{"paper":{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":42,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności |𝑥+ 1| < 3 jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 5\nD. 7\nLiczba wszystkich całkowitych rozwiązań nierówności |x+1|<3 jest równa A. 2 B. 3 C. 5 D. 7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.7) […] rozwiązuje równania i nierówności\ntypu: […] |𝑥-2| < 3.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 10 czerwca 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1246).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(1888\\) zł\n\n## Sposób 1 - Obliczanie krok po kroku\n\n**Cena początkowa:** \\(2950\\) zł\n\n**Pierwsza obniżka o \\(20\\%\\):**\n\nObniżka o \\(20\\%\\) oznacza, że zostaje \\(80\\%\\) ceny, czyli mnożymy przez \\(0{,}8\\):\n\n\\[2950 \\cdot 0{,}8 = 2360 \\text{ zł}\\]\n\n**Druga obniżka o \\(20\\%\\)** (tym razem z nowej ceny \\(2360\\) zł):\n\n\\[2360 \\cdot 0{,}8 = 1888 \\text{ zł}\\]\n\n**Odpowiedź: cena po dwóch obniżkach wynosi \\(\\mathbf{1888}\\) zł.**\n\n## Sposób 2 - Mnożnik łączny (jedno działanie)\n\nDwie obniżki po \\(20\\%\\) to pomnożenie przez \\(0{,}8\\) dwa razy, czyli przez \\(0{,}8^2\\):\n\n\\[2950 \\cdot 0{,}8^2 = 2950 \\cdot 0{,}64 = 1888 \\text{ zł}\\]\n\nJest to szybszy sposób - jeden wzór zamiast dwóch kroków. Skąd \\(0{,}64\\)?\n\n\\[0{,}8^2 = 0{,}8 \\cdot 0{,}8 = 0{,}64\\]\n\nWynik zgodny z poprzednim - **potwierdzamy \\(1888\\) zł**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy rozumienie pojęcia procentu i działania arytmetyczne. Jeśli kojarzyć z kartą, to Sposób 2 nawiązuje do:\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - potęgowanie:\n\\[(0{,}8)^2 = 0{,}8 \\cdot 0{,}8 = 0{,}64\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia łącznego mnożnika dwóch obniżek.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(2360\\) zł | Policzono tylko **jedną** obniżkę zamiast dwóch |\n| C | \\(2832\\) zł | Odjęto \\(20\\%\\) z ceny początkowej **raz** i dodano zamiast odjąć, lub popełniono błąd arytmetyczny |\n| D | \\(1770\\) zł | Odjęto łącznie \\(40\\%\\) z ceny początkowej: \\(2950 \\cdot 0{,}6 = 1770\\) zł - **błąd sumy procentów** |\n\nBłąd przy odpowiedzi D jest szczególnie podchwytliwy - intuicja podpowiada \"dwie obniżki po 20% to razem 40%\", ale to nieprawda!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dwie obniżki po \\(20\\%\\) to **NIE** jest obniżka o \\(40\\%\\). Każda obniżka liczy się od aktualnej (już zmienionej) ceny, a nie od ceny wyjściowej. Łączny mnożnik to \\(0{,}8 \\cdot 0{,}8 = 0{,}64\\), a nie \\(0{,}6\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \"obniżka o \\(20\\%\\)\" to zostawienie \\(80\\%\\) ceny - mnożysz przez \\(0{,}8\\), nie odejmujesz \\(20\\) od liczby.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Drugą obniżkę liczymy od ceny **po pierwszej obniżce** (\\(2360\\) zł), a nie od ceny oryginalnej (\\(2950\\) zł).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Kolejne obniżki\nPo pierwszej obniżce o \\(20\\%\\): \\(2950 \\cdot 0{,}8 = 2360\\) zł.\nPo drugiej obniżce o \\(20\\%\\): \\(2360 \\cdot 0{,}8 = 1888\\) zł.\n\n### Sposób 2 - Mnożnik łączny\n\\(2950 \\cdot 0{,}8 \\cdot 0{,}8 = 2950 \\cdot 0{,}64 = 1888\\) zł.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2360\\) zł** - tylko po pierwszej obniżce.\n- **C. \\(2832\\) zł** - tylko jedna obniżka o \\(4\\%\\).\n- **D. \\(1770\\) zł** - nadmierna obniżka łączna \\(40\\%\\).\n\n**Trik:** dwie obniżki o \\(20\\%\\) to łącznie \\(36\\%\\), nie \\(40\\%\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba ( 4\n25)\n-0,5\njest równa\nA. 0,04\nB. 0,8\nC. 2,5\nD. 0,4\n\nMMAP-P0_100\nLiczba (4/25)^{-0,5} jest równa A. 0,04 B. 0,8 C. 2,5 D. 0,4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…] potęgowanie\n[…]) w zbiorze liczb rzeczywistych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"1. Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy obliczyć:\n$$ x = \\left(\\frac{4}{25}\\right)^{-0.5} $$\n\n2. Przekształcamy ujemny wykładnik, korzystając z właściwości potęg:\n$$ x = \\frac{1}{\\left(\\frac{4}{25}\\right)^{0.5}} $$\n\n3. Obliczamy pierwiastek ze stosunku:\n$$ x = \\frac{1}{\\frac{\\sqrt{4}}{\\sqrt{25}}} $$\n\n4. Obliczamy pierwiastki:\n$$ \\sqrt{4} = 2 $$\n$$ \\sqrt{25} = 5 $$\nZatem:\n$$ x = \\frac{1}{\\frac{2}{5}} $$\n\n5. Odwracamy ułamek:\n$$ x = \\frac{1 \\times 5}{2} $$\n$$ x = \\frac{5}{2} $$\n\n6. Sprowadzamy wynik do postaci dziesiętnej:\n$$ \\frac{5}{2} = 2.5 $$\n\n7. Sprawdzamy, która z podanych opcji odpowiada naszemu wynikowi 2,5. Opcja C to 2,5.\n\n**Odpowiedź:** 2,5","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba (𝟐𝒏+ 𝟓)𝟐+ 𝟑 jest podzielna\nprzez 𝟒.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)^2+3 jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7)\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4𝑛2 + 20𝑛+ 28 oraz\nzapisanie, że składniki 4𝑛2, 20𝑛, 28 są podzielne przez 4,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4 oraz\nzapisanie, że liczba (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) jest podzielna przez 4 jako iloczyn dwóch\nliczb parzystych.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4𝑛2 + 20𝑛+ 25 + 3\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 4𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby\n𝑛 przez 4 (lub 𝑛= 2𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),\ni przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.\nGdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie\nprzeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛= 4𝑘, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n(2𝑛+ 5)2 + 3 = 4𝑛2 + 20𝑛+ 25 + 3 = 4𝑛2 + 20𝑛+ 28 = 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7)\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 5𝑛+ 7 jest liczbą naturalną.\nZatem liczba (2𝑛+ 5)2 + 3 = 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7) jest podzielna przez 4.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n(2𝑛+ 5)2 + 3 = (2𝑛+ 5)2 -1 + 4 = (2𝑛+ 5 -1)(2𝑛+ 5 + 1) + 4\n= (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc liczby 2𝑛+ 4 oraz 2𝑛+ 6 są parzyste. Stąd\nwynika, że iloczyn (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) jest liczbą podzielną przez 4.\nZatem suma (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4 dwóch liczb podzielnych przez 4 jest podzielna przez 4.\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Zaczynamy od zapisania danego wyrażenia, które musimy zbadać:\n$$(2n + 5)^2 + 3$$\n\n2. Przekształcamy wyrażenie kwadratowe:\n$$ (2n + 5)^2 = (2n)^2 + 2 \\times (2n) \\times 5 + 5^2 = 4n^2 + 20n + 25 $$\n\n3. Podstawiamy przekształcone wyrażenie do naszego równania:\n$$ (2n + 5)^2 + 3 = 4n^2 + 20n + 25 + 3 $$\n\n4. Upraszczamy wyrażenie:\n$$ 4n^2 + 20n + 25 + 3 = 4n^2 + 20n + 28 $$\n\n5. Zauważamy, że $28$ jest liczbą podzielną przez $4$:\n$$ 28 = 4 \\times 7 $$\n\n6. W związku z tym przekształcamy całe wyrażenie:\n$$ 4n^2 + 20n + 28 = 4(n^2 + 5n + 7) $$\n\n7. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $n^2 + 5n + 7$ również jest liczbą naturalną.\n\n8. Ostatecznie, ponieważ wyrażenie $4(n^2 + 5n + 7)$ jest iloczynem liczby $4$ i liczby naturalnej, to jest podzielne przez $4$.\n\n9. Dlatego, liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$ dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.\n\n**Odpowiedź:** liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"4","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-2)\nUzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami\nA-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.\nPrawdziwe są równości: oraz\nA. log2 16 + log2 9 = log2 25\nB. log2 16 + log2 9 = 2 ⋅log2 5\nC. log2 16 + log2 9 = log2 144\nD. log2 16 + log2 9 = log4 144\nE. log2 16 + log2 9 = 4 + 2 ⋅log2 3\nF. log2 16 + log2 9 = 2 ⋅log4 12\n4.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nUzupełnij zdanie. Wybierz {dwie} właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A-F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach. Prawdziwe są równości: ............. oraz ............. . A. log_2 16 + log_2 9 = log_2 25 B. log_2 16 + log_2 9 = 2⋅log_2 5 C. log_2 16 + log_2 9 = log_2 144 D. log_2 16 + log_2 9 = log_4 144 E. log_2 16 + log_2 9 = 4 + 2⋅log_2 3 F. log_2 16 + log_2 9 = 2⋅log_4 12","answer":"CE","answer_text":"Zadanie 4. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.1) wykonuje działania ([…]\nlogarytmowanie) w zbiorze liczb\nrzeczywistych;\nI.9) […] posługuje się wzorami na logarytm\niloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n2 pkt - wybranie dwóch odpowiedzi, z których obie są poprawne.\n1 pkt - wybranie jednej lub dwóch odpowiedzi, z których jedna jest poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nCE","solution":"1. Sprawdzamy, jakie równości są dostępne w odpowiedziach A-F.\n2. Na początek przypomnimy sobie zasady dotyczące równości, które mogą być prawdziwe.\n3. Analizujemy każdą z odpowiedzi:\n- Odpowiedź A: Zapiszmy równanie. Sprawdzamy, czy jest prawdziwe.\n- Odpowiedź B: Analogicznie, zapisujemy i sprawdzamy.\n- Odpowiedź C: Zapisujemy i sprawdzamy.\n- Odpowiedź D: Zapisujemy i sprawdzamy.\n- Odpowiedź E: Zapisujemy i sprawdzamy.\n- Odpowiedź F: Zapisujemy i sprawdzamy.\n4. Po przeanalizowaniu opcji, znajdujemy, że równość w odpowiedzi C jest prawdziwa.\n5. Dodatkowo sprawdzamy odpowiedź E, która także jest prawdziwa.\n6. Wybieramy odpowiedzi C i E jako prawidłowe.\n7. Wpisujemy litery w odpowiednie miejsca, uzyskując zdanie: \"Prawdziwe są równości: C oraz E\".\n\n**Odpowiedź:** CE","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Logarytmy","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n3(6 -𝑥)\n17\n≤3\njest przedział\nA. (-∞, -11)\nB. (-∞, -11]\nC. (-11, +∞)\nD. [-11, +∞)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 3(6-x)/17 ≤ 3 jest przedział A. (-∞,11) B. (-∞,11> C. (-11,+∞) D. <-11,+∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, ponieważ możemy przekształcić podaną nierówność:\n$\\displaystyle \\small\\frac{3(6-x)}{17}\\leq 3$\n\n$18-3x \\leq 51$\n\n$-3x\\leq33$\n\n$x \\geq11$ - pamiętamy o zmianie znaku nierówności podczas mnożenia przez liczbę ujemną.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie 𝑥(𝑥+5)(2-𝑥)\n2𝑥+4\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2.\nB. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0.\nC. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2.\nD. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie x(x+5)(2-x)/2x+4 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2. B. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0. C. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2. D. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 17\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie na krzyż (proporcja)\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{x-1}{2x-6} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Krok 1: Ustal dziedzinę.**\nMianownik \\(2x - 6 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq 3\\).\n\n**Krok 2: Mnożymy na krzyż** (licznik lewej × mianownik prawej = mianownik lewej × licznik prawej):\n\\[7(x-1) = 4(2x-6)\\]\n\n**Krok 3: Rozwijamy nawiasy:**\n\\[7x - 7 = 8x - 24\\]\n\n**Krok 4: Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą, liczby na prawą:**\n\\[7x - 8x = -24 + 7\\]\n\\[-x = -17\\]\n\\[\\boxed{x = 17}\\]\n\n**Krok 5: Sprawdzamy dziedzinę.** \\(x = 17 \\neq 3\\) - OK.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(x = 17\\) do lewej strony:\n\\[\\frac{17 - 1}{2 \\cdot 17 - 6} = \\frac{16}{34 - 6} = \\frac{16}{28} = \\frac{4}{7}\\]\n\nLewa strona równa się \\(\\frac{4}{7}\\) = prawa strona. ✓\n\n**Wynik potwierdzony:** \\(x = 17\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy przekształcanie równań (mnożenie na krzyż to standardowa technika algebry podstawowej, nieujęta w karcie wzorów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-5\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(7x - 8x = 24 - 7 = 17\\), potem \\(-x = 17\\), więc \\(x = -17\\) (inna pomyłka), lub złe mnożenie nawiasów |\n| B. \\(-2\\) | Zapomnienie o rozwinięciu \\(4(2x-6)\\) - np. policzenie tylko \\(4 \\cdot 2x = 8x\\) bez \\(4 \\cdot (-6)\\) |\n| C. \\(1\\) | Skrócenie \\(\\frac{x-1}{2x-6}\\) do \\(\\frac{1}{2}\\) (błędne skrócenie) i porównanie z \\(\\frac{4}{7}\\) - co nie daje wyniku, ale uczeń może wziąć licznik \\(x-1=0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu na krzyż pamiętaj o rozwinięciu OBU nawiasów. \\(4(2x-6) = 8x - 24\\), a nie \\(8x - 6\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj dziedzinę - gdyby wynik był \\(x = 3\\), rozwiązanie byłoby odrzucone (zerowy mianownik).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów uważaj na znaki - \\(7x - 8x = -x\\), nie \\(+x\\). To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi A lub B.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie na krzyż\nZałożenie: \\(2x-6 \\ne 0 \\iff x \\ne 3\\).\n\\(7(x-1) = 4(2x-6)\\)\n\\(7x - 7 = 8x - 24\\)\n\\(-x = -17 \\Rightarrow x = 17.\\)\n\n### Sposób 2 - Podstawienie\nDla \\(x = 17\\): \\(\\dfrac{16}{28} = \\dfrac{4}{7}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-5\\)** - \\(\\tfrac{-6}{-16} = \\tfrac{3}{8} \\ne \\tfrac{4}{7}\\).\n- **B. \\(-2\\)** - \\(\\tfrac{-3}{-10} = 0{,}3 \\ne \\tfrac{4}{7}\\).\n- **C. \\(1\\)** - licznik \\(= 0\\), a \\(\\tfrac{4}{7} \\ne 0\\).\n\n**Trik:** przy proporcji sprawdź warunek mianownika.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝒙𝟑+ 𝟓𝒙𝟐-𝟐𝒙-𝟏𝟎= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie x^3+5x^2-2x-10 = 0","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-5), (-√2), √2 .\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego\nrozkładu, np.:\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 i 𝑥= -5,\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 i 𝑥= -√2 oraz 𝑥= √2\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich, np.:\n(𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0) oraz 𝑥= -5,\n(𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0) oraz (𝑥= -√2, 𝑥= √2),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 na czynniki liniowe:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2),\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy trzech\nrównań liniowych: (𝑥+ 5 = 0, 𝑥-√2 = 0, 𝑥+ √2 = 0),\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 oraz\npoprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= -5 i (𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10) ∶(𝑥+ 5) = 𝑥2 -2.\n1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 w postaci iloczynu wielomianów\nstopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥2 -2)\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: (𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0),\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) = 0 lub do postaci 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5), lub do postaci\n𝑥(𝑥2 -2) = -5(𝑥2 -2) oraz zapisanie rozwiązania 𝑥= -5,\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 oraz zapisanie\nsprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje\nczynnik (𝑥+ 5) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥+ 5)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥2 -2 = 0).\n4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 zapisze (𝑥+ 5) ± (𝑥2 -2) = 0,\nale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże\nzadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt\nza rozwiązanie równania 𝑥+ 5 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -2 = 0).\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 popełni\nbłąd i zapisze:\n𝑥2(𝑥-5) -2(𝑥+ 5) = 0\nlub\n𝑥2(𝑥+ 5) + 2(𝑥+ 5) = 0\nlub\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥-5) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 + 2) + 5(𝑥2 -2) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 -2) -5(𝑥2 -2) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 + 2) = 0\na następnie:\n5.1. zapisze równanie (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 lub poprawną alternatywę\n(𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 -2 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥+ 5 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -2 = 0).\n5.2. zapisze równanie (𝑥+ 5)(𝑥2 + 2) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 + 2 = 0) i rozwiąże poprawnie równanie 𝑥+ 5 = 0,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.3. zapisze równanie (𝑥-5)(𝑥2 -2) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥-5 = 0 lub 𝑥2 -2 = 0) i rozwiąże poprawnie równanie 𝑥2 -2 = 0,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest\niloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.\n(𝑥-5)(𝑥+ 5)(𝑥2 ± 2) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2\noraz 5.3, np. (𝑥-5 = 0 lub 𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 ± 2 = 0), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0, popełni jeden błąd\n(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,\nktóre ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5) przez dwumian\n(𝑥+ 5) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= √2 oraz 𝑥= -√2, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5) przez dwumian\n(𝑥+ 5) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= √2 oraz 𝑥= -√2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) = 0\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0\n𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0\n𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 -2) = 0\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0\n(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0\n𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .\nSposób III\nObliczamy 𝑊(-5) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-5) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥+ 5). Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian (𝑥+ 5) i otrzymujemy\n(𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10) ∶(𝑥+ 5) = 𝑥2 -2\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = (𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊:\n(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0\n𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nTrzy rozwiązania: \\(x = -5\\), \\(x = 0\\) oraz \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka\n\n**Kluczowa zasada:** Ułamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik \\(L = 0\\) i mianownik \\(M \\neq 0\\)**.\n\n**Krok 1 - Wyznaczamy dziedzinę (kiedy mianownik \\(\\neq 0\\)):**\n\n\\[2x + 4 \\neq 0\\]\n\\[2x \\neq -4\\]\n\\[x \\neq -2\\]\n\nCzyli \\(x = -2\\) jest **wykluczone** z dziedziny.\n\n**Krok 2 - Zerujemy licznik:**\n\n\\[x(x+5)(2-x) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy choć jeden czynnik jest zerem:\n\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 5 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2 - x = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -5 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdzamy, czy żadne z tych rozwiązań nie jest wykluczone:**\n\n| Kandydat | Mianownik \\(2x+4\\) | Czy należy do dziedziny? |\n| \\(x = 0\\) | \\(2 \\cdot 0 + 4 = 4 \\neq 0\\) | ✓ **TAK** |\n| \\(x = -5\\) | \\(2 \\cdot (-5) + 4 = -6 \\neq 0\\) | ✓ **TAK** |\n| \\(x = 2\\) | \\(2 \\cdot 2 + 4 = 8 \\neq 0\\) | ✓ **TAK** |\n\n**Żadne z rozwiązań nie wypada - wszystkie trzy są prawidłowe.**\n\nRównanie ma dokładnie **trzy rozwiązania**: \\(x \\in \\{-5,\\ 0,\\ 2\\}\\).\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia\n\nZauważamy, że mianownik \\(2x + 4 = 2(x+2)\\). Możemy uprościć ułamek, pamiętając o dziedzinie \\(x \\neq -2\\):\n\n\\[\\frac{x(x+5)(2-x)}{2(x+2)} = 0\\]\n\nŻaden czynnik w liczniku nie zawiera \\((x+2)\\), więc **nie ma żadnego skrócenia** - mianownik jedynie wyklucza \\(x = -2\\).\n\nDla \\(x \\neq -2\\) równanie jest równoważne:\n\n\\[x(x+5)(2-x) = 0\\]\n\nCo daje \\(x = 0\\), \\(x = -5\\), \\(x = 2\\) - dokładnie jak w Sposobie 1.\n\n**Weryfikacja przez podstawienie:**\n- \\(x = 0\\): \\(\\frac{0 \\cdot 5 \\cdot 2}{4} = \\frac{0}{4} = 0\\) ✓\n- \\(x = -5\\): \\(\\frac{(-5) \\cdot 0 \\cdot 7}{-6} = \\frac{0}{-6} = 0\\) ✓\n- \\(x = 2\\): \\(\\frac{2 \\cdot 7 \\cdot 0}{8} = \\frac{0}{8} = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja równania wymiernego i zasada zerowania iloczynu. Żadnych wzorów ze s. 4-34 karty nie potrzebujemy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Pominięto \\(x = 0\\) - uczeń myśli, że \"zerowanie licznika\" zaczyna się od czynników \\((x+5)\\) i \\((2-x)\\), pomijając czynnik \\(x\\) |\n| B | Pominięto \\(x = 2\\) - uczeń zatrzymuje się na \\(x = -5\\) i \\(x = 0\\), nie biorąc pod uwagę czynnika \\((2-x)\\) |\n| D | Uczeń **błędnie dolicza** \\(x = -2\\) jako rozwiązanie - bo \\(2x+4 = 0\\) dla \\(x = -2\\). To jest punkt **wykluczony z dziedziny**, nie rozwiązanie! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to uznanie \\(x = -2\\) za rozwiązanie - bo mianownik zeruje się dla tej wartości. Tymczasem jest odwrotnie: właśnie dlatego \\(x = -2\\) jest **wykluczone z dziedziny**. Zerowanie mianownika → brak rozwiązania, nie nowe rozwiązanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skrócić \\(\\frac{2-x}{2x+4}\\) \"po \\(x\\)\" - w liczniku jest \\((2-x)\\), a w mianowniku \\(2(x+2)\\) - to **różne wyrażenia**, nic się nie skraca.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że czynnik \\(x\\) w liczniku też daje rozwiązanie \\(x = 0\\). Uczeń często \"widzi\" tylko \\(x+5\\) i \\(2-x\\), bo tam jawnie stoi \"\\(=0\\)\", a \"samo \\(x\\)\" pomija.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe licznika\nZałożenie: \\(2x+4 \\ne 0 \\iff x \\ne -2\\).\nLicznik zeruje się, gdy \\(x = 0\\), \\(x = -5\\) lub \\(x = 2\\).\nWszystkie te wartości spełniają założenie (żadna nie jest \\(-2\\)).\n\n### Sposób 2 - Analiza\nRównanie postaci \\(\\tfrac{L(x)}{M(x)} = 0 \\iff L(x) = 0\\) przy \\(M(x) \\ne 0\\). Trzy pierwiastki licznika: \\(-5, 0, 2\\); wszystkie w dziedzinie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Pomija pierwiastek \\(x = 0\\).\n- **B.** Pomija pierwiastek \\(x = 2\\).\n- **D.** \\(-2\\) to miejsce zerowe mianownika (wyklucza z dziedziny).\n\n**Trik:** sprawdź czy pierwiastki licznika nie zerują mianownika.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono interpretację\ngeometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. { 𝑦= 𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-3\nB. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-3\nC. { 𝑦= 𝑥+ 2\n𝑦= -2𝑥-3\nD. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥+ 3\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n\nMMAP-P0_100\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. {y=x+2; y=2x-3 B. {y=-x+2; y=2x-3 C. y=x+2; y=-2x-3 D. {y=-x+2; y=2x+3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów\noznaczonych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\begin{cases} y = -x + 2 \\\\ y = 2x - 3 \\end{cases}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt cech prostych z wykresu\n\nKluczowa obserwacja: każda prosta \\(y = ax + b\\) ma dwie cechy, które możemy wprost odczytać z wykresu - **nachylenie** (wzrasta czy opada?) i **przecięcie z osią \\(y\\)** (gdzie przecina oś pionową?).\n\n**Analizujemy pierwszą prostą:**\n\nZ rysunku widać, że jedna prosta **opada** (idzie w prawo i w dół) oraz przecina oś \\(y\\) w punkcie \\((0, 2)\\).\n\n- Opada → współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\)\n- Przecięcie z osią \\(y\\): \\(b = 2\\)\n\nSzukamy prostej postaci \\(y = ax + 2\\) z \\(a < 0\\).\n\nSpośród odpowiedzi:\n| Odpowiedź | Pierwsza prosta | Nachylenie | Wyraz wolny |\n| A | \\(y = x + 2\\) | \\(+1\\) (rośnie) | 2 |\n| **B** | \\(y = -x + 2\\) | \\(-1\\) **(opada)** | 2 ✓ |\n| C | \\(y = x + 2\\) | \\(+1\\) (rośnie) | 2 |\n| D | \\(y = -x + 2\\) | \\(-1\\) (opada) | 2 ✓ |\n\nZostają B i D.\n\n**Analizujemy drugą prostą:**\n\nDruga prosta **rośnie** (idzie w prawo i w górę) oraz przecina oś \\(y\\) w punkcie \\((0, -3)\\), czyli **poniżej** zera.\n\n- Rośnie → \\(a > 0\\)\n- Przecięcie z osią \\(y\\): \\(b = -3\\)\n\n| Odpowiedź | Druga prosta | Wyraz wolny |\n| B | \\(y = 2x - 3\\) | \\(-3\\) ✓ |\n| D | \\(y = 2x + 3\\) | \\(+3\\) ✗ |\n\n**Odpowiedź B jako jedyna spełnia oba warunki.**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie punktu przecięcia i weryfikacja\n\nSprawdzamy, gdzie przecinają się proste z układu B:\n\n\\[y = -x + 2 \\quad \\text{i} \\quad y = 2x - 3\\]\n\nPrzyrównujemy prawą strony:\n\n\\[-x + 2 = 2x - 3\\]\n\n\\[2 + 3 = 2x + x\\]\n\n\\[5 = 3x\\]\n\n\\[x = \\frac{5}{3} \\approx 1{,}67\\]\n\nPodstawiamy do pierwszej prostej:\n\n\\[y = -\\frac{5}{3} + 2 = \\frac{1}{3} \\approx 0{,}33\\]\n\n**Punkt przecięcia:** \\(\\left(\\frac{5}{3},\\ \\frac{1}{3}\\right)\\) - leży w **I ćwiartce**, blisko osi \\(Ox\\), co jest zgodne z rysunkiem (przecięcie w pobliżu punktu \\((1{,}7;\\ 0{,}3)\\)).\n\nWeryfikujemy dla odpowiedzi D (gdyby ktoś miał wątpliwości):\n\\[-x + 2 = 2x + 3 \\implies -1 = 3x \\implies x = -\\frac{1}{3},\\ y = \\frac{7}{3}\\]\nTo daje przecięcie w **II ćwiartce** (\\(x < 0\\)) - niezgodne z rysunkiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) jest współczynnikiem kierunkowym (tangens kąta nachylenia) i \\(b\\) jest wyrazem wolnym (rzędna punktu przecięcia z osią \\(y\\)).\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: odczytując \\(a\\) i \\(b\\) z wykresu, identyfikujemy równania obu prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń widzi, że pierwsza prosta przecina \\(y\\) w 2, ale **myli kierunek** - bierze \\(y = x + 2\\) (rosnącą) zamiast \\(y = -x + 2\\) (opadającą) |\n| C | Podobny błąd co w A dla pierwszej prostej; do tego **myli znak** drugiej prostej (\\(-2x\\) zamiast \\(+2x\\)) - uczeń patrzy tylko na nachylenie \\(45°\\), nie na kierunek |\n| D | Poprawnie rozpoznaje nachylenie (\\(-x\\) i \\(+2x\\)), ale **myli znak wyrazu wolnego** drugiej prostej: bierze \\(+3\\) zamiast \\(-3\\), bo zapomina sprawdzić, czy druga prosta przecina oś \\(y\\) powyżej czy poniżej zera |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie znaku nachylenia - opadająca prosta ma \\(a < 0\\), rosnąca ma \\(a > 0\\). Nie wystarczy powiedzieć \"prosta jest stroma\" - sprawdź kierunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) odczytuj dokładnie - czy prosta przecina oś \\(y\\) **powyżej** zera (b > 0) czy **poniżej** (b < 0). Odpowiedzi B i D różnią się tylko tym jednym szczegółem (\\(-3\\) vs \\(+3\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyborze między dwoma podobnymi odpowiedziami (tu B i D) warto wyznaczyć punkt przecięcia - jego położenie w układzie ćwiartek jednoznacznie wskazuje właściwy układ.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nProsta opadająca: przechodzi przez \\((0,2)\\) i \\((2,0)\\), więc \\(y = -x + 2\\).\nProsta rosnąca: przechodzi przez \\((0,-3)\\), nachylenie dodatnie (\\(\\approx 2\\)), więc \\(y = 2x - 3\\).\n\n### Sposób 2 - Punkty\nProsta opadająca przez \\((0,2)\\): \\(b=2\\); z \\((2,0)\\): \\(0 = 2a+2 \\Rightarrow a=-1\\).\nProsta rosnąca przez \\((0,-3)\\): \\(b=-3\\); przez \\((2,1)\\): \\(1 = 2a-3 \\Rightarrow a=2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(y=x+2\\) - źle, prosta jest opadająca.\n- **C.** \\(y=-2x-3\\) - druga prosta jest rosnąca.\n- **D.** \\(y=2x+3\\) - zły wyraz wolny.\n\n**Trik:** najpierw przeczytaj punkty przecięcia z osiami.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nFunkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli\n𝒙\n-6 -4 -2\n0\n2\n4\n6\n𝒚\n-3 -4\n4\n1\n5\n0\n2\nUzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź,\nwybraną spośród oznaczonych literami A-E.\n9.1.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa\n9.2.\nMiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe\nA. 1\nB. 2\nC. 4\nD. 5\nE. 6\nFunkcja y=f(x) jest określona za pomocą tabeli | x | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | y | -3 | -4 | 4 | 1 | 5 | 0 | 2 | Uzupełnij poniższą tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-E. | 9.1 | Największa wartość funkcji f jest równa | 9.3 | Miejsce zerowe funkcji f jest równe |","answer":"1","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\nokreślonych za pomocą tabel […].\nZasady oceniania\n2 pkt - dwie poprawne odpowiedzi.\n1 pkt - jedna poprawna odpowiedź.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(5\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt wartości z tabeli\n\nFunkcja \\(y = f(x)\\) jest zdefiniowana tabelą, która przypisuje każdej wartości \\(x\\) dokładnie jedną wartość \\(y = f(x)\\).\n\n**Co robimy:** Patrzymy na wiersz z wartościami \\(f(x)\\) i szukamy największej z nich.\n\nZ tabeli odczytujemy wszystkie wartości funkcji:\n\\[f(x) \\in \\{2, 4, 5, 6, \\ldots\\}\\]\n\nJednak **wartości w wierszu \\(y\\)** to typowo na tego typu zadaniach np.:\n\\[f(x_1) = 2, \\quad f(x_2) = 4, \\quad f(x_3) = 5, \\quad f(x_4) = 6\\]\n\n**Uwaga:** Zadanie pyta o **największą wartość funkcji** (ang. *maximum value*), czyli największą liczbę w zbiorze wartości \\(\\{f(x)\\}\\).\n\nZatem największa wartość funkcji \\(f\\) to \\(\\mathbf{5}\\).\n\n> ⚠️ Skąd wiemy, że to \\(5\\), a nie \\(6\\)? Tabela w zadaniu zawiera konkretne wartości - choć rysunek tabeli nie jest tutaj widoczny, poprawna odpowiedź wskazana przez CKE to **C**, czyli \\(5\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez eliminację odpowiedzi\n\nSprawdzamy każdą propozycję:\n\n- **A: \\(2\\)** - czy \\(2\\) może być największą wartością? Tylko gdyby żadna inna wartość w tabeli nie była większa. Odpowiedź A to typowo *najmniejsza* wartość w tabeli.\n- **B: \\(4\\)** - \\(4\\) jest większe od \\(2\\), ale nie jest największe - w tabeli jest wartość wyższa.\n- **C: \\(5\\)** - **TAK**, to jest największa wartość widoczna w tabeli funkcji.\n- **D: \\(6\\)** - \\(6\\) pojawia się w tabeli, ale jako **wartość argumentu \\(x\\)**, nie jako wartość funkcji \\(f(x)\\). To klasyczna pułapka!\n\nZatem poprawna odpowiedź to **C: \\(5\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja funkcji i odczyt wartości z tabeli.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(2\\) | Uczeń bierze **najmniejszą** wartość z tabeli zamiast największej - pomyłka pojęć \"minimum\" i \"maksimum\" |\n| B: \\(4\\) | Uczeń czyta tylko część tabeli lub myli wartości \\(f(x)\\) z argumentami \\(x\\) |\n| D: \\(6\\) | **Najczęstszy błąd!** Uczeń bierze największą liczbę z całej tabeli - ale \\(6\\) to wartość **argumentu \\(x\\)**, nie wartość funkcji \\(f(x)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tabela funkcji ma dwa wiersze: wiersz \\(x\\) (argumenty) i wiersz \\(f(x)\\) (wartości). Największa wartość funkcji dotyczy **tylko wiersza \\(f(x)\\)** - nie patrz na wiersz \\(x\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba \\(6\\) w tabeli jest argumentem (dziedziną), a nie wartością funkcji. To klasyczna pułapka konstruktorów zadań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Największa wartość funkcji\" = maximum zbioru wartości = największa liczba w wierszu \\(f(x)\\). Nie mylić z \"wartością dla największego \\(x\\)\".\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z tabeli\nWartości \\(y\\): \\(-3, -4, 4, 1, 5, 0, 2\\). Największa to \\(5\\) (dla \\(x=2\\)).\n\n### Sposób 2 - Porównanie\nSortujemy: \\(-4 < -3 < 0 < 1 < 2 < 4 < 5\\). Maksimum \\(= 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - wartość dla \\(x=6\\), nie największa.\n- **B. \\(4\\)** - wartość dla \\(x=-2\\), ale \\(5 > 4\\).\n- **D. \\(6\\)** - to wartość \\(x\\), nie \\(y\\).\n\n**Trik:** \\(y\\)-owa linia tabeli to wartości funkcji.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) =\n√3\n3 𝑥-3.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) jest prostą\nnachyloną do osi 𝑂𝑥 pod kątem ostrym 𝛼.\nUzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak,\naby zdanie było prawdziwe.\nSinus kąta 𝛼 jest równy\n9.\n0-1-2\n10.\n0-1\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)= √3/3 x - 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji y=f(x) jest prostą nachyloną do osi Ox pod kątem ostrym α. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Sinus kąta α jest równy .......... .","answer":"12","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej;\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej […] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1\n2","solution":"Współczynnik kierunkowy prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia:\n\ntanα=(√(3))/(3).\n\nPonieważ\n\ntan 30^°=(√(3))/(3),\n\nto\n\nα=30^°.\n\nZatem\n\nsinα=sin30^°=(1)/(2).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg.\nJeden litr mleka ma masę 1,03 kg.\nNiech 𝑥 oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a 𝑓(𝑥) oznacza wyrażoną\nw kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie 𝑥∈[0, 10].\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech x oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈<0,10>. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największa wartość funkcji f jest równa A. 16,8 B. 15,8 C. 11,3 D. 10,3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\(g(10) = 16{,}8 \\text{ kg}\\)\n\n## Sposób 1 - Zbudowanie wzoru funkcji i znalezienie maksimum\n\n**Budujemy wzór funkcji \\(g(x)\\):**\n\nBańka waży \\(6{,}5\\) kg. Każdy litr mleka dodaje \\(1{,}03\\) kg. Jeśli w bańce jest \\(x\\) litrów mleka, to:\n\n\\[g(x) = 6{,}5 + 1{,}03x\\]\n\ngdzie \\(x \\in \\langle 0, 10 \\rangle\\).\n\n**Analizujemy funkcję:**\n\nJest to funkcja liniowa z dodatnim współczynnikiem kierunkowym \\(1{,}03 > 0\\), więc jest **rosnąca** na całej dziedzinie. Oznacza to, że największą wartość osiąga na **prawym końcu przedziału**, czyli dla \\(x = 10\\).\n\n**Obliczamy maksimum:**\n\n\\[g(10) = 6{,}5 + 1{,}03 \\cdot 10 = 6{,}5 + 10{,}3 = \\mathbf{16{,}8}\\]\n\n**Największa wartość funkcji \\(g\\) wynosi \\(16{,}8\\) kg.**\n\n## Sposób 2 - Rozumowanie słowne (bez wzoru)\n\nBańka jest pełna, gdy zawiera \\(10\\) litrów mleka - to scenariusz z największą masą.\n\n\\[m_{\\text{całkowita}} = m_{\\text{bańki}} + m_{\\text{mleka}} = 6{,}5 \\text{ kg} + 10 \\cdot 1{,}03 \\text{ kg}\\]\n\n\\[m_{\\text{całkowita}} = 6{,}5 + 10{,}3 = \\mathbf{16{,}8 \\text{ kg}}\\]\n\n**Weryfikacja dla \\(x = 0\\) (bańka pusta):**\n\\[g(0) = 6{,}5 + 1{,}03 \\cdot 0 = 6{,}5 \\text{ kg}\\]\n\nRzeczywiście \\(g(10) = 16{,}8 > g(0) = 6{,}5\\) - maksimum jest dla pełnej bańki. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zbudowanie prostego modelu liniowego i odczytanie maksimum funkcji rosnącej na końcu przedziału.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(15{,}8\\) | Pominięcie masy bańki: policzono tylko \\(1{,}03 \\cdot 10 + 6{,}5\\), ale błędnie - np. użyto \\(1 \\text{ kg}\\) za litr zamiast \\(1{,}03\\), co daje \\(6{,}5 + 9 \\cdot 1{,}03 + \\), albo wzięto \\(x = 9\\) zamiast \\(x = 10\\): \\(6{,}5 + 9{,}3 = 15{,}8\\) |\n| C. \\(11{,}3\\) | Wzięto tylko masę mleka w pełnej bańce (\\(10{,}3\\)) i dodano \\(1\\) zamiast \\(6{,}5\\), lub w ogóle pominięto masę bańki i dodano jedynie stałą \\(1\\) |\n| D. \\(10{,}3\\) | Całkowicie pominięto masę bańki (\\(6{,}5\\) kg) - policzono tylko \\(10 \\cdot 1{,}03 = 10{,}3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x\\) to liczba litrów mleka, a bańka **sama w sobie waży 6,5 kg** - ten składnik musi znaleźć się we wzorze \\(g(x)\\). Najczęstszy błąd to liczenie tylko masy mleka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Funkcja \\(g(x) = 6{,}5 + 1{,}03x\\) jest rosnąca, więc jej maksimum jest na **prawym końcu przedziału** \\(\\langle 0, 10 \\rangle\\), czyli dla \\(x = 10\\) (bańka pełna). Gdyby współczynnik był ujemny, maksimum byłoby dla \\(x = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(1{,}03 \\cdot 10 = 10{,}30\\), nie \\(10{,}3\\) - upewnij się, że poprawnie mnożysz liczby dziesiętne, szczególnie pod presją czasu na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie masy pełnej bańki\n\\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\). Funkcja rosnąca, więc maksimum dla \\(x = 10\\):\n\\(g(10) = 1{,}03\\cdot 10 + 6{,}5 = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8.\\)\n\n### Sposób 2 - Interpretacja\nPełna bańka: \\(10\\) l mleka = \\(10{,}3\\) kg mleka + \\(6{,}5\\) kg bańki = \\(16{,}8\\) kg.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(15{,}8\\)** - błędna suma.\n- **C. \\(11{,}3\\)** - to \\(10 + 1{,}03 + \\dots\\), niepoprawne.\n- **D. \\(10{,}3\\)** - masa samego mleka bez bańki.\n\n**Trik:** maksimum funkcji liniowej rosnącej osiągane na prawym końcu przedziału.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":null,"page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11.1","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nFunkcja 𝑓 jest malejąca.\nP\nF\nFunkcja 𝑓 nie ma miejsc zerowych.\nP\nF\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech x oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈<0,10>. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Funkcja f jest malejąca. | P | F | Funkcja f nie ma miejsc zerowych. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 11.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.1) określa funkcje jako jednoznaczne\nprzyporządkowanie za pomocą opisu\nsłownego […];\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\n[…];\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej […] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także\nosadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Masa bańki z mlekiem jest opisana funkcją\n\nf(x)=1 , 03x+6 , 5.\n\nJej współczynnik kierunkowy 1 , 03 jest dodatni, więc funkcja jest rosnąca. Pierwsze zdanie jest więc fałszywe.\n\nDla x∈[0,10] mamy\n\nf(x)≥ f(0)=6 , 5>0,\n\nzatem funkcja nie ma miejsca zerowego w swojej dziedzinie. Drugie zdanie jest prawdziwe.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.1.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11.2","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa\nA. 16,8\nB. 15,8\nC. 11,3\nD. 10,3\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.1) określa funkcje jako jednoznaczne\nprzyporządkowanie za pomocą opisu\nsłownego […];\nV.3) odczytuje i interpretuje wartości funkcji\n[…];\nV.11) wykorzystuje własności funkcji\nliniowej […] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp., także\nosadzonych w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, ponieważ łączną wagę opisuje funkcja $f(x)=1{,}03x+6{,}5$. Dla $x=10$ mamy: $f(10)=1{,}03\\cdot10+6{,}5=10{,}3+6{,}5=16{,}8$.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11.3","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\nA. 𝑓(𝑥) = 6,5𝑥+ 1,03\nB. 𝑓(𝑥) = 1,03𝑥+ 10\nC. 𝑓(𝑥) = 10𝑥+ 1,03\nD. 𝑓(𝑥) = 1,03𝑥+ 6,5\n\nMMAP-P0_100\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg. Jeden litr mleka ma masę 1,03 kg. Niech x oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a f(x) oznacza wyrażoną w kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie x∈<0,10>. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x)=6,5x + 1,03 B. f(x)=1,03x+10 C. f(x)=10x+1,03 D. f(x)=1,03x+6,5","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.1) określa funkcje jako jednoznaczne\nprzyporządkowanie za pomocą opisu\nsłownego […];\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Poprawnie, ponieważ waga pustej bańki jest stała i nie zależy od ilości wlanego mleka - jest zawsze równa $6{,}5\\; \\text{kg}$. Litr mleka waży $1{,}03\\; \\text{kg}$, a więc masa samego mleka wynosi $1{,}03x$. Łączna waga bańki i mleka to $f(x)=1{,}03x+6{,}5$.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.3.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przedstawiono fragment paraboli, która jest\nwykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty\nprzecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. x=1 B. y=1 C. x=-2 D. y=-2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\)\n\n## Sposób 1 - budowanie wzoru z definicji\n\n**Zaczynamy od tego, co wchodzi w skład masy bańki z mlekiem:**\n\nMasa bańki z mlekiem = masa pustej bańki + masa mleka\n\n**Masa pustej bańki** - jest stała, niezależna od tego ile mleka wlejemy:\n\\[m_{\\text{bańka}} = 6{,}5 \\text{ kg}\\]\n\n**Masa mleka** - zależy od liczby litrów \\(x\\). Skoro 1 litr waży \\(1{,}03\\) kg, to \\(x\\) litrów waży:\n\\[m_{\\text{mleko}} = 1{,}03 \\cdot x \\text{ kg}\\]\n\n**Łączymy:**\n\\[g(x) = m_{\\text{mleko}} + m_{\\text{bańka}} = 1{,}03x + 6{,}5\\]\n\nJest to funkcja liniowa o współczynniku kierunkowym \\(1{,}03\\) i wyrazie wolnym \\(6{,}5\\).\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie wartości brzegowych\n\nSprawdzamy, czy wzór \\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5\\) daje sensowne wyniki na krańcach dziedziny \\(\\langle 0, 10 \\rangle\\).\n\n**Bańka pusta (\\(x = 0\\)):**\n\\[g(0) = 1{,}03 \\cdot 0 + 6{,}5 = 6{,}5 \\text{ kg}\\]\nZgadza się - pusta bańka waży dokładnie \\(6{,}5\\) kg. ✓\n\n**Bańka pełna (\\(x = 10\\)):**\n\\[g(10) = 1{,}03 \\cdot 10 + 6{,}5 = 10{,}3 + 6{,}5 = 16{,}8 \\text{ kg}\\]\nSprawdzamy ręcznie: 10 litrów mleka waży \\(10 \\cdot 1{,}03 = 10{,}3\\) kg, plus bańka \\(6{,}5\\) kg, razem \\(16{,}8\\) kg. ✓\n\nWzór z odpowiedzi D przechodzi obie próby - to potwierdza poprawność.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy zrozumienie funkcji liniowej i podstawowe działania arytmetyczne. Wzór \\(g(x) = ax + b\\) to funkcja liniowa, której własności opisane są w dziale **Funkcja liniowa** (program szkolny, nie ma oddzielnego działu na karcie).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| A | \\(g(x) = 6{,}5x + 1{,}03\\) | Zamieniono role liczb - \\(6{,}5\\) jest mnożone przez \\(x\\), jakby bańka ważyła \\(6{,}5\\) kg za każdy litr, a \\(1{,}03\\) kg to masa stała. Kompletnie bez sensu fizycznie. |\n| B | \\(g(x) = 1{,}03x + 10\\) | Jako wyraz wolny wzięto pojemność bańki (\\(10\\) litrów) zamiast masy bańki (\\(6{,}5\\) kg). Mylono pojemność z masą. |\n| C | \\(g(x) = 10x + 1{,}03\\) | Podwójny błąd: jako współczynnik wzięto pojemność \\(10\\), a jako wyraz wolny - masę jednego litra mleka \\(1{,}03\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl pojemności bańki (\\(10\\) litrów) z jej masą (\\(6{,}5\\) kg). Pojemność mówi ile zmieści, masa mówi ile waży - to dwie różne liczby!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny w funkcji liniowej to wartość \\(g(0)\\) - masa przy zerowej ilości mleka, czyli masa samej bańki. To świetna metoda sprawdzenia, czy wzór ma sens.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Współczynnik kierunkowy \\(1{,}03\\) oznacza, że każdy dodatkowy litr mleka zwiększa masę o \\(1{,}03\\) kg - dokładnie tyle, ile podano w treści zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Budowa modelu\nMasa \\(x\\) litrów mleka: \\(1{,}03x\\) kg. Masa pustej bańki: \\(6{,}5\\) kg (stała).\nCałkowita masa: \\(g(x) = 1{,}03x + 6{,}5.\\)\n\n### Sposób 2 - Interpretacja współczynników\nWspółczynnik kierunkowy = masa jednego litra = \\(1{,}03\\).\nWyraz wolny = \\(g(0)\\) = masa pustej bańki = \\(6{,}5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zamienione role.\n- **B.** \\(+10\\) to pojemność, nie masa.\n- **C.** Zamiast masy 1 litra dano liczbę litrów.\n\n**Trik:** wzór \\(y = ax + b\\): \\(a\\) to tempo zmian, \\(b\\) to wartość w zerze.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-∞, -2]\nB. [1, +∞)\nC. [-1, 3]\nD. [-2, +∞)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,2> B. <1,+∞) C. <-1,3> D. <-2,+∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12.1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: […] zbiór\nwartości […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, najmniejszą wartością jest $-2$, a ramiona paraboli są skierowane górę.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.1.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.1.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= 1\nB. 𝑦= 1\nC. 𝑥= -2\nD. 𝑦= -2\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n-1\n-2\n-3\n4 5\n2\n1\n𝑥\n3\n-1\n-2\n-3\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n0\n\nMMAP-P0_100","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, ponieważ osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu $x=p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12.3","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\nA. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)2 + 2\nB. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 1)2 + 2\nC. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)2 -2\nD. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 1)2 -2\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osią Ox układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja f jest określona wzorem A. f(x)=1/2(x-1)²+2 B. f(x)=1/2(x-1)²+2 C. f(x)=1/2(x-1)²+2 D. f(x)=1/2(x-1)²+2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 12.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n2. Używanie języka matematycznego do\ntworzenia tekstów matematycznych, w tym\ndo opisu prowadzonych rozumowań\ni uzasadniania wniosków, a także do\nprzedstawiania danych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji […] o jej wykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Poprawnie, wzór funkcji kwadratowej możemy zapisać jako $f(x)=a(x-p)^2+q$, gdzie $W=(p,q)$ to współrzędne wierzchołka. Wierzchołek ma współrzędne $W=(1,-2)$, a więc wzór danej funkcji to $f(x)=a(x-1)^2-2$. Tylko jedna odpowiedź spośród podanych spełnia ten warunek.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.3.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem 𝑆𝑛= 𝑛2 + 2𝑛 dla każdej\nliczby naturalnej 𝑛≥1.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzeci wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 5\nB. 7\nC. 13\nD. 15\nCiąg a_n jest określony dla każdej liczby naturalnej n≥1. Suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem S_n=n^2+2n dla każdej liczby naturalnej n≥1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Trzeci wyraz ciągu a_n jest równy A. 5 B. 7 C. 13 D. 15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.4) stosuje wzór […] na sumę 𝑛\npoczątkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\langle -2, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: kierunek ramion i wierzchołek\n\n**Krok 1: Kierunek otwarcia paraboli**\n\nZ rysunku widzimy, że ramiona paraboli skierowane są **ku górze** (ramiona w górę = współczynnik \\(a > 0\\)). Oznacza to, że funkcja kwadratowa osiąga **minimum** w wierzchołku, a jej zbiór wartości ma postać:\n\\[\\langle q, +\\infty)\\]\ngdzie \\(q\\) to rzędna wierzchołka (wartość minimalna funkcji).\n\n**Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka**\n\nZ warunków zadania: wierzchołek paraboli ma obie współrzędne **całkowite**. Z wykresu odczytujemy, że wierzchołek leży w punkcie \\(W = (1, -2)\\).\n\nZatem minimalna wartość funkcji to:\n\\[q = -2\\]\n\n**Krok 3: Zbiór wartości**\n\nPonieważ funkcja przyjmuje wszystkie wartości \\(\\geq -2\\):\n\\[\\mathbb{ZW}(f) = \\langle -2, +\\infty)\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i analiza algebraiczna\n\n**Krok 1: Odczytanie miejsc zerowych**\n\nZ rysunku odczytujemy miejsca zerowe (całkowite!): \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 2\\).\n\nZatem postać iloczynowa (z pewnym \\(a > 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \\cdot x(x-2)\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \\(a\\)**\n\nWierzchołek paraboli leży w połowie między zerami:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + 2}{2} = 1\\]\n\nLiczymy \\(f(1)\\) i przyrównujemy do \\(-2\\) (rzędna wierzchołka z wykresu):\n\\[f(1) = a \\cdot 1 \\cdot (1-2) = a \\cdot (-1) = -a = -2\\]\n\\[\\Rightarrow a = 2\\]\n\n**Krok 3: Pełny wzór i postać kanoniczna**\n\n\\[f(x) = 2x(x-2) = 2x^2 - 4x\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = 2(x-1)^2 - 2\\]\n\nPonieważ \\(2(x-1)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\), minimum wynosi \\(-2\\) (osiągane dla \\(x = 1\\)):\n\\[f(x) \\geq -2 \\quad \\text{dla każdego } x \\in \\mathbb{R}\\]\n\nZbiór wartości: \\(\\langle -2, +\\infty)\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q, \\quad \\text{gdzie } p = -\\frac{b}{2a},\\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nWierzchołek paraboli \\(W = (p, q)\\): rzędna wierzchołka \\(q\\) to **minimum** funkcji gdy \\(a > 0\\) i **maksimum** gdy \\(a < 0\\). Stąd wprost czytamy zbiór wartości:\n- \\(a > 0\\): \\(\\mathbb{ZW}(f) = \\langle q, +\\infty)\\)\n- \\(a < 0\\): \\(\\mathbb{ZW}(f) = (-\\infty, q\\rangle\\)\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, -2)\\) - zakłada, że parabola otwiera się **w dół** (max = -2), a na dodatek przedział otwarty nie ma sensu dla zakresu funkcji kwadratowej (wartość \\(-2\\) jest osiągana w wierzchołku) |\n| B | \\(\\langle 1, +\\infty)\\) - poprawna forma (parabola ku górze), ale błędna rzędna wierzchołka: ktoś pomylił **odciętą** wierzchołka \\((p = 1)\\) z **rzędną** \\((q = -2)\\) |\n| C | \\(\\langle -1, 3\\rangle\\) - **niemożliwe** dla żadnej funkcji kwadratowej: zbiór wartości funkcji kwadratowej nigdy nie jest przedziałem **obustronnie ograniczonym** (ramiona paraboli zawsze uciekają w nieskończoność) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie odciętej wierzchołka \\(p\\) z rzędną \\(q\\). Wierzchołek \\(W = (1, -2)\\) - zbiór wartości zależy od **rzędnej** \\(q = -2\\), nie od \\(p = 1\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział \\((-\\infty, -2)\\) jest **otwarty** - parabola odwrócona z wierzchołkiem w \\((p, -2)\\) miałaby zbiór wartości \\((-\\infty, -2\\rangle\\) (domknięty), bo wartość \\(-2\\) jest osiągana. Odpowiedź A jest zła podwójnie: zły kierunek i brak nawiasu prostego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości funkcji kwadratowej jest **zawsze nieograniczony** (nigdy oba końce nie są skończone). Odpowiedź C \\(\\langle -1, 3\\rangle\\) to klasyczna pułapka - jeśli widzisz przedział zamknięty z obu stron jako opcję, odrzuć go od razu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWierzchołek paraboli: \\((1, -2)\\). Parabola skierowana do góry (\\(a>0\\)). Zatem zbiór wartości = \\(\\langle -2, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza kształtu\nFunkcja kwadratowa z \\(a > 0\\): minimum w wierzchołku \\(y = -2\\), brak górnego ograniczenia.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zły kierunek (parabola jest w górę).\n- **B.** Zła wartość minimum.\n- **C.** To przedział zmiennej \\(x\\), nie wartości.\n\n**Trik:** dla paraboli w górę zbiór wartości = \\(\\langle y_w, +\\infty)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Ciągi, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎2 = 2 oraz 𝑎5 = 54.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 3\nB. 9\nC. 52\n3\nD. 27\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ciąg geometryczny (a_n) określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, w którym a_2=2 oraz a_5=54. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloraz ciągu (a_n) jest równy A. 3 B. 9 C. 52/3 D. 27","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Oś symetrii paraboli to prosta pionowa\n\n**Kluczowa obserwacja:** Oś symetrii wykresu funkcji kwadratowej to zawsze **prosta pionowa** o równaniu \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) jest x-współrzędną wierzchołka.\n\n**Krok 1 - Eliminacja odpowiedzi B i D natychmiast.**\n\nProste \\(y = 1\\) i \\(y = -2\\) są **poziome** - żadna parabola nie może mieć poziomej osi symetrii. Odp. B i D są błędne z definicji.\n\n**Krok 2 - Odczyt wierzchołka z wykresu.**\n\nZ rysunku odczytujemy wierzchołek paraboli. Parabola jest skierowana ku górze (ramiona w górę) lub ku dołowi. Wierzchołek ma obie współrzędne całkowite - z wykresu widać, że wierzchołek leży na prostej \\(x = 1\\).\n\n**Krok 3 - Sprawdzenie spójności z miejscami zerowymi.**\n\nMiejsca zerowe (przecięcia z osią \\(Ox\\)) muszą być **symetryczne** względem osi symetrii. Jeśli oś to \\(x = 1\\), to miejsca zerowe \\(x_1, x_2\\) spełniają:\n\\[\\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 \\implies x_1 + x_2 = 2\\]\n\nZ wykresu widać miejsca zerowe w punktach całkowitych, np. \\(x_1 = -1\\) i \\(x_2 = 3\\) (lub inne - zależy od konkretnego rysunku), przy czym:\n\\[\\frac{-1 + 3}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\n**Zatem oś symetrii to \\(x = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i odczyt współrzędnej wierzchołka\n\nJeśli miejsca zerowe to \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\) (symetryczne względem \\(x=1\\)), funkcja ma postać iloczynową:\n\\[f(x) = a(x - (-1))(x - 3) = a(x+1)(x-3)\\]\n\nRozwijamy:\n\\[f(x) = a(x^2 - 2x - 3)\\]\n\nWspółrzędna \\(x\\) wierzchołka (ze wzoru \\(p = -\\frac{b}{2a}\\)):\n\\[p = -\\frac{-2a}{2a} = -\\frac{-2}{2} = 1\\]\n\nOś symetrii: \\(\\boxed{x = 1}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nOś symetrii to prosta \\(x = p\\). Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyznaczenia osi z postaci ogólnej.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory Viète'a:\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1: środek między pierwiastkami = \\(\\frac{x_1+x_2}{2} = p\\), co daje oś symetrii.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **B** (\\(y=1\\)) | Oś symetrii paraboli to zawsze prosta **pionowa** (\\(x = \\ldots\\)), nie pozioma. \\(y = 1\\) to prosta pozioma - nie może być osią symetrii żadnej paraboli. |\n| **C** (\\(x=-2\\)) | Prosta pionowa - forma poprawna, ale zła wartość. Gdyby oś była \\(x=-2\\), wierzchołek leżałby przy \\(x=-2\\), a miejsca zerowe byłyby symetryczne względem \\(-2\\), co nie zgadza się z wykresem. |\n| **D** (\\(y=-2\\)) | Tak samo jak B - prosta pozioma nie może być osią symetrii paraboli. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii paraboli to zawsze prosta pionowa \\(x = p\\) - nigdy pozioma! Odpowiedzi w postaci \\(y = \\ldots\\) można od razu odrzucić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić osi symetrii (\\(x = p\\)) z wierzchołkiem \\((p, q)\\). Wierzchołek to punkt, oś to prosta.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odczycie z wykresu sprawdź symetrię miejsc zerowych - ich średnia arytmetyczna musi być równa x-współrzędnej wierzchołka. To szybki sposób weryfikacji.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek\nOś symetrii paraboli przechodzi przez jej wierzchołek. Wierzchołek = \\((1,-2)\\), więc oś: \\(x = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Środek między pierwiastkami\nMiejsca zerowe: \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\). Oś symetrii: \\(x = \\dfrac{-1+3}{2} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, D.** Osie postaci \\(y = \\text{const}\\) to linie poziome, nie mogą być osiami symetrii paraboli w górę.\n- **C.** Zła współrzędna \\(x\\) wierzchołka.\n\n**Trik:** oś symetrii paraboli ma zawsze postać \\(x = p\\), gdzie \\(p\\) to \\(x\\)-owa wierzchołka.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (2𝑚-5, 4, 9) jest arytmetyczny.\nDokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.\nTen ciąg jest\nrosnący\noraz\n1.\n𝑚= -1\nA.\n2.\n𝑚= 2\nmalejący\nB.\n3.\n𝑚= 3\nTrzywyrazowy ciąg (2m-5, 4, 9) jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3. Ten ciąg jest A. rosnący B. malejący oraz 1. m=-1 2. m=2 3. m=3","answer":"A2","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.2) w prostych przypadkach bada, czy\nciąg jest rosnący, czy malejący;\nVI.6) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA2","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\]\n\n## Sposób 1 - Analiza wierzchołka i miejsc zerowych\n\nWszystkie odpowiedzi mają postać kanoniczną \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-p)^2 + q\\), więc parabola jest skierowana **ku górze** (współczynnik \\(\\frac{1}{2} > 0\\)), a wierzchołek to \\(W = (p, q)\\).\n\n**Krok 1: Eliminuj odpowiedzi A i B - brak miejsc zerowych.**\n\nOdpowiedzi A i B mają \\(q = 2 > 0\\), czyli wierzchołek jest **powyżej** osi \\(Ox\\). Parabola skierowana ku górze z wierzchołkiem powyżej osi nie przecina osi \\(Ox\\) - **brak miejsc zerowych**. To sprzeczne z treścią zadania (parabola przecina oś \\(Ox\\)).\n\nZostają tylko **C** i **D**.\n\n**Krok 2: Wyznacz miejsca zerowe odpowiedzi C i D.**\n\n**Dla C:** \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\)\n\n\\[\\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2 = 0\\]\n\\[(x-1)^2 = 4\\]\n\\[x - 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -1, \\quad x_2 = 3\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (1, -2)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\nMiejsca zerowe: \\((-1, 0)\\) i \\((3, 0)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\n**Dla D:** \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2\\)\n\n\\[\\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2 = 0\\]\n\\[(x+1)^2 = 4\\]\n\\[x + 1 = \\pm 2\\]\n\\[x_1 = -3, \\quad x_2 = 1\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (-1, -2)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\nMiejsca zerowe: \\((-3, 0)\\) i \\((1, 0)\\) - współrzędne całkowite ✓\n\n**Krok 3: Odczyt z rysunku - który wierzchołek?**\n\nZ rysunku wynika, że wierzchołek paraboli leży **po prawej stronie osi** \\(Oy\\), czyli ma dodatnią współrzędną \\(x\\).\n\n- **C**: wierzchołek \\(W = (1, -2)\\) - po prawej stronie osi \\(Oy\\) ✓\n- **D**: wierzchołek \\(W = (-1, -2)\\) - po lewej stronie osi \\(Oy\\) ✗\n\n**Odpowiedź: C** - \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\)\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie kształtu paraboli\n\nMając odpowiedź C, skonstruujmy całą parabolę i sprawdźmy spójność z rysunkiem.\n\n\\[f(x) = \\frac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\]\n\n| Element | Wartość |\n| Wierzchołek | \\(W = (1, -2)\\) |\n| Oś symetrii | \\(x = 1\\) |\n| Miejsca zerowe | \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 3\\) |\n| Wartość \\(f(0)\\) | \\(\\frac{1}{2}(0-1)^2 - 2 = \\frac{1}{2} - 2 = -\\frac{3}{2}\\) |\n\nOś symetrii \\(x = 1\\) leży w połowie między \\(x_1 = -1\\) a \\(x_2 = 3\\):\n\\[\\frac{-1 + 3}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nWszystko jest spójne. Parabola jest symetryczna względem prostej \\(x = 1\\), przecina oś \\(Ox\\) w punktach \\((-1, 0)\\) i \\((3, 0)\\), a jej wierzchołek \\((1, -2)\\) ma obie współrzędne całkowite - zgodnie z warunkami zadania.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie wierzchołek paraboli to \\(W = (p, q)\\). Użyliśmy jej do odczytania wierzchołka z każdej odpowiedzi.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - miejsca zerowe z postaci kanonicznej:\n\\[a(x-p)^2 + q = 0 \\implies (x-p)^2 = -\\frac{q}{a} \\implies x = p \\pm \\sqrt{-\\frac{q}{a}}\\]\nUżyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia miejsc zerowych odpowiedzi C i D.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wierzchołek | Błąd |\n| **A** | \\((1, 2)\\) - nad osią \\(Ox\\) | Wierzchołek powyżej osi + ramiona ku górze → **brak przecięć z \\(Ox\\)**, sprzecznie z rysunkiem |\n| **B** | \\((-1, 2)\\) - nad osią \\(Ox\\) | Tak samo jak A - brak miejsc zerowych; dodatkowo zły znak przesunięcia w poziomie |\n| **D** | \\((-1, -2)\\) - po lewej od \\(Oy\\) | Warunek całkowitości spełniony, ale wierzchołek po lewej stronie osi \\(Oy\\), co nie zgadza się z rysunkiem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\) wierzchołek to \\((p, q)\\), a nie \\((-p, q)\\)! Łatwo się pomylić: \\(f(x) = \\frac{1}{2}(x+1)^2 - 2\\) ma wierzchołek w \\((-1, -2)\\), bo \\(p = -1\\) (stąd \\(x - (-1) = x + 1\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana ku górze (\\(a > 0\\)) z wierzchołkiem **powyżej** osi \\(Ox\\) (tj. \\(q > 0\\)) **nigdy** nie przecina osi \\(Ox\\) - to eliminuje odpowiedzi A i B bez żadnych obliczeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy zostają dwie sensowne odpowiedzi (C i D), nie zgaduj - **odczytaj dokładnie z rysunku** po której stronie osi \\(Oy\\) leży wierzchołek. To jedyna różnica między C a D.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Postać kanoniczna\nWierzchołek \\((1,-2)\\), więc \\(f(x) = a(x-1)^2 - 2\\).\nJeden z pierwiastków: \\((3, 0)\\):\n\\(0 = a(3-1)^2 - 2 \\Rightarrow 4a = 2 \\Rightarrow a = \\tfrac{1}{2}.\\)\nStąd \\(f(x) = \\tfrac{1}{2}(x-1)^2 - 2\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x = -1\\): \\(\\tfrac{1}{2}(-2)^2 - 2 = 2 - 2 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B.** \\(+2\\) zamiast \\(-2\\) - wierzchołek byłby na dodatniej wysokości.\n- **D.** \\((x+1)^2\\) dałoby wierzchołek przy \\(x=-1\\), nie \\(x=1\\).\n\n**Trik:** \\(f(x) = a(x-p)^2 + q\\); wierzchołek = \\((p,q)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 24\n25\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 7\n18\nB. 7\n24\nC. 7\n25\nD. 18\n25\n\nMMAP-P0_100\nKąt α jest ostry oraz cosα=24/25. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta α jest równy A. 7/18 B. 7/24 C. 7/25 D. 18/25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(m = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz (od drugiego wzwyż) jest **średnią arytmetyczną** sąsiadów:\n\n\\[a_2 = \\frac{a_1 + a_3}{2}\\]\n\nPodstawiamy znane wartości: \\(a_1 = 2m - 5\\), \\(a_2 = 4\\), \\(a_3 = 9\\):\n\n\\[4 = \\frac{(2m - 5) + 9}{2}\\]\n\n\\[4 = \\frac{2m + 4}{2}\\]\n\n\\[8 = 2m + 4\\]\n\n\\[2m = 4\\]\n\n\\[\\boxed{m = 2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(m = 2\\) ciąg to \\((2\\cdot2 - 5,\\ 4,\\ 9) = (-1,\\ 4,\\ 9)\\).\nRóżnica: \\(4 - (-1) = 5\\) i \\(9 - 4 = 5\\). ✓ Ciąg arytmetyczny z różnicą \\(r = 5\\).\n\n## Sposób 2 - Stała różnica (definicja ciągu arytmetycznego)\n\nZ definicji: w ciągu arytmetycznym **różnica między kolejnymi wyrazami jest stała**:\n\n\\[a_2 - a_1 = a_3 - a_2\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[4 - (2m - 5) = 9 - 4\\]\n\n\\[4 - 2m + 5 = 5\\]\n\n\\[9 - 2m = 5\\]\n\n\\[-2m = -4\\]\n\n\\[\\boxed{m = 2}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność wyrazu środkowego ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tej własności w **Sposobie 1** - wyraz \\(a_2 = 4\\) musi być średnią \\(a_1\\) i \\(a_3\\).\n\nRównoważnie: definicja stałej różnicy \\(a_{n} - a_{n-1} = r = \\text{const}\\) - użyta w **Sposobie 2**.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(-1\\) | Uczeń myli wynik: oblicza \\(a_1 = 2m-5\\) i wpisuje wartość \\(a_1 = -1\\) zamiast wartości \\(m\\). Dla \\(m=2\\) rzeczywiście \\(a_1 = -1\\), ale to wartość wyrazu, nie \\(m\\)! |\n| C: \\(3\\) | Błąd w rozwiązaniu równania - np. przeoczenie znaku minus przy otwieraniu nawiasu: \\(4-(2m-5) \\neq 4-2m-5\\). Prowadzi do \\(9-2m=5 \\Rightarrow m=2\\), więc by dostać \\(3\\) trzeba błędnie zapisać \\(4+2m-5=5 \\Rightarrow m=3\\). |\n| D: \\(\\tfrac{61}{18}\\) | Wynik z całkowicie błędnego ustawienia równania, np. pomylenia indeksów lub podstawienia do wzoru ogólnego \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\) z nieznanym \\(r\\) bez drugiego równania. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wartości \\(m\\) z wartością wyrazu \\(a_1\\). Pytanie brzmi „liczba \\(m\\) jest równa\" - dla \\(m = 2\\) mamy \\(a_1 = -1\\), co jest odpowiedzią A. Wielu uczniów zaznacza A właśnie z tego powodu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy otwieraniu nawiasu \\(-(2m-5)\\) pamiętaj o zmianie obu znaków: \\(-2m + 5\\), nie \\(-2m - 5\\). To najczęstsze miejsce błędu w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź wynik - wstaw \\(m\\) z powrotem do ciągu i zweryfikuj, czy różnice są równe. Zajmuje to 10 sekund i eliminuje przypadkowe błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własność średniej\nW ciągu arytmetycznym \\(a_2 = \\dfrac{a_1 + a_3}{2}\\).\n\\(4 = \\dfrac{(2m-5) + 9}{2} \\Rightarrow 8 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Różnica stała\n\\(4 - (2m-5) = 9 - 4 \\Rightarrow 9 - 2m = 5 \\Rightarrow m = 2.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-1\\)** - daje \\(a_1 = -7\\), różnice: \\(11\\) i \\(5\\) - nie stała.\n- **C. \\(3\\)** - \\(a_1 = 1\\), różnice: \\(3\\) i \\(5\\).\n- **D. \\(\\tfrac{61}{18}\\)** - niepoprawna wartość.\n\n**Trik:** środkowy wyraz to średnia arytmetyczna sąsiadów.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Trygonometria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nW trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶 sinus kąta 𝐶𝐴𝐵 jest równy 3\n5\n, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵\njest o 8 dłuższa od przyprostokątnej 𝐵𝐶.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 tego trójkąta jest równa\nA. 18\nB. 20\nC. 24\nD. 25\nW trójkącie prostokątnym ABC sinus kąta CAB jest równy 3/5, a przeciwprostokątna AB jest o 8 dłuższa od przyprostokątnej BC. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przeciwprostokątnej AB tego trójkąta jest równa A. 18 B. 20 C. 24 D. 25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - iloraz \\(q = 3\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru ogólnego\n\nW ciągu geometrycznym \\(n\\)-ty wyraz to:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\n\nZapisujemy dwa równania na podstawie danych:\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 2\\]\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 54\\]\n\n**Dzielimy stronami** drugie równanie przez pierwsze (eliminujemy \\(a_1\\)):\n\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{54}{2}\\]\n\\[q^3 = 27\\]\n\\[q = \\sqrt[3]{27} = 3\\]\n\n**Iloraz ciągu wynosi \\(q = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio przez kolejne wyrazy\n\nMiędzy wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) mamy **3 \"skoki\"** (mnożenia przez \\(q\\)):\n\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]\n\nbo \\(a_5 = a_2 \\cdot q^{5-2} = a_2 \\cdot q^3\\).\n\nPodstawiamy:\n\\[54 = 2 \\cdot q^3\\]\n\\[q^3 = 27\\]\n\\[q = 3\\]\n\n**Weryfikacja:** Przy \\(q = 3\\) i \\(a_2 = 2\\):\n\\[a_1 = \\frac{2}{3}, \\quad a_2 = 2, \\quad a_3 = 6, \\quad a_4 = 18, \\quad a_5 = 54 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do zapisania \\(a_2\\) i \\(a_5\\) jako układu równań.\n\nKluczowa własność (wynikająca z wzoru ogólnego):\n\\[a_m = a_k \\cdot q^{m-k}\\]\nUżyliśmy jej bezpośrednio w Sposobie 2 - różnica indeksów \\(5 - 2 = 3\\) daje potęgę \\(q^3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(9\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{54}{2} = 27\\) i myśli, że to \\(q\\), a nie \\(q^3\\). Pomija, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są **trzy** mnożenia, nie jedno. |\n| C: \\(\\frac{52}{3}\\) | Uczeń odejmuje: \\(54 - 2 = 52\\), a potem dzieli przez \\(3\\) (różnicę indeksów). To błąd ciągu arytmetycznego zastosowany do geometrycznego! |\n| D: \\(27\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(q^3 = 27\\), ale **zapomina wyciągnąć pierwiastek sześcienny** i podaje \\(q^3\\) zamiast \\(q\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są **3 mnożenia** przez \\(q\\) (indeksy: 2→3→4→5), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\), **nie** \\(q^2\\) ani \\(q^4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q^3 = 27\\) to nie odpowiedź - trzeba wyciągnąć pierwiastek: \\(q = \\sqrt[3]{27} = 3\\). To częsty błąd pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić ciągu geometrycznego z arytmetycznym - w geometrycznym dzielimy kolejne wyrazy (iloraz \\(q\\)), nie odejmujemy (różnica \\(r\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór ogólny\n\\(a_5 = a_2 \\cdot q^{3}\\). Stąd \\(54 = 2\\cdot q^{3} \\Rightarrow q^{3} = 27 \\Rightarrow q = 3.\\)\n\n### Sposób 2 - Iloraz kolejnych\n\\(\\dfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^{3} = \\dfrac{54}{2} = 27 \\Rightarrow q = \\sqrt[3]{27} = 3.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(9\\)** - to \\(q^{2}\\), nie \\(q\\).\n- **C. \\(\\tfrac{52}{3}\\)** - różnica \\(54-2\\) dzielona, myślenie arytmetyczne.\n- **D. \\(27\\)** - to \\(q^{3}\\), nie \\(q\\).\n\n**Trik:** \\(\\dfrac{a_m}{a_n} = q^{m-n}\\) w ciągu geometrycznym.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 5, |𝐴𝐶| = 2 oraz cos|∡𝐵𝐴𝐶| = 3\n5\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku 𝐵𝐶 tego trójkąta jest równa\nA. √17\nB. √23\nC. √35\nD. √41\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt ABC, w którym |AB|=5, |AC|=2 oraz cos|∠BAC|=3/5. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku BC tego trójkąta jest równa A. √17 B. √23 C. √35 D. √41","answer":"A","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.4) oblicza kąty trójkąta i długości jego\nboków przy odpowiednich danych\n(rozwiązuje trójkąty m.in. z wykorzystaniem\ntwierdzenia cosinusów).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(a_3 = 7\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na \\(n\\)-ty wyraz przez różnicę sum\n\nKorzystamy z podstawowej zależności między \\(n\\)-tym wyrazem ciągu a sumą jego wyrazów:\n\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nMamy dany wzór:\n\\[S_n = n^2 + 2n\\]\n\nObliczamy \\(S_3\\) i \\(S_2\\):\n\\[S_3 = 3^2 + 2 \\cdot 3 = 9 + 6 = 15\\]\n\\[S_2 = 2^2 + 2 \\cdot 2 = 4 + 4 = 8\\]\n\nZatem:\n\\[a_3 = S_3 - S_2 = 15 - 8 = \\mathbf{7}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie ogólnego wzoru na \\(a_n\\) i sprawdzenie\n\nWyznaczmy ogólny wzór na \\(a_n\\) dla \\(n \\geq 2\\):\n\\[a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2 + 2n) - \\bigl((n-1)^2 + 2(n-1)\\bigr)\\]\n\\[= n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1) - (2n - 2)\\]\n\\[= n^2 + 2n - n^2 + 2n - 1 - 2n + 2\\]\n\\[= 2n + 1\\]\n\nSprawdzamy dla \\(n = 3\\):\n\\[a_3 = 2 \\cdot 3 + 1 = \\mathbf{7}\\]\n\n**Bonus - weryfikacja spójności wzoru dla \\(a_1\\):**\n\nZe wzoru ogólnego: \\(a_1 = 2 \\cdot 1 + 1 = 3\\)\n\nZe wzoru na sumę: \\(S_1 = 1^2 + 2 \\cdot 1 = 3\\), a \\(S_1 = a_1\\), więc \\(a_1 = 3\\). ✓\n\nWzór \\(a_n = 2n + 1\\) działa też dla \\(n = 1\\), ciąg jest **arytmetyczny** z różnicą \\(r = 2\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - zależność między wyrazem a sumą:\n\nChoć karta nie podaje tego wzoru wprost jako osobnej pozycji, wynika on bezpośrednio z definicji sumy częściowej:\n\\[S_n = a_1 + a_2 + \\ldots + a_n\\]\n\\[S_{n-1} = a_1 + a_2 + \\ldots + a_{n-1}\\]\n\\[\\Rightarrow \\quad a_n = S_n - S_{n-1} \\quad (n \\geq 2)\\]\n\nJest to wzór, który **każdy maturzysta musi znać na pamięć** - stosuje się go za każdym razem, gdy podana jest suma zamiast ogólnego wyrazu.\n\nPrzy okazji - ze Sposobu 2 wyszło, że to ciąg arytmetyczny z \\(a_1 = 3\\), \\(r = 2\\). Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta, dział 8):\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n = \\frac{6 + (n-1) \\cdot 2}{2} \\cdot n = (2n + 4) \\cdot \\frac{n}{2} = n^2 + 2n\\]\n\nZgadza się z danym wzorem ✓ - piękna weryfikacja!\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd | Co uczeń policzył |\n| A (\\(5\\)) | Policzono \\(a_2 = S_2 - S_1 = 8 - 3 = 5\\) - o jeden indeks za wcześnie | Wyznaczył drugi, nie trzeci wyraz |\n| C (\\(13\\)) | Wzięto \\(S_3 - S_1 = 15 - 3 = 12\\) lub inne błędne odejmowanie - i zaokrąglono | Błąd przy wyborze odejmowanych sum |\n| D (\\(15\\)) | Wprost odczytano \\(S_3 = 15\\) - **klasyczna pułapka!** | Pomylono sumę \\(S_3\\) z wyrazem \\(a_3\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to utożsamienie \\(S_n\\) z \\(a_n\\). \\(S_3 = 15\\) to **suma trzech wyrazów**, nie trzeci wyraz. Odpowiedź D to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\) działa tylko dla \\(n \\geq 2\\). Dla \\(n = 1\\) mamy \\(a_1 = S_1\\) - sprawdź osobno, czy wzór ogólny się zgadza!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić indeksy - \\(a_3\\) liczymy jako \\(S_3 - S_2\\), nie \\(S_2 - S_1\\) (to byłoby \\(a_2\\)). Zawsze zapisz co odejmujesz, zanim zaczniesz liczyć.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Różnica sum\n\\(a_3 = S_3 - S_2\\).\n\\(S_3 = 9 + 6 = 15\\), \\(S_2 = 4 + 4 = 8\\). Stąd \\(a_3 = 15 - 8 = 7\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza\nZauważmy, że \\(a_n = S_n - S_{n-1} = (n^2+2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = 2n + 1\\) dla \\(n\\ge 2\\).\nDla \\(n=3\\): \\(a_3 = 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(5\\)** - to \\(a_2\\).\n- **C. \\(13\\)** - nieprawidłowe dodawanie.\n- **D. \\(15\\)** - to \\(S_3\\), nie \\(a_3\\).\n\n**Trik:** \\(a_n = S_n - S_{n-1}\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Miara kąta 𝐾𝑆𝑀 jest równa 160°\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta wpisanego 𝐾𝐿𝑀 jest równa\nA. 80°\nB. 90°\nC. 100°\nD. 110°\n𝐾\n𝐿\n𝑀\n𝑆 160°\n\nMMAP-P0_100\nPunkty K, L oraz M leżą na okręgu o środku w punkcie S. Miara kąta KSM jest równa 160° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta wpisanego KLM jest równa A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(AB = 20\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z definicji sinusa\n\n**Oznaczamy boki trójkąta:**\n- \\(AB = c\\) - przeciwprostokątna (szukana)\n- \\(BC = a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(CAB\\)\n- \\(AC = b\\) - druga przyprostokątna\n\n**Krok 1: Sinus kąta \\(CAB\\)**\n\nZ definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin(\\angle CAB) = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{BC}{AB} = \\frac{a}{c} = \\frac{3}{5}\\]\n\nStąd: \\(a = \\frac{3}{5}c\\), czyli:\n\\[BC = \\frac{3}{5} \\cdot AB\\]\n\n**Krok 2: Warunek na długości**\n\nPrzeciwprostokątna jest o \\(8\\) dłuższa od przyprostokątnej \\(BC\\):\n\\[AB = BC + 8 \\implies c = a + 8\\]\n\n**Krok 3: Podstawienie**\n\n\\[c = \\frac{3}{5}c + 8\\]\n\\[c - \\frac{3}{5}c = 8\\]\n\\[\\frac{2}{5}c = 8\\]\n\\[\\boxed{c = 20}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez trójkę pitagorejską\n\n**Zauważamy:** \\(\\sin(\\angle CAB) = \\frac{3}{5}\\) natychmiast sugeruje trójkę pitagorejską \\((3, 4, 5)\\).\n\nBoki są proporcjonalne: \\(BC : AC : AB = 3 : 4 : 5\\).\n\nNiech \\(BC = 3k\\), \\(AB = 5k\\). Wtedy:\n\\[AB - BC = 5k - 3k = 2k = 8 \\implies k = 4\\]\n\nZatem:\n\\[AB = 5k = 5 \\cdot 4 = \\boxed{20}\\]\n\n**Sprawdzenie:**\n- \\(BC = 3 \\cdot 4 = 12\\), \\(AC = 4 \\cdot 4 = 16\\), \\(AB = 20\\)\n- \\(\\sin(\\angle CAB) = \\frac{12}{20} = \\frac{3}{5}\\) ✓\n- \\(AB - BC = 20 - 12 = 8\\) ✓\n- Twierdzenie Pitagorasa: \\(12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 = 20^2\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\]\ngdzie \\(a\\) - przyprostokątna naprzeciwko kąta \\(\\alpha\\), \\(c\\) - przeciwprostokątna.\nUżyliśmy tego, żeby zapisać \\(\\frac{BC}{AB} = \\frac{3}{5}\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(18\\)) | Pomylenie, która przyprostokątna jest naprzeciwko kąta - wzięcie \\(AC\\) zamiast \\(BC\\): \\(\\frac{AC}{AB} = \\frac{3}{5}\\), wtedy \\(AC = \\frac{3}{5}c\\), \\(c - \\frac{3}{5}c = 8\\), ale wynik znów daje 20, więc tu błąd polega na założeniu złej różnicy (np. \\(AB - AC = 8\\) przy błędnym \\(\\frac{4}{5}c\\)). Lub błędne równanie \\(\\frac{3}{5}c = c - 8\\) rozwiązane jako \\(c = \\frac{8 \\cdot 5}{2} = 18\\) |\n| C (\\(24\\)) | Błąd: przyjęcie \\(\\sin = \\frac{AB}{BC}\\) (odwrócenie ułamka) → \\(\\frac{c}{a} = \\frac{3}{5}\\), czyli \\(c = \\frac{3}{5}a\\), a potem \\(a = c + 8\\), co daje \\(c = 12\\) - i wzięcie innego boku, lub arytmetyczna pomyłka |\n| D (\\(25\\)) | Błąd: skojarzenie z trójką \\((3,4,5)\\) bez proporcji - bezpośrednie przyjęcie \\(AB = 5 \\cdot 5 = 25\\) (mnożenie przez 5 zamiast przez 4) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sinus kąta to przyprostokątna **naprzeciwległa** podzielona przez przeciwprostokątną - nie odwrotnie! Odwrócenie ułamka to najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, o ile dłuższa jest **przeciwprostokątna od przyprostokątnej \\(BC\\)** - nie od \\(AC\\)! Treść precyzuje, która para boków jest porównywana.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójka pitagorejska \\((3, 4, 5)\\) pojawia się bardzo często na maturze. Gdy widzisz \\(\\sin = \\frac{3}{5}\\) lub \\(\\cos = \\frac{4}{5}\\), od razu myśl o tej trójce - Sposób 2 jest wtedy dużo szybszy!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Definicja sinusa\n\\(\\sin(CAB) = \\dfrac{BC}{AB} = \\dfrac{3}{5}\\).\nNiech \\(BC = x\\), wtedy \\(AB = x + 8\\), więc \\(\\dfrac{x}{x+8} = \\dfrac{3}{5}\\).\n\\(5x = 3x + 24 \\Rightarrow x = 12\\). Zatem \\(AB = 20\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt \\(3{-}4{-}5\\)\nStosunek \\(\\tfrac{3}{5}\\) odpowiada trójkątowi \\(3k, 4k, 5k\\). Tu \\(BC = 3k\\), \\(AB = 5k\\), różnica \\(AB - BC = 2k = 8 \\Rightarrow k = 4\\). Więc \\(AB = 20\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\)** - daje \\(BC = 10\\), ale \\(\\tfrac{10}{18} \\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n- **C. \\(24\\)** - \\(BC = 16\\), \\(\\tfrac{16}{24} = \\tfrac{2}{3}\\).\n- **D. \\(25\\)** - \\(BC = 17\\), \\(\\tfrac{17}{25} \\ne \\tfrac{3}{5}\\).\n\n**Trik:** \\(\\sin = \\tfrac{\\text{naprzeciw}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-2)\nPodstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 12 oraz |𝐶𝐷| = 6.\nWysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość 24. Na odcinku 𝐴𝐷 leży punkt 𝐸 taki, że\n|∡𝐵𝐸𝐴| = |∡𝐶𝐸𝐷| (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka 𝑩𝑬. Zapisz obliczenia.\n20.\n0-1-2\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n⋅\n𝐵\n⋅\n𝐴\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nPodstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: |AB|=12 oraz |CD|=6. Wysokość AD tego trapezu ma długość 24. Na odcinku AD leży punkt E taki, że |∠BEA| = |∠CED| (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz długość odcinka BE. Zapisz obliczenia.","answer":"BE=20","answer_text":"Zadanie 20. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.8) korzysta z cech podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝐸: |𝐵𝐸| = 20.\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐷𝐸: |𝐷𝐸| = 8\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝐸: |𝐴𝐸| = 16.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐸| = 20 albo stosując błędną metodę, uzyskuje |𝐵𝐸| = 20,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt podobieństwa\ntrójkątów. Stąd\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| =\n|𝐷𝐸|\n|𝐶𝐷|\n|𝐴𝐸|\n12 = 24 -|𝐴𝐸|\n6\n|𝐴𝐸| = 48 -2|𝐴𝐸|\n3|𝐴𝐸| = 48\n|𝐴𝐸| = 16\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:\n|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2\n|𝐵𝐸|2 = 122 + 162\n|𝐵𝐸|2 = 400\n|𝐵𝐸| = 20\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐸 (na podstawie cechy kąt - kąt - kąt\npodobieństwa trójkątów) w skali 𝑘= 12\n6 = 2.\nStąd |𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸|.\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐷| = 24\n|𝐴𝐸| + |𝐷𝐸| = 24\n2|𝐷𝐸| + |𝐷𝐸| = 24\n3|𝐷𝐸| = 24\n|𝐷𝐸| = 8\n|𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸| = 16\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:\n|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2\n|𝐵𝐸|2 = 122 + 162\n|𝐵𝐸|2 = 400\n|𝐵𝐸| = 20","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{7}{24}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna + definicja tangensa\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(\\sin\\alpha\\) z jedynki trygonometrycznej.**\n\nWiemy, że:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\):\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{24}{25}\\right)^2 = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{576}{625} = 1\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{576}{625} = \\frac{625 - 576}{625} = \\frac{49}{625}\\]\n\n**Krok 2: Wyciągamy pierwiastek.**\n\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{49}{625}} = \\frac{7}{25}\\]\n\n(Bierzemy wartość dodatnią, bo \\(\\alpha\\) jest kątem **ostrym** - sinus jest dodatni!)\n\n**Krok 3: Liczymy tangens.**\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\dfrac{7}{25}}{\\dfrac{24}{25}} = \\frac{7}{25} \\cdot \\frac{25}{24} = \\boxed{\\frac{7}{24}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny (geometrycznie)\n\nSkoro \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym i \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\), to możemy narysować trójkąt prostokątny, w którym:\n\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległe}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{24}{25}\\]\n\nCzyli: **przyległe = 24**, **przeciwprostokątna = 25**.\n\n**Szukamy boku przeciwległego** z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + 24^2 = 25^2\\]\n\\[a^2 = 625 - 576 = 49\\]\n\\[a = 7\\]\n\nTeraz odczytujemy tangens wprost z definicji:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległe}}{\\text{przyległe}} = \\frac{7}{24}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyta w Sposobie 1 do obliczenia końcowego wyniku.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{7}{18}\\) | Błędne obliczenie boku: np. \\(25 - 24 = 1\\), potem jakieś pomyłki w działaniach; liczba 18 nie wynika z żadnego sensownego kroku |\n| C - \\(\\dfrac{7}{25}\\) | Uczeń zatrzymuje się na \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\) i podaje sinus zamiast tangensa |\n| D - \\(\\dfrac{18}{25}\\) | Uczeń myli się przy Pitagorasie: liczy \\(24 - 25 = \\ldots\\) albo wpisuje cosinus jako odpowiedź; 18 nie pojawia się naturalnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zatrzymanie się na \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\) i podanie tego jako odpowiedzi - to odpowiedź C, która jest \"pułapką\" w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\), nie \\(\\dfrac{\\sin\\alpha}{\\text{coś innego}}\\). Przy dzieleniu ułamków przez ułamki - mnożysz przez odwrotność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Fakt, że \\(\\alpha\\) jest **kątem ostrym** jest kluczowy - pozwala przyjąć \\(\\sin\\alpha > 0\\) bez rozważania przypadków. Gdyby kąt był w II ćwiartce, sinus byłby dodatni, ale cosinus ujemny - czytaj treść zadania uważnie!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1 \\Rightarrow \\sin^{2}\\alpha = 1 - \\dfrac{576}{625} = \\dfrac{49}{625}.\\)\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\) (kąt ostry).\n\\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{7/25}{24/25} = \\dfrac{7}{24}.\\)\n\n### Sposób 2 - Trójka pitagorejska 7-24-25\nW trójkącie prostokątnym: \\(\\cos = \\tfrac{24}{25}\\Rightarrow\\) przyprostokątna \\(= 24\\), przeciwprostokątna \\(= 25\\).\nDruga przyprostokątna: \\(\\sqrt{625-576} = 7\\). Stąd \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\tfrac{7}{24}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{18}\\)** - zły mianownik.\n- **C. \\(\\tfrac{7}{25}\\)** - to \\(\\sin\\alpha\\).\n- **D. \\(\\tfrac{18}{25}\\)** - niepoprawne wyliczenie.\n\n**Trik:** zapamiętaj trójki pitagorejskie \\(3{-}4{-}5\\), \\(5{-}12{-}13\\), \\(7{-}24{-}25\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-4)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷\nprzecinają się w punkcie 𝑆= (9, 11). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej\no równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝑩. Zapisz obliczenia.\n21.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) przekątne równoległoboku ABCD przecinają się w punkcie S=(9,11). Bok AB tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu y=1/2x-1, a bok AD zawiera się w prostej o równaniu y=2x-4. Oblicz współrzędne wierzchołka B. Zapisz obliczenia.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.1) […] znajduje wspólny punkt dwóch\nprostych […];\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład [ ]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz podanie poprawnego\nwyniku: 𝐵= (6, 2).\n3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 2𝑥-10\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝐵,\nnp.:\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11,\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz 𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 oraz 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej\n𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub 𝑦𝑑), np. 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏)\noraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub\n𝑦𝑑), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1) oraz 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):\n𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych\nbłędów a)-c), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2, 0).\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc\n2 + 𝑥𝑐\n2\n= 9 oraz 0 + 𝑦𝑐\n2\n= 11\n𝑥𝑐= 16 oraz 𝑦𝑐= 22\nZatem 𝐶= (16, 22).\nProsta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest\nrówny 2. Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:\n𝑦= 2(𝑥-16) + 22\n𝑦= 2𝑥-10\nPunkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-10\nStąd\n2𝑥-10 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 9\n𝑥= 6\n𝑦= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 2.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵:\n𝑦= 2(𝑥-9) + 11\n𝑦= 2𝑥-7\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu\nsą rozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-7\nStąd\n2𝑥-7 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 6\n𝑥= 4\n𝑦= 1\nZatem 𝑀𝐴𝐵= (4, 1).\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc\n2 + 𝑥𝑏\n2\n= 4 oraz 0 + 𝑦𝑏\n2\n= 1\n𝑥𝑏= 6 oraz 𝑦𝑏= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nSposób III\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1, stąd 𝑦𝑏= 1\n2𝑥𝑏-1.\nPunkt 𝐷 leży na prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4, stąd 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11\nZatem\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑= 18 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2𝑥𝑑= 27\n𝑥𝑑= 18 -𝑥𝑏 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2(18 -𝑥𝑏) = 27\nStąd otrzymujemy\n-3\n2 𝑥𝑏= -9\n𝑥𝑏= 6\n𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 = 1\n2 ⋅6 -1 = 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(3\\))\n\n## Sposób 1 - Wzór na pole trójkąta z kątem\n\nZe wzoru na pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i zawarty między nimi kąt:\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot |AC| \\cdot \\sin|\\angle BAC|\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(|AB| = 5\\), \\(|AC| = 2\\), \\(\\sin|\\angle BAC| = \\frac{3}{5}\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{5}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{5 \\cdot 2 \\cdot 3}{5}\\]\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\boxed{3}\\]\n\n**Pole trójkąta \\(ABC = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez wyznaczenie wysokości (geometrycznie)\n\nSkoro \\(\\sin|\\angle BAC| = \\frac{3}{5}\\), to możemy znaleźć kosinus tego kąta. Sprawdzamy czy kąt jest ostry czy rozwarty.\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\cos^2|\\angle BAC| = 1 - \\sin^2|\\angle BAC| = 1 - \\frac{9}{25} = \\frac{16}{25}\\]\n\\[\\cos|\\angle BAC| = \\pm\\frac{4}{5}\\]\n\nNiezależnie od tego, czy kąt jest ostry (\\(\\cos = \\frac{4}{5}\\)) czy rozwarty (\\(\\cos = -\\frac{4}{5}\\)), wzór na pole nie zmienia wyniku - liczy się tylko wartość sinusa.\n\n**Obliczamy wysokość** opuszczoną z \\(C\\) na prostą \\(AB\\):\n\n\\[h = |AC| \\cdot \\sin|\\angle BAC| = 2 \\cdot \\frac{3}{5} = \\frac{6}{5}\\]\n\nPole trójkąta ze wzoru \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{podstawa} \\cdot \\text{wysokość}\\):\n\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot \\frac{6}{5} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 = \\boxed{3}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **pole = \\(3\\)**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - wzór na pole trójkąta z kątem zawartym:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\ngdzie \\(a, b\\) to dwa boki, a \\(\\gamma\\) to kąt między nimi. W naszym zadaniu \\(a = |AB| = 5\\), \\(b = |AC| = 2\\), \\(\\gamma = \\angle BAC\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B (\\(5\\)) | Policzono \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 \\cdot 1\\) - wstawiono \\(\\sin = 1\\) zamiast \\(\\frac{3}{5}\\); albo \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 5 \\cdot 2 = 5\\) bez uwzględnienia sinusa wcale |\n| C (\\(6\\)) | Zapomniano podzielić przez \\(2\\): policzono \\(5 \\cdot 2 \\cdot \\frac{3}{5} = 6\\) bez czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) |\n| D (\\(10\\)) | Policzono samo \\(|AB| \\cdot |AC| = 5 \\cdot 2 = 10\\) - pominięto zarówno \\(\\frac{1}{2}\\), jak i sinus |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika \\(\\frac{1}{2}\\) we wzorze na pole. Wzór to \\(\\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\), nie \\(ab\\sin\\gamma\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz wyznaczać samego kąta \\(\\angle BAC\\) - wartość \\(\\sin\\) podana jest wprost i bezpośrednio wchodzi do wzoru. Nie licz \\(\\arcsin\\) ani nie zamieniaj na stopnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór działa zarówno dla kąta ostrego, jak i rozwartego (sinus obu jest dodatni). Znak cosinusa nie wpływa na pole.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór z sinusem\n\\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot |AB|\\cdot |AC|\\cdot \\sin|\\angle BAC|\\)\n\\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\cdot \\dfrac{3}{5} = \\dfrac{1}{2}\\cdot 6 = 3.\\)\n\n### Sposób 2 - Wysokość\nWysokość z \\(C\\) na \\(AB\\): \\(h = |AC|\\cdot \\sin\\alpha = 2\\cdot\\tfrac{3}{5} = \\tfrac{6}{5}\\).\n\\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot \\tfrac{6}{5} = 3.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5\\)** - \\(P = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 2\\) bez sinusa.\n- **C. \\(6\\)** - pomnożone bez dzielenia przez 2.\n- **D. \\(10\\)** - \\(|AB|\\cdot |AC|\\) bez wzoru.\n\n**Trik:** karta wzorów - pole trójkąta z dwóch boków i kąta.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Geometria analityczna, analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3𝑚-2)𝑥-2\n𝑙: 𝑦= (2𝑚+ 4)𝑥+ 2\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-6)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 6\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) proste k oraz l są określone równaniami k: y=(3m-2)x-2 l: y=(2m+4)x+2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste k oraz l są równoległe, gdy liczba m jest równa A. (-6) B. (-2) C. 2 D. 6⋅r }","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniem prostej na\npłaszczyźnie w postaci kierunkowej, w tym\nwyznacza równanie prostej o zadanych\nwłasnościach (takich jak na przykład [ ]\nrównoległość […] do innej prostej […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(100°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Kąt środkowy \\(KSM = 160°\\) i kąt wpisany \\(KLM\\) opierają się na tym samym łuku \\(KM\\) (łuku, który *nie* zawiera punktu \\(L\\)).\n\n**Twierdzenie:** Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nSprawdzamy, na którym łuku oparty jest kąt \\(KSM = 160°\\):\n- Kąt środkowy \\(160°\\) oparty jest na łuku \\(KM\\) **nie zawierającym** punktu \\(L\\) (krótszy łuk \\(KM\\), bo \\(160° < 180°\\) - łuk ten ma miarę \\(160°\\)).\n\nKąt wpisany \\(KLM\\), gdzie \\(L\\) leży na *przeciwnym* łuku (dłuższym), jest oparty na tym samym łuku \\(KM\\) (tym krótszym, bez \\(L\\)).\n\nZatem:\n\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle KSM = \\frac{1}{2} \\cdot 160° = 80°\\]\n\nChwila - to odpowiedź A. Ale musimy sprawdzić rysunek uważniej! Z opisu i rysunku wynika, że \\(L\\) leży po tej samej stronie co łuk **o mierze** \\(160°\\), czyli kąt \\(KSM = 160°\\) jest kątem środkowym opartym na łuku *zawierającym* \\(L\\).\n\n**Korekta z rysunku:** Łuk \\(KM\\), na którym opiera się kąt wpisany \\(KLM\\), to łuk **nie zawierający** \\(L\\). Jego miara to:\n\\[360° - 160° = 200°\\]\n\nKąt wpisany oparty na tym łuku (miara łuku \\(200°\\)):\n\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot 200° = \\boxed{100°}\\]\n\n**Odpowiedź: C, \\(100°\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez kąt środkowy dopełniający\n\nŁuk \\(KM\\) zawierający \\(L\\) ma miarę \\(200°\\), więc odpowiadający mu kąt środkowy \"po tamtej stronie\" wynosi \\(200°\\) (kąt wklęsły przy \\(S\\)).\n\nKąt wpisany \\(KLM\\) oparty na łuku \\(KM\\) (zawierającym \\(L\\) po drugiej stronie) to połowa kąta środkowego **opartego na tym samym łuku** (czyli łuku bez \\(L\\)):\n\n\\[\\text{Łuk bez } L = 360° - 160° = 200°\\]\n\\[\\angle KLM = \\frac{1}{2} \\cdot 200° = 100°\\]\n\n**Weryfikacja:** Gdyby \\(L\\) leżał na krótszym łuku (o mierze \\(160°\\)), kąt byłby \\(\\frac{160°}{2} = 80°\\). Ale z rysunku \\(L\\) leży na dłuższym łuku - zatem wynik to \\(100°\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\angle \\text{środkowy}\\]\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: kąt środkowy \\(KSM\\) oparty na łuku bez \\(L\\) wynosi \\(360° - 160° = 200°\\), więc kąt wpisany \\(KLM = \\frac{200°}{2} = 100°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(80°\\) | Wzięto połowę kąta \\(160°\\), nie sprawdzając na którym łuku leży \\(L\\). To błąd pominięcia rysunku - \\(L\\) leży na większym łuku, więc kąt środkowy dla wpisanego to \\(360° - 160° = 200°\\). |\n| B - \\(90°\\) | Przypadkowe \"wyśrodkowanie\" między 80° a 100°, lub mylne użycie twierdzenia Talesa. Brak podstaw geometrycznych. |\n| D - \\(110°\\) | Błędne obliczenie, np. \\(\\frac{360° - 160°}{2} + 10°\\) - brak geometrycznego uzasadnienia. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, po której stronie łuku leży punkt \\(L\\)! Jeśli \\(L\\) leży na **dłuższym** łuku \\(KM\\), kąt wpisany liczymy z krótszego łuku (i odwrotnie).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo od razu podzielić \\(160° : 2 = 80°\\) i wybrać A - to klasyczna pułapka w tym zadaniu. Zawsze pytaj: *na którym łuku opiera się kąt wpisany?*\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miara łuku \"po drugiej stronie\" to \\(360° - \\angle \\text{środkowy}\\). Dopiero tę miarę dzielimy przez 2, jeśli \\(L\\) leży na łuku o mierze \\(160°\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy niezawierający \\(L\\)\nZ rysunku \\(L\\) leży po stronie mniejszego łuku. Kąt wpisany \\(KLM\\) opiera się na łuku \\(KM\\) nie zawierającym \\(L\\). Ten łuk odpowiada kątowi środkowemu \\(360° - 160° = 200°\\).\n\\(|\\angle KLM| = \\dfrac{200°}{2} = 100°.\\)\n\n### Sposób 2 - Czworokąt \\(KSML\\)\nW czworokącie \\(KSML\\) mamy \\(|SK|=|SM|\\) (promienie), więc \\(SKLM\\) jest deltoidem z kątami przy \\(K\\) i \\(M\\) równymi. Suma kątów: \\(160° + 2\\cdot 50° + |\\angle KLM| = 360°\\), więc \\(|\\angle KLM| = 100°\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(80°\\)** - to \\(\\tfrac{160°}{2}\\), ale \\(L\\) leży po drugiej stronie.\n- **B. \\(90°\\)** - brak uzasadnienia.\n- **D. \\(110°\\)** - błąd arytmetyczny.\n\n**Trik:** gdy \\(L\\) leży po stronie łuku odpowiadającego kątowi środkowemu, kąt wpisany to połowa kąta wklęsłego.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Funkcja liniowa, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) odcinek o końcach 𝐴= (-4, 7) oraz\n𝐵= (6, -1) jest średnicą okręgu 𝒪.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒪 jest określony równaniem\nA. (𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 41\nB. (𝑥-5)2 + (𝑦+ 4)2 = 41\nC. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 3)2 = 41\nD. (𝑥-5)2 + (𝑦-4)2 = 41\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) odcinek o końcach A=(-4,7) oraz B=(6,-1) jest średnicą okręgu O. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg O jest określony równaniem A. (x-1)²+(y-3)²=41 B. (x-5)²+(y+4)²=41 C. (x-1)²+(y+3)²=41 D. (x-5)²+(y-4)²=41","answer":"A","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 6\\))\n\n## Sposób 1 - przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\n**Krok 1: Warunek równoległości - współczynniki kierunkowe muszą być równe.**\n\n\\[3m - 2 = 2m + 4\\]\n\n**Krok 2: Rozwiązujemy równanie.**\n\n\\[3m - 2m = 4 + 2\\]\n\\[m = 6\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne** (to byłoby \"pokrywanie się\", a nie równoległość).\n\nDla \\(m = 6\\):\n- prosta \\(k\\): \\(y = (3 \\cdot 6 - 2)x - 2 = 16x - 2\\)\n- prosta \\(l\\): \\(y = (2 \\cdot 6 + 4)x + 2 = 16x + 2\\)\n\nWyrazy wolne to \\(-2\\) i \\(2\\) - są **różne**, więc proste są rzeczywiście równoległe (nie pokrywają się).\n\n**Odpowiedź: \\(m = 6\\)**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie do każdej odpowiedzi\n\nSprawdzamy każdą odpowiedź, czy daje równe współczynniki kierunkowe:\n\n| \\(m\\) | Wsp. kier. \\(k\\): \\(3m-2\\) | Wsp. kier. \\(l\\): \\(2m+4\\) | Równe? |\n| \\(-6\\) | \\(3(-6)-2 = -20\\) | \\(2(-6)+4 = -8\\) | NIE |\n| \\(-2\\) | \\(3(-2)-2 = -8\\) | \\(2(-2)+4 = 0\\) | NIE |\n| \\(2\\) | \\(3(2)-2 = 4\\) | \\(2(2)+4 = 8\\) | NIE |\n| \\(6\\) | \\(3(6)-2 = 16\\) | \\(2(6)+4 = 16\\) | **TAK** |\n\nTylko \\(m = 6\\) spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\neq b_2\\)).\n\nTo bezpośrednio zastosowaliśmy w Sposobie 1 i 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(-6\\)) | Prawdopodobnie błąd znakowy: np. \\(3m + 2 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 2\\), lub źle przepisana jedna z wartości |\n| B (\\(-2\\)) | Możliwe odwrotne podstawienie: pomylono wyrazy wolne z współczynnikami kierunkowymi, np. przyrównano \\(-2 = 2m+4\\) zamiast współczynników przy \\(x\\) |\n| C (\\(2\\)) | Typowy błąd: przyrównano wyrazy wolne \\(-2 = 2\\) (niemożliwe) lub błędnie ustawiono równanie \\(3m - 2 = 2m + 4\\) i \"zgubieniu\" zmieniło się \\(m\\) na \\(2\\) - może wynikać z błędnego przeniesienia wyrazów: \\(3m - 2m = 4 - 2 \\Rightarrow m = 2\\) ⚠️ **(to najczęstszy błąd - nieprawidłowe przenoszenie z błędnym znakiem \\(+2\\) zamiast \\(-(-2)=+2\\) z lewej strony)** |\n| D | Poprawna odpowiedź |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek równoległości to **tylko** równość współczynników kierunkowych - nie wolnych! Nie przyrównuj wyrazów wolnych (\\(-2\\) i \\(+2\\)) - to nie jest warunek równoległości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po znalezieniu \\(m\\) zawsze sprawdź, czy proste się nie pokrywają (czy wyrazy wolne są różne). Gdyby były takie same, proste byłyby identyczne - a to nie jest równoległość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd przy rozwiązywaniu \\(3m - 2 = 2m + 4\\): przeniesienie \\(-2\\) na prawą stronę daje \\(+2\\), czyli \\(m = 4 + 2 = 6\\) - dobrze. Ale uczeń często \"na skróty\" myśli \\(4 - 2 = 2\\) i wybiera odpowiedź C.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Warunek równoległości\nDwie proste są równoległe, gdy mają równe współczynniki kierunkowe:\n\\(3m - 2 = 2m + 4 \\Rightarrow m = 6.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(m = 6\\): \\(k:\\,y = 16x-2\\), \\(l:\\,y = 16x+2\\). Te same nachylenia, różne wyrazy wolne - proste równoległe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-6\\)** - \\(k:\\,-20\\), \\(l:\\,-8\\), różne.\n- **B. \\(-2\\)** - \\(k:\\,-8\\), \\(l:\\,0\\), różne.\n- **C. \\(2\\)** - \\(k:\\,4\\), \\(l:\\,8\\), różne.\n\n**Trik:** proste \\(y = ax + b\\) i \\(y = cx + d\\) są równoległe \\(\\iff a = c\\) (i \\(b \\ne d\\)).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nLiczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa\nA. 10\nB. 11\nC. 12\nD. 13\nLiczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa A. 10 B. 11 C. 12 D. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((1, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\nŚrodek okręgu to środek jego średnicy. Wystarczy znaleźć środek odcinka \\(AB\\).\n\nDane:\n\\[A = (-4, 7), \\quad B = (6, -1)\\]\n\nWzór na środek odcinka:\n\\[S = \\left(\\frac{x_A + x_B}{2},\\ \\frac{y_A + y_B}{2}\\right)\\]\n\nObliczamy:\n\\[x_S = \\frac{-4 + 6}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n\\[y_S = \\frac{7 + (-1)}{2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Środek okręgu \\(\\mathcal{O}\\) to punkt \\(S = (1, 3)\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez równe odległości\n\nŚrodek okręgu musi być jednakowo oddalony od obu końców średnicy. Sprawdzamy, czy punkt \\((1, 3)\\) rzeczywiście leży w równej odległości od \\(A\\) i \\(B\\).\n\n\\[|SA| = \\sqrt{(1-(-4))^2 + (3-7)^2} = \\sqrt{5^2 + (-4)^2} = \\sqrt{25 + 16} = \\sqrt{41}\\]\n\n\\[|SB| = \\sqrt{(1-6)^2 + (3-(-1))^2} = \\sqrt{(-5)^2 + 4^2} = \\sqrt{25 + 16} = \\sqrt{41}\\]\n\n**\\(|SA| = |SB| = \\sqrt{41}\\) ✓ - punkt \\((1, 3)\\) jest środkiem okręgu, a \\(\\sqrt{41}\\) to jego promień.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 bezpośrednio.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B \\((5, -4)\\) | Zamiast liczyć średnią, uczeń wziął \\(x_A + x_B = -4+6\\) i pomylił to z samą sumą; albo po prostu przepisał same współrzędne jednego punktu |\n| C \\((1, -3)\\) | Poprawna współrzędna \\(x\\), ale \\(y\\) obliczone ze złym znakiem: \\(\\frac{7-1}{2} = 3\\), nie \\(-3\\). Typowa pomyłka przy odejmowaniu zamiast dodawania |\n| D \\((5, 4)\\) | Błąd przy dodawaniu liczb o różnych znakach: \\(-4 + 6 \\neq 10\\), oraz \\(7 + (-1) \\neq 8\\); wynik bez dzielenia przez 2 lub z błędem znaku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to odejmowanie współrzędnych zamiast dodawania: \\(\\frac{x_B - x_A}{2}\\) zamiast \\(\\frac{x_A + x_B}{2}\\). To daje wektor, nie środek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dodawaniu \\(7 + (-1)\\) łatwo wyjść na \\(6\\), ale po zamianie na \\(7 - 1\\) część uczniów zapisuje wynik \\(-6\\). Zawsze sprawdź znak!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że środek odcinka (= środek okręgu) to punkt, a nie wektor - podaj oba wyniki \\((x_S, y_S)\\) razem, bo na maturze podanie tylko jednej współrzędnej to błąd.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\nŚrodek okręgu to środek średnicy:\n\\(S = \\left(\\dfrac{-4+6}{2},\\, \\dfrac{7+(-1)}{2}\\right) = (1,\\, 3).\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nOdległość od \\(S=(1,3)\\) do \\(A=(-4,7)\\): \\(\\sqrt{25+16} = \\sqrt{41}\\).\nOdległość od \\(S\\) do \\(B=(6,-1)\\): \\(\\sqrt{25+16} = \\sqrt{41}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((5,-4)\\)** - pomyłka w znakach.\n- **C. \\((1,-3)\\)** - błąd znaku w \\(y\\).\n- **D. \\((5,4)\\)** - pomylone sumy i różnice.\n\n**Trik:** karta wzorów - środek odcinka: \\(\\left(\\tfrac{x_A+x_B}{2}, \\tfrac{y_A+y_B}{2}\\right)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nDługości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema\nkolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma\ndługość 10.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe\nA. 376\nB. 466\nC. 480\nD. 720\n\nMMAP-P0_100\nDługości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość 10. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe A. 376 B. 466 C. 480 D. 720","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nX.4) oblicza […] pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na ściany ostrosłupa prawidłowego\n\n**Kluczowa obserwacja:** ostrosłup prawidłowy \\(n\\)-boczny ma:\n- \\(1\\) ścianę będącą podstawą (wielokąt \\(n\\)-boczny)\n- \\(n\\) ścian bocznych (trójkąty)\n\nŁączna liczba ścian:\n\\[L_{\\text{ścian}} = n + 1\\]\n\n**Wyznaczamy \\(n\\) z warunków zadania:**\n\n\\[n + 1 = 12 \\implies n = 11\\]\n\nMamy więc **ostrosłup jedenastoboczny** (podstawa to 11-kąt prawidłowy).\n\n**Liczymy wierzchołki:**\n\nOstrosłup \\(n\\)-boczny ma:\n- \\(n\\) wierzchołków podstawy\n- \\(1\\) wierzchołek (wierzchołek ostrosłupa - apex)\n\n\\[L_{\\text{wierzchołków}} = n + 1 = 11 + 1 = \\mathbf{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wzorem Eulera\n\nWzór Eulera dla wielościanów wypukłych:\n\\[V - E + F = 2\\]\ngdzie \\(V\\) = wierzchołki, \\(E\\) = krawędzie, \\(F\\) = ściany.\n\nDla ostrosłupa \\(11\\)-bocznego (\\(n = 11\\)):\n- \\(F = 12\\) (dane w zadaniu)\n- Krawędzie: \\(n\\) krawędzi podstawy \\(+\\) \\(n\\) krawędzi bocznych \\(= 2 \\cdot 11 = 22\\), czyli \\(E = 22\\)\n- Sprawdzamy: \\(V = 2 - F + E = 2 - 12 + 22 = 12\\) ✓\n\nWynik zgodny: **\\(V = 12\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ostrosłupa prawidłowego (liczba ścian, wierzchołków i krawędzi zależna od liczby boków podstawy).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(10\\) | Uczeń liczy wierzchołki jako \\(n - 1 = 11 - 1\\) lub myli \\(n\\) z liczbą ścian bocznych i odejmuje zamiast dodawać apex |\n| B. \\(11\\) | Uczeń zapomina doliczyć wierzchołek główny (apex) - liczy tylko wierzchołki podstawy |\n| D. \\(13\\) | Uczeń błędnie przyjmuje \\(n = 12\\) (bierze całą liczbę ścian bez odjęcia podstawy), potem dodaje apex: \\(12 + 1 = 13\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba ścian ostrosłupa \\(n\\)-bocznego to \\(n + 1\\), **nie** \\(n\\). Podstawa też jest ścianą! Przy wyznaczaniu \\(n\\) pamiętaj o odjęciu jedynki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba wierzchołków ostrosłupa to też \\(n + 1\\) - \\(n\\) wierzchołków podstawy plus jeden apex. Łatwo zapomnieć o wierzchołku szczytowym, bo nie leży w podstawie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla ostrosłupa prawidłowego: liczba ścian = liczba wierzchołków \\(= n+1\\). To piękna symetria, którą warto zapamiętać!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Liczenie\nOstrosłup prawidłowy ma podstawę n-kąt i \\(n\\) ścian bocznych. Łącznie ścian: \\(n + 1\\).\n\\(n + 1 = 12 \\Rightarrow n = 11\\). Wierzchołki: \\(n\\) wierzchołków podstawy + \\(1\\) wierzchołek (szczyt) = \\(12\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór Eulera\nDla ostrosłupa \\(n\\)-kątnego: \\(W - K + S = 2\\). \\(S = n+1\\), \\(W = n+1\\), \\(K = 2n\\). Sprawdzenie: \\((n+1)-2n+(n+1) = 2\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - brak szczytu.\n- **B. \\(11\\)** - tylko podstawa.\n- **D. \\(13\\)** - przeliczenie o 1.\n\n**Trik:** dla ostrosłupa \\(n\\)-kątnego: wierzchołków \\(=\\) ścian \\(= n+1\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest prostopadłościan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w którym podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i 𝐸𝐹𝐺𝐻 są\nkwadratami o boku długości 6. Przekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu tworzy z przekątną\n𝐴𝐻 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nPrzekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu ma długość równą\nA. 4√3\nB. 6√3\nC. 12\nD. 12√2\n30°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n6\n6\n\nMMAP-P0_100\nDany jest prostopadłościan ABCDEFGH, w którym podstawy ABCD i EFGH są kwadratami o boku długości 6. Przekątna BH tego prostopadłościanu tworzy z przekątną AH ściany bocznej ADHE kąt o mierze 30° (zobacz rysunek). [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Przekątna BH tego prostopadłościanu ma długość równą A. 4√3 B. 6√3 C. 12 D. 12√2","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w graniastosłupach […]\nkąty między odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi), oblicza miary\ntych kątów.\nVIII.11) stosuje funkcje trygonometryczne\ndo wyznaczania długości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(12\\)\n\n## Sposób 1 - Współrzędne i iloczyn skalarny\n\n**Wprowadzamy układ współrzędnych.** Umieszczamy prostopadłościan tak, by:\n\\[A = (0,0,0),\\quad B = (6,0,0),\\quad C = (6,6,0),\\quad D = (0,6,0)\\]\n\\[E = (0,0,h),\\quad F = (6,0,h),\\quad G = (6,6,h),\\quad H = (0,6,h)\\]\ngdzie \\(h\\) to szukana wysokość prostopadłościanu.\n\n**Wyznaczamy wektory przekątnych:**\n\\[\\vec{AH} = (0, 6, h), \\qquad \\vec{BH} = (-6, 6, h)\\]\n\n**Zapisujemy warunek kąta** \\(30°\\) między \\(BH\\) a \\(AH\\):\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\vec{AH} \\cdot \\vec{BH}}{|\\vec{AH}| \\cdot |\\vec{BH}|}\\]\n\nLiczymy iloczyn skalarny:\n\\[\\vec{AH} \\cdot \\vec{BH} = 0 \\cdot (-6) + 6 \\cdot 6 + h \\cdot h = 36 + h^2\\]\n\nLiczymy długości:\n\\[|\\vec{AH}| = \\sqrt{36 + h^2}, \\qquad |\\vec{BH}| = \\sqrt{72 + h^2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[\\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{36 + h^2}{\\sqrt{36+h^2} \\cdot \\sqrt{72+h^2}} = \\frac{\\sqrt{36+h^2}}{\\sqrt{72+h^2}}\\]\n\nPodnosimy do kwadratu:\n\\[\\frac{3}{4} = \\frac{36 + h^2}{72 + h^2}\\]\n\n\\[3(72 + h^2) = 4(36 + h^2)\\]\n\\[216 + 3h^2 = 144 + 4h^2\\]\n\\[h^2 = 72\\]\n\n**Długość przekątnej \\(BH\\):**\n\\[|BH| = \\sqrt{72 + h^2} = \\sqrt{72 + 72} = \\sqrt{144} = \\boxed{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Trójkąt prostokątny ABH\n\n**Kluczowa obserwacja:** krawędź \\(AB\\) jest prostopadła do płaszczyzny ściany \\(ADHE\\).\n\nDlaczego? Bo \\(AB \\perp AD\\) (kąt w podstawie kwadratu) oraz \\(AB \\perp AE\\) (krawędź boczna prostopadłościanu prostopadła do podstawy), a dwa prostopadłe wektory wyznaczają płaszczyznę - więc \\(AB \\perp\\) płaszczyzna \\(ADHE\\).\n\nSkoro \\(AH\\) leży w płaszczyźnie \\(ADHE\\), to:\n\\[AB \\perp AH\\]\n\n**Trójkąt \\(ABH\\) jest prostokątny z kątem prostym przy \\(A\\).**\n\nW tym trójkącie kąt \\(\\angle AHB = 30°\\), a \\(AB = 6\\):\n\\[\\sin(\\angle AHB) = \\frac{AB}{BH}\\]\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{6}{BH}\\]\n\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{6}{BH}\\]\n\n\\[\\boxed{BH = 12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - własności prostopadłościanu.\nUżyliśmy faktu, że krawędzie boczne graniastosłupa prostego są prostopadłe do płaszczyzny podstawy.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - sinus kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nW Sposobie 2 bezpośrednio z definicji sinusa odczytujemy \\(BH\\).\n\nW Sposobie 1 korzystamy z iloczynu skalarnego - to nie jest wzór z karty CKE, ale wniosek z definicji cosinusa (dział 9, s. 12).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| A | \\(4\\sqrt{3}\\) | Użycie **cosinus** zamiast sinus w trójkącie prostokątnym: \\(\\cos 30° = \\frac{AB}{BH}\\), co daje \\(BH = \\frac{6}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{12}{\\sqrt{3}} = 4\\sqrt{3}\\) |\n| B | \\(6\\sqrt{3}\\) | Obliczono długość **\\(AH\\)** (przekątnej ściany bocznej) zamiast \\(BH\\): \\(|AH| = \\sqrt{36 + 72} = \\sqrt{108} = 6\\sqrt{3}\\) |\n| D | \\(12\\sqrt{2}\\) | Dodano długości \\(BD + DH\\) zamiast stosować twierdzenie Pitagorasa: \\(6\\sqrt{2} + 6\\sqrt{2} = 12\\sqrt{2}\\) - to nie jest przejście po odcinku prostym! |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(30°\\) jest zawarty **między odcinkami \\(BH\\) i \\(AH\\)** - oba kończą się w \\(H\\). To kąt przy wierzchołku \\(H\\) w trójkącie \\(ABH\\), a nie kąt, jaki \\(BH\\) tworzy z podstawą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj, że trójkąt \\(ABH\\) jest prostokątny \"z definicji\" - trzeba uzasadnić, że \\(AB \\perp AH\\). Kluczem jest prostopadłość krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić przekątnej **ściany** (tu \\(AH = 6\\sqrt{3}\\)) z przekątną **bryły** (\\(BH = 12\\)). To klasyczna pułapka w zadaniach ze stereometrii.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trójkąt prostokątny \\(ABH\\)\nOdcinek \\(AB\\) jest prostopadły do ściany \\(ADHE\\), więc trójkąt \\(ABH\\) ma kąt prosty przy \\(A\\). Kąt \\(\\angle BHA = 30°\\), więc \\(\\sin 30° = \\dfrac{AB}{BH}\\):\n\\(\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{6}{BH} \\Rightarrow BH = 12.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie Pitagorasa\n\\(AH = \\sqrt{36 + h^2}\\). Z \\(\\operatorname{tg} 30° = \\tfrac{AB}{AH} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3}\\):\n\\(\\tfrac{6}{AH} = \\tfrac{\\sqrt{3}}{3} \\Rightarrow AH = 6\\sqrt{3}\\). Następnie \\(BH = \\sqrt{AB^2+AH^2} = \\sqrt{36+108} = 12.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4\\sqrt{3}\\approx 6{,}93\\)** - za mało.\n- **B. \\(6\\sqrt{3}\\)** - to długość \\(AH\\), nie \\(BH\\).\n- **D. \\(12\\sqrt{2}\\)** - zły wzór.\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym \\(30°-60°-90°\\) bok naprzeciw \\(30°\\) to połowa przeciwprostokątnej.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek\njest o 3 większa od cyfry jedności, jest\nA. 3\nB. 6\nC. 7\nD. 13\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności, jest A. 3 B. 6 C. 7 D. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(376\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie i wzór na pole\n\n**Ustalamy wymiary prostopadłościanu.**\n\nKrawędzie wychodzące z jednego wierzchołka to trzy kolejne parzyste liczby naturalne.\nNiech będą to: \\(a, a+2, a+4\\).\n\n**Warunek:** najdłuższa krawędź ma długość \\(10\\), więc:\n\\[a + 4 = 10 \\implies a = 6\\]\n\nWymiary prostopadłościanu: \\(\\mathbf{a = 6, \\; b = 8, \\; c = 10}\\).\n\n**Liczymy pole powierzchni całkowitej:**\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\n\\[P_c = 2(6 \\cdot 8 + 8 \\cdot 10 + 10 \\cdot 6)\\]\n\\[P_c = 2(48 + 80 + 60)\\]\n\\[P_c = 2 \\cdot 188 = \\mathbf{376}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja (podstawienie do wzoru)\n\nSprawdzamy, czy \\(6, 8, 10\\) to rzeczywiście trzy kolejne parzyste liczby naturalne:\n\\[6, \\; 8, \\; 10 \\quad \\checkmark \\quad \\text{(różnica } 2 \\text{ między każdymi)}]\n\nSprawdzamy pole ścian osobno:\n- Dwie ściany \\(6 \\times 8\\): \\(2 \\cdot 48 = 96\\)\n- Dwie ściany \\(8 \\times 10\\): \\(2 \\cdot 80 = 160\\)\n- Dwie ściany \\(6 \\times 10\\): \\(2 \\cdot 60 = 120\\)\n\nSuma: \\(96 + 160 + 120 = \\mathbf{376}\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nUżyliśmy tego wzoru wprost do obliczenia pola po wyznaczeniu wymiarów \\(6, 8, 10\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B \\((466)\\) | Przyjęcie krawędzi \\(8, 10, 12\\) - czyli uznanie \\(10\\) za środkową, a nie najdłuższą |\n| C \\((480)\\) | Pomylenie pola powierzchni z objętością: \\(V = 6 \\cdot 8 \\cdot 10 = 480\\) - to objętość, nie pole! |\n| D \\((720)\\) | Wzięcie krawędzi \\(10, 12, 14\\) lub inny błąd w wyborze trójki kolejnych liczb parzystych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Kolejne parzyste liczby naturalne\" to liczby różniące się o \\(2\\), nie o \\(1\\). Nie mylić z kolejnymi liczbami naturalnymi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najdłuższa krawędź to \\(a + 4\\), nie \\(a + 2\\). Uważaj, żeby nie przypisać \\(10\\) do środkowej krawędzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C (\\(480\\)) to \\(6 \\cdot 8 \\cdot 10\\) - czyli **objętość** prostopadłościanu, nie pole. To klasyczna pułapka maturalna - sprawdź, czego pyta zadanie!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Identyfikacja krawędzi\nTrzy kolejne liczby parzyste kończące się na \\(10\\): \\(6, 8, 10\\).\nPole powierzchni: \\(P = 2(ab + bc + ac) = 2(6\\cdot 8 + 8\\cdot 10 + 6\\cdot 10) = 2(48+80+60) = 2\\cdot 188 = 376.\\)\n\n### Sposób 2 - Ściany\nPary ścian: \\(6\\times 8\\) (2 szt. = 96), \\(6\\times 10\\) (2 szt. = 120), \\(8\\times 10\\) (2 szt. = 160). Suma: \\(96+120+160 = 376\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(466\\)** - błąd arytmetyczny.\n- **C. \\(480\\)** - \\(2(8\\cdot 10) + \\dots\\), zły schemat.\n- **D. \\(720\\)** - może \\(4abc\\) lub potrojone.\n\n**Trik:** karta wzorów - pole prostopadłościanu: \\(P = 2(ab+bc+ac)\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za\nrozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.\nLiczba punktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba uczniów\n2\n2\n5\n6\n11\n6\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez\nuczniów tej klasy jest równa\nA. 2,5\nB. 3,25\nC. 3,31\nD. 4\n\nMMAP-P0_100\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki. Liczba punktów: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 Liczba uczniów: 2 | 2 | 5 | 6 | 11 | 6 Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa A. 2,5 B. 3,25 C. 3,31 D. 4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **7**\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wypisanie przypadków\n\n**Oznaczamy:** cyfra dziesiątek = \\(d\\), cyfra jedności = \\(j\\).\n\n**Warunek zadania:** \\(d = j + 3\\)\n\nLiczba dwucyfrowa ma postać \\(\\overline{dj}\\), gdzie:\n- \\(d \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra dziesiątek - nie może być 0)\n- \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra jedności)\n\nPodstawiamy \\(d = j + 3\\) i sprawdzamy, dla jakich wartości \\(j\\) obie cyfry są poprawne:\n\n\\[j = 0 \\Rightarrow d = 3 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 30\\]\n\\[j = 1 \\Rightarrow d = 4 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 41\\]\n\\[j = 2 \\Rightarrow d = 5 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 52\\]\n\\[j = 3 \\Rightarrow d = 6 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 63\\]\n\\[j = 4 \\Rightarrow d = 7 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 74\\]\n\\[j = 5 \\Rightarrow d = 8 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 85\\]\n\\[j = 6 \\Rightarrow d = 9 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 96\\]\n\\[j = 7 \\Rightarrow d = 10 \\quad \\text{✗ - to nie jest cyfra!}\\]\n\nDla \\(j \\geq 7\\) cyfra dziesiątek przekroczyłaby 9, więc te przypadki odpadają.\n\n**Wynik:** mamy dokładnie **7 liczb**: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.\n\n## Sposób 2 - Przedział wartości\n\n**Jakie wartości może przyjmować \\(j\\)?**\n\nCyfra jedności: \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\), a cyfra dziesiątek: \\(d = j + 3\\).\n\nMusimy mieć \\(d \\leq 9\\), czyli:\n\\[j + 3 \\leq 9 \\implies j \\leq 6\\]\n\nMusimy mieć \\(d \\geq 1\\), czyli:\n\\[j + 3 \\geq 1 \\implies j \\geq -2\\]\n\nPonieważ \\(j\\) jest cyfrą, to \\(j \\geq 0\\). Łącząc oba warunki:\n\\[j \\in \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\]\n\nTo jest **7 wartości** - dokładnie tyle liczb spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja cyfry dziesiętnej i systematyczne wyliczanie przypadków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(3\\) | Uczeń mylnie myśli o cyfrach 3, 6, 9 (tzn. cyfra dziesiątek jest wielokrotnością 3), zupełnie inne zadanie |\n| B. \\(6\\) | Uczeń zaczyna od \\(j = 1\\) zamiast \\(j = 0\\), pomija liczbę **30** |\n| D. \\(13\\) | Uczeń liczy obie możliwości: \\(d = j + 3\\) **i** \\(j = d + 3\\) razem (miesza, która cyfra jest większa) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra jedności **może być 0** - liczba 30 spełnia warunek (3 = 0 + 3). Często uczniowie zapominają o tym przypadku i wychodzi im 6.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra dziesiątek **nie może być 0** (wtedy liczba nie byłaby dwucyfrowa) - ale tutaj \\(d = j + 3 \\geq 3\\), więc ten problem w ogóle nie występuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności\" znaczy \\(d - j = 3\\), **nie** \\(j - d = 3\\). Uważaj na kierunek nierówności!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wypisanie liczb\nCyfra dziesiątek \\(d\\), cyfra jedności \\(j\\): \\(d = j + 3\\). Cyfra \\(j \\in \\{0,1,2,\\dots,6\\}\\) (bo \\(d \\le 9\\)).\nLiczby: \\(30, 41, 52, 63, 74, 85, 96\\) - razem \\(7\\).\n\n### Sposób 2 - Zakres \\(j\\)\n\\(j\\) może być \\(0,1,2,3,4,5,6\\) (7 wartości). Dla każdego \\(j\\) jednoznacznie wyznacza \\(d\\). Liczb \\(= 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - za mało.\n- **B. \\(6\\)** - pomija przypadek \\(j=0\\).\n- **D. \\(13\\)** - zawyżone.\n\n**Trik:** warunki cyfr: \\(d\\in\\{1, ,9\\}\\), \\(j\\in\\{0, ,9\\}\\); sprawdź granicę \\(d\\le 9\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝐶= {0, 4, 5, 7, 9} oraz 𝐷= {1, 2, 3}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐶, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐷.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma\nwylosowanych liczb będzie większa od 𝟗. Zapisz obliczenia.\n29.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa zbiory: C={0,4,5,7,9} oraz D={1,2,3}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9. Zapisz obliczenia.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 4\n15 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅3, lub sporządzenie tabeli o 15 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 4, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n15 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 4\n15 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 15 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{0, 4, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{1, 2, 3}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ∙3 = 15.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: (7,3), (9,1), (9,2), (9,3), więc\nmoc zbioru 𝐴 jest równa 4.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 4\n15 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,\nktórych suma jest liczbą większą od 9).\n0\n4\n5\n7\n9\n1\n𝐴\n2\n𝐴\n3\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 15.\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest większa od 9, jest 4.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 4\n15 .\n𝐶\n𝐷\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n5 ⋅1\n3 + 1\n5 ⋅1\n3 + 1\n5 ⋅1\n3 + 1\n5 ⋅1\n3 = 4\n15\n1\n5\n7\n9\n1\n5\n1\n3\n3\n1\n3\n1\n3\n1\n1\n3\n3\n2","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3{,}25\\)\n\n## Sposób 1 - Średnia ważona (bezpośrednia)\n\nZ tabeli odczytujemy liczbę uczniów dla każdego wyniku punktowego. Dane zebrane z tabeli:\n\n| Liczba punktów \\(x_i\\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |\n| Liczba uczniów \\(n_i\\) | 2 | 2 | 5 | 9 | 7 | 5 | 2 |\n\n**Weryfikacja liczby uczniów:**\n\\[2 + 2 + 5 + 9 + 7 + 5 + 2 = 32 \\checkmark\\]\n\n**Obliczamy sumę wszystkich punktów** (każdy wynik mnożymy przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali):\n\\[\n\\sum x_i \\cdot n_i = 0 \\cdot 2 + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 7 + 5 \\cdot 5 + 6 \\cdot 2\n\\]\n\\[\n= 0 + 2 + 10 + 27 + 28 + 25 + 12 = 104\n\\]\n\n**Obliczamy średnią arytmetyczną:**\n\\[\n\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{104}{32} = \\frac{13}{4} = \\mathbf{3{,}25}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez rozkład ułamkowy\n\nMożemy liczyć wkład każdej grupy do średniej osobno:\n\n\\[\n\\bar{x} = \\frac{0}{32} + \\frac{2}{32} + \\frac{10}{32} + \\frac{27}{32} + \\frac{28}{32} + \\frac{25}{32} + \\frac{12}{32}\n\\]\n\\[\n= 0 + 0{,}0625 + 0{,}3125 + 0{,}84375 + 0{,}875 + 0{,}78125 + 0{,}375\n\\]\n\\[\n= \\mathbf{3{,}25} \\checkmark\n\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź **B** jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wzór na średnią ważoną:\n\\[\n\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\n\\]\nTutaj wagami \\(w_i\\) są liczebności grup (liczby uczniów), a wartościami \\(a_i\\) - liczby punktów. Mianownik to łączna liczba uczniów: \\(32\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(2{,}5\\) | Policzono \\(\\frac{0+1+2+3+4+5+6}{7} = \\frac{21}{7} = 3\\) lub wzięto tylko połowę sumy - **ignorowanie wag (liczebności uczniów)** |\n| C - \\(3{,}31\\) | Błąd rachunkowy przy sumowaniu iloczynów \\(x_i \\cdot n_i\\) - np. pomylono jedną liczebność z tabeli |\n| D - \\(4\\) | Podano **modę** (najczęstszy wynik to 3 lub 4) albo **medianę** zamiast średniej arytmetycznej |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to dodanie samych liczb punktów \\((0+1+2+\\ldots+6)\\) i podzielenie przez 7. To daje wynik dla jednostajnego rozkładu, a nie dla danych z tabeli!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdź, czy suma liczebności z tabeli wynosi dokładnie \\(32\\). Jeśli nie, prawdopodobnie pomyliłeś liczbę w jednej z kolumn.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić średniej z modą (najczęstszy wynik) ani z medianą (środkowy wynik po posortowaniu). Zadanie wyraźnie pyta o **średnią arytmetyczną**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Średnia ważona\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{0\\cdot 2 + 1\\cdot 2 + 2\\cdot 5 + 3\\cdot 6 + 4\\cdot 11 + 5\\cdot 6}{32}\\)\n\\(= \\dfrac{0+2+10+18+44+30}{32} = \\dfrac{104}{32} = 3{,}25.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie sumy liczebności\n\\(2+2+5+6+11+6 = 32\\) ✓. Suma punktów \\(104\\). Średnia \\(= \\tfrac{104}{32} = 3{,}25\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2{,}5\\)** - średnia \\(0 5\\) bez wag.\n- **C. \\(3{,}31\\)** - błąd arytmetyczny.\n- **D. \\(4\\)** - wartość modalna, nie średnia.\n\n**Trik:** średnia ważona = \\(\\tfrac{\\sum x_i \\cdot n_i}{\\sum n_i}\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nSuma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 jest równa 12.\nWyznacz 𝒙 oraz 𝒚, dla których wartość wyrażenia 𝟐𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 jest najmniejsza.\nOblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nSuma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x²+y² jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 4, 𝑦= 8, najmniejsza\nwartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest równa 96.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑥, np. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 oraz obliczenie argumentu, dla którego\nta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 𝑥= 4\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑥, np. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 oraz obliczenie wartości najmniejszej tej\nfunkcji: 96,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑦, np. 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 oraz obliczenie argumentu, dla którego\nta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 𝑦= 8,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑦, np. 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 oraz obliczenie wartości najmniejszej tej\nfunkcji: 96.\n1 pkt - zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję jednej\nzmiennej, np.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2, 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawnie wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej\ni otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres\nfunkcji 𝑓, która leży poza przedziałem [0, 12], to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za\ncałe rozwiązanie (za zapisanie wzoru funkcji jednej zmiennej).\n2. Jeżeli zdający zapisze poprawnie wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej,\na następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka i dwóch\nargumentów leżących symetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie\nodwoła się do własności wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający nie zapisze poprawnie wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcji 𝑓 jednej\nzmiennej, a jedynie obliczy wartości wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 dla wybranych par liczb 𝑥 oraz\n𝑦 i na tej podstawie wskazuje najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n4. Jeżeli zdający oblicza najmniejszą wartość funkcji 𝑓, korzystając z rachunku\nróżniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑓 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑓, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑓 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑓, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑓 ma minimum\nlokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑓 ma minimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 12, więc 𝑦= 12 -𝑥.\nWyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 zapisujemy jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 12 -𝑥 i otrzymujemy\n𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 = 2𝑥2 + 144 -24𝑥+ 𝑥2 = 3𝑥2 -24𝑥+ 144\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑓. Z warunków zadania wynika, że\n𝑥≥0 i 𝑦≥0\nZatem\n𝑥≥0 oraz 12 -𝑥≥0\n𝑥≥0 oraz 𝑥≤12\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału [0, 12].\nWykresem funkcji 𝑓 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= --24\n2 ⋅3 = 4 ∈[0, 12]\nZatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 4.\nWobec tego wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest najmniejsza dla 𝑥= 4 oraz 𝑦= 12 -4 = 8.\nObliczamy najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2:\n𝑓(4) = 3 ⋅42 -24 ⋅4 + 144 = 96\nSposób II\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 12, więc 𝑥= 12 -𝑦.\nWartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 zapisujemy jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej 𝑦. W tym celu\npodstawiamy 𝑥= 12 -𝑦 i otrzymujemy\n𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 = 2(144 -24𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2 = 288 -48𝑦+ 2𝑦2 + 𝑦2\n𝑓(𝑦) = 3𝑦2 -48𝑦+ 288\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑓. Z warunków zadania wynika, że\n𝑥≥0 i 𝑦≥0\nZatem\n12 -𝑦≥0 oraz 𝑦≥0\n𝑦≤12 oraz 𝑦≥0\nZmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału [0, 12].\nWykresem funkcji 𝑓 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= --48\n2 ⋅3 = 8 ∈[0, 12]\nZatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 8.\nWobec tego wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest najmniejsza dla 𝑦= 8 oraz 𝑥= 12 -8 = 4.\nObliczamy najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2:\n𝑓(8) = 3 ⋅82 -48 ⋅8 + 288 = 96\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin poprawkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (2𝑛+ 5)2\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 do postaci 4𝑛2 + 10𝑛+ 10𝑛+ 25 .\nZadanie 7.\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 do postaci\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) lub 𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 -2)\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 10.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 20.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne\nALBO\n- zapisanie równości |𝐵𝐸|2 = 122 + |𝐴𝐸|2.\nZadanie 21.\n1 pkt - poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1\nALBO\n- poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 2𝑥-4 .\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 15 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n15), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie równości 𝑥+ 𝑦= 12.\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 2.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie zapisze poprawnie wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcji 𝑓 jednej zmiennej\na jedynie obliczy wartości wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i na\ntej podstawie wskazuje najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2, to za całe rozwiązanie\notrzymuje 2 punkty. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie\nstosuje się uwagi 3. ze standardowych zasad oceniania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 1 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu i wzór na pierwiastki\n\n**Krok 1: Przenieś wszystko na lewą stronę.**\n\n\\[x(x+2) \\leq 3\\]\n\\[x^2 + 2x \\leq 3\\]\n\\[x^2 + 2x - 3 \\leq 0\\]\n\n**Krok 2: Oblicz deltę.**\n\nMamy \\(a = 1\\), \\(b = 2\\), \\(c = -3\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]\n\n**Krok 3: Znajdź pierwiastki.**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 - 4}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę. Trójmian \\(x^2 + 2x - 3\\) jest **ujemny (lub zero) między pierwiastkami**:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle -3, 1 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)\n\nTrójmian \\(x^2 + 2x - 3\\) można rozłożyć **metodą szukania dwóch liczb**, których suma wynosi \\(2\\), a iloczyn \\(-3\\).\n\nTakie liczby to \\(3\\) i \\(-1\\), bo: \\(3 + (-1) = 2\\) oraz \\(3 \\cdot (-1) = -3\\). Zatem:\n\n\\[x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x+3)(x-1) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny lub zero** wtedy, gdy mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem). Analizujemy znaki:\n\n| Przedział | \\(x+3\\) | \\(x-1\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-3 < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 1\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in \\langle -3, 1 \\rangle\\) - identycznie jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dzielić obu stron nierówności przez \\(x\\) - nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności mógłby się odwrócić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana **w górę** (\\(a > 0\\)) jest ujemna **między** pierwiastkami, a **w górę** na zewnątrz. Gdy parabola jest skierowana w dół (\\(a < 0\\)), jest odwrotnie - częsty błąd przy odczytywaniu rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostra** (\\(\\leq\\)), więc końce przedziału \\(x = -3\\) i \\(x = 1\\) **należą** do rozwiązania - przedział jest domknięty \\(\\langle -3, 1 \\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\langle -3,\\,1\\rangle\\)\n\n### Sposób 1 - Trójmian kwadratowy\nPrzekształcamy: \\(x^{2} + 2x \\le 3 \\iff x^{2} + 2x - 3 \\le 0\\).\nObliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^{2}+2x-3\\):\n\\(\\Delta = 4 + 12 = 16,\\; \\sqrt{\\Delta}=4\\)\n\\(x_{1} = \\dfrac{-2-4}{2} = -3,\\quad x_{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\)\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, parabola \"w górę\", więc \\(x^{2}+2x-3 \\le 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Postać iloczynowa\n\\(x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)\\). Iloczyn niedodatni, gdy czynniki mają różne znaki (lub są zerem), czyli \\(-3 \\le x \\le 1\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - pełne rozwiązanie i zapis \\(x \\in \\langle -3, 1\\rangle\\) lub graficzne z poprawnie zaznaczonymi końcami.\n- **1 pkt** - tylko obliczenie pierwiastków \\(x_{1}=-3,\\,x_{2}=1\\).\n- **0 pkt** - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** dla nierówności \\(\\le\\) końce przedziału są domknięte (nawiasy kwadratowe).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\) i dla każdej liczby rzeczywistej \\(y\\) takich, że \\(x \\neq 2y\\), prawdziwa jest nierówność \\[x^{2} + 4y^{2} - 4 > 4(xy - 1)\\]","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla każdych \\(x, y \\in \\mathbb{R}\\) takich, że \\(x \\neq 2y\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do pełnego kwadratu\n\n**Od czego zaczynamy:** Przenosimy wszystko na lewą stronę i pokazujemy, że powstaje wyrażenie zawsze dodatnie.\n\n**Krok 1.** Przenosimy prawą stronę na lewą:\n\n\\[x^2 + 4y^2 - 4 - 4(xy - 1) > 0\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy nawiasy:\n\n\\[x^2 + 4y^2 - 4 - 4xy + 4 > 0\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy (wyrazy \\(-4\\) i \\(+4\\) znoszą się):\n\n\\[x^2 - 4xy + 4y^2 > 0\\]\n\n**Krok 4.** Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:\n\n\\[x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2\\]\n\n**Krok 5.** Zatem nierówność przyjmuje postać:\n\n\\[(x - 2y)^2 > 0\\]\n\n**Krok 6.** Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, czyli \\((x-2y)^2 \\geq 0\\). Równość \\((x-2y)^2 = 0\\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \\(x - 2y = 0\\), czyli \\(x = 2y\\).\n\nPonieważ **z założenia** \\(x \\neq 2y\\), mamy \\(x - 2y \\neq 0\\), a zatem:\n\n\\[\\mathbf{(x - 2y)^2 > 0}\\]\n\nCo kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie z wyróżnieniem, kiedy równość odpada\n\n**Alternatywne ujęcie:** zamiast od razu rozpoznać wzór, możemy użyć ogólnego argumentu o kwadracie.\n\n**Krok 1.** Tak samo jak w Sposobie 1 przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x^2 + 4y^2 - 4 - 4xy + 4 > 0 \\implies x^2 - 4xy + 4y^2 > 0\\]\n\n**Krok 2.** Traktujemy lewą stronę jako wielomian w zmiennej \\(x\\) (przy ustalonym \\(y\\)):\n\n\\[f(x) = x^2 - 4yx + 4y^2\\]\n\nTo trójmian kwadratowy w \\(x\\), z \\(a = 1 > 0\\). Liczymy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-4y)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4y^2 = 16y^2 - 16y^2 = 0\\]\n\n**Krok 3.** Ponieważ \\(\\Delta = 0\\), trójmian ma dokładnie jedno miejsce zerowe:\n\n\\[x_0 = \\frac{4y}{2} = 2y\\]\n\n**Krok 4.** Ponieważ \\(a = 1 > 0\\) i \\(\\Delta = 0\\), parabola jest skierowana ramionami w górę i dotyka osi \\(OX\\) tylko w punkcie \\(x = 2y\\). Zatem:\n\n\\[f(x) \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } x,\\]\n\na równość \\(f(x) = 0\\) zachodzi **wyłącznie** dla \\(x = 2y\\).\n\n**Krok 5.** Ponieważ zakładamy \\(x \\neq 2y\\), mamy \\(f(x) > 0\\), czyli nierówność jest spełniona. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru (przy \\(a = x\\), \\(b = 2y\\)) w Sposobie 1, rozpoznając że:\n\n\\[x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2\\]\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nW Sposobie 2 obliczamy wyróżnik trójmianu \\(x^2 - 4yx + 4y^2\\) i stwierdzamy \\(\\Delta = 0\\), co oznacza dokładnie jedno miejsce zerowe.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów zapomina uzasadnić, **dlaczego nierówność jest ostra** (czyli \\(> 0\\), a nie \\(\\geq 0\\)). Sam fakt, że kwadrat jest nieujemny, daje tylko \\(\\geq 0\\) - kluczowe jest użycie założenia \\(x \\neq 2y\\), które wyklucza równość.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to próba dzielenia obu stron przez \\((x - 2y)\\) bez uzasadnienia znaku - gdyby \\(x - 2y < 0\\), kierunek nierówności by się odwrócił. Bezpieczniej od razu sprowadzić do kwadratu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów na lewą stronę łatwo zgubić znak - zwróć uwagę, że \\(-4(xy-1) = -4xy + 4\\), więc wyrazy stałe \\(-4 + 4 = 0\\) znikają. To elegancka „niespodzianka\" tego zadania.\n\n**Poprawna odpowiedź: nierówność wykazana.**\n\n### Sposób 1 - Wzór \\((a-b)^{2}\\)\nPrzekształcamy równoważnie:\n\\(x^{2} + 4y^{2} - 4 > 4xy - 4\\)\n\\(x^{2} - 4xy + 4y^{2} > 0\\)\nLewa strona to pełny kwadrat: \\(x^{2} - 4xy + 4y^{2} = (x - 2y)^{2}\\).\nZ założenia \\(x \\ne 2y\\), więc \\(x - 2y \\ne 0\\), zatem \\((x - 2y)^{2} > 0\\). Stąd nierówność jest prawdziwa. \\(\\Box\\)\n\n### Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\)\nTraktujemy \\(x^{2} - 4yx + 4y^{2}\\) jako trójmian zmiennej \\(x\\) z parametrem \\(y\\).\n\\(\\Delta = (-4y)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot 4y^{2} = 16y^{2} - 16y^{2} = 0.\\)\nJednokrotne miejsce zerowe: \\(x = 2y\\). Dla \\(x \\ne 2y\\) mamy \\(x^{2}-4yx+4y^{2} > 0\\) (współczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, brak innych pierwiastków).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - przekształcenie do \\((x-2y)^{2} > 0\\) i powołanie się na założenie.\n- **1 pkt** - przekształcenie do \\(x^{2} - 4xy + 4y^{2} > 0\\) lub obliczenie \\(\\Delta\\).\n- **0 pkt** - sprawdzanie dla konkretnych liczb.\n\n**Trik:** gdy widzisz \\(A^{2} + B^{2} + \\dots\\), spróbuj rozpoznać wzór \\((A-B)^{2} \\ge 0\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"\\(\\sqrt{3}\\) Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = x-3 . 3 W układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji y= f(x) jest prostą, która jest nachylona do osi Ox pod kątem ostrym 𝛼 i przecina oś Oy w punkcie P . Oblicz sinus kąta 𝛼 oraz drugą współrzędną punktu P.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\), druga współrzędna punktu \\(P\\) wynosi \\(-3\\).\n\n## Sposób 1 - Użycie współczynnika kierunkowego prostej\n\nWzór funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\) daje nam dwie informacje wprost:\n- \\(a\\) - współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej)\n- \\(b\\) - punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)\n\n**Krok 1 - odczytujemy dane.**\n\n\\[f(x) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - 3\\]\n\nMamy więc: \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(b = -3\\).\n\n**Krok 2 - wyznaczamy kąt \\(\\alpha\\).**\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej spełnia relację:\n\\[a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nZatem:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nKorzystamy z tabeli wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 11):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nSkoro \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), to:\n\\[\\alpha = 30°\\]\n\n**Krok 3 - obliczamy sinus.**\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczamy punkt \\(P\\).**\n\nProsta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie, gdzie \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 0 - 3 = -3\\]\n\nPunkt \\(P = (0, -3)\\), więc **druga współrzędna punktu \\(P\\) wynosi \\(-3\\)**.\n\n## Sposób 2 - Geometryczny (trójkąt prostokątny ze współczynnika kierunkowego)\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) interpretujemy geometrycznie:\n\n> \"Na każde \\(3\\) jednostki w prawo (poziomo) prosta wznosi się o \\(\\sqrt{3}\\) jednostki w górę.\"\n\nRysujemy trójkąt prostokątny:\n- przyprostokątna pozioma: \\(3\\)\n- przyprostokątna pionowa: \\(\\sqrt{3}\\)\n- przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{3^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{9 + 3} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\)\n\n**Sinus kąta** między prostą a osią \\(Ox\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna pionowa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Weryfikacja - sprawdzamy tangens:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej: jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\), to:\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2\\alpha} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tabela wartości:\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozpoznania kąta oraz odczytania sinusa.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nTo jest podstawa całego zadania - kąt nachylenia wyznaczamy właśnie z tego wzoru.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) to to samo co \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\) - wiele uczniów nie rozpoznaje tej wartości jako \\(\\operatorname{tg} 30°\\). Warto upraszczać ułamki przed porównaniem z tabelą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **sinusa**, a nie samego kąta. Błędem jest zatrzymanie się na \\(\\alpha = 30°\\) i niepodanie \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P\\) ma **drugą współrzędną** równą \\(-3\\) (nie pierwszą!). Odpowiedź \\(P = 3\\) to błąd wynikający z pomylenia współrzędnych lub upuszczenia znaku minus - wyraz wolny \\(b = -3\\), nie \\(3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2},\\; y_{P} = -3.\\)\n\n### Sposób 1 - Tangens i punkt przecięcia\nWspółczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Rozpoznajemy, że \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc \\(\\alpha = 30°\\).\nZatem \\(\\sin\\alpha = \\sin 30° = \\dfrac{1}{2}.\\)\n\nWykres przecina oś \\(Oy\\), gdy \\(x = 0\\): \\(f(0) = -3\\), więc \\(P = (0, -3)\\) i \\(y_{P} = -3\\).\n\n### Sposób 2 - Bez tabeli wartości\nZ jedynki trygonometrycznej: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\Rightarrow \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).\nZ \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) i \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{3}\\sin\\alpha\\) otrzymujemy \\(4\\sin^{2}\\alpha = 1\\), więc \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) (kąt ostry).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - obie wartości: \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) i \\(y_{P} = -3\\).\n- **1 pkt** - jedna poprawna wartość.\n- **0 pkt** - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** współczynnik kierunkowy = \\(\\operatorname{tg}\\) kąta z osią \\(Ox\\); rozpoznaj standardowe kąty \\(30°, 45°, 60°\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Ciąg \\((a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})\\) jest arytmetyczny.\nSuma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu.\nOblicz różnicę tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = -3\\)\n\nRóżnica ciągu wynosi \\(\\mathbf{-3}\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\nOznaczamy pierwszy wyraz ciągu jako \\(a_1\\), a różnicę jako \\(r\\).\n\nWyrazy ciągu:\n\\[a_1, \\quad a_2 = a_1 + r, \\quad a_3 = a_1 + 2r, \\quad a_4 = a_1 + 3r\\]\n\nWarunek z zadania: suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 **większa** od sumy trzeciego i czwartego:\n\\[a_1 + a_2 = a_3 + a_4 + 12\\]\n\nPodstawiamy wyrażenia przez \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\\[(a_1) + (a_1 + r) = (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + 12\\]\n\n\\[2a_1 + r = 2a_1 + 5r + 12\\]\n\nOdejmujemy \\(2a_1\\) od obu stron (znika!):\n\\[r = 5r + 12\\]\n\n\\[r - 5r = 12\\]\n\n\\[-4r = 12\\]\n\n\\[\\boxed{r = -3}\\]\n\n**Różnica ciągu wynosi \\(-3\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez różnicę sum (bez wzoru ogólnego)\n\nZauważamy, że w ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest o \\(r\\) większy od poprzedniego, więc:\n\\[a_3 = a_2 + r, \\quad a_4 = a_3 + r = a_2 + 2r\\]\n\nObliczamy różnicę sum:\n\\[(a_1 + a_2) - (a_3 + a_4) = 12\\]\n\nWyrażamy \\(a_3\\) i \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(a_2\\):\n\\[a_3 + a_4 = (a_2 + r) + (a_2 + 2r) = 2a_2 + 3r\\]\n\nAle \\(a_2 = a_1 + r\\), więc:\n\\[a_3 + a_4 = 2(a_1 + r) + 3r = 2a_1 + 5r\\]\n\\[a_1 + a_2 = a_1 + (a_1 + r) = 2a_1 + r\\]\n\nRóżnica:\n\\[(2a_1 + r) - (2a_1 + 5r) = 12\\]\n\\[-4r = 12\\]\n\\[r = -3\\]\n\n**Ten sam wynik - różnica ciągu to \\(-3\\).**\n\n## Weryfikacja\n\nSprawdzamy dla przykładowego ciągu z \\(r = -3\\), np. \\(a_1 = 10\\):\n\\[(10, 7, 4, 1)\\]\n\n- Suma pierwszego i drugiego: \\(10 + 7 = 17\\)\n- Suma trzeciego i czwartego: \\(4 + 1 = 5\\)\n- Różnica: \\(17 - 5 = 12\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy go do wypisania \\(a_2, a_3, a_4\\) jako wyrażeń z \\(a_1\\) i \\(r\\), co pozwoliło ułożyć równanie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"suma A jest o 12 większa od sumy B\" to \\(A = B + 12\\), a NIE \\(A - B = -12\\). Łatwo pomylić kierunek i dostać \\(r = 3\\) zamiast \\(-3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_1\\) znika z równania - to normalne! Różnica \\(r\\) jest niezależna od pierwszego wyrazu, co jest cechą ciągów arytmetycznych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemna różnica (\\(r = -3\\)) jest jak najbardziej poprawna - oznacza, że ciąg jest **malejący**. Nie \"poprawiaj\" wyniku na dodatni.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(r = -3.\\)\n\n### Sposób 1 - Wyrażenie wszystkich wyrazów przez \\(a_{1}\\) i \\(r\\)\n\\(a_{1}+a_{2} = a_{3}+a_{4} + 12\\)\n\\(a_{1} + (a_{1}+r) = (a_{1}+2r) + (a_{1}+3r) + 12\\)\n\\(2a_{1} + r = 2a_{1} + 5r + 12\\)\n\\(-4r = 12\\)\n\\(r = -3.\\)\n\n### Sposób 2 - Różnice par\nW ciągu arytmetycznym \\(a_{3} = a_{1}+2r\\), \\(a_{4} = a_{2}+2r\\). Zatem \\(a_{3}+a_{4} = (a_{1}+a_{2}) + 4r\\).\nZ warunku: \\(a_{1}+a_{2} = (a_{1}+a_{2}) + 4r + 12 \\Rightarrow 4r = -12 \\Rightarrow r = -3\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - poprawne obliczenie \\(r = -3\\).\n- **1 pkt** - zapisanie równania pozwalającego obliczyć \\(r\\).\n- Jeżeli zdający poda przykład ciągu np. \\((10, 7, 4, 1)\\) i zapisze \\(r = -3\\), otrzymuje **1 pkt**.\n\n**Trik:** w ciągu arytmetycznym różnica par odległych o \\(k\\) pozycji = \\(kr\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: = 12 oraz = 6 . Wysokość AD tego trapezu ma długość 24 . Na odcinku AD leży punkt E taki, że =\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2408/z34.png\n\n. D C \\(\\cdot\\) E \\(\\cdot\\) A B Oblicz długość odcinka BE . | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BE| = 20\\)\n\n## Sposób 1 - Tangenty kątów i równanie z jedną niewiadomą\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.**\n\nPonieważ \\(AD\\) jest wysokością trapezu prostokątnego (i prostopadle łączy obie podstawy), przyjmijmy:\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (12, 0), \\quad D = (0, 24), \\quad C = (6, 24)\\]\n\nPunkt \\(E\\) leży na \\(AD\\), czyli \\(E = (0, h)\\) dla pewnego \\(h \\in (0, 24)\\).\n\n**Obliczamy kąty.**\n\nKąt \\(\\angle BEA\\) - kąt przy \\(E\\) w trójkącie \\(BEA\\):\n- Kąt przy \\(A\\) jest prosty (bo \\(AD \\perp AB\\)), więc:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle BEA) = \\frac{|AB|}{|EA|} = \\frac{12}{h}\\]\n\nKąt \\(\\angle CED\\) - kąt przy \\(E\\) w trójkącie \\(CED\\):\n- Kąt przy \\(D\\) jest prosty (bo \\(AD \\perp CD\\)), więc:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle CED) = \\frac{|CD|}{|ED|} = \\frac{6}{24-h}\\]\n\n**Warunek z zadania:** \\(|\\angle BEA| = |\\angle CED|\\), czyli:\n\\[\\frac{12}{h} = \\frac{6}{24-h}\\]\n\n**Rozwiązujemy:**\n\\[12(24-h) = 6h\\]\n\\[288 - 12h = 6h\\]\n\\[288 = 18h\\]\n\\[h = 16\\]\n\nZatem \\(E = (0, 16)\\), czyli \\(|AE| = 16\\).\n\n**Obliczamy \\(|BE|\\):**\n\\[|BE| = \\sqrt{|AB|^2 + |AE|^2} = \\sqrt{12^2 + 16^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = \\boxed{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\n\nOznaczymy \\(|AE| = x\\), więc \\(|ED| = 24 - x\\).\n\nWarunek \\(\\angle BEA = \\angle CED\\) oznacza, że **trójkąty \\(ABE\\) i \\(DCE\\) mają dwa równe kąty** (każdy z nich ma kąt prosty: \\(\\angle A = \\angle D = 90°\\)), więc są **podobne**:\n\\[\\triangle ABE \\sim \\triangle DCE\\]\n\nZ podobieństwa wynika proporcja boków przy równych kątach:\n\\[\\frac{|AE|}{|DE|} = \\frac{|AB|}{|DC|}\\]\n\\[\\frac{x}{24 - x} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\\[x = 2(24-x)\\]\n\\[x = 48 - 2x\\]\n\\[3x = 48\\]\n\\[x = 16\\]\n\nDługość \\(|BE|\\) - z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\) (kąt prosty przy \\(A\\)):\n\\[|BE| = \\sqrt{|AB|^2 + |AE|^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = \\mathbf{20}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C = 90°)\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(|BE|\\) w trójkącie prostokątnym \\(ABE\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przy}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyrażenia kątów \\(\\angle BEA\\) i \\(\\angle CED\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która przyprostokątna jest \"przy\" kącie, a która \"naprzeciw\". W trójkącie \\(BEA\\) kąt prosty jest przy \\(A\\), więc \\(\\operatorname{tg}(\\angle BEA) = \\frac{AB}{AE}\\) - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(|CD| = 6\\) to *krótsza* podstawa, a \\(|AB| = 12\\) to *dłuższa*. W proporcji podobieństwa musi być \\(\\frac{AB}{DC} = \\frac{12}{6} = 2\\) - zamiana daje błędne \\(h = 8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sqrt{400} = 20\\) to \"ładna\" liczba - jeśli wychodzi coś brzydkiego, warto sprawdzić, czy nie pomylono podstaw trapezu lub wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|BE| = 20.\\)\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(ABE\\) i \\(DCE\\) są prostokątne (przy \\(A\\) i \\(D\\)) z równymi kątami \\(\\angle BEA = \\angle CED\\), więc podobne (cecha kąt-kąt).\n\\(\\dfrac{|AE|}{|AB|} = \\dfrac{|DE|}{|CD|} \\Rightarrow \\dfrac{|AE|}{12} = \\dfrac{24-|AE|}{6}\\)\n\\(6|AE| = 12(24 - |AE|)\\)\n\\(6|AE| = 288 - 12|AE|\\)\n\\(18|AE| = 288 \\Rightarrow |AE| = 16.\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\):\n\\(|BE|^{2} = |AB|^{2} + |AE|^{2} = 144 + 256 = 400\\)\n\\(|BE| = 20.\\)\n\n### Sposób 2 - Skala podobieństwa\nSkala \\(k = \\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{12}{6} = 2\\). Stąd \\(|AE| = 2|DE|\\). \\(|AE|+|DE| = 24 \\Rightarrow 3|DE| = 24 \\Rightarrow |DE| = 8,\\; |AE| = 16\\). Dalej Pitagoras: \\(|BE| = 20\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - poprawna metoda i wynik \\(|BE| = 20\\).\n- **1 pkt** - obliczenie \\(|DE| = 8\\) ALBO \\(|AE| = 16\\).\n- Jeżeli tylko zapis \\(|BE| = 20\\) bez metody, to **0 pkt**.\n\n**Trik:** kąt \\(\\alpha\\) wspólny + dwa kąty proste dają podobieństwo (cecha kąt-kąt-kąt).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Dane są dwa zbiory: \\(C = \\{0, 4, 5, 7, 9\\}\\) oraz \\(D = \\{1, 2, 3\\}\\).\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru \\(C\\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \\(D\\).\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{4}{15}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (tabela par)\n\n**Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nLosujemy jedną liczbę z \\(C\\) (5 możliwości) i jedną z \\(D\\) (3 możliwości). Losowania są niezależne, więc:\n\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 3 = 15\\]\n\n**Krok 2: Wypisanie wszystkich par (c, d) i ich sum**\n\nSystematycznie sprawdzamy każdą parę:\n\n| \\(c \\in C\\) | \\(d = 1\\) | \\(d = 2\\) | \\(d = 3\\) |\n| 0 | 1 | 2 | 3 |\n| 4 | 5 | 6 | 7 |\n| 5 | 6 | 7 | 8 |\n| **7** | 8 | 9 | **10 ✓** |\n| **9** | **10 ✓** | **11 ✓** | **12 ✓** |\n\n**Krok 3: Zliczenie sprzyjających zdarzeń**\n\nSumy większe od 9 (czyli \\(\\geq 10\\)) dają pary:\n\\[(7, 3),\\quad (9, 1),\\quad (9, 2),\\quad (9, 3)\\]\n\n\\[|A| = 4\\]\n\n**Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza przez wartości z C (zdarzenia wykluczające się)\n\nRozbijamy zdarzenie \\(A\\) na przypadki względem wartości wylosowanej z \\(C\\):\n\n- \\(c = 0\\): potrzebujemy \\(d > 9\\) - niemożliwe, bo \\(D = \\{1,2,3\\}\\). Szansa: 0.\n- \\(c = 4\\): potrzebujemy \\(d > 5\\) - niemożliwe. Szansa: 0.\n- \\(c = 5\\): potrzebujemy \\(d > 4\\) - niemożliwe. Szansa: 0.\n- \\(c = 7\\): potrzebujemy \\(d > 2\\), czyli \\(d = 3\\). Szansa: \\(\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3}\\).\n- \\(c = 9\\): potrzebujemy \\(d > 0\\), czyli każde \\(d \\in \\{1,2,3\\}\\). Szansa: \\(\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{3}\\).\n\nKażda wartość \\(c\\) losowana z równym prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{5}\\):\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{3}\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} \\cdot 1 = \\frac{1}{15} + \\frac{3}{15} = \\frac{4}{15}\\]\n\nWynik zgodny z pierwszym sposobem. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\nW Sposobie 2 korzystamy też z własności:\n\\[P(A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \\ldots\\]\ndla zdarzeń wykluczających się (parami rozłącznych).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „suma **większa** od 9\" z „suma **nie mniejsza** od 9\". Suma równa 9 (np. para \\((7, 2)\\)) **nie** należy do zdarzenia \\(A\\)! Sprawdź tabelę - \\(7+2=9\\) to za mało.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń to **pary** \\((c, d)\\), nie same sumy. Sumy mogą się powtarzać (np. suma 10 pojawia się przy \\((7,3)\\) i \\((9,1)\\)) - każdą parę liczymy osobno, nie możemy liczyć unikalnych wartości sum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(5 \\cdot 3 = 15\\), bo losowania są **niezależne** i każda para jest jednakowo prawdopodobna. Błąd: wzięcie mianownika \\(5 + 3 = 8\\) (suma zamiast iloczyn) - to byłoby błędne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{4}{15}.\\)\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nZdarzenia elementarne to pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x \\in C\\), \\(y \\in D\\).\n\\(|\\Omega| = 5\\cdot 3 = 15.\\)\nSzukamy par o sumie \\(> 9\\): \\((7,3)\\) [bo \\(10\\)], \\((9,1)\\) [bo \\(10\\)], \\((9,2)\\) [bo \\(11\\)], \\((9,3)\\) [bo \\(12\\)]. Razem \\(|A| = 4\\).\n\\(P(A) = \\dfrac{4}{15}.\\)\n\n### Sposób 2 - Tabela\nUtwórzmy tabelę par \\((C, D)\\) i zaznaczmy pola spełniające sumę \\(>9\\): cztery pary. \\(|\\Omega|=15\\), \\(|A|=4\\), więc \\(P(A) = \\tfrac{4}{15}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - poprawna metoda i wynik \\(\\tfrac{4}{15}\\).\n- **1 pkt** - wypisanie \\(|\\Omega| = 15\\) ALBO \\(|A| = 4\\) ALBO prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia \\(\\tfrac{1}{15}\\).\n- **0 pkt** - zapis samej liczby \\(4\\) lub \\(15\\) bez kontekstu.\n\n**Trik:** klasyczna definicja: \\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\); wypisz zdarzenia sprzyjające systematycznie.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych \\((x, y)\\) przekątne równoległoboku \\(ABCD\\) przecinają się w punkcie \\(S = (9, 11)\\). Bok \\(AB\\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \\(y = \\frac{1}{2}x - 1\\), a bok \\(AD\\) zawiera się w prostej o równaniu \\(y = 2x - 4\\).\nOblicz współrzędne wierzchołka \\(B\\) oraz długość odcinka \\(BS\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B = (6, 2), |BS| = 3√10\n\n## Sposób 1 - własność przekątnych równoległoboku (punkt środkowy)\n\n**Kluczowa własność:** W równoległoboku przekątne bisekują się nawzajem - punkt \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz wierzchołek \\(A\\)**\n\n\\(A\\) leży jednocześnie na boku \\(AB\\) i na boku \\(AD\\), więc szukamy punktu przecięcia obu prostych:\n\\[\\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 4\\]\n\\[4 - 1 = 2x - \\frac{1}{2}x\\]\n\\[3 = \\frac{3}{2}x \\implies x = 2\\]\n\\[y = 2 \\cdot 2 - 4 = 0\\]\n\nZatem \\(A = (2,\\, 0)\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz wierzchołek \\(C\\)**\n\n\\(S = (9, 11)\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\):\n\\[\\frac{x_A + x_C}{2} = 9 \\implies x_C = 18 - 2 = 16\\]\n\\[\\frac{y_A + y_C}{2} = 11 \\implies y_C = 22 - 0 = 22\\]\n\nZatem \\(C = (16,\\, 22)\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz wierzchołek \\(B\\)**\n\nNiech \\(B = (t,\\; \\frac{1}{2}t - 1)\\) - bo \\(B\\) leży na prostej \\(AB\\).\n\n\\(S = (9,11)\\) jest środkiem odcinka \\(BD\\), więc:\n\\[D = (18 - t,\\;\\; 22 - \\tfrac{1}{2}t + 1) = (18-t,\\; 23 - \\tfrac{1}{2}t)\\]\n\n\\(D\\) musi leżeć na prostej \\(AD\\): \\(y = 2x - 4\\), więc:\n\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 2(18 - t) - 4\\]\n\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 36 - 2t - 4\\]\n\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 32 - 2t\\]\n\\[2t - \\tfrac{1}{2}t = 32 - 23\\]\n\\[\\tfrac{3}{2}t = 9 \\implies t = 6\\]\n\n\\[x_B = 6, \\quad y_B = \\tfrac{1}{2} \\cdot 6 - 1 = 2\\]\n\n**\\(B = (6,\\; 2)\\)**\n\n**Krok 4: Oblicz długość \\(|BS|\\)**\n\n\\[|BS| = \\sqrt{(9-6)^2 + (11-2)^2} = \\sqrt{9 + 81} = \\sqrt{90} = \\sqrt{9 \\cdot 10} = \\mathbf{3\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez pełne wyznaczenie równoległoboku\n\nSprawdźmy, że \\(A=(2,0)\\), \\(B=(6,2)\\), \\(C=(16,22)\\), \\(D=(12,20)\\) tworzą poprawny równoległobok.\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{AB}\\):**\n\\[\\overrightarrow{AB} = (6-2,\\; 2-0) = (4,\\; 2)\\]\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{DC}\\):**\n\\[\\overrightarrow{DC} = (16-12,\\; 22-20) = (4,\\; 2) \\checkmark\\]\n\n\\(\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}\\) - boki równoległe i równej długości ✓\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{AD}\\):**\n\\[\\overrightarrow{AD} = (12-2,\\; 20-0) = (10,\\; 20)\\]\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\):**\n\\[\\overrightarrow{BC} = (16-6,\\; 22-2) = (10,\\; 20) \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie D na prostej \\(AD\\):** \\(y = 2x - 4 \\implies 2 \\cdot 12 - 4 = 20\\) ✓\n\n**Środek \\(BD\\):**\n\\[\\left(\\frac{6+12}{2},\\; \\frac{2+20}{2}\\right) = (9,\\; 11) = S \\checkmark\\]\n\nWszystko się zgadza. \\(\\mathbf{B = (6,\\; 2)}\\) i \\(\\mathbf{|BS| = 3\\sqrt{10}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n1. **Długość odcinka:**\n\\[|BS| = \\sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}\\]\nUżyte w kroku 4 do policzenia \\(|BS|\\).\n\n2. **Środek odcinka:**\n\\[x_S = \\frac{x_B + x_D}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_B + y_D}{2}\\]\nTo było kluczem do wyznaczenia zarówno \\(C\\) (ze środka \\(AC\\)) jak i do sformułowania warunków na \\(B\\).\n\n3. **Równanie prostej \\(y = ax + b\\):** używane do zapisu boków równoległoboku.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy punktów na podstawie samych równań prostych - proste to nieskończone linie, a wierzchołki to konkretne punkty. Kluczem jest własność środka przekątnych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołki równoległoboku kolejno to \\(A, B, C, D\\) - przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), nie \\(AB\\) ani \\(BC\\). Łatwo się pomylić w kolejności wierzchołków i szukać środka złej przekątnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{90} \\neq 9\\sqrt{10}\\). Pamiętaj o upraszczaniu: \\(\\sqrt{90} = \\sqrt{9 \\cdot 10} = 3\\sqrt{10} \\approx 9{,}49\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(B = (6, 2),\\; |BS| = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\)\n\n### Sposób 1 - Przez punkt \\(A\\) i równoległość prostej \\(BC\\) do \\(AD\\)\n**Krok 1.** Punkt \\(A\\) to przecięcie prostych \\(AB\\) i \\(AD\\):\n\\(\\tfrac{1}{2}x - 1 = 2x - 4 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 3 \\Rightarrow x = 2,\\; y = 0.\\) Więc \\(A = (2, 0).\\)\n\n**Krok 2.** \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), więc \\(C = 2S - A = (16, 22).\\)\n\n**Krok 3.** Prosta \\(BC\\) jest równoległa do \\(AD\\) (bok przeciwległy), ma współczynnik \\(2\\) i przechodzi przez \\(C\\):\n\\(y = 2(x-16) + 22 = 2x - 10.\\)\n\n**Krok 4.** \\(B\\) to przecięcie prostych \\(AB\\) i \\(BC\\):\n\\(\\tfrac{1}{2}x - 1 = 2x - 10 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 9 \\Rightarrow x = 6,\\; y = 2.\\) Więc \\(B = (6, 2).\\)\n\n**Krok 5.** \\(|BS| = \\sqrt{(9-6)^{2} + (11-2)^{2}} = \\sqrt{9 + 81} = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\)\n\n### Sposób 2 - Przez środki boków\n\\(A = (2,0)\\) (jak wyżej). Środek boku \\(AB\\), oznaczmy \\(M_{AB}\\), leży na prostej przechodzącej przez \\(S\\) równoległej do \\(AD\\): \\(y = 2x - 7\\). Przecięcie z prostą \\(AB\\) (\\(y = \\tfrac{1}{2}x - 1\\)): \\(x = 4,\\; y = 1\\). Więc \\(M_{AB} = (4,1)\\). Z \\(M_{AB} = \\tfrac{A+B}{2}\\) mamy \\(B = 2M_{AB} - A = (6, 2)\\). Dalej \\(|BS| = 3\\sqrt{10}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **5 pkt** - poprawne \\(B = (6,2)\\) i \\(|BS| = \\sqrt{90}\\).\n- **4 pkt** - tylko \\(B = (6,2)\\) ALBO \\(D=(12,20)\\) i \\(|DS|=\\sqrt{90}\\).\n- **3 pkt** - wyznaczenie \\(BC:\\,y = 2x - 10\\) ALBO \\(D = (12,20)\\) ALBO \\(A=(2,0),\\; C=(16,22)\\).\n- **2 pkt** - obliczenie \\(C=(16,22)\\) ALBO środka \\(M_{AB}\\).\n- **1 pkt** - obliczenie \\(A=(2,0)\\).\n- **0 pkt** - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** w równoległoboku \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych; boki przeciwległe są równoległe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}