{"paper":{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa-odpowiedzi.pdf","question_count":40,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczby 𝑥1 i 𝑥2 są różnymi rozwiązaniami równania |𝑥-6| = 4.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloczyn 𝑥1 ⋅𝑥2 jest równy\nA. 4\nB. 20\nC. 24\nD. 100\nLiczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x-6|=4. Iloczyn x_1⋅ x_2 jest równy A. 4 B. 20 C. 24 D. 100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania typu: |𝑥+ 4| = 5.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\%\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja błędu względnego\n\n**Błąd względny** to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej, wyrażony w procentach:\n\\[\\delta = \\frac{|x - x_0|}{|x_0|} \\cdot 100\\%\\]\ngdzie \\(x\\) to przybliżenie, a \\(x_0\\) to wartość dokładna.\n\n**Krok 1.** Obliczamy wartość dokładną:\n\\[\\frac{1}{8} = 0{,}125\\]\n\n**Krok 2.** Obliczamy błąd bezwzględny:\n\\[|0{,}1 - 0{,}125| = |-0{,}025| = 0{,}025\\]\n\n**Krok 3.** Obliczamy błąd względny:\n\\[\\delta = \\frac{0{,}025}{0{,}125} \\cdot 100\\%\\]\n\n**Krok 4.** Upraszczamy ułamek:\n\\[\\frac{0{,}025}{0{,}125} = \\frac{25}{125} = \\frac{1}{5} = 0{,}2\\]\n\n**Zatem:**\n\\[\\delta = 0{,}2 \\cdot 100\\% = \\mathbf{20\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - Ułamki zamiast dziesiętnych\n\nZamiast przeliczać na liczby dziesiętne, pracujemy na ułamkach od początku.\n\nPrzybliżenie: \\(0{,}1 = \\frac{1}{10}\\), wartość dokładna: \\(\\frac{1}{8}\\).\n\nBłąd bezwzględny:\n\\[\\left|\\frac{1}{10} - \\frac{1}{8}\\right| = \\left|\\frac{4}{40} - \\frac{5}{40}\\right| = \\frac{1}{40}\\]\n\nBłąd względny:\n\\[\\delta = \\frac{\\dfrac{1}{40}}{\\dfrac{1}{8}} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{40} \\cdot \\frac{8}{1} \\cdot 100\\% = \\frac{8}{40} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{5} \\cdot 100\\% = \\mathbf{20\\%}\\]\n\nTen sam wynik - odpowiedź **C** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja błędu względnego (temat rachunkowości/szacowania, który uczeń powinien znać z treści zadania) oraz działania na ułamkach i procentach z działu podstawowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(0{,}2\\%\\)) | Uczeń oblicza błąd względny poprawnie (\\(0{,}2\\)), ale **zapomina pomnożyć przez 100%** - zostawia wynik jako \\(0{,}2\\) i wpisuje \\(0{,}2\\%\\) |\n| B (\\(0{,}25\\%\\)) | Uczeń dzieli odwrotnie: \\(\\frac{0{,}025}{0{,}1} = 0{,}25\\), czyli odnosi błąd do **przybliżenia** zamiast do wartości dokładnej, a potem nie mnoży przez 100 |\n| D (\\(25\\%\\)) | Uczeń dzieli błąd przez przybliżenie zamiast przez wartość dokładną: \\(\\frac{0{,}025}{0{,}1} \\cdot 100\\% = 25\\%\\) - to **błąd wyboru mianownika** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd względny odnosi się zawsze do **wartości dokładnej** (mianownik = \\(\\frac{1}{8}\\)), NIE do przybliżenia. To najczęstszy błąd w tym typie zadania - właśnie dlatego istnieje odpowiedź D jako pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij pomnożyć przez \\(100\\%\\) na końcu. Wynik \\(0{,}2\\) to ułamek - odpowiedź A (\\(0{,}2\\%\\)) „czeka\" na tę pomyłkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw przelicz \\(\\frac{1}{8} = 0{,}125\\) - to łatwe dzielenie, ale uczniowie często zakładają \\(\\frac{1}{8} \\approx 0{,}1\\) i nie widzą błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja błędu względnego (karta wzorów)\nBłąd bezwzględny: \\(|x - x_0| = \\left|\\dfrac{1}{8} - 0{,}1\\right| = |0{,}125 - 0{,}1| = 0{,}025.\\)\nBłąd względny: \\(\\dfrac{0{,}025}{0{,}125} = 0{,}2 = 20\\%.\\)\n\n### Sposób 2 - Zamiana na ułamek\n\\(\\dfrac{1/8 - 1/10}{1/8} = \\dfrac{5/40 - 4/40}{5/40} = \\dfrac{1/40}{5/40} = \\dfrac{1}{5} = 20\\%.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}2\\%\\)** - pomylone z wartością \\(0{,}2\\) jako ułamek zamiast procent.\n- **B. \\(0{,}25\\%\\)** - błędna interpretacja różnicy \\(0{,}025\\).\n- **D. \\(25\\%\\)** - przyjęto błędnie \\(\\dfrac{0{,}025}{0{,}1}\\) zamiast dzielić przez wartość dokładną.\n\n**Trik:** błąd względny dzielimy zawsze przez wartość **dokładną**, nie przez przybliżenie.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 256 ⋅√82\n3\njest równa\nA. 28\nB. 210\nC. 216\nD. 236\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 256⋅∛8² jest równa A. 2^8 B. 2^10 C. 2^16 D. 2^36","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(2^{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi dwójki\n\nZaczynamy od zapisania każdego czynnika jako potęga liczby \\(2\\).\n\n**Krok 1:** Zapisz \\(256\\) jako potęgę dwójki.\n\\[256 = 2^8\\]\n\n**Krok 2:** Zapisz \\(8\\) jako potęgę dwójki.\n\\[8 = 2^3\\]\n\n**Krok 3:** Oblicz \\(8^2\\).\n\\[8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \\cdot 2} = 2^6\\]\n\n**Krok 4:** Oblicz pierwiastek sześcienny z \\(8^2\\).\n\\[\\sqrt[3]{8^2} = \\sqrt[3]{2^6} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\\]\n\n**Krok 5:** Pomnóż obydwa czynniki.\n\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^2} = 2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8+2} = \\mathbf{2^{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Zapis przez wykładnik ułamkowy od razu\n\nMożna od razu zapisać całe wyrażenie jako jeden ułamkowy wykładnik.\n\n\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^2} = 2^8 \\cdot (2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^8 \\cdot 2^{3 \\cdot \\frac{2}{3}} = 2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8+2} = \\mathbf{2^{10}}\\]\n\nKluczowy wzór: \\(\\sqrt[n]{a^m} = a^{\\frac{m}{n}}\\), więc \\(\\sqrt[3]{8^2} = (2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).\n\nWynik identyczny - **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzory użyte w rozwiązaniu:\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyliśmy tego do zamiany \\(\\sqrt[3]{8^2}\\) na \\(8^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy tego przy \\((2^3)^2 = 2^6\\) i \\((2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy tego na końcu: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{10}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(2^8\\) | Uczeń ignoruje czynnik \\(\\sqrt[3]{8^2}\\) i przepisuje samo \\(256 = 2^8\\) |\n| C - \\(2^{16}\\) | Zamiast pierwiastka sześciennego liczy kwadrat: \\(256 \\cdot 8^2 = 2^8 \\cdot 2^6 = 2^{14}\\), lub myli wykładniki i dostaje \\(2^{16}\\) |\n| D - \\(2^{36}\\) | Mnoży wykładniki zamiast dodawać: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8 \\cdot 2}\\) - klasyczny błąd przy mnożeniu potęg |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie **dodajemy** wykładniki: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{10}\\), NIE \\(2^{16}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{8^2} \\neq \\sqrt[3]{8} \\cdot 2\\) - najpierw zrób \\(8^2\\), a potem pierwiastek, albo zamień od razu na wykładnik ułamkowy \\(8^{\\frac{2}{3}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto znać potęgi dwójki na pamięć do \\(2^{10}\\): \\(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\\). Widzisz 256 → od razu myślisz \\(2^8\\). To oszczędza czas na maturze!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na potęgę 2 (karta wzorów)\n\\(256 = 2^{8}\\), \\(8 = 2^{3}\\), więc \\(8^{2} = 2^{6}\\) i \\(\\sqrt[3]{2^{6}} = 2^{6/3} = 2^{2}.\\)\n\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^{2}} = 2^{8} \\cdot 2^{2} = 2^{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia numeryczne\n\\(\\sqrt[3]{8^{2}} = \\sqrt[3]{64} = 4 = 2^{2}.\\) Zatem \\(256\\cdot 4 = 1024 = 2^{10}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2^{8}\\)** - pominięto czynnik \\(\\sqrt[3]{8^{2}}\\).\n- **C. \\(2^{16}\\)** - pomylono \\(\\sqrt[3]{8^{2}}\\) z \\(8^{2}\\).\n- **D. \\(2^{36}\\)** - błędnie pomnożono wykładniki.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}\\); przy potęgowaniu dodajemy wykładniki.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nIloczyn 2 ⋅log3 5 jest równy log3 25.\nP\nF\nSuma 2 + log3 5 jest równa log3 10.\nP\nF\nIloczyn 2⋅log_3 5 jest równy log_3 25. | P | F | Suma 2+log_3 5 jest równa log_3 10. | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu […] i logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWynik to \\(4\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia na \\((a+b)^2\\)\n\nRozkładamy wyrażenie krok po kroku.\n\n**Krok 1:** Upraszczamy \\(\\sqrt{12}\\).\n\n\\[\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).\n\n\\[(\\sqrt{3}+1)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy i upraszczamy.\n\n\\[(4 + 2\\sqrt{3}) - \\sqrt{12} = (4 + 2\\sqrt{3}) - 2\\sqrt{3} = 4\\]\n\n**Wynik: \\(4\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa (przybliżenia)\n\nSprawdzamy wynik podstawiając \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\).\n\n\\[(\\sqrt{3}+1)^2 \\approx (1{,}732 + 1)^2 = (2{,}732)^2 \\approx 7{,}464\\]\n\n\\[\\sqrt{12} \\approx 3{,}464\\]\n\n\\[7{,}464 - 3{,}464 = 4{,}000 \\checkmark\\]\n\nWynik numerycznie zgadza się z odpowiedzią D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego do rozwinięcia \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) w Sposobie 1.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy tego do uproszczenia \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Nie rozwinięto \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) wzorem - zamiast tego policzono \\((\\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4\\) i odjęto \\(4\\sqrt{3}\\) (pomylono \\(\\sqrt{12}\\) z \\(2\\sqrt{12}\\) lub pominięto człon \\(2ab\\)) |\n| B | Rozwinięto poprawnie do \\(4 + 2\\sqrt{3}\\), ale potem odjęto \\(2\\sqrt{3}\\) ze złym znakiem - wynik \\(4 - 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(4\\) |\n| C | Pomylono \\(\\sqrt{12}\\) z \\(2\\sqrt{3}\\) przy odejmowaniu i popełniono błąd arytmetyczny; lub nie uproszczono \\(\\sqrt{12}\\) i odjęto \\(\\sqrt{12} \\approx 3{,}46\\) zaokrąglone do \\(2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie środkowego członu \\(2ab\\) we wzorze \\((a+b)^2\\). Uczniowie mylnie liczą \\((\\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 1 = 4\\) - to błąd! Zawsze rozwijaj pełnym wzorem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj pierwiastki przed odejmowaniem. \\(\\sqrt{12}\\) to nie \\(\\sqrt{12}\\) bez uproszczenia - zawsze szukaj pełnych kwadratów pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy po rozwinięciu masz \\(4 + 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\), wyrazy z \\(\\sqrt{3}\\) **znoszą się**. To \"piękny\" wynik - całkowity. Jeśli zostają Ci irracjonalne reszty, wróć i sprawdź uproszczenie \\(\\sqrt{12}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia (karta wzorów)\n\\((\\sqrt{3}+1)^{2} = (\\sqrt{3})^{2} + 2\\cdot\\sqrt{3}\\cdot 1 + 1^{2} = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}.\\)\n\\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4\\cdot 3} = 2\\sqrt{3}.\\)\n\\[4 + 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia numeryczne\n\\(\\sqrt{3}\\approx 1{,}732\\). \\((\\sqrt{3}+1)^2 \\approx (2{,}732)^2 \\approx 7{,}464.\\) \\(\\sqrt{12}\\approx 3{,}464.\\) Różnica \\(\\approx 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4 - 4\\sqrt{3}\\)** - pomylone znaki w \\((a+b)^2\\).\n- **B. \\(4 - 2\\sqrt{3}\\)** - zły znak przy \\(2\\sqrt{3}\\) w kwadracie.\n- **C. \\(2\\)** - błąd w uproszczeniu \\(\\sqrt{12}\\).\n\n**Trik:** \\(\\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\), co znosi się z \\(2\\sqrt{3}\\) z rozwinięcia.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (√3 + 1)\n2 -√12 jest równa\nA. 4 -4√3\nB. 4 -2√3\nC. 2\nD. 4\n\nMMAP-P0_100\nLiczba (√3+1}² - √12 jest równa A. 4-4√3 B. 4-2√3 C. 2 D. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nI.3) stosuje własności pierwiastków\ndowolnego stopnia, w tym pierwiastków\nstopnia nieparzystego z liczb ujemnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\log_{3} 45\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana liczby całkowitej na logarytm i użycie wzoru dodawania\n\nKluczowa obserwacja: **liczbę \\(2\\) można zapisać jako logarytm** przy podstawie \\(3\\), bo:\n\\[2 = \\log_{3} 9\\]\n(bo \\(3^2 = 9\\))\n\nTeraz korzystamy ze wzoru na **sumę logarytmów**:\n\\[\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\]\n\nZatem:\n\\[2 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3}(9 \\cdot 5) = \\log_{3} 45\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\log_{3} 45\\)**\n\n## Sposób 2 - przez definicję logarytmu (weryfikacja)\n\nSprawdzamy, czy \\(\\log_{3} 45 = 2 + \\log_{3} 5\\).\n\nKorzystamy z własności logarytmu potęgi:\n\\[\\log_{3} 45 = \\log_{3}(9 \\cdot 5) = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 3^2 + \\log_{3} 5 = 2 + \\log_{3} 5 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź D jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\n1. Wzór na logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy go, żeby połączyć \\(\\log_3 9 + \\log_3 5\\) w \\(\\log_3 45\\).\n\n2. Definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej, żeby zamienić \\(2 = \\log_3 9\\) (bo \\(3^2 = 9\\)).\n\n3. Wzór na logarytm potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nAlternatywnie: \\(\\log_3 9 = \\log_3 3^2 = 2 \\cdot \\log_3 3 = 2 \\cdot 1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(\\log_3 7\\) - błąd polegający na dodaniu liczb pod logarytmem: \\(2 + \\log_3 5 \\neq \\log_3(2+5)\\) |\n| B | \\(\\log_3 10\\) - błąd polegający na dodaniu argumentu i liczby całkowitej: \\(\\log_3(5+2+3) = \\log_3 10\\) lub skojarzenie z \\(\\log_{10}\\) |\n| C | \\(\\log_3 25\\) - błąd polegający na pomnożeniu: \\(2 \\cdot \\log_3 5 = \\log_3 5^2 = \\log_3 25\\) (mylenie \\(2 + \\log_3 5\\) z \\(2 \\cdot \\log_3 5\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 7 \\neq 2 + \\log_3 5\\). Logarytm sumy to NIE to samo co suma logarytmów! Nie można \"wsadzić\" liczby pod logarytm przez zwykłe dodanie: \\(\\log_a x + c \\neq \\log_a(x + c)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby zamienić liczbę całkowitą \\(n\\) na logarytm przy podstawie \\(a\\), używamy: \\(n = \\log_a(a^n)\\). Tu: \\(2 = \\log_3(3^2) = \\log_3 9\\). To kluczowy trik w zadaniach z logarytmami!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(2 + \\log_3 5\\) (dodawanie) z \\(2 \\cdot \\log_3 5 = \\log_3 25\\) (mnożenie). Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność logarytmu (karta wzorów)\n\\(2 = \\log_{3} 3^{2} = \\log_{3} 9.\\) Zatem:\n\\[2 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3}(9\\cdot 5) = \\log_{3} 45.\\]\n\n### Sposób 2 - Zamiana na jedną liczbę\n\\(\\log_{3} 5 \\approx 1{,}465.\\) Zatem \\(2 + \\log_{3} 5 \\approx 3{,}465.\\) \\(\\log_{3} 45 \\approx 3{,}465\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\log_{3} 7\\)** - pomylono dodawanie logarytmów z dodawaniem argumentów.\n- **B. \\(\\log_{3} 10\\)** - błędnie dwukrotność argumentu.\n- **C. \\(\\log_{3} 25\\)** - pomylono \\(2 + \\log_{3} 5\\) z \\(2\\log_{3} 5\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_{a} b + \\log_{a} c = \\log_{a}(bc)\\); tu \\(2 = \\log_{3} 9\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒂, która przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟏,\ni dla każdej liczby całkowitej 𝒃, która przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟒, liczba\n𝒂𝟐-𝒃𝟐 jest podzielna przez 𝟓.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²-b² jest podzielna przez 5.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie liczb 𝑎 oraz 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4,\ngdzie 𝑙∈ℤ, oraz zapisanie różnicy 𝑎2 -𝑏2 w postaci\n25𝑘2 + 10𝑘+ 1 -25𝑙2 -40𝑙-16\nALBO\n- zapisanie liczb 𝑎 oraz 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4,\ngdzie 𝑙∈ℤ, oraz zapisanie różnicy 𝑎2 -𝑏2 w postaci\n(5𝑘+ 1 -5𝑙-4)(5𝑘+ 1 + 5𝑙+ 4),\nALBO\n- zapisanie, że suma 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 5,\nALBO\n- zapisanie, że jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1, to jej\nkwadrat przy dzieleniu przez 5 też daje resztę 1, oraz zapisanie, że jeśli liczba\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncałkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 4, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 5\ndaje resztę 1.\n1 pkt - zapisanie liczby 𝑎 w postaci 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- zapisanie liczby 𝑏 w postaci 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ,\nALBO\n- zapisanie, że jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1, to jej\nkwadrat przy dzieleniu przez 5 też daje resztę 1,\nALBO\n- zapisanie, że jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 4, to jej\nkwadrat przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze liczby 𝑎 i 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1 i 𝑏= 5𝑘+ 4, gdzie 𝑘∈ℤ,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba\ncałkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc liczby 𝑎 i 𝑏 możemy zapisać\nw postaci: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWtedy\n𝑎2 -𝑏2 = (5𝑘+ 1)2 -(5𝑙+ 4)2 = 25𝑘2 + 10𝑘+ 1 -25𝑙2 -40𝑙-16 =\n= 25𝑘2 + 10𝑘-25𝑙2 -40𝑙-15 = 5 ⋅(5𝑘2 + 2𝑘-5𝑙2 -8𝑙-3)\nLiczba 5𝑘2 + 2𝑘-5𝑙2 -8𝑙-3 jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest\npodzielna przez 5.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPonieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba\ncałkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc liczby 𝑎 i 𝑏 możemy zapisać\nw postaci: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWtedy\n𝑎2 -𝑏2 = (𝑎-𝑏)(𝑎+ 𝑏) = (5𝑘+ 1 -5𝑙-4)(5𝑘+ 1 + 5𝑙+ 4) =\n= (5𝑘-5𝑙-3)(5𝑘+ 5𝑙+ 5) = 5 ⋅(5𝑘-5𝑙-3)(𝑘+ 𝑙+ 1)\nLiczba (5𝑘-5𝑙-3)(𝑘+ 𝑙+ 1) jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest\npodzielna przez 5.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nPonieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba\ncałkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc suma 𝑎+ 𝑏 jest podzielna\nprzez 5 (ponieważ suma reszt z dzielenia przez 5 liczb 𝑎 oraz 𝑏 jest podzielna przez 5).\nZatem liczba 𝑎2 -𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎-𝑏) jest podzielna przez 5.\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nLiczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, więc liczba 𝑎2 przy dzieleniu\nprzez 5 również daje resztę 1. Liczba całkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4,\nwięc liczba 𝑏2 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.\nZatem liczby 𝑎2 i 𝑏2 możemy zapisać w postaci: 𝑎2 = 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ,\noraz 𝑏2 = 5𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWtedy\n𝑎2 -𝑏2 = 5𝑘+ 1 -5𝑙-1 = 5𝑘-5𝑙= 5 ⋅(𝑘-𝑙)\nLiczba 𝑘-𝑙 jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest podzielna przez 5.\nTo należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcanie nierówności krok po kroku\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\[8 - \\frac{1-2x}{2} \\geq 3x\\]\n\n**Krok 1.** Mnożymy obie strony przez \\(2\\), żeby pozbyć się mianownika. Nierówność się nie odwraca, bo \\(2 > 0\\):\n\\[16 - (1 - 2x) \\geq 6x\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy nawias (uwaga na minus przed nawiasem!):\n\\[16 - 1 + 2x \\geq 6x\\]\n\\[15 + 2x \\geq 6x\\]\n\n**Krok 3.** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę, a liczby na lewą:\n\\[15 \\geq 6x - 2x\\]\n\\[15 \\geq 4x\\]\n\n**Krok 4.** Dzielimy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia, nierówność się nie odwraca):\n\\[x \\leq \\frac{15}{4} = 3{,}75\\]\n\nZbiór rozwiązań to \\(\\langle -\\infty, 3{,}75 \\rangle\\).\n\n**Największa liczba całkowita spełniająca \\(x \\leq 3{,}75\\) to \\(x = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy warunek \\(x \\leq 3{,}75\\). Sprawdzamy kandydatów bezpośrednio w oryginalnej nierówności \\(8 - \\frac{1-2x}{2} \\geq 3x\\):\n\n**Dla \\(x = 3\\):**\n\\[8 - \\frac{1 - 6}{2} \\geq 9\\]\n\\[8 - \\frac{-5}{2} \\geq 9\\]\n\\[8 + 2{,}5 \\geq 9\\]\n\\[10{,}5 \\geq 9 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 4\\):**\n\\[8 - \\frac{1 - 8}{2} \\geq 12\\]\n\\[8 - \\frac{-7}{2} \\geq 12\\]\n\\[8 + 3{,}5 \\geq 12\\]\n\\[11{,}5 \\geq 12 \\quad \\times\\]\n\n\\(x = 4\\) nie spełnia nierówności, a \\(x = 3\\) - tak. **Zatem największa całkowita to \\(3\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne na nierównościach (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(1\\) | Uczeń myli \\(\\geq\\) z \\(\\leq\\) i wyciąga wniosek o najmniejszej liczbie całkowitej zamiast największej |\n| B: \\(2\\) | Błąd przy rozwijaniu nawiasu: pominięcie znaku minus, np. \\(16 - 1 - 2x\\) zamiast \\(16 - 1 + 2x\\), co daje \\(15 \\geq 8x\\), czyli \\(x \\leq 1{,}875\\) |\n| D: \\(4\\) | Uczeń zaokrąglił \\(3{,}75\\) **w górę** do \\(4\\) zamiast wziąć część całkowitą w dół - ale \\(4 > 3{,}75\\), więc \\(4\\) już nie spełnia nierówności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku. \\(-(1-2x) = -1+2x\\), nie \\(-1-2x\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglanie \\(3{,}75\\) do \\(4\\) to klasyczna pułapka. Pytanie brzmi o **największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność**, czyli musimy wziąć \\(\\lfloor 3{,}75 \\rfloor = 3\\), bo \\(4 > 3{,}75\\) już warunki nie spełnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** - nierówność zmienia kierunek. Tutaj mnożymy przez \\(2 > 0\\), więc kierunek zostaje bez zmian.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie\nMnożymy przez \\(2\\): \\(16 - (1 - 2x) \\geq 6x\\), czyli \\(16 - 1 + 2x \\geq 6x\\), stąd \\(15 \\geq 4x\\), czyli \\(x \\leq \\dfrac{15}{4} = 3{,}75.\\)\nNajwiększą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie liczbowe\nDla \\(x=3\\): \\(8 - \\dfrac{1-6}{2} = 8 + \\dfrac{5}{2} = 10{,}5 \\geq 9\\) ✓.\nDla \\(x=4\\): \\(8 - \\dfrac{1-8}{2} = 8 + \\dfrac{7}{2} = 11{,}5 \\geq 12\\) - fałsz.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - liczby mniejsze od największej całkowitej.\n- **D. \\(4\\)** - nie spełnia, bo \\(4 > 3{,}75\\).\n\n**Trik:** najpierw usuń ułamek mnożąc przez mianownik.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDana jest nierówność\n8 -1 -2𝑥\n2\n≥3𝑥\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nDana jest nierówność 8 - 1-2x/2 ≥ 3x Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest A. 1 B. 2 C. 3 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - trzy rozwiązania.\n\n## Sposób 1 - Faktoryzacja i analiza pierwiastków\n\nRównanie ma postać iloczynu:\n\\[4(x-1)^2(x^2-25) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **przynajmniej jeden czynnik jest zerem**. Czynnik \\(4\\) nigdy nie jest zerem, więc analizujemy pozostałe:\n\n**Czynnik 1:** \\((x-1)^2 = 0\\)\n\\[(x-1)^2 = 0 \\implies x - 1 = 0 \\implies x = 1\\]\n\nJest to pierwiastek **podwójny** - ale to nadal **jedno** rozwiązanie (jedna wartość \\(x\\)).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 25 = 0\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:\n\\[x^2 - 25 = (x-5)(x+5) = 0\\]\n\\[x = 5 \\quad \\text{lub} \\quad x = -5\\]\n\n**Wszystkie rozwiązania:**\n\\[x_1 = -5, \\quad x_2 = 1, \\quad x_3 = 5\\]\n\nMamy **trzy różne** wartości spełniające równanie.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każde znalezione rozwiązanie:\n\n**Dla \\(x = 1\\):**\n\\[4(1-1)^2(1^2-25) = 4 \\cdot 0 \\cdot (-24) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 5\\):**\n\\[4(5-1)^2(5^2-25) = 4 \\cdot 16 \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = -5\\):**\n\\[4(-5-1)^2((-5)^2-25) = 4 \\cdot 36 \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]\n\nKażde z trzech podstawień daje zero - **wszystkie trzy rozwiązania są poprawne** i nie ma innych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozłożenia \\(x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\\).\n\nW pozostałej części zadania wystarczy podstawowa zasada: iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(x^2 - 25 = 0\\) i dostaje dwa rozwiązania (\\(x = \\pm 5\\)), ale **zapomina o czynniku \\((x-1)^2\\)** |\n| C | Uczeń liczy stopień wielomianu - wielomian jest stopnia 4, więc \"musi mieć 4 pierwiastki\". **Błąd:** pierwiastek podwójny \\(x = 1\\) jest jedną wartością, nie dwiema różnymi |\n| D | Uczeń myśli, że wielomian 4. stopnia ma zawsze dokładnie 4 różne pierwiastki rzeczywiste. **Błąd:** wielomian może mieć pierwiastki wielokrotne lub zespolone |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek podwójny to **jedna** wartość \\(x\\)! Wyrażenie \\((x-1)^2 = 0\\) daje tylko \\(x = 1\\), choć formalnie jest to \"dwukrotny pierwiastek\". Pytanie dotyczy liczby **rozwiązań** (różnych wartości \\(x\\)), nie **krotności** pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie utożsamiaj stopnia wielomianu z liczbą rozwiązań. Wielomian stopnia \\(n\\) ma co najwyżej \\(n\\) pierwiastków rzeczywistych - może mieć ich mniej, jeśli niektóre są wielokrotne lub zespolone.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki zawsze sprawdź **każdy** czynnik z osobna. Pomijanie jednego czynnika (np. zignorowanie \\((x-1)^2\\)) to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn równy zero\nIloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:\n- \\(4 \\neq 0\\),\n- \\((x-1)^{2} = 0 \\Rightarrow x = 1\\),\n- \\(x^{2} - 25 = 0 \\Rightarrow x = 5 \\lor x = -5\\).\nRóżne rozwiązania: \\(\\{-5,\\,1,\\,5\\}\\) - **trzy**.\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(a^{2} - b^{2}\\)\n\\(x^{2} - 25 = (x-5)(x+5)\\), więc równanie to \\(4(x-1)^{2}(x-5)(x+5) = 0\\) - trzy różne pierwiastki: \\(1\\) (podwójny), \\(5\\), \\(-5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. dwa** - pominięto jedno rozwiązanie.\n- **C. cztery** - policzono \\(x=1\\) podwójnie.\n- **D. pięć** - błędne zliczanie krotności.\n\n**Trik:** w zbiorze rozwiązań liczymy **różne** liczby, bez względu na krotność.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie 4(𝑥-1)2(𝑥2 -25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania.\nB. trzy rozwiązania.\nC. cztery rozwiązania.\nD. pięć rozwiązań.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie 4(x-1)^2(x^2-25) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania. B. trzy rozwiązania. C. cztery rozwiązania. D. pięć rozwiązań.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: […] 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\((-5, 3)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt dziedziny z wykresu\n\nDziedzina funkcji to zbiór wszystkich wartości \\(x\\), dla których funkcja jest zdefiniowana - czyli rzut wykresu na oś \\(x\\).\n\n**Krok 1: Znajdź skrajne punkty wykresu.**\n\nZ rysunku odczytujemy, że wykres funkcji \\(f\\) zaczyna się nad punktem \\(x = -5\\) i kończy nad punktem \\(x = 3\\).\n\n**Krok 2: Sprawdź, czy końce są osiągane (otwarte czy domknięte).**\n\nKluczowe są znaczniki na końcach wykresu:\n- Na lewym końcu (przy \\(x = -5\\)) - **puste kółko** ⇒ punkt **nie należy** do dziedziny\n- Na prawym końcu (przy \\(x = 3\\)) - **puste kółko** ⇒ punkt **nie należy** do dziedziny\n\n**Krok 3: Zapisz dziedzinę.**\n\nOba końce są wykluczone, więc dziedzina to przedział **otwarty**:\n\n\\[\\mathcal{D} = (-5, 3)\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez pytanie o przynależność punktów\n\nSprawdzamy, czy punkty graniczne należą do wykresu:\n\n- Czy \\(f(-5)\\) istnieje? - Pusty punkcik przy \\(x = -5\\) oznacza **NIE**. Gdyby należał, byłoby pełne kółko (●).\n- Czy \\(f(3)\\) istnieje? - Pusty punkcik przy \\(x = 3\\) oznacza **NIE**.\n\nSkoro żaden z końców nie należy do wykresu, dziedzina **nie zawiera** \\(-5\\) ani \\(3\\), więc:\n\n\\[\\mathcal{D} = (-5, 3)\\]\n\nWniosek zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja dziedziny funkcji i umiejętność odczytu oznaczeń z wykresu (puste/pełne kółko).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | \\(\\langle -5, 3 \\rangle\\) - obustronnie domknięty. Uczeń nie zauważył, że **oba** końce mają puste kółka - uznał, że oba końce należą do dziedziny. |\n| C | \\(\\langle -1, 2 \\rangle\\) - zupełnie inne wartości. Uczeń mógł odczytać **wartości funkcji** (zakres, przeciwdziedzinę) zamiast argumentów (dziedziny). |\n| D | \\(\\langle -1, 2)\\) - mieszanie wartości z prawego i lewego końca wykresu (zakres) z lewostronnym domknięciem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Puste kółko (○) na końcu wykresu oznacza, że punkt **nie należy** do dziedziny - przedział jest tam **otwarty**. Pełne kółko (●) oznacza należenie - przedział jest **domknięty**. To najczęstszy błąd w tym typie zadań!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl **dziedziny** (wartości \\(x\\)) z **zakresem/przeciwdziedzinią** (wartości \\(y\\)). Dziedzina = \"ile w poziomie sięga wykres\", zakres = \"ile w pionie sięga wykres\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Notacja ma znaczenie! \\(\\langle a, b \\rangle\\) to przedział domknięty obustronnie, \\((a, b)\\) to otwarty, \\(\\langle a, b)\\) to domknięty tylko z lewej. Na maturze każdy nawias jest oceniany!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nWykres zaczyna się w punkcie \\((-5,2)\\) (kółko puste - punkt **nie należy**) i kończy w \\((3,2)\\) (kółko puste - punkt **nie należy**). Dziedzina to \\((-5,3)\\) - przedział otwarty.\n\n### Sposób 2 - Analiza krańców\nObie skrajne wartości \\(x = -5\\) i \\(x = 3\\) zaznaczono pustymi kółkami, co oznacza wyłączenie z dziedziny.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\langle -5,3\\rangle\\)** - błędnie zaznaczono zamknięte krańce.\n- **C. \\(\\langle -1,2\\rangle\\)** - to przedział dla zbioru wartości, nie dziedziny.\n- **D. \\(\\langle -1,2)\\)** - pomylono dziedzinę ze zbiorem wartości.\n\n**Trik:** puste kółko = punkt **nie należy**; pełne kółko = punkt **należy**.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"8","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-2)\nW maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew.\nPo roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim\nsadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.\nLiczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które\npozostały w pierwszym sadzie.\nOblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nW maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło 20% drzew w pierwszym sadzie i 15% drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano. Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła 70% liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie. Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 8. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nIV.2) stosuje układy równań do\nrozwiązywania zadań tekstowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 850.\n1 pkt - zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć liczby drzew posadzonych\nw pierwszym i drugim sadzie, np.\n𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew\nposadzonych w pierwszym sadzie, np.\n0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę drzew\nposadzonych w drugim sadzie, np.\n0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80 ⋅(1 410 -𝑦).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający w rozwiązaniu używa wartości przybliżonych i otrzymuje wynik różny od\n850, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba drzew posadzonych w pierwszym sadzie,\n𝑦 - liczba drzew posadzonych w drugim sadzie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 1 410 oraz 0,85𝑦= 0,70 ⋅0,80𝑥\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑦= 1 410 -𝑥 i podstawiamy w miejsce 𝑦 do\ndrugiego z równań, dzięki czemu otrzymujemy:\n0,85 ⋅(1 410 -𝑥) = 0,70 ⋅0,80𝑥\n1 198,5 -0,85𝑥= 0,56𝑥\n1,41𝑥= 1 198,5\n𝑥= 850\nW maju 2024 roku w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-3, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Odczyt z wykresu: pozioma linia referencyjna\n\n**Krok 1: Odczytaj wartość \\(f(-3)\\) z wykresu.**\n\nZaznaczamy punkt \\(x = -3\\) na osi \\(OX\\) i odczytujemy odpowiadającą wartość \\(f(-3)\\). Niech to będzie \\(y_0 = f(-3)\\).\n\n**Krok 2: Narysuj (lub wyobraź sobie) poziomą linię \\(y = y_0\\).**\n\nSzukamy wszystkich \\(x\\), dla których wykres funkcji leży **poniżej** tej linii - czyli \\(f(x) < f(-3)\\).\n\n**Krok 3: Znajdź przedział, gdzie wykres jest poniżej linii \\(y = y_0\\).**\n\nZ wykresu widać, że:\n- w punkcie \\(x = -3\\): wykres **przecina** linię \\(y = y_0\\), więc \\(f(-3) = y_0\\) - punkt **nie należy** do rozwiązania (nierówność ostra \\(<\\))\n- dla \\(x \\in (-3, 1)\\): wykres leży **poniżej** linii \\(y = y_0\\), więc \\(f(x) < f(-3)\\) ✓\n- w punkcie \\(x = 1\\): wykres znów **przecina** linię \\(y = y_0\\), więc \\(f(1) = f(-3)\\) - punkt **nie należy** do rozwiązania\n\n**Wniosek:** zbiór rozwiązań to otwarty przedział \\((-3, 1)\\).\n\n\\[\\boxed{x \\in (-3, 1)}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez sprawdzenie punktów brzegowych i wnętrza\n\n**Sprawdzamy, dlaczego granice są wykluczone:**\n\n- Dla \\(x = -3\\): \\(f(-3) < f(-3)\\) - to fałsz (lewa = prawa strona), więc \\(x = -3\\) **nie jest** rozwiązaniem.\n- Dla \\(x = 1\\): \\(f(1) < f(-3)\\) - z wykresu \\(f(1) = f(-3)\\), więc też fałsz. \\(x = 1\\) **nie jest** rozwiązaniem.\n\n**Sprawdzamy punkt wewnętrzny**, np. \\(x = -1\\):\nZ wykresu \\(f(-1)\\) leży wyraźnie **poniżej** \\(f(-3)\\), więc \\(f(-1) < f(-3)\\) ✓ - punkt należy do rozwiązania.\n\n**Sprawdzamy, czy istnieje coś poza \\((-3, 1)\\)**, np. \\(x = -5\\):\nZ wykresu \\(f(-5) = f(-3)\\) lub \\(f(-5) > f(-3)\\) - warunek **nie jest** spełniony.\n\nPotwierdza to, że jedynym rozwiązaniem jest \\((-3, 1)\\) - przedział **otwarty**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność odczytu wykresu funkcji i rozumienie definicji nierówności.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\((-5,-3)\\) | Uczeń zamiast szukać, gdzie \\(f(x) < f(-3)\\), szuka przedziału **po lewej** stronie \\(x = -3\\) - myli kierunek nierówności lub czyta wykres od złej strony |\n| **B** \\(\\langle -5,-3\\rangle\\) | Jak wyżej + dodatkowo używa nawiasów **domkniętych**, ignorując że nierówność jest ostra \\(<\\) (nie \\(\\leq\\)) |\n| **C** \\(\\langle -3,1\\rangle\\) | Uczeń dobrze identyfikuje przedział \\((-3, 1)\\), ale wpisuje nawiasy **domknięte** \\(\\langle\\;\\rangle\\) - zapomina, że \\(f(-3) = f(-3)\\) i \\(f(1) = f(-3)\\), więc końce **nie spełniają** nierówności ostrej |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność **ostra** \\(<\\) zawsze daje przedział **otwarty** - końce są wykluczone! Gdyby zadanie pytało o \\(f(x) \\leq f(-3)\\), odpowiedź brzmiałaby \\(\\langle -3, 1 \\rangle\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy, gdzie \\(f(x) < -3\\) (tzn. poniżej poziomu \\(y = -3\\)), tylko gdzie \\(f(x) < f(-3)\\) - najpierw **odczytaj wartość** \\(f(-3)\\) z wykresu, dopiero potem szukaj!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek - po lewej stronie od \\(x = -3\\) wykres może też leżeć poniżej pewnego poziomu, ale sprawdź dokładnie: z wykresu wartości w \\((-5, -3)\\) są **nie mniejsze** niż \\(f(-3)\\), więc tamten obszar nie jest rozwiązaniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Odczyt wartości \\(f(-3)\\)\nZ wykresu \\(f(-3) = 0\\). Szukamy \\(x\\), dla których \\(f(x) < 0\\).\nNa wykresie \\(f\\) przyjmuje wartości ujemne (poniżej osi OX) dla \\(x \\in (-3, 1)\\) (punkt \\(x=1\\) nie należy - kółko puste, \\(x=-3\\) także nie należy, bo \\(f(-3)=0\\) nie spełnia ostrej nierówności).\n\n### Sposób 2 - Analiza wykresu\nWykres ma wartość \\(-1\\) na przedziale \\(-3 < x < 1\\). Wartość \\(f(1) = -1\\) - kółko pełne, ale \\(1\\) nie jest w dziedzinie ciągłej części lewej; wartość \\(f(-3) = 0\\). Zatem \\(f(x) < 0\\) dokładnie dla \\(x \\in (-3, 1)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - zły obszar wykresu.\n- **C. \\(\\langle -3,1\\rangle\\)** - zawiera \\(-3\\), dla którego \\(f(-3) = 0\\), a nie \\(< 0\\).\n\n**Trik:** \\(f(x) < f(-3)\\) = punkty, w których wykres leży poniżej poziomu \\(f(-3)\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"9","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n𝒙(𝒙+ 𝟒) < 𝒙-𝟐\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż nierówność x(x+4) < x-2.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.4) rozwiązuje […] nierówności\nkwadratowe.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i zapisanie zbioru rozwiązań nierówności:\n𝑥∈(-2, -1)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziału, np.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie pierwiastków trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 3𝑥+ 2:\n𝑥1 = -2 oraz 𝑥2 = -1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, w przypadku gdy błędnie\nobliczony przez zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 𝑥(𝑥+ 4)), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność\n(np. 𝑥(𝑥+ 4) < 0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziału i jednocześnie zapisze niewłaściwy przedział jako zbiór rozwiązań\n(np. 𝑥∈[-2, -1]), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-1, -2), to otrzymuje 2 punkty.\n-2\n-1\n𝑥\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapisujemy nierówność w postaci 𝑥2 + 3𝑥+ 2 < 0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\n𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 𝑥2 + 3𝑥+ 2:\nΔ = 32 -4 ⋅1 ⋅2 = 1\nStąd\n𝑥1 = -3 -√1\n2 ⋅1\n= -2\n𝑥2 = -3 + √1\n2 ⋅1\n= -1\nSzkicujemy wykres funkcji 𝑦= 𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-2, -1).\n-2\n-1\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(k \\in (1, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - wyznaczenie miejsca zerowego i rozwiązanie nierówności\n\n**Szukamy miejsca zerowego funkcji \\(f(x) = \\frac{1}{2}x - k\\).**\n\nMiejsce zerowe to \\(x_0\\) taki, że \\(f(x_0) = 0\\):\n\n\\[\\frac{1}{2}x_0 - k = 0\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}x_0 = k\\]\n\n\\[x_0 = 2k\\]\n\n**Warunek zadania:** miejsce zerowe jest większe od \\(2\\), czyli:\n\n\\[x_0 > 2\\]\n\n\\[2k > 2\\]\n\n\\[k > 1\\]\n\n**Zatem \\(k \\in (1, +\\infty)\\), co odpowiada odpowiedzi D.**\n\n## Sposób 2 - analiza wykresu / podstawienie sprawdzające\n\nFunkcja \\(f(x) = \\frac{1}{2}x - k\\) przecina oś \\(OX\\) w punkcie \\(x_0 = 2k\\).\n\nChcemy, żeby ten punkt leżał **na prawo od \\(x = 2\\)** na osi \\(OX\\).\n\nSprawdzamy przykładowo \\(k = 2\\) (z przedziału \\((1, +\\infty)\\)):\n\\[x_0 = 2 \\cdot 2 = 4 > 2 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy \\(k = 0\\) (spoza przedziału):\n\\[x_0 = 2 \\cdot 0 = 0 \\not> 2 \\times\\]\n\nSprawdzamy graniczny przypadek \\(k = 1\\):\n\\[x_0 = 2 \\cdot 1 = 2 \\not> 2 \\times\\]\n(dokładnie \\(2\\), a zadanie wymaga **większe od \\(2\\)**, więc \\(k = 1\\) nie spełnia warunku - przedział jest **otwarty**: \\((1, +\\infty)\\))\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (zerowanie wzoru funkcji) i rozwiązanie prostej nierówności liniowej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń myli kierunek nierówności: zamiast \\(2k > 2\\) zapisuje \\(2k < 2\\), a potem jeszcze błędnie dostaje \\(k < -1\\) (np. przez niepoprawne dzielenie przez \\(-2\\) zamiast \\(2\\)) |\n| B | Uczeń poprawnie wyznacza \\(x_0 = 2k\\), ale zamiast \\(k > 1\\) błędnie upraszcza nierówność do \\(-1 < k < 0\\), prawdopodobnie myląc miejsce zerowe z wartością \\(f(2)\\) lub wartością parametru \\(k\\) z wyrazem wolnym |\n| C | Uczeń może wyznaczyć, że \\(f(2) > 0\\), tj. \\(\\frac{1}{2}\\cdot 2 - k > 0 \\Rightarrow 1 - k > 0 \\Rightarrow k < 1\\), i wybrać najbliższy przedział - ale to jest warunek na to, że \\(f(2) > 0\\), nie na to, że miejsce zerowe jest większe od \\(2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy wartości funkcji w punkcie \\(x = 2\\)! Szukamy miejsca zerowego, czyli \\(x_0\\) takiego, że \\(f(x_0) = 0\\). To dwa różne warunki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **otwarty** \\((1, +\\infty)\\), bo warunek to \\(x_0 > 2\\) (ściśle większe), co daje \\(k > 1\\) - wartość \\(k = 1\\) nie należy do odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na miejsce zerowe \\(x_0 = 2k\\) warto wyznaczać ogólnie, a dopiero potem podstawiać warunek - unikasz pomyłek z kierunkiem nierówności.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Miejsce zerowe funkcji liniowej\nMiejsce zerowe: \\(\\dfrac{1}{2}x - k = 0 \\Rightarrow x = 2k.\\)\nWarunek: \\(2k > 2 \\Rightarrow k > 1\\), czyli \\(k \\in (1, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktem\nDla \\(k = 2\\): miejsce zerowe \\(x = 4 > 2\\) ✓. Pasuje przedział D.\nDla \\(k = 0{,}5\\): miejsce zerowe \\(x = 1 \\not> 2\\). Nie pasuje B, C.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,-1)\\)** - daje ujemne miejsce zerowe.\n- **B. \\((-1,0)\\)** - miejsce zerowe ujemne lub zero.\n- **C. \\((0,1)\\)** - miejsce zerowe w \\((0,2)\\), nie \\(> 2\\).\n\n**Trik:** miejsce zerowe \\(ax+b=0\\) to \\(x = -\\dfrac{b}{a}\\); tu \\(-\\dfrac{-k}{1/2} = 2k\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"Nierówności kwadratowe, rownania_i_nierownosci","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n-𝑥-2\ndla 𝑥∈(-5, -2]\n0\ndla 𝑥∈(-2, 1]\n𝑥\ndla 𝑥∈(1, 3]\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest przedział\n4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < 𝑓(-3) jest przedział\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {-x-2 dla x∈(-5,-2>, 0 dla x∈(-2,1>, x dla x∈(1,3>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ......... . 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ......... . 3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji f jest przedział ......... . 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x) < f(-3) jest przedział ......... .","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości, miejsca zerowe, […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne uzupełnienie czterech zdań.\n3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. (-5, 3]\n2. [0, 3]\n3. [-2, 1]\n4. (-3, 1]\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [3, -5), to otrzymuje 1 punkt\nza tak uzupełnione zdanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(g(x) = 5x - 5\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przesunięcie wykresu w prawo\n\nKluczowy fakt: **przesunięcie wykresu funkcji \\(f(x)\\) o \\(a\\) jednostek w prawo** daje wykres funkcji:\n\\[g(x) = f(x - a)\\]\n\nPrzesuwamy o **1 jednostkę w prawo**, więc \\(a = 1\\):\n\\[g(x) = f(x - 1)\\]\n\nPodstawiamy \\((x-1)\\) zamiast \\(x\\) do wzoru \\(f(x) = 5x\\):\n\\[g(x) = 5(x - 1) = 5x - 5\\]\n\n**Odpowiedź: \\(g(x) = 5x - 5\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez konkretny punkt\n\nSprawdzamy, czy wynik ma sens geometrycznie.\n\nNa wykresie \\(f(x) = 5x\\) leży punkt \\((0, 0)\\) - jest to punkt, przez który przechodzi prosta \\(f\\).\n\nPo przesunięciu o 1 w prawo, ten punkt przejdzie do punktu \\((1, 0)\\). Sprawdzamy, czy \\(g(1) = 0\\):\n\\[g(1) = 5 \\cdot 1 - 5 = 5 - 5 = 0 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy jeszcze jeden punkt. Na \\(f\\) leży \\((1, 5)\\), po przesunięciu w prawo → \\((2, 5)\\):\n\\[g(2) = 5 \\cdot 2 - 5 = 10 - 5 = 5 \\checkmark\\]\n\n**Wynik zgadza się - \\(g(x) = 5x - 5\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przesunięcia wykresu funkcji:\n\\[f(x) \\xrightarrow{\\text{przesunięcie o } a \\text{ w prawo}} g(x) = f(x - a)\\]\nJest to własność funkcji omawiana na lekcjach, nie ujęta w karcie wzorów jako osobny wzór.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń odjął 1 od \\(x\\), ale nie pomnożył przez 5: napisał \\(5x - 1\\) zamiast \\(5(x-1) = 5x - 5\\) |\n| C | Uczeń dodał 1 (zamiast odjąć) i nie rozwinął nawiasu: \\(5x + 1\\) - błąd znaku i brak mnożenia |\n| D | Uczeń przesunął w **lewo** zamiast w prawo: \\(f(x+1) = 5(x+1) = 5x + 5\\) - klasyczna pomyłka kierunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie w **prawo** to \\(f(x - a)\\), a nie \\(f(x + a)\\). To myląca notacja - odejmujemy, choć przesuwamy w \"pozytywnym\" kierunku. Zapamiętaj: prawo → minus, lewo → plus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\((x-1)\\) pamiętaj o rozwinięciu nawiasu! \\(5(x-1) = 5x - 5\\), nie \\(5x - 1\\). To bardzo częsty błąd rachunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(g\\) ma **ten sam współczynnik kierunkowy** co \\(f\\) (bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia). Jeśli w odpowiedzi widzisz inną niż \\(5\\) liczbę przy \\(x\\) - coś jest nie tak.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie poziome (karta wzorów)\nPrzesunięcie w prawo o \\(1\\): \\(g(x) = f(x-1) = 5(x-1) = 5x - 5.\\)\n\n### Sposób 2 - Punkt kontrolny\n\\(f(0) = 0\\), więc punkt \\((0,0)\\) przechodzi na \\((1,0)\\) po przesunięciu. Sprawdzamy: \\(g(1) = 5\\cdot 1 - 5 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5x-1\\)** - błąd w mnożeniu, pominięto \\(5\\cdot(-1)\\).\n- **C. \\(5x+1\\)** - zły znak i niewłaściwe przesunięcie.\n- **D. \\(5x+5\\)** - przesunięcie **w lewo** zamiast w prawo.\n\n**Trik:** \\(y = f(x-a)\\) to przesunięcie w **prawo** o \\(a\\); podmień \\(x \\to x-a\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥-𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą.\nMiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest liczbą większą od 2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑘 należy do przedziału\nA. (-∞, -1)\nB. (-1, 0)\nC. (0, 1)\nD. (1, +∞)\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = 1/2x-k, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji f jest liczbą większą od 2. Liczba k należy do przedziału A. (-∞,1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(f(3)\\)\n\nNajwiększa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle 0, 14\\rangle\\) wynosi \\(f(3)\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka paraboli\n\n**Rozwijamy wzór funkcji:**\n\n\\[f(x) = (500 + 50x)(16 - x)\\]\n\\[= 500 \\cdot 16 - 500x + 50x \\cdot 16 - 50x^2\\]\n\\[= 8000 - 500x + 800x - 50x^2\\]\n\\[f(x) = -50x^2 + 300x + 8000\\]\n\nMamy więc trójmian kwadratowy z \\(a = -50\\), \\(b = 300\\), \\(c = 8000\\).\n\n**Ponieważ \\(a = -50 < 0\\), parabola jest skierowana ramionami w dół - funkcja osiąga maksimum w wierzchołku.**\n\nOdczytujemy współrzędną \\(x\\) wierzchołka:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{300}{2 \\cdot (-50)} = -\\frac{300}{-100} = 3\\]\n\nSprawdzamy: \\(x = 3 \\in \\langle 0, 14\\rangle\\) ✓\n\nWierzchołek leży wewnątrz przedziału, więc **maksimum funkcji na \\(\\langle 0, 14\\rangle\\) jest osiągane właśnie w punkcie \\(x = 3\\).**\n\n**Odpowiedź: \\(f(3)\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie wartości i weryfikacja\n\nSprawdzamy wszystkie podane punkty:\n\n\\[f(3) = (500 + 50 \\cdot 3)(16 - 3) = 650 \\cdot 13 = \\mathbf{8450}\\]\n\\[f(4) = (500 + 50 \\cdot 4)(16 - 4) = 700 \\cdot 12 = 8400\\]\n\\[f(7) = (500 + 50 \\cdot 7)(16 - 7) = 850 \\cdot 9 = 7650\\]\n\\[f(14) = (500 + 50 \\cdot 14)(16 - 14) = 1200 \\cdot 2 = 2400\\]\n\nPorównując:\n\n\\[f(3) = 8450 > f(4) = 8400 > f(7) = 7650 > f(14) = 2400\\]\n\n**Największa wartość to \\(f(3) = 8450\\). ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka paraboli:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia argumentu, dla którego parabola osiąga maksimum. Ponieważ \\(a < 0\\), wierzchołek jest maksimum globalnym funkcji - a skoro leży w przedziale \\(\\langle 0, 14\\rangle\\), jest też maksimum na tym przedziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** - \\(f(4)\\) | Uczeń poprawnie zauważa, że wierzchołek jest gdzieś w okolicach 3-4, ale zaokrągla do 4 lub myli wzór na \\(p\\), np. stosuje \\(p = \\frac{b}{2a}\\) bez minusa |\n| **C** - \\(f(7)\\) | Uczeń szuka maximum \"w środku przedziału\" \\(\\langle 0, 14\\rangle\\), czyli w punkcie \\(\\frac{0 + 14}{2} = 7\\) - to błąd; środek przedziału nie musi być wierzchołkiem |\n| **D** - \\(f(14)\\) | Uczeń myśli, że skoro \\((500 + 50x)\\) rośnie, to i funkcja rośnie - ignoruje czynnik \\((16 - x)\\), który maleje |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o znaku minus w wzorze \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\). To jeden z najczęstszych błędów - bez minusa dostajesz \\(x = -3\\), co nie leży w przedziale!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz rozwijać iloczynu w Sposobie 2 - możesz od razu podstawić \\(x = 3, 4, 7, 14\\) do oryginalnego wzoru \\((500 + 50x)(16 - x)\\). To szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy wierzchołek leży w podanym przedziale. Gdyby \\(p\\) było np. \\(-1\\) (poza przedziałem), wtedy maksimum byłoby na końcu przedziału, w którym funkcja jest największa - a nie w wierzchołku!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe i wierzchołek (karta wzorów)\nMiejsca zerowe: \\(500 + 50x = 0 \\Rightarrow x = -10\\); \\(16 - x = 0 \\Rightarrow x = 16.\\)\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) po rozwinięciu: \\(50\\cdot(-1) = -50 < 0\\) (parabola otwarta w dół).\nWierzchołek: \\(x_{W} = \\dfrac{-10 + 16}{2} = 3\\).\nDla \\(a < 0\\) największa wartość w wierzchołku. \\(3 \\in \\langle 0, 14\\rangle\\), więc max w \\(x = 3\\), czyli \\(f(3)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna\n\\(f(x) = -50x^{2} + 800x - 500\\cdot(-1)\\cdot \\) Lepiej: \\(-\\dfrac{b}{2a}\\); po rozwinięciu \\(f(x) = -50x^{2} + 300x + 8000\\), więc \\(x_{W} = \\dfrac{-300}{-100} = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(f(4)\\)** - nie jest to wierzchołek.\n- **C. \\(f(7)\\)** - to środek przedziału \\(\\langle 0,14\\rangle\\), nie wierzchołek.\n- **D. \\(f(14)\\)** - prawy kraniec, po przekroczeniu wierzchołka wartości maleją.\n\n**Trik:** dla iloczynu \\((a+bx)(c+dx)\\) wierzchołek to średnia miejsc zerowych.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 5𝑥. W kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż\nosi 𝑂𝑥 i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej 𝑔.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-5\nB. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-1\nC. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 1\nD. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 5\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej g. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=5x-5 B. g(x)=5x-1 C. g(x)=5x+1 D. g(x)=5x+5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{16}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę 2\n\nKluczowa obserwacja: \\(64 = 2^6\\), więc możemy przepisać funkcję i skorzystać z reguły potęgowania potęgi.\n\n\\[f\\!\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = 64^{-\\frac{2}{3}}\\]\n\nZamieniamy \\(64 = 2^6\\):\n\n\\[= \\left(2^6\\right)^{-\\frac{2}{3}}\\]\n\nKorzystamy z reguły \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\):\n\n\\[= 2^{6 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right)} = 2^{-4}\\]\n\nUjemny wykładnik oznacza odwrotność:\n\n\\[= \\frac{1}{2^4} = \\frac{1}{16}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{16}\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na pierwiastek i potęgę\n\nWykładnik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) możemy rozbić jako: pierwiastek trzeciego stopnia (mianownik) oraz potęga 2 (licznik), ze znakiem minus (odwrotność).\n\n\\[64^{-\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{64^{\\frac{2}{3}}}\\]\n\nTeraz liczymy \\(64^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2\\):\n\n\\[\\sqrt[3]{64} = 4, \\quad \\text{bo } 4^3 = 64\\]\n\n\\[\\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2 = 4^2 = 16\\]\n\nZatem:\n\n\\[64^{-\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{16}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{16}\\) ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWykładnik ujemny:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyto przy zamianie \\(2^{-4}\\) na \\(\\dfrac{1}{16}\\).\n\nPotęgowanie potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyto w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\left(2^6\\right)^{-\\frac{2}{3}}\\).\n\nWykładnik wymierny:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyto w Sposobie 2 do rozbicia \\(64^{\\frac{2}{3}}\\) na \\(\\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{1}{512}\\) | Obliczono \\(64^{-\\frac{3}{2}}\\) zamiast \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) - zamieniono licznik z mianownikiem wykładnika. Lub: policzono \\(\\frac{1}{8^3} = \\frac{1}{512}\\), biorąc \\(\\sqrt[3]{64}=4\\) ale podnosząc do złej potęgi |\n| C - \\(16\\) | Policzono poprawnie \\(64^{\\frac{2}{3}} = 16\\), ale zapomniano o znaku minus - pominięto odwrotność |\n| D - \\(512\\) | Potraktowano \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) jako \\(64 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot (-1)\\) albo obliczono \\(8^3 = 512\\) bez związku z zadaniem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) to **nie minus dwa trzecie**, to ułamek - licznik 2 to potęga, mianownik 3 to stopień pierwiastka, a minus daje odwrotność. Kolejność działań: najpierw pierwiastek, potem potęga, potem odwrotność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana licznika z mianownikiem - zamiast \\(\\sqrt[3]{64}^2\\) uczeń liczy \\(\\sqrt[2]{64}^3\\), co daje \\(8^3 = 512\\) lub \\(\\frac{1}{512}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus przy wykładniku NIE oznacza ujemnego wyniku! \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) to dodatnia liczba \\(\\dfrac{1}{16}\\). Ujemna potęga to zawsze odwrotność, nigdy minus.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności potęg (karta wzorów)\n\\(64 = 2^{6}\\). Zatem \\(64^{-2/3} = (2^{6})^{-2/3} = 2^{-4} = \\dfrac{1}{16}.\\)\n\n### Sposób 2 - Pierwiastek i odwrotność\n\\(64^{-2/3} = \\dfrac{1}{64^{2/3}} = \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{64^{2}}} = \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{4096}} = \\dfrac{1}{16}.\\) Lub \\(\\dfrac{1}{(\\sqrt[3]{64})^{2}} = \\dfrac{1}{4^{2}} = \\dfrac{1}{16}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\dfrac{1}{512}\\)** - błędne \\(64^{-3/2}\\).\n- **C. \\(16\\)** - pominięto minus w wykładniku.\n- **D. \\(512\\)** - \\(8^{3}\\), nie związane z zadaniem.\n\n**Trik:** \\(a^{-m/n} = \\dfrac{1}{\\sqrt[n]{a^{m}}}\\); rozłóż podstawę na potęgę.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji kwadratowej 𝑓 przechodzi\nprzez punkt (2, 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu 𝑥= -1.\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2,15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x=-1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\n2 pkt - obliczenie współczynnika 𝑎: 𝑎= 3\nALBO\n- obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15 oraz -𝑏\n2𝑎= -1 oraz 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= -1, zatem drugie\nmiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe 𝑥2 = -3.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3), gdzie 𝑎≠0\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n𝑎(2 -1)(2 + 3) = 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3) = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12\nUwaga.\nPostać kanoniczną funkcji 𝑓 możemy też uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka\nparaboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta\no równaniu 𝑥= -1, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 𝑝= -1.\nDruga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑞= 𝑓(-1) = 3(-1 -1)(-1 + 3) = -12\nStąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nSposób II\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞, gdzie 𝑎≠0\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem punkt (1, 0) leży na wykresie tej funkcji.\nStąd i z tego, że wykres funkcji 𝑓 przechodzi przez punkt (2, 15), otrzymujemy układ\nrównań:\n{ 𝑓(1) = 0\n𝑓(2) = 15\n{ 𝑎(1 + 1)2 + 𝑞= 0\n𝑎(2 + 1)2 + 𝑞= 15\n{ 4𝑎+ 𝑞= 0\n9𝑎+ 𝑞= 15\nOdejmujemy równania stronami i otrzymujemy:\n-5𝑎= -15\n𝑎= 3\nStąd:\n𝑞= -4𝑎= -12\nZatem 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nStąd:\n-𝑏\n2𝑎= -1\n𝑏= 2𝑎\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem:\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0\n𝑐= -3𝑎\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎, natomiast w miejsce 𝑐 podstawiamy\nwyrażenie (-3𝑎) i otrzymujemy:\n4𝑎+ 2 ⋅(2𝑎) -3𝑎= 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZatem:\n𝑏= 2𝑎= 6 oraz 𝑐= -3𝑎= -9\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9 = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(S_3 = 24\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wprost\n\nObliczamy trzy pierwsze wyrazy ciągu, podstawiając \\(n = 1, 2, 3\\) do wzoru \\(a_n = 3n^2 - 3n\\).\n\n**Wyraz \\(a_1\\):**\n\\[a_1 = 3 \\cdot 1^2 - 3 \\cdot 1 = 3 - 3 = 0\\]\n\n**Wyraz \\(a_2\\):**\n\\[a_2 = 3 \\cdot 2^2 - 3 \\cdot 2 = 3 \\cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6\\]\n\n**Wyraz \\(a_3\\):**\n\\[a_3 = 3 \\cdot 3^2 - 3 \\cdot 3 = 3 \\cdot 9 - 9 = 27 - 9 = 18\\]\n\n**Suma trzech pierwszych wyrazów:**\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 0 + 6 + 18 = \\mathbf{24}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika i sumowanie algebraiczne\n\nMożemy zapisać wzór ogólny w postaci iloczynowej, co ułatwia rozumienie struktury ciągu:\n\n\\[a_n = 3n^2 - 3n = 3n(n-1)\\]\n\nZatem:\n\\[S_3 = 3 \\cdot 1 \\cdot 0 + 3 \\cdot 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 3 \\cdot 2 = 0 + 6 + 18 = \\mathbf{24}\\]\n\nPostać \\(3n(n-1)\\) jest też przydatna interpretacyjnie - wyraz \\(a_n\\) jest zawsze trzykrotnością iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc \\(a_1 = 0\\) wynika stąd, że \\(1 \\cdot 0 = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 1, 2, 3\\) do podanego wzoru i dodawanie wyników.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(18\\) | Pominięcie wyrazu \\(a_1 = 0\\) i zsumowanie tylko \\(a_2 + a_3 = 6 + 18\\)? Nie, to daje 24. Częściej: policzenie tylko \\(a_3 = 18\\) i wzięcie tego jako \"suma\" |\n| C. \\(60\\) | Pomylenie wzoru - np. użycie \\(a_n = 3n^2 + 3n\\) zamiast \\(3n^2 - 3n\\): daje \\(6 + 18 + 36 = 60\\) |\n| D. \\(90\\) | Obliczenie \\(S_3 = a_1 + a_2 + a_3\\) przy błędnym \\(n = 1, 2, 3\\) jako \\(3 \\cdot 1^3 = 3\\), \\(3 \\cdot 2^3 = 24\\), \\(3 \\cdot 3^3 = 81\\) lub pomylenie potęgi - użycie \\(a_n = 3n^3 - 3n\\) daje \\(0 + 18 + 72 = 90\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg zaczyna się od \\(n \\geq 1\\), więc \\(a_1\\) to **pierwszy wyraz** - nie \\(a_0\\). Sprawdź zawsze, od jakiego \\(n\\) zdefiniowany jest ciąg!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_1 = 0\\) - zerowy pierwszy wyraz to **nie błąd**, to poprawna wartość. Nie pomijaj go przy liczeniu sumy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(n = 2\\): \\(3 \\cdot 2^2 = 3 \\cdot 4 = 12\\), a **nie** \\(6^2 = 36\\). Potęgowanie ma wyższy priorytet niż mnożenie - najpierw podnosimy do potęgi, potem mnożymy przez 3.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie wyrazów\n\\(a_{1} = 3\\cdot 1 - 3\\cdot 1 = 0.\\)\n\\(a_{2} = 3\\cdot 4 - 3\\cdot 2 = 12 - 6 = 6.\\)\n\\(a_{3} = 3\\cdot 9 - 3\\cdot 3 = 27 - 9 = 18.\\)\n\\(S_{3} = 0 + 6 + 18 = 24.\\)\n\n### Sposób 2 - Faktoryzacja\n\\(a_{n} = 3n(n-1)\\). Zatem \\(a_{1}=0\\), \\(a_{2}=3\\cdot 2\\cdot 1=6\\), \\(a_{3}=3\\cdot 3\\cdot 2=18\\). Suma \\(= 24\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\)** - to wartość \\(a_{3}\\), nie suma.\n- **C. \\(60\\)** - być może pomylono \\(a_{n} = 3n^{2} + 3n\\).\n- **D. \\(90\\)** - to suma \\(S_{4}\\).\n\n**Trik:** oblicz po kolei \\(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\) i dodaj; \\(a_{1}\\) często wynosi \\(0\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛2 -3𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n² - 3n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma S_3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 18 B. 24 C. 60 D. 90","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(m = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek stałego ilorazu\n\nW ciągu geometrycznym iloraz między kolejnymi wyrazami musi być **taki sam**. Oznacza to:\n\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy wyrazy \\((4,\\, m,\\, m-1)\\):\n\n\\[\\frac{m}{4} = \\frac{m-1}{m}\\]\n\nMnożymy obustronnie przez \\(4m\\) (przy założeniu \\(m \\neq 0\\)):\n\n\\[m^2 = 4(m-1)\\]\n\n\\[m^2 = 4m - 4\\]\n\n\\[m^2 - 4m + 4 = 0\\]\n\n\\[(m-2)^2 = 0\\]\n\n\\[\\boxed{m = 2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** ciąg \\((4, 2, 1)\\) - iloraz \\(q = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\) oraz \\(\\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nZ karty wzorów: w ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:\n\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nDla naszego ciągu \\(a_2 = m\\), \\(a_1 = 4\\), \\(a_3 = m-1\\):\n\n\\[m^2 = 4 \\cdot (m-1)\\]\n\n\\[m^2 - 4m + 4 = 0\\]\n\n\\[(m-2)^2 = 0 \\implies m = 2\\]\n\nTen sam wynik - szybciej, bez pisania ilorazów.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 jako bezpośredni warunek geometryczności. W Sposobie 1 wynikała ona z definicji stałego ilorazu - oba podejścia prowadzą do tego samego równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | \\(m\\) | Ciąg | Ilorazy | Błąd |\n| A | \\(-3\\) | \\((4,\\,-3,\\,-4)\\) | \\(\\frac{-3}{4}\\) vs \\(\\frac{-4}{-3} = \\frac{4}{3}\\) | Różne ilorazy - nie jest geometryczny |\n| B | \\(-2\\) | \\((4,\\,-2,\\,-3)\\) | \\(\\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\) vs \\(\\frac{-3}{-2} = \\frac{3}{2}\\) | Różne ilorazy - nie jest geometryczny |\n| D | \\(3\\) | \\((4,\\,3,\\,2)\\) | \\(\\frac{3}{4}\\) vs \\(\\frac{2}{3}\\) | Różne ilorazy - ciąg arytmetyczny (różnica \\(-1\\)), nie geometryczny! |\n\nOdpowiedź D to klasyczna pułapka - ciąg \\((4, 3, 2)\\) jest **arytmetyczny** (różnica \\(r = -1\\)), a nie geometryczny.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Dla geometrycznego: **ilorazy** muszą być równe. Dla arytmetycznego: **różnice**. Odpowiedź D (\\(m=3\\)) spełnia warunek arytmetyczny - to klasyczna pułapka w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zapisaniu równania \\(\\frac{m}{4} = \\frac{m-1}{m}\\) mnożymy na krzyż - ale pamiętaj, że zakładamy \\(m \\neq 0\\) (iloraz ciągu geometrycznego musi być różny od zera). Dla \\(m = 2\\) warunek jest spełniony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((m-2)^2 = 0\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie - tu nie ma wyboru między dwoma wartościami \\(m\\). Jeśli wyjdzie Ci delta ujemna lub dwa różne rozwiązania - sprawdź obliczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek ciągu geometrycznego (karta wzorów)\n\\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\), czyli \\(m^{2} = 4(m-1)\\).\n\\(m^{2} - 4m + 4 = 0 \\Rightarrow (m-2)^{2} = 0 \\Rightarrow m = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(m=2\\): ciąg \\((4, 2, 1)\\), iloraz \\(q = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}\\), \\(\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - daje \\((4,-3,-4)\\): \\((-3)^2 = 9 \\neq 4\\cdot(-4) = -16\\).\n- **B. \\(-2\\)** - daje \\((4,-2,-3)\\): \\(4 \\neq 4\\cdot(-3) = -12\\).\n- **D. \\(3\\)** - daje \\((4,3,2)\\): \\(9 \\neq 8\\).\n\n**Trik:** w ciągu geometrycznym środkowy wyraz to średnia geometryczna: \\(a_{2}^{2} = a_{1} a_{3}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma 𝑆3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 18\nB. 24\nC. 60\nD. 90","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"# Rozwiązanie zadania krok po kroku\n\n1. **Zapisujemy wzór ciągu**\nCiąg $(a_n)$ jest określony wzorem:\n$$\na_n = 3n^2 - 3n\n$$\ndla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.\n\n2. **Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu**\nMusimy obliczyć wartości $a_1$, $a_2$ i $a_3$.\n- Dla $n=1$:\n$$\na_1 = 3(1)^2 - 3(1) = 3 \\cdot 1 - 3 \\cdot 1 = 3 - 3 = 0\n$$\n- Dla $n=2$:\n$$\na_2 = 3(2)^2 - 3(2) = 3 \\cdot 4 - 3 \\cdot 2 = 12 - 6 = 6\n$$\n- Dla $n=3$:\n$$\na_3 = 3(3)^2 - 3(3) = 3 \\cdot 9 - 3 \\cdot 3 = 27 - 9 = 18\n$$\nZatem pierwsze trzy wyrazy to: $a_1 = 0$, $a_2 = 6$, $a_3 = 18$.\n\n3. **Obliczamy sumę trzech początkowych wyrazów**\nSuma trzech początkowych wyrazów $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$:\n$$\nS_3 = 0 + 6 + 18\n$$\nObliczamy:\n$$\nS_3 = 24\n$$\n\n4. **Podsumowujemy wyniki**\nSuma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ wynosi 24.\n\n**Odpowiedź:** B","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ciągi, ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14.2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14.2","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCiąg (𝑎𝑛) jest arytmetyczny.\nP\nF\nWszystkie wyrazy ciągu (𝑎𝑛) są liczbami parzystymi.\nP\nF\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n² - 3n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Ciąg (a_n) jest arytmetyczny. | P | F | Wszystkie wyrazy ciągu (a_n) są liczbami parzystymi. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 14.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVI.4) sprawdza, czy dany ciąg jest\narytmetyczny […].\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie.\n\nObliczone wyrazy ciągu to:\n\na_1=0, a_2=6, a_3=18\n\nRóżnice kolejnych wyrazów:\n\na_2-a_1=6-0=6\n\na_3-a_2=18-6=12\n\nRóżnice nie są równe, więc ciąg nie jest arytmetyczny.\n\nPierwsze stwierdzenie: fałsz.\n\nSprawdzamy drugie stwierdzenie.\n\na_n=3n^2-3n=3n(n-1)\n\nIloczyn n(n-1) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc zawsze jest liczbą parzystą.\n\nZatem 3n(n-1) również jest liczbą parzystą.\n\nDrugie stwierdzenie: prawda.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.2.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są\nwyrazy: 𝑎1 = 52 oraz 𝑎25 = 2.\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, dane są wyrazy: a_1=52 oraz a_25=2. Różnica ciągu (a_n) jest równa A. (-25/12) B. (-2) C. 2 D. 25/12","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Kąty dopełniające w trójkącie prostokątnym\n\nW trójkącie prostokątnym suma kątów wynosi \\(180°\\), a kąt prosty ma \\(90°\\). Zatem oba kąty ostre są **dopełniające**:\n\n\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]\n\nczyli \\(\\beta = 90° - \\alpha\\).\n\nKorzystamy ze wzoru redukcyjnego:\n\n\\[\\cos\\beta = \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nSkoro \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{7}\\), to:\n\n\\[\\cos\\beta = \\dfrac{4}{7}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez bok trójkąta (interpretacja geometryczna)\n\nOznaczmy boki trójkąta prostokątnego: przeciwprostokątną \\(c\\), oraz przyprostokątne \\(a\\) i \\(b\\), gdzie kąt \\(\\alpha\\) leży przy boku \\(b\\), a kąt \\(\\beta\\) leży przy boku \\(a\\).\n\nZ definicji sinusa kąta \\(\\alpha\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{7}\\]\n\nPrzyjmijmy \\(a = 4\\), \\(c = 7\\). Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[b = \\sqrt{c^2 - a^2} = \\sqrt{49 - 16} = \\sqrt{33}\\]\n\nCosinus kąta \\(\\beta\\): kąt \\(\\beta\\) leży przy boku \\(a\\), więc przyprostokątna do niego przyległa to właśnie \\(a = 4\\):\n\\[\\cos\\beta = \\frac{\\text{przyległa do }\\beta}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{7}\\]\n\n\\[\\boxed{\\cos\\beta = \\frac{4}{7}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nTo kluczowy wzór w Sposobie 1. Wynika z definicji: w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego = cosinus drugiego.\n\n**Dział 10 (Planimetria - Trójkąt prostokątny, s. 16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{3}{7}\\) | Brak uzasadnienia matematycznego; typowy błąd przy \"dopasowywaniu\" liczb (np. mylne wyobrażenie, że \\(3^2 + 4^2 = 5^2\\), ale tu przeciwprostokątna = 7, nie 5) |\n| C - \\(\\frac{\\sqrt{33}}{7}\\) | To jest \\(\\cos\\alpha\\) (lub równoważnie \\(\\sin\\beta\\)), nie \\(\\cos\\beta\\). Klasyczna zamiana kąta |\n| D - \\(\\frac{4}{\\sqrt{33}}\\) | To jest \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4/7}{\\sqrt{33}/7} = \\frac{4}{\\sqrt{33}}\\). Zamiana cosinusa z tangensem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi C - czyli podanie \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\beta\\). Pamiętaj: \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) (kąty dopełniające!), a **nie** \\(\\cos\\alpha = \\cos\\beta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie prostokątnym zawsze \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) - to skrót do szybkiego rozwiązania. Natychmiast stosuj wzór \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\frac{4}{\\sqrt{33}}\\)) to tangens, nie cosinus. Uważaj na mylenie funkcji trygonometrycznych pod presją czasu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zależność kątów ostrych trójkąta (karta wzorów)\nW trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}\\), więc \\(\\beta = 90^{\\circ} - \\alpha\\).\nWłasność: \\(\\cos(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin\\alpha.\\)\nZatem \\(\\cos\\beta = \\sin\\alpha = \\dfrac{4}{7}.\\)\n\n### Sposób 2 - Definicja z boków trójkąta\nPrzyjmijmy przeciwprostokątną \\(c = 7\\), bok naprzeciw \\(\\alpha\\) to \\(4\\). Ten sam bok jest **przyległy** do kąta \\(\\beta\\). Zatem \\(\\cos\\beta = \\dfrac{\\text{przyprostokątna przyległa do }\\beta}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{4}{7}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\dfrac{3}{7}\\)** - błędnie policzona przyprostokątna.\n- **C. \\(\\dfrac{\\sqrt{33}}{7}\\)** - to \\(\\cos\\alpha\\).\n- **D. \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{33}}\\)** - to \\(\\text{tg}\\alpha\\).\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^{\\circ}-\\alpha) = \\cos\\beta\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRóżnica ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. (-25\n12)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 25\n12","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"1. Rozpoczynamy od przypomnienia, że w ciągu arytmetycznym wyraz ogólny $a_n$ można wyrazić wzorem: $$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d,$$ gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, $d$ to różnica ciągu, a $n$ to numer wyrazu.\\\n\n2. Podstawiamy dane do wzoru dla wyrazu $a_{25}$: $$a_{25} = a_1 + (25-1) \\cdot d.$$\\\n\n3. Znamy $a_1 = 52$. Podstawiamy tę wartość do wzoru: $$a_{25} = 52 + (25-1) \\cdot d.$$\\\n\n4. Uproszczamy zapis: $$a_{25} = 52 + 24 \\cdot d.$$\\\n\n5. Zauważamy, że $a_{25} = 2$, zatem możemy zapisać równanie: $$2 = 52 + 24 \\cdot d.$$\\\n\n6. Przenieśmy $52$ na drugą stronę równania: $$2 - 52 = 24 \\cdot d.$$\\\n\n7. Obliczamy lewą stronę: $$-50 = 24 \\cdot d.$$\\\n\n8. Teraz, aby obliczyć różnicę $d$, dzielimy obie strony równania przez $24$: $$d = \\frac{-50}{24}.$$\\\n\n9. Uprościmy ten ułamek: $$d = \\frac{-25}{12}.$$\\\n\n10. Ostatecznie obliczamy, że różnica ciągu $(a_n)$ jest równa: $$d = -\\frac{25}{12}.$$\\\n\n**Odpowiedź:** Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa $\\left(-\\frac{25}{12}\\right)$.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma 𝑆25 dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 675\nB. 700\nC. 1300\nD. 1325\n\nMMAP-P0_100\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, dane są wyrazy: a_1=52 oraz a_{25}=2. Suma S_25 dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 675 B. 700 C. 1300 D. 1325","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na […] sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"Poprawnie, korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: $S_n = \\small\\displaystyle\\frac{a_1+a_n}{2}\\cdot n$, dostajemy $S_{25}= \\small\\displaystyle\\frac{52+2}{2}\\cdot25=675$.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.2.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzywyrazowy ciąg (4, 𝑚, 𝑚-1) jest geometryczny, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-3)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 3\nTrzywyrazowy ciąg (4,m,m-1) jest geometryczny, gdy liczba m jest równa A. (-3) B. (-2) C. 2 D. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\ngeometrycznych, do rozwiązywania zadań\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\operatorname{tg} 25°\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nPatrzymy na licznik ułamka i zauważamy, że oba składniki zawierają \\(\\sin 25°\\) - wyciągamy go przed nawias.\n\n\\[\n\\frac{\\sin^3 25° + \\sin 25° \\cdot \\cos^2 25°}{\\cos 25°}\n\\]\n\n**Krok 1.** Wyłączamy \\(\\sin 25°\\) z licznika:\n\n\\[\n= \\frac{\\sin 25°(\\sin^2 25° + \\cos^2 25°)}{\\cos 25°}\n\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\n\\sin^2 25° + \\cos^2 25° = 1\n\\]\n\n\\[\n= \\frac{\\sin 25° \\cdot 1}{\\cos 25°}\n\\]\n\n**Krok 3.** To jest definicja tangensa:\n\n\\[\n= \\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°} = \\operatorname{tg} 25°\n\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja liczbowa\n\nSprawdzamy, czy wynik zgadza się numerycznie. Wiemy, że:\n- \\(\\sin 25° \\approx 0{,}4226\\)\n- \\(\\cos 25° \\approx 0{,}9063\\)\n- \\(\\operatorname{tg} 25° \\approx 0{,}4663\\)\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\n\\frac{\\sin^3 25° + \\sin 25° \\cdot \\cos^2 25°}{\\cos 25°} = \\frac{(0{,}4226)^3 + 0{,}4226 \\cdot (0{,}9063)^2}{0{,}9063}\n\\]\n\n\\[\n= \\frac{0{,}0754 + 0{,}4226 \\cdot 0{,}8214}{0{,}9063} = \\frac{0{,}0754 + 0{,}3470}{0{,}9063} = \\frac{0{,}4224}{0{,}9063} \\approx 0{,}4660\n\\]\n\nRzeczywiście \\(\\approx \\operatorname{tg} 25° \\approx 0{,}4663\\) ✓ (drobna różnica to błąd zaokrągleń)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\n\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\nTo kluczowy wzór - dzięki niemu wyrażenie w nawiasie zredukowało się do 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\n\\]\nTo właśnie ten wzór rozpoznajemy w ostatnim kroku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń \"skraca\" ułamek z \\(\\cos 25°\\) w liczniku i mianowniku, nie zauważając że w liczniku najpierw należy wyłączyć czynnik - zostawia \\(\\sin 25°\\) bez dalszego uproszczenia |\n| B | Uczeń myli jedynkę trygonometryczną: \"upraszcza\" \\(\\sin^2 + \\cos^2\\) do \\(\\cos\\), albo myśląc o wzorach redukcyjnych stosuje je błędnie |\n| D | Uczeń poprawnie stosuje jedynkę i wyłącza \\(\\sin 25°\\), ale następnie \"skraca\" \\(\\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°}\\) do 1 zamiast do \\(\\operatorname{tg} 25°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to wyłączenie \\(\\sin 25°\\) **przed** jakimikolwiek uproszczeniami. Bez tego kroku jedynka trygonometryczna jest niewidoczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) to jeden z najczęściej używanych wzorów w upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych - warto jej szukać zawsze gdy widzisz \\(\\sin^2 + \\cos^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie skracaj pochopnie! \\(\\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°} \\neq 1\\) - to jest \\(\\operatorname{tg} 25°\\), nie jedynka. Jedynką jest \\(\\sin^2 + \\cos^2\\), a nie \\(\\frac{\\sin}{\\cos}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie przed nawias i jedynka trygonometryczna (karta wzorów)\nLicznik: \\(\\sin^{3} 25^{\\circ} + \\sin 25^{\\circ}\\cdot\\cos^{2} 25^{\\circ} = \\sin 25^{\\circ}\\left(\\sin^{2} 25^{\\circ} + \\cos^{2} 25^{\\circ}\\right) = \\sin 25^{\\circ}\\cdot 1 = \\sin 25^{\\circ}.\\)\nCały ułamek: \\(\\dfrac{\\sin 25^{\\circ}}{\\cos 25^{\\circ}} = \\text{tg}\\, 25^{\\circ}.\\)\n\n### Sposób 2 - Numerycznie\n\\(\\sin 25^{\\circ} \\approx 0{,}4226\\), \\(\\cos 25^{\\circ} \\approx 0{,}9063\\), \\(\\text{tg}\\,25^{\\circ} \\approx 0{,}4663.\\) Sprawdzenie: \\(\\dfrac{0{,}4226^3 + 0{,}4226\\cdot 0{,}9063^2}{0{,}9063} \\approx \\dfrac{0{,}0755 + 0{,}3471}{0{,}9063} \\approx 0{,}4663\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sin 25^{\\circ}\\)** - zapomniano podzielić przez \\(\\cos 25^{\\circ}\\).\n- **B. \\(\\cos 25^{\\circ}\\)** - błędne uproszczenie.\n- **D. \\(1\\)** - pomylone z \\(\\sin^{2} + \\cos^{2}\\).\n\n**Trik:** \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) to klucz; wyłącz \\(\\sin\\alpha\\) jako wspólny czynnik.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba sin3 25° + sin 25° ⋅cos2 25°\ncos 25°\njest równa\nA. sin 25°\nB. cos 25°\nC. tg 25°\nD. 1\n\nMMAP-P0_100\nLiczba sin³25° + sin25° ⋅ cos²25° / cos 25 jest równa A. sin25° B. cos25° C. tg25° D. 1","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(r = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór dla trójkąta prostokątnego\n\nDla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(a\\), \\(b\\) i przeciwprostokątnej \\(c\\) istnieje elegancki wzór:\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nSprawdzamy najpierw, że mamy trójkąt prostokątny:\n\\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \\checkmark\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 10\\), \\(b = 24\\), \\(c = 26\\):\n\\[r = \\frac{10 + 24 - 26}{2} = \\frac{8}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny: pole = promień × półobwód\n\nDla **każdego** trójkąta zachodzi \\(P = r \\cdot p\\), gdzie \\(p\\) to półobwód. Stąd:\n\\[r = \\frac{P}{p}\\]\n\n**Krok 1 - oblicz pole trójkąta prostokątnego:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120\\]\n\n**Krok 2 - oblicz półobwód:**\n\\[p = \\frac{a + b + c}{2} = \\frac{10 + 24 + 26}{2} = \\frac{60}{2} = 30\\]\n\n**Krok 3 - oblicz promień:**\n\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{120}{30} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt:\n\n\\[P = p \\cdot r \\quad \\Longrightarrow \\quad r = \\frac{P}{p}\\]\n\ngdzie \\(p = \\frac{a+b+c}{2}\\) to półobwód. Użyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - wzór specjalny dla trójkąta prostokątnego:\n\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 (szybszy, gdy wiemy że trójkąt jest prostokątny).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]\nDla trójkąta prostokątnego obie przyprostokątne są wzajemnymi wysokościami: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| A: \\(\\dfrac{10}{3}\\) | Podzielenie krótszej przyprostokątnej przez 3 bez żadnego uzasadnienia; brak sensownej metody |\n| C: \\(5\\) | Wzięcie \\(r = \\dfrac{a}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\) - mylenie promienia okręgu **wpisanego** \\(r\\) z promieniem okręgu **opisanego** \\(R = \\dfrac{c}{2} = 13\\), lub błędny podział krótszego boku |\n| D: \\(\\dfrac{80}{13}\\) | Użycie wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną \\(h = \\dfrac{10 \\cdot 24}{26} = \\dfrac{120}{13}\\) zamiast promienia okręgu wpisanego - mylenie dwóch różnych elementów trójkąta |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl promienia okręgu **wpisanego** \\(r\\) z promieniem okręgu **opisanego** \\(R\\). Dla trójkąta prostokątnego \\(R = \\dfrac{c}{2} = 13\\) - zupełnie inna wartość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\) działa **tylko** dla trójkąta prostokątnego (gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna). Dla ogólnego trójkąta użyj \\(r = \\dfrac{P}{p}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zastosujesz wzór, zawsze sprawdź warunek Pitagorasa - upewnij się, który bok jest przeciwprostokątną (tu: \\(26\\), bo \\(10^2 + 24^2 = 26^2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na promień wpisany w trójkąt prostokątny (karta wzorów)\n\\(r = \\dfrac{a + b - c}{2}\\), gdzie \\(a, b\\) - przyprostokątne, \\(c\\) - przeciwprostokątna.\n\\(r = \\dfrac{10 + 24 - 26}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4.\\)\n\n### Sposób 2 - Pole i obwód\nPole \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 24 = 120.\\) Obwód \\(L = 10+24+26 = 60.\\) Promień wpisany: \\(r = \\dfrac{2P}{L} = \\dfrac{240}{60} = 4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\dfrac{10}{3}\\)** - błąd obliczeniowy.\n- **C. \\(5\\)** - być może pomylone z innym parametrem.\n- **D. \\(\\dfrac{80}{13}\\)** - to wartość związana z inną formułą.\n\n**Trik:** trójkąt prostokątny (10, 24, 26) = skalowany (5, 12, 13). Prosty wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych 𝛼 oraz 𝛽 (zobacz rysunek).\nSinus kąta 𝛼 jest równy 4\n7\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCosinus kąta 𝛼 jest równy 3\n7\nP\nF\nCosinus kąta 𝛽 jest równy 4\n7\nP\nF\n𝛼\n𝛽\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β (zobacz rysunek). Sinus kąta α jest równy 4/7. [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta α jest równy 3/7. | P | F | Cosinus kąta β jest równy 4/7. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji sinus,\ncosinus […] dla kątów od 0° do 180° […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β .\n\nWiemy, że:\n\nsinα=(4)/(7)\n\nSprawdzamy pierwsze stwierdzenie.\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1\n\n((4)/(7) )^2+cos^2α=1\n\n(16)/(49)+cos^2α=1\n\ncos^2α=(33)/(49)\n\ncosα=frac √(33) 7\n\nZatem cosα≠ (3)/(7) , więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.\n\nPierwsze stwierdzenie: fałsz.\n\nW trójkącie prostokątnym kąty ostre są dopełniające:\n\nα+β=90^°\n\nDlatego:\n\ncosβ=sinα\n\ncosβ=(4)/(7)\n\nDrugie stwierdzenie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19.\nDany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek).\nDany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek). [rysunek] Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa A. 10/3 B. 4 C. 5 D. 80/13","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(54°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i łuku\n\n**Kluczowy fakt:** Kąt wpisany jest równy połowie łuku, który naprzeciwko niego leży (czyli łuku nie zawierającego wierzchołka kąta).\n\n**Krok 1 - Wyznaczyć miarę łuku między każdymi sąsiednimi wierzchołkami.**\n\nDziesięciokąt foremny to 10 wierzchołków równomiernie rozłożonych na okręgu. Każdy bok odpowiada łukowi:\n\\[\\frac{360°}{10} = 36°\\]\n\n**Krok 2 - Ustalić, ile łuków liczy odcinek \\(AD\\).**\n\nWierzchołki w kolejności: \\(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\\).\n\nOd \\(A\\) do \\(D\\) (idąc przez \\(B, C\\)) - to **3 kroki**:\n\\[\\overset{\\frown}{AD} = 3 \\times 36° = 108°\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdzić, że \\(G\\) leży na przeciwnym łuku.**\n\nOd \\(D\\) do \\(G\\) idzie się przez \\(E, F\\) - to 3 kroki. Zatem \\(G\\) leży po drugiej stronie okręgu względem krótkiego łuku \\(AD\\). ✓\n\n**Krok 4 - Zastosować twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nKąt \\(\\angle AGD\\) ma wierzchołek w \\(G\\) i naprzeciwko niego leży łuk \\(\\overset{\\frown}{AD} = 108°\\):\n\\[\\angle AGD = \\frac{\\overset{\\frown}{AD}}{2} = \\frac{108°}{2} = \\mathbf{54°}\\]\n\n## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \\(AGD\\)\n\nWyznaczamy wszystkie trzy kąty trójkąta wpisanego w okrąg.\n\n**Krok 1 - Łuki między wierzchołkami trójkąta.**\n\n| Łuk | Przez wierzchołki | Kroków | Miara |\n| \\(\\overset{\\frown}{AD}\\) | \\(B, C\\) | 3 | \\(108°\\) |\n| \\(\\overset{\\frown}{DG}\\) | \\(E, F\\) | 3 | \\(108°\\) |\n| \\(\\overset{\\frown}{GA}\\) | \\(H, I, J\\) | 4 | \\(144°\\) |\n\nSuma: \\(108° + 108° + 144° = 360°\\) ✓\n\n**Krok 2 - Kąty trójkąta (każdy = połowa naprzeciwległego łuku).**\n\n\\[\\angle DAG = \\frac{\\overset{\\frown}{DG}}{2} = \\frac{108°}{2} = 54°\\]\n\\[\\angle GDA = \\frac{\\overset{\\frown}{GA}}{2} = \\frac{144°}{2} = 72°\\]\n\n**Krok 3 - Kąt \\(\\angle AGD\\) z sumy kątów trójkąta.**\n\\[\\angle AGD = 180° - 54° - 72° = \\mathbf{54°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{AD}\\]\n\nZastosowanie: w obu sposobach wyznaczamy kąt \\(\\angle AGD\\) jako połowę łuku \\(\\overset{\\frown}{AD} = 108°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(18°\\)) | Policzono połowę jednego kroku: \\(\\frac{36°}{2} = 18°\\) - zapomniano, że \\(AD\\) obejmuje **3** koki, nie 1 |\n| B (\\(36°\\)) | Przyjęto łuk \\(AD = 72°\\) (2 kroki zamiast 3) - błąd o jedną krawędź w liczeniu |\n| D (\\(60°\\)) | Skojarzenie z trójkątem równobocznym lub sześciokątem foremnym (\\(\\frac{120°}{2}\\)) - pomylono wielokąt |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, ile kroków (boków) liczy odcinek \\(AD\\) - to **3** boki (\\(AB, BC, CD\\)), nie 4. Licz wierzchołki: \\(A \\to B \\to C \\to D\\) = trzy „przeskoki\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany intercepts **łuk nie zawierający jego wierzchołka**. Sprawdź zawsze, po której stronie okręgu leży \\(G\\) - musi być po przeciwnej stronie niż krótki łuk \\(AD\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W dziesięciokącie foremnym kąt środkowy na każdy bok to \\(36°\\), nie \\(30°\\) (który byłby dla 12-kąta). Nie mylić z popularnym \\(30°\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany (karta wzorów)\nDziesięciokąt foremny dzieli okrąg na \\(10\\) równych łuków po \\(36^{\\circ}\\) każdy.\nŁuk \\(AD\\) (nie zawierający \\(G\\)) obejmuje \\(3\\) łuki (od \\(A\\) przez \\(B, C\\) do \\(D\\)): \\(3\\cdot 36^{\\circ} = 108^{\\circ}.\\)\nKąt wpisany \\(\\angle AGD\\) oparty na łuku \\(AD\\): \\(\\angle AGD = \\dfrac{108^{\\circ}}{2} = 54^{\\circ}.\\)\n\n### Sposób 2 - Zliczanie boków\nWierzchołki od \\(A\\) do \\(D\\) (bez \\(G\\)): \\(A \\to B \\to C \\to D\\) - przeszliśmy \\(3\\) boki. Kąt wpisany na \\(k\\) bokach foremnego \\(n\\)-kąta: \\(\\dfrac{k\\cdot 180^{\\circ}}{n} = \\dfrac{3\\cdot 180^{\\circ}}{10} = 54^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18^{\\circ}\\)** - kąt wpisany na \\(1\\) boku.\n- **B. \\(36^{\\circ}\\)** - kąt środkowy na \\(1\\) łuku.\n- **D. \\(60^{\\circ}\\)** - błąd zliczania.\n\n**Trik:** kąt wpisany = \\(\\dfrac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":null,"page_from":17,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa\nA. 10\n3\nB. 4\nC. 5\nD. 80\n13","answer":"B","answer_text":"Zadanie 19.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.10) wskazuje podstawowe punkty\nszczególne w trójkącie: środek okręgu\nwpisanego w trójkąt […];\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"Poprawnie, promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny możemy obliczyć stosując wzór $\\displaystyle \\small r=\\frac{a+b-c}{2}$, gdzie $a,b$ to długości przyprostokątnych, a $c$ to długość przeciwprostokątnej. W zwiazku z tym: $r=\\frac{10+24-26}{2}=4$.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.1.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19.2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa\nA. 80\n13\nB. 20\n3\nC. 12\nD. 13\n10\n24\n26\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10,24,26 (zobacz rysunek). [rysunek] Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa A. 80/13 B. 20/3 C. 12 D. 13","answer":"D","answer_text":"Zadanie 19.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.10) wskazuje podstawowe punkty\nszczególne w trójkącie: […] środek okręgu\nopisanego na trójkącie […];\nVIII.1) wyznacza promienie i średnice\nokręgów, długości cięciw okręgów oraz\nodcinków stycznych, w tym\nz wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"Poprawnie, środek okręgu opisanego leży w połowie długości przeciwprostokątnej, $26:2=13$.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.2.svg","topics":"Planimetria","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nNa dziesięciokącie foremnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 opisano okrąg o środku w punkcie 𝑆\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta wpisanego 𝐴𝐺𝐷 jest równa\nA. 18°\nB. 36°\nC. 54°\nD. 60°\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐼\n𝐽\n\nMMAP-P0_100\nNa dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w punkcie S (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta wpisanego AGD jest równa A. 18° B. 36° C. 54° D. 60°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ z polem kwadratu\n\n**Od czego zaczynamy:** skala podobieństwa \\(k = 5\\) oznacza, że każdy liniowy wymiar (w tym bok) jest 5 razy większy w \\(\\mathcal{K}_2\\) niż w \\(\\mathcal{K}_1\\).\n\nOznaczmy bok kwadratu \\(\\mathcal{K}_1\\) jako \\(a\\). Wtedy bok \\(\\mathcal{K}_2\\) wynosi \\(5a\\).\n\nPole \\(\\mathcal{K}_1\\):\n\\[P_1 = a^2\\]\n\nPole \\(\\mathcal{K}_2\\):\n\\[P_2 = (5a)^2 = 25a^2\\]\n\nSuma pól równa \\(78\\):\n\\[a^2 + 25a^2 = 78\\]\n\\[26a^2 = 78\\]\n\\[a^2 = \\frac{78}{26} = 3\\]\n\\[a = \\sqrt{3}\\]\n\n**Długość boku \\(\\mathcal{K}_1\\) wynosi \\(\\sqrt{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(a = \\sqrt{3}\\) spełnia warunki zadania:\n\n- Bok \\(\\mathcal{K}_1\\): \\(\\sqrt{3}\\), pole: \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\)\n- Bok \\(\\mathcal{K}_2\\): \\(5\\sqrt{3}\\), pole: \\((5\\sqrt{3})^2 = 25 \\cdot 3 = 75\\)\n- Suma pól: \\(3 + 75 = 78\\) ✓\n- Stosunek boków: \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 5\\) ✓\n\nWszystkie warunki spełnione.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole figur podobnych:\n\\[\\frac{P_{\\mathcal{K}_2}}{P_{\\mathcal{K}_1}} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Skoro \\(k = 5\\), pole \\(\\mathcal{K}_2\\) jest \\(25\\) razy większe od pola \\(\\mathcal{K}_1\\). Tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(3\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(a^2 = 3\\), ale podaje \\(a^2\\) zamiast \\(a = \\sqrt{3}\\) - zapomina wyciągnąć pierwiastek |\n| C - \\(\\sqrt{13}\\) | Uczeń myli skalę podobieństwa boków z skalą pól: zakłada błędnie, że pola mają się jak \\(5:1\\), więc \\(P_1 + P_2 = 6a^2 = 78\\), stąd \\(a^2 = 13\\), \\(a = \\sqrt{13}\\) |\n| D - \\(13\\) | Jak błąd w C (pomylona skala pól), a dodatkowo zapomniano wyciągnąć pierwiastek: \\(6a^2 = 78 \\Rightarrow a^2 = 13\\) i podaje \\(13\\) zamiast \\(\\sqrt{13}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skala podobieństwa \\(k = 5\\) dotyczy **boków** (długości liniowych), nie pól! Pole rośnie z kwadratem skali - \\(k^2 = 25\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(a^2 = 3\\) nie zapomnij wyciągnąć pierwiastka - wynik to \\(a = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwadrat podobny w skali \\(5\\) **do** \\(\\mathcal{K}_1\\) oznacza, że \\(\\mathcal{K}_2\\) jest \\(5\\times\\) **większy**, nie mniejszy. Upewnij się, który kwadrat jest wzorcem, a który obrazem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Stosunek pól figur podobnych (karta wzorów)\nNiech \\(a\\) - bok \\(\\mathcal{K}_{1}\\), wtedy bok \\(\\mathcal{K}_{2}\\) to \\(5a.\\) Pola: \\(a^{2}\\) i \\(25a^{2}\\).\nSuma: \\(a^{2} + 25a^{2} = 26a^{2} = 78 \\Rightarrow a^{2} = 3 \\Rightarrow a = \\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = \\sqrt{3}\\): pole \\(\\mathcal{K}_{1} = 3\\); bok \\(\\mathcal{K}_{2} = 5\\sqrt{3}\\); pole \\(\\mathcal{K}_{2} = 75\\). Suma \\(3+75 = 78\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3\\)** - to pole \\(\\mathcal{K}_{1}\\), nie bok.\n- **C. \\(\\sqrt{13}\\)** - ktoś pomylił skalę z \\(\\sqrt{2}\\).\n- **D. \\(13\\)** - błędne podzielenie \\(78/6\\).\n\n**Trik:** w podobieństwie w skali \\(k\\) pola mają stosunek \\(k^{2}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKwadrat 𝒦2 jest podobny do kwadratu 𝒦1 w skali 5 (zobacz rysunek).\nSuma pól tych kwadratów jest równa 78.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku kwadratu 𝒦1 jest równa\nA. √3\nB. 3\nC. √13\nD. 13\n𝒦1\n𝒦2\n\nMMAP-P0_100\nKwadrat K_2 jest podobny do kwadratu K_1 w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78. [rysunek] Długość boku kwadratu K_1 jest równa A. √3 B. 3 C. √13 D. 13","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami oraz między polami figur\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(y = -x - 4\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie odbicia punktu\n\nSymetria osiowa względem osi \\(Oy\\) zamienia każdy punkt \\((x, y)\\) na \\((-x, y)\\).\n\nŻeby znaleźć równanie obrazu prostej \\(k\\), weźmy dowolny punkt \\(P(x, y)\\) leżący na prostej \\(l\\). Jego obraz w symetrii względem \\(Oy\\) to punkt \\(P'(-x, y)\\), który **musi leżeć na prostej \\(k\\)**.\n\nProsta \\(k\\): \\(y = x - 4\\), więc \\(P'(-x, y)\\) spełnia:\n\\[y = (-x) - 4\\]\n\\[y = -x - 4\\]\n\n**To jest równanie prostej \\(l\\).**\n\nOdpowiedź: **C. \\(y = -x - 4\\)**\n\n## Sposób 2 - Transformacja współczynników kierunkowych\n\nSymetria względem osi \\(Oy\\) wykonuje przekształcenie \\(x \\mapsto -x\\). Podstawiamy \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) w równaniu prostej \\(k\\):\n\nProsta \\(k\\): \\(y = x - 4\\)\n\nZastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\):\n\\[y = (-x) - 4 = -x - 4\\]\n\nSprawdzenie - prosta \\(k\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 1\\) i przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -4)\\).\n\nPo odbiciu względem \\(Oy\\):\n- Współczynnik kierunkowy zmienia znak: \\(1 \\to -1\\) (prosta \"przechyla się\" na drugą stronę)\n- Punkt przecięcia z \\(Oy\\) zostaje ten sam \\((0, -4)\\), bo leży **na osi symetrii**\n\nZatem \\(l\\): \\(y = -1 \\cdot x + (-4) = -x - 4\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej).\n\nKluczowa obserwacja: odbicie względem \\(Oy\\) zmienia znak współczynnika kierunkowego (\\(a \\to -a\\)), ale **wyraz wolny \\(b\\) pozostaje bez zmian**, gdy prosta przecina oś \\(Oy\\) (bo punkt na \\(Oy\\) odbija się na siebie).\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy żadnego specjalnego wzoru z karty - wystarczy definicja symetrii i podstawienie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((y = x - 4)\\) | Nie wykonano żadnego odbicia - prosta \\(l\\) jest identyczna jak \\(k\\). Tak byłoby przy symetrii względem osi \\(Ox\\) z zamianą znaku \\(y\\), ale tu nic się nie zmieniło. |\n| B \\((y = x + 4)\\) | Zmieniono znak wyrazu wolnego \\(b\\), zostawiając współczynnik kierunkowy - to błędne. Symetria względem \\(Oy\\) nie zmienia \\(b\\), zmienia \\(a\\). |\n| D \\((y = -x + 4)\\) | Zmieniono oba znaki jednocześnie (i \\(a\\), i \\(b\\)). To byłoby odbicie względem **początku układu współrzędnych** (symetria środkowa), nie względem osi \\(Oy\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem \\(Oy\\) zmienia tylko znak \\(x\\) - czyli zamienia współczynnik kierunkowy \\(a\\) na \\(-a\\). Wyraz wolny \\(b\\) **zostaje bez zmian** (o ile prosta przecina \\(Oy\\), bo ten punkt leży na osi symetrii).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić symetrii względem \\(Oy\\) (\\(x \\mapsto -x\\), \\(y \\mapsto y\\)) z symetrią względem \\(Ox\\) (\\(x \\mapsto x\\), \\(y \\mapsto -y\\)) ani z symetrią środkową (\\(x \\mapsto -x\\), \\(y \\mapsto -y\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki test - punkt \\((4, 0)\\) leży na prostej \\(k\\) (bo \\(0 = 4 - 4\\)). Jego obraz w symetrii względem \\(Oy\\) to \\((-4, 0)\\). Sprawdź, czy \\((-4, 0)\\) leży na prostej C: \\(0 = -(-4) - 4 = 4 - 4 = 0\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Oy\\) (karta wzorów)\nPrzekształcenie: \\((x,y) \\to (-x, y).\\) Podmieniamy \\(x\\) na \\(-x\\) w równaniu: \\(y = -x - 4.\\)\n\n### Sposób 2 - Punkty kontrolne\nNa \\(k\\): \\((0,-4)\\) i \\((4,0)\\).\nOdbicia: \\((0,-4)\\) (zostaje) i \\((-4,0)\\).\nRównanie przez te punkty: \\(y - (-4) = \\dfrac{0-(-4)}{-4-0}(x - 0) = -1\\cdot x\\), czyli \\(y = -x - 4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = x - 4\\)** - to sama prosta \\(k\\).\n- **B. \\(y = x + 4\\)** - symetria względem osi \\(Ox\\).\n- **D. \\(y = -x + 4\\)** - symetria względem początku układu.\n\n**Trik:** symetria wzgl. osi \\(Oy\\): \\(x \\to -x\\); wzgl. osi \\(Ox\\): \\(y \\to -y\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-2)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= 5𝑥+ 7. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -4).\nPunkt o współrzędnych (𝑝, 2) należy do prostej 𝑙.\nOblicz 𝒑. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=5x+7. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,-4). Punkt o współrzędnych (p,2) należy do prostej l. Oblicz p. Zapisz obliczenia.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑝= 6\n5\n1 pkt - zapisanie równania prostej 𝑙: 𝑦= 5𝑥-4\nALBO\n- zapisanie równania z niewiadomą 𝑝, np.:\n2 + 4\n𝑝-0 = 5, |5 ⋅𝑝-2 + 7|\n√52 + (-1)2 = |5 ⋅0 -(-4) + 7|\n√52 + (-1)2\n,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch równań liniowych prowadzącego do obliczenia 𝑝, np.\n-4 = 5 ⋅0 + 𝑏 oraz 2 = 5 ⋅𝑝+ 𝑏.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nProsta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 5.\nPonadto prosta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -4), zatem równanie prostej 𝑙 ma\npostać: 𝑦= 5𝑥-4.\nPunkt o współrzędnych (𝑝, 2) należy do prostej 𝑙, stąd:\n2 = 5𝑝-4\n𝑝= 6\n5\nSposób II\nProsta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 5.\nPonadto prosta 𝑙 przechodzi przez punkty (0, -4) oraz (𝑝, 2).\nZatem ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej otrzymujemy równanie:\n2 + 4\n𝑝-0 = 5\nStąd:\n5𝑝= 6\n𝑝= 6\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ warunków i bezpośrednie obliczenie\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a\\) = długość krawędzi podstawy, \\(P_p\\) = pole podstawy, \\(P_b\\) = pole powierzchni bocznej.\n\n**Krok 1. Wyrażamy pola przez \\(a\\).**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(a\\):\n\\[P_p = a^2\\]\n\n**Krok 2. Korzystamy z warunku: pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy.**\n\\[P_b = 4 \\cdot P_p = 4a^2\\]\n\n**Krok 3. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola bocznego.**\n\\[P_c = P_p + P_b = a^2 + 4a^2 = 5a^2\\]\n\n**Krok 4. Podstawiamy warunek \\(P_c = 20\\).**\n\\[5a^2 = 20\\]\n\\[a^2 = 4\\]\n\\[a = 2\\]\n\n(Odrzucamy \\(a = -2\\), bo długość jest dodatnia.)\n\n**Odpowiedź: długość krawędzi podstawy wynosi \\(a = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie przez pole podstawy (zmienna pomocnicza)\n\nZamiast od razu pisać \\(a^2\\), wprowadźmy zmienną pomocniczą \\(x = P_p\\).\n\nZ warunku o czterokrotności:\n\\[P_b = 4x\\]\n\nPole całkowite:\n\\[P_c = P_p + P_b = x + 4x = 5x = 20\\]\n\\[x = 4\\]\n\nZatem pole podstawy \\(P_p = 4\\), a ponieważ podstawa to kwadrat:\n\\[a^2 = 4 \\implies a = 2\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(a = 2\\): \\(P_p = 4\\), \\(P_b = 16\\), \\(P_c = 4 + 16 = 20\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa / ostrosłupa:\n\\[P_c = P_b + P_p\\]\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy wzoru na pole boczne przez apotema (warunek jest podany wprost jako zależność \\(P_b = 4P_p\\)), wystarczy wzór na pole podstawy kwadratu \\(P_p = a^2\\) i definicja pola całkowitego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(\\sqrt{5}\\) | Uczeń oblicza \\(a^2 = 5\\) - zapomina podzielić przez 5 i mylnie przyjmuje \\(5a^2 = a^2 \\cdot 5\\), a potem bierze \\(a = \\sqrt{20/4}\\) mieszając pola |\n| C. \\(\\sqrt{10}\\) | Uczeń liczy \\(a^2 = \\frac{20}{2} = 10\\) - dzieli przez 2 zamiast przez 5 (np. biorąc tylko dwa „kawałki\" zamiast pięciu) |\n| D. \\(4\\) | Uczeń poprawnie dostaje \\(a^2 = 4\\), ale następnie **nie wyciąga pierwiastka** i podaje \\(a = a^2 = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni **całkowitej** = pole **boczne** + pole **podstawy** (nie zapominaj o podstawie!). Częsty błąd to liczenie tylko pola bocznego jako pola całkowitego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma **jedną** podstawę (kwadrat), nie dwie. Gdyby to był graniastosłup, doliczylibyśmy dwie podstawy - tutaj tylko jedną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\(a^2 = 4\\) wynika \\(a = 2\\), **nie** \\(a = 4\\). To klasyczny błąd: pomylenie \\(a^2\\) z \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Ułożenie równania (karta wzorów)\nNiech \\(P_{p}\\) - pole podstawy, \\(P_{b}\\) - pole powierzchni bocznej. Wtedy \\(P_{b} = 4P_{p}.\\)\nPole całkowite: \\(P_{c} = P_{p} + P_{b} = P_{p} + 4P_{p} = 5P_{p} = 20.\\)\nStąd \\(P_{p} = 4\\). Podstawą jest kwadrat o boku \\(a\\), więc \\(a^{2} = 4\\), czyli \\(a = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Podstawienie\nJeśli \\(a = 2\\): \\(P_{p} = 4\\), \\(P_{b} = 16\\), \\(P_{c} = 20\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sqrt{5}\\)** - daje \\(P_{p} = 5\\), \\(P_{c} = 25 \\neq 20\\).\n- **C. \\(\\sqrt{10}\\)** - daje \\(P_{p} = 10\\), \\(P_{c} = 50\\).\n- **D. \\(4\\)** - \\(P_{p} = 16\\), \\(P_{c} = 80\\).\n\n**Trik:** pole całkowite = pole podstawy + pole boczne; zapisz przez jedną zmienną.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu\n𝒪: (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9\nOkrąg 𝒦 jest obrazem okręgu 𝒪 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 układu\nwspółrzędnych.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒦 jest określony równaniem\nA. (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\nB. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9\nC. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\nD. (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 9\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x+1)² + (y-2)² = 9 Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii osiowej względem osi Oy układu współrzędnych. Okrąg K jest określony równaniem A. (x+1)²+(y+2)²=9 B. (x+1)²+(y-2)²=9 C. (x-1)²+(y+2)²=9 D. (x-1)²+(y-2)²=9","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\nIX.5) wyznacza obrazy okręgów […]\nw symetriach osiowych względem osi\nukładu współrzędnych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym (przekrój osiowy)\n\n**Co wiemy:** tworząca \\(l = 6\\), kąt rozwarcia \\(= 60°\\).\n\n**Kluczowa definicja:** Kąt rozwarcia stożka to pełny kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym (czyli trójkącie prostokątnym przez oś). Skoro kąt rozwarcia \\(= 60°\\), to **kąt między osią (wysokością) a tworzącą** wynosi:\n\n\\[\\frac{60°}{2} = 30°\\]\n\nW przekroju osiowym mamy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przyprostokątna pozioma \\(= r\\) (promień podstawy)\n- przyprostokątna pionowa \\(= h\\) (szukana wysokość)\n- przeciwprostokątna \\(= l = 6\\) (tworząca)\n- kąt przy wierzchołku (między \\(h\\) a \\(l\\)) \\(= 30°\\)\n\nStąd:\n\\[\\cos 30° = \\frac{h}{l}\\]\n\\[h = l \\cdot \\cos 30° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{3\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Spostrzeżenie: przekrój osiowy to trójkąt równoboczny\n\nKąt przy wierzchołku przekroju = \\(60°\\), a trójkąt jest **równoramienny** (obie tworząc są równe \\(= 6\\)).\n\nTrójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku \\(60°\\) → kąty przy podstawie: \\(\\frac{180°-60°}{2} = 60°\\). Wszystkie kąty równe \\(60°\\) → **trójkąt równoboczny** o boku \\(6\\).\n\nBaza trójkąta = średnica podstawy stożka: \\(2r = 6\\), więc \\(r = 3\\).\n\nWysokość stożka = wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a = 6\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Weryfikacja twierdzeniem Pitagorasa:**\n\\[h^2 + r^2 = (3\\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 = 6^2 = l^2 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyte w Sposobie 1: \\(\\cos 30° = \\frac{h}{l}\\).\n\nWartość:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\ndostępna w tabeli na s. 12 karty.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - trójkąt równoboczny (bok \\(a\\)):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do niej |\n| **A** \\((3)\\) | Wzięto kąt rozwarcia \\(60°\\) jako kąt między osią a tworzącą (nie podzielono na 2), co daje \\(h = 6 \\cdot \\cos 60° = 6 \\cdot \\frac{1}{2} = 3\\) |\n| **B** \\((2\\sqrt{3})\\) | Poprawnie zauważono trójkąt równoboczny o boku 6, ale użyto błędnego wzoru na wysokość: \\(h = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| **D** \\((3\\sqrt{5})\\) | Poprawnie wyznaczono \\(r = 3\\), ale w tw. Pitagorasa **dodano** zamiast odejmować: \\(\\sqrt{l^2 + r^2} = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\). Uwaga: ta wartość jest większa od tworzącej - fizycznie niemożliwa! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Kąt rozwarcia\" to **pełny** kąt przy wierzchołku, nie kąt między osią a tworzącą. Zawsze dziel go przez 2, zanim użyjesz trygonometrii!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie prostokątnym z tworzącą jako przeciwprostokątną: wysokość \\(h\\) jest **mniejsza** od tworzącej \\(l\\). Jeśli wynik \\(h > l\\) - od razu wiesz, że gdzieś jest błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego to \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(\\frac{a}{\\sqrt{3}}\\) - te dwa wyrażenia są różne! (\\(\\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\), to długość środkowej w trójkącie prostokątnym 30-60-90, a nie wysokość trójkąta równobocznego.)\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym (karta wzorów)\nKąt rozwarcia \\(60^{\\circ}\\) między tworzącymi oznacza, że w przekroju osiowym trójkąt jest równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(60^{\\circ}\\) - więc równoboczny. Połowa kąta rozwarcia to \\(30^{\\circ}\\) - kąt między osią a tworzącą.\nWysokość: \\(h = l\\cos 30^{\\circ} = 6\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Trójkąt równoboczny\nTrójkąt w przekroju osiowym jest równoboczny (wszystkie kąty \\(60^{\\circ}\\)) o boku \\(6\\). Wysokość trójkąta równobocznego to \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to promień podstawy stożka.\n- **B. \\(2\\sqrt{3}\\)** - błąd w rachunku trygonometrycznym.\n- **D. \\(3\\sqrt{5}\\)** - błędne zastosowanie Pitagorasa.\n\n**Trik:** kąt rozwarcia stożka = kąt między tworzącymi; **połowa** to kąt między osią a tworzącą.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-4)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5.\nDługości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu\ntworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.\nOblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\ngeometrycznych, do rozwiązywania zadań,\nrównież osadzonych w kontekście\npraktycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 27.\n3 pkt - obliczenie długości (lub kwadratu długości) jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.\n𝑎= 3\n4 (lub 𝑎2 = 9\n16\n).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎)\nALBO\n- zapisanie objętości prostopadłościanu w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑉= 64𝑎3.\n1 pkt - zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka\nw zależności od jednej zmiennej, np. 𝑎, 4𝑎, 16𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym (przyjmuje, że długości krawędzi\nprostopadłościanu są równe 𝑎, 𝑎+ 4, 𝑎+ 8), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie (za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie długości\njednej z krawędzi prostopadłościanu i za obliczenie objętości prostopadłościanu).\n2. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie 94,5 = 𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎 (tzn. pomija\nczynnik 2 we wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu), to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej\noraz za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie objętości\nprostopadłościanu).\n3. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego\nsamego wierzchołka: 3\n4\n, 3, 12, oraz sprawdzi rachunkiem, że spełniają one warunki\nzadania, a następnie obliczy objętość ostrosłupa 𝑉= 27, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech 𝑎< 𝑏< 𝑐.\nZ warunków zadania otrzymujemy: 𝑏= 4𝑎, 𝑐= 16𝑎. Stąd i z tego, że pole powierzchni\ncałkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5, otrzymujemy równanie:\n2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) = 94,5\n2 ⋅(4𝑎2 + 16𝑎2 + 64𝑎2) = 94,5\n168𝑎2 = 94,5\n𝑎2 = 0,5625\n𝑎= 0,75 = 3\n4\nObliczamy objętość prostopadłościanu:\n𝑉= 𝑎𝑏𝑐= 𝑎⋅4𝑎⋅16𝑎= 64𝑎3 = 64 ⋅(3\n4)\n3\n= 64 ⋅27\n64 = 27","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(117\\))\n\n## Sposób 1 - Analiza przypadków według pozycji zera\n\nLiczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{abc}\\), gdzie:\n- \\(a\\) (setki): cyfra od \\(1\\) do \\(9\\) - **nie może być \\(0\\)**\n- \\(b\\) (dziesiątki): cyfra od \\(0\\) do \\(9\\)\n- \\(c\\) (jedności): cyfra od \\(0\\) do \\(9\\)\n\nLiczba jest **parzysta**, gdy \\(c \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\).\n\nZero może wystąpić **dokładnie raz** - a skoro \\(a \\neq 0\\), zero może pojawić się tylko na pozycji dziesiątek lub jedności.\n\n**Przypadek 1: zero stoi na pozycji jedności (\\(c = 0\\))**\n\nLiczba kończy się na \\(0\\) → automatycznie parzysta ✓\n\nWarunek „dokładnie jedno zero\" wymaga, żeby \\(b \\neq 0\\):\n\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad b \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad c = 0\\]\n\\[\\text{Liczba } = 9 \\cdot 9 \\cdot 1 = 81\\]\n\n**Przypadek 2: zero stoi na pozycji dziesiątek (\\(b = 0\\))**\n\nWarunek „dokładnie jedno zero\" wymaga, żeby \\(c \\neq 0\\). Liczba musi być parzysta, więc:\n\\[c \\in \\{2, 4, 6, 8\\} \\Rightarrow 4 \\text{ wybory}\\]\n\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad b = 0, \\quad c \\in \\{2,4,6,8\\}\\]\n\\[\\text{Liczba } = 9 \\cdot 1 \\cdot 4 = 36\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[81 + 36 = \\mathbf{117}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odjęcie od sumarycznej liczby\n\nPoliczmy inaczej, zaczynając od liczby **wszystkich** parzystych trzycyfrowych z **co najmniej jednym zerem**, a potem odejmując te z **więcej niż jednym zerem**.\n\n**Parzyste trzycyfrowe z co najmniej jednym zerem:**\n\nJedyne miejsca na zero to \\(b\\) lub \\(c\\).\n\n- \\(c = 0\\) (jedności): \\(a \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(b \\in \\{0,\\ldots,9\\}\\) → \\(9 \\cdot 10 = 90\\) liczb\n- \\(b = 0, c \\neq 0\\), \\(c\\) parzyste: \\(9 \\cdot 1 \\cdot 4 = 36\\) liczb\n\nRazem z co najmniej jednym zerem: \\(90 + 36 = 126\\)\n\n**Ale:** spośród 90 liczb z \\(c = 0\\) te z \\(b = 0\\) też mają dwa zera. Jest ich:\n\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\},\\ b = 0,\\ c = 0 \\Rightarrow 9 \\text{ liczb}\\]\n\nOdejmujemy liczby z **dwoma zerami** (liczone raz powyżej, w zbiorze \\(c=0\\)):\n\\[126 - 9 = \\mathbf{117}\\]\n\nWynik zgodny ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - zasada mnożenia:\n\nJeśli zdarzenie składa się z \\(k\\) niezależnych kroków, w których jest odpowiednio \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) wyborów, to łączna liczba możliwości wynosi:\n\\[n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: dla każdego przypadku mnożyliśmy liczbę wyborów na każdej pozycji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(108\\)) | W przypadku 2 policzono tylko \\(c \\in \\{2,4,6\\}\\) - zapomniano o cyfrze \\(8\\), dając \\(9 \\cdot 3 = 27\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 27 = 108\\) |\n| C (\\(126\\)) | Nie zastosowano warunku „**dokładnie** jedno zero\" - w przypadku 2 dopuszczono \\(c = 0\\) (tzn. wzięto \\(c \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\)), co daje \\(9 \\cdot 5 = 45\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 45 = 126\\) |\n| D (\\(162\\)) | Zapomniano o warunku parzystości w przypadku 2 - wzięto \\(c \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\), dając \\(9 \\cdot 9 = 81\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 81 = 162\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zero **nie może** stać na pozycji setek - wtedy liczba byłaby dwucyfrowa. Wielu uczniów błędnie próbuje uwzględnić przypadek \\(a = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Dokładnie jedno zero\" oznacza, że gdy \\(b = 0\\), to **koniecznie** \\(c \\neq 0\\) - pominięcie tego warunku prowadzi wprost do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(8\\) jest parzysta i niezerowa - łatwo o niej zapomnieć, wyliczając \\(\\{2,4,6,8\\}\\), co prowadzi do odpowiedzi A.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podział na przypadki (karta wzorów - reguła mnożenia i dodawania)\nLiczba trzycyfrowa \\(\\overline{abc}\\), \\(a \\neq 0\\), \\(c\\in\\{0,2,4,6,8\\}\\) (parzysta). Cyfra \\(0\\) występuje **dokładnie raz**.\n\n**Przypadek 1:** \\(c = 0\\) (zero jest jednostką).\n\\(a\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji), \\(b\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji, bez 0). Razem: \\(9\\cdot 9 = 81.\\)\n\n**Przypadek 2:** \\(b = 0\\) (zero jest dziesiątką), \\(c \\neq 0\\) parzyste.\n\\(a\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji), \\(c\\in\\{2,4,6,8\\}\\) (4 opcje). Razem: \\(9\\cdot 4 = 36.\\)\n\nSuma: \\(81 + 36 = 117.\\)\n\n### Sposób 2 - Uzupełnienie\nWszystkie trzycyfrowe parzyste: \\(450\\). Bez zera: \\(9\\cdot 9\\cdot 4 = 324\\) (a∈{1 9}, b∈{1 9}, c∈{2,4,6,8}). Z dwoma zerami (b=0 i c=0): \\(a\\in\\{1 9\\}, b=0, c=0\\): \\(9\\) liczb. Z dokładnie jednym: \\(450 - 324 - 9 = 117\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(108\\)** - pominięto jakiś podprzypadek.\n- **C. \\(126\\)** - policzono zbyt wiele.\n- **D. \\(162\\)** - pominięto warunek parzystości.\n\n**Trik:** dokładnie jedna cyfra \\(0\\) → rozpatrz gdzie \\(0\\) może stać (dziesiątki lub jednostki).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20.\nPole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa\nA. 2\nB. √5\nC. √10\nD. 4\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa A. 2 B. √5 C. √10 D. 4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza […] pola powierzchni […]\nostrosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\n𝑎\n𝑏\n𝑐\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(30\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie sumy\n\n**Co wiemy z treści zadania?**\n\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb \\(a, b, c\\) wynosi \\(12\\), czyli:\n\\[\\frac{a + b + c}{3} = 12\\]\n\nStąd wynika, że:\n\\[a + b + c = 36\\]\n\n**Teraz liczymy sumę sześciu nowych liczb:**\n\\[2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c\\]\n\nGrupujemy wyrazy z tym samym czynnikiem literowym:\n\\[= (2a + 3a) + (2b + 3b) + (2c + 3c)\\]\n\\[= 5a + 5b + 5c\\]\n\\[= 5(a + b + c)\\]\n\\[= 5 \\cdot 36 = 180\\]\n\n**Obliczamy średnią z sześciu liczb:**\n\\[\\frac{5(a + b + c)}{6} = \\frac{180}{6} = \\mathbf{30}\\]\n\nOdpowiedź to **C**.\n\n## Sposób 2 - Wzór na średnią bezpośrednio\n\nZamiast liczyć sumę wprost, możemy wyrazić nową średnią przez starą.\n\nŚrednia z \\(2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c\\) to:\n\\[\\frac{2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c}{6} = \\frac{5(a + b + c)}{6}\\]\n\nPonieważ \\(\\frac{a+b+c}{3} = 12\\), to \\(a + b + c = 3 \\cdot 12 = 36\\).\n\nWstawiamy:\n\\[\\frac{5 \\cdot 36}{6} = \\frac{5 \\cdot 36}{6} = 5 \\cdot 6 = \\mathbf{30}\\]\n\n> **Kluczowa obserwacja:** Każda z oryginalnych liczb \\(a, b, c\\) pojawia się w zestawie dwukrotnie: raz z czynnikiem \\(2\\), raz z czynnikiem \\(3\\). Łącznie każda daje wkład \\(5\\) razy - stąd suma rośnie pięciokrotnie, a mianownik z \\(3\\) zamienia się na \\(6\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja średniej arytmetycznej:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy jej dwukrotnie: do wyciągnięcia sumy \\(a+b+c\\) ze średniej \\(12\\), oraz do obliczenia nowej średniej z sześciu wyrazów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(10\\) | Brak sensownej drogi do tej odpowiedzi; możliwe błędne przeliczanie czynników lub zgadywanie |\n| B - \\(12\\) | Błędne rozumowanie: „skoro każdą liczbę pomnożono przez coś, to średnia się nie zmienia\" - ale mnożniki \\(2\\) i \\(3\\) są różne, więc nowa średnia ≠ stara |\n| D - \\(60\\) | Błąd: pomnożono starą średnią przez \\(5\\) (bo \\(2+3=5\\)), ale zapomniano uwzględnić, że mianownik też wzrósł z \\(3\\) do \\(6\\); wynik \\(5 \\cdot 12 = 60\\) jest bez dzielenia przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B kusi - wydaje się, że „skoro mamy te same liczby, tylko przemnożone\", to średnia zostaje taka sama. To nieprawda - mnożniki \\(2\\) i \\(3\\) są różne, więc proporcje się zmieniają!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odpowiedzi D łatwo zapomnieć, że liczba wyrazów wzrosła z \\(3\\) do \\(6\\) - nie można po prostu mnożyć starej średniej przez \\(5\\), nie dzieląc potem przez \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to **wyjście od sumy**, a nie od średniej. Zawsze przy zadaniach ze średnią wyciągaj sumę: \\(\\text{suma} = \\text{średnia} \\times \\text{liczba wyrazów}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie (karta wzorów - średnia arytmetyczna)\n\\(\\dfrac{a+b+c}{3} = 12 \\Rightarrow a+b+c = 36.\\)\nSuma sześciu liczb: \\(2a+3a+2b+3b+2c+3c = 5a+5b+5c = 5(a+b+c) = 5\\cdot 36 = 180.\\)\nŚrednia: \\(\\dfrac{180}{6} = 30.\\)\n\n### Sposób 2 - Transformacja liniowa\n\\(2a+3a = 5a\\) dla każdej zmiennej. Suma = \\(5(a+b+c)\\). Przy dzieleniu przez \\(6\\) (liczby), daje \\(\\dfrac{5}{6}\\cdot 36 = 30\\) (bo \\(a+b+c=36\\)). Alternatywnie: \\(\\dfrac{5}{2}\\cdot 12 = 30\\), gdyż \\(\\dfrac{5(a+b+c)}{6} = \\dfrac{5}{2}\\cdot\\dfrac{a+b+c}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - błąd w rachunku.\n- **B. \\(12\\)** - pomylone z oryginalną średnią.\n- **D. \\(60\\)** - nie podzielono przez liczbę elementów.\n\n**Trik:** przy mnożeniu wszystkich liczb przez stałą, średnia mnoży się przez tę stałą. Tutaj \"średni\" mnożnik to \\(\\dfrac{2+3}{2} = 2{,}5\\), a średnia to \\(2{,}5\\cdot 12 = 30\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nTworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego stożka jest równa\nA. 3\nB. 2√3\nC. 3√3\nD. 3√5\n\nMMAP-P0_100\nTworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°. Wysokość tego stożka jest równa A. 3 B. 2√3 C. 3√3 D. 3√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą) […];\nX.5) oblicza objętości […] stożka […],\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu i faktoryzacja\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x(x+4) < x - 2\\]\n\\[x^2 + 4x < x - 2\\]\n\\[x^2 + 4x - x + 2 < 0\\]\n\\[x^2 + 3x + 2 < 0\\]\n\n**Szukamy pierwiastków trójmianu** \\(x^2 + 3x + 2\\):\n\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{-3 - 1}{2} = -2, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{-3 + 1}{2} = -1\\]\n\n**Postać iloczynowa:**\n\n\\[x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)\\]\n\n**Szukamy, kiedy iloczyn jest ujemny:**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc parabola jest skierowana ramionami **w górę** - trójmian jest **ujemny między pierwiastkami**.\n\n\\[(x+2)(x+1) < 0 \\iff x \\in (-2, -1)\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)**\n\n## Sposób 2 - Analiza znaku iloczynu metodą tabelki\n\nMamy nierówność \\((x+2)(x+1) < 0\\). Szukamy, kiedy dwa czynniki mają **różne znaki**.\n\n| Przedział | \\(x+2\\) | \\(x+1\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 < x < -1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > -1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (-2, -1)\\). ✓\n\n**Weryfikacja** - sprawdzamy \\(x = -1{,}5\\) (środek przedziału):\n\nLewa strona: \\((-1{,}5)(-1{,}5 + 4) = (-1{,}5)(2{,}5) = -3{,}75\\)\n\nPrawa strona: \\(-1{,}5 - 2 = -3{,}5\\)\n\nCzy \\(-3{,}75 < -3{,}5\\)? **Tak** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(x^2 + 3x + 2\\), które są granicami rozwiązania nierówności.\n\nKarta podaje też ważną zasadę dla \\(a > 0\\): trójmian \\(ax^2 + bx + c < 0\\) spełniają dokładnie \\(x \\in (x_1, x_2)\\) (gdy \\(\\Delta > 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno pomijać kroku przenoszenia wszystkiego na jedną stronę! Błąd: dzielenie obu stron przez \\(x\\) - nie wiadomo, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności może się odwrócić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\), nierówność \\(< 0\\) daje przedział **między** pierwiastkami, a \\(> 0\\) daje przedział **na zewnątrz**. Łatwo tu pomylić kierunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-2\\) i \\(-1\\) **nie należą** do rozwiązania (nierówność ostra `<`, nie `≤`), więc piszemy nawiasy okrągłe: \\((-2, -1)\\), nie \\(\\langle -2, -1 \\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej (karta wzorów)\n\\[x(x+4) < x - 2\\]\n\\[x^{2} + 4x < x - 2\\]\n\\[x^{2} + 3x + 2 < 0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = 9 - 8 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1.\\)\nMiejsca zerowe: \\(x_{1} = \\dfrac{-3-1}{2} = -2,\\; x_{2} = \\dfrac{-3+1}{2} = -1.\\)\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni - parabola otwarta w górę. Nierówność \\(< 0\\) spełniona **między** miejscami zerowymi.\n\\[x \\in (-2, -1).\\]\n\n### Sposób 2 - Faktoryzacja\n\\(x^{2} + 3x + 2 = (x+1)(x+2) < 0.\\) Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają różne znaki: \\(x+2 > 0\\) i \\(x+1 < 0\\), czyli \\(-2 < x < -1.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - pełne rozwiązanie z zapisem zbioru \\(x\\in(-2,-1)\\).\n- **1 pkt** - obliczenie pierwiastków \\(x_{1} = -2,\\, x_{2} = -1.\\)\n- **0 pkt** - błędna metoda lub rozpatrzenie \\(x(x+4)<0\\) (pominięcie \\(-2\\)).\n\n**Trik:** najpierw **sprowadź wszystko na jedną stronę**, potem rozwiąż nierówność kwadratową standardowo.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝑋= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑌= {-2, -1, 0, 1}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌\ni tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋\noraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosujemy parę\nliczb (𝒙, 𝒚), która będzie spełniać warunek 𝒙⋅𝒚≥𝟎. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa zbiory: X={-3,-2,-1,0,1,2} oraz Y={-2,-1,0,1}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x,y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y jest liczbą wylosowaną ze zbioru Y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x,y), która będzie spełniać warunek x⋅y ≥ 0.","answer":"(17)/(24)","answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 17\n24\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 17, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n24\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 17\n24\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 17 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑦∈{-2, -1, 0, 1}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0),\n(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1),\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n-2\n-1\n0\n1\n-3\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-2\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-1\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n0\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n1\n𝒜\n𝒜\n2\n𝒜\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 24.\nZdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\n𝑌\n𝑋\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia,\nz uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe:\n𝑃(𝐴) = 3\n6 ⋅3\n4 + 1\n6 ⋅4\n4 + 2\n6 ⋅2\n4 = 17\n24","solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód\n\nTo zadanie otwarte - należy wykazać prawdziwość nierówności dla **wszystkich** \\(x \\neq 2\\) i **wszystkich** \\(y \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Sposób 1 - uzupełnienie do pełnych kwadratów\n\n**Cel:** Pokazać, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze dodatnia.\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4(x + y - 2) > 0\\]\n\nRozwijamy nawiasy:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 > 0\\]\n\nGrupujemy wyrazy i **uzupełniamy do pełnych kwadratów** - osobno dla \\(x\\) i osobno dla \\(y\\):\n\n\\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) > 0\\]\n\n\\[(x - 2)^2 + (y - 2)^2 > 0\\]\n\nTeraz korzystamy z własności kwadratów:\n- \\((x-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\)\n- \\((y-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(y\\)\n\n**Kluczowy argument:** Ponieważ \\(x \\neq 2\\), mamy \\(x - 2 \\neq 0\\), skąd:\n\n\\[(x-2)^2 > 0\\]\n\nZatem:\n\n\\[(x-2)^2 + (y-2)^2 \\geq (x-2)^2 > 0\\]\n\n**Co kończy dowód.** Nierówność \\(x^2 + y^2 > 4(x + y - 2)\\) jest prawdziwa dla każdego \\(x \\neq 2\\) i każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - wyróżnik trójmianu kwadratowego względem \\(y\\)\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą i **traktujemy wyrażenie jako wielomian kwadratowy względem \\(y\\)**:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 > 0\\]\n\n\\[\\underbrace{y^2 - 4y}_{\\text{część z }y} + \\underbrace{(x^2 - 4x + 8)}_{\\text{parametr}} > 0\\]\n\nMamy trójmian \\(f(y) = y^2 - 4y + (x^2 - 4x + 8)\\) z współczynnikiem przy \\(y^2\\) równym \\(1 > 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (x^2 - 4x + 8)\\]\n\n\\[\\Delta = 16 - 4x^2 + 16x - 32 = -4x^2 + 16x - 16\\]\n\n\\[\\Delta = -4(x^2 - 4x + 4) = -4(x-2)^2\\]\n\nPonieważ \\(x \\neq 2\\), mamy \\((x-2)^2 > 0\\), więc:\n\n\\[\\Delta = -4(x-2)^2 < 0\\]\n\n**Wniosek:** Trójmian \\(f(y)\\) ma ujemny wyróżnik i dodatni współczynnik wiodący, więc **nie ma miejsc zerowych i jest dodatni dla wszystkich \\(y \\in \\mathbb{R}\\)**. To oznacza:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4(x + y - 2) > 0 \\quad \\text{dla każdego } y \\in \\mathbb{R}\\] \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu i wniosek o znaku:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n- Jeśli \\(\\Delta < 0\\) i \\(a > 0\\), to trójmian kwadratowy jest **dodatni dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\)**.\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, traktując wyrażenie jako trójmian w zmiennej \\(y\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w obu Sposobach przy uzupełnianiu/rozwijaniu wyrażeń \\((x-2)^2\\) i \\((y-2)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „suma kwadratów jest nieujemna\" - trzeba **użyć założenia \\(x \\neq 2\\)** do pokazania, że suma jest *ściśle dodatnia*. Bez tego warunku nierówność byłaby ostra tylko prawie wszędzie (np. dla \\(x = 2, y = 2\\) obie strony byłyby równe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do pełnych kwadratów upewnij się, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę. Częsty błąd: \\(x^2 - 4x = (x-2)^2\\) (brakuje \\(-4\\) po prawej - prawidłowo: \\(x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 nie możesz zapomnieć sprawdzić znaku współczynnika wiodącego - dla \\(\\Delta < 0\\) wniosek o znaku trójmianu jest *odwrotny* dla \\(a < 0\\) niż dla \\(a > 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: dowód**\n\n### Sposób 1 - Suma kwadratów (karta wzorów - wzór \\((a-b)^{2}\\))\nPrzekształcamy równoważnie:\n\\[x^{2} + y^{2} > 4x + 4y - 8\\]\n\\[x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 4y + 4 > 0\\]\n\\[(x-2)^{2} + (y-2)^{2} > 0.\\]\nZ założenia \\(x \\neq 2\\), więc \\((x-2)^{2} > 0.\\) Ponadto \\((y-2)^{2} \\geq 0\\). Suma liczby **dodatniej** i **nieujemnej** jest dodatnia:\n\\[(x-2)^{2} + (y-2)^{2} > 0. \\quad \\text{c.n.d.}\\]\n\n### Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\) z parametrem \\(y\\)\nZapisujemy jako \\(x^{2} - 4x + (y^{2} - 4y + 8) > 0.\\)\nWyróżnik: \\(\\Delta = 16 - 4(y^{2}-4y+8) = -4y^{2}+16y-16 = -4(y-2)^{2}.\\)\nDla każdego \\(y\\) mamy \\(\\Delta \\leq 0\\). Gdy \\(y \\neq 2\\), \\(\\Delta < 0\\) i trójmian (o dodatnim współczynniku) jest zawsze dodatni. Gdy \\(y = 2\\), \\(\\Delta = 0\\), trójmian \\(= (x-2)^{2} \\geq 0\\), a równość jedynie dla \\(x=2\\), co wykluczono. Zatem nierówność jest ostra dla \\(x\\neq 2.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - pełne przekształcenie do sumy kwadratów z wyjaśnieniem, dlaczego jest dodatnia.\n- **1 pkt** - przekształcenie do \\((x-2)^{2} + (y-2)^{2} > 0\\) bez pełnego uzasadnienia.\n- **0 pkt** - sprawdzanie tylko dla wybranych \\(x,y\\).\n\n**Trik:** kluczowe wzory skróconego mnożenia: \\(a^{2} - 2a\\cdot 2 + 4 = (a-2)^{2}\\); dobierz \\(4\\) tak, by powstała suma kwadratów.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest\nA. 108\nB. 117\nC. 126\nD. 162\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest A. 108 B. 117 C. 126 D. 162","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n2\n6\n3\n6\n1\n6\n1\n2\n0\n-3\n-2\n-1\n-2\n-1\n0\n-2\n-1\n0\n1\n0\n1\n3\n4\n4\n4\n2\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: 850 drzew w pierwszym sadzie\n\n## Sposób 1 - Układ równań (algebrycznie)\n\n**Wprowadzamy oznaczenia:**\n\nNiech \\(x\\) = liczba drzew w pierwszym sadzie, \\(y\\) = liczba drzew w drugim sadzie (w maju 2024).\n\n**Warunek 1:** Łącznie posadzono 1410 drzew:\n\\[x + y = 1410\\]\n\n**Warunek 2:** Po roku - uschło 20% w pierwszym sadzie, więc zostało 80%, czyli \\(0{,}8x\\) drzew. Uschło 15% w drugim sadzie, więc zostało 85%, czyli \\(0{,}85y\\) drzew.\n\n**Warunek 3:** Pozostałe drzewa w drugim sadzie stanowiły 70% pozostałych w pierwszym:\n\\[0{,}85y = 0{,}70 \\cdot 0{,}8x\\]\n\\[0{,}85y = 0{,}56x\\]\n\n**Rozwiązujemy układ:**\n\\[\\begin{cases} x + y = 1410 \\\\ 0{,}85y = 0{,}56x \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania wyznaczamy \\(y\\):\n\\[y = \\frac{0{,}56}{0{,}85}x = \\frac{56}{85}x = \\frac{8}{85} \\cdot 7 \\cdot x\\]\n\nUpraszczamy ułamek: \\(\\frac{56}{85} = \\frac{56}{85}\\) (NWD = 1, bo \\(85 = 5 \\cdot 17\\), \\(56 = 8 \\cdot 7\\)).\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[x + \\frac{56}{85}x = 1410\\]\n\\[x\\left(1 + \\frac{56}{85}\\right) = 1410\\]\n\\[x \\cdot \\frac{85 + 56}{85} = 1410\\]\n\\[x \\cdot \\frac{141}{85} = 1410\\]\n\\[x = 1410 \\cdot \\frac{85}{141} = \\frac{1410}{141} \\cdot 85 = 10 \\cdot 85\\]\n\n\\[\\boxed{x = 850}\\]\n\n**Zatem w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.**\n\nSprawdzamy \\(y\\): \\(y = 1410 - 850 = 560\\).\n\n## Sposób 2 - Podstawienie przez stosunek (proporcja)\n\n**Oznaczamy stosunek \\(x : y\\) i wyliczamy go z warunku 3:**\n\nPo roku zostaje:\n- w pierwszym sadzie: \\(0{,}8x\\)\n- w drugim sadzie: \\(0{,}85y\\)\n\nWarunek: \\(0{,}85y = 0{,}70 \\cdot 0{,}8x\\), czyli:\n\\[\\frac{y}{x} = \\frac{0{,}70 \\cdot 0{,}8}{0{,}85} = \\frac{0{,}56}{0{,}85} = \\frac{56}{85}\\]\n\nZatem \\(x : y = 85 : 56\\).\n\n**Liczymy z proporcji:**\n\nSuma części: \\(85 + 56 = 141\\).\n\nJeden \"udział\": \\(\\frac{1410}{141} = 10\\).\n\nPierwszy sad: \\(85 \\cdot 10 = \\mathbf{850}\\) drzew.\nDrugi sad: \\(56 \\cdot 10 = \\mathbf{560}\\) drzew.\n\n**Weryfikacja:**\n- Pozostało w I sadzie: \\(0{,}8 \\cdot 850 = 680\\)\n- Pozostało w II sadzie: \\(0{,}85 \\cdot 560 = 476\\)\n- Czy \\(476 = 0{,}70 \\cdot 680\\)? \\(\\quad 0{,}70 \\cdot 680 = 476\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą działania procentowe i rozwiązywanie układu równań liniowych z definicji.\n\nWarto jednak pamiętać, że procenty to po prostu ułamki dziesiętne:\n- \\(20\\% = 0{,}20\\), więc **zostaje** \\(80\\% = 0{,}80\\)\n- \\(15\\% = 0{,}15\\), więc **zostaje** \\(85\\% = 0{,}85\\)\n- \\(70\\% = 0{,}70\\)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Treść mówi, że \"zostało 70% drzew z II sadu w porównaniu do I sadu\" - chodzi o drzewa **po usunięciu**, a nie przed. Nie wstawiaj \\(y\\) i \\(x\\) bezpośrednio do tego warunku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na to, ile **uschło**, a ile **zostało**. \"Uschło 20%\" znaczy, że zostało **80%**, nie 20%. To najczęstszy błąd prowadzący do złego układu równań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(x \\cdot \\frac{141}{85} = 1410\\) - upewnij się, że dzielisz obie strony przez \\(\\frac{141}{85}\\), czyli mnożysz przez \\(\\frac{85}{141}\\). Skrócenie \\(\\frac{1410}{141} = 10\\) jest kluczowe i warto to zrobić przed mnożeniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(850\\) drzew**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(x\\) - liczba drzew w pierwszym sadzie, \\(y\\) - w drugim.\n\\(x + y = 1410.\\)\nPo roku: w pierwszym zostało \\(0{,}80x\\), w drugim \\(0{,}85y\\).\nWarunek: \\(0{,}85y = 0{,}70\\cdot 0{,}80x\\), czyli \\(0{,}85y = 0{,}56x.\\)\nZ pierwszego: \\(y = 1410 - x.\\) Podstawiamy:\n\\(0{,}85(1410 - x) = 0{,}56x\\)\n\\(1198{,}5 - 0{,}85x = 0{,}56x\\)\n\\(1198{,}5 = 1{,}41x\\)\n\\(x = \\dfrac{1198{,}5}{1{,}41} = 850.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = 850\\), \\(y = 560.\\) Po roku: \\(0{,}80\\cdot 850 = 680\\), \\(0{,}85\\cdot 560 = 476.\\) Czy \\(476 = 0{,}70\\cdot 680\\)? \\(0{,}70\\cdot 680 = 476\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(850\\) z metodą.\n- **1 pkt** - zapisanie układu/równania.\n- **0 pkt** - zgadywanie bez metody.\n\n**Trik:** zapisz dwa fakty algebraicznie - \\(x+y=1410\\) i równość z procentami; rozwiąż podstawieniem.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa\nA. 10\nB. 12\nC. 30\nD. 60\n\nMMAP-P0_100\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: a,b,c, jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2a,3a,2b,3b,2c,3c, jest równa A. 10 B. 12 C. 30 D. 60","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 9\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z sumy i waruneku na wyrazy\n\n**Co wiemy:**\n- Liczba wyrazów: \\(n = 25\\)\n- Suma wyrazów: \\(S_{25} = 2025\\)\n- Ostatni wyraz jest 17 razy większy od pierwszego: \\(a_{25} = 17a_1\\)\n\n**Krok 1.** Zapisujemy wzór na sumę ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy znane wartości. Zamiast \\(a_{25}\\) wstawiamy \\(17a_1\\):\n\\[2025 = \\frac{a_1 + 17a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy licznik:\n\\[2025 = \\frac{18a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\\[2025 = 9a_1 \\cdot 25\\]\n\\[2025 = 225a_1\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy \\(a_1\\):\n\\[a_1 = \\frac{2025}{225} = \\boxed{9}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez różnicę ciągu\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy różnicę \\(r\\) z warunku na ostatni wyraz.\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\\[a_{25} = a_1 + 24r\\]\n\nZ warunku \\(a_{25} = 17a_1\\):\n\\[a_1 + 24r = 17a_1\\]\n\\[24r = 16a_1\\]\n\\[r = \\frac{2}{3}a_1\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 25\\), \\(r = \\frac{2}{3}a_1\\):\n\\[2025 = \\frac{2a_1 + 24 \\cdot \\frac{2}{3}a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\\[2025 = \\frac{2a_1 + 16a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\\[2025 = \\frac{18a_1}{2} \\cdot 25 = 9a_1 \\cdot 25 = 225a_1\\]\n\n**Krok 3.**\n\\[a_1 = \\frac{2025}{225} = \\boxed{9}\\]\n\nDla porządku: \\(r = \\frac{2}{3} \\cdot 9 = 6\\), zatem ciąg to \\(9, 15, 21, 27, \\ldots\\) i \\(a_{25} = 9 + 24 \\cdot 6 = 9 + 144 = 153 = 17 \\cdot 9\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyrażenia \\(a_{25}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\) (Sposób 2).\n\nWzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 1)}\\]\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 2)}\\]\nOba wzory są na tej samej stronie - warto znać oba, bo czasem jeden jest wygodniejszy od drugiego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „17 razy większy\" znaczy \\(a_{25} = 17a_1\\), nie \\(a_{25} = a_1 + 17\\). To częsty błąd językowy - \"17 razy większy\" w treści zadań maturalnych oznacza mnożnik 17, nie dodawanie 17.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzorów na sumę. \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) wymaga znania ostatniego wyrazu; \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) wymaga znajomości różnicy. Mając warunek \\(a_{25} = 17a_1\\), Sposób 1 jest krótszy - nie musisz wyznaczać \\(r\\) osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź dzielenie: \\(\\frac{2025}{225}\\). Możesz skrócić przez 25: \\(\\frac{2025}{225} = \\frac{81}{9} = 9\\). Nie rób tego w pamięci bez weryfikacji!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(a_{1} = 9\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)\nOznaczamy \\(a_{1}\\) - pierwszy wyraz, \\(a_{25}\\) - ostatni.\nWarunek: \\(a_{25} = 17a_{1}.\\)\nWzór na sumę: \\(S_{25} = \\dfrac{a_{1} + a_{25}}{2}\\cdot 25 = 2025.\\)\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{a_{1} + 17a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\]\n\\[\\dfrac{18a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\]\n\\[225a_{1} = 2025\\]\n\\[a_{1} = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez różnicę \\(r\\)\n\\(S_{25} = \\dfrac{2a_{1}+24r}{2}\\cdot 25 = 25(a_{1}+12r) = 2025 \\Rightarrow a_{1}+12r = 81.\\)\n\\(a_{25} = a_{1}+24r = 17a_{1} \\Rightarrow 24r = 16a_{1} \\Rightarrow r = \\dfrac{2a_{1}}{3}.\\)\nPodstawiamy: \\(a_{1} + 12\\cdot\\dfrac{2a_{1}}{3} = 81 \\Rightarrow a_{1} + 8a_{1} = 81 \\Rightarrow 9a_{1} = 81 \\Rightarrow a_{1} = 9.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(a_{1} = 9\\).\n- **1 pkt** - zapisanie równania \\(\\dfrac{a_{1}+17a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\).\n- **0 pkt** - błąd metody lub tylko \\(a_{1}=9\\) bez pracy.\n\n**Trik:** suma ciągu arytmetycznego = średnia krańców × liczba wyrazów; podstaw \\(a_{25} = 17a_{1}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Statystyka, algebra","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za\nrozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.\nLiczba punktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba uczniów,\nktórzy otrzymali\ndaną liczbę punktów\n4\n2\n5\n5\n11\n5\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów\nza rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie uczniów tej klasy.\n2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania\njest równa\n3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania\njest równa\n\nMMAP-P0_100\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 || 4 | 2 | 5 | 11 | 5 | Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie .................... uczniów tej klasy. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................... . Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................... .","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje medianę i dominantę.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nNie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.\nRozwiązanie\n1. 11\n2. 3,5\n3. 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: średnia arytmetyczna = 3, mediana = 3,5\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenia ze wzorów\n\n**Krok 1: Sprawdzamy sumę uczniów**\n\n\\[4 + 2 + 5 + 5 + 11 + 5 = 32 \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy średnią arytmetyczną**\n\nŚrednia ważona - każda liczba punktów pojawia się tyle razy, ilu uczniów ją uzyskało:\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{0 \\cdot 4 + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 5 + 4 \\cdot 11 + 5 \\cdot 5}{32}\\]\n\nLiczymy licznik:\n\n\\[0 + 2 + 10 + 15 + 44 + 25 = 96\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{96}{32} = \\mathbf{3}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy medianę**\n\nMamy \\(32\\) uczniów - parzysta liczba danych, więc mediana to **średnia 16. i 17. wartości** (gdy dane ustawimy rosnąco).\n\nUstawiamy wyniki w kolejności rosnącej i liczymy skumulowane liczebności:\n\n| Punkty | Liczba uczniów | Skumulowane |\n| 0 | 4 | 4 |\n| 1 | 2 | 6 |\n| 2 | 5 | 11 |\n| 3 | 5 | 16 |\n| 4 | 11 | 27 |\n| 5 | 5 | 32 |\n\n- Uczniowie 1-4: wynik 0\n- Uczniowie 5-6: wynik 1\n- Uczniowie 7-11: wynik 2\n- Uczniowie 12-16: wynik 3 → **16. uczeń ma 3 punkty**\n- Uczniowie 17-27: wynik 4 → **17. uczeń ma 4 punkty**\n\nMediana:\n\n\\[\\text{Me} = \\frac{x_{16} + x_{17}}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = \\mathbf{3{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez rozpisanie wszystkich danych\n\nRozpisujemy pełną listę wyników 32 uczniów (posortowaną):\n\n\\[\\underbrace{0,0,0,0}_{4},\\underbrace{1,1}_{2},\\underbrace{2,2,2,2,2}_{5},\\underbrace{3,3,3,3,3}_{5},\\underbrace{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4}_{11},\\underbrace{5,5,5,5,5}_{5}\\]\n\n**Średnia:** sumujemy wszystkie wartości:\n\n\\[4 \\cdot 0 + 2 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 5 \\cdot 3 + 11 \\cdot 4 + 5 \\cdot 5 = 96\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{96}{32} = 3\\]\n\n**Mediana:** \\(n = 32\\) (parzyste), więc szukamy 16. i 17. wyrazu.\n\nLicząc od lewej:\n- pozycje 1-4: wartość \\(0\\)\n- pozycje 5-6: wartość \\(1\\)\n- pozycje 7-11: wartość \\(2\\)\n- pozycje 12-**16**: wartość \\(3\\) ← 16. wyraz\n- pozycje **17**-27: wartość \\(4\\) ← 17. wyraz\n\n\\[\\text{Me} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]\n\nWyniki zgodne - **średnia = 3, mediana = 3,5**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna (w wersji ważonej):\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\ngdzie \\(a_i\\) to liczba punktów, \\(w_i\\) to liczba uczniów z tą liczbą punktów. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.\n\nMediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub **średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\)**. Użyliśmy definicji dla \\(n = 32\\) (parzyste) → średnia 16. i 17. wyrazu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy medianie dla parzystej liczby danych - mediana to **średnia dwóch środkowych**, nie jeden z nich. Tu 16. wyraz to 3, a 17. to 4, więc mediana = 3,5, a nie 3 ani 4!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu średniej z tabeli częstości - każdą liczbę punktów mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali. Częsty błąd to zsumowanie samych liczb punktów (0+1+2+3+4+5) i podzielenie przez 6 zamiast przez 32.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, że skumulowane liczby uczniów sumują się do \\(n = 32\\). To szybki sposób na wykrycie błędu rachunkowego przed podaniem wyniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\bar{x} = 3,\\; Me = 3{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie (karta wzorów)\nŚrednia:\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{4\\cdot 0 + 2\\cdot 1 + 5\\cdot 2 + 5\\cdot 3 + 11\\cdot 4 + 5\\cdot 5}{32} = \\dfrac{0+2+10+15+44+25}{32} = \\dfrac{96}{32} = 3.\\]\n\nMediana: \\(32\\) liczby - średnia z \\(16\\)-tego i \\(17\\)-tego wyrazu uporządkowanego ciągu.\nKumulacja: 4 (0pkt), 6 (0-1), 11 (0-2), 16 (0-3), 27 (0-4), 32 (0-5).\n16-ty wyraz to jeszcze \\(3\\) pkt (kumulatywnie 16), 17-ty to już \\(4\\) pkt.\n\\(Me = \\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5.\\)\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja łącznej liczby\n\\(4+2+5+5+11+5 = 32\\) ✓. Suma punktów \\(= 96.\\) Średnia \\(96/32 = 3.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - oba wyniki: \\(\\bar{x}=3\\) i \\(Me=3{,}5\\).\n- **1 pkt** - tylko średnia LUB tylko mediana.\n- **0 pkt** - błędna metoda.\n\n**Trik:** dla \\(n\\) parzystego mediana = średnia dwóch środkowych; znajdź ich pozycje w skumulowanej częstości.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nProducent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten\nprodukt. Z analizy wynika, że roczny zysk 𝒵 ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem\n𝒵(𝑥) = (500 + 50𝑥)(16 -𝑥)\ngdzie:\n𝑥 - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki\n𝑥≥1 i 𝑥≤14,\n𝒵 - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu\nobniżenia ceny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRoczny zysk 𝒵 ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla 𝑥 równego\nA. 3\nB. 4\nC. 7\nD. 14\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nProducent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem Z(x) = (500+50x)(16-x) gdzie: x - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x≥1 i x≤14, Z - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego A. 3 B. 4 C. 7 D. 14","answer":"A","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin dodatkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 8.\n1 pkt - zapisanie równania 85% ⋅𝑦= 70% ⋅80% ⋅𝑥.\nZadanie 9.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n𝑥2 + 3𝑥+ 2, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 4) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (-1, -2), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 10.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 13.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie 𝑝= -1\nALBO\n- wyznaczenie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥1 = -3.\nZadanie 22.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 24.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) oraz\nzapisanie objętości prostopadłościanu w postaci 𝑉= 64𝑎3.\nZadanie 27.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 24 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 16) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 16\n24), to otrzymuje 2 punkty\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{17}{24}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par spełniających warunek wprost\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy jedną liczbę z \\(X\\) (6 możliwości) i jedną z \\(Y\\) (4 możliwości). Pary są uporządkowane, więc:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 4 = 24\\]\n\n**Krok 2: Kiedy \\(x \\cdot y \\geq 0\\)?**\n\nIloczyn dwóch liczb jest nieujemny w trzech przypadkach:\n- \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\) (oba dodatnie)\n- \\(x < 0\\) i \\(y < 0\\) (oba ujemne)\n- \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\) (jeden z czynników to zero, iloczyn = 0)\n\n**Krok 3: Zliczamy pary z każdego przypadku.**\n\n**Przypadek 1: \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\)**\n\nZe zbioru \\(X\\): liczby dodatnie to \\(\\{1, 2\\}\\) → 2 możliwości\nZe zbioru \\(Y\\): liczby dodatnie to \\(\\{1\\}\\) → 1 możliwość\n\\[2 \\cdot 1 = 2 \\text{ pary}\\]\n\n**Przypadek 2: \\(x < 0\\) i \\(y < 0\\)**\n\nZe zbioru \\(X\\): liczby ujemne to \\(\\{-3, -2, -1\\}\\) → 3 możliwości\nZe zbioru \\(Y\\): liczby ujemne to \\(\\{-2, -1\\}\\) → 2 możliwości\n\\[3 \\cdot 2 = 6 \\text{ par}\\]\n\n**Przypadek 3: \\(x = 0\\) (bez względu na \\(y\\))**\n\nZe zbioru \\(X\\): zero to \\(\\{0\\}\\) → 1 możliwość\nZe zbioru \\(Y\\): dowolna → 4 możliwości\n\\[1 \\cdot 4 = 4 \\text{ pary}\\]\n\n**Przypadek 4: \\(y = 0\\) i \\(x \\neq 0\\)** (żeby nie liczyć pary \\((0,0)\\) podwójnie!)\n\nZe zbioru \\(Y\\): zero to \\(\\{0\\}\\) → 1 możliwość\nZe zbioru \\(X\\): wszystkie prócz 0 → 5 możliwości\n\\[5 \\cdot 1 = 5 \\text{ par}\\]\n\n**Krok 4: Sumujemy.**\n\n\\[|A| = 2 + 6 + 4 + 5 = 17\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{17}{24}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez dopełnienie (zdarzenie przeciwne)\n\nŁatwiej bywa policzyć zdarzenie przeciwne \\(A'\\): **\\(x \\cdot y < 0\\)**, czyli iloczyn jest ujemny.\n\nIloczyn jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden z czynników jest ujemny, a drugi - dodatni. Zero wyklucza tę możliwość!\n\n**Przypadek 1: \\(x > 0\\) i \\(y < 0\\)**\n\n\\(x \\in \\{1, 2\\}\\) → 2 możliwości\n\\(y \\in \\{-2, -1\\}\\) → 2 możliwości\n\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ pary}\\]\n\n**Przypadek 2: \\(x < 0\\) i \\(y > 0\\)**\n\n\\(x \\in \\{-3, -2, -1\\}\\) → 3 możliwości\n\\(y \\in \\{1\\}\\) → 1 możliwość\n\\[3 \\cdot 1 = 3 \\text{ pary}\\]\n\nZatem:\n\\[|A'| = 4 + 3 = 7\\]\n\nKorzystamy z zasady dopełnienia:\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{7}{24} = \\boxed{\\frac{17}{24}}\\]\n\nTen sposób jest **szybszy** - mamy tylko 2 przypadki zamiast 4, bo zero automatycznie \"odpada\" (iloczyn z zerem nie jest ujemny).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia prawdopodobieństwa: liczba par sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich par.\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - zdarzenie przeciwne:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - zamiast liczyć pary sprzyjające, policzyliśmy pary niesprzyjające i odjęliśmy od 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przypadek \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\) spełnia warunek \\(x \\cdot y \\geq 0\\) (wynik to 0, a \\(0 \\geq 0\\) jest prawdą!). Bardzo częsty błąd to pominięcie par z zerem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu metodą wprost (Sposób 1) trzeba uważać na **podwójne liczenie** pary \\((0, 0)\\). Dlatego liczymy osobno \"x = 0 dla wszystkich y\" i \"y = 0 dla x ≠ 0\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Metoda przez dopełnienie (Sposób 2) jest tu **bezpieczniejsza** i szybsza - problem z zerami znika sam, bo \\(0 \\cdot y = 0\\) nigdy nie jest ujemne, więc pary z zerem w ogóle nie trafiają do \\(A'\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{17}{24}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo (karta wzorów)\nZdarzenia elementarne: pary \\((x,y)\\).\n\\(|\\Omega| = 6\\cdot 4 = 24.\\)\nWarunek \\(x\\cdot y \\geq 0\\) spełniony w przypadkach:\n- \\(x = 0\\): każde \\(y\\) działa - \\(4\\) pary.\n- \\(y = 0\\): każde \\(x\\) - \\(6\\) par. Ale przeciąłem już \\((0,0)\\) - więc dodaję \\(5\\) nowych.\n- \\(x > 0, y > 0\\) (oba dodatnie): \\(x\\in\\{1,2\\}\\), \\(y\\in\\{1\\}\\) - \\(2\\) pary.\n- \\(x < 0, y < 0\\) (oba ujemne): \\(x\\in\\{-3,-2,-1\\}\\), \\(y\\in\\{-2,-1\\}\\) - \\(3\\cdot 2 = 6\\) par.\n\nSuma: \\(4 + 5 + 2 + 6 = 17.\\)\n\\[P(A) = \\dfrac{17}{24}.\\]\n\n### Sposób 2 - Dopełnienie\nWarunek \\(x\\cdot y < 0\\): różne znaki, **żadne** z \\(x, y\\) nie jest zerem.\n- \\(x > 0, y < 0\\): \\(2\\cdot 2 = 4\\) par.\n- \\(x < 0, y > 0\\): \\(3\\cdot 1 = 3\\) par.\nRazem \\(|A'| = 7.\\) Zatem \\(|A| = 24 - 7 = 17.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(\\dfrac{17}{24}\\).\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|\\Omega|=24\\) lub liczby zdarzeń sprzyjających.\n- **0 pkt** - błędna metoda.\n\n**Trik:** gdy \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\), iloczyn \\(= 0 \\geq 0\\) ✓; rozpatrz przypadki oddzielnie.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2, 15) . Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x= -1 . Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1 . Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji f.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 3(x+1)^2 - 12\\), zbiór wartości \\(ZW = \\langle -12, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - postać kanoniczna wprost z warunków\n\n**Krok 1: Zapisujemy postać kanoniczną na podstawie osi symetrii.**\n\nOś symetrii \\(x = -1\\) oznacza, że wierzchołek paraboli ma \\(p = -1\\). Postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x+1)^2 + q\\]\n\n**Krok 2: Korzystamy z miejsca zerowego.**\n\nSkoro \\(x = 1\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(1) = 0\\):\n\\[a(1+1)^2 + q = 0\\]\n\\[4a + q = 0\\]\n\\[q = -4a\\]\n\n**Krok 3: Korzystamy z punktu \\((2, 15)\\).**\n\n\\[f(2) = 15\\]\n\\[a(2+1)^2 + q = 15\\]\n\\[9a + q = 15\\]\n\n**Krok 4: Podstawiamy \\(q = -4a\\) do równania z kroku 3.**\n\n\\[9a + (-4a) = 15\\]\n\\[5a = 15\\]\n\\[a = 3\\]\n\nStąd: \\(q = -4 \\cdot 3 = -12\\).\n\n**Wynik:** \\(\\boxed{f(x) = 3(x+1)^2 - 12}\\)\n\n**Krok 5: Zbiór wartości.**\n\nPonieważ \\(a = 3 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze. Najmniejsza wartość funkcji to wartość w wierzchołku \\(q = -12\\).\n\n\\[\\boxed{ZW = \\langle -12, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - postać iloczynowa, potem konwersja\n\n**Krok 1: Znajdź oba miejsca zerowe.**\n\nOś symetrii \\(x = -1\\) - oba pierwiastki leżą symetrycznie względem niej. Jeden pierwiastek to \\(x_1 = 1\\), jego odległość od osi to \\(|1 - (-1)| = 2\\). Drugi pierwiastek leży po drugiej stronie:\n\\[x_2 = -1 - 2 = -3\\]\n\n**Krok 2: Zapisz postać iloczynową.**\n\n\\[f(x) = a(x - 1)(x + 3)\\]\n\n**Krok 3: Wyznacz \\(a\\) z warunku punktu \\((2, 15)\\).**\n\n\\[a(2 - 1)(2 + 3) = 15\\]\n\\[a \\cdot 1 \\cdot 5 = 15\\]\n\\[a = 3\\]\n\nZatem: \\(f(x) = 3(x-1)(x+3)\\).\n\n**Krok 4: Rozwinij i przelicz na postać kanoniczną.**\n\n\\[f(x) = 3(x^2 + 2x - 3) = 3x^2 + 6x - 9\\]\n\nWspółrzędna wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{6} = -1\\]\n\\[q = f(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12\\]\n\n\\[\\boxed{f(x) = 3(x+1)^2 - 12}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\nPostać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyta w Sposobie 1 - oś symetrii to \\(x = p\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\).\n\nWspółrzędna wierzchołka ze wzoru ogólnego (użyta w Sposobie 2):\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nPostać iloczynowa (użyta w Sposobie 2):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nWłasność symetrii pierwiastków (wynikająca ze wzorów Viète'a):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 2p\\]\nStąd: jeśli znamy \\(x_1\\) i \\(p\\), to \\(x_2 = 2p - x_1\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Oś symetrii \\(x = p\\) to **NIE jest** miejsce zerowe - to współrzędna wierzchołka. Wielu uczniów wpisuje \\(f(-1) = 0\\) zamiast korzystać z danego miejsca zerowego \\(f(1) = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości zależy od znaku \\(a\\). Jeśli \\(a > 0\\) - parabola skierowana ku górze, \\(ZW = \\langle q, +\\infty)\\). Jeśli \\(a < 0\\) - ku dołowi, \\(ZW = (-\\infty, q\\rangle\\). Nie zakładaj z góry - sprawdź znak \\(a\\) po obliczeniu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\) przy \\(p = -1\\) piszemy \\((x - (-1))^2 = (x + 1)^2\\). Błąd znaku tu (napisanie \\((x-1)^2\\)) to najczęstsze potknięcie.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 3(x+1)^{2} - 12,\\; ZW_{f} = \\langle -12, +\\infty)\\)**\n\n### Sposób 1 - Postać iloczynowa (karta wzorów)\nOś symetrii \\(x = -1\\) leży na środku między miejscami zerowymi. Skoro jedno z nich to \\(1\\), drugie musi być \\(-3\\) (bo \\(\\dfrac{1+(-3)}{2} = -1\\)).\n\\(f(x) = a(x-1)(x+3).\\)\nWarunek \\(f(2) = 15\\): \\(a(2-1)(2+3) = 5a = 15 \\Rightarrow a = 3.\\)\n\\(f(x) = 3(x-1)(x+3) = 3(x^{2}+2x-3).\\)\nPostać kanoniczna: \\(f(x) = 3(x^{2}+2x+1-4) = 3[(x+1)^{2}-4] = 3(x+1)^{2}-12.\\)\nZbiór wartości: \\(a=3>0\\) → minimum w wierzchołku \\((-1,-12).\\) \\(ZW_{f} = \\langle -12, +\\infty).\\)\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna od razu\n\\(f(x) = a(x+1)^{2} + q.\\)\n\\(f(1) = 0\\): \\(4a + q = 0.\\)\n\\(f(2) = 15\\): \\(9a + q = 15.\\)\nOdejmując: \\(5a = 15 \\Rightarrow a = 3,\\; q = -12.\\)\n\\(f(x) = 3(x+1)^{2} - 12.\\) \\(ZW_{f} = \\langle -12, +\\infty).\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **4 pkt** - wzór \\(3(x+1)^{2}-12\\) + \\(ZW = \\langle-12,+\\infty)\\).\n- **3 pkt** - wzór bez zbioru wartości, lub obliczenie \\(q=-12\\) + \\(ZW\\).\n- **2 pkt** - obliczenie \\(a=3\\) LUB \\(q=-12\\).\n- **1 pkt** - zapisanie wzoru w postaci \\(a(x+1)^{2}+q\\) lub \\(a(x-1)(x+3).\\)\n\n**Trik:** oś symetrii = średnia miejsc zerowych; wyznacz drugie miejsce zerowe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5 . Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4 . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: V = 27\n\n## Sposób 1 - Oznaczenie krawędzi przez iloraz ciągu\n\n**Oznaczamy krawędzie.** Niech trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 4\\). Oznaczamy je:\n\\[a, \\quad 4a, \\quad 16a\\]\n\n**Zapisujemy warunek na pole powierzchni całkowitej** (wzór z karty CKE, Dział 12):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 94{,}5\\]\n\nPodstawiamy nasze krawędzie:\n\\[2\\bigl(a \\cdot 4a + 4a \\cdot 16a + 16a \\cdot a\\bigr) = 94{,}5\\]\n\\[2\\bigl(4a^2 + 64a^2 + 16a^2\\bigr) = 94{,}5\\]\n\\[2 \\cdot 84a^2 = 94{,}5\\]\n\\[168a^2 = 94{,}5\\]\n\\[a^2 = \\frac{94{,}5}{168} = \\frac{9}{16}\\]\n\\[a = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Wyznaczamy wszystkie krawędzie:**\n\\[a = \\frac{3}{4}, \\quad 4a = 3, \\quad 16a = 12\\]\n\n**Obliczamy objętość:**\n\\[V = a \\cdot 4a \\cdot 16a = \\frac{3}{4} \\cdot 3 \\cdot 12 = \\frac{3}{4} \\cdot 36 = \\mathbf{27}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie środkowego wyrazu ciągu\n\n**Kluczowa obserwacja:** w ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) z ilorazem \\(q = 4\\) zachodzi:\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{4}, \\quad a_3 = 4a_2\\]\n\nPonadto \\(V = a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 = \\frac{a_2}{4} \\cdot a_2 \\cdot 4a_2 = a_2^3\\), więc **objętość to sześcian środkowego wyrazu**.\n\n**Wyrażamy pole przez \\(a_2\\):**\n\\[a_1 a_2 = \\frac{a_2^2}{4}, \\quad a_2 a_3 = 4a_2^2, \\quad a_1 a_3 = \\frac{a_2}{4} \\cdot 4a_2 = a_2^2\\]\n\nWarunek na pole:\n\\[2\\!\\left(\\frac{a_2^2}{4} + 4a_2^2 + a_2^2\\right) = 94{,}5\\]\n\\[2 \\cdot \\frac{21}{4}\\,a_2^2 = 94{,}5\\]\n\\[\\frac{21}{2}\\,a_2^2 = 94{,}5\\]\n\\[a_2^2 = 9 \\implies a_2 = 3\\]\n\nObjętość:\n\\[V = a_2^3 = 3^3 = \\mathbf{27}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26)**\n\n- Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nUżyte do zapisania równania z jedną niewiadomą.\n\n- Objętość prostopadłościanu:\n\\[V = abc\\]\nUżyte do obliczenia wyniku końcowego.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - ogólny wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyte do wyrażenia krawędzi \\(b = qa\\), \\(c = q^2 a\\) przy \\(q = 4\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu to \\(2(ab + bc + ca)\\), a nie \\(6a^2\\) - ten ostatni wzór dotyczy **sześcianu** (gdy wszystkie krawędzie są równe). Tutaj krawędzie są **różne**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny z ilorazem \\(4\\) to \\(a, 4a, 16a\\) - czyli każdy kolejny wyraz jest **cztery razy większy**, nie cztery razy więcej niż pierwszy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a^2 = \\frac{94{,}5}{168}\\) - upraszczaj ułamek etapami: \\(\\frac{94{,}5}{168} = \\frac{189}{336} = \\frac{9}{16}\\). Błąd w uproszczeniu prowadzi do irracjonalnego \\(a\\), co jest sygnałem pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(V = 27\\)**\n\n### Sposób 1 - Ciąg geometryczny krawędzi (karta wzorów)\nNiech krawędzie z jednego wierzchołka: \\(a,\\; 4a,\\; 16a\\).\nPole całkowite prostopadłościanu: \\(P = 2(ab+ac+bc).\\) Tu: \\(P = 2(a\\cdot 4a + a\\cdot 16a + 4a\\cdot 16a) = 2(4a^{2}+16a^{2}+64a^{2}) = 2\\cdot 84a^{2} = 168a^{2}.\\)\n\\[168a^{2} = 94{,}5 \\Rightarrow a^{2} = \\dfrac{94{,}5}{168} = 0{,}5625 \\Rightarrow a = 0{,}75 = \\dfrac{3}{4}.\\]\nObjętość: \\(V = a\\cdot 4a\\cdot 16a = 64a^{3} = 64\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{3} = 64\\cdot\\dfrac{27}{64} = 27.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(a = \\dfrac{3}{4},\\, 4a = 3,\\, 16a = 12.\\) Pole: \\(2(\\dfrac{3}{4}\\cdot 3 + \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 + 3\\cdot 12) = 2(\\dfrac{9}{4}+9+36) = 2(2{,}25+45) = 2\\cdot 47{,}25 = 94{,}5\\) ✓.\nObjętość: \\(\\dfrac{3}{4}\\cdot 3\\cdot 12 = 27\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- **4 pkt** - poprawny wynik \\(V = 27\\).\n- **3 pkt** - wyznaczenie \\(a = \\dfrac{3}{4}\\).\n- **2 pkt** - równanie z jedną niewiadomą \\(168a^{2}=94{,}5\\).\n- **1 pkt** - zapisanie krawędzi \\(a,\\,4a,\\,16a\\).\n\n**Trik:** ciąg geometryczny o ilorazie \\(q\\): \\(a, aq, aq^{2}\\); tu \\(q=4\\), więc \\(a, 4a, 16a\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) punkty A= (0, 1) oraz C= (6, 4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Prosta k o równaniu y= ax+ b przechodzi przez wierzchołki B oraz D tego kwadratu. Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki a oraz b w równaniu prostej k.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P = \\frac{45}{2}\\), \\(a = -2\\), \\(b = \\frac{17}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Własności przekątnych kwadratu\n\n**Co wiemy:** \\(A = (0, 1)\\) i \\(C = (6, 4)\\) to wierzchołki **przeciwległe** - czyli \\(AC\\) jest przekątną kwadratu. Prosta \\(k\\) przechodzi przez \\(B\\) i \\(D\\), więc \\(BD\\) to **druga przekątna**.\n\n**Krok 1: Pole kwadratu z długości przekątnej**\n\nW kwadracie pole wyraża się wzorem \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), gdzie \\(d\\) to długość przekątnej.\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(6-0)^2 + (4-1)^2} = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{45}{2}}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \\(a\\) (kierunkowego)**\n\nW kwadracie przekątne są **prostopadłe**. Nachylenie \\(AC\\):\n\n\\[a_{AC} = \\frac{4-1}{6-0} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\]\n\nDla prostych prostopadłych: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc:\n\n\\[a = a_{BD} = \\frac{-1}{\\frac{1}{2}} = \\boxed{-2}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie współczynnika \\(b\\) (wyrazów wolnych)**\n\nW kwadracie przekątne **przecinają się w połowie** - prosta \\(BD\\) przechodzi przez środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\):\n\n\\[M = \\left(\\frac{0+6}{2},\\, \\frac{1+4}{2}\\right) = \\left(3,\\, \\frac{5}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(M\\) do równania \\(y = -2x + b\\):\n\n\\[\\frac{5}{2} = -2 \\cdot 3 + b\\]\n\\[\\frac{5}{2} = -6 + b\\]\n\\[\\boxed{b = \\frac{5}{2} + 6 = \\frac{5}{2} + \\frac{12}{2} = \\frac{17}{2}}\\]\n\n**Wynik:** Pole kwadratu \\(P = \\frac{45}{2}\\), równanie prostej \\(k\\): \\(y = -2x + \\frac{17}{2}\\).\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie współrzędnych \\(B\\) i \\(D\\), weryfikacja\n\nZ kroku 1 wiemy: \\(|BD| = |AC| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\), a oba wierzchołki leżą na prostej \\(y = -2x + \\frac{17}{2}\\) i są symetrycznie położone względem \\(M = (3, \\frac{5}{2})\\).\n\n**Wektor jednostkowy wzdłuż \\(BD\\)** (kierunek \\((1, -2)\\)):\n\n\\[\\hat{u} = \\frac{1}{\\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\\,(1, -2) = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\,(1, -2)\\]\n\n**Odległość od \\(M\\) do \\(B\\) lub \\(D\\):** \\(\\frac{|BD|}{2} = \\frac{3\\sqrt{5}}{2}\\)\n\n\\[B = M + \\frac{3\\sqrt{5}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{5}}(1,-2) = \\left(3,\\,\\frac{5}{2}\\right) + \\frac{3}{2}(1,-2) = \\left(\\frac{9}{2},\\, -\\frac{1}{2}\\right)\\]\n\n\\[D = M - \\frac{3}{2}(1,-2) = \\left(\\frac{3}{2},\\, \\frac{11}{2}\\right)\\]\n\n**Weryfikacja - czy \\(|AB|\\) jest bokiem kwadratu:**\n\n\\[|AB|^2 = \\left(\\frac{9}{2}-0\\right)^2 + \\left(-\\frac{1}{2}-1\\right)^2 = \\frac{81}{4} + \\frac{9}{4} = \\frac{90}{4} = \\frac{45}{2}\\]\n\nPole = \\(|AB|^2 = \\frac{45}{2}\\) ✓ (dla kwadratu: \\(P = a^2\\) gdzie \\(a\\) to bok)\n\n**Weryfikacja - czy \\(B\\) leży na prostej \\(k\\):**\n\n\\[y = -2 \\cdot \\frac{9}{2} + \\frac{17}{2} = -9 + \\frac{17}{2} = -\\frac{18}{2} + \\frac{17}{2} = -\\frac{1}{2}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AC| = \\sqrt{45}\\).\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_M = \\frac{x_A + x_C}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_A + y_C}{2}\\]\nUżyte do znalezienia punktu przecięcia przekątnych \\(M = (3, \\frac{5}{2})\\).\n\nProste prostopadłe:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BD\\) na podstawie nachylenia \\(AC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole kwadratu:\n\n\\[P = \\frac{d^2}{2}\\]\ngdzie \\(d\\) to przekątna - kluczowy wzór pozwalający ominąć szukanie boku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie to jest **otwarte** - nie ma gotowych odpowiedzi ABCD. Musisz kompletnie uzasadnić każdy krok: skąd wzór na pole, skąd prostopadłość przekątnych, skąd środek odcinka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) z \\(a_1 = a_2\\) (to drugi warunek - dla równoległości). Prostopadłość to **iloczyn = -1**, nie równość współczynników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu to \\(\\frac{d^2}{2}\\), **nie** \\(d^2\\). \\(d^2\\) to pole kwadratu o boku \\(d\\), ale tu \\(d\\) jest przekątną, nie bokiem - błąd daje wynik dwa razy za duży.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P = \\dfrac{45}{2},\\; a = -2,\\; b = \\dfrac{17}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Odległość, środek, prostopadłość (karta wzorów)\n**Pole.** Przekątna \\(AC\\): \\(|AC| = \\sqrt{(6-0)^{2}+(4-1)^{2}} = \\sqrt{36+9} = \\sqrt{45}.\\)\nPole kwadratu przez przekątną \\(d\\): \\(P = \\dfrac{d^{2}}{2} = \\dfrac{45}{2}.\\)\n\n**Równanie prostej \\(k\\) (przekątna \\(BD\\)).**\nPrzekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w środku.\nŚrodek \\(AC\\): \\(S = \\left(\\dfrac{0+6}{2},\\dfrac{1+4}{2}\\right) = \\left(3,\\dfrac{5}{2}\\right).\\)\nWspółczynnik kierunkowy \\(AC\\): \\(a_{AC} = \\dfrac{4-1}{6-0} = \\dfrac{1}{2}.\\)\nPrzekątna \\(BD \\perp AC\\): \\(a\\cdot\\dfrac{1}{2} = -1 \\Rightarrow a = -2.\\)\nPrzechodzi przez \\(S\\): \\(y - \\dfrac{5}{2} = -2(x-3) \\Rightarrow y = -2x + 6 + \\dfrac{5}{2} = -2x + \\dfrac{17}{2}.\\)\nZatem \\(a = -2,\\; b = \\dfrac{17}{2}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nProsta \\(k\\): \\(y = -2x + \\dfrac{17}{2}\\). Punkt \\(S=(3,\\dfrac{5}{2})\\): \\(-6 + \\dfrac{17}{2} = \\dfrac{-12+17}{2} = \\dfrac{5}{2}\\) ✓.\nIloczyn współczynników kierunkowych: \\(-2\\cdot\\dfrac{1}{2} = -1\\) ✓ (prostopadłość).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **Część I (Pole):** 2 pkt - \\(P = \\dfrac{45}{2}\\); 1 pkt - \\(|AC| = \\sqrt{45}.\\)\n- **Część II (Prosta \\(k\\)):** 3 pkt - \\(a=-2,\\,b=\\dfrac{17}{2}\\); 2 pkt - wyznaczenie \\(a=-2\\) lub zapis \\(4x+2y-17=0\\); 1 pkt - zapisanie środka \\(S\\) lub \\(a_{AC}=\\dfrac{1}{2}.\\)\n\n**Trik:** przekątne kwadratu: (1) przecinają się w środku, (2) są wzajemnie prostopadłe. Kwadrat przekątnej \\(d^{2}\\) = \\(2\\cdot\\) pole.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}