{"paper":{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","variant":null,"exam_pdf":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona.pdf","key_pdf":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf","question_count":14,"source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},"questions":[{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-3)\nSklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia\npodczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe 0,02.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że spośród\n𝟏𝟎 pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie\nuszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego\nw zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nSklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe 0,02. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że spośród 10 pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-3)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nI. Sprawność rachunkowa.\nZdający:\nXII.R2) stosuje schemat Bernoullego.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 0,984.\n2 pkt - zapisanie poprawnego prawdopodobieństwa uzyskania co najwyżej jednego sukcesu\nw dziesięciu próbach Bernoullego, np.\n𝑃= (10\n0 ) ⋅(0,98)10 + (10\n1 ) ⋅(0,02)1 ⋅(1 -0,02)9,\n𝑃= (0,98)10 + 10 ⋅0,02 ⋅(0,98)9\n1 pkt - zapisanie prawdopodobieństwa odniesienia sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej\npróbie: 𝑝= 0,02 , 𝑞= 0,98\nALBO\n- zapisanie prawdopodobieństwa w postaci 𝑞10 + 10𝑝⋅𝑞9, gdzie 𝑝 jest\nprawdopodobieństwem odniesienia sukcesu, 𝑞 - porażki,\nALBO\n- przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego wszystkie istotne gałęzie\nodpowiadające sytuacji wysłania przez sklep dziesięciu pralek, które nie ulegną\nuszkodzeniu podczas transportu, oraz wszystkie istotne gałęzie odpowiadające\nsytuacji wysłania przez sklep dziesięciu pralek, z których dokładnie jedna uległa\nuszkodzeniu podczas transportu,\nALBO\n1Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- przedstawienie fragmentu drzewa zawierającego gałąź odpowiadającą sytuacji\nuszkodzenia podczas transportu jednej spośród dziesięciu wysłanych pralek oraz\nokreślenie na każdym odcinku gałęzi prawdopodobieństwa sukcesu i porażki.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawne prawdopodobieństwa\n𝑃(𝑆10\n0 ) = (10\n0 ) ⋅(0,02)0 ⋅(0,98)10 oraz 𝑃(𝑆10\n1 ) = (10\n1 ) ⋅(0,02)1 ⋅(0,98)9, ale\nz dalszego rozwiązania nie wynika, że 𝑃= 𝑃(𝑆10\n0 ) + 𝑃(𝑆10\n1 ), to otrzymuje co najwyżej\n1 punkt za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje 𝑝= 0,2 oraz 𝑞= 0,8 (albo 𝑝= 0,02 i 𝑞= 0,8)\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje 𝑝= 0,98 i 𝑞= 0,02, konsekwentnie rozwiąże zadanie do\nkońca, lecz błędnie interpretuje wynik końcowy, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający nie określi sukcesu w pojedynczej próbie, ale z rozwiązania wynika, że\npoprawnie interpretuje warunki zadania, to może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSukcesem w pojedynczej próbie Bernoullego jest uszkodzenie pralki podczas transportu.\nOkreślamy prawdopodobieństwo sukcesu (𝑝) i porażki (𝑞) w pojedynczej próbie Bernoullego:\n𝑝= 0,02 , 𝑞= 1 -𝑝= 0,98.\nNiech 𝑆10\n𝑘 oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dziesięciu wysłanych przez\nsklep pralek dokładnie 𝑘 pralek uległo uszkodzeniu podczas transportu (𝑘∈{0, 1}).\nObliczamy prawdopodobieństwo 𝑃 zdarzenia polegającego na tym, że wśród dziesięciu\nwysłanych pralek uszkodzeniu podczas transportu ulegnie co najwyżej jedna:\n𝑃= 𝑃(𝑆10\n0 ) + 𝑃(𝑆10\n1 ) = (10\n0 ) ⋅(0,02)0 ⋅(0,98)10 + (10\n1 ) ⋅(0,02)1 ⋅(0,98)9 =\n= (0,98)9 ⋅(0,98 + 10 ⋅0,02) = (0,98)9 ⋅1,18 ≈0,984","solution":"0,984","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nWykaż, że jeżeli 𝒂= 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟒 oraz 𝒃= 𝐥𝐨𝐠√𝟐𝟐𝟕, to 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟓𝟒= 𝒃 + 𝟐\n𝟐𝒂 - 𝟐 .\n\nMMAP-R0_100\nWykaż, że jeżeli a = log_2 14 oraz b = log_√2 27, to log_7 54 = b+2 / 2a-2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nI.R) stosuje wzór na zamianę podstawy\nlogarytmu.\nZasady oceniania (dla sposobów I-IV)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia\nlog√2 27 + 2\n2log2 14 - 2 lub log7 54, lub obydwu tych wyrażeń do\ntakiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu\nlub logarytm ilorazu, lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub wzoru na\nlogarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego\nmożna otrzymać tezę\nALBO\n- zapisanie jednego równania z 𝑎, 𝑏 oraz niewiadomą 𝑥, np.\n(𝑎-1)𝑥= 𝑏\n2 + 1 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 2 w postaci 7\n1\n𝑎 - 1\noraz liczby 27 w postaci 2\n𝑏\n2 (dla sposobu IV).\n1 pkt - zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, lub na\nlogarytm ilorazu, np. log7 54 = log254\nlog2 7 , log7 54 =\nlog√254\nlog√2 7 ,\nlog√2 27 + 2 = log√2(27 ⋅2), 2 log2 14 -2 = 2 log2 (14\n2 )\nALBO\n- zapisanie liczb 7 oraz 27 jako potęg liczby 2: 7 = 2𝑎-1 i 27 = 2\n𝑏\n2 oraz\nzapisanie równania 7𝑥= 54 (dla sposobu III),\nALBO\n- zapisanie liczby 2 w postaci 7\n1\n𝑎 - 1\n(dla sposobu IV).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy wyrażenie log7 54, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu,\na następnie wzory na logarytm iloczynu oraz logarytm ilorazu:\nlog7 54 = log2 54\nlog2 7 = log2 27 + log2 2\nlog2 14 -log2 2 =\nlog√2 27\nlog√2 2 + 1\n𝑎-1\n𝑏\n2 + 1\n𝑎-1 = 𝑏+ 2\n2𝑎-2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy wyrażenie 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 , korzystając z założenia oraz ze wzoru zamianę\npodstawy logarytmu:\n𝑏+ 2\n2𝑎-2 =\nlog√2 27 + 2\n2 log2 14 -2 =\nlog2 27\nlog2 √2 + 2\n2 ⋅(log2 14 -1) = 2 ⋅(log2 27 + 1)\n2 ⋅(log2 14 -1) = log2 27 + 1\nlog2 14 -1\nStąd i ze wzorów na sumę logarytmów, różnicę logarytmów oraz wzoru na zamianę\npodstawy logarytmu otrzymujemy dalej\nlog2 27 + 1\nlog2 14 -1 = log2 27 + log2 2\nlog2 14 -log2 2 = log2 54\nlog2 7 = log7 54\nZatem log7 54 = 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\nTo należało wykazać.\nSposób III\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz\n(√2)\n𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1 oraz 27 = 2\n𝑏\n2 .\nOznaczmy przez 𝑥 liczbę rzeczywistą taką, że 7𝑥= 54. Wtedy\n2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅27\n2(𝑎-1)𝑥= 2 ⋅2\n𝑏\n2\n2(𝑎-1)𝑥= 2\n𝑏\n2 + 1\nStąd\n(𝑎-1)𝑥= 𝑏\n2 + 1\n𝑥=\n𝑏+ 2\n2(𝑎-1)\nZatem log7 54 = 𝑥= 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nKorzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy 2𝑎= 14 oraz\n(√2)\n𝑏= 27. Stąd 7 = 2𝑎-1, czyli 2 = 7\n1\n𝑎-1\n, oraz 27 = 2\n𝑏\n2 . Zatem\n54 = 27 ⋅2 = 2\n𝑏\n2 ⋅7\n1\n𝑎 - 1\n= 7\n𝑏\n2(𝑎 - 1)\n⋅7\n1\n𝑎 - 1\n= 7\n𝑏\n2(𝑎 - 1) +\n1\n𝑎 - 1\n= 7\n𝑏 + 2\n2𝑎 - 2\nczyli log7 54 = 𝑏 + 2\n2𝑎 - 2 .\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-2.svg","topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"3","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-3)\nRozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym\niloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5.\nOblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\nKolejne zadania egzaminacyjne są wydrukowane\nna następnych stronach.\n\nMMAP-R0_100\nRozważamy wszystkie liczby naturalne sześciocyfrowe, w których zapisie dziesiętnym iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5. Oblicz, ile jest wszystkich takich liczb sześciocyfrowych.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXI.R1) oblicza liczbę możliwych sytuacji,\nspełniających określone kryteria,\nz wykorzystaniem reguły mnożenia\ni dodawania (także łącznie) oraz wzorów na\nliczbę: permutacji, kombinacji i wariacji.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 368 586.\n2 pkt - wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 (np. (6\n2) + 6)\noraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2: 6, oraz\nwyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0\n(np. 9 ⋅105 -96).\n1 pkt - wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 (np. (6\n2) + 6)\noraz zapisanie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2: 6\nALBO\n- wyznaczenie liczby liczb sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0, np.:\n9 ⋅105 -96 , 5 ⋅95 + (5\n2) ⋅94 + (5\n3) ⋅93 + (5\n4) ⋅92 + (5\n5) ⋅9, 368 559,\nALBO\n- wypisanie wszystkich przypadków, dla których iloczyn cyfr będzie liczbą parzystą\nmniejszą od 5: jedna dwójka i pięć jedynek, dwie dwójki i cztery jedynki, jedna\nczwórka i pięć jedynek, co najmniej jedno zero.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nIloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 4 tylko wtedy, gdy w zapisie\ndziesiętnym tej liczby występują:\ndwie dwójki i cztery jedynki,\nalbo\njedna czwórka i pięć jedynek.\nLiczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie\ndwójki i cztery jedynki jest (6\n2) = 15.\nLiczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie\njedna czwórka i pięć jedynek jest 6.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 jest 21.\nIloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 2 tylko wtedy, gdy w zapisie\ndziesiętnym tej liczby występują jedna dwójka i pięć jedynek.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2 jest 6.\nIloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 0 tylko wtedy, gdy w zapisie\ndziesiętnym tej liczby występuje na pierwszej pozycji cyfra różna od zera, a na dalszych\npozycjach co najmniej jedno zero.\nPonieważ wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych jest 9 ⋅105, a wszystkich liczb\nnaturalnych sześciocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych od zera jest 96, więc wszystkich\nliczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest 9 ⋅105 -96 = 368 559.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest liczbą\nparzystą mniejszą od 5 jest 21 + 6 + 368 559 = 368 586.\nUwaga.\nLiczbę wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 można\nobliczyć też w następujący sposób.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie jeden raz jest (5\n1) ⋅95 = 295 245.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie dwa razy jest (5\n2) ⋅94 = 65 610.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie trzy razy jest (5\n3) ⋅93 = 7 290.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie cztery razy jest (5\n4) ⋅92 = 405.\nWszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero\nwystępuje dokładnie pięć razy jest (5\n5) ⋅91 = 9.\nZatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest\n295 245 + 65 610 + 7 290 + 405 + 9 = 368 559\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"368 586","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-3)\nDany jest prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym |𝐴𝐵| = 2 ⋅|𝐴𝐷|. Na bokach 𝐴𝐵, 𝐵𝐶, 𝐶𝐷 oraz 𝐷𝐴\ntego prostokąta obrano punkty - odpowiednio - 𝐾, 𝐿, 𝑀 oraz 𝑁 (przy czym każdy z tych\npunktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷). Czworokąt 𝐾𝐿𝑀𝑁 jest\ntrapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość 𝐿𝑀 tego trapezu jest równoległa do\nprzekątnej 𝐵𝐷 prostokąta.\nWykaż, że stosunek pola trójkąta 𝑴𝑫𝑵 do pola trójkąta 𝑲𝑩𝑳 jest równy 𝟏𝟔.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑀\n𝑁\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest prostokąt ABCD, w którym |AB|=2⋅|AD|. Na bokach AB, BC, CD oraz DA tego prostokąta obrano punkty - odpowiednio - K,L,M oraz N (przy czym każdy z tych punktów leży na dokładnie jednym boku prostokąta ABCD). Czworokąt KLMN jest trapezem prostokątnym (zobacz rysunek), a wysokość LM tego trapezu jest równoległa do przekątnej BD prostokąta. [rysunek] Wykaż, że stosunek pola trójkąta MDN do pola trójkąta KBL jest równy 16.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.11) przeprowadza dowody\ngeometryczne.\nZasady oceniania (dla sposobów I - III)\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - wyznaczenie długości odcinka 𝐶𝐿 (lub 𝐿𝐵) w zależności od długości odcinka 𝐷𝑀,\nnp. |𝐶𝐿| = 𝑎-1\n2 ⋅|𝐷𝑀|, |𝐿𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐷𝑀| oraz uzasadnienie, że trójkąty 𝑀𝐷𝑁\ni 𝐾𝐵𝐿 są podobne (dla sposobu I)\nALBO\n- uzasadnienie, że trójkąty 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne oraz zapisanie długości\nodcinków 𝐷𝐸 oraz 𝐹𝐿 za pomocą jednej zmiennej (lub zapisanie związku między\nnimi), np. |𝐷𝐸| = 2𝑥 i |𝐹𝐿| = 1\n2 𝑥 (dla sposobu II).\nALBO\n- wyznaczenie współrzędnych wierzchołków trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁 w zależności od 𝑎 oraz\nparametru 𝑐: 𝐾= (5𝑎-𝑐\n2\n, 0) oraz 𝐿= (2𝑎, 𝑐-𝑎) oraz 𝑀= (2𝑐-2𝑎, 𝑎)\noraz 𝑁= (0, 5𝑎-4𝑐) (dla sposobu III).\n1 pkt - uzasadnienie, że trójkąty 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (dla sposobów I oraz II)\nALBO\n- wyznaczenie długości odcinka 𝐶𝐿 (lub 𝐿𝐵) w zależności od długości odcinka 𝐷𝑀,\nnp. |𝐶𝐿| = 𝑎-1\n2 ⋅|𝐷𝑀|, |𝐿𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐷𝑀| (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie długości odcinków 𝐷𝐸 oraz 𝐹𝐿 za pomocą jednej zmiennej (lub\nzapisanie związku między nimi), np. |𝐷𝐸| = 2𝑥 i |𝐹𝐿| = 𝑥 (dla sposobu II),\nALBO\n- umieszczenie prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 w układzie współrzędnych i zapisanie\nwspółrzędnych jego wierzchołków, np. 𝐴= (0, 0) i 𝐵= (2𝑎, 0) i 𝐶= (2𝑎, 𝑎)\ni 𝐷= (0, 𝑎) oraz zapisanie równania prostej 𝑀𝐿: 𝑦= -1\n2 𝑥+ 𝑐 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy przez 𝑎 długość boku 𝐴𝐷. Wtedy |𝐴𝐵| = 2𝑎.\nKąty 𝐷𝑀𝑁 i 𝐵𝐾𝐿 są naprzemianległe oraz 𝑀𝑁∥𝐾𝐿, więc te kąty mają równe miary.\nZatem trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (na podstawie cechy kkk\npodobieństwa trójkątów).\nPonieważ 𝑀𝐿∥𝐷𝐵, więc korzystając z twierdzenia Talesa, otrzymujemy\n|𝐷𝑀|\n|𝐿𝐵| =\n|𝑀𝐶|\n|𝐿𝐶|\n|𝐷𝑀|\n|𝐿𝐵| = 2𝑎-|𝐷𝑀|\n𝑎-|𝐿𝐵|\n|𝐷𝑀| ⋅𝑎-|𝐷𝑀| ⋅|𝐿𝐵| = 2 ⋅|𝐿𝐵| ⋅𝑎-|𝐿𝐵| ⋅|𝐷𝑀|\n|𝐿𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐷𝑀|\nZ warunków zadania wynika, że 𝑀𝑁⊥𝐷𝐵, więc z rachunku kątów dostajemy\n|∡𝐷𝑁𝑀| = |∡𝐶𝐷𝐵|, więc trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝑁 oraz 𝐵𝐶𝐷 są podobne (na podstawie\ncechy kkk podobieństwa trójkątów). Zatem |𝐷𝑀|\n|𝐷𝑁| = |𝐵𝐶|\n|𝐶𝐷|, czyli |𝐷𝑀|\n|𝐷𝑁| = 1\n2 .\nStąd i ze związku |𝐿𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐷𝑀| otrzymujemy |𝐿𝐵| = 1\n4 ⋅|𝐷𝑁|, co oznacza, że trójkąt\n𝑀𝐷𝑁 jest podobny do trójkąta 𝐾𝐵𝐿 w skali 4. Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest\nrówny kwadratowi skali podobieństwa, więc stosunek pola trójkąta 𝑀𝐷𝑁 do pola trójkąta\n𝐾𝐵𝐿 jest równy 16. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐸 - punkt przecięcia przekątnej 𝐷𝐵 z bokiem 𝑀𝑁 trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁,\n𝐹 - punkt przecięcia przekątnej 𝐷𝐵 z bokiem 𝐾𝐿 trapezu 𝐾𝐿𝑀𝑁,\n2𝑥 - długość odcinka 𝐷𝐸 (zobacz rysunek).\nPonieważ 𝑀𝐿∥𝐷𝐵, więc trójkąty 𝐷𝐸𝑀 oraz 𝐹𝐵𝐿 są prostokątne. Trójkąty prostokątne\n𝑀𝐷𝐸 i 𝐵𝐷𝐶 mają wspólny kąt ostry, więc są podobne (cecha kkk podobieństwa trójkątów).\nZatem |𝑀𝐸|\n|𝐷𝐸| = |𝐵𝐶|\n|𝐶𝐷| = 1\n2, więc |𝑀𝐸| = 1\n2 ⋅|𝐷𝐸| = 𝑥.\nCzworokąt 𝑀𝐸𝐹𝐿 jest prostokątem, więc |𝐹𝐿| = |𝑀𝐸| = 𝑥.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝐿\n𝑀\n𝑁\n𝐸\n𝐹\n2𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ rachunku kątów mamy |∡𝐹𝐿𝐵| = |∡𝑀𝐷𝐸|, więc trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝐸 i 𝐾𝐿𝐵 są\npodobne (na podstawie cechy kkk podobieństwa trójkątów). Zatem |𝐹𝐵|\n|𝐹𝐿| = |𝑀𝐸|\n|𝐷𝐸| = 1\n2 , czyli\n|𝐹𝐵| = 1\n2 ⋅|𝐹𝐿| = 1\n2 𝑥.\nKąty 𝐷𝑀𝑁 i 𝐵𝐾𝐿 są naprzemianległe oraz 𝑀𝑁∥𝐾𝐿, więc te kąty mają równe miary.\nZatem trójkąty prostokątne 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿 są podobne (na podstawie cechy kkk\npodobieństwa trójkątów). Ponieważ stosunek odpowiednich wysokości tych trójkątów jest\nrówny |𝐷𝐸|\n|𝐹𝐵| = 2𝑥\n1\n2𝑥= 4, więc trójkąt 𝑀𝐷𝑁 jest podobny do trójkąta 𝐾𝐵𝐿 w skali 4.\nPonieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc\nstosunek pola trójkąta 𝑀𝐷𝑁 do pola trójkąta 𝐾𝐵𝐿 jest równy 16. To należało wykazać.\nSposób III\nOznaczmy przez 𝑎 długość boku 𝐴𝐷. Wtedy |𝐴𝐵| = 2𝑎.\nUmieszczamy prostokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, że\n𝐴= (0, 0), 𝐵= (2𝑎, 0), 𝐶= (2𝑎, 𝑎), 𝐷= (0, 𝑎).\nPonieważ stosunek |𝐴𝐷|\n|𝐴𝐵| = 1\n2 oraz 𝑀𝐿∥𝐵𝐷, więc prosta 𝑀𝐿 ma równanie\n𝑦= -1\n2 𝑥+ 𝑐, przy pewnym 𝑐∈(𝑎, 2𝑎).\nWtedy 𝑀= (2𝑐-2𝑎, 𝑎) oraz 𝐿= (2𝑎, 𝑐-𝑎).\nWyznaczamy równania prostych 𝑀𝑁 oraz 𝐾𝐿, które są prostopadłe do 𝑀𝐿:\n𝑀𝑁: 𝑦= 2(𝑥-2𝑐+ 2𝑎) + 𝑎\n𝐾𝐿: 𝑦= 2(𝑥-2𝑎) + 𝑐-𝑎\nStąd 𝑁= (0, 5𝑎-4𝑐) oraz 𝐾= (5𝑎-𝑐\n2\n, 0).\nWyznaczamy długości boków trójkątów 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿:\n|𝑁𝐷| = |𝑎-(5𝑎-4𝑐)| = 4 ⋅|𝑐-𝑎|\n|𝐷𝑀| = |2𝑐-2𝑎-0| = 2 ⋅|𝑐-𝑎|\n|𝐾𝐵| = |2𝑎-5𝑎-𝑐\n2\n| = 1\n2 ⋅|𝑐-𝑎|\n|𝐵𝐿| = |𝑐-𝑎-0| = |𝑐-𝑎|\nWyznaczamy stosunek pól trójkątów 𝑀𝐷𝑁 i 𝐾𝐵𝐿:\n𝑃Δ𝑀𝐷𝑁\n𝑃Δ𝐾𝐵𝐿\n1\n2 ⋅|𝑁𝐷| ⋅|𝐷𝑀|\n1\n2 ⋅|𝐾𝐵| ⋅|𝐵𝐿|\n1\n2 ⋅4 ⋅|𝑐-𝑎| ⋅2 ⋅|𝑐-𝑎|\n1\n2 ⋅1\n2 ⋅|𝑐-𝑎| ⋅|𝑐-𝑎|\n= 16\nTo należało wykazać.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"dowody_geometryczne","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nWyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie\n𝒙𝟐+ 𝟐𝒎𝒙+ 𝟐𝒎-𝟏= 𝟎\nma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 spełniające warunek\n𝒎(𝒙𝟏\n𝟐+ 𝒙𝟐\n𝟐) = 𝟑𝒎⋅𝒙𝟏⋅𝒙𝟐+ 𝟐\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x² + 2mx + 2m -1 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x_1, x_2 spełniające warunek m(x_1² + x_2^2) = 3m⋅x_1⋅x_2 + 2. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\n3. Tworzenie pomocniczych obiektów\nmatematycznych na podstawie istniejących,\nw celu przeprowadzenia argumentacji lub\nrozwiązania problemu.\nZdający:\nIII.R3) stosuje wzory Viète’a dla równań\nkwadratowych;\nIII.R5) analizuje równania i nierówności\nliniowe z parametrami oraz równania\ni nierówności kwadratowe z parametrami\n[…].\nZasady oceniania\n4 pkt - spełnienie następujących trzech warunków:\n1) poprawne rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,\n2) poprawne rozwiązanie warunku Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}\nLUB\nwyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których 𝑥1 ≠𝑥2: 𝑚≠1,\nLUB\nsprawdzenie, że dla 𝑚= 2 są spełnione warunki zadania,\n3) zapisanie poprawnej odpowiedzi: 𝑚= 2.\n3 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz zapisanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑚, np. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\nALBO\n- rozwiązanie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2: 𝑚= 2,\nALBO\n- zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1 oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚,\nnp. 𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2.\n2 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1} oraz przekształcenie warunku\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na bezpośrednie\nzastosowanie wzorów Viète’a, np. 𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑚, np.\n𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚,\noraz zapisanie, że 𝑥1 ≠𝑥2 dla 𝑚≠1.\n1 pkt - poprawnie rozwiązany warunek Δ > 0: 𝑚∈ℝ\\{1}\nALBO\n- przekształcenie warunku 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej\nna bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np.\n𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\nALBO\n- wyznaczenie pierwiastków trójmianu 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1): (-1) oraz 1 -2𝑚.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga.\nJeżeli zdający przyjmie, że 𝑥1\n2 + 𝑥2\n2 jest równe (𝑥1 + 𝑥2)2 oraz doprowadzi rozwiązanie\nkonsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nRównanie 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0 ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko\nwówczas, gdy wyróżnik Δ trójmianu kwadratowego 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ (2𝑚-1) jest dodatni.\nRozwiązujemy warunek Δ > 0:\n(2𝑚)2 -4 ⋅(2𝑚-1) > 0\n4𝑚2 -8𝑚+ 4 > 0\n4(𝑚-1)2 > 0\n𝑚∈(-∞, 1) ∪(1, +∞)\nPrzekształcamy warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 do postaci pozwalającej na\nbezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a i rozwiązujemy uzyskane równanie\nz niewiadomą 𝑚:\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(𝑥1 + 𝑥2)2 -2𝑥1 ⋅𝑥2] = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(-2𝑚)2 -2 ⋅(2𝑚-1)] = 3𝑚⋅(2𝑚-1) + 2\n4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0\n4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0\n4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0\n(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0\n𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0\n𝑚= 2\nPonieważ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 3𝑚2 + (𝑚-1)2 > 0, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie\nma rozwiązań rzeczywistych.\nZatem warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.\nPonieważ 2 ∈(-∞, 1) ∪(1, +∞), więc warunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.\nSposób II\nZauważamy, że liczba (-1) jest rozwiązaniem równania 𝑥2 + 2𝑚𝑥+ 2𝑚-1 = 0.\nKorzystając ze wzorów Viète’a, mamy 𝑥1 + 𝑥2 = -2𝑚, czyli -1 + 𝑥2 = -2𝑚, więc\n𝑥2 = 1 -2𝑚. Zatem 𝑥1 ≠𝑥2 gdy 𝑚≠1.\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których spełniony jest warunek\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2:\n𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2\n𝑚⋅[(-1)2 + (1 -2𝑚)2] = 3𝑚⋅(-1) ⋅(1 -2𝑚) + 2\n𝑚⋅(1 + 1 -4𝑚+ 4𝑚2) = 6𝑚2 -3𝑚+ 2\n4𝑚3 -10𝑚2 + 5𝑚-2 = 0\n4𝑚3 -8𝑚2 -2𝑚2 + 4𝑚+ 𝑚-2 = 0\n4𝑚2(𝑚-2) -2𝑚(𝑚-2) + (𝑚-2) = 0\n(𝑚-2)(4𝑚2 -2𝑚+ 1) = 0\n𝑚-2 = 0 ∨ 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0\n𝑚= 2\nWyróżnik trójmianu 4𝑚2 -2𝑚+ 1 jest ujemny, więc równanie 4𝑚2 -2𝑚+ 1 = 0 nie\nma rozwiązań rzeczywistych.\nZatem warunek 𝑚(𝑥1\n2 + 𝑥2\n2) = 3𝑚⋅𝑥1 ⋅𝑥2 + 2 jest spełniony tylko dla 𝑚= 2.\nWarunki zadania są spełnione tylko dla 𝑚= 2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$m = 2$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"parametr","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"6","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙) + 𝟐𝐜𝐨𝐬𝟐(𝟑𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙) = 𝟎\nw przedziale [𝟎, 𝝅]. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie cos(2x) + 2cos²(3x) + cos(4x) = 0 w przedziale [0,π]. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 , 5𝜋\n6 .\n3 pkt - rozwiązanie równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze ℝ, np.:\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝜋\n3 ⋅𝑘 lub 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 lub 𝑥= -𝜋\n4 + 𝜋\n2 ⋅𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania cos(3𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n6 , 𝜋\n2 , 5𝜋\n6 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania cos(2𝑥) = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 3𝜋\n4 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania 4 cos2 𝑥-2 = 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 3𝜋\n4 ,\nALBO\n- spełnienie jednego z kryteriów określonych w zasadach oceniania za 2 punkty oraz\nrozwiązanie równania 2 -4 sin2 𝑥= 0 w przedziale [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 3𝜋\n4 .\n2 pkt - przekształcenie równoważne równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 do\npostaci alternatywy dwóch równań trygonometrycznych, z których jednym jest\ncos(3𝑥) = 0, np.:\ncos(3𝑥) = 0 lub 2 cos(2𝑥) cos 𝑥= 0,\ncos(3𝑥) = 0 lub cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0,\ncos(3𝑥) = 0 lub (4 cos2 𝑥-2) cos 𝑥= 0,\nALBO\n- przekształcenie równoważne równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 do\npostaci alternatywy cos(3𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = 0 lub cos 𝑥= 0.\n1 pkt - przekształcenie równoważne równania do postaci 2 cos(3𝑥) cos 𝑥+ 2cos2(3𝑥) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 równoważnie, stosując\nwzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy argumentów:\ncos(3𝑥-𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(3𝑥+ 𝑥) = 0\ncos(3𝑥) cos 𝑥+ sin(3𝑥) sin 𝑥+ 2cos2(3𝑥) + cos(3𝑥) cos 𝑥-sin(3𝑥) sin 𝑥= 0\n2 cos(3𝑥) (cos 𝑥+ cos(3𝑥)) = 0\ncos(3𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\nRozwiązujemy równanie cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos(3𝑥) = 0\n3𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝜋\n3 ⋅𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n6 , 𝜋\n2 , 5𝜋\n6 .\nRozwiązujemy równanie cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\ncos(3𝑥) = -cos 𝑥\ncos(3𝑥) = cos(𝜋+ 𝑥)\n3𝑥= 𝜋+ 𝑥+ 2𝑘𝜋 ∨ 3𝑥= -𝜋-𝑥+ 2𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= -𝜋\n4 + 𝜋\n2 ⋅𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 .\nZatem rozwiązaniami równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 , 5𝜋\n6 .\nSposób II\nPrzekształcamy równanie cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór\nna sumę cosinusów:\n2 cos (2𝑥+ 4𝑥\n2\n) ⋅cos (2𝑥-4𝑥\n2\n) + 2cos2(3𝑥) = 0\n2 cos(3𝑥) cos(-𝑥) + 2cos2(3𝑥) = 0\n2 cos(3𝑥) (cos 𝑥+ cos(3𝑥)) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos(3𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\nRozwiązujemy równanie cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos(3𝑥) = 0\n3𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n6 + 𝜋\n3 ⋅𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n6 , 𝜋\n2 , 5𝜋\n6 .\nRozwiązujemy równanie cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych:\ncos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0\n2 cos (𝑥+ 3𝑥\n2\n) ⋅cos (𝑥-3𝑥\n2\n) = 0\ncos(2𝑥) ⋅cos(-𝑥) = 0\ncos(2𝑥) = 0 ∨ cos 𝑥= 0\n2𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋 ∨ 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\n𝑥= 𝜋\n4 + 𝜋\n2 ⋅𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋\n2 + 𝑘𝜋\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nStąd otrzymujemy rozwiązania równania cos 𝑥+ cos(3𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋]: 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 .\nZatem rozwiązaniami równania cos(2𝑥) + 2cos2(3𝑥) + cos(4𝑥) = 0 w zbiorze [0, 𝜋] są\nliczby: 𝜋\n6 , 𝜋\n4 , 𝜋\n2 , 3𝜋\n4 , 5𝜋\n6 .","solution":"$\\dfrac{\\pi}{6}, \\dfrac{\\pi}{4}, \\dfrac{\\pi}{2}, \\dfrac{3\\pi}{4}, \\dfrac{5\\pi}{6}$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"trygonometria","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nNa czworokącie wypukłym 𝐴𝐵𝐶𝐷 o bokach długości: |𝐴𝐵| = 3, |𝐵𝐶| = 3, |𝐶𝐷| = 5 oraz\n|𝐷𝐴| = 8, opisano okrąg.\nOblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nNa czworokącie wypukłym ABCD o bokach długości: |AB|=3, |BC|=3, |CD|=5 oraz |DA|=8, opisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.R1) stosuje własności czworokątów\nwpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3\n3 .\n3 pkt - obliczenie długości jednej z przekątnych czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. 𝑑= 7, |𝐴𝐶| = 39\n7 ,\nALBO\n- obliczenie cosinusa jednego z kątów czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷, np. cos 𝛼= 1\n2 ,\ncos 𝛾= -1\n2 , cos|∡𝐴𝐵𝐶| = -71\n98 , cos|∡𝐶𝐷𝐴| = 71\n98 .\n2 pkt - zapisanie równań 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz\n𝑑2 = 32 + 52 + 2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛼\nALBO\n- zapisanie równań 𝑑2 = 32 + 82 + 2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛾 oraz\n𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾,\nALBO\n- zapisanie równań |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 + 2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶|,\nALBO\n- zapisanie równań |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 + 2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴| oraz\n|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴|.\n1 pkt - zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz 𝛼+ 𝛾= 180°\nALBO\n- zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾 oraz 𝛼+ 𝛾= 180°,\nALBO\n- zapisanie związków 𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 oraz\n𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾,\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| = 180°,\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴| oraz\n|∡𝐴𝐵𝐶| + |∡𝐶𝐷𝐴| = 180°,\nALBO\n- zapisanie związków |𝐴𝐶|2 = 32 + 32 -2 ⋅3 ⋅3 ⋅cos|∡𝐴𝐵𝐶| oraz\n|𝐴𝐶|2 = 82 + 52 -2 ⋅8 ⋅5 ⋅cos|∡𝐶𝐷𝐴|.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3\n3 .\n3 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 39\n7\nALBO\n- obliczenie cos 𝛿: cos 𝛿= 13\n14 .\n2 pkt - zapisanie równań 𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅(2 cos2 𝛿-1) oraz\n1\n2 𝑒\n3 = cos 𝛿.\n1 pkt - zapisanie związków 𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅cos |∡𝐴𝐷𝐶| oraz |∡𝐴𝐷𝐶| = 2𝛿.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 7√3\n3 .\n3 pkt - obliczenie długości przekątnej 𝐴𝐶: |𝐴𝐶| = 39\n7 .\n2 pkt - zapisanie, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶′ jest równoboczny.\n1 pkt - uzasadnienie, że 𝐵𝐷 jest dwusieczną kąta 𝐴𝐷𝐶 oraz zapisanie, że 𝐶′ leży na\nodcinku 𝐴𝐷.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑑 - długość przekątnej 𝐵𝐷,\n𝛼 - miara kąta 𝐵𝐴𝐷,\n𝛾 - miara kąta 𝐵𝐶𝐷.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkątów 𝐴𝐵𝐷 oraz 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛾\n5\n3\n3\n𝑑\n8\n𝛼\n𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 𝛼 ∧ 𝑑2 = 32 + 52 -2 ⋅3 ⋅5 ⋅cos 𝛾\nStąd i z twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy\n73 -48 cos 𝛼= 34 -30 cos(180° -𝛼)\nPo zastosowaniu wzorów redukcyjnych otrzymujemy\n73 -48 cos 𝛼= 34 + 30 cos 𝛼\ncos 𝛼= 1\n2\nZatem 𝛼= 60° i 𝑑2 = 73 -48 ⋅1\n2 = 49, czyli 𝑑= 7.\nOkrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie\n𝐴𝐵𝐷. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy\n𝑑\nsin 𝛼= 2𝑅\n7\n√3\n2\n= 2𝑅\n𝑅= 7√3\n3\nSposób II\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑒 - długość przekątnej 𝐴𝐶,\n𝛿 - miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛿\n5\n3\n3\n𝑒\n8\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐴𝐶𝐵 są\noparte na tym samym łuku, więc |∡𝐴𝐷𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐵𝐴𝐶 i 𝐵𝐷𝐶 są oparte na tym\nsamym łuku, więc |∡𝐵𝐷𝐶| = 𝛿.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐷𝐶 oraz wzór na cosinus podwojonego\nargumentu i otrzymujemy:\n𝑒2 = 52 + 82 -2 ⋅5 ⋅8 ⋅cos(2𝛿)\n𝑒2 = 89 -80 ⋅(2 cos2 𝛿-1)\n𝑒2 = 169 -160 cos2 𝛿\nZ trójkąta równoramiennego 𝐴𝐶𝐵 otrzymujemy\n1\n2 𝑒\n3 = cos 𝛿 , więc 𝑒= 6 cos 𝛿. Zatem\n(6 cos 𝛿)2 = 169 -160 cos2 𝛿\n196 cos2 𝛿= 169\ncos 𝛿= 13\n14 ∨ cos 𝛿= -13\n14\nKąt 𝐴𝐶𝐵 w trójkącie równoramiennym 𝐴𝐵𝐶 jest ostry, więc cos 𝛿= 13\n14 ,\nczyli sin 𝛿= 3√3\n14 .\nOkrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na\ntrójkącie 𝐴𝐵𝐶. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy\n3\nsin 𝛿 = 2𝑅\n3\n3√3\n14\n= 2𝑅\n𝑅= 7√3\n3\nSposób III\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑅 - promień okręgu opisanego na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷,\n𝑑 - długość przekątnej 𝐵𝐷,\n𝛿 - miara kąta ostrego 𝐴𝐶𝐵.\nPonieważ |𝐴𝐵| = |𝐵𝐶|, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐴𝐶𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐴𝐷𝐵 i 𝐴𝐶𝐵 są parte\nna tym samym łuku, więc |∡𝐴𝐷𝐵| = 𝛿. Kąty wpisane 𝐵𝐴𝐶 i 𝐵𝐷𝐶 są oparte na tym\nsamym łuku, więc |∡𝐵𝐷𝐶| = 𝛿. Zatem 𝐵𝐷 jest dwusieczną kąta 𝐴𝐷𝐶.\nNiech 𝐶′ będzie obrazem punktu 𝐶 w symetrii osiowej względem prostej 𝐵𝐷. Wtedy 𝐵𝐷\nbędzie zawierać wysokość trójkąta równoramiennego 𝐶𝐶′𝐷 i |𝐶′𝐷| = |𝐶𝐷| = 5, więc 𝐶′\nbędzie leżał na odcinku 𝐴𝐷.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛿\n5\n3\n3\n𝑑\n8\n𝛿\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑅\n𝛿\n𝛿\n𝛿\n𝐶′\n3\n5\n5\n3\n3\n𝑑\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem czworokąt 𝐵𝐶𝐷𝐶′ jest deltoidem i |𝐵𝐶′| = |𝐵𝐶| = 3.\nPonieważ |𝐴𝐶′| = |𝐴𝐷| -|𝐷𝐶′| = 8 -5 = 3, więc trójkąt 𝐴𝐵𝐶′ jest równoboczny,\nczyli |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐴𝐷 i otrzymujemy:\n𝑑2 = 32 + 82 -2 ⋅3 ⋅8 ⋅cos 60°\n𝑑= 7\nOkrąg opisany na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest jednocześnie okręgiem opisanym na trójkącie\n𝐴𝐵𝐷. Stosując do tego trójkąta twierdzenie sinusów, otrzymujemy\n𝑑\nsin |∡𝐵𝐴𝐷| = 2𝑅\n7\n√3\n2\n= 2𝑅\n𝑅= 7√3\n3","solution":"$\\dfrac{7\\sqrt{3}}{3}$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/8","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"8","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8. (0-4)\nWielomian 𝑓 zmiennej rzeczywistej 𝑥 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐,\ngdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐∈ℝ. Liczba (-2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim\nukładzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) styczna do wykresu wielomianu 𝑓 w punkcie 𝐴\no pierwszej współrzędnej równej (-2) przecina ten wykres w punkcie 𝑃= (1, 9).\nWyznacz wzór wielomianu 𝒇. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nWielomian f zmiennej rzeczywistej x jest określony wzorem f(x) = x³+ax²+bc+c, gdzie a,b,c ∈ R. Liczba (-2) jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) styczna do wykresu wielomianu f w punkcie A o pierwszej współrzędnej równej (-2) przecina ten wykres w punkcie P=(1,9). Wyznacz wzór wielomianu f. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście […]\nmatematycznym […].\nZdający:\nXIII.R3) […] podaje interpretację\ngeometryczną i fizyczną pochodnej.\nZasady oceniania (dla sposobów I oraz II)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od 𝑎, 𝑏, 𝑐:\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2 (lub 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)).\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, które wynika z warunków 𝑓(-2) = 0\ni 𝑓(1) = 9 oraz 𝑓′(-2) = 3, np. 9 = 1 + 𝑎+ (4𝑎-9) + (4𝑎-10) (dla\nsposobu I)\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema niewiadomymi 𝑑 oraz 𝑒,\nnp. 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0 i 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒) (dla sposobu II),\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z dwiema (spośród 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐)\nniewiadomymi, które wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9 oraz z warunku\n𝑓′(-2) = 3, np.\n0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 9 -13 -𝑎⋅12 -𝑏⋅1 oraz\n3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏.\n2 pkt - wyznaczenie (z warunków 𝑓′(-2) = 3 i 𝑓(-2) = 0) 𝑏 oraz 𝑐 w zależności\nod 𝑎: 𝑏= 4𝑎-9 i 𝑐= 4𝑎-10 (dla sposobu I)\nALBO\n- wyznaczenie (z warunków 𝑓′(-2) = 3 i 𝑓(1) = 9) 𝑏 oraz 𝑐 w zależności od 𝑎:\n𝑏= 4𝑎-9 i 𝑐= 17 -5𝑎 (dla sposobu I),\nALBO\n- zapisanie warunku 𝑓(1) = 9 w postaci równania z dwiema niewiadomymi 𝑑\noraz 𝑒, np. 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒) (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie warunku 𝑓′(-2) = 3 w postaci równania z dwiema niewiadomymi 𝑑\noraz 𝑒, np. 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐,\nktóre wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9 oraz 𝑓′(-2) = 3, np.\n0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐 oraz 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐 oraz\n3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏,\nALBO\n- obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 oraz wyznaczenie (z warunków\n𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9) 𝑏 w zależności od 𝑎: 𝑏= 𝑎.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 (dla sposobów I oraz II),\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒) (dla sposobu II),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐,\nktóre wynikają z warunków 𝑓(-2) = 0 i 𝑓(1) = 9, np.\n0 = (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐 oraz 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik niezależny od 𝑎, 𝑏, 𝑐:\n𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2 (lub 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)).\n3 pkt - wyznaczenie równania stycznej, np. 𝑔(𝑥) = 3(𝑥+ 2), oraz zapisanie związków\nℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0, oraz przedstawienie wielomianu ℎ w postaci\nℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2\nALBO\n- wyznaczenie wzoru wielomianu ℎ, np. ℎ(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2.\n2 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3 oraz zapisanie związków\nℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0\nALBO\n- zapisanie związków ℎ(-2) = 0 i ℎ′(-2) = 0 oraz przedstawienie wielomianu ℎ\nw postaci ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2.\n1 pkt - obliczenie współczynnika kierunkowego stycznej: 3\nALBO\n- zapisanie związków ℎ(-2) = 0 oraz ℎ′(-2) = 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWzór wielomianu 𝑓 ma postać 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 przy pewnych 𝑎, 𝑏, 𝑐∈ℝ.\nStyczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=\n9 - 0\n1 - (-2) = 3.\nKorzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 3.\nObliczając pochodną wielomianu 𝑓, otrzymujemy 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 + 2𝑎𝑥+ 𝑏.\nZatem 3 = 3 ⋅(-2)2 + 2𝑎⋅(-2) + 𝑏. Stąd 𝑏= 4𝑎-9.\nPonieważ 𝑓(-2) = 0, więc (-2)3 + 𝑎⋅(-2)2 + 𝑏⋅(-2) + 𝑐= 0, czyli\n-8 + 4𝑎+ (4𝑎-9) ⋅(-2) + 𝑐= 0\n𝑐= 4𝑎-10\nPonieważ 𝑓(1) = 9, więc 9 = 13 + 𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐, czyli\n9 = 1 + 𝑎+ (4𝑎-9) + (4𝑎-10)\n𝑎= 3\nZatem 𝑏= 4 ⋅3 -9 = 3 oraz 𝑐= 4 ⋅3 -10 = 2.\nWielomian 𝑓 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥+ 2.\nSposób II\nZapisujemy wzór wielomianu 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒), gdzie 𝑑, 𝑒∈ℝ.\nStyczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=\n9 - 0\n1 - (-2) = 3.\nKorzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 3.\nObliczając pochodną wielomianu 𝑓, otrzymujemy\n𝑓′(𝑥) = 1 ⋅(𝑥2 + 𝑑𝑥+ 𝑒) + (𝑥+ 2) ⋅(2𝑥+ 𝑑)\nZatem 3 = (-2)2 + 𝑑⋅(-2) + 𝑒+ 0. Stąd 𝑒= 2𝑑-1.\nPonieważ 𝑓(1) = 9, więc 9 = (1 + 2)(12 + 𝑑+ 𝑒), czyli\n9 = 3 ⋅(1 + 𝑑+ 2𝑑-1)\n𝑑= 1\nZatem 𝑒= 2 ⋅1 -1 = 1.\nWielomian 𝑓 jest określony wzorem 𝑓(𝑥) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1).\nSposób III\nNiech 𝑦= 𝑔(𝑥) będzie równaniem stycznej do wykresu funkcji 𝑓 w punkcie 𝐴. Niech ℎ\nbędzie wielomianem trzeciego stopnia określonym następująco: ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) -𝑔(𝑥) dla\nkażdego 𝑥∈ℝ.\nPunkt 𝐴 leży na wykresach funkcji 𝑓 oraz 𝑔, więc 𝑓(-2) = 𝑔(-2), czyli ℎ(-2) = 0.\nKorzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy 𝑓′(-2) = 𝑔′(-2), więc\nℎ′(-2) = 𝑓′(-2) -𝑔′(-2) = 0. Zatem liczba (-2) jest pierwiastkiem podwójnym\nwielomianu ℎ, czyli ℎ(𝑥) = (𝑥+ 𝑘)(𝑥+ 2)2 przy pewnym 𝑘∈ℝ.\nPunkt 𝑃 leży na wykresach funkcji 𝑓 oraz 𝑔, więc 𝑓(1) = 9 i 𝑔(1) = 9. Stąd\nℎ(1) = 𝑓(1) -𝑔(1) = 0. Zatem\nℎ(1) = (1 + 𝑘)(1 + 2)2\n0 = (1 + 𝑘) ⋅9\n𝑘= -1\nczyli ℎ(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2.\nStyczna jest prostą, na której leżą punkty 𝐴= (-2, 0) i 𝑃= (1, 9).\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝜇 tej prostej: 𝜇=\n9 - 0\n1 - (-2) = 3. Zatem\n𝑔(𝑥) = 3(𝑥+ 2).\nWyznaczamy wzór funkcji 𝑓:\n𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑥-1)(𝑥+ 2)2 + 3(𝑥+ 2) = (𝑥+ 2)(𝑥2 + 2𝑥-𝑥-2 + 3) =\n= (𝑥+ 2)(𝑥2 + 𝑥+ 1)\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$f(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 2$ (lub $f(x) = (x + 2)(x^{2} + x + 1)$)","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-8.svg","topics":"wielomiany","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nCiąg (𝑎𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym\nciągu 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6).\nCiąg (𝑏𝑛), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, jest geometryczny i 𝑏1 = 𝑎11 oraz\n𝑏2 = 𝑎6.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝒃𝒏). Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nCiąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a_6 = 15 oraz a_{15} = a_3⋅(a_8-6). Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n≥1, jest geometryczny i b_1 = a_{11} oraz b_2 = a_6. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n). Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.R2) rozpoznaje zbieżne szeregi\ngeometryczne i oblicza ich sumę.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 245\n4 .\n4 pkt - obliczenie 𝑏1 oraz 𝑞: 𝑏1 = 35 oraz 𝑞= 3\n7 .\n3 pkt - obliczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛): 𝑟= 4 oraz odrzucenie przypadku 𝑟= -5.\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟 (albo 𝑎1), np.\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6),\n𝑎1 + 14 ⋅15 - 𝑎1\n5\n= (𝑎1 + 2 ⋅15 - 𝑎1\n5\n) ⋅(𝑎1 + 7 ⋅15 - 𝑎1\n5\n-6).\n1 pkt - zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑎1 oraz 𝑟, np.\n𝑎1 + 14𝑟= (𝑎1 + 2𝑟) ⋅(𝑎1 + 7𝑟-6) i 𝑎1 + 5𝑟= 15.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Zdający może odrzucić otrzymaną wartość 𝑟= -5 bez komentarza.\n2. Jeżeli zdający nie odrzuci wartości 𝑞= -3\n2 i zastosuje wzór na sumę szeregu\ngeometrycznego dla 𝑞= -3\n2 , to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za zapisanie układu równań, 1 punkt za zapisanie równania z jedną\nniewiadomą, 1 punkt za obliczenie 𝑞= 3\n7 oraz sumy dla 𝑞= 3\n7 ).\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nOznaczmy przez 𝑟 różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛), natomiast przez 𝑞 - iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑏𝑛).\nPonieważ 𝑎6 = 15 oraz 𝑎15 = 𝑎3 ⋅(𝑎8 -6), więc stąd i z własności ciągu arytmetycznego\notrzymujemy\n𝑎6 + 9𝑟= (𝑎6 -3𝑟) ⋅(𝑎6 + 2𝑟-6)\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(15 + 2𝑟-6)\n15 + 9𝑟= (15 -3𝑟)(2𝑟+ 9)\n6𝑟2 + 6𝑟-120 = 0\n𝑟2 + 𝑟-20 = 0\n𝑟= -5 ∨ 𝑟= 4\nCiąg (𝑎𝑛) jest rosnący, więc 𝑟= 4.\nZatem 𝑏1 = 𝑎6 + 5𝑟= 15 + 5 ⋅4 = 35, 𝑏2 = 15 oraz 𝑞= 𝑏2\n𝑏1\n= 3\n7 .\nPonieważ |3\n7| < 1, więc suma 𝑆 wszystkich wyrazów ciągu (𝑏𝑛) istnieje i jest równa\n𝑆=\n𝑏1\n1 -𝑞=\n35\n1 -3\n7\n= 245\n4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$\\dfrac{245}{4}$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"ciagi","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"10","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-5)\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawie 𝐴𝐵𝐶. Płaszczyzna\nzawierająca krawędź 𝐴𝐵 podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej 𝐶𝐷 przecina tę\nkrawędź w punkcie 𝐸, przy czym |𝐶𝐸|\n|𝐷𝐸| = 3\n11 .\nOblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy 𝑨𝑩𝑪.\nZapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nDany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCD o podstawie ABC. Płaszczyzna zawierająca krawędź AB podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej CD przecina tę krawędź w punkcie E, przy czym |CE|/|DE| = 3/11. Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola podstawy ABC. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola\ngraniastosłupów, ostrosłupów […].\nX.R2) wyznacza przekroje sześcianu\ni ostrosłupów prawidłowych […].\nZasady oceniania (dla sposobów I - III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 6.\n4 pkt - wyznaczenie w zależności od 𝑥 czterech spośród wielkości 1)-4) określonych\nw zasadach oceniania za 1 punkt\nALBO\n- wyznaczenie pola powierzchni całkowitej ostrosłupa w zależności od 𝑥: 126√3𝑥2.\n3 pkt - wyznaczenie w zależności od 𝑥 trzech spośród wielkości 1)-4) określonych\nw zasadach oceniania za 1 punkt.\n2 pkt - wyznaczenie w zależności od 𝑥 dwóch spośród wielkości 1)-4) określonych\nw zasadach oceniania za 1 punkt.\n1 pkt - wyznaczenie w zależności od 𝑥 jednej z poniższych wielkości 1)-4):\n1) długości wysokości ściany bocznej, np. |𝐵𝐸| = 5√3𝑥, |𝐷𝐹| = 5√7𝑥,\n2) długości krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶: |𝐵𝐶| = 2√21𝑥,\n3) pola podstawy 𝐴𝐵𝐶: 21√3𝑥2,\n4) pola ściany bocznej (lub pola powierzchni bocznej): 35√3𝑥2 (lub 105√3𝑥2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷| = 3\n11 , więc |𝐶𝐸| = 3𝑥 oraz |𝐸𝐷| = 11𝑥 przy pewnym 𝑥> 0 (zobacz\nrysunki).\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝐸𝐷 i otrzymujemy:\n|𝐵𝐸|2 + |𝐸𝐷|2 = |𝐵𝐷|2\n|𝐵𝐸|2 + (11𝑥)2 = (14𝑥)2\n|𝐵𝐸| = 5√3𝑥\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐵𝐶𝐸 i otrzymujemy:\n|𝐵𝐶|2 = |𝐶𝐸|2 + |𝐵𝐸|2\n|𝐵𝐶|2 = (3𝑥)2 + (5√3𝑥)\n2\n|𝐵𝐶| = 2√21𝑥\nWyznaczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝑏= 3 ⋅1\n2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅|𝐵𝐸| = 3\n2 ⋅14𝑥⋅5√3𝑥= 105√3𝑥2\nWyznaczamy pole 𝑃𝑝 podstawy 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝑝=\n|𝐵𝐶|2 ⋅√3\n4\n= (2√21𝑥)\n2 ⋅√3\n4\n= 21√3𝑥2\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n3𝑥\n11𝑥\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n3𝑥\n11𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy stosunek 𝜂 pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola podstawy 𝐴𝐵𝐶\nostrosłupa:\n𝜂= 𝑃𝑏+ 𝑃𝑝\n𝑃𝑝\n= 105√3𝑥2 + 21√3𝑥2\n21√3𝑥2\n= 6\nSposób II\nPonieważ |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷| = 3\n11 , więc |𝐶𝐸| = 3𝑥 oraz |𝐸𝐷| = 11𝑥 przy pewnym 𝑥> 0.\nNiech 𝐹 będzie spodkiem wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝐷 poprowadzonej z wierzchołka 𝐷\nna krawędź 𝐵𝐶 (zobacz rysunki).\nZ podobieństwa trójkątów prostokątnych 𝐶𝐸𝐵 oraz 𝐶𝐹𝐷 otrzymujemy:\n|𝐸𝐶|\n|𝐵𝐶| =\n|𝐹𝐶|\n|𝐶𝐷|\n3𝑥\n|𝐵𝐶| =\n1\n2 ⋅|𝐵𝐶|\n14𝑥\n|𝐵𝐶| = 2√21𝑥\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐶𝐷𝐹 i otrzymujemy:\n|𝐶𝐷|2 = |𝐷𝐹|2 + |𝐹𝐶|2\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n3𝑥\n11𝑥\n𝐹\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n3𝑥\n11𝑥\n(14𝑥)2 = |𝐷𝐹|2 + (1\n2 ⋅2√21𝑥)\n2\n|𝐷𝐹| = 5√7𝑥\nWyznaczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝑏= 3 ⋅1\n2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐷𝐹| = 3\n2 ⋅2√21𝑥⋅5√7𝑥= 105√3𝑥2\nWyznaczamy pole 𝑃𝑝 podstawy 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝑝= |𝐵𝐶|2 ⋅√3\n4\n= (2√21𝑥)\n2 ⋅√3\n4\n= 21√3𝑥2\nObliczamy stosunek 𝜂 pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola podstawy 𝐴𝐵𝐶\nostrosłupa:\n𝜂= 𝑃𝑏+ 𝑃𝑝\n𝑃𝑝\n= 105√3𝑥2 + 21√3𝑥2\n21√3𝑥2\n= 6\nSposób III\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝑂 - spodek wysokości ostrosłupa poprowadzonej z wierzchołka 𝐷 na podstawę 𝐴𝐵𝐶,\n𝐺 - środek krawędzi 𝐴𝐵,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,\nℎ𝑏 - wysokość ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka 𝐷,\nℎ𝑝 - wysokość podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz rysunki).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPonieważ |𝐶𝐸|\n|𝐸𝐷| = 3\n11 , więc |𝐶𝐸| = 3𝑥 oraz |𝐸𝐷| = 11𝑥 przy pewnym 𝑥> 0.\nOstrosłup jest prawidłowy, więc punkt 𝑂 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie\nrównobocznym 𝐴𝐵𝐶 i jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zatem\n|𝑂𝐶| = 2\n3 ℎ𝑝= 𝑎√3\n3 oraz |𝑂𝐺| = 1\n3 ℎ𝑝= 𝑎√3\n6 .\nZ podobieństwa trójkątów 𝐷𝑂𝐶 i 𝐺𝐸𝐶 mamy\n|𝐸𝐶|\n|𝐺𝐶| = |𝑂𝐶|\n|𝐷𝐶|\n3𝑥\nℎ𝑝\n𝑎√3\n3\n14𝑥\n3𝑥\n𝑎√3\n2\n𝑎√3\n3\n14𝑥\n𝑎= 2√21𝑥\nStosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta 𝐺𝐵𝐷 i otrzymujemy:\n|𝐵𝐷|2 = |𝐷𝐺|2 + |𝐺𝐵|2\n(14𝑥)2 = ℎ𝑏\n2 + (1\n2 ⋅2√21𝑥)\n2\n𝐶\n𝐺\n𝑂\nℎ𝑏\n𝐷\n1\n3 ℎ𝑝\n3𝑥\n11𝑥\n2\n3 ℎ𝑝\n𝐸\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐺\n𝑂\n3𝑥\n11𝑥\n1\n3 ℎ𝑝\n2\n3 ℎ𝑝\nℎ𝑏\nℎ𝑏= 5√7𝑥\nWyznaczamy pole 𝑃𝑏 powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝑏= 3 ⋅1\n2 ⋅𝑎⋅ℎ𝑏= 3\n2 ⋅2√21𝑥⋅5√7𝑥= 105√3𝑥2\nWyznaczamy pole 𝑃𝑝 podstawy 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝑝= 𝑎2 ⋅√3\n4\n= (2√21𝑥)\n2 ⋅√3\n4\n= 21√3𝑥2\nObliczamy stosunek 𝜂 pola powierzchni całkowitej ostrosłupa do pola podstawy 𝐴𝐵𝐶\nostrosłupa:\n𝜂= 𝑃𝑏+ 𝑃𝑝\n𝑃𝑝\n= 105√3𝑥2 + 21√3𝑥2\n21√3𝑥2\n= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$6$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"stereometria","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷\no wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (-9\n2 , 1).\nOkrąg 𝒪 przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających\nboki 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶 tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu 𝒪 jest liczbą\nujemną.\nWyznacz równanie okręgu 𝓞. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest równoległobok ABCD o wierzcho- łkach A=(-8,-1) i D=(-13,9) oraz środku symetrii M=(-9/2,1). Okrąg O przechodzi przez początek tego układu i jest styczny do prostych zawierających boki AB i BC tego równoległoboku. Druga współrzędna środka okręgu O jest liczbą ujemną. Wyznacz równanie okręgu O. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.R1) znajduje punkty wspólne prostej\ni okręgu;\nIX.R4) wyznacza równanie prostej\nprostopadłej do zadanej prostej i prostej\nstycznej do zadanego okręgu.\nVIII.4) korzysta z własności kątów\ni przekątnych w prostokątach,\nrównoległobokach, rombach i trapezach.\nZasady oceniania (dla sposobów I-III)\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\n5 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą - pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝑆,\nnp.:\n[𝑥𝑆-(3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5)]\n2\n+ [-𝑥𝑆-3 -(-6\n5 𝑥𝑆-11\n5 )]\n2\n= 𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2\n(ze związków 𝑟= |𝑆𝑇| oraz 𝑟= |𝑆𝑂|),\n(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆-3 -(-7))\n2 =\n= (3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5 -4)\n2\n+ (-6\n5 𝑥𝑆-11\n5 -(-7))\n2\n+ 𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2\n(ze związków |𝐵𝑆|2 = |𝐵𝑇|2 + 𝑟2 oraz 𝑟= |𝑆𝑂|).\n4 pkt - wyznaczenie równania dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku: 𝑦= -𝑥-3\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑆 za pomocą jednej niewiadomej, np.\n𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐸: 𝐸= (-2, 5)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych takich punktów 𝑃1 oraz 𝑃2 , że 𝑃1 leży na półprostej 𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑\noraz 𝑃2 leży na półprostej 𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑ oraz |𝐵𝑃1| = |𝐵𝑃2|,\nALBO\n- obliczenie tangensa kąta 𝛼: tg 𝛼= 1\n3 (dla sposobu II),\nALBO\n- zapisanie związku\n|1\n2 𝑥𝑆 + 𝑦𝑆 + 5|\n√(1\n2)\n2\n+12\n= |2𝑥𝑠 + 𝑦𝑆 - 1|\n√22+12\n(dla sposobu III).\n2 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵:\n𝑦= -2𝑥+ 1 oraz |𝐴𝐵| = √180\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝐴𝐵 oraz obliczenie długości odcinka 𝐵𝐶:\n𝑦= -1\n2 𝑥-5 oraz |𝐵𝐶| = √75,\nALBO\n- obliczenie współczynników kierunkowych prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶: 𝑎𝐴𝐵= -1\n2 oraz\n𝑎𝐵𝐶= -2 (dla sposobu II),\nALBO\n- wyznaczenie równań prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶, np. 𝑦= -1\n2 𝑥-5 oraz 𝑦= -2𝑥+ 1\n(dla sposobu III).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐵: 𝐵= (4, -7)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych wierzchołka 𝐶: 𝐶= (-1, 3).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez trójkąt równoramienny)\nŚrodek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.\nZatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory\nna współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:\n𝑥𝐵+ (-13)\n2\n= -9\n2 ∧ 𝑦𝐵+ 9\n2\n= 1\n𝐵= (4, -7)\nStosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:\n-8 + 𝑥𝐶\n2\n= -9\n2 ∧ -1 + 𝑦𝐶\n2\n= 1\n𝐶= (-1, 3)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy |𝐴𝐵|: |𝐴𝐵| = √(4 -(-8))\n2 + (-7 -(-1))\n2 = √180.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3-(-7)\n-1-4 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -2𝑥+ 1.\nNiech 𝐸 będzie punktem na boku 𝐵𝐶 równoległoboku (lub na przedłużeniu tego boku\nw stronę 𝐶) takim, że |𝐵𝐸| = |𝐵𝐴|. Obliczamy współrzędne punktu 𝐸:\n(𝑥-4)2 + (𝑦+ 7)2 = 180 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n(𝑥-4)2 + (-2𝑥+ 7 + 1)2 = 180 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n5𝑥2 -40𝑥-100 = 0 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n(𝑥, 𝑦) = (-2, 5) ∨ (𝑥, 𝑦) = (10, -19)\nPunkt (10, -19) nie spełnia warunku narzuconego na 𝐸 (bowiem 10 > 𝑥𝐵),\nwięc 𝐸= (-2, 5).\nOkrąg 𝒪 jest styczny do prostych 𝐴𝐵 oraz 𝐵𝐶, więc jego środek 𝑆 leży na dwusiecznej\nkąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷. Ponieważ trójkąt 𝐴𝐵𝐸 jest równoramienny, więc środek\n𝐹 odcinka 𝐴𝐸 leży na prostej 𝐵𝑆 i odcinek 𝐴𝐸 jest prostopadły do prostej 𝐵𝑆.\nObliczamy współrzędne punktu 𝐹:\n𝑥𝐹= 𝑥𝐴 + 𝑥𝐸\n2\n= -8 - 2\n2\n= -5 ∧ 𝑦𝐹= 𝑦𝐴 + 𝑦𝐸\n2\n= -1 + 5\n2\n= 2\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n0\n𝑀\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝑆: 𝑦= -7-2\n4-(-5) ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -𝑥-3.\nZatem 𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).\nNiech 𝑇 będzie punktem styczności okręgu 𝒪 z prostą 𝐵𝐶.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑇: 𝑦= 1\n2 ⋅(𝑥-𝑥𝑆) + (-𝑥𝑆-3).\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝑇:\n𝑦= 1\n2 ⋅(𝑥-𝑥𝑆) + (-𝑥𝑆-3) ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n-2𝑥+ 1 = 1\n2 𝑥-3\n2 𝑥𝑆-3 ∧ 𝑦= -2𝑥+ 1\n𝑥= 3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5 ∧ 𝑦= -6\n5 𝑥𝑆-11\n5\nczyli 𝑇= (3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5 , -6\n5 𝑥𝑆-11\n5 ).\nOznaczmy przez 𝑟 promień okręgu 𝒪. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek układu\nwspółrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2. Jednocześnie\n𝑟= |𝑆𝑇| = √[𝑥𝑆-(3\n5 𝑥𝑆+ 8\n5)]\n2\n+ [-𝑥𝑆-3 -(-6\n5 𝑥𝑆-11\n5 )]\n2\n= √(2\n5 𝑥𝑆-8\n5)\n2\n+ (1\n5 𝑥𝑆-4\n5)\n2\nwięc\n𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2 = (2\n5 𝑥𝑆-8\n5)\n2\n+ (1\n5 𝑥𝑆-4\n5)\n2\nStąd otrzymujemy\n𝑥𝑆\n2 + (𝑥𝑆+ 3)2 = 4\n25 (𝑥𝑆-4)2 + 1\n25 (𝑥𝑆-4)2\n2𝑥𝑆\n2 + 6𝑥𝑆+ 9 = 1\n5 (𝑥𝑆-4)2\n9𝑥𝑆\n2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0\n𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29\n9\nPonieważ -29\n9 < -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli\n𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.\nOkrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II (poprzez współczynniki kierunkowe)\nŚrodek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.\nZatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory\nna współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:\n𝑥𝐵+ (-13)\n2\n= -9\n2 ∧ 𝑦𝐵+ 9\n2\n= 1\n𝐵= (4, -7)\nStosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:\n-8 + 𝑥𝐶\n2\n= -9\n2 ∧ -1 + 𝑦𝐶\n2\n= 1\n𝐶= (-1, 3)\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -7-(-1)\n4-(-8) = -1\n2 .\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝐶 prostej 𝐵𝐶: 𝑎𝐵𝐶= 3-(-7)\n-1-4 = -2.\nOznaczmy miarę kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku przez 2𝛼. Obliczamy tangens tego kąta,\nkorzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz wzoru na\ntangens różnicy kątów:\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n0\n𝑀\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\ntg(2𝛼) =\n𝑎𝐴𝐵-𝑎𝐵𝐶\n1 + 𝑎𝐴𝐵⋅𝑎𝐵𝐶\ntg(2𝛼) =\n-1\n2 -(-2)\n1 + (-1\n2) ⋅(-2)\n= 3\n4\nKorzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kąta i otrzymujemy\n3\n4 =\n2 tg 𝛼\n1 -tg2 𝛼\n3tg2 𝛼+ 8 tg 𝛼-3 = 0\ntg 𝛼= -8 -10\n6\n= -3 ∨ tg 𝛼= -8 + 10\n6\n= 1\n3\nPonieważ kąt 𝐴𝐵𝐶 równoległobku jest ostry, więc tg 𝛼= 1\n3 .\nOznaczmy środek okręgu 𝒪 przez 𝑆. Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎𝐵𝑆 prostej\n𝐵𝑆, korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz\nwzoru na tangens sumy kątów:\n𝑎𝐵𝑆=\n𝑎𝐵𝐶+ tg 𝛼\n1 -𝑎𝐵𝐶⋅tg 𝛼\n𝑎𝐵𝑆=\n-2 + 1\n3\n1 -(-2) ⋅1\n3\n= -1\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝑆: 𝑦= -1 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -𝑥-3. Zatem\n𝑆= (𝑥𝑆 , -𝑥𝑆-3).\nNiech 𝑟 będzie długością promienia okręgu 𝒪. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek\nukładu współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2. Ponadto\n𝑟\n|𝐵𝑆| = sin 𝛼\nwięc\n𝑟\n|𝐵𝑆| =\n1\n√10\n|𝐵𝑆|2 = 𝑟2 ⋅10\n(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆-3 -(-7))\n2 = 𝑟2 ⋅10\n(𝑥𝑆-4)2 + (-𝑥𝑆+ 4)2 = [𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2] ⋅10\n18𝑥𝑆\n2 + 76𝑥𝑆+ 58 = 0\n9𝑥𝑆\n2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29\n9\nPonieważ -29\n9 < -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli\n𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.\nOkrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\nSposób III (z własności dwusiecznej)\nŚrodek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku.\nZatem punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶 oraz środkiem odcinka 𝐵𝐷. Stosujemy wzory\nna współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐵:\n𝑥𝐵+ (-13)\n2\n= -9\n2 ∧ 𝑦𝐵+ 9\n2\n= 1\n𝐵= (4, -7)\nStosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka 𝐶:\n-8 + 𝑥𝐶\n2\n= -9\n2 ∧ -1 + 𝑦𝐶\n2\n= 1\n𝐶= (-1, 3)\n𝑦\n𝑥\n1\n1\n0\n𝑀\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= -7-(-1)\n4-(-8) ⋅(𝑥+ 8) + (-1), czyli 𝑦= -1\n2 𝑥-5.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 3-(-7)\n-1-4 ⋅(𝑥-4) + (-7), czyli 𝑦= -2𝑥+ 1.\nNiech 𝑆= (𝑥𝑆, 𝑦𝑆) będzie środkiem okręgu 𝒪, a 𝑟 - długością promienia okręgu 𝒪.\nPunkt 𝑆 leży na dwusiecznej kąta 𝐴𝐵𝐶 równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷, więc odległość punktu 𝑆\nod prostej 𝐴𝐵 jest równa odległości punktu 𝑆 od prostej 𝐵𝐶. Zatem\n| 1\n2 𝑥𝑆+ 𝑦𝑆+ 5|\n√(1\n2)\n2\n+ 12\n= |2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|\n√22 + 12\n|𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10| = |2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|\n𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10 = 2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1 ∨ 𝑥𝑆+ 2𝑦𝑆+ 10 = -2𝑥𝑆-𝑦𝑠+ 1\n𝑦𝑆= 𝑥𝑆-11 ∨ 𝑦𝑆= -𝑥𝑆-3\nPonieważ punkt (0, 0) leży w równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷, a prosta 𝑦= 𝑥-11 ma tylko jeden\npunkt wspólny z równoległobokiem, więc dwusieczna kąta 𝐴𝐵𝐶 ma równanie 𝑦= -𝑥-3.\nStąd 𝑦𝑆= -𝑥𝑆-3 oraz\n𝑟=\n|2𝑥𝑆+ 𝑦𝑆-1|\n√22 + 12\n|2𝑥𝑆-𝑥𝑆-3 -1|\n√5\n|𝑥𝑆-4|\n√5\nOkrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc 𝑟= √𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2.\nWobec powyższego otrzymujemy\n√𝑥𝑆\n2 + (-𝑥𝑆-3)2 =\n|𝑥𝑆-4|\n√5\n𝑥𝑆\n2 + (𝑥𝑠+ 3)2 =\n(𝑥𝑆-4)2\n5\n9𝑥𝑆\n2 + 38𝑥𝑆+ 29 = 0\n𝑥𝑆= -1 ∨ 𝑥𝑆= -29\n9\nPonieważ -29\n9 < -3, a druga współrzędna punku 𝑆 ma być ujemna, więc 𝑥𝑆= -1, czyli\n𝑆= (-1, -2). Obliczamy promień okręgu: 𝑟= √(-1)2 + (-2)2 = √5.\nOkrąg 𝒪 ma równanie (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"$(x + 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 5$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej\nrównym 24√3.\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 24√3. Wykaż, że objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem V(a) = 6a - {1/8}a³.","answer":null,"answer_text":null,"solution":null,"image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":null,"page_from":25,"source":"matugen","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWykaż, że objętość 𝑽 graniastosłupa w zależności od długości 𝒂 krawędzi podstawy\njest określona wzorem\n𝑽(𝒂) = 𝟔𝒂-𝟏\n𝟖𝒂𝟑\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - wyznaczenie wysokości graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy\ngraniastosłupa, np. 𝐻= 48√3 - 𝑎2 ⋅ √3\n6𝑎\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRozpatrzmy dowolny z rozważanych graniastosłupów. Oznaczmy przez 𝐻 jego wysokość.\nPole powierzchni całkowitej tej bryły jest równe 24√3, więc\n24√3 = 2 ⋅𝑎2 ⋅√3\n4\n+ 3𝑎𝐻\nStąd\n𝐻= 48√3 -𝑎2 ⋅√3\n6𝑎\nZatem objętość 𝑉 graniastosłupa jest równa\n𝑉= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅𝐻= 𝑎2 ⋅√3\n4\n⋅48√3 -𝑎2 ⋅√3\n6𝑎\n= 6𝑎-1\n8 𝑎3\nTo należało wykazać.","solution":"Dowód","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"},{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nObjętość 𝑉 graniastosłupa w zależności od długości 𝑎 krawędzi podstawy jest określona\nwzorem\n𝑉(𝑎) = 6𝑎-1\n8 𝑎3\ndla 𝑎∈(0, 4√3).\nWyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego\nobjętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nRozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym 24√3. Objętość V graniastosłupa w zależności od długości a krawędzi podstawy jest określona wzorem V(a) = 6a - 1/8a³ dla a ∈ (0,4√3). Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nXIII.R4) oblicza pochodną funkcji potęgowej\no wykładniku rzeczywistym oraz oblicza\npochodną, korzystając z twierdzeń\no pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu\n[…];\nXIII.R5) stosuje pochodną do badania\nmonotoniczności funkcji;\nXIII.R6) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nz zastosowaniem pochodnej.\nZasady oceniania\n4 pkt - uzasadnienie, że funkcja 𝑉 przyjmuje wartość największą dla 𝑎= 4 oraz\nobliczenie 𝑉(4) = 16.\n3 pkt - uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja 𝑉 przyjmuje\nwartość największą dla 𝑎= 4.\n2 pkt - obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑉: 𝑎= 4.\n1 pkt - wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑉, np. 𝑉′(𝑎) = 6 -3\n8 𝑎2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla\nwyznaczonej wartości 𝑎, przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy\nzdający bada znak pochodnej\nORAZ:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑉\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to\njednocześnie jej największa wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑎 funkcja 𝑉 ma maksimum lokalne i jest to\njedyne ekstremum tej funkcji.\nBadanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres\nfunkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np.\nznakami „+” i „-”) znak pochodnej.\n2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty\nza całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie\nmiejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz\nobjętości graniastosłupa o największej objętości).\n3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej,\n1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nObliczamy argument, dla którego funkcja 𝑉 określona wzorem 𝑉(𝑎) = 6𝑎-1\n8 𝑎3 dla\n𝑎∈(0, 4√3) osiąga wartość największą.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑉: 𝑉′(𝑎) = 6 -3\n8 𝑎2 dla 𝑎∈(0, 4√3).\nObliczamy miejsca zerowe pochodnej funkcji 𝑉:\n𝑉′(𝑎) = 0\n6 -3\n8 𝑎2 = 0\n𝑎= -4 ∉(0, 4√3) ∨ 𝑎= 4 ∈(0, 4√3)\nBadamy znak pochodnej:\n𝑉′(𝑎) < 0\n6 -3\n8 𝑎2 < 0 ∧ 𝑎∈(0, 4√3)\n𝑎∈(4, 4√3)\nwięc 𝑉′(𝑎) < 0 dla 𝑎∈(4, 4√3) oraz 𝑉′(ℎ) > 0 dla 𝑎∈(0, 4).\nZatem funkcja 𝑉 jest rosnąca w przedziale (0, 4] i malejąca w przedziale [4, 4√3).\nStąd funkcja 𝑉 osiąga wartość największą dla 𝑎= 4. Wtedy\n𝑉(4) = 6 ⋅4 -1\n8 ⋅43 = 16","solution":"$V(4) = 16$","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":"optymalizacja","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"zadaniazmatur","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura"}]}