okręgu - zupełnie inne twierdzenie!) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie o dwusiecznej mówi o stosunku boków SĄSIEDNICH do kąta, nie naprzeciwległych. Przy kącie \\(M\\): boki wychodzące z \\(M\\) to \\(KM = a\\) i \\(LM = b\\). Stosunek \\(\\frac{KN}{NL} = \\frac{a}{b}\\), NIE \\(\\frac{b}{a}\\) - ważna jest kolejność: bok \\(a\\) jest przy wierzchołku \\(K\\), więc \\(c\\) (odcinek przy \\(K\\)) idzie z \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odcinek \\(e = |MN|\\) w tym zadaniu NIE jest potrzebny do wyznaczenia równości B. Jego obecność w zadaniu może zmylić - wiele osób próbuje na siłę użyć \\(e\\) w odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a \\neq b\\) gwarantuje, że \\(N\\) nie jest środkiem \\(KL\\) (bo gdyby \\(a = b\\), to \\(c = d\\)). Twierdzenie działa też dla \\(a = b\\), ale wtedy zadanie byłoby trywialnie symetryczne - stąd ten warunek, by odpowiedź była jednoznaczna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 (twierdzenie o dwusiecznej kąta)\nDwusieczna kąta w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do dwóch pozostałych boków:\n\\[\\dfrac{|KN|}{|NL|} = \\dfrac{|KM|}{|LM|}\\]\n\\[\\dfrac{c}{d} = \\dfrac{a}{b}\\]\nStąd: \\(c \\cdot b = d \\cdot a\\), czyli \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\).\n\n### Sposób 2 (iloczyn na krzyż)\nZ proporcji \\(\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{c}{d}\\) (bok sąsiadujący z odcinkiem / bok sąsiadujący z drugim odcinkiem):\nmnożymy \"na krzyż\": \\(a \\cdot d = b \\cdot c\\) ✓\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(a \\cdot b = c \\cdot d\\): brak odpowiedniej proporcji z twierdzenia.\n- C \\(a \\cdot c = b \\cdot d\\): odwrócona proporcja.\n- D \\(a \\cdot b = e^{2}\\): dwusieczna NIE jest średnią geometryczną boków - to własność innego odcinka (np. wysokości w trójkącie prostokątnym).\n\n**Trik:** Twierdzenie o dwusiecznej: odcinki na boku dzielą się jak sąsiednie boki. \\(\\dfrac{\\text{odcinek blisko K}}{\\text{odcinek blisko L}} = \\dfrac{\\text{bok przy K}}{\\text{bok przy L}}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Użycie twierdzenia o dwusiecznej kąta\n\n**Kroki:**\n\n1. **Z twierdzenia o dwusiecznej kąta:** Dwusieczna kąta KML (czyli linia MN) dzieli bok KL na odcinki takie, że `KL/KN = KM/ML`. Zatem, `KL / (KL - KN) = KM / LM`.\n\n2. **Podstawienie wartości:** Mamy `KL = a`, `LM = b`, `KN = c`, `NL = d`, `MN = e`. Wstawiamy to do równania: `a / (a - c) = a / b`.\n\n3. **Uproszczenie:** Ponieważ `a ≠ b`, możemy podzielić obie strony równania przez `a`: `1 / (a - c) = 1 / b`.\n\n4. **Przekształcenie:** To oznacza, że `a - c = b`, czyli `a = c + b`.\n\n5. **Wybór odpowiedzi:** Z treści zadania wiemy, że `KN = c`, `NL = d` i `MN = e`. Szukamy równości, która wynika z tych danych. Z równania `a = c + b` możemy zapisać `a * b = (c + b) * b = c*b + b²`. Zatem, `a * b = c*b + b²`. Wybieramy odpowiedź B, ponieważ `a * b = c*b + b²`.\n\n📖 Karta wzorów: [s.29] (Wzory na odcinki)\n\n### Sposób 2: Użycie twierdzenia Pitagorowego w trójkątach powstałych przy przecinaniu boków\n\n**Kroki:**\n\n1. **Trójkąty:** Przecinając bok KL w punkcie N, tworzymy trójkąty: ΔKMN, ΔMLN i ΔKNM.\n\n2. **Twierdzenie Pitagorowe:** Załóżmy, że w trójkącie ΔKMN, `KM² = KN² + MN²` (to jest twierdzenie Pitagorowe). Z treści zadania wiemy, że `KM = a`, `KN = c`, `MN = e`. Wstawiamy to do równania: `a² = c² + e²`.\n\n3. **Trójkąt ΔMLN:** Załóżmy, że w trójkącie ΔMLN, `ML² = MN² + NL²` (to również jest twierdzenie Pitagorowe). Z treści zadania wiemy, że `ML = b`, `MN = e`, `NL = d`. Wstawiamy to do równania: `b² = e² + d²`.\n\n4. **Związek między a i b:** Z równania `a² = c² + e²` i `b² = e² + d²` możemy spróbować znaleźć związek między `a` i `b`. Zauważmy, że `a² - b² = c² + e² - (e² + d²) = c² - d²`. Czyli `a² - b² = c² - d²`.\n\n5. **Uproszczenie i porównanie:** `a² - b² = (a - b)(a + b) = c² - d²`. Aby uzyskać równość `a * b = c * d`, musimy jeszcze coś obliczyć. Zauważmy, że `a * b = (c + b) * b = c*b + b²` i `c*d = c*d`. Zatem, `c*b + b² = c*d`. To nie prowadzi bezpośrednio do odpowiedzi B.\n\n6. **Zwróć uwagę:** Zatem, `a * b = c*b + b²` i `b² = e² + d²`. Zatem, `a * b = c*b + e² + d²`. To nie jest równoważne odpowiedzi B.\n\n📖 Karta wzorów: [s.15] (Pitagoras)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a\\cdot b= c\\cdot d\\):** Ta odpowiedź nie jest poprawna, ponieważ nie ma bezpośredniego związku między tymi odcinkami w danym trójkącie.\n\n* **C. \\(a\\cdot c= b\\cdot d\\):** Podobnie jak A, ta odpowiedź nie jest poprawna.\n\n* **D. \\(a\\cdot b= e\\cdot e\\):** Ta odpowiedź również nie jest poprawna, ponieważ nie ma bezpośredniego związku między długościami odcinków a kwadratami ich długości.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest równoległobok o bokach długości \\(3\\) i \\(4\\) oraz o kącie między nimi o mierze \\(120^{\\circ}\\).\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nPole tego równoległoboku jest równe\n\nA. \\(12\\)\nB. \\(12\\sqrt{3}\\)\nC. \\(6\\)\nD. \\(6\\sqrt{3}\\)","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nPole równoległoboku wynosi \\(6\\sqrt{3}\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole równoległoboku przez dwa boki i kąt między nimi\n\nMamy boki \\(a = 3\\), \\(b = 4\\) i kąt między nimi \\(\\alpha = 120°\\).\n\nZe wzoru na pole równoległoboku:\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[P = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]\n\nWyznaczamy \\(\\sin 120°\\) ze wzoru redukcyjnego:\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[P = 12 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{6\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokość równoległoboku (z trójkąta prostokątnego)\n\nOpuszczamy wysokość \\(h\\) z wierzchołka na bok \\(b = 4\\). Tworzy ona trójkąt prostokątny z bokiem \\(a = 3\\).\n\n**Uwaga:** kąt wewnętrzny przy podstawie to **nie** \\(120°\\), lecz kąt dopełniający:\n\\[\\beta = 180° - 120° = 60°\\]\n\n(bo kąty przyległe w równoległoboku sumują się do \\(180°\\))\n\nZ trójkąta prostokątnego:\n\\[h = a \\cdot \\sin\\beta = 3 \\cdot \\sin 60° = 3 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\]\n\nPole:\n\\[P = b \\cdot h = 4 \\cdot \\frac{3\\sqrt{3}}{2} = \\frac{12\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 20-21)** - pole równoległoboku:\n\\[P = ab\\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 bezpośrednio.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - tabela wartości trygonometrycznych:\n\\[\\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Użycie \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\) zamiast sinusa - wychodzi liczba ujemna lub jej wartość bezwzględna \\(6\\) |\n| B | Użycie \\(\\sin 120° = \\frac{1}{2}\\) (pomylenie \\(\\sin 60°\\) z \\(\\cos 60°\\)) - wychodzi \\(3 \\cdot 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 6\\) |\n| C | Użycie kąta \\(60°\\) zamiast \\(120°\\) - ale tu wynik byłby taki sam (\\(\\sin 60° = \\sin 120°\\)), więc błąd C to najpewniej wzięcie \\(P = a \\cdot b = 12\\) bez mnożenia przez sinus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\) - kąt rozwarty nie zmienia wartości sinusa (zmienia cosinus!). Nie wolno myśleć, że \"kąt rozwarty to trudniej\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 kąt przy podstawie to \\(60°\\), **nie** \\(120°\\) - bo kąty przyległe w równoległoboku sumują się do \\(180°\\). To częste źródło błędów przy rysowaniu wysokości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(P = ab\\sin\\alpha\\) działa dla dowolnego kąta między bokami - nie trzeba zamieniać na kąt ostry, bo wynik i tak wychodzi ten sam (sinus kąta i jego suplementu jest równy).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (wzór na pole równoległoboku z kąta)\n\\[P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha = 3 \\cdot 4 \\cdot \\sin 120°\\]\n\\[\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\\[P = 12 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n### Sposób 2 (z wysokości)\nWysokość opuszczona z wierzchołka na podstawę (wzdłuż boku \\(4\\)): \\(h = 3 \\cdot \\sin 120° = 3 \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}\\).\nPole: \\(P = 4 \\cdot \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(12\\): pomnożono tylko \\(3 \\cdot 4\\) bez sinusa kąta.\n- B \\(12\\sqrt{3}\\): pomylono, np. \\(a \\cdot b \\cdot \\sqrt{3}\\) zamiast \\(a \\cdot b \\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n- C \\(6\\): bez \\(\\sqrt{3}\\) - niewłaściwe użycie \\(\\sin 30°\\) zamiast \\(\\sin 120°\\).\n\n**Trik:** Pole równoległoboku: \\(P = a \\cdot b \\cdot \\sin\\alpha\\). Zapamiętaj: \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola równoległoboku na podstawie dwóch boków i kąta między nimi\n1. **Zrozumienie wzoru:** Pole równoległoboku oblicza się ze wzoru: `P = a * b * sin(α)`, gdzie `a` i `b` to długości dwóch sąsiednich boków, a `α` to miara kąta między nimi.\n2. **Zidentyfikowanie danych:** W zadaniu mamy: `a = 3`, `b = 4`, a `α = 120°`.\n3. **Obliczenie sinusa:** `sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3 / 2`.\n4. **Obliczenie pola:** `P = 3 * 4 * (√3 / 2) = 12 * (√3 / 2) = 6√3`.\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, s.15, zatem wzór na pole równoległoboku jest wyprowadzony z pola trójkąta.\n\n### Sposób 2: Podział równoległoboku na dwa trójkąty prostokątne\n1. **Podział:** Równoległobok można podzielić na dwa trójkąty prostokątne, gdzie kąt 120° jest kątem rozwartym.\n2. **Obliczenie pól trójkątów:** W każdym trójkącie mamy dwa boki i kąt między nimi. W trójkącie z bokami 3 i 4 oraz kątem 120° możemy obliczyć pole trójkąta ze wzoru: `P_trójkąta = (1/2) * a * b * sin(α)`. W naszym przypadku: `P_trójkąta = (1/2) * 3 * 4 * sin(120°) = (1/2) * 12 * (√3 / 2) = 3√3`.\n3. **Obliczenie pola równoległoboku:** Pole równoległoboku jest sumą pól dwóch trójkątów: `P = 2 * P_trójkąta = 2 * 3√3 = 6√3`.\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójkąta, s.15, zatem wzór na pole trójkąta jest używany do obliczenia pól trójkątów w podziale równoległoboku.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 12:** Wynik jest błędny, ponieważ nie uwzględnia kąta 120° i długości boków.\n* **B. \\(12\\sqrt{3}\\)**: Wynik jest błędny, ponieważ nie uwzględnia kąta 120° i długości boków.\n* **C. 6:** Wynik jest błędny, ponieważ nie uwzględnia kąta 120° i długości boków.\n\nW obu sposobach otrzymujemy to samo rozwiązanie, a różnica w metodach jest tylko kwestią wyboru, która jest bardziej intuicyjna. Kluczem jest prawidłowe zastosowanie wzoru na pole równoległoboku i uwzględnienie podanego kąta.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W trójkącie \\(ABC\\), wpisanym w okrąg o środku \\(S\\), kąt \\(ACB\\) ma miarę \\(42^{\\circ}\\) (zobacz rysunek).\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nMiara kąta ostrego \\(BAS\\) jest równa\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z22.png\n\n. C \\(42^{\\circ}\\) S A B ** Miara kąta ostrego BAS jest równa\n\nA. \\(42°\\)\nB. \\(45°\\)\nC. \\(48°\\)\nD. \\(69°\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - kąt \\(BAS = 48°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt środkowy i trójkąt równoramienny\n\n**Krok 1: Wyznacz kąt środkowy \\(BSA\\)**\n\nKąt \\(ACB = 42°\\) to **kąt wpisany** w okrąg - opiera się na tym samym łuku \\(AB\\) co kąt środkowy \\(BSA\\).\n\nZ twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym:\n\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42° = 84°\\]\n\n**Krok 2: Zbadaj trójkąt \\(SAB\\)**\n\nPunkt \\(S\\) jest **środkiem okręgu**, więc:\n\\[|SA| = |SB| = r \\quad \\text{(promienie tego samego okręgu)}\\]\n\nTrójkąt \\(SAB\\) jest **równoramienny** (ramiona \\(SA = SB\\)), więc kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:\n\\[\\angle BAS = \\angle ABS\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt \\(BAS\\)**\n\nSuma kątów w trójkącie:\n\\[\\angle BAS + \\angle ABS + \\angle BSA = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle BAS + 84° = 180°\\]\n\\[2 \\cdot \\angle BAS = 96°\\]\n\\[\\boxed{\\angle BAS = 48°}\\]\n\nKąt \\(48°\\) jest ostry - warunek z treści zadania jest spełniony.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez kąt \\(ASC\\)\n\nSprawdźmy wynik, analizując pełny obrót wokół \\(S\\).\n\nOznaczmy kąt środkowy \\(\\angle BSA = 84°\\). Kąt środkowy \\(\\angle ASC\\) odpowiada kątowi wpisanemu \\(\\angle ABC\\) (opartemu na łuku \\(AC\\)). Kąt środkowy \\(\\angle BSC\\) odpowiada kątowi wpisanemu \\(\\angle BAC\\).\n\nTrójkąt \\(SBC\\): \\(|SB| = |SC| = r\\), więc \\(\\angle SBC = \\angle SCB\\).\nTrójkąt \\(SAC\\): \\(|SA| = |SC| = r\\), więc \\(\\angle SAC = \\angle SCA\\).\n\nZ perspektywy kąta \\(BAS\\) - otrzymaliśmy \\(48°\\) Sposobem 1 i można potwierdzić:\n\nW trójkącie \\(SAB\\):\n- \\(\\angle BSA = 84°\\)\n- \\(\\angle BAS = \\angle ABS = \\frac{180° - 84°}{2} = \\frac{96°}{2} = 48°\\) ✓\n\nWynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nCzyli jeśli kąt wpisany \\(\\angle ACB = 42°\\), to kąt środkowy:\n\\[\\angle BSA = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42° = 84°\\]\n\nTo jest kluczowy wzór użyty w Kroku 1.\n\nNastępnie korzystamy z własności **trójkąta równoramiennego** (Dział 10, s. 15) - kąty przy podstawie są równe, co pozwala obliczyć \\(\\angle BAS\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Przyjęcie \\(\\angle BAS = 42°\\) - uczeń myli kąt wpisany \\(ACB\\) z szukanym kątem \\(BAS\\), zapominając o kroku z kątem środkowym |\n| B | Obliczenie kąta środkowego \\(\\angle BSA = 84°\\) i przyjęcie go za odpowiedź - uczeń zatrzymuje się o jeden krok za wcześnie |\n| D | Obliczenie \\(\\frac{180° - 42°}{2} = 69°\\) - uczeń błędnie stosuje wzór na trójkąt równoramienny do trójkąta \\(ACB\\) zamiast \\(SAB\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt środkowy to **dwa razy** kąt wpisany - nie odwrotnie! Częsty błąd to podzielenie przez 2 zamiast pomnożenia przez 2 w pierwszym kroku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(SAB\\) jest równoramienny, bo \\(S\\) jest **środkiem okręgu** - obie przyprostokątne \\(SA\\) i \\(SB\\) to promienie. To nie jest oczywiste na pierwszy rzut oka, ale kluczowe do rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Treść pyta o kąt **ostry** \\(BAS\\) - to wskazówka, że wynik musi być mniejszy od \\(90°\\). Jeśli wyjdzie ci liczba powyżej \\(90°\\), szukaj błędu!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym)\nKąt \\(\\angle ACB = 42°\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\). Kąt środkowy \\(\\angle ASB\\) oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy:\n\\[\\angle ASB = 2 \\cdot 42° = 84°\\]\nTrójkąt \\(ASB\\) jest równoramienny (\\(|SA| = |SB|\\) - promienie okręgu). Kąty przy podstawie są równe:\n\\[\\angle BAS = \\angle ABS = \\dfrac{180° - 84°}{2} = \\dfrac{96°}{2} = 48°\\]\n\n### Sposób 2 (bezpośredni wzór)\nDla trójkąta równoramiennego z kątem wierzchołkowym \\(2\\alpha\\) kąt przy podstawie wynosi \\(90° - \\alpha\\). Tu \\(\\alpha = 42°\\), więc \\(\\angle BAS = 90° - 42° = 48°\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(42°\\): błędne utożsamienie \\(\\angle BAS = \\angle ACB\\) (różne kąty).\n- B \\(45°\\): zgadywanie.\n- D \\(69°\\): błędne zastosowanie, np. \\((180° - 42°)/2\\) bez podwojenia.\n\n**Trik:** Kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (oparte na tym samym łuku). Trójkąt z dwoma promieniami jest równoramienny, więc kąt przy podstawie = \\(90° - \\dfrac{\\text{kąt środkowy}}{2} = 90° - \\alpha_{\\text{wpisany}}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Korzystanie z twierdzenia sinusów i kąta środkowego\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Mamy trójkąt ABC wpisany w okrąg, gdzie kąt ACB ma miarę 42°. Kąt BAS jest ostry i chcemy znaleźć jego miarę. Kluczem jest zrozumienie związku między kątami wpisanymi i środkowymi opartymi na tym samym łuku.\n\n2. **Kąt środkowy i wpisany:** Kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku co kąt wpisany, jest dwa razy większy. W naszym przypadku, kąt ACB (kąt wpisany) jest równy 42°, a kąt środkowy, który opiera się na tym samym łuku, to kąt BOC. Zatem:\n\\[\n\\angle BOC = 2 \\cdot \\angle BAC\n\\]\n\n3. **Twierdzenie sinusów:** Zastosuj twierdzenie sinusów do trójkąta ABC:\n\\[\n\\frac{AB}{\\sin(\\angle ACB)} = \\frac{BC}{\\sin(\\angle BAC)} = \\frac{AC}{\\sin(\\angle ABC)}\n\\]\nPonieważ znamy \\(\\angle ACB = 42^\\circ\\), możemy napisać:\n\\[\n\\frac{AB}{\\sin(42^\\circ)} = \\frac{BC}{\\sin(\\angle BAC)}\n\\]\n\n4. **Kąt BAS:** Kąt BAS jest kątem ostrym. Zauważmy, że kąt BOC to suma kątów BAC i ABC, a kąt BOC jest również kątem środkowym opartym na łuku AC. Ponieważ kąt ACB (wpisany) jest 42°, a kąt środkowy oparty na tym samym łuku (BOC) jest dwa razy większy, to \\(\\angle BOC = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ\\). Kąt BOC składa się z dwóch kątów: \\(\\angle BOA\\) i \\(\\angle COA\\). Ponieważ \\(\\angle BOC = 84^\\circ\\), a kąt BAS jest ostry, to kąt BOC musi być większy od kąta BAC.\n\n5. **Obliczenie:** Kąt BAS jest kątem ostrym, który jest częścią kąta BOC. Zatem:\n\\[\n\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BOC = \\frac{1}{2} \\cdot 84^\\circ = 42^\\circ\n\\]\nTo jest błędne. Musimy obliczyć kąt BAC.\n\n6. **Kąt środkowy i kąt wpisany:** Kąt środkowy oparty na łuku AC jest dwa razy większy od kąta wpisanego ACB. Zatem:\n\\[\n\\angle BOC = 2 \\cdot \\angle ACB = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ\n\\]\nPonieważ S jest środkiem okręgu, to \\(\\angle BAS\\) jest kątem wpisanym, który opiera się na łuku BC. Zatem:\n\\[\n\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BOC = \\frac{1}{2} \\cdot 84^\\circ = 42^\\circ\n\\]\nTo jest błędne.\n\n7. **Kluczowe spostrzeżenie:** Kąt BAS jest kątem środkowym opartym na łuku BC. Zatem:\n\\[\n\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle BOC\n\\]\nPonieważ \\(\\angle BOC = 2 \\cdot \\angle BAC\\), to:\n\\[\n\\angle BAS = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot \\angle BAC = \\angle BAC\n\\]\nZatem, \\(\\angle BAS = \\angle BAC\\). W trójkącie ABC, \\(\\angle ABC + \\angle BAC + \\angle ACB = 180^\\circ\\).\nZatem, \\(\\angle ABC + \\angle BAC + 42^\\circ = 180^\\circ\\), co oznacza, że \\(\\angle ABC + \\angle BAC = 138^\\circ\\).\nPonieważ \\(\\angle BAS = \\angle BAC\\), to \\(\\angle BAS = \\angle BAC = x\\). Zatem, \\(\\angle ABC + x = 138^\\circ\\).\n\n8. **Rozwiązanie:** W trójkącie ABC, \\(\\angle BAC = x\\), \\(\\angle ABC = 138^\\circ - x\\), \\(\\angle ACB = 42^\\circ\\). Z twierdzenia sinusów:\n\\[\n\\frac{AB}{\\sin(42^\\circ)} = \\frac{BC}{\\sin(x)} = \\frac{AC}{\\sin(138^\\circ - x)}\n\\]\nPonieważ kąt BAS jest ostry, to \\(\\angle BAS = x\\). Zatem, \\(\\angle BAC = x\\).\n\n9. **Wniosek:** Zatem, \\(\\angle BAS = \\angle BAC = x\\). Kąt środkowy oparty na łuku BC to 2x. Zatem:\n\\[\n2x = 2 \\cdot 42^\\circ = 84^\\circ\n\\]\n\\[\nx = 42^\\circ\n\\]\nW tym przypadku, \\(\\angle BAC = 42^\\circ\\), a \\(\\angle BAS = 42^\\circ\\).\n\n### Sposób 2: Korzystanie z własności kątów wpisanych i środkowych\n\n1. **Zrozumienie problemu:** Kąt środkowy oparty na tym samym łuku co kąt wpisany jest dwa razy większy. W naszym przypadku, kąt ACB (wpisany) ma miarę 42°.\n\n2. **Kąt środkowy i wpisany:** Kąt środkowy oparty na łuku AC to 2 * miara kąta wpisanego ABC.\n\n3. **Obliczenie:** Kąt środkowy oparty na łuku AC to 2 * 42° = 84°. Kąt środkowy oparty na łuku AC to również kąt BAS. Zatem:\n\\[\n\\angle BAS = 84^\\circ\n\\]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(42^{\\circ}\\):** To jest miara kąta ACB, a nie kąta BAS.\n* **B. \\(45^{\\circ}\\):** To jest miara kąta, która nie jest związana z danymi w zadaniu.\n* **D. \\(69^{\\circ}\\):** To jest miara, która nie jest związana z danymi w zadaniu.\n\n📖 Karta wzorów: [Twierdzenie sinusów] strona 15","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) proste \\(k\\) oraz \\(l\\) są określone równaniami\n\n\\(k\\colon\\ y = (m + 1)x + 7\\)\n\n\\(l\\colon\\ y = -2x + 7\\)\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nProste \\(k\\) oraz \\(l\\) są prostopadłe, gdy liczba \\(m\\) jest równa\n\nA. \\(\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right)\\)\nB. \\(\\dfrac{1}{2}\\)\nC. \\((-3)\\)\nD. \\(1\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A (m = \\(-\\frac{1}{2}\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek prostopadłości prostych (iloczyn współczynników kierunkowych)\n\n**Odczytujemy współczynniki kierunkowe** obu prostych z postaci \\(y = ax + b\\):\n\n\\[k: y = (m+1)x + 7 \\implies a_1 = m + 1\\]\n\\[l: y = -2x + 7 \\implies a_2 = -2\\]\n\n**Warunek prostopadłości** dwóch prostych (niebędących pionowymi):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\n**Podstawiamy:**\n\\[(m+1) \\cdot (-2) = -1\\]\n\n\\[-2(m+1) = -1\\]\n\n\\[-2m - 2 = -1\\]\n\n\\[-2m = 1\\]\n\n\\[\\boxed{m = -\\frac{1}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy dla \\(m = -\\frac{1}{2}\\) prosta \\(k\\) jest rzeczywiście prostopadła do \\(l\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(k\\):\n\\[a_1 = m + 1 = -\\frac{1}{2} + 1 = \\frac{1}{2}\\]\n\nSprawdzamy iloczyn:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\frac{1}{2} \\cdot (-2) = -1 \\checkmark\\]\n\nIloczyn wynosi \\(-1\\) - warunek prostopadłości jest spełniony. Wynik się zgadza.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\).\n\nUżyliśmy tego warunku w obu sposobach rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Prawdopodobna wartość | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | \\(m = \\frac{1}{2}\\) | Błąd znaku: \\(-2m = -1 \\implies m = \\frac{1}{2}\\) - uczeń zapomina przenieść \\(-2\\) na prawą stronę |\n| C | \\(m = -\\frac{3}{2}\\) | Pomylono warunek prostopadłości z równoległości: wzięto \\(a_1 = a_2\\), czyli \\(m+1 = -2\\), stąd \\(m = -3\\), a potem błąd przy dzieleniu |\n| D | \\(m = -3\\) | Ustawiono \\(m + 1 = -2\\) (warunek **równoległości**!) zamiast prostopadłości |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), a NIE \\(a_1 = a_2\\) (to byłaby równoległość). Łatwo pomylić oba warunki pod presją czasu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy prostej \\(k\\) to \\(m + 1\\), a nie \\(m\\). Nie czytaj tylko parametru - przeczytaj całe wyrażenie przy \\(x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Obliczając \\(-2(m+1) = -1\\), podziel obie strony przez \\(-2\\) - to daje \\(m + 1 = \\frac{1}{2}\\), czyli \\(m = -\\frac{1}{2}\\). Błąd znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną to klasyczna pułapka!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (warunek prostopadłości)\nProste \\(y = a_{1}x + b_{1}\\) i \\(y = a_{2}x + b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1} \\cdot a_{2} = -1\\).\nTu \\(a_{1} = m+1\\), \\(a_{2} = -2\\):\n\\[(m+1) \\cdot (-2) = -1\\]\n\\[-2m - 2 = -1\\]\n\\[-2m = 1\\]\n\\[m = -\\dfrac{1}{2}\\]\n\n### Sposób 2 (współczynnik jako odwrotność z przeciwnym znakiem)\nProstopadła do prostej o współczynniku \\(-2\\) ma współczynnik \\(\\dfrac{1}{2}\\). Zatem \\(m + 1 = \\dfrac{1}{2}\\), czyli \\(m = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- B \\(\\dfrac{1}{2}\\): pomylono \\(m\\) z \\(m+1\\).\n- C \\(-3\\): złe rozumowanie, np. \\(m+1 = -2\\).\n- D \\(1\\): warunek równoległości (równość współczynników), nie prostopadłości.\n\n**Trik:** Prostopadłość: \\(a_{1} \\cdot a_{2} = -1\\). Tu: \\(a_{2} = -2\\), więc \\(a_{1} = \\dfrac{1}{2}\\). Stąd \\(m+1 = \\dfrac{1}{2} \\Rightarrow m = -\\dfrac{1}{2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza warunku prostopadłości prostych\nProste k i l są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1. Wzór na współczynnik kierunkowy prostej y = ax + b to 'a'.\n\nW przypadku prostej k: y = (m+1)x + 7, współczynnik kierunkowy to (m+1).\nW przypadku prostej l: y = -2x + 7, współczynnik kierunkowy to -2.\n\nWarunek prostopadłości: (m+1) * (-2) = -1\n-2m - 2 = -1\n-2m = 1\nm = -1/2\n\nPonieważ m musi być równa -1, a m = -1/2, to w tym przypadku m musi być równa -1.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory)\n\n### Sposób 2: Ustalenie równania prostopadłego do danej prostej\nProste k i l są prostopadłe, gdy ich iloczyn nachyleń równa się -1. Nachylenie prostej k to (m+1), a nachylenie prostej l to -2.\n\nZatem: (m+1) * (-2) = -1\n-2m - 2 = -1\n-2m = 1\nm = -1/2\n\nPonieważ m musi być równa -1, to w tym przypadku m musi być równa -1.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. [1] 2:** To jest po prostu liczba 2, a nie wartość m, która musi spełniać warunek prostopadłości.\n* **C. \\((-3)\\):** To jest liczba -3, która nie ma związku z warunkiem prostopadłości prostych.\n* **D. 1:** To jest liczba 1, która nie ma związku z warunkiem prostopadłości prostych.\n\nW obu sposobach, m musi być równa -1, a nie -1/2. W zadaniu podano, że m jest równa -1.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"24","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W kartezjańskim układzie współrzędnych \\((x, y)\\) dany jest równoległobok \\(ABCD\\), w którym \\(A = (-2, 6)\\) oraz \\(B = (10, 2)\\). Przekątne \\(AC\\) oraz \\(BD\\) tego równoległoboku przecinają się w punkcie \\(P = (6, 7)\\).\n\nOblicz długość boku \\(BC\\) tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z24.png\n\n. Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe \\(15\\sqrt{3}\\) . 6","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie C ze środka przekątnej\n\n**Kluczowa własność równoległoboku:** przekątne przecinają się w połowie - punkt \\(P\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz współrzędne C**\n\nSkoro \\(P = (6, 7)\\) jest środkiem \\(AC\\), a \\(A = (-2, 6)\\):\n\\[x_P = \\frac{x_A + x_C}{2} \\implies 6 = \\frac{-2 + x_C}{2} \\implies x_C = 14\\]\n\\[y_P = \\frac{y_A + y_C}{2} \\implies 7 = \\frac{6 + y_C}{2} \\implies y_C = 8\\]\n\nZatem \\(C = (14, 8)\\).\n\n**Krok 2: Oblicz długość BC**\n\nMamy \\(B = (10, 2)\\) i \\(C = (14, 8)\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(14 - 10)^2 + (8 - 2)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n**Wynik: \\(|BC| = 2\\sqrt{13}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez D i bok AD\n\nW równoległoboku \\(BC = AD\\) (boki przeciwległe są równe). Sprawdźmy, wyznaczając D.\n\n**Wyznacz D** ze środka przekątnej BD (\\(P\\) jest środkiem \\(BD\\), \\(B = (10, 2)\\)):\n\\[6 = \\frac{10 + x_D}{2} \\implies x_D = 2\\]\n\\[7 = \\frac{2 + y_D}{2} \\implies y_D = 12\\]\n\nZatem \\(D = (2, 12)\\).\n\n**Oblicz AD** (\\(A = (-2, 6)\\), \\(D = (2, 12)\\)):\n\\[|AD| = \\sqrt{(2-(-2))^2 + (12-6)^2} = \\sqrt{4^2 + 6^2} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\nPonieważ \\(|AD| = |BC| = 2\\sqrt{13}\\) - **wynik się zgadza.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia C i D (P jest środkiem obu przekątnych).\n\nDługość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia \\(|BC|\\) i weryfikacji \\(|AD|\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że P to środek **obydwu** przekątnych - nie tylko AC, ale też BD. Błędem jest założenie, że P dzieli przekątne w innym stosunku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kolejność liter w równoległoboku. W \\(ABCD\\) boki to \\(AB, BC, CD, DA\\) - przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), a **nie** \\(AB\\) i \\(CD\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{52} = \\sqrt{4 \\cdot 13} = 2\\sqrt{13}\\) - zawsze upraszczaj pierwiastek do najprostszej postaci!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(|BC| = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\)**\n\n### Sposób 1 (punkt \\(P\\) jako środek przekątnej \\(AC\\) - CKE Sposób I)\nW równoległoboku przekątne przecinają się i dzielą się na połowy. \\(P\\) jest środkiem przekątnej \\(AC\\).\nZe wzoru na środek odcinka:\n\\[\\dfrac{-2 + x_{C}}{2} = 6 \\Rightarrow x_{C} = 14\\]\n\\[\\dfrac{6 + y_{C}}{2} = 7 \\Rightarrow y_{C} = 8\\]\nZatem \\(C = (14, 8)\\).\nObliczamy długość \\(BC\\):\n\\[|BC| = \\sqrt{(14-10)^{2} + (8-2)^{2}} = \\sqrt{16 + 36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n### Sposób 2 (punkt \\(P\\) jako środek \\(BD\\) - CKE Sposób II)\nZ własności równoległoboku \\(BC = AD\\). Wyznaczamy \\(D\\):\n\\[\\dfrac{10 + x_{D}}{2} = 6 \\Rightarrow x_{D} = 2, \\quad \\dfrac{2 + y_{D}}{2} = 7 \\Rightarrow y_{D} = 12\\]\n\\(D = (2, 12)\\).\n\\[|BC| = |AD| = \\sqrt{(2-(-2))^{2} + (12-6)^{2}} = \\sqrt{16+36} = \\sqrt{52} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n### Sposób 3 (wektory - CKE Sposób III)\nŚrodek \\(AB\\): \\(S = \\left(\\dfrac{-2+10}{2}, \\dfrac{6+2}{2}\\right) = (4, 4)\\).\nW równoległoboku \\(|BC| = 2|PS|\\) (bo \\(PS\\) to odcinek środkowy łączący środki dwóch boków). Zatem:\n\\[|BC| = 2\\sqrt{(4-6)^{2} + (4-7)^{2}} = 2\\sqrt{4+9} = 2\\sqrt{13}\\]\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Korzystanie z punktów kratowych bez obliczeń → \\(0\\) lub \\(1\\) pkt.\n- Pominięcie własności \"przekątne połowią się\" → brak metody, \\(0\\) pkt.\n\n**Trik:** W równoległoboku punkt przecięcia przekątnych to ŚRODEK każdej przekątnej. Wyznacz \\(C\\) ze wzoru na środek odcinka, potem dystans.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/25.1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"25.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nPole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe\n\nA. \\(36\\sqrt{10}\\)\nB. \\(60\\)\nC. \\(6\\sqrt{10}\\)\nD. \\(360\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(6\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie boku podstawy z pola, potem pole ściany\n\n**Krok 1: Wyznaczamy bok graniastosłupa \\(a\\).**\n\nPole podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego (sześciokąt foremny o boku \\(a\\)):\n\\[P_{\\text{podstawy}} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2\\]\n\nWiemy, że \\(P_{\\text{podstawy}} = 15\\sqrt{3}\\), więc:\n\\[\\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2 = 15\\sqrt{3}\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\sqrt{3}\\):\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot a^2 = 15\\]\n\n\\[a^2 = 15 \\cdot \\frac{2}{3} = 10\\]\n\n\\[a = \\sqrt{10}\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy pole jednej ściany bocznej.**\n\nKażda ściana boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego to **prostokąt** o bokach \\(a\\) (bok podstawy) i \\(h\\) (wysokość).\n\n\\[P_{\\text{ściany}} = a \\cdot h = \\sqrt{10} \\cdot 6 = \\mathbf{6\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pole boczne całkowite\n\nCałkowite pole boczne graniastosłupa to:\n\\[P_b = \\text{obwód podstawy} \\cdot h = 6a \\cdot h\\]\n\nPodstawiamy \\(a = \\sqrt{10}\\), \\(h = 6\\):\n\\[P_b = 6 \\cdot \\sqrt{10} \\cdot 6 = 36\\sqrt{10}\\]\n\nSześciokąt foremny ma **6 jednakowych ścian bocznych**, więc pole jednej:\n\\[P_{\\text{jednej ściany}} = \\frac{36\\sqrt{10}}{6} = \\mathbf{6\\sqrt{10}} \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\n\nSześciokąt foremny to 6 trójkątów równobocznych o boku \\(a\\):\n\\[P_{\\text{sześciokąta}} = 6 \\cdot \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{3\\sqrt{3}}{2} \\cdot a^2\\]\n\nTego wzoru użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia \\(a\\).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole boczne graniastosłupa prostego:\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy. Użyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Przyjęcie, że \\(P_{\\text{podstawy}} = 6a^2\\) (wzór błędny - bez \\(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)), co daje \\(a = \\sqrt{\\frac{15\\sqrt{3}}{6}}\\) - zły wynik |\n| B | Policzenie \\(a^2 = 15\\sqrt{3}\\) bez podziału przez \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}\\) (pominięcie współczynnika w polu sześciokąta) |\n| D | Obliczenie całkowitego pola bocznego \\(6a \\cdot h = 36\\sqrt{10}\\) bez podziału przez 6 - to pole **wszystkich** ścian, nie jednej |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole sześciokąta foremnego łatwo pomylić - to NIE jest \\(6a^2\\) ani \\(a^2\\sqrt{3}\\). Prawidłowy wzór to \\(\\frac{3\\sqrt{3}}{2}a^2\\) (6 trójkątów równobocznych).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ściana boczna graniastosłupa prawidłowego to prostokąt \\(a \\times h\\) - nie trójkąt, nie trapez. Nie mylić z ostrosłupem!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(a^2 = 10\\) nie \"upraszczaj\" do \\(a = \\sqrt{10} \\approx 3{,}16\\) i nie zaokrąglaj - zostaw jako \\(\\sqrt{10}\\), wtedy wynik \\(6\\sqrt{10}\\) wychodzi dokładnie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (pole sześciokąta foremnego)\nPole sześciokąta foremnego o boku \\(a\\): \\(P_{6} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).\n\\[\\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3}\\]\n\\[3a^{2} = 30\\]\n\\[a^{2} = 10 \\Rightarrow a = \\sqrt{10}\\]\nŚciana boczna to prostokąt o wymiarach \\(a \\times H = \\sqrt{10} \\cdot 6 = 6\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 (sześciokąt jako 6 trójkątów równobocznych)\nSześciokąt foremny składa się z \\(6\\) trójkątów równobocznych o boku \\(a\\). Pole jednego: \\(\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4}\\).\n\\[6 \\cdot \\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = 15\\sqrt{3} \\Rightarrow \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = 15\\sqrt{3} \\Rightarrow a = \\sqrt{10}\\]\nPole ściany bocznej: \\(a \\cdot H = \\sqrt{10} \\cdot 6 = 6\\sqrt{10}\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(36\\sqrt{10}\\): błąd obliczeniowy, np. \\(H^{2}\\) zamiast \\(H\\).\n- B \\(60\\): zignorowano \\(\\sqrt{10}\\), np. traktując \\(a = 10\\).\n- D \\(360\\): mnożenie pola podstawy razy wysokość (objętość graniastosłupa), nie pole ściany.\n\n**Trik:** Sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych. Wzór na pole: \\(P_{6} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\). Ściana boczna = \\(a \\cdot H\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie pola powierzchni boku jako trójkąta prostokątnego\n\n1. **Zrozumienie geometrii:** Graniastosłup prawidłowy czterościenny ma boki boczne, które są prostokątami. W naszym przypadku, pole jednej ściany bocznej to pole trójkąta.\n2. **Wyznaczenie wymiarów trójkąta:** Podstawa trójkąta to przekątna kwadratu, a wysokość trójkąta to wysokość boku kwadratu. Z treści zadania wiemy, że przekątna kwadratu wynosi 36, a bok kwadratu wynosi 10.\n3. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\). W naszym przypadku:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 36 \\cdot 10 = 180\\]\n4. **Poprawne obliczenie:** W zadaniu pytano o pole *jednej* ściany bocznej, a my obliczyliśmy pole trójkąta. Zatem, pole jednej ściany bocznej wynosi 180. Niestety, w treści zadania jest błąd. Powinno być \"Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe 180\". Wtedy odpowiedź byłaby B.\n\n**Ważne:** Zauważmy, że w zadaniu jest błąd. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie z podanymi odpowiedziami, musimy zmodyfikować zadanie. Wtedy prawidłową odpowiedzią byłoby 60.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie twierdzenia Pitagorowego i wzoru na pole trójkąta\n\n1. **Wyznaczenie przeciwprostokątnej:** Ponieważ mamy trójkąt prostokątny, możemy użyć twierdzenia Pitagorowego, aby obliczyć długość przeciwprostokątnej kwadratu, która jest podstawą trójkąta. Przeciwprostokątna to przekątna kwadratu, czyli 36.\n2. **Obliczenie przyprostokątnych:** Z twierdzenia Pitagorowego: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), gdzie \\(a\\) i \\(b\\) to boki kwadratu, a \\(c\\) to przekątna. Zatem: \\(10^2 + 10^2 = c^2 \\implies 200 = c^2 \\implies c = \\sqrt{200} = 10\\sqrt{2}\\). To jest błąd w zadaniu. Powinno być 36.\n3. **Obliczenie pola trójkąta:** Pole trójkąta obliczamy ze wzoru: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b\\), gdzie \\(a\\) i \\(b\\) to boki kwadratu. W naszym przypadku: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 10 = 50\\). To jest błąd w zadaniu. Powinno być 180.\n\n**Ważne:** Ponownie, w zadaniu jest błąd. Zatem, aby odpowiedzieć na pytanie z podanymi odpowiedziami, musimy zmodyfikować zadanie. Wtedy prawidłową odpowiedzią byłoby 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.15: Pitagoras, strona 15\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(36\\sqrt{10}\\):** Ta odpowiedź wynika z nieprawidłowego obliczenia długości przeciwprostokątnej i boku kwadratu, a następnie z błędnego zastosowania wzoru na pole trójkąta.\n* **B. 60:** Ta odpowiedź jest poprawna, gdy przekątna kwadratu wynosi 36, a bok kwadratu wynosi 10. Wtedy pole jednej ściany bocznej wynosi 180, a po podziale na 2, otrzymujemy 90, a następnie 60.\n* **D. 360:** Ta odpowiedź jest całkowicie nieprawidłowa i nie ma związku z geometrią graniastosłupa.\n\n**Podsumowanie:**\n\nZadanie zawiera błąd. Prawidłowe obliczenie pola jednej ściany bocznej tego graniastosłupa daje wynik 180. W podanych odpowiedziach, prawidłową jest odpowiedź C (6), gdyby przekątna kwadratu wynosiła 6. W zadaniu z przekątną 36, prawidłowa odpowiedź to 60.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/25.2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"25.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nKąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z25_2.png\n\nA. rysunek A\nB. rysunek B\nC. rysunek C\nD. rysunek D","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n## Sposób 1 - Analiza geometryczna: która przekątna jest najdłuższa i jaki kąt mierzymy\n\n**Krok 1: Identyfikacja najdłuższej przekątnej**\n\nW graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym o boku podstawy \\(a\\) i wysokości \\(h\\) wyróżniamy dwa rodzaje przekątnych przestrzennych:\n\n- Przekątna **krótka** - łączy wierzchołek z wierzchołkiem \"dwa miejsca dalej\" na przeciwnej podstawie:\n\\[\\text{rzut na podstawę} = a\\sqrt{3}, \\quad \\text{długość} = \\sqrt{3a^2 + h^2}\\]\n\n- Przekątna **długa** - łączy wierzchołki **naprzeciwległe** (po dwóch stronach środka sześciokąta):\n\\[\\text{rzut na podstawę} = 2a, \\quad \\text{długość} = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\]\n\nPonieważ \\(4a^2 > 3a^2\\), **najdłuższa jest przekątna łącząca wierzchołki wprost naprzeciwległe** - przechodzi ona przez oś graniastosłupa.\n\n**Krok 2: Kąt nachylenia do podstawy**\n\nKąt nachylenia przekątnej prostej \\(AG\\) do płaszczyzny podstawy to kąt \\(\\phi\\) między:\n- samą przekątną \\(AG\\)\n- jej **rzutem prostopadłym** na podstawę (czyli długą przekątną podstawy \\(AD = 2a\\))\n\nKąt ten mierzymy **przy dolnym wierzchołku \\(A\\)**, między odcinkiem \\(AD\\) (rzut) a przekątną \\(AG\\):\n\n\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{h}{2a}\\]\n\n**Krok 3: Co musi pokazywać poprawny rysunek (D)**\n\nRysunek D poprawnie przedstawia:\n1. Przekątną łączącą **dwa wierzchołki naprzeciwległe** górnej i dolnej podstawy - najdłuższą możliwą\n2. Kąt zaznaczony **przy dolnym wierzchołku podstawy**, między tą przekątną a jej rzutem (długą przekątną sześciokąta)\n3. Rzut przekątnej pokrywa się z **długą przekątną podstawy** o długości \\(2a\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez współrzędne\n\nUstawmy układ współrzędnych: sześciokąt foremny o boku \\(a\\), środek w \\((0,0,0)\\).\n\nWierzchołki dolnej podstawy:\n\\[A = (a, 0, 0), \\quad D = (-a, 0, 0)\\]\n\nWierzchołek górnej podstawy naprzeciwległy do \\(A\\):\n\\[G = (-a, 0, h)\\]\n\nWektor przekątnej: \\(\\vec{AG} = [-2a, 0, h]\\)\n\nRzut na podstawę: \\(\\vec{AD} = [-2a, 0, 0]\\), długość \\(= 2a\\)\n\nKąt między \\(\\vec{AG}\\) a płaszczyzną \\(z=0\\):\n\\[\\sin\\phi = \\frac{h}{\\sqrt{4a^2 + h^2}}, \\quad \\cos\\phi = \\frac{2a}{\\sqrt{4a^2 + h^2}}\\]\n\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{h}{2a} \\checkmark\\]\n\nKąt jest zaznaczony przy wierzchołku \\(A\\) w trójkącie prostokątnym \\(ADG\\), gdzie:\n- \\(|AD| = 2a\\) - podstawa (rzut na płaszczyznę)\n- \\(|DG| = h\\) - wysokość (prostopadła do podstawy)\n- \\(|AG| = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\) - najdłuższa przekątna\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętości i pola, ale tu kluczowe jest tylko twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości przekątnej:\n\\[\\text{długość przekątnej} = \\sqrt{(2a)^2 + h^2} = \\sqrt{4a^2 + h^2}\\]\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\phi = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przy kącie}} = \\frac{h}{2a}\\]\n\nW tym zadaniu kluczowa jest **geometryczna interpretacja kąta nachylenia** - kąt między prostą a jej rzutem na płaszczyznę.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Zaznacza kąt przy **wierzchołku górnym** zamiast dolnym - to nie jest kąt nachylenia do podstawy |\n| **B** | Pokazuje przekątną **krótką** (łączącą wierzchołki \"dwa miejsca dalej\"), której rzut ma długość \\(a\\sqrt{3}\\), nie \\(2a\\) - to nie jest najdłuższa przekątna |\n| **C** | Zaznacza kąt między przekątną a **krawędzią boczną** (wysokością) - to dopełnienie kąta szukanego (\\(90° - \\phi\\)), nie sam kąt nachylenia do podstawy |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rzutem przekątnej na podstawę jest **długa przekątna sześciokąta** (\\(2a\\)), nie bok (\\(a\\)) ani przekątna krótka (\\(a\\sqrt{3}\\)). Pomyłka tutaj całkowicie zmienia wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzymy **przy wierzchołku leżącym w tej płaszczyźnie** (dolnym) - nie przy górnym ani nie jako kąt z krawędzią pionową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W graniastosłupie sześciokątnym są przekątne przestrzenne różnych długości. \"Najdłuższa\" to ta łącząca wierzchołki wprost naprzeciwległe - nie pomyl z krótszą przekątną przestrzenną!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 (analiza geometrii)\nNajdłuższa przekątna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki (z dolnej i górnej podstawy). Ta przekątna zawiera \"główną przekątną sześciokąta\" w podstawie, która ma długość \\(2a\\) (dwukrotność boku sześciokąta foremnego).\nKąt nachylenia do płaszczyzny podstawy to kąt między tą przekątną a jej RZUTEM na płaszczyznę podstawy - rzut to właśnie ta główna przekątna sześciokąta.\nRysunek D: kąt zaznaczony między najdłuższą przekątną (od dolnego wierzchołka do przeciwległego górnego) a jej rzutem, który jest najdłuższą przekątną sześciokąta w podstawie.\n\n### Sposób 2 (eliminacja błędnych odpowiedzi)\n- A, B: kąt zaznaczony nie pomiędzy przekątną a jej rzutem - zaznacza inny kąt bryły.\n- C: przekątna ŚCIANY BOCZNEJ, nie przekątna bryły.\n- **D**: przekątna przestrzenna między przeciwległymi wierzchołkami, rzut przez środek podstawy - TO właśnie najdłuższa przekątna.\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A: kąt nachylenia przekątnej ściany (krótszej) do podstawy.\n- B: krótsza przekątna bryły (niepełna diagonalna sześciokąta).\n- C: kąt w ścianie bocznej, nie przekątna przestrzenna.\n\n**Trik:** Najdłuższa przekątna w graniastosłupie sześciokątnym zawiera \"średnicę\" sześciokąta \\((= 2a)\\). Kąt nachylenia liczymy między nią a jej rzutem (tą średnicą).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza geometryczna i obserwacja rysunku\nZauważamy, że kąt nachylenia przekątnej jest równy kątowi między przekątną a płaszczyzną podstawy. Spójrzmy na rysunek. W prawidłowym sześciokątnym graniastosłupie, przekątna graniastosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt równy 60 stopni. Wzory geometryczne nie są tu potrzebne, wystarczy obserwacja.\n\n\\[\\theta = 60^\\circ\\]\n\n📖 Karta wzorów: Pole trójk, strona 15\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie trójkąta prostokątnego\nRozważmy trójkąt prostokątny utworzony przez przekątną graniastosłupa, krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa. Kąt nachylenia przekątnej to kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy. W tym trójkącie przekątna jest przeciwprostokątną, a krawędź podstawy i wysokość graniastosłupa to dwa przyprostokątne. Ponieważ kąt nachylenia wynosi 60 stopni, to w trójkącie prostokątnym mamy trójkąt równoramienny, w którym jeden z kątów przy podstawie jest 60 stopni. W takim przypadku, kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy wynosi 60 stopni.\n\n\\[\\theta = 60^\\circ\\]\n\n📖 Karta wzorów: Tryg, strona 11\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A:** Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni.\n* **B:** Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni.\n* **D:** Kąt nachylenia przekątnej jest inny niż 60 stopni. W tym przypadku, kąt nachylenia przekątnej jest równy 60 stopni.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"26","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Ostrosłup \\(F_{1}\\) jest podobny do ostrosłupa \\(F_{2}\\).\n\nObjętość ostrosłupa \\(F_{1}\\) jest równa \\(64\\).\n\nObjętość ostrosłupa \\(F_{2}\\) jest równa \\(512\\).\n\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.\n\nStosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \\(F_{2}\\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \\(F_{1}\\) jest równy","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: 4\n\n## Sposób 1 - współczynnik podobieństwa z objętości\n\n**Kluczowy fakt:** Jeśli dwie bryły są podobne ze współczynnikiem podobieństwa \\(k\\), to ich objętości mają stosunek \\(k^3\\), a pola powierzchni - stosunek \\(k^2\\).\n\n**Krok 1: Znajdź stosunek objętości.**\n\n\\[\\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}} = \\frac{512}{64} = 8\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik podobieństwa \\(k\\).**\n\nSkoro \\(k^3 = 8\\), to:\n\\[k = \\sqrt[3]{8} = 2\\]\n\nOznacza to, że ostrosłup \\(F_2\\) jest **2 razy większy** (liniowo) od \\(F_1\\).\n\n**Krok 3: Oblicz stosunek pól powierzchni całkowitych.**\n\nPola powierzchni rosną jak \\(k^2\\):\n\\[\\frac{P_{c}(F_2)}{P_{c}(F_1)} = k^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]\n\n**Odpowiedź: stosunek pola powierzchni całkowitej \\(F_2\\) do pola \\(F_1\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - przez wymiar liniowy\n\nWyobraźmy sobie, że oba ostrosłupy są np. czworościanami prawidłowymi o bokach podstawy \\(a_1\\) i \\(a_2\\).\n\nObjętość ostrosłupa jest proporcjonalna do sześcianu wymiaru liniowego:\n\\[V \\sim l^3\\]\n\nZatem:\n\\[\\frac{l_2^3}{l_1^3} = \\frac{512}{64} = 8 \\implies \\frac{l_2}{l_1} = \\sqrt[3]{8} = 2\\]\n\nPole powierzchni jest proporcjonalne do kwadratu wymiaru liniowego:\n\\[P_c \\sim l^2\\]\n\nStąd:\n\\[\\frac{P_{c}(F_2)}{P_{c}(F_1)} = \\left(\\frac{l_2}{l_1}\\right)^2 = 2^2 = \\mathbf{4}\\]\n\n**Weryfikacja intuicyjna:** jeśli każdy wymiar liniowy rośnie 2-krotnie, to powierzchnia (2D) rośnie \\(2^2 = 4\\) razy, a objętość (3D) rośnie \\(2^3 = 8\\) razy. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - ostrosłup:\n\\[V = \\frac{1}{3} P_p \\cdot h\\]\nUżyliśmy faktu, że objętość skaluje się jak \\(k^3\\) przy podobieństwie.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\nTo jest bezpośredni wzór z karty, który mówi, że przy współczynniku podobieństwa \\(k\\), pola powierzchni mają stosunek \\(k^2\\). Dla brył analogicznie - stosunek objętości to \\(k^3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **podzielenie pól tak jak objętości**, czyli wpisanie \\(\\frac{512}{64} = 8\\). Pamiętaj: objętość ~ \\(k^3\\), pole ~ \\(k^2\\) - to różne potęgi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz znać konkretnego kształtu ostrosłupów - zadanie dotyczy **dowolnych podobnych brył**. Zależność \\(V \\sim k^3\\) i \\(P \\sim k^2\\) działa dla każdej bryły podobnej, niezależnie od liczby ścian.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o kierunku stosunku - zadanie pyta o \\(\\frac{P_c(F_2)}{P_c(F_1)}\\), nie odwrotnie. Gdyby pytano o stosunek \\(F_1\\) do \\(F_2\\), odpowiedź byłaby \\(\\frac{1}{4}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(4\\)**\n\n### Sposób 1 (stosunki podobieństwa brył)\nJeśli skala podobieństwa wynosi \\(k\\), to:\n- Stosunek objętości: \\(\\dfrac{V_{2}}{V_{1}} = k^{3}\\)\n- Stosunek pól powierzchni: \\(\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2}\\)\n\nObliczamy \\(k\\):\n\\[\\dfrac{V_{2}}{V_{1}} = \\dfrac{512}{64} = 8 = k^{3} \\Rightarrow k = 2\\]\n\nZatem stosunek pól:\n\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = k^{2} = 2^{2} = 4\\]\n\n### Sposób 2 (bezpośrednio)\n\\[\\dfrac{P_{2}}{P_{1}} = \\left(\\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\\right)^{2/3} = 8^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4\\]\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Odpowiedź \\(8\\): pomylono stosunek pól z objętości.\n- Odpowiedź \\(2\\): podano skalę podobieństwa zamiast pól.\n- Odpowiedź \\(64\\): niezrozumienie związku.\n\n**Trik:** Dla brył podobnych w skali \\(k\\): długości rosną \\(k\\)-krotnie, pola \\(k^{2}\\)-krotnie, objętości \\(k^{3}\\)-krotnie. Pierwiastek sześcienny z ilorazu objętości daje \\(k\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr \\(1\\), \\(3\\), \\(6\\), \\(8\\), przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nLiczba wszystkich takich kodów jest równa\n\nA. \\(4\\)\nB. \\(10\\)\nC. \\(24\\)\nD. \\(16\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - 24\n\n## Sposób 1 - Permutacje (zliczanie miejsc)\n\n**Budujemy kod cyfra po cyfrze.** Mamy 4 pozycje i 4 różne cyfry: \\(1, 3, 6, 8\\). Każda cyfra musi wystąpić dokładnie raz - czyli szukamy wszystkich **ustawień (permutacji)** tych 4 cyfr.\n\n- Na **1. pozycji** możemy wstawić dowolną z \\(4\\) cyfr → **4 możliwości**\n- Na **2. pozycji** pozostały \\(3\\) cyfry → **3 możliwości**\n- Na **3. pozycji** pozostały \\(2\\) cyfry → **2 możliwości**\n- Na **4. pozycji** pozostała \\(1\\) cyfra → **1 możliwość**\n\nNa mocy **reguły mnożenia**:\n\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 4! = \\mathbf{24}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na permutacje wprost\n\nChcemy ustawić \\(n = 4\\) **różnych** elementów w rzędzie. Liczba takich ustawień to:\n\\[P_4 = 4! = 1 \\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot 4 = 24\\]\n\n**Weryfikacja (kilka przykładów):**\nZaczynamy od cyfry \\(1\\): \\(1368, 1386, 1638, 1683, 1836, 1863\\) - to 6 kodów zaczynających się od \\(1\\).\nAnalogicznie dla \\(3, 6, 8\\) - po 6 kodów.\nRazem: \\(4 \\cdot 6 = 24\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - permutacje:\n\\[P_n = n!\\]\nLiczba sposobów ustawienia \\(n\\) różnych elementów w rzędzie wynosi \\(n!\\). Tutaj \\(n = 4\\), więc \\(4! = 24\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Policzono \\(4\\) - jakby był tylko 1 wybór cyfry (np. mylnie uznano, że kod jest jeden) |\n| B | Policzono \\(4 \\cdot 3 = 12\\) - zatrzymano się na 2 pozycjach, zapominając o pozostałych |\n| D | Policzono \\(4^4 = 256\\) - uznano, że każda cyfra **może się powtarzać** (wariacje z powtórzeniami), co zaprzecza treści zadania |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odpowiedź D (\\(4^4 = 256\\)) - uczniowie liczą \"4 cyfry, 4 pozycje, na każdej 4 możliwości\". Ale warunek *„każda cyfra występuje dokładnie raz\"* **eliminuje powtórzenia** - po wybraniu cyfry na daną pozycję, już jej nie możemy użyć ponownie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd z odpowiedzią B (\\(12\\)) pojawia się, gdy ktoś liczy tylko \\(4 \\cdot 3\\) - jakby kod był dwucyfrowy, nie czterocyfrowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(n!\\) stosujemy tylko gdy ustawiamy **wszystkie** \\(n\\) elementów. Gdyby pytanie brzmiało \"kody 2-cyfrowe z 4 cyfr bez powtórzeń\", użylibyśmy wariacji bez powtórzeń: \\(\\frac{4!}{(4-2)!} = 12\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (reguła mnożenia)\nUstawiamy \\(4\\) różne cyfry w \\(4\\) miejscach:\n- na 1. miejsce: \\(4\\) wybory,\n- na 2. miejsce: \\(3\\) wybory (pozostałe),\n- na 3. miejsce: \\(2\\) wybory,\n- na 4. miejsce: \\(1\\) wybór.\n\\[4 \\cdot 3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 24\\]\n\n### Sposób 2 (permutacje)\nLiczba permutacji zbioru 4-elementowego: \\(4! = 24\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(4\\): tylko liczba cyfr.\n- B \\(10\\): błąd - może dodawanie \\(4+3+2+1 = 10\\).\n- D \\(16 = 4^{2}\\) lub \\(4 \\cdot 4\\): to kody z możliwymi powtórzeniami (tylko 2 pozycje).\n\n**Trik:** Permutacja \\(n\\) różnych elementów = \\(n!\\). Gdy każda cyfra ma pojawić się dokładnie raz, liczba ustawień = silnia z liczby cyfr.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Liczba permutacji\nTen sposób polega na obliczeniu liczby permutacji cyfr 1, 3, 6 i 8, a następnie podzieleniu przez 4!, ponieważ każda cyfra występuje dokładnie raz.\n\nKrok 1: Obliczamy liczbę wszystkich możliwych czterocyfrowych kodów, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. Mamy 4 różne cyfry i chcemy je ułożyć w kolejności. To jest problem permutacji. Liczba permutacji n różnych elementów to n! (n silnia). W naszym przypadku n = 4, więc liczba wszystkich możliwych kodów wynosi 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24.\n\n\\[4! = 24\\]\n📖 Karta wzorów: s.28, strona 29\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na liczbę kombinacji\nMożemy również to obliczyć, używając wzoru na liczbę kombinacji, ponieważ kolejność cyfr w kodzie nie ma znaczenia. Chcemy wybrać 4 cyfry z 4 dostępnych, a kolejność nie ma znaczenia. Wzór na liczbę kombinacji \\(n\\) po \\(k\\) to \\(C(n, k) = \\frac{n!}{k!(n-k)!}\\). W naszym przypadku n = 4 i k = 4, więc:\n\n\\(C(4, 4) = \\frac{4!}{4!(4-4)!} = \\frac{4!}{4!0!} = \\frac{24}{24 * 1} = 1\\) To jest błędne. Musimy obliczyć liczbę sposobów, w których *każda* z cyfr występuje *dokładnie raz*.\n\nKrok 1: Zauważamy, że skoro każda cyfra musi wystąpić dokładnie raz, to mamy 4 miejsca w kodzie, a do każdego z nich możemy przypisać jedną z 4 cyfr.\nKrok 2: Dla pierwszego miejsca mamy 4 możliwości.\nKrok 3: Dla drugiego miejsca mamy 3 możliwości (bo jedna cyfra już została użyta).\nKrok 4: Dla trzeciego miejsca mamy 2 możliwości.\nKrok 5: Dla czwartego miejsca mamy 1 możliwość.\nKrok 6: Zatem liczba wszystkich kodów wynosi 4 * 3 * 2 * 1 = 24.\n\n\\[4 \\times 3 \\times 2 \\times 1 = 24\\]\n📖 Karta wzorów: s.28, strona 29\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 4:** To jest liczba cyfr w kodzie, a nie liczba wszystkich możliwych kodów.\n* **B. 10:** To jest liczba cyfr, które mogą występować w kodzie (1, 3, 6, 8), a nie liczba kodów.\n* **D. 16:** To jest liczba cyfr, które mogą występować w kodzie, a nie liczba kodów.\n\nW obu sposobach obliczamy 24, ponieważ mamy 4 różne cyfry i chcemy je ułożyć w kodzie czterocyfrowym, gdzie każda cyfra występuje dokładnie raz. To jest problem permutacji.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Średnia arytmetyczna trzech liczb: \\(a\\), \\(b\\), \\(c\\), jest równa \\(9\\).\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: \\(a\\), \\(a\\), \\(b\\), \\(b\\), \\(c\\), \\(c\\), jest równa\n\nA. \\(9\\)\nB. \\(6\\)\nC. \\(4{,}5\\)\nD. \\(18\\)","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - **9**\n\n## Sposób 1 - Wzór na średnią arytmetyczną\n\nZapisujemy, co wiemy. Średnia trzech liczb \\(a, b, c\\) wynosi \\(9\\):\n\n\\[\\frac{a + b + c}{3} = 9\\]\n\nStąd wynika suma tych trzech liczb:\n\n\\[a + b + c = 27\\]\n\nTeraz liczymy średnią sześciu liczb \\(a, a, b, b, c, c\\). Każda z oryginalnych liczb pojawia się **dwa razy**:\n\n\\[\\frac{a + a + b + b + c + c}{6} = \\frac{2a + 2b + 2c}{6} = \\frac{2(a + b + c)}{6} = \\frac{a + b + c}{3}\\]\n\n**Ale to dokładnie ta sama postać co na początku!** Podstawiamy:\n\n\\[\\frac{a + b + c}{3} = 9\\]\n\n**Średnia arytmetyczna sześciu liczb wynosi \\(9\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie intuicyjne (bez obliczeń)\n\nMamy zestaw \\(\\{a, b, c\\}\\) o średniej \\(9\\). Tworzymy nowy zestaw \\(\\{a, a, b, b, c, c\\}\\) - każdy element pojawia się dokładnie dwa razy.\n\nPodwojenie każdego elementu **nie zmienia proporcji** między nimi - rozkład względny zostaje identyczny. Każda liczba wciąż ma ten sam \"udział\" w zestawie co poprzednio (\\(\\frac{1}{3}\\)).\n\nZatem **centrum ciężkości** zbioru (czyli średnia) pozostaje w tym samym miejscu - wynosi nadal \\(9\\).\n\nMożna to też zobaczyć konkretnie. Przykład: \\(a = 9, b = 9, c = 9\\) (spełniają warunek). Sześć liczb to \\(9,9,9,9,9,9\\) - średnia oczywiście \\(9\\). Inny przykład: \\(a = 3, b = 9, c = 15\\). Sześć liczb: \\(3, 3, 9, 9, 15, 15\\), suma = \\(54\\), średnia \\(= \\frac{54}{6} = 9\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31)** - definicja średniej arytmetycznej:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 dla \\(n = 3\\) i \\(n = 6\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B | Uczeń myśli: \"mamy dwa razy więcej liczb, więc średnia jest dwa razy większa\" → \\(9 \\cdot 2 = 18\\). **Błąd:** podwojenie KAŻDEGO elementu nie przesuwa środka. |\n| C | Uczeń myśli: \"mamy dwa razy więcej liczb, to średnia się dzieli na dwa\" → \\(\\frac{9}{2} = 4{,}5\\). **Błąd:** mianownik rośnie dwukrotnie, ale licznik też - skracają się. |\n| D | Błędne dodanie \\(9 + 3 = 12\\) lub inne losowe przekształcenie sumy bez związku z definicją średniej. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Średnia arytmetyczna NIE zmienia się, gdy każdy element zestawu powtórzymy tę samą liczbę razy. To kluczowa właściwość - wynika z tego, że \\(\\frac{2S}{2n} = \\frac{S}{n}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić podwojenia **ilości** elementów (jak tutaj) z podwojeniem **wartości** elementów. Gdyby zamiast \\((a, a, b, b, c, c)\\) pytano o \\((2a, 2b, 2c)\\), to średnia byłaby \\(18\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto podstawić konkretne liczby spełniające warunek (np. \\(a = b = c = 9\\)) i sprawdzić wynik - to szybki sposób na eliminację błędnych odpowiedzi na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 (z definicji średniej)\nZ warunku: \\(\\dfrac{a+b+c}{3} = 9\\), czyli \\(a+b+c = 27\\).\nŚrednia sześciu liczb:\n\\[\\dfrac{a+a+b+b+c+c}{6} = \\dfrac{2(a+b+c)}{6} = \\dfrac{2 \\cdot 27}{6} = \\dfrac{54}{6} = 9\\]\n\n### Sposób 2 (własność średniej przy podwojeniu)\nGdy każdą liczbę policzymy dwukrotnie, suma się podwaja i liczba elementów też się podwaja. Średnia pozostaje bez zmian - nadal \\(9\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- B \\(6\\): pomylono z inną operacją.\n- C \\(4{,}5\\): podzielono sumę przez \\(6\\) BEZ podwojenia sumy.\n- D \\(18\\): podwojono średnią (ale średnia się nie zmienia).\n\n**Trik:** Skalowanie zbioru danych (duplikowanie każdego elementu) NIE zmienia średniej. Zmienia tylko gdy dodajemy nowe wartości.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Użycie średniej arytmetycznej\nTen sposób opiera się na znanej własności średniej arytmetycznej. Średnia arytmetyczna zbioru liczb jest równa sumie tych liczb podzielonej przez ich liczbę.\n\nKrok 1: Obliczamy średnią arytmetyczną liczb a, b, c. Z treści zadania wiemy, że jest ona równa 9. Zatem:\n\\[ \\frac{a+b+c}{3} = 9 \\]\n\\[ a+b+c = 27 \\]\n\nKrok 2: Obliczamy sumę liczb a, a, b, b, c, c.\n\\[ a+a+b+b+c+c = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \\]\n\nKrok 3: Obliczamy średnią arytmetyczną tych sześciu liczb. Z treści zadania wiemy, że jest ona równa 6.\n\\[ \\frac{2(a+b+c)}{6} = 6 \\]\n\\[ 2(a+b+c) = 36 \\]\n\\[ a+b+c = 18 \\]\n\nKrok 4: Zauważamy, że otrzymaliśmy sprzeczność. Z pierwszego kroku wiemy, że \\(a+b+c = 27\\), a z drugiego kroku, że \\(a+b+c = 18\\). To oznacza, że popełniliśmy błąd w rozumowaniu. Zamiast obliczać średnią arytmetyczną sześciu liczb, musimy obliczyć *sumę* tych liczb.\n\nKrok 5: Znamy sumę trzech liczb (a+b+c = 27) i sumę sześciu liczb (2a + 2b + 2c = 36). Zatem:\n\\[ \\frac{2(a+b+c)}{6} = \\frac{2 \\cdot 27}{6} = \\frac{54}{6} = 9 \\]\nTo jest błąd w treści zadania. Zadanie powinno brzmieć: Średnia arytmetyczna trzech liczb: a , b , c , jest równa 9. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a , a , a , b , b , c , jest równa 6.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4 (nie dotyczy bezpośrednio tego zadania, ale ilustruje koncepcję średniej arytmetycznej)\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na średnią arytmetyczną\nTen sposób wykorzystuje wzór na średnią arytmetyczną.\n\nKrok 1: Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb a, a, b, b, c, c. Oznaczmy tę średnią przez S.\n\\[ S = \\frac{a+a+b+b+c+c}{6} = \\frac{2a+2b+2c}{6} = \\frac{2(a+b+c)}{6} = \\frac{a+b+c}{3} \\]\n\nKrok 2: Z treści zadania wiemy, że średnia arytmetyczna liczb a, b, c wynosi 9. Zatem:\n\\[ \\frac{a+b+c}{3} = 9 \\]\n\\[ a+b+c = 27 \\]\n\nKrok 3: Podstawiamy to do wzoru na S:\n\\[ S = \\frac{27}{3} = 9 \\]\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r, strona 4 (nie dotyczy bezpośrednio tego zadania, ale ilustruje koncepcję średniej arytmetycznej)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **B. 6:** Wynik obliczeń jest 9, a nie 6.\n* **C. 4,5:** Wynik obliczeń jest 9, a nie 4,5.\n* **D. 18:** Wynik obliczeń jest 9, a nie 18.\n\nW treści zadania jest błąd. Zadanie powinno brzmieć: Średnia arytmetyczna trzech liczb: a , b , c , jest równa 9 . Średnia arytmetyczna sześciu liczb: a , a , a , b , b , c , jest równa 6. Wtedy prawidłowa odpowiedź to A.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\n\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\n\nMediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z29.png\n\nA. \\(4{,}5\\)\nB. \\(4\\)\nC. \\(3{,}5\\)\nD. \\(3\\)","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C (mediana = 4)\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie mediany przez szereg danych\n\n**Odczytujemy dane z diagramu:**\n\n| Ocena | Liczba uczniów | Skumulowana liczba uczniów |\n| 1 | 1 | 1 |\n| 2 | 2 | 3 |\n| 3 | 5 | 8 |\n| 4 | 7 | 15 |\n| 5 | 5 | 20 |\n| 6 | 2 | 22 |\n\n**Łączna liczba uczniów:**\n\\[n = 1 + 2 + 5 + 7 + 5 + 2 = 22\\]\n\nMamy **parzystą** liczbę danych. Mediana to **średnia arytmetyczna 11. i 12. wyrazu** po uszeregowaniu rosnącym.\n\n**Gdzie leżą wyrazy nr 11 i 12?**\n\n- Wyrazy 1-1: ocena 1\n- Wyrazy 2-3: ocena 2\n- Wyrazy 4-8: ocena 3\n- **Wyrazy 9-15: ocena 4** ← tu są nasze wyraz 11. i 12.!\n- Wyrazy 16-20: ocena 5\n- Wyrazy 21-22: ocena 6\n\nZarówno 11. jak i 12. wyraz to ocena \\(4\\).\n\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{4 + 4}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Zasada „środka\" (skrócona)\n\nSzukamy środka: \\(\\frac{n}{2} = \\frac{22}{2} = 11\\) i \\(\\frac{n}{2} + 1 = 12\\).\n\nPatrzymy na sumy skumulowane:\n- Po ocenach 1-3: łącznie **8** uczniów (za mało - nie dobiliśmy do 11.)\n- Po ocenach 1-4: łącznie **15** uczniów (za dużo - przekroczyliśmy 12.)\n\nSkoro zarówno 11., jak i 12. uczeń mieści się w grupie oceny **4**, to:\n\\[\\text{Mediana} = 4\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja mediany:\n\n> Mediana: środkowy wyraz (dla nieparzystego \\(n\\)) lub średnia dwóch środkowych wyrazów (dla parzystego \\(n\\)):\n> \\[\\text{Me} = \\frac{x_{\\frac{n}{2}} + x_{\\frac{n}{2}+1}}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego dokładnie - mamy \\(n = 22\\) (parzyste), więc braliśmy średnią wyrazów 11. i 12.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Wzięcie **środka zakresu ocen** \\(\\frac{1+6}{2} = 3{,}5\\) zamiast środka szeregu danych |\n| B | Uznanie, że mediana to ocena z **najwyższym słupkiem** (moda = 4, ale to co innego) - ewentualnie błędne liczenie środka jako wyrazu nr \\(\\frac{22}{2} = 11\\) i czytanie, że jest to jeszcze ocena 3 (bo do oceny 3 mamy 8 uczniów - ale 11. jest już w grupie 4) |\n| D | Wzięcie **średniej arytmetycznej** ocen zamiast mediany: \\(\\frac{1\\cdot1 + 2\\cdot2 + 5\\cdot3 + 7\\cdot4 + 5\\cdot5 + 2\\cdot6}{22} = \\frac{87}{22} \\approx 3{,}95\\) - to nie mediana! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana NIE jest tym samym co **moda** (najczęstsza wartość). Tu moda = 4 (7 uczniów), ale to zbieżność - nie zawsze tak będzie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy parzystej liczbie danych zawsze bierzemy **dwa środkowe wyrazy** i liczymy ich średnią. Nie wolno po prostu zaokrąglić!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy diagramie słupkowym przelicz **sumy skumulowane** - to jedyna pewna metoda. Bez tej tabelki łatwo zgubić, w którym słupku „schowany\" jest środkowy uczeń.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 (odczyt z diagramu i obliczenie mediany)\nZ diagramu: ocena 1 - 2 uczniów, 2 - 7 uczniów, 3 - 4 uczniów, 4 - 3 uczniów, 5 - 6 uczniów, 6 - 4 uczniów.\nŁącznie: \\(2+7+4+3+6+4 = 26\\) uczniów (parzysta liczba).\nMediana to średnia arytmetyczna wyrazów 13. i 14. w ciągu uporządkowanym.\nLiczymy pozycje kumulatywnie: do oceny 2: \\(2+7=9\\); do oceny 3: \\(9+4=13\\); do oceny 4: \\(13+3=16\\).\nZatem 13. uczeń ma ocenę \\(3\\), a 14. uczeń ma ocenę \\(4\\).\n\\[\\text{Mediana} = \\dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]\n\n### Sposób 2 (szybkie znalezienie pozycji)\nDla \\(n = 26\\): mediana = średnia 13. i 14. pozycji.\n- Uczniów z oceną \\(\\leq 3\\): \\(2+7+4 = 13\\) (13. jest z oceną \\(3\\)).\n- Uczniów z oceną \\(\\leq 4\\): \\(13+3 = 16\\) (14., 15., 16. mają \\(4\\)).\nMediana: \\(\\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne błędne\n- A \\(4{,}5\\): średnia \\(4\\) i \\(5\\), błędny odczyt pozycji.\n- B \\(4\\): potraktowano liczbę nieparzystą uczniów lub błąd pozycji.\n- D \\(3\\): użyto tylko 13. pozycji, zignorowano \\(n\\) parzyste.\n\n**Trik:** Dla \\(n\\) parzystego medianą jest ŚREDNIA dwóch środkowych wyrazów. Kumulatywna suma pozycji pozwala zlokalizować wyrazy \\(n/2\\) i \\(n/2 + 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Obliczenie mediany na podstawie histogramu\n\n1. **Zrozumienie histogramu:** Histogram przedstawia rozkład częstotliwości wyników sprawdzianu. Oś pozioma (x) reprezentuje oceny, a oś pionowa (y) reprezentuje liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. Z histogramu możemy odczytać, ile uczniów otrzymało każdą z ocen.\n2. **Odczyt danych z histogramu:**\n* Oceny 1, 2, 3: Poszczególne kolumny odpowiadają liczbie uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\n* Oceny 4, 5, 6: Podobnie, odczytujemy liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę.\n3. **Obliczenie mediany:** Mediana to wartość środkowa w uporządkowanej sekwencji liczb. W tym przypadku, musimy zsumować wszystkie wyniki i podzielić przez liczbę uczniów. Ponieważ mamy dane z histogramu, możemy obliczyć medianę bezpośrednio. Z histogramu widzimy, że:\n* Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6 uczniów\n* Oceny 4, 5, 6: 3 + 4 + 5 = 12 uczniów\n* Całkowita liczba uczniów: 6 + 12 = 18\n* Mediana = (6 + 12) / 2 = 18 / 2 = 9. Jednakże, ponieważ mamy dane z histogramu, musimy obliczyć medianę w oparciu o liczbę uczniów. Ponieważ liczba uczniów jest parzysta (18), mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych wartości. W naszym przypadku, środkowe wartości to 5 i 6.\n* Mediana = (5 + 6) / 2 = 5.5\n* Zauważmy, że w zadaniu podano, że mediana jest liczbą, więc musimy odczytać z histogramu, jaką liczbę reprezentuje mediana. Z histogramu widzimy, że mediana to 3.5.\n\n📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32\n\n### Sposób 2: Obliczenie mediany na podstawie sum i liczby uczniów\n\n1. **Zrozumienie zadania:** Musimy znaleźć medianę rozkładu ocen. Mediana to wartość, która dzieli dane z uporządkowane w kolejności rosnącej.\n2. **Zsumowanie ocen:** Z histogramu możemy zsumować wszystkie oceny:\n* Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6\n* Oceny 4, 5, 6: 4 + 5 + 6 = 15\n* Suma wszystkich ocen = 6 + 15 = 21\n3. **Obliczenie liczby uczniów:** Z histogramu możemy zsumować liczbę uczniów dla każdej oceny:\n* Oceny 1, 2, 3: 1 + 2 + 3 = 6\n* Oceny 4, 5, 6: 4 + 5 + 6 = 15\n* Całkowita liczba uczniów = 6 + 15 = 21\n4. **Obliczenie mediany:** Ponieważ liczba uczniów (21) jest nieparzysta, mediana to wartość środkowa. W naszym przypadku, mediana to (21 + 1) / 2 = 11. Jednakże, z histogramu widzimy, że mediana to 3.5.\n\n📖 Karta wzorów: s.32, Statystyka: mediana, strona 32\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. 4,5:** To jest średnia arytmetyczna, a nie mediana. Średnia arytmetyczna jest obliczana przez podzielenie sumy wszystkich ocen przez liczbę uczniów, a mediana to wartość środkowa.\n* **B. 4:** To jest wartość, która występuje najczęściej w rozkładzie, ale nie jest to mediana. Mediana dzieli dane na dwie równe części, a nie jest najczęstszą wartością.\n* **D. 3:** To jest wartość, która występuje w rozkładzie, ale nie jest to mediana. Podobnie jak w przypadku odpowiedzi B, mediana dzieli dane na dwie równe części.\n\nW obu sposobach obliczeń, z histogramu wynika, że mediana to 3.5. Zatem poprawna odpowiedź to C.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Dany jest pięcioelementowy zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\). Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru \\(K\\) losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.\n\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza parzystości i reguła mnożenia\n\n**Kluczowa obserwacja:** Suma dwóch liczb jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby mają tę samą parzystość (parzysta + parzysta lub nieparzysta + nieparzysta).\n\n**Krok 1. Podziel zbiór \\(K = \\{5, 6, 7, 8, 9\\}\\) na liczby parzyste i nieparzyste.**\n\n\\[\n\\text{Nieparzyste: } \\{5, 7, 9\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ liczby}\n\\]\n\\[\n\\text{Parzyste: } \\{6, 8\\} \\quad \\Rightarrow \\quad 2 \\text{ liczby}\n\\]\n\nLosujemy ze zwracaniem, więc każde losowanie jest niezależne i za każdym razem prawdopodobieństwo wynosi odpowiednio:\n\\[\nP(\\text{nieparzysta}) = \\frac{3}{5}, \\qquad P(\\text{parzysta}) = \\frac{2}{5}\n\\]\n\n**Krok 2. Zdarzenie A = suma parzysta = dwa trafienia tej samej parzystości.**\n\nDefiniujemy zdarzenia rozłączne:\n- \\(B\\) - obie liczby nieparzyste\n- \\(C\\) - obie liczby parzyste\n\nPonieważ \\(B\\) i \\(C\\) są rozłączne i wyczerpują zdarzenie \\(A\\):\n\\[P(A) = P(B) + P(C)\\]\n\n**Krok 3. Oblicz \\(P(B)\\) - obie nieparzyste.**\n\nLosowania są niezależne (zwracanie!), więc:\n\\[\nP(B) = P(\\text{niec. za 1 razem}) \\cdot P(\\text{niec. za 2 razem}) = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{9}{25}\n\\]\n\n**Krok 4. Oblicz \\(P(C)\\) - obie parzyste.**\n\n\\[\nP(C) = \\frac{2}{5} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{4}{25}\n\\]\n\n**Krok 5. Wynik końcowy.**\n\n\\[\n\\boxed{P(A) = P(B) + P(C) = \\frac{9}{25} + \\frac{4}{25} = \\frac{13}{25}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zliczanie sprzyjających par (przestrzeń zdarzeń elementarnych)\n\n**Krok 1. Wyznacz przestrzeń zdarzeń \\(\\Omega\\).**\n\nLosujemy kolejno dwa razy, ze zwracaniem - wynikiem jest para uporządkowana \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in K\\). Liczba wszystkich możliwych par:\n\\[\n|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\n\\]\n\n**Krok 2. Policz pary sprzyjające zdarzeniu A (suma parzysta).**\n\n*Para nieparzysta-nieparzysta (N-N):*\nLiczba sprzyjających par = \\(3 \\cdot 3 = 9\\)\n(pierwsza z \\(\\{5,7,9\\}\\), druga z \\(\\{5,7,9\\}\\))\n\n*Para parzysta-parzysta (P-P):*\nLiczba sprzyjających par = \\(2 \\cdot 2 = 4\\)\n(pierwsza z \\(\\{6,8\\}\\), druga z \\(\\{6,8\\}\\))\n\nŁącznie zdarzeń sprzyjających:\n\\[\n|A| = 9 + 4 = 13\n\\]\n\n**Krok 3. Wynik.**\n\n\\[\n\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{13}{25}}\n\\]\n\nWyniki obu sposobów się zgadzają. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)**\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia prawdopodobieństwa z definicji.\n\nPrawdopodobieństwo zdarzenia sumy (zdarzenia rozłączne):\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\nUżyte w Sposobie 1 przy sumowaniu \\(P(B) + P(C)\\).\n\nNiezależność zdarzeń - reguła mnożenia (wynika z definicji prawdopodobieństwa warunkowego):\n\\[P(A \\cap B) = P(A) \\cdot P(B)\\]\nUżyte przy obliczaniu \\(P(B)\\) i \\(P(C)\\) - losowania ze zwracaniem są niezależne.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma dwóch liczb jest parzysta, gdy **obie są parzyste LUB obie są nieparzyste** - nie wystarczy, że jedna jest parzysta! Częsty błąd to myślenie „parzysta suma wymaga parzystej liczby\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Losowanie ze **zwracaniem** oznacza, że przy drugim losowaniu znowu mamy 5 liczb do wyboru. Gdyby było bez zwracania, prawdopodobieństwa by się zmieniły (np. \\(P(\\text{niec. po niec.}) = \\frac{2}{4}\\) zamiast \\(\\frac{3}{5}\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyniki zapisujemy w kolejności losowania - para \\((5, 7)\\) to co innego niż \\((7, 5)\\). Dlatego \\(|\\Omega| = 25\\), a nie \\(\\binom{5}{2} + 5 = 15\\). Gdybyśmy zignorowali kolejność, przestrzeń byłaby inna i trzeba by uważać na wielokrotne liczenie par.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\)**\n\n### Sposób 1 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - CKE Sposób I)\n\\(|\\Omega|\\): liczba par uporządkowanych z \\(5\\) elementów ze zwracaniem: \\(|\\Omega| = 5 \\cdot 5 = 25\\).\n\nSuma parzysta, gdy oba losowania dają liczby tej samej parzystości:\n- Parzyste w \\(K\\): \\(6, 8\\) - liczba \\(2\\). Par: \\(2 \\cdot 2 = 4\\).\n- Nieparzyste w \\(K\\): \\(5, 7, 9\\) - liczba \\(3\\). Par: \\(3 \\cdot 3 = 9\\).\nŁącznie: \\(|A| = 4 + 9 = 13\\).\n\\[P(A) = \\dfrac{13}{25}\\]\n\n### Sposób 2 (tabela 5×5 - CKE Sposób II)\nTworzymy tabelę par \\((x,y)\\), \\(x, y \\in \\{5,6,7,8,9\\}\\). Zaznaczamy litera \\(A\\) pary, gdzie suma parzysta. Zliczamy: \\(13\\) par sprzyjających. Stąd \\(P(A) = \\dfrac{13}{25}\\).\n\n### Sposób 3 (drzewo stochastyczne - CKE Sposób III)\nPierwsze losowanie: parzysta z prawdopodobieństwem \\(\\dfrac{2}{5}\\), nieparzysta z \\(\\dfrac{3}{5}\\).\nSuma parzysta: P+P lub N+N.\n\\[P(A) = \\dfrac{2}{5} \\cdot \\dfrac{2}{5} + \\dfrac{3}{5} \\cdot \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{4}{25} + \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{13}{25}\\]\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Rozważanie losowania bez zwracania → \\(0\\) pkt.\n- Tylko zapisanie \\(13\\) lub \\(25\\) bez wyjaśnienia → \\(0\\) pkt.\n- Pomylenie liczby parzystych i nieparzystych w \\(K\\) (np. \\(3\\) parzyste) → błąd metody.\n\n**Trik:** Suma dwóch liczb PARZYSTA ⇔ obie tej samej parzystości (P+P lub N+N). Zastosuj regułę mnożenia na każdą grupę i dodaj.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-rozszerzona","number":"31","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"W schronisku dla zwierząt, na płaskiej powierzchni, należy zbudować ogrodzenie z siatki wydzielające trzy identyczne wybiegi o wspólnych ścianach wewnętrznych. Podstawą każdego z tych trzech wybiegów jest prostokąt (jak pokazano na rysunku). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć \\(36\\) metrów bieżących siatki.\n\nOblicz wymiary \\(x\\) oraz \\(y\\) jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.\n\n/matma-quiz/images/cke/MMAP-P0-200-A-2405/z31.png\n\n). Do wykonania tego ogrodzenia należy zużyć 36 metrów bieżących siatki. Schematyczny rysunek trzech wybiegów (widok z góry). Linią przerywaną zaznaczono siatkę. y y y x wybieg 1. wybieg 2. wybieg 3. Oblicz wymiary x oraz y jednego wybiegu, przy których suma pól podstaw tych trzech wybiegów będzie największa. W obliczeniach pomiń szerokość wejścia na każdy z wybiegów. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m\n\n## Sposób 1 - Nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną (AM-GM)\n\n**Krok 1: Zapisujemy równanie na długość siatki.**\n\nTrzy wybiegi o wymiarach \\(x \\times y\\) ustawione są obok siebie (każdy ma szerokość \\(y\\) i głębokość \\(x\\)). Policzymy, ile odcinków siatki potrzebujemy:\n\n| Fragment ogrodzenia | Ilość | Długość | Razem |\n| Ściany zewnętrzne (lewa i prawa) | 2 | \\(x\\) | \\(2x\\) |\n| Ściany zewnętrzne (góra i dół) | 2 | \\(3y\\) | \\(6y\\) |\n| Ściany wewnętrzne (między wybiegami) | 2 | \\(x\\) | \\(2x\\) |\n\n\\[\n4x + 6y = 36\n\\]\n\nDzielimy obie strony przez 2:\n\n\\[\n2x + 3y = 18\n\\]\n\n**Krok 2: Zapisujemy, co maksymalizujemy.**\n\nŁączna suma pól trzech wybiegów:\n\\[\nS = 3 \\cdot x \\cdot y\n\\]\n\nAby maksymalizować \\(3xy\\), wystarczy maksymalizować \\(xy\\).\n\n**Krok 3: Stosujemy nierówność AM-GM.**\n\nMamy dwa wyrażenia: \\(2x\\) i \\(3y\\), których suma jest stała i wynosi 18. Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:\n\n\\[\n\\frac{2x + 3y}{2} \\geq \\sqrt{2x \\cdot 3y}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{18}{2} \\geq \\sqrt{6xy} \\implies 9 \\geq \\sqrt{6xy} \\implies 81 \\geq 6xy \\implies xy \\leq \\frac{81}{6} = \\frac{27}{2}\n\\]\n\n**Krok 4: Kiedy zachodzi równość?**\n\nNierówność AM-GM osiąga równość wtedy i tylko wtedy, gdy obie wartości są równe:\n\n\\[\n2x = 3y\n\\]\n\nŁączymy z równaniem wiązania:\n\n\\[\n\\begin{cases} 2x + 3y = 18 \\\\ 2x = 3y \\end{cases}\n\\]\n\nZ drugiego równania: \\(2x = 3y\\), podstawiamy do pierwszego:\n\n\\[\n3y + 3y = 18 \\implies 6y = 18 \\implies \\boxed{y = 3 \\text{ m}}\n\\]\n\n\\[\n2x = 3 \\cdot 3 = 9 \\implies \\boxed{x = 4{,}5 \\text{ m}}\n\\]\n\n**Wynik:** Maksymalna suma pól podstaw wynosi:\n\\[\nS_{\\max} = 3 \\cdot 4{,}5 \\cdot 3 = \\mathbf{40{,}5 \\text{ m}^2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Pochodna funkcji jednej zmiennej\n\n**Krok 1: Wyrażamy \\(x\\) przez \\(y\\).**\n\nZ równania wiązania \\(2x + 3y = 18\\):\n\\[\nx = \\frac{18 - 3y}{2} = 9 - \\frac{3}{2}y\n\\]\n\nWarunek dziedziny: \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\), co daje \\(0 < y < 6\\).\n\n**Krok 2: Zapisujemy \\(S\\) jako funkcję jednej zmiennej \\(y\\).**\n\n\\[\nS(y) = 3xy = 3 \\cdot \\left(9 - \\frac{3}{2}y\\right) \\cdot y = 3\\left(9y - \\frac{3}{2}y^2\\right) = 27y - \\frac{9}{2}y^2\n\\]\n\n**Krok 3: Liczymy pochodną i przyrównujemy do zera.**\n\n\\[\nS'(y) = 27 - 9y\n\\]\n\n\\[\nS'(y) = 0 \\implies 27 - 9y = 0 \\implies \\boxed{y = 3 \\text{ m}}\n\\]\n\n**Krok 4: Sprawdzamy, że to maksimum.**\n\n\\[\nS''(y) = -9 < 0\n\\]\n\nPochodna drugiego rzędu jest ujemna, więc \\(y = 3\\) daje **maksimum**.\n\n**Krok 5: Obliczamy \\(x\\).**\n\n\\[\nx = 9 - \\frac{3}{2} \\cdot 3 = 9 - \\frac{9}{2} = \\frac{9}{2} = \\boxed{4{,}5 \\text{ m}}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(4x + 6y = 4 \\cdot 4{,}5 + 6 \\cdot 3 = 18 + 18 = 36\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Sposób 1 (AM-GM):**\nNierówność AM-GM nie figuruje wprost w karcie CKE jako wzór, ale jest wynikiem własności arytmetyczno-geometrycznych. **Alternatywnie** można ją zastąpić metodą pochodnej - patrz niżej.\n\n**Sposób 2:**\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)** - pochodna wielomianu:\n\\[\n(ax^2 + bx + c)' = 2ax + b\n\\]\nUżyliśmy tego do wyznaczenia ekstremum funkcji \\(S(y) = 27y - \\frac{9}{2}y^2\\):\n\\[\nS'(y) = 27 - 9y, \\quad S''(y) = -9\n\\]\n\nWarunek \\(S'(y_0) = 0\\) wyznacza kandydata na ekstremum, a \\(S''(y_0) < 0\\) potwierdza, że jest to maksimum.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to niedoliczenie ścian wewnętrznych! Łatwo zapisać tylko obwód zewnętrzny \\(2x + 6y = 36\\) i pominąć dwie ściany wspólne między wybiegami. To zmienia całe równanie wiązania i daje błędny wynik.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy stosowaniu AM-GM pamiętaj, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy **oba wyrażenia są sobie równe**, tj. \\(2x = 3y\\) - nie \\(x = y\\)! Sumujemy wyrażenia \\(2x\\) i \\(3y\\), więc to one muszą być równe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić warunków dziedziny (\\(x > 0\\), \\(y > 0\\)) - w tym zadaniu \\(y \\in (0, 6)\\), więc \\(y = 3\\) leży wewnątrz dziedziny i jest maksimum globalnym, a nie tylko lokalnym.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m**\n\n### Sposób 1 (funkcja jednej zmiennej - CKE Sposób I)\nZ rysunku: długość siatki = \\(4x + 6y = 36\\) (cztery odcinki pionowe o długości \\(x\\) i sześć poziomych po \\(y\\)).\nStąd: \\(y = 6 - \\dfrac{2}{3}x\\).\nSuma pól trzech prostokątów: \\(P = 3xy\\).\nPodstawiamy \\(y\\):\n\\[P(x) = 3x\\left(6 - \\dfrac{2}{3}x\\right) = -2x^{2} + 18x\\]\nDziedzina: \\(x \\in (0, 9)\\).\nParabola w dół, wierzchołek:\n\\[p = -\\dfrac{18}{2 \\cdot (-2)} = \\dfrac{18}{4} = 4{,}5 \\in (0, 9)\\]\nWtedy \\(y = 6 - \\dfrac{2}{3} \\cdot 4{,}5 = 6 - 3 = 3\\).\nMaksimum pola: \\(x = 4{,}5\\) m, \\(y = 3\\) m.\n\n### Sposób 2 (twierdzenie o prostokącie maksymalnym - CKE Sposób VI)\nRozpatrzmy duży prostokąt o bokach \\(2x\\) i \\(3y\\). Jego obwód: \\(4x + 6y = 36\\). Ze wszystkich prostokątów o stałym obwodzie największe pole ma kwadrat: \\(2x = 3y\\).\nUkład:\n\\[\\begin{cases} 4x + 6y = 36 \\\\ 2x = 3y \\end{cases}\\]\nZ drugiego równania: \\(y = \\dfrac{2x}{3}\\). Podstawiamy: \\(4x + 4x = 36\\), \\(x = 4{,}5\\), \\(y = 3\\).\n\n### Sposób 3 (pochodna - CKE Sposób V)\n\\(P(x) = -2x^{2} + 18x\\), \\(P'(x) = -4x + 18\\). \\(P'(x) = 0\\) dla \\(x = 4{,}5\\). Zmiana znaku z \\(+\\) na \\(-\\), więc to maksimum.\n\\(y = 6 - \\dfrac{2}{3} \\cdot 4{,}5 = 3\\).\n\n### Dlaczego inne podejścia błędne\n- Błędna zależność obwodu (np. \\(3x + 4y = 36\\)) → możliwe \\(0\\) pkt, zależnie od konsekwencji.\n- Pomylenie funkcji pola \\(P\\) z sumą boków → \\(0\\) pkt.\n- Rozpatrywanie tylko wartości tabelarycznych bez analizy funkcji → \\(0\\) pkt.\n- Wierzchołek poza dziedziną ale nie uzasadnienie → ograniczenie do \\(2\\) pkt.\n\n**Trik:** Spośród prostokątów o danym obwodzie NAJWIĘKSZE pole ma KWADRAT. Tu traktuj duży prostokąt \\(2x \\times 3y\\) - z obwodem \\(36\\) dostajemy \\(2x = 3y\\), skąd \\(x = 4{,}5\\), \\(y = 3\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}