{"paper":{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":16,"source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nOdległość punktu 𝐴= (6, 2) od prostej o równaniu 5𝑥-12𝑦+ 1 = 0 jest równa\nA. 7\n13\nB. 7\n12\nC. 5\n12\nD. 12\n13","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.1R) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-1)\nRównanie |2𝑥-4| = 3𝑥+ 1 w zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma dokładnie cztery rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.8R) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 1 sierpnia 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. poz. 1698).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = |-(𝑥+ 2)3 + 5| dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. ⟨-2, +∞)\nB. ⟨0, +∞)\nC. ⟨3, +∞)\nD. ⟨5, +∞)","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.2R) szkicuje wykres funkcji określonej\nw różnych przedziałach różnymi wzorami;\nodczytuje własności takiej funkcji z wykresu.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nGranica lim\n𝑥→+∞ 1 + 3𝑎 + 2𝑎𝑥 + 𝑎𝑥3\n3 + 4𝑥 + 5𝑥2 + 5𝑥3 jest równa 3. Wtedy\nA. 𝑎= 3\nB. 𝑎= 9\nC. 𝑎= 15\nD. 𝑎= 21\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.1R) oblicza granice funkcji […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWielomian 𝑊(𝑥) = 8𝑥3 + 14𝑥2 + 5𝑥+ 3 jest iloczynem wielomianów 𝑃(𝑥) = 2𝑥+ 3\noraz 𝑄(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐.\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - wartości współczynników: 𝑎, 𝑏\noraz 𝑐.\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100","answer":"4","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n2.2R) dzieli wielomiany przez dwumian\n𝑎𝑥+ 𝑏.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n4\n1\n1\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nWykaż, że jeżeli log54 = 𝑎 oraz log43 = 𝑏, to log1280 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n1.2R) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia 2log5 4 + log43\nlog54 ⋅(1 + log43) lub log12 80, lub obydwu tych\nwyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nlogarytm iloczynu lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub logarytmu potęgi\noraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać\ntezę\nALBO\n- zapisanie jednego równania wymiernego z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥, np.\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 5 w postaci 4\n1\n𝑎 oraz liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, np.\nlog12 80 = log4 80\nlog4 12 , log12 80 = log5 80\nlog5 12 , 2 ⋅log5 4 + 1 = log5(4 ⋅4 ⋅5),\n1 + log4 3 = log4(4 ⋅3)\nALBO\n- zapisanie dwóch spośród liczb 3, 4, 5 jako potęgi, której podstawą jest trzecia\nz nich, a wykładnik jest zależny od 𝑎 lub 𝑏, np.: 5 = 4\n1\n𝑎 i 3 = 4𝑏 oraz zapisanie\nrównania 12𝑥= 80 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 4 w postaci 12\n1\n1+𝑏\n(dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie log12 80, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,\na następnie wzór na logarytm iloczynu:\nlog12 80 = log4(16 ⋅5)\nlog4(4 ⋅3) = log4 16 + log4 5\nlog4 4 + log4 3 = 2 + log4 5\n1 + log4 3\nKorzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy\nlog4 5 = log5 5\nlog5 4 =\n1\nlog5 4 = 1\n𝑎\nZatem\nlog12 80 = 2 + log4 5\n1 + log4 3 =\n2 +\n1\n𝑎\n1 + 𝑏=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) , korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm\nsumy:\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏) =\n2 ⋅log5 4 + 1\nlog5 4 ⋅(1 + log4 3) =\nlog5(4 ⋅4 ⋅5)\nlog5 4 ⋅log4(4 ⋅3) =\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12\nKorzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej\nlog5 80\nlog5 4 ⋅log4 12 = log4 80\nlog4 12 = log12 80\nZatem log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób III\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏.\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 12𝑥= 80. Wtedy\n3𝑥⋅4𝑥= 80\n(4𝑏)𝑥⋅4𝑥= 4\n1\n𝑎 ⋅42\n4𝑏𝑥+𝑥= 4\n1\n𝑎+2\nStąd\n𝑏𝑥+ 𝑥= 1\n𝑎+ 2\n𝑥(1 + 𝑏) = 2𝑎+ 1\n𝑎\n𝑥=\n2𝑎+ 1\n𝑎⋅(1 + 𝑏)\nZatem log12 80 = 𝑥=\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 5 = 4\n1\n𝑎 oraz 3 = 4𝑏. Stąd\n12 = 4𝑏+1, czyli 4 = 12\n1\n1+𝑏\n.Zatem\n80 = 5 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 ⋅42 = 4\n1\n𝑎 +2\n= (12\n1\n1+𝑏\n)\n1\n𝑎 +2\n= 12\n2𝑎+1\n𝑎⋅(1+𝑏)\nczyli log12 80 =\n2𝑎 + 1\n𝑎 ⋅ (1 + 𝑏) .\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nDany jest czworokąt wypukły 𝐴𝐵𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐶 oraz 𝐵𝐷 tego czworokąta przecinają\nsię w punkcie 𝑆.\nWykaż, że jeżeli\n|𝐴𝑆|\n|𝐷𝑆| =\n|𝐵𝑆|\n|𝐶𝑆| , to na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj. zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są\npodobne, zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne, zapisanie równości miar\nodpowiednich kątów tych trójkątów, zapisanie równości\n|∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| i sformułowanie wniosku, że na\nczworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.\n2 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐷| = |∡𝑆𝐵𝐶|\ni |∡𝑆𝐷𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐵|\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne oraz |∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶|\ni |∡𝑆𝐵𝐴| = |∡𝑆𝐶𝐷|.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb\nALBO\n- zapisanie, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Zdający, przeprowadzając pełne rozumowanie, może także zapisać, że dowolne dwa\nkolejne wierzchołki czworokąta leżą po tej samej stronie prostej wyznaczonej przez dwa\npozostałe wierzchołki, np. 𝐶 i 𝐷 leżą po tej samej stronie prostej 𝐴𝐵, gdyż czworokąt\n𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wypukły. Stąd i z równości kątów 𝐴𝐶𝐵 i 𝐴𝐷𝐵 (wynikającej z podobieństwa\ntrójkątów 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶) zapisze wniosek, że punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 leżą na jednym okręgu.\n2. Nie akceptujemy rozumowania, w którym zdający powołuje się na twierdzenie odwrotne\ndo twierdzenia o siecznych, gdyż zadanie to w istocie wymaga przeprowadzenia dowodu\ntego twierdzenia w przypadku, gdy punkt przecięcia siecznych leży wewnątrz okręgu.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKąty 𝐴𝑆𝐷 oraz 𝐵𝑆𝐶 są wierzchołkowe, więc |∡𝐴𝑆𝐷| = |∡𝐵𝑆𝐶|. Stąd i z założenia\n|𝐴𝑆|\n|𝐷𝑆| =\n|𝐵𝑆|\n|𝐶𝑆| wnioskujemy, że trójkąty 𝐴𝑆𝐷 i 𝐵𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb.\nZatem\n(1)\n|∡𝐷𝐴𝑆| = |∡𝐶𝐵𝑆| oraz |∡𝐴𝐷𝑆| = |∡𝐵𝐶𝑆|.\nKąty 𝐴𝑆𝐵 oraz 𝐷𝑆𝐶 są wierzchołkowe, więc |∡𝐴𝑆𝐵| = |∡𝐷𝑆𝐶|. Stąd i z założenia\n|𝐴𝑆|\n|𝐷𝑆| =\n|𝐵𝑆|\n|𝐶𝑆| wnioskujemy, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐷𝑆𝐶 są podobne na mocy cechy bkb. Zatem\n(2)\n|∡𝑆𝐴𝐵| = |∡𝑆𝐷𝐶| oraz |∡𝐴𝐵𝑆| = |∡𝐷𝐶𝑆|.\nZe związków (1) oraz (2) otrzymujemy\n|∡𝐷𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝐷| = |∡𝐷𝐴𝑆| + |∡𝑆𝐴𝐵| + |∡𝐵𝐶𝑆| + |∡𝐷𝐶𝑆| =\n= |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑆𝐷𝐶| + |∡𝐴𝐷𝑆| + |∡𝐴𝐵𝑆| =\n= |∡𝐴𝐵𝑆| + |∡𝐶𝐵𝑆| + |∡𝑆𝐷𝐶| + |∡𝐴𝐷𝑆| =\n= |∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴|\nStąd i z twierdzenia o okręgu opisanym na czworokącie wnioskujemy, że na czworokącie\n𝐴𝐵𝐶𝐷 można opisać okrąg.\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"8","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne, w których zapisie dziesiętnym nie powtarza się\njakakolwiek cyfra oraz dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie cyfry są parzyste.\nOblicz, ile jest wszystkich takich liczb.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n10.1R) wykorzystuje wzory na liczbę\npermutacji, kombinacji, wariacji i wariacji\nz powtórzeniami do zliczania obiektów\nw sytuacjach kombinatorycznych.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 11 040.\n2 pkt - zapisanie 𝐿1 : (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1)\nALBO\n- zapisanie 𝐿2 : (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! oraz zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2),\nALBO\n- zapisanie 𝑃 : 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑁: 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera,\nnp. liczba ciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+: 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których żaden wyraz nie jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑛, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑝), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 5 ⋅4 ⋅3 ⋅4 ⋅3,\nALBO\n- zapisanie 𝑍-: 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych\nw jednym z przypadków, w których jeden z wyrazów jest równy zero, np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑛, 0), gdzie 𝑝∈{2, 4, 6, 8}, jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅1.\n1 pkt - zapisanie 𝐿1 (lub 𝐿2), np. 𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!, 𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nALBO\n- zapisanie 𝑃 (lub 𝑁), np. 𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!, 𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!,\nALBO\n- zapisanie 𝑍+ (lub 𝑍-), np. 𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840,\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200,\nALBO\n- zapisanie liczby zbiorów pięcioelementowych złożonych z trzech cyfr nieparzystych\ni dwóch cyfr parzystych: (5\n3) ⋅(5\n2) oraz zapisanie liczby zbiorów czteroelementowych\nzłożonych z trzech cyfr nieparzystych i jednej cyfry parzystej różnej od zera: (5\n3) ⋅(4\n1),\nALBO\n- zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym z przypadków, w których\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą (np. liczba ciągów postaci (𝑛, 𝑝, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest\nrówna 5 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3) oraz zapisanie liczby ciągów pięciowyrazowych w jednym\nz przypadków, w których pierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera (np. liczba\nciągów postaci (𝑝, 𝑛, 𝑛, 𝑝, 𝑛) jest równa 4 ⋅5 ⋅4 ⋅4 ⋅3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje liczby inne niż pięciocyfrowe, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝐿1 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\ntrzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry\nspośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem\n𝐿1 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5!\nNiech 𝐿2 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste\ni jedna cyfra parzysta.\nAby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną\ncyfrę spośród cyfr: 2, 4, 6, 8, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku\nciągu ustawić cyfrę 0. Zatem\n𝐿2 = (5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝐿1 -𝐿2 = (5\n3) ⋅(5\n2) ⋅5! -(5\n3) ⋅(4\n1) ⋅4! = 10 ⋅10 ⋅120 -10 ⋅4 ⋅24 = 11 040\nSposób II\nNiech 𝑃 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą parzystą różną od zera, a wśród pozostałych wyrazów są\ntrzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na cztery sposoby (wybieramy jedną cyfrę\nparzystą spośród 2, 4, 6, 8). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór jednej cyfry\nparzystej spośród czterech, trzech cyfr nieparzystych spośród pięciu, a następnie ustawienie\nwybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑃= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4!\nNiech 𝑁 będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:\nwyrazy są cyframi, parami różnymi\npierwszy wyraz jest cyfrą nieparzystą, a wśród pozostałych wyrazów są dwie cyfry\nnieparzyste i dwie cyfry parzyste.\nPierwszy wyraz takiego ciągu można ustalić na pięć sposobów (wybieramy jedną cyfrę\nnieparzystą spośród pięciu). Pozostałe wyrazy można ustalić poprzez wybór dwóch cyfr\nparzystych spośród pięciu, dwóch cyfr nieparzystych spośród czterech, a następnie\nustawienie wybranych czterech cyfr na ostatnich czterech pozycjach w ciągu. Zatem\n𝑁= 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4!\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy\ncyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest\n𝑃+ 𝑁= 4 ⋅(4\n1) ⋅(5\n3) ⋅4! + 5 ⋅(5\n2) ⋅(4\n2) ⋅4! = 4 ⋅4 ⋅10 ⋅24 + 5 ⋅10 ⋅6 ⋅24 = 11 040\nSposób III\nRozważmy dwa przypadki:\n1. Gdy w zapisie liczby występuje cyfra zero. Cyfrę tę możemy wstawić na jedno z 4 miejsc.\nMiejsce dla drugiej, różnej od zera cyfry parzystej możemy wybrać na 4 sposoby, a na\nwybranym miejscu możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr parzystych. Na pierwsze\nz pozostałych trzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na\ndrugie z pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍+ wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍+ = 4 ⋅4 ⋅4 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 3 840\n2. Gdy w zapisie liczby nie występuje cyfra zero. Dwa miejsca dla cyfr parzystych możemy\nwybrać na (5\n2) = 10 sposobów. Na pierwsze z wybranych dwóch miejsc możemy\nwstawić jedną z 4 cyfr parzystych, a na drugie - jedną z 3. Na pierwsze z pozostałych\ntrzech wolnych miejsc możemy wstawić jedną z 5 cyfr nieparzystych, na drugie\nz pozostałych dwóch wolnych miejsc możemy wstawić jedną z pozostałych 4 cyfr\nnieparzystych, a na ostatnim wolnym miejscu - jedną z pozostałych 3 cyfr nieparzystych.\nZatem liczba 𝑍- wszystkich rozpatrywanych liczb w tym przypadku jest równa\n𝑍-= 10 ⋅4 ⋅3 ⋅5 ⋅4 ⋅3 = 7 200\nStąd wszystkich rozważanych liczb jest 𝑍+ + 𝑍-= 3 840 + 7 200 = 11 040.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 - 3𝑥 + 2\n𝑥\ndla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 różnej od zera. Punkt 𝑃, o pierwszej współrzędnej\nrównej 2, należy do wykresu funkcji 𝑓. Prosta o równaniu 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 jest styczna do\nwykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃.\nOblicz współczynniki 𝑎 oraz 𝑏 w równaniu tej stycznej.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.\n9.\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n11.2R) oblicza pochodne funkcji\nwymiernych;\n11.3R) korzysta z geometrycznej\ninterpretacji pochodnej.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 7\n2 oraz 𝑏= -5.\n2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝑃:\n𝑎= 𝑓′(2) = 7\n2 .\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓, np. 𝑓′(𝑥) =\n(3𝑥2-3)⋅𝑥-(𝑥3-3𝑥+2)⋅1\n𝑥2\n,\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥+ 2 ⋅(-1\n𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający błędnie zastosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub błędnie obliczy\npochodną funkcji 𝑦= 𝑥3 -3𝑥+ 2, lub 𝑦= 𝑥, to może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie, o ile nie popełni błędu w obliczaniu współczynnika 𝑎 oraz 𝑏.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = (3𝑥2 -3) ⋅𝑥-(𝑥3 -3𝑥+ 2) ⋅1\n𝑥2\n𝑓′(𝑥) = 2𝑥3 -2\n𝑥2\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 w równaniu stycznej:\n𝑎= 𝑓′(2) = 7\n2\nObliczamy współczynnik 𝑏 w równaniu stycznej:\n𝑓(2) = 7\n2 ∙2 + 𝑏\n2 = 7 + 𝑏\n𝑏= -5\nWspółczynniki w równaniu stycznej są równe: 𝑎= 7\n2 oraz 𝑏= -5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nSpośród wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których wszystkie cyfry należą do\nzbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, losujemy jedną. Wylosowanie każdej z tych liczb jest jednakowo\nprawdopodobne.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę, która\nma następującą własność: kolejne cyfry tej liczby (licząc od lewej strony) tworzą - w podanej\nkolejności - sześciowyrazowy ciąg malejący.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.1R) wykorzystuje wzory na liczbę […]\nkombinacji […].\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 28\n86 =\n7\n65536 .\n2 pkt - zapisanie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych oraz zapisanie liczby |𝐴|\nwszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np. |Ω| = 86 oraz\n|𝐴| = (8\n6)\nALBO\n- zapisanie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wypisanie wszystkich\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego\nzdarzenia niewłaściwego, np. |Ω| = 86 oraz\n𝐴= {876543, 876542, 876541, 876532, 876531, 876521, 876432, 876431,\n876421, 876321, 875432, 875431, 875421, 875321, 874321, 865432,\n865431, 865421, 865321, 864321, 854321, 765432, 765431, 765421,\n765321, 764321, 754321, 654321}.\n1 pkt - zapisanie liczby |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych: np. |Ω| = 86\nALBO\n- zapisanie liczby |𝐴| wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\nnp. |𝐴| = (8\n6),\nALBO\n- wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴\ni niewypisanie żadnego zdarzenia niewłaściwego:\n654321, 765432, 765321, 876543, 875432, 865432, 864321, 854321,\n765431, 764321, 876542, 875431, 865431,\n765421, 754321, 876541, 875421, 865421,\n876532, 875321, 865321,\n876531, 874321,\n876521,\n876432,\n876431,\n876421,\n876321.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniem elementarnym jest sześciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru\n{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, więc liczba |Ω| wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa\n|Ω| = 86.\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowano liczbę, której druga cyfra\n(licząc od lewej strony) jest mniejsza od pierwszej, a każda następna cyfra tej liczby jest\nmniejsza od poprzedniej. Wtedy zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴 jest\nsześciowyrazowy ciąg malejący. Liczba wszystkich takich ciągów jest równa (8\n6), więc\n|𝐴| = (8\n6).\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| =\n(8\n6)\n86 =\n28\n262 144 =\n7\n65536\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nTrzywyrazowy ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest\nrówna 105. Liczby 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 są - odpowiednio - pierwszym, drugim oraz szóstym\nwyrazem ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), określonego dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nOblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n11.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania (dla sposobu I i II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\nALBO\n- poprawne wyznaczenie 𝑟 w zależności od 𝑥 z równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟):\n𝑟= 3𝑥.\n2 pkt - zapisanie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧 w zależności od 𝑟: 𝑥= 35 -2𝑟, 𝑦= 35 -𝑟, 𝑧= 35 + 3𝑟\nALBO\n- zapisanie układu równań\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟) lub\n𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105 i 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105\n1 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\nALBO\n- zapisanie równania (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟),\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟+ 𝑥⋅(𝑥 + 5𝑟\n𝑥 + 𝑟)\n2\n= 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑦, np. 𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦).\n2 pkt - zapisanie 𝑥 oraz 𝑧 w zależności od 𝑦: 𝑥= 2𝑦-35, 𝑧= 140 -3𝑦.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦 lub 𝑦2 = 𝑥𝑧, lub 5(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑥.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu IV)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\n3 pkt - zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nALBO\n- zapisanie równania 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest\nrosnący, więc 𝑥≠0, oraz zapisanie równania 𝑞2 -5𝑞+ 4 = 0.\n2 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz zapisanie, że ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧)\njest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1, oraz obliczenie 𝑞: 𝑞= 4\nALBO\n- zapisanie równań 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n1 pkt - zapisanie równania 4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞 lub 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający dzieli obie strony otrzymanego równania przez wyrażenie zawierające\nniewiadomą i nie umieszcza zapisu, że to wyrażenie jest różne od zera, oraz\nkonsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np. 𝑎1 + 𝑎1 + 5𝑟\n2\n⋅6 = 105,\n𝑦-𝑥= 4 ⋅(𝑧-𝑦) i rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie (za spełnienie kryterium z kategorii za 1 pkt oraz za\nobliczenie 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧).\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\n𝑥+ 2𝑟= 35\n𝑥= 35 -2𝑟\nZatem 𝑦= 35 -2𝑟+ 𝑟= 35 -𝑟 oraz 𝑧= 35 -2𝑟+ 5𝑟= 35 + 3𝑟.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\n(35 -𝑟)2 = (35 -2𝑟) ⋅(35 + 3𝑟)\n352 -70𝑟+ 𝑟2 = 352 + 35𝑟-6𝑟2\n7𝑟2 -105𝑟= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 15\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 15 otrzymujemy 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80. Ciąg (5, 20, 80) jest geometryczny\ni rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są -\nodpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego\nwzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nNiech 𝑟 będzie różnicą ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Wtedy 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟.\nPonieważ 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc\n𝑥+ (𝑥+ 𝑟) + (𝑥+ 5𝑟) = 105\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy\n𝑦2 = 𝑥⋅𝑧\nPonieważ 𝑦= 𝑥+ 𝑟 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟, więc\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟)\nZatem otrzymujemy układ dwóch równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟:\n{ 𝑥+ 𝑥+ 𝑟+ 𝑥+ 5𝑟= 105\n(𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥(𝑥+ 5𝑟)\nZe związku (𝑥+ 𝑟)2 = 𝑥⋅(𝑥+ 5𝑟) otrzymujemy kolejno:\n𝑥2 + 2𝑥𝑟+ 𝑟2 = 𝑥2 + 5𝑥𝑟\n𝑟2 -3𝑟𝑥= 0\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 3𝑥\nDla 𝑟= 0 otrzymujemy 𝑥= 𝑦= 𝑧, więc warunki zadania nie są spełnione.\nDla 𝑟= 3𝑥 otrzymujemy\n{3𝑥+ 6𝑟= 105\n𝑟= 3𝑥\nRozwiązaniem tego układu równań jest para liczb { 𝑥= 5\n𝑟= 15\nStąd 𝑦= 𝑥+ 𝑟= 5 + 15 = 20 oraz 𝑧= 𝑥+ 5𝑟= 5 + 75 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem ostatecznie 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób III\nZ warunków zadania oraz z własności ciągów geometrycznego i arytmetycznego\notrzymujemy zależności między 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧:\n𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105\n𝑦2 = 𝑥𝑧\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\nRozwiązujemy układ tych trzech równań:\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 105 -𝑥-𝑦-𝑦\n{\n𝑧= 105 -𝑥-𝑦\n𝑦2 = 𝑥⋅(105 -𝑥-𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n𝑦2 = (2𝑦-35) ⋅(140 -3𝑦)\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 140 -3𝑦\n7𝑦2 -385𝑦+ 4900 = 0\n𝑥= 2𝑦-35\n{\n𝑧= 80\n𝑦= 20\n𝑥= 5\n∨ {\n𝑧= 35\n𝑦= 35\n𝑥= 35\nDla 𝑥= 𝑦= 𝑧= 35 warunki zadania nie są spełnione.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nSposób IV\nNiech 𝑞 będzie ilorazem ciągu geometrycznego (𝑥, 𝑦, 𝑧). Wtedy 𝑦= 𝑥⋅𝑞 oraz\n𝑧= 𝑥⋅𝑞2. Z warunków zadania oraz własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy\n4 ⋅(𝑦-𝑥) = 𝑧-𝑦\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\nPonieważ ciąg (𝑥, 𝑦, 𝑧) jest rosnący, więc 𝑥≠0 i 𝑞≠1. Zatem\n4 ⋅(𝑥⋅𝑞-𝑥) = 𝑥⋅𝑞2 -𝑥⋅𝑞\n4 ⋅𝑥⋅(𝑞-1) = 𝑥⋅𝑞⋅(𝑞-1)\n4 = 𝑞\nZ warunków zadania 𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 105, więc 𝑥+ 𝑥⋅𝑞+ 𝑥⋅𝑞2 = 105 i dalej\n𝑥+ 𝑥⋅4 + 𝑥⋅42 = 105. Stąd otrzymujemy 𝑥= 5. Wówczas 𝑦= 5 ⋅4 = 20 oraz\n𝑧= 5 ⋅42 = 80.\nCiąg (5, 20, 80) jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105.\nPonadto wyrazy tego ciągu są - odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu\narytmetycznego określonego wzorem 𝑎𝑛= 5 + 15𝑛, gdzie 𝑛∈ℕ+.\nZatem 𝑥= 5, 𝑦= 20, 𝑧= 80.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\nw zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.5R) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy\ni różnicy kątów, sumę i różnicę sinusów\ni cosinusów kątów;\n6.6R) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne typu sin 2𝑥= 1\n2 ,\nsin 2𝑥+ cos 𝑥= 1, sin 𝑥+ cos 𝑥= 1.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i poprawne wyniki: 𝜋\n4 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 oraz 11𝜋\n6 .\n3 pkt - rozwiązanie równań sin 𝑥= cos 𝑥 oraz sin 𝑥= -1\n2 w zbiorze ℝ: 𝜋\n4 + 𝑘⋅𝜋 oraz\n7𝜋\n6 + 2𝑘⋅𝜋 i 11𝜋\n6 + 2𝑘⋅𝜋, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- rozwiązanie równania sin 𝑥= cos 𝑥 (lub równania sin 𝑥= -1\n2) w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩:\n𝜋\n4 oraz 5𝜋\n4 (lub: 7𝜋\n6 oraz 11𝜋\n6 ).\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 do\npostaci (sin 𝑥-cos 𝑥)(2 sin 𝑥+ 1) = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający podczas przekształcania równania sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\npodzieli obie strony równania przez (cos 𝑥-sin 𝑥) bez stosownych założeń\ni konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzekształcamy równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 równoważnie,\nkorzystając ze wzorów na sinus oraz cosinus podwojonego kąta, i otrzymujemy:\nsin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\n2 sin 𝑥⋅cos 𝑥+ cos2 𝑥-sin2 𝑥= 1 + sin 𝑥-cos 𝑥\ncos2 𝑥-sin2 𝑥= 1 -2 sin 𝑥⋅cos 𝑥+ sin 𝑥-cos 𝑥\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)2 + sin 𝑥-cos 𝑥+ sin2 𝑥-cos2 𝑥\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)2 + (sin 𝑥-cos 𝑥) + (sin 𝑥-cos 𝑥)(sin 𝑥+ cos 𝑥)\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)(sin 𝑥-cos 𝑥+ 1 + sin 𝑥+ cos 𝑥)\n0 = (sin 𝑥-cos 𝑥)(2 sin 𝑥+ 1)\nsin 𝑥= cos 𝑥 lub sin 𝑥= -1\n2\nRozwiązujemy równanie sin 𝑥= cos 𝑥 w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩.\nZauważmy, że gdyby cos 𝑥= 0 , to wtedy sin 𝑥= cos 𝑥= 0, więc po podstawieniu tych\nwartości sinusa i cosinusa do tożsamości sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1 otrzymalibyśmy 0 + 0 = 1.\nZatem cos 𝑥≠0.\nDzielimy obie strony równania sin 𝑥= cos 𝑥 przez cos 𝑥 i otrzymujemy tg 𝑥= 1.\nRównanie to ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ dwa rozwiązania: 𝜋\n4 oraz 5𝜋\n4 .\nRównanie sin 𝑥= -1\n2 ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ dwa rozwiązania: 7𝜋\n6 oraz 11𝜋\n6 .\nOstatecznie równanie sin(2𝑥) + cos(2𝑥) = 1 + sin 𝑥-cos 𝑥 ma w zbiorze ⟨0, 2𝜋⟩ cztery\nrozwiązania: 𝜋\n4 , 7𝜋\n6 , 5𝜋\n4 oraz 11𝜋\n6 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-4)\nPromień okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 jest równy 17. Najdłuższym bokiem tego\ntrójkąta jest bok 𝐴𝐶, a długości dwóch pozostałych boków są równe |𝐴𝐵| = 30 oraz\n|𝐵𝐶| = 17. Oblicz miarę kąta 𝐵𝐴𝐶 oraz długość boku 𝐴𝐶 tego trójkąta.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n13.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4R) znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich z zastosowaniem twierdzenia\nsinusów i twierdzenia cosinusów.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 15√3 + 8 (lub\n√739 + 240√3).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐴𝐶), np.\n172 = |𝐴𝐶|2 + 302 -2 ⋅30 ⋅|𝐴𝐶| ⋅\n√3\n2 ,\n|𝐴𝐶|2 = 302 + 172 -2 ⋅30 ⋅17 ⋅15-8√3\n34\n,\n302 = |𝐴𝐶|2 + 172 -2 ⋅|𝐴𝐶| ⋅17 ⋅8\n17\nALBO\n- obliczenie długości odcinków 𝐵𝐷 oraz 𝐴𝐷: |𝐵𝐷| = 15 oraz |𝐴𝐷| = 15√3 (dla\nsposobu II),\nALBO\n- obliczenie sinusa kąta 𝐴𝐵𝐶: 15√3+8\n34\n(dla sposobu III).\n2 pkt - obliczenie miary kąta 𝐵𝐴𝐶: 30°.\n1 pkt - zapisanie, że kąt 𝐵𝑆𝐶 ma miarę 60°\nALBO\n- zapisanie równania, w którym jedyną niewiadomą jest miara kąta 𝐵𝐴𝐶 (lub miara\nkąta 𝐴𝐶𝐵), np.\n17\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 34,\n30\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 34, 1\n2 ⋅30 ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 30⋅17\n4⋅17 ,\nALBO\n- zapisanie układu równań: |𝐴𝐶|2 = 302 + 172 -2 ⋅30 ⋅17 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|𝐴𝐶|\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = 34.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy przez 𝑆 środek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶, a przez 𝑅 - promień tego\nokręgu. Ponieważ 𝑅= 17 oraz |𝐵𝐶| = 17, więc trójkąt 𝐵𝑆𝐶 jest równoboczny. Punkt 𝐴\nleży na dłuższym z łuków 𝐵𝐶 okręgu opisanego na trójkącie, gdyż gdyby leżał na krótszym,\nto wtedy odcinek 𝐵𝐶 byłby najdłuższym bokiem trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Zatem miara kąta wpisanego\n𝐵𝐴𝐶 jest połową miary kąta 𝐵𝑆𝐶 trójkąta równobocznego, czyli |∡𝐵𝐴𝐶| = 30°.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie cosinusów i obliczamy długość boku 𝐴𝐶:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐴𝐶|2 + |𝐴𝐵|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶|\n172 = |𝐴𝐶|2 + 302 -2 ⋅30 ⋅|𝐴𝐶| ⋅√3\n2\n|𝐴𝐶|2 -30√3 ⋅|𝐴𝐶| + 611 = 0\n|𝐴𝐶| = 15√3 + 8 ∨ |𝐴𝐶| = 15√3 -8\nPonieważ 15√3 -8 < 30, więc ostatecznie |𝐴𝐶| = 15√3 + 8.\nSposób II\nOznaczmy przez 𝑆 środek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶, a przez 𝑅 - promień tego\nokręgu.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅\n17\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 34\nStąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 30° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 150°. Ponieważ bok 𝐵𝐶 nie jest najdłuższym bokiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶, więc kąt leżący naprzeciw tego boku nie może być rozwarty. Zatem\n|∡𝐵𝐴𝐶| = 30°.\nNiech 𝐷 będzie spodkiem wysokości poprowadzonej w trójkącie 𝐴𝐵𝐶 z wierzchołka 𝐵 na\nbok 𝐴𝐶 (zobacz rysunek).\nKorzystamy ze związków miarowych dla trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° i otrzymujemy\n|𝐵𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| = 15 oraz |𝐴𝐷| =\n√3\n2 ⋅|𝐴𝐵| = 15√3.\nStosujemy do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy\n|𝐶𝐷| = √|𝐶𝐵|2 -|𝐵𝐷|2 = √172 -152 = 8\nZatem |𝐴𝐶| = |𝐴𝐷| + |𝐶𝐷| = 15√3 + 8.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑆\n30°\n30\n17\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nOznaczmy przez 𝑆 środek okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶, a przez 𝑅 - promień tego\nokręgu.\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 2𝑅\n17\nsin|∡𝐵𝐴𝐶| = 34\nStąd |∡𝐵𝐴𝐶| = 30° lub |∡𝐵𝐴𝐶| = 150°. Ponieważ bok 𝐵𝐶 nie jest najdłuższym bokiem\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶, więc kąt leżący naprzeciw tego boku nie może być rozwarty. Zatem\n|∡𝐵𝐴𝐶| = 30°.\nPonownie stosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i obliczamy sinus kąta 𝐴𝐶𝐵:\n|𝐴𝐵|\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 2𝑅\n30\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 34\nsin|∡𝐴𝐶𝐵| = 15\n17\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej i otrzymujemy\nsin2|∡𝐴𝐶𝐵| + cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1\n(15\n17)\n2\n+ cos2|∡𝐴𝐶𝐵| = 1\ncos|∡𝐴𝐶𝐵| = 8\n17 ∨ cos|∡𝐴𝐶𝐵| = -8\n17\nPonieważ 𝐴𝐵 nie jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc kąt 𝐴𝐶𝐵 nie jest rozwarty\ni dlatego cos |∡𝐴𝐶𝐵| = 8\n17 .\nObliczamy sin |∡𝐴𝐵𝐶|:\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = sin(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = sin(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =\n= sin|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅cos|∡𝐵𝐴𝐶| =\n= 1\n2 ⋅8\n17 + 15\n17 ⋅√3\n2 = 15√3 + 8\n34\nStosujemy do trójkąta 𝐴𝐵𝐶 twierdzenie sinusów i otrzymujemy\n|𝐴𝐶|\nsin|∡𝐴𝐵𝐶| = 2𝑅\n|𝐴𝐶| = 2𝑅⋅sin|∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶| = 34 ⋅15√3 + 8\n34\n= 15√3 + 8\nUwaga:\nPo obliczeniu cos |∡𝐴𝐶𝐵| można obliczyć cos |∡𝐴𝐵𝐶|:\ncos|∡𝐴𝐵𝐶| = cos(180° -|∡𝐵𝐴𝐶| -|∡𝐴𝐶𝐵|) = -cos(|∡𝐵𝐴𝐶| + |∡𝐴𝐶𝐵|) =\n= -cos|∡𝐵𝐴𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐶𝐵| + sin|∡𝐴𝐶𝐵| ⋅sin|∡𝐵𝐴𝐶| =\n= -√3\n2 ⋅8\n17 + 15\n17 ⋅1\n2 = 15 -8√3\n34\nPo zastosowaniu twierdzenia cosinusów otrzymujemy:\n|𝐴𝐶|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝐶|2 -2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅|𝐵𝐶| ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|\n|𝐴𝐶|2 = 302 + 172 -2 ⋅30 ⋅17 ⋅15 -8√3\n34\n|𝐴𝐶| = √739 + 240√3\n|𝐴𝐶| = √(8 + 15√3)\n2\n|𝐴𝐶| = 8 + 15√3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nŚrodek 𝑆 okręgu o promieniu √5 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 1. Przez punkt\n𝐴= (1, 2), którego odległość od punktu 𝑆 jest większa od √5, poprowadzono dwie proste\nstyczne do tego okręgu w punktach - odpowiednio - 𝐵 i 𝐶. Pole czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest\nrówne 15.\nOblicz współrzędne punktu 𝑆. Rozważ wszystkie przypadki.\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n14.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\n8.1R) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑆= (6, 7) oraz 𝑆= (-4, -3).\n4 pkt - obliczenie obydwu wartości 𝑥𝑆: 6 oraz (-4)\nALBO\n- obliczenie obydwu współrzędnych punktu 𝑆 tylko dla jednego przypadku: 𝑆= (6, 7)\nalbo 𝑆= (-4, -3).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (współrzędną punktu 𝑆), np.\n(𝑥𝑆-1)2 + (𝑥𝑆+ 1 -2)2 = 50,\n|2𝑥𝑆 - (𝑥𝑆 + 1)|\n√22+ (-1)2\n= √5,\n(𝑥𝑆-(-5))2 + (𝑥𝑆+ 1 -(-1))2 = 5,\n(𝑥𝑆-(-2))2 + (𝑥𝑆+ 1 -(-4))2 = 5,\n(𝑥𝑆-4)2 + (𝑥𝑆+ 1 -8)2 = 5,\n(𝑥𝑆-7)2 + (𝑥𝑆+ 1 -5)2 = 5.\n2 pkt - obliczenie długości 𝑚 odcinka 𝐴𝐵 (lub 𝐴𝐶) stycznej: 3√5\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝑆: |𝐴𝑆| = 5√2.\n1 pkt - zapisanie współrzędnych punktu 𝑆 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝑆= (𝑥, 𝑥+ 1)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością 𝑚 odcinka 𝐴𝐵 stycznej), np.\n15 = 2 ⋅1\n2 ⋅𝑚⋅√5,\nALBO\n- zapisanie układ trzech równań:\n|𝑧|2 = 𝑎2 + 𝑎2 -2𝑎⋅𝑎⋅cos 𝛼 oraz\n|𝑧|2 = (√5)2 + (√5)2 -2√5 ⋅√5 ⋅cos(180° -𝛼) oraz\n15 = 1\n2 ⋅𝑎2 ⋅sin 𝛼+ 1\n2 ⋅(√5)\n2 ⋅sin(180° -𝛼),\ngdzie 𝑧= |𝐵𝐶|, 𝑎= |𝐴𝐵|, 𝛼= |∡𝐵𝐴𝐶|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający pomija współczynnik 1\n2 we wzorze na pole trójkąta lub deltoidu, to błąd ten\ntraktujemy jako błąd rachunkowy.\n2. Jeżeli zdający rozwiąże zadanie do końca, ale otrzyma więcej niż dwa punkty 𝑆, to może\notrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPromienie 𝐵𝑆 oraz 𝐶𝑆 okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do\nstycznych - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶, więc trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆 są prostokątne.\nPonadto odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 mają równe długości, więc trójkąty te są przystające (na\npodstawie cechy bbb przystawania trójkątów). Oznaczmy 𝑚= |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| (zobacz\nrysunek).\nPole 𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest sumą pól trójkątów przystających 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆, więc\n𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶= 𝑃𝐴𝐵𝑆+ 𝑃𝐴𝐶𝑆\n15 = 2 ⋅1\n2 ⋅ 𝑚⋅√5\n𝑚= 3√5\nZ twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta 𝐴𝐵𝑆 otrzymujemy\n|𝐴𝑆|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐵𝑆|2 = (3√5)\n2 + (√5)\n2 = 50\nNiech 𝑥𝑆 będzie pierwszą współrzędną punktu 𝑆. Punkt 𝑆 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥+ 1, więc 𝑆= (𝑥𝑆 , 𝑥𝑆+ 1).\nWtedy\n(𝑥𝑆-1)2 + (𝑥𝑆+ 1 -2)2 = 50\nStąd dalej otrzymujemy\n(𝑥𝑆-1)2 = 25\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n𝑦\n1\n1\nξ5\n𝑚\n𝑚\nξ5\n𝑦= 𝑥+ 1\n𝐴\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n|𝑥𝑆-1| = 5\n𝑥𝑆= 6 ∨ 𝑥𝑆= -4\nZatem 𝑆= (6, 7) lub 𝑆= (-4, -3).\nSposób II\nPromienie 𝐵𝑆 oraz 𝐶𝑆 okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do\nstycznych - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶, więc trójkąty 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆 są prostokątne.\nPonadto odcinki 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 mają równe długości, więc trójkąty te są przystające (na\npodstawie cechy bbb przystawania trójkątów). Oznaczmy 𝑚= |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| (zobacz\nrysunek).\nPole 𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶 czworokąta 𝐴𝐵𝑆𝐶 jest sumą pól trójkątów przystających 𝐴𝐵𝑆 oraz 𝐴𝐶𝑆, więc\n𝑃𝐴𝐵𝑆𝐶= 𝑃𝐴𝐵𝑆+ 𝑃𝐴𝐶𝑆\n15 = 2 ⋅1\n2 ⋅ 𝑚⋅√5\n𝑚= 3√5\nNiech 𝑥𝑆 będzie pierwszą współrzędną punktu 𝑆. Punkt 𝑆 leży na prostej o równaniu\n𝑦= 𝑥+ 1, więc 𝑆= (𝑥𝑆 , 𝑥𝑆+ 1).\nZauważmy, że punkt 𝐴 leży na prostej o równaniu 𝑦= 𝑥+ 1. Każda prosta przechodząca\nprzez punkt 𝐴= (1, 2), poza prostą równoległą do osi 𝑂𝑦, ma równanie postaci\n𝑦= 𝑎(𝑥-1) + 2. Tangens kąta, jaki tworzy każda ze stycznych 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 z prostą\no równaniu 𝑦= 𝑥+ 1, jest równy\ntg 𝛼= √5\n𝑚= √5\n3√5\n= 1\n3\nStąd i ze wzoru na tangens kąta między prostymi otrzymujemy\n𝐵\n𝐶\n𝑆\n𝑦\n1\n1\nξ5\n𝑚\n𝑚\nξ5\n𝑦= 𝑥+ 1\n𝐴\n𝑥\n1\n3 = tg 𝛼= |𝑎-1\n𝑎+ 1|\n𝑎+ 1 = 3(𝑎-1) ∨ 𝑎+ 1 = -3(𝑎-1)\n𝑎= 2 ∨ 𝑎= 1\n2\nZatem styczne 𝐴𝐵 oraz 𝐴𝐶 mają równania postaci 𝑦= 2(𝑥-1) + 2 oraz\n𝑦= 1\n2 (𝑥-1) + 2, czyli 2𝑥-𝑦= 0 oraz 𝑥-2𝑦+ 3 = 0.\nOdległość punktu 𝑆 od każdej ze stycznych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 jest równa √5. Zatem\n|2𝑥𝑆-(𝑥𝑆+ 1)|\n√22 + (-1)2\n= √5\n|𝑥𝑆-1| = 5\n𝑥𝑆= 6 ∨ 𝑥𝑆= -4\nIstnieją dwa punkty spełniające warunki zadania: 𝑆= (6, 7) oraz 𝑆= (-4, -3).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"15","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których równanie\n𝑥2 -(3𝑚+ 1) ⋅𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 = 0\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝑥1 , 𝑥2 spełniające warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n3.1R) stosuje wzory Viète’a;\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów.\nPierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności ∆> 0. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne rozwiązanie nierówności ∆> 0: 𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów.\nDrugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony\nwarunek 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7. Za poprawne wykonanie tego\netapu zdający otrzymuje 4 punkty.\nPodział punktów za drugi etap rozwiązania:\n4 pkt - rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7: 𝑚∈(-∞, 1\n3 ⟩.\n3 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci 𝑊(𝑚) ≤0, gdzie 𝑊(𝑚)\njest iloczynem co najmniej dwóch wielomianów stopni dodatnich, np.\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0, (9𝑚2 -1)(3𝑚+ 1) ≤0, 27 (𝑚-1\n3) (𝑚+ 1\n3)\n2\n≤0\nALBO\n- zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 w postaci\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0 oraz wyznaczenie jednego z pierwiastków wielomianu\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1.\n2 pkt - zapisanie nierówności z jedną niewiadomą 𝑚 równoważnej warunkowi\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, np.\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do\npostaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nTrzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie dwa warunki: Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\nZa poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\n1 pkt - poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, które spełniają\njednocześnie warunki Δ > 0 i 𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7:\n𝑚∈(-∞, -3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający w etapie I lub II popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za III\netap otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający w etapach I i II nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych,\na następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za\nIII etap może otrzymać 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd - przyjmie, że\n𝑥1 + 𝑥2 = ±(2𝑚2 + 𝑚+ 1) lub 𝑥1 ⋅𝑥2 = ±(3𝑚+ 1), lub 𝑥1 + 𝑥2 = ± 𝑏\n2𝑎 , to za\nII etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do\nkońca), a za III etap otrzymuje 0 punktów.\n4. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy, np.:\npominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a,\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)[(𝑥1 + 𝑥2)2 -𝑥1 ⋅𝑥2],\nprzyjmie, że\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 = (𝑥1 + 𝑥2)3,\ni konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do\nkońca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za II etap (1 punkt za zastosowanie\nwzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca),\na za III etap otrzymuje 0 punktów.\n5. Jeżeli w II etapie rozwiązania zdający popełni błędy i otrzyma nierówność 𝑉(𝑚) ≤0, to\nza podanie zbioru rozwiązań nierówności otrzymuje 1 punkt tylko wtedy, gdy wielomian 𝑉\njest stopnia trzeciego i ma co najmniej dwa różne pierwiastki rzeczywiste.\n6. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania\n(np. 𝑥1 + 𝑥2 > 0, 𝑥1 ⋅𝑥2 > 0), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej\n5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap i co najwyżej 4 punkty za II etap).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nI etap\nTrójmian kwadratowy 𝑥2 -(3𝑚+ 1)𝑥+ 2𝑚2 + 𝑚+ 1 ma dwa różne pierwiastki\nrzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy\nwarunek ∆> 0:\n[-(3𝑚+ 1)]2 -4 ∙1 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) > 0\n𝑚2 + 2𝑚-3 > 0\n(𝑚-1) ⋅(𝑚+ 3) > 0\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞)\nII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których jest spełniony warunek\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7, korzystając ze wzorów Viète’a:\n𝑥1\n3 + 𝑥2\n3 + 3 ⋅𝑥1 ⋅𝑥2 ⋅(𝑥1 + 𝑥2 -3) ≤3𝑚-7\n(𝑥1 + 𝑥2)3 -9𝑥1𝑥2 ≤3𝑚-7\n(3𝑚+ 1)3 -9 ⋅(2𝑚2 + 𝑚+ 1) ≤3𝑚-7\n27𝑚3 + 9𝑚2 -3𝑚-1 ≤0\n(3𝑚)3 -13 + 9𝑚2 -3𝑚≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 3𝑚+ 1) + 3𝑚(3𝑚-1) ≤0\n(3𝑚-1)(9𝑚2 + 6𝑚+ 1) ≤0\n(3𝑚-1)(3𝑚+ 1)2 ≤0\n𝑚∈(-∞, 1\n3 ⟩\nIII etap\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki\n𝑚∈(-∞, -3) ∪(1, +∞) oraz 𝑚∈(-∞, 1\n3 ⟩: 𝑚∈(-∞, -3).","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"16","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-6)\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości 3456, których\nkrawędź podstawy ma długość nie większą niż 8√3.\na) Wykaż, że pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎\nkrawędzi podstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\nb) Pole 𝑃 powierzchni całkowitej graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi\npodstawy graniastosłupa jest określone wzorem\n𝑃(𝑎) = 𝑎2 ⋅√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla 𝑎∈(0, 8√3⟩.\nWyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole\npowierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n16.\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-6)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n11.6R) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nCzęść a)\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości 𝐻 graniastosłupa w zależności od długości krawędzi\npodstawy, np. 𝐻= 13824\n𝑎2√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa inną bryłę niż graniastosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przeprowadzi rozumowanie tylko dla 𝑎= 8√3, to otrzymuje 0 punktów za\ncałe rozwiązanie części a).\nCzęść b)\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑃 przyjmuje wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\ni obliczenie wartości najmniejszej funkcji 𝑃: 96√3 + 1728.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑃 przyjmuje\nwartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nALBO\n- zapisanie, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą i obliczenie\n𝑃(8√3): 𝑃(8√3) = 96√3 + 1728.\n2 pkt - poprawne rozwiązanie równania 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0: 𝑎= 24.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi do części b):\n1. Jeżeli zdający wyznaczy pochodną funkcji 𝑃 z błędem, ale wyznaczona pochodna ma\npostać 𝐴𝑎+ 𝐵\n𝑎2 , gdzie 𝐴 oraz 𝐵 są liczbami niewymiernymi, lub postać ułamka,\nw którego liczniku jest wielomian stopnia trzeciego, a w mianowniku 𝑚𝑎2,\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za\ncałe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia\nnajmniejszej wartości funkcji oraz za obliczenie najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeżeli natomiast otrzyma inną błędną postać pochodnej, to może otrzymać co najwyżej\n2 punkty za całe rozwiązanie części b) (za miejsce zerowe pochodnej oraz za\nuzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji 𝑃).\n2. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np.\nznakami „+” i „-” znak pochodnej.\n3. Jeżeli zdający otrzyma miejsce zerowe pochodnej, które należy do przedziału (0, 8√3), to\nmoże otrzymać za część b) co najwyżej 1 punkt (za wyznaczenie pochodnej albo za\nobliczenie miejsca zerowego pochodnej).\n4. Za poprawne uzasadnienie, że funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑎= 8√3\nmożna uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej oraz zapisuje słownie lub\ngraficznie, że funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 𝑎0), gdzie 𝑎0 jest miejscem\nzerowym pochodnej funkcji 𝑓, będącej rozszerzeniem funkcji 𝑃 na zbiór (0, +∞).\n5. Jeżeli zdający błędnie uzasadnia, że dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość\nnajmniejszą, to nie otrzymuje punktu za obliczenie 𝑃(8√3).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\na)\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy jego wysokość przez 𝐻.\nKorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa oraz wzoru na pole trójkąta\nrównobocznego i otrzymujemy:\n3456 = 𝑎2√3\n4\n⋅𝐻\n𝐻= 4608√3\n𝑎2\nStąd oraz ze wzoru na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa dostajemy\n𝑃= 2 ⋅𝑎2√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\n𝑃= 𝑎2√3\n2\n+ 3𝑎⋅4608√3\n𝑎2\n𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\nb)\nObliczamy najmniejszą wartość funkcji 𝑃 określonej wzorem 𝑃(𝑎) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\ndla\n𝑎∈(0, 8√3⟩.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑃: 𝑃′(𝑎) = 𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\ndla 𝑎∈(0, 8√3⟩.\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑃:\n𝑃′(𝑎) = 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n= 0\n𝑎3√3 -13824√3 = 0\n𝑎3 = 13824 = 243\n𝑎= 24 ∉(0, 8√3⟩\nBadamy znak pochodnej:\n𝑃′(𝑎) < 0\n𝑎√3 -13824√3\n𝑎2\n< 0\n𝑎3√3 -13824√3 < 0\n𝑎3 < 13824\n𝑎< 24\nwięc 𝑃′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(0, 8√3⟩.\nZatem funkcja 𝑃 jest malejąca w przedziale (0, 8√3⟩.\nStąd dla 𝑎= 8√3 funkcja 𝑃 osiąga wartość najmniejszą równą\n𝑃(8√3) = 𝑎2√3\n2\n+ 13824√3\n𝑎\n(8√3)\n2⋅ √3\n2\n+ 13824√3\n8√3\n= 96√3 + 1728.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}