{"paper":{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","variant":"stara","exam_pdf":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":36,"source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},"questions":[{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nKomputer początkowo kosztował 2950 zł. Po trzech miesiącach jego cenę obniżono o 20%.\nPo kolejnym miesiącu nową cenę obniżono o kolejnych 20%.\nCena komputera po tych dwóch obniżkach jest równa\nA. 2360 zł\nB. 1888 zł\nC. 2832 zł\nD. 1770 zł","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20241\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n1.8) wykonuje obliczenia procentowe […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nLiczba ( 4\n25)\n-0,5\njest równa\nA. 0,04\nB. 0,8\nC. 2,5\nD. 0,4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.4) oblicza potęgi o wykładnikach\nwymiernych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 1 sierpnia 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U. 2022, poz.1698).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nLiczba log2 40 -log2 5 jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 8","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu i\nstosuje w obliczeniach wzory na logarytm\n[…] ilorazu […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba (√8 -√2)(√2 + √8) jest równa\nA. 60\nB. 6\nC. √60\nD. 0","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.3) posługuje się w obliczeniach\npierwiastkami dowolnego stopnia i stosuje\nprawa działań na pierwiastkach.\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności\n3(6 -𝑥)\n17\n≤3\njest przedział\nA. (-∞, -11)\nB. (-∞, -11⟩\nC. (-11, +∞)\nD. ⟨-11, +∞)\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.3) rozwiązuje nierówności stopnia\npierwszego z jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRozwiązaniem równania 𝑥-1\n2𝑥-6 = 4\n7 jest liczba\nA. (-5)\nB. (-2)\nC. 1\nD. 17","answer":"D","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nRównanie 𝑥(𝑥+5)(2-𝑥)\n2𝑥+4\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2.\nB. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0.\nC. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2.\nD. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono interpretację geometryczną\njednego z poniższych układów równań A-D.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. { 𝑦= 𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-3\nB. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-3\nC. { 𝑦= 𝑥+ 2\n𝑦= -2𝑥-3\nD. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥+ 3\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 9.-10.\nFunkcja 𝑦= 𝑓(𝑥) jest określona za pomocą tabeli\n𝒙\n-6 -4 -2\n0\n2\n4\n6\n𝒚\n-3 -4\n4\n1\n5\n0\n2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n3.2) wykorzystuje interpretację\ngeometryczną układu równań stopnia\npierwszego z dwiema niewiadomymi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji 𝑓 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC. 5\nD. 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji\nZdający:\n4.1) określa funkcje za pomocą wzoru,\ntabeli, wykresu, opisu słownego;\n4.3) odczytuje […] własności funkcji ([…]\nwartość największą […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nMiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 4\nInformacja do zadań 11.-12.\nPusta bańka na mleko o pojemności 10 litrów ma masę 6,5 kg.\nJeden litr mleka ma masę 1,03 kg.\nNiech 𝑥 oznacza liczbę litrów mleka w tej bańce, a 𝑔(𝑥) oznacza wyrażoną\nw kilogramach masę bańki wraz z mlekiem, gdzie 𝑥∈⟨0, 10⟩.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.1) określa funkcje za pomocą wzoru,\ntabeli, wykresu, opisu słownego;\n4.3) odczytuje […] własności funkcji ([…]\nmiejsca zerowe […]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji 𝑔 jest równa\nA. 16,8\nB. 15,8\nC. 11,3\nD. 10,3","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.1) określa funkcje za pomocą wzoru,\ntabeli, wykresu, opisu słownego;\n4.3) odczytuje […] własności funkcji ([…]\nwartość największą […]);\n4.11) wykorzystuje własności funkcji liniowej\n[…] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp. (także\nosadzonych w kontekście praktycznym).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = 6,5𝑥+ 1,03\nB. 𝑔(𝑥) = 1,03𝑥+ 10\nC. 𝑔(𝑥) = 10𝑥+ 1,03\nD. 𝑔(𝑥) = 1,03𝑥+ 6,5\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nInformacja do zadań 13.-15.\nNa rysunku, w układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono fragment paraboli, która jest\nwykresem funkcji kwadratowej 𝑓 (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty\nprzecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.1) określa funkcje za pomocą wzoru,\ntabeli, wykresu, opisu słownego;\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji lub o jej\nwykresie;\n4.11) wykorzystuje własności funkcji liniowej\n[…] do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych, fizycznych itp. (także\nosadzonych w kontekście praktycznym).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-∞, -2⟩\nB. ⟨1, +∞)\nC. ⟨-1, 3⟩\nD. ⟨-2, +∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n([…] zbiór wartości […])\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nOsią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu\nA. 𝑥= 1\nB. 𝑦= 1\nC. 𝑥= -2\nD. 𝑦= -2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG10.16) […] Wskazuje oś symetrii […].\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem\nA. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)2 + 2\nB. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 1)2 + 2\nC. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)2 -2\nD. 𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥+ 1)2 -2\n6\n5\n𝑦\n3\n1\n4\n2\n-1\n-2\n-3\n4 5\n2\n1\n𝑥\n3\n-1\n-2\n-3\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n0\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nTrzywyrazowy ciąg (2𝑚-5, 4, 9) jest arytmetyczny.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. (-1)\nB. 2\nC. 3\nD. 61\n18","answer":"B","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDany jest ciąg geometryczny (𝑎𝑛) określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, w którym\n𝑎2 = 2 oraz 𝑎5 = 54.\nIloraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 3\nB. 9\nC. 52\n3\nD. 27","answer":"A","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nSuma 𝑛 początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem 𝑆𝑛= 𝑛2 + 2𝑛 dla każdej\nliczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrzeci wyraz ciągu (𝑎𝑛) jest równy\nA. 5\nB. 7\nC. 13\nD. 15","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n5.1) wyznacza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\n5.3) stosuje wzór […] na sumę 𝑛\npoczątkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nW trójkącie prostokątnym 𝐴𝐵𝐶 sinus kąta 𝐶𝐴𝐵 jest równy 3\n5\n, a przeciwprostokątna 𝐴𝐵\njest o 8 dłuższa od przyprostokątnej 𝐵𝐶.\nDługość przeciwprostokątnej 𝐴𝐵 tego trójkąta jest równa\nA. 18\nB. 20\nC. 24\nD. 25","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry oraz cos 𝛼= 24\n25\nTangens kąta 𝛼 jest równy\nA. 7\n18\nB. 7\n24\nC. 7\n25\nD. 18\n25\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n6.3) stosuje proste zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi:\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼=\nsin 𝛼\ncos𝛼 […];\n6.4) znając wartość jednej z funkcji: sinus\nlub cosinus, wyznacza wartości pozostałych\nfunkcji tego samego kąta ostrego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nDany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐵| = 5, |𝐴𝐶| = 2 oraz sin|∡𝐵𝐴𝐶| = 3\n5\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe\nA. 3\nB. 5\nC. 6\nD. 10","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nPunkty 𝐾, 𝐿 oraz 𝑀 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑆. Miara kąta 𝐾𝑆𝑀 jest równa 160°\n(zobacz rysunek).\nMiara kąta wpisanego 𝐾𝐿𝑀 jest równa\nA. 80°\nB. 90°\nC. 100°\nD. 110°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1) stosuje zależności między kątem\nśrodkowym i kątem wpisanym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) proste 𝑘 oraz 𝑙 są określone równaniami\n𝑘: 𝑦= (3𝑚-2)𝑥-2\n𝑙: 𝑦= (2𝑚+ 4)𝑥+ 2\nProste 𝑘 oraz 𝑙 są równoległe, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-6)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 6\n𝐾\n𝐿\n𝑀\n𝑆 160°\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.2) bada równoległość […] prostych na\npodstawie ich równań kierunkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) odcinek o końcach 𝐴= (-4, 7) oraz 𝐵= (6, -1) jest\nśrednicą okręgu 𝒪.\nŚrodkiem okręgu 𝒪 jest punkt o współrzędnych\nA. (1, 3)\nB. (5, -4)\nC. (1, -3)\nD. (5, 4)","answer":"A","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nLiczba wszystkich ścian ostrosłupa prawidłowego jest równa 12.\nLiczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa\nA. 10\nB. 11\nC. 12\nD. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG11.1) rozpoznaje […] ostrosłupy\nprawidłowe.\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nDany jest prostopadłościan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, w którym podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 i 𝐸𝐹𝐺𝐻 są\nkwadratami o boku długości 6. Przekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu tworzy z przekątną\n𝐴𝐻 ściany bocznej 𝐴𝐷𝐻𝐸 kąt o mierze 30° (zobacz rysunek).\nPrzekątna 𝐵𝐻 tego prostopadłościanu ma długość równą\nA. 4√3\nB. 6√3\nC. 12\nD. 12√2\n30°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐺\n𝐻\n𝐸\n𝐹\n6\n6\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n9.1) rozpoznaje w graniastosłupach kąty\nmiędzy odcinkami (np. krawędziami,\nkrawędziami i przekątnymi, itp.), oblicza\nmiary tych kątów;\n9.3) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nDługości trzech wychodzących z jednego wierzchołka krawędzi prostopadłościanu są trzema\nkolejnymi liczbami naturalnymi parzystymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma\ndługość 10.\nPole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe\nA. 376\nB. 466\nC. 480\nD. 720","answer":"A","answer_text":"Zadanie 27. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nG11.2) oblicza pole powierzchni […]\ngraniastosłupa prostego […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra dziesiątek\njest o 3 większa od cyfry jedności, jest\nA. 3\nB. 6\nC. 7\nD. 13","answer":"C","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n10.1) zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających\nużycia wzorów kombinatorycznych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za\nrozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.\nLiczba punktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba uczniów\n2\n2\n5\n6\n11\n6\nŚrednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez\nuczniów tej klasy jest równa\nA. 2,5\nB. 3,25\nC. 3,31\nD. 4\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nG9.3) wyznacza średnią arytmetyczną […]\nzestawu danych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZADANIA OTWARTE\nUwagi ogólne:\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie rozwiąże zadanie i otrzyma poprawny wynik, lecz w końcowym\nzapisie przekształca ten wynik i popełnia przy tym błąd, to może uzyskać maksymalną\nliczbę punktów.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝑥(𝑥+ 2) ≤3\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nzapisanie zbioru rozwiązań nierówności: ⟨-3, 1⟩ lub 𝑥∈⟨-3, 1⟩\nALBO\n- spełnienie jednego z warunków określonych w zasadach oceniania za 1 pkt oraz\nprzedstawienie zbioru rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie\nzaznaczonymi końcami przedziałów\n1 pkt - obliczenie lub podanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑥-3:\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1\nALBO\n- odczytanie z wykresu funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥-3 i zapisanie miejsc zerowych\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n-3\n𝑥\n1\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 2𝑥-3, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik 𝛥 jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥2 + 2𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n𝑥2 + 2𝑥≤0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów oraz zapisze: 𝑥∈(-3, 1), to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci ⟨1, -3⟩, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 + 2𝑥-3 ≤0 i obliczamy pierwiastki trójmianu\n𝑥2 + 2𝑥-3.\nObliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = 16\ni obliczamy jego pierwiastki: 𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1\nALBO\npodajemy pierwiastki trójmianu bezpośrednio, zapisując je lub zaznaczając je na wykresie:\n𝑥1 = -3 oraz 𝑥2 = 1.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: ⟨-3, 1⟩ lub 𝑥∈⟨-3, 1⟩, lub zaznaczamy zbiór\nrozwiązań na osi liczbowej:\n-3\n𝑥\n1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich,\nże 𝑥≠2𝑦, prawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1)\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) do postaci\n(𝑥-2𝑦)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej\nliczby rzeczywistej różnej od zera jest liczbą dodatnią\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 zmiennej 𝑥 oraz\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 przyjmuje wartości dodatnie dla\n𝑥≠2𝑦,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 zmiennej 𝑦 oraz\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 przyjmuje wartości dodatnie dla\n𝑦≠𝑥\n2\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) do postaci\n𝑥2 -4𝑥𝑦+ 4𝑦2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 zmiennej 𝑥,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 zmiennej 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) w sposób równoważny:\n𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4𝑥𝑦-4\n𝑥2 -4𝑥𝑦+ 4𝑦2 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci\n(𝑥-2𝑦)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠2𝑦, więc (𝑥-2𝑦)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) w sposób równoważny:\n𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4𝑥𝑦-4\n𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 > 0\nWyrażenie 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-4𝑦)2 -4 ⋅1 ⋅4𝑦2 = 0\nFunkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 2𝑦. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠2𝑦.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥\n2\nnierówność 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥\n2\n. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) =\n√3\n3 𝑥-3.\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) jest prostą, która jest nachylona\ndo osi 𝑂𝑥 pod kątem ostrym 𝛼 i przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie 𝑃.\nOblicz sinus kąta 𝛼 oraz drugą współrzędną punktu 𝑃.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.7) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n2 pkt - wyznaczenie sinusa kąta 𝛼 oraz wyznaczenie drugiej współrzędnej punktu 𝑃:\nsin 𝛼= 1\n2 oraz 𝑦𝑝= -3.\n1 pkt - wyznaczenie sinusa kąta 𝛼: sin 𝛼= 1\n2\nALBO\n- wyznaczenie drugiej współrzędnej punktu 𝑃: 𝑦𝑝= -3.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWspółczynnik kierunkowy funkcji liniowej jest równy tangensowi kąta nachylenia wykresu tej\nfunkcji do osi 𝑂𝑥. Kąt ostry, którego tangens jest równy\n√3\n3\n, ma miarę 30°.\nZatem sin 𝛼= sin 30° = 1\n2\nWykres funkcji liniowej 𝑓(𝑥) =\n√3\n3 𝑥-3 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -3).\nZatem 𝑦𝑝= -3.","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nCiąg (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4) jest arytmetyczny.\nSuma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 większa od sumy trzeciego i czwartego\nwyrazu tego ciągu.\nOblicz różnicę tego ciągu.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n32.\n33.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i obliczenie różnicy ciągu: 𝑟= -3.\n1 pkt - zapisanie równania, z którego można obliczyć różnicę ciągu, np.:\n𝑎1 + 𝑎1 + 𝑟= 𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 3𝑟+ 12 ,\n𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎2 + 2𝑟+ 12\nALBO\n- zapisanie układu równań, z którego można obliczyć różnicę ciągu, np.:\n𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎3 + 𝑎4 + 12 oraz 𝑎2 = 𝑎1 + 𝑟 oraz 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑟 ,\n𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎3 + 𝑎4 + 12 oraz 𝑎3 = 𝑎1 + 2𝑟 oraz 𝑎4 = 𝑎2 + 2𝑟 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający poda przykład ciągu arytmetycznego spełniającego warunki zadania np.\n(10, 7, 4, 1) i zapisze, że jego różnica jest równa (-3) to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZ treści zadania wynika, że\n𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎3 + 𝑎4 + 12\n𝑎1 + 𝑎1 + 𝑟= 𝑎1 + 2𝑟+ 𝑎1 + 3𝑟+ 12\n𝑟= 5𝑟+ 12\n-4𝑟= 12\n𝑟= -3\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nPodstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 12 oraz |𝐶𝐷| = 6.\nWysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość 24. Na odcinku 𝐴𝐷 leży punkt 𝐸 taki, że\n|∡𝐵𝐸𝐴| = |∡𝐶𝐸𝐷| (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka 𝐵𝐸.\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n⋅\n𝐵\n⋅\n𝐴\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝐸: |𝐵𝐸| = 20.\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐷𝐸: |𝐷𝐸| = 8\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝐸: |𝐴𝐸| = 16.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐸| = 20 albo stosując błędną metodę, uzyskuje |𝐵𝐸| = 20,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt podobieństwa\ntrójkątów. Stąd\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| =\n|𝐷𝐸|\n|𝐶𝐷|\n|𝐴𝐸|\n12 = 24 -|𝐴𝐸|\n6\n|𝐴𝐸| = 48 -2|𝐴𝐸|\n3|𝐴𝐸| = 48\n|𝐴𝐸| = 16\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:\n|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2\n|𝐵𝐸|2 = 122 + 162\n|𝐵𝐸|2 = 400\n|𝐵𝐸| = 20\nSposób II\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐸 (na podstawie cechy kąt - kąt - kąt\npodobieństwa trójkątów) w skali 𝑘= 12\n6 = 2.\nStąd |𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸|.\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐷| = 24\n|𝐴𝐸| + |𝐷𝐸| = 24\n2|𝐷𝐸| + |𝐷𝐸| = 24\n3|𝐷𝐸| = 24\n|𝐷𝐸| = 8\n|𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸| = 16\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:\n|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2\n|𝐵𝐸|2 = 122 + 162\n|𝐵𝐸|2 = 400\n|𝐵𝐸| = 20\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"35","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝐶= {0, 4, 5, 7, 9} oraz 𝐷= {1, 2, 3}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐶, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐷.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że suma wylosowanych\nliczb będzie większa od 9.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴\ni uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 4\n15 .\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅3, lub sporządzenie tabeli o 15 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub\nsporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 4, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n15 ,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 4\n15 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 15 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{0, 4, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{1, 2, 3}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ∙3 = 15.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: (7,3), (9,1), (9,2), (9,3), więc\nmoc zbioru 𝐴 jest równa 4.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 4\n15 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,\nktórych suma jest liczbą większą od 9).\n0\n4\n5\n7\n9\n1\n𝐴\n2\n𝐴\n3\n𝐴\n𝐴\nMoc zbioru Ω jest równa 15.\nZdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest większa od 9, jest 4.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 4\n15 .\n𝐶\n𝐷\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem\nwszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n5 ⋅1\n3 + 1\n5 ⋅1\n3 + 1\n5 ⋅1\n3 + 1\n5 ⋅1\n3 = 4\n15\n1\n5\n7\n9\n1\n5\n1\n3\n3\n1\n3\n1\n3\n1\n1\n3\n3\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"},{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się\nw punkcie 𝑆= (9, 11). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu\n𝑦= 1\n2 𝑥-1, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝐵 oraz długość odcinka 𝐵𝑆.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n36.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa […] do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz długości odcinka 𝐵𝑆\noraz podanie poprawnych wyników: 𝐵= (6, 2), |𝐵𝑆| = √90 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (6, 2)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20) oraz obliczenie długości\nodcinka 𝐷𝑆: |𝐷𝑆| = √90 .\n3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 2𝑥-10\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝐵,\nnp.:\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11,\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz 𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 oraz 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej\n𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub 𝑦𝑑), np. 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏)\noraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub\n𝑦𝑑), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1) oraz 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):\n𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-c), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc\n2 + 𝑥𝑐\n2\n= 9 oraz 0 + 𝑦𝑐\n2\n= 11\n𝑥𝑐= 16 oraz 𝑦𝑐= 22\nZatem 𝐶= (16, 22).\nProsta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest\nrówny 2. Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:\n𝑦= 2(𝑥-16) + 22\n𝑦= 2𝑥-10\nPunkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-10\nStąd\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2𝑥-10 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 9\n𝑥= 6\n𝑦= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10\nSposób II\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2, 0).\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 2.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵:\n𝑦= 2(𝑥-9) + 11\n𝑦= 2𝑥-7\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu\nsą rozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-7\nStąd\n2𝑥-7 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 6\n𝑥= 4\n𝑦= 1\nZatem 𝑀𝐴𝐵= (4, 1).\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc\n2 + 𝑥𝑏\n2\n= 4 oraz 0 + 𝑦𝑏\n2\n= 1\n𝑥𝑏= 6 oraz 𝑦𝑏= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10\nSposób III\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1, stąd 𝑦𝑏= 1\n2𝑥𝑏-1.\nPunkt 𝐷 leży na prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4, stąd 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11\nZatem\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑= 18 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2𝑥𝑑= 27\n𝑥𝑑= 18 -𝑥𝑏 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2(18 -𝑥𝑏) = 27\nStąd otrzymujemy\n-3\n2 𝑥𝑏= -9\n𝑥𝑏= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 = 1\n2 ⋅6 -1 = 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin poprawkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n𝑥2 + 2𝑥-3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 2) ≤0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci 〈1, -3〉, to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zapisanie równości 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎3 + 𝑎4 + 12.\nZadanie 34.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne\nALBO\n- zapisanie równości |𝐵𝐸|2 = 122 + |𝐴𝐸|2.\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 15 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n15), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\n1 pkt - poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1\nALBO\n- poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 2𝑥-4 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne"}]}